/
Author: Вейль А.
Tags: математика алгебра теория чисел дискретная математика естественные науки
Year: 1972
Text
А.Вейлъ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР», МОСКВА 1972
Монография одного из крупнейших современных математиков, написанная на
основе курса лекций, прочитанного автором в Принстонском университете.
Содержит изложение теории алгебраических чисел, в том числе теории полей
классов, являющееся, по-видимому, на много лет окончательным. Книга
представляет интерес не только для специалистов по теории чисел, но и для
математиков, занимающихся алгебраической геометрией, теорией автоморфных
функций и т. д. Она написана очень четко и доступна студентам старших курсов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 5
Предисловие к русскому изданию 7
Предисловие 9
Хронологическая таблица 12
Предварительные сведения и обозначения 13
Список обозначений 18
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛАВА 1. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ 23
§ 1. Конечные поля 23
§ 2. Модуль в локально компактном поле 26
§ 3. Классификация локально компактных полей 33
§ 4. Структурар-полей 37
ГЛАВА 2. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ 51
ПОЛЯМИ
§ 1. Нормы 51
§ 2. Решетки 55
§ 3. Мультипликативная структура локальных полей 61
§ 4. Решетки над R 65
§ 5. Двойственность над локальными полями 68
ГЛАВА 3. ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ 74
§ 1. A-поля и их пополнения 74
§ 2. Тензорные произведения коммутативных полей 80
§ 3. Следы и нормы 85
§ 4. Тензорные произведения A-полей и локальных полей 90
ГЛАВА 4. АДЕЛИ 93
§ 1. Адели А-полей 93
§ 2. Основные теоремы 99
§ 3. Идели 108
§ 4. Идели А-полей 113
ГЛАВА 5. ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 120
§ 1. Порядки в алгебрах над Q 120
§ 2. Решетки над полями алгебраических чисел 122
§ 3. Идеалы 127
§ 4. Фундаментальные множества 131
ГЛАВА 6. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА 140
ГЛАВА 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ 148
§ 1. Сходимость эйлерова произведения 148
§ 2. Преобразования Фурье и стандартные функции 151
§ 3. Квазихарактеры 163
§ 4. Квазихарактеры А-полей 167
§ 5. Функциональное уравнение 171
§ 6. Дедекиндова дзета-функция 179
§ 7. Z-функции 183
§ 8. Коэффициенты А-рядов 188
ГЛАВА 8. СЛЕДЫ И НОРМЫ 193
§ 1. Следы и нормы в локальных полях 193
§ 2. Вычисление дифференты 198
§ 3. Теория ветвления 203
§ 4. Следы и нормы в А-полях 209
§ 5. Расщепимые точки в сепарабельных расширениях 216
§ 6. Применение к несепарабельным расширениям 217
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
ГЛАВА 9. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ 223
§ 1. Структура простых алгебр 223
§ 2. Представления простой алгебры 230
§ 3. Системы факторов и группа Брауэра 233
§ 4. Циклические системы факторов 246
§ 5. Специальные циклические системы факторов 252
ГЛАВА 10. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ 256
§ 1. Порядки и решетки 256
§ 2. Следы и нормы 263
§ 3. Вычисление некоторых интегралов 265
ГЛАВА 11. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД А-ПОЛЯМИ 273
§1. Ветвление 273
§ 2. Дзета-функция простой алгебры 274
§ 3. Нормы на простых алгебрах 279
§ 4. Простые алгебры над полями алгебраических чисел 284
ГЛАВА 12. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ 288
§ 1. Формализм теории полей классов 288
§ 2. Группа Брауэра локального поля 298
§ 3. Канонический морфизм 304
§ 4. Ветвление абелевых расширений 310
§ 5. Перенос 322
ГЛАВА 13. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ 327
§ 1. Каноническое спаривание 327
§ 2. Одна элементарная лемма 335
§ 3. Закон взаимности Хассе 338
§ 4. Теория полей классов для Q 344
§ 5. Символ Гильберта 347
§ 6. Группа Брауэра А-поля 353
§ 7. /7-символ Гильберта 357
§ 8. Ядро канонического морфизма 363
§ 9. Основные теоремы 368
§ 10. Локальное поведение абелевых расширений 370
§11. «Классическая» теория полей классов 375
§12. «Coronidis loco» 383
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Приложение I (к гл. ХП-5 и ХШ-9) 388
Приложение II. W-группы для локальных полей 390
Приложение III. Теорема Шафаревича 391
Приложение IV. Теорема Хербранда для неабелевых расширений 398
Предметный указатель 403
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
В этот указатель включены все понятия и термины, определение которых дается или
упоминается в тексте, даже если это не было сделано в виде формального
определения.
автоморфизм 15
— Фробениуса 46, 299, 331, 379, 380
адель 94
алгебра неразветвленная в точке 273
— разветвленная в точке 273
алгебраическое двойственное 70
аннулятор 223
ассоциированность по
двойственности 69
базисный характер 72
бесконечный простой 378
биаддитивность 17
билинейность 17
ведущий дивизор квазихарактера 187
— идеал 167
-----квазихарактера 187
взаимная простота 190
вложение 16
вполне несвязная группа 163
— разветвлено 40
— расщепимая точка 216
высшие группы ветвления 206
гиперплоскость 53
главный дивизор 141
гомоморфизм 15
группа Брауэра 234
— главных дивизоров 141
— инерции 206
— классов иделей поля 167
двойственная когерентная система
144
— мера 152
двойственность 70
дедекиндова дзета-функция 181
дивизор 140
— главный 141
— канонический 146
— характера 146
дискриминант поля 133, 200, 214
дистрибутивность 17
дифферента поля 195, 210, 211
дифферентный идель 162
для почти всех = почти для всех 79
допустимая функция 152
дробный идеал 127
-----главный 129
-----целый 127
естественное вложение 212
естественный морфизм 234
закон взаимности 254
-----Лртина 342
-----Хассе 342
знаменатель дробного идеала 129
— элемента 129
идель 109
— дифферентный 162
идельная группа 109
изоморфизм 15
инвариант Хассе 298, 302, 338
канонический дивизор 146
— класс 146
— морфизм 291, 302
каноническое вложение 95, 124, 125
— спаривание 290, 302, 328
квазихарактер 164
— главный 164
— неразветвленный 167
квазикомпактная группа 164
квазисомножитель 94
класс дивизора 141
— идеалов поля 129
— факторов 240
-----относящийся к А 240
-----связанный с А 240
— циклический 247
ковариантное отображение 235
когерентная система 142
когерентные меры 158
кограница 239
кольцо аделей 94
—р-адических целых чисел 35
конгруэнцгруппа 376
конгруэнцгруппы эквивалентные 377
кондуктор 378
константное расширение 331
корень из единицы 15
-------примитивный 15
левый порядок 261, 286
лежит над 76
— под 76
локальное поле 47
мера Тамагавы 161
многочлен Эйзенштейна 203
модуль автоморфизма 26
— поля 38 морфизм 15
— ограничения 237, 324
— переноса 323
мультипликативный характер 335
над 76
неразветвленная алгебра 273
неразветвленный квазихарактер 167
— характер 299
неразветвлено 40
норма 86, 212
— дробного идеала 130
— приведенная 232
нормальная решетка 263, 286
нормальный дробный идеал 286
— идеал 286
образ меры 66
определяющая группа 376
ортогональность 53
отделимость 15
открытый гомоморфизм 15
под 76
подобные алгебры 233
показатель дифференты 195
поле алгебраических чисел 74
— классов 309
— констант 116
—р-адических чисел 35
полиномиальная функция 86
полиномиальное отображение 85
полулинейность 72
пополнение поля 75
-----в точке 75
порядок 121
— ветвления поля 40
— левый 261
— правый 261
— характера поля 73
— элемента группы-15
почти всюду 79
— для всех 79
правый оператор 16
— порядок 261, 286
представление 15
преобразование Фурье 151
-----обратное 152
приведенная норма 232
приведенный след 232
принадлежат одному классу (об
алгебрах) 234
продолжение полиноминального
отображения 86
проекция на квазисомножитель 94
простая алгебра 223
простое кольцо 16
простой многочлен 77
— элемент поля 38
—А -модуль 223
противоположная алгебра 226
разветвленная алгебра 273
ранг модуля 60
распределение Хербранда 209, 320
расширение Артина — Шрейера 252
— Куммера 252
— поля 331
регулярная норма 86
регулярное представление 86
регулярный след 86
регулятор поля 138
род поля 145
самодвойственная мера 152
сепарабельно алгебраически
замкнутое поле 85
символ Артина 380
— Гильберта 253
система свободных образующих 137
— факторов 234, 239
-----тривиальная 239
-----циклическая 247
след 86
— приведенный 232
собственные вложения 82
собственный над К изоморфизм 82
стандартная функция 154, 156, 158
-----связанная с квазихарактером
184
степень дивизора 141
— полиномиальной функции 86
— точки 140
теорема об арифметических
прогрессиях 386
— Римана — Роха 146
— Сколема — Нетер 229
топологическая двойственная группа
69
топологический коммутант 289
точка, лежащая над 76
-----под 76
— поля 75
-----бесконечная 75
-----вещественная 75
-----конечная 75
-----мнимая 75
точный модуль 223
треугольная матрица 266
тривиальная алгебра 234
— система факторов 239
тривиальный характер по модулю т
335
ультраметрическое неравенство 32
ультраметричность 32
унитарный гомоморфизм 15
— многочлен 14
формула произведения Артина 114
— суммирования Пуассона 153
фундаментальное множество 131
фундаментальный порядок 132
характер 15, 68
— базисный 72
— мультипликативный 335
— неразветвленный 299
— по модулю т 335
----------тривиальный 335
— порядка 335
— тривиальный 69
характеристика кольца 16
хаусдорфовость 15
хорошо разветвлено 197
целый 49
центральная алгебра 223
циклическая алгебра 251
— система факторов 247
циклический класс факторов 247
числитель дробного идеала 129
— элемента 129
число Тамагавы 275
эйлерово произведение 148
эквивалентные конгруэнцгруппы 377
— пополнения поля 75
— собственные вложения 82
эндоморфизм 15
эрмитова форма 269
Л-поле 74
(^-регулярное отображение 235
ЛГ-порма 51
ЛГ-рсшстка 56
^-решетка 124
^-представление 231
TV-ортогональность
р-адические числа 35
р-адическое нормирование 35
р-поле 37
Q-решетка 120
R-решетка 65
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Главная тема предлагаемой читателю книги — изложение теории
полей классов. В соответствии с названием книги эта теория дей-
ствительно является основой современной алгебраической теории
чисел.
Наиболее существенные части теории полей классов были созда-
ны Гильбертом в конце прошлого века. За прошедшее с тех пор
время было найдено несколько вариантов изложения, существенно
изменился ее язык, но ее роль центрального комплекса идей
и результатов алгебраической теории чисел сейчас стала еще более
ясной, чем во времена Гильберта.
Перевод книги А. Вейля дает читателю первое на русском языке
полное и подробное изложение теории полей классов. Особенно-
стью того построения этой теории, которое избрал автор, является
использование аналитических соображений, основанных на поня-
тии ^-функции. В этом можно видеть возврат к идеям Гильберта
и его непосредственных продолжателей — в их работах использо-
вание аналитических методов играло большую роль. Только в конце
тридцатых годов удалось найти построение теории полей классов,
свободное от применения анализа. Однако в книге А. Вейля анали-
тические понятия появляются в другом виде, чем у основателей
теории полей классов — они связаны с интегрированием в локально
компактных группах, являющихся произведениями вещественных
и р-адических групп Ли. В этом можно видеть только новый язык —
другой вариант прежнего изложения. Однако этот язык уже показал
свою плодотворность при изучении арифметических аспектов теории
алгебраических групп. Благодаря этому книга А. Вейля подводит
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
6
читателя к широкому кругу вопросов — арифметике алгебраиче-
ских групп, в ее связи с алгебраической геометрией и теорией
бесконечномерных представлений.
Другая особенность этой книги заключается в том, что вся
теория систематически развивается не только на той классической
почве, на которой была создана теория полей классов — теория
полей алгебраических чисел. В книге впервые вся теория изложена
для общего класса полей, называемых автором A-полями, который,
кроме полей алгебраических чисел, включает в себя и поля алгебраи-
ческих функций над конечным полем констант. О значении этого
второго типа полей говорят их яркие применения к таким пробле-
мам теории чисел, как оценка числа решений сравнения или рацио-
нальной тригонометрической суммы.
Автор начинает изложение с основ теории A-полей, и поэтому
чтение книги требует минимальных предварительных знаний.
Достаточно знакомства с основами теории полей и колец и теории
коммутативных топологических групп. Однако насыщенность кни-
ги глубокими идеями и некоторая лаконичность изложения потре-
буют от читателя, желающего овладеть предметом, напряженной
работы.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Мне очень приятно, что благодаря усилиям И. И. Пятецко-
го-Шапиро, Л. Н. Вассерштейна и А. Н. Паршина моя книга станет
более доступной советским читателям. В предисловии к английскому
изданию я охарактеризовал общие цели этой книги. Но, воз-
можно, будет не лишним добавить здесь несколько слов о ее
названии.
Во-первых, это книга-по теории чисел. Мне кажется, возникла
определенная путаница из-за того, что, с начала этого века, слова
«аналитическая теория чисел» стали применять к области математи-
ки, ценность и важность которой не подлежит никакому сомнению
и которая представлена блестящими работами некоторых из наи-
более выдающихся современных математиков, но которая, по моему
мнению, вовсе не является теорией чисел. Ее технический аппарат
и основные методы — это типичные методы аналитиков: неравен-
ства, оценки, порядки величин. Уже давно (после основополагаю-
щих работ Хинчина и Колмогорова) стало ясно, что теория вероят-
ностей — это прикладной анализ, другими словами, анализ, приме-
няемый к некоторым вполне определенным типам задач. В точности
то же самое можно сказать об «аналитической теории чисел»,
и я думаю, что если бы такое понимание распространилось более
широко, то это способствовало бы уяснению наших взглядов на
математику.
Во-вторых, я преднамеренно использовал в названии слово
«основы», которое звучит несколько вызывающе и, как я и ожидал,
вызвало ряд замечаний. Я хотел подчеркнуть этим словом, что это
не просто учебник для будущих теоретико-числовиков. Было время,
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
8
когда теория Галуа рассматривалась как вещь трудная и абстракт-
ная, предназначенная лишь для специалистов. Более того, я знавал
некоторых превосходных математиков моего поколения, которые
открыто признавались в своем совершенном невежестве в теории
Галуа и, кажется, даже гордились этим. Теперь все хорошо пони-
мают, что это — один из «основных» разделов, с которым каждый
серьезный студент-математик должен познакомиться в первые же
годы обучения. На мой взгляд, то же самое относится и к элемен-
тарной теории алгебраических числовых полей, до теории полей
классов включительно, и я надеюсь, что эта книга будет способ-
ствовать тому, чтобы в конечном счете так оно и было. Я буду
счастлив, если настоящий перевод поможет в этом отношении ново-
му поколению советских математиков.
Андрэ Вейль
ПРЕДИСЛОВИЕ
'ApiOpiov, ego/ov ao<piap,ar©v
Aia%., Проц. Деоц. x)
Первая часть этой книги основана на курсе лекций, читанных
в 1961—1962 г. в Принстонском университете. Эти лекции были
превосходно записаны Дэвидом Кантором, и моим первоначальным
намерением было сделать их доступными для широкой математиче-
ской публики, после внесения лишь самых незначительных изме-
нений. Затем однако я случайно нашел среди своих старых бумаг
давно забытую рукопись Шевалле, еще довоенных времен (забытую,
к слову сказать, как мною, так и ее автором), которая несмотря
на свой возраст выглядела совсем неплохо, по крайней мере намой
вкус. Она содержала краткое, но по существу полное изложение
основных разделов теории полей классов, как локальной, так
и глобальной, и не подлежало сомнению, что предполагавшаяся
книга стала бы намного полезнее, если бы я включил в нее такую
трактовку этих вопросов. Рукопись пришлось несколько допол-
нить в соответствии с моими планами, но основная канва ее сохра-
нилась без существенных изменений. А в ряде узловых мест я следо-
вал ей совсем близко.
Было бы тщетной, безнадежной попыткой улучшить после Гекке
изложение классических аспектов теории алгебраических чисел.
Как станет ясным из первых страниц книги, я попытался сделать
выводы из достижений последних тридцати лет, когда локально
компактные группы, меры и интегрирование стали играть все воз-
растающую роль в классической теории чисел. Во времена Дирихле,
Эрмита и даже Минковского использование непрерывных перемен-
ных в арифметических вопросах можно было рассматривать лишь
как ловкий трюк. Теперь же, ретроспективно, мы видим, что веще-
ственные числа естественно появляются на сцене как одно из бес-
конечного числа пополнений простого поля, ничуть не менее интерес-
1) [Изобрел для них] науку чисел, из наук важнейшую. Эсхил, Прикован-
ный Прометей (перевод А. Пиотровского). — Прим, перев.
ПРЕДИСЛОВИЕ
10
ное арифметикам, чем его р-адические напарники. И существуют
по меньшей мере один язык и одна техника, а именно техника
аделей, позволяющие собрать их под одной крышей и заставить
действовать сообща. Здесь не место входить в историю этого вопро-
са; достаточно упомянуть такие имена, как Гензель, Хассе, Шевал-
ле, Артин, а ближе к нашему времени Ивасава, Тэйт и Тамагава.
Каждый из них сделал значительные шаги на этом пути. Само
собой разумеется, что, стоит лишь перестать считать недопустимым
включение в арифметическое варево такого ингредиента, как веще-
ственное поле, пусть на бесконечно большом расстоянии,—и
сразу появляется возможность рассматривать функциональные
поля над конечными полями и числовые поля одновременно, а не
обособленно или в лучшем случае порознь, но общими методами,
как это делалось до сих пор. Я надеюсь, что в этой книге мне
удалось убедительно показать, что при подобной трактовке обе
теории ничего не теряют и много выигрывают.
Мне неоднократно указывали, что многие важные факты и содер-
жательные результаты, касающиеся локальных полей, могут быть
доказаны чисто алгебраическими средствами без использования
локальной компактности и потому сохраняют силу при значительно
более общих предположениях. Но, быть может, мне позволительно
думать, что я ничего не знаю об этом обстоятельстве, равно как
и о возможности аналогичного обобщения даже таких глобальных
результатов, как теорема Римана — Роха? Мы имеем здесь дело
с математикой, а не с теологией. Пусть другие математики думают,
что им доступно проникновение в мысли Бога об их любимом пред-
мете; мне это всегда казалось пустым и бессмысленным занятием.
Мои намерения в этой книге скромнее. Я пытался показать, что
с принятой мной точки зрения можно дать связное изложение
затронутых выше вопросов, удовлетворительное как логически,
так и эстетически. Мои усилия были бы вполне вознаграждены,
если это хотя бы в какой-нибудь степени удалось.
Возможно, некоторые из читателей удивятся, не найдя в моем
изложении теории полей классов никакого явного упоминания
когомологий. В этом смысле мой подход к теории чисел, будучи
«современным» в первой части книги, является в то же время сугубо
«несовременным» во второй. Искушенный читатель, конечно, поймет,
что все когомологии фактически запрятаны в теорию простых
алгебр, и притом ровно в том количестве, в каком это нужно для
теории полей классов. Для знающих язык когомологий Галуа будет
легким и не бесполезным упражнением перевести на него некоторые
определения и результаты глав IX, XII и XIII. В одном или двух
местах (из которых наиболее бросающееся в глаза —«теорема
ПРЕДИСЛОВИЕ
11
о переносе» из § 5 главы XII) это, пожалуй, даже привело бы
к более удовлетворительным доказательствам, чем наши. Однако
развивать такой подход систематически означало бы нагружать
балластом излишней техники корабль, хорошо оснащенный для
нашего ограниченного плавания. Вместо того чтобы улучшить его
мореходные качества, это могло бы потопить его.
Прокладывая курс своего корабля, я старался избегать ариф-
метической теории алгебраических групп; это весьма интересный
предмет, но он, очевидно, не созрел еще для изложения в книге.
Отчасти по этой причине я отказался от всякого обсуждения дзета-
функций простых алгебр, более развернутого, чем это нужно для
теории полей классов. Исключены также неабелевы Л-функции
Артина; однако прочитав эту книгу, читатель будет вполне подго-
товлен к изучению прекрасных работ Артина на эту тему, при
условии, что он знает к тому же теорию представлений конечных
групп.
Мне остается исполнить приятный долг и выразить благодар-
ность Дэвиду Кантору, который приготовил записи моих лекций
в Принстонском университете, вошедшие в книгу как главы I —
VII (во многих местах совершенно без изменений), и Шевалле,
который великодушно позволил мне использовать упомянутую
выше рукопись и написать на ее основе главы XII и XIII. Я благо-
дарен также Ивасаве и Лазару, прочитавшим книгу в рукописи
и предложившим много улучшений; X. Погожельскому за помощь
в чтении корректур; Б. Экману за интерес, проявленный им
к опубликованию книги, и сотрудникам издательства Шпрингер
и типографии Цехнера* за их квалифицированное сотрудничество
и неоценимую помощь в деле издания этой книги.
Андрэ Вейль
Принстон, май 1967
ХРОНОЛОГИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА
В подражание «Хронологической таблице» («Zeittafel») Гекке,
помещенной в конце его «Теории алгебраических чисел», и в каче-
стве частичной замены отсутствующего исторического обзора, мы
приводим здесь хронологический список математиков, сделавших,
как нам кажется, наиболее значительный вклад в рассматриваемые
в этой книге вопросы.
ФЕРМА (1601—1665) РИМАН (1826—1866)
ЭЙЛЕР (1707—1783) ДЕДЕКИНД (1831—1916)
ЛАГРАНЖ (1736—1813) ВЕБЕР (1842—1913)
ЛЕЖАНДР (1752—1833) ГЕНЗЕЛЬ (1861—1941)
ГАУСС (1777—1855) ГИЛЬБЕРТ (1862—1943)
ДИРИХЛЕ (1805—1859) ТАКАГИ (1875—1960)
КУММЕР (1810—1893) ГЕККЕ (1887—1947)
ЭРМИТ (1822—1901) АРТИН (1898—1962)
ЭЙЗЕНШТЕЙН (1823—1852) ХАССЕ (1898)
КРОНЕКЕР (1823—1891) ШЕВАЛЛЕ (1909)
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
В этой книге не предполагается никакого знания теории чисел,
за исключением самых элементарных фактов о целых числах.
Полезно, но не обязательно знакомство с р-адическими нормиро-
ваниями поля рациональных чисел Q и определяемыми этими нор-
мированиями его пополнениями Qp. С другой стороны, если читатель
захочет ознакомиться с историей вопросов, трактуемых в первой
части книги, то он не найдет ничего лучше, чем непревзойденная
«Теория алгебраических чисел» Гекке, или, если он пожелает
пойти еще дальше назад, «Теория чисел» Дирихле — Дедекинда
(либо 4-е, последнее издание 1894 г., либо 3-е издание 1879 г.),
содержащая знаменитое «одиннадцатое дополнение» Дедекинда.
Изучающим вторую часть книги можно рекомендовать «Отчет
о теории полей классов» Хассе (Klassenkorperbericht, J.D.M.V.,
ч. I, 1926, ч. II, 1930).
Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями
алгебры (группы, кольца, поля) и линейной алгебры (векторные
пространства, тензорные произведения). Теория Галуа в первой
части (гл. I — VIII) не используется, за исключением отдельных
мест, которые можно опустить при первом чтении. Для чтения
второй части (гл. IX — XIII) знание основных фактов теории
Галуа (как для конечных, так и для бесконечных расширений)
совершенно необходимо.
На протяжении всей книги, начиная с самой первой главы,
существенно используются основные свойства локально компакт-
ных коммутативных групп, в частности существование и един-
ственность меры Хаара. Прежде чем браться за изучение настоящей
книги, читатель должен хотя бы в общих чертах познакомиться
с этими вопросами. В гл. X и XI (и лишь там) используется мера
Хаара для некоммутативных локально компактных групп.
В § 5 гл. II коротко напоминаются основные факты из теории,
двойственности локально компактных коммутативных групп,
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
14
а в § 2 гл. VII — основные факты из теории преобразования Фурье,
играющие существенную роль в дальнейшем изложении.
Что касается терминологии и обозначений, то они обычно совпа-
дают с терминологией и обозначениями Бурбаки. В частности,
это относится к символам N (множество «конечных кардинальных»,
или «натуральных» чисел 0, 1, 2, . . .), Z (кольцо рациональных
целых чисел), Q (поле рациональных чисел), R (поле вещественных
чисел), С (поле комплексных чисел), Н (поле «классических», «обык-
новенных», или «гамильтоновых» кватернионов). Если р — простое
число, то мы обозначаем через Fp простое поле из р элементов,
через Qp — поле р-адических чисел (пополнение поля Q по отноше-
нию к р-адическому нормированию; см. § 3 гл. I), через Zp —
кольцо р-адических целых чисел (т. е. замыкание Z в Qp). Всегда
подразумевается, что поля R, С, Н, Qp, равно как и конечномер-
ные векторные пространства над ними, снабжены их обычной
(«естественной») топологией. Под F9 понимается конечное поле
из q элементов, если таковое существует, т. е. если q имеет вид р",
где р — простое число, а п — целое ^>1 (см. § 1 гл. I). Символ R+
обозначает множество всех вещественных чисел (д-0.
Предполагается, что все кольца имеют единицу. Единица коль-
ца R обозначается через 1л или просто 1, если это не может вызвать
недоразумений; мультипликативная группа обратимых элементов
кольца R обозначается через Rx. В частности, если X—поле
(не обязательно коммутативное), /<х —это мультипликативная
группа его ненулевых элементов. Мультипликативную группу
вещественных чисел >0 мы обозначаем через Rx. Пусть R — про-
извольное кольцо. Символ Л4П(Х) обозначает кольцо матриц
с п строками и п столбцами с элементами из R, а 1п —• единицу
этого кольца, т. е. матрицу (бг;-), где бо- — 1Л или 0, в соответствии
с тем, i = / или i j; 'X обозначает матрицу, транспонирован-
ную к матрице X g Мп (R), a tr (X) — ее след, т. е. сумму диа-
гональных элементов. В случае когда кольцо R коммутативно,
через det (X) обозначаем определитель матрицы X. Иногда мы
будем писать Мт> п (R) для обозначения множества матриц с эле-
ментами из R, имеющих т строк и п столбцов.
Если R — коммутативное кольцо и Т — переменная, то мы
обозначаем через R [7] кольцо многочленов от 7 с коэффициентами
в R. Многочлен называется унитарным, если его старший коэф-
фициент равен 1. Если S — кольцо, содержащее R, и х—-его
элемент, коммутирующий со всеми элементами из R, то мы обо-
значаем через R [х] подкольцо в S, порожденное R и х. Оно состоит
из элементов кольца S, имеющих вид F (х), где F £ R [71. Если
К — коммутативное поле, L — некоторое (не обязательно комму-
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
15
тативное) поле, содержащее Д’, и х — элемент поля L, коммутирую-
щий со всеми элементами из К, то мы обозначаем через Д' (х) под-
поле в L, порожденное К и х. Это подполе коммутативно. Мы назы-
ваем поле L «расширением» поля К, только если оба они коммута-
тивны; обычно этот термин используется в случае, когда поле L
конечной степени над К, и тогда [L : Д'] обозначает его степень,
т. е. размерность L, рассматриваемого как векторное простран-
ство над К (индекс группы g' в группе g также обозначается через
lg : g'], если он конечен; это не приводит к путанице).
Все топологии предполагаются хаусдорфовыми, т. е. удовлетво-
ряющими аксиоме отделимости Хаусдорфа (отделимыми в смысле
Бурбаки). Слово гомоморфизм для групп, колец, модулей, вектор-
ных пространств употребляется в следующем смысле: (а) в случае
когда имеются топологии, все гомоморфизмы предполагаются непре-
рывными-, (Ь) гомоморфизмы колец предполагаются унитарными-,
это означает, что гомоморфизм кольца Д в кольцо S переводит
1Н в ls. С другой стороны, в случае групп гомоморфизмы не пред-
полагаются открытыми (т. е. переводящими открытые множества
в открытые). Поэтому в случае надобности мы говорим об открытом
гомоморфизме. Слово морфизм используется как краткий синоним
слова гомоморфизм. В некоторых ситуациях в качестве синонима
слова гомоморфизм используется также слово представление,
например для гомоморфизмов заданной группы в Сх или для неко-
торых гомоморфизмов простых алгебр (см. § 2 гл. IX). Под харак-
тером (не обязательно коммутативной) группы G будем понимать,
как обычно, гомоморфизм (или «представление») группы G в под-
группу группы Сх, определяемую условием zz = 1. Как было
сказано выше, он предполагается непрерывным, еслиб— тополо-
гическая группа. Употребление слов эндоморфизм, автоморфизм,
изоморфизм подчиняется тем же ограничениям (а) и (Ь), что и для
слова гомоморфизм. Следовательно, в топологическом случае авто-
морфизмы и изоморфизмы суть отображения биективные и бинепре-
рывные. Если f — отображение множества А в множество В, причем
оба эти множества снабжены некоторыми структурами (обычно
структурами поля) и / определяет изоморфизм А на его образ в В,
то иногда, допуская вольность речи, мы говорим, что f — изомор-
физм из А в В.
Говорят, что элемент х группы G имеет порядок п, если —
наименьшее целое ^-1, для которого хп = е, где е — единичный
элемент группы G. Если К — поле, то элемент конечного порядка
из Дх называется корнем из единицы в К; в согласии с давней тра-
дицией корень из единицы порядка, делящего п, называют корнем
степени п из единицы в К; его называют примитивным корнем
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
16
•n-й степени из единицы, если его порядок равен п. Таким образом,
корни п-й степени из единицы в Д' являются корнями в К. уравне-
ния Хп = 1.
Если а, Ь — элементы из Z, то (а, Ь) обозначает их наибольший
общий делитель, т. е. элемент d из N, такой, что dZ = aZ + bZ.
Пусть R—произвольное кольцо. Отображение д-э-д.1в из Z
в R переводит Z в подкольцо Z-1B кольца R, известное под назва-
нием простого кольца в R. Ядро морфизма /г-*- /г-1в из Z на Z-1B
является подгруппой в Z и, следовательно, имеет вид m-Z, где
т С N. Если R не равно {0} и не имеет делителей нуля, число т
либо равно 0, либо просто; его называют характеристикой коль-
ца R. Если т = 0, то отображение п->п-1в является изомор-
физмом кольца Z на Z-1B, что позволяет их отождествлять. Если
же характеристика кольца R есть простое число р > 1, то простое
кольцо Z-1B изоморфно простому полю Fp.
Рассматривая левые и правые модули над некоммутативными
кольцами, мы будем использовать следующие обозначения. Пусть
/? — кольцо, М и N — левые модули над ним. Тогда морфизмы
из А4 в 7V, сохраняющие их структуры как левых R-модулей, можно
рассматривать как правые операторы на М; иначе говоря, если
а — такой морфизм, то можно записывать его в виде т -+ та,
где т £ М, и свойство быть морфизмом означает, помимо аддитив-
ности, что для всех г £ R и т £ М г (та) = (гт) а. Это относится,
в частности, к эндоморфизмам модуля М. Аналогичным образом
морфизмы правых /^-модулей можно записывать как левые опера-
торы. Эта запись будет постоянно использоваться, в частности,
в гл. IX.
Поскольку морфизмы полей, как указывалось выше, пред-
полагаются унитарными, они всегда инъективны. Поэтому в согла-
сии со сказанным выше морфизм поля К в поле L мы будем иногда
называть изоморфизмом или вложением поля К в L. В первой
части книги для таких отображений будет использоваться «функ-
циональная» запись, а начиная с § 3 гл. VIII, где на сцену выходит
теория Галуа,—«экспоненциальная» запись. В первом случае ото-
бражение X записывается в виде X (х), а во втором — в виде
х -> х'1-. Пусть L — расширение Галуа поля Д' и р — два его
автоморфизма над К. Определим закон композиции (Л, р) -> лр
в группе Галуа g поля L над К как закон (%, р) % ° р в первом
случае и как противоположный закон во втором случае. Иначе
говоря, он определяется соответственно условиями (%р) х = % (рх)
и х}-^ = (х}-),г. Например, если К' — поле, промежуточное между
К и L, и I) — соответствующая подгруппа в д, состоящая из
.автоморфизмов, которые оставляют на месте все элементы поля К',
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
17
то автоморфизмы поля L над К, совпадающие на К' с заданным
автоморфизмом X, образуют правый класс смежности Аф в функ-
циональной записи и левый класс — в экспоненциальной.
Пусть А, В, С — аддитивно записанные коммутативные
группы (как правило, с дополнительными структурами), и пусть
задан дистрибутивный (или биаддитивный, или билинейный) мор-
физм (a, b) -> ab из А X В в С. В этом случае для двух подгрупп X
и Y соответственно в А и В принято через X -У обозначать не образ
произведения X X Y относительно этого отображения, а подгруппу
в С, порожденную этим образом, т. е. подгруппу, состоящую из
конечных сумм вида 2 гДе xt € X и yt € Y для всех i. Это обо-
значение будет использоваться, например, в гл. V.
По типографским причинам мы часто пишем ехр (г) вместо
и е (z) вместо exp (2лгг) = e2lliz для z С С; обозначение е (z) приме-
няется, как правило, лишь для z G R.
Наконец, объясним систему ссылок внутри книги. Мы не ску-
пились на такие ссылки, имея в виду помочь неискушенному чита-
телю. Читатель может не прослеживать ссылки до самого конца,
если утверждение уже стало ему ясным. Теоремы нумеруются
подряд внутри каждой главы; то же относится к предложениям,
леммам, определениям, нумерованным формулам. Теоремы и пред-
ложения могут сопровождаться одним или несколькими след-
ствиями. Теоремы, вообще говоря, следует рассматривать как
‘ более важные утверждения, чем предложения, но при более глубо-
* ком подходе особую разницу между ними обнаружить трудно.
, Леммы являются существенно вспомогательными результатами,
i Не все новые понятия вводятся как нумерованные определения;
однако все понятия, за исключением предполагающихся известны-
ми, приведены в указателе в конце книги со ссылкой на место, где
это понятие появляется в первый раз. Нумерация формул произво-
дится только для удобства ссылок на них и не означает их важно-
сти. Если ссылка имеет вид: «по предложению 2», «по следствию 1
теор. 3» и т. п., речь идет о результатах того же параграфа. Если
ссылка имеет вид: «по предложению 2 § 2», «по теореме 3 § 3»
и т. п., читатель отсылается к другому параграфу той же главы.
Наконец, если ссылка имеет вид: «по предложению 2 гл. IV-2»,
имеется в виду предложение 2 из § 2 гл. IV. Номера глав и пара-
графов приведены в колонтитулах вверху страниц.
Далее приведен список наиболее часто встречающихся обозна-
чений в порядке их появления.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
§ 2: modG, mody, modA-.
§ 3: | x |p, | x |oo, Qoo = R, | x |D, Q„ (v — простое число или co).
§ 4: К (произвольное /7-поле), R, Р, л, q, ordK, ord, Мх, М.
ГЛАВА ВТОРАЯ
§ 3: 1 + Рп (как подгруппа в К'/ при 1).
§5: (g, g*)G, (g,g*), б* Я*, V*, L*, V, [n, v']v, [v, v'],
ord (x).
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
§ 1: (для точки v A-поля k) | х |D, kv, rv, pv (относительно qv см.
гл. VII-1); oo (как точка поля Q), w | v, Ev = E ®k kv, e,.,
§ 3: End (E), Тг^/fc, Trft-/ft,
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
§ 1: P, Px, kA(P), kA, x, Ъ, Ea(P, e), Ea, Ла, .Ла (P,a),
(k'/k)A, (E/k)A.
§ 3: Aut E, <ЛА(Р, a)x, I a |A.
§4: k\, M, Й (P) = feA(P)x, Q^P), E (P).
ГЛАВА ПЯТАЯ
§ 2: kx, Eoo, r, Lv.
§ 3: p„, I (fe),_id(n), P(k), h, 31(a).
§4. | dx Д dx I, R, ch.
ГЛАВА ШЕСТА Я
deg (a), a>b, div (a), D (k), P(k), D0(k), g, div (x).
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
19
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
§ 1: <7„, Ск (см. § 6).
§ 2: Ф*, ПФ-ГК-
§ 3: Q (G), йв cos.
§ 4: Gh = k^/k*, Q (Gft), cot, cos, Gl, йь M, N, co„, |JcoB,Z(co, Ф).
§ 6: Gj (s), G2 (s), ck (см. гл. V-4), Gw (s), (s), Zh (s).
§ 7: f (v), sv, A, B, Nv, Фш, x = ПхВ) a = (a„), b = (b„), Gw, X (v),
лв, L (s, co), f, Л (s, co).
§ 8: GP, / (P), D (P).
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
§ 1: К, К', п, q, R, Р, л, q', R’, Р', я', /, е, Tr, N, 91, d,
D D, i'.
§2: А.
§ 3: v (A), gv.
§ 4: Ь, с, 91, ®.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
§ Г. Аь, А ® В, А0.
§ 2: т, V.
§ 3: С1 (А), В (К), К, Ksep, 6, ф, /(', К', Ksep, ®', р, Н (К).
§ 4: {х, 0}, [L/R; Х, 01-
§ 5: %пл, {В, 0}п, {£, 0}р-
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
§ 1: Hom (V, Г), Нот (V, L; W, М), End (V, L), Aut (V, L).
§ 3: S, S', £", S, U.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
§ 1: Kab, S'1’, 21, XK, p, GK, (x,g)K, a, Gk, UK, Xo, 2I0, Ko.
§ 2: /i(A), л, (X, 0)к (для R = R, С); ЗЛ, Ko, So, Kn, <Po, Xo,
Ф, Л, (%, 0)k, a, /i(A).
§ 3: UK, 2I0.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
§ 1: k, Rv, ^sep, ^r,sep> ^ab, ab, 31, ®o> 5lB, pB, Xk, Xp,
(Xu, ^)p> (x, ^)h, c, ^oo4-, Ft q> k®, So, Xq, kn, 2Iq, cp0, cp, Q, 8,
Sm, 9>
§ 3:/iB (A), Uh.
§ 5:(x,y)niK, (z,z')n, £ЦР) (см. гл. IVA), Q'(P).
§ 7i(x, z)PlK, Ф, й' (m, K), (x, z)p, Q'(tn).
§ 9:3S (L), N (L).
§ 10: k', g, Ъ, U, 93, Uv, 93B, y, yv, f (co),
§ 11: Gp, G'p, LP, lP, pr, Up, J (U, P).
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ТЕОРИЯ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ЛОКАЛЬНО
КОМПАКТНЫЕ
ПОЛЯ
§ 1. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
Пусть F — конечное (не обязательно коммутативное) поле с еди-
ничным элементом 1. Его характеристика является, очевидно,
простым числом р > 1, а простое кольцо, содержащееся в F, изо-
морфно простому полю Fp = Tipi, с которым оно может быть
отождествлено. Таким образом, F можно рассматривать как вектор-
ное пространство над Fp; очевидно, оно имеет конечную размер-
ность /, а число его элементов равно q = pf. Если F — подполе
поля F', состоящего из q’ = pf’ элементов, F' можно также рас-
сматривать, как, скажем, левое векторное пространство над F,
и если его размерность равна d, то /' = df и q' = qd = pdf.
Теорема 1. Все конечные поля коммутативны.
Эта теорема впервые была доказана Веддербарном, и мы вос-
произведем здесь принадлежащий Витту вариант его первоначаль-
ного доказательства. Пусть F — конечное поле характеристики р,
Z — его центр, q = pf — число элементов в Z; если размерность
поля F как векторного пространства над Z равна п, то F имеет
qn элементов. Мультипликативную группу Fx ненулевых эле-
ментов поля F можно разбить на классы «сопряженных» элементов,
называя два элемента х, х' из Ех сопряженными, если существует
элемент у g Ех, такой, что х' = у^ху. Для каждого х g Fx обо-
значим через N (х) множество элементов поля F, коммутирующих
с х; это — подполе в F, содержащее Z; если б (х) — его размерность
над Z, то в нем имеется qb!-x> элементов. Как мы видели выше,
п кратно б (х) и б (х) < п при х $ Z. Поскольку число элементов
группы Ех, сопряженных с х, равно индексу группы А (х)х в Ех,
т. е. (<7П — 1)/(<7S(3C) — 1), получаем
(1)
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
24
где сумма распространяется на полное множество представителей
классов нецентральных сопряженных элементов из Fx. Предполо-
жим теперь, что п > 1, и обозначим через Р «круговой» многочлен
[J (Т — С), где произведение берется по всем примитивным корням
n-й степени из 1 в поле С комплексных чисел. По хорошо известной
элементарной теореме (легко доказываемой индукцией по п) этот
многочлен имеет целые рациональные коэффициенты; ясно, что
Р делит (Тп — 1)/(Тб — 1) для любых б, делящих п и отличных
от п. Следовательно, в (1) все члены, кроме q— 1, кратны Р (<?),
так что Р (q) должно делить q — 1. С другой стороны, каждый
множитель в произведении Р (q) = (q — £) по абсолютной вели-
чине больше q — 1. Мы пришли к противоречию, значит п = 1,
a F = Z.
Таким образом, к каждому конечному полю применим следую-
щий элементарный результат.
Лемма 1. Если К — коммутативное поле, то всякая конеч-
ная подгруппа в Кх циклична.
Действительно, пусть Г — такая группа, или, что то же самое,
конечная подгруппа группы всех корней из 1 в поле /С. Для каж-
дого п 1 существует не более п корней уравнения Хп = 1 в поле К
и, следовательно, в Г; покажем, что всякая конечная коммутатив-
ная группа с подобным свойством циклична. Пусть а — элемент
группы Г, имеющий максимальный порядок N. Обозначим через
Р какой-нибудь элемент из Г и через п его порядок. Если п не делит
N, то для некоторого простого числа р существует такая его степень
q = pv, что q делит п, но не N. Сразу проверяется, что порядок эле-
мента afin-y есть наименьшее общее кратное N и q, так что он боль-
ше N, что противоречит определению N. Следовательно, п делит N.
Поэтому уравнение Хп = 1 имеет в Г п различных корней aix'"
с 0 i < п; поскольку Р — корень этого уравнения, он обязан
быть одним из них. Значит, а порождает группу Г.
Теорема 2. Пусть К — алгебраически замкнутое поле
характеристики р > 1. Тогда для каждого f 1 поле К содержит
одно и только одно поле F = Fq из q = р! элементов; поле F состоит
из корней уравнения Хч = X в поле К’, группа Fx состоит из корней
уравнения X9"1 = 1 в поле К. и является циклической группой поряд-
ка q — 1.
Пусть F — произвольное поле из q элементов. Лемма 1 пока-
зывает, что Fx — циклическая группа порядка q—1. Поэтому,
если К содержит поле F, группа Fx должна состоять из корней
уравнения X9-1 = 1, а поле F — из корней уравнения X9 — X =
§ 1. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
25
= 0, так что оба они однозначно определены. Обратно, если
q = р1, то х -> х9 есть автоморфизм поля Д', инвариантные эле-
менты которого образуют поле F, состоящее из корней уравнения
X9 — X = 0; так как, очевидно, многочлен Xя — X имеет в поле К
только простые корни, поле F состоит из q элементов.
Следствие 1. С точностью до изоморфизма существует
только одно поле из q = pf элементов.
Это сразу следует из теоремы 2 и того факта, что все алгебраиче-
ские замыкания простого поля Fg изоморфны. Этим оправдывается
обозначение Fg для рассматриваемого поля.
Следствие 2. Положим q = р!, q' — pf', где f 1, f 1.
Поле Fq' содержит поле Fg из q элементов в том и только в том
случае, когда f делит f; если это так, то Fq- является циклическим
расширением поля Fg степени f'/f и его группа Галуа над Fq порож-
дается автоморфизмом х х9.
Как мы уже говорили, если поле Fg- содержит Fg, то оно должно
иметь над ним конечную степень d и q’ = qd, f = df. Обратно, пред-
положим, что/' = df, так что/ = qd, и обозначим через К. алгебраи-
ческое замыкание поля Fg-. В силу теоремы 2 поля Fg и Fg-, содер-
жащиеся в К, состоят из элементов поля К, инвариантных соот-
ветственно относительно автоморфизмов аир, определяемых фор-
мулами х -> х’1 и х х^'; поскольку |3 = ad, поле Fg' содержит Fg.
Ясно, что а отображает поле Fg- на себя; если <р — автоморфизм
поля Fg>, индуцированный а, то Fg состоит из элементов, инва-
риантных относительно <р и, следовательно, относительно группы
автоморфизмов поля Fg', порожденной <р; эта группа конечна, так
как <р“ — тождественное отображение; используя теорию Галуа,
получаем, что эта группа является группой Галуа поля Fg- над
Fg и имеет порядок d.
Следствие 3. В тех же обозначениях, что и в следствии 2,
предположим, что f = df. Тогда для каждого п 1 элементы
поля Fg-, инвариантные относительно отображения x-^-x'F,
образуют подполе, состоящее из qr элементов поля Fg', где г =
= (d, п).
Пусть Д' — то же, что и в доказательстве следствия 2. Элементы
поля К, инвариантные относительно отображения х -> х?п, обра-
зуют подполе F' поля К из qn элементов; поэтому F' (~| Fg- будет
наибольшим подполем, содержащимся как в F', так и в Fg-,
и поскольку оно содержит Fg, число его элементов должно иметь
вид qr, где г равно, как показывает следствие 2, (d, п).
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
26
§ 2. МОДУЛЬ В ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНОМ ПОЛЕ
Любое поле, снабженное дискретной топологией, становится
локально компактным. Поэтому задача описания и изучения
локально компактных полей становится содержательной лишь
при условии недискретности рассматриваемого поля.
Напомним определение модуля автоморфизма, которое является
основным для дальнейшего. Для наших целей достаточно рассма-
тривать автоморфизмы локально компактных коммутативных групп.
Пусть G — такая группа (записываемая аддитивно), X — авто-
морфизм группы G и а — мера Хаара на G. Так как мера Хаара
определена однозначно с точностью до константы, X переводит а
в меру са, где с 6 R*; постоянный множитель с, который, оче-
видно, не зависит от выбора меры а, называется модулем автомор-
физма X и обозначается символом modG (X). Иначе говоря, он опре-
деляется одной из следующих эквивалентных формул:
(2) , а (X (X)) = modG (X) а (X),
( / (X-1 (х)) da (х) = modG (X) С / (х) da (х),
где X — произвольное измеримое множество, / — интегрируемая
функция и 0 < а (X) <' + оо, j / da 0. Вторую формулу симво-
лически можно записать так: da (X (х)) = modG (X) da (х). Если
группа G дискретна или компактна, первая формула (применен-
ная соответственно к X = {0} и к X = G) показывает, что модуль
равен 1. Ясно, что если X, X' — автоморфизмы группы G, то модуль
автоморфизма X ° X' равен произведению модулей X и X'. Нам пона-
добится следующая лемма:
Лемма 2. Пусть G' — замкнутая подгруппа группы G и X —
автоморфизм группы G, индуцирующий на G' автоморфизм К.
Положим G" = GIG' и обозначим через “к" автоморфизм группы G",
определяемый X по модулю G'. Тогда
modG (X) = modG,(X') modG»(X").
В самом деле, как хорошо известно, можно выбрать меры Хаара
а, а', а" на группах G, G', G" так, чтобы для любой непрерывной
функции / на G с компактным носителем выполнялось равенство
j f(x)da(x) = $ (J f(x+y)da' (z/)) da" (x);
G G" G'
здесь x обозначает образ x в G", а функция j f (x + y) da' (у), кото-
рая записана как функция отх Е G, но фактически постоянна на клас-
§ 2. МОДУЛЬ В ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНОМ ПОЛЕ
27
сах смежности по подгруппе G', рассматривается очевидным обра-
зом как функция от х на группе G". Применяя к обеим частям авто-
морфизм X, получаем утверждение леммы.
Пусть теперь К.—произвольное топологическое поле и а^х.
Тогда х-^ах и х—►ха— автоморфизмы его аддитивной группы,
и если поле К локально компактно, то можно рассматривать их
модули. Точно так же если V — топологическое левое векторное
пространство над К, то v-^av есть его автоморфизм для любого
а 6 Кх, и если V локально компактно, можно определить модуль
этого автоморфизма. Мы будем обозначать его через mody (а) и счи-
тать, что mody (0) равен 0. Иными словами, если р, — мера Хаара
на V и X — произвольное измеримое подмножество в V, для кото-
рого 0 < р. (X) < +оо (например, компактная окрестность нуля),
то для каждого а 6 К модуль mody (а) определяется соотношением
modv(a)==LEi42a_.
В частности, для любого локально компактного поля К мы пола-
гаем modK (а) равным модулю автоморфизма х-^ах, если а Ф О,
и равным 0, если а = 0. Позднее будет показано, что модуль авто-
морфизма х -> ха тот же самый, что и у автоморфизма х ах.
Ясно, что если К — R, С или Н, то modK (а) равен соответственно
| а |, | а |2 = аа или | а |4 = (а«)2.
Вплоть до конца этого параграфа обозначим раз и навсегда
через К недискретное локально компактное поле (коммутативное
или нет), а через а — меру Хаара его аддитивной группы.
Пр едл о жен и е 1. Функция modK непрерывна на К,
и mod к (ab) = modK (a) modK (6) для всех a, b g К.
Последнее утверждение очевидно. Пусть X — компактная окре-
стность нуля в поле К- Для каждого а 4 К и каждого е > 0 суще-
ствует открытая окрестность U компактного множества аХ, такая,
что a (t/) а (а X) + е; пусть W — окрестность точки а, для
которой WX сс U. Тогда для всех х £ W имеем
mod к (х) mod к (а) 4- а (X)-1 е.
Отсюда видно, что функция modK полунепрерывна сверху. В част-
ности, она непрерывна в нуле. А поскольку modK (х) =
= modK (х-1)-1 для х 0, она также полунепрерывна снизу всюду
на Xх и, следовательно, непрерывна.
Так как поле X недискретно, из предложения 1 следует, что для
любого 8 > 0 существует такое а £ X, что 0 < mod к (а) 8,
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
28
а для любого М > 0 — такое b £ К, что modK (ft) М. Поскольку
mod к — неограниченная функция, К. не может быть компактно.
Предложение 2. Для всех т> 0 множество Вт эле-
ментов х Е К, таких, что modK (х) т, компактно.
Пусть V — компактная окрестность нуля в К, W — окрест-
ность нуля, для которой WV cz V. Как и выше, можно выбрать
г £ V П № так, чтобы 0 < modK (г) < 1; индукцией по п получаем,
что гп Е V для всех п 1. Если г' — какая-нибудь предельная
точка последовательности {rn}n^i, то modK (г') должен быть равен
нулю, ибо modK(rn) стремится к нулю при п-> + оо. Таким обра-
зом, эта последовательность не имеет других предельных точек,
кроме нуля, а так как она содержится в компактном множестве V,
ее предел равен нулю. Возьмем теперь т > 0 и а £ Вт; поскольку
гпа стремится к нулю, существует наименьшее целое v 0, такое,
что rva 6 V; если а не принадлежит V, то rv_1a Е Е и, следовательно,
rva ЕЕ — (гЕ). Обозначим через X замыкание множества Е — (гЕ).
Ясно, что X компактно и 0 не принадлежит X; поэтому если поло-
жить р = inf modK (х), то р > 0. Пусть N — целое число, для
х(=Х
которого modк (г)1* р/m. Тогда для а Е Вт, а $ Е и v, опре-
деленного, как выше, имеем
mod к (r)Nm sC р modK (rva) = modK (r)v modK (a) sC
C modK (r)v m
и, следовательно, v N. Таким образом, Bm содержится в объеди-
нении компактных множеств Е, г-1Е, . . ., r~N Е. Так как из пред-
ложения 1 следует, что Вт замкнуто, этим и завершается доказа-
тельство.
Следствие 1. Множества Вт, т> 0, образуют фунда-
ментальную систему окрестностей нуля в К.
Пусть Е — произвольная компактная окрестность нуля в поле К.
Возьмем т > sup modK (х) так, чтобы Вт zd Е, обозначим через X
x£V
замыкание множества Вт — V и положим т' — inf modK (х).
х(=Х
Тогда 0 Q X и X а Вт. В силу предложения 2 X компактно. Следо-
вательно, 0 < т' С/ т. Если 0 < р < т', то Вц cz Вт, 5ц fl X =
= 0 и потому cz Е.
Следствие 2. Для а Е К lim ап = 0 в том и только
П—►4'°°
в том случае, когда mod к (а) < 1.
§ 2. МОДУЛЬ В ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНОМ ПОЛЕ
29
Следствие 3. Дискретное подполе поля К конечно.
Пусть L — такое поле. Если а £ L, то непременно modK (а) 1,
ибо в противном случае последовательность {a~n}nS.o содержалась
бы в L в силу предложения 2 и не была бы дискретной. Значит,
L есть дискретное подмножество компактного множества Bi и, сле-
довательно, конечно. Но ясно, что этого не может быть, если К —
поле характеристики 0.
Теорема 3. Пусть V — топологическое левое векторное про-
странство над полем К и V — его конечномерное подпространство
с базисом {vlt . . ., уп }. Тогда отображение
п
(Ч, . . •, Х71) > 2
г—1
пространства КД в V является изморфизмом структур тополо-
гических левых векторных пространств на Кп и V"; при этом V
замкнуто в V и локально компактно.
Пусть f — указанное выше отображение. Оно биективно, К-
линейно и непрерывно по определению топологического векторного
пространства. Чтобы показать, что оно изоморфизм, достаточно
доказать, что отображение непрерывно, т. е. что f — открытое
отображение; ввиду следствия 1 предл. 2 и линейности f нам нужно
только показать, что образ множества (Вт)п относительно отобра-
жения / содержит окрестность нуля в V для всех т > 0. Пусть
S — подмножество пространства КД, определенное условием
sup mod к (хг) = 1.
г
Тогда 0 $ S; множество S замкнуто в силу предложения 1 и содер-
жится в (ВД'\ а потому компактно согласно предложению 2. Поэто-
му 0 е / (S) и f (•$) компактно. Следовательно, существуют окрест-
ность нуля W в V и некоторая окрестность нуля в К, имеющая
вид Ве, где 8 > 0, такие, что BeU7 V — / (S), т. е. yW П f (5) =
= 0 при mod к (у) е. Выберем теперь т > 0 и а £ К так, чтобы
0 < mod к (а) ms. Пусть v = 2 *ibt — произвольная отличная
от нуля точка в V Г] aW. Подберем h так, чтобы sup modK (xz) =
г
= modK (хл). Тогда xh =£ 0. Положим xi = х^х,-, где 1 i п,
и
п
V' = 3 x'iVi = Хд
1
Поскольку (xj, . . ., х'п) находится в S, имеем v’ £ f (S), а так как
u Е aW, получаем, что v’ g yW, где у — х~Да. По определению IF
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
30
и е отсюда следует, что modK (у) > ей, следовательно, modK (xh~) <
< 8-1 mod к (а) т. Поэтому (х1( . . хп) принадлежит множе-
ству (Вт)п и v находится в образе этого множества относительно
отображения /. Итак, мы показали, что этот образ содержит множе-
ство V Л aW, являющееся окрестностью нуля в V'. Пусть теперь
w принадлежит замыканию V' в пространстве V. Применяя только
что доказанное к конечномерному подпространству V", порожден-
ному V и w, видим, что V должно быть замкнуто в V". А так как
отсюда вытекает, что w G V, доказательство теоремы завершено.
Следствие 1. Каждое конечномерное левое векторное про-
странство над полем К можно снабдить одной и только одной
структурой топологического левого векторного пространства над К.
Действительно, если V имеет размерность п, то подобную струк-
туру на V можно определить с помощью любого К-линейного биек-
тивного отображения Кп на V; единственность немедленно следует
из теоремы 3, примененной к пространству V.
Начиная с этого места, мы будем без оговорок предполагать,
что каждое такое векторное пространство снабжено структурой,
определяемой этим следствием.
Следствие 2. Если V — локально компактное топологи-
ческое левое векторное пространство над полем К, то оно имеет
над К конечную размерность d и mody (а) = modK (a)d для любого
а£К.
Для пространства размерности d последнее утверждение являет-
ся немедленным следствием теоремы Фубини и того факта, что
ввиду следствия 1 каждое такое пространство изоморфно простран-
ству Kd- Предположим теперь лишь, что V локально компактно,
и выберем а £ К так, чтобы 0 < mod к (а) < 1. Тогда в силу след-
ствия 2 предл. 2 lim ап = 0 и потому mody (а) < 1. Пусть V' —
подпространство в V конечной размерности <5; по теореме 3 оно
замкнуто. Положим V" = V/V'. Ввиду леммы 2 получаем
modv (а) = mody- (a) modv. (а) = modK (а)6 mody- (а)
и, следовательно,
mody (а) < mod к (а)в,
ибо mody (а) должен быть меньше 1, если V" ф {0}, и равен 1,
если V" = {0}. Это дает оценку сверху для б, верную для всех
конечномерных подпространств пространства V, следовательно,
V само имеет конечную размерность.
Если V — левое векторное пространство над К конечной раз-
мерности п, топологизированное так, как было сказано выше, то
§ 2. МОДУЛЬ В ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНОМ ПОЛЕ
31
из теоремы Фубини немедленно следует, что каждое подпространство
размерности п' < п в V имеет меру 0. Пусть теперь А — произ-
вольное /С-линейное отображение пространства V в себя; если
оно ранга п, то оно является автоморфизмом пространства V также
и в топологическом смысле, и мы можем рассмотреть его модуль
modv (Л). Если же его ранг п' < п, то оно отображает V на под-
множество меры 0, и мы положим mody (Л) равным 0.
Следствие 3. Пусть А — эндоморфизм левого векторного
пространства V конечной размерности над К. Если поле К. ком-
мутативно, то mody (Л) = modK (det А).
Пусть п — размерность пространства V. Если ранг А меньше п,
утверждение очевидно. Если нет, то, выбрав в V некоторый базис,
отождествим V с пространством Кп. Как хорошо известно, каждый
автоморфизм пространства Ка можно записать в виде произведения
автоморфизмов следующих трех типов: (а) перестановки коорди-
нат, (Ь) отображения вида
(xi, . . ., хп) > (axlt х?, • • • > а:п),
где а £ К*, (с) отображения вида
п
, хп) —> (xj+ Д apci, Л-.,, . .., хп).
Для автоморфизмов типа (а) утверждение очевидно; для автомор-
физмов типов (Ь) и (с) оно получается непосредственным примене-
нием теоремы Фубини так же, как и в классическом анализе (где
эта теорема доказывается для случая К = R).
П р едложение 3. Функция modK индуцирует на группе
Кх открытый гомоморфизм на замкнутую подгруппу Г группы Rx.
Обозначим через Г, Г' образы групп Кх и Д' относительно ото-
бражения modK. Ясно, что Г — подгруппа в Rx и что Г' = Г J {0}.
Для каждого т > 0 пересечение группы Г' с замкнутым интерва-
лом [0, т] является образом множества Вт относительно отобра-
жения modK; в силу предложений 1 и 2 оно компактно и, следо-
вательно, группа Г' замкнута в R+, а Г в Rx. Пусть теперь U —
ядро отображения modK в Дх, т. е. множество {х £ К I modK (а) =
= 1}. Обозначим через V произвольную окрестность единицы
в Кх и через V — ее образ относительно отображения modK;
чтобы доказать открытость гомоморфизма modK из Кх на Г, нужно-
показать, что V — окрестность единицы в группе Г. Предположим,
что это не так. Тогда существует последовательность (уп) в Г — V,
такая, что limyn = 1. Для каждого п пусть ап £ Дх таково, что
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
32
уп = mod к (ап). По предложению 2 последовательность (ап) имеет
по меньшей мере одну предельную точку а; ясно, что modK (а) = 1,
т. е. а С U. Но UV — окрестность множества U, поэтому суще-
ствует п, для которого ап Е UV и, следовательно, уп £ V'. Но это
противоречит условию.
Теорема 4. Существует константа А > 0, такая, что
(3) mod к (х + у) A sup (modK (х), modK (z/))
для всех х g К, у € К- Если неравенство (3) выполняется для А = 1,
то образ подгруппы Г в К* относительно отображения modK
дискретен в R*. Более того, неравенство (3) выполняется для
А= sup пкх1к(1 + х),
х£К, modx (х)<; 1
и это наименьшее значение А, для которого оно имеет место.
Определим А последней формулой; ясно, что
Для х = у = 0 неравенство (3) очевидно. Поэтому можно считать,
поменяв в случае необходимости х и у, что х^=0 и modK (z/)
modK (х). Положим z = z/x-1. Тогда modK (z) 1, modK (1 +
+ z) А и, следовательно,
modK (x + y) = modK (1 + z) modK (x) A modK (x).
Неравенство (3) доказано. Полагая в формуле (3) у = 1 и х £ В{,
где В, такое же, как и в предложении 2, видим, что выбранное
нами значение для А является наименьшим из всех, для которых
выполняется (3). Предположим теперь, что А = 1. Тогда образ
множества 1 + Bt относительно отображения modK содержится
в интервале [0, 1], а так как он в силу предложений 2 и 3 должен
содержать окрестность единицы в Г, подгруппа Г должна быть
дискретной.
Следствие. Пусть неравенство (3) выполняется для А = 1.
Тогда modK (х + у) = modK (у), если modK (у) < modK (х).
Из равенства (—I)2 = 1 вытекает, что modK (—1) = 1 и, зна-
чит, modK (—у) = modK (у). Так как х = (х + у) + (—у), из
наших предположений следует, что
modK (х) sup (modK (х + у), modK (у)) modK (х),
чем наше утверждение и доказано.
Определение 1. Неравенство (3) с А = 1 называется
ультраметрическим неравенством. Если оно выполняется, то гово-
рят, что отображение modK и само поле К ультраметричны.
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПОЛЕЙ
33
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПОЛЕЙ
Нам понадобится следующая элементарная лемма:
Лемма 3. Пусть F — функция на множестве натуральных
чисел N со значениями в R+. Предположим, что для всех т, п имеет
место равенство F (mri) = F (т) F (п) и что существует А > О,
для которого
F (т + п) A sup (F (т), F (п))
для всех т, п. Тогда или F (т) 1 для всех т, или для всех т выпол-
няется равенство F (т) — т'-, где % > 0.
Из первого предположения относительно F следует, для т = 0,
что если функция F не равна тождественно 1, то F (0) = 0, а для
т = 1, что F (1) = 1, если F не равна тождественно 0. Из него
следует также, что F (W') = F (m)h для всех целых k 1. Остав-
ляя в стороне тривиальные случаи, когда F — константа, равная
0 или 1, мы можем считать, что F (0) = 0 и F (mh) = F (m)ft для
всех целых k^-О. Положим f (т) = sup (0, log F (т)); подразу-
мевается, что / (т) = 0 при F (т) = 0. Наша лемма равносильна
теперь утверждению, что / (т) = X log т для всех m 2, где
л 0 — некоторая константа. Пусть а = sup (0, log Л). Тогда
для всех т, п, k имеем
f (mh) = kf (т); f (тп) < / (m) + f (n),
f (m + n) a + sup (/ (m), f (n)).
Из последнего соотношения индукцией по г получаем
(4) /(3 m^ra+sup^^;)).
г=0 г
Если т, п — целые числа ^2, то т можно представить в форме
г
т— 2 ^1Пг,
г=0
где п’ sC т < nr+1 и 0 sC et < п, 0 sC i г. Положим
b = sup (/ (0), / (1), . . f(n — 1)).
Тогда для каждого i
f (ещ1) + if (п)
и, следовательно, ввиду (4)
f (т) < га + b + rf (п).
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
34
Поскольку пг т, т. е. г log п log т, отсюда вытекает, что
/ (m) a-f-f (я) b
log т log п г log яг
Заменим в этом неравенстве т на mfe; это не изменит левой части.
При k -> -poo получаем
f (m) ^'q-rf (я)
log m log n
Заменим теперь m на пк. Устремляя k к Ч-оо, получаем
/(т) /(п)
log т log я
Переставляя т и п, видим, что / (m)/log т есть константа при
т^-2. Как было отмечено выше, отсюда следует утверждение
леммы.
Рассмотрим теперь снова недискретное локально компактное
поле К- Для большей ясности в оставшейся части этого параграфа
единичный элемент поля К мы будем обозначать через 1 к (а не
через 1). Простое кольцо в К состоит из элементов вида т-1к, где
tn £ Z, и если К — поле характеристики р > 1, то р-l к = 0.
Для tn £ N положим F (tri) = mod,,- (m-iK). Тогда для всех т £ Z
и х £ К имеем modK (тх) = F (I ml) modK (х).
Лемма 4. Предположим, что функция F ограничена, т. е. что
отображение modK ограничено на простом кольце в К- Тогда
F-^.1 и отображение mod л- ультраметрично на К-
Так как F (тп) = F (т) F (п), первое утверждение очевидно.
Пусть А такое же, как и в теореме 4 § 2,п 1, N = 2" и xlt . . .
. . ., xN — какие-нибудь N элементов поля К- Индукцией по п
получаем неравенство
modK ( 2 xf)< Ап sup (modK (xi)).
i=l i
Заменяя некоторые из Xi нулями, видим, что это неравенство спра-
ведливо и при N 2п; Применяя его к соотношению
2"
(^+г/)2П=Е
находим
modjr (х+ у)2П<Дп+1 sup ((2f)) modK (x)i modK (у)2П~*
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ПОЛЕЙ
35
Предположим для определенности, что modK (у) modK (х). По-
скольку А 1, приходим к неравенству
rnodK (х-Т y)2n^An+i modK (х)2”.
Оно верно для всех п >1; при п~+ ф-оо получаем
mod к (х + р)-<тобж (х),
т. е. ультраметрическое неравенство.
Напомним теперь определение обычных нормирований поля
рациональных чисел Q. Пусть сначала р — простое число. Каждое
х G Qx можно одним и только одним способом записать в виде
pnalb, где п, а, b —целые числа, причем Ь > 0, а а и b взаимно
просты друге другом и с р. Положим | х \р=р~п, а также | О |р =
= 0. Определенная таким образом на Q функция х -л- | х |р назы-
вается р-адическим нормированием поля Q. Оно, очевидно, удов-
летворяет ультраметрическому неравенству и задает на Q некото-
рую топологию, а именно топологию, определяемую расстоянием
6 (х, у) = | х — у jp.
Пополнение поля Q по этой метрике называется полем р-адических
чисел. Это поле обозначается через Qp. Замыкание множества Z
в этом поле называется кольцом р-адических целых чисел и обозна-
чается через Zp. Ясно, что р-адическое нормирование поля Q про-
должается по непрерывности на Qp и остается там ультраметрич-
ным; это продолжение обозначается также через | х |р. Легко
видеть, что Zp компактно (по той причине, что Zp есть, так сказать,
«проективный предел» конечных групп Z/pnZ при п -> +°°).
Поскольку Zp — окрестность нуля в Qp, поле Qp локально ком-
пактно и, очевидно, недискретно.
В тех случаях, когда это будет удобно, мы будем писать | х I»
вместо | х | для обозначения «обычного» абсолютного значения
в полях Q и R. А так как R — не что иное, как пополнение поля Q
по метрике | х — у )«,, мы будем иногда писать вместо R. Таким
образом, символом Q„, где v может быть равно оо или простому
числу, обозначается любое из пополнений Qoo — R или Qp поля Q.
Теорема 5. Пусть К — недискретное локально компактное
поле', положим F (m) = modK (тТк), т 6 N. Тогда либо (а) К. —
поле характеристики р> 1 и F (т) = 0 при т = 0 (mod р) и
F (т) = 1 при (т, р) = 1, либо (Ь) К — алгебра с делением конеч-
ной размерности 6 над полем Q„ и F (т) = | т |®.
В силу предложения 1 и теоремы 4 § 2 F удовлетворяет условиям
леммы 3 и, следовательно, либо имеет вид т т\ X > 0,
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
36
либо всюду меньше 1. Предположим, что имеет место последнее;
это означает, что последовательность (m-lK), т С N, содержится
в Bi, где Bi — множество из предложения 2 § 2; так как множество
Bi компактно, оно должно иметь по крайней мере одну предельную
точку, скажем а. Но тогда, согласно следствию 1 предл. 2, для
каждого 8 > 0 существует бесконечно много чисел т £ N, таких,
что mod к (т-1 к — а) е. Пусть т, т' —два таких числа,
т < т'. Поскольку из неравенства F <1 1 следует, по лемме 4,
что отображение modK ультраметрично, то мы имеем
mod к (т' • 1 к — m • 1 к) е,
т. е. F (т' — т) 8. Отсюда видно, в частности, что существуют
целые числа n 1, для которых F (п) < 1.
Пусть р — наименьшее из таких чисел. Поскольку F (тп) =
=F (т) F (п), ясно, что р должно быть простым. Для каждого
х £ N имеем F (рх) < 1 и, значит, F (1 + рх) = 1 по следствию
теор. 4 § 2. Для любого целого т 1, взаимно простого с р, имеем
тр~г = 1 (р), следовательно, по только что доказанному F (т’’^1) =
= 1, откуда F (т) = 1. Если К — поле характеристики р' > 1,
то F (р') = 0, так что р' не может быть отлично от р, и функция F
такова, как утверждалось в (а). Если К — поле характеристики О,
то F (р) не может равняться нулю и можно считать, что F (р) = р\
где X > 0. Поэтому F (т) = | т |р для всех т, что сразу видно,
если записать т в виде т = рпт', где (т', р) = 1. Таким образом,
если К — поле характеристики 0, то функция F должна иметь
вид т -> | т |р, где > 0. Отображение п -> п • 1 к кольца Z в про-
стое кольцо г-1к поля К является в этом случае алгебраическим
(но не обязательно топологическим) изоморфизмом, который можно
продолжить до изоморфизма поля Q на простое подполе в К- Мы
будем для простоты отождествлять последнее с полем Q при помощи
этого изоморфизма. Из установленных свойств функции F немед-
ленно следует, что отображение modK индуцирует на поле Q функ-
цию х | х Следовательно, структура топологической группы,
индуцированная полем К на поле Q, определяется метрикой
| х — у \v. А так как замыкание поля Q в К локально компактно
и, следовательно, полно в этой структуре, мы видим, что оно изо-
морфно пополнению Qo поля Q по нормированию V. Поскольку
простое кольцо, а значит, и простое поле содержатся, очевидно,
в центре поля К, то же самое справедливо и для поляОв. Поле К.
можно рассматривать поэтому как векторное пространство над Q„,
имеющее ввиду следствия 2 теор. 3 § 2 конечную размерность б.
Для всех х С Qo имеем modK (х) = modQ() (х)6. Чтобы завершить
§ 4. СТРУКТУРА р-ПОЛЕЙ
37
доказательство, остается только показать, что в случае v = оо
modR (m) = т для т g N, но это очевидно, а в случае v = р
modQp (р) = р~\ Это следует немедленно из того факта, что коль-
цо Zp есть компактная окрестность нуля в Qp, а его образ p-Zp
относительно отображения х -> рх является компактной подгруп-
пой в Zp индекса р, так что его мера равна p~Rx (Zp) для любой
хааровской меры а на Qp. Нам будет удобно сформулировать
отдельно только что доказанное утверждение.
Следствие. В случае (Ь) теоремы 5 modK (х) = | х |® для
х Е Q„.
Определение 2. Недискретное локально компактное поле
К называется p-полем, если р — простое число и modK (р-1к) < 1,
и Ц.-полем, если оно является алгеброй над полем R.
В силу лемм 3 и 4 и теоремы 4 § 2, если К есть p-поле, то образ Г
группы относительно modK дискретен, поэтому такое поле
не может быть связным; это показывает, что топологическое поле
является R-полем в том и только том случае, когда оно связно
и локально компактно. Как хорошо известно, не существует других
R-полей, кроме R, С и поля Н «обычных» (или «классических»)
кватернионов; доказательство этого факта содержится в гл.1 Х-4.
§ 4. СТРУКТУРА Р-ПОЛЕЙ
В этом параграфе р будет простым числом, а К — некоторым
p-полем с единичным элементом 1.
Теорема 6. Пусть К — некоторое p-поле, а R, Rx i Р —
подмножества в К, определяемые соответственно формулами
R = {х Е К I modK (х) < 1},
R* = {х Е К I mod к (х) = 1},
Р = {х Е К I mod к (х) < 1}.
Тогда поле К ультраметрично1, R — единственное максимальное
компактное подкольцо в К\ Rx — группа обратимых элементов
кольца R', Р—единственный максимальный левый, правый или
двусторонний идеал кольца R. Существует элемент л Q Р, такой,
что Р = лР = Вл. Более того, поле вычетов k = R/Р есть поле
характеристики р, и если q — число его элементов, то образ Г
группы Кх относительно отображения mod к является подгруппой
в R*, порожденной q, и modK (л) = р-1.
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
38
Множество R совпадает с введенным ранее множеством
оно компактно, как и Rx. По теореме 5 § 3 modK 1 на простом
кольце поля К; следовательно, по лемме 4 §3 поле R ультраметрич-
но. В силу теоремы 4 § 2 последнее утверждение эквивалентно
равенству R + R = R, а так как R, очевидно, замкнуто относи-
тельно умножения, мы видим, что R — кольцо. Ясно, что каждое
относительно компактное замкнутое по умножению множество
содержится в R; следовательно, R — максимальное компактное
подкольцо поля К.. Обратимые элементы в R — это как раз элемен-
ты из Rx. По теореме 4 § 2 Г — дискретная подгруппа в Rx; пусть
у — наибольший из меньших 1 элементов подгруппы Г, и пусть
л g Дх таково, что modK (л) = у. Ясно, что у порождает Г; следо-
вательно, для каждого х Q Кх существует одно и только одно
целое п, для которого modK (х) = у11, а тогда элементы хл~п и п~пх
лежат в Rx. Ясно, что Р = nR = Rn, откуда следует, что Р ком-
пактно. Поскольку R — Р = Rx, Р обладает свойствами макси-
мальности, указанными в формулировке теоремы. Так как R —
окрестность нуля и R = R R, то R — открытое множество,
как и Р; а так как R компактно, поле k = RIP конечно. Посколь-
ку р • 1 £ Р, образ р • 1 в поле k есть 0, так что это поле имеет харак-
теристику р. Если в нем q элементов, то индекс Р = лR в аддитив-
ной группе кольца R равен q. Следовательно, если а — мера Хаара
поля R, то a (R) = qa (n,R) и потому modK (л) = <?-1. Этим дока-
зательство завершено.
Определение 3. В обозначениях теоремы 6 будем назы-
вать q модулем поля К, а любой элемент л из Кх, для которого
Р = лR = Rn,— простым элементом поля К. Для каждого х Q Кх
будем обозначать через ordK (х) такое целое число, что modK (х) =
= q-^Kw. Для каждого п g Z будем писать Рп = nnR = Rn”.
Мы будем писать ord (х) вместо ordK (х), если это не может
привести к недоразумению. Будем считать также, что ord (0) =
= +°°; Рп будет тогда множеством элементов поля К, для которых
ord (х) п. Пользуясь этими обозначениями, мы можем теперь
сформулировать ряд следствий из теоремы 6.
Следствие 1. Пусть (х0) х1; . . .) — произвольная, схо-
4-00
дящаяся к нулю последовательность в поле К. Тогда ряд 2 xt безус-
о
ловно сходится в К.
Для каждого п С N положим
8n = sup mod# (xt).
§ 4. СТРУКТУРА р-ПОЛЕЙ
39
Наше предположение означает, что lim ъп = 0. Пусть теперь
S, S' — две конечные суммы членов ряда S хг, содержащие каждая
члены х0, х1г . . хп и, возможно, другие члены. Ультраметриче-
ское неравенство дает modK (S — S') еп. Отсюда немедленно
следует требуемое утверждение («фильтр» конечных сумм ряда
S хг является «фильтром Коши» относительно метрики modK (х—у)).
Следствие 2. Пусть £ — некоторый отличный от нуля
элемент множества Р, п = ord (£) и А — полное множество пред-
ставителей классов смежности по Р'г в R. Тогда для всех v Q Z
каждый элемент х g Pnv можно одним и только одним способом
представить в виде
— эо
к 3
i—v
где аг £ А для всех v.
Записывая х в виде х = x'^v, где х' g R, видим, что достаточно
рассмотреть случай v = 0. В этом случае, используя индукцию
по N, сразу видим, что можно одним и только одним способом
определить элементы at £ А, удовлетворяющие условию
лг
х = 2 a^(Pn(N+i))
г—О
(У = 0, 1, . . .). Это эквивалентно тому, что утверждается в нашем
следствии.
Следствие 3. Каждый автоморфизм поля К (как тополо-
гического поля) отображает R на R, Р на Р и имеет модуль 1 как
автоморфизм аддитивной группы поля К.
Следствие 4. Для всех а £ Afx автоморфизмы х —>- ах
и х ха аддитивной группы поля К имеют одинаковый модуль.
Это сразу вытекает из следствия 3, примененного к автоморфиз-
му х -> а-1ха. Поскольку для поля Н «обычных» кватернионов
аналогичный факт легко проверяется непосредственно, это след-
ствие выполняется для всех локально компактных полей.
Следствие 5. Пусть К — коммутативное p-поле, К' —
алгебра с делением над К. Тогда К' есть p-поле' каждый автомор-
физм (в алгебраическом смысле) алгебры К' над К является топо-
логическим автоморфизмом, и если R и R'—максимальные ком-
пактные подкольца полей К и К', а Р и Р' — максимальные идеалы
колец R, R', то R = К П R' и Р = К Q Р'.
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
40
Рассматривая R' как конечномерное векторное пространство
над /С, наделим его «естественной топологией» согласно следствию 1
теор. 3 § 2. Из единственности топологии следует, что она инва-
риантна относительно всех /С-линейных отображений алгебры /С
на себя, и в частности относительно всех автоморфизмов /С' над К.
Отождествляя, как обычно, К с подполем /С«1Я алгебры /С', видим,
что К' — недискретная алгебра. Остальные утверждения очевидны.
Следствие 6. Пусть в условиях и обозначениях следствия 5
q и q' — модули полей К и К' соответственно, л — простой элемент
поля К не = ordK-(n). Тогда q' = qf, где f — целое число и раз-
мерность поля К' над К равна ef.
Положим k = RIP и kr = R'/P'; ввиду последнего утвержде-
ния следствия 5 можно отождествить поле k с образом кольца R
в й' = R'IP'. Если / — степень поля k' над k, то q' = qf. Применяя
теперь следствие 2 теор. 3 § 2 к modK (л) и modK- (л), получаем
сформулированный выше результат.
Последнее следствие показывает, в частности, что число огбк-(л)
не меньше 1 и не зависит от выбора простого элемента л в поле К.
Этим оправдано следующее определение.
Определение 4. В условиях и обозначениях следствий 5 н 6
теор. 6 число е называется порядком ветвления поля К' над К,
а число f — модулярной степенью поля К' над К. Говорят, что К'
неразветвлено над К, если е = \, и вполне разветвлено, если f = 1.
Предложение 4. Пусть К — коммутативное р-поле;
К' — вполне разветвленная алгебра с делением конечной размер-
ности над К', R, R' — максимальные компактные подкольца полей
К и К' соответственно-, п' — простой элемент поля К'. Тогда
К' = К (л'), R' = R [л'] и алгебра К' коммутативна.
Пусть Р, Р' — максимальные идеалы колец R и R' соответ-
ственно, А — полное множество представителей классов смежно-
сти кольца R по идеалу Р. Поскольку поле К' вполне разветвлено
над /С, следствия 5 и 6 теор. 6 сразу показывают, что А является
также полным множеством представителей классов смежности
кольца R' по идеалу Р'. Применяя следствие 2 теор. 6 к /С', R' и Р’,
а также к А и £ = л', получаем, что элементы кольца R', имеющие
е— 1
вид 2 огл'г, где at £ А для 0 i е— 1, образуют полное множе-
г—0
ство А' представителей классов смежности по идеалу Р'е. Выберем
теперь какой-нибудь простой элемент л поля К и положим е —
§ 4. СТРУКТУРА р-ПОЛЕЙ
41
= ordK' (л); е является порядком ветвления поля К' над и, сле-
довательно, размерностью поля К' над К (в силу следствия 6 теор. 6).
Применяя снова следствие 2 теор. 6 к /С', R', Р'е, А' и | = л, видим,
что каждый элемент идеала P'ev можно записать одним и только
—оо
одним способом в виде где а'з б А' для всех / v- Так как
3~v
К содержится в центре алгебры К’, то л' коммутирует с л, откуда
в силу определения множества А' следует, что каждый рассматри-
ваемый элемент записывается в виде
е— 1 Ч-оо
3 (3 ацп3)п'1,
2=0 j~ V
где ai} Q А для —1, / v. Это равносильно, ввиду
е— 1
следствия 2 теор. 6, представлению в виде 2 а;Л,г, где at С Pv
i=0
для 0 <2 i <2 е — 1. Отсюда видно, что К’ = К (я'); полагая
v = 0, находим, что R' = R [л']. Поскольку К содержится в центре
алгебры К', то л' коммутирует со всеми элементами поля /С; сле-
довательно, поле К' коммутативно.
Следствие 1. Пусть К — коммутативное p-поле харак-
теристики р. Обозначим через Кр его образ относительно эндо-
морфизма х -> хр, и пусть л — какой-нибудь простой элемент
в К. Тогда К — вполне разветвленное расширение степени р поля
Кр и К = Кр (л).
Пусть К' = Rp; отображение х -> хр есть изоморфизм поля К
на К’, который можно использовать для перенесения топологии
поля К на поле R'. Поэтому R можно рассматривать как тополо-
гическое векторное пространство над К', имеющее в силу следствия 2
теор. 3 § 2 конечную размерность. Это показывает, что К имеет
конечную степень над К'. А так как поля К и К' изоморфны, они
имеют одинаковый модуль, и модулярная степень поля К над К'
равна 1. Это дает с учетом предложения 4 равенство К = К' (л).
Поскольку лр g /С', степень поля К над К' должна равняться р
или 1. Но так как ordK (л) = 1, то л не принадлежит Кр и, зна-
чит, К =/= К'. Таким образом, поле К имеет над полем К’ степень р.
Следствие 2. Пусть К — то же, что и в следствии 1,
К — его алгебраическое замыкание. Тогда для каждого п 0 поле К
содержит одно и только одно чисто несепарабельное расширение
степени рп поля К; оно является образом Кр~п поля относительно
автоморфизма х-> хр~п.
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
42
Из следствия 1 немедленно вытекает, что поле Кр~г имеет над
К степень р; индукцией по п получаем, что степень поля Кр~п
над К равна рп. С другой стороны, хорошо известен и легко дока-
зывается тот факт, что если К' — чисто несепарабельное расшире-
ние степени поля К, то оно содержится в поле Кр~п. Отсюда
сразу следует наше утверждение.
Теорема 7. Пусть К — некоторое p-поле, q — его модуль,
R — максимальное компактное подкольцо и Р — максимальный
идеал в R. Тогда группа Кх имеет по меньшей мере одну подгруппу
порядка q — 1 и каждая такая подгруппа циклично.. Если Мх —
такая подгруппа, то М = Мх U {0} является полным множеством
представителей классов смежности кольца R по идеалу Р и суще-
ствует такой простой элемент л поля К, что пМх = Мхл. Если
поле К коммутативно, то существует только одна подобная груп-
па М.х, а именно группа корней из единицы в К степени, взаимно
простой с р.
Конструкция группы Мх основывается на следующей лемме.
Лемма 5. Для всех пД> () имеет место включение
(1 +• Р)""с= 1 + Pn+1.
Это утверждение непосредственно проверяется индукцией по п.
Его можно переформулировать еще так: хрП = 1 (Рп+1), если
х = 1 (Р).
Обозначим теперь через р канонический гомоморфизм кольца R
на поле k = RIP. По теореме 2 § 1 группа kx циклична и ее поря-
док равен q — 1. В частности, для всех х Е Rx имеем р (х)3-1 = 1,
т. е. х3-1 = 1 (Р). Если q = р1, то, согласно лемме 5, х<3~1,зП = 1
(Pfn+1), что можно также записать в виде
хзП+1^х9” (P/n+1).
Снова, применяя следствие 1 теор. к ряду
х+ (х9 — х)+ (хТ2 —Х9)+ . .
видим, что он сходится при всех х Е Rx, так что можно написать
со (х) = lim хяп
для х 6 Рх и, конечно, для х Е Р, а значит, и для всех х Е Р- Оче-
видно, со (ху) = со (х) со (у), если ху = ух; в частности, со (xv) =
= со (x)v для всех х Е Rx, v Е Z. Как видно из написанного выше
§ 4. СТРУКТУРА р-ПОЛЕЙ
43
ряда для (о (х), co (х) == х (Р) для всех х £ р. Очевидно, со (х) = О
для х £ Р, и лемма 5 показывает, что со (х) = 1 для х g 1 + Р
Следовательно, со-1 (0) = Р и со-1 (1) = 1 Р. А так как х9-1 g
Е 1 + Р для всех х g Рх, то со (х)9-1 = 1 при х £ Рх.
Выберем в группе Рх представитель xt образующей цикличе-
ской группы kx = (R/P)x и положим [ij = со (х^. Равенство цр = 1
имеет место для всех я £ Z в том и только в том случае, когда
со (х”) = 1; а так как последнее условие эквивалентно соотношению
хр = 1 (Р), а значит, ввиду выбора х1; соотношению п == 0 (<? — 1),
это показывает, что порождает циклическую подгруппу в Рх
порядка q — 1. Обратно, пусть Г — произвольная конечная под-
группа группы /Сх, порядок которой взаимно прост с р; ясно, что
она является подгруппой группы Rx. Образ числа q в мультипли-
кативной группе (Z/«Z)X целых чисел, взаимно простых с п и взятых
по модулю п, должен иметь конечный порядок N; поэтому qN = 1 (н).
Поскольку гп = 1 при всех z £ Г, мы получаем, что z^Nv = г для
всех v ^-0 и всех z g Г, откуда со (z) = z. Таким образом, z = 1 (Р)
влечет z = 1. Полученный результат показывает, что р индуци-
рует инъективное отображение группы Г в kx = (R/P)x; отсюда
следует, что группа Г циклична, что ее порядок делит q — 1 и что,
если он равен q — 1, то множество Г J {0} образует полную систе-
му представителей поля R/Р в R. В частности, для коммутативного
поля К получаем, что отображение со индуцирует на Rx морфизм
группы Рх на группу Мх корней из единицы в К степени q — 1,
отображает кольцо R на множество М = 2Их U {0} и определяет
биекцию поля R/Р на М. Кроме того, каждая подгруппа Г группы
/Сх, порядок которой взаимно прост с р, содержится в Мх; в част-
ности, Мх содержит все корни из единицы в К порядка взаимно
простого с р. Что касается существования простого элемента поля К,
удовлетворяющего требованиям нашей теоремы, то оно очевидно,
если поле К коммутативно. Предположим, что это не так, и возь-
мем какой-нибудь простой элемент л поля К. Для каждого а Е Кх
отображение х -> аха-1 есть автоморфизм поля К и, значит, согласно
следствию 3 теор. 6, отображает R на Р, Р на Р, определяя тем
самым автоморфизм /. (а) поля k = R/Р. Отображение a->Z(a)
есть, очевидно, гомоморфизм группы Кх в группу автоморфизмов
поля k. Для а Е Рх (а) есть отображение £ -> р (а) ср (а)"1, кото-
рое тождественно, ибо поле k коммутативно. Поэтому если а —
элемент из с ord (а) = п, то Z (а) = Z (л)п. В силу следствия 2
теор. 2 § 1, примененного к полю k и его простому подполю, Z (л)
имеет вид £ -*• ?₽г; это означает, что для всех х £ R
лхл"1 = хрГ (Р),
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
44
или, что то же самое,
ПХ = хрГл (Р2).
Выберем теперь Мх так же, как и выше, и положим
л' = — 2 (ТрГЛр.'‘1.
Как следует из написанных выше сравнений, каждое из q — 1
слагаемых суммы в правой части сравнимо с л по модулю Р2.
Поскольку q-l^P, получаем
л' = (1 — <?) л == л (Р2),
откуда следует, что л' — простой элемент поля /<". В то же время
из определения л' видно, что
л'р = ррГ л'
для всех р£Л4х и, следовательно, л'7Их = Мхл’, чем и завер-
шается доказательство. Аналогичными рассуждениями можно дока-
зать, что если Мх и Nx —две подгруппы порядка q — 1 группы
Кх, то существует простой элемент поля л, такой, что л/Их = Nxn.
Следствие 1. Если Ku М таковы, как в теореме 1, и К —
поле характеристики р, то М — подполе поля К,. Если при этом
поле К коммутативно, то М является алгебраическим замыканием,
простого поля в К.
Пусть k0 — простое поле в К и ц — образующая группы Мх.
Тогда й0 (р) есть коммутативное поле характеристики р, в кото-
ром уравнение X'1 — X = 0 имеет q корней, являющихся элемен-
тами группы М, откуда следует в силу теоремы 2 § 1, что М —
поле. Если К коммутативно, то каждый отличный от нуля элемент
алгебраического замыкания поля kQ в К является корнем из еди-
ницы степени, взаимно простой с р (снова по теореме 2 § 1), и, зна-
чит, должен лежать в М. (теорема 7).
Следствие 2. Пусть К — коммутативное p-поле, q —
его модуль, К' — расширение конечной степени поля К, порожден-
ное корнями из единицы степени, взаимно простой с р. Тогда К'
неразветвлено и циклично над К, а его группа Галуа над К порож-
дена автоморфизмом <р, индуцирующим перестановку р -> р 7 на
группе корней из единицы степени, взаимно простой с р.
Из следствия 5 теор. 6 вытекает, что К' есть p-поле. Пусть
R, Р, q, k, р, Мх таковы, как в теореме 7 и ее доказательстве,
a R', Р’, q', k', р', М'х — аналогичные объекты для поля К' Потео-
реме 7 К' порождается над К множеством М'х, т. е. корнями урав-
§ 4. СТРУКТУРА р-ПОЛЕЙ
45
нения Х9'"1 = 1; поэтому оно есть расширение Галуа поля К,
а его автоморфизмы над К однозначно определяются теми пере-
становками, которые они индуцируют в множестве М'х. По след-
ствию 5 теор. 6 R — R' П К, Р = Р’ П К, и, следовательно, мы
можем отождествить k с подполем поля k', причем р будет отобра-
жением, индуцируемым морфизмом р' на R. Пусть а — автомор-
физм поля К' над К. Он отображает R' на R', Р' на Р' и оставляет
на месте каждый элемент из R', следовательно, он определяет авто-
морфизм X (а) поля k' над k. При этом X, т. е. отображение а ->- % (а),
является морфизмом группы Галуа поля К' над К в группу Галуа
поля k' над k. По следствию 2 теор. 2 § 1 X (а) должно иметь вид
Н НЛ Отсюда получаем, что для всех р g М'х
р' (а (р)) = р' (р)?8 = р' (pgS).
По теореме 7 р' индуцирует на М'х изоморфизм группы М'х на k'x;
поэтому а (р) = р’8. В частности, если s = 0, т. е. если X (а) —
тождественное отображение, то отображение а также тождественно;
это показывает, что X инъективно; поэтому если п — степень поля
К' над К и f — степень k’ над k, то п <1 /. А поскольку q’ = qr,
из следствия 6 теор. 6 вытекает, что поле К' неразветвлено над К
и п = f. Таким образом, Z является изоморфизмом группы Галуа
поля /С над К на группу Галуа поля k' над k, чем ввиду след-
ствия 2 теор. 2 § 1 и завершается наше доказательство.
Следствие 3. Пусть К и q таковы, как в следствии 2;
тогда алгебра с делением конечной размерности над К неразветвле-
на в том и только в том случае, когда она коммутативна и порож-
дается над К корнями из единицы степени, взаимно простой с р.
Для каждого f 1 поле К имеет с точностью до изоморфизма одно
и только одно неразветвленное расширение степени f; это расшире-
ние порождается над К примитивным корнем (qf — 1)-й степени
из единицы.
Пусть К' — неразветвленная алгебра с делением размерности f
над К и q, q' — соответственно модули алгебр К и К'. Тогда по
следствию 6 теор. 6 q’ = qf. Возьмем подгруппу М'х порядка
q' — 1 в /Сх; по теореме 7 она циклична; взяв образующую р
в М.'х, получим поле К" = /С (р). Ясно, что это поле коммутатив-
но, а так как оно содержит М'х, то модуль его равен по меньшей
мере q', так что по следствию 6 теор. 6 его степень над/С не мень-
ше /. Следовательно, К" — К', что вместе со следствием 2 дока-
зывает первую часть нашего следствия. Возьмем теперь любое целое
/ 1, положим q' = qf и обозначим через /С' расширение поля К,
порожденное примитивным корнем степени q’ — 1 из единицы,
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
46
или, что то же самое, множеством М'х всех корней уравнения
Х4'"1 = 1. По теореме 7 модуль поля X' не меньше q', так что
из следствия 6 теор. 6 вытекает, что степень X' над X равна
по меньшей мере f. С другой стороны, в силу следствия 2 X' нераз-
ветвлено и циклично над X и его группа Галуа порождается опре-
деленным в этом следствии автоморфизмом <р. Так как автоморфизм
q/ индуцирует тождественный автоморфизм на М'х, то он тожде-
ствен и, следовательно, степень X' над X не больше /. Таким обра-
зом, она равна f. Из предыдущих результатов следует, что каждое
неразветвленное расширение поля X, имеющее степень /, должно
содержать расширение, изоморфное X' Этим наше доказательство
завершается.
Следствие 4. Пусть X' — конечное расширение коммута-
тивного p-поля X’, обозначим через f его модулярную степень над X,
а через е порядок ветвления над X. Тогда существует единственное
максимальное неразветвленное расширение Xi поля X, содержащееся
в X' Оно имеет степень f над X, и X' вполне разветвлено и имеет
степень е над Xi-
Это сразу следует из предыдущих результатов, если в качестве
Xi взять поле, порожденное содержащимися в X’ корнями из еди-
ницы степени, взаимно простой с р.
Определение 5. Пусть X — коммутативное p-поле и
X' — его неразветвленное расширение. Образующая <р группы Галуа
поля X' над X, определяемая следствием 2 теор. 7, называется
автоморфизмом Фробениуса поля X' над X-
В следствии 2 теор. 6 можно взять в качестве £ простой эле-
мент л поля X, а в качестве А — множество М, определенное
в теореме 7. Для коммутативных полей характеристики р отсюда
получается следующая
Теорема 8. Хаждое коммутативное p-поле характеристики
р изоморфно полю формальных степенных рядов от одной перемен-
ной с коэффициентами из некоторого конечного поля.
В обозначениях теоремы 7 следствие 1 из этой теоремы пока-
зывает, что М является полем из q элементов. Положив S = л
и А = М в следствии 2 теор. 6, мы получим для каждого х £ X
с ord (х) п единственное разложение в ряд
+°°
г=п
§ 4. СТРУКТУРА р-ПОЛЕЙ
47
где щ g М для всех i п. Немедленно устанавливается, что эти
ряды складываются и умножаются по обычным алгебраическим
правилам для формальных степенных рядов (или для сходящихся
степенных рядов в классическом анализе). Более того, полученное
соответствие является также изоморфизмом и в топологическом
смысле, если поле формальных степенных рядов снабдить обычной
топологией, в которой фундаментальную систему окрестностей
нуля образуют кольцо Ro «целых» степенных рядов (т. е. рядов,
не содержащих степеней переменной с показателем <0) и идеалы
в нем, порожденные степенями переменной. Напомним, что в этой
топологии кольцо Ro целых формальных степенных рядов от одной
переменной над произвольным конечным полем F компактно,
поскольку его аддитивная группа изоморфна, очевидно, произве-
дению счетного числа групп, изоморфных F. Таким образом, соот-
ветствующее поле локально компактно. Поскольку в силу теоремы 8
все коммутативные p-поля характеристики р являются полями
такого типа, получаем, что (с точностью до изоморфизма) суще-
ствует взаимно однозначное соответствие между этими полями
и конечными полями FQ с q = рп, /г 1.
Под локальным полем будет пониматься в дальнейшем комму-
тативное недискретное локально компактное поле. Мы только что
получили полный список локальных полей характеристики р > 1;
что же касается полей характеристики 0, то все они даются теоре-
мой 5 из § 3. Это R, С и конечные алгебраические расширения
полей Qp для всех р.
Используя ту же идею, что и в доказательстве теоремы 8, можно
получить более общий результат для некоммутативного случая.
Предложение 5. Пусть К — некоторое p-поле, комму-
тативное или нет, с максимальным компактным подкольцом R.
Тогда центр Ко поля К является p-полем, и если d — его модулярная
степень над Ко, пго порядок ветвления его над Ко равен d, а размер-
ность равна d2. Поле К содержит максимальное коммутативное
подполе Ki, которое неразветвлено и имеет степень d над Ко. Кроме
того, если Ki — такое подполе и Ri — его максимальное компакт-
ное подкольцо, то в К существует, простой элемент л со следующими
свойствами', (а) К1 есть простой элемент поля Ко', (b) {1, . . .,
есть базис поля К, рассматриваемого как левое векторное простран-
ство над Ki, и порождает R как левый Rt-модуль; (с) внутренний
автоморфизм х л-1хл поля К индуцирует в Ki автоморфизм а,
порождающий группу Галуа поля Ki над Ко-
Пусть обозначения тйковы, как в теоремах 6 и 7; выберем М
и л так же, как в теореме 7, и применим к ним следствие 2 теор. 6.
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
48
Получим, что для всех п € Z каждый элемент х g Рп может быть
представлен единственным образом в виде
4-00
(5)
1=п
где р.; g М для всех п. Поэтому элемент поля К находится
в центре Мо этого поля в том и только в том случае, когда он ком-
мутирует с л и с каждым элементом из М (или, что то же самое,
с какой-нибудь образующей циклической группы Мх). Так как
автоморфизм х->л-1хл индуцирует перестановку множества М,
то некоторая его степень тождественна на М. Иначе говоря, суще-
ствует такое v > 0, что nv коммутирует с каждым элементом из М.
Поэтому множество Ко содержит лт для всех п g Z, чем доказа-
на его недискретность, а поскольку оно, очевидно, замкнуто в К,
получаем, что поле К локально компактно. Если мы рассмотрим
теперь К как векторное пространство и, следовательно, алгебру
над Ко, то по следствию 2 теор. 3 § 2 оно имеет конечную размер-
ность над Ко- Следствие 5 теор. 6 показывает теперь, что Ко есть
p-поле. Обозначим через q модуль поля Ко, через d — модулярную
степень К над Ко и через Ki — поле, порожденное над Ко множе-
ством М, или, что то же самое, любой образующей циклической
группы Мх. Поскольку Мх имеет порядок yd — 1, такая образую-
щая является примитивным корнем степени yd — 1 из единицы,
так что по следствию 3 теор. 7 Ki неразветвлено и имеет степень d
над Ко- Так как отображение х л-1хл индуцирует перестановку
на М и тождественное отображение на Ко, оно определяет в Ki
автоморфизм сс поля Kt над Ко- Элементы из Ki коммутируют со
всеми элементами из М.; с л они коммутируют в том и только в том
случае, когда они инвариантны относительно а. Другими словами,
элементы поля К\, инвариантные относительно а, совпадают с Ко,
так что а порождает группу Галуа поля Ki над Ко- Следовательно,
а имеет порядок d, откуда, как мы видели выше, следует, что nd
находится в Ко, а не принадлежит Ко, если v не кратно d. Возь-
мем теперь х £ К и р, £ Л1х и запишем х в виде (5). Мы получим
рДхр. = 2
г==п
где
р4 = Ц-1Нг •(л’рл-1).
В последней формуле последний множитель в правой части при-
надлежит группе Мх, так что элементы р4 находятся в М. Ввиду
единственности для х g К разложения (5) отсюда вытекает, что
§ 4. СТРУКТУРА р-ПОЛЕЙ
49
х = р,-1хр. (т. е. х коммутирует с р.) в том и только в том случае,
когда pi = рг для всех i. Ясно, однако, что pj = р; тогда и только
тогда, когда или pf = 0, или лг коммутирует с р. Следовательно,
х коммутирует со всеми элементами из 44х тогда и только тогда,
когда л* обладает этим свойством для всех г, для которых рг 0.
В силу доказанного выше последнее имеет место в том и только
в том случае, когда рг = 0 для всякого i, не являющегося крат-
ным d. Мы можем поэтому написать
x=S^i (лй)\
Поскольку л“ g Ко, элемент х принадлежит замыканию поля Ki,
и, следовательно, ему самому, откуда видно, что /Ct — максималь-
ное коммутативное подполе в К- Ввиду разложения (5) и един-
ственности этого разложения ясно также, что {1, л, . . ., л'*-1}
есть базис поля К, рассматриваемого как левое векторное про-
странство над Kt', что этот базис порождает R как левый /^-модуль
и что nd есть простой элемент поля Ki и, следовательно, поля Кд,
поскольку он в нем лежит. Так как отсюда следует, что порядок
ветвления К над Ко есть d, доказательство окончено.
Пусть в обозначениях предложения 5 ср — автоморфизм Фро-
бениуса поля Ki над Ко- Так как он тоже порождает группу Галуа
поля Ki над /Со, то <р = аг, где г взаимно просто с d и определено
однозначно по модулю d. В гл. XII будет показано, что для данного
Ко числа d и г, удовлетворяющие этим условиям, можно выбирать
произвольно и что они однозначно определяют структуру алгебры
с делением К. Другими словами, две алгебры с делением конечной
размерности над Ко и с центром Ко изоморфны тогда и только тогда,
когда они имеют одинаковую размерность d2 над Кд и целое число
г для обеих алгебр одно и то же по модулю d.
Мы завершим эту главу одним результатом о максимальных
компактных подкольцах p-полей. Напомним, что если R — про-
извольное коммутативное кольцо их — элемент кольца, содержа-
щего R, то этот элемент называется целым над R, если он является
корнем некоторого унитарного многочлена над R, т. е. некоторого
многочлена с коэффициентами из R, старший коэффициент которого
равен 1.
Предложение 6. Пусть К есть p-поле, Ко — некоторое
p-поле, содержащееся в его центре, R, Ro — максимальные ком-
пактные подкольца полей К и Ко соответственно. Тогда R состоит
из элементов поля К, целых над Ro.
ГЛ. I. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ
50
Пусть элемент х принадлежит К и цел над Ro; это означает,
что он удовлетворяет уравнению
хп -р й\хп~^ -И ... И- ап — 0,
в котором аг G /?0 для 1 <2 i <2 п. Предположим, что х не лежит
в R, т. е. что ordK (х) < 0. Тогда х =f= 0 и
1 = — a\x~x — ... — апх~п-,
все члены в правой части находятся в максимальном идеале Р
кольца R, так что 1 Е Р, что невозможно. Обратно, пусть х при-
надлежит R. По следствию 2 теор. 3 § 2 /С имеет конечную размер-
ность над Ко', значит, коммутативное поле /С, определяемое равен-
ством К' = Ко (х), является конечным расширением поля Ко-
Обозначим через F неприводимый унитарный многочлен с коэф-
фициентами из Ко, такой, что F (х) = 0. Пусть К" — содержащееся
в каком-нибудь алгебраическом замыкании поля К' поле, порож-
денное всеми корнями многочлена F, так что F разлагается в К"
на линейные множители. Поскольку К', К" суть конечные расши-
рения поля Ко, они являются p-полями; пусть Rr, R" — их мак-
симальные компактные подкольца. Тогда/?' = К' П R = К' П R”,
а так как элемент х лежит в R, он принадлежит как R', так и R".
Поскольку многочлен F неприводим, каждый его корень х' в К"
является образом корня х относительно некоторого автоморфизма
поля К" над Ко, а так как такой автоморфизм отображает R" на R",
все эти корни лежат в R". Таким образом, все коэффициенты много-
члена F находятся в R", а поскольку они принадлежат Ко, они
лежат в Ro, чем доказательство и завершено.
Если поле К коммутативно, предложение 6 можно выразить,
сказав, что R является целым замыканием кольца Ro в К-
ГЛАВА ВТОРАЯ
РЕШЕТКИ
И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
НАД ЛОКАЛЬНЫМИ
ПОЛЯМИ
§ 1. НОРМЫ
В этом и следующем параграфах К будет обозначать р-поле,
не обязательно коммутативное. Мы будем рассматривать большей
частью левые векторные пространства над К', все, однако, может
быть распространено очевидным образом и на правые векторные
пространства. Все векторные пространства будут конечной размер-
ности; кроме того, всегда будет предполагаться, что они снабжены
«естественной» топологией согласно следствию 1 теор. 3 гл. 1-2.
По теореме 3 гл. 1-2 каждое подпространство такого пространства V
замкнуто в V. Используя координаты, легко доказать, что все линей-
ные отображения таких пространств друг в друга непрерывны;
в частности, непрерывны все линейные формы. Аналогичным обра-
зом каждое линейное инъективное отображение такого пространства
V в некоторое другое является изоморфизмом V на его образ. Так
как К некомпактно, то всякое подпространство в V, кроме {0},
некомпактно.
Определение 1. Пусть V — левое векторное простран-
ство над p-полем К- Под К-нормой на V понимается функция N
со значениями в R+, такая, что: (i) N (п) = 0 в том и только в том
случае, когда v = 0; (ii) N (xv) modK (x) N (v) для всех x g /(
и всех v £ V; (iii) для всех v, w выполняется ультраметрическое
неравенство
(1) N (у + и>) sup (А (п), N (ay)).
На Кп можно определить /(-норму No, положив Ао (х) =
= jup (modK (хг)) для всех х = (хь . . ., хп) из /С1. Поскольку
каждое векторное пространство конечной размерности над /С
изоморфно пространству /(”, получаем, что на всех таких про-
странствах существуют /(-нормы.
Ясно, что с помощью произвольной /(-нормы на V можно топо-
логизировать V, взяв N (и — w) в качестве метрики.
ГЛ. II. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
52
Предложение 1. Пусть V — левое векторное простран-
ство конечной размерности над p-полем К- Каждая К-норма N
на V определяет на V естественную топологию. В частности,
каждая такая норма N непрерывна, и для всех г > 0 подмноже-
ства Lr в V, определяемые условием N (у) У г, являются компакт-
ными окрестностями нуля.
Что касается первого утверждения, то в силу следствия 1 теор. 3
гл. 1-2 нужно только показать, что топология, определяемая нор-
мой N на V, превращает V в топологическое векторное пространство
над К- Это сразу следует из неравенства
N (x’v' — xv) У sup (modк (х') N (и' — v), modK (х' — х) N (и)),
которое является непосредственным следствием определения 1.
Следовательно, норма N непрерывна, и множества Lr образуют
фундаментальную систему замкнутых окрестностей нуля. В част-
ности, для некоторого г > 0 множество LT должно быть компактно.
Выберем теперь для произвольного s > 0 элемент a Е К* так,
чтобы mod к (а) У r/s; сразу видно, что множество L- содержится
в a~rLr и, следовательно, компактно.
Следствие 1. В V — {0} существует компактное под-
множество А, которое содержит скалярное кратное любого элемен-
та v из V — {0}.
Обозначим через q модуль поля К и выберем какую-нибудь
/С-норму N на V. Если л — простой элемент поля К, то в силу
теоремы 6 гл. 1-4 modK (л) = q~l и потому для всех n£Z и всех
v Е V имеет место равенство N (лпк) = q~nN (и). Пусть А — под-
множество в V, определенное условием q-1 у N (у) У 1; в силу
предложения 1 оно компактно, и для каждого v 0 можно найти
п g Z, такое, что л"и £ А.
Следствие 1 означает, что «проективное пространство», связан-
ное с V, компактно.
Следствие 2. Пусть <р — произвольная непрерывная функ-
ция на V — {0} со значениями в R, такая, что q> (аи) = <р (у) для
всех а Е /Сх и всех v Е V — {0}. Тогда ср достигает максимума
в некоторой точке Vi из V — {0}.
В самом деле, достаточно взять множество А из следствия 1
и выбрать в качестве Vi ту точку множества А, в которой ср дости-
гает максимума на А.у
Следствие 3. Пусть f — произвольная линейная форма
на V и N — некоторая К-норма на V. Тогда в V существует эле-
§ 1. НОРМЫ
53
мент Vi =?= 0, такой, что для всех и =f= О из V
(2) N (у)'1 mod к (/ (н)) < N (14)-1 modK (/ (vi)).
Это частный случай следствия 2, примененного к левой части
неравенства (2). Если обозначить правую часть (2) через N* (/),
то N* (/) будет наименьшим положительным числом, таким, что
mod к (f (п)) < N* (/) N (у)
для всех v Е V; соответствие / -> N* (/) будет /С-нормой на про-
странстве, двойственном к V, т. е. на правом векторном простран-
стве линейных форм на V (сложение форм определяется очевидным
образом, а умножение на скаляр производится по правилу (fa) (у) =
= f (у) а, где / — форма, а а Е К).
Под гиперплоскостью в V понимается подпространство кораз-
мерности 1, т. е. подмножество Н в V, определенное уравнением
/ (н) = 0, где / — линейная форма, отличная от нуля. Если Н
задано, то f определяется однозначно с точностью до отличного
от нуля скалярного множителя. Далее, если формула (2) выпол-
няется при всех v #= 0 для заданных нормы N, линейной формы
f =0= 0 и элемента vt 0, то это же будет верно, если заменить f
на fa, где а £ , и Vi на bvlt где b Е /<х. Другими словами, спра-
ведливость неравенства (2) для всех v 0 зависит лишь от свойств
гиперплоскости Н, определяемой уравнением f — 0, и подпростран-
ства W в V, порожденного вектором Vj. В случае когда (2) выпол-
няется для всех v 0, говорят, что Н и W N-ортогональны друг
другу.
Предложение 2. Гиперплоскость Н и подпространство W
в V размерности 1 N-ортогональны тогда и только тогда, когда V
является прямой суммой Ни W и N (h + ю) = sup (N (h),^N (ю))
для всех h Е Н’и w£W.
Пусть Н определено уравнением / (у) = 0, и пусть Н и W N-
ортогональны. Тогда, если заменить в (2) Vi на любое отличное
от нуля w Е W, то (2) будет справедливо. Отсюда следует, что
f (ю) не равно нулю; следовательно, V есть прямая сумма Н и W.
Заменим теперь в (2) v на h -ф w, где h Е Н', поскольку f (h + w) =
= f (w) =ф= 0, из (2) вытекает, что N (h -ф ю) Г? N (w). Применяя
ультраметрическое неравенство (1) к h = (h -ф ю) -ф (—w), полу-
чаем N (h) N (h + w)\ применение этого неравенства к h -ф w
дает доказываемую формулу при w Ф 0, а так как она тривиальна
при w — 0, необходимость нашего условия доказана. Пусть теперь
V есть прямая сумма Н и W. Выберем какое-нибудь v 0 и запи-
шем его в виде v = h -ф w, где h Е H и w Е W, так что f (у) — f (w).
ГЛ. II. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
54
Если да О и N (h 4- w) N (да), то
N (к)-1 modK (/ (и)) <; N (да)-1 modK (/ (^))-
Поскольку правая часть неравенства не изменится, если заменить
да любым вектором щ, порождающим подпространство W, мы видим,
что (2) выполняется для каждого такого Vi и произвольного V,
не лежащего в И. При v 6 Н, т. е. при да = 0, оно выполняется
тривиальным образом, чем доказательство и завершено.
Аналогичным образом будем говорить, что два подпространства
V', V" из V N-ортогональны друг другу, если V является их прямой
суммой и N (v' + v") = sup (N (v'), N (u")) для всех v' € V'
и v" e V".
П p e д л о ж e н и e 3. Пусть V имеет размерность п над К,
и пусть N — некоторая [{-норма на V. Тогда существует разложе-
ние V = Vi + . . . Vn пространства V в прямую сумму под-
пространств Vi размерности 1, для которого N (2 vt) = sup N (щ)
при V{ £ Vi, i .<4 n. Более того, если Wi — V, W2, . . ., Wn —
последовательность подпространств в V, такая, что Wt есть
подпространство в коразмерности 1, 2 i п, то под-
пространства Vi можно выбрать так, чтобы ]Vi = Vt + . . . + Vn
для всех i.
Это очевидно для п = 1. Если п > 1, то воспользуемся индук-
цией по п. В силу следствия 3 предл. 1 можно выбрать Vi так, чтобы
пространство Vi, порожденное щ, было А-ортогонально к W2; по
предложению 2 тогда N (t\ + да2) = sup (N (i^), N (w2)), v't 6 Vi,
w2 E W2. Применяя предположение индукции к К-норме, инду-
цированной на ]V2 нормой N, и к последовательности W2, . . ., Wn,
получаем наш результат.
Следствие. Для каждого подпространства W в V суще-
ствует подпространство W', N-ортогональное к W.
Выберем последовательность подпространств Wi, . . ., Wn, та-
кую, как в предложении 3, для которой W является одним из ее
членов, скажем Wt. Возьмем Vt из предложения 3. Пространство
W' = 4- . . . + Vj-i будет тогда ДСортогонально к W.
Предложение 4. Пусть N и N' — две К-нормы на V.
Тогда существует разложение V = Vi + . . . + Vn пространства V
в прямую сумму подпространств Vi размерности 1, такое, что
N (2 Vi) = sup N (Vi) и N' (2 vt) = sup N' (u;) при vt 6 Vt, 1 <
<4 i -<4 n.
§ 2. РЕШЕТКИ
55
Это очевидно для п = 1. Для п > 1 используем индукцию
по п. Применяя следствие 2 предл. 1 к ф = NIN', получаем вектор
0, такой, что для всех v Ф О
7V (п) АГ (п)-1 N (ui) N' (yi)'1.
Обозначим через Vi пространство, порожденное вектором Vi. По след-
ствию предл. 3 существует гиперплоскость W, которая Л/-орто-
гональна к УД если f = 0 — уравнение этой гиперплоскости, то
N (v)-1 mod к (f (п)) < N (щ)-1 modK (/ (vi))
для всех v Ф 0. Перемножая эти два неравенства, находим
N' (v)-1 modк (f (п)) < N' (щ)-1 modK (f (щ));
это означает, что W М'-ортогонально к У4. Применяя теперь пред-
ложение 2 к N, Vi, W, а также к N', Vi, W, а предположение индук-
ции к нормам, индуцированным на W нормами N и N', получаем
утверждаемый результат.
Следует отметить тесную аналогию между предложениями 3
и 4 с их доказательствами и соответствующими результатами
и доказательствами для норм, определяемых положительно опре-
деленными квадратичными формами в векторных пространствах
над R или эрмитовыми формами в пространствах над С или Н.
Так, например, предложение 4 соответствует одновременному при-
ведению двух квадратичных или эрмитовых форм к диагональ-
ному виду.
§ 2. РЕШЕТКИ
В этом параграфе будут использоваться обозначения, введен-
ные в гл. I, и /С снова будет обозначать p-поле. В частности, мы
по-прежнему будем обозначать через R максимальное компактное
подкольцо в К, через Р — максимальный идеал в R, через q —
модуль поля К и через л — его простой элемент. Для п £ Z полага-
ем Рп = nnR = Rnn.
Мы будем рассматривать /^-модули в левом векторном про-
странстве конечной размерности над К\ если V — такое простран-
ство, то jR-модуль в V есть подгруппа М в V, такая, что R-M = М.
Предложение 5. Пусть V — левое векторное простран-
ство конечной размерности над К и М — некоторый R-модуль в V.
Обозначим через W подпространство в V, порожденное над К мно-
жеством М. Множество М открыто и замкнуто в W\ оно ком-
пактно в том и только в том случае, когда оно конечно порождено
как R-модуль.
ГЛ. II. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
56
Пусть mi, . . ., тт — максимальное множество линейно неза-
висимых над К элементов из М\ они образуют базис пространства W
над К- Согласно теореме 3 гл. 1-2, множество Rrni + . . . + Rmr
является открытой подгруппой в W; а поскольку оба множества,
Ми W — М, являются объединениями классов смежности по отно-
шению к этой подгруппе, оба они открыты. Если М компактно,
то оно является объединением конечного числа таких классов и,
следовательно, конечно порождено; обратное очевидно.
Далее, в силу следствия 2 теор. 6 гл. 1-4 замкнутая подгруппа
X в V удовлетворяет условию R-X — X в том и только в том слу-
чае, когда лХ с X и аХ cz X для каждого а из некоторой полной
системы А представителей поля R/Р в R. В частности, если q = р,
т. е. если R/P — простое поле, можно взять А = {0, 1, . . ., р — 1},
так что аХ cz X для всех а £ А, и, значит, X является /^-модулем
тогда и только тогда, когда лХ cz X. В случае К = Qp можно взять
л = р, тогда каждая замкнутая подгруппа является /^-модулем.
В самом К, рассматриваемом как левое векторное пространство
над К, каждый AJ-модуль, не сводящийся к {0}, является объеди-
нением множеств Рп и, следовательно, совпадает или с К, или
с одним из этих множеств.
Определение 2. К-решеткой в левом векторном про-
странстве V конечной размерности над R называется компактный
открытый R-модуль в V.
Мы будем говорить просто «решетка» вместо «/С-решетка»,
если это не сможет вызвать недоразумений. Если L есть р-поле,
содержащееся в К, то каждая /С-решетка является L-решеткой;
обратное неверно, если L К. Если L—решетка в V и W—под-
пространство в V, то ясно, что L П W — решетка в W. Аналогично
если / — инъективное линейное отображение пространства V'
в V, то f-1 (L) —решетка в Г, и если f' — сюръективное линейное
отображение пространства V на V, то /' (А) — решетка в V".
Если N — некоторая /С-норма в V, то множества LT, определяе-
мые условием N (у) г, являются /С-решетками для любого г > 0.
Действительно, условие (iii) из определения 1 § 1 вместе с услови-
ем (ii), примененным к х = —1, показывает, что множество L
есть подгруппа в V; из (ii) следует тогда, что оно есть /^-модуль,
а из предложения 1 § 1, что оно есть компактная окрестность нуля
в V и, следовательно, открыто, поскольку является подгруппой.
Это утверждение допускает обращение. Более общим образом имеет
место следующее
§ 2. РЕШЕТКИ
57
Предложение 6. Пусть М — открытый R-модуль в V;
для каждого v Е V положим
NM (v) = inf mod к (х)-1.
x~Kx,xv^M
Тогда NM как функция на V удовлетворяет условиям (ii) и (iii)
определения 1 § 1 и М есть подмножество в V, определяемое урав-
нением Мм (о) •< 1. Функция NM является К-нормой в том и толь-
ко в том случае, когда М есть К-решетка в V.
Если а Е /Сх. то x-av Е М тогда и только тогда, когда х = уа~\
где yv Е М', это дает равенство NM (av) — modK (a) NM (у), спра-
ведливое также и для а = 0, ибо NM (0) = 0. Таким образом,
NM удовлетворяет условию (ii) определения 1. Для каждого v Е V
пусть Mv — множество элементов х из К, для которых xv Е М.',
поскольку оно — открытый /^-модуль в К, то оно совпадает или
с К, или с Рп для некоторого п Е Z. Если Л40 = К, то NM (о) = 0;
а если Мо = Рп, то xv Е М в том и только в том случае, когда
modK (х) q~n, так что NM (у) — qn. В частности, NM (у) 1
тогда и только тогда, когда М„ гэ R, т. е. когда v Е М- Пусть v, w
принадлежат V и таковы, что NM (у) NM (да); тогда Mv cz Mw
и xv Е М влечет xw Е М, откуда х (п + w) Е /И. Поэтому M„+w гз
гэ Mv и, следовательно, NM (у -j- w) NM (о); этим доказано
условие (iii) из определения 1. Наконец, множество М является
/С-решеткой в том и только в том случае, когда оно компактно,
a NM является /С-нормой в том и только в том случае, когда
NM (п) > 0 для всех v Ф 0, т. е. тогда и только тогда, когда Mv Ф
=/= К для v 0. По предложению 1 § 1, если NM есть /С-норма,
то М компактно. Обратно, предположим, что М компактно, и выбе-
рем v 0. Тогда М.ъ есть подмножество в К, соответствующее мно-
жеству (Kv) П М при изоморфизме х -> xv из К на Kv, поэтому
Mv компактно и не может совпадать с К- Доказательство завер-
шено.
Следствие 1. Открытый R-модуль М в V является К-
решеткой в том и только в том случае, когда он не содержит отлич-
ных от нуля подпространств в V.
Как было показано выше, если М некомпактно, то NM не может
быть /С-нормой, так что в V существует элемент v Ф 0, такой, что
Мм (у) = 0 и, следовательно, М„ = К, т. е. Kv cz М. Обратно,
поскольку каждое отличное от нуля подпространство в V замкнуто
в V и некомпактно, такое подпространство не может содержаться
в множестве в силу компактности последнего.
ГЛ. II. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
58
Следствие 2. Пусть М — открытый R-модуль в V, W —
максимальное подпространство в V, содержащееся в М, W' —
какое-нибудь дополнительное к W подпространство в V. Тогда
KI Q W' является К-решеткой в W' и М = (М Q W') + W.
Первое утверждение есть частный случай следствия 1, второе
очевидно.
Предложение 6 показывает, что каждая /С-решетка в V может
быть определена неравенством N (v) 1, где N — некоторая К-
норма. Вот главная причина, почему мы посвятили § 1 рассмотре-
нию норм. Для заданной /С-решетки М норма NM, определяемая
предложением 6, может быть охарактеризована среди всех норм N,
для которых М есть множество N (v) 1, как норма, принимаю-
щая свои значения в множестве значений функции mod;< на /С,
т. е. в множестве {0} J {qn}nez-
Предложение 7. Если V имеет над К размерность 1
и если L есть К-решетка в V, то в V существует образующая v,
такая, что Е = Rv.
Возьмем какую-нибудь образующую w пространства V; под-
множество Ew в К, определяемое условием xw Е Е, должно иметь
вид Р"; беря и = n.nw, получаем Е = Rv.
Теорема 1. Пусть Е — некоторая К-решетка в левом век-
торном пространстве V размерности п над К- Тогда в V суще-
ствует базис {vlt . . ., vn}, такой, что Е = 2 Rvt. Кроме того,
если Wi = V, Wz, • ., Wn — последовательность подпространств
в V, обладающая тем свойством, что Wt есть подпространство
в Wi-i коразмерности 1, 2 i п, то элементы можно выбрать
так, чтобы для каждого i множество {цг, . . ., vn} было базисом
в Wt.
Возьмем /С-норму N, такую, что L определяется уравнением
N (v) 1. Выберем подпространства Vi....Vn из V так же,
как в предложении 3 § 1. Тогда Е = 2 (L Q Уг). Применяя пред-
ложение 7 для каждого i к и Е Q Vi, получаем базис (цг).
Теорема 1 применима, например, к случаю, когда К' есть р-
поле, содержащее К, a R' — его максимальное компактное под-
кольцо. Ясно, что если рассматривать К' как левое векторное про-
странство над К, то R' является /С-решеткой в К'- Следовательно,
в К' существует базис {yi, . . ., уп} над К, такой, что R' = 2 Ryt.
Если записать теперь произвольное у £ R' в виде yyi = S а^у,,
где atj Е К, 1 <1 Е j •< п> то все аи должны лежать в R. В частно-
сти, если К коммутативно, то из этих соотношений, выполняющих-
§ 2. РЕШЕТКИ
59
ся в коммутативном поле Д (у), вытекает, что det (у -1П — Л) = О,
где 1п — единичная матрица, а Л = (а,;), так что мы получаем
другое доказательство второй части предложения 6 гл. 1-4.
Теорема 2. Пусть L, L' — две К-решетки в левом вектор-
ном пространстве V конечной размерности над К- Тогда в V суще-
ствуют базис {ui.......и,,} и последовательность целых чисел
(vi.....vn), такие, что L = 2 Rvt и L' = 2 PViVi.
Выберем /<-нормы N и N' так, чтобы L определялась уравне-
нием N (v")K 1, a L' — уравнением N' 1. Построим подпростран-
ства Vi, ..., Vn в V так же, как в предложении 4 § 1. Тогда
L = 2 (L П В,) и L' = 3 (Т' П Vi). Применим теперь предложение 7
для каждого i к V, и L Q Vi, а также к У; и Д'Q Vр, это даст нам
элементы vt, такие, что L(]Vt = Rvt, и элементы Д, такие, что
L' (]Vi = Rv'i. Записав щ в виде v'i = xtVi, где Xt£Kx, и положив
V( = ord(x;), получим целые числа vt, удовлетворяющие требуемым
условиям.
