Библиотека журнала "Математика в школе"
А. Г. Мордкович
Школьный курс
математики
краткий справочник
Москва
"ШКОЛА-ПРЕСС"
1995

ББК 22.1;74.26
М79
Мордкович А. Г.
М 79 Школьный курс математики: Краткий справоч-
справочник. — М.: Школа-Пресс, 1995 — 48 с. (Библиотека
журнала «Математика в школе»)
ISBN 5-88527-111-9
В сжатой форме в справочнике представлены все основные
определения, теоремы, формулы, правила, свойства математи-
математических объектов, которые входят в школьный курс математики.
Расположение материала удобно для его практического исполь-
использования.
Справочник будет надежным помощником не только в период
обучения, но и при повторении пройденного материала, в
процессе подготовки к экзаменам.
Для учащихся.
4306020500-090	ББК 22.1;74Л6
С79@3)-95
ISBN 5-88527-111-9
© А. Г. Мордкович, 1995
В Издательство «Школа-Пресс», 1995

Оглавление
АЛГЕБРА		6
1.	Тождественные преобразования		6
1.1.	Формулы разложения на множители		6
1.2.	Модуль числа 		6
1.3.	Корень я-й степени		7
1.4.	Степень с рациональным показателем		7
1.5.	Логарифмы		8
2.	Функции	:		9
2.1.	Линейная функция		9
2.2.	Обратная пропорциональность		9
2.3.	Квадратичная функция		10
2.4.	Функция у = 'Чх	 .'		10
2.5.	Степенная функция у = ?		10
2.6.	Показательная и логарифмическая функции		12
2.7.	Свойства функций 		12
2.8.	Построение графиков функций с помощью
преобразований известных графиков		13
3.	Уравнения		14
3.1. Квадратные уравнения		14
3.2	Алгоритм решения уравнения 3-й степени	 15
3.3	Иррациональные уравнения 	 15
3.4.	Показательные уравнения	 .	15
3.5.	Логарифмические уравнения		15
4.	Неравенства 		16
4.1. Свойства числовых неравенств		16
i 4.2 Неравенства с модулями	 		16
4.3.	Иррациональные неравенства 	• . .	16
4.4.	Показательные неравенства		17
4.5.	Логарифмические неравенства	 .	17
5.	Прогрессии		17
5.1.	Арифметическая прогрессия		17
5.2.	Геометрическая прогрессия		18
ТРИГОНОМЕТРИЯ		19
1. Тригонометрические функции		19
1.1.	Числовая окружность		19
1.2.	Тригонометрические функции		20
1.3.	Обратные тригонометрические функции		21
1.4.	Графики тригонометрических функций		23
1.5.	Графики обратных тригонометрических функций . .	24

2. Формулы тригонометрии		25
2.1.	Формулы, связывающие функции
одного и того же аргумента	 .	25
2.2.	Формулы, связывающие функции аргументов,
из которых один вдвое больше другого		25
2.3.	Формулы сложения аргументов		25
2.4.	Формулы преобразования сумм в произведения ...	26
2.5.	Формулы преобразования произведений в суммы . .	26
2.6.	Формулы приведения		26
2.7.	Простейшие тригонометрические уравнения . .	27
ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ .	28
1.	Производная		28
'1.1. Определение производной		28
1.2.	Формулы дифференцирования		28
1.3.	Правила дифференцирования		29
1.4.	Геометрический смысл производной		29
1.5.	Уравнение касательной		29
2.	Исследование функций с помощью производной .....	30
2.1.	Исследование на монотонность		30
2.2.	Исследование на экстремум		30
2.3.	Отыскание наибольшего и наименьшего значений
непрерывной функции на промежутке		31
ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ		32
1.	Первообразная		32
1.1.	Определение первообразной		32
1.2.	Правила вычисления первообразной 		32
1.3.	Формулы вычисления первообразной F (х)
для функции f {x) 		32
2.	Неопределенный интеграл		33
2.1.	Определение неопределенного интеграла		33
2.2.	Правила интегрирования		33
2.3.	Формулы интегрирования		33
3.	Определенный интеграл		34
3.1.	Формула Ньютона-Лейбница		34
3.2.	Свойства определенного интеграла		34
3.3.	Вычисление площадей плоских фигур
с помощью интеграла		35
ПЛАНИМЕТРИЯ		36
1. Треугольники		36
1.1.	Обозначения		36
1.2.	Равносторонний треугольник		36
1.3.	Прямоугольный треугольник (С = 90*)		36
1.4.	Произвольный треугольних		37

2.	Четырехугольники	• . . .	 .	38
2.1.	Выпуклый четырехугольник ..... . . . ,. <,... .	38
2.2.	Параллелограмм		39
2.3.	Трапеция		39
3.	Окружность и круг		39
3.1.	Два свойства касательных		39
3.2.	Измерение углов, связанных с окружностью .....	40
3.3.	Метрические соотношения в окру* чости		40
3.4.	Длина окружности, площадь круга . . ....'. . ... ^	40
3.5.	Длина дуги, площадь сектор?		41
СТЕРЕОМЕТРИЯ .		41
1.	Основные теоремы, используемые для обоснования чертежа	41
2.	Пирамида	¦	>. ¦	42
2.1.	Основные компоненты пирамиды		42
2.2.	Четыре случая высоты пирамиды		42
2.3.	Вычисление объема и площади поверхности пирамиды	42
3.	Призма -.			43
3.1.	Определения .		43
3.2.	Вычисление объема и площади поверхности
прямой призмы		43
4.	Круглые тела		44
4.1.	Цилиндр		44
4.2.	Конус		44
4.3.	Усеч'енный конус		45
4.4.	Шар		45
5.	Описанные шары		46
5.1.	Шар и пирамида		46
5.2.	Шар и призма		46
5.3.	Шар и цилиндр		46
5.4.	Шар и конус		47
5.5.	Шар и усеченный конус		47
6.	Вписанные шары		47
6.1.	Шар и пирамида		47
6.2.	Шар и прямая призма'	 .	47
6.3.	Шар и цилиндр .		48
6.4.	Шар и конус		48'
. 6.5. Шар и усеченный конус	•		48

