МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ
А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов
МЕТОД КАНОНИЧЕСКОГО
ОПЕРАТОРА МАСЛОВА
Комплексная теория
Москва —1974 г.

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ
А. С. Мищенко, Б. Ю. Стернин, В. Е. Шаталов
МЕТОД КАНОНИЧЕСКОГО
ОПЕРАТОРА МАСЛОВА
Комплексная теория
Рекомендовано
Редсоветом Института
в качестве учебного пособия
Москва —1974 ιγ

Предисловие
Книга посвящена разработке комплексного варианта метода
канонического оператора Маслова построения асимптотических
решений (псевдо) дифференциальных уравнений с
комплексными характеристиками.
Не вдаваясь в сущность метода Маслова (комплексной
реализации которого и посвящена настоящая работа), отметим его
универсальность. Действительно, в соединении с А-формализмом
[14], метод канонического оператора работает в таких казалось
бы далеких друг от друга областях, как квазиклассическая
асимптотика квантовой механики и проблема устойчивости
разностных схем, задача о распространении «в большом» разрыва
решений гиперболических уравнений и коротковолновая
асимптотика в задачах дифракции, распространение волн в ионосфере
и проблема существования и единственности в общей теории
псевдодифференциальных уравнений. Более того, метод
канонического оператора вскрыл топологическую природу известного
эффекта о скачке фазы якобиана при переходе через фокальную
точку. В работе [1] был вычислен характеристический класс,
входящий в условия квантования и реализующий так называемый
индекс Маслова на лагранжевом многообразии. Книга [14]
вызвала большой резонанс как в Советском Союзе, так и за
рубежом.
Мы здесь хотим отметить, в первую очередь, работы [1], [2],
131141 [6], [7], [10], [25].
Остановимся теперь на комплексной теории канонического
оператора. В 1970 г. В. Маслов [16], [26] анонсировал некоторый
вариант комплексной теории канонического оператора,
названного им теорией канонического оператора на лагранжевом
многообразии с комплексным ростком. В этой работе основным
объектом является вещественное лагранжево многообразие и
комплексная векторнозначная функция на нем — комплексный росток.
В дальнейшем идеи В. Маслова в комплексной теории
канонического оператора получили свое развитие в работах [11], [12],
ИЗ], [17], [19], [20], [21].
В книге предложен принципиально новый подход к
построению комплексной теории канонического оператора, основанный
на изучении семейства неособых вещественных подмногообразий
правильных s-аналитических многообразий Лагранжа.
С методической точки зрения, однако, удобнее начать с
изложения теории канонического оператора на s-аналитическом
3

многообразии Лагранжа с оператором канонического сужения.
Этот способ подкупает своей идейной простотой и прозрачностью
изложения, хотя и не лишен ряда недостатков.
Далее, мы развиваем теорию канонического оператора в
общей ситуации, частным случаем которой является теория
канонического оператора на s-аналитическом многообразии
комплексной размерности η с одной стороны, и теория канонического
оператора на /г-мерном- вещественном- многообразии в /г-мер-
ном комплексном фазовом пространстве, с другой. Как
показано в гл. III, последние играют существенную роль в получении
асимптотических разложений решений задачи Коши.
Метод канонического оператора в комплексной ситуации был
применен к решению двух основных задач: нахождению
квазиклассической асимптотики решения задачи Коши и асимптотике
собственных значений операторов с комплексным
гамильтонианом.
Важным моментом получения асимптотики задачи Коши
является построение гамильтонова формализма расширенного
фазового пространства и, в частности, нахождения (почти)
решения уравнения Гамильтона-Якоби. Отметим, в связи с этим,
работы (11], [16], [17], [21], [27], {28].
Остановимся отдельно на топологических аспектах
комплексной теории канонического оператора. Важнейшей
характеристикой лагранжевого многообразия (вещественного или
комплексного) является его квантованность. В вещественной
ситуации, как показано в [1], {14] условия квантования носят по
существу топологический характер. Более того, в [1] предъявлен
характеристический класс универсальной модели (лагранжевого
грассманиана), тривиальность обратного образа которого при
классифицирующем отображении гарантирует квантованность
многообразия.
В данной книге детально проведено исследование топологии
комплексных лагранжевых многообразий. Конечный результат —
построение комплексного лагранжевого грассманиана и
предъявление характеристического класса, «отвечающего за
квантованность многообразия» — лишь очень приблизительно может
охарактеризовать эффекты и трудности топологии комплексных
лагранжевых многообразий. Укажем, например, на одну «явную
нелепицу», сразу бросающуюся в глаза при первой попытке
выяснить универсальный источник препятствия. Поскольку
комплексный лагранжев грассманиан Лс(1)=СР1, то П\(СР1)=0, и,
следовательно, препятствие отсутствует. Это «означает», что в
комплексной ситуации условия квантования (и индекс)
отсутствуют и, следовательно, на любом комплексном лагранжевом
многообразии всегда существует канонический оператор. Как
мы уже сказали, объяснение этого парадокса, а также полный
анализ топологических аспектов теории содержится в части I
книги.
4

Фактический материал книги составляют две большие части,
содержание которых ясно из оглавления.
Основной части текста мы для лучшей ориентировки читателя
предпослали Введение, в котором изложили основные факты
комплексной теории канонического оператора.
Все результаты частей I и II книги представляют собой
оригинальные исследования авторов. При этом в первой части
результаты главы I и § 2.3 и § 2.4 главы II принадлежат
Б. Ю. Стернину, результаты § 2.1 и § 2.2 главы II—А. С.
Мищенко. Во второй части результаты главы I, главы II и § 3.2
главы III принадлежат Б. Ю. Стернину, результаты § 3.1
принадлежат В. Е. Шаталову.
Материал, содержащийся в книге, лег в основу курса лекций,
которые первые два автора читали в течение ряда лет на
факультете прикладной математики Московского института
электронного машиностроения.

ВВЕДЕНИЕ
§ I. Канонический оператор на правильном ^-аналитическом
лагранжевом многообразии.
I. Основные определения. Пусть на гладком
вещественном многообразии М2п задана непрерывная неотрицательная
вещественная функция
PM:M2n->R, (1.1)
гладкая вне множество своих нулей , ρ2Μ ζ С°° (М)
PMtC*°(M-Q), где Q={m\ т£М2\ рм(т)=0}.
Такую функцию мы будем называть весовой. Все дальнейшие
рассмотрения мы будет проводить в достаточно малой
окрестности множества Ω. Обозначим через SI(M, pM) пространство
всех комплекснозначных функций на многообразии М2п, для
которых в каждой системе локальных координат (U, α); α: U—^R2n
справедливо неравенство
|£>7(т)|<Са|Рл1(/я)Гт (1.2)
с некоторой постоянной Ст>0 для любого мультииндекса
Υ=(Υΐ» ..., Υ2η).
Определение 1.1. Пара (Λί2η, ρΜ) называется s-анали-
тическим многообразием комплексной размерности п, если на
многообразии М2п задан такой атлас {(ί/;·, α;·)}, jζ/,
Здесь zl = al + ibl — координаты в О,
fci 2 V да1 ' дЬ1 )
Пару (U, а) мы будем называть ^-аналитической картой. На
s-аналитическом многообразии (М2п, рм) можно
рассматривать s-аналитические функции, т. е. такие отображения
/: (М2п, рм)—*С, для которых в каждой s-аналитической
карте (U, а) справедливо включение
-Щ-Г'(Ми. ?м).
dzL
6

Обозначим через Ю'(М л, рм) кольцо s-аналитических
функций на (Ж2л, рм) и через Ю{М2п, рм) — фактор-кольцо
Ю{М2\ 9м)=Ю'(М>\ РМУ*1(М2\ 9М)(\'(У(М9 9м).
Естественным образом определяются s-аналитические
векторные поля и дифференциальные формы на (М2п, рм).
Рассмотрим теперь линейное пространство многочленов от
переменной h вида
/o + A/i+...+Α*/*. (1.3)
причем fj ζ JО'(Μ**, рм), tj > max {0, s —2y}. В этом кольце
многочлены вида 2^ g* образуют идеал и через aO'[h](M2n9 рм)
мы обозначим фактор-кольцо по этому идеалу. Наконец, через
sI[h](M2n, рм) обозначим идеал кольца *0'[h](M2n, pM),
порожденный многочленами вида (1.3), для которых справедливо
включение /,ζ(s~V/(Af2/l, ?м) и через sQ[h](M2n, pM) фактор
кольца sO'[h](M2n, pM) по этому идеалу.
Пусть (OxCn, |Im2| +|Ιηιζ|) —s-аналитическое гамиль-
тоново пространство с координатами (г, ζ) = (г1, ..., ζη, ζι, ..., ζη),
структурной формой dz Д άζ и весовой функцией
р— | Ims | + | ImC | .
Определение 1.2. Гладкое вложение
/:(ΛΛ рж)-(СлХСл, |Ims| + |ImC|) (1.4)
называется s-аналитическим лагранжевым вложением, если
/) функции i*z, ι*ζ — s-аналитичны;
it) имеет место неравенство
Рм>СГ(\1шг\ + |ImC|) (1-5)
с некоторой постоянной С>0;
ш) справедливо включение
rdzhoZi'/iM2*, рм). (1.6)
•Ниже для краткости s-аналитические лагранжевы
вложения (1.4) мы будем называть лагранжевьши многообразиями.
Предложение 1.3. На лагранжевом многообразии
существует канонический атлас {U, /},__где /е{1, 2, ..., п}, а
координаты в (ί/, /) суть (г1, ζΓ), / U 7=11, 2,..., /ι}.
Покрытие многообразия (М2п, рм) картами канонического
атласа (каноническими картами) мы будем называть
каноническим покрытием.
Пусть теперь μ — некоторая невырожденная
«-аналитическая мера на (М2п, рм)·
7

Определение 1.4. Лагранжево многообразие (Λί2η, ρΜ)
с мерой называется правильным квантованным многообразием,
если существуют такие коцепи {£((/,/)} и (arg rn(uj))
канонического покрытия {(U, I)} с комплекснозначными гладкими
коэффициентами, что
1) в каждой канонической карте (U, I)
а) dSiUJ)-i*(tidz!-z7dtT)£sI(M2\ Рм);
б) argm(t7,j) — некоторое значение аргумента плотности меры
в координатах {U, 1)\
2) На любом пересечении (ί/, /) Π (V* J) Φ 0 двух карт
имеет место равенство:
(а) 5(|,|/)-5(С,|/) = Г[гЧ/.-^.^ в кольце *0{U П VpUaV): (1.7)
б) argmW) — eLrgmiV,i)=%Mgh + | Λ I л на 2, (1.8)
где /г=/—/ΠΛ /з = /—^ΠΛ λ&— собственные значения
матрицы
Hess/4/3(~5(i/,0)(a),—Ljt<argXft< J1, α ζ 2,
с) существуют такие положительные постоянные С\ и С2, что
в каждой канонической карте (U, I) имеют место неравенства
CiP2(*'. />T)<ImS(</,/>(*', /?т)<С2р2(*', /?7).
Всюду ниже мы будем считать, что (М2п, рм) — некоторое
правильное квантованное s-аналитическое многообразие с мерой μ
и что коцепи {«$(*/,/>} и {argm(Uf/)} фиксированы.
Определим теперь элементарную каноническую цепь {k(u,i)}
полагая для φΕδΟ0((7, /) (элементы с компактным носителем)
k(um=Fn ΑβΎS(U,nV^J7>\(x', ρτ). (ΐ.9)
Обозначим через Нг замыкание пространства Со°(Кл) по норме
|/|r=sup||(l+ | xF+fY'Vl^ny
где ~p=-ih±.=^ihJL,..., -Ш-£г), |*|Wf+...
...+хп2 и пусть H(R")=limHr(Rn). Если теперь
Г->оо
A = l/h : L2(0, 1)—*L2(0, 1)—оператор умножения на l/h, то
через Hk(Rn) мы обозначим фактор H/D(Ak)
Аналитически определяются «операторы склейки» Vu для
каждого непустого пересечения (Uf I)f[(V, /). Эти операторы
удовлетворяют в пространстве Η равенству
*(*/,/>?=*( v,y >ν7,/φ. (1.10)
8

Пусть теперь {βφ,ΐ)}—разбиение единицы, подчиненное
каноническому покрытию.
Определение 1.5. Канонической мы будем называть
такую коцепь [К(и,п)> что для <?£sO0(M2n, pM)[h]
К(и,п<?= 2 k(uj)Vue{uj)4. (1.11)
{UJ){\{VJ)i=0
Теорема. 1.6. На правильном s-аналитическом
квантованном многообразии существует и притом единственный оператор
К:Ю0(М2п, 9м)^Н*-у2(Кп)> (1.12)
совпадающий с канонической коцепью [Kw,j)}-
Пусть Н(х9 р) — гамильтониан [14] и
5+1
н^ ^Σέ(1^+^Μ{χ'ρ)- {1ЛЗ)
k=Q
Теорема 1.7. Пусть
1 )/·//(*, q$*f(M2\ 9м), (1.14)
2) LV{H^^I(M2\ 9м) (1.15)
(Lv(H) — производная Ли меры μ вдоль гамильтонова вектор-
ного поля V (п)= . Тогда в пространстве
4 ' δζ дг όζ όζ )
Η 2 имеет место равенство
Η Ι χ, — ih — \ /Сср= - ШКРъ
где
P=Po+hP1+...+hl p[s_^
для операторов Р0, Рь ... предъявляются явные формулы, в
частности
2 dzd^
Наша следующая теорема касается топологической
трактовки условия квантования. Заметим, прежде всего, что в
достаточно общей ситуации по-видимому не существует топологической
характеристики условия (1.7), по крайней мере, в терминах
классов когомологий многообразия с числовыми коэффициента-
9

ми *. Поэтому сосредоточим свое внимание на
топологической интерпретации условия (1.8).
Теорема 1.8. Условие (1.8) выполнено в том и только в том
случае, когда класс
idln ■ —
тривиален.
§ 2. Канонический оператор на семействах неособых
вещественных подмногообразий s-аналитического многообразия.
1. Основные определения. Обозначим через U°f
подмногообразие карты (U, I), задаваемое уравнениями lmzI = 09
ы:7=о.
Определение 2.1. Отображение
gr:U01-C'XCj- (2.1)
с компонентами уг(х1, рГ), Άτ{χι, рт) называется неособым
ростком, если:
Ϊ) функции g[ei{M2\ рм); (2.2)
d(zl, ζ-) .
и) матрица — невырождена на 2. (2.3)
Здесь z[=xr + iyf{x/, рт), tT= рг + №г(х1, рт\
Обозначим через Ugr подмногообразие (U, I), уравнения
которого суть:
*'=*'(*', рт\ ζ~=ζ~(ζ<(χ*, ρτ\ Сг(^, рг))% (2.4)
СГ = СГ(^, /7Г), ζ,^ζ, (*'(*', рт\ Сг(^, рг))
и пусть
Rs';W(U, 9и)^С°°(и*', /)- * (2.5)
оператор сужения.
Определим фактор-пространство
sCao(U^) = C°°(U^)/sI {Ugi, ?ug, ), (2.6)
где
sj*i {Usi f p^ ) = /?^/(i/f Pi/). (2.7)
* В отличие от вещественного случая, где тривиальность класса
ι*ράχ£Ηι(Μ, Ζ) обеспечивает выполнение условия (1.7).
10

Определим оператор
Tg/ : SC°° (Ug/ ) -> SC°° {U% .(2.8)
полагая (см. (1.5.7)):
\Tg'f\{x', pT) =
-Σ^Κτ^)''
r r r (2·9)
Предложение 2.2. Операторы TgI, RgI индуцируют
операторы в фактор-пространствах
Tgl: SC°° (Ugr,) -> SC°° (U°r) (2.10)
*0(<A Pu^'C00^") l (2.11>
эти операторы являются изоморфизмами, а диаграмма
R°lsO(U, 9u)Rg<
/ rgi \
SC°° (ίΛ) > SC°° (Ugi) (2.12)
коммутативна.
Более того, справедливо следующее утверждение,
доставляющее инвариантное определение неособого ростка и играющее
важную роль в приложениях.
Предложение 2.3. Пусть многообразие Ug/ задано
ростком (2.4) (росток не предполагается неособым). Пусть
giZ4°(U0t* P&0j) и оператор
I?*:W(U9 Ри)^'С°°(и*') (2.13)
является изоморфизмом. Тогда росток gj неособый.
Определение 2.4. Семейство функций {φ }:ί/^—>С,
параметризованное неособыми ростками {gj} называется
Ти-связанным, если имеет место равенство
Т*Ъ=ЪГ (2.14)
для любого неособого ростка gi.
Система семейств {<?> }, где {U, I) пробегает канонический
атлас, называется Ύ-коциклом или Ύ-функцией, если для
любых двух карт (U, /), (V, J) сужения
Т^&пУ) —связаны.
К] W И ^ \unv

Множество Τ-коциклов мы обозначим через Ст(М2п, рм).
Имеет место следующее
Предложение 2.5. Существует изоморфизм колец
R:*0{M2\ 9м)^Ст(М2п, 9м). (2.15)
Определим теперь следующие элементы кольца С^,/)—
кольца Г-связанных семейств функций в карте (t/, /)
S(u.n={RglS(u,n}, (2.16)
т[и,п={^Щи,г)}. (2.17)
Теперь элементарный канонический оператор kfujy в карте
(£/, /) мы определим, полагая для <pr€Cj(i/, I)
kluttYfT=F ^eh Ym T*i<fi. (2.18)
Далее, строится локальный канонический оператор
{Utr)nHVtJ)*0
где
Vlj=Riutr)VuRruj) - (2.20)
— операторы, действующие в пространствах sC<f[fi]{U Г) 10
(определение последних аналогично sO[h](M2n, рм)), функции
eT(v,j)=R(v,j)e(v,j) и Rquti) — ограничение оператора (2.1.5).
Предложение 2.6. Операторы К и Кт связаны
соотношением
K=KTR. (2.21)
2. Основные теоремы.
Теорема 2.7. На правильном квантованном s-аналитиче-
ском многообразии существует и притом единственный оператор
KT:<[h](M2\ рЛ)-//-,*(*а"),
совпадающий в каждой канонической карте с оператором (2.19).
Теорема 2.8. Пусть выполнены условия (1.14), (1.15).
Тогда для любого элемента ср^Сот(Л] (М2п, рм) имеет место
следующее равенство в кольце Η*-ν2(Κη):
И (χ, 1р)КУ=-ШКтРтчт, (2.22)
где
pT=%PR-\ (2.23)
Ϊ2

причем в карте (U, I) оператор Р0Т имеет вид
Пусть теперь Gv — множество всех неособых
подмногообразий в карте U. Тогда мы утверждаем, что для любого
подмножества — j имеет место изоморфизм
RQu:sO{U, РиУ-Ca'i, (2.25)
и более того, отображение (2.25) является универсальным в том
смысле, что для любого канонического оператора
_ J_
Ки:Ю0(и,Ри)^Н 2(R") (2.26)
существует и притом единственное отображение
ι_
Ku':Cl. -H 2(R") (2.27)
для которого диаграмма
*O0(U,Pu)-+H 2(R")
Ч
коммутативна.
Вообще, использование неособых подмногообразий и семейств
представляется более естественным и удобным как с
теоретической, так и с практической точки зрения по сравнению с
каноническим способом, так как это было сделано в § 1, т. е. с
использованием подмногообразия
Im *'=(), ImCr=0
в карте (U, I).
Действительно, концепция сужения каноническим способом
не удовлетворительна уже хотя бы потому, что она не является
инвариантной относительно замены переменных *. Концепция
глобального многообразия (вещественной размерности п) уже
не обладает этим недостатком, однако она сильно сужает рамки
применимости, В то же время в рамках семейств, требование
глобальности излишне; нам достаточно рассмотреть в каждой
* Отметим в связи с этим, что если нам отказаться от требования
каноничности координат, то любое неособое подмногообразие может быть записано
с помощью некоторых s-аналитических координат (£/, а) уравнением
lm α*=0, ί=1, ..., п.
13

карте свое неособое подмногообразие и позаботиться лишь о том,
чтобы функция, к которой мы применяем оператор, была Г-свя-
занной.
В заключение сделаем следующие два важных замечания.
1. Мы будем говорить, что s-аналитическая структура (Λί,
рм) мажорирует структуру (М, рм')> если существует такая
постоянная С>0, что
Рм<Срм-
Очевидно, s-аналитическая функция относительно
некоторой структуры будет таковой же и относительно мажоранты. Это
соображение позволяет в нужных случаях варьировать s-анали-
тическую структуру, заменяя ее мажорантой. Например, вместо
условия с) в определении 1.4 мы можем потребовать лишь
выполнения неравенства
Im5(i7l/)(a)>Cp3l(o), С>0,
1шг/(а)=1шСг(а)=0
в некотором атласе карт, и полностью получить условие с)
правда, быть может после некоторого увеличения весовой функции.
2. Наше второе замечание относится к ослаблению
требования вложения. Анализ показывает, что требование вложения
может быть заменено на более слабое условие погруженности.
Последнее обстоятельство существенно расширяет круг решаемых
задач.

ЧАСТЬ I
АНАЛИЗ И ТОПОЛОГИЯ
КОМПЛЕКСНЫХ ЛАГРАНЖЕВЫХ
МНОГООБРАЗИИ

ГЛАВА I
АНАЛИЗ НА s-АНАЛИТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
§ 1.1. Основные определения
Рассмотрим гладкое класса С°° многообразие Μ размерности
2п. Пусть на многообразии Μ задана вещественнозначная
функция
?М:М-+ R.
Обозначим через Ω(Λί, ρΜ) множество нулей функции рм-
Будем в дальнейшем требовать, чтобы функция рм была
непрерывной неотрицательной функцией на многообразии М, гладкой
вне Ω(Μ, рм). Более того, потребуем, чтобы рм2^С°°(М). Такую
функцию будем называть весовой функцией.
Пусть v=(Ylt..., γ2π) —мУльтиндекс
Д- "" , ■ Ιν|=|>».
υχχ ...υχ2η кюХ
Определение 1.1.1. Через SI(M, pM) обозначим
пространство всех комплекснозначных функций }<^С°°(М, С), для
которых выполнено следующее условие: каждая точка а:0еМ
содержится в такой локальной карте UczM с локальными
координатами (хг, ..., #2п), и существует такая константа С, зависящая от
функции / и локальной карты UczM, что выполнено неравенство
\(Dl/)(x)\^C[p(x)]s-]U (1.1.1)
для любой точки xczU и мультиндекса γ, |γ| ^5.
Условия (1.1.1) не зависят от выбора локальной системы
координат, как показывает следующее утверждение.
Лемма 1.1.2. Пусть функция f<=sI(M, pM)· Для любой точки
х0^М локальной карты UczM с локальными координатами
(уи ·.., У2п) найдется открытая окрестность VaU, xQ^V и такая
константа С, что выполнено неравенство
|(^/)(х)|<С[рИГ1т| (1.1.2)
для точек x^V и мультиндексов γ, |γ| ^s.
Доказательство. Пусть U/ — локальная карта с
локальными координатами (х\, ..., #2п), причем x0^U'f и выполнены
неравенства (1.1.1).
Полагаем V'=Uf\U'. Тогда x0^Vf. Таким образом, нам
нужно из неравенства (1.1.1) получить неравенства (1.1.2), то есть,
16

доказать инвариантность условия (1.1.1) при замене координат
Отметим, что окрестность V можно заменить на меньшую
окрестность V, так чтобы ее замыкание лежало в окрестности V
и было компактным. Следовательно, всякая гладкая на V
функция будет ограниченной на меньшей окрестности V. Далее,
достаточно доказывать неравенство (1.1.2), предполагая, что
константа С зависит от мультиндекса γ.
Пусть у — мультиндекс, |у \ ^s. Тогда существуют такие
гладкие функции а§ (х), что
(Dlf)(x)=aj(x)(Dlf)(x)+ Σ аь(х)(Оьх/)(х). (1.1.3)
ΙΜ<ΙΤΙ
Следовательно,
| (£>!/)(*) |<| от Wl \(Dl)(x)\+
+ -Σ \at(x) I · I (££/)(*) I . (1.1.4)
1«1<И1
Применяя к (1.1.4) неравенство (1.1.1), получаем
\(Dln(x)\<\a,(x)\ С |Рл1(*)Гт +
+ Σ ΙΜ·*)|· ΙΡΛ(·*)Γ"' =
И1<И1
= I РжМГ'т1 {С- I <hW I + Σ I «.(*) I Χ
1 i»i < m
Χ\?μ(χ)\ΙΊΙ-1*1}-=^\9μ(χ)Γ"\ (1.1.5)
где
C^max/C |ατ(*)| + Σ \α*(χ)\ -(?м (х)) ιτ,~,δ (}. (1.1.6)
Лемма 1.1.2 доказана.
Следует отметить следующие свойства пространств
*ПМ, ?м).
1. Если f£sI{M, pM), a U с: М — подмногообразие, то
/ \U^I(U, ?M\U).
k
2. Пусть М= U Uι — покрытие конечным числом открытых
множеств. Пусть /£С°°(уИ, С) —такая гладкая функция, что
/ I i/f €'/(£/„ 9м ) Ui). Тогда /€'/(Λί, 9м):
Таким образом, для того, чтобы проверить, принадлежит ли
функция f пространству S/(M, pM), достаточно проверить
принадлежность f/Ui пространствам sI(Ui, рм1^г)> т. е. проверить
неравенства (1.1.1) в некотором атласе локальных систем координат.
17

Более того, удобно иногда условие (1.1.1) заменить на два
условия (нижний индекс у функции ρ мы будем иногда опускать):
а) \/(х) | <С(9{х)У, (1.1.7)
б)-^-^-г)1(М, р). (1.1.8)
дхк
Лемма 1.1.2 допускает следующее обобщение. Пусть£/£ Кл?
V ζ Rm — открытие области, f: U—>V — гладкое
отображение, р2 — весовая функция на пространстве V, pi = p2 °/
Лемма 1.1.3. Если g£sI(V, р2), то
* = */€*/(*/, Pl).
Доказательство. Пусть (хь ..., хп)—координаты в
пространстве U, а (у\, ..., ут) —координаты в пространстве У.
Аналогично соотношению (1.1.3) для сложной функции h^C°°(Uf С),
мультиндекса γ, |γ| ^s, найдутся такие гладкие функции аь(х),
что
(DU)(x)= Σ ab(x)Dlg(f(x)). (1.1.9)
|δ|<ΙΥΙ
Следовательно,
|(DiA)(j:)|<c(p8(/W)r,7,=C(p1W)*-,1f| (1.1.10)
при подходящем выборе константы С.
Лемма 1.1.4. а) Пространство SI(M, p)czC°°(M9 С)
является идеалом кольца С°°(М, С) относительно
поточечного умножения гладких функций.
б) Если t^s, то Ί(Μ, ρ)55/(Λί, ρ),
в) °/(Λί, Ρ)=(Γ(Λί, С).
Док аз а те ль ство. Утверждения (б) и (в) очевидны.
Пусть /ζ*7(Λί, ρ), g£C°°(M, С); требуется доказать, что
h — gf£sI(M, p). В каждой локальной системе координат в
карте U выполнены соотношения:
\f(x)\<e(9(x))\ (l.i.ii)
-У-^ЦМ, р). (1.1.12)
дхк
Тогда
iWKCiipW)1, (1.1.13)
где Сг=С max | g{x)
хви
dxk dxk dxk
18

Следовательно, если (s υ/(Λί, ?Μ) — идеал в кольце С°°(М, С),
то правая часть равенства (1.1.14) принадлежит идеалу
^"ι)/(Μ, ρΜ)9 то есть
£-£*-1)/(М9 ρ). (1.1.15)
Соотношения (1.1.13) и (1.1.15) означают, что h&I(M, ρ).
Лемма 1.1.4 доказана.
Пусть UczCn — открытое множество и ρ — весовая функция
на £/. Фиксируем в прострнстве Сп, а, следовательно, и в
множестве U комплексные координаты (αϊ, ..., αη), ak = ak + ibk.
Положим
Lf-lr-t-^.), (1.1.16)
2 \ да* db* ) к }
[Λ^+ιΛΑ. (1.1.17)
V да* ' db* ) κ }
да* 2
д 1 / д . . д
да*
Определение 1.1.5. Гладкая функция f:U—^C
называется s-аналитической, если
-JL-/£*/(£/, р). (1.1.18)
Например, если весовая функция ρ тождественно равна нулю,
то SI(U, p)=0, и из условия (1.1.18) получается, что
/-аналитическая функция. Всякая аналитическая функция /
автоматически является s-аналитической функцией. Однако, класс s-ана-
литических функций может быть намного обширней. Примерам и
описанию класса 5-аналитических функций посвящен следующий
§ 1.2.
Лемма 1.1.6. Пространство s-аналитических функций в
области U является кольцом относительно поточечного
произведения функций.
Доказательство. Пусть/ ug — s-аналитические функции
h=fg. Тогда
-^=Л-£-*+/-£-*. (1.1.19)
да* да*· да*
Согласно лемме 1.1.3, из соотношения (1.1.19) следует, что
-т?г А €*/(£/, Р), (1.1.20)
да*
то есть h — s-аналитическая функция.
Лемма 1.1.7. Пусть UaCn, VczC™— открытые множества.
Pi и р2 — весовые функции на U и V, соответственно- Пусть
f: U—>V — s-аналитическое отображение, причем
Pi(*)>Ср2 (/(*)), x$U, (1.1.21)
19

с некоторой константой С>0. Тогда, для любой s-аналитиче-
ской функции g: V—*С композиция
h(x)=g(f(x))
является s-аналитической функцией.
Доказательство. Пусть (αϊ, ..., αη)—комплексные
координаты в пространстве VczCn, (рь ..., β™) — комплексные
координаты в пространстве VczCm,
/(*)=(Л(*),.·., /«(■*))■
Тогда по правилу дифференцирования сложной функции
dh _\^dg(f(x))dfl(x) , yiag(/(*))g7"i(·*)
да" Jmd d$t da* ^J д^ да"
(1.1.21)
Согласно условию
-^-€'/(£/, Pl), (1.1.22)
да*
а4-€*/(!/, Р2)· (1.1.23)
dh
По лемме 1.1.3
-^-f^HV, Pa/jc'/fi/, Pl), (1.1.24)
ар,
а по лемме 1.1.4 из (1.1.22) и (1.1.24) следует, что вся правая
часть (1.1.21) принадлежит идеалу SI(U, p{), т. е. функция h
является s-аналитической функцией. Лемма 1.1.5 доказана.
Пусть Μ — гладкое класса С°° многообразие размерности 2ft,
ρ — весовая функция на многообразии М. Пусть на Μ задано
покрытие открытыми множествами Uk, а так же гомеоморфизмы
w:Uk—> I/fed О.
Положим
Ukl=Ukf]Uh (1.1.25)
ν*ζ=<&(ί/«)<=ν4, (1.1.26)
%ι · Vu - VkU <?kl = (φ, Ι ί/κ) (% Ι ί/„)-ι. (1.1.27)
Определение 1.1.8. Будем говорить, что на
многообразии Μ задана структура s-аналатического многообразия, если
отображения
Ы : уы ~* уш
20

являются s-аналитическими отображениями пространства Vui
с весовой функцией pki,
P«W=p(?i"1W). xiVuv (1-1.28)
Многообразие Μ со структурой s-аналитического
многообразия будем называть s-аналитическим многообразием,
В дальнейшем (см. § 1.2, условие 1.2.1) на s-аналитическое
многообразие будет наложено еще одно дополнительное
требование. *
Гладкая функция f:M—*С будет называться
s-аналитической, если функции
/*W = /(?i"1W). -*^<=СЛ (1.1.29)
являются s-аналитическими функциями на области У^с=Сп
с весовой функцией
?*{*)=? Ыг(*))> x^VkczC\ (1.1.30)
Две структуры s-аналитического многообразия на
многообразии Μ
{*/*. ?*) И {*//, φ/}
называются эквивалентными, если отображения
л«=(?Ч^*П^',)Ы</*П<ЛГ\
h'№={<ti\U'kr\Ui)Wk\U'kr\Ui)~l
являются s-аналитическими отображениями пространства
<ph(UkΠ Ui')czVk с весовой функцией ρ*|φ/ι(ί4η W)· Локальная
система координат, составляющая из области UczlM и
гомеоморфизма
φ:ί/ —КсС,
называется s-аналитической локальной системой координат,
.если добавление карты (ί/, φ) к исходному атласу карт,
задающему структуру s-аналитического многообразия, образует
новый атлас карт, который задает структуру s-аналитического
многообразия, эквивалентную исходной структуре.
Из леммы 1.1.7 следует, что если Μ — s-аналитическое
многообразие, то
а) функция f:M—уС, являющаяся s-аналитической в
одной структуре, является s-аналитической в любой другой
эквивалентной структуре s-аналитического многообразия.
б) Если WczlM — открытое множество, то оно наследует с
многообразия Μ структуру s-аналитического многообразия с
весовой функцией р'=р| W.
Для этого достаточно положить
U\ = Ub П W, φ', = φΑ I U'k
21

в) локальная система координат Uf q>:U—>-VczCn является
s-аналитической локальной системой координат тогда и толькс
тогда, когда отображение φ является s-аналитическим на s-ана-
литическом многообразии U.
Определение 1.1.9. Пусть Μ, Ν — два s-аналитиче-
ских многообразия с весовыми функциями pi и рг, соответствен:
но; dim N = m. Пусть
/:Λί —ΛΤ~
такое гладкое отображение, что
Ρι Μ >Р2 (/(*)). х^М. (1.1.32).
Пусть (Uk, q>k)—атлас s-аналитических карт
многообразия N, Wk = f~l(Uk'). Если отображения
?'*(/! W„):Wk^V'k<=Cm
являются s-аналитическими отображениями на
s-аналитических многообразиях Wn с весовыми функциями pi| Wh> то отобра-,
жение / называется s-аналитическим отображением. '
Имеет место следующее свойство: отображение f s-анали^
тично тогда и только тогда, когда для любой Б-аналитической]
карты (£/', φ') многообразия N отображение
?' (/ I Г\и')):/-' (U')-^V' cC
является s-аналитическим отображением s-аналитического \
многообразия f~l (W) с весовой функцией р{ \f~l (W). \
Следует отметить, что s-аналитическая функция f на s-
аналитическом многообразии (М, рм), вообще говоря, не явля-,
ется s-аналитическим отображением многообразия (Λί, рм) R·
комплексную прямую С1, рассматриваемую как s-аналитиче-
ское одномерное многообразие с некоторой весовой функцией \
р. Однако, если р==0, то s-аналитическая функция f
автоматически является s-аналитическим отображением.
Пусть Μ и N — два s-аналитических многообразия с
весовыми функциями рм и ρΝ соответственно.
Пусть
/:М — ΛΓ- (1.1.33)
s-аналитическое отображение. Положим
dim M = m, dimN=n. '
Определение 1.1.10. Отображение / называется вложе-
нием, если для любых s-аналитических систем координат
22

α= (α1, ..., ат) многообразия Μ и β=(ίβ1, ..., βη) многообразия Ν
ранг матрицы
Df =
-^-| (1.1.34)
да*
равен т на мнржестве Ω(Λί, рм), и отображение / взаимно
однозначно.
£ § 1.2. Операторы сужения и продолжения* Разбиение
единицы.
Пусть Μ — s-аналитическое многообразие с весовой
функцией рм и атласом s-аналитических карт {Uk, ри). Здесь и всюду
в дальнейшем мы будем предполагать выполненным следующее
условие на весовую функцию ρ и атлас s-аналитических карт.
Условие 1.2.1. Пусть
%:Uk^VkczCn
диффеоморфизм, (г1, ..., гп) — комплексные координаты точки
пространства Сп> ук(х) = [у'к (χ),..., ynk{x)) —комплексные ко-
ординаты точки φ&(Χ). Тогда требуем, чтобы существовала такая
константа С>0, зависящая от карты Uh, что
?м{х)>С% |1ш«р'»И| (1.2.1)
для x^l Uk.
Условие 1.2.1 оправдано тем, что, если мы попытаемся
построить формальное аналитическое продолжение гладкой
функции /(а1, ..., ап) от вещественных переменных (а1, ..., ап), то
конечный отрезок расходящегося ряда
l^'ij) "* ·*>
ft=0 \ j=\ 0Х J
уже будет s-ан'алитической функцией (см. лемму 1.2.1).
Сосредоточим свое внимание на отдельной карте U с
локальными координатами а~ (а1, ..., а71) на ней. Пусть карта U имеет
вид U=U°xW, где U0—подмногообразие в карте U, задаваемое
системой уравнений
1ша = 0, (1.2.2)
a W — образ карты U при проекции на подпространство мнимых
координат.
23

Пусть R° — оператор сужения кольца C°°(Ut С) на кольце
C°°(U0, С). Определим оператор
M°:C°°(i/o, С) —С°°(£/, С)
формулой:
(М°)(/)(а\..., а«)= V -L(tf )*_£_/(«>,..., a"), (1.2.3)
^■J k- дат
\k\<t _ .
где α'=α'+^ι £=(*ΐι·· ·» £л) — мультиндекс, (£)*=П(6')*'>
; ftC*(U°, С).
й* (даУ)п*...{дап)п
Лемма 1.2.2. Функция
A (a1,..., a«) = (M0)(/)(a\..., a")
является t-аналитической функцией.
Доказательство. Проверим, что
da'
Имеем:
^ГА€7(М, Рл|). (1.2.4)
Второе слагаемое формулы (1.2.5) преобразуем следующим
образом:
i 2 JL-i.^iV.»^ 2 ±{u,r-*-°L. (1.2.6)
lift/*1 <й' da* |*ί<ί-ι*1 A** da'
Тогда
д 1 vi 1 , dk df
h = — У —{ib)k— — . (1.2.7)
δΰ 2 , frit Ы да* да*
Следовательно, учитывая (1.2.1), получим
д
да*
<С9'М. (1.2.8)
Вычислим теперь
g=-?-fi. (1.2.У)
да1
24

Имеем
* {kf^_x kl да* да' dZ* \ da' J dl'
(1.2.10)
Для доказательства того, что
д
^-ht'/(M9pM)9
достаточно показать, что
-^-^ht(t-l)I(M,9M), (1.2.11)
да1 да*
0 4г*^'~1)ПМ,рм). (1.2.12)
dbl да*
Функция -ΖΓ-Α является в силу (1.2.7) однородным много-
да*
членом по переменным (б1,..., Ьп) степени t. Поэтому, частные
производные функции —zrrh тоже будут однородными много-
да*
членами по переменным (Ь1, ..., Ьп) меньшей степени. Применяя
неравенство (1.2.1), устанавливаем включения (1.2.11) и (1.2.12).
Лемма 1.1.2 полностью доказана.
Обозначим через tP(U°i ри) подпространство Я°(Ч(и, ри))е
еС°°(£/0, С). Ясно, что функция f принадлежит пространству
*1°(и°, ри) тогда и только тогда, когда справедливы неравенства
\(Da*f)(a\...9 e«)|<CpH»i(ai аП) (К2.13)
для любого мультииндекса k= (kh ..., kn), \k\ z^zt. Также очевидно,
что пространства */°(ί/°, ри) являются идеалом в кольце
Ο»(ί/ο С).
Лемма 1.2.3. Справедливы следующие соотношения:
а) [J-Mo-iWMoJ.WgV^p^ (1.2.14)
\ да' да' )
б) /^/ρ-/ρ^\/ζ'/ο(ί^, Ρϋ) (1.2.15)
^ да' да* )
в) RpA* (/)=/, (1.2.16)
г) Μ<7?(/)--/€('+1)/(ί/, Ρί/) (1.2.17)
для любой t — аналитической функции /.
26

Доказательство. Включение (1.2.14) следует из
равенства (1.2.10). Если /—^-аналитическая функция, то
да' да3 да3
то есть
(^rR"-RoJ-7\f=R"^rrfeP{U^ Рс/). (1.2.18)
\ да3 да* ) да3
Условие (в) тривиально. Пусть / — s-аналитическая функция.
Это значит, что
,·-*£-ζ «/({/, ft,). (1.2.19)
да3 db3
Следовательно, если А' = (А/1>..., k'n\ k"=(k?u...9 k"n) —
мультиндексы, k/-{-k"=(k'l-\-k1//,..., k'n-\-k"n\ то
(da)* (db)k (db)fc+*
где r=s+l- I k' + k? | .
Используя разложение по формуле Тейлора, представим
функцию / в виде
/(а, Ь)= Υ, -ζ- d*f^b) + V Λ,(α, *). (1.2.21)
В формуле (1.2.21) второе слагаемое принадлежит идеалу
'I(U> pu). Используя соотношения (1.2.20), получаем
/<«, Ь)= ^] -^ ^/(а;0) + £, (1-2.22)
1*1<ί
_ k\ dak
i\<3
где
L= Σ *W(<*)m+2 + Σ bkLk. · (1.2.23);
I ft I <s I ft I =5
Первое слагаемое в формуле (1.2.22) в точности совпадает с)
*-lA0R°(f). Таким образом,
f--WR»(f)=Li4{U* Pi/), (1.2.24)
что и требовалось доказать.
Перейдем теперь к изучению вопроса о существовании
разбиения единицы, подчиненного произвольному покрытию {Uа\
многообразия (М, рм), и состоящего из s-аналитических
функций.
26

Лемма 1.2.4.. Пусть FczU — компактное множество.
Существует такая s-аналитическая функция φ, что supp φ компактен и
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что компакт F имеет вид (напомним, что U = U°xW):
F=F*XH, F°CzU°, H^W.
Пусть <pi^C°°(£/°)—такая функция, что φι^Ι в некоторой
окрестности множества F°, supp φι — компактное множество. Пусть
q>2^C°°(W) —гладкая функция, φ2|#=1, срг=1 в окрестности
точки & = 0, supp <p2 — компактное множество.
Положим
φ(α, *)=М0(?1)(а, Ь)-Ъ{Ь). (1.2.25)
Первый сомножитель в формуле (1.2.25) s-аналитичен по
лемме 1.2.2. Второй сомножитель тоже s-аналитичен.
Следовательно, по лемме 1.1.6 функция (1.2.25) является s-аналитиче-
ской функцией. Таким образом, требуется только проверить
необходимые свойства носителя функции φ. Имеем
suppy^suppsAQiyi) Π suppy2.
Непосредственно из определения (1.2.3) оператора SA°
устанавливаем, что
supp SA° fo) с supp уг X W.
Таким образом,
SUpp φ d SUpp φχ X SUpp φ2,
то есть является компактным множеством. С другой стороны,
если точка (a, b)^F = F°xH, то a^F°, и, значит, все частные
производные функции φι в точке а равны нулю.
Следовательно,
φ (а, Ь)=*А0(?1)(а9 6)·φ2(4) = φ1(α)·φ2(*)=1.
Лемма 1.2.5. Пусть FczU — компактное множество, VzdF —
некоторая его окрестность. Существует такая s-аналитическая
Функция φ, что
φ | F= 1, supp у а V.
Доказательство. Существует такое открытое
множество (7°с£/о? #с=1Г, #Э0, что
б) (F\C/o χ W) П t/° X W=0.
Пусть 0ζ#<=# elf, # —компактно, /^F П (6/°Х#).
27

Применим лемму 1.2.4 к карте U°XW и множеству F. Тогд*
найдется ^-аналитическая функция φι,φι \F= 1, supp φι^ΙΛ Пуст!
φ2 — гладкая вещественнозначная функция на U, <р2=1 на мно
жестве /^ХЛ и suppy2 Π и°=0, suppy2ciV. Тогда φ2 —
s-аналитическая функция. Положим
Имеем supp yzCiV, срз(Х)^1 при x^F. Рассмотрим множество
Fq<^F, где значение функции φ3 _строго больше L Тогда
Fo(] U° = 0. Продолжим функцию φ3|^ο ДО гладкой функции так,
чтобы ψ (λ:) ^ 1 в каждой точке хес/, ψ=1 в окрестности
множества ί)°. Тогда положим
ψ (у)
Поскольку φι, φ2, ψ — s-аналитические функции, то φ — тоже
5-аналитическая функция, и φ | jP^^ 1. Лемма 1.2.5 полностью
доказана.
Предложение 1.2.6. Пусть (Mf pM) — ^-аналитическое^
многообразие, {Wk} — покрытие открытыми множествами. Тогдщ
существуют такие s-аналитические функции щ, что
a) supp φΛ с Wk9
6)Σφ»=1.
k
Доказательство. Без ограничения общности, можно
считать, что каждое множество Wk лежит в некоторой карте вида
U*XW. Пусть, далее W>c№kcWk, [)Wk=M.
Доказательство проведем индукцией по числу k.
Согласно лемме 1.2.5 существует такая s-аналитическая
функция φι, что
Ъ \WX= 1, (1.2.27)
supp<?lc:W1. (1.2.28Ϊ
Пусть уже построены такие ^-аналитические функции
φι, ..., (рь что
S φ,= 1 на \]WU (1.2.29)
supp^cWu 1</<А. (1.2.30)
Пусть ψ — такая s-аналитическая функция, что
ψ 1^+ι^1, (1.2.31)
supptycWk+v (1.2.32)
28

Положим
Ясно, что
Покажем, что
ft+i=t (l-jS Τ*)· (1.2.33)
supp<fk+lczWk+v (1.2.34)
k+l k+l
2φ/Ξ1 на U Wt. (1.2.35)
В самом деле, если χ ζ \J Ψь то согласно (1.2.29) и (1.2.33)
1=1
%+ι(*)=0, (Κ2.36)
а
2 ?i(*)=2j ?/=i.
Если же х€№к+г, то ф(л:)=1 и, значит,
k+l /г Л
2 ψι(χ)=Σ ?Λχ)'+ι-Σ ?ι(*)=ι.
Предложение 1.2.6 доказано.
Следующая лемма касается вопроса о продолжении s-анали-
тических функций и будет применяться, в частности, в § 2.4.
Лемма 1.2.7. Пусть (М, рм)—s-аналитическое
многообразие, VczM — открытое множество, φ — s-аналитическая функция
на многообразии Μ, φ — s-аналитическая функция на
множестве V. Пусть
φ|κ-'Κ</(Κ, Ρν).
Тогда для любого замкнутого множества FczV существует
такая s-аналитическая функция г|> на многообразии М, что
ΨΙ/^ΨΙ F, (1.2.37)
ψ-φ€*/(Λί, Ρм). (1.2.38?
Доказательство. Согласно предложению 1.2.6
достаточно провести доказательство для одной s-аналитической карты ίλ
По свойству (г) леммы 1.2.3 для некоторой окрестности V'=>F
имеем
(Μο^ο(ψ)^ψ)ν, € e+D/(V, pv,)9 (1.2.39)
а
29

Продолжим функцию #°(ψ) до гладкой функции / на ί/° так,
чтобы
/-/?°(φ)€*/ο(ί/ο, Pu). (1.2.40)
Тогда
Μ°(/)-Μ°/?>(φ)€*/(ίΛ Ρί/). (1.2.41)
С другой стороны, из (1.2.17) следуют включения
Μ°/?°(φ)-φ€(*+ι>/(£/, Ρί/), (1.2.42)
(Μο(/)-Μ°(ψ))κ, €(*+D/(K'f 9yt). (1.2.43)
Положим ψ = δΛ°(/). Согласно лемме 1.2.2 -ψ — s-аналитиче-
екая функция. Из (1.2.39) и (1.2.43) следует, что
§-tyv.VM)f(V, Р„,), (1.2.44)
а из (1.2.41) и (1.2.42) получаем
ψ-φ€*/(*/, Ρί/)· ί 1.2.45)
Пусть ψ1 = (ψ — ψ)κ'.
Продолжим ψι до гладкой функции ψ2 на многообразие U
так, чтобы
ψ2€(*+1)/(ί/, Ρί/)·
Тогда ψ2 — s-аналитическая функция, а функция
ψ=ψ-ψ2 (1.2.46)
удовлетворяет условиям (1.2.37), (1.2.38). Лемма 1.2.7 доказана.
§ 1.3. Структурные кольца. Векторные поля и формы.
В этом параграфе мы покажем, что на s-аналитических
многообразиях можно изучать не только s-аналитические функции,
но и s-аналитические векторные поля и дифференциальные
формы, причем их можно будет понимать в определенном смысле как
сечения некоторых векторных расслоений над многообразием
(М,. рм)· Последнее обстоятельство будет исследовано в § 1.4.
Обозначим через Ό'(Λ1η, ρΜ) пространство всех ί-аналити-
ческих функций на s-аналитическом многообразии Мп с весовой
функцией pM(t^s). Согласно лемме 1.Д.4 Ю'(Мп, рм)
является подкольцом кольца С°°(М) всех гладких функций
на многообразии М. Идеал (*+1Ч(Мп, рм) принадлежит кольцу
W (Мп, рм), в то время как идеал *1(Мп, рм) уже может не
лежать в кольце W(Mn, рм).
30