Следствие 1. Пусть V и L таковы, как в теоремах 1 и 2,
и М — некоторый R-модуль в V. Тогда в V существуют базис
{щ, . . ., цп} над К и целые числа г, s и Vi, . . ., vr, такие, что
О < г < s < n, L = 1 Рр и М = f PvjVj + 2 Kvh.
Пусть W — подпространство в V, порожденное множеством М,
и W — максимальное подпространство, содержащееся в М. Обозна-
чим через s размерность пространства W и через г — коразмерность
W в W. Выберем последовательность Wi, . . ., Wn из теоремы 1
так, чтобы она содержала пространства W и W'. По теореме 1
существует базис {иц, . . ., wn} пространства V, который порождает
L как Д-модуль и содержит базисы пространств W и W'. Нумеруя
этот базис очевидным образом, можно добиться того, чтобы
{аУ1, . . ., aas} было базисом в W, а {аУг+1, • . ., ад,} — базисом
в W'. Обозначим через W" подпространство с базисом {аа1; . . ., ааг}.
В силу предложения 5 М открыто в W~, следовательно, по след-
ствию 2 предл. 6 М = М' + W, где Мг = /И [~| W" есть Д-решетка
в U7". Применяя теперь к М' и L' = L [~| W" теорему 2, находим
базис {щ, . . ., vr} для W" и целые числа Vi....vr, такие, что
L' = 2 Rvj и М' = 2 PviVj. Положив Vi = wt для i > г, полу-
чаем искомый базис.
Следствие 2. Каждый конечно порожденный R-модуль SR
является прямой суммой конечного числа слагаемых, каждое из
которых изоморфно или R, или модулю R/Pv, где v > 0. Кроме
ГЛ. II. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
60
того, число слагаемых типа R и для каждого v > 0 число слагаемых
типа R/Pv определяются заданием модуля ЭЛ однозначно.
Предположим, что ЗЛ порожден элементами mi, ...» mn.
Возьмем векторное пространство V размерности п над К с базисом
{vi, . . ип} и положим L = 2 Rvt. Формула
2 XiVi -> 2 XiXtti,
где Xt при всех 1 i -< п берутся из R, определяет тогда морфизм
из L на ЗЛ; следовательно, jDl изоморфно ЫМ, где М — ядро этого
морфизма. Применим теперь следствие 1 к L и М; поскольку Мст L,
имеем Vj 0 для всех 1 v и г = s. Отсюда сразу следует
наше первое утверждение. Что касается второго, то пусть ЗЛ, —
= лгЗЛ для i 0. Так как все это /^-модули, факторы =
= 9Л;/9Лг + 1 также являются /^-модулями; поскольку ли = 0 для
всех и Е 911, то можно; рассматривать как модуль, т. е. как
векторное пространство, над полем k — R/Р; в качестве такового
оно имеет размерность nt, зависящую только от ЭЛ и I. Запишем
теперь 9Л в виде прямой суммы модулей R и R/Pv в количествах
соответственно jV0 и Nv; сразу видно, что nj = Afo + 2 Поэто-
му No = nt для достаточно больших i и Nv = nv_i — nv.
Следствие 3. Целые г, s, Vi, . . ., vr из следствия 1 зависят
только от L и М.
Поскольку s — размерность подпространства W, порожденного
М, as — г — размерность максимального подпространства, содер-
жащегося в М, они зависят только от М. Положим = L П W
и выберем i р? 0 так, чтобы nlLt с А4; наше утверждение следует
теперь немедленно из следствия 2, примененного к /^-модулю М/лгР1.
Число изоморфных R слагаемых модуля ЭЛ из следствия 2 назы-
вается рангом модуля ЗЛ; используя это определение, получаем
Следствие 4. Пусть ЗЛ — конечно порожденный R-модуль
и ЗЛ' — его подмодуль. Тогда ранг модуля ЭЛ равен сумме рангов
модулей ЭЛ' и ЗЛ/ЗЛ'.
Как и в доказательстве следствия 2, запишем ЭЛ в виде L/M,
где L — решетка 2 Rvi в векторном пространстве V с базисом
{щ, . . ., ап} и М — некоторый /^-модуль. Прообраз ЗЛ' в L будет
тогда /^-модулем L', и три модуля из нашего следствия изоморфны
соответственно L!M, L4M и LIU. Пусть W, V' — подпространства
в V, порожденные соответственно множествами М и L'. Как сразу
вытекает из следствия 1, ранги модулей LIM, L'/М и L/L' равны
соответственно коразмерностям W в V, W в V' и V' в V.
§ 3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ СТРУКТУРА ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
61
§ 3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ СТРУКТУРА
ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
Сохраним те же обозначения, что и раньше. Для каждого целого
п 1 множество 1 + Рп элементов х из R, которые =1 (Рп),
является, очевидно, открытой и компактной подгруппой в Rx,
и эти подгруппы образуют фундаментальную систему окрестностей
единицы в Rx. Далее, теорема 7 гл. 1-4 показывает, что если Мх —
произвольная подгруппа порядка q — 1 в Rx, то R x = Мх •(! + Р),
а из теоремы 6 гл. 1-4 следует, что Кх — П-рх, если П — дискрет-
ная подгруппа в Кх, изоморфная Z и порожденная простым эле-
ментом поля К. Произведения в этих формулах являются «полу-
прямыми».
Начиная с этого места и до конца параграфа будет предпола-
гаться, что К — коммутативное p-поле; упомянутые произведения
являются в этом случае прямыми произведениями, так что можно
написать Кх = П х Р х и Rx =-- М х х (1 + Р); кроме того, по тео-
реме 7 гл. 1-4 Мх будет группой корней из единицы в поле К сте-
пени, взаимно простой с р. Исследование структуры группы Кх
сводится, таким образом, к изучению структуры 1 + Р.
Выберем какое-нибудь х Е 1 + Р; для каждого а Е Z элемент
ха будет лежать в 1 -j- Р, и отображение а -> ха является гомо-
морфизмом аддитивной группы Z в мультипликативную группу
1 + Р; так как из леммы 5, использовавшейся при доказательстве
теоремы 7 гл. 1-4, вытекает, что ха Е 1 + Pn+1 при а = 0 (рп),
т. е. при । а |р р~п, то наш гомоморфизм непрерывен, если снаб-
дить Z р-адической топологией, т. е. топологией, индуцируемой
в Z полем Qp. Поскольку множество 1 + Р компактно, этот гомо-
морфизм однозначно продолжается до непрерывного гомоморфизма,
обозначаемого снова через а -► х'1, аддитивной группы Zp в муль-
типликативную группу 1 + Р. Если х Е 1 + Р,г, то ха лежит
в 1 + Рп для всех а Е Z и, следовательно, для всех а Е Zp. Исполь-
зуя формулу уъ (ха)~1 = х6"’1 и обычные рассуждения,
отсюда можно просто вывести, что отображение (а, х) -> ха группы
Zp X (1 + Р) в 1 + Р непрерывно. Немедленно проверяется, что
это отображение определяет на группе 1 + Р структуру Zp-модуля
(«сложение» векторов записывается мультипликативно, а «умно-
жение» на элементы из Zp—экспоненциально).
Предложение 8. Если п — целое число, взаимно простое
с р, a v — целое число, большее единицы, то отображение х-+ хп
индуцирует автоморфизм на группе 1 -ф Pv; (Кх)п является откры-
той подгруппой в Кх индекса п -(п, q — 1), и если п делит q — 1,
то этот индекс равен п\
ГЛ. II. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
62
Первое утверждение есть частный случай того факта, что если
а — обратимый элемент в Zp, то отображение х->ха является
автоморфизмом группы 1 + РД отсюда следует, что (7<х)п открыто
в Дх. Кроме того, как мы видели выше, группа Кх есть прямое
произведение группы П, изоморфной Z, циклической группы ЛТХ
порядка q — 1 и группы 1 + Р. Поэтому индекс (Кх)п в /Сх являет-
ся произведением соответствующих индексов для П, Мх и 1 + Р.
Ясно, что они равны соответственно п, наибольшему общему дели-
телю (л, q — 1) чисел п и q — 1 и 1. Доказательство закончено.
Определим теперь структуру Z;,-модуля на группе 1 + Р. Это
зависит от характеристики поля Д. Если К — поле характеристи-
ки нуль, то, как мы уже отмечали, оно является конечным алгебраи-
ческим расширением поля Qp и его максимальное компактное под-
кольцо можно рассматривать как Qp-решетку в Д. Теорема 1 из
§ 2 показывает тогда, что оно есть прямое произведение множите-
лей, изоморфных Zp, в числе, равном степени К над Qp.
Предложение 9. Пусть К — коммутативное р-поле
характеристики нуль с максимальным компактным подкольцом R.
Тогда существует целое число т~^> 0, такое, что 1 + Р как Zp-
модуль (записываемый мультипликативно') изоморфен Zp-модулю
R X (Zp/pmZp) (записываемому аддитивно). При этом т есть
наибольшее целое, такое, что К содержит примитивный корень
рт-й степени из единицы.
Для произвольных х Е R и а £ N биномиальную формулу можно
записать в виде
а
(14-x)“= 1 + ах+ах (“Z?)
1=2
Для i 2 обозначим через ph наибольшую степень р, делящую i;
если h = 0, то i — 1 > h; а если h > 0, то, поскольку i ph,
сразу видно, что i — 1 > h, за исключением случая i = р = 2,
так что всегда 2 (i — 1) > h. В написанной выше формуле сумма
в последнем члене в правой части принадлежит, следовательно,
pR, если х Е P2R- Для х Е p2R, а Е N это дает
(3) (1 + х)а = 1 + ах (paxR).
Это сравнение остается по непрерывности справедливым для всех
х Е p2R и а Е Zp ввиду плотности N в Zp. Если теперь обозначить
через d степень К над Qp, то по теореме 1 § 2 можно найти базис
{Vi, . . ., Vd} в К над Qp, такой, что R = 2 Zpv;. В силу (3) имеем
§ 3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ СТРУКТУРА ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
63
для всех 1 i d, v 1, at Е Zp
(1 -ф p1 2Vi)pV-lai 1 + pv+iaivt (pv+2R)
и, следовательно,
d _ d
(4) II (l-rpW'V °^1 + р’+‘2вд (Pv+W
i=l i=l
Отсюда вытекает, что если Xj Е P2R, то мы можем определить по
индукции последовательность (хь х2, . . .) с xv Е pv+1R, положив
для каждого v 1
xv = pv+1 S aviVi,
где avi Е Zp, 1 i d. Тогда
l+xv+i = (l + xv)[I(l +p2Vi)~pV lavi.
i
Ясно также, что
(5) l + x^IRl + zW’s
где bi задается формулой
-1-00
bi= S
V=1
1 i d. Это показывает, что как мультипликативный Zp-модуль
группа 1 -ф p2R порождается d элементами 1 -ф р2пг; а поскольку
она — открытая подгруппа в компактной группе 1 -ф Р и потому
конечного индекса в ней и поскольку 1 -ф Р как Zp-модуль порож-
дается элементами 1 -ф p2vt и полной системой представителей
классов смежности в 1 -ф Р по подгруппе 1 -ф p2R, то 1 -ф Р —
конечно порожденная группа. Предположим теперь, что (5) может
иметь место при xt = 0 и bt не всех равных нулю; взяв тогда в каче-
стве v — 1 наименьший из порядков bt в Qp, можно написать
bt = pv~1ai, где v> 1 и Е Zp, 1 i d, причем не все at при-
надлежат pZp. Сравнение (4) дает тогда TJ = 0 (pR), т. е.
2 (p'Rii) Vi Е R, что противоречит определению vt. Это показы-
вает, что 1 + p2R как Zp-модуль является свободным модулем,
порожденным элементами 1 -ф p2Vi, и, следовательно, изоморфен
(Zp)d. Мы можем теперь применить к модулям 1 -ф Р и 1 -ф p2R
следствие 4 теор. 2 § 2. Поскольку их фактормодуль конечен,
его ранг равен нулю; а модуль 1 -ф p2R как изоморфный (Zp)d
ГЛ. II. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
64
есть модуль ранга d. Поэтому 1 + Р имеет ранг d и изоморфен
по следствию 2 теор. 2 § 2 прямому произведению d сомножите-
лей, изоморфных Zp, и некоторого конечного числа сомножителей,
каждый из которых изоморфен модулю вида ZplpvZp. Поскольку
последние суть конечные группы, их произведение совпадает
с группой всех элементов конечного порядка в 1 + Р и потому
само есть конечная группа, порядок которой является некоторой
степенью р. Отсюда следует, что она есть группа всех корней из
единицы в 1 + Р, и притом циклическая группа порядка рт,
где рт — наибольший из порядков ее элементов (лемма 1 гл. 1-1).
Таким образом, как Zp-модуль эта группа изоморфна ZplpmZp.
Записав, наконец, Кх в виде прямого произведения П, Мх и 1 + Р,
мы видим, что каждый корень из единицы, степень которого есть
некоторая степень р, содержится в I + Р. Доказательство закон-
чено.
Следствие. Пусть К. таково, как в предложении 9. Тогда
для каждого целого п 1 (Кх)п является открытой подгруппой
в Кх конечного индекса, равного п-(п, г) -тос1к (л)-1, где г — порядок
группы всех корней из единицы в К.
Ясно, что последняя группа разлагается в прямое произведение
Мх и группы порядка рт, состоящей из корней из единицы в 1 + Р.
Следовательно, она циклична и имеет порядок г = (q—1) рт,
а Кх есть прямое произведение П, этой группы и Zp-модуля, изо-
морфного R. Далее, nR есть открытая подгруппа в аддитивной
группе кольца R, индекс которой в R по определению функции
modK равен modK (п)-1. Используя те же соображения, что
и в доказательстве предложения 8, немедленно получаем утверж-
дение следствия.
Предложение 10. Пусть К — коммутативное р-поле
характеристики р. Тогда 1 + Р как Zp-модуль является прямым
произведением бесконечного счетного семейства модулей, изоморф-
ных Zp.
По теореме 8 гл. 1-4 К можно рассматривать как поле фор-
мальных степенных рядов от одной переменной л с коэффициентами
в поле Fg из <7 = pf элементов. В данном случае легко явно указать
семейство свободных образующих Zp-модуля 1 + Р. В самом деле,
выберем какой-нибудь базис {alt . . ., аД поля Fg над простым
полем Fp. В качестве образующих модуля 1 + Р можно взять
элементы 1 + агп”, где 1 i /, ап пробегает множество всех
целых чисел 0, взаимно простых с р. Для каждого N > 0 положим
N = tipv, где v >0 и л взаимно просто с р. Для произвольных
§ 4. РЕШЕТКИ НАД R
65
целых а,, 1 С- i f, имеем
II (1 + »^)°^=п 1 + (2«г₽0^ (^v+1),
2=1 i г
где = a?v. Так как отображение x-+xvV есть автоморфизм
поля Fq над Fp, то рг также образуют базис поля Fq над Fp; следо-
вательно, для произвольного заданного a Q Fg можно одним
и только одним способом выбрать целые числа at так, чтобы 0
а; < р и У, а;рг = а. Возьмем теперь какое-нибудь Xi 6 Р
и определим по индукции последовательность (х1; х2, . .), где
хх Е при всех N >- 1. Для каждого N положим, как и выше,
N = npv, где п взаимно просто с р, и выберем целые числа at так,
чтобы 0 sC (Ц <' р для 1 cC i f и чтобы
^=n(i+^TiPV^i+^ cp2V+1)-
В силу сказанного выше это можно сделать, и притом только одним
способом. Положим теперь
1 + Ху+1 = (1 + XN) у^1.
Сопоставляя эти формулы, сразу видим, что они дают для 1 +
представление в виде сходящегося бесконечного произведения
множителей типа (1 + а}Лп)Ь, где 1 i /, п взаимно просто
с р и b Е Zp. Кроме того, из проведенных вычислений следует, что
это представление единственно. Наши утверждения доказаны.
§ 4. РЕШЕТКИ НАД R
Понятие решетки в том виде, как оно было развито для р-полей
в §1,2, неприменимо к R-полям. Подходящим здесь является
следующее
Определение 3. R-решеткой в векторном пространстве V
конечной размерности над некоторым R-полем называется дискрет-
ная подгруппа L в V, такая, что VIL компактно.
Напомним теперь некоторые элементарные факты о дискретных
подгруппах. Пусть G — топологическая группа, Г — ее дискрет-
ная подгруппа и <р — каноническое отображение группы G на
G/Г. Если U — окрестность единичного элемента е в G, такая, что
U~r-U не содержит элементов группы Г, отличных от е, то <р инду-
цирует на каждом множестве gU с g £ G гомеоморфизм этого множе-
ства на его образ в G/Г. Это можно выразить, сказав, что <р является
ГЛ. II. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
66
«локальным гомеоморфизмом»; если Г — нормальная подгруппа
в G, то можно сказать, что ср является «локальным изоморфизмом»,
поскольку в этом случае ср переводит групповой закон на G в груп-
повой закон на G/Г. Предположим, что группа G локально ком-
пактна и что на ней задана правоинвариантная мера а. Тогда,
как легко видеть, существует одна и только одна мера а' на G/Г,
такая, что для любого измеримого подмножества X в G, взаимно
однозначно отображаемого на его образ ср (X) = X' в G/Г, а' (X')
равно ex (X). Это справедливо, в частности, для любого измеримого
подмножества всякого множества вида gU, где U такое же, как
и выше. Если теперь / — произвольная непрерывная функция на G
с компактным носителем, то
(6) =
G G/Г 7СГ
Здесь мы положили g = ср (g), и подинтегральное выражение
в правой части, хотя и записано как функция от g, может рас-
сматриваться как функция от g, поскольку оно постоянно на клас-
сах смежности §Г. В самом деле, это очевидно, если носитель функ-
ции f содержится в одном из множеств gU, а общий случай сразу
следует отсюда. Кроме того, как хорошо известно из теории инте-
грирования, справедливость равенства (6) для всех непрерывных
функций с компактным носителем влечет его справедливость для
всех интегрируемых функций и для всех измеримых функций со
значениями в R+. Ясно, что мера а' инвариантна относительно
действия группы G на G/Г в том и только в том случае, когд1 мера а
левоинвариантна; это, в частности, всегда так, когда множество
G/Г компактно, ибо тогда G/Г является множеством конечной меры,
инвариантной относительно действия группы G. Если при этом
подгруппа Г нормальна в G, то а' есть мера Хаара на G/Г.
В описанной выше ситуации мера а называется образом меры а
в G/Г, и мы будем обозначать ее просто через а, если это не сможет
вызвать недоразумений. Следующая лемма (играющая роль утверж-
дения, которое в классической теории чисел известно как теорема
Минковского) теперь очевидна.
Лемма 1. Пусть G — локально компактная группа с мерой
Хаара и, Г — ее дискретная подгруппа, такая, что множество GIV
компактно, и X — измеримое подмножество в G, для которого
а (X) > а (G/Г). Тогда существуют два различных элемента х, х'
из X, такие, что х~гх' Е Г.
Нужно только заметить, что поскольку G/Г компактно, каждая
правоинвариантная мера на G также левоинвариантна и, следо-
§ 4. РЕШЕТКИ НАД R
67
вательно, мера Хаара а является двусторонне-инвариантной,
а ее образ на G/Г корректно определен.
Лемма 2. Пусть G, а и Г таковы, как в лемме 1,^и пусть
I i — дискретная подгруппа группы G, содержащая Г. Тогда Г
имеет конечный индекс в Г<, и этот индекс определяется соотно-
шением
а (G/Г) = [Гц: Г] a (С/Г^.
Поскольку множество G/Г компактно, существует непрерывная
функция /о > 0 на G с компактным носителем, такая, что для
всех g g G
h (g) = S fo (g'T) > 0.
ver
Функция f = fjfi непрерывна на G, имеет тот же носитель, что
и /0, и такова, что сумма У f (gy), где суммирование производится
по всем у С Г, равна 1 при всех g. Из этого факта вытекает, что
аналогичная сумма, взятая по всем у £ Г1; имеет постоянное зна-
чение [Tj : Г]. Применив теперь к G, f и Г, а также к G, f и Г, форму-
лу (6), получим утверждение нашей леммы.
Выведем теперь из этих фактов следующий классический резуль-
тат об R-решетках.
Предложение 11. Пусть L — подгруппа векторного про-
странства V размерности п над R. Следующие три утверждения
эквивалентны', (i) L является ^-решеткой в V; (ii) L дискретна в V,
конечно порождена и содержит базис (иг) пространства V над R;
(iii) в V существует базис над R, порождающий группу L.
Пусть имеет место (iii). Рассмотрим изоморфизм
(7) (Xj, . . ., Хн) *" У XfOi
из Rn на V. Подгруппа L является образом подгруппы Z” относи-
тельно этого изоморфизма и потому дискретна в V, а фактор-
группа V/L изоморфна (R/Z)" и потому компактна. Таким образом,
(iii) влечет (i) и (ii). Предположим теперь, что выполняется (i).
Пусть W — подпространство в V, порожденное решеткой L, a W —
дополнительное к W подпространство в V. Как локально компакт-
ная группа V есть прямое произведение W и W', a L есть дискрет-
ная подгруппа в W. Следовательно, факторпространство V/L изо-
морфно прямому произведению W/L и W' и, значит, не может
быть компактным, если W не является таковым. Поэтому W’
должно равняться {0}, a W = V, так что L содержит базис про-
ГЛ. II. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
68
странства V над R. Пусть теперь а — мера Хаара на V, для которой
a (V/L) = 1. Для каждого базиса В --= {uj, . . пп} в V, содержа-
щегося в L, обозначим через фв изоморфизм R'1 на V, определяе-
мый формулой (7); он отображает Zr‘ на подрешетку LB в L, порож-
денную В, а меру Лебега X на R' — в некоторое скалярное кратное
т~ва меры а. Так как X (Rn/Zn) 1, то имеем т~ва. (V/LB) = 1.
По лемме 2 отсюда следует, что тв является индексом LB в L.
Выберем теперь В так, чтобы этот индекс имел наименьшее возмож-
ное значение, и покажем, что тогда LB = L. Действительно, допу-
стим, что L содержит вектор w, не лежащий в LB, и запишем его
в виде w = с коэффициентами at из R. Поскольку w не
принадлежит LB, по крайней мере один из коэффициентов, напри-
мер щ, не лежит в Z. Заменяя w на w — пи\, где т £ Z, т < щ <
< т + 1, видим, что можно считать, что 0 < щ < 1. Пусть теперь
v'i — w, v'i = Vi для 2 < i п, и В' {«', . . ., v„}. Ясно,
что В' является базисом пространства V, содержащимся в L.
Тривиальное вычисление показывает, что срй1 ° <рв, является авто-
морфизмом пространства R”, задаваемым формулой
(xlt . . хп) (fliXi, х2 + a2*i, • хп + anXi),
причем модуль этого автоморфизма равен щ (см. следствие 3 тео-
ремы 3 гл. 1-2). Возьмем какое-нибудь измеримое подмножество X
в Rn и положим Y = фц' (X) и Y' = фВ- (X). По определению
тв, тВ' имеем а (У) = mBX (X), а (У') = твХ (X) и, следова-
тельно, модуль автоморфизма фВ- ° фв1, отображающего У на
У', равен тв’/тв. Поскольку автоморфизм фВ-° фв1 можно запи-
сать в виде фв' ° (фв1 ° фвО ° фв1, У него тот же самый модуль, что
и у автоморфизма ф7? ° Фв-- Это дает тв'/тп = «!<!, что про-
тиворечит определению В. Таким образом, (i) влечет (и) и (iii),
и доказательство завершено.
§ 5. ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ
ПОЛЯМИ
К числу наиболее важных свойств коммутативных локально
компактных групп принадлежат те свойства, которые образуют
содержание так называемой теории двойственности. Напомним, что
если G — такая группа, то ее характером (в смысле этой теории)
называется непрерывный гомоморфизм из G в мультипликативную
группу комплексных чисел, по модулю равных единице. Если
g* — характер, то его значение в точке g группы G обычно обозна-
чается через (g, g*>G, а иногда просто через {g, g*), если это не
может вызвать недоразумений. Будем записывать групповой закон
§ 5. ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
69
в G аддитивно. Введем на множестве G* характеров группы G
коммутативную групповую структуру, также записываемую адди-
тивно, положив
<g, g* + g* >G = (g, g* >G • <g, g* >G-
Отметим, что единичный элемент группы G*, который обозначается
в аддитивной записи нулем, соответствует тривиальному характеру
группы G, принимающему во всех точках значение 1. Можно топо-
логизировать группу G*, снабдив ее топологией равномерной схо-
димости на компактных подмножествах в G. Группа G* превра-
щается таким образом в локально компактную группу, именуемую
топологической двойственной к группе G, или просто двойственной
к ней, если это не может привести к путанице. Обратно, характеры
группы G* суть функции g* -> (g, g*)G, определяемые элементами
g 6 G, и это соответствие определяет изоморфизм между G и двой-
ственной к G*. Иначе говоря, положив
<g*> g>G* = <g, g*)G,
мы можем отождествить G с двойственной к G*, и в дальнейшем
всегда будет предполагаться, что они отождествлены таким обра-
зом. Группа G компактна в том и только том случае, когда группа G*
дискретна, а посему G дискретна тогда и только тогда, когда
G* компактна.
Пусть Н — произвольная замкнутая подгруппа в G. Характеры
группы G, индуцирующие тривиальный характер на Н, образуют
замкнутую подгруппу в G*, которая будет обозначаться через Н*.
Будем говорить, что подгруппа Н* ассоциирована с Н по двойствен-
ности. Она изоморфна группе, двойственной к G/Н. В случае когда
G рассматривается как двойственная к 6*, подгруппа в G, ассо-
циированная с Н*, есть сама подгруппа Н, которая, следовательно,
изоморфна двойственной к G*IH*. Так как Н открыта в G в том
и только в том случае, когда G/Н дискретна, видим, что это имеет
место тогда и только тогда, когда Н.., компактна. Таким образом
Н* открыта в G* в том и только в том случае, когда группа Н ком-
пактна. Аналогично Н дискретна в том и только в том случае,
когда G*IH* компактна, и GIH компактна тогда и только тогда,
когда группа Н* дискретна.
Все это применимо к аддитивной группе произвольного левого
векторного пространства V конечной размерности над недискретным
локально компактным полем К (коммутативным или нет). В этом
случае, если V* —топологическое двойственное к V и v* £ V*,
то для каждого а С К функция v-+ (av, v*)v является, очевидно,
характером группы V, который будет обозначаться через v*a.
ГЛ. II. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
70
Обращаясь к определениям, немедленно находим, что V* пре-
вращается тем самым в правое векторное пространство над К.
В силу следствия 2 теор. 3 гл. 1-2 размерность V* должна быть
конечна. Иными словами, структура V* как правого векторного
пространства над К задается формулой
(av, v* = (v, v*a)v. (8)
Обратно, если V и V* — двойственные группы и V* имеет струк-
туру правого векторного пространства над К, то можно использо-
вать формулу (8) для того, чтобы определить V как левое вектор-
ное пространство над К. Итак, мы можем отождествлять V с двой-
ственным к V*, даже если рассматривать их как векторные про-
странства над К. Если L — произвольная замкнутая подгруппа в V,
то подгруппа L*, ассоциированная с L по двойственности, состоит
из тех элементов v* из V*, для которых (v, v*)v = 1 при всех
v Е Е. С учетом формулы (8) отсюда следует, что если L — левый
модуль над некоторым подкольцом поля К, то L* является правым
модулем над тем же самым подкольцом, и обратно. В частности,
если К — некоторое p-поле и R — его максимальное компактное
подкольцо, то L есть левый /^-модуль тогда и только тогда, когда
L* — правый /^-модуль. Поскольку, как мы видели, L компак-
тен и открыт в V тогда и только тогда, когда L* таков же в V*,
получаем, что L является /(-решеткой в том и только в том случае,
когда L* есть /(-решетка. В случае когда это так, будем говорить,
что /(-решетки L и L* двойственны друг другу; при этом аЬ
и двойственны друг другу при каждом а Е Кх- С другой
стороны, ясно, что если К есть R, С или Н, то L является R-решет-
кой тогда и только тогда, когда L* есть R-решетка.
Далее, если V таково, как выше, можно рассматривать его
алгебраическое двойственное V, которое является пространством
/(-линейных форм на V. Как хорошо известно, если обозначить
через [р, v']v значение в точке v линейной формы v' на простран-
стве V, то можно наделить V «естественной» структурой правого
векторного пространства над К с помощью формулы
[av, v'b]v = а [и, v']v b,
выполняющейся для всех v Е V, v’ 6 V и всех a, b Е К- Если % —
какой-нибудь характер аддитивной группы поля К, то для каждого
o' Е V' существует элемент v* из топологического двойственного V*,
для которого (v, v*)v = % ([о, р']у) при всех v Е V. Используем
это, чтобы установить связь между алгебраическим и топологиче-
ским двойственными.
§ 5. ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
71
Теорема 3. Пусть К — недискретное локально компактное
поле, V — левое векторное пространство конечной размерности п
над К, и пусть % — нетривиальный характер аддитивной группы
поля К. Тогда топологическое двойственное V* является правым
векторным пространством размерности п над К и формула
(v, = % ([и, п']у) для всех v С V
определяет биективное отображение v' —> v* алгебраического двой-
ственного V к V в пространство V*. Если у_ (ху) = % (ух) для
всех х, у из К, то это отображение является изоморфизмом струк-
тур V и V* как правых векторных пространств над К-
Пусть X к — топологическое двойственное к К. Структура К
как левого векторного пространства размерности 1 над самим
собой определяет структуру правого векторного пространства на
Xк', в качестве такового оно имеет конечную размерность d. Подоб-
ным образом структура К как правого векторного пространства
над К определяет на Хк структуру левого векторного пространства
над К некоторой размерности d'. Пусть V таково, как в теореме 3.
Выбрав какой-нибудь его базис над К, представим пространство V
в виде прямой суммы п подпространств размерности 1. Его двой-
ственное V* изоморфно, следовательно, как правое векторное про-
странство, прямой сумме п подпространств, изоморфных Хк,
и имеет потому размерность nd. Аналогично двойственное к V*
-есть левое векторное пространство размерности ndd’, и так как
оно изоморфно V, с которым мы договорились его отождествлять,
получаем, что ndd' = п и d = d' = 1. Пусть характер % таков,
как в теореме 3; он определяет элемент с* =# 0 в аддитивно записы-
ваемой группе X к, так что % (/) = (Z, с* )к для всех t Е К. Посколь-
ку d' = 1, каждый элемент из X к можно однозначно записать
в виде хс*, где х С К, и поскольку d = 1, каждый элемент из Хк
однозначно записывается как с*у с у Е К- Отношение хс* = с*у
определяет тем самым биекцию а поля К на себя, и немедленно про-
веряется, что она является автоморфизмом поля. В силу (8) с*у
является характером t -> % (у/) поля К и аналогично хс* является
характером t-+- % (tx). Таким образом, % (7х) = % (а (х) /) для
всех х, t из К, чем автоморфизм и и определяется однозначно.
В частности, он тождествен на центре поля К и тождествен везде,
если х (tx) = % (х/) для всех х, t из К- Рассмотрим теперь отобра-
жение o' -> v* из V в V*, определенное в теореме 3. Выберем
х Е К, положим w' = v'x и предположим, что исследуемое ото-
бражение переводит w' в w*. Имеем
X ([у, йу']у) = х (^> ^'кх) = % (а (х) [и, v'k) =- X (1“ (х) v, u']v).
ГЛ. J!. РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
72
Ввиду определения v* и это дает
(v, w* )г = (и (х) v, v* )v = (v, v*a (х) )у
для всех v и, значит, w* = v*a (х). Этот факт обычно выражают,
говоря, что отображение v' -+ v* а-полулинейно. В то же время
ясно, что это отображение инъективно. Действительно, равенство
v* = 0 означает, что % ([и, и']у) равно 1 для всех v £ V и, следо-
вательно, % (х [и, и']у) равно 1 для всех х £ К и всех v Q V,
а поскольку характер % нетривиален, отсюда следует, что [п, п']у ----
— О при всех v, т. е. и' = 0. Так как V и V* имеют одинаковую-
размерность п над К, и-полулинейное отображение из V в V*
не может быть инъективным, не будучи биективным. Тем самым
доказательство закончено.
Для удобства ссылок сформулируем отдельно результат о харак-
терах поля К.
Следствие. Пусть К и % таковы, как в теореме 3. Тогда
каждый характер поля К может быть записан, и притом един-
ственным образом, в виде t % (£х), где х С К, или в виде t -> % (yt),
где у К.
Можно было бы сформулировать теорему 3 более «внутренним»
образом, сказав, что существует канонический изоморфизм между
V* и тензорным произведением У* ®к Хк, задаваемый формулой
из теоремы 3 (и аналогично канонический изоформизм между V*
и X к ® к V, если V несет структуру правого векторного простран-
ства). Мы предоставляем читателю самому убедиться в этом. Следует
также отметить, что всегда существует нетривиальный характер
поля Д, для которого % (ху) = % (ух) при всех х, у £ К', можно
взять, например, % = %0 ° т, где т — «приведенный след» в К
над центром Ко (см. гл. IX-2), а %0 — нетривиальный характер
в Ко. Тот же результат можно было бы вывести и из того факта,
что, согласно теореме Сколема — Нётер (которая появится ниже
как предложение 4 в гл. IX-1), отображение а из доказательства
теоремы 3 должно быть внутренним автоморфизмом поля К. Конеч-
но, различение правого и левого становится совершенно излишним,
если рассматриваются только коммутативные поля.
Обычно подразумевается, что раз и навсегда выбран некий
характер поля К со свойствами, описанными в теореме 3, чтобы
отождествить, с помощью описанного в теореме изоморфизма,
топологические и алгебраические двойственные всех векторных
пространств над К- При этом % обычно именуется базисным харак-
тером. В частности, как показано в следствии теоремы 3, можно
при этом отождествлять поле К с его топологическим двойственным.
§ 5. ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
73
В случае когда это делается для p-поля К, подгруппа в К, ассо-
циированная по двойственности с подгруппой вида Рп, должна быть
подгруппой того же вида, поскольку вообще двойственное к 7<-ре-
шетке является К-решсткой. Чтобы сформулировать более точное
утверждение, введем следующее определение.
Определение 4. Пусть К — некоторое p-поле, R —
его максимальное компактное подкольцо и Р — максимальный идеал
в R. Порядком нетривиального характера % поля К называется
наибольшее целое число v £ Z, такое, что % равен 1 на P~v; порядок
характера % будет обозначаться через ord (%).
Иными словами, P~v есть двойственная к R ТС-решетка, если
К отождествляется со своим двойственным при помощи %. Это
показывает, что v конечно.
Предложение 12. Пусть К — некоторое р-поле, % —
его нетривиальный характер порядка v. Тогда для любого n Е Z
X (xf) = 1 при всех t £ Рп в том и только в том случае, когда
х £ P-’i-v.
Это утверждение очевидно. Его можно выразить, сказав, что
двойственная к Рп 7<-решетка есть p-n-v, если % отождествляется
со своим двойственным при помощи х-
Что касается явной конструкции характеров локальных полей,
то для случая поля R она хорошо известна; в качестве базисного
характера можно взять характер, задаваемый формулой Хо (х) =
== е (х) = е2л“. В С или Н можно взять в качестве базисного
любой характер вида Хо ° Л где f — любая отличная от нуля линей-
ная R-форма (например, след над R). Если К — локальное поле
характеристики р, его можно представить как поле формальных
степенных рядов х = 2 агТ1 с коэффициентами из Fq, и в каче-
стве базисного можно взять характер порядка 0, определяемый
равенством х (X) = Ф (a-i)> гДе Ф — какой-нибудь нетривиальный
характер аддитивной группы поля Fq. Для Qp явная конструкция
будет дана в гл. IV-2; она является частью доказательства теоремы 3
этой главы.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ТОЧКИ
А-ПОЛЕЙ
§ 1. А-ПОЛЯ И ИХ ПОПОЛНЕНИЯ
Под полем алгебраических чисел обычно понимают всякое конеч-
ное алгебраическое расширение поля Q. Основной задачей этой
книги, и вообще теории чисел, является изучение полей алгебраиче-
ских чисел с помощью их вложений в локальные поля. За послед-
нее столетие было, однако, обнаружено, что методы, которые при
этом используются, могут быть с очень небольшими изменениями
применены к некоторым полям характеристики р > 1, причем
одновременное изучение этих двух типов полей проливает допол-
нительный свет на каждый из них. Учитывая это, приведем теперь
определение полей, которые и будем, начиная с этого места,
изучать.
Определение 1. Поле называется k-полем, если оно
является или конечным алгебраическим расширением поля Q, или
конечно порожденным расширением конечного простого поля Fp,
имеющего над Fp степень трансцендентности 1.
Итак, если k есть A-поле характеристики ’ р > 1, оно 'должно
содержать трансцендентный над Fp элемент t и, следовательно,
является конечным алгебраическим расширением поля Fp (/). Таким
образом, если обозначить раз и навсегда независимую переменную
через Т, так что Fp (Т) есть поле рациональных функций от Т
с коэффициентами в Fp, то A-полями характеристики р будут
в точности те поля, которые суть конечные алгебраические рас-
ширения поля Fp (Т). Заметим, что такое поле всегда содержит
бесконечно много полей, изоморфных Fp (Г).
Мы будем изучать A-поля, вкладывая их в локальные поля.
В силу теорем 5 и 8 гл. I возможно говорить о множестве всех
локальных полей, рассматриваемых с точностью до изоморфизма.
В самом деле, для заданного р > 1 локальные поля характеристики
р находятся, с точностью до изоморфизма, во взаимно однозначном
соответствии с конечными полями Fg из q = рп элементов, в то
§ 1. А-ПОЛЯ И ИХ ПОПОЛНЕНИЯ
75
время как локальные p-поля характеристики 0 изоморфны подполям
алгебраического замыкания поля Qp, имеющим конечную степень
над Qp. Позже мы установим (как следствие леммы 1 гл. XI-3),
что полей последнего типа лишь счетное число, но здесь это нам
не понадобится. Теперь имеет смысл следующее определение,
позволяющее говорить о множестве точек А-полей.
Определение 2. Пусть X — изоморфное вложение к-поля
k в локальное поле К- Пара (А, Д) называется пополнением поля k,
если A (k) плотно в К- Два пополнения (X, Д) и (А', Д') поля k назы-
ваются эквивалентными, если существует такой изоморфизм р
поля Д на Д', что А' = р ° А. Под точкой поля К будем понимать
класс эквивалентности его пополнений.
Определение 3. Точка \-поля k, определяемая пополне-
нием (А, Д), называется вещественной, если поле Д изоморфно R;
мнимой, если К изоморфно С; бесконечной в обоих этих случаях
и конечной в остальных случаях.
Пусть и — точка поля k. Очевидно, что функция modA. ; А
на k одна и та же для всех пополнений (А, Д), принадлежащих V.
Будем записывать ее в виде х —г | х |с. Если v — мнимая точка,
то mod к (х — у)1/2 является метрикой на Д, во всех остальных слу-
чаях это верно для modx (х — у). Следовательно, мы всегда можем
получить пополнение поля k, принадлежащее к v, взяв пополнение
относительно метрики | х — у |“, где а = 1/2, если v мнимо,
и а = 1 в остальных случаях. Это пополнение будет обозначаться
через kv и называться пополнением поля k в точке и. Для всех х £ kv
положим | х |в = modft;) (х). Если v — конечная точка, то мы
будем обозначать через rv максимальное компактное подкольцо
поля kv, а через р„ — его максимальный идеал. Это — подмноже-
ства в k„, задаваемые соответственно условиями | х |D 1
и | х |„ < 1.
Как видно из теоремы 5 гл. 1-2, поле Q имеет одну бесконечную
точку, соответствующую вложению Q в поле R = QM; эта точка
будет обозначаться через сю. Та же теорема показывает, что конеч-
ные точки поля Q находятся во взаимно однозначном соответствии
с рациональными простыми числами, с которыми их можно ото-
ждествить. Точке р соответствует вложение Q в Qp.
Знание точек поля Q является для нас исходным пунктом
при определении точек полей алгебраических чисел, рассматри-
ваемых как конечные алгебраические расширения поля Q. Для того
чтобы тем же методом исследовать A-поля характеристики р > 1,
нужно знать точки поля Fp (7). Прежде чем заниматься их нахож-
ГЛ. III. точки А-ПОЛЕЙ
76
дением, приведем ряд общих результатов о точках алгебраических
расширений.
Предложение 1. Пусть k — произвольное поле, k0 —
его бесконечное подполе и к — изоморфное вложение k0 в локальное
поле К. Замыкание Кй множества К (k0) в К является локальным
полем, и замыкание множества к (1г) в К есть поле, порожденное
A (k) над Ко-
Первое утверждение сразу вытекает из следствия 3 предл. 2
гл. 1-2. По следствию 2 теор. 3 гл. 1-2 К должно поэтому иметь
конечную степень над Ко, так что в силу теоремы 3 гл. 1-2 каждое
векторное пространство над Ко, содержащееся в поле К, замкнуто
в нем. Поле Kt, порожденное A (k) над Ка, является таким под-
пространством. С другой стороны, очевидно, что замыкание множе-
ства X (k) в К есть поле, содержащее А (&0), а значит, и Ко и A (/г).
Таким образом, оно совпадает с Ki-
Следствие. Пусть k — некоторое К-поле, k'— его конечное
алгебраическое расширение и w — точка поля k'. Пусть, далее,
А — естественное вложение поля k' в его пополнение k в w. Тогда
k'w есть конечное алгебраическое расширение замыкания А (/г) в k’w
и вложение поля k в это замыкание, индуцируемое вложением А,
определяет точку v поля k.
В силу наших определений это частный случай предложения 1.
Мы имеем теперь возможность ввести следующее определение.
Определение 4. Если k и k' таковы, как в следствии
предложения 1, то говорят, что v — точка поля k, лежащая под w,
aw — точка, лежащая над V, и пишут w | V.
В описанной ситуации мы будем обычно отождествлять поле k„
с замыканием поля k в k’w.
Теорема 1. Пусть k — какое-нибудь К-поле, К — его алге-
браическое расширение и v — его точка. Тогда существует точка
поля К, лежащая над v, и таких точек может быть лишь конеч-
ное число.
Пусть К — алгебраическое замыкание поля k„ и k" —• алгебраи-
ческое замыкание поля k в К- Так как k" — алгебраически замкну-
то, существует по меньшей мере один изоморфизм А над k из kr
в k". Обозначим через Кк поле, порожденное над kD множеством
А (&'); оно является конечным алгебраическим расширением поля kv,
и потому его можно наделить структурой топологического вектор-
ного пространства конечной размерности над kv (следствие 1
§ 1. А-ПОЛЯ И ИХ ПОПОЛНЕНИЯ
77
теор. 3 гл. 1-2). Тем самым оно превращается в локальное поле.
Но тогда по предложению 1 (X, Кг) есть пополнение поля k' и опре-
деляет точку в k', которая, очевидно, лежит над и. Обратно, пусть
w — какая-нибудь точка поля k', лежащая над v. Тогда по след-
ствию предл. 1 существует по меньшей мере один изоморфизм ср
над kv поля k'w в К- Пусть X — изоморфизм из k' в К, индуцируе-
мый на k' морфизмом ср. Ясно, что X отображает k' в k". В силу
предложения 1 поле k’w порождается над kv множеством k', так что
поле ф (А„) — это то же самое поле, которое обозначалось выше
через Кг- Далее, снова используя следствие 1 теор. 3 гл. 1-2, полу-
чаем, что ф есть топологический изоморфизм поля k'w на Кг, так что
w — та точка поля k', которая определяется пополнением (X, Кг)-
Итак, точек поля k', лежащих над v, существует столько же, сколько
имеется различных изоморфизмов X над k из поля k' в k". Но хоро-
шо известно (и легко доказывается), что поскольку k' — конечное
алгебраическое расширение поля k, таких изоморфизмов суще-
ствует лишь конечное число.
Следствие. Всякое А-поле имеет не более чем конечное число
бесконечных точек’, оно имеет по меныией мере одну такую точку,
если его характеристика равна нулю, и ни одной в противном случае.
Последнее утверждение очевидно. Остальные суть частные слу-
чаи теоремы 1, ибо точка A-поля характеристики 0 бесконечна
в том и только в том случае, когда она лежит над точкой оо поля Q.
Перейдем теперь к нахождению точек поля Fp (7). Более общим
образом мы определим все точки полей Fg (7), где Fg — произ-
вольное конечное поле. Удобно говорить, что многочлен л из
Fg [7] прост, если он унитарен, неприводим в кольце Fg [7] и имеет
степень >0.
Теорема 2. Поле k = F q (7) имеет одну и только одну
точку и, для которой | Т |„ > 1; в этой точке Т"1 является простым
элементом поля kv и модуль поля k„ равен q. Для каждого простого
многочлена л из Fg [7] поле k имеет одну и только одну точку v,
такую, что | л |„ < 1; в этой точке л является простым, элементом
поля kv, модуль которого равен q&, где 6 — степень многочлена л.
Все эти точки различны, и поле k не имеет других точек.
Пусть v — точка поля k. Предположим сначала, что | 7 |„ 1.
Тогда Fg [Т] содержится в г„. Обозначим через р канонический
гомоморфизм кольца rv на конечное поле rjpp, он индуцирует
на Fg [7] гомоморфизм кольца Fg [7] на его образ, ядро которого
Рв П Fg [7] является, очевидно, простым идеалом в Fg [7].
ГЛ. III. ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ
78
Поскольку кольцо Fg [У] бесконечно, а поле rjpv конечно, этот
идеал не может равняться {0} и, следовательно, является идеалом
л -Fq [71, порожденным в Fg [7] некоторым простым многочленом л.
Поэтому | л |„ < 1 и | а |„ = 1 для каждого многочлена а из
Fq [7], взаимно простого с л. Каждое £ С kx можно записать в виде
| = ппа/а', где п Е Z, а и, а' — многочлены из Fq [7], взаимно
простые с л. При этом | | |„ = | л |”. В частности, % принадлежит г,,
тогда и только тогда, когда п 0, т. е. когда его можно записать
в виде | = р/и, где и, Р — многочлены из Fg [7], причем а взаимно
прост с л. Так как Fg (Т) плотно в kv, области значений, принимае-
мых функцией | х |в на Fg (7) и на kv, совпадают между собой.
Отсюда следует, что л — простой элемент поля kv. Пусть теперь
S — степень многочлена л. Образ кольца Fg [7] в rviр„ изоморфен
полю Fg [ТЧ/л-Fg [7], которое есть расширение поля Fg степени ё
и состоит потому из q6 элементов. Ясно, что образ каждого эле-
мента кольца П Fg (7) должен принадлежать этому же полю,
которое, поскольку Fg (Т) плотно в kv, является не чем иным,
как полем rjpv. Это показывает, что модуль поля kv равен q6
и | л |„ = q~6. Таким образом, функция | £ |„ на поле k однозначно
определяется заданием л, так что при заданном л существует
самое большее одна точка v поля k, свойства которой мы только что
описали. Предположим теперь, что | Т |0 > 1. Тогда | |„ < 1,
и можно поступить точно так же, как и выше, заменив Fg [7] на
Fg [7-1] и л на 7-1. Легко видеть, что если £ = p/и, где многочле-
ны Р и а из Fg [7] отличны от нуля и имеют степени соответственно
b и а, то | = <7ь~а. Теперь ясно, что если л — простой много-
член, то | л |0 не может быть <1, за исключением точки V, описан-
ной выше (если таковая существует), и что то же самое верно для
7-1. Докажем существование таких точек. Разберем сначала случай
л = 7. Кольцо Fg [7] можно в этом случае вложить очевидным
образом в кольцо формальных степенных рядов 2 аг^г с коэф-
о
фициентами из Fg. Ясно, что, расширяя это вложение на соответ-
ствующие поля, можно получить точку поля k, отвечающую много-
члену л = 7. Заменяя 7 на 7-1, видим, что то же самое верно для
7-1. Возьмем теперь какой-нибудь простой многочлен л степени ё.
Поле Fg (7) содержит Fq (л) и алгебраично над ним. Его степень d
над Fg (л) не превосходит ё. Как мы только что доказали, в Fg (л)
существует точка w, для которой | л | w = q"1. В силу теоремы 1
поле Fg (7) имеет точку v, лежащую над w. По следствию 2 теор. 3
гл. 1-2 имеем | л |0 = | л | ^ = q~d. Это завершает доказательство,
показывая одновременно, что d>= ё.
§ 1. А-ПОЛЯ И ИХ ПОПОЛНЕНИЯ
79
Следствие. В обозначениях теоремы 2 пусть v — точка
поля k, соответствующая простому многочлену я степени б. Тогда
многочлены степени из Fg [TJ образуют полную систему пред-
ставителей классов смежности кольца гъ по модулю идеала ръ.
Это сразу следует из доказанного выше и из того факта, что эти
многочлены образуют полную систему представителей классов
кольца Fq [71 по модулю л.
Условимся, начиная с этого места, говорить, что свойство,
относящееся к точке некоторого A-поля, выполняется почти для
всех (или для почти всех) точек из k (или выполняется почти всюду,
в случае когда последнее выражение не может привести к недора-
зумениям), если оно верно для всех точек, кроме, быть может,
конечного числа. Это соглашение используется, например, в фор-
мулировке нашего следующего результата.
Теорема 3. Пусть k — некоторое А-поле и | — какой-
нибудь его элемент. Тогда | £ |„ 1 почти для всех точек поля k.
Если k = Q, то это очевидно, ибо в этом случае Ъ, можно запи-
сать в виде а/b, где а, b — элементы из Z, причем b =£ 0 и | £ 1
для всех простых р, не делящих Ь. Пусть теперь k — какое-нибудь
A-поле характеристики 0, т. е. поле алгебраических чисел. Тогда
£ удовлетворяет уравнению
+ a^n-i + . . . + ап = о,
коэффициенты которого at принадлежат Q. Пусть Р — конечное
множество, состоящее из оо и всех простых чисел, встречающихся
в знаменателях чисел аг. По теореме 1 множество Р' точек поля k,
лежащих над точками из Р, конечно. Выберем какую-нибудь
точку v поля k, не принадлежащую Р'. Тогда точка р поля Q,
лежащая под v, не принадлежит Р и, следовательно, | а( 1
для 1 i п. Таким образом, | — целый элемент над Zp. Ввиду
предложения 6 гл. 1-4 отсюда следует, что В находится в rv,
т. е. | 1- Что касается А-полей характеристики р> 1,
то к ним применимо аналогичное доказательство. Можно рассуж-
дать и следующим образом. Если элемент £ алгебраичен над простым
полем, то | 5 I» = 1 или 0 для всех v в соответствии с тем, отличен
элемент | от нуля или нет. Действительно, если это не так, то
k алгебраично над Fp (£). Пусть v — точка поля k и w — точка
из Fp Q), лежащая под ней. В силу следствия 2 теор. 3 гл. 1-2
I В |в > 1 тогда и только тогда, когда | | I w> 1. По теореме 2
поле Fp (£) имеет только одну точку с таким свойством. Примене-
ние теоремы 1 завершает доказательство.
ГЛ. III. ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ
80
Следствие 1. Пусть Е — конечномерное векторное про-
странство над А-полем k и е, е' — два конечных подмножества в Е,
содержащих базисы этого пространства. Положим Е„ = Е ® h kv
для каждой конечной точки о поля k и через е0 и е(, обозначим г „-моду-
ли, порожденные в Ео соответственно г и е'. Тогда ев = е,,- почти
для всех и.
Здесь, как и всюду далее в подобных ситуациях, мы будем
рассматривать Е как вложенное в Е„ с помощью вложения
е~^е ® lhj!. Положим е = {et, . . ., ег} и s' = {ej, . . ., еД.
Поскольку е содержит базис пространства Е над k, е] можно запи-
сать (вообще говоря, неоднозначно) в виде e’j = 2 с^е^ 1 j s,
с коэффициентами Сц из k. Поэтому е(, сд е0 всякий раз, когда все
| Сц |D 1, следовательно, почти для всех и. Меняя местами е
и е', получаем утверждение нашего следствия.
Следствие 2. Пусть — конечномерная алгебра над
N-полем k, а — ее конечное подмножество, содержащее какой-нибудь
базис алгебры над k. Положим = Л ® h k„ для ка дой конеч-
ной точки v поля k и через ав обозначим г„-модуль, порожденный
множеством а в Тогда почти для всех v а„ — компактное под-
кольцо алгебры
Положим а = {<21, . . ., аг} и а'= {1, а1; . . ., аг}. Так как
а содержит базис алгебры А над k, можно написать а,а^ =
= 2 Cijhah, 1 I, г, где коэффициенты cijh £ k. Следователь-
но, является подкольцом в еелтГ^се-фСг/п I» 1, т. е. почти
для всех V. Очевидно, оно компактно, и а„ = а„ почти для всех v.
§ 2. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КОММУТАТИВНЫХ
ПОЛЕЙ
Доказательство теоремы 1 дает для A-поля k и его конечного
алгебраического расширения k' конструкцию точек поля k', лежа-
щих над заданной точкой поля k. Наряду с этой конструкцией
рассмотрим еще одну, основанную на использовании тензорного
произведения k' ®kkv. Для простоты ограничимся случаем, когда
поле k' сепарабельно над k. Этого достаточно для наших целей
в силу следующей леммы.
Лемма 1. Каждое A-поле характеристики р 1 изоморфно
некоторому сепарабельному алгебраическому расширению конечной
степени поля Fp (Л-
Пусть k — такое поле. Представим его в виде Fp (xlt . . ., Xn),
где по меньшей мере одно из xit например Xi, трансцендентно над
§ 2. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КОММУТАТИВНЫХ ПОЛЕЙ
81
Fp. Докажем индукцией по N, что существует хг, такое, что k сепа-
рабельно над Fp (х;). Это очевидно, если N = 1, а также если
х2, • • • , Хя все алгебраичны над Fp, ибо в этом случае они сепара-
бельны над Fp по теореме 2 гл. 1-1 и, значит, поле k сепарабельно
над Fp (xi). Если же это не так, то по предположению индукции
при некотором i 2 поле Fp (х2, - • хя) сепарабельно над
некоторым Fp (хг), скажем над Fp (х2), так что само k сепарабельно
над Fp (х1; х2)- Поскольку k имеет над Fp степень трансцендентно-
сти 1, в кольце Fp [Xi, Х21 существует неприводимый многочлен Ф,
для которого Ф (Xi, х2) — 0. Многочлен Ф не является многочленом
вида Ф'₽, где Ф' Е Fp [Xit Х21; а так как каждый элемент а из
Fp удовлетворяет уравнению ар = а, то это можно выразить,
сказав, что Ф содержит по меньшей мере один член вида <хХа-
• Х%, где а^Оиа или b взаимно просто с р. Пусть для определенно-
сти а взаимно просто с р. Тогда Xi сепарабельно над Fp (х2), так что
k также сепарабельно над Fp (х2).
В оставшейся части этого параграфа будут изучаться чисто
алгебраические свойства тензорных произведений вида k' X,
где k — произвольное поле, k' — его сепарабельное алгебраиче-
ское расширение конечной степени и К — некоторое поле, содер-
жащее Л. В § 4 эта теория будет применяться к случаю, когда
k есть A-поле, а К — его пополнение. Но сначала получим ответ
на один технический вопрос.
Лемма 2. Если коммутативное кольцо В может быть пред-
ставлено в виде прямой суммы полей, то это можно сделать только
одним способом. При этом гомоморфизм кольца В в поле должен
равняться нулю на всех слагаемых, кроме одного.
Пусть В — прямая сумма полей Kt, • -, Кг- Положим et =
= lKi. Тогда Kt = etB и 1в = 2 et является единичным элемен-
том в В. Ясно, что решения в В уравнения X2 = X («идемпотенты»
кольца В) будут частичными суммами для 2 ер, поэтому е, одно-
значно характеризуются среди решений уравнения X2 = X тем,
что их нельзя представить в виде е + е', где е, е’ — решения,
отличные от нуля. Если f — гомоморфизм кольца В в поле К'>
то он должен переводить каждое ег в решение уравнения X2 = X
в поле К', т. е. в 1 или в 0. Если f (ег) = 1, то f (е,) = 0 для всех
j =4= i, ибо е^ = 0 при i =^= j. Отсюда следует, что f равно нулю на
на Кр
Предложение 2. Пусть k — поле, k' = k (£) — его сепа-
рабельное расширение, порожденное корнем £ неприводимого унитар-
ного многочлена F степени п из k [X]. Пусть К — поле, содержащее
ГЛ. III. ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ
82
k, и Fi, . . ., Fr — неприводимые унитарные многочлены из К IX],
такие, что F = Fi . . . Fr. Для каждого i обозначим через
какой-нибудь корень многочлена Ft в некотором расширении поля Д.
Тогда алгебра А — k' Д над Д изоморфна прямой сумме полей
к о
Так как k' сепарабельно над k, то F не имеет кратных корней
ни в одном расширении поля k, так что все Ft различны. Обозначим
через р ^-линейный гомоморфизм кольца k [X] на поле k', с ядром
F-k [X], переводящий X в Его можно однозначно продолжить
до Х-линейного гомоморфизма р' кольца Д [X] на А, с ядром
F -k [X], определяющего изоморфизм кольца А' = Д [X]/F-Д [X]
на А. Покажем теперь, что алгебра А' изоморфна прямой сумме В
алгебр В, = Д [X1/F, -Д [X] над Д; а так как последние изо-
морфны полям из формулировки предложения, то доказательство
тем самым будет завершено. Пусть f — произвольный элемент
из Д [XI; обозначим через f его образ в А , а через Д — его образы
в кольцах В,. Очевидно, что каждый элемент ft однозначно опреде-
ляется элементом /, так что отображение f (Д, . . ., fr) является
гомоморфизмом ф из А' в В. Хорошо известно (и легко доказывается
индукцией по г), что, поскольку F t взаимно просты, существуют
многочлены рь . . ., рТ из Д [X], такие, что F-1 = 2 PtF?1-
Отсюда следует, что для всех i и всех / =Д i
PiF^P 0 (Fj). (1)
Возьмем в кольце Д[Х] г многочленов Д, . . ., fr и для каждого i
обозначим через образ многочлена /г в Вг. Положим f =
— 2 PiFpiFfi и обозначим через / образ f в А'. Элемент f одно-
значно определяется набором Д, так что (Д, . . ., fr) -> f есть
отображение ф из В в А'. Ясно, что отображение ф ° <р тождественно
на А'; как показывает (1), ф °ф также тождественно на В. Следова-
тельно, ф — изоморфизм кольца А' на В.
Пусть k, k' и Д таковы, как в предложении 2. Ясно, что изо-
морфизм X из k' в расширение Д' поля Д индуцирует тождествен-
ный морфизм на k в том и только том случае, когда он Л-линеен.
Такой изоморфизм называется собственным над Д, если Д' порож-
дается над Д множеством % (Д), а пара (%, Д') называется соб-
ственным вложением k' над Д. Два таких вложения (X, Д')
и (%', Д") называются эквивалентными, если найдется /(-линейный
изоморфизм р поля Д' на Д", такой, что Д = р ° X. Отметим, что
эти понятия являются теми алгебраическими понятиями, которые
лежат в основе определения 2 и предложения 1 из § 1.
§ 2. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КОММУТАТИВНЫХ ПОЛЕЙ
83
Предложение 3. Пусть k — поле, k' — его сепарабельное
алгебраическое расширение конечной степени п, К — поле, содержа-
щее k, и пусть А = k' 0 h К- Тогда с точностью до эквивалентности
существует только конечное число собственных над К вложений
Хг), 1 г> поля k'. Сумма степеней полей Hi над К равна п.
Отображение (М, -, Ю поля k' в прямую сумму В полей Kt
является k-линейным изоморфизмом из k' в В, а его К-линейное
расширение <р на алгебру А является изоморфизмом А на В.
Пусть k' = k (£) и F — неприводимый унитарный многочлен
из кольца k [X], имеющий корнем Применим к k, k', В, F и К
предложение 2. Получим, что существует Х-линейный изоморфизм <р
алгебры А на некоторую прямую сумму В полей Ki- Обозначим
для каждого i через проекцию из В в Кб тогда ц, = ₽г ° <р будет
Х-линейным изоморфизмом алгебры А на Ki, индуцирующим на
поле k' Хлинейный изоморфизм X в Ki- Очевидно, есть Х-линей-
ное продолжение морфизма X на Л, так что отображение <р, или,
что то же самое, (рь . . ., цг), является Х-линейным расширением
морфизма (X, . . ., X) на А. Если вложение X не собственно над X,
то должно существовать поле К" Кь промежуточное между X
и Ki и такое, что X отображает k' в X"; цг отображает потому А
в К", но не на Kt- Пусть теперь % — какой-нибудь Хлинейный
изоморфизм поля k' в поле К', содержащее К, и ц — его Х-линей-
ное продолжение на алгебру А. Очевидно, ц является гомоморфиз-
мом из Л в К', так что ц ° qr1 — гомоморфизм из В в К'- В силу
леммы 2 он равен нулю на всех, кроме одного, слагаемых Ki коль-
ца В и, следовательно, может быть записан как о ° рг, где о —
некоторый Х-линейный гомоморфизм поля Kt в К'- Поскольку это
поле, а гомоморфизм о не равен нулю, он должен быть изоморфиз-
мом поля Kt на его образ Kt в К'- Это дает ц = о ° цг, значит
% == о о X- Если Ki #= К', то морфизм X, переводящий k' в К'г,
несобствен; следовательно, если Z собствен, то о — изоморфизм
поля Ki на X', так что вложения (%, X') и (%г, Ki) эквивалентны.
Наконец, если мы имеем в тоже время X = и' о X, где / =/= i и о' —
изоморфизм из Kj в К', то ц = о' ° следовательно, ц ° <р-1 =
= о' ° Р;, и р, ° ф-1 должно быть на Kj отлично от нуля. В частно-
сти, если % собствен, то (Z, К') эквивалентно не более чем одному
из вложений (X, Хг); это означает, что все эти вложения неэкви-
валентны, чем и заканчивается доказательство.
Следствие 1. Пусть в тех же обозначениях, что и выше,
% — произвольный k-линейный изоморфизм из поля k' в поле К',
содержащее К- Тогда существуют такое единственное i и такой
единственный изоморфизм о из Ki в К', что % = о ° 1г.
ГЛ. III. ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ
84
Это уже доказано выше. Это является также непосредственным
следствием предложения 3 и того факта, что для подполя К" в К',
порожденного над К. множеством % (k'), (1, К") есть собственное
вложение поля k' над К и, значит, эквивалентно одному из вложе-
ний (%г, Kt)-
Следствие 2. В тех же обозначениях, что и выше, пред-
положим, что k' есть расширение Галуа поля k с группой Галуа G.
Пусть (А, К') — произвольное собственное вложение поля k' над К-
Тогда К' будет расширением Галуа поля К и для каждого автомор-
физма р поля К над К найдется единственное <т EG, такое, что
р ° % = % ° ст. Соответствие р —> <т является изоморфизмом группы
Галуа поля К над К на некоторую подгруппу Н группы G. Все соб-
ственные вложения поля k' над К имеют, с точностью до эквива-
лентности, вид (% ° <т, К,’), еде о 6 G; если о, о' Е G, то вложения
(А ° ст', К') и (^°о, К) эквивалентны тогда и только тогда, когда
о' Е Но.
Ясно, что Т (kr) есть расширение Галуа поля k, а так как К'
порождено над К множеством % (k'), то К' есть расширение Галуа
поля К и ограничение на Т (k') автоморфизмов поля К' над К
определяет инъективное отображение группы Галуа поля К'
над К в соответствующую группу поля А (Л') над k. Но это равно-
сильно первой части нашего следствия. Для любого о Е G вложе-
ние (Л ° о, К') является, очевидно, собственным вложением поля k'
над К- Если о, о' принадлежат G, то (% ° о', К) и (% ° о, К) экви-
валентны в том и только в том случае, когда существует автомор-
физм р поля К' над К, такой, что Ь а' = р «А о и, т. е. р ° 1 =
= X ° (ст' ° ст-1). Последнее выполняется в том и только в том случае,
когда о' ° о-1 принадлежит Н. Таким образом, число неэквивалент-
ных собственных вложений такого вида равно индексу группы Н
в G, т. е. п/п', где п, п' — степени соответственно поля k' над k
и поля К' над К- Ввиду предложения 3 для любого множества
неэквивалентных собственных вложений (%г, /Сг) поля k’ над К
сумма степеней полей Kt над К не должна превосходить п. Итак,
с точностью до эквивалентности, каждое вложение указанного типа
имеет вид (X о о, /<').
Полезен тот частный случай следствия 2, когда k’ есть подполе
в К', порождающее К' над К- Тогда в качестве % можно взять
тождественное отображение; собственные вложения поля k' над К
будут иметь вид (о, К'), где о Е G, а отображение р-> о группы
Галуа поля К' над К в группу поля k' над k будет ограничением
на k' автоморфизмов поля К' над К-
§ 3. СЛЕДЫ И НОРМЫ
85
Следствие 3. Пусть k и k' таковы, как в предложении 3,
и пусть К. — алгебраически замкнутое или сепарабельно алгебраи-
чески замкнутое поле, содержащее k. Тогда существует п, но не
более чем п, различных k-линейных изоморфизмов %i, . . ., %п из k'
в К- Они линейно независимы над К., и если Г, %' — любые два из них,
а К — алгебраическое замыкание поля k, то найдется автоморфизм ос
поля К, для которого V = <х «X.
Поле К называется сепарабельно алгебраически замкнутым,
если у него нет сепарабельных алгебраических расширений, отлич-
ных от него самого. Первое очевидное утверждение нашего след-
ствия включено в него для удобства ссылок, а также как иллю-
страция предложения 3, частным случаем которого оно является.
В самом деле, если К. таково, как в следствии, то все K.i из этого
предложения должны совпадать с К- Второе утверждение (пред-
ставляющее собой хорошо известную теорему Дедекинда, легко
доказываемую и непосредственно) можно извлечь из предложения 3
следующим образом. Предположим, что S = 0 для некоторых
Ci Е К, 1 i т- е- что S сДг- (£) = 0 для всех £ Е k'. Вводя
цг и так же, как и в доказательстве предложения 3, находим,
что S сгцг = 0 и, значит, S = 0, что, очевидно, возможно,
только если все равны нулю. Из единственности, с точностью до
изоморфизма, алгебраического замыкания поля k следует, что
каждое %г- продолжается до изоморфизма алгебраического замыка-
ния k поля k' на К- Отсюда немедленно вытекает последнее утверж-
дение следствия, включенное в его формулировку также для удоб-
ства ссылок.
Следствие 4. В предположениях и обозначениях след-
ствия 3 предположим еще, что k' есть расширение Галуа над k.
Тогда все Хг отображают k' на одно и то же подполе в К-
Это вытекает из следствия 2.
§ 3. СЛЕДЫ И НОРМЫ
Напомним сначала понятие полиномиального отображения.
Пусть Е, Е' — векторные пространства конечной размерности над
полем k, имеющим бесконечное число элементов, и пусть е =
= {elt . . ., еп} и е' = {e'i, , е’т} — их базисы над полем k.
Отображение f из Е в Е' называется полиномиальным, если в кольце
k [Xi, . . ., Хп] найдутся такие многочлены Pj, что для всех значе-
ний Xi из k
f (S Xtf-i) = S Pj (^1, • * •, %n)
i j
ГЛ. III. ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ
86
Ясно, что это определение не зависит от выбора базисов s, s'. Далее,
поскольку в k бесконечно много элементов, многочлены Pj одно-
значно определяются по f, 8 и е'. Если Е' = k, то f называется
полиномиальной функцией-, степень соответствующего многочлена Р
не зависит от выбора е и называется степенью f. Если А) — про-
извольное поле, содержащее k, и Ек — Е Е’к= Е' К,
то существует одно и только одно полиномиальное отображение
из Ек в Е'к, совпадающее с f на Е. Оно называется продолжением
отображения f на Ек и Е'к (или, короче, на Д’) и обозначается
по-прежнему через /. Это продолжение задается, по отношению
к базисам 8, е' пространств Е к, Е'к над К., теми же многочленами,
что и раньше.
Пусть Е такое же, как и выше. Обозначим через End (Е) кольцо
его эндоморфизмов, рассматриваемое как алгебра над k. Для
а Е End Е через tr (а) и det (а) обозначаются соответственно след
и определитель а. Первый является линейной формой, а послед-
ний —’полиномиальной функцией (степень которой равна размер-
ности пространства F) на пространстве End (Е), рассматриваемом
как векторное пространство над k.
Пусть теперь Pt — алгебра конечной размерности над Л; как
всегда, мы предполагаем, что у нее есть единичный элемент 1.
Для каждого а Е Pt обозначим через р {а) эндоморфизм х -> ах
алгебры Pt, рассматриваемой как векторное пространство над
полем k. Обозначая через End {Pl) алгебру всех эндоморфизмов
этого векторного пространства, мы можем рассматривать р как
гомоморфизм из Л в End {Pl). Этот гомоморифзм известен под
названием регулярного представления алгебры Р1-, поскольку Jt
имеет единицу, он является изоморфизмом Pt на некоторую под-
алгебру в End {Pt). След и определитель отображения р называются
регулярным следом и регулярной нормой в алгебре Pt над k и обо-
значаются соответственно через Тг^д и или (если не может
возникнуть недоразумений) просто Тг и N. Регулярный след есть
линейная форма на Pt, рассматриваемом как векторное пространство
над k, а регулярная норма есть полиномиальная функция степени,
равной размерности РЬ над k. Если К. — поле, содержащее k,
и А расширено над К до алгебры PtK = Pt Д, то регулярный
след и регулярная норма в алгебре PtK над К. являются соответ-
ственно продолжениями Тг^д и на PlK и обозначаются по-
прежнему через Tr^/k и N.^/ft.B случае когда А есть поле k' конеч-
ной степени над k, слово «регулярный», как правило, опускается
и Trft'/k и называются соответственно следом и нормой в поле k'
над k. Посмотрим теперь, как эти понятия применяются в ситуации,
описанной в § 2.
§ 3. СЛЕДЫ И НОРМЫ
87
Предложение 4. Пусть k — поле, k' — его сепарабельное
алгебраическое расширение конечной, степени пи К — поле, содержа-
щее k. Положим А = k' ®k К, и пусть (Хг, — макси-
мальное множество неэквивалентных собственных вложений поля k'
над К и для каждого i рг- суть К-линейные продолжения на А.
Тогда для всех а Е А
Г г
Trft7fe (а) = 3 Тгк /к (цг (a)), Nft7ft (а) = [J Nk /к (цг (а)).
1=1 г 1=1 1
Действительно, пусть обозначения будут те же, что использо-
вавшиеся в предложении 3 § 2 и в его доказательстве. Положим
b = <р (а). Для каждого i проекция элемента b на Кг равна 0г (&) =
= (а). Поэтому Тгй7й (а) и Nft7ft (а) являются следом и опре-
делителем отображения у by, рассматриваемого как эндоморфизм
алгебры В. Выбирая в В базис, являющийся объединением базисов
пространств Ki над К, получаем формулы предложения 4.
Следствие 1. Если k и k' таковы, как в предложении 4,
то k-линейная^ форма Тгй7й на k' отлична от нуля.
Выберем в предложении 4 в качестве К алгебраически замкнутое
поле, содержащее К, тогда Кг = К для всех i, а из предложения 4
вытекает, что Тгй7й (а) = S а; (а). В тех же обозначениях, что
и прежде, положим b = <р (а), так что (Ь) = ц,- (а). Поскольку
проекции (Ь) элемента b на слагаемые кольца В можно выбирать
произвольно, выберем их так, чтобы Тгй7й (а) не равнялся нулю.
Так как форма Тгй7й на А является продолжением на A k-линейной
формы Тгй7й на k', а последняя не равна нулю, то и первая не рав-
на нулю.
Следствие 2. В обозначениях и предположениях предложе-
ния 4 имеем для всех х й k'
Тгй7й (х) = 2 Tr/f./л- (kt (х)); N*7ft (х) = ЦNg-./# (Хг- (х)).
Следствие 3. Пусть k, k' такие же, как в предложении 4,
К — алгебраически замкнутое поле, содержащее k, и hi, . . ., —
различные k-линейные изоморфизмы из k' в поле К- Тогда для всех
х £ k'
Тгй7й (х) = 2 (*)> Nv/ft (х) = Ц U (*)•
Это сразу следует из предложения 4 и следствия 3 предл. 3 § 2.
ГЛ. III. ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ
88
Следствие 4. Пусть k, k' таковы, как в предложении 4,
и k" — сепарабельное алгебраическое расширение поля k', имеющее
конечную степень. Тогда
= Тгй«/а' °Тг&'/й, Nfe-'/ft = Nft''/й- ° Nft'/ft.
Возьмем в качестве К алгебраическое замыкание поля k" и опре-
делим %г, как в следствии 3. Обозначим через п' степень поля k"
над k' и через 1 <2 / <; п', различные Л'-линейные изоморфизмы
поля k" в К. Каждое Д- продолжается до автоморифзма <рг- поля К.
Положим Zi, = <р; о при 1 t <2 п, 1 п'; мы получим
Л-линейные изоморфизмы из k” в К- Ясно, что если 1'^ = Цг, то
i = h, ибо индуцирует на k' отображение Лг, и/=/, ибо ср?1 °Л{'3-=Лу.
Далее, если 1" — произвольный Л-линейный изоморфизм из
k" в К, то он должен индуцировать на k' один из изоморфизмов %г,
следовательно, отображение ср Г1 ° Л" Л'-линейно и, значит, должно
совпадать с одним из Таким образом, X" = 1^-. Следствие 3
дает теперь для х Е k"
Trft7ft (%) = 2 x-j (%) = 2 ч>/ (2 (*)) =
г, j г
= 2 Фг (Ti>7ft- (х)) = 2 (Тгй-7й< (х)) = Trft7ft (Tr^/v (х)),
i i
чем доказано наше первое утверждение. Формулу для нормы можно
вывести в точности тем же способом.
Для полноты рассмотрим вкратце след и норму в несепарабель-
ных расширениях. Пусть k'— произвольное алгебраическое рас-
ширение поля k конечной степени. Как хорошо известно, оно
содержит единственное максимальное сепарабельное подрасшире-
ние Ло, над которым оно чисто несепарабельно. Пусть q = рт —
степень поля k' над Л6, где р — характеристика. Легко видеть, что
xq ЕЛ' при всех х ЕЛ'. Выберем какой-нибудь базис {2ц, . . .,
поля Л' над Ло и элемент а Е Л'. Как векторное пространство над Л
поле Л' есть прямая сумма подпространств £гЛо, 1 i <1 q, которые
инвариантны относительно отображения х-> aqx, поскольку aq Е Ло.
Следовательно,
откуда сразу вытекает, что
Nft7ft(a) = N^((a’).
Обозначим через п0 степень поля Л'о над Л, так что степень Л' над Л
равна п = noq. Если К. — алгебраически замкнутое поле, содержа-
щее Л, то каждый Л-линейный изоморфизм из Ло в К. может быть
§ 3. СЛЕДЫ И НОРМЫ
89
однозначно продолжен до отображения из k' в К- В силу след-
ствия 3 предл. 3 § 2 существует п0 таких изоморфизмов %г, 1 i -С
п0, и, комбинируя приведенную выше формулу для Nft7ft со
следствием 3 предл. 4 (примененным к k'o и k), получаем
= Wn/n°
г
при всех х 6 k'. Пусть теперь k" — произвольное конечное расши-
рение поля k'. Поступая так же, как и при доказательстве след-
ствия 4 предл. 4, находим, что снова
Таким образом, это соотношение выполняется независимо от того,
сепарабельны поля k' и k" над k или нет.
Что касается следа, то из элементарных свойств определителя
и определения следа и нормы следует, что для произвольной алгебры
Л над k Tr^/ft (х) как линейная форма на Л является суммой членов
степени 1 в представлении полиномиальной функции N^/ft (1 + х)
как многочлена от координат точки х € Л в некотором базисе
алгебры Л. Применяя это к нашей ситуации, находим, что
Trft7ft (х) есть сумма членов степени 1 в многочлене Nft7ft (1 + х).
А поскольку последний равен N^/fe (1 + х9), то Trft7ft (х) содержит
только члены, степень которых кратна q. Это показывает, что
= 0 при 1. Таким образом, в силу следствия 1 предл. 4
Trft7ft =/= 0 тогда и только тогда, когда k' сепарабельно над k.
П р едложение 5. Пусть k' — сепарабельное алгебраиче-
ское расширение степени п поля k и {ai, . . ап} —-его базис над k.
Тогда определитель матрицы
(Тг^'/й. (о^йу))1 /
не равен 0.
В силу следствия 1 предл. 4 это частный случай следующей
леммы, которая нам еще понадобится.
Лемма 3. Пусть k' — произвольное расширение степени п
поля k,E— векторное пространство над k, «.несущее» k', и X —
какая-нибудь отличная от нуля линейная форма на Е. Тогда ото-
бражение (х, у) -> 1 (ху) является невырожденной билинейной фор-
мой на Е х Е; пространство Е можно отождествить с его алгебраи-
ческим двойственным Е', положив [х, у] = к {ху)-, определитель-
матрицы (% {ataj)) отличен от нуля для любого базиса а^, . . ., ап
поля k' над k.
ГЛ. III. ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ
90
Так как % не равно нулю, существует такое а 6 k', что % (а) =£ 0.
Для каждого у £ k' построим Л-линейную форму ку на k', положив
Ку (х) = %(%?/), х 6 k'. Отображение у-+Ку является морфизмом
из £ в его двойственное Е'. Ядро этого морфизма равно нулю, ибо
у 0 влечет Ку (ау1) 0, т. е. ку =£= 0. А так как Е и Е' имеют
над k одинаковую размерность, видим, что у -> Ку — это изомор-
физм Е на Е'. Отождествляя Е и Е' с помощью этого изоморфизма,
получаем [х, у] = X (ху). Но по определению это означает невырож-
денность формы (х, у) —>• % (ху). Наконец, если бы определитель
матрицы (% (ага7)) был равен нулю, то в поле k можно было бы
найти такие элементы у^......уп, не все равные нулю, что
2 (йга7-) у, ~ 0, так что, полагая у = УУо мы находим, что
i i
Ку (at) — 0 для всех г, и, значит, Ку = 0, что противоречит дока-
занному выше.
§ 4. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ А-ПОЛЕЙ
И ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
Пусть k — некоторое A-поле, k' — его сепарабельное расшире-
ние, v — точка и kv — пополнение в этой точке. В силу предложе-
ния 1 § 1 и его следствия пополнения (%, Д') поля k', индуцирующие
на k его естественное вложение в k„, совпадают с собственными
вложениями поля £ над k„, введенными в § 2. Мы можем, следова-
телыю,йспользовать предложения 2 и 3 из § 2 для определения
точек/поля k', лежащих над и. Этим мы сейчас и займемся.
Теорема 4. Пусть k — некоторое Д-поле, k' — его сепа-
рабельное алгебраическое расширение конечной степени н и ос —
базис над k. Для каждой точки v поля k обозначим через k„ попол-
нение поля k в v и положим. А„ = k' ®kk„. Далее, для всякой конеч-
ной точки v обозначим через г„ максимальное компактное подкольцо
в kB и через ос„ обозначим г „-модуль, порожденный множеством а
в Ав. Пусть Wi, . . wr — точки поля k', лежащие над у; k'i —
пополнения поля k' в точках wir —естественные проекции из k'
в k'i и р, — их k„-линейные продолжения на А„. Тогда отображение
Фр = (Нь • • •, Иг) является изоморфизмом алгебры А„ на прямую
сумму Вв полей k'i и почти для всех v отображает а„ на сумму макси-
мальных компактных подколец r'i полей k'i.
Если в предложении 3 § 2 положить Д — k„, то первое утверж-
дение превращается в частный случай этого предложения. Коротко,
но несколько вольно это можно выразить, сказав, что пополнения
Jz'i поля k' в точках, лежащих над v, суть слагаемые алгебры k' ® kkB,
§ 4. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ А-ПОЛЕЙ И ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
91
представленной в виде прямой суммы полей. Возьмем теперь в каче-
стве v произвольную конечную точку поля k. Как легко видеть,
сумма колец г{ есть максимальное компактное подкольцо в Вв, а его
образ р„ относительно Фк1 есть, следовательно, максимальное ком-
пактное подкольцо в Ав. Нам нужно показать, что почти для всех v
оно совпадает с а„. Но р0 является ^„-решеткой в Ав, ибо каждое
содержит г0. По теореме 1 гл. П-2 найдется такой базис
{«„,1, . . ., иВ:П} алгебры Ав над&„, что р0 будет /-^-модулем, порож-
денным этим базисом. По следствию 2 теор. 3 § 1 — компактное
подкольцо в Av, содержащееся поэтому в рв почти для всех и. Обо-
значим через Р конечное множество точек поля k, для которых это
не так. Если а = {а1г . . ап}, то для точек v, не содержащихся
в Р, ав принадлежит рв и можно написать at = 2 cVtijUpt}, где
Cv,a trv Матрица Св = (сВ:и) принадлежит, следовательно, коль-
цу А1П (г»), и ав = рв в том и только в том случае, когда эта матри-
ца обратима в Мп (с>), т- е- когда ее определитель обратим в г„.
Сокращая теперь запись Тгь'/ь до Тг, обозначим через А опреде-
литель матрицы
М = (Тг (ага/))1^г,^п-
Этот определитель лежит в k и в силу предложения 5 § 3 не равен
нулю. Применяя к А и А"1 теорему 3 § 1, видим, что | А |0 = 1
почти для всех v. С другой стороны, если и — произвольный эле-
мент из Ав, то Тг (и) является следом отображения х-> их алгеб-
ры Ав. Записав и -uV:i =2 d^Upj, гДе du^kp и 1 i, j п,
получим Тг («) =2 da. Так как рь. — кольцо, то при и 6 р0 все
da находятся в г„. Это показывает, что Тг переводит рв в гв. Следо-
вательно, если мы обозначим через NB матрицу (Тг (иВг1 uBtj)),
то NB принадлежит Мп (гв). Подставляя в матрицу М вместо а(
выражение 2 получаем М = CVNV‘CB, откуда А =
= det (NB) det (Св)“. Здесь NB лежит в Мп (гв), равно как и Со
при v $ Р, и почти для всех v | А |„ = 1. Отсюда, очевидно,
следует, что | det (Св) |г = 1 почти для всех v, что и требовалось
доказать.
В гл. VIII будет показано, что теорема 4 остается справедливой,
даже если поле k' не предполагается сепарабельным над k.
Следствие 1. В предположениях и обозначениях теоремы 4
сумма степеней над kB пополнений ki поля k' в точках, лежащих
над v, равна степени п поля k' над k.
В самом деле, эта сумма равна размерности Вв над k„, а раз-
мерность Ав над kv есть п.
ГЛ. III. ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ
92
Следствие 2. Пусть k — алгебраическое расширение сте-
пени п поля Q. Обозначим через Г\ число его вещественных точек
и через г2 — число мнимых. Тогда ri + 2г2 — п.
Для доказательства достаточно в следствии 1 заменить k, k', и
на Q, k, оо.
Следствие 3. В обозначениях и предположениях теоремы 4
продолжения Тгь-/ь и на А„ задаются формулами
Trft7k(x) = 2Trfe;/ft (нг(х)), (х) = [](цДх)).
Это сразу следует из предложения 4 § 3, примененного к ситуа-
ции, описываемой теоремой 4.
Следствие 4. В предположениях и обозначениях теоремы 4
допустим еще, что k' есть расширение Галуа поля k с группой
Галуа G. Пусть w — одна из точек Wt поля k'. Тогда пополнение k’w
поля k' в точке w будет расширением Галуа над kv\ ограничение
наТГ группы Галуа Н поля k'w над kv определяет изоморфизм этой
группы на подгруппу в G, состоящую из автоморфизмов, оставляю-
щих точку w на месте. Точки wt суть образы точки w относитель-
но G, и все поля k'i изоморфны полю k'w
Пусть А — такое изоморфное вложение поля k' в локальное
поле К, что A ik') плотно в К- Это вложение задает по определению
точку поля k’, и ее образ относительно автоморфизма о поля kr
можно рассматривать как точку, определенную вложением А ° ст.
Применяя следствие 2 предл. 3 § 2 к естественному вложению
поля k' в k'w и учитывая теорему 4, получаем наше утверждение.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
АДЕЛИ
§ 1. АДЕЛИ А-ПОЛЕЙ
Повсюду в этой главе через k будет обозначаться некоторое
A-поле. Если v — точка поля k, то через kv будет обозначаться
пополнение поля k относительно v. Если v — конечная точка поля
k, то мы обозначаем через г„ максимальное компактное подкольцо
в ki: и через pv максимальный идеал в г„; эти подмножества в kv
определяются соответственно условиям |х|0-<1 и | х |0 < 1.
Мы обозначаем далее через множество всех бесконечных точек
поля k и через Р — любое конечное множество точек поля k, содер-
жащее Рю. Для любого такого множества Р положим
(1) kA(P) = J] /г„х П rv,
V$P V$P
где второе произведение берется по всем точкам поля k, не лежа-
щим в Р. Наделенное обычной топологией произведения множе-
ство kA (Р) локально компактно, потому что k„ таковы, a rv ком-
пактны. Наделим kA (Р) структурой кольца, определив сложение
и умножение покомпонентно. Ясно, что тем самым мы превратим
kA (Р) в топологическое кольцо. Рассматриваемое лишь как мно-
жество, kA (Р) можно было бы определить как подмножество в про-
изведении Д k„, состоящее из тех элементов х = (хв) этого произ-
ведения, для которых | xv |„ 1 при всех v, не лежащих в Р.
Если Р' — другое конечное множество точек поля k и Р' Р,
то кольцо kA (Р) содержится в kA (Р')> причем его топология и коль-
цевая структура индуцируются топологией и кольцевой структу-
рой на ЛА (Р') и kA (Р) является открытым подмножеством в kA (Р').
Теперь мы определим локально компактное топологическое
кольцо kA — так называемое кольцо аделей поля k. Как множество
оно есть объединение всех множеств kA (Р); другими словами,
оно состоит из элементов х = (%в) произведения Д kv, которые
при почти всех v удовлетворяют условию | х„ |р-< 1. Определим
структуру топологического кольца на kA условием, что всякое
ГЛ. IV. АДЕЛИ
94
кольцо kA (Р) является открытым подкольцом в kA. Это означает,
во-первых, что если х = (х0) и у = (р0) лежат в kA, то х + у =
~ (%v + У в) и ху = (хоро); ясно, что при этом и сумма, и произ-
ведение действительно лежат в kA. Во-вторых, мы получим фунда-
ментальную систему окрестностей нуля в аддитивной группе коль-
ца kA, взяв такую систему в любом из колец kA (Р), например в
ЛА (^оо), которое является наименьшим среди колец kA (Р). Эквива-
лентным образом мы получим такую систему, взяв все множества
вида где Uv — окрестность нуля в kv для всех и и Uv = rn
почти для всех v.
Определение 1. Под кольцом kA аделей К-поля k мы
понимаем объединение множеств kA (Р), определенных формулой (1),
где в качестве Р берутся все конечные множества точек поля k,
содержащие множество всех бесконечных точек. Структура топо-
логического кольца на kA определяется условием, что всякое kA (Р)
является открытым подкольцом в kA.
Элементы кольца kA будут называться аделями поля k.
Возьмем точку v поля k. В случае когда Р содержит v, кольцо
kA (Р) можно записать как произведение поля kv и некоторого
бесконечного произведения. Обозначая последнее через k'A (Р, и),
мы можем проделать с произведениями k’A (Р, v) то же самое, что
мы делали с произведениями kA (Р), беря теперь в качестве Р все
конечные множества точек поля k, содержащие Р™ и v. Объедине-
ние всех kA (Р, v) будет тогда локально компактным кольцом
kA (у), и kA, очевидно, изоморфно произведению k„ X k'A (v). При
этом изоморфизме первый сомножитель kv последнего произведе-
ния, очевидно, отображается на множество тех аделей х = (%„),
для которых хХ0 = 0 для всех точек ш =£ п. Это множество будет
называться квазисомножителем в /еА, соответствующим и, и будет
всегда отождествляться с k„. Отображение (х„) -> х„ из kA на k„,
соответствующее проекции из произведения k„ X kA (п) на первый
сомножитель, будет называться проекцией из kA на квазисомножи-
тель очевидно, эта проекция непрерывна. Ясно также, что вместо
одной точки v поля k можно было начать с любого конечного мно-
жества Ро таких точек и прийти к записи kA в виде произведения
полей kv по v 6 Ро и еще одного сомножителя.
Возьмем любой характер % аддитивной группы кольца kA.
Для каждого Р он индуцирует на kA (Р) некоторый характер
и для каждого v некоторый характер на квазисомножителе kv.
Хорошо известно, что характер на бесконечном произведении
компактных групп должен индуцировать тривиальный характер 1
на почти всех сомножителях. Применяя это к характеру, инду-
§ 1. АДЕЛИ А-ПОЛЕЙ
95
цированному характером на произведении flrB в (1), мы видим,
что тривиален на гв почти для всех v. Тогда для всех х = (х0)
из kA имеем
(2) %(х) = Пхс(^)-
V
Произведение здесь берется по всем точкам v поля k-, для всякого-
х = (х„) из ЛА почти все сомножители равны 1.
Пусть % — элемент из Л. Положив хв = | при всех v, мы опре-
делим в силу теоремы 3 гл. Ш-1 некоторый адель х = (х0). Обозна-
чим его через ф (£) и назовем <р каноническим вложением поля k
в ЛА. Часто мы будем, если это не может привести к путанице,
отождествлять k с его образом в kA при вложении ф.
Пусть Е — конечномерное векторное пространство размерности
п над k. Для всякой точки и поля k будем писать Ев = Е <8>ft kB.
Как обычно, мы считаем Е «естественно» вложенным в Ев посред-
ством инъективного отображения е ® lft . С другой стороны,
поскольку k вложено в ЛЛ определенным выше каноническим вло-
жением ф, то мы можем рассмотреть тензорное произведение
Ед = Е <8> k /еА и считать Е «естественно» вложенным в него посред-
ством отображения ® <р (1). Определим топологию на Ед
как самую грубую, в которой Лд-линейные продолжения на ЕА
линейных форм на Е непрерывны. Эквивалентное определение:
возьмем какой-нибудь базис е в Е над Л; он определяет изоморфизм
kn на Е, а следовательно, изоморфизм (ЛА)" на ЕА; топология на ЕА
получается перенесением на Ед посредством этого изоморфизма
топологии с (Лд)п; легко проверяется непосредственно, что она
не зависит от выбора е.
Пусть Е и Е' — конечномерные векторные пространства над k
и f — полиномиальное отображение из Е в Е'. Тогда f можно оче-
видным образом продолжить до отображения из ЕА в ЕА, а именно,
это отображение определяется теми же самыми многочленами,
если Е, Е' отождествлены с пространствами kn, km, а следователь-
но, Ед, Е'а. с (ЛА)«, (Лд)т при каком-либо выборе базисов в Е, Е'
над k. Это продолжение отображения f будет обозначаться опять
через /. Ясно, что оно непрерывно, поскольку сложение и умноже-
ние на ЛА непрерывны.
Предложение 1. Пусть Е — векторное пространство
конечной размерности п над k, и пусть е — конечное подмножество
в Е, содержащее базис векторного пространства Е над k. Для вся-
кой конечной точки v поля k обозначим через е„ гв-модуль, порож-
денный подмножеством & в Е„. Для всякого конечного множества Р
ГЛ. IV. АДЕЛИ
96
точек поля k, содержащего Рх, запишем
ЕА(Р, е)= П £» X П е»-
Т$Р V&P
Тогда все ЕА (Р, е) являются открытыми подгруппами в ЕА и ЕА
есть объединение этих подгрупп.
Это следует понимать в том смысле, что всякое произведение
Еа (Р> е) наделено своей топологией произведения и что последняя
совпадает с топологией, индуцированной топологией пространства
Еа. Ясно, что е„ является Лг-решеткой в Ео и, следовательно, откры-
тым и компактным подножеством в Е„ для всякой конечной точки v.
Поэтому ЕДР, е) — открытая подгруппа в ЕА(Р', е), если
Р с Р'. Возьмем какой-нибудь базис е' в Е над Лис его помощью
определим изоморфизм kn на Е и, следовательно, (ЛА)" на ЕА.
Из наших определений сразу видно, что ЕА является объединением
множеств ЕА(Р, е') и что эти множества открыты в ЕА. По след-
ствию 1 из теор. 3 гл. Ш-1 существует такое конечное множество
Ро точек поля ^содержащее Р&,, что е„ = е® для и, не лежащих
в Ро. Отсюда видно,что£Аявляется объединением множеств
Еа (Р, е), а также что при Р' Р IJ Ро множество ЕА (Р, в)
открыто в Еа (Р', е'), а следовательно, в ЕА- Разумеется, можно
было бы использовать предложение 1 для непосредственного опре-
деления топологии на ЕА, в точности так же, как выше была опре-
делена топология на ЛА; тогда из следствия 1 теор. 3 гл. II1-1 выте-
кала бы независимость этой топологии от выбора е.
Следствие 1. В предположениях и обозначениях предло-
жения 1 пусть С — компактное подмножество в ЕА- Тогда суще-
ствует такое конечное множество Р точек поля k, что С с РА (Р, е).
Так как С содержится в объединении открытых множеств
Еа (Р, е), то оно должно содержаться в объединении конечного
числа таких множеств ЕА (Pi, е), а следовательно, в ЕА (Р, е)
при Р = и Pt.
Пусть Л — любая алгебра конечной размерности над k. Мы
будем обозначать через «^А топологическое кольцо, полученное
продолжением на пространство «^А указанным выше способом
закона умножения на Л. Ясно, что можно рассматривать ЛА как
алгебру над ЛА, и ЛА-1А является замкнутым подпространством
и подкольцом в Л а, изоморфным ЛА.^
Следствие 2. Пусть Л — алгебра конечной размерности
над k и сс — конечное подмножество в Л, содержащее базис вектор-
ного пространства Л над k. Для всякой конечной точки v поля k
§ 1. АДЕЛИ А-ПОЛЕЙ
97
обозначим через а0 гв-модуль, порожденный, подмножеством а
в Л V Для всякого конечного множества Р точек поля k, содержащего
Рх, запишем
(Р, а) = П X П а«-
Тогда существует множество Ро, обладающее тем свойством,
что (Р, а) является открытым подкольцом в для любого
Р 2D Ро, и .А& есть объединение этих подколец.
Это сразу вытекает из следствия 2 теор. 3 гл. Ш-1 и из пред-
ложения 1.
Возьмем теперь алгебраическое расширение k' поля k конеч-
ной степени. Так как k' является A-полем, то мы можем применить
к нему нашу общую конструкцию и получить таким образом кольцо
k’A его аделей. С другой стороны, мы можем считать k' алгеброй
над k и применить к этой алгебре описанную выше конструкцию,
что дает кольцо, которое мы обозначим через (/с7Л)а- Как мы виде-
ли, это — алгебра над йщ она содержит замкнутое подкольцо
йА-к', которое мы очевидным образом отождествим с ЛА. Централь-
ным в теории аделей является тот факт, что определенные таким
образом кольца k'A и (£7£)а канонически изоморфны. Это будет
доказано сейчас, но лишь для случая, когда k' сепарабельно над k.
Несепарабельный случай будет разобран в гл. VII-6.
Теорема 1. Пусть k — некоторое К-поле и k' — его сепа-
рабельное алгебраическое расширение конечной степени над k. Тогда
существует единственный изоморфизм Ф из (k'/tyx на k'A со сле-
дующими свойствами: (i) Ф индуцирует тождественное отображе-
ние на k', если k’ естественно вложено как в (k'//г)А, так и в k'A;
(ii) на всяком квазисомножителе (k'lk)v в (&7&)А изоморфизм Ф
индуцирует kr-линейный изоморфизм Фо алгебры (fe7£)B на произ-
ведение квазисомножителей k'w в k’^, соответствующих точкам w
поля k', лежащим над v.
Обозначим через Л алгебру k'Ik, т. е. поле k', рассматриваемое
как алгебра над k. Тогда в объясненных выше обозначениях «^А
совпадает с (&7Л)А, а совпадает с (Л7/г)с, т. е. с алгеброй k' 0 kkv
над k„, которой мы занимались в гл. Ш-4. Для конечного числа
слагаемых прямая сумма означает то же самое, что произведение.
Поэтому мы можем интерпретировать теорему 4 гл. Ш-4 как опре-
деляющую изоморфизм Фв из (&7&)в на произведение Ц jfew полей
k'w по всем точкам w, лежащим над v. Этот изоморфизм Л,,-линеен
и отображает каждый элемент £ € k' на элемент (£....£) в Ц k'w-,
ГЛ. IV. АДЕЛИ
98
он однозначно характеризуется этими свойствами. Аналогичным
образом если мы выберем какой-нибудь базис а в k' над k, то та
же самая теорема показывает, что почти для всех v изоморфизм Ф„
отображает av на произведение |J r'w максимальных компактных
подколец в полях k'w. Пусть Ро — такое содержащее Р*. конечное
множество точек поля k, что Ф„ обладает этим свойством для всех v,
не лежащих в Ро. Для всякой точки w поля k' обозначим через
f (ш) точку поля k, лежащую под v. Тогда при Р Ро отображения
Ф„ очевидным образом определяют изоморфизм ФР из ^А (Р, а)
на k'A (f-1 (Р)), где ^А (Р, а) — открытое подкольцо в ДА =
= (k'lk)A, определенное в следствии 2 предл. 1. Так как каждое
множество f"1 (Р) конечно и каждое конечное множество Р' точек
поля k' содержится в (Р) при Р = f (Р'), то Рк является объеди-
нением множеств k'A (Д1 (Р)) при Р дэ Ро. Поскольку ФР1 совпадает
с Фр паобластиопределепия ФР при Pi о Р, то существует изо-
морфизм Ф из .,РА на як который совпадает с ФР на его области
определения для любого у5 =>Р0. Теперь ясно, что Ф обладает
свойствами, сформулированными в нашей теореме, и что он одно-
значно характеризуется этими свойствами.
Следствие 1. В предположениях, и обозначениях теоремы 1
для каждой точки w поля k' обозначим через f (w) точку поля k,
лежащую под w. Тогда если х = (хв) £ Аа, то Ф (х) есть такой
элемент у = (yw) в k'A, что yw = X/(w) для каждой точки w поля k'.
Это сразу следует из того факта, что Ф (1) = 1, и из Р0-линей-
ности Фи для каждой точки v.
Начиная с этого места, kA будет обычно отождествляться со сво-
им образом в k’A при изоморфизме, индуцированном на РА описан-
ным в следствии 1 изоморфизмом Ф. Ясно, что РА будет при этом
замкнутым подкольцом в k'A-
Следствие 2. Пусть k и k' таковы, как в теореме 1, и пусть
Elk' — векторное пространство конечной размерности над k'.
Обозначим через Elk то же пространство, рассматриваемое как
векторное пространство над k. Тогда тождественное отображение
из Elk на Elk' может быть однозначно продолжено до kA-линей-
ного отображения из (E/k)A в (E/k')A, и это продолжение является
изоморфизмом из (Е1Е)а на (Elk')A.
Для Е = k' — это, ввиду следствия 1, простая переформули-
ровка теоремы 1. Отсюда немедленно следует справедливость нашего
утверждения для случая Е = k'n, а следовательно, и для общего
случая, потому что Е можно всегда отождествить с пространством
k'n, выбрав некоторый базис.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
99
В соответствии с данными выше определениями ^-линейная
форма Trft7fe и полиномиальная функция Nfe7fe на пространстве k',
рассматриваемом как векторное пространство над k, могут быть
продолжены до отображений Trfe-/ft, Nft7fe из (А7А)д в kA. При этом
Тгй'/ь ° Ф~х и Nft7ft оф-1 суть отображения из k'A в kA. Упростим
формулировку нашего очередного следствия, отождествив {k'lk)A
с k'A посредством изоморфизма Ф, так что последние наши два
отображения можно записать просто как Trft7ft и Nfe7fe.
Следствие 3. Пусть х' = (л7) — любой элемент из k'A. Поло-
жим у = Тгй'/й (х') и z = Ns-//,(У). Тогда у, z являются элементами
(z0) из 1гА, задаваемыми соответственно равенствами
S Trfc'w/ftp W, z,: = Ц (xw)
го | v w l v
для каждой точки и поля k, где сумма и произведение берутся по всем
точкам w поля k', лежащим над v.
Это непосредственно следует из предложения 4 гл. II1-3 и тео-
ремы 1.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Ввиду леммы 1 гл. Ш-2 каждое A-поле является сепарабель-
ным алгебраическим расширением одного из полей Q или Fp (Т).
Теорема 1 § 1 дает нам возможность доказывать свойства адель-
ных пространств, отправляясь от частных случаев k = Q и k =
= Fp (Т). Этот метод принесет вскоре ряд важных результатов,
для формулировки которых мы упростим обозначения, отождествив
A-поля и векторные пространства над такими полями при помощи
объясненного в § 1 способа с их естественными образами в соот-
ветствующих адельных пространствах. В доказательствах мы снова
используем ф для обозначения канонического вложения А-поля
k в kA.
Теорема 2. Пусть k — некоторое К-поле и Е — конечно-
мерное векторное пространство над k. Тогда Е дискретно в ЕА
и факторпространство ЕА!Е компактно.
Ввиду следствия 2 теор. 1 § 1 и леммы 1 гл. Ш-2 достаточно
доказать это для k = Q и k = Fp (Т). Если п — размерность про-
странства Е, то Е изоморфно kn, так что если теорема доказана
в случае Е = k, то она справедлива и в общем случае. Таким обра-
зом, нам нужно разобрать только случаи Е = k = Q и Е — k =
— Fp (Т). Начнем с Q.
ГЛ. IV. АДЕЛИ
100
Для всякого простого числа р обозначим через Q(p) множество
таких ? из Q, что | g |р- 1 для всех простых р', отличных от р.
Ясно, что это — подкольцо в Q, состоящее из чисел вида р~па,
где п £ N и а Е Z.
Лемма 1. Для каждого простого числа р имеем Qp = Qfp> +
+ Zp и Q(p) П Zp = Z.
Первое утверждение сразу вытекает из следствия 2 теор. 6
гл. 1-4, примененного к Qp, простому элементу р и множеству
представителей {0, 1, . . ., р— 1). Второе очевидно.
Лемма 2. Положим А^ = R х [] Zp и обозначим через <р
каноническое вложение поля Q в QA. Тогда QA = ф (Q) + Лоо
и ф (Q) П Лоо = Ф (Z).
Имеем Лоо = QA({oo}), где использовано обозначение (1) § 1.
Поэтому Лоо является открытым подкольцом в QA. Второе утверж-
дение леммы очевидно. Возьмем теперь любой элемент х = (х„)
из Qa. Обозначим через Р множество таких простых р, что хр не лежит
в Zp; это множество конечно. Первая часть леммы 1 показывает,
что для всякого р Е Р мы можем записать хр = tp + х'р, где %,р Е Q(p)
и ХрЕ Zp. Для р 4 Р положим £р = 0 и хр = хр. Положим, далее,
£ = S £р, где сумма берется по всем р, и у = х — ф (5). Если
у = (У»)> то Для каждого простого числа р имеем
Ур=Хр £р 3 -Ар tP‘.
р’фр р’-1-р
По определению Q(p> все члены в правой части лежат в Zp. Отсюда
видно, что у лежит в Ах, следовательно, х лежит в ф (Q) -|- Ах.
Теперь мы можем доказать нашу теорему для случая Е = k = Q.
Так как Arj .открыто в QA, то первое утверждение будет доказано,
если показать, что множество ф (Q) П Лоо, т. е. ф (Z) дискретно
в Лоо. Но это очевидно, поскольку проекция множества ф (Z)
на сомножитель R произведения Л» равна Z, a Z дискретно в R.
Обозначим теперь через 7 замкнутый интервал [—1/2, 1/2] в R
и положим С = I х Zp. Ясно, что Лоо = Ф (Z) + С, откуда
Qa = ф (Q) + С. Поскольку С компактно, этим доказательство
и заканчивается.
При Е = k = Fp (Т) доказательство аналогично и даже проще.
Для всякой точки v поля k обозначим через kw множество таких
элементов £ из k, что | S | w 1 для всех точек w поля k, отличных
от V.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
101
Лемма 3. Для каждой точки v поля k имеем kv = +
+ rv и k™ П rv = Fp.
Последнее утверждение очевидно ввиду определения функции
| 5 |в на k, которое было дано в доказательстве теоремы 2 гл. Ш-1.
Что касается первого утверждения, то достаточно рассмотреть
точку, связанную с неприводимым многочленом л из Fp [Г], по-
скольку в противном случае мы просто заменим Т на Т-1. В этом
случае наше утверждение сразу вытекает из следствия 2 теор. 6
гл. 1-4, примененного к kv, к простому элементу лик множеству
представителей, которое дается следствием теор. 2 гл. Ш-1.
Лемма 4. Положим Ао = П rv. Тогда kA = ф (k) + Ло
и ф (6) Я Ао = ф (Fp).
Имеем Ао = &а(0), где опять используется обозначение (1)
§ 1. Это — компактное открытое подкольцо в йА. Последнее утверж-
дение снова очевидно. Возьмем какое-нибудь х = (х„) из kA. Лемма 3
показывает, что для каждой и, для которой | xv |р > 1, мы можем
записать xv = -ф хр, где и х» € rv. Для всех других
точек v положим = 0 и x'v = xv. Положим далее £ = S
и у = х — ф (5). Точно так же, как в доказательстве леммы 2,
получаем, что у Е Ао.
Наша теорема теперь очевидна для Е = k = Fp (Г), поскольку
Л о компактно и открыто в kA и поле Fp конечно. Доказательство
теоремы закончено.
Теперь мы рассмотрим векторное пространство Е над A-полем k,
алгебраически двойственное к нему пространство Е' и соответ-
ствующие адельные пространства ЁА, Е'А. Мы обозначаем через
[е, е'] значение в точке е Е Е линейной формы, определяемой точ-
кой е' Е Е', и используем то же самое обозначение для продолже-
ния этой билинейной формы на ЕА х Е'А. Так как аддитивная
группа пространства ЕА является локально компактной комму-
тативной группой, то можно рассмотреть топологическую двой-
ственную к ней группу, которую обозначим через ЕА. Обозначим,
далее, через (е, е* ) значение в точке е Е ЕА характера, определяе-
мого точкой еА Е Е*. В этих обозначениях справедлива
Теорема 3. Пусть k — некоторое К-поле и % — нетривиаль-
ный характер на kA, тривиальный на k. Пусть Е — конечномерное
векторное пространство над k, Е' — алгебраическое двойственное
к нему, а ЕА — топологическое двойственное к ЕА. Тогда формула
(е, е*) = % ([е, е']) для всех е Е ЕА
(е' Е Е'а, е* Е £Х)
ГЛ. IV. АДЕЛИ
102
определяет изоморфизм е' -> е* из Е’х на Е\. Кроме того, если е’
таков, что % ([е, е']) = 1 при всех е Е Е, то е' Е Е'.
Последнее утверждение означает, что определенный в нашей
теореме изоморфизм е’ -> е* из £А на £1 отображает £' на под-
группу в Еа, ассоциированную по двойственности с дискретной
подгруппой Е в Еа-
Мы начнем с рассмотрения случая £ = k = Q. Используем
снова те же обозначения, что и в первой части доказательства
теоремы 2. Ввиду леммы 2 каждый характер на Аж, тривиальный
на ip (Z), можно однозначно продолжить до характера на QA,
тривиального на ф (Q). Мы получим такой характер %, положив
X (х) = е (—х«>) при х = (хв) Е Лоо (напомним, что мы пишем
е (0 = Дль! при t С R). Если мы продолжим этот характер до харак-
тера % на Qa, тривиального на ф (Q), и для каждой точки и поля Q
обозначим через характер на квазисомножителе QB в Qa, инду-
цированный характером %, то %, очевидно, характеризуется сле-
дующими свойствами: этот характер тривиален на ф (Q); характер
Хр тривиален на Zp для каждого простого числа р и х<ю (х) = е (—х)
при х Е R- Для вычисления 7.р рассмотрим снова группу Q(p\
определенную при доказательстве теоремы 2, и возьмем любое
число ? € Q(p)- Тогда % Е Zp- для всех простых р' =/= р, так что
по формуле 2 § 1 имеем
1 = X (Ф (5)) = Хоо (?) Хр (?) = е (-?) Хр (?)
и потому Хр (?) = е (£). По лемме 1 характер Хр вполне определяет-
ся этим свойством и тем фактом, что он тривиален на Zp. Его ядро
совпадает с Zp. Поэтому этот характер имеет порядок 0 в смысле
определения 4 гл. П-5.
Пусть теперь х' — любой характер на QA. Для каждой точки и
поля Q обозначим через х'> характер, индуцированный на квази-
сомножителе QB в Qa характером у'. По следствию теор. 3 гл. П-5
можно однозначно записать в виде х® (х) = х» (avx), где ав Е QB-
Как мы отмечали, когда писали формулу (2) § 1, характер Хр должен
быть тривиальным на Zp почти для всех р, поскольку характер у
непрерывен на QA. Отсюда следует, что ур (ар) = 1 и, следовательно,
ар Е Zp почти для всех р. Поэтому а = (ав) лежит в QA, так что
по формуле (2) § 1 х' совпадает с характером Ха на Qa, задаваемым
равенством Ха (х) = х (ах) при всех х Е Qa- Таким образом, мы
показали, что отображение а -> Ха из QA в пространство G = QA
(топологическое двойственное к QA) сюръективно. Сразу видно,
что оно непрерывно и инъективно, так что оно является биектив-
ным морфизмом из Qa на его двойственное пространство G. Обозна-
чим через Г подгруппу в G, ассоциированную по двойственности
§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
103
с qp (Q), т. е. состоящую из характеров на QA, тривиальных на ф (Q).
Поскольку характер % обладает последним свойством, то это же
верно для ха при всех а Е ф (Q), так что а %а отображает ф (Q)
в Г. Обратно, пусть Ь таков, что Е Г. Как и в доказательстве
теоремы 2 для Q, положим С = I X [J Хр, где I = [—1/2, 1/2].
Мы показали там, что QA = ф (Q) + С. Поэтому можно записать
b в виде b = ф (?) + с, где с Е С, ? Е Q, и, значит, /с Е Г. Записав
с = (с„) и используя тот факт, что ср Е Z,, при всех р, имеем
1 = Хс (ф (1)) = X (с) = Х°° (Соо) = е (—Соо),
откуда Соо = 0, ибо Е I- Поэтому характер %с тривиален на Лоо =
= R X [] Zp. Так как он тривиален и на ф (Q), то лемма 2 пока-
зывает, что он тривиален на QA, так что с = 0, откуда b Е Ф (Q).
Поэтому а-^^а отображает ф (Q) на Г. Наконец, поскольку под-
группа ф (Q) дискретна в QA и QA/<p (Q) компактна, из теории
двойственности следует, что Г дискретна в G и что G/Г компактна.
Следовательно, а -> %а определяет биективный морфизм компакт-
ной группы ОА/ф (Q) на компактную группу G/Г. Хорошо извест-
но, что такой морфизм обязан быть изоморфизмом. Так как G
«локально изоморфна» с G/Г, a QA с 0А/ф (Q), отсюда следует,
что отображение непрерывно в обе стороны, так что оно
является изоморфизмом. Этим заканчивается наше доказательство
для Е = k = Q.
Возьмем теперь Е = k = Fp (Т). По аналогии со случаем
k = Q обозначим через °о точку поля k, для которой Т"1 являет-
ся простым элементом (хотя это, разумеется, не бесконечная точка).
Имеем | Г-1 |го = р-1. Мы можем теперь применить к k^, к про-
стому элементу Т"1 и к множеству представителей Fp следствие 2
теор. 6 гл. 1-4 и, согласно этому следствию, отождествить с полем
формальных степенных рядов
(3) x=2flir,
г=п
где п Е Z и аг Е Fp при всех i п. Обозначим через ф характер
аддитивной группы поля FQ, для которого ф (1) = е (1/р). Опре-
делим характер /оо на kx, положив (х) = ф (—at), где х задается
формулой (3); при х Е К (Г) имеем at = 0, откуда (*) = 1-
Положим теперь = kx X f] rv, где произведение берется по
всем точкам v поля k, отличным от оо. Используя обозначение (1)
§ 1, получаем Ах = kA ({оо}). Это — открытое подкольцо в kA,
содержащее множество Ао, определенное в лемме 4, так что по этой
лемме kA = ф (k) + Лоо. Если ? Е k, то ф (?) лежит в Лоо в том
ГЛ. IV. АДЕЛИ
104
и только в том случае, когда | £ |в 1 для всех точек и поля k,
связанных с неприводимыми многочленами из Fp (Т), т. е. в том
и только в том случае, когда £ лежит в Fp (Т). Это означает, что
ср (k) П Лоо = <р (Fp [71). В соответствии с этим каждый характер
на Лею, тривиальный на ср (Fp [Г]), можно однозначно продолжить
до характера на kA, тривиального на ср (k). Применяя это к харак-
теру % на Лоо, для которого % (х) = (х«>) при х = (xv) g Лоо,
получаем характер % на kA, который можно охарактеризовать
следующими свойствами: % тривиален на ср (k); для каждой точки
v =/= оо характер индуцированный на kv характером %, тривиален
на гв; х индуцирует на характер х°о, определенный выше. Для
вычисления характера Хв, где точка и связана с неприводимым
многочленом л степени 6 из Fp (Т), обозначим через множество
таких элементов £ из k, что | | 1 для всех точек w поля k,
отличных от и, и | £ |оо < 1. Те же самые рассуждения, что и исполь-
зовавшиеся в доказательстве леммы 3, показывают сейчас, что kv
разлагается в прямую сумму и гв. Так как характер три-
виален на rv, он вполне определен своими значениями на kfr’K
Возьмем g Е k^; этот элемент можно записать как g = л~па, где
п £ N и а — многочлен степени <«6 из Fp [Г]. Обозначим через
at коэффициент при Т”6-1 в а Так как многочлен л унитарен,
то его можно записать в виде Тбсо, где со лежит в Fp [Т-1] и имеет
свободный член, равный 1. Отсюда вытекает, что
| = л~па = = aiT-i (Т~2)
в кольце Гоо, откуда (В) = ф (—aj по определению х°°- По фор-
муле (2) § 1 имеем
1 = X (ф (?)) = Х°° (?) Хв (?) = Ф (—fli) Хв (?),
поэтому Хв (В) = Ф («1), чем завершается определение характера Хв-
Далее, если g таков, как выше, и отличен от нуля, то обозначим
через d степень многочлена а и через а коэффициент при Td в а.
Тогда Хв (£,TnS~i-d) принимает значение ф (а), которое не равно 1,
поскольку 0. Это показывает, что если g — ненулевой элемент
в то Хв (?/) не может равняться 1 при всех t С гв. Так как
характер Хв тривиален на гв и так как kv = + rv, то с учетом
предложения 12 гл. П-5 заключаем, что характер Хв имеет порядок
0 в смысле определения 4 гл. П-5. Другими словами, если элемент х
из kv таков, что Хв (*/) = 1 ПРИ всех t g rv, то х должен лежать в rv.
Теперь мы можем продолжить доказательство точно так же,
как в случае k = Q. Пусть х' — любой характер на kA. Для всякой
точки v поля k характер х'в, индуцированный на kv характером х,
можно записать в виде xi W = Хв (а«х), где а„ С kD. Из того факта,
§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
105
что характер должен быть тривиален на гв почти для всех и,
вытекает, что элемент а = (ав) лежит в ЙЛ, так что %' совпадает
с характером %а, определенным формулой (х) = % (ох). Как
и прежде, мы видим, что отображение а -> % о является биективным
морфизмом из на группу G = kA (топологическую двойственную
к kA) и что этот морфизм отображает ср (k) в подгруппу Геб,
ассоциированную по двойственности с ср (k). Предположим, что
g Г при некотором b Е &а- Согласно лемме 4 мы можем записать b
в виде b — ср (g) + с, где g £ k, с £ Ао. Очевидно, Хс тривиален
на ср (k). Положим с = (св), так что св £ rv при всех v. Существует
такой элемент у С Fp, что и = у (Т-1). Заменяя g на g + у и с
на с — ср (у), получаем, что Соо = 0 (Т-1). Далее имеем
1 = Ха (ф (1)) = X (с) = %оо (соо),
откуда ввиду определения следует, что Соо лежит в Т~2гх и, зна-
чит, (сооО = 1 при всех t Е гх. Следовательно, характер %с
тривиален на Ао, а потому и на kA (лемма 4). Таким образом, с = 0
и, значит, b € ф (k). Заканчивается доказательство точно так же,
как в случае k = Q.
Теперь мы можем завершить доказательство нашей теоремы
чисто формальным рассуждением. Обозначим через Т (Elk, %)
утверждение теоремы 3. То, что мы уже доказали, можно выразить,
сказав, что для каждого из полей k = Q и k = Fp (Т) существует
характер % на kA, для которого выполняется Т (klk, %). Отсюда,
очевидно, следует справедливость Т (knlk, %) для каждого п,
так что Т (Elk, %) выполняется для каждого векторного простран-
ства Е над k. Возьмем, в частности, конечное алгебраическое рас-
ширение k' поля k. Как и в лемме 3 гл. Ш-З, обозначим через Е
пространство k', рассматриваемое как векторное пространство
над k ; выберем fe-линейную форму % на Е, отличную от 0, и отожде-
ствим Е с алгебраическим двойственным к нему пространством Е',
полагая 1х, у] = к (ху). Мы можем тогда продолжить к д.о отобра-
жения из Еа в kA и тем самым продолжить отождествление про-
странств Е и Е’ до отождествления пространств ЕА и Е'А. Поэтому
мы имеем опять [х, у] = к (ху) при х, у £ ЕА = (k'lk)A. Положим
х' = Это, очевидно, нетривиальный характер на ЕА, три-
виальный на Е. Предположим теперь, что k’ сепарабельно над k.
Тогда мы можем отождествить ЕА с kA посредством изоморфизма Ф,
описанного в теореме 1 § 1. При этом %' перейдет в нетривиальный
характер на k’A, тривиальный на k’, и утверждение Т (Elk, %)
превращается в точности в утверждение Т (k'Ik', %')• Так как
в качестве k' можно взять любое A-поле, взяв в качестве k или Q,
ГЛ. IV. АДЕЛИ
106
или Fp (Т), то мы убеждаемся, что для каждого A-поля k теорема 3
верна по меньшей мере при одном выборе характера %. Предполо-
жим теперь, что Т (k/k, %) справедливо для всякого такого поля,
и пусть — еще один характер с указанными в теореме 3 свой-
ствами. Из Т (k/k, %) следует, что Xi имеет вид Xi (х) = X (ах),
где a g k и а Ф 0. Тогда отображение е' -> е*, определенное, как
в теореме 3, но с помощью Xi, является композицией аналогичного
отображения, определенного с помощью х, и отображения е' -> ае'
из ЕА в себя. Так как последнее отображение является, очевидно,
автоморфизмом пространства Е'А, отображающим Е' на себя, то мы
видим, что Т (E/k, х) эквивалентно Т (Е/Е, хО- Этим наше доказа-
тельство завершено.
Следствие 1. Пусть характер х такой, как в теореме 3.
Обозначим для каждой точки v поля k через х„ характер, индуци-
рованный характером х квазисомножителе kv в k. Тогда для
каждой точки и характер нетривиален и почти для всех конеч-
ных точек и поля k характер r/v имеет порядок 0 в смысле определе-
ния 4 гл. П-5.
Для всякого а £ kA обозначим через х« характер на kA, опре-
деленный формулой Ха (х) = X (ах). Если бы х был тривиален
на квазисомножителе k,:, то этот квазисомножитель лежал бы в ядре
морфизма а Ха из в топологическое двойственное к нему про-
странство. Поскольку по теореме 3 этот морфизм является изомор-
физмом, это привело бы к противоречию. В частности, для каждой
конечной точки v поля k мы можем положить v (у) = ord (x„)
в смысле определения 4 гл. П-5. Для всякого отображения п->
-> п (v) множества конечных точек поля k в Z обозначим через
G (п) группу тех элементов х = (xv) из kA, для которых ord (xv)
п (о) для всех конечных точек и, и через Н (п) — подгруппу
в G (п), состоящую из таких элементов х = (хв) из G (п), что xw = 0
для всех бесконечных точек w поля k. В силу определения тополо-
гии на kA (§ 1) очевидно, что группа G (п) открыта в kA тогда и толь-
ко тогда, когда п (v) sgZ 0 почти для всех v. Ясно также, что под-
группа Н (п) компактна, если п (о) 0 почти для всех v. Обратно,
по следствию 1 предл. 1 § 1 каждое компактное подмножество в kA
содержится в одном из множеств kA (Р) (мы применяем обозначе-
ние (1) § 1), так что подгруппа Н (п) не может быть компактной,
за исключением случая, когда п (ц) 0 почти для всех и. Поэтому
это условие необходимо и достаточно для компактности Н (п).
Теперь предложение 12 гл. П-5 в сочетании с тем фактом, что харак-
тер х«7 нетривиален для любой бесконечной точки поля k, пока-
зывает, что множество тех элементов х из kA, для которых х (ху) — 1
§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
107
при всех у £ G (0), совпадает с Н (—v) и что множество тех эле-
ментов х, для которых % (ху) = 1 при всех у £ Н (0), совпадает
с G (—т). Отождествляя kA с топологическим двойственным к нему
пространством посредством изоморфизма, описанного в теореме 3,
мы видим, что И (—ч) и G (—ч) являются подгруппами в kA, ассо-
циированными по двойственности с G (0) и Н (0) соответственно.
Так как группа G (0) открыта, а И (0) компактна, то из теории
двойственности вытекает, что подгруппа И (—v) должна быть
компактной, a G (—ч) — открытой. Как мы уже видели, отсюда
следует, что —v (у) 0 почти для всех v и что —v (v) 0 почти
для всех V.
Следствие 2. Пусть Е — конечномерное векторное про-
странство над k, и пусть v — любая точка поля k. Тогда подгруппа
Е + Ev всюду плотна в ЕА.
Если это справедливо для Е = k, то, очевидно, верно и для
Е = kn, а потому и для любого Е. Если бы подгруппа k + kv
не была плотна в kA, то существовал бы нетривиальный характер
на kA, который был бы тривиален как на k, так и на k но это про-
тиворечит следствию 1.
Как и в случае локальных полей, часто бывает удобно, выбрав
раз и навсегда базисный характер % со свойствами, описанными
в теореме 3, отождествлять для всех конечномерных векторных
пространств Е над k топологическое двойственное к ЕА с про-
странством Еа посредством изоморфизма из этой теоремы. Для каж-
дого квазисомножителя kv и kA в качестве базисного характера
будет при этом браться характер %р, индуцированный на харак-
тером х, и этот характер %0 будет использоваться для отождествле-
ния топологических и алгебраических двойственных к векторным
пространствам над k„, как объяснялось в гл. П-5. Имея все это
в виду, получаем
Следствие 3. Пусть предположения и обозначения таковы,
как в предложении 1 § 1, и пусть Е — векторное пространство
над k и Е' — алгебраическое двойственное к нему. Пусть, далее,
г, И — конечные подмножества в Е и в Е' соответственно, содер-
жащие базисы этих пространств над k. Для каждой точки v поля k
отождествим E'v с топологическим двойственным к Ev, как описано
выше. Тогда почти для всех конечных точек и поля k kv-решетка
двойственна к ев.
Для Е = Е' = k и 8 = е' = {1} это просто переформулировка
следствия 1; в случае когда 8 = {et, . . ., еп} является базисом
в Е и s' = {е', ...,£„} —двойственный базис в Е' (для которого
ГЛ. IV. АДЕЛИ
108
[еь = 1 ПРИ i = i и 0 при iy= /'), это немедленно вытекает из того
же следствия. Отсюда с помощью следствия 1 теор. 3 гл. II1-1
сразу получаем наше утверждение в общем случае.