АЛГЕБРА
1. Тождественные преобразования
1.1. Формулы разложения на множители
а2 - Ь2 = (а - Ь) (а + Ь).
а3-Ь* = (о- b) (a2 + ab + Ь2).
а3 + Ь3 = (а + Ь) (а2 - аЬ + Ь2).
а2 ± 2аЬ + Ь2 = (а ± ЬJ.
а3 + 3e2b + ЗаЬ2 + fr3 = (а + ЬK.
о3 - За2Ь + Заб2 - Ь3 = (а - bf.
ах* + Ьх + с = а (х - *,) (х - д:2),
где х,, х2 — корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с.
р(х) = (х - х,) </(х), где х, — корень многочлена р(х).
1.2. Модуль числа
1.2.1. Определение
{а, если а 2 0;
- а, если в < 0.
1.2.2. Свойства
| в | 2 0.	| в |2" = в2", я б N.
I аб И в | ¦ | b |.	\a + b\<.\a\ + \b\.

1.3. Корень п-й степени
1.3.1. Определения
Если а ? О, то корнем п-й степени (п = 2,3,4...) из числа а
называется такое неотрицательное число Ь, для которого выпол-
выполняется равенство Ь" = а:
*<а= Ь, а * 0 <=> Ьп = а, Ь t 0.
Если в < 0, а я ? 3 — нечетное число, то корнем п-й степени
из числа а называется такое отрицательное число Ь, для которого
выполняется равенство Ь* = а.
"¦Jo = Ь, где п — нечетное число, а < 0 <=> Ь" = а, Ь < 0.
1.3.2. Два основных тождества
| а |, если и — четное число;
а, если л — нечетное число.
1.3.3. Свойства (дм а > 0, Ь > 0)
"VJ "л/Б"
1.4. Степень с рациональным показателем
1.4.1. Определения
а' = а.
Если л € N, п * 1, то а" = ад ••• а (я сомножителей).
Если а ^ 0, то в0 = 1.
Если а ? 0, то вр/* = *>/д?'.
Если а * 0 и я € N, то а~п = —•
а
Если a > 0 и г - -, то в"г « — ¦
«7	d

1.4.2. Свойства
1.5. Логарифмы
1.5.1. Определение
Логарифмом положительного числа b по положительному
основанию а Ф 1 называется показатель степени, в которую нужно
возвести а, чтобы получить Ь:
\ogjo = с, b > 0, а > 0, а *¦ 1 <=> ас = Ь, а > 0, а * 1.
1.5.2. Два основных тождества
а'ов-ь = 6;
1.5.3. Свойства (для Ь > 0, о 0)
logebc = loge6 + logy:,
log - = 1о&Ь - logec.	log,,^ = loge'br (r * 0).
1.5.4. Свойства (для произвольных Ь, с одного знака)
logj b | + logj с |.
Iog.7-logj6|-logjc|.
\ogjb2n = 2я logj 61 (ne N).
1.5.5. Десятичный логарифм
\ogi0b = lg b (общепринятая запись).
1.5.6. Натуральный логарифм
logefc = In 6 (общепринятая запись),
е = 2,7182818284590...; обычно считают, что е - 2,7.

2. Функции
2.1. Линейная функция
Графиком линейной функции у = kx + b является прямая.
k = tga — угловой коэффициент.
У
b
^ 0
л
кх*Ь
У
X
Нх*
У
Ь
0
(К=0)
2.2. Обратная пропорциональность
Графиком функции у = - является гипербола с асимптотами
х = 0, у = 0.
У
У
0
S
(у
if
я
2 Школьный курс математ.

2.3. Квадратичная функция
Графиком квадратичной функции у = ах2 ¦
парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз,
если а < 0; осью симметрии параболы служит прямая х = - ^.
*	У\
X"-:
I
2.4. Функция у = NF
л — четное число.	п — нечетное число.
У1
1
0J
Г ' ' г
1 X
2.5. Степенная функция у = хт
= 2n,neN.	y = xr; г =
10

r = 0.
у
-2n,ne.N.
vi
-1), яе N. y = xT;
, 0<
Я	Я
У = *'| г — -
x	О
11

2.6. Показательная и логарифмическая функции
у = ах, а > \.	у = а*, 0 < а < \.
у - log,,*, 0 < а < 1.
2.7. Свойства функций
2.7.1. Четность
Функция у = f(x) называется четной, если Д- х) = f(x) для
любого х из области определения функции. График четной фун-
функции симметричен относительно оси у.
2.7.2. Нечетность
Функция у = f(x) называется нечетной, если f(- x) = - Дх) для
любого х из области определения функции. График нечетной
функции симметричен относительно начала координат.
12

2.7.3.	Периодичность
Функция у = Дх) называется периодической, если существует
число Т * О такое, что равенство Дх) = f(x + T) = f(x-T) выпол-
выполняется для любого х из области определения функции; Т —
период функции.
2.7.4.	Монотонность
Функция у = f(x) называется возрастающей (убывающей) на
промежутке X, если для любых xv х2 из X таких, что х, < х2,
выполняется неравенство Дх,) < f(x2) (Дх,) > Дх2)).
2.7.5.	Ограниченность
Функция у = f(x) называется ограниченной сверху на проме-
промежутке X, если существует такое число М, что f(x) S М для любого
х из X. График такой функции расположен ниже прямой у = М.
Функция у = f(x) называется ограниченной снизу на проме-
промежутке X, если существует такое число т, что Дх) ? т для любого
х из X. График такой функции расположен выше прямой у -т.
Функция у = f(x) называется ограниченной на промежутке X,
если она на этом промежутке ограничена и сверху и снизу.
Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а,Ь], то она на
этом отрезке ограничена.
2.8. Построение графиков функций
с помощью преобразования известных графиков
Пусть график функции у = Дх) построен.
Чтобы построить график функции у = Дх + а) + Ь, нужно:
осуществить параллельный перенос графика у = Дх) на
вектор (- а, Ь).
Чтобы построить график функции у = | Дх) |, нужно:
оставить без изменения ветви графика у - Дх), которые
лежат выше оси х;
заменить ветви графика у = Дх), которые лежат ниже оси х,
симметричными им относительно оси х.
Чтобы построить график функции у = Д | х |), нужно:
оставить без изменения ветви графика- у = Дх), которые
лежат правее оси у;
13