Обозначим через Ю(Мп, рм) фактор кольцо
Ю{м\ 9м)=ю'{м», ?Myi{M«, ?Μ)η<σ(Μ*9 ρΜ). (1.3.1)
Определение 1.3.1. Носителем supp f элемента f^O (Mn, pM)
называется пересечение носителей всех функций из класса /.
Очевидно, что справедливо включение
suppfczQ(M, ?M) (1.3.2)
для любого элемента f^O(MUt pM).
Предложение 1.3.2. Пусть /е'0(Л4п, pM)—такой
элемент, что
suppf=0. (1.3.3)
Тогда
/=0. (1.3.4)
Доказательство. Согласно предложению 1.2.6 мы
можем предполагать без ограничения общности, что существует
^-аналитическая функция φ из класса смежности f с компактным
носителем. Тогда, если supp / = 0, то найдутся такие две ί-ана-
литические функции φ! и φ2 из класса f, что
supp^f] suppy2=<Z). (1.3.5)
Согласно лемме 1.2.5 существует такая ^-аналитическая
функция ψ, что
ψ | suppy^ l, (1.3.6)
supp ψ П suppy2=0. (1.3.7)
Следовательно, из (1.3.6) и (1.3.7) получаем
?ιΨ=φι. (1-3.8)
φ2ψ=0. (1.3.9)
С другой стороны, поскольку
Ъ-ЪЬ'ЦМ, Рм), (1.3.10)
а Ч(М, рм) является идеалом (лемма 1.1.4), то
?i = (?i-fc) Ψ €'/(М. Рм), (1-3.11)
то есть
/=0
в кольце Ю(М, рм). Предложение 1.3.2 доказано.
Лемма 1.3.3. При t\^t2 справедливо включение
*>0'{М\ Рл)<='&(М"9 9м\ (1.3.12)
31

которое вместе с включением (б) леммы 1.1.4
ЧЩ\ 9М)<=Ч\М*, Рж) (1.3.13)
индуцирует гомоморфизм
'Ό(Λί«, 9м)-'*0{М"9 рм). (1.3.14)
Если элемент /£**0(Мп, рм) переходит при
гомоморфизме (1.3.14) в элемент g^^O(Mn, рм), то
sup ρ g cz sup ρ /. (1.3.15)
Доказательство. Первое утверждение следует из леммы
1.1.4. Второе утверждение следует из включений (1.3.12), (1.3.13):
ч(м9 ρΜ) η **σ{Μ% 9м) = ч(м9 9м) η **σ(Μ% Рд|).
Пусть f : M->N—s-аналитическое отображение s-аналитиче-
ских многообразий. Согласно лемме 1.1.7 и определению 1.1.9
композиция ^-аналитической функции φ на многообразии N с
отображением / будет /-аналитической функцией на
многообразии М. Тогда отображение / индуцирует гомоморфизм колец
Γ··Ό(Ν9 ρΝ)-**0(Μ, ρΜ).
Лемма 1.3.4. Пусть Μ — s-аналитическое
многообразие, {Ua }—покрытие открытыми множествами; ра=рм\ Ua,
рар = рж | ί/α η U . Пусть φα — t-аналитические функции на
Ua> причем
?α|ί/αΠ£/β-φβΙί/απί/β6^(ί/α Πί/ρ, Ρ«β). (1.3.16)
Тогда существует такая t-аналитическая функция
<?еО'{М, рм), что
<r\ua-9*ei{U*, Ра). (1.3.17)
Доказательство. Пусть ψα — такие s-аналитические
функции на многообразии М, что
2ψ«= 1, (1.3.18)
supptyaczUa. (1.3.19)
Такие функции ψα существуют согласно предложению 1.2.6.
Положим
φ=ΣΨ.<ΜίΟ/(Λί> 9м). (1.3.20)
α
Тогда
?k=S«wp)k· ' (1-3.21)
Носитель supp($№$)\ua. лежит во множестве Lfa Π ί/ρ·
Поэтому
ψρφβ=Ψβ?α + Γ*β> (1.3.22)
r«p €</(£/*, p.). (1.3.23)
32

Таким образом,
α β β β
τν е. справедливо условие (1.3.17). Лемма 1.3.4 доказана.
Обозначим через D(M) пространство всех гладких комплекс-
позначных векторных полей на многообразии М. Пространство
D(M) является С°°(М)-модулем.
Определение. 1.3.5. Векторное поле X^D(M) на s-ана-
литическом многообразии (М, рм) называется t-аналитическим,
если в каждой s-аналитической карте с координатами
а= (а1, ..., ап) поле X представляется в виде
η
Х=Х\а*(а)-2--+Г, (1.3.25)
«Т да
причем функции а&(а) являются /-аналитическими функциями:
а*(а)е(У(М,рм), (1.3.26)
а поле У имеет вид:
(1.3.27)
£(а)еПМ,Рм)(]'0'(М9 рм).
Предложение 2.3.6. Если представление (1.3.25)
выполнено для некоторого атласа s-аналитических карт, то и для любой
s-аналитической карты (не из фиксированного атласа)
возможно представление (1.3.25). Условие (1.3.27) инвариантно
относительно s-аналитической замены координат.
Доказательство. По сути дела требуется доказать, что
если функции
Р*=Р*(а1> ...,ая) (1.3.28)
осуществляют s-аналитическую замену координат, то в
координатах β= (β1, ..., βη) поле X может быть тоже представлено в
виде (1.3.25). В самом деле, имеем
η
х=
^U [да* д?> ^ да» όψ)Т
•+K-Jj(Je.(.,-g-)-±-+Z. „.3.29,
где
да* δψ
Z=r+ Υ! ^ ^— -Z- . (1.3.30)
зз

Ясно, что Ζ удовлетворяет условию (1.3.27), если /<s— 1.
С другой стороны, функции ( \ α* (α)—— I являются
/-аналитическими функциями при /<;$ — 1. Предложение 1.3.6
доказано.
Лемма 1.3.7. Пусть X — t-аналитическое поле,
fet+l)0'(M, Рж). Тогда Χ(/)$Ό'(Μ, PjM).
Доказательство. Утверждение достаточно доказывать
для некоторой локальной s-аналитической карты. Тогда поле X,
согласно определению, представляется в виде
л
Х=\\а*(а) -^г+У, (1-3.31)
причем поле У удовлетворяет условию (1.3.27).
Таким образом,
η
*{Л=У\"*(«) Цт +Г(/)· (1 ·3·33>
Если /ζ(/+1)0'(Λί, р„), то функции -^—являются ^-аналитиче-
да*
скими функциями, и согласно лемме 1.1.6 первое слагаемое в
(1.3.23) является ^-аналитической функцией. Поскольку
выполнено условие (1.3.27), то J
У(Л^1ШУ?М)Г)Ю'(М, Рм). (1.3.34)
Таким образом, и второе слагаемое (1.3.33) тоже является
^-аналитической функцией. Лемма 1.3.7 доказана.
Следствие 1.3.8. (-аналитическое векторное поле X
индуцирует гомоморфизм колец
Х:«*Ю(М9 9М)-+Ю(М9 рм), (1.3.35)
причем выполнено соотношение
X(fg)=X(f)g+fX(g)> (L3.36)
f,gt^O(M,9M).
Обозначим через 1Т(М, рм) пространство всех ^-аналитических
векторных полей на s-аналитическом многообразии М.
Пространство %Т'(М, рм) является Ю'(М, рм)-модулем. Пусть, далее,
1(1Т)'(М, рм)—подпространство всех векторных полей,
удовлетворяющих условию (1.3.27). Положим
*ТЩ, ρΛ)='7"(Λί, Рм)/<(1Т)'(М, Рм). (1.3.37)
34

Ясно, что пространство *Т(М, рм) является Ю(М,
рм)-модулем.
Лемма 1.3.9. Пусть U — s-аналитическая карта. Тогда
f0(U, pu) -модуль fT(U, pu) является свободным модулем с
η независимыми образующими.
Доказательство. Пусть α=(α!, ..., ап)—локальная
система 5-аналитических координат. Векторные поля
Х* = -ГГ Π-3.38)
да
являются s-аналитическими векторными полями. Пусть ξ& — их
представители в фактор-пространстве (1.3.37). Пусть Г —
свободный %0(U, ри) -модуль с образующими Хи.
Построим отображение fO(U, pv)-модулей:
Н:Т-+'Т(и,ри)9 (1.3.39)
полагая
h{Xk)=h. (1.3.40)
П
Докажем, что'А является изоморфизмом. Пусть Υ=2 α*χ*£Τ
и h(y) = 0. Это значит, что^если fk — представители элементов
ак,в кольце *0'(U, ри), то
2/*"έ"€'(/7,),(ί/'Ρι,)· (1·3·41)
Вполне очевидно, что условие (1.3.41) означает, что
f*€*I(U9 ?ц), т. е. ak=0 для всех k.
Пусть, наоборот, y^fT(U, pu), и У — векторное поле,
представляющее элемент у. Тогда, согласно определению 1.3.5,
Κ=^α*(α)-^- + Ζ, (1.3.42)
α*(ο)€'0'(£/, PtA (1.3.43)
Ze{lT)'{U,?u). (1.3.44)
Следовательно, получаем, что
ϊ = Α(Σ[**(α)]**). (1-3.45)
Лемма 1.3.9 доказана.
Определение 1.3.10. Пусть
f:N -+М-
35

s-аналитическое вложение многообразий, Х^Т{М, pM). Если
существует такой элемент Υ^Τ(Ν, ρΝ), что справедливо
соотношение
Г(Х(ч))=У(r^e-WiN, 9N) (1.3.46)
для φ^*0(Λί, рм), то будем говорить, что подмногообразие N
инвариантно относительно векторного поля X.
Лемма 1.3.11. Пусть
f:N-+M —
s-аналитическое вложение s-аналитического многообразия N в
s-аналитическое многообразие М. Пусть а= (а1, ...,
ап)-локальная s-аналитическая система координат многообразия Ν, β =
(β1, ..., β™)—s-аналитическая система координат
многообразия Μ, и пусть hu ..., hn — s-аналитические функции такие, что
Vk=hk(a\ ...,ο«).
Пусть X — векторное поле
я
Х=^а*(Р, ...,β^-^+Ζ, (1.3.47)
k=l
где ak, Ζ такие же, как в (1.3.25), (1.3.30). Для того, чтобы
подмногообразие N было инвариантно относительно поля X,
необходимо и достаточно, чтобы существовали такие t-аналитиче-
ские функции bs(al, ..., ап), что
л
α* (β (а)) - V Ь* (а) J^iSL· &I(N, ?N). " (1.3.48)
Jmei das
s=i
Доказательство. Пусть выполнены условия (1.3.48), а
φ — произвольная ^-аналитическая функция. Вычислим тогда
левую часть (1.3.46):
ХШР, ···,(^)=\У(Р)-^- + *(?). (1-3.49)
m
Д(?)(«) = Ув,(Р(«))М?-+/,2(т)· (1-3-50)
Учитывая (1.3.48), получаем,
ш η
rX(9)(a)^Yl\l^a)^LJiSm+R+rz{?), (1.3.51)
^J ^ш^ das (ψ
где R£*I{Nt ?N).
36

Правая часть (1.3.46) имеет следующий вид при
да* '
η
^ X
К= YV- О
5=1 5=1
5=1
т
fo(P(g)) *Мд)
dp* da*5
£=1
/и
0Л*(a)
5 = 1 ft=l Г
ft'(q) *(P(o)) -^^L+5, (1.3.52)
/7? л
fe=l 5=1
где SS'I(Nf ρ*).
Сравнивая (1.3.51) и (1.3.52), получаем соотношение (1.3.46).
Для того, чтобы от локальной системы координат перейти ко
всему многообразию, мы рассмотрим покрытие s-аналитически-
ми картами i/B; L)iA = ./V. Тогда в каждой карте t/aсуществует
s-аналитическое векторное поле У«, для которого выполнено
условие (1.3.46). Пусть Va — система открытых множеств
многообразия Λί, причем V= U^a^-^V, Va(] N=Ua. Пусть -ψα — 5-ана-
литические функции на многообразии М, причем
Ψ=ΣΨ«. (1.3.53)
ψ= 1 на Ν, (1.3.54)
sapped Va. (1.3.55)
τα=ψα| Ν. (1.3.56)
Положим
Положим, далее,
Κ = ΣΛ*Κα. (1.3.57)
a
Тогда
Π/·(?))=Σ0·.Κ.)(/·(<Ρ)). (1-3.58J
a
Условия (1.3.48) показывают, что для пары векторных полей
taA" и ra Y выполнены соотношения (1.3.46). Тогда из (1.3.58)
получаем:
^(/•(φ))=Σ/·(ί.^)(φ)=/·(Φ^)(φ)=/·(^(?)). (1-3.59)
a
что и требовалось доказать.
37

Чтобы доказать обратное утверждение, нужно применить
соотношение (1.3.46) к функциям
φ(Ρ)-=Ρ*. 1<£<т.
Лемма 1.3.11 доказана.
Обозначим через Ak(M) пространство ^-мерных гладких форм
на многообразии М.
Определение 1.3.12. Пусть Μ — s-аналитическое
многообразие, ω — гладкая дифференциальная ^-мерная форма на
многообразии М. Форма ω называется t-аналитической, если в
каждой локальной s-аналитической системе координат а= (а1, ..., ап)
форма ω может быть представлена в виде:
ω= Σ ajt, ...,Γ(α)ίία/ιΛ...ΛΛΗω', (1.3.60)
у.,...Λ k
где функции ajt, ..., j (a) — ί-аналитич-ны, daJ = daJ -\- idbi,
а форма ω' разлагается по базису [da* da*} с
коэффициентами из кольца
</(М,рм)ПЮ'(М,рм). (1.3.61)
Лемма 1.3.12. Если представление (1.3.60) выполнено для
некоторого атласа s-аналитических карт, то и для любой s-ана-
яитической карты (не из фиксированного атласа) возможно
представление (1.3.60). Условие (1.3.61) инвариантно относительно
s-аналитической замены координат.
Доказательство аналогично доказательству
предложения 1.3.6.
Лемма 1.3.14. Пусть ω — t-аналитическая k-мерная форма,
Χι, ..., Хи — (-аналитические векторные поля. Тогда
^(хи...,хк)ео'(м,Рм).
Более того, если со удовлетворяет условию (1.3.61), или одно из
векторных полей удовлетворяет условию (1.3.27), то
*(хи...,хк)ецм,Рм). (1.3.62)
Доказательство. Лемму достаточно доказывать для
некоторой локальной s-аналитической системы координат. В этом
случае согласно определениям 1.3.12 и 1.3.5 имеем следующее
представление
^.2. ah, ...,7·Λ(α)^νΛ...Λ^^+ω\
χ>=Σή(α)ττ+ν· (Κ3·63)
k
где
ш € </ (Μ, 9м) Λ* (Λί), Vei (Μ, ρΜ) D (Λί)f (1.3.64)
а функция α7ι, ... /Λ(α), **(«) — /-аналитичны.
38

Тогда
+ »'(XUmm.9Xk) +
+ Σ ± aJl9 ..., h{a)dau{YSiy ... .rfa'*flV (1.3.65)
</ι. ■·.,/*)
Таким образом, в каждом слагаемом формулы (1.3.65) —
^-аналитические коэффициенты.
Обозначим через fA,k(M, рм) пространство t-аналитиче-
сках форм, а через *(/А)'к(М, рм) — пространство всех форм,
удовлетворяющих условию (1.3.61). Положим
« <Λ*(Λί, ρΛ) = 'Λ'*(Λί, Рж}/'(/А)'*(Л1, рЛ). (1.3.66)
Пространства Ά*(Λί, рж) являются Ю(М, рж)-модулями>
а по лем^е 1.3.14 элементы Ю(М, рл)-модуля Ά*(Λί, рм)
интерпретируются как кососимметрические Ю (Ж, рм) -линей·
ные функционалы от k переменных Xfc£*T(M, рм).
Предложение 1.3.15. Если ω1} ω2 — έ-аналитические
формы, то ы1/\«'2—тоже t-аналитическая форма. Если
ω1ζ'(/Α),Λ(Λί, рж), то o)^to2^(/A)'ft(M, pM). Операция
внешнего произведения форм индуцирует бинарную кососиммет-
рическую операцию на пространствах 'Λ*(Λί, ρΜ).
Если ωζ<Λ'*(Λί, ρΜ\ то έ/ωζ('-ΐ)Α'*(Λί, ρΛ).
Яс/ш ωζ'(/Λ)'*(ΛΓ, ρΛί), то d<*£V-l)[IA)'k{M, PM).
Оператор d индуцирует линейный оператор
• d:*A*(M,pM)-*(t-VA*+4My9M),
причем, если /ζ'0(Λί, ρ^) = 'Λ°(ΑΤ, рм\ а Х£*-хТ{М, рм\ то
df(X) = X(f);
если α^ζ <Λ*(Λί, рм\ ω2ζ <Λ*(Α/, рм\
то d (ω1 Д ω2) = ί/ω1 Д ω2-(-( — 1)Λω] Д rfu>2.
Доказательство тривиально.
Предложение 1.3.16. Пусть
f:N->M-
s-аналитическое отображение s-аналитических многообразий.
Если ωζ'Λ'*( Λί, ρ Μ) —t-аналитическая форма, то t
f\»e^'k(N,pN). (1.3.67)
39

Если ωζ'(/Λ)'*(Λί, ρΜ), то
Доказательство. Условие (1.3.67) достаточно проверить
локально. Пусть α=(α*, ..., αη)—локальная s-аналитическая
система координат на многообразии Ν, β=('βι, .., β™)
—локальная s-аналитическая система координат на многообразии Μ и
Λα (α) —такие s-аналитические функции, что
Р*=М«)· (1-3.68)
Без ограничения общности можно считать, что
ω=α(β)<#1Λ···Λ*Φ*. (1.3.69)
или
В первом случае имеем
/•(ω)=α(ρ(ο))</Α1(α)Λ ...Λ^Α,(ο). (1.3.70)
Имеем
_ . dhi dh
dh,(a) =
причем
W~* Oft,- Oft/ —
(α)= V —'—das-\ '— da*, (1.3.71)
°^-νΙ(Μ,?Μ). (1.3.72)
da
^
Таким образом, из формул (1.3.70) — (1.3.72) следует, что
выполнены условия (1.3.60), (1.3.61) определения 1.3.12.
Второй случай тривиален, поскольку Ч(М, рм) —идеал.
Следствие 1.3.17. Гомоморфизм f* индуцирует
гомоморфизм
§. 1.4 Касательное расслоение.
В этом параграфе мы построим на s-аналитическом
многообразии Μ n-мерное комплексное расслоение, изоморфное
касательному (2п-мерному) вещественному расслоению; при этом
комплексная структура будет в определенном смысле
однозначно определяться s-аналитической структурой на многообразии М.
Пусть {Uj} — атлас ^-аналитических карт на
s-аналитическом многообразии Μ с весовой функцией рм; о/= {аД ..., а/1} —
40

локальные s-аналитические координаты в карте Uj. Положим
и„=и}(\ик, ит=и}пик{\иг.
Определим матричные функции Ajh(x), x^Ujk, полагая
Ал{х)=
да)
да1}
да\ "
да)
да%
danj
*»*
(1.4.1)
Если бы многообразие Μ было комплексно-аналитическим,
то функции Ajk(x) служили бы функциями склейки для
комплексного касательного расслоения на Λί. Для s-аналитического
многообразия (М, рм) функции (1 4.1) не могут служить
функциями склейки векторного расслоения, поскольку для них не
выполнено условие коцикличности. В действительности,
справедливо более слабое условие.
Лемма 1.4.1. Пусть x^Ujki. Тогда
(1.4.2)
Доказательство. Фиксируем номер матричного элемента
(pf q). Тогда в формуле (1.4.2) на месте (р, q) стоит
элемент иР}Я:
шт-Ч <М dak
(«»)-
да1}
daj
(a^a^U,,,. (1.4.3)
Имеем
da?
^, да*
^d dai
da£(a,)
да?
— («»W)
dai
* Μ
d~ark(ai)
dai
(1.4.4)
Поскольку все функции α^(αΛ) —-s-аналитичны, то второе
слагаемое в формуле (1.4.4) принадлежит идеалу SI {UjkU Pu.kl)·
Лемма 1.4.1. доказана.
Следствие 1.4.2. Если x£Q(M) f) UjkU mo
. Α^{χ)Αηι{χ)-Αμ{χ)=0.
(1.4.5)
41

Следствие. 1.4.3. Существует такая окрестность V
множества Ω(Μ, рм), что если хеУП^ь то
deMyjk(*)#0. (1.4.6)
Итак, для многообразия V и его покрытия {Uj} заданы
функции Ajk(x)f x^Ujkf detAjk(x)ФО. Пусть || Ajk(χ)||< С для
всех х, j, k. Таким образом, мы должны «поправить» матричные
функции Ajh(x), так, чтобы после исправления мы получили уже
функции склейки некоторого векторного расслоения, причем на
множестве Ω{Μ, ρΜ) мы оставим функции Ajk(x) неизменными.
Во всех последующих леммах мы будем, если это необходимо,
уменьшать множества ί/α из покрытия {Ua}f переходя к новому
покрытию множествами U a'c:UaCzUa. Таким образом, если
некоторая функция / задана на множестве £/а, то под ее
продолжением будет пониматься такая функция g, которая совпадает с /
на подмножестве Ua'aUa,
Лемма 1.4.4. Если
.(ΑρΑΜ-Αμ) J UmSsI(UjMi, P) (1-4.7)
для любых j, k, l, то найдутся такие функции Bjhf определяемые
на множестве U3k, что
a) Bjk — s-аналитичны,
6){ΒμΒΜ-Βμ)\υΜ = 0, (1.4.9)
в) Ββ-Αβ^Ι(υβ, ρ). (1.4.10)
Если функции Bjk уже определены в некоторой окрестности
замкнутого множества FczM и удовлетворяет на ней условиям
(а), (б), (в), то при подходящем выборе окрестности
Vz^F (J Ω (Μ, рм) эту систему функций можно продолжать с
множества F на всю окрестность Μ с выполнением условий (а),
(б), (в).
Доказательство. Упорядочим все множества и%.
Фиксируем номер &о- Пусть функции Вы построены для всех I, k
min {k, l}<k0, и выполнены условия
Вы (х) — ^-аналитическая функция, k < kQ, (1.4.11)
Ββ(χ)ΒΜ(χ)-Βμ(χ)=0 (1.4.12)
Для
min {у, k) < k0, min {k, I) < kQ, min {y, /} < kQ,
Αμ{χ)-ΒΜ{χ)ξ*Ι{υίΗΙ, ρ), min {Μ} <Λ0·
Построим функции Вы для min {К /}<&0+1>
удовлетворяющие (1.4.11), (1.4.12), (1.4.13). Рассмотрим все множества
вида Uko,i, i>k0: Возьмем минимальный индекс /, так что
икоЛф0. ' Условие (1.4.11) определяет функцию Bko,i{x) на
&(V)f\Uh0,i. Условие (1.4Л2) определяет однозначно функцию
42

Вьол(х) на подмножестве Ub%b0,iCzUkutb s<^o· Проверим; что
условие (1.4.11) и (1.4.12) согласованы в общих точках.
Если A?ei/S,ft0,i, то согласно (1.4.12)
ΒΛθίί(χ) = ΒΛθψ3(χ)Β3ίί(χ). (1.4.14)
Если одновременно x^Q(V), то
BkotS{x) = AkotS(x)Asti(x) = AZaW· (1.4.15)
Если же одновременно x^Us>ko,i, sf<k0, то
Bkoii(x) = B*0.s.(xHBs.,i(x). (1.4.16)
Для согласования (1.4.16) и (1.4.14) необходимо, чтобы
BkotS(x)BSti(x)=Bkot9t(x)[B8'ti(x). (1.4.17>
Поскольку условие (1.4.12) выполнено для (s, s', k0),.
(б, s', /),TO
BkotS(xy-=Bkc,sf(x)Bs,iS(x), (1.4.18)
Bs>Ax)Bs,i(x)=Bs;t(x), (1.4.19),
откуда получаем равенство (1.4.17).
Итак, функция Вич(х) определена на множестве
Wkoj=(Q(V)nUkoJ)U U,M. (1.4.201:
s<kQ
Продолжим функцию Bko,i(x) на все множество Uk0,i с
выполнением условий (1.4.11) и (1.4.13). Продолжение возможно,
если окрестность V выбрана так, чтобы матрица Въ,а оставалась
невырождена на V (на основании леммы 1.2.7.) Далее, по
индукции строим все функции Bu0,i с l'>k0.
Лемма 1.4.4. доказана.
Определение 1.4.5. Комплексное расслоение на некоторой
окрестности V множества Ω(Λί, ρΜ), задаваемое функциями
склейки Bhj{x), удовлетворяющими условиям (а, б, в) леммы
1.4.4. будем обозначать через х(М).
Предложение 1.4.6. Определение 1.4.5 корректно, то есть
не зависит от произвола в выборе функций склеек Вы(х).
Доказательство. Основной произвол в выборе функции
Вм(х) заключался в продолжении функции Вы{х) с некоторого
замкнутого множества (1.4.20) на все множество Uktu так чтобы
сохранилось условие (1.4.13). Поскольку мы считаем, что оценка
в (1.4.13) достаточно мала равномерно по x^Uk,i, то существует
гомотопия между двумя различными продолжениями функции
Вм в классе функций, удовлетворяющих условию (1.4.13);
(1.4.12) и (1.4.11). Следовательно, достаточно применить лемму
1.4.4 для многообразия Λίχ{0, 1].
Таким образом, различный выбор функций склеек Вы(х)
определяет гомотопию этих функций, причем пространство гомото-
43

пий в силу условия (1.4.13) стягиваемо. Предложение 1.4.6
доказано.
Предложение 1.47. Пусть Т(М) — вещественное 2п-мер-
ное касательное расслоение. Расслоение Т(М) и г%(М) имеют
одинаковые функции склеек в точках xeQ(M, рм), т. е.
существует канонический изоморфизм
<?2:T(M)-^rt(M) (1.4.21)
(гх(М) —оператор овеществления) на множестве Ω. Более того,
существует изоморфизм
<?:Т{М)-^гх(М) (1.4.22)
на некоторой окрестности VzdQ(M, рм), продолжающий
изоморфизм φ2. Любые два изоморфизма вида (1.4.22) гомотопны в
классе изоморфизмов, продолжающих изоморфизму.
Предложение 1.4.7 доказывается аналогично предложению
1.4.6.
Векторное расслоение ξ->Λί над s-аналитическим
многообразием (Λί, рм) называется s-аналитическим расслоением, если
функция склейки Β^{χ), x^Ujk являются s-аналитическими
функциями на многообразии Ujk^U^Uk. Таким образом, в лемме
1.4.4 построено s-аналитическое векторное расслоение τ(Λί).
Пусть ξ-^Λί—s-аналитическое векторное расслоение над
s-аналитическим многообразием (Λί, рм), σ: Λί-*ξ— гладкое сечение.
Сечение σ будем называть s-аналитическим, если в каждой
локальной карте оно является s-аналитической вектор-функцией.
Совершенно очевидно, определение s-аналитичности сечения σ не
зависит от выбора локальных карт, поскольку функции склейки
являются s-аналитическими матричными функциями.
Обозначим через δΓ7(ξ) пространство всех s-аналитических
сечений расслоения ξ, а через SIT (I) —пространство тех сечений,
которые в каждой локальной карте U являются
вектор-функциями, координаты которых лежат в идеале SI(U, ри). Положим
*Г(у;=*Г'(«/*Г'(У Π */Г' (ξ). (1.4.23)
Нетрудно видеть, что пространство δΓ(ξ) является sO(Mf pM)-
модулем.
Предложение 1.4.8. sO(M, рм>модули sY(x(M)) и
ST(M, рм) (см. 1.3.37) изоморфны. sO(M, pM) -модули
ΑφΤ(τ*(Μ)] и sAk(M, рм) (см. (1.3.66) изоморфны. (%*(М) —
расслоение, сопряженное к х(М).
Доказательство. Построим гомоморфизм
Q;*T(M,qm)-*°T(x(M)).
44

Пусть X — s-аналитическое векторное поле на многообразии Λί.
Тогда, согласно определению 1.3.5 в каждой локальной системе
координат поле X имеет вид:
η
Х=Х\а*(а)-2-+Г, (1.4.24)
Ή да
функции ak(a) являются s-аналитическими, а
»'-1](»Я«'-Яг+»5С)-»·)' О·4·25'
у* (α) ζ Ч (Λί, Qm) П Ю' (Ж, qm). (1.4. 26)
Пусть {i/j}—атлас ^-аналитических карт на многообразии
(М, рм), cpj— такие s-аналитические функции на многообразии
(Λί, рм), что
2ч>>=1, (>-4.27)
у
suppcpyczi/y. (1.4.28)
л
TiJf= ^^(α^+φ,-Κ. (1.4.29)
ft = l
Сопоставим векторному полю λ" сечение σ : Λί—>х(М)
расслоения х(М), являющееся суммой а у. М-^х(М), где Oj
определяется в карте Uj как вектор-функция Oj={q>jak(a)}. Из формулы
(1.3.29) для замены локальной s-аналитической системы
координат следует, что если функции ipj тоже удовлетворяют условиям
(1.4.27) и (1.4.28), а σ' — соответствующее им сечение, то
а - α' ζ Τ' (χ (Λί)) П 5/Г' (τ (Λί)). (1.4. 30)
Положим
Q(Jf) = W€T(t(Af)). (1.4.31)
Проверка изоморфности гомоморфизма Q, а также
доказательство второго утверждения аналогичны.
Таким образом, мы установили обещанную связь между s-
аналитическими векторными полями; s-аналитическими
дифференциальными формами и сечениями, некоторых расслоений над
многообразием (Λί, ρΜ). *
* (τ*(Μ)—расслоение, сопряженное к τ (Μ).)
45

§ 1.5. Неособые вещественные подмногообразия
^-аналитических многообразий.
Пусть U — s-аналитическая карта на s-аналитическом
многообразии [Μ, ρ]; α : t/->Cn— ^-аналитические координаты в
карте U. В § 1.2 мы ввели подмногообразие £/° многообразия U.
Подмногообразие ί/° задавалось там формулами
1та1=1та2=... = 1тал=0. (1.5.1)
Было показано, что существуют такие операторы
Я0: О (ί/)->0 (ί/°), < Л °: О (/7°)—О (U), (1.5.2)
где ^?° — оператор сужения на U0, что
1) Для любой функции f^C°°(U0) функция lAf ί-аналитична.
2) Для любой функции /eC°°(t/0) имеет место равенство
3) Для любой 5-аналитической функции F в карте U имеет
место включение
*A*R*F-Fei{U, Q 1с).
Мы изучим сейчас класс подмногообразий вещественной
размерности ft, обладающий аналогичными свойствами. Эти
подмногообразия будут определяться уравнениями, аналогичными
(1.5.1), если последние записать в виде
а1=а1, ..., ап = ап.
Определение 1.5.1. Гладкое отображение
которое задается функциями g*(al, ..., ап) : t/°->C (/=1, 2, ..., η),
называется неособым ростком, если выполнены условия:
1) gi{a\ ..., a*)i4*(U\ ρ)(/=1, 2 п\
Idjaf + igHa1, . .., α")) Ι
2) det
άζβ
^0.
2(£/°)
Множество всех неособых ростков в карте U мы обозначим
G(U).
Определение 1.5.2 Пусть g^G(U)—неособый росток.
Подмногообразие размерности η в карте U, задаваемое в
параметрическом виде равенствами
ai=at+igt(al·, ..., а% (1.5.3)
называется неособым многообразием, отвечающим ростку g, и
обозначается через t/*.
46

Из условия^) определения 1.5Л следует, что равенство (1.5.3)
корректно определяет подмногообразие ί/*, вложенное в
многообразие t/.
В самом деле, пусть
ω{α\ .... aa)=al + igJ(a\ ..., α")=/ί(αι, ..., an) +
+ ifl(a\ ..., α"),
где /V, jV — вещественнозначные функции. Для доказательства
того, что № — подмногообразие, достаточно показать, что ранг
матрицы
"' df\ Of" df\ df\
да*
&zi dai
даХ
*/ί
da"
d/5
да"
равен п. Если это не так, то строки матрицы линейно зависимы,
и поэтому при любом λ определитель
det
VI , , дА
df\ , , */"
df\
df\
dan
dan
dan
da\
dfn2
dan
равен нулю. Положив'λ = ί, получим противоречие с
требованием 2) определения 1.5.1.
Заметим, что введенные понятия зависят от s-аналитической
карты U на многообразии М, то есть не только от множества ί/,
но и от системы координат а.
Предложение 1.5.3. Пусть g^G(U), Us — неособое
многообразие, отвечающее ростку g. Для каждого t^s существует
оператор
'T*:C-(U*)->C~(UQ),
такой, что
1) для любой s-аналитической функции F на [ί/, ρ | с/]
*T*(R*F) — I?F£*I*{U*, q\U%
где Rs: С°° (U)—>0 (£/*) — оператор сужения-,
2) справедливы включения
*T*\R**A*\f-fi4*(U\ ρ И, /€C-(i/o)f
[φ'ΑψΤ*/ — /£'Ι*{υ*)9 /€<>(£/*),
где *18(Ш) есть сужение множества ιΙ(ϋ) на Ug:
■ 'Ig(U*)=R*{'I(U)).
47
(1.5.4)
Ί.5.5)
(1.5.6)

Доказательство этого предложения разобьем на ряд
лемм. Рассмотрим функции /
ω = αβ(α\ ..., an)=al+igJ(a1, .,., ап)
и определим операторы
dJ '
действующие на пространстве
гладких функций от переменных, а1, ..., ап, соотношениями
д __yi<faJ(fli ап) d
да1
/-ι
да1
do)
(1.5.7)
Из условий (1.5.7) операторы—γ определяются однозначно, по-
do?
скольку согласно определению 1.5.1
det
да)(&, ..., αη)
да*
ФО
в некоторой окрестности V множества
Лемма 1.5.4. Для операторов ·—γ справедливы
соотношения
do) dak dak da*
(1.5.8)
Доказательство. Ограничивая наши рассмотрения на
окрестность V, обозначим через матрицу, обратную к мат-
даг
даг
рице —г» » то есть
да1
даг дат
г=х
да8 даТ
= Ът.
(1.5.9)
Вычислим теперь левую часть соотношения (1.5.8).
dJ dau
^^1 да1 д Г дат д/ 1
~Z^ до? да1 [ да* дат \
Iffn
VI да1 .д Гааст1 д/ ■ у> да1 дат &f ,15щ
jL· dJ да1 I да" I дат ^Л dj да" датда1
1,т *" J I, т.
48.

Воспользуемся теперь соотношением (1.5.9), взяв от его обеих
частей частные производные по а1:
л ^ ι υ ι (λα ии | ^"1 д%а да
Σδ Г дат дат 1_ V4 д*аТ
да1 [ да5 даг J 2d daldas
Jj да* да1 I даг J
даг
Домножив последнее соотношение на — —, получим
dak да*
V——I"—1 V
2d да1 да1 L ^ctft J 2d
да3 да1 dam d*ar
дак да* даг daldas
Подставив теперь выражение (1.5.11) в (1.5.10), имеем
d d f _ VI да1
da* dak 2a dJ
.(1.5.11)
dam d*f
da* dak J JmA da} dafc damdal
l,m
das da1 da/^ d*ar df Π 5 12)
Jmmk dak daj dar daldas dam
SylyTytn
С другой стороны, меняя в (1.5.12) индексы / и k местами,
получим
dam &f
1 2Л да*
dak daj JbU dak daJ датда1
mfl *
das да1 дат d*ar df \Л дат да1 d*f
JmJ dj dak dar daldas dam J—fi dak daj daldam
Σ da1 das dam d*ar df
da} dafc dar dasdal da"? '
lfsfm,r
Учитывая равенство смешанных производных
02/ 02/ д^аТ __ 02дг
да1дат датда1 ' да*да* daldas
видим, что выражения (1.5.12) и (1.5.13) совпадают.
Лемма доказана.
Определим теперь оператор гТ& соотношением:
(1.5. 13)
(^ν)(?)=2"4ϊΙ (L5-14)
49

Иногда нам будет удобнее записывать оператор %Т* в форме
,-Vi=]2i(,„.))..<"
do,"
('T'f№=Y.!^=^(ig(a)r -^-/И, (1.5. 15)
4m. k\ dak
\*\<t
где k=(ku ...ykn) —мультиндекс, k\=kx!·...·kn\t
(da?
(rfoiy
ft
(tfa")*"
Эквивалентность представлений (1.5.15) и (1.5.14) следует из
леммы 1.5.4, т. е. из того, что операторы —т- попарно
коммуна'
тируют.
Лемма 1.5.5. Для оператора *Г#, определенного формулой
(1.5.14), справедливы соотношения
A. tTtf _ t-iTg -j^-fei* (U°, ρ \ц.)
(1.5.16)
для любой функции feC00 (ί/^).
Доказательство. Вычислим
Li*i<* J
■Χ
\kl I t /.' //Λ\\*/_1/.· 11.1 /Λ\\*/.
Xi№ (a)f: . .(/^-ι (α))*'-> -k, (igl (a)p-i (igi^ (a)p+K . .χ
* ,«*-/(α)=.Σ
Χ№(«)^(β)^
|Λ|<*-1
^Wwr-Vx
x-b-/w+S
ϊ-ι |λΤ<ϊ-ι
*! да1 da1 daT
Χ/ (Λ) +2
(-ΐ)ΐ*ι ...ft a rfi*i
.*!
·(/&)'
1*1-'
йг> <ία*
/(«)
X
<-i)i*i
x-^/(.)+S-^=(»)
1*1-i
da/ dor
bi-gHa)
(1.5.17)
50

В силу требования 1) определения 1.5.1 последнее слагаемое
правой части соотношения (1.5.17) принадлежит идеалу
I°(£/°, p\U°). Далее, из определения (1.5.7) операторов;^-
имеем
д да^ {αϊ an) d д [a* + ig* (a1, ..., an)] d
да1 да1 daj да1 daj
d , . dgt(a) d
L l da1 J da*
do? da1 da1 do)
откуда следует соотношение
(1.5.18)
do) да* да* da1
Подставляя (1.5.8) в (1.5.17), окончательно имеем
\k\<t~\
где F (α) ζ *Ι° (ί/9, ρ |ί/ο). Пользуясь коммутативностью операторов
—г- и —г (лемма 1.5.4), имеем
dak da1 V h
Γ-Γ«),/(α,,= ^ ^Г^М^^Н^
da7
|fc|</-l
=('-'Г'^г)/(«)+т
Поскольку ?(а)Е(/°((/'°, p|(^°)> то лемма 1.5.5. доказана.
Выпишем теперь аналитическое выражение для оператора
/ / П Л
(«.Μ-,/Μ-^ΐν*^- /w
= У^-(/*(а))*-^т/(а)· (1-5.19)
да * да
Лемма 1.5.6. Справедливы соотношения
-^ {R* *А°) / - {R* '-М°) -Л" / € *I*{U*) (1.5. 20)
tfa7 da7
для любой функции f^C°°(U°).
Доказательство. Докажем сначала соотношение
(νπΥ-ΐΊΖ-*)**'^ (L5-21)
Для любой /-аналитической функции F на U.
51

В самом деле, обозначив
?(a)=R*F(a)=F{a+ig(a)),
дифференцированием по а1 получим равенство
д<р(а) dF , \ : / w до) , dF , . . /лЧЧ да^
да1 daJ да1 да* да1
Второе слагаемое последней формулы есть, очевидно,
элемент Rs4{U, ρ |ϊ/) = '/*(£/*). Поэтому, умножая на матрицу
да - да
, обратную к , имеем
да да
dF
ia+ig(a))^^.+F1(a)=^f.+Fl^ (1.5.22)
daJ да' дат da]
где F1{a)£t/e(lj8). Заметив что
и вспоминая, что φ (α) = R£F(a), видим, что соотношение (1.5.22)
совпадает с соотношением (1.5.21).
Подставим теперь в соотношение (1.5.21) F=tA°f9 /eC°°(t/0).
По лемме 1.2.2 F является /-аналитической функцией, поэтому
соотношение (1.5.21) для нее выполнено. Мы получим
(1.5.23)
Поскольку.
то
Rg
-Л-м·
*"=г
, в силу
д
да}
f-(Pe
■<Л0/-
d
da>
соотношений
<А°/-
ί-ΙΔΟ) -
_t-iAo
-^fi
(R*
(1.2
д
да'
£№
Ά0)/ζ'is (U η.
!.14)
/еци,
ί'/ίί/.οΙ»!
Q\u),
\ = 4*
daj J V daf
Подставляя (1.5.24) в (1.5.23), получим (1.5.20).
Лемма доказана.
Доказательство предложения 1.5.3. Докажем сначала
соотношения (1.5.6). Пусть /eC°°(t/0). В силу соотношения (1.5.15)
имеем
Σ( — η'*1 dW
( b/ (ig (a) )k ^— [/?* < Л«] /.
t\<\* da '
Далее, из формулы (1.5.20) следует, что
*Т* [R* 'Л°] / = V.( ~1)Щ {ig (a))k [/?> f-ΜА°] —f+F, (1.5. 25)
Jmd k\ dak
\k\<t
52

причем Fζ*Ι«'(U*). Поскольку, согласно требованию 1)
определения 1.5. 1 ^(α)^1/0^0, ρ|ί/ο), то любая функция из 4*(U*)9
рассматриваемая как функция на ί/°, принадлежит '/°(£/°, д|е/о).
Цспользуя теперь соотношение (1.5.19), приведем (1.5.25) к виду
\k\<t \r\<t~\k[
\q\<t U+r = gr )
Поскольку при |#l>0
ft+r=gr
то первое из соотношений (1.5.6) доказано.
Для доказательства второго из соотношений (1.5.6) возьмем
функцию f^C°°(U8). Пользуясь формулами (1.5.15), (1.5.16) и
(1.5.19) получаем:
[R**A*]*T'f= S\-±r(ig(a))k-^-<Tef =
т*! да
1 //1*1
kX da*
d\b+r\
—\—ig\P)y -
\k\<i . |г|<7й*|
■S-5-i"(«»· Σ 7Ϊ<-"(«»'-^-/+'··
где Ζ7! имеет вид полинома от g(a) степени t. Отсюда следует,
что Fi^4^(U^). Доказательство второго из соотношений (1.5.6)
заканчивается теперь так же, как и доказательство первого.
Для завершения доказательства теоремы нам осталось
доказать соотношение (1.5.5). Однако, для любой /-аналитической
Функции F функция R0F^C°°(U0). Применяя к f=R°F первое из
соотношений (1.5.6), имеем
*Т* Rs fAQR°F -RQF ζ */° (ί/°,ρ |с·). (1.5. 26)
Далее, из соотношений (1.2.17) и требования I) определения 1.5.1
окончательно получаем соотношение (1.5.5).
Предложение доказано.
53

Определим теперь фактор-пространства
*C-{U0)=C-(U*)/4°(U·, ρ И. (1.5.27)
<С-(£/*) = С-({/*)/</*(*/*). (1.5.28J
Следствие 1.5.7. Операторы <Г*, R$ и R0 индуцируют one*
раторы в фактор-пространствах
*Т*: <С~ (i/*)—<C- (U0),
R*:W(U, Q|t,)-'C-(i/*),
J?:'0(U, Q\u)-+<C"(U»y,
все эти операторы являются изоморфизмами, а диаграмма
'О (ί/°>—— 'С- (f/*) (1.5. 29)*
коммутативна.
Доказательство. Коммутативность диаграммы (1.5.29)
следует из соотношения (1.5.5). Изоморфность оператора R0 яы
ляется следствием соотношений (1.2.16) и (1.2.17). Изоморфносп!
оператора 1Т% следует из соотношений (1.5.6). Наконец, изоморф-|
ность R8 следует из коммутативности диаграммы (1.5.29) и изо|
морфности операторов %Т% и /?°. Следствие доказано.
Условие 2) определения 1.5.1 неособого ростка эквивалентно
условию, что оператор
R*:W(U, ρ|ι,)—'0(ί/«)
является изоморфизмом. Более точно, справедливо следующее
утверждение.
Предложение 1.5.8. Пусть многообразие U$ задается
ростком g: U°—>Сп в смысле соотношений (1.5.3) (росток g не
предполагается неособым!). Пусть
g{a)$4*{U\ ρ bo, (1.5.30)
и оператор
R*:'0(U, Q\u)-*'C-(U*) = C-(U*)/R*'f(U, Qu) (1.5.31):
ν
является изоморфизмом для некоторого t^2. Тогда росток g не**\
особый. {
Доказательство. Нужно, очевидно, проверить выполне-|'
ние условия 2) определения 1.5.1. По условию теоремы существу·^
ет оператор
(^)-ι: 'О (f/*)-VO (U, Qu). (1.5.32)i
Пусть /{а)Ь*С-{и*\ F=(R*)-*f.
Тогда /(а)=^(а+^(а)).
54

Дифференцируя это соотношение по а\ получим
д/ (а) __ dF , да1 (а)
да} да1 да?
на Q(U). (1.5.33)
Выбирая в качестве f координатные функции afe, получим
3 да1 да?
да1 (а) г>/гт\
что доказывает невырожденность матрицы L-jL- на м((У).
да1
Предложение доказано.
В дальнейшем мы не будет особо оговаривать теоремы,
относящиеся к t/°, считая, что U0 есть U* при g = 0 (см. соотношения
(1.5.1) и (1.5.3)).
Пусть U8 — многообразие, определяемое неособым ростком,
пусть T(LJg) —пространство всех векторных полей на Us с
комплексными коэффициентами, *{1Т) (U&) подпространство
пространства T(U*)9 состоящее из полей вида
sy**(a)_* (1.5.34)
^J да*
X-
гдеХ *( a) e'/£(£/£). Независимость этого определения от системы
координат следует из того, что '/*([/*) есть идеал в кольце C°°(U).
Определение 1.5.9. t-касательным пространством гТ(U*) к
-многообразию U* назовем фактор-пространство
Τψ*Υ{ΙΤ)ψ*) (1.5.35)
Аналогично, если Ah(U£) —пространство с комплексными
коэффициентами й-форм, то, обозначив Ц1Ак) (Ug)
—подпространство всех Α-форм, коэффициенты которых принадлежат */*(ί/*),
придем к определению 1.5.10.
Определение 1.5.10. Через *Л*(U$) мы обозначим фактор-
пространство
'A*(U*) = A*(U*)/*(IA*)(U*). (1.5.36)
Отметим, что изоморфизм *Г* индуцирует изоморфизм
'T*:'A*(U*)->*A*(U*). (1.5.37)
В заключение этого параграфа рассмотрим понятие
инвариантности многообразия ί)* относительно s-аналитического
векторного поля X на U.
Определение 1.5.11. Мнообразие U8 называется инвари*
битным относительно s-аналитического векторного поля X на U,
если оператор
- φΧ{φ)-χ:'€~{υ*)-·ί-λ€~{υ*) (1.5.38)
55

порождается некоторым вещественным векторным полем Υ на
подмногообразии t/£. Очевидно, что поле Υ однозначно
определяется полем X с точностью
§ 1.6. Семейства неособых вещественных подмногообразий
^-аналитического многообразия.
Пусть [Мп, р]—аналитическое многообразие, U={(£/, α)} —
максимальный s-аналитический атлас на нем. В каждой карте
t/^U рассмотрим семейство подмногообразий ί/£, отвечающих
неособым росткам g^G(U) (см. определение 1.5.1).
Определением 1.6.1. гТ-связанным семейством функции
(&-форм) {φ} ({ω}) в карте t/eU называется такая система
функций φ£<==<0(ί/£) (&-форм ^^tAh(U^))t g<=G(U), что
для любого ростка g^G выполнено соотношение
*Т*ч*=<р£'С-(и%
(1.6.1)]
Множество Г-связанных семейств функций (β-форм) в карте!
U мы будем обозначать Ст (U, a)(ATk(U, α)).
Лемма 1.6.2. Пусть G'czG{U), G' = 0. Тогда любое семей-,
ство функций φ5 ζ 'С°° (Ш), g € О', такое, что
tT*4f8t = *Τ**γ* ζ 'О (U*) (1.6. 2)|
1
однозначно определяет 1Т-связанное семейство функций {i|?}j
такое, что ψΜ^6σ'=φδ'· j
Доказательство очевидно в силу коммутативности диа-j
граммы (1.5.29) и изоморфности оператора *7Х
Пусть теперь (ί/, α), (t/, (a'))^U.
Лемма 1.6.3. Пусть U0 — подмногообразие в U, определяв-j
мое уравнениями
Ima' = ... = Ima"=0. (1.6.3)|
Существует такой неособый росток g(a')y что многообразие\
U0 определяется в карте (U, а!) уравнениями
a'^a^ + ig^a'), ..., а'п=а'я+1?(а')9 (1.6.4)|
то есть подмногообразие U0 в координатах а является под много-^
образием U$ в координатах о! для некоторого неособого ростг\
ка g. -*
Доказательство. Пусть формулы перехода от координат|
а' к координатам а есть
а* = а>(а'\ ..., а,л)(у=1, 2, .. м п). (1.6.5)
56