§ 3. ИДЕЛИ
Как и прежде (см. гл. Ш-З), если Е — векторное пространство
конечной размерности над полем k, то мы обозначаем через End (Е)
кольцо эндоморфизмов пространства Е, рассматриваемое как алгеб-
ра над k. Мы будем обозначать через Aut (Е) группу автоморфизмов
пространства Е, т. е. группу End (Е)х обратимых элементов
в End (Е). Эта группа совпадает с подмножеством в End (Е), опре-
деляемым условием det (а) 0. Поэтому если k — топологическое
поле, то Aut (Е) является открытым подмножеством в End (Е).
Ясно, что в топологии, индуцированной топологией из End (Е),
Aut (Е) является топологической группой. Если /С — поле, содер-
жащее поле k, то End (Е к) совпадает с End (Е) к = End (Е) <8> ',,К
и определитель на End (Е к) совпадает с продолжением на это
пространство определителя на End (Е).
Пусть Л — алгебра конечной размерности над k. Обозначим
через р ее регулярное представление в End (Л), определенное
в гл. Ш-З, и как обычно обозначим через е^х группу обратимых
элементов из Л. Возьмем произвольный элемент а из Л. Очевидно,
р (а) есть эндоморфизм х -+ ах векторного пространства Л. Если
р (а) — автоморфизм, то он сюръективен, так что существует
Ь Е Л, для которого ab = 1^. Тогда b = а~г и а Е ^х. Поскольку
обратное утверждение тривиально, отсюда видно, что Лх совпадает
с подмножеством в Л, определенным условием N(а)
Поэтому если k — топологическое поле, то Лх — открытое под-
множество в Л. Кроме того, тогда р является топологическим изо-
морфизмом из Л на подалгебру в End (<?$), отображающим Лх
на р (Л) П Aut (Л). Отсюда следует, что Лх является тогда топо-
логической группой в топологии, индуцированной топологией
из Л.
Пусть теперь Л — алгебра конечной размерности над A-полем k.
Рассмотрим группу ЛА обратимых элементов кольца ЛЛ. Простей-
шие примеры в случае Л = k показывают, что отображение
х х-1 не является непрерывным на этой группе в топологии,
индуцированной топологией из ЛА. Снабдим эту группу самой
грубой топологией, для которой ее вложение в ЛА и отображение
х —х-1 непрерывны. Более удобным образом это сделано в сле-
дующем определении.
§ 3. ИДЕЛИ
109
Определение 2. Пусть Рк — алгебра конечной размер-
ности над полем k. Тогда мы обозначаем через группу обра-
тимых элементов кольца ЛА, наделенную топологией, для которой
отображение х -> (х, х"1) является гомеоморфизмом на ее образ
в Р1А X х-
Обычно (особенно в случае РЬ = k) группу ^А с такой топо-
логией называют идельной группой алгебры Л, а ее элементы
называют иделями алгебры Рк. Очевидно, что отображения (х, у) -+
ху и х —х-1 непрерывны на ЛА, так что наше определение
превращает ее в топологическую группу. В то же время, если
мы обозначим через f отображение (%, у) —ху из Pt х Р в Р н его
естественное продолжение на ^А X ЛА, то наше определение
говорит, что множество гомеоморфно подмножеству /-1({1})
последнего пространства. Так как отображение f непрерывно,
то это подмножество замкнуто, так что группа л£А локально ком-
пактна. Ясно также, что группа Ptx канонически вложена в груп-
пу ^А. Поскольку при отображении х -+ (х, х-1) группа Ркх перехо-
дит в пересечение множества ({1}) с дискретным подмножеством
Ph х Рк в г^А X ЛА, то это — дискретная подгруппа в с^А.
Используя следствие 2 теор. 3 гл. Ш-1 и следствие 2 предл. 1
§ 1, можно дать другое определение идельной группы алгебры ,
эквивалентное определению 2. Как и в упомянутых утверждениях,
возьмем конечное подмножество а в Рк, содержащее базис над k,
и для всякой конечной точки v поля k обозначим через av /-„-модуль,
порожденный подмножеством а в Pt,.. По следствию 2 теор. 3
гл. Ш-1 существует такое содержащее Рх конечное множество Ро
точек поля k, что для всех о, не лежащих в Ро, av является ком-
пактным подкольцом в Pkv (содержащим единичный элемент).
Для всякой точки v, как мы видели, .PPj есть открытое подмножество
в и отображение х -> х-1 непрерывно на этом подмножестве.
Поэтому отображением х -> (х, х-1) оно гомеоморфно переводится
в свой образ в PtK х Для и, не лежащих в Ро, аох есть множе-
ство тех элементов из которые отображением х->(х, х-1)
переводятся в av X а„, поэтому является открытой компактной
подгруппой в и открытым компактным подмножеством в ав.
Мы докажем сейчас следующий результат, аналогичный следствию 2
предл.1 § 1.
Предложение 2. Пусть Л, a, av и Ро таковы, как ука-
зано выше, и пусть Р — любоё конечное множество точек поля k,
ГЛ. IV. АДЕЛИ
ПО
содержащее Ро. Тогда группа
(4) Лд(Р, < = ПАХ X П
«ЕР vzP
является открытой подгруппой в топологии, индуцированные
на ней топологиями из .4д и из .ДА, совпадают обе с топологией
произведения в правой части формулы (4); .-/A является объедине-
нием этих групп.
Пусть множество .^А (Р, а) определено, как в следствии 2
предл. 1 § 1. Топология, индуцированная на «^А (Р, а)х тополо-
гией из ЛА, индуцирована также топологией из ^А (Р, а) и пото-
му совпадает с топологией произведения в правой части форму-
лы (4). Для всякой точки v подмножество .ДД открыто в и ото-
бражение х -> х-1 непрерывно на нем. Поэтому отображение
х-э- х-1 непрерывно на группе ^А (Р, а)х, наделенной топологией
произведения. Отсюда следует, что отображение х -> (х, х-1) есть
гомеоморфизм из <ДА(Р, а)х на образ этой группы в с#А хА.
Поэтому топология произведения на этой группе индуцирована
также топологией из ^д. Далее, ДА (Р, а)х совпадает с тем под-
множеством в ^А, которое отображением х-> (х, х-1) переводится
в ^A (Р, а) X г^д (Р, а). Так как последнее множество открыто
в ^A х ЛА и так как ^A X ДА является объединением множеств
такого вида, это завершает доказательство.
Следствие. Элемент а = (av) из kA лежит в kA в том
и только том случае, когда avA= О для всех v и | av |„ = 1 почти
для всех о. Для каждого конечного множества Р точек поля k, содер-
жащего Рж, группа
kA(py= П П г*
v~P V$P
является открытой подгруппой в &А и &А есть объединение таких
групп.
Первое утверждение очевидно; остальные утверждения — част-
ный случай предложения 2.
Для каждого элемента а = (ав) из kA положим
I а |йд = П I |о»
V
где произведение берется по всем точкам v поля k; ввиду следствия
предл. 2 почти все сомножители в этом произведении равны 1 для
§ 3. ИДЕЛИ
Hl
любого а из Лд. Обычно, когда ясно, о каком поле идет речь, мы
будем писать | а |А вместо | а |ьд; иногда | а |А будем называть
модулем иделя а.
Предл о ж е н и е 3. Пусть Е — векторное пространство
конечной размерности п над k, Л — End (Е) и а = (ав) — некото-
рый элемент из Ла- Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) а лежит в (ii) det (а) лежит в (iii) ае есть изомор-
физм пространства Еа- В случае когда эти утверждения выпол-
няются, модуль последнего автоморфизма равен | det (а) |А. Кроме
того, отображения а -> det (а) и а -> | det (а) |А являются мор-
физмами ив Ла в kа и в R* соответственно.
Выберем какой-нибудь базис а в Е над k и используем его для
отождествления Ес kn и Л с Мп (k). Тогда базис а в Л над k
задается «матричными единицами» а^ с 1 Z, ц п, где
дхи — матрица (хц), х-,,^ = 1 и хц = 0 при (i, /) (Z, р). Для
каждой точки v поля k элемент а„ из УИП (fe„) обратим в УИП (£в)
тогда и только тогда, когда det (а„) 0. Для каждой конечной
точки v поля k элемент av из Мп (rv) обратим в Мп (rv) тогда и толь-
ко тогда, когда det (ав) обратим в гв, т. е. тогда и только тогда,
когда | det (ав) |в = 1. В обозначениях предложения 2 и его след-
ствия это означает, что а лежит в Ла (В, а)х в том и только том
случае, когда det (а) лежит в ЛА (Р)х- Ясно, что отсюда следует
эквивалентность утверждений (i) и (ii) нашего предложения;
это показывает также, что отображение а det (а) из Ла в Лд
непрерывно на Ла (Р, «)х Для каждого Р, а значит, непрерывно
на Ла- Поскольку, очевидно, отображение z | z |А из Лд в R*
непрерывно на ЛА (Р)х для каждого Р, а следовательно и на Лд,
то отображение а -> | det (а) |А есть непрерывный морфизм из Ла
в R*. Если элемент а лежит в Л-а, то обратный элемент а-1 лежит
в Ла и эндоморфизм е -> ае пространства Ед имеет обратный
е -+ а~хе, т. е. является автоморфизмом. Обратно, возьмем любой
элемент а = (ав) из Ла- Предложение 1 § 1, примененное к Л и а,
показывает, что дв содержится в Мп (kv) для всех и и в Мп (гв)
почти для всех v. Это же предложение, примененное к Е и е, пока-
зывает, что в Ед фундаментальную систему окрестностей нуля
образуют множества U = [J Uv, где Uv — окрестность нуля в Ев =
== (feB)n для всех v и Uv = (rB)n почти для всех и. Если отображение
е -> ае есть автоморфизм пространства Ед, то оно должно отобра-
жать каждую окрестность нуля на окрестность нуля. Отсюда
следует, что элемент а„ обратим в Мп (fec) при всех и и что почти
ГЛ. IV. АДЕЛИ
112
для всех v образ множества (гв)п относительно ав содержит (rv)n,
т. е. что ай1 лежит в Мп (гв) почти для всех v. Как мы заметили
выше, это равносильно тому, что а лежит в ЛА. Пусть теперь Р —
конечное множество точек поля k, содержащее и такое, что а„
лежит в Мп (г0)х для всех v, не лежащих в Р. Так как множество
ЕА (Р, 8) открыто в Еа и инвариантно относительно отображения
е ае, то модуль автоморфизма е -> ае на ЕА совпадает с его моду-
лем на множестве ЕА (Р, е). В силу определения этого множества
(предложение 1 § 1) последний модуль равен произведению модулей
автоморфизмов ev -> avev на сомножителях произведения ЕА (Р, е).
По следствию 3 теор. 3 гл. 1-2 эти модули равны | det (ас) |в, чем
и заканчивается наше доказательство.
Следствие. Пусть .4 — алгебра конечной размерности
над k и а — элемент из ..КА. Тогда следующие утверждения экви-
валентны'. (i) а лежит в ЛА; (ii) N(а) лежит в kA; (iii) x -> ax
есть автоморфизм аддитивной группы алгебры <4А. В случае когда
эти утверждения выполняются, модуль последнего автоморфизма
равен | N^/ft (а) |А. Кроме того, а N^/fe (а) и а -> | (a) |А
суть морфизмы группы .ПА в kA и в R* соответственно.
Поскольку (как мы всегда предполагаем) Л содержит единицу,
то из (iii) следует (i). Все остальные наши утверждения сразу выте-
кают из предложения 3, примененного к алгебре Л, рассматривае-
мой как векторное пространство Е над k, и к вложению алгебры Jb
в End (Е), задаваемому регулярным представлением р.
Разумеется, все, что мы сказали про эндоморфизм х -* ах алгеб-
ры столь же применимо к эндоморфизму х^- ха. Определитель
N' (а) последнего эндоморфизма называется иногда нерегулярной
нормой на Л. Как и регулярная норма, это — полиномиальная
функция, степень которой равна размерности Jl над k\ модуль
автоморфизма х->- ха аддитивной группы алгебры ЛА, для а £ JbA,
равен | N' (а) |А. Очевидно, что N' = N^/fe, если алгебра .А ком-
мутативна; известно, что то же самое верно для всех полупростых
алгебр; для простых алгебр, в частности для алгебр с делением,
это будет доказано в гл. IX; здесь нам это не понадобится.
Теорема 4. Пусть D — алгебра с делением конечной раз-
мерности над k. Для каждого вещественного числа ц 1 обозна-
чим через О» множество таких элементов d из DA, что модули
автоморфизмов x-<-dx и x->-xd группы DA соответственно
и ^р-1. Тогда Dp является замкнутым подмножеством в DA и его
образ в DA!Dy компактен.
§ 4. ИДЕЛИ А-ПОЛЕЙ
113
Обозначим через N регулярную норму No/ft и через N' нере-
гулярную норму, определенную выше. По следствию предл. 3
отображение d -> | N (d) 1а непрерывно на ДА; по аналогичным
причинам это верно и для отображения d -> | N' (d) |А. Ввиду
того же следствия отсюда вытекает замкнутость Ди. По теореме 2
§ 2 D есть дискретное подмножество в ДА и факторгруппа DJD
компактна. Поэтому существует мера Хаара а на ДА, для которой
a (DaJD) = 1; эта мера определяется указанным в гл. П-4 спосо-
бом. Так как группа ДА некомпактна, то мы можем выбрать ком-
пактное подмножество С в ДА, для которого а (С) > р. Обозначим
через С' образ множества С х С при отображении (х, у) х — у
из ДА X ДА в ДА и через С" образ множества С х С при отобра-
жении (%, р) -> ху из ДА х ДА в ДА. Поскольку эти отображения
непрерывны, то С' и С” компактны. Возьмем любой элемент d Е Дц.
Так как модуль автоморфизма х -> xd не меньше р-1, то он отобра-
жает С на множество Cd, мера которого больше 1. Поэтому в силу
леммы 1 гл. П-4 существуют такие два элемента х, у в С, что эле-
мент xd — yd лежит в D и отличен от нуля, т. е. этот элемент лежит
в D '. Запишем ct = х — у и qd. Тогда £ С' и 6( £ Дх.
Аналогично автоморфизм х -> d~rx, являясь обратным к автомор-
физму х dx, имеет модуль не меньше р-1 и, значит, отображает С
на множество d~rC меры >1; как и выше, заключаем, что существу-
ет с2 6 С', для которого элемент 62 = d-1c2 лежит в Dx. Тогда
6i62 = с1с2, так что 6t62 лежит в Dx [~| С". Но это пересечение —
конечное множество, поскольку подмножество D дискретно, а С"
компактно в ДА. Обозначим через уь . . ., все различные эле-
менты множества Dx [~| С". Элемент CjC2 равен одному из них,
скажем уг, так что = 1. Отсюда видно, что элемент с2 обра-
тим в ДА и обратный элемент с',1 равен у?1^. Поскольку d62 = с2,
мы заключаем, что d62 принадлежит множеству X тех элементов х
из ДА, образы которых при отображении х -> (%, лг1) лежат в объеди-
нении множеств С X (у^С), 1 i sgZ N. В силу определения 2
X является компактным подмножеством в ДА. Так как Ди cz X Dx,
то образ множества Ди в D%JD* содержится в образе множества X,
чем наша теорема и доказана.
§ 4. ИДЕЛИ А-ПОЛЕЙ
Здесь мы рассмотрим более подробно случай Jk = k.
Теорема 5. Пусть k — произвольное Х-поле. Тогда морфизм
2 I 2 1а группы feA в R* индуцирует на kx отображение, тожде-
ственно равное 1.
ГЛ. IV. АДЕЛИ
114
Если g g£x, то х £х есть автоморфизм группы kA, отображаю-
щий k в себя. По теореме 2 § 2 поле k дискретно в kA и факторгруппа
kJ k компактна. Поэтому модуль автоморфизма x^tx, который
по предложению 3 § 3 совпадает с | £ |А (если взять в этом предло-
жении Е = /г), равен 1, например по лемме 2 гл. 1-2.
Теорема 5 известна как формула произведения Артина. Начиная
с этого места, мы будем обозначать через /гА ядро морфизма z | z |А,
т. е. подгруппу в /гА, задаваемую условием | z |А = 1; по теореме 5
kA zd kx.
Следствие 1. Если k — поле характеристики р > 1, то
kA разлагается в прямое произведение подгруппы kA и некоторой
дискретной подгруппы, изоморфной Z.
Для каждой точки v поля k поле kv имеет характеристику р,
так что | х |0 для каждого х Е k% лежит в подгруппе в R+, порож-
денной элементом р. Поэтому то же самое верно для | z |А при
каждом г £&А. Другими словами, образ группы /гА при морфизме
z -> | z |А является подгруппой в группе, порожденной элементом р
в R*- Так как этот образ, очевидно, не сводится к {1}, то он поро-
ждается .некоторым целым числом Q = ру, где N 1 — целое
число. Возьмем zt £ kA, для которого | Zt |А = Q. Тогда kA разла-
гается в прямое произведение подгруппы kA и подгруппы, порож-
денной элементом zit которая, очевидно, дискретна и изоморфна
группе Z.
Следствие 2. Предположим, что характеристика поля k
равна нулю. Для каждого к Е R+ обозначим через z (Е) идель (zB),
такой, что zv — 1 для всех конечных точек v и zw = I для всех
бесконечных точек w поля k. Тогда отображение X-> z (X) есть
изоморфизм группы R.C на замкнутую подгруппу М в kA и kA раз-
лагается в прямое произведение подгрупп kA и М.
В обозначениях следствия предл. 2 § 3 очевидно, что z (X)
есть изоморфизм из R* на подгруппу М в kA(Poo)x. Определение
модуля | z |А вместе со следствием 2 теор. 4 гл. Ш-4 показывают,
что | z (%) |А = V, где п — степень поля k над Q. Наше последнее
утверждение теперь очевидно.
Теорема 6. Пусть kA — подгруппа в kA, определенная
условием | z |А = 1. Тогда kx является дискретной подгруппой
в kA, факторгруппа Аа/£х компактна и kAlkx разлагается в прямое
произведение этой компактной группы и группы, изоморфной R$
§ 4. ИДЕЛИ А-ПОЛЕЙ
115
в случае характеристики нуль и изоморфной Z в случае ненулевой
характеристики.
Первое утверждение содержится в теореме 5; второе является
частным случаем теоремы 4 § 3 при D — k, р = 1; остальные утвер-
ждения немедленно вытекают из следствий теор. 5.
Теперь мы исследуем более подробно структуру различных
подгрупп в &д и в &х и некоторых их факторгрупп. Условимся
обозначать через й (Р) группу, которая в следствии предл. 2 § 3
обозначалась через kA (Р)х. Другими словами, начиная с этого
места, мы будем писать
(5) й (Р) = [] % X П П .
v£P V$P
Как всегда, Р предполагается конечным множеством точек поля k,
содержащим множество Рх всех бесконечных точек; Р может быть
пустым, но только не в случае характеристики нуль. Напомним,
что й (Р) всегда является открытой подгруппой в kA-, ясно, что-
она компактна тогда и только тогда, когда Р пусто. Мы будем
также писать
Й! (Р) = Й (Р) П k\.
В случае когда характеристика поля k равна р > 1, мы можем,
взять здесь Р = 0, тогда Qj (0) = й (0).
Теорема 7. Если Р не пусто, то группа kA/kx& (Р) конечна.
Если характеристика поля k равна р> 1, то группа k}Jkx й (0)
конечна и kAlkx й (0) разлагается в прямое произведение этой
группы на группу, изоморфную Z.
Во всех случаях группа k\Jkx Qi (Р) изоморфна факторгруппе
группы k\lk* по образу в kAlkx группы Й1 (Р). Так как группа
й| (Р) открыта в kA, то и этот образ открыт; так как факторгруппа
kA/kx компактна по теореме 6, то указанная выше факторгруппа
по этому образу конечна. Если k имеет характеристику нуль,
то й (Р) содержит группу М, определенную в следствии 2 теор. 5,
и это следствие показывает, что й (Р) разлагается в прямое про-
изведение подгрупп Й! (Р) и М, так что можно отождествить
kA/kxQ (Р) с kA/kxQi (Р). Предположим теперь, что k имеет харак-
теристику р > 1. Поскольку й (0) = Й! (0), следствие 1 теор. 5
показывает, что kAlkx й (0) разлагается в прямое произведение
конечной группы g — kAlkx й (0) и группы у, изоморфной Z.
Если Р 0, то й (Р) содержит й (0) и не содержится в kA.
Поэтому kAlkx й (Р) совпадает с факторгруппой группы ^д/^хй (0),
ГЛ. IV. АДЕЛИ
116
т. е. группы g х у, по образу в ней группы kx Q (Р), и этот образ
не содержится в образе g группы k\. Отсюда видно, что эта фактор-
группа конечна.
Следствие. В обозначениях теоремы 7 можно выбрать Р
так, чтобы &д = &х й (Р).
Возьмем любое непустое Р' и выберем полное множество пред-
ставителей zi, . . ., zN для классов в &д по модулю kxO. (Р'). Так
как k& есть объединение всех групп й (Р), то можно выбрать
Р гд Р' так, чтобы все zt лежали в й (Р). Тогда Р будет обладать
требуемым свойством.
В случае когда k — после алгебраических чисел и Р = Рх,
теорема 1, как будет показано в следующей главе, по существу
совпадает с классической теоремой о конечности числа классов
идеалов в k.
Теорема 8. Пусть F — множество тех элементов £ из k,
для которых | В 1 для всех точек v поля k. Положим Е =
= F — {0}. Тогда Е совпадает с конечной циклической группой,
состоящей из всех корней из 1 в k.
Множество F является пересечением поля k с множеством тех
элементов (хс) из kA, для которых | xv |D 1 для всех и. Ясно,
что последнее множество компактно, а по теореме 2 § 2 Л дискретно
в ЛА. Поэтому F конечно. Если | Е Е, то теорема 5 показывает,
что для всех v должно выполняться равенство | £ |в = 1. Поэтому
Е является подгруппой конечного порядка в kx, откуда, согласно
лемме 1 гл. 1-1, следует цикличность Е. Обратно, очевидно, что
каждый корень из 1 в k должен содержаться в Е.
Следствие. Если k — поле характеристики р > 1, то
множество F, определенное в теореме 8, является конечным полем,
которое совпадает с алгебраическим замыканием в k простого поля в k.
Множество F можно в этом случае записать в виде F = k р (fj гв),
где произведение берется по всем точкам v поля k. Отсюда видно,
что F является кольцом; поскольку Е = F -— {0} есть группа,
то F — поле. По теореме 2 гл. 1-1 если отличный от нуля элемент
поля k алгебраичен над простым полем, то он является корнем
из 1 и, значит, лежит в Е по теореме 8.
В случае когда k имеет характеристику р > 1, конечное поле F,
определенное в следствии теор. 8, называется полем констант в k.
§ 4. ИДЕЛИ А-ПОЛЕЙ
117
Пусть множество Р то же, что и выше. Определим подгруппу
Е (Р) в kx, положив
Е(Р) = ^Т|Й(/>) = ^П(П X П r»Y
v£P V&P
Эта подгруппа состоит из тех элементов | группы kx, для которых
|| |в = 1 для всех v, не лежащих в Р. Очевидно, что Е (Р) содер-
жит группу Е, определенную в теореме 8. Так как kx дискретна
в kx, то Е (Р) является дискретной подгруппой в й (Р), а также
ввиду теоремы 5 в (Р). Можно еще описать Е (Р) как группу
k (Р)х обратимых элементов (или, в традиционной терминологии,
«единиц») подкольца k (Р) в k, задаваемого равенством
k(P) = kQ (П Ъх П г»)
v~P V&P
и состоящего из элементов | в k, таких, что I I |v 1 Для всех
не лежащих в Р. Для определения структуры группы Е (Р) нам
понадобится одна элементарная лемма.
Лемма 5. Пусть G — группа, изоморфная группе Rr X Zs+1~r,
где $>г >0. Пусть 'к в случае г > 0 есть какой-нибудь морфизм
группы G в R, нетривиальный на R’, а в противном случае — любой
нетривиальный морфизм группы G в Z. Пусть, далее, Gi — ядро
морфизма А и Г — такая дискретная подгруппа в G, что фактор-
группа GiH компактна. Тогда подгруппа Г изоморфна Zs.
.Можно считать, что G = Rr X Zs+1~r. Тогда каждый элемент х
из G можно записать в виде (х0, , xs), где %, Е R при 0 i < г
ихД Z при t г, а А можно записать в виде
S
х = (х0, ..., xs) —> А (х) = 2 atXi,
г=0
где at £ R при всех i, если г > 0, и at £ Z при всех i, если г = 0;
в обоих случаях в силу наших предположений относительно А
можно считать, что а0 0, а в первом случае можно считать, что
а0 = 1. Рассмотрим группу G как очевидным образом вложенную
в векторное пространство V = Rs+1 над R. Тогда приведенная
выше формула определяет А как линейную форму на V. Пусть Vi —
подпространство в V, определенное уравнением А (х) = 0, так
что Gi = G П Vi. Для 1 s обозначим через Cj точку (хг) в V,
для которой х0 = —aj, Xj = а0 и хг- = 0 при i 0 и i /. Так как
множество {щ, . . ., es} является базисом в Vi, то оно порождает
R-решетку И в Vi, так что факторгруппа VJH компактна. Посколь-
ку Н cz Gi и Gi замкнуто в Vlt отсюда следует компактность фактор-
ГЛ. IV. АДЕЛИ
118
группы Vi/Gi- Поэтому если подгруппа Г такая, как в нашей лемме,
то факторгруппа У±/Г компактна, так что Г является R-решеткой
в Vi и, следовательно, изоморфна Zs согласно предложению 11
гл. П-4.
Теорема 9. Пусть Р — любое конечное множество точек
поля k, содержащее Рх, и пусть Е (Р) — подгруппа в kx, состоя-
щая из тех элементов 'Eek', для которых | 5 I» = 1 для всех v,
не лежащих в Р. Тогда Е (Р) разлагается в прямое произведение
группы Е всех корней из 1 в k и группы, изоморфной Z®, где s = О,
если Р пусто, и s = card (Р) — 1 в противном случае г).
Если Р пусто, то наша теорема содержится в теореме 8, поэтому
можно считать, что Р 0. Обозначим через v морфизм из ° (Р)
в R*, индуцированный отображением \z |А. Его ядро совпа-
дает с Qi (Р) и открыто в feA. Канонический морфизм из k\ на k\!kx
индуцирует на °i (Р) морфизм этой подгруппы на ее образ в &А/&Х;
ядро этого морфизма равно Е (Р), ибо kx р °! (Р) совпадает с kx fl
П ° (Р). Поэтому факторгруппа °t (Р)!Е (Р) изоморфна открытой
подгруппе в k\]kx и, следовательно, компактна по теореме 6. С дру-
гой стороны, обозначим для всякой точки v поля k через Uv ком-
пактную подгруппу в k*, определенную условием | х |D = 1; эта
подгруппа совпадает с г», в случае когда и — конечная точка.
Положим U = [J Uv, где произведение берется по всем точкам
поля k. Это — компактная подгруппа в Q (Р) и в Qi (Р). Положим,
далее, G = ° (P)/U. Ясно, что эта группа изоморфна произведению
групп kvlUv по ц Е Р- Поскольку группа k$IUv изоморфна груп-
пе R'l или, что то же самое, группе R, в случае когда v — беско-
нечная точка, и изоморфна Z в противном случае, то G изоморфна
Rr X Zs+1-r, где г — число бесконечных точек поля k, a s — число
из формулировки теоремы. Так как U содержится в ядре (Р)
морфизма v группы ° (Р), то v определяет на группе G морфизм
этой группы в R+; этот морфизм, очевидно, нетривиален на каждом
из сомножителей k*!Uv в G, и в частности на тех из них, которые
изоморфны R, если таковые сомножители имеются, т. е. если г > 0.
С другой стороны, если г = 0, то по следствию 1 теор. 5 | z |А при-
нимает значения в группе, изоморфной Z, так что с точностью до
изоморфизма X отображает G в Z. Поэтому G и /. удовлетворяют
предположениям леммы 5; ядро Gi морфизма X равно в рассматри-
ваемом случае образу группы °i (Р) в G, т. е. (P)/U. Обозначим
х) Здесь card (Р)—это число точек в Р.— Прим, перев.
§ 4. ИДЕЛИ А-ПОЛЕЙ
119
теперь через Г образ группы Е (Р) в G. Если W — любая компакт-
ная окрестность единицы в Й (Р), то множество WU компактно
и потому имеет конечное пересечение с Е (Р). Так как образ этого
пересечения в G совпадает с пересечением подгруппы Г с образом
множества WU в G и так как последний образ является окрестно-
стью единицы в G, отсюда видно, что подгруппа Г дискретна в G.
Факторгруппа Gi/Г изоморфна Й1 (Р)/Е (Р) U, т. е. факторгруппе
компактной группы (Р)/Е (Р), и потому компактна. Мы можем
теперь применить к G, А, и Г лемму 5; получаем, что группа Г изо-
морфна Zs. Так как Е (Р) Q U = Е; то у морфизма группы Е (Р)
на Г, индуцированного каноническим морфизмом группы Й (Р)
на G, ядро равно Е. Пусть теперь е^, . . ., es — представители
в Е (Р) множества свободных образующих группы Г. Очевидно,
они порождают в Е (Р) подгруппу, изоморфную Zs, и Е (Р) раз-
лагается в прямое произведение группы Е и этой подгруппы.
Доказательство нашей теоремы закончено.
Попутно мы доказали также следующее
Следствие. Предположим, что Р не пусто и группа Е (Р)
такова, как в теореме 9. Положим Й1 (Р) = Й (Р) П &д u Gi =
= Qj (P)/U, где U — группа тех элементов (гс) из k&, для которых
| z0 |„ = 1 при всех V. Тогда образ Г группы Е (Р) в Gi дискретен
в Gt и факторгруппа Gi/Г компактна.
В случае когда k — поле алгебраических чисел и Р = Р^,
теорема 9, как будет показано в следующей главе, совпадает со зна-
менитой «теоремой об единицах» Дирихле.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ПОЛЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ЧИСЕЛ
§ 1. ПОРЯДКИ В АЛГЕБРАХ НАД Q
Нам понадобятся некоторые элементарные результаты о век-
торных пространствах над Q, связанные со следующим понятием.
Определение 1. Пусть Е — векторное пространство
конечной размерности над Q. Под О,-решеткой в Е мы понимаем
конечно порожденную подгруппу в Е, содержащую базис векторного
пространства Е над Q.
Предложение 1. Пусть Е — векторное пространство
конечной размерности над Q, и пусть L, L' — две Q-решетки в Е.
Тогда существует такое целое число т> 0, что mL cz L'.
Пусть {щ, . . ., ег} и {e'i, . . ., e's} — конечные множества обра-
зующих для L и L' соответственно. Так как второе множество
должно содержать базис для Е над Q, то et можно записать (вообще
говоря, не единственным способом) в виде et = S ацв], 1 i г,
где коэффициенты ац Е Q. Возьмем в качестве т такое целое поло-
жительное число, что matj Е Z при всех i, j. Тогда mL cz L'.
Следствие 1. Пусть Е таково, как в предложении 1. Тогда
каждая О,-решетка L в Е порождается некоторым базисом вектор-
ного пространства Е над Q.
Пусть Р — какой-нибудь базис в Е над Q, содержащийся в L,
и пусть L' — Q-решетка, порожденная множеством р. Согласно
предложению 1, существует такое целое число т > 0, что mL cz L'.
Рассмотрим Е как подмножество в ER = £ 8qR. Согласно пред-
ложению 11 гл. П-4 L' является R-решеткой в Er. Так как L содер-
жится в т~гЕ', то то же самое предложение показывает, во-первых,
что L также является R-решеткой в ER, а во-вторых, что L порож-
дается некоторым базисом в ER над R. Поскольку этот базис содер-
жится в Е, то он, очевидно, является базисом векторного простран-
ства Е над Q.
§ 1. ПОРЯДКИ В АЛГЕБРАХ НАД Q
121
Следствие 2. Пусть Е и L таковы, как в следствии 1.
Тогда каждая подгруппа L' в L, содержащая базис пространства Е
над Q, является Q-решеткой в Е.
Пусть Р' — базис пространства Е над Q, содержащийся в L',
и пусть L" — Q-решетка, порожденная множеством р'. Согласно
предложению 1, существует такое целое т > 0, что mLcz.L".
Тогда m^L" L L' kd L". Ясно, что L" имеет индекс тп
в пГ^Ь", где п — размерность Е над Q. Следовательно, L" имеет
конечный индекс в L'. Поскольку L' порождается множеством р'
и любым полным множеством представителей классов L'/L", наше
следствие доказано.
Определение 2. Пусть Л — алгебра конечной размер-
ности над Q. Подкольцо в Л будем называть порядком в Л, если
оно является О,-решеткой в алгебре Л, рассматриваемой как век-
торное пространство над Q.
Здесь, как всегда, подразумевается, что подкольцо в Л содержит
единицу алгебры Л.
Предложение 2. Каждая алгебра Л конечной размерно-
сти над Q содержит по крайней мере один порядок.
Пусть {at, .... ал-} — какое-нибудь конечное подмножество
в Л, содержащее базис векторного пространства Л над Q. Тогда
для всех I, j мы можем записать ащ} = 2 Cijhah, где коэффициенты
См € Q- Пусть т — такое целое положительное число, что тсцк Е Z
для всех i, j, h. Тогда Q-решетка, порожденная элементами
1, mat, . . maN, является порядком.
Возьмем для примера Л = Q. По следствию 1 предл. 1 каждая
Q-решетка в Q имеет вид oZ, где а Е Qx. Если эта решетка является
порядком, то сС- Е aZ, так что а Е Z, и 1 Е aZ, так что я-1 Е Z, откуда
я= + 1. Это показывает, что Z является единственным порядком
в Q.
Предложение 3. Пусть а — произвольный элемент неко-
торого порядка в алгебре Л, конечномерной над Q. Тогда а цел
над Z и Tr^/Q (я), NXq (я) Е Z. .
Пусть R — порядок, содержащий элемент я, и пусть {Я1, . . .
. . ., Ядг} — конечное множество образующих для R. Тогда при
1 <1 i N можно записать я -я; = 2 Сцам гДе коэффициенты
ctj Е Z. Это равенство можно переписать в виде 2 (&1}а — Сц) aj = О,
где (6гу) — единичная матрица 11V. Обозначим через D (7) опре-
ГЛ. V. ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
122
делитель матрицы (ЬцТ — сц), где Т — независимая переменная,
и через Dtj (Т) — миноры этой матрицы, 1 i, N; D (Т)
и Da (Т) являются многочленами из Z [Т], и
ЗАл (Т).(боТ-сг/) = бй/О(Т)
при 1 h, j N. Подставляя а вместо Т, умножая справа на
и суммируя по всем / от 1 до N, получаем D (a) ah = 0 при всех h;
следовательно, D (а) х = О при всех х. При х = 1 это дает D (я) =
== 0, чем доказано наше первое утверждение, поскольку много-
член D (Т) имеет целые коэффициенты и старший коэффициент
равен 1. В силу следствия 1 предл. 1 можно считать, что в качестве
множества {alt . . ., aN} взят базис для Л над Q. Тогда Тг^/Q (а)
и N^/Q (а) равны следу и определителю матрицы (сг;) и, значит,
являются целыми числами.
§ 2. РЕШЕТКИ НАД ПОЛЯМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Начиная с этого места и до конца главы k обозначает некоторое
поле алгебраических чисел. Мы будем использовать обозначения,
введенные в гл. IV. В частности, для любой точки v поля k через k„
обозначается соответствующее пополнение поля k; если v — конеч-
ная точка, то гв — максимальное компактное подкольцо в k„ и pv —
максимальный идеал в rv. Через kA обозначается кольцо аделей
поля k, а через ср — каноническое вложение k -+ k\. Каноническое
вложение любого конечномерного векторного пространства Е над k
в соответствующее адельное пространство ДА будет обозначаться
через срЕ; как было показано в гл. IV-1, при этом вложении е—*-
е 8 ср (1).
Рассмотрим теперь алгебру k 8qR над R; в теореме 1 гл. IV-1
эта же алгебра обозначалась через Имеется изоморфизм Ф<»
этой алгебры на прямое произведение [] kw пополнений поля k
по всем его бесконечным точкам w, этот изоморфизм вполне харак-
теризуется свойствами, сформулированными в теореме 4 гл. III-4.
Для упрощения обозначений отождествим посредством Фоо алгебру
(A/Q)oo с [J kw и будем обозначать обе алгебры через k<x>. Аналогично
если Е — любое конечномерное векторное пространство над k,
то будем писать Ех вместо Е R; в следствии 2 теор. I гл. IV-1
это же пространство обозначалось через (ДУО)»,; поскольку это
пространство совпадает также с Е ®hkx, мы отождествляем его
с произведением fj Ew, взятым по всем бесконечным точкам w
поля k.
§ 2. РЕШЕТКИ НАД ПОЛЯМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
123
Открытую подгруппу /гА (Poo) cz &а, задаваемую формулой (1)
гл. IV-1, можно теперь записать как kx X (Д rD), где последнее
произведение берется по всем конечным точкам v поля k и является
компактным. В этой и в аналогичных ситуациях оказывается
полезной следующая теоретико-групповая лемма.
Лемма 1. Пусть G — локально компактная группа с откры-
той подгруппой Gi вида Gi = G' X G", где G' локально компактна,
a G" компактна, и пусть Г — такая дискретная подгруппа в G,
что пространство GIT компактно. Обозначим через Г' проекцию
группы Г |"| Gi на G'. Тогда множество Г' дискретно в G', а множе-
ство G7T' компактно.
Пусть W — компактная окрестность нейтрального элемента
в G' (нет необходимости предполагать, что группы G, G', G" ком-
мутативны, хотя в дальнейшем будет использоваться только этот
случай). Поскольку множество W X G" компактно, его пересече-
ние с Г конечно. Так как проекция этого пересечения на G' совпа-
дает с W П Г', то множество Г' дискретно. Множества С4Г и G — С4Г
открыты, поскольку они являются объединениями левых смежных
классов по открытой подгруппе С4. Поэтому образ группы Gt
в G/Г открыт и замкнут там и, следовательно, компактен. Так как
он изоморфен Gi/Ti, где Г4 = Г (~| Gi, то существует такое компакт-
ное подмножество С в G1( что Gi = СТ4. Но тогда G' = С‘-Гл, где
С' — проекция С на G', чем и доказана компактность С7Г'.
Теорема 1. Пусть k — некоторое поле алгебраических чисел.
Положим г = р (k Г| г„), где v пробегает все конечные точки поля k.
V
Тогда г есть порядок в k; это единственный максимальный порядок
в k, и он совпадает с целым замыканием кольца Z в k.
Как объяснялось выше, запишем (Роо) в виде произведения
k<x X (Д rD). Ясно, что элемент g £ k лежит в г в том и только
в том случае, когда ср (£) лежит в этом произведении; обозначим
в этом случае через фоо (|) и ф (с) проекции ф Q) на kx и на Д г„
соответственно. Очевидно, г является подкольцом в k. Теперь
применим лемму 1 к G = kA, Gi = k& (Poo), G' = kx, G" = Д rv,
Г = ф (k). Согласно этой лемме Г' = фоо (т) является R-решет-
кой в k^. Так как ф«, совпадает с вложением, индуцированным
на г естественным вложением поля k в kx = k R, отсюда
следует, что г является Q-решеткой в k. Следовательно, г есть
порядок. Пусть г' — любое подкольцо в k, аддитивная группа
которого конечно порождена. Ясно, что гс-модуль, порожденный
ГЛ. V. ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
124
множеством т' в kv, является компактным подкольцом в kv. Этот
модуль содержит г„, поскольку г содержит 1; поэтому он совпадает
с гр, так что г' cz г0. Так как это справедливо для всех с, то г' с г.
Согласно предложению 3 § 1 г содержится в целом алгебраическом
замыкании кольца Z в k. Обратно, если некоторый элемент поля k
цел над Z, то предложение 6 гл. 1-4 показывает, что этот элемент
лежит в rv при всех v, а следовательно, лежит в г.
Отображение ф: г —П G, определенное в доказательстве тео-
ремы 1, будем называть каноническим вложением кольца г в про-
изведение [J гр. При этом вложении каждому Е 6 г сопоставляется
элемент (х„) этого произведения с х„ = Е при всех v. Отображе-
ние ф осуществляет изоморфизм кольца г на кольцо ф (г); сложе-
ние и умножение в [] rv определяются покоординатно. В этих
обозначениях справедливо
Следствие 1. Пусть k, г и ф таковы, как выше. Тогда
кольцо ф (г) плотно в fj rv и его . проекция на каждое частичное
произведение плотна там. В частности, rv совпадает с замыканием
х в kv.
Пусть G, Gi, G', G", Г таковы, как в доказательстве теормы 1.
По следствию 2 теор. 3 гл. IV-2 кольцо kx + ф (k), которое мы
теперь обозначаем через GT, плотно в G = kA, так что его пере-
сечение с Gt должно быть плотно в Gt. Так как это пересечение
равно ф (г), отсюда следует, что его проекция на G" = [] rv,
совпадающая с проекцией ф (г) кольца ф (г) на G", плотна там.
Второе утверждение нашего следствия тривиальным образом сле-
дует из первого.
Следствие 2. Если k' — конечное алгебраическое расши-
рение поля k, то максимальный порядок в k' совпадает с целым
замыканием кольца г в k'.
Это снова вытекает из предложения 6 гл. 1-4; рассуждения
в точности те же, что и в доказательстве теоремы 1.
Определение 3. Пусть k — некоторое поле алгебраиче-
ских чисел, г — максимальный порядок в k и Е — векторное про-
странство конечной размерности над k. Всякий конечно порожденный
i-модуль, содержащий базис векторного пространства Е над k,
будем называть k-решеткой в Е.
Если k' — конечное алгебраическое расширение поля k, т' —
максимальный порядок в k' и Е — векторное пространство конеч-
ной размерности над k', то, очевидно, r'-модуль в Е является
§ 2. РЕШЕТКИ НАД ПОЛЯМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
125
^'-решеткой тогда и только тогда, когда он является ^-решеткой
в Е, рассматриваемом как векторное пространство над k.
Пусть Е — векторное пространство конечной размерности над k,
L — некоторая ^-решетка в Е и е — конечное подмножество в Е,
порождающее L как r-модуль. Тогда для каждой конечной точки v
поля k /-„-модуль е„, порожденный множеством е, совпадает с г,:-
модулем Lv, порожденным решеткой L. Согласно предложению 1
гл. 1V-1 £А (Poo, е) совпадает с Е^ х [] L„ и является открытой
подгруппой в Еа. Для каждого е Е L можно определить элемент
(е„) в П положив е„ = е при всех v. Обозначим этот элемент
через Ть (^); отображение Тг будем называть каноническим вложе-
нием решетки L в ]] Lv. Имеет место
Предложение 4. Пусть Е — векторное пространство
конечной размерности над k и L — некоторая k-решетка в Е. Для
каждой конечной точки v поля k через Lv обозначим г „-модуль, порож-
денный решеткой L в Е„. Пусть L -> [| L„ — соответствующее
каноническое вложение. Тогда образ фг. (L) плотен в [] L„ и его
проекции на каждое частичное произведение плотны там; в част-
ности, L„ для каждой точки v совпадает с замыканием L в Е„.
Пусть е = {щ, . . ., eN} — какое-нибудь конечное подмножество
в L, порождающее L как r-модуль. Возьмем любой элемент (е„) Е
€ П Для каждой точки v можно записать е„ в виде е„ = 2 е,,
где коэффициенты € г„. Положим х, = (х(01)) при 1 i <1 N..
Тогда х, Е П г„. По следствию 1 теор. 1 можно найти такие Е т,
что для каждого i элементы ф (£,) сколь угодно близки к xt. Тогда,
очевидно, элемент фь(2£ге/) может быть сделан сколь угодно
близким к е„.
Теорема 2. Пусть k — некоторое поле алгебраических
чисел, Е — векторное пространство конечной размерности над k
и L — некоторая k-решетка в Е. Для каждой конечной точки v
поля k пусть L„ — замыкание решетки L в Е„ и М„ —• произволь-
ная k!:-решетка в Е„. Тогда k-решетка М в Е, замыкание которой
в Е„ совпадает с М„ при всех V, существует в том и только том
случае, когда Mv = Lv почти для всех V, при этом существует
только одна такая k-решетка', она задается равенством М =
= П (Е П М„).
V
Предположим, что такая ^-решетка М существует. Тогда ввиду
предложения 4 равенство Mv = Lv почти для всех v есть простая
переформулировка следствия 1 теор. 3 гл. Ш-1. Предположим
ГЛ. V. ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
126
теперь, что Mv = Lv почти для всех v. В силу предложения 1 гл. IV-I
отсюда следует открытость множества £» X П;Мс в ЕА. Поэтому
к G = ЕА, G' = £00, G" = П Mv, Г = <рв (£), где фв: Е ЕА —
каноническое вложение, можно применить лемму 1. Ясно, что если
положить М = (~| (£ (~| Mv), то фв (А1) совпадает с <р£ (£) Q Gi,
где Gi = G' X G". По лемме 1 М является R-решеткой в £« и,
следовательно, Q-решеткой в Е. Так как, очевидно, М есть г-
модуль, то М является ^-решеткой. По следствию 2 теор. 3 гл. IV-2
группа £оо + (£) плотна в ЕА, поэтому ее пересечение £оо +
+ фв (А1) с Gi плотно в Gi. Другими словами, проекция фв (АГ)
на G" = П Мв плотна там; следовательно, решетка М плотна в ЛТ
для каждой точки v. Как и выше, обозначим через фм каноническое
вложение Al -> [J Mv. Предположим, далее, что существует другая
й-решетка М' в Е с замыканиями Мв в Ev для всех v. Ясно, что
М' cz М. Кроме того, согласно предложению 4, образ фм (АГ')
плотен в П М„, а следовательно, и в флг (Al). По предложению 1
существует такое целое число т > 0, что М' го тМ. Обозначим
через Gm образ Gi при автоморфизме е-+ ф (т) е пространства ЕА.
Можно записать Gm в виде Gm = G' х G”n, где G”m = [] (тАГс).
Ясно, что mMv = Mv почти для всех v (а именно для всех конечных
точек поля k, которые не лежат над простыми делителями числа т
в Z) и Gm является открытой подгруппой в G". Далее, ф£ (тМ)
совпадает с ф£ (£) f] G„,, а следовательно, и с фЕ (АГ) П Gn и содер-
жится в фм (АГ)- Другими словами, фм (АГ) ("| G”m cz флг (АГ).
Возьмем теперь произвольный элемент р Е М. Так как группа
фм (АГ) плотна в фм (АГ), то существует такой элемент р,' Е М',
что фм (р. — р.') € Gm. Тогда фм (р, — р,') Е фм (АГ'), так что
р. — р.' Е АГ и р, Е М' Это рассуждение показывает, что М = АГ'.
Доказательство теоремы закончено.
Следствие. Пусть L, L' — две k-решетки в Е. Тогда
L + L' и L П L' являются k-решетками в Е и для каждой конечной
точки v поля k замыкания этих решеток в Ev выражаются через
замыкания L„, L'v решеток L, L' формулами
(L + £')D = £и + £«, (£ П i-')v = £» П TJ,.
Утверждения о L + L' сразу следуют из предложения 4. Рас-
смотрим пересечение L Q L'. Положим AI„ = Lv f] L'v. Для каждой
точки v это—^-решетка в Ев, и АГ„ совпадает с Lv почти для
всех V. Поэтому существует ^-решетка АГ в £ с замыканием АГ„
в £„ для каждой v, и М задается как П (£ П АГ„). Но по теореме 2
последнее множество совпадает с £ П £'.
§ 3. ИДЕАЛЫ
127
§ 3. ИДЕАЛЫ
В этом параграфе через k будет обозначаться некоторое поле
алгебраических чисел и через г — максимальный порядок в k.
Результаты § 2 будут применяться к случаю Е = k. Ясно, что
отличный от {0} т-модуль в k является ^-решеткой в том и только
том случае, когда он конечно порожден. Согласно предложению 1
§ 1, для любой ^-решетки а в k существует такое целое число
т > 0, что та cz г. Тогда, очевидно, та является идеалом
в кольце г. Поэтому в силу следствия 2 предл. 1 § 1 каждый идеал
в т, отличный от {0}, является ^-решеткой. Отсюда видно, что
подмножество в k является ^-решеткой тогда и только тогда, когда
оно имеет вид |а, где а — идеал в т, отличный от {0}, а £ € kx.
Определение 4. Всякую k-решетку в k будем называть
дробным идеалом в k\ дробный идеал в k будем называть целым,
если он содержится в г.
В соответствии с этим определением {0} не является дробным
идеалом.
Пусть а —дробный идеал в k и L — некоторая ^-решетка
в конечномерном векторном пространстве Е над k. Под aL будем
понимать подгруппу в Е, порожденную всеми элементами вида ае,
где a g a, eQL. Ясно, что aL является ^-решеткой в Е. Пусть
v — произвольная конечная точка поля k. Обозначим, как выше,
через а„ замыкание а в kv и через Lv, (aL)v— замыкания L, aL
в Ev. Согласно предложению 4 § 2, эти замыкания порождаются
как гр-модули соответственно множествами а и L, aL. Отсюда
ясно, что (а£)р совпадает с подгруппой avLv cz Ev, порожденной
элементами ае с а£а„, eQLv.
В частности, если а, Б —два дробных идеала в k, то ab есть
подгруппа аддитивной группы поля k, порожденная элементами
вида af>, где а£а, РЕБ; ab является дробным идеалом в k,
и (ab)p = aDbp для каждой конечной точки v поля k. Если pv —
максимальный идеал в гр, то каждая &„-решетка в kv имеет вид /?",
где ngZ. В частности, можно записать av = pi, bB = Pv, где а,
bQZ, и очевидно, что apb„ = р?+ь.
Теорема 3. Пусть k — поле алгебраических чисел и х — его
максимальный порядок. Для каждой конечной точки v поля k
положим р„ = г П рг,. Тогда отображение v—> pD является биекцией
множества конечных точек поля k на множество простых идеалов
в г, отличных от {0}. Относительно операции (a, b)—>аБ мно-
жество дробных идеалов в k является группой с нейтральным
ГЛ. V. ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
128
элементом т; это — свободная абелева группа, порожденная про-
стыми идеалами в г; отличные от {0} идеалы в г образуют
моноид, порожденный этими простыми идеалами.
Для каждого дробного идеала а в k запись а„ — р*бР определяет
отображение v —> а (с) множества конечных точек поля k в Z.
Для а = т все а (у) равны нулю. Теорема 2 § 2 показывает, что
заданному отображению v —> а (у) тогда и только тогда соответ-
ствует некоторый дробный идеал а, когда а. (у) = 0 почти для всех v,
и что в случае когда это так, а определен однозначно, а именно
а = A (k П Если Ь соответствует аналогично отображению
V—>Ь(у), то, как показано выше, аЬ соответствует отображению
V—» а (и) + Ь(у). Ясно также, что асЬв том и только том случае,
когда с(у)>&(у) при всех V- в частности, дробный идеал а цел
тогда и только тогда, когда а(у)>0 при всех v. Для любого
заданного v положим а (у) = 1 и а (у') = 0 при всех у' у и обо-
значим через соответствующий идеал --г П Рв- Ясно, что
дробные идеалы образуют свободную абелеву группу, порожденную
идеалами рр. Так как pv — простой идеал в г0, то —простой
идеал в г. Покажем теперь, что этими идеалами исчерпываются
все ненулевые простые идеалы кольца г. Пусть а — произвольный
идеал в г, так что п(у);>0 при всех у. Если идеал а отличен от г
и всех то мы можем записать его в виде а'а", где а', а' —
идеалы в г, отличные от т. Тогда а' содержит а и не совпадает
с а, так что множество а' — а непусто; то же самое справедливо
для а" — а. Возьмем элементы а'£а'— а и а"£а" — а. Тогда оба" с а,
хотя ни а', ни ос" не лежат в а; следовательно, идеал а не прост.
Доказательство теоремы закончено.
Следствие 1. Пусть а, Ь — два дробных идеала в k. Для
каждой точки v обозначим через а (у) и Ь(у) показатели степеней
при р» в разложениях а и Ь в произведения степеней простых
идеалов в т. Тогда аДЬ и аПЬ являются дробными идеалами в k,
и показатели степеней при Д в аналогичных разложениях этих
идеалов равны соответственно min (а (у), b (у)) и max (я (у), b (у)).
Это немедленно вытекает из теоремы 3 и следствия теор. 2 § 2.
Как обычно, два идеала а, Ь в г называются взаимно простыми,
если а Д Ь = г.
Следствие 2. Каждый дробный идеал а в k может быть
одним и только одним способом записан в виде Ьс-1, где Ь и с —
взаимно простые идеалы в г.
Это немедленно следует из теоремы 3 и следствия 1..
§ 3. ИДЕАЛЫ
129
По аналогии со случаем k = Q идеалы Ь, с из следствия 2
называются соответственно числителем и знаменателем дробного
идеала а.
Группу дробных идеалов поля k будем обозначать через 1 (k).
Если а = (а„) — произвольный элемент из k£, то по следствию
предл. 2 гл. IV-3 | av |„ = 1 и, значит, avrv = rv почти для всех
конечных точек v поля k. Поэтому по теореме 3 существует один
и только один дробный идеал а в k, такой, что aD = avrv для всех
конечных точек v; обозначим этот идеал через id (а). Отображение
а -+ id (а) группы /Д в I (k), очевидно, сюръективно. Обозначим
через Qoo ядро этого отображения, которое, очевидно, равно
k'£ X (Па, т. е. &а(-Роо)х в обозначениях следствия предложе-
ния 2 гл. IV-3 и Q (Рсо) в обозначениях формулы (5) гл. IV-4. Так
как подгруппа открыта в Ад, то отображение а->- id (а) есть
морфизм группы на группу I (k), наделенную дискретной топо-
логией. Таким образом, можно отождествить I (k) с Хд/Псо.
В частности, для каждого £ € kx имеем id (Н) = £г. Этот г-
модуль, порожденный элементом g в k, часто обозначается через (£),
а его числитель и знаменатель, определенные выше, называются
числителем и знаменателем элемента Дробный идеал называет-
ся главным, если он имеет вид gr, где % Е kx. Главные идеалы
образуют подгруппу Р (k) в I (Е), которая является образом груп-
пы kx относительно морфизма, индуцированного отображением
a-*- id (а). Отождествляя I (k) с факторгруппой &д/йоо, мы видим,
что Р (k) совпадает с образом группы kx в этой факторгруппе.
ПОЭТОМУ МОЖНО ОТОЖДеСТВИТЬ 1 (k)/P (k) С ГРУППОЙ k\/kxQo!„
которая конечна по теореме 7 гл. IV-4. Элементы группы I (Ё)/Р (k),
другими словами, смежные классы в I (k) по модулю Р (k), извест-
ны как классы идеалов поля k. Число этих классов, т. е. индекс
подгруппы Р (/г) в I (k), будет обозначаться через h.
Теорема 4. Пусть k — поле алгебраических чисел, Е —
конечномерное векторное пространство над k и L, М — две k-
решетки в Е, такие, что L ко М- Для каждой конечной точки v
поля k обозначим через Lv, Mv замыкания решеток L, М в Ev и через
Хо— естественный гомоморфизм ЫМ ->• LJMv- Тогда отображе-
ние х -> (7 о (х)), где v пробегает все конечные точки поля k, является
изоморфизмом i-модулей L/М(Lv/Mjv)- Здесь г — макси-
V
мальный порядок в k.
Обозначим рассматриваемое отображение через X. Очевидно,
оно является гомоморфизмом r-модулей. Пусть х — любой эле-
ГЛ. V. ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
130
мент из L/М и е — его представитель в L. Если % (х) = 0, то е
должен лежать в Мо при всех V. По теореме 2 § 2 отсюда следует,
что е £ М и х = 0. Поэтому гомоморфизм X инъективен. Возьмем
теперь любой элемент у = (yv) Е Ц (LJMV) и для каждого v пред-
ставитель ev Е элемента yv. Положим е = (ег). Так как М„ = Lw
почти для всех V, то подгруппа [[ М„ открыта в [J L„. Поэтому,
согласно предложению 4 § 2, существует такой элемент е0 Е L,
что фд (е0) — е Е П Мв, где фд обозначает каноническое вложе-
ние L [J Lv. Другими словами, если х0 — образ элемента
в UM, то А (х0) = у, чем доказана сюръективность гомоморфизма Z.
Следствие 1. В обозначениях и предположениях теоремы 4
[L : Ml = j] : MJ-
Это очевидно. Следует заметить, что Lv = Mv почти для всех и
и М„ является открытой подгруппой компактной группы Lv, так
что число [Lv : A4J всегда конечно и почти всегда равно 1. Конеч-
ность индекса [L : М] неявно содержится в предложении 1 § 1,
а также в лемме 2 гл. П-4.
Следствие 2. Пусть v — конечная точка поля k, и пусть
Ро == т П Ро — соответствующий точке v простой идеал в мак-
симальном порядке г поля k. Тогда естественный гомоморфизм
T/$v—+rv/PD является изоморфизмом кольца r/pD на поле вычета»
rv/pv кольца rv.
Следствие 3. Пусть а, Ь — два дробных идеала в k, a Db,
и пусть а-1Ь = [] ря(ъ)—разложение дробного идеала а-1Ь в про-
изведение степеней простых идеалов кольца г. Тогда [а. :Ь|
~П1т: ЫПЫ-
По следствию 1 индекс [а: Ь] равен произведению индексов
[а0: ЬИ по всем V. Для данного v можно записать av = p%, bv~Pv.
Поэтому b — a-~n(v). Следствие 2 теор. 6 гл 1-4 показывает, что
[р% : pvl = qb~a, где q = [rv'pvl- Отсюда и из следствия 2 немед-
ленно вытекает наше утверждение.
Определение 5. Пусть k—некоторое поле алгебраи-
ческих чисел, г—его максимальный порядок и а—>31 (а)— такой
гомоморфизм группы дробных идеалов поля k в Qx, что 9t (р) =
= [г: р] для всех простых идеалов per. Тогда число 31 (а) назы-
вается нормой дробного идеала а в k.
Следствие 3 теор. 5 можно теперь переформулировать сле-
дующим образом: если а, Ь — дробные идеалы в k и а дэ Ь, то
[а : Ь] = 91 (Ь)/’Л (а). В частности, если а цел, то [г : а] = 91 (а).
§ 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
131
Предложение 5. Пусть а = (аю) — произвольный элемент
из k д. Тогда 5R (id (а)) = [J | где произведение берется по всем
конечным точкам поля k.
В силу определения 5 достаточно проверить это равенство
в случае, когда id (а) — простой идеал в т, т. е. когда а0 — про-
стой элемент в kv для некоторой конечной точки v и | aV' |„> = 1
для всех конечных точек v' =# v поля k. Но в этом случае равенство
очевидно.
Следствие 1. Для всякого элемента | € kx имеет место
равенство N^/q (£) = (—l)p3i (id (Н)), где p — число вещественных
точек w поля k, для которых образ элемента в kw строго отри-
цателен.
Комбинируя предложение 5 с теоремой 5 гл. IV-4, немедленно
получаем, что норма 91 (id (£)) равна произведению Д | £ ш|ш,
взятому по бесконечным точкам w поля k.
Для всякой вещественной точки w поля k и всякого х Е kw
имеем х = (sign х)-[х для всякой мнимой точки w поля k и вся-
кого х Е kx имеем N/iu,/k (х) = хх = | х |ш. Наше утверждение
немедленно вытекает теперь из следствия 3 теор. 4 гл. Ш-4, при-
мененного к k, Q и точке оо поля Q.
Следствие 2. Элемент £ максимального порядка г поля k
обратим в г тогда и только тогда, когда Nh/q (£) = ± 1.
Ясно, что £ обратим в г, тогда и только тогда, когда = г.
Так как — это то же самое, что id (£), то наше утверждение
немедленно вытекает из следствия 1 и того факта, что [г : а] =
= 31 (а) для каждого идеала а в кольце т.
Элементы группы тх, т. е. обратимые элементы кольца г,
называются по традиции «единицами» в k. В обозначениях гл. IV-4
гх = Е (Роо)', структура этой группы описывается теоремой 9
гл. IV-4: если число бесконечных точек поля k равно г + 1, то
группа гх изоморфна прямому произведению циклической груп-
пы Е всех корней из 1 в k и группы, изоморфной Zr. Это — «теорема
об единицах» Дирихле.
§ 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
Пусть Г — дискретная подгруппа в локально компактной
группе G. Под фундаментальным множеством в G относительно Г
по традиции понимается полное множество X представителей клас-
ГЛ. V. поля алгебраических чисел
132
сов смежности группы G по модулю Г, причем требуется, чтобы X
было измеримо, и обычно предполагается, что X обладает некото-
рыми дополнительными свойствами, например является борелев-
ским множеством и т. п. Тогда формула 6 гл. П-4, примененная
к G, к Г, к мере Хаара а на G и к характеристической функции
множества X, показывает, что а (X) = а (G/Г). Таким образом,
меру а (G/Г) иногда можно эффективно вычислить с помощью
построения подходящего фундаментального множества. Более
общим образом, назовем измеримое подмножество X в G фундамен-
тальным порядка v относительно Г, если оно содержит в точности
v точек из каждого смежного класса по модулю Г; тогда та же
самая формула дает а (X) = va (G/Г). Применим теперь все это
к случаям G — kA и G = &д.
Пусть k и г такие, как выше, и п — степень поля k над Q.
Так как г является Q-решеткой в k, рассматриваемом как вектор-
ное пространство над Q, то, согласно предложению 11 гл. П-4,
т порождается некоторым базисом {^, . . ., ^п} в k над Q. Поэто-
му этот базис является также базисом в kx = k ®q R над R. Следо-
вательно, положив 0 (и) = 2 для и = («1, . . ., ип) Е R", мы
определим изоморфизм 0: R" -> kx.
Предложение 6. Пусть k, г и Q такие, как выше', обо-
значим через 1 интервал 0 t < 1 в R. Тогда множество 0 (/") х
х П rv’ гд£ произведение взято по всем конечным точкам v поля k,
V
является фундаментальным множеством в kA относительно k.
Обозначим рассматриваемое множество через X. Оно, очевид-
но, измеримо. Нам надо показать, что каждый элемент х Е kA
может быть записан одним и только одним способом в виде х0 Е,
где х0 Е X и £ Е k. По следствию 2 теор. 3 гл. IV-2 группа -|- k
плотна в kA. Следовательно, поскольку подгруппа L X [] гс
открыта, для любого х Е kA существует такой г| Е k, что х — г| Е
Е kx X П rv- Из определения т видно, что элемент т/ Е k обладает
таким же свойством тогда и только тогда, когда rf — т] Е Пола-
гая у = х — т] и обозначая через у™ проекцию этого элемента
из произведения kx X П г„ на kx, можно записать ух = 0 (и),
где w==(«i, . . ., ип) Е R"- Для каждого i найдем такое а,- Е Z, что
at < «г < аг ’+ 1, т. е. ut — at Е I. Положим £ = т] — 2 atii
г
и х0 = х — %. Так как £ — т] Е т, то х0 Е kx х П г«- Далее,
проекция элемента х01.на k,x, равная
\ 2 = S (^i
§ 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
133
лежит в 0 (/п). Ясно также, что последнее условие не будет выпол-
няться ни при каком другом выборе целых чисел «г. Тем самым
наше утверждение доказано.
Предложение 6 будет сейчас использовано для вычисления
меры ос (kA/k) для явно заданной меры Хаара а на kA. Такую меру
можно построить следующим образом. Для каждой точки v поля k
выберем меру Хаара av на kv. Если сс„ (г„) = 1 почти для всех v,
то произведение мер [] а0 корректно определено и является мерой
Хаара на каждой из открытых подгрупп Ад (В) cz kA, определенных
формулой (1) гл. IV-1. Ясно, что существует одна и только одна
мера Хаара на kA, которая совпадает с этими мерами на их обла-
стях определения и которую мы будем обозначать через [] а„.
В частности, обозначим через р меру Хаара Д рв, которая полу-
чается, если взять рв (rB) = 1 для всех конечных точек v поля k,
а для бесконечных точек определить меру следующим образом.
Если w — вещественная точка, то пусть рш — мера Лебега на kw =
= R, т. е. dfiw (х) = dx. Если же w — мнимая точка, то меру ри,
на kw = С выберем так, чтобы d$w (х) = | dx Д dx это означает,
что если мы положим х = и + iv, где и, v Е R, так что dx Д dx =
= —2i (du Д dv), то рю есть мера, соответствующая дифферен-
циальной форме 2du Д dv, другими словами, pw/2 есть мера Лебега
на плоскости и, v.
Для вычисления р (kAlk) нам понадобится еще одно определе-
ние. В уже много раз применявшихся выше обозначениях рас-
смотрим матрицу
М = (Trft/Q (1)
и обозначим через D ее определитель. По предложению 5 гл. II1-3
D 0; по предложению 3 § 1 М Е Мп (Z), так что D Е Z. Если
k = Q, то г Z, так что |i = +1 и, следовательно, 0 = 1. Если
{г|1, • •> Лп}—другое множество образующих для т и N —
матрица, полученная заменой в (1) на т];, то можно записать
тр = 2 гДе аа £ ПРИ всех г> /• Тогда N = AM1 А, где
А — матрица (а.ц). Аналогично можно записать £г = 2 ЬгЛЬ, где
Ьц Е Z при всех i, j. Обозначая через В матрицу (Ьц), получаем
АВ = 1; следовательно, det (A) det (В) = 1. Так как det (А) и
det (В) лежат в Z, отсюда вытекает, что det (А) = ±1, значит
det (N) = det (Л1). Другими словами, определитель D матрицы М
не зависит от выбора базиса. Этим оправдано следующее
Определение 6. Пусть k и {£i, . . ., £п} таковы, как
выше. Тогда определитель D матрицы М, задаваемой формулой (1),
называется дискриминантом поля k.
ГЛ. V. ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
134
Предложение 7. Пусть ₽ = [J ₽» — меРа Каира на kA,
причем Ро (rD) = 1 для всех конечных точек v, dfiw (х) = dx для
всех вещественных точек w и </рш (х) = | dx /\ dx | для всех мнимых
точек w поля k. Тогда Р (WX) = I D |1/2, где D — дискриминант
поля k.
Обозначим через Р» меру j{ pw на kx = [] few, где произведе-
ния берутся по всем бесконечным точкам w поля k. По предложе-
нию 6 р (&А/Х) совпадает с рж (6 (7П)), поэтому наше предложение
будет доказано, если мы покажем, что
dPo» (0 (и)) = | D I1/3 dut . . . dun.
Обозначим через ri и г2 соответственно число вещественных и мни-
мых точек поля k и положим г = п + г2 — 1. Пусть w0, . . ., wr —
бесконечные точки поля k, упорядоченные так, что точка wt веще-
ственна при i < ri и мнима при i i\. Для каждого i обозначим
через ki пополнение поля k относительно wt, через Х,: — естествен-
ное вложение k -> kt и через р, — R-линейное продолжение вло-
жения Хг на Если, как это было сделано выше, отождествить
с [] kt, то теорема 4 гл. Ш-4 показывает, что р,- является про-
екцией из k<x, на kt. По следствию 1 предл. 3 гл. Ш-2 каждое изо-
морфное вложение X': k -> С имеет вид ст о Xz, где ст — некоторый
R-линейный изоморфизм поля kt в С; очевидно, что если kt = R,
т. е. если i < п, то ст есть естественное вложение поля kt в С, а если
kt = С, т. е. t ri, то ст — это одно из двух отображений х -> х
или х —> х поля С на С. Поэтому, если положить k'i = Хг при
О < i < г и Xr,+, = Хг при ri i г, то вложениями k’h, 0 h
п — 1, будут исчерпываться все различные изоморфизмы поля k
в С. Обозначая теперь R-линейное продолжение вложения Kh
на k<*> через р/,, имеем
TI
рл (9 («)) = S k'h (?г)
<---=!
где и = («!, . . ., ип) € Rn и 0 /г п — 1. Обозначим через N
матрицу коэффициентов (Хд (?;)) в правой части равенства. Согласно
следствию 3 предложения 4 гл. Ш-З, Trfe/Q (?) = 3 (?) при
всех ? G k; поскольку Хд суть изоморфизмы, отсюда вытекает, что
М=(Зхн^)ХИ^)) = 'лслг,
h
§ 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
135
следовательно, D = det (N)2- В то же время во внешней алгебре
дифференциальных форм на Rn выполняются соотношения
(2) П^а(9 («))-+ П dH(9(«))A
h 0 1 < П
A II (4*7 (0 («)) А 4*7 (9 («))) = ± det (N) dui А • • A dun-
Ввиду определения мер 0Ш доказательство предложения 7 закон-
чено. Можно заметить, что если умножить (2) на iTs, то получится
вещественная дифференциальная форма на Rn. Поэтому ir-- det (tV) —
вещественное число; другими словами, (—l)r* D > 0.
Следствие 1. Если k Q., то | D | > 1.
Придерживаясь введенных выше обозначений, для 0 t г
выберем Ci Е R* и обозначим через Y (с) множество таких элемен-
тов у = (у„) £ k\, что | ув |0 1 для всех конечных точек v поля k
и I ywt сг/2 при О i г. Для каждой бесконечной точки w
и каждого с Е RC подмножество в kw, задаваемое неравенством
| х |ц, с/2, является интервалом длины с, если w — веществен-
ная точка, и кругом 0„.-меры лс, если w — мнимая точка. С учетом
определения 0 это дает 0 (Y (с)) = лг? Д с,. Если это число больше,
чем | D |1/2, то лемма 1 гл. П-4 в сочетании с предложением 7 пока-
зывает, что существуют такие у, у' € У (с), что ц = у — у' Е kx.
Тогда | ц |0 1 для всех конечных точек v поля k, сь если
Wi — вещественная точка, и, очевидно, | ц |ш. 2сг, если wt — мнимая
точка. Отсюда ввиду теоремы 5 гл. IV-4 вытекает, что2г= Д сг 1.
Предположим, что г2 > 0- Тогда если бы | D | — 1, то, выбрав ct
так, чтобы Д Ci было и <2-г2, мы получили бы противоре-
чие. Теперь предположим, что г2 = 0, так что п = п, и | D | = 1.
Тогда при любом выборе с,, удовлетворяющем условию Д ct > 1,
существует г] Е kx с указанными выше свойствами. Ясно, что
множество элементов х = (%„) Е &л, таких, что | xv |в 1 для
всех конечных точек v и | xw |ш 2 для всех бесконечных точек w,
компактно и потому содержит лишь конечное число элементов
Hi, . . ., n.v поля k. Следовательно, можно выбрать с' > 1 так,
чтобы ни одно из T|v не удовлетворяло неравенствам 1 | t]v |Wo С
с'. Выберем теперь сг так, чтобы выполнялись неравенства
Д Ct > 1, 1 < с0 < с', с0 < 2 и Ct <z 1 при 1 г п — 1. Тогда
существует т] Е &х, для которого | т] |ю. cf при 0 i п — 1
и I Л I» С 1 Для всех конечных точек v. Ввиду нашего выбора с'
и ci отсюда следует, что ] т) h. < 1 при i > 0 и | т) ]„,0 < 1. Но
если п =/= 1, это противоречит теореме 5 гл. IV-4.
ГЛ. V. ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
136
Следствие 2. Существует лишь конечное число полей
алгебраических чисел заданной степени п над Que заданным дискри-
минантом D.
Поскольку это утверждение нигде в дальнейшем не использует-
ся, мы дадим лишь набросок доказательства. Рассуждая точно*
так же, как выше, мы видим, что существует такое число ц £ kx,
что | г] |„ 1 для всех конечных точек v поля k и | г] |u, < 1 для
всех бесконечных точек w, кроме одной такой точки w0, причем
образ л0 (т]) числа ц в йи-0 лежит в интервале | х | <1 2 | D I1/2,
если точка w0 вещественна, и в прямоугольнике, задаваемом нера-
венствами | и | 1, | v | | D |1/2, х = и + iv, если точка w
мнима. Поскольку должно выполняться неравенство |г| |Юо> 1,
из последнего условия следует, что число Zo (ц) невещественно,
если точка w0 мнима. Отсюда вытекает, что k = Q (г]). Действи-
тельно, в противном случае обозначим через и точку поля Q (г]),
лежащую под щ0; тогда | ц |!B > 1 для всех точек w поля k, лежа-
щих над и, если таких точек больше одной, и число л0 Gl) должно
быть вещественным, если точка и вещественна, a w0 мнима; посколь-
ку это не так, следствие 1 теор. 4 гл. Ш-4 показывает, что степень k
над Q (ц) не может быть больше 1. Отсюда следует, что все Ц (г|),
О h п — 1, различны, так что Ц (х — Ki (т|)) — неприводимый
многочлен в Q [х] со старшим коэффициентом 1 и с корнем г]. Коэф-
фициенты этого многочлена, очевидно, ограничены по модулю*
некоторым числом, зависящим от | D все они лежат в Z, ибо
| 1] |в 1 для всех конечных точек v поля k, другими словами,
т] Е г, т. е. элемент ц цел над Z. Поэтому таких многочленов,
а следовательно, и чисел ц, может быть при заданном D лишь,
конечное число.
Теперь мы рассмотрим соответствующие вопросы для kx/k*.
Как и выше, обозначим через £!«, ядро отображения a->id(a)..
Это не что иное, как группа Й X < с kA, или Q (Рто) в обо-
значениях гл. IV-4. Будем писать Qj вместо Qi (Poo) для обозначе-
ния Поо П &а- Как и в гл. IV-4, обозначим через U группу таких
элементов (z„) Е kA, что | z |„ = 1 для всех точек V, конечных,
и бесконечных; это компактная подгруппа в Qi. Как было отмече-
но в § 3, гх совпадает с группой, обозначавшейся в гл. IV-4 через;
Е (Роо). По-прежнему будем обозначать через Е циклическую*
группу корней из 1 в k. Запишем опять бесконечные точки w0, . . .
. . ., wT поля k в каком-нибуь порядке. Для каждого аделя г =
= (z„) Е Ня, положим
I (z) = (log (I Zu.-0 |wo> • • > log (I luy))- (3}
§ 4. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА
137
Отображение I: йоо-> Rr+1, определенное формулой (3), является,
очевидно, морфизмом (мультипликативно записываемой) группы
Qoo на (аддитивно записываемую) группу Rr+1; ядро этого морфизма
совпадает с U. Пусть А — линейная форма на Rr+1, задаваемая
равенством А (х) = У хп где х = (хо, . хг). Тогда log (| z |А) =
= А (/ (z)) при z Е Qco. Поэтому если Н — гиперплоскость в Rr+1,
определяемая уравнением А (х) = 0, то множество Z-1 (Я), являю-
щееся ядром отображения А ° Z, совпадает с Qi и I индуцирует
морфизм из Qi на Н с ядром U. Этот морфизм мы можем использо-
вать для отождествления группы Gt = QJU с векторным простран-
ством Н. Положим Г = I (гх). По следствию теор. 9 гл. IV-4 Г
есть дискретная подгруппа в Н, и факторгруппа /7/Г компактна;
другими словами, Г есть R-решетка в Н. Отсюда следует (так же,
как и при доказательстве теоремы 9 гл. IV-4), что г элементов
et, . . ., ег из тх будут свободными образующими для некоторой
подгруппы в тх тогда и только тогда, когда их образы I (ег) в Rr+1
образуют базис в Н, и что гх разлагается в прямое произведение
подгруппы Е и этой подгруппы в том и только в том случае, когда
эти образы порождают группу Г; в этом случае будем говорить,
что ег образуют систему свободных образующих для гх по модулю Е.
Предположим теперь, что такая система образующих уже выбрана.
Для 0<С г -С г обозначим через степень поля kw. над R; бг = 1
или 2 в соответствии с тем, вещественна или мнима точка щ;. По след-
ствию 2 теор. 4 гл. Ш-4 У, 6, = п, т. е. X (8) — п, если обозначить
через 6 вектор (д0, . . ., 6Г) в Rr+1. Отсюда следует, что 6 вместе
с векторами I (ег), 1 i г, образует базис в Rn+1, так что можно
следующим образом определить автоморфизм F пространства R!l+1:
O--=(G, - tr)-^F(t') = n~1t08+ 3 (4)
г—1
Имеем % (F (/)) = t0 и
Z (т]Г1е"г) = ^(О, «г), (5)
г
где т] Е Е и (fii, . . ., пГ) Е Zr.
Предложение 8. Положим йоо = k£ X Д г*, и пусть-
I — морфизм из Поо на Rn+1, задаваемый формулой (3); {а1; . . .
. . ., ah} — полное множество представителей смежных классов-
по модулю йхйоо в &А; Е — группа всех корней из 1 в Е, е — поря-
док этой группы', {еь . . ., ег} —система свободных образующих.
ГЛ. V. ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
138
для Iх по модулю Е; F — автоморфизм пространства Rr+1, зада-
ваемый формулой (4), и I — интервал 0 t < 1 в R. Тогда объеди-
нение множеств a fix1 (F (R х Г)), 1 г <1 Л, является фунда-
ментальным множеством порядка е в kA по модулю kx.
Возьмем произвольный элемент z — (zD) в k\. Существует один
и только один индекс i, для которого apz € kxQx. Можно записать
г = afy', где £ Е kx, г' Е Поо, причем элемент z' однозначно
определен по модулю kx f] т. е. по модулю тх. Положим
У7-1 (I (z')) = (А>, • tT). Для 1 i г возьмем такие nt Е Z,
что nt ti <Z nt + 1- Положим e = П е"‘> z" ~ 6~*г' и е' = ge.
Тогда z = ^'а^" и ввиду (4) и (5) I (z") € F (R X Г). Далее ясно,
что этими условиями элемент z" определен однозначно по модулю Е.
Доказательство предложения закончено.
Как мы видели в § 3, морфизм z -> id (z) из kA на / (k) опре-
деляет изоморфизм группы &д/&хПоо на группу I (k)/P (k) классов
идеалов поля k. Поэтому число h, фигурирующее в формулировке
предложения 8, совпадает с порядком этой группы, и идеалы at
из этого предложения могут быть охарактеризованы тем свой-
ством, что дробные идеалы id (йг) являются представителями
классов идеалов поля k.
Теперь определим меру Хаара у на Ад. Как и в случае kA, это
можно сделать, выбрав для каждой точки v меру Хаара yv на kA
так, чтобы yv (г*) = 1 почти для всех V, и потребовав, чтобы у
совпадала с [] yv на каждой группе kA (Рх)х. Полученную меру у
будем обозначать через у„. Как и в случае kA, нам понадобится
одно определение.
Определение 7. Во введенных выше обозначениях пусть
L —матрица, составленная из строчек п~гб, I (ei), . . ., I (ег).
Тогда R = | det (L) | называется регулятором поля k.
Так как L является матрицей автоморфизма F: R'l+1Rn+1,
задаваемого формулой (4), то F имеет определитель ±7?. Наше
определение будет оправдано, если мы докажем независимость R
от выбора ег. Это легко можно было бы сделать таким же способом,
как и для дискриминанта. Но мы получим этот факт как следствие
приводимого ниже предложения.
Предл о ж е н и е 9. Пусть у = yv — мера Хаара на kA,
где у„ (г*) = 1 для всех конечных точек v поля k, dyw (х) = | х |-1 dx
для каждой вещественной точки w и dyw (х) = (хх)-1 | dx Д dx |
для каждой мнимой точки w. Для каждого числа т > 1 в R обозна-
§ 4. фундаментальные множества
139
чим через С (т) образ в йА/йх подмножества в йА, определенного
неравенствами 1 | г |А т. Тогда у (С (m)) = ch log (m), где
ck = 2r* (2л)Гг hRle.
Здесь, как и выше, п и г2 — это соответственно число веще-
ственных и число мнимых точек поля k, h — число классов идеа-
лов, R — регулятор и е — порядок группы Е всех корней из 1 в k,
который всегда четен, так как ±1 Е k. Очевидно, е = 2 при Г1 > О,
поскольку R не содержит никаких корней из 1, кроме ±1.
Доказательство предложения начнем с того, что заменим пред-
ставителей at смежных классов в йА по модулю kx введенных
в предложении 8. А именно для каждого i заменим а, на а^у1,
где bi £ йоо и | bt |а = I at |А. Теперь | at JA = 1 при 1 i h
и, согласно предложению 8, еу (С (m)) = hy (X), где X — пере-
сечение множества R1 (F (R X Г)) с множеством 1 | г |А т
в k\. Как мы видели выше, если z Е йоо и F"1 (/ (г)) = (/0, . tr),
то
log(| г |А) = X (/ (г)) = Х(А (/)) = /0.
Поэтому множество X может быть записано в виде /-1 (F (J X Г)),
где J — интервал О t log (m) в R. Поскольку I — морфизм
из Qoo на Rr+1 с компактным ядром U, то для любого компактного
подмножества У с Rr+1 прообраз /-1 (У) является компактным
подмножеством в Qoo и отображение У -> у (Z-1 (У)) определяет
меру Хаара на Rr+1, которая, как известно, есть некоторое кратное
са меры Лебега а на Rr+1, где постоянная с > 0. Отсюда вытека-
ет, что у (х) = са (A (J X Г)). По определению регулятор R
равен модулю определителя автоморфизма F пространства Rr+1,
откуда
у (X) = са (F (J х Л)) = cRa (J X Г) = cR log (m).
Осталось только найти с. Возьмем У = Jn+1, так что а (У) =
= (log m)r+1. Тогда Z-1 (У) есть множество элементов (zc) Е
таких, что 1 | z \w т для всех бесконечных точек w поля k.
Ввиду нашего определения меры у имеем у (Z-1 (У)) = аг'ЬГ2, где
ТП
а = 2 j х-1 dx = 2 log т,
&= j j (xx)-1|dxAdx| = 2n logm.
l^xx^m
Это дает с = 2ri (2л)Г2, чем и заканчивается доказательство.
Предложение 9 показывает, что R не зависит от выбора ег-,
как и утверждалось.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ТЕОРЕМА
РИМАНА - РОХА
Классическая теория полей алгебраических чисел, изложенная
в гл. V, опирается на тот факт, что в таких полях имеется непустое
множество точек, а именно бесконечных точек, выделяющихся
своими внутренними свойствами. Можно было бы развить анало-
гичную теорию для А-полей характеристики р> 1 с произвольно
выделенным конечным множеством точек; эта точка зрения была
принята Дедекиндом и Вебером на ранних стадиях развития теории.
Какому бы методу ни следовать, изучение таких полей очень скоро
приводит к результатам, которые нельзя как следует понять без
использования понятий, относящихся к алгебраической геомет-
рии, которая лежит в стороне от основного содержания этой книги.
Излагаемые здесь результаты надо рассматривать главным образом
как иллюстрацию развитых выше методов и как введение в более
общую теорию.
Начиная с этого места во всей главе k обозначает некоторое
A-поле характеристики 1. В следствии теор. 8 гл. IV-4 было
определено конечное поле F, названное полем констант в k. Это —
алгебраическое замыкание простого поля в k и, следовательно,
оно может быть описано как максимальное конечное поле, содер-
жащееся в k. Начиная с этого места число элементов в поле F
обозначается через q и F отождествляется с Fg. Тогда для каждой
точки v поля k пополнение kv содержит Fg. В силу следствия 1
теор. 7 гл. 1-4 и следствия 2 теор. 2 гл. 1-1 отсюда вытекает, что
модуль qv поля kv имеет вид qd, где d — целое число ^1, называе-
мое степенью точки v и обозначаемое через deg v.
Под дивизором поля k понимается элемент свободной абеле-
вой группы D (k), порожденной точками поля k. Будучи записы-
ваема аддитивно, эта группа состоит из формальных сумм
2 а (и)-V, где a(v)£Z для каждой точки v поля k и a(v) = O
V
почти для всех V. Для дивизора a=^a(v)-v будем писать а > О,
если а(ц)>0 при всех v. Пусть а, Ь —два дивизора. Мы пишем
Гл. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
141
а > Ь, если а — b > 0. Для каждого дивизора а = 2 «(»)•» поло-
жим deg (а) = 2 а (у) deg (и) и назовем это число степенью диви-
зора а. Ясно, что отображение a—»deg (а) есть нетривиальный
морфизм D(k)-^Z; в гл. VI1-5 будет доказано, что этот морфизм
сюръективен. Ядро этого морфизма, т. е. группа дивизоров сте-
пени 0, будет обозначаться через Do (k). Очевидно, что если а > 0,
то deg (а) > 0, причем deg (а) > 0 при а=Л0, и что если а > Ь,
то degai>degb.
Пусть а — (av) — произвольный элемент из /Д. Для каждой
точки v можно написать avrv — , где а (п) = ordc (aB). Почти
для всех v имеем | а„ |в = 1, следовательно, a (у) = 0, так что
У, a (v)-v — дивизор поля k. Этот дивизор будем обозначать через
div (а). Ясно, что отображение div: k^-*-D (k) есть сюръективный
морфизм, ядром которого является [] Д — та самая группа,
которую мы обозначали в гл. IV-4 через й (0). Поэтому этот мор-
физм можно использовать для отождествления D (k) с k^/Q (0).
Из определения | а |А сразу видно, что если a £ и а = div (a),
то | а |а = g~deT4). Следовательно, Do (&) совпадает с образом
в D (k) группы k\ при морфизме а-^- div (а); в частности, образ
Р (k) группы kx в D (k) при этом морфизме содержится в Do (k).
Группу Р (k) принято называть группой главных дивизоров. Мор-
физм a -> div (а) определяет, очевидно, изоморфизмы групп
fek/й (0), йШхй (0) и (0) на Do (k), Do (k)!P (/г) и
D (k)/P (k) соответственно. Группу D (Е)/Р (&) принято называть
группой классов дивизоров поля k, а Do (k)/P (k) — группой клас-
сов дивизоров степени 0. Теорема 7 гл. IV-4 показывает, что послед-
няя группа конечна, а предыдущая является прямым произведе-
нием этой последней и группы, изоморфной группе Z.
Рассмотрим теперь векторные пространства над k. Имеет место
следующий результат, частный случай которого уже встречался
в гл. IV.
Предложение 1. Пусть Е — векторное пространство
конечной размерности над k и 8 — некоторый базис в Е над k.
Для каждой точки v поля k пусть ев — г v-моду ль, порожденный
множеством в в Ev, и L„ — некоторая k^-решетка в Е„. Подгруппа
[J L„ открыта и компактна в ЕА в том и только в том случае,
когда L, = в, почти для всех v.
Если Р — такое конечное множество точек, что Lv cz ev для
всех точек v, не лежащих в Р, то Ц L„ — компактная подгруппа
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
142
в £А (Р, е), а следовательно, и в £А; обратное утверждение немед-
ленно вытекает из следствия 1 предл. гл. IV-1. Предположим теперь,
что Ц Е„ — компактная подгруппа в £Л, т. е. Lv cz е„ почти для
всех v. Эта подгруппа открыта тогда и только тогда, когда она
содержит некоторую окрестность нуля. Предложение 1 гл. IV-1
показывает, что это имеет место в том и только в том случае, когда
Lv zd е„ почти для всех V. Доказательство закончено.
В обозначениях предложения 1 систему L = (£„) будем назы-
вать когерентной системой ^„-решеток или, короче, когерентной
системой, соответствующей векторному пространству £, если
Lv = ев почти для всех точек v. В этом случае будем писать U (L) =
-= П Lv и Л (L) = £ П £ (£). Согласно предложению 1, подгруппа
U (L) открыта и компактна. Кроме того, она является модулем
над открытым и компактным подкольцом ][ rv в йА. Что касается
группы Л (£), то это — конечная подгруппа в £, поскольку под-
группа £ дискретна, а подгруппа U (£) компактна в £А. Далее.
Л (L) является модулем над кольцом k Q ([] г„). Поскольку это
кольцо по теореме 8 гл. IV-4 и ее следствию совпадает с полем
констант Fg поля k, отсюда вытекает, что Л (L) является вектор-
ным пространством над Fg. Размерность этого пространства обо-
значим через X (L). Тогда Л (£) состоит из qw-~> элементов.
Предл о ж е н и е 2. Положим Л — End (£), и пусть L =
= (£„), М = (,'ИГ) — две когерентные системы, соответствующие
пространству Е. Тогда существует такой элемент а — (п„) Е Л'л,
что Mv = avLv для всех точек и. Кроме того, дивизор div (det (<?))
однозначно определяется по L и М.
По теореме 1 гл. П-2 для каждой точки v существуют такие
базисы а„, р„ в £„ над kv, что Lv, Mv являются /-„-модулями, порож-
денными соответственно множествами а„ и р„. Обозначим через аг
автоморфизм пространства £„, который отображает базис а„ на р„.
Тогда Mv = avLB. Положим dv — det (а„). Если — произволь-
ная мера Хаара на £„, то по следствию 3 теор. 3 гл. 1-2 | dv |„ -
— р.„ (Л4„)/р.„ (£„), так что | dv |„ не зависит от выбора базисов
а„ и р„. Далее, по условию £„ = Mv, откуда \ dv |0 = 1, почти
для всех v. В силу предложения 3 гл. IV-3 отсюда следует, что
а = (а„) Е Ла и d = (d„) = det (а) Е &А- Поскольку | dv [„ зависит
только от LB и М„, то и div (d) зависит только от L и М.
Будем писать М = aL в ситуации, описанной в предложении.
Следствие 1. Пусть е — базис пространства Е над k.
Положим Ео — (е„), и пусть L — произвольная когерентная систе-
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
143
ма, соответствующая пространству Е. Тогда существует такой
элемент а Е ^а> что L = aL0. Дивизор b = div (det (а)) зависит
только от L и е, а его класс и степень зависят только от L.
Лишь последнее утверждение нуждается в доказательстве.
Заменим 8 каким-нибудь другим базисом е', положим L' = (еД
и обозначим через а автоморфизм пространства Е над k, который
отображает е' на е. Тогда Lo = aL' и, следовательно, L = aaL'o,
так что b надо заменить на b + div (det (а)). Но второе слагаемое
в последней сумме является главным дивизором, и, значит, его
степень равна 0.
Следствие 2. Существует такая мера Хаара р, на ЕА,
что р (Д ев) = 1 для каждого базиса е в Е над k. Если L иЬ тако-
вы, как в следствии 1, то для этой меры р (U (L)) = q~6(-L\ где
U(L) = П Ld и 6(L) = deg(b).
Возьмем какой-нибудь базис 8 и выберем р так, чтобы р (Ц 8,;) =
= 1. Если а таково, как в следствии 1, то U (L) совпадает с обра-
зом группы U (Lo) = П 8 в ПРИ отображении <?-> ае. Поэтому мера
р ((7 (L)) равна модулю этого автоморфизма, который совпадает
с | det (а) |а по предложению 3 гл. IV-3. В силу наших определений
это число равно q~6<-L\ что и утверждается в нашем следствии.
Согласно следствию 1, это число не зависит от е, поэтому при заме-
не 8 на какой-нибудь другой базис г' мы получим такую меру р',
что р' (U (L)) совпадает с р (U (L)), откуда р' = р, так что р
И (П 8в) == 1 •
Как и в гл. IV-2, выберем теперь какой-нибудь нетривиальный
характер х на йд, тривиальный на й, и обозначим через %D характер,
индуцированный характером х на kv. Для каждой точки v харак-
тер Хв нетривиален по следствию 1 теор. 3 гл. IV-2. Пусть Е такое,
как выше, и Е' — алгебраическое двойственное к нему. Как объяс-
нялось в гл. IV-2, отождествим с помощью х пространство Е'А
с топологическим двойственным к ЕА посредством изоморфизма,
описанного в теореме 3 гл. IV-2, а также для каждой точки v отож-
дествим с помощью Хв пространство E'v с топологическим двой-
ственным к Ev посредством изоморфизма, описанного в теореме 3
гл. IV-2. Пусть L = (LB) — когерентная система, соответствующая
пространству Е. Для каждой точки v обозначим через L(, решетку,
двойственную с Lv. С учетом только что сделанных отождествлений
L'v является йв-решеткой в E'v и Д /Д является подгруппой в ЕА,
ассоциированной по двойственности с подгруппой U (L) — Д LB
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
144
в Еа.. Так как подгруппа U (L) компактна, то подгруппа f] L'v
открыта, а так как U (А) открыта, то Ц компактна. В силу
предложения 1 отсюда вытекает, что L' = (L1.,) есть когерентная
система, соответствующая пространству Е' (этот факт вытекает
также из следствия 3 теор. 3 гл. IV-2). Система L' называется двой-
ственной к L.
Теорема 1. Для каждого A-поля k характеристики р > 1
существует целое число g' 0 со следующим свойством. Если Е —
векторное пространство конечной размерности п над k, L — про-
извольная когерентная система, соответствующая пространству
Е, и L' — система, двойственная к L, то
И^) = K(L') -6 (L) — n(g — 1).
Положим U •= U (L), U' = U (Z/). Как мы только что видели,
U' есть подгруппа в Е\, ассоциированная по двойственности с под-
группой U в £а. По определению А, (L) и к (L') равны соответствен-
но размерностям векторных пространств Л = Е U и А' =
= Е' [} U' над полем констант FQ поля k. По теореме 3 гл. IV-2
подгруппой в ЕД ассоциированной по двойственности с подгруппой
Е cz Еа, является Е'. Поэтому подгруппой в Е'а, ассоциированной
по двойственности с Е + U, является А', так что группа ЕаДЕ + [/)
двойственна к Л' и имеет то же самое число элементов qX{L'\ что
и Л'. Ясно, что группа ЕД(Е + U) изоморфна (ЕДЕ)/(Е + 1ЛЕ).
Возьмем меру Хаара р на £А, определенную следствием 2 предл. 2,
и обозначим снова через р ее образ в ЕДЕ (см. гл. П-4). Так как
индекс подгруппы (£ + U)!E в ЕДЕ равен qML’\ то
р (ЕДЕ) = qML'> р (Е + V/E).
Канонический морфизм ЕА -> ЕДЕ отображает U на (£ + U)IE
и имеет конечное ядро Л = Е f| U. Поскольку Л состоит из q^L}
элементов, отсюда вытекает, например по лемме 2 гл. П-4, что
р ((/) = q™ р (£ + и IE).
Комбинируя эти формулы со следствием 2 предл. 2, согласно кото-
рому р (U) = q~6'^L\ получаем, что
р (ЕДЕ) =
Отсюда видно, что число р (ЕДЕ) имеет вид qr, где г 6 Z. В част-
ности, применяя следствие 2 предл. 2 к Е = k и к базису в = {1},
получаем такую меру Хаара pi на &А, что pt ([] rv) = 1, и мы
видим, что pi (kAlk) = qy, где у € Z. Отождествим теперь наше
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
145
пространство Е с kn, выбрав некоторый базис е в Е над k. Ясно,
что мера р, на ЕА, определенная следствием 2 предл. 2, является
произведением (p-i)n мер pi на п сомножителях произведения Ед =
= (йд)п, откуда qr = (<7v)n, т. е. г = уп. Это дает нам искомую
формулу с g = у + 1. Остается только показать, что g 0. Для
этого применим нашу формулу к случаю Е = k, Lv = rv при
всех V. Тогда Л = Fg, % (L) = 1 и, очевидно, б (L) = 0, отку-
да g = X (L'). Но последняя величина неотрицательна по опре-
делению.
Следствие 1. Пусть р. — мера Хаара на ЕА, определен-
ная следствием 2 предл. 2. Тогда р (ЕА1Е) = qn<-q~1}. В частности,
если р-1—мера Хаара на kA, для которой Ц1 (П г») — 1, т0
(kA/k) = qe~1.
Это было доказано выше.
Следствие 2. В обозначениях теоремы 2 Ед — Е + U
тогда и только тогда, когда X (Е') = 0.
Это частный случай того, что было доказано выше.
Определение 1. Целое число g, определенное в теореме 1,
называется родом поля k.
Приведем теперь полученные выше результаты к более явному
виду для случая Е = k. В этом случае когерентная система L =
= (Ес) задается набором Lv = где а (и) = 0 почти для
всех о. Следовательно, такие системы находятся во взаимно одно-
значном соответствии с дивизорами поля k. Поэтому для дивизора
а = 2 а (°) 'v когерентную систему будем обозначать через
L (а), так что L (0) —это когерентная система (гс), и мы видим,
что L (а) — это когерентная система а-1Е (0), где а С kA и а =
= div (а). Для L = Е (а) будем писать U (а), Л (а), % (а), 6 (а)
вместо U (Е), Л (Е), X (Е), 6 (Е). Очевидно, 6 (а) = —deg (а).
По определению группа Л (а) может быть записана как (k П
V
П другими словами, она состоит из нуля и тех элементов
£ £ kx, для которых ordD (5) —a (v) при всех v, или, что то же
самое, для которых div (?) > — а. Так как степень дивизора
div (5) равна нулю для всех | £ kx, отсюда видно, что Л (а) = {0}
и, следовательно, X (а) = 0, если deg (а) < 0.
Выберем теперь, как выше, базисный характер х на kA. Для каж-
дой точки v поля k обозначим через v (у) порядок характера %0
(см. определение 4 гл. П-5), индуцированного на k„ характером х-
По следствию 1 теор. 3 гл. IV-2 v (и) = 0 почти для всех и, так
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
146
что с = S v (о)-v — дивизор поля k. Назовем его дивизором характе-
ра %и обозначим через div (х). Если Xi — другой такой характер, то
по теореме 3 гл. IV-2 он может быть записан как х -> х (&) eg £ kx,
и сразу видно, что div (xi) = div (х) + div (g). Таким образом,
когда х пробегает все нетривиальные характеры на kx, тривиаль-
ные на k, дивизоры div (х) образуют смежный класс дивизоров
по модулю группы Р (&) главных дивизоров поля k. Этот класс
принято называть каноническим классом, а его элементы — кано-
ническими дивизорами.
Как и раньше, отождествим при помощи х группу kA с топо-
логической двойственной к ней и положим с = div (х). Используя
предложение 12 гл. П-5, сразу видим, что система, двойственная
к L (а), совпадает с L (с — а). Теорема 1 дает теперь следующий
результат.
Теорема 2. Пусть с — канонический дивизор поля k. Тогда
А (а) = А (с — а) -|- deg (а) — g + 1
для каждого дивизора а поля k.
Следствие 1. Если с — канонический дивизор, то deg (с) =
= 2g — 2 и А (с) = g.
Первое равенство получается, если заменить в теореме 2 а
на с — а, а второе, если взять а = 0.
Следствие 2. Если а — дивизор степени >2g — 2, то
X (а) = deg (а) — g + 1.
Действительно, в этом случае deg (с — а) < 0, откуда, как
мы отмечали выше, вытекает равенство А (с — а) = 0, а значит,
по теореме 2, и доказываемое равенство.
Следствие 3. Пусть a = ^1a(v)-v — дивизор степени
>2g —2. Тогда kA = k Д ([J р»
V
Это утверждение является частным случаем следствия 2 теор. 1
при Е = k, L = L (а), ибо в этом случае, как показано выше,
L' = L (с — а) и А (Л') = 0.
Теорема 2 — это теорема Римана — Роха для «функциональ-
ного поля» k с конечным полем констант. Доказательство в общем
случае может быть получено совершенно аналогичным путем;
понятие плотности следует заменить понятием «линейной плотно-
сти» для векторных пространств над произвольным полем Д, наде-
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА
147
ляемым дискретной топологией; вместо меры Хаара следует исполь-
зовать «относительную размерность» компактных и открытых под-
пространств локально компактных векторных пространств над К-
Мы не будем здесь рассматривать это обобщение.
Отметим еще один момент, имеющий некоторое значение. Вместо
того чтобы с помощью базисного характера отождествлять про-
странство G, топологическое двойственное к &А. с самим простран-
ством kA, рассмотрим G как &А-модуль, полагая {х, ах*} =
= {ах, х*), где х g kA, х* £ G, а Е kA. Обозначим через Г подгруппу
в G, ассоциированную по двойственности с k. Тогда теорема 3 гл. IV-2
может быть выражена следующим образом: для любого отличного
от нуля элемента у в Г отображение х ху является изоморфизмом
из kA на G, отображающим k на Г. В частности, подгруппа Г обла-
дает «внутренне» присущей ей структурой векторного пространства
размерности 1 над k. Теперь можно «канонически» определить
дифференцирование из k в Г, т. е. отображение х -> dx из k в Г,
для которого d (ху) = x-dy -г y-dx при всех х, у £ k, и простран-
ство Г можно отождествить с ^-модулем всех формальных сумм
2 Уг dxi, где xt, уi £ k. Это остается справедливым для каждого
сепарабельного алгебраического расширения конечной степени
над любым полем К (Т), где Т — неизвестная над основным полем К.
Даже для изучаемого здесь случая конечного поля констант эту
тему трудно разрабатывать должным образом, не расширяя основ-
ного поля до его алгебраического замыкания, и мы нигде в даль-
нейшем не будем возвращаться к этой теме.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
А-ПОЛЕЙ
§1. СХОДИМОСТЬ ЭЙЛЕРОВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Начиная с этого места k будет обозначать произвольное А-поле
характеристики нуль или р > 1. Обозначения будут прежними:
если v — точка поля k, то kD — это соответствующее пополнение
поля k; если v — конечная точка, то rv — это максимальное ком-
пактное подкольцо в kv, a р„ — максимальный идеал в г„. Кроме
того, в последнем случае условимся раз и навсегда обозначать
через qv модуль поля kB и через л0 — простой элемент в kv, так
что по теореме 6 гл. 1-4 rvlpv — это поле из qv элементов и | |D =
= qi1. Если k — поле характеристики р > 1, то будем обозначать
через q число элементов в его поле констант и отождествлять это
поле с FQ. Тогда в соответствии с определениями гл. VI qv = <?de8 (v)
для каждой точки v.
Под эйлеровым произведением, соответствующим полю k, будем
понимать любое произведение вида
п (1 - 0л5)-1,
V
где s £ С, В„ Е С и | 0О | I при всех v; произведение берется
по всем или почти всем конечным точкам поля k. Это же название
употребляют для произведений более общего типа, но последние
нам здесь не встретятся. Основной результат о сходимости эйлеро-
вых произведений формулируется так:
Предложение 1. Пусть k — произвольное К-поле. Тогда
произведение
(о) = П(1-^стГ1,
V
где о £ R, a v пробегает все конечные точки поля k, сходится при
о > 1 и стремится к 1 при о +оо.
Предположим сперва, что характеристика поля k равна нулю,
и обозначим через п степень поля k над Q. По следствию 1 теор. 4
5 1. СХОДИМОСТЬ ЭЙЛЕРОВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ
149
гл. Ш-4 имеется не более п точек поля k, лежащих над фиксиро-
ванной точкой р поля Q. Для каждой такой точки v поле kv являет-
ся p-полем, так что qv имеет вид pv, где v 1, и поэтому q„ р.
При о > 0 это дает
(ст)<Ц(1 -р-°)~п,
где произведение берется по всем простым числам р. Теперь запишем
С (а) = II (1 - р-0)-1 = П (1 + Р~а + р~2а +••)•
Раскрывая скобки в последнем произведении, получаем
4-00
? (°) = 3
V—1
ибо каждое целое число v 1 может быть однозначно представлено
в виде произведения степеней простых чисел. Далее, при о > 1
имеем
—оо V -|-оо
1 < £ (<г) < 1 + 2 j t~°cU=\-r § t~adt= 1 4- (о— I)-1,
v=2 v— 1 1
откуда видно, что С (о) сходится при а > 1 и стремится к 1 при
а->4-оо. Таким образом, наше предложение доказано в случае
числового поля k.
Теперь предположим, что k — поле характеристики р>1.
Тогда, согласно лемме 1 гл. Ш-2, k можно представить как сепара-
бельное алгебраическое расширение конечной степени п поля
Fp (Г). По теореме 2 гл. Ш-1 поле Fp (Т) имеет точку оо, соответ-
ствующую простому элементу Т~г, а все остальные точки находятся
во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми многочле-
нами л из Fp IT]. Очевидно, достаточно доказать утверждение
нашего предложения не для самого произведения (ст), а для
аналогичного произведения ц (ст), взятого по всем точкам v поля k,
не лежащим над точкой оо поля Fp (Т). Точно так же, как в случае
характеристики нуль, мы видим, что 1 < т] (ст) Ср (ст)п, где
через Ср(ст) обозначено произведение
Ср (ст) = П (1 — p-deg(It)o)“1 = n (1 _j_ р—deg (л)а р-2 deg (л)о
взятое по всем унитарным неприводимым многочленам л из Fp [Т].
Так как каждый унитарный многочлен из Fp [Т] может быть
однозначно представлен в виде произведения степеней унитарных
неприводимых многочленов, то
СрИ = Е/^аей(ц)а.
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
150
где сумма берется по всем унитарным многочленам р, из Fp [Г].
Поскольку для каждого 6 0 имеется ровно р6 унитарных много-
членов степени 6, мы получаем, что
-j- со
Ср (а) = 2 =
a-(j
чем завершено доказательство в случае ненулевой характеристики.
Следствие 1. Пусть Р — конечное множество точек поля k,
содержащее Рх„ и для каждой точки v, не лежащей в Р, выбрано
число 0,. g С, такое, что | 0О | 1. Для всякого s g С положим
£(«)= П (1-ев^Тх.
v<£P
Тогда при Re(s) > 1 произведение Е (s) абсолютно сходится, голо-
морфно по s и не равно нулю и E(s) 1 равномерно относительно
Im (s) при Re (s) +<х>.
В самом деле, для о = Re(s) ряд log Е (s) мажорируется рядом
log (о). Утверждение следствия немедленно вытекает поэтому
из предложения 1 и хорошо известных элементарных теорем о рав-
номерно сходящихся рядах голоморфных функций.
Следствие 2. Пусть k0 — некоторое А-поле, содержащееся
в k, и пусть Л4 — такое множество конечных точек поля k, что
почти для всех и £ М. модулярная степень f (и) поля kv над замыка-
нием поля k0 в k„ больше 1. Тогда произведение
р(М, о)= Пи-?/’)-1
V £31
абсолютно сходится при о > 1/2-
Если характеристика поля k равна нулю, то поля k и k0 имеют
конечную степень над Q; если же k — поле характеристики р > 1
и Т — любой элемент из k0, не алгебраичный над простым полем Fp,
то k и k0 имеют конечную степень над Fp (Т). В обоих случаях k
имеет конечную степень п над k0. Пусть v — конечная точка поля k
и и —точка поля k0, лежащая под v. Тогда замыкание поля k0
в kr равно (feo)u и k порождает поле k„ над (&0)и- Поэтому степень
поля kv над (fe0)u. не превосходит п, так что 1 f (v) п. Таким
образом, М является объединением множеств Mlt . . ., Мп, состоя-
щих соответственно из тех точек v £ М, для которых f (и) = f,
где 1 f п. Наше предположение относительно М означает,
что множество конечно, так что достаточно доказать наше утвер-
ждение для каждого из множеств Mf, / 2. По следствию 1 теор. 4
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ
151
гл. Ш-4 над всякой конечной точкой и поля kQ имеется не более
п/f точек v g Mf. Поэтому произведение р (М-/, а) мажорируется
произведением которое при о > 1// абсолютно сходится
по предложению 1.
Следствие 3. Пусть Л1 таково, как в следствии 2, и пусть
для каждой точки v Е М выбрано число 9Г С С, для которого | 9С |
1. Тогда при Re(s)> 1/2 произведение
и (1-W1
м
абсолютно сходится, голоморфно по s и отлично от нуля.
Доказательство аналогично доказательству следствия 1, надо
только учесть следствие 2.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И СТАНДАРТНЫЕ
ФУНКЦИИ
Теория дзета-функций существенно связана с преобразованиями
Фурье на группах kv, kA, соответствующих A-полю k. Начнем
с того, что напомним результаты, которые нам понадобятся.
Пусть G, G* и (g, g* ) таковы, как в гл. П-5, и пусть Ф — непре-
рывная функция на G, интегрируемая по мере Хаара а, заданной
на G. Тогда функция Ф* на G*, определенная формулой
ф* (g*) = J Ф (g) <g, g*) da (g),
G
называется преобразованием Фурье функции Ф относительно меры а.
Легко проверяется, что эта функция непрерывна на G*. Если заме-
нить а на са, с Е R*, то, очевидно, Ф* заменится на сФ*.
Лемма 1. Пусть g-> Kg — автоморфизм группы G, modG (%)—
модуль автоморфизма К и g* -> g*K* — автоморфизм группы G*,
для которого (Kg, g*) = (g, g*K* ) при всех g (z G, g* 6 G*. Тогда
если Ф* — преобразование Фурье функции Ф, то преобразо-
ванием Фурье функции g -> Ф (A-1g) является функция g* ->
modG (X) Ф* (g*%*).
Это немедленно получается, если заменить g на Kg в интеграле,
определяющем преобразование Фурье от Ф (%-1g).
Согласно теории преобразований Фурье, существует такая мера
Хаара а* на G*, что для любой интегрируемой функции Ф* на G*,
определяемой написанным выше интегралом, Ф задается следую-
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
152
щей «формулой обращения Фурье»:
Ф (g) = j (g*) (~g, g*> da* (g*).
G*
Мы говорим тогда, что Ф есть обратное преобразование Фурье
функции Ф*. Мера а* называется двойственной к мере а. Ясно,
что двойственной мерой к са, с £ R*, является мера с-1а*. В част-
ности, если предположить, что группа G* отождествлена с G при
помощи некоторого изоморфизма G-> G*, то а* = та, где т g R*,
и поскольку двойственной к са будет мера с-1 та, существует одна
и только одна мера Хаара на G, а именно т1/2а, которая совпадает
со своей двойственной при заданном отождествлении G и G*. Эта
мера называется самодвойственной мерой Хаара на G. Если группа
G компактна, то группа G* дискретна. В этом случае, взяв Ф = 1,
мы сразу видим, что если а — мера Хаара на G, для которой
a (G) = 1, то а* ({0}) = 1 для двойственной меры а* на G*.
Функцию Ф на G будем называть допустимой для G, если она
непрерывна и интегрируема и ее преобразование Фурье Ф* являет-
ся интегрируемой функцией на G*. Пусть теперь Г — такая дискрет-
ная подгруппа в G, что факторгруппа G/Г компактна, и пусть Г* —
подгруппа в G*, ассоциированная по двойственности с Г. Так как
G/Г компактна, то Г* дискретна; так как Г дискретна, то О*/Г*
компактна. Возьмем меру Хаара а на G, для которой а (G/Г) = 1.
Функцию Ф на G будем называть допустимой для (G, Г), если она
допустима для G и оба ряда
2Ф(НТ), S Ф* (£* + ?*)
ver v*er*
абсолютно сходятся, равномерно на каждом компактном подмно-
жестве относительно g и g*. Первый из этих рядов определяет
тогда непрерывную функцию F на G, постоянную на каждом классе
смежности по модулю Г. Эту функцию можно очевидным образом
рассматривать как функцию на G/Г. Так как группа Г* двойственна
к G/Г, то функция F имеет преобразованием Фурье
Т*~> J (%®(g + y))<g>y*)da(g),
g/г ?ег
где, как обычно, g — образ элемента g в G/Г при каноническом
гомоморфизме G->G/T; подинтегральная функция, хоть она и за-
писана как функция от g, но, будучи постоянна на каждом классе
смежности по модулю Г, рассматривается как функция от g. Соглас-
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ
153
но формуле 6 гл. П-4, этот интеграл равен Ф* (у*), так что пре-
образование Фурье функции F, рассматриваемой как функция
на G/Г, совпадает с функцией, которую Ф* индуцирует на Г*.
Так как функция Ф по предположению допустима для (G, Г),
то Ф* интегрируема на Г*, так что по формуле обращения Фурье
для G/Г и Г* находим
^(Я) = 3 ф (£+?)= S ф* (?*)• ( — g, у*),
ver v*er*
При g = 0 получаем
2ф(у)= 3 ф*(т*)- (1)
ver v*er*
Эту формулу принято называть формулой суммирования Пуассона.
Ее справедливость доказана нами для любой допустимой для
(G, Г) функции Ф и для такой меры а, что а (G/Г) = 1.
Предположим, что существуют допустимые для (G, Г) функ-
ции Ф, для которых обе части равенства (1) отличны от нуля. Это
предположение (которое легко следует из общей теории преобра-
зований Фурье) мы проверим с помощью явного построения в том
единственном интересующем нас случае, когда G = £А, Г = Е,
где Е — векторное пространство конечной размерности над А-полем.
Обозначим через а* меру, двойственную к а, положим а* (G*/r*) =
— с и поменяем в проведенных выше вычислениях G и G* ролями,
отправляясь от функции Ф* и беря ее обратное преобразование
Фурье относительно меры Хаара с-1а* на G*. Так как это преоб-
разование совпадает с с-1Ф, то мы получим как конечный результат
формулу (1), в которой вместо Ф будет стоять с-1Ф, откуда с = 1.
Таким образом, доказано, что меры Хаара а, а* на G, G*, зада-
ваемые условиями а (G/Г) = 1, а* (G*/r„) = 1, двойственны друг
другу. В частности, пусть существует изоморфизм из G на G*,
который отображает Г на Г*; если использовать его для отождест-
вления G с G*, то самодвойственная мера на G — это та мера Хаара,
для которой а (G/Г) = 1.
Теперь мы построим некоторые специальные типы допустимых
функций для интересующих нас групп. Эти функции будут назы-
ваться «стандартными» функциями. Функция, заданная на топо-
логическом пространстве, называется локально постоянной, если
для любой точки существует такая ее окрестность, на которой
функция постоянна. Если f — локально постоянная функция, то
множество ({а}) открыто для каждого значения а и в то же
время замкнуто, так как его дополнение является объединением
открытых множеств /-1 ({&}), b #= а. На связном пространстве,
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
154
например на любом векторном пространстве над R, локально
постоянными функциями являются только константы.
Определение 1. Пусть Е — векторное пространство
конечной размерности над p-полем К- Под стандартной функцией
на Е мы понимаем комплекснозначную локально постоянную функ-
цию на Е с компактным носителем.
Нам будет достаточно рассмотреть случай коммутативного
поля К. Пусть Е* — топологическая двойственная к Е группа,
т. е. группа, двойственная к пространству Е, рассматриваемому
как локально компактная группа. Способом, описанным в гл. П-5,
определим на Е* структуру векторного пространства над К; как
мы там доказали, векторное пространство Е* над К имеет ту же
самую размерность, что и Е. В этих обозначениях имеем
Предложение 2. Функция Ф на Е стандартна тогда
и только тогда, когда существуют такие К-решетки L, М в Е,
что L М, Ф равна нулю вне L и постоянна на смежных классах
в L по модулю М. Если это имеет место и если L*, М* — двойствен-
ные к L, М К-решетки, то Л4* L.t и преобразование Фурье Ф*
функции Ф равно нулю вне М* и постоянно на классах смежности
в М* по модулю L*.
Если Ф, L, М обладает свойствами, указанными в предложе-
нии, то Ф, очевидно, стандартна. Обратно, предположим, что Ф
стандартна. Возьмем какую-нибудь /(-норму N на Е и обозначим
через ц верхнюю грань нормы N на носителе функции Ф. Тогда,
как мы видели в главе П-2, множество L, определенное неравенством
N (е) Р-, является /(-решеткой, и эта решетка содержит носи-
тель Ф. Так как множества Ф-1( {«}), а ( С, открыты, а множество
L компактно, то L содержится в объединении конечного числа таких
множеств. Другими словами, функция Ф на L принимает лишь
конечное число значений а1; . . ., ап. Выберем такое е > 0, что
| а; — aj | > 8 при i j. Поскольку Ф равномерно непрерывна
на L, существует такое б > 0, что | Ф (е) — Ф(е') | е при
N (е — е')^6, где е, e'^L. Тогда множество М, определяемое
неравенством N(e)^8, является /(-решеткой, содержащейся в L
при 6 р, причем Ф постоянна на классах смежности в L по моду-
лю М. Рассмотрим теперь преобразование Фурье
Ф* (е*) = j Ф (е) {е, е*) da (е),
Е
где а — произвольная мера Хаара на Е. Так как Ф равна нулю
вне L, то интеграл не изменится, если мы возьмем его по L. Заменим
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ
155
е* на е* + е*, где е* £ L*. Поскольку по определению {е, е*) = 1
при всех е С L, интеграл при этом не изменится. Следовательно,
Ф* постоянна на классах смежности в Е* по модулю L*. С другой
стороны, поскольку М — открытая подгруппа в компактной груп-
пе L, то L есть объединение конечного числа классов смежности
с, ~г М. Так как Ф постоянна на каждом из этих классов, то
(2) Ф* (е*) = 2 ф (е0 j (et + е’ (е\==
i М
== 2 ф (е0 j (g)-
I м
Поскольку последний интеграл, очевидно, равен нулю, если харак-
тер е -> {е, е* ) нетривиален на М, т. е. если е* $ Л1*, то функция
Ф* равна нулю вне М*.
Следствие 1. Если Ф — характеристическая функция
К-решетки L в Е, то а (ЕфгФ* —характеристическая функция
К-решетки L* в Е*, двойственной к L, и a* (£„..) = а (L)-1, где
а* — мера, двойственная к а.
Первое утверждение немедленно вытекает из (2) при L = М,
Ф (0) = 1, поэтому обратное преобразование Фурье функции Ф*
равно a* (L*) a (L) Ф. Поскольку последняя функция должна
совпасть с Ф, получаем наше второе утверждение.
Следствие 2. Каждая стандартная функция на Е допу-
стима для Е.
Зто — очевидное .следствие предложения 2 и определений.
В нашем очередном следствии отождествим К с топологическим
двойственным к нему при помощи характера х на К способом,
объясненным в гл П-5, т. е. принимая, что (х, у) = х (ХУ) ПРИ
х, у е К. После такого отождествления можно говорить о само-
двойственной мере на К-
Следствие 3. Пусть R — максимальное компактное под-
кольцо в К, ср — его характеристическая функция, х — нетриви-
альный характер на К порядка v и а — самодвойственная мера
на К при отождествлении К с его двойственным при помощи %.
Пусть элемент a £ Кх таков, что ordK (а) — v. Тогда а (7?) =
= mod к (а)1/2 и преобразованием Фурье функции <р является функ-
ция у mod к (а)1'2 <р (ау).
Применим к Е = К, L = R следствие 1. Тогда по предложе-
нию 12 гл. П-5 L* = P~v, т. е. L* = а-1Я, если элемент а таков,
ГЛ VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
156
как сказано выше. Характеристическая функция /(-решетки L,
равна <р (ау), и a (L*) = modK (aj^a^R). Теперь наше утвержде-
ние немедленно вытекает из следствия 1.
Определение 2. Пусть Е — векторное пространство
конечной размерности над R. Под стандартной функцией на Е
мы будем понимать любую функцию вида е->-р(е)ехр(—<?(е)),
где р — комплексная полиномиальная функция на Е, a q — веще-
ственная положительно определенная квадратичная форма на Е.
Предложение 3. Пусть Е таково, как в определении 2.
Тогда каждая стандартная функция на Е обладает преобразова-
нием Фурье, причем последнее также является стандартной функ-
цией, и каждая стандартная функция допустима для (Е, L), где
L — любая решетка в Е.
Выберем такой базис в Е над R, чтобы при отождествлении Е
с Rn при помощи этого базиса квадратичная форма q имела вид
q (х) = л У х2. Очевидно, что наше первое утверждение доста-
точно доказать для функции М (х) ехр (—q (х)), где М (х) — одно-
член от xv. По теореме 3 гл. П-5 мы можем отождествить простран-
ство Rn с двойственным к нему, полагая (х, у) = е (2 xvyv).
Мы видим, что достаточно рассмотреть случай п = 1, т. е. пока-
зать, что преобразование Фурье функции х!т ехр (—их2) является
стандартной функцией на R для каждого целого числа т^> 0.
Но, как следует из хорошо известной формулы
ехр (— л у2) = J ехр (— их2 + 2nixy) dx,
преобразованием Фурье функции ехр (—лх2) является функция
ехр (—лу2). Дифференцируя обе части формулы т раз по у и исполь-
зуя индукцию по т, немедленно убеждаемся, что левая часть бу-
дет иметь вид рт (у) ехр (—лг/2), где рт — многочлен степени т, а в
правой части дифференцирование может быть внесено под знак
интеграла. Это дает
рт (у) ехр (— лу2) = J (2nix)mexp( — лх2 + 2л1ху) dx,
чем доказано первое утверждение предложения. Пусть теперь L —
некоторая R-решетка в Е. По предложению 11 гл. П-4 существует
базис векторного пространства Е над R, порождающий группу L.
Другими словами, отождествляя £ с R" посредством этого базиса,
можно считать, что £ = Rn и £ = Z". Для того чтобы доказать,
что стандартные функции на Rn допустимы для (Rn, Zn), доста-
точно показать, что для любой такой функции Ф ряд У, | Ф (х + v) |,
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ
157
взятый по всем v С Zn, равномерно сходится на каждом компактном
подмножестве С в Rn. Положим Ф (х) = р (х) ехр (—q (х)) и г (х) =
= 3 xv- Выберем такое 6 > 0, чтобы квадратичная форма q — 8г
была положительно определена; для этого достаточно взять 6 < р,
где р, — нижняя грань функции q на сфере г = 1. Тогда
Ф (у) ехр (8г (у — х)) -> 0 при г (у) -> оо равномерно по х Е С.
Отсюда следует, что эта функция ограничена при х Е С и при всех
у Е Rrt. Поэтому, заменяя у на х + и, получаем, что для некоторо-
го А ~> О
| Ф (х + и) | А ехр (—8г (и))
при всех х Е С, откуда
-|-ос>
2 I Ф(х + V)|<Л 2 ехр( — S S v?) = Л( 2 ехр( —6v2))n,
v v г v=—оо
чем и заканчивается доказательство.
Для некоторых специальных случаев предложения 3, в кото-
рых Е = R или С, нам понадобятся более точные утверждения.
Выберем базисный характер у на R (соотв. на С) и отождествим
с помощью этого характера пространство R (соотв. С) с топологи-
ческим двойственным к нему подобно тому, как мы делали это
выше для p-полей (см. гл. П-5). Самодвойственные меры будем
брать относительно этого отождествления.
Предложение 4. Самодвойственной мерой на R, соот-
ветствующей базисному характеру х (х) = е (—ах), где а Е Rx,
является мера da (х) = | а |1/2 dx. Если <рА (х) = хА ехр (—их2),
где А = 0 или 1, то преобразованием Фурье функции <рА является
функция <рА (у) = i~A| а I1/2 <рА (ау).
Положим da (х) = c-dx, где с Е R+. Тогда <р' задается фор-
мулой
Фо (р) = с j ехР (~ лх2 ~ 2niaxy) dx;
R
как уже отмечалось, последнее выражение равно с<р0 Фу). Приме-
няя теперь формулу обращения Фурье и лемму 1, получаем с =
= | а | 1/2. Дифференцируя обе части формулы для <р' (у) по у,
получаем преобразование Фурье функции q^.
Предложение 5. Самодвойственной мерой на С, соот-
ветствующей базисному характеру X (х) = е (—я* — ах)> где а Е
Е С х, является мера da (х) = (аа)1/2 | dx /\ dx |. Если <рА (х) =
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
158
— хА ехр (—2лхх), где А — целое неотрицательное число, то пре-
образованием Фурье функции <рА является функция i~A (аа)1'2 <рА (ау)г
а преобразованием Фурье функции <рА — функция 1А (аа)12 <рА (ау).
Доказательства утверждений относительно а и относительно
преобразования Фурье функции <р0 совершенно аналогичны дока-
зательствам аналогичных утверждений в предложении 4. Диффе-
ренцируя А раз по у формулу для преобразования Фурье функции
<Ро, получаем преобразование Фурье от <рА из которого немедленно
получается преобразование Фурье функции <рА.
Определение 3. Пусть Е — векторное пространство
конечной размерности над А-полем k, & — базис в Е над k, и пусть
для каждой конечной точки v поля k есть г,.-модуль, порожденный
в Ev базисом е. Под стандартной функцией на ЕА будем понимать-
функцию вида
е = (ev) -+ Ф (е) = J] ф» (е«)>
V
где Ф„ — стандартная функция на Ev для каждой точки v поля k
и Ф„ — характеристическая функция модуля е,, почти для всех v.
