Text
                    В. Н. ЛИТВИНЕНКО А. Г МОРДКОВИЧ
ПРАКТИКУМ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКЕ
АЛГЕБРА.ТРИГОНОМЕТРИЯ
Учебное пособие для студентов
физико-математических специальностей
педагогических институтов и учителей
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию
2-е издание, переработанное
и дополненное
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1991

ББК 22.1 Л 64 Рецензенты: кафедра методики преподавания математики Могилевского педагогического института им. А. А. Кулешова (зав. кафедрой доцент Л. А. Ла- тотин); доктор физико-математических наук, профессор А. С. Солодовников Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Л64 Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригоно- метрия: Учеб, пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Просвещение, 1991.— 352 с.: ил.— ISBN 5-09-003393-5. Цель настоящего пособия — оказать студентам конкретную помощь в раз- витии умения решать математические задачи школьного курса. Наличие теоре- тического материала и подробно разобранных примеров даст возможность ис- пользовать пособие изучающим этот курс самостоятельно. „ 4309000000-708 103(03)—91 ISBN 5-09-003393-5 65—91 (заказ по КБ—11 —1991) ББК 22.1 © Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г., 1991
Часть I. АЛГЕБРА Глава I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 1. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный многочлен представить в виде произведения двух или более многочленов или в виде произведения многочлена на одночлен, содержащий не менее одной переменной. Однако не каждый много- член допускает разложение на множители над полем действительных чисел. Например, многочлены х4-3, х2 4-6x4-10 разложить на мно- жители нельзя. Такие многочлены называются неприводимыми. Раз- ложение многочлена на множители считается законченным, если все полученные множители неприводимы. При разложении многочленов на множители применяются различ- ные приемы: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения и др. Рассмотрим несколько примеров применения этих приемов. Пример 1. Разложим на множители многочлены: 1) f (a; b) = а2 — 2а3Ь —• 2аЬ3 4- Ь2; 2) f (а) = а4-5а3 —8а4-40. Решение. 1) Сгруппируем, например, первый член со вторым, а третий — с четвертым и вынесем за скобки общие множители. Полу- чим f (а; 6) = а2 (1 — 2а6)4- b2 (1 — 2а6) = (1 — 2аЬ) (а24- Ь2). 2) Получаем f (а) = а3 (а —5) —8 (а —5) = (а —5) (а3 —8) = = (а - 5) (а - 2) (а2 4-2а + 4). Пример 2. Разложим на множители f (а; б) = 4а2 — 12а6 4-562. Решение. 1-й способ. Дополним выражение 4а2— \ 2аЬ до пол- ного квадрата. Получим 4а2— \2ab-\-9b2. Тогда f (а; Ь) = = (4а2—12а6 4-962) —9624-562 = (2а—36)2 —(26)2 = (2а —36—26)Х X (2а - ЗЬ 4- 26) = (2а - 56) (2а - 6). 2-й способ. Представим второй член заданного трехчлена следую- щим образом: — 12а6 = — 2а6 — 10а6. Тогда /(а;6) = (4а2 — 2а6)4- 4- (— 1 Оаб 4- 562) = 2а (2а — 6) — 56 (2а - 6) = (2а - 56) (2а - 6). Пример 3. Разложим на множители f (а) = а3 — 7а2 4- 7а + 15. Решение. 1-й способ. Представим второй и третий члены за- з
данного многочлена следующим образом: — 1а2 = —За2 — 4а2; 7а=12а — 5а. Тогда f (а) = а3 —За2 —4а2+12а —5а+15. Сгруппи- руем слагаемые попарно и в каждой группе вынесем за скобки общие множители: f (а)==(а3 — За2) — (4а2— 12а) — (5а— 15)= = а2 (а —3)—4а (а-3)-5 (а-3)=(а-3) (а2-4а-5). Осталось разложить на множители многочлен а2 —4а —5. Это можно сделать, дополнив выражение а2 —4а до полного квадрата. Получим а2-4а-5 = (а2-4а + 4)-9 = (а-2)2-9 = (а-2 + 3) (а-2-3) = = (а+1)(а —5). Можно поступить и по-другому, а именно предста- вить второй член следующим образом: — 4а = а — 5а. Тогда а2 —4а —5 = а2 + а —5а —5 = а (а+1) —5 (а+ 1)=(а 4-1) (а —5). И наконец, можно найти ai = — 1 и а2 = 5— корни уравнения a2 —4a —5 = 0. Тогда, воспользовавшись формулой разложения квадратного трехчлена на множители (ax2 + Z?x + c = a (х — Xi)X Х(* —-х2)), получим a2 —4a —5 = (a+1) (а —5). Итак, f (а) = (а — 3) (а + 1) (а — 5). 2-й способ. Представим третий член так: 7a=15a —7a —а. Тог- да f(a) = (a3-a)-(7a2 + 7a) + (15a+15) = a(a-l)(a+l)-7a(a+l)+ + 15 (a + l) = (a+ 1) (a2 —a —7a+ 15) = (a +1) (a2 —8a + 15)= =(a+ 1) (a —3) (a —5). Пример 4. Разложим на множители f (a; fe; c) = ab (a-[-b)—bc (b-}-c)-\-ac (a — c). Решение. Воспользуемся тем, что выражение в первых скоб- ках есть сумма выражений, содержащихся во вторых и третьих скоб- ках: a-\-b = (b -\-с)-\-(а — с). Тогда f (a; fe; c)=ab ((& + c) + (a — c))— be (b-]~c) + ac (a — c) = =ab(b-\-c)-\-ab(a — c)—bc (b-{-c)-{-ac (a — c). Выполним далее группировку членов и вынесем общий множитель за скобки. Получим: f (a; b\ c) — (ab (b + c)—be (& + c)) + (afe (a —c)+ac (a —c)) = = (& + c) (ab — fec) + (a — c) (ab + ac)= = (b-\-c) b (a — c)+(a — c) a (b + c)=(a — c)(b + c)(a + b). Пример 5. Разложим на множители f (a) = a4-10a2+169. Решение. Заметив, что a4 + 169 = (a2)2 + 132, и дополнив эту сумму до полного квадрата, получим: f (a)=(a4 + 26a2 +169)- 26a2 - 1 Oa2 = = (a2 + 13)2 - (6a)2 = (a2 - 6a +13) (a2 + 6a +13). На этом разложение на множители закончено, так как дискриминан- ты квадратных трехчленов a2 —6а + 13 и a2 + 6a + 13 отрицательны и, значит, эти трехчлены нельзя разложить на линейные множители. Пример 6. Разложим на множители f (а; /?) = а6 + а4 + а2й2 + 64-&6. 4
Решение. Так как а6 — Ь6=(а2)3 — (Ь2}3=(а2 — Ь2) (л44-а2624-64), то f (а; Ь) = (а2-62)(а4 + а262 + 64)+(а4 + а2Ь2 + />4) = =(«4 + a2Z>2 + 64)(a2-Z>2 + l). Но а4 + Л2 + &4 = (а4 + 2а2&2 + &4)- — а2Ь2=(а2 + Ь2)г—(ab)2 = (а2 + b2 4- ab) (а2 4- b2 — ab). Таким образом, f (a; b) = (a2-l-ab-i-b2)(a2 — ab-l-b2)(a2 — b2-j-l). Пример 7. Разложим на множители f (a) = a34-9a24-27a4-19. Решение. Нетрудно увидеть, что выражению f (а) до полного куба суммы не хватает слагаемого 8. Поэтому можно записать f (a) = (a3 + 9a24-27a + 27)-8=(a + 3)3-23 = ((a + 3)-2)((a + 3)2 + 4- (a “I- 3) • 2 -J- 4)=(a 1) (a2 -f* 8a 19). Пример 8. Докажем, что если aи f (a) = a44-6a34-1 la2-j-6a, to f (a) • 24*. Решение. Представим 6a3 и 1 la2 в виде суммы подобных чле- нов: 6a3 = а34-5a3 и 1 la2 = 5a24-6a2. Тогда f (a) = a4 4- (a3 4- 5a3) 4- (5a2 4- 6a2) 4- 6a=(a4 4- a3) 4- (5a3 4- 5a2)+ 4-(6a24-6a) = a3 (a-h1)4-5a2 (a4-1)4-6a (a-|- 1)= = a (a 4- 1) (a2-)-5a 4-6)=a (a1) (a 4-2) (a 4-3). Но из четырех последовательных натуральных чисел хотя бы одно де- лится на 3, а два числа являются четными, причем одно из них делит- ся и на 4. Значит, произведение этих четырех чисел делится на 3-2-4. Таким образом, f (а) : 24. П р и м е р 9. Докажем, что если f (a)=a2 (a2 4-14)4-49, где a —. нечетное число, то f (а) • 64. ’> Решение. Заметим, что f (а) = а44- 14а24-49 = (а24-7)2. Так;, как а нечетно, то а — 2п — 1, где л£ЛГ. Тогда f (a) = f (2п — 1)=) = ((2л —1)24-7)2=(4л2 —4л-|-8)2= 16 (л2 —л-|-2)2. Полученное вы-j ражение делится на 16. Поэтому, чтобы доказать, что f (a): 64, до-! статочно показать, что (л2— л-|-2)2 :4. Рассмотрим два возможных ! случая: 1) п — четное число и 2) л — нечетное число. 1) Если и четно, то л2 тоже четно, и, следовательно, л2 — л 4-2 чет- но, т. е. (л2 —л 4-2): 2, поэтому (л2 — л 4-2)2 : 4, а значит, f (a): 64. 2) Если л нечетно, то л2 тоже нечетно, но тогда л2 — л четно и л2 —л-|-2 четно. Таким образом, и в этом случае f (a): 64. Упражнения Разложите на множители. 1. a4—1. 2. а4-18а2 + 81. 3. а5 + а3 — а2 — 1. 4. а54-3а4 —4а3—12а2. * Напомним, что знак «;> означает «делится на» (без остатка). 5
5. a4 + 2e3—2«-1. 6. 452c2-(92+c2-d2)2. 7. а4 4- eV + b\ 8. а4 + в2+1. 9. а8 + а4 + 1. 10. а4+ 324. 11. а4 + 64. 12. а6—1. 13. ав+1. 14. а12—2ав+1. 15. а4 + 4а2—5. 16. 4а4 + 5а2+1. 17. 2а4 + а3+4а2 + а + 2. 18. а4 + За3+4а2-6а- 12. 19. а3 + а-2. 20. 2а3 —а2+3. 21. а3 + 5а2+За —9. 22. 2а2&+4а62 —а2с+ас2—4&2с +26с2 —4abc. 23. (а& + ас + 6с) (а+6 + с)—абс. 24. а (Ь— 2с)2 + & (а—2с)2—2с(а + &)2 + 8абс. 25. а3 (а2 —7)2 —36а. 26. (а + 6)5 — (а5 + 55). 27. аV (6 — а) + 62с2 (с — 6)+а2с2 (а — с). 28. 8а3(б + с)-53(2а + с)-с3(2а-б). 29. (а+5 + с)3-(а3 + 53 + с3). 30. (а2+а + 3)(а2 + а+4)-12. 31. а(а+1)(а + 2)(а+3)+1. 32. (а+1)(а + 3)(а+5)(а+7)+15. 33. 2 (а2+2а -1 )2 + 5 (а2+2а -1) (а2 + 1)+2 (а2 +1 )2. 34. (а — Ь)с3 — (а — с)Ь3+(б — с) а3 35. (а —д)3+(6 —с)3—(а —с)3. 36. (а2 + Ь2)3 —(i2 + c2)3—(а2 —с2)3. 37. a1 + 2a3b—3a2b2—4ab3 — b4. 38. а25+а52 + а2с+ас2 + Ь2с+6с2+За6с. 39. а4 + 64 + с4—2aV—2а2с2 —262с2. 40. а5+а4+а3 + а2+а+1. 41. а4 + 2а3+За2 + 2а+1. 42. а4 —2a36-8aV—баб3 —б4. 43. а4+а2+д/2а+2. 44. а'° + а5=1. 45. Докажите, что если a£N, то (а5 —5а3+4а) • 120. 46. Докажите, что если а — число, взаимно-простое с 6, то (а2 —1) • 24. 47. Докажите, что если a£N, то (2а3+За2+а) • 6. 48. При каких значениях a^N выражение а4+4 является простым числом? а а2 а3 49. Докажите, что если а — число четное, то 777 + -5- + 777 —число целое. 12 о 24 а5 а4 7а3 5а2 а 50. Докажите, что если a£N, то —io —число целое. 1О 6
§ 2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ \ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Замена аналитического выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразо- ванием данного выражения на этом множестве. При выполнении тождественных преобразований выражения воз- можно изменение его области определения. Так, приводя подобные члены при упрощении выражения х2 + 3х — 5 + V*-“V*> (1) мы расширяем его область определения: данное выражение опреде- лено лишь при х^О, тогда как получающийся после упрощения многочлен ... х2 + 3-5 (2) определен при любых значениях х. Выражения (1) и (2) тождествен- но равны лишь на множестве [0; оо). Область определения выражения может измениться и после со- кращения дроби. Так, алгебраическая дробь (х-1)(х + 2) v ’ определена при хф 1, х=£ — 2. После сокращения на х— 1 получается дробь Х2 + *+1 /4\ х-Ь2 ’ k 7 определенная при х#= — 2. Выражения (3) и (4) тождественно равны на множестве (—оо; — 2)U( — 2; 1)U(1; 00)• Изменение области определения выражения возможно и в резуль- тате некоторых других преобразований, поэтому, выполнив преобра- зования данного выражения, нужно всегда знать, на каком множест- ве оно тождественно полученному. Алгебраическое выражение f (а; 6; с; ...) называют рациональным, если относительно входящих в него букв а, Ь, с, ... не выполняется никаких других операций, кроме операций сложения, умножения, вы- читания, деления и возведения в целую степень. Пример 1. Упростим выражение f (а; Ь)—2а+^~Ь . Решение. Разложим на множители каким-нибудь способом числитель заданной дроби. Например, представим ab в виде суммы подобных членов: ab = 2ab — ab. Тогда 2a2-]-ab — b2 = 2a2-[-2ab — — ab — b2 = 2а (а + b) — b (а + Ь) = (а + 6) (2а — Ь). Итак, f (а; —&. Так как сокращение на а + Ь может быть выполнено лишь при условии, что а-|-бу=0, то f (а; Ь)= =2а — Ь, если а=# — Ь. 7
Пример 2. Упростим выражение f (а) = — 2 . Решение. Разложив на множители числитель, получим (см. пример 5, с. 4) а4 — 10а2 + 169 = (а2 + 6а +13) (а2 — 6а +13). Значит, f (а)=«+^-+‘3) +13) = а2 -6а + 13. Так как а2 + 6а+ 13 не обращается в нуль ни при каком действитель- ном значении а (а2 + 6а+13=(а + 3)2 + 4>0), то f (а)=а2 — 6а+13 при всех значениях а. П р и м е р 3. Упростим выражение f (а\=(___!____4-_________4-_!____V -(°~3)2+12а ' V ’ W + 3a + 2 ' а2+4а + 3 ' а2 + 5а + 6/ 2 Решение. Так как а2 + 3а + 2 = (а +1)(а + 2), а2 + 4а + 3 = = (а+1)(а + 3), а2 + 5а+6 = (а + 2)(а + 3), то наименьший общий знаменатель трех первых дробей равен (а+1) (а+2) (а+3). Тогда, выполняя указанные действия, получим: г 4342 а (а 42)441 \ с?—6 а 49 412с И ; —к (а41)(«42)(а43) / ’ 2 “ __/ 2а2 46а 44 \2 а246а49 ~ \(а4 1) (а42) (а43) / ' 2 “ _ л / а2 4 За 4 2 \2 (а 4 З)2 _ л ^К(а243а42)(а43)/ ' 2 Итак, f (а) = 2, если а=# —1, а#=—2, а=И=—3. Пример 4. Упростим выражение г/ . \___ а2_______. Ь2________|_ с2 ' ' ’ ’ (а—Ь) (а — с) ' (Ь —с) (Ь — а) ' (с—а) (с—Ь) ’ Решение. Приведя все дроби к наименьшему общему знаме- нателю, получим f (а; 6; Заметив, что Ь — с = (а — с) — (а— Ь), преобразуем числитель следующим образом: а2\Ь — с) — Ь2 (а —с)+с2 (а — Ь)= = а2 (а — с) — а2 (a — b) — b2 (а — с)+с2 (а — Ь)— = (а — с) (а2 — Ь2) + (а — Ь) (с2 — а2) — = (a — c)(a — b)(a-\-b — c—a) = (a — b)(b — c)(a — c). Таким образом, f (а; &;с)=1, если а=/=Ь, а^=с, Ь^=с. П р и м е р 5. Докажем, что если а + /> + с = 0, то а3 + Ь3 + с3 = ЗаЬс. Решение. Так как а+6 + с = 0, то а= —Ь — с. Тогда а3 + &3 + + с3 = ( — Ь — с)3 + Ь3 + с3= — (6 + <++ 63 + с3 = — (&3 + З62с + + ЗЬс2 + с3)+Ь3 + с3=-(ЗЬ2с + ЗЬс2)= -ЗЬс (Ь + с). Но Z> + c=—а. Таким образом, а3 + 63 + с3= — ЗЬс ( — а) — = 3abc. 8
Пример 6. Докажем, что если а + Ь + с = 0, где 6=# О, с=#0, то Решение. Рассмотрим произведение первого множителя на первую дробь второго множителя: /а — Ь . Ь — с . с —а \ с < . (Ь — с с —а \ с \ с а Ь /а — b а + Ь ) а-b “ __। . Ь2 —Ьс+ас — а2 с । . с (а — Ь) — (а2 — Ь2) с ' ab a — b ' ab а — Ь = j (a-fe)(c-(fl + 0)) с = j + с (f_(a + ' аЬ а — Ь аЬ 4 4 п Но по условию а + Ь = — с. Поэтому для рассматриваемого произ- 2с2 ведения получаем 1 +^- • Аналогично произведение первого множителя на вторую дробь 2а2 2Ь2 второго множителя равно 1 -|—— , а на третью дробь равно 1 +— • Сложим полученные результаты 2(? + а3 + ^3) ' abc Так как а3 + Ь3 + с3 = ЗаЬс (см. пример 5, с. 8), то 3 I 2 (#3 -|- Ь3 с3) 3 I 2*ЗаЬс g ' abc * abc ’ что и требовалось доказать. В следующих примерах тождественные преобразования рацио- нальных выражений выступают не как цель, а как средство решения задач с использованием метода математической индукции. Метод математической индукции формулируется следующим об- разом: Утверждение, зависящее от натурального числа п, справедливо для любого п, если выполнены два условия: а) утверждение справедливо для п=\\ б) из справедливости утверждения для n = k (при любом нату- ральном значении k) вытекает его справедливость и для n = k+l. Доказательство по методу математической индукции проводится так. Сначала доказываемое утверждение проверяется для п=\. Эту часть доказательства называют базисом индукции. Следующую часть доказательства называют индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n = k-\-\ в предпо- ложении справедливости утверждения для n = (предположение индукции). 9
Пример?. Докажем, что 12 + 22-]-32+ = 6 Решение. При п = 1 утверждение справедливо, так как 12=111+11(2+1}. Предположим, что оно верно при n = k, т. е. 12+22 + З2 +... + k2. Докажем , что тогда оно верно и при rt = k-\-1, т. е. _Jfe + l)(fe + 2)(2fe + 3) 6 12 + 22 + 32 +... + fe2 + (*+ I)2 В самом деле, 12 Д-22 Д-З2 +... 4~ fe2+(fe Д-1 )2 + '^2fe + + 4- {k + 1 )2=fe(-fe + i)(2fe + i)+6(fe + l)2 = (jfe + i)(2fe47fe+6) = _(*+1)(й+2)(2й + 3) 6 Тем самым доказана справедливость утверждения для любого нату- рального числа и. Пример 8. Докажем, что 13 + 23-f-З3 4-...-J-/г3 = • Решение. При п = 1 утверждение справедливо, так как 13 = = а Предположим, что оно верно при n = k, т. е. 134-23 + 33 + ... + k3= Докажем, что тогда оно верно и при n = fe + 1, т. е. l3 + 23 + 33 + ... + fe3 + (fe+l)3= ^+'^.+2^У . В самом деле, l3 + 23 + 33 + - + fe3 + (fe +1)3 = + | (k | I)3. Jfe(fe+l))2+4(fe + l)3 = (fe+l)2(fe2+4fe+4) = = ((й+р^+г))2 . Тем самым доказана справедливость утверждения для любого нату- рального числа и. Пример 9. Докажем, что (3in+’4-40/1-67) = 64 (5) при любом натуральном п. Решение. Если п= 1, то З34-4О* 1 —67 = 0, но 0 : 64. Значит, при п=1 утверждение (5) верно. Предположим, что оно верно при n=k, т. е. (32*+14-40А: —67): 64. Докажем, что тогда оно верно и 10
при n = k-\-1. В самом деле, имеем 32*+3 +40 (6 + 1)—67 = 9-32ft+l + + 406 - 27=9 (З2*+1 + 40£ - 67) - 320& + 576=9 (З2* +1 + 406 — 67)+ + 64(9-56). Каждое слагаемое делится на 64, следовательно, и вся сумма де- лится на 64. Итак, утверждение (5) верно при всех n£N. Пример 10. Докажем, что (n4 + 6n3+11п2 + 6п) : 24 (6) при любом натуральном п. Решение. При п= 1 утверждение справедливо, так как 1+6 + + 11+6=24, а 24 : 24. Допустим, что утверждение (6) верно при и=6, т. е. (64 + 663 + +1162 + 66): 24. Докажем, что тогда оно верно и при га = 6+1. Действительно, имеем (6 +1)4 + 6 (6+ 1)3 +11 (6+ 1)2 + 6 (6 + 1) = = (64 + 663+ 1 162 + 66) + 24 (62+ 1) + 4 (63+ 116). Если мы теперь докажем, что (63+116):6 (7) при всех 6, то этим будет доказано, что (6 +1)4 + 6 (6 +1)3 + + 11 (6+1)2 + 6 (6+1): 24, а тогда по методу математической индук- ции получается, что заданное выражение делится на 24. Перед нами новая задача, для решения которой снова используем метод математической индукции. Проверим прежде всего, справедливо ли утверждение (7) при 6 = 1. Это очевидно: (1-J-11): 6. Пусть утверждение (7) верно при 6=т, т. е. (m3+llm):6. Докажем, что тогда оно верно и при 6 = т+1. В самом деле, (m + 1 )3 +11 (m+ l)=(m3 + 11/п)+12 +3m (m + 1). Из двух последовательных натуральных чисел т, (т, + 1) одно обя- зательно четно, значит, (m(m+l)):2, a (3m (m-j-1)): 6. Но тогда ((m3+11т)+ 12+Зт (т +1)) : 6. Отсюда заключаем, что (63+116): 6 при любом натуральном 6. Утверждение (7) доказано. Таким образом, утверждение (6) верно для всех n£N. Заметим, что рассмотренный пример может быть решен и без применения метода математической индукции (см. пример 8, с. 5). Можно и утверждение 63+116:6 доказать, не применяя метод математической индукции, например, так: 63+116 = 63-6 +126=(6 —1) 6 (6+ 1)+126. Здесь каждое слагаемое делится на 6 (первое — как произведение трех подряд идущих натуральных чисел), значит и вся сумма делит- ся на 6. Пример 11. Докажем, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9. 11
Решение. 1-й способ. Надо доказать, что (п3+(п+1)3+(« + 2)3) : 9 (8) при любом натуральном п. Проверим прежде всего, справедливо ли утверждение (8) при п — \. Имеем 13 + 23 + З3 = 36, но 36 : 9, следовательно, при п = 1 ут- верждение верно. Предположим, что утверждение (8) верно при n = ky т. е. (&3+(& +1)34-(&4-2)3): 9. Докажем, что тогда оно верно и при n = k-}-l. В самом деле, (fe + l)3 + (fe + 2)3 + (fe + 3)3=(^+l)3+(Z: + 2)3 + fe3 + 9Zs2 + 27fe + 27 = =(*3+(* + 1 )3 + (k + 2)3) + 9 (*2 + 3* + 3). Поскольку каждое слагаемое полученной суммы делится на 9 (первое слагаемое — по предположению индукции, второе — как содержа- щее множитель 9), то и сумма делится на 9. По принципу математи- ческой индукции заключаем, что утверждение верно при всех n£N. 2-й способ. Имеем п34-(п+1)3 + (и + 2)3 = п3+(п34-Зп24-Зп4-1)-|~ -Нп3 + 6n2 + 12п + 8) == 3/? + 9n2 + 15п + 9 = 3 (п3 4-5п) + 9 (n2 +1)= =3 (п3 + 11 п) -18п + 9 (n2 + 1). Из соотношения (7) следует, что (n3 +1In) : 6, тогда тем более (п34*Нп):3, значит З(п3+11п):9. Так как, далее, 18п : 9 и 9 (n2+1): 9, то и вся сумма 3(n2-(-1 In)— 18n-|-9(n2 +1) делится на 9. Упражнения Сократите дроби. 5а2 — а — 4 51> а3-1 • а4+<?-2 53' ’ ... 2а4+7с2+ 6 55' За4+ 34?-6' об + а4 + аг + 1 а3 4-а* 4-в 4-1 а4 —а2—12 54, а4+8а2+15‘ 5а4 + 5а2—3а2&-3& ._ а4+а2&2 + &4 56' а4+За¥+2’ • 57‘ а*-Ь* Упростите выражения. 1_____1_____2а _ 4д3 _ 8а7 ‘ 1 — а 14- а 14-а2 14-а4 14-а8* 1 , 1 , 2 . 4 , 8 , 16 59‘ + т+^ + + Т+7 + т+? + Т+75- 60 1 I 1 I 1 I 1 I 1 а (а 4-1) + (а4-1)(а4-2) + (а4-2) (а4-3) + (а4-3) (а4-4) + (а4-4) (а4-5) ’ а а2 4-а— 1 а2 — а— 1 2<3 а2 — 1 ' я3 — а2 4- а — 1 а3 4- а2 4- я 4- 1 а4 — 1 * 62. (4-+а) р-_6)_(4-+6) а). \а-}-Ь / \а — Ь / \а-[-Ь / \а — Ь / 12
fi, a + & + c / 62 + c2-d2\ 63‘ 1 1 • V +----2b~c-) ' a b + c 1______1______________1 (a — b)(a — c) (b — c)(b — a) (c — a)(c—b)‘ a + b 6 + c c+a (b — c)(c—a) (c—a)(a — b) (a-b)(b-c)‘ _£Zl£_ q3 —g3 Л ।___________£________1±£\ . ^(14-g)—Q ' a24-ac + c2 a2b — bc2 \ 'a — c c ) ' be a 1 a 1 on 8b3 + 4b2 8b3 ~~ ~4b2 1 , 1 ®7, a2 + 2ab+2b2 a2 — 2ab+2b2 4b2 (a2 + 2b2) + 4b2 (a2-2b2)’ a — b b — c c — a (a-b) (b - c) (c-a) a + b b + c c + a (a + b) (b + c) (c+a) ’ a3b — ab3 + b3c—bc3 + c3a — ca3 a2b —ab2 + b2c —be2 + c2a— ca2 ’ (a2— b2)3+ (b2— c2)3+ (c2— a2)3 (a — b)3 + (b — c)3 + (c — a)3 71. Докажите тождество: b — c , c — a a — b = 2 ___2 ____2 (a — b)(a — c) (b — c)(b — a) (c — a)(c — b) a — b b — c ' c—a’ 72. Докажите тождество: (j-6)(d-c) , (d-c)(d-a) , (d-a)(d-b) 2 (a — b)(a — c) ' (b — c)(b — a) (c—a)(c — b) 73. Докажите, что из равенства a2+ b2+ c2 — ab + ac + bc следует, что a = b = c. 74. Докажите, что если (a — b)2 + (b — c)2 + (c — a)2 = (a + b — 2c)2 + (b + c — 2a'}2 + + (с + а — 2Ь)\ то а — Ь = с. 75. Докажите, что (а — 1) (а — 3) (а — 4) (а — 6) + 10 — положительное число при любом a^R. 76. Найдите наименьшее значение выражения {а— 1) (а — 3)(а —4) (а — 6)4- Ю. 77. Докажите, что если а + Ь + с=0, то a5 -h b5 4-е5 _ а3 + Ь3 + с3 а2 + Ь2 + с2 7~ “ *5 2 ’ rr / , tn , п а , b с ' I2 . т2 . п2 л 78. Докажите, что если---—-—----=1 и -т—]----------=0, то -т+тт 4—г==1« а b с I т п а2 Ь2 сг 79. Докажите, что если ----1-----------1-с =о, где а+=Ь, а+=с, Ь^с, то b — с с — а а — b а , 6 , с о (6-е)2 + (с-а)2 (а-&)2 80. Докажите, что если ±+^+1=-^, то + + ± где п — нечетное натуральное число. Докажите тождества методом математической индукции*. 81. 1-2 + 2-3 + ... + п (п +1) = ” (П+ + 2). О * В упражнениях 81 —119 предполагается, что n£N. 13
83. 1-44-2-7 + 3-10 + ... +n (3n+ l) = n (n +1)2. “•(-t) 0-4) 85. 1 • 114-2-2! + ... +n-n!=(n+ 1)! - 1. RR 0 . 1 _1_ 2 . . «“• . 1 86- ТГ+2Г+зГ + -+ 87,_L + Ji+ + . »2________________________= д(?+о 1-3 T 3-5 T T(2n-l)(2zt + l) 2(2n+l)' 88 1 , i 2 _______________________n__ я (л 4-1) ‘ l-3-5‘r3-5-7'r"‘'r(2n —l)(2n + l)(2n + 3) 2 (2n 4-1) (2n 4-3)' 89 _!_+_L_. +__________________________!__ 1 f1 1 \ ’ l-2-3T2-3-4T"'T/I(n4-l)(n4-2) 2 \2 (n-|-1) («4-2) / ' 90. 1 -2-34-2-3-44--4-n («4- l)(n4-2)=" (” + 1)(«+2) (” + 3) 91. 2-l24-3-224-...4-(«4-l)n2 = " (n + 1)(»+2)(3n4-l) 92 __!___l___!____l j____________________1__= ‘ 1-2-3-4~2-3-4-5 ' (n-f-1) (n4-2) (n4-3) =1(1____________!_____________________ 3\6 (п4-1)(п4-2)(п4-3)7’ уЛ + 1 _____________ 1 93. 1 +х4-х2 + ... + х"= — , где x=# 1. 94. 7 4-774-777 4--4-777...7 = 7^10'l+'~9"~10\ i , I о 1 95. (п4-1)(п4-2)...(п4-п) = 2Л-1 -3-5-...-(2rt-l). 96 1-_L+_L__L+ +—^________________________±—i-4- +1 2 + 3 4+'"+2n-1 2n n4-l+ ’" + 2n’ Выведите формулы для сумм. 97, 5п=Тз’ +ТГ+ •" + (2л- 1)(2л4-1) • 98‘ S',==TT+T7’+"'+(3n-2)(3n-|-l)’ "• Sn = ТТ+ '5^9’+ "+ (4л - 3) (4п 4-1) ‘ 100. 67iT+'" + (5n_4)(5n4-l)' 101. S„ = l2—224-32 —424-.-4-(—1)"_|л2. Докажите тождества. I п 8 I п 3 I I п (л+ 1) ХП+'+ПХП + 2 ’ , . 102. х4- 2х* + Зх3 +... + пхп=--—" -> где х =#= 1. 14
tM £±1-l£±3 . ^±Z. , x+£-l ,03‘ 2 4 ' 8 + "’ + 2" (x-l)(2"-l) , 2" 'r Докажите справедливость утверждений. 107. (62я- 1) ; 35. 108. (4я+ 15n — 1) ; 9. 109. (26я+34-5я-Зя+2) • 17. ПО. (62я+Зя+2+Зя) • И. 111. (32я+2-8п —9) • 64. 112. (33я+24-5-23я+1) : 19. 113. 2я+5-34я4-53я+1) • 37. 114. (7я+2+82я+‘) ; 57. 115. (11я+2+ 122л+1) j 133. 116. (2я+2-Зя+5п—4): 25. 117. (52л+1 + 2я+4+2я+1) • 23. 118. (32я+2-52я —33я+2-'22я) • 1053. § 3. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Алгебраическое выражение, содержащее операции извлечения корня из переменной или возведения переменной в рациональную степень, не являющуюся целым числом, называется иррациональным относительно этой переменной. Напомним определение арифметического корня. Если а>0 и n£N, п=/=1, то существует только одно неотрицательное число х такое, что выполняется равенство хп = а. Это число х называется арифметическим корнем п-й степени из неотрицательного числа а и обозначается ^/а. Из сказанного выше следует, что равенство -/49 = 7 является верным, тогда как равенства -\Д9—~7 или д/49=±7 являются неверными. Если п — нечетное число, «=/=! и а<0, то под ^/а понимают такое отрицательное число х, что х" = а. Из определения следует, что п/7л_г 1«1, если п — четное число, * {а, если п — нечетное число, n =# 1. Например, -\^?= |а|; \[с?=а. Если а>0, Ь^О, то: 1 .° Это свойство распространяется на произведение любого числа сом- ножителей, например: ^/8-27-125=3/8-^/27-^/125 = 2-3-5 = 30. 2 .° ~\1—=^, если &=#0. 15
Замечание. Если а<0 и &<0, то свойства 1° и 2® принимают вид З.0 (To7"/' = \fakm . Например, (Та7)3 = Т(а7 = ^/а^. 4.° 77^ = "7^. Например, 7v^=lV^5- ( 71 а* |, если т четное, 1 7?, если т нечетное. Например, 7?=Vl °311 1V^5=Va3- Замечание. Если показатели корней — нечетные числа, то выполняются и для а<0, 6<0, и для ab<zO. Напомним определение степени с рациональным свойства 1° — 5° показателем. 1) Если ау=0, то а°= 1. 2) Если а>0, то ап =r\Jct™ (п, т — натуральные числа, п >2). 3) Если а>0, то а“г=-~ (г — положительное рациональное число). 4) Если а<0, mgZ, то а~т = -~ Напомним еще основные свойства степеней с рациональными по- казателями. Если а>0, &>0, г и s — произвольные рациональ- ные числа, то: 1 .° ar-as = ar+s. 4.° (ab)r == аг• Ьг. 2 .° — = ar~st 5.° . as \ b / br З .0 (a')s=a's. . Пример 1. Упростим выражение А = (лЙ+V45 - л/98) (V72 - 7500 - 75). Решение. Сначала упростим каждый из имеющихся ради- калов: 732 = 716.2 = 4-72, 745=У9Т5 = Зл/5. 798=749-^=7 72,. 772=736-2 = 672, 75б0=-7Ю0-5=1075, 78=л/4Т2 = 2л/^. После этого заданное выражение примет вид: А =(4 724-3 75-7 72) (6 72-10 75-2 72)= - =(3 75-3 72)(4 72- 10 75). Далее получаем: Л = 12 710 - 24 - 150 4-30 716 = 42 710 - 174 = 6 (7 710 - 29). Пример 2. Упростим выражение А =7(2—77)4- Решение. По свойству 5° корней получаем Л=-у|2 —77|. Но 16
2—77<0, а поэтому А = л/—(2 — л/7) = ~л/л/7 — 2._ Пример 3. Упростим выражение А =727 —10 -\/2. Решение. Ясно, что выражение упростится, если окажется, что под знаком корня содержится полный квадрат разности каких-то двух чисел. Представим 10 д/2 как удвоенное произведение двух чисел, сумма квадратов которых будет равна 27, т. е. 10 -у2 = 2 -у2*5. Таким образом, Л=72 —2 72-5 + 25=7(72 —5)2 = |-\/2 —5|, и так как -\/2 —5<0, то Л = 5 — 72. ________ Пример 4. Проверим равенство д/10 —4 Тб+715 —6 -\/б= 1. Решение. Так как 10 — 4 -\/б — 4 — 2*2*д/б + 6=(2—\/б)2, а 15 —6-\/б = 9—2-3-\/б + 6 = (3 —-\/б)2, то 710-4-76+715-6^6=12—V6| + 13-7б|. Далее, так как 2<-\/б, а 3>7б, то 12-761 = -(2-76), а 13-761 =3-76. Итак, 710-4л/6+715-67б= -(2-7б)+(3-7б)= 1. Пример 5. Упростим выражение Л =7э7з — И 72- Решение. Рассуждая, как в примере 3, запишем подкорен- ное выражение в виде куба разности двух чисел. Имеем: 9 7з = =з7з+б7з=(л/з)3+з7з-(72)2 и н 72=972+272=3(7з)2х Х_у^+(‘Т2)3. Таким образом, л=7(7з)3 - з (7з)2 • д^+ з 7з • (л/2)2 - (72)3 = =7(7з - Т2)3=7з - 72- Пример 6. Освободимся от иррациональности в знаменателе дроби Л=—Л—. V2- 1 Решение. Умножив числитель и знаменатель дробина не- полный квадрат суммы чисел ^/2 и 1, получим: л (У2)2+У24-1 _ V^+Vs+l ..з/т j З/о I 1 (V2-1)((W+V2+1) (W-13 ’ Пример 7. Освободимся от иррациональности в знаменателе ДГ Л 3 дроби А =---— 1+V2-V3 Решение. Освободимся сначала от -^3 в знаменателе, для чего умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю: д^ з(1-Н/2-Н/3) ^3(1+^+^3)^ (1 +V2--V5) (1 + V2 + V3) (1 +V2)2-3 ^3(1+л/2 + л/3) 2-у/2 17
Теперь освободимся от -^2 в знаменателе: , л =3(1+л^+-УЗ)^ ЗЬ/2+2+т® • 2д/2-^ 4 Пример 8. Вычислим сумму У20 + -д/392+У20 — -д/392. Решение. Пусть у5о+У392+У2О--Уз92=Л. Возведем в куб обе части этого равенства. Получим: (20+У392)+3 (У20+л/392)2 У20-У392 + 3 У20+У392 X X (У20-лЙ2)2 + (20 - V392)=А3, или 40 + зУ20+л/392-У20-У392-(У20+-а/392+У20-У392)=Д3, где У20 +У392+У20 -~У392=А. Таким образом, 40 + 3 У202 — (У392)2 • А =А3, 40 + 6Д=Д3, А3 — — 6Д — 40 = 0. Но А3 - 6Д - 40=(Д3 - 4А2)+(4А2 - 16А)+(1 ОД - 40)= =Д2 (Д -4)+4Д (Д -4)+10 (Д —4)=(Д -4) (Д* + 4Д +10). Так как Д2 + 4Д+ 10=(Д2 + 4Д + 4)+6=(Д+2)2 + 6#=0, то ра- венство (Д —4) (Д2 + 4Д + 10)=0 выполняется только при А =4. Итак, У20+УЗ§2+У20-У392=4. Пример 9. Преобразуем выражение f (а)=-\/о2—4а + 4+-\/а2 + 6а + 9 к виду, не содержащему знаков корня и модуля. Решение. Так как -д/а2 —4а+4 =^(а—2)2 = |а — 2| и д/а2 + 6а + 9=У(а+3)2=|а + 3|, то f (а) = \а-2\ + |а + 3|. Точки ai = — 3 и 02 = 2 разбивают числовую прямую на проме- жутки (— оо; —3), [—3; 2) и [2; оо). Рассмотрим заданное выраже- ние на каждом из этих промежутков. При а<—3 имеем: |а —2| = —а + 2, |а + 3|= — а—3, т. е. f (а)=— а + 2 — а—3 = — 2а— 1. При —3^а<2 имеем: |а —2| = —а + 2, |а + 3|=а + 3, и тогда f (а)= —а + 2 + а+3 = 5. Наконец, при а 2^2 имеем: |а —2|=а—2, |а+3|=а + 3, т. е. f (а) = а —2 + а + 3 = 2а+1. —2а—1, если а<—3, 5, если —3<а<2, 2а+1, если а^2. Пример 10. Упростим выражение /(«; »)= -д/“++2 где а^0, ft>0. 18
Решение, f (a, b)=~\-^+b-i—д/^ b>-= ^+ь\-\^-ь\ . v b V b ' - Так как a^O, 6>O, to -y/a-^-b>0 и, следовательно, h/a-\-b\ = =^fa + b. Значит, f(a, b)=^+- . Теперь нужно рассмотреть два случая: 1) д/а — &>0, 2) д/а —6<0. В первом случае имеем: |д/а — Ь\ =д/а— Ь, и, следовательно, f (a, b) = ^+b~^+b=2^/b. -Jb Во втором случае |Да — Ь\ = — (-у/a— Ь), и, следовательно, I (а -4a + b+^a — b 2-Jab {2 -\ib, если -/а Ь, 2^Ь Г^. , если д/а<&. ь * Пример 11. Упростим выражение с/п м /аУа—2аУ&+Удф Va^—VaFX .з/~2 па’у?-унб + VS-V& Решение. Выполним преобразования по действиям: । \ « Уа —2а Уб + Уа}6? Зл/аг (Уа* — 2 Уаб +У^)Уа (Уа—Уб)2_ ’У?—Уаб 3Уа(зУа —зУб) 3-\/а—Уб =Va(V^—W)- 2) 3Уд^-Уд^^_Уоь (Уо-У»)^зс1 ’ \Га-Чь ^-Чь У 3) п/а(3-д/а — д/Ь)+У/а& = у/?. 4) Итак, f (а, Ь)=\, если f а#=0, ( а^=Ь. Пример 12. Упростим выражение Решение. Освободимся от иррациональности в знаменателе сначала первой, а затем второй дроби. Имеем: |\ 1 _______Уа—Уа+1_____ Ув+Уя+1 (У“+У«+1)(Уа— Уа+1) Уа—\/а+1 а—(а+1) =д/а+1 —Да. 19
^+^т=л/5+л/^гг. а —(а—1) v v ____J___________лА* ~4~л/бг — 1_ -s/a — -\/a—\ (-у/а — ^/а— 1) (\[а-{--у/а—1) 3) (7а + 1— л/а) + (л/а+л/а~ l)=Va+1 +7а — • • 4) 1 I -»\ _7а—1 +7а~Ь1 \ а — 1 -yja—\ 5) (д/ЯН + Л^Т):1+7°+!=V^T. ya— 1 Итак, f (а) = д/а— 1, если а>\. Упражнени я Найдите значения выражений. 119. 2а2 — ab — Ь2 при а = -\/5-|-1 и Ь = д/5 —1. 120. 2а2 — 5а& + 2/>2 при а~-^-\-^Ь и Ь=^[б—-у/5. 121. За2 + 4а6 —ЗЬ2 при а — и Ь=^-—. V5—V2 л/5 + л/2 122. 4а3 + 2а2 — 8а + 7 при a = -i-(^/3-|-1). 123. --- при х——------- и у— г— —. х—у-\-\ -\[аЬ-\-\ -yjab — \ 124. *------7Т-:.- при х= 2. Л'а+х—Л+-х 1+*> 1 1 125. 2а(1+%2)2 (х+(1+х2)2)-1 при 1 1 x=±.((ab~')2 -(ba-1)2). Упростите выражения. 126. -\/7 + 4л/3. 127. -\/3 —2л/2. 128. (75 + 276+^5-2^6) • . 129. 74л/2 + 2д/6. 130. 717+7288. 131. V28-16 73. 132. V17-4 Л^+4 75. 133. т/з+д/^у/^+т/^а ,34. 2+7+ 72+72+73 Т2-72-л/3 Освободитесь от иррациональности в знаменателях дробей. 135. 1 . 75-\^ 137. 7Тб-7з! 139’ 7i4+V2l+Vi5+Vio’ 141. -----!-----. V2 + V4 + V8 + 2 136. —J--Г=. VT5-V7 ,38- 1+72 + ^' 140. г 2+7 г . 272+273-^-2 142. 5------. V4+V6+V9 20
Проверьте равенства. 143. а) -\/9-4-У5+У14-бУ5=1; б) 71 1 -4 77+716-6 77 = 1; в) -\/19-8 -ТЗ--\/7-4 л/3=2; г) 718 — 8 -72-76-4 72 = 2. 144. . -\Д/8+772- 1 - -\A/8-7^-Jl' 1 ТуО 2-р уо 75-2^/6.(5 + 276) (49 - 2076) 147. —-----—-----—---=--=1. 727-3718+3712-78 148. ( 6+4^._+ ,6~4^ ..Y=S V 72+764-472 72—76—472 7 149. ( 3 + №L.----IJLY'1 .(13-475-2 V25)+T25=4. К764-725 784-75 725 ^ 151. 75724-7-V572-7=2. Докажите тождества, указав область определения. 2 а3 а+1 5 2 аг—4а+3 153. 7ба (5+2 76) • -у/з^2а—2 7з5=Тба. 773-75-78+2 715-7« 7^4-2 7204-74 7^04-712-78-2 715-2^+7? 2-а ((754-W-(VS-75)2)2-(16a+45) 1075-З7&_ ____________4Д-&____________+ 2 7^4-7* 15в. ^/(‘»24-^-) -8(“4-4) 4-48=(а-^ ) . 1. Докажите тождества. 157. а2 + 2а-3+(а+1)^Е!=^±3| если а>3. а2 — 2а — З-На— \)->Ja2—9 -^а — 3 158. д/75 + дД^+^7о-^^-^ = ^.аг^--4- если а>2. Vi* v 4* ^а 159- лА+?+"V(x2 ~ ° лА~?)~2=^(х2 ~2^^- если х> 1. Упростите выражения. 160. а°'25+а°’75)2 —а1,5 (1 +а-°’5). 21
166. 2а(а + 2&4-л/аэ + 4а&) (а>0) (a + -\Ja2 + 4ab) (а + 4Ь-\--\/а2 + 4ab) - -7ТБИ2<4(Т-л/1)+ +л/>+|(д/?-д/1)2) <«>» »>«) \[a2b — \/ab2 a-}-b ‘V<?+2 V^ + V^2 ^Ja^—\[b2 )(<V^+W+Va- ' a —2b ^2а2Ь-\-^4аЬ^ \a^fa + b ^/2b + b ^/a + cAj2b V^+W^+V16^ ' a+b^ о n----2-2 2а2 \ (х2а-2 —44-4a2x“2) T -V1-A-2 / ' _1 2ax (x2 — a2) 2 (T 4 1 4 1 . 1 2а3—2 \“* IT --------p-------------\ — a ' _L J_ _1_ A J_ I 4 3 б.. 3.6,1 3 3,i/ а — a -f-1 a -f-Q 4-1 а — а 1 / ™. Jv?№-v»)+2wl_/. /Z+1v' v^. V (V«+W \ V а / 177. Z(o+6)(W?-V^)~'-(V^-W?) (Vfr-Уа)-2 V1 , 2 «с \ (Va+V*)(V^+V^—2 Vo) f 22
178. (Vaft-ob (a+^/Sfr)-1):2^,^-- (a>0, 6>0). 179 ( (а~'Г' П агЛ l+a(«-2) -J 1 179. ,-------(1-a) ;• a2_a+1 180. ( 4Ьг+2аЬ_____8b^b___W_1___a-!p._.^ ' y,4a2b2 — 8ab3 -^4a2b — 8ab2 ' ' %ab ' V b ^—^[aV+^P—^/^/aP+^a^X-1,. V*+VS \a-^b+b? +‘ $ 4. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Напомним основные сведения о логарифмах. Пусть а — положительное, отличное от 1 число. Число х называ- ется логарифмом числа N по основанию а, если a* = N. Например, log2 16 = 4, так как 24 = 16, log^^-=—8, так как (\/3)_8=^-. Вообще, loga а'= г. Из определения логарифма следует, что, во-первых, записи x = logfl W и ax = N выражают одну и ту же зависимость между числами а, х, N-, во-вторых, число N должно быть положительным; в-третьих, если a>0, a=#l, N>0, то a'°e‘N = N. (1) Тождество (1) является по существу математической записью определения логарифма; его называют также основным логарифми- ческим тождеством. Для любого положительного числа N и любого положительного, отличного от 1 числа а существует только одно действительное число х такое, что х — loga N. Отсюда, в частности, следует, что если N\ — N2, ТО loga #1 = loga AM ГДв Afi>0, W2>0. Напомним основные свойства логарифмов: Если AMAf2>0, то 1°. lOga (AMJV2) = loga | 2V, I +loga | AM • 2°. 10ga $-= 10ga | AM -10ga I AM • Если, в частности, Afi>0, Af2>0, то |AM = N\, \Nz\=N2 и мы получаем: loga (NfNt) = loga Afi + loga N2, loga loga A/i —loga N2. 3°. Если Af>0, p€/?, to loga АД* = |x loga Af; если N^O, ц = 2т (m = ± 1; ±2; ...), to loga W* = p, loga |AT|. 4®. Если W>0, *>0, b=£l, to logaN^r^. log* a Это тождество принято называть формулой перехода к новому ос- нованию. Из него, в частности, при N = b следует, что loga &=j—1—. 23
5°. Если Af>0, ц£/?, то loga 7V=logafA 2V< Рассмотрим примеры. Пример 1. Вычислим 49 4 Решение. Воспользовавшись тем, что 49 = 72 и что при воз- ведении степени в степень показатели степеней перемножаются, получаем: 2 — 7 2 log7 25 Здесь показатель степени можно преобразовать следующим об- разом: 2——log7 25 = 2 —log7 5 = log7 49 —logy 5 = log7~-. 1 49 2-—l°g7 25 log7 — Итак, 7 = 7 5. Но из тождества (1) следует, что 49 1 log7 — дп 1—- log7 25 7 5 =—. Таким образом, 49 4 =9,8. Пример 2. Вычислим 1g 25, если 1g 2 = а. Решение. Имеем 1g 25 = 21g 5. Выразим теперь число 5 через числа 10 и 2 (т. е. через данное основание и число, логарифм которого известен), пользуясь операциями умножения, деления и воз- ведения в степень. Так как 5=-^, то 2 1g 5 = 2 1g-^-=2 (1g 10 — — lg 2) = 2 (1 —а). Пример 3. Вычислим logs 18, если logs 12 = а. Решение. 1-й способ. Как и в предыдущем примере, упростим log3 18: logs 18 = log3 (32.2)=2 + log3 2. Значит, нам нужно вычислить log3 2, зная, что log3 12 — а. Выразим число 2 через числа 3 и 12 (данное основание и число, логарифм кото- рого известен), пользуясь операциями умножения, деления и возве- дения в степень. / io Имеем: 2=~v/—, но тогда logs 2 = log3^y^=-|-(log3 12 — log3 3)=у-(а — 1). Таким образом, logs 18 = 2 + °2 1 = °^3 • 2-й способ. Имеем: log3 18 = 2-f-log3 2. Введем обозначение log32=x, тогда log3 18 = 2+*- Далее, log3 12 = log3 (3 • 22) = 1 + 2 log3 2 = 1 + 2х. Но по условию log3 12 = а, следовательно, 1+2х = а, откуда 24
Таким образом, log3 18 = 2-|-х=24-а 2 1 — а+3 . Пример 4. Вычислим log49 16, если logi4 28 = а. Решение. Использовав формулы 5° и 3®, получим: log49 16 = log^ уДб = log7 4 = 2 log7 2. Введем обозначение log7 2 = х. Тогда log49 16 = 2х. Имеем далее: Iop 23--log728 —log7(22’7)- 2 log? 2 4-log? 7 2x4-1 ё’4 log7 14 log? (2-7) log?24-log?7 x4-l Так как по условию logi4 28 = a, то задача сводится к решению уравнения =а, откуда находим х= 2~-£ • Таким образом, log49 16 = 2x=^z^. Пример 5. Вычислим logi2 60, если log6 30 = а, logi524 = 6. Решение. |о„ с A log2 60 __ logs (4 • 3- 5) _2 4- logs 34- log; 5 ё'2 logs 12 logs (4-3) 24-logs3 Введем обозначения: log23=x, log25 = z/. Тогда logi2 60 = __ 24-Х4-У 2+x Далее имеем: a = 1 о0r 30 = 30 — l°g2 (2-3-5)__ 1 -\-x-[-y * log2 6 log2(2-3) 1-f-x ’ b = log|5 24=24 = —&(8•3)= &15 logs 15 logs (3-5) x+y- Таким образом, задача сводится к решению следующей системы (1±£±</ и г 14-х уравнении: ) /Г х + у Из этой системы находим: b-}-3 — ab 2a — b — 2-\-ab ab — 1 ' ab — l Тогда log12 60=2g±^4. Упражнения Вычислите. 182. a) logs log4 log2 16; б) 1g 1g Z16\10g125 3 / я \ log81 5 *83- a) (25) ^^>(27) 4 184. a) 36log65+101“lg2-3log9 36; 6) 81log53+27log936+3log79. 25
185. a) lg(2 —log1/3V3-log^-|-p 6) lg(7—log2 logs-\A/5)- 186. a) logs 7«log7 5’logs 44-1; 6) logs 2*log4 3*logs 4*log6 5«log7 6«loge 7. 187. a) 2log’5—5log12; 6) 2_ 2^log! з Вычислите. 188. lg 1250, если lg 2=0,3010. 189. logioo 40, если log2 5 = a. 190. log3 5, если loge2 = a, logs 5 = 6. 191. loge 16, если logi2 27 = a. 192. Iog3s28, если logi47=a, logi45 = 6. 193. log^V^. если loga 27 = 6, a>0, a#=l. 194. logs 3,38, если lg2 = a, lg 13 = 6. 195. log2 360, если log3 20 = a, log3 15 = 6. 196. log275 60, если logi25 = a, logi2H=6. 197. \ogcab, если loga6 = p, logs 6 = ^, logc6 = r, где a, 6, c, k — положительные числа, отличные от 1. 198. logas если loga6 a = 6, где a, b — положительные числа, причем ab=£\. -yb 199. logaftC k, если loga6 = 2, logs 6 = 3, loge 6=6, где a, 6, с — положительные числа, отличные от 1. Докажите тождества. 200. ь'°е‘с=с,ое‘ь. , 10ga ft-log» k logo ft , , , , 201. a) logas fe = . —.- ; 6) —-=14-loga6. loga ft + logs ft logas ft 6) -r+; ;+, = 15 logs a. lOga ft 10ga« ft lOga! ft 10ga< ft 10gas ft 2°3' (logo, b)-‘+(l‘>ge!ft)-, + ...+(logaB b)-l==l°ea'a2-a’ Ь- 204. loga ft • logs ft + logs ft • loga ft + 10gc ft • loga ft = . lOgafrc ” 205. lg ==-l-(lg a-f-lg 6), если a24-62 = 7a6. о z 206. lg a + =-l- (lg a4~lg 6), если a24-462 = 12a6. 207. logc+& a-j-logc-* a = 2 logc+6 a-\ogc-b а, если a24~62 = c2, a>0, 6>0, c>0. Упростите выражения. 208. (loga b 4- logs a 4- 2) (loga b — logas b) logs a — 1. 209. . (loga Ь + logs a + 1) loga ~ (logioo о logioo \ о log (a 4-6) b Iga .a lg» ) . 211. 0,2(2a,°K!44-3ftl°8-^'(/“).