функции α5" (α7) являются ^-аналитическими функциями в
карте U. Формулы (1.6.5) подробнее записываются в виде
а>=а*{а'\ ..., а'\ Ь'\ ..., Ь'\
Ы=Ь*(а'\ .... а'я; Ь'\ ..., Ь'п).
В некоторой точке множества Q(U) мы имеем
да* = dgi(a'9Q) ■ f dtf(a'9Q) ,Q (1.6.7)
(1.6.6)
da'* da'k da'k
Докажем, что существует такое число λ, что
detf **V'°> +λ дЬ^а'>°ЛфО. (1.6.8)
\ да'* ^ да'* Г
В самом деле, правая часть соотношения (1.6.8) есть полином по
% степени п. Если этот полином тождественно равен нулю на R1,
то он тождественно равен нулю на С1. Отсюда, в частности,
следует, что неравенство (1.6.7) не выполнено (нужно положить
λ=*)...
Рассмотрим теперь некоторый росток g'(a') в координатах
и'. Условия, обеспечивающие включение i/*ei/°, имеют вид
*(*'-*;(*')■ *;(*'))=о,
где g'(a') =g\'(a')+ig2'(a'). Таким образом, чтобы найти росток
g'(a'), мы должны решить систему из η уравнений и 2п
неизвестных. Мы добавим еще η уравнений
ai(a'-g'2(a'), g[{a'))=ai(a'),
где функции а' (аг) определяются формулами
аЧа')=а*{а', 0)+\ЬЦа\ 0). (1.6. 10)
Уравнение (1.6.10) в силу неравенства (1.6.8) определяет
взаимно-однозначное соответствие между координатами а и а!. Далее,
определим g\\ gj из соотношений (1.6.9). Для доказательства
разрешимости системы (1.6.9) перепишем ее подробнее,
воспользовавшись s-аналитичностью функций aJ'(a/):
ai(a'-g'2(a'), g[{a'))=al(a't 0) + V -^~g'*(a') -
Jmd db
^J^Tg'2*(a') + 0(\g'(a')\*)=a>(a', 0)-
da'R
57

=al{a\ 0) + W{a', 0), (1.6.11)
Σ
■^~g'2k^')+0(\g'(a'f)=^
da'*
Докажем, что система (1.6.11) разрешима. Для этого отметим/
что на множестве Ω(Λί) справедливо неравенство ^
deti^Udetf *»'<fl''0> +/ *"<«'· °> Up. (1.6.12),
\ да'« ) \ da'R da'* J
Поэтому для любых правых частей ρ разрешима однозначно отг
носительно zh = xh + iyh система линейных уравнений
\ да'" да'" J
да'" да'" ' да'" да'" У -,
(1.6. 13£
Поэтому система уравнений, получающаяся из системы (1.6.13)1
разделением вещественных и мнимых частей.
да'* дЬ'*
- л -\ у — j j
да'* да'*
(1.6. 14)1
разрешима однозначно при любых правых частях /у, /у. Отсюда|
следует, что определитель Δ этой линейной системы отличен от
нуля на множестве Ω(£/), а, следовательно, и в некоторой
окрестности множества Ω ((У). Ограничимся этой окрестностью. Заме-
тим, что определитель линейной системы (1.6.14) совпадает с
якобианом системы (1.6.11) с точностью до знака. Учитывая еще,
что на множестве Ω(ί/) многообразия типа ί/° (в различных
координатах) пересекаются, получаем, что система (1.6.11) имеет
решение.
58

Оценим решение gi'(a'), g<i(af) системы (1.6.11). Дл^ этого
рассмотрим ее как линейную систему уравнений
= -\Ы{а', 0) + O(\g'(a'n
да'"
.gW^JSi^gVy.
= ~ЬЦа',0) + О(Ц'(а')\*).
Из последней системы получаем оценку
\g'(а')\ <С [max bi(a', 0) + \g'(a'tf]. (1.6.15)
J
Ограничиваясь столь малой окрестностью множества Q(U)
что | g' (#') I < -грг > мы приходим к оценке
|g-'(a')|<2Cmax^(a', 0)^2CQ\U0{a,h (1.6. 16)
причем U°(a') — многообразие, задаваемое уравнениями (1.5.1)
в координатах а', а последнее неравенство следует из 1.2.1.
Таким образом, многообразие ί/*'совпадает с многообразием
ί/°(α) и определяется ростком g'(a')€ 1/(U°(ar), g|t/o(a/)),
(последнее включение справедливо в силу неравенства (1.6.16).
Предложение 1.5.8 доказывает теперь, что росток g'(a') является
неособым.
Лемма доказана.
Лемма 1.6,4. Пусть gczG(U)—неособый росток в карте
(U, а). Тогда на множестве U существуют такие s-аналитические
координаты ξ, удовлетворяющие условию 1.2.1, что многообразие
Ue определяется формулами Im£1= ... =lmgn = 0 в карте (U, ξ),
т. е. Ό* в (£/, а) есть U0 в (С/, |).
Доказательство. Координатами на многообразии Uz
служат (а1, ..., ап). Заметим при этом, что аэф№а\ В силу
следствия 1.5.7 существуют ^-аналитические функции А1 (а), такие,
что R^Al = al. Согласно следствию 1.5.7 эти функции есть
AJ = {sA*sTs)aJ.
Вычислим sT$aj. По определению оператора ST^ имеем
да*
sTgaJ=ai — (igk(a))·
dak
В силу последней формулы и определения операторов SA°
имеем оценку
Im^(a)|<C(Q0 + |% (·)
Где Q0(a)=Q(a)(a = a-f/6).
59

Дaлeeϊ при ρ2 ζ С00 (Ж) имеем
ρ2(α)=ρ>, Ь)=ЯЦа, 0+-^-(ρ2)(α, 0)Ь+О(Р),
дЬ
и поэтому
Q2(a)<C[Q2(a, 0) + P].
С другой стороны, из ρ2 > 0 следует, что
dQ2
а*
<Се2, и
ρ2(α)>ρ2(α, 0)-
1 I д
дЬ
(ρ2)(α, 0)6 -С1*»>
>ρ2(α, 0)-^|^ρ2(α, 0)|«-(с+-|-) *2>
в?
-(с'+т)
ft2.
Но, по условию 1.2.1 62^С/Гр2(а), поэтому
о5+^<2[с^(С'+^)+1](^(о) = С'''о»(а).
С учетом последней оценки соотношение (*) перепишется в
виде
| Im Λ'(а)|< Cq(а),
поэтому нам остается лишь проверить разрешимость система
уравнений
Λ'(α)=ξ/.
Это следует из равенств
da1
2 da
dak да} *,
и =Ц.
q да1 dak
Лемма доказана.
Леммы 1.6.2 и 1.6.3 позволяют определить важные
гомоморфизмы колец Ст(£/, а)*. Пусть сначала U — открытое множест-з
во в М, а (£/, а) и (£/, а7) —две s-аналитические карты из U. Оп-;
ределим гомоморфизм -
iu*>:€T(U, a)->C^(i/, a')
следующим образом. Множества
[U*(a)\gqO(U, α)) и [υ*(α')\ g'$0{U, a'))
в силу следствия 1.6.4 совпадают. Пусть
ψΤξσ(υ, α), ?'={?*}*ео«/,«).
(1.6.17)!
* Все изложенное ниже, относится также и к СТШ, а) -модулям
ATh(U,a). ι
60

Отсюда видно, что на системе многообразий
{ί/*'(«')Ι *'€<?(*/, «')}
определено Г-связанное семейство функций φ£. По лемме 1.6.2
это семейство определяет элемент iaa^^CT(U, α'). Из
построения гомоморфизма ί'α,α непосредственно следует, что
^в^'=йсГ((/>а/)1 (1.6. 18)
Соотношение (1.6.18) показывает, что ίαα' является
изоморфизмом колец. Мы отождествим кольца CT(f/, α) и CT(t/, α') с
помощью этого изоморфизма. Соответствующее кольцо мы
обозначим CT(U).
Пусть теперь ί/GU, VczU. Очевидно, что VeU, причем
координаты в V те же, что и в U. Очевидно,
[U'{)V\gtO(U)}c{V*\gtO(V)}.
Поэтому каждый элемент ут$Ст(и) по лемме 1.6.1 определяет
элемент iuvyT € Ст (V). Гомоморфизм
iuv:CT(U)-+CT{V) (1.6. 19)
согласован с гомоморфизмами /αα' и называется гомоморфизмом
ограничения. Он, как легко видеть, определен лишь при VczU и
обладает свойствами
iuvivw=iuw^ если W czV czU. (1.6.20)
Дадим определение пространства СТ(М, рм).
Определение 1.6.5. Т-функцией на s-аналитическом
многообразии [М, рм] называется набор элементов φ^ ζ CT(U), ί/ζϋ,
таких, что для любых VczU^U
iuvfu=4Tv (1.6.21)
Кольцо 7-функций на [Λί, рм] обозначается СТ(М, qm).
Определение 1.6.6. Ύ-формой степени k на
s-аналитическом многообразии [М, рм] называется набор таких элементов
®и €ATk (£0, что для любых VczUczU
4υνν?υ=*%. (1.6.21')
Кольцо Г-форм степени k на [Λί, рм] обозначается ATk(M, qm)
Предложение 1.6.7. Пусть U'crU— некоторый (не
обязательно полный) атлас s-аналитических карт на
s-аналитическом многообразии [М, рм]. Пусть задан набор таких элементов
?£€#■(£/), ^€U, что для любых U, Ve-U' U [\ УФ0,
fo,U[\v<fJ} = hjj лνφ£· (1. 6. 22)
61

Тогда однозначно определен элемент ут£Ст{М>, qm), такой,
чтоут \и = <?и для U^U'
Если U" — другой атлас s-аналитических карт, U"c:U, то
наборы <$, £/€U', φ^,, W ξ U", определяют один и тот же элемент
ц>т£Ст(М, qm) тогда и только тогда, когда для любых i/sU',
C/'eU", ί/ П ί/7 = 0.
*υ.υηυ'?υ = ίυ'*υηυ'4ν- Π· 6· 23)
Доказательство. Пусть φ[/τ, t/eU' — набор элементов
СТФ), удовлетворяющих свойству (1.6.22) и Veil. Пусть α —
U^U'. Очевидно, Vu^U для любого U^U' и α есть координаты
система координат в V. Рассмотрим множества Vu=V \}U,
на Vu. Пусть % = hvuyu- Рассмотрим многообразие V0.
Множества V°uz=V^ η i/^образуют покрытие V0. На каждом
множестве Vu° определена функция -фи0, представляющая элемент ψυΎ
на Vu°- Пусть ее/ — s-аналитическое разбиение единицы,
подчиненное покрытие Vu°- Рассмотрим на V0 функцию
По лемме 1.6.2 эта функция определяет некоторый элемент φντ
кольца СТ(У). Проверим теперь, что набор qvT, l^ell
удовлетворяет условию (1.6.21). Если V'czV, то, очевидно,
<tv' = <tv\vo·
По лемме 1.6.2 и определению гомоморфизмов iVv получаем
Далее, если ϊ/eU', то соотношение чт\и=Чи очевидно из
построения φυτ.
Пусть теперь элементы<рг, ψ£СТ(М, qm)таковы, что
<$=*£. ^U'. (1.6.25)
Пусть H7eU произвольно, α — координаты на W. Тогда
семейство множеств Wu°=Wb (} V, U^U' покрывает множество
W0. Если φ° — функция, представляющая элемент «ψτ на W0, ψ° —
функция, представляющая элемент «ψτ на W0, то, очевидно,
Отсюда следует, что φ° )^о — ψ° |^0 ζ ^7° (U^°, ρ|^°), то есть
элементы SC°°(№°), определяемые φ° и ψ°, совпадают.
Коммутативность диаграммы (1.5.29) дает теперь совпадение φ^ и ψ£,.
Первая часть предложения доказана.
Доказательство второй части предложения очевидно, если
рассмотреть атлас U' (J U"czU. Предложение 1.6.6 доказано.
62

Аналогично доказывается соответствующее утверждение для
σ (Λί, рм) -модулей А™(МУ рм).
Предложение 1.6.8. Пусть U'czU— некоторый (не
обязательно полный) атлас s-аналитических карт на s-аналитическом
многообразии [М, рм]. Пусть задан набор элементов ωυτ^Ατκ(ϋ),
ί/€ U\ таких, что для любых U, V^U', U Л Уф0.
Ηυ,υην) *>l=Hv,uciV) ω£· (1.6. 26)
Тогда однозначно определен элемент ωτ^Ατ1ι(Μ, ρΜ), такой-
что ωτ\υ=ωυτ для U<=U'.
Если U"— другой атлас s-аналитических карт, U"^U, то
наборы ωυτ, U^U' и <й'ит, U'^U" определяют один и тот же
элемент ωτ^Ατ]ι(Μ, ρΜ) тогда и только тогда, когда для любых
[/gU7, i/'€=U", U Π ν'Φ0
Ηυ,υηυ') ®υ=*(υ',υηυ') ω^· (1-6. 27)
Пусть cpesO(Ai, рм). Как показывает диаграмма (1.5.29),
семейство yu8 = Rg(tp\u) является Г-связанным в каждой карте U и,
более того, определяет элемент СТ(М, рм). Построенное
отображение, как легко видеть, является гомоморфизмом колец
RfO(M9QM)-+Cr(M9QM). (1.6 28)
Предложение 1.6.9. Гомоморфизм (1.6.28) является
изоморфизмом колец.
Доказательство. Построим гомоморфизм
/t-l = AiCr(M9QM^'0(M9QM)9 (1.6.29)
обратный к гомоморфизму (1.6.28). Сначала изучим локальную
ситуацию. Пусть U — s-аналитическая карта на [Μ, ρΜ], φτ^
εξΟτ(£/). Пусть U° — многообразие (1.5.1), φ° — функция
семейства φτ, определенная на U0. Положим
Л^=Му. (1.6.29')
Покажем, что гомоморфизм Аи является обратным к /?и. В
самом деле, пусть RuAuyT=" {ψ£}. Тогда
ψο=^ο^φΓ=(^θί-Αο)φρ=φο (ι# 6β 30)
в силу определения (1.6.29') оператора Аи и соотношения
(1.2.16). Далее, коммутативность диаграммы (1.5.29) дает
ψ^^^Λ^ = (^Μ0)φ0 = (/?^[/?0]-1)φ0 = (^-γ = φ^, (1.6. 31)
где на последнем шаге использовано определение 1.6.1. Г-связан-
иого семейства. Таким образом,
RUoAu = iacr(Ur (1.6.32)

Наоборот, если cpesO([/, ρ|υ), то
и поэтому, учитывая (1.6.29), имеем
в силу соотношения (1.2.17). Таким образом,
AuRa = ia. (1.6.33)1
Соотношения (1.6.32) и (1.6.33) доказывают взаимную обрат-,
ность гомоморфизмов Аи и Ru в локальной ситуации.
Исследуем теперь общий случай. Пусть сртеСт(М, рм).
Рассмотрим множество q>uT<^CT(U£, U^U, представляющее элемент:
<рт. Пусть
% = AU9[r^O(U9Qu). (1.6.34),
Пусть Vc:i/ — две карты из U, α — координаты ла U (а, следо-j
вательно, и на V). Тогда, из определения элементов из!
СТ(М, рм) следует отношение
(?&)%. = (^)0€*С»(1^). (1.6.35)1
Если <$, φ^ — некоторые представители классов (φ^)0^^00^0),!
(Τν)0^5^00^0)' το соотношение (1.6.35) перепишется в виде
Поскольку ψ^/κ=Μ°(φ£)%=^4°[(φ£)%0], последнее соотно-|
шение дает
%iv=sA» WjivA=мо wvn=*tv. (ι. 6.36) j
В частности, если U'— некоторый атлас, то для любых UJ.
VeEU',Ui)V=£0
В силу предложения 1.2.5 из последнего соотношения следует,^
что существует такая функция ty<=sO(M, pM), что для всех*
Ф1*=Фс· (1.6.37)
Положим по определению
По построению оператора Лив силу соотношения (1.6.32)·;
ясно, что
RAf=<fT,<f<:CT(M,QM),
то есть
**=^(*ΛΛ>· (1.6.39)
Обратное соотношение с очевидностью следует из (1.6.33).
64

Предложение 1.6.9 доказано.
Сформулируем аналогичное предложение для СТ(М, рм)-
модуля АТк(М, рм). Пусть ω&Ακ(Μ, рм). В каждой карте U
определим семейство ωυτ = {№ω\υ}. Коммутативность
диаграммы (1.5.29) показывает, что (uuT^ATk(U). Полученное семейство
o)t/T, i/eU определяет элемент из ATk(M, pM), который мы
обозначим через R(£>. %
Предложение 1.6.10. Гомоморфизм
является изоморфизмом модулей, отвечающим изоморфизму
колец (1.6.28).
Доказательство этого предложения вполне аналогично
доказательству предложения 1.6.9.

ГЛАВА II
СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНОГО
ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
В предыдущей главе мы рассмотрели класс многообразий,
который мы назвали s-аналитическими многообразиями. Нас
будут интересовать прежде всего s-аналитические подмногообразия,
в так называемом комплексном фазовом пространстве Фс ~С2п
с координатами (zh, ζΛ), &=1, ..., η, которое мы будем понимать^
как 5-аналитическое многообразие со специальной весовой
функцией
еФ(а)=2^^|+|1тд,
где ζ\ ..., ζη, ζι, ... ζη) —стандартные координаты точки аеФс.;
Бели на таком подмногообразии ограничение (аналитической) *
формы
к
равно нулю в том смысле, как это понималось в предыдущей]
главе, то многообразие называется лагранжевым многообразием.
Основная цель этой главы — описать необходимый нам классу
лагранжевых s-аналитичееких многообразий, описать ряд его'
дифференциальных и топологических инвариантов и способы их.
вычисления. ' ^
Такими инвариантами являются следующие: ч;
а) s-аналитические меры на многообразии М. ч;
б) Отображения лагранжевого многообразия Μ в некоторое;
универсальное пространство А(п). j
в) Одномерный характеристический класс когомологий на^
многообразии М.
В случае вещественных лагранжевых многообразий
указанные инварианты были изучены в работах Маслова и Арнольда.
§ 2.1. Лагранжевы плоскости.
Пусть Φ с—:2я-мерное комплексное пространство, в кото- :
ром фиксирован комплексный базис векторов: ;
(e,/) = (ei вл,/1 Л·
Пространство Φ с назовем комплексным фазовым
'пространством. Всякий вектор аеФс может быть однозначно представлен
66

в виде линейной комбинации базисных векторов {е, f} с комп-
лекснозначными коэффициентами
* j
Числа zh будут называться z-координатами, а числа ΐ>$ —
—ζ-координатами вектора а фазового пространства Φ с.
Положим
— вещественные числа.
Вещественное линейное подпространство, порожденное
векторами {е, /}, образует 2/г-мерное вещественное подпространство
пространства Φ с. Обозначим его через Фи. Таким образом, если
я^Фя,то
В этом случае числа xh будут называться я-координатами, а
р, — /7-координатами вектора ae®R. В комплексном фазовом
пространстве Φ с -рассмотрим кососимметрическую комплексно-
значную форму <a, b>, задаваемую в базисе {е, /} следующей
кососимметрической матрицей
. /„=(_£ о> <2·ι;2>
где Ε — единичная матрица размера (ηχη). Более того,
положим
<afft>=a'/A (2.1.3)
где через а, Ъ мы будем также обозначать столбцы,
составленные из координат векторов a, b в базисе {е, /}; операция Х-+Х*
является транспонированием комплекснозначных матриц. Таким
образом, если
а* = (21,...,гл>С1,..мСя),
то
<а, 6> = 2 z% - 2 φ*· (2· 1 ·4)
Очевидно, что выполнено следующее равенство
<а, 6>=_<й,а>. (2.1.5)
67

Определение 2.1.1. Комплексное подпространство ЬаФс
называется лагранжевой плоскостью, если
а) dim c L = n9
б) <а, й>=0 для любой пары векторов a, b^L.
Предложение 2.1.1. Пусть 1еФс—лагранжева
плоскость, {аь ..., ап} — произвольный комплексный базис простран-.
ства L, X — матрица размера (пХ2п), составленная из координат
векторов аь ..., ап в базисе {е, f} фазового пространства Φ с, то
есть Х=(а\, ..., ап). Тогда
ХЧпХ = 0 (2.1.6)
где О — нулевая матрица размера (ηχη).
Доказательство очевидно.
Примером лагранжевой плоскости может служить
подпространство OczOc, порожденное векторами е={е\, ..., еп}. В
самом деле, вектора ей ..., еп образуют базис в пространстве О,
а соответствующая матрица X их координат имеет вид
- ■ *=(Ео):
Тогда
^^Р)(-£Оо)(о)=^(о)=0·
Пусть-С: Фс-КР с обратимое линейное (комплексное)
преобразование фазового пространства Фс- Соответствующая ему
матрица размера (2пХ2п) в.базисе {е, /} также будет обозначаться
через С.
Определение 2.1.3. Преобразование С называется симп-
лектическим или гамильтоновым преобразованием, если оно
сохраняет кососимметрическую форму, т. е. если
<а, 6>=<Са, С6>, (2. 1.7)
или, что то же самое, если
СЧпС=1п. (2.1.8)
Легко видеть, что если £с:Фс —лагранжева плоскость/С —
гамильтоново преобразование, то пространство C(L) тоже
является лагранжевой плоскостью.
Множество всех гамильтоновых преобразований образуе!
группу относительно операции композиции преобразований.
Обозначим эту группу через GL(2n, In)
Предложение 2.1.4. Пусть LczOc — лагранжева
плоскость. Существует такое гамильтоново преобразование
C<=GL(2n, In), что
L = C(Cn).
Доказательство. Введем на комплексном фазовом
пространстве Φ с эрмитову метрику, считая базис {е, f} ортонорми-
68;

рованным базисом. Таким образом, если вектора a, JgOc имеют
координаты (ζ1, ..., ζη, ζ,, ..., ζη), (ζ'1, ..., ζ'η, ζ/, ..., ζη'),
соответственно, то скалярное произведение их определяется по формуле:
(α,6)=2Λ'*+Σν;·
Пусть теперь LczOq — произвольная лагранжева плоскость.
Тогда существует ортонормирванная система векторов
{аъ ..., an}ciL, образующая комплексный базис пространства L
Лемма 2.1.5. Пусть комплекснозначная матрица размера
(пХ2п)
■Hi)
такова, что ее столбцы определяют ортонормированную систему
векторов {hu ..., hn} пространства Φ с . Тогда
А*А + В*В = Е, (2.1.9)
где Л*=Л.
Доказательство. Пусть Л = ||а/||, B = \\bkj\\.
Тогда строка
(α),...,α-, Ц,...,Щ
образует координаты вектора hj.
Тогда
Правая часть указанного равенства является элементом
матрицы А*А +В*В с номером (&, /). Лемма 2.1.5 доказана.
Закончим теперь доказательство предложения 2.1.4. Выберем
в пространстве L ортонормированный базис, пусть координаты
этого базиса образуют матрицу.
X
Положим
Ά -~Β
(2)
Тогда
\-В* А')\-Е 0)\В А
\-А*-В*)\В AJ
1 А* В-В* А В*В+А*А_\
\ — (А*А + В*В) А*В-В*а)
69

Поскольку пространство L является лагранжевой плоскостью,
то согласно предложению 2.1.2
хчпх=о,
или
А*В-В*А=0. (2.1.10)
Откуда получаем, что
А*В-В*А=0. (2.1.11)
Из (2.1.9) получаем, что
&Β + ΑίΑ = Ε. (2.1.12)
Таким образом, используя равенства (2.1.9), (2.1.10), {2.1.11),
(2.1.12) получаем
. с<КС={_°ЕЕоугп.
Мы установили, что матрица С определяет гамильтоново
преобразование фазового пространства Фс .
Равенство L = C(Cn) легко усматривается из определения
матрицы С. Предложение 2.1.4 доказано.
Предложение 2.1.4 можно истолковать следующим, полезным
для нас, образом. Пусть G2n(/n) обозначает множество всех лаг-
ранжевых плоскостей в фазовом пространстве Фс. Тогда
получается естественное отображение
6:OL(2n;in)^02n(In\
которое каждому гамильтонову преобразованию C^GL(2n, In)
сопоставляет лагранжеву плоскость
Ь{С)=С{СЛ). .
Предложение 2.1.4 утверждает, что отображение θ является
эпиморфизмом. Изучим теперь прообразы отдельных точек при
отображении Θ. Обозначим через Η подгруппу группы GL(2n, /п),
состоящую из всех гамильтоновых преобразований C^GL(2n, In),
переводящих подпространство ОсгФс в себя, С(СХ) = СП.
Лемма 2.1.6. Подгруппа Η состоит из матриц вида
С-(А В ) ~
A$QL(n\ (А-Щ^А^Ву.
Прообраз каждой точки отображения θ совпадает с левым
классом смежности группы GL(2n, In) по подгруппе Н, то есть точки
множества G2n(In) находятся во взаимооднозначном соответст-.
вии с точками однородного пространства левых классов
смежности GL(2n, In)/Η.
Доказательство. Если Се#, то матрица С имеет вид
\od)·
70

Используя определение гамильтонова преобразования, получаем
соотношения
D'B^B'D.
Далее, если в(С) = в(С), то С(С")=С'(Сп), т. е.
Сп=С~1С,(Сп\ т. е.
Следовательно, прообраз точки отображения θ образует левый
класс смежности группы GL(2ny In) по подгруппе Я. Лемма 2.1.6
доказана. ^
Отметим, что в доказательстве предложения 2.1.2 на самом
деле содержится более сильное утверждение.. Обозначим через
U(2n, In) подгруппу группы GL(2n, In) состоящую из всех га-
мильтоновых преобразований, которые одновременно являются
унитарными преобразованиями.
Лемма 2.1.7. Пусть матрица
H«i)
определяет гамильтоново преобразование и А*А + В*В=Е^ Ίρζ-
да С — унитарная матрица.
Доказательство. Имеем
С*С = /Л* В*\(А -Щ/А*А + В*В B*J[-A*~B\
\-В< А*)\В А) \А'В-В*А А*А + В*в)'
Используя соотношение (2.L9), (2.1.10), (2.1.11), (2.1.12)
получаем
Таким образом, из леммы 2.1.5 следует, что
θ(ί/(2«,/„))=(?,„(/„).
Предложение 2.1.8. Пространство G2n(In) изоморфно
однородному пространству U(2n, In)IH' левых классов смежности
группы U(2n, In) по подгруппе Н'=Н П ί/(2η, Ιη). Подгруппа Н'
изоморфна группе U(n) и состоит из матриц вида
71

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть уни:
тарная матрица С имеет вид
С=(АВ \.
\0 (Л*)"1 /
Используя условие С*С = | J ,
получаем
А*А=Е, В=0.
Предложение 2.1.8 доказано.
§ 2.2. Положительные лагранжевы плоскости.
Введем ряд обозначений. Пусть / — обозначает некоторое
подмножество натуральных чисел от 1 до п, /— дополнение к
множеству / в отрезке натуральных чисел [1, п]. Через С1
обозначим подпространство фазового пространства Фс,
порожденное векторами {е^ k^I}. Через _d обозначим подпространство,
порожденное векторами {fk, kel]. Легко видеть, что
подпространство С7хСт~с:Фс является лагранжевой плоскостью. Пусть
Р/:Фс — С!ХСТ (2:2.1)
обозначает проекцию фазового пространства Φ с вдоль
подпространства CJXCj.
Лемма 2.2.1. Пусть LaQ) с — произвольная лагранжева
плоскость. Существует такое множество If что
Pj/LiL^aXCj (2.2.2)
является изоморфизмом.
Доказательство. Пусть η обозначает одновременно
множество всех натуральных чцсел от / до п. Рассмотрим
комплексное подпространство M = Pn(L)czCn, и пусть
Тогда найдется такой набор индексов /, что проекция
л:Сп-+С1
вдоль подпространства С7 изоморфно отображает пространство
Μ на С7.
Рассмотрим теперь отображение
PtlLiL-+ClXCr
линейных пространств одинаковой комплексной размерности.
Пусть a^L такой вектор, что
Pj{a) = 0.
72

Тогда, в частности, и первая компонента вектора Ρ ι (а) в
пространстве С^хС-тоже равна нулю. Это значит, что
*Ря(а)=0.
Поскольку Pn(d)^M, n\M—изоморфизм, то Рп(а)=0. Таким
образом, аеСп, значит,
абсСрсФо
Лемма 2.2.2. Пусть aeCz — произвольный вектор. Если
<а, £> = 0
для любого вектора беС1, то а=0.
Доказательствol В самом деле, если
а=(г\\..;**, ζι, ...,'ζη) —
координаты вектора а,
координаты вектора Ьу то
z*=0, Cy^0 при /ζ/,
а
2/*=о при Λ'ς/, ς;=ο,
<α,*>=-2<**'*·
Таким образом,
fee/
для произвольных значений -г'*, k^I. Следовательно, ζ& = 0,
fee/. Лемма 2.2.2. доказана.
Применим теперь лемму 2.2.2 к доказательству леммы 2.2.1.
Пусть 6еСх — произвольный вектор. Покажем, что
<а,Ь>=0.
Пусть c^L — такой вектор, чта'лРп(С) =6. Такой вектор с
существует, поскольку отображение
nPn:L-+Cr
является эпиморфизмом. Тогда вектор с представим в виде
суммы
с = Ь + Ь',Ь'£Сп
Поэтому
0=<a, c>=<a, 6> + <a, *'>^<a, *>,
73
ч

поскольку из того, что а, 6'еСПэ следует, что
Согласно лемме 2.2.2 имеем
а=0.
Мы доказали, что отображение ,
Pj/LiL-^&XC-,
является мономорфизмом. Поскольку dim L=dim (C^xCj), то
,Pi\L является изоморфизмом.
Лемма 2.2.1 доказана.
Пусть LczCDc — лагранжева плоскость, C^GL(2n, In)—га-
мильтоново преобразование, L — C(Cn). Пусть / — такой-набор
индексов, что Р/ : L-^C'xC/ является изоморфизмом. Тогда
преобразование С в разложении Фс = С1ХС1хС/ХС7 задается
матрицей вида
?Аг А2 * *у
^*3 ^4 * * I /О О 0\
β1 β2 * * Ι
\&3 *-*4 * *
причем матрица
/А АЛ
\в3 bJ
обратима.
Определение 2.2.3. Лагранжева плоскость называется
положительной, если матрица
V-1
/ Вх- ΒΛΙΑ,ΑΧ
' \-А3 ~aJ[bsbJ
неотрицательно определена.
Необходимо доказать, что определение 2.2.3 корректно, т. е.
не зависит от выбора.набора индексов /.
Лемма 2.2.4. Пусть комплектованная матрица
С =
/сг ел
> \сш с J
удовлетворяет условиям:
а) 0 = С, ,' г
б) Im С положительно определена,
в) Im C4 положительно определена.
Тогда матрица
НЪЖЛУ
положительно определна,
74

Доказательство. Положим
Тогда
C^=\B^A4-iE)Z,
где
ζ-ι=(Λ4νΑ+β4).
Вычислим матрицу
Имеем
\0 -Е)\С3 С J
IE О Х-1/ Ε Ο \
. (С1—С2С~1С3 С2С~г
D=lm
1С* -С?
1ВХ-А\В^А^В^ Βφ^Α,Ζ-\
\βΓΜ4Ζ53-Ζ^8 Ζ
Приведем симметрическую 'матрицу D с помощью матрицы
(Е 0\
*-аэ-
Тогда
{Β^Α,ΖΒ, Ζ j
Пусть
^=(-Ζ-'βΓΜ4Ζβ,£)·
Тогда
KiiKtDKKl=(Bi-B*ZB*-B*Bi1A*BT1A*ZB3 °).
Нам осталось доказать, что матрица
H=B1-B2ZBa-jBtB7*AiB^AtZBz

положительно определена. Имеем
Ν^Β,-Β^Ϊ + Β^Α,Β^Α^ΖΒ^,
= В,- ВгВ-^ (Я4+Л4£ГМ4) ZBa=Bx - В2В?В3.
Из условия в) леммы следует, что матрица
ImC=
\В8 BJ
положительно определена. Поскольку матрица В4 обратима, то
матрица Im С эквивалентна матрице
ίΒ,-Β^Β, О \
{ о в?)
с помощью матрицы
\-в?в3 в?}
т. е. матрица Я положительно определена. Лемма 2.2.3 доказана.
Используя лемму 2.2.4, мы можем установить корректность
определения 2.2.3. В самом деле, если СеGL(2л, /»),
Hi:)·
то 5* = В и, обратно, если В*=В, то существует матрица С вида
c-(s:>
принадлежащая группе GL(2n, In). Пусть
Ε О О О
7 [ О О Ε 0 ■ '
0-Е О О
гамильтоново преобразование, записанное в разложении Фс =
= CixC?XCjXC?. Если C<=GL(2n, In) дает положительную
лагранжеву плоскость, то найдется согласно определению 2.2.3
такой набор индексов /, что матрица D=PiC имеет вид
MS:>
76-

причем Dx — обратимая матрица, a ImA^i-1 — неотрицательно
определена. Пусть / — другой набор индексов,
J V/. V
#1— обратимая матрица. Тогда
H=PJPT^D=PkD,
где ;
K=(/UJ)\(f(\J)
Отметим теперь, что из леммы 2.2.3 следует
Лемма 2.2.5. Пусть комплекснозначная матрица,
c=lCl СЛ
\с, с J
удовлетворяет условиям:
а) С* = С,
б) ImC неотрицательно определена,
в) матрица С4 обратима.
Тогда матрица
D = lm(C> СЛ(Е °Г
\0-E)\CtCj
неотрицательно определена.
Доказательство. Пусть С— другая комплекснозначная
матрица, для которой выполнены условияа), б), в),
~а-=ы(с'сЛ{в °У.
{о-е)\с; с;)
Тогда для любого ε>0 существует такое 6>0, что если
||С—С'||<6, то-Ц-D—D'\\<e. Если матрица D имеет отрицательные
собственные значения, то найдется такое число ε0>0, что всякая
симметрическая матрица Df, \\D—Ζ>ΊΙ<εο, тоже будет иметь
отрицательные собственные значения. С другой стороны, для
любого δ>0 найдется такая матрица С, что ||С—С'||<б, С'* = С,
ImC положительно определена. Тогда из леммы 2.2.4 следует,
что матрица Dr положительно определена, a ||D—Ζ)'||<θεο.
Противоречие доказывает лемму 2.2.5. Применяя лемму 2.2.4 к
матрице D2DrK получаем, что \mH2Hf-x неотрицательно определена.
Таким образом, мы полностью доказали корректность
определения 2.2.3.
Определение 2.2.6. Множество положительных лагранже-
вых плоскостей будем обозначать через ό^η(Ιη)α 02п (7J.
Над'многообразием G2n(In) (1) имеется каноническое комп-
П

лексное n-мерное расслоение ζη, составленное из/самих лагран-
жевых плоскостей. Опишем расслоение ξη боле^ точно.
Рассмотрим прямое произведение G2n(In) ХФс . В этом прямом
произведении выделим подпространство EczG2n{In))(G>c» состоящее из
всех точек вида:
(L, χ)ζΟ,η(Ιп)ХФс, xiL.
Проекция на первую координату
индуцирует отображение л: Ε—*G2n(/n). Очевидно, что
прообразом каждой точки L^G2n(In) является подпространство, го-
меоморфное n-мерному комплексному пространству L. Мы
покажем, что {£, G η(Ιη), л} является локально тривиальным
расслоением со структурной группой U(n)~ Для этого построим
другое, уже локально-тривиальное расслоение Ег со структурной
группой U(n) над G п(1п), и докажем его изоморфность расслое-
нию {£*, G.n(I'n); л}.
Пусть
E"=U(2n, /JXC,
ρ:Ε"—>U(2nt In)—проекция на первый сомножитель.
Зададим действие группы U(n) в пространстве Е" по формуле:
если A<=U(n), C(=U(2nt In)у хеС«, то:
A(C,x)=(c(£ Oj^.14
Действие группы U(n) коммутирует с проекцией /?. Пусть
Ё'=ЕГ\и{п):
Тогда проекция ρ порождает отображение фактор-пространств
р': E'-?U{2n, In)/U(n)=G2n(In).
Следовательно, {Ε', G2n(In)9 ρ'} является локально-тривиальным
расслоением со структурной группой U(n). Построим такое
отображение
α: £'->£,
что р'=ра, а является изоморфизмом на каждом слое. Пусть
'дге£', у^Е" — некоторый представитель точки
Е\ у=(С9 z\ C£U(2n, /η)ζξ&.
Полагаем
а(у)=(С(С»\ C(z))9
С(С*)£Оъ(1й)С(г№(С*).
78

Таким образоак α(#)&Ε. Ясно, что /?'=/?а. Если У\^Е"—
другой представите^ точки х, то
для йекоторого элемента A^U(n). Тогда
<*(#i)=(Ci(C*), C1(«1))=(C(C«) С(Л-*г1)) = (С(С-)| C(z)) = aQ/).
Таким образом, отображение α определено корректно. Изо-
морфность α на каждом слое проверяется тривиально.
Описанное комплексное /г-мёрное расслоение {Е, G2n(In), л} мы будем
обозначать через ξη. <
Теорема 2.2.7. Пусть η обозначает ограничение расслоения
[Λη(ξη)]* на подпространство G+n(Iп). Тогда существует
аналитическое сечение а: 0+(/л)—*η,β каждой точке, отличное от нуля, .
Доказательство. Напомним, что через Λη(ξη)
обозначается n-я внешняя степень расслоения gn. Поскольку
dLm£„=#, то <итЛя(5я) = с11тл=1.
Таким образом, чтобы построить ненулевое в каждой точке
сечение σ: (?+ (Гп) —νη,достаточно каждой точке χ ζ G+n (In)
сопоставить не нулевой вектор а(х) внешней степени An(L)
расслоения |п. Пусть (аь ..., ап) — базис. векторного пространства L.
Тогда вектор αλ/\.../\αη будет базисным вектором пространства
AnL. Если (а[, ..., α'μ)—другой базис в пространстве
L, ai = ^cia,p , то
i
α,Λ- · -М, = с1е1 (C{) a[/\.. ./\а'п. (2.2.5)
Следовательно, чтобы построить сечение о : G+n (η)—>η,
достаточно каждому базису (аь ..., ап) лагранжевой плоскости L
сопоставить ненулевое комплексное число
таким образом,, чтобы
f(ai...,a'n) detiCfl-^/K. ..., ««)♦ (2·2·6)
где (a'v ... ,α^) — другой базис в пространстве L, связанный
соотношением
*/=2cf*;. <2·2·7)
79

-■ Лемма 2.2.8. Пусть С — комплекснозначнан Матрица, 0 = С,
IrriC— неотрицательно определенная матрица. Если λ —
собственное значение матрицы С, то Ιπιλ^Ο. У
Доказательство. Пусть λ — такое комплексное число, что
1тЯ<0, л: —такой комплексный вектор, чтсу
Сх=1х (2,2.8)
Положим C=A + iBf λ=λι + ίλ2, χ=Χ\-%-ίχ% А, В — вещественные
симметрические матрицы, λι, λ2— вещественные числа, λ2<0,
Χι, %2 — ведтора с вещественными координатами. Из равенства
(2.2.8) получаем
А Х\ — β <%2 = \Х± — ^2-^2»
Ax2-f-Bx1=\1x2-j-k2xl9
или
(Α-λ1)χ1^{Β-λ2)χ2, (2.2.9)
(Α-λ1)χ2=-(Β-λ2)χ1. (2.2.10)
Отметим, что матрица В—λ2 положительно определена.
Следовательно вектора Х\ и Х2 не равны нулю. Умножим левую и
правую часть (2.2.9) скалярно на Х\, ' а правую и левую часть
(2.2.10) —скалярно на #2. Сравнивая левые части, получаем
((В — λ,)χ„ х2)=:—({В — \2)х1У хг)9 t
что противоречит положительной определенности матрицы
В—λ2. Лемма 2.2.8 доказана.
Л е м м а 2.2.9. Пусть CssGL(2nt /«),
. С(С)€0+(2л, /я), · ■
Hi·)
Тогда
det (Α-ίΒ)φΟ.
(2.2.11)
Доказательство. Рассмотрим случай (а), когда Л=£.
Тогда Вг = В, и по лемме 2.2.8 все собственные значения
матрицы β находятся в верхней полуплоскости комплексных чисел.
Следовательно, если λ —собственное число матрицы E—iB, то
ReX^l, т. е. λ¥=0. К рассмотренному случаю (а) сводится
случай (б): det Л ^0. В самом деле, тогда
(βΑ-1Υ = ΒΑ-1.
Пусть теперь С — произвольное гамильтоново преобразование.
Согласно лемме 2.21 найдется такой набор индексов /, что в
«атриде

элемент Я ι обратим. Здесь, как и раньше,
/ Ε 0 0 0 \
/>, = ( °'° ° Е \ (2.2.12)
1 О О Ε О Ι ν '
\ О -Ε О О /
Вычислим более подробно матрицы Я] и Яг. Имеем
Тогда
Поскольку матрица Я ι—iH2 обратима (случай (б)!), то и
det (Л-ιΒ) φ Ο.
Лемма 2.2.9 доказана.
Пусть теперь (ah ..., ап)—произвольный базис
положительной лагранжевой плоскости eG2w+(/n),
Х--
■(ί)-
матрица координат векторов (аь .... ап). Положим
/(а, an) = det(A-iB). (2.2.13)
Если (α'ν ..., α^) —другой базис,
Ά'
его матрица координат,
Х'=\В'1-
αι=Σ°ΐα'ρ (2·2·14)
i
то
Х=Х'С,
81

-где С =||с/1|, или
С, А=,А'С\ В=В'С*, A-/iB={A' — iB')CK-
Следовательно,
/(а1( .... ап)=/(а{, ..., а'я)аъЩ. (2.2.15)
Таким образом, функция /(аь ..., ап) корректно определяет
сечение
а:0+(/я)-Л|
Аналитичность сечения σ следует из того, что:
а) Группа U(2n, In) является аналитическим многообразием,
а операция умножения в группе U(2n, In) является
аналитическим отображением.
б) Линейное действие группы U(n) на пространстве О
является аналитическим действием. ^
в) Расслоение U(n)->~U(2nf In)-*G2n(In) является анали-f
тическим расслоением аналитических многообразий.
г) Базис (аь ..., ап) в лагранжевой плоскости локально мож-^
но выбрать аналитически зависящим от точки L^G2n(In). \j
д) Функция det (А—IB) является аналитической функцией оц
элементов матриц А и В.
Теорема 2.2.7 полностью доказана.
§ 2.3. Лагранжевы s-аналитические многообразия.
Пусть, как и в § 2.1, Φ с обозначает 2п:мерное комплексное
фазовое пространство, в котором фиксирован комплексный базис]
векторов
\£> /} = \еъ · · ·> en> f > · · ·» j }·
Введем на пространстве Фс весовую функцию рф, полагая
ρΦ(α)=2(|^*| + |^|), (2.3.1)1
к
где
*=2*ч+2с//'· (2·3·2)^
ь j
Тогда множество Ω(Φο »Рф) (см. § 1.1) совпадает с подпростран-|
ством Фи (§ 2.1). Таким образом, весовая функция рф и коорди-1
наты (zk, ζ,·) точки аеФс определяют в пространстве Фс струк-'
туру s-аналитического многообразия (см. .определение в § 1.1),ί
удовлетворяющего свойству (1.2.1).
Легко видеть, что всякая аналитическая функция на
пространстве Фс, а также всякая аналитическая форма автоматиче-
82
;н

ски является s-аЦалитической функцией и формой,
соответственно. В частности, ф^рма
ш = 2ЛуЛ^у (2.3.3)
является s-аналитической формой.
Пусть (М, рм) — аналитическое n-мерное многообразие,
/:(Λί, РжМфс Рф),
(2.3.4)
5-аналитическое вложение s-аналитических многообразий.
Определение 2.3.1. Многообразие (М, рм) называется
лагранжевым s-аналитическим многообразием, если форма
f*(co) ' определяет нулевой элемент в sO(M, pM) -модуле
*А1(М,'рм):
Ι/·(ω)]=0€*Α4Λί, QM), (2.3.5)
т. е. согласно определению форма /*(ω) в каждой 5-аналитиче-
ской локальной системе координат имеет все коэффициенты из
кольца *0'(М, рм) Г) SHM> рм) .
Лемма 2.3.2. Пусть (М, рм) — лагранжево многообразие в
фазовом пространстве Фс, Тх — касательное пространство к
многообразию Μ в точке х^М. Если χ^Ω(Μ, ρΜ), то пространство
Тх является комплексным подпространством пространства Φ с
и лагранжевой плоскостью.
Доказательство. Пусть а=(аг, ..., ап)—локальные
5-аналитические координаты в окрестности точки x^Q(M, pM)
многообразия М. Вложение (2.3.4) определяет 2п s-аналитиче-.
ских функций — координат точки многообразия Μ в стандартном
базисе фазового пространства Φ с-
, а"), 1<£<я, (2.3.6)
2*=г* (а1,
ал), 1<£<я.
(2.3.7)
Тогда в пространстве Тх, х^М, в качестве вещественного базиса
векторов можно выбрать 2п векторов rkf rh't \^k^nt со
следующими координатами':
гь =
где ak=ak-\-ibk.
dzi
dak
dzn
dak
dak
d\n
dak
. rk =
dzi I
dbk
dzn
dbk
dbk \
(Kn
dbk
(2.3. 8)
83

Нам нужно доказать, что оператор умножения всех
координат на мнимую единицу оставляет пространство Тх
инвариантным, если χ^Ω(Μ, ρΜ). Воспользуемся условием s-аналитично-·
сти функций (2.3.6) и (2.3.7) и определением множества
Ω (Μ, ρΜ). Имеем % . ;
да* да*
если χ<^Ω(Μ, рм). Условия (2.3.9) означают, что
j£L=-/j£Lf JtL=-i-*L (2.3.10)'
dak dbk да* dbk
при χ<=Ω(Μ, ρΜ).
Таким образом, из (2.3.8) и (2.3.10) следует, что
irk=r'k, (2.3.11)*
т. е. если χ^Ω(Μ, рм), то Гх является комплексным подпростран-^
ством. |
Вычислим теперь в локальных координатах форму /*(ω). Из!
(2.3.3) и (2.3.6), (2.3.7) получаем
/·(«) =
] \ k
%&**+%'*} (2·3·'2"
Если же точка χ принадлежит множеству Ω(Μ, рм), то
™-Σ(Σ-3-<**Σ-%<λ <2·3·'3»
j \ k k J
Условие (2.3.5) означает, что при хеЙ, рм)
(2.3.14).
?(?3-'^5£")-о.
Перепишем равенство (2.3.14) в следующем виде: χ
y/jCLjii._JSLj^\ о (2.3.15)1
Равенство (2.3.15) означает, что Тх является лагранжевой
плоскостью. Лемма 2.3.2 доказана. :
84

Лемма 2.3.3. Пусть (Μ, рм) — лагранжево многообразие в
фазовом пространстве φ с, χ^Ω(Μ, рм). Существует такой
набор индексов I, что функции
[zk(x), *€/}, (2.3.16)
М*),. J О) . (2.3.17)
образуют s-аналитическую локальную систему координат в
окрестности точки х.
Доказательство. Согласно лемме 2.3.2 касательное
пространство Тх в точке χ^Ω(Μ, рм) является лагранжевой
плоскостью. Тогда по лемме 2.3.1 найдется такой: набор
индексов /, что проекция
P^TtiT-t-aXC-j (2.3.18)
является изоморфизмом. Следовательно, по теореме о неявной
функции существует такая окрестность i/cM точки х, что
проекция
Pj\U:U-+ С'ХСт (2.3.19)
является диффеоморфизмом. Тогда, согласно лемме (1.1.5)
функции (2.3.16), (2.3.17) образуют s-аналитическую локальную
систему координат в окрестности U многообразия (М, рм).
Лемма 2.3.3 доказана.
Предложение 2.3.4. Пусть (М, рм)—лагранжево s-ана-
литическое многообразие вг фазовом пространстве Фс·
}:М-+-Фс s-аналитическое вложение.
Существует такая окрестность VzdQ(M, рм) и такое
отображение
£:х(М)^Фс> (2.3.20)
что
а) F|Ai=/, - (2.3.21)
б) отображение F линейно на каждом, слое, а образ
каждого слоя является лагранжевой плоскостью,
в) если χ^Ω(Μ, рм), то
F\*x=df/K\ (2.3.22)
где хх — слой расслоения х(М) в точке χ, φ 2—изоморфизм
(1.4.21), a dfx: Тх—ИР с — вложение.
Доказательство. Пусть {Uj}— атлас s-аналитических
карт на многообразии (М, рм) с локальными s-аналитическими
координатами [а\, ..., с^}. Тогда, согласно определению 1.1.9
координаты точки х^М в фазовом пространстве Φ с являются
^-аналитическими функциями от локальных координат {aj , ..., ay}
на многообразии Uj с весовой функцией ри
**=s*(a}, ..., а»), 1<£<л, (2.3.23)
С*=С*(а), ..'., а»), 1<*<л. (2.3.24)
85