Следствие 1 теор. 3 гл. II1-1 показывает, что последнее условие
не зависит от выбора базиса е. Формула, которая определяет функ-
цию Ф и которую мы будем записывать короче так: Ф = Дфв,
имеет смысл в силу предложения 1 гл. IV-1, согласно которому
почти все сомножители в правой части равны 1 для любого е из ЕА.
Это предложение показывает также, что функция Ф равна нулю
вне ЕА (Р, е) для подходящего Р, т. е. что Ф непрерывна.
Аналогично случаю kA в гл. V-4 меру Хаара на ЕА можно опре-
делить, выбрав для каждой точки v меру Хаара av на Е„ так, чтобы
ав (е») = 1 почти для всех и. В случае когда меры ав удовлетво-
ряют последнему условию, будем говорить, что они когерентны.
В этом случае существует единственная мера а на ЕА, которая
совпадает с произведением мер Д ав на каждой открытой подгруппе
ЕА (Р, е) в £а. Для этой меры будем писать а = Д ав. Ясно, что
для любой меры Хаара а на ЕА можно найти когерентную систему
мер av, для которой а = Дав, выбирая какое-нибудь множество
когерентных мер на пространствах Е„ и соответствующим образом
изменяя каждую из них.
Начиная с этого места, мы раз и навсегда выберем базисный
характер х на kA, т. е. нетривиальный характер на kA, тривиаль-
ный на k. Обозначим через х» характер на k„, индуцированный
характером х- Этот характер нетривиален по следствию 1 теор. 3
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ
159
гл. IV-2. Для любого векторного пространства Е конечной раз-
мерности над k обозначим через Е' алгебраическое двойственное
к нему и с помощью х и хс отождествим топологические двойствен-
ные к ЕА и Ev с Е'А и E'v соответственно, способом, описанным
в гл. IV-2, т. е. используя теорему 3 гл. IV-2 в случае первого
пространства и теорему 3 гл. П-5 в случае второго для каждой
точки V.
Теорема 1. Пусть Е — векторное пространство конечной
размерности над Х-полем k, av — когерентные меры Хаара на про-
странствах Ev и Ф = IJ Фо — стандартная функция на ЕА.
Тогда преобразованием Фурье функции Ф относительно меры
а = П av на ЕА является стандартная функция на Е'А, задаваемая
равенством Ф' = [] Ф(„ где для каждой v функция Ф,', есть преоб-
разование Фурье функции Ф,; относительно меры При этом Ф
допустима для (ЕА, Е).
Пусть е, е' — базисы в Е, Е' над k. Для каждой конечной точ-
ки v определим ег, как выше, и е.',, аналогичным образом. По след-
ствию 3 теор. 3 гл. IV-2 существует такое содержащее конечное
множество Р точек поля k, что ^„-решетка e/v двойственна к е„
для и, не лежащих в Р. Ввиду нашего предположения о ав можно
считать, что множество Р выбрано так, что aD (е„) = 1 при v (£ Р.
Тогда по следствию 1 предл. 2 преобразование Фурье характери-
стической функции модуля е„ будет характеристической функцией
модуля e.'v и ав (е(,) = 1 для двойственной к аю меры а'в при всех
v (f Р. Пусть теперь Ф = [] Фс — стандартная функция на ЕА.
Для каждой точки v обозначим через Ф,', преобразование Фурье
функции Фи относительно меры а„. Из только что сказанного и из
предложений 2 и 3 следует, что Ф' = |[ Ф(, — стандартная функция
на Еа. Покажем, что эта функция является преобразованием Фурье
от Ф. Заменяя, если это необходимо, Р большим множеством, можно
считать, что Фр является характеристической функцией модуля &в
при v $ Р. Тогда носитель функции Ф содержится в ЕА (Р, е),
так что преобразование Фурье Ф" функции Ф задается интегралом
Ф" (е') = j Ф (е) х ([е, е']) da (е),
взятым по Ea(JP, е). В силу наших определений подинтегральная
функция здесь задается следующим образом:
Ф (е) х ([е; е']) = [] (Фр (ер) х» ([^, 4])),
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
160
где е = (ев), е' = (е{). Далее, при фиксированном е' сомножители
в правой части равенства, соответствующие точкам v, имеют почти
для всех v постоянное значение 1 на ев. Согласно определению
группы ЕА(Р, е) в предложении 1 гл. IV-1, отсюда следует, что
Ф" (е') совпадает с Ф' (е').
Для того чтобы доказать допустимость Ф для (£А, £), доста-
точно показать, что ряд
(3) з |ф(е+Т])|= з 1Пф«(^+т))1
ЧЕ-Е Т|РЕ v
равномерно сходится на каждом компактном подмножестве С с ЕА.
По следствию 1 предложения 1 гл. IV-1 С содержится в некотором
множестве ЕА (Р, е). Выберем Р так, чтобы множество £А (Л е)
содержало помимо множества С еще и носитель функции Ф. Для
каждой точки v из Р обозначим через С„ проекцию множества С
на Е„. Для каждой конечной точки из Р обозначим через Ci носи-
тель функции Фв. Для v, не лежащих в Р, положим Св = С„ = ев.
Так как [] Св компактно и содержит С, достаточно будет доказать
наше утверждение для С = [] Св. Предположим сначала, что k —
поле характеристики 1. Тогда функция Ф равна нулю вне
компактного множества С' = [J Ci, так что все слагаемые в (3)
равны нулю, кроме членов, соответствующих элементам т] Е Е П С",
где С" — образ множества С X С' при отображении (е, е') е' — е.
Так как С" компактно, то Е П С" конечно, и наше утверждение
очевидно. Пусть теперь характеристика поля k равна нулю. Для
каждой конечной точки v Е Р возьмем некоторую £в-норму NB
на£в и обозначим через LB ^„-решетку тех ев, для которых NB (ев)
где п—верхняя грань значений нормы NB на компактном
множестве Св U C'v. Для точек v, не лежащих в Р, положим Lv =
= ев. Положим, далее, L — |~| (Е П С»), где v пробегает все конеч-
ные точки поля k. По теореме 2 гл. V-2 L является ^-решеткой
в Е с замыканиями LB в £в для всех конечных v. Для е = (ев) Е С,
очевидно, Фв (ев + т]) = 0 при т] Е Е Q Lv, так что Ф {е + т]) = 0
при т|, не лежащих в L. Кроме того, если Ао— верхняя грань
| Фв | для£каждой конечной точки v поля k, то Av = 1 почти для
всех V. Полагая А = Д Ао, мы видим, что при е Е С ряд (3) мажо-
рируется рядом
4 3 IП (еш+ л) 1>
T|EL w
где произведение берется по бесконечным точкам w поля k. Как
объяснялось в гл. V-2, положим Ex = Е ® qR и отождествим это
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ
161
пространство с произведением ]J Ew, взятым по бесконечным точ-
кам поля k. Очевидно, что функция Фоо на Ех, определенная при
с», = (ew) формулой
Фсс (в-) = П
U?
стандартна. Поскольку L есть ^-решетка в Е, то L является Q-решет-
кой в Е, рассматриваемом как векторное пространство над Q,
а следовательно, и R-решеткой в Ех. Теперь остается воспользо-
ваться предложением 3.
Следствие 1. Если av — когерентные меры на Ev, то
двойственные к ним меры ai также когерентны', мерой, двойствен-
ной к а = [J av, является мера а' = П Если a (EAIE)'= 1,
то a! (E'aJE') = 1.
Первое утверждение было доказано выше; второе немедленно
следует из теоремы 1 и определений. Что касается последнего
утверждения, то, согласно теореме 3 гл. IV-2, Е' является подгруп-
пой в £д, ассоциированной по двойственности с подгруппой Е
в £А. Поэтому, как мы уже видели, наше утверждение следует
из формулы Пуассона, при условии что мы можем предъявить
допустимую для (£а, Е) функцию Ф, для которой левая часть
равенства (1) отлична от нуля. Но по теореме 1 любая стандартная
функция Ф 0, для которой Ф (0) > 0, обладает этим свойством.
Важен частный случай Е = Е' = k, [х, у} = ху. Отождествляя,
как и раньше, пространства kA и kv с двойственными к ним при
помощи характеров х, мы получаем в этом случае
Следствие 2. Пусть a, av — самодвойственные меры на
kA, kv. Тогда меры av когерентны, а = П а» и а (&а/&) = 1.
Возьмем любые когерентные меры на группах kv. По след-
ствию 1 двойственные к ним меры pi когерентны, откуда вытека-
ет, что PD = Pi почти для всех v. Другими словами, мера рв совпа-
дает с самодвойственной мерой av почти для всех v и, значит, меры
ав когерентны. Остальные наши утверждения немедленно выте-
кают теперь из следствия 1.
В обозначениях следствия 1 мера а на ЕА, для которой а (£Л/Е) =
= 1, известна как мера Тамагавы на ЕА; следствие 1 показывает,
что двойственная к ней мера является мерой Тамагавы на Е'А.
В частности, на kA мера Тамагавы — это то же самое, что самодвой-
ственная мера.
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
162
Для каждой конечной точки о поля k обозначим через v (t>)>
порядок характера по следствию 1 теор. 3 гл. IV-2 v (и) = О
почти для всех v. Выберем такие av Е ky, что ordD (ав) = v (и).
Далее, для каждой вещественной точки v поля k применим к харак-
теру х->е(—х) следствие теор. 3 гл. П-5, которое показывает,
что существует один и только один элемент a,. такой, что
X» (х) = е (—асх) при всех х Е kv. Аналогично для каждой мнимой
точки v существует один и только один элемент av £ k*, для кото-
рого х» W — е (—avx — avx) при всех х Е kv. Так как v (и) = О’
почти для всех v, то (а„) Е &а-
Определение 4. Пусть х — нетривиальный характер
на kA, тривиальный на k и индуцирующий для каждой точки v
характер на kv. Идель а = (а„) поля k будем называть диффе-
рентным иделем, связанным с х, если ordB (av) равен порядку v (у)
характера для каждой конечной точки v поля k, х„ (х) = е (—avx)
для каждой вещественной точки и м х» (х) = е (—— 0i>x) для
каждой мнимой точки v поля k.
Ясно, что для заданного х дифферентный идель а однозначно
определен по модулю [J г*, где произведение берется по всем ко-
нечным точкам v поля k. Если xi —другой такой характер, то по
теореме 3 гл. IV-2 его можно записать в виде xi (х) = X (£*)> гДе
5 Е k*. Тогда %а, где идель а такой, как выше, будет дифферент-
ным иделем, связанным с xi- Следовательно, множество всех диф-
ферентных иделей является классом смежности в k'x по модулю
/гх Ц г*. Если k — поле характеристики р > 1, то а тогда и только
тогда является дифферентным иделем, связанным с х, когда div (о) =
= div (х) в смысле, объясненном в гл. VI; откуда следует, что
div (а) лежит в каноническом классе.
Предложение 6. Пусть а — дифферентный идель. Тогда,
если характеристика поля k равна нулю, то | а |д = I D |-1, где
D — дискриминант поля k, а если k — поле характеристики
р > 1, Fg — его поле констант и g — его род, то | а |А = д2-2г.
Последнее утверждение эквивалентно равенству deg (div (а)) =
= 2g — 2; так как div (а) является каноническим дивизором,
то это утверждение совпадает со следствием 1 теор. 2 гл. VI. В случае
характеристики нуль пусть а, — самодвойственные меры на kx,
kv, так что а — [J а„ (следствие 2 теор. 1). Пусть мера ₽ = П ₽»
такова, как в предложении 7 гл. V-4. Применяя следствие 3 пред-
§ 3. КВАЗИХАРАКТЕРЫ
163
ложения 2 и предложения 4 и 5, получаем, что а = I а |1/2 0. Так
как по следствию 2 теор. 1 a (kjjk) = 1 и по предложению 7
гл. V-4 ₽ (kA/k) = | D I1/2, то | а |А = | D Г1.
§ 3. КВАЗИХАРАКТЕРЫ
Сначала мы изложим некоторые вспомогательные результаты.
Как обычно, для всякого z g С обозначаем через Re (г) и Im (г) его
вещественную и мнимую части и полагаем | z | = (гг)1/2, | z !«, —
= mode (г) = zz.
Лемма 2. Характер ® группы G тривиален, если Re (® (g)) >
> 0 при всех g £G.
Если г £ С, | г | = 1, г 1 и Re (z) > 0, то z = е (/), где t g R,
О < | t | < 1/4. Обозначим через n наименьшее целое число, для
которого п | t | > V4. Тогда (п — 1) | t | 1/4, следовательно,
х/4 < п | t | < */2 и Re (zn) < 0. Поэтому подмножество в С, опре-
деленное условиями | z | = 1, Re (z) > 0, не содержит иных под-
групп в Сх, кроме {1}.
Лемма 3. Каждый гомоморфизм ® компактной группы G
в Сх является характером на G.
В самом деле, отображение g-> | ® (g) | должно переводить
G в компактную подгруппу в Rx, а таких подгрупп там нет, за иск-
лючением {1}.
Группа G называется вполне несвязной, если существует фунда-
ментальная система окрестностей нейтрального элемента в G,
состоящая из подгрупп G. Например, если К — некоторое р-поле
с максимальным компактным подкольцом R и максимальным идеа-
лом Р в R, то группы К и Кх вполне несвязны: подгруппы Рп
в К и подгруппы 1 + Рп в /Сх, п 1, образуют такие фунда-
ментальные системы.
Лемма 4. Пусть группа G локально компактна и вполне
несвязна. Тогда каждое представление G—> Сх локально постоянно.
Если G компактна, то каждое такое представление является харак-
тером конечного порядка на G. Обратно, если G — компактная
коммутативная группа и каждое ее представление имеет конечный
порядок, то G вполне несвязна.
Если G локально компактна и вполне несвязна, то леммы 2 и 3
показывают, что каждое представление G-*- Сх тривиально на
некоторой открытой подгруппе в G и, следовательно, локально
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
164
постоянно. Если G компактна, то любая открытая подгруппа в G
имеет конечный индекс, откуда вытекает второе утверждение леммы.
Если G коммутативна и компактна, то двойственная к ней группа
G* дискретна. Так как G может быть отождествлена с группой,
двойственной к G*, то в этом случае существует фундаментальная
система окрестностей нуля в G, состоящая из множеств, определен-
ных условиями вида | oi, (g) — 1 | е (1 i N), где —
характеры на G. Если все ®г имеют конечный порядок, то можно
найти такое е > 0, что из этих неравенств следуют равенства
®г (g) = 1 при 1 i N, тогда таким образом определенная
окрестность является подгруппой в G.
Начиная с этого места, нас будут интересовать главным образом
представления в Сх групп вида /Сх, где К — локальное поле, и
вида kA./kx, где k — некоторое A-поле. Все эти группы обладают
свойством, описанным в следующем определении.
Определение 5. Группу G будем называть квазикомпакт-
ной, если она разлагается в прямое произведение компактной ком-
мутативной группы Gi и группы, изоморфной R или Z. Представ-
ление такой группы G в Сх будем называть квазихарактером на G.
Нетрудно было бы показать, что группа G квазикомпактна
в том и только в том случае, когда она коммутативна и локально
компактна, а двойственная к ней группа G* локально изоморф-
на R, т. е. имеет открытую подгруппу, изоморфную R или R/Z;
последнее условие можно даже заменить следующим более слабым:
G* имеет окрестность нуля, гомеоморфную R. Отсюда легко выве-
сти, что G квазикомпактна в том и только в том случае, когда в ней
имеется такая компактная подгруппа Gi, что группа G/Gi изоморф-
на R или Z. Эти факты нам не понадобятся в последующем. Ясно,
что если G обладает свойством, описанным в определении 5, то Gi
является ее единственной максимальной компактной подгруппой.
Определение 6. Для квазикомпактной группы G ква-
зихарактер на G будем называть главным, если он тривиален на мак-
симальной компактной подгруппе Gi в G.
Квазихарактеры квазикомпактной группы G очевидным обра-
зом образуют группу, которую мы будем обозначать через й (G)
и записывать мультипликативно. Иными словами, если ®, о/ 6
Е й (G), то мы обозначаем через coco' квазихарактер g ® (g) со' (g)
на G. Ясно, что главные квазихарактеры образуют подгруппу Й1
в Й (G).
§ 3. КВАЗИХАРАКТЕРЫ
165
Предложение 7. Пусть G — квазикомпактная группа
и Gi — ее максимальная компактная подгруппа. Тогда G имеет
нетривиальные представления в Rp; если ®i — такое представле-
ние, то его ядро совпадает с Gi и каждое представление G -> R*
может быть записано одним и только одним способом в виде g-*-
®i (g)°> где ст Е R-
Пусть G = Gi X N, где группа N изоморфна R или Z. По лем-
ме 3 каждое представление со: G -> R* тривиально на Gp, записывая
элементы из G в виде пар (glt п) с gt Е Glt п Е N, мы видим, что со
должно иметь вид (gi, п) <р (л), где <р — представление N -> R£.
Отождествим N с группой R или Z, той, которой она изоморфна.
В первом случае условие на ф означает, что отображение п
-> log <р (п) определяет эндоморфизм группы R и, значит, имеет
вид п -> ап, где а Е R, так что <р (п) = exp (ап). В случае N = Z
представление <р, очевидно, имеет вид ср (п) = Ьп, где b Е R$, и может
быть записано в виде ф (п) = exp (ап), где а — log b. В обоих
случаях ф нетривиально, если а 0. Поэтому если ®i таково,
как в предложении 7, то оно может быть записано в виде coi (gt, п) =
= exp (ат), где c/j 0. Ядро этого представления, очевидно,
равно Gi. Далее, если со, ф, а таковы, как выше, то со = (coi)°,
где ст = a/alt причем элемент ст определен однозначно.
Следствие 1. Пусть G, Gi и coi таковы, как в предложе-
нии 7. Тогда группа главных квазихарактеров на G изоморфна С
или Сх, смотря по тому, чему изоморфна группа GIGi, группе R
или группе Z. Каждый такой квазихарактер имеет вид
g~> <*>S (g) = ®1 (g)S,
где s Е С. Отображение s->-g)s является морфизмом из С на Qj.
fidpo этого морфизма равно {0} или имеет вид aZ, где а Е R* > смотря
по тому, изоморфна G/Gi группе R или Z.
Пусть со — произвольный квазихарактер на G. Во введенных
выше обозначениях предложение 7, примененное к отображению
gI ® (g) I, показывает, что | со | = со0, где ст Е R- Поэтому
со' = оф1 со является характером на G. Если со тривиален на Gi,
то это же верно для со', и применяя те же обозначения, что и в дока-
зательстве предложения 7, можно записать со' (gi, п) = ф (п),
где ф — характер на N. Как и в том доказательстве, отождествим
группу N с изоморфной ей группой R или Z; в обоих случаях
(g\ п) = exp (ат)- Каждый характер на N может быть записан
в виде ф (п) = е (тп), где т Е R; этот факт очевиден для N = Z
и хорошо известен (и является частным случаем теоремы 3 гл. П-5)
для N = R. Отсюда вытекает, что со = cos, где s = ст + 2jut/«i.
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
166
При этом о и ф однозначно определяются по ®; т однозначно опреде-
ляется по ф в случае N = R и однозначно определяется по модулю Z
в случае N = Z. Отсюда видно, что s-э- является изоморфизмом
из С на Qi, если N = R, а если N = Z, то мы имеем ® (git п) = ип,
где и = ехр (щз) и со есть изоморфизм из Сх на й4. Доказа-
тельство закончено.
Следствие 2. Пусть G — квазикомпактная группа, а имен-
но прямое произведение компактной группы Gt и группы N, изо-
морфной R или Z. Тогда группа й (G) квазихарактеров на G разла-
гается в прямое произведение группы Qi, фигурирующей в след-
ствии 1, и группы характеров на G, тривиальных на N; последняя
группа изоморфна группе, двойственной к Gt.
Как уже было отмечено выше, каждый квазихарактер ® на G
может быть однозначно представлен в виде <ваф, где ф — характер
на G и ст Е R. Ясно, что ф можно однозначно записать как ф1ф2, где
Ф1 тривиален на Gt, а ф2 тривиален на N. Поэтому со = (соДл) ф2
и соаф1 Е Qi. Последнее утверждение нашего следствия очевидно.
До сих пор мы ни слова не говорили о топологии на й (G).
Введем на Qi не только топологию, но даже комплексную струк-
туру с помощью морфизма s-> из С на й1; определенного в след-
ствии 1 предл. 7. Введем на й (G) топологию, в которой Й! является
открытой подгруппой в й (G), и определим на Й (G) комплексную
структуру, перенеся при помощи трансляций комплексную струк-
туру с Й1 на каждый класс смежности по модулю йь Тогда группа
й (д)/Й! дискретна и, следовательно, топологически изоморфна
группе, двойственной к Gt, потому что та группа тоже дискретна.
Компоненты связности в й (G) являются классами смежности
по модулю й1; и все они изоморфны С или Сх, в зависимости от того,
какая реализуется из двух возможностей для G/Gi.
Ясно, что изложенные выше понятия и результаты можно при-
менить к случаю G = Кх, где К — любое локальное поле с пред-
ставлением ®1 (х) = modK (х). В качестве N можно взять под-
группу Rx в Кх, если К = R или С, и группу, порожденную
любым простым элементом л в /С, если К есть p-поле. В последнем
случае это дает
Предложение 8. Пусть К — некоторое p-поле ил —
простой элемент в К- Тогда главные квазихарактеры, на —
это отображения вида х-> modK (x)s, где s Е С. Группа й (КД
квазихарактеров на Кх разлагается в прямое произведение группы
главных квазихарактеров и группы характеров ф на Xх, для кото-
рых ф (л) = 1.
§ 4. КВАЗИХАРАКТЕРЫ А-ПОЛЕЙ
167
По лемме 4 каждый квазихарактер на Кх локально постоянен.
Если буквы 7? и Р имеют свои обычные значения, то группы
и 1 + Рп при п 1 открыты в Кх и образуют фундаментальную
систему окрестностей единицы. Этим оправдано следующее опре-
деление.
Определение 7. Пусть К — некоторое p-поле, R —
его максимальное компактное подкольцо и Р — максимальный идеал
в R. Пусть, далее, и — квазихарактер на Ку и f — наименьшее
из тех неотрицательных целых чисел, для которых со (х) = 1 при
х Е Rx, х —IE Pf- Тогда Р{ называется ведущим идеалом для со.
Очевидно, что квазихарактер со является главным в том и только
в том случае, когда f — 0, т. е. когда его ведущий идеал совпадает
с R; в этом случае мы будем говорить, что со неразветвлен.
Для К = R или С имеет место следующий результат.
Предложение 9. Каждый квазихарактер на Rx можно
одним и только одним способом записать в виде х~>- х~А\ х |s, где
А = 0 или 1 и s £ С. Каждый квазихарактер на Сх можно одним
и только одним способом записать в виде х -> х~Ах~в (xx)s, где А
и В — целые числа, inf (А, В) = 0 и s Е С.
Для Rx это немедленно вытекает из предложения 7 и его след-
ствий, поскольку здесь Gi = {±1}. Для G = Сх группа Gi опре-
деляется уравнением хх = 1. Так как эта группа двойственна
группе Z, то ее характеры — это функции х -> хп, где п Е Z. Каж-
дую такую функцию можно записать прим 0 в виде х-> (х/| х |)-л,
где А = — п Д 0, а при п Д 0 в виде х-> (х/| х |)-в, где В =
= п 0. Отсюда и из предложения 7 немедленно следует наше
утверждение.
§ 4. КВАЗИХАРАКТЕРЫ А-ПОЛЕЙ
По теореме 6 гл. IV-4 группа 6д/&х квазикомпактна для любого
A-поля k. Начиная с этого места, будем писать G^ = k£lkx. Эта
группа известна как группа классов иделей поля k. Обозначим
через Q (GJ группу квазихарактеров на Gk, наделенную тополо-
гией и комплексной структурой, определенными в § 3. Квазиха-
рактеры на Gk будем очевидным образом отождествлять с пред-
ставлениями йд -> Сх, тривиальными на k*.
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
168
Поскольку z -> | z |а есть нетривиальное представление k& -*
-> Rx, тривиальное на &х, то оно определяет нетривиальное пред-
ставление Gk -> R+, которое будем обозначать через оц и к которо-
му можно применить предложение 7 § 3 и его следствия, снова
записывая = (оц)8 при s Е С. В частности, ядро Gk = k\lkx
представления ®i является максимальной компактной подгруппой
в Gn, s->- есть морфизм группы С на группу Qi главных квази-
характеров на Gft; если ® — произвольный квазихарактер на Gh, то
существует одно и только одно число ст € R, для которого | со | =
Если характеристика поля k равна нулю, то по следствию 2
теор. 5 гл. IV-4 группа Gh разлагается в прямое произведение под-
группы Gk и образа N в Gk группы М, определенной в этом след-
ствии. С другой стороны, если k — поле характеристики р > 1,
то выберем какой-нибудь элемент Zi £ k& среди тех, для которых
| z |а принимает свое наименьшее значение Q>1. Поскольку,
как мы видели в гл. VI, все значения | z |А имеют вид qn с п £ Z,
если полем констант поля k является Fg, то Q = qv, где v 1;
позже мы убедимся, что v = 1 и Q = q (см. следствие 6 теорема 2 § 5).
Обозначим через М подгруппу в &а, порожденную элементом
и через N — ее образ в Gh. Во всех случаях (нулевой и ненулевой
характеристики) мы будем отождествлять группу N с ее образом
в R* при отображении о>1, так что со± можно рассматривать как
проекцию произведения Gh = Gk X N на сомножитель N. Таким
образом, N = R.x, если характеристика поля k равна нулю, а в про-
тивном случае N есть подгруппа в R$, порожденная элементом Q.
Отсюда вытекает, что в последнем случае морфизм $ —>- со, из С
на Qi имеет то же самое ядро, что и морфизм s —>- Qs из С на Сх, т. е.
2nt (log Q)-1 Z.
Пусть ® — произвольный квазихарактер на Gh. Рассматривая
его как представление &А —Сх, тривиальное на kx, обозначим
для каждой точки v поля k через индуцированный им квази-
характер на kv - Поскольку группы /гА (Р)х. определенные в след-
ствии предложения 2 гл. IV-3, открыты в k^, каждая окрестность
единицы в ^а содержит подгруппу вида Поэтому в силу
леммы 2 § 3 ® тривиален на некоторой подгруппе такого вида, дру-
гими словами, квазихарактер <ов не разветвлен почти для всех v.
Следовательно, для всех z = (zB) £ k& мы имеем ® (z) = fj (zc),
где произведение берется по всем точкам v поля k; для каждого
z почти все сомножители в произведении равны 1. Мы будем писать
для краткости ® = []
§ 4. КВАЗИХАРАКТЕРЫ А-ПОЛЕЙ
169
Теперь мы можем сформулировать главную цель настоящей;
главы. Это — исследование интегралов вида
(4) Z (и, Ф) = J Ф (/ (?)) со (г) dp (г),
ЬХ
ftA
где обозначения имеют следующий смысл. В качестве р берется
мера Хаара на Ад; в качестве и — квазихарактер на Gh = kAlkx,
рассматриваемый как функция на kA', в качестве Ф — стандартная
функция на &д. Через / обозначается естественная биекция группы
&а на множество обратимых элементов кольца kA; согласно пред-
ложению 2 гл. IV-3, это — непрерывное отображение kA->-kA.
Допуская вольность в обозначениях, мы будем обычно писать
Ф (z) вместо Ф (/ (z)).
Что касается меры р, как уже было замечено в гл. V-4 в случае
характеристики нуль, такую меру можно определить, выбрав для
каждой точки v меру Хаара рв на k* таким образом, чтобы
И» (г?) = 1 почти для всех и. Мы пишем р = Д рв Для обозначе-
ния меры, которая совпадает с произведением мер Д рв на каждой
подгруппе kA (Р)х. Меры рв устроены так.
Лемма 5. Пусть К — локальное поле и а — мера Хаара на К.
Тогда формула d\i (х) = modJf (х)-1 da (х) определяет меру Хаара
р на Xх. При этом, если К — некоторое p-поле, q — его модуль
и R — максимальное компактное подкольцо, то р(/?х) =
= (1 - 7-1) а (/?).
По определению функции modK, при а £ Xх отображение
х -а- ах оставляет меру р инвариантной, чем доказано первое утвер-
ждение. Второе немедленно следует из теоремы 6 гл. 1-4.
Предложение 10. Пусть Ф = Д Фв — стандартная
функция на kA, со = Д <ов — квазихарактер на Gk = kAltX и р =
= Д рв — мера Хаара на kA. Предположим, что | со | = <оа, где
<т> 1. Тогда интеграл Z (со, Ф) в (4) абсолютно сходится и его
значение задается также абсолютно сходящимся произведением
(5) /(Ю,Ф)^П(1 Ф1>(х)(в1,(х)с/рр(х)).
Для каждой конечной точки v поля k положим Чгв = | Фв |; для
каждой бесконечной точки w поля k выберем такую стандартную-
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
170
функцию Yw на kU; что Yw > | Фи, |. Тогда, очевидно, V = [J ЧД
будет стандартной функцией на kA, мажорирующей | Ф |, и
Z (®о, Y) мажорирует Z (®, Ф). Обозначим через / (Р), J (Р)
интегралы по kA (Р)х от Ф® d\i и Y®0 dii соответственно и через
Iv, Jv интегралы по k* от Фв®в d\iv и 4% | сов | dp,„ соответственно;
для каждой конечной точки v обозначим через Д, Jv те же интегра-
лы, но взятые по г?, а не по kv', Iv является отвечающим точке v
сомножителем в правой части равенства (5). Почти для всех конеч-
ных точек v поля k функция Фо является характеристической
функцией кольца г„, квазихарактер сов неразветвлен и р„ (г*) = 1;
пусть Ро — такое конечное множество точек, содержащее Рх,
что эти свойства имеют место при всех v, не лежащих в Ро. Тогда
Iv = J'v = 1 при v (j Ро- Отсюда вытекает, что при всех Р щ> Ро
/(Р)=П4, J(P)=Ip0.
Поэтому Z (®а, Y) < + оо при условии, что все интегралы J v
и бесконечное произведение сходятся. Если мы покажем, что это
условие выполняется, отсюда будет следовать также, что Z (®, Ф),
интегралы /0 и произведение [] /в все абсолютно сходятся и что
интеграл Z (®, Ф) равен последнему произведению, а именно это
мы и хотим доказать. Для любой точки и возьмем какую-нибудь
меру Хаара а„ на kv. Тогда по лемме 5 dp0 (х) = tnv I х |Д dav (х)
при некотором tnv 6 R*. Это дает
f 4fB(x)|x^-1c/cxB(x).
Из нашего определения стандартной функции сразу видно, что
последний интеграл сходится при ст Дг 1; на самом деле для схо-
димости достаточно, чтобы выполнялось неравенство ст > 0, но нам
это здесь не нужно. С другой стороны, для точки v, не лежащей в Р,
имеем
-j-oo -J-OO
jv=2 JI* I’ Фоw=3 =и -
у=0 uv v=0
поскольку kv П rv является объединением попарно непересекаю-
щихся множеств uv = т Д 0. Предложение 1 § 1 показывает
теперь, что произведение |[ Jv сходится. Доказательство закон-
чено.
§ 5. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
171
Метод вычисления, который мы только что применили для J„,
можно применить и для интеграла Получающийся при этом
результат сформулируем как следующее
Предложение 11. Пусть К — некоторое p-поле, q —
его модуль, R — его максимальное компактное подкольцо up —
мера Хаара на Кх, для которой р (Rx) = 1. Обозначим через <р
характеристическую функцию кольца R. Тогда при Re (s) > О
j ф (х) modK (х)3 du (х) = (1 — q^Y1-
кх
В самом деле, мы можем представить /Сх |"| R как объединение
попарно непересекающихся множеств Uv = nvRx = Рх — Pv+l,
v 0. Тогда интеграл можно записать в виде ряда
-J-СО -{-оо
2 j modK (х)3 dp (х) = 2 <Г'Х
v=0 t/' v=0
V
который абсолютно сходится при Re (s) > 0 и имеет указанное
выше значение.
§ 5. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
Прежде всего мы выберем некоторую меру Хаара на £д. А имен-
но на компактной группе Gk возьмем меру Хаара pi, для которой
Pi (Gh) = 1- На группе N возьмем меру V, для которой dv (и) =
= /Г1 dn, если N = R*, и v ({1}) = 1 в противном случае. На Gk =
= Gj{ х N возьмем меру р = pi X v. Наконец, на Ад возьмем
такую меру р, образ которой в Gk = &д/&х совпадает (в объясненном
в гл. П-4 смысле) с только что определенной мерой.
Лемма 6. Пусть F± — измеримая функция на N, причем
0 Fi 1 и существует компактный интервал Uo, Gi в R$, для
которого Ft (ri) = 1 при п Е N, п < to, и Ft (л) = 0 при п £ N,
п > G- Тогда интеграл
X (s) = n3/7! (и) dv (ri)
N
абсолютно сходится при Re (s) > 0. Функцию X (s) можно анали-
тически продолжить до функции, мероморфной на всей s-плоскости.
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
172
Если положить Хо (s) = s-1 в случае N = R* и /,0 (s) = у (1 + Q~s) X
X (I — Q~s)-1 в случае N ~ {Qv}vez, то X — л0 будет целой функ-
цией от s. Наконец, если Fi (п) + Ft (л-1) = 1 при всех п £ N,
то X (s) 4- X (—s) = 0.
Возьмем сначала в качестве F\ функцию fr, для которой (п) = 1
при л <; 1, (1) = 1/2, Л («) = 0 при л> 1. Тогда функция X равна
1 4-00
интегралу j л8'1 dn в случае N = R? и ряду -^ + 2 Q~VS в случае
о 1
W = {QV}. В обоих случаях при Re(s)>0 имеют место абсолют-
ная сходимость и равенство Х = Х0. Для произвольной функции Fs
это дает
X (s) — л0 (s) = j ns (Fi (л) — fi (л)) dv (n).
N
Так как Fi — Д есть ограниченная измеримая функция с компакт-
ным носителем на N, то последний интеграл абсолютно сходится
при всех s, причем сходимость равномерна на каждом компактном
подмножестве s-плоскости. Следовательно, этот интеграл опреде-
ляет целую функцию от s. Предположим теперь, что Ft (л) +
+ Fi (л-1) = 1. Так как функция fi обладает тем же свойством,,
то для функции F2 = Fi — fi имеем F2 (п"1) = — F2 (л). Заменяя
в последнем интеграле л на л-1 и учитывая равенство Хо (—s) =
= —(s), получаем, что X (—s) = —X (s).
Из леммы 6 следует, что в точке s = О функция X имеет вычет 1,
если N = R*, и вычет (log Q)-1, если N = {Qv}. Здесь и ниже под-
разумевается, что вычеты берутся относительно переменной s.
Напомним, что если функция f (s) от s имеет простой полюс в точке
s = s0, то ее вычет равен lim (s — s0) f (s) при s-^>-s0.
Теорема 2. Пусть Ф — стандартная функция на ЛА. Тогда
функция со -> Z (со, Ф), определенная формулой (4) § 4 в случае,
когда интеграл в (4) абсолютно сходится, может быть аналити-
чески продолжена до функции, мероморфной на всем комплексном
многообразии Q (GJ. Эта функция удовлетворяет уравнению
Z (со, Ф) = Z (cojco-1, Ф'),
где Ф' — преобразование Фурье функции Ф относительно меры
Тамагавы на kA. Кроме того, Z (а, Ф) голоморфна всюду на Q (GJ,
за исключением простых полюсов <о0 и он с вычетами соответственно
— рФ (0) и рФ' (0), где р = 1, если N = R$, и р = (log Q)-1,
если N = {Qv}.
§ 5. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
173
Выберем на R* две непрерывные функции Fo, Fi со следующими
свойствами: (i) Fo 0, Fi О, Fo + Fi = 1; (ii) существует такой
компактный интервал [Zo, в R*, что Fo (/) = 0 при 0 < t < tQ
и Fi (f) = 0 при ti. Возьмем любое В > 1. Тогда при <т Е R,
о В, t Е R+ имеем FFa (/) 1%~BtB. Для i = 0, 1 запишем
Zt = Zt (cd, Ф) = j Ф (z) со (z) Ft (| z |a) dp (z).
Положим, как и прежде, | и | = <оа, где ст Е R- По предложению 10
§ 4 Zo и Zi абсолютно сходятся при ст > 1. С другой стороны, при
ст В интеграл Zo мажорируется интегралом
J |®(z)H<F0(|z|A)4c(z)<zrB J |Ф(г) |-|z|f с/И(г),
который сходится по предложению 10 § 4. В частности, Zo (cosco, Ф)
абсолютно сходится при всех s Е С, и легко проверяется, что эта
сходимость равномерна по «, принадлежащим любому компактному
подмножеству в С. Так как квазихарактеры сщсо при «ЕС обра-
зуют компоненту связности элемента со Е й (Gft) и комплексная
структура на этой компоненте определяется переменной «, отсюда
видно, что функция со Zo (со, Ф) голоморфна на всем простран-
стве й (G/;).
Теперь применим к группе кд, дискретной подгруппе kx и ин-
тегралам Zo, Zi формулу (6) гл. П-4. Мы получим
zi = j (2 ф сф) ® Fi (।21д)
где z — образ элемента z Е &а в Gk = k%Jkx и подинтегральное
выражение рассматривается как функция от z. Здесь интегралы
для Zo, Zi абсолютно сходятся, если этим свойством обладают
исходные интегралы для Zo, Zj, т. е. абсолютно сходятся при
о > 1 в случае Zi и при всех ст в случае Zo.
Для каждого z Е &а к автоморфизму х -> z-1x группы /гА при-
менима лемма 1 § 2; применяя формулу Пуассона, т. е. формулу (1)
из § 2, к функции х->Ф(гх), получаем
Ф (0) + 2 Ф (гВ) IX1 (Ф' (0) + 2 Ф' С^1)),
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
174
следовательно,
z< = И 2 ф' (^-1) + ф' (°) ~ I г |а Ф (0)) | г Ц1® (г) Ft (| г |А) ф (г).
Gh 5£йх
Но то, что мы доказали для Zo, остается верным при замене со
на ®i®-1, Ф на Ф' и Fo на функцию (7-1). Обозначая через
Z„ результат этой замены, получаем
z'o= Ф' I г |а ® (z)’1 Ft (| zi Ц1) dy, (г),
А
где интеграл абсолютно сходится и голоморфен на всем простран-
стве Q (Gft). Заменим в этом интеграле z на z-1. Тогда мера Хаара
р заменится на меру Хаара ср, где с2 = 1, поскольку мы£имеем
дело с автоморфизмом второго порядка группы йА. Следовательно,
с — 1. После указанной замены переменной снова применим фор-
мулу 6 гл. П-4 к /гА и 6х. Это даст
zo = J ( 2 ф' ) ।2 1а ® 0 Л (I г |а) ^Р (г),
Gk
где интеграл опять абсолютно сходится при всех ®. Поскольку
t—>-t~1 есть биекция группы k* на себя, мы видим, что
Z!-Z;= j (Ф' (0) — |г|АФ (0)) |z|A и (z) Fj (|z|A) rfp (z),
Gk
где интеграл абсолютно сходится при ст > 1, потому что этим
свойством обладают интегралы Zi и Z'o. По следствию 2 предло-
жения 7 § 3 ® = ®вф, где ф — характер на Gk, тривиальный на N.
В силу нашего определения р как меры pi х v на Gk = Gk X[N
последняя формула может быть переписана следующим образом:
ф4ч).( j (Ф'
Gk N
Первый сомножитель в правой части есть 1 или 0 в зависимости
от того, тривиален или нет характер ф, т. е. является или не являет-
ся главным квазихарактер ®. Обозначим этот сомножитель через б0).
Второй сомножитель можно сразу вычислить с помощью леммы 6.
В результате получаем
Zi — Z' = (Ф' (0) X (s - 1) - Ф (0) X (s)),
§ 5, ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
175
где X — функция, определенная в упомянутой лемме. Поскольку
Z (со, Ф) = Zo + Zi, нами доказано, что функцию Z (со, Ф) можно
продолжить до функции, голоморфной всюду на Q (Gft), кроме
компоненты связности Qi точки <о0 = 1, а на этой компоненте —
до мероморфной функции, имеющей самое большее те же полюсы,
что и функции A (s — 1) и X (s). Что касается последних полюсов
и их вычетов, то они даются леммой 6 и являются именно такими,
как утверждается в теореме.
Наконец, предположим, что мы выбрали Fo, Ft так, что Fo (0 =
= Fi (F1) при всех t. Это можно сделать, взяв в качестве Ft такую
непрерывную при t 1 функцию, что 0 Ft (0 1 при всех
1, Ft (1) = Ч2 и Ft (0 = 0 при Л, и положив Ft (0 =
= 1 — Ft (/-1) при 0 < t <. 1 и Fo = 1 — Ft- При таком выборе
имеем Zo = Zo («цсо-1, Ф') и потому
Z (®, Ф) = Zo (®, Ф) + Zo (coi®-1, Ф') + бш (Ф' (0) A (s — 1) —
— Ф (0) X (s)).
Заменим в этой формуле со на coi®'1 и Ф на Ф'. В силу формулы
обращения Фурье функция Ф' перейдет при этом в функцию Ф",
для которой Ф" (х) = Ф (—х). Так как квазихарактер со три-
виален на kx, то со (—1) = 1 и, значит, со (—г) — со (?) при всех г,
так что Zo (со, Ф") совпадает с Zo (со, Ф). Поэтому наша замена
приводит просто к перестановке первых двух членов в правой части
формулы. Поскольку при этом s заменяется на 1 — s, то согласно
лемме 6 последний член не меняется. Этим завершается вывод
«функционального уравнения» в теореме 2.
Следствие 1. Пусть Р — конечное множество точек поля k,
содержащее Рх. Тогда произведение
p(k, Р, s)= П (1-^Т1
абсолютно сходится при Re (s) > 1 и функция (s — 1) р (k, Р, s)
стремится при s -> 1 к конечному строго положительному пределу.
Первое утверждение содержится в следствии 1 предл. 1 § 1.
Далее, возьмем такие же меры Хаара аг на kv и р„ на k», как
и выше. По лемме 5 § 4 для каждой точки v имеем dyv (х) =
— mv | х Is1 dav (х), где mv > 0. Возьмем такую стандартную
функцию Ф, что Фс есть характеристическая функция кольца г1}
при всех v (f Р, Фр^0 и Ф„ (0)>0 при всех и. Применим кZ (®s, Ф)
при Re (s) > 1 предложение 10 § 4. Сомножитель /„, соответствую-
щий точке v, в правой части этого предложения может быть теперь
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
176
^записан в виде
/и — Шр Фи (х) | X |v dc^v (х).
При v $ Р согласно предложению И § 4 Iv отличается от (1 — 77s)-1
лишь скалярным множителем (гв), который всегда > 0 и кото-
рый равен 1 почти для всех v. Для v £ Р, как легко проверить,
функция Iv непрерывна при Re (s) 1 (легко показать, что на самом
деле эта функция голоморфна при Re (s) >0, и в следующем пара-
графе будет получен намного более точный результат при одном
специальном выборе Ф, но сейчас нам это не нужно). При s-> 1
имеем Iv-^tnv § Фв dav > 0. Отсюда видно, что функция Z (<щ, Ф)
отличается от произведения р (k, Р, s) из нашего следствия лишь
на множитель, который стремится к конечному положительному
пределу при s-> 1. С другой стороны, теорема 2 показывает, что
Z (®з, Ф) имеет простой полюс в точке s = 1 с вычетом рФ' (0),
где р > 0. Поскольку Ф'(0) = j Ф da и последний интеграл, оче-
видно, положителен, наше доказательство закончено.
Следствие 2. Пусть Р — таково, как выше, и пусть ® —
такой нетривиальный характер на k&, тривиальный на kx,
что ® D неразветвлен для всех v $ Р', для таких v положим X (и) =
= coD (лв), где лс — простой элемент в kv. Тогда произведение
р (k, Р, ®, s) = [J 0 ~ (0
V&P
абсолютно сходится при Re (s) > 1 и стремится к конечному пре-
делу при s-> 1; если характер со2 нетривиален, то этот предел
отличен от нуля.
Так как ® — характер, то | Z (ц) | = 1 для всех v £ Р, так что
первое утверждение содержится опять в следствии 1 предл. 1 § 1.
Возьмем такие же а0, как и выше, и выберем Ф так, чтобы Фс
была характеристической функцией кольца rv при v Р. Применим
к Z (®s, со, Ф) при Re (s) > 1 предложение 10 § 4. Сейчас сомно-
житель имеет вид
1ц ~ ГП„ Фр (х) (х) | X |г> doCc (х).
kx
При v $ Р характер ®в неразветвлен и может быть записан в виде
сов (х) = | х |’р, где$в определяется равенством X (и) = q~s']- Предло-
§ 5. ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
177
жение 11 § 4 показывает, что /в отличается от (1—X (и) t/71)-1
лишь скалярным множителем рв (г?), который равен 1 почти для
всех v. Как и выше, замечаем, что для v £ Р функция Iv непрерывна
при Re (s) 1. Учитывая для бесконечных точек предложение 9,
легко получаем, что для каждой точки v Е Р функцию Фв можно
выбрать так, чтобы Iv 0 при s = 1; мы будем предполагать,
что она так и выбрана (при некоторых специальных выборах Фв
интеграл Iv будет точно подсчитан в § 7). Мы видим, что функция
Z (<в,и, Ф) отличается от произведения р (k, Р, со, s) из нашего
следствия лишь множителем, который при s -> 1 стремится к конеч-
ному, отличному от нуля пределу. Ввиду теоремы 2 этим доказано
второе утверждение нашего следствия. Для доказательства послед-
него утверждения следствия нам понадобится следующая лемма.
Лемма 7. Для /ЕС, /. Е С положим <р (X, t) = (1 — t)a х
х (1 — 7/)4 (1 — X2/). Тогда | ф (X, /) | < 1 при t Е R, 0 < t < 1,
й. = 1.
В самом деле, мы имеем
log | <р (X, О I2 = l°g (ф (^> О Ф (М))=
= 4?-(6 -7 4ЛП — 47П 4-л2П-'г
п=1
оо
= -2 ~(,2-\-Кп-^пУ<0.
п~ 1
Если теперь функция ср (X, t) определена, как в лемме, то
р (k, Р, s)3 р (k, Р, и, s)4 р (k, Р, со2, s) = [J ф (X (и) 77s)-1.
V^P
Согласно лемме, это произведение по абсолютной величине > 1
при s Е R, s > 1, так что оно не может стремиться к 0 при s-> 1.
При s, стремящемся к 1, как было показано выше, р (k, Р, ®2, s)
стремится к конечному пределу, если характер со2 нетривиален,
и р (k, Р, ®, s) есть произведение сомножителя, стремящегося
к отличному от нуля конечному пределу, и функции Z (®s®, Ф),
которая голоморфна в некоторой окрестности точки s = 1. Поэтому
если р (k, ®, Р, s) стремится к нулю, то эта функция должна иметь
вид F (s)(s — 1), где функция F ограничена. Ввиду следствия 1
отсюда следует, что левая часть последней формулы стремится
к нулю при s —> 1, чем и заканчивается наше доказательство.
Отметим тот важный факт, что заключение нашего следствия
остается справедливым даже для ®2 = 1; доказательство этого
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
178
факта, которое потребует совершенно других методов, будет дано
в гл. ХШ-12.
Следствие 3. Пусть k0 — некоторое Х-поле, содержащееся
<s k, и пусть V — такое множество конечных точек поля k, что
почти для всех конечных точек v V поля k модулярная степень
поля kv над замыканием поля k0 в kv больше единицы. Тогда про-
изведение
q(k, V, s) = П (1—
VzV
абсолютно сходится при Re (s) > 1 и функция (s — 1) q (k, V, s)
стремится при s-> 1 к конечному строго положительному пределу.
В самом деле, в обозначениях следствия 1 р (k, Рх, s) есть
произведение нашего произведения q (k, V, s) на аналогичное про-
изведение, взятое по множеству М всех конечных точек v поля /г,
не лежащих в V. Применяя к последнему произведению следствие 3
предл. 1 § 1, а к р (k, Р,х, з) — следствие 1, немедленно получа-
ем наше утверждение. Разумеется, из нашего следствия вытекает,
что множество V не может быть конечным, другими словами, что
существует бесконечно много точек v поля k, для которых соот-
ветствующая модулярная степень равна единице.
Следствие 4. Пусть k0 и V таковы, как в следствии 3,
и пусть k' — сепарабельное алгебраическое расширение поля k
конечной степени п. Предположим, что над каждой точкой и £ V
существует п различных точек поля k'. Тогда k' = k.
Обозначим через V множество точек поля k', лежащих над
точками из V. По следствию 1 теор. 4 гл. Ш-4, если у £ V и w лежит
над v, то k'w = kv, следовательно q’w = qv. Для любой точки v
поля k и любой лежащей над v точки w поля k' модулярная степень
kw над замыканием поля /г0 в kv не меньше модулярной степени
поля kv над этим замыканием. Поэтому почти для всех v Q V, или,
что то же самое, почти для всех w (£ V', модулярная степень > 1.
Теперь мы можем применить следствие 3 к произведениям q (k, V, s)
и q (k', V, s). Так как последнее произведение равно q {k, V, s)n,
мы получаем п = 1.
Следствие 5. Пусть k — некоторое A-поле характери-
стики р > 1 и Р — конечное множество точек поля k. Тогда суще-
ствует такой дивизор ш = 3 т (и) -и степени 1 поля k, что т (ц) =
= 0 при всех v Е Р.
§ 6. ДЕДЕКИНДОВА ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
179
Обозначим через v наибольший общий делитель степеней всех
точек v, не лежащих в Р. Нам надо показать, что v = 1. Пусть
F = Fg — поле констант поля k. По теореме 2 гл. 1-1 в алгебраи-
ческом замыкании поля k существует поле F' из qv элементов и это
поле сепарабельно над F. Обозначим через k' композит полей k
и У7' и через п его степень над /г; поле k' сепарабельно над k. Пусть
v — произвольная точка поля k, не лежащая в Р, и w — некото-
рая точка поля /г', лежащая над и. По предложению I гл. Ш-1
k'w порождается над kv полем k', а следовательно, и полем F'.
По определению числа v модуль поля kv имеет вид q'r, где г —
целое число. Поэтому из следствия 1 теор. 7 гл. 1-4 в сочетании
со следствием 2 теор. 2 гл. 1-1 вытекает, что kv содержит подполе
из <yv элементов. По теореме 2 гл. 1-1 k'w не может содержать более
одного поля из qv элементов. Поэтому F' kv и, значит, k'w = kv.
Следствие 1 теор. 4 гл. Ш-4 показывает теперь, что над каждой
не лежащей в Р точкой и поля k имеется п различных точек поля k'.
Полагая в следствии 4 k0 = k и беря в качестве V дополнение
множества Р, получаем k' = k и, следовательно, F' cz F, т. е. v = 1.
Следствие 6. Пусть поле k таково, как в следствии 5,
и Fg — его поле констант. Тогда группа N значений нормы | z |А
на /гА порождается элементом q.
Как мы видели в § 4, N порождается группами значений норм
| х |0 на k*, а следовательно, модулями qv = ПрИ всех v_
Поэтому она имеет образующую Q = qv, где v — наибольший
общий делитель всех степеней deg (v). По следствию 5 v = 1.
Учитывая следствие 6, можно следующим образом переформу-
лировать последнее утверждение теоремы 2 в случае характери-
стики р > 1.
Следствие 7. Пусть k и таковы, как в следствии 6,
и обозначения таковы, как в теореме 2. Тогда функция Z (оц, Ф) +
+ Ф (0) (1 — голоморфна в точке 5 = 0.
Это сразу следует из только что упомянутых результатов и того
факта, что функция (1 — д-5)”1 имеет в точке s = 0 вычет (log q)~\
§ 6. ДЕДЕКИНДОВА ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
Специальный выбор функции Ф в Z (со, Ф) приводит к опре-
делению важных функций на компонентах связности пространства
й (Gft); сейчас эти функции будут подробно исследованы. Мы нач-
нем с рассмотрения компоненты связности й4 точки ®0 = 1 в й (Gft),
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
180
т. е. группы главных квазихарактеров на Gk. Функцию Ф выберем
следующим образом. Для любой конечной точки v поля k возьмем
в качестве Фс характеристическую функцию кольца г„. В случае
когда точка v вещественна, т. е. kv = R, возьмем Фг (х) =
= ехр (—лх2). В случае когда точка v мнима, т. е. kv = С, возьмем
Фв (х) = ехр (—2лхх). Теперь нам следует вычислить сомножители
в произведении (5) для Z (со, Ф) при сделанном выборе Ф и при
со = ®s. Для конечных точек v значения этих сомножителей даются
предложением 11 § 4 с точностью до скалярного множителя, зави-
сящего от р. Для бесконечных точек эти сомножители таковы.
Лемма 8. Пусть Glt G2 определены для всех s £ С формулами
Gi (s) = л-8/* Г (s/2), б2 (s) = (2л)1-в Г (s).
Тогда при Re (s) > 0 имеем
exp (— лх2) | x |i-1 dx = Gi (s),
Rx
j exp (— 2лхх) (xx)5-11 dx Д dx | = G2 (s).
c*
Это сразу становится видно, если сделать очевидную замену
переменных, а именно | х | = t1'2 в первом интеграле и х = /1/2е (и)
во втором, где t Е R*, «ER, 0 и < 1; в последнем случае
\ dx ф. dx \ = 2л dt du.
Рассмотрим теперь меру у = Ц у„ на k^, где у„ таковы, что
Yt> (r?) = 1 Для каждой конечной точки v, dyv(x) = | х |-1 dx,
если точка v вещественна, и dy„(x) = (хх)-1 | dx /\ dx |, если точ-
ка v мнима. Для поля k характеристики нуль эта мера уже рас-
сматривалась в предложении 9 гл. V-4. Соотношение между мерой у
и мерой р, введенной в начале § 5, таково.
Предл о ж е н и е 12. Пусть мера р такая, как в § 5, а мера
у такая, как выше. Если характеристика поля k равна нулю, то
у = скр, где ck — число, определенное в предложении 9 гл. V-4.
Если k — поле характеристики р > 1 с полем констант Fg и h —
число классов дивизоров степени 0 поля k, то у = сур, где ch =
= h/(q - 1).
Ввиду нашего определения меры р первое утверждение есть
просто переформулировка предложения 9 гл. V-4. Пусть теперь
§ 6. ДЕДЕКИНДОВА ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
181
характеристика поля k равна р>1. Положим U = Д г». Эта
группа обозначалась в гл. IV-4 через О (0); это открытая подгруп-
па в k^,. По определению у (U) = 1. Как и в гл. П-4, будем обозна-
чать по-прежнему через у образ меры у в Gk = k/^lk*. Если, как
и выше, G' — образ в Gk группы /г\, то мера.р определяется усло-
вием р (G*) = 1, так что у = скр, где ск = у (Gk). Обозначим через
U' образ в Gk группы U. По теореме 8 гл. IV-4 и ее следствию ядро
морфизма группы U на U', индуцированного каноническим мор-
физмом группы k% на Gh, совпадает с Fg, так что мы можем под-
считать у ([/'), положив в лемме 2 гл. П-4 G = U, rt = F^, Г = {1}.
Это дает у (U') = (<у — I)"1. Ясно, что индекс подгруппы V в Gk
равен индексу подгруппы kxU в k&. Но, как мы видели в гл. VI,
группу kAjk^U можно отождествить с группой D0(k)/P(k) клас-
сов дивизоров степени 0 поля k, поэтому наш индекс равен h.
Следовательно, y(Gk) = hi(q — 1).
Для каждой бесконечной точки w поля k положим Gw = Glt
если эта точка вещественна, и Glc — Gz, если она мнима. Комбини-
руя предложение 10 § 4, предложение 11 § 4, лемму 8 и предложе-
ние 12, мы получаем, что при Re (s) > 1 для функции Ф, выбранной,
как указано выше, имеет место равенство
(6) Z((OS, Ф) = ^1 П Gu (s) п (1-^Т1,
«Д-Роо
где ch те же, что в предложении 12. По теореме 2 § 5 левую часть
можно продолжить до функции, мероморфной на всей s-плоскости.
Поскольку то же самое можно сделать для сомножителей Gw,
последнее произведение в правой части также можно продолжить
до функции, мероморфной на всей s-плоскости. Этим оправдано
следующее определение.
Определение 8. Мероморфная функция на s-пло-
скости, задаваемая при Re (s) > 1 произведением
^(s) = H(l-7vT1,
•и
взятым по всем конечным точкам v поля k, называется дедекиндовой
дзета-функцией поля k.
Если функция Ф такова, как выше, то ее преобразование Фурье
Ф' немедленно дается теоремой 1 § 2 и ее следствием 2 в сочетании
со следствием 3 предложения 2 § 2 и предложениями 4 и 5 § 2.
А именно
Ф' (у) = | а С? Ф (fly),
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
182
где а — дифферентный идель, связанный с базисным характером %.
Ввиду определения функции Z (со, Ф) (формула (4) § 4) имеем
Z (со, Ф') = | а |д2 со (a)-1 Z (со, Ф);
в частности, при со = cos, т. е. в случае со (х) = | х |а, получаем
(7) Z (cos, Ф') = | a |a2-s Z (cos, Ф),
причем значение | а |А дается предложением 6 § 2.
Теперь мы подготовлены к формулировке наших основных
результатов о дзета-функции.
Теорема 3. Пусть k — некоторое поле алгебраических чисел
с вещественными точками и мнимыми точками. Обозначим
через th дзета-функцию этого поля и положим
Zk (s) = Gx (s)r> G2 (s)’-2 th (s).
Тогда Zh является мероморфной функцией на s-плоскости, голо-
морфной всюду, кроме точек s = 0 и s = 1, в которых у нее про-
стые полюсы, и имеет место функциональное уравнение
j_______________________________
Zfe(s) = |-D|2 SZft(l-s),
где D — дискриминант поля k. Вычеты функции Zk в точках s = О
и s = 1 равны соответственно — ck и | D f~1/2ck, где
ch = 2Г‘ (2л)г= hR/e',
здесь h — число классов идеалов поля k, R — его регулятор и е —
число корней из 1 в k.
Эта теорема немедленно следует из формул (6) и (7), предло-
жения 6 § 2 и теоремы 2 § 5.
Следствие. Дедекиндова дзета-функция th (s) имеет в точ-
ке s = 1 вычет | D |-1/2cfe.
Зто следует из теоремы 3 и хорошо известного равенства Gt (1) =
- G2(l)= 1.
Теорема 4. Пусть k — некоторое А-поле характеристики
р> 1, Fg—его поле констант и g— его род. Тогда его дзета-
функция может быть записана в виде
Г, (s\ =____Р s)_____
где Р — многочлен степени 2g с коэффициентами в Z, для которого
(8) Р (и) = qsu2s Р (\/qU).
§ 7. L-ФУНКЦИИ
183
Кроме того, Р (0) = 1, а Р (1) равно числу h классов дивизоров
степени 0 поля k.
В самом деле, следствие 6 теоремы 2 § 5 показывает, что морфизм
s-> cos имеет то же самое ядро, что и морфизм s-*-q~s, так что
функция (s) может быть записана в виде R (q~s), где R — меро-
морфная на Сх функция с простыми полюсами в 1 и в </-1. Далее,
следствие 1 предложения 1 § 1 показывает, что R (и) -> 1 при
и -> 0, так что функция R голоморфна в этой точке и R (0) = 1.
Поэтому можно записать R (м) = Р (и)/(1 — и) (1 — qu), где Р —
целая функция на и-плоскости и Р (0) = 1. Теперь формула (7)
в сочетании с формулой (6) и предложением 6 § 2 дает формулу (8)
нашей теоремы, из которой очевидно следует, что Р является
многочленом степени 2g. Наконец, следствие 7 теоремы 2 § 5 вместе
с предложением 12 дает Р (1) = h.
§ 7. Ь-ФУНКЦИИ
Сейчас мы обобщим полученные выше результаты на случай
произвольного квазихарактера на Gh. Для этого примем следую-
щие обозначения. Пусть со — любой квазихарактер на Как
мы видели в § 3—4, | ® | = со0, где о Е R- Для каждой точки v
обозначим через сов квазихарактер на k*, индуцированный квази-
характером со. Для каждой конечной точки v обозначим через /?в<ъ)
ведущий идеал квазихарактера со,.; при этом f (v) = 0 в том и толь-
ко в том случае, когда со,. неразветвлен, что, как мы видели в § 4,
имеет место почти для всех конечных точек поля k. Для неразвет-
вленного со„ запишем сов (х) = | х |в , гдезв Е С. Очевидно, Re (s„)=
= ст. К бесконечным точкам поля k применимо предложение 9
§ 3, которое показывает, что со,. можно записать в виде со„ (х) =
= х~А | х в случае вещественной точки и, где А = 0 или 1 и sv Е
Е С, и в виде со,. (х) = х~Ах~в (xx)s« в случае мнимой точки v,
где inf (А, В) = 0 и sv Е С. В первом случае положим Nv = А,
так что Re (sB) = N„ + о, а во втором случае положим Nv =
= sup (Д, В), так что Re (s„) = (Nv/2) + ст. Поскольку компо-
нента связности квазихарактера со в группе Q (Gft) всех квазиха-
рактеров на Gk состоит из квазихарактеров cosco, s Е С, то целые
числа f (v) и N„ постоянны на этой компоненте. Они все равны
нулю, если со — главный квазихарактер или, более общим обра-
зом, когда <о тривиален на группе U тех иделей (zv), для которых
| zv |в = 1 для всех точек v поля k. Структура группы квазихарак-
теров, обладающих таким свойством, легко определяется с помощью
методов, использованных при доказательстве теоремы 9 гл. IV-4.
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
184
Далее, применяя те же самые обозначения, что и выше, сопо-
ставим каждому ® некую стандартную функцию Фш = [] Ф,. на kA,
определенную следующим образом. Для каждой конечной точки v,
для которой f (ц) = 0, т. е. квазихарактер сос неразветвлен, возьмем
в качестве Фс, как и прежде, характеристическую функцию коль-
ца rv. Для каждой конечной точки о, для которой f (v) 1, поло-
жим функцию Фс равной на г% и нулю вне г*. Для каждой
бесконечной точки v возьмем Ф^ (х) = хА ехр (—лх2), если эта
точка вещественна, и Фг, (х) = хАх~в ехр (2лхх), если она мнима,
где целые числа А, В такие, как сказано выше. Определенную
таким образом функцию Фш будем называть стандартной функ-
цией, связанной с со. Ясно, что она не меняется при замене со на cosco
с любым sf С и что функцией, связанной с со, с и-1 = со_2асо
и с со' = ссцссг1, будет одна и та же функция Фй.
Нам нужно знать преобразование Фурье от Фа, или, что ввиду
теоремы 1 § 2 то же самое, преобразования Фурье функций Ф,.,
определенных выше. Для вычисления этих преобразований доста-
точно полученных ранее результатов, за исключением случая
конечной точки v с разветвленным со,.. Для этого случая докажем
следующее
П редложение 13. Пусть К — некоторое p-поле, R —
его максимальное компактное подкольцо, Р — максимальный идеал
в R и со — квазихарактер на Ку с ведущим идеалом Р1, где f 1.
Пусть, далее, х — характер порядка v на К., а — самодвойственная
мера на К., соответствующая характеру %, b £ Кх, ordK (Ь) =
= v + /, и пусть ср — функция на К, равная со-1 на Rx и нулю
вне Rx. Тогда преобразованием Фурье функции ср является функция
ф' (у) = х mod к (Ь)1а Ф (by),
где х — комплексное число, удовлетворяющее условию хх = 1 и зада-
ваемое формулой
х = modK (b)~i>2 j со (х)”1 х (b~'-x) da (x).
По предложению 12 гл. П-5 /(-решетка Pf двойственна к р~!~\
Так как функция ф постоянна на классах смежности в К по моду-
лю Р1, то предложение 2 § 2 показывает, что ф' равна нулю вне
p-t-v _ y-ig определению ф имеем
(9) Ф' (у) = § со (х)'1 X (ху) da (х).
я*
§ 7. L-ФУНКЦИИ
185
Очевидно, что мера, индуцированная на Rx мерой а, является
мерой Хаара на Rx (это следует также из леммы 5 § 4). Возьмем
элемент у, для которого ordK (у) — f — v 1. Тогда по пред-
ложению 12 гл. П-5 функция постоянна на классах
смежности по модулю Р1"1. Предположим сначала, что / = 1.
Тогда х (ху) = 1 на R, так что (9) есть интеграл по Rх от со-1 da;
этот интеграл равен нулю, потому что со является нетривиальным
характером на компактной группе Rx. Предположим теперь, что
/> 1. Тогда интеграл (9) является суммой аналогичных интегра-
лов, взятых по классам смежности по модулю Р/-1, содержащимся
в Rx, т. е. по классам смежности в Rx по подгруппе 1 + Р1"1.
Поскольку из определения ведущего идеала следует, что квази-
характер со нетривиален на подгруппе 1 + Р/-1, то по той же при-
чине, что и раньше, получаем снова, что ср' (у) = 0 в рассматри-
ваемом случае. Теперь возьмем в (9) у = Ь~ги, где и £ Rx. Заменяя
и~гх на х, получаем ср' (Ь~ги) = со (и) <р' (Ь~г). Этим доказано,
что ср' имеет вид cep (by), где с £ Сх. Применяя формулу обращения
Фурье и лемму 1 § 2, получаем сс = modK (b). Поскольку с =
= ср' (Ь~г), для х имеет место формула из формулировки предло-
жения. Равенство хх = 1 для х, определенного этой формулой,
легко проверяется непосредственно. Заметим еще, что поскольку
подинтегральная функция постоянна на классах смежности в R
по модулю Р1, то наш интеграл можно переписать как некоторую
сумму по RiP'. Такого типа суммы известны как гауссовы суммы.
Предложение 14. Пусть со — квазихарактер на Gk
и Фш — стандартная функция, связанная с со. Тогда преобразова-
ние Фурье функции Фш, соответствующее базисному характеру х
на kA, определяется формулой
Ф' (г/) = х 15 |1/2Фт (by) = х р |1/2Ф-(5г/),
где V. — [J хю, х„ £ С, хвхв = 1 при всех v, b = (bv) £ kA и uv, bv
задаются следующим образом. Пусть а = (av) — дифферентный
идель, связанный с х; тогда b,; = av для всякой бесконечной точки v
и ord„ (Ь^аф1) = f (v) для всякой конечной точки v поля k. Для каж-
дой бесконечной точки v поля k имеем xD == i~Nv, для каждой конеч-
ной точки v, в которой f (v) - 0, хв = 1, для остальных точек
хв = | bv |v сов (х) ^Хг PPx) dav (х),
гх
V
где av — самодвойственная мера Хаара на k„, связанная с харак-
тером Хв-
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
186
Это немедленно следует из предложения 13, предложений 4 и 5
§ 2 и следствия 3 предложения 2 § 2.
Следствие. Пусть квазихарактер ® таков, как в предло-
жении 14. Положим (£>' = ©t®-1. Тогда Z (®, Фа) = х | b |Х1/2 X
х ® (b) Z (©', Фи-).
Согласно теореме 2 § 5, Z (®, Фи) = Z (©', Ф') при всех ®,
где функция Ф' такова, как в предложении 14. Выразим Z (®', Ф')
как интеграл (4) § 4, в предположении, что этот интеграл сходится;
сразу видно, что это предположение выполняется при о < 0. Пред-
ставляя Ф', как в предложении 14, и производя в интеграле замену
переменной z-^b^z, получаем правую часть формулы нашего
следствия. По теореме 2 § 5 обе части можно продолжить анали-
тически на всю компоненту связности квазихарактера ю в fi (Gh),
так что результат справедлив всюду.
Применим теперь к Z (®, Фш) предложение 10 § 4. При о > 1
это даст нам бесконечное произведение, все сомножители которого
известны, за исключением сомножителей, соответствующих тем
точкам v поля k, для которых f (v) > 0. Что касается таких сомно-
жителей, то при нашем выборе Фг, они, очевидно, равны pD (г£).
Положим, как в § 6, — 6\ в случае вещественной точки и Gw = G2
в случае мнимой точки w. Учитывая предложение 11 § 4, лемму 8
§ 6 и предложение 12 § 6, получаем, что при о > 1
(10) Z(®, Фи) = ^ П Gw(sw) П (1-^’Т1,
где Р — множество, состоящее из всех бесконечных точек и тех
конечных точек v, для которых f (ц) > 0.
Для каждой точки и поля k, не принадлежащей к только что
определенному множеству Р, положим X (v) = q~\ Таким образом,
мы определили Л (v) для тех конечных точек, в которых квази-
характер ®!; неразветвлен. По определению чисел sv для таких
точек можно записать X (v) = (nJ, где лс — простой элемент
поля k„, или X (ц) = ® (nJ, если считать группу k* вложенной
как квазисомножитель в k£. Ясно, что | X (у) | = q~av.
Заменим теперь в (10) ® на ®«®, где s g С. При этом, как отме-
чалось выше, Фш не изменится, а правая часть равенства (10) перей-
дет в произведение, которое абсолютно сходится при Re (s) > 1 — о.
Теорема 2 § 5 показывает, что функцию Z (®s®, Ф0)) можно анали-
тически продолжить на всю s-плоскость (как голоморфную функ-
цию, если квазихарактер ® не главный). То же самое верно для
§ 7. L-ФУНКЦИИ
187
сомножителей Gw, w £ Poo. Поэтому мы можем ввести мероморфную
функцию L(s, cd), задаваемую при Re (s) > 1 —о произведением
(11) L(s, со) = П(1~ ?Ф) ^“У1,
V
взятым по всем конечным точкам v, в которых неразветвлен.
Для формулировки нашего конечного результата в случае
характеристики нуль введем в рассмотрение идеал f = П
в г. Он называется ведущим идеалом квазихарактера со.
Теорема 5. Пусть k — некоторое поле алгебраических
чисел и со — неглавный квазихарактер на Gk = k^!kx с ведущим
идеалом f. Тогда функция
Л (s, со) = И G«.-(s + sw)-L(s, со)
является целой функцией от s и удовлетворяет функциональному
уравнению
A(s, со) = хсо (Ь) (| D [ 91 (f)) 2 Л(1—s, со-1),
где х и b такие, как в предложении 14.
Это непосредственно вытекает из следствия предложения 14,
если заменить со на cosco и учесть определения a, b, f и тот факт,
что | а |а = | D |-1. Как хорошо известно, Г (s)-1 есть целая функ-
ция, поэтому то же верно для функций Gw(s + s,,.)-1, и из теоре-
мы 5 следует, что L(s, со) является целой функцией от s.
Как вытекает из их определения, введенные выше функции
не зависят по существу от выбора со в заданной компоненте связ-
ности пространства й (Gft). Более точно, они не зависят от такого
выбора с точностью до трансляции в s-плоскости, поскольку для
любого t Е С функция L(s, cotco) совпадает с L (s + t, со) и ана-
логичное утверждение справедливо для Л (s, со). Поэтому ввиду
следствия 2 предложения 7 § 3 всегда можно считать, заменяя,
если необходимо, со на со_гсо с t 6 С, что со является характером
на &а, тривиальным на /гх, а также на группе М, определенной
в следствии 2 теор. 5 гл. IV-4. Последнее предположение можно
записать так: X (6rsD — Nv) — 0, где сумма берется по бесконеч-
ным точкам поля k, sD и Nv таковы, как выше, a6D = 1 или 2 соот-
ветственно тому, kv = R или С. Отсюда следует, что со является
характером и, значит, о = 0.
С другой стороны, если k — поле характеристики р > 1, то вве-
дем дивизор f = 2 / (у) ’У и назовем его ведущим дивизором для со.
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
188
Теорема 6. Пусть k — некоторое Х-поле характеристики
р > 1, Fg — его поле констант, g — его род и со — неглавный
квазихарактер на Gh = k^/kx с ведущим дивизором f. Тогда
L (s, w) = Р (q~s, ю), где Р (и, ®) — многочлен степени 2g — 2 -|-
+ deg (f) от и и
Р (и, = х® (&) • (71/2«)2g-2+deg(^-Р со-1),
где х и b такие, как в предложении 14.
Тот факт, что L (s, со) = Р (q~s, ®), где функция Р (и, со)
голоморфна на всей u-плоскости, доказывается точно так же, как
соответствующий факт в теореме 4. Последняя формула нашей
теоремы непосредственно вытекает теперь из следствия предложе-
ния 14, если заменить там со на cosco и учесть определения a, b, f
и тот факт, что | а |А = q2~2s. Эта формула показывает, что Р (и, со)
является многочленом нужной степени.
Отметим здесь снова, что для t £ С функция Р (и, согсо) совпа-
дает с Р (q~!u, со). Учитывая следствие 6 теор. 2 § 5, имеем /гА =
= k\ X М, где М — подгруппа в &А, порожденная элементом Zi
с | zt |а = q, т. е. таким элементом z4, что div (zj имеет степень —1.
Следствие 2 предл. 7 § 3 показывает, что, заменив, если необходи-
мо, со на <о_((о с подходящим t С С, можно считать, что ® (zj = 1.
Это же следствие показывает поэтому, что со есть характер на /гА,
т. е. а = 0. Кроме того, сопоставляя этот факт с леммой 4 § 3 и тем
очевидным обстоятельством, что в рассматриваемом сейчас случае
группа Аа, а значит, и группы &А, Gft, Gk вполне несвязны, убежда-
емся, что со является характером конечного порядка на /гА.
§ 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ Ь-РЯДОВ
Пусть задано эйлерово произведение типа стоящего в пра-
вой части равенства (11). Возникает вопрос, можно ли его полу-
чить, исходя из некоторого квазихарактера со на k^/kx. Ответ
на этот вопрос, а также на несколько более общий вопрос, который
будет вскоре поставлен, вытекает из следующего результата.
Предложение 15. Пусть Р — конечное множество точек
поля k, содержащее Рх, и пусть GP — подгруппа в &А, состоящая
из тех иделей (z,.), для которых zD = 1 при всех v 6 Р- Тогда под-
группа kxGP плотна в k^.
§ 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ L-РЯДОВ
189
Положим kP = П kv, где произведение берется по v Е Р. Обо-
значим через АР подгруппу в kA, состоящую из аделей (х„), для
которых xD = 0 при всех v Е Р. Тогда kA = kP X АР, kA = kp X
X GP, и наше утверждение состоит в том, что} проекция из k^
на kp отображает kx на всюду плотную подгруппу в kp. Но дей-
ствительно kp является открытым подмножеством в kP и его топо-
логия индуцирована топологией из kP. Наше утверждение немед-
ленно вытекает поэтому из следствия 2 теор. 3 гл. IV-2, которое
показывает, что проекция из kA на kP отображает k на всюду плот-
ное подмножество в kP.
Из предложения 15 сразу следует, что непрерывное представ-
ление со группы kA в любую группу Г, тривиальное на kx, одно-
значно определено, если почти для всех v известны его значения
на группах k*. В частности, в случае когда Г = Сх или в том
более общем случае, когда группа Г такова, что каждый морфизм
k'A -»- Г тривиален на г* почти для всех v, представление со одно-
значно определено, если почти для всех v заданы значения со (п„).
Ясно, что всякая конечная группа обладает таким свойством, пото-
му что ядро каждого морфизма из kA в конечную группу открыто
в /гд и, следовательно, содержит [j г* при некотором Р. По тем
V&P
же самым причинам, что и для Сх, тем же свойством обладает
всякая группа Г, не содержащая произвольно малых подгрупп.
Другой интересный случай представлен следующим предложением.
Предложение 16. Пусть К — некоторое p-поле, и пусть
характеристика поля k не равна р. Тогда каждый морфизм со: kA->
Кх тривиален на г* почти для всех v и локально постоянен на
k*, если kv не является р-полем.
Так как характеристика поля k не равна р, то | р = 1 почти
для всех v, а для точек v, удовлетворяющих этому условию, поле kv
не является p-полем. Поскольку каждый морфизм связной группы
во вполне несвязную, очевидно, тривиален, то со тривиален на k£,
если kv = С, и на R$, если kv = R. Обозначим через R максималь-
ное компактное подкольцо в К и через Р — его максимальный
идеал. Пусть v — любая конечная точка поля k, для которой kv
не является p-полем, и пусть т 1 таково, что ® отображает
1 + р™ в 1 -j- Р. Согласно предложению 8 гл. П-З, для любого
п > О каждый элемент z Е 1 + р™ можно записать в виде г'рП,
где z' Е 1 + Р™, поэтому ® (z) Е (1 + Р)рп, а следовательно,
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
190
со (z) 6 1 + Pn+1, по лемме 5 гл. 1-4. Поскольку число п произволь-
но, отсюда видно, что со тривиален на 1 + р™, а следовательно,
локально постоянен на k% . В поле К имеется лишь конечное число
корней из 1, что вытекает из теоремы 7 гл. 1-4 в случае характе-
ристики р и из этой же теоремы и предложения 9 гл. П-З в случае
характеристики нуль. Поэтому можно выбрать такое v > 0, что
в 1 + Pv не содержится корней из 1, отличных от 1. Возьмем окрест-
ность единицы в k'x, которая морфизмом ® отображается в 1 + Pv.
Поскольку почти для всех v эта окрестность содержит г^, мы видим,
что почти для всех v морфизм со тривиален на 1 + pv и на группе
всех корней из 1 в kv, а следовательно, и на rv\
Для каждого конечного множества Р точек поля k, содержащего
Рх, положим Gp — |[ г*. Это — открытая подгруппа в GP,
т~Р
определенная в предложении 15. Она состоит из тех иделей (z0),
для которых zv = 1 при v g Р и z„ £ , т. е. | zv = 1 при v £ Р.
Пусть Г — любая группа, обладающая описанным выше свойством,
и со — любой морфизм группы k\ в Г. Тогда существует такое
множество Р, что со тривиален на G’P и потому определяет мор-
физм ср: GpIG'p-*- Г. Если, кроме того, со тривиален на /гх, то пред-
ложение 15 показывает, что со однозначно определяется по ср. Обсу-
дим теперь условия на ср, при которых такой морфизм со существует.
Пусть k — некоторое поле алгебраических чисел и Р таково,
как выше. Будем говорить, что дробный идеал в k взаимно прост
с Р, если не существует простого идеала рв, соответствующего
точке v £ Р и входящего в идеал с отличным от нуля показателем.
Аналогично для поля k характеристики р > 1 мы будем говорить,
что данный дивизор взаимно прост с Р, если не существует точки
v £ Р, входящей в этот дивизор с отличным от нуля коэффициен-
том. Будем обозначать через I (Р) (соотв. через D (Р)) группу дроб-
ных идеалов поля k (соотв. группу дивизоров поля k), взаимно
простых с Р. Ясно, что морфизм z —id (z) из k& на I (&) (соотв.
морфизм z-*div(z) из kx на D (/г)) определяет изоморфизм из
Gp/G'p на I (Р) (соотв. на D (Р)), с помощью которого можно ото-
ждествить эти группы друг с другом или, что то же самое, со сво-
бодной абелевой группой, порожденной точками поля k, не лежа-
щими в Р. В частности, каждый морфизм t»->A(u) множества
этих точек в коммутативную группу Г можно единственным обра-
зом продолжить до морфизма ф из 1 (Р) (соответственно из D (Р))
в Г; при этом <р ° (id) (соответственно ф ° (div)) есть морфизм GP -> Г,
тривиальный на G'P,
§ 8. КОЭФФИЦИЕНТЫ L-РЯДОВ
191
Предложение 17. Пусть ф — морфизм из 1 (Р) (соотв.
из D (Р)) в коммутативную группу Г. Для каждой точки v £ Р
пусть gv— открытая подгруппа в k*, содержащаяся в г», если
точка v конечна. Тогда морфизм ф ° (id) (соотв. ф о (div)) группы GP
в Г в том и только в том случае может быть продолжен до морфиз-
ма со: Г, тривиального на kx, когда для каждой точки v £ Р
можно найти такой морфизм фс: gv —>- Г, что <р (id (£)) (соотв.
Ф (div (£))) совпадает с Пфг (£) пРи всех £ € 0 (&х Г! gv)- В этом
случае морфизм ® единствен и индуцирует ф;;1 на gv для всех v б Р.
Положим g = П gv- Эту группу можно очевидным образом
рассматривать как подгруппу в kx- Тогда группа g-GP является
открытой подгруппой в kx и разлагается в прямое произведение
подгрупп g и GP. Следовательно, kxg-GP является открытой под-
группой в и, значит, в силу предложения 15 совпадает с ky{.
Теперь очевидно, что морфизм g-GP^V в том и только в том
случае можно продолжить до морфизма группы kx = kxg-GP,
тривиального на kx, когда он тривиален на группе у = kx
П (g'GP), и что в этом случае продолжение единственно. Ясно,
что у совпадает с группой f| (kx f) g„) из формулировки пред-
ложения. Так как морфизм г -+ id (z) (соотв. z -> div (z)) тривиален
на g, то он отображает g-GP = g X GP на I (Р) (соотв. на D (Р)).
Поэтому если обозначить через дд морфизм <р ° (id) (соотв. <р ° (div))
из GP в Г, то мы видим, что его продолжения на g-GP имеют вид
ф~^Ф1, где ф — произвольный морфизм из g в Г. Обозначая через
фв морфизм, индуцированный на gv морфизмом ф, получаем наше
утверждение.
Очевидно, что если условия предложения 17 выполняются при
данном выборе групп gv и морфизмов ф„, то они будут выполняться
также, если заменить каждую группу gv любой ее открытой под-
группой gv, афг, — индуцированным на ней морфизмом. Например,
в случае kv — R всегда можно взять gv = Rx; в случае когда v —
конечная точка, можно взять в качестве gv любую из групп 1 + р™
с т^- 1. На той же идее основано следующее
Следствие. В условиях предложения 17 предположим, что
группа Г либо (а) дискретна, либо (Ь) совпадает с Сх, либо (с) сов-
падает с группой Кх, где Кх — некоторое локальное p-поле. Тогда
продолжение ® существует в том и только в том случае, когда можно
найти группы gv и морфизмы ф„, обладающие свойствами, указан-
ными в предложении 17, и следующим дополнительным свойством:
в случае (а) ф„ = 1 для всех о z Р', в случае (Ь) фв = 1 для всех конеч-
ГЛ. VII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ
192
ных точек, v £ Р; в случае (с) фв = 1 для всех точек v £ Р, для кото-
рых kv не является р-полем.
В самом деле, предположим, что условия предложения 17 выпол-
няются при некотором выборе групп gv и морфизмов фс. Тогда
в случае (а) мы можем для каждой точки и £ Р заменить gv ядром
gv морфизма фв, поскольку это ядро является открытой подгруппой
в gv; при этом фв заменится на 1. В случае (Ь) можно сделать ана-
логичную замену для каждой конечной точки v £ Р (лемма 4 § 3);
по тем же причинам можно точно так же поступить и в случае любой
группы Г, не обладающей произвольно малыми подгруппами. Слу-
чай (с) рассматривается аналогично с использованием предложе-
ния 16.
Очевидно, достаточно проверять выполнение условий предло-
жения 17 не для всех 5 из группы у = П (&х П gv), а лишь на мно-
жестве образующих этой группы. В этой связи оказывается иногда
полезным следующий результат.
П р едложение 18. В обозначениях предложения 17 пред-
положим, что k — поле алгебраических чисел и х — максимальный
порядок в k. Тогда группа у = П (&х П gv) порождается множеством
У П
Возьмем любой элемент £ £ у и запишем = Ьа-1, где а, В—
взаимно простые идеалы в г. Для каждой конечной точки v £ Р
имеем 5 6 т:?, так что р„ не делит а или Ь. Применяя следствие 1
теор. 1 гл. V-2 к проекции г—>- Ц гв, где произведение берется по
тем конечным точкам v поля k, которые либо лежат в Р, либо соот-
ветствуют простым идеалам, делящим а, мы видим, что существует
такой элемент aft, что a g gv для каждой конечной точки v g Р,
a f а иа 0. Тогда элемент а2 удовлетворяет тем же самым усло-
виям и содержится в gv для каждой бесконечной точки v, так что
он содержится в у, а следовательно, и в у |~| г. Следовательно,
и ca2 С у г, чем и доказано наше предложение.
Пусть, в частности, gv = 1 + где т (v) 1 для каждой
конечной точки v £ Р. Положим tn = [j и обозначим через
щ, . . ., vp все вещественные точки поля k, для которых gB — R*.
Тогда сразу видно, что множество у f| г из предложения 17 состоит
из тех элементов кольца г, которые = 1 (in) и образы которых в kv.
строго положительны для 1 i р.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
СЛЕДЫ
И
НОРМЫ
§ 1. СЛЕДЫ II НОРМЫ В ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
В § 1—3 мы будем рассматривать исключительно локальные
поля (предполагаемые коммутативными). Обозначим через К рас-
сматриваемое локальное поле и через К' — алгебраическое расши-
рение поля К конечной степени п над К. Если Д является R-полем,
то К' Т= К только в случае К = R, К' = С, п = 2; в этом случае
по следствию 3 предл. 4 гл. Ш-З TrC/R (х) = х + х и NC/r (х) =
= хх, причем ТгС/К отображает С на R, a Nc/r отображает Сх
на группу R*, которая является подгруппой индекса 2 в Rx.
Начиная с этого места вплоть до конца § 3 мы предполагаем,
что К есть /7-поле, и используем наши обычные обозначения для
таких полей, так что q — это модуль поля К, R — его максималь-
ное компактное подкольцо, Р — максимальный идеал в Д и л —
простой элемент в К. Для поля К', введенного выше, мы применяем
аналогичные обозначения, а именноq', R', Р', л'. Обозначим, далее,
через f модулярную степень поля Д' над К и через е индекс ветвле-
ния поля К' над К (см. определение 4 в гл. 1-4). Тогда q' = q1
и п = ef по следствию 6 теор. 6 гл. 1-4. Так как е = ordic (л),
то Д'-модуль в Д', порожденный множеством Pv = nvR, при любом
v£Z совпадает с Р'е^; мы будем обозначать его через t (Pv).
Согласно следствию 1 предл. 4 гл. Ш-З и замечаниям, сделанным
после этого предложения, ТгКуК 0 в том и только в том случае,
когда расширение Д' над Д сепарабельно; в этом случае, будучи
Д-линейным, след отображает Д' на Д. По определению нормы
и по следствию 3 теор. 3 гл. 1-2 при всех х' (Е Д' имеем
(1) modK< (х') = modx (Nxvx (*')).
Ввиду теоремы 6 гл. 1-4 отсюда следует, что х' (Е Д' в том и только
в том случае, когда Nx-/x (*') (ЕД, и х' £ Д'х в том и только
в том случае, когда NX7X (х') (Е Дх. Так как modx (л) = q-1
и modX' (л') = q~‘, то при х' 0 равенство (1) можно записать
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
194
также следующим образом:
(2) ordK (Nk'/k (х')) = f-ordK' (х').
Начиная с этого места, мы будем писать Tr, N вместо ТгК'/к,
Nk'/k, кроме тех случаев, когда одновременно рассматриваются
более чем два поля К, К' Для каждого v Е Z будем писать
91 (P'v) = Р v; согласно (2), это есть P-модуль в К, порожденный
образом P'v при отображении N.
Предложение 1. Пусть поле К' сепарабельно над К.
Тогда если х Е R', то Тг (х') Е R, а если х’ Е Р', то Tr (х') Е Р
и N (1 + х') = 1 + Тг (х') -р у, где у £ R Q x'2R'.
Пусть К — алгебраическое замыкание поля К'. Обозначим
через . . ., Хп различные /С-линейные изоморфизмы К' -> К-
Тогда по следствию 3 предл. 4 гл. Ш-З имеем
(3) Tr(x') = SMx'), N(l + x') = [](l+Mx')).
Обозначим через К" композит полей Х; (К'), который является наи-
меньшим расширением Галуа поля К в К, содержащим поле К'.
Определим R", Р" для К" так же, как R, Р определены для К-
По следствию 5 теор. 6 гл. 1-4 имеем Хг (Р') cz R" и Хг (Р') cz Р"
при всех г, так что Тг (х') лежит в Р"Т1ри х' Е Р' и в Р" при х' Е Р'.
Поскольку то же самое следствие показывает, что R = К р р"
и Р = К П Р", справедливость утверждений относительно Тг
доказана. Предположим теперь, что х' Е Р\ х' =0= 0, и положим
у = N (1 + х') — 1 — Тг (х').
Ввиду (3) это есть сумма одночленов степени ^>2 от Хг (х'). Так
как один из изоморфизмов Хг тождествен и изоморфизмы по след-
ствию 2 предл. 3 гл. Ш-2 отличаются друг от друга лишь на авто-
морфизмы поля К" над К, то все (х') имеют тот же порядок в К",
что и х', так что ух'~2 Е R”, если х' Е R' Поскольку R' = К' П R",
этим доказано наше последнее утверждение. В силу того факта, что
Тг = 0, если поле К' не сепарабельно над /С, и в силу относящихся
к этому случаю замечаний в гл. Ш-З наше предложение верно
(но не интересно) и в несепарабельном случае.
Следствие. Если х' Е Р,-е+1, то Tr (х') Е R-
По определению е = ordK- (л). Поэтому наше условие означает,
что лх' Е Р', откуда Тг (лх') Е Р по предложению 1, следовательно
Tr (х') Е R ввиду Р-линейности Тг.
§ 1. СЛЕДЫ И НОРМЫ В ЛОКАЛЬНЫХ полях
195
Определение 1. Пусть поле К' сепарабельно над К и d —
наибольшее из целых чисел v, таких, что Тг (я') £ R при всех х' 6 P'~v.
Тогда P'd называется дифферентой поля К' над К, a d — показа-
телем дифференты.
Дифференту мы будем обозначать через D (К'!К) или просто
через D. Если поле К' несепарабельно над К, то Тг = 0, так что
след отображает P'~v в R при всех v; в этом случае положим d =
= +°о, D (IC'IK) = 0.
Согласно следствию предл. 1, d^ е — 1. В частности, если
d = 0, то е = 1, так что поле К' неразветвлено над К. Обратное
утверждение тоже верно; оно будет вытекать из следующих резуль-
татов.
Предложение 2. Пусть поле К' неразветвлено над К-
Обозначим через р, р' канонические гомоморфизмы R-+k = RIP
и R' k' = R'lP' соответственно. Тогда при х' £ R' имеем
р (Тг (%')) = Trft7ft (Р' (*')), Р (N (я')) = Nft7fe (Р' (*'))•
Как и в теореме 7 гл. 1-4 и ее следствиях, обозначим через ЛГ*
группу корней из 1 в К', порядок которых взаимно прост с р.
По следствию 2 из этой теоремы К' является циклическим расши-
рением степени f над К и его группа Галуа порождается автомор-
физмом Фробениуса, который индуцирует на ЛГХ перестановку
pq. Ввиду следствия 2 теор. 2 гл. 1-1 это означает в точности
то, что автоморфизмы поля К' над К определяют на k' = R' 1РГ
автоморфизмы, составляющие всю группу Галуа поля k' над k.
Наше утверждение немедленно следует теперь из этого факта,
из формул Тг (я') = S (х')> N (я') = Хг (я') и из аналогичных
формул для k и k', т. е. из следствия 3 предл. 4 гл. Ш-З, приме-
ненного сначала к К и К', а затем к k и k'.
Предложение 3. Пусть поле К' неразветвлено над К.
Тогда Тг сюръективно отображает P'v на Pv для каждого v g Z,
a N сюръективно отображает R'* на Rx.
Пусть k, k' такие, как в предложении 2. Так как k' сепарабельно
над k, то Trfe7ft #= 0. Первая формула из предложения 2 показы-
вает, что образ Тг (7?') кольца R' при отображении Тг не содержится
в Р. Поскольку этот образ содержится в R согласно предложению 1
и поскольку он является R-модулем, ибо R' является R-модулем,
а Тг /С-линеен, то он совпадает с R. Так как поле К' неразветвлено,
то простой элемент л в К является также простым элементом в /С'.
Поэтому P'v = яУР' при v g Z. Ввиду /С-линейности отображения
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
196
Тг получаем
Tr (P'v) = nvTr (Я') = nvR = Pv.
Что касается нормы, то положим Go = Rx, G'o = R'x, Gv = 1 + Pv
и Gv = 1 + P'v при всех v > 1. Последнее утверждение предло-
жения 1 показывает, что для каждого v 1 норма N отображает
G(, в Gv, а также с учетом только что доказанного для следа, что
она определяет на G'v/G'v+i сюръективный морфизм этой группы
на Gv/Gv+1. С другой стороны, обозначим через <р автоморфизм
Фробениуса поля К' над К и через р образующую группы М'х
корней из 1 в 7<х, порядок которых взаимно прост с р. Тогда эле-
мент р имеет порядок q’ — 1, т. е. ф — 1, а его норма равна
/-1 . /-1
N(p)= [J pff2= П р9г==рН-з+--.+‘?/~1 = р(9Л-1)/(<?-1),
г-0 г—О
Ясно, что это — корень степени q — 1 из I, а следовательно, обра-
зующая группы Мх корней из 1 в К, порядок которых взаимно
прост с р. Так как Мх образует полное множество представителей
смежных классов в Go = Rx по модулю Gi = 1 + Р, отсюда видно,
что N определяет на G'/G' сюръективный морфизм этой группы
на Go/Gp Теперь для каждого элемента х0 € Rx мы можем индук-
тивно определить такие две последовательности (xv), (xv), что
xv £ Gv, Ху 6 Gv, N (Xv) E xvGv+i и xv+i = N (Xv)-1 xv при всех
0. Поэтому для = xox'i . . . Xv_j имеем N (p{,) = XqXv1.
Ясно, что последовательность (у’ф стремится к некоторому пределу
у' Е R'x и что N (у’) = х0.
Следствие. Пусть К' — произвольное расширение конечной
степени поляК- Тогда дифферента поля К' над К равна R' (т. е.
d = 0) в том и только в том случае, когда поле К' неразветвлено
над К-
Предложение 3 показывает, что d = 0, если поле К' неразвет-
влено над К. Обратно, если d = 0, то К' сепарабельно над К и, как
мы’уже отмечали выше, из следствия 1 предл. 1 вытекает, что е = 1.
Предложение 4. Пусть поле К' сепарабельно над К
и p,d — его дифферента над К- Тогда для каждого v Е Z образ P'v
в К при отображении Тг равен Р 11, где целое число р определяется
условием ер v + d < е (р + 1).
Так как след Тг /С-линеен и отличен от нуля, он отображает
каждую /С-решетку в /С' и, в частности, каждое множество P'v
на К-решетку в /С, т. е. на множество вида Пусть р удовлетво-
ряет условию нашего предложения. Тогда поскольку ordK' (л) = е,
§ 1. СЛЕДЫ И НОРМЫ В ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
197
то P'v содержится в и содержит л^+1Р'_<!-1. Ввиду опре-
деления числа d и /С-линейности следа Тг, отсюда следует, что
Tr (P'v) содержится в n^-R = P>1 и не содержится в л^+17? — Р,1+1.
Доказательство закончено.
Следствие 1. Для каждого х' Е К'х имеем
ordK' (Tr (х')) = e-ordK (Тг (%'))> ordK' (%') + d — е + 1.
В самом деле, если положить v = ordK'(x') и определить р
как в предложении 4, то левая часть неравенства в нашем следствии
будет не меньше ер, согласно упомянутому предложению, а ер >
> v + d — е по определению р.
Следствие 2. Тогда и только тогда Tr (Р') = R, когда
d = е — 1.
В самом деле, по предложению 4 из равенств р = v = 0 выте-
кает неравенство d <е. Так как по следствию предл. 1 сДе — 1,
то получаем d = е — 1.
Если d = е — 1, то говорят, что поле К' хорошо разветвлено
над К.
Следствие 3. Пусть % — характер порядка р на К. Тогда
X ° Тг — характер порядка d + ер на К'.
Наше предположение означает, что характер % тривиален
на Р-ц, но не на Р-^-1. Положим v = d + ер. Предложение 4
показывает, что Tr (P'~v) = Р~^, a Tr (P'-v-i) = р-и-т. Поэтому
отображение х ° Тг тривиально на P'-v, но не на P'-v-1, что и тре-
бовалось доказать.
В нашем очередном следствии мы рассмотрим алгебраическое
расширение конечной степени К" над К'', R", Р" будут иметь тот же
самый смысл для К", что R, Р для К- Для всякого v Е Z будем обо-
значать через t'(P'v) Р"-модуль в К", порожденный множеством
P'v; если е' ~ ord7f«(n')—степень ветвления поля К" над К',
то i' (P'v) = P"e'v. В этих обозначениях имеет место
Следствие 4. Пусть К, К', К" таковы, как выше, и пусть
D = P,d, D' = P”d', D" = P"d" — дифференты соответственно
поля К' над К, поля К" над К’ и поля К” над К- Тогда D" =
= i' (£>)•£>' и d" = e'd + d', где е' — индекс ветвления поля К"
над К'.
Это утверждение тривиально, если поле К" несепарабельно
над К, ибо тогда D" = 0 и либо D, либо D' равна нулю. Поэтому
можно считать, что поле К" сепарабельно над К- Нам нужно дока-
зать, что d" = 6, где 6 = e'd + d'. В самом деле, по предложению 4
ТгК"/к' отображает Р”~& на P'_d и Р"-6-1 на Р'-^1, а ТгК'/к
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
198
отображает P'~d на R и р'-11-1 на Р-1. Наше утверждение немед-
ленно следует теперь из «транзитивности следов», т. е. из след-
ствия 4 предл. 4 гл. Ш-З.
Следствие 5. Пусть К и К’ такие, как выше, и пусть Ki —
максимальное неразветвленное расширение поля К, содержащееся
в К'• Тогда К' имеет ту же самую дифференту над К, что и над Ki-
Определение Ki см. в следствии 4 теор. 7 гл. 1-4. Наше утвержде-
ние немедленно вытекает из следствия 4 в сочетании со следствием
предл. 3.
П р е д л о ж е н и е 5. Пусть К, К' таковы, как в предложе-
нии 4. Тогда норма N определяет открытый морфизм группы К'х
на некоторую открытую подгруппу в Ку.
Как и выше, обозначим через P'd дифференту поля JR' над /<
и положим Gv = 1 + Pv, Gv = 1 + P’v при v 1. Возьмем любое
ц > 2d и положим v = ер — d. По предложению 4 Тг (P'v) = Р^.
Кроме того, имеем е (ц — 1) 2d, откуда 2v е (ц + 1), следова-
тельно, P'2v cz а потому К f] P'2v cz P^+1. Теперь послед-
няя часть предложения 1 показывает, что N, во-первых, отображает
Gv в Gy., а во-вторых, определяет сюръективный морфизм из Gy
на Оц/Сц,+1. Взяв любой элемент х0 Е G|t, мы можем теперь построить
по индукции две такие последовательности (хг), (х’г), что xt Е Сщ.г,
x'i Е Gv+ebz N (x'i) Е xfi^+t+r и xi+i = N (х-К1 Xi при всех i > 0.
Полагая у[ = х'ах^ . . . х\, имеем N (г/0 = xoxi+i. Ясно, что последо-
вательность {у'д> сходится к некоторому пределу у' Е G'v, причем
N (г/') = х0. Это показывает, что N отображает G'v на G^, чем и дока-
зано наше предложение, поскольку группы Gu, Gv (ц > 2d, v =
— ер — d) образуют фундаментальные системы окрестностей еди-
ницы в /Сх и в К'7 соответственно.
Используя следствие 2 предл. 4 гл. 1-4 и результаты гл. Ш-З,
можно было бы легко показать, что заключение нашего предложения
остается верным для любого расширения конечной степени К'
поля К, не обязательно сепарабельного. Очевидно, что оно
выполняется также для R-полей.
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНТЫ
Обозначения и предположения в этом параграфе те же, что
и в § 1. Если рассматривать R' как векторное пространство размер-
ности п над К, то R' является /С-решеткой, к которой можно приме-
нить теорему 1 гл. П-2. В результате мы получаем, что в К' над
К существует базис {а!, . . ., ап}, для которого R' = 3 Pat-
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНТЫ
199
Предположим теперь, что К' сепарабельно над К, так что
Тг #= 0. Тогда по лемме 3 гл. Ш-З можно отождествить векторное
пространство К' над К с алгебраическим двойственным к нему,
положив [х', у'\ = Тг (У, у'). Базис {Pi, . . ., рп}, двойственный
к {«1, . . ., <х„}, определяется равенствами Тг (<хгр;) = бц при
1 i, j п.
Предложение 6. Пусть поле R’ сепарабельно над К
и D = P'd — его дифферента. Пусть {at, . . ап} — такой базис
в К’ над К, что R' — У, Ra(, и пусть {Pi, . . ., рп} —базис
в К’ над К, определяемый условием Тг (аг, Ру) = бц при 1 i,
j < п. Тогда D~l = P'-d = 3 7?рг.
В самом деле, возьмем любые элементы х’ Е R', у' € К' и запи-
шем ИХ В ВИДе X' = У Х&г И у' = 3 yftt, Xi £ R и yi 6 К
при 1 i п. Тогда Тг (х', у') = У откуда видно, что
в том и только в том случае Тг (х'у') Е R при всех х' Е R', т. е. Тг
отображает R'y' в R, когда yt Е R при всех i. По определению
дифференты это означает, что у' Е тогда и только тогда, когда
У’ Е У -^Рг, что и требовалось доказать.
Следствие 1. В предположениях предложения 6 обозначим
через А определитель матрицы
М = (Тг (а;а7))щ;, 7<п.
Тогда ordJf (А) = fd и AR = 91 (D).
Запишем а,- = У а^Рд где ац Е К при 1 i, j п. Умножив
обе части на а; и взяв след, получим, что Тг (ага7) = atj и, следова-
тельно, М. = (ац). Поэтому автоморфизм векторного пространства
К' над К, переводящий базис {Pi, . . ., рп} в базис {ai, . . ., ап}
и, следовательно, отображающий /(-решетку на R', пред-
ставляется в первом из этих базисов матрицей (a,7), причем его
модуль равен mod к (А) по следствию 3 теор. 3 гл. 1-2. Так как авто-
морфизм х' л'ах' также отображает D^1 = P'~d на R', то его
модуль mod#- (лУ) должен совпадать с modK (А). Это дает равен-
ство fd = ordк (А), откуда 91 (D) = AR.
Заметим, что наше следствие остается справедливым и в несепа-
рабельном случае, потому что тогда Тг = 0 и D = 0. Из нашего
результата, очевидно, вытекает, что ordK (А) не зависит от выбора
ад . . ., an. Этим фактом, который можно было бы легко проверить
и непосредственно, оправдано следующее определение.
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
200
Определение 2. Пусть А таково, как в следствии пред-
ложения 6. Тогда идеал АН в Н называется дискриминантом
поля К' над К.
Предположим дополнительно, что К' — сепарабельное расши-
рение степени п над /(, и обозначим через К алгебраическое замыка-
ние поля К'. Как и в § 1, пусть . . ., Ап суть п различных
/(-линейных изоморфизмов PC ру Среди них есть тождественный
изоморфизм, пусть это будет Возьмем любой элемент £ £ PC
и положим (g) при 1 i п, так что, в частности, = Е.
Если v — степень поля IC над К (I), то имеется v различных
К (5)-линейных изоморфизмов К' ->- К. Следовательно, среди изо-
морфизмов имеется ровно v таких, которые оставляют элемент Е
неподвижным. Это показывает, что К (S) = К' в том и только в том
случае, когда при всех
Пусть теперь X — неизвестная над К- С помощью способа, опи-
санного в гл. Ш-З, мы можем продолжить /(-линейное отображе-
ние Тг: /('->/( и полиномиальное отображение N: /('->/( до
отображения из К' 1X1 = К' ® к К IX] в К [X], которые мы обо-
значим опять через Тг и N. Положим, далее,
(4) E(X) = N(X-£)= [j (Х-^)=Х’! - -У аСС1-1.
i—1 i = t
Это — унитарный многочлен из К [X]. Обозначая через F' его фор-
мальную производную, имеем
F' ®
Согласно доказанному выше, К (В) = К в том и только в том слу-
чае, когда F' (£) =0= 0. Хорошо известно и легко проверяется, что
/4 * * 7(Х)"1 допускает в К (X) «разложение на простейшие дроби», зада-
ваемое формулой
п
F(X) Zj F'(Si)(X-g;)
Рассматривая поле К (X) как очевидным образом вложенное в поле
формальных степенных рядов от X-1 с коэффициентами в К, полу-
чаем отсюда
п 71 -J-00
Х-"(1+ 2 aiX-1)-^ ^F'&y1 2 ^X~v-\
i=1 i=l v=0
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНТЫ
201
что можно переписать еще так:
-|-оо п v4~°°
х-и S (Sa/X-i)v= 3 'W'dr^x-v-i.
V=0 i=l V=0
Сравнивая коэффициенты в левой и правой частях, находим
(5) Pv (а) = Tr (F' (Е)"1 Ev)
при v 0, где Pv (а) при всех v является многочленом из
Z [а1( . . ап], Pv = 0 при 0 v < п — 1 и Pn_j = 1.
Предложение 7. Пусть К' — сепарабельное расширение
степени п над К, D — его дифферента, и для любого б. К' пусть
F — многочлен, определенный формулой (4). Тогда все коэффициен-
ты at многочлена F лежат в R, если Е 6 R', и в Р, если Е g Р'. Кроме
того, если Е С R', то F' (Е) Z)-1 содержится в R [Е1, и это — наи-
больший R’-модуль, содержащийся в R IEJ-
Утверждения относительно аг доказываются точно так же, как
утверждения о следе в предложении 1. В самом деле, если Ez =
= (|) определены, как выше, то из предположения | £ R' (соотв.
t £ Р') следует, что h 6 У (Р') (соотв. Е; £ Хг- (Р')) для всякого I,
а потому Ег лежит в максимальном компактном подкольце R" ком-
позита К" полей Хг- (К') (соотв. в максимальном идеале Р" кольца
R"). Формула (4) показывает тогда, что все at лежат в R”, а следо-
вательно в R = К П R" (соотв. в Р", а следовательно в Р =
= К П Р"). Что касается утверждения относительно F' (Е), то
предположим сначала, что F' (Е) = 0. Как мы видели, это имеет
место в том и только в том случае, когда К (1) К'. В этом случае
поле К (Е), а следовательно и R (Е1, не может содержать никакого
Р'-модуля, отличного от {0}, чем и доказано наше утверждение.
Предположим теперь, что F' (1) 0. Тогда К' = К (Е), так что
{1, S, . . ., V1"1} есть базис в К' над Р. Поскольку многочлен F
унитарен и содержится в Р [X], a F (Е) = 0, то из хорошо известно-
го элементарного рассуждения вытекает, что R [Е] совпадает
п-1
с Р-модулем 2 РЕг. Возьмем теперь любой элемент х' 6 К'. Запи-
ло
п~ 1
шем F' (Е) х' = 2 xtV, где х, 6 К при 0 i и — 1. Умножая
г—О
обе части на F' (Е)'1 Ev и беря следы, получаем в силу формулы (5)
(6) Tr (x'Ev) = 2 x.pv+. (й)
2=0
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
202
при всех v^O. В частности, при 1 имеем
п—1
(7) xn-v^i = Tr(x'?v) = 3 XiPv+i(a).
i—n—y
Предположим сначала, что х' £ D-1. Используя формулу (7) и индук-
цию по v для 0 v п — 1, находим, что все х, 6 R, т. е. F’ (|) хС
6 R [£], так что F’ (£) Z)-1 cz R [Ц. Предположим теперь, что
Xt Е R при 0 <; i п — 1, т. е. что F' (£) х' С R 15L Тогда форму-
ла (6) при v = 0 показывает, что Тг (х') £ R. Заменяя х' на х'у'
с / £ R', мы видим, что если х' таков, что F' (£) x'R' cz R [|],
то х' £ Z)-1. Этим доказано наше последнее утверждение.
Следствие 1. В обозначениях и предположениях предложе-
ния 7 D = F' (£) R' тогда и только тогда, когда R' — R [£].
Это сразу вытекает из второй части предложения 7.
Следствие 2. В обозначениях и предположениях предло-
жения 7 допустим дополнительно, что К’ вполне разветвлено над К,
и положим
F(X) = N(X- л') = Хп + S щХ11"1,
г=1
где л' —любой простой элемент в К'. Тогда ordK (а,) 1 при
1 i' п, ordK (ап) =1 и D = F' (л') R'.
Взяв в предложении 7 § = л', мы получим первое утверждение.
Второе очевидно ввиду формулы 2 § 1, поскольку ап = N (—л')-
Последнее утверждение немедленно вытекает из следствия 1, с уче-
том предложения 4 гл. 1-4.
Следствие 3. В обозначениях и предположениях след-
ствия 2 поле К/ хорошо разветвлено тогда и только тогда, когда
п взаимно просто с Р.
Поскольку.'/С вполне разветвлено, то в наших обычных обозна-
чениях f = 1 и п = е. По следствию 2 d = ordK- (F' (л')), и все
члены в F' (л'), кроме первого члена ил'”-1, имеют порядок ^е =
= ord^' (л) в X'. Поэтому тогда и только тогда d = е — 1, т. е. К'
хорошо разветвлено, когда ordK- (и) = 0, т. е. когда п взаимно
просто с р.
Многочлен F, удовлетворяющий условиям следствия 2, т. е. уни-
п
тарный многочлен Хп 4- 3 atXn~l в R [X], для которого ordK (аг)^
4=1
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ
203
1 при всех i и ordк (ап) = 1, называется многочленом Эйзен-
штейна над К-
Предложение 8. Пусть F — многочлен Эйзенштейна
над К- Тогда F неприводим в К IX], и если л' — корень многочлена F
в произвольном расширении поля К, то поле К (л') является хорошо
разветвленным расширением поля К, ал' — простым элементом
в К (л').
Предположим, что F = GH, где G, Н 6 К [А-]. Пусть а, b —
наименьшие целые числа, для которых многочлены Gi = л/'G
и Я1 = льН лежат в R [X]. Положим Fi = na+bF, так что Fi =
= GiHi. Положим, далее, k = R/Р и обозначим через Fo, Go, Но
многочлены из k [X], получаемые заменой каждого коэффициента
в многочленах Fi, Gi, Hi соответственно образом этого коэффициен-
та в R/Р при каноническом гомоморфизме R -+ R/Р. Ввиду опре-
деления чисел а, b многочлены Go и Но отличны от нуля, так что
Fo =/= 0. Отсюда следует, что а + Ъ = 0, Ft = F и Fo = Хп, а зна-
чит, существует такое V, что Go = Xv, Но = Xn~v. Поэтому сте-
пени многочленов Gi и Hi не меньше соответственно v и п — у.
Поскольку Fi = GiHi, они равны соответственно v и п — у. Если
v > 0, п — v > 0, то обозначим через g и h свободные члены в Gt
и Нг соответственно. Так как Go = Xv и Но = Xn~v, то g, h £ Р.
Поскольку свободный член в F равен теперь gh, то он лежит в Р2,
что противоречит определению многочлена Эйзенштейна. Пусть
теперь л' — корень многочлена F в некотором расширении поля К,
которое можно считать алгебраически замкнутым. Так как F непри-
водим, то различные /^-линейные изоморфизмы поля К' = К (л')
в это расширение отображают л' на все различные корни много-
члена F, так что F (X) = N (X — л'), откуда по определению
многочлена Эйзенштейна ordK (N (л')) = 1- В силу формулы 2
§ 1 отсюда следует, что f = 1 и что л' — простой элемент в К'
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ
В этом параграфе нам будет удобно записывать изоморфизмы
и автоморфизмы полей экспоненциально, т. е. как х -> хк и т. п.
Далее, удобно будет следующим образом продолжить ordK, где
поле К такое же, как выше, на все алгебраические расширения
поля К. Пусть х' — любой элемент такого расширения; К' —
любое расширение конечной степени поля К, содержащее х'; л, как
и прежде,— простой элемент в К- Положим
ordK (%') = ordK- (x')/ordK' (л).
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
204
Если заменить здесь К.' любым аналогичным полем К", содержа-
щим X', то ordK (%') и ordK' (л) умножатся оба на индекс ветвле-
ния поля /С" над К', так что наше определение ordK (%') не зависит
от выбора X'; разумеется, можно взять в определении R' = К (х').
Пользуясь этой возможностью выбора подходящего X', мы видим,
что ord к совпадает на Xх с ранее определенным отображением
ordK: Xх —>-Z и определяет отображение каждого алгебраиче-
ского расширения поля X в QU причем ordк (%') = +оо
в том и только в том случае, когда х' = 0.
Пусть, как и прежде, R' — расширение степени п поля X;
предположим, что это расширение сепарабельно. Сохраним в силе
обозначения § 1—2. В частности, D = P'd — дифферента поля X'
над X- Обозначим через Xi максимальное неразветвленное рас-
ширение поля X, содержащееся в X' (согласно следствию 4 теор. 7
гл. 1-4 Xi определено однозначно). Тогда поле X' имеет степень е
над Xi и по следствию 5 предл. 4 § 1 его дифферента над Xi равна D.
Положим
F (X) = NX7K1 (Х-л').
По следствию 2 предл. 7 § 2 это — многочлен Эйзенштейна над Xi
и D = F' (л') X' •
Пусть L —любое содержащее К' расширение Галуа конечной
степени над X- Например, в качестве L можно взять композит
образов поля X' при всех различных Х-линейных изоморфизмах
поля К' в некоторое его алгебраическое замыкание X- Для каж-
дого X-л инейного изоморфизма х’ х'к из К' в L положим
v(X)= min ordjv- (х' — х1'-) =
х'ЕВ'
= штогйтДх'—х'х)/огбь (л').
x'ER'
Так как ordL (х' — х'л) — целое неотрицательное число или -|-оо,
то функция v определена корректно; она принимает значение +°°
в том и только в том случае, когда X есть тождественное отображе-
ние, т. е. естественное вложение поля X' в L, которое мы будем
обозначать через е. Согласно теореме 7 гл. 1-4 и ее следствиям 3
и 4 поле Xi порождено над X корнями из 1 в X', порядок которых
взаимно прост с р, и эти корни вместе с нулем образуют полное
множество представителей для R'/P' в R'. Поэтому если авто-
морфизм X индуцирует на Xi не тождественное отображение, то
существует такой корень £, для которого =^= Тогда £ — £*•
лежит в К', но не в Р', так что, беря х' — £, получаем v (X) = 0.
Предположим теперь, что X индуцирует на Xi тождественное ото-
бражение. Так как X' хорошо разветвлено над Xi, то предложение 4
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ
205
гл. 1-4 показывает, что R' = [л'], где Ri — максимальное
компактное подкольцо в /Q, так что каждый элемент х' £ R' может
быть записан в виде G (л'), где G Е Ri [X]. Это дает
х' — х''- = G (л') — G (л'А) = (л' — л'х) Н (л', л'£),
где Н Е Ri [X, У]. Как уже отмечалось в доказательстве предложе-
ния 1, л'^ имеет тот же самый порядок в L, что и л'. Отсюда сле-
дует, что ord К' (л'х) = ord к- (л') = 1, так что
ordK' (хг — х'к) ordK' (л' — л'*) 1,
поэтому для любого изоморфизма X, тождественного на Ki, имеем
(8) v (X) = ordK' (л' — л'л) 1,
откуда следует, что ordK< (л'—л'А) не зависит от выбора л'.
Далее, для F, определенного, как выше, имеем по формуле (4) § 2
К(Х) = П(Х-Л'^),
л
где произведение берется по всем различным /^-линейным изомор-
физмам X: К' —» L, откуда
F’ (л') = {J (л' — л'А),
/.-~е
где произведение берется по тем же самым изоморфизмам, кроме
тождественного. Это дает
d = ordic (К' (л')) = 2 v (X),
Z-; е
где сумма берется по тем же самым изоморфизмам, а также
d-e + i= 2 (v(X)-i),
к=/=г
ибо число таких изоморфизмов равно е — 1. Поскольку v (X) = 0,
если изоморфизм X нетождествен на /Сь полученные формулы
можно переписать так:
(9) d= 2v(l), d-e+l= 2 (v(X)-l)+.
Z^=e ZJ-e
Здесь суммы берутся теперь по всем различным /С-линейным изо-
морфизмам К' -> L, отличным от тождественного; кроме того,
в последней сумме число членов, больших нуля, не превосходит
е — 1.
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
206
Если само К' является расширением Галуа поля 'К, то мы
можем взять L = К' Тогда изоморфизмы X — это автоморфизмы
поля К над Л). Они образуют группу Галуа g поля К' над Д.
Из определения v (X) видно, что теперь это — целое число или +°°.
Если Х=0= е, то v (X) — наибольшее из целых чисел v, таких, что
X определяет тождественное отображение на кольце RJPV. Для вся-
кого v 0 автоморфизмы X поля К' над К, для которых v (X) Xs v,
образуют подгруппу gv в д; группа д0 совпадает с д, а груп-
пы gv при v 1 известны как высшие группы ветвления поля К'
над К. Группа дь которую принято по традиции называть группой
инерции поля К', состоит, как мы видели выше, из автоморфизмов
поля К', индуцирующих тождественное отображение на /G; иными
словами, это есть подгруппа в д0 = д, связанная с Ki в смысле
теории Галуа. Порядок группы д( равен е, и группу g0/gi можно
отождествить с группой Галуа поля Kt над К, которая, как мы
знаем, является циклической группой порядка f и порождается
автоморфизмом Фробениуса поля Ki над К-
По-прежнему считая К' расширением Галуа поля К, обозначим
через gv порядок группы gv для каждого v 0. Тогда gv — 1
есть число отличных от е элементов X из д, для которых v (X) Xs т.
Поэтому мы можем переписать (9) следующим образом:
-j-OO 4-00
(10) d=S(?v-l), d-e+l= s tev-1).
v=l v=2
Предложение 9. Пусть К' — расширение Галуа поля К
с группой Галуа g = g0, и пусть gv, v^l,— высшие группы
ветвления. Положим G'o = и G’v = 1 + P'v при v 1. Тогда
для всякого v 1 группа gv состоит из тех элементов X £ дь
для которых лДл'-1 £ Для таких X образ у (X) элемента
л'к л'-1 в группе Tv = G'v-i/G'v не зависит от выбора простого эле-
мента л' в К', и отображение Х->у(Х) есть морфизм gv -> Tv
с ядром gv+1.
Первое утверждение немедленно следует из соотношения (8)
и определений. Заменим л' каким-нибудь другим простым эле-
ментом в К', который можно записать в виде л'и, где и С К'х.
Для X £ gv это вызовет лишь появление в л'х л'-1 добавочного
множителя иЧг1, который по определению gv лежит в 1 + P'v,
т. е. в G’v. Это показывает, что у (X) не зависит от выбора л'. Пусть
X, р ggv. Положим и = л'к л'-1, v = л'^л'-1. Тогда л'^л'"1 =
= uv. Так как и 6 Д'х, то и'Чг1 Е G’v. Это показывает,
что отображение X —у (X) есть морфизм и, очевидно, что его ядро
совпадает с gv+i.
§ 3. ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ
207
Следствие 1. Для каждого v 0 группа gv/gv+i комму-
тативна. При v = 0 эта группа является циклической группой
порядка f\ при v = 1 — циклической группой порядка е0, делящего
q' — 1, где q' — модуль поля Д'; при v Д? 2 она изоморфна некото-
рой подгруппе аддитивной группы кольца Д' 1Р' и ее порядок делит q'.
Для v = 0 это было доказано выше. Положим теперь k' =
= ДЧР’. Это — поле из q' элементов. Канонический морфизм
из R' на k' индуцирует на G' морфизм из G'o на k'x с ядром GJ, так
что Г1 является циклической группой порядка q' — 1. Аналогично
при v 2 отображение х' -> 1 + лР’^х' из R' на Gv-i определяет
изоморфизм из R’lP' на ГД Наши утверждения для v 1 немед-
ленно вытекают из этих фактов и предложения 9.
Следствие 2. В предположениях и обозначениях следствия 1
е = еор\ где N 0 и е0 взаимно просто с р.
Это очевидно ввиду следствия 1, поскольку gi имеет порядок е.
Следствие 3. Если v (А) имеет одно и то же значение v
при всех А е в д, то g есть коммутативная группа, порядок
которой делит q — 1, если v = 1, и делит q, если v 2.
В самом деле, мы имеем gv = g, gv+1 = {е}. Кроме того,
если v 1, то е = п, а значит, f = 1 и q = q'.
Наконец, числа v (А) обладают важными «свойствами транзи-
тивности». Пусть, как и выше, К' — сепарабельное расширение
конечной степени п поля К, но не обязательно расширение Галуа,
Д" — сепарабельное расширение конечной степени поля Д'.
Возьмем в качестве L расширение Галуа конечной степени над Д,
содержащее Д". Пусть Д2 — максимальное неразветвленное рас-
ширение поля Д, содержащееся в Д”. Обозначим через Д'2 композит
полей Д' и Д2, через е' индекс ветвления поля Д" над Д' и через
f' — его модулярную степень над Д'. Так как Д' имеет тот же
самый модуль q', что и /G, и Д" и К' имеют тот же самый модуль,
что и Д2, то Д2 является неразветвленным расширением степени Д
над Д1 и Д’2 является максимальным неразветвленным расширением
поля Д', содержащимся в Д”, причем его степень над Д' равна Д.
Поскольку степень поля Д' над равна е, отсюда следует, что
степень поля Д’2 над /П равна еД. Поэтому степень поля Д'2 над Д2
равна е. Всякий К2-линейный изоморфизм ст: Д'2~+- L индуцирует
Ki-линейный изоморфизм А: Д' —> L. Поскольку Д2 является
композитом полей Д', Д2, то два таких изоморфизма о, о' не могут
совпадать на Д' при сг =0= о'. Так как имеется ровно е таких изо-
морфизмов и столько же Дглинейных изоморфизмов из Д' в L,
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
208
то о -> X есть биекция первого множества на второе. В частности,
каждый изоморфизм Л: X' -> L, тождественный на /Q, можно
однозначно продолжить до изоморфизма cr: тождествен-
ного на Хг-
Пусть теперь л" — какой-нибудь простой элемент в /С".
Положим
G (X) = NK„/Kz (X _ л") = Xе' +2 atX^.
По следствию 2 предл. 7 § 2 это — многочлен Эйзенштейна над К’„.
В частности, ае' — простой элемент в Х2, равно как и л', ибо
Д'' неразветвлено над X' Пусть X — любой нетождественный
автоморфизм из X' в L, тождественный на Xi- Как мы видели
выше, его можно единственным образом продолжить до изоморфизма
er: Х'2~+ L, тождественного на Хг- Обозначим через G0 многочлен,
полученный применением сг к каждому коэффициенту многочлена G.
Тогда
е'—1
G(X)-G°(X) = ae'-a° 4- 2 Хс'-;.
1=1
Так как ае- и л' — простые элементы в Х’2 и так как Х'2 неразвет-
влено над X', то с учетом уже доказанного имеем
ordK' (а,/ — а") = ordK' (л' — л'а) — ordK (л' — л'7-) = v (X),
ordK'(a;-af)>ordK, (л'-л'*) = v(X) (1
откуда
ord к (G (л") — Ga (л")) = v (л).
Ho G (л") = 0. С другой стороны, G0 — это унитарный многочлен,
корни которого суть образы л"т элемента л" при различных авто-
морфизмах т: X" L, совпадающих на X'., с <т. Другими словами,
G° (л") = Ц (л"-л"*),
т
где произведение берется по различным автоморфизмам т: X" -*• Т,
индуцирующим X на X' и тождественным на Хг- Пусть теперь
функция v' (т) определена для X, X", т так же, как v (X) была
определена для X, К', Другими словами, положим v' (т) = 0,
если автоморфизм т нетождествен на Хг, а в противном случае
положим
v' (т) = ordK» (л” — л"т).
§ 4. СЛЕДЫ И НОРМЫ В А-ПОЛЯХ
209
Поскольку ordA- = e'-ordK', то из предыдущих формул вытекает
равенство
(11) е'у (А) = 2 v' (т),
т
где сумму можно брать по всем изоморфизмам т: /<"—> L, совпа-
дающим с А на /С', ибо автоморфизмы, нетождественные на Хг-
не вносят никакого вклада в сумму в правой части. По аналогичной
причине равенство (11) остается справедливым, в случае когда
А: /С'-> L— изоморфизм, нетождественный на /О- Сопоставляя
формулы (9) и (11), получаем еще одно доказательство следствия 4
предл. 4 § 1.