отбросить ветви графика у = f(x), которые лежат левее оси у;
добавить к оставшимся ветвям симметричные им относитель-
относительно оси у.
Чтобы построить график функции у = kf(x), нужно:
осуществить растяжение графика у = f(x) от оси х по верти-
вертикали в | k | раз (если | k \ < 1, то фактически получится
сжатие): если при этом k < О, то растянутый график нужно
заменить симметричным ему относительно оси х.
При этом преобразовании остаются неподвижными точки пе-
пересечения графика у = f(x) с осью х.
Чтобы построить график функции у = f(mx), нужно:
осуществить сжатие графика у = f(x) к оси у по горизонтали
в | m | раз, (если |гл|<1, то получится растяжение с
коэффициентом т—г); если при этом т < О, то сжатый
график нужно заменить симметричным ему относительно
оси у.
При этом преобразовании остается неподвижной точка пересе-
пересечения графика у = f(x) с осью у.
3. Уравнения
3.1. Квадратные уравнения
3.1.1. Формулы корней квадратного уравнения
ах2 + bx + c = 0(a*0)
-Ь ± V62 - Aac *±Vrflc	, ^u
х. , =	г	или х., =	, если о = 2k.
Число Ь — Аас — дискриминант квадратного уравнения (обоз-
(обозначается буквой D).
3.1.2. Теорема Виета и ее следствия
Если xvx2 — корни квадратного уравнения х2 + рх + q = 0, то:
xl+x2 = -p,	з* + х\ = -р{р2- 3<7),
* А ШЯ>	х\ + х\ = (р2 - 2qf - 2q2.
14

3.2 Алгоритм решения уравнения 3-й степени
ах3 + Ьх2 + сх + d = 0, где а, Ь, с, d — целые числа; а Ф 0.
1.	Выпишите все делители свободного члена d.
2.	Выберите среди этих делителей то число хх, которое является
корнем уравнения (если такого числа нет, то алгоритм неприме-
неприменим).
3.	Разделите ах3 + Ьх2 + сх + d на (х - *,), получите в частном
квадратный трехчлен ах2 + Ьхх + с,.
4.	Найдите корни х2, х3 уравнения ах2 + btx + с, — 0.
5.	Запишите ответ: xv x2, х3 — корни уравнения.
3.3 Иррациональные уравнения
Если л — нечетное число, то уравнение n^f(x) = q{x) равно-
равносильно уравнению f(x) = (q{x))n.
Если я — четное число, то уравнение я^Щх) = q(x) равносильно
смешанной системе:
fix) к 0,
• q(x) Z 0,
f(x) = (q (x))".
3.4. Показательные уравнения
Если а > 0, а * 1, то уравнение </(х) = я'**' равносильно урав-
уравнению f(x) = q(x).
3.5. Логарифмические уравнения
Если а > 0, а * 1, то уравнение \o%j(x) - log^fc) равносильно
смешанной системе:
f(x) > 0,
q(x) > 0,
fix) = q{x).
15

4. Неравенства
4.1. Свойства числовых неравенств
Если а > Ь, Ь > с, то а > с.
Если а > Ь, то а + с > Ь + с.
Если а > Ь, с > d, то а + о Ь + d.
Если а > Ь, с < d, то а - о b - d.
Если а > Ь, т > 0, то am > bm.
Если а > Ь, т < 0, то am < bm.
Если а> b > 0, о d > 0, тоас> bd.
Если а > b > 0, то — < -г-
a b
Если а > b t 0, то а" > Ья"
Если а > Ь 2 0, то Na~ S "Vb".
4.2 Неравенства с модулями
Неравенство вида | f{x) \ > q{x) равносильно совокупности двух
систем неравенств:
\f{x) Z 0,	[fix) й О,
[fix) > qix) ;	}- f(x) > qix) .
4.3. Иррациональные неравенства
Неравенство вида V/"(.r) < qix) равносильно системе неравенств:
f(x) * О,
qix) > О,
fix) < ( qix) f.
Неравенство вида Щх) > qix) равносильно совокупности сис-
систем неравенств:
qix)J;
16

4.4. Показательные неравенства
Если а > 1, то неравенство в№ > а*** равносильно неравенству
того же смысла fix) > qix).
Если 0 < а < 1, то неравенство а^х) > а4^ равносильно нера-
неравенству противоположного смысла Дх) < qix).
4.S. Логарифмические неравенства
Если а > 1, то неравенство log/Cr) > log^*) равносильно сис-
системе неравенств:
fix)>0,
qix) > 0,
[fix) > qix).
Если 0 < а < 1, то неравенство log^ fix) > loge qix) равносиль-
равносильно системе неравенств:
№ > о.
qix) > 0,
fix)
Неравенство вида loj^^/fr) >
ности систем неравенств:
aix)>\,
qix) > 0,
Aj:) > qix);
равносильно совокуп-
fix) > 0,
fix) < qix).
5. Прогрессии
S.I. Арифметическая прогрессия
5.1.1. Определение
Арифметической прогрессией называется последовательность ах,
Oj, ... , ая, ... , каждый член которой, кроме первого, отличается
от предыдущего на одно и то же число d:
в„ +1 = оя + d; d — разность прогрессии.
17