Рассмотрим матричную функцию
х
МУЗЫ
1 »
да) г
дгп
да]'
Κι
да] '
*Сл
да)
да)
dzn
да)
dCi
да J
*сл
да^
(2.3.251
Если точка ^ей (Λί, ρΜ), то матрица (2.3.25) удовлетворяет со-|
отношению (2.3.15), то есть определяет лагранжеву плоскость в|
фазовом пространстве Φ с. Если x^Ujk=Uj r\Uk,m в сшга
s-аналитичности функций (2.3.23) и (2.3.24) получим соотноше!
ние _
Xf (χ) - Xk (χ) Akj (χ) ζ'/ (Ujk1 QUjk), (2.3.26|
превращающееся в равенство
Xj(x) = Xk(x)Akj(x) (2.3.27|
в случае, если χ^Ω(Μ, ρΜ) 0 Ujk. Из леммы 1.4.4 следует, что!
|| Xj (χ) - Xk (x) Bkj (χ) || < Cq* (χ). (2.3.2β|
Условие (2.3.5) может быть в локальной s-аналитической систе4
ме координат записано в виде:
X)(х) I„Xj(χ)€4{U}, Qc/.), (2.3.29)
где In — матрица (2.L2), определенная в § 2.1.
Лемма 2.3.5. Существуют такие s-аналитические функции^
yj(x),xtUj, (2.3.301
кто
а) Xf (χ) - Υ} (χ) ζ 4 (Uj, QUj),~ χ 6 Up (2.3.31|
б) Υ* (χ) ΙηΥ} (x)=0, χ <E Uj, (2. 3.32
в) Yl{x)-Yk{x)Bbj(x)^Q, x$UJk
Доказательство. Согласно лемме 2.2.1 для каждой точ-1
ки x^Uj найдется такой набор индексов /, что матрица
дг1
(2.3.33JJ
(2.3.34)|
86

невырождена. Без ограничения общности считаем, что 1=п, т. е.
матрица
да) ' ' да)
Xj(x)=\ ; I I (2.3.35)
да)
dzn
да)
.'-(
, . . .,
Х'}{х)
Х".(х)
до.)
дгп
да)
}
невырождена. Пусть
-адн "j.vi I· (2·3·36)
Тогда матрица
Ζ} (χ) = Χ) (χ) (Χ) (χ))-1 .(2.3.37)
удовлетворяет условию.
[Zf(x)Y - Ζj (χ) € */ (Uρ QUj). (2.3.38)
Положим
Z)(x)=±(Zj(x) + (ZJix)h .
Тогда
Z)(x)~ZJ(x)^/(Uj, QOj). (2.3.39)
Положим, далее,
W = ~ ' )■ (2·3·40)
{Zj(x)Xj(x))
Ясно, что для матрицы (2.3.40) выполняются соотношения
(2.3.31) и (2.3.32), а если для некоторой точки xet/j выполнено
равенство
Х'(х)1пХ;(х)=0, (2.3.41)
то для этой же точки χ справедливо равенство
X)(x) = Vj(x). (2.3.42)
Пусть, далее, матричная функция Yj(x) удовлетворяет
условиям (2.3.31) и (2.3.32), а матричная функция К° (х) определена
на некотором замкнутом множестве FaUj, и для нее выполнены
условия (2.3.31) и (2.3.32) для точек x<=F. Тогда существует
продолжение функции Yj(x) на все множество Uj, причем
выполнены условия (2,3.31) и (2.3.32).
87

В самом деле, пусть
Тогда матрицы V"j{x)(Y'j(x))-1 иУу(х)(У°}'(х))-1 симметричны:
(к;(Л)(г;.(а;))-1)'=(к;и(К;и)-1), (2.з.45§
(Уу(х)(У°;(х))-у=С Т(*)(у* W)-1)* (2.3.46)
а их разность принадлежит идеалу SI(F, pM\F). Поскольку. мат-;
рицы Y'j (х) и Y0'(х) обратимы, а
К; И-К* (*)€·/(Л qm\F), (2.B.47J.
то матрица (γ*}\χ)) может быть продолжена согласно лемме 1.2.7
до обратимой матричной функции на некоторую окрестность мно«$
жества Ω(Λί, ρΜ) Π Uj, причем свойство (2.3.47) остается спра-:
ведливым. Аналогично продолжим матричную функцию Υ) χ^
Χ(Υ°/)~х на окрестность множества Ω(Μ, рм) Π Uj, так чтобьг^
выполнялись условия (2.3.46) и условие f
γ){χ){νΜ))-ι-γ";{χ){γ";{χ))-χνΐ{υι, Щ). (2.3.48)?
Этим завершается продолжение, функции Υ°,(χ) на окрест*,
ность множества Ω(Λί, рм) Π Uj.
Закончим теперь доказательство леммы 2.3.5. Упорядочим
все множества Uj. Если функции Yk(x) уже построены для
А</о с выполнением условий (2.3.31), (2.3.32), для kt /</Ό,".
то согласно (2.3.33) функция Yj (x) будет ознозначно
определена на множестве U £/*/„ с ^Оо· Тогда функция Yj0(x) мо*
ft</0 ч;
жет быть продолжена на некоторую окрестность множестваь
&Щ, q^) П Uh с выполнением условий (2,3.31), (2.3.32), (2.3.33) у
для к, /^/о. Ле^ма 2.3.5 доказана по индукции. \
чВернемся к доказательству предложения 2.3.4. Положим
F® = r,(x)l + f(x) . (2.3.49)|
в локальной системе координат карты Uj. Условие (2.3.33) пока- '-;
зывает корректность определения (2.3.49) и справедливость уело- *.
вия (2.3.21). Условие (б) следует из (2.3.32). Условие (в)
следует из (2.3.31). Предложение 2.3.4 доказано.
Предложение 2.3.6. Отображение F (2.3.20) индуцирует
отображение F* многообразия (М, рм) в комплексный лагран*
жев грассманиан G2n(I), являющееся s-аналитическим отобра- .
88

оюением s-аналитического многообразия (Μ, рм) в аналитическое
многообразие А(п).
Для доказательства достаточно усмотреть, что все
матричные функции в доказательстве предложения 2.3.4 являются
5-аналитическими функциями. .
§ 2.4. Правильные лагранжевы s-аналитические многообразия.
Определение 2.4.К Лагранжево s-аналитическое
многообразие (Λί, ρΜ) в фазовом пространстве Φ с называется правиль-.
ным, если выполнены следующие условия:
а) Существует такая s-аналитическая функция S&0'(M, pM),
что
<*5~/*(ω)=0€*Δΐ(ΛΤ, Qj||)f (2.4. 1.)
где
б) Пусть
Тогда -
1иаб((/,/),
» —1
/ — 1
5, = 5-ζ727.
с1бл1 (°) > Im 5/ (а) > Cq^
такая точка, что
Im2/(a)=0,
ImC7(a)=0.
(«),
• (2.4.2)
(2.4.3)
(2.4. 4)
(2.4.5)
(2.4.6)
Предложение 2.4:2. Если (Λί, рм)—правильное
лагранжево s-аналитическое многообразие фазового пространства Фс,
χ^Ω(Μ, рм), то касательное пространство Тх к многообразию Μ
является положительной лагранжевой плоскостью.
Д оказ ател ьствр. Согласно лемме 2.4.1 найдется такой
набор индексов /, что матрица
'НУ:. ""
в разложении фазового пространства^c = CJXС1 XCjX C\
имеет вид
А1 А2
*Ч rs й4 )< (2·4·8)
^3
Βι
в,
А,
в,
в.

ΜιΛΛ
причем матрица ( * η /обратима. Требуется доказать, что мат.
рица
[ -А, -Л Д BzBj
неотрицательно определена. Функции zk(a), k^I, £j(a), /e/об·
разуют локальную систему координат в окрестности точки
x^Q(M, рдг), то есть существуют такие s-аналитические функщц)
a*=g*{z',b), (2.4.10]
«*=**tei(2/, ζ7), ..., g"(z','Cj)), *€ Λ (2.4. Ill
' C,=W(*', ζ7), '.'.., **(z',.C7)), /€/· (2.4. 12|
Рассмотрим функцию Sj как функцию от координат (ζ*9 ζι)|
Sr(g(z<,i7))=P(zr,4), (2.4.13J
Если zk=xk+iy\ £ft = /?fc+iTift, то условие, (2.6.4) означает, jf'
что
частности, что
?2(*', />7)>0.
(2.4.151
Тогда из (2.4.4) и (2.4.15) следует, что матрица вторых чаем
ных производных
d^Fo
dtFo
Н = \
дх*дхг dxldpj
(2.4. 16>?
dpjdx1 др]др]
неотрицательно определена. Согласно (2.4.3) матрица Η может|
быть переписана в следующем виде:
Я=1ш
dz1
дг
dzt
дг1
\
дЧ J
Правая часть (2.4.17) совпадает с (2.4.9).
С л е д с τ в и е 2.4.3. Отображение
V дч
дает с
ражен
Г*ЦМ, QM)^02n(/n)
(2.4.17)1
90

и3 предложения 2.6.6 переводит окрестность V^>Q(Mf рм)
многообразия (Му рм) в окрестность множества G2n+(In)cz<j2n(In)
положительных лагранжевых плоскостей.
Определение 2.4.4. Пусть σ : G2n+{In)-+r\= (Λη(ξη))* —
сечение, построенное согласно теореме 2.2.7. Поскольку σ —
аналитическое сечение, то оно однозначно продолжается до
некоторой окрестности множества 02п+(1п).
Обозначим через Ом ^-аналитическую форму на многообразии
(М, рм), индуцированную прообразом сечения σ:
<*=^W€*A«(Mf СЛ). (2.4.18)
Пусть (М, рм) — ^-аналитическое лагранжево многообразие,
лежащее в комплексном фазовом пространстве Φ ο μ —
некоторая невырожденная s-аналитическая мера на многообразии Λί,.
то есть такая я-мерная форма, что в каждой локальной s-анали-
тической системе координат (а1, ..., ап) форма μ представляется
в виде
μ = /(αι, .... a*)da1/\.../\da"i'A"{M, qm),
причем /(a1, ..., αη)=τ^=0. Функция /(α1, ..., αη) будет называться
производной меры μ относительно меры da1/\*ь. /\dan9 и
обозначаться следующим,образом:
'<*·■■-">-щгЬт (2·4·19)
Сформулируем некоторое условие ν на меру μ. Пусть
{(U, I)} -г- атлас канонических карт на правильном s-аналитиче-
ском лагранжевом многообразии (М, рм) с локальной системой
координат (ζ1, ζι). Рассмотрим функцию
Αυ,η^-ψ^- (2-4.20)
Условие 2.4.5. Можно* так выбрать аргумент функции
Пи, η
arg, J(u,i) (2.4.21)
что в пересечении карт (U, I) Л (V, /) Π Ω справедливо
соотношение
arg J(v,j)-arg J(u,T) = У ar^\ +1 /21 л, (2.4.22)
где
_J5_<aigX»<-|-, (2.4.23)
91

a %k определяется следующим образом. Пусть I\ = I[\J, h*&
= /\/, /3=/\/, h=J{\J\ тогда {λ^} — собственные значеннз|
матрицы
«(At,,) ^
Для того, чтобы установить корректность условия 2.4.5,
достаточно доказать, что собственные значения матрицы (2.4.24)
находятся в нижней комплексной полуплоскости. В самом деле*
если LdCDc —положительная лагранжева плоскость, у которой
в качестве координат служат как координаты (ζ1, ζ7), так и к<к
ординаты (г·7, ζ7). Условие положительности лаграджевой пло^
скости означает, что матрица
_ im -J±h—LL (2. 4.2%
неположительно определена, или матрица
_Im_lki—12. (2.4.261
неположительно определена. Поскольку матрица (2.4.24) явля|;
ется главным минором матрицы (2.4.25), то ее мнимая часть не-1
положительно определена.
Пусть выбраны аргументы функций /(t/, j). Определим коцепь;
С(£/, V) равенством
C(i/$V) = argy(7ij)-argy(C/i/)-2xak7|/f|rt, (2.4.27):
k
где {Xk} —такие же числа, как и (2.6.22).
Лемма 2.4.6. а) С(£/, V)=0 (mod2n.)
б) Коцепь C(t/, V) является коциклом.
в) Условие (2.4.5) справедливо тогда и только тогда, когда-
коцикл С(£/, V) когомологичен нулю. - ί-
Доказательство, а) Очевидно справедливо равенство V
J М)=Аи;) det *<С/;' *\ . . (2. 4. 28)!
Поэтому (2.4.22) справедливо по модулю 2π.
б) Достаточно доказать коцикличность коцепи
d{U%V)=^rg\ + \U\^ · (2.4.29)1
где {λκ} —собственные значения матрицы (2.4.24). Без
ограничения общности, можно считать, что одна из карт есть карта
вида (U,n). .
92

Таким образом, нам нужно показать, что
'<3(i/, V)+d(V,W)+d(W,U)=Q,
или, что то же,
-■- —-I /2|Jt + argdet—^ '-
+ argdet^7C/8,TvC/4) + l/3 + /4lJt=0> · (2·4·30)
где под символом arg det соответствующей матрицы мы
понимаем сумму аргументов ее собственных значений, каждый из
которых берется в пределах/ jt,— · Заметим, что последнее
определение корректно, поскольку все матрицы, входящие в
выражение (2.4.30) неположительно определены, как матрицы главных
миноров матрицы (2.6.17), взятой со знаком минус.
Выберем в лагранжевой плоскости такой базис, чтобы
матрица 2А.8 имела виД:
<Е О О О
О Ε О О
О О Ε О
Х=\0 О О Ε \ (2.4.31)
Βμ #ΐ2 Β13 Βμ
[В41 В& В^ Ви
в разложении фазового пространства
ФС=С'.ХС.ХС'.ХС^ХС/4ХС/.ХС/.ХСЛ. (2.4.32)
Для матриц Bkj выполнены условия.
• &ц = Вр, . (2-4.33)
Тогда
ζ/,=2***ί*· С2·4·34)
Заменяя лагранжеву плоскость на близкую, можно считать,
что все матрицы Bkk обратимы. Тогда, полагая f
Qk.=BUa-BnBrfB^ (2.4.35)
получаем
(2.4. 36)
93

Последняя матрица эквивалентна матрице
— Q-1 О
22 ■ (2.4.371
О Q._
Эквивалентность осуществляется с помощью матрицы
[ Е °\
С другой стороны,
д(-Ь„-Ь,)_(В* ^\
Матрица (2.4.38) эквивалентна матрице
Наконец,
д(-С/.,-С/4) /Д2а Я24
(2.4.38)1
о fl.> <2-4ЭД
<V
а матрица (2.4.40) эквивалентна матрице
/Qa2 о.\
\о вй)'
Таким образом, надо показать, что
(2.4.41)1
а1Н~?\Ушя+шям(~?-^)+
ж
+ argdei(^2 ^)+|/,+Л|я=0. (2.4.42)?
Действительно, нетрудно увидеть, что
. 1) argdet Q22+argdet (Q-i) = -1 /21 π,
2) argdet Q33 + argdet (Q51) = -1 /, | я,
3) argdetQ44+argdet(Q-1)- -|/4|π.
Сравнивая матрицы (2.4.38), (2.4.39) и (2.4.41), получаем
утверждение (б) леммы 2.4.6. Утверждение (в) леммы 2.4.6 три-:
виально.
Теорема 2.4.7. Пусть (Λί, рм) —s-аналитическое
правильное лагранжево многообразие в фазовом пространстве Фс,
94

μ — s-аналитическая мера на многообразии (Μ, рм)- Тогда ус-
ловие 2.4.5- справедливо тогда и только тогда, когда -т^- опре-
. °°м
деляет когомологичный нулю одномерный коцикл на
многообразии (М, рм).
Доказательство. Достаточно установить, что если μ — Ом
то выполнено условие 2.4.5. Пусть μ = σ.Μ. Нужно выбрать так
arg J<jj]i), чтобы выполнялись условия (2.4.22). Достаточно
удовлетворить соотношениям (2.4.22), когда J=n. В этом случае
выберем базис в лагранжевой плоскости так, чтобы ее матрица
координат имела вид:
xJgfY (2:4.43)
■ \В. В./
Тогда матрицы
\т(В* ВЛ,1шВ, -
\В9 BJ
неотрицательно определены. Используя (2.4.43), получаем
Е ° \ =
-В?В3В?)~
= det(E-i^ %))ά*ΒΤι> (2.4.44)
(мы используем:
{-ВГ'В, В. )=\В, В.) )
'^.-«(*-'(£2)> ί2·4·45)
а матрица (2.4.24) имеет вид:
- '&-*) =*i£L=BTK (2.4.46)
Выберем аргументы у собственных значений матрицы
(Mii))-
в правой полуплоскости, а у собственных значений матрицы
£4-ι — в нижней полуплоскости. Тогда при таком выборе аргу-
95
/,«,-<*(*-'(«; *))«*.

мента мы получаем однозначно определяемый аргумент у чц*
сел (2.4.44), (2.4.45) и справедливо (2.4.22).
Следствие 2.4.8. Условие 2.4.5 выполнено тогда и только
тогда, когда форма '
Td in
(2.4.47);
когомологична нулю.
Доказательства. Пусть
_д(*+/С)
/ =
ΰμ
(2.4.48>
Поскольку f(x)¥=Q, то по теореме 2.4.7 условие 2.4.5
эквивалентно тому, что отображение
/:М—С*.= {С\0}
гомотопно отображению в точку. Следовательно, условие 2.4.5
эквивалентно тому, что функция i
g = arg
/I
(2.4.49>
распадается на однозначные ветви, т. е. форма (2.4.47)
когомологична нулю. *
Как видно из теоремы 2.4.7, условие квантования правильно-:
го лагранжевого многообразия существенным образом зависит-
ат выбора меры μ на многообразии Λί. Например, если μ = οΜ,
то условия квантования выполнены по тривиальным причинам..
Частным случаем правильных s-рналитических лагранжевых.
многообразий являются вещественные лагранжевые
многообразия, лежащие в вещественном фазовом пространстве Фц2п. Стро-".
го говоря, вещественное лагранжево многообразие MR может
быть включено в правильное s-аналитическое лагранжево
многообразие Μ с в качестве множества Ω. Именно, в качестве Μ с
можно взять пространство касательного расслоения, вложенное
в фазовое пространство Фс> как «комплексификация» многооб- ·
разия Ale , то есть касательному вектору ξ с началом в точке
x^MR сопоставляется точка * + /ξ фазового пространства Φ с·;
В случае вещественных лагранжевых многообразий обычно
выбирается невырожденная вещественная мера. Эта мера
продолжается до s-аналитической меры Or на многообразии Мс, с
нужной степенью однозначности. Тогда условия квантования
определяются уравнением
дам
-О
96

(~—означает гомотопию). Нетрудно усмотреть, что класс ко-
гомологии, определяемый совпадает с характеристическим
д<*м
классом Арнольда — Маслова [1], [14] на вещественном лагранже-
вом многообразии Μ ц
В заключение, мы ослабим одно условие правильности лаг-
ранжевого многообразия (М, рм). Мы требовали выполнения
неравенств (2.4.4) в каждой карте (U, /). Оказывается, можно
потребовать выполнения всего лишь второго неравенства
Im5/(a)>CQ2f(a),
1тг/(а)=1тС7(о)=0
в некотором атласе карт, покрывающих многообразие (М, рм),
и полностью получить условие (2.4.4), правда, быть может,
после ^некоторого увеличения весовой функции рм, что не
сказывается на всех других свойствах s-аналитического многообразия
(М, рм).
Рассмотрим^ прежде всего, несколько вспомогательных
утверждений. Пусть Φ (я, р) —комплекснозначная функция
вещественных аргументов
Im Φ (χ, ρ) > 0. (2.4. 50)
Обозначим через Ω множество тех значений координаты х, что
найдется такая координата pf что
1тФ(х, р)=0. ф (2.4.51)
Тогда, в частности, и
Im^-(JCf р)=0. (2.4.52)
Допустим, что выполнены условия:
а) Система уравнений
-~(х,р)-^0 ' (2.4.53)
др
для любой точки xgQ имеет единственное решение р = р(х).
б)
det
Положим
(х, Ρ («*))
φ 0, χ ζ а, (2.4.54)
ζ=/> + /η. (2.4.55)
97

Функция ЛФ является s-аналитической функцией переменной ζ
с весовой функцией р = | Ιπιζ|.
Л е м м а 2.4.9. Существует единственная функция ζ = ζ(χ) в
окрестности множества Ω, такая, что
— *Ф(х, C(jc)) = 0. (2.4.56)
Доказательство мгновенно следует из теоремы о
неявных функциях.
Лемма 2.4.10. Существуют такие функции Уц(х, р) и
W(x, ρ), что
и
Х(р,-1,(х))Уи(х, p) + W(x, p\ (2.4.57)
причем
| D*pD*W (х, ρ) Ι < С«р 1 Im ζ(χ)1*Η«Ηβ|-ι. (2. 4. 58)
Доказательство. Представим функцию *Ф(х, ζ) как
интеграл от производной:
ι
*Ф(х, у=*ф{хЛ{х))+^^ф{х> /ζ+(ΐ_/)ζ(Λ))Λ=
О
=»ф(*. ζ(χ)\+2&-ζ*<*))Χ
ι
Xj-^-ί^ & + (l-t)t(*))M+WW)> (2.4.59)
где
ϊ
W(x, Q=^<b-lk(x)~)$Y-(x, K + (1-t)t(x))dx. (2.4.60)
1
Тогда \W{x, C)|<C J(*| ImC + (1-011тС(*)р»Л<.
о
<C(|ImC|5+|ImC(^). ' (2.4.61)
Полагая ζ=ρ, мы получаем (2.4.58) при α=β = 0.
Аналогично доказывается и неравенство вида (2.4.58).
Применим (2.4.59) к каждому слагаемому того же разложения
и используем (2.4.56).· Мы получим (2.4.57) с оценкой (2.4.58).
98

Лемма 2.4.11. Справедливо неравенство
η
Im *Ф (χ, ζ (χ)) >С ^ (Im ik(x)7 C>0. ^ , (2· 4. 62)
Доказательство. Допустим, сначала, что существуют
такие функции
Qtj(x>P)> i>j> ReQu (х> ρ)φΟ.
что для функций
**(*. P)=^(Pi-^(x))Qik(^ Ρ) (2.4.63)
выполнено соотношение.
*(■*,/>)=**(*. C(x)) + /i2^(^/?)) + ^(^ P)· (2.4.64)
В этом случае найдем вещественнозначные функции
р=р{х), (2·4·65)
удовлетворяющие системе уравнений
Retk{x,p(x))=0. . (2.4.66)
В самом деле, если хей, то в качестве (2.4.65) следует взять
решение (2.4.63), ибо ρ(χ) = ζ(χ), то есть из (2.4.64) следует, что
6*(*, PW)=0. (2,4.67)
Далее, в точках (х, р(х)) матрица Якоби системы (2.4.66)
отлична от нуля, значит решение (2.4.66) существует и
единственно в окрестности Ω. Подставляя значение р = р(х) в (2.4.64),
получаем
Ф(х,~р(х))=*Ф(х, ^(x))+i^{ilm^(x,"p{xW+W(x, ρ (χ)),
(2.4.68.)
то есть
Ιαι*Φ(χ, C(jc))=Im-*(jc, р(х)) +
+ 2 (Im ξ, {χ, "ρ {x))f - W (χ, ρ (χ)). (2.4.69)
Поскольку det \\ Re Qkl || φ 0, то
Im ξ (χ, ρ (χ))= - Im (ζ {χ) Re Q (λ:, /г (χ)) -
- Im ζ (χ) lmQ(x,p (χ)) (Re Q (χ, "ρ (χ)))-^
Xlm(Q(jc, j>(x))==-lmi(x)lReQ + lmQ(ReQ)-1lmQ](x, ρ (χ)).
99

Поскольку матрица Q — треугольная, то
det(ReQ + ImQ(ReQ)-4mQ)^-0.
Следовательно, существует такая константа, С>0, что
2 1ш ξ, (χ, ρ И)|2 > С ^ | ЬпВД (х)|2. (2.4.70)
Подставим в (2.4.69) условия (2.4.50),. (2.4.58) и (2.4.70), при
s^3 получаем утверждение леммы 2.4.11.
Таким образом, осталось только найти функции Qij(x, p).
Заметим, что значение функций Qik(x, p) достаточно определить
только в окрестности множества точек вида
χζ2, ρ=ρ(χ).
Тогда матрица \Уц(х, р)\ из леммы 2.4.10 в указанных точках
невырождена, поэтому, применяя стандартную процедуру
приведения квадратичной формы к главным осям, строим
матрицу Q. Заметим теперь, что матрица Q — невырожденная
треугольная матрица. Далее, из (2.4.64) при χ^Ω имеем:
lrn^^(x9 p)=2Re^^(x9p)-f^(x, p). (2.4.71)
dPl°Pm ' ^d dpi OPm
Пусть вектор λ=(λ&) с вещественными координатами таков,
что
|λ»^ί(χ, /,)=(>. (2.4.72)
Поскольку матрица UQmII невырождена, то
Σκ40γ{χ'р)ф0' (2-4'73)
Тогда из (2.4.71) и (2.4.72) и (2.4.73) получаем, что
Σ *цшф = _2 γλ>uaig-xflJgig.<o>'
* ' дРкдР1 Jj * дРк l dpi ^
kflftn
что противоречит условию (2.4.50). Следовательно, матрица
IdRegH
dPk
невырождена, что эквивалентно условию
det||ReQ„||^0,
или
ReQ„(xf Ρ) Φ Р.
100

На самом деле мы доказали более сильное неравенство, а
именно, из (2.4.69) следует
1т*Ф(*, Цх))>1тФ(х9 >(*))+С j? (1т ζ*(х))2, (2.4.74)
где р(х) решение уравнения (2.4.66), вычисленное с помощью
равенства (2.4.63).
p(j:)=ReC(^)-ReQ-4mQImC(Jc). (2.4.75)
Поэтому справедливо следующее утверждение:
Лемма 2.4.12. Пусть ρ(ζ) —весовая функция в пространстве
Сп от координат ζ причем ρ2 (ζ) ^С00(Сп),
е(0»С|Ч|, С=/>+*|.
##сгб Ф.(дг, р) удовлетворяет всем условиям (2.4.50) — (2.4.54)
и еще условию
1тФ(А р)>Сф{р). (2.4.76)
Тогда
1т*Ф(д:, 1{х))>С^^{х)). (2.4.77)
Доказательство. Поскольку# ρ2(ζ) — гладкая функция,
то gradp2(ζ) ограничен. Тогда
Q^CiXQQ^y+QK^^r. (2.4.78)
Действительно,
(?(Ci)=e,(Ct)-l1-^^-(C1-W+0(C1-^<
<Р2(«+с[-^-Г +β|ζ1-ζ,|·<0(ρ·(Ο + |ζ1-ζ,|·).
Используя (2.4.74) и (2.4.75), получаем, что
1т*Ф(*, Цх))> C'Q*(Re ζ (л))+C"(Im ζ (χ))2 >С"У(^М).
(2.4.79)
Замечание 2.4.13. В неравенстве. (2.4.77) можно считать,
что, вместо sQ)(x, ζ), рассматривается произвольная s-аналитиче-
екая функция из класса смежности mods/(p).
Следствие 2.4.14. Пусть (Mf pM) — s-аналитическое лаг-
ранжево многообразие, функции, S{ .определены равенствами
(2.4.3). Тогда, если в карте (U, I) выполнено условие
Im S, (*', р7) > С<у>м {*, р7) (2.4.80)
101

для точек ΙΐΉ2:Ι(α)=Ιπιζ7(α)=0, то в пересечении (U, I)[)(V, J)
выполнено условие
lm Sj(x>, /^)>C1Im5/(Re«'(·»', Pj), Re^x7, />j))+
+ C2q%(x', Pj). (2.4.81)
Следствие 2.4.14 показывает, что в случае выполнения уело-,
вия (2.4.80) в_некотором атласе карт, можно ввести новую
весовую функцию рм на многообразии М, так, чтобы рм(а) ^Срм(а},
и выполнялись все условия'определения 2.4.1; В самом деле,
положим
' QcW*'. C7) = Im S(Utr){*9 Pj) + Q2M{^, C?). (2:4.82).
Тогда из (2.4.81) следует, что
. ci(V,/)(a)>CQ^,/)(a), α€(ίΛ /) П (V, I),
С помощью разбиения единицы щи,1), 0^<p(u,j)^l, строим ]
функцию :
?(а)= 2^,0(0)^,/) (о). (2.4.83)1
Ясно, что
?(а)>Се^(а), Q2(^,>7)>Im57(^ /?7) (2.4.84) (2.4.85)3
в карте (U, I).
Мы утверждаем также, что требование
1*Рф<С?м, (2.4.86);
входящее в определение вложения можно опустить. Именно, име-ξ
ет место следующая '
Лемма 2.4.15. Если выполнены условия (2.4.1), (2.4.80), то
существует такая весовая функция рм» и положительные
постоянные Си Сг, С3, С4, что в каждой канонической карте (ί/, /) при,
-г1 (a) — я1, ζ/-ία) =pj имеют место неравенства "
1) ^1/*ρΦ<ρΛί;ι (2.4.87р
2) СЙЛ|<рж; ^ (2.4.88)?
3) . С3З1 < Im 5(C/f/) (*'/?7) < Сл5с. (2.4.89>|
Доказательство. Определим функцию
(Κ\ι)(*', ς7) = Ιιη5(,Λ/)(^, /7Τ) + |ί/|3 + № (2.4.90)·'
и покажем, что эта функция удовлетворяет условиям (2.4.87),
(2.4.88), (2.4.89). Неравенство (2.4.87) очевидно. Докажем
102 . .

(2.4.88). Представляя функцию (2.4.89) по формуле Тейлора в
точке (χ1, ρι), мы получим
+ 0{(\y'\ + \r\r\2}. (2.4.91)
Поскольку функция pVi,)^0, to существует такая
постоянная С>0, что
поэтому члены вида——г~ У оцениваются следующим образом
д^л у1
дх1
Теперь с учетом (2.4.80) равенство (2.4.91) может быть
переписано в виде
e(W*'> ^T)<[\mS{UiI){x^ ^Γ) + 0(Η + |ηΓ|)2<
. <С$ил(г*ЛгУ (2.4.94)
Неравенство (2.4.88) доказано. Докажем (2.4.89). Правая
часть (2.4.89) следует из (2.4.4) и (2.4.88). Далее
Й/,/)(*', ^ = 1т5(^/)(^)+|/Р + |П/Р<
<ImS^j/)(^/;7)+(vS(^/)(^/77))2<CImV,0(^, /?7). (2.4.95)
Левая часть неравенства (2.4.89) доказана. Теперь глобальная
функция ρ : Λί-^R строится с помощью разбиения единицы, так,
как это было сделано в (2.4.83)

ЧАСТЬ II
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИИ
С КОМПЛЕКСНЫМ ГАМИЛЬТОНИАНОМ

ГЛАВА I
АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ
БЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИХ ФУНКЦИЙ
§1.1. Формула асимптотического разложения интеграла быст-
рсосциллирующей функции с комплекснозначной фазой.
Мы докажем следующий результат:
Теорема 1.1.1. Пусть φ(χ, ρ), Ф(х, ρ)—комплекс
позначные функции переменных (х, р), #^Rm, peRn, удовлетворяющие
следующим условиям:
i) функция φ (а:, р) имеет компактный по переменной ρ
носитель supp φ,
И) функция Φ (α:, ρ) имеет неотрицательную мнимую часть
1тФ(л:,/?)>0 для /? ζ supp φ (х, /?). ·. (1.1.1) ι
Через Ω мы обозначим подмножество точек пространства Rm, ;
которое определяется следующим образом:
точка хей, если существует такая точка p^Rn, что :
а) 1тФ(*, р)=0, (Г. 1.2И
б) gradp Φ (*,/>) = (>. (1.1.3)
При этом точка р,
Р=р{х\ (1-1.4)
удовлетворяющая условию (1.1.2), (1.1.3), называется
вещественной стационарной точкой, с
iii) решение уравнения (1Л.З) единственно на носителе функ-'
цииц>(х, р),
iv) гессиан функции Ф(х> р) в точке (1.1.4) невырожден,
det Hessp Ф(*," р(х))¥=0. (1.1.5)
Тогда имеет место следующее сравнение
=eft У^/г^ЛФ.тКшоаА2 ). (1.1.6}'
106

Здесь:
a) sQ)(xf ζ) — s-аналитическое продолжение функции Ф(х, /?),
если ζ=ρ + ΐ4\, то
$ΦΜ=Σ^Ί^{^' (LL7)
1*1=0 р
Р = {Рь-*Рп\ ^ = (41,...,^), * = (*!,..,*«),
dk dnx+...+kn
, k\=kji...kn\, |*i=*!+...+*«;
6) ζ=ζ(Χ) —решение системы уравнений
.**c(**CO*)) = 0 (1.1.8)
β некоторой окрестности множества Ω *;
<ф -> д('ф(*.С» _ д(*Ф(*.0)
^( д(*Ф(лг,С)) 0(*Ф(*,С))) .
1 аь "'" *, г
в) ЩФ, φ] — функции класса С<2> (/?*) переменной х,
зависящие от функций sG)(x, ζ(χ)); sy(x, ζ(χ)) и производных этих
функций;
г) сравнение
f{x,h) = 0(modhN) (1. 1.9)
означает, что для любого мультииндекса а= (си, ..., ап), |<х| =
= αι + ... + αη^Λ^ имеют место неравенства
\р*/(хЛ)\<С«{х)к»
с некоторыми положительными гладкими функциями Са (х),
убывающими на бесконечности быстрее любой степени **,
зависящими от а и функции f (но не зависящими от h);
\ дх '
д«.+-..+-я
п^п
(ΰχψ...(όχη)
Доказательство.
Замечание 1.1.2. Прежде всего заметим, что левая часть
(1.1.6) является линейным оператором, примененным к финитной
функции φ. Следовательно, если это будет необходимо, мы будем
считать, что носитель функции φ сколь угодно мал.
* Однозначная разрешимость системы (1.1.8) будет доказана ниже.
** То есть Ca(A:)eS(Rm), где S(Rm) —пространство Л. Шварца.
107

Теперь доказательство будем вести индукцией по
размерности пространства Rn.
Базис индукции. Пусть η = 1. Рассмотрим интеграл
(/ М/2 г* ΊΓ®(χ*Ρ)
^) \е ?(x,P)dp· (1.1.10)
Уравнение для стационарной точки имеет вид:
*Фс(*Д)=0. (1.1.11)
Уравнение (1.1.11) однозначно разрешимо в некоторой
окрестности точки (%о, р(хо)), удовлетворяющей условию (1.1.3). Это
утверждение следует из теоремы о неявной функции, поскольку
-<">с(*Ь, Ц^ро(Хо) = фр(^ Р(Ь))=0 (L 1. 12)
и
-*рр{х»Р(х.))ф09 (1.1.13)
а, следовательно, в некоторой окрестности множества (*о, р(*о))
Более того, решение ζ(χ) уравнения (1.1.11) удовлетворяет
условию
Цх)=р(х) для jc£2. (1.1.14)
Рассмотрим теперь функцию гФ(х, ζ) *\Из леммы 2.4.10 части
I следует,,что справедливо следующее разложение
Ф(х, р) = 'Ф(х, Цх))+(р-Цх)ГР*(х, р)+
+Оф(х,рЛ(*)), . (1.1.15)
где
Q*(x, р, CH) = 0(|ImC(jc)|/. (1.1.16)
Пусть
i(x, Р)-1Р~Ш))]/^ф{х, Р)+ ^^/1 - (1ЛЛ7)
Поскольку Ζ7* (χ, ρ) в окрестности точки (jc0, p(xo)), отлична от
нуля, а
\Dk Оф(х,р) \ с \n{x)\'-W =с[л(;с)р-2н^ (Ы.18)
(в (1.1.18) мы воспользовались неравенством
\р-Цх)\=У\р-р(х)Г+ЫхТ>\Мх)\).
* t — некоторое натуральное достаточно большое число.
108

то выражение (1.1.17) допускает выделение однозначной ветви*,
и мы зафиксируем некоторый выбор ветви. Отметим, что в
рассматриваемой окрестности
^-фО. (1.1.19)
dp
Рассмотрим теперь функцию
^(χ,ρ)^ψ(χ,ρ)[^γ1 . (1.1.20)
В силу леммы 2.4.10 части I функцию (1.1.20) можно представить
в виде
Ψ0*. /0='Ф(*. 1(х))+(р-Ч;х))РЧх,-р)+о*{х9 р\ (ι. ι.21)
где Ιψ*{χ,ρ)=0\\χ\{χ)\*-*), Л</,
и, воспользовавшись равенством (1.1.17), мы можем переписать
выражение (1.1.21) следующим образом: -
Их, Р) = ^(хЛ(х)) + 1 у==^+ОЧх, р\ (1. 1.22)
где через Рф мы обозначили функцию
7*(х, p)^F*(x, р)+ °Φ(<Χ>& .
К функции - — можно снова применить лемму 2.4.10 час-
Vp*{x,p)
ти I и повторить конструкцию s раз. В результате, мы получим
следующее разложение:
где OJC*,/>)=0* («*./>)
и^ Gl(x,p) = 0(\y\(x)*-k).
Подстазляя теперь разложения (1.1.15), (1.1.23) с учетом
(1.1.17) в интеграл (1.1.10), получим, очевидно**
* На самом деле, выражение (1.1.17) допускает выделение однозначной
ветви только локально. Мы, однако, всегда можем считать носитель supp φ
функции φ достаточно малым (см. замечание 1.1.2).
** Поскольку фаза Φ (я, р) не имеет стационарных точек на носителе
функции [1 — χ(ΑΓ, р,)]ф(дг, ρ), то интегрируя по частям, мы получим, что
j_
с л Φ (х, ρ) %[1—* (*, ρ)] ?(*, p)]dp=0 (mod h<*)
109

Ri
Χ {2 **WS*+2 **°*(*. />)}<«(*. A»)(modA«). (1. 1.24)
U-0 fe-0 J
Здесь χ (л:, р) —функция с носителем в некоторой
окрестности множества (х, р(х))9 ^ей, и
(Ц(х,р)=0(\*\(х)\*-*)·
Вторую сумму в правой части (1Л.24) представим в виде
V 1Ю*(х, /,)=? V ^р.=^ЛХг ^ (1; 1.25)
Отметим, что в силу оценок типа (1.1.18),
ψ,(*,/0 = Ο([η(*)|'), ^>s.
Рассмотрим выражение
(sto/TJ J /(*■/>)<«(-*./О- (1.1.26).
Этот интеграл можно рассматривать как интеграл по контуру ,
\(х) в комплексной плоскости С (с координатой ξ), уравнение
которого есть
t = t{X,p).
Напомним, что
Ф(Х,Р) = ?(Х,Р) + 'Ф(ХЛ{Х))·
Попробуем отыскать область изменения параметра ξ, так чтобы
в этой области оставалось справедливым неравенство
1тФ(*, р)>0.
Более точно, мы покажем, что поскольку %(х, р)=0 вне
достаточно малой окрестности точки ξ = 0, то мы можем продолжить
контур γ (а:) таким образом, чтобы
1) вне достаточно малой окрестности точки ξ = 0 он совпадал
с вещественной прямой;
2) на этом контуре
1т[? + *Ф(хЛ(х))\>0; (1.1.27)
3) контур γ (л;) непрерывно зависел от х.
Покажем возможность такого выбора. Начнем с условия 2).
Пусть Ux — область в комплексной плоскости ξ = ξι + ίξ2, в
которой выполнено условие (1.1.27).
по

Имее\г
В главе 2 части I мы показали (лемма 2.4.11), что существует
такая постоянная С>0, что справедливо неравенство
1т'Ф (*, ζ (х)) > С 2 [ImC , (χ) . f 1. 1.28)
/-о
Поэтому область в комплексной плоскости (ξι, £г), в которой
выполняется неравенство (1.1.28), ограничена гиперболой
^=-1т-ф(*-С<*» . (1.1.29)
Обозначим через Ux— область, ограниченная гиперболой, UXq—
область, состоящая из I и III квадрантов.
При χ^Ω область,. в · которой выполняется неравенство
(1.1.27), есть область
£€СМ2>0, (1Л.30)
то есть 1-ый и 3-й квадранты. Поэтому контур у(х) лежит в
области Ux.
При χ0^Ω этот контур проходит в области UXo и поэтому
может быть продолжен однозначно с точностью до гомотопии.
Очевидно, выбор контуров у(х) при χ ζ Ω может быть произведен
таким образом, чтобы функция у(х) непрерывно зависела от х.
Замечая теперь, что с точностью до 0(h°°) функцию χ (χ, ρ)
в интеграле (1.1.26) можно заменить единицей, и опуская контур
у(х) на вещественную ось (что возможно в'силу аналитичности
подынтегрального выражения в области Ux)y получим, что
интеграл (1.1.26) равен
const eh . (1.1.31)
Рассмотрим теперь выражение
Интегрированием по частям, интеграл (1.1.32) приводится (по
модулю О (/ι°°) к интегралу (1.1.26), умноженному на Λ Ι-2-Ι., после
чего применяется описанная выше процедура. Оценка
остаточного члена производится также интегрированием по частям с
учетом неравенства (1.1.28).
Ill

Проведем соответствующие вычисления:
*1
1
Xr(*.P)U(x, p)^(xMx))=consth^h" f >'<"»+'™»х
x [(5"(*' jP))~1^" lap)]*{1{x'p)[Hx' p)]s*six'p)mx'p)=
= o(a^~) (1.1.33)
при*=[|].
Оценим теперь производные остаточного члена
Κ,=** I eh χ(χ, p)?ya(x, ρ) ςκό >ю dp.
Имеем
—— = | /ф(«*>£0*))\ <?Α χξ5—d/?e* +
Отметим, что в последнем интеграле мы воспользовались
неравенством (1.1.19). Из равенства (1.1.34) следует, что
Поскольку5ф:5(х;^)€С5'Ь2(Кот0К/г)в производных порядка ^ -1мы

можем произвести интегрирование по частям -раз. При этом, под
интегралом будут стоять функции класса C2(RmXRn) с
компактным носителем. В силу неравенства .
Im[$2(*, /0 + 'Ф(*,С(*))] = 1тФ(*. р)>0
такие интегралы оцениваются константами.
Таким образом, для остаточного члена Vs при любом
натуральном числе О^а^ — имеет место неравенство
Итак, мы доказали следующую формулу:
И ι
Μ*, Α)« J" ^Лф,?]^^Ф(^М)иоа(л[г]~1))(1.1.35)
*=о
Докажем теперь, что в формуле Д. 1.6), вместо *Ф(х, ζ(χ)),
мы можем выбирать произвольный представитель (по Модулю
[Im ζ(λ')]δ). Действительно, это утверждение следует из оценки
jj-{ s*(^,C(^))+0[(ImC(^))l5} ^ЩхМх))
з —е =
= 0\е h \\тцх)\з±.\ (1.1.36)
Применяя лемму 2.4.11 части I, выражение (1.1.36) можно
оценить следующим выражением (s^3):
?ρ«"»'ΝΜ) = (1(^ „.,.37,
Для п = \ теорема доказана.
Пусть теперь формула (1.1.6) справедлива для η—1
измерения. Докажем ее для η измерений.
Будем рассматривать интеграл In(x, h) в окрестности точки
Мы утверждаем, что невырожденным вещественным
линейным преобразованием пространства Rn можно добиться того,
чтобы какой-либо из диагональных элементов матрицы
Hess рФ(л:о, p{xq))
стал отличен от нуля.-
113

Без ограничения общности, будем считать, что
^(W(*o))>0. (1.1.3&J
Запишем интеграл (1.1.38) в виде (мы снова переменные интеф
грирования обозначим через р):
Rn—ι /?1
Здесь р'= (/72,,..., Рп) так что /?= (рь //).
Проверим условия теоремы 1.1.1 для ^внутреннего интеграла?:
Здесь параметрические переменные (я, //), множество ?2 =4
= {(#, //(#)) : xgQ}, условие ΐ), и) теоремы 1.1.1 выполнено
очевидным образом. Далее, из условия Ш) теоремы 1.1.1 следует,!
что уравнение
*ρΛ**Ρι*Ρ') = ^ x£Q
имеет единственное решение
A = Pi(x,P'(x))
и при этом из (1.1.39) следует справедливость условия iv)
теоремы 1.1.1. Пусть теперь '-
Ъ=Ъ(х,р')- (1.1.42);
решение уравнения
. - '**c,(*,/^Ci) = 0, (Ь 1.43).
существование и единственность которого (решения)
гарантируется условием fV) теоремы 1.1.1 согласно базисному утвержде-;
нию
^ hkW£) [Φ, φ] Vmod h2 J . (1. 1.44),
Γ--ι1
_ ^**(*,р',с.(ар')) ll J / *
Обозначим через
Фг (*, У) d=lL -Φ (χ, ρ', ζ, (χ, /;'))· . (1.1.45).
114

Интеграф (1.1.40) представляется теперь в виде:
/„с
т
jc,A)— V А*Г—i—J 2 ^Л ν^)[Φ, cp]i//?'(modu2 J.
(1.1.46)
Проверим предположения теоремы 1.1.1 для интеграла
(1.1.46). Здесь параметрические переменные (х), множество Ω
совпадает с множеством Ω, введенным в теореме 1.1.1, условие i)
выполнено очевидным образом; выполнение условия И)
гарантируется леммой 2.4.11 части I. Остается показать, что система
уравнений·
■^4*,/>')=0f / = 2,...,л, (1.1.47)
имеет единственное решение при хеЙ.
В самом деле, если хей, то
Ci (*,/>'(*))=А (■*)·
(1.1.48)
Далее,
£1 =<pL{x>p>ix))+J£Lix,p>ix))fL=0 (1.1.49)
dPi\P'=P'{x) dpi dCi fy,
для всех ί = 2, ..., η поскольку, второе слагаемое в (1.1.49) равно
нулю в силу (1.1.43), а первое— по условию теоремы 1.1 Л.
Проверим условие iv) теоремы 1.1.1, то есть выполнение
неравенства ... ,
• det Hess^/^jCo, ρ' {х0)) φ 0, х0 ξ 2. (1. 1.50)
Для этого рассмотрим определитель * * -
02ф 02ф <?2ф
detHess^*!^
дРпдрх дрпдр2
(1.1.51)
С определителем (1.1.51) мы произведем следующие
преобразования, очевидно, его не меняющие. Умножим
последовательно первый столбец определителя (1.1.51) на —— , ί = 2, ..., η, и
OPi
результат прибавим к /-му столбцу (/ = 2, ..., п).
* Все функции в следующих ниже детерминантах вычисляются в точке
(Хо, р(хо))*
115

В результате получим определить
02ф
dpi
- δ^Φ
dp2dpi
д*Ф ,
др\др2
д^Ф ,
dpi
Οζχ
др2
dp*
όΐφ
dpi
д*Ф
.δρ2δρχ '
02ф
" др\дря
д*Ф ,
др2дрп
δζχ
^л
02ф
<^
02ф
δρ2δρχ
у ■ ■
д2ф
дрпдрх
02ф
дРпдР2
aci
δρ2
д*Ф
дрпдр\
д^Ф .
• *>.'
aci
<ty/z
д^Ф
dpndpi
. (1. 1.
Далее, дифференцируя тождество (1.1.43), мы получаем в точке
Р* = Р'(х)
02Ф ι 02Φ 0Cl
fy/<ty/ fy2 dPi
еО.
(1.1.53)
Таким образо'м, с учетом (1.1.53) определитель (1.1.52)
преобразовывается к виду
02Ф
(?2ф
др\
д*Ф
дР2дР\ dpi
02ф #2ф
0 .
δζχ 02ф
др2 др2дрх
д^Ф ,
др2дрп
0
δζι д^Ф
дрп. dpndpi
δζχ д*Ф
д*Ф
aCi д*Ф .
дрпдрг дрпдр2 др2 дрпдрх
02ф δζχ дЩ
»Л
<?2ф
дР\
дРп дРп?Р\
д^Ф , δζχ д^Ф
(1.1.54)
дР\
02ф
δρ2 δρ2δρχ
δζχ ώφ
ΰρ2δρη
ώΦ
δρηδρ2 δρ2 δρηδρχ
*Α
дРп ΰρ2δΡι
δζχ δϊΦ
δρη δρχδρχ
Преобразуем элементы определителя (1.1.54), используя
производные функции (1.1.45), имеем
δρι δρι
opt δζχ δρι
Поскольку ζι (χ, ρ') — стационарная точка функции
*Φι (*,/>', ζ)
(1.1.55)
116