Пусть теперь L — расширение Галуа поля X не обязательно
конечной степени. Обозначим через ® его группу Галуа, топологи-
зированную обычным образом (в качестве фундаментальной системы
окрестностей единицы берутся все подгруппы в @, соответствую-
щие содержащимся в L расширениям конечной степени поля М).
Тогда группа @ компактна и формулы (11) и (9) в совокупности
со следствием 4 предл. 4 § 1 можно интерпретировать, сказав, что
на семействе всех открытых и замкнутых подмножеств в @ суще-
ствует конечно аддитивная функция Н со следующим свойством.
Пусть X' — любое расширение конечной степени поля М, содержа-
щееся в L, е — его индекс ветвления над X и d — показатель его
дифференты. Обозначим через открытую и замкнутую подгруппу
в @, состоящую из автоморфизмов, тождественных на X'- Тогда
Н (© = d/e и Н (£)А) = —v (А)/е для каждого класса смежности
£>А в @, отличного от $ (определение v (А) см. выше). Поэтому
мы получим линейную форму /->H(f), т. е. «распределение»
на пространстве всех локально постоянных функций f на @, положив
Н (f) = Н (£А) для характеристической функции f любого класса
смежности ^А, где А £ @ и подгруппа такая, как выше. Линейная
форма Н определяется этим соглашением однозначно, потому что
всякая локально постоянная функция на @ может быть записана
как конечная линейная комбинация указанных характеристических
функций. Мы будем называть Н распределением Хербранда на ®.
Из наших предыдущих результатов следует, что знание Н дает
нам знание свойств ветвления любых полей X" над X', где X",
X' имеют конечную степень над X и /( с К' с /('с L.
§ 4. СЛЕДЫ И НОРМЫ В А-ПОЛЯХ
В этом параграфе мы рассматриваем некоторое A-поле k и неко-
торое сепарабельное алгебраическое расширение k' поля k конеч-
ной степени п над k. Объяснения обозначений см. в гл. IV.
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
210
Теорема 1. Пусть k — некоторое А-поле и k' — сепара-
бельное расширение конечной степени поля k. Тогда k'w неразвет-
влено над замыканием kD поля k в k'w почти для всех конечных точек w
поля k'.
Пусть % — базисный характер для k, т. е. нетривиальный
характер на &А, тривиальный на k. Положим %' = % ° Тг^/ь.
Это — характер на /гА, тривиальный на k'. Так как след Trh'/h
не равен нулю и так как он А-линеен на k', то существует элемент
1 Е k', для которого Тгй'/ь (|) = 1. Поскольку продолжение следа
Тг/г'/й на Аа является &А-линейным, отсюда следует, что оно ото-
бражает k'x на kx сюръективно, так что характер % нетривиален
на k'x- Пусть w — конечная точка поля k' и v — та точка поля k,
над которой лежит w. Обозначим через и х™ соответственно
характеры, индуцированные характерами х на kv и х' на k'w. По след-
ствию 3 теор. 1 гл. IV-1 имеем Хш = ° "Пу /h . По следствию 1
теор. 3 гл. IV-2 Хо имеет порядок 0 почти для всех v и х™ имеет
порядок 0 почти для всех w. Отсюда и из следствия 3 предл. 4
§ 1 немедленно вытекает наше утверждение.
Следствие. В предположениях теоремы 1 является
открытым морфизмом из kx на открытую подгруппу в kx-
Согласно следствию 3 теор. 1 гл. IV-1 Nv/s индуцирует Nft, /ft
на kwx почти для всех точек w поля k'. По предложению 5 § 1
индуцированная норма для всех w, включая бесконечные точки,
является открытым морфизмом из kw' на открытую подгруппу
в А,х. По теореме 1 (в совокупности с предложением 3 § 1) она
отображает rwx на г* почти для всех v. В силу следствия предложе-
ния 2 гл. IV-3 наше утверждение немедленно вытекает из этих
фактов.
Если kw и kv такие, как выше, то поле k’w, которое порождается
над kv полем k', сепарабельно над kv, так что в случае, когда и
и, следовательно, w — конечные точки, дифферента поля k'w над kv
отлична от нуля и может быть записана как р^, где d (то) 0.
Этим оправдано следующее определение.
Определение 3. Пусть kr, k такие, как в теореме 1.
Для каждой конечной точки w поля k' пусть p^(w) — дифферента
поля k'w над замыканием kv поля k в k'w. Тогда. под дифферентой
§ 4. СЛЕДЫ И НОРМЫ В А-ПОЛЯХ
211
поля k' над k мы понимаем идеал (w) в k', в случае если k, k' —
поля характеристики нуль, и дивизор У d (да) -да поля k', в случае
если k, k' —поля характеристики 1. Мы будем обозначать
дифференту через или просто через Ь, если это не может при-
вести к путанице.
Теперь мы рассмотрим раздельно случаи характеристики нуль
и характеристики р>\.
Предложение 10. Пусть k — некоторое поле алгебраи-
ческих чисел, k' — конечное алгебраическое расширение поля k,
т, г'— их максимальные порядки и b — дифферента поля k' над k.
Тогда Ь-1 совпадает с множеством тех элементов ц Е k', для кото-
рых Тг (£т]) Е г при всех £ Е *'•
Возьмем любое ggr' и любое т] Е Ь-1. Тогда grj Ь-1. По опре-
делению это означает, что Sr] Е k’ и cr| Е P-i; d(wi для всех конечных
точек да поля k’. Отсюда следует, что для всех таких точек
Тгй'/й (£т]) Е rv, поэтому согласно следствию 3 теор. 1 гл. IV-1,.
Tiy (gn) лежит в k П rv при всех v, и следовательно, лежит-
в т. Обратно, предположим, что Тг(£п)Е* при всех £Е*' для
некоторого f]Qk'. Возьмем х'= (x'w) £ k'A и положим г = Тгйуй (х'л).
Тогда по следствию 3 теор. 1 гл. IV-1 z=(zv) задается формулой.
S Тгй> (4>ц).
w[d ш V
Пусть v — конечная точка поля k. Согласно следствию 1 теор. I
гл. V-2 проекция кольца т' на произведение взятое по всем
точкам да, лежащим над V, всюду плотна в этом произведении.
Так как по нашему предположению zv Е rv для любого х' Е Е
и так как zv непрерывно зависит от х', то zv Е rv при любом выборе
x'w Е ri, для всех точек да, лежащих над v. Отсюда вытекает, что
Trft' ,k отображает в rv, а значит, по определению дифференты,
т] Е Поскольку это имеет место для всех да, элемент ц должен
лежать в Ь-1.
Следствие. Если а' — любой дробный идеал в k', то множе-
ство тех элементов ц Е k', для которых Тг^/ь (сц) Е г при всех
£ Е , совпадает с дробным идеалом
В самом деле, ввиду предложения 10 это множество состоит
из всех г), для которых тщ' с: ir1.
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
212
Теперь введем два морфизма i, ЭД групп I (£), I (kr) дробных
идеалов полей k, k' друг в друга. Для этого рассмотрим снова
морфизм а -> id (а) из kA на I (k) с ядром = kA (Р<х)х, который
был определен в гл. V-3. Как там отмечалось, с помощью этого
морфизма можно отождествить I (k) с Ад/Поо. Напомним, что
йзо = Й X [Jr* — это группа, состоящая из иделей (zB), для
которых | г,; |0 = 1 для всякой конечной точки v поля k. Если
— аналогичная группа для поля k', то мы можем также отожде-
ствить 1 (k') с 1гА10.^. Обозначим теперь через i естественное вложе-
ние k'A -> kA. По следствию 1 теор. 1 гл. IV-1 оно отображает каж-
дый элемент г = (гг) g kA в такой элемент i (г) = (z'w) g k’A , что
z'w = для любой точки w, лежащей над V. Тогда | zi: [„ = 1
влечет | z'w |ш = 1, так что тогда и только тогда, когда
z С Ноо. Отсюда видно, что t определяет инъективный морфизм
I (k) -> I (k'}, который мы будем называть естественным вложением
группы I (/г) в I (k'~) и который будет обозначаться также через i.
В этих обозначениях имеем (id) ° t = i ° (id); это равенство можно
рассматривать также как определение инъекции t: I (k) I (k').
Ясно, что если k" — расширение конечной степени поля k' и если
морфизмы i': kA -> kA и t": kA -> kA определены так же, как
был определен морфизм i: Ад -> kA , то i" = i'«i; поэтому соот-
ветствующее соотношение выполняется и для естественных вложе-
ний I (А) I (k"), I (k') -> I (k") и I (k) I (k'). С другой стороны,
следствие 3 теор. 1 гл. IV-1 в сочетании с формулой (1) § 1 пока-
зывает, что норма Nk-/h отображает вйк и потому определяет
морфизм I (k')I (k), который тоже принято называть нормой.-,
обозначим его через ЭДй-/й- Имеем (id) ° = ЭДй'/й ° (id); это
равенство можно рассматривать как определение ЭДй'/й- Если
.А" таково, как выше, то ЭДй"/й = ЭДй'/й ° ЭДй"/й'1 это немедленно
вытекает из соответствующего соотношения для обычных норм.
Далее, если п — степень поля k' над k, то Мй'/й (х) = хп для всех
.х Е k\ это непосредственно следует из определения Отсюда
«сразу вытекает соответствующее соотношение для продолжения
иормы Nk'/k на kA. Для г мы можем записать это соотношение
в виде (1 (?)) = г”> откуда следует, что ЭДй'/й (t (а)) = ап
при всех а £ I (k).
По теореме 3 гл. V-3 I (k) и I (k') являются свободными груп-
пами, порожденными соответственно простыми идеалами рв, р,'о
в т, т'. Сейчас мы дадим описание морфизмов i, ЭДй'/й в терминах
этих ^образующих.
§ 4. СЛЕДЫ И НОРМЫ В А-ПОЛЯХ
213
Предложение 11. Для всякой конечной точки v поля k
и всякой точки w поля k', лежащей над v, обозначим через е (w)
индекс ветвления и через f (w) модулярную степень поля^кю над
kv. Тогда
1 (Ро) = П Pw(!0), (Pw) = 3 e (да) f (w) = n,
w|-y w|v
где произведение в первой формуле и сумма в последней берутся по
всем точкам да поля k', лежащим над и.
Первая формула сразу следует из определений, а вторая —
из определений, следствия 3 теор. 1 гл. IV-1 и формулы (1) § 1.
Что касается последней формулы, то она вытекает из следствия 1
теор. 4 гл. Ш-4, поскольку е (да) f (да) совпадает со степенью поля
k'w над kv; она непосредственно следует также из первых двух фор-
мул и равенства %lk’/k (1 (Ро)) = Р”-
Следствие. Пусть k — некоторое поле алгебраических чисел
и а — дробный идеал в k. Тогда 3£ь/р (а) совпадает с дробным
идеалом 31 (а) Z в Q, где 3? — норма, введенная в определении 5
гл. V-3.
Это сразу вытекает из последнего определения и второй форму-
лы предложения 11, примененной к полям k и Q.
Так как каждый идеал в кольце Z имеет вид mZ, где т 6 N, то
каждый дробный идеал в Q может быть одним и только одним спосо-
бом записан в виде rZ, где г С Q, г > 0. Поэтому можно отождест-
вить группу I (Q) дробных идеалов поля Q с группой Q* = Qx П
П Яф при помощи изоморфизма г rL первой группы на вторую.
Тогда норма 31 из определения 5 гл. V-3 совпадает с нормой 3ts/Q,
определенной выше.
Предложение 12. Пусть % — характер на QA, три-
виальный на Q, для которого х«> (х) = е (—х); k — некоторое поле
алгебраических чисел, = % <= Тгй/q; а — (йв) — дифферентный
идель, связанный с % . Тогда а„ = 1 для каждой бесконечной[точки v
поля k и id (а) совпадает с дифферентой b^/Q поля k над Q.
Характер х таков же, как введенный в первой части доказатель-
ства теоремы 3 гл. IV-2. Там показано, что он однозначно определен
сформулированным выше условием и что х? имеет порядок 0 для
каждой точки р поля Q. Наше первое утверждение непосредственно
следует теперь из определения дифферентного иделя в гл. VII-2,
если учесть следствие 3 теор. 1 гл. IV-1. Наше последнее утвержде-
ние вытекает из того же результата, если учесть следствие 3
предл. 4 § 1.
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ и нормы'
214
Следствие. Пусть поле k таково, как в предложении 12, и
D —его дискриминант. Тогда | D | = 91 (Ьь/q).
Если идель а таков, как в предложении 12, то | а |А = I D |-1
по предложению 6 гл. VII-2. С другой стороны, поскольку а„ = 1
для всех бесконечных точек v поля k, то из определения нормы 91
немедленно следует, что | а |А = (id (а))-1. В силу предложе-
ния 12 наше утверждение доказано.
Теперь мы следующим образом обобщим определение дискрими-
нанта, т. е. определение 6 гл. V-4.
Определение 4. Пусть k — некоторое поле алгебраиче-
ских чисел, k' — конечное расширение поля k и b — дифферента
поля k' над k. Тогда идеал *2) = У1ь'/к (Ь) в максимальном порядке
г поля k называется дискриминантом поля k' над k.
Следует обратить внимание на то, что в соответствии с этим опре-
делением дискриминантом поля k над Q является не D, а идеал Z)Z =
= | D | Z в Z. По заданному идеалу D определяется согласно заме-
чанию в конце доказательства предложения 7 гл. V-4 с помощью
формулы D = (—1)Г2 | D |.
Предложение 13. Пусть k, k’, k"— поля алгебраических
чисел и /г cz/г'cz/г", и пусть b u ®, b' и ®', Ь" и ©"— диффе-
ренты и дискриминанты соответственно поля k' над k, поля k"
над k', поля k" над k. Тогда
b"=i'(b)b', ®" = ®™W/k(®'),
где Т — естественное вложение I (k') I (k") и n' — степень поля
k" над k'.
Первая формула сразу следует из соответствующего локаль-
ного результата, т. е. из следствия 4 предл. 4 § 1. Отсюда и из опре-
деления 4, с учетом свойства транзитивности норм, вытекает вторая
формула.
Пусть теперь k — некоторое A-поле характеристики р > 1 nk' —
сепарабельное расширение поля k конечной степени п. Так как
отображение а div (а) есть морфизм из &А на группу D (k) диви-
зоров поля k с ядром Цггх, то точно так же, как в случае числовых
полей, мы видим, что естественное вложение Аах определяет
инъективный морфизм i: D (А)-> Z) (//), который мы будем называть
естественным вложением группы D (k) в D (k'). Аналогично нормен-
§ 4. СЛЕДЫ И НОРМЫ В А-ПОЛЯХ
215
ное отображение -+ k& определяет морфизм D (k') -+
-> D (k), который мы будем обозначать через (обозначение
31 было бы здесь неудобно, поскольку группа дивизоров записывает-
ся аддитивно). Свойства морфизмов t и © совершенно аналогичны
свойствам морфизмов i и 31 в случае числовых полей. В частности,
^h'/h (i (°)) = «а Для каждого дивизора а поля k и, в обозначе-
ниях предлджения И,
i(0 = <Sh','k(w) = f(w)-v, 2 (w) = n,
U1|v
причем доказательство остается прежним. Пусть Fq, Fg- — поля
констант в k и k', и пусть f0 — степень второго поля над первым.
Тогда, по определению f (w) и степени точки, /0 deg (w) = f (w) deg (p)
и, следовательно, сначала для точек, а затем и для произвольных
дивизоров мы получаем
(12) deg (©„'//г (a')) = fodeg(a'), deg (i (а)) = (n/f0) deg (а),
где a' — произвольный дивизор поля k', а а — произвольный
дивизор поля k.
Пусть b — дифферента поля k' над k. Определим дискриминант
поля k' над k как дивизор (b) поля k. В обозначениях, анало-
гичных обозначениям предложения 13, имеем
b" = i' (Ь) + Ь', Ф" = д'® -j- ©v/h (®').
Предложение 14. Пусть k и k' такие, как выше, b —
дифферента поля k' над k и с — канонический дивизор поля k. Тогда
дивизор i (с) + Ъ является каноническим дивизором поля k'.
По определению канонического дивизора существует базисный
характер %, для которого с — div (%). Тогда следствие 3 предл. 4
§ I в сочетании со следствием Зтеор. I гл. IV-1 и с определения-
ми немедленно показывает, что div (%°Trfe7ft) = i (с) + b.
Следствие. Пусть k, k' и b таковы, как в предложении 14,
g — род поля k, п — степень поля k' над k и f0 — степень поля кон-
стант в k' над полем констант в k. Тогда род g' поля k' задается
формулой
2g' -2-- (n/fe) (2g - 2) + deg (b).
Это сразу вытекает из предложения 14, следствия 1 теор. 2 гл. VI
и второй из формул (12). Отсюда следует, что степень дифференты
всегда четна; более точный результат будет получен в гл. XIII-12.
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
216
§ 5. РАСЩЕПИМЫЕ ТОЧКИ В СЕПАРАБЕЛЬНЫХ
РАСШИРЕНИЯХ
Теорему 1 § 4 можно переформулировать следующим образом:
в предположениях и обозначениях этой теоремы почти для всех точек
w поля k' степень поля k'u, над kv равна модулярной степени поля k’w
над kv. Поэтому следствия 2 и 3 предл. 1 гл. VII-1 и следствия 3 и 4
теор. 2 гл. VII-5 остаются справедливыми при замене «степени»
на «модулярную степень», если дополнительно предположить сепа-
рабельность поля k над k0. Мы рассмотрим сейчас некоторые следст-
вия из этих результатов.
Как и прежде, пусть k — некоторое A-поле, k' — сепарабельное
расширение поля k конечной степени и и г? — некоторая точка поля
k. Мы можем записать k' = k (£), где 1 — корень некоторого непри-
водимого унитарного многочлена F С k [X] степени п. Сопоставление
теоремы 4 гл. Ш-4 с предложением 2 гл. Ш-2 показывает, что
точки w поля k’, лежащие над v, находятся во взаимно однозначном
соответствии с неприводимыми унитарными многочленами из k„ [X],
делящими F. Если для каждой такой точки w обозначить через Fu,
соответствующий ей многочлен, то степень поля k'w над kv равна
степени многочлена Fw. По теореме 1 § 4 почти для всех v эта степень
равна модулярной степени поля k’w над kv. Мы видели также, что
лежащие над v точки w, для которых k',0 = k„, находятся во взаим-
но однозначном соответствии с корнями многочлена F в kv. По след-
ствию 1 теор. 4 гл. Ш-4 тогда и только тогда имеется п различных
точек поля k', лежащих над V, когда k’w = kv для каждой такой
точки. В случае когда это так, говорят, что точка v вполне расщепима
в k'", это имеет место в том и только в том случае, когда F имеет п
различных корней в kv. Если L — расширение Галуа поля k, то по
следствию 4 теор. 4 гл. Ш-4 пополнения поля L по его точкам,
лежащим над v, все между собой изоморфны. Поэтому если Lu =
= kv для одной такой точки и, то точка v вполне расщепима в L.
Пусть k' = k (|) — поле, промежуточное между k и L. Тогда опре-
деленный выше многочлен F разлагается в L [X] на линейные мно-
жители и наименьшее расширение Галуа L' поля k, содержащееся
в L и содержащее k', является подполем в L, порожденным над k
корнями F в L. Если теперь t — точка поля L', лежащая над v,
то Lt порождается над kv корнями многочлена F, так что L't = k„
в том и только в том случае, когда точка v вполне расщепима в k'.
В этом случае, как мы уже видели, она расщепима также и в L'.
Пре дложение 15. Пусть k', k" — два расширения поля
k, содержащиеся оба в некотором сепарабельном расширении L конеч-
ной степени над k, и пусть X — множество таких точек v поля k,
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ К НЕСЕПАРАБЕЛЬНЫМ РАСШИРЕНИЯМ
217
что k'w = kv по крайней мере для одной точки w поля k', лежащей
над v. Тогда если почти все точки v 6 X вполне расщепимы в k", то
k" содержится в k'.
Можно считать, что L есть композит полей k' и k". Обозначим
через W множество тех точек w поля k', для которых точки v, лежа-
щие под w, вполне расщепимы в k" п k'w = kv. Пусть и — точка поля
L, лежащая над w, и t — точка поля k", лежащая под и. Поле Ьи
порождается над kv полем L, а следовательно, полями k’w и kt.
Поэтому если w £ W, то Lu = kv. Это показывает, что все точки
из W вполне расщепимы в L. Рассмотрим теперь точку w поля k',
не лежащую в W. Обозначим через v точку поля k, лежащую
под w. Если kv = k'w, то точка v £ X, так что она должна содер-
жаться в конечном подмножестве в X, состоящем из тех точек в X,
которые не вполне расщепимы в k". Если kv k’w, то степень поля
k'w над k„ больше 1. По теореме 1 § 4 эта степень совпадает с моду-
лярной степенью, если исключить некоторое конечное множество
точек. Таким образом, показано, что модулярная степень поля k'w
над kv больше 1 почти для всех точек w поля k', не лежащих в W.
Применяя теперь к k, k' и L следствие 4 теор. 2 гл. VII-5 (в этом
следствии надо заменить k», k, k' на k, k', L), получаем, что k' = L,
т. e. k" c= k'.
Следствие. Пусть k', k" — два расширения Галуа поля k,
содержащиеся в некотором расширении конечной степени поля k.
Пусть S' и S" — множества точек поля k, вполне расщепимых в k'
и k" соответственно. Тогда k' содержит k" в том и только в том
случае, когда S" содержит почти все точки v t S'.
Если k' дэ k", то, очевидно, точки поля k, вполне расщепимые
в k', вполне расщепимы и в k". Обратно, поскольку k' — расшире-
ние Галуа, то S' совпадает с множеством X из предложения 15
и наше утверждение следует из этого предложения. В частности,
мы видим, что k' должно совпадать с k", если S' и S" различаются
лишь конечным числом элементов.
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ К НЕСЕПАРАБЕЛЬНЫМ РАСШИРЕНИЯМ
Сейчас мы докажем, что один из основных наших результатов,
а именно теорема 1 гл. IV-1 об изоморфизме между k'& и (й'Д)А,
сформулированная и доказанная для сепарабельных расширений,
остается справедливым и без предположения сепарабельности. Для
этого нам понадобится одна лемма.
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
218
Лемма 1. Пусть k — некоторое А-поле характеристики
р > 1. Тогда поле k чисто несепарабельно и имеет степень р над
своим образом kp при эндоморфизме х -> хр.
По лемме 1 гл. Ш-2 можно записать поле k в виде k = Fp (х0, • • •
. . xN), где элемент х0 трансцендентен над Fp, а элементы х;
сепарабельно алгебраичны над Fp(x0) для 1<Э’<. N- Тогда kp =
= Fp (х£, .. ,,хк). Положим k' = kp (х0) — Fp (х0, хр, . . х&). Так как
каждый элемент хг чисто несепарабелен над Fp (х?) и сепарабелен
над Fp (х0), то поле k одновременно чисто несепарабельно и сепара-
бельно над k', так что k = k’. Отсюда следует, что k есть чисто несе-
парабельное расширение степени 1 или р над kp. Если бы поле k
совпадало с kp, то оно содержало бы элемент у, такой, что ур = х0.
Ясно, что элемент у не может содержаться в Fp (х0), так что он
чисто несепарабелен над Fp (х0), вопреки предположению о сепара-
бельности поля k над Fp (хо).
Теперь для распространения теоремы 1 гл. IV-1 на случай
несепарабельного расширения k' поля k достаточно, очевидно,
доказать справедливость в этом случае теоремы 4 гл. Ш-4, посколь-
ку лишь эта теорема используется при доказательстве теоремы I
гл. IV-1. Сначала мы сделаем это для чисто несепарабельного рас-
ширения степени р поля k. Пусть k' — такое расширение. Тогда
для любого х' 6 k' должно существовать такое целое п 0, что
х'рп (Е й, и если п — наименьшее среди таких чисел, то степень эле-
мента х' над k равна рп. Так как эта степень должна быть р, то
п = 0 или 1. Это показывает, что k'p cz k k'; следовательно,
в силу леммы 1 k = k'p. Для этого случая докажем следующее
Предложение 16. Пусть k' — некоторое A-поле харак-
теристики р 1, и пусть k = k'p. Тогда над каждой точкой v
поля k лежит одна и только одна точка w поля k'. Эта точка являет-
ся образом точки v при изоморфизме хх,/р поля k в k', kv =
= (k'w)p и кв-линейное продолжение Ф„ естественного вложения
поля k' в k’w на Av~k' ®hkv является изоморфизмом из Av на k'w.
Кроме того, если а — какой-либо базис в k’ над k и av для каждой
точки и есть г„-модуль, порожденный в Av множеством а, то Ф„
отображает av на максимальное компактное подкольцо r'w в k'w почти
для всех и.
Пусть v — точка поля k и w — точка поля k', лежащая над v.
По следствию предложения 1 гл. Ill-1 поле k’J порождается над kv
полем k', следовательно, оно чисто несепарабельно над kB и его
степень равна 1 или р. В первом случае каждый элемент из k должен
быть р-й степенью в kv, что невозможно, поскольку k плотно в k„
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ К НЕСЕПАРАБЕЛЬНЫМ РАСШИРЕНИЯМ
219
и, значит, содержит хотя бы один простой элемент поля kv. Поэтому
согласно следствию 2 предл. 4 гл. 1-4 поле k'w определено одно-
значно с точностью до изоморфизма и отображение у ур есть
изоморфизм из k'w на kv. Пусть А — естественное вложение k' -> k'w.
Это вложение должно индуцировать на k естественное вложение
/.0 ' k-+ kv. Поэтому для каждого | Е k' имеем Ао (£р) = А. (£)₽. Так
как это равенство однозначно определяет А (|), то мы видим-, что
точка w однозначно определяется по точке v, а также что точка w
является образом точки и при изоморфизме х~>~ х1'р. Если теперь
отображение Фу таково, как в нашем предложении, то, очевидно, оно
является сюръективным гомоморфизмом из A v на k'w. Так как оба
пространства имеют размерность р над kv, то Фу является изомор-
физмом. Наконец, пусть а — какой-либо базис в k' над k. Ввиду
следствия 1 теор. 3 гл. Ш-1 и леммы 1 гл. Ш-2 можно считать, что
а содержит такой элемент а, что k' является сепарабельным алге-
браическим расширением поля Fp (а). Пусть точки v и w такие, как
выше, и пусть и — точка поля й0 = Fp (а), лежащая под w. По тео-
реме 1 § 4 почти для всех w поле k'w неразветвлено над (^0)и-
Возьмем точку w, для которой это имеет место. Поскольку, как
показывает теорема 2 гл. Ш-З, поле k0 имеет в точности одну точку
и, для которой | a |tt > 1, то можно считать также, что w не лежит
над этой точкой. Тогда по той же теореме существует такой много-
член л Е F„ [Т], что л (а) есть простой элемент в (^0)и и, следова-
тельно, в ибо k'w неразветвлено над (k0)u. Далее, по следствию 2
теор. 3 гл. II1-1 а„ есть компактное подкольцо в А„ почти для всех v.
Отсюда следует, что оно содержит 1 и поэтому rv 1. Поскольку это
кольцо содержит а, оно содержит также л (а), а следовательно,
содержит кольцо г0[л(а)] и, значит, согласно предложению 4
гл. 1-4 и его следствиям, совпадает с r'w.
Ясно, что из предложения 16 вытекает справедливость теоре-
мы 4 гл. Ш-4 для случая, когда k = k'p. Рассмотрим теперь произ-
вольное расширение k’ конечной степени над k. Обозначим через k’o
максимальное сепарабельное алгебраическое расширение поля k,
содержащееся в k'. Пусть рт — степень поля k над k'o и х' g k'.
Тогда существует такое п 0, что х'рП С k'Q, и если п — наимень-
шее среди таких чисел, то х' имеет степень рп над й', так что п т.
Это показывает, что k' зэ k'o зэ k,pm. Применяя к последовательно-
сти полей k', k'p, . . ., k'pm лемму 1, мы видим, что каждое из этих
полей имеет степень р над последующим, так что k' имеет степень
рт над полем k'pm, которое поэтому совпадает с k’o. Теперь прове-
дем индукцию по т. Допустим, что теорема 4 гл. Ш-4 справедлива
для расширения k,p поля й; нам следует доказать ее справедли-
ГЛ. VIII. СЛЕДЫ И НОРМЫ
220
вость для расширения k' поля k. Положим k" — k'v. Пусть v —
некоторая точка поля k. Обозначим через w\, . . w'r точки поля
k", лежащие над v, и для каждого i обозначим через k'i пополнение
поля k" относительно wl. По предложению 16 для каждого i сущест-
вует одна и только одна точка w поля k', лежащая над w't, и попол-
нение k'i поля k' относительно может быть отождествлено
с k' ®k"k"i. По предположению индукции имеет место изоморфизм
Фв из A'v = k" ®kkv на прямую сумму полей k", удовлетворяющий
условиям, указанным в формулировке теоремы. По свойствам тен-
зорных произведений произведение Av = k' ®hkv очевидным
образом канонически изоморфно произведению k' ®h„A’v, а зна-
чит, прямой сумме произведений k' @h" k'i и, следовательно, пря-
мой сумме полей k'i. Очевидно, что так определенный изоморфизм
Фв из Л в в последнюю сумму обладает всеми нужными свойствами.
Что касается последнего утверждения теоремы, то его можно ана-
логичным способом вывести из нашего предположения индукции
с помощью предложения 16, если взять какой-нибудь базис а'
в k" над k, какой-нибудь базис 0 в k' над k" и в качестве базиса в k'
над k взять базис а, состоящий из всех произведений а'Ь элементов
а’ С а' и b £ ₽.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ
ПОЛЕЙ
КЛАССОВ
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ПРОСТЫЕ
АЛГЕБРЫ
§ 1. СТРУКТУРА ПРОСТЫХ АЛГЕБР
По существу эта глава чисто алгебраическая. Это означает, что
мы будем иметь дело с основным полем, на которое не налагается
никаких ограничений, кроме коммутативности, и которое не на-
деляется никакими дополнительными структурами. Предполагает-
ся, что все поля коммутативны, а все алгебры содержат единицу,
конечномерны над своим основным полем и центральны (алгебра
А над Д называется центральной, если ее центр совпадает с Д).
Если А, В — алгебры над Д' с указанными свойствами, то такова же
и алгебра А ® КВ\ если А — алгебра над Д' с указанными свойст-
вами и L — поле, содержащее поле Д', то Al = А В есть
алгебра над L с теми же свойствами. В дальнейшем подразумевается,
что тензорные произведения берутся над основным полем. Таким
образом, мы пишем просто А 0 В вместо А В, в случае когда
А, В — алгебры над Д, и пишем просто Al или А 0 L вместо А 0
®KL, в случае когда А — алгебра над Д’, a L — поле, содержа-
щее Д'; Al всегда рассматривается как алгебра над L.
Пусть А — алгебра над Д' с единицей 1А. Все модули над А
будут предполагаться унитарными (это означает, скажем, для лево-
го модуля М, что \А-т = т при всех т 6 М) и конечномерными
над Д’, если ввести на них структуру векторного пространства
над Д', положив (скажем, для левого модуля АГ) 1т = (|-1А) tn при
всех т С М. и | С К- Если М' — подмножество в левом А-моду-
ле М, то его аннулятором в А называется множество тех элементов
х £ А, для которых хт = 0 при всех т Е М'~, это — левый идеал
в А. Аннулятор всего М. в А является двусторонним идеалом в А.
Если этот аннулятор сводится к {0}, модуль М. называется точным.
Определение. 1. Пусть А—алгебра над К- Данный
А-моду ль называется простым, если он отличен от {0} и не обладает
другими подмодулями, кроме {0} и самого себя. Алгебра А называется
простой, если она не обладает другими двусторонними идеалами,
кроме {0} и самой себя.
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
224
Для каждой алгебры А всегда существуют простые Д-модули.
Например, любой отличный от {0} левый идеал в А минимальной
размерности над Д' является таким модулем.
Предложение 1. Пусть А — алгебра над К и М — точ-
ный простой левый А-модуль. Тогда всякий левый A-модуль раз-
лагается в прямую сумму модулей, каждый из которых изоморфен М.
Докажем сначала наше утверждение для самой алгебры А, рас-
сматриваемой как левый Д-модуль. В М имеются конечные
подмножества, аннуляторы которых в А равны {0} (примером тако-
го подмножества является любой базис модуля М над Д); возьмем
любое минимальное множество {mi, . . ., тп} с этим свойством.
Для 0< i п обозначим через Д; аннулятор множества {mi+l, . . .
. . ., тп} в Д; для i 1 положим Mt = Аущ. Ясно, что Ао =
= {0}, Ап = А. При i 1 имеем Дг-гсДг_1 и Дг Дi-i, ибо
в противном случае из равенств хгП) = 0 при / > i следовало бы,
что хтг = 0 и элемент mt не мог бы содержаться среди mi, . . .
. . ., тп. Пусть 1^1. Тогда Дг — левый идеал в Д, Mt — под-
модуль в Я и отображение х-^хпц индуцирует на Дг морфизм
из At на М, с ядром Дг_1, так что этот морфизм определяет изомор-
физм из Д1/Дг_1 на Mt, согласованный со структурами левых Д-мо-
дулей. Так как Дг =А= A,_i, то Mt =^= 0, поэтому Mt = М. С помощью
индукции по i, 0 -Д i п, немедленно получаем, что х -> (хтх, . . .
. . ., xmt) индуцирует на At биективное отображение из Дг- на про-
изведение М1 = М X ... X М, где каждый из i сомножите-
лей равен модулю М', очевидно, что это — изоморфизм левых
Д-модулей. При i = п получаем утверждение нашего предложения
для Д.
Теперь рассмотрим произвольный левый Д-модуль М' и какое-
нибудь конечное множество {т'р . . ., т'г}, порождающее М' (на-
пример, любой базис модуля М' над К). Тогда отображение
Дг -> М', при котором (.Xtjt^t^r —2 Xtm'i, является сюръектив-
ным морфизмом левых Д-модулей. Ввиду только что доказанного
изоморфизма А как левого Д-модуля с Мп при некотором п отсюда
видно, что существует сюръективный морфизм из Мпг на М', или,
что то же самое, сюръективный морфизм F из прямой суммы s = пг
модулей Mt, изоморфных М, на М'. Обозначим через N ядро мор-
физма F и возьмем максимальное подмножество { Мг„ . . ., Mih} cz
cz {Mi, . . ., Ms), Для которого сумма N' = N + 3 MtK прямая.
Переходя, если надо, к другой нумерации Мг, мы можем считать,
что выбранное нами подмножество есть {Mi, . . ., М^}. Тогда при
j > h сумма N' + Mj не является прямой, так что N' П М, =/= {0}.
Так как это пересечение является подмодулем в Mj, изоморфном
f§ 1. СТРУКТУРА ПРОСТЫХ АЛГЕБР
225
М, то оно совпадает с Mj, откуда Mj cz N' для всех / > h. Поэтому
F отображает N' на М'. Поскольку его ядро совпадаете N, отобра-
h
жение F определяет изоморфизм из У, Mt на М'.
i = l
П р едложение 2. Пусть А и М таковы, как в предло-
жении 1, и пусть D — кольцо эндоморфизмов модуля М. Тогда D
является алгеброй с делением над К и алгебра А изоморфна Мп (D)
для некоторого п 1.
Напомним, что здесь, как это объяснялось на стр. 16, мы рас-
сматриваем D как кольцо правых операторов на М и соответственно
определяется умножение в этом кольце. Так как D — подпростран-
ство кольца всех эндоморфизмов векторного пространства /И над К,
то D — конечномерное векторное пространство над К,- Каждый
элемент из D отображает М на подмодуль в М, а следовательно,
на М или на {0}. Поэтому если этот элемент ненулевой, то он являет-
ся автоморфизмом и, следовательно, обратим. Отсюда видно, что
D — алгебра с делением над своим центром, который конечномерен
над К. Согласно предложению 1, для некоторого п > 1 существует
изоморфизм алгебры А, рассматриваемой как левый Л-модуль,
на Л411. Он определяет изоморфизм между кольцами эндоморфизмов
этих двух левых Л-модулей. Ясно, что кольцо эндоморфизмов
модуля Мп состоит из отображений
где du £ D при 1 i, j п, и потому может быть отождествлено
с кольцом Мп (D) матриц (d^) над D. С другой стороны, для вся-
кого эндоморфизма f алгебры Л, рассматриваемой как левый Л-мо-
дуль, имеем f (ху) = xf (у) при всех х, у £ Л. Полагая у = 1А, мы
видим, что f можно записать в виде х -> ха, где а = f (1А). Итак,
кольцо таких эндоморфизмов можно отождествить с алгеброй А,
которая, таким образом, изоморфна Мп (£>). Поскольку центр коль-
ца Мп (D), очевидно, изоморфен центру кольца D, отсюда следует,
что последний совпадает с К, чем и завершается наше доказательство.
Теорема 1. Алгебра А над К) проста тогда и только тогда,
когда она изоморфна некоторой алгебре Мп (D), где D — алгебра с де-
лением над К- По заданной алгебре А число п определяется однознач-
но, а алгебра D — однозначно с точностью до изоморфизма.
Пусть алгебра Л проста. Возьмем любой простой левый Л-мо-
дуль М- Так как аннулятор модуля М в Л является двусторонним
идеалом в Л, отличным от Л, то он равен {0}. Поэтому модуль М
точен, и мы можем применить к Л и М предложение 2, которое пока-
зывает, что алгебра Л изоморфна алгебре Мп (D).
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
226
Обратно, пусть А ~ Мп (D). Для 1 h, k п обозначим через
екк матрицу (хц), для которой хкк = 1, хц = 0 при (t, /) Ф (h, k).
Если а = (ац) — произвольная матрица из Мп (D), то при всех i,
j, h, k имеем ецаекк = ajheik. Отсюда видно, что при а 0 дву-
сторонний идеал в А, порожденный элементом а, содержит все е1к,
а следовательно, совпадает с А, так что алгебра А проста. Пусть
теперь М — левый идеал, порожденный элементом вп в А. Он состо-
ит из матриц (ац), для которых ац = 0 при / 2. Если а —такая
матрица, то еца = ацвц, откуда следует, что при а =^= 0 левый идеал,
порожденный матрицей а g М, совпадает с модулем М, который
поэтому является минимальным левым идеалом и простым левым
Д-модулем. Пусть теперь f — эндоморфизм левого Д-модуля М.
Положим f (бц) = а, где а = (ац), ац = 0 при j фп 2. Записав
/(e.j-сц) = еца, видим, что = 0 при j ^2. Далее, для х =
= (хц) с Хц = 0 при j 2 получаем f (х) = f (хец) = ха =
= (x-цац). Отсюда вытекает, что кольцо эндоморфизмов модуля М
изоморфно D. Так как по предложению 1 все простые левые Д-мо-
дули изоморфны М, это показывает, что с точностью до изоморфизма
D определяется по А однозначно. Поскольку размерность А над
К в п2 раз больше размерности D над Д, число п также однозначно
определяется по А.
Напомним, что противоположной алгеброй для алгебры А назы-
вается алгебра Д°, совпадающая с А как векторное пространство
над Д, но наделенная законом умножения (х, у) -> ух вместо (х, у)
-> ху.
Предложение 3. Пусть А — алгебра над К, А° —
противоположная алгебра и С = А ® Д°. Для а, b б- А обозначим
через f (а, Ь) эндоморфизм x-^-axb векторного пространства А.
Пусть F есть К-линейное отображение С -+ End# (Д), для которого
F (а ® b) = f (а, Ь) при всех а, Ь. Тогда алгебра Д проста в том
и только том случае, когда F отображает С на, End# (Д) сюръектив-
но. В случае когда это имеет место, F является изоморфизмом из С
на End# (Д).
Сразу видно, что F есть гомоморфизм из С в End# (Д). Если
N — размерность алгебры А над Д, то как С, так и End# (Д) имеют
размерность № над Д, поэтому F является изоморфизмом из С
на End# (Д) в том и только в том случае, когда он сюръективен, и в
том и только в том случае, когда он инъективен. Предположим,
что алгебра А непроста, т. е. имеет двусторонний идеал I, отличный
от {0} и от Д. Тогда f (а, Ь) отображает I в 1 при всех а, Ь, поэтому
то же самое верно для F (с) при всех с 6 С, так что образ алгебры С
§ 1. СТРУКТУРА ПРОСТЫХ АЛГЕБР
227
при отображении F не совпадает со всей алгеброй EndA- (Л). Пред-
положим теперь, что алгебра А проста, и обозначим через М век-
торное пространство А над Д', на котором определена структура
левого С-модуля с помощью закона (с, х) -> F (с) х. Любой под-
модуль М' в М переходит в себя при всех отображениях х axb,
где a, b Е А, и, значит, является двусторонним идеалом в А. Так
как алгебра А проста, это показывает, что модуль М прост.
Эндоморфизм ф модуля М — это отображение ф, для которого
Ф (axb) = аф (х) b при всех а, х, b Е А. При х = Ь = 1А это дает
Ф (а) = аср (1А), следовательно, axbq (1А) = ахц> (1А) Ь, так что
Ф (1А) лежит в центре К алгебры А, другими словами, ф имеет вид
х £х, где g Е К- Обозначим через С' аннулятор модуля М в С,
который совпадает с ядром морфизма F. Мы можем применить
к алгебре С/С', ее центру Z и модулю М предложение. 2. Поскольку
в данном случае D = К/, это предложение показывает, что алгебра
С/С' изоморфна некоторой алгебре Мп (К); значит, ее центр Z изо-
морфен К/. Но тогда, как мы видели при доказательстве теоремы 1,
размерность AI над К должна равняться п, так что п ~ N. Так как
С/С' имеет ту же самую размерность N2 над К, что и С, мы получаем
С' = {0}, чем наше доказательство и заканчивается.
Следствие 1. Пусть L — ноле, содержащее К/- Тогда
алгебра AL = А ® L над L проста в том и только в том случае,
когда проста алгебра А.
В самом деле, пусть CL, Fl определены для AL так же, как
С, F были определены для А в предложении 3. Сразу видно, что
Сь = С ® L и что Fl является L-линейным продолжением ото-
бражения F на CL- Наше утверждение следует поэтому из пред-
ложения 3.
Следствие 2. Пусть L — алгебраически замкнутое поле,
содержащее К- Тогда алгебра А проста в том и только в том случае,
когда алгебра AL изоморфна некоторой алгебре Л1п (L).
Если D — алгебра с делением над полем К/, то расширение поля
К, порожденное в D любым элементом g Е D — К/, является алгеб-
раическим расширением поля К/, отличным от К/- В частности,
если поле L алгебраически замкнуто, то не существует алгебр
с делением над L, отличных от L. Поэтому в силу теоремы 1 алгебра
над L проста тогда и только тогда, когда она изоморфна некоторой
алгебре Мп (£). Наше утверждение вытекает поэтому из следствия 1.
Следствие 3. Размерность всякой простой алгебры А над
К/ равна п2, где п — некоторое натуральное число.
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
228
В самом деле, пусть L — алгебраическое замыкание поля К..
По следствию 2 алгебра AL изоморфна некоторой алгебре Мп (L),
так что ее размерность над L, которая совпадает с размерностью
алгебры А над Д', равна п2.
Следствие 4. Пусть А и В — две простые алгебры над К-
Тогда алгебра А ® В также проста над К.
Возьмем какое-нибудь алгебраическое замыкание L поля Д;
алгебра (А ® В)ь совпадает с Al ® Bl- Поскольку для всех
т, п и всех полей Д алгебра Мп (Д) ® Мт (Д), очевидно, изоморф-
на алгебре Мп,„ (Д), наше заключение вытекает из следствия 2.
Следствие 5. Пусть А — простая алгебра размерности
п2 над K- L — поле, содержащее К, и F — некоторый К-линейный
гомоморфизм из А в Мп (L). Тогда L-линейное продолжение FL
гомоморфизма F на Al является изоморфизмом из Al на Мп (L).
Ясно, что Fl — гомоморфизм алгебры AL в Мп (В), так что его
ядро является двусторонним идеалом в AL- Поскольку алгебра Al
проста согласно следствию 1 и поскольку FL =# 0, упомянутое ядро
равно {0}, т. е. гомоморфизм FL инъективен. Так как AL и М„ (L)
имеют одну и ту же размерность п2 над L, отсюда следует биектив-
ность гомоморфизма FL, так что FL есть изоморфизм из AL на Мп (L).
Следствие 6. Пусть L — расширение поля К. степени п,
и пусть А — простая алгебра размерности п2 над К, содержащая
подполе, изоморфное полю L. Тогда алгебра AL изоморфна Мп (L).
Можно считать, что А содержит L. Тогда отображение (х, £) ->
х%, где х £ А, £ g L, определяет на А структуру векторного
пространства над Д; обозначим это векторное пространство через V.
Ясно, что размерность V над L равна п. Для каждого элемента а 6 А
отображение х -> ах можно рассматривать как эндоморфизм вектор-
ного пространства V, задаваемый в некотором фиксированном базисе
пространства V над L матрицей F (а) Е Мп (L). Наше утверждение
вытекает поэтому из следствия 5.
Предл о ж е н и е 4. Пусть А — простая алгебра над К-
Тогда каждый автоморфизм а алгебры А над К имеет вид х —>• а~1ха,
где а Е Ах.
Выберем какой-нибудь базис {од, . . ., в А над Д. Тогда
каждый элемент из А ® А ° одним и только одним способом можно
записать в виде 2 at ® гДе С Л° ПРИ 1 АС По предло-
жению 3 автоморфизм а можно записать в виде 3 a,iXbt. Посколь-
§ 1. СТРУКТУРА ПРОСТЫХ АЛГЕБР
229
ку а (ху) = а (х) а (у) при всех х, у, получаем
0=3 dixybt — 3 a-ixbia (у) = 3 atx (ybt — bta (у)).
Для всякого у Е А это выполняется при всех х. Поэтому в силу
предложения 3 имеем ybt = bt а (у). В частности, у (biZ) = bta (у)
при всех у, z £ А; следовательно, biA является двусторонним
идеалом в А, т. е. btA = А или {0} при всех i, так что элемент bj
или равен нулю, или обратим в А- Так как а — автоморфизм, то все
bt не могут равняться нулю. Беря а = bt 0, получаем наше
утверждение.
Следствие. Пусть а и а таковы, как в предложении 4, и
пусть элемент а' Е А таков, что а'а (х) = ха' при всех х Е А.
Тогда а' = %а, где g Е Д-
В самом деле, наше предположение можно записать в виде равен-
ства а'а~3х = хаа-1 при всех х, которое означает, что а'а-1 лежит
в центре Д алгебры А.
Предложение 4 общеизвестно как теорема Сколема — Нетер
(хотя иногда это название резервируют для более общего утвержде-
ния, охватывающего и случай простых подалгебр в Л). Совершенно
аналогично можно доказать, что каждое дифференцирование алгеб-
ры А имеет вид х -+ ха — ах, где а Е Л.
Нам понадобится также одно уточнение следствия 2 предл. 3,
которое появится как следствие приводимого ниже предложения.
Предложение 5. Пусть D — алгебра с делением над К,
отличная от К. Тогда D содержит сепарабельное алгебраическое рас-
ширение поля К, отличное от К-
Мы воспроизведем доказательство Артина. В алгебре/), рассмат-
риваемой как векторное пространство над К, возьмем подпростран-
ство Е, дополнительное к Д' = Д-1П, и обозначим через <р проек-
цию из D = Е © HAd на Е. Тогда для каждого целого числа
т'рх 1 х -> ср (хт) есть полиномиальное отображение из D в Е,
продолжение которого на DL и EL, где L — любое поле, содержа-
щее К, записывается опять в виде х -> ср (хт), где той же буквой ср
обозначено L-линейное продолжение проекции ср до отображения
Dl -> El. Обозначим через N размерность алгебры D над К-
Ясно, что каждый элемент £ Е D, не лежащий в К, порождает над К
расширение К ©, степень которого >1 и N. Далее, если это
расширение не чисто несепарабельно над Д, то оно содержит
сепарабельное расширение поля Д', отличное от Д'.
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
230
Предположим теперь, что наше предложение несправедливо
для D. Тогда К имеет несепарабельные расширения, откуда следует
что его характеристика р > 1 и что К не является конечным полем.
Кроме того, каждый элемент £ £ D должен быть чисто несепарабель-
ным над К и, следовательно, удовлетворять уравнению с''" = х £ /С,
где рп — его степень над Д. Так как эта степень N, то она делит
наибольшую степень q числа р, не превосходящую N, так что £
Е К.. Поэтому, если Е и <р такие, как выше, то полиномиальное
отображение х ->- <р (xq) переводит D в 0. Так как поле К бесконеч-
но, отсюда следует, что то же верно для продолжения этого отобра-
жения до отображения DL EL, где L — любое поле, содержа-
щее К. Другими словами, отображение х № переводит алгебру
Dl в ее центр L -1в для всех L. Но это явно невозможно в случае,
когда поле L алгебраически замкнуто. Действительно, в этом
случае алгебра Dl изоморфна некоторой алгебре Мп (L), и, взяв,
например, х = еа (в обозначениях, использовавшихся при дока-
зательстве теоремы 1), мы получим xq = etl, а этот элемент не
лежит в центре алгебры (L).
Следствие. Пусть А — простая алгебра над К. и L —
сепарабельно алгебраически замкнутое поле, содержащее Кб Тогда
алгебра AL изоморфна некоторой алгебре Мп (L).
Наше предположение означает, что L не имеет сепарабельных
алгебраических расширений, отличных от L. Поэтому предложение
5 показывает, что не существует алгебр с делением над L, отличных
от L. Наше заключение немедленно вытекает теперь из теоремы 1
в сочетании со следствием 1 предл. 3.
§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТОЙ АЛГЕБРЫ
Пусть А — простая алгебра над Кб По следствию 3 предл. 3 § 1
ее размерность N над К можно записать в виде N = л2. Для любого
поля L, содержащего Д', обозначим через ДД пространство Х-линей-
ных отображений A->Mn(L). Каждое такое отображение F
можно однозначно продолжить до L-линейного отображения
Fl : Al-+ Мп (L). Если выбран какой-нибудь базис а = {«i, . .
. . ., aN) в А над X, то F однозначно определяется N матрицами
Хг = F (а^, так что, при данном выборе базиса, ДД отождествляется
с пространством наборов из N матриц, лежащих
в Мп (L). Очевидно, что размерность последнего пространства над
L равна N2.
По следствию 5 предл. 3 § 1 тогда и только тогда отображение
F Е Д1 является изоморфизмом из А в Мп (Е), а его продолжение
§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОСТОЙ АЛГЕБРЫ
231
Fl на Al является изоморфизмом из Al на Мп (L), когда F есть
гомоморфизм, т. е. когда F (1А) = 1п и F (ab) = F (a) F (Ь) при всех
а, b из А, или, что то же самое, при всех а, b из базиса а. В случае
когда это имеет место, мы говорим, что F является L-представле-
нием алгебры А. Если мы обозначим через К (F) поле, порожденное
над полем К коэффициентами матриц F (а) при всех а Е А, или, что
дает то же самое поле, при всех а Е cl, то F является также К (Е)-
представлением алгебры А.
При подходящем выборе поле L (например, по следствию 2 предл.
3 § 1 для алгебраически замкнутого L или даже для сепарабельно
алгебраически замкнутого L, по следствию предл. 3 § 7) множество
^-представлений алгебры А непусто. Далее, если F и F' принадле-
жат этому множеству, то F'l ° Ел1 есть автоморфизм алгебры Мп (L)
и, значит, по предложению 4 § 1, имеет вид X -> У-1ХУ, где Y Е
Е Л4П (L)x. Таким образом, F'l (Fl1 (X)) = Y~xXY. При а Е А
и X = F (а) отсюда следует, что F' (а) = У-1Е (а) У; это соот-
ношение мы будем записывать в виде равенства F' = Y^FY. При
этом, согласно следствию предложения 4 § 1, по заданным F, F'
элемент У определяется однозначно с точностью до множителя
из центра Lx группы Aln(L)x.j
Предложение 6. Пусть А — простая алгебра размерно-
сти п2 над К. Тогда существуют такая К-линейная форма т =Д О
и такая К-значная функция v на А, что если L — любое поле, содер-
жащее К, и F — любое L-представление алгебры А, то т (а) =
= tr (F (а)} и v (а) — det (F (а)) для всех а Е А. Если поле X беско-
нечно, то v является полиномиальной функцией степени п на А.
Положим N = п2 и выберем какой-нибудь базис {ai, . . ., aN}
в А над X- Возьмем сначала в качестве L «сепарабельное алгебраи-
ческое замыкание» поля К, т. е. объединение всех сепарабельных
алгебраических расширений поля X в некотором алгебраически
замкнутом поле, содержащем X; поле L всегда бесконечно. Согласно
следствию предложения 5, существует хотя бы одно L-представле-
ние F алгебры А. Как мы видели выше, всякое другое такое пред-
ставление можно записать в виде F' = У-1ЕУ, где У Е Мп (L)x.
Ясно, что отображение а ->• tr (Fb (а)) есть L-линейная форма
т на Al и отображение а-+- det (FL (а)) есть полиномиальная
функция v степени п на А. Так] как FL — изоморфизм из Al на
Мп (L), то т =^= 0. Ни т, ни v не изменятся, если заменить F на
F' — Y^FY. Записывая а в виде а — 2 где xt Е L при 1
i N, мы можем представить т и v соответственно как линейную
форму и как однородный многочлен степени п от xt с коэффициента-
ми из L. Пусть а — произвольный автоморфизм поля L над К- Будем
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
232
обозначать через та и va соответственно многочлены от xt, получен-
ные заменой каждого коэффициента в т и v образом этого коэффи-
циента при автоморфизме о. Аналогично мы будем писать Fa для
обозначения L-представления алгебры А, для которого Fa (а)
совпадает с образом F (а)а матрицы F (а) под действием автоморфиз-
ма о (т. е. F (а)а — матрица, коэффициенты которой суть образы
соответствующих коэффициентов матрицы F (а)) при каждом а.
из базиса {ait . . ., ах}. Тогда, очевидно, та (а) и v° (а) при всех
а с А являются соответственно следом и определителем матрицы
Fa (р). Поэтому, как мы видели выше, они должны совпадать
с т (a), v (а) при всех а £ Аъ. Отсюда следует, что все коэффициен-
ты в т и v, записанных как многочлены от х;, инвариантны относи-
тельно автоморфизмов поля L над Д; следовательно, эти коэффи-
циенты лежат в Д. Этим доказано наше утверждение для L-пред-
ставлений с выбранным выше L. Очевидно, что оно остается справед-
ливым и для L'-представлений, где L' — любое поле, содержащее
L. Поскольку каждое поле, содержащее Д, изоморфно над Д неко-
торому подполю такого поля L', доказательство нашего предложе-
ния закончено.
Функции т и v на А, определенные в предложении 6, называются
соответственно приведенным следом и приведенной нормой. Ясно,
что т (ху) = т (ух) и v (ху) = v (х) v (у) при всех х, у из А; в частно-
сти, v определяет морфизм группы Ах в Дх.
Следствие 1. Пусть А и v такие, как в предложении 6.
Тогда для всякого а б А определители эндоморфизмов х-> ах, х->-
-> ха векторного пространства А над К равны оба NA/K (а) = v (а)".
Очевидно, достаточно проверить это для алгебры Al с подходя-
щим L. Возьмем такое L, чтобы алгебра AL была изоморфна алгебре
Мп (L). Тогда видно, что достаточно проверить наше утверждение
для алгебры Мп (L) над L; но для нее это утверждение очевидно.
Этот результат был анонсирован в замечаниях, предшествовав-
ших теореме 4 гл. IV-3.
Следствие 2. Пусть D — алгебра с делением над К, и пусть
То, v0 — приведенный след и приведенная норма на D. Для любого
т 1 положим А = Мт (D) и обозначим через т, v приведенный,
след и приведенную норму на А. Тогда т (х) = У! т0 (хгг) для каждой
г
матрицы х = (хц) из А, а если матрица х = (хц) Е А треугольна,
т. е. если x,j = 0 при 1 j < i т, то v (х) = [[ v0 (хц).
§ 3. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ И ГРУППА БРАУЭРА
233
Возьмем такое L, чтобы алгебра D имела L-представление F.
Тогда отображение, которое матрице х = (хц) из Мт (D) сопостав-
ляет матрицу, получающуюся заменой каждого элемента хц в х
матрицей F (хц), является L-представлением алгебры А. Используя
это представление для определения т и v, немедленно получаем
наше утверждение.
Следствие 3. В обозначениях и предположениях следствия 2
имеем v (Лх) = v0 (D')-
Мы можем рассмотреть А как кольцо эндоморфизмов левого
векторного пространства V = D'n над D. Тогда Ах будет группой
автоморфизмов этого пространства. Имеет место элементарный
результат (уже использовавшийся при доказательстве следствия 3
теор. 3 гл. 1-2, правда лишь для векторного пространства над
коммутативным полем), согласно которому всякий автоморфизм
пространства V можно разложить в произведение автоморфизмов,
каждый из которых либо является перестановкой координат, либо
имеет вид
(-4, • • •, Хт) * (2 -^2" • • ’ Хт) •
где at Е и at при 2 I т. По следствию 2 последний
автоморфизм имеет приведенную норму v0 (at). Что касается пере-
становки координат, то то же самое L-представление алгебры А,
которое было использовано при доказательстве следствия 2, немед-
ленно показывает, что ее приведенная норма равна 1, если раз-
мерность d2 алгебры D над Д четна, и равна + 1, если эта размер-
ность нечетна. Поскольку v0 (—П>) = (—l)d, тем самым показано,
что множество значений v (Л х) содержит v0 (Dx) и содержится в нем.
§ 3. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ И ГРУППА БРАУЭРА
Рассматриваемые с точностью до изоморфизма, все алгебры над
фиксированным полем К образуют множество, поскольку структу-
ры алгебры, которые можно ввести на заданном векторном простран-
стве над К, образуют множество, и каждое такое пространство
изоморфно пространству Дп для некоторого п.
Начиная с этого места, мы будем рассматривать только простые
алгебры над К.. По-прежнему предполагается, что они конечномер-
ны и центральны над Д'. Рассмотрим две такие алгебры А, А'.
По теореме 1 § 1 они изоморфны алгебрам Мп (D), МП'Ф'), где D,
D' — алгебры с делением над Д, определяемые по А, А' однозначно
с точностью до изоморфизма. Говорят, что алгебры А и А' подобны,
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
234
а также что они принадлежат одному классу, если алгебры D и D'
изоморфны над К. Ясно, что в каждом классе простых алгебр суще-
ствует с точностью до изоморфизма одна и только одна алгебра с де-
лением и не более одной алгебры заданной размерности над Д.
Алгебра называется тривиальной над Д, если она подобна Д, т. е.
изоморфна алгебре Мп (Д) для некоторого п. Символом С1 (А)
мы будем обозначать класс простых алгебр, подобных алгебре А.
Пусть А, А'—две простые алгебры, изоморфные Мп (Р)
и Мп' (£>') соответственно, где D, D' — алгебры с делением над Д.
По следствию4 предл. 3§ 1 алгебра/) ® D' проста и, следовательно,
изоморфна некоторой алгебре Мт (D"), где D" — алгебра с деле-
нием над Д’, с точностью до изоморфизма однозначно определяемая
по D, D' и, следовательно, по А, А'. В силу ассоциативности тензор-
ных произведений алгебра А ® А' изоморфна Afnn'm СО"). Это
показывает, что класс алгебры А ® А' однозначно определяется
классами алгебр А, А'. Положим теперь
С1(А ® А') = С1(Л) -Cl(A')
и рассмотрим это соотношение как закон композиции на множе-
стве классов простых алгебр над Д. Эта композиция ассоциативна
и коммутативна, и для нее имеется нейтральный элемент, а именно
класс С1 (Д) тривиальных алгебр над Д. Кроме того, если А° —
алгебра, противоположная алгебре А, то, согласно предложению 3
§ 1, алгебра А ® А° тривиальна, так что класс С1 (А°) является про-
тивоположным для С1(А) относительно нашего закона композиции.
Поэтому относительно этого закона классы простых алгебр над Д
образуют группу, которую принято называть группой Брауэра
поля Д; мы будем обозначать ее через В (Д). Если Д'— любое поле,
содержащее поле Д, и А — простая алгебра над Д, то, очевидно,
класс алгебры Ак’ однозначно определяется классом алгебры А и
отображение С1 (Л) Cl (Ах-) является морфизмом из В (Д) в В (Д');
мы будем называть его естественным морфизмом из В (Д) в В (%').
Покажем теперь, что группу Брауэра можно определить другим
способом, с помощью так называемых систем факторов. Это потре-
бует некоторых предварительных определений. Выберем раз и на-
всегда какое-нибудь алгебраическое замыкание Д поля Д. Мы
будем обозначать через Д8ер максимальное сепарабельное расши-
рение поля Д в Д, т. е. объединение всех сепарабельных расширений
конечной степени поля Д, содержащихся в Д. Обозначим через @
группу Галуа поля Д8ер на Д, топологизированную обычным обра-
зом: в качестве фундаментальной системы окрестностей единицы е
§ 3. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ И ГРУППА БРАУЭРА
235
берутся все подгруппы в @, соответствующие сепарабельным рас-
ширениям конечной степени поля К.. В такой топологии группа @,
очевидно, вполне несвязна и компактна. Так как поле К чисто
несепарабельно над 7Csep, то каждый автоморфизм поля Дяер можно
однозначно продолжить до автоморфизма поля Д, так что группу
<3 можно отождествить с группой всех автоморфизмов поля К. над К-
Определение 2. Пусть = ® X ... X @ — произведе-
ние т сомножителей, равных @, и $— открытая подгруппа в
Тогда отображение f из @<т) в некоторое множество S назы-
вается ^-регулярным, если оно постоянно на каждом, из левых
классов смежности в @<М) по !рТп>.
Иными словами, f (оу, . . ., om) зависит только от левых классов
смежности $оу, . . ., определяемых элементами о; в @.
В этом случае отображение f локально постоянно, или, что то же
самое, оно непрерывно при наделении S дискретной топологией.
Обратно, пусть f — отображение из @!?,х в S. Если оно локально
постоянно, то оно непрерывно, если 5 наделено дискретной топо-
логией, а значит, поскольку группа @ компактна, оно равномерно
непрерывно. Отсюда следует, что существует открытая подгруппа
в <3. для которой отображение f является ^-регулярным.
Определение 3. Пусть группа такова, как в опре-
делении 2. Тогда отображение f из в Мп (Д8ер)> где п Та 1,
называется ковариантным, если оно локально постоянно и удовлет-
воряет условию
f (оД, . . ., ст„Л) = f (оу.
для всех оу, . . ., ат, X из @.
Лемма 1. Пусть — открытая подгруппа в @, и пусть
L — подполе в KseP, состоящее из элементов, инвариантных отно-
сительно $5. Тогда ^-регулярное отображение из @ в Дзер кова-
риантно в том и только в том случае, когда оно имеет вид
о—где
Пусть х, т. е. o' -> х (о),— некоторое отображение из @ в 7<sep.
Положим t = х (е). Если х ковариантно,. то х (о) = при всех
о, а если это отображение ^-регулярно, то | должно лежать в L.
Обратное утверждение очевидно.
Лемма 2. Пусть $ —открытая подгруппа в @. Обозначим
через Хт пространство ^-регулярных ковариантных отображе-
ний из @<га> в Ksev рассматриваемое как векторное пространство
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
236
над К. Обозначим, далее, через Х'т пространство всех ^-регу-
лярных отображений из @(7П) в Хаер, рассматриваемое как век-
торное пространство над Xsep. Тогда Х’т = Хт ®KXsep и раз-
мерности пространств Хт над X « Х'т над Xsep равны обе пп‘.
где п —индекс подгруппы Sq в
Пусть поле L таково, как в лемме 1. Оно имеет степень п над X.
Возьмем полное семейство а = {а-., . . ап} представителей
классов смежности в @ по Тогда изоморфизмы
индуцированные на L соответственно автоморфизмами аь суть п
различных Х-линейных изоморфизмов из А в /Csep. Любое отобра-
жение х Е Х'т однозначно определяется своими значениями на
а X ... X а, которые можно выбирать произвольно. Поэтому Хт
имеет размерность пт над Xsep, и каждую линейную форму I на Х':г,
можно записать в виде
/ (a) 2 йц. . . im.X • • м OCim)»
(i)
где коэффициенты g XSev-
Теперь применим индукцию по т. Для т =-~ 1 лемма 1 показы-
вает, что Xi как векторное пространство над X изоморфно L и, зна-
чит, его размерность равна п, так что остается лишь показать, что
Xi порождает Х\ как векторное пространство над /Csep. Если бы
это было не так, то существовала бы отличная от нуля линейная
форма I на Х'р на Xi равная нулю. Записав I, как выше, и при-
менив лемму 1, мы получили бы тогда, что 0 = при всех
£ Е L. Но это противоречит линейной независимости изоморфизмов
над /(sep (см. следствие 3 предл. 3 гл. Ш-2).
Пусть теперь т произвольно. Рассмотрим взятое над X тензорное
произведение Ym = Xi ® . . . ® Хь где все т сомножителей рав-
ны Xi, и аналогичное произведение Y'm = Х{ ® . . . ® Х'1( взятое
надХ8ер. Как мы только что показали, Х^ совпадает сХ4 ® к Xsep,
поэтому мы очевидным образом можем отождествить Y'm с Ym ®к
®к KseP- Обозначим через <р такое Х8еР-линейное отображение
из Ym в Хт, которое каждому элементу Xi ® . . . ® хт из Ym сопо-
ставляет отображение
(оу, . . ., от) —> Xi (Ot) . . . хт (om)
из @(m) в Xsev Отображение <р сюръективно. Действительно, если
линейная форма I на Х'т равна нулю на <р (Ут), то для всех лу, . . .
. . ., хт из X; мы должны иметь
О = 2 °-11. • -im-Xi (oiij) . . . Хт (tXjm),
(i)
5 3. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ И ГРУППА БРАУЭРА
237
откуда, очевидно, следует, что все at равны нулю. Так как Ym
имеет ту же самую размерность пт, что и Х'т, это показывает, что ф
является изоморфизмом из Y'm на Х'т. Выберем теперь базис {fi, .. .
. . ., fn} в Xi над X- Тогда пт элементов fit <8> . . . ® fim образуют
базис в Ym над X и, следовательно, в Y’m над /CseP, так что их обра-
зы при отображении ф образуют базис в Х’т над /<кср- Иными сло-
вами, каждый элемент из Х'т может быть однозначно записан в виде
(СТ1; . . ., (Ут) -> 2 Xij. . . imfii (<~Ч) • • • fim (M,
(i)
где коэффициенты ха} g Ksep- Записывая теперь для этого элемен-
та условие принадлежности к Хт, т. е. условие ковариантности,
мы видим, что оно выполняется в том и только в том случае, когда
все x(i) инвариантны относительно т. е. когда все они лежат в X-
Поэтому ф отображает Ym на Хт. Доказательство закончено.
Пусть теперь X'— любое поле, содержащее поле X, и пусть X',
X'sep, определены для X' так же, как для X были опреде-
лены X, Kse-p, ®- Поскольку поле X определялось лишь с точ-
ностью до изоморфизма, мы в такой ситуации будем всегда считать,
что в качестве X взято алгебраическое замыкание поля X в X' •
Очевидно, что тогда /<sep содержится в К(<!р. Каждый автомор-
физм о' поля X' над X' индуцирует на X автоморфизм о поля X
над X (более точно, над Xf\X')- Ясно, что отображение ст' ст
является непрерывным морфизмом р группы в @. Этот морфизм
будем называть морфизмом ограничения. Он инъективен, если
поле X' алгебраично над X, ибо тогда X' = X- В этом случае
группу будем обычно отождествлять с ее образом в кото-
рый всегда является замкнутой подгруппой в @, причем этот
образ открыт в @, если X' имеет конечную степень над X. Если
— любая открытая подгруппа в @ и L — соответствующее под-
поле в Кзер, т. е. подполе, состоящее из элементов, инвариант-
ных относительно Jg, то подгруппа ^' = р-1($) в открыта
и соответствующим подполем в XXV является поле, порожденное
над X’ полем L.
Пусть f, как в определении 2, есть отображение группы @<т>
в некоторое множество S. Сохраняя введенные выше обозначения,
обозначим через /°р отображение
(ст;, . . ., Стт) ->/(р (ст;), . . ., Р (СТт))
из @'<т) в S. Это отображение, очевидно, непрерывно, т. е.
локально постоянно, если f таково. Если f ^-регулярно, то f ° р
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
238
является ^'-регулярным для ^' = р-1(£)). Если S — Мп (/(sep) и f
ковариантно, то /°р ковариантно. Если ТС алгебраично над К,
то @' является подгруппой в а р —ее естественным вложе-
нием в при этом f°p есть ограничение отображения f на
После этих приготовлений мы можем вернуться к нашей основ-
ной теме.
Теорема 2. Пусть А — простая алгебра размерности пг
над К, $ — открытая подгруппа в L — соответствующее под-
поле в /<sep и F—L-представление алгебры А. Тогда существует
такое ^-регулярное ковариантное отображение Y из ® X @
в Mn(Ksep)x, что F° = Y (р, о)-1 FPY (р, о) при всех р, о из
Для любого такого Y существует ^-регулярное ковариантное
отображение f из @ х @ X @ в Ksxep, для которого
(1) f (P, о, т) Y (р, т) = Y (р, о) Y (ст, т)
при всех р, ст, т из @, и это отображение удовлетворяет условию
(2) f (р, п, т) f {у, р, х) = f (г, ст, т) f (у, р, ст)
при всех V, р, ст, т нз
Для каждого X £ @ отображение F'- является Ддер-представ-
лением алгебры А и, следовательно, имеет вид Z (X)-1FZ(A), где
Z (X) С Мп (Ksep)x. Так как F'- зависит только от левого класса
смежности то с самого начала можно предполагать .^-регуляр-
ность отображения X-> Z (X), а тогда легко проверяется, что ото-
бражение Y (р, ст) = Z (стр-1)Р удовлетворяет всем условиям пер-
вой части нашей теоремы, за возможным исключением условия £,-
регулярности. Для того чтобы доказать, что и это условие выпол-
няется, мы следующим образом усовершенствуем нашу конструк-
цйю.
Возьмем полное множество Л представителей двойных классов
смежности $X£j в ® по Для каждого X С Л отображения F
и Р- являются оба //-представлениями, где L' — композит L -LK
поля L и его образа LK относительно отображения X. Выберем теперь
Z (X) в Мп (L')x так, чтобы Р" = Z (L)~rFZ (X). Каждый элемент
р £ @ можно записать в виде р = «Хр с однозначно определенным
Х£Лиса, Если одновременно р = а'Хр', где Р' g
то
P'p-i = X-1 (а'-Дб) К,
так что, полагая у = Р'Р-1, имеем у Е £> и у £ Х~хЗдХ, откуда сле-
дует, что у оставляет неподвижными все элементы поля L и поля
L\ а следовательно, и поля L -LY, в частности, матрица Z (X) инва-
§ 3. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ И ГРУППА БРАУЭРА
239
риантна относительно у. Поэтому если положить Z (р) = Z (Л)₽, то
Z (р) будет зависеть только от р, но от выбора ос, р, подчиненных
указанному выше условию. Легко проверить, что Y (р, сг) =
= Z (<тр-1)р удовлетворяет всем условиям, сформулированным
в нашей теореме. Далее для всех р, ст, т имеем
Fx = Y (о, т)-1ЕаУ (ст, т) =
= Y (ст, т)-1У (р, (р, ст) У (о, т).
В то же время Fx = У (р, (р, т). Как мы отмечали выше,
отсюда ввиду следствия предложения 4 § 1 вытекает, что
У (р, ст) У (ст, т) отличается от У (р, т) лишь скалярным множи-
телем f (р, о, т), чем доказано равенство (1). Теперь равенство (2)
проверяется прямым вычислением. Остальные утверждения оче-
видны.
Следствие. В предположениях и обозначениях теоремы 2
пусть К'— поле, содержащее поле К; р: — морфизм огра-
ничения, где группа &' такая же, как выше; Fk> — /<'-линейное
продолжение представления F на Ак’- Тогда У -р и f °р связаны с FK-
таким же образом, как Y и f с F.
Это очевидно.
В случае когда У и f связаны с ^-представлением F алгебры А,
описанным в теореме 2 способом, мы будем говорить, что они отно-
сятся к А.
Определение 4. Ковариантное отображение f из ® X
X & X & в Кжр называется системой факторов над К, если оно
удовлетворяет условию (2) при всех у, р, ст, т из
Ясно, что системы факторов над К образуют группу £ (/С) отно-
сительно умножения. Если К', и р такие же, как выше, то
отображение f —>/°р является, очевидно, морфизмом из С (Ю
в ст-
Пусть z — любое ковариантное отображение из @ X & в Ksep-
Ясно, что отображение
(3) (р, ст, т) -> z (р, ст) z (ст, т) г (р, т)-1
ковариантно, и немедленно проверяется, что это — система факторов.
Определение 5. Система факторов, определенная форму-
лой (3), называется кограницей отображения z. Система факторов
над К называется тривиальной, если она является кограницей
некоторого ковариантного отображения из @ х @ в К^р.
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
240
Тривиальные системы факторов образуют подгруппу (3 (К)
группы С (Ю всех систем факторов над /( Факторгруппу
s (Ю/₽ (Ю будем обозначать через Н (К), а ее элементы, т. е.
классы в £ (К) по модулю Р (К), будем называть классами факторов
над К- Если /Сир такие же, как прежде, то очевидно, отображение
f f°P переводит кограницы в кограницы, так что р определяет
морфизм из Н (К) в Н (К'), который мы обозначим опять через р.
Предложение 7. Системы факторов, относящиеся к про-
стой алгебре А над К., образуют класс факторов над К.
Пусть .<§, L, F, Y и f такие, как в теореме 2; z — любое кова-
риантное отображение из @ X @ в /Csep’, & — такая открытая
подгруппа в £), что z является ^'-регулярным; L' — подполе
в Ksep- соответствующее jg'. Тогда F является также L'-представ-
лением, Y' = zY связано с F таким же образом, как и У, и опреде-
ляет систему факторов /' = /0/, где /0 — кограница отображения z.
Это показывает, что все системы факторов в классе, содержащем /,
относятся к А. С другой стороны, пусть L', F', Y', [' связаны
с А таким же образом, как S, L, F, Y и f. Положим П &
и обозначим через L" соответствующее подполе в /Csep, которое
является композитом полей L и L'. Тогда существует такая матрица
Z £ Мп (А")х, что F' = Z-1FZ. Тривиальным вычислением полу-
чается равенство = W'^F'-’W, где IF = (ZP)-1E (р, ст) Za, так
что Y' (р, ст) может отличаться от W лишь скалярным множителем.
Если обозначить этот множитель через z (р, ст), то
Y’ (р, ст) = z (р, ст) (Zp)-1 Y (р, ст) ZrJ,
откуда следует, что отображение z ковариантно и ^"-регулярно.
Поэтому /7-1 есть кограница от z, чем и заканчивается доказатель-
ство.
Следствие. Пусть К' — поле, содержащее поле К- Тогда
класс факторов над FA, определяемый алгеброй Акг, является образом
класса факторов над К, определяемого алгеброй А, при морфизме
ограничения р из в @.
Это очевидно ввиду следствия теор. 2.
Если А — простая алгебра над К, то класс факторов над К,
состоящий из систем факторов, относящихся к А, будем называть
относящимся кА или связанным с А.
Теорема 3. Отображение, которое каждой простой алгебре
А над К сопоставляет связанный с А класс факторов над К, поста-
§ 3. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ И ГРУППА БРАУЭРА
241
янно на всяком классе простых алгебр над К и определяет изоморфизм
группы В (/() таких классов на группу Н {К) классов факторов над К.
Возьмем сначала две простые алгебры А, А' над /С и обозначим
через п2, п'2 их размерности над К- Пусть L, F, Y и f определены
для А, как в теореме 2, и пусть L', F', У', /' аналогично определены
для А'. Обозначим через L" композит полей L и L'. Мы можем ото-
ждествить Мп (L") <8> Мп’ (L") с Мпп- (L"). Тогда, если мы положим
А” = А ® А' и через F" = F ® F' обозначим /(-линейное отобра-
жение А" -> Мпп' (L"), задаваемое формулой F" {а <8> а') = F (а) ®
® F' (а') для всех а £ А и а' £ А', то F" будет L" -представлением
алгебры А" и сразу видно, что Y" = Y ® Y' и f" = ff' связаны с Л"
и F", как в теореме 2. Это показывает, что класс факторов, связан-
ный с А", является произведением классов факторов, связанных
с А ис А'. Если А = Мп (К), то в качестве F можно взять тождест-
венное отображение из А на Мп (К) и, далее, взять У = 1, и, сле-
довательно, f = 1. Поэтому класс факторов, связанный с тривиаль-
ной алгеброй, тривиален, и классы факторов, связанные с Л' и с
Мп (А'), совпадают. Этим доказано первое утверждение нашей тео-
ремы и показано, что отображение р. из В (К) в Н (К), определен-
ное таким образом, является морфизмом. Теперь будут доказаны
сначала инъективность, а затем сюръективность отображения р.
Это будет сделано в несколько шагов, которые мы оформим в виде
лемм.
Лемма 3. Пусть й— открытая подгруппа в ®; L — соот-
ветствующее й подполе в Ksep’i ¥ — некоторое ^-регулярное кова-
риантное отображение из @ х @ в Мп (Asep)*’ причем Y (р, т) =
= У (р, ст) У (ст, т) при всех р, ст, т из @. Тогда существует
такая матрица ZEAfn(L)x, что У (р, ст) = (Z'0)"1 Za при всех р, о
из @.
Возьмем полное множество а представителей классов смежности
Й« в @ по Как было отмечено при доказательстве леммы 2,
элементы из а индуцируют на L все различные /(-линейные изо-
морфизмы L -> KSep< причем эти изоморфизмы линейно независимы
над /(дер, как было показано в следствии 3 предл. 3 гл. Ш-2. Пусть
Мп (Asep) действует справа как умножение на матрицы на про-
странстве Mi,n (Asep) векторов-строк над /(sep и аналогичным
образом действует слева на пространстве векторов-столбцов. Для
всякого и Е М1,п (А) положим
z= 2 «“У (а, е).
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
242
Для любого р Е @ множество ар снова является полным множест-
вом представителей классов смежности в @ по Поскольку Y
ковариантно, мы имеем
zp = 3 ^арУ (ар, Р) = 3 (а, р).
• р а
Беря р Е мы видим, что элемент z инвариантен относительно
т. е. лежит в Поэтому если мы обозначим через ср определен-
ное выше отображение и z, то <р отображает Aflr n (L) в себя.
Покажем теперь, что в Mi,n (L) имеется п векторов щ, . . ., ип,
для которых векторы <р (пг) линейно независимы над L. В самом
деле, если бы это было не так, то в Мпд (L) существовал бы отлич-
ный от нуля вектор-столбец V, для которого при всех и Е Ml>n (L)
выполнялось бы равенство ср (и) v = 0. Это равенство можно пере-
писать в виде 3 (X (а, е))у = откуда ввиду линейной незави-
симости всех а над L вытекало бы, что Y (а, е) v = 0 при всех а и,
следовательно, что v = 0. Фиксируем какие-нибудь п векторов ыг-,
для которых <р («г) линейно независимы над L, обозначим через U
матрицу в Мп (L), составленную из строк щ, и положим Z =
= 3 UaY (а, е)- Поскольку строками матрицы Z являются векто-
ры <р (цг-), то эта матрица обратима в Мп (L). Точно так же, как выше,
при всех р, ст имеем
Zp=3f7“y(a, р), ZCT=3/7“V (а, ст),
а а
откуда ZIT = ZpY (р, ст) в силу наших предположений относи-
тельно Y. Тем самым показано, что матрица Z обладает требуемым
свойством.
Теперь нетрудно показать, что определенный выше морфизм
pi из В (К) в Н (К) инъективен. В самом деле, предположим, что-
простая алгебра А над /< имеет тривиальную систему факторов.
Ввиду предложения 7 отсюда следует, что мы можем выбрать Jg,
L, F и Y (такие, как в теореме 2) таким образом, чтобы тождество (1)
выполнялось с f = 1. Пусть, далее, матрица Z такова, как в лемме 3.
Положим F' = ZFZ"1. Сразу видно, что F’n = F'p при всех р, о
из @. Это означает, что F' является /(-представлением алгебры А,
т. е. изоморфизмом из А на Мп (/(), так что алгебра А тривиальна.
Наконец, утверждение о сюръективности морфизма pt покры-
вается следующим более точным результатом.
Лемма 4. Пусть £ и L таковы, как в лемме 3, п — степень
поля L над К и f — некоторая ^-регулярная система факторов
над К- Тогда можно таким образом выбрать A, F и Y, обладающие-
§ 3. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ И ГРУППА БРАУЭРА
243
описанными в теореме 2 свойствами, чтобы система факторов,
определяемая тождеством (1), совпадала с заданной системой f и что-
бы алгебра А содержала подполе, изоморфное полю L.
Для доказательства леммы будет использована явная конструк-
ция, принадлежащая Р. Брауэру. Заметим прежде всего, что если
в формуле (2) теор. 2, определяющей системы факторов, взять v =
= р = ст, то мы получим f (р, р, т) = f (р, р, р). Поскольку f
ковариантно, это дает f (р, р, т) = ар с а = f (б, е, е). Теперь
применим лемму 2 к случаю т = 2. Мы получим два пространства
Х2, Х'2 размерности и2 над X и над Xsep соответственно, причем
X' = Х2 ® KXsep. Возьмем полное множество а представителей
классов смежности в 6 no t). Для любых х, у из X' и любых
р, ст из @ положим
Z (Р, О) = Tif (о, а, р) х (р, а) у (а, о).
а£а
Ясно, что z, т. е. отображение (р, ст) -> г (р, ст), лежит в X' и что
zgX2, если х, у Е Х2. Более точно, (х, y)-*-z есть билинейное
отображение из Х'г X Х'2 в Х'2, индуцирующее на Х2 X Х2 били-
нейное отображение из Х2 X Х2 в Х2. Покажем, что этот закон
композиции, записываемый как (х, у) -> ху, превращает Х2 в алгеб-
ру Л с нужными свойствами. В самом деле, положим для всякого
р Е ® и всякого х Е Х'2
Фр W = (/ (₽, Р) х (а, ₽))а, ₽£а.
Упорядочив каким-либо образом множество а, мы можем отожде-
ствить отображения а X а /Csep с матрицами из Мп (Xsep)-
Тогда каждое Фр можно рассматривать как отображение из X'
в Мп (Xsep), которое, очевидно, Х8ер-линейно и биективно. С по-
мощью формулы (2) немедленно проверяется, что Фр (ху) —
= Фр (х) ФР (у) при всех х, у из Х2. Обозначим через е элемент
в X', задаваемый условием: е (р, о) = (аР)-1, где а = f (б, б, б),
в случае когда ст лежит в том же классе смежности $р, что и р,
и е (р, о) = 0 в противном случае. Ясно, что е Е Х2. Так как
f (а, а, р) = аа при всех а, р, то ФР (б) = 1п. Поэтому очевидно,
что Фр для каждого р изоморфно отображает пространство X'
с умножением (х, у) ху на алгебру Мп (XSep), причем единицей
в X' является е. Поскольку X' = Х2 ® кКаеу, отсюда согласно
следствию 1 предл. 3 § 1 вытекает, что это умножение превращает Х2
в простую алгебру А над К с 1А = е. Для любого g Е L и любого
х Е А обозначим через Jjx элемент в Х2, соответствующий отображе-
нию (р, о) -> £рх (р, ст). Тем самым мы определим на Х2 структуру.
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
244
левого векторного пространства над L. Далее, ясно, что (£х) у =
= | (ху) при всех | £ L и всех х, у из А. Поэтому | есть изомор-
физм из L в А и = (|е) х при всех £ £ L и всех х £ А.
Теперь мы построим F и Y, обладающие указанными в нашей
лемме свойствами. Для любых р, о из @ обозначим через D (р, сг)
такую диагональную матрицу:
D (р, а) = (ба₽/(а, р, ст))а,₽еа,
где 6ар = 1 или 0, в соответствии с тем, а = |3 или нет. С помощью
формулы (2) сразу проверяется, что при всех р, ст и всех х £ Х'2
справедливо равенство
(4) D (р, ст) Фа (х) = Фр (х) D (р, ст).
Выберем теперь какой-нибудь базис {g1( . . ., gn} в L над К,
и пусть {тр, . . ., i]n} —-двойственный базис (мы отождествляем L
с двойственным к нему пространством, полагая [£, ц] = Тг/./К (Вл))-
Так как элементы а из а индуцируют на L все п различных К-ли-
нейных изоморфизмов из L в /Csep, то для каждого £ £ L имеем
Тг^/к (?) = 3 1“> так что определение цг можно записать следую-
щим образом:
би = Тгь/к(|гф) = 3
а£а
Поэтому мы можем положить
* = №)Wn-, аеа, = (n?U; l^n-
Для каждого р положим, далее, /7р = ХФрХ~1. Тогда
fpW = ( S «, р)х(а, Р) nT)i=£i, з==п-
а, р£а
Предположим, что х £ А, т. е. что отображение х ковариантно.
Так как f ковариантно и так как для каждого А множество аА
является полным множеством представителей классов смежности
в @ по то
FP(x)K = ( 3 pA)x(a,₽)nF)i^.^n = FPx(x),
а, |3£а
В частности, полагая F = ТЕ, получаем, что Fp = Fp для каждого р.
По определению Fp это дает Fp = F при р ( Jg, т. е. F (х)р = F (х)
для каждого х £ А и каждого р Е Sg. Другими словами, F отобра-
жает А в Мп (L), так что F является L-представлением алгебры А.
Для всех р Е <3 имеем Fp = ХФРХ-1. Ввиду (4) это дает Fa =
§ 3. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ И ГРУППА БРАУЭРА
245
= Y (р, tf^FoY (р, ст), где мы положили
Y (р, ст) = XD (р, ст) X-1 = (3 %f (а, р, ст)
Теперь легко проверяется, что Y вместе с А и F удовлетворяет
всем требованиям нашей леммы. Для дальнейшего заметим еще, что
приведенный след т и приведенную норму v на А можно вычислить
с помощью любого из /Сдер-представлений Фр алгебры А, скажем
с помощью Ф8; а именно т (х) = tr (Ф£ (х)), v (х) = det (ФЕ (х))
при всех х С А, в частности
Т (g-lA) = TrL/K (g), V(|.1A) = NL/K (g)
при всех £ Е L.
Доказательство леммы 4, а с ним и доказательство теоремы 3
закончены.
Следствие 1. Пусть К' — поле, содержащее поле К, р —
морфизм ограничения из &' в А — простая алгебра над К и f —
система факторов, относящаяся к А. Тогда алгебра Лл- тривиаль-
на в том и только в том случае, когда тривиальна система факто-
ров fop.
Это сразу вытекает из теоремы 3 и следствия теоремы 2.
Следствие 2. Пусть !й — открытая подгруппа в @ и f —
некоторая ^-регулярная система факторов над К. Эта система
тривиальна в том и только в том случае, когда она является когра-
ницей некоторого ^-регулярного ковариантного отображения
из @ х ® в
Предположим, что система факторов / тривиальна. Построим
А, F и Y, как в лемме 4. По теореме 3 алгебра А тривиальна, так что
существует изоморфизм F' из А на Мп (К). Тогда F = Z^F'Z,
где Z £ Мп (L)x; следовательно, F° = Y' (р, ст)-1/7^' (р, ст), где
Y' (р, ст) = (Zp)-1Zff. Значит, Y (р, ст) = z (р, ст) Y' (р, ст), где г
^-регулярно и ковариантно. Поэтому f является кограницей от г.
Следствие 3. Пусть L — сепарабельное расширение поля К
степени п над К, А — простая алгебра над К- Тогда алгебра AL
тривиальна в том и только в том случае, когда существует алгебра
А' размерности п2 над К, подобная алгебре А и содержащая подполе,
изоморфное полю L. В случае когда такая алгебра А' существует,
она единственна с точностью до изоморфизма.
Последнее утверждение очевидно. В силу следствия 6 предл. 3
§ 1 из существования алгебры А' вытекает тривиальность алгебры Л£,
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
246
а следовательно, и алгебры AL. Обратно, предположим, что
существует изоморфизм алгебры AL на матричную алгебру Мп (L).
Этот изоморфизм индуцирует на А некоторое L-представление F.
По теореме 2 мы можем построить ^-регулярную систему факторов
f, относящуюся к А. Поэтому согласно лемме 4 можно построить
алгебру А', удовлетворяющую требуемым условиям.
Группы В (/С) и Н (К) часто отождествляют при помощи изо-
морфизма р,, описанного в теореме 3. При этом отождествлении,
как показывают следствия теоремы 2 и предл. 7, для любого содер-
жащего К поля К' естественный морфизм из В (/() в В (Д'), который
отображает класс каждой простой алгебры А над К на класс алгеб-
ры Ах-, совпадает с морфизмом ограничения р из Н (К.} в Н {К.')-
§ 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
Здесь мы обсудим подробнее один особенно важный тип систем
факторов, связанный с циклическими расширениями основного
поля К- Как всегда, под «циклическим расширением» понимается
расширение Галуа (следовательно, по определению, сепарабельное
расширение) с циклической группой Галуа. В обозначениях § 3
циклические расширения поля /С — это подполя L в /Csep, соответ-
ствующие открытым подгруппам jg в @ с циклической фактор-
группой @/.§. Для таких L и $ группа изоморфна группе
всех корней n-й степени из 1 в С, где п — степень поля L над /С.
Всякий изоморфизм из ©/£) на последнюю группу можно рассмат-
ривать как характер % на @ с ядром Любой такой характер,
порядок которого равен п, будем называть связанным с L. Если
а —представитель в @ какой-нибудь образующей для группы
то существует один и только один связанный с L характер % на @,
для которого %(а) = е(1/п).
Обратно, пусть % — произвольный гомоморфизм из @ в Сх.
По леммам 3 и 4 гл. VI1-3 он является характером на @ конеч-
ного порядка п; его ядро $ является поэтому открытой подгруп-
пой в @ с циклической факторгруппой порядка п и подполе L
в /CseP, соответствующее подгруппе циклично степени п над К.
Мы будем говорить в этом случае, что L связано с %.
Пусть обозначения такие же, как выше. Так как характер %
локально постоянен на @, то можно, бесконечно многими спосо-
бами, выбрать локально постоянное отображение Ф из 0 в R,
для которого % (о) = е (Ф (о)) при всех <т£@. Например, мы можем
выбрать Ф так, чтобы было 0^Ф(о)<1 при всех о; отображе-
§ 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
247
ние Ф определяется этим условием однозначно; оно й-регулярно,
поскольку отображение х таково. В любом случае Ф отображает ©
в (l/n)Z, потому что х имеет порядок п. Рассмотрим теперь
отображение
(5) (р, сг, т) ->• е (р, а, т) = Ф (пр-1) + Ф (то-1) — Ф (тр-1)
из © х © X © в R. Так как Ф локально постоянно, то таково же
и е; так как % — характер, то сразу видно, что е отображает
@Х@Х® в Z. Для любого 0£/<х положим, далее,
(6) f (р, о, т) = Ое<Р- °.т).
Очевидно, что f — ковариантное отображение из @ X ® X 0
в Л\Хр (точнее, в /Сх); легко проверяется, что оно удовлетворяет
условию (2) теоремы 2 § 3, т. е. является системой факторов. Любую
систему факторов, определенную таким образом, будем называть
циклической системой факторов.
Пусть Ф' — какое-нибудь другое локально постоянное отобра-
жение из © в R, для которого х (ст) = е (®z (ст)) ПРИ всех сг, и [' —
система факторов, определенная с помощью Ф' и 0 так же, как /,
была определена с помощью Ф и 0. Положим Т = Ф' — Ф. Ясно,
что Т отображает @ в Z. Полагая z (р, о) = немедленно
убеждаемся, что f'f-1 — кограница от z. Отсюда следует, что класс
системы факторов f по модулю группы р (/() тривиальных систем
факторов однозначно определяется по х и 0. Этот класс будем обо-
значать через {х, 0} и каждый такой класс факторов будем назы-
вать циклическим.
Предложение 8. Для всякого 0 Е Кх отображение х -+
{х, 6} является морфизмом группы характеров на & в группу
Н (Д) классов факторов над Д. Для всякого характера х на © ото-
бражение 0 -н>- {х> 0} является морфизмом из Дх в Н (К).
Это очевидным образом вытекает из определений.
Пусть Д' — поле, содержащее поле Д. Как и в § 3, предпо-
ложим, что поле Д содержится в Д', и обозначим через р как
морфизм ограничения из ©' в ©, так и индуцируемые им (см. § 3)
морфизмы систем факторов и классов факторов. Если х — произ-
вольный характер на @, то х" = X ° Р — характер на ©'. Если х
имеет порядок п, то порядок п' характера х' делит п. Если й —
ядро характера х» то ядром характера х' будет й' = Р-1(Й)> а Р
определяет инъективный морфизм из ©'/Й' в ®/Й- Если L — цикли-
ческое расширение поля Д, связанное с х, то циклическим расши-
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
248
рением поля /(', связанным с %', будет композит полей L, К',
который является циклическим расширением степени п'. Поэтому
для каждого Og/Cx
(7) {%, 9}°Р = {х°Р, 0}-
Предл о ж е н и е 9. Пусть % — характер на ®, L — цик-
лическое расширение поля К, связанное с %, и А — простая алгебра
над К- Тогда алгебра Al тривиальна в том и только в том случае,
если класс факторов, связанный с А, можно записать в виде {;/, 6},
где 0 Е Дх-
Обозначим через ядро характера %. Это — подгруппа в
соответствующая полю L. Если {/, 0} — класс факторов, связан-
ный с А, то класс факторов, связанный с AL, задается формулой
(7), где р — морфизм ограничения из в ®. Поэтому %°р, будучи
характером, индуцированным на $ характером х> тривиален, так
что алгебра Al тривиальна. Обратно, предположим, что алгебра AL
тривиальна. Тогда если п — степень поля L над К, то следствие
3 теор. 3 § 3 показывает, что, заменив в случае надобности алгебру А
подобной ей алгеброй, мы можем считать, что А имеет размерность
п~ над К- Пусть F — некоторое L-представление алгебры А, инду-
цированное на А изоморфизмом из AL на Мп (L). Так как порядок
характера х равен п, можно выбрать а £ @, для которого % («) =
= е (1/п). Тогда группа порождается образом а в этой группе.
Далее, существует такая матрица X Е Мп (£)х, что Fa — X-1FX;
отсюда индукцией по i получаем = X^FXi, где положено
Xt = XX» . . . Х^'1
для всех i > 0. Возьмем i — п. Поскольку автоморфизма” тождествен
на L, то F"-n—F. Поэтому матрица Хп должна иметь вид 0-1п,
где 0 Е Ех. Применяя а к обеим частям формулы, определяющей
Хп, получаем = Х-1ХпХ, откуда 0“ = 0, так что 0 лежит
в /Сх. Возьмем любое i Е Z, запишем его в виде i = nv + j, где
п, j Е Z и 1 j п, и положим Xi = 0VX;. Легко проверяется,
что для i > 0 так определенные Xt совпадают с определенными
выше Xt, что Xi+j = XiXf1 при/, j Е Z и что XnV = 0v-ln при всех
v из Z. Рассмотрим теперь такую локально постоянную функцию
Ф на @, что х (°) = е (Ф (ст)), так что пФ (ст) Е Z при всех а, и по-
ложим Y (р, ст) = (ХпФ (ap-i))p при всех р, а из @. Легко видеть,
что по отношению к А и F отображение Y обладает всеми свойствами,
требуемыми в теореме 2 § 3, и что система факторов f, определенная
с помощью Y по формуле (1) теор. 2, совпадает с задаваемой форму-
лами (5) и (6).
§ 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
249
Предложение 10. Пусть % и L таковы, как в предложе-
нии 9. Тогда ядро морфизма 0-> {%, 0} из К* в Н (К) совпадает
с группой Nl/k (Lx).
В доказательстве предложения 9 возьмем А = Мп (К). В этом
случае в качестве F можно взять тождественное отображение,
и поскольку Fa = F, можно взять X = s -1п с любым ? С Lx. Тогда
О = Nl/k (?) и класс факторов { %, 0} тривиален, ибо тривиальна
алгебра А. Обратно, предположим, что элемент 0 С Кх таков, что
класс факторов {%, 0} тривиален. Возьмем Ф, для которого у (ст) =
= е (Ф (ст)) и 0 -Д Ф (ст) < 1 при всех ст. Тогда Ф (а1) = Ип при
0 < i < /г — 1 и Ф является ^-регулярным, так что если мы опре-
делим / формулами (5) и (6), то f будет ^-регулярной системой
факторов. Так как эта система тривиальна, то согласно следствию 2
теор. 3 § 3 она является кограницей некоторого ^-регулярного
ковариантного отображения г из @ х & в /С^р. Поскольку —
нормальная подгруппа в @, то левые и правые классы смежности
в @ по $ совпадают. Отсюда следует, что при всех р, ст из @ эле-
мент г (р, ст) инвариантен относительно всех Ц 6 и потому лежит
в Lx. Для всякого ст £ @ положим w (ст) = г (е, ст); кроме того,
положим Wi = w (а1) для всех i. Тогда z (р, ст) = w (стр-1)р. Запи-
шем теперь, что система факторов f (р, ст, т), задаваемая формулой
(6), равна когранице отображения г, задаваемого формулой (3)
§ 3, при р = е, ст = аг, т = ai+1. Для 0 i п — 2 мы получим
1 = wt (иц)“г а для i = п — 1 получим 0 = toi)</-’1-1ffi’“1.
Поэтому 0 = N£/a- (&У1), чем и заканчивается наше доказательство.
Пусть % и L таковы, как в предложениях 9 и 10, и £), а таковы,
как в доказательствах этих предложений. Если Ф выбрано так, как
в доказательстве предложения 10, то имеем f (а-7, сс~г, е) = 1 или 0,
соответственно тому, i j или i > Г, в частности f (е, е, е) = 1.
К этой системе факторов мы можем применить теперь конструкцию,
описанную в доказательстве леммы 4 § 3, и указанным там спосо-
бом определить алгебру А. Как отмечалось выше, из того факта, что
@ является нормальной подгруппой в 63, вытекает, что каждое
^-регулярное ковариантное отображение из @ X @ в /Csep пере-
водит @ х @ в L. Для i Е Z определим ut как такое отображение
из ® X @ в L, для которого Uj (р, ст) равно 1 при стр-1 £ SqoF
и нулю в противном случае. Ясно, что иД Л и un+i = ut при всех
i и что и0 совпадает с единицей е = 1А алгебры А. Пусть 0 <3 i,
i <3 п — 1; легко проверяется, что «ги, = ui+j при i + j п — 1.
Как и в доказательстве леммы 4, определим для ? 6 L, х Е А
как элемент, задаваемый отображением (р, ст) -> срх (р, ст). Легко-
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
250
видеть, что &с = (5-1а) х. Аналогично определим х% как элемент,
задаваемый отображением (р,сг) -> х (р, о) 1°. Тогда х% = х (£ -1А).
Ясно, что £ut = и^ при всех g Е L и всех i. Так как алгебра А
имеет размерность п2 над /С, то ее размерность над L равна п, рас-
сматривать ли ее как левое векторное пространство с операцией
(?, х) -> или как правое векторное пространство с операцией
(g, х) -> xZ- При этом {и0, Ui, . . ., un_i} является базисом для
обоих этих пространств. В самом деле, если х = 3 5г“г, где € А
при 0 i п — 1, то х (е, ос_г) = |г, так что если х — 0, то |г = 0
при всех I. Аналогичное доказательство проходит, если рассмат-
ривать А как правое векторное пространство. Наконец, как было
отмечено в конце доказательства леммы 4 § 3, определенный там
изоморфизм Ф8 из А в Мп (/Csep), который является с другой
точки зрения L-представлением алгебры А, можно использовать
для вычисления приведенного следа т и приведенной нормы v на А.
Беря {е, а-1, . . ., а-п+1} в качестве полной системы а представи-
телей для в @, используемой в определении Фе, немедленно
получаем, что при всех В Е А
(8) т (| • 1А) = TrL/A- (|), т Ы = 0 (1 < i < п - 1),
(9) v (|-1А) = Nb/K (g), v (иг) = 0‘ (1 < i п _ 1).
Предложение 11. Пусть L — циклическое расширение
поля К степени п; а — образующая группы Галуа этого расшире-
ния-, X — левое векторное пространство размерности п над L с ба-
зисом {ы0, «1, • • • , “п-i}- Тогда для всякого в Е Xх существует одно
и только одно К-билинейное ассоциативное отображение (х, у) -> ху
из X х X в X, для которого-, (i) £,х = (£“о) х и хи0 = х при всех
s Е А и всех х Е X; (ii) u, = («i)‘ при всех 1 i п — 1;
(iii) (ui)n = 6и0; (iv) = Ui (lr'-«o)- Это отображение превращает
X в простую алгебру А над К, приведенный след и приведенная норма
на которой удовлетворяют формулам (8) и (9), а класс факторов
над К, связанный с А, равен {%, 6}, где % — такой связанный с А
характер на @, для которого % (а) = е (1/п).
Поскольку для построенной выше алгебры А все это уже было
доказано, нам остается лишь показать, что условия (i) — (iv) вместе
о условием ассоциативности однозначно определяют умножение.
Но в самом деле индукцией по г получаем из условия (iv), что
£иг = Ui (g“lu0) при 0 i п — 1. Далее, используя (i) и ассо-
циативность умножения, находим, что при 0 i, j п — 1 для
§ 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
251
всех т]
(1«г) (П“;) = (?«о) («/ Gl«o)) «у = (В«о) (па’Ч) и} =
= Quo) (т]“‘г«о) UiUj =
Если i + / <^ п — 1, то по (ii) uyi; — Ut+f, если t + / п, то
utUj = Qut+j-n по (ii) и (iii). Отсюда следует, что, используя (i) — (iv)
и ассоциативность, можно однозначно записать (епг) (т]и7) в виде
t,uk, где £ £ L, чем заканчивается доказательство нашего предло-
жения.
Определение 6. В предположениях и обозначениях предло-
жения 11 определенную там алгебру А будем называть циклической
алгеброй [ЫК', %, ОК
Иллюстрацией этого понятия, которое более подробно будет
рассмотрено в следующих главах, служат алгебры с делением
над коммутативным p-полем К- В самом деле, предложение 5 гл. 1-4
означает в точности то, что каждую такую алгебру D можно пред-
ставить как циклическую алгебру [/Q/-K; %, л], где /Ц — некоторое
неразветвленное расширение поля /С, % — характер, связанный
с Ki, и л — подходящий простой элемент в К- Но мы можем сказать
больше: из предложения 10 в сочетании с предложением 3 гл. VIII-1
вытекает тривиальность {%, при 5 € RK, так что {%, л) не зависит
от выбора л; следовательно, и алгебра [KJK\ х, л] не зависит
от выбора л, ибо с точностью до изоморфизма в заданном классе
может существовать лишь одна алгебра заданной размерности над К-
В качестве еще одной иллюстрации изложенной выше теории
применим ее к полю К = R- Мы можем отождествить К с С. Группа
@ имеет только два элемента — тождественный автоморфизм е
и автоморфизм ег поля С, определяемый равенством о (z) = г, и на
@ имеется лишь один нетривиальный характер %, для которого
имеем % (ег) = —1. Циклическим расширением поля R, связанным
с х, является С. Комбинируя теперь следствие 2 предл. 3 § 1, след-
ствие 3 теор. 3 § 3 и предложения 9 и И, мы видим, что каждый
класс простых алгебр над R содержит некоторую циклическую
алгебру [С/R; х, ЭД- Так как группа Nc/R (Сх) совпадает с Rx
и имеет индекс 2 в Rx, то предложение 10 показывает, что с точно-
стью до изоморфизма существуют ровно две такие алгебры, а именно
тривиальная алгебра и алгебра Н = [C/R; %, — 1]. Последняя
является алгеброй с делением. В самом деле, она имеет над R раз-
мерность 4. Записывая ее в виде Мп (D), где D — алгебра с делением
над R, и обозначая через d2 размерность алгебры D над R, получаем
nd = 2, откуда п = 1, ибо алгебра Н нетривиальна. Записывая
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
252
алгебру Н указанным в предложении 11 способом, мы видим, что
она имеет базис над С, состоящий из двух элементов uQ = 1 и и1г
следовательно, она имеет базис над R, состоящий из 1, i, j = Ui
и k = iui. Тривиально проверяется, что таблица умножения для 1,
i, j, k — это хорошо известная таблица для «кватернионных единиц»
в алгебре Н «классических» кватернионов.
§ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ФАКТОРОВ
Теперь мы применим результаты § 4 к характерам, связанным
с расширениями Куммера и расширениями Артина — Шреера
поля К-
В первом случае пусть п таково, что К содержит п различных
корней п-й степени из 1; эти корни образуют циклическую группу
Е порядка п. Разумеется, если К — поле характеристики р > 1,
то из нашего предположения следует, что п взаимно просто с р.
Пусть if> — изоморфизм из Е на группу корней п-й степени из 1 в С.
Он однозначно определен, если мы выберем какую-нибудь образую-
щую si в Е и потребуем, чтобы ф (е^ = е (1/п). Возьмем произволь-
ный элемент g Е Кх, и пусть х — любой из корней уравнения Хп~ |
в К- Тогда х Е Ksep и уравнение Хп = g имеет п различных корней
ех с е Е Е. В частности, для всякого о Е ® элемент х|Т должен быть
одним из этих корней, так что хах-1 Е Е. Положим теперь
Xn.s (о) =ф (х’х-1).
Так как Е <= К, то правая часть не изменяется, если заменить х
на ех с е Е и, следовательно, не зависит от выбора корня х урав-
нения Хп = По аналогичной причине для всех р, сг из @ имеем
хр<7х-1 = (хРх-1)0 (хох“х) = (хрх-1) (х^х'1),
поэтому
Хп,? (ро) = Хп,? (р) Хп,? (о).
откуда видно, что — характер’ на Возьмем теперь любое
ц Е и обозначим через у какой-нибудь корень уравнения Хп =
= т]. Тогда ху является корнем уравнения Хп = Нт] и для всех
сг Е ® мы имеем
(хг/)ст (ху)-1 = (хах-1) (Jfy-1),
а значит,
Хп,?Л Хп,?Хп, Л’
§ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
253
откуда видно, что %П,Е есть морфизм из /Сх в группу характе-
ров на Очевидно, характер %n, 5 тривиален в том и только в том
случае, когда из корней уравнения Хп — 5 в К лежит хотя бы один,
а значит, и все, т. е. когда 5 € (/(х)п. Другими словами, (Кх)п есть
ядро отображения £ %п> g. Было бы нетрудно показать, что
образ группы /Сх при этом морфизме состоит из всех характеров
на ®, порядок которых делит п, но нам это не понадобится в даль-
нейшем.
Теперь, для | и 6 из /<х положим
{7.пд, 6} = {ё, 6}„.
Это — известный символ Гильберта. Следует заметить, что он зави-
сит от выбора ф, или, что то же самое, от выбора образующей ei
группы Е корней п-й степени из 1 в К. Согласно предложению 8 § 4,
имеем
(Ю) {ВЛ', 0}п = {I, 0 }„{£', е}П) {L ее'}п = {g, 0}п.{?. е')п
при всех I, %', 0, 0' из Xх-
Обозначим снова через х какой-нибудь корень уравнения Хп =
= Ясно, что ядро $ морфизма %п>5 состоит из тех элементов
<т 6 @, для которых xrJ = х, так что соответствующим подполем
в /(sep, являющимся циклическим расширением поля /\, связанным
с %п,5, будет L = К (х). Обозначим через d порядок характера
%п,е. Тогда определяет изоморфизм из на группу всех
корней d-й степени из 1 в С. Число d делит п и равняется степени
поля L над К- Поэтому различными сопряженными к элементу х
над К, т. е. его образами при d различных автоморфизмах поля L
над К, являются элементы ех, где е пробегает группу Е' всех корней
d-й степени из 1 в К- Запишем е = n/d и для всякого элемента
С Е К положим
е—1
П (C-eJ’x),
v=0
где £1, как и прежде,—• некоторая образующая группы Е. Посколь-
ку элементы е? при 0 v е — 1 образуют полное множество
представителей классов смежности в Е по Е', имеем
Nl/k(co)= [] (С-ех) = Сп-|.
е££
Беря £ = 0 и £ = 1, мы видим, что —| и 1 — £ лежат в Nb/K (L).
В силу предложения 10 § 4 это дает
(П) {I, -U = 1, {I, 1-|}п = 1,
ГЛ. IX. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ
254
где формулы справедливы всякий раз, когда они имеют смысл, т. е.
первая формула при всех 5 6 /Сх, а вторая при всех 1 в
Заменяя в первой формуле £ на £г], где t, т] 6 /Сх, и применяя (10),
получаем •
{?, —П}п-{л. —П}п = 1.
Ввиду (И) первый сомножитель в левой части равен 1, а последний
равен {т], —1}п. Снова применяя (10), получаем
(12) {В, |}п = 1.
Эта формула известна как закон взаимности для символа {В, р}п.
То же самое можно было бы доказать, используя явную кон-
струкцию простой алгебры, соответствующей последнему классу
факторов. Мы дадим лишь краткий набросок доказательства для
случая, когда оба уравнения Хп = Хп = ц неприводимы над /С.
Положим L = /С (х), где х — какой-нибудь корень уравнения
Хп = В. Пусть А — циклическая алгебра [L/X', т]1-
По предложению 11 § 4, где вместо Ui мы пишем теперь у, алгебра А
имеет базис над L, состоящий из элементов yj, 0 j п — 1;
следовательно, элементы хгуг, 0 i, j п — 1, образуют базис
алгебры А над X, причем элементы этого базиса связаны следующи-
ми соотношениями: хп = %, уп = т], ху = Et ух. Если мы поменяем
местами | и ц, а также х и у, то алгебра А, очевидно, заменится
на противоположную алгебру А0, откуда и следует (12).
Пусть теперь X— поле характеристики р>\. Отождествим
простое подполе в X с Fp и обозначим через ф характер аддитивной
группы поля Fp, задаваемый условием ф (1) = е (1/р). Возьмем про-
извольный элемент £ С X, и пусть х — какой-нибудь из корней
уравнения X — Хр = £. Тогда х лежит в /Сеер, и это уравнение
имеет р различных корней х + а, где a g Fp. В частности, для вся-
кого er Е @ элемент ха должен быть одним из этих корней, так что
хст — х лежит в Fp. Положим
ХрЛ (о) = Ф (х° — х).
Так как правая часть не изменяется, если заменить х на х + а
сй£Рр,тоона не зависит от выборах. Вычисления, совершенно анало-
гичные тем, которые были проведены для уп, е., показывают, что %р, j
является характером на @ и что отображение 5 -> Хр, j есть морфизм
аддитивной группы поля X в (мультипликативную) группу харак-
теров на @. Ядром этого морфизма является образ поля X при ото-
бражении поля X в себя, и снова легко было бы показать,
что образ этого морфизма состоит из % = 1 и всех характеров на
@, порядок которых равен р. Для всех 5 С X и всех 0 Е Xх положим
§ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЦИКЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
255
теперь
{Xp,s,9} = 9}р-
Тогда
(13) {£ + %', 9}р = {£, 0}р-{£', 9}р,
{В, ее'Ь = {В, 9}р-{В, 0'}р
при всех £, %' из К и всех 9, О' из Xх. Предположим, что х не лежит
в К- Тогда L = X (х) есть циклическое расширение поля X, связан-
ное с Хр, I, и его степень над /( равна р. Уравнение Хр — X + В =
= 0 должно быть поэтому неприводимым уравнением для х над К,
так что Nr/к (х) — (—1)р£ = —В- В силу предложения 10 §4 отсю-
да следует, что
(14) {В, -В}р = 1.
Таким образом, это равенство справедливо для любого х, не лежаще-
го в К- Если х Е К, то характер тривиален, так что формула
(14) справедлива всякий раз, когда она имеет смысл, т. е. при всяком
£=4 0. Таким образом, формула (14) имеет место при всех £ Е Xх-
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ПРОСТЫЕ
АЛГЕБРЫ
НАД ЛОКАЛЬНЫМИ
ПОЛЯМИ
§ 1. ПОРЯДКИ И РЕШЕТКИ
Пусть D — алгебра с делением конечной размерности над неко-
торым полем К- Мы будем рассматривать левые векторные про-
странства над D; размерность их всегда будет предполагаться конеч-
ной и отличной от нуля. Если V и W — два таких пространства, то
мы обозначаем через Hom (V, W) пространство всех гомоморфизмов
из V в W. Пусть оно действует на V справа; другими словами, если
а — такой гомоморфизм и v Е V, то мы обозначаем через va образ
элемента v при гомоморфизме а. Пространство Hom (V, W) можно
очевидным образом рассматривать как векторное пространство над
/С; как таковое, оно имеет конечную размерность, будучи подпро-
странством пространства всех /С-линейных отображений из V в W.
Как обычно, мы пишем End (V) вместо Hom (V, V).
Если V, V', V"— левые векторные пространства над D и а Е
Е Hom (V, V'), РЕ Нот (V', V"), Т0 мы обозначаем через «р мор-
физм v -> (va) р из V в V". В случае V = V' = V" мы превращаем
тем самым End (V) в кольцо. Как обычно, мы используем символ
Aut (V) для обозначения End (К)х — группы автоморфизмов прост-
ранства V. При V = V', V" = W получаем структуру левого
End (Е)-модуля на Hom (V, W). При V' = V" = W получаем
структуру правого End (^-модуля на Hom (V, W).
Пусть D и V такие, как выше, d2 — размерность алгебры D
над Кит — размерность пространства V над D. Выберем какой-
нибудь базис {щ, . . ., vm) в V над D. Для каждого t Е End (V)
запишем иД = 3 XtjVj, где хц Е D, 1 i, j т. Этим определяет-
j
ся отображение (хг>) из End (V) в Мт (Р), которое, очевидно,
является изоморфизмом из End (V) на Мт (Р). В частности, отсюда
видно, что End (К) — простая алгебра размерности т2 d2 над К.
Ясно, что пространство V, рассматриваемое как правый End (К)'
модуль, является простым. Поэтому в силу предложения 1 гл. IX-1
§ 1. ПОРЯДКИ И РЕШЕТКИ
257
каждый такой модуль разлагается в прямую сумму модулей, изо-
морфных V.
Пусть V и W — левые векторные пространства над D и т и п —
их размерности. Положим А = End (V), В = End (IF), И =
= Hom (V, IF). Как правый В-модуль Н разлагается в прямую
сумму модулей, изоморфных IF. Сравнивая размерности над К,
сразу видим, что число прямых слагаемых равно т. Аналогично,
как левый A-модуль Н разлагается в прямую сумму т модулей, изо-
морфных пространству V' = Нот (V, D), двойственному к V; V'
является простым левым A-модулем и правым векторным простран-
ством размерности т над D. Легко можно было бы убедиться, что
каждый эндоморфизм левого A-модуля Н имеет вид X —>- Хр с РЕВ
и что каждый эндоморфизм правого В-модуля Н имеет вид А -> аХ,
где ос Е А.
Пусть D, V и А = End (V) такие, как выше, и пусть v — приве-
денная норма на А. По следствию 1 предл. 6 гл. IX-2 для любого
а Е А определитель эндоморфизмов х -> ах и х -> ха векторного
пространства А над К равен v (a)md. В частности, а Е Ах в том
и только в том случае, когда v (сс) =f= 0.
Если /С — локальное поле, то все рассматриваемые выше про-
странства, будучи конечномерными векторными пространствами
над /С, могут быть одним и только одним способом топологизирова-
ны как таковые согласно следствию 1 теор. 3 гл. 1-2. Обратно, по
по следствию 2 той же теоремы требование конечномерности над /С
можно было бы везде заменить условием локальной компактности.
Положим снова А = End (V). Тогда группа Ах = Aut (V) является
открытым подмножеством в А, определяемым условием v (а) 0,
а потому локально компактной группой. Кроме того, мера Хаара
на ней и право- и левоинвариантна. Это вытекает из следующей
леммы, которая обобщает лемму 5 гл. VII-4.
Лемма 1. Пусть К — локальное поле, D, V u А = End (F)
таковы, как выше, и а — мера Хаара на А. Тогда мера р, на Ах,
задаваемая формулой
d[i (х) = mod к (ПА/к (х))-1 da (х) — modK (v (x))~md da (x),
является одновременно левоинвариантной и правоинвариантной
мерой на Ах.
Это немедленно вытекает из следствия 1 предл. 6 гл. IX-2 в со-
четании со следствием 3 теор. 3 гл. 1-2.
ГЛ. X. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
258
В оставшейся части этого параграфа мы предполагаем, что /С —
коммутативное p-поле. Следовательно, алгебра с делением D над Д'
также является p-полем (которое некоммутативно при d 1). Обо-
значим через R и RD максимальные компактные подкольца в /(
и в D и через Р и PD — максимальные идеалы в R и в RD соответ-
ственно.
Пусть V и W такие, как выше, L — некоторая П-решетка
в V и М — некоторая D-решетка в W. Обозначим через
Hom (V, A; IF, М) множество всех морфизмов из V в IF, отображаю-
щих L в М. Выберем базисы {гц, . . ., и,„}, {оц, . . ., шп} в V и в W
в соответствии с теоремой 1 гл. II-2, т. е. так, чтобы L = 2 RD
и 7И — У RtiWj. Для всякого X £ Hom (V, IF) мы можем записать
уД = 2 xuwJ’ где хи С D ПРИ 1 < >4 m, 1 п, и определить
таким образом биекцию К -> (хг7) из Hom (V, IF) на пространство
Мт? п (D) всех матриц над Dem строками и п столбцами. Ясно, что
А £ Hom (V, A; IF, М) в том и только в том случае, когда матри-
ца (хц) лежит в Л1„г,„(До). В частности, отсюда следует, что
Hom (V, L; IF, М) является /(-решеткой в пространстве Hom (F, IF),
рассматриваемом как векторное пространство над /(, а также что
Hom (V, L; IF, М) можно отождествить с пространством всех мор-
физмов /Д-модуля L в Дв-модуль М. Мы будем писать End (F, А)
вместо Hom (V, L; V, L). Это — /(-решетка и открытое компактное
подкольцо в End (V), которое можно отождествить с End (А). Далее,
будем писать Aut (V, L) вместо End (V, L)x. Это — группа авто-
морфизмов решетки L.
Предложение 1. Пусть К — некоторое p-поле, D —
алгебра с делением над /(, V — левое векторное пространство над D
и L — некоторая D-решетка в V, и пусть v — приведенная норма
на алгебре А = End (F) над К. Тогда группа Aut (V, L) состоит
из тех элементов £ Е End (V, L), для которых modK (v (Н)) = 1.
Возьмем элемент £ Е А; он лежит в Ах тогда и только тогда,
когда v (g) =£ 0. Модуль автоморфизма х алгебры А равен
modK (v (£))md, где т, d такие, как выше. Поскольку А как правый
A-модуль разлагается в прямую сумму т модулей, изоморфных V,
отсюда следует, что модуль автоморфизма v -> vi, пространства V
равен modK (v (£))d. Предположим теперь, что 5 6 End (V, L).
Тогда эндоморфизм £ отображает L на D-решетку L' = А?, содер-
жащуюся в L, так что его модуль равен [L : L']-1. Отсюда видно,
что L = L' в том и только в том случае, когда modK (v (£)) = 1.
Наше предложение доказано.
§ 1. ПОРЯДКИ и РЕШЕТКИ
259
Следствие. В обозначениях предложения 1 группа Aut (V,
L) является компактным открытым подмножеством в End (V, L)
и в End (V) и компактной открытой подгруппой в Aut (10-
Это очевидно.
Предложение 2. Пусть V таково, как в предложении 1,
и пусть X — замкнутое относительно умножения подмножество
в End (V). Тогда X относительно компактно в End (К) в том и толь-
ко в том случае, когда существует такая D-решетка L в V, что
X cz End (V, L).
Пусть X относительно компактно в End (V). Заменяя в случае
надобности X на его замыкание, можно считать, что X компактно.
Пусть L — любая D-решетка в V- Обозначим через L' множество
тех векторов v Е L, для которых uH Е L при всех £ Е X. Ясно, что
L' является 7?с-модулем и, следовательно, замкнуто в силу пред-
ложения 5 гл. П-2. Так как L' a L, то L' — компакт. Так как X
компактно, a L открыто, то L' открыто. Поэтому множество L'
является D-решеткой. Поскольку X мультипликативно замкнуто,
то v%> лежит в L' при всех v Е L' и всех § Е X, так что X cz End (У, L').
Обратное утверждение очевидно.
Предложение 3. Пусть V такое, как выше, и пусть L, L’
— две D-решетки в V. Тогда или Aut (V, L) не содержится в
End (У, L'), или существует такое х ЕОХ, что L' = xL.
По теореме 2 гл. П-2 существует такой базис {щ, . . ., vm} в У
и такие целые числа vh что L = S ПцЩ и L' = S Рд'щ. Каждая
перестановка элементов v( определяет автоморфизм пространства У,
который содержится в Aut (У, L). Если все эти автоморфизмы
содержатся в End (У, L'), то все vt должны совпадать между собой.
Пусть v — их общее значение. Тогда L' — n^L для любого простого
элемента nD Е D.
Теорема 1. Пусть D — алгебра с делением над p-полем К,
У — левое векторное пространство над D. Тогда максимальные ком-
пактные подкольца в алгебре А = End (У) — это кольца End (У, L),
а максимальные компактные подгруппы в Ах—это группы
Aut (У, L), где в качестве L берутся всевозможные D-решетки в У.
По предложению 2 любое компактное подкольцо в End (У) долж-
но содержаться в некотором кольце End (У, L) и, следовательно,
совпадать с ним, если оно максимально. Теперь предположим, что
для некоторой решетки L кольцо End (У, L) содержится в компакт-
ном подкольце X Е End (У). Тогда X в свою очередь должно содер-
ГЛ. X. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
260
жаться в некотором кольце End (V, L'). По предложению 3, L' =
= xL для некоторого х £DX, откуда End (V, L') = End (V, L)
и, следовательно, X = End (V, L). Аналогично компактная под-
группа в Лх = Aut (V) должна содержаться в некотором кольце
End (V, L) и, следовательно, в End (V, L)x, т. е. в Aut (V, L).
Если последняя группа содержится в компактной подгруппе X с=
с Aut (V), то эта подгруппа должна содержаться в некотором коль-
це End (V, L'), и точно так же, как прежде, мы получаем, что L' =
= xL и X = Aut (V, L). В формулировке теоремы 1 можно потре-
бовать, чтобы L пробегало не все D-решетки в V, а лишь некоторое
полное множество представителей классов эквивалентности, причем
решетка L считается эквивалентной решетке L', если L' = xL, где
х € Ох.
Компактные открытые подкольца простой алгебры над р-полем
называются также порядками. Таким образом, первая часть теоре-
мы 1 утверждает существование максимальных порядков в алгебре
А = End (V); а именно таковы все кольца End (V, L). Как было
показано выше, все они изоморфны кольцу Мт (Rd), где т — раз-
мерность пространства V над D. Ясно, что они переводятся друг
в друга автоморфизмами пространства V (поскольку всякий базис
в V над D можно перевести таким автоморфизмом в любой другой
базис). Другими словами, они переводятся друг в друга внутрен-
ними автоморфизмами алгебры А.
Предложение 4. Пусть алгебра D такая, как выше;
V, W —левые векторные пространства над D; М, М' — компакт-
ные открытые подгруппы в Hom (V, W); X — множество тех эле-
ментов | из End (V), для которых cz Al'. Тогда X является ком-
пактной открытой подгруппой в End (V). Если М = М', то X —
подкольцо в End (V).