5.1.2. Свойства
ап = а, + d (л - 1) (формула п-го члена);
а. + а 2а. + d (я - 1)
Sn = —=— п =	т	п (Ф°РмУла суммы первых п
членов прогрессии: Sn = ах + а2 + ... + ап ).
Последовательность (ля) является арифметической прогрес-
прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого
(и последнего, в случае конечной последовательности), равен
среднему арифметическому своих соседних членов:
°я - 1 + °л
(характеристическое свойство).
5.2. Геометрическая прогрессия
5.2.1. Определение
Геометрической прогрессией называется последовательность
bv b2,..., Ьп,..., каждый член которой, кромепервого, получается
путем умножения предыдущего члена на одно и то: же число
bn + 1 = bn q (q * О, ЬХ * 0), где q — знаменатель прогрессии.
5.2.2. Свойства
bn = bsq"~y (формула л-го члена).
Ь,(<7"-1) '
лп =	— (формула суммы первых л членов прогрессии:
Sn = bi + b2 + b3+... + bn).
Если | q | < 1 и 5 = ft, + b2 + b3 + ... + bn + .... то
b.
с	!_
\-q
Последовательность (Ья) является геометрической прогрессией
тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и
последнего, в случае конечной последовательности), равен по
модулю среднему геометрическому своих соседних членов:
1 °п\ = А,-А + 1 • Или, что то же самое, b\ = Ья _ ,Ь„ + ,.
18

ТРИГОНОМЕТРИЯ
1. Тригонометрические функции
1.1. Числовая окружность
1.1.1. Определение
Пусть дана окружность радиуса 1. Поставим в соответствие
каждому действительному числу t точку окружности по следую-
следующему правилу:
Если t = О, то ему соответствует точка А — правый конец
горизонтального диаметра.
Если t > О, то, отправляясь из точки А, опишем по окружности
в направлении против часовой стрелки путь длиной t\ конец этого
пути и будет искомой точкой M(t).
Если t < О, то, отправляясь из точки А, опишем по окружности
в направлении по часовой стрелке путь длиной 111; конец этого
пути и будет искомой точкой M(t).
Единичная окружность с установленным соответствием назы-
называется числовой окружностью.
Каждому действительному числу соответствует единственная
точка окружности.
M(t)
Если точка М соответствует числу t, то она соответствует
любому числу вида t + Ink, где 2я — длина единичной окружно-
окружности, a k — целое число, показывающее количество полных
обходов окружности в ту или иную сторону.
19

1.1.2. Два основных макета числовой окружности:
U. Тригонометрические функции
1.2.1. Определение
sin t — ордината точки M(t) числовой окружности;
cos t — абсцисса точки M(t).
У
tgt
sin t
п
(
\
т
sin
^_
t
)'
IV
COS t '
. . COS t
Ctg t = —.	7 .
" sin t
1.2.2. Знаки по четвертям
cost
III
IV
п
(
\
т
tgt
' —
ctgt
1
\
)
IV
1.2.3. Свойства
sin t, tg t, ctg ( — нечетные функции, cos t — четная.
2я — период sin t, cos t,
я — период tg t, ctg t.
20

1.2.4. Основные значения
Функция
sin t
cos t
tgt
ctgt
Аргумент
0
0
1
0
—
я
6
1
2
<3
2
>/3
3
я
4
<2
2
<2
2
1
1
я
3
V3
2
1
2
V3
V3~
3
я
2
1
0
—
0
я
0
- 1
0
—
Зя
2
- 1
0
—
0
1.3. Обратные тригонометрические функции
1.3.1. Определения
arcsin т — это дуга, синус которой равен т и которая заклю-
я я
чена в замкнутом промежутке от — -^ до -г :
я	я
у = arcsin т <=> sin у = т, - -г й у й —.
arccos т — это дуга, косинус которой равен т и которая
заключена в замкнутом промежутке от 0 до я :
у = arccos т <=> cos у = т, 0 й у ? я.
arctg m — это дуга, тангенс которой равен т и которая
я я
заключена в открытом промежутке от - ^ до ¦= :
я	я
у = arctg т <=> tg у = т, -^ < у < ^ .
arcctg m — это дуга, котангенс которой равен т и которая
заключена в открытом промежутке от 0 до я:
у = arcctg т <=> ctg у = т, 0 < у < я.
21

1.3.2. Основные соотношения
arcsin (- х) = - arcsin x.
arccos (- х) - я - arccos x.
arctg (- л:) = - arctg x.
arcctg (- x) - n - arcctg x.
1.3.3. Основные значения
Функция
arcsin х
arccos x
Аргумент
0
0
я
2
1
2
я
6
я
3
2
я
4
я
4
2
я.
з'
я
6
1
к
2
0
Функция
arctg х
arcctg x
Аргумент
0
0
я
2
V3"
3
я
6
я
3
1
я
4
я
4
я
3
я
6
1.3.4. Основные формулы, связывающие тригонометрические и
обратные тригонометрические функции
sin (arcsin x) = cos (arccos дг) = х, (-1 < х < 1).
tg (arctg x) = ctg (arcctg x) = х, (х * 0).
sin (arccos x) = cos (arcsin x) = Vl-д:2, (-1 < я ? 1).
tg (arcctg x) = ctg (arctg л:) = -, (x *. 0).
22

1.4. Графики тригонометрических функций
9,
11 -—j
у ' со$ х
г
1
У
\
)
6
ctgx
1
г
X
X
23

1.5. Графики обратных тригонометрических функций
у = arc sin л
y=arccosx
ysarctgx
u = arcctgx
24

2. Формулы тригонометрии
2.1. Формулы, связывающие функции
одного я того же аргумента
sin2* + cos2* = 1.	1 + ctg2* = —г
sin
* \	tg*ctg*=l.
COS *
2.2. Формулы, связывающие функции аргументов,
из которых один вдвое больше другого
sin 2* = 2 sin * cos *.
cos 2* = cos2* - sin2*.
tg 2* = 2tSX, .
1 - tg2*
.2	1 - COS 2*	2	1 + COS 2* , ,
sin * =	»	, cos * =	r	 (формулы понижения
степени).
1 ± sin 2* = (cos * ± sin *J.
Если tg •=: = и, то sin * =	5, cos * =	j (универсальная
*	1 + «r	1 + и
подстановка).
2.3. Формулы сложения аргументов
sin (a ± p) = sin а cos P ± cos а sin p.
cos (а ± Р) = cos а cos p + sin а sin p.
25