(см. (1.1.43), то второе слагаемое (1.1.55) пропадает и,
следовательно,
^=^(χ,ρ'Λι{χ,ρΊ). (1.1.56)
dp-, dpi
Далее,
02ф
dpidpj\
.(х9р(х))+-°2-(х,р(х)). ?!(*,/>'(*)).
р'=р'Лх) dpidpj dpidpj dpj
(1.1.-57)
Используя (1.1.57), мы получаем, что определитель (1.1.54),
равный det HesspO(A:, ρ(χ)), представляется в любой точке
Χο^Ω в виде
det Hess Φ (лс^ p{xQ))=-^(x0,p(Xo)-detHes$p> *ito,/>to))·
dp\
(1.1.58)
Теперь из условия iv) теоремы 1.1.1 непосредственно
вытекает, что
det Hessp, Фг to, ρ to)) Φ 0- (1. 1.59)
Итак, все условия теоремы 1.1.1 выполнены, и мы вправе
применить индуктивное предположение. Имеем
\2Kh) \ k [ '?1 P ^ ^
Γ£=2ΐ
Χ 2 ^^_1) [φι> ^1}[ф,?]] (mod/~), (1. 1.60)
где ζ'(χ) —решение следующей системы уравнений
^Γ*®ι(χΛ')=0, i = 2,...,n. (1.1.61)
С другой стороны, »
s*itoC')=,*toC/feC1toC'))· 0· !·62)
Пусть ζ = ζ(χ) —решение системы (1.1.11). Тогда
^*Ф(*,СЧ*),^(*,1:'))=0, ί = 2 л, (1. 1.63)
Αίφ(Χ)ζ'(Λ;)(ίζι(^!;'))=θ!
и
■£г'*(х,?(х),$(х))=0, i=l,...,n. (1.1.64)
117

Из единственности решения системы (1.1.11) следует, что
ζ' =ζ' (χ), ζ (χ)=Κ1 (χ, С (*)),' (1. 1-65)
и поэтому ·
*φι.(-«. С';1с—с(л:)=*Ф (-«, С (а:), *Сг<дс))=-Ф (jc, C(jc)). (1.1.66)
Подставляя интегралы (.1.1.60) в (1.1.46), получим
Ls ~ [г-1] [Г"1] '
= 2 hl Σ WV-vpi'WpWMUmodlF-1). (1.1.67.).;
/-0 k'+k=l
Обозначая '
получим, снова заменяя ζ(χ) на ζ(χ),
Г£ ιΊ
1п{х9к) = ^Щтх)) 2' А*^я)[ф.Ч>] irnodA^""1) .
ft-0
§ 1.2. Метод осциллятора для асимптотического разложения
интеграла
I. Основная идея. В этом и двух следующих параграфах .
будет изложен метод вычисления членов асимптотического
разложения интеграла:
при следующих предположениях (ср. §1.1.): -
i) функции Φ (у, у) α φ(ί/, υ) —комплекснозначцые анйлити- .
ческие функции вещественных переменных υ=(ν\, ..., ~i>n)eRn;
параметры χ, у—суть точки арифметических евклидовых прост-
ранете x^Rn, i/eRm; функция χ (и)— гладкая функция, имеющая ,
компактный носитель; <х, v>=xivi.
it) функция Φ (у, ν) имеет неотрицательную мнимую часть:
1тФ(у,гО>0. (1-2.2)
Обозначим через Ω множество точек (у, x)eRmXRn, которое
определяется следующим образом.
118

Определение 1.2.1. Точка (χ, ι/)εΩ, если существует
такая точка yeRn, что
1) 1шФ(«,0)=О, (1.2.3)
2) _^+.|*_ (у, *) = (). (1.2.4)
OV[
При этом ό, удовлетворяющая (1.2.3) и (1.2.4), называется
вещественной стационарной точкой, v — v(xy у).
Ш) решение уравнения (1.2.4) единственно на носителе
функции χ(ν).
ν iv) гессиан функции Φ (у, ν) в точках v(x, у) невырожден:
" а&Неэь,Ф(у^{х,у))фО. (1.2.5)
Для удобства вычислений мы включим интеграл (1.2.1) в од-
копараметрическое семейство интегралов:
ψ(*,0,Μ)=' —гттг iexPf о/· , [cos^2-
(2π/Λ sin *)л/2 J (2ksmt
—2 <X v> + cos t [if]} eh χ [ν) φ {у, ν) dv, (1. 2. 6)
параметризованное* точками комплексной плоскости С, и
вычислим коэффициенты асимптотического разложения интеграла
(1.2.6). \х\2 — скалярный квадрат вектора χ в евклидовом
пространстве Rn:
\х\* = {х,х) = (1их*х1)9
и аналогично \ν\2— скалярный квадрат вектора ν в евклидовом
пространстве Rn-
\v\2=(v,v)={biJvivj).
Сделаем, прежде всего, два важных замечания.
Замечание 1.2.2. В точке t=— имеет место следующее
равенство:
1^[х*уЛ*\} = П**УЛ). (1.2.7)
Замечание 1,2.3. Как показывает прямой подсчет, функция
(1.2.6) является решением следующей задачи Коши для
уравнения Шредингера
/Α-^-=-Α»Δχψ+μ|"Ψ, (1-2.8)
Ot
— Ф(х у)
<Ц,-о=е* ' Х{хЫх,у). (1.2.8')
* В дальнейшем область изменения параметра teC будет уточнена.
119

Поэтому для вычисления коэффициентов асимптотического
разложения интеграла (1.2.1) мы поступим следующим образом:
1) Используя метод стационарной фазы, развитый в § 1.1,,
напишем с неопределенными коэффициентами разложение
интеграла (1.2.6) по степеням Л;
2) Подставим полученное разложение в уравнение (1.2.8) и
начальные условия (1.2.8'). В результате получим некоторое
асимптотическое разложение, коэффициенты которого суть
результаты применения явно выписываемых дифференциальных
операторов к неопределенным коэффициентам, о которых шла.
речь в 1).
3) Используя уравнение (1.2.8) и начальные условия (1.2.8'),
мы показываем, что коэффициенты полученного в 2) разложения .
должны быть равны нулю. Это доставляет нам систему
дифференциальных уравнений типа Гамильтона-Якоби и переноса,
решая которую, мы получим искомые коэффициенты.
Замечание 1.2.4. Для нахождения коэффициентов с
помощью решения дифференциальных уравнений, о которых
говорилось в 3) необходимо найти область изменения параметра t, в .
ТЕ
которой точки f=0 и t=— могут быть связаны путем, целиком
состоящим из точек, в которых применим метод стационарной
фазы (см. §1.1).
К сожалению, отрезок вещественной оси t,
0</< —, Imt^O, (1.2.9)
(вообще говоря) не удовлетворяет этому условию: в некоторых
точках отрезка (1.2.9) стационарная точка фазы интеграла
(1.2.6) вырождается. Поиски других путей, соединяющих точки
t=0 и t~—, приводят к расширению области изменения
параметра / до некоторой области плоскости комплексного
переменного и разложения интеграла (1.2.6) в области комплексного
переменного /.
Однако, степенная оценка остаточного члена в этой
ситуации уже бессмысленна, поскольку в области Im/<0
каждый из членов асимптотического разложения, как легко
усмотреть, убывает экспоненциально при /ι-Η). Поэтому естественно
попытаться выделить в подынгральном выражении убывающую
экспоненту и применить метод стационарной фазы уже к оставь
шейся быстроосциллирующей функции.
Приступим к выполнению изложенной программы.
2. Обоснование возможности применения
метода стационарной фазы. Прежде всего, найдем
область в комплексной ^-плоскости, где фаза интеграла (1.2.6)
неотрицательна, то есть
Im[cos^W2~2<^'i;> + cos^'i;|2 + O('i;,i/)]>0. (1.2, 10)
12Q

Поскольку
1тФ(^//)>0, (1.2.11)
το фаза интеграла (1.2.6) неотрицательна в точках feC,
удовлетворяющих неравенству
1д|Г cos^l2~2<W+cos^2M Q> (1.2.12)
L 2sin t J v ;
Найдем эти точки. Имеем, если t=i\ + ii2>
jm[ M2cos* —2<л:,г» +Hcos/ 1 Π 2 13)
[ 2sin* J У - - )
__ — sh;2(|*2l ch t2 — 2 <x,v> costj + 1^21 ch ^2) м п щ
2[sin2 t\ ch2 t2 -f cos21\ ■ sh212]
Очевидно, что для неотрицательности функции (1.2.14)
достаточно, чтобы :
а) sh/2<0, (1.2Г15)
б) каждая из квадратичных форм *
сЬ/л^}8 —2^«/cos/1+ch^(Jc'}>il /=l,...,«f . (1.2.16)
была бы неотрицательно определена. Условие б), в свою очередь,
следует из двух неравенств:
б') ch^2>0, (1.2.17)
б) ch2^ —cosa/1>0. (1.2.18)
Нетрудно проверить, что неравенства (1.2.15), (1.2.17) и
(1.2.18) выполняются в области
Imf^O. (1.2.19)
Преобразуем теперь в области (1.2.19) интеграл (1.2.6)
следующим образом. Найдем экстремум (по ν) функции
Im [cos W2 —2 <xyv> +cos^H2 j ^ 2 go)
L 2sin t J ' %
В силу формул (1.2.14) экстремум (1,2.20) достигается в точке
v0=v0(x,t) = ^±- (1.2.21)
СП t2
и равен
F* (х Л = ~ sh h |x|2 [ch2 h + Cos2 /l] (12 22)
1 ,; 2chi2[sin2^ch2i2+cos2^sh2^]
* В (1.2.16) суммирование по «повторяющимся» индексам не
предполагается.
121

Очевидно, (1.2.21) τ- точка минимума. Преобразуем теперь
интеграл (1.2.6) к виду
т ; (2л/Л sin 0 ^ J I Л L 2sin^
- /F* (χ, /) -f Φ (у,*)]} χ И φ (г>, уydv. (1.2. 23)'
Покажем возможность применения метода стационарной
фазы (см. § 1.1) κ интегралу (1.2.23). Отметим, прежде всего, что.
мнимая часть фазы
Φ{χ,ϋ,ν,ί)= W2cos^-2<x,c;>+№coS^ _
. 2sin,t
-iF*(x9t) + <l>(y,v) (1.2.24)
интеграла (1.2.23) неотрицательна:
lm-Q(x,y,v,t)^0, · (1.2.25)
в силу (1.2.10) и поскольку функция F*(x, t) является
минимумом фазы (1.2.20). Сделаем еще одно
Замечание 1.2.5. (об уравнении для стационарной точки
фазы (1.2.24)). Это уравнение имеет, очевидно, вид:
^L = 8/^ ctg/+-^iML . (1.2.26)
sin ^ ; & ' *dvi
Заметим, прежде всего, что если решение υ = υ(χ, у, t)
системы (1.2.26) существует, то в силу ограниченности функций
™ , *=1 л,
dvi
на отрезке
[°·τ]
\дФ(у,у)
dvi
<С,, /=1,...,я,
существует конечный предел
t^o sin t ύ
то есть при t—>Q
x'-WvjixAy^Otf), ί=1 л. . (1.2.27)
В частности,
\lmb4vAx,t,y)=xl, Г=1,...,л, (1.2.28) ..'
122

и мы будем искать решение системы (1.2.26) именно в классе
функций, удовлетворяющих условию (1.2.28). Для разыскания
функции v = v(x> t, у), поступим следующим образом. Умножим
обе части системы (1.2.26) на sin t. Получим систему
xf = VJv cost+M{Vfy) sin;, ь=1,...,л. (1.2.29)
dvi
Заметим теперь, что любое решение системы (1.2.29) в
окрестности 0^Ξ|/]<δ автоматически удовлетворяет условиям
(1.2.27). С другой стороны, в области б^|*|^— система
(1.2.29), очевидно, эквивалентна системе (1.2.26), так что
решения систем (1.2.29)-и (1.2.26) будут, очевидно, совпадать.
Теперь вычислим множество Ωί. Имеет место следующее
Предложение 1.2.6. Множество Ωί (и, следовательно,
стационарные точки фазы (1.2.4)) могут быть получены с помощью
следующей процедуры:
Рассмотрим некоторую точку (л:0, у) € 2π/2· Тогда
согласно определению 1.2.1 множества Ω существует такая точка 1>о,
что
1тФ(у,г>0) = 0, - (1.2.30)
дФ-(У,ъ0)=хЬ ί=1,...,Λ. (1.2.31)
dvi
- Рассмотрим систему Гамильтона для гармонического
осциллятора
Ρι=~№, (1.2.32)
i=\,...,n
с начальными данными
*<>o,i/,0) = 8<%, (1.2.33)
рМ,у,0) = Ьид-^-, (1.2.34)
i=\,...,n.
Отметим, что начальные данные (1.2.34) вещественные.
Утверждение. Если
. xi=xi(Vott)y (1.2.35)
А=А(«·.*).
г = 1,...,д, (1.2.36)
123

траектории системы (1.2.32) с начальными данными (1.2.33)—
(1.2.34), го
х(*о,УЖЪ (1.2.37).
(при этом стационарная точка есть υ0).
Более того, если uq пробегает все стационарные точки для всех
значений (х0, у)£&*/2, то множество (1.2.37) исчерпывает все
множество Ω<.
Доказательство. Покажем справедливость включения
(1.2.37). Из (1.2.32), (1.2.33) и (1.2.34) имеем
xi(vQ,y9t) = WvOJcost+d*(v°9!f) sin;, ί=1 л. (1.2.38)
С другой стороны, прямое дифференцирование но перемен-
ным ν фазы (1.2.4) показывает, что уравнение для
стационарных точек имеет вид (1.2.26) или с учетом замечания 1.2.5 — вид
(1.2.29). Поскольку выражения (1.2.29) и (1.2.38) совпадают, то
выполнено условие 2) определения 1.2.1 для фазы (1.2.24).
Проверим выполнение условия 1) определения 1.2.1. Мы покажем,,
что стационарная точка Щи удовлетворяющая уравнению
(1.2.38), является также решением уравнения
dvi [ 2sin / J ' . '
*=1,...,я,
то есть является экстремальной (минимальной) точкой функции
(1.2.20) и, следовательно, совпадает с точкой (1.2.21). Отсюда
будет следовать, что
I Из cos* — 2 <x,v> + jt/pcos;
2sint
-.F*(x;t) (1.2.40)
и, вместе с (1.2.30), мы получим, что
Q(y,t,v'9x)\O-Vo = Q, ^ (1.2.41)
то есть^выполнено и первое из условий определения 1.2.1.
Покажем теперь, что точка ν является решением уравнения
(1.2.39). Пусть υ при данном x^Qt — стационарная точка. Тогда
_J_rWcost-2<X,v>+WcoSt _.F,(;с/)+ф( Л=α
dvj I 2sin t ' ' v *!\
(1.2.42)
Поскольку ΙτηΦ(ν, y)^0, то
Imui£i£L=0, i=\,...,n (1.2.43)
dvi
и, следовательно,
д 1тГ W2cos^~-2<-y>t;> +M2cos/ 1 Q .= i
dvi " |_ 2sin t J
Последнее уравнение совпадает с уравнением (1.2.39).
124
>п

Таким образом, решение уравнения (1.2.38) действительно
удовлетворяет уравнению (1.2.39) и, используя решение (1.2.21)
уравнения (1.2.39), мы можем дать (неявное) выражение для
стационарной точки фазы (1.2.24):
ν (х (у, v, i), t)= *<Μ>«»<ι . (1.2.4*4)
ch t<i
Докажем теперь вторую часть утверждения предложения
1.2.6. Пусть (xq, y)^Qt. Согласно определению 1.2.1 это
означает, что существует такая точка i>o, что
1) lm~&(v0.t,x0,y) = 0, (1.2.45)
2) j^(v0J,x0,y) = 0. (1.2.46)
Из (1.2.45) следует, в частности, что
1тФ(у,г>в) = 0. (1.2.47)
Выражение (1.2.46) более подробно записывается в виде (см.
замечание 1.2.5):
xt0=WvOJc<>st+d*{Voty) sin;. (1.2.48)
dvoi
Обозначив через
^ggRe "°-5^cos< , (1.2.49)
sin t
имеем
* W=^(^o) ; (1.2.50)
dvoi
Следовательно, (xt, y)^Qt- Предложение 1.2.6 доказано
полностью.
Покажем теперь, что стационарные точки (1.2.44) фазы
(1.2.24) невырождены.
Напомним, что мы показали, что у фазы (1.2.24) существует
такое множество ΩίΦ0, что для всякого λ^Ω* существует
вещественная стационарная точка ν при всех t, Im^O.
Мы покажем, что в области Im/s^O, исключая, быть может,
некоторое конечное множество точек * на интервале
0<Re*<Ji/2, lm*=0 (1.2.51)
якобиан
J(t,v,y) = det
Wdgt.***™-
dvtdvj
ф0. (1.2.52)
* В действительности, как будет видно, это множество состоит не
более, чем из η точек.
125

Действительно, уравнение (L2.52) можно считать -вековыц
(характеристическим) для матрицы
;i.2.53)
| dvidvj
и, следовательно, нужное утверждение будет доказано, если мй'
покажем, что уравнение
ctgt=-Pj(v,y) - (1.2.5^
(относительно параметра /) имеет в области Im/^O разве щ
конечное число корней на интервале (1.2.51). '*'
Для доказательства этого утверждения напомним, что в п£
II ч. I (предложение 2.4.2, лемма 2.2.8) мы установили, что
собственные числа матрицы гессиана функции Φ (и, у),
удовлетворяющей условию (1.2.2), расположены в верхней полуплоскости
(считая вещественную ось) :
1тцуК#)>0, (1.2.55)
и, следовательно, *
sgn[-In^(*;,*/)] = -l. (1.2.56).
С другой стороны, полагая t=i\ + ih, получаем
τ , . Г τ cos t\ ch U—/ sin t\ sh U Л
sgnlmctg^ = sgn Im - l— ί — =
L sin t\ ch t% + / cos t\ sh ^ J
= sgn (cos tx ch t2 —J sin tx sh t2) (sin tx ch t2 — i cos tt sh t2) =
= sgn[-sh*2ch/2]=l (1.2.57)
в области ^2<0.
Таким образом, решение уравнения (1.2.54) в области t2<b
не существует. На интервале (1.2.51) мы имеем следующее
уравнение
ctgt=-Pj(vfy\ lmt=0. (1.2.58)
Пусть μ^ — вещественно (в противном случае уравнение
(1.2.58) решений не имеет). Тогда уравнение (1.2.58) имеет на
интервале (1.2.51) ровно одно решение
*=i,= -arctgtiy(tf,0). (1.2.59).
Поскольку ί = 1, ..., η, то всего на интервале (1.2.51) будет не бо*
лее чем η особых точек t\, ..., tn — нулей якобина (1.2.52).
Обозначим через множество Г множество точек /еС, удов**
летворяющих следующим двум условиям:
1) Im7<0,
(1.2.60)
2) ίφίΐ9 у=1,,..,л.
* Мы считаем, что sgnx=l, (дг^О), sgnx= —1, (#<0)·
126

Выше мы показали, что для ter выполнены все условия
теоремы 1.1.1., и, следовательно, в области Г мы можем, написать
следующую формулу асимптотического разложения интеграла
ψ*(*,0,Α,ί) =
i fpcpcQS*—-2<xfv> + \v\tcost
^1г^\ехрт[
(2πίΛ sin 0Л/ J A L 2sin t
■iF*(x,t)+<!>(y,v)\x(v)<?(v,y)dv. (1.2.61)
"Именно, согласно теореме 1.1.1 существуют такие функции
S(x,t,y) и %(x,t,y), *=!,...,[γ-ΐ] (1.2.62)
что
f(^/,A,^^S'W'S,2 A^^.'.^UodAS-·1). (1.2.63)
Рассмотрим теперь уравнение ,
/
zt = b4w1cost4-d*iWf!,) sin/, /=1,...,я, (1.2.64)
у . dwi
где
zJ=xj + iyj, w^vj + tr,, у=1,...,л. % (1.2.65)
Из изложенного выше следует, что существует единственное
решение
wj=wj(z,y,t), /=1,...,я, (1.2.66)
для комплексных точек г, лежащих в некоторой (комплексной)
окрестности множества Ω*.
§ 1.3. Вычисление членов асимптотического разложения
Введем следующие определения.
Определение 1.3.1. Действием S мы будем называть
аналитическую в Г функцию
S{zJ,y,v{xJ,y))^^{y,w{t,z,y)+^^[cost\z\^
• -2<x,w(tyz,y)> + cost\w(t,z,y\)*]y (1.3.1)
Определение 1.3.2. Якобианом J мы будем называть
аналитическую в Г функцию
def ,
J(t,y,w(t,z,y))a^det
8'W + sin/ **<*>»('·*■*»
dwidwj
(1.3.2)
127

Определение 1.3.3. Аргумент Avg-J якобиана J мы
определим следующим образом:
1) ArgJ(0,y,v(x,09y))=0, (1.3.3)
2) Arg /(/о, ί/, ν(χ, /о, у)) для любой точки to^T определяется
как приращение
VarArg/ (1.3.4}
непрерывной функции Arg / вдоль любого пути γ [0, £о],
соединяющего точки t=0 и /=/ой лежащего в Г.
Замечание 1.3.4. Поскольку якобиан (1.3.2) не обращав
ется в« нуль в Г, а Г — односвязная область, то определение
(1.3.3) корректно, то есть Arg /(#, £0, у) не зависит от пути
Υ [О, *о] соединяющего точки ^ 0 и /=/о·
Замечание 1.3.5. В области Г корректно определена
аналитическая функция
_ -I
J 2 (*, у, «;(/, ζ, у)). (1.3.5)
Определим теперь аналитические в Г функции w(w, t)
& = 0, ..., — , следующим рекуррентным способом:
Ъ>=?(У> w\
φ,{у, t, W) = y\J 2 {У, f, W)-^J 2(y, t\ W)X
0
X<?k-i(y,t', w)dt' *>1, (1.3.6)
где
η
dz1' '
Δ =
д dw}(t,z,y) J_ ·=1 (1 3.7)-
дг' дг1 dwj ' V
Функции Wj = Wj(z, t, у) определяются из соотношения
zl(w, у, t)=biJwiCost+miw' y)sint,- /=1,..., n, (1.3.8)
и подставляются в (1.3.6).
Теорема 1:3.6. Пусть выполнены условия i)-r-iv) п. I § 1.2. ,
Тогда имеет место следующее сравнение
128 -

Λ5(*·"7·'Γ(*Ή)
l/ detHess ( — ф(у, w(x, -γ, yj\j
Χ
Α=0
где
[τ-1]
Χ ^ Λ*φ, (χ, w [χ, \, */)) (mod h~ ), (1.3.9)
arg/=-5-, arg detHess (-Φ (у, w(x,-ξ-, у))) =
П
= Σ3^λ*(^ ^ (** "2"' ^)) '
где \),..., λΛ — собственные кисла матрицы гессиана
Hess (-Ф(у, v(x, -f, yj}^ , (1.3. 10)
л/й»е* —5.<3Γ8λΛ<-5-, и функции S{z, у, t, w), <?k(z, y, w)
определены по формулам (1. 3. 1) и (1. 3.6).
Доказательство. Запишем разложение интеграла
*М*, у, /, Л) в виде
«Ы*, ^ *, *) = /?№,(*. ^ '. А)1 = ^ А 5("' '' ^ У 2 (*, *, у) X
X 2 **(*·'' ^ (1.3.И)
где
Rf{** t, y)=f(x, U У) (1.3. 12)
Для любой аналитической по переменным ζ функции /(г, /, у).
Легко видеть, что справедлива следующая формула комму-
£?R=RJ?> <=1>···> *. (1.3.13)
129

то есть для любой аналитической по ζ функции f(z, t, у) имеех
место равенство
Подставим теперь разложение (1.3.1) в Уравнение (1.2.8);
Получим, учитывая (1.3.13),
[~ihir+k^x -ι*ι"](*ψκ·*. у> *> h)=
= R[~lhj;+h^z-z*]*s(z, y,tk). (1.3.14)
(Через хг мы обозначаем квадрику (zxf-\-... -\-(znf. Это же
относится и к w2='w\-\-.. . + г»я, и, вообще, (z, w)=ztwl.)
Обозначая для краткости
5 =3(2, у, ή,
?*=?*(*. У, 0. *=0. 1.2,..., (1-3.15)
7=7(2, у, ή
получим для
следующее выражение:
dte J
(-ίΛ-^-+Λ2Δ2-22|ψ4(2, у, t, h)
ie:
x(£*'*)+*t,7~4(2]*4-
+т^?74Щ^)-2(-т)«"х
+f Λ ν^(2 *ч)-|А^(Ц h4
(1.3.16)
i:o

где
или
τ, ί д д
-i-s -
-«* Г»
f + |((v5)4*2)
+
+ (vS, ТГ ^l+ii^V"·" [-£(]£**?„)+
h2 βΎ\ΤΎ
Ц^У^нЩ + ^е^й 2(2Я' (L3'I7)
Лемма 1.3.7. Функция (1.3.1) является решением задачи
OS , 1 ,,„-с*2 , _*\ η ,^ а (1.3.18)
(1.3.19)
^+f((vi)a+^)=ofi>ol
Доказательство леммы 1.3.7. Действительно,
подставляя (1.3.1) в (1.3.18), имеем
dS
dS dw,
dt dwi dt
Из равенства (1.3.1) следует, что
dS_{y_Lw)_ zl
dwi sin *
.ctgii/%/ + ?*i£i«), (1.3.21)
что вместе с равенством (1.3.8) приводит к соотношению
п. (1.3.22)
Поэтому уравнение (1.3.20) может быть переписано в виде
£+τ((£)'+Ή <'·3·23>
причем в (1.3.23) дифференцирование производится лишь по
переменным, от которых функция S(z, t, w(t, z, у), у) зависит явно
(то есть по первым двум группам переменных).
131

Теперь нужное равенство получается прямой подстановкой
(аргументы у функции w мы опускаем).
1 Г *2 , о ^ ^ cos t w2 1 ι
2 [ sin2|f ' ^ sin2if sin2* J ,
+т{[**-ггМ-
ι 1 Г *a o^ ^ cos* , *2 Τ"λ^
1 2 [ sin2* ^ ^ sin2^ sin2^J.
Покажем теперь, что
limS(z,ty у, w(t9 ζ, у)) = Ф(у9 ζ).
Для этого заметим, что, как следует из (1.2.64),
limbliWj{z, t, y) = zl, /=!,.... я. (1.3.25),
и, таким образом,
НтФ(у, w(ty z, у)) = Ф(у9 ζ). (1.3.26)
Далее, выражение
cos г2 — 2<z, ад (2, t, yj>-\-cos tw (z, t, yf
при /->0 мы представим в виде
И2-20, «(г, /, ί/)> + Ν2+0(^2)
(поскольку при t-+Q cos £=1 + 0(£2)).
Поэтому
lim—:—[cos "tea — 2 <] г, ад (ζ, /, у) > + cos / ад2] =
= lim^HU,#+|lmM, (1.3.27)
/-►0 2 sin * t-+o2 sin *
В силу (1.2.64)
ζ* — blJ Wj(t, zy y)=0(sin ή при /—>0, /= 1, , /г,
поэтому оба слагаемых в (1.3.27) исчезают при f->-0.
Лемма 1.3.8. Функция (1.3.5) удовлетворяет в области Г
уравнению
[Ί-+Τ V5+(V5, v)]7 2=0. (1.3.28)
132

Доказательство. Заметим, прежде всего, что якобиан
(1.3.2) является якобианом динамической системы
где
то-есть равен
где
ζ=Ηζ(ζ, ζ); ζ= _//,(*, ζ),
Η (ζ, ζ)=ζ2 + ζ2,
dzl(w, у, t)
det
dwi
zl =z*(w, t), i=l,..., η
«физическая» компонента траекторий системы
Κι
СдН , „\
(1.3.29)
(1.3.30)
(1.3.31)
(1.3.32)
(1.3.33)
Действительно, «физическая» компонента траекторий
динамической системы
z ^ъ ' ς''_ д?'
равна, очевидно,
Zi{ty v)=b J Wi cos t-\ v *'
dwj
Поэтому якобиан системы равен
(1.3.34)
(1.3.35)
J {у, w9 t)=det
dzl (t, v)\
n = det \\b J cos Η v y/ sin t\\
dwj || || dwidwj
(1.3.36)
и, следовательно, значение (1.3.23) в точке w = w(t, ζ, у) в
точности совпадает с функцией (1.3.2).
Теперь, для доказательства соотношения (1.3.28) мы восполь-
зуемря леммой С. Л. Соболева для якобиана
/(/, у, w(t, ζ, у))
^=^(*,С(*, «(*,*, У))), /=1 л, (1.3.37)
133
системы

где
С=С(/, ^) = cos^ όΦ(Ψ' y)—wsxnt — (1.3.38)
«импульсная» компонента траектории системы (1.3.34). Итак,
имеем
A. in У = l-L+^L * ]ln/(y, t, w(t, z, y)) =
dt [dt ' dC/ dzl\ ^ v y"
=57^(^ W*>(t,z9y)). (1.3.39)
Из (1.3.39) немедленно следует, что
__ι_
dJ 2 ' l Гт±дЛ=о. (1.3.40)
Поскольку
"=р+"-т{(£)И
то
Далее,
дн о с
—- = VS
dt dt ' 0ζ/ d*1 dt
A. EH = s (1.3.42)
Поэтому уравнение (1.3.28) преобразуется к виду
и с учетом (1.3.40) и (1.3.42), очевидно, удовлетворено.
Лемма 1.3.9. Функции (1.3.6) удовлетворяют следующей
рекуррентной системе.
JL _ J_
— φΛ=-yj2&j 2 ?*-i> *>1. ?*l/-o=°. % = ?· (1-3.44)
Здесь
Т* = Т*(У. U *>(t, z, y))i (1.3.45)
J=J{y> U *»(*, z, у)),
134

Δ =
η
<?2
см. (1.3.6), (1.3.7)).
£--£-+<«· *>·
(1.3.46)
Доказательство очевидно.
Теперь, применяя оператор /?, мы получим утверждение
теоремы 1.3.6, касающееся фазы S и функций
φ» £ = 0f 1....,[γ]
Установим теперь справедливость формулы для аргумента
гессиана фазы:
Лемма 1.3.10.
Varargdety^, t, v(t, χ, у))=^н(у, χ), (1.3.47)
k=l
где
собственные значения матрицы
Нез&9(ф(у, *>(*>-^> у))
(1.3.48)
(1.3.49)
(1.3.50)
Доказательство. Пусть
Pi(y, v{x, У, 0).···. МУ. «(■*» У. 0— (1.3.51)
собственные значения матрицы
#2Ф
I dvidvj
Тогда определитель
det
ШЬ}^^*'*'*)
Ъ1/ cQst + ——(y, v{x, t, y))sint
dvidvj
(1.3. 52)
(1.3. 53)
равен
J(t)=J(t, У, *(*,х,У))=Ц(со** + Ъ(У> *>(*>*> y)J sin <).(1. 3.54)
135

Обозначим
zk{t) = zk{t, У, v(t, χ, y)) = cost+\xk(y, v{i, x, y))smt (1.3.55)
и определим
argzft(0) и У(0) = П«»(0),
полагая
arg^(0)=0. (1.3.56)
Тогда в силу определения 1.3.3 на любом пути γ(/)^Γ имеем
к л
Arg7(i) = aigll ^(0=2aigzA(/). (1.3.57)
Заметим теперь, что если t^T, то
lm^(i)>0. (1.3.58)
Действительно,
Imz* (i) = Im [cos (^+йа) + (^+^>*) sin (^4-^1)] =
= Im(cos/1chi2 —^sin ^sh 'а + Ы+чФХ
X (sin /1ch4+i'cos^1sh^2)= — sin^sh/2+
+1*1 cos/x sh /a + ^isin ^ch^2 =
= — sh *a(sin ^ — μ* cos^)-\-\4 sin ^ ch 4. (1.3.59)
Поскольку в Г
а) sin ^ — i^cos*!>(); (1.3.60)
б) sh*2<0; (1.3.61)
c) ch*2>0; (1.3.62)
д) sin tt > 0.
е) H>0,
то неравенство (1.3.58) выполнено. Поэтому на комплексной
плоскости мы можем сделать разрез (0, —ίοο), τ. е. определить
—±^*Tgzk(t)<-l-n. (L3.63)
Далее, поскольку
г*[т) = **' (КЗ. 64)
136

то при /=— мы имеем
η
Argy(-^)=^arg^, (1.3.65)
где
—j<mv-h<\*- (1-3.66)
Остается только заметить, что в силу формулы (1.2.7)
= i/detHesst,(-<I>(i,) v(x,-f,y^, (1.3.67)
где
л
Arg det Hess^-Ф^у, v{x, -|· , у))) = ^ Wh(y, ·*) (1-3. 68)
а
Цл*(*,-ру),..., K(y,*(x>Y> у))~ (1.3.69)
собственные числа матрицы
Hess„ ( - Φ (у, ν (χ, -ξ-, yjj) , (1.3.70)
которые, очевидно, связаны с собственными числами матрицы
Hess.(o(if,T»(jc,-|-,ir))) (1.3.71)
соотношениями
λ* (у>^^ -γ* у))=-И* (у. *(*. γ> ί/))» *=1,..., л,
(1.3.72)
причем из (1.3.66) и (1.3.72) следует, что
-±п<тК[у**[*> τ^))<Τ' О·3·73)
Теорема 1.3.6 доказана полностью.
137

§ 1.4. Применение к неаналитическому случаю
и лагранжевым многообразиям
Рассмотрим теперь интеграл
п ι
( ί \~2> Τ ίφ (ν' У)-<*> ν>}
Пх,УЛ) = [^) Je χ (*)?(*. if) Λ>. (1.4.1)
«л
где функции Φ (υ, у) и φ (ν, у) не предполагаются анлитически-
ми. Пусть w (х, у) —стационарная точка фазы 8Ф(х, w, у):
д3Ф(т(х, у), у) ^χ (1.4.2)
dw
Рассмотрим функции
д
Фг{х, v, y) = \\jjUv — w(x, ^))^]-'ф(да' У%»-»(*,у)>
ft=0
(1.4.3)
<h{X, V, y) = \]jj\v-W(X, y)JLYs?(w, y)\w-w(x,»h О·4·4)
Функции Φι (χ, ν, у) и φι (χ, ν, у) являются, очевидно,
аналитическими функциями параметра ν, причем для любого мульти-
индекса а, |а| ^s
Dl Фг (χ, у, v)[VmmW (XtV) =П1?Ф (w, y)\w-w (x,yh (1.4.5)
£>$<?i(x, У, v)\v=w (X,y)=Daws^(w, y)\w=w(x,y)- (1.4.6)
Введем теперь в рассмотрение интеграл
п i
Ι ί \~2~Г Τ {φΛΧ>ν,Ό)-<χ,ν>\
■Λ(л, У, h) = {^) y xW?i(^ У, ν)άν·
(1.4.7)
Докажем, что
w = w(x, у) (1.4.8)
является стационарной точкой фазы
*ι(*. У, *>)-<*· *>>· ί1·4·9)
Действительно,
дФ{ (χ, .у, ν)
dv
138
д*Ф (wt у)
v=w (χ, у) dw
=х. (1.4. Ю)
w*=w(x, у)

Более того, если (дс, j/)eQ, to w(x, у) =υ (χ, у), и
ΙπιΦχίχ, ν(χ, у)) = 1тФ(х, v(x, y)) = 0. (1.4.11)
Разложим теперь интегралы 1(х, у, К) и 1\(х, у, К) в соответствии
с теоремой 1.1.1. При этом в качестве s-аналитического
продолжения функции Φι (я, у, ν) возьмем саму эту функцию (она ана-
литична и, следовательно, s-аналитична относительно любого
модуля р). Имеем
— [5*<0,»U,*))+<*.«(*.VW- 2„ J_- / -zr-Λ
Ι (χ, у, h)=en ' 2 h ψΛ*> ?]\niodA:
(1.4.12)
4- [5*i[(.*,tf,«»(■*>#))+<■*.»(*»£θ>]
/2(x,y,h)=eh X
I"1
Поскольку 5Φι(λ:, у, к; (х, у))=8Ф(у, w(x, у)), а выражения Ψ к
зависят только от производных функций Φι, cpi (по переменным
ν) в стационарной точке, то учитывая (1.4.5), (1.4.6) получаем,
что разложения интегралов 1{х, у, h) и 1\(х, у, h) совпадают.
Используя теорему (1.3.6), получим, что коэффициенты Wk[Of φ]
удовлетворяют соотношениям (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4), (1.3.6), если
заменить аналитические функции Φ, φ в этих соотношениях на
*Ф и δφ, соответственно.
'Переформулируем полученные результаты на языке теории
операторов. Зафиксируем фазу интеграла (1.4.1) и будем
рассматривать этот интеграл как оператор, сопоставляющий каждой
финитной функции φ (у, ν) с компактным носителем* некоторую
функцию
I(x,y,h) = /[4](x,y,h). (1.4.13)
[i-i]
Более того, с точностью до h оператор (1.4.13) представляет
собой оператор
^Щх,С(х)
mV υ } /detHess( — Ф(лг, ζ (χ))) lTVf/' л V!/' V JJ
(modA^1),
(1.4.14)
* Если рассматривать функции с компактным носителем, то множитель
χ(ν) в (1.4.1) можно опустить.
139

где V — полином по h степени 1 вида
*V = 1+Огк+.. . + Ог±,Л\* J- (1.4.15)
I 2 l\
Коэффициентами полинома SV служат дифференциальные
операторы
Dh= Σ Μί/, V)D*> (1.4.16)
порядка, не превосходящего 2k, с аналитическими
коэффициентами. В формуле (1.4.16)
D* = д-^~-. Ι«Η«ι+- ·-+«.· (1.4.17)
Оператор (1.4.13) по линейности распространяется на
элементы вида
<Р=<Рв + АЧ + ·. · + **%. (1-4.18.)
и, следовательно, на такие элементы может быть и
распространен оператор (1.4.15).
Рассмотрим теперь * правильное s-аналитическое лагранжево
многообразие (М, рм) в фазовом пространстве Фс-
Пусть S(uj)(zT, ζϊ) — действие в канонической карте (ί/, /) (см.
гл. II, части I § 2.4 формула (2.4.3)), (V, J)—другая
каноническая карта, имеющая непустое пересечение (U, I){\(V, J);
мы введем следующие обозначения:
/ι=/ П J; /,=/ Vi; /*=J\h; Λ=[λ]\(Λ U /2 U /,).
(К 4.19)
Рассмотрим на пересечении карт (U, I) и (F, /) (точнее на
(£/°, /)-сечении функции
^-^/, + ^ΐ^, Л Л., Л.)· (L4.20)
Эту функцию мы будем считать фазой, причем в обозначениях
§ 1.2 имеем:
* = (/>/., -*Ό, х = Ыш> Ри\ V=W\PiX (1-4.21)
Можно проверить (это будет сделано в главе II), что если
функция φ = φ(ρι3, χ12, xIly pi J имеет носитель, сосредоточенный
в пересечении карт (£/,/) П (V, «О, то интеграл
-ο-*(ώΓ"^'·^^χ
X *?</./>[** в(и',)(*г,С7^(а/, с7)](Л *\ „,.. „j *Л.</У·
(1.4.22)
140

удовлетворяет всем условиям теоремы (1.1.1). Соответствующий
оператор SV, определенный в соответствии с (1.4.14) мы
обозначим через sVjj, чтобы подчеркнуть его зависимость от карт (U, I)
и (V, /), на пересечении которых он определен. Более того,
используя формулы (1.3.13) можно ввести комплексный оператор
sVu, который для интеграла (1.4.22) и в соответствии с формулой
(1.4.14) будет определяться следующим образом:
(-^ГЙ·*1"^*'*
-j-S (стационарная точка) ι \ s Λ\
S/?(V0 -4=- (cmau,sV'J wUodAL""1-!], (1.4.23)
причем в (1.4.23) под «стационарной точкой» имеется в виду
комплексная стационарная точка, которая может быть определена,
например, для s-аналитических представителей функций S(z*, ζτ)
и φ (г7, t'i)^Os(U, I). При этом, как мы покажем, координаты
этой стационарной точки имеют вид:
*'=zV, ς7),
V ' J/ (1.4.24)
ζ7=ζ7^, ζ7),
так что применение оператора R°(u,i) в формуле (1.4.23)
осмысленно.
141

ГЛАВА II
КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР НА s-АНАЛИТИЧЕСКОМ
КОМПЛЕКСНОМ ЛАГРАНЖЕВОМ МНОГООБРАЗИИ
§ 2.1. Существование и единственность
канонического оператора
Рассмотрим правильное (s +1) -аналитическое лагранжево
квантованное многообразие (М, р^) в комплексном фазовом
пространстве Фс, введенное в части I. Напомним, что для
задания такого многообразия (М, рм) нужно фиксировать
следующий набор объектов:
а) (Фс, £ф)—■ (5+1)-аналитическое гамильтоново (фазовое) про-
мильтоново пространство с координатами
(г, ζ)=(*»,..., z\ d Ся),
П
весовой функцией q<&{z, ζ)=*S (\lm zk\-\-\lmik\) и структурной
η
форМОЙ ω= "V d£k Λ <***·
k
б) Ζ:(Λί, qm) d (Фс, £>ф) —(5+1)-аналитическое вложение
(s+^-аналитического многообразия (М, рм) с весовой
функцией рм;
/*H^0(mod7(Ai, Рл1)).
в) невырожденная s-аналитическая мера μ^Αη(Μ, рм).
г) набор {5(ом)} (5+ 1)-аналитических функций, являющихся
в каждой карте некоторого атласа канонических карт {(ί/, /)}
многообразия Μ решением уравнения *
dS(U}n = ilCizr-ζ*ί7 (πιοάΊ(Μ, qm)) (2. 1.1)
и удовлетворяющих в каждой карте атласа неравенству**
С3Р2(·*7, P7)>Im R(uj)S(U,i) =Im S(t/,/) (У, /??) >
> ClQ2 (V, /tf) > C2c| (У, /77); Clf C2, C3 > 0, (2. 1.2)
а на пересечении двух карт (£/,/) П (ίΛ «0» удовлетворяющих
сравнению
S(v,j)--S(U)I)^z%,-z%2modsI(U П К, ρ*)). (2. 1.3)
* Через /, /, ... мы обозначаем как и раньше подмножество в множестве
целых чисел {1,...,я}, /, / — дополнение к множествам I, /; Ii~i[\J, /2=/\ A
W//,w//2.
** Условие (|2д1.|2) является инвариантным относительно выбора
канонического атласа (см. следствие 2.4.14 части 1).
142

д) набор {/(с/,/)} s-аналитических функций, определенных в
каждой канонической карте (ί/, /) формулой
Αυ,,^-ψά, (2.1.4)
причем аргументы функций J(u,i) выбраны таким образом, чтобы
в пересечении (U, I) [) (V, I) [) Ω(Μ, ρΜ) для любых двух
канонических карт (£/,/) и (V, /) выполнялось условие
Argy(^,7)-Argy(i;,/)=2argX;fe + |/2|n, (2. 1.5)
k
где λ^ — собственные значения матрицы
<Ч-^,г/з)
—-л<а^Хл< — π.
Рассмотрим линейное пространство многочленов от
переменной h вида
причем (2. 1. 6)
/у€ 'уО'(М, С*), *у>тах{0, 5-2/}.
Пространство многочленов вида (2.1.6), очевидно, образует
кольцо, поскольку коэффициент при hm в произведении двух
многочленов
/. + */! + · ·· + **/*
и
равен 2^ fjgj и, значит, принадлежит кольцу (s~2m)0'(Ai. рж,)
£ + /=»/»
(напомним, что *Ό'(Λί, ρ^^'Ό'ίΛί, ρΜ) при /1>/2).
Рассмотрим в кольце многочленов вида (2.1.6) идеал,
состоящий из многочленов вида ^ ^fegk, и обозначим через
ЮЩ{МУ рм)
фактор-кольцо кольца многочленов по указанному идеалу.
Подкольцо кольца sO/[h](Mi pM), порожденное многочленами с
финитными коэффициентами, обозначим через sO'[h](M, рм)
Наконец, через sI[h](M, pM) обозначим идеал кольца
*ОЩ{Му рм),
143

порожденный многочленами вида (2.1.6), для которых
справедливо включение
Рассмотрим две произвольных карты на многообразии (U, I)
и (V, /). В главе I, § 1.4 (см. 1.4.14, 1.4.23) были определены
дифференциальные операторы
sVn:sOf0[h](U П V)->sO'0[h\{U П V) (2. 1.7)
вида
Г-f—1,
причем коэффициенты аа являются s-аналитическими функциями
от функций S(v,j), J(v,j) и их производных порядков β^|α|:
αα = αα(5$>7), j\VtJ)). (2.1.9)
Поэтому
aa^s-2k)0'(Uf) V,Q\UnV). (2.1.10)
Более того, операторы sVji обладают следующими
свойствами:
а) Если 9^sO'o[h](U, /), то V;/?-?€*/[A](i/, /). (2. 1.11)
б) Если ψϊ*0Ό((υ, I) П (К, J) П (Г, /С), ρ), то V^(V)/?)-
-V)r,<p€7 [*]((*/, /) П (Κ, J) П (W\ /С), e). (2. 1. 12}
Пусть {(£/, /)}—некоторый правильный канонический атлас
многообразия {М, рм}. Согласно предложению 1.2.6 части I
существует s-аналитическое разбиение единицы {φ(ΐ/,ΐ)},
подчиненное покрытию {£/, /}, т. е.
Sv,/)-1· ^2Л-13)
supp<p(t/,/)C:£/. (2. 1. 14)
Фиксируем такое разбиение единицы. Ясно, что если /(^,к)=0
в точке аеМ, то φαν,.κ)(α) =0.
Определим теперь локальный канонический оператор
отвечающий канонической карте (U, /), полагая для произвольного
элемента φ^8Οο'[Α](ί/, /)
/Г('с/.7)т=/?^/г?»./){в^*(С','>У^ 2 *^«(«™>?)}· (2-1.15)
144

I
Обозначим через Hh пространство функций f(x, h),
снабженное счетным числом норм
к 12
||/||*=sup Ν(1+Η2+Δ)2/Ι^·
0<Л.<1 «> I
Яп
Здесь δ оператор Лапласа:
h
дх1
Теорема 2.1.1. Для s-аналитического лагранжевого
правильного квантованного многообразия существует единственный
оператор
JL .£_!
K':sO'o[h]{My QM)-+Hh (Rn)/modh& , (2. 1. 16)
совпадающий в каждой канонической карте атласа {(£/, /)} с
оператором (2.1.15), т. е. если φ $.sOo[h]{U, I)czsOo[h] (M,qm),
mo t f * Λ
/C(c/,/)?^/C'cp\tiiodA ).
Доказательство теоремы 2.1.1 будет следовать из
следующей леммы.
Лемма 2.1.2. Пусть (U, I), (V, J) —две канонических карты
атл(аса {(£/, /)},
<?ZsOO[h}(U() V, QUnV). (2.1.17)
Тогда
( ^,Τ-ή (2.1.18)
Доказательство леммы 2.1.2. Обозначим через k\u,i)
оператор, действующий на произвольный элемент φ^δΟ0Ί/ι](ί/, /)
по формуле
λ. (Is --L \
klu,n9=F^x7$u,n\eh' ^'^c/.W- (2. 1. 19)
Тогда
^/>? = *(W 2 '^Λ*(ΐτ,*><Ρ)Υ (2. 1.20)
\(w,*> /
Покажем, что для произвольного элемента (2.1.17)
справедливо сравнение
k[Uf п9 = k{Vtj)SVjiγ (modh^). (2.1.21)
145