213. Vloga H-log/a 4-2 «loga* a-Vl°ga b. 214. a + log! b 4-2 + 2 — loga a — logfl b. 215. 2 loga2 6 ^(loga V^4-l°gb V«^)2 ~(l°ga ‘^^+Iog& , вСЛИ fl>l, b > 1. $ 5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ В настоящем параграфе речь идет о неравенствах, справедливость которых требуется доказать на заданном множестве значений пе- ременных. Если такое множество не указано, то подразумевается, что эти переменные могут принимать любые действительные значения. 1. Доказательство неравенств с помощью определения. По опреде- лению считается, что а>Ь9 если разность а—Ь— положительное число. Поэтому для доказательства неравенства f (a, ft,..., k)>g (a, ft, ..., k) на заданном множестве значений a, b9 ..., k необходимо соста- вить разность f (a, ft, ..., fe) — g(a, b, ..., k) и убедиться в том, что она положительна при заданных значениях а, Ь, ..., k (аналогич- но применяется этот способ для доказательства неравенств вида f<g, f>g, f<g)- Пример 1. Докажем, что если a^O, то (неравенство Коши). (1) Доказательство. Составим разность с-^^-—д[аЬ и выяс- ним ее знак. Имеем a~2 . Ясно, что выражение неотрицательно при любых неотрицательных значениях а и Ь. Значит, и разность ^^—-yjab неотрицательна, а это означает, что ^-^-^^/ab. Отметим, что знак равенства имеет место лишь при а = Ь. Пример 2. Докажем, что если ab>0, то т+т>2- <2> Доказательство. Имеем: / _а_ \_____________(Д~ ^)2 \ b ' а / ab ab Так как ab>0, то причем знак равенства имеет 27
место лишь при а = Ь. Итак, разность (7"+~") — 2 неотрицатель- на, т. е. неравенство (2) доказано. Пример 3. Докажем, что а2 + 462 + 3с2+14>2а+126 + 6с. (3) Доказательство. Рассмотрим разность (а2 + 462 + Зс2 +14) - (2а +126 + 6с). Перегруппировав члены этой разности, пвлучим: (а2 — 2а + 1) + (462 — 126 + 9) + (Зс2 - 6с + 3) +1 = = (а—1)2+(26 — 3)2 + 3 (с—1)2+1. Последнее выражение положительно при любых значениях а, 6, с. Неравенство (3) доказано. Пример 4. Докажем, что если а + 6 + с^0, то а3 + 63 + с3>За6с. (4) Доказательство. Рассмотрим разность а3 + 63 + с3 — — Забс, в которой сумму а3 + 63 дополним до куба суммы. Полу- чим: а3 + 63 + с3 — Забс = а3 + За26 + Заб2 + б3 + с3 — За26 — — Заб2 —За6с=(а + 6)3 —Заб (а + 6 + с) + с3. Разложив сумму кубов (а + 6)3 + с3 на множители, получим: (а + б)3 + с3 —Заб (а + 6 + с)=((а + 6) + с) ((а + 6)2 — — (а + 6) с + с2) —Заб (а + 6 + с)=(а + б + с) (а2 + 2аб + 62 — — ас — 6с + с2 — Заб)=(а + 6 + с) (а2 + б2 + с2 — аб — 6с — — ас)=-|-(а + 6 + с) (2а2 + 262 + 2с2 —2аб — 2бс —2ас)= =X(а + b + с) ((а - б)2+(а - с)2 + (6 - с)2). Так как по условию а + & + с>0, то полученное выражение неотрицательно. Отсюда следует истинность неравенства (4). Заметим, что знак равенства в неравенстве (4) имеет место в случае, когда а + $ + с=0, а также когда а=Ь=с. 2. Синтетический метод доказательства неравенств. Суть это- го метода заключается в том, что с помощью ряда преобразова- ний доказываемое неравенство выводят из некоторых известных (опорных) неравенств. В качестве опорных могут использоваться, например, такие неравенства: а) а2>0; б) гДе а>0, 6>0; в) у-+-~>0, где «^>0; г) ах2 + 6х + с>0, где а>0 и Ь2 — 4ас<0. Пример 5. Докажем, что если а^О, 6^0, d>0, то ? + + (5) 28
Доказательство. Возьмем в качестве опорного не- равенство Коши: а + » c-\-d ------- 2'2 a + b c + d 2 V 2 ’ 2 ' Так как, в свою очередь, и то nya±6..£±rf>^^,^ = 4/^ a-|-b^_c-|-d Значит, —-—-—-—^^Jabcd . и -]- b . с “I- d тт. ~2~+~2~ —a+b + c + d Но ------------------. Таким образом, a^~b^^--^\/abcd . Проанализировав доказательство, приходим к выводу, что знак равенства в неравенстве (5) имеет место тогда и только тогда, когда a=b, c — d и , т- е- когда a=b = c=d. Пример 6. Докажем, что >п\, где n^N, и>1. Доказательство. Возьмем в качестве опорных следую- щие неравенства Коши: Перемножив эти п неравенств, получим: (п-!) (п-2)...2• 1) (1 -2-3...(n-1) п)= =-dn\n\ =-\/(я!)2=га! Итак, (I , \ п (6) Так как по условию п=#1, то первое из опорных неравенств Коши может быть только строгим. Но тогда и после перемножения опорных неравенств полученное неравенство (6) должно быть строгим. Таким образом, >п!, что и требовалось до- казать. 29
Пример 7. Докажем, что если а>0, Ь>0, с>0, то (7) Доказательство, t-й способ. Возьмем в качестве опорных следующие неравенства: 4-+—>2; •£-}-—>2; —4--£->2 Ь а с а с b (эти неравенства становятся равенствами в случаях, когда соот- ветственно а = &, а = с и Ь = с). Сложив их, получим + J_+_L+_^>6) или *±£+*±£+!£±»>6 а 1 с ' b а 1 b 1 с Далее выполним ряд несложных преобразований: (1+а±£) + (1+&±£) + (1+а±6)>91 b а 'с ' Вынося теперь a-j-b-j-c за скобки, получим: —+—+-£-+1-9= cab 6 = (a + b + C)^+f+f)>9. Знак равенства имеет место лишь в случае, когда а = & = г. 2-й способ. Неравенство (7) можно доказать по определению. Имеем (a+64-c)(-^-+-|-+-J-)— 9= __________। । а । а , b ~ 1 "г" b с а = (т+т)+(т = (f+т-2 )+(f+т-2 )+(т+т-2 ) _Ла-Ь? (а-с)2 (6-с)2 ab ‘ас ‘ Ьс ' Значит, неравенство (7) справедливо. Пример 8. Докажем, что если n^N, п> 1, то J_______________i_J_I_!_l _j_L<i Доказательство. Имеем: 4 2-2^1.2 ’ 9 3-3 ^2-3 ’ 16 4.4<"3«4 (8) 1 1 1 п2 п*п (п — l)rt 30
Сложив эти (л —1) неравенств, получим: J I ! I ! |_ —I—!—I—!—к ----------5—= 4 Т 9 ~ 16 п2 1-2 ~2-3 ~ 3-4 ~ ' (я — 1) п _2-1 , 3-2 , 4-3 , I n-(n-l)-Л 1 \ I / 1_ — 1-2 -г 2-3 3-4 (п-1)я \ 2?т\2 3,/Т Итак, ^+f+^+-+^<l- 3. Доказательство неравенств методом от противного. Пример 9. Докажем, что если а^О, b^Q, с^О, d^O, то -J(a + c) (b + d)>^b+^d . (9) Доказательство. Нам надо доказать, что для любых неотрицательных значений a, b, с, d выполняется неравенство (9). Предположим противное, что существует набор неотрицательных значений a, b, с, d, для которого неравенство (9) неверно, т. е. вы- полняется неравенство -\/(а + с) (b + d)<Z-\[ab+-\/cd. Так как обе части этого неравенства неотрицательны, то при возведении их в квадрат получим: (а + с) (й + d) < ай + cd + 2-yjabcd , откуда bead <.2-^abed , и далее —< -\/(й с) • (ad). Но это противоречит неравенству Коши. Значит, наше предпо- ложение неверно, а потому справедливо неравенство (9). Пример 10. Докажем, что если а^О, й>0, с^О, то а+Ь+с ^-,1 а2+Ь2+с2 3 V 3 (Ю) Доказательство. Предположим, что существует набор неотрицательных значений а, Ь, с, для которого неравенство (10) неверно, т. е. выполняется неравенство a+fe + с /а2-Ь&2 + ^ 3 V 3 При возведении обеих его частей в квадрат получим: ^а-|-1> + с а2 + 62+с2 и далее (а 4- b + с)2 > 3 (а2 + й2 + с2), 31
3 (a2-j-b2-j-c2) — (a + 6-|-с)2 < О, 3 (a2 + b2 + c2) — (a2 + b2 4- c2 + 2aft + 2ac 4- 2bc) < 0, 2a2 + 262 + 2c2 — 2ab — 2ac — 2bc < 0, (a-6)2 + (h-c)2 + (a-c)2<0. Последнее неравенство не является верным, так как сумма квадратов не может быть отрицательным числом. Значит, неверно и наше предположение, а потому справедливо неравенство (10). Замечание. Пусть даны п неотрицательных чисел ai, аг, ...» ап- Введем в рассмотрение следующие величины: гг п пп=-----:--------г- — среднее гармоническое, —+—+ ...+— Д1 <22 ап Gn—yai-a2'}...-an — среднее геометрическое, л . Ап—-------------- — среднее арифметическое, л —\ /af-f-aj 4“ ••• “F Qn=\j —--’ !— — среднее квадратическое чисел ai, аг, ...» &п- v п Между этими величинами существует такая зависимость: Hn^Gn<An^Qn. (*) Некоторые частные случаи этой зависимости нами уже доказаны. Так, в при- мерах 1 и 5 доказаны неравенства 62<Л2 и из неравенства, доказанного в примере 7, следует зависимость //3^Д3; наконец, в примере 10 доказано нера- венство ЛзССз- 4. Доказательство неравенств методом математической ин- дукции. Пример 11. Докажем, что если n£N, п^З, то 2п>2п + 1. (11) Доказательство. При п = 3 неравенство (11) верно: 23>2-3-f-l. Предположим, что неравенство (11) выполняется при n=ft(ft>3), т. е. предположим, что 2* > 2ft 4-1, я давеажем, что тогда неравенство (11) выполняется и при л=Л4-1, т. е. дока- жем, что 2*+‘>2ft4-3. В самом деле, имеем: 2*+1 =2-2t>2(2ft-|-l) = 4ft + 2 = =(2ft-|-3)4-(2ft-l). Итак, 2*+‘ >(2ft 4-3)+(2ft-1). Но 2ft—1>0 при любом натуральном значении ft. Следова- тельно, тем более 2®+1>2ft4-3. Согласно принципу математической индукции можно сделать вывод о том, что неравенство (11) справедливо при всех п~^3. Пример 12. Докажем, что если n£N, то 1+f+f+r+-+2^T>f • <12> Доказательство. Выражение, содержащееся в левой 32
части неравенства (12), представляет собой сумму дробей, зна- менатели которых — натуральные числа от 1 до 2Л—1. При п=1 оно обращается в верное числовое неравенство 1>-|-. Предположим, что неравенство (12) выполняется при n = kt т. е. •$*=1+4-+4—H—+2* Докажем, что тогда неравенство (12) справедливо и при n = k+\, т. е. St+I = 1+-1~ь-Ь Z о 1 fe+1 2*+1-1''> 2 В самом деле, S*+i=(l-j4—h4—h-’+gc1 . )+(\А-+ I о* । । * * * I 2fe+1_1 ) । где Pk I 2* । । I • • • I 2fe+1_i * Выражение Pk представляет собой сумму 2k дробей, каждая из которых больше чем ^г~т- Значит, Pk == h2*_|_ J Ь - • + 2^ + ‘ _ 1 2*+1 2k+1 1 — 2*+i — ____ ofe 1 1 — ’2^1— 2 • Итак, Sk>Y^ Pk>Y' Но Т0ГДа Sk+i=Sk + Pk>^+±=^, Т. е. 5,+1>ф. На основании принципа математической индукции заключаем, что неравенство (12) справедливо для любого n£N. Пример 13. Докажем, что при п ^2 неравенство 1#1 4“^2“Н..« 4~^л| lai I 4" | CI21 + ... + I I (13) выполняется для любых ai, аг, ...» ап- Доказательство. Докажем справедливость неравен- ства (13) при п=2, т. е. |ai 4-аг! |ai | 4-|аг|. (14) Предположим, что существует пара (аь а2), для которой нера- венство (14) неверно, т. е. |at 4-ad > lai | + lad. Возведем обе части последнего неравенства в квадрат, получим |ai4-ad2> >(|ai| 4“ lad)2, т. е. a?4-2aia24-a^2>ai + 2|ai | |аг1 (мы триж- ды воспользовались тем, что |х|2=х2). Отсюда aia2>|ai«2l, что неверно, поскольку для любого х верно неравенство |х| ^х. 2 Заказ 840 33
Наше предположение неверно, неравенство (14) доказано. Предположим теперь, что неравенство (13) выполняется при n = k, т. е. |ai + a2 + ---4-tf*l loil + I«21 +•••+ |а*|. Докажем, что тогда неравенство (13) справедливо и при n — k+t, т. е. lai -|-a2~h I ^5 lot | + |ог14'—“Ь 1а*1 "й |о*-н !• В самом деле, |ai + a2 + ... + aft + aft+i I = l(ai +a2 + -+a*)+ 4~ ak+i I I Oi + l#ft+i I I Oi | +1 a21 +•• + IOk \ + +1 ak+1 I. На основании принципа математической индукции заключаем, что неравенство (13) справедливо при «^2. Упражнения Докажите неравенства. a2 1 1Ч-а4^ 2 * 216. 217. Если а^О, 6^0, то т]ай + Ь*^а + Ь. 218. Если а>0, 6>0, то -^р^--^-^^/а-]--у/Ь. -\Jb -\[а 219. Если а-^-Ь^О, а=£0, Ь=£0, то -^-4-Д> — -|—. b аг а b 220. Если а + 6^0, то аЬ (а-\-Ь)^а3-\-Ь\ 221. a24-2Z?24-2а/> + & + 10>0. 222. 1 +2а4>а2 + 2а3. 1 2 223. Если а #=2, то —-—— >-^—г • а2-4а + 4 а-8 224. Если —-1, то а3+1 ^а2 + а. 225. а2 + &2 + с2-|-3>2(а + 6 + с). 226. Если а + 6^0г то f 227. a2-\-b2^ab. 228. a4-]-b4^a3b-[-ab3. 229. (a-hZ>)4>a4 + 64r где ab^&. 230. Если a<zb<zc, то a2b-\-b2c -\~c2a<Z(^c^b2a^c2b. 231. а8 —а5 + а2 —а-4-1 >0. 232. Если а>0, 6^0, то а-\-Ь 4- C^^[ab-\-^bc-{--4ac. 233. Если т, п, k — натуральные числа, то тпmknk ^.8tnnk. 234. Если a^0, />>0, с^0, то (a+b) (6 +с) (a-\-c)^8abc. 235. Если а>0, /?^0, с^0, а + & + с = 1, то (1 — а) (1 — b) (1 — c)^8abc. 236. Если а^0, Ь^0, с>0, то (a+l)(& + l)(c-ba)(6-|-c)> \8abc. 237. Если а^0, 6^0, с^0, t/^О, то a4-{-b4-\-с4-\-d4^^abcd. 238. Если a>0, с>0, t/>0, то V(a + (с +^) (а + с)+"^"(^+^)- 239. Если «1^0, 02^0, пп^0, то -д/а1а2+л/а1аз + ...4-л/а1ап + л/а2Лз + + ... ... “~2— (ai 4“ ^2 Н- ••• 4“ ап)- 240. 241. log2 3 + rog3 2 >2. a^-j-2 -у/а2'-^! >2. 242. ^-ta + 2 >2 -Va24-a + 34
243. Если а>0, 6>0, с>0, то--------h-т-Ч---^а-\-Ь-\-с. а о с 244. Если а>0, 6>0, с>0, то ab (a-\-b) + bc (Ь-\-с)~\-ас (а + с)>6адс. 245. Если а>0, Ь>0, то т-у-Ц-г <ТТ~ +т“ГТ • 1 -]-a^-b 1 4-а 14-6 246. Если ai, аг, ..., ап — неотрицательные числа, причем ai -аг* ...*ап — 1, то (1 4-ai)(1 4-о2)... (1 4-оп)>2". 247. Если п = 2, 3, 4, то -\T4”V2+•••4_л/о>о. 248. Если п = 2, 3, 4, .... то п!>п2 249. Если п = 2, 3, 4, .... то _^т+-^+...+^>|. 2 г— 250. Если а>0, 6>0, то ---—^-yjab. —4--- а b а-\-Ь /а2 4“ Ь2 251. Если л>0, 6>0, то 252. Если а>0, 6>0, то -\/а+^Ь>-\]а-}-Ь 253. Если а>0, 6>0, то ^\[ab. ~{a+-\!b 254. а2 4-62 4-с2 > об 4-ос -j-bc. 255. Если а>0, 6>0, то (Va-f-V^)8^ 16а6 (а-\-Ь}2. 256. Если а + Ь^\, то о44-64>4-- о 257. Если а>0, 6>0, с>0, то - о 3 ___ 258. Если abc=£O, ab -\-ас -}-Ьс=£О, то --:-—^Д/abc . ____________т+т+т 259. ^±±£±£<-д/Ё±Е+£±£. 4 А,___ 260. Если а>0, 6>0, О О, d>0, то ---------j---—^\]abcd а~^ b с d 261. |а4-Ы>1о|-|6|. 262*. Если х > — 1, п 2, то (1 4- *)” > 1 4~ йх. 263. Если п>5, то 2/г>п2. 264. Если п > 10, то 2п > и3. 265. Если п> 2, то л[п<1 4-—^4—-4--4—т— л/2 V3 V« 266. Если п >2, то 2V«> 1 4--—4-‘-^-4-...4--U- л/2 V3 Vo !«7. Если .>2, „ ^+-L+... + i>£ 268. Если «>2, то 1 +у+у+ • [<« * В упражнениях 262—268 предполагается, что n^N. 35
§ 6. СРАВНЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Если даны два действительных числа, то в большинстве слу- чаев сразу ясно, какое из них больше, например 8>*3, д/б>*-уо. Нетрудно установить, что ^/5<^>/1 000. В самом деле, V^<2, а V Ю00 >2, значит, V5<V1000. Пусть теперь а=^3, Оба числа принадлежат интерва- лу (1; 2), но какое из них больше, пока неясно. Для установления знака неравенства между этими числами проведем следующее рассуждение. Предположим, что а>Ь, т. е. что ^/3>^. Возведя обе части последнего неравенства в шестую степень, получим (WXW, т. е. 9 >8. Итак, а>6о(л/3)6>(л/2)6о9>8. Так как 9 >8 — верное неравенство, то и равносильное ему неравенство а>Ь верно. Если бы мы предположили, что а <6, то получили бы а<Ьо XW<G/2M<8. Так как 9<8 — неверное неравенство, то и а<Ь неверно, а поскольку а=/=Ь, то остается только одна воз- можность: а >Ь. Можно было сравнить числа а и Ь, преобразовав их с помощью приведения радикалов к одинаковым показателям: a=^/3=^/3r=^/9; b =л/2=!72У=л/8. Ясно, что а>Ь. Пример 1. Сравним числа а и Ь, если: 1) а=д/26-|-д/б, &=УТЗ + УТ7; 2) a = log^3, Z> = log3 1,1; 3) a = log23, 6 = log32; 4) a = V5+V30+V50, b = 710 + 720 +^60. Решение. 1) Предположим, что a>b. Тогда, используя свойства числовых неравенств, последовательно получаем: (V26 + 76)2>(V13 + Vi7)2, 32 + 2V156>30 + 27221, 1 +7156>Т22Т> (1 +7156)2>221, 7156>32, Итак, а>Ь<^-д/156 > 32. Но неравенство 7156 > 32 ложно. Значит, и предположение а>Ь ложно. Ясно, что ложно и предположение а=Ь. Таким образом, остается одна возможность: a<Zb. 2) Сравним числа а и b с нулем. Имеем a = log i 3<log i 1 = = 0, 6 = log3 1,1 >log3 1 =0. Итак, a<0, но b>0. Значит, a<.b. 3) Сравнение чисел а и b с нулем не позволяет сопоставить эти числа между собой, так как оба они положительны. Попробу- ем сравнить числа а и b с 1. Имеем a=log2 3>log2 2= 1, b = = log3 2<log3 3= 1. Итак, а>1, но &<1. Значит, а>Ь. 4) Оценим числа а и b и снизу, и сверху. Выполним эту оценку с точностью до 1, а если такой точности окажется недостаточно, то увеличим ее при последующей оценке. 36
Имеем 2<л/5<3, 5<V30<6, 7<V50<8, т. е. 14<Тб + + V30 + V50< 17. Итак, 14<а<17. Далее 3<-/10<4, 4< <V20<5, 7<V60<8, т. е. 14<VTo+V20+V60< !?• Итак, 14<6 < 17. Полученные оценки чисел а и b не позволяют сравнить их между собой. Оценим тогда числа а и Ь с точностью до 0,1. Имеем: 2,2<л/5 <2,3 3,1 <V10<3,2 5,4<7зО<5,5 и 4,4<V2O<4,5 7 <л/50<7,1 7,7<л/60<7,8 14,6<а<14,9 15,2<Ь<15,5 Итак, а£ (14,6; 14,9), а б£(15,2; 15,5). Значит, а<.Ь. Пример 2. Расположим в порядке возрастания числа a = log2 3, & = logs9, с = logs 17. Решение. Сравним сначала числа а и Ь. Это можно сделать двумя способами. 1-й способ. Оценим числа а и Ь с точностью до 1. Имеем: log2 2<log2 3<log2 4, т. е 1<а<2; log66<log69<log636, т. е. 1<6<2. Числа а и b принадлежат интервалу (1; 2). Сравним каждое „ з из них с серединои этого интервала, т. е. с числом —. Q Предположим, что log23> —, тогда последовательно будем иметь: з 3>27о32>23о9>8. А так как а>-|-о9>8, то а>-|-верное равенство. Предположим, что ft>-|-, тогда logs 9>уо9>6^о92>63о81 >216. Последнее неравенство неверно, а так как ft> — о81>216, то и 3 3 > ft >—неверно. Значит, ft <—. д Итак, а>-|-, значит, a>b. f 2-й способ. Рассмотрим разность а—Ь. Имеем: a —& = log2 3 —logs 9 = log2 3-^='°НУ Г2 10g23 = ° log2 6 log2 6 __ 1Qg2 3 (10g2 6 —2) > q / log26 37
Значит, а >Ь. Сравним теперь числа а и с. Выше мы установили, что Число с заключено также в этих пределах. Действи- тельно, logs 17 < logs 25=2 и logs 17>logs-yl25 = logs5^ =-у. Сравним тогда числа а и с с серединой интервала 0-; 2^, 7 т. е. с числом —. 4 у Предположим, что а> —. Тогда, используя свойства нера- венств, получим последовательно: 7 log23>-^ оЗ>24 -о34>27о81 > 128. Последнее неравенство ложно. Ложно и неравенство а^^-. Та- 7 ким образом, а< — . Предположим, что Тогда 7 logs 17>-j-o 17>54 о 174>57. Последнее неравенство истинно. Значит, наше предположение, что О —, верно. 7 7 Итак, Ж —, с>~, и, значит, а<с. Таким образом, Ь<а<с. Упражнения Сравните числа а и Ь. 269. а = & = V6. 270. а = д/47, b=^2& + ^. 271. а=1 + -^-, &=2(-^2—1). д/2 272. „_6, л® __________________________ 273. а) а = д/9 —\fi5, b =~у ~^~^2 ’ б) а=^2+л/3, b=V3 + 272. 274. a) a = V79 + V26, 6=^84 — V28 ; б) а = ?/28— 2д/2 , fe=\/29 —V42. 38
275. a) a=V2+V7, * = 6) a=V5-^L5=V6-V3. 276. a) a = -fi-\--\l23 + ^X, b = 713 + 733 + л/43; 6) 0 = 712 + 732 + 752, 6=72 + 7*2 + 772- 277. a) a = log4 2, b = logo,0625 0,25; 6) a = log4 5, Z? = log^ ^5 • 278. a) a=log4 26, 6 = logo 17; 6) a = log 1 ->/3, b = logj л/2- ~2 3 279. a) a = log23, & = log58; 6) a = log3 16, d = logi6 729. 280. a) a?=log5 14, Z>==log7 18; •6) a=*=log20 80, b = log8o 640. 281. a) a=«log4 12, b = logo 13; 6) a = logi,55,5, 6==log2 10. „„„ , Ig5+lg77 . , 5+77 282. a) a= 8 b = 6) a=3 (lg 7 —lg 5), 6 = 2 f-y lg 9—-i-lg 8 )• 283. a=r^-------hi—-—> b = 2. log2 л log,,5 л 284. Расположите в порядке возрастания числа a, bt с, d, если a = log57, 6 = log83, c=V2, d = logj 5. Глава П. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ $ 7. РАВНОСИЛЬНОСТЬ УРАВНЕНИЙ Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают, в частности если оба уравнения не имеют корней. Например, равносильны уравнения 1g х = 0 и ->/х= 1 (каждое из них имеет единственный корень х=1); равносильны уравнения 2*(ж-|)=1 и ->/х=х (каждое из них имеет два корня: 0 и 1). Если каждый корень уравнения f(x)=g(x) является в то же время корнем уравнения fi (x) = gi (х), полученного с помощью не- которых преобразований из уравнения f(x)=g(x), то уравнение fi W=gi (х) называют следствием уравнения f (x)=g(x). Так, уравнение (х — 1)(х—2) = 0 является следствием уравне- ния х—1 = 0 (а уравнение х—1=0 не является следствием уравнения (х—1) (х —2)=0). Если каждое из двух уравнений является следствием другого из них, то такие уравнения являются равносильными. Несколько уравнений с одной переменной образуют совокуп- 39
ность уравнений, если ставится задача об отыскании всех таких значений переменной, каждое из которых удовлетворяет по край- ней мере одному из заданных уравнений. Уравнения, образующие совокупность, записываются в столбик с помощью квадратной скобки, например: Г 2х 1= Зх -j- 5, L 4х — 3 = х2 или с помощью знака «;», например: 2x4-1 =3x4-5; 4х —3 = х2. Решением совокупности уравнений является объединение мно- жеств корней уравнений, составляющих данную совокупность. Если при выполнении преобразований уравнение f(x) = g(x) свелось к уравнению fx(x)=g\(x) (или к совокупности уравне- ний), некоторые корни которого (которой) не являются корнями уравнения f (x) = g(x), то эти корни уравнения fx (x) = gi (х) назы- вают посторонними корнями уравнения f (х) = g (х). Например, возведя в квадрат обе части уравнения -у/х=—х, получим уравнение х = х2, имеющее два корня: 0 и 1. Значение х = 0 удовлетворяет уравнению -\/х=—х, тогда как значение х=1 не удовлетворяет уравнению -д/х=—х, т. е. является для него посторонним корнем. Если при выполнении преобразований уравнение f(x) = g(x) свелось к уравнению f\ (x)=gi (х) (или к совокупности уравне- ний), причем некоторые корни уравнения f(x) = g(x) не являются корнями уравнения f\ (x) = gi (х), то в таких случаях говорят о потере корней. Например, уравнение (х—1)2 = х—1 имеет два корня: Х\ — 1 и х2 = 2. Если обе части этого уравнения разделить на ф(х)=х—1, то получим уравнение х—1 = 1, которое имеет только один корень: х = 2. Таким образом, при делении обеих частей уравнения на <р(х) = х—1 произошла потеря одного корня. При решении уравнений обычно выполняются различные преобразования, в результате которых заданное уравнение сво- дится к более простому уравнению (или совокупности уравнений). При этом важно знать, какие из преобразований сводят данное уравнение к равносильному, какие приводят к уравнению-след- ствию, а какие — к потере корней. Теорема 1. Если к обеим частям уравнения f (x) = g (х) прибавить одно и то же выражение ср (х), которое имеет смысл при всех х из области определения уравнения f(x) = g(x), то получит- ся уравнение f (х) + <р (х) = g (х) + <р (х), равносильное данному. Например, если к обеим частям уравнения Зх2 + 2х — 5 = = 7х—1 прибавить выражение <р (х)= —7x4-1, получится урав- нение Зх2 4~2х —54~( —7х4~ 1) = 7х— 1 4-(-7x4- 1), равносильное исходному уравнению, так как выражение ф(х)=—7x4-1 имеет смысл при всех значениях х из области определения исходного уравнения. 40
Если же к обеим частям уравнения х2=1 прибавить выраже- ние <p(x)=V^, то получится уравнение х2 4-^/х=1 +л/^> которое неравносильно исходному уравнению, так как выражение ф(х)=^/х имеет смысл не при всех х из области определения уравнения, а только при значениях х>0. Прибавив к обеим частям уравнения х2=1 выражение {р(х)=-у/х, мы сузили область определения уравнения, что могло привести к потере решений. В данном случае х= — 1 является корнем уравнения х2=1, но не является корнем уравнения х2 + д/х= 1 Следует понимать, что в теореме 1 речь идет только об одном преобразовании — прибавлении к обеим частям уравнения од- ного и того же выражения. Последующее же приведение подоб- ных членов (если оно возможно) — это новое преобразование уравнения. Приведение подобных членов может привести к уравнению, которое неравносильно исходному. Так, если к обеим частям уравнения х2 4-2x4-lg x = lg х— 1 прибавить <р(х) = = —Igx, то получится уравнение х2 4-2x4-lg х — lg x=lg х — 1 — — 1g х, равносильное исходному, ибо выражение ф (х)= — 1g х имеет смысл при всех х из области определения исходного урав- нения. Однако если в последнем уравнении выполнить приведе- ние подобных членов, то получится уравнение х2 + 2х= —1, не- равносильное исходному. Уничтожение в обеих частях заданного уравнения выражения 1g х привело к расширению области опре- деления уравнения, в результате чего могли появиться посторон- ние корни. В нашем случае это и произошло: значение х= —1 является корнем уравнения х2 + 2х= — 1, но не является корнем уравнения х^ 4-2x4-lg x=lg х— 1. Следствие. Уравнения f (х)4-<р (x) = g(x) и f(x) = g(x) — — ф(х) равносильны. Теорема 2. Если обе части уравнения f (x)=g (х) умножить или разделить на одно и то же выражение <р (х), которое имеет смысл при всех значениях х из области определения данного уравнения и нигде в этой области определения не обращается в нуль, то получится уравнение f(x)-<p(x)=g(x).<p(x) (или равносильное данному. Так, если обе части уравнения х — — = 2 умножить на выра- жение <р(х) = х, то получится уравнение х2 —у-=2х, равносиль- ное исходному, так как выражение <р(х)=х имеет смысл при всех значениях х из области определения исходного уравнения (х=#0) и нигде в этой области не обращается в нуль. Если обе части уравнения х —2 = 0 умножить на ф(х) = х4-3, то получим уравнение (х — 2) (х4-3) = 0, неравносильное данному, так как при х=— 3, принадлежащем области определения исход- 41
ного уравнения, выражение ф(х)=х + 3 обращается в нуль, хотя оно имеет смысл при всех х из области определения уравнения х —2 = 0. Как нетрудно видеть, в данном случае умножение обеих.частей уравнения на выражение <р(х) = х-|-3 привело к появлению постороннего корня х= — 3. Еще пример. Если обе части уравнения ,х —4=х (Vx —2) разделить на выражение <р(х)=-7х —2, то получится уравнение -у""—=х^~^ , неравносильное исходному уравнению, так как, ух —2 ух — 2 хотя выражение <р(х)=-\/х—2 имеет смысл при всех значе- ниях х из области определения исходного уравнения, оно обра- щается в нуль при значении х=4, которое входит в область оп- ределения исходного уравнения. Если же взять уравнение х—4=х (-7x4*2) и разделить обе его части на <р (х)=-7х4-2, то получим уравнение -\/х—2=х, равносиль- ное данному, ибо выражение <р(х)=-Тх4-2 имеет смысл всюду в области определения данного уравнения (х^О) и нигде в этой области определения не обращается в нуль. Обращаем внимание читателя «а то, что в теореме 2 речь идет только об одном преобразовании — умножении (или делении) обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Последующее же сокращение дроби (если оно возможно) — это новое преобра- зование уравнения. Так, умножив обе части уравнения ^^-f-x=3 на выражение <р(х)=2х, мы выполним первое преобразование, ко- торое приводит к уравнению 2*^+^ + 2х2=6х. Последующее же сокращение дроби 2хна 2х есть новое преобразование: оно приводит к уравнению х-|- 1 4*2х2=6х. Это сокращение может при- вести и к уравнению, которое неравносильно заданному. Аналогично если обе части уравнения £-г5х+6_q умножить на <р(х)=х — 2, то получится уравнение (*2—5*+6)(x—равносильное данно- х—2 му, так как выражение tp(x)=x —2 имеет смысл при всех значени- ях х из области определения данного уравнения (х=#2) и нигде в этой области определения не обращается в нуль. Однако если в левой части полученного уравнения выполнить сокращение на х —2, то по- лучится уравнение х2 — 5х + 6 = 0, неравносильное данному: значе- ние х=2 является корнем последнего уравнения, но не удовлет- воряет заданному уравнению, т. е. является для заданного уравне- ния посторонним корнем. Дело в том, что при сокращении дроби произошло расширение области определения, а мы уже отмечали, что это может привести к появлению посторонних корней. Следствие. Если обе части уравнения умножить (или разде- лить ) на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравне- ние, равносильное данному. 42
Например, умножив обе части уравнения на 6, по- лучим уравнение 3x4-3 —2х+ 6, равносильное данному. Теорем а 3. Если обе части уравнение f ($x)=g (xV где f (•*}*& W>0 при всех значениях х из области- определения уравне- ния, возвести в одну и ту же натуральную степень п, то получится уравнение (f (x))n = (g (х))п, равносильное данному. Если, например, обе части уравнения 2х—4 ==ух— 1 возвести в квадрат, то получим уравнение (2х—1)2=±= (^х -— 1) , равносильное данному, так как при всех х из области определения данного уравне- ния (х>1) обе части уравнения неотрицательны. Если же возвести в квадрат обе части уравнения то получим уравнение (х—6)2 =(л/х)2, о котором нельзя утверждать, что оно равносильно заданному,, так как при некоторых значениях х из области определения заданного уравнения (х^О) левая часть уравнения принимает отрицательные значения (например, при имеем х —6=—4<0), а правая часть всегда неотрицательна. Действительно, уравнение (х —6)?==(V^ преобразуется к виду х2—13x4-36=0, откуда %i==:9, х2—4. Но х=4— посторонний ко- рень для исходного уравнения. Отметим, что в теореме 3 говорится только об одном преобразо- вании — возведении обеих частей уравнения в одну и ту же нату- ральную степень. Последующее же освобождение от знака корня (если оно возможно} — это новое преобразование уравнения. Осво- бождение от знака корня может привести к расширению области определения уравнения, а потому и к уравнению, неравносильному заданному. Замечания. L Теорема 3 выполняется только для уравнений над полем действительных чисел. 2. Если п — нечетное число, то в формулировке теоремы 3 можно опустить условие: f (x)<g (х)^>0 при всех х из области определения уравнения. При решений уравнений приходится также применять преобразо- вания, не оговоренные теоремами 1, 2 и 3, т. е. такие преобразования, которые могут привести к появлению посторонних корней или даже к потере корней. Причиной появления посторонних корней или потери корней могут быть преобразования, выполняемые с помощью формул, изменяющих области определения уравнения. Таковы, например, формулы: = лД"=-^ ’ 'хх-'- х. 10ga (A#)“k>ga X-M0ga у, Xlog'R^, 2tg’-r tg x ctg x = 1, sin x=--------- , tg (x4-y)= и т д. i I i. ? Л 1 — l£f л I (J U 43
Во всех случаях, когда преобразование, выполненное в процессе решения уравнения, приводит к уравнению, являющемуся следствием заданного уравнения, но не установлена равносильность полученного уравнения и заданного, необходима проверка найденных корней. Она является неотъемлемой частью решения уравнения. Решение в этом случае не может считаться законченным, если не сделана проверка. Как же проверяются найденные корни? В качестве основных можно указать следующие два способа проверки: 1) путем подстановки каждого из найденных корней в задан- ное уравнение; 2) путем доказательства равносильности выполняемых преобра- зований уравнения на всех этапах решения. В некоторых случаях оказывается целесообразней делать провер- ку по-другому (например, с помощью области определения заданного уравнения). Примеры выполнения такой проверки читатель найдет ниже. _____ Пример 1. Решим уравнение д/2* + 5= 8 — 7х ~ 1 • Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Получим 2%4-5 = (8 — 7х ““ 1 )2, и Далее 16 д/х — 1 = 58 — х. Снова выполним возведение в квадрат: 256 (х—1) = (58 —х)2, и далее х2 —372x4- 4-3620 = 0, откуда Х\ = 10, х2 = 362. Анализируя выполненные преобразования, можно утверждать только то, что каждое новое уравнение является следствием преды- дущего. Но это значит, что в процессе решения могли появиться посторонние корни, а потому найденные корни необходимо проверить. Проверка. В данном случае найденные корни нетрудно прове- рить подстановкой их в заданное уравнение. Проверим Xi = 10. Имеем >V2xi4-5 = -д/2-104-5 = 5 и 8 —7xi — 1 = 8 —710— 1 =5. Таким обра- зом, при х=10 обе части заданного уравнения принимают одинако- вые числовые значения. Значит, х= 10 — корень данного уравнения. Проверим х2 = 362. Имеем: -\/2х2 4- 5=72 *362 5 = 27, а 8 - 8 - 7362-1 = - 11. При х = 362 левая и правая части исходного уравнения принимают различные числовые значения. Значит, х = 362 — посторонний корень. Итак, наше уравнение имеет единственный корень: х=10. Пример 2. Решим уравнение 73х + 1 = 34-7Х“" Ь Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: 3x+l=(34-Vx=ri)2» и далее 6 7Х~ 1 =2х —7. Еще раз выполним возведение в квадрат: 36 (х —1) = (2х —7)2, и далее 4х2 — 64х4-85 = 0, откуда находим: 164-3V19 v 16 — 3719 %1=---J7----, Х2 ---- 44
Проверка. Ясно, что проверка найденных корней их подста- новкой в исходное уравнение сопряжена со значительными вычисли- тельными трудностями. Поэтому выберем другой способ проверки. Область определения заданного уравнения такова: 1. В этой области первое возведение в квадрат является равносильным пре- образованием уравнения. Второе возведение в квадрат мы применили к уравнению 6 *7% — 1 = 2х — 7. Этому уравнению могут удовлет- ворять только такие значения х, которые удовлетворяют неравенству 2х — 7^0, т. е. х^3,5. Нетрудно установить, что неравенство 16 + 3 719 о с 16 —3V19 с о ..-т-2'у—^3,5 истинно, а неравенство ---—^3,5 ложно. Зна- 16 —Зл/Т9 и 164-Зл/Тэ чит, х2 =----------посторонний корень, a Xi=—L~-v------един- ственный корень заданного уравнения. Пример 3. Решим уравнение lg (х2_7х + 3) —lg (2х+ l) = lg (х24-7х —3) —lg (2х —1). Решение. Преобразуем уравнение к виду Х2_7х+3 = х2 + 7х_3 g 2%4-1 g 2х—1 ’ „ х2 —7x4-3 х24-7х-3 и далее о ? = -4------:—, 2х 4- 1 2х — 1 п 2 откуда находим: Xi=0, х2 = —. О Проверка. Поскольку каждое уравнение, полученное на том или ином этапе решения, является только следствием предыдущего, то потери корней произойти не могло, посторонние же корни могли появиться, причем только за счет расширения области определения заданного уравнения. Поэтому проверку можно осуществить в дан- ном случае с помощью системы неравенств, обусловливающих область определения заданного уравнения, т. е. с помощью следую- щей системы неравенств: ( х2 —7% + 3>0, I 2х+1>0, | х2 + 7х-3>0, [2х— 1>0. 2 Ни Х1 = 0, ни х2=-=- не удовлетворяют йоследнему неравенству О системы, а, значит, являются посторонними корнями. Итак, уравне- ние не имеет корней. Упражнения Докажите, что следующие уравнения не имеют корней. 285. -у/х— 1 4“л/2—* = — 286. ух2 -144=— 8 + -у8 - х. 45
287. log2 (x2 — 1) 4- log3 (x3 — 1) 4- log4 (1 — x4) = -y/x. 288. 2log2x <x + 2)_j_3,o£2 (* + 3) = _^_ J __x 289. Ух — 1 + У2 — x = x — 5. 290, '’+?^6 - 16+7^i6 ' 291. lg (10 —х2) = Ух4-л/х4-2. 292. 2log2 (x—3) = 2x —5. 293. V?4^4-V?r4rT=l. 294. х44-х24-1 =log 1 2. Равносильны ли следующие пары уравнений. 295. 296. 297. .2 х34-х = 0 и = 0. 298. х24-1=0 и = 0. 299. 2х^2х + 3 = 3x^-1 и 2x2 + 2x + 3 = 3x2+2x_l 300 2х2+ 2x4-3 = Зх2 + 2х —1 и +2х+3=3хг+2х_ , 301. -7х+2=л/2х+1 и (V%+2)2=(V2x + 1)2. 302. (л/х-2)2=(^х+1)2 и х-4Л^+4=2х + 2Л^х+1. 303. 2 -\/х — 7х2 = 2 (-|- +^х ) и 2^jx — 7х2 = 2х + 2 -\[х. 304. 2 Ух —7х2 = 2х4-2 Ух и — 7х2 = 2х. Равнесильны ли следующие уравнения и совокупности уравнений (ответ пояс- ните) . 305. (х-4)(х4-3)=0 и х—4=0; х4-3 = 0. 306. (х—4)(х4—— ) ==0 и х—4 = 0; х4—=0. \ х 4“ о / х 4~ о 307. (х—4)(х4—Цг ) =0 и х—4=0; х4—=0. 4 \ х —4 / х—4 308. -д/х—2 Ух+3=0 и V*—2=0; УГ+3=0. 309. -\/2—х -\/х4-3=0 и -\/2—х=0; -^хфз=0. 310. (x-3)lg(2—х)=0 и х—3=0; lg(2-x)=0. 311. (2—х) lg(x—3)=0 и 2—х = 0; lg(x-3)=0. 312 (х2-2х-3)(х+!) =() и х2_2д._3=0 х+1=0. х —3 эй. х!~й;(/-9-1)=о х — 6x4-8 \ / г х2 —5х4-6=0 и Д±1_ L 2"-9-1=0. Решите уравнения и сделайте проверку. Если имеются посторонние корни, то выясните причину их появления. 2 1 4 314* 2 —х + 2 ~2х-х2 315. х4-2 2 —х 4 х4-1 1 —х ' х— 1 316. х 25 1 13 2х-1 + 4x^1 ”27 1—2х‘ 46
317. 6 2 о Х + 4 х2 — 1 х—1 х— 1 318. 1+л/2х+7 = х-3. у________О ___ _____________ .____- 31 Я. ---=-у/х-4. 320. л/22 —х-л/10-х=2. у/2х—7 321. т/х+3+л/3х^2 = 7 . 322. т/Зх-2 = 2 л/^+2 —2. 323. ^2х+Т+\5^3=2 -Jic. 324. lg (54-х3)=3 1g х. 323. lg (х-2)+lg(x-3)=1- 1g 5. 326. lg-V5x^4 + lgVx+T = 2 + lg0.18. , lg(3x—5) 1 ’lg(3x2 + 25) 2' 328. 329. log, (2x2 —7x+12)=2. 330. log, (2x2 —4x+3)=2. lg (2x —5) lg(xa-8) =0,5. § 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В настоящем параграфе рассматриваются уравнения вида Р (х)=0, =0, где Р (х) и Q (х)— многочлены, а также уравнения вида f(x) = g(x), где f (х) и g(x)— рациональные выражения*. Напомним некоторые сведения из алгебры. 1. Если х — а — корень многочлена Р (х), то Р(х) делится без остатка на двучлен х — а. 2. Пусть все коэффициенты многочлена Р (х) — целые числа, при- чем старший коэффициент равен 1. Если такой многочлен имеет своим корнем рациональное число, то это число целое, 3. Пусть все коэффициенты многочлена Р (x) = aQxn + а\хп~"{ + + ... + ап — целые числа. Если корнем многочлена является целое число Ь, то b — делитель свободного члена ап (необходимое условие существования целочисленного корня). Отметим, что при решении целых рациональных уравнений преоб- разования, выполняемые в процессе решения, приводят только к уравнениям, равносильным заданному. Поэтому, естественно, най- денные корни не проверяют и упоминать об этом в каждом конкрет- ном случае не следует. При решении же дробно-рациональных урав- нений выполняется умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение Q (х), что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому при решении дробно-рациональных уравнений про- верка необходима. При решении рациональных (и других) уравнений основными являются следующие методы: 1) разложение на множители; 2) вве- дение новых (вспомогательных) переменных. Метод разложения на множители заключается в следующем: если * Здесь и всюду в дальнейшем, когда речь идет о решении уравнений, систем уравнений, неравенств, мы будем находить только действительные решения, не огова- ривая этого особо каждый раз. 47
то всякое решение уравнения f(x)=O (1) является решением совокупности уравнений Л(х)=0; f2(x) = 0; fn(x) = O. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Так, например, решение уравнения х2~У+2-(?Тт+2)=0 (3) сводится к решению совокупности уравнений х*3х+2 ^±£_|_2 = О. (4) х jr—1 v ' Решениями совокупности (4) являются значения: х\ = 1, х2 = 2, А 1 х3 = 0, х4= —g-. • jc I 2 Но при х=1 не определено выражение , а при х = 0 не у2____________________ох I 2 определено выражение ----* — . Таким образом, значения х= 1, х = 0 не являются корнями урав- нения (3). Вообще при решении уравнения (1) методом разложения на множители из найденных корней уравнений совокупности (2) корня- ми уравнения (1) являются те и только те значения х, которые при- надлежат области определения уравнения (1). Пример 1. Решим уравнение х34-2х24~Зх4-6 = 0. Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Имеем х2 (х4-2)4-3 (х4-2) = 0, и далее (х4-2) (х2 + 3) = 0. Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений х4-2 = 0; х24-3 = 0. Из первого уравнения получаем х\ = — 2. Второе уравнение не имеет действительных корней. Ответ: х = —2. * Пример 2. Решим уравнение х44-*34-Зх24-2х4-2 = 0. Решение. Попытки выполнить в левой части уравнения груп- пировку аналогично тому, как это было сделано в примере 1, оказы- ваются неудачными. Поэтому попытаемся какой-нибудь член уравне- ния представить в виде суммы нескольких слагаемых таким образом, чтобы группировка, позволяющая получить «удачное» разложение на множители, была осуществима. Положим Зх2 = х24-2х2. Тогда получим (х44-х34-х2)4-(2х24-2*4“2)=0, и далее х2 (х24-*+ 1) + 2 (х24-*4- 1)=0, (х24-*4- О (х24-2) = 0. 48
Остается решить совокупность уравнений х24-х±1=0; х2±2=0. Ни одно из них действительных корней не имеет. Значит, заданное уравнение не имеет действительных корней. Пример 3. Решим уравнение х3±4х2—-24=0. Решение. Можно пытаться решить это уравнение, как в предыдущих примерах 1 и 2, разложением на множители (предста- вив 4х2 в виде суммы — 2х2 ± 6х2, получить уравнение х3— 2х2± 4-6х2 — 24 = 0, а затем х2 (х —2)4-6 (х—2) (х±2)=0 и т. д.). Мы по- кажем на этом примере так называемый метод подбора, с помощью которого отыскивается целый корень уравнения. Используя необхо- димое условие существования целочисленного корня, выпишем дели- тели свободного члена: а=±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24. Теперь начинаем пробы. Подставим вместо х в данное уравнение а = 1. Получаем 13-|-4-12 —24=/=0. Таким образом, х= 1 не является корнем уравнения. Продолжаем пробы: а= —1, (—1)3-|-4(—1)2-24=#0; а = 2, 234-4-22 — 24 = 0. Итак, Х| =2 — корень уравнения. Воспользуемся тем, что многочлен х3-|-4х2 — 24 делится без остат- ка на х —2. Выполним это деление: _ х3 ± 4х2 — 24 I х—2 1х2 4-6x4-12 6jc — 6х2—12х _12х—24 12х —24 0 Таким образом, х3±4х2 —24 = (х—2) (х2±6х-|-12), а значит, исходное уравнение принимает вид: (х—2) (х2±6х± 12) = 0. Это уравнение равносильно совокупности уравнений (решениеперво- го из которых уже найдено) х—2 = 0; х24-6х4-12 = 0. Второе уравне- ние совокупности не имеет корней. Заданное уравнение имеет один действительный корень Х|=2. Замечание. Покажем схематически другой способ разложения многочлена на множители с учетом найденного фЙЬго корня без деления углом: _Р(х)=х34-4х2—24 Р (2)—234-4-22—24___ Р (х) - Р (2) - (х3—23)+4 (х2—22) Р(х)-Р(2)=(х-2)(х2 + 2х+4)+4(х-2)(х+2)=(х-2)(х2 + 2х+4+4х4-8)= =(х - 2) (х2 4-6x4-12). Но Р(2)=0, значит, Р(х)=(х—2)(х24-6х-Н2). 49
Пример 4. Решим уравнение 21х3-|-х2 — 5х— 1 =0. Решение. Уравнения, левая часть которых представляет собой многочлен с целыми коэффициентами и свободным членом, равным 1 или — 1, легко преобразуются в приведенные уравнения с помощью почленного деления на х в старшей степени (нетрудно видеть, что такое деление не приводит к потере корней, так как х=0 не является корнем уравнения, свободный член которого отличен от 0) и последующей заменой — на у. В нашем примере получаем: 21 4- -—4“т=0. X х£ х Полагая У, приходим к уравнению 21 +у — 5у2 —у3 — 0, и далее у34-5у2 — у — 21 =0. Найдя методом проб, как в примере 3, целый корень уравнения у\ = — 3 и разделив многочлен у3 + 5у2 —у — 21 на у 4-3, получим квадратный трехчлен у2-}-2у — 7 с корнями у2,3= = — 1±2л/2. Так как х=—, то Х| =—х23=—. У 3’7 Пример 5. Решим уравнение 4х3— 10х2+ 14х — 5 = 0. Решение. Здесь мы применим еще один способ преобразования неприведенного уравнения в приведенное (цель такого преобразова- ния ясна: приведенное уравнение имеет своими рациональными кор- нями только целые числа, а способ отыскания целочисленных кор- ней у нас имеется). Умножим обе части заданного уравнения на та- кое число, чтобы коэффициент при х3 стал кубом некоторого целого числа. В нашем случае таким множителем может служить число 2. Умножим обе части уравнения на 2: 8х3 — 20х2 + 28х — 10 = 0. Положим теперь у = 2х, тогда уравнение примет вид: у3 — 5у2+ 14г/ — 10 = 0. Как и в предыдущих примерах, находим корни приведенного урав- нения. Здесь только один корень у\ = 1 (проверьте!). Так как ц 1 х=-|“, то -------единственный корень заданного уравнения. Пример 6-. Решим уравнение х6 — 9х3-|-8=0. Решение. Применим метод введения новой переменной. Поло- жим у=х3. Тогда заданное уравнение примет вид: у2 — 9у4-8 = 0, откуда находим: i/i = l, уг = 8. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений: х3 = 1; х3 = 8, откуда Х| = 1 и х2 = 2. Пр и м е р 7. Решим уравнение (х2 + х + 4)2 + 8х (х24-х-]-4)+ 15х2 = 0. Решение. Положим у = х2 + х + 4. Тогда заданное уравне- ние примет вид: 50
у2 + 8ху + 15х2 = 0. Решим это уравнение как квадратное относительно у: у[<2— — 4х±д/16х2 — 15х2. Итак, г/| = — Зх, у2 = — 5х. Таким образом, задача сводится к реше- нию следующей совокупности уравнений: х2 + х-|-4= —Зх; х24-х + 4=— 5х. Из этой совокупности находим: xf,2=—2, х3,4= — 3±д/5- Пример 8. Решим уравнение Зх4-2х3 + 4х2-4х + 12 = 0. (5) Решение. Заданное уравнение имеет интересную особенность: отношение его первого коэффициента к свободному члену и квадрат отношения второго коэффициента к предпоследнему равны между со- бой. Уравнения с такой особенностью называются возвратными. На этом примере мы покажем способ решения возвратного уравнения четвертой степени. Разделим обе части уравнения на х2 (это не приведет к потере корня, так как значение х=0 не является корнем заданного уравне- ния)., Получим: Зх2 —2х-|-4—— +^=0, X х и далее 3(х2+Я-2(х+т)+4 = 0. ' (6) Положим х+— =у, тогда (x-f-—) =У2, а потому x2-j-^-=y2 — 4. Заменив в уравнении (6) на у, a x2-f-p~ на у2'—4, получим: 3(«/2-4)-2у + 4 = 0, откуда находим у\ = 2, у2= — Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений: х+—=2; х+— х х 3 Эти уравнения не имеют действительных корней, значит, и задан- ное уравнение не имеет корней. Пример 9. Решим уравнение х2+~=27. Решение. Левая часть уравнения представляет собой сумму квадратов. Это наталкивает на мысль добавить к обеим частям урав- нения такое выражение, чтобы левая часть обратилась в полный квадрат суммы. Итак, прибавив к обеим частям уравнения выраже- Зх ние — 2х ——, получим: X “т* о 51
(х——V =27 — 6 ** \ х+3/ Z/ х+3 ‘ Преобразовав выражение в скобках, получим (7Тз)2+64з-27=0- X2 Положим теперь //=—- . Тогда уравнение примет вид у + бу — X -j- о — 27 = 0, откуда У\ — ~ 9, //2 = 3. Задача свелась к решению совокупности уравнений г2 г2 х g. х Q х 3 х -}~ 3 Первое уравнение не имеет корней, из второго находим Х|,2 = =— ±“2 * найденные значения удовлетворяют условию % + Зу=0, а потому являются корнями исходного уравнения. Упражнения Решите уравнения. 331. х4 —1=0. 332. Xе —64 = 0. 333. х3 + х —2 = 0. 334. х3 — 4х2 + х + 6 = 0. 335. х3+9х2 + 23х+15=0. 336. (х—1)3 + (2х + 3)3 = 27х3 + 8. 337. 2х4-21х3 + 74х2—105x4-50 = 0. 338. х44-5х34-4х2 — 24х — 24 = 0. 339. х5-4х4 + 4х3-х2-Ь4х-4 = 0. 340. х54-4х4 —6х3 —24х2 —27х—108=0. 341. (х4-1)(х24-2)4-(х4-2)(х24-1)=2. 342. 3 (х4-4) -7(1 +-) =0. 343. \ . х / \ х/ (3 —х) (2 —х) (1 —х) одл Х~2 _1_ Х + 2 Х~~4 I Х + 4 28 х—1 х-|-1 х—3 ~ х-|-3 15 345. 2х4 —х34-5х2 —х4-3 = 0. 346. 2х4 — 4х3 4- 13х2 — 6x4-15 = 0. 347. х34-4х2 —2х —8=0. 348. х3 — Зх24-4х— 12=0. 349. х34-Зх4-4 = 0. 350. х8—15х4 —16 = 0. -35. 351. (х2 —5х4-7)2 —(х —2)(х —3)=1. 352. 354. f!±l+ - =2;9. 353. X х2+1 1+х + х2 х2 —х х2 — х + 2 _ х2 —х-Н х2—х —2 — = 3 —х —х2. 52
х2 —3x4-3 х2 —Зх-}-4 х2 — Зх + 5 ' 356. х3 —х2-Л-? =2. X3—X2 357. х(х—1)(х—2)(х—3)=15. 358. (х-1)х(х+1)(х+2)=24. 359. (x+l)(x-t-2)(x-f-3)(x+4)=3. 360. (8х+7)2 (4x4-3) (х+1)=4,5. 361. (х—4,5)44*(х—5,5)4 = 1. 362. (х-ЬЗ)44-(х4-5)4= 16. 363. Юх3 —Зх2 —2х-|-1 =0. 364. 4х3 — Зх— 1=0. 365. Звх3 + 7х2 - 8х -1 = 0. 366. 4х34-6х24-4х4- 1 =0. 367. 16х3 —28х24-4х4-3 = 0. 368. ЮОх3— 120х24-47х-6=0. 369. 6х3-13х24-9х—2=0. 370. 4х3 4-6х2 4-5x4-69=0. 371. Зх3—2Х24-х—10=0. 372. 32Х3 — 24х2 — 12х — 77=0. 373. 4х34-2х2— 8x4-3=0. 374. 2(х24-р-) -7(*+у) +9=0- 12 4 375. 4х2-|- 12х-|-— 4-^5-=47. 376. х24-х + х-'+х-2 = 4. 377. y4-J=5(y+4)’ ' 378. х4—2х3 —х2 — 2x4-1 =0. 379. х44-х34-4х24-5х4-25=0. 380. х44-2х3 — 7х2 — 4х4-4 = 0. 381. 16х44-8х3-7х24-2х4-1=0. . „ „ „„„ х2 —6х —9 х2—4х—9 382. х4 - 8х 4- 63 = 0. 383. ---= ^_6л._д • § 9. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы: 1) раскрытие модуля по определению; 2) возведение обеих частей уравнения в квадрат; 3) метод разбиения на промежутки. Пример 1. Решим уравнение |2х —3|=5. (1) Решение. 1-й способ. Так как по определению ( fix), если f(x)^O, = { -f(x), если f(x)<0, то уравнение (1) равносильно следующей совокупности двух смешан- ных систем: 53
(2х — 3>0, (2х — 3<0, I 2x —3 = 5; ( —(2x—3)=5. Из первой системы этой совокупности находим xt = 4, а из второй х2 = — 1. 2-й способ. Так как обе части уравнения (I) — выражения одина- ковых знаков, то в соответствии с теоремой 3 (см. с. 43) уравнение (1) равносильно следующему уравнению: (|2х —3|)2 = 52. Принимая во внимание, что (If (x)|)2=(f (х))2, получим уравнение (2х — 3)2 = 25, равносильное уравнению (1). Решая последнее уравнение, находим корни уравнения (1): Х| =4, х2 = — 1. Пример 2. Решим уравнение |2х — 3| =х+ 1. (2) Решение. Это уравнение, как и предыдущее, может быть реше- но двумя способами. При решении первым способом будет получена равносильная уравнению (2) следующая совокупность смешанных систем: (2х — 3>0, (2х — 3<0, | 2х —3=х+1; | —(2х —3)=х+1, откуда находим Xi=4, х2=-|~. Чтобы для решения уравнения (2) можно было воспользоваться вторым способом, необходимо предварительно убедиться, что обе части уравнения (2) — выражения одинаковых знаков (см. теоре- му 3, с. 43). Так как |2х — 3| ^0, то ясно, что, когда х + 1 <0, урав- нение (2) решений не имеет. Если же х-Ь 1 ^0, то в этом случае обе части уравнения (2) — выражения неотрицательные, т. е. уравне- ние (2) равносильно следующей смешанной системе:. (х+1>0, { (2х-3)2 = (х-Н)2, откуда Xi =4, х2=—. Пример 3. Решим уравнение |2х —3f==x—2. (3) Решение. Применим для решения второй способ. Ясно, что ес- ли х — 2<0, то уравнение (3) не имеет корней, так как |2х—3| ^0. В случае же, когда х —2^0, обе части уравнения (3) неотрицатель- ны и поэтому, возводя обе эти части в квадрат и освобождаясь таким образом от знака модуля, получим равносильную уравнению (3) сле- дующую смешанную систему: 54
х —2>0, (2х —3)2=(х —2)2, или х^2, -«1=4-. -«2=1. о Последняя система решений не имеет, а следовательно, и уравнение (3) корней не имеет. Пример 4. Решим уравнение |2х —3| = |х + 7|. (4) Решение. Нетрудно убедиться, что способ решения возведени- ем в квадрат (второй способ) здесь наиболее целесообразен. Дейст- вительно, при решении этим способом мы получим одно уравнение, равносильное уравнению (4): (2х —3)2=(х-|-7)2, откуда Xi = 10, х2= — 4~. Пример 5. Решим уравнение |3-х|-|х + 2|=5. (5) Решение. В данном случае более предпочтительным является метод разбиения на промежутки (третий способ). Нанесем на числовую прямую значение х, при котором 3—х = 0, и значение х, при котором х4-2 = 0. Числовая прямая при этом разо- бьется на промежутки (— оо; —2), [—2; 3], (3; оо). Решим уравнение (5). на каждом из этих промежутков, т. е. решим равносильную урав- нению (5) совокупность смешанных систем: — оо <х<—2, [ —2^х^3, [3<х<оо, 3 — х4-х4"2 = 5; (3 — х—х — 2 = 5; | —3-|-х — х — 2 = 5 или х< —2, 5 = 5; — 2<х<3, х= —2; х> 3, -5=5. Решением первой системы этой совокупности является луч (— оо; — 2), из второй системы находим, что х = — 2, а третья система решений не имеет. Объединяя решения этих трех систем, получаем решение уравнения (5): (—оо; — 2]. Пример 6. Решим уравнение |х-21 + |х-1|=х-3. (6) Решение. Уравнение (6) очень похоже на уравнение, решен- ное в предыдущем примере, т. е. на первый взгляд может показаться, что его целесообразней всего решать методом разбиения на проме- жутки. Однако из уравнения (6) ясно, что х—3>0, т. е. х>3, а тогда и х — 2>0, и х— 1>0. Таким образом, уравнение (6) равио- 55
сильно смешанной системе [х- 2-|-х — 1=х — 3, которая равно- ( х>3, сильна системе гх = 0, не имеющей решений. Итак, уравнение (6) (х>3, корней не имеет. Пример 7. Решим уравнение |х— |2х4-3| | =3х— 1. (7) Решение. Раскроем сначала, пользуясь определением, т. е. применяя первый способ, «внутренний» модуль. Получим равносиль- ную уравнению (7) совокупность смешанных систем: 2х + 3>0, |х —(2х + 3)| =3х— 1; 2х + 3<0, |х4-(2х + 3)|=Зх-1 или 3 3 2 ’ 1 < 2 ’ (8) |—х —3|=3х—1; [ |Зх+3|=Зх-1. Решим сначала первую систему совокупности (8). Раскрывая мо- дуль по определению, получим следующую совокупность смешанных систем, равносильную первой системе совокупности (8): I 2 ’ 2 ’ | -х-3>0, -х-3<0, V —х —3 = Зх-1; _(_х-3)=Зх-1. Первая из этих систем решений не имеет, а из второй системы находим х = 2. Теперь решим вторую систему совокупности (8). Ясно, что при х< —— выражение Зх — 1 отрицательно. Это значит, что уравнение этой системы корней не имеет. Итак, корнем уравнения (7) является х=2. Упражнения Решите уравнения. 384. а) |х| + х3 = 0; б) |х|-2х3 = 0. 385. а) (х+ 1) (|х| - 1)= -0,5; б) (2х-1) (|х| +1) = 3. 38S. а) 6) 3S7. а) ъ' ?| ' б) 388. а) 7—4х= |4х—7|; б) Зх—5=|3х—5|. 389. а) |х-7| = |х + 9|; б) |х + 3| = |2х-11. 390. а) 2 |х+И = |х-3|; б) |х-2| =3 |х+3|. 56
391. a) 392. a) 393. a) 394. a) 395. a) 396. a) 397. a) 398. a) 399. a) 6) 400. a) 6) 401. a) 6) 402. a) 6) 403. a) 6) 404. a) 6) 405. a) 6) 406. a) 6) 407. a) 6) 408. a) 6) 409. a) 410. a) 6) |3x+2| = |2x—3|; 6) |6x + 5J = 11 —x|. |x2 + x—11 =2x—1; 6) |x2—x —31 = —x—1. 2 |x2 + 2x —5| =x—1; 6) 2 |x2 —x| =x2+1. x2 + 3 |x|+2 = 0; 6) 2x2—|x| —15 = 0. (x-H)2-2 |x+11 +1 =0; 6) x2 + 2x-3 |x +11 + 3 = 0. |x| + lx+l| = l; 6) |x+H + |x + 2|=2. |x—11 — |x —21 = 1; 6) |x —2| + |4 —x| =3. |x—1 l + |x-2| = l; 6) 2 |x + 3|-|x-4|=4. |x-2| + |x-3| + |2x-8|=9; |x+H-|x-2| + |3x + 6|=5. |2x+l|-|3-x| = |x-4|; |x-l| + H-2x|=2 |x|. |x| —2 |x+H+3 |x + 2 | =0; |x+l|-|x|+3 |x—1|=2. |x| —2 |x+l 1+3 |2x—4| = 1; |x| +2 |x+1 |-3 |x-3j=0. |x2 —9| + |x —2| =5; |x2-11 + |x+11 =0. Ix2 _ 4 | _ | 9 _ x2 | = 5; |x2-91 + |x2-41 =5. |x—x2—11 = |2x —3 —x2|; |x2 + 2x| — |2 —x| = |x2 —x|. I13-2x|-l|=2 |x|; I |x+41 —2x| =3x— 1. |2 |x-l|+3x-4|=x-2; |3x-|2x-5|| =x + 5. I — 2x — |3x+4 l+5|=l —5x; I -5x — 312x-31 +2 |=ll+x. |x2 —4x| +3 |x2 — x| + 11 x2+ |x—51 ’ ' |x+ 11 —x2 |x2 —3x + 2| +x_ |x2 —x| +1 “ ’ |x2 + 4x + 3| —x 2-|2x+x2| § 10. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1. Основные понятия. Несколько уравнений с двумя переменными х, у образуют систему, если ставится задача об отыскании всех таких пар (х; у), которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы. Ре- шить систему уравнений — значит найти все ее решения. Множество решений системы может быть, в частности, пустым — в этом слу- чае говорят, что система не имеет решений или что эта система не- совместна. Несколько систем уравнений с двумя переменными х, у образуют совокупность систем, если ставится задача об отыскании всех таких пар (х; у), каждая из которых удовлетворяет по крайней мере од- ной из заданных систем. Каждая такая пара называется решением совокупности систем. 57