Очевидно, что X — подгруппа в End (V) и что X — подкольцо
в End (V), если М = М'. Так как подгруппа М компактна, а под-
группа М' открыта, то подгруппа X открыта. Положим теперь Н =
= Нога (К, №). Поскольку подгруппа М открыта, в ней содержит-
ся базис {pi, . . ., р.г} векторного пространства Н над К- Если мы
теперь рассмотрим Н как левый End (К)-модуль, то аннулятор
этого базиса в End (V) совпадает с аннулятором всего Н и, следо-
вательно, равен {0}, поскольку алгебра End (V) проста, a W ф
=?= {0}. Поэтому отображение £ ->• (5рь • • -, 5рг) из End (V)
в Hr = Н X ... X Н инъективно и, следовательно, является
изоморфизмом векторного пространства End (V) над /С на его образ
в Нг, а значит, и изоморфизмом соответствующих топологических
структур. Отсюда следует, что множество X' тех элементов 5 из
§ 1. ПОРЯДКИ И РЕШЕТКИ
261
End (У), для которых ||лг С М' при 1 i г, компактно. Так как
X — подгруппа в X', открытая в End (V), она является откры-
той подгруппой в X' и, следовательно, замкнута в X', а потому
компактна.
В случае М = М' определенное в предложении 4 кольцо X
называется левым порядком для 44. Меняя ролями правое и левое,
мы видим, что множество Y тех элементов г| из End (ТУ), для
которых 44 ц cz М, является компактным открытым подкольцом
в End (ТУ); это кольцо называется правым порядком для 44. Сейчас
мы покажем, что если один из этих порядков максимален, то и дру-
гой тоже максимален. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 2. Пусть К и D такие, как в теореме 1; V и W —
левые векторные пространства над D: L — некоторая D-решетка
в V; N — такая компактная открытая подгруппа в Hom (V, ТУ),
что с: N при всех § из End (V, L). Тогда существует D-решет-
ка 44 в ТУ, для которой N = Нот (V, L; ТУ, 44) и правым и левым
порядками для N являются End (У, L) и End (ТУ, 44) соответственно.
По теореме 1 гл. П-2 мы можем выбрать такой базис {щ, . . .
. . ., vm} в У над D, что L = 2Rd Vj. Как объяснялось выше, мы
можем при помощи этого базиса отождествить End (У) с М,„ (D)
и End (У, L) с Мт (Rd), сопоставив каждому элементу | из End (У)
матрицу (хг-,), определяемую равенствами v£ = 2 x^Vj. Рассмо-
трим теперь отображение а (сца, . . ., vma) из Нот (У, ТУ)
в ТУ"1 — прямую сумму т пространств, изоморфных ТУ. Ясно,
что это — биекция из Нот (У, ТУ) на ТУ"1. Обозначим ее через <р
и положим N' = <р (N), где N — множество из теоремы 2. Если
a Е Нот (У, ТУ), <р (а) = (wi, . . ., wm) и £ и (хц) такие, как
выше, то <р (Нос) = (о\, • Wm), где w\ = 2 xtjWj, 1 i т.
Согласно нашему предположению относительно N элемент <р (£а)
должен лежать в N', каковы бы ни были (аУ1, . . ., wm) £ N' и хц Е
Е Rd- Обозначим через ец «матричные единицы» в Мт (D), опре-
деленные в доказательстве теоремы 1 гл. IX-4. Беря сначала в каче-
стве (хи) матричную единицу ehh, мы видим, что при (оц, . . ., wm) £
Е N' каждый из элементов (0, . . ., О, wh, 0, . . ., 0), 1 <; h т,
также должен лежать в N'. Другими словами, если мы обозначим
через ТУ1, . . ., ТУт прямые слагаемые в сумме ТУ"1 и положим
N'h = N' П ТУд при 1 т, то N' = 2 N’h- Аналогично взяв
в качестве (х^) матричную единицу ehh, мы видим, что N'h = N'h
для всех h и k. Обозначим их общее значение через 44, так что
44 = N'h для любого h. Наконец, взяв в качестве (хг;) матрицу
х-1т с х Е Rd, мы видим, что 44 является /?в-модулем. Так как
группа N открыта и компактна в Нот (У, ТУ), то такова же и труп-
ГЛ. X. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
262
па N' в Wm, а следовательно, и N’h в Wh и М в W. Поэтому М
является D-решеткой в W. Теперь мы видим, что элемент а из
Hom (V, W) лежит в N тогда и только тогда, когда элементы vta
лежат в М при 1 <; i т. Другими словами, A' = Hom (V, L;
W, Al). Значит, левый и правый порядки для N содержат End (V, L)
и End (W7, Al) соответственно. Поскольку последние порядки
максимальны, доказательство теоремы закончено.
Следствие 1. Пусть А — простая алгебра над К, Ra —
максимальное компактное подкольцо в А и I —левый идеал в RA.
Тогда идеал I открыт в А в том и только в том случае, когда его
можно записать в виде I = RA<x, где а Е RA П Ах.
Мы можем предположить, что А = End (V), где V таково,
как в теореме 2. Ввиду теоремы 1 можно считать, что RA =
= End (V, L), где решетка L такова, как в теореме 2. Если идеал /
открыт, то к нему можно применить теорему 2, взяв W = V и N = /.
Это дает I = Нот (У, L; V, 7И), где А1 — некоторая О-решетка
в V. Возьмем такие базисы {vi, . . ., vm}, {ощ . . ., wm} в V,
что L = 2 RBVi и Al = 2 Rd^i, и обозначим через g автоморфизм
пространства V, который отображает первый из этих базисов
на второй. Тогда М = и I = RA^=- Так как автоморфизм £
лежит в I, то он лежит в RA. Обратное утверждение очевидно.
Следствие 2. Пусть А и RA таковы, как в следствии 1,
и пусть J —компактный двусторонний RA-моду ль в А, отличный
от {0}. Тогда множество J открыто в А. Если А — Епй(У)нДА =
= End (V, L), где V и L таковы, как в теореме 2, то J можно запи-
сать в виде J = Hom (V, L; V, где v Е Z и nD — простой
элемент в D.
Так как RA является /С-решеткой в А, то мы можем выбрать
базис {cci, . . ., aw} в А над К, содержащийся в RA. Если | лежит
в А и отличен от нуля, то двусторонний идеал, порожденный в А
элементом £, совпадает с А, поскольку алгебра А проста. Поэтому
элементы а&Р] при 1 i, j N порождают А как векторное про-
странство над К, так что порожденный ими /?-модуль в А является
К-решеткой, а следовательно, открыт. Отсюда следует, что наше
множество J должно быть открытым. По теореме 2 мы можем
записать его в виде J = Hom (V, L; V, М), где М — такая D-
решетка в V, что End (V, Al) содержит End (V, L). Применяя
предложение 3, получаем, что М = xL, где x£Dx. Поэтому
А1 = лЬ L, где v = ordn (х).
§ 2. СЛЕДЫ И НОРМЫ
263
Если V и W таковы, как в теореме 2, то всякое множество N,
обладающее описанными там свойствами, т. е. всякое множество,
которое можно записать в виде N = Нош (У, L; W, М) при под-
ходящем выборе О-решеток L в V и М в W, будем называть нор-
мальной решеткой в Hom (V, W7).
§ 2. СЛЕДЫ И НОРМЫ
Как и прежде, мы будем рассматривать локальное поле /С,
алгебру с делением D размерности d? над К и простую алгебру А
над К, изоморфную алгебре Мт (D) для некоторого m > 1. Обозна-
чим через т и тс приведенные следы на А и на D и через v и vn
приведенные нормы на А и на D соответственно. Сначала рассмо-
трим случай р-поля.
Предложение 5. Пусть К — некоторое p-поле, D —
алгебра с делением размерности d? над К, Rd — максимальное
компактное подкольцо в D и nD — простой элемент в D. Для любого
т 1 положим А = Мт (О) и RA = М,п (Rd), и пусть т —
приведенный след на А. Тогда множество таких элементов х в А,
что т (ху) Е R при всех у Е RA, совпадает с u>RA = RA<$, где со =
=
Предположим сначала, что т = 1, А — D, RA = RD. Как
уже было замечено в гл. IX-4, из предложения 5 гл. 1-4 следует,
что D можно рассматривать как циклическую алгебру [/G//C; %, л]
над /С, где /G — неразветвленное расширение поля /С степени d,
X — характер, связанный с этим расширением, ил — простой
элемент в К. Поэтому сопоставление упомянутого предложения
с определением циклической алгебры в предложении 11 гл. IX-4
показывает, что Wi из последнего предложения является простым
элементом в D. Утверждение нашего предложения инвариантно
относительно замены л„ на Ui, поэтому мы можем положить лй =
Тогда в обозначениях предложения 11 гл. IX-4 имеем ut = лд
при 0 i d — 1 и л = лр. Обозначим через Ri максимальное
компактное подкольцо в /Л. Согласно пункту (Ь) предложения 5
гл. 1-4 Rd совпадает с левым T^i-модулем, порожденным элементами
и0, . . ., Ud-i- Поэтому элемент х £ D тогда и только тогда обла-
дает свойствами, указанными в формулировке нашего предложения,
когда тв (хтщЬ) 6 R ПРИ всех r\^RtnO^.j^.d — 1. Снова исполь-
зуя пункт (Ь) предложения 5 гл. 1-4, мы можем записать х в виде
х = 3 гДе € Ki Для 0 i d — 1. Применяя для при-
веденного следа Тд на D формулу (8) гл. IX-4, при / = О получаем,
ГЛ. X. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
264
что ТгК1/к (^оЛ) € R для всех Л € Ri- Но согласно предложению 3
гл. VIII-1 это имеет место в том и только в том случае, когда £0 Е 7?i.
Аналогичным образом, для 1 j d — 1 наше условие можно
записать в виде ТгК)/к (Вй_/л'л) € R> гДе л' = Ле> Р = ос’-14.
Так как каждый автоморфизм р поля КА отображает R± на себя,
то последнее условие должно выполняться при всех т/ Е а это,
как и прежде, эквивалентно тому, что ^a-j Е Поэтому мно-
жество, определенное в нашем предложении, совпадает с /^-моду-
лем, порожденным элементами 1, л-1лв, . . ., л-1лр_1, т. е. эле-
ментами 0 i d — 1, если (oD = л1-д. Ввиду пункта (Ь)
предл. 5 гл. 1-4 этим завершено наше доказательство для случая
т = 1. Для т > 1 наше утверждение легко вытекает из уже дока-
занного и из следствия 2 предл. 6 гл. IX-2, которое утверждает,
что т (х) = S то (хп) при х = (хо) Е А.
Следствие 1. В предположениях и обозначениях предло-
жения 5 пусть х — характер на К порядка 0. Отождествим А
с топологическим двойственным к нему, полагая (х, у) = % (т (ху)).
Тогда К-решеткой, двойственной к RA, будет aRA.
В самом деле, эта двойственная решетка определяется как мно-
жество тех элементов х из А, для которых % (т (ху)) = 1 при всех
у Е Ra- Ввиду /f-линейности следа т последнее условие означает
в точности то, что % (т (ху) z) = 1 при всех у Е Ra. и всех z Е Я,
что по предложению 12 гл. П-5 эквивалентно условию т (ху) Е R
при всех у Е Ra-
Следствие 2. Пусть А — простая алгебра над К, т —
приведенный след на А, % — характер порядка 0 на К. Отождествим
А с топологическим двойственным к нему, полагая (х, у) =
= % (т (ху)). Пусть М и М' —две К-решетки в А, двойственные
друг другу в А, причем как М, так и М' являются подкольцами
в А. Тогда алгебра А тривиальна над К, М — максимальное ком-
пактное подкольцо в А и М = М'.
По теореме 1 § 1 М содержится в некотором максимальном ком-
пактном подкольце КЛ с А. Используя тот факт, что алгебра А
изоморфна некоторой алгебре вида Мт (D), мы можем отождествить
А с Мт (D) и Ra с Мт (RD) (обозначения такие же, как в предло-
жении 5). Поскольку М cz RA, следствие 1 показывает, что М'
<&Ra Ra, откуда по теореме 1 § 1 АГ = aRA = RA. Отсюда,
очевидно, следует, что d = 1, т. е. что алгебра А тривиальна,
а тогда в силу того же следствия 1 М — RA.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ
265
Предложение 6. Пусть К — некоторое p-поле, А —
простая алгебра над Ku v — приведенная норма на А. Тогда
v (Лх) = Кх.
Ввиду следствия 3 предл. 6 гл. IX-2 достаточно рассмотреть
случай А = И.. В этом случае мы можем так же, как и выше,
записать D как циклическую алгебру и использовать для vD форму-
лу (9) гл. IX-4. Применяя обозначения из доказательства пред-
ложения 5, мы видим, что, во-первых, vD (Ох) содержит группу
NK1/K (7?х), которая по-предложению 3 гл. VIII-1 совпадает с 7?х,
и, во-вторых, vD (Пх) содержит vo (щ) = л. Поскольку и л
порождают Кх, наше предложение доказано.
В случае R-полей заключение предложения 6, конечно, спра-
ведливо для А = Мт (К), где К = R или С, но не для К = R
и А — Мп (Н). В самом деле, как мы видели в гл. IX-4, алгебра Н
«классических» кватернионов имеет базис над R, состоящий из
«кватернионных единиц» 1, t, /, k, удовлетворяющих соотношениям
i2 = —1, /2 = —1, k = ij = —ji, из которых следуют соотноше-
ния k2 = —1, i = jk — —kj, j = ki = —ik. Очевидно, что R-
линейная биекция x->x алгебры H на себя, переводящая 1, i, /, k
соответственно в 1, —i, —/, —k, является антиизоморфизмом,
т. е. переводит ху в ух при всех х, у. Для определения приведенного
следа т и приведенной нормы v на Н нужно какое-нибудь С-пред-
ставление F алгебры Н. Используя результаты гл. IX или с помо-
щью непосредственных вычислений, находим, что такое представ-
ление задается следующим образом:
/г 0\ / 0 1\ /ОМ
^(1)=12, /Ч/Цо о)’ о)-
Тогда для х—- + wk, где t, и, v, w С R, имеем
т (х) = х + х = It, v (х) = хх —хх = t2 + и2 + с2 + w2.
Отсюда видно, что v отображает Нх на Rx. Поэтому, согласно
следствию 3 предл. 6 гл. IX-2, то же верно для А = Мт (Н) при
любом т 1.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ
В порядке подготовки к вычислению дзета-функции простой
алгебры в гл. XI мы произведем здесь некоторые локальные вычис-
ления, дающие обобщения предложения 11 гл. VI1-4 и леммы 8
гл. VII-6.
ГЛ. X. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ над локальными полями
266
Возьмем сначала некоторое p-поле К и некоторую алгебру
с делением D над R. Обозначим через RD максимальное компактное
подкольцо в D, через PD — максимальный идеал в RD и через лл —
простой элемент в D- Для всякого е 0 выберем полное множество
А (е) представителей классов в RD по модулю PeD. Далее, для задан-
ного т > 1 следующим образом определим подмножества £,
и £" в Мт (П)х. Под £ будем понимать группу треугольных
матриц из Мт (D)x, состоящую из тех матриц t = для кото-
рых tn = 0 при J < и 0 при 1 i <; т. Под Z'
будем понимать подмножество в £, состоящее из таких матриц
t = (Д?) 6 что hi € Rd при всех i, j и каждое tn, 1 -Д i т,
имеет вид л%, где ег 0. Под £" будем понимать подмножество
в состоящее из таких матриц t = (?Д) £ что Е А (еу)
при 1 •< г < / <; /п, где ej задается условием tjj = neJ. В этих
обозначениях имеет место
Лемма 2. Пусть V — левое векторное пространство раз-
мерности т над D; L — некоторая D-решетка в V; {vlt . .., ит} —
такой базис в V, что Л = У Roop, L'— некоторая D-решетка
в V, содержащаяся в L. Тогда существует один и только один
базис {fj, . . ., v'm} в V, для которого L'--У Rd^'i и —
з
при 1-^.i^m, где матрица t = (/,,) принадлежит множеству Z".
Для 1 m обозначим через W, подпространство в V,
порожденное элементами щ, . . с,. Пусть {иц, . . wm} —
какой-нибудь базис в V. Запишем его в виде w( = 3 XfjVj. Ясно,
что матрица х = (xl7) в том и только в том случае лежит в £, т. е. тре-
угольна, когда {wlt . . ., wi} является базисом в Wi для всяко-
го i. По теореме 1 гл. II-2 можно выбрать такой базис, для которого
L' = 3 RiPH Поскольку L' с: L, все Хц лежат в RD. Запишем
Хц = у^о1, где у; Е Rd и et Е Z при 1 т, и заменим векторы
wt на векторы которые, очевидно, обладают теми же свой-
ствами. После замены имеем (хг;) Е £'• Предположим теперь,
что существуют такие векторы щ, . . ., v'm, как требуется в лемме.
Запишем v\ = У, Ясно, что матрица (zo-) должна быть тогда
треугольной, а поскольку Z/ = 2 Rijo'i = У Rd^i, она должна
лежать в Мт (RB)X- Для треугольной матрицы (zi7) последнее
условие выполняется в том и только в том случае, когда 2ц Е Rd
и Ztj Е Rd при всех i, j. Поэтому коэффициент при в v\ равен
а так как он должен иметь вид лЬ, должно равняться 1.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ
267
Далее, коэффициент ttj при Vj в v\, 1 i < j т, задается равен-
ством
7-1 е
tij = %ij S ^ih^hj Z Zij^D ,
1
и доказательство леммы будет закончено, если мы покажем, что z,-7-
при 1 i < / <; m можно единственным образом выбрать в RD
так, чтобы tn Е А (ej) при 1 i < j т. Но для каждого i это
легко проверяется с помощью индукции по /, i + 1 j т.
Лемма 3. Множество Z" является полным множеством
представителей для тех классов смежности в Мт (D)x по Мт (₽£>)х,
которые содержатся в Мт (Rd)-
Возьмем левое векторное пространство V размерности т над D,
D-решетку L в V и базис {иь . . ., в V, для которого L =
= 2 RdVi. Как и прежде, отождествим End (V) с Mm (D), сопо-
ставив всякому £ Е End (V) матрицу (хц), задаваемую условиями
v£ = 2 xtjVj. Положим А = End (V) и RA = End (У, L). Тогда
RA = Мт (Rd) и Ra, т. е. Мт (RD)X состоит из таких автоморфиз-
мов | пространства V, что = L. Поэтому два элемента а, 0
из Ах лежат в одном левом классе смежности по модулю RA тогда
и только тогда, когда La = /.р. Этот левый класс смежности содер-
жится в Ra тогда и только тогда, когда La cz L. В то же время
по лемме 2 каждая D-решетка L' в V, содержащаяся в L, может
быть одним и только одним способом записана в виде У Rdv'i, где
v'i = У, tijVj и (tu) Е £"• Другими словами, она может быть одним
и только одним способом записана как Lx с т Е чем наша лемма
и доказана.
Предложение 7. Пусть К — некоторое p-поле', q —
его модулы, D — алгебра с делением размерности d2 над К', А —
простая алгебра над К, изоморфная Мт (D); RA —максимальный
порядок в А; <р—его характеристическая функция', v— приве-
денная норма на А; р — мера Хаара на Ах,для которой |t(Ra) =
= 1. Тогда интеграл
I (s) = j <р (х) mod к (v (x))s dy (х),
АХ
где s Е С, при Re (s) > d (т — 1) абсолютно сходится и имеет
значение
т— 1
/(«)= П
г=0
ГЛ. X. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
268
Как и прежде, отождествим А с End (V) и RA с End (V, L),
где V — левое векторное пространство размерности т над D, a L —
D-решетка в V. По предложению 1 § 1 подинтегральная функция
в / (s) постоянна на каждом левом классе смежности в Лх по Ra-
Ввиду определения меры р отсюда следует, что
/ (s) = 2 modK (v (t))s,
т
где сумма берется по любому полному множеству представителей
классов смежности в Ах по Ra, содержащихся в RA, например
по множеству £" из леммы 3. Если отождествить, как и прежде,
А с Мт (D) и Ra с Мт (Ro), то состоит из таких треугольных
матриц t = (1ц), что tn = nj и £ А (еф при всех i, j, где et —
целые неотрицательные числа. По следствию 2 предл. 6 гл. IX-2
имеем v (0 = П vd (tn) = vd (nD)B, где E = 2 et и vD — приве-
денная норма на D. Как мы видели в § 2, vD (nD) является простым
элементом в К при подходящем выборе nD. Значит, то же самое
верно при любом выборе лв. Это дает равенство modK (v (t)) — q~ E.
С другой стороны, предложение 5 гл. 1-4 показывает, что модуль
p-поля D равен qd, так что для всякого е 0 множество А (е)
состоит из qde элементов. Поэтому для заданного множества
Si, . . ., ет целых чисел существует в точности qdN матриц t 6 £",
где N = 2 (t — О ei- Таким образом, получаем
т -j-oo
/(s)=n (S
1=1 е=0
Ясно, что это выражение абсолютно сходится при Re (s) > d (т — 1)
и при этом условии имеет указанное в нашем предложении значение.
Следствие. Пусть функция I (s) такова, как в предложе-
нии 7, и пусть функция 70 (s) определена аналогичным образом для
алгебры Ао = Мп (К), где п = dm. Тогда при Re (s) > п — 1
имеем
/(s)70(s)-i= П (l-QM-
0<7г<п
h=£0 (d)
Это сразу следует из предложения 7.
Нам понадобятся также соответствующие результаты для R-
полей. В этом случае либо К = R и D — R или Н, либо K — D =
= С. В обоих случаях отображение х -> х является антиизомор-
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ
269
физмом алгебры D, для которого хх > 0 при всех x£Dx. Это
отображение тождественно для D = R, является нетривиальным
автоморфизмом поля С над R для D = С и определено в конце
§ 2 для D = Н. Как обычно, если х = (xtj) — любая матрица
из Мт (D), то мы обозначаем через 1х транспонированную к ней
матрицу и через х матрицу (х,-;). Тогда отображение 1х есть
антиизоморфизм алгебры Мт (D). Мы будем обозначать через £
множество треугольных матриц (/,;) g Мт (D), для которых tn Е
€ R* при 1 I т; ясно, что это — подгруппа в 7Ит (D). Пусть
теперь V—левое векторное пространство размерности т над D.
Хоть это и не вполне согласуется с установившейся терминологией,
будем для краткости говорить, что отображение f из V X V в D
является эрмитовой формой на V, если в V существует такой базис
{щ, . . ., пт}, что
ft^XiVi, 3 ytVt) = ^Xiyi
при всех Xi, yt из D. Каждый базис в V с таким свойством будем
называть ортогональным относительно f. Сразу видно, что базис
{йУ1, . . ., wm} ортогонален относительно f тогда и только тогда,
когда f (wi, Wj) = при всех i, j или даже когда это так при
1'СС t / '"С т- Наделим пространство всех эрмитовых форм на V
топологией равномерной сходимости на компактных подмноже-
ствах в V X V. Другими словами, для всякого компактного под-
множества С в V X V и всякого в > 0 множество таких эрмитовых
форм f', что modD (/' —f) 8 на С, является окрестностью фор-
мы /, и такие окрестности образуют фундаментальную систему
окрестностей формы f в пространстве всех эрмитовых форм.
Лемма 4. Для D = R, Н или С пусть V — левое векторное
пространство над D с базисом {щ, . . ., vm} и f — эрмитова форма
на V. Тогда существует один и только один ортогональный базис
{v't, . . ., v'm} относительно f, для которого и\ = 2 где tn Е £,
и этот базис непрерывно зависит от f.
Этот факт доказывается непосредственно, и доказательство
его так хорошо известно, что может быть здесь опущено.
Пусть V такое, как выше, и f — эрмитова форма на V с орто-
гональным базисом {t>i, . . ., vm}. Пусть, далее, {wi, . . ., wm} —
базис в V, для которого wt = S v-ip,, где и = (иг>) Е Мт (D).
Тривиальное вычисление показывает, что этот базис ортогонален
относительно f тогда и только тогда, когда и-‘й = 1т. Ясно, что
матрицы и, обладающие этим свойством, образуют компактную
ГЛ. X. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
270
подгруппу в Мт (О)х; мы будем обозначать ее через U. Пусть
теперь а — любой автоморфизм пространства V. Будем обозначать
через сопряжение f с помощью а, т. е. отображение, для которого
fa (v, w) = f (va-1, июх1) при всех v, w из V. Это — эрмитова
форма с ортогональным базисом {vta, . . vma}. Ясно, что если,
как и прежде, отождествить А = End (V) с Мт (D) при помощи
базиса {щ, . . vm}, то 11 будет подгруппой в Ах = Мт (D),
состоящей из таких автоморфизмов § пространства V, что Д = f.
Л е м м а 5. Для определенных выше подгрупп £ и U в Ах =
= М711 (D)x отображение (и, t) —ut является гомеоморфизмом
из И X £ на Ах.
Пусть V, f и ортогональный базис {щ, . . vm} такие, как
выше. Снова отождествим с помощью этого базиса А = End (V)
с Мт (D), а значит, Ах с Мт (D)x. Пусть а, 0 £ Ах. Тогда /“ = Д
в том и только в том случае, когда f = т. е. когда Pa-1 Е U,
или Р Е U сс. Теперь для произвольного а Е Ах применение к fa
леммы 4 показывает, что существует одна и только одна такая
матрица (/,•>) Е И, что векторы v'i = У, t^Vj образуют ортогональ-
ный относительно fa базис. Другими словами, автоморфизм т
пространства V, который соответствует этой матрице, т. е. который
отображает {щ, . . на {п', . . ., v'm}, переводит f в fx = fa.
Далее, по лемме 4 матрица (1гу) непрерывно зависит от fa и, сле-
довательно, от а. Выражая все это в терминах матриц х, и, t из
Мт (П)х, соответствующих автоморфизмам а, ост'1, т соответ-
ственно, получаем утверждение нашей леммы.
Лемма 6. В обозначениях леммы 5 пусть р — мера Хаара
на Ах. Для каждой непрерывной функции F на £ с компактным
носителем обозначим через F' функцию на Ах, для которой F' (ut) =
= F (/) при всех и Е И и всех / Е Тогда F' является непрерывной
функцией на Ах с компактным носителем и существует такая
правоинвариантная мера 0 на £, что j F' dp = j F dQ при
всех F.
Первое утверждение немедленно следует из леммы 5 и компакт-
ности группы U. Так как мера р правоинвариантна на Ах по лем-
ме 1 § 1, то, очевидно, отображение F —j F dp инвариантно отно-
сительно правых трансляций на X. Из теории меры Хаара следует
поэтому, что 0 является образом некоторой меры Хаара, т. е. неко-
торой левоинвариантной меры на £, относительно гомеоморфизма
t-+ t~r группы £ в себя.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ
271
Лемма 7. Пусть а — мера Хаара на D. Положим 6 =
= IK : R] и для t = (tn) Е £ положим
т
г=1
Это равенство определяет правоинвариантную меру на £.
Так как размерность алгебры D над R равна ё<Е, то следствие 2
теор. 3 гл. 1-2 показывает, что для каждого а Е Rx модуль авто-
морфизма х ха пространства D равен аы*. Прямым вычисле-
нием сразу получаем, что, во-первых, мера 0 из леммы 7 инвариант-
на относительно отображения tf для любой диагональной
матрицы f Е £ и что, во-вторых, эта мера инвариантна относитель-
но отображения tt" для любой матрицы f' = (fi,;) Е X, для
которой fa = 1 при 1 i т. Поскольку каждая матрица из £
может быть записана в виде ft", наша лемма доказана.
Предложение 8. Пусть либо К = R и D = R или Н,
либо X = D = С. Обозначим через 6 размерность поля К над R
и через d2 — размерность алгебры D над К- Обозначим, далее,
через т приведенный след и через у — приведенную норму на алгебре
А = Мт (О) над К- Пусть, наконец, ц— мера Хаара на Лх.
Тогда интеграл
/(s) = j ехр ( —лбт ('х-х)) modK- (v (x))s du (x)
A*
абсолютно сходится при Re(s)>d(m—1) и при подходящем
выборе меры ц имеет в этой области значение
I (s) = (n6d)“m6ds/2 П r(6d(s-di)/2).
i=0
Ясно, что первый сомножитель подинтегральной функции в ин-
теграле I (s) постоянен на каждом классе смежности в Лх по U.
Положим z — v (и) для любого элемента и Е U. Если D = К,
то это означает, что z = det (w), так что из и Е U следует, что
zz = 1, откуда rnodK (г) = 1. Если К = R и D = Н, то при всех
х Е А имеем v (х) = det (F (х)), где F — некоторый изоморфизм
из Л в Л12т. (С)- Но тогда х -> ‘‘F ((х) тоже является таким изо-
морфизмом, так что v (;х) = v (х). Отсюда следует, что v (u)2 = 1
при и Е U, а значит, v (и) = 1, ибо, как мы убедились в § 2, v ото-
бражает Мт (Н)х в Rx. Итак, во всех случаях второй сомножитель
ГЛ. X. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
272
в подинтегральной функции в интеграле / (s) также постоянен
на каждом левом классе смежности в Ах по U. Поэтому леммы 6
и 7 показывают, что при подходящем выборе меры р интеграл / (s)
совпадает с интегралом от той же самой подинтегральной функции,
но взятым по пространству £ с мерой dft (/). Приведенный след тй
на D задается равенством тв (х) = х при D = К и равенством
тп (х) = х + х при К — R и D = Н. Ввиду следствия 2 предл. 6
гл. IX-2 при t = (tn) £ £ мы имеем
т ('/•/) = d- 3 v(f)= П
Это дает
m -f-oo m (m~-1)
/ (s) = Ц ( j exp ( — n8dt2) fi^1dt^ • ( j exp ( — nbdtt) da (/)) 2 ,
i=l 0 D
где Si = 8d (s — di + d), 1ДiДffl- Последний сомножитель не
зависит от s и положителен. Остальные сомножители с помощью
очевидной замены переменной можно преобразовать в обычные
интегралы для гамма-функции. Мы получили искомый результат
с точностью до постоянного строго положительного множителя,
который можно сделать равным 1, произведя соответствующую
замену меры Хаара р.
Следствие. В условиях предложения 8 предположим, что
К = R и D = Н. Пусть I (s) — определенный там интеграл
и Io (s) — аналогично определенный интеграл для алгебры Ло =
= Мп (R), где п = 2т. Тогда при Re (s) > п — 1 имеем
П (s —Л),
0<A<n'J
МеО (2)
где у — некоторая строго положительная константа.
Это — непосредственное следствие предложения 8 и тождеств
Г(5 + 1)=зГ(5),
Г($) = л-1/2 28-1Г (-J) Г
из теории гамма-функции.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ПРОСТЫЕ
АЛГЕБРЫ
НАД А-ПОЛЯМИ
§ 1. ВЕТВЛЕНИЕ
В этой главе k будет обозначать некоторое A-поле. Мы будем
использовать все обозначения, введенные для таких полей в пре-
дыдущих главах, такие, как kA, k„, г„ и т. п. Нас будут интересо-
вать главным образом простые алгебры А над k. Как мы услови-
лись в гл. IX, всегда предполагается, что алгебра А центральна,
т. е. что ее центр совпадает с k, и что она имеет конечную размер-
ность над k; по следствию 3 предл. 3 гл. IX-1 эта размерность рав-
на п2, где п— целое число ^1. Как объяснялось в главах III
и IV, мы используем символ Av для обозначения алгебры А ® kv
над kD, где в соответствии с соглашениями гл. IX подразумевается,
что тензорное произведение берется над k. По следствию 1 предл. 3
гл. IX-1 это — простая алгебра над k„. Поэтому в силу теоремы 1
гл. IX-1 она изоморфна некоторой алгебре Mm(v) (D (и)), где
D (п) — алгебра с делением над k„. Размерность алгебры D (и)
над kv может быть записана как d (у)2, и мы имеем т (v) d (v) = п.
Алгебра D (v) определена однозначно с точностью до изоморфизма,
и числа т (ц), d (v) определены однозначно. Говорят, что алгебра А
неразветвлена или разветвлена в точке и в соответствии с тем,
тривиальна алгебра Av над kv или нет, т. е. d (v) = 1 или
d (v) > 1.
Теорема 1. Пусть А — простая алгебра над А-полем k,
и пусть а — конечное подмножество в А, содержащее базис в А
над k. Для всякой конечной точки v поля k через ав обозначим г„-
модуль в А„, порожденный множеством а. Тогда почти для всех v
алгебра А„ тривиальна над k„ и ав является максимальным ком-
пактным подкольцом в A v.
Ввиду следствия 1 теор. 3 гл. Ш-1 мы можем предположить,
что а является базисом в А над k и что 1Л содержится в а. Обозна-
чим через т приведенный след на А. По предложению 6 гл. IX-2
этот след отличен от нуля и его ^-линейное продолжение на А„
ГЛ. XI. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД А-ПОЛЯМИ
274
является приведенным следом на Av. По лемме 3 гл. Ш-З мы можем
отождествить векторное пространство А над k с алгебраическим
двойственным к нему, полагая [х, у] = т (ху). Теперь возьмем,
как в теореме 3 гл. IV-2, какой-нибудь базисный характер % на kA-
По следствию 1 из этой теоремы имеет порядок 0 почти для всех v;
по следствию 3 из той же теоремы &0-решетка а„ двойственна с собой
почти для всех v, если отождествить пространство Av с топологи-
ческим двойственным к нему, полагая (х, у} = (т (ху)). По след-
ствию 2 теор. 3 гл. Ш-1 сс0 является компактным подкольцом в А„
почти для всех v. Поэтому почти для всех точек v поля k выпол-
няются предположения следствия 2 предл. 5 гл. Х-2, откуда и сле-
дует утверждение нашей теоремы.
Первая часть теоремы 1 утверждает, что алгебра А неразвет-
влена почти во всех точках поля k. Цель § 2 — показать, что эта
алгебра может быть неразветвлена во всех точках поля k, только
если она тривиальна.
§ 2. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ ПРОСТОЙ АЛГЕБРЫ
Пусть все обозначения таковы, как в § 1, и пусть а —базис
в А над k. По теореме 1 § 1 а„ является максимальным компакт-
ным подкольцом в Av почти для всех v. Поэтому мы можем для
каждой конечной точки v поля k выбрать максимальное компактное
подкольцо Яи в таким образом, чтобы = ccD почти для всех v.
Сделав это, обозначим через Ф„ характеристическую функцию
кольца Rc. Для всякой бесконечной точки v поля k выберем какой-
нибудь изоморфизм алгебры Av с алгеброй Afm(B) (D (v)), где D (и)
есть R, Н или С, и отождествим Av с этой алгеброй при помощи
этого изоморфизма. Определим функцию Ф„ на Ав, полагая Фв (х) =
= ехр (—лбт (1х-х)) при всех х € А„, где обозначения те же, что
и в предложении 8 гл. Х-3. Тогда Ф = П — стандартная функ-
ция на Аа. Пусть р — какая-нибудь мера Хаара на Аа- Имеет
место следующее
Предложение 1. Интеграл
ZA (s) = j Ф (г) | v (z) Ц dp (z)
Ад
при Re (s) > п абсолютно сходится, и его значение дается фор-
мулой
zA(S) = c”n zft(s-i>n( П (1-^“S))( П (s-h)Y,
г=0 v 0<h<n n<h<n
h^O d(r)) h^O (2)
§ 2. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ ПРОСТОЙ АЛГЕБРЫ
275
где Zk — это либо функция, определенная в теореме 3 гл. VI1-6,
либо дзета-функция поля k в соответствии с тем, равна характе-
ристика поля k нулю либо нет', р — число вещественных точек v
поля k, для которых D (v) = Н, а С — некоторая строго положи-
тельная константа.
Для всякой точки v выберем меру Хаара р„ на А* так, чтобы
р„ (R*) = 1 для всех конечных точек. Можно считать, что в каче-
стве р взята мера р = И р„, в смысле, объясненном в гл. VII-4
для случая А = k. Следуя шаг за шагом доказательству предло-
жения 10 гл. VII-4, находим, что интеграл ZA (s) абсолютно сходит-
ся и равен бесконечному произведению
П ( j Фг W IV (х) Ц dpu (х)) ,
1) д х
AV
при условии, что все сомножители в этом произведении и само
произведение абсолютно сходятся. Эти сомножители были вычис-
лены в предложениях 7 и 8 гл. Х-3. Из этих предложений, в соче-
тании с предложением 1 гл. VI1-1, немедленно вытекает абсолютная
сходимость интеграла ZA (s) при Re (s) > п. Из тех же предложе-
ний, с учетом определений гл. VII-6, вытекает последняя формула
нашего предложения в случае А = Мп (k). Отсюда с помощью
следствий предл. 7 и 8 гл. Х-3 сразу получаем эту формулу в общем
случае.
Следует заметить, что среднее произведение в формуле для
ZA (s) в предложении 1 является фактически конечным произве-
дением, ибо по теореме 1 § 1 d (v) = 1 почти для всех точек поля|А.
Стоит также отметить, что вычисление константы С в этой формуле
для некоторой явно заданной меры Хаара р на А д не представляет
трудностей и что это бывает иногда важно, например при нахожде-
нии числа Тамагавы подгруппы Л’1’ в Лх, определяемой условием
v (х) = 1. Поскольку этот вопрос лежит в стороне от основной
тематики настоящей книги, мы не будем к нему больше возвра-
щаться.
Предложение 2. Пусть D — алгебра с делением размер-
ности d2 над k, и пусть функция ZD (s) определена, как в предло-
жении 1. Тогда если характеристика поля k равна нулю, то ZD (s)
не имеет других полюсов, кроме полюсов в точках s = 0 и s = d,
а если k — поле характеристики р > 1 и Fg — его поле констант,
то ZD (s) не имеет других полюсов, кроме нулей функции (1 — q-s) х
X (1 — qd~s).
ГЛ. XI. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД А-П0ЛЯМИ
276
Докажем это, следуя шаг за шагом доказательству теоремы 2
гл. VII-5. По аналогии с тем доказательством удобно принять
следующие обозначения. Для z Е D.i и s Е С положим <os (z) =
= I v (z) Ia- Тогда cot есть морфизм из Di в Ri. При § Е Dx имеем
v (£) Е &х- Поэтому в силу теоремы 5 гл. IV-4 морфизм к»! тривиа-
лен на D. Рассмотрим сначала случай, когда k имеет характери-
стику р> 1. По предложению 6 гл. Х-2 v отображает D„ на k*
при всех v, так что coj отображает Di на подгруппу в Ri, порож-
денную элементом qv. По следствию 6 теор. 2 гл. VII-5 отсюда
следует, что ojj отображает D? на подгруппу в Rx_, порожденную
элементом q, если полем констант в k служит Fg. В этом случае
возьмем элемент zt ЕРд, для которого «ц (zt) = q, и обозначим
через 7И подгруппу в Di, порожденную элементом zP Тогда Di
разлагается в произведение подгруппы Л4 и ядра D\ морфизма «ч.
Если k — поле характеристики нуль, обозначим через М. под-
группу в ^i, определенную в следствии 2 теор. 5 гл. IV-4. Отожде-
ствляя k с центром алгебры D, можно рассматривать kA как под-
группу в Di. Поскольку v (z) = zL при z Е k, только что упомяну-
тое следствие показывает, что оц отображает М на R*, так что
Di опять разлагается в произведение своей подгруппы М и ядра Di
морфизма (Oj. В обоих случаях из теоремы 4 гл. IV-3 вытекает ком-
пактность множества D\IDX.
Как и в доказательстве теоремы 1 § 1, возьмем какой-нибудь
базисный характер % на /гл. Отождествим пространство D\ с топо-
логическим двойственным к нему, полагая (х, «/) = % (т (xz/)),
и для каждой точки v отождествим пространство D,; с топологическим
двойственным к нему, полагая <х, у) = (т (ху)). Далее, для
всякой точки v обозначим через av самодвойственную меру Хаара
на Dc. Тогда по следствию 1 теор. 1 гл. VII-2 меры av когерентны
и а = И а„ является мерой Тамагавы на DA.
Пусть снова Ф = | i Фв — стандартная функция на Da, которая
использовалась выше при построении ZD (s), и пусть V = j [ Чгс—
любая стандартная функция на DA. Обозначим через Z (4i s)
интеграл, полученный заменой Ф на Тв определении ZD (s). В этих
обозначениях можно написать
Z (¥, s) = j ¥ (z) <os (z) dp (z).
Da
Мы собираемся показать, что этот интеграл абсолютно сходится
при Re (s) > d и что он может быть продолжен до мероморфной
§ 2. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ ПРОСТОЙ АЛГЕБРЫ
277
функции на всей s-плоскости, не имеющей других полюсов, кроме
упомянутых в предложении 2; это утверждение содержит наше
предложение как частный случай. Что касается сходимости, то поч-
ти для всех v мы имеем ЧД = Фв по определению стандартной
функции. Для каждой конечной точки v носитель Rv функции Ф„
является открытой подгруппой в Dv и носитель S„ функции Чг1,
компактен. Выбирая av £ k* так, чтобы avSv cz Rv, и полагая
yv = sup | Ту I, имеем | Ту (х) | <С у„Фу (avx) при всех х Q Dv.
Аналогично из определения стандартных функций сразу видно,
что для любой бесконечной точки v можно найти такие ег, уг в R*,
что | 4fD (х) | усФу (ере) при всех х £ D„. Это показывает, что
существуют такие a g /Д, у £ R*, что | Чг (х) | ::С уФ (ах) при
всех х СРд. Поэтому интеграл Z (T, s) при Re (s) = о мажори-
руется интегралом
у Ф (аг) (г) dp (г) = у(оа (ст1) ZD (о),
*>А
который по предложению 1 сходится при о > d.
Возьмем теперь те же две функции Fo, Ft, что и в доказательстве
теоремы 2 гл. VII-5. Тогда Z (Ч*1, s) равен сумме двух интегралов
Z; = j Ф (г) (os (г) Ft (wj (г)) dp (г).
Точно так же, как в том доказательстве (но беря теперь В > d).
мы видим, что Zo абсолютно сходится при всех s и определяет поэто-
му целую функцию от s и что то же самсе верно для интеграла Z'o,
полученного заменой в определении интеграла Zo функции Чг на ее
преобразование Фурье T', s на d — s и Fo на t-^FifD1). Как
и прежде, мы можем применить к функции х -> Т (гх) на Da форму-
лу суммирования Пуассона (т. е. формулу (1) гл. VII-2) в сочета-
нии с леммой 1 гл. VI1-2. Применяя последнюю лемму, следует
учесть тот факт, что модуль автоморфизма х г~гх группы ОА
при г g Da равен
I Nd/k (z-1) |А = I v (г) = <o_d (г).
Далее, действуя точно так же, как в доказательстве теоремы 2
гл. VII-5, находим, что интеграл Z (T, s) равен сумме двух целых
функций Zo + Z' и интеграла
f(s)= $ (¥' (0) — cod (г) ¥ (0)) ®s_d (г) Ft (wj (г)) dp (г).
dX/dx
ГЛ. XI. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД А-ПОЛЯМИ
278
Подинтегральная функция здесь постоянна на каждом классе
смежности в группе G = DxJDy по ее компактной подгруппе Gt =
= D\IDX. Так как G( является ядром морфизма из G в R*, опре-
деленного морфизмом (о1; то мы можем отождествить G/G-, с обра-
зом N группы G в Ry при этом морфизме. Последний образ равен
Ry или группе, порожденной элементом q, в зависимости от того,
какова характеристика поля k. Беря в качестве v меру из леммы 6
гл. VI1-5, имеем в силу этой леммы (с точностью до постоянного
множителя, который можно сделать равным 1 при помощи под-
ходящего выбора меры р)
f (s) = j (¥' (0) - ndW (0)) (n) dv («) =
A’
= ¥' (0) X(s — d)-V(0)A(s),
где X — функция, определенная в упомянутой лемме. Ввиду содер-
жащегося в этой лемме утверждения о полюсах функции X наше
доказательство закончено.
Сравнение предложений 1 и 2 дает нам теперь основной резуль-
тат этой главы.
Теорема 2. Простая алгебра А над А-полем k тривиальна
тогда и только тогда, когда она всюду неразветвлена, т. е. тогда
и только тогда, когда алгебра A D тривиальна над kv для каждой точ-
ки V поля k.
Ясно, что достаточно доказать теорему для алгебры с делени-
ем D. Если алгебра Dv тривиальна при всех о, то предложение 1
показывает, что дзета-функция ZD (s) с точностью до постоянного
множителя задается формулой
d-1
ZD (s) = П Zk (s — i).
i=0
Ввиду теорем 3 и 4 гл. VII-6 если d> 1, то эта функция имеет
полюсы порядка 2 в точках s = 1, 2, . . ., d — 1. По предложе-
нию 2 этого не может быть. Поэтому d = 1 и D = k.
Фактически совокупность предложений 1 и 2 позволяет вывести
более сильное заключение, чем заключение теоремы 2. Например,
сразу видно, что при d > 1 алгебра D должна разветвляться по
меньшей мере в двух точках поля k. Но нет надобности делать это
сейчас, потому что намного более сильные результаты будут полу-
чены в гл. XIII.
§ 3. НОРМЫ НА ПРОСТЫХ АЛГЕБРАХ
279
§ 3. НОРМЫ НА ПРОСТЫХ АЛГЕБРАХ
В качестве первого применения теоремы 2 мы воспроизведем
сейчас принадлежащее Эйхлеру доказательство следующего пред-
ложения.
Предложение 3. Пусть А — простая алгебра над А-
полем k, и пусть v — приведенная норма на А. Тогда v (Лх) совпа-
дает с подгруппой у в kx, состоящей из элементов, образ которых
в kD строго положителен для каждой вещественной точки v поля k,
в которой алгебра А разветвлена.
Это доказательство основано на следующих леммах.
Лемма 1. Пусть К — коммутативное p-поле, L = К (В) —
сепарабельное алгебраическое расширение степени п поля k. Положим
F (X) = Ж/к (X - g) = Хп + 2
i=i
n
Пусть G (X) = 2 btXn~l — многочлен степени n— 1 из К [X].
i=i
Тогда если все коэффициенты многочлена G достаточно близки
к нулю в К., то многочлен F-[-G неприводим над К и имеет
корень в L.
Удобно продолжить modK до отображения х->- |х | алгебраи-
ческого замыкания К поля L ср значениями в R+, полагая | х | —
= mod к' (x)1/v, если К (х) с К' <= К и К' имеет степень v над X;
по следствию 2 теор. 3 гл. 1-2 это определение для заданного х в К
не зависит от выбора X'. Возьмем такое А g Rx, что | at | Аг
при 1 С i С п, и предположим, что | bt | С Вг при 1 С i С п
для некоторого B<zA. Пусть т]—любой корень многочлена
F + G в X. Тогда
п
nn = — 2 (tti +bi) Г)п~\
i—1
поэтому
| т] Г sC sup (Лг | т] |п_г),
и, следовательно, | г] |^Л. Обозначим через . . ., корни
многочлена F. Все они различны, поскольку поле L сепарабельно
над X, и все они являются образами корня £ при автоморфизмах
поля X над X. То, что мы уже доказали для т], можно применить
ГЛ. XI. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД А-ПОЛЯМИ
280
к £v, взяв G — 0. Поэтому | Sv | А при 1
v SC п. Положим
теперь
а — infl5:n<vSn I !•
Имеем 0<а^Л. Предположим, что мы взяли В<А(а/А)\
Поскольку г] — корень многочлена F + G, имеем
П 0i-^)=-S
V= 1 i=l
откуда
infv 11] - gv |n<supz (ВМ^ХВЛ"-1 < an,
так что существует v, для которого | г) — cv I < а. Отсюда, оче-
видно, следует, что | т] — SLl | а при всех р Ф v. Пусть о — авто-
морфизм поля К над К, отображающий cv на |. Заменив элемент т]
на элемент т]°, который также является корнем многочлена F + G,
мы видим, что | т] — | | < а и |т] — £v | а при всех £v =/= £.
Предположим, что L не содержится в К (rj). Тогда существует
такой автоморфизм т поля К. над К (л), что Ах Так как этот
автоморфизм должен оставлять | т] — | | инвариантным, мы полу-
чаем противоречие. Поэтому К (л) => Т. Поскольку степень эле-
мента т] над К не больше п, отсюда следует, что К (л) — Т и что
многочлен F + G неприводим.
Между прочим, поскольку каждое расширение степени п поля К
может быть, очевидно, порождено корнем нормированного много-
члена F степени п с коэффициентами в максимальном компактном
подкольце поля К, из леммы 1 немедленно следует, что поле /С
имеет лишь конечное число сепарабельных расширений заданной
степени, а значит, в силу следствия 2 предл. 4 гл. 1-4, лишь конеч-
ное число алгебраических расширений заданной степени *).
Лемма 2. Пусть К — коммутативное p-поле, R — его мак-
симальное компактное подкольцо и L — неразветвленное расширение
г) Это неверное утверждение сохранено здесь в точности в том же виде,
как и в английском оригинале, отчасти для того, чтобы позабавить читателя,
отчасти же как типичный пример ошибок, которые делают даже пишущие тща-
тельно (к категории которых, как смеет надеяться автор этой книги, его можно
отнести), когда они начинают опускать полные доказательства или пробуют
заменить их такими словами, как «аналогично», «легко видеть, что», «очевидно»
и т. п. На самом деле указанное выше утверждение для поля К характеристики
р > 0 находится в прямом противоречии с фактами, приведенными в § 3 гл. II,
если сопоставить их с результатами гл. XII. В случае когда К — поле харак-
теристики 0, утверждение справедливо.— Прим, автора к русскому изданию.
§ 3. НОРМЫ НА ПРОСТЫХ алгебрах
281
поля К. Тогда для каждого х £ Rx существует такое у L, что
Nl/k (у) = X и К (у) = L.
Пусть п — степень поля L над К, и пусть 6 — число делителей
числа п. Так как поле L циклично над К, то 6 совпадает с числом
различных полей, промежуточных между К и L. Построим сначала
е б L, для которого Nl/k (е) = 1 и L = К (е1) при 1 i 6.
Возьмем какое-нибудь общее кратное D чисел 1, 2, . . б, скажем
D = б!. Обозначим через а некоторую образующую группы Галуа
поля L над К. Для 1 h п — 1 рассмотрим отображение
? ph © = (^-ft+1gjB - (?a4“)D
поля L в себя. Это — полиномиальное отображение векторного
пространства L над К, что сразу видно, если выбрать какой-нибудь
базис в L над К и записать | с помощью этого базиса. Снова взяв
в качестве К алгебраическое замыкание поля L, мы можем продол-
жить отображение Ph на алгебру X = L ®к К над К. Теперь к этой
алгебре и к п различным изоморфизмам аг поля Ьъ К, 0 i п —
— 1, применим предложение 3 гл. Ш-2. Как и там, обозначим
через р,; К-линейное продолжение отображения аг на L и положим
<р = (ро.....Рп-i)- Упомянутое предложение показывает, что
гр есть изоморфизм из L на Кп. Отображение ц0 ° Ph ° Ф"1 из Кп
в К действует следующим образом:
(х0, . . ., хпМ) -> (xft+1x0)1’ — (XhX^,
где в случае h = п — 1 подразумевается, что хп = х0. Так как это
отображение ненулевое и так как поле К бесконечно, мы видим,
что никакое из отображений Ph не равно нулю и что можно выбрать
такой элемент g g L, для которого Ph (?) =# 0 при 1 h п — 1.
Для выбранного так | положим е = ?“?-1. Тогда Nl/a (е) = 1
и образы (еа/г)в элемента eD при автоморфизмах ah с 1 h
п — 1 Bce=^=eD, так что L = К (eD). Поскольку D делится на i
при 1 i б, то для каждого такого i имеем ев = (ег)°/;, откуда
К (eD) cz К (е'), так что L = К (ег). Возьмем теперь любой эле-
мент х g Rx. По предложению 3 гл. VIII-1 мы можем записать
его в виде х = NL/K (у^, где yr С Lx. Рассмотрим бесконечную
последовательность полей Ki = К (Ку^, i 0. Из них различных
полей может быть самое большее б, поэтому существуют такие
пары (i, j) целых чисел, что 0^/</иК; = Kj, и если мы возь-
мем такую пару, для которой / — i принимает наименьшее значе-
ние, то 0</— i б. Поскольку элементы Pyi и ^у± лежат
оба в Ki, то eJ_1 лежит в Kt- Ввиду нашего выбора е отсюда следует,
ГЛ. XI. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД А-ПОЛЯМИ
282
что Kt = L. Таким образом, у = Куг удовлетворяет требованиям
нашей леммы.
Мы можем теперь приступить к доказательству предложения 3.
Обозначим через п2 размерность заданной алгебры А над k и через
/?оо множество бесконечных точек поля k, в которых она развет-
влена. Если точка v лежит в то она должна быть вещественной,
а алгебра А„ должна быть изоморфна алгебре Мт (Н). Поскольку
отсюда следует, что п = 2m, это может случиться только тогда,
когда п четно и когда, разумеется, характеристика поля k равна
нулю. Как мы видели в гл. Х-2, приведенная норма v отображает
Мт (Н)х на Rx, поэтому v (Д х) содержится в группе у, определенной
в предложении 3.
Выберем непустое множество R' конечных точек поля k, содер-
жащее все конечные точки поля k, в которых алгебра А развет-
влена, и положим R = R' U Rx. Возьмем любую точку v из R'
и некоторый простой элемент из kv. По предложению 6 гл. Х-2
существует х„^А„, для которого v (xv) = Применяя к А
и некоторой точке о0 поля k, не лежащей в R', следствие 2 теор. 3
гл. IV-2, получаем, что можно так выбрать элемент а £ А, чтобы
его образ в Д„ был произвольно близок к xv и чтобы его образ в А„.
при всех w =£ v был произвольно близок к 1. Ввиду непрерывности
нормы v это можно сделать так, чтобы образ элемента v (а) в k„
был настолько близок к л„, чтобы являлся простым элементом в kB
и чтобы его образ в kw для каждой точки w v из R' был настолько
близок к 1, чтобы лежал в г*. Тогда a £ А х, поскольку v (а) 0.
Для всякой точки v g R' выберем элемент av £ Дх указанным
способом.
Возьмем теперь произвольный элемент £ в подгруппе у cz kx,
определенной в нашем предложении. Мы хотим показать, что £
лежит'в v (Дх). Для всякой точки и из R' положим п (и) = ordD (£)
и а = Д Заменив £ на cv (а)-1, мы видим, что достаточно
доказать наше утверждение при дополнительном предположении,
что ordD (£) = 0 для всех v £ R'. Для всякой точки v £ R' возьмем
некоторое неразветвленное расширение k'v поля kv степени п над kv.
По лемме 2 существует yv £ k'v, для которого £ = (yv) и k'v =
= kv (yv). Так как элемент ув имеет тогда степень п над kv, то он
является корнем неприводимого многочлена Fv степени п над kv,
задаваемого равенством
Fv (X) = ,k (X - уА = X" г S' “i, vXn~l + ( - 1)” В,
§ 3. НОРМЫ НА ПРОСТЫХ алгебрах
283
где aitD £ kB при 1 z /г — 1. Для всякой точки v Е положим
aitV = 0 при 1 i п — 1. Поскольку из существования такой
точки следует четность п, имеем
FB (X) = Хп + (-1)П = Xn + I.
Так как по нашему предположению £ Е у, то многочлен Fv не имеет
корней в kv = R, и значит, то же самое справедливо для каждого
унитарного многочлена степени п над R, коэффициенты которого
достаточно близки к коэффициентам многочлена Fv. Применяя
к полю k и к некоторой точке о0 поля k, не лежащей в R, следствие 2
теор. 3 гл. IV-2, мы видим, что можно так выбрать элементы сог Е k,
1 i п — 1, чтобы их образы в kv были произвольно близки
к aiiV для каждой точки v Е R. Ввиду леммы 1 и только что ска-
занного этот выбор можно произвести так, чтобы многочлен
F (Х) = ХП+ Зй(Х"-<+(-1)п|
i=i
обладал следующими свойствами: (а) для каждой точки v Е R'
многочлен F неприводим над kv и имеет корень в k'v, (b) для каждой
точки v Е Rx многочлен F не имеет корня в kv = R. Так как R'
непусто, то из (а) следует, что многочлен F неприводим над k и не
имеет кратных корней. Обозначим через £ корень многочлена F
в некотором алгебраическом замыкании поля k и положим k' =
= k (£). Возьмем любую точку v Е R' и точку w поля k', лежащую
над V. Так как пополнение поля k' относительно этой точки должно
порождаться над kv корнем многочлена F, то это пополнение, соглас-
но (а), изоморфно полю k’v, с которым мы и можем его отождествить.
Поскольку его степень над kv равна п, следствие 1 теор. 4 гл. Ш-4
показывает, что w является единственной точкой поля k', лежащей
над v, а сама эта теорема показывает, что мы можем отождествить
k’v = k'v с k' ®h kv. Аналогично (b) показывает, что при v Е R<x>
все точки поля k', лежащие над о, мнимы.
Теперь рассмотрим алгебру А' = Ah> над k'. Возьмем любую
точку w поля k' и обозначим через v точку поля k, лежащую под w.
В силу элементарных свойств тензорных произведений алгебру A'w,
которая совпадает с алгеброй А' ® k, k'w над k'w, можно очевидным
образом отождествить с Av 0 h I&,. Так как алгебра А„ тривиальна
над k„ для точек v, не лежащих в R, отсюда видно, что алгебра Ai,
также должна быть в этом случае тривиальной. При v Е Ro=> точка w
мнима, так что = С и алгебра A'J; тривиальна. Наконец, пусть v
лежит в R'. Запишем Av в виде Мтт (D (о)), где D (о) — алгебра
ГЛ. XI. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД А-ПОЛЯМИ
284
с делением над kv. Если ее размерность над kv равна d (у)2, то п =
= т (и) d (и), так что d (и) делит п. Поэтому поле k'w, неразветвлен-
ное и, следовательно, являющееся циклическим расширением
степени п поля kv, содержит поле k” степени d (и) над kv, которое,
конечно, неразветвлено над kv. По предложению 5 гл. 1-4 D (v)
содержит поле, изоморфное k". Поэтому в силу следствия 6 предл. 3
гл. IX-1 алгебра D (u)fe- тривиальна над k". Отсюда, очевидно,
вытекает, что алгебра (Лр)й- тривиальна над k", а значит, алгебра
A'w = (Д„)^ тривиальна над k'w.
Доказав таким образом неразветвленность алгебры А' во всех
точках поля k', мы можем по теореме 2 § 2 заключить, что эта алгеб-
ра тривиальна над k', т. е. что Л обладает й'-представлением в
Поэтому в силу теоремы 2 гл. IX-3 Л имеет ^-регулярную систему
факторов, где Q — группа Галуа над k' сепарабельного алгебраи-
ческого замыкания ksev поля k'. Следовательно, по лемме 4 гл. IX-3
мы можем построить некоторую алгебру размерности п2 над k,
содержащую поле, изоморфное полю k', с той же самой системой
факторов, что и Л. Поскольку отсюда следует, что эта алгебра
подобна алгебре Л, и поскольку она имеет ту же размерность над k,
что и Л, то она изоморфна алгебре Л и ее можно отождествить
с ней. При этом, как было там показано, мы имеем v (£-1А) =
= (0 = Ь
§ 4. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЯМИ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Сейчас мы объединим результаты § 1 с некоторыми результата-
ми гл. V и получим несколько основных результатов теории идеалов
в простых алгебрах над полями алгебраических чисел.
В этом параграфе k будет некоторым полем алгебраических
чисел, г — его максимальным порядком; все алгебры будут про-
стыми алгебрами над k. Напомним, что по предложению 4 гл. V-2
если L — любая fe-решетка в векторном пространстве Е над k
и если v — конечная точка поля k, то замыкание L„ решетки L
в Е„ является /"„-модулем, порожденным решеткой L в Е„.
Пусть D — алгебра с делением над k, и пусть, как и в гл. Х-1,
V, V', V" — левые векторные пространства конечной размерности
над D, отличные от {0}. Положим Н = Hom (V, V'), Н' =
= Нот (V', V"), Н" = Нот (V, V")- Если X, X' — подгруппы
аддитивных групп Н, ЕГ соответственно, то мы как обычно обозна-
чаем через XX' подгруппу в Н", порожденную элементами вида
, где % £ X, V £ X'. Легко показать, например выбрав базисы
в V, V', V" над D, что НН’ = Н". Пусть теперь L, L’ —две
§ 4. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЯМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
285
Л-решетки в группах Н и Н' соответственно (последние рассма-
триваются как векторные пространства над k). Тогда LL' является,
очевидно, конечно порожденным т:-модул ем в Я"; поскольку Н" =
— НН', это fe-решетка в Н".
Предложение 4. Пусть А — простая алгебра над k.
Тогда в А существуют максимальные порядки. Они являются
k-решетками в А, и k-решетка R в А является максимальным поряд-
ком тогда и только тогда, когда ее замыкание Rv в А„ является
максимальным порядком в А,. для каждой конечной точки v поля k.
Каждый порядок в А содержится в некотором максимальном порядке.
Пусть R — произвольный порядок в А. Тогда г-модуль,
порожденный им в А, также является порядком и одновременно
Л-решеткой. Отсюда видно, что если порядок R не является ^-решет-
кой, то он не максимален. Пусть X — любая fe-решетка в А. Послед-
няя часть теоремы 1 § 1 утверждает, что Xv является максималь-
ным порядком в А,. почти для всех v. Поэтому теорема 2 гл. V-2
показывает, что имеется взаимно однозначное соответствие между
порядками R в А, являющимися fe-решетками, и всевозможными
наборами порядков Rv в Av по всем конечным точкам v поля k,
подчиненным следующему условию: Rv является ^„-решеткой
для всех v и Rv = Xv почти для всех V. Для заданного R порядки
Rv — это его замыкания в А„, а по заданным R„ порядок R опре-
деляется формулой R = П (А П Rv). Ввиду теоремы 1 гл. Х-1
все наши утверждения теперь очевидны.
Предложение 5. Пусть D — алгебра с делением над k, V,
W — два левых векторных пространства конечной размерности
над D. Положим Н = Hom (V, W) и А = End (V), и пусть М, М'—
две k-решетки в Н. Тогда множество X элементов % из А, для кото-
рых ь.М cz М', является k-решеткой в А, замыкание которой в А„
для каждой конечной точки v поля k совпадает с множеством Х„
тех элементов х из Av, для которых xMv cz Mi. Если М = М',
то X является порядком в А.
Для каждой точки v по предложению 4 гл. Х-1 Xv является
/гв-решеткой в А„; она является порядком, если Мв = Mi. Пусть
L — произвольная ^-решетка в А. Как мы видели выше, LM являет-
ся fe-решеткой в Н, замыкание которой в Hv для каждой точки v
совпадает, очевидно, с LVMV. Поэтому почти для всех v имеем
L„MV = Mv = Mi. Отсюда следует, что почти для всех v решетка
Х„ является порядком и содержит Lv. Так как Lv — максимальный
порядок в Av почти для всех v, мы видим, что Xv = Lv почти для
всех v. Поэтому по теореме 2 гл. V-2 существует fe-решетка X' =
ГЛ. XI. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД А-ПОЛЯМИ
286
= р (Л П Xv) в Л с замыканиями Х„ для всех и. Ясно, что X cz X'.
Обратно, поскольку X' М cz М^ для каждой точки v и М' =
= П (Н П то мы имеем X' cz X. Тем самым доказательство
предложения завершено, ибо последнее утверждение теперь оче-
видно.
В обозначениях и предположениях предложения 5 множество X
в случае М = М’ называется левым порядком для М. Меняя роля-
ми правое и левое, мы видим, что множество элементов т) из В =
= End (W), для которых Mr] cz М, является порядком в В; этот
порядок называется правым порядком для М.
Предложение 6. Пусть V, W и М таковы, как в пред-
ложении 5. Предположим, что существует такой максимальный
порядок R в А = End (V), что М является левым R-модулем. Тогда
R есть левый порядок для модуля М, а его правым порядком являет-
ся максимальный порядок в В = End (IE).
Это немедленное следствие предложения 5, если учесть теоре-
му 2 гл. Х-1.
В тех же обозначениях и предположениях, что и в предложе-
ниях 5 и 6, fe-решетку М в Hom (V, IE) с левым порядком R и пра-
вым порядком S будем называть (R, 5)-решеткой; будем называть
ее нормальной решеткой, если либо R, либо S, а значит и R и S,
являются максимальными порядками. В случае когда V = W
и, следовательно, Н = А = В, нормальную решетку принято
также называть нормальным дробным идеалом. Ясно, что в этом
случае три соотношения Л'1-М Л'1, М c R, М с S эквивалент-
ны. Если они выполняются, то решетка М является левым идеалом
в кольце R и правым идеалом в кольце S; ее называют в этом случае
нормальным идеалом, или (R, 5)-идеалом. Используя изложенные
выше результаты и результаты гл. X, легко показать, что для
любых двух максимальных порядков R и S в А всегда существуют
(R, 5)-идеалы. Далее, если нормальная (R, 5)-решетка М является
максимальным левым идеалом в R, т. е. если М cz R, М =А R
и не существует левых идеалов, отличных от R и М и промежуточ-
ных между R и М, то М есть максимальный правый идеал в S
в том же смысле. В случае когда это имеет место, для всех конечных
точек v поля k, кроме одной, должно быть Mv = Rv = Sc. Если
ограничить закон умножения (М, М') -> ММ' на те пары (М, М')
нормальных решеток в А, для которых правые порядки для М
совпадают с левыми порядками для М', то нормальные решетки
образуют относительно этого закона так называемый группоид,
единицами которого являются максимальные порядки в А. Легко
§ 4. ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ПОЛЯМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
287
убедиться также, что относительно этого закона каждый нормаль-
ный идеал может быть записан, правда, вообще говоря, не одно-
значно, в виде произведения максимальных идеалов. Для дву-
сторонних идеалов и (/?, /?)-решеток имеется следующий более
точный результат.
Предложение 7. Пусть R — максимальный порядок в А.
Тогда (R, R)-peutemKu в А образуют коммутативную группу отно-
сительно закона (М, М ММ'. Это — свободная группа, порож-
денная максимальными двусторонними идеалами в R. Для каждого
простого идеала per существует один и только один такой
идеал, заключенный между R и р/?.
Это непосредственно вытекает из изложенных выше резуль-
татов и следствия 2 теор. 2 гл. Х-1.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ЛОКАЛЬНАЯ
ТЕОРИЯ
ПОЛЕЙ
КЛАССОВ
§ 1. ФОРМАЛИЗМ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
Цель теории полей классов — дать описание абелевых рас-
ширений полей изучаемого в этой книге типа, а именно локальных
полей и А-полей. В этом параграфе изложен формальный аппарат,
общий для обоих этих случаев.
Лемма 1. Пусть G = Gi X N — квазикомпактная группа,
где группа G± компактна, а группа N изоморфна R или Z, и пусть
Н — открытая подгруппа в G. Тогда, если подгруппа Н содержится
в Gi (т. е. если она компактна), то группа N изоморфна Z и Н
имеет конечный индекс в G^, в противном случае Н имеет конечный
индекс в G,
Положим Hi = И П Gi. Так как это пересечение открыто в Gt,
а группа Gt компактна, то Hi имеет конечный индекс в Gb чем
доказано наше первое утверждение. Поскольку пересечение Н |~| N
является открытой подгруппой в N, то оно совпадает с N, если
группа N изоморфна R. Значит в этом случае Н = Hi х N и груп-
па G/Н изоморфна GilHi. Пусть группа N изоморфна Z и —
какая-нибудь образующая группы N. Тогда если Н не содержится
в Gi, то в //([имеется элемент вида gyi^, где gt £ G1; р С Z, р 0.
Поскольку факторгруппа GilHi конечна, существует v 0, для
которого gi С Hi. Поэтому n^v лежит в Н, так что Н содержит
группу Н', порожденную подгруппой Н{ и элементом n^v. Тем
самым наша лемма доказана, так как, очевидно, Н’ имеет конечный
индекс в G.
Теорему 7 гл. IV-4 можно рассматривать как частный случай
леммы с G = k$Jk*, если взять в качестве Н образ группы Q (Р)
в l$Jk\
Лемма 2. Пусть G = Gt X N, G' = G't X N’ — квазиком-
пактные группы, где группы Gt и G) компактны, а группы N, N'
§ 1. ФОРМАЛИЗМ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
289
изоморфны R или Z, и пусть F — морфизм из G' в G, но не в G'.
Тогда F~r (Gt) = G'lt ядро морфизма F компактно, образ F (G')
замкнут в G и факторгруппа G/F(G') компактна.
Поскольку Gi — максимальная компактная подгруппа в G,
то F (G') содержится в Gv Для п’ 6 N' обозначим через f (jT) проек-
цию элемента F (п') 6 G в N. Тогда f есть нетривиальный морфизм
из N' в N. Следовательно, f является изоморфизмом группы N'
на некоторую замкнутую подгруппу в N, факторгруппа по которой
компактна. Отсюда сразу вытекают первое и второе утверждения.
Кроме того, мы видим теперь, что F индуцирует на группе АГ
изоморфизм этой группы на группу F (N') и что F (N') f| G( = {1}.
Поэтому группа F (G') разлагается в прямое произведение своих
подгрупп F (G') и F (N'), причем подгруппа F (G') замкнута в G.
Наконец, факторгруппа G/G^A"), очевидно, изоморфна фактор-
группе N/f (N') и, следовательно, компактна. Так как ядро есте-
ственного морфизма из G!F(G') на G/GtF(A^') совпадает с образом
группы Gi в GIF (G') и, следовательно, компактно, то факторгруппа
GIF(Gr') также должна быть компактной.
В этом параграфе объектом нашего рассмотрения, начиная
с этого места, будет некоторое поле Д; потом это будет или локаль-
ное поле, или A-поле. Как и в гл. IX, обозначим через К алге-
браическое замыкание поля Д, через Ksep — объединение всех
сепарабельных расширений поля К, содержащихся в К, и через
<3 — группу Галуа расширения Ksep над К, топологизированную
обычным образом. Через будем обозначать максимальное
абелево расширение поля К, содержащееся в К", оно совпадает
с объединением всех абелевых расширений конечной степени поля
К, содержащихся в К, т. е. всех содержащихся в К расширений
Галуа конечной степени поля К с коммутативной группой Галуа.
По определению /\аь содержится в Ksep. Обозначим через @11’
подгруппу в @, соответствующую расширению Л'аь- Это — наи-
меньшая замкнутая нормальная подгруппа в ®, для которой
факторгруппа коммутативна. Поэтому @11) совпадает
с топологическим коммутантом группы @, т. е. с замыканием
подгруппы в @, порожденной коммутаторами элементов из @.
Группу Галуа поля /<аЬ над К, которую можно отождествить
с факторгруппой @/@(1), обозначим через §1; это—компактная
коммутативная группа.
Пусть / — любой характер на @. Как и в гл. IX-4, обозначим
через ядро этого характера и через L — соответствующее группе
Sq подполе в Ksep, являющееся связанным с / циклическим расши-
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
290
рением поля X. Ясно, что Lcz/Cab и ©и), так что мы можем
отождествить % с некоторым характером на 31, который обозна-
чим также через %. Обратно, каждый характер на 31 очевидным
способом определяет характер на @, с которым мы его и отож-
дествляем. Таким образом, группа характеров на @, которую мы
будем обозначать через Хк, отождествлена с группой характеров,
на 21. Последняя группа —это не что иное, как группа 21*, двойст-
венная к 21, но групповую операцию на Хк мы будем всегда запи-
сывать мультипликативно. Мы наделяем Хк дискретной тополо-
гией, что согласуется с тем фактом, что группа, двойственная
к компактной группе, дискретна. По теории двойственнссти пере-
сечение ядер всех характеров на 21 состоит из одного нейтрального
элемента. Иными словами, пересечение ядер всех характеров х
на © совпадает с ©t1), или, что означает то же самое, поле Хаъ
порождено всеми циклическими расширениями L поля X; послед-
ний факт, разумеется, общеизвестен.
Пусть К' —любое поле, содержащее поле К. Как и в гл. IX-3,
возьмем какое-нибудь алгебраическое замыкание К' поля X' и пред-
положим, что в качестве X взято алгебраическое замыкание поля
К в К'. Тогда, как мы уже видели там, /Csep содержится в /Csep,
и если ©' — группа Галуа расширения /Csep над /<', то морфизм,
ограничения р:@' —> © отображает каждый автоморфизм поля
/Csep над /С' на его ограничение на /Csep- Очевидно, р отображает
@41) в @(1); так что он определяет морфизм из 2Г = @7@'<1)
в 21 = ©/@(1), который мы обозначим снова через р и назовем
гомоморфизмом ограничения из 21' в 21. Другими словами, /СаЬ.
содержится в /СаЬ и р переводит элемент а' £21', т. е. автомор-
физм поля /Саь над /С', в его ограничение на /Саь- Соответственно,
отображение X ~* Х°Р есть морфизм из Хк в Хк>.
В теории полей классов определяется «спаривание» группы X к
характеров на © (или, что то же самое, на 21) с некоторой локально-
компактной коммутативной группой GK, инвариантным образом
связанной с /С. В этой главе, где X будет локальным полем, мы
возьмем GK = Xх', в следующей главе, где X будет A-полем, мы
возьмем сначала GK = Ха, а затем GK = XaJXx. Спаривание,,
о котором идет речь и которое мы будем называть каноническим
спариванием,— это отображение из Хк X GK в Сх; для х £ Хк,
gQGK его значения мы будем записывать как (х, §)к- Прежде-
всего мы примем, что оно удовлетворяет следующим условиям:
[I] (i) Для всех х, х' С и всех g, g' £ GK
(хх'» §)к = (x, ё)к,
(x. gg'U = (x, s)k-(x. s')k;
§ 1. ФОРМАЛИЗМ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
291
(ii) (%, ё) (%, ё)к есть непрерывное отображение из X к X GK
в Сх.
Поскольку группа Хк дискретна, то спаривание непрерывно
(т. е. условие [I (ii)] выполняется) в том и только в том случае,
когда (х, g)x есть непрерывное отображение из GK в Сх для
каждого % g GK; в этом случае из [I (i)l вытекает, что это отобра-
жение является характером на GK, причем порядок этого харак-
тера делит порядок характера 7. Обратно, если имеет место [I (i)],
то условие [I (ii)] эквивалентно следующему:
[I (ii')] Для каждого 7 g X к ядро морфизма g ->• (х, g)K являет-
ся открытой подгруппой в GK.
Предположим, что такое спаривание задано. Тогда для всякого
g(zGE отображение %->(%, g)K является характером на Хк.
Поскольку X к — двойственная к 31 группа, то, согласно теории
двойственности, последний характер можно однозначно записать
в виде (сх), где а £ 21. Определенное таким образом отобра-
жение g->-a из GK в 21 мы будем обозначать через а, или, если
необходимо, через ак. Очевидно, что a (gg') = а (g) а (g') при
всех g, g' из GK- Непрерывность нашего спаривания, т. е. условие
[I (ii)], сразу влечет за собой непрерывность а. Таким образом,
а — морфизм из GK в 21, определенный соотношением
(1) (Х> ё)к = % (а (g)),
которое выполняется при всех / £ Хк и всех g £ GK- Мы будем
называть а каноническим морфизмом из GK в §1.
Теперь мы предположим дополнительно, что выполняется
условие
[II] Если (%, g)K = 1 при всех g £ GK, то % = 1.
Ввиду [I] это условие эквивалентно каждому из следующих
условий:
[1Г] Отображение х~> х ° а есть инъективный морфизм из X к
в группу характеров на GK-
[II"] Образ a (GK) группы GK при морфизме а всюду плотен в 21.
К нашим предположениям мы добавим еще условие квазиком-
пактности группы GK, фактически даже более жесткое условие,
которое выглядит следующим образом.
[III] Либо (a) Gk разлагается в прямое произведение некоторой
компактной группы Gk и группы N, изоморфной R, либо (Ь) GK
разлагается в прямое произведение компактной группы Gk и груп-
ГЛ. XII. локальная ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
292
пы N, изоморфной L, и для всякого целого числа п 1 существует
такой характер % g X к порядка п, что (%, g) к = 1 при всех g С Gk.
На эти два случая в [III] мы будем ссылаться ниже как на слу-
чаи [111(a)] и [III (Ь)] соответственно. В обоих случаях, как было
отмечено в гл. VI1-3, Gk можно охарактеризовать как единственную
максимальную компактную подгруппу в GK.
Начиная с этого места, мы будем обозначать через U к ядро
канонического морфизма а из GK в 21; это — пересечение ядер
характеров у ° а на GK, т. е. характеров g-*(x, g)K, по всем
X € Хк.
Предложение 1. В случае [III (а)] канонический морфизм
а определяет изоморфизм группы GKHJ к на й; каждый характер
на GK, тривиальный на Uк, можно однозначно записать в виде
X ° а, где %£ХК и X X ° а — инъективный морфизм группы
Хк в группу характеров конечного порядка на GK-
Так как каждый характер х на 21 имеет конечный порядок,
то последнее утверждение есть просто переформулировка усло-
вия [II']. Для каждого х € Хк характер рс индуцирует на под-
группе N cz Gк некоторый характер конечного порядка. Поскольку
группа N изоморфна R, других таких характеров, кроме тривиаль-
ного, не существует. Поэтому N cz U к. Если положить =
— U к П Gk, то U к = Uк X N и факторгруппу GKIU к можно
отождествить с Gk/t/k- Поскольку последняя группа компактна,
а определяет изоморфизм этой группы на замкнутую подгруппу
в 21, а следовательно, в силу [II"] на саму группу 21. Поэтому
согласно теории двойственности морфизм X“^"X°a «двойствен»,
или «транспонирован» к с и, следовательно, является изомор-
физмом из Xк на подгруппу в группе характеров на GK, ассоцииро-
ванную с Uк по двойственности; эта подгруппа состоит из харак-
теров на GK, тривиальных на U к.
Следствие. В случае [III (а)] каждый характер на Gk,
тривиальный на Uk = Uк П Gk, можно однозначно продолжить
до характера на GK вида % ° а.
В самом деле, каждый такой характер можно однозначно про-
должить до характера на GK, тривиального на N. Последний будет
тривиален на Uк и будет иметь нужный вид.
П р едложение 2. В случае [111(b)] обозначим через Хо
подгруппу в X к, состоящую из таких характеров х, что (х, g) к = 1
при всех g Е Gk- Пусть щ — образующая подгруппы N в GK- Тогда
отображение %^-(х, Щ)к есть изоморфизм группы Хо на группу
всех корней из I в С.
§ 1. ФОРМАЛИЗМ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
293
Так как каждый характер имеет конечный порядок,
то (%, g) к всегда является корнем из 1 (для всех % и всех g). Посколь-
ку Gy< и tii порождают всю группу GK, то всякий характер на GK,
тривиальный на Gk, однозначно определяется своим значением
на элементе nt. Отсюда в силу [1Г] следует, что х “*"(%> «О к —
инъективный морфизм группы Х() в группу корней из 1 в С. В част-
ности, этот морфизм переводит каждый характер % порядка п,
содержащийся в Хо, в некоторый примитивный корень п-й степени
из 1 в С. Согласно [III (Ь)], такие характеры существуют для каж-
дого п > 1. Поэтому образ группы Хо при нашем морфизме содер-
жит все корни из 1 в С.
Следствие 1. В предположениях и обозначениях предложе-
ния 2 группа G\ состоит из тех элементов g(~GK, для которых
(Х, ё)к=\ при всех xGX0.
Пусть v — любое отличное от нуля целое число. Согласно пред-
ложению 2, существует характер % £ Хо, для которого (%, п])к =£ 1,
откуда (%, n^g) к 1 при всех g £ Gk. Так как GK является объеди-
нением классов смежности n}G'k, v £ Z, наше утверждение доказано.
Следствие 2. В случае [111(b)] ядро UK канонического
морфизма а содержится в Gk, а определяет изоморфизм фактор-
группы GkIU к на пересечение §10 ядер в 21 характеров х € Хо
и а-1 (SIo) = Gk.
Первое и последнее утверждения сразу вытекают из следст-
вия 1. Положим 5B = a(Gk). Ясно, что группа 93 компактна и а
определяет изоморфизм факторгруппы Сгк/ик на 93. Кроме того,
по определению группы Хо характер х на St принадлежит Хо
в том и только в том случае, когда он тривиален на S3, так что
93 = St0.
Следствие 3. В случае [III (Ь)] каждый характер на G'K,
тривиальный на Uк, имеет конечный порядок и может быть про-
должен до характера на GK вида pa, где % — характер на §1.
По следствию 2 каждый характер на Gk, тривиальный на U к,
можно записать в виде Xi°ai. где Xi —характер на St0 и —
морфизм группы Gk на §10, индуцированный морфизмом а. Посколь-
ку Xi можно (хотя и неоднозначно) продолжить до характера х
на Я и поскольку каждый характер на St имеет конечный порядок,
отсюда вытекает наше утверждение.
Следствие 4. В случае [111(b)] отображение х-*- Х°°
является биективным морфизмом группы X к на группу характе-
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
294
ров конечного порядка на GK, тривиальных на Uк, и этот морфизм
отображает Хо на группу характеров конечного порядка на GK,
тривиальных на Gr.
Единственное, что нам надо показать,— это сюръективность
наших отображений. Возьмем сначала характер ф конечного поряд-
ка на GK, тривиальный на Gk. Поскольку i|> (щ) является тогда
корнем из 1 в С, предложение 2 показывает, что существует % С Хо,
для которого (%, П1)к = ф (ni)- Но тогда % ° а совпадает с ф на Gr
и на щ, а значит и на GK. Теперь возьмем любой характер ф конеч-
ного порядка на GK, тривиальный на Uк- По следствию 3 мы можем
найти такой характер что ф совпадает с %°а на G}'-.
Тогда характер ip' = ip-(% ° а)"1 тривиален на Gk и имеет конеч-
ный порядок, так что в силу только что доказанного его можно
записать в виде %' ° а, чем наше доказательство и завершено.
Предложение 3. Предположим, что выполняются усло-
вия [I], [II] и [III], и пусть а — канонический морфизм из GK в 31.
Для каждого расширения конечной степени L над К, содержащегося
в Яаь, обозначим через (L) подгруппу в 21, соответствующую
расширению L, и положим N (L) = а"1 (Ж (L)). Тогда & (L)
является замыканием группы а (N (L)) в И; L состоит из элемен-
тов поля Каь, инвариантных относительно a(g) при всех g £ N (L);
а определяет изоморфизм группы GK!N (L) на группу Галуа рас-
ширения L над К; отображение L N (L) осуществляет взаимно
однозначное соответствие между подполями L в Каъ конечной
степени над К и открытыми подгруппами в GK конечного индекса
в GK, содержащими Uк.
Поскольку группа Й5 (L) открыта в 21, группа N (L) открыта
в GK. Согласно [II"], группа a (GK) плотна в 21, откуда следует,
что группа a (N (L)) плотна в й) (Z.) и что а определяет изомор-
физм группы GK/N (L) на группу 21/йз(Т), которая совпадает
с группой Галуа расширения L над К. Поскольку действие группы
21 на непрерывно, каждый элемент поля 7<аЬ, инвариантный
относительно a(N (L)), инвариантен относительно ее замыкания
ЯЗ (Z,), так что он лежит в L. Наконец, пусть Я —любая откры-
тая подгруппа конечного индекса п в GK, содержащая UK. Пусть
фг, —все различные характеры на GK, тривиальные на Н.
Тогда Н является пересечением ядер этих характеров. По предло-
жению 1 в случае [III (а)] и по следствию 4 предл. 2 в случае
[111(b)] мы можем записать ipi = %i°a, где %; —харак-
теры на 21. В силу [IT] характеры однозначно определены;
они образуют конечную подгруппу в Хк, ибо ipj образуют конеч-
ную подгруппу в группе всех характеров на GK. Обозначим через
§ 1. ФОРМАЛИЗМ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
295
23 пересечение ядер характеров х, на 81. Это —открытая подгруппа
индекса п в 21, поэтому подполе L в КаЬ, соответствующее
подгруппе S3, имеет степень п над К- Ясно, что Н = а-1 (35),
откуда H = N(L). Доказательство завершено.
Следствие. В случае [III (Ь)[ обозначим через Ко под-
поле в Каь, соответствующее подгруппе й0 = a (Gk) в 21. Тогда
для всякого целого числа v 1 поле Ко содержит одно и только одно
расширение Kv поля К степени v; Kv является циклическим рас-
ширением поля К, связанным с любым из характеров порядка v,
содержащихся в XQ; N (Kv) совпадает с подгруппой в GK, порожден-
ной подгруппой Gk и элементом п\.
По следствию 2 предл. 2 имеем Gk = а-1 (210). Поэтому для
таких L и N (L), как в предложении 3, L со Ко в том и только
в том случае, когда N (L) со Gk-. Отсюда следует, что Gk и п'-
порождают всю группу N (L), если v — индекс подгруппы N (L)
в GK. По предложению 3 L является циклическим расширением
степени v над К, и если % — характер на 21, связанный с L, то
N (L) есть ядро морфизма % ° а, так что % принадлежит к Хо и имеет
порядок v. Обратно, для такого характера % ядро морфизма % ° а
порождено подгруппой Gk и элементом п\, так что L является
циклическим расширением, связанным с %.
Теперь рассмотрим циклическое расширение К' поля К, содер-
жащееся в 7<sep. Мы используем введенные выше обозначения S'.
@'(1), 21'—- S'/S'(1). Кроме того, обозначим через р морфизм огра-
ничения из S' в S, равно как и морфизм ограничения из 21' в 21.
Так как поле К' циклично над Д, то S'— открытая нор-
мальная подгруппа в О с циклической факторгруппой.
Следовательно, S ю S' то S(1> zd S'(1), и S'(1> является нор-
мальной подгруппой в S. Для каждого k g @ внутренний
автоморфизм а кстк-1 индуцирует на группе S' автоморфизм
этой группы. Поэтому для любого характера %' на S' мы можем
определить характер хч на S', полагая (o') = %'(ko-'k-1) для
каждого ст'С S'. Ясно, что Хх = х7 если k £ S', так что отображе-
ние определяет действие группы Галуа S/S' поля К'
над К на группе Хк> всех характеров на S'.
Далее, предположим, что заданы канонические спаривания
(%. ё)к, (%', ё')к’ групп Хк с Gк и Xк' с GKS причем оба спа-
ривания удовлетворяют условиям [I], [II], [III]. Для упрощения
обозначений положим G ~ GK, G' = GK', Gt = Gk, G', = Gk-.
Обозначим через а и а' соответственно канонические морфизмы
группы G в 21 и группы G' в 21', определяемые этими спариваниями.
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
296
Предположим также, что @ действует на G' и что это действие,
записываемое для любого X С @ как g' -> g'\ удовлетворяет
следующему условию:
[IV] (i) Для X g @S' отображение g’ g'K тождественно на G'.
(ii) Для всякого л £ @ отображение g' ->• g''- есть автоморфизм
групп G' и g'^g' -1 £ О] при всех g' £ G'.
(iii) Для всех %'£Хк', g' Q.G' и л £ @ имеем
g'^K’=(X', g")K'-
Наконец, предположим, что задан некоторый морфизм F из G'
в G, удовлетворяющий следующему условию:
[V] (i) Для всех g' £ G' и всех X £ @ имеем F (g'x) = F (g').
(ii) Для всех у t X и всех g' g G' имеем
(% 0 Р, ё')к’ = (%, F (g'))K.
Ясно, что [V (ii)] можно записать также в виде р«а' = a «F.
Предложение 4. Пусть К' — циклическое расширение
поля К, и пусть а, а' — канонические морфизмы, определенные
соответственно каноническими спариваниями групп Xк с G и Xк-
с G', причем для обоих спариваний выполняются условия [I], [II],
[III]. Предположим, что группа Галуа ® расширения Ksep дей-
ствует на G', что F — морфизм из G' в G и что выполняются усло-
вия [IV] и [V]. Тогда U П F (G'J = F (U' П G(), где U, U' — ядра
морфизмов а и а'. Кроме того, U f] F (G') = F (U'), если либо G'
удовлетворяет условию [III (а)], либо G, G' удовлетворяют усло-
вию [III (Ь)] и F не отображает G' в Gi.
Согласно [V (ii)], имеем р ° а' = а о F. Поэтому F (17') содер-
жится в U, а следовательно, в U П F (G'), и если положить 1Д =
= U' П G(, то F (£/') содержится в U П F (GJ). Пусть ф — харак-
тер на G, тривиальный на F (П'ф Тогда ф ° F — характер на G',
тривиальный на U\. Применяя теперь следствие предл. 1 в слу-
чае [III (а)] и следствие 3 предл. 2 в случае [III (Ь)] к характеру,
индуцированному на GJ морфизмом ф ° F, мы видим, что ф ° F
совпадает на G( с некоторым характером вида %' ° а', где %' £ Хк>.
Другими словами, при всех g' £ G' имеем
Ф (g’Y) = W, g')*'-
Согласно [IV (ii)], это равенство сохранится, если заменить gf
на g'^g'-1 с любым g' g G' и любым X £ Ввиду [V (i)] это дает
1 = (%', g'xg' = (/. ё'х)к'-(х', g')x',
§ I. ФОРМАЛИЗМ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
297
поэтому в силу [IV (iii)]
(%'. ё')к' = (/, ё'к)к- = (x'vl, ё')*'-
С учетом [II] это показывает, что характер %' инвариантен отно-
сительно X для любого X g более точно, он инвариантен отно-
сительно всех автоморфизмов группы , индуцированных на
внутренними автоморфизмами группы @. Поэтому то же самое
должно быть верно для ядра й' характера %', так что й', будучи
открытой подгруппой в с циклической факторгруппой, является
нормальной подгруппой в @. Пусть а — какой-нибудь представи-
тель в @ образующей циклической группы @/@', и пусть р —
какой-нибудь представитель в образующей факторгруппы &'/&.
Тогда й' и Р порождают О', а и а порождают следователь-
но, й'> Р и а порождают @. Таким образом, группа О/й' поро-
ждается образами а', Р' в @/й' элементов а, р. Поскольку харак-
тер инвариантен относительно отображения а’ смг'а-1, то при
о' = р мы получаем, что %' (Р) = х' (ара-1). Отсюда видно, что
ара-1р-1 лежит в ядре й' характера %', так что а' коммутирует
с Р' в @/й'. Следовательно, группа @/й' коммутативна. Поэтому
характер на @7й', определяемый характером х\ можно продол-
жить до характера на @/й'. Иными словами, х' можно продолжить
до характера х на так что мы имеем х' = X 0 Р- Ввиду [V (ii)]
из определения х' следует, что
Ф (F О = (X ° Р> й')к' = (X, F (ё'))к’
при всех ё' € G'i- Другими словами, характер ф совпадает с х ° о
на F (G'), так что он тривиален на U Q F (G')- Поскольку F ((/,') —
компактная подгруппа в G и поскольку, как уже доказано, каждый
характер ф на G, тривиальный на F (U’,), тривиален на U f) F (G'J,
мы видим, что F ((/') щ> U р F (G'). Ввиду доказанного выше этим
завершается доказательство первой части нашего предложения.
Если G и G' удовлетворяют условию [III (Ь)], то мы имеем
U' cz G' и U с G4 по следствию 2 предл. 2. Если F не отображает
G' в 6(, то мы имеем F-1 (GJ = G' по лемме 2. Поэтому U р F (GJ)
совпадает с U р F (G'), чем и завершается доказательство второй
части для этого случая. Предположим теперь, что G' = Gj X N',
причем группа N' изоморфна R. Как мы уже убедились, для каж-
дого х' € Дк' характер группы N’, индуцированный на ней мор-
физмом % ° а', будучи характером конечного порядка, тривиален,
так что N' cz U’, откуда U' = X N'. Те же рассуждения,
примененные к характеру, индуцированному на N' морфизмом-
X ° а ° Е при %ЕДк, показывают, что F(N')c^U, а поэтому
U П F (О') = (Д П F (G’^-F (V') = F (t/J) F (V') = F (£/').
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
298
§ 2. ГРУППА БРАУЭРА ЛОКАЛЬНОГО ПОЛЯ
Начиная с этого места, X будет локальным полем. Как и в гла-
ве IX, мы обозначаем через В (К) группу Брауэра этого поля и через
Н (К) группу его классов факторов. Мы отождествляем эти группы
друг с другом с помощью теоремы 3 гл. IX-3. В гл. IX-4 мы уже
вычислили эти группы в случаях К = R, К = С, и мы начнем
с того, что напомним полученные там результаты и введем неко-
торые дополнительные обозначения, которые будут полезны в сле-
дующей главе. Так как группа В (R) состоит из двух элементов,
то существует единственный изоморфизм i] этой группы на под-
группу {±1} в Сх. Для любой простой алгебры А над R положим
h (Д) = г] (С1 (Д)). Мы будем называть h (Д) инвариантом Хассе
алгебры А; этот инвариант равен +1 или —1 в соответствии с тем,
тривиальна алгебра А или нет. Группа В (С) состоит только из одно-
го элемента, и мы обозначим через i] единственное ее отображение
в {+1}; для каждой простой алгебры А над С мы пишем h (Д) =
= 1] (С1 (Д)) = Д-1 и называем это инвариантом Хассе алгебры А.
В случае К = R группа Галуа @ поля Ksep над X состоит из тож-
дественного автоморфизма е и автоморфизма х->-х поля С над R;
в случае К = С имеем @ = {е}. Для каждого характера % на @
и каждого 6 £ Xх в гл. IX-4 был определен класс факторов {%, 0}.
Отождествляя, как сказано выше, Н (X) с В (Д), мы можем теперь
для X = R или С написать
(%, 0)к = Л «X» 0}).
Ясно, что это равно 1, если X = С или если К = R и % — три-
виальный характер на в случае когда X = R и % — нетри-
виальный характер на @, как показывают результаты гл. IX-4,
(%, 0)к равно +1 или —1, в соответствии с тем, положительно
или отрицательно 0. Без труда проверяется, что определенное
таким образом спаривание является каноническим спариванием
группы X к с Xх в смысле § 1 и что оно удовлетворяет условиям [I],
[II], [III (а)]; ядро Uк канонического морфизма совпадает с С
в случае X = С и равно Rx в случае X = R.
Начиная с этого места, X будет всегда обозначать коммутатив-
ное p-поле, но иногда мы будем отмечать справедливость некоторых
наших результатов для X = R или С. Как обычно, через R обо-
значается максимальное компактное подкольцо в X, через q —
модуль p-поля X, через Р — максимальный идеал в R и через л —
простой элемент в X. Кроме того, мы используем обозначения X,
Ksep, КаЬ, 31 ИЗ § 1.
§. 2. ГРУППА БРАУЭРА ЛОКАЛЬНОГО ПОЛЯ
299
Обозначим через ЭЛ множество всех корней из 1 в К, порядок
которых^ взаимно прост с р. Ясно, что Ж — подгруппа в
Положим Ко = К (ЭЛ), и пусть £)0 — замкнутая подгруппа в @,
соответствующая полю Ко, т. е. состоящая из тех автоморфизмов
поля Ksep над К, которые оставляют инвариантными все элементы
поля Ко, или, что то же самое, все элементы множества ЭЛ. По след-
ствию 2 теор. 7 гл. 1-4 каждое конечное подмножество в ЭЛ порожда-
ет над К некоторое неразветвленное расширение поля К- Обратно,
каждое расширение поля К, содержащееся в неразветвленном
расширении, само неразветвлено, так что по следствию 3 теор. 7
гл. 1-4 оно порождается некоторым конечным подмножеством в ЭЛ.
Кроме того, по тому же следствию существует одно и только одно
такое расширение Кп степени п над К для каждого п 1. Следова-
тельно, Ко есть объединение полей Кп, п^>1. Снова используя
следствие 2 той же теоремы, получаем, что отображение р, -> р,®
группы ЭЛ в себя является автоморфизмом этой группы и что
для каждого п 1 существует один и только один автоморфизм
поля Кп над К, а именно автоморфизм Фробениуса, который совпа-
дает с этим отображением на ЭЛ П Кп- Отсюда, очевидно, следует,
что существует один и только один автоморфизм <р0 поля Ко над К,
который индуцирует на ЭЛ отображение р,-> р®. Этот автоморфизм
мы будем называть автоморфизмом Фробениуса поля Ко над К,
и каждый автоморфизм <р поля Ksep над К, который на Ко инду-
цирует фо, будем называть автоморфизмом Фробениуса поля /Cser
над К. Таким образом, автоморфизмы Фробениуса поля /Csep над К
образуют класс смежности <доф в @.
Определение 1. Характер % на называется нераз-
ветвленным, если неразветвлено связанное с ним циклическое рас-
ширение поля К- Множество всех неразветвленных характеров
на @ будем обозначать через Хо.
Ввиду сказанного выше ясно, что характер % неразветвлен
в том и только в том случае, когда циклическое расширение, свя-
занное с %, содержится в Ко, или, что тоже самое, когда характер %
тривиален на подгруппе в @, соответствующей расширению Ко
над К- Поэтому Хо является подгруппой в группе Хк всех харак-
теров на @.
Предложение 5. Пусть ф — некоторый автоморфизм
Фробениуса поля Ksep над К. Тогда отображение %->х(ф) есть
изоморфизм группы Хо неразветвленных характеров на @ на группу
всех корней из 1 в С; этот изоморфизм не зависит от выбора ф.
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
300
Ясно, что это отображение является морфизмом группы Хп
в группу корней из 1 в С. В указанных выше обозначениях цик-
лическое расширение поля К, связанное с неразветвленным харак-
тером х порядка п, совпадает с Кп- Так как <р индуцирует на Кп
автоморфизм Фробениуса поля Кп над К, порождающий группу
Галуа поля Кп над К, то % (<р) есть примитивный корень н-й степени
из 1. Поэтому морфизм из формулировки нашего предложения
и инъективен, и сюръективен. Последнее утверждение предложе-
ния вытекает из того факта, что два автоморфизма Фробениуса
могут отличаться лишь на элемент группы $0, а каждый нераз-
ветвленный характер тривиален на §0.
Теорема 1. Пусть К — коммутативное p-поле, л — про-
стой элемент в К и Хо — группа неразветвленных характеров на
Тогда отображение % -> {/, л} есть изоморфизм группы Хо на груп-
пу Н (К) классов факторов поля К, и этот изоморфизм не зависит
от выбора л.
Мы можем отождествить Н (К) с группой Брауэра В (К) поля К.
Каждый элемент группы В (К), т. е. каждый класс простых алгебр
над К, содержит одну и только одну алгебру с делением над К.
Как уже отмечалось в гл. IX-4 и еще раз в гл. Х-2, из предложе-
ния 5 гл. 1-4 вытекает, что такую алгебру можно записать в виде
\_KJK', %, л4], где п2 — размерность алгебры над К, % — некото-
рый характер, связанный с Кп, и — подходящий простой эле-
мент в К. Поэтому нашей алгебре отвечает класс факторов {%, лД.
Комбинируя предложение 10 гл. IX-4 с предложением 3 гл. VIII-1.
мы видим, что этот класс факторов не зависит от выбора л1; так
что он совпадает с {/, л}. Следовательно, отображение % -> {%, л}
есть сюръективный морфизм группы Хо на группу И (К). Посколь-
ку Кп является неразветвленным расширением степени п над К,
его модулярная степень над К равна п. Поэтому л не может содер-
жаться в Nk,i/k (К*), если пф 1. Отсюда, снова используя пред-
ложение 10 гл. IX-4, получаем, что {/, л} =/= 1 для %, связанного
с Кп, если только n #= 1, т. е. если %#= 1. Доказательство завер-
шено.
Следствие 1. Пусть Кил таковы, как в теореме 1 ,и пусть
Кп — неразветвленное расширение степени п над К и % — некото-
рый характер, связанный с Кп- Тогда IKJK', %, л] — алгебра
с делением над К-
Во всяком случае это — алгебра вида Мт (D), где D — неко-
торая алгебра с делением над К- Если d? — размерность алгебры D
над К, то D можно записать в виде (Kd/K', % , л], где %' — харак-
§ 2. ГРУППА БРАУЭРА ЛОКАЛЬНОГО ПОЛЯ
301
тер, связанный с Ха- По теореме 1 отсюда следует, что %' — х>
поэтому п = d и т = 1.
Следствие 2. Пусть ср — автоморфизм Фробениуса поля
Ksep X- Тогда существует один и только один изоморфизм т]
группы Н (X) на группу всех корней из 1 в С, для которого г] ({%, л })=
= % (ф) при всех х Е Хо, и этот изоморфизм не зависит от выбора л
и ф.
Это сразу вытекает из теоремы 1 в сочетании с предложением 5
Следствие 3. Во введенных выше обозначениях пусть Хк —
группа всех характеров на @. Для всех х Е Хки всех 0 Е Кх положим
(Х, 0)к = П ({х, 9})-
Это равенство определяет спаривание между Хк и Xх, которое
удовлетворяет условиям [I] и [111(b)] § 1.
Условие [I (i)] выполняется по предложению 8 гл. IX-4. Усло-
вие [I (ii)'] выполняется по предложению 10 гл. IX-4 и предложе-
нию 5 гл. VIII-1. Что касается условия [III (Ь)], то здесь можно
взять GK = Xх, G'K = Rx, а в качестве N взять подгруппу в Xх,
порожденную элементом л. Тогда [III (Ь)] выполняется, если
брать в качестве х любой характер, связанный с неразветвленным
расширением Хп над X степени п, что сразу вытекает из предложе-
ния 10 гл. IX-4 и предложения 3 гл. VIII-1.
Следствие 4. Для всех х Е Хо и всех 0 Е Xх имеем (х, 0) к =
= X (ф)ог£10- Если л — любой простой элемент в X, то (х. л)к —
= X (<₽)•
Последнее утверждение является переформулировкой след-
ствия 2. Поэтому первое утверждение выполняется при 0 = л,
а также, как показано при доказательстве следствия 3, при 0 Е Rx-
Отсюда сразу вытекает справедливость этого утверждения в общем
случае.
Следствие 5. Пусть Xi — некоторое поле, изоморфное
полю X, Xi — алгебраическое замыкание поля Xj и X — изоморфизм
поля X на поле Xi, переводящий X в Xi- Для каждого характера х
на @ обозначим через уф его преобразование с помощью %, т. е. харак-
тер группы Галуа поля (/Ci)sep над для которого уф (о^) =
= х (ХоуХ-1) при всех оу Е Тогда (%, 0)к = (х%> 0x)ki при всех
X Е Хк и всех 0 Е Xх-
Это сразу вытекает из следствия 2, ибо, очевидно, X переводит
простой элемент в X в простой элемент в Xi и преобразует авто-
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
302
морфизм Фробениуса поля Ksep наД К в автоморфизм Фробениуса
ПОЛЯ (Ki)sep над К1-
Начиная с этого места, спаривание группы Хк с Кх, опреде-
ленное в следствии 3, будем называть каноническим спариванием
для К. При помощи этого спаривания, как объяснялось в § 1,
строится некоторый морфизм а группы Кх в группу Галуа 21
поля Каъ над К, который мы будем называть каноническим морфиз-
мом для /С; он определяется соотношением (%, 0)к = X (а (0)),
которое должно выполняться для всех х£Хх и всех 0 £ К
Следствие 4 теор. 1 показывает, что а (л) индуцирует на Ко авто-
морфизм Фробениуса поля Ко над К, где л — любой простой
элемент в К-
Поскольку мы отождествляем группу Брауэра В (К) с'группой
Н (/С), рассматривавшейся в теореме 1 и ее следствиях, то отобра-
жение т], определенное в следствии 2 теор. 1, можно считать изо-
морфизмом группы В (К) на группу корней из 1 в С. Для каждой
простой алгебры А над К введем число h (Л) = т] (С1 (Л)); мы будем
называть это число инвариантом Хассе алгебры Л; этот инвариант
равен 1 в том и только в том случае, когда алгебра Л тривиальна.
Теорема 2. Пусть К' — расширение конечной степени
поля К, содержащееся в К', @, —группы Галуа полей Ksep
над К и Keep над К' соответственно', р — морфизм ограничения
из в @. Тогда для каждого Хк и каждого 0' Е К'х имеем
(2) (Х°Р, 0')к- = (X, Nk7k(0'))k.
Пусть f — модулярная степень поля К' над К- Тогда модуль
поля К' равен qf, и если <р, <р' — автоморфизмы Фробениуса полей
К$ер над К и K'sep над К' соответственно, то ср' совпадает с <ру
на группе Ж всех корней из 1 в К, порядок которых взаимно
прост с р, а следовательно, и на Ко = К (ЗЛ), так что р (ср') <р_/
содержится в подгруппе й0 в соответствующей полю Ко-
Предположим сначала, что характер х в (2) неразветвлен и, сле-
довательно, тривиален на $д0, так что х (р (ф')) = X (фИ- Как было
замечено в гл. IX-4, циклическое расширение поля К', связанное
с х о р, является композитом поля К' и циклического расшире-
ния поля К, связанного с х- Так как последнее расширение нераз-
ветвлено, а значит порождается элементами из ЗЛ, то же самое
верно и для первого расширения, так что характер х ° Р неразвет-
влен. Теперь мы можем к обеим частям равенства (2) применить
следствие 4 теор. 1. Согласно этому следствию, левая часть равна
X (р (ф'))г с г = ord к- (0')> а правая часть равна % (ф)® с s =
§ 2. ГРУППА БРАУЭРА ЛОКАЛЬНОГО ПОЛЯ
303
= ord к (NK'/K (9')). откуда s = fr по формуле (2) гл. VIII-1.
Итак, равенство (2) для неразветвленного характера х доказано.
В общем случае обозначим через п порядок характера х- Посколь-
ку обе части равенства (2) не меняются при замене 0' на 0'г|,п с т]'С
Е К'х, можно считать, что г = ordK- (0') ¥= 0- Как было только
что показано, если fa — произвольный неразветвленный характер
на S, то (%! ° р, О') к- = %! (q>)/r. Ввиду предложения 5 xi можно
выбрать так, чтобы Xi (ф)/г равнялось любому заданному корню
из 1 в С, в частности левой части равенства (2). Но это равенство
уже доказано для неразветвленных характеров, поэтому будет
достаточно, после замены х на XX?1, доказать наш результат при
том дополнительном предположении, что левая часть равна 1.
Предположив это, обозначим через L циклическое расширение
поля К, связанное с х- Тогда циклическим расширением поля К',
связанным с х ° р, будет композит L' полей К' и L. Так как левая
часть равенства (2) равна 1, то предложение 10 гл. IX-4 показы-
вает, что существует такое г]' £ L', что 0' = NL7k' (rf). Отсюда
в силу результатов гл. Ш-З вытекает, что NK’/k (0') = Nl7k (т1')=
= Nl/k (Nl7z. (т]/))> и то же самое предложение показывает, что
правая часть равенства (2) равна 1. Доказательство теоремы закон-
чено.
Следствие 1. Если а, а' — канонические морфизмы для
К и для К’ соответственно, то р о а' -= a°NK7K.
В силу наших определений это не что иное, как другой способ
записи равенства (2).
Следствие 2. Пусть К, К' таковы, как в теореме2. Обозна-
чим через п степень поля К' над К- Тогда для каждой простой
алгебры А над К имеем h (Лк<) = h (Л)п.
По теореме 1 класс факторов, соответствующий алгебре А,
можно записать как {х, л}. По формуле (7) гл. IX-4 морфизм
ограничения из Н (К) в Н (К') отображает класс {х, 0} на класс
{х ° р, 0} для каждого /£ХК и каждого 0 £/Сх; кроме того,
при 0 С Кх имеем Nk-/k (0) = 0п. Согласно теореме 2, отсюда
вытекает, что h (А к.) = (х ° р, л)к' = (х, лп)к = h (Л)п.
Следствие 3. Если х — нетривиальный характер на
то 0 -> (х, 0) к—нетривиальный характер на Кх.
Обозначим через п и d порядки этих двух характеров. Ясно,
что d делит п. Обозначим через L циклическое расширение поля К,
связанное с X- Пусть Xi — неразветвленный характер порядка п
на @, и пусть Кп — неразветвленное расширение степени и над К.
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
304
Положим D = tKJK; Xi, л]. По следствию 2 теор. 1 имеем h (D) =
= /j (<р), так что h (D) является примитивным корнем тг-й степени
из 1. Поэтому согласно следствию 2 h (DL) = h (D)n = 1, так что
алгебра DL тривиальна. Другими словами, D обладает Е-пред-
ставлением в Мп (Л). По предложению 9 гл. IX-4 класс факторов,
связанный с D, можно поэтому записать в виде {%, 0}, где 0 Е Кх,
и мы имеем h (D) = (/, 0)к. Значит, d = п. Тем самым показано,
что наше каноническое спаривание удовлетворяет условию [II] § 1.
Следствие 4. Если L — любое циклическое расширение
степени п над К, то (Lx) является открытой подгруппой
индекса п в Xх.
В самом деле, по предложению 10 гл. IX-4 эта подгруппа являет-
ся ядром морфизма 0 -> (/, 0)к, где % — характер на @, связан-
ный с L, а мы только что показали, что порядок этого характера
равен п.
Если К' = К или % = 1, то формула (2) теоремы 2 тривиальна;
если К' — циклическое расширение поля К, связанное с %, то равен-
ство (2) эквивалентно предложению 10 гл. IX-4, ибо в этом случае
X ° р = 1. Как сразу видно, никаких других случаев и не может
быть, если К есть R-поле. Поэтому теорема 2 справедлива и для
К = R или С, а стало быть, верны и ее следствия.
Предложение 6. Характер х на @ неразветвлен тогда
и только тогда, когда (х, 0)к = 1 при всех 0 £ Rx.
Обозначим через Х'й группу характеров, обладающих последним
свойством. Как и прежде, пусть Хо — группа неразветвленных
характеров на О. По следствию 4 теор. 1 имеем Хо cz X'. По пред-
ложению 2 § 1 отображение х (Х> я)к есть изоморфизм группы Х'о
на группу всех корней из 1 в С. Из теоремы 1 в сочетании с пред-
ложением 5 следует, что этот изоморфизм индуцирует на Хо изо-
морфизм группы Хо на ту же самую группу. Поэтому Х„ = Хо.
Следствие. Циклическое расширение L поля К неразвет-
влено тогда и только тогда, когда NL/K (Ех) содержит 7?х.|
Ввиду предложения 10 гл. IX-4 это сразу получается, если
к характеру на @, связанному с L, применить предложение 6.
§ 3. КАНОНИЧЕСКИЙ МОРФИЗМ
Итак, мы показали, что для канонического спаривания (х, 0)к
выполнены условия [I], [II], [III (Ь)], сформулированные в § 1,
а также что подгруппа Хо в Хк, определенная с помощью этого
§ 3. КАНОНИЧЕСКИЙ МОРФИЗМ
305
спаривания в § 1, совпадает в рассматриваемой сейчас ситуации
с группой Хо неразветвленных характеров на @. Как и в § 1, будем
теперь обозначать через Uк ядро канонического морфизма а
группы Кх в 51. Основной результат этого параграфа состоит
в том, что Uк = {1}. Применяя здесь результаты § 1, следует
иметь в виду, что G}< нужно теперь заменить на 7?х, щ — на про-
стой элемент л в К и N — на подгруппу в Кх, порожденную эле-
ментом л. Следствие 2 предложения 2 § 1 показывает, что U к содер-
жится в /?х и что а определяет морфизм группы /?х на пересечение
Йо ядер характеров % Е Хо, рассматриваемых как характеры
на 51. Здесь Хо согласно предложению 6 § 2 состоит из тех харак-
теров на которые тривиальны на подгруппе £j0 в @, соответ-
ствующей объединению Ко всех неразветвленных расширений
поля К- Поэтому 510 является образом группы <§0 в 51, т. е. под-
группой в 51, соответствующей подполю Ко в Каъ, или, другими
словами, группой Галуа поля К.-сь над Ко-
Предложение 7. Пусть Ко — объединение всех нераз-
ветвленных расширений поля К, содержащихся в /СйеР; Фо — авто-
морфизм Фробениуса поля Ко над К; а — канонический морфизм
группы Кх в группу Галуа 51 поля К&\> над К. Тогда для каждого
0 Е Кх автоморфизм а (0) индуцирует на Ко автоморфизм <р£,
где г = ord (0).
В самом деле, следствие 4 теор. 1 § 2 означает, что х (а (0)) =
— % (ф)г Для любого х Е Хо, где ф — автоморфизм поля Ksep
над К- индуцирующий <р0 на Ко- Иными словами, если <р индуцирует
ф' на КаЬ, то а (0) <р'_г является пересечением ядер всех харак-
теров х Е Хо, т. е. (в силу определения группы й0 и поля Ко)
а (0) <р'“г индуцирует на Ко тождественное отображение, что
и требовалось доказать.
Следствие. В обозначениях предложения 7 пусть ф' —
некоторый автоморфизм поля Каъ над К, индуцирующий ф0 на Ко-
Тогда а отображает Rx на 510 и Кх на объединение классов смеж-
ности 510ф'п по п Е Z, и это объединение всюду плотно в 51.
Это сразу вытекает из предложения 7 и условия III"] § 1.
Теперь мы рассмотрим ядро Uк морфизма а. По определению
оно является пересечением ядер характеров 0-> (х, 0)к на Кх,
где в качестве х берутся все характеры на @. По предложению 10
гл. IX-4 последнее пересечение совпадает с пересечением групп
Иь/к (Lx), где в качестве L берутся все циклические расшире-
ния поля К-
ГЛ. XII. локальная теория ПОЛЕЙ КЛАССОВ
306
Предложение 8. Пусть К' — абелево расширение конеч-
ной степени над К. Тогда Uк = NК'/к (Uк-).
Предположим сначала, что расширение К' над К циклично.
Тогда мы можем применить предложение 4 § 1, взяв F = NK-/K.
В самом деле, условия [IV (i)] и [IV (ii)], очевидно, удовлетворяют-
ся для автоморфизмов х-> хк группы К'х при всех % Q условие
[IV (iii)] выполняется по следствию 5 теор. 1 § 2; условие [V (i)J
очевидно, а условие [V (ii)] справедливо по теореме 2 § 2. Группы U
и U' из предложения 4 совпадают сейчас с Uк и U к> соответ-
ственно. При этом, как мы уже видели, U к содержится в груп-
пе NK'/.k (К'х), которая в предложении 4 обозначалась через F (G').
Этим доказано наше утверждение для циклического расширения
К' над /С
В общем случае мы можем найти такую последовательность
К, Ki, ., Кт = К' полей, промежуточных между К и К',
что каждое последующее поле циклично над предыдущим. Приме-
ним индукцию по т. По предположению индукции Ur, =
= (UК'), а по доказанному выше Uк = NKi/к (UК1),
откуда и вытекает наше утверждение.
Это доказательство можно приспособить и для любого разре-
шимого расширения, но это нам не понадобится.
Предложение 9. Предположим, что К содержит п раз-
личных корней п-й степени из 1. Тогда пересечение ядер характеров
9-> (ХпЛ, 9)к на Кх по всем £ Е совпадает с (Кх)п.
Из нашего предположения относительно поля К следует, что
п не делится на характеристику поля К', Xn,s здесь такое, как
в гл. IX-5. По определению ХпЛ наше множество является пере-
сечением ядер всех морфизмов 0-> {£, 0}п группы Кх в Н (К).
По формуле (12) гл. IX-5 («закон взаимности») это пересечение
состоит из всех элементов 0 группы Кх, для которых {0, £}n = 1,
т. е. {хп,е, 1} = 1, т. е. (хп.е, 1)к = 1, при всех g Е Кх. По след-
ствию 3 теор. 2 § 2 последнее равенство эквивалентно равенству
Хп,е = 1, которое, как было отмечено в гл. IX-5, имеет место тогда
и только тогда, когда 0 Е (КХУ‘-
Следствие. Пусть К — любое p-поле. Если п не делится
на характеристику поля К, то U к cz (Кх)п.
Из нашего предположения относительно п следует, что суще-
ствует п различных корней n-й степени из 1 в /Csep. Эти корни
порождают абелево расширение К' поля К. По предложению 9
§ 3. КАНОНИЧЕСКИЙ МОРФИЗМ
307
имеем Uк- cz (№х)п. По предложению 8 отсюда вытекает, что
ик = Nk-/k (^К<) <= Nr/к ((№х)п) с (К'х)п.
Предложение 10. Предположим, что поле К имеет
характеристику р. Тогда пересечение ядер характеров 0 -> (%р, 0) к
на Кх по всем К равно (№)”.
Обозначим рассматриваемое пересечение через Z. Поскольку
всякий характер хР1? имеет порядок р или 1, то Z является под-
группой в №', содержащей (Кх)р. Поскольку хР,% = 1 при 5 = 0»
то Z можно определить как множество, состоящее из таких эле-
ментов 0 группы №, для которых {£, 0}р = 1 при всех g £ №,
или, что то же самое, {£0, 0}р = 1 при всех | £ №• По формуле (13)
и (14) гл. IX-4 при всех £ € №, 0£№ имеем
1 = {£0, -40}р = {Н0, -Цр-Ш 9}Р,
так что Z совпадает также с множеством тех элементов 0 группы №,
для которых {t0, —£}р = 1 при всех £ £ Кх. По первой из фор-
мул (13) гл. IX-5 ZJ{O} является аддитивной подгруппой в К.
Так как Z является подгруппой в Кх, содержащей (КХУ\ мы видим,
что ZJ{0} является подполем в № содержащим №. В силу
следствия 1 предл. 4 гл. 1-4 это подполе совпадает с К. или с №.
Если бы Z J {0} совпадало с К, то все характеры вида %р, е были
бы тривиальны. Как было замечено в гл. IX-5, ядро морфизма
£ -* совпадает с образом поля К при отображении х — хр.
Из теоремы 8 гл. 1-4 сразу следует, что этот образ не может содер-
жать никакого элемента вида л-1, где л — простой элемент в К.
Поэтому характер %р,^ нетривиален при £ = л"1. Это показывает,
что ZU {0} = №, откуда Z = (№)р.
Следствие. Если характеристика поля К равна р, то
UK cz (Пк)р.
По предложению 10 Uк cz (№)”, так что каждый элемент
0 С Uк можно записать как т]₽ с т] € Кх- Возьмем любое цикли-
ческое расширение L поля К- По предложению 8 Uк = Nl/k (Ul),
и по предложению 10 UL cz (Ех)р.
Поэтому 0 можно записать как Nb/X (£р) с £ g Lx. Это дает
т)р = Nl/k (£)р. Поскольку р — характеристика поля К, отсюда
следует, что т] = Np/7r (£). Таким образом, показано, что 1] лежит
в пересечении групп Nl/k (Lx) по всем циклическим расширениям
L поля № Так как последнее пересечение совпадает с UK, наше
следствие доказано.
гл. хп. локальная теория полей классов
308
Теорема 3. Отображение х X с а является биективным
морфизмом группы X к характеров на 21 на группу характеров
конечного порядка на Кх.
Возьмем произвольное целое число п^> 1. Если характеристи-
ка поля К не равна р, то по следствию предл. 9 имеем Uк ст (Кх)п.
Если характеристика поля К равна р, то запишем п в виде п =
— п'рг, где п взаимно просто сри i>0, и возьмем любой элемент
6 g Uк- По тому же самому следствию можно записать 0 в виде
0 — где £ £ Кх. Из следствия предл. 10 с помощью индукции
по i немедленно получаем, что Uк cz (UK)pl, так .что 0 = ipjl,
где 1] g Uh. Выберем такие целые числа а, Ь, что п'а + plb = 1.
Тогда 0 — (V1!11)”- Отсюда видно, что во всех случаях Uк ст (Кх)п,
так что каждый характер на Кх, порядок которого делит п, тривиа-
лен на Uк. Поскольку это имеет место при всех п, наше заключение
сразу вытекает теперь из следствия 4 предл. 2 § 1.
Следствие 1. Канонический морфизм а группы Кх в груп-
пу Галуа 21 поля Ка\> над К инъективен.
По лемме 2 § 1, примененной к эндоморфизму х-^-хч группы
Кх, (Кх)п является замкнутой подгруппой в Кх для каждого
п>1. Отсюда следует, что (Кх)" совпадает с пересечением ядер
всех характеров на Кх, порядок которых делит п. В таком случае
теорема 3 показывает, что ядро Uк морфизма а совпадает с пере-
сечением U' групп (Кх)п по всем п 1. Ясно, что U' содержится
в 7?х. Поскольку, очевидно, компактная группа Rx вполне несвяз-
на, лемма 4 гл. VI1-3 показывает, что все характеры этой группы
имеют конечный порядок. Если л — простой элемент в К, то каж-
дый характер на Rx можно однозначно продолжить до характера
со на Кх, для которого й(л) = 1 и который поэтому будет иметь
конечный порядок. Отсюда следует, что U' содержится в ядре
каждого характера на Rx, так что U' = {!}.
Следствие 2. Канонический морфизм а индуцирует
на группе Rx изоморфизм этой группы на группу Галуа 210 поля
Каъ над объединением Ко всех неразветвленных расширений поля К,
содержащихся в К-
Это сразу вытекает из следствия 1 и следствия предл. 7.
Теорема 4. Пусть К' — расширение конечной степени
над К, содержащееся в К- Положим L = К' П Коъ- Тогда при
0 Е Кх автоморфизм а (0) тождествен на L тогда и только тогда,
когда 0 лежит в Nk-/k (К'х')-
§ 3. КАНОНИЧЕСКИЙ МОРФИЗМ
309
Обозначим через р морфизм ограничения из 31' в 21 и положим
Ж = р (21'). Элемент поля Каь инвариантен относительно 35 в том
и только в том случае, когда он лежит в /С', а тогда он лежит в L.
Поэтому й является подгруппой в 21, соответствующей полю L.
Положим X = а-1 (3b) и X' = NK//K (К'х)- Нам нужно доказать,
что X = X'. По лемме 2 § 1 X’ является замкнутой подгруппой
в Кх. Если п — степень поля К' над К, то NK'/K (0) = 0'1 при
0 6 Кх, так что X' дэ (КХУ. Поэтому если ф — характер на К',
тривиальный на X', то он тривиален на (Кх)'г и, следовательно,
его порядок делит п, а значит по теореме 3 его можно записать
в виде х ° а, где Поэтому характер х°а°Нк'/к три-
виален на К'х- Но по следствию 1 теор. 2 § 2 этот характер совпа-
дает с х°Р°а/> так что должен быть тривиальным характер
X ° р на 21' и, следовательно, характер х на Р (21') = й, а значит,
характер ф на X. Отсюда видно, что X' лэ X. Обратно, если 0 =
= NK-/K (6') с 0' g К'х, то следствие 1 теор. 2 § 2 дает равенство
а (0) = р (а' (0')). Так как последний элемент лежит в 35, то
мы видим, что Х'сХ, чем и завершается доказательство нашей
теоремы.
Следствие 1. В предположениях и обозначениях теоремы 4
пусть ® — подгруппа в 21, соответствующая полю L. Тогда
Nl/k(Ax) = NK7K (К'х) = а’1 (й).
Последнее равенство является точной переформулировкой тео-
ремы 4. Применяя теорему 4 к К' = L, получаем, что Nl/k (Ах) =
= а-1 (35).
Следствие 2. Для каждого расширения L конечной степе-
ни над К, содержащегося в КаЪ, обозначим через 33 (Л) подгруппу
в 21, соответствующую полю L, и положим N (L) = NL/K (£')
Тогда N (L) = а-1 (Зз (Л)); Ж (Л) является замыканием подгруппы
a (N (Л)) в 21; L состоит из элементов поля /Саъ, инвариантных
относительно а (0) при всех Q £ N (L), и а определяет изоморфизм
группы KXIN (L) на группу Галуа 21/35 (Л) поля L над К. Кроме
того, L-+ N (L) является биективным отображением подполей
в Каъ конечной степени над К на открытые подгруппы конечного
индекса в Кх.
Если учесть теоремы 3 и 4, то все это является переформулиров-
кой предложения 3 § 1.
В случае когда L и N (L) таковы, как в нашем следствии, при-
нято говорить, что L —• поле классов для подгруппы N (L) в Кх.
При применении последнего следствия часто полезно иметь в виду,
ГЛ. XII. локальная теория полей классов
310
что, согласно лемме 1 § 1, открытая подгруппа в 7<х имеет конеч-
ный индекс в Кх тогда и только тогда, когда она не водержится в Rx.
Следствие 3. Пусть К и К' таковы, как в теореме 4,
и пусть М — подполе в конечной степени над К- Обозначим
через М' композит полей М и К'. Тогда
(М'х) = Nk'/k (Nm/k (МхУ).