Используя обратимость оператора Фурье, получаем, что
сравнение (2.1.21) эквивалентно следующему сравнению:
= ^,7)^5(К,7^7к5)^;/?(тос1/гТ^1). (2.1.22)
Преобразуем левую часть сравнения (2.1.22), используя
формулу асимптотического разложения интеграла быстроосцил-
лирующей функции (см. теорему 1.1.1 части II),. Прежде всего
запишем выражение, стоящее в левой части сравнения (2.1.22) в
более явном виде:
—1/2| \П+П\ ι
X$ufI)eh (U,nAu,h<?dpi3dx'>. (2. 1.23)
В нашем случае фаза подынтегрального выражения в
интеграле (2.1.23) равна
й/-^/, + 5(1/,/)(Д A Ph, Рп) (2.1.24)
и, поскольку Im S(Uj)(xIi pj)^0 (условие (2.1.2), имеет
неотрицательную мнимую часть. Из определения (2.1.1) следует, что
функция 5([/,ΐ) удовлетворяет сравнению
dSwj^bdzf-z'a:! (mod7(Af, Qm)).
Стационарная точка (zr\ Х1з) как функция от свободных
координат^'3, /7/2): ζΐ2 = ζί2(Λ\ ρΐ2), ζ/3 = ζ/3 (^, Ρη) удовлетворяет
системе уравнений
(2.1.25)
-р/.+-^-(А^Л.,л.)=о.
Покажем сначала, что система уравнений (2.1.25) имеет не
более одного решения в окрестности множества Ω(Λί, ρΜ). Для
этого достаточно усмотреть, что якобиан системы (2.1.25) по
аргументам (zJ2, ζ/3) отличен от нуля. В самом деле, якобиан
системы (2.1.25) в точках, принадлежащих множеству Q(U f)V, ρ)
равен гессиану
Hess /■ ( — S(£/,/)),
Ζ 4 ζ/3
146

который, в свою очередь, совпадает с отношением
(~1)1ЫАу,ЫГи,п. (2.1.26)
Поскольку на пересечении U (] V выражение (2Л.26) не
обращается в нуль, то система (2.1.25) имеет не более одного
решения, лежащего в окрестности множества Ω(ί/ Π V, ρ).
Рассмотрим теперь систему уравнений
ζ 3 — ζ ζ\ζ \ ζ 2, ζ/3, ζ/4) = 0, ^ 2j}
-ζτ. + ζ/.ί^,Λζί., C/J = 0
относительно аргументов ζ /а, ζ/3. Вместе с тождествами
*?х = *?\ ^п^п (2.1.28)
решения системы (2.1.27) определяют переход от координат
(ζ1, ζ?) к координатам (zJ, ζγ). Значит, существуют s-аналитиче-
ские функции
zu = zJ\ J'=J*(z\ z?\ ζ,,, ζ/4),
C/.=Cr.(*\ *1\ С/., С/Д Ci4=C/4, (2. 1.29)
являющиеся решениями системы (2.1.27). Подставим функции
(2.1.29) в систему уравнений (2.1.25) при вещественных значени-
ях^координат (zf\ z!\ ζ/2, ζ/4). Из (2.1.1) получаем, что
(lfi-Z'j(''I'/' ^.,C/j6*/(i/n V, с), (2. 1.30)
ί^ψ- -ϋ(Α Λ ь., сл)€*/(«/η i^.q). (2.1.31)
Следовательно, функции (2.1.29) удовлетворяют равенствам
χ1·—^p (Λ Λ С, „/4)=/lf
/s (2. 1. 32)
— Ρι»-\ τ К* > z > vs, Pij—/2.
а функции /ι, /2 таковы, что
/x€V((i/n^.-/). (2Л>33)
Поскольку якобиан системы уравнений (2.1.25) отличен от нуля
в окрестности Ω(ί/Π^, ρ) то путем элементарных оценок полу-
147

чаем включение
^-?"€V((i/n^.A (2Л3.
Ьь-ХиСщи t\V)\ J). }
Таким образом, для интеграла (2.1.23) стационарная точка
(modsI((Uf]V)°t 7))-равна функциям (2.1.29) для вещественных
значений координат. Следовательно, в формуле асимптотического
разложения интеграла (2.1.23) мы можем вместо решений
ζ \ ζ/3 уравнения (2.1.25) подставить функции (2.1.29).
Докажем теперь сравнение (2.1.21). Значение фазы интеграла
(2.1.23) в стационарной точке .г7'(.г7, Cj), ζ/3 = ζ/8 (zJ, ε-)
отличается от значения функцииS(^> 7) (^ , Cj )на элементы из идеала
*/((t/ У), ρ).
В самом деле, (mod sI(Uf\ V), ρ)) имеем:
+ S(U, n (ζ1', zu (zJ, ζ7), lh (z\ ζ7), ζ,4) ^
=z'xh(zJ, C7)-C,yV, ζ7)+
+S(t7,/)(*\ z'*(zJ, ζ7), C,(zy, ζ7), C,J^5(v,y)(/, C7).
Последнее сравнение справедливо согласно (2.1.3).
Далее, имеем
(-i)'4/(ir./) (*''· ^(^, с7), ς,. О*7. Су), С/4)х
X detHess, /. c,) (-S«/./>(*'*, ^(У, *7), С/. (У, С7), C/4))^
^ (- l),/2fy(t/> /, (/', /' (z7, ζ,), ζ7ι (zy, ζ7), ζ,.) Χ
XdetHess, ,, „ (-S(U>l)(zh, ζ'\ζ\ ζ7), C,3(zy, C7), ζ/J) =
(Последнее сравнение см. в § 2.4 части I (формула (2.4.28)).
Согласно формуле асимптотического разложения интеграла
(2.1.23) аргумент выбирается равным
|/Jrt+Argy(c/l/)-|-ArgHessf /lF J— S(U tl)) =
= |/||n+Arg/(I/,/> + 2arg**. (2.1.35)
к
где Xk — собственные значения матрицы
*(-с,.. «'')
148

^--5-<C^<—· Согласно (2.1.5), выражение (2.1.35) совпа-
дает с Arg J(Vtj).
Оценим теперь невязку в членах sVjiy. Согласно (2.1.8),
(2.1.10) коэффициент при hk в разложении интеграла (2.1.23)
выражается через производные функции φ в точке
?2=?2(Α№),ζ/343(Λ ри)
{см. 2.1.25), а правая часть (2.1.22) имеет такой же вид, но в
точке (2.1.29). В силу (2.1.34) коэффициенты при hh в левой и
правой части (2.1.22) отличаются на функцию из идеала
<s-2fe)/(£/n V, p). Таким образом, сравнение (2.1.22) будет
полностью доказано после доказательства следующего утверждения.
Лемма 2.1.3. Пусть S, S', ψ, ψ'— s-аналитические функции
в карте (U, /), причем для функций S, S' выполнено условие
(2.1.2),
S-S'€*/(ί/, ρ), (2.1.36)
ψ-f ^^/(ί/,ρ). (2.1.37)
Тогда
_L5 J_5, / -1_ι_Λ
/??<,,„<?* ψΞ3/$,|7)** fUodA2 J. (2.1.38)
Доказательство. Разность левой и правой части
сравнения (2.1.38) представим в виде суммы двух выражений А\ и А2:
Λ-^ν,/)?τ5'(ψ-ψ'),
( J-S ±-S>\
Оценим каждую из функций Аи А2. Используя (2.1.2), получим:
Для функции А2 получаем следующую оценку:
\At\<Ce h [1-е k ), (2.1.39)
a |/| ^ CjQ*. Для сомножителя \ 1 — e h ) получаем
К.-.-')
Учитывая (2.1.2), получаем
ι l4 r с °s
<-ГС»1/1е <%е Т*'- (2-1-40)
±е* . _ .4-'
149

Лемма 2.!.3 доказана.
Завершим теперь доказательство леммы 2.1.2. Согласно
(2.1.20)
Из (2.1.21) следует, что
Из леммы 2.1.3 и (.2.1.12) следует, что
Покажем, наконец, как из леммы 2.1.2 следует теорема 2.1.К
Оператор К' определим равенством
ΛΓ'φ = 2 A:(V,/o(<P(^,/o<P)· (2.1.41)
Если supp срс: (ί/, /), το
/C>= J #(V* >(?<*,*>?)· (2.1.42)
Поскольку supp ((p(W)K)(p)czU П HP, то применяя (2.1.18),
получаем
=K(u,nh 2 *<™Λ (modVA"7"1))· (2. 1.43)
Используя соотношение (2.1.13), имеем
K'(<t)=K[u,n9\mod (а1"""/). (2.1.44)
Если К" — другой оператор, удовлетворяющий соотношению
/C,/(?) = ^(/£/lo?(mod(AT"1)) (2.1.45)
для всякой s-аналитической функции <ре*0</[А](£/, /), то
/r'(T)-^/r"(?) = o(mod(A"s""1). (2.1.46)
150

В самом деле, соотношение (2.1.46) справедливо, если
носитель функции φ лежит в некоторой карте (U, I). С другой
стороны,
?= Σ <t{w,K)b (2.1.47)
г supp tp(yrtK)ipc:W, т. е. для каждого слагаемого (2.1.47), а
следовательно, и для функции φ справедливо соотношение (2.1.46).
Теорема 2.1.1 полностью доказана.
Замечание 2.1.4. Определим кольцо sO[h] (Μ, ρΜ) как
фактор кольца sO'[h](M, pM) по идеалу sI[h](M, pM). Из леммы 2.1.3
операторы (2.1.6) определены корректно как отображения
sVjnsO[ti](M, QM)-+eO[k)(M, qm). (2. 1.48)
Более того, имеет место следующее утверждение
Утверждение 2.1.5. Пусть справедливы сравнения:
1) В каждой канонической карте
S(U, /)sS(t/f /)(mod7(l/, /)),
2) |i = ?(modV(Aif qm).
Tbada, если К' и К' — канонические оперторы, построенные
по элементам (S, μ) и (S, μ) соответственно, то при s^3 для
любых двух функций φ, φ&0'[Κ\(Μ, pM),q>=(p(mods/(M, ρΜ), имеет
место сравнение
/r^ = AT^(modA 2 * ).
Доказательство этого утверждения непосредственно
следует из лемм 2.1.3 и замечания 2.1.4.
Утверждение 2.1.5 позволяет сделать вывод, что канонический
оператор К' определяет корректное отображение
4-1
K:sO0[h](M)-+Hh (/?")/modA2 . (2.1.49)
§ 2.2. Гамильтонов формализм и операторы P(u,iy
Так же как и в § 2.1, мы фиксируем натуральное число 5^3,
(s+1)-аналитическое квантованное правильное лагранжево
многообразие (М, рм, S, Arg J(u,i)) и s-аналитическую меру μ на
многообразии М. Под сравнением
Ψ(*,Α)ξξξΟ <modA*) . (2.2.1)
мы будем понимать выполнение системы неравенства
|?ψ(*, Α)|ι.(*«)<ChN (2.2.2)
151

для всех мультииндексов α = (α1}..., α„), |α|<;Ν, где
|α| = θι + ···+αΛ·
1. Гамильтонов формализм. Обозначим через ф^
вещественное фазовое пространство с координатами (х, р)^
=1(х\ ..., хп, ри .··, Рп). Пространство <£r мы будем считать вло~
женным (как вещественное подпространство) в комплексное
фазовое пространство Фс с координатами
(ζ, ζ) = (^,..., z\ Clf..., ζ,); *> = xj + iyj, ζ,=/>,+ίη,.
Определение 2.2.1. Гамильтонианом Ямы будем
называть гладкую комплекснозначную функцию Н = Н(х, р) : CDr-И^
удовлетворяющую следующему условию. Существует такое
натуральное число /п, что для любых двух мультиндексов
α = αι, ..., ап и β = βι, ..., βη
существует такая постоянная Са, ρ, я>0, для которой имеет места
неравенство
<Са,э,я(1 + ИГ(1 + НГ. (2.2.3)
Допуская некоторую вольность, мы будем называть гамильто^
нианом и (5+1)-аналитическую функцию
s+l
H(z, C)=y-J-(ty ± + tr\±)kH(x, p). (2.2.4)
При этом, там где это может вызвать путаницу, мы будем явно
указывать аргументы гамильтониана.
В формуле 2.2.4 введены следующие сокращения:
ί/=(ί/\..., уп\ л=(%..., η„), г"=г7»--^-д
дд: 0*1 дхп
д д д д 1^1 ц_ η &
djp dpi д/?л дл: <λκ* дхп
Определение 2.2.2. Гамильтоновым векторным полем
У(Н)^Т(Ф), отвечающим гамильтониану Η {ζ, ζ), мы будем
называть поле
У(//) = — Л_^ А. (2.2.5)
v ' dC/ dzl dzl 0ζ£·
152

Здесь, как обычно, по повторяющимся индексам
предполагается суммирование. Мы будем записывать поле (2.2.5), опуская
индексы суммирования:
V{H) = d-Z ±-™ ±. (2.2.6)
ν ; δζ dz dz δζ ν ;
Сформулируем теперь определение s-аналитического
многообразия Λί^Φ, инвариантного относительно векторного поля
]/(Н)^ТФу применительно к полю (2.2.6).
Определение 2.2.3. ^-аналитическое многообразие
{М,цм)1-*[Ф,&\ (2.2.7)
называется инвариантным относительно векторного поля
V(H)^TO, если существует такое поле ΥεξΤΜ, что для любой
функции φ^δΟ(Φ) справедливо сравнение
i*V(H)<r = Yi*<r(mod-lI(QM))9
где г
/*.*0'(*, ЯФ)-^*0'[М, QM]-
отображение сужения, индуцированное вложением (2.2.7).
В дальнейшем поле Υ мы будем по-прежнему обозначать
через V(H).
Предложение 2.2.4. Пусть (s + 1)-аналитическое лагран-
жево многообразие (М, рм) удовлетворяет условию
H{z, Цмп ^ О (mod V (βΛ)), (2.2.8)
тогда многообразие [М, рм] инвариантно- относительно поля
(2.2.6).
Доказательство. Отметим, прежде всего, что
утверждение предложения 2.2.4 достаточно проверить в какой-либо
канонической карте. Пусть
i(V/)«*0'[*, ςΦ]->50'(ί/, /; β<*,/>)- (2.2.9)
оператор, индуцированный вложением г: (£/, /)с:[Ф, рФ], и пусть
<ревО(Ф)—произвольная s-аналитическая функция. Имеем по
определению
.* дН ду , .* дН ду .* дН ду .* * дН ду
(2. 2. 10)
Напомним, что координатами в карте (U, I) служат
функции г1, ζ/ так, что из определения (2.2.9) оператора i{u,if следу-
153

дует, что, например,
Ηυ,η j^=j^ (**> ζ'(ζ1, C7), l,(z>, C7). &) (2· 2· И)
и аналогично выражения для остальных производных
гамильтониана, входящих в выражение (2.2.10). Из условия (2.2.8)
следует, что в карте (U, I) имеет место сравнение
Η (z1, г7(г',С7), ζ,(/, ζ7), C7)eO(modV(Q(ul/,). (2.2.12)
Дифференцируя это сравнение по переменным г1, ζ7, получим
дЯ 0Я
следующие сравнения для производных —j-, -sr-
<эя
д*1
.dz'dz1 Κι dz1 J
(mod5 Vfoc/,/)).
_ая
У \дН dzl , <ЭЯ <?ζ/1 , ,5-1T , ν
(2.2.13)
Подставляя значения (2.2.13) в (2.2.10) и опуская в
соответствии с обозначениями (2.2.11) оператор i(uti)* в правой части
(2.2.10), получим
дИ д
/* \/(И\— 0П °
hu>l)V{H} = —--
дН д ,
дН дг!_,дН_ _0ζ/
7 J ас
(2. 2.14)
Далее, из условия лагранжевости следует, что на
многообразии [Мп, рм] имеет место сравнение
dz №\[M".QM] ^0{moas-lI (ρΛ)). (2.2. 15)
Из (2.2.15) следует, что выполнены следующие соотношения
dz1
*—"(mod-l/(ej()).
дЦ <teJ
(2. 2. 16)
и поэтому сравнение (2.2.14) переписывается в виде
.dz dz dz1 dz1 */
<ЭЯ
d*'
.4+^sf+^^(mod*"'/fe))· (2-2Л7)
154

Поле, стоящее в правой части сравнения (2.2.17), совпадает
с полем
ELA^^^* (2.2.18)
на пространстве iQjti)**0'(U, /). Поскольку поле (2.2.18)
принадлежит T{U, /), то предложение 2.2.4 доказано.
На 5-инвариантном ^-аналитическом многообразии Щ, рм]
можно корректно определить понятие s-инвариантной s-аналити-
ческой меры.
Определение 2.2.5. Мера μ^(δΛη)'[Λί, ρΜ] называется
инвариантной относительно поля V(H), если справедливо сравнение
Z^«0(mod'-1/(QJII))f ■ (2.2.19)
где LY — производная Ли вдоль векторного поля Y, а поле Υ
такое, к£к в определении 2.2.3.
2. Операторы P(u,iy Рассмотрим некоторую каноническую
карту (U, I) многообразия Μ и пусть Н = Н{х1> х1, рт, рг)
—гамильтониан. В этом пункте мы определим некоторые линейные
дифференциальные операторы
P(U,n=sO[h)(U, f)-^sO[h](U, I), (1.2.20)
играющие в дальнейшем изложении основную роль. Операторы
являются полиномами по переменной h:
μ-ι] μ_:
> ,? ,v -"AL 2
• Piu,n=Ptu,i) + hP\u,,)+...+P\Stn№2 К (2.2.21)
и компоненты P\u,i), P\u,/h--- будут предъявлены с помощью
рекуррентного процесса. Более того, для операторовP\u,i) иР\и,п
будут получены явные формулы. Переходим к процедуре
определения операторов P\uj), А=0,..., -- 1 .
Применим оператор Гамильтона:
Нщ,п = Н (Pi, Рт> *> *Т)> (2·2.22)
где pf= —ih , xr =ih ,
dxr dPT
к функции e!hS{x ,/7r^(x7, jpj-). По определению имеем
/(*) = //(£„ ρ-, χ1, Ί?)βΎ${Χ ,/?ГЧ(^ Рт) =
e/V^ _ \F'JH (χΙ> χΙ> Ρ* Ρτ) Pj'+ρ*h ? (*''. Ρτ)1
ρ ι^χ1
155

Таким образом,
ι /ι _LLL . , _,
/ ι \ 2 / ι \~2 г г -г п*г > гг*" (х >рт)) -
R/R/
I/
X -5^ J** ' *(*'. fr)^- (2.2.23)
R''
Интеграл (2.2.23) понимается как повторный интеграл, и,
поскольку, соответствующий кратный интеграл, вообще говоря,,
расходится, не допускает перестановку пределов
интегрирования. Это неудобство мы преодолеем следующим образом.
Рассмотрим покрытие пространства
Rr0 R, (2.2.24)
с координатами (χ1 , pf) двумя окрестностями, первая U\ и*
которых представляет собой открытый диск единичного радиуса
с центром в начале координат.
ίΛ={θ·κ7Ι2 + |/Μ2)<Μ + γ}. (2-2.25)
а вторая состоит из точек, координаты которых удовлетворяют
неравенству
^2={Л1<(|^р + 1л12)<оо}. (2.2.26)
Если теперь
ег+е2=1— (2.2.27)
разбиение единицы, подчиненное покрытию (2.2.25), (2.2.26) тог
обозначая через #ι и Н2 функции
def def
Нх=Нех, Н2=Неъ (2.2.28)
мы получим, что интеграл (2.2.23) разбивается на сумму двух
интегралов
/(AJ = /1(A) + /2(A), (2.2.29}
отвечающую разбиению (2.2.28).
156

Оценим вначале интеграл h(h). Имеем:
1 (*(* ~ТГ {<хГ>Рг>—<х1 >Рг>) —
л л 4я {<χΤ> Ρ'->-<Ρΐ> *'7>+5(.г'Л ρ-1) }
X Я* ' ' X
Х#2(х', *Г Лэ /^ψ^'7, pT)dx'rdp'T. (2.2.30)
Найдем стационарную точку внутреннего интеграла. Фаза
этого интеграла равна
<*?-, Рт>-<Р„ x'/>+S{x'r, pi), (2.2.31)
мнимая часть этого выражения совпадает с Im 5 (χ' , pi)
и, следовательно, неотрицательна; мы можем применить к
интегралу (2.2.30) формулу асимптотического разложения.
Уравнения для стационарной точки фазы (2.2.31) имеют вид
«(*''. Сг)1
дг'1
(2.2.32)
_ dS(z,r, ζΐ)
-ζ' ^ '—=0.
*Г
Поскольку функция ^(л/, pj-) гладкая, то существует
такое число N, что
| maxgrad . S^'7, /?г) | <ЛГ, (2.2.33)
где max в (2.2.33) берется по всем точкам^7, /?^)£supp Ψ(λ:/7, /?^-).
Поэтому, если в выражении (2.2.26) положить М = Л/+1, то
система (2.2.32) не будет иметь решения. Интегрированием по
частям, мы получим, что для интеграла h (h) имеет место сравнение
/2(А) = 0(modh°°). (2.2.34)
Сосредоточим теперь свое внимание на интеграле h(Л), в
котором теперь уже можно менять пределы интегрирования.
Запишем его в виде
/ 1 \п ('Г Г Г ΊΓ\<χί ' (/77—Pj-)>+<Pr (xI-x'i)>+S(x,r, ργ)
fe/ 1Шe x
У Ht(x', xTt p„ />f-)^(x'r, p'T)dxTdpldx'Idp'T. (2.2.35)
157

Применим к интегралу (2.2.35) формулу асимптотического
разложения интеграла (см. гл. I). Фаза рассматриваемого инте^
грала равна:
Ф(х'г, рг, хт, р„ х{, рт) =
= <*ГЛРТ-Рг)> + <Ри (^-x,l)> + S(xf\ рт). (2.2.36)
Уравнения для стационарной точки имеют вид
где
Φ{ζ'\ ζΐ, ζ~, ζ„ χ', ρτ) =
^"(ζΙ-^+ζ,^-ζ'7)^^'7, ζ',),
или в более подробной записи
йг'7 дг'7
(2.2.38)
дФ
г7 + /-=0,
*Г
«Г
(2.2.39)
дФ
?г7
^Ф г г/ η
—χ7—г =0.
*/
(2.2.40)
Докажем, что система уравнений (2.2.39) — (2.2.40)
однозначно разрешима относительно z'r, ζ,γ-, zl, ζ7. Это
утверждение очевидно для системы (2.2.40), из которой следует, что
.Ί
--х1, <>г=Р-'
(2.2.41)
и, с учетом (2.2.41), мы получаем следующее решение системы
(2.2.39):
Г dS(zr, ζ )"|
Г dS(zr, ζ_) "Ι
'"L *r г,Рг)'
(2.2.42>
158

Покажем теперь, что матрица гессиана функции (2.2.38) в
стационарной точке (2.2.41), (2.2.42) невырождена. Запишем
матрицу Hess Φ:
*S \Х> D 1
**"**" [Х'Р']
d2S Г г' π 1 1
г , Iх > Ρ ι J
dzrId^T
Ι ι
-1/
иг όζ'—
Λ ,Λ, ΙχΙ> pj\
h
V
1
7
(2.2.43)
В матрице (2.2.43) все функции берутся в точке (2.2.41), ll9 1? —
обозначают единичные матрицы размерами |/| и |/|
соответственно, и в незаполненных клетках матрицы (2.2.43) стоят нули.
Поскольку детерминант матрицы (2.2.43) равен 1, она
невырождена.
Наконец, отметим, что мнимая часть фазы (2.2.36)
1тФ(*'', /f, χΓ, Л, х', pr)=lmS(x', pT) (2.2.44)
и, следовательно, неотрицательна. Поэтому выполнены все
условия теоремы 1.1.1 предыдущей главы, причем координаты
стационарной точки суть
Рг=Рг>
dSiz1, ζ-)
χ* = — [-*', Prl
dz1
dS(zr, ζ )
Ρι=—^—[*', рЛ
Асимптотическое разложение интеграла (2.2.35) имеет вид:
(х1 —свободный параметр)
( ι \л ffff -j[-{<xl Λργ-ΡΤ)>+<ρΙΛχΙ-χίΙ)+^{χ'^ р'т))
\ыГ) )))) е х
ХН^х1, хг, рп /^Ж*'7, p'r)dxTdpidx'Idp'r^
159

^d Md ZI r c_.
*' . C/f Су»
a/ | + Ι β/1 + IPr |<2fe
при
Χ Η,{ζ', ζ', ζ„ ζ^-C^ ^ β_ (ψ, 5), , (2-2.45)
lj-=iT=pr (modh ).
Здесь Ях (г7, г7, ζ,, ζΓ) определено формулой (2.2.4), и
Dl' β" *Τ= Я? дЬ *t__ (2.2.46)
*' ' <7' СГ (dz1 / (^/)β/ (*_/'
дифференциальные операторы, α7, p7> β7—мультииндексы,
С г - (2.2.47)
«7 , β7, β7 ν '
полиномы от функций ф, S и их производных до порядка 2k; при
этом значение правой части разложения (2.2.45) берется в точке
(2.2.41), (2.2.42).
Так же как и в § 2.1, исходя из леммы 2.1.3, мы выводим, что
меняя функции S, #2,ψ на функции из идеала s/(t/, pu),
получаем, что формула (2.2.45) дает эквивалентное асимптотическое
разложение интеграла /(Λ).
Дадим алгоритм нахождения коэффициентов (2.2.47). Мы
будем определять их рекуррентно. Пусть k0 и г — некоторые
натуральные числа r^2k0. Предположим, что в выражении (2.2.47)
уже вычислены все коэффициенты для
1. k<k0; 2. k = k0; I о J + J p \<r (2.2.48)
(для краткости мы обозначили α=^α7, β=(β/, β?"))·
Вычислим коэффициенты (2.2.47) для
* = *о. I « I + Ι Ρ I =r.' (2.2.49)
Для этого вычислим для произвольного набора (α0, β°)=(α£, ??,
?г)» удовлетворяющего условию (2.2.49), выражение
160

H{u,tAuj) = H{ph pT, x', x')en ψ(*', ρ~) (2.2.50)
с гамильтонианом ,
Η {χ1, χΓ, ρΓ, Ρτ) = —^ (xrf°(Pi)r(prj>r. (2.2.51)
Заметим, что единственная, отличная от нуля производная
порядка г выражения (2.2.51), есть
«о! ДО
да)|0^£1_=1.
Поэтому
C*f[<p, S]D^^J-, '(2.2.52)
И I + Ι β \<r
и через [ ]*0 мы обозначим коэффициент при hk° в
разложении по степеням h выражения (2.2.50).
Определим теперь операторы P?i/,/) s полагая для ψ ζ sOf (ί/, I)
Xtf(*', x~, Л, />Г)С*Г * (5)1ψ], . (2.2.53)
*' , Ρ/. βΓ
где С*~ (·5)[Ψ]=^β|ρ(ψ, 5) определяются описанным выше:
алгоритмом.
Отметим некоторые свойства операторов Pfc/,/>.
1. Операторы Р*и,п суть линейные дифференциальные
операторы порядка не выше k. (2.2.54)
2. Коэффициенты оператора Р?с/,/> суть полиномы от функции
S(u,i) (х1, Рг) и ее прэиззодных порядка не выше 2£. (2.2.55)
3. Для любой функции ψ(ί/,/)€θό(£Λ'/) имеет место сравнение
= 2 **Ρ'?".'>Ψ(·*/. Рг) (mod Л2 ). (2.2.56)

Вычислим операторы Р*и;п Для k^O, 1. Оператор Р(с/,/> вычис*
ляется тривиально и» очевидно, равен:
Ρ(ΐ/,/)ψ(ί/,/)[^7, /у]=
= "[*> ^~' J7^' PrpwA*> /Ή (2.2.57)
ДЛЯ ЛЮбОЙ фунКЦИИ ψ(ί/,/) ζ sO\U, /)·
Для вычисления оператора Р(у, /> заметим, что коэффивд<
ент при Λ1 = Λ в выражении (2.2.53) зависит от производных фун*
кции Η порядка не выше второго и поэтому может быть
представлен в виде
Яо + я7 —=- + <*/-^ h^r^ l· bn Ά Ά +
d*' dpi дрТ dpidpi
+ 6* *** +b?7 *" ■ +£ ™ 4- *
dx* дхТ дрГдрТ дхГдрТ '
+ */7^- + *Г-^-· (2.2.58)
У всех входящих здесь функций аргументы берутся в точке
(2.2.42). Нахождение неопределенных коэффициентов а0, аъ
a~is ... и т. д осуществляется, в согласии с изложенным выше, пу-
тем подбора специальных гамильтонианов.
В следующей ниже таблице № 1 приведен список
гамильтонианов и определенные с их помощью коэффициенты. Вычисле- -
ния, ввиду тривиальности, опущены.
Заметим теперь, что для любой функции ψ (л/, p-)£C™(U°91)
имеет место следующая формула коммутации:
ι
-Ι ι
#(*, P)FPt^xiHx'> Pt)=HWj){x[, χ' , ft, РгУХ
Χ/^,Γψί·*', Ρ-)- (2-2.59)
Резюмируя вышеизложенное, мы можем высказать следующее
Предложение 2.2.6. Пусть 5(г7, Ст-)=5(^,/)(г/, ζγ-)~^
действие в карте (£/, I) и Н = Н(х, /?) — гамильтониан*
Тогда для любой ь-аналитигеской функции ^^sOq{U, ')
имеет место следующее сравнение:

"7-** 1 T LJ dU
дН д
-2
ι / &s dm . d^s зт
2 [ dz'dz1 <>ζ,όζ, + ό^δζ- дгГдгГ
' J
(2.2.60)
(mod A2 ;.
Гамильтониан
1
рт
' " χΤ
Pi
PTP-
Ρ,ΡΓ
PjPi
хГхТ-
х' Pi
χΤρτ
Коэффициент
Ι α0 = 0
α- =·. 0
*ΡΤ
4
α, = ——
δχ1
Ι/
6/7 = °
ь λ ms Φ
"~ 2 ,dy^ ψ
i" * d2S ι
2 d/ycjp-. Y
i" *S
"' аАг7б>р-
ί = £
Таблица № 1
163

Здесь значения функций Η и ее производных берутся в точке
/ dS {ζ1, ζ ) dS(z', c_) \ ,
I* ~-\^ ΡτΙ —^Γ1-^ ρτΙ Pry
а через ·,... обозначены вторые частные производные
dzIdzr
функции 5 (г7, ζτ) по переменным zrf ζ-, и операторы Р*у«
определены формулой (2.2.53).
Определим теперь полный оператор Ρ(ί/,/)[Α], полагая
[-Н
P(U,t)[h}= -Σ /ΐΡΪυ,ΐ). (2.2.61)
Операторы P(u,i) являются дифференциальными
операторами порядка не выше k (см. 2.2.54), коэффициенты которых суть
(s—2k) -аналитические функции. Следовательно, если
4€Γ0'(ίΛ Рс), то
Ρίι/,Ο'Κ^^Ο'ίί/, ?υ\
а, если φ€Γ/(ί/, Ри\ то
Таким образом, оператор P(u,n[fi] корректно определен, как
оператор из кольца sO [h](U, рц) в себя:
Р{и,п [А]: Ю' [h] (ί/, 9и) ^ Ю' [A] (ί/, Pu). (2.2.62)
При этом образ идеала sI[h] (£/, р^) лежит в идеале же
sI[h](U9 Pf/), т. е. оператор Р(и,п [А] можно считать
действующим в фактор-кольце sO[h] (ί/, р^).
В § 2.1 мы для каждой канонической карты (ί/, I)
определили некоторый оператор (индекс s мы опускаем):
VWAH 2 ViK?{WtK) : '0[(U, /)ΐΑ]-Ό'[Α](ί/, /).
(2.2.63)
Заметим, что оператор (2.2.63) обратим, поскольку оператор
V(u,i)[h] разлагается в ряд по степеням А, причем
коэффициент при h° равен тождественному оператору.
Обозначим через J{uj) [А] оператор
—1 def -±
W)[A] = Ai/,?)^,/)[A]. (2.2.64)
Оператор (2.2.64) обратим, поскольку он является
произведением обратимых сомножителей, и его обратный /(ί/,/)^!^
164

— ^<tf,/)[*l J{b,n осуществляет отображение
JL
J?uj)\h]:sO'[h]{U, I)-^*0'[h\{U, I). (2.2.65)
J-
--ΙΟ помощью оператора P(u,n[h] и операторов /(с/,/) [Л], J{uj)\h\
мы определим в карте ((/, /) оператор Я^/), играющий в
теореме коммутации основную роль, полагая для
Лг/,/)1*]=ЛЬ)1А]Р(^)1А]Л^?)[4 (2.2.66)
Опера тор Я(с/,/) [А] действует из пространства *0'[А](£/,/)в себя;
/>(ίΛ/)-0'[Α](£/, /)-*0'[А](£/, /). (2.2.67)
§ 2.3. Коммутация оператора Гамильтона и канонического
оператора.
В предыдущем параграфе мы определили операторы Р(и,п<
действующие в кольце *0'[Α](ί/, Ι) и связанные с оператором
Гамильтона формулой (2.2.60). Нашей дальнейшей целью является
построение такого (дифференциального) оператора Ρ на лагран-
жевом многообразии М> чтобы выполнялось соотношение
/?/С<р=-й/СЯср (modA2 ),
Предложение 2.3.,1. Существует такой
дифференциальный оператор
Я:*0'[А](М, ?M)-+*a{h){M% 9M), (2.3.1)
что, если φ€*Ο0'[Α] (ί/, рД то
P<?-P{umVI[h\{U, Pu). (2.3.2)
Если Ρ — другой оператор вида (2.3.1), удовлетворяющий,
свойству (2.3.2), то
(Ρ-Ρ>)9ζΊΐΗ](Μ, рм) (2.3.3
для любой функции y£sO[h](M, pM).
Доказательство. Покажем, что для любых двух
канонических карт (£/, /) и (1/, /) с непустым пересечением (£/, /) Π
Л (Уу J) и любого элемента φ^δΟ0'[Α]{(ί/, /) Г) (V, /)} имеет
место сравнение
P(i/,/)? = P(V,7)?(mod^/[A] {(ί/, /) П {V9 J)}). (2.3.4)
Пусть K(u,i) — локальный канонический оператор в карте
{U, I) (см, § 2.1), Тогда для любого элемента
. <реЧ?0'Ш{/,/)Л (У,/))
т.

имеем
2 J
2 1
^Fp-rx'i #<t/,/> {x1, x', PiCpj) R(U,n X
Χ [^(ϋ·')(2'·C>} JJ, [Α] (ζ', ζ,), cp(^.ζ,)]«
^(mod A^JF t/.^w, [ J"^^ /j^ [A] (*', C7) Χ
= Λ'(ί/1/)/><υ,/)φ(2/,ζ?). ' (2.3.5)
Аналогично получаем, что для любого элемента
<p&O0'[h)((U, I) () (V, J))
имеет место сравнение
2 х --ι
H(x,"£)K(v,j)<? = K(v,j)P(V,j)<?(moah2 ). (2.3.6)
Поскульку в силу леммы 2.1.2 для любого элемента"
<?&o'[h]((u, ι) η (v,i))
имеет место рравнение
Кмя — *>,j>t (mod А"1) , (2.3.7)
то из сравнений (2.3.5) и (2.3.6) следует сравнение
К(ил(Рм)-рМ))ч = 0 (modА"1)· (2.3.8)
Действительно, по определению сравнение
Kwj)<9 = K{ytJY9 (modA"1)
означает, что имеет место неравенство
№(К(и,п9-К(у;)<?)\<С/1~1 - (2.3.9)
для любого оператора
£. —(_/A)«i _J^—.J-ihY* д П , (2.3. ТО)
№

Заметим теперь, что из определения оператора Гамильтона
2 1
следует, что для любого оператора Н(х, р) и любой функции
Ψ>(λ;, Л), удовлетворяющей неравенству
5 -ι
ΙΨΟ^Κ^Α2 > (2.3.1L
существует такая постоянная CsCiSCR71), что
|//(^»1>(^А)|<с/"\ (2.3. 12)
Поскольку оператор
3 2 1
раН(х>р) (2.3.13)
2 Jl
является некоторым7 оператором Г&мйльтона #(#, /?)> то из
неравенства (2.3.9) и (2.3.12) следует, что существует такая посто*
йнная CaGS(Rn), tiTO
3 2 1 " ί j
|>Я (*, £) {*W)<p -*W) φ}| < СаА2 >
4fo влечет за собой в силу (2.3.6) и (2.3.7) сравнение (2.3.8).
Покажем теперь, что из сравнения (2.3.8) следует, что
Pw)4-P{vj)vS*flh](U П V). ч (2.3. 14)
Другими словами, надо показать, что из сравнения
AW)<P«0 (modА7"1), <р€'ОЛ*1(<Л/) (2.3.15)
следует, что
(2.3.16)
<ρζ*/[А] (£/,/). (2.3Л7
Поскольку
<Р=?о+АЧ+." + ^> (2.3.18)
где у}^*~2Юо'{и> /), то включение (2.3.17) будет* очевидно, еле*
довать из включения
φ,€*-ν/(ί/,ρ) (2.3.19)
при условии, что
tf(£,|/)?y = 0 (modA'-J), (2.3.20)
или, что эквивалентно,'при условии, что
е* * 'п %(;с',/?7) = 0 (mod A*-'). (2.3.21)
Заметим прежде всего, что из сравнения (2.3.21)
W

СЛедуёФ, 4to сущёстйует такая постоянная С>0, что ДЛЯ йсе#
значений 0<Л<1 имеет место неравенство
\?j(x'iPl)\Ce* * h-i. (2.3.22)
Полагая в (2.3.22)
A = im5(y»j^)i (2,3; 23)
мы получим) что
\Ь (-*'* ΡΊ)\ < Сх (im S(x', Pi)f-h (2.3.24)
Далее, из (2.3.21) следует, что имеет место оценка
\реЬ8{х''Р%<С^-1, (2.3.25)
или
| hj+ φ; -*f S\ < V Ы V-/. (2.3* 26)
В силу (2.3.22) из (2.3.26) получ,аем, что суещствует такая
постоянная С4>0, что
H<C4(Im5)^/. (2.3.27)
И из (2.4.4) следует, что |/?φ| ^С5р2^-^.
Аналогично оцениваются и высшие производные. ВклЬченйе
(2.3.14) установлено. Вполне аналогично в § 2.1 показывается,
что образ оператора Ρ не зависит от выбора представителя в
классе φ^δΟ[/ι](Μ, ρΜ).
Предъявим теперь оператор Р. Пусть {щ\у,к)} —s-аналитиче-
ское разбиение единицы, подчиненное покрытию {(W, К)}.
Положим
Р(9)=^р(09п(тлч) (2.3.28);
Если <р€*О;[А](*Л0е/). то
,. =%(p(w,K)-p(u,n)(<?(w,K)<?)· (2.3.29)
Поэтому, согласно (2.3.14) правая часть (2.3.29) лежит в идеале
sI[h](U, ри). Единственность оператора Ρ рчевидна.
Из определений канонического оператора /С, оператора Ρ и
формул (2.3.5) вытекает следующее.
Предложение '2.3.2. Пусть К — канонический оператор ни
правильном (s +1) -аналитическом квантованном лагранжевоМ
многообразии [М, рм, S, μ, Arg /], с мерой μ и пусть Ρ — оператор,
определенный в предложении (2.3.1).
168 ι

Тогда для любого элемента cpesO[ft](Af, pM) имеет место
сравнение
//ΛΓφ^ΛΓΡφ (mod/г"1).' (2.3.30)
Уточним теперь вид первых двух членов Р° и Р1 оператора Ρ
(напомним, что
для случая, когда операторы Η и К ассоциированы в смысле
следующего определения:
Определение 2.3.3. Будем говорить, что операторы К я Η
ассоциированы, если:
/) #/Λί = 0 (moa*/(QM)), (2,3.31)
it) LvwP - 0 (mod*-1/ (ρΛ)), (2.3.32)
где LV(H) — производная Ли меры μ^Λη(Μη) вдоль векторного
поля V(H): \ < ,.'■»,
Операторы Р° и Р1 имеют свое название: оператор Р°
'называется оператором ГаМильтока-Якоби, оператор Р1 — оператором
переноса.
Предложение 2.3.4. Пусть операторы К и Η
ассоциированы. Тогда для оператора Гамшътона-Якобй Р° имеет место
включение , х
Я<>? = 0 (mod*-1/ (qm)) (2.3.33)
для любого элемента q>&0[h](M, pM).
Доказательство. Оператор Гамильтона-Якоби Р°, как
следует из его определения, является оператором умножения на
функцию, которая э каждой канонической карте (С/, /) имеет вид
Из определения действия S^,/) следует, что имеют место
сравнения
-ifa-βζ; (mod^/(e|y)); (2.3.3Й)
iVue_ir(mod»-i/^)),
*7
где
*V. ζ/Λζ/ί^,ζ;)- (2.3.36)

координатные функции (U, /). Поэтому имеет место сравнение
(mod*-»/ («Ы),
„U_^;^.)-«i'4
ш
и в силу условия (2.3.31) функция (2.3.34·) принадлежит идеалу
s-lI(U9 pM). Предложение 2.3.4 доказано.
Предложение 2.3,5. Пусть операторы КиН
ассоциированы. Тогда оператор Р1 имеет вид
■ яу«[>(//)—f S]T(modi"1/(Q^' (2·3·37)
02// л d2//
где у&ОЩМ, рм) и —-Σ —
Доказательство. Оператор J°V,J) равен
L \ дН д дН д ^J_/^S(UJ) д*Н .
У(<Л/> | д/ <?ζ- дС/ 0г7 "*" 2 [ d2/dzi 0ζ/0ζ/ *
(У7|*/Г(2.3.38)
d*s<uj) д*Н о ^25(с/,/) ^я \ , д*Н
3(Ц,/) <РМ ρ U^(UJ)
Из формулы (2.3.38) следует, что оператор Р1 может быть
представлен в виде ~
-riUtr)V(N)+ \i\uj) V (tf)loW)-
1 ί d2S(UJ) dm , d2S(U,n d*H
2 у $zTd2i «,+ dtfa d;idzi
_2 <£iiL-i^Z-\ + ~^— . (2.3.39)
v Преобразуем второе слагаемое В:.выражёнии (2.3.39), опира-.
ясь на следующую лемму/ вещественный вариант которой
принадлежит С. Л. Соболеву.
Лемма 2.3.6. Пусть в n-мерном комплексном s-аналитиче-
ском пространстве [О, рсП] с координатами α^ιία1, ..., ап)задано
^-аналитическое векторное поле X и мера μ, удовлетворяющая
условию
Lxp -ξ 0 (mod*-1/ tec*))· (2.3.40)
Тогда для плотности о меры μ (относительно координат а)
имеем место следующее сравнение [
, > ; s: ~Xo = adivXt(meds-4{Qcn))· (2.3.41)',
170: ^

Доказательство леммы 2.3.6. Пусть поле А* имеет в
базисе —г ,··, т-=- координаты X1, ..., Хп, так что
да1 да"
Дифференцируя меру μ вдоль поля (2.3.42), получим, что
. L&=X Jdp+d(XJv.). (2.3.43)
Поскольку άμ = 0, и в силу (2.3.40) из (2.3.43) отсюда
следует, что,
d(XJ\*) = 0 (mod·-1/ (ос*)). (2.3.44)
Поскольку
^J^ = ^i0rfa2A.-.A^art-^2^a1A^3A--A^a'I + ...,(2.3.45)
то
+}{^ + ---+-^-)^1A---Ada^0'(mo^-4(Qcn)). (2.3.46)
Из (2.3.46) следует, что
Хо = — a diν X (mod*-1/ (gc«))· (2.3.47)
Лемма 2.3.6 доказана.
Формуле (2.3.41) можно придать следующий вид:
Х\по= — divX {той3-1 i(QCn)). (2.3.48)
Применяя теперь лемму 2.3.6 к векторному полю
и якобиану J(U,n, нолучим
дт - сРН дг1 . 02# <?С/ д2Я
fr^j d*W *' ''Я^ дг1 · όζ/дг7
W' ^-■-дая-,ф-.(шо*-/(£/./и1Г)).
(2.3.50)
д/дг* дг1 д^дРдЧ
171

Производные от координатных функций многообразия ζ1^ ζ,
по локальным координатам 2J,'£i мы можем заменить на
элементы матрицы гессиана функции S(u,d согласно формуле
dSwj^dz* -гЩ (mod- Ш).
В результате получим
К (#) In-Л*,/)-
dW д*Н d2S(Uj) , д^Й d2S(U,i)
дЛс/ οΑΰζι dJ&Z- ^dC/dC/ ЛЛ/
(mod-1/^)). (2.3.51)
#// , д*Н d2S{uj) dm d2S(U,i)
., аЛс7 аЛ*7 <VC? aPdc/ <V*7
Подставляя теперь выражение (2.3.51) в (2.3.39), мы получим
формулу (2.3.37). Предложение 2.3.5 доказано.
§ 2.4. Геометрическая интерпретация операторов Vu
и канонического оператора.
В предыдущих параграфах этой главы мы определили
канонический оператор К' (формула 2.1.16), причем определение
существенно зависело от некоторого разбиения единицы (2.1.13),
подчиненного каноническому покрытию.
Можно дать инвариантное истолкование канонического
оператора, как оператора, определенного на пространстве сечений
некоторого алгебраического пучка.
Алгебраическим пучком над топологическим пространством X
называется функтор F, который каждому открытому
подмножеству WczX сопоставляет группу T(F, W), называемую группой се-
чений пучка F над множеством W, а каждому вложению i\ W\czWi
одного открытого множества W\ в другое W2 сопоставляет
гомоморфизм групп
называемый ограничением сечений пучка F на подмножество Ψ*
Образ сечения s при гомоморфизме Т{ь) будет обозначаться
через s|WV При этом должны выполняться следующие условия:
Если множество W представлено в виде объединения
а
a sa^T(F-9 Wa) —такие сечения, что
5α|^αη^β=5βΙ^αη^β€Γ(/Γ,ΙΤα Π UPp),
то найдется такое единственное сечение s^T(Ff W), что
Ь72

Примером алгебраических пучков может служить пучок
ростков сечений векторного расслоения ξ над топологическим
пространством X. В самом деле, если ξ— векторное расслоение над
пространством X, то определим алгебраический пучок ξ с
помощью равенства
а для вложения £: №icz№2, гомоморфизм Г (0 обозначает
обычное ограничение сечений в расслоении |.
Например, если ξ— одномерное тривиальное расслоение, то
Г (ξ, W) совпадает с пространством непрерывных функций на
множестве W.
Если X — гладкое многообразие, а ξ— векторное расслоение,
то мы может рассмотреть пучок ξ°° ростков гладких сечений
расслоения ξ:
•T(V;W)=C~(t9W).
, Отображением f одного алгебраического пучка F\ в другой F2
называется система гомоморфизмов
T(f9W)*T(FuW)-+T(F%9W)9
коммутирующая с гомоморфизмами ограничений, то есть для
вложения i: W\-+W2 следующая диаграмма коммутативна.
T(Fl9i) J \T(F%9i)
Например, если ξι, ξ2— два векторных расслоения над
гладким многообразием X, а А— дифференциальный оператор,
отображающий гладкие сечения расслоения ξι в гладкие сечения
расслоения ξ2, то оператор А индуцирует отображение
алгебраического пучка ξι00 в алгебраический пучок ξ2σ£\
Если F—алгебраический пучок над пространством X, a W —
открытое подмножество в X, то через F\w мы обозначим
«ограничение» пучка F на подпространство W, положив
T(F\w,W')=T(FyW')y W'cW. -
У-всякого сечения s^T(F, X) ествественным образом
определяется носитель сечения.
Алгебраические пучки можно строить-методом, сходным с
построением векторных расслоений, с помощью «функций склейки».
Именно, пусть пространство X представлено в виде объединения
его открытых подмножеств. Пусть Х= ^ Wa, а над каждым под-
Множеством Wa задан алгебраический цучок F^,. Пусть, кроме
того, заданы изоморфизмы пучков
173

причем выполнено равенство
для ограничений трех пучков Fa, Τ7 ρ, ΡΊ на множестве
Waft W β Π № γ. Тогда существует и единственен алгебраический
пучок F над пространством Ху и такие изоморфизмы
что
над множеством UPafl ^V
"В самом деле, через Y(Fy W) обозначим группу, элементами
которой являются наборы сечений {sa: sa eT(Fa, W RW*)},
причем
Нетрудно проверить, что пучок F удовлетворяет нужным
требованиям. -
Применим теперь язык алгебраических пучков к определению
канонического оператора.
Кольцо sO'[h](My pM) индуцирует алгебраический пучок
fOf[h](M, pM) ростков s-аналитических полиномов по h на
многообразии М. Покроем лагранжево многообразие (М, рм) атласом'
канонических карт {(ί/, /)}. Зададим «функции склейки» по
формуле (2.1.17):
^/у : О'[*]((«/,/), 0ν)Ι(ΐ7,/)α(ν,/)-
Пусть F — алгебраический пучок над многообразием (М, рм)»
соответствующий указанным функциям склейки. Таким образом,
существуют такие изоморфизмы '
что
Оказывается, что формулы (2.1.19) корректно определяют нам
такой оператор
что если s^T(F, Μ), supp scz(U, /), то
Отношение оператора К к каноническому оператору /С' (2.1.16)
определяется следующим утверждением.
• 174