Процесс решения системы уравнений состоит, как правило, в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы к другой, более простой, затем к еще более простой и т. д. Если в результате некоторых преобразований системы ' fi (х; y}=g\ (х; у\ . f2(x-,y)=g2(x; у); (1) . fn(x; y)=gn(x; у) мы перешли к системе ' ft (х; y)=g'i (х; у), . f2(x;y)-=g2(x;y); (2) ft, (х; y)=g'n (х; у) и если при этом каждое решение системы (1) является в то же время решением системы (2), то система (2) называется следствием систе- мы (1). Следствием системы уравнений может быть и одно уравнение. Например, уравнение Зх — 2у = 3 является следствием системы 2x + i/ = 5, х —Зу = — 2. (как сумма уравнений системы). Вообще следствием системы урав- нений может быть система как с меньшим, так и с большим числом уравнений. Так, система 2х + У = 5, х — 3у= — 2, Зх —2у = 3 есть следствие системы 2х4“У = 5, х~3{/^-2. Две системы уравнений называются равносильными, если мно- жества их решений совпадают. Ясно, что две системы равносильны тогда и только тогда, когда вторая является следствием первой и первая является следствием второй. Отсюда, в частности, следует, что если к системе уравнений добавить еще одно уравнение, являющееся следствием данной системы, то новая система будет равносильна исходной. Если же опустить какое-либо уравнение системы, то полученная система уравнений (или одно оставшееся уравнение) будет следствием исходной системы. Приведем две теоремы, применяющиеся при решении систем уравнений. 58
Теорема 1. Если уравнение fi (х; y)==g'l (х; у) равносильно уравнению ft (х; y)=gt (х; у) (или является его следствием), а урав- нение fi. (х; y)—g2 (х; у) равносильно уравнению f2fx; y)=g2(x; у) (или является его следствием), то система (f( (х; y)=gt (х; у), Ifi(x-, y) = g2{x; у) равносильна системе fi(x; y)=^gt(x; у), f2(,x; y)^g2(x; у) (или является ее следствием). Теорема 2. Если уравнение f (х; y)~g(x; у) является следствием уравнений ft (х; y) = gt(x; у) и f2 (х; yf^gi^x; у), то каждая из систем { fl (х- y) = gt (х; у), (f2 (х; y) = g2 (х; у), t f (*; y} = g(x; у) [f(x; y)=g(x- у) является следствием системы f fi (*; y)=gi (х; у), t f2(x; y)“g2(x; у), (3) а система {f\ (х; y) = gt (х; у), f2(x; y) = g2(x; у), f (х; y)—g (х; у) равносильна системе (3). В частности, следствиями системы (3> будут такие системы: f fi (х; y)=gi (х; у), Ifi (x;y)±f2(x;y)=gl(x;y)±g2(x;y); (4) (fi (х; y) = gi (х; у), \ft(x; y}‘f2(x\ y)^gt(x; y}-g2{x\ у); W fi (х; y) = gt (х; у), (f2 (х; y)r—(g2 (х; у))2. Если не существует таких пар (х; у), при которых оба выражения f2 (х; у) и g2 (х; у) одновременно обращаются в нуль, то уравнение M^y)=g2(x;»/) Равносильно Уравнению f2 (х; у) = g2 (х; у). Тог- да системе (3) равносильна следующая система: 59
{fi (x; y) = gt (x; y\ 1 _ 1 fi (x; y) g2 (x; y)' Ее следствием, в свою очередь, является система: (fi (х; y) — gi (х; у), fi (х: “ЬйЬг gi 9>'йЬ> Таким образом, приходим к следующему выводу: если не сущест- вует таких пар (х; у), при которых оба выражения fi (х; у) и g (х; у) одновременно обращаются в нуль, то система {fi(x; y)=gt(x; у) fi (х; y)_gi (х-, у) /7) fi (х; У) gi (х; у) является следствием системы (3). Если, решая систему, мы преобразовали ее в систему, являющую- ся следствием исходной, то найденные решения новой системы безус- ловно подлежат проверке (например, подстановкой найденных значе- ний переменных в исходную систему). В дальнейшем будут полезны- ми следующие утверждения: 1. Система (4) равносильна системе (3). 2. Если не существует таких пар (х; у), при которых обе части уравнения fi (х; y)=gi (х; у) одновременно обращаются в нуль, то система (5) равносильна системе (3). 3. Система (6) равносильна системе (3), если для любых х, у из области определения системы (3) выполняется неравенство fc(x; y)-g2(x; у)>0. 4. Если не существует таких пар (х; у\ при которых одновремен- но обращаются в нуль обе части второго уравнения системы (3), то система (7) равносильна системе (3). Отметим еще один результат, вытекающий из теорем 1 и 2. Теорема 3. Если совокупность уравнений г f2i (х; z/) = g2i (х; у), fe(x; y) = g22(x; у); - f2k (х; y)=gik (х; у) равносильна уравнению fi(x\ y)=gi(x\ у) (или является его следст- вием), то совокупность систем ft (х-, y)=gi (х; у), f2i (х; y)=g2i (х; у); fi (х; y)=gi (х; у), f22(x; y) = g22(x; у); f i (х; y)=gi (х; у), f2k(X‘, y) = g2k(x\ у) 60
равносильна системе (3) (или является ее следствием). В частности, следствием системы ( fi (х; y)=gt (х; у), t /21 (х; y)-f22(x; (х; у)=0 является совокупность систем: fi{x\ y)=g\(x\ у\ ( fl (х; y)=gi (х; у), fn (х; у) = 0; | f22 (х; у) = 0; Пример 1. Решим систему 6==7’’ ху + 24=Д fi (*; y) = gi (х; у\ fik(x- у)=0. (8) Решение. Перемножив уравнения системы (8), получим систему у3 ху — о=—, *33 (9) (ху + 24)(ху-6)=^-, являющуюся следствием исходной. Второе уравнение системы (9) путем несложных преобразований сводится к уравнению ху = 8, которое является следствием второго уравнения системы (9). Тогда в силу теоремы 1 система является следствием системы (9). Вычтем теперь первое уравнение системы (10) из второго. Получим систему ху = 8, /73 6 = 8——, X и далее ху = 8, /73 ^-=2. X (11) Система (11) в силу теоремы 2 является следствием системы (10). Перемножив уравнения системы (11), получим систему ху = 8, У*=16, (12) 61
которая является следствием системы (11). Из второго уравнения системы (12) находим i/i=2, 2, а из первого уравнения соответственно xi=4, Х2 = —4. Итак, система (12) имеет следующие решения: (4; 2) и ( — 4; —2). Проверка. Поскольку система (12) является в конечном сче- те следствием системы (8), то найденные решения необходимо про- верить. Это можно сделать, например, с помощью подстановки ре- шений системы (12) в уравнения системы (8). Проверка показывает, что оба решения системы (12) являются решениями и системы (8). Таким образом, решения системы (8): (4; 2), ( — 4; —2). Пример 2. Решим систему {xy-^-xz= —4, yz-\-yx— — 1, zx-j- zy= —9. Решение. Сложив эти уравнения, получим новое уравнение: xy+xz + yz= — 7. Присоединив это уравнение к уравнениям заданной системы, полу- чим систему, равносильную по теореме 2 заданной системе: xy-\-xz + yz= — 7, , xy-i~xz= —4, yz-f-yx= — 1, , zx-\-zy — —9. Заменим второе уравнение этой системы разностью первых двух уравнений, третье уравнение — разностью первого и третьего, а чет- вертое — разностью первого и четвертого, кроме того, опустим пер- вое уравнение. Получим систему {yz= — 3, xz = — 6, ху = 2, равносильную данной в силу теоремы 2 и утверждения I. Перемно- жив эти три уравнения, получим уравнение (xyz)2 = 36, приписав которое к уравнениям предыдущей системы придем к равно- сильной системе ' (xyz)2 =36, . yz=— 3, xz = —6, . ху=2 (здесь снова используется теорема 2), которой, в свою очередь, по теореме 3 равносильна следующая совокупность систем: ' xyz = 6, уг = —3, xz = —6, ху = 2; xyz = — 6, z/z= —3, xz = — 6, xy=2. 62
Решим первую систему этой совокупности. Разделив последователь- но первое уравнение системы на второе, третье и четвертое урав- нения, получим х =—2, у= — 1, 2 = 3. Аналогично из второй системы находим х = 2, у=1, z= — 3. Итак, совокупность систем, а тем самым и равносильная ей исход- ная система имеют следующие решения: ( — 2; —1; 3), (2; 1; —3). 2. Основные методы решения систем уравнений. Остановимся на трех основных методах: 1) метод линейного преобразования си- стемы (или метод алгебраического сложения); 2) метод подстановки; 3) метод замены переменных. Метод линейного преобразования системы ос- нован на следующей теореме: Теорема 4. Если А= | | =И=0, то система ( axfi (х; y) + a2f2 (х; у)=0, [bifitx; y) + b2f2(x; у)=0 равносильна системе (fi (х; У) ~0, (М*; у^—°- В частности, если ai = l, а2 = 0, &i = l, 62=±1,то получаем си- стему (fi (х; у)=0, (Л (х; y)±f2(x-, у)=0, равносильную исходной по утверждению !. Эта теорема распространяется на случай, когда число урав- нений больше двух. Например, для трех уравнений с тремя перемен- ными имеет место следующая теорема: Теорема 4.' Если Л== щ а2 а% Ь\ Ь2 Ь3 С) С2 С'З то система a\f\ + a2f2 + 03(3 — О, b\f\ + b2f2^- 63/3 — О, C\fl + c2f2-]- Csf^ — O равносильна системе fi(x- у< *Н0, f2 (х; у\ z)—О, /з (х; z/; z)s=(k Метод подстановки основан на следующей теореме: Теорема 5. Система уравнений \f{F{y\ y) = g(F(yY У) 63
равносильна системе (x = F(y), \f{x‘,y)=g(x-,y). Так, равносильными будут следующие системы: ( х = 2у — 5, (х = 2у — 5, |(2у —5)24-у2 = 2(2у —5)4-у и ( х24-у2 = 2х4-у. Следствие. Если уравнение x — F (у) (или у = Ф (х)) равно- сильно уравнению <р (х; у)=0, то система (x=F(y), \f{F(y)',y)=g{F(y)\y) или Гу = Ф(х), \f(x; ф(х)) = £(х; Ф(х)) равносильна системе | <р(х; у)=0, tfU; y)=g(x-, у). Например, система уравнений {j/24-x = 2 (х —5), У- + ^ = хг + у2 х у у равносильна следующей системе: Jx = y24-10, I гУ.» + ^+1() =(У24-Ю)2 + У2- к /4-10 у v 1 7 1 Для системы трех уравнений с тремя переменными соответствую- щая теорема формулируется следующим образом: Теорема 5'. Система уравнений у, F (х\ y))=g\(x\ у F(x; у)), Пг(х; у, F(x- y))=g2(x-, у, F (х; у)), |z = F(x; у) равносильна следующей системе: {fi (х; у; z) = gi (х; у; z), f2(x; у; z) = g2(x; у; z), z = F(x; у). Метод замены переменных состоит в следующем. Если Fi (х-, y) = fi (q>i (х; у); <р2 (х; у)), F2 (х; y) = f2 (<pi (х; у); <₽2 (х; у)), то систему
f F\ (x; y) = 0, I F2 (x; y) = Q с помощью новых переменных epi (x; у) = щ ф2 (x; y)=v можно запи- сать в виде (f[(u; v) = 0, (fa (щ v) — 0. Пусть г/i), (и2; v2), ..., (ип; vn)— решения последней системы. Тогда задача сводится к решению следующей совокупности систем: ( ф! (х; у) = и[у ( ф! (х; у) = и2, Г ф1 (х; у) = ип, ( ф2 (х; у) = щ; ф2 (х; y) = v2; ( ф2 (х; y) = vn. Решения этой совокупности будут одновременно и решениями системы (Л (х; £/) = 0, \F2 (x\ у) = 0. Рассмотрим примеры применения этих методов при решении си- стем уравнений. Пример 3. Решим систему f х2= 13х-|-4г/, lz/2 = 4x+ 13г/. Решение. Вычтем второе уравнение из первого. Тогда по тео- реме 4 система f х2 — у2 = (1 Зх + 4у) — (4х + 1 Зу\ 1(/2 = 4х+13у равносильна исходной. Рассмотрим первое уравнение полученной си- стемы. Имеем: (х — у) (х-\-у) = 9 (х — у), и далее (X — у) {х + у — 9) = 0. В итоге мы приходим к следующей системе, равносильной исход- ной по теореме 1: ((х — у)(х + у — 9) = 0, (у2 = 4х + 1 Зу. По теореме 3 эта система равносильна следующей совокупности систем: ( х — у = 0, (х-{-у — 9 = 0, [у2 = 4%+13у; |у2 = 4х+13у. Каждую из этих систем решим методом подстановки. Первая система преобразуется к виду ( х = у, | г/2 = 4г/+13г/, откуда находим: Г х\ =0, | х2= 17, I Z/i=0; [ У2= 17. Вторая система совокупности преобразуется к виду [ х = 9 — у, Ь2 = 4(9-у)+13у. 3 Заказ 840 65
Из уравнения у2 = 4 (9 — у)-\- 13г/ находим: у3=12, у4—— 3, и далее из соотношения х = 9 — у получаем х3=—3, х4 = 12. В итоге мы нашли следующие четыре решения: (0; 0), (17; 17), (-3; 12), (12; -3). Проверка. Поскольку в процессе решения заданной системы выполнялись только равносильные преобразования, то найденные решения являются и решениями исходной системы. Пример 4. Решим систему уравнений {х -J- у Н- z = 2, 2х -р Зу z = 1, х2 + (// + 2)2 + (z-1)2 = 9. Решение. Применим метод подстановки. Имеем: 'х = 2 — у — z, < 2(2 — у — z) + 3y + z=l, (2-у-2)2 + (у + 2)2 + (г-1)2 = 9, и далее (x = 2 — y — z, < y — z = —з, {y2 + z2 + yz — 3z = 0. Последние два уравнения полученной системы, в свою очередь, образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решим эту систему методом подстановки. Имеем: ( */ = 2 — 3, ( (z — 3)2 + г2 + (г — 3) z — 3z = 0, т. е. = (г2 —4г 4-3 = 0. Из последнего уравнения находим: Zi = l, z2 = 3. Из уравнения y~z— 3 получаем соответственно: у\ = —2, у2 = 0, а из уравнения х = 2 — у — z находим Х[ = 3, х2 = — 1. Итак, получили следующие решения: (3; Пример 5. Решим систему уравнений -2; 1) (-1; rxy + z2 = 2, yz-j-x2 = 2, zx + y2 = 2. 0; 3). Решение. Заменим первое уравнение системы разностью пер- вого и второго уравнений, второе — разностью второго и третьего, а третье оставим без изменения. Тогда получим систему: ху — yz + 22 — х2 = 0, yz — XZ + %2 — у2 = 0, xz + y2 = 2, т. е. систему ' (z — х) (z + х) — у (z — х) = 0, < (х —*/)(% + £/) —2 (х—*/) = 0, xz-\-y2 = 2, 66
которая по теореме 4 равносильна заданной. Имеем далее: (z — x) (zх — у) = 0, (х — у) (ху — z) = 0, хг + у2 = 2. По теореме 3 этой системе равносильна следующая совокупность систем: z — х = 0, fz — x = 0, (z-]-x — y = 0, fz-\-x — y = 0, x — y = 0, J xу — z = 0, J x — y = 3, J X-\-y — 2 = 0, X2 + z/2 = 2; |^хг + //2 = 2; xz + y2 = 2; |^z + z/2 = 2. Решим системы этой совокупности методом подстановки. Из пер- вой системы находим: (1; 1; 1), (—1; —1; —1); из второй: (д/2; 0; д/2), (—д/2; 0; -д/2); из третьей: (д/2; д/2; 0), ( —л/2; — д/2; 0); из четвертой: (0; -^2; -^2), (0; — д/2; — д/2). Проверка. В процессе решения все преобразования были рав- носильными, поэтому найденные восемь решений являются и реше- ниями заданной системы уравнений. 3. Однородные системы. Система двух уравнений с двумя пере- менными вида ( аохп + aiXn~~ly-\-a2Xn~2y2 ...-]-ап-1хуп~[ -\-апуп — с, ( boxn b\Xn~[yb2xn~2у2-\-bn-ixyn~l -\-bnyn = d называется однородной (левые части обоих уравнений — однородные многочлены степени п от двух переменных). Однородные системы ре- шаются комбинацией двух методов: линейного преобразования и введения новых переменных. Пример 6. Найдем решения системы: | Зх2 + ху — 2//2 = 0, ( 2х2 — Зху 4- у2 = — 1. Решение. Первое уравнение системы — однородное (напом- ним, что так называются уравнения вида f (х, t/) = 0, где f (х, у) — однородный многочлен). Заметим, что если положить у = 3, то из уравнения Зх2-|-ху — 2z/2 = 0 находим х = 0. Но пара (0; 0) не удовлетворяет второму уравнению системы, поэтому t/=^0, и, следо- вательно, обе части однородного уравнения Зх2 + хг/ — 2у2==0 можно разделить на у2 (это не приведет к потере корней). Получим: + и далее з( —) +~—2 = 0, J у2 1 У2 У У \ У / У откуда находим, что — 1 или т. е- х== ~~У или х — ^-у. Теперь задача свелась к решению совокупности систем уравнений: {2 х——у, 2х2 — Зху-\-у2= — 1. 67
Первая из этих систем несовместна, а вторая имеет два решения: (2; 3), ( — 2; —3). Это и будут решения заданной системы. Пример 7. . Решим систему г Зх2 — 8хг/-|-4г/2 = 0, [ 5х2 — 7ху — 6 г/2 = 0. Решение. Заметим прежде всего, что в данном случае пара (0; 0) удовлетворяет системе. Пусть теперь г/#=0. Разделив на у2 обе части каждого из однородных уравнений второй степени, обра- зующих заданную систему, получим Wy-7(f)-6=°- откуда находим Г-|-=2; I х 2' х 3 У ' У 5 Значит, —=2. у Положим y = t, тогда x = 2t. Заметим, что при t — О и х = 0, и у = 0. Таким образом, решения заданной системы — это пары вида (2/; /), где Пример 8. Решим систему уравнений ( Зх2 — 2ху = 160, | х2 — Зху — 2у2 — 8. (13) Решение. Умножим обе части второго уравнения на 20 и~вы- чтем полученное уравнение из первого уравнения системы: __ Зх2— 2ху =160 20х2 — 60xi/ — 40 г/2 = 160 — 17х2 4- 58ху + 40г/2 = 0. Мы получили следующую систему, равносильную системе (13): ( Зх2 — 2ху= 160, I 17х2 — 58хг/ —40 г/2 = 0. (14) Рассмотрим однородное уравнение 17х2 — 58а:£/— 40г/2 = 0. (15) Если г/= 0, то из этого уравнения получаем х = 0. Но пара (0; 0) не удовлетворяет исходной системе. Значит, г/#=0 и поэтому, разделив обе части уравнения (15) на г/2, получим уравнение, равно- сильное уравнению (15): 17(у)2-58(у)-40:=0. 68
Положив и=-^~, придем к квадратному уравнению 17гг —58^ — 40 = 0, корни которого U[==4, и2= — jy. Значит, уравнение (15) равносиль- но совокупности уравнений: -у-=4; —уу, и соответственно си- стема (14) равносильна совокупности систем: {х ___д ( х __ __10 у ~ J у — 17 ’ Зх2 - 2ху = 160; (Зх2 —2ху=160. Применив к каждой из этих систем метод подстановки, находим следующие решения: (8; 2), ( — 8; —2), (5; — -у-) , ( — 5; -у-) . Поскольку в процессе решения заданной системы выполнялись только равносильные преобразования, то найденные решения явля- ются и решениями исходной системы. Пример 9. Решим систему уравнений у х2у + 2ху2 + у3 = 2. Решение. Выполним алгебраическое сложение уравнений системы (16): X3 + у3 — 1 x2t/ + 2x(/2+y3 = 2 • 2 •(-1) 2х3 — х2 у — 2ху2 + у3 = 0. Получим систему: г 2х3 — х2у — 2ху2 + у3 = 0, ,17ч ( X3 + у3 = 1, равносильную заданной. Рассмотрим уравнение 2x3 — x2y-2xy2-{-y3 = Q. Как и в предыдущем примере, здесь можно было бы разделить обе части уравнения на у3. Однако в данном случае проще разложить левую часть на множители: х2 (2х — у) — у2 (2х —у) = 0, и далее (2х — у) (х — у) (х + у) = 0. Значит, система (17) равносильна следующей совокупности: (2х — у = 0, ( х — y — Q, (* + */ = 0, I х34-г/3= 1; | х34-у3= 1; [х3 + у3=1. 69
Применив метод подстановки к каждой из этих систем, находим следующие решения системы (16): Пример 10. Решим систему уравнений х4 + х2у2+у4 = 91, х2 — ху + у2 = 7. (18) Решение. Воспользуемся очевидным равенством: х4+//4 = = (х2 + у2)2 — 2х2у2. Система (18) примет тогда вид: ( <х2 + у2}2 — х2у2 = 91, ((х2 + у2 — ху) (х2 + у2 + ху) = 9\, [ х2 + У2 — ху = 7, или | х2 + у2 — ху = 7, т. е. х2 + у2 + ху= 13, х2 + у2 — ху = 7. (19) Применяя для решения системы (19) метод линейного преобразо- вания (сложив и вычтя уравнения), получим систему (х2 + у2= 10, |х// = 3, из которой уже нетрудно найти следующие решения: (3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3). 4. Симметрические системы. Напомним основные сведения о симметрических выражениях. Выражение F (х; у) называется сим- метрическим, если оно при замене переменных х на у, у на х не из- менится. Так, симметрическими будут следующие выражения: F (х- у) = х2 + 3ху + у2, F (х; у) = ^х^у + 2ху +у-+~~- Основными симметрическими многочленами с двумя переменными считаются х-\-у и ху. Все остальные симметрические многочлены с двумя переменными могут быть выражены через основные. Положив для краткости и = х-\-у, v—xy, получаем, например: х2 + у2—(х + у)2 — 2ху = u2 — 2v, х3 + у3 = (х + у) (х2 — ху + у2) = и (и2 — Зи) = и3 — 3uv, х4 + у4 = (х2 + у2)2 — 2х2у2 = (и2 — 2v)2 — 2v2 = и4 — 4u2v + 2 и2, х5 + у5 = (х2 + у2) (х3 + у3) -х2у2 (х + у)=(и2 — 2v)(u3 — 3uv) — v2u = = и5 — 5u3y + 5tw2, х2 + ху + у2 = (х2 + 2ху+у2) — ху = и2 — V и т. д. Система, все уравнения которой симметрические, называется сим- метрической. Ее можно решить методом замены переменных, выбрав в качестве новых переменных основные симметрические многочлены. Пример 11. Решим систему уравнений ( х3 + х3//3 +1/3 = 17, I х + ху + у = Ь. 70
Решение. Положим ( х-\-у =• и, ( xy = v. Так как х3-\-у3 = и3 — 3uv, то заданная система сводится к сле- дующей: ( u3 — 3uv + v3 = 17, ( u-]-v = 5. Из этой системы находим: г U[ =3, ( и,2 = 2, | ?7i=2; (у2 = 3. Теперь остается решить следующую совокупность систем: (х + у = 3, (х + у = 2, [ху = 2; \ху = 3. Решения этой совокупности, а с нею и исходной системы таковы: (1; 2), (2; 1). Замечание. Вернемся снова к системе, рассмотренной нами в примере 10: | х4 + %V + //4 ==91, I х2 — ху-\-у2 — 7. Эта система симметрическая, а потому, как и предыдущая, может быть пре- образована к более простому виду с помощью введения новых переменных: {х-\-у — и, xy = v. Получим: Г ((и2 —2ы)2 —2у2)4-и2 = 91, | (ц2 — 2у) — и = 7, ( (и2 —2и)2 —у2=91, и далее J \ Л ’ | и2 — Зи=7. Из второго уравнения этой системы находим: u2=3u+7. С помощью этой подстановки первое уравнение системы преобразуется к виду: (Зи + 7 — 2у)2 — у2 =91, откуда находим: v — 3. Из уравнения «2 = 3^4-7 находим «1,2= ±4. Итак, система имеет два ре- шения: {-«1 =4, ( и2 = — 4, Vi =3; ( v2 — 3. Значит, исходная система равносильна совокупности систем: ( х + у = 4, ( х-\-у = —4, i ху = 3; i ху = 3. Эта совокупность приводит к тем же решениям, что были получены выше, в при- мере 10. 71
Упражнения Решите системы уравнений, 411. ' x+y = —8, x2 + y24-6x + 2y = 0. 412. j f 2x — у = 1, ^2x2 — y2+x+y= — 11. 413. ’ x—I/= 1, x2 + y2 — 41. 414. i ( 3%4-5r/ = 2, [ 3x24-lOx# — 25#2 = 0. 415. 2x2 —3y = 23, 3i/2 —8x=59. 416. j [ x24-2r/= —5, [2x24-3r/2 = 29. 417. j ’ 2x — 3y — xy = 4, Зх+у + Зху = 3. 418. j ( 5x24-14//=19, 1 7y2+10x=17. 419. *2 (x+*/) = 80, x2 (2x —3*/) = 80. 420. i r x — y = 2, X3 — y^ = S. 421. । 2x—y= — 1, x2 + j/3 = 28. 422. j f х + У= — 1, 16x2 — y4 — Q. 423. (x + 2y + 3z=-l, 424. ! ( x + y + z = 3, < 2х + 3*/ + 4г = — 1, 1 x4"2// —г = 2, Зх + 4*/ + 6г = — 1. I x-\-yz4-zx = 3. 425. Г x2 + 3*/2 —хг = 6, ' 2x — у 4- Зг — 11, 1 x 4- 2y — 2г = 1. 426. f xy = 2, 9x2+ y2= 13. 427. j Зху -\-3x2 — 3y2 — 2x — y^=- x2 ~4~xy — у2 -]-x — 2y= —4. -7, 428. | x24-*/2 —2x4-3*/ —9 1 2x2 + 2y2 + x — 5y — 429. 'x + yz = 2, 430. fx — y = 1 =-r •*:*/, 431. (_-J-4-J-=2, y + zx = 2, < 4 5 x+y x—y S3 4 z + xy — 2. |^2 + */2 2 Xy‘ tx4-//+x — у 1 ’ 432. 4—н—— =з, 433. fХ-4-У x — y^ 5 x 4- у x — у Jx-\-y)2 + (x — </)2 = 20. < x — y' x-]-y 2 x2 4- y2 = 20. 434. j 436. j [ (x +1/)2 + 2x = 35 — 2z/, [ (x —y)2 —2</ = 3—2x. [ y2 (x2 — 3)+xj/+l=0, [ y2 (3x2 —6) + xj/ + 2 = 0. 435. ( 12 (x4-*/)24-* = 2,5 — y, 6 (x — y)2 4-x=0,125+*/. 437. |x2 + */2-l+x к A. у [*2 4-J/2 4-у = 22. 438. ( 6x2 + x*/ —2*/2=0, 3x2 — xy — 2y2 =Q. 439. j [ 56x2 — xy — y2 = 0, 14x2 + 19x*/ — 3y2 = 0. 440. ( 4x2 — 3xy — y2 =0, 32x2-36x*/ + 9*/2 = 6. 441. j [ 15x2 + x*/ — 2y2 = 0, 7x2 — 4xy — 3y2 = —32. 442. ( x2^-xy-{-4y2 = 3, 3x2 + 8*/2=14. 443. 1 445. j f x2 — 3xy + y2 = — 1, 3x2 — xy 4- 3y2 = 13. f x3 + f/3 = 35, I x2y + xy2 = 30. 444. j ' 5x2 —6x*/ + 5*/2 = 29, 7x2 — 8xr/+ 7*/2 = 43. 72
446. x3 —y3 = 19 (x — y), x3+y3 = 7 (x+y). 447. ( — | x3y —xy3 = 6. 448. | x2+xy+y2=19(x—y)2 , 449. | x2 4- 4xy — 2y2 = 5 (x 4- y\ x2—xy+y2 = 7 (x—y). 1 5x2—xy—y2 = 7 (x+y). 450. | x2 y2 = 34, 451. ( х4-//4-х24-г/2 = 18, x + y + xy = 23. 1 xy + x2 + y2= 19. 452. x4+6x2y2 + y4=136, 453. J x3 + y3=19, x3y + xy3 = 30. 1 (xy + 8) (x + y) = 2. 454. x2 u2 —4-—= 12, 455. f xy (x4-«/) = 20, У x 1 i 1 1"+~=T- —4— I X у 4 lx у 3 456. ( x2 + y2 = 7 + xy, 457. ( х-\-у — Ь, । x3 4- y3 = $xy — 1. |x4+y4 = 97. 458. [ x4 — x2y2 4- i/4 = 601, 459. J x5 + y5 = 33, [ X2 — xy+y2=21. J++y=3. 460. 461. (x5 + y5 31 I x3y+xy3=y(x+y)2, 4 X34V ’ | x4y + xy4=-|-(x + y)3. x2-\-xy+y2=3. 462. i Г x3 — z/3 = 26, x4 — y4 = 20 (x 4- y)- 463. Г x2 — yz = 3, 464. ( ’ x2 4- xy 4- y2 = 7, 465. (2x2 + y2 + z2 = $-\-yz, 1 y2 — zx — 5, J y2-\-yz-\-z2 = 3, J x2-\-2y2-\-z2 = 6 + zxr |z2 — xy — — 1. 1 z24-zx4-x2 = 1. ]x2-j-y2-j-2z2 = 3-j-xy. 466. | X2y — X-\-y — Z, 467. fx + i/ + z = 6, / z2x = x —i/4-z, J x(y + z) = 5, 1 y2z=y — x + z. (%4-z) = 8. 468. ( x — y + z = 6, 469. Cy-\-z = xyz, J x2+y2 + z2 = 14, / z-}-x = xyz, | X3 — y3 4~ 23 = 36. 1 x + y = xyz. 470. 471. fx-[-y-}-z = 13, x 3 J x2 + t/2 + z2 = 91, zx __ 15 1 y2 = xz. ~y~ % ’ xy 6 472. ( 2%4-r/4-^ = 6, . ~7=T‘ J 3x4-2i/4-z = 7, |(x-1)3 + (z/ + 2)3 + (2-3)3 = 7. 474. 475. 473. ЗХУ _е> х + У ' -^-=3, x-\-z У + z i+±+A, X у z x4-(/4~z = 3. т+у+т .±+l+± xy yz zx xyz 73
476. L+±+l=Z x у z 2 . . 7 t + j/ + z=y , xyz — 1. 478. fx-]-y = 3z, J x2 + y2 = 5z, I x3 + y3 = 9z. 477. f x2 + y2 = z2, J xy -\-yz -\-zx = 47, I (z — x)(z — y)=2. 479. (x — z — y2, J x2 — z2 = 3y\ b3 + 3// + x + z=26. § 11. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ Решение задач на составление уравнений (или систем урав- нений) обычно осуществляется в три этапа: 1) выбор неизвестно- го, обозначаемого, как правило, через х (или нескольких неизвест- ных, обозначаемых х, у, г, ...), и составление уравнения (или сис- темы уравнений), связывающего некоторой зависимостью выбран- ное неизвестное с величинами, заданными условием задачи; 2) ре- шение полученного уравнения (или системы уравнений); 3) отбор решений по смыслу задачи. 1. Задачи на числовые зависимости. При решении задач на чис- ловые зависимости могут оказаться полезными следующие све- дения: 1) Если натуральное число А имеет п знаков, то Д=ап-1Х XЮ"-1 +--- + Я1 • Ю + ^о, где а0, аь а2, ..., ап_\ соответственно ко- личество единиц, десятков, сотен, ... в числе А. 2) Если при делении натурального числа А на натуральное число В в частном получается q, а в остатке г (г<В\ то Л=В^ + г. Пример 1. Найдем двузначное число, если известно, что еди- ниц в нем на 2 больше, чем десятков, и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144. Решение. Пусть в искомом числе х единиц. Тогда в нем (х —2) десятков, и, следовательно, оно равно (х —2)10 + х= 11х —20. Сум- ма цифр искомого числа равна (х —2)4-х = 2х —2. Таким образом, получаем следующее уравнение: (11х—-20) (2х —2)= 144. 1 з Это уравнение имеет два корня: Xi=4 и х2=—. Так как х и (х —2) — это цифры числа, то x£N и г 0<х^9, I 0<х-2<9. Из найденных значений х этим условиям удовлетворяет только значение х{—4. Тогда искомым числом является число 24. Пример 2. Найдем два двузначных числа, о которых известно следующее: если к первому числу приписать справа второе число, а затем еще цифру 0, то получится пятизначное число, которое при делении на квадрат второго числа дает в частном 39, а в остатке 575; если же к первому числу приписать справа второе и затем из 74
152 . 355 \ 39 ’ 39 / составленного таким образом числа вычесть другое число, получен- ное приписыванием справа первого числа ко второму, то разность будет равна 1287. Решение. Пусть х — первое число и у — второе. После при- писывания справа числа у к числу х получится четырехзначное число х-100 + У, а после приписывания к этому числу справа цифры 0 получится (х-1004-у)Ю. Так как при делении этого числа на число у2 в частном получится 39 и в остатке 575, то (х •100 4- ^')10 = £/2 - 39 4-575. Это — первое уравнение составляемой системы уравнений. После приписывания справа двузначного числа х к двузначному числу у получится четырехзначное число у-100 4-*- Таким образом, получаем второе уравнение: (х-100 + г/)-(у-1004-л:)=1287. Итак, мы приходим к следующей системе уравнений: ( 1000x4-10t/ = 39г/2 4-575, I 99х —99у = 1287. Эта система имеет два решения: (48; 35) и По смыслу задачи х и у — натуральные числа, причем 10<х<99 и 10 < у <99. Из найденных решений этим условиям удовлетворяет только первое решение, т. е. искомыми являются числа 48 и 35. 2. Задачи на прогрессии. Числовая последовательность (ад) на- зывается арифметической прогрессией, если существует число d, такое, что для любого n£N выполняется равенство ап+[=ап + d; число d называется разностью прогрессии. Последовательность (Ьп\ у которой 0, называется геометрической прогрессией, если су- ществует число у=#0, такое, что для любого n^N выполняется равенство bn + \ = bn- q\ число q называется знаменателем прогрессии. Основные свойства арифметической прогрессии: 1) ап = а{ + d (п — 1). 2) Sn=^i^-n, где Sn = 4-«24--.- +«и. 3) Последовательность (а^ является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого n£N выполняется равенство ап+\=а,1^п±^ (характеристическое свойство арифметической прог- рессии). Основные свойства геометрической прогрессии: 1) bn = b{qn~[. 2) Sn = b' ) , если y=#l, и Sn = nb\, если y=l (Sn=b\-\- 4“ 624- ••• 4" bn). 3) Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого n£N выполняется равенство 75
Ibn +11 =ybn*bn+2 (характеристическое свойство геометрической прогрессии). _______ На практике вместо равенства |bn + i| = ^Ьп-Ьп + 2 удобнее ис- пользовать равносильное ему равенство ==Ьп-Ьп + 2. 4) Если геометрическая прогрессия является бесконечно убы- вающей, т. е. \q\ <1, то где S=Hbn. Пример 3. Найдем трехзначное число, цифры которого об- разуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45. Решение. Пусть х — цифра сотен, у — цифра десятков и z — цифра единиц искомого числа. Так как числа х, у, z образуют арифметическую прогрессию, то у=^^-. Так как искомое число делится на 45, то оно делится на 5 и на 9. Значит, оно оканчивает- ся либо цифрой 0, либо цифрой 5 и сумма его цифр делится на 9. Итак, возникают две возможности, и в соответствии с этим мы при- ходим к совокупности двух систем уравнений (отличающихся толь- ко первым уравнением): z==0, у 2 ’ х "I- у 2 z = 5, у=х-±^-, У 2 ’ x + y + z = 9/?, где k£N. Из первой системы находим jx = 2z/, t x-\-y = Qk. Перебрав целые значения у от 1 до 9, убеждаемся, что этой системе уравнений удовлетворяют лишь пары (6;3), (12; 6), (18; 9). Однако по смыслу задачи х и у — целые числа, удовлетворяющие неравен- ствам 1^х^9 и 0^г/^9. Этим условиям удовлетворяет только пара (6; 3). Из второй системы находим |2у = х + 5, I х У + 5 = 9&. Аналогично, перебрав целые значения у от 1 до 9, убеждаемся, что второй системе уравнений удовлетворяют пары (1; 3) и (7; 6). Итак, условиям задачи удовлетворяют три числа: 630, 135, 765. Пример 4. Найдем пятый член бесконечно убывающей гео- метрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Решение. Пусть последовательность Ь|, />2, Ьз, bn, ...— бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда Рассмотрим последовательность b?, bi, bl, ..., bl, ... . Члены этой последовательности также образуют бесконечно убывающую геомет- 76
рическую прогрессию. Первый член этой прогрессии равен Ь2, а ее знаменатель равен q2. Тогда ^^—40,5. Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений: Решив ее, получим 61=6, q=~. Тогда b^ = b\q3 4 =—. 3 27 Пример 5. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего числа отнять 4, то числа составят арифметичес- кую прогрессию. Если же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получим геометри- ческую прогрессию. Найдем эти числа. Решение. Пусть х, у, z — искомые числа. Так как они яв- ляются последовательными членами геометрической прогрессии, то, воспользовавшись характеристическим свойством геометрической прогрессии, получим y2 = xz. Так как, далее, числа х, у, (z — 4) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то, воспользовавшись характеристическим свойством арифметичес- кой прогрессии, получим . Так как, наконец, числа х, (//—1), (-3 — 5) являются последовательными членами геометри- ческой прогрессии, то {у— 1)2 = х (z — 5). Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений: 2 У = XZ, x-\-z — 4 = 2у, (У— 1)2 = х(г — 5). Она имеет два решения: (1; 3; 9) и (Т-; ^-) • Эти значения х, у, z удовлетворяют условию задачи. Таким образом, искомые 1 О n 1 7 49 числа: 1, 3 и 9 или —, — и —. 3. Задачи на совместную работу. Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему. Некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым (например, перепечатка рукописи, рытье котлована, заполнение резервуара и т. д.), выпол- няют. несколько человек или механизмов, работающих равномерно (т. е. с постоянной для каждого из них производительностью). В та- ких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за единицу. Время /, требующееся для выполнения всей работы, и V — производительность труда, т. е. величина рабо- ты, выполняемой за единицу времени, связаны соотношением 77
П р и м е р 6. Первому трактору на вспашку всего поля требует- ся на 2 ч меньше, чем третьему, и на 1 ч больше, чем второму. При совместной работе первого и второго тракторов поле может быть вспахано за 1 ч 12 мин. Какое время на вспашку поля будет затрачено при совместной работе всех трех тракторов? Решение. Примем величину работы (в данном случае это вспашка всего поля) за единицу. Пусть х ч — время, необходи- мое для вспашки поля первому трактору, у ч — второму и z ч — третьему трактору. Тогда ---производительность первого трактора, 1 1 х —---второго и -------третьего. По условию задачи z — х = 2 и х — у=1. Далее, так как при совместной работе первого и второго тракторов выполняется (~+~) часть работы в час, а вся работа выполняется ими за 1 ч 12 мин, т. е. за 4- ч, то —к—) = 1. 5 5 \ х у / В итоге приходим к следующей системе уравнений: ’ z — х = 2, х —//=1, А+А=1 Решив эту систему, получим (3; 2; 5), ( — 0,4; —0,6; 2,4). По смыслу задачи х>1, г/>0 и z>2. Из найденных решений этим условиям удовлетворяет только первое решение. Теперь ответим на вопрос задачи. При совместной работе трех тракторов производительность труда составит -—т. е. О 1 —. Значит, время на вспашку поля тремя тракторами состав- ляет ч. Пример 7. Имеющиеся в совхозе комбайны, работая вместе, могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану комбайны вступали в работу последовательно: в первый час работал лишь один комбайн, во второй — два, в третий — три и т. д. до тех пор, пока не начали работать все комбайны, действовавшие вместе до полной уборки урожая. Время работы, предусмотренное планом, уменьшилось бы на 6 ч, если бы с самого начала уборки постоянно работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько комбайнов было в совхозе? Решение. Примем величину всей работы равной 1 и введем три переменные: п — число комбайнов в совхозе, х — производи- тельность труда каждого комбайна за 1 ч, t ч — время совмест- ной работы всех комбайнов по плану. По условию п комбайнов, производительность каждого из которых х, могут выполнить работу за 24 ч, т. е. 24пх=1. 78
По плану в первый час действовал один комбайн, объем работы, выполненной им за этот час, равен х. Во второй час дей- ствовали два комбайна, объем работы, выполненной ими за этот час, равен 2х. В третий час три комбайна выполнили объем работы, равный Зх, и т. д., в (п— 1)-й час (n —1) комбайн выполнил объем работы, равный (п — 1) х. После этого в течение t ч действовали все п комбайнов, объем выполненной ими работы равен ntx. Плановая работа комбайнов в итоге описывается следующим уравнением: х4-2х + ... + (/?—-1) x-\-ntx = 1. (3) Заметим, что х-\-2х ++ — 1) х есть сумма (n—1) членов арифметической прогрессии (а„), у которой а\=х, d = x. Значит, х + 2х+... + (п - 1) X(п — 1) £ 2 и уравнение (3) принимает вид: ПХ (~2 Ь^)== 1- Наконец, из условия следует, что если бы с самого начала ра- ботали (лг — 5) комбайнов, то работа длилась бы не (п —1+0 ч, что было предусмотрено планом, а на 6 ч меньше, т. е, ((п — 1 +t)—6) ч, тогда (п +1 — 7) (п — 5)х = 1. В итоге получаем следующую систему уравнений относительно переменных и, %, /: {24пх= 1, +++0=1’ (п +1 — 7) (пх — 5%) = 1. Из первого уравнения находим пх = ^. Подставив это выраже- ние во второе и третье уравнения системы, получим: ++^ = 24, (п + /-7)(^— 5х)=1. Далее система без труда решается методом подстановки. Из первого уравнения х==2^’> из второго /=49£:--. Подставив эти значения х и t в третье уравнение, получим: 48м 79
откуда находим, что ni = 25, П2=—7. По смыслу задачи Этому условию удовлетворяют только п\ =25. Значит, в совхозе было 25 комбайнов. 4. Задачи на сплавы и смеси. Решение этих задач связано с по- нятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влаж- ность» и т. д. и основано на следующих допущениях: 1. Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны. 2. Не делается различия между литром как единицей емкости и литром как единицей массы. Если смесь (сплав, раствор) массы т состоит из веществ Л, В, С (которые имеют массы соответственно ть m2, m3, то величина — (соответственно — , — ) называется концентрацией вещества А т \ т т / (соответственно В, С) в смеси. Величина — • 100% (соответственно ~100%, -^’100%) называется процентным содержанием вещест- ва А (соответственно В, С) в смеси. Ясно, что ^4-214-^1 = 1 т т т т. е. от концентрации двух веществ зависит концентрация третьего. При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые сплавляются (сме- шиваются и т. д.). Пример 8. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди? Решение. Сплав состоит из меди и олова. Проследим за содержанием одного из этих веществ, например, олова в перво- начальном сплаве и в полученном. В 12 кг сплава было 45% меди, а олова в нем было 55%, 55 т. е. 12•— кг олова. Пусть к первоначальному сплаву добавили к кг олова. Тогда получилось (124-х) кг нового сплава, в котором олова стало 60%, т. е. 6"~ кг. Таким образом, получается следующее уравнение: 55-12 , 60 (12-Ьх) 100 "* 100 Решив это уравнение, найдем, что х = 1,5. По смыслу задачи х>0. Найденное значение х этому условию удовлетворяет. Итак, к пер- воначальному сплаву следует добавить 1,5 кг олова. Замечание. Наметим коротко составление уравнения, основанное на про- слеживании за содержанием в первоначальном и полученном сплавах меди, а не 45 олова. В первоначальном сплаве меди было 12 кг. Добавили х кг олова (меди не добавляли). Тогда получилось (12-f-x) кг нового 80
лп0/ 40 (12 4-%) 12-45 сплава, в котором меди 40%, т. е. —4~— кг. Получаем уравнение = 100 1ии _(12+%) 40 100 Пример 9. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали одного и другого сорта следует взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием нике- ля 30%? Решение. Проследим за содержанием никеля в сплавах. Взяв для переплавки х т стали, содержащей 5% никеля, непосредственно 5 никеля взяли при этом а взяв для переплавки у т стали, содер- жащей 40% никеля, никеля взяли при этом //-^-т. Так как в полученных 140 т нового сплава никеля стало содер- жаться 30%, т. е. 140-^ т, то получаем следующее уравнение: 5 V I 40 Н^30-140 100 “Г 100 У 100 Кроме того, х-\-у = 140. Таким образом, приходим к следующей системе уравнений: ( 5% 4-40//=140-30, I %4“^= 140. Из этой системы находим х = 40, //=100. По смыслу задачи 0<х<140, 0<//< 140. Найденные значения х и у этим условиям удовлетворяют. Итак, стали с 5%-ным содержанием никеля следует взять 40 т, а стали с 40%-ным содержанием никеля следует взять 100 т. Пример 10. Из сосуда, содержащего 54 л чистой кислоты, вылили несколько литров и после этого долили сосуд водой до преж- него объема. Затем из сосуда вылили смеси столько же литров, как и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде, оста- лось чистой кислоты 24 л. Сколько кислоты вылили в первый раз? Решение. Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, содержащей (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится -4- л кислоты. Во второй раз из сосуда вылили х л 54___________________________х смеси, т. е. кислоты вылили ... х л. 54 Итак, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй _ -54 х л кислоты, а всего за два раза вылили 54 — 24 = 30 (л) кис- лоты. Таким образом, получаем следующее уравнение: 81
Решив это уравнение, находим два корня: х\ = 90, %2=18. По смыслу задачи 0<х<54. Из найденных значений х этому условию удовлетворяет только х=18. Следовательно, в первый раз вылили 18 л кислоты. Пример 11. Сосуд емкостью 8 л заполнен смесью кислорода и азота, причем на долю кислорода приходится 16% емкости со- суда. Из этого сосуда выпускают некоторое количество смеси, допол- няют сосуд до прежнего объема азотом и вновь выпускают такое же количество смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом до 8 л. В результате в сосуде стало 9% кислорода. Сколько литров смеси выпускали из сосуда каждый раз? Решение. Пусть из сосуда выпускали каждый раз х л смеси и впускали в него х л азота. Тогда после первого выпускания в сосуде осталось (8 — х) л смеси, а кислорода в этой смеси осталось (8 —х)-0,16 л. Подсчитаем теперь, сколько кислорода осталось после второго выпускания смеси. Так как после впускания в сосуд х л азота оставшийся в нем кислород стал содержаться в 8 л смеси, то в 1 л смеси оказалось (8-х) 0,16 к-— л кислорода, о После того как произвели второе выпускание смеси, ее в со- суде осталось снова (8 —%) л, но в ней всего 0,16-(8 —х) л кислорода. тл (8 — х)2 0,16 Итак, мы подсчитали, что в смеси осталось v---g—— л кисло- рода. Это по условию задачи составляет 9% от 8 л, т. е. 8-0,09 л. Таким образом, мы приходим к следующему уравнению: (8-х)2 0,16 =8.0)09 Из этого уравнения находим х\ = 14 и х2 = 2. По смыслу за- дачи 0<х<8. Из найденных решений этому условию удовлет- воряет только х = 2. Значит, выпускали каждый раз по 2 л смеси. Пример 12. Имеется два сплава с различным процентным содержанием меди. Масса первого сплава а кг, а второго b кг. От каждого из сплавов отделили по куску равной массы и каж- дую из отделенных частей сплавили с остатком другого куска. В новых сплавах процентное содержание меди стало одинако- вым. Какова масса каждого из отрезанных кусков? Решение. Пусть х кг — масса каждого из отрезанных кус- ков, у% — процентное содержание меди в первом сплаве, z% — процентное содержание меди во втором сплаве. После перестановки частей массы х кг в полученном первом сплаве (рис. 1) меди будет а процентное содержа- 1оо 100 82
Рис. 1 а — х , х ------ Ц Ч------Z ние меди будет равно g 100—100%, т. е. равно (а~ Ь х В полученном втором сплаве (рис. 2) меди будет -y^-z + Ь —х х у а процентное содержание меди будет равно -1 -—X ХЮ0%, т. е. равно ——, По условию в полученных спла- вах процентное содержание меди одинаково. Значит, мы приходим к уравнению (a-x)y-\-xz_(b-x)z-[-xy a b * (1) Последовательно имеем: aby — bxy + bzx = abz — axz + аху, (aby — abz) — (bxy — bxz) — (axy — axz) = 0, ab (y — z) — bx (y—z) — ax (y— z) = 0, (y — z) (ab — ax— bx) = 0. По условию y=£z, значит, ab — ax — bx = 0, откуда находим Переменные у и z исключились в процессе решения по- лученного уравнения. По смыслу задачи 0<Сх<Са и 0<х<6. Убедимся, что найден- ное значение х этим условиям удовлетворяет. Действительно, так как ай>0 и а-\-Ь>0, то ясно, что х=-^—>0. Далее, так как a -J- о b<Za-\-b и а>0, то ab <а (а-\- Ь), откуда ввиду того, что а-\-Ь>0, ab получим а, или х<а. Аналогично убеждаемся, что x<Zb. Итак, масса каждого из отрезанных кусков равна кг. 5, Задачи на движение. При решении этих задач принимают следующие допущения: 1. Если нет специальных оговорок, то движение считают равно- мерным. 2. Скорость считается величиной положительной. 83
3. Всякие переходы на новый режим движения, на новое на- правление движения считают происходящими мгновенно. 4. Если тело с собственной скоростью х движется по реке, ско- рость течения которой равна у, то скорость движения тела по те- чению считается равной а против течения — равной (х —у). Пример 13. Из пункта А в пункт В отправляются три вело- сипедиста. Первый из них едет со скоростью 10 км/ч. Второй от- правляется через полчаса после первого и едет со скоростью 8 км/ч. Какова скорость третьего велосипедиста, если известно, что он вы- езжает через полчаса после второго и что он догоняет первого через 4 ч после того, как он догонит второго? Решение. Выразим время, которое потребуется третьему вело- сипедисту, чтобы догнать первого и второго велосипедистов. Пусть скорость третьего велосипедиста равна х км/ч. Тогда, сокра- щая расстояние до первого велосипедиста по (х—10) километров в час, отставание, образовавшееся за 1 ч и, следовательно, равное 10 км, третий велосипедист покроет за ч. Аналогично второго велосипедиста третий догонит за ч. (4 км — расстояние между третьим и вторым велосипедистами в момент старта третьего.) Таким образом, получаем следующее урав- нение: _12_____£_=4 х— 10 х — 8 Из этого уравнения находим Xi = 12, х2 = 7,5. По смыслу задачи скорость третьего велосипедиста должна быть больше, чем скорости первого и второго велосипедистов, т. е. х>10. Из найденных ре- шений этому условию удовлетворяет только х=12. Итак, скорость третьего велосипедиста равна 12 км/ч. Пример 14. Из пункта А в пункт В выехал грузовой автомо- биль, через час из Л в В выехал легковой автомобиль. В пункт В машины прибыли одновременно. Если бы из пунктов А и В машины выехали одновременно навстречу друг другу, то встреча произошла бы через 1 ч 12 мин после их выезда. Найдем время, за которое про- едет путь от Л до В грузовик. Решение. Пусть грузовик проезжает путь от А до В за х ч. Тогда легковой автомобиль проедет этот путь за (х — 1) ч. Принимая путь АВ равным у км, найдем, что скорость грузового автомоби- ля равна км/ч, а легкового км/ч. Так как при движении навстречу автомобили сближаются со скоростью км/ч, 6 а весь путь они проезжают за — ч, то получаем следующее урав- нение: 84
В этом уравнении неизвестных величин две. Однако после деле- ния обеих частей уравнения на у=^0 получим уравнение содержащее уже только искомую неизвестную величину х. Решая это уравнение, находим %i=3, х2 = 0,4. По смыслу задачи х>1. Более того, ясно, что грузовик проедет путь АВ за время, большее чем -|-ч, т. е. Из найденных зна- чений х, таким образом, следует отобрать только х = 3. В итоге при- ходим к выводу, что время, за которое грузовик проезжает путь от А до В, равно 3 ч. Пример 15. Путь от пункта А до пункта В, по которому едет велосипедист, состоит из трех участков, причем длина первого в 6 раз больше длины третьего участка. Найдем среднюю скорость движения на всем пути ЛВ, если известно, что она равна скорости движения на втором участке, на 2 км/ч меньше скорости движения на первом участке и на 10 км/ч больше половины скорости движе- ния на третьем участке. Решение. Пусть искомая средняя скорость велосипедиста рав- на х км/ч, расстояние АВ равно S км и длина третьего участка у км. Тогда длина первого участка равна бу км, а длина второго рав- на (S — 7у) км. Время, затраченное велосипедистом на весь путь, равно у-ч, а с другой стороны на прохождение первого участка 6п S — 7у . у пути он затратил —ч, второго----------- ч, третьего — ч. X “I- Л X Л 1 Uy (скорость v велосипедиста на третьем участке связана со средней скоростью х условием х=-^—НЮ). Сумма этих дробей и состав- Л бу км z км у км В (X+2)^1 (2Х-2О)^ Рис. 3 ляет —. На рисунке 3 представлена схема движения велоси- педиста. Итак, мы получаем уравнение: 6# . S — 7y , у _S x-j-2 ' х ’ 2х — 20 х Решим составленное уравнение: 6j/ I S____7у , S_ х4"2~Г"х х ' 2х — 20 . х 1 §У 7у \ у *4-2 х ~Г2х-20 85
По смыслу задачи z/#=0, поэтому при делении обеих частей послед- него уравнения на у потери решений не будет. Итак, ЗПГ-9-т4-57_?о = 0’ 0ТКУда Х| = 14> -«2=-20. По смыслу задачи все скорости положительны, т. е. х>0, % + 2>0 и 2х— 205>0. Значит, х>>10. Из найденных корней этому условию удовлетворяет только х=14. Таким образом, средняя скорость велосипедиста на всем пути АВ равна 14 км/ч. Пример 16. В реку впадает приток. Катер отходит от пункта А, находящегося на притоке, идет по течению 80 км до впадения притока в реку в пункте В, а затем идет вверх по реке до пункта С. На путь от Л до С он затратил 18 ч, на обратный путь — 15 ч. Най- дем расстояние от пункта В до пункта С, если известно, что ско- рость течения реки 3 км/ч, а собственная скорость катера 18 км/ч. Решение. Пусть расстояние от пункта В j\q пункта С равно х км. Выразим время, за которое катер проходит путь от А до С. Для этого придется ввести еще одну переменную, положим скорость течения в притоке равной у км/ч. Тогда скорость катера при движении в притоке от А до В (по течению) равна (18+у) км/ч, а при дви- жении от В к А равна (18—у) км/ч. Время, затраченное на путь от А к В, равно 18^_^ ч, а на путь от В к Д — lg8^ ч. При движе- нии катера по реке от В к С (против течения) скорость его равна 18—3= 15 (км/ч), а при движении от С к В равна 18 + 3 = 21 (км/ч). Следовательно, время, затраченное на путь от В к С, равно р|-ч, а на путь от С к В — ч. Таким образом, получаем следующую систему уравнений: {$0 [ X 1 £ 18+7+Т5- ’ —+-^—=15. .21 '18 — 1/ Из этой системы находим: ГХ|=21О, |х2=19—, Ь'=2; I L \У2= —66. По смыслу задачи х>0 и 0<у<18. Из найденных решений этим условиям удовлетворяет только первое. Это значит, что рас- стояние от пункта В до пункта С равно 210 км. Пример 17. По окружности, длина которой 100 м, движутся равномерно две точки. Они встречаются через каждые 4 с, двигаясь в противоположных направлениях, и через каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Найдем скорости этих точек. 86
Решение. Пусть скорость первой точки хЛ, а второй у--, причем пусть х>у. За 4 с первая точка проходит путь 4х м, а вто- рая — 4у м. Так как при движении в противоположных направле- ниях каждые 4 с происходит встреча этих точек, т. е. суммарно за 4 с они проходят 100 м, то первое уравнение будет таким: 4х-{-4у= 100. При движении в одном направлении первая точка догоняет вторую каждые 20 с. Это значит, что за 20 с первая точка проходит путь на один оборот (т. е. на 100 м) больше второй. За 20 с первая точка проходит путь 20х м, а вторая — 20у м. Таким образом получаем вто- рое уравнение: 20х — 20у = 100. В итоге приходим к системе уравне- ний: (4х + 4у= 100, I 20а; — 20//=100, из которой находим х=15, у= 10. По смыслу задачи х>у>0. Ясно также, что 4х<100, 4//<100 и 20х>100. Таким образом, 5<х<25, 0<у<25. Найденные зна- чения х и у этим условиям удовлетворяют. Значит, скорость пер- вой точки 15 м/с, а второй — 10 м/с. Прежде чем переходить к следующему примеру, заметим, что к задачам на движение можно отнести (условно) задачи на любые равномерные процессы (шлифовка деталей, заполнение резервуаров, перепечатка рукописей и т. д.). Пример 18. В резервуар поступает вода из двух труб различ- ных диаметров. В первый день обе трубы, работая одновременно, подали 14 м3 воды. Во второй день была включена лишь малая труба. Она подала 14 м3 воды, проработав на 5 ч больше, чем в пер- вый день. В третий день работа продолжалась столько же времени, сколько во второй, но сначала работали обе трубы, подав 21 м3 во- ды, а затем работала лишь большая труба, подавшая еще 20 м3 воды. Найдем производительность каждой трубы. Решение. Пусть х м3/ч — производительность большой тру- бы, у м3/ч — производительность малой трубы, t ч — время рабо- ты обеих труб в первый день. Тогда в первый день трубы подали (*+уН м3 воды, что по условию составляет 14 м3. Получим первое уравнение: (x-\-y) t— 14. Во второй день малая труба работала (/ + 5) ч, подала у (/ + 5) м3 воды, что по условию составляет 14 м3. Получим второе уравнение: у^ + 5)=14. В третий день сначала работали обе трубы, подавшие 21 м3 воды, значит, их совместная работа продолжалась Затем работала одна большая труба, подавшая 20 м3 воды, значит, ее работа продолжалась ч. Так как работа в третий день дли- лась столько же времени, сколько во второй день, то получим третье уравнение: ^-р^—|-—=/ + 5. Мы пришли к системе уравнений: 87'
(х + у)/=14, у(/ + 5)=14, 21_ 20 5. х + у X Из второго уравнения системы находим /-|-5 = —, тогда первое у 14 14 £ ——-------5, а Тре. х + у У . Получим систему из двух уравне- х у , 14 14 J х + у~~ у 21_____.20 G + f/ ' х у обоих уравнениях от знаменателей, получим: ( 5ху + 5//2= 14х, 1 14х2 —27ху —20у2 = 0. уравнение системы можно переписать в виде 21 . 20 14 тье — в виде —— 1 • х+у НИЙ 5, 14 Освободившись в Второе уравнение системы однородное. Разделив обе его части почленно на у2 и положив г = -^-, получим квадратное уравнение 14г2 —27г —20 = 0, корни которого 2i=-|~, 2'2=— у-. Так как по смыслу задачи х>0 и у>0, то из найденных значений оставляем только zi=—. Теперь осталось решить систему уравнений {х 5 У ~ 2 ’ = 14х. Из нее находим х=5, у = 2. Как уже отмечалось, по смыслу зада- чи х>0, у>0. Найденные значения х и у этим условиям удовлет- воряют. Таким образом, производительность большой трубы 5 м3/ч, а малой — 2 м3/ч. Упражнения 480. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 10. Если от искомого числа отнять 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число. 481. Какое двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше произведения цифр? 482. Найдите два целых числа, сумма которых равна 1244. Если к первому числу приписать справа цифру 3, а во втором числе отбросить последнюю цифру 2, то полученные числа будут равны. 483. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести в начало числа, то новое число будет больше утроенного первоначального числа на 1. Найдите исходное число. 484. Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенес- ти с первого места на последнее, сохранив порядок остальных цифр, то вновь 88