2.4. Формулы преобразования сумм в произведения
A sin t + В cos t = V./42 + В2 sin (г + q>), где ф — вспомогатель-
А
ныи угол, причем cos <р = . ^ v •
2.5. Формулы преобразования произведений в суммы
sin a cos Р в - (sin (а - Р) + sin (а + Р)).
sin а sin р = х (cos (а - Р) - cos (а + р)).
cos а cos р = х (cos (а - Р) + cos (а + Р)).
2.6. Формулы приведения
Это формулы, с помощью которых тригонометрическая функ-
функция от аргумента вида -г- ± а преобразуется в тригонометричес-
тригонометрическую функцию от аргумента а.
Правило для запоминания формул приведения:
1.	Для аргументов, отсчитываемых от горизонтального диамет-
диаметра (к ± ос, 2я — а), название функции не меняется.
2.	Для аргументов, отсчитываемых от вертикального диаметра
(— ± а, — ± а), название функции меняется (синус на косинус,
косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
3.	Перед полученной функцией ставится тот знак, который
имела бы приводимая функция в той четверти, в которой лежит
ял ,	_	я
аргумент -г- ± а, если 0 < а < -г.
26

2.7. Простейшие тригонометрические уравнения
sin х = а, | а \ й, 1 <=> х = (- 1)" arcsin a + ял.
cos х = а, | а | < 1 <=> х = ± arccos а + 2ял.
tg i = а <=> j: = arctg a + пл.
ctg х = а <==> х = arcctg a + пп, я е Z.
Частные случаи:
sin * = 0 <=> х - яп.
cos х = 0 <=> д: = — + яп.
sin х = 1 <=> х = -j + 2яя.
cos х = 1 <=> х = 2ял.
sin х = -1 <=> х = - у + 2яя.
cos х = -1 <=> х = я + 2лл.
Тройного у Г* с?
27

ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
1. Производная
1.1. Определение производной
/"(*„) = lim 7^,
0
где А/" = Дх) - Дх0) (приращение функции); А х = х - х0 (при-
(приращение аргумента).
1.2. Формулы дифференцирования
(с)' = 0.
(Ах + 6)' = *.
а.
(logjr)' = —^— .
&1Г^ х In a
(sin х)л = cos x.
(cos x)' = - sin x.
1
(tg x)' =
cos2x
(ctgx)' =	3-.
sin x
(arcsin x)' = , , (-1 < x < 1).
VI -x2
(arccos x)' = - 1 л (-1 < x < 1).
VI -x2
(arctg x)' = —Ц.
(arcctg x)' = -
1+x2"
28

1.3. Правила дифференцирования
(u(v{x)))' = tf(v(x))zf(x) (производная сложной функции).
1.4. Геометрический смысл производной
f\a) = tg a = к, где к — угловой коэффициент касательной.
1.5. Уравнение касательной
У = Ra) + f (а) (х - а).
29
(и ± vY = и* ± т/.
(kuY = ktt (к — число).
(ио)' = t/v + отЛ

2. Исследование функций с помощью
производной
2.1. Исследование на монотонность
Если f\x) > 0 на промежутке X, то функция у = f (х) возрастает
наХ.
Если f\x) < 0 на промежутке X, то функция у - f (х) убывает
наХ.
2.2. Исследование на экстремум
2.2.1. Определение
Если у точки х0 существует окрестность, в которой функция
у = f (х) определена и f(x)? f (х0), то х0 называют тонкой мак-
максимума функции; пишут уМ1 = f (x0).
Если у точки х0 существует окрестность, в которой функция
у = f (х) определена и f (x) t f (x0), то х0 называют точкой ми-
минимума функции; пишут ymin = f (x0).
2.2.2. Алгоритм отыскания ут%, Утл для функции y=f(x)
1.	Найдите область определения функции.
2.	Найдите / = f(x).
3.	Найдите точки, в которых f(x) = 0 или f(x) не существует,
и выберите из них те, что принадлежат области определения
функции.
4.	Отметьте выбранные точки на числовой прямой и определите
знаки tf слева и справа от каждой из отмеченных точек.
5.	Сделайте выводы: если производная у1 слева от отмеченной
точки х6 отрицательна, а справа положительна, то х0 — точка
минимума и f (д:0) = ymin; если производная у' слева от отмеченной
точки д:0 положительна, а справа отрицательна, то л:0 — точка
максимума и Дх0) = у^.
30

2.3. Отыскание наибольшего н наименьшего значений
непрерывной функции на промежутке
2.3.1. Определение
Говорят, что функция у = f (х) достигает на промежутке X
своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует
точка х0 € X такая, что для всех х е X выполняется неравенство
f (х) й f (xQ) (f (х) 2 f (xj); пишут уиаи6 = f (*„) {у^^ f (*0)) .
Непрерывная функция на отрезке всегда достигает своего
наибольшего и наименьшего значения.
2.3.2. Алгоритм отыскания уюиб, У*шн для функции y = f (x),
непрерывной на отрезке [а,Ь]
1.	Найдите f{x).
2.	Найдите точки, в которых f(x) - 0 или f(x) не существует,
и выберите из них те, что лежат внутри отрезка [a,b].
3.	Составьте таблицу значений функции, куда включите точки
а, Ь и точки, найденные на шаге 2.
4.	Из найденных значений функции выберите наибольшее (это
будет умиб) и наименьшее (это будет уптм).
2.3.3. Случай незамкнутого промежутка
Непрерывная функция на незамкнутом промежутке может
иметь и может не иметь Ущ^, Утт,
Простейшие случаи:
Если непрерывная функция у = f{x) имеет в промежутке X
только одну точку экстремума х0 и если х0 — точка максимума,
rof(x0) = ynH6.
Если непрерывная функция у = f{x) имеет в промежутке X
только одну точку экстремума х0 и если х0 — точка минимума,
ТО ftx0) = Уиаим.
31

ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
1.Первообразная
1.1. Определение первообразной
Если для любого х из промежутка X выполняется равенство
F(x) = f (х), то функция F (х) называется первообразной для
f (х) на промежутке X.
1.2. Правила вычисления первообразной
Если F (х) — первообразная для f (х), а Я (х) — первообраз-
первообразная для h (х) на промежутке X, то F (х) + Н (х) — первообразная
для f (х) + А (х) на промежутке X.
Если F (х) — первообразная для f (x) на промежутке X, то
kF (х) — первообразная для kf(x) на промежутке X (k —
произвольное действительное число).
Если F{x) — первообразная для f(x) на промежутке X, то
- F(ax + Ь) — первообразная для f(ax + Ь) на промежутке X.
1.3. Формулы вычисления первообразной F (х)
для функции / (х)
fix)
1
X
xV
X
г
+1
i)
X
In*
sin x
- cos x
cos
sin
X
X
1
sin2x
-ctgx
1
co^x
tgx
Лх)
Fix)
e1
<? (a > 0, a * 1)
In a
1
1+x2
arctg x
1
Vl-x*
arcsin x
32

2. Неопределенный интеграл
2.1. Определение неопределенного интеграла
Если F(x) — первообразная для f(x) на промежутке X, то
множество всех первообразных для f(x) имеет вид {F(x) + С), где
С — любое действительное число. Это множество называют
неопределенным интегралом функции f(x) и обозначают
J f(x) dx (читается "интеграл эф от икс дэ икс"):
2.2. Правила интегрирования
J (f(x) + h(x)) dx = j f(x) dx + j fi(x) dx.
j kfix) dx = kj fix) dx.
2.3. Формулы интегрирования
J dx = x + С	\xrdx = ^~ + dr*-
J — = In I x I + C.	J sin x dx = - cos x + С
J -—5— = tg x + C.	J cos x dx - sin x + С
COST Л
sin*
= т^: + с (e>o,
J ¦	-j- = arcsin j: + C.
33

3. Определенный интеграл
3.1. Формула Ньютона-Лейбница
Если Fix) — первообразная для fix) на промежутке X и если
а, Ь — точки из этого промежутка X, то
6
J fix) dx = F(b) - Fid) (формула Ньютона-Лейбница),
a
Ь
где J fix) dx — определенный интеграл; a, b — пределы интег-
a
рирования; f(x) — подынтегральная функция.
3.2. Свойства определенного интеграла
ь	ь	ь
J ( f(x) + h(x) )dx = l f(x) dx + j h(x) dx.
a	a	a
b	Ь
jkf(x) dx = k $ f(x) dx.
a	a
Ь	а
\ fix) dx = -j fix) dx.
b
ь
Если а < с < b, то J fix) dx = J fix) dx + j fix) dx (аддитивное
а	а	с
свойство интеграла).
b
Если fix) 2 0 на [а; Ь], то J fix) dx 2 0.
а
b
Если fix) Z gix) на [a; b], то J fix) dxt\ g{x) dx.
34

3.3. Вычисление площадей плоских фигур
с помощью интеграла
Если фигура D представляет собой часть плоскости хОу,
ограниченную прямыми х — а, х = Ь {а <Ь) и графиками непре-
непрерывных на отрезке [а; Ь] функций у = f(x), у = Л(лг) таких, что
для любого х из [а; Ь] выполняется неравенство h(x) < f(x), то
площадь S фигуры D вычисляется по формуле:
h
S = \ (f(x) - h(x)) dx.
y-fM
\y-hj
35

ПЛАНИМЕТРИЯ
1. Треугольники
1.1.Обозначения
А, В, С — углы; а, Ь, с — стороны; hc — высота, проведенная
к стороне с; тс — медиана, проведенная к стороне с; S —
площадь; R — радиус описанной окружности; г — радиус
вписанной окружности; р — полупериметр.
1.2. Равносторонний треугольник
А = В = С = 60';
;
;r=
1.3. Прямоугольный треугольник (С = 90*)
1.3.1. Метрические соотношения
а2 + Ь2 = с2 (теорема Пифагора);
,/r \
" A' H a1
S я
и
a2-
h2
1.3.
T U — i, \ 1С
= ca';
= eft';
ab
с
.2. Площадь
"" 2 •
1.3.3. Формулы для вычисления радиусов R и г
?	_ Д + ^ ~ С
2* Г" i> '
1.3.4. Соотношения между сторонами и углами
.а	. b . а , . Ь
sin Л = —, cos /1 = -, tg A ~ т, ctg A = -.
36

1Л. Произвольный треугольник
1.4.1. Четыре замечательные точки в треугольнике
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся
в ней в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется
центром тяжести.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка
называется ортоцентром.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта
точка является центром вписанной окружности.
Перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника через
их середины, пересекаются в одной точке. Эта точка является
центром описанной окружности.
1.4.2. Средняя линия треугольника
Параллельна основанию.
Равна половине основания.
Делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треу-
треугольника с какой-либо точкой основания.
1.4.3. Свойство биссектрисы треугольника
Пусть в треугольнике ABC прове-
проведена биссектриса BD. Тогда
АВ AD ,.
-rp; = -f-p, (биссектриса делит осно-
	вание на части, пропорциональные
Л	в	с боковым сторонам).
1.4.4. Определение вида треуголь-
треугольника по его сторонам
Пусть с — наибольшая из трех сторон треугольника.
Если с2 < а + Ь2, то треугольник остроугольный.
Если с2 = а + Ь2, то треугольник прямоугольный.
Если с > а + Ь , то треугольник тупоугольный.
1.4.5. Площадь
S = ^ с hc, S = р г, S = ^ а Ь sin С,
S = Vp (р - а) (р - Ь) (р - с) (формула Герона).
37