Предложение 2.4.1. Каждое разбиение единицы (2./. 13)
индуцирует такой изоморфизм
что
а) Q является локально дифференциальным оператором,
б) К'(ч)^КЯ(<?)(тоак^%ч£Ю'1к](М,Ям)^
Доказательство. Пусть {<p<t/,j)}—разбиение единицы,
подчиненное покрытию {(ί/, /)}. Чтобы определить ображение Q
достаточно определить отображение T(Q, (ί/, /)) пространств
сечений пучков над открытым множеством W.
Пусть <p.er(sO'[A](M, рм), W). Тогда носитель сечения <f(uj№
лежит в (U, /), то есть
. νηυ,η € Г f Ю' [h] (Μ, qm), W Π (ί/, /))·
Положим тогда
r(Q,W)(<p)=2 V{*aujh(VJ) П W)fow//,>).
(СО '
понимая каждое слагаемое в правой части как сечение на множен
стве W, продолженное вне носителя сечения нулем. Утверждение
(а) следует тогда из соотношения
длязирр<рс=(£/, /) П (VJ).
Чтобы доказать, что Q является изоморфизмом, достаточно
проверить изоморфность гомоморфизмов r(Q,(t7, /)). Тогда
Явный вид (1.4.15) операторов Vu как многочлена по А, при
А0 имеет коэффициент 1:
Vu = \ + 0(h).
Поэтому
T{Qt(U, /))φ = Γ(ψ(£,,0,(£/, /)) |φ+Α/?(φ)}.
где R — некоторый дифференциальный оператор. Поскольку
кольцо sO'[A]((£/, /), рс/) является кольцом усеченных
многочленов по А, то мы уже легко построим обратный к T(Q, ([/, /))
оператор. ч
Наконец утверждение (б) непосредственно следует из
определения.
175;

Предложение 2.4.1 означает, что неинвариантность канониче- .
ского оператора К! относительно замены разбиения единицы
связана с неоднозначностью выбора изоморфизма Q между пучками
*0'[h](M, рм) и F. Более того, если мы ограниичмся только
первыми членами (с А0) сечений этих пучков, то изоморфизм Q
является единственным, т. е. и канонический оператор К' тоже
инвариантно определен.
§ 2.5. Канонический оператор на семействах
неособых вещественных подмногообразий
^-аналитического многообразия.
1. Локальная ситуация. Пусть [М, рм] — правильное
(s-fl) -аналитическое лагранжево квантованное многообразие с
мерой в. комплексном фазовом пространстве Φ с (см. § '2.1).
Пусть 5(C7,j), J(u,d — действие и якобиан в карте (ί/, /).
Определим следующие элементы кольца Ст (U) — кольца
Г-связанных семейств функций в карте (U, I) (см. § 1.6 части I):
5^l/)=/?i^)5W) = W^(W)b (2. 5. 1)
^,/) = /?(^)V,/)= [W(W)1- - (2. 5. 2)
Определим элементарный канонический оператор Κτ(υ,ΐ) в
карте (ϋ,Ί), полагая для любого элемента фгеСг([/) с
компактным в карте (ί/, /) носителем
^v,nfT=FPrJe" iU'l)tTg(Jfu,n)2T^ (2.5.3)
для любого элемента g^G(U).
Предложение 2.5.1. Оператор (2.5.3) определен корректно,
г. е. не зависит от выбора ростка g^G(U) и реализацией S^, 74 φ* ^
элементов *C°°(i/£). При этом оператор K(u,d определяет непре- -
рывное отображение
*&,/>' : CT(UJ) — //*"(#■ ) /mod Υ Κ. (2. 5.4) ,
Доказательство..Пусть g\, §2^G(U). Из
коммутативности диаграмм (1.5.29) ч. I следуют соотношения
■i^f%/)=T^<Ai/)€iCe,(i/0)· ' ί2·5·5)
*Т'^%п = *Т**1 fa) € '<>(£/·), (2.5.6)
^Ψφ^Τ^β^^^). (2.5.7)
Из соотношений (2.5.5) следует, что
Ч*^Ьл = Ч*^6леп{0*) (2.5.8)
176

для любых представителей ,
sfbin 6 'С°° W и ^,/> € %>> € 'О (</*■).
Дальнейшее доказательство дословно повторяет рассуждения,
приведенные в доказательстве леммы 2.1.3.
Предложение 2.5.1 доказано.
В полной аналогии с § 2.1 мы определим кольцо SC? [А] (Ж, Qm)
и sCl [A] (M, qm) и обозначим через sV/j оператор
В силу предложения (2.6.8) оператор (2.5.9) действует в
пространствах
*VTu ' Cr[h](UTiV)-+'&lh](UnV).
Определим теперь локальный канонический оператор
KlUin:Cl[h}(U)^M^(R-)/modh~\ (2.5.9)
полагая для фт^С0т[Л](£/, /)
." ^^^IW^W)^· (2·5·10)
ипУф0
где yT{w,K)^=R{yrtK№w,K)> и функции φ<^,κ) определены ё § 2.1.
Предложение 2.5.2. Для любого элемента
. <pTe=CQT[/z](i/ П 10
имеет место сравнение
Κΐυ,η? = Κ1ν,})? (mod *Η· (2· 5. 11)
Доказательство. В силу предложения 1.6.9 ч. I имеет
место равенство
8К&)Чт=Кш1Г*нЧЧ&)№^1У~\ (2,5.12)
где, ψ^^}ί)ψτ В самом деле.
ип^Ф0
U(\W=£0
= Σ'ΚΓΧ{υ')'ν'****η- (2. 5. 13)
177

В силу соотношения (2.5.3) (при#=0) имеем
*КЩи,1)='К<и;>. (2. 5.14)
Поэтому соотношение (2.5.12) выполнено. Пусть теперь
9T^CoT[A](i/nV).
<?T^Cl[k](Uf]Vl Тогда
?=Wi^[A](^nn (2,5. 15)
Имеем (
sKfUy[)<?r = sK(u,i)<? = (B силу леммы 2. 1.2)
- ^(^)φ^ шК1у^: (mod h~l\ (2.5.16)
Предложение 2.5.2 доказано.
2. Глобальная ситуация.
Теорема 2.5.3. На правильном квантованном (s +1)
-аналитическом лагранжевом многообразии существует, и притом
единственный, оператор
L £L_i
KT:sCT[h\(Nk>^^Hh (Лл)/тоаА2 , (2.5.17)
совпадающий с оператором ΚΎ{υ,η на элементах из sC0T[h\{U, I)
для каждой карты канонического атласа.
Д о к а з a t е л ь с t в о этой теоремы следует из предложения
2.5.2 и существования разбиения единицы на (s +
^-аналитическом многообразии.
Замечание 2.5.4. Операторы КиКт связаны соотношением
К=КТЯ (2.5.18)
ί fl До к аз ателье тв о. Пусть {epj)} — (s + 1)-аналитическое
разбиение единицы, подчиненное некоторому каноническому
покрытию U~{(U, I)} многообразия [Λί, рм]. Тогда имеем
(C/,/)6U (ί/,/)6Η
-:ι ■ - < (2.5.19Χ
^ =(в силу (2.5. 12)) =2*(Wfr,/)**· <* & 20)
где
Τ def r>
£(ί/,/) = /<(t/,/>^<t/;/) —
7-связанное разбиение единидн. Тогда
" 2>Ц™<м=кт· (2*5·21)
Соотношение (2.5.18) доказано.
178

3. Коммутация канонического оператора и
оператора Гамильтона.
Теорема 2.5.5. Пусть выполнены условия (2.3.31) и (2.3.32).
Тогда для любого элемента <ртевСт{Л](Мэ рм) справедливо
следующее сравнение
H(x,p)*KT<?T=-ihKTPT<?r[mQdh* )у (2.5.22)
где
pr=RpR-i^pr+hpr+hzpT+ +hi2 Jp^ (2.5.23>
причем в карте (t/, I) оператор Ргт имеет вид
Я^ = ί[^^^1 -V-1 ^-^1:^ ^^^^] . (2.5.24)1
Доказательство. Пусть
?=fl-y. ■ - ■ (2.5.25)
Имеем
2 1 2 1
H(xyp)KTvr = H(x>p)KTR/?-V==B силу (2.5. \&\
2 λ ' '
Н(х,р)К<? = {в силу предложений 2.3. 2., 2.3.4, 2.3.5)^
=-ihKP<?=-ihKP-1RPR-1fy=(B силу (2.5. 18)=
-ШКТРТ<?· \(2.5.26)
Формула (2.5.23) установлена. Докажем теперь формулу
(2.5.24). Имеем в канонической системе координат
В силу (1.5.20) ч. I выражение (2.5.27)) преобразуется:
к виду
1Ыш.]*\&Щ-£-^±#тл. (2.5.28,)
Теорема 2.5.5. полностью доказана.
№

ГЛАВА III.
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 3.1. Асимптотические решения задачи Кош и для уравнений
с комплексным гамильтонианом.
Цель этого параграфа — получить при определенных
условиях асимптотическое решение задачи
2 *
: . [£+Я(*,аОЖ-М.л)=о. (3.1.1)
ψ|<=ο=ΛΓ0φ0, (3.1.2)
где E=-ih-?r, /€Щ :0</<7\
p=-±=(-ih£,..:,-ikJL), *=(*.....*·)€*■; К.-
-г-канонический оператор на правильном (5+1)-аналитическом
квантованном лагранжевом многообразии [Λί0η, ром].
Дадим точные определения.
Определение 3.1.1. Функция Ψ(λ:, /, h) называется
асимптотическим решением задачи (3.1.1) — (3.1.2), если справедливо
следующее сравнение:
[E+H(x,pJ)WxJ9h) = o(moah~l)t (3. 1.3)
Hx^h)^K^(moalhl)9 (3.1.4)
'где 5^3 — некоторое натуральное число, которое мы
зафиксируем.
Решение задачи (3.1.3), (3.1.4) будет построено в виде /Οψ,
где К—некоторый канонический оператор на
(5+1)-аналитическом правильном квантованном лагранжевом многообразии
(Мп+1, рмп+1)> к построению которого мы переходим. ,
1. Гам ил ьтонов формализм расширенного
фазового пространства. Сопоставим каждому семейству
функций Н{ху р, t) в вещественном фазовом пространстве
RnXRn, teR1 (5 + 1)-аналитическую функцию Η(ζ, ξ, t) в
пространстве Φ =f О X Cn, I у I + | η | ], полагая
"(*.<.<)=2 ч{1у1+щ1$И{х>рЛ (3·L5)
Мы будем обозначать через Н\(х, у, ρ, η, /) и Н2(х, у, ρ, η, О
соответственно вещественную и мнимую часть функции (3.1.5).
/80

Определим в пространстве Φ две 1-формы:
1) iu1 = y\dx — ydp=4\idxi — yidph
2) ^2=pdx — ,r]dy=pidxi—^idyi.
Предположим, что начальное многообразие
.ИиЛ]сФ
удовлетворяет следующим условиям;4
1) существует такая вещественная функция F0 на М0п, что
dF0=i^(y\idxi — yldpi)=i^1, (3.1.6)
2) существует такая вещественная функция Si,0 на М0, что
dS^=i*{pidx^-r\ld^)^i*m%{moa4{M^ QoAi)\ (3. 1.7)
3) существует такая постоянная С>0, что выполнено
неравенство
Лиё£Сф, (3-1.8)
для любой канонической карты (U, I) многообразия М0п.
В этом параграфе мы будем всегда предполагать, что условия
1)—3) выполнены.
Лемма 3.1.2. Какова бы ни была постоянная Ci>0,
существует настолько малая окрестность V множества Ωμ > что в этой
окрестности справедливо неравенство
^ο+^(ί/2 + η2)>0. (3.1.9)
Доказательство. Пусть αο^ΩΜ0"— произвольная точка и
пусть (ί/, /) —каноническая карта, содержащая точку ао.
Предположим для простоты, что карта (£/, /)—неособая, то есть
/=={1,2, ..., п}, и, следовательно, координатами в карте (U, I)
служат функции (#, у), так что уравнения носителя карты есть
Pi=Pi{*>y\ Ч/= 4/(*.#)>
(3. 1. 10)
* = 1,...,я
где функция pi(x, y) + iv)(x, у) s-аналитична, то есть
^--^(шоа·/^.)). .(3.1.10а)
Из (3.1.6) имеем
dF0(x,y)^lix,y)dx'-^[^^.dx^m^dyJJ (3. 1.11)
181

Поэтому
dF0(x,j,)_ tdPi(x,tf) , „ 1
и
' д2р(х'У>-_. V <>pL(x,y) jVpiixA).__
dykdyl ду* ду> У dykdy/
^_Ч9ЩУ1_у1^РрУ1. / (3.1.13)
* ду' υ дукду! к λ
Из (3.1.12) — (3.1.13) следует, что при у=0, то есть на £/°-сече-
нии мы имеем
2ί^=0, /=1,...,«, (3.1.14)
<>2Л)(*,0) . нбрдхМ __ dpk(x,0) о , .-.
Далее, из (3.1.10а) следует, что
ifi^i.-ili^^od./ielcr.). (3.1.16)
С другой стороны, из (3.1.11) следует, что.
~^w~-^^~"* (3-1Л7)
Поэтому из (3.1.15), (3.1.16) и (3.1.17) имеем"
^^^=1Й^<™™.). (ЗЛ.,8,
Выберем коордийаты в окрестности (ί/, /) так, чтобы
матрица HessxF(xf 0) функции F(xf 0) в точке а0 была диагональна. В
силу неотрицательности функции F0(xf 0) (условие (3.1.8))
матрица Hess^/7^, 0) [αο] неотрицательно определена. Поэтому
при л:-^ао все члены матрицы
HessxF(x]y)[a] (3.1.19)
(в новых координатах) стремятся к нулю, кроме, быть может,
некоторых диагональных. Но диагональные члены, не стремящиеся
к нулю, имеют положительный предел при а->а<> и поэтому
положительны в некоторой окрестности Vao точки ао.
Разложим в этой окрестности функцию Fq=F0(x, у) по
формуле Тейлора
F0(x,y)=F(x,0)+d-?^py<yi + O(\y\s). (3.1.20
182

Применяя' (3,1.19), получаем:
^o(^i/)=/7(x,0)+^^(^0)+0(Qi(^0)))i/V+0(M3).'
·''"·' (3.1.21)
В силу сказанного выше при α—*нхо имеем неравенство
'д-^£Р-у1у1>'-у*о(П, (3.1.22)
и, поскольку, s^3, F(x, 0)^0, в некоторой окрестности точки ао
выражение (3.1.21} а, следовательно, и F(x, у) оценивается снизу
правой частью (ЗЛ.22):
РЛ^У)>-У"о{\\ (3.1.23)
Eςли теперь Ci>0 —произвольная положительная постоянна, то
из (3.1.23) следует, что
J7o(^y) + C1y2>y'(C1-o{\)\ (3.1.24)
и неравенство (3.1.19) (в данной ситуации) обеспечивается
неравенством (3.1.24) в достаточно малой окрестности Vao точки
αο^Ω.
Лемма 3.1.2 доказана.
Наложим еще одно дополнительное требование на начальное
многообразие Λί0η:
4) существуют такие положительные постоянные С, Сь что
на многообразии М0 справедливо неравенство
Q^C^o+CQ/'+n2)). (3.1.25)
Закетим, что если многообразие М0 обладает компактным
множеством Ω, то условие 4) следует из условий 1)—3). В самом
деле (снова для простоты ограничеваясь случаем неособой
карты) мы видим, что функции р2(х, у) и
при надлежащим образом выбранной константе С есть гладкие
неотрицательные функции на М. Учитывая неравенство
t-|V/?|i<CF,
справедливое для неотрицательных функций, получим
Q2(*,#)=Q2(x,OJ+^(e2(x,0))#' + OQ/2)<
<C«ftxfi) + ux,0)\y\ + M2)<C(Q2(*,0)+\y\2)<CQl (χ, 0), (3. 1. 26)
ί83

где на последнем шаге использовано неравенство (3.1.8). Далее,
аналогично имеем
'я%(х»0)=^(х,у)-Щ^у'г\-О(^)^С(^(х,у)+\у^
Учитывая (3.1.26), получим
Q*(x,y)<C(F0(x,y) + C(y*+i\*(x,y))+y*)<£
<C1(F0(x,9)+C(yt + ^)). '
(Отметим, что константы С в предыдущем рассуждении
обозначают различные постоянные).
Если множество Ω компактно, то мы может выбрать на
многообразии М0 конечный атлас. Выбирая теперь константы С, Сх
максимальными, получим, что условие 4) выполнено на всем М0
Отметим; что при условии
условие 4) влечет,условие 3).
Поскольку из (3.1.6) следует, что
то из (3.1.25) и (3.1.28), мы получим на t/0/
с некоторой постоянной С5>0.
Утверждение доказано.
Введем теперь следующее обозначение
Очевидно, многообразие {Λί0η, pf ] s+1-аналитично, и вложение
s + 1-аналитично.
Рассмотрим теперь систему Гамильтона (аргумент t мы
опускаем)
х=—-(·*. у* р> ю=—-—у' „ , η,· —\-
дгц ( *' их ' dpi * dxldpi '' dpjdpi τ
+0(M2 + hl2), (3.1.27)
* dPi i" μ% dpi Ti/ dx'dpt τ ] dptdpj ^
4-0(|ifP + |Ti|«). (3.1.28)
дП2 <„ .. „ П\— dH\ l„/ ^2tf2 , „ 5Я2;
2
dtj1 , dxl dxldxJ [ J dxldpj
+ 0(|ί/12 + |η|2), ' .(3.1.29)
184

^-•&(*».**>--#-*'-SSb--v-"''·
Здеск
дх1 х ' "- 7 ал:1 ^ аЛлг> ; дл:1д/>у 1
+ 0(|#|2 + |η|2). (3.1.30)
(1у11+|чР)=<М', *>> + <»"Ч/, V- (3.1.31)
Многообразие (пленка) полученное сдвигом многообразия
Λί0 = {·*ο, ?о. Л. W (3.1.32)
вдоль траекторий системы (3.1.27) — (3.1.30) за время t
обозначим через М', а сечение М' плоскостью t = to через М'и%
Запишем систему (3.1.27) —(3.1.30) с начальными данными
(3.1.32) короче:
*= Н1р-уМ2хр-цН2рр+0(\у\* + \чП
Р=-Мгх + ^2ХЛ^Хр + 0(\у\' + \У\П (3.1.33)
η=-ЯaJ,-Яί/lJ^-ηЯlJ,p + 0(|ί/|2+|ηή,
х(0)=х09 р(0)=р0
У(0) = Уо,«\(0)=Ц0. (3.1.34)
Лемма 3.1.3. Пусть
y = y{t> x09 У о, Ро> Чо). r\ = i\(t, *o, У о, Ро> \)— (3. 1.35)
функции на Μ, являющиеся решениями системы (3.1.27)—
(3.1.30) с начальными данными на (3.1.32). Тогда справедлива
оценка
1у| + И1<с{||&гааЯ2|^+|у0| + 1л0|1. (3.1.36)
Доказательство. Рассмотрим систему уравнений
У'=М2р+у'Н1хх+г\'Н1рр, (3-1.37)
n'=-(fi,x+y'Nlxp+r\'Hlxp\
У'(0)=Уо=У(0),
η'(0)=ηβ=η(0). (3.1.38)
Априорные оценки решений для линейных систем дают
[|уМ + 1Л'1]<сГ||вга(1//1|Л + |^о1Н-111о|| (3.1.39)
185

Будем искать решение задачи (3.1.33) — (3.1.34) в виде
У=У' + У",, η=η' + η". : ' (3.1.40)
Тогда для функций у" и η" получаем следующие уравнения:
y''-Hlxpy" + Hlppri' + 0{(y>+y"f+{4' + v['f), (3.1.41)
vr= -nixxy"-Hlxpvi>+o \{y'+fT+ (η'+η")2Κ
и начальные условия:
у"(0)=0, η"(0)=0. (3.1.42)
Метод Пикара дает оценку для у", η":
(1Л+К0<е|(|#ч2+|т1'|2)^<
о ,
<С HCUgradHb\dt'T+(\y<>\*+M
<C"\t(\jj0\ + \\\THl[\gtadH,\di']2}. (3.1.43)
Из неравенства
ы+икауч+тэ+ал+к.р. (зл.44)-
а также из неравенств (3.1.39), (3.1.43) следует утверждение
(3.1.36) леммы 3.1.3.
Действительно, в области, где
Q2=il0o| + N)2+fngradtf2|^ <1, · -■
[\mdff,
мы имеем ■ _
|у|+1ч|<(|^1+1лЧ)+(|^|+|^1)<с1в+сл»<сл
В области, где р>1 неравенство (3.1.36) следует'из
ограниченности функции
Найдем теперь на мдогообразии Λί' функцию F(a, /),
удовлетворяющую условиям:
^(а, 0)=/=0) (3.1.45)
dF=r\dx~ydp — H2dt. ' (3. 1.46)
186

В силу (3.1.27) —(ЗЛ.ЗО) форма
t)dx — yd p — H2dt
замкнута, и поэтому решение задачи (3.1.45) — (3.1.46) дается
формулой
t ν
F(a, t)=FQ(a) + [t\dx-ydp — H2dt.
Обозначим через
Q*F=F + C(\y\* + \4\*). (3.1.47)
Имеет место следующая
Лемма 3.1.4. Существует такое положительное число 6>0,
что для всех t<b справедливо неравенство
C(Qb+{-"*")<$» (3.1.48)
причем число δ зависит только от С2-нормы функции Η на
многообразии М' и С>0 — некоторая положительная постоянная.
Доказательство. Вычислим производную функций
F(a, t) вдоль траекторий системы (3.1.33). Имеем
-У{-Н1х + уНих + г\Нгхр) -Н2- ΆΗ1ρ - Hlxy + О (| у | + | η |)s.
Итак,
^=-^--^[УгМ2хх + 2уцН2хр+^Н2рр] + 0(\у\ + \ц\Г.
Интегрируя это соотношение вдоль траекторий, получим:
Р = \[(-Н2)+±-{у\-Нг)хх+2уч\{^Н2)Хр +
о -
+*(-Htpp)+0(\y\+\W]dt+F9. .
Рассмотрим подынтегральное выражение
(-Я2) + ^{^(_Я2),, + 2ул(-Я2)^ +
+ ^2(-Я2)р/7}+0(|уР + |л13). (3.1.49)
Поскольку функция — #2^0, то рассуждая как и в лемме (3.1.2)
(роль выражения (3.1.21) здесь играет выражение (3.1.49), мы
получим, что в некоторой окрестности множества Ω(_η3) для л
ιοί 87

бой постоянной С>0 выполнено неравенство (в лемме (3.1.2)
последнее слагаемое (—#2) мы отбросили, а здесь его сохраним):
(-Я,)+-L [у\ -Н2)хх + 2уЩ -Н2)Хр+ч\\Н2)рр\ +
- +0(\у\3+\ч\*)>-(\у\2+\М2)о(1)+{-н2)
и, значит,
F>{-(\y\2 + \4\2)o{\)dt + F0 + {{-H2)dt.
Далее, используя лемму (3.1.3), мы получаем
F>F0+§ -H\graaH2\dt' + (\y0\ + \r)0\y\o(l)dt +
+ |(-Я2)Л>^0-С(Ы + |л0|>(1) + П(-Я2)-
О * О
■ ~-C*|grad//2|2o(l)]^. (3.1.50)
Поскольку
|gradtf2|2<(-tf2),
то для i<-^
-H2~Ct\ grad #212 > "f ( -Нг),
и неравенство (3.1.50) можно переписать в виде
F>F0-C(\y0\*+\\\*)o(l)+±-$(-H2)dt.
о
Мы утверждаем, что справедливо следующее неравенство:
■ (\y2} + W\)>\yl\^^-i\0(\y\*+\4\*+\gradH2Wdti
В самом деле, дифференцируя вдоль траектории выражение
(у2 + η2), получим
Подставляя теперь в это равенство их выражения из (3.1.33),
получим -
(y2+W=0(\y\*+\M2+(\y\ + \4\)\gra<iH2\).
188 _

Проинтегрируем полученное соотношение вдоль траекторий
системы (3.1.33):
(^ + ^)=^+Ч2+(о(|у|2+|Ч1, + |ггааЯ2|)Л>
Следовательно,
(y* + T)2)>yl+r)20-§O(\y\* + \r\\* + (\y\ + \y\\)\gradH,\)dt.
о
. Утверждение доказано.
Из оценок (3.1.36) следует, что
0(|^!2+И12 + |г/|+И|)^гааЯ2|)<С(|г,|2+|л12+
+(!У| + |^1|)|ёгас1Яа|)<С1/'|г/о|2 + 1Ло12 + (1(|ёгааЯ2|Лу +
+ (li/l + hl)|grad^|).
Поскольку
[j|grad//2|^j <ί J(-//,)*,
то
OflyP+hP+iM+hDIgradtf.lK
<Сг(\Уо\'+\\\2+(\у\ + \^\)\ёггаМ2\ + (^-Н2)Ш).
ι
Поэтому для ί^.1 имеем:
(o(MHh!H(M.+hl)|gradtf2|)^<
<cJ(\y0r+\\\2)t+t |(-//,)л}.
и, следовательно,
(\y\2 + \M2)>(\yo\2+\\\2-C,t(\y^+M + ^-H2)dt).
о
(3.1.51)
189

Складывая неравенства (3.1.50) и (3.1.51) и учитывая (3.1.47),·
имеем , .
QF>^o + (\yo\2 + \\\2)(^C2o(l)~C2t) +
t
+ ^С_//,)л^-с^.
Выбирая теперь достаточно малую окрестность множества,
Ω(_Ηί>=Λί/Π {—#2 = 0} и достаточно малое t, получим
неравенство (3.1,48).
Рассмотрим теперь функцию
Sx = S10 (α) + f pdx — t\dy — НгШ.
о
Лемма 3.1.5. При t<6 имеет место следующее сравнение
' dS± = i* (pdx — t]dy — H±dt) (mod ρ*.),
где *
i:M' — C"®Cn@R.
Доказательство. Рассмотрим на многообразии М' карту
U с координатами хо> #о> ^7о» ^/о» *» где Λο» #о> /*7о' ^1о~~
координаты карты (£/,/) о на Λί0η. Вычислим
-4(^5, itf, /fo, Л/о, 0#К> #S> />7о> η7ο> '}-
- Щ (*(-*£, yj, /?7о, η7ο, /),/ι (*J, #J, ρ7ο, η7ο, ί), (3. 1. 52)
У К» У* Ριο> η7ο> ')· ηΚ' #o> />7о> Ч7о, 0' ')] Λ·
Ниже мы для краткости аргументы у функций #, ρ , у, η опус*
тим.
Из (3.1.52) имеем
•(jc, у, ρ, η, *) —
i£L=i^l!L4· f [ дР x j ρ д дЦ*
■^Vy-^-V·^-^, У, Р> Ч, 0 д—H.ix, у, p,^\,t)
t
dSi0 j^ rf_^/L_ «.* ι_ „ _^ _ ^2 /,;„„„ ^ *9
<# =
dx'Q
+ i
■*+/>^~-(*. ». α η, 0-^y-
d^J ^ ^1 dx{
190

д дЩ
дх[ дР
(*, ίΛ Ρ, Ά, t) т-Ч*, у, ρ, η, /)
ох <
дх
К
<?Ηι , „ .ν ду д\\\ , „ .v dp
-7-4*, У, А Л, 0—^ 7-4*» #' *' η' ^ f
дУ ' дхЬ dp ■ dxrQ
(3.1.53)
Из s-аналитичностд функции Η (ζ, ζ, /) следуют соотношения:
—s—=T(ir+,"irJ(Hi(Ji·*·Λ η> <)+
+ Ш2(х, г/, л η, /))=J-^iML(x, у, Λ η, /)_
—7*4*. У. /». 1. t) + i (ψ*-(χ, у, ρ> η, ί)_|_
-(λ, y,_A ^ O)]ssO(inod(|0| + h|)*+1),
ая2
то есть
дх
β Η д Η
'■(■*. У. А Ч, i)s-l-(*, г/, ρ, η, /),
А*
ty
(3. 1. 54)
^-(х, у, ρ, η, t)^ -^-(χ, у, ρ, η, t)
ду дх
по mod {\y\ + |η|)8+1. Аналогично получим
-(■*. У» А Ή. <)ι
Ч*. У. Р. 1, О5-
dp
*1
(3. 1.55)
4?ч***ч. <>—·£■(
*> у, />, η, *)
по тому же модулю. Поставляя (3.1.54) и (3.1.55) ,в (3.1.53)
имеем:
dSi __ dSu
дхг0 дх0
ι+ί
дх[ *1 дхЬ
1 - , о r .· о
191

Х4!г(*. у> λ·"ί.' Ο—ττ-5-C*. ъ>. ч. О+^т-Х
dp
а^ ^у
Α*ή
Х-^С*. У, А Л, ί)-\ψ-(χ, у, ρ, η, O+^jX
οχ drl dt\ a J
dxi
х4?ч*.
^
у, л η, t)\dt+o^(\y\+\n\r^dth
J о
dS
дх\
f+\
ρ—г-Ч—-
длг
djcj
дх!0 dxf0
04 J
л+
+οί\(|ί/ί+ΐη|)ί+1Λ)-=^+\^Γ[/'Λ-η^Ί-1Λ+
+ o(j(UI+hl)i+1^)· (3.1-56)
Заметив далее, что
d*5
:^-ЧА
d*;
/
**5
ί=0
получим окончательно из формулы (3.1.56)
^о
длА
ду
-Ч (*о» у[> ру0, η7ο, t) -f- (*J, #'0, /?7o, л7ог /)
[modjdi/i + hl^^A
' (3.1. 57)
Аналогично получаем формулы (опуская снова аргументы):
dS\ дх .„ ди
-— Ρ г —Ч --
оу[
<
dS\ _ дх η d</
<?η.
70
*ύ дЪо /ho dho
^pj£ 4^LLod\(|i,| + |4|)»+»rfA (3.1.58)
*>7o ^Ίο V i J
192

Далее, поскольку в координатах (*£, у[, /?7о, η7ο, t) — есть
производная вдоль системы Гамильтона, имеем:
-22ύ=/3 η-^-Η1β (3.1.59)
dt F dt dt x ;
Учитывая (3.1.57)-τ-(3.1.59), получим для dS\ выражение:
Оценим невязку в последней формуле. В силу (3.1.36) имеем
((l^l+I^D^^o/'jijIgrad^jrfr+l^ol+holT^']·
Внутренний интеграл в написанном выражении мы оценим
следующим образом:
Г(|ёгас1Я2|Л+|г/0| + |л0||
5
νί/2
<С j|gradtfs|2^ +(koH-hol)i/2<
/ t \SI2
<c Г(-я,)л +(|i/ol+hol)s/2··
ί |(-я,)л1
Из (3.1.55) и (3.1.54) получаем, что при /<б
Лемма 3.1.5 доказана.
Докажем теперь основную теорему этого пункта.
Предложение 3.1.6. Существует такое положительное
число б>0, что многообразие М' является (s + Ι)-аналитическим
многообразием для всех td=[0, δ] с весовой функцией pF. Более того,
функция S=*Si + iF+yp удовлетворяет сравнению
dS = i* [id ζ - Я (г, ζ, t)] dt (πκχίρ*). (3.1. 60)
193

Доказательство. Рассмотрим следующую задачу Коцщ
для системы Гамильтона:
дН
, С = -
дН
dz
(г (Ό), С(0))€Л*«.
(3.1.61)
Из сравнений (3.1.54), (3.1.55) следует, что правые части в'
системе (3.1.61) совпадают с правыми частями системы (3.1.33) ^
с точностью до функций вида 0(\у\ + |η|)δ+1.
Покажем, что координатные функции многообразия М\
являющиеся решением системы (3.1.60) /(3.1.61), (5-М)-аналитич-
ны (относительно модуля р*·). Действительно, рассмотрим дл^
простоты неособую карту. Тогда координатной функцией служит
функция ζ=ζ(ζ, 0, удовлетворяющая сравнению
дН
дг
(mod(^H-hl)^1).
(3.1.62)'
Дифференцируя соотношения (3.1.62) по zoj, получим в силу
s-анадитичности функции Η (ζ, ζ, /) (относительно модуля
рф = М + Ы)
^J«0(mod(|y| + |4|*). (3.1.63)
Интегрируя сравнение (3.1.63)
(3.1.59), получаем, что
вдоль траектории системы
. -^=ОШ\у\ + \г\\УаХ , (3.1.64)
Правую часть соотношения (3.1.64) мы уже^оценивали в ходе
доказательства леммы 3.1.5. Таким образом, .
дЦ
ξ 0 (mod ρ*,).
Аналогично показывается, что если
z' = z'(z0, 0-
(3. 1.65)
(3.1.66)
решение системы. (3.1.59), то
дЦ
= 0 (mod ρ*,).
(3.1.67)
Далее, в силу неособости карты существуют такие функции
zu^z0(z, t), (3.1.68)
194

что имеют место соотношения:
г*(г, t) = zi(z0(zy t)9t).
(3. 1. 69)
(3.1.70)
Дифференцируя соотношения (3.1.69), (3.1.70) по переменным
z\ k— 1, ..., я, получим
дг1 dzl dzl дЦ
2 ° ' °-=0, (3.1.71)
дг{ д**
dzl όζ*
'Κι
dzk
db
dd
db
Η
dzl dz*
dzJQ d*k
(3. Г. 72)
Из матричного равенства (3.1.71), невырожденности матрицы
dzl
dd
, /, /=1, ..., η,
и (3.1.67) следует,, что
dzl
dz*
;0(modQ£).
(3.1.73)
(3. 1. 74)
Подставляя (3.1.73) в (3.1.72) и учитывая (3.1.65), получим
Κι
dzk
= 0(modQ^).
(3.1.75)
Докажем теперь, что функция S удовлетворяет сравнению
(3.1.60). Действительно, поскольку S = S\ + iF+iypt имеем
cfS=dSx + idF + i {yd ρ+pdy) = /* (pdx— r\dy —
— Hxdt+Щах — iydp — lH2dt -f i yd ρ-fipdy)=
=i*(pdx — 4\dy + i{,ndx-\-pdy) — Hdt) =
=i*(idz-Hdt)(modQsF). (3. 1:76)
Предложение 3.1.6 доказано.
Теорема 3.1.6. Для любого вещественного числа Т>0
существует такая постоянная С>0, что многообразие Λί'= \}Mt
s-аналитично относительно весовой функции
ρ*, = /=· +С (! */|* + №·
Более того, функция
S = Sl + iF + iyp
удовлетворяет сравнению
dS^'i*{Wz-H(z, ζ, 0Л)(mode*,).
(3.1
(3.1.
(3.1
77)
78)
.79)
195

Доказательство. Поскольку число δ>0, которое
фигурировало в приведенных выше рассуждениях, зависит лишь от
нормы функции Η в CW(M'), мы можем, проводя эти рассужде^
ния достаточное число раз, покрыть отрезок [О, Т] конечным
числом таких интервалов /&, k = 'l, ..., /η, длины δ, что в каждом
интервале Ik объединение U Л4/(5+1)-аналитично с весовой
функцией, t&Ik
ф)*=^+с*(Ы,:Нч|»).
Выбирая теперь в (3,1.77) С= max С/г, получим, что мно-
й=1,2, . . . , m
гообразие ΛΓ—(s+1)-аналитично с весовой функцией (3.1.77).■
Соотношение (3.1.79) доказано в предложении 3.1.6.
2. Решение задачи (3.1.3) — (3.1.4). Обозначим через
Фп_и расширенное гамильтоново пространство
Ф«+1 = СЯ φ Сп 0 С1 φ Сг (3. 1. 80) .
с координатами (соответственно разложен-ию (3.1.80))
[ζ\ ..., ζ\ ζΐ5 ,.., ζ„, τ, Ε), (3.1.81)
zt=x*+iyl, 1;=р,+П\,, у=1, ..., nt x=t+i9, E=E+is,
и структурной формой
Wz + Edx. (3. 1.82)
Построим (s+1)-аналитическое, многообразие Λίη+1 вместе с
(s+Ι)-аналитическим вложением
i:[M*+\ Сжл+1]-[Фл+1, M + hl + 14] (3.1.83).
следующим образом. -
Пусть
М' -> С* Θ Сп © R] - (3.1. 84)
вложение, построенное в/1.1, и пусть
* = г (a, t),
ζ = ζ(α, t)- , (3.1.85)
координатные функции, задающие (локально) вложение (3.1.84).
Построим теперь вложение
["М, <и-|в|]^[с«фсяес», |у|+|ч|+|в|]
следующим образом. Локальные координатные функции,
задающие вложение (3.1.85), мы получим, как s-аналитические
продолжения функций (3.1.85):
. ζ=ζ(α,τ),ζ=ζ(α,τ). (3.1.86)
196

Теперь глобальные функции, задающие вЛожение, мы
построим с помощью разбиения единицы. Из определения (s +
^-аналитического продолжения и (s+ 1) -аналитичности функций (3.1.85)
по α следует, что функции (3.1.86) — ($+1)-аналитичны
относительно весовой функции
?f (3.1.87)
и, следовательно, построенное многообразие "Μ х оказывается
(s+1)-аналитически вложено в пространство ОхС^хС1.
Действительно, нужно, очевидно, только проверить соотношение
|у!+|ч|+|в|<С(С|,+|в|).
Это соотношение следует из оценок
\y(r)?+\M^f+m2<\yw+\dJj^^
+
Ου Ι - — . ·
т. к.
l*lal2
οθ
Полагая, теперь
ι ^ Е=-//(*, ζ, τ), (3.1.88)
мы получим многообразие Λίη+1, локально заданное уравнениями
г=г{а9 г), ζ=ζ(α, τ), х=ху Е=-//(*, ζ,# г), (3.1.89)
и вложение
\мп+\ Q/.+ieu-ic-ec.ec^ec,, ι г/ i-hl -ni-Ы ©11- (&1.90)
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.1.8. Многообразие (вложение) (3.1.89) является
правильным (5+1)-аналитическим лагранжевым многообразием
с весовой функцией
ρΛβ+ι=ρ,+ |θ|. (ЗЛ.91)
Более того, имеет место соотношение
/*(Е + Я(г, ζ,·τ)) = 0. (3.1.92)
Замечание 3.1.9. Из формулы (3.1.92) и предложения 2.2.4
гл. II следует, что многообразие Мп+Х инвариантно относительно
векторного поля
г/и ου ' ΰζ δζΔ dz άζ ν
197

Доказательство теоремы. (s+1)-аналитичность мно^
гообразия Мп+г следует из (s+1)-аналитичности функций
(3.1.89). Докажем теперь лагранжевость многообразия ΛίΜ-ι^
Мы утверждаем, что в качестве функции 5 = S(a, τ) можно взять
(5+1)-аналитическое продолжение по t функции S(zf ζ, t). В са-
мом деле, из формулы (3.1.60) следует, что
dS(a, x)=d{s+1AiS(a, /)) =
=*AtdS(af 0 = (в силу (3. 1.60))
= Л, {C(a, t)dz(a,t) — fi(z(a9t)% С (а, t), t)dt) =
= С(а, X)dz(a, x) — H{z, α, τ), ζ (α, τ), x)dx (modQMn+i).
(3.1.94)
Соотношение (3.1.92) следует из соотношения (3.1.88).
^ Для доказательства правильности заметим теперь, что в
любой канонической карте
lmS(UtI)(x^ рь t)=F{x*\ рь t). ' (3. 1.95)
Действительно, по определению
. SiUj^S-zKj^S-ixipj-y^-ii^ + tfPi)- (3. 1.96)
Из (3.1.78) получаем
ImSw^F + y'pj+yfpj-ix^+y^^F + y'pj-x'^ ' '
(3.1.97)
откуда и следует (3.1.95).
Как следует из замечания (3.1.27), для доказательства
правильности достаточно показать, что
F(a, /)>0 (3.1.98) "
на любом сечении
Для доказательства (3.1.98) рассмотрим в карте U 7
векторное поле
Имеем
XF=^
dt
198

/*=—Ht(*, у, ρ, η, t)
+ y_L//yr_L.+i,._£_\*x
"7=°
ХН(х, ρ, t)=—Ht(x, p, ί)>ο.
Таким образом, если многообразие Мп+! правильно при t = i0
то оно правильно и в некоторой окрестности
*<*о+б. (3.1.100)
Поскольку в определение правильности входят нестрогие
неравенства (^), то если многообразие правильно в интервале
(3.1.100), то оно правильно при
t = t0 + b. (3.1.101)
Связность отрезка {0, Т\ завершает доказательство теоремы
3.1.8
Итак, к вложению 3.1.90 пр-именима теория канонического
оператора, развитая в гл. II. Определим на многообразии
[М"+\ QMn+1] ■ Меру . '
σ=σοΠ<*τ· (3.1.102) -
Из явного вида (3.1.102) меры σ видно, что
dx
то есть мера σ инвариантна относительно поля (3.1.93), и мы
можем сформулировать основную теорему этого параграфа.
Теорема 3.1.9. Пусть — канонический оператор на
многообразии Шл+1, С^л-ы] с мерой σ. Тогда, если функция
φζ^Ο {Μη+ι9 QMn+i) удовлетворяет уравнению
PT = o(modA~/, (3.1. 103)
где Р — оператор переноса (2.3.1), отвечающий гамильтониану
Е + #, то функция.
ψ(χ 0=#φ (3.1.104)
является асимптотическим решением задачи (3.1.1) — (ЗЛ.2) (в
смысле определения ЗАЛ).
Доказательство. Заметим, прежде всего, что, как
следует из (3.1.92) и (3.1.102), канонический оператор К ассоцинро-
2 λ
ван с оператором Гамильтона Е+Н(х, р, t) в "смысле
определения 2.3.3.
199

Применяя теперь теорему^о коммутации 2.3.2, получаем у^
верждение теоремы 3.1.9.
Рассмотрим теперь задачу Коши
: Г (3.1.105)
Ιψ.|/-ο=^βφ0
для которой многообразие М0, на котором задаются начальные
условия, имеет глобальное подмногообразие Μ о ' сгМ0, которое в
каждбй канонической карте (U, I) многообразия М0 имеет вид
Ug/ для некоторого неособого ростка gi^G(U, I). Справедлива
Теорема 3.1.10. Фазовый поток MR многообразия Λίο ог-
носительно системы Гамильтона (ЗА.27) — (3.1.30) является
таким-подмногообразием в Мп+1 вещественной размерности п+\,
что в каждой канонической карте (U, I) многообразия Мп+1
подмногообразие М* определяется неособым ростком
gl<=G(U, I).
ι
Отметим, что по построению многообразие Μ является
инвариантным относительно системы Гамильтона .(3.1.27) —
(3.1.30) и поэтому уравнение, переноса
[\1 -L *"<*0 1у=о
Лл 2 <вд JT (3.1.106)
1φ|τ-0 = φ0
в главном члене является обыкновенным дифференциальным
уравнением на траекториях, системы (3.1.27) — (3.1.30). Кроме
того, поскольку канонический оператор в каждой карте (U, I)
многобразия Μη+λ может быть записан в терминах
подмногообразия Ugt для любого неособого ростка gi^(U, I), то при реаль-.
ных подсчетах нет необходимости вычислять фазовый поток
всего s-аналитического многообразия Λίη+1. Можно ограничиться
вычислением только фазового потока Mq , после чего применить
результаты §§ 1.5, 1.6 гл. I ч. I.
Доказательство теоремы 3.1.10. Очевидно,
достаточно, показать, что теорема 3.1.10 справедлива при t<6, где б
некоторое положительное число. Мы предположим, что число δ
столь мало, что при сдвиге на ί<6 вдоль фазового потока
системы (3.1.27) — (3.1.30) не меняется тип карты. Пусть (U0n, I) —
некоторая карта на М0, (ί/0η+1, /) —ее фазовый поток вдоль
траекторий системы (3.1.27) — (3.1.30). Нужно показать, что
существуют такие 5-аналитические координаты на (U0n+\ Ι), что
многообразие MR есть вещественное сечение карты ί/0η+1 в этих
координатах.
200 '

Пусть
такие s-аналитические координаты, что уравнение
подмногообразия Λί? в этих координатах есть
Ima'(4, Cd?)=°.
Заметим, что го» ^о7> т — s-аналитические координаты на многооб-
разии^о+ · Функции
а1К> Со?). ·.·. αΛ(^ ζο/)> τ
образуют s-аналитическую систему координат на^о+1> поскольку
Z)(ai,...,art, τ) Л (α*, ...,ая)
°(4> с*.*) ^(4со7)
#0,
и в силу s-аналитичности фазового потока вдоль траекторий
системы (3.1.27) — (3.1.30).
Более того, уравнение многообразия Мя в системе координат
α1, ..., αη, τ есть
Ima^O, ..., 1тал=0, lmt = 0.
В силу леммы 1.6.3 ч. I оно определяется неособым ростком в
карте (U0n+\ /).
Теорема доказана.
Заметим еще, что, вообще говоря, необязательно требовать
существование глобального в М0п многообразия Μ о . Даже если
выбрать (совершенно несвязанные) многообразия ί/ο в каждой
карте (U, I) многообразия М0п, фазового потока системы
подмногообразий UR( достаточно для написания асимптотики
задачи Коши (3. 1.105). Уравнение переноса (3.1.106) решается при
этом автономно на фазовых потоках каждого из многообразий
U . В силу предложение 2.5.1 части I эти решения согласованы
при />0, если они были согласованы при ί = 0.
§ 3.2. Асимптотика спектра псевдодифференциальных
h
операторов.
. 1. Пакеты лагранжевых многообразий. В данном
параграфе мы рассмотрим применение теории канонического
оператора к построению асимптотики спектра—-псевдодиффе-
ренциальиых операторов (как с вещественным, так и с
комплексным гамильтонианом). С этой целью мы несколько обобщим
теорию канонического оператора. В частности, основным объек-
201

том для построения канонического оператора в этом параграфе
будет служить не одно лагранжево многообразие, а некоторым
образом параметризованное семейство лагранжевых
многообразий. Такие семейства мы будем называть пакетами лагранжевых
многообразий.
Перейдем к точным определениям.
Определение 3.2.1. Пакетом лагранжевых многообразий
мы назовем тройку {[М, qm], /(A), /(а,/)} , где
[М, рм]— s-аналитическое компактное многообразие,
J(h) — семейство конечных множеств, зависящее от
параметра Λεξ (Ο, 1],
*(А,/):[Л^ QmI^I*» Q*L /€·/(*)— семейство s-аналитических
вложений, для которых при любом h и j^J(h) имеет место
включение
i\hii)di/\dzt4h{M). (3.2.1)
Здесь включение f(h,j)&Ih(M) для семейства функций
f(h,j)(l, h), ξ — локальные координаты на многообразии [М, рм]
означает, что для любого мультииндекса a, |a|^s, справедливо
неравенство
|Д?/(*./>и, *)|:<<4*+<&]*~ (3-2.2)
с константой Са, не зависящей от h и j^J(h). Включение вида
(3.2.1) для форм означает, что все коэффициенты
соответствующего семейства форм принадлежат множеству 81н(М).
Из условия (3.2.1) следует, что на многообразии [М, рм]
существует семейство канонических атласов {(U, /}(л,,>
Существование такого атласа при каждом h и j^J(h) обеспечивается
условием
2
φ 0 (3.2.3)
γΐ Ι det д(*ы/>*ш)И)
/е[я]
в любой локальной s-аналитической системе координат ξ.
Нам потребуется усиление условия (3.2.3). Именно,
зафиксируем некоторый конечный атлас {Vi, ζι), ί=1, 2, ..., m на [М, рм]·
Назовем пакет лагранжевых многообразий равномерно лагран-
жевым, если существует такая константа δ>0, что
min inf V1 det
/-lf2f...fni£€V// ^J I
д ( 4h>i)z ' hhjfil)
ae,
/С[л]
2
>δ>0, (3.2ь4)
max sup {| D4*kJ)z |, | £W*Af .}ζ |} < Ma (3.2. 5)
для любого мультииндекса α, где {V/} —такое открытое
покрытие Μ, что Vi компактно вложено в Vi: V/ a V%.
202