полученное число будет втрое больше первоначального. Найдите первоначальное число. 485. Сумму всех четных двузначных чисел разделили без остатка на одно из них. Найдите делитель, если известно, что сумма его цифр равна 9 и что частное отлича- ется от делителя только порядком цифр. 486. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном полу- чится 7 и в остатке 6. Если же это двузначное число разделить на произведе- ние его цифр, то в частном получится 3, а в остатке число, равное сумме цифр исходного числа. Найдите исходное число. 487. Сумма двух трехзначных чисел, записанных одинаковыми цифрами, но в обратном порядке, равна 1252. Найдите эти числа, если сумма цифр каждого равна 14, а сумма квадратов цифр равна 84. 488. Однозначное число увеличили на 10. Если теперь полученное число увели- чить на столько же процентов, как и в первый раз, то получится 72. Найдите исходное однозначное число. 489. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем масса серебра 2 составляет 14у % массы меди. Сколько серебра в сплаве? 490. Два завода по плану должны были выпустить за месяц 360 станков. Первый завод выполнил план на 112%, а второй — на 110%, вместе заводы выпусти- ли за месяц 400 станков. Сколько станков сверх плана выпустил каждый завод в отдельности? 491. Для выпечки пшеничного хлеба взято столько килограммов муки, сколько процентов составляет припек на эту муку. Для выпечки ржаного хлеба взято на 10 кг муки больше, а именно столько килограммов, сколько процентов составляет припек на ржаную муку. Сколько взято той и другой муки, если выпечено всего 112,5 кг хлеба? 492. Бригада по плану должна выпустить 360 деталей. Первые восемь дней она перевыполняла дневной план на 20%. Оставшиеся дни она перевыполняла план на 25%. В результате бригада сделала на 82 детали больше, чем требовалось по плану. Сколько дней работала бригада? 493. В начале года на сберегательную книжку было положено 1600 р. и в кон- це года взято 848 р. В конце второго года на книжке оказалось 824 р. Сколько про- центов начисляет сберкасса в год? 494. В конце года вкладчику на его сбережения сберкасса начислила проценты, что составило 6 р. Добавив 44 р., вкладчик оставил деньги еще на год. По истече- нии года вновь были начислены проценты, и теперь вклад вместе с процентами со- ставил 257 р. 50 к. Какая сумма первоначально была положена на книжку? 495. Количество студентов в институте, увеличиваясь на одно и то же число процентов ежегодно, возросло за три года с 5000 до 6655 человек. На сколько про- центов увеличивалось число студентов ежегодно? 496. Объем вещества Л составляет половину суммы объемов веществ В и С, а объ- ем вещества В составляет 20% суммы объемов веществ А и С. Найдите отношение объема вещества С к сумме объемов веществ Л и В. 497. В результате реконструкции цеха число высвободившихся рабочих заключе- но в пределах от 1,7 до 2,3% от общего числа рабочих цеха. Найдите минимальное число рабочих, которое могло быть занято в цехе до реконструкции. 498. Число студентов курса, успешно сдавших все зачеты, заключено в пределах от 96,8 до 97,2% от общего числа студентов. Найдите минимальное число студен- тов, которое может быть на таком курсе. 499. Сколько членов геометрической прогрессии нужно сложить, чтобы получить сумму 3069, если «i+i/5 = 51; u2-hw6=102? 500. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй ее член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена этой прогрессии на ее шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найдите сумму 20 членов этой прогрессии. 501. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдите первый член и знаменатель прогрессии. 502. Найдите четыре числа, первые три из которых образуют арифметическую 89
прогрессию, а последние три — геометрическую; сумма крайних чисел равна 66, а сум- ма средних — 60. 503. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, образую- щие арифметическую прогрессию. Найдите седьмой член геометрической прогрессии. 504. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если из цифры, выражающей число сотен, вычесть 4, а остальные цифры искомого числа оставить без изменения, то полу- чится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию. 505. Найдите четырехзначное число, первые три цифры которого образуют воз- растающую арифметическую прогрессию, если известно, что оно делится на 225. 506. Три брата, числа лет которых образуют геометрическую прогрессию, делят между собой некоторую сумму денег пропорционально возрасту. Если бы ту же сум- му денег они разделили пропорционально своему возрасту через три года, то младший брат получил бы на 105 р. больше, а средний — на 15 р. больше, чем теперь. Сколько лет каждому из братьев, если известно, что разница в возрасте между старшим и младшим равна 15 годам? 507. Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13 членов равно 1/2, а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме членов без последних трех равно 4/3. 508. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна Про- прогрессии, „ 1 грессия содержит член, равный —. 6 Отношение суммы всех членов предшествующих члену, равному —, к сумме членов, следующих за ним, равно 30. Определите номер члена, равного 1 6 ' 509. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а в каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты 5700 м? 510. Алеша, Боря и Вася покупали блокноты и карандаши. Алеша купил 4 ка- рандаша и 2 блокнота, Боря — 6 карандашей и блокнот, Вася — 3 карандаша и блокнот. Сколько стоит блокнот, если известно, что карандаш стоит 3 к, а суммы денег, потраченные Алешей, Борей и Васей, образуют в указанном порядке геомет- рическую прогрессию? 511. Коля, Петя, Миша и Ваня ловили рыбу. Оказалось, что количество рыб, пойманных Колей, Петей и Мишей, образует в указанном порядке геометрическую прогрессию. Если бы Коля поймал на 2 рыбы меньше, а Ваня — на 12 меньше, чем на самом деле, то количества рыб, пойманных Колей, Петей, Мишей и Ваней об- разовали бы в указанном порядке арифметическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша, если известно, что он поймал на 18 рыб меньше Вани? 512. Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют бассейн за 4 ч. Для заполнения половины бассейна первому насосу требуется времени на 4 ч боль- ше, чем второму для заполнения трех четвертей бассейна. За какое время может на- полнить бассейн каждый насос в отдельности? 513. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 12 ч. Если бы сна- чала первый рабочий сделал половину этой работы, а затем другой остальную часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выпол- нить эту работу каждый рабочий в отдельности? 514. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 мин совместной ра- боты первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 ч 15 мин. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму на это понадобится на 1 ч больше, чем первому? 515. Два токаря должны были изготовить определенное число деталей. После трехчасовой совместной работы продолжал работать только второй токарь, который проработал еще 4 ч. После этого задание оказалось перевыполненным на 12,5%. За 90
какое время мог бы выполнить задание каждый токарь, если известно, что второму на это понадобится на 4 ч меньше, чем первому? 516. Бассейн может наполниться водой из двух кранов. Если первый кран открыть на 10 мин, а второй — на 20 мин, то бассейн будет наполнен. Если первый кран открыть 3 на 5 мин, а второй — на 15 мин, то заполнится — бассейна. За какое время из каждого крана в отдельности может заполниться весь бассейн? 517. Две бригады работали вместе 15 дней, а затем к ним присоединиллсь -регья бригада, й через 5 дней после этого вся работа была закончена. Известно, ч?о гторая бригада вырабатывает за день на 20% больше первой. Вторая и трется бригады 9 вместе могли бы выполнить всю работу за того времени, которое требуется для выполнения всей работы первой и третьей бригадами при их совместной работе. За какое время могли бы выполнить всю работу все три бригады, работая совместно? 518. Для разгрузки баржи выделены бригады грузчиков. Если ко времени, за которое первая бригада может разгрузить баржу, прибавить время, за которое вторая бригада может разгрузить баржу, то получится 12 ч. За сколько часов каж- дая бригада может разгрузить баржу, если разность этих часов составляет 45% всего времени, за которое обе бригады могут разгрузить баржу, работая совместно? 519. Для прокладки траншеи выделены два экскаватора разных типов. Вре- мя, необходимое первому экскаватору для прокладки траншеи, на 3 ч меньше вре- мени, необходимого второму экскаватору для прокладки этой траншеи. Сколько часов требуется каждому экскаватору для прокладки траншеи, если сумма этих 144 часов в раза больше времени, необходимого для прокладки траншеи при 35 совместной работе? 520. Теплоход загружается подъемными кранами. Сначала в течение 2 ч работали четыре крана одинаковой мощности, затем к ним присоединились еще два крана, но меньшей мощности, и через 3 ч после этого погрузка была закончена. Если бы все краны начали работать одновременно, то погрузка была бы закончена за 4,5 ч. За сколько времени выполнят погрузку один кран большей и один кран меньшей мощности при совместной работе? 521. В котлован равномерно поступает вода. 10 одинаковых насосов, действуя одновременно, могут откачать воду из заполненного котлована за 12 ч, а 15 таких насосов — за 6 ч. За сколько времени могут откачать воду из заполненного котло- вана 25 таких насосов при совместной работе? 522. Две фабрики должны совместно переработать некоторое количество сырья. Если бы производительность второй фабрики повысилась вдвое, то время, необхо- 2 димое фабрикам для выполнения работы, уменьшилось бы на — времени, необ- 15 ходимого для выполнения работы одной первой фабрикой. На какой фабрике произ- водительность выше и во сколько раз, если известно, что каждая фабрика переработа- 1 ла не менее — всего объема сырья? 523. Две бригады, работая совместно, вырыли траншею за 2 дня. После этого они начали рыть траншею той же глубины и ширины, но длиннее первой в 5 раз. Снача- ла работала только первая бригада, а затем только вторая бригада, выполнив в пол- тора раза меньший объем работы, чем первая бригада. Рытье второй траншеи было закончено за 21 день. За сколько дней вторая бригада смогла бы вырыть первую траншею, если известно, что объем работы, выполняемый первой бригадой за один день, больше объема работы, выполняемого за один день второй бригадой? 524. Резервуар снабжается водой по пяти трубам. Через первую трубу резер- вуар наполняется водой за 40 мин, через вторую, третью и четвертую трубы, рабо- тающие одновременно,— за 10 мин, через вторую, третью и пятую вместе — за 20 мин и, наконец, через пятую и четвертую — за 30 мин. За какое время напол- нится резервуар при одновременной работе всех пяти труб? 525. Три автоматические линии выпускают одинаковую продукцию, но имеют разную производительность. Производительность всех трех одновременно действую- щих линий в 1,5 раза выше производительности первой и второй линий, работаю- 91
щих одновременно. Сменное задание для первой линии вторая и третья линии, ра- ботая одновременно, могут выполнить на 4 ч 48 мин быстрее, чем его выполняет первая линия; это же задание вторая линия выполняет на 2 ч быстрее по сравнению с первой линией. Найдите время выполнения сменного задания первой линией. 526. Два. трактора вспахивают поле, разделенное на две равные части. Оба трактора начали работать одновременно, причем каждый на своей половине. Через 5 ч после того момента, когда они совместно вспахали половину всего поля, вы- 1 яснилось, что первому трактору осталось вспахать — часть своего участка, а вто- 3 1 рому------ своего. Сколько времени понадобится второму трактору, чтобы вспахать поле? 527. Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Это же поле первая и вторая бригады вместе могут вспахать за 6 дней, а первая и третья вмес- те — за 8 дней. Во сколько раз площадь, вспахиваемая за день второй бригадой, больше, чем площадь, вспахиваемая за день третьей бригадой? 528. Танкер заполняется нефтью при работе двух труб, причем каждая из них заполнила более 0,25 его объема. Если бы количество нефти, поступающее в час через первую трубу, было в 1,5 раза больше, а количество нефти, поступающее через вторую трубу, было бы в 4 раза меньше, то время, необходимое для запол- нения танкера, увеличилось бы на — часть того времени, которое необходимо для заполнения танкера через одну первую трубу. Через какую трубу поступает нефти больше и во сколько раз? 529. Три экскаватора заняты на рытье котлована. Разность производительности первого и третьего экскаваторов в 3 раза больше разности производительности третье- 4 го и второго экскаваторов. Первый экскаватор выполняет — всей работы за не- э которое время. Такое же время потребуется, если сначала второй экскаватор выпол- 1 9 нит — всей работы, а затем третий экскаватор — оставшейся работы. Во сколь- 1D Ло ко раз производительность первого экскаватора больше производительности вто- рого? 530. Одну и ту же работу могут выполнить три бригады. Первая бригада выпол- 2 няет — всей работы за некоторое время. Такое же время потребуется, если сна- чала третья бригада выполнит — всей работы, а затем вторая бригада выполнит О — оставшейся работы. Производительность третьей бригады равна полусумме производительностей первой и второй бригад. Во сколько раз производительность второй бригады больше производительности третьей бригады? 531. Две бригады штукатуров, работая совместно, оштукатурили жилой дом за 6 дней. В другой раз они оштукатурили клуб и выполнили втрое больший объем работы, чем на штукатурке жилого дома. В клубе сначала работала первая бригада, а затем ее сменила вторая бригада и довела работу до конца, причем первая бригада выполнила объем работы, вдвое больший, чем вторая. Клуб они оштука- турили за 35 дней. За сколько дней первая бригада смогла бы оштукатурить жилой дом, если известно, что вторая бригада потратила бы на это более 14 дней? 532. На угольной шахте сначала работали два участка, а через некоторое время вступил в строй третий участок, в результате чего производительность шахты уве- личилась в полтора раза. Сколько процентов составляет производительность вто- рого участка от производительности первого, если за 4 месяца первый и третий участки вместе выдают столько же угля, сколько выдает второй участок за весь год? 533. Нефть в резервуар поступает по трем трубам и выкачивается по четвер- той. В первый день третья и четвертая трубы работали по 6 ч, вторая — 5 ч, пер- вая — 2 ч. В результате уровень нефти повысился на 4 м. Во второй день первая и вторая трубы работали по 3 ч, третья — 9 ч, четвертая — 4 ч. В результате уро- 92
вень поднялся еще на 6 м. В третий день в течение 6 ч работали вторая и четвертая трубы. Поднялся или опустился уровень нефти в третий день? 534. При смешивании 40%-ного раствора кислоты с 10%-ным раствором кислоты получили 800 г 21,25%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято? 535. Имеется 735 г 16%-ного раствора йода в спирте. Нужно получить 10%-ный раствор йода. Сколько граммов спирта нужно прибавить к имеющемуся раствору? 536. Имеется сталь двух сортов, один из которых содержит 5%, а другой 10% ни- келя. Сколько тонн каждого из этих сортов нужно взять, чтобы получить сплав, содер- жащий 8% никеля, если во втором куске никеля на 4 т больше, чем в первом? 537. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%. Сколько железа осталось в руде? 538. Свежие огурцы, содержащие 98% воды, весили 100 кг. Когда огурцы немного усохли, то воды в них стало 96%. Сколько стали весить огурцы после усыхания? 539. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6% примесей. Ка- ков процент примесей в руде? 540. Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, после перера- ботки получается 30 т сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта? 541. Свежие грибы содержат 90% воды, а сушеные— 12%. Сколько получится сушеных грибов из 88 кг свежих? 542. Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от зна- чительной части воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда, если известно, что нектар содержит 70% воды, а полученный из него мед— 17% воды? 543. Два металла содержатся в каждом из двух взятых сплавов. В первом сплаве металлы находятся в отношении 1:2, а во втором — в отношении 3:2. В ка- ком отношении нужно взять части этих сплавов, чтобы получился новый сплав с отношением металлов 8:7? 544. Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раство- ра — 4 л, другого — 6 л. Если их слить вместе, то получится 35%-ный раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36%-ный раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных раство- ров? 545. 40 кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в первом сосуде. Если во второй сосуд добавить 1 кг смеси, то количество соли в нем будет в 2 раза больше, чем в первом сосуде. Найдите массу раствора, находящегося в первом сосуде. 546. Имеются два раствора соли в воде, первый 40%-ный, второй 60%-ный. Их смешали, добавили 5 кг воды и получили 20%-ный раствор. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 80%-ного раствора, то получился бы 70%-ный раствор. Сколько было 40%-ного и 60%-ного растворов? 547. Имеются три слитка. Масса первого 5 кг, второго — 3 кг, и каждый из них содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится сли- ток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найдите массу третьего слитка и процентное содер- жание меди в нем. 548. Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве равных по массе час- тей первого и второго слитков получится слиток, в котором содержится 35% золота? 549. Сплав меди с серебром содержит меди на 2 кг больше, чем серебра. Если 9 к сплаву добавить — того количества серебра, которое в нем содержится, то процентное содержание серебра в новом сплаве будет равно процентному содержанию меди в первоначальном сплаве. Найдите массу первоначального сплава. 550. Из двух жидкостей первая имеет температуру а°, а вторая — Ь°. Если сме- шать некоторое количество первой и второй жидкостей, то полученная смесь будет 93
иметь температуру с°. Какова будет температура смеси, если взять первой жидкости столько, сколько предполагалось взять второй, а второй — столько, сколько предпо- лагалось взять первой? 551. Сплавляя два одинаковых по массе куска чугуна с разным содержанием хрома, получили сплав, в котором содержалось 12 кг хрома. Если бы масса первого куска была бы в 2 раза больше, то в сплаве содержалось бы 16 кг хрома. Извест- но, что содержание хрома в первом куске на 5% меньше, чем во втором. Найдите про- центное содержание хрома в каждом куске чугуна. 552. Имеются два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Мас- са первого слитка 2 кг, второго — 3 кг. Их сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с медью, в котором цинка было 45%, и получили сплав цинка с медью, в котором цинка стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в первом сплаве было та- ким, как процентное содержание цинка во втором, и, наоборот, процентное содержа- ние цинка во втором — таким, как оно было в первом, то, сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором содержание цинка 60%, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55%. Каково процентное содержание цинка в первом и во втором слитках? 553. Имеются два слитка, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый слиток содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором слитках одинаково. Сплавив 150 кг первого слитка и 250 кг второго, получим сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограм- мов олова содержится в получившемся новом сплаве? 554. Сосуд емкостью 12 л наполнен кислотой. Из него выливают некоторое количество кислоты во второй сосуд такой же емкости и второй сосуд дополняют водой. Теперь смесью из второго сосуда дополняют первый сосуд. Затем из первого сосуда переливают 4 л во второй, после чего в обоих сосудах количество чистой кислоты (в растворах) оказывается одинаковым. Сколько кислоты первоначально пе- релито из первого сосуда во второй? 555. В сосуд с водой налили 6 л 64%-ного раствора спирта, а затем после пол- ного перемешивания вылили 6 л получившегося раствора. Такую операцию повтори- ли 3 раза. Сколько воды было первоначально в сосуде, если известно, что объем выражается целым числом литров, не превышающим 10 л, и что окончательная кон- центрация спирта в нем стала равной 56%? 556. В куске сплава массой 6 кг содержится медь. В куске другого сплава мас- сой 8 кг содержится медь в процентном отношении, вдвое меньшем, чем в первом кус- ке. От первого куска отделили некоторую часть, а от второго куска отделили часть по массе, вдвое большую, чем от первого куска. Каждую из этих частей сплавили с остатком другого куска, после чего получилось два новых сплава с одинаковым про- центным содержанием меди. Какова масса каждой из частей, отделенных от кусков первоначально? 557. Из сосуда, наполненного глицерином, отлили 2 л глицерина, а к оставшемуся глицерину долили 2 л воды. После перемешивания отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. Наконец, опять перемешали смесь и отлили от нее 2 л, а долили 2 л воды. В результате этих операций объем воды в сосуде стал на 3 л больше объема оставшего- ся в нем глицерина. Сколько литров глицерина и воды оказалось в сосуде в резуль- тате всех переливаний? 558. Из двух баков первый заполнен чистым глицерином, а второй — водой. Взяли два трехлитровых ковша. Первым ковшом зачерпнули содержимое первого ба- ка, а вторым ковшом — содержимое второго бака, после чего первый ковш влили во второй бак, а второй ковш — в первый бак. Затем после перемешивания такую опе- рацию повторили еще раз, в результате чего чистый глицерин занял половину объема первого бака. Найдите объемы баков, если известно, что их суммарный объем в 10 раз больше объема первого бака. 559. Туристу надо пройти расстояние от деревни до станции. Пройдя 3 км за час, он понял, что опоздает на поезд, и пошел со скоростью 4 км/ч. На станцию он пришел за 45 мин до отхода поезда. Если бы он шел с первоначальной скоростью, то опоз- дал бы на поезд на 40 мин. Определите расстояние от деревни до станции. 560. Пассажир, сидящий в поезде, который идет со скоростью 40 км/ч, заметил, что мимо окна в противоположном направлении в течение 3 с прошел встречный поезд, длина которого 75 м. Какова скорость встречного поезда? 94
561. Велосипедист должен был проехать 48 км с определенной средней скоростью. Но по некоторым причинам первую половину пути он ехал со скоростью, на 20% меньшей, а вторую половину пути — на 2 км большей, чем ему полагалось. На весь путь велосипедист затратил 5 ч. Найдите предполагаемую вначале скорость. 562. Три тела движутся по прямой линии от точки А к точке В. Второе тело начало двигаться на 5 с, а третье — на 8 с позже первого. Скорость первого тела меньше скорости второго на 6 см/с. Скорость третьего тела равна 30 см/с. Найдите расстояние АВ и скорость первого тела, если известно, что все три тела достигают точки В в один и тот же момент. 563. Самолет летел сначала со скоростью 220 км/ч. Когда ему осталось лететь на 385 км меньше, чем он пролетел, скорость его стала равной 330 км/ч. Средняя ско- рость самолета на всем пути равна 250 км/ч. Какое расстояние пролетел самолет? 564. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость первого поезда на 10 км/ч больше скорости второго. Поезда встретились в 28 км от середины пути АВ. Если бы первый поезд отправился из А на 45 мин позже второго, то поезда встретились бы в середине пути АВ. Найдите расстояние АВ и скорости обоих поездов. 565. Два школьника вышли одновременно из дома в школу с одинаковой скоростью. Через 3 мин один из товарищей вспомнил, что забыл дома нужную книгу, и побежал обратно со скоростью, большей первоначальной на 60 м/мин. Взяв книгу, он побежал обратно с такой же скоростью и догнал товарища, который шел с постоянной скоростью, уже у дверей школы. Найдите скорости учеников, если рас- стояние от школы до дома равно 280 м. 566. Два пешехода, находящиеся в пунктах А и В, расстояние между которыми равно 27 км, выходят из этих пунктов одновременно. Они встречаются через 3 ч, если идут навстречу друг другу, и один догоняет другого через 9 ч, если они идут в од- ном направлении. Найдите скорость каждого пешехода. 567. По двум сторонам прямого угла по направлению к его вершине движутся два тела. В начальный момент тело А отстояло от вершины прямого угла на 60 м, а тело В — на 80 м. Через 3 с расстояние между А и В стало равным 70 м, а еще через 2 с — 50 м. Найдите скорости каждого тела. 568. Из пунктов А и В, находящихся друг от друга на расстоянии 120 км, к пункту С ведут две дороги, причем ЛЛ СВ =60°. Из А в С выехал грузовик со ско- ростью 40 км/ч, одновременно с ним из В в С выехал автобус со скоростью 60 км/ч. Найдите время движения обеих машин до пункта С, если известно, что автобус при- был в С на час раньше грузовика. 569. Расстояние между двумя городами по реке равно 80 км. Катер проходит это расстояние дважды (вверх и вниз) за 8 ч 20 мин. Определите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. 570. Катер прошел против течения реки 8 км, повернул обратно и прошел по течению 36 км. Весь рейс длился 2 ч. Потом катер прошел против течения реки 6 км и по течению 33 км, затратив на этот второй рейс 1 ч 45 мин. Найдите скорость катера в стоячей воде. 571. В озеро впадают две реки. Катер отплывает от пристани А, находящейся на первой реке, плывет 24 км до озера, далее плывет 2 ч по озеру и затем 32 км по второй реке до пристани В, затратив 8 ч на весь путь от А до В. Если бы катер проплыл по озеру еще дополнительно 18 км, то на весь путь от Л до В он затратил бы 10 ч. Найдите скорость течения каждой реки, если известно, что скорость течения первой реки на 2 км/ч больше скорости течения второй реки. 572. Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Когда первый прошел половину пути, второму до конца пути оставалось еще 24 км. Когда второй прошел половину пути, первому до конца оставалось еще 15 км. Сколько километров останется пройти второму пешеходу до А после того, как первый закончит переход из пункта А в пункт В? 573. Из пунктов А и В вышли навстречу друг другу два поезда, причем вто- рой поезд вышел на полчаса позже первого. Через 2 ч после выхода первого поезда расстояние между ними составляло 19/30 расстояния между А и В. Поезда встретились на середине АВ. За сколько часов каждый поезд пройдет путь АВ? 574. Расстояние между городами Л и В равно 60 км. Два поезда выходят одно- временно: один из Л в В, другой из В в Л. Пройдя 20 км, поезд, идущий из Л в В, оста- 95
навливается на полчаса, затем, пройдя 4 мин, встречает поезд, идущий из В. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов. 575. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу. Велосипедист, ехавший из А, прибыл в В через 4 ч после встречи, а вело- сипедист, ехавший из В, прибыл в А через 9 ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый велосипедист? 576. Из пункта А вверх по реке отправилась моторная лодка, а из пункта В, на- ходящегося выше пункта А, одновременно вышел плот. Через а ч они встретились и далее двигались без остановок. Дойдя до В, лодка, не задерживаясь, повернула об- ратно и догнала плот в пункте А. Сколько времени плыли плот и лодка до встречи в пункте Д? 577. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 ч быстрее товарного и на 1 ч быстрее пассажирского. Известно, что скорость товарного поезда составляет — скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скоро- о го поезда. Найдите скорости товарного и скорого поездов. 578. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 2400 км, навстречу друг другу вышли одновременно пассажирский и скорый поезда. Каждый из них идет с постоянной скоростью, и в некоторый момент времени они встречаются. Если бы оба поезда шли со скоростью скорого поезда, то их встреча произошла бы на 3 ч раньше фактического момента встречи. Если бы оба поезда шли со скоростью пассажирского поезда, то их встреча произошла бы на 5 ч позже фактического момен- та встречи. Найдите скорости поездов. 579. Теплоход отплыл из порта А в порт В, и через 7,5 ч вслед за ним из А вышел катер. В середине пути из А в В катер догнал теплоход. Когда катер прибыл в В, теплоходу оставалось плыть 3/10 всего пути. Сколько времени требуется теплоходу на прохождение расстояния от А до В? 580. Из пункта А в пункт В вышел пассажирский поезд. Через 3 ч вслед за ним из А вышел скорый поезд. Скорый поезд догнал пассажирский в середине пути из А в В. В момент прибытия скорого поезда в В пассажирский поезд прошел 13/16 всего пути. Сколько времени требуется пассажирскому поезду на прохожде- ние расстояния от А до В? 581. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Через 3/4 ч вслед за ним выехал велосипедист. Когда велосипедист прибыл в пункт В, пешеходу оставалось пройти 3 — всего пути. Сколько времени потратил пешеход на весь путь, если известно, что о велосипедист догнал пешехода в середине пути из Л в В? 582. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 70 км, выехал велосипедист, а через некоторое время — мотоциклист, скорость которого 50 км/ч. Мотоциклист догнал велосипедиста в 20 км от пункта А. Прибыв в В, мото- циклист через 48 мин выехал обратно в А и встретился с велосипедистом спустя 2 ч 40 мин после выезда велосипедиста из А. Найдите скорость велосипе- диста. 583. От пристани А вниз по течению реки одновременно отошли катер и плот. Катер, доплыв до пристани В, расположенной в 324 км от А, после 18-часовой стоянки отправился обратно в Л. В тот момент, когда он находился в 180 км от пристани А, второй катер, отплывший из А на 40 ч позднее первого, догнал плот, успевший к этому времени проплыть 144 км. Найдите скорости обоих катеров, если известно, что они равны, и скорость течения реки. 584. В реку впадает приток. Катер отходит от пристани А, расположенной на притоке, идет вниз по течению 60 км до реки, далее по реке вниз по течению 65 км до пристани В. Затем по тому же маршруту катер возвращается, затратив на обратный путь 10 ч. Найдите собственную скорость катера, если известно, что на путь от А до реки катер тратит 3 ч 45 мин и скорость течения реки на 1 км/ч меньше скорости течения притока. 585. Два пловца стартовали один за другим в пятидесятиметровом бассейне на дистанцию 100 м. Второй пловец, скорость которого 1,5 м/с, догнал первого на от- метке 21 м, затем, доплыв до противоположной стенки бассейна, повернул обратно и встретил первого пловца через 2/3 с после поворота. Найдите интервал времени между моментами старта пловцов. 96
586. Из пункта А в одном и том же направлении вышли два лыжника, при- чем второй стартовал на 6 мин позже первого и догнал первого в 2 км от старта. Дойдя до отметки 5 км, второй лыжник повернул обратно и встретил первого в 4 км от старта. Найдите скорость второго лыжника. 587. Два велосипедиста стартовали один за другим с интервалом в 2 мин. Вто- рой велосипедист догнал первого на расстоянии 1 км от старта. Если бы, проехав от старта 5 км, он повернул обратно, то встретился бы с первым велосипедистом через 20 мин после его старта. Найдите скорость второго велосипедиста. 588. Одновременно из А в В выезжает велосипедист и выходит пешеход. Ско- рость велосипедиста вдвое больше скорости пешехода. Одновременно навстречу им из В в А выходит второй пешеход. Время между встречами второго пешехода с велосипедистом и первым пешеходом составляет 2/15 от времени его перехода из В в А. Какой из пешеходов и во сколько раз шел быстрее, если оба они прошли до встречи больше 1/4 всего пути из А в В? 589. Из пункта А в пункт В отправился теплоход. В 8 ч он догнал движущуюся по тому же маршруту лодку, скорость которой равна 3 км/ч. Возвращаясь в' А из В после 10-минутной стоянки там, теплоход встречается с той же лодкой в 8 ч 20 мин. В пункт А он прибывает в то время, когда лодка прибывает в пункт В. Определите время прибытия лодки в пункт В, если известно, что в 8 ч 10 мин она находилась в 1,5 км от пункта А. 590. Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист, встретивший пешехода через 50 мин после своего выезда из В. Сколько времени потребовалось бы пешеходу для того, чтобы пройти весь путь из Л в В, если известно, что велосипедист проделал бы тот же путь на 4 ч быстрее пешехода? 591. Из пункта А в пункт В одновременно отправляются пешеход и велосипедист. Доехав до В, велосипедист поворачивает обратно и через 1 ч после начала движения встречает пешехода. После встречи пешеход продолжает идти в В, а велосипедист по- ворачивает и едет тоже в В. Доехав до В, велосипедист снова поворачивает обрат- но и встречает пешехода через 40 мин после первой встречи. Определите, за какое время пешеход пройдет расстояние от Л до В. 592. Из пункта А выехали три велосипедиста. Первый выехал на 1 ч раньше двух других, стартовавших одновременно. Через некоторое время третий велосипедист догнал первого, а второй догнал первого на 2 ч позже, чем третий. Определите отношение скоростей первого и третьего велосипедистов, если отношение скорости вто- рого к скорости третьего велосипедиста равно 2:3. ~593. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов Л и В. Каждый идет с постоянной скоростью без остановок и, придя в конечный пункт, тут же поворачивает обратно. Когда они встретились во второй раз, оказалось, что первый прошел на 4 км больше, чем второй. После второй встречи первый прибыл в Л через час, а второй — в В через 2,5 ч. Найдите скорости пешеходов. 594. Два приятеля собрались на охоту. Один из них живет в 46 км от охотничьей базы, а другой, имеющий машину, в 30 км от базы между базой и домом приятеля (на одной1 прямой). Они отправились в путь одновременно, причем владелец машины поехал навстречу приятелю, посадил его в машину и с той же скоростью поехал на базу; вся поездка заняла 1 ч. Если бы пешеход вышел из дома на 2 ч 40 мин раньше, то встреча произошла бы в 11 км от дома пешехода. С какой скоростью едет автомобиль и движется пешеход? 595. Из пункта Л в пункт В вышел пешеход. Одновременно из В в Л навстречу ему выехал мотоциклист. Встретив пешехода, мотоциклист посадил его на мотоцикл, привез в В, высадил и тут же снова поехал в Л. В итоге пешеход добрался до В в 4 раза быстрее, чем намечал. Во сколько раз быстрее прибыл бы мотоциклист в пункт Л, если бы ему не пришлось возвращаться? 596. Из пункта Л в пункт В доставлен груз. Из Л его везли сначала в автофур- гоне, а потом на грузовике. Расстояние от места перегрузки до пункта В в 3 раза меньше, чем от места перегрузки до пункта Л. Для доставки груза из Л в В потре- бовалось время, равное времени проезда из Л в В со скоростью 64 км/ч. С какой ско- ростью ехал грузовик, если известно, что скорость автофургона не более 75 км/ч, а так- же что если бы автофургон и грузовик выехали навстречу друг другу из пунктов Л и В, то они встретились бы через промежуток времени, необходимый для проезда из Л в В со скоростью 120 км/ч? 4 Заказ 840 ' 97
597. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов Л и В и встретились через 2,4 ч. Если бы первый велосипедист увеличил скорость на 50%, а второй — на 20%, то на преодоление расстояния между А и В первому велосипедисту понадобилось бы на 2/3 ч больше, чем второму. За какое время прохо- дит расстояние между А и В каждый велосипедист? 598. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист. Через 2 ч вслед за ним выехал автомобиль, который прибыл в В одновременно с мотоциклистом. Если бы автомобиль и мотоциклист одновременно выехали из А и В навстречу друг другу, то они встретились бы через 1 ч 20 мин после выезда. За какое время проходит путь из Л в В мотоциклист? 599. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Одновременно с ним из В в Л вы- ехал мотороллер и встретил велосипедиста через 45 мин после выезда. За какое время проходит путь из Л в В велосипедист, если известно, что мотороллер проходит тот же путь на 2 ч быстрее? 600. На путь из Л в В теплоход затрачивает 3 ч, на обратный путь — 4 ч. Сколько времени будет плыть плот из Л в В? 601. Монтер сбежал по ленте движущегося эскалатора за 30 с. Второй раз он спустился по неподвижной ленте за 45 с. За сколько времени он спустился бы, стоя на ступеньке движущегося эскалатора? 602. Из двух пунктов Л и В одновременно навстречу друг другу выехали велоси- педист и автобус. На путь из Л в В велосипедист тратит на 2 ч 40 мин больше, чем тра- тит автобус на проезд из В в Л, а сумма этих часов в 16/3 раза больше времени, прошедшего от начала движения велосипедиста и автобуса до момента их встречи. Ка- кое время велосипедист затрачивает на проезд из Л в В, а автобус — на проезд из В в Л? 603. Из пункта Л в пункт В доставлена почта. Сначала ее вез мотоциклист, 2 который, проехав — расстояния от Л до В, передал ее ожидавшему его велоси- <5 педисту. Почта была доставлена из Л в В за время, которое необходимо, чтобы проехать из Л в В со скоростью 40 км/ч. Известно, что если бы мотоциклист и велосипедист выехали из Л в В одновременно навстречу друг другу, то они встретились бы через промежуток времени, необходимый для проезда из Л в В со скоростью 100 км/ч. Найди- те скорость мотоциклиста, счиая, что она больше скорости велосипедиста. 604. По окружности длиной 360 м движутся две точки, причем первая проходит окружность на 1 с быстрее. Найдите скорость каждой точки, если известно, что первая проходит за 1 с на 4 м больше, чем вторая. 605. Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 56 мин, двигаясь в противоположных направлениях — через каждые 8 мин. Найдите скорость каждой точки и длину окружности, если известно, что за 1 с первая 1 точка проходит на — м больше, чем вторая. 606. Две точки, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются че- рез каждые 12 мин, причем первая обходит окружность на 10 с быстрее, чем вторая. Какую часть окружности проходит за 1 с каждая точка? 607. Два тела, двигаясь по окружности в одном направлении, встречаются через каждые 112 мин, а двигаясь в иротивоположных направлениях — через каждые 16 мин. Во втором случае расстояние между телами уменьшилось с 40 м до 26 м за 12 с. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности? 608. Три велосипедиста, стартовав одновременно с одного места и в одном направ- лении, едут по кругу длиной 1 км. Через некоторое время второй догоняет пер- вого, проехав на один круг больше. 4 мин спустя в ту же точку прибывает третий, проехав такое же расстояние, какое проехал первый к моменту встречи со вторым. Скорости велосипедистов в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию с разностью 5 км/ч. Найдите эти скорости. 609. На беговой дорожке состязались два спортсмена на дистанции 2 км. Когда по- бедитель финишировал, второму оставалось пробежать еще целый круг. Какова длина беговой дорожки, если первый проходит круг на 5 с быстрее второго и заканчивает дистанцию за 3 мин? 610. Из пункта А в пункт В выходит поезд. В момент прибытия его в В оттуда 98
выходит второй поезд, который следует в А. Время, которое прошло от выхода первого поезда из А до прибытия туда второго поезда, в 4— раза превышает время, кото- рое затратили бы поезда до момента встречи, если бы вышли из А в В одновре- менно навстречу друг другу. Чему равна скорость каждого поезда, если скорость второго на 20 км/ч больше скорости первого? 611. Если пассажир из пункта А поедет поездом, то в пункт В он доберется за 20 ч. Если он полетит самолетом, которого ему придется ждать более 2 ч, то в пункт В он прибудет через 10 ч после выхода поезда. Во сколько раз скорость 8 самолета больше скорости поезда, если известно, что самолет через — ч после вылета окажется на таком же расстоянии от пункта А, что и поезд? 612. Пункты А, В, С удалены от пункта М соответственно на 60, 55 и 56 км. Одновременно из этих пунктов в пункт М вышли три пешехода: первый из Л, второй из В, третий из С. Первый прошел весь путь с постоянной скоростью и прибыл в М на 2 ч раньше второго и третьего, прибывших одновременно. Второй пешеход первые 40 км шел с той же скоростью, что первый, потом на час остановился, а после останов- ки шел со скоростью, которая меньше скорости третьего пешехода на столько же, на сколько скорость третьего меньше скорости первого. Третий пешеход весь путь шел с постоянной скоростью. Определите скорости первого и третьего пешеходов. 613. Две бригады начали работу в 8 ч. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 ч выяснилось, что за время раздельной работы первая брига- да сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада дела- ла за 1 ч на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 ч на одну деталь меньше, чем в первый день. Работу бригады начали вместе в 8 ч и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 ч. Сколько деталей в час делала каждая бригада? 614. Трое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей. Известно, что все трое вместе делают за час 20 деталей. К работе приступил сначала первый рабочий. Он сделал 20 деталей, затратив на их изготовление более 3 ч. Оставшуюся часть работы выполняли вместе второй и третий рабочие. На всю работу ушло 8 ч. Сколько часов потребовалось бы первому рабочему на изготовление всех 80 деталей? 615. Бассейн заполняется водой через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую трубу, и на 30 ч быстрее, чем через третью трубу. Известно, что пропускная способность третьей трубы в 2,5 раза меньше пропускной способности первой трубы и на 24 м3/ч меньше пропускной способности второй трубы. Найдите пропускную способность первой и третьей труб. 616. Два экскаватора, из которых первый имеет меньшую производительность, вырыли при совместной работе котлован объемом 240 м3. Потом первый стал рыть второй котлован, а второй продолжал рыть первый. Через 7 ч после начала их работы объем первого котлована оказался на 480 м3 больше объема второго котлована. На другой день второй экскаватор увеличил свою производительность на 10 м3/ч, а первый уменьшил на 10 м3/ч. Сначала они вместе вырыли котлован в 240 м3, после чего первый стал рыть другой котлован, а второй «родолжал рыть первый. Теперь объем первого котлована стал на 480 м3 больше объема второго котлована уже через 5 ч после начала работы экскаваторов. Сколько грунта в час вынимали экскаваторы в первый день работы? 617. Три сенокосилки участвовали в покосе травы с поля площадью 25 га. За час первая скашивает 3 га, вторая — на а га меньше первой, а третья — на 2а га больше первой. Сначала работали вместе первая и вторая сенокосилки и скосили 11 га. Остав- шуюся часть поля скосили вместе первая и третья. При каком значении параметра а (0<а<1) все поле будет скошено за 4 ч, если работу вести без перерыва? 618. Три экскаватора роют котлован объемом 340 м3. Первый вынимает за час 40 м3 грунта, второй — на а м3 меньше первого, а третий — на 2а м3 больше первого. Сначала работали вместе первый и второй и выкопали 140 м3 грунта. Остав- шуюся часть котлована выкопали вместе первый и третий экскаваторы. При каком значении параметра а 15) работа была закончена за 4 ч, если известно, что она велась без перерыва? 619. Три бригады работают с постоянной производительностью каждая, прок ъ?
дывая рельсовые пути. Первая и третья бригады совместно укладывают в месяц 15 км путей. Три бригады в месяц уложат путей в 2 раза больше, чем первая и вторая при совместной работе. Сколько километров путей укладывает в месяц третья бригада, если известно, что она совместно со второй бригадой уложила некоторый участок пути в 4 раза быстрее, чем его уложила бы одна вторая бригада? 620. Три автомашины перевозят зерно, загружаясь в каждом рейсе полностью. За один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 т зерна, а первая и третья вместе за 2 рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Какое количество зерна перевозит за один рейс вторая автомашина, если известно, что некоторое количество зерна вторая и третья перевозят вместе, совершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей автомашине для перевозки того же ко- личества зерна? 621. На заводе сначала работало 2 цеха, затем был пущен третий цех, в резуль- тате чего завод увеличил выпуск ежемесячной продукции в 1,6 раза. Во сколько раз больше продукции дает третий цех по сравнению со вторым, если известно, что за 2 месяца первый и третий цеха вместе выпускают столько же продукции, сколько второй за полгода? 622. Из города А в город В выехал автомобиль. Одновременно с ним из города С, расположенного между А и В, в город А выехал второй автомобиль. Первый в В и второй в А приехали одновременно. Затем оба одновременно выехали на- встречу друг другу, встретились в пункте D и одновременно прибыли первый в А, второй в В. Первый сделал остановку на пути от В к D, а второй — остановку той же длительности, но на пути от С к А. Найдите расстояние между С и О, если из- вестно, что расстояние от Л до С равно 270 км, а расстояние от С до В равно 180 км. 623. На полпути между городами М и А/, расстояние между которыми равно 280 км, расположен поселок Л Из А/ и Р одновременно выехали навстречу друг другу автобус и грузовик: автобус из М, грузовик из Р. Автобус прибыл в N тогда, когда грузовик прибыл в М. Затем обе машины одновременно выехали навстречу друг другу, встретились в пункте В и прибыли одновременно автобус в А4, грузовик в N. Найдите расстояние от М до В, если известно, что автобус и грузовик сделали остановки одинаковой длительности: автобус на пути от А/ к В, а грузовик на пути от Р к М. 624. Города Л, В, С, D, расположенные так, что четырехугольник ABCD вы- пуклый, соединены прямолинейными дорогами ЛВ, ВС, CD, DA и АС. Их длины соот- ветственно равны 6, 14, 5, 15 и 15 км. Из одного из этих городов одновременно вышли три туриста, идущие без остановок с постоянными скоростями. Маршруты всех туристов различны, причем каждый из них состоит из трех дорог и проходит через все города. Первый и второй туристы перед прохождением третьих дорог своих маршрутов встретились в одном городе, а третий закончил маршрут на час раньше туриста, закончившего маршрут последним. Найдите скорости туристов, если известно, что скорость третьего больше скорости второго и на 0,5 км/ч меньше скорости первого, причем скорости всех туристов заключены в интервале от 5 до 8 км/ч. 625. Города Л, В, С, D, расположенные так, что город С находится внутри тре- угольника ABD, соединены прямолинейными дорогами ЛВ, BD, DA, АС, ВС. Их длины соответственно равны 400, 600, 300, 80 и 400 км. Из одного города одновременно выехали три автомобиля, едущие без остановок с постоянными скоростями, заклю- ченными в интервале от 95 до 125 км/ч, причем скорость второго на 10 км/ч больше скорости первого. Маршруты всех автомобилей различны, причем каждый состоит из трех дорог и проходит через все города. Второй автомобиль перед проездом третьей дороги своего маршрута встретился с третьим в одном городе, из которого они выехали по общей дороге. Первый и второй автомобили закончили свои маршруты в одном городе, причем первый закончил маршрут на час позже автомобиля, закон- чившего маршрут раньше других. Найдите скорости автомобилей. 626. На факультет от школьников подано на 600 заявлений больше, чем от произ- водственников. Девушек среди школьников в 5 раз больше, чем девушек среди произ- водственников, а юношей среди школьников больше, чем юношей среди производствен- ников, в п раз (6^п^12, п£Ы). Определите общее число заявлений, если среди производственников юношей на 20 больше, чем девушек. 627. Стройотряд состоит из 32 бойцов, каждый из которых владеет одной или двумя строительными профессиями: каменщик, бетонщик, плотник. Плотников в 100
2 раза больше, чем бетонщиков, и в п раз меньше, чем каменщиков (3^n^20, Сколько бойцов в отряде владеет только одной профессией, если число бойцов, владеющих двумя профессиями, на 2 больше, чем число бойцов, владеющих про- фессией плотника? § 12. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень. Основными методами решения иррациональных уравнений явля- ются следующие: 1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 2) метод введения новых переменных. В некоторых случаях оказывается целесообразным применение различных искус- ственных приемов. Появление посторонних корней может произойти за счет того, что при возведении обеих частей заданного урав- нения f (x) = g (х) в четную степень мы получаем уравнение, являюще- еся следствием не только этого уравнения, но и уравнения f (х) = — g (х). Действительно, (g (х))2 = (— g (х))2. Если уравнение f (х) = — g (х) имеет корни, то именно они являют- ся посторонними корнями заданного уравнения f (x) = g(x). Так, если заданным является уравнение %—1=3, то при возведении обеих частей уравнения х —1=3 в квадрат мы получаем уравнение (х— 1)2 = 32, т. е. х2 — 2х — 8 = 0, корнями которого являются и корень заданного уравнения х = 4, и значение х = — 2, являющееся корнем уравнения х— 1 = —-3, но не удовлетворяющее заданному уравнению. Еще пример. Дано уравнение -\jl — x = — х — 1. Возведя обе части уравнения в квадрат, мы получаем уравнение 1 — х = х2 + 2х+1, т. е. х2 + Зх=0. Это уравнение является следствием заданного урав- нения. Его корнями будут х! = —3 и Х2 = 0. Нетрудно убедиться, что Xi = — 3 является корнем заданного уравнения, ах2 = 0 — посто- ронний корень (это корень уравнения -д/1 — х = х + 1)- Напомним, что если обе части уравнения f(x) = g(x) неотрицательны, то уравнения f (x)=g (х) и (f (x))n=(g (х))п равносильны^ (см. § 7, теорема 3). Отметим еще, что уравнения f (х) = g (х) и f (х)= — g (х) имеют од- ну и ту же область определения. Поэтому, решив заданное уравнение методом возведения обеих его частей в четную степень и даже убедив- шись затем, что найденный корень х = х0 принадлежит его области определения, еще нельзя утверждать, что х = хо является корнем за- данного уравнения. Однако если х = х0 не принадлежит области определения заданного уравнения, то это точно посторонний корень, который получен за счет расширения области определения заданного уравнения в результате использования формулы (2^/f (x))2rt = f (х). Рассмотрим уравнение Vх—-2 + л/х+ 1 = л/2х + 3. Его областью определения является луч [2; оо). После возведения обеих частей это- го уравнения в квадрат и уединения радикала получим уравнение -д/х2 — х —2 = 2. Областью определения этого уравнения является множество 101
(—оо; — 1]U[2; оо). Корнями уравнения -\/х2 —х —2 = 2 являют- ся значения Xi = 3 и х2= — 2. Первый корень принадлежит области определения заданного уравнения, т. е. может являться, его корнем. Второй же корень не принадлежит области определения заданного уравнения, т. е. является посторонним корнем. Вместе с тем второй корень принадлежит области определения уравнения д/х2 —х —2 = 2. Таким образом, посторонний корень появился за счет расширения области определения заданного урав- нения. Причиной появления посторонних корней могут быть также не- которые замены, выполняемые в ходе решения иррационального уравнения (см. ниже пример 5). Мы назвали основные причины появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений (возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, расширение области определения и др.). По этим причинам необходимой частью реше- ния иррационального уравнения является проверка. В зависимости от вида корней (простые или громоздкие), от их количества (один, два или бесконечное множество), а иногда и в зависимости от выбранного способа решения эти корни прове- ряются либо подстановкой в заданное уравнение, либо путем дока- зательства равносильности уравнений, получаемых на всех этапах решения, либо каким-то другим путем (с использованием области определения заданного уравнения, с обращением к промежуточным уравнениям и т. д.). 1. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Пример 1. Решим уравнение VT=T+V2x + 6 = 6. (1) Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат: х- 1 + 2 у/(х-1) (2x4-6)+2х + 6 = 36, и далее 2 -\/2х2 + 4х — 6 =— 3x4-31. После возведения в квадрат последнего уравнения получим: 8х2 + 16х-24 = 9х2-186х + 961, и далее х2 — 202х + 985 = 0, откуда находим xi = 5, х2=197. Проверка. Найденные корни несложно проверить непосред- ственно подстановкой в уравнение (1). 1) д/хТ^ТН-д/2х14-6=л/5-14-а/2-5Ч-6 = 6. Таким образом, Х|=5 является корнем заданного уравнения. 2) л/х^Т4-д/2х24-6=V197- 1 4-V2-1974-6#=6, т. е. х2= 197 — посторонний корень. Таким образом, только х = 5 является корнем за- данного уравнения. 102
Замечание. Это уравнение допускает следующее изящное решение. Имеем 72x4-6 = 6 — 7Х—1- Несложно подбором найти корень уравнения х=5. Так как далее функция 1/ = д/2х + 6 возрастает, а функция у=6—л/х—\ убывает, то других корней уравнение не имеет. Более детально такой метод решения уравнений рассматривается ниже в § 2 части III. Пример 2. Решим уравнение д/х-2 + д/х-1 = л/24-х. (2) Решение. Возведем обе части уравнения (2) в квадрат и уеди- ним затем полученный радикал: 2^х2-Зх+2=-х + 5. (3) После возведения в квадрат обеих частей уравнения (3) и после- дующего приведения подобных членов получим квадратное уравнение Зх2 — 2х—17 = 0, 14-2-Лз 1-2 V13 корнями которого являются значения %i = £-3v— и х2 =—. Проверка. Проверять найденные корни подстановкой в урав- нение (2) явно нецелесообразно. Поступим следующим образом. Найдем область определения уравнения (2). Из системы неравенств {х-2>0, х — 1>0, 2 + х>0 находим, что этой областью является луч [2; оо). Выясним, принад- лежат ли найденные корни этому лучу. Имеем: х, _2 = 1 +2 УГз 2 = 14-2 713-6 = 752 — 725 >q 3 3 3 Таким образом, %i>2, т. е. принадлежит лучу [2; оо), и, зна- чит, Xi может являться корнем уравнения (2). Далее, Х2 _ 2 = L-2^3.._ 2 = < о Таким образом, х2<2, т. е. х2 не принадлежит [2; оо), и, значит, х2 не является корнем уравнения (2). Вернемся теперь к х\. Выясним знак разности, находящейся в правой части уравнения (3). Имеем: 14-2 УГз ! - 2 7134-14 Q г ° — Q Таким образом, х\ является корнем уравнения (3). А так как уравнение (3) равносильно уравнению (2), то корнями уравнения (3) могут являться только корни уравнения (2). Итак, корнем уравне- ния (2) является х= 1 . юз