1.4.6. Формулы для вычисления радиусов К и г
2 sin Л	4 5	р
1.4.7. Соотношения между сторонами и углами
а2 = о2 + с2 - 2 Ь с cos А (теорема косинусов).
——т = ~—п = ~—7^ = 2 R (теорема синусов),
sin A sin В sin С
1.4.8. Три важные теоремы о площадях
Если два треугольника подобны, то их площади относятся как
квадраты соответствующих сторон.
Если у двух треугольников равны основания, то площади
относятся как соответствующие высоты.
Если одна высота одного треугольника равна одной высоте
другого треугольника, то площади относятся как стороны, к
которым проведены эти высоты.
2. Четырехугольники
2.1. Выпуклый четырехугольник
2.1.1. Площадь
S = х dsd2 sin ф,
где dv d2 — диагонали; ф — угол между ними.
S = р г, если в четырехугольник можно вписать окружность
(р — полупериметр, г — радиус вписанной окружности).
2.1.2.	Вписанная окружность
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только
тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Центром
вписанной окружности служит точка пересечения биссектрис.
2.1.3.	Описанная окружность
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только
тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°. Центром
описанной окружности служит точка пересечения перпендикуляров,
проведенных к сторонам четырехугольника через их середины.
38

2.2. Параллелограмм
2.2.1. Обозначения
а, Ь — стороны; </,, d2 — диагонали; <р — угол между
диагоналями; hb — высота, проведенная к стороне Ь.
2.2.2. Соотношение между сторонами и диагоналями
d\ + d\ = 2д2 + 2b2.
2.2.3. Площадь
S = bhb, S - flbsin C, S = ~^dxd2 sin<p.
2.3. Трапеция
2.3.1. Средняя линия
Параллельна основаниям.
Равна полусумме оснований.
Делит пополам любой отрезок, заключенный между основани-
основаниями.
2.3.2. Площадь
„ а+Ь ,	,	,
S = —г— я, где а, о — основания; л — высота.
S = рг, если в трапецию можно вписать окружность радиуса г.
S = r dtd2s\n(f (см. п.2.1.1).
3. Окружность и круг
3.1. Два свойства касательных
Касательная к окружности перпендику-
перпендикулярна радиусу, проведенному в точку ка-
касания.
Если из точки М проведены к окруж-
окружности две касательные к А, В — точки
касания, то a) MA = MB, б) центр окруж-
окружности лежит на биссектрисе угла АМВ.
39

3.2. Измерение углов, связанных с окружностью
3.2.1. Определения
Вписанный угол — угол, образованный двумя хордами АВ и
АС, выходящими из точки А на окружности.
Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами
ОВ и ОС (О — центр окружности).
3.2.2. Вычисление углов
Центральный угол ВОС измеряется дугой
ВС, на которую он опирается.
Вписанный угол ВАС измеряется половиной
дуги ВС, на которую он опирается.
3.3. Метрические соотношения в окружности
Пусть АВ и СД — хорды окружности.
Если прямые АВ и CD
пересекаются в точке М,
Г27 то AM ВМ = СМ ¦ DM.
Пусть из внешней точки
М к окружности проведены касательная
МС (С — точка касания) и секущая МАВ (А,
в В — точки пересечения прямой с окружно-
окружностью). Тогда MA MB = МС2.
3.4. Длина окружности, площадь круга
Длина окружности I = 2яЛ.
Площадь круга S = nRr.
40

3.S. Длина дуги, площадь сектора
SAOB ~ jj" "•
где а — центральный угол, выраженный в
радианах; 1 « ттт рад.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
1. Основные теоремы,
используемые для обоснования чертежа
Если прямая / не принадлежит плоскости а и параллельна
некоторой прямой, принадлежащей плоскости а, то /1 а (признак
параллельности прямой и плоскости).
Если плоскость а проходит через прямую /, параллельную
плоскости р, и пересекает плоскость Р, то линия пересечения
плоскостей параллельна прямой /.
Если прямая / перпендикулярна двум непараллельным пря-
прямым, принадлежащим плоскости а, то 11 а (признак перпенди-
перпендикулярности прямой и плоскости).
Если плоскость а проходит через прямую /, перпендикуляр-
перпендикулярную плоскости р, то а 1 Р (признак перпендикулярности пло-
плоскостей).
Если две плоскости пересекаются по прямой / и каждая из
плоскостей перпендикулярна третьей плоскости а, то / ± ос
Прямая /, принадлежащая плоскости а, перпендикулярна пря-
прямой т тогда и только тогда, когда прямая / перпендикулярна
проекции прямой т на плоскость а (теорема о трех перпенди-
перпендикулярах).
Если плоскости а и Р перпендикулярны и из точки М е а
проведен перпендикуляр / к плоскости р, то / с а.
41

2. Пирамида
2.1. Основные компоненты пирамиды
5 — вершина пирамиды;
ЛВС — основание пирамиды;
SH — высота пирамиды (SH ±ЛВС);
а — угол между боковым ребром AS
и плоскостью основания; а = Z.SAH.
SD — апофема, SD 1 ВС; HD 1 ВС.
р — угол между гранью SBC и плоско-
плоскостью основания (угол между апофемой и
ее проекцией на плоскость основания).
2.2. Четыре случая высоты пирамиды
Если все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основа-
основания (или, что то же самое, боковые ребра равны), то высота
пирамиды проходит через центр описанной около основания
окружности.
Если все боковые грани равнонаклонены к плоскости основа-
основания (или, что то же самое, апофемы пирамиды равны), то высота
пирамиды проходит через центр вписанной в основание окружно-
окружности.
Если одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости
основания, то высота пирамиды принадлежит этой боковой грани.
Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоско-
плоскости основания, то высотой пирамиды является общее боковое
ребро этих двух боковых граней.
2.3. Вычисление объема и площади поверхности пирамиды
V = х SKH H — объем пирамиды,
где 5^.,, — площадь основания; Я — высота пирамиды.
5
S6 =	— — площадь боковой поверхности пирамиды, если
оси
cos a
все боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания
угол а.
42