Замечание 3.2.2. В силу соотношения
у |dct d(lw)*i*ikjfr)
= |det^^r Vldet ^^/^(УлС/)
Ι ς* Ι /с[л]
условие (3.2.4) не зависит от выбора конечного атласа и
множеств Vi'.
Определим теперь два функциональных пространства,
необходимые для построения теории канонического оператора на лаг-
ранжевых пакетах.
Определение 3.2.3. Через sOh[M, рм] обозначим
пространство, элементами которого являются семейства s-аналитических
функций UhMl)> параметризованное &е(0, 1] и j<=J(h), таких;
что производные от функций семейства f(h,j) по локальным
вещественным координатам многообразия М2п ограничены
равномерно по (К j) j^J(h).
Рассмотрим теперь кольцо полиномов от переменной h вида
где fh{h,j){\)^Oh[Mf рм] при i^max (s—2k, 0). Обозначим это
пространство через sOh'[h](Μ, рм). Множество аОн'[К[(М, рм)
элементов из βΟ//[Α](Λί, рм) вида
2 **/»<».«(«. (3-2.6)
-Гг
как нетрудно видеть, является идеалом в кольце sOh\h](M, pM).
Определение 3.2.4. Через sOh[h](M, pM) обозначим
фактор-кольцо
Юп\/1](М, ρΛ)=Ό;ΐΑ](Λί, QM)j4h[k](M, QM). (3.2.7)
Введем и зафиксируем на многообразии Μ некоторую рима-
нову метрику. Расстояние в этой метрике мы будет обозначать
символом r(l'f I").
Лемма 3.2.5. На многообразии Μ существует семейство
канонических атласов {(U, /}(&, 5> индуцированных вложениями
i(h, j), все множества U которых есть открытые шары во
введенной римановой метрике. Радиусы этих шаров ограничены снизу
положительной константой, не зависящей от h и j^J(h).
Доказательство. Воспользуемся следующей формой
теоремы о неявной функции.
203

Теорема 3.2.6 (о неявной функции). Пусть Μ, Ν, 6 —
положительные числа N^1. Для любых натуральных чисел п, m су-
ществует такая положительная константа Сшп, что для любой
системы функций
^1\ХЪ · · ·> XrV> Уи · · ·» Ут)* ■ ' ·» **т {Хъ
·> Хю Уъ · · ·» Ут\
(3.2.8)
такой, что
\4x>yF(x>y)\<N,
d^Fi
dyjdVk
(■*. У)\
<м9
det^L{Xiy}\
дУ1
(3.2.9)
и точки (х0, уо) = (xlQt ..., хп0; у[0, ..., ут0) такой, что
Л(*Ь. 0о)=^«(*о. Уо) = - · -=^«(-«Ь, Уо) = 0 (3.2. 10)
(3.2. 11)
существует единственное решение yi=yi(x), f=l, 2, ..., m, састе-
лш уравнений
Λι(*ΐ. · ··, *л5 01»···. 0m) = °J
(3. 2. 12)
обращающееся в у о при х = х0.
Пусть теперь число а>0 столь мало, что открытый шар
радиуса а относительно метрики г с центром в любой точке
многообразия Μ целиком содержится в какой-либо окрестности V/.
Очевидно, что для любого числа Ь>0 можно выбрать такое
число а>0, чтобы открытый шар радиуса а относительно метрики г
с центром в произвольной точке многообразия Μ целиком лежит
в шаре радиуса b относительно метрики, определяемой в
окрестности центра локальными координатами ξ. Выберем теперь
число Ъ, равным
М2п+22п >
где M = maxMa; ΛίΒ, δ — константы оценок (3.2.4), (3.2.5), а
Сип — константа, входящая в выражение (3.2.11) при /га = л. Мы
предположим (без ущерба общности), что М>\.
Докажем теперь, что любой шар радиуса а (в метрике г) при
любых h и j^J(h) допускает в качестве координат функций
*V,j)27 и i*(h,j)tlлля некоторого Icz[n]. В самом деле, пусть
Ка(1о) —такой шар с центром в точке ξ. В силу выбора числа а
этот шар целиком лежит в множестве V/ некоторой карты
204

(Vi, ξϊ)· Рассмотрим систему уравнений
/ι лч ι (3.2. 13)
^—'(Vi>C/(d е7)=о J
В силу условия (3.2.4) найдется такое множество /cz{n], что
dct *foV^'(Vjfo)
>У ψ-φ- (3-2.14)
■==&
06/
Кроме того, если мы обозначим
«0=ί(*Α,7)2/(ξ!ο. · · · » ξ?0)> ^o=i(Vy)^(S/o» · · · » ξ?0)
(ξ/0,·.. , ξ/0 — координаты ξο в системе координат ξ*), то в точке
^о» С/о» (ξ/ο»···» S?o) левые части системы (3.2.13) обращаются в
нуль. Далее, первые производные левых частей системы
(3.2.13) по ζ1, ζ / есть единица или нуль, а производные по ξ<
первого и второго порядка в силу условий (3.2.5) не больше М.
Поэтому, относительно системы (3.2.13) выполнены условия
теоремы 3.2.5 при Μ=Ν и 6, замененные на Уь/2п12 Теорема 3.2.5
гарантирует, что в окрестности |0 размера (относительно
метрики, индуцированной ξ*)
М.М2п+1\2ф ) М2п+22п
система уравнений (3.2.13) имеет единственное решение. Но
рассматриваемый шар радиуса а в силу выбора а целиком лежит в
этой окрестности.
Лемма доказана.
Замечание 3.2.7. Фактически мы доказали, что семействе
канонических атласов {(U, /)}(л,я, Ле(0, 1], j^J(h) можно
выбрать так, чтобы множество носителей карт этого семейства не
зависело от h и j^J(h).
В качестве такого универсального множества носителей
можно взять систему шаров радиуса а (в метрике г). При этом, ра-
зуеется, координаты в каждом таком шаре зависят от выбора
Ае=[0, 1] и jf=J(h).
В силу компактности многообразия Μ из семейства
носителей, карт канонических атласов можно выбрать конечное
подсемейство. Мы выберем и зафиксируем такое семейство Ό%, i =
= 1, 2, ..., /. Очевидно, что в каждом множестве Ό\ существуют
координаты ξ*, такие, что для любого Ле(0, 1] и j^J(h), если
ζ1, ζ 7— канонические координаты в ί/<, то
сИ^>
а?/
>$τ· (З·2·15)
Нетрудно видеть, что все дальнейшие построения не зависят от
выбора конечного подсемейства {Ui}, ί=1, 2, ..., /.
205

Следствие 3.2.8. На многообразии Μ существует семейство
конечных разбиений единицы {βί}(Λ>3> подчиненных покрытию
Ui, i=\, 2, ..., m, таких, что производные по каноническим
координатам при каждых h, j<=J(h) ограничены равномерно по h
Доказательство. Достаточно рассмотреть одно разбиение
единицы {οι}, подчиненное покрытию £/<. Ограниченность
соответствующих производных вытекает из неравенства (3.2.15).
Следствие доказано.
Определим теперь понятие квантованного лагранжева пакета.
Определение 3.2.9. Через sIh(M, Z2) мы обозначим
множество таких элементов f&Oh(M), что существует целое число
k^Z, для которого имеет место включение
f~2jik£sh{M). (3.2.16)
Пусть теперь на многообразии Μ задано такое семейство мер
μ(Λ,;·), что их плотности в каждой локальной системе Ό ι
принадлежат sOh(Ui).
Определение 2.2.10. Пакет {[М, рм], J(h), Цк,з)} с
семейством мер μ(Λ, j) называется правильным квантованным пакетом
с мерой, если существуют такие семейства коцепей {S(u,i)}(h, #
и {AvgJ(u,i)}(h,j) покрытия {Ui}, что
2) Arg/(c/, /)(л, j) есть одно из значений аргумента функции
'<*,/><*.» = о^-) >
3) (т-[%./)-5(к.л-^С7 + Л/] —J^Argy^./j-CArgyJtv.y)-
[η Ι
-2arg^+IM"}^,€*/»(£/, П U,, Ζ,), (3.2. 17)
причем Kk — собственные значения матрицы
HesV*' с/з(-5((/,/)), -*<argX^<-|-;
4) Im S(UJ) {hJ) (x\ p.) > CQ>M. (3. 2. 18)
где константа С>0 не зависит от параметров Λ^(0, 1], j^J(h).
В дальнейшем правильные квантованные лагранжевы пакеты
с мерой мы для краткости будем называть лагранжевыми
пакетами.
2. Уточнение остаточного члена в формуле
(1.1.6). Рассмотрим сначала одномерный случай. Пусть
Φα (х, р) — семейство функций, параметризованных параметром
аеВ причем:
206

1) семейство φα(χ, ρ) равномерно по аеВ финитно по пере
генным р, то есть, существует в Rp* такое компактное
множество Л, что
suppcpa(-*r, р)а A
для любого аеВ;
2) все производные функции Ф*(х, р) и у*(х, р) до порядка
2s по переменным χ, ρ ограничены равномерно по параметру
aGB, Im Φα (х, ρ)^0;
3) пусть, как и в § 1.1 гл. I Ωα есть множество тех точек х,
для которых существуют такие р, что
дФ (χ ό)
Im Ф.(*. /0=0, *\ ' =0, (3.2. 19)
Тогда мы предположим, что такая точка ρ единственна для
каждого λ^Ω на supp φα , и в этой точке
02Φα(ΛΓ, ρ)
АЛ. ϊ\ ' "'
det
dp
>δ>0, (3.2.20)
где δ>0 не зависит от а^В. Точка р, для которой при #<=Ω
выполнены соотношения (3.2.19) и (3.2.20), мы будем обозначать
ра (х). Функция ра (х) определена только при хейа.
Лемма 3.2.11. Существует такое число т>0, что в г-окрест-
ности множества Ω разрешима система уравнений
**(*> О=0. (3.2.21)
όζ
Доказательство. Утверждение леммы следует из оценки
(3.2.20), ограниченности производных функции Фа(х, р) и
теоремы 3.2.6.
Решение системы (3.2.21) мы обозначим, как и ранее, через
С« (χ). Запишем теперь разложение (1.1.15) для функции
Φα (х, р):
Φα(χ, ρ) = Φ.(χ, С(х))+(р-Ъ(x)?+V*a (x) + W*« (x, /7), (3. 2. 22)
где ΨΦ*(χ, р)=0(\ца 001*)· Последняя оценка, как нетрудно
видеть, равномерна по аеВ.
Пусть теперь
Ь(*. Р) = (Р-Ь(х)) Vv*« (x) + W*a(x, ρ) (ρ-ί (х)Г2'(3. 2. 23)
Соотношение (3.2.22) с учетом (3.2.23) перепишется в виде
ФЛ(х, р)='ФЛ(х, С (*)) + [*.(*, />)]*· (3· 2. 24)
Заметим при этом, что функция ξα(Χ ρ) принадлежит по
переменным (х, р) классу С(г-2)(КтхЯп) равномерно по аеВ.
207

Далее, в разложении (1.1.15) функция φα перепишется здесь
в виде:
3l
dp
s
"1—1
φα(^ ρ)--
d*Za(x, ca(x))
s
<fa(X, CaU)) +
+ 2&(*. Ρ)? Vla W + 2 R-(*. ^)We (*· /* (3· 2· 25)
ft=l
*=0
причем U^(x, ρ) = θ(|η.(Λ)|,-*)ι №*■ (χ, />)€ rw(RmXRe);
последняя оценка равномерна по aeB, и все производные до
порядка /—2—k функции wl* (χ, ρ) ограничены равномерно по
аеВ.
Вычисление интегралов от первых (s+Ι) членов разложения
(3.2.25) производится при каждом фиксированном аеВ и
поэтому ничем не отличается от вычисления, проведенного в §§ 1.3
гл. I. Нашей целью является оценка интегралов от последних 5
членов разложения (3.2.25).
Лемма 3.2.12. Справедлива оценка
Ы у χα(/?)Χ
— оо
X 2 [?.(■*, P)WV{*, p)^t = 0(hb'\~1), (3. 2. 26)
k = 0
dp
причем запись 0(hk) понимается в смысле § I гл. I, и оценка рав-
номера по аеВ, %а(р) — финитная функция, тождественно
равная единице на supp φα (χ, ρ).
Доказательство. Заметим, что для последней суммы в
(3.2.26) справедливо представление
2fc(*. P\*Wl'(*> Р) = Ъ«{*> Ρ)1Τν*(χ, ρ), (3.2.27)
причем, в силу оценок для W*B функция W9* (х9 р)
принадлежит Cf-S-2 равномерно по аеВ. С учетом соотношения (3.2.27)
интеграл (3.2.26) перепишется в виде:
\2πΑ
χ σο
ъ(р)Ых, p)YW'(x, р)Щх, р)Х
Хе
(3.2.28)
208

*Мы преобразуем интеграл (3.2.28) по частям)—] раз:
— оо
Xir°(jt, p)dl(xt /,)e"T'*'(*,CeW^(-p)[Tl (3.2.29)
Заметим, что в силу (3.2.20) и свойств функций φα и W^a по-
динтегральное выражение в (3.2.29) является равномерно по
аеВ финитной функцией, ограниченной сверху константой, не
зависящей от а. Отсюда следует утверждение леммы, если учесть
неравенство
Im {[&.(*, />)1а+ **«(■*. С«(*))} = 1тФ(.*, р) = 0
и заметить, что при t = 2s + 2 производные интеграла (3.2.29) до
порядка - оцениваются точно таким же образом с потерей
h от каждой производной.
Лемма доказана.
В тех же предположениях равномерность оценки остаточного
члена в формуле (1.1.16) в случае произвольного числа
переменных проводится индукцией по η точно так же, как и в § I гл. I.
3. Канонический оператор на лагранжевых
пакетах. Пусть {[Λί, рм], J О1)» НКд)}—квантованный пакет,
{U%} — конечное множество носителей канонических карт (как
было указано) в пЛ это множество не зависит от h и j^J(h).
Определим теперь в карте Ό\ локальный канонический оператор.
Пусть φ^, j)&Oh[Ui, ρμ|ρ,] имеет носитель в множестве U%.
Определим локальный канонический оператор формулой
__ j^
X[^,/).(M)(^ Pi)] a ?<*,/> (^. pj). (3.2.30)
При этом значение локальнего канонического оператора на
элементе φ^,^Ο^ί/ί, PmIu-,] есть семейство функций от
переменной JieRn, параметризованное параметрами /к=(0, 1] и
j<=J(h).
Обозначим через HlJh{Rx) пополнение пространства
функций из Co°(R5), зависящих от параметров h, j^J(h), по норме
sup
А€(0,1)
(1+Δ^+^)2/(Α.Α = |Ι/|Ιγ,*- (3.2.31)
209

Через //1/й(н5) мы обозначим проективный предел пространств
li\!h{K) при г —оо.
Оператор — -преобразования Фурье осуществляет для
любого г непрерывное отображение
-L J- J_
F^p : Hrh (R-) - ЯГЛ (Rn>p). {3. 2. 32;
Определение 3.2.13. Через 7#1/Л(П?) мы обозначим
такое подпространство пространства //1/Л(П"), что/<Aj)€V//1/A(Ri)
в том и только в том случае, когда для любого г
Н/(*,у)Нг,*<СгАа."
причем константа Сг не зависит от fte(0, 1], j<=J(h). Через
//1/Л (Rxn) мы обозначим фактор-пространство
°Hllh {Knx)=Hllh (R*)/7tf1/Л (Ri). (3. 2. 33)
Предложение 3.2.14. Локальный канонический оператор
(3.2.30) осуществляет непрерывное отображение пространства
ku.:*Oh(Uh QM)Ut-+l*lHVh(R"x). (3.2.34)
Доказательство. При четном г имеем:
•5- тг5«ЛО»(А,/)
X[-W),<*,;)] 2 ?(й,л (*', />7) =2 **<">» (*, Рп Л)> (3· 2· 35)
fc=0
при этом функции Ф^С*1, /?7, Л) в силу определения пространств
sOh(Uif рм\и/) и требования (3.2.18) равномерно ограничены по
(ft, j). Кроме того, очевидно, что функции Фи имеют компактный
носитель. Поэтому /^-норма правой части соотношения (3.2.35)
ограничена константой, не зависящей от (ft, j). Непрерывность
оператора (3.2.32) показывает теперь, что £(//¥<*, л^"*' (R*)-
Далее, если мы изменим функции Sp, щь, ,> J<uy iuh, j) и φ^, д на
элементы из sh(Ui, рм|с/.), то, с учетом оценки (3.2.18)
(дословно повторяя рассуждения леммы 2.1.3) получим, что выражение
fe· Ф(л,я изменится на элемент из идеала sIHl^h (Rxn).
Предложение доказано.
Следствие 3.2.15. Оператор kul осуществляет непрерывное
отображение пространств
kUt*'Oh[h\(Uh Q^U-hj tfVA(R"). (3.2.36)
210

Доказательство. Заметим, что, поскольку s-аналитич-
ность влечет /-аналитичность при O^/^s, то предложение
3.2.14 верно для любого t, O^t^s. Требуемое утверждение
следует теперь из непрерывности отображения
hk : sHVh (R5) — *+*fjW (R2)f (3. 2. 37)
которая очевидна непосредственно.
Определим теперь в ситуации лагранжевых пакетов
операторы Vi\ аналогичные введенным в § 3 гл. I операторам Vu. Для
облегчения доказательств нам потребуется несколько иная
запись оператора kur полностью эквивалентная (3.2.30). Именно:
_ -L
X\Au,n,(nj> (*', Pj\ · 2 ?(*,/) (*, Pi)- (3. 2. 38)
Оператор V?, определяемый для любых двух карт Uif Uu
Vli*aOh\k](Ut ΓΙ Uh ZM\Vi«Vi)-SOhWUit\Ui, Q>/^),
(3. 2. 39)
представляет собой семейство операторов Vi\h, jy Более того,
операторы V\hj) удовлетворяют соотношению
^^^-Я-^Я^А^Н^П^, QmIu^u^ (3.2.40)
для любой функции <р<л,й€ 8Orih](Uif] Uh pMк/П1^)с носителем
в пересечении U{ f\ Uu
Соотношение (3.2.40) будет выполнено, если выполняется
сравнение
1 ["ϊ,^·/)'(Μ)(^Λρ7)-7 (ATeJku,f),(h,j)(xI>P})]
Χ
γ
ΧΙ-Λ",/),<*,/> Ο*'. Pi)\ 2 -(V/,<*,/>?*./)(*'. Pi) =
= /7V* /71/A j MS(V>Jh(b,J)(*J>Pj) v
J
2
U<iv>,(a,»(*/. />/)l <Ρ(Μ)(*Λ />7)(тоа*/А[А](<//П'Л, 0л|Цл^)).
(3.2.41)
Здесь (U, I) — карта, отвечающая при данных (Λ, /)
множеству ί/<; (V, J)—карта, отвечающая множеству Ut при тех же
(К /). Как и ранее, введем множества
Л=/ПА /2=/-/р h=J-lv /4=M-(/iU/2U/3).
211

Тогда правая часть соотношения (3.2.41) перепишется в виде
fey,/!+/'l(~1),/sliJexp {τ (-·*'·/>/.+*'■/>/.+v..o<*./> (*J> pj)}x
XlA^).(»j)(x', pj]-i*'·^, P7)dx'>dPl=I. (3. 2. 42)
Применим к интегралу (3.2.42) формулу асимптотического
разложения интеграла быстроосциллирующей функции.
Отметим, что в силу результатов п.2 этого параграфа оценка
остаточного члена равномерна по /к= (0, 1] и j^J(h). Имеем
/ —е у\
XldetsHessxh,Ph(-S(VfjUhiJ)(x'>, г\ Сл, риЩ 2Х
[Η -4-
Χ 2 ^II'Av^m»./)^'.^.^ />/,)] Χ
fc=0
X?(M)(*7S *'·. С/.. />/JbW3(,/,p7) + Ο W 2 J), (3. 2.
где z7% ζ/2 есть решение системы уравнений
dS,
43)
*+ y^s^^P/J^o,
(3. 2. 44)
где сравнение понимается по модулю sh(Ui П £/ь рм|^ас//)
Как и ранее проверяется, что решением системы (3.2.44) по
тоа8/л(Ътг U Uu рм^л*^) являются функции, определяющие
замену координат от (Ύ, /) к (U, I). Далее, вычисления, вполне
аналогичные проведенным в § 1.1 гл. I, приводят к формуле
L z!3pl3 + xI4i2+sSiVij)(xIi,z!3,tiJpri)-^«ArgJ){VfjhihJ) + ^h
I =e k X
[Η
*-0
(3.2.45)
212

причем ^се сравнения понимаются по модулю sh(Ui Π Уг>рм\u^uj)·
то есть равномерны по (h, j), /к= (О, 1], /e/[ft].
Формула (3.2.45) вместе с соотношениями (3.2.17)
показывает, что в качестве операторов Vlnh, j) при каждых фиксированных
Ле(0, 1], j^J(h) можно взять операторы VU определенные з
§ 3 гл. I.
Рассмотрим теперь некоторые свойства операторов Vhih^y
Мы докажем соотношения:
У\ы)У'«к,м = ъ ?€VA[A](tf/ Π */„ QmIu^u,), (3.2.46)
Для этого рассмотрим карту £/* как s-аналитическое
правильное лагранжево многообразие. Рассмотрим также его покрытие
множествами V"z = i/{fl ^ι· В качестве коцепи S мы выберем
коцепь Si = S(u,i)+zIlf—zJ\j. (Все рассмотрения происходят при
фиксированных (h, j); (U, ί) —тип карты Ό χ при данных (h, j)).
Формула разложения интеграла быстро осциллирующей
функции показывает, что операторы Vu, отвечающие [Uif pM\Ui]t
суть дифференциальные операторы с коэффициентами,
зависящими лишь от производных функций 5(у, j). Как было доказано
в § 1.3 гл. I, операторы Vu удовлетворяют условиям (3.2.46).
Далее, производные функций S(v,j) совпадают с производными
функций S(v,j) с точностью до элемента из идеала
s~kih(Ui Г) Uи рм\ utnui ), где к — порядок производных. Это
следует из формулы (3.2.17), если учесть соотношение
(ArgJ\u,i)~{ArgJ\VJ)^^argXk + \/2\jt=const (?3.2.47)
Отсюда следует соотношение (3.2.46).
Определим теперь локальный канонический оператор в
карте U{ формулой
^«7.?(А,Л=2*^И(А,ЛЗД(А,У), (?(h,j)^SOh[h](Uh QM\u.).
ί
Так же, как и в § 2.1 гл. II справедливы утверждения.
ПредложениеЗ.2.16. Ограничения операторов
Ku^Oh[h](Uh C*|e/£)-*tfV*(R;)f
Kur.sOh[h]{Ub qm\v)^H^(^)
на множество функций из sOh[h](Ui fl Uh рм| и^и^ с носителем
в пересечении Ui О Uh совпадают.
Теорема 3.2.17. Существует единственный оператор
# ·*0Λ[Λ](Λί, ρΛ)-Ήν*(ΐίί). (3.2.48)
213

ограничение которого на функции из sOh[h](Uif pM\u. ) с
носителем во множестве Ό ι совпадают с операторами (3.2.46).
Доказательство этих утверждений полностью совпадает
с доказательством соответствующих утверждений § 2.1 гл. I и
поэтому здесь проведено не будет.
Перейдем теперь к формулировке теоремы о коммутации в
случае лагранжевых пакетов.
Определение 3. 2. 18. Пакет {[М, рм], 1(h), Цн,з)} с мерой
μ(Λ, j) называется ассоциированным с гамильтонианом Н(х, р),
если существует такая система констант Е^, ^ (эти константы
мы будем называть энергетическими уровнями.), что
1) £(л,з) равномерно ограничены по /ге(0, 1], j^J(h);
2) *(V«'"(*, 0-Ζ·(Α,/,€*/4(Λί, qm);
и мера μ<Λ, j) инвариантна относительно векторного поля V(H),
то есть
Lv(H)Hhj)ts/h(M,QM). (3.2.49)
Заметим, что требование (3.2.49) корректно, поскольку в силу
предложения 3.2.4 многообразие Μ инвариантно относительно
V(H).
Теорема 3.2.19. Пусть пакет {[М, рм], J(h), i(h,j)} с мерой
μφ,3) ассоциирован с гамильтонианом Н(х, р).
Тогда существует оператор
Ρ: sOh [h] (Μ, qm) - *~lOh [h[ (Μ, QM)f (3. 2.50)
такойч кто Р={Р(А)у)},
ι ί Γ£-]-ι
(3.2.51)
для функций из sOh[h](M, рм). При этом операторы P(h,j)
определяются локально при каждых (h, j) так же, как в § 2.2.
Доказательство проводится совершенно аналогично
доказательству теоремы 2.3.2. Отметим лишь что равномерность
оценок при применении формулы асимптотического разложения
интеграла быстроосциллирующей функции следует из
результатов п.2 этого параграфа.
4. Асимптотика спектра. В этом пункте мы докажем
теорему о приближении спектра У/гпсевдодифференциального
оператора # = #(#, р). При этом мы наложим некоторые
требования на оператор Я. Необходимость этого требования
иллюстрируется контрпримером, приведенным в п.6 этого параграфа.
Теорема 3.2.20. Пусть {[М, рм], 1(h), i{htfr щн,з)} —
многообразие с мерой, ассоциированное с гамильтонианом Н(х, р),
E(h, j) — соответствующая система энергетических уровней. Пусть
214

E<h,j),h, k^B(h,j) — система собственных значений оператора
P(h,j), отвечающая собственным функциям фсл,;),*, таким, что
нормы в L2(Rxn) функций Kq>{k,j) ограничены снизу
положительной константой С2 равномерно по Ае(0, 1], j<=J(h). Тогда, если
1) |Е(*,л,*|<С; Αζ(Ο,Ι)], У €/(*);
2)||(/?-λ/Π|<£
где d — расстояние от λ до спектра spec Я оператора Я, то суще-
ствует такая константа Ci>0, что множество
АА={Х|Х=£(А,У)-/АЕ(А|Л> *, У€/(А), *€В(А| л}
лежит в ClAi*/2-1) окрестности множества spec Я п/?ы каждом
λ€Ξ(0,1].
Доказательство. Применим оператор Я к функциям
<P(A,i)ffc· В силу (3.2.51) имеем
ι i
+ Ф(а,У),* = (^1(а./) —^АВ(А>У).Л)/Ст(а,л* + Ф(а,Л.*. (3.2.52)
причем
*(*,/),*€^///v*(r;).
В частности,
l№(A,yb*llLi(R-)<CAlTJ (3.2.53)
для некоторой константы С, не зависящей от (А, /) и А.
Перепишем теперь соотношение (3.2.52) в виде
[Я-(Я(А|Л-|АЕ(А|У)|Л)]/СТ(А|Л|*=ф(А|у)|*. (3.2.54Ϊ
Разобьем теперь множество Л^ на две части Λι и Лг, где
Л1=ЛА П spec Η, А,=АА-Ax. (3. 2. 55)
Множество Λι лежит в любой окрестности спектра spec Я.
Докажем, что существует такая константа Сь что Лг лежит з
С\А№]~1/ЛГ -окрестности множества spec Я при каждом Ае (О, 1].
Действительно, если E^j)—ihE(h,j),k^A2, то применяя оператор
(7l—(E{h)j)—ihE(h,j),k))-1 к соотношению (3.2.54) и беря норму
левой и правой части полученного соотношения, имеем
С2 < ||/Γφ(Λ>/). *|U. = И [ ^ — (^са./> — iAB(A>/}i *)Г *Х
Х»*«*-«йОТГ'е',иг1· (3·2·56'
215

где на последнем шаге использована оценка (3.2.53) ./Из
соотношения (3.2.56) получаем при любых j^J(h), k^Bh
d (λ, spec Η) < уГЦ- hls'2],N, (3. 2.57)
причем константы в неравенстве (3.2.57) не зависят от h^ (О, Ц
j^J(h)f k^Bh. Беря точную верхнюю грань по λ^Α2 функции
d(X, spec Я) в левой^ части неравенства (3.2.57) и замечая, что
при λ^Λι ά(λ, spec Я) =0, имеем:
N / ~
sup d (λ, spec /?)<!/££ h[s/2]/N. (3. 2. 58)
λ6ΛΛ V C2
Ν Г =з
/ С Ό
Последнее соотношение при Сх= 1/ — доказывает
теорему.
Следствие 3.2.21. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.20
и, кроме того, все энергетические уровни E(h,j) лежат в области Е,
в которой оператор Η имеет чисто дискретный спектр при
каждом /ге(0, 1]. Тогда множество Ah асимптотически приближает
дискретный спектр оператора Я.
5. Π ρ и м е р. Рассмотрим функцию Гамильтона
н С*, р) =4" [(/7? + **)+* ^ + *ЭД · (3·2·59)
Для построения пакета лагранжевых многообразий мы
рассмотрим одномерное (в комплексном смысле) лагранжево
многообразие
z,=r cos а, ) ,г2 = л;2о )
г -г (3.2.60)
C1 = rsm α, J ζ2 = /72ο, J
параметризованное вещественными параметрами г, х2о, /?2о· Здесь
α — комплексная координата. Рассмотрим фазовый поток
многообразия (3.2.60) относительно системы Гамильтона:
. . '_ . (3.2.61)
<^2 ίζ°2> J ^2 lZfr >
отвечающей гамильтониану (3.2.59). Фазовый поток
определяется уравнениями
3! = /· cos (τ —α), ζχ= — г sin (τ — α),
г2=^2оcos *τ + .#20 sin /t, (3. 2. 62)
^2=Р2о C0S ** "" *2о Sin **·
216

Поскольку на многообразии (3.2.60) выполнено условие
Η (ζ, ζ) = f (r2+*2o2 + P2o2) =const, и это многообразие (как всякое
одномерное многообразие) лагранжево, то многообразие (3.2.62)
также лагранжево.
Вычислим пересечение Ω' многообразия (3.2.62) с
вещественным фазовым пространством:
Im 2!=/*Im cos (τ —α)=(τ —α=Ε1 + /ξ2} = —sin 5Хshξ2 (3. 2. 63)
ImCj^ —rim sin (t —α)= = — cos^sh^,
Im22=Im (x2o cos ix-\-p2o sin ix)= |т=т1-|-пг2> cos φ
-*2o
V*L+pL y
Sitl ? = 1/4^-t1 =V^o+^oImC(>S(iri"-CP^/T2)-
= — sin(r1~9)shr2,
Im C2 = Im (p2o cosix — x2o sin ix)= —cos (ΐι —<p)sh t2.
Для равенства нулю этих выражений нужно, чтобы ξ2=0, Т2 = 0.
Таким образом, обозначая βι = ξι, β2=τ—φ, имеем для Ω'
τ—α = βι, τ—φ='β2.
Отсюда уравнения Ω7 суть:
I* χ2 = V χ\0-fρ\0 cos pa,
Α=-Γ5ίηβι'ί A = /S+AcoeB,.
Выберем теперь в качестве инвариантной меры меру dx j\da.
Тогда, поскольку на Ω'τ = φ + β2, α = φ + β2—βι, то данная мера
индуцирует на Ω' меру
dx/\da = ώβ2Λ (β?β2 — ^βι)= ίίβιΛ^β*·
Нетрудно видеть, что, поскольку многообразие (3.2.62)
аналитическое, а множество Ω' является многообразием, условия
квантования идентичны соответствующим условиям вещественного
случая. Поэтому
xl + p22o = h {2п+ 1), r2=h (2m+ 1), (3. 2. 64)
Условия равномерности будут выполнены, если
О < а4 < h(2n + 1)< bu 0 < α2< A (2m + 1)< 62. (3. 2. 65)
Условия (3.2.65) определяют при каждом h множество
элементов (я, m)^J(h). Соответствующее множество
энергетических уровней есть
^пт
==Α(/η+γ)+/Α(/ι+τ)·
217

В силу следствия 3.2.21 числа Епт доставляют нам
асимптотику спектра оператора, отвечающего гамильтониану (3.2.59) в
множестве
а2 5ζ Re λ 5ξ 62, at ==ξ Im λ < bu
Остается заметить, что нами принято Е(^),ь = 0 для всех
(п, m)^J(h), поскольку оператор Ρ переноса есть d\dx\ кром*
того, оценка резольвенты, требуемая в теореме (3.2.60),
выполнена при N= 1 в силу нормальности оператора Я.
6. Контрпример. В этом пункте мы приведем пример
оператора, для которого не выполнено требование 2),
1|(//-λ)]|<Α, (3.2.66)
теоремы 3.2.20. Именно, рассмотрим оператор Н, отвечающий
гамильтониану
Н(х,р)=±(р* + 1х2) (3.2.67)
в случае одной переменной. В одномерном случае, многообразия,
инвариантные относительно гамильтонова векторного поля,
могут быть определены из уравнения
Н{х, />)=γ(/* + /**)= £=const. (3.2.68)
Поскольку мы интересуемся многообразиями, имеющими
непустое пересечение с вещественным фазовым пространством,
существует такая точка (хо, р0), что
£=^(/>М-Ч2)· (3-2.69)
Далее, пересечение многообразия (3.2.68) с вещественным
фазовым пространством при выполнении условия (3.2.69) состоит
из четырех точек:
(*о, Ро), (— *о, Ро), (*о, — Ро), (— Хо, — Ро) ·
В силу изолированности этих точек, мы можем рассматривать
окрестность каждой из них в отдельности. Таким образом,
рассматриваемое многообразие есть некоторая окрестность точки
(х0, ро) в многообразии (3.2.68). Инвариантная мера легко
выбирается. Она равна dx, где τ — параметр вдоль траектории
системы Гамильтона, отвечающей гамильтониану (3.2.67).
Проверим правильность полученного многообразия. Имеем
в неособом случае (р¥=0)
218

откуда
χ
S= f VpI+ i{xl-x*) dx = Vpl(x-x0)+ f -p{x-x0)dx +
i I Vp°
+ Ο(χ-χ0Τ=ρ0(χ-χ0)-ί(χ-χ°)'2 — + Ο(χ-χ0γ.(3.2.7ΐ)
* Po
Следовательно, условие правильности будет иметь место, если х0
и ро имеют разные знаки, то есть для двух точек (из четырех),
определяемых пересечением многообразия (3.2.68) с
вещественным фазовым пространством.
В силу стягиваемости нашего многообразия, условия
квантования отсутствуют. Нетрудно видеть, что каждая точка (xq, p0)
с ХоРо<0 определяет правильное лагранжево многообразие;
совокупность таких многообразий с
Ег<\Е\-·
,Τ^ + ^ο)
<£а (3.2.72)
образует квантованный пакет (правда, с бесконечным 1(h),
однако теорема 3.2.20 справедлива и в этом случае). Поэтому,
учитывая, что можно выбрать μ = 0, мы получаем, что множество
Аь состоит из всех чисел Е, представимых в виде (3.2.69). При
различных Е\ и Е2 в (3.2.72) эти числа заполняют первую
координатную четверть в плоскости λ. С другой стороны, спектр
оператора Н, отвечающего гамильтониану (3.2.67), дискретен.
Таким образом, пример показывает необходимость условия
2) теоремы 3.2.20.
219

ДОБАВЛЕНИЕ I
Vh-преобразование Фурье.
Пусть /ie(0, 1] —координаты на отрезке (0, 1]. Мы ведем 7/г
аналоги преобразования Фурье Fllh и пространств С.Л. Соболева
Hk ν*, k^Z.
Через Rn обозначим n-мерное арифметическое пространство
и через Rn — его сопряженное: Rn=(Rn)*. Пространство Rn и
Rn мы снабдим стандартной структурой евклидова пространства
( , ) и определим операторы Лапласа, полагая
Ьх = {Рь Pi),
где
χ1 = ih — , i = l,. .. , п.
dPi
Пусть теперь k — натуральное число. Введем в пространство
гладких, финитных в Rn функций f = f(x\ ..., хп), гладко
зависящих от параметра ht=(0, 1], структуру гильбертова пространства,
полагая
(/, £)*=зир(П+Мг+д,Г/, [1 + Η»+δχΓ*)0,
h
причем
Rn
Соответствующее полное нормированное пространство мы
будем обозначать через H\h (Rn).
Отметим, что при любом натуральном k в пространство
//ул (Rn) входят, например, функции вида е<7Л5<*) φ (я),
220

где S(x), φ (У)— гладкие комплекснозначные функции на Rn,
lmS(x)^0.
^^-преобразование Фурье FxJ^p мы определим, полагая для
любой функции qx=C0°°(Rn)
?(/>)= \FXtp φ (х)} (Ρ)-(~Υ2\ e~±h<X'"%(x) dx. (1)
где <х, р>=х1рг.
Формула обращения преобразования Фурье имеет вид
i
φ (х)= Wia(ρ)] (χ) = ^γ^ e~h<P'X>^{p)dp. (2)
Здесь arg/ =— .
Ниже мы часто будем опускать верхние, а иногда и нижние,
индексы у символа F (разумеется, в тех случаях, когда это не
вызывает недоразумений).
Для 7л-преобразования Фурье Fl,h справедлива формула
Планшереля
(/, g)o = {Fmf, РЩё\ (3)
что проверяется прямой выкладкой. Из (2.17) следует, что для
любого натурального k имеет место следующая формула
коммутации
/Wl + H2 + A,)*=(l + Ap + |/f)*^p. (4)
Эта формула позволяет высказать следующее
Утверждение. Преобразование (1) продолжается до
ограниченного оператора
F>HT(Kn)^HT{Rn\ (5)
и, более того, оператор (5) является изоморфизмом.
Доказательство. В самом деле, пусть f^H)<h(Rn).
Тогда
||F/|ll=suP([i +др+|/;|Г2^Л[1 + Ар+И^/)о =
k
= su?(F [l+W + Δ,]*/2/, F [1 + Η3 + Δ,Γ/)„=
k
=sup([i+M2+A,r/, [ι+Ν2+δ,Γ/)-||/||1. (6)
k
Из (6) следует, что оператор (1) непрерывен, и, более того,
изометричен. Существование обратного отображения следует из
формулы обращения (2).
Утверждение доказано.
221

Определим теперь пространство ljhH (Rn) как пересечение
tf1/A(R")=n НТЮ (7)
всех пространств Н111г(Яп) и снабдим его наименее сильной из
топологий, в которой отображения
H1/fl(Rn) ->НТ (R"), / -> д*/ (8)
непрерывны для всех £ = 0, 1, 2, ... .
222

ДОБАВЛЕНИЕ II
Одна абстрактная лемма
Лемма. Пусть на многообразии Μ выбрано некоторое покры-
тие U={Ui} открытыми окрестностями, на каждом элементе
которого определен линейный оператор
Kur.°00(Ui)-.H (1)
(Η — линейное пространство), причем для любой функции
f&O0(Ui Г) Uj) имеет место равенство
Ku.f = Kujf·
Тогда существует и единственный оператор
к>*о0{мп)->и,
сужение которого на пространство sO0(Ui) совпадает с Киг
Доказательство леммы.
Утверждение 1. Для любой функции f&O0(M) и для
любого покрытия {Ui} многообразия Μ существуют такие <рунк-
ции ]\, i=l, 2, ..., г что выполнены следующие два условия:
i)supp/£. ci/b
Доказательство этого утверждения следует из
существования разбиения единицы на s-аналитическом многообразии.
Пусть теперь f&O0(M).
Определение.
*/=2w< (2)
ί = 1
223

Утверждение 2. Определение (2) корректно, то есть не
зависит от выбора функции {/г}.
Доказательство утверждения 2. Покажем, что если
г
supp/^czt/,, ί = 1, 2,..., г, 2//=°*
то справедливо равенство
jw^o.
/ = 1
Доказательство последнего утверждения проведем
индукцией по числу г. При г=\ нужное утверждение, очевидно,
следует из линейности оператора К. Пусть оно справедливо для г=
= k—1. Рассмотрим функцию f\, supp f\czU\ и множество
Поскольку
и,\ и ut=v.
ί=2
i-l ί-2
* ft
supp У // с: у Ut,
fi\V = 0.
Следовательно,
k
supp/id U Vi,
i=2
где ΙΛ = ίΛΤ) ί^ι· Тогда в силу утверждения 1 существуют такие
функции, что
/ι = 2 9/, slippy <=1Л.
ί = 2
Поэтому
/Cc/j/i=(t. к. оператор К линеен)
k
2 Κυ.4ΐ = {πο условию)
ί=2
2*м<·
/-2
224

Следовательно,
k
2 Kuifi = {no определению)
/-2
ft k
^KulQi + ^KUlfl=^KVi{ql+fl) =
ί=2 ί=2
ί-2 ί=2 ί = 2
t-2
Заметим теперь, что из построения функций q% и свойств функ-
k
ций fi следует, что 2Л' = ^· По предположению индукции от-
1-2
сюда следует, что
k
2**Λ=°·
ί-2
Нужное утверждение доказано.
Для доказательства корректности мы предположим теперь,
что функция f представлена двумя разными способами:
ί-1 7 = 1
Тогда
2/,·-2^=о,
<=1 7 = 1
и линейность оператора вместе с доказанным выше
утверждением показывает, что
2^=2^·
/-1 у-1
Корректность определения установлена.
Утверждение 3. Существует не более одного оператора,
удовлетворяющего условиям леммы.
225

Доказательство утверждения 3. В самом деле
пусть К' — другой такой оператор, и пусть f^C0°°(M). Тогда ζ
силу утверждения 1 существует набор функций
Поскольку
то и
Ки^Кц.,
Kf = K'f.
Утверждение 3, а вместе с ней и лемма доказана
полностью.
226

Литература
1. Арнольд В. И., О характеристическом классе, входящем в условие
квантования, Функц. анализ и его приложения 1, вып. 1 (1967).
2. Арнольд В. И., Интегралы быстроосциллирующих функций и особенности
проекций лагранжевых многообразий, Функц. анализ и его приложения 6,
вып. 3 (1972).
3. Арнольд В. И., Нормальные формы функций вырожденных критических
точек, группы Вейля Ak, Dk, Еъ. и лагранжевы особенности, Функц.
анализ 6, вып. (1972).
4. Арнольд В. И., Замечания о методе стационарной фазы и числах Кокстера,
УМН XXVIII, вып. 5 (1973).
5. Бабич В. М., Булдырев В. С, Асимптотические методы в задачах
дифракции коротких волн, «Наука», 1972.
6. Буслаев В. С, Инвариантное описание канонического оператора В. П. Мас-
лова, ДАН 184, № 1 (1969).
7. Буслаев В. С, Производящий интеграл и канонический оператор Маслова
в методе ВКБ, Функц. анализ и его приложения 3, № 3, (1969).
8. Виноградов А. М., Алгебра логики теории линейных дифференциальных
операторов, ДАН 205, № 5 (1972).
9. Виноградов А. М., Многозначные решения и принцип классификации
нелинейных дифференциальных уравнений, ДАН 210, № 1 (1973).
10. Кравцов Ю. Α., Приближения геометрической оптики и примыкающие к
нему асимптотические методы, М., НТД—62.
11. Кучеренко В. В., Уравнение Гамильтона-Якоби в комплексной
неаналитической ситуации, ДАН 213, № 5 (1973).
12. Кучеренко В. В., Канонический оператор Маслова на ростке комплексного
почти аналитического многообразия, ДАН 213, № 6 (1973).
13. Кучеренко В. В. Формула коммутации l/h-псевдодифференциального
оператора и быстроосциллирующих экспоненты с комплексной фазой, Матем.
сб., (1974).
14. Маслов В. П., Теория возмущений и асимптотические методы, Изд-во МГУ,
М., 1965.
15. Маслов В. П., О регуляризации задачи Коши для
псевдодифференциальных уравнений, ДАН 177, № 6 (1967).
16. Маслов В. П., Канонический оператор на лагранжевом многообразии с
комплексным ростком и регуляризатор для псевдодифференциальных
операторов и разностных схем, ДАН 195, № 3 (1970).
17. Маслов В. П., Операторные методы, Изд-во «Наука», 1974.
18. Прудковский А. Г., Метод стационарной фазы в применении к
интегралам, зависящим от параметра (неаналитический случай), ЖВМ и МФ 14,
№2 (1974).
19. Стернин Б. Ю.. Канонический оператор Маслова в комплексной ситуации,
УМН XXIV, №1 (1974).
20. Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Об уравнении Гельмгольца с комплексгаьннгст
характеристиками, Тр. VI Всесоюзн. симп. по дифф. и распр. волн,
Москва— Ереван (1973).
21. Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е., Гладкая теория канонического оператора
Маслова, УМН XXIX, № 3, (1974).
227

22. Федорюк М. В., Метод стационарной фазы и псевдодифференциальные
операторы, УМН26, № 1 (1971).
23. Duistermatat A., Hormander L., Fourier integral operators II, Acta Math.
128, No. 3—4 (1972).
24. Hormander L., Fourier integral operators, Acta Math. 127 (1971) (Русский
перев. в сб. «Математика» 16: 1 (1972), 16:2 (1972)).
25. Leray J., Solutions asymptotiques de equations derivee particulier, Conv*
Intern. Phys. Math., Rome (1972).
26. Maslov V., The charactevistics of pseudo-differential operators and difference
schemes, Congres intern. Math 2 (1970).
27. Treves F., Approximate salutions to Cauchy problems, J. Differential
Equations v. 11, No. 2 (1972).
28. Treves F., Hypoelliptic partial differential equations of principal type.
Suffecient conditions and necessary conditions, Comm. Pure Appl. Math
v. 24. No. 3 (1971).

ОГ ЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 1β ι .,..■.., 3
Введение ,..,...., 6
ЧАСТЬ I. Анализ и топология комплексных лагранжевых
многообразий , ι.,.,.,....,.. .ι... . 15
ГЛАВА I. Анализ на s-аналитических многообразиях. ...(. .,. . . 16
§ 1.1. Основные определения . .,.ι.,.,. ..... ... .: 16
§ 1.2. Операторы сужения и продолжения. Разбиение единицы . >., . 23
§ 1.3. Структурные кольца. Векторные поля и формы 30
§ 1.4. Касательное расслоение . ., ·. . 40
§ 1.5. Неособые вещественные подмногообразия s-аналитических
многообразий ( . . . , 46
§ 1.6. Семейства неособых вещественных подмногообразий s-анали-
тического многообразия ,.,...., 56
ГЛАВА II. Симплектическая геометрия комплексного фазового
пространства ι .. 66
§ 2.1. Лангранжевы плоскости 66
§ 2.2. Положительные лагранжевы плоскости .,.ι . 72
§ 2.3. Лагранжевы s-аналитические многообразия 82
§ 2.4. Правильные лагранжевы s-аналитические многообразия 89
ЧАСТЬ II. Асимптотика решений уравнений с комплексным
гамильтонианом 105
ГЛАВА I. Асимптотика интегралов быстр ©осциллирующих функций. 106
§ 1.1 Формула асимптотического разложения интеграла быстроос-
циллирующей функции с комплекснозначной фазой .,. ., 106
§ 1.2. Метод осциллятора для асимптотического разложения
интеграла .,...!...., , 118
§ 1.3. Вычисление членов асимптотического разложения
(аналитический случай) 127
§ 1.4. Применение к неаналитическому случаю и лагранжевым
многообразиям , 138
Г Л А В А II. Канонический оператор на s-аналитическом
комплексном лагранжевом многообразии . 142
§ 2L1. Существование и единственность канонического
оператора , ,142
§ 2.2. Гамильтонов формализм и операторы Р(и, i) 151
§ ,2.3. Коммутация оператора Гамильтона и канонического
оператора .. . .. ,.....· (. ι ι. .. · · 165
§ 2.4. Геометрическая интерпретация операторов Vu и
канонического оператора ι. . . ., 172
§ 2.6. Канонический оператор на семействах неособых вещественных
подмногообразий s-аналитического многообразия 176
ГЛАВА III. Некоторые приложения . . . .·.... .ι >. ■ . · . 180
§ 3.1. Асимптотические решения задачи Коши для уравнений с
комплексным гамильтонианом 180
§ 3.2. Асимптотика спектра -г- -псевдодифференциальных
операторов ....... ι ,...,... 201
ДОБАВЛЕНИЕ I. -у -преобразование Фурье 220
ДОБАВЛЕНИЕ II. Одна абстрактная лемма 223
Литература . ., ......... , 227
229

Александр Сергеевич Мищенко, Борис Юрьевич Стернин,
Виктор Евгеньевич Шаталов
МЕТОД КАНОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА МАСЛОВА
(Комплексная теория)
М. 1974 г., 229 стр.
Сдано в набор 22/VII 1974 г. Подписано в печать 12/VII—74 г. Л-49321
Объем 14,5 печ. листов Тираж 500 экз. Изд. № 1013
Формат 60X907i6 Бумага типографская № 2 Зак. 1240 Цена 87 коп.
Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР
Московский институт электронного машиностроения
Б. Вузовский пер., 6
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Хохловский пер., 7.