ПримерЗ. Решим уравнение ->/^24-х —5+-\Zx24~8x —4 = 5. (4) Решение. Преобразуем уравнение (4) к виду д/х2+х—5 = 5—-\/х24-8х —4 и возведем обе части полученного уравнения в квадрат: х2 + х—5 = 25— 10 ->]х2 + 8х — 4+*2 + 8х — 4. Уединим корень и приведем подобные члены: 10 V*2 + 8x —4 = 7x4-26, (5) возведем обе части уравнения (5) в квадрат: 100 (х24-8х-4)=(7х4-26)2, или 51х24-436х-1076 = 0. т, о 538 Из последнего уравнения находим Xi=2, Х2=—-гг- 01 Проверка. Первый из найденных корней нетрудно проверить подстановкой в исходное уравнение. Такая проверка показывает, что %1=2 — корень уравнения (4). Попытка проверить таким же спосо- бом второй корень приводит к громоздким вычислениям. Можно, г» 538 однако, поступить по-другому. Выясним, является ли Хг = ——реше- нием уравнения (5). Замечаем, что при этом значении левая часть уравнения (5) неотрицательна, а правая отрицательна. Значит, х2 = не является корнем уравнения (5). Но уравнение (5) — следствие уравнения (4). Тогда тем более х2 не является корнем уравнения (4). Итак, корнем уравнения (4) является х = 2. Пример 4. Решим уравнение -7%+ 1 ——6 = 2. Решение. Уединив \/2х — 6, получим ^/2х —6 = д/х4~ 1 —2. Возведем в куб обе части этого уравнения: 2х — 6 = (x+l)-V^+l— 6(х+1)+12 л/^+1—8. После приведения подобных членов и уединения корня получим уравнение (x+13)V^+T = 8(x+l), откуда (%+ 13)2 (%+ 1) = 64 (%+ I)2, и далее (x-h 1) ((%+ 13)2 — -64(х+1)) = 0, или (х+ 1) (х2 —38х+ Ю5) = 0. Таким образом, задача сводится к решению совокупности: %4-1=0; х2 —38x4-105 = 0, откуда находим Xi = —1, Х2 = 3, Хз = 35. 104
Проверка. Подстановкой найденных значений х в заданное уравнение убеждаемся, что все они являются его корнями. Пример 5. Решим уравнение V2x+T+W+T=V2x^T. (6) Решение. Возведем обе части уравнения (6) в куб. Получим: 2х+ 1 + 3 V(2x + 1 )2• V6x+T+3*j2x+\ • V(6x + 1 + 6х + 1 = 2х— 1, и далее 3 V2x~f~ 1 1 (V2x + 1 +Убх+ 1)= — 6х —3. Восполь- зовавшись уравнением (6), заменим выражение ^2х+ 1 +^6х+ 1 выражением ^]2х — 1 3 V2x+T • V6x+T • V2x^T = - 6х - 3, или V(2x+l)(6x+l)(2x-l) = - 2х - 1. (7) Возведем обе части последнего уравнения в куб: (2х+1) (6х+1) (2х—1)= -(2х+1)3, и далее (2х+1) ((6х+1) (2х—1) + (2х+1)2) = 0, откуда находим Х| = —0,5, Х2,3 = 0. Проверка. Подстановкой найденных значений х в заданное уравнение (6) убеждаемся, что его корнем является только х= —0,5. Замечание. При возведении обеих частей уравнения (6) в куб мы в соот- ветствии с теоремой 3 из § 7 (с. 43) получили уравнение, равносильное уравне- нию (6). Однако дальнейшая замена выражения \j2x-\- 1 1 на выражение ^/2х— 1 могла привести (и, как показала проверка, привела) к появлению посторон- него корня. 2. Метод введения новых переменных. Пример 6. Решим уравнение х2 + 3 —д/2х2 —3% + 2 = 1,5 (х + 4). (8) Решение. Уединение корня и возведение обеих частей уравне- ния (8) в квадрат привели бы к громоздкому уравнению. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить, что уравнение (8) легко сводится к квадратному. Действительно, умножив обе его части на 2, получим: 2х2 + 6-2 л/2х2-3%+2 = 3х + 12, и далее 2х2 —3% + 2 —2 -\/2х2 —3% + 2 —8 = 0. Положив у = ^]2х2 — Зх-{-2, получим у2 — 2у — 8 = 0, откуда у{ =4, у2 = — 2. Значит, уравнение (8) равносильно следующей сово- купности уравнений: +2х2-3% + 2 = 4; л/2х2-Зх’+2= -2. 105
Из первого уравнения этой совокупности находим xi=—, х2= — 2. 2 Второе уравнение корней не имеет. Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна уравнению (8), причем второе уравнение этой совокупности корней не имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в уравнение -д/2х2 — 3%4-2 = 4. Эта подстановка показывает, что оба найденных значения х являются корнями этого уравнения, а значит, и заданного уравнения (8). j Пример 7. Решим уравнение ] 2х —5 + 2пД2 —5х + 2 V* —5 + 2д/* = 48. (9) j Решение. Областью определения уравнения (9) является луч j [5; оо). В этой области выражение д/х2 — 5х можно представить сле- дующим образом: -д/х2 —5х = -д/* -yJS — x. Так как 2х=х + х, то уравнение (9) далее можно переписать так: х 4-х —5 + 2 -д/х -д/х —5 + 2 -д/х + 5 + 2 -д/х —48 = 0, или (-д/х)2 + 2 ^х ->Jx^-5 + (л/Г^5)2 + 2 (-д/х-5 + д/х)-48 = 0, т. е. (-д/х —5 +-д/х)2+ 2 (л/х-5 + л/х)-48 = 0. Положив у=-д/х — 5 + -д/х, получим квадратное уравнение у2 -\-2у — 48 = 0, из которого находим у\ = 6, £/2= —8. Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений: д/х —5+-д/х = 6; VT=5 + -^= —8. /41 \2 Из первого уравнения совокупности находим х=(— ) , второе уравнение совокупности решений не имеет. Проверка. Легко показать, что х=(||-) является корнем уравнения -д/х — 5 + -д/х = 6. Но это уравнение равносильно уравнению (9), значит, х=0£-) является корнем и уравнения (9). Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается удобным ввести две новые вспомогательные переменные. Пример 8. Решим уравнение Vl-x + V15 + x = 2. (10) Решение. Положим ( ц = ^/1 —х, ( v = V15 + x. Тогда уравнение (10) примет вид u+v = 2. Но для нахождения зна- чений новых переменных одного уравнения недостаточно. Возведя в ;06
четвертую степень обе части каждого из уравнений системы, полу- чим: ( и4= 1 — х, ( v4= 154-Х. Сложим уравнения последней системы: u4 + z?4= 16. Таким образом, для нахождения и, v мы имеем следующую сим- метрическую систему уравнений: ( u-j-v = 2, | U4 + u4=16 Решив ее (см. § 10), находим: [ Ui =0, р2 = 2, | 14 = 2; | v2 = 0. Таким образом, решение уравнения (10) свелось к решению следую- щей совокупности систем уравнений: = Г\/Т-х=2, lV15 + x=2; (V15 + x = 0. Решив эту совокупность, находим xi = l, х2= —15. Проверка. Проще всего проверить найденные корни подста- новкой их непосредственно в заданное уравнение. Проделав это, убеждаемся, что оба найденных значения х являются корнями задан- ного уравнения. Замечание. Прием, примененный при решении уравнения (10), мог быть использован и при решении некоторых других уравнений из рассмотренных в этом параграфе. Так, решая уравнение Vх +1 —\/2х—6 =2 (см. пример 4), можно было положить: 1» V — V2T4-6. Тогда мы пришли бы к системе уравнений {u — v = 2, 2и2 — и3 = 8. Этот прием можно было применить и к решению уравнения из примера 1. Пример 9. Решим уравнение -д/^.г + 28г+х _ -^x^ + 282 _—2 = 3 (1!) Решение. Положив ' и — -Л /л/^2 + 282 ~х < г— х ’ — (12] у = -д/х д/х24-282 —х2, придем к уравнению и— v — З. Перемножим правые части уравнений системы (12): 107
^+2^-x2 = =д/^ * ( л/*2 + 282—x) = д/(-\/х2 + 28^)2 — x2 = 28. Полученный результат приводит к другому уравнению относитель- но новых переменных: tw = 28. Решив систему । и — v = 3, I w«u = 28, находим: ( и\ = 7, ( и2 = — 4, | v\ =4; | v2 = — 7. Таким образом, мы приходим к совокупности систем уравнений. Из этой совокупности выпишем только систему, соответствующую по- ложительным значениям и\ и (система, соответствующая отрица- тельным значениям и2, v2> заведомо не имеет решений, поэтому мы ее опускаем): ( -л/Уа:2 + 282 4-а: _у I -д/х д/х2 Ч-282—х2 = 4. ' } Решим второе уравнение системы (13). Возведем обе его части в квадрат: х -yjx2 + 282 — х2 = 16, и далее xVFW = x2+16. (14) Теперь возведем в квадрат обе части уравнения (14): х2 (х2 + 282) = (х2 + 16)2, (15) и далее 752х2 —256 = 0. „ 4-V47 4 л/47 Из последнего уравнения находим Xi = 47~ , х2—------. Проверка. Ясно, что х2 не удовлетворяет уравнению (14), а значит, и второму уравнению системы (13). Проверим Х\. Так как при х>0 уравнения (15), (14) и второе уравнение системы (13) 4 V47 равносильны, то х=-~------корень второго уравнения систе- мы (13). Теперь мы должны убедиться в том, что найденное значе- ние Xi удовлетворяет и первому уравнению системы (13) (только в этом случае мы сможем считать это значение решением системы (13)). Сведем это уравнение к равносильному, но более простому. Имеем: -^-Vx4282+x =7> д/х2 + 282 + х = 49х, Vx2 + 282 = 48x, х2 + 282 = 482х2, (482— 1)х2 = 282. 108
Значение Х| удовлетворяет последнему уравнению, а вместе с тем и первому уравнению системы (13). Итак, х=±№-—решение системы (13), а значит, и уравне- ния (11). Пример 10. Решим уравнение V(x-2) (х —32) - V(x-l)(x- 33) = 1. (16) Решение. Положим ( и = У(х 2) (х 32), ? 17 \ ( v = — 1) (х — 33). Тогда уравнение (16) примет вид и — v = 1. Для получения второ- го уравнения относительно новых переменных u, v возведем обе части первого уравнения системы (17) в пятую степень, а второго — в чет- вертую. Получим: ( и5 = х2 — 34х + 64, I и4 = х2 —34Х + 33, откуда и5 — у4 = 31. Таким образом, для нахождения и, v мы имеем следующую систему уравнений: ( и — V = 1, ( а5-у4 = 31, откуда v ( V = и 1, / i о\ I u5-w4 + 4u3-6w2 + 4u-32 = 0. Из второго уравнения системы (18) находим и\ = 2. Разделив мно- гочлен w5 — r?4-4u3 — 6u24-4z/ — 32 на двучлен и — 2, получим в част- ном и4 +w3 + 6u2 + 6u+ 16. Таким образом, система (18) равносильна совокупности систем {v = u — 1, ( v = u — 1, и — 2 = 0; I u4 + u3 + 6u2 + 6u+ 16 = 0. Из первой системы находим z/i = 2, in = l. Вторая система более сложная. При ее решении необходимо учесть следующее. Так как 1)(х—33)=и, то v^O. Поскольку и — и = 1, то u = гл-f- 1, и, следовательно, и^Л. Ясно, что уравнение u4 + f/3 + би24-6z/+ 16 = 0 не имеет положительных корней и тем более таких корней, которые удовлетворяли бы нера- венству 1. Итак, единственное решение системы (18) «1=2, t>i = l, и нам остается решить такую систему: Ш*~2) (х-32) = 2, lV(^-i)(^-33)=i. 109
Имеем: V*2- 34x4-64 = 2, Vx2-34х-|-33 = 1. Положим у=х2 — 34x4-33, тогда система примет вид: Vf/4-31=2, Vy=i- Из этой системы находим г/=1. Тогда х2 — 34x4-33=1, откуда х । ,2 = 17 Ч~ -\/257. Проверка. Проверить такие значения х подстановкой в задан- ное уравнение (16), конечно, сложно. Можно попытаться выполнить проверку доказательством равносильности уравнений, полученных на всех этапах решения уравнения (16). Анализируя эти уравнения (убедитесь самостоятельно в их равносильности), приходим к выводу, что найденные значения х являются корнями уравнения (16). 3. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений. Пример 11. Решим уравнение д/2х2 + Зх + 5 + V2^2 - 3x4- 5 = Зх. (19) Решение. Умножим обе части заданного уравнения на выра- жение ср (%) = д/2х2 + Зх + 5 — ->/2х2 — Зх + 5, сопряженное выражению -V2x2 + 3x + 5 + -V2x2-3x4-5. Так как (д/2х24-Зх4-5 + -\/2х2 —3x4-5) (V2x24-3x4-5 — д/2х2 — 3x4-5) = = (2х2 4- Зх + 5) — (2х2 - Зх 4- 5) = 6х, то уравнение (19) примет вид: 6х = Зх (л/2х24-Зх4- 5 - V2x2-3x4-5), ил и х (V2x24-3x4-5 — -\/2х2 —3x4-5 — 2) = 0. Как легко видеть, х\ = 0 является корнем этого уравнения. Остает- ся решить уравнение V2x24-3x4-5 - д/2х2- 3x4-5 = 2. (20) Сложив уравнения (19) и (20), придем к уравнению 2 д/2х24-Зх4-5 = Зх4-2. (21) Решая уравнение (21) методом возведения в квадрат, получим: 8х2 4- 12х 4- 20 = 9х2 4- 12х 4- 4, и далее х2=16, откуда х2 = 4, х3=—4. Проверка. Поочередно подставляя найденные значения Xi=0, х2 = 4, х3 = — 4 в уравнение (19), убеждаемся, что ему удов- 110
летворяет только значение х2 = 4. Таким образом, х = 4 — единствен- ный корень уравнения (19). 4. Системы иррациональных уравнений. Пример 12. Решим систему уравнений Г ~\ /^Х I ~\ / _ су J (22) Uy2 — 1=3у(х — 1). Решение. Положим м=-\/^1Р^ .Тогда первое уравнение системы (22) примет вид «+-у=2, откуда находим и—\. Таким образом, решение системы (22) сводится к решению следу- ющей системы: ( -у /зх 2у _1 Л”-1’ (23) (4у2— 1 = 3у (х — 1). Возведя в квадрат обе части первого уравнения системы (23) и освободившись от знаменателя, приходим к системе ( Зх — 2у = 2х, | 4г/2— 1 = 3у (х — 1), (24) из которой находим: р2=1, ( — 2» < 1 |У1 = 1; Проверка. При условии, что х=£0 и Зх^=2у, система (24) рав- носильна системе (23). В свою очередь система (23) равносильна системе (22). Таким образом, решения системы (24) являются также решениями системы (22). Итак, решениями системы (22) являются пары (2; 1) и Пример 13. Решим систему уравнений f -у/х+у+Мх—у = 6, /осч tV(x+y)3(x-y)2 = 8. {Ь) Решение. Так как V(x+y)3 (х —у)2 = V(x + y)3 ' а V(x+y)3=л/х+У и V(x—у)2=Vlх—у1. т0 система (25) примет вид: (Ч* + У + Ух —у = 6, ,9fi. Эта система равносильна следующей совокупности систем: }х —у>0, _______ f х —у<0, •л/х + у + у?х —у = 6, J y/x-j-y + М* — У = 6, л/х+у ' Vх-У = 8; ly/x+y-Vx—у= — 8. in
Полагая { 3/---’ ( и=ух—у,получим совокупность систем х —у>0, ы + р = 6, uv = 8; х — усО, и + v = 6, uv= — 8. (27) Решение первой системы совокупности (27) не вызывает затрудне- ний. При решении второй системы этой совокупности следует учесть, что х — у<0, т. е. г»<0. Таким образом, из совокупности (27) находим: откуда «1 = 2, 01 = 4; х>У, «2 = 4, 02 = 2; Xi = 34, t/i = — 30; х2= 12, f/2 = 4; (х<у, < «з = 3 + 717, о3 = 3-717, г Хз= ЮЗ-19 717, 1уз=-77 + 25 717. Проверка. Первые два решения легко проверить непосредст- венной подстановкой в систему (25). Однако проверить таким же способом третье решение непросто. Но, как нетрудно убедиться, совокупность систем (27) равносильна системе (26), а система (26) равносильна заданной системе (25). Поэтому решения совокупнос- ти (27) являются решениями и системы (25). Упражнения Решите уравнения. 628. УЗх —5 —Ух —2=1.____ 629. л/х + 1 — 7> — х = ___ 630. л/2х + 5 + д/5х + 6 = VI2х + 25. 631. Ух —2-|-Ух 4-3 = 2. 632. Ух—Ух 4“ 1” 4“ Ух Ч- 9—Vx+ 4 == 0. 633. V4-2x+V2 + x=2 V2. 634. Ух-1-У?-х=1. 635. 72x + ySx?+T=x+ 1. 636. 1-х=71~л/4х2-7х4. 637. 71 —V++^=x-l. 638. 7n-W+7 = 3. 639. 75 + Vx + 7^ — Vx=Vx- 640. уЗх2 — 2х+15+уЗх2—2х4-8=7. 641. V3x2 + 5x-|-8-V3x1! + 5x+1 = 1. 642. Vx2 —3x + 3 + Vx2 —3x + 6 = 3. 643. Vx24-x4-4 + Vx24-x+ 1 = V2x2 + 2x + 9. 644. Vx24-x4-74-Vx24-x + 2 = V3x2 + 3x+19. 645. Vx3 + 84-Vx3 + 8=6. 646. x Vx2 4-15—V^Vx2-|-15 = 2. 647. x2 4-Vx2 4-20 = 22. 648. x2 — 4x—6=V2x2 —8x+12. 649. Vx2-3x4-54-x2 = 3x-|-7. 112
650. (х + 4)(х+1)-Зл/х2 + 5х + 2 = 6. 651. x2-3x-5V9x2+x-2 = 2,75-y х. 652. -\/х — ^/х д/х = 56. 655. -у/х2 — 2х • -у/Зх— 7 = 3 — х. 656. -у/х2 — Зх • д/2х —4 = х + 1. 657. x + Vx —2 = 0. 658.. х—4 V?+V* + 6 = 0. 659. 4х — 3 Vх — 1 =0. 660. х10 — х5 — 2 д/? + 2 = 0. 661. -\/х + 2 Vх — 1+"\/х — 2 Vх- 1=х— 1. 662. -\/5--\/х+ 1 +л/2х2 + х+^= 1- 663. -Vx+8 + 2Vx+7+Vx+l-Vx+7 = 4. 664. Vх-2 + л/2х^К + Vх+2 + 3 д/2х - 5 = 7 д/2. 665. V2x(4x2 + 3)—1 —12х2 + х=х2 — 11. 666. Vx2-4x + 3 + V—x2 + 3x-2=Vx2-x. 667. -yJxi + x-2 + ^x2 + 2x — 3 = ^x2 — 3x + 2. 668. Vx + 24 + V12 —х = 6. 670. Vx+2-V3x + 2=0. 671. Vx + Vx—1 = 1- 672. V2=x= 1 -д/^Т. 673. Vx + 7 + V28-x = 5. 674. Vx2-1+Vx‘2+18 = 5. 675. V^4^+Vx+2 +Vx + 3 = 0. 676. Vx + V2x-3 = V12(x-l). 677. ^/x+^x^i6=^x^8. 678. V9 — Vх + 1+V7+VX+1=4- 679. л/54+л/х+л/54—Ух=УГ8. 680. л/?8 + \^4+д/х—\/84 —л/39 —Vx = °- 681- лН^+ V“T-=^- 682. д/х3 + х2—1 + д/х3 + х2 + 2 = 3. 683. x V35 — x3 (x + ^35 — x3)=30. 684. x + л/17 —x2 + xV17 —x2=9. 685. Vx~2 +A/6 —х=л/2. 686. V77+x+V20-x=5. 687. -у/х+-у12^х+^2х-х2=^2. 688. д/б-х + д/х —2 + 2 V(6 —x)(x —2)=2. 689. V33 —х + ^х=3. 690. Mix^ZT(x-32)-V(x-l)(x — 33) = 1. 691. -^/Vx2 + 662 +2 _ л/Хл/)?+665_7=5. 692. 4(д/1+х—1)(д/1—x+l) = x. 693. x+Vx+Vx + 2+Vx2 + 2x = 3. 113
694. -7x3 —4x2-|-x-|- 15+V*3 —4X2 —*+ 13=%+ 1. 695. ~7(x—1) (x —2)4-~7(x—3) (x —4) = ~T2. _ 696. V4 —4x-+-X2+V49+ 14x+xs = 3 + V14 — 5x —x2. 697. -Vx—1+ -Vx + 3 + 2 -V(x— l)(x + 3) = 4 — 2x. 698. -72x4-3 + yx+1 = 3x+2 V2x2+5x + 3 — 16. 699. =х+л/?=Тб-6. 700. Vx+Vx + 7 + 2^2 + 7x=35 —2x. Решите системы уравнений. 701. = 1, ?=4. 703. I y2+W-2x+3=yx+5, 1 3x —2r/ = 5. 705 + y _ _8£_ I у "* 2x 182 ’ I ^x~y i v и 2x ~ 182 2x 702. 704. | 5 ^x—2y+3 Ч*+У= 13, I 3 \x — 2y — 4 ^x + y = 2. 706. (-V2x—y+lf—73x4-0 — 9 = 3, 1 V2x—y+11 + V3x+j/—9=3. 707. I 2^/x^y+^x + 2y = 4f I W-{/)4 (x+2y)2=2. 708. J x-\-y-\-^[xy— 14, I x2 + y2 + xi/=84. 709. I * + *= 4 S -7* Чу j 1x0=9. 711. (^+^/y = 3, [ X0=8. 713. | x2 + x ^/xyr=80, \у2+уЧ^у=5- 715. | -y[x + 4y+l = l’ I yx+i+Vi/=i- 710. ( хЧу+уЧх=3, | x2y+y2x=20. 712. | V*+V^=3, | Чх2—^/ху+Уу2 = 3. 717. (МЧ+2^+Чх-у + 2 = 3, | 2x + {/ = 7. 718. Г ^/х + Чу + ^/х—Чу = 2, I л/у+л/^—~\/у—л/х=1. 719. (Ч*у + Чу? = 9’ -\[yz-\--4zx = 3, I 4 xz-\-^[xy = 3. 720. f Ч^+у + Чу + ^=3, J 4y + z + 4z~+x = 5, I 4z + x + 4x + y=4- 721. (7Г^4 + л/у + л/з+4 = 6, J 2т/х—4—70-4-7*+ 4=-12, I x + y + z=14. 722. (-74x4-0 —3z + 7 = 2, J V2y-|-5x4-z 4-25,5 = 3, I ЧуЧ2—\1бх = 0- 114
§ 13. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ При решении показательных уравнений используются два основ- ных метода: 1) переход от уравнения af(^ = a^x) к уравнению f(x) = g (х); 2) введение новых переменных. Иногда приходится при- менять искусственные приемы. Рассмотрим уравнения вида аКх>) = а8^\ где а>0 и и урав- нения, сводящиеся к ним. Решение таких уравнений основано на следующей теореме: Теорема. Если а>0 и а=/= 1, то уравнение а^х>)=аё^ равно- сильно уравнению f (x) = g (х). Пример 1. Решим уравнение 2*2 — 2х __ 23х —6 Решение. Заданное уравнение равносильно уравнению х2 —2х = 3х —6, а потому корни последнего уравнения Xi=2, х2 = 3 являются и корнями исходного уравнения. Пример 2. Решим уравнение °’^~05=5-0,04х-1. -х/5 Решение. Приведем все степени к одинаковому основанию, например к основанию 5: g0,5 — х е 5—0,5_5.5 —2%4-2 Далее получаем уравнение 5-х = 5“2х+3, которое равносильно урав- нению х=2х — 3. Корнем этого уравнения, а значит, и корнем задан- ного уравнения является х = 3. Пример 3. Решим уравнение (3(3^+3)^^7=J_ (1) Решение. Упростим выражение, находящееся в левой части уравнения (1): _1а_2_ / ^±2+1ч_1_ 3 (3^+3)2^)^-‘=(3 р~х-1 = Зд/х + 3 2 3 У* + 3 = 3 2 V* ->/х— 1 _________$\[х (-у/х — 1). Тогда уравнение (1) примет вид: 3 7*4-3 9 3^(VI-1) = 31®. Это уравнение равносильно следующему уравнению: Зл/х + З _ 9 О 10 (2) 115
решение которого сводится к решению совокупности уравнений: Из этой совокупности находим х = 25. Найденное значение х является корнем иррационального уравнения (2), значит, этот корень необхо- димо проверить. Проверка. Уравнение (1) равносильно уравнению (2). Под- ставляя х = 25 в левую часть уравнения (2), убеждаемся в том, что х = 25 является корнем этого уравнения и, значит, корнем заданного уравнения (1). Пример 4. Решим уравнение Зх2“4 = 52х. Решение. Воспользовавшись основным логарифмическим тож- деством W = alogaA\ приведем правую часть заданного уравнения к основанию 3. Тогда это уравнение примет следующий вид: Полученное уравнение равносильно уравнению х2 —4 = 2х log3 5, или х2 —(2 log35)x —4 = 0. Решая это квадратное уравнение, находим его корни: xi,2 = log3 5± ±л/1°ёз 5 + 4, которые являются корнями и заданного уравнения. Пример 5. Решим уравнение 3x + 3x+1+3x + 2 = 5x + 5x + 2 Решение. Так как 3х+1=3-3х; Зх+2 = 9-Зх; 5х+2 = 25-5х, то заданное уравнение перепишем в виде 3Х + 3-3Х + 9*3Х = 5Х + 25*5Х, или 13-3Х = 26-5Х, т. е. 3Х = 2-5Х. Далее имеем: --=2, (-|-) = 2, x = log0,6 2. Пример 6. Решим уравнение 51+2х + б1+х==зо+15о^ Решение. Так как 51+2х = 5-25х, 61+х = 6-6х и 150х = 6х-25х, то заданное уравнение можно преобразовать к виду 5-25х + 6-6х —6Х-25Х —30 = 0, и далее 5 (25х - 6) — 6х (25х - 6) = 0, (25х —6) (5 —6х) = 0. Решение последнего уравнения сводится к решению совокупности уравнений: 25х —6 = 0; 5 —6х = 0, 116
которая имеет такие корни: Xi = log25 6, x2 = log6 5. Найденные значе- ния х являются корнями заданного уравнения. Пример 7. Решим уравнение 4х + 2х+1-24 = 0. Решение. Так как 4Х = (22)Х = (2Х)2 и 2*+l = 2*2Х, то заданное уравнение можно переписать следующим образом: (2х)2 + 2-2х-24 = 0, Введем новую переменную, положив и = 2\ и решим полученное квад- ратное уравнение и2-\-2и — 24 = 0. Его корнями являются ui=4, u2=—6. Таким образом, решение заданного уравнения сводится к решению совокупности уравнений: 2Х = 4; 2Х=—6. Из первого уравнения этой совокупности получаем х = 2, а второе уравнение корней не имеет, так как 2х >0, а — 6<0. Итак, х = 2 — корень заданного уравнения. Пример 8. Решим уравнение 22х + 2 _ 5.2- + - 1 = 6 Решение. Перепишем заданное уравнение следующим обра- зом: 22 (x+Vx2-2)_5_ #2* + V*2-2 _6 = 0. Положив теперь w = 2x+^x2-2, получим квадратное уравнение u2 —-|-и —6 = 0, откуда и\ = 4, и2= — Таким образом, решение заданного уравнения сводится к решению совокупности уравнений: 2х + л/х2-2_=4. 2x+V^2-2 ____ Из первого уравнения получаем х + д/х2 —2 = 2, откуда х = у-. Второе уравнение корней не имеет. Проверка. Подставляя х = -|- в уравнение х + ?/х2 —2 = 2, * з убеждаемся, что значение х=— является корнем этого уравнения. Но тогда х = -|- является корнем и заданного уравнения. Пример 9. Решим уравнение V^4-a/257T^+12 = 0. 117
Решение. Перепишем это уравнение следующим образом: _6 3 . _3 _6 _3 2 х — 2 х3 + 12 = 0, или 2 х -8-2 х +12 = 0. Положив далее и —2 х, получим квадратное уравнение и2 — 8и + + 12 = 0, откуда щ = 6, и2 = 2. Таким образом, решение заданного уравнения сводится к решению совокупности уравнений: _3 J3 2х =2; 2Х = 6. Из первого уравнения получаем х\ = 3, а из второго, переписав его в виде 2 х = 210g26, находим х2 = . Проверка. Так как в заданном уравнении х является пока- зателем радикала, то x=# 1. Этим условиям удовлетворяет толь- ко значение х = 3. Итак, корнем заданного уравнения является х = 3. Пример 10. Решим уравнение 27х —29х —9 = 0. Решение. Полагая ц = Зх, перепишем заданное уравнение следующим образом: и3 — 2и2 — 9 = 0. Так как все коэффициенты многочлена и3 — 2и2 — 9— целые числа и его старший коэффициент равен 1, то можно попытаться найти целый корень этого многочлена среди делителей его свободного члена. Этими делителями являются числа ±1; ±3; ±9. Пробуя эти значения и, находим, что и = 3 является корнем указанного многочлена. Разделив далее и3 — 2и2 — 9 на и — 3, получим в частном и2 + и + 3, и поэтому и3 — 2и2 — 9 = (и — 3) (и2 + и + 3), т. е. уравнение u3 —2и2 —9 = 0 равносильно следующей совокупности уравнений: и — 3 = 0; u2 + u + 3 = 0. Второе уравнение этой совокупности действительных корней не имеет. Итак, остается решить уравнение 3х = 3, откуда и находим х=1 — корень заданного уравнения. Пример 11. Решим уравнение 2х + (0,5)2х“3-6(0,5)х=1. Решение. Так как (0,5)2х-3 = 23-2х=^г, и 6(0,5)х=-^-, то 2Х++1 =0. Положив и = 2х, получим ^ + ~т—|—г-1=0, и далее и3 — и2 — би+ 8 = 0, т. е. (и —2) (и2 +и —4) = 0. 118
Последнее уравнение имеет три корня: ui=2, и2 ——> ^з = 2 Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений: /Г?_1 Из первого уравнения находим Xi = l, из второго X2 = log21-£—, третье уравнение не имеет решений, так как ^-^^<0, а 2х>0 при x£R. Значит, исходное уравнение имеет следующие корни: xi = l, x2 = log2 ^2~ - • Пример 12. Решим уравнение 6-32х-13-6х + 6-22х = 0. (3) Решение. Так как 6х = 3х «2х, то имеем: 6-32х~13-Зх-2х + 6-22х = 0. Положив и = Зх, и = 2х, получим уравнение 6u2— 13jw + 6и2 = 0, (4) которое является однородным уравнением второй степени относи- тельно переменных и и и. Так как v = 2x ни при каких значениях х не обращается в нуль, то, разделив обе части уравнения (4) на v2, получим уравнение, равносильное уравнению (4): 6(т)2—13Т"+6=0- Полагая г — получим: 6z2 — 13z + 6 = 0, откуда Zi =-|"’ 22=-|-. о Учитывая, что > запишем совокупность уравнений: \ 2 / 2 ’ \ 2 / — 3 ’ из которой находим Xi = 1, х2 = — 1. Значит, уравнение (3) имеет два корня: Xi = 1, х2= — 1. В определенном смысле к показательным уравнениям примыкают так называемые показательно-степенные уравнения. Это уравнения вида (f (x))g (х) = (/ (х))Л (х). Если известно, что f (х) > 0 и f (х) У= 1, то это 119
уравнение, как и показательное, решается с помощью приравнивания показателей: g(x)=h(x). Если условием не исключаются возмож- ности f (х)^0, f (х)=1, приходится рассматривать несколько случа- ев, как это сделано в следующем примере. Пример 13. Решим уравнение (х24-х-57)3х2+3 = (х24-х-57)10\ (5) Решение. При решении этого показательно-степенного урав- нения возможны пять случаев: 1) х24-х—57=1; 2) х24-х-57=-1; 3) х24-х-57 = 0; 4) (х2 + х—57>0, 5) ( х2 + х- 57<0, ( x2-f-x — 57=# 1; I х2 4-х —57=# — 1. Рассмотрим эти случаи. 1) х2 4-х —57 = 1, т. е. х24-х —58 = 0. В этом случае уравнение (5) принимает вид 13*2+3 = 110х, т. е. 1 = 1. Значит, корни уравнения х2 4-х —58 = 0 являются и корнями уравнения (5). Из уравнения х24-х —58 = 0 находим Xi,2 = _ —1+V233 2 2) х24-х — 57 = — 1, т. е. х2 4-х —56 = 0. В этом случае уравне- ние (5) принимает вид: (-1)Зх2 + 3 = (_1)10х. (6) Уравнению (6) могут удовлетворять только такие значения х, при которых Зх24-3 и 10х — целые числа (поскольку отрицательное число (—1) можно возвести лишь в целую степень) одинаковой чет- ности (т. е. либо оба четные, либо оба нечетные). Из уравнения х24-х —56 = 0 находим xi = — 8, Х2 = 7. Значение xi = — 8 не удовлетворяет уравнению (6), а значение х2 = 7 удовлет- воряет. Значит, х = 7 — корень уравнения (5). 3) х24-х — 57 = 0. В этом случае уравнение (5) принимает вид: 03х2+3 = 010х. (7) Уравнению (7) могут удовлетворять только такие значения х, при которых Зх24-3>0 (это верно при всех х) и 10х>0, в этом слу- чае уравнение (7) примет вид 0 = 0 (напомним, что выражение 0г имеет смысл лишь при г>0). Из уравнения х24~х — 57 = 0 находим Xi>2 = ~1 . Значе- ние xi = ~1 не удовлетворяет условию 10х>0, а Х2 = — 1 Н-л/229 о —1+4229 = —-у*— удовлетворяет этому условию. Значит, х=-------------- корень уравнения (5). 4) Если х24-х — 57>0 и х24-х — 57 =# 1, то из уравнения (5) заключаем, что Зх24-3=10х, откуда находим xi=3, х2 = 120
=-|~. Ни один из этих корней уравнения Зх2— 10* +3 = 0 не удов- летворяет неравенству х2-(-х — 57 >0. 5) Если х2+х —57<0 и х2+х — 57=# — 1, то опять от уравне- ния (5) переходим к уравнению-следствию Зх2 + 3=10х, откуда на- ходим xi = 3, Х2=-|-. Обязательна проверка этих корней подстанов- кой в исходное уравнение (5). При Xi = 3 получаем (—45)30 = 1 / 5 \10 =(—45)30 — верное равенство, при х2=— получаем ( — 56 V = =(—56-|-V —неверное равенство (возведение отрицательного числа в дробную степень не имеет смысла). Значит, лишь х=3 — корень уравнения (5). Подводя итоги, приходим к выводу, что уравнение (5) имеет пять „ — 1+л/233 - — 1+л/229 о корней: Xi,2=——, Хз = 7, х4=—у—, xs = 3. У п р а ж н е н и я Решите уравнения. 724. 2Х“-5х’=0,001-(103-х)2. 727. “угАм'-ОЗЗб7 =4V2. 728. 10х — 5Г“1-2Х“2 =950. 729. 5х + 5х+2 + 5х+4 = 651. 730. Зх + Зх+‘ 3х+2 = 4* + 4Ж +1 +4х+2 731. 23х-Зх-23х-‘.Зх+1 = -288. 732. У+10=-^ . 4 2х-2 733. 2-73х —5-493х-)-3 = 0. 734. 3-52х~' —2-5х-> =0,2. 735. 9х!"’—36-Зх2-3 + 3=0. 736. 33х+1 -4-27х-' -НЭ1’5*-' -80 = 0. 737. (V5)x-(V5)2x + 20 = 0. 738. 4l/rFr-21/rTT+2 = 0. 739. 2х+з^*-5(-72)х_2 + л/х^-6=0. 740. (2 + V3)x + (2-y/3)x = 4. 741. (2+V3)x2~2x+1+(2-^/3)x2~2x~'= 4 2 — V 3 х+- 742. 8х —4 2 —2х + 2 = 0. 743. 8х —2х+1—4 = 0. 744. 2х-(0,5)2х-(0,5у+1=0. 745. 27-2~3х + 9-2х —23х —27-2-х=8. 746. 52х — 7х-35 - 52х4-35-7х = 0. 747. 4=_3=-o.s = 3=+».5_22x-1. 748. 4Х + 6Х=2-9х. 121
749. 100х +25х =4,25-50* . 750.65/9-13^64-65/4 = 0. 751. 1255/4 — 705/10 + 55/25 = 0 . 752. 4Х+10х = 2-25х. 753. 2-4х + 25х+1 = 15• 10х. 754. 16х + 36х = 2-81х. 755. 7-4х —2-72х + 5- 14х = 0. 756. 22х • 9х — 2 • 63х -' + 42х -1 • 92х -1 = 0. 757. (3Х + 2Х)(3Х + 3-2Х) = 8-6Х. 758. 56-4х~' — 53- 14х + 2-49х+°-5 = 0. 759. (х2 — х-1)*’-1 = 1. 760. (х + 3)*2 + 2х“8=1. 761. (х — 2)х2—Х=(х —2)12. 762. (Зх-4)2х! + 2=(Зх-4)5х. 763. |х|х2-2х=1. 764. Зх-8х+'2=6. _3х_ 765. 5х-2-2х+1=4. 766. |2Х—11 + |2Х —2| = 1. 767. 2|х+21 — |2х+1 — 1|=2х+' + 1. 768. 3|х-21+3|х+21 =3Х. 769. -^(Э^2-3 —Зх/х2-3) = 32л/х2-3+1—Зх/х!-3+‘+6л/х-18. 770. 2д/х-4х + 5-2х+, + 2-Ух = 22х+2 + 5л/х-2х + 4. § 14. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, част- ного, степени, корня. Напомним эти свойства: 1°. loga f(x) + 10ga g W = logo(f (x)-g(x)). 2°. lOga/(X)-10ga g(x) = 10ga . 3° Ina «Joga/W, если n£R, n=£2k, k£Z, d v I )) I n iOga |f (x)|, если ti — четное число. Все логарифмы в формулах 1° —3° имеют одно и то же основание a>0, 1. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравне- нии имеются логарифмы с различными основаниями, применение формул 1° — 3° возможно лишь после перехода к логарифмам с рав- ными основаниями. Этот переход выполняется с помощью формулы 4°. loga f (х) = f , где b > 0, b Ф 1, lOgfc CL частным случаем которой является формула 5°. logaJ(x)' = loga/W- где r^R, г=£0. Отметим, что замена выражения loga f (х) + loga g (х) выражением l°ga (f (*)•£ (х)) приводит, как правило, к расширению области 122
определения выражения 1 oga f (х) + loga g (x). Действительно, об- ласть определения выражения loga f (x)4-loga g (%) задается систе- мой неравенств U W>o, а область определения выражения loga (f (x)-g (x)) задается совокуп- ностью систем неравенств /Ш>0, p(%)<0, tg(x)>0; lg(x)<0. Таким образом, если вторая система этой совокупности имеет решение, то область определения выражения loga (f (x)-g (х)) будет шире, чем область определения выражения loga f(x) + loga g (х). Аналогично может произойти расширение области определения выражения loga f (х)—-loga g (х) при замене его выражением 1°ёаЦпГ. 1. Решение уравнений вида loga f (х) = loga g (х) и уравнений, сво- дящихся к этому виду. Уравнения вида loga f(x) = loga g(x) (1) и уравнения, сводящиеся к этому виду, можно решить одним из следующих способов: 1-й способ. Решить уравнение fW = g(x), (2) являющееся следствием уравнения (1), и выполнить проверку кор- ней уравнения (2) подстановкой их в заданное уравнение (1). Если уравнение (1) само является следствием некоторого заданного ло- гарифмического уравнения, то проверку найденных корней выполня- ют подстановкой их в заданное уравнение, а не в уравнение (1). 2-й способ. Решить уравнение (2) и проверить корни этого урав- нения подстановкой их либо в систему неравенств /(х)>0, g W>0, (3) которой задается область определения уравнения (1), либо в нера- венства, являющиеся решением системы (3). Если же уравнение (1) само является следствием некоторого заданного логарифмического уравнения, то проверку найденных корней выполняют подстановкой их в неравенства, с помощью которых записывается область опре- деления заданного уравнения, а не уравнения (1). 3-й способ. Этот способ отличается от 2-го способа практически лишь тем, что обращение к неравенствам, с помощью которых за- писывается область определения уравнения (1), происходит не в про- верке, а уже непосредственно в процессе решения уравнения (1). Применяя этот способ, решают смешанную систему 123
'f(x)=g(x), « fW>0, ,g(x)>0, которая составлена из уравнения (2) и неравенств системы (3). Эта смешанная система равносильна уравнению (1). Если же урав- нение (1) само является следствием некоторого заданного логариф- мического уравнения, то в смешанную систему, равносильную этому уравнению, войдут, кроме уравнения (2), неравенства, с помощью которых записывается область определения заданного уравнения, а не уравнения (1). При решении логарифмических уравнений применяются три ос- новных метода: метод потенцирования, т. е. переход от уравнения loga f (x) = loga g (x) к уравнению-следствию f (x) = g (x); метод введе- ния новых переменных; метод логарифмирования, т. е. переход от уравнения f(x) = g W к уравнению loga f (x) = loga g (x) (об этом ме- тоде идет речь ниже в п. 3). Перейдем к рассмотрению примеров. Пример 1. Решим уравнение 1 °g3 (7 — 2х) = 1 Og3 (х2 — Зх — 5). Решение. Перейдем от этого уравнения к уравнению 7 — 2х = х2 —Зх —5. Далее получаем уравнение х2 —х—12 = 0, откуда xi = 4, х2=—3. Так как уравнение х2 —х—12 = 0 является следствием заданного уравнения, то найденные корни необходимо проверить. Проверка. Подставляя xi =4 в левую часть заданного урав- нения, получаем 7 —2xi<0. Это значит, что log3(7 —2xi) не су- ществует, т. е. xi=4 — посторонний корень. Далее, log3 (7 — 2x2) = log3 13 и, log3 (х2 —Зх2 — 5) = log3 13. Таким образом, х =—3 является корнем заданного уравнения. Пример 2. Решим уравнение lg(x + 4) + lg(2x + 3) = lg(l-2x). (4) Решение. Преобразуем уравнение (4) к следующему виду: lg((x + 4)(2x + 3)) = lg(l-2x). От этого уравнения перейдем к уравнению (x-f-4) (2х + 3) = 1—2х и далее 2х2 +13х+11 =0, откуда х\ = — 1, х2= — 5,5. Так как найденные значения х — это корни уравнения, являющегося след- ствием уравнения (4), то их необходимо проверить. Проверка. Область определения уравнения (4) задается системой неравенств х + 4>0, 2х + 3>0, 1— 2х>0. 124
Подставляем xi = — 1, а затем х2= — 5,5 в неравенства этой систе- мы, убеждаемся, что при xi = — 1 все неравенства выполняются, а при Х2=— 5,5 не выполняется, например, первое неравенство этой системы. Таким образом, только х= — 1 является корнем уравне- ния (4). Пример 3. Решим уравнение lg2*+lg*+l=-^— • ^То Решение. Так как lg j^- = lg х—L то заданное уравнение можно переписать следующим образом: Ig’x+lgX+l»;-^.. Положив u = lgx, получим уравнение , откуда на- ходим и = 2. Из уравнения lgx = 2 находим х=100. Проверка. Подставив х= 100, например, в систему г х>0, I Igx — 1=#0, с помощью которой записывается область определения заданного уравнения, убеждаемся, что х=100 является корнем заданного уравнения. Пример 4. Решим уравнение lg2x3 — lg (0,1х10) —0. Решение. Имеем: (1g х3)2 —lg х10 —lg 0,1 =0, 91g2x—101g |x| + 1 =0. Рассматривая случаи, когда х>0и когда х<0, можно свести реше- ние этого уравнения к решению совокупности уравнений, однако можно поступить и по-другому. А именно, заметив, что областью определения заданного уравнения является множество значений х, удовлетворяющих неравенству х>0, а в этом случае |х| = х, пере- пишем последнее уравнение следующим образом: 9 1g2 х- 10 lg х+ 1=0. Положив далее для краткости и = 1g х, получим квадратное уравне- ние 9u2—10u+1 =0, корнями которого являются Ui = l, z/2=-i-. Таким образом, задача свелась к решению совокупности уравнений: lgx=i; lg х = Из первого уравнения находим х\ = 10, а из второго x2 = VfO- 125
Проверка. Оба найденных корня принадлежат области опре- деления заданного уравнения, т. е. являются и его корнями. П р и м е р 5. Решим уравнение т-log I (х+2)2 — 3 = log_i(4 — х) — log4(x+6)3. (5) 2 4 V4 Решение. Прежде всего перейдем в уравнении (5) к логариф- мам по одному основанию, например по основанию -у-. Имеем: logi (4 —x)=log/i V (4 —x)3 = log i (4—-х)3. V4 \V4 / 4 log4 (х + 6)3 = log4_, (х + 6)~3 = — log2 (х+6)3. 4 Тогда заданное уравнение принимает вид: -|-log 1 (х + 2)2 — 3 = log I (4 —x)3 + log, (х + 6)3. (6) 2-4 4 Так как далее log^ (х + 2)2 = 2 log , |х + 2|, то уравнение (6) рав- носильно уравнению 3 log 1 |х-|-2| —3 = 3 log । (4 —х) + 3 log 1 (х + 6), 4 4 4 которое преобразуется в уравнение logi |х + 2| — l=log2 (4 —x) + log । (х + 6) 4 4 4 и затем в уравнение log2 4 |х + 2| =logA (4 — х) (х + 6). 4 4 Из этого уравнения получаем уравнение, не содержащее лога- рифмов: 4 |х + 2|=(4 — х)(х + 6), решение которого сводится к решению следующей совокупности: р + 2>0, р + 2<0, 14(х+2)=(4-х)(х+6);1 -4 (х + 2) = (4-х) (х + 6). Из уравнения первой системы находим х\ =2, и Х2= —-8. Однако неравенству этой системы удовлетворяет только значение х = 2. Из уравнения второй системы находим xi,2=l±V33- Неравенству же этой системы удовлетворяет только значение х=1—у/33. Итак, проверке подлежат корни х = 2 и х=1—-д/ЗЗ- Проверка. Найдем область определения уравнения (5), для чего решим систему {х + 2+=0, 4 —х>0, х + 6>0. 126
Получаем — 6<х< —2; —2<х<4. Оба проверяемых корня при- надлежат этой области, и, значит, корнями уравнения (5) являются xi=2 и х2=1—д/33. 2. Решение уравнений вида loga(X) f (x)=loga(X) g (x) и уравнений, сводящихся к этому виду. При решении уравнений вида 10ga(x)f (x) = 10ga(x)g(x) (7) и уравнений, сводящихся к этому виду, может применяться любой из тех трех способов, которые применяются при решении уравнений вида (1). Следует лишь учесть, что к неравенствам, с помощью ко- торых записывается область определения уравнения (1), необходимо добавить еще условия а(х)>*0 и а{х)=£\. Таким образом, при решении уравнений вида (7) вторым или третьим способом из корней уравнения (2) отбирают лишь те, ко- торые удовлетворяют следующей системе: Р«>0, g W>o, а (х) > О, а (х) У= 1. Пример 6. Решим уравнение logx+4 (х2 — 1) = 10gx-}-4 (5 —х). Решение. Найдем корни уравнения х2—1=5 —х. Получаем xi = 2, х2=—3. Проверим эти корни. Проверка. Значение х\ = 2 удовлетворяет одновременно ус- ловиям х2— 1 >0, 5 —х>0, х + 4>0 и х + 4#= 1. Значит, Xi =2 яв- ляется корнем заданного уравнения. Значение х2=—3 не удовлетворяет условию х + 4=И=1- Таким образом, х2=— 3 не является корнем заданного уравне- ния. Итак, корнем заданного уравнения является только х = 2. Пример?. Решим уравнение log х %+ log х х = 0. (8) ГО 3 Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию, например х. Так как 10gx X 1 3X“i0g 5 то уравнение (8) примет следующий вид: —!------1---—=0, 1 — logx 10^1 — logx 5 127
и далее 1 —logx 5+1 —logx Ю = 0, откуда logx50 = 2, и тогда Х\ = = 5-\/2, х2 = — 5-\/2. Проверка. Нетрудно убедиться, что значение Xi =5д/2 при- надлежит области определения уравнения (8), т. е. является корнем этого уравнения, а х2= — 5у/2 не принадлежит этой области, т. е. является посторонним корнем. Однако при переходе в логарифмическом уравнении (8) к осно- ванию х нас подстерегала другая, более «грозная» опасность, чем опасность приобретения посторонних корней. Так, подставив значе- ние х=1 в левую часть уравнения (8), убеждаемся, что х=\ явля- ется корнем этого уравнения. Потеря корня произошла при перехо- де в логарифмическом уравнении к основанию х, что сужало область определения уравнения (8) и, следовательно, могло привести (и, как видим, привело) к потере корня. Итак, корнями уравнения (8) являются Xi =5д/2 и %2=1. Замечание. При переходе в уравнении (8) к логарифмам по основанию, не содержащему х, например к основанию 10, мы получили бы уравнение 1g* Igx—1 lg* Igx— lg 5 = 0, корнями которого являются Xi = 1 и х2 = 5т/2, т. е. потери решения при таком способе не происходит. 3. Разные логарифмические уравнения. Пример 8. Решим уравнение ^-18^0,01. (9) Решение. Область определения уравнения х>0. В этой об- ласти выражения, содержащиеся в обеих частях уравнения (9), при- нимают только положительные значения, а тогда логарифмы этих выражений существуют. Взяв логарифмы от обеих частей уравнения по основанию 10, получим уравнение lg xl-lgx = lg 0,01, или (l-lgx)lgx=-2. Положив u = lgx, придем к уравнению и2 — и — 2 = 0, откуда ui= — 1, и2 — 2. Таким образом, задача свелась к решению следую- щей совокупности уравнений: lg х = — 1; 1g х = 2. Из этой совокупности находим ли =0,1 и %2=Ю0. Проверка. Оба найденных значения х принадлежат области определения уравнения (9) (этой областью является луч х>>0), и, таким образом, %i=0,l и %2=100 — корни уравнения (9). Пример 9. Решим уравнение 1 ogx ( 3xlog5 х + 4) = 2 1 Og5 х. (10) 128
Решение. Воспользовавшись определением логарифма, пре- образуем уравнение (10) к виду x2,og5* = 3x,og5X + 4. Положив w = xIog5X, получим уравнение u2 —Зи —4 = 0, корни ко ТОрОГО U[ = — 1, U2 = 4. Теперь задача сводится к решению следующей совокупности уравнений: Xlog5x= — 1; Так как xlog5X>0, а — 1 <0, то первое уравнение совокупности не имеет решений. Взяв от обеих частей второго уравнения совокупнос- ти логарифмы по основанию 5, получим: logi х = log5 4, т. е. logs х = ±-V*°g5 4, откуда находим X!,2 = 5±^log54. Проверка. Найдем область определения уравнения (10). Так как х — основание логарифма, то х>0, x=# 1. Как нетрудно за- метить, выражение 3№og5X + 4 положительно при всех значениях х>0. Таким образом, область определения уравнения (10) опреде- ляется условиями х>0, х=#1. Этим условиям удовлетворяют оба найденных значения х. Итак, х\ = 5^[О^4 и x2 = 5"^log54— корни уравнения (10). Пример 10. Решим уравнение logs (5* +125)=logs 6+14-^-. (11) Решение. Сначала будем рассматривать данное уравнение как логарифмическое. Так как 1 +^-= logs 5*+2х, то уравнение (11) запишем в виде logs (5^ +125) = logs 6 +logs 51+2*. Далее имеем: logs(54 +125) = logs (6.5.5^), т. е. 5 *+125 = 30-5^. Это — показательное уравнение, которое можно решить методом введения новой переменной. Положив и — получим уравнение и2 —30и+125 = 0, корни которого ut=5, ^2 = 25. Теперь задача свелась к решению совокупности двух уравнений: А * 52х __5; 5Гх =25 Из первого уравнения получаем 27=1, откуда %i=y-. Из второго уравнения получаем ^-=2, откуда х2 = *|-. 5 Заказ 840 « Ол
Проверка показывает, что оба найденных значения х,=у- и %2 = -^-являются корнями уравнения (1). Упражнения Решите уравнения. о 771. Iog4—T=log4(4-x). 772. lg (х+ 1,5)= -lg х. 773. lg (4,5—x) = lg 4,5—lg х. 774. log3((x— l)(2x— l))=0. 775. log к * ~^X~^3=—2. 776. log2 log3-\/5x=0. “ 5 — 2x 1 777. log, loga--±t=0. 778. log4 log2 log3 (2x-1)=—. 2 X — О £ 779. log2(9 —2*)=25log’^3—.* 7ЯО 1~1gJC_1g2 14 —!g24 78°- ~r~—• 781. lgV5x—4 + lg Vx+T=2 + lg0,18. 782. lgVx^5+lg<2x-3+l=lg30. 783. lg 5 + lg (x+10)= 1 —lg (2x—l)+lg (21x—20). 784. log5 (Зх-11)+logs (x-27)=3 + logs 8. 7«fi ‘g 2 + lg (4-5x-6x2) lg V2x— 1 787. 0,1 lg4x— lg2x + 0,9 = 0. 1 5 788‘ 5-41g(x+l)+l+4 1g(x+l)=2' 7«Q —___I______I-------=0 Igx lg lOx ' lg lOOx 790. 4 — lgx=3Vlgx. 791. lg2 (100x) + lg2 (10x)= 14 lgx+15. 792. log, 5-V5 — -|-= log2 75. 793. lg (lg x)+lg (lg x3- 2)=0. 794. log* 2 + log2 x=2,5. 795. 10g2A 4x+log2y=8. 796. 797. lg (x3 + 27)-0,5 lg (x2+6x+9)=3Jg ^/7. 798. log2(x+l)2 + log2 л/х5"^ 799. 2---O1 2 _ Igx—2 lg x 800. 2 lg x2 —lg2 (—x)=4. + 2x+l=6. 1 —lg2 x2 4 ---*-=lgx4+5. 130
801. lg x2 + lg (%+10)2 = 2 lg 11. 802. 2 log3 (x — 2) + log3 (x — 4)2 = 0. 803. V2 logs ( —x)—Iog8 V?=0- 804. log2 (x + 3)2 — 5 = log2 (3 — x)5 + log2 (x 4" 5)5. 805. log3 ( —x2 —8x — 14) logx2 + 4x+4 9 = 1. 806. log2 Vl+x+31og2 (1-x) = log2 (l-x2)2 + 2. 807. (1 -4g 2) log5 x = lg 3-lg (x-2). 808. log2 log3(x2— 16) — loglogji -r——=2. 2 з X — 1O 809. 3 log16(V*i!+1 +*)+log2 (V*2+1 -x)=log,6 (4x+1)—0,5. 810. Ilog^x-2| — |log3x—2|=2. 811. |log2 (Зх- 1)-log2 3| =|log2 (5-2x) — 11. 812. log*_2 (2x —9) = logx_2 (23—6x). 813. logx,(x + 2)=l. 814. loggx—2 2 + 2 iog5x-2 X=log5x_2 (* + 0- 815. log4 (x+ 12)«log, 2= 1. 816. x2 • log* 27 • log9 x = x-f-4. 817. l + logl^=(lgz2-l)logx10. 9 818. 1 +2 log, 2-log4 (10-x) = :-. 10g4 X 819. log i 2 = log, 4. 8 820. log4x+i 7 + log9*-7=0. 821. 2 log, 3 +logsx 3 + 3 log9, 3 = 0. 822. log,+ i (x — y) = logx_^ (x+1). 823. log3,+7 (5x-]-3)4" logsx+з (3x4-7) = 2. 824. (0,4)lg2*+1=(6.25)2~lg< 825. (1.25)1 -|ogi* = (0,64)2 log! 2x. 826. xlgx=1000x2. 827. 5lgx-3'gx-l = 3lgx + l-5’gx_1. 828. 2x'gx + 3x~lgx = 5. 829. ’\/xlg'^x=10. 830. xlogV72x=4. 831. logI(2xx-2— l) + 4 = 2x. 832. +^_l0'«-+'. 833. (Vx)logsX~'=5. 834. xl+10glX=9x2. 835. 836. |x-l|lg’x-lgx!=|x-l|3. 837. 16log«’=8x. 838. х|о8^’-|о^+3_-1=0. X 839. 3"Vlog9 4*“T = 2^og2 3. 131
840. 15logs3-x,ogs9x+1 = l. 841. 5lgx = 50 —xlg5. 842. xlogI 5S-14log2 7= 1. 843 j^°£3 x)3 —3 logs *_з —3 1°д2л/2 4 + 8 844^ x' °ei f -1 og2 2x ~ 2 + (x + 2)1 °«<« 4 = 3. 845. 7xlog2x11 ' g*2 = 5 + (x + 7)10gV2(x+7). 846. lg (У-24 ~*) = 2 +0,25 lg 16 — 0,5x lg 4. 847. 3 1g2 + lg(21/J^T-1-l)=lg(0,4V2^f+4)+l. 848. 4log3(l-x5 = (2x2 + 2x+5)log. 849. 3x + (3 - x) 1 og3 2 = logs (9 • (у У + 2 • 6' ) + 1. 850. x2 log36 (5x2 —2x —3) —x log i -д/5х2 — 2x — 3=x24~x. Ot-1 2 1 3-f-X 2i /л I O \ 2 л I ni 3x24"11x+6 851. x2log2-jQ---x2log2 (24-3x) = x2 —44-2 log^------------- § 15. СИСТЕМЫ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ При решении систем показательных и логарифмических уравне- ний применяются те же приемы, что при решении систем алгебраичес- ких уравнений. Следует лишь подчеркнуть, что во многих случаях, прежде чем применить тот или иной метод решения систем, следует преобразовать каждое уравнение системы к возможно более простому виду. Пример 1. Решим систему уравнений ( 252х + 252* = 30, 125x+y = 5V5. (1) Решение. Положив u = 25x, v = 25*, получим систему уравне- ний и2 + и2 = 30, uv = 5-^/5, имеющую четыре решения: д/з=—5, г tz4=—д/5, ^з=—д/5; (у4=—5. £/2 = л/5, £>2 = 5; £/1=5, v\ =V^; Но u = 25x, v = 25*, значит, u>0, v > 0, т. е. из найденных четырех решений надо взять лишь первые два. Таким образом, задача сводится к решению следующей совокуп- ности систем уравнений: (25х = 5, Г 25х=д/5, {25* =75; 125* = 5. Из первой системы находим: = £/i=—-, из второй: х2 = --, 1 У2 = т. 132
Итак, система (1) имеет два решения: (у-; -у), (у; "г”)' Пример 2. Решим систему (2Х-3У = 12, [2».3Ж=18. (2) Решение. Перемножив почленно уравнения системы (2), по- лучим уравнение 2х+у-Зх+у = 216, или 6х+у = 63, откуда х + у = 3. Разделив почленно первое уравнение системы (2) на второе, полу- чим уравнение 2-^.3^-х=|-, или = О \ о / о откуда*—у =1. Таким образом, решение системы (2) сводится к решению сле- дующей системы уравнений: (* — у=1. Пара (2; 1) является решением этой системы и, следовательно, системы (2). Пример 3. Решим систему W-91/4-9_о (*>0) (3) Решение. Взяв логарифмы по основанию 2 от обеих частей каждого из уравнений системы (3), получим следующую систему уравнений: (log2 дУ-9у+9 = 3, । (2у2 —9у + 9) log2 х = 3, I Iog2 ^!-5!/+6 = 2, или |(у2 —5y + 6)log2x=2. Разделим первое уравнение этой системы на второе (это деле- ние не приведет к потере решений, так как ясно, что у2 — 5у + 6^=0 и х=#1, т. е. log2x#=0): 2у2 — 9у + 9 3 у2-5//4-6 2 ’ откуда yi = 3, у2 = 0. Таким образом, решение системы (3) мы свели к решению сово- купности: (// = 3, (у=0, (G/2 — 5у-|-6) log2 х=2; |(//2 —5// + 6) log2 х = 2. Первая система этой совокупности решений не имеет, а пара (^/2; 0) — решение второй системы — является решением и системы (3). 133
Пример 4. Решим систему ^уравнений | Х10^х.у = Х2, |log4 y-\ogy(y — Зх)=1. (4) Решение. Приведем первое уравнение системы (4) к более простому виду. Для этого возьмем от обеих частей уравнения лога- рифм по основанию у\ logi/(xlog’Jt-i/) = log!/x2, и далее logy x’og»* + log^ y = -|-log!Z x, log2x+l=ylog,, x. Положив w^logzyX, получим квадратное относительно и уравне- ние и2—|—иН~ 1 =0, корни которого ui=2, U2 = -~-. Значит, либо logt/x = 2, тогда х = у2, либо log£/x = —-, тогда х = -\/у, т. е. у — х2. Итак, следствием первого уравнения системы (4) является совокуп- ность уравнений: 2 2 Х = у , у=х\ Приведем теперь второе уравнение системы (4) к более прос- тому виду. Для этого перейдем от логарифма по основанию у к лога- рифму по основанию 4: log4 у log4 (// —Зх)__ 10g4 у и далее log4 (у —Зх)= 1, откуда у — Зх = 4. Таким образом, решение системы (4) мы свели к решению следующей совокупности систем уравнений: 2 9 (х = у\ (У = х, (У — Зх = 4; |у —Зх = 4. Первая система не имеет решений, вторая имеет два решения: (4; 16), (-1; 1). Проверка. Решения системы (4) должны удовлетворять сле- х>0, у>0, у —Зх>0, У^1. дующим условиям: Пара (4; 16) этой системе удовлетворяет, а пара (—1; 1) — нет. Значит, (4; 16) — единственное решение системы (4). 134
Упражнения Решите системы уравнений: 852. [ ху—х+у=118. lx+t/ = 5. 854. 642х+642’=12, 64ж+!,=4л/2. 855. ;8’=10«/, 856. ( 2'-9’=648, 2*=5i/. 13'-4^=432. 857. 3‘-22“ = 77, 858. 4 1 2»-5 1 ^З2—2“ = 7. =Т- 859. Гх’-2 = 4, 860. (А5’+6 = 4, х2’-3 = 64. ( х2*’-^+Э = 64. 861. Хх+11=у'2 862. (х™=у ys+!,=x3. [у^=х<. 863. ’ lg * + lg f/ = lg 2 864. j logy х —log, z/ = -|- x2 + i/2 = 5. | 1 1 * \xy —16. 865. Г lg (x2+y2)- 1 =lg 13 866. ( 5 (log9 х+logx y) = 26 lg (•»+!/)—lg(-f—1/)=3 lg 2. |xy=64. 867. '2“-4s = 32 868. ( 102-lg(x-y)=25 lg(x —</)2 = 2 lg 2. |lg(x —J/)+lg (*+«/)= 1+2 lg 2. 869. 1 x-U [2 2 -(4/2)I-f=12 870. (3s-2y = 576 | 3lg(2!/-x)==L 1 10g^(j/ —X) = 4. 871. , f logsx + 3,og3iZ=7 872. J 3(2 log^ x-logj_ y)= 10 + = 512. 1 01 X I \xy — 81. 873. ( logo,5('/-JC) + l°g2y=-2 874. | (x + y).3^*x = A ( + + </2 = 25. |з log5(x+y) = x — y. 875. I f 20xlogjy+7i/'og3X=81 V3 876. ( log4 xy+3 ^-^=0 1 8 ) 1о^4 У | I Ogg X2 + l0g27 У3 = -^ • V. X . , [ * 3 10g4 —— Iog4 X-10g4 Z/ = 0. 877. । ( log2(x+*/)4-2 log3(x —</)==5 878. ( log2 (10 — 2У) = 4 — у l2 -б’2 +2 "°- 1 iog2M_l=log2(x-l)-log2(3-x). 01/ — X 879. ' lg X-lg (x + j/)=lg y-lg (x — y) lg f/-lg (x+y)=lg «-lg {x—y\ 880. : 4"+i'=27 + 9'I~!' 8*+’ —21.2J’+“=27x-!' + 7-3'_y+l. 881. :x.2«+l— 2-2’=— 3y-V+y 2x-22x+!' + 3</-8'+i'=l. 135
§ 16. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 1. Основные понятия. Областью определения неравенства f (X)>S W называется множество таких значений х, при которых и функция f (х), и функция g (х) определены. Иными словами, область определения неравенства f (x)>g (х) — это пересечение областей оп- ределения функций f (х) и g (х). Частным решением неравенства f(x)>g(x) называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной х. Решением неравен- ства называется множество всех его частных решений. Два неравенства с одной переменной х называются равносиль- ными, если их решения совпадают (в частности, если оба нера- венства не имеют решений). Если каждое частное решение нера- венства fi (x)>gi (х) является в то же время частным решением неравенства /2 (x)>g2 (х), полученного после преобразований нера- венства f\ (x)>gi (х), то неравенство /2 (x)>g2 (х) называется след- ствием неравенства fi (x)>*gi (х). В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к равносильным неравенствам. Теорема 1. Если к обеим частям неравенства прибавить од- ну и ту же функцию ф (х), которая определена при всех значениях х из области определения исходного неравенства, и при этом оста- вить без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким образом, неравенства f(x)>g(x) и f(x)+<pW>gW+<p(x) равносильны, если <р (х) удовлетворяет условию теоремы. Следствие. Неравенства f (x) + <p(x)>g(x) и f(x)>g(x) — cp(x) равносильны. Теорема 2. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию ср (х), которая при всех значе- ниях х из области определения исходного неравенства принима- ет только положительные значения, и при этом оставить без измене- ния знак исходного неравенства, то получится неравенство, равно- сильное исходному. Таким образом, если <р(х)>0, то неравенства f W>g (x) И f(x)-<p(x)>g(x).<p(x) (или ) равносильны. Следствие. Если обе части неравенства умножить (или раз- делить) на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному. Теорема 3. Если обе части неравенства умножить (или раз- делить) на одну и ту же функцию ф (х), которая при всех значениях х из области определения исходного неравенства принимает только от- 136
рицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исход- ному. Таким образом, если ф(х)<0, то неравенства f (x)>g(x) и /(х)-ф(х)<£(х)-ф(х) (или ф(*)') равносильны. Следствие. Если обе части неравенства умножить (или раз- делить ) на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, рав- носильное данному. Теорема 4. Пусть дано неравенство f(x)>g(x), причем f(x)>0 и g(x)^0 при всех х из области определения неравенст- ва. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натураль- ную степень п и при этом знак неравенства оставить без измене- ния, то получится неравенство (mnXg(x)y, равносильное данному. Замечание. Выше (§ 7) мы уже отмечали, что при выполнении тождест- венных преобразований возможно изменение области определения выражения; напри- мер, при приведении подобных членов, при сокращении дроби может произойти расширение области определения. При решении неравенства в результате тождествен- ных преобразований может получиться неравносильное неравенство. Рассмотрим для примера неравенство у/х+х —1>^-5. (1) Прибавив к обеим частям неравенства (1) одну и ту же функцию <р(х)=—^> получим неравенство •у/х-}-х— 1 — -yf> V^—5 — пД» (2) равносильное (по теореме 1) неравенству (1). Далее имеем: %—1>—5, (3) откуда х> — 4. Но неравенство (1) имеет решение х>0, т. е. неравенства (1) и (3) неравносильны (неравенство (3) есть следствие неравенства (1)). Дело в том, что неравенство х—1>— 5 имеет более широкую область определения, чем неравенство (1); это расширение произошло в результате приведения подобных членов в неравенстве (2). Поэтому после выполнения тождественных преобразований, которые привели к расширению области определения неравенства, из найденных решений нужно отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства. 2. Рациональные неравенства. Рассмотрим функцию f(x)= (4) (x—bi)' (х-Ьг)’•...•(x — bp)" где th, tt2, .... tik, tn\, m2, .... mp—натуральные числа и где ai=^at, bi^=bj при /#=/; a^bj (i = 1, 2, k\ j=l, 2, .... p). В точках x = a, функция обращается в нуль (эти точки называют нулями функции), точки x=bj — точки разрыва функции /(х). Если 137