По следствию 2 группа NM/K (Мх), совпадающая с N (М),
состоит из тех элементов 0 в Кх, для которых автоморфизм а (0)
оставляет инвариантным каждый элемент поля М. Аналогичным
образом NM7K'(Af'x) состоит из тех элементов 0' в К'х, для
которых а' (0') оставляет инвариантным каждый элемент поля М'.
Последнее условие выполняется в том и только в том случае, когда
р (а' (0')) оставляет инвариантным каждый элемент поля М.
В силу следствия 1 теор. 2 § 2 это означает, что a (Nk'/k (0'))
оставляет инвариантным каждый элемент из М, т. е. что Nk'/k (0')
содержится в Nm/k(A1x).
Легко видеть, что теорема 4 и ее следствия сохраняют силу
и для R-полей; то же относится и к теореме 3.
§ 4. ВЕТВЛЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИЙ
Изложенная выше теория была бы неполной без описания
свойств ветвления абелевых расширений поля К и, в частности,
их дифферент и дискриминантов. Как показано в гл. VIII-3, эти
свойства можно полностью выразить с помощью распределения
Хербранда на группе Галуа SI поля Каь над К. Мы начнем с неко-
торых предварительных результатов, первый из которых не имеет
прямого отношения к абелевым расширениям и может быть рас-
сматриваем как добавление к гл. VIII-3.
Принимая те же обозначения, что и в гл. VIII-3 (например,
в предложении 9 этой главы), обозначим через К' расширение
Галуа поля К. степени п с группой Галуа g = д0 и через gv,
v^>l,— высшие группы ветвления поля К' над К. Обозначим,
далее, через 7?, 7?' максимальные компактные подкольца в К, К'
и через Р, Р' — максимальные идеалы в R, R' соответственно.
Через е будем обозначать нейтральный элемент группы д.
Предложение И. Пусть е — индекс ветвления поля К'
над К, и пусть P'd — дифферента этого расширения. Возьмем
h 1, z Е Р"1 и положим
NK7k (X - г) = Хп + а,Хп-г + . . . + ап,
где X — независимая переменная. Тогда:
§ 4. ВЕТВЛЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИЙ
311
(i) если v (л) h + 1 при всех е, то при 1 еС; i :С п имеем
е -ord к (а,) h + d — е + 1;
(ii) если v (A.) ft при всех А у= 8, то при 2 еС; [ <у п имеем
е-ordк {at)> h + d — е - j- 1;
(iii) если v (A) h + 1 при всех k^= 8, то при 1 e^ i eC n имеем
ordK (аг) > h;
(iv) если v (A) h + 2 при всех k y= 8, то при 1 eC; i <C n — 1
имеем
ord к (аг) > h.
Поскольку —aY = TrK-/K (г), то неравенство в (i) при i = 1
сводится к следствию 1 предл. 4 гл. VIП-1, причем его справед-
ливость не зависит от сделанного в (i) предположения относитель-
но V. (%). В общем случае имеем
(3) (— 1)’ Gi = • • • г\
где сумма берется по всем наборам из i различных элементов груп-
пы д, или, что то же самое, по всем подмножествам f = {А1; . . ., Аг}
в д, состоящим из i элементов. Для всякого такого подмножества f
положим
г(() = гХ1гх2 ... z\
Возьмем какое-нибудь такое подмножество f и для всякого
ogg обозначим через fa образ подмножества f при трансляции
к ко группы д. Пусть f) — подгруппа в д, состоящая из таких
элементов а, для которых fa=f. Обозначим через I порядок
группы I) и выберем некоторую полную систему {р15 . . ., рг} пред-
ставителей левых классов смежности t)p в g по 1). Ясно, что f
является дизъюнктным объединением правых классов смежности
pl) в g по щ Возьмем какое-нибудь полное множество ш =
= {цр .. ., Цт} представителей этих классов смежности, так что f
является дизъюнктным объединением классов смежности .
при этом i = ml. Положим ш = г(ш) и обозначим через
К" подполе в Л", соответствующее подгруппе 1} в д. Мы имеем
z (f) = [J w<! = Nkvk’ И •
В силу нашего определения группы 1) множества 1)р1; . . ., ljpr
попарно не пересекаются. Поскольку в каждом из них столько же
ГЛ. XII. локальная теория полей классов
312
элементов, сколько и в j (а именно i), то все члены z (f pj), 1 j
г, встречаются в правой части равенства (3). Так как р; инду-
цируют на К" все различные изоморфизмы поля К" в К, то сумма
этих членов равна
(4) 2 z (fPj) = 2 2 (f)Р-* = S Nk'/к» (ю)р^ = TrK^/K (Nk'/к» (zjy)) •
j i i
Следовательно, правую часть равенства (3) можно записать как
сумму членов, каждый из которых имеет вид, указанный в правой
части равенства (4). Далее для каждого из этих членов имеем
ml = I, где I — порядок группы I), т. е. степень поля К' над К".
Теперь остается только доказать наши неравенства для всякого
члена такого вида, причем ordK- (да) >- mh ввиду нашего пред-
положения относительно z и определения да. Обозначим через е'
индекс ветвления и через /' модулярную степень поля К.’ над К",
так что I = e'f по следствию 6 теор. 6 гл. 1-4. Тогда по формуле (2)
гл. VIII-1 порядок элемента NK'/k" (оу) в К" не меньше f'mh.
Обозначим через е" индекс ветвления и через d" показатель диф-
ференты поля К" над К. Если ® — порядок в К правой части
равенства (4), то по следствию 1 предл. 4 гл. VIП-1 имеем
е"со > f'mh + d" — е" + 1.
Поскольку е = e'e", i = ml и e'f = /, отсюда следует неравенство
еы ih + e'd" — е + е'.
Если теперь обозначить через d' показатель дифференты поля К'
над К", то следствие предл. 4 гл. VIII-1 дает равенство d = e'd" +
+ d', так что наше последнее неравенство можно переписать так:
ею ih + (d — е + 1) — (d' — е' + 1).
Согласно формуле (9) гл. VIII-3, примененной к К' и К", имеем
d'-e'+l = 2(v (%)-1)+,
х
где сумма берется по всем Z е в 1), причем, как было там отмече-
но, число положительных членов в этой сумме не превосходит
е' — 1. Если выполняется предположение части (i), то каждый
из этих членов не больше h, что дает
d’ — е’ + 1 (е' — 1) h,
а потому
еаз — (h + d — е + 1) (г — е') h.
§ 4. ВЕТВЛЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИЙ
313
Поскольку е' :=4 I :С i, этим доказана часть (i) нашего предложе-
ния. Если выполняется предположение части (ii), то тем же самым
способом получаем неравенство
d' — е' + 1 <: (е' — 1) (ft — 1),
откуда
есо — (ft d — е 1) i — 1 4~ (i — е') (ft — 1);
правая часть не может обращаться в нуль при i =/= I; тем самым
доказано (ii). Далее, если мы применим формулу (9) гл. VIII-3
к К' и К, то получим, что
(d-e+ l)-(d'-e' + l) = У (v(ft)- 1)+,
где сумма берется теперь по всем ft Е 9 — и состоит из п — I
членов, так что она не меньше (п — /) ft, если выполняется пред-
положение части (iii). Мы приходим к неравенству
е (со — ft) ;> (i 4- п. — I — е) ft,
чем доказано (iii), поскольку I <2 i и е <2 п. Аналогичным образом
из предположения части (iv) вытекает неравенство
е (со — ft) (i 4~ п — I — е) ft 4- п — I.
Так как I i, е п, I <2 п, то правая часть не может равняться
нулю, за исключением случая, когда I = i, е = 'п, I = п и, зна-
чит, i = п. Тем самым доказано и (iv).
Следствие 1. В обозначениях предложения 11 пусть снова
ft>- 1 и z С P'h. Тогда:
(i) если v (ft) ft 4- 1 при всех ft =4= е, то
e-ordx (NK'/K (1 + z) — l)>ft + d — е4~ 1;
(ii) если v (ft) -<4 ft при всех ft =#= е и ft = ре — (d — е 4~ 1), где-
р £ Z, то
NKyK (1 1 (РР), NK7K (1 4- 2) = 1 4- ТГК7К (z) (Рр+1);
(iii) если v (ft) 4> ft 4~ 1 при всех ft =4= е, то
NK4K (1 4- г) 1 (Рл);
(iv) если v (ft) ft 4- 2 при всех К е, то
Nk7k (1 + г) == 1 4- NK-/K (г) (Pft+1).
В самом деле, в обозначениях предложения 11 имеем
Nk7k(1 + z) = 1 +2 (-iy ai.
i=i
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
314
Четыре утверждения нашего следствия немедленно вытекают поэто-
му из соответствующих утверждений предложения 11.
Следствие 2. В предположениях части (ii) следствия 1
имеем
Nk'/k (1 + P'h) = 1 + Рр.
Так как d — е + 1 > 0, то из этих предположений следует,
что h :С; ре, откуда р 1. Согласно части (ii) следствия 1 NK'/k(1 +
+ P,/l) содержится в 1 + Рр. Обратно, возьмем любой элемент
х0 Е Рр- Тогда по индукции можно определить две последователь-
ности (х0, xit . . .) и (г0, zit . . .) с Xt Е Рг+Р и гг Е P,ie+h при
всех i 0, выбирая для всякого i 0 элемент гг Е Р'ге+\ для
которого Тгк'/к (г2) = xt, что можно сделать в силу предложения 4
гл. VIII-1, и полагая затем
Xi+l = (1 + Xi) Nk'/Д- (1 + Zi)-1 — 1.
Из части (ii) следствия 1 сразу вытекает, что этот элемент лежит
в pl+i+pt чт0 и требовалось. Очевидно, 1 + х0 = Nr'/k (у), где
оо
у задается сходящимся произведением у — П U + гг). Посколь-
ку у лежит в 1 -J- P'h, наше следствие доказано.
Предложение 12. Пусть К и К' такие, как выше. Пред-
положим, что v (л) принимает одно и то же значение i 2 для всех
е в д. Тогда ^к’/к .(1 + P'h) <= 1 + Ph при 1 h i
и Nk'/k (1 + Р'г-1) cr 1 -j- Р1 в том и только в том случае, когда
степень п поля К' над К равна модулю q поля К-
При наших предположениях высшие группы ветвления поля К'
над К задаются следующим образом: gv = g при v i и gv =
= {е} при v > i + 1- Поскольку gt = g, то е = п. Поле К.'
имеет модулярную степень f = 1 над К и тот же модуль q, что и К-
По формуле (9) гл. VIII-3 имеем d = (п — 1) i. Беря h = i в части
(i) следствия 1 предл. 11, получаем для этого случая наше первое
утверждение. В случае h < i это утверждение сразу вытекает
из части (iii) следствия 1 того же предложения. По следствию 3
предл. 9 гл. VI11-3 степень п поля К' над К делит q. В силу того же
предложения если мы возьмем простой элемент л' в К' и положим
ух = л'Чг'-1 при всех % Е то отображение X -> ух переводит g
в множество Y элементов из 1 + Р'г~\ попарно несравнимых
друг с другом по модулю Р,г. В частности, У образует полное
множество представителей классов смежности в 1 + Р'1-1 по
§ 4. ВЕТВЛЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИИ
315
1 + Р'1 в том и только в том случае, когда п — q. Так как, очевид-
но, Nk'/k (z/a.) = 1 при всех %, отсюда видно, что Nk-/k (1 + Р'г~г)
совпадает с Nk'/k.(1 + Р'г) при п = q. Следовательно, если п = q,
то Nkvk (1 + Р'1-1) содержится в 1 + Рг. Для доказательства
обратного утверждения возьмем z £ К'х, для которого ord#' (z) =
= i — 1. Как и в доказательстве предложения 11, запишем
Nk7k(X-z) =Хп+ V
з=1
Тогда ап = Nk’/k (—z), так что по формуле (2) гл. VIII-1 ordK (an)=
= i — 1. Полагая h = i — 1 в части (i) предложения 11, получа-
ем, что ord к (о,-) + i — 1 при 1 + j + п, так что если положить
Ь; = а}1ап, то все Ь} будут лежать в R. Возьмем теперь любой
элемент у из 1 + Д'1'1. Поскольку (1 — y)lz лежит в R' и К' имеет
тот же самый модуль, что и К, то существует а Е R, для которого
(1 — y)/z = а по модулю Р', или, что то же самое, у = (1 — аг) и,
где и Е 1 + Р'г. Поэтому Nk'/k (и) лежит в 1 + Р1, так что мы
имеем
Nr'/k (у) = Nk'/k (1 — az) =
= 1+3 aJa] = 1 + Gn (an + 3 (Д’)-
3=1 3=1
Для 1 <2 j n — 1 обозначим через bj образ элемента bj в поле
R/Р при каноническом гомоморфизме кольца R на это поле. Тогда
написанная выше формула показывает, что NK'/k (у) содержится
в 1 + Р1 в том и только в том случае, когда образ элемента а в том
же поле является корнем многочлена Тп + У bjT\ В частности,
если это имеет место при всех у, то все элементы поля R/Р должны
быть корнями последнего многочлена, так что «+><?, чем и завер-
шается наше доказательство.
Предложение 13. Пусть л — простой элемент в К.
Для всякого v +- 1 обозначим через Nv подгруппу в Кх, порожденную
элементом л и подгруппой 1 + Pv, и через Kv подполе в /<аь, для
которого N (К v) = Nv в смысле следствия 2 теор. 4 § 3. Пусть
g(v) — группа Галуа поля Kv над К и av — морфизм группы К*
на g-v> с ядром Nv, определенный каноническим морфизмом а
группы К*. Пусть 1, —высшие группы ветвления поля
Kv над К. Тогда = g(v); при 1 р v и qf>~1 < i qp
имеем gi'’ = av (AQ-
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ теория полей классов
316
Фиксируем некоторое v 1 и упростим обозначения, употребляя
символ N вместо Nv, L вместо Kv, g вместо g<v\ дг вместо
Как и в гл. VIII-3, для всякого г О 1 обозначим через gt число
элементов в дг. Тогда gi делит gj при j. Поскольку группа g
изоморфна группе №7А, то степень поля L над К равна индексу
подгруппы N в /С, который равен п = (<у — 1) По следствию
предл. 6 § 2 для максимального неразветвленного расширения L'
поля К, содержащегося в L, имеем N (L,y) = ДХД. Поскольку
ДХД = /С, то мы получаем, что L' = К. Другими словами,
поле L вполне разветвлено над К, его индекс ветвления равен
е = п, и мы имеем gi = д. Кроме того, L имеет тот же самый
модуль q, что и К, и то же самое должно выполняться для всех
полей, промежуточных между К и L, так что если К сд К' сг Д'" сг
сг L, то поле Д'" вполне разветвлено над К'. По следствию 1 предл. 9
гл. VIII-3 gi/gi+r делит q при всех I 2. Поэтому gjg2 = q — 1.
Положим /у = 0 и г, = (g2 + • • + gi}/n при всех i 2.
Для всякого целого числа р 0 обозначим через i (р) наибольшее
среди всех I, для которых г; <2 р. Предположим, что rt < р <
< ri+i при некотором р 0 и i 1. Тогда 0 < рп — (gz + -
• • • + gi) <g;+i, что явно невозможно, поскольку п, g2, . . ., gi
делятся на §г+1. Поэтому при всех р имеем ri(p) = р. Далее i (0) — 1
и i (р) > 1 при р > 0. Возьмем любое р, для которого 0 <2 р < v,
и положим i = i (р). Пусть К', К” — подполя в L, состоящие
из элементов, инвариантных относительно дг и д;+1 соответ-
ственно. Тогда, группу Галуа д" поля К" над К' можно отожде-
ствить с дг/д;+1. Если р = 0, то i = 1 и степень поля К" над К'
равна gjg2 = q — 1.
Начиная с этого места предположим, что 1 р < V. Покажем,
что в этом случае степень поля К" над К' равна q. Заметим сначала,
что высшие группы ветвления g", поля К" над К' задаются с помощью
формулы (11) гл. VIII-3, примененной к К', К" и L. Поскольку
поле К" вполне разветвлено над К', его индекс ветвления совпа-
дает с его степенью над К' и упомянутая формула сразу показы-
вает, что v (о") = i при всех о" Е д", кроме тождественного авто-
морфизма, так что д) — д" при j <2 i и д') = {е} при / >- t + 1.
Аналогично для группы Галуа поля Д' над Д запишем д' =
— д/дг и обозначим через д) высшие группы ветвления этого рас-
ширения. В точности тем же способом находим, что д) совпадают
с образом дДд, группы д7- в д' при /<г и что д) = {е} при i.
Пусть Д', Д" — максимальные компактные подкольца в К', К"
и Д', Р" —максимальные идеалы в Д', R” соответственно.
Поскольку поле К' вполне разветвлено над К, его индекс ветвле-
ния е' совпадает с его степенью п' = n/gt. Поэтому если P'd' —
§ 4. ВЕТВЛЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИЙ
317
его дифферента над Р, то формула (10) гл. VIII-3 дает
d' — е' + 1 = 3 (.(gi/gi) — 1) = riti/gt — i+ 1 = рп' — i + 1.
J=2
Возьмем любое z £ L, для которого ordL (z) i — 1, и положим
y = N'l'K" (z), так что v £ P"1-1. Применяя к К" и L часть (iv)
следствия 1 предл. 11 с h = i — 1, получаем
Nb/K" (1 + г) = 1 + V (Р"1).
Определим теперь элемент w в К' равенством
1 + w = Nl/k' (1 + z) = Nk»/k' (Nl/k" (1 + z)).
Применяя к К', К" первое утверждение предложения 12 с h = i,
получаем
1 + w = N^/K, (1 + v) (Рн).
Полагая h = i — 1 в том же утверждении предложения 12, нахо-
дим, что w Е Р'1-1. Теперь к К и К' можно применить часть (ii)
следствия 1 предл. И, взяв h = i — 1. Это даст
Nl/k (1 + z) = NK'/k (1 + w) == 1 + Тгк'/к (да) (РР+1).
По определению поля Kv и следствию 2 теор. 4 § 3 последний эле-
мент должен лежать в Nv = N и, следовательно, в Nv Г) Рх, т. е.
в 1 + Pv. Так как р < v, отсюда следует, что Тгк'/к (да) лежит
в Рр+!. Учитывая найденные выше значения для е' и d' — е' + 1,
убеждаемся с помощью предложения 4 гл. VIII-1, что Тгд-/к
отображает Р'1-1 на Рр и Р'1 на Рр+1. В частности, существует
такое да' Е Р' -1, что ТгК7к (да') не лежит в Рр ~1. Если бы
ord#' (да) = i — 1, то элемент да'да-1 лежал бы в Р', так что имело
бы место сравнение да'да-1 = а (Р'), где а Е Р, ибо К' имеет тот же
самый модуль, что и К; это сравнение можно было бы переписать
в виде да' = ада (Р'г), откуда следовало бы, что
Тгк'/к (да') = а ТгК7К (да) 0 (Рр+1)
вопреки нашему предположению. Отсюда видно, что да лежит в Р'г,
другими словами, что Nk'/k' (1 + у) лежит в 1 + Р'г, только
если v = Nr /,-» (г), где z Е L и ordr. (г) i — 1. Выберем теперь
такое z0 Е Ех, что ordL (г0) = i — 1, и положим у0 = N£/K„ (г0),
так что ord_K" (уо) = i— 1. Обозначим через Мх группу корней
(q — 1)-й степени из 1 в К и возьмем г = pz0 с р Е Мх. Так как
степень поля L над К" равна gi+i и так как gjlgj+i делит q при всех
j 2, то v = цРи0, где Q = g;+1 делит некоторую степень числа q
ГЛ. XII. локальная теория полей- классов
318
и, следовательно, взаимно просто с q— 1, так что р,-> pQ есть
автоморфизм группы Мх. Поэтому, когда р пробегает множество
М = 2ИХ U {0}, 1 + v пробегает некоторое полное множество
представителей классов смежности в 1 + Р”1-1 по модулю 1 + Р"\
Так как NK«/K' (1 + и) лежит в 1 + Р'г для всех таких элемен-
тов v, то предложение 12 показывает прежде всего, что (1 +
+ Р"1-1) содержится в 1 + Р'г, и далее, что степень поля К" над К'
равна поэтому q.
Другими словами, мы показали, что gi(p/gi(p>+i = q при 1
р v — 1, а раньше было установлено, что при р = 0 эта
дробь принимает значение q— 1. Поскольку
сю
г=1
отсюда следует, что gt = gt+x для любого г, отличного от i (0) = 1,
i (1), . . ., i (v — 1). Поэтому g7- = gi(p)+1 при i (p) < j < i (p+1),
так что подгруппа gi(p+i> в 9пр> имеет индекс q при 1 +( р < v,
в то время как при р = 0 этот индекс равен q — 1. Индукцией
по р сразу получаем, что gZ(p> = <7V-P ПРИ 1 + р ++’. Из опреде-
ления целых чисел г, вытекает теперь, что
П(р+1> +р> ~ (§Тр>+1 + • • • + §г<р+1>)(и =
= (t (р + 1) — I (р))
при 0 +( р < V. Поскольку r,(p) = р, то левая часть равна 1, откуда
t (р + 1) — i (р) = (q — 1) qp.
Поэтому с помощью индукции по р находим, что i (р) = qp.
Чтобы завершить доказательство, заметим, что найденные выше
значения для е' nd1 — е' + 1 позволяют применить к полю К
и полю К', введенному выше, следствие 2 предл. 11 с h = i — 1.
В силу этого следствия 1 + Рр совпадает с (1 + Р'1-1)
и, следовательно, содержится в группе N' = NK-/K (К'х), свя-
занной с К' согласно следствию 2 теор. 4 § 3. Так как N' содержит
группу N = Nv, связанную с L = Kv, то N’ содержит л и, сле-
довательно, группу Np, порожденную элементом л и подгруппой
1 + Рр. Пусть av — определенный в нашем предложении мор-
физм группы Кх на g = g(v) с ядром Nv. По следствию 2 теор. 4
§ 3 этот морфизм отображает N' на подгруппу gi(p) в д, соответ-
ствующую полю К'. Поэтому дг(р> содержит av (Np) при 1 +( р <
< v. В силу наших определений то же самое очевидно верно и для
р = 0, если положить No = Кх, а также для р = v.
§ 4. ВЕТВЛЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИЙ
319
Теперь индукцией по р докажем, что ghp) = av(Np) при
О р V. Это верно при р = 0. Предположим, что gi(p-i> =
= av (Np-i), и пусть N' такое, как выше. Мы уже видели, что
группа N' содержит Np; далее, она содержится в N^, поскольку
дцР) содержится в Ее индекс в Np^ совпадает с индексом
подгруппы gi(p) в 9i(p-i), который равен q — 1 при р = 1 и равен
q при р > 1. Тем самым ее индекс совпадает с индексом подгруппы
Np в Np_i, и мы получаем, что N' = Np. С учетом уже доказанного
этим завершается доказательство нашего предложения.
Следствие. В обозначениях предложения 13 индекс вет-
вления поля Nv над К совпадает с его степенью и задается формулой
ev = (q — 1) <7V-1. Если dv — показатель дифференты поля Kv
над К, то dv/ev = v — (q — I)-1.
Значение ev уже было вычислено выше; значение dv можно
сразу получить, применяя предложение 13 и формулу (10) гл. VIII-3.
В результате получаем искомую формулу.
Как будет вскоре показано, в предложении 13 по существу
вычисляется распределение Хербранда на группе Галуа ?! поля
Каь над К, являющееся главным объектом изучения в этом парагра-
фе. Напомним, что это распределение было определено в гл. VIII-3
как некоторая линейная форма f -> Н (/) на пространстве всех
локально постоянных функций на 21. Как там объяснялось, харак-
теристическая функция fx любого открытого и замкнутого под-
множества X в 21 локально постоянна; для таких функций мы
пишем Н (X) вместо Н (fx)- Таким образом, X -> Н (X) есть
конечно аддитивная функция от X.
Лемма 3. Пусть Н — распределение Хербранда на 21. Тогда
существует единственное распределение Но на 210, для которого
Н (/) = Но (/о) для любой локально постоянной функции f на 21
и индуцированной ею функции f0 на 2Г0-
Пусть 2S — произвольная открытая подгруппа в 21 и L — подполе
в Каь, соответствующее группе $8. Пусть, далее, Ко то же, что
и в § 2, т. е. объединение всех неразветвленных расширений
поля К, так что 210— подгруппа в 21, соответствующая полю Ко-
Тогда максимальное неразветвленное расширение Lo поля К, содер-
жащееся в L, совпадает с Ко П В и соответствует подгруппе 2S2(O
в 21. Если Й5а — произвольный, отличный от Й класс смежности
в 21 по $8 и ос индуцирует на L автоморфизм X, то число Н (ЭЗос)
по определению равно —v(X)/e, где е — индекс ветвления поля L
над К; это число равно 0, если автоморфизм X нетождествен на Lo,
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
320
т. е. если Йух не содержится в другими словами, если
й:сх П 210 = 0 • Так как функция Н конечно аддитивна, отсюда
следует, что Н (X) = 0, если X П 210 = 0, и Н (f) = 0, если локально
постоянная функция f равна нулю на 210-
С другой стороны, возьмем любую локально постоянную функ-
цию fo на SIo- Поскольку 210— компакт, то функция f0 равномерно
непрерывна, так что существует открытая подгруппа Й5 в 21, такая,
что /0 постоянна на каждом классе смежности в 210 по Йз'П210.
Поэтому f0 можно однозначно продолжить до функции f на 21,
постоянной на каждом классе смежности в 21 по Й5 и равной нулю
вне Йз21о. Если положить теперь Но (f0) = Н (f), то Но, очевидно,
будет удовлетворять требованию нашей леммы.
С очевидными изменениями в обозначениях лемма и ее дока-
зательство остаются верными и для распределения Хербранда
на группе Галуа любого расширения поля X, не обязательно
абелева. Но это нам не понадобится.
Поскольку канонический морфизм а из Xх в 21 изоморфно
отображает на 210, мы можем с помощью обратного изомор-
физма перенести на R* распределение Но из леммы 3. Тем самым
мы определим некоторое распределение Ня на R*. Продолжим
его до распределения НА на Х\ полагая Нк (X) = Нд (X П Rx)
для каждого открытого и замкнутого подмножества X в Xх- Мы
будем называть Нк распределением Хербранда на Xх. В очевид-
ном смысле носитель этого распределения содержится в R*. В силу
определения распределения Но имеем Н (/) = Н к (f ° а) для каж-
дой локально постоянной функции f на 21 и Н (X) = НА (а-1 (X))
для каждого открытого и замкнутого подмножества X в 2L Описа-
ние распределения НА дается следующей теоремой.
Теорема 5. Пусть НА — распределение Хербранда на Xх-
Тогда его носитель совпадает с R*', НА (/?*) = 0; Нк (1 + Pv) =
= v — (q — I)-1 при ecexv 1. Если 0 р < v, % (z Rx и ordK (1 —
— ?) = p, mo
Нк((1 +П = -<7₽+1-v (q — 1)-1.
По определению распределения Хербранда имеем Н (21) = 0.
Отсюда НА (Xх) = 0 и, следовательно, НА (/?*) = 0. Пусть Xv,
Nv, dv, ev таковы, как в предложении 13 и его следствии. Для
подгруппы в 21, соответствующей полю Xv, по определению
распределения Хербранда имеем Н (Й\) = dv/ev. Так как по след-
ствию 2 теор. 4 § 3 Nv = a-1 (23v) и так как Nv П Рх = 1 + Р\
§ 4. ВЕТВЛЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИЙ
321
отсюда и из следствия предл. 13 получаем для Нк (1 + Pv) значе-
ние, указанное в нашей теореме.
Наконец, пусть £ таково, как в нашей теореме. Обозначим через
X автоморфизм поля Kv, индуцированный автоморфизмом а (5).
По определению распределения Хербранда Н (fe'v, а (£)) равно
—v (A)/ev, или, что то же самое, —i/ev, где i — наибольшее целое
число, для которого % Е 9tv)- По предложению 13 i = qp, где
р — наибольшее целое число, для которого А Е av (Np), другими
словами, для которого £ Е НР', это р задается формулой р =
= ordK (1 —?). С другой стороны, Н (25'va(g)) совпадает с
Нк (Nvl) и с Нх ((1 + Pv) I). Доказательство завершено.
Следствие 1. Пусть % — характер на И, и пусть Р1 —
ведущий идеал характера^ ° а на К*- Тогда f = Н ("/_) =НК (% □ а).
Положим (о = % о а. Если f = 0, то характер со тривиален
на Рх, так что Нх (со) = Нк (Дх) = 0 по теореме 5. Предполо-
жим теперь, что 1, и обозначим через <р0 характеристическую
функцию множества Дх, а через <рг — характеристическую функ-
цию множества 1 -f- Pl, 1 Тогда
/-1
Нк (СО) = Нк ((ф, — фг+1) to) -ф H# (ф/СО) .
г=0
По определению ведущего идеала характер со тривиален на 1 + Р1,
так что последний член равен Нк (1 + Р1), или же f — (q — I)-1
по теореме 5. По той же теореме 5, с учетом того факта, что харак-
тер со постоянен на каждом классе смежности в Рх по 1 + Pf,
имеем при 0 i f — 1
Нк ((фг - Фг+1) со) = - q1^ (q- I)-1 (St -$г+1),
где Sj равняется сумме 3®(?)> взятой по полному множеству
представителей классов смежности в К* по модулю 1 ф- Pf, если
I = 0, или классов смежности в 1 + Рг по модулю 1 -j- Рг, если i 1.
По определению ведущего идеала характер со нетривиален на Д*
и на 1—Рг при любом i<f. Поэтому 5г = 0 при i<Zf и S/=l.
Отсюда немедленно вытекает наше утверждение.
Следствие 2. Пусть L — абелево расширение конечной
степени над К, и пусть coi; . . ., соп — все различные характеры
на Кх, тривиальные на подгруппе N (L) = (Lx) в Кх, ассо-
циированной с L. Для каждого i обозначим через Р’1 ведущий идеал
ГЛ. Х1Г. локальная теория полей классов
322
характера ер. Тогда дискриминант поля L над К равен Р6, где
б = 3 fi-
Обозначим через 23 замыкание подгруппы а (Д (L)) в 21.
По следствию 2 теор. 4 § 3 23 является подгруппой в 21, соот-
ветствующей полю L, и а определяет изоморфизм группы К*IN (L)
на 21/23. Поэтому для всякого i имеем <щ = Хг°а, где /г — характер
на 21, тривиальный на 23. Тогда исчерпывают все
характеры на 21, тривиальные на 23, так что характеристическая
функция подмножества 23 в 21 равна /г1 2 Хй Обозначим через е,
fad соответственно индекс ветвления, модулярную степень и пока-
затель дифференты поля L над К- Тогда n = ef и по следствию
предл. 6 гл. VIII-2 дискриминант поля L над К равен Pfd. По опре-
делению распределения Хербранда имеем Н (25) = d/e, что можно
записать еще так:
d/e = Н (га'1 2 Хг) = /Г1 2 Н (%г).
г г
Поэтому fd=^ft согласно следствию 1, чем и завершается
г
наше доказательство.
§ 5. ПЕРЕНОС
В принятых выше обозначениях пусть N' — расширение конечной
степени над К- Обозначим через а и а' канонические морфизмы
из Д* в 21 и из Д'х в 21' соответственно. Поскольку морфизм a
инъективен, мы можем определить отображение t образа а (Дх)
группы Д'* в 21 в образ а'(К'*) группы Д'х в 21' с помощью
соотношения t (a (6)) = а' (6) для каждого Q^NX, другими словами,
с помощью соотношения t°a = a'oj, где / — естественное вложение
группы Дх в Д'х. Возникает вопрос, можно ли охарактеризовать
это отображение в теоретико-групповых терминах и можно ли его
продолжить по непрерывности до морфизма t из 21 в 21'. На этот
вопрос сейчас будет дан положительный ответ. Для простоты мы
будем предполагать, что расширение Д' сепарабельно над Д’;
в общем случае формулировки сложнее, а результаты ничуть
не ценнее.
Итак, пусть Д' —подполе в Д8ер конечной степени га над Д.
Как и прежде, обозначим через подгруппу в @, соответствую-
щую полю Д', и отождествим 21 с и 21' с @7@'(1). Мы
покажем, что искомый морфизм представляет собой не что иное,
§ 5. ПЕРЕНОС
323
как так называемый морфизм переноса t из $ в 21'. Напомним,
что этот морфизм определяется следующим образом. Возьмем полное
множество {о15 . ..,оп} представителей правых классов смежно-
сти о@' в @ по @'. Для каждого отображение О;@'—>стст;®'
является перестановкой этих классов смежности, так что для
всякого i имеет место равенство ощ@' = О;(г)@', где i—>/(i) — пере-
становка множества {1, .которое можно переписать еще
так: стстг = ст7-(г)тг, где тгС@'.
Далее, как легко заметить, образ элемента т( ... хп в 21' =
= при каноническом морфизме группы @' на 21' не зависит
ни от выбора представителей ст;, ни от их упорядочения. Поэтому
если обозначить этот образ через а (ст), то отображение ст—» а (ст)
из @ в 21' зависит только от @ и @'. Сразу видно, что а (ост') ==
— ст (ст) ос (ст') при всех ст, о'£@. Кроме того, подгруппа в @,
состоящая из тех элементов ст, для которых остгСстг@' при всех I,
является пересечением открытых подгрупп о^'стД,
и, следовательно, сама является открытой подгруппой в По-
скольку отображение ст—»а (ст), очевидно, непрерывно на оно
непрерывно на а следовательно, является морфизмом группы @
в 21'. Так как группа 21' коммутативна, ядро этого морфизма
должно содержать @(1) так что он определяет некоторый морфизм t
группы 21 = @/@(1) в 21', который по определению и является
гомоморфизмом переноса из 21 в 21'.
Теорема 6. Пусть К' — расширение конечной степени над К,
содержащееся в Ksep; а, а' — канонические морфизмы из К* в 21
и из К'х в 21' соответственно-, t — гомоморфизм переноса из 21
в 21' и j — естественное вложение группы К* в К,'*. Тогда
toa = a' ° j.
Пусть @, @' такие, как выше, L — любое расширение Галуа
конечной степени над К, содержащее Д' и содержащееся в KSfiP,
и пусть Sq — подгруппа в @, соответствующая расширению L.
Тогда — открытая нормальная подгруппа в содер-
жащаяся в @'. Группа Галуа поля L над К. равна д = @/ф,
и подгруппой в q, соответствующей полю К', служит д'= <$'/£).
Пусть К" —любое поле, промежуточное между К и L, и пусть
и д" = — подгруппы в ® ивд соответственно, соответст-
вующие полю К" • Канонический морфизм а" для К" является поэ-
тому морфизмом из К"х в 2Г = @"/@"<1), который каждому
сопоставляет автоморфизм a" (g) поля /Сь над К"\ мы будем обо-
значать через Ь(К"; £) автоморфизм поля ГПКа'ь над К", индуци-
рованный на этом поле автоморфизмом а"(£). Поскольку подгруп-
пой в соответствующей полюГПКа'ь, является то отоб-
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
324
ражение >Ь(Д";£) есть морфизм из К"х в группу
Ясно, что последнюю группу можно отождествить с д'Уд"'1’, где
д"'11 — коммутант группы д". В частности, 9 —»Ь (К; 0) — морфизм
из Дх в g/g(1). Будем обозначать через t0 гомоморфизм переноса,
определенный для g и д' точно так же, как гомоморфизм t был
определен выше для @ и это —морфизм из g/g(1) в g7g'(1>.
Наша теорема будет доказана, если мы покажем, что Ь (Д'; 0) =
= t0 (Ь(Д; 0)) при всех 0 £ Кх. Действительно,, отсюда следует, что
а'(0) может отличаться от /(а(0)) лишь на элемент из образа
группы в т. е. на элемент, сколь угодно близкий
к единице, ибо мы можем в качестве $ взять сколь угодно малую
открытую подгруппу в @', являющуюся нормальной подгруппой
в
Будем обозначать через h, h' канонические морфизмы из g
на g/g(1) и из д' на д'/д'(1) соответственно. Морфизм h совпадает
с морфизмом ограничения, который каждому автоморфизму поля
L над К сопоставляет его ограничение на ДПДаь; морфизм h'
можно интерпретировать аналогичным образом. Если теперь Д" —
некоторое поле между К и L, соответствующее подгруппе д" в д,
то Д'" П Даь — подполе в L, соответствующее подгруппе g''g(1> в д,
или, что эквивалентно, подполе в L Q ДаЬ, соответствующее под-
группе й(д") в группе Галуа д/д(1) поля ЕПДаь над Д'. Следова-
тельно, в силу теоремы 4 §3 и нашего определения Ь(Д; 0) под-
группа Ык"/к(Д"х) в Дх состоит из тех элементов 0 в Дх, для
которых Ь(Д;0) лежит в /г(д"). Предположим теперь, что группа
д" коммутативна, так что с —>Ь(Д"; £) отображает Д"х в д". Тог-
да, аналогичным образом, применяя к Д’ и Д" следствие 1 теор. 2
§2, мы видим, что при всех ^£Д'"Х имеет место равенство
(5) h(b(K"; Ю) = Ь(Д; NK„/K (ё))-
Если Д" zd Д', т. е. g " с д', то имеет место аналогичная формула
с Д', Д вместо Д и й.
Для заданного 0 С Дх мы можем теперь выбрать циклическую
подгруппу Г в д, для которой Ь (Д; 0) лежит в h (Г); в качестве
Г можно взять, скажем, группу, порожденную любым автомор-
физмом у Е 9, для которого h (у) — b (Д; 0). Тогда, как мы виде-
ли выше, если Z — подполе в L, соответствующее группе Г, то 0
можно записать в виде NZ/K (£), где £ Е Zx. Возьмем полное мно-
жество представителей {Zi, . . двойных классов смежности
ГХд' в д по Г и д' и обозначим через yi какую-нибудь образую-
щую группы Г. Для всякого i двойной класс смежности ГХгд'
является объединением по у Е Г правых классов смежности уХгд'
§ 5. ПЕРЕНОС
325
по д'- Если у, у' Е Г, то y^irf совпадает с y"kid' в том и только
в том случае, когда у-1у' лежит в группе Гг = Г Q Ащ'АД. Обозна-
чим через dt индекс подгруппы Гг в Г. Очевидно, Г, порождается
элементом у^1, причем является также наименьшим числом
среди всех целых d, для которых A^y^Aj Е д'• Таким образом,
ГАгд' является дизъюнктным объединением классов смежности
у’Агд' по Следовательно, элементы у’Аг, 1 г С
О j < dt, образуют полное множество представителей правых
классов смежности в g по д', и мы можем использовать это множе-
ство для вычисления переноса /0 (у) любого элемента у Е Г. Беря
прежде всего у = у!; сразу находим, что в этом случае
(6) /0(у) = Л' ( п --- П h' (АДуйаг).
\ i= 1 / i~ 1
Это соотношение, будучи верным для у = yi, остается, очевидно,
верным также и для у = у? при всех /, другими словами, для всех
У Е Г.
Для всякого i положим Zt = Zx* и обозначим через Z; ком-
позит полей Z, и К.'. Ясно, что (Аг, Z') — собственное вложение
поля Z над К' в смысле гл. Ш-2. Пусть (A, Z') —любое такое
вложение. Заменяя его в случае надобности на эквивалентное,
можно считать, что Z' содержится в /\5ер и, следовательно, в L,
так что изоморфизм А из Z в Z' можно продолжить до автоморфиз-
ма А поля L над К. Вложение (A, Z') эквивалентно вложению
(Аг, Zi) в том и только в том случае, когда существует /('-линей-
ный изоморфизм поля Z' в Z{, который мы можем тогда продолжить
до такого автоморфизма о поля L над Д', что А совпадает с Аго
на Z. Поэтому А = уА;о, где у Е Г и о Е д'- Следовательно, вло-
жение (A, Z') эквивалентно одному и только одному вложению
(Аг, Z'i). Далее, предложение 4 гл. Ш-З дает
e = Nz/K®= П Nz//K,(e9.
i=l l
Поскольку для всякого I к Д' и к 7(" = Zi применима формула (5),
мы видим, что
(7) Ь(Д'; 0)= П A'(b(Zi; е*))-
г=1
Положим y = b(Z; £). По определению Ь этот элемент лежит в Г.
Поэтому согласно следствию 5 теор. 1 §2 имеем
b(Zi, ^) = АГ1уАг.
ГЛ. XII. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
326
Мы можем теперь применить формулу (5) к полям Z;, Z\ вместо
полей К, К", заменяя одновременно h на тождественное отображе-
ние, ибо группа Галуа поля L над Z; совпадает с коммутативной
группой А.гхГА.г. Группа Галуа поля L над является пересече-
нием последней группы с группой д'. В тех же обозначениях,
что и прежде, это пересечение совпадает с АДГД; и имеет индекс
dt в АДГАг-, так что d-L есть степень поля над Z;. Так как содер-
жится в Z,-, то Nz'/z (^'9 = (£x')d‘- Поэтому формула (5), при-
мененная к Z,, Zj и дает
b(Z'i; = ь (Zi5 (^Odi) = (WA
Ввиду (6) и (7) отсюда сразу вытекает наше утверждение.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
ГЛОБАЛЬНАЯ
ТЕОРИЯ
ПОЛЕЙ
КЛАССОВ
§ 1. КАНОНИЧЕСКОЕ СПАРИВАНИЕ
В этой главе k будет некоторым A-полем и будут использоваться
те же обозначения, что и в предыдущих главах, например kv, rv,
qD, kA и т. д. Возьмем какое-нибудь алгебраическое замыкание к
поля k и для всякой точки v поля k выберем алгебраическое замы-
кание Kv поля kv, содержащее k. Обозначим через &sep, kv, sep
максимальные сепарабельные расширения поля k в k и поля
в Kv соответственно. Через k^, kv, аь обозначим максимальные
абелевы расширения поля k в йкеР и поля kv в k„, sep соответствен-
но. Из леммы 1 гл. XI-3 легко можно было бы вывести, что £BiSep
порождается над kv полем йаер и что поэтому Kv порождается
над k„ полем k; кроме того, как мы увидим в § 9 этой главы, kv ,аь
порождается над kv полем йа11; но все эти факты использоваться
не будут.
Мы обозначаем через @ и 21 = @/@(1) группы Галуа полей
/гзеР и &аъ соответственно над полем k; мы обозначаем через @в
и 21 в = @в/@в’ группы Галуа полей kD, sep и kv, аь соответственно
над полем kv. Через р„ мы обозначаем морфизм ограничения из @в
в @, а также, как объяснялось в гл. XI1-1, и морфизм ограниче-
ния из 21в в 21. Через Xh обозначается группа характеров на
или, что то же самое, на 21. Для всякого % £ Xh мы полагаем
Хв = X ° PdJ это — характер на @в, или, что то же самое, на 21в.
Предложение 1. Возьмем любой характер % С Xk и обо-
значим через L циклическое расширение поля k, связанное с %. Пусть
v — произвольная точка поля k, L' — циклическое расширение поля
kD, связанное с %в = X ° Ра, — любая точка поля L, лежащая
над v. Тогда существует kv-линейный изоморфизм поля L' на Lw
Как было замечено в гл. IX-4, L' является композитом полей L
и kv в Kv- Так как поле L' имеет конечную степень над k„, оно
является локальным полем, и предложение 1 гл. Ш-1 показывает,
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
328
что L плотно в нем. Поэтому оно является пополнением поля L
относительно некоторой точки, лежащей над v. Наше заключение
сразу вытекает поэтому из следствия 4 теор. 4 гл. Ш-4.
Следствие. В обозначениях предложения 1 характер
неразветвлен почти для всех v. Если характер %в тривиален почти
для всех v, то и характер % тривиален.
Первое утверждение сразу вытекает из теоремы 1 гл. VIП-4
в сочетании с предложением 1. Второе аналогичным образом выте-
кает из следствия 4 теор. 2 гл. VII-5, если там в качестве V взять
множество всех конечных точек v поля k, для которых характер
Хв тривиален.
К kv и х„ применимы определения и результаты гл. ХП-2.
Для любого г £ k* мы будем писать (%0, z)B вместо (%D, г)ь„. Кано-
нический морфизм из k* в 21 в будем обозначать через ав. Для
всех z ст kvi имеем; (хв, z)B = /в (ав (z)). Автоморфизм рв (ав (z))
поля kab над k для каждого z Е kv индуцирован автоморфизмом
ав (z) поля Ав>аь над kv.
Возьмем теперь z = (zB) £ k£. Почти для всех v компонента zB
лежит в rv и по следствию предл. 1 характер /в неразветвлен,
так что (х0, zB)B = 1 по следствию 4 теор. 1 гл. ХП-2. Поэтому
в произведении
(1) (х> z)k ~ И (х»> zv)vt
V
взятом по всем точкам поля k, почти все сомножители равны 1,
так что это произведение корректно определено. Из непрерывности
отображения zB -> (yvB, zB)B для всякой точки v с учетом упомяну-
тых выше фактов вытекает непрерывность на Ад отображения
z (х, z)ft. Поэтому последнее отображение является характером
на Ад. Порядок этого характера конечен, потому что он делит
порядок характера х- [Спаривание группы Хк с Ад, задаваемое
формулой (1), будем называть каноническим спариванием для k.
Ясно, что оно удовлетворяет условию [I] гл. ХП-1. Что касается
условия [II], предположим, что характер z->-(x, z)ft тривиален
на Ад; тогда характер zB (хв, zB)„ должен быть тривиальным
для каждой точки v. Так как [II] выполняется для локальных
полей, отсюда следует тривиальность всех характеров х», откуда
по следствию предл. 1 вытекает тривиальность характера х- Таким
образом, условие [II] для спаривания (1) также выполняется.
§ 1. КАНОНИЧЕСКОЕ СПАРИВАНИЕ
329
Как объяснялось в гл. XI1-1, мы можем определить канони-
ческий морфизм а группы k\ в 31, полагая
(2) X (a (z)) = (х, z)k = [] (%„,
V
для всех z = (zD) 6 &а и всех х Е Согласно условию [II"] гл. XII-
1, а отображает &д на всюду плотную подгруппу в 31.
Предложение 2. Пусть jv — естественное вложение группы
k* в йд, отображающее k£ на квазисомножитель k„ в . Тогда
Л ° j v == Pv ° 0-v*
В самом деле, если zD Е k*, то z = jv (zD) — идель, координаты
которого все равны 1, за исключением одной координаты, соответ-
ствующей точке v, которая равна zD. Положим а = aD (zD). Форму-
ла (2) дает
X (“ (г)) = (Хс, = X» (“) = X (Рв (а))-
Так как это имеет место для всех характеров % на 31, то a(z) =
= р0 (а), что и требовалось доказать.
Теорема 1. Пусть k' — расширение конечной степени
над k, содержащееся в k, @ и — группы Галуа полей £sep над k
и &sep над k' соответственно up — морфизм ограничения из
в @. Тогда для каждого характера х Е и каждого z’ С &'а имеем
(X ° Р> *')л = (Х> Nft7fc (z'))ft.
В силу наших определений эта теорема немедленно следует
из теоремы 2 гл. XII-2 в сочетании со следствием 3 теор. 1 гл. IV-1.
Следствие 1. Если а и а' — канонические морфизмы
для k и для k' соответственно, то р о a' = a ° Nh-/h.
Это просто переформулировка теоремы 1.
Следствие 2. В предположениях и обозначениях теоремы 1
Nfe'/fe (й'д) содержится в ядре характера х ° a тогда и только
тогда, когда k' содержит циклическое расширение поля k, связанное
с X-
В самом деле, теорема 1 показывает, что N^/a (6'д) содержится
в этом ядре в том и только в том случае, когда характер х °Р 0 а'
тривиален, а значит, ввиду [II] в том и только в том случае, когда
тривиален характер х ° Р- Пусть L — циклическое расширение
поля k, связанное с %. Тогда циклическим расширением поля k',
связанным с х ° Р> будет композит L' полей k' и L, и характер
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
330
X ° р тривиален в том и только в том случае, когда L' = k', т. е.
когда k' zd L.
В этой главе нашим основным делом будет нахождение ядра
канонического морфизма а. Пока мы заметим лишь, что для каж-
дой точки v это ядро должно содержаться в ядре морфизма а0,
каковое равно {1}, если точка v конечна, но совпадает с R+, если
точка v вещественна, и совпадает с Сх, если точка v мнима. Будем
обозначать через /гХпроизведение последних ядер, т. е. группу
тех ид елей (г„), для которых zD = 1 для каждой конечной точки v
и z,. >0 для каждой вещественной точки v. Эта группа содержится
в ядре морфизма а; разумеется, она сводится к {1}, если k —
поле характеристики р > 1.
Дадим теперь для некоторых частных случаев явную формулу
для (х, z)h. Сначала рассмотрим поле k характеристики р > 1.
Пусть F — поле констант в k, q — число элементов в F и F —
алгебраическое замыкание поля F в k. По теореме 2 гл. 1-1 Fx
есть группа корней из 1 в А, причем все эти корни имеют порядок,
взаимно простой с р. Через k0 будем обозначать композит полей k
и F, через й0 — подгруппу в @, соответствующую полю Ао, и через
Хо — подгруппу в Xh, состоящую из всех характеров на (8, три-
виальных на $д0. Ясно, что каждое расширение конечной степени
над k, содержащееся в k0, порождено над k конечным множеством
элементов из F, а следовательно, некоторым расширением F' конеч-
ной степени над F. Более точно, имеет место следующая
Лемма 1. Пусть F' — расширение степени п над F, содер-
жащееся в k. Тогда композит k' полей k и F' является циклическим
расширением степени п над k, поле констант этого расширения
совпадает с F' и морфизм ограничения группы Галуа поля k' над k
в группу Галуа поля F' над F является изоморфизмом этих двух
групп.
Обозначим через F" поле констант в k', через п' — степень
поля k' над k и через п" — степень поля F" над F; ясно, что п'
п п". Возьмем такое £ Е F", что F" = F (£), и обозначим
через Р неприводимый унитарный многочлен в F [X] с корнем
Если Q — нормированный многочлен в k [X], делящий Р в k [X],
то все его корни лежат в F, так что его коэффициенты лежат в F f| k,
т. е. в F. Поэтому многочлен Р неприводим в k [X], так что п' п",
откуда п' = п = п". Утверждение о группах Галуа можно поэтому
рассматривать как частный случай следствия 1 предл. 3 гл. Ш-2
§ 1. КАНОНИЧЕСКОЕ СПАРИВАНИЕ
331
или как следствие равенства k' = F' ®Fk, которое немедленно
вытекает из предложения 2 гл. Ш-2.
Если k и k' таковы, как в лемме 1, то мы говорим, что k' является
константным расширением пол я k. В сил у теоремы 2 гл. I -1 для каждого
целого числа п 1 существует одно и только одно такое расширение
степени п над А; мы будем обозначать это расширение через kn.Тогда k0
является объединением циклических расширений kn по всем п 1.
В частности Ао содержится в Ааъ- Будем обозначать через 2t0 под-
группу в 21, соответствующую полю Ао, т. е. группу Галуа поля Ааь
над Ао. Мы можем рассматривать Хо как группу всех характеров
на 31, тривиальных на Sl0- Характер х 6 Xk принадлежит Хо
в том и только в том случае, когда циклическое расширение поля А,
связанное с х, содержится в Ао, и, следовательно, в том и только
в том случае, когда это расширение совпадает с одним из полей А„.
Из следствия 2 теор. 2 гл. 1-1 в сочетании с леммой 1 вытекает,
что для каждого п 1 существует один и только один автоморфизм
поля Ап над А, индуцирующий на поле констант Fn = F Q Ап в Ап
автоморфизм х -> xq, где q, как и прежде,— число элементов в поле
Е; кроме того, этот автоморфизм порождает группу Галуа поля Ап
над А. Значит, существует один и только один автоморфизм <р0
поля Ао над А, индуцирующий на F автоморфизм x-^~xq. Этот
автоморфизм будем называть автоморфизмом Фробениуса поля Ао
над А. Каждый автоморфизм <р поля AseP над А, индуцирующий <р0
на Ао, будем называть автоморфизмом Фробениуса поля Asep над А.
Очевидно, автоморфизмы Фробениуса поля Asep над А образуют
класс смежности <доф в @.
Предложение 3. Пусть А — некоторое Х-поле харак-
теристики р 1 с полем констант F = F Q; х — характер на @,
принадлежащий Хо, т. е. такой, что циклическое расширение
поля А, связанное с %, является константным расширением поля А,
и пусть <р — любой автоморфизм Фробениуса поля Asep над А.
Возьмем z £ k& и положим | z |А = q~r- Тогда (х, z)fe = % (ф)г-
Положим z = (zB). Пусть v — точка поля А степени d, т. е. такая,
что модуль qv поля Ав равен qd. Пусть L — циклическое рас-
ширение поля А, связанное с х- Это расширение порождено над А
некоторым расширением F' поля F, а следовательно, корнями
из 1, порядок которых взаимно прост с р. Поэтому расширение
поля Ав, связанное с х«> будучи порожденным над Ав полем F',
ГЛ. ХШ. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
332
неразветвлено, так что характер х» неразветвлен. Далее, авто-
морфизм Фробениуса поля kv, sep над kv индуцирует на F авто-
морфизм x-^xid и потому совпадает с <pd на F, а значит, на k0.
По следствию 4 теор. 1 гл. ХП-2 отсюда вытекает, что (%г, zv)„ =
= X (<Pd)v> W v = ordD (z„). Но | zB |D = q~^ и | z |А = Д | zv
и мы получаем наше утверждение.
Следствие 1. В предположениях и обозначениях предложе-
ния 3 пусть а — канонический морфизм для k. Тогда а (z) совпа-
дает с <рг на k0.
В самом деле, эти автоморфизмы могут отличаться лишь на эле-
мент, принадлежащий к ядрам всех характеров % £ Хо, а пересе-
чение этих ядер совпадает с fg0 — группой, оставляющей k0 инва-
риантным.
Следствие 2. Если % £ Хо и 6 Е kx, то (%, &)h = 1.
Это сразу вытекает из предложения 3 и того факта, что по тео-
реме 5 гл. IV-4 | 0 |А = 1-
Следствие 3. Характер % на @ принадлежит Хо тогда
и только тогда, когда (/, z)k = 1 при всех z £ йА.
Если % Е Хо, то предложение 3 показывает, что % обладает
указанным свойством. Теперь предположим, что % обладает этим
свойством. По следствию 6 теор. 2 гл. VI1-5 существует такое
21 € йА, что | Zi |А = q; значит, группа йА порождена подгруппой йА
и элементом Zi. Пусть п — порядок характера %. Тогда (%, Zi)k —
примитивный корень n-й степени из 1 в С. Поскольку <р индуцирует
на kn образующую группы Галуа поля kn над k, существует харак-
тер связанный с kn, для которого %' (<р) = (х, Zi)fe. По предло-
жению 3 имеем (х', Zi)ft = у/ (ф)-1, откуда (хх\ Zt)k = Г, поэтому
(хх\ 2)h = 1 при всех z £ k%., в силу предложения 3 и нашего
предположения относительно х- Отсюда следует, что х = Х,-1>
так что х
В случае когда k — поле характеристики нуль, не существует
столь удобного инструмента исследования, каким являются кон-
стантные расширения в случае характеристики р > 1. Наилучшим
заменителем служат так называемые «циклотомические» расшире-
ния. Здесь мы рассмотрим лишь случай k = Q. Тогда @ — группа
Галуа поля Q = Qsep над Q. Для т 1 пусть е—примитивный
корень m-й степени из 1 в Q. Обозначим через $т подгруппу в
соответствующую полю Q (е), так что группа Галуа поля Q (ej
§ 1. КАНОНИЧЕСКОЕ СПАРИВАНИЕ
333
над Q равна 9= &1&т- Как хорошо известно, g состоит из авто-
морфизмов, определяемых подстановкой е -> ех, где в качестве х
•берутся все целые числа по модулю т, взаимно простые с т. Таким
-образом, эту группу можно отождествить с (Z/mZ)x,T. е. с мульти-
пликативной группой кольца Z/mZ. Пусть % — произвольный
характер на 9 с ядром р. Очевидным образом отождествим этот
характер с характером на @, который обозначим также через %.
Последний характер имеет ядро й zd $р,п- С другой стороны,
отождествляя 9 с (Z/mZ)x, мы отождествляем тем самым % с неко-
торой функцией на последней группе и, значит, с некоторой функ-
цией на множестве всех целых чисел, взаимно простых с т, которую
мы также обозначим через % и которая обладает тем свойством,
что % (ab) = % (а) % (&) для любых двух таких целых чисел а и Ь.
Эту функцию можно однозначно продолжить до характера на под-
группе в Qx, состоящей из дробей вида alb, где а, b 6 Z взаимно
просты с т; последний характер будем обозначать тоже через %.
В этих обозначениях имеет место
Предложение 4. Пусть характер % таков, как выше,
и пусть Z — циклическое расширение поля Q, связанное с х- Тогда
для каждого простого числа р, не делящего т, характер Хр нераз-
ветвлен и (хР, г)р = X (I z Ip1) для каждого] z g Q*; для каждого
z б R* имеем (х°°> г)„ = х (sgn z).
Пусть р — любое простое число,? не делящее т, w — точка
поля Z, лежащая над р, и и — точка поля L — Q (&), лежащая
-над щ. По предложению 1 гл. Ш-1 поле Lu порождено над Qp
элементом е. Так как порядок т этого элемента не делится на р,
поле Lu неразветвлено; поэтому неразветвлено и поле Zw, а значит,
в силу предложения 1 неразветвлен характер Хр- Автоморфизм
Фробениуса ф над Qp алгебраического замыкания поля Qp инду-
цирует на Lu и, следовательно, на L автоморфизм, определяемый
подстановкой е -> ер, так что в соответствии с данными выше объяс-
нениями насчет обозначений х (ф) совпадает с х (р)- Поэтому наше
утверждение относительно (хР, г)р немедленно вытекает из след-
ствия 4 теор. 1 гл. ХП-2 и равенства | z |р =
Аналогично пусть w — точка поля Z, лежащая над точкой оо
поля Q, и и — точка поля L, лежащая над w. Если т = 1 или 2,
то характер х тривиален и наше последнее утверждение очевидно.
Если т > 2, то поле Lu = R (е) = С имеет нетривиальный авто-
морфизм х -> х над R. Этот автоморфизм определяется подстанов-
кой е е-1, так что если д и f) таковы, как указано выше, то он
индуцирует на Zw автоморфизм, соответствующий образу —1
в g/f). Если х (—1) = h то —1 лежит в 1), Zw = R и характер х°°
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
334
тривиален; если % (—1) = —1, то —1 не лежит в f), Zw = С и харак-
тер нетривиален. Отсюда и из результатов, сформулированных
в начале гл. ХП-2, сразу вытекает последнее утверждение пред-
ложения 4.
Следствие 1. В принятых выше обозначениях и предполо-
жениях пусть w — точка поля Z. Если w лежит над рациональным
простым числом р, не делящим т, то степень поля Zw над Qp равна
порядку элемента х (р) в группе Сх; если же w лежит над сю, то
степень поля Zw над R равна порядку элемента % (—1) в Сх.
Последнее утверждение уже доказано выше. Что касается пер-
вого, то предложение 1 показывает, что наша степень равна поряд-
ку характера z->(%p, z)p на Qp, откуда ввиду предложения 4
и следует доказываемое утверждение.
Следствие 2. Пусть характер % таков, как выше. Возьмем
такое z = (zv) £ Qa, что ordp (zp) = 0 и (%p, zp)p = 1 для каждого
простого числа р, делящего т. Тогда (%, z)q = X (г (г))/ г^е r (2)
задается формулой
r(Z) = Sgn (Zoo) ПI zP | J1
v
В последней формуле произведение берется по всем простым
числам или (что приводит к тому же результату в силу наших пред-
положений относительно г) по всем простым числам, не делящим т;
поэтому значение х (r (z)) определено корректно. Наше утвержде-
ние сразу вытекает из предложения 4 и определений.
Следствие 3. Пусть характер % таков, как выше. Тогда
для каждого простого числа р, делящего т, можно выбрать такую
открытую подгруппу gpeQ.p, что (х, £)q = 1 при всех £ Е П (Qx П g/>) •
Для всякого простого числа р, делящего т, пусть рч — наиболь-
шая степень р, делящая т; тогда 1 -j- mZp совпадает с подгруппой
1 + p4Zp в Qp . Возьмем теперь для всякого р, делящего т, в каче-
стве gp пересечение подгруппы 1 + mZp в Qp с ядром морфизма
z->- (хр, z)p группы Qp. Следствие 2 показывает, что для такого
как указано в нашем следствии, (х, £)q = X (г (?))• По теореме 5
гл. IV-4 г (В) совпадает с sgn (g) | i \т, т. е. с g. Запишем В в виде
В = alb, где а, b из Z и (a, b) = 1. Если р — простое число, деля-
щее т, то В лежит в Zp, так что b взаимно просто с р. Для рч, такого,
как выше, В лежит в 1 + рч2р, так что а = b по модулю рч. Поэто-
§ 2. ОДНА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЛЕММА
335
му а и b оба взаимно просты с т и а = b по модулю т. Следователь-
но, % (а) = х (Ь), а значит в силу наших определений % (£) = 1,
чем и завершается доказательство.
§ 2. ОДНА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЛЕММА
Как и выше, пусть х — характер на (Z/mZ)x, рассматриваемый
снова как функция на множестве целых чисел, взаимно простых
с т. Сопоставим х функцию ф на Z, для которой ф (х) = х U),
если х взаимно просто с т, иф (х) = 0 в противном случае. Обычно,
допуская вольность речи, такую функцию ф называют мультипли-
кативным характером по модулю т, или, короче, характером
по модулю т на Z. Очевидно, что функция ф на Z является таким
характером в том и только в том случае, когда ф (х + т) = ф (х)
при всех х £ Z, ф (х) = 0 при (х, т) 1, ф (1) = 1 и ф (ab) =
= ф (а)ф (&) при всех а и b из Z. Такой характер будем называть
тривиальным, если он не принимает значений, отличных от 0 и 1,
и характером порядка п, если тривиален характерф”. Еслиф иф' —
характеры по модулям т и т' соответственно, то фф' будет харак-
тером по модулю тт'.
Цель этого параграфа — доказать лемму 3; эта лемма и ее дока-
зательство принадлежат ван дер Вардену. Мы начнем с одного
частного случая.
Лемма 2. Пусть I — простое число, п — целое число 1
и at, ..., а? — целые числа >1. Тогда существует такой мульти-
пликативный характер ф на Z, что ф (аг) для каждого i является
корнем из 1, порядок которого делится на 1п; более того, такой
характер ф можно выбрать так, чтобы его порядок был степенью
числа I, а в случае 1 = 2 так, чтобы кроме moeoty (—1) = 1.
Ясно, что порядок элемента ф (аг) делится на порядок элемента
ф (а?). Если I = 2, заменим каждое at на а*. Сделав это, мы можем
считать, что в этом случае аг = 0 или 1 по модулю 4. Для всякого
i определим теперь последовательность простых чисел pt,v (у =
= 0, 1, . . .) следующим образом. Если =£ 1 по модулю I, то
в качестве piyV возьмем любой простой делитель целого числа
x'-’j v * । । • • • ।
а{ -1
Поскольку lv+l = 1 по модулю I — 1, то ясно, что числитель в левой
части сравним с at — 1 по модулю I, значит он не делится на I,
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
336
а следовательно, pt ,v=£ I. С другой стороны, если аг = 1 по моду-
лю I, то запишем аГ в виде аГ = 1 + lab, где a 1 и b ф О
по модулю Z; если i = 2, то >2 в силу нашего предположения
относительно at для этого случая. Имеем
ali +' = (1 Д /Я' = 1 + /“+‘Ь (Z“+2).
Отсюда видно, что левая часть равенства (3) делится на I, но не
на Z2, а из рассмотрения правой части этого равенства видно, что
левая >Z; в качестве p,jVMbi можем поэтому взять любой простой
делитель левой части, отличный от I.
Теперь покажем, что во всех случаях pl<v не может делить зна-
менатель в левой части равенства (3). В самом деле, в противном
случае все члены в правой части были бы сравнимы с 1 по модулю
Pt)V, так что правая часть была бы =/ по модулю Pi,v, но поскольку
она делится на pZ)V, a pt,v=^= I, этого не может быть. Отсюда видно,
что образ элемента at в группе (Z/pi|VZ)x имеет порядок, в точности
равный Zv+1; в частности, для всякого i все pi>v различны. Поэтому,
если целое число р таково, что Zp> г, можем для всякого i выбрать
такое целое число vf п + р — 2, что простые числа pt = pt,Vi
не делят ни одно из чисел ait . . ., ar. Для всякого i группа (Z//?;Z)х
является циклической группой порядка pt — 1, и образ элемента аг
в этой группе имеет порядок ZV;+1. Обозначим через %, образующую
группы характеров на этой группе, и пусть — наибольшая
степень числа I, делящая р, — 1. Положим р = %/ — v; + п + р —
— 2, т = 1~р- (pt — 1.) и xt = /Г ; ясно, что > v;, так что ц > 0.
Тогда Xi — характер порядка I», и легко проверяется, что х! («;)
является корнем из 1 порядка Z"+p-i. Для всякого i продолжим,
как объяснялось выше, характер Xi до мультипликативного харак-
тера по модулю pi на Z. Пусть М — такое целое число, что Iм
делится на порядок всех характеров %!, а значит и всех характе-
ров ipj. Так как всякое pt взаимно просто со всеми а7, то
г|зг (о,-) = е (ГЛ1Ьц),
где Ьц g Z при 1 Д I, / Д г; кроме того, для всякого Z наибольшая
степень числа Z, делящая Ьц, равна 1Л!~п~р+\ Далее, рассмотрим
1Мг характеров
®х= [] ,
i=l
§ 2. ОДНА ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЛЕММА
337
где 0 /м при К г О; разумеется, они не обязаны быть
все попарно различными. Для всякого / имеем
®ж (ay) = е I 1~31 3 btjXi I
\ i=l /
Это —корень из 1, порядок которого делит /м; этот порядок
делится на Г, если он не делит /п-1. т. е. если не выполняется
сравнение
bjjXj = bijXi. (/v-n—i)
Для заданного /' и для всякого набора значений при i j это
сравнение или вовсе не имеет решений Xj, или имеет ровно 1М~Р
решений по модулю Iм. Поэтому для всякого / имеется самое боль-
шее /Vr”p наборов значений xt, которые удовлетворяют неравен-
ствам 0 Xi < 1}Г при 1 i г и для которых со.,. (оД имеет
порядок, делящий /п-1. Следовательно, существует самое большее
riiIr~p таких наборов, для которых по меньшей мере одно из чисел
соя. (aj) имеет порядок, делящий 1п~1. Так как г < /₽, то число таких
наборов меньше, чем l'Jr. Отсюда следует, что можно выбрать х,
для которого порядок со.,. (ctj) делится на 1п при всех /. Тогда"ф =
и будет искомым характером, за возможным исключением случая
1 = 2, поскольку мы хотим, чтобы в этом случае дополнительно
выполнялось условие "ф (—1) = —1- В этом случае если со.,. (—1) =
= 1, то берем ф = сож. Если это не так, то возьмем простое р0,
делящее 4nja2 Щ — 1 и сравнимое с —1 по модулю 4; ясно,
что по крайней мере одно такое простое число существует. Тогда
группа (Z/p0Z)x является циклической группой порядка 2т0,
где т0 = (ро — 1)/2 =е= 1 (2), так что на ней имеется ровно один
характер /о порядка 2. Для этого характера имеем Хо (—1) = —1-
Если продолжить /о до мультипликативного характера ф0 по моду-
лю ро на Z, то сразу видно, чтоф = фосо.„ удовлетворяет всем нашим
требованиям, при условии, что взято п 2, что, конечно, всегда
можно предположить. Доказательство леммы 2 закончено.
Лемма 3. Пусть а1; . . ., аТ, щ, . . ., пг — целые числа,
большие 1. Тогда существует такой мультипликативный харак-
тер ф на Z, что ф (—1) = —1, причем ф (аг) для каждого i есть
корень из 1 порядка, делящегося на п{.
Положим N = 2 [[ nt. Для каждого простого числа I, делящего
N, пусть Z” — наибольшая степень числа I, делящая N, и пусть
ГЛ. -XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
338
для каждого i характер ф/ выбран в соответствии с леммой 2, так
что его порядок является степенью числа I, порядок корня ipj (аг)
делится на / ‘ ифг (—1) = —1 в случае I = 2. В случае же когда I
нечетно, корень (—1)> который может быть равным ± 1, будучи
нечетного порядка, равен 1. Поэтому ясно, что -ф = П Ч’г решает
нашу задачу.
§ 3. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ ХАССЕ
Как и в гл. XI, если А — простая алгебра над k и v — произ-
вольная точка поля k, то мы обозначаем через А„ алгебру A kv
над kv. Как мы видели в гл. IX-3, отображение С1 (Л)->С1 (Лс)
является тогда морфизмом группы Брауэра В (1г) поля k в группу
Брауэра В (kv) поля kv. Как показано в гл. XII-2, инвариант
Хассе h определяет изоморфизм группы В (kv) на группу Hv, состоя-
щую из всех корней из 1 в С, если точка v конечна, из ± 1, если
точка v вещественна, и из 1, если точка v мнима. Начиная с этого
места, для любой простой алгебры Л над k положим hv (Л) =
= /г(Лв); это число будем называть инвариантом Хассе алгебры А
в точке v. По теореме 1 гл. XI-1 имеем hv (Л) = 1 почти для всех v.
Поэтому отображение Л (hv (Л)) определяет морфизм h группы
В (k) в прямую сумму групп Hv по всем v, т. е. в подмножество Н
в [J Hv, состоящее из тех элементов (т]в) этого произведения, для
V
которых т]в = 1 почти для всех V. По теореме 2 гл. XI-2 ядро мор-
физма h состоит лишь из класса тривиальных алгебр над k, так
что этот морфизм инъективен. Как мы покажем в § 6, h (В (k)) состоит
из тех элементов (цв) в Н, для которых Q цв = 1. В этом параграфе
V
мы покажем, что f[ h0 (Л) = 1 для каждой простой алгебры Л над k.
Пусть, как и в § 1, %— характер на @ и L — циклическое рас-
ширение поля k, связанное с %. Для любого 0 Е рассмотрим
циклическую алгебру Л = [L/&; %, 0], соответствующую классу
факторов {%, 0}. Как мы видели в гл. IX-4, морфизм ограничения
переводит класс факторов {%, 0} поля k в класс факторов {%0, 0}
поля kv, так что Ав принадлежит последнему классу. Поэтому
для всех v по определению инварианта Хассе имеем
(4) МЛ) = (хв, 0К, Пмл) = (Хл.
V
С другой стороны, пусть k' — расширение конечной степени
поля k. Для любой простой алгебры Л над k положим А' — Л k'.
§ 3. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ ХАССЕ
339
Пусть w — точка поля k' и v — точка поля k, лежащая под w.
Из свойств транзитивности тензорных произведений сразу выте-
кает, что алгебру (А')„- = A' k'w над k'w можно отождествить
с алгеброй А„ k'w. Поэтому в силу следствия 2 теор. 2 гл. X11-2
имеем hw (А') = h„ (A)n(w\ где п (да) — степень поля k'w над kv.
В частности, ввиду сказанного выше алгебра А' тривиальна в том
и только в том случае, когда hv (A)n<w) = 1 для каждой точки да
поля k'.
Предложение 5. Для любого % С Xh пусть L — цикли-
ческое расширение поля k, связанное с %, и А — простая алгебра
над k. Тогда следующие утверждения эквивалентны', (i) алгебра AL
тривиальна-, (ii) для каждой точки о поля k и каждой точки да поля
L, лежащей над о, степень поля Lw над kv делится на порядок эле-
мента h„ (А) в группе Сх; (iii) алгебра А подобна циклической
алгебре [L/k; %, 0] для некоторого 0 £&х; (iv) существует такой
элемент г = (zp) в k&, что hv (А) = (%„, гг)в для каждой точки и
поля k. Кроме того, если 0 таково, как в (iii), а г таково, как в (iv),
то Q^z лежит в NL/k (L£).
Эквивалентность утверждений (i) и (ii) является частным слу-
чаем только что доказанного. Эквивалентность утверждений (i)
и (iii) вытекает из предложения 9 гл. IX-4. Предположим, что имеет
место (iii). Тогда в силу формул (4) условие (iv) выполняется,,
если взять г = 0. Предположим, что имеет место (iv). Тогда поря-
док элемента h„ (А) делит порядок характера %», который по пред-
ложению 1 § 1 равен степени поля Lw над kv для каждой точки w
поля L, лежащей над о, так что выполняется (ii). Наконец, пусть
0 таково, как в (iii), a z таково, как в (iv). Положим z' — 0-1z.
Тогда в силу формул (4) имеем (%„, г,',)„ = 1 при всех и. По предло-
жению 10 гл. IX-4 и предложению 1 § 1 отсюда следует, что если
да — произвольная точка поля L, лежащая над о, то zv содержится
в Nbu./hu (Li). Для каждой точки и поля k выберем tw g LJ для
всех точек да поля L, лежащих над v, так, чтсбы z'v = Nr,^
для одной из этих точек, лежащих над ц, и / „ — 1 для всех других.
Поскольку | z'v |р = 1 почти для всех и, отсюда следует, что | Д |ш =
= 1 почти для всех да, так что t = (tw) содержится в L&. Значит,
г' — Ni/fc (t).
Теперь мы с помощью предложения 5 докажем, что каждая про-
стая алгебра А над k подобна некоторой алгебре весьма специаль-
ного типа. Для этого нам понадобятся две леммы.
Лемма 4. Пусть k — поле характеристики р>\. Для
каждой точки о поля k пусть v (v) — целое число, не меньшее 1,
ГЛ. ХШ. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
340
и пусть v (у) = 1 почти для всех v. Тогда существует такое кон-
стантное расширение k' поля k, что если v — любая точка поля k
и w — точка поля k', лежащая над v, то степень поля k'w над kv
делится на v (у).
Пусть F = F9 — поле констант в k. Для точки v поля k, степень
которой равна d (и), модуль поля kv совпадает с Поэтому
согласно следствию 3 теор. 7 гл. 1-4, если k'w содержит примитивный
корень из 1 порядка qd^f — 1, то степень поля k'w над kv должна
делиться на f. Следовательно, условие леммы 4 будет выполняться,
если в качестве k' мы возьмем константное расширение поля k,
степень которого над k делится на все целые числа d (у) v (и), отве-
чающие конечному числу точек v, в которых v (у) > 1.
Лемма 5. Пусть характеристика поля k равна нулю. Для
каждой точки v поля k пусть v (v) — такое целое число, не мень-
шее 1, что v (w) = 1 почти для всех v, v (у) = 1 или 2 в случае веще-
ственной точки v и v (и) = 1 в случае мнимой точки v. Тогда суще-
ствуют такое целое число т Д- \ и такое циклическое расширение Z
поля Q, содержащееся в расширении Q(e), порожденном примитив-
ным корнем е т-й степени из 1, что (а) если и — любая точка поля
kuw — лежащая над и точка композита k' полей k и Z, то степень
поля k’w над kr делится на v (и); (Ь) | т |с = 1 для любой конечной
точки v поля k, такой, что v (у) > 1.
Для начала пусть Z — любое расширение поля Q и k' — его
композит с k. Пусть, далее, v — любая точка поля k, w — точка
поля k’, лежащая над v, и — точка поля Z, лежащая под w, и t —
точка поля Q, лежащая под и. Тогда kv, Zu и Q; являются соответ-
ственно замыканиями полей k, Z и Q в k'w, так что t лежит также
под с. Имеем
[k'w : kv\ = [k'w : Zu] -[Zu : Q(]-[kK : Q/k1,
поэтому, полагая
v' (v) = V (y)-[&„ : QJ,
мы видим, что если [Zu : Qd делится на v' (у), то : kv] будет
делиться на v (у). Теперь для каждой конечной точки t поля Q,
над которой имеется такая точка у поля k, что v (у) > 1, обозначим
через п (/) какое-нибудь общее кратное- целых чисел v' (у) для
всех точек у поля k, лежащих над t; для всех других конечных
точек t поля Q положим п (f) = 1. Положим, далее, п (оо) = 2;
как сразу видно, 2 делится на v' (у) для каждой бесконечной точ-
ки у поля k. Тогда т и Z будут удовлетворять требованиям нашей
леммы, если [Z„ : QJ всегда делится на п (/), | т |< = 1 при t со
§ 3. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ ХАССЕ
341
и n(t)> 1. Другими словами, достаточно доказать нашу лемму
для k = Q.
Обозначим в этом случае через р1г . . рт простые числа р,
для которых п (р) ~> 1. Применяя к целым числам at = pit nt =
= п (pi) лемму 3 § 2, получаем мультипликативный характер ф
на Z по модулю некоторого целого числа пг, причем ф (—1) = —1,
и для всякого i порядок корня ф (pi) из 1 делится на п (pt). Так
какф (х) = 0, если х не является взаимно простым с т, то т взаимно
просто со всеми pt, т. е. | т |р = 1, если п(р)> 1. Пусть % —
характер группы (Z/mZ), определенный с помощью ф. Рассмотрим
его как характер на группе Галуа поля Q (е) над Q, где е — при-
митивный корень m-й степени из 1, и обозначим через Z цикличе-
ское расширение поля Q, связанное с %. Следствие 1 предл. 4 § 1
показывает, что т и Z удовлетворяют всем требованиям нашей
леммы.
Теорема 2. Пусть А — произвольная простая алгебра над k.
Тогда |[ hv (Л) = 1, где произведение берется по всем точкам и
V
поля k.
Если k — поле характеристики р>1, то, как показывают
предложение 5 и лемма 4, алгебра А подобна циклической алгебре
[k'/k; х, 61» где k’ — константное расширение поля й, % — харак-
тер, связанный с k' и 0 Е kx. Поэтому % содержится в Хо (опреде-
ление Хо см. в § 1), и наше утверждение сразу следует из (4) и из
следствия 2 предл. 3 § 1. Если k — поле характеристики нуль,
то применяем предложение 5 и лемму 5, беря в последней лемме
в качестве v (v) порядок элемента hv (Л) в Сх. В результате полу-
чаем, что алгебра А подобна циклической алгебре [k'/k; %', 0],
где поле k' такое, как в лемме 5, %' — любой характер, связанный
с k' и 0 g kx. Ввиду (4) все, что нам осталось доказать, это что
(%', 0)fe= 1.
Пусть т и Z такие, как в лемме 5. Тогда можно взять %' =
= X ° Р, где р—морфизм ограничения из группы Галуа поля Q
над k в группу Галуа поля Q над Q, а / — характер на последней
группе, связанный с Z. Пусть vlt . . ., vM —все точки поля k,
лежащие над некоторым простым числом, делящим т. Для вся-
кого i выберем какую-нибудь точку wt поля k', лежащую над vt,
и обозначим через w't, . . ., w’N все отличные от wt точки поля k',
лежащие над иг. Для всякого i обозначим через kit k) пополнения
поля k относительно и, и поля k’ относительно да, соответственно.
Наконец, для всякого / пусть k’) — пополнение поля k' относитель-
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
342
но w'j. Согласно условию (Ь) леммы 5 и в силу нашего выбора чисел
v (у) имеем hv. (Л) = 1 при всех i. Поэтому из формул (4), предло-
жения 1 § 1 и предложения 10 гл. IX-4 следует, что для всякого i
можно^записать 0 в виде 0 = (гг), где zt Е k'^.
По следствию 2 теор. 3 гл. IV-2 существует элемент £ в k', обра-
зы которого в k'i при 1 i М сколь угодно близки к Zi и образы
которого в fe'j при 1 i N сколь угодно близки к 1. Ввиду
следствия 3 теор. 1 гл. IV-1 отсюда вытекает, что можно выбрать
£х так, чтобы образ элемента 0j = 6N^ /k (£)-1 в был сколь
угодно близок к 1 при 1 i М. По предложению 10 гл. IX-4
класс факторов {%', 0} не изменится, если заменить 0 на Oj. Следо-
вательно, при такой замене не изменятся и инварианты hv (Л) =
= 6)v алгебры А. Поэтому достаточно будет доказать наше
равенство (%', 0)ft = 1 при дополнительном предположении, что
образ элемента 0 в при 1 i М лежит в заданной окрестно-
сти единицы. По следствию 3 теор. 1 гл. IV-1 эти окрестности можно
выбрать таким образом, чтобы образ элемента Nfe/Q (0) в Qp был
произвольно близок к 1 для каждого простого числа р, делящего т.
Поскольку х' = % ° р и поскольку в силу теоремы 1 § 1
(% ° Р> 9)fe = (%, Nfe/Q (0))q,
наше утверждение вытекает из следствия 3 предл. 4 § 1.
Следствие. Для каждого х Е и каждого 0 Е kx имеем
(%, 0к= 1.
Это сразу вытекает из формул (4) и теоремы 2.
Следствие теор. 2 известно как закон взаимности Артина,
ибо этот результат был (по существу) установлен Артином, который
также показал, что «закон взаимности» классической теории чисел
легко выводится из него с помощью чисто локальных рассмотре-
ний. Теорема 2 принадлежит Хассе; ее близкая связь с законом
Артина объясняет, почему ее обычно называют «законом взаим-
ности Хассе».
Следствие теор. 2 можно выразить, сказав, что для каждого
% Е характер г->-(%, г)& на /гХ тривиален на kx, или, еще,
сказав, что k* содержится в ядре канонического морфизма. Следо-
вательно, мы можем смотреть на спаривание (х, z)k как на спари-
вание между Xk и группой классов иделей Gk — k'Atkx поля k. Чтобы
не усложнять обозначений, мы не вводим никакого нового символа
для обозначения этого спаривания, но тем не менее будем приме-
нять к нему все результаты гл. XI1-1.
§ 3. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ ХАССЕ
343
Ясно, что это спаривание удовлетворяет условиям [I] и [II]
гл. ХП-1, потому что они были проверены в § 1 для (%, z)ft, рассма-
триваемого как спаривание групп Xh и kA. По теореме 6 гл. IV-4
группа Gk квазикомпактна и Gk = k\lk*. Если характеристика
поля k равна нулю, то выполняется условие [III (а)] гл. XII-1.
В случае когда k — поле характеристики р > 1, следствие 3
предл. 3 § 1 вместе с леммой 1 § 1 показывают, что условие [III (b)J
гл. XII-1 выполняется, если в качестве % в этом условии берется
характер, связанный с константным расширением степени п над k;
они также показывают, что группа, обозначавшаяся в § 1 через Хо
и состоящая из характеров, связанных с константными расшире-
ниями поля k, совпадает в рассматриваемом случае с группой,
обозначавшейся тем же символом в гл. ХП-1. Поэтому мы можем
применить следствие 2 предл. 2 гл. ХП-1, которое показывает, что
канонический морфизм а отображает k\ на подгруппу 210 в Я,
соответствующую объединению k0 константных расширений поля k.
Аналогично если характеристика поля k равна нулю, то в силу
предложения 1 гл. ХП-1 а отображает kA на 21. Обозначим снова
через Uk ядро морфизма а. Оно содержит kx, и для поля k харак-
теристики р > 1, как вытекает из следствия 2 предл. 2 гл. ХП-1,
Uh cz k\. С другой стороны, если k — поле характеристики нуль
и подгруппа в kA определена, как в § 1, то Uk содержит замы-
кание подгруппы k* !&>+. В § 8 будет показано, что Uk совпадает
с этим замыканием, если характеристика поля k равна нулю, и что
в противном случае Uk = k*.
Переформулируем для определенного выше спаривания между
Хк и Gk предложение 4 гл. ХП-1. Пусть k' — циклическое расши-
рение поля k. Тогда отображение g для каждого A g S и ото-
бражение суть полиномиальные отображения из k'
в и в & соответственно, где k' рассматривается как векторное
пространство ' над k; при всех % имеем (£).
В гл. IV-1 было выяснено, что как отображение из k'A в kA
является продолжением на эти пространства полиномиального
отображения из k' в k; теперь мы подобным же образом про-
должим на kA fe-линейное отображение £—>• из k' на /г'. Имеем
NrM (*х) = Nfe'/fe tx') Для всех х’ € &а, в частности для всех
х' С kA . Поскольку в то же самое время в силу следствия предл. 3
гл. IV-3 | г' | = | Nv/й (/) |а при всех г' £ k’A, то | г'?- |А = | г' |А
при всех z' Е kA и всех А £ @. Так как морфизмы г' ->• г\ г' ->
-> Nv/л (И из kA на kA и из k'A в kA отображают k'x на k'x
и в kx соответственно, они определяют морфизмы из Gk- на Gft-
и в Gh соответственно. Возьмем их в качестве отображений g' —>• g\
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
344
g' F (g') в предложении 4 гл. XII-1. Ясно, что эти отображения
удовлетворяют условиям [IV (i) — (ii)] и [V (i)]; утверждение
[VI (iii)] немедленно вытекает из наших определений и из след-
ствия 5 теор. 1 гл. XI1-2 (это утверждение допускает очевидное
обобщение, совершенно аналогичное последнему следствию). Усло-
вие [V (ii)J совпадает в нашем случае с утверждением теоремы 1 § 1.
Таким образом, выполнены все условия применимости предложе-
ния 4 гл. XII-1, и мы заключаем, что в теперешних наших обозна-
чениях
(5) Uk П fUNk’^i (£д') = iexNh'//i (Uk^,
где k — любое A-поле, k' — любое циклическое расширение поля k
и Uk, Uk' — ядра канонических морфизмов для k и для k' соот-
ветственно.
§ 4. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ ДЛЯ Q
Полученные к настоящему моменту результаты уже позволяют
легко завершить наше исследование в частном случае k = Q; это
удается сделать благодаря следующему факту.
Лемма 6. Имеет место разложение в прямое произведение
Qa = qxxr^ xIJz*,
р
где произведение берется по всем простым числам р.
Здесь Rx и] Zp рассматриваются как подгруппы квази-
сомножителей Rx = Qx и Qp группы Qa. Как и в следствии 2
предл. 4 § 1, определим морфизм г из Qa в Qx, полагая
г (г) =- sign (гте) П I zp Ip1
р
для 2 = (20)£Qa. Как уже отмечалось (в доказательстве след-
ствия 3 предл. 4 § 1), г индуцирует на Qx тождественное отображе-
ние; это сразу вытекает из теоремы 5 гл. IV-4. Поэтому если R —-
ядро морфизма г, то г определяет разложение в прямое произведе-
ние Qa = Qx X R и является проекцией этого произведения
на первый сомножитель. Ясно, что R = Rx X [] Zx, чем лемма
р
и доказана.
Очевидно, подгруппа [JZp в Qa вполне несвязна, так что
по лемме 4 гл. VI1-3 все ее характеры имеют конечный порядок.
§ 4. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ ДЛЯ Q
345
Поэтому из леммы 6 в сочетании со следствием 2 предл. 7 гл. VII-3
сразу вытекает, что каждый квазихарактер на Qa, тривиальный
на Qx, имеет вид (од|д где характер ф тривиален на Qx X Rx,
a cos, как и в гл. VII, обозначает квазихарактер г-> | z Ц, причем
этот характер тривиален на Qx и на Zx; очевидно, ф является
характером конечного порядка. Напомним, что для любого три-
виального на Qx квазихарактера со на Qa его ведущий идеал
в соответствии с определением, данным в гл. VII-7 для произволь-
ного числового поля, совпадает с идеалом [] р^р~> в Z, где
для всякого простого числа р есть ведущий идеал квазихарактера
<ор, индуцированного на Qp квазихарактером со; здесь, как обычно,
мы отождествляем ненулевой идеал в Z с порождающим его целым
положительным числом.
Как объяснялось в § 1, если е — примитивный корень т-й
степени из 1 в Q, то мы отождествляем группу Галуа g поля Q (е)
над Q с (Z/mZ)x и каждый характер х на g с характером группы
Галуа @ поля Q над Q, т. е. с характером группы Галуа ?! поля
Qab над Q. Разумеется, Q (е) ед Qab при всех т.
Теорема 3. Для любого т > 1 пусть е — примитивный
корень т-й степени из 1 в Q, и пусть g = (Z/mZ)x — группа Галуа
поля Q (е) над Q. Тогда отображение X X ° а есть изоморфизм
группы характеров на g на группу характеров на Qa , тривиаль-
ных на Qx X Rx, ведущий идеал которых делит т.
Обозначим последнюю группу через Г. Пусть Р — множество,
состоящее из оо и простых чисел р, делящих т. Для всякого про-
стого числа р из Р положим gp = 1 + Рр7.р, где р'1 — наибольшая
степень числа р, делящая т. Обозначим через Н подгруппу в Qa ,
состоящую из тех иделей (г„), для которых гх > 0, zp £ gp для
каждого простого числа р £ Р и zp £ Тф для р, не лежащих в Р.
Тогда Г есть группа характеров со на Qa, тривиальных на Qx
и на Н. Положим g^ — Rx и g = [J g„, где произведение берется
по всем v С Р. Как и в гл. VII-8, обозначим через GP подгруппу
в Qa, состоящую из тех иделей (г„), для которых z„ = 1 при всех
v 6 Р. Поскольку g X GP — открытая подгруппа в Qa и подгруппа
QXGP плотна в Qa по предложению 15 гл. VII-8, toQa = Qx -(g X
X Gp). Поэтому морфизм г из Qa на Qx, определенный в доказа-
тельстве леммы 6, отображает g X GP на подгруппу Q(m) в Qx,
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
346
состоящую из дробей alb, где а и & лежат в Z и взаимно просты
с т. Ядро морфизма из g х GP на Q(m), индуцированного мор-
физмом г, совпадает с определенной выше группой Н.
Поскольку каждый характер из Г тривиален на Н, отсюда сле-
дует, что для любого со С Г существует такой характер % на Q(m\
что х ° г совпадает с со на g X GP. Поэтому если а £ Z и а = 1
по модулю т, то а Е g X GP и г (а) = а, откуда % (а) = и (а) = 1.
Следовательно, % определяет характер группы (Z/mZ)x. Этот
характер мы будем обозначать также через % и будем рассматри-
вать его как характер на д и, значит, на @. Следствие 2 предл. 4
§ 1 показывает, что (х, z)Q = X О' (2)) при всех 2 Е g' X GP, где
g' — подходящая открытая подгруппа в g. Это означает, что X ° а
совпадает на g' X GP с х ° г и, следовательно, с со. Поскольку
Qa = Qx,(gz X GP) в силу предложения 15 гл. VII-8 и поскольку
характеры райю оба тривиальны на Qx, этим доказано, что
X ° а = и.
Обратно, пусть х — произвольный характер на д = (Z/mZ)x.
Как и в § 1, рассмотрим его как функцию на множестве всех целых
чисел, взаимно простых с т, и продолжим до характера х на Q<ml.
Тогда х ° г будет характером Hag X GP. Возьмем g Е Qx (g X Gp).
Очевидно, r (g) = ( и, как и в доказательстве следствия 3 предл. 4
§ 1, сразу видно, что g EQ<m) и х (?) = К Поэтому характер х ° г
тривиален на Qx П (g X Gp), так что его можно однозначно про-
должить до характера со на Qa = Qx -(g X Gp), тривиального
на Qx. Поскольку морфизм г тривиален на Н, характер со также
тривиален на Н и, значит, принадлежит Г. Как и выше, следствие 2
предл. 4 § 1 показывает, что х ° а совпадает на g' X GP с % ° г
и, следовательно, с со, где g' — подходящая открытая подгруппа
в g. Как и выше, получаем отсюда, что х°а = ы, чем и завер-
шается наше доказательство.
Мы видим также, что х ° а совпадает с х ° г не только на g' X GP,
но даже на g X GP; другими словами, при условии, что zp Е gp
для каждого простого числа р Е Р, справедливо заключение след-
ствия предл. 4 § 1. Мы не будем формулировать это как отдельный
результат, но используем при доказательстве очередного следствия
Следствие 1. Пусть е таково, как в теореме 3. Возьмем
любое z = (г0) в П^р и положим а — а (г)-1. Тогда существует
такое целое число а, что а £ гр + mZp для каждого простого числа
р, и для каждого такого а имеет место равенство еа = еа.
§ 5. СИМВОЛ ГИЛЬБЕРТА
347
Условие на а можно записать также в таком виде: а == zp по моду-
лю для каждого простого числа р, делящего т, где — наи-
большая степень числа р, делящая т. Как хорошо известно, эти
сравнения имеют единственное решение по модулю т (этот факт
можно рассматривать как частный случай следствия 1 теор. 1
гл. V-2). Поскольку zp £ Zp при всех р, то а взаимно просто с р;
в частности, а 0. Положим г' = а~гг. Тогда z'p £ gp для всех
простых чисел р £ Р- Поэтому, как было показано в конце дока-
зательства теоремы 3, % (а (г')) = % (г (/)). Поскольку морфизм а
тривиален на Qx, то а (г') = а (г) = а-1. Так как г (а) = а и
г (г) = 1, то % (а) = X (а). Поскольку это имеет место для всех
характеров х на g, отсюда видно, что автоморфизм поля Q (е),
индуцированный посредством а, определяется подстановкой е -> е“.
Следствие 2. fldpo канонического морфизма а для Q совпа-
дает с Qx X Rx, и а определяет изоморфизм группы fJZp на груп-
пу Галуа 21 поля QaB над Q.
В самом деле, как мы уже знаем, ядро морфизма а содержит
Qx X Rx, а теорема 3 показывает, что он содержится в этой груп-
пе. Последнее утверждение сразу вытекает поэтому из леммы 6
и предложения 1 гл. ХП-1.
Следствие 3. Поле Qab порождено над Q корнями из 1
в алгебраическом замыкании Q поля Q.
Пусть К — расширение поля Q, порожденное этими корнями;
оно совпадает с объединением полей Q (е) по всем т > 1, где е —
примитивный корень m-й степени из 1. Пусть Й5 — подгруппа в Я,
соответствующая полю ТС. Тогда если характер х таков, как в тео-
реме 3, то он тривиален на 35, так что характер тривиален
на а-1 (35). Поэтому в силу теоремы 3 группа а-1 (35) должна
содержаться в Qx X R*. Но по следствию 2 Qx X R£ совпадает
с ядром морфизма а и, значит, 35 = {1}, откуда К = Qab-
§ 5. СИМВОЛ ГИЛЬБЕРТА
Определение ядра канонического морфизма в общем случае
основано на двух результатах, соответствующих предложениям 9
и 10 гл. ХП-3. В этом параграфе мы будем иметь дело с первым
из этих результатов; нам потребуются некоторые вспомогательные
результаты.
Под п будем понимать любое целое число, большее 1.
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
348
Лемма 7. Пусть G — квазикомпактная группа, у — группа
всех характеров на G, порядок которых делит п, и X — пересечение
ядер всех этих характеров. Тогда каждый характер на G, тривиаль-
ный на X, содержится в у.
По лемме 2 гл. XII-1, примененной к эндоморфизму х —>- хп
группы G, Gn есть замкнутая подгруппа в G и группа GIGn ком-
пактна. Поэтому в группе, двойственной к G, подгруппа, ассо-
циированная по двойственности с G", дискретна. Эта подгруппа
состоит из всех характеров на G, которые тривиальны на G",
т. е. порядок которых делит п. Следовательно, группа у дискретна,
а значит, замкнута в группе, двойственной к G. Наше утверждение
вытекает теперь из теории двойственности.
Предложение 6. Пусть К — локальное поле, содержащее
п различных корней п-й степени из 1. Для х, у из К' положим
U, У)п,к = (Т.п,х, У) к. Тогда
{у, х)п,к = (х, у)п\к
при всех х, у из КД', (Хх)п совпадает с множеством тех элементов
у Е Кдля которых (х, у)п,к = 1 при всех х £ Xх; если modк (п) =
= 1 и R — максимальное компактное подкольцо в X, то множе-
ство тех элементов у £ 7СХ, для которых (х, у)п>к = 1 при всех
х С Rx, совпадает с (Кх)п Rx.
В силу определений гл. IX-5 и гл. ХП-2 (х, у)п,к совпадает
с 1] ({%, у}п), где т) — изоморфизм, определенный в следствии 2
теор. 1 гл. ХП-2. Наше первое утверждение есть не что иное, как
формула (12) гл. IX-5. Второе тождественно предложению 9 гл.
ХП-3, если К есть p-поле, тривиально,если К = С, и легко прове-
ряется, если К = R, ибо в этом случае из нашего предположения
о корнях n-й степени из 1, содержащихся в К, вытекает, что п = 2.
Что касается нашего последнего утверждения, то из предположе-
ния о том, что modK (n) = 1, вытекает, что К является р-полем,
где р взаимно просто с п. Ввиду нашей первой формулы и пред-
ложения 6 гл. ХП-2 доказываемое утверждение сводится к утвер-
ждению, что характер Хп.у неразветвлен в том и только в том слу-
чае, когда у £ (Д'х)'г Rx.
Обозначим через q модуль поля К. Из нашего предположения
относительно корней n-й степени из 1 вытекает, что п делит q — 1.
В алгебраическом замыкании К поля К возьмем какой-нибудь
примитивный корень £ из 1 порядка п (q — 1). Для любого f 1
пусть — неразветвленное расширение степени f над К, содер-
§ 5. СИМВОЛ ГИЛЬБЕРТА
349
жащееся в К. Тогда £ £ К/ в том и только в том случае, когда
п (q — 1) делит q1 — 1, т. е. в том и только в том случае, когда
1 + q + . . . + q*-1 = 0 по модулю п. Так как q = 1 по модулю п,
последнее сравнение выполняется в том и только в том случае,
когда f = 0 по модулю п. Отсюда видно, что К (С) = Кп-
Положим е = Так как это — примитивный корень (д — 1)-й
степени из 1, он содержится в Д'. Ввиду определений гл. IX-5 мы
показали, таким образом, что является неразветвленным
характером порядка п, связанным с Кп. Поэтому в силу предло-
жения 5 гл. ХП-2 он порождает группу неразветвленных харак-
теров, порядок которых делит п. В частности, для у £ /Сх характер
неразветвлен в том и только в том случае, когда он равен
(bi,e)v при некотором v 6 Z, т. е. когда z/e~v лежит в ядре мор-
физма Как мы видели в гл. IX-5, это ядро совпадает
с (/С)". Следовательно, характер %п>у неразветвлен в том и только
в том случае, когда у содержится в подгруппе в Xх, порожденной
подгруппой (/С)" и элементом е. По предложению 8 гл. П-3 (Xх)’1
содержит 1 -j- Р. Так как 1 + Р и е порождают Xх, наше утвер-
ждение доказано.
Следствие. Для каждого локального поля К, содержащего
п различных корней п-й степени из 1, символ (х, у)п,к определяет
локально постоянное отображение из Д* X Xх в группу корней
п-й степени из 1 в С.
Это очевидно, если К = R или С. Если Д — некоторое р-поле,
то это немедленно вытекает из предложения 6 и того факта (имеющего
место в силу предложения 8 гл. П-3, в случае когда К — поле
характеристики р, ибо тогда п должно быть взаимно простым с р,
и в силу следствия предл. 9 гл. П-3 в противном случае),
что (ТС)’1 —открытая подгруппа конечного индекса в Xх.
Про символ (х, у)п,к можно сказать, что он определяет двой-
ственность конечной группы самой себе, с помощью
которой эта группа может быть отождествлена со своей двой-
ственной.
Предложение 7. Пусть k — некоторое А-поле, содер-
жащее п различных корней п-й степени из 1. Тогда при всех z = (г,.),
г' = (г(.) из kx почти все сомножители в произведении
(& Z )п = П (^»> Zv)n,
V
взятом по всем точкам v поля k, равны 1, и это произведение
определяет локально постоянное отображение из kx X kx в группу
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
350
корней п-й степени из 1 в С и удовлетворяет условию (z, z')n =
= (z', z)nx при всех z, z'. Кроме того, (k£)n совпадает с множе-
ством тех элементов z из ДД для которых (z, z')n = 1 при всех
z’Qk^.
Если k — поле характеристики р > 1, то из нашего предполо-
жения относительно k вытекает, что п взаимно просто с р. Следо-
вательно, во всех случаях | п |в = 1 почти для всех v. Поскольку
zB, z'v лежат в почти для всех v, то наше первое утверждение
сразу вытекает из предложения 6. Тот же самый факт в сочетании
со следствием предл. 6 показывает, что (г, г')п есть локально
постоянное отображение. По предложению 6 если z содержится
в ядрах всех характеров z->(z, z')n, то zv Е (&»)п при всех v.
Поэтому из равенства zv = t™, где tv Е и того факта, что z„ Е г„
почти для всех v, вытекает, что то же верно для t„, так что t =
= (t„) и г = tn.
Следствие 1. Для каждого конечного множества Р точек
поля k, содержащего все те точки, для которых | п |в 1, положим
Q (Р) = П Ах х П (Р) = П (**)” X П
v£P V$P V$P V(£P
Это — открытые подгруппы в k±, и множество тех элементов
г Е &а, для которых (г, z')n = 1 при всех г' Е Q (Р) (соотв. при
всех z' Е И' (Р)), совпадает с (k£)n О' (Р) (соотв. с (k^)n Q (Р)).
Относительно определения Р следует заметить, что | nv | > 1
для каждой бесконечной точки поля k, так что Р содержит все
эти точки. Поэтому Q (Р) совпадает с открытой подгруппой в кД,
обозначавшейся тем же символом в гл. IV-4. Как мы видели выше,
подгруппа (k%)п открыта в kx при всех и, так что группа Q' (Р)
открыта в Q (Р). Первое множество, рассматриваемое в нашем
следствии, состоит из тех иделей (zD), для которых (z„, z'v)n, kv = 1
при всех zB Е kv, если v Е Р, и при всех z' Е гх, если v $ Р. Следо-
вательно, наше утверждение вытекает из предложения 6. Другое
множество рассматривается аналогичным образом.
Следствие 2. Пусть Р таково, как в следствии 1. Предпо-
ложим дополнительно, что = k*Q (Р). Тогда
(kx)n = kx(](klf^ (Р).
Ясно, что (k*)n содержится в правой части последнего равен-
ства. Обратно, пусть £—элемент из правой части равенства.
§ 5. СИМВОЛ ГИЛЬБЕРТА
351
Тогда по следствию 1 (5, z)n = 1 при всех г £ Q (Р). По определе-
нию это равносильно тому, что Q (Р) содержится в ядре характера
z-^ z)k на &а- Поскольку это ядро содержит k* по следствию
теор. 2 § 3 и поскольку k'& = fexQ (Р), отсюда следует, что харак-
тер Хп,5 тривиален, а значит £ Е (&х)п-
Символ (z, г')п, определенный в предложении 7, можно назвать
символом Гильберта для k. Из последнего утверждения предложе-
ния 7 вытекает, что (/гл)4 является замкнутой подгруппой в k£,
поэтому основное содержание этого предложения можно выразить,
сказав, что символ Гильберта определяет двойственность группы
^д/^а)"1 самой себе, с помощью которой она может быть отожде-
ствлена со своей двойственной. Как замечено выше, при всех g Е kx,
z Е &а имеем
U, z)n = (%n,t, z)k = Xn,5 (а (г)),
следовательно, в силу следствия теор. 2 § 3 (£, т])п = 1 для всех
%, Т] из fex.
Предл о ж е н и е 8. Пусть поле k содержит п различных
корней п-й степени из 1. Тогда k* (&д)п совпадает с множеством
тех элементов z Е k'x, для которых (£, z)n — 1 при всех 1 Е &х,
и это множество содержит ядро Uh морфизма а.
Обозначим рассматриваемое множество через Хп. Его можно
описать также как пересечение ядер характеров %п>6 на k%, где £
пробегает k\ Очевидно, Хп о Uk. Как и прежде, положим Gh =
= k$Jk*. Применяя к Gh и к эндоморфизму х->-хп группы Gh
лемму 2 гл. ХП-1, мы видим, что kX (k^)n является замкнутой
подгруппой в &а с компактной факторгруппой. Применяя к Gk
и к группе характеров на Gk, определяемых характерами на k'£
вида Хпл ° a с ? Е лемму 7, мы видим, что каждый характер
на k&, тривиальный на Хп, имеет такой же вид. Ясно, что Хп тэ
zd fex (&д)'г. Так как обе эти подгруппы замкнуты в feAx, то наше
предложение будет доказано, если мы покажем, что существуют
сколь угодно малые окрестности U единицы в &д, для которых Хп
содержится в kx (k'£)n U.
Чтобы показать это, поступим следующим образом. Пусть Ро —
конечное множество точек поля k, содержащее все такие точки v,
что | п |р #= 1, и удовлетворяющее условию из следствия теор. 7
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
352
гл. IV-4, т. е. такое, что k'^ = &ХП (Ро). Тогда каждое конечное
множество точек Р о Ро обладает теми же свойствами. Возьмем
любое такое множество Р и положим U = ППС, где — про-
извольная окрестность единицы в (&х)п при v £ Р и Uv = ri при
v £ Р. Ясно, что U есть окрестность единицы в£д и что эту окрест-
ность можно сделать сколь угодно малой с помощью подходящего
выбора Р и окрестностей 1/„ для v £ Р. Сразу видно, что (&а)" U
совпадает с (&д)п Q' (Р), где Q' (Р) — группа, которая была опре-
делена в следствии 1 предл. 7.
Нам надо доказать, что Хп содержится в группе W (Р) =
= kx (k't)n Q' (Р), другими словами, что XnW (Р) = W (Р).
По лемме 1 гл. ХП-1, примененной к Gfe = &д//гх и к образу в Gk
группы W (Р), последняя группа имеет конечный индекс в
Таким образом, достаточно будет показать, что W (Р) и Xn117 (Р)
имеют одинаковый индекс в kx{.
Индекс подгруппы (Р) в равен числу различных харак-
теров на йд, тривиальных на Хп и на W (Р). Будучи тривиальным
на Хп, такой характер должен иметь вид где £ 6 kx.
Поскольку Хп содержит kx(k^)n, то характер %n,t°a тривиален
на М (Р) в том и только в том случае, когда он тривиален на Q' (Р),
т. е. в силу следствия 1 предл. 7, когда g содержится в (&д)п Q (Р).
Но ввиду наших предположений относительно Р
(М)" Q (Р) = (fexQ (P))n Q (Р) = (fexf Q (Р).
Как и в гл. IV-4, положим Е (Р) = kx |~1 И (Р). Мы видим, что
рассматриваемые характеры суть в точности характеры вида
° а с £ С (&x)n Е (Р), и нам надо вычислить число различных
таких характеров, которое совпадает с индексом в (kx)n Е (Р)
ядра морфизма t->/„д а. Это ядро совпадает с ядром морфизма
£->-Хп,с, которое равно (kx)n. Следовательно, наш индекс совпа-
дает с индексом подгруппы Е (Р)п в Е (Р). В силу теоремы 9 гл. IV-4
и того факта, что п делит порядок группы всех корней из 1 в k,
последний индекс равен пс, где с = card (Р).
Теперь нам нужно вычислить индекс подгруппы VC (Р) в fel-
Рассмотрим группы G = kx X Q (Р), G’ = kx X Q' (Р) и мор-
физм f из G в &а, для которого f (£, u) = gu при g С kx, и £ Q (Р).
Обозначим через Н ядро морфизма f; оно состоит из элементов
(L ё^1) € G с | £ Е (Р). Ввиду нашего предположения относительно
Р морфизм f отображает G на далее, он отображает G' на W (Р),
§ 6. ГРУППА БРАУЭРА А-ПОЛЯ
353
как показывает формула
W (Р) = kx (k£)nQ' (Р) = kx (kx£2 ОпЙ' (Р) =
= kx (Q (P)n Q' (P)) = PQ' (P).
Это дает f~x (W (P)) = HG', следовательно,
[k*A : W (P)l = [G : HG'] = [G : G'l -IHG' : G']"1.
Здесь [G : G'] задается формулой
[G : G'] = [Q (P) : Q' (P)] = [J [tf : (kx)n].
v£P
В правой части каждый сомножитель, соответствующий мнимой
точке v, равен 1, а значит, равен п2 | п I;1, ибо в этом случае | п |р =
= п2. Если точка v вещественна, то п должно равняться 2, потому
что поле kv = R должно содержать примитивный корень п-й степе-
ни из 1. Поэтому соответствующий сомножитель равен 2, т. е. опять-
таки равен п2 | nv |-1. Сомножители, отвечающие конечным точкам
v 6 Р, задаются следствием предл. 9 гл. П-З, в случае когда харак-
теристика поля k равна нулю, и предложением 8 гл. П-З в против-
ном случае; здесь следует учесть, что п делит порядок группы
корней из 1 в k, а значит, и в kv и что поэтому п взаимно просто
с р, если характеристика поля k равна р. Мы видим, что рассма-
триваемые сомножители опять равны п2 | п IJ1. Поэтому
[G : G'] — [] («21 п I®1) = п2с П | п I®1 = «2С,
VzP V
ибо | п |р = 1 при всех v $ Р.
Мы завершим наше доказательство, если покажем, что индекс
IHG' : G'] = пс. Но этот индекс совпадает с индексом подгруппы
Н П G' в Н, или в силу определений Н и G' с индексом подгруппы
Е (Р) П И' (Р) в Е (Р). По следствию 2 предл. 7 Е (Р) П И' (Р)
содержится в Е (Р) Q (fex)n, т. е. в Е (Р)п, и очевидно, что Е (Р) Q
П Q' (Р) содержит Е (Р)п. Поэтому искомый индекс совпадает
с индексом подгруппы Е (Р)п в Е (Р). Как мы уже нашли выше,
этот индекс равен пс, чем и завершается наше доказательство.
§ 6. ГРУППА БРАУЭРА А-ПОЛЯ
Как мы убедились в § 3, класс простой алгебры А над k одно-
значно определяется локальными инвариантами hv (X), где/1„ (Л) =
= 1 почти для всех v, hv (Л) = 1 для всех мнимых точек v и h„ (Л) =
= 1 или —1 для всех вещественных точек v; мы доказали также,
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
354
что [piD (Л) = 1. Поэтому группа Брауэра И (k) будет полностью
описана, если мы докажем следующую теорему.
Теорема 4. Пусть k — некоторое А-поле, и для всякой
точки v поля k пусть т] с — корень из 1 в С. Предположим, что т] D = 1
почти для всех и, т]0 = 1 для каждой мнимой точки v, = 1 или
—1 для каждой вещественной точки v и |J tj0 = 1. Тогда существует
V
простая алгебра А над k с инвариантами hv (Л) = ц0.
Доказательство теоремы для поля k характеристики нуль мы
отложим на конец параграфа, а сейчас проведем доказательство
для поля k характеристики р > 1. Как и в гл. VI, обозначим через
D (k) группу дивизоров поля k, через Do (k) — группу дивизоров-
степени нуль и через Р (k) — группу главных дивизоров. Пусть
h — число классов дивизоров степени нуль, т. е. индекс подгруппы.
Р (£) в Z)o (fe), и пусть щ, . . ., vN — все точки поля k, для которых
ЛР #= 1. Взяв в качестве п целое число, не меньшее 1, для которого
(T]Di)n = 1 ПРИ всех Л мы можем написать = е (аг/п), где at £ Z
при 1 i N. Так как Пли = 1, то 2 аг = па, где а £ Z. Заменяя
в случае надобности at на а{ — па, можно считать, что 2 аг = 0.
Для всякого i обозначим через dt степень точки щ. Пусть d =
= Д dt и m = 2 (aidldt) vt. Тогда deg (m) = 2 atd = 0, m 6 Do (k),
откуда hm 6 P (k), так что существует такой элемент 0 £ kx, что
div (0) = hm, т. е. ord(Ji (0) = hatd/dt при 1 i N и ord„ (0) = 0,
если = 1. Теперь рассмотрим константное расширение k'
поля k степени hnd над k. Пусть ср — автоморфизм Фробениуса
поля k' над k и % — характер на группе Галуа поля k' над k, для
которого % (ср) = е (Jdhnd). Так же, как и в доказательстве пред-
ложения 3 § I, сразу видим, применяя следствие 4 теор. 1 гл. ХП-2,
что для любой точки v поля k имеет место равенство (х„, 0)„ =
~ % (фв)\ где v = ordD (0), б —степень точки v. Ввиду нашего
выбора 0 и % отсюда следует, что (х„, 0)о = Л» ПРИ всех v- Поэтому
в силу формул (4) § 3 циклическая алгебра А = [k'/k; %, 0] и будет
искомой алгеброй.
Пр едложение 9. Для всякого х € Хк обозначим через
U (х) ядро характера % □ а на ks . Тогда (а) если k' — циклическое
расширение поля k, связанное с %, то U (х) = kxNh'/h (kb); (b) для
каждого целого n 1, взаимно простого с р, где р > 1 — харак-
теристика поля k, пересечение Un ядер U (х) по всем характерам
% £ Xh порядка, делящего п, совпадает с kx (k£)n.
§ 6. ГРУППА БРАУЭРА А-ПОЛЯ
355
Положим U' (%) = kxNk’Ih (k'x), где %, k' такие же, как и выше,
и положим V'n = /гх (&а)п. Применяя к эндоморфизму х -> хп
группы Gh = kA/kx лемму 2 гл. ХП-1, видим, что группа U'n замк-
нута в kA; применяя ту же лемму к морфизму из Gft- в Gk, опре-
деляемому морфизмом Nk’Ih из kA в kx, видим, что группа U' (%)
тоже замкнута в k\. Если % имеет порядок п и поле k' таково,
как в (а), то п есть степень поля k' над k, так что Nh'/h (z) = z'1
при z Е k, а значит и при z g kA, и, следовательно, V (%) U'n.
Характер на kA тривиален на (kA)n в том и только в том случае,
когда его порядок делит п. Поэтому характер на kA, тривиальный
на &х, имеет порядок, делящий п, в том и только в том случае,
когда он тривиален на U'n. Как и прежде, обозначим через Uk
ядро морфизма а; как мы знаем, оно содержит kx. Если харак-
теристика поля k равна нулю, то применим предложение 1 гл. XII-1
к спариванию между Хк и Gh, определенному с помощью (%, г)й;
в противном случае применим следствие 4 предл. 2 гл. XII-2.
В обоих случаях мы видим, что каждый характер конечного поряд-
ка на k'x, тривиальный на Uh, можно однозначно записать в виде
% о а, где % £ Xft. Отсюда следует, что группа Un является пере-
сечением ядер характеров на kA, тривиальных на U'n и на Uh.
Поэтому она совпадает с замыканием подгруппы U'nUk, и Un = U'n
тогда и только тогда, когда U'n то Uh. Мы видим также, что каждый
характер на kA> тривиальный на U' (х) и на Uk, должен иметь
вид %' ° а с х' б Хк.
По следствию 2 теор. 1 § 1 характер %' ° а тривиален на U' (%)
в том и только в том случае, когда циклическое расширение поля
k, связанное с %, содержится в k’, т. е. в том и только в том случае,
когда %' = xv Для некоторого v £ Z. Так как пересечение ядер
U (xv) по v Е Z, очевидно, совпадает с U (%), отсюда видно, что
U (/) совпадает с замыканием подгруппы U' (х) Uk и что U (х) =
= U' (х) в том и только в том случае, когда U' (х) => Uk.
Теперь рассмотрим сначала случай характеристики нуль. При-
меним индукцию по п. Пусть для всех полей k характеристики
нуль свойство (а) выполняется для каждого характера х порядка
< п. Тогда Uk cz kxNh-/k (k'x) для любого такого поля k и любого
его циклического расширения k' степени <_п. В силу формулы (5)
в самом конце § 3 отсюда следует, что Uk = kXNk4k (Uk). Пусть
L — расширение поля k, порожденное каким-нибудь примитивным
корнем п-й степени из 1. Поскольку это расширение абелево и его
степень над k меньше п, можно найти последовательность полей
k0 = L, ki, . . ., kr = k, промежуточных между L и k, такую,
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
356
что при 1 i г поле kt_i является циклическим расширением
степени < п над kt. Поэтому при 1 i г имеем
Индукцией по I для 1 i г сразу убеждаемся, что U>.. содер-
жится в ki ((ki)A)n (для i = 0 это имеет место по предложению 8).
При i = г получаем, что Uh ст U'n. Как мы видели выше, этим
доказано (Ь); кроме того, отсюда следует, что Uh cz U' (/) для
каждого х порядка п, чем доказано (а) для таких характеров и завер-
шена наша индукция.
Пусть теперь k — поле характеристики р > 1. Возьмем х и k',
такие, как в (а), и выберем z £ U (%) так, чтобы (%, z)h = 1. Тогда
если положить z = (zB) и цв = (хв, гв)в, то выполняются условия
теоремы 4. Поскольку эта теорема уже доказана для случая харак-
теристики р > 1, то мы заключаем, что существует простая алгебра
А над k с инвариантами hv (Л) = цв. Но это означает, что выпол-
нено условие (iv) предложения 5 § 3. В силу последнего утвержде-
ния этого предложения имеем z £ U’ (х), чем доказано (а). Так же,
как и выше, мы выводим отсюда, с помощью формулы (5) § 3, что
Uh = kxNk'/h (Uk’) для всех циклических расширений k’ поля k.
Предполагая, что п взаимно просто с р, возьмем в качестве k' кон-
стантное расширение поля k, порожденное примитивным корнем
п-й степени из 1. Согласно предложению 8, Uh’ k х (k'^)n,
поэтому то же самое верно для k.
Теперь мы можем доказать теорему 4 в случае характеристики
нуль. Для каждой точки v поля k обозначим через v (и) порядок
элемента в Сх. Существует такой характер х, что для каждой
точки v порядок характера х» делится на v (и). Например, это
условие будет выполняться, если в качестве х взять характер,
связанный с циклическим расширением k' поля k, описанным в лем-
ме 5 § 3. Для каждой точки v морфизм г-> (х„, г)в является харак-
тером на feB , и порядок этого характера, будучи равным порядку
характера Хг>> делится на v (у). Поэтому можно так выбрать гв С k„,
чтобы (/в, гв)в = цв; при этом мы будем брать гв = 1, если т]в = 1.
Тогда г = (гв) 6 и из предположенного равенства Пт1в = 1
вытекает, что г содержится в ядре характера х 0 а- Поэтому по пред-
ложению 9 z £ k'^Nk’/k (k’x), где k' — циклическое расширение
поля k, связанное с %. Записывая г в виде г == 0ЛД'/л (г'), где
г' Е k'x, и сочетая предложение 10 гл. IX-4 со следствием 3 теор. 1
§ 7. р-СИМВОЛ ГИЛЬБЕРТА
357
гл. IV-1 и с предложением 1 § 1, мы видим, что циклическая алгебра
А = [k'/k; %, 9] обладает требуемыми локальными инвариантами
hv (Л) = чем и завершено доказательство теоремы 4.
§ 7. Р-СИМВОЛ ГИЛЬБЕРТА
Как это обнаружится в следующем параграфе, к настоящему
моменту в части, касающейся полей алгебраических чисел, наше
исследование по существу уже завершено. Для случая характе-
ристики р > 1 нам понадобится еще один символ, аналогичный
изученному в § 5 символу Гильберта, но основанный на классах
факторов {£, 9}р гл. IX-5.
Для любого поля К характеристики р > 1 будем обозначать
через Ф эндоморфизм х-^х — хр аддитивной группы поля К;
ядро этого эндоморфизма совпадает с простым полем Fp. Начнем
с рассмотрения локального p-поля К характеристики р. Как обыч-
но, обозначим через R максимальное компактное подкольцо в К,
через Р — максимальный идеал в R и через q — модуль поля К.
Очевидно, Ф отображает R в R, а Р в Р; если ord (х) = v < О,
то ord (Ф (х)) = pv < 0, так что Ф-1 (R) = R.
Предл о ж е н и е 10. Пусть К, R, Р и Ф такие, как выше.
Для х Q К, г £ К* положим (х, г)р,к = (хР,х, 2)к. Тогда Ф (К)
содержит Р, но не содержит R; множество тех элементов х £ К,
для которых (х, z)p,K = 1 при всех г £ ТС (соотв. при всех z С Rx),
совпадает с Ф (К) (соотв. с R + Ф (Т<)); множество тех элементов
z f К/ , для которых (х, z)p,K = 1 при всех х £ К (соотв. при всех
х £ R), совпадает с (кх)р (соотв. с (Rx)p Rx).
со
Для х 6 Р положим Т (х) = 2 хрП- Ясно, что эта сумма
сходится и определяет эндоморфизм аддитивной группы Р, и сразу
видно, что как Ф « Т, так и Т о Ф индуцируют на Р тождественное
отображение. Поэтому Ф индуцирует на Р автоморфизм аддитивной
группы Р, так что РсФ (К). Обозначим через F алгебраическое
замыкание простого поля Fp в К. По теореме 7 гл. 1-4 F есть поле
из q элементов и Т? = F + Р, так что Ф (Т?) — Ф (F) + Р. Посколь-
ку эндоморфизм, индуцированный посредством Ф на конечном
поле F, имеет ядро Fp, он не сюръективен. Поэтому Ф (R) R.
Поскольку Ф-1 (7?) = R, отсюда видно, что R не содержится
в Ф (К).
Если (х, z)Pik = 1 при всех г £ ТС, то характер Хр,* должен
быть тривиальным. Как мы видели в гл. IX-5, это имеет место
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
358
в том и только в том случае, когда х £ Ф (К). Возьмем любое х £ R +
+ Ф (К). Поскольку R = F Р и Р с Ф (К), то можно записать
х в виде х = а + Ф (п), где а £ F, и £ К- Тогда совпадает
с %р,а и является характером, связанным с циклическим расшире-
нием поля К, порождаемым любым корнем а уравнения X — Хр =
= а. Так как элемент а алгебраичен над Р, то он либо равен нулю,
либо является корнем из 1, порядка взаимно простого с р, так что
поле К (а) и, следовательно, характер %р,х неразветвлены. Поэтому
(х, г)р>к = 1 при всех z£ R*.
Теперь возьмем какой-нибудь корень £ уравнения X — Xq = 1
в некотором алгебраическом замыкании поля К и положим е =
= £ — £2’. Группа Галуа поля К (£) над К порождена автомор-
физмом Фробениуса, который отображает £ в £® = £ — 1, посколь-
ку элемент £ алгебраичен над F. Следовательно, элемент е инва-
риантен относительно этой группы, а значит, е С F, К (£) является
неразветвленным расширением степени р над К и %pz является
характером, связанным с этим расширением. Поэтому неразвет-
вленные характеры над К порядка р или 1 — это характеры вида
(%r,e)v, гДе v Е Z. Следовательно, характер %р>х неразветвлен в том
и только в том случае, когда он может быть записан в таком виде,
т. е. в том и только в том случае, когда х = хе + Ф (и), где и £ К,
и в этом случае х 6 R + Ф (К).
Что касается последних двух утверждений, то одно из них
есть не что иное, как предложение 10 гл. ХП-3. Наконец, если е
таково, как выше, то ядро морфизма 2->(е, z)PiK является под-
группой индекса р в ТС, содержащей /?х, т. е. это ядро совпадает
с /КУ Rx. Для каждого х £ R, как мы видели, характер хР,х
неразветвлен и имеет порядок р или 1, так что ядро морфизма
z —(х, z)P:k содержит (Kx)v Rx. Наше доказательство завершено.
Следствие. Для всякого целого числа тД>0 обозначим
через Q' (т, К) множество таких элементов г С Xх, что (х, г)р,к=
= 1 при всех х £ Р~'п. Это множество является открытой подгруп-
пой в К', содержащей (К*)”; индекс этой подгруппы в Кх равен
pqm~m', где т' — наибольшее целое число, не превосходящее т/р.
Для каждой окрестности U единицы в К/ существует такое т~Д> 0,
что Q' (т, К) ст (Кх)р U. Кроме того, Q' (0, К) = (ТС)Р R*,
и для каждого т/^> 0 множество тех элементов х в К, для которых
(х, z)p,K = 1 при всех г Е Q' (т, К), совпадает с Р~т + Ф (ТС).
Пусть F — такое конечное поле, как выше, и л — простой
элемент в К- По теореме 8 гл. 1-4 поле К можно отождествить с полем
формальных степенных рядов от л с коэффициентами из F. Поэтому,
если обозначить через Vm пространство многочленов степени
§ 7. р-СИМВОЛ ГИЛЬБЕРТА
359
от л-1 с коэффициентами из F, то Р~т разлагается в прямую сумму
своих подпространств Vm и Р; размерность векторного простран-
ства Vm над F равна т + 1. Кроме того, как сразу проверяется,
Vm П Ф (К) = Ф (Vm'), где т' таково, как в нашем следствии.