3. Призма
3.1. Определения
Если две параллельные плоскости а и а' пересечены рядом
параллельных друг другу прямых АХА(, А^',..., Л„ЛП', причем
точки Av А2> — i Ап принадлежат плоскости а, а точки Ах', А2',
... , Ап' принадлежат плоскости а', то пространственное тело,
ограниченное п-угольниками АХА2 ... Ая; А(А{ ... Ащ' и отрезка-
отрезками АХА{, AjA^, ... , A^AJ, называется призмой; многоугольники
AfA2 ••• ^я и А\Аг •" А* — основания призмы, Л^А,', А^А^ ...
Ая Ап' — боковые ребра.
Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскостям ее
оснований, то призма называется прямой, в противном случае —
наклонной.
Если основание призмы — прямоугольник, то призма называ-
называется параллелепипедом; если к тому же призма прямая, то
параллелепипед называется прямоугольным.
Высотой призмы называется расстояние между ее основаниями.
3.2. Вычисление объема и площади поверхности
прямой призмы
V - S^^H — объем призмы,
где 5ЖН — площадь основания; Н — высота призмы.
5"б = РН — площадь боковой поверхности,
где Р — периметр основания.
43

В
" 4. Круглые тела
4.1. Цилиндр
Цилиндр — это пространственное тело, образованное враще-
вращением прямоугольника ABCD вокруг его оси симметрии О, О2..
Основания ¦— окружности с центрами О,, О2.
АВ, CD — образующие, они перпендикулярны плоскостям
оснований.
ABCD — осевое сечение; О, О2 — ось
симметрии цилиндра.
где R — радиус основания; Я — об-
образующая.
S6 = 2kRH. S = 2яЛ (Я + R).
4.2. Конус
Конус — это пространственное тело, образованное вращением
равнобедренного треугольникаЛМВ (AM = MB ) вокруг его оси
симметрии МО.
Основание — окружность с центром в точке О.
М — вершина конуса.
МО — высота; МО перпендикулярна
плоскости основания. МО — ось симметрии
конуса.
MA, MB, MC — образующие.
АМВ — осевое сечение.
V = ~kR2H,
где R — радиус основания; Я — высота.
S6 = nRl, где I — образующая конуса.
5" = nR(R + I).
¦ ¦'?. к

4.3. Усеченный конус
Усеченный конус — это пространст-
пространственное тело, образованное вращением
равнобокой трапеции АВСД (АД 1 ВС,
АВ « СД ) вокруг её оси симметрии
Основания -^-.окружности с центра-
центрами О,,О2.
АВ, СД — образующие.
О, О2 — высота, О, О2 перпендикулярна плоскостям основа-
нии,
О, О2
ось симметрии усеченного конуса.
АВСД — осевое сечение.
V = | пН( Я2 + Я2 + Л, R2),
где Я — высота; Rt, R2 — радиусы оснований.
S6 = я/( Л, + R2),
где Z — образующая.
S = я( lRt + / Л2 + R\
R\).
АЛ. Шар
V = -5 я Л3; 5 = 4 я Л2, где R '•—радиус шара.
45

5. Описанные шары
5.1. Шар и пирамида
Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда,
когда около ее основания можно описать окружность.
Чтобы построить центр О этого шара, нужно:
1.	Найти центр О, окружности, описанной около основания.
2.	Через точку О, провести прямую, перпендикулярную пло-
плоскости основания.
3.	Через середину любого бокового ребра пирамиды провести
плоскость, перпендикулярную этому ребру.
4.	Найти точку О пересечения построенных прямой и плоскости.
Частный случай: боковые ребра пирамиды равны. Тогда:
шар описать можно;
центр О шара лежит на высоте пирамиды;
R = т-77. где R — радиус описанного шара; b — боковое ребро;
А п
Н — высота пирамиды.
5.2. Шар и призма
Около призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда
призма прямая и около ее основания можно описать окружность.
Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры
описанных около оснований окружностей.
4
где R — радиус описанного шара; г — радиус описанной около
основания окружности; Н — высота призмы.
5.3. Шар и цилиндр
Около цилиндра шар можно описать всегда. Центром шара
служит центр симметрии осевого сечения цилиндра.
46

5 Л. Шар и конус
Около конуса шар можно описать всегда. Центром шара
служит центр окружности, описанной около осевого сечения
конуса.
R 2 Я*
где R — радиус шара; / — образующая; Н — высота конуса.
5.5. Шар и усеченный конус
Около усеченного конуса шар можно описать всегда. Центром
шара служит центр окружности, описанной около осевого сечения
конуса.
6. Вписанные шары
6.1. Шар и пирамида
Центр вписанного шара — точка пересечения биссекторных
плоскостей, построенных для всех имеющихся в пирамиде дву-
двугранных углов; если эти биссекторные плоскости не имеют общей
точки, то шар вписать нельзя.
Частный случай: боковые грани пирамиды равнонаклонены к
плоскости основания. Тогда:
шар вписать можно;
центр О шара лежит на высоте пирамиды, конкретнее — это
точка пересечения высоты с биссектрисой угла между апофемой
и проекцией этой апофемы на плоскость основания.
6.2. Шар и прямая призма
В прямую призму можно вписать шар тогда и только тогда,
когда:
в основание призмы можно вписать окружность,
диаметр этой окружности равен высоте призмы.
Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры
вписанных в основания окружностей.
где г — радиус вписанного шара; R — радиус вписанной в
основание окружности; Н — высота призмы.
47

6.3. Шар и цилиндр
В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда
осевое сечение цилиндра — квадрат (такой цилиндр иногда
называют равносторонним). Центром шара служит центр симмет-
симметрии осевого сечения цилиндра.
6.4. Шар и конус
В конус можно вписать шар всегда. Центром шара служит
центр окружности, вписанной в осевое сечение конуса.
6.S. Шар и усеченный конус
В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда,
когда Л, + R2 - I,
где Rv R2 — радиусы оснований; / — образующая.
Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры
оснований.
где г — радиус вписанного шара; Н — высота усеченного
конуса.
Учебное издание
Александр Григорьевич Мордкович
Школьный курс математики
Краткий справочник
ИБ №64
ЛР № 020513 от 15. 04. 92
Формат 84x108/32. Подписано к печати 13.02.95 г.
Усл. печ. л. 2,52. Уч-изд. л. 1,93. Тираж 100 000 экз.
С90. Заказ № 2Ю
Издательство «Школа-Пресс»
103051, Москва, Цветной б-р, 21, строение 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Чеховский полиграфический комбинат
Комитета Российской Федерации по печати
142300, г. Чехов Московской обл.