все нули функции и точки разрыва отметить на числовой прямой, то они разобьют ее на k + р-f-1 промежутков. Из курса математического анализа известно, что внутри каждого из этих промежутков функ- ция f (х) непрерывна И сохраняет постоянный знак. Для установления этого знака достаточно взять любую точку из интересующего нас промежутка и определить знак функции в этой точке. Пример 1. Решим неравенство х2(*-2)3(х + ЗК п (х_4у Решение. Функция f (х)=* обращается в нуль в точках Х|=0, Хг = 2, Хз=—3 и претерпевает разрыв в точке х^ = 4. Эти четыре точки разбивают числовую прямую на пять промежутков (рис. 4): (— оо; —3), ( — 3; 0), (0; 2), (2; 4), (4; оо). Определим знак функции f (х) в каждом из этих промежутков. ^3 О 2 ? : Г Рис. 4 В промежутке (— оо; —3) возьмем точку х=—4. Имеем f( — 4)<0, значит, в (—оо; —3) f (х)<0. В промежутке ( — 3; 0) возьмем точку х= —1. Имеем f (—1)>0, значит, в ( — 3; 0) f(x)>0. В промежутке (0; 2) возьмем точку х=1. Имеем f (1)>0, значит, в (0; 2) f (х)>0. В промежутке (2; 4) возьмем точку х = 3. Имеем f (3)<0, зна- чит, в (2; 4) f(x)<0. В промежутке (4; оо) возьмем точку х = 5. Имеем f(5)>0, зна- чит, в (4; оо) f (х)>0. Нам надо было решить неравенство f(x)>0. Из проведенного рассуждения ясно, что это неравенство выполняется в промежутках (—-3;0), (0; 2) и (4; оо). Объединение этих промежутков и пред- ставляет собой решение данного неравенства. Ответ можно записать двумя способами: 1) (-3; 0)U(0; 2)U(4; оо); 2) —3<х<0; 0<х<2; 4<х<оо. На практике для решения неравенства /(х)>0 (соответственно <; О, где f (х) — функция вида (4), применяют так на- зываемый метод интервалов — геометрический метод решения, осно- ванный на следующих трех достаточно очевидных утверждениях: 1) Если с — наибольшее из чисел а„ то в промежутке (с, оо) функция f (х) положительна. 2) Если а,- (соответственно Ь,) — такая точка, что показатель степени Л, выражения (х —а1)/“ есть число нечетное, то справа и слева от а, (или bj), т. е. в смежных промежутках, функция f (х) имеет проти- воположные знаки. Такую точку а< (соответственно &,) будем называть простой. Вы- 138
сказанное выше утверждение означает, что при переходе через прос- тую точку функция f (х) меняет знак на противоположный. 3) Если (соответственно bj) — такая точка, что показатель степени hi выражения (х — а^‘ есть число четное, то справа и слева от а», т. е. в смежных промежутках, функция имеет одинаковые знаки. Такую точку а, (соответственно bj) будем называть двойной. Высказанное выше утверждение означает, что при переходе через двойную точку функция f (х) не меняет знака. Так, в примере 1 точки х = 2, х=—3, х = 4 простые, а точка х = 0 двойная. Знаки функции f (х) в промежутках представлены на рисунке 5. - + + - + I ..-О -----О ' О .. |И"О' -3 0 2 Ь X Рис. 5 Значит, f (х)>0 в промежутках ( — 3; 0), (0; 2), (4; оо). То же было получено нами выше при решении примера 1. Метод интервалов, основанный на сформулированных выше трех утверждениях, применяется для решения неравенства вида 0 z 0) (5) Он заключается в следующем: 1) Отмечают все нули и точки разрыва функции f (х), содер- жащейся в левой части неравенства (5), незакрашенными кружка- ми на числовой прямой. 2) Проводят волнообразную кривую, которую начинают всегда в какой-нибудь точке, находящейся над числовой прямой, правее наибольшего из чисел а/ и bj. При этом проводят ее так, чтобы она проходила все отмеченные точки с учетом того, что при переходе че- рез простые точки кривая пересекает числовую прямую, а при перехо- де через двойные точки она остается по ту же сторону от числовой прямой. Эту волнообразную кривую называют кривой знаков. 3) Выбирают промежутки числовой прямой в соответствии со зна- ком неравенства (5) (а именно f(x)>0 там, где кривая знаков располагается над числовой прямой, и /(х)<0 там, где кривая располагается под числовой прямой). Объединение отобранных про- межутков представляет собой решение неравенства (5). Условимся двойные точки показывать на рисунках подчеркнутыми числами. На рисунке 6 проведена кривая знаков, иллюстрирующая решение неравенства из примера 1. Точка 0 двойная, поэтому она подчеркнута, и кривая знаков справа и слева от этой точки располо- жена по одну сторону от числовой прямой. Пример 2. Решим неравенство (x^l)(x + 2) (х —4) (х —5) U* 139
Решение. Отметим на числовой прямой (рис. 7) точки —2 и 1 — нули функции f (х)=^~и точки 4 и 5 — точки ее разры- — 4)\Х — о j ва. Проведем через эти точки кривую знаков, начиная ее правее и вы- ше точки 5, с учетом того, что все отмеченные точки простые. Рис. 6 Выберем на числовой прямой те промежутки (на рис. 7 они заштри- хованы), где кривая знаков проходит над числовой прямой. Это про- межутки (—оо; —2), (1; 4) и (5; оо). Их объединение и является решением заданного неравенства. Пример 3. Решим неравенство (х+5)(х-л/3)(х+У2) п (2х-3) (4x4-5) Решение. Заданное неравенство необходимо сначала преобра- зовать к виду, удобному для применения метода интервалов. По- лучаем (х+5) (х-УЗ)(х + л/2) п г“ г~ 5 3 Далее наносим на числовую прямую точки —5, —\/2, -\/3 и —— (рис. 8) —нули и точки разрыва функции f . Рис. 8 Затем проводим кривую знаков, учитывая, что все указанные точки простые. Выбирая те промежутки числовой прямой (на рис. 8 они за- штрихованы), где кривая знаков проходит под числовой прямой, по- лучаем промежутки ( — оо; — 5), ( —п/2; и л/З ) • Их объе- динение и представляет собой решение заданного неравенства. 140
П р и м е р 4. Решим неравенство , (х-1)(х4т2)4 (х-3)5 (% + 6)^п х2(х —7)3 Решение. Отметим на числовой прямой (рис. 9) закрашенны- ми кружками нули функции f И Jx-l)(x + 2)4 (х-3)5 (х + 6) ' х2(х—7)3 т. е. точки -—6, —2, 1 и 3, и незакрашенными кружками точки раз- рыва этой функции, т. е. точки 0 и 7. Отметим, что точки —2 и О являются двойными, и проведем кривую знаков. Отбирая промежут- ки, где f(x)^O (кривая знаков под числовой прямой), получаем следующее решение заданного неравенства: [—6; 0)(J(0; 1]U[3; 7). Пример 5. Решим неравенство х2 — Зх — 18 q 13х— х2 — 42 Решение. Приведем сначала неравенство к виду, позволяю- щему применить метод интервалов. Получаем последовательно: *2 —Зх—18 (х-6)(х + 3)_<0 х2-13х + 42^°’ И (х-6)(х — 7) ’ Сократив дробь на х — 6 при условии, что хУ=6, получим: *Ц~3 Q х —7 ’ откуда (см. рис. 10) находим — 3^х<7. Исключив из этого проме- жутка точку х = 6, получим решение заданного неравенства: — 3^х<Сб; 6<х<7. Пример 6. Решим неравенство (3x4-4) (х2-1) Q х2 —3x4-5 141
Решение. Так ка^ дискриминант знаменателя Z) = 9 — 20 <0 и коэффициент при х2 а= 1>0, то при всех х выполняется не- равенство х2 — Зх-|-5 >> 0. Тогда, умножив обе части заданного не- равенства на ф (х) = х2 — Зх + 5, получим неравенство (Зх + 4)Х Х(х2 — 1)<0, равносильное заданному. Решением этого неравенства является объединение промежутков: (—оо; —1; 1). Пример 7. Решим неравенство (х —3) (х -|-2) 1 х2 -1 ^1* Решение. Преобразуем заданное неравенство к виду, позво- ляющему применить метод интервалов. Получаем последовательно: х2 — х — 6_, х 4~ 5 р х2-1 1 Решение этого неравенства находим с помощью кривой знаков (рис. 11). Получаем ( — 5; — 1)U(1; оо). 3. Системы и совокупности неравенств с одной переменной. Не- сколько неравенств с одной переменной образуют систему нера- венств в том случае, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, которые удовлетворяют одновременно каждо- му из этих неравенств. Несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств в том случае, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, каждое из которых удовлетворяет по край- ней мере одному из этих неравенств. Из сказанного следует, что решением системы неравенств являет- ся пересечение решений неравенств, образующих систему, а решени- ем совокупности неравенств является объединение решений нера- венств, образующих совокупность (здесь, как и выше, под решением понимается общее решение, т. е. множество всех частных решений). Если неравенства f\ (x)>gi (х) и f2(x)>g2(x) образуют систему неравенств, то их записывают в столбик с помощью фигурной скобки: (fl (x)>gi (х), thw>^2(x). В некоторых случаях неравенства, образующие систему, можро записать и в строчку. Так, если неравенства f (x)>gi (х) и f (x)<g2 (х) образуют систему, то эту систему можно записать в виде так называ- емого двойного неравенства: gi (х)</(x)<g2(x). Из определения системы неравенств следует, что если неравенство f(x)>g(x) является следствием неравенств fi(x)>gi(x) и 142
g2{x) (или следствием только одного из этих неравенств), то система неравенств f A (x)>gi (х), U2(x)>g2(x) равносильна следующей системе: {Л (x)>g> (х), f2 (x)>g2 (х), f (x)>g(x). Иными словами, если к заданной системе неравенств приписать неравенство-следствие или, наоборот, из заданной системы нера- венств исключить неравенство-следствие, то получится система нера- венств, равносильная заданной. Так, равносильны системы нера- венств {hW>giW. jAW>gi(4 А (х) > g2 (х), И | А (х) > g2 (х) fl (х)+А (x)>gl (x) + g2 (x) (из первой системы исключено неравенство А(х) + А(х)> >gi (x)+g2 (х), являющееся следствием неравенств A (x)>gi (х) и А (х)>^2 (х)). Если неравенства fi (x)>gi (х) и f2 (x)>g2(x) образуют совокуп- ность неравенств, то их записывают либо в столбик с помощью квадратной скобки: Г А (х)>£| (х), LA M>g2 (4 либо в строчку с помощью знака «;»: A (x)>gi (х); f2(x)>g2(x). Всякое нестрогое неравенство f (x)^g (я) является совокупностью строгого неравенства f(x)>g(x) и уравнения f(x)=g(x) и поэтому может быть записано так, как обычно записывается совокупность: либ° [f(i)=J(4 либ° /«=£(4 Всякое «не равенство» f (x)=/=g (х) можно записать и в виде сово- купности двух строгих неравенств: [f(x)<f W или fW<g(4 Несколько систем неравенств с одной переменной образуют сово- купность систем неравенств в том случае, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, каждое из которых удов- летворяет по крайней мере одной из этих систем. 143
~8 -2 0 2 8 Пример 8. Решим систему неравенств х24~х —4^. । х ’ х2<64. Решение. Рассмотрим сначала первое неравенство. Имеем: х2-|-х —4 । < q (х —2) (x-j-2) < q X ’ X С помощью кривой знаков (рис. 12) находим решение этого неравенства: (— оо; — 2)U(0; 2). Решим второе неравенство заданной системы. Имеем х2 — 64<О, или (х — 8)(х + 8)<0. С помощью кривой знаков (рис. 13) находим решение этого неравенства: (—8; 8). Показав решения первого и второго неравенств штриховками, имеющими разный угол наклона относительно числовой прямой, или, как на рисунке 14, штриховками, расположенными выше и ниже чис- ловой прямой, найдем пересечение решений неравенств, образующих заданную систему: ( — 8; —2)J(0; 2). Пример 9. Найдем область определения функции f W-5x3+6х2) (1 - х2)- V Л 1“ & Решение. Задача сводится к решению следующей системы не- равенств: Зх —6 0 x-f- 2 " (х4 —- 5х3 + 6х2) (1 —х2)^0. 144
х ' 2 Преобразуем первое неравенство системы к виду и с помощью кривой знаков (рис. 15) найдем решение этого неравен- ства: (—оо; — 2)U[2; оо). Преобразуем второе неравенство системы к виду х2 (х - 2) (% - 3) (х - 1) (х + 1X 0. С помощью кривой знаков (рис. 16) найдем решение этого нера- венства: [— 1; 1]U[2; 3]. Показав штриховками найденные решения первого и второго не- равенств заданной системы на числовой прямой (рис. 17), найдем пересечение решений: [2; 3]. Пример 10. Решим совокупность неравенств Г х5>100х3, (х+9) (5х-хг-18)>0 х2 — 18x4-45 ‘ Решение. Преобразуем первое неравенство совокупности к ви- ду х3 (х— 10) (х4- 10)^0. С помощью кривой знаков (рис. 18) найдем решение этого неравенства: [—10; 0] (J [10; оо). Рассмотрим второе неравенство совокупности. Имеем: (х4-9)(х2 —5x4-18)^0 (х —3) (х—15) " Так как дискриминант квадратного трехчлена х2 — 5х+18 отри- цателен, а старший коэффициент положителен, то х2 — 5х4-18>0 при всех значениях х, и, следовательно, разделив обе части не- равенства на х2 —5x4-18 и сохранив знак неравенства, получим равносильное неравенство ----------<0. (х —3)(х—15) Рис. 18 145
Рис. 19 -10 -9 0 3 10 15 л Рис. 20 ________^///////////////////////7////////////////////^^ -10 2 3 4 7//////////////////////,. 3 X Рис. 21 -3 ~2 х Рис. 22 С помощью кривой знаков (рис. 19) находим решение последнего неравенства: ( — оо; — 9] U (3; 15). Объединив найденные решения каждого из неравенств сово- купности (рис. 20), получим ( — оо; 0] U (3; + оо) — решение исход- ной совокупности. Пример 11. Решим совокупность систем неравенств гх —2>0, |3х — 9<0, (х2<16; I 100>х2. Решением первой системы является числовой промежуток (2; 4). Решением второй — числовой промежуток [—10; 3). С помощью числовой прямой (рис. 21) получим объединение решений первой и второй систем: [—10; 4), т. е. решение заданной совокупности систем. Пример 12. Решим систему совокупностей неравенств |3х —2>0; х2-4<0, (,2х-|-4>0; х2 —9<0. Решение. Перепишем заданную систему, решив ее отдельные неравенства: {х>-|-; — 2^х^2, х> — 2; —3<х<3. Покажем теперь на числовой прямой (рис. 22) решение первой совокупности (х^ — 2) штриховкой над числовой прямой, а решение второй совокупности (х> — 3) штриховкой под числовой прямой. Промежуток числовой прямой, заштрихованный дважды, являет- ся решением заданной системы. Итак, [—2; оо) — ее решение. Пример 13. Выясним, при каких значениях а оба корня квад- ратного трехчлена (а — 2) х2 — 2ах + а + 3 положительны. 146
Решение. Так как по условию трехчлен имеет действительные корни, то его дискриминант Z)^0, т. е. должно выполняться нера- венство 4а2 — 4 (а —- 2) (а + 3) 0. По теореме Виета имеем I । 2а ^1+x2 = __ где xi, Х2 — корни заданного квадратного трехчлена. По условию оба корня положительны, значит, Х1Хг>0, Х14-Х2>0. В итоге мы приходим к системе неравенств ’ 4а2-4(а-2)(а + 3)>0, д 4-3 л а-2^ ’ 2а а —2 о, решая которую получаем f а^б, J а< —3; а>2, (а<0; а>2, откуда находим а<—3, 2<а^б. Пример 14. Выясним, при каких значениях а неравенство _____________________%2 —8х+20____<< 0 ах24-2 (аЦ-1) х4-9а4-4 выполняется при любых значениях х. Решение. Трехчлен х2 — 8x-f-20 имеет положительный стар- ший коэффициент и отрицательный дискриминант, значит, х2— 8х-|- + 20>0 при всех х, а потому знаменатель заданной дроби, т. е. ах2+ 2 (а-Ь 1) х+9а-|-4, должен быть отрицателен при всех х. А это возможно, если а<0 и D<.0, где D — дискриминант трехчлена ax2-f-2 (а+ 1) х-|-9а4-4. Значит, задача сводится к решению систе- мы неравенств (а<0, 14 (а+1)2-4а (9а + 4)<0, из которой получаем а<— 4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. При решении неравенств, содержащих переменную под знаком мо- дуля, иногда бывает полезна теорема 4 о равносильности неравенств (с. 137). Пусть, например, нужно решить неравенство If (х)| > |g (х)|. Воспользуемся тем, что если р (х) — некоторая функция, то \р (х)| >0 и \р (х)|2=(р (х))2. Это значит, что по теореме 4 неравенство If (х)| > |g (х)| равно- сильно неравенству (f (x))2>(g (х))2. Кроме того, иногда полезно вос- 147
пользоваться геометрической интерпретацией модуля действитель- ного числа. Дело в том, что геометрически |а| означает расстояние от точки а числовой прямой до начала координат, а |а — Ь \ означает расстояние между точками а и Ь. Пример 15. Решим неравенство |х- 1| <2. Решение. 1-й способ. Так как по определению , ( х—1, если х —1>0, I*"" 1 I = { / IX , Л I — (х — 1), если х— 1 <0, то заданное неравенство равносильно совокупности двух систем: г х—1 ^0, | х—1 <0, 1 х — 1 <2; I — (х—1)<2. Из первой системы получаем 1^х<3, из второй — 1<х<1. Объединив эти решения, находим решение заданного неравенства: (-1; 3). 2-й способ. Поскольку обе части неравенства неотрицательны при всех х и так как (| х — 11 )2 = (х — 1 )2, то после возведения в квадрат обеих частей неравенства получим неравенство (х—1)2<4, равно- сильное заданному. Далее имеем (х+1) (х —3)<0, откуда находим, что промежуток (— 1; 3) является решением заданного неравенства. 3-й способ. Известно, что если х\ и х% — точки числовой прямой, то расстояние между ними d= |xi — X2I. Таким образом, |х— 1| мож- но рассматривать как расстояние между точками 1 и х. Значит, ре- шением заданного неравенства будет множество всех тех точек, ко- торые удалены от точки 1 на расстояние, меньшее, чем на две едини- цы. На числовой прямой есть две точки, удаленные от точки 1 на две единицы. Это точки — 1 и 3. Значит, искомое решение — это промежуток (—1; 3). Пример 16. Решим неравенство |2х-1|<|Зх+Ц. Решение. После возведения в квадрат обеих частей неравен- ства получим: (2х— l)2<i(3x+ I)2, и далее х(х + 2)^0, откуда находим ( — оо; — 2] J [0; + оо). Пример 17. Решим неравенство |2х+3 I j I Зх —2 I * Решение. Это неравенство равносильно неравенству 2x4-3 \2 .Зх —2 / 148
Рис. 23 которое можно переписать следующим образом: 4х2+12х+9 . 0 -5х2 4-24x4-5 п 9х2—12x4-4 1>0’ ИЛИ "(Зх-2)2--->0’ 5(х4-4-)(х-5) откуда ---—<0. 9(х-т) Методом интервалов (рис. 23) находим решение последнего, а вместе с ним и заданного неравенства: (-V-. f )<;*) Пример 18. Решим неравенство |х2 —Зх + 2| ^2х — х2. Решение. Неравенство равносильно следующей совокупности систем: г х2-Зх + 2>0, г х2 —Зх-|-2<0, ( х2 — Зх + 2^2х — х2; ( — (х2 —Зх + 2)^2х — х2, решая которую находим последовательно: |(х- 1) (х-2)>0, г (х- 1) (х-2)<0, Цх-^-)(х-2)<0, 1х-2<°- {х<1; х>2, ( 1<х<2, у<х<2, t*<2> откуда -|-^х^1; х = 2; 1<х<2. Объединяя найденные решения, получим ; 2 ]. Пример 19. Решим неравенство |2х4-6| + |х —4| > 10. Решение. Отметим на числовой прямой точки, в которых вы- ражения, находящиеся под знаками модулей, обращаются в нуль. Это точки —3 и 4. Числовая прямая разбивается этими точками на три промежутка: (оо; — 3], [ —3; 4] и [4; оо). Рассматривая заданное неравенство на каждом из этих трех промежутков, получим сово- купность трех систем: (Х^— 3, (—З^.х^.4, I _(Х_4)_(2х + 6)> 10; I -(х.-4)+(2х + 6)> 10; 149
( х^4, Цх-4) + (2х + 6)>10. Из первой системы находим x<Z— 4, из второй 0<х^4, из третьей х^4. Объединяя найденные решения, получим: (— о°; —4) и (0; оо). Пример 20. Решим неравенство |3х—|х—3| 4-5| >1. Решение. Так как по определению ( х — 3, если х^З, если х<3, то заданное неравенство равносильно следующей совокупности си- стем: |х>3, |х<3, I |3х-(х—3)4-5| > 1; (|Зх4-(х-3)4-5| >1. Решим первую систему. Получаем: | х^З, I |2х4-8| >1. Ясно, что так как х 3, то 2х4- 8 > 0, т. е. 12х4- 81 = 2х4- 8, и поэ- тому система примет вид: । х)>3, 12х + 8>1, откуда х^З. Решим вторую систему. Получаем: гх<3, гх<3, J или J ( 14x + 21 > 1, t (4% + 2)2 > 1, откуда x—'--<x<3. Объединяя теперь решения первой и второй систем, получим оо; U (“”4”» 00 ) — решение заданного неравенства. 5. Задачи на составление неравенств Пример 21. У школьника было некоторое количество марок. Ему подарили альбом для марок. Если он наклеит по 20 марок на лист, то ему не хватит альбома, а если он наклеит по 23 марки на лист, то, по крайней мере, один лист останется пустым. Если школьнику подарить точно такой же альбом, на каждом листе которого наклеено по 21 марке, то всего у него будет 500 марок. Сколько листов в аль- боме? Решение. Введем две переменные: х — число листов в альбо- ме, у — число марок, которые были у школьника. 150
Если школьник наклеит по 20 марок на лист, то расклеенными окажутся 20х марок, что по условию меньше числа марок, которые были у школьника, т. е. 20х<//. Если он будет наклеивать по 23 марки на лист, то для расклейки достаточно использовать (%—1) лист, на которых поместится 23 (х — 1) марок. По условию это число не меньше числа марок, имевшихся у школьника, т. е. 23 (х — Наконец, в задаче сказано, что если школьнику подарить альбом, в котором наклеено 21х марок, то всего марок у него станет 500, т. е. у4~21х = 500. Таким образом, можно записать следующую систему: 20х<Сг/ 23х — 23 21х + у==500. Выразив у из уравнения системы и подставив результат в оба не- равенства системы, получим систему неравенств 20х<500~21х 23х-23>500-21х, 523 500 решив которую находим —<х<—. По условию х — целое число. Но в указанном промежутке содер- жится лишь одно целое число— 12. Значит, в альбоме было 12 листов. Пример 22. Путь из Л в В плот проплывает за 24 ч, а катер тратйт на путь из А в В и обратно не менее 10 ч. Если собственную скорость катера увеличить на 40%, то путь из Л в В и обратно займет не более 7 ч. Сколько времени плывет катер из А в В и сколько вре- мени плывет он из В в А? Решение. Пусть х км/ч — скорость течения реки (а следова- тельно, и скорость движения плота), у км/ч — собственная скорость катера. Тогда путь из Л в В составляет 24х км, а время движения катера от Л до В и обратно составляет ч. Если собственная скорость катера станет равной 1,4у км/ч, то путь из Л в В и обратно займет ( х) ч. По условию первое вре- мя не менее 10 ч, а второе — не более 7 ч. Таким образом, приходим к системе неравенств !24х । 24х ।« у+х~'у—х''' ’ 24х । 24х у 1,4г/4-х ' 1,41/ —х^ В каждой из четырех имеющихся дробей разделим числитель и знаменатель почленно на х и введем новую переменную “• 151
Так как по смыслу задачи у>х, то t> 1. Таким образом, получаем систему неравенств относительно переменной t /+1~/-1=^ 24 24 1,4/+1"1” 1,4/-1 Так как />1, то знаменатели дробей во втором и третьем нера- венствах этой системы положительны, поэтому, освобождаясь в этих неравенствах от знаменателей и выполнив необходимые преобразо- вания, получим t> 1, 5/2-24/-5<0, 49/2 —240/— 25^0, и далее ’ t> 1, 5(/-5)(/ + -g-)<0, k49(/-5)(/ + ^-)>0. Решением последней системы является значение / = 5. В задаче требуется найти время движения катера от А до В и от В до Л. Время движения от 4 до В выражается дробью а значит, равно 4 ч. Время движения от В до Л выражается дробью , а значит, равно 6 ч. Упражнения Решите неравенства. 882. х(х—1)2>»0. 883. (2 —х) (3x4-1) (2х —3)>0. 884. (Зх —2) (х-З)3 (х+1)3 (х + 2)4<0. 885. х3 —64х>0. 886. х2+10<7х. 887. х2 —7х<3. 888. -х2-164-8х>0. 889. х24-5х + 8> 0. 890. х4Ч-8х3+ 12х2>0. 891. (х — 1)(х2 — Зх + 8)<0. 892. (х- 1) (х2- 1) (х3 — 1) (х4 — 1)<0. 893. 895. 896. (х-1)(Зх-2) _ (х+1)(х + 2)(х + 3) 5 —2х (2х--1)(х4-4)(3-хГ (16 —х2) (х24-4) (х2 4-х 4-1) (х2 — х— 3)<0. (х2 —4) (х2 —4x4-4) (х2 —6x4-8) (х24-4х-}-4)<0 897. (2х2 —х —5) (х2—9) (х2 — Зх)<0. 898. 900. х2 —5x4-6 х2-12x4-35> ‘ 899. х2 —4х —2 9—х2 <0. х34-х24-х^п 9х2 —25 901. х44-х24- 1 х2—4х—5 <0. х3 — X2 4- X — 1 + 8 х4 —2х2 —8 _ ллл Зх —2 _ 903. ----г<0. 904. -------<3. х24-*— 1 2х—3 152
7х —4 905. ——>1. 906. х4-2 1 2 3 908‘ Т+Т+Г+з>х+2 ’ 2 1 910. -----?>3. 911. 1 Qn7 2х24-18х-4 х < 3 ' х24-Эх4-8 х+1 3____ х—2>х—2 2 1 3 3 25х —47 q 1 о х_____<г-------------- 6х2-х-12 10х—15 Зх+4‘ 2 <1~2х . V 1 v3_l_ 1 914. ——• Зх — 2 — х2 7х — 4 — Зх2 ' 3 2 —х 1 —2х х3 + х2х3—1 Зх' 10(5 —х) 11 6-х 3(х —4) З‘х-4^ 5 (6-х) х —2 Решите системы неравенств. {3x4-5 10-Зх 2x4-7 148 7 ' 5 > 3 21 ’ 7х 11(х+1) Зх—1 13 —х 3 6 > 3 2 ’ 9 7‘ J 3 10 + 2 >4 2 7 (Зх —6) + 4 (17 — х)> 11 —5 (х —3). / 2х — 11 19 — 2х 918. | ±£-114-1^-±£<2х, 919. р2-4х4-3<0, I 4 z < Ov__л ^л I 2x4-15^ 1 . ... х 920. (2х2 + 2<5х, 921. (х2< 922. ( ] 2x4-3 КЗх-2 924. ( (2x4-3) (2x4-1) (х—1)<0, | (х4-5) (х4- 1) (1 — 2х) (х —3)>0. 925. |(х24-12x4-35) (2x4-1)(3-2х)>0, |(х2-2х-8)(2х-1)>0. 926. ( ^±^<2 927. ( (* + 2) (х2 —3x4-8) I 3 —х 923. 4х— 2<х2+ 1 <4x4-6. ЛЛЛ 5х— 7 928. ---- х —5 х2 —9 %2 х24-2х —8^ ____ Зх 5-х'гх2-25< ' / (х—I)3 (х2 —4)2 (х2 —9)3 (х2+1) I (1 - Зх) (х2 - х - 6) (х2 - Зх + 16) | 2х2 + х- 16 Найдите области определения функций. 2 х2 —6х— 16 х2-12х+11'г^л.2_49 153
931. /W=-\/3x-7-'87+Vg^T' 932. f (x)=^(^^/_~x+-L) + lg (x2-4x + 4). из. 1И-\/9-(ЙгТ + i^F5)- “ <йг2:+^- Решите совокупности неравенств и систем неравенств. 936. (х—1)(х —2)(х—3)<0; х2<1. 937. ^^>0; 938. х2 —5х+8С0; х2 —Зх+6<0; х2<1. 939. 5х — 20 С х2 =С 8х; 1 < ——j-т-р—-< 2. X -г- 1 940. fx2 — 5х + 6>0, (2х+3>1, ( — 1, I л I , ' < Их — х — 30 Решите системы совокупностей неравенств. 941. (х+ 1)(х — 3)>0; 2 — х2<0, < х2>25; Lz2<o. х + 2 942. х4 + 5х2 + 4^0; 8х2 — х3 — 15х>0, * х3 —2х24-х —2 х—3 х2 —4х —5 > ’ х —5^ 943. 944. 945. ( (х—I)2 (х+2) х —5 { х-3 ’ (х-6)2(х-8К ’ ^х2 — 9х+14<0; х>х2. (г=3<7’; (х“'10)(*2 + 3*+8)>0; х2-1<0, >5 4 х —4 х —3 \х + 2 х’х —3 х —4’ {х2 —Зх+2 , 6 .л -- о 2^" — 1 — 64 < 0, 7х —Зх —10 х2 —5х + 6>0; х —2х2<0, х3-7х + 6>0. 946. При каких значениях а квадратный трехчлен х2 + 2 (а+ 1) х + 9а —5 а) не имеет действительных корней; б) имеет только отрицательные корни; в) име- ет только положительные' корни? 947. При каких значениях а квадратный трехчлен (а2 —а —2) х2 + 2ах+ а3-27 имеет корни противоположных знаков? 154
948. При каких значениях а неравенство х2 + ах— 1 2х2 —2x4-3 выполняется при любых х? 949. При каких значениях а система неравенств -6< выполняется при любых х? 2х2 + ах — 4 х2-х4-1 < Решите неравенства. 950. а) 951. а) 952. 953. б) |2х-5|<3. а) а) 954. 955. 956. 957. 958. |2х— 11 < |4х4- 11; б) |1-Зх|>|2х4-3|. U V ш< б) |х4-8| <3х — 1. б) |2х—31 >х-|-4. б) |Зх+1 |<Зх+1. х; 960. 962. 964. 965. 967. 969. а) |1-2х|>3 — а) 14-Зх|>2- а) 12х — 3|>2х- |5х2 — 2x4-11 < 1. |6х2 — 2x4- 11 < 1 1^1<з I *2~3* + 2 I ’ x2 + 3x + 2 I > I х2 —5x4-4 I I х2 —4 I х24-2 |х!-3<0. |х2 — Зх — 151 <2х2 —х. |2х24-х4-П1>х2-5х + 6. ГгТТр2- 972. I*—61 > 1х2 —5х-|-9|. л ОХ "р О х2-7 1x14-10 х2-|х|-12_ х2 —6x4-9 959. |—2х2 4-Зх-|-5| >2. 961. 963. х2 —Зх — 1 966. х24-5 |х|—24>0. 968. |х2 + х+ 101 <Зх24-7х-|-2. 970. |4х2 —9х-|-6| > —х2-|-х —3. 971. 973. 974. - х —3 975. |х| 4-lx—11 <5. 976. |х-|-11 4-1х—2| >5. 977. |х-2|-12x4-1 КЗ. 978. |3х- 11 4-|2х-3| - |х4-5| <2. 981. х2- |2х-3 | X2— |2 — х| 979. |х— 114- 12—х| >34-х. ||2х4-II-51 >2. 983. I |х —2| -х4-3| <5. 986. 982. 985. 987. |2х— Ix+31 + 11 >2- 988. | | 4-1 - ’ х2 —4х-|-4 I । х- 980, |х—21 —2 Решите задачи. 989. В двух ящиках находится более 29 одинаковых деталей. Число деталей в первом ящике, уменьшенное на 2, более чем в 3 раза превышает число деталей во втором ящике. Утроенное число деталей в первом ящике превышает удвоенное число деталей во втором ящике, но менее чем на 60. Сколько деталей в каждом ящике? 990. В двух бригадах вместе более 27 человек. Число членов первой бригады более чем в 2 раза превышает число членов второй бригады, уменьшенное на 12. 155
Число членов второй бригады более чем в 9 раз превышает число членов первой бри- гады, уменьшенное на 10. Сколько человек в каждой бригаде? 991. Если пионеров лагеря построить в колонну по 8 человек в ряду, то один ряд окажется неполным. Если построить по 7 человек в ряду, то рядов будет на 2 боль- ше и все они будут полными. Если же выполнить построение по 5 человек в ряду, то рядов будет еще на 7 больше, но один ряд будет заполнен не весь. Сколько пионеров в этом лагере? 992. Имеется некоторое количество проволоки. Если ее намотать на катушки, вмещающие по 800 м проволоки, то одна катушка будет намотана не полностью. То же самое произойдет, если пользоваться только катушками, вмещающими по 900 м проволоки, причем таких катушек потребуется на 3 штуки меньше. Если же проволоку намотать только на катушки, вмещающие по 1100 м, то потребуется еще на 6 катушек меньше, но все катушки будут намотаны полностью. Сколько метров проволоки было? 993. Если жидкость разлить в бутыли емкостью 40 л, то при этом одна бутыль окажется не совсем полной. Если ту же жидкость разлить в бутыли емкостью 50 л, то бутылей понадобится на 5 меньше и все они будут заполнены. Если жидкость разлить по бутылям емкостью 70 л, то понадобится еще на 4 бутыли меньше, но опять одна бутыль будет неполной. Сколько было литров жидкости? 994. Двум бригадам общей численностью 18 человек было поручено организо- вать в течение трех суток непрерывное круглосуточное дежурство по одному человеку. Первые двое суток дежурили члены первой бригады, распределив между собой это время поровну. Известно, что во второй бригаде 3 девушки, а остальные — юноши, причем девушки дежурили по одному часу, а юноши распределили между собой остаток времени поровну. При подсчете оказалось, что сумма часов дежурства каж- дого юноши второй бригады и любого члена первой бригады меньше 9 ч. Сколько человек в каждой бригаде? 995. При покупке нескольких одинаковых книг и одинаковых тетрадей за книги уплатили 10 р. 56 к., а за тетради — 56 к. Книг купили на 6 штук больше, чем тетрадей. Сколько купили книг, если цена одной книги больше чем на 1 р. превосходит цену одной тетради? 996. Группа студентов, состоящая из 30 человек, сдавала экзамен. При этом выставлялись оценки 2, 3, 4, 5. Сумма полученных оценок равна 93, причем троек было больше, чем пятерок, и меньше, чем четверок. Кроме того, число четверок делилось на 10, число пятерок было четным. Сколько каких оценок получила группа? 997. Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 р. Однако в последний момент двое отказались участвовать в покупке, и поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на 1 р. больше. Сколько стоил магнитофон? 998. Изделие высшего сорта на столько же дороже изделия первого сорта, на сколько изделие первого сорта дороже изделия второго сорта, но эта разница в цене не превышает 40% от цены изделия первого сорта. Предприятие заплатило 9600 р. за изделия высшего сорта и столько же за изделия второго сорта. Общее количество всех этих купленных изделий составило 1400 штук. Известно, что цены изделий каж- дого сорта выражаются целыми числами рублей. Сколько стоит изделие первого сорта? 999. Рота солдат прибыла на парад в полном составе прямоугольным строем по 24 человека в ряду. По прибытии оказалось, что не все солдаты могут участвовать в параде. Оставшийся для парада состав роты перестроили так, что число рядов стало на 2 меньше прежнего, а солдат в каждом ряду стало на 26 больше числа новых рядов. Известно, что если бы все солдаты участвовали в параде, то роту можно было бы выстроить так, чтобы число солдат в каждом ряду равнялось числу рядов. Сколько солдат было в роте? 1000. Бригады, состоящие из одинакового числа рабочих, получили на складе спецодежду. Каждый рабочий получил по два комплекта спецодежды, а каждой бри- гаде выдали на 20 комплектов больше, чем было бригад. Если бы бригад было на 4 больше и каждой бригаде выдавали бы по 12 комплектов, то спецодежды на складе не хватило бы. Сколько комплектов спецодежды было на складе? 1001. Расстояние между пунктами А и В равно 105 км. Из А в В выехал автобус, а через 30 мин вслед за ним выехал автомобиль, скорость которого 40 км/ч. Догнав ав- тобус, автомобиль с той же скоростью возвращается в А. При каких значениях ско- рости автобуса он приедет в В раньше, чем автомобиль в Л? 156
1002. В магазине продаются красные и синие карандаши. Красный карандаш стоит 17 к., синий — 13 к. На покупку карандашей можно затратить не более 4 р. 95 к., причем число синих не должно отличаться от числа красных карандашей более чем на 5. Необходимо купить максимально возможное суммарное число красных и синих ка- рандашей, причем красных нужно купить как можно меньше. Сколько тех и других карандашей можно купить при указанных условиях? 1003. На покупку роз и гвоздик можно затратить не более 30 р. 50 к. Роза стоит 2 р., а гвоздика — 1 р. 50 к. Число гвоздик не должно отличаться от числа роз более чем на 6. Необходимо купить максимально возможное суммарное число цветов, причем гвоздик купить как можно меньше. Сколько роз и сколько гвоздик можно купить при указанных условиях? 1004. Трое мальчиков вместе хотели купить две одинаковые игрушки, но общего количества их денег не хватило даже на одну. Если бы у первого мальчика денег было вдвое больше, то на одну игрушку денег хватило бы, а на покупку двух игрушек им не хватило бы 34 к. Если бы у третьего мальчика денег было втрое больше, то после покупки двух игрушек у мальчиков осталось бы 6 к. Сколько стоит одна игрушка, если известно, что у второго мальчика было на 3 к. больше, чем у первого? § 17. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА При решении иррациональных неравенств используются те же приемы, что и при решении иррациональных уравнений: возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, вве- дение новых (вспомогательных) переменных и т. д. Осуществлять решение можно, придерживаясь, например, следующего плана: 1) Найти область определения заданного неравенства. 2) Руководствуясь предложениями о равносильности неравенств (§ 16), решить заданное неравенство. 3) Из найденных решений отобрать значения переменной, при- надлежащие области определения заданного неравенства. Пример 1. Решим неравенство у/5х —4<х. (1) Решение. 1) Область определения неравенства (1): э 2) Так как на множестве обе части неравенства (1) неот- О рицательны, то при возведении обеих частей неравенства (1) в квад- рат получим 5х — 4<х2, или х2 —5х + 4>0. Это неравенство равно- сильно неравенству (1) в области его определения. Из последнего неравенства находим х<1; х>4. 3) Из найденной совокупности х<1; х>4 решениями неравенст- ва (1) будут лишь те значения х, которые принадлежат области определения неравенства (1), т. е. значения х, являющиеся решением следующей системы: ( x<Z 1; х>4, Из этой системы находим -~-^х<1; х>4 — решение неравенст- ва (1). 5 157
Пример 2. Решим неравенство Vх + 2< х + . (2) Решение. 1) Область определения неравенства (2): х^—2. 2) На множестве xi> — 2 левая часть неравенства (2) неотрица- тельна, а правая часть может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому необходимо рассмотреть два случая: х+у-^0 и х + у-<0. В первом случае можно обе части неравенства (2) возвести в квадрат (можно в том смысле, что полу- чится равносильное неравенство), а во втором этого делать нельзя, да и не нужно, так как ясно, что при х+-|-<0 получается, что левая часть неравенства (2) неотрицательна, а правая отрицательна, а это противоречит смыслу неравенства (2). Значит, во втором случае неравенство (2) не имеет решений. Итак, неравенство (2) равносиль- но в своей области определения следующей системе: W + 2)2 < Из этой системы находим 3) Остается из решений отобрать значения х, принадле- жащие множеству х>—2, т. е. решить систему неравенств Получаем ; + оо ) — решение неравенства (2). Пример 3. Решим неравенство V^+2>x + j-. (3) Решение. 1) Область определения неравенства (3): х^ —2. 2) Как и в предыдущем примере, надо рассмотреть два возмож- ных случая: x-f-y->0 и х+-|-<0. Однако теперь во втором случае неравенство (3) выполняется при всех х из области определения (неотрицательное число в левой части неравенства (3) больше отрицательного числа в правой части неравенства (3)). Таким образом, неравенство (3) равносильно в своей области определения следующей совокупности: 158
*+т>0' х / t \ 2 (V^+2)2>(x+y-) ; х+т<0- 1 /7 Из первой системы находим —•—<х<у- , а из неравенства х + у-<0 получаем х<—-у. Объединяя эти значения х, получим 3) Остается решить систему неравенств Получаем [ — 2; у-) — решение неравенства (3). Замечание. При получении определенных навыков решения иррациональных неравенств можно не расчленять решение на три этапа, а сразу сводить данное не- равенство к системе или совокупности систем более простых неравенств. Так, неравен- ство -д/х-|-2<х-|--~ (пример 2) можно заменить равносильной ему системой !х+2>0, хЦ>0, / 1V х+2< . а неравенство у/х+ 2>х + у (пример 3) —совокупностью систем ' х+2>0, х + у>°, р + 2>0, х+2>(х+у) : |х+Т<0- Так мы будем поступать при решении следующих примеров. Пример 4. Решим неравенство л/Зх-л/2х+1>1. (4) Решение. Найдем область определения неравенства (4). Из системы ( 3x^0, I 2х+ 1 >0 получаем х^О. Прежде чем возводить обе части неравенства (4) в квадрат, перепишем его следующим образом: V3x> 1 +д/2х+ 1. 159
На множестве х^О обе части этого неравенства неотрицательны, значит, возведение их в квадрат есть равносильное преобразование. Имеем (д/Зх)2(1 +д/2*+ I)2, или 2 д/2х + 1 <^х —2. Это неравенст- во (а с ним и неравенство (4) с учетом области определения х^О) равносильно системе неравенств {х^О, х — 2>0, (2-v&+T)2C(x-2)2. Решение этой системы: х^12. Итак, [12; +<*>) — решение неравенства (4). Пример 5. Решим неравенство V2xT5 + Vxz:T>8. (5) Решение. Найдем область определения неравенства (5). Из системы (2х + 5>0, |х—1>0 получаем х^ 1. На множестве xZ>l обе части неравенства (5) неотрицательны. Поэтому, возведя в квадрат обе его части, получим равносильное неравенство 2 х + 5 + 2 т/2х2 + 3х —5 + х — 1 > 64, ИЛИ 2 ->/2х2 + Зх-5 > - Зх + 60. Так как на множестве х^1 правая часть этого неравенства может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения, то придется рассмотреть два случая, т. е. решить совокупность систем неравенств 'х>1, < —Зх + 60>0, гх^1, /2 V2x2 + 3x-5)2 > (- Зх + 60)2; ( - Зх + 60 < 0. После упрощений получим: 1<х<20, (х—10) (х — 362)<0; х>20. Из этой совокупности находим 10<х^20; хД>20. Объединяя эти решения, получаем х>10. (10; 4~оо) — решение неравенства (5). Пример 6. Решим неравенство 2____1_ /4____3_ х 2 V х2 4 (6) 160
2 Решение. Положим для краткости У = ~- Тогда неравенст- во (6) примет вид: Это неравенство равносильно системе неравенств решив которую находим Осталось решить систему не- л/З 2 п ЛлЗ равенств ^—<1, откуда находим 2<х^-~- . Пример 7. Решим неравенство ±Х> (УГ+1-1) (УГ^+1)- (7) Решение. Областью определения неравенства (7) является, как нетрудно найти, множество — l^x^l. Попытка решить неравенство (7), как в предыдущих примерах, возведением обеих его частей в квадрат наталкиваемся на значи- тельные затруднения. Поступим по-другому. Рассмотрим выражение ср (х) = д/1 + * + 1 • Так как <р(х)>0 при любых допустимых значениях х, то, если обе части неравенства (7) умножить на <р(х) и сохранить знак неравенства (7), получится равносильное ему неравенство 1-х (УГ+7+ 1)>(УГ+х—1) (УГ^+1) (УГ+^+1). Далее имеем: 1-х (VT+7+1) > ((УТ+У2 -1) (УТ^+1), 1-х (VT+7+1) > х (УП=^4-1), х (УГ+х+1 -4 (л/1-х+1))>0, х (У 14-х —4 У1 — х —3)>0. Это неравенство равносильно совокупности систем неравенств: -1<х<1, ( - 1 <х< 1, х>0, ____ J х <0, УГ+х>4 У1-х4-3; (УГ+х<4 У1-х4-3, 6 Заказ 840 161
которая, в свою очередь, равносильна совокупности: ( 0<х^ 1, |—1<х<0,________ (У1+х>4 л/Т^х + З; (УГ+х<4 У1-х+3. Ясно, что при 0<х«^ 1 второе неравенство первой системы не имеет решений, значит, первая система не имеет решений. Ясно также, что при —1^х<0 второе неравенство второй системы верно, значит, вторая система выполняется при — 1^х<0. В результате получаем [— 1; 0)— решение неравенства (7). Пример 8. Решим неравенство Ух—2+УЗ —х>Ух— 1—\/6—х. (8) Решение. Область определения неравенства (8): 2<ix<3. Прежде чем возводить в квадрат обе части неравенства (8), необходимо убедиться в том, что обе его части неотрицательны. Однако оказывается это не так. Действительно, так как 2^х^3, то 1 s^x— 1 =С2 и 3^6—х^4. А это значит, что Ух—1<Уб—х, или Ух— 1— уГ^хсО. Но Ух—2+уЗ —х>0. Таким образом, при всех значениях х из отрезка 2^х^3 неравенство (8) выполняется. Итак, 2^х^3 — решение неравенства (8). В заключение рассмотрим пример уравнения, сводящегося в про- цессе решения к иррациональному неравенству. Пример 9. Решим уравнение Ух+2 —4Ух —2+Ух+7-бУх-2 = 1. (9) Решение. Положим у=Ух—2. Тогда у2—х—2, откуда х=у2 + 2. Таким образом, уравнение (9) можно переписать в следую- щем виде: УУ + 4 —4у+Уу2 + 9—6 г/ = 1, или |у-2| + 1у-3|==1. Это уравнение равносильно следующей совокупности смешанных систем: /У<2, (2<у<3, (у>3, ( —(у —2)—(у —3)= 1; \({/—2)—(у-3)=1; ((у-2)+(у-3)=1, решением которой является множество. 2^у^3. Итак, решение уравнения (10) свелось к решению системы не- равенств 2^Ух—2^3. Решением этой несложной системы, а с нею и уравнения (9) является отрезок [6; 11]. Проверка. Вполне понятно, что от проверки всех значений х из множества 2^х^3 подстановкой в уравнение (9) придется отка- заться. Вместе с тем так как все преобразования, выполненные в процессе решения уравнения (9), были равносильными, то множество 2^х^3 является решением уравнения (9). 162
Упражнения Решите неравенства. 1005. УЗх—2> 1. •оо7-л& 1006. V 4 — х 1009. У(х-3)(х4-1)> З(х-Н). 1011. У(х4-2)(х-5)< :8—х. 1013. У17- 15х- 2х2 >0. х-ЬЗ 1015. -)/х2 —4х>х—3 1017. д/х2 — 5x4-6 Сх-|- 4. 1019. Vx-p 1 — Vх-1 1008. V2x4- 10<Зх —5. 1010. У(х4-4)(2х-1)<2(х4-4). 1012. Vx2 —х—12<х. 1014. д/9х— 20 <х. 1016. УЗх2- 22х>2х- 7. 1018. У2х2 4- 7х 4- 50 > х — 3. 1020. Ух 4-3 — Ух —4>2. 1021. УГЙ-Ь Ух4-2< 1.____ 1022. л/3х+ 1 +Ух^4—У4х+5<0. 1023. 2 л/х+ 1 —Ух— 1 >2 У*ЙЗ. 1024. Ух-3+У 1-х>У8х—5. 1025. У17 —4х+Ух —5<-уТЗх-Ь 1. 1026. Ух + 6>Ух^й'+У2х —5. 1027. л/х —2 —Ух+З —2д/х>0. 1028. -\/2У7 + х--\/2У7-х>У28. 1029. х2+Ух*+11<31. 1030. —+ 1 <гм Л -3. 1031. <х—8. х т V 7 Ух 4-2 /2х-1 /х4-2 ^7 ,032- Ут+т~ • 1033. X2 4- 5х-ь 4 < 5 Ух2 4-5x4-28. 1034. (х+5)(х-2)4-ЗУх(х4-3)>0. 1035. Ух2-Зх4-54-х2<Зх4-7. 1036. 2х2-У(х-3)(2х-7)< 13x4-9. 1037. -\/2*+Убхг4-1<х4-1. 1038. (1 4-х2) Ух2 4-1 >х2— 1. 1039. Ух+54-2>Ух^З. 1041. УГЙ4-Уб^7>У2 1040. У14-У»:<2-У1-Ух. 1042. -^4 — 4х3Ч-х6>х — V2. 1043. Ух4-2х24- 1 > 1 -х. 1044. УЗх24-5х4-7-УЗх24-5х4-2>1 1046. (х — 3) ^/х2 — 4 < х2 — 9. 1045. —= - У2-х<2. У2—х 1047. л/44-хД-УЙГй>2. 1048. дД^ -2 х—2 V х—2 1049. -----=== Ч----------. 2Ч~д/4 —х2 2 —д/4 —х2 х 163
1050. + V^3> -ХТГз ' yJx—3 * 1051. 7х2+Зх+4 +УГ+ 1 > 1,4. 1052. -у^ + зх+г—V*2 —х+1 < 1. 1053. -фс+1 + 1 <4г2 + -у/Зх. Решите уравнения. 1054. Ух+5 —4Ух^+л/7+2-2УГН = 1 . 1055. Ух —2 л/х^+л/х+З —4 -у/х^Т = 1. 1056. -\/х+2+2Ух+1+л/^2—2-УГ+4 =2. 1057. ~\/*+ 19 — 8 -Ух+ 3—-V-«+7 —4 -Ух+3=2 § 18. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Решение показательных неравенств вида a! где ( а>0, | а=/= 1, основано на следующих двух теоремах: Теорема 1. Если а>1, то неравенство af^>as^ равно- сильно неравенству f (x)>g (х). Теорема 2. Если 0<а<1, то неравенство a! W>a«W рав- носильно неравенству f (x)<g (х). Пример 1. Решим неравенство / Зх —1 х —3 у2х~1 <83*-7. (1) Решение. Преобразуем неравенство (1) к виду Зх—1 З(х-З) 23 (х — 1) 2 Зх — 7 По теореме 1 неравенство (1) равносильно неравенству Зх—1 З(х-З) 3(х—1) Зх —7 (2) (неравенства (1) и (2) одинакового смысла). Из неравенства (2) последовательно получаем неравенства Зх—1 Зх —3 Зх-—9 12х —20 п Зх—7 <^U’ (Зх—3)(3х—7) <^U’ 5 Из последнего неравенства, применяя метод интервалов (рис. 24), 7 3 получаем ( — оо; — решение неравенства (1). Пример 2. Решим неравенство (0,04)5х-*2-8<625. (3) 164
///////////////. Рис. 24 Решение. Так как 0.04=^-=^ = 25 *, то неравенство (3) можно переписать следующим образом: (25-‘)5х-х’-8<625, или 25х2“5х+8<252. По теореме 1 неравенство (3) равносильно следующему нера- венству: X2-5х4-8<2 (4) (неравенства (3) и (4) одинакового смысла). Далее получаем (х — 2)(х — 3)<0, откуда находим (2; 3) — решение неравенства (3). Пример 3. Решим неравенство 2*+2_2*+з_2'+<>5*+'_5*+2. (5) Решение. Последовательно получаем: 4-2* — 8-2х -16-2х>5-5х-25-5х, (-20)-2х>(-20)-5х, 2х <5*. Разделив обе части последнего неравенства на 5х> 0, получим равносильное неравенство <1, или (-|) <(-0 • Здесь осно- вание -|-удовлетворяет двойному неравенству O-C-^-d. Значит, О о по теореме 2 неравенство равносильно неравенству противоположного смысла х>0. Итак, промежуток (0; оо) является решением неравенства (5). Пример 4. Решим неравенство ___!__________!--- (0,5)х—1 1- (0,5)х+1 Решение. Положим у=(0,5)х. Тогда заданное неравенство при- мет вид: 1 у-i 1-0,5// ^°’ откуда после преобразований получим неравенство 4 У~Т --------— >0. (t/—l)(t/—2) 165
Методом интервалов (рис. 25) находим решение последнего не- равенства: у>2. Таким образом, задача свелась к решению следующей совокуп- ности: 1<(0,5)х<^-; (0,5)х>2, или Из этой совокупности по теореме 1 получим 0<—x^log2--f-; — х>1, откуда (—оо; — l)u£—log2о)— решение заданного неравенства. Пример 5. Решим неравенство 5^+i_52VJ-i_2o>0. Решение. Перепишем это неравенство следующим образом: 5-5^-4-52^-20>0. 5 После замены у=5^ получим неравенство —-гУ2 + 5у-20>0, и далее у2 — 25у-Ь 100<0, или (у — 5)(у — 20)<0, откуда 5<у<20. Таким образом, решение заданного неравенства сводится к реше- нию системы неравенств 5<5^<20, или 5<5^<5log5 20. Эта система равносильна (так как основание 5>1) системе 1 <V*< l°g5 20, откуда 1 <x<log5 20. Итак, промежуток (1; logs 20) является решением заданного неравенства. Пример 6. Решим неравенство 4 (32х — 3х) > 4-Зл+1. О Рис. 25 166
Решение. Перепишем это неравенство в следующем виде: 4-32x-'4-3x>^- + 3-3\ После замены у=У получим неравенство 4^-4у>^ + Зу. Умножая обе части этого неравенства на у>0, придем к нера- венству 4у3 — 4у2>45 + 3у2, или 4у3 — 1у2 — 45 >0. Найдя, что у — 3 — целочисленный корень многочлена 4у3 —7у2—45 и разложив затем этот многочлен на множители (с помощью деления его на у —3), получим неравенство (у — 3) (4у24-5у-|- 15)>0, откуда у>з. Таким образом, решение заданного неравенства сводится к реше- нию неравенства 3х>3, откуда х> 1. Итак, промежуток (1; оо) явля- ется решением заданного неравенства. Пример 7. Решим неравенство 8*+18х —2«27*>0. (6) Решение. Перепишем неравенство (6) следующим образом: 23х-|-2х • 32х — 2 • З3х > 0. Разделив обе части этого неравенства на 33х>»0, получим равно- сильное ему неравенство / о Полагая далее У—у—) > придем к неравенству у +у — 2>0, или (у—1)(у2+у + 2)>0, откуда у>1. Таким образом, решение неравенства (6) сводится к решению неравенства >1, или >(-|-) . откуда (так как основа- ние 0<-^-<1) по теореме 2 получим х<0. Итак, промежуток (— оо; 0) — решение неравенства (§). Пример 8. Решим неравенство (х2 + х+1)х<1. (7) Решение. Так как дискриминант квадратного трехчлена х2 х +1 отрицателен, а коэффициент при х2 положителен, то x2-j-x-j-1 >0 при всех действительных значениях х. Поэтому правую часть неравенства (7) можно представить как (x2-|-x-f-1/ и пере- писать неравенство (7) следующим образом: (x2 + x+1)x<(x2 + x+1)°. (8) 167
Так как относительно основания x2+x-j-l неизвестно, больше оно единицы или меньше, то следует рассмотреть обе эти возмож- ности. Если х2 + х-|-1 > 1, то к неравенству (8) применима теорема 1. Если же х2 + х-|- 1 < 1, то к неравенству (8) применима теорема 2. Таким образом, неравенство (8) равносильно следующей совокупнос- ти систем неравенств: (х2 + х+1>1, (х2 + х+1<1, I х>0; | х<0, или [ х (х + 1)<0, | х>0; (х (х + 1)>0, | х<0. Первая система решений не имеет, а из второй системы найдем про- межуток (—оо; —1), являющийся решением неравенства (7). Упражнения Решите неравенства. 1058 . 63-х<216. 1059. 1000-0,3^+' <27. 1060 . 35х+^1-1.132Л^Т-1>35''_^_|. 1061. (1g З)3х—7 >(log3 10)7х+3. 1062. (logs 3 • logs 4 • log4 5)x>(log3 4- logs 5-logs 6)2x. 1063. 2х-5х>0,1-(10х-1)5. 1064 . 3-x-'•4~x-1 > 12-(1442x-1)2. 1065. 2x2-6x-2'5> 16 д/2. 1066. л^7-3-х2 + 5х<^т ,067- (у) >8L 1068. T2I|X“31+ 11 <64. 1069. (V14-6V5)x-Vx>(3-V5)x+A 1070. (0,5)x-2>6. 1071. (3,2)2x+1 <6,4. 1072. (0,(4))x2-’>(0,(6))x2 + 6 1073. 4x-22(x-'>4-8 >52. / 1 \ -3x y(x-l) 1074. ( —) +53(x+l) —625 <15 749. 1076. д/Зх~54 —7 л/Зх~63< 162. 1077. 0,32+4+e+-+2x>0,372 (xgAl). /о\13’! zo\*! + 36 /OCX-6x2 '“>(4) <(4) <(¥) • 168
1079. 1<3|х2“х|<9. 1080. 0,02|_T+T_T+ ' +(-l)V+ "<^Q2:n*^<l. 1081. 52x+l >5х-)-4. 1082. 8x+1—82х~'>30. 1083. 521/:+5<5^+'+5А 1084 . 42х+1+22х+6<4-8х+’. 1085. 22+х—22-х> 15. Ч4Г3(4Г-1(4Г4>»- 1087. 52х (5х—2)>5 (5Х+ 10). 1088. 73х+1 >7Х~* (55-7х-41). 1089. 24х—23х+' — 22х — 2х+1— 2<0. 1090. 36х—2-18х—8-9х>0. 1091. 4х+1,54-6х<9х+1. 1092. 22х+2+6х—2-32х+2>0. -2^+0 1093. 0,008х+ 5'-3х +0,04 < 30,04. 1094. т/9х—Зх+2>Зх—9. 1095. 25-2х-10х+5х >25. 1096. (^-lyX^-l/-2. Ю97. |х-3|2х 7х>1. 1098. |3х2-2|^Г+Х> |3х2 —2|1+А 1099. (4х2+2х+1)х2-х>1. 1100. т/2(5х+24)-л/5^-7>\'5х+7. 1101. л/13х-5<л/2(13х4-12)—>/13х+5. § 19. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА Решение логарифмических неравенств вида •ogaf (x)>logag(x), (1) где { основано на следующих двух теоремах: Теорема 1. Если а>\, то неравенство (1) равносильно системе неравенств ( f (х)>0, Ь(х)>0, (2) (/(*)>£ (4 Теорема 2. Если 0<а<1, то неравенство (1) равносильно системе неравенств г f (х) > 0, Ь(х)>0, (3) (/(*)<£ (4 Замечания. 1) В системе (2) можно опустить первое нера- венство, так как оно следует из второго и третьего неравенств. Анало- гично в системе (3) можно опустить второе неравенство. 2) Первыми двумя неравенствами систем (2) и (3) задается об- ласть определения неравенства (1). 169
3) При решении логарифмических уравнений область определения уравнений, как правило, не находилась (выписывались лишь усло- вия, задающие эту область) . И при решении логарифмических не- равенств, как показывает практика, нахождение области определения заданного неравенства в большинстве случаев является нецелесооб- разным. Обычно условия, задающие область определения неравенст- ва, подключают к тому неравенству, которое является следствием заданного логарифмического неравенства, и решают затем получен- ную систему. Пример 1. Решим неравенство 1g (2х2 + 4х+ 10)> 1g (х2-4х+3). Решение. Так как основание логарифмов равно 10, т. е. боль- ше 1, то к этому неравенству применима теорема 1. В соответствии с ней получаем систему неравенств {2х2 + 4х + 10 > 0, х2 — 4х + 3>0, 2х2 + 4х+ 10>х2 — 4x4-3. Опуская первое неравенство (как следствие второго и третьего неравенств) и выполняя упрощения в третьем неравенстве, получим систему х2 —4х4-3>0, х2 4- 8х 4- 7 > 0, и далее (х— 1)(х — 3)>0, (х4-1)(х4-7)>0, откуда находим (— оо; — 7)U(— I; l)U(3; оо) — решение заданного неравенства. Пр и м е р 2. Решим неравенство . „ 2х2-4х-6 _ . 10g4- 4х—It Решение. Так как —I =log( 2, то это неравенство можно переписать так: у log.24^^lo42- Здесь основание логарифмов равно т. е. к неравенству приме- нима теорема 2. В соответствии с ней получаем следующую сйстему неравенств: {2х2 — 4% — 6 4х—11 2х2 — 4х—6 4х—11 Эта система равносильна неравенству 2х2 —4х —6 ^2 4х — 11 170
из которого находим [2; 2,75)0[4; оо) —решение заданного нера- венства. Пример 3. Решим неравенство log2-TT >10g2(2—х). Л -f О Решение. По теореме 1 заданное неравенство равносильно следующей системе неравенств: ,ТГз>0’ откуда получаем: 4 , x-f-3 <(х+2)(х-1) Q I х+3 ’ и далее ( — 3; —2)0(1; 2) — решение заданного неравенства. Пример 4. Решим неравенство log 0,3 (х3+8) — logo.3 (х2 + 4х + 4)< log0,3 (х+58). (4) Решение. Перепишем неравенство (4) следующим образом: logo.3 хйтлг4 < 1о8о,з (х + 58), или (5) logo.3 х* < logo.3 (X + 58). Так как основание логарифмов 0<0,3<1, то к этому неравенству применима теорема 2. Однако применение формулы logaf(x) — — loga g W=l°ga-^4 могло привести к расширению области опре- ё \Х) деления неравенства (4). Это значит, что к неравенству x-j-2 ’ являющемуся следствием неравенства (4), нужно присоединить ус- ловия, которыми задается область определения неравенства (4), а не неравенства (5). Таким образом, неравенство (4) равносильно следующей системе неравенств: Г х3 + 8>0, х2 + 4х4-4>0, х2 —2х+4 х+2 или {(х+2)(х2-2х+4)>0, (х+2)2>0, х-{-58>-0, 171
Из первого неравенства системы находим, что х-|-2>0. Это позволяет в последнем неравенстве системы освободиться от знамена- теля, не изменяя знака этого неравенства. Получим систему (х+2>0, I х2 - 2х + 4 >(х+2) (х + 58), откуда затем найдем (—2; —решение неравенства (4). Пример 5. Решим неравенство log2(x — 1)2 + 5 logo,5 (х— 1)> — 1. (6) Решение. Заметим, что log2 (х—1)2 = 2 log2 |х— 11. При этом так как областью определения неравенства (6) является множество значений х, удовлетворяющих неравенству х>1, заключаем, что |х— 11 =х— 1. Таким образом, log2 (х—1)2 = 2 log2 (х—1). Далее, log0,5 (х— l)=lo?2Jx~,1) = — log2 (х — 1). lOg2 Итак, неравенство (6) можно переписать так: 4 log2 (х—1) —5 log2 (х—1)+1 >0. Полагая z/=log2 (х—1), получим неравенство 4у2 — 5у +1 > 0, откуда уУ>1. Таким образом, решение неравенства (6) сво- дится к следующей совокупности неравенств: log2(x— log2(x—1)>1, или 0<х-1<^2; х-1>2, откуда находим (1; 1+V2)U(3; оо)— решение неравенства (6). Пример 6. Решим неравенство logx—г (2х—3)> log*—2 (24 — 6х). (7) Решение. Если основание логарифмов х—2> 1, то к неравен- ству (7) применима теорема 1, если же 0<х —2<1, то к нему применима теорема 2. Таким образом, решение неравенства (7) сводится к решению следующей совокупности систем неравенств: х—2>1, 2х — 3>0, 24 — 6х>0, . 2х—3>24 —6х; 172 0<х—2< 1, . 2х —3>0, 24 — 6х>0, . 2х—3<24 —6х.