По предложению 10 подгруппа Q' (т, К) является пересечением
ядер характеров г-+(х, z)p>K на Кх по всем х б Vm- Поэтому
эта подгруппа открыта и содержит (Кх)р'< по лемме 7 § 5 все харак-
теры на КУ, тривиальные на И' (т, /С), имеют указанный вид.
Отсюда следует, что индекс подгруппы Q' (т, /С) в Ку равен
числу различных характеров такого вида, которое совпадает
с индексом подпространства Vm Q Ф (К) в Vm. Поскольку Vm
и Vm’ имеют соответственно qm+1 и элементов и поскольку
ядром морфизма Ф из Vm- на Vm П Ф (Ю служит Fp, последний
индекс равен р -q т~т'.
По лемме 2 гл. ХП-1 и лемме 7 § 5 группа G' = КХ1{К'У ком-
пактна, и ее характеры определяются характерами г->-(х, г)р к
на Кх, где х С К- Поэтому пересечения ядер конечных подмножеств
таких характеров образуют фундаментальную систему окрестно-
стей единицы в G'. Иными словами, если U — произвольная окрест-
ность единицы в ТС, то можно найти конечное число характеров
Z-+- (xt, г)Р!к, пересечение W ядер которых содержится в (Кх)р U.
Поэтому W содержит Q' (т, К), если m >- 0 таково, что — т
ord (хг) при всех г. По предложению 10 Q' (0, К) = (/С)р Rx.
Наконец, если характер z->-(y, z)P;K тривиален на Q'(т, К),
то он должен совпадать с характером z —>• (х, z)PfK для некоторого
х g Vm. Согласно предложению 10, это эквивалентно тому, что
У € Ут + Ф (К). Поскольку Ф (К) TD Р и Vm + Р = Р~т, этим
доказано последнее утверждение нашего следствия.
Начиная с этого места, в настоящем параграфе, k будет А-полем
характеристики р. Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 8. Если v — произвольная точка поля k,mok f|
= kp.
Ясно, что поле k Q (kv)p расположено между k и kp. По лемме 1
гл. VIII-5 оно должно совпадать с k или с kp. Поскольку поле
{kv)p не содержит простых элементов поля kv, оно не плотно в kv.
Поскольку поле k плотно в kv, то (kv')p не может содержать k.
Предложение 11. Для всех х = (xD) € kA и всех г =
= (z„) С k'A почти все сомножители в произведении
(•Я, z)p = [J (Хо, ZK)Pi hv
V
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
360
равны 1; это произведение определяет локально постоянное отобра-
жение из kA X kA в группу корней р-й степени из 1 в С; множество
тех элементов х £kA (соотв. тех элементов г £ kA), для которых
(х, г)р = 1 при всех г £ kA (соотв. при всех х £ kA), совпадает с Ф (&А)
(соотв. с (kA)p).
Все это сразу следует из предложения 10.
Следствие 1. Для каждого дивизора ш = 2 т (v) -v > G
положим
Q' (nt) = IIC2' (m (v), kv).
V
Это —открытая подгруппа в kA, содержащая (kA)p. Для каждой
окрестности U единицы в kA существует такой дивизор ш, что
Q' (ш) ст (kA)p U. Множество тех элементов х £ kA, для которых
(х, г)р =1 при всех г £ Q' (ш), совпадает с
(Пр^О+ф^а).
и
Множество Q' (т (v), kv) при всех v является открытой под-
группой в k£, содержащей (kB)p, а т (v) = 0 почти для всех v,
так что Q' (т (и), kv) содержит г*. Этим доказано наше первое
утверждение. Что касается второго утверждения, то достаточно
рассмотреть окрестности вида U = П^в, где U„ — окрестность
единицы] в для всех v и Uv = rBz почти для всех v; поэтому наше
утверждение сразу вытекает из следствия предл. 10. Предположим,
наконец, что х = (хв) таково, как в нашем последнем утверждении.
Тогда по тому же следствию можно записать хв в виде xv = yv +
+ Ф(ив), где yv £ p~m(v), uv £ k„ при всех и и yv = xv, причем
uv = 0 при т (v) = 0 и xv С гв, стало быть, почти для всех v. Итак,
у = (yv) и u=(uv) лежат в kA и х = у + Ф (и), у £ П рв т<1,) •
Следствие 2. В обозначениях следствия 1 предположим,
что deg (m) > 2g — 2. Тогда (kx)p = k* f) Q' (tn).
Ясно, что правая часть последней формулы содержит (kx)p.
Возьмем теперь g £ k*. Если g с Q' (т), то (х, |)р = 1 при всех
х £ П Рё™ <о> а также при всех х £ k, значит и при всех х £ kA соглас-
но следствию 3 теор. 2 гл. VI. По предложению 11 отсюда следует,
что £ С (kA)p, откуда £ С (kx)p по лемме 8.
Следствие 3. В обозначениях следствия 1 пусть и =
= 2 п (v) -v — дивизор поля k степени — 2, и пусть nt > рп.
Тогда множество тех элементов х £ kA, для которых (х, г)р = 1
§ 7. р-СИМВОЛ ГИЛЬБЕРТА
361
при всех z £ Q' (ш), совпадает с
(Пр;тН + Ф(А).
V
Применяя снова следствие 3 теор. 2 гл. VI, видим, что
Ф (Ад) = Ф(А)+Ф (П РГ(к>)-
V
Из нашего предположения вытекает, что второй член в правой
части является подгруппой в П рйтт- Наше утверждение вытека-
ет поэтому из последнего утверждения следствия 1.
Пр едложение 12. Множество тех элементов z £ Ад,
для которых (£, z)p = 1 при всех £ £ k, совпадает с kx (Ад)р.
Обозначим это множество через Хр; оно совпадает с пересече-
нием ядер всех характеров %Р,%°а- на k\ по и содержит
kx (АХ)Р. По лемме 2 гл. XII-1, примененной к Gk = k\lkx,
k* (kX)v является замкнутой подгруппой в Ад с компактной фак-
торгруппой. По лемме 7 § 5 каждый характер на k*A, тривиальный
на должен иметь вид %РЛ’ гДе £ € Выберем какой-нибудь
дивизор п > 0 поля k степени >2g — 2. Ввиду следствия 1 предл. 11
нам достаточно показать, что Хр содержится в М (nt) = kp Q' (ш)
для всех дивизоров nt = S т (и) -v > рп. По лемме 1 гл. ХП-1
IV (nt) имеет конечный индекс в Ад.
Поэтому будет достаточно показать, что XPW (nt) и IV (tn) имеют
одинаковый индекс в Ад.
Индекс V подгруппы XPW (ш) равен числу различных характе-
ров на Ад вида Хр,5оа, или, что то же самое, вида z—»(£, z)P,
с g £ А, тривиальных на Q' (tn). По следствию 3 предл. 11 такой
характер тривиален на Q' (ш) в том и только в том случае, когда
| с С/ (т) 4-Ф (А), где U (т) = П
Как и в гл. VI, положим Л (tn) = А П U (tn). Тогда, очевидно,
N является индексом подгруппы Ф(А) в Л (т) -Т Ф (А), или, что
то же самое, индексом подгруппы Л (ш) П Ф (А) в Л (ш). Положим
ш' = 3 т' (v)’V гДе т' (у) для всякой точки v есть наибольшее
целое число, не превосходящее т(и)/р. Пусть т, т', п — степени
дивизоров nt, m', п соответственно. Тогда 2g — 2.
Ясно, что Л(т)ПФ(А) совпадает с Ф(Л(ш')). Следствие 2 теор. 2
гл. VI показывает, что Л(ш), Л (tn') суть векторные пространства
размерности т — §•-)- 1 и tri — 1 соответственно над полем
констант F в А. Поскольку Ф отображает Л (т') на Л (т) П Ф (А)
с ядром Fp, мы видим, что последняя группа имеет p~1cfrn'~8+i
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
362
элементов, в то время как Л (т) имеет qm~x+1 элементов. Следова-
тельно, N = p-qm~m'.
Теперь нам надо вычислить индекс подгруппы W (т) в &д.
Возьмем какое-нибудь конечное множество Р точек поля k, содер-
жащее все точки v, для которых т (и) > 0, и удовлетворяющее
условию следствия теор. 7 гл. IV-4, т. е. такое, что k\ = kx й (Р).
Положим
й" = П (m GO, X И г*.
v£P v^P
Ясно, что эта группа содержит й (Р)р и й'(ш) = (&д)р й", откуда
W (т) = (&а)р й" = /гх (£ХЙ (Р))р й" = /гхй".
Положим теперь G = /гхй (Р), G' = k' х Й" и обозначим через f
морфизм из G в kA, для которого / (|, и) = %и при £ Е &*, и Е
С Й (Р); пусть Н — ядро морфизма /. Тогда f отображает G на kA,
a G' на) W (ш), и Н состоит из элементов (£, g-1) с £ С Е (Р) =
= k' П И (Р). Далее,
[k*A : W (m)l = [G : HG'] = [G : G'bltfG' : GT1,
причем в силу следствия предл. 10 индекс [G : G'] равен
[G : G'] = [Й (Р) : Й"] == [J № : Й' (т (у), £„)] = pcqm~m’,
VzP
где с = card (Р). Наконец, индекс [HG' : G'] совпадает с индексом
подгруппы Н П G' в Н, т. е. с индексом подгруппы Е (Р) f] Н”
в]Е (Р). Ясно, что Е (Р) П й" содержится в группе k' ("] й' (ш),
которая по следствию 2 предл. 11 совпадает с (&*)р, и содержит
Е((Р)'Е Поскольку Е (Р) П (&х)р совпадает с Е (Р)р, мы видим,
что Е (Р) П Й" = Е (Р)р, и из теоремы 9 гл. IV-4 сразу следует,
что индекс этой подгруппы в Е (Р) равен Рс~1. Доказательство
закончено.
Следствие. Если поле k такое, как выше, и Uk—ядро
канонического морфизма а, то Uk с: kx (Uky‘.
Согласно предложению 12, содержится в kx (&д)р,
так что любой элемент и из Uk можно записать в виде
п = £ур, где gC^x, vQkA. Возьмем любой характер и обо-
значим через k' циклическое расширение поля k, связанное с х.
По предложению 9 § 61 ядро U (х) характера х °а равно
kxNh’/k (kAy Поскольку Uk U (х), отсюда по формуле (5)
в конце § 3 следует, что Uh = kx-Nh'ih(Uh''). Снова по предложе-
§ 8. ЯДРО КАНОНИЧЕСКОГО МОРФИЗМА
363
нию 12 Uk> содержится в k'xтак что Uh содержится
в kxNh>/k Поэтому для такого и, как выше, можно запи-
сать и в виде и — f\Nk4h (w}v, где г)С^х, wQk^- Это дает grp1 =
= v~vNh'ih (w)p. Так как элемент grp1 содержится в kx и в (£д)р,
го он по лемме 8 лежит в (kx)v. Записывая его как gp с gC^x,
получаем, что v = (w), ибо р — характеристика нашего поля.
Отсюда видно, что v QU (%). Поскольку это имеет место при всех
ХЕХ?,, то vQUh, чем и завершается наше доказательство.
> 8. ЯДРО КАНОНИЧЕСКОГО МОРФИЗМА
Теперь мы в состоянии найти Uk во всех случаях.
Теорема 5. Пусть k — некоторое Х-поле и а — канони-
ческий морфизм группы k& в группу Галуа 31 поля над k. Тогда
отображение /^ '/ ° с есть биективный морфизм группы Xk
характеров на 31 на группу характеров конечного порядка на k&,
тривиальных на k '.
Каждый характер порядка п на k&, тривиальный на kx, три-
виален на kx (k'£)n, а значит, в силу предложения 9 § 6, и на Uk,
если характеристика поля k равна нулю; в этом случае наше заклю-
чение сразу получается, если применить к Gk = k£lkx предложе-
ние 1 гл. ХП-1. Пусть теперь k имеет характеристику р > 1, и пусть
со —характер порядка п на /гд, тривиальный на kx. Запишем п
в виде п = п'рг, где п' взаимно просто с /? и i>0. Взяв целые
числа а, Ь, для которых п'а + plb = 1, имеем со = со'со", где со' =
= (f>Hb —характер порядка п', со" = соп'а — характер поряд-
ка рг, причем оба эти характера тривиальны на k\ Точно так же,
как выше, с помощью предложения 9 § 6 заключаем, что характер
со' тривиален на Uk. С другой стороны, из следствия предл. 12
§ 7 индукцией по i легко вывести, что Uk содержится в kx (Z7fe)pl
и, следовательно, в kx а значит, как и выше, характер со"
тривиален на Uk. Отсюда видно, что характер со тривиален на Uk.
Применяя к Gk = &д//гх следствие 4 предл. 2 гл. ХП-1, получаем
наше утверждение.
Следствие 1. fldpo Uh морфизма а совпадает с пересече-
нием замкнутых подгрупп kx (kx)’1 в k\ по всем п^- 1.
Замкнутость этих подгрупп уже отмечалась при доказательстве
предложения 9 § 6. Поэтому ясно, что kx (/гд)п является Пересе-
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
364
чением ядер всех характеров на k£, тривиальных на kx, порядок
которых делит п. Отсюда в силу теоремы 5 сразу вытекает наше
утверждение.
Следствие 2. Если k — поле характеристики р > 1,
то Uk = k\
Имеем Gft = Gk X N, где Gi = k\Jk и группа N изоморфна Z.
Поскольку группа Gi компактна и, очевидно, вполне несвязна,
то лемма 4 гл. VII-3 показывает, что все характеры этой группы
имеют конечный порядок. Каждый такой характер можно одно-
значно продолжить до характера на Gft, тривиального на N, который
также будет иметь конечный порядок и, следовательно, по теоре-
ме 5 будет тривиален на образе группы Uk в Gk. Поскольку в силу
следствия 2 предл. 2 гл. ХП-1 этот образ содержится в Gi, он должен
поэтому совпадать с {1}, а это и означает, что Uh = kx.
Следствие 3. Если характеристика поля k равна нулю,
то Uh совпадает с замыканием подгруппы k^k^. в /гд,гЗе&*+—
группа тех иделей (zD), для которых zs>0 для всех веществен-
ных точек v и zv= 1 для всех конечных точек v поля k.
Имеем Gft = Gix N, где Gk=k\jkx, IV —образ в Gk группы М.
определенной в следствии 2 теор. 5 гл. IV-4. Обозначим через U'
замыкание подгруппы в k£, через U" — образ группы U'
в Ga и положим U'1 — U” П Gk- Очевидно, группа &£/£»+ вполне
несвязна; значит, то же верно и для kx/U' и, следовательно, для
Gk/U". Поскольку М содержится в U', то N содержится в U",
так что U" = U"l'X.N и Gh/U" можно отождествить с Gk/U’i- Таким
образом, факторгруппа Gk/U" компактна. Отсюда видно, что каж-
дый характер на Gft, тривиальный на U\, другими словами, каж-
дый характер на &д, тривиальный на U', имеет конечный порядок.
Следовательно, группа Uk содержится в U'. Поскольку, как мы
уже знаем, она содержит V, то Uk = U'.
Для того, чтобы получить более точные результаты о группе
Uk в случае характеристики нуль, нам нужна одна алгебраическая,
лемма.
Лемма 9. Пусть I — простое число, К,—поле, характерис-
тика которого отлична от I, и К — алгебраическое замыкание
поля К- Для всякого п^О обозначим через Кп расширение поля
К., порожденное примитивным корнем 1п-й степени из \ в К-
Тогда если 1=^2 или если 1=2 и К = К2, то К* f] (Кп)‘п =
§ 8. ЯДРО КАНОНИЧЕСКОГО МОРФИЗМА
365
= (КХУ” при всех п. Если 1 = 2, К=У=К2, 2^т<пи К2=У=
^Кт+1, то Кх Л (^)2”с(^)2п-™.
Возьмем а£Кх П (Кп)'”- Предположим сначала, что а не содер-
жится в (Кр)'”, и пусть i — наименьшее целое число, для кото-
рого а лежит в (Ki*j-i)'n, но не лежит в (К*)'". Тогда l^.i<Zn,
Kt^Kt+i и можно записать а в виде а = х1П, где х содержится
в Кг+1, но не содержится в Кг- Обозначим через г] примитивный
корень Zi+1-fl степени из 1 в Кг-+1 и положим е = т]г, £ = г]гг; е и £
суть корни из 1 порядка 1г и I соответственно, и они содержатся
в Kt- Имеем Кг+1 = Кг(л)> Лг==е, &£Kt и е^=1. Поэтому Kt+t
является циклическим расширением степени I над Kt с группой
Галуа, порожденной автоморфизмом о, для которого t]a = Поло-
жим 0 = хох'1. Тогда Q^Kt+i и 0г"=1, так что 0 является корнем
из 1 некоторого порядка 1У, делящего- 1п. Поэтому элемент 0°
должен иметь вид 0s, где sQZ.
Далее, если v<4. то ОРК,, так что можно взять s = 1, а если
v>i, то Л = 0Г для некоторого r£Z, откуда т]0 = г1\ ? = t]s-1
и потому 5=1 + /г по модулю Г+1. Индукцией по h сразу полу-
чаем, что x°h = xd1+s+---+sh~1. При h = l это дает сравнение 1 +
4-s-p ... 4-s''1 0 по модулю /Е Если v-K 1, то s=l, так что
последнее сравнение влечет неравенство v^l. Если v>i, то
«=1 + аГ, где asl по модулю Z; отсюда следует, что если
1=^=2 или если 1 = 2 и i 4>2, то s' = 14~^l+1, где b =1 по модулю
I, а это показывает, что (sl — l)/(s— 1) не может делиться на Z2
и, следовательно, на lv. Поскольку это противоречит доказанному
выше, мы заключаем, что vO 1, исключая, быть может, случай
1 = 2, 1=1. Поэтому, исключая этот случай, мы можем записать
0 в виде 0^?', где IQZ. Записывая теперь х' в виде х' = г\~‘х,
имеем х’а = х', так что x'£Kt и а = х'1П', но это противоречит
определению i. Тем самым доказано, что а£(Кл)1П в случае 1=£2
и что в случае Z = 2, если а не содержится в (К*)2”, то
° б(К^)2”. В первом случае запишем а = у1П, где y^Kt- Группа
Галуа поля Kt над К является подгруппой в (Z/ZZ)X, поэтому
степень d поля Kt над К делит Z — 1 и взаимно проста с Z. Пусть
l = de-[-lnf. Имеем ad = bin, где Ь = Ык1/к(уУ откуда а =
= (КЬеуп. Если 1 = 2, то Kt = К- Поэтому если а $ (Кх)2”, то обя-
зательно К=У=К2 и мы можем применить доказанное выше,
с 1=1. Если в то же самое время К2 =# Km+i, то порядок 2V эле-
мента 0 не может делиться на 2т+1, так что он делит 2т. Пола-
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
366
гая 6 = х2т, имеем ba = b, так что b^Ki — K, и если п^>т, тс
а =62”-™
В случае 1 = 2, К=^К2, используя аналогичные аргументы,
легко показать, что (7fx)2" является подгруппой индекса 2 в Xх П
Г) {Кп)2П, причем последняя группа порождена подгруппой
(КХ)2П и элементом (l-ym)2”, где «»— образующая группы всех
корней и из 1 в /С,. порядок которых делит 2П и которые удов-
летворяют условию NK2/K («) = 1. Эти факты не будут использо-
ваться далее.
Предложение 13. Пусть Р — конечное множество точек
поля k, содержащее Р^. Положим Н = П k%. Тогда Uk р Н =
= если характеристика поля k равна нулю, и Uh[} Н = {V},
если k имеет характеристику р > 1.
Последнее утверждение очевидно, ибо в этом случае Uh = kx.
Пусть k — поле характеристики нуль. По следствию 1 теор. 5
Uk П Н совпадает с пересечением всех групп kx (kx)N f) Н, N 1.
Элемент из принадлежит последней группе в том и только в том
случае, когда его можно записать в виде ^zN, где £ g kx, г = (г!;) С
g йд и £ = ZyN при всех v $ Р. Пусть N=ln, где I—некоторое
простое число; k’ — расширение поля k, порожденное примитив-
ным корнем Al-й степени из 1 в k, и k" — расширение поля k', поро-
жденное любым корнем уравнения XN = g в k. Ясно, что для всех
точек w поля k', которые не лежат над точками v £ Р, имеем § £
€ (ftwX)N- Поэтому в силу следствия 4 теор. 2 гл. VII-5 k" = k',
так что £ 6 (k'x)N• По лемме 9 отсюда следует, что g С (kx)N, если
I =£ 2. В случае 1 = 2 обозначим через k2 расширение поля k,
порожденное примитивным корнем 4-й степени из 1. Если k2 = k,
то опять £ б (kx)N. Если же k2 =# k, то обозначим через 2т наиболь-
шую степень двойки, делящую порядок группы всех корней из 1
в k2. Согласно лемме 9, £ g (AX)N , где АГ = 2~mN, при условии,
что п > т. Беря N = 2т+ц в этом последнем случае и N =
в противном случае, убеждаемся, что kx (&a)N П И содержится
в множестве (йд)^ П Н, совпадающем с Н^. Отсюда видно, что
Uh П Н содержится в Н1^ для всех простых I и всех р. > 0.
Возьмем любое целое число М > 1. Для каждого простого
делителя I числа М. пусть У — наибольшая степень числа I, деля-
§ 8. ЯДРО КАНОНИЧЕСКОГО МОРФИЗМА
367
щая М. Можно найти такие целые числа а (/), что ММ = J Г^а (/).
Возьмем произвольный элемент h С Uh П Н и для всякого I запи-
шем h в виде h = где hi С Н. Тогда h = h'M, где h’ =
= П <hi)aW. Поэтому Uk Л Н cz Нм при всех М > 1. Как было
показано в следствии 1 теор. 3 гл. ХП-З, пересечение всех групп
(7гх)и для заданной конечной точки v поля k равно {1}. Это же
пересечение, очевидно, равно Сх, если kv = С, и равно Rx, если
kv = R. Поэтому пересечение всех групп Н'1 совпадает с &*+,
так что Uk П Н содержится в k%>+- Поскольку обратное включение
очевидно, наше доказательство закончено.
Следствие. Для каждой точки v поля k поле kv>ab порожда-
ет над kv поле &аь-
Это утверждение тривиально, если kv = С, и очевидно, если
k„ = R, ибо тогда поле ^„>аь совпадает с С и порождается прими-
тивным корнем 4-й степени из 1 в k. Предположим теперь, что и —
конечная точка. Объединение kp>0 всех неразветвленных расши-
рений поля kv порождено над kv корнями из 1. Поэтому подполе k'
в йп,’аъ, порожденное над kv полем &аЬ, содержит kVt0. Как и в § 1,
пусть 21D — группа Галуа поля /гс?аь над kv, и пусть р„ — морфизм
ограничения из 21 „ в 21. Автоморфизм а поля Ас>аь над k„ тожде-
ствен на k' в том и только в том случае, когда он тождествен на АаЬ,
т. е. в том и только в том случае, когда тождествен автоморфизм
pD (а). Предположим, что это имеет место. Тогда, поскольку kVt0 cz
cz k', автоморфизм а содержится в группе Галуа поля kv<ab над
kVi0, так что по следствию 2 теор. 3 гл. ХП-З его можно записать
в виде а = av (г) с zf rj. По предложению 2 § 1 р„ (a) = a (jv (г)),
где jv — естественное вложение поля /г,'; в Ад. Если автоморфизм
р„ (а) тождествен, то элемент /„ (г) должен содержаться в Uh. Беря
в предложении 13 в качестве Р множество, содержащее и, мы видим,
что автоморфизм а сам должен быть тождественным. Наше след-
ствие доказано.
В качестве примера применим это следствие к случаю k = Q.
Учитывая следствие 3 теор. 3 § 4, получаем, что для каждого про-
стого числа р максимальное абелево расширение поля QP в алге-
браическом замыкании поля Qp порождается всеми корнями из 1.
Разумеется, этот факт можно было бы вывести непосредственно
из результатов гл. XII.
ГЛ. ХШ. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
368
§ 9. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Основные результаты теории полей классов либо являются
непосредственными следствиями из найденных выше результатов,
либо выводятся из них с помощью рассуждений, в точности повто-
ряющих доказательства соответствующих теорем гл. XII.
Теорема 6. Если характеристика поля k равна нулю, то
канонический морфизм а определяет изоморфизм группы Ад/Д^
на группу Галуа 21 поля над k, где Uk —замыкание подгруппы
k*k^+ в kx- Если k — поле характеристики р> 1, то морфизм а
определяет биективный морфизм группы Ёд/&х на некоторую
плотную подгруппу в № и изоморфизм группы Ед/Ех на группу
Галуа 21 о поля /гаь над объединением k0 всех расширений поля k,
соответствующих расширению поля констант.
Если учесть следствие 3 теор. 5 § 8, то первое утверждение нашей
теоремы просто повторяет часть предложения 1 гл. ХП-1. Второе
утверждение повторяет часть следствия 2 предл. 2 гл. ХП-1 и утвер-
ждение [II"] гл. ХП-1, если принять во внимание равенство Uk =
= k" и определение 2[0 в § 1.
Теорема 7. Пусть k' — расширение конечной степени
над k, содержащееся в k. Положим L = k' Q ЕаЬ. Тогда при z £ k£
автоморфизм а (г) индуцирует тождественный автоморфизм на
L в том и только в том случае, когда г содержится в k*Nh'/h (й'д).
Доказательство этой теоремы повторяет доказательство теоре-
мы 4 гл. ХП-3, только, разумеется, надо использовать теорему 5
§ 8 вместо теоремы 3 гл. ХП-3 и следствие 1 теор. 1 § 1 вместо след-
ствия 1 теор. 2 гл. ХП-2.
Следствие 1. В предположениях и обозначениях теоремы 7
пусть 23— подгруппа в 21, соответствующая полю L. Тогда
kxNb/k (La) = k*Nh'i/h (6АХ) = а-1 (23).
Последнее равенство является переформулировкой теоремы 7.
Применяя эту теорему к k' — L, получаем, что (Ед) = а-1(23).
Следствие 2. Для каждого расширения L конечной степени
над k, содержащегося в k^, обозначим через 23 (Е) подгруппу в-21,
соответствующую полю L, и положим N (Е) — kTNijk (Ед).
Тогда N (Е) = а-1 (23 (Е)); 23 (Е) является замыканием подгруппы
a (N (Е)) в ЭД; Е состоит из всех элементов поля k^, инвариантных
относительно а (г) при всех г С N (L) и а определяет изоморфизм
§ 9. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
369
группы k\ IN (L) на группу Галуа 2I/2S (L) поля L над k. Кроме
того, отображение L-+ N (L) биективно отображает подполя
в &аь конечной степени над k на открытые подгруппы конечного
индекса в &д, содержащие kx.
Если учесть следствия теор. 5 § 8, то все это просто пересказ пред-
ложения 3 гл. ХП-1. Следует заметить, что в случае, когда харак-
теристика поля k равна нулю, группа k^> +, будучи произведением
конечного числа сомножителей, изоморфных или Сх, порождает-
ся всякой своей окрестностью единицы и потому содержится в каж-
дой открытой подгруппе в k\.
Следствие! 3. В обозначениях следствия 2 пусть Г —
группа всех характеров на 21, тривиальных на Й5 (L). Тогда связан-
ная с L подгруппа N (L) в k\ является пересечением ядер характеров
а> == % ? а на k\, где % пробегает Г, и отображение % ° а есть
изоморфизм гр -s'. Г на группу у всех характеров на k\, тривиаль-
ных на N (L).
Первое утверждение является простой переформулировкой в дру-
гих терминах равенства N (L) = а"1 (Ж' (L)). Аналогичным обра-
зом наше второе утверждение есть переформулировка того факта,
что а определяет изоморфизм группы k\ IN (L) на 21/23 (А).
Следствие 4. Пусть х— произвольный характер на 21,
и пусть L — циклическое расширение поля k, связанное с %. Тогда
связанная с L подгруппа N (Л) совпадает с ядром характера со =
= х о а на k\.
Это — частный случай следствия 3, соответствующий выбору
в качестве группы Г группы, порожденной элементом х-
Следствие 5. Пусть k и k' таковы, как в теореме 7,
и пусть М — подполе в /гаь конечной степени над k. Обозначим
через М' композит полей /И и k'. Пусть U = kTNyi/h (уИд)
и U’ = (/Идх) — открытые подгруппы в kx и в k& , свя-
занные с абелевыми расширениями М над k и М' над k' соот-
ветственно согласно следствию 2. Тогда U' =
Доказательство идентично доказательству следствия 3 теор. 4
гл. ХП-З.
Теорема 8. Пусть k'— расширение конечной степени над
k, содержащееся в /гзер, и а, а' — канонические морфизмы из &д
в 21 и из kx в группу Галуа ЧЯ.' поля /гаь над k' соответственно.
ГЛ. ХШ. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
370
Пусть t — гомоморфизм переноса из 31 в 31' и j — естественное
вложение группы в k&. Тогда t°a = a'°j.
Доказательство идентично доказательству теоремы 6 гл. XI1-5,
за тем, разумеется, исключением, что теперь следует использовать
теорему 7 вместо теоремы 4 гл. ХП-З.
§ 10. ЛОКАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ
РАСШИРЕНИЙ
Пусть поле k такое, как выше, и пусть и — произвольная точка
поля k. Как и в § 1, выберем какое-нибудь алгебраическое замыкание
Кг поля kv, содержащее алгебраическое замыкание k поля k. Пред-
ложение 1 гл. III-1 показывает, что если k' —любое расширение
конечной степени над k, содержащееся в k, то подполе в /Св, порож-
денное над kv полем k', можно отождествить с пополнением k'u:. поля
k’ относительно одной из точек w, лежащей над v. Если k' — рас-
ширение Галуа поля k с группой Галуа д, то можно, как мы это уже
делали в подобных случаях ранее, применить следствие 4 теор. 4 гл.
Ш-4, которое показывает, что k'v, является расширением Галуа
поля kv', если I) — его группа Галуа над kv, то морфизм ограничения
из f) в о инъективен и можно с его помощью отождествить 1} с не-
которой подгруппой в д; поэтому пополнения поля k' относительно
точек поля k', лежащих над V, находятся во взаимно однозначном
соответствии с классами смежности в g по I), и все эти пополнения
изоморфны
Применим это к случаю, когда поле k' абелево над k. Тогда
по следствию 2 теор. 7 § 9 группа Галуа g этого поля изоморфна
группе k^JU, где U = N (k') = kxNk'/k (&дХ), так что U является
открытой подгруппой конечного индекса в k&- Более точно, если
95—подгруппа группы Галуа 31 поля /гаь над k, соответствующая
полю k', то канонический морфизм а определяет изоморфизм груп-
пы k^/U на группу д = 31/95. С другой стороны, если kv, такие,
как выше, то kw является абелевым расширением поля kv, которо-
му следствие 2 теор. 4 гл. ХП-З сопоставляет открытую подгруппу
U„ = Nhw/kv (k'wx) в kv- Обозначим, как и прежде, через 31в группу
Галуа поля ^в,аь над k„ и обозначим через 9% подгруппу в 31»,
соответствующую полю kw. То же самое следствие показывает,
что канонический морфизм av из k„ в 81» определяет изоморфизм
группы k^/Uv на f) = 3U/95». Связь между всеми этими группами
дается следующим предложением.
§ 10. ЛОКАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИЙ
371
Предложение 14. В принятых выше обозначениях
и предположениях подгруппа Uv в k„, ассоциированная с kw, за-
дается равенством Uv — k* П И. Если- группу g отождествить
с группой k&/U посредством изоморфизма а и гриппу t) с груп-
пой kv/Uv посредством изоморфизма av, то морфизм ограничения
из tj в g совпадает с морфизмом из k*/Uv в k>jU, определяемым
естественным вложением jv группы k* в Ад, и точки поля
k', лежащие над V, находятся во взаимно однозначном соответ-
ствии с классами смежности в по k*U.
Возьмем любое zv £ А» и положим а = ав (гг). По предложе-
нию 2 § 1 автоморфизм поля Ааъ, индуцированный посредством а,
совпадает с рс (а) = а (г), где zv = jv (z„). Поскольку поле k'm
порождено над kv полем k', то а индуцирует тождественное отобра-
жение на k'w в том и только в том случае, когда р„ (а) индуцирует
тождественное отображение на k’. Ввиду следствия 2 теор. 4
гл. ХП-3 и следствия 2 теор. 7 § 9 это означает в точности то, что zv
содержится в Uv в том и только в том случае, когда j„ (гс) содержит-
ся в 77; это можно записать в виде равенства Uv = k„ f] U. Второе
утверждение нашего предложения сразу вытекает из тех же фактов;
из этих фактов следует также, что образ в g группы 1) можно отож-
дествить с образом в k\IV группы k^>, который совпадает с k^UiU,
и что группу д/1) можно отождествить с группой Ад/А^ U. Как мы
упоминали выше, точки поля k', лежащие над v, находятся во взаим-
но однозначном соответствии с классами смежности в g по tj и, сле-
довательно, с классами смежности в Ад по k%U. Этим завершается
доказательство.
Наше предложение и его доказательство остаются справедливы-
ми и в том случае, когда и — бесконечная точка, потому что теорема
4 гл. ХП-3 и ее следствия сохраняют силу для R и С, как было
отмечено в свое время. Связи между различными группами и мор-
физмами, рассмотренными выше, иллюстрируются следующей
диаграммой:
ГЛ. ХШ. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
372
Следствие 1. Пусть у — группа характеров на k&, три-
виальных на U, и пусть ус — группа характеров на k*, тривиальных
на Uv. Тогда отображение, которое каждому со Е У сопоставляет
характер со,., индуцированный на k* характером со, является сюръ-
ективным морфизмом из у на у с и порядок ядра этого морфизма равен
числу точек поля k', лежащих над v.
Ясно, что отображение со coD есть морфизм из у в ус. Каждый
характер на k», тривиальный на Uv, можно однозначно продолжить
до характера на k*U, тривиального на U, а этот характер в свою
очередь можно продолжить до характера на , который будет
лежать в у. Поэтому наш морфизм сюръективен. Его ядро состоит
из характеров на тривиальных на k* U. Значит, оно двойственно
факторгруппе klJkvU. В силу последнего утверждения предложе-
ния 14 порядок этой группы именно таков, как утверждается
в нашем следствии.
Следствие 2. В сделанных выше предположениях пусть v —
конечная точка поля k. Тогда модулярная степень f и индекс ветвле-
ния е поля k'w над kv задаются формулами
f=[k* : r*Uv\ = [k*U : <7],
e=[r*Uv-.Uv\ = [r*U-.U].
По следствию предл. 6 гл. ХП-2 и следствию 2 теор. 4 гл. ХП-З
максимальное неразветвленное расширение поля kv, содержащееся
в k’w, ассоциировано с подгруппой r*Uv в k*. Отсюда сразу вытекает
первая часть нашего следствия.
Следствие 3. В предположениях следствия 2 поле k'w
неразветвлено над kv тогда и только тогда, когда U о г*. В этом
случае автоморфизм поля k' над k, индуцированный автоморфизмом
Фробениуса поля k’w над kv, совпадает с образом в g = k'^JU любого
простого элемента л,, поля kv и является элементом порядка f в д.
Неразветвленность поля k'w над kv означает в точности то, что
е = 1, так что наше первое утверждение является частным случаем
следствия 2. Второе сразу вытекает из предложения 14 в сочетании
со следствием 4 теор. 1 гл. XII-2, которое утверждает, в нашей
ситуации, что а„ (nv) есть автоморфизм Фробениуса поля k'w над k„.
Как мы знаем из следствия предл. 3 гл. VIII-1, поле k'w, в обо-
значениях следствий 2 и 3, неразветвлено над kv в том и только
§ 10. ЛОКАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ АБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИЙ
373
в том случае, когда его дифферента над kv совпадает с r'w. В силу
определений дифференты и дискриминанта (гл. VIII-4) и того факта,
что пополнения поля k' относительно всех точек поля k', лежащих
над v, изоморфны, это означает в точности то, что поле k'w неразветв-
лено над kv в том и только в том случае, когда v не входит в дискри-
минант поля k' над k. По следствию 3 предл. 14 это имеет место
в том и только в том случае, когда U о г£. Этот качественный
результат можно уточнить следующим образом.
Теорема 9. Пусть k' — расширение конечной степени над k,
содержащееся в £аЬ, и пусть U = kxN к—подгруппа в k£,
ассоциированная с k'. Обозначим через у группу всех характеров
на Ад,тривиальных на U. Для всякого cog у обозначим, далее,
через f (со) ведущий идеал характера со. Тогда дискриминант ©
поля k' над k задается равенством ® = f] f (со) или равенством
2 f(®) в соответствии с тем, равна или не равна нулю
характеристика поля k.
Пусть обозначения те же самые, что и в следствии 2 предл. 14,
и пусть р„ — максимальный идеал в максимальном компактном под-
кольце rv в kv. Обозначим через рьг, дискриминант поля k'w над kD
и через v — число точек поля k', лежащих над V. Поскольку попол-
нения поля k' относительно всех этих точек изоморфны k'w, они вно-
сят одинаковый вклад в дискриминант ®, так что их совместный
вклад равен (соответственно 8v-v). Пусть группа yv такова, как
в следствии 1 предл. 14. Обозначим через w[, 1 i d, различные
элементы группы yv и для всякого i обозначим через р{{г} ведущий
идеал характера со-. По следствию 2 теор. 5 гл. ХП-4 имеем б =
= 2/(0- По следствию 1 предл. 14 всякий характер со' индуциро-
ван на ki в точности v характерами со £ у. Теперь наше утверждение
очевидно.
Теорема 10. В предположениях и обозначениях теоремы 9
дедекиндова дзета-функция поля k' задается равенством (s) =
= [] L(s, со).
о Е V
Достаточно проверить это в случае Re (s) > 1 когда бесконечные
произведения для этих функций абсолютно сходятся. В этом случае
достаточно показать, что для всякой конечной точки v поля k вклад
в (s) точек поля k', лежащих над и, равен произведению вкладов
точки v в произведения L (s, со). Если f таково, как в следствии 2
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
374
предл. 14, то вклад точки w в произведение (s) равен (1 — уТ7’)'1;
это будет также вкладом всякой точки поля k', лежащей над v,
так что если] v — число таких точек, то общий вклад равен
(1 -qJs)~v-
С другой стороны, при ® Е у вклад точки v в L (s, со) равен 1,
если только характер не является неразветвленным, и равен
(1 — со„ (лр) <7ps)_1> если он неразветвлен. Ввиду следствия 1 предл.
14 произведение этих вкладов равно f] (1 — со' (л„) 7,7S)^V, где
произведение берется по всем различным характерам со' на А®,
тривиальным на U„ и на ri, т. е. тривиальным на ri Uv. По следствию
2 предл. 14 группа ki!riUv имеет порядок f. Ясно, что эта группа
порождена образом в ней элемента л0 и, следовательно, циклична.
Поэтому существует ровно f характеров со', и их значения в точке
суть все корни /-Й степени из 1 в С. Отсюда следует, что произве-
дение J] (1 — со' (пр) t) для каждого t £ С равно 1 — f, чем наше
доказательство и завершено.
Следствие. В обозначениях и предположениях теорем 9 и 10
пусть k — некоторое поле алгебраических чисел.
Тогда
Zh’ (s) — лпр/2 f] Л ($, со).
где п — степень поля k' над k и р — число вещественных точек поля
k, для которых лежащие над ними точки поля k' мнимы.
Здесь Zh' ($) и Л (s, со) — функции, определенные в теореме 3
гл. VII-6 и в теореме 5 гл. VII-7 соответственно. Ввиду теоремы 10
единственное, что надо доказать,— это что всякая бесконечная
точка v поля k дает одни и те же G-сомножители в обеих частях фор-
мулы нашего следствия. Определим v, как выше. Тогда общий вклад
в Zh’ (s) всех v точек поля k', лежащих над v, равен G{ (s)v или G2 (s)x
в соответствии с тем, вещественна точка w или нет. Вклад точки v
в Л (s, со) равен G,l (s + $„) или G2 (s + sD) соответственно тому,
вещественна точка v или нет; sv зависит от cos описанным в гл. ХП-7
образом.
Характер сос, который тривиален на U„, открытой подгруппе
в k*, должен быть тривиальным на С х в случае kv = С и на Rx или
Rx в случае kv — R. Если характер cos тривиален на k*, то мы дол-
жны положить s0 = 0, а если нет, то имеем kv = R, Uv = R^. и
cos (*) ~ x~r I х I, откуда $р = 1. Поскольку степень поля k'w над
k„ равна [ k* : Uv], то в последнем случае она равна 2, а в первом
равна 1. Принимая во внимание следствие 1 предл. 14, мы видим,
§ 11. «КЛАССИЧЕСКАЯ» ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
375'
что вклад точки и в ПЛ (s, со) равен Gx (s)v, если точки v и w вещест-
венны, G2 (s)v, если обе они мнимы, и Gt (s)v G, (s + l)v, если точка
v вещественна, а точка w мнима. В последнем случае v = п/2,
например по следствию 1 теор. 4 гл. Ш-4. Наше следствие вытекает
из этих фактов и из тождества G2 (s) = nGt (s) Gj (s 4- 1), которое
совпадает с известным тождеством для гамма-функций, уже приво-
дившимся в конце гл. X.
§11. «КЛАССИЧЕСКАЯ» ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
Перевод наших результатов на традиционный язык теории полей
классов основан на следующих фактах:
(а) Пусть U —множество всех открытых подгрупп в Ад, содер-
жащих kx, U'— множество тех из них, которые имеют конечный
индекс в Ад, и 1Г —множество тех из них, которые содержатся
в Ад и имеют конечный индекс в k\. Лемма 1 гл. ХП-1 показы-
вает, что U = U' и Ц"т^0, если k — поле алгебраических чисел,
и чго U = U' (J U", если k — поле характеристики р>1.
(Ь) Пусть Я — множество всех полей конечной степени над k,
промежуточных между k и АаЬ; в случае когда поле k имеет харак-
теристику р > 1, пусть Яо — множество всех полей конечной сте-
пени над Ао, расположенных между k0 и Ааь- Следствие 2 теор. 7 § 9
определяет взаимно однозначное соответствие между U' и Я; из по-
следнего утверждения теор. 6 § 9 и из теории Галуа следует, что
в случае, когда k имеет характеристику р > 1, существует взаимно
однозначное соответствие между U" и Я.
(с) Поскольку открытые подгруппы любой группы являются
ядрами ее морфизмов на дискретные группы, постольку описанные
в (а) открытые подгруппы группы Ад можно рассматривать как ядра
таких морфизмов, а сами эти морфизмы описывать в терминах мор-
физмов групп I (Р), D (Р) указанным в гл. VI1-8 способом.
Для нашей теперешней цели будет удобнее дать новую интерпре-
тацию результатов гл. VII-8, следующим образом модифицировав
обозначения этой главы.
Как и в гл. VII-8, для любого конечного множества Р точек поля
k, содержащего Рх, обозначим через GP группу тех иделей (г„)
поля k, для которых zv = 1 при v С Р, и через G’P группу тех иделей,
для которых г„ = 1 при т. е. | zv |„ = 1, при v 4 Р.
Будем обозначать через Lp свободную группу, порожденную точка-
ми v, не содержащимися в Р; эту группу будем записывать мульти-
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
*376
пликативно. Группу LP можно очевидным образом отождествить
с группой / (Р) или D (Р) из гл. VI1-8, в зависимости от того, како-
ва характеристика поля 1г. Обозначим через 1Р морфизм из GP на LP
с ядром G'p, задаваемый следующим образом: (гс) -+ [j vr(-v), где
V^P
г (u) = ord„ (г0). Кроме того, для каждого Н Е k у такого, что
S Е Н? для всех конечных точек v Е Р, положим рг (&) = || где
V Р
р (п) = ord0 (£) при V £ Р.
Определение 1. Подгруппу J в LP будем называть кон-
груэнцгруппой, если для каждой точки v Е Р можно найти такую
открытую подгруппу g„ в k%, содержащуюся в г% в случае, когда точка
v конечна, что рг (|) Е J при всех Е П П £в); группу g = Ц gv
v£P
будем при этом называть определяющей группой для J.
Ясно, что ничего не изменится, если в качестве gv для каждой
конечной точки v Е Р брать лишь подгруппы вида 1 + р? с 1.
Предложение 15. В принятых выше обозначениях пусть
U (Р) — множество всех открытых подгрупп в kA, содержащих
kx и содержащих г* для всех v $ Р. Тогда для всякой подгруппы U Е
Е U (Р) формула U П GP = ТР (J) определяет конгруэнцподгруппу
J = J (U, Р) в LP; группа g — []gB, где gv таковы, как в определе-
нии 1, является определяющей группой для J тогда и только тогда,
когда она содержится в U; подгруппа U совпадает с замыканием под-
группы kxTP (J) в kxA, и канонический гомоморфизм из kA на k\IU
определяет изоморфизм группы LPU на k^lU. Кроме того, отобра-
жение U J (U, Р) биективно отображает U (Р) на множество
всех конгруэнцподгрупп в LP.
Возьмем V Е U (Р) и обозначим через со канонический гомомор-
физм группы k\ на дискретную группу Г = kA/U. Поскольку мор-
физм группы Gp в Г, индуцированный посредством со, тривиален на
на G’p, его можно записать в виде ср°/р, где <р — морфизм из LP в Г.
Ясно, что ядро морфизма ср совпадает с J. По следствию предл. 17
гл. V П-8 отсюда следует, что J является конгруэнцподгруппой в LP.
Поэтому согласно предложению 17 гл. VI1-8 со является единствен-
ным продолжением морфизма ср о 1Р на k\, тривиальным на k', и мор-
физм со тр ивиален на определяющей группе g для J, так что g сг U.
По предложению 15 гл. VII-8 группа kxGP плотна в k\. Отсюда выте-
кает, что композиция фо 1Р сюръективно отображает GP на Г, так
что ср (ЛР) == Г, а также что подгруппа U П (/eGP) плотна в U;
эта подгруппа совпадает с k' • (U П GP), т. е. с kxl~p (J).
§ 11. «КЛАССИЧЕСКАЯ» ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
377
Обратно, пусть J — любая конгруэнцподгруппа в LP и <р —
канонический гомоморфизм группы LP на дискретную группу Г =
— LP/J. Снова по предложению 17 гл. VII-8 отображение <р° 1Р
можно однозначно продолжить до морфизма со группы в Г, три-
виального на kx. Поэтому если U — ядро морфизма со, то 77 £ 11 (Р)
и J = J (U, Р). Наконец, если группы gv таковы, как в определении
1, и g = [Jg„, то каждый элемент £ из П (kx П Sv) содержится в g ,<
X GP, так что в случае g cz U проекция элемента £ на GP содержит-
ся в U П GP и образ этой проекции в LP, который совпадает с pr (Н),
содержится в J. Таким образом, g является определяющей группой
для J.
Следствие 1. В обозначениях предложения 15 пусть Р' —
конечное множество точек поля k, содержащее Р. Тогда если J —
конгруэнцподгруппа в LP, то J' = J П LP' — конгруэнцподгруппа
в LP>; если J = J (U, Р), где U £11 (Р), то J’ = J (U, Р').
Здесь имеется в виду, что LP- при Р' zzz Р можно очевидным
образом рассматривать как подгруппу в LP. Ясно, что при этом
11 (Р) cz 11 (Р'). Если теперь 77 £ 11 (Р) и 77 GP = (7), то,
очевидно, 77 |~| GP- = 1р> (</'), где J' = J Q LP-. Отсюда и из пред-
ложения 15 и вытекает наше следствие.
Следствие 2. Пусть Р, Р' — два конечных множества
точек поля k, содержащие Рх, и пусть J, J' — конгруэнцподгруппы
в LP и в LP> соответственно. Тогда kxlP (J) и k'lP' (J') имеют
одно и то же замыкание U в в том и только в том случае, когда
существует такое конечное множество Р", содержащее Р и Р', что
J П LP., = J' fl LP-,; в этом случае то же верно для всех конечных
множеств Р", содержащих Р и Р', и U содержится в И (Р П Р').
Обозначим через 77 , 77' замыкания двух наших множеств.
По предложению 15 J = J (U, Р) и J' = J (U', Р'). Если 77 = 77',
то из предложения 15 сразу вытекает, что 77 £ 11 (Р J Р'). Поэтому
в силу следствия 1, если Р" zz Р J Р', то группы J £| LP„ и J' П
П LP" совпадают обе с J (U, Р"). С другой стороны, если сущест-
вуют такие Р", J", что Р" zz Р IJ Р' и J" = J £) LP„ = J' Q LP-,
то, согласно следствию 1, J" = J (U, Р") = J (U’, Р"), откуда
77 = 77' по предложению 15.
В случае когда две конгруэнцгруппы J, J' таковы, как в след-
ствии 2, говорят, что они эквивалентны. Поскольку каждая откры-
тая подгруппа 77 и k&, содержащая kx, принадлежит И (Р) при под-
ходящем выборе Р, то ясно, что существует взаимно однозначное
соответствие между множеством 11 всех таких групп и множеством
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
378
классов эквивалентности конгруэнцгрупп. Поэтому взаимно одно-
значное соответствие между U и Й (соотв. St IJ St0), упомянутое
выше в (Ь), определяет взаимно однозначное соответствие между R
(соотв. R J St0) и классами эквивалентности конгруэнцгрупп.
Опишем это соответствие более подробно.
Прежде всего в силу предложения 15 и его следствий очевидно,
что для любого заданного класса конгруэнцгрупп найдется наимень-
шее множество Р, такое, что в LP содержится конгруэнцподгруппа
J, принадлежащая этому классу. В самом деле, если U — открытая
подгруппа в kx, соответствующая этому классу, то Р состоит из всех
бесконечных точек и всех таких конечных точек и, для которых г*
не содержится в U. Если мы положим Uv — U Q k* при всех v,
то последнее условие равносильно тому, что г* ф Uv.
Аналогичным образом существует наибольшая определяющая
группа для J; она равна Д gv, где gv = (/„для каждой бесконечной
v£P
точки v и gv = U,, П для каждой конечной точки v £ Р. Если рас-
сматривать лишь такие определяющие группы, для которых группа
gv, в случае когда точка v конечна, имеет вид 1 + р™, где m 1,
то для всякой конечной точки v £ Р надо взять наименьшее целое
число т (у) 1, для которого 1 + <= Uv.
Если k — поле характеристики р > 1, то дивизор У т (v)-v
называется кондуктором группы U и каждой конгруэнцгруппы,
эквивалентной J. Если k — поле характеристики нуль, то пола-
гаем т (и) = 0 или 1 для всякой вещественной точки v поля k в за-
висимости от того, совпадает U„ с R* или с R*; для всех мнимых
точек v поля k полагаем т (у) = 0. Сопоставим еще всякой беско-
нечной точке v поля k символ называемый бесконечным простым.
Символ [j р’"<0) называют кондуктором группы U, группы J и кон-
v g Р
груэнцгрупп, эквивалентных J.
Очевидно, что в случае характеристики р > 1 конгруэнцпод-
группа J в L отвечает некоторой открытой подгруппе U в k\ в том
и только в том случае, когда она состоит из дивизоров степени 0,
причем LP отождествляется с группой D (Р) дивизоров, взаимно
простых с Р. Начиная с этого места, мы исключаем этот случай.
Другими словами, в случае когда характеристика поля k не равна
нулю, мы рассматриваем лишь открытые подгруппы конечного
индекса в kxx, абелевы расширения конечной степени поля k и кон-
груэнцгруппы, которые содержат по крайней мере один дивизор
степени 0. Договорившись об этом, мы можем применить предло-
жение 14 § 10 и его следствия. В частности, если k' — абелево рас-
§ 11. «КЛАССИЧЕСКАЯ» ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
379
ширение поля k, соответствующее открытой подгруппе U в fel,
то следствие 4 указанного предложения показывает, что U содержит
/"£ в том и только в том случае, когда поле k'w неразветвлено над kv
для всех точек w, лежащих над V, т. е. в том и только в том случае,
когда v не входит в дискриминант ® поля k' над k.
Будем обозначать через А множество, состоящее из всех бесконеч-
ных точек поля k и всех точек, входящих в дискриминант Тогда
конгруэнцподгруппа J в LP, соответствующая U, существует в том
и только в том случае, когда Р гэ А. Что касается кондуктора для
U, то, если оставить в стороне бесконечные точки, он в очевидном
смысле равен 8прие? (f (<а)) в обозначениях теоремы 9 § 10. Что
до бесконечных точек, то доказательство следствия теор. 10 § 10
показывает, что такая точка в том и только в том случае входит
в кондуктор, когда она вещественна, а все лежащие над ней точки
поля kr мнимы.
Прежде чем обсуждать связь между конгруэнцгруппами, ассо-
циированными с U, и автоморфизмами Фробениуса, введем некото-
рые определения, имеющие смысл для произвольного расширения
Галуа k' конечной степени над k. Обозначим через g группу Галуа
поля k' над k, и пусть v — любая точка поля k, aw — точка поля k',
лежащая над v. По следствию 4 теор. 4 гл. Ш-4 группу Галуа I)
поля k'w над kv можно отождествить с некоторой подгруппой в g с по-
мощью морфизма ограничения из I) в д. Если v — конечная точка
и поле k'w неразветвлено над kv, то группа I) циклична и порождена
автоморфизмом Фробениуса фц, поля k'w над k„; после отождествле-
ния группы Ь с ее образом в g можно рассматривать ф„; как эле-
мент группы д; этот элемент называется автоморфизмом Фробениуса
поля k' над k в точке w. Пусть w' — другая точка поля k' над V. То
же самое следствие показывает, что существует ^„-линейный изо-
морфизм поля k'w на kw-, определяемый некоторым автоморфизмом ст
поля k' над k. Тогда айтоморфизм Фробениуса поля k' над k в точке
w' равен ог-1фи;ст. Ясно, что автоморфизм ф„; тождествен в том и толь-
ко в том случае, когда точка v вполне расщепима в k’.
Пусть, в частности, k, k' — поля алгебраических чисел, г, г' —
их максимальные порядки, — простые идеалы в г и г',
отвечающие соответственно точкам v и w. Тогда r/pD, т'/Р™
суть конечные поля из q = qv и q' = qw элементов соответственно
и фш есть автоморфизм поля k' над k, который определяет на
г'/Pw автоморфизм х—>хя. Этот автоморфизм можно определить
так же, как такой автоморфизм ф поля k' над k, что (р^)
для каждого £,Qr'w.
Предположим, в дополнение к сделанным выше предположени-
ям, что поле k' абелево над k, т. е. что группа g коммутативна. Тог-
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
380
да автоморфизм <рш один и тот же для всех точек w, лежащих над и.
В таком случае единственный этот автоморфизм <рс„ называется
автоморфизмом Фробениуса поля k' над k в точке v. Будем обозна-
чать его через (k'/k\ v) или, если нет опасности перепутать, через
(k' | и). Тогда мы можем следующим образом проинтерпретировать
следствие 3 предл. 14 § 10.
Как и в этом следствии, обозначим через U открытую подгруппу
в k\, связанную с k', и отождествим группу Галуа g поля k' над k
с kxlU при помощи канонического морфизма. Возьмем Р zz> А, где
А было определено выше. Канонический гомоморфизм группы k\
на группу g = k^/U тривиален на для каждой точки v 4 А,
так что он индуцирует на GP морфизм этой группы в группу д, три-
виальный на G'P; последний морфизм определяет морфизм <р группы
LP = GpIG'p в g. Следствие 3 предл. 14 § 10 утверждает теперь, что
<р (и) для каждой точки v (J Р совпадает с автоморфизмом Фробе-
ниуса ф0 = (k' | о) поля k' над k в точке о, определенным выше.
Этот морфизм ф группы LP в д, определенный при Р zd А, будем
записывать так: m-*- (k’lk\ tn). Будем писать (kr | in) вместо(&' Ik |tn),
если нет опасности путаницы; этот символ называется символом
Артина. Его можно охарактеризовать как морфизм группы LP (или,
что равносильно, группы идеалов / (Р),или группы дивизоров/) (Р),
в зависимости от того, какова характеристика) в группу д, который
переводит каждую точку v £ Р в автоморфизм Фробениуса поля k’
над k в этой точке. Ввиду предложения 15 этот морфизм сюръекти-
вен и его ядро J — J (U, Р) является конгруэнцподгруппой в LP.
Когда в качестве Р берутся всевозможные конечные множества
точек, содержащие А, ядра J (U, Р) образуют класс эквивалент-
ных конгруэнцгрупп; все эти группы содержатся в группе J (/г') =
= J (U, А).
Из изложенных выше результатов вытекает также, что конечная
точка v поля k вполне расщепима в k' в том и только в том случае,
когда она содержится в J (k'). Поэтому предложение 15 гл. VIII-5
показывает, что если k" — сепарабельное расширение поля k, содер-
жащееся в k, и если почти все точки поля k, содержащиеся в J (k'),
вполне расщепимы в k", то k" содержится в k'. Отсюда, очевидно,
следует, что существует бесконечно много точек поля k, содержащих-
ся в J (k'). Как мы увидим в § 12, то же самое верно для всех классов
смежности в Lx по J (k'). Следствие предл. 15 гл. VIII-5 показывает
также, что если k" — расширение Галуа поля k, то оно содержит k'
в том и только в том случае, когда почти все точки поля k, вполне
расщепимые в k", лежат в J (k'). Отсюда следует, что если k' и k" —
два абелева расширения поля k, содержащиеся в Ъ, то k" zd k'
в том и только в том случае, когда существует такое Р, что J (k") (]
§ 11. «КЛАССИЧЕСКАЯ» ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
381
П LP се J (k') [~| LP. Этот факт вытекает также из результатов § 9
в сочетании с предложением 15 этого параграфа. В частности, поле
k' однозначно определяется классом эквивалентности конгруэнц-
групп, определенным по J (k'); это тоже немедленно вытекает из ре-
зультатов § 9 и предложения 15 этого параграфа. Принято говорить,
что k' — «поле классов», для класса эквивалентности конгруэнц-
групп или для любой группы из такого класса.
Данная выше характеризация класса конгруэнцгрупп, для кото-
рого k' является полем классов, основана исключительно на симво-
ле Артина; можно дать и другую характеризацию, используя тот
факт, что U = k*Nh’/h (k'x). Более общо, если взять в качестве k'
любое расширение конечной степени над k, то теорема 7 § 9 и ее след-
ствия показывают, что группа U = kxNh'/h (k'x) является откры-
той подгруппой конечного индекса в k\, ассоциированной с макси-
мальным абелевым расширением L поля k, содержащимся в k'. Возь-
мем любое конечное множество Р точек поля k, содержащее Р™,
и для всякой точки v £ Р возьмем открытую подгруппу gv в &*, содер-
жащуюся в ri в случае конечной точки v. Положим g = f] Sv, Ug —
v£P
= k‘gG'P и Jg = J (Ug, P). Тогда в обозначениях определения 1
Jg является подгруппой в LP, состоящей из элементов вида рг (£),
где Е Е П (k" П gr)- Поскольку группа U gU содержит G’P, она опре-
деляет конгруэнцгруппу J = J (UgU, Р), задаваемую равенством
Рр (J) = UgU П GP. Обозначим через НР группу тех иделей (z„)
поля k', для которых zw = 1 для каждой точки w поля k', лежащей
над некоторой точкой v £ Р, и через Н'Р — группу тех иделей (г'ц,.)
поля k', для которых z'w — 1, в случае, когда w лежит над некоторой
точкой v Е Р, и | z'w |u, = 1 в противном случае. Тогда L'P = НР1Н'Р
есть свободная группа, порожденная точками поля k', не лежащими
над точками из Р. Поскольку отображает НР в GP и Н'Р в G'P,
то определяет морфизм 91 группы L'P в LP, который совпадает
с морфизмом yth'ih (соотв. гл. VIII-4, если L'P, LP интерпре-
тировать как группы идеалов (соотв. дивизоров) полей k' и k.
По предложению 15 гл. VII-8 подгруппа k'*HP плотна в k'x, так что
подгруппа (НР) плотна в U. Поскольку группа Ug открыта
в kx, откуда следует, что
UgU = k*gG'P-Nk.lk (Нр).
Отсюда немедленно вытекает, что J есть подгруппа в LP, порожден-
ная подгруппами Jg и 91 (Ь'р). Обозначим через k" поле классов для
конгруэнцгруппы J; это — абелево расширение поля k, ассоцииро-
ванное с открытой подгруппой UgU в kx, так что оно содержится
в абелевом расширении L поля k, ассоциированном с U. Пусть п,
ГЛ. ХШ. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
382
п0 — степени полей k' и L соответственно над k. Ясно, что индекс
подгруппы J в LP, который равен индексу подгруппы UgU в kX
и степени поля k" над k, не превосходит п0 и что он равен п0 в том
и только в том случае, когда Ug сг U, откуда k" = L; это будет
иметь место, если множество Р взять достаточно большим, а группу
g достаточно малой. В то же самое время мы видим, что индекс под-
группы J в LP всегда -С п и что он равен п в том и только в том
случае, когда поле k' абелево над k и является полем классов для J.
Другими словами, для заданной конгруэнцподгруппы J в LP рас-
ширение k' конечной степени над k абелево и является полем клас-
сов для J в том и только в том случае, когда группа J содержит
4l(L'p ) и ее индекс в LP равен степени поля k' над k.
Наконец, мы можем дать такую интерпретацию следствия 5 теор.
7 § 9. Как и прежде, пусть k' — расширение конечной степени поля
k и М — абелево расширение поля k, содержащееся в некотором
расширении поля k'. Обозначим через М’ композит полей М и k'
и предположим, что М — поле классов для конгруэнцподгруппы J
в LP. Пусть v — точка поля k, w — точка поля k', лежащая над v,
и' — точка поля М', лежащая над w, и и — точка поля М, лежащая
под и'. Поле М'и’ является композитом полей k'u и М', а значит,
полей k',„ и Л1 и тем самым полей k'w и Ми. Если v $ Р, то поле Ми
неразветвлено над kv. Отсюда следует, что в этом случае поле М'и’
неразветвлено над k'w. Поэтому М' является полем классов для неко-
торой конгруэнцподгруппы J' в L'p.
Пусть теперь U,U' — открытые подгруппы в k£ и в/гАх соответ-
ственно, ассоциированные с М и с М'\ по следствию 5 теор. 7 §9
U' =Niyk (U). По предложению 15 J и J' можно определить соот-
ветственно формулой l'p (J) = £7 C\GP и аналогичной формулой для
J', U'. Поэтому элемент т' из L'p содержится в J' в том и только
в том случае, когда он является образом элемента z' £ НР, такого,
что z'^U', т. е. N/p/fe (z') С И. Поскольку Nft7fe отображает НР
в GP, последнее условие эквивалентно тому, что Nk-/k(z') Я Gp,
откуда sJi (tn') g J. Поэтому J' = Ус-1 (J).
Для иллюстрации применим сказанное выше к случаю k = Q,
который был изучен в § 4 с другой точки зрения. Возьмем поле k' =
= Q (е), где е — примитивный корень m-й степени из 1. Как и преж-
де, отождествим группу Галуа g этого поля с (Z/mZ)*, сопоставляя
каждому автоморфизму е -> ех с х 6 Z, (х, m) = 1, образ числа х
в (Z/mZy. Как отмечалось выше, для каждого простого числа р,
не делящего т, и для каждой точки w поля /г', лежащей над р, поле
очевидно, неразветвлено над QP и автоморфизм Фробениуса
поля k’ над Q в точке р — это отображение е ер (точка р отожде-
ствляется со своим образом в (Z/mZ)x). Следовательно, в дискрими-
§ 12. «CORONI DIS LOCO»
383
нанте поля k' над Q могут встречаться лишь простые числа, делящие
т, и k' является полем классов для некоторой конгруэнцподгруппы
J в группе Lm дробных идеалов поля Q, взаимно простых с т;
группу Lm можно очевидным образом отождествить с группой дробей
вида г = alb, где а, b — целые строго положительные числа,
взаимно простые с т.
Далее, символ Артина г -> (&7Q | г) является морфизмом груп-
пы Lm в (Z/mZ)x, переводящим каждое простое число р, не делящее
т, в его образ в (Z/mZ)x. Ясно, что этот морфизм переводит каждое
целое число а > 0, взаимно простое с т, в его образ в (ИтТу,
и ядро J этого морфизма состоит из элементов вида alb в Lm, для
которых а == b по модулю т.
Легко проверяется, что кондуктор для группы J равен 1, если
т = 1 или 2; равен (т/2), если т четно, а т/2 нечетно, и равен
Роо т во всех других случаях. Исключая тривиальные случаи
т = 1 и 2, когда k' = Q, это можно сказать еще следующим обра-
зом: кондуктор равен р^т', где т' —наименьшее целое число,
такое, что поле Q (е) порождено над Q примитивным корнем т'-й
степени из 1. Как мы видели, отсюда следует, что простые числа,
встречающиеся в дискриминанте поля Q (е) над Q,— это простые
делители числа т'. С помощью теоремы 9 § 10 нетрудно было бы
теперь вычислить и сам дискриминант.
Из сказанного выше вытекает также, что если k' — любое поле
алгебраических чисел и е, как и выше,— примитивный корень
m-й степени из 1, то k (е) является полем классов для конгруэнц-
подгруппы J' в группе L'm дробных идеалов поля k, взаимно простых
с т, состоящей из тех дробных идеалов tn, для которых 91 (tn) £ J,
где группа J такая же, как выше.
§ 12. «CORONIDIS LOCO»1)
Результаты § 10 позволяют ответить на вопрос, который не мог
быть разрешен в гл. VII-5.
Теорема 11. Пусть со — произвольный нетривиальный харак-
тер на kxA, тривиальный на k\ Тогда L (1, со) 0.
За исключением случая со2 = 1, это утверждение вытекает из
следствия 2 теор. 2 гл. VII-5. Предположим поэтому, что харак-
тер со имеет порядок 2. Обозначим через U его ядро, которое являет-
ся открытой подгруппой в индекса 2, содержащей kx. По след-
ствию 2 теор. 7 § 9 существует квадратичное расширение k' поля k,
ассоциированное с U. По теореме 10 § 10 имеем
(«) = Zh («) A (s, co).
!) Вместо заключения (лат.). —Прим. ped.
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
384
Если характеристика поля k равна нулю, то по следствию теор. 1
гл. VI1-6 обе функции и имеют простой полюс в точке s = 3
и их вычеты в этой точке, значения которых приведены в этом след-
ствии, положительны. То же по теореме 4 гл. VII-6 верно и в слу-
чае, когда k—поле характеристики р> 1. Поэтому L (1, <а) > 0.
Следует заметить, что данное выше доказательство можно оче-
видным образом приспособить для любого нетривиального харак-
тера « конечного порядка на k\, тривиального на If, применяя
теорему 10 § 10 к циклическому расширению k' поля k, ассоцииро-
ванному с ядром U характера со. В той мере, в которой это касается
заключения теоремы 11, это не добавляет ничего нового к уже дока-
занному другими методами в следствии 2 теор. 2 гл. VI1-5, зато дает
некоторые важные соотношения между числами классов полей k
и k',c одной стороны, и значениями соответствующих L-функций
в точке s=l — с другой. Вообще, как сразу видно из теоремы 10
§ 10, подобные соотношения имеются для всех абелевых расшире-
ний конечной степени над k. Следует также отметить, что, заменяя
в теореме 11 оз на ®;ico, где ®s, s С С, —характер, определенный
в гл. VII, мы сразу получаем, что L (1 ф- it, о) =/= 0 при t g R.
Следствие. Пусть k0 — некоторое N-поле, содержащееся
в k, и пусть V — такое множество конечных точек поля k, что почта
для всех конечных точек v поля k, не лежащих в V, замыкание поля
k0 в kr не совпадает с kv. Пусть со — нетривиальный характер на k\,
тривиальный на kx, причем характер ®с неразветвлен над всеми точ-
ками v g V. Тогда произведение
q (k, V, м, s) = П (1 — (лс) q~"yx
rgV
абсолютно сходится при Re (s) > 1 и стремится к отличному
от нуля конечному пределу при s 1.
По теореме 1 гл. VIII-4 почти для всех v поле kv неразветвлено
над замыканием (k0)u поля kQ в k„, так что его модулярная степень
над (^о)и. равна его степени над тем же полем. Ввиду этого сделан-
ное выше предположение относительно V равносильно предполо-
жению из следствия 3 теор. 2 гл. VII-5. Применяя те же рассужде-
ния, что и при доказательстве этого следствия, убеждаемся, что наше
утверждение немедленно вытекает из теоремы 11 в сочетании со след-
ствием 3 предл. 1 гл. VII-1.
*
Теорема 12. Пусть L — некоторое N-поле, k0 — некоторое
N-поле, содержащееся в L, и а — автоморфизм поля L над k0. Тогда
существует бесконечно много точек w поля L, для которых поле Lw
§ 12. «CORONIDIS LOCO»
385
неразветвлено над замыканием поля k0 в Lw и автоморфизм Фробе-
ниуса поля Lw над этим замыканием индуцирует а на L.
Обозначим через k подполе в L, состоящее из элементов, непод-
вижных относительно а. Поскольку k0 a k cz L, поле L имеет
конечную степень d над k. Поэтому из теории Галуа следует, что
поле L циклично над k, причем его группа Галуа g порождена эле-
ментом а. Для всякой точки v поля k обозначим через и точку поля
k0, лежащую под V. Пусть w — любая точка поля L, лежащая над V.
Тогда замыкание поля kQ в Lw совпадает с По теореме 1
гл. VI1-4 существует такое содержащее Роо конечное множество Р то-
чек поля k, что при v £ Р поле kD неразветвлено над (&0)и и поле Lw
неразветвлено над kv, а значит и над (k0)u.
Обозначим через <р автоморфизм Фробениуса поля Lw над (k0)u.
Так как этот автоморфизм порождает группу Галуа поля Lw над
(^о)и, он не оставляет неподвижными никаких элементов поля Lw,
за исключением элементов из (&0)и- Поэтому если он индуцирует а
на L, то обязательно k cz (&0)u, откуда kv = (£0)u, а тогда в силу
определений § 11 а является автоморфизмом Фробениуса поля L
над k в точке V.
Обозначим через Мо множество тех точек v поля k, не лежащих
в Р, для которых kv (^о)и. Далее, для каждой точки v поля k,
не лежащей в Р U Л40, обозначим через <pD автоморфизм Фробениу-
са поля L над k в точке V. Наконец, обозначим через Mi множество
тех точек v поля k, не лежащих в Р U Мо, для которых <рв = а,
и через V — дополнение множества Р U Мо (J Mi в множестве
всех точек поля k. Ясно, что утверждение нашей теоремы сводится
к тому, что множество Mt не является конечным и что конечно оно
в том и только в том случае, когда V обладает свойствами, описан-
ными в следствии теор. 11. Предположив, что V обладает этими
свойствами, мы придем сейчас к противоречию.
Как обычно, пусть % — характер на й, связанный с цикличес-
ким расширением L поля k', здесь, разумеется, 21 — группа Галуа
поля &аъ над k и L рассматривается как подполе в &аъ- Пусть S3 —
подгруппа в 31, соответствующая полю L. Тогда g = 31/Й и груп-
па характеров на g состоит из характеров %г, 0 i < d. Положим
« = % ° а. По следствию 3 предл. 14 § 10 характер ®в неразветвлен
в том и только в том случае, когда поле Lw неразветвлено над kv,
а тогда автоморфизм Фробениуса <рв поля L над k в точке v совпадает
с образом в g элемента лв относительно морфизма из &Хвд, опре-
деленного с помощью а. Это дает, в обозначениях следствиятеор. 11,
q (k, V, со*, s) = П (1 - Xs (фр)
v£V
ГЛ. XIII. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
386
Для краткости обозначим это выражение через qt (s). Имеем
-|~ОО
log^(s) = 3 3 (<Pd)W«-
rgV n=l
Этот ряд абсолютно сходится при Re (s) > 1, и
d-i /а-i \
3 xi (a-1) log qt (s) = 3 I S 7? (aS) +
i—0 DgV \г=-0 /
d — 1
+ 3 2 2 f (a~V) qvns. 't-
v~V n=2 г—0
В правой части все коэффициенты первого ряда равны нулю, потому
что фв =/= а при v £ V. Далее, qv^> 2 при всех v, так что для всякой
точки v при Re (s) > 1 имеем
-}-оо . 4-сю
S I qvns | /п< y У qvn<qf-
п~2 п—2
Поэтому второй ряд в правой части предыдущей формулы мажори-
руется рядом d Уфу?, который сходится по предложению 1 гл. VII-1.
Таким образом, показано, что левая часть ограничена при Re (s)>
> 1. С другой стороны, следствие теоремы 11 показывает, что
функция log qt (s) при 1 i < d ограничена при s, стремящемся
к 1, а следствие 2 теор. 2 гл. VII-5 показывает, что для функции
log <70 (s) это не имеет места. Мы получили противоречие.
Следствие. В обозначениях определения 1 § 11 пусть J —
конгруэнцподгруппа в LP; в случае когда k — поле характеристики
р > 1, предположим, что J содержит дивизор степени^ 0. Тогда
в каждом классе смежности в LP по J имеется бесконечно много точек
поля k.
В самом деле, пусть k' — поле классов для J в смысле §11. Обо-
значим через д его группу Галуа над k. Как было показано в § 11,
точки v поля k в заданном классе смежности в LP по J — это не ле-
жащие в Р точки с заданным автоморфизмом Фробениуса поля k'
над k. Наше утверждение является поэтому частным случаем тео-
ремы 12.
В качестве иллюстрации к теореме 12 возьмем k0 = Q и рассмот-
рим в качестве L поле, порожденное примитивным корнем m-й сте-
пени из 1. Тогда наша теорема утверждает, что если а — любое
целое число, взаимно простое с т, то существует бесконечно много
простых чисел, сравнимых с а по модулю т. Это — теорема об
арифметических прогрессиях Дирихле, а приведенное выше дока-
§ 12. «CORONIDIS LOCO»
387
зательство теоремы 12 является непосредственным обобщением пер-
воначального доказательства Дирихле.
В заключение пусть со, k и k' снова таковы, как при доказатель-
стве теоремы 11, так что
(s) = Sfe (s) L (s, co).
Если характеристика поля к равна нулю, то по следствию теор. 10
§ 10 имеем также
Zh' (s) = nPZfe (s) Л (s, co),
где p таково, как указано в этом следствии. Запишем теперь, что
функции в этих формулах удовлетворяют функциональным урав-
нениям из теорем 3 и 4 гл. VII-6 и теорем 5 и 6 гл. VII-7. Тот факт,
что экспоненциальные сомножители в функциональных уравнениях
должны совпадать для обеих частей, не дает ничего нового: полу-
чаемые при этом соотношения немедленно следуют из теоремы 8 § 9.
Приравнивая постоянные сомножители в обеих частях, получаем
соотношение хсо (b) = 1, где х и Ъ определены в теоремах 5 и 6
гл. VII—7.
Применим это к одному частному случаю. Предположим, что
в качестве со взят характер порядка 2 на k'i, тривиальный на
£ХП (/’со), или, что то же самое, тривиальный на kx, тривиальный
на k*v для любой бесконечной точки v и тривиальный на г* для любой
конечной точки v. Согласно предложению 14 гл. VI1-7, имеем xD = 1
при всех о, откуда х = 1 и идель b совпадает с дифферентным иделем
а. Поэтому для каждого такого характера со имеем со (а) = 1. Здесь,
если k — поле алгебраических чисел, можно считать, что а выбрано
так, как в предложении 12 гл. VIП-4, т. е. так, что id (а) является
дифферентой Ь поля k над Q; если k — поле характеристики р > 1,
то, как мы знаем (см. определение дифферентного иделя в гл. VII-2),
с = div (cz) есть дивизор из канонического класса. С другой сторо-
ны, условия, наложенные на со, означают в точности то, что он три-
виален на группе fex (&a)2Q (PJ. Поэтому а содержится в последней
группе. Поскольку группу kilkx£l (Poo) можно отождествить с груп-
пой I (k)lР (k) классов идеалов поля k, если k — поле алгебраиче-
ских чисел, и с группой D (k) IP (k) классов дивизоров поля k, если
k — поле характеристики р > 1, то тем самым доказана следующая
теорема (для случая поля алгебраических чисел принадлежащая
Гекке).
Теорема 13. Если k — поле алгебраических чисел, то суще-
ствует класс идеалов поля k, квадрат которого равен классу, опреде-
ляемому дифферентой поля k над Q. Если k—поле характеристики
р>1, то существует класс дивизоров поля k, квадрат которого
равен каноническому классу поля k.
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
ПРИЛОЖЕНИЕ I (К ГЛ. ХП-5 И ХШ-9)
Мы изложим здесь вкратце другое, независимое доказательство
«теорем переноса» теории полей классов. Легко видеть, что в обо-
значениях гл. XI1-2 и ХП-5 локальная «теорема переноса»
(т. е. теорема 6 гл. ХП-5) эквивалентна следующему утверждению:
для всех и всех 0 £ Xх выполняется равенство (х' о t,
0)к = (х', 0) к'- Как в гл. IX-3, выберем сначала произвольное
поле X и его расширение К' конечной степени п, содержащееся
в /Сдер. Группы Галуа поля Xsep над полями X и К' обозначим
соответственно через @ и S'. Выберем, так же как в гл. ХП-5,
полное множество представителей {di, . . ., <тп} правых классов
ст@' смежности подгруппы S' в @ и обозначим буквой t гомо-
морфизм переноса из в @7@' <1\ Пусть /' — произвольное
множество факторов в X' Для любых р, о, т из @ и всех 1 Д, i п
per,, ого;, тстг можно записать единственным образом в виде
(1) рщ-= ст,аг, аа/ = айрг, тстг = стеуг-,
где 1<j, k, 1-s^.n, а а/, 0г-, у, принадлежат Формула
(р, о, т)-»/(р, о, т)= [J f (аг, ₽г, уг)°*
определяет тогда множество f факторов поля X- Будем писать
f — v (/')• Если г' — ковариантное отображение группы х
в /б*р, то аналогичным образом определяется ковариантное ото-
бражение г = v (z') из ® X @ в XseX и если /' — кограница
отображения г', то v (f') является кограницей отображения v (z')-
Таким образом, v переводит кограницы в кограницы и определяет
морфизм, обозначаемый также через v, классов факторов поля X'
в классы факторов поля X- Морфизм v, рассматриваемый на мно-
жестве факторов, зависит от выбора представителей Hi, .... оп,
соответствующее отображение классов факторов от этого выбора
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
389
уже не зависит; поскольку в дальнейшем этот факт не будет исполь-
зоваться, мы предоставляем его проверку читателю.
Далее используются обозначения гл. IX-4 и ХП-1.
Лемма А. Для всех %' Е Хк> и всех 6 £ К*
{х' ° t, 0}к = v ({х', 9}к')-
Как и в гл. IX-4, будем писать %' = е»Ф', где Ф' — отобра-
жение группы в R. Тогда обе части равенства из леммы А опре-
делены как классы некоторых множеств факторов поля А, и нужно
только проверить, что эти множества отличаются на кограницу
некоторого ковариантного отображения г из @ х @ в /Csep. Имеем
X' ° t = е о ф, где мы положили Ф (р) = Ф' (Цаг), р 6 @, а а;
i
те же, что и в (1). Определим теперь аг, [3, для всех р,о из ® так
же, как в (1), и положим
3 Ф'((3;аД)-Ф' Щ (ЗгаД)
z (р, ст)=0 ’ i
Это выражение имеет требуемые свойства; проверка тривиальна
и предоставляется читателю.
Лемма В. Для всех % Е X к и всех 0' £ Х'х
{х, Nк'/ке'}к = v ({х ° Р, 0'}к')-
Доказательство аналогично доказательству леммы А. Пишем
X = е о ф; обе части доказываемого равенства будут тогда по опре-
делению классами множеств факторов, и непосредственно прове-
ряется, что они отличаются на кограницу ковариантного отобра-
жения z, определяемого соотношением
'а-i Ф(<тр-1)—Ф(о-1ар-1о-)+Ф(а/)+Ф(ог,)
z (р.о) =П(0 4 ) k 3 1 h.
г
Пусть теперь К — коммутативное p-поле. Для большей ясности
будем обозначать через т]к символ т], введенный в гл. ХП-2, и через
Цк' — аналогичный символ для поля К.'- Пусть f — множество
факторов поля К'; положим f = v (/') и обозначим через Cl f, Cl f'
классы множеств f и f. В силу леммы А теорема о переносе будет
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
390
доказана, если мы покажем, что для каждого /'т)к(С1/) =
= т]к' (Cl Г). В этом равенстве Cl f' можно записать в виде {%', 0'}-
где %' — неразветвленный характер группы 6' ив'£ К'*.' Харак-
тер %' мы можем записать в виде %' = % ° р, где % — неразвет-
вленный характер группы S. Если %' соответствует циклическому
расширению L' = К' (р,), где р — корень из единицы порядка,
взаимного простого с р, то в качестве % можно взять подходящий
характер, связанный с полем К (ц). Наше утверждение получается
теперь немедленно, если сопоставить лемму В с теоремой 2 гл. XII-2.
Чтобы получить глобальную теорему (теорема 8 гл. XIII-9)
из локальной, сделаем следующее замечание. В обозначениях
гл. XIII-10, пусть k' — расширение конечной степени поля k,
содержащееся в fesep. Для каждой точки w поля k', лежащей над и,
пусть — группа Галуа поля над k'w и р(„— отображе-
ние ограничения группы ^.'w в группу Галуа 21' поля /гД над k'.
Обозначим буквами t и tw гомоморфизмы переноса соответственно
групп 21 в Я' и 21 v в 2U. Тогда / ° р„ = П (Р™ ° где произ-
ведение берется по всем точкам ауполя k', лежащим над и. Доказа-
тельство этого факта является легким (и чисто теоретико-группо-
вым) и предоставляется в качестве упражнения читателю. Прини-
мая это утверждение, получаем глобальную теорему о переносе
как немедленное следствие локальной теоремы и определений.
ПРИЛОЖЕНИЕ 11. IV-ГРУППЫ ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
Чтобы сформулировать теорему Шафаревича (см. приложе-
ние III) и аналогичные результаты, удобно ввести видоизмененные
группы Галуа (так называемые IIZ-группы) Д Если К — комму-
тативное p-поле, то определим Ко так же, как в гл. XI1-2. Пусть
Я — расширение Галуа поля К, содержащееся в АДр и содержа-
щее Ко, и пусть @, @0 — группы Галуа поля Я соответственно
над К и над Ко- Обозначим через <р автоморфизм поля К, инду-
цированный автоморфизмом Фробениуса поля Kse? над К- Положим
$8= (J
vez
и снабдим ЗВ топологией, задаваемой полной системой окрестно-
стей единицы в @0. Тем самым ЭВ превращается в квазикомпактную
группу с максимальной компактной подгруппой @0; при этом
ЗВ/@0 изоморфно Z. Группа ЗВ, снабженная этой топологией,
называется W-группой поля Я над К- Существует очевидный
1) Именуемые обычно группами Вейля.—Прим, перев.
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
391
инъективный морфизм 6 группы 2В в @, отображающий ее на плот-
ную подгруппу группы S. В применениях этой конструкции
в качестве поля Я' берут обычно поле Ааь> где L — расширение
Галуа конечной степени поля Д. Если мы возьмем в частности
К = Даь, т0 из предложения 7 и следствия 2 теор. 3 гл. ХП-3 сразу
следует, что образ б (ЗВ') W-группы поля ДаЬ в группе Галуа 21
поля над К тот же самый, что и образ а (Дх) группы К*
в группе 21 относительно канонического изоморфизма а. В этом
случае существует, следовательно, канонический изоморфизм Щ
группы Дх на Щ, такой, что а = 6
Пусть К' — расширение конечной степени поля Д; как всегда,
предполагается, что ДкеР содержится в Д(ер- Пусть St, St' — рас-
ширения Галуа соответственно полей Д и Д', такие, что До cz
cz St сЯ' cz Д7р, и пусть ЗВ, ЗВ' суть Я7-группы поля St над Д
и поля Я' над Д'соответственно. Так же, как и для обычных групп
Галуа, существует морфизм ограничения из ЗВ' в ЗВ, обозначаемый
снова через р. Так обстоит дело, например, в случае Я = ДаЬ
и St' = Дзъ', в качестве немедленного следствия теоремы 2 гл. ХП-2
(точно так же, как в следствии 1 этой теоремы) получаем, что
рой' = 1» ° N к’/к, где Ш, to' — канонические изоморфизмы
группы Дх на ЭВ и группы Д'х на ЭВ' соответственно.
С другой стороны, если St, St' — два расширения Галуа поля
Д, До cz St cz Я' cz Дзер и ЗВ, ЭВ' суть IF-группы соответственно
поля St над Д и поля Я' над Д, то элементы группы ЗВ суть огра-
ничения элементов группы ЗВ' на поле St и мы можем отождествить
ЭВ с группой 9В7Г, где Г — группа Галуа поля Я' над Я. Возьмем
в частности Я = ДаЬ, Я' = Дзер и обозначим буквой Q вместо ЭВ '
IF-группу поля Дяер над Д. Мы можем отождествить тогда gg
с Q/Г, где Г — группа Галуа поля Д5ер над ДаЬ— есть не что
иное, как замыкание в й коммутанта группы Q. Далее выбе-
рем (как в гл. ХП-5) подполе Д' поля ДЕер, имеющее конечную
степень п над Д, и пусть Q' есть Я^-группа поля Д8ер над Д'. Тогда
Q' будет открытой подгруппой индекса п в Q, и 117-группу 2В'
поля Даъ над Д можно отождествить с Q7Q' <1\ Это дает возмож-
ность, так же как в гл. ХП-5, ввести гомоморфизм переноса t из 2В
в ЭВ'. Локальную теорему переноса (см. приложение I) можно
поэтому выразить формулой t ° to = to' ° /, где j, как и в теоре-
ме 6 гл. ХП-5,— естественное вложение группы Д х в Д' х-
ПРИЛОЖЕНИЕ III. ТЕОРЕМА ШАФАРЕВИЧА
Эта теорема описывает структуру группы Галуа (или, точнее,
Я7-группы, см. приложение II) поля Lab над Д, где Д— комму-
тативное p-поле и L — его произвольное расширение Галуа конеч-
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
392
ной степени. Для формулировки и доказательства теоремы необхо-
димы некоторые сведения о расширениях групп.
1. Примем предположения и обозначения гл. IX, так что К
будет произвольным полем, @ — группой Галуа поля Д8ер над К,
а все алгебры над К такими, как указано в гл. IX-1. Пусть L —
расширение Галуа поля Д конечной степени п, содержащееся
в Дее?; £ и g— соответственно группы Галуа полей Д8ер над L
и L над К, так что мы можем отождествить g с @/$. Если р —
произвольный элемент из @, то его образ в g будем обозначать р.
Лемма А. Пусть <р — морфизм группы G на g, Н — его
ядро, со — морфизм из Н в L х, и пусть для всех g £ G и всех h £ Н
со (g~Hig') = <Л . (1)
Тогда существует простая алгебра А размерности п2 над Д, содер-
жащая L, такая, что со распространяется до морфизма со* из G
в Ах, удовлетворяющего для всех g£G и % £ L соотношению
со^со*(£)=^)_ Кроме того эти условия определяют алгебру А
и морфизм со* однозначно с точностью до изоморфизма, а со* (G) -Lx
является нормализатором группы Lx в Ах.
Выберем для каждого а £ g представителя ga класса смежно-
сти ср-1 ({а}) подгруппы Н в G. Тогда для всех а, [3 из g можно
написать gag& = ga&h (а, Р; с h (а, (5) б И. Записывая gag^g-,
сначала как (gag$) gy, а потом как ga (g^gy), получаем
h (°Ф> У) gvlfl (“, Р) St = h («, Рт) h (P, Y)
и, следовательно, в силу (I)
co [h (сф, y)] co \h (a, P)P = co [h (a, Py)] co [h (P, y)J. (2)
Рассмотрим теперь ^-регулярное ковариантное отображение f
из 0Х ® X 0 в Ех, задаваемое формулой
f (р, о, т) = со [h (то-1, ор-1)]р.
Из (2) следует, что это — множество факторов поля Д. К нему
можно, следовательно, применить конструкцию, описанную в дока-
зательстве леммы 4 гл. IX-3, и получить простую алгебру А раз-
мерности п2 над Д. Как там было показано, положив а = f (е,, е, е),
мы получим изоморфизм 6 поля L в А, если возьмем в качестве
0 (£) для любого £ £ L элемент алгебры А, определяемый ковариант-
ным отображением
(р, ст) (п-^)Рб--
из @ х @ в L. Для каждого а £ g обозначим через еа элемент
алгебры А, определяемый отображением (р, <т)->бр, сто. Немед-
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
393
ленно проверяется, что формулы
®*(g'<z) = ea ДЛЯ ВСех «Ей,
со*(/г) = 0 [со (/г)] для всех h^H,
задают морфизм со* из G в А. Отождествляя L с его образом 6 (L)
в А при помощи 9, мы видим, что все требуемые в лемме свойства
выполняются. Пусть А', со'* имеют те же свойства, и пусть е'а =
= со'* (ga). Обозначим через (£1; . . ., £п) базис поля L над /(;
элементы а £ д, 1 1 п> образуют базис алгебры А над К,-
В силу наших предположений элементы алгебры А' имеют
ту же таблицу умножения, что и элементы в Л. А так как А'
также размерности /гя над Я, то K-линейное отображение из А
в А', переводящее в для всех а и г, является изоморфизмом
алгебры А на А'. Ясно, что этот изоморфизм индуцирует тожде-
ственный морфизм на L и переводит со* в со'*. Этим доказано утвер-
ждение о единственности. Пусть наконец z принадлежит нормали-
затору группы Ех в Ах; автоморфизм z~*xz алгебры А должен
индуцировать на L некоторый автоморфизм а £ д, так что элемент
ze£ коммутирует в Л со всеми элементами из L. Легко видеть,
например из закона умножения в А, что тогда ze£ £ Lx, т. е. z =
= Zea =еа£адля некоторого £ g Lx и, следовательно, г £ со* (G) -Lx.
Поскольку со* (G) Lx содержится, очевидно, в нормализаторе груп-
пы Lx в Ах, этим и завершается доказательство.
Если со в лемме Л является изоморфизмом Н на Lx, то со* являет-
ся, очевидно, изоморфизмом группы G с нормализатором Lx вЛх.
2. Используем теперь лемму А в следующей ситуации. Пусть
К, L, g таковы, как выше, и пусть L' — расширение Галуа поля Д',
содержащееся в A'sep, содержащее L и конечной степени d над L.
Обозначим через Г, А группы Галуа поля L' соответственно над К
и над L, так что группу g можно отождествить с Г/Д. Пусть теперь
G — некоторая группа, ср' — морфизм из G на Г, Н' — ядро ср'
и со' — морфизм из Н' в L'x. Мы предположим, что G, Н', ср', со'
удовлетворяют (1), будучи подставленными в (1) вместо соответ-
ственно G, Н, ср, со, так что лемму А можно применить к ним. Это
дает нам алгебру А' размерности [L': Д']2 над К и морфизм из G
в Л'х. Обозначим через ф канонический морфизм группы Г на
g = Г/Д и положим ср =ф о <р', //=<р' -1 (Д); <р является морфиз-
мом группы G на g с ядром Я. Для простоты записи предположим,
что группа Н' коммутативна. Если Нс — коммутант группы Н,
то можно так же, как в гл. ХП-5, определить гомоморфизм перено-
са t из Н/Нс в Я' и рассматривать его очевидным образом как мор-
физм из Н в Н'. Если теперь со = со' ° t, то из условия (1) на со'
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
394
следует, что со (Л) инвариантно относительно А для всех h £ И,
так что со отображает Н в Lx. Ясно, что в этой ситуации G, Н, <р, со
удовлетворяют (I). Применяя лемму А, получаем алгебру А раз-
мерности [L : Д]2 над К и морфизм из G в Ах.
Лемма В. В группе Брауэра В (К) поля К. выполнено соот-
ношение cl (А) = cl (A')d, где d = [Д': L] и А, А' — алгебры,
определенные выше.
Выберем для каждого 1 6 Г представителя класса смежности
ср'-1 (£) подгруппы Н' в G и положим для всех g, т] из Г
h’ (I, т))= g^g^n-
Тогда так как объяснялось в доказательстве леммы А, можно
построить множество факторов /' поля Д, класс которого в Н (Д)
определяется классом алгебры А' в В (Д). При этом определение
переноса показывает, что для каждого h £ Н
= П (gi\wh-gQ).
0£А
Пусть теперь /И — полное множество представителей классов смеж-
ности подгруппы А в Г. Элементы р £ М, образуют полную
систему представителей классов смежности подгруппы Н в G.
Для произвольного g С Г запишем в виде р (?) представителя
из М класса £А. Возьмем в Г произвольные два элемента g, т]
и положим а = р (£), (3 = р (л), у = р (£л), X = Чтобы
построить множество факторов f поля Д, принадлежащее cl (А),
следует поступить так же, как в доказательстве леммы А, положив
Л (g, Л) = gv'gagti-
По определению <о имеем
®[h(g, -ri)] == со' Щ(gMg’ygvgtgo)].
Для каждого 0 ( А пусть
0' = ₽0n 0" = аО'В’1,
где 0 пробегает множество А, равно как и 6', 0" и Л0. В группе G
выполняется следующее (легко проверяемое) теоретико-групповое
тождество:
g i&gygogbgb =
= Д(7, ^.0)-W (0", £л)Л'(В, -nW-
{h' (0", g)-1 h' (a, 0')] h' (0', лГ^' (₽, 0).
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
395
Положим для каждого
c(g) = [ П h’ (|1 (£), 0)й'(0, Е)-Ч.
0£Д
Принимая во внимание тот факт, что со' удовлетворяет условию (1),
получаем
<о [h (5, п)1 = с (^с (п) с (cr|)~W lh' (£, T})]d.
Мы видим, что в силу формул из доказательства леммы А множе-
ство факторов f, определяющее алгебру А, отличается от f'd на когра-
ницу отображения (р, о) —>• с (ср-1)15. Этим доказана лемма В.
3. Возьмем теперь в качестве К коммутативное p-поле, L пусть
будет такое же, как в § 1, а в качестве групп GnH возьмем IE-группы
поля Lab соответственно над К и над L. Как объяснялось в прило-
жении II, можно отождествить g с G/Н и взять в качестве канони-
ческий морфизм группы G на g = GIH. В качестве со можно, как
там объяснялось, выбрать морфизм, обратный к каноническому
морфизму из Ех на Н. Лемма А утверждает тогда, что со можно
продолжить (в существенном единственным образом) до изоморфиз-
ма группы G с нормализатором группы Lx в мультипликативной
группе Ах некоторой простой алгебры А над Д. В силу результатов
гл. IX и XII отсюда следует, что структура группы G полностью
определяется инвариантом Хассе h (А) алгебры А. Его значение
дается следующей теоремой Шафаревича.
Теорема. В указанных предположениях А является алгеброй
с делением размерности п2 над Кис инвариантом Хассе h (А) =
= е (1/н), где п = [L : Д].
Поскольку А определяется однозначно (с точностью до изомор-
физма) полями К и L, вместо h (А) можно писать (L/К). Доказа-
тельство будет проведено в три шага.
(а) Пусть К такое же, как и выше, а поля L, L' таковы, как
в § 2. Обозначим через G, Н, Н' IE-группы поля Lab соответственно
над К, L, L’. Выберем со' обратным к каноническому изоморфизму
ivL', из L'x на [Д'. Если снова t — гомоморфизм переноса из Н!На
в Д' и если снова положить со = ° t, то теорема переноса (см. при-
ложения I, II), примененная к полям L, L' и IE-группам Д и Д',
немедленно показывает, что ю является обратным к каноническому
изоморфизму йщ группы Lx на группу Д/Дс, если последнюю
отождествить с IE-группой поля Lab над L. Мы можем, следова-
тельно, применить лемму В к алгебрам А и А', если А определить
так же, как и выше, а А' — с помощью полей К и L' вместо полей
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
396
К И L, участвующих в определении алгебры А. Это дает (L/К) =
= (L'/K)d, где d = IL': L],
(b) Рассмотрим теперь случай циклического расширения L
поля К- Пусть а, в обозначениях гл. IX-4,— образующая группы
Галуа з поля L над Д, а х — характер группы задаваемый
формулой % (а) = е (1/п). Снова отождествляя g с G/Н, обозначим
через а представителя элемента а в G. Пусть t0 — гомоморфизм
переноса из G в Н. Поскольку аг образуют полную систему пред-
ставителей классов смежности группы G по Н, 0 sC i < п, имеем
Zo (а) = ап. Положим 9 = ю (а"), где со так же, как выше,— изо-
морфизм, обратный к каноническому изоморфизму Щь группы /.'
на Н. Так как ап инвариантен относительно автоморфизма h -+
-+-a~lha группы И, то имеем О'7- = 0, т. е. 9 £ Кх- Пусть Gc —
замыкание коммутанта группы G; G/G; можно отождествить с W-
группой поля Да1) над Д (см. приложение II). Поэтому группа Кх
отображается каноническим морфизмом Щк на G/G'. Если обозна-
чить через соо обратный к нему изоморфизм и рассматривать его
как очевидный морфизм из G в Д, то теорема переноса, примененная
к Д, L, G, И, показывает, что ®0 =« о t0 и, следовательно, 9 =
= ®0 (а). Теперь становится ясным, что алгебра А, определенная
выше с помощью полей Д и L, является не чем иным, как цикличе-
ской алгеброй [Д/Д; %, 9], построенной в предложении 11 гл. IX-4.
Точнее, если обозначить на время последнюю алгебру через Ло,
то, положив о* (/г) = (о (/г) и0, h £ Н, w* (а) = и1; мы определим
морфизм (о* из G в Ао, обладающий всеми предписываемыми лем-
мой А свойствами. Это дает
(Д/Д) = (х, 9)к = % (tvK (0)) = х И = е (!/«)•
(с) Пусть теперь L — произвольное расширение Галуа степе-
ни п поля Д. Выберем циклическое расширение Д' степени п поля Д
(например неразветвленное) и обозначим через L' композит полей
Д' и L в Д5(.р. Пусть Kt = К' П L и d = [L-. Д^. Тогда L' имеет
степень d как над L, так и над Д'. Из (а) вытекает, следовательно, что
(L'/K)d = (L/К) = (Д7Д).
Применяя (Ь) к Д и Д', находим, что (JJK) = е (1/п). В силу след-
ствия 1 теор. 1 гл. ХП-2 А должна быть алгеброй с делением; в самом
деле, в обозначениях этого следствия она изоморфна циклической
алгебре с делением [Дп/Д; %п, л], где %п неразветвленный харак-
тер порядка п, такой, что Хп (ф) ~ е (1/п), где <р — автоморфизм
Фробениуса поля Д8ер над Д.
4. В заключение делаем несколько замечаний, которые помогут
уяснить описанную выше ситуацию.
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
397
Возьмем прежде всего, как и в гл. IX, алгебру А размерности п2
над произвольным полем К, расширение L степени п поля К. и /<-
линейный изоморфизм f из L в А. Обозначим через V векторное
пространство размерности п над L, такое, что алгебра А, рассма-
триваемая как векторное пространство над К с умножением
(|, х) -> xf (g), g £ L, x £ А, совпадает с V. Для каждого а £ А
отображение х -> ах является эндоморфизмом F (а) пространства V;
F определяет тем самым представление алгебры А в EndL V, и в
силу следствия 5 предл. 3 гл. IX-1 его L-линейное расширение FL
является изоморфизмом AL на End^ V. Пусть z £ А таково, что
zf (g) = f (£) z при всех % £ L. Тогда отображение xz принад-
лежит Епс!^ V, коммутирует с F (а) для всех a g А, т. е. со всеми
элементами из End^ V, и следовательно, имеет вид х -> xf (£)
при некотором £ Е Е. Это означает, что z = f (Q. Иначе говоря,
f (L) является своим собственным «коммутантом» в A, a f (L) —
своим централизатором в Ах. Пусть теперь f' — другое вложение
поля L в А. Построим V, F' по f' так же, как мы определили V, F
по /. Как отмечалось в гл. IX-2, из предложения 4 гл. IX-1 следует,
что существует /.-линейный изоморфизм Y из V на V', такой, что
F' = Y-1FY. В силу наших определений это означает, что Y являет-
ся биекцией алгебры А на себя, такой, что Y (xf (£)) = Y (х) /' (Н)
и Y (ах) = aY (х) для всех g g L и всех х, а из А. Положим х=1А
и b = Y (1А). Мы видим, что Ь 6 Ах и f' = b^1fb. Иначе говоря,
два вложения поля L в А отличаются лишь на внутренний авто-
морфизм алгебры А, причем все автоморфизмы поля L над К инду-
цированы такими автоморфизмами алгебры А.
Напомнив эти хорошо известные факты, вернемся к коммутатив-
ному p-полю К. и его расширению Галуа L степени п с группой
Галуа д. Пусть А — алгебра с делением размерности п2 над К
с инвариантом h (А) = е (1/п). По следствию 2 теор. 2 гл. ХИ-2
алгебра AL тривиальна; по следствию 3 теор. 3 гл. IX-3 можно,
следовательно, вложить поле L в А, и в силу сделанных выше заме-
чаний это вложение в существенном единственно. При этом Lx
является своим собственным централизатором в Ах. Если N —
нормализатор этой группы в Ах, то для каждого v g N автомор-
физм х -> v-1xv алгебры А индуцирует автоморфизм а поля L
над К, и отображение v-э- а является морфизмом <р из N на груп-
пу g с ядром Lx. Пусть G, Н суть W-группы поля ЕаЬ над полями
К. и L соответственно, a iuL —канонический изоморфизм Lx на Н,
описанный в приложении II. Теорема Шафаревича (в сочетании
с леммой А) утверждает, что ivL можно продолжить до изоморфизма
to группы N на G, такого, что to (v) для всех v £ N индуцирует
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
398
на L автоморфизм <р (v). Это продолжение единственно с точностью
до автоморфизма алгебры А вида где g £ L.
Пусть, наконец, К' — поле, промежуточное между К и L
и соответствующее подгруппе д' группы д. Пусть п' = (L : /С'].
Положим N' =<p-1 (д'); to изоморфно отображает группу N' на W-
группу G' поля Lab над X'- Сразу видно, что элементы группы N'
порождают подалгебру А' в А, центр которой равен X'. Эта под-
алгебра имеет размерность д'2 над К, и N' является нормализатором
группы L в А'. Следовательно, алгебра А' связана с полями X' и L
так же, как алгебра А связана с полями Д' и Д, и имеет инвариант
h' (Д') = е (!/«')•
ПРИЛОЖЕНИЕ IV. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ХЕРБРАНДА
ДЛЯ НЕАБЕЛЕВЫХ РАСШИРЕНИЙ
1. Начнем с нескольких общих замечаний о распределениях
Хербранда (см. гл. VIII-3). Пусть К—снова коммутативное р-поле.
Лемма А. Пусть Я, R'—два расширения Галуа (конечные
или нет) поля К, такие, что К с=Я сг Я', и пусть @, S', $—
группы Галуа соответственно поля^ над К, поля Й' над К и поля
Й' над Й. Обозначим через <р канонический морфизм группы
на @ = @7.0. Пусть Н, Н'— распределения Хербранда соответ-
ственно на ® и®'. Тогда Н (f) = Н' (f ° <р) для каждой локально
постоянной функции f на @.
Это очевидно. Как обычно, утверждение можно выразить, ска-
зав, что Н является образом (точнее, «прямым образом») распреде-
ления Н' относительно ср.
Лемма В. Пусть X' — расширение конечной степени поля X',
Я — расширение Галуа (конечное или нет) поля К, такое, что
Д сс Д'czft; @, @'—группы Галуа поля Я соответственно
над К и над X'; Н, Н' — распределения Хербранда на ® и
Тогда для каждой локально постоянной функции } на®, равной О
вне @', имеем Н' (f) = еН (f) —df (е), где е, d — соответственно
порядок ветвления и дифференциальная экспонента поля X' над X,
а е — единичный элемент в @.
Это, также очевидное, утверждение можно выразить, сказав,
что Н' совпадает с еН на открытых и компактных подмножествах
в не содержащих е, или, короче, совпадает с еН всюду на
вне 8. Этого, с учетом соотношения Н' (1) = 0, т. е. Н' (@') = О,
достаточно для того, чтобы полностью определить Н' по Н.
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
399
Обозначим снова через Ко максимальное неразветвленное рас-
ширение поля К в Ksep. Пусть К — произвольное расширение
Галуа поля К, промежуточное между Ко и Ksep. Обозначим через
@, @0 группы Галуа поля Я соответственно над К и Ко и через 28
его IF-группу над К- Согласно определениям приложения II, мак-
симальная компактная подгруппа 280 группы 2В есть не что
иное, как @0. Пусть теперь Н — распределение Хербранда на@.
Как было показано в лемме 3 гл. XI1-4 (см. замечание в конце
доказательства этой леммы), Н равно 0 вне@0- Его можно, следо-
вательно, рассматривать как распределение на 2В, которое равно О
вне 2В0. Полученное таким образом распределение будем называть
распределением Хербранда на 2В.
2. Формула для распределения Хербранда на 1Г-группе поля
Каъ над К была получена в теореме 5 гл. XI1-4. То же самое теперь
будет сделано для IF-группы поля Lab над К, где L — произволь-
ное расширение Галуа конечной степени поля К- Обозначим эту
группу через G. В конце приложения III мы построили алгебру
с делением А, содержащую L, и канонический изоморфизм to
нормализатора N группы Lx в Лх на G. С помощью to-1 перенесем
на N распределение Хербранда на G и назовем полученное распре-
деление распределением Хербранда на N. Чтобы описать его явно,
нам понадобится еще одна лемма.
Лемма С. Пусть т, в обозначениях п. 4 приложения III,—
гомоморфизм переноса из N в Lx. Тогда т (/V) = К'-, и ядро т являет-
ся замыканием в N коммутанта Nc группы N. Распределение
Хербранда на К* является образом относительно т распределения
Хербранда на N.
Если (Р — замыкание в G коммутанта группы G, то VT-группа
поля Ка1, над К равна G!Ga. Обозначим через toK канонический
изоморфизм Кх на эту группу и через у — канонический морфизм
группы G на G/Gc. По лемме А распределение Хербранда на G/Gc
является образом относительно у распределения Хербранда на G.
Обозначим через t гомоморфизм переноса из G/Gc в Н, рассматри-
ваемый как морфизм из G в Я. Из теоремы переноса (см. приложе-
ния I и II) следует, что t имеет ядро Gc, a t (G) является образом
группы Кх в Н относительно to^. Выберем произвольное v £ N
и положим g = to (v) и £ = to*1 [у (g)]. По теореме переноса
t (g) = tvL (I). Поскольку to — изоморфизм группы N на G,
индуцирующий toL на Lx, мы видим, что т (v) = g. Лемма стано-
вится теперь очевидной.
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
400
3. Пусть обозначения снова те же, что и в п. 4 приложения III.
Алгебра с делением А является p-полем (некоммутативным при
п > 1), структура которого описана в гл. I. Пусть RA — его мак-
симальное компактное подкольцо. Максимальными компактными
подкольцами полей L и К будут тогда RL = L Л RA и RK =
= К Л Ra- Обозначим через q модуль p-поля К- Модуль А равен
по предложению 5 гл. 1-4 qn, а модуль L равен q', где f — модуляр-
ная степень поля L над К- Приведенную норму в алгебре А над К
будем записывать в виде vA/K. Для каждого х 6 А положим
|| х || = modK [vA/K (x)L В силу следствия 1 предл. 6 гл. IX-2
и следствия 3 теор. 3 гл. 1-2 имеем modA (х) = || х ||'1. Следователь-
но, отображение х-э- || х || отображает Ах на подгруппу Q группы
R+, порожденной q. Рассматривая А как левое векторное про-
странство над L (размерности п), видим также, что для всех g £ L
modA (£) = modL (£)” и, следовательно, || £ || = modL (|), так что
отображение х-+- || х || отображает Lx на подгруппу Qf группы Q,
порожденную.ф. Поэтому оно должно отображать N на подгруппу
Q' конечного индекса в Q, так что ядро No = N fl RA этого мор-
физма есть максимальная компактная подгруппа в N, a to отобра-
жает его на группу Галуа поля ТаЬ над /Со. Максимальное нераз-
ветвленное расширение поля К, содержащееся в L, равно Ki =
= L Л Ко и имеет степень f над К- Поскольку to отображает
группы N, Lx, NOLX на IF-группы поля Lai> соответственно над
полями К, L, Ki, то мы заключаем, что NOLX имеет в N индекс f,
в силу чего Ot имеет в 0' индекс f. Таким образом, 0' = Q- По ана-
логичным причинам индекс группы R£ в No равен порядку ветвле-
ния е = n/f поля L над К-
4. Пусть dv — мера Хаара на N, нормированная так, что
мера No равна 1. Следующая теорема принадлежит по существу
Тэйту и Шанкар Сену (J. Ind. Math. Soc., 27 (1964)).
Т е о р е м а. Пусть Н — распределение Хербранда на N. Тогда
для всех локально постоянных функций f на N
[/(v)-/(lA)]-|| 1a-v||-4v. (1)
No
В абелевом случае, когда п = I, К = L = A, N = Кх, это —
переформулировка теоремы 5 гл. XII-4. Отсюда с учетом леммы В
сразу следует, что Н ([) совпадает с правой частью (1), если f равна О
вне Lx. Иначе говоря, если правую часть (1) обозначить через
Hi (f) , то Н совпадает с Hi на Lx, и теорема будет доказана, если
мы покажем, что Н = Ht на каждом классе смежности подгруппы
приложения к русскому ИЗДАНИЮ
401
N в Lx, отличном от Lx. Пусть а — элемент такого класса, а —
его образ в группе Галуа g поля L над Д'. Обозначим через
циклическую подгруппу группы g, порожденную а, и через К' —
поле, промежуточное между К и L и соответствующее Как мы
видели в конце приложения III, а и L порождают подполе А' алгеб-
ры Л с центром К', связанное с К' и L так, как алгебра А связана
с К и L. Нормализатор N' подгруппы Lx в А'х является подгруппой
в N, порожденной а и Lx. Рассматривая А как левое векторное
пространство над А' (размерности п/п', если п' =[Л: К']), полу-
чаем modA (%') = modA' (х)п^п' для х' £ А', т. е. modA' (x') =
= || х' К"'. Применяя лемму В к К, К', L, т. е. к распределениям
Хербранда на IT-группах поля Lab над К и К', находим, что доста-
точно проверить (1) для К', L, A', N', если отождествить эти груп-
пы с помощью канонических изоморфизмов соответственно с N
и N'. Иначе говоря, доказывая теорему, можно предполагать, что
L — циклическое расширение поля К- Точнее, если а и а такие
же, как и выше, то можно предполагать, что а имеет порядок,
п > 1 и порождает д, и надо доказать, что Н совпадает с на клас-
се aLx.
В этой ситуации применим лемму С. Как нетрудно видеть, заклю-
чение этой леммы в сочетании с инвариантностью распределения
Хербранда относительно внутренних автоморфизмов дает возмож-
ность полностью определить Н на aLx. В самом деле обозначим
снова через т перенос из N в Lx, рассматриваемый как морфизм
из N в Lx. Более точно, в силу леммы С это — морфизм из N на Кх
и его ядро Г есть замыкание коммутанта группы N. Так как W
порождается а и Lx и сг^а = для всех g g Lx, то последняя
группа является подгруппой в Lx, порожденной элементами
По теореме Гильберта она совпадает с ядром морфизма NL/K из Lx
в Кх, а так как это компактная подгруппа в RXL, то т имеет то же
ядро, Г, что и Nк в Lx. Для каждого v g aLx можно взять
1А, v.....v"-1 в качестве представителей классов смежности
подгруппы N в Lx; это дает т (v) = v". Положим в частности 9 =
= т (а) = ап. Беря 1А, а, . . ., а"-1 в качестве представителей
тех же самых классов, видим, что т (£) = Nl/k (Ю Для всех g g Lx.
Следовательно, для всех 0 i < п т отображает alLx на
9Wb/K (Lx). Поскольку ядро т есть Г, то (как вытекает из теории
полей классов) Кх должно быть дизъюнктным объединением клас-
сов смежности подгруппы NL/K (Lx) в Кх- Возьмем теперь какую-
нибудь локально постоянную функцию f на АД равную 0 вне
aLx П Af0- Для каждого у из ядра отображения т можно представить
у в виде у = с g g Lx так, чтобы внутренний автоморфизм
переводящий каждый класс alLx в себя, индуцировал
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
402
на aLx отображение v -> vy-1. Поскольку Н очевидно инвариантно
относительно таких автоморфизмов, получаем Н (/v) = Н (/) для
функций fv: v -> f (vy1) на N. Обозначим через dy меру Хаара
на Г, нормированную так, чтобы мера Г равнялась 1, и положим
f(v)= j f (vy~r)dy.
г
Тогда Н(/)=Н(/), и f инвариантна относительно сдвига на ядро
морфизма т, так что можно записать ее в виде /'от, где f—
функция на 7<х, равная 0 вне /?кГ19ЛД/к(^х)- Так как образ
распределения Н относительно т является распределением Хербранда
на Kx, которое задается формулой из нашей теоремы, получаем
ВХ
RK
где dxg —«мультипликативная» мера Хаара на Кх, нормированная
так, чтобы мера Rk равнялась 1.
Для положим £ = т (у) = у’1. Выбрав базис т]0, . ..,r]n-i
поля L над К и используя базис (v%-)o<:i, j<n алгебры А над К,
сразу находим (по следствию 3 теор. 3 гл. 1-2), что отображе-
ния х—>vx и х—>(1д — v)x алгебры А в себя имеют модули
тос1л (у) = mod# (£)n, modA (I д—у) = modK (1 — Юп-
Это дает
|[ v || = mod# [т (v)], || 1д —v|| = modK[l—t(v)]; (2)
более того, поскольку группа N порождается элементами aLx,
первая формула (2) остается справедливой для всех у £ N; отсюда
следует, что т-1 = No. А так как образ относительно т меры
Хаара dv на N должен быть мерой Хаара на Кх, мы видим, что
этот образ равен dx^. Следовательно, полученная выше формула
для Н (/) может быть записана в виде
H(f)=-p(v)||lA-vrdv.
No
В силу определения f и того очевидного факта, что мера || 1Д —
— v ||-1 dv сама инвариантна относительно всех внутренних авто-
морфизмов, этим и завершается доказательство.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
В этот указатель включены все понятия и термины, определение которых
дается или упоминается в тексте, даже если это не было сделано в виде фор-
мального определения.
автоморфизм 15
— Фробениуса 46, 299, 331, 379, 380
адель 94
алгебра неразветвленная в точке 273
— разветвленная в точке 273
алгебраическое двойственное 70
аннулятор 223
ассоциированность по двойственно-
сти 69
базисный характер 72
бесконечный простой 378
биаддитивность 17
билинейность 17
ведущий дивизор квазихарактера 187
— идеал 167
— — квазихарактера 187
взаимная простота 190
вложение 16
вполне несвязная группа 163
— разветвлено 40
— расщепимая точка 216
высшие группы ветвления 206
гиперплоскость 53
главный дивизор 141
гомоморфизм 15
группа Брауэра 234
— главных дивизоров 141
— инерции 206
— классов иделей поля 167
двойственная когерентная система
144
— мера 152
двойственность 70
дедекиндова дзета-функция 181
дивизор 140
— главный 141
— канонический 146
— характера 146
дискриминант поля 133, 200, 214
дистрибутивность 17
дифферента поля 195, 210, 211
дифферентный идель 162
для почти всех = почти для всех 79
допустимая функция 152
дробный идеал 127
— — главный 129
— — целый 127
естественное вложение 212
естественный морфизм 234
закон взаимности 254
— — Артина 342
— — Хассе 342
знаменатель дробного идеала 129
— элемента 129
идель 109
— дифферентный 162
идельная группа 109
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
изоморфизм 15
инвариант Хассе 298, 302, 338
канонический дивизор 146
— класс 146
— морфизм 291, 302
каноническое вложение 95, 124, 125
— спаривание 290, 302, 328
квазихарактер 164
— главный 164
— неразветвленный 167
квазикомпактная группа 164
квазисомножитель 94
класс дивизора 141
— идеалов поля 129
— факторов 240
— — относящийся к А 240
— — связанный с А 240
— циклический 247
ковариантное отображение 235
когерентная система 142
когерентные меры 158
кограница 239
кольцо аделей 94
— р-адических целых чисел 35
конгруэнцгруппа 376
конгруэнцгруппы эквивалентные 377
кондуктор 378
константное расширение 331
корень из единицы 15
— — — примитивный 15
левый порядок 261, 286
лежит над 76
— под 76
локальное поле 47
мера Тамагавы 161
многочлен Эйзенштейна 203
модуль автоморфизма 26
— поля 38
морфизм 15
— ограничения 237, 324
— переноса 323
мультипликативный характер 335
над 76
неразветвленная алгебра 273
неразветвленный квазихарактер 167
— характер 299
404
*
неразветвлено 40
норма 86, 212
— дробного идеала 130
— приведенная 232
нормальная решетка 263, 28G
нормальный дробный идеал 286
— идеал 286
образ меры 66
определяющая группа 376
ортогональность 53
отделимость 15
открытый гомоморфизм 15
под 76
подобные алгебры 233
показатель дифференты 195
поле алгебраических чисел 74
— классов 309
— констант 116
— р-адических чисел 35
полиномиальная функция 86
полиномиальное отображение 85
полулинейность 72
пополнение поля 75
— — в точке 75
порядок 121
— ветвления поля 40
— левый 261
— правый 261
— характера поля 73
— элемента группы. 15
почти всюду 79
— для всех 79
правый оператор 16
— порядок 261, 286
представление 15
преобразование Фурье 151
— — обратное 152
приведенная норма 232
приведенный след 232
принадлежат одному классу (об
алгебрах) 234
продолжение полиноминального ото-
бражения 86
проекция на квазисомножитель 94
простая алгебра 223
простое кольцо 16
простой многочлен 77
— элемент поля 38
— Х-модуль 223
противоположная алгебра 226
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
405
разветвленная алгебра 273
ранг модуля 60
распределение Хербранда 209, 320
расширение Артина — Шрейера 252
— Куммера 252
— поля 331
регулярная норма 86
регулярное представление 86
регулярный след 86
регулятор поля 138
род поля 145
самодвойственная мера 152
сепарабельно алгебраически замкну-
тое поле 85
символ Артина 380
— Гильберта 253
система свободных образующих 137
— факторов 234, 239
— — тривиальная 239
— — циклическая 247
след 86
— приведенный 232
собственные вложения 82
собственный над К изоморфизм 82
стандартная функция 154, 156, 158
— — связанная с квазихаракте-
ром 184
степень дивизора 141
— полиномиальной функции 86
— точки 140
теорема об арифметических прогрес-
сиях 386
— Римана — Роха 146
— Сколема — Нётер 229
топологическая двойственная груп-
па 69
топологический коммутант 289
точка, лежащая над 76
— — под 76
— поля 75
— — бесконечная 75
— — вещественная 75
— — конечная 75
— — мнимая 75
точный модуль 223
треугольная матрица 266
тривиальная алгебра 234
— система факторов 239
тривиальный характер по модулю т
335
ультраметрическое неравенство 32
ультраметричность 32
унитарный гомоморфизм 15
— многочлен 14
формула произведения Артина 114
— суммирования Пуассона 153
фундаментальное множество 131
фундаментальный порядок 132
характер 15, 68
— базисный 72
— мультипликативный 335
— неразветвленный 299
— по модулю т 335
— — — — тривиальный 335
— порядка 335
— тривиальный 69
характеристика кольца 16
хаусдорфовость 15
хорошо разветвлено 197
целый 49
центральная алгебра 223
циклическая алгебра 251
— система факторов 247
циклический класс факторов 247
числитель дробного идеала 129
— элемента 129
число Тамагавы 275
эйлерово произведение 148
эквивалентные конгруэнцгруппы 377
— пополнения поля 75
— собственные вложения 82
эндоморфизм 15
эрмитова форма 269
А-поле 74
^-регулярное отображение 235
Л-норма 51
/С-решетка 56
й-решетка 124
/.-представление 231
Л^-ортогональность
р-адические числа 35
р-адическое нормирование 35
р-поле 37
Q-решетка 120
R-решетка 65
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 5
Предисловие к русскому изданию 7
Предисловие 9
Хронологическая таблица 12
Предварительные сведения и обозначения 13
Список обозначений 18
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПОЛЯ 23
§ 1. Конечные поля 23
§ 2. Модуль в локально компактном поле 26
§ 3. Классификация локально компактных полей 33
§ 4. Структура р-полей 37
ГЛАВА ВТОРАЯ
РЕШЕТКИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ 51
§ 1. Нормы 51
§ 2. Решетки 55
§ 3. Мультипликативная структура локальных полей 61
§ 4. Решетки над R 65
§ 5. Двойственность над локальными полями 68
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ТОЧКИ А-ПОЛЕЙ 74
§ 1. А-поля и их пополнения 74
§ 2. Тензорные произведения коммутативных полей 80
§ 3. Следы и нормы 85
§ 4. Тензорные произведения А-полей и локальных полей 90
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
АДЕЛИ 93
§ 1. Адели А-полей 93
§ 2. Основные теоремы 99
§ 3. Идели 108
§ 4. Идели А-полей 113
ОГЛАВЛЕНИЕ
407
ГЛАВА ПЯТАЯ
ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 120
§ 1. Порядки в алгебрах над Q 120
§ 2. Решетки над полями алгебраических чисел 122
§ 3. Идеалы 127
§ 4. Фундаментальные множества 131
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ТЕОРЕМА РИМАНА — РОХА 140
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ А-ПОЛЕЙ 148
§ 1. Сходимость эйлерова произведения 148
§ 2. Преобразования Фурье и стандартные функции 151
§ 3. Квазихарактеры 163
§ 4. Квазихарактеры А-полей 167
§ 5. Функциональное уравнение 171
§ 6. Дедекиндова дзета-функция 179
§ 7. /.-функции 183
§ 8. Коэффициенты /.-рядов 188
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
СЛЕДЫ И НОРМЫ 193
§ 1. Следы и нормы в локальных полях 193
§ 2. Вычисление дифференты 198
§ 3. Теория ветвления 203
§ 4. Следы и нормы в А-полях 209
§ 5. Расщепимые точки в сепарабельных расширениях 216
§ 6. Применение к несепарабельным расширениям 217
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ 223
§ 1. Структура простых алгебр 223
§ 2. Представления простой алгебры 230
§ 3. Системы факторов и группа Брауэра 233
§ 4. Циклические системы факторов 246
§ 5. Специальные циклические системы факторов 252
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ 256
§ 1. Порядки и решетки 256
§ 2. Следы и нормы 263
§ 3. Вычисление некоторых интегралов 265
ОГЛАВЛЕНИЕ
408
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ НАД А-ПОЛЯМИ 273
§ 1. Ветвление 273
§ 2. Дзета-функция простой алгебры 274
§ 3. Нормы на простых алгебрах 279
§ 4. Простые алгебры над полями алгебраических чисел 284
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ 288
§ 1. Формализм теории полей классов 288
§ 2. Группа Брауэра локального поля 298
§ 3. Канонический морфизм 304
§ 4. Ветвление абелевых расширений 310
§ 5. Перенос 322
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ 327
§ 1. Каноническое спаривание 327
§ 2. Одна элементарная лемма 335
§ 3. Закон взаимности Хассе 338
§ 4. Теория полей классов для Q 344
§ 5. Символ Гильберта 347
§ 6. Группа Брауэра А-поля 353
§ 7. p-символ Гильберта 357
§ 8. Ядро канонического морфизма 363
§ 9. Основные теоремы 368
§ 10. Локальное поведение абелевых расширений 370
§ 11. «Классическая» теория полей классов 375
§ 12. «Coronidis loco» 383
ПРИЛОЖЕНИЯ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Приложение I (к гл. ХП-5 и XIII-9) 388
Приложение II. IV-группы для локальных полей 390
Приложение III. Теорема Шафаревича 391
Приложение IV. Теорема Хербранда
для неабелевых расширений 398
Предметный указатель 403