27 Из первой системы этой совокупности получаем — .<х<4, а из о второй 2<х<3. Итак, (2; 3)|_|(у-; 4) — решение неравенства (7). Пример?. Решим неравенство Решение. Перепишем неравенство следующим образом: l°g s ( Х+2-Х х —5 2х—3 1. 5 Так как относительно основания логарифмов х + — возможны два предположения, то, как и в предыдущем примере, приходим к выводу, что заданное неравенство равносильно совокупности систем неравенств: 0<x+-j-< 1, или х> —1,5, х 5\ х 1,5, (х+2)(х— у) (2х—З)2 ' — 2,5<х< —1,5, х 5: х 1,5, (х + 2) (х— -----2-- (2х —З)2 Решение этой совокупности — ( — 2; — l,5)u(y-; 5 оо) — является решением и заданного неравенства. 4 7 Пример 8. Решим неравенство xlgx>10. (8) Решение. Неравенство (8) можно назвать показательно-ло- гарифмическим. Выше (см. с. 128) мы отмечали, что при реше- нии показательно-логарифмических уравнений целесообразно взять логарифмы от обеих частей уравнения по одному и тому же ос- нованию. Этот же прием можно применить и при решении по- казательно-логарифмических неравенств. Естественно, при взятии логарифмов от обеих частей неравенства (как и уравнения) предварительно следует убедиться, что эти лога- рифмы существуют. Знак полученного логарифмического неравенства останется таким же, каким он был до логарифмирования, если логарифмирование выполнялось по основанию а> 1; если же логарифмирование выпол- 173
нялось по основанию 0<а< 1, то знак неравенства изменится на про- тивоположный. Вернемся к неравенству (8). Обе его части принимают только положительные значения, и поэтому логарифмы этих частей сущест- вуют. Возьмем логарифмы по основанию 10. Так как 10> 1, то по- лучим неравенство lg xlg*>l (того же знака, что и неравен- ство (8)), равносильное неравенству (8). После преобразований получим неравенство lg x>lg х> 1, т. е. lg2 х—1 >0, откуда lg х< — 1; lg х> 1. Из первого неравенства полученной совокупности найдем 0<х<0,1, а из второго х>10. Таким образом, (0; 0,l)U(10; оо) — решение неравенства (8). Упражнения Решите неравенства. 1102. log3log3 (5-х). ПОЗ. log) (2-x)>logl -%—. Z 7*+l 1104. log । (5-|-4x—x2)> — 3. T 1105. log»,! (x2 + 75)-log0.i (x-4)< -2. 1106. log! (2x+l)<logi (16-x2)+l. 5 T 1107. log,(x+27)-log,(16-2x)<log„x. 1110. (-logs x—log3 5x>log ! (x+3). 1111. logo,2 (x— 1)>4. T 1112. log2((x-3)(x-t-2)) + log1(x-3)<-log ! 3. 2 ^2 1113. log й 7~-&£—log ! (x+2)>log! 4. 1114. (4-')|0В’и(*!_5*+8)<2,5. V2 *+2 ^2 2 45 7 ,,, .r ln. / 2 \log I (x2 + 4x + 4) / 1 \logt (x2-3* + 1) 1115. 2,25og ( -3x-'°)>L£ \ у \ 1116. z 1117. log, (x-l)>2. 1118. log, V21 -4x> 1. 1119. log,1. 1120. logHie-ex-x2)^!. П21. log,!_3 729>3. 1122. log,_! 0,3>0. *4-5 1123. log,,„110,5>0,5. 1124. 2log,(x2-6j:+9)<32l<>e«VJ-i 1125. logs V3x4-4-log, 5> 1. 1126. log, (x’4- l)-log,+ i x>2. 1127. Iog,(x4-l)<log±(2-x). 1128. log|,_4l (2x2-9x-H)> 1. 1129. log|,+6| 2-log2 (x2 —x—2)> 1. 1130. log§,5 x4-logo,s x—2<0. 1131. 1132. 10g2 (x-Ь I)2 4- log2 V*2+2x+ 1 > 6. 1 -f- IOg2 X X m
1133. (iog2 x)4-(logy у Y+9 log; ||<4 (logy x)2. 2 2 1134. logj x+log4x>l. 1135. logx 5 V5— l,25>(logx V$)2- “s’ 2 -x/2 1136. log^(5х—!)• log^ y_2'[ >2- 1137. 2'0^х-|0^2’5х>1. 1138. 6___з т_^п__ 1139. 0,2 log* x> 3^0,0082log*x—*. Iog3 4-log, Зх |ос,х2 + 2 1140.0,4 x >6,25' g3 + . ,1141. 2log’'5X+xlog'>,5X>2,5. 1142. 3lgx+2<3lgx2+5—2. 1143. 9,o82(*~l)_|_8.5log!(*_1)~2>9log2(jt_1)— 16-5log2(x-l)-1. 1144. x10g2X+ 16x“log! x< 17. 1145. logs (4X+1)+log4.+! 3>2,5. 1146. logs (3х-1) logy(3x+2-9)< -3. T 1147. log2 (log3 (2 —Iog4 x))< 1. 1148. x + lg (1 4-2x)>x lg 54-lg 6. 1149. log; (9x + 32x-|-2X+2)<x+3,5. 1150. log! х+-д/1 - 4 logyX< 1. 1151. -J T ~2 1152. log2(x—1)—log2(x+l)+logx+1 2>0. X — 1 1153. 1оёл8 + 1оел8<1о^Л4. 1154. logx 2*log2x 2«log2 4x> 1. 1155. log2 log । (x2 —2)<1. 1156. (y) , ,2 3x+6 log 1 10g2-^ГГо 1157.0,3 у х+>1. 1158. log3 (log2 (2 —log4 x)—1)< 1. 1159. log5 log3 log2 (22x - 3 • 2х + 10)> 0. 1160. log2(l + log ! X—log9x)<l. 1161. log! Iog2 logx-1 9>0. T T 1162. log3 logx2 logx2 x4>0. 1163. log* log2 (4х—12)< 1. 1164. Iх* 8 8 10g3 10gj~(x2-y) log5(x2 + 3) Зх2- 16x+21 4x2-16x <0- ”65- logo.3 (x24-4) <0' n67. 'gg^Jx-21<0. log2 |x— 11 x — 4x lg 7-^(8-^ 10Я;(У4ГГ5-1) 1 lg(x+3) ' *,W- 2 • logo.5(Vx + 3—_0<_l_ 1171 lgVx + 7 —lg2^ t logo.s (V-x + 34-5) 2 ' lg8-lg(x-5)^ 1173. log, (x+3)>log,+s 625. IgV^ —40 1166. 1168. 1170. 1172. 175
1174. log2 x-log3 2x+log3 x-log2 3x^0. 1175. 1 og05 (x + 2) 1 og2 (x + 1) + log, +, (x + 2) > 0. 1176. log! (6x+1—36x)>-2. 1177. logA/3(2x+2-4x)^— 2. ^5 T 1178. 25,og|x+xIog5X<30. 1179. (2x4-3-2_x)2log!X-log2(x + 6)> 1. 1180. -----, v U8L г2-<---------------------------U- l°go,5 л/ЯЬЗ logo,5(*+l) log2x 10g2^x+2 1182. ~v'l°g°'5 x~81 + 2< 1. П83. |x- 11ix_ 11 Iog2(l + x) logo,5x—1 1 1 11 1184. logx2 + 2x_2 l-±41lylxl>0. 1185. Известно, что х = -\/б— одно из решений неравенства loga (х2 —х —2)> > loga (х22х-|-3). Найдите все решения этого неравенства. 1186 . 3-1082 4+4<)>2 + 2л^ 1187.:--------< 1- 1-Vx log2(l+2x)-l 1188. 1-^2'-:±>о>^+2. ух —2 § 20. УРАВНЕНИЯ, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ. Пусть дано уравнение F(x; a) = 0. (1) Если ставится задача отыскать все такие пары (х; а\ кото- рые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (1) —это уравнение с двумя переменными х и а. Однако относительно урав- нения (1) можно поставить и другую задачу. Дело в том, что если придать а какое-либо фиксированное значение, то уравнение (1) можно рассматривать как уравнение с одной переменной х. Реше- ния этого уравнения, естественно, определяются выбранным значени- ем а. Если ставится задача для каждого значения а из некоторого числового множества А решить уравнение (1) относительно х, то уравнение (1) называют уравнением с переменной х и параметром а, а множество А — областью изменения параметра. Условимся всюду в настоящем параграфе уравнение (1) по- нимать как уравнение с переменной х и параметром а. Уравнение (1) —это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Уравнения этого семейства получаются из уравнения (1) при различных конкретных значениях параметра а. Так, уравнение 2а (а —2) х = а — 2, у которого областью изменения параметра а является множество Л={~1; 0; 1; 2; 3}, есть краткая запись следующего семейства уравнений: 176
' 6х= —3 при а= — 1 0-х= —2 при а = 0 — 2х== — 1 при а=1 > 0*х = 0 при а=2 6х= 1 при а = 3 Условимся всюду в дальнейшем под областью изменения пара- метра подразумевать (если не сделано специальных оговорок) мно- жество всех действительных чисел, а задачу решения уравнения с параметром формулировать следующим образом: решить уравне- ние (1) (с переменной х и параметром а) —это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, полу- чающихся из уравнения (1) при всех действительных значениях параметра. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех зна- чений параметра на подмножества и решить затем заданное уравне- ние на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра будем называть контрольными. Не давая строгого определения контрольного значения параметра, покажем на примерах, как эти значения обнаруживаются, как с их по- мощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из подмножеств решается заданное уравнение (система уравнений, неравенство). Пример 1. Решим уравнение 2а (а — 2) х —а — 2. (2) Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а = 0 и а = 2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при зна- чениях параметра а=#0, а=#2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества Д1={0), А2={2) и и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а = 0; 2) а = 2; 3) { Рассмотрим эти случаи. 177
1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0*х= —2. Это урав- нение не имеет корней. 2) При а = 2 уравнение (2) принимает вид 0-х = 0. Корнем этого уравнения является любое действительное число. 3) При а=#0 и а=#2 из уравнения (2) получаем х—2а‘(а—2) ’ откуда х~^- Ответ: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2, то х — любое действительное число; 3) если (а=/=0, то х = -^~. |а#=2, 2а Пример 2. Решим уравнение (а-1)х24-2(2а+1)х+(4а+3)=0. (3) Решение. В данном случае контрольным является значение а=1. Дело в том, что при а—1 уравнение (3) является линейным, а при а=£ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а=1; 2) а=£1. Рассмотрим эти случаи. 1) При а=1 уравнение (3) примет вид 6х 4-7=0. Из этого 7 уравнения находим х= ——. 2) Из множества значений параметра а#= 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0. Дело в том, что если дискриминант D=0 при а = ао, то при переходе значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например, при а<.а0 D<0, а при а>а0 Р>0). Вместе с этим при переходе через точку ао меняется и число действитель- ных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а<ао корней нет, так как D<0, а при а>ао уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении уравне- ния. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 диск- риминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям. Составим дискриминант уравнения (3): -^-=(2а+ I)2—(а— 1)Х X (4а 4-3). После упрощений получаем у-=5а4-4. Из уравнения -^-=0 находим а = —|---второе контрольное зна- чение параметра а. При этом если а<—то D<0; если ToD>°- Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда 178
4 f 4 a< ——, и в случае, когда I Э < D я=И= 1. Если а< — 4~, то уравнение (3) не имеет действительных корней; □ {-^ 4 , то находим аУ=1, „ __-(2а+1)±л/5^+4 Л1,2 — —------------' , -----• а— 1 Ответ: 1) если а<—4~, то корней нет; 2) если а=1, то х=—3) если ( то Xi 2-~ ~(2<3+1)+У5а4-4 6 ' { 5 • а—1 а=/= 1, Замечание. При а= —имеем Xi =х2 = ——. Пример 3. Решим уравнение х______2 3 —а2 /. ч а(х+1) х4-2 а(х-|-1)(х-]-2) ’ ' ' Решение. Значение а = 0 является контрольным. При а = 0 уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если же аУ=0, то после преобразований уравнение (4) примет вид: х2 + 2 (1 —а) х + а2 —2а —3 = 0. (5) Найдем дискриминант уравнения (5): -5-=(1 — а)2 —(а2 —2а —3)=4. Находим корни уравнения (5): Xi = a-|-1, X2 — Q—3. При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась область определения уравнения (4), что могло привести к появле- нию посторонних корней. Поэтому необходима проверка. Проверка. Исключим из найденных значений х такие, при которых Х1-Н=0, Xi4-2 = 0, Х2-|-1=0, Х24-2=0. Если Х|4-1=0, т. е. (a-f-1)4-1=0, то а=— 2. Таким образом, при а=— 2 Xi—посторонний корень уравнения (4). Если Xi4*2 = 0, т. е. (а-|-1)4-2=0, то а—— 3. Таким образом, при а= — 3 Xi —посторонний корень уравнения (4). Если Х2-|-1=0, т. е. (а—3)4* 1=0, то а=2. Таким образом, при а=2 х2 — посторонний корень уравнения (4). Если Х2-|-2=0, т. е. (а—3)4-2=0, то а=1. Таким образом, при а=1 Хг — посторонний корень уравнения (4). 179
Рис. 26 Для облегчения выписывания ответа сведем полученные резуль- таты на рисунке 26. В соответствии с этой иллюстрацией при а=—3 получаем х~ 3 3=—6; при а==—2 х ——2 — 3=—5; при а=1 -r= 1 -f- 1 =2; при а = 2 х = 2-|- 1 =3. Итак? можно записать ответ: 1) если а=—3, то х=— 6; 2) если а=—2, то х=—5; 3) если а = 0, то корней нет; 4) если а=1, то х = 2; 5) если а = 2, то х = 3; 6) если [а=/= — 3, а=/= — 2, то Xi =а+ 1, < а=#0, Х2 = а — 3. I а=/= 1, (ау=2, Пример 4. Решим уравнение -д/х+-у/а=-д/1 — (x-j-a). (6) Решение. Здесь а = 0 — контрольное значение параметра (при а<0 левая часть уравнения не определена, а при определена). Поэтому при решении уравнения (6) целесообразно рассмотреть следующие случаи: 1) а<0; 2) а>0. 1) Ясно, что при а<0 уравнение (6) не имеет корней. 2) Если а^О, то, выполнив возведение обеих частей урав- нения (6) в квадрат и последующие упрощения, придем к урав- нению 2 д/шс= 1 — 2х — 2а. (7) Здесь мы не обнаруживаем никаких новых контрольных значений параметра. Снова выполнив возведение обеих частей уравнения в квадрат и последующие упрощения, получим уравнение 4х2 + 4 (а—1) х + 4а2 —4а+1 =0, (8) у которого -^-== 4 (а — 1 )2 — 4 (4а2 — 4а +1) = 4 (2а — За2). Полагая D = 0, находим ai=0, аг = ^------вторые контроль- О 2 ные значения параметра. Заметим, что D<0, если °> — (на- помним, что мы рассматриваем случай а^О). Таким образом, целе- 180
2 2 сообразно рассмотреть следующие случаи: а>—; О^а^—. В первом случае уравнение (8) не имеет корней, во втором полу- чаем: „ 1 — а ±л/2а—За5 Х'-2 =-----2-----• Выше мы отмечали, что при а<0 уравнение (6) не имеет корней. Итак, решая уравнение (6), мы пришли к следующему результату: ' 2 2 если а<0; а>—, то корней нет; если , то корнями урав- нения (6) могут быть значения __1 — а±-\/2а—За2 Х1.2- * . Эта осторожная формулировка связана с тем, что при решении уравнения (6) выполнялось возведение обеих частей в квадрат, что могло привести к появлению посторонних корней. Значит, найденные значения Х\ и хг необходимо проверить. Проверка этих значений подстановкой в уравнение (6) затрудни- тельна, поэтому выберем другой путь. Отметим, что область опреде- ления уравнения (6) задается системой неравенств (х^О, |1- (х+а)>0. Далее из уравнения (7) следует, что должно выполняться нера- венство 1—2х—2а>0. Значит, корни уравнения (6) должны удов- летворять системе неравенств {х^О, fx^O, 1— (х+а)>0, или|х + а^1, 1—2х —2а>0, I । 1 vx-i-a^ 2 , (х^О, x + oC-i-. (9) Проверим, удовлетворяет ли системе (9) значение х\. Рассмотрим систему неравенств {1 — а4~л/2д~3а2 g 2 ’ 1~а+^2а-з<+а^2-. (Ю) Второе неравенство системы (10) равносильно неравенству -^2а — За2 —а, которое в рассматриваемом случае имеет единственное решение: а=0. 181
Так как это значение а удовлетворяет и первому неравенству сис- темы (10), то система (10) имеет единственное решение: а=0. Это 1—а-\~-\12а — За2 л значит, что х\—---------------при а = 0 является корнем уравнения (при а = 0 имеем если же а=#0, то Xi—посторонний корень. Проверим, удовлетворяет ли системе (9) значение Х2. Рассмотрим систему неравенств {1 — a — yfe.a—За2 q 1—а —->/2а —За2 . 1 2 2 • лч v (л 2а — За 1—а. Она равносильна следующей системе: J ( у2а За а, и далее ( 4а2 — 4а+ 1 ^0, или ((2а— 1)2^0, (4o"-2»C0, |4a(O-f)<0. откуда 0<а<^-. Итак, хг = 1~а~^2а~3- — корень уравнения (6), если параметр а удовлетворяет следующей системе: откуда 0^а^-|-. Таким образом, решение уравнения (6) можно записать следую- щим образом: 1) если а<0; а>~, то корней нет; 2) если а = 0, ТО Xi = l-n+№EH_. X2 = »-^V2q.-^... 3) если 0<a<f, то х = Заметим, что если а=0, то Х1—Х2. Это позволяет сделать за- пись ответа более короткой. Ответ: 1) если а<0; а>-|-, то корней нет; 2) если 0<а^ \ 1 — а —д/2а —За2 ’ Т0 Х =----2-----• Пример 5. Решим систему уравнений (х3 = 2ах + ау, [у3 = ах + 2ау. (11) 182
Решение. Заменим первое уравнение системы (II) суммой уравнений системы, а второе уравнение — разностью. Получим си- стему, равносильную исходной: г х3 + у3 = За(х+у), (х3 — у3 = а(х—у), или f(x4-y)(x2— ху+у2 —За)=0, \(х — у)(х2 + ху + у2 — а) = 0. Последняя система, в свою очередь, равносильна следующей сово- купности четырех систем: х4-у = 0, х —у = 0; (12) х+у=0, х2+ху+у2 = а\ (13) х2 — ху+у2 = 3а, х-у=0-, (14) х2 —ху + у2 = 3а, х2+ху+у2 = а. (15) Из системы (12) находим: rxi=0, — решение системы (И) при (1/1=0 любых значениях aQR. Из системы (13) получаем: {у = — х, х2 = а. (16) Здесь а=0— контрольное значение параметра. При е<0. система не имеет действительных решений, если же а^О, то получаем: (Х2=^/а, (Хз=—^а, \У2——^а-, \Уз=^[а. Из системы (14) находим: <у=х, (х2 = 3а. Здесь, как и в предыдущем случае, а = 0 — контрольное значение параметра. При а<0 система не имеет действительных решений, если а>0, то получаем: (Х4 = -у/За, ( Хз=—-у/За, [у4=у(3а- \уь=—у/За. Система (15) симметрическая. Полагая ( х+у = и, (ху=о, получаем ( и2 — 3v = 3a, ( и2 — v = а, откуда ( и = 0, | v = — а. Таким образом, мы приходим к следующей системе уравнений: 183
( х + у = О, или ( у= — X, [ху= — а, |х2 = а. Эта система совпадает с системой (16), которая выше уже решена. Ответ: 1) еёли аСО, то (0; 0); 2) если а>0, то (0; 0), (д/й; — -\/а), (—~у/а', ('у/Зо', —\/За). Пример 6. Решим неравенство Z^lL>(l+3a)f. (17) (Л О *т Решение. Полагая а4-3=0, находим а= — 3 — первое конт- рольное значение параметра. Значит, надо рассмотреть следую- щие случаи: 1) а<—-3; 2) а=—3; 3) а>—3. 1) Рассмотрим случай а<—3. В этом случае а4-3<0 и не- равенство (17) равносильно неравенству: 4(7х—11)<(а4~3)Х Х(14~3а)х, т. е. неравенству: (За24-Юа—25) х>—44. (18) Полагая За24- 10а—25=0, находим вторые контрольные зна- 5 с чения параметра а: а—~> а=—5. Решение неравенства (18) нужно, таким образом, рассмотреть в следующих случаях: {а<—5; а>4-, (а=-5; а=-|-, ( -5<а<-|-, О < О к О а<—3; (а<—3; (а<— 3, т. е. в случаях а<—5; а=—5; — 5<а<—3. В первом случае За24-Юа—25>0, и из неравенства (18) на- 44 ходим: х>—2' . За + 10а — 25 Во втором случае неравенство (18) принимает вид: 0«х> -44- это верно при любых х. Если, наконец, —5<а< — 3, то За24- Юа— 44 — 25<0, и из неравенства (18) находим, что х< — 2 , ——. 2) Рассмотрим случай а=—3. В этом случае неравенство (17) не имеет решений. 3) Рассмотрим случай а>—3. В этом случае а4-3>0 и не- равенство (17) равносильно неравенству: 4 (7х—11)>(а-|-3) (14-За) х, или (За24-Юа—25) х< —44. (19) Как и для неравенства (18), контрольными значениями параметра а здесь являются значения а=-|- и а= —5. Так как мы рассматри- ваем сейчас случай, когда а> — 3, то из указанных двух контрольных значений параметра нам следует принять во внимание лишь одно: а=-|-. Таким образом, при решении неравенства (19) должны быть О 184
5 5 5 рассмотрены следующие случаи: а>—; а=—; — 3<а<—. о О о 44 В первом случае находим: х<.—3g2_^ ц>д_25 > во втором — неравенство (19) не имеет решений, в третьем получаем: х>________44___ За2+10а-25’ 5 Ответ: 1) если а= —3; а=—, то неравенство не имеет реше- О ний; 2) если а<—5; — 3<а<4~, то х> 2 , fl—ттт’, 3) если о о a -f- 10а — 25 — 5<а<—3, а>-|-, то х<— , 44 - ; 4) еслй а=—5, то — оо < х < 4“ 00 Пример 7. Решим неравенство ах2 — 2х4-4>0. (20) Решение. Приравнивая к нулю коэффициент при х2 и дискри- минант квадратного трехчлена ах2 — 2x4-4, находим первое конт- рольное значение параметра а=0 и второе контрольное значение a=-i- (причем если а>-|-, то D<zO, если а^-|-, то D^O). Ре- шим неравенство (20) в каждом из следующих четырех случаев: 1) а>-^-; 2) 0<a<-J-; 3) а=0; 4) а<0. 1) Если то трехчлен ах2 —2х-|-4 имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент. Значит, трех- член положителен при любых х, т. е. решением неравенства (20) в этом случае является множество всех действительных чисел. 2) Если 0<а^-^-, то трехчлен ах2 — 2x4-4 имеет следующие корни: Х|,2 = 1±"^~4а, причем l~V*~4a^L+.V^~4a . Значит, решением неравенства (20) является следующая совокуп- ность: , 1-УГ=4^ . А « А • а а 3) Если а=0, то неравенство (20) принимает вид: — 2x4-4 >0, откуда получаем х<2. 4) Если а<0, то имеем 1~?/1~4а-. а а Значит, в этом случае решением неравенства (20) является следую- щая система: 185
l+~yl—4g - 1-Vi-40 a a Ответ: 1) если a>-|-, то — оо<х<4-оо; 2) если 0<а^ С4~, то х< х>———; 3) если а=0, то х<2; 4 а а ’ 4) если а<0, то 1±^Н^<Х< 1~Vr=r^ . ’ а а Пример 8. Решим неравенство Х2+!С21'> а2х—2а 2 —ах а ' ' ' Решение. Преобразуем неравенство (21) к виду х^+1 । 1_—>0 а (ах —2) ах—2 а ’ и далее (1 д^+гх-н+а^ о (22) Неравенство (22) равносильно неравенству (21). Значение а= =0 — первое контрольное значение параметра. Приравнивая в чис- лителе коэффициент при х2 к нулю, находим второе контрольное зна- чение параметра: а= 1. Наконец, дискриминант квадратного трехчле- на (1 — a) x24-2x-j-1 +а равен а. Он обращается в нуль при уже от- меченном контрольном значении а=0. Значит, целесообразно рассмотреть следующие случаи: 1) а=1; 2) а=0; 3) J а=#0 ( 41^'1. Решим неравенство (22) в каждом из этих случаев: 1) При а=1 неравенство (22) примет вид: 2^^->0, откуда находим: х< —1; х>2. 2) При а=0 неравенство (22) не имеет решений. а=#=0, а=#= 1 3) Если то, выполнив в числителе левой части неравенст- ва (22) разложение на множители, получим неравенство с-“)(-+|)0-д-) 2 • х---- а (23) равносильное неравенству (22), а значит, и неравенству (21). Неравенство (23), в свою очередь, надо рассмотреть в двух слу- ( а 0, . чаях: 1 j и а> 1. 186
Рис. 29 В первом случае 1—а>0 и неравенство (23) принимает вид: <»+'>('-д-)' п ” 2 ->U= х---- а (24) во втором случае 1—a<ZQ и неравенство (23) принимает вид: (25) Для решения неравенств (24) и (25) методом интервалов необхо- димо расположить на числовой прямой точки —1, в по- рядке возрастания. Для этого составим следующие разности: и выясним вопрос о знаке в каждом из полученных случаев. Рассмотрим разность Л i = . Получаем (рис. 27), что если а<0, то Л1>0; если 0<а<1, то Л।<0; если а> 1, то Л!>0. Анализируя разность Л2==^у^-, получаем (рис. 28), что если а<—2, то Л2>0; если —2<а<0, то Л2<0; если 0<а<1; а>1, то Л2>0, наконец, если а— — 2, то Л2 = 0. Рассмотрим теперь разность 187
Так как дискриминант квадратного трехчлена а2 — а 4-2 отри- цателен, а коэффициент при а2 положителен, то а2 — а 4-2 > 0 при любых значениях а и знак разности Аз зависит лишь от знака знаме- нателя а (а— 1). Мы получаем (рис. 29), что если а<0, то Д3>0; если 0<а<1, то Лз<0; если а>1, то А3>0. Проиллюстрируем теперь результаты исследования знаков раз- ностей At, Аг, Аз (рис. 30). Неравенство (24) решается при условии 0#=а<1 (на рисунке 30 эти значения а отмечены штриховкой), поэтому нужно рассмотреть это неравенство в каждом из следующих случаев: —2; — 2<а<0, 0<а<1; а= — 2. В первых трех случаях получаем соответственно: 1 2 “1“ 1 а а— 1 ’ а 4-1 а— 1 а 4- 1 а— 1 2_ а Решив неравенство (24) методом интервалов (рис. 31 а, б, в), на- ходим: <х< — а —<х< а а— 1 ’ а— 1 ’ = 0 А,>0 < А2>Я А3>0 х2 'з- А2>0 А3<0 ’7777777777^7777777777777777777777777777/777777777777777' -2 0 1 - Аг>0 А3>0 --- ' ' > а Рис. 30 188
если 0<а<1, то — 1; х> —. а—1 а Наконец, при а——2 неравенство (24) принимает вид: откуда находим х> — При решении неравенства (25) нас интересуют знаки разностей Ль Л2, Аз только на интервале 1 (на рисунке 30 этот интервал не заштрихован). Значит, при а>1 имеем: i 2 а+1 а а— 1 С помощью метода интервалов находим решение неравенства (25): если а>1, то х< — 1; —<х<-^Ц-. а а— 1 Выпишем теперь окончательный ответ для неравенства (21): 1) если а<—2, то — 1<х< —: а а— 1 2) если а — — 2, то х> — 3) если — 2<а<0, то —<х< —1; x>^i-L; ’ а а—1 4) если а=0, то неравенство не имеет решений; 5) если 0<а<1, то ^Ц-<х< —1; х>—; а— 1 а 6) если а= 1, то х< — 1; х>2; 7) если а>1, то х< — 1; — <х<-^±4". ' а а—1 Пример 9. Найдем все значения параметра а, при которых система уравнений ( -4х-|-ш/= 1 +а ((6 + а)х+2у = 3 + а (26) не имеет решений. Решение. Данная система несовместна тогда и только тогда, когда 64-а 2 + а ' Из уравнения находим: а\ — — 2; а2=—4. 6-f-a 2 Из уравнения -^-= ~-а- находим: аз = 1; щ = —2. х о “г а 189
2a-3 2-За 5) _______________ ^//////////////////////////////////^ 2-3 a 2a-3-x Рис. 32 Значит, условие у-5# выполняется, если ja=/=l; {a=—2; a= — 4 a#=l находим, что условие (27) равно- ay; — 2 сильно равенству а=—4. Итак, система (26) не имеет решений при а= —4. Пример 10. Найдем все значения параметра а, при которых неравенство (х—2 +За) (х—2а+3)<0 выполняется для всех х, принадлежащих отрезку [2; 3]. Решение. Данное неравенство имеет вид (х—Х|) (х—хг)<0, где Х1=2 —За, хг = 2а—3. Решив его, получаем Х1<х<хг (если Х1<Хг) или хг<х<Х1 (если Хг<Х1); если Х|=Хг, то реше- ний нет. Таким образом, решением исходного неравенства служит либо интервал (2a —3; 2 —За), либо интервал (2—За; 2а—3) (рис. 32, а, б). Из условия задачи следует, что все точки из отрезка [2; 3] должны удовлетворять заданному неравенству, а это будет выполняться тогда и только тогда, когда точки с координатами 2 и 3 лежат внутри ин- тервала (хи хг) или (хг; Xi), т. е. когда 2a—3<2<3<2 — 3a или когда 2 —3a<2<3<2a—3. Из системы неравенств 2a—3<2<3<2 —За получаем си- {2a—3<2, 2 —3а>3, откуда находим, что а< — Система неравенств 2 — 3a<2<3<2a —3 равносильна си- стеме (2 — За <2 |2а—3>3, откуда находим, что а>»3. Итак, заданное не- равенство выполняется для всех х£[2; 3] при а<—— или а>3. Пример 11. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение х2 + 4х-2 |x-al+2-a=0 (28) имеет два корня. Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух смешанных систем 190
х—а>0, х24-4х—2 (х —а)4-2 —а=0; х—а<0, х24-4хЦ-2 (х —а)+2 —а=0. (29) (30) Решим систему (29). Имеем | х2*4-2х4-а4-2 = 0 Дискриминант уравнения х24-2х4-а4-2 = 0 D=— а— 1. Если Д<0, т. е. а> — 1, то уравнение х2 + 2х4-а + 2 = 0 не имеет корней. Если D = 0, т. е. а—— 1, то это уравнение имеет единст- венный корень х= — 1; если Р>0, т. е. а< —1, то уравнение имеет два корня: xi = — 1-—Хг = — 1+V—о—Т. Найденные корни должны удовлетворять неравенству х^а. Только в этом случае их можно считать решениями смешанной систе- мы (29). Нам нужно рассмотреть два случая: 1) а= — 1; 2) а< — 1 (при а> — 1 уравнение системы (29), как мы отметили выше, не име- ет корней, значит, и система (29) не имеет решений). 1) Если а= — 1, то х= —1. Неравенство х>а в этом случае выполняется, значит, х= — 1 —решение системы (29). _______ 2) Если ас — 1, то xi = — 1—-У—а—1, х2= — 14-^—а — 1. Выясним, при каких значениях а выполняется неравенство xi^a и при каких значениях а выполняется неравенство Хг>а. Обратимся сначала к неравенству xi>a. Имеем последовательно: — 1— У—а— 1>а, а— 1 — а— 1. (31) Разделив обе части неравенства (31) на выражение -У—а— 1, при- нимающее при аС—1 только положительные значения, получим неравенство 1 ^-у~а— 1, равносильное неравенству (31). Далее имеем: 1<— а— 1, откуда а<—2. Обратимся теперь к неравенству хг>а. Имеем: — 1 +*У—а— 1 л/—а—1^а+1- Поскольку при а< — 1 левая часть этого неравенства положи- тельна, а правая — отрицательна, то неравенство выполняется при всех ас — 1. Окончательно получаем следующие решения системы (29): если а> — 1, то решений нет; если а = — 1, тох= — I; если -2<а< — 1, то х= — 1 4-~У—а — 1; если — 2, то xi = —1—У—а—1, хг= — 1 4--У—а— 1- Решим систему (30). Имеем (Х^а, |x24-6x-f-2 — За=0. Из уравнения х2 4-6x4-2 — За=0 находим: Хз,4= —3 ± л/7 4" За. 191
7 Если а< ——, то действительных корней нет, значит, и система О 7 7 (30) не имеет решений; если а =——, то х=—3; если а>— О о то х3 = — 3 —+ За, х4 = — 3+д/74-За. Из найденных корней отберем те, которые удовлетворяют нера- 7 венству х^а. Если , то х—— 3 и неравенство х^а вы- полняется. Значит, х—— 3 — решение системы (30). Пусть а>——. Выясним, при каких значениях а выполняется неравенство х3^а. Имеем: — 3 — V7 + Зд п, д/7 + За>-а-3. (32) Поскольку при а>—левая часть неравенства (32) положи- тельна, а правая — отрицательна, то неравенство (32) истинно. Значит, х3 — решение системы (30) при всех у-. Обратимся теперь к неравенству х4^а. Имеем: — 3 “Н + 3а о, V7 + 3a<a+3. (33) Поскольку при а> —у обе части неравенства (33) положительны, то, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство 74-За^ ^(а + 3)2. Далее имеем: (а+1) (а + 2)>0, откуда находим, что — 2 или — 1. Таким образом, х4— решение системы (30), если —-2 или —1. Окончательно получаем следующие решения системы (30): 7 7 если а< ——, то решений нет; если а = ——, то х = — 3; о , о если —2, то х3)4= — 3±V7 + 3а; если — 2<а< —1, то х = х3 = — 3—д/7-]-Зд; если — 1, то х3)4= — 3±л/7 + За. Мы нашли решения систем (29) и (30). Решение уравнения (29) есть объединение найденных решений систем (29) и (30). Из приведенных выше рассуждений ясно, что это объединение нужно выполнить по отдельности при следующих значениях пара- метра: 1) а> —1; 2) а= —1; 3) -2<а< —1; 4) а=-2; 5) -~< О <а<—2; 6) а=-4-; 7) а<-^-. о о 192
1) Если а> — 1, то уравнение имеет два корня: хз, xt, т. е. -3±V7 + 3a. 2) Если а= — 1, то уравнение имеет два корня: —1, —5. 3) Если —2<a< —1, то уравнение имеет два корня: х2, хз, т. е. — 1 1 и — 3—-\/7 + За. 4) Если а=—2, то уравнение имеет три корня: —2, 0, —4. 5) Если —|-<а<—2, то уравнение имеет четыре корня: — 1 + —а— 1; — 3 ± -у]7 4* За. 7 2 6) Если а= ——, то уравнение имеет три корня: —3; —1 ±—. 3 -у/3 7) Если а<—то уравнение имеет два корня: Xi = —1-}- a— 1, Х2= — 1—— а— 1. Таким образом, уравнение (28) имеет ровно два корня при 7 а> —2 или при а< ——. Пример 12. Найдем все значения а, при которых уравнение 2 lg (х4*3) = lg ах (34) имеет единственный корень. Решение. Преобразуем уравнение к виду lg (x4*3)2 = lg ах. Далее получаем (х4*3)2 = ах, откуда х2—(а—6)х4-9 = 0. (35) Уравнение (34) имеет единственный корень в следующих случаях: 1) уравнение (35) имеет единственный корень и этот корень удовлет- воряет уравнению (34); 2) уравнение (35) имеет два корня, но из этих корней один является посторонним для уравнения (34). Рассмотрим первый случай. Уравнение (35) имеет один корень, если его дискриминант D равен нулю. Имеем D=(a —6)2 —36 =a2—12a. D — 0 при a = 0 или при a=12. Случай, когда a=0, отпадает, так как при а=0 правая часть уравнения (34) не определена. Если а=12, то из уравнения (35) находим х=3 — единственный корень уравнения (35) и, как показывает проверка, удовлетворяющий и уравнению (34). Рассмотрим второй случай, когда D > 0. В этом случае уравнение (35) имеет два корня: „ а—6±-\/аг— 12а Х\,2 —------*------- 7 Заказ 840 193
Чтобы найденные корни были корнями уравнения (34), i <оди- мо и достаточно, чтобы они удовлетворяли неравенству %4-3>0. Значит, из найденных корней уравнения (35) один будет корнем урав- нения (34), а другой не будет корнем этого уравнения тогда и только тогда, когда X] >> — О, ( — О * о ИЛИ I * п %2 I Х| — О. ГД( Y а —64~Уа2 — 12а а —6 —Уа2 — 12а XI- 2 , Х2--------- . Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств {а —6 + Уа2— 12а^ Q f а —6 —Уа2 — 12а о 2______> ~6' I 2 ' > ~ а—6—\/а2 — 12а о. | а —6+~\/о2~ 12а о 2 V 2 С 3. Решим первую систему. Имеем: f -\/а2 — 12а > — а, \-у/а2 — 12а>а, откуда а2—12а>а2, т. е. а<0. Решим вторую систему. Имеем: | л/а2 — 12а < а, (->/а2— 12а sC — а. Эта система не имеет решений, так как либо а<0, либо — а<0, т. е. либо первое, либо второе неравенство последней системы не имеет решений. Итак, второй случай имеет место при а<0. Окончательно получаем, что уравнение (34) имеет единственный корень, если а=12 или если а<0. Упражнения Решите уравнения с параметром а. 1189. (а2-2а+1)х = а2 + 2а-3. 1190. (а3 — а2 — 4а4-4)х=а — 1. П91 А । А । х + а_1 идо х+а_х-а а + 3+а+3 L П92, 1+а“2 + а’ 1193. —^-4-——^-4- — = 0. 1194. х2 — 4ах4-За2=0. а —2а а —2 а 1 1195. ах2—(1 —2а) х + а —2=0. 1196. (2а-1)х2-(За+1)х+а-1=0. 1197. (а2 + а-2)х2+(2а2 + а+3)х+а2-1=0.
1198. 1199. ^-=^4-^-+А = о. а2 4-За ' а 4-3 а х — 2а 2ах-(а-1)(а4-2) t _0 2а —х 2х х а2 1200. —-+-------------==-Г1-----г. 2x-j-a 2х — а 4х —а 2х — 1 , 2х ах —2 1201.----------. х — а а а —ах х — а , х4-а х—2а . х4-2а 6(а—1) ,202’ ^Г+ТТГ=^Т+^+2-_А-± 1203. х д/34-ах4-л/^=0- 1204. -\Jx + a=a—^/x. 1205. х + ^/х2 — х = а. 1206. -у/х — 2а — л/х — а = 2. 1207. Vx2 + За*—-фс2 — За2=х -у/2. 1208. 2 -\]а-{-х+-^а—х=-у/a—х-}--у/х (а+х). 1209. 2&±*-+±±±=^. а х 1211. (4а-15) х24-2а |х| 4-4=0. -у/х-\-а -у/х—а -у/х2 — а2 2 — х 1212. log9 х+ log9 —£—= logo logs а. 1213. 144|х| — 2-12|х1 + а = 0. 1214. 3-4"*2 +27 = д+а-4' 2. 1215. 1 - 1g а=у (lg y+lg *+у lg а ) • 1216. lg 2x+lg (2 — x)=lg lg а. 1217. Iogax+log-^x4-log3^?x=27. 1218. loga л/4+^+ 3 logai(4 —x) —loga< (16 —x2)2 = 2. 1219. 2 —log02 (1 +x) = 3 loga VT=U-loga2 (x2- I)2. 1220. xlog“x=a2x. 1221. a21gx-lg(6-x)=l. 1222. al+logsX+a1-logsX=a2+l. 1223. log„ (1 -Vb^)=loga2 (3-VbR). a2 — 4 1224. log^ja loga2 2a_x = 1 1225. log*(2e~*) . logaVx 1 logx 2 10gaV2 l°ga2—12’ Решите системы уравнений с параметром а. 1226. 1228. 1230. (3 + а)х+2у=3, 1227. ( (7-a) x + ay = 5t ах—у=3. I (1 4-а) х-|-Зг/= 5. х4-ау=1, 1229. ( х + у = а, ах-}-у=а2. | х4+у4 = а\ (х — у)(х2 — у2) = За3, (x4-t/)(x24-r/2)=15a3. 1231. /x4-i/4-z=l, 1232. (a*+y = z, I x4-af/4-z = a, I y-}-z = 3axt I x4-z/4-a2 = a2. | y34-z3=9a3x3. 1233. Г x —r/ = 8a2, 1234. ( -у/х-1, (V* + Vf/ = 4a. l‘Vx + Vj/=a. 195
решите неравенства. 1235. а2 + ах<1 —х. 1236. 1237. 2х+3(ах-8)+у<4(х+у)-5. Зах+4 х За—5 За+9 а+3 + 3а-9 ' ,238- ё=47<4‘ ’239. |-^д-5-+х | <3. 1240. (2,5а+1)л:2+(а4-2)х+а<0. 1241. 7*+2ах+Зх>0. 1242. 1. 1243. 2Ун^>х+1. 1244. фс-^х>а. 1245. 7х!!+х<а-х. 1246. 7^+74-7^7>а. 1247. 71— х2<а — х. 1248. 7а2 — х2 + фах — х2> а. 1249. 72ах —х2>а —х. 1250. logo(х— 1)+ log„х>2. 1251. logjjx2 — 2х + а)> — 3. 1252. logx(x —а)>2. 2 1253. 1255. 10gq(35 —Х3)>3 10ga(5 —х) 1254. loga 14-loga X <Q 1—logaX 1 +log-' ~T0~<<lg lg a~ l0gx '°' ,256‘ |о£л/25(а4-2х —x2)<2. 1257. При каких значениях а оба корня уравнения х2 — бах 4-(2 — 2а4-9а2)=0 больше 3? 1258. При каких значениях а оба корня уравнения х2 — ах4-2 = 0 принадлежат отрезку [0; 3]? 1259. При каких значениях а неравенство 4х —а-2х —а + ЗСО имеет хотя бы одно решение? _____ „ х —2а—1 1260. При каких значениях а неравенство —-—-—<0 выполняется при всех х, принадлежащих отрезку [1; 2]? 1261. При каких значениях а неравенство (х — За) (х— а — 3)<0 выполняется при всех х, принадлежащих отрезку [1; 3]? 1262. При каких значениях а уравнение х |x4~2a| 4~ 1 — а = 0 имеет только один корень? 1263. При каких значениях а уравнение х |х —2a| — 1 —а = 0 имеет только один корень? 1264. При каких значениях а уравнение х2 — 4х — 2 |х — а\4-а4-2 = 0 имеет два корня? 1265. При каких значениях а система | х2 4- (5a 4- 2) х 4- 4a2 4- 2a < 0, | x24-a2 = 4 имеет хотя бы одно решение? 1266. При каких значениях а система ( x24-(2-3a)x4-2a2-2a<0, I ах = 1 имеет хотя бы одно решение? 196
1267. При каких значениях а система ( х2 — (За 4-1) х 4-2а2 4-2а < О, 1 х4-а2 = 0 не имеет решений? 1268. При каких значениях а система 1269. При каких значениях а система ( |х2-7х4-6| +х*4-5х+6- 12 |х| =0,\ |х2 — 2 (а—2)х4-а(а — 4)=0 уц имеет ровно два решения? 1270. При каких значениях а система |х2 + 5x4-41 — 9х24-5x4-4- 10х |х| =0, х 2 (а-|-1) х-|-а (а4-2) = 0 имеет только одно решение? не имеет решений? 1271. При каких значениях а система ( |х24-7x4-61 4-*2 —5x4-6—12 |х|=0, | х2 —2 (а 4-2) х4~а (а 4-4) = 0 имеет два решения? 1272. При каких значениях а уравнение lg (х24-2ах) —1g (8х —6а —3)=0 имеет единственный корень?
Часть IL ТРИГОНОМЕТРИЯ Глава III. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ $ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Напомним основные факты тригонометрии. I. Знаки тригонометрических функций по четвертям: Четверть sin х COS X tg* ctgx I + + + + II + — — — III — — + + IV — + — — II. Некоторые значения тригонометрических функций: X 0 л T л T л T я ~2 я 3л ~2 sin x 0 i 2 л/2 2 л/3 2 1 0 -1 cos X 1 V? 2 ^2 2 1 2 0 -1 0 tg X 0 ^3 3 1 л/з — 0 — ctgx — ^3 1 ^3 3 0 — 0 198
III. Четность, периодичность. Функция i/=cos х является четной, .остальные тригонометричес- кие функции нечетные: sin ( —х)= —sin х, cos (—x)=cos х, tg(—X)=— tgx (х=#-^-+лп), ctg (— x) = — ctg X (x=£ ПП)*. Все тригонометрические функции являются периодическими. При этом Т=2 л— основной период функций y=sinx, y=cosx, а Т = л — основной период функций y=tg х, y=ctg х. (Напомним, что основным периодом называется наименьший из множества всех поло- жительных периодов периодической функции.) Таким образом, sin (x-|-2n)=sin (х — 2л) = sin х, cos (x-|-2n)=cos (х—2n) = cos х, tg(x+n)=tg(x—n) = tgx(x=/=-^-+/in) , ctg (x-|-n)=ctg (х —n)=ctgx (х=/= лп). ; IV. Формулы сложения аргументов: । sin (a±P) = sin a cos p±sin P cos a, (IV. 1) cos (a±P) = cos a cos pTsin a sin p, (IV.2) tg(a±p) = “±(a=/=-2—Р^="7'+л^, а±Р#=-т-+шп) , (IV.3) ctg (a±p)=nn> (IV.4) V. Формулы, связывающие тригонометрические функции одного и того же аргумента: cos2 a + sin2 a= 1, (V. 1) *8 (“*!+"")• <v-2> (“*"")• (V.3) 1 +tg2 a=—(a=/=-2-+ nn \ , (V.4) 14-ctg2 (a#=nn). (V.5) VI. Формулы, связывающие тригонометрические функции аргу- ментов, из которых один вдвое больше другого: sin 2a = 2 sin a cos a, (VI.1) * Всюду в дальнейшем, если нет специальных оговорок, подразумевается, что параметры п, ky lt tn, ... принимают любые целые значения. 199
cos 2a = cos2 a — sin2 a, (VI .2) ‘82“-Г=%?г(а*т+Т' (VI.3) с‘е2’=£¥^г (“*?) <vu> 1 4- cos 2a = 2 cos2 a, (VI .5) 1 — cos 2a=2 sin2 a, (VI .6) 1 ±sin 2a=(cos a±sin a)2. (VI.7) VII. Формулы приведения: X Л Л T+“ л — a л+ a 3л a 2 3л , T+“ 2л— a sin x cos a cos a sin a — sin a — cos a — cos a — sin a cos % sin a — sina — cos a — COS XX —sin a sin a cos a tgx ctg a — ctg a — tg a tg a ctg a — Ctg a — tg a ctg x tg a — tg a — ctg a ctg a tg a — tg a — Ctg a Для облегчения запоминания указанных в таблице формул приве- дения можно применять следующее мнемоническое правило: 1) если дуга а откладывается от горизонтального диаметра (л±а, 2л —а), то название функции сохраняется; если дуга а откла- дывается от вертикального диаметра ^-^-±а, ^-±а ) , то название функции меняется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс); 2) перед полученной функцией ставят тот знак, который имела бы приводимая функция в случае, если 0<а<-^-. VIII. Формулы преобразования суммы тригонометрических функ- ций в произведение: sin a + sin 0 = 2 sin cos (VIII.1) sin a —sin 0 = 2 sin ^^-2-cos , (VIII.2) cos acos 0 = 2 cos ——cos ——, (VIII.3) cos a —cos 0 = 2 sin sin , (VIII.4) 200
(a^f+лп, P^f+лй), (VH1.5) Vvo \Л LvO |J \ X* / ctg a ± ctg 0 =XaSn°p (a nn' P (VI11 -6) IX. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: cin гу рпс R ~ _sin (a —fl)-{-sin (a-j-p) (IX 1) О111 (Л Vvu |J ~ 2 cos a cos 0 = _ cos (a — fl) + cos (a fl) 2 (IX.2) sin a sin 0 = cos (a —fl) —cos (a + P) 2 (IX.3) Пример 1. Упростим выражение t („\_ sin3 (а —270°) cos (360° — а) П ’ tg3 (а—90°) cos3 (а—270°) ' Решение. Так как функция y=cosx четная, а функции y==sinxH y=tgx нечетное, то получаем: ; г? , (— sin (270° — a))3 cos (360°—а) . . I (—tg(90° —a))3cos3(270° —а) ’ Применяя затем формулы приведения, получим: с / \ (cos а)э cos а _______________„ „ f («)=;—h———7з =cos а. ,v ’ ( — ctg а)3 ( — sin а)3 Итак, если sina=/=0, cos а#=0, т. е. а#=-2-п, то f(a) = cosa. Пример 2. Найдем sin a, cos а и ctg а, если tg а= — -j- и -2-<а<л. Решение. Применяя формулу (V. 4), получаем: cos2 а = - 1 г—= . l-j-tg^a 25 Таким образом, либо cosa=-|-, либо cosa=—Так как по условию а принадлежит второй четверти, где косинус принимает 4 только отрицательные значения, то cos a= ——. О Так как tga=^^-, то sin a = tg a «cos a, откуда sin a = -|-. Осталось найти ctg a. Имеем ctga = -!—=— 6 & tg a з Итак, sina=-7~, cosa=—4-, ctga=— 4~. О 5 3 201
Пример 3. Вычислим tg-^-, если cos а =—0,6 и 180° <а< Решение. Воспользовавшись формулами VI.5 и VI.6, получим: < а 1 —COS -z- tg2^-=------- 1+cos у Таким образом, задача свелась к нахождению cos у-. Из формулы VI.5 следует cos2 у-= 1+cos а = 1—2Д5уогда так как cos у<0. 180°<а<270°, то 90°<у-<135°, Значит, cos -2-= — л/4-= — & V & о и, следовательно, Итак, tg2y-= = + 5-=(5+V5)2 .Так как .75 20 5 .--,-- fa /(5+W _ 1 +-75 ё 4 V 20 2 ' 45°<-2-<67°30', то 4 т. е. Пример 4. Вычислим sin a, cos a, tg a, ctg a, если a = 112°30'. Решение. Из формулы (VI.5) следует: |ео5«|=Л/^ tgf>0’ Так как 90° < 112°30'< 180°, то cos a<0. По условию 2a = 225°, значит, cos 112°30'= --\j 1±^2-£= Аналогично, воспользовавшись формулой (VI.6) и учитывая, что по условию a — дуга второй четверти, получаем: sin 112° 30' к^225^= V2+^. t tg 112° 30' = -'V2+V2-= -(1 +д/2). -72—72 ctg 112° 30'=--— = 1 -^2. В -(1+1/2) Пример 5. Вычислим 16 sin -^-sin если cos а=-т~. r 2 2 4 Решение. По формуле (IX.3), а затем (VI.5) получаем: 202
= 8 (cos a —cos 2 a)=8 (cos a —2 cos2 a-f-1) = =8(t-2(t)i+1)=5' Пример 6. Докажем, что если tga = ^, sinp = -^, 0<a<f-H 0<p<-=-, to a + 2p = f. Решение. Вычислим tg (a+.20). Имеем: Теперь нужно найти значение tg 2р. Для этого воспользуемся тем, что sin р=-^=г, 0<р<-£-. тДо 2 Имеем: 2 te 28= 2 t^-P—=_-_=— g р i-tg2₽ _i_ 4 • 9 ~7—f”"Z" Значит, tg (a + 2P) =--------j—-= 1. i 1 о По условию 0<a<y- и 0<p<y-, значит, 0<2р<л. Но tg2p=-|->0, значит, 0<2р<-£-, а потому 0<а-|-2р<л. Но в интервале (0; л) функция tg х принимает значение 1 только в точке -7-. Значит, а4-2р=—. 4 4 Пример 7. Проверим равенство sin 47° + sin 61° —sin 11° —sin 25°=cos 7°. Решение. Используем для преобразования левой части ра- венства формулы из группы VIII. Имеем: (sin 47° +sin 61 °)-(sin 1 l°4-sin 25°)=2 sin 54° cos 7° — — 2 sin 18° cos 7° = 2 cos 7° (sin 54° —sin 18°)= =2 cos 7° «2 sin 18° cos 36°. Если полученное выражение умножить и разделить на cos 18°, то можно воспользоваться тем, что 2 sin 18° cos 18°=sin 36°. 203
Тогда получим: o 7O sin 36° cos 36° Л vo sin 72° 7O cos 18° 7O 2 cos 7°-——=cos 7°-------— — cos 7°-—=cos 7°. cos 18° cos 18° cos 18° Значит, исходное равенство верно. Замечание. Во многих случаях, когда имеется произведение вида sin a cos 2a cos 4a«...«cos 2"а или вида cos a cos 2a cos 4a«... «cos 2ла, оказывается полезным прием, который мы применили в примере 5. Он заключается в том, что дан- ное выражение умножают и делят на cos а или sina, с тем чтобы, использовав форму- лу 2 sin a cos a = sin 2a, затем формулу 2 sin 2a cos 2a = sin 4a и т. д., упростить за- данное выражение. Проиллюстрируем сказанное на следующем примере. it q т* л 2 л 4 л 8л 16л 32 л Пример 8. Вычислим cos — cos — cos — cos — coscos. r r 65 65 65 65 65 65 Решение. Обозначим заданное произведение через А. Умно- жим и разделим А на 2 sin Так как 2 sin тг cos ^-=sin , то г 65 65 65 65 . 2л 2л 4л 8л 16л 32л Sin 7^- cos — cos — cos — COScos -77- д 65 65 65 65 65 65 . . о - Л 2s.n- Далее имеем: 2л 2л 1 • 4л 4л Л 4л 1 • 8л Sln бГ C0S 65- = -Sln бГ ; Sln 65 C0S 6? = TSln 65* и т. д. В итоге получим: 64л / л \ .л л = sm"65" =Sln\n~65/ Sin65 1 26 sin 64 sin 64 sin 64 65 65 65 Пример 9. Докажем тождество cos* 2 2a 1 • л ------—= —sin 4a. ctga —tga 4 Доказательство. Преобразуем левую часть тождества: cos2 2a ______ cos2 2a ctg a — tg a cos a sin a sin a cos a cos2 2a cos2 a —sin2 a sin a cos a cos2 2a sin a cos a cos2 a— sin2 a По формулам sin (VI. 1) и (VI.2) a cos a=4-sin 2a, cos2 a —sin2 a = cos 2a, cos2 2a sin поэтому ---5---.^9— J cosa-sina acoSa cos22a^in2a = 2 sin 2a CQS 2a==J_sin 4a. 2 cos 2a 2 4 204
Итак, тождество доказано. При этом cosa=#0 й sina#=0, т. е. и а=/=лй, а значит, a=#-j-A. Кроме того, cos2 a — sin2a=/=0, т. e. cos2a=/=0, откуда 2a y= или a^f+fk. Таким образом, приходим к выводу, что тождество выполняется nk при а#=^- Пример 10. Докажем тождество ХЛГУ ” =tg 3a tg а. 1— tg2 2а tg2 а & & Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель выражения, содержащегося в левой части тождества: tg22a — tg2a __ (tg2a — tg a) (tg 2a-|-tg a) __ 1— tg2 2a tg2 a (1— tg 2a tga) (1 + tg 2a tga) tg2a4~tga tg2a — tga 1 — tg 2a tg a l+tg2atga‘ Далее, использовав формулу (IV.3) (с. 199), получаем: tg (2a4-a)«tg (2a — a)=tg 3a*tg a. Доказанное тождество выполняется при а=/=-2--}-л/г, 2a=#-2"+ Ц-ли, 3a=/=-£-+nm, т. е. при и а=/:т’+^ (множество Р всех чисел вида у + лй содержится в множестве М всех чисел - л । лт\ вида т+тл Пример 11. Докажем тождество 4 sin a sin (60° — a) sin (60° + a) = sin 3a. Решение. Здесь целесообразно применить для левой части тождества формулы из группы (IX) (с. 201). Имеем: 4 sin a sin (60° — a) sin (60° + a) = __sjn (%cos (60° ~~ a ~ 60° ~ a)—c°s (60° — a -f- 60° 4~ a)_ = 2 sin a (cos ( — 2a) —cos 120°)=2 sin a(cos 2a+y-) = = 2 Sin a COS 2a + sin a = 2 sin(a-2a)+sin(a+2a)+ + sin a= — sin a-j-sin 3a + sin a = sin 3a. Таким образом, тождество выполняется при всех действительных значениях а. 205
Пример 12. Докажем, что если а + р + у = -2-, то tg a tg p + tg р tg y + tg у tg а = 1. (1) Доказательство. Преобразуем левую часть равенства, учитывая, что по условию у=-2—(а + р): tg а tg P+tg р tgy + tgy tga = tg a tg P+tg у (tg p+tg a) = = tg a tg P + tg (-2—(a + P)} (tg a + tg P)=tg a tg P + ctg (a + + P) (tga + tg p)=tgatg p+ 1 (tg a + tg p)= “Г Р/ = tg a tg P + 1~y4“tggpP (tg a + tg P) = tg a tg P+1 -tg a tg P= 1. Таким образом, тождество (1) доказано (а, р, y=-2-+nn). Зл Пример 13. Докажем, что если —<а<л, то V2ctga+^k = -1 -ctg а. (2) Доказательство. Имеем: л/2 ctg а+-Д-=л/2 ctg а +1 + ctg2 a=V(l +ctg а)2 = 11 +ctg а|. у O1I1 ОС Зл Так как в интервале —<а<л выполняется неравенство ctga< — 1, то в этом интервале l+ctga<0 и, следовательно, 11 +ctg a| = — 1 —ctg a. Итак, если ^2.<а<л, то тождество (2) доказано. 4 Пример 14. Докажем, что если sin a + sin р =2 sin (a + P), где a + p + л/г, то tgftgf=f. (3) Доказательство. Преобразуя левую и правую части равенства sin a + sin р = 2 sin (a + P) по формулам групп (VIII) и IV, получаем: 2sin2t±PCos^=4sin^t±£cos5t±₽. (4) Так как a + p#=nfc, т. е. то cos^iJL^o и sin2i£.=/=o и Тогда из равенства (4) следует: cos ^=2 cos (5) 206
Рассмотрим выражение tg~-tg-|-. Имеем: tg ftgf= . а . р Sln У Sln ~2~ а Р cos — cos — а — Р « + Р CQS ~~2 C°S ~2~ а—Р а + р cos—----hcos —— (мы применили формулы (IX.3) и (IX.2). Воспользовавшись ра- венством (5), получим: а— р а + р о а + Р а + р cos —----cos —2 cos —--------cos -у— j а — р а + р а + р а + р 3 cos — 1- cos —— 2 cos — h cos —— £ £ £ £ Итак, равенство (3) доказано. Упражнения Упростите выражения. cos (у—а ) sin (-£-+« ) tg(«—а) 1273. —“—77—Т--------------• ctg (т+“ )sin (л—а) sin(y-i-a)tg(y+₽) sin(y-p) ctg(-J+a) *274, cos(jt_a)ctg(^_p) cos(2n-p) tg(n-a) 1275. 1277. 1279. a a ctgy+tg- , a , a ‘ ctgy-tg- 1276. ----ctg 2a. sin 4a tg2 (45° + a)- 1 ( n a \ 1 —sin a tgi{45° + a)+l • *278, tg VT+T ) ~~cos~a~ ' 2 cos2 a — 1 2tg (t-“)sin2 (т+а) 1280. cos2 (a + p) + cos2 (a —P) —cos 2a cos 2p. 1281 s*n a + s*n За + sin 5a sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a cos a+cos 3a + cos 5a ’ ’ cos a + cos 3a + cos 5a + cos 7a ’ +2 —sin a —cos а t t n , n 1283. -—------------. 1284. cos 4a +4 cos 2a +3. sin a—cos a sin 4a cos 2a sin2 2a —4 sin2 a 1285. —----——-------—. 1286. -7-5-x—- . ------т. l+cos4a l+cos2a snr2a + 4sin a—4 . о / л , a \ . 9 / л a\ sin (60° +a) 1287. sm2 ( T+T J —sin21 - ) . 1288. -----------T ’----------y. V8 2 7 V8 2 7 4 sin (15°+y) sin (75° —J) 207
Вычислите без помощи таблиц. sin cos 20° + cos 10° sin 20° 19ftQ __________________!_________________ cos 19° cos 11° — sin 19° sin 11° * 1290. sin 9° cos 39°—cos 9° sin 39° Зл 5л . . Зл . 5л COSTCOS28 + slnTS,n28- 1291. cos 15°. 1292. tg 15°. 1293. sin 285°. 1294. cos 165°. 1295. cos 292°30'. 1296. 2 sin 40°4-2 cos 130°— 3 sin 160°—3 cos (-110°). 1297. cos 10° cos 30° cos 50° cos 70°. 1298. 16 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90°. 1299. tg 9°— tg 27° — tg 63° 4-tg 81°. 1300. Вычислите sin x, cos x, tg x, если ctgx= — 2 и -у<х<л. 1301. Вычислите sin x, tg x, ctg x, если cos x——— и л<х<—. о 2 1302. Вычислите cos х, tgx, ctg x, если sinx=—— и —<х<2л. io £ i 5 л 1303. 1вычислите sin 2х, cos 2х, tg 2х, ctg 2х, если cos х=-рг- и 0<х<—. у 10 Л „ 5 sin х 4- 7 cos х t 4 1304. Вычислите -z------—:—, если tgx——. 6cosx — 3 sin х 15 1305. Вычислите —— и — л<а<2л. 1 о Z 11 ЛЯ 1306. Вычислите cos(a-hP), если sina———, sinp —, 0<а<—, 0<Р<—. -у 5 1 1 1307. Вычислите, a) tg2 a-|-ctg2 а; б) tg3a-f-ctg3a; в) tga —ctg а, если tga + 4-ctg а = 3. 1308. Вычислите sin-^-, cos~, если а) cos а=0,8-и 0<а<—; б) tga = Q = 3у и 180°<а<270°. 1309. Вычислите sin 4-, если sin a=^L и 450°<а<540°. 4 625 а г- 1310. Вычислите sin a, cos a, tg a, ctg а, если tg —=у2. а -\/7 л 1311. Вычислите tg —, если sin a-|-cos а = и 0<а< —. 2 2 о 1317 Проверьте равенства. .л л 1 1312. sin^cos^^. 1313. tg 55° —tg 35°=2 tg 20°. . „.. л . 3 л 1 1314. cos —4-cos —. 5 5 2 1—4 sin 10° sin 70° t 1315. x—: jttx------= 1. 2 sin 10° 1316. 8 cos 10° cos 20° cos 40° — ctg 10°. л 2л 4л 1 cos -=- cos cos —= —x- . Ill о л Зл 1 COS -77- cos — =-— . 5 5 4 л Зл 7л 9л л 2л 4л 8л cos — cos — cos — cos so - -cos cos угг cos 15 cos . 1318. 1319 208
1320. tgy tgy tgy=V3. 2л , 4л . 6л 1 1321. COS-у + COS-у + COS-у = — —. 1322. tg 20° + tg 40° + tg 80° — tg 60° =8 sin 40°. 1323. tg 30° + tg 40° + tg 50° + tg 60° = C°S 1324. sin 70° + 8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos2 10°. 1325. cos 24°+cos 48° — cos 84° — cos 12° =y. 1326. tg6 20° —33 tg4 20° + 27 tg2 20° = 3. 1327. sin2 у sin2 у sin2 у 1328. tg 55° tg 65° tg 75° = tg 85°. 1329. tg2 36° tg2 72° = 5. Докажите тождества. 0. 1331. sin (a-270°) cos (a+90°) tg (3a- 180°) = cos (180° - a) sin (180° —a) ctg (90‘ -3a). 1332. sir>(P —T) sin(T-a) sin(a-p)^Q cos p cos у ' cos у cos a ' cos a cos p sin2 3a cos2 3a Л 1333. —t-ч-----5—=8 cos 2a. sin a cos a 1334. “^cos2 a cos2 p—j-sin 2a sin 2p + sin2 a sin2 p = | cos (a + p) |. 1335. 3 (sin4 a + cos4 a) —2 (sin6 a + cos6 a) = 1. ----+^=tg3 a + ctg3 a. sin a sin a cos a cos a cos3 a — cos 3a sin3 a + sin 3a _ cos a sin a ’ cos 2a _ 1 — tg a 1+sin 2a 1+tga’ 1 — sin 8a = 2 cos2 (45° + 4a). 1336. 1337. 1338. 1339. 1340. 1341. 1343. cos 2 sin 2 ----------------t g a. a , . a cos a cosy+slny (cos a + sin p)2 + (sin a —cos p)2 = 4 cos2 2(^+ctg2a)=ctgy-tg+ 1 — 2 cos2 a , , —:-----= tg a —ctg a. sin a cos a 1344. sin2 a + cos 1345. 4 sin — 3 + 4 sin2 a. 209
1346. 2 cos a cos 0 cos (a + 0) = cos* 1 2 a + cos2 0 — sin2 (a + 0)- 1347. cos a-j-cos 04-cos у 4-cos (a 4-0 + ?)=4 cos cos a - cos -y—. 1348 sin a +sin 0 sin (a4-0) sin (a —0) ’tg^ + ctg^ 2 cos p 1349. cos a —i- cos 3a —cos 5a =8 sin2 a cos2 a. 1350 sin a —sin 3a 4-sin 5a _ 2 cos 2a cos a — 2 cos 2a 4-cos 3a , a tgT 1351. cos a 4-cos (120° —a)4-cos (120o-ba)=0. 1352. tg(35° + a)tg(25°-a) = ^;;^ + g+;. ~\/з 1 cos 2a—— sin 2a . . -------~3—-'«(»+!)• 1 —— cos 2a—sin 2a 1354. 14-ctgy4-ctg^45°— у )=ctgy ctg^45° — у 1355. tg 3a = tg a tg (60°4-a) tg (60°-a). 1356. cos a cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a = 1-™ . 32 sin a 1357 . 9 cos 15a4-3 cos 7a4-3 cos 19a4-9 cos lla = 24 cos3 2a cos 13a. 1358 . 3 -4 cos 2a4-cos 4a =8 sin4 a. 1359. ~\/ - --H----!--sin a=л/2, если 0<а<л. V 1 4-cos a 1 — cos a 1360. л/-Д-+-4г- -=----. 2 , если —^-<a<0. V sin2 a cos2 a sin 2a 2 1361. -^sin2 a (1 4-ctg a)4-cos2 a (1 4-tg a) = -\]2 cos ^a —если —<aу, a#=0. 1362. -yctg a4~cos a4-Vctg a~-cos a = 2 cos yvctg а, если 0<a^y. /14-sin a /1—sina 1363. -----л/тт-•—= V 1 — sin a V 1 4~ sin a 2 tg а, если —^-4-2л£<а<у 4-2л&, — 2 tg а, если у4-2л/г<а<у4~2лЛ. 1364. -\/tg2 a 4-ctg 2a4-2 = [2 , л , , ———, если ля <a<—-4-ля, sin 2a 2 2 л । . —:—если —x-+nk<a<nk. sin 2a 2 1365. -^14-cos 2a4-л/I —cos 2a 4-(sin a4-cos a)= 210
“2-\/2 (sin а4-cos а), если 2nk, 2\5 sin а, если 4 , ‘л/?<а<л 4-2 л/г, = 3 О, если л4~2л/г =Са^ — л4~2л/г, 2-у/2 cos а, есл и ^4~ 2 л/г < а < 2л + 2л/г. 1366. -\/1 4~2 sin а cos а = V2cos^a—если —^-4-2л/г<а<^4-2л£, Г~ ( Л \ 3 Л . п. 1 I t — \2 cos ( а—— к если —+2лл<а<-^-+2ля. 1367. sin а4-sin 04-sin у —sin (а4-04"Т)=4 sin аsin sin . 1368. tg 2а tg (30° - а) 4- tg 2а tg (60° - а) 4- tg (60° - a) tg (30° - а) = 1. 1369. cos а4-cos 04-cos у= 14-4 sinsinsinесли а4-04"У = л. 13 7O.sina4-sin04-siny = 4cos-^-cos-|-cos^-,e^Ha4-04-Y — Jl- 1371. tga4-tg04-tg? = tgatg0tgT, если а4-04-Т = л. 1372. sin a cos 0 cos у4-cos a sin 0 cos у 4-cos a cos 0 sin у = sin a sin 0 sin у, если a4- 4-04-у = л. 1373. sin 2na4-sin 2n04-sin 2ny=(—l)n+1-4 sin na sin n0 sin ny, если а4-04-у = л. Докажите утверждения. 1374. Если tg a4-tg 04-tg y = tg a tg 0 tg у, то а4-04-у=лп. 1375. Если tg 2а —ctg 20 —ctg 2y = tg 2а ctg 20 ctg 2у, то a4-04-T = -^-«* Л 1376. Если tg (а 4-0) sin у = cos у, то а4~ 04-У=-у4-лп. 1377. Если 3 sin а = sin (а4-20), то tg(a4-₽)=2tg 0. 1378. Если sin2 0 = sin a cos а, то cos 20 = 2 cos2 )• 1379. Если 2 sin а —3 sin (а4-0) = 2 sin 0, то sin а :sin ~р-^=3:2. 1380. Если 1381. Если cos2 a4-cos2 0=m, то cos (а 4-0) cos (a —0)=m — 1. sin (2a 4-0) m и |m| > |n|, to tg (a —0) m4-n tg a m—n ‘ sin 0 n 1382. Если ( cos a4-cos 0=m, 2 . 2 , л J . ' . n И m24-/r=/=o, TO 1 sin a 4-sin 0 = n . , . ox 2mn sin (a 4- 0)=-j-—2. 4 m24-rr 1383. Если tn ctg a = a, . , 2 . 2x « . л f to b (a* + nr)=2amn. n sin 2a =6, 1384. Если sin a 4-cos a = m, sh? a4-cos3 а=л, to m3 —3m4-2n=0. 211
1385. Если Г tg a 4-ctg a = m, < 1 I--------cos a=n, to cos a m3 = 1386. Если f a cos3 a4-3a cos a sin2 a = m, [ a sin3 a 4-3a cos2 a sin a = n, to ^/(m 4- a)2 4-— a)2 = 2 ^/a?. § 2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Напомним определения обратных тригонометрических функций. 1) y==arcsin х — это функция, определенная на отрезке [—1; 1], обратная функции x = sin у, Таким образом, f -f ’ (у=a r esin х) о 1 V sin у = х. Для любого х из отрезка [—1; 1] имеем: -^-<arcsin (1) sin (arcsin х) = х. (2) 2) y = arccos х — это функция, определенная на отрезке [—1; 1], обратная функции x = cos у, у g [0; л], Таким образом, (О^у^л, (y = arccos х) о I cos у=х. Для любого х из отрезка [—1; 1] имеем: О^агссоэх^л, (3) cos (arccos х) = х. (4) 3) y=arctgx— это функция, определенная на (--оо; оо), об- ратная функции x = tgy, у £ (—у-). Таким образом, (у = агсtgx) -о i — у-<У<у-, Itg у = х. Для любого х имеем: -f<arctgx<f, (5) tg (arctg х)=х. (6) 4) y = arcctgx — это функция, определенная на (—оо; оо), об- ратная функции x = ctg у, у С (0; л). Таким образом, 212
(y=arcctgx) о |0<у<л, (ctgy = X. Для любого х имеем: 0< arcctg х< л, (7) ctg (arcctg х) = х. (8) Функции у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х называются обратными тригонометрическими функциями или арк- функциями. Отметим некоторые важные тождества: arcsin ( —х)= — arcsin х (— 1 Сх^С 1), arccos (— х) = л — arccos х (— 1 х 1), arcsin х +arccos х=~-(— 1 г^х^ 1), arctg (—х) = — arctg х, arcctg ( —х) = л — arcctg х, , arctg х+arccos х=-у-. Рассмотрим примеры. Пример 1. Упростим выражение cos (arcsin х), где — 1^х^1. Решение. Положим у= arcsin х. Тогда —^-^у^у-и sin у = =х. Чтобы найти cosy, воспользуемся соотношением cos2 у = = 1— sin2у. Получаем cos2y=l—х2. Но —На этом отрезке косинус принимает только положительные значения. Таким образом, cos у=^/\ — х2, т. е. cos (arcsin х)=-\/1—х2, где - 1<х<1. Пример 2. Упростим выражение cos (2 arcsin х). Решение, cos (2 arcsin x)=cos2 (arcsin x) —sin2 (arcsin x) = = (1 —x2) —x2= 1 —2x2. Пример 3. Упростим выражение sin (arctg x). Решение. Положим у = arctg x. Тогда —£-<у<у-и tg y = x. Найдем сначала cos у, для чего воспользуемся формулой 1 +tg2 у— ——Т-. откуда cos2y= —* 2 . Так как —5-<у<-^, и на этом cos2 у 2 s 14-tg2y 2 2 интервале косинус принимает только положительные значения, то cosy=— 1 л/1 + tg2 у Теперь найдем sin у. Имеем sin y=tg у cos у= . Это Vi+tg^/ значит, что sin (arctg х)=-^—. 213
Пример 4. Вычислим sin (у- arcctg (—|"))- Решение. Пусть а = arcctg( —Тогда 0<а<л и ctg а = = —т~. Более того, так как — ~<0, то -£-<<%< л. Для вычисления sin у- воспользуемся формулой 1—cos 2а = 2 sin2 а. Из нее сле- дует, что sin2 y-=1~^os ° . Таким образом, необходимо сначала найти cos а. Так как l-]-tg2a=—I— и ясно, что tga =—jr, то 1 & cos2 a & 3 2 9 c°s2a=-. Так как в интервале у-<а<л cosa<0, то cosa= — 1+± = —Итак, sin2-^-=——^-=4-, и так как , а в 5 2 2 5 4 2 2 этом интервале синус принимает только положительные значения, то sin -т-=_\/4-=^^ • Таким образом, sin f-j-arcctg (— Пример 5. Вычислим arccos(cos(—у-л)). Решение. Положим у == arccos (cos ( — у-л^. Тогда О^у^л и cosy=cos(—^-л) . Но cos(—^д)==со8(-4я4-|л) = = cos-7-n. Таким образом, cos y = cos 4-л, и, так как 0<4-л<л, 5 о 5 3 / / 17 \\ 3 получаем У=—л. Итак, arccos (cost—— л; Н=—л. ' а / ( 17 17 Замечание. Ясно, что равенство arccos (cos I —5 л ) ) = —5“л ложно- Действительно, по определению значения косинуса принадлежат отрезку [0; л]. Зна- 17 чение же —^-л этому отрезку не принадлежит, о Примерб. Проверим равенство arccos -|-4- arccos ( —= arccos ( —‘Ц’)- Решение. Положим a = arccos4~, p = arccos(—|-), у = = arccos ( — 77-). Тогда cos а =4-, т. е. а=4~; cos р =—4, \ 14 / 2 о / причем у-<Р<л; cosy = —, причем у-<у<л. Докажем, что а + 0=у. Для этого сначала докажем, что вы- 214
полняется равенство Г (а + *\-(у), где Т — некоторая тригоно- метрическая функция. Заметим, что из равенства Г(а + Р)=Т (у) может не следовать равенство а + р = у. Действительно, например, равенство sin 30° = sin 150° истинно, а равенство 30° = 150°— ложно. Равенство а+Р = у будет выполняться, если Т (а + Р)=Г (у), и, кроме этого, а+ Р и у принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции Т. В рассматриваемом примере а + р принадлежит либо второй, ли- бо третьей четверти, у принадлежит второй четверти. Таким обра- зом, и а + Р, и у принадлежат отрезку £-|-; у-J Поэтому в качестве функции Т целесообразно взять такую тригонометрическую функ- цию, которая монотонна на указанном отрезке. Такой функцией является, например, синус. Итак, вычислим sin(a + P), а затем sin у: sin (a + P) = sin a cos P + sin p cos a = sin +cos f • Vl-coS“|i=-f+^3-^: sln v =Vl — cos2 [J-)’ =7^ Итак, sin (a + p)=sin у. И, кроме того, a + p и у принадлежат од- ному и тому же промежутку монотонности синуса, поэтому а + р=у. Тем самым равенство (9) доказано. Пример 7. Докажем, что если — 1 <х< 1, то (Ю) arcsin x=arctg x . Доказательство. Вычислим значения тангенса от обеих частей равенства: tg (arcsin X)==sin(arcsinx) 04 ' cos (arcsm x) _%2 tg (arctg X -yi—л 7 yl—x2 т. е. тангенсы равны. Далее, так как — 1 <х<1, то —arcsin х<-^-. Но по опре- делению и —arctg У^С-g-, т. е. и arcsin х, и arctg х * "V1 — X2 * -д/1 — X2 принадлежат одному и тому же промежутку монотонности тангенса. Тем самым тождество (10) доказано. 21&
Упражнения Вычислите. 1387. 2 arcsin 1.1 /14 arccos —arccos (— 1). (-\/3 1 5 arctg -- arcsin sin ( 3 arctg + 2 arccos q • V3, 3 arcsin arccos 1391. arccos |. 1392. arctg (tg 0,3л). 1393. . / .7 arcsin ( — sin — л arccos 1395. an I. 1396. arcsin I sin / 46л arccos (cos 1398. sin (-y arcsin ( — 1399. tg arcsin 1400. ctg arccos — arcsin 1403. sin o.l. 3 2 arctg —+ arccos — 4 о (л/5 arcsin —arccos <5 Упростите выражения. 1404. cos (arccos x4~ arccos y). 1405. sin (arccos x-{- arcsin y). 1406. tg (arctg x 4-arctg y). 1407. tg (arcsin x4~ arcsin y). 1408. sin (2arcsin x). 1409. tg (2arctg x). 1410. cos (2 arctg x). 1411. sin (2 arcctg x). 1412. cos (2 arcctg x). 1413. cos arccos x ) . 1414. tg (y arctg x ) . Проверьте равенства. 7 1 1415. a) arccos — = 2 arcsin — ; 17 о . 1 6) arccos —=2 arcsin — ; lo D 4 7 О 1 в) arccos-- = 2 arcsin — . 1416. a) arctg у+arctg 6) arcctg у + arcctg у=y . 1 1 5л 4 2 1 1417. arcctg —-}-2 arcctg. 1418. arcsin ——arccos—-= arctg —. / о 4 о -\/5 *• 7 1 7 3 1419. arcsin-4--77 arccos—=arccos — . 2d 2 2d d 216
1420. arctg ~ -f-arcsin y=arctg (3-J-2-д/2)- 1421. arctg у 4-arctg у + arctg .. 4 , 5 , 16 л 1422. arcsin a resin — 4-arcsin —= —. о 13 65 2 Докажите тождества: 1423. 1424. arctg x=arcsin ——. V1+^ [arccos Vl — если O^x^l, -r arccos -yjX—x2, если — l^x^O. 1425. 1426. 1427. arccos x= arctg x= arctg arccos x— arccos —-J_ - , если x>0, Vf+P 1 -arccos - t. если x<0. VT+? "\/l — X2 . -------, если 0<x< 1 x------J Vi —x2 ’ л4- arctg —----, если — !< 1428. [arcctg — , если x>0, * arcetg------л, если x<0. г- ^\—х2 arcctg-* , если 0<х< Л 1429. arcsin х = X V1 — х2 aroctg- л, если — 1 <х<0. 1430. arcctg х= L х г* • 1 л arcsin — --, если х^О, л/1+х5 1 л —arcsin — - , если х< :0. 1431. arcctg х= 1432. 2 arccos"Д L arctg у, если х>0, л + arctg у, если х<0. /1+х /—— = arccos х. 1433. у arccos (2x2— 1) = arccos x, если x^O. $ 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ При доказательстве тригонометрических неравенств используют- ся те же приемы, что и при доказательстве алгебраических нера- венств (см. с. 27). Отметим лишь, что при доказательстве триго- 217
неметрических неравенств синтетическим методом в качестве опор- ных часто используются следующие неравенства: I sin х| 1, |cos х| < 1, sin x<x<tg х, где 0<х<-р. Иногда в качестве опорных используют неравенства, вытекающие из монотонности тригонометрических функций. Так, в интервале ^0; -у-) функции y = sinx и y = tgx возрастают, а функции у= — COSX и y=ctgx убывают. Поэтому если 0<xt <Х2<р, то sin Xi <sin Хг, cos xi>cos Хг, tgxi<tgX2, ctg Xi >ctg Х2. Анало- гичные неравенства могут быть получены для других промежутков монотонности тригонометрических функций. Рассмотрим примеры. Пример 1. Докажем неравенство a sin2 а + Л g 2 -yfab, если известно, что а>0, Ь>0, а#=лп. Доказательство. Воспользуемся неравенством, связы- вающим среднее арифметическое и среднее геометрическое двух по- ложительных чисел О1 и аг’. а'+аа ^Vaig2. Положим в этом неравенстве asin2a = ai, —=а». Получим: откуда a sin2 а-|—^2^[ab, что и требовалось доказать. Пример 2. Докажем, что если А, В, С — углы треугольника, то cos А + cos В 4*cos С . (1) Доказательство. Выполним некоторые преобразования левой части неравенства (1). Имеем: cos А + cos В + cos С = 2 cos cos л~~ + cos С. Так как по условию Л + В4-С==180°, то =90°—и, следо- вательно, cos А+в = cos ^90° —£-) = sin -Г п А — В^, А+В А—В^ С Так как O^cos——<1, то cos - р- cos ——<sin—. 218
Таким образом, 2 cos cos Ц-cos С<2 sin у—f-cos С. Г Рассмотрим выражение 2 sin-Ц-cos С. Имеем: 2 sin ~|- cos С=2 sin -£—)-1 — 2 sin2 -£-. * 2 2 Q Положим x = sin—. Тогда 2 sin -£-4-1—2 sin2-£•= — 2х24-2х-|-1. Л X Если мы теперь докажем, что —2х24-2х-|-то тем самым мы докажем и неравенство (1). Составим разность ( — 2х2 4-2х-|-1) — —|- и выясним ее знак. Получаем (—2х2-|-2х4-1)—1~= — 2х2Ц-2х—1-= —2^х2 —х4--^-^ = = _2 (х2-2.2-х4-^)= - 2 (х--02<О. Таким образом, — 2х2-|-2х4-1 С-|-> т. е. неравенство (1) дока- зано. Пример 3. Докажем неравенство sin a sin 2а sin За <-|-> (2) Доказательство. Выполним некоторые преобразования левой части неравенства (2). Имеем: / •„ ~ о~\ cos a—cos За •_ п 2 sin За cos а —2 sin За cos За (sin а sin 2а) sin За=-----sin За=---------------------= sin 4а + sin 2а — sin 6а “ 4 Так как sin 4а 1, sin 2а 1, —sin 6а 1, то sin 4a4-;sin 2а — — sin 6а ^3, причем знак равенства имеет место только для тех значений а, которые удовлетворяют системе уравнений {sin 4a = 1, sin 2a = 1, sin 6a= — 1. Однако эта система не имеет решений. В самом деле, если sin 2a = 1, то cos 2a=0, и поэтому sin 4a = 2 sin 2a cos 2a=0. Таким образом, sin 4a 4-sin 2a — sin 6a <3, а значит, sm 4a+sm^2a—sm 6a откуда и следует неравенство (2). 219
Пример 4. Докажем, что sin ai +sin «2 + -. + sin ап cos ai + cos a2 + ...-|-cos art если 0<ai<a2<...<art<y-. Доказательство. Так как в интервале (О; функция y=sinx возрастает, а функция y = cosx убывает, то 0<sin aiCsin a2<...<sin art, cos ai >cos 0C2>... >cos an > 0. Значит, n sin ой <sin oc 1 4- sin «2 +... + sin an<n sin art, n cos ai>cos ai + cos a2 + ... + cos an>n cos an, откуда n sin ai sin ai 4~sin 0C24~ 4~sin an sin an T tg a < n cos ai cos ai-f-cos cx2-|-...4-cos art n cos an ’ * * 5 < sin aij-sm a2+-.+ sin a. a что и требовалось доказать. cos ai+cos a2 + -.. + cos ая ° Пример 5. Докажем, что tg a tg р + tg p tgу + tg a tg у < 1, если a>0, P>0, y>0 и а + Р + у<у-. Доказательство. Положим —a — P=?i. Тогда y<Yi> так как по условию Y<“^—а —р. Рассмотрим выражение tg a tg P + tg p tg Yi +tg a tg у]. Можно доказать (см. с. 206), что tg a tg P + tg p tg Yi +tg a tg Yi = 1- Но у и Yi — аргументы из первой четверти, причем y<Yi- Значит, tg Y<tg Yi, а потому tg a tg p + tg р tg y + tg a tg Y<tg a tg P + tg P tg Yi + +tg atgyi, t. e. tg a tg P + tg p tg a + tg a tg у< 1, что и требовалось доказать. Пример 6. Докажем, что если А, В, С — углы треугольника, то (sin А + sin В + sin С)2 9 sin A sin В sin С. Доказательство. Воспользуемся неравенством, связы- вающим среднее арифметическое и среднее геометрическое трех а 4- b 4- с / положительных чисел: - - -^уавс. Положив в этом неравенстве sin4 = a, sin В = 6, sin С = с, по- лучим: sin^ + sin^ + sinC^ ^sin А sin в sin с о 220
и далее (sin А + sin В + sin С)2^9 ^(sin A sin В sin С)2, но V(sin A sin В sin С)2> V(s'n A sin ® sin C)J = sin A sin В sin С. Таким образом, (sin A 4-sin B + sin С)2 >9 sin A sin В sin С, что и требовалось доказать. Пример 7. Докажем неравенство а3 а—— <sina, (3) где 0<а<у-. Доказательство. Выберем в качестве опорного неравен- ство Последовательно преобразуя его, получим: a cos-^-<2 sina cos -у-cos -^-<2 sin -у-cos о a • a cos — <sina, 1 — sin2<sin a. (4) Воспользуемся еще одним опорным неравенством sin Т<Т* Так как по условию 0<а<--, то sin-y>0 и -у>0, поэтому неравенство sin <-2- можно преобразовать и получить в резуль- тате следующее неравенство: sin2 у<—, и далее 1 — sin — > 1 ——, откуда a(1 — sin2-£-)>а—или a—Y<a(1-sin2-2-) . (5) Сопоставляя неравенства (4) и (5), получим: „3 / л „ \ ОС f 1 • 9 ОС \ - • a —— <С a ( 1 — sin — ) < sin a, 4 \ 2 / a3 откуда a ——<sin a, что и требовалось доказать. Пример 8. Докажем неравенство tga — a<tgp — р, (6) если Доказательство. 1-й способ. Воспользуемся неравенством 221
tg x>x, где 0<х<-^-. Положим х = 0—а. Тогда tg (0 —а)>0 —а. Если мы докажем, что tg 0 — tga>tg(0 — а), (7) то тем самым будет доказано неравенство tg 0—tga>0 — а, а, следовательно, и неравенство (6). Итак, докажем неравенство (7). Для этого составим разность (tg 0 — tg a) — tg (0 — а) и преобразуем ее: tg 0 - tg a - tg (0 -a) = tg 0 - tg а = = , Xatg5a-(tgP~tg a). 1+tgatgP v 6 H & ' Полученное выражение положительно, так как tg a > 0, tg 0 > О и tg0>tga. Таким образом, доказано неравенство (7), а зна- чит, и неравенство (6). . . 2-й способ. Рассмотрим функцию y=tg х — х на интервале Г 0; к Имеем £/'=_* —1>о, значит, функция возрастает на (б;—V Но тогда для О<а<0<у- будем иметь tga —a<tg0 —0, что и требовалось доказать. Пример 9. Докажем неравенство cos a4-3 cos За 4-6 cos 6a -7-^-. (8) Доказательство. Предположим противное, т. е. что для некоторого а выполняется неравенство cos a4-3 cos 3a4-6 cos 6a<-7-^-. (9) lb Преобразуя неравенство (9), получим: cos a-|-3 cos 3a4-6 cos 6a-|-6< —177-, lb cos a -J- 3 cos 3a 4-12 cos2 3a < — 1 lb cos a 4- 3 (cos 3a 4- 4 cos2 3a) < — 1 3(4 cos2 3a 4-cos 3a 4-4- cos a—-^-< — 1 \ lb / lb lb 3 (2 cos 3a-|--l-) 4-cos a< — 1. (10) Неравенство (10) ложно, так как ^2 cos 3a 4- ^0, а cos a — 1. Значит, наше предположение неверно, т. е. доказано не- равенство (8). 222
Пример 10. Докажем неравенство cos 36°>tg 36°. Доказательство. Предположим, что неравенство ложно, т. е. cos 36“Xtg 36°. Тогда последовательно получим: cos 36° cos 36° (Н) (Н) (12) 1 + cos 72° <2 sin 36°, 1 + cos (90°-18°)<2 sin (6° + 30°), 1 4-sin 18<X2 sin 6° cos 30° 4-2 sin 30° cos 6°, 1 4-2 sin 9° cos 9°^ cos 6° 4-2 sin 6° cos 30°. Так как I>cos6°, sin9°>sin6°, cos 9°>cos 30°, то неравен- ство (12) ложно. Значит, верно неравенство (11). Пример 11. Докажем, что если А, В, С — углы треугольни- ка, то sin -4-sin у-sin Доказательство. Предположим, что неравенство (13) ложно, т. е. sin — sin — sin ПРИ некотором наборе значении Л, В, С — углов треугольника. Тогда, преобразовав произведение sinsin-—, получим: с 1 (13) А-В —-----COS и далее А —В . С А4-В . С 1 cos —— sin -— cos —Г— sin —> —, £ £ £ £ Т' Sln 2 2 А—ВА-С . . — Д + В4-С Sin ----h sln - 2 Т — ! + sind±|^>X. Так как A4-B-f-C= 180°, то А — B-j-C= 180° — 2В, -Л4-В4-С=180°-2Л, А4-В-С=180°-2С, а потому (14) sin ———=cos В, sin -—2+5 = cos A, sind±|±£=1> sind±|^£=cosC Это позволяет переписать неравенство (14) следующим образом: 223
cos B4-cos A — 1 +cos или cos A 4-cos В 4-cos CZ>-|-. А это противоречит неравенству, доказанному в примере 2 (см. с. 218). Значит, наше предположение неверно, т. е. истинно не- равенство (13). Пример 12. Докажем неравенство tgna>ntga, (15) если 0<а<4^л_^, п — натуральное число, n=/= 1. Доказательство. Применим метод математической ин- дукции. 1) Проверим выполнимость неравенства (15) при п = 2, т. е. убедимся, что tg2a>2tga, (16) где 0<а<-т~. 4 В самом деле, tg 2a — 2 tg a = -2 tg a = 2 tg a ° -. ’° ° 1—tg2a ° ° 1—tgza При 0<a<-2-имеем tga>0, 1— tg2a>0, а, значит, 2*й“г=ж>°- Отсюда и следует, что неравенство (16) выполняется. 2) Предположим, что неравенство (15) выполняется при n = kt т. е. tgfea>fetga, где 0<а<4^уу. Докажем, что тогда нера- венство (15) выполняется при п = й+1, т. е. tg(fe+l)a>(fe+l)tga, (17) где 0<а<-£-. В самом деле, 4k tg (fe+ 1) a= tg !g a+tg a 7 1—tg&atga 1— tg/га tg a По условию 0<a<-^-, значит, tg ka.<tg -2-= 1 и tga<l. Ho тогда fetgaflga + j} f 1— tgfca-tga v • / & » и, следовательно, неравенство (17) выполняется. По принципу математической индукции заключаем, что неравен- ство (15) верно для любых натуральных и >2. 224
Упражнения Докажите неравенства. I---- /7? ОС Л Л 1434. ^'cos а <+/2 cos —, если ——<а< —. 1435. ctg— >l+ctga, если 0<а<л. 1436. tg а tg 0< 1, если а, 0 — величины острых углов тупоугольного треуголь- ника. 1437. tg а tg 0> 1, если а, 0 — величины углов остроугольного треугольника. 1438. cos а + cos 0> cos у, если а>0, 0>О, у>0, а4-0 4-у = -^'•' 1439. sin2 а + sin2 0 +sin2 у^2, если а, 0, у — величины углов неостроугольного треугольника. 1440. skra + sin2 0-f-sin2 у >2, если а, 0, у — величины углов остроугольного треугольника. 1441. cos2 a + cos2 0 + cos2 у> 1, если а, 0, у — величины углов неостроуголь- ного треугольника. 1442. cos2 a-j-cos2 04-cos2 у< 1, если а, 0, у — величины углов остроугольного треугольника. . а 4- 0^ sin а 4- sin 0 „ тс _ .л 1443. sin.если 0<а<—, О<0<—. 2 2 2 2 a-f-0^ cos a + cos 0 n . тс тс 2 2 2 2 ± a-f-6 tga + tgB я я 1445. tg——2 ’ еСЛИ °^а<р °<₽<у- 1446. sin cos а )>0. 1447. sin4 а 4-cos4 а^-~. 1448. sin6 а + cos6 а 4- . 4 1449. sin8 а + cos8 а 4". о 1450. tg (a + 0)>tg a + tg 0, если а>0, 0>О, а + 0<-^-. 1451. sin4 а — 6 sin2 а+ 5 >0. 1452. cos2 2а — 8 cos2 а 4- 7 0. 1453. cos (sin а)>0. 1454. sin (2+cos а) >0. 1455. cos (л-|-arcsin а) ^0. 1456. sin 4- arctg а J >0. 1457. tga 4-ctg а >2, если 0<a<y-. 1458. -л/2< sin a4-cos a^-^2. 1459. tg a4-ctg a>sin a4-cos а, если 0<a<—. 1460. |tg a4~ctg a| > |sin a4-cos a|. 1461. sin (a4-0Xsin a4-sin 0, если О^а^л, 0^0^ л. 1462. cos (a —0)^cos a4-sin 0, если О^а^л, 0^0^л. 1463. sin (a4-04"у)sin a4-sin 04-sin у, если 0 a, 0CP<y, sin a + tg a >Q cos a 4~ ctg a 8 Заказ 840 1464. 225
1465. тг——г-н—Дгп--2—r<2-f-tg2 a-j-ctg2 a. (14-sin2 a)(l+cos2 a) & & 1466. 3 (tg2 a + ctg2 a) —8 (tg a 4-ctg a) 4- 10^0. . sin a— 1 , 1 2 —sin a 14b7.------------. sin a —2 2 3 —sin a 1468. (1 -|-sin2 a) (tg2 a —2)4-ctg2 a + cos2 a>0. 1469. -r-?— --------:---г>8, если 0<a sinz a (cos a —sin a) л z* 1470. sin 2a cos 2a cos 4a cos 8a cos 16a — . . Л-,. 1 . . / л \ / л , \ 1 1471. —— Csin a sin (——a 1 Sin ( — + a I. 1472. 0 cos2 a 4~ cos2 (a 4- 0) — 2 cos a cos 0 cos Y < 1 • 1473. tg a (ctg p + ctg v)+tg P (ctg cc-f-ctg y)+tg у (ctg a + ctg 0)>6, если0<а<у, 0<p<4,0<V<4. 1474. (ctg2 a — 1) (3 ctg2 a — 1) (ctg 3a tg 2a — 1)^ — 1. 1475. (1 -tg2 a) (1 -3 tg2 a) (1 4-tg 2a tg 3a)>0. 1476. cos2 a4-cos2 0^3 — 2 sin a—2 sin 04-2 sin a sin 0. 1477. sin a (sin a — 2) 4~ cos 0 (cos 0 4~ 2) 2 sin a cos 0 — 1. 1478. sM*-P)sin (a + P) >2 tg a tg P+2 tg a-2 tg ₽-1. cos a sin 0 1479. cos a4-2 sin a> 1, если 0<a^-^-. 1480. a —sin a<0 —sin 0, если 0<a<0<-^-. 1481. sina<a<tga, если 0<a<^-. . sin a л 1482. cosa<--<1, если 0<a<—. a 2 1483. sin a (sin a —2)4-cos2 (a — l)>0. 1484. (1—sin a)2 —sin2 (a —l)>0. sin a — cos a tg — 1486. cos (a 4- 0) cos (a — 0) C cos2 a. 1488. tg2 a4~tg2 0 +tg2 Y^21, если a>0, 0>O, y>0, a4~ 0 +Y~• 1489. sin2-^-4-sin2-|-4-sin2, если a4-04“Y = Jl- 1490. 4 sin 3a4-5^4 cos 2a4-5 sin a. 1491. 14- cos 3a cos a (1 4-cos a) (2 —5 cos a). 1492. sin a4~sin 2a4-...4-sin na<zi. 9 a л 1493. cos acos — если 0<a<—. 1494. tg ai< sin ai 4-sin a24“ sin an cos ai 4-cos аг 4" ••• + cos an Ctg art, если 0<ai <a2<...<an<~* 1495. tg2 (a — 0)^--^—, если tg a=n tg 0, где n>0. 226
Глава IV РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ § 4. УРАВНЕНИЯ Напомним общие формулы решений простейших тригонометри- ческих уравнений (если не сделано оговорок, то предполагается, что параметры n, k, /, m, ... принимают любые целые значения). Уравнение Решение sin х = а, где |а| 1 х = (— l)fe arcsin а4-iik cos х = а, где |а| 1 х — ± arccos а + 2л& tg х=а х = arctg а + nk ctg х = а х — arcctg a-f-nk Отметим особо некоторые частные случаи простейших тригоно- метрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул: sin х —О о x — nk, sin х = 1 о х = -——Ь2л&, sin х= — 1 о х— — cos х=0 о х = у—|-лй, cos х= 1 о х = 2лй, cos х = — 1 о х = л 4-2л&, tg х = 0 о х = лй. Проверка найденных решений необходима: 1) если в процессе решения произошло расширение области оп- ределения уравнения в результате некоторых преобразований (осво- бождение от знаменателей, сокращение дроби, приведение подобных членов), 2) если в процессе решения уравнения использовалось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, 3) если при решении применялись тригонометрические тождест- ва, левая и правая части которых имеют неодинаковые области определения, например, 227
2tgy l-‘g2-J- 2 tg -J --------=sin a, ---------=cos a, ---------==tg a> tg a ctg a = 1, l+tg2y 1+tg2T '-tg2f l-c°s« = tgj“., tSa+tge...=tg(a + P) и др. sin a 2 ’ l-tgatg₽ ' H Использование этих тождеств «слева направо» приводит к расши- рению области определения уравнения, а, значит, может привести к появлению посторонних корней; использование этих тождеств «справа налево» ведет к сужению области определения, что, вообще говоря, недопустимо, так как это может привести к потере корней. Так, решим уравнение tg(*+-j-) = 2 ctgx—1. (1) Так как i tg(x+^->)= (2) & \ 4 / 1 — tg х v ' И ctgx = -^, (3) то уравнение (1) преобразуется к виду tgx+l 2___j 1—tgX tgx Положив */ —tgx, получим: ~~—1, откуда находим у= = --, т. е. tg х = ~-, и, следовательно, х = arctg ~—\-пп. Это семейство удовлетворяет уравнению (1). Однако нетрудно за- метить, что значения х = ~-\-nk также удовлетворяют уравнению (1). Причина потери решений — применение тождеств (2) и (3). За- мена выражения tg(x + y-) выражением , так же как и за- мена выражения ctg х выражением , сужает область определе- ния уравнения (1), а именно из области определения «выпадают» значения х = -~|- лк. Они-то и оказались в данном случае «потерян- ными» решениями уравнения (1). Основными методами, используемыми при решении тригонометри- ческих уравнений, являются следующие методы: 1) разложение на множители (см. с. 47); 2) введение новых переменных. В результате разложения на множители решение заданного 228
уравнения сводится к решению совокупности уравнений. Это, в свою очередь, означает, что после решения всех уравнений совокуп- ности найденные семейства (множества) решений следует объеди- нить. Объединяя семейства решений, иногда добиваются более компактной записи ответа. Например, объединяя семейства х = лк и х = ~--\-лп, получим л х=-т. В тех случаях, когда среди найденных значений х имеются пов- торяющиеся, объединяя семейства решений, ищут такую запись отве- та, в которой повторяющихся значений х нет. Например, среди значений х, принадлежащих семействам x — ^-k и х = у-п, есть повторяющиеся значения х, а именно х=лт. Исключая значения х = лт, например, из первого семейства, можно записать ответ так: х= ±-~+nfe; х = у-п. Если же исключить зна- чения х из второго семейства, то ответ можно записать по-другому: x = -~-fe; х = у-+лп. (Как видим, полученные записи одного и того же ответа оказываются неодинаковыми. Это следует иметь в виду, сверяя свое решение с ответом, имеющимся, например, в книге.) Объединение решений удобно выполнять с помощью окруж- ности S, на которую наносят семейства решений совокупности уравнений. Так, пусть требуется объединить семейства x = y-+^~fe и х = лп. Отметим на окружности S (рис. 33) значения х из первого семейства кружками, а значения х из второго семейства квадратиками. Значе- ние х = л, как мы видим, оказывается отмеченным дважды, т. е. это значение х (а точнее, значения х=л-|-2лап) при записи объединения семейств x=-^—\-^-k и х = лп следует оставить только в одном се- мействе. Ответ можно записать, например, так: х = ~—х = 2лп, о о или так: х=±-^-+2л&; х — лп. о При решении уравнений методом введения новых переменных следует помнить, что важную роль играет выбор функции, через которую выра- жаются остальные функции. Может оказаться, что при одном выборе такой функции получается иррацио- нальное уравнение, а при другом — рациональное. Ясно, что второй вы- бор предпочтительнее. Если, напри- мер, в уравнении 2 cos2 х-|-4 cos х = 229
= 3 sin2 x положить f/ = sin x, то получится совокупность двух ирра- циональных уравнений: 2 (1 — у2)+4-/Г—у5=3г/2; 2(l-y2)-4VT^7=3i/2. Если же положить y = cos х, то получится рациональное у ранне- ние 2z/2 + 4у = 3 (1 — у2). Мы будем обозначать через R (cos х; sin х) рациональное выра- жение от cos х и sin х, т. е. выражение, получающееся из cos х и sin х и постоянных с помощью сложения, умножения и деления. Рассмотрим уравнение вида R (cos х; sin х) = 0. В некоторых слу- чаях удается свести такое уравнение к рациональному уравнению относительно sin х (или относительно cos х). Укажем некоторые пра- вила, облегчающие выбор подстановки при решении тригонометри- ческих уравнений. Если cos х входит в уравнение лишь в четных степенях, то, заменяя всюду cos2 х на 1 — sin2 х, получим рациональ- ное уравнение относительно sin х. Точно так же если sin х входит в уравнение лишь в четных степенях, то замена sin2 х на 1 — cos2 х при- водит уравнение к рациональному виду относительно cos х. Однородным тригонометрическим уравнением 1-й степени назы- вается уравнение вида a sin х + 6 cos х = 0. Однородным тригонометрическим уравнением 2-й степени называ- ется уравнение вида a sin2 х + & sin х cos х-|-с cos2 х = 0. Аналогично может быть определено однородное тригонометри- ческое уравнение любой натуральной степени п. Рассмотрим случай, когда а#=0. Нетрудно видеть, что при а=#0 однородному уравнению не удовлетворяют те значения х, при которых cos х = 0. Поэтому деление на cos х (на cos2 х) обеих частей однород- ного уравнения 1-й (2-й) степени в случае а=/=0 приводит к равносильному уравнению. Разделим обе части однородного урав- нения 1-й степени на cos х, а обе части однородного уравнения 2-й степени на cos2 х. В результате получим соответственно следующие уравнения, рациональные относительно tg х: atgx+6 = 0 и a tg2 х + & tg х4“С = 0. Эти уравнения решаются с помощью подстановки £/ = tg х. Рассмотрим теперь подстановку, позволяющую свести к рацио- нальному любое уравнение вида R (cos х; sin х) = 0. Эта подстановка w==tgf-- Если х=/=л-|-2л£, то I-tg у 2tgT cosx =---------, sinx =-------. l + tg2y >+^2Т 230
Поэтому подстановка u = tgy- преобразует уравнение (cos х; sinx)=0 в уравнение -пМ=°- Левая часть последнего уравнения является рациональным выра- жением. Значит, наша подстановка привела уравнение к ра- циональному виду. Подстановка u = tg у- называется универсальной. Поскольку использование универсальной подстановки исключает из области определения уравнения множество значений вида х=л + 2л&, т. е. может привести к потере решений, то после решения уравнения необходимо еще выяснить, не являются ли числа вида х = л + 2л& решениями заданного уравнения. В настоящем параграфе, кроме тригонометрических уравнений с одной переменной, рассматриваются также уравнения, содержа- щие переменную под знаком обратной тригонометрической функции. Рассмотрим примеры. Пример 1. Объединим семейства значений x = “-+nfe; х=±~—|-шг. Решение. Отметим на числовой окружности S значения х из первого семейства, например, кружками и значения х из второго семейства, например, квадратиками (рис. 34). Как видно из рисунка, на окружности S получилось шесть точек, которые делят окружность S на шесть равных частей. Это наблюдение позволяет более компакт- но записать все значения х, принадлежащие заданным семействам, а именно х = -~+-^-&. о 3 Пример 2. Объединим семейства значений Л / л X = — k\ Х — — П. и 4 231
Решение. Нанесем на окружность 2 (рис. 35) значения х из первого семейства, например, кружками, а значения х из второго семейства квадратиками. Значения х = лт, как видно из рисунка 35, являются повторяющимися. Если исключить эти значения х из пер- вого семейства, ответ можно записать так: х= nk\ х = -^-п. Ес- ли же исключить значения х = лп из второго семейства, то ответ будет выглядеть так: x = ^-k; х = ~{-лп; х = ^~-[--^-т. Исключить повторяющиеся решения можно и не обращаясь к окружности 2, если решить уравнение = например, от- о 4 з носительно k. Получим k — --n. Ясно, что при п = 4пг значения k бу- дут целыми (k = 3m). Таким образом, ответ можно записать, сохранив целиком се- мейство х — -~fe, а из второго семейства исключить значения х, ко- торые получаются при n = 4m. Тогда второе семейство будет таким: х = ^гг, где n^=4m, m^Z. 4 Пример 3. Из семейства x = ^--\-^-k исключим значения х, принадлежащие семейству х = -^-п. Решение. Отметим на окружности 2 (рис. 36) значения х, принадлежащие первому семейству, и вычеркнем значения х, при- надлежащие второму семейству. Как нетрудно видеть, значения х, ос- тавшиеся после вычеркивания, можно записать в виде семейства х= ±~+л!г. о Пример 4. Решим уравнение 232
Решение. Это уравнение равносильно следующей совокуп- ности уравнений: cos2x= —1; sin (х— Решением первого уравнения является семейство х = -^—Нлй, а второго — семейство х = -^-п. Отметим на окружности 2 (рис. 37) первое семейство кружками, а второе семейство квадратиками. Как видно из этой иллюстрации, значения х = -^—содержатся в каждом из семейств, т. е. являются повторяющимися. Чтобы в записи ответа не было повторяющихся значений %, целесообразно не включать в ответ первое семейство. Итак, получаем ответ: х = -^-п. Пример 5. Решим уравнение tg х sin 2х = 0. Решение. Следствием этого уравнения является совокуп- ность уравнений tg х = 0; sin 2х = 0. Решением первого уравнения этой совокупности является семейст- во x = nk, а второго — семейство х = у-п. Ясно, что все значения х из первого семейства принадлежат второму семейству, т. е. из записи ответа их следует исключить. Кроме того, как мы отметили, совокупность уравнений tg х = 0; sin 2х = 0 является следствием заданного уравнения. (Действительно, не иск- лючается возможность, что при некоторых значениях х, являющихся решениями уравнения sin2x = 0, не существует tgx.) Это значит, что необходимо выполнить проверку. Проверка. Так как tg х не существует при х=~--\-пт, то из найденного семейства решений ^х = -~п) необходимо исключить значения На рисунке 38 значения х = у-п показаны кружками на окружности S, а значения х = ^--\-пт зачеркнуты. Оставшиеся значения х можно записать в виде семейства х = лй. Это — решение заданного уравнения. Пример 6. Решим уравнение sin3 2x — sin 2х q cos Зх 233
Рис. 39 Решение. Следствием этого уравнения является уравнение sin 2% (sin2 2х — 1) = 0, которое, в свою очередь, равносильно совокупности уравнений: sin 2х = 0; sin2x=l; sin 2%— — 1. Решением первого уравнения этой совокупности является семей- ство x = ~-fe, второго — семейство х = -^—лп и третьего — семейст- во х=—-“-+лт. Объединением этих трех семейств является се- мейство х = -?-/. 4 При переходе от заданного уравнения к уравнению sin 2хХ X(sin2 2х—1) = 0 область определения заданного уравнения расши- рялась. Это значит, что найденные значения х необходимо проверить. Проверка. Исключим из семейства х=-^-/ значения х, при ко- торых cos Зх=0, т. е. значения х = у-+-2-/п. Сделаем это с помощью окружности S (рис. 39), на которой отметим кружками значения х, принадлежащие семейству х = ^-1, и вычеркнем значения х, принад- лежащие семейству х = -^-+^-^л. Оставшиеся значения х можно записать как объединение двух семейств: x = nk\ х=-~Ь-—-п. Пример 7. Решим уравнение =0 (4) sln 3 Решение. Так как дробь равна нулю, то из уравнения (4) следует, что sin 2х = 0, откуда x = -^~k. Ясно, что из этого семейства уравнению (4) удовлетворяют 234
те и только те значения х, которые принадлежат области опре- деления уравнения (4). Но в процессе решения эта область рас- ширялась. Таким образом, необходима проверка. Проверка. Область определения уравнения (4) найдем из условия sin 2х^я =#0, откуда х#= Зля—л . Воспользоваться окруж- ностью S для исключения из семейства x = -^-k значений Зл^~~л не удается. Поступим следующим образом. Отметим решения из се- мейства x=-^-k точками на числовой прямой (рис. 40) и вычеркнем Злп — л точки, удовлетворяющие условию х=—-—. Оставшиеся значения х— это решения уравнения (4). Их можно записать как объединение двух семейств: x=^-fe; х=-£-(3/+1). Отметим, что эти два семейства решений можно записать и короче, например так: х = у-£; где fe=#3/—1, l£Z. Пример 8. Решим уравнение cos 15x = sin 5х. Решение. Так как cosa = sin(--—а), т. е. cos 15х = -2—15х), то перепишем заданное уравнение следующим образом: sin f-2— 15xJ — sin 5x = 0, или 2 sin (-2— Юх) cos (-2—5x) =0. Таким образом, заданное уравнение равносильно совокупности урав- нений: sin — 10х) =0; cos —5х) =0. Из первого уравнения совокупности получаем 10х—-2-= л/г, отку- да находим х = 2--4-^2-&; из второго уравнения получаем 5х — --=-+ли, откуда х=-+-п. ».. • " X • 1 • ж—•-----• Ж— •—•—ж •...•— _7Г —2 О 2L тт зл 5л Зл 7тг 9 л 5л 11л * 2 2 2 2 2 2 2 2 Рис. 40 235
Попытка объединить найденные семейства с помощью окружности S наталкивается на чисто техни- ческие затруднения (придется полу- окружность делить на сорок равных частей), Так как тем не менее повто- ряющиеся решения, если они имеют- ся, желательно обнаружить, чтобы в записи ответа указать каждое ре- шение лишь один раз, то положим л Зл I л 40”+10“ ^==20"^"“5‘П’ Решим это уравнение, например, относительно k. Получаем k = 1,25 -j-2n. Таким образом, ясно, что не существует целых значений и, при которых число k было бы целым. Другими словами, найденные се- мейства повторяющихся значений х не содержат. Итак, решение заданного уравнения таково: х =—-4-— Ь' х = — -4- — п Х 40 10 ’ 20 + 5 П' Замечание. Преодолеть трудности, связанные с делением окружности S на . л , л , очень мелкие доли, можно и по-другому. А именно «укрупним» решения — 4--гтг « и 4U 1U в 5 раз. Получим = k\ 5х = ^р Ч-л/г, нанесем эти значения 5% на окружность S (рис. 41). Приходим к выводу, что в этих семействах повторяющихся решений нет. Пример 9. Решим уравнение sin х —3 cos х — 0. Решение. Это — однородное уравнение первой степени. Деле- ние обеих его частей на cos х приводит к равносильному уравнению tg х = 3, откуда находим семейство х = arctg З + nfe, являющееся ре- шением и заданного уравнения. Пример 10. Решим уравнение sin2 % + 2 sin х cos х — 3 cos2 х = 0. Решение. Это — однородное уравнение второй степени. Деле- ние обеих его частей на cos2 х приводит к уравнению tg2 х + 2 tg х — — 3 = 0, равносильному заданному. Полагая u = tgx, приходим к уравнению и2-\-2и — 3 = 0, откуда wi = l, и2= — 3. Из совокупности уравнений tg х= 1, tgx=—3 получаем x = -~|-nfe и х= arctg ( —3) + пп — решение заданного уравнения. Пример 11. Решим уравнение 5 sin2 х + З sin х cos х — 3 cos2 х = 2. 236
Решение. Это уравнение не является однородным, так как пра- вая часть уравнения отлична от нуля. Однако оно может быть преоб- разовано в однородное уравнение. С этой целью используем тож- дество sin2 x + cos2 х= 1. Тогда уравнение можно переписать следу- ющим образом: 5 sin2 х + 3 sin х cos х — 3 cos2 х = 2 (sin2 x + cos2 х), и далее 3 sin2 х + 3 sin х cos х —5 cos2 х = 0. Последнее уравнение представляет собой однородное уравнение 2-й степени. Разделив обе его части на cos2 х, получим квадратное уравнение 3 tg2 х + 3 tg х — 5 = 0, откуда получим х = arctg ~3^^- 4-jife. Пример 12. Решим уравнение 5 sin2 х+д/3 sin х cos х + 6 cos2 х = 5. Решение. Имеем: 5 sin2 х + д/З sin х cos х + 6 cos2 х = 5 (sin2 x + cos2 х), д/3 sin х cos x + cos2 x = 0. (5) Ясно, что дедить обе части этого уравнения на cos2 х нельзя, так как те значения х, при которых cos2x = 0, удовлетворяют уравне- нию (5), а потому деление на cos2 х приведет к потере корней. Мы поступим по-другому: разложим левую часть уравнения (5) на множители. Получим: cos х (д/3 sin x + cos х) = 0. Теперь задача сводится к решению совокупности уравне- ний: cosx=0; д/3 sin х + cos х = 0. Из первого уравнения совокупности находим семейство х= = -7р+л6. Разделив далее обе части второго уравнения на cos х, получим уравнение tgx=— , откуда находим второе семейство □ решений заданного уравнения: х=—~|-лп. Повторяющихся значений х эти семейства не содержат, и запись ответа в виде объединения этих семейств достаточно компактна. (Для читателя, желающего найти более компактную запись ответа, приведем один из вариантов ее: х=—-+-~fe, где Л=#=3п +1.) О <5 237
Пример 13. Решим уравнение 2 cos2 x-j-4 cos х=3 sin2 х. Решение. Так как в это уравнение sin х входит только в четной 1 степени, a cos х содержится в уравнении в первой степени, то целесо- 1 образно заменить sin2 х на 1—cos2 х и затем положить y=cosx. Тогда заданное уравнение примет вид: 5у2 + 4у —3 = 0, ______________2-i-^/Ta i откуда £/1,2=—. Таким образом, заданное уравнение равносильно следующей совокупности уравнений: С1ВХ = ^=^; СОЗХ = =2±^. 5 5 ч Первое уравнение этой совокупности решений не имеет, так как i — 2—\/19< —5, т. е. < — 1, а из второго уравнения нахо- j дим семейство х = ±arccos + -|-2лп, являющееся решением и заданного уравнения. Пример 14. Решим уравнение. 8 cos4 х —8 cos2 х —cos х+1 =0. (6) ; Решение. Положим для краткости y = cosx. Тогда уравне- ние (6) примет вид: 8у4 —8у2 —у+1 =0, (7) и далее 8у2 (у-1)(у+1)-(у-1) = 0, (у—1) (8у3 + 8у2 —1)=0. Таким образом, уравнение (7) равносильно следующей совокуп- ности уравнений: у—1=0; 8у3 + 8у2—1=0. Из первого уравнения совокупности получаем yi = l. Решим второе уравнение. Положим z = 2y. Тогда получим z34-2z2—1=0, откуда находим (подбором) Zi = — 1, а затем, разделив z3-j-2z2 — 1 на z+1, получим z3H-2z2— 1 =(z+1)(z2-|-z— 1), откуда z2,3 = ~-1^^ . Таким образом, у2= — у-, уз,4 = ~ • Итак, заданное урав- нение равносильно следующей совокупности уравнений: . 1 — 1+л/5 cosx=l; cosx=——; cos х =— 2 4 238
Решениями уравнений этой совокупности являются семейства x = 2nk-, х=±^- + 2лл; х= ±arccos -|-2п/п. о 4 Первые два семейства можно объединить в одно: x=^-k. Таким образом, решения уравнения (6) можно представить как объединение двух семейств: х = у- k\ х= ± arccos + 2шп. Пример 15. Решим уравнение sin х + 7 cos х = 5. (8) Решение. 1-й способ. Разделив обе части уравнения (8) на V12 + = д/50, получим: 1 . . 7 5 -—Sin % + -—cos х = — л/50 л/50 л/5б (9) / 1 \2 /7 Так как = 1> то существует такое значение ф, что =sin ср, =cos ®, где ф = arcsin -1— (или ф = arccos -=-) — V50 л/50 л/50\ т/5б / вспомогательный угол. Теперь уравнение (9) можно переписать следующим образом: sin ф sin x + cos X COS ф=^- , или COS (х —ф) = -^- , откуда х — ф=±-2—|-2лА. Так как ф = arcsin-^ , то окончательно получаем следующее семейство, являющееся решением уравнения (8): х= ±-т~Ьarcsin -Lr +2л& (или х= ±-~|-arccos -?=- 4-2л/г ). 4 V50 \ 4 ^/5о / 2-й способ. Решим уравнение (8) с помощью универсальной под- становки. Выразив sin х и cos х через tg-^-, и, положив w = tg-^~, приходим к рациональному уравнению 2и . 7(1—и2) г 1 + „2Т 1+и2 “°’ решив которое находим ui=-±~, U2=--^-. Теперь нужно решить следующую совокупность уравнений: te—= —• te—=- — 6 2 2 ’ ® 2 3 239
Из этих уравнений находим: х=2 arctg -5—|-2л/г; х=2 arctg (—Ц 4-2шг. Проверка показывает, что значения х = л -}-2лт не удовлетворяют уравнению (8) (о необходимости проверки этих значений при исполь- зовании универсальной подстановки говорилось выше). Таким образом, уравнение (8) имеет следующие решения: х = 2 arctg 4“+2лЛ; х= —2 arctg 4“+2лп. 2 о Пример 16. Решим уравнение 5 sin х— 12 cos х= — 13 sin Зх. (10) Решение. Как и в примере 15, применим метод введения вспо- могательного угла. Разделив обе части уравнения (6) на -\/5г+ 12г= 13, получим: (Н) sin х —cos х= — sin Зх. 1 о 1о / 5 \ / 19 \ Так как ( —I +( —) =1, то существует такое значение <р, что 5 12-/5-12 \ — = cos <р, а —=sin <р ( или — = sin <р, а —=cos <р). 1о \ 1о 1о / Теперь уравнение (11) можно переписать следующим образом: sin х cos ф —cos х sin <р= — sin Зх, и далее sin (х—<p) + sin Зх=0, 2 sin ^2х — cos + =0. Решив совокупность уравнений sin^2x—=0; cos^x+-^-) =0, получим: х=-^-+у-Л; х= —|-(-£-+лп. 12 Учитывая, что ф = arcsin —, получим следующие два семейства решений уравнения (10): 1 12 I л 1 1 . 12 I л । х= —arcsin— /г; х= — — arcsin —+лп. * тг 10 2. £ 10 А Пример 17. Найдем корни уравнения д/З sin х —cos х= —-cos Зх, (12) принадлежащие отрезку [—л; 2л) 240
Р е ш е н и е. По виду это уравнение похоже на уравнение, решен- ное в предыдущем примере. Однако попытка решить это уравнение приемом, описанным при решении примера 15 (см. 1-й способ), к ус- пеху не приводит. Перепишем тогда уравнение (12) следующим образом: cos х —cos 3х=^/3 sin х, и далее 2 sin 2х sin х—^/З sin х = 0, или sin х (2 sin 2х —д/3) = 0. Таким образом, уравнение (12) равносильно совокупности уравне- ний: sin х = 0; sin 2х=^ . Из первого уравнения совокупности находим х = л&, а из второго x=(-l)rtf+fn. Итак, объединение семейств х=л£, х = (— 1)л-^-4--^-п — это ре- шение уравнения (12). Осталось выделить из найденных значений те, которые принадле- жат отрезку [—л; 2л]. Рассмотрев значения х=л& при fe = 0, ±1, ±2, ..., замечаем, что отрезку [—л; 2л] принадлежат точки — л (при &= — 1), 0 (при/г = 0), л (при fe = l), 2л (при k = 2). Рассмотрев значения х = (—1)л+ при п = 0, ±1, ±2, ..., замечаем, что отрезку [—л; 2л] принадлежат точки -2-(п = 0), -у- и <5 (n=l),7f (n=2),4f (n = 3), -2f(n=-l). Итак, на отрезке [—л; 2л] заданное уравнение имеет следующие 2л п л л 7л 4л о корни: —л; — — ; 0; —; —; л; — ; — ; 2л. 3 о о о о Пример 18. Найдем корни уравнения cos 4х cos 8х —cos 5х cos 9х = 0, удовлетворяющие неравенству Решение. Так как cos a cos fi=, то задан. ное уравнение можно переписать так: cos 12х + cos 4х cos 14x-|-cos 4х q 2 2 241
и далее -—(cos 12x — cos 14х) = 0, а затем sin 1 Зх-sin х = 0. Таким образом, заданное уравнение равносильно совокупности уравнений: sin 13х = 0; sin х = 0, решая которую находим х = у|- й, х = яп. Ясно, что второе семейство содержится в первом. Значит, решением заданного уравнения явля- ется семейство х = ~- fe. Осталось выделить из найденных значений те, которые удовлет- воряют неравенству ~>у“- Имеем -—“->0; ^4"^ >0; <0. Из последнего неравенст- х 2 2х х г ва находим 0<х<2. Значит, придавая параметру k целые значения, нужно выбрать из них те, при которых у|с(0;2). Из системы не- равенств 0<#<2, находим, что & = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 1 о Ответ* — — 4л 5л 6л 7л 8л 13 ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’ 13 ’ Пример 20. Решим уравнение 2 cos2 6x4-2 cos2 8х + 2 cos2 10х = 3. Решение. Воспользуемся формулой 1 4-cos 2а = 2 cos2 а. По- лучим: 1 4-cos 12x4“ 1 4-cos 16x4-14-cos 20х = 3, или (cos 12x4-cos 20x)4-cos 16х = 0, 2 cos 16х cos 4x4-cos 16x = 0, т. e. cos 16x (2 cos 4x4- l) = 0. Таким образом, заданное уравнение равносильно следующей сово- купности уравнений: cos 16х = 0; cos 4х= — Из первого уравнения этой совокупности находим х=^-+Л- к, oZ 1 о 242
а из второго х= ±^-+-2- п. Пытаться искать среди этих се- мейств повторяющиеся значения х с помощью окружности S затрудни- тельно. Можно предложить такой путь поиска. Из уравнений полученной со- вокупности найти сначала 4х. Полу- чаем 4х=-|—|~Л; 4х=±у-+2лп. Теперь с помощью окружности 2 (рис. 42) нетрудно увидеть, что повторяющихся значений х в этих семействах нет. Значит, их нет и в полученной выше записи решений. Таким образом, решением заданного уравнения является объеди- нение семейств: х=&+т^х=±т+тп- Пример 21. Решим уравнение sin 2x4-5 sin x-j-5 cos х+1 =0. Решение. Положим u=sin x4-cos х, тогда u2 = (sin x4-cos х)2, или u2=14-sin 2х. Поэтому заданное уравнение примет вид и2 4” 5и = 0, откуда щ =0; u2 = —5. Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений: sin x4-cos х=0; sin х4-cos х——5. Первое уравнение совокупности (однородное уравнение 1-й степе- ни) после деления обеих частей на cos х преобразуется к виду tgx4-l=0, откуда х= Второе уравнение совокупности не имеет решений, так как sin х^ — 1 и cos х> — 1, т. е. sin x4-cos xZ> —2. Однако 5< —2. Таким образом, решением заданного уравнения является семейство х= —т-4" 4 Пример 22. Решим уравнение tg х tg 2x=tg x4-tg 2x. (13) Решение. Получаем последовательно: sin х sin 2x _ sin (x-^-2x) cos x cos 2x cos x cos 2x ’ sin x sin 2x = sin x cos 2x4“ sin 2x cos x, sin x (sin 2x — cos 2x — 2 cos2 x) = 0. 243
Это уравнение равносильно следующей совокупности уравнений: sin х = 0; sin 2х —cos 2х—2 cos2 х = 0. Из первого уравнения получаем х = л/г. Второе уравнение приводится к виду sin2 х + 2 sin х cos х — 3 cos2 х = 0, откуда после деления обеих частей на cos2 х получим уравнение tg2 х + 2 tg х — 3 = 0. Далее имеем tgx=—3; tg х = 1, откуда x = arctg ( — 3) + лп; х = ~--\-лт. Проверка. Область определения уравнения (13) задается ус- ловиями cos х=И=0, cos 2х#=0. Ясно, что значения х из первого и второ- го семейств удовлетворяют этим условиям. Значения х из третьего се- мейства удовлетворяют условию cos х=#=0, но не удовлетворяют усло- вию cos 2х =+ 0. В самом деле, cos 2 (“+ ят ) = cos (“+ 2лт ) = 0. Таким образом, третье семейство состоит из посторонних решений. Итак, решением уравнения (13) является объединение двух семейств: x = nk\ х= arctg (-—3) + лп. Пример 23. Решим уравнение sin х + 2 sin 2x = 3 + sin Зх. (14) Решение. Преобразуем уравнение (14) к виду (sin х —sin Зх) + 2 sin 2х = 3, и далее 2 sin х cos 2х —2 sin 2х + 3 = 0. Дополним имеющиеся удвоенные произведения 2 sin х cos 2х и 2 sin 2х до полных квадратов: (sin2 х + 2 sin х cos 2x + cos2 2x) + (sin2 2x —2 sin 2x+ l) + 3 = = sin2 x + cos2 2x + sin2 2x + 1, t. e. (sin x + cos 2x)2 + (sin 2x— l)2 + 3 = sin2 x + 2, откуда (sin x + cos 2x)2 + (sin 2x — l)2 + cos2 x = 0. (15) Но сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Поэтому уравнение (15) равносильно следующей системе уравнений: {sin x + cos 2х = 0, sin 2х—1=0, (16) cos х = 0. Решив третье (самое простое) уравнение системы (16), получим х = ~|-л&. Подставив эти значения х во второе уравнение системы, 244
будем иметь sin 2 лА^ —-1 =sin (л+ 2лй)—1 =— l^O, т. е. значения х = у+лй не удовлетворяют второму уравнению систе- мы (16). Но тогда система (16) несовместна; таким образом, уравне- ние (14) не имеет решений. Пример 24. Решим уравнение -д/ —3 —cos2 х + 3 sin 5х = 1 — sin х. (17) Решение. Возведя обе части уравнения (17) в квадрат и вы- полнив последующее приведение подобных членов, получим: 2 sin х+3 sin 5х = 5. (18) Так как sinx^l, sin 5x^1, то уравнению (18) удовлетворяют те и только те значения х, при которых одновременно sinx=l и sin5x=l. Иными словами, уравнение (18) равносильно следующей системе: Решим ее. Из уравнения sinx=l находим х = у+2л^. Подставив эти значения х в левую часть второго уравнения системы (19) получим: sin 5(у+2л&) =sin (у + l(bi£) = sin у = 1. Таким образом, х=у+2л& — решение системы (19), а значит, и уравнения (18). уравне- Проверка. Выполним ее подстановкой в заданное ние (17). Получаем в левой части ~\J — 3 — cos2 (у+ 2л&) + 3 sin 5 (у+ 2лй) =0, а в правой части 1—sin (—-+2л&) =0. Таким образом, семейство х = -~|-2лй является решением ния (17). Пример 25. Решим уравнение -д/1 4~sin 2х = д/2 cos 2х. уравне- (20) Решение. Возведя обе части уравнения (20) в квадрат, полу- чим 1+sin 2х = 2 cos2 2х. Положим z/=sin2x, тогда cos2 2х= = 1 —г/2, и мы приходим к уравнению 1 -\-у = 2 (1 — г/2), откуда нахо- 245
дим yi = — 1; у2=±~. Задача свелась к решению совокупности урав- нений: sin 2х=— 1; sin 2х=-|~, из первого уравнения которой получаем х—— -^-+л£, а из второго x=(-ir^-+fn. Проверка. Так как выражение 1-f-sin 2х, находящееся под знаком радикала, неотрицательно при всех х, то выполним проверку, принимая во внимание, что по смыслу уравнения (20) cos2x>0. Проверим семейство х=—|-л&. Имеем cos2x = = cos(—~}-2л&) = 0. Это значит, что х=—|-л/г— решение уравнения (20). Проверим семейство х = (—1)" Будем да- вать параметру п значения 0, 1, 2, 3, ... . При п = 0 х = уу и cos 2х= = COS -£->0, при п= 1 Х= —7-г+-7Т и cos 2x = cos ( — “|-Л ) <0, при п = 2 х = -f-л и cos 2x = cos (-^-+2л ) >0, при п = 3 х = = —и cos 2х=cos (—“ЬЗл) <0, ... . Можно заметить (да и нетрудно доказать), что при четном значе- нии п cos 2х>0, а при нечетном п cos 2х<0. Таким образом, решени- ями уравнения (20) являются лишь те значения х, которые получают- ся из второго семейства при четных значениях п. Полагая n = 2m, получаем семейства х=— ~-+л&; = —\-ят— решения уравне- ния (20). Полученная запись ответа достаточно компактна, однако при желании можно дать и другую запись, например такую: х = ==тг+т’т’где m=^3n+L Пример 26. Решим уравнение arccos х— arcsin х = -~. (21) Решение. Взяв синус от обеих частей уравнения (21), получим уравнение sin (arccos х —arcsin х) = -~, являющееся следствием уравнения (21). Далее получаем: sin (arccos х) cos (arcsin х) —cos (arccos x) sin (arcsin x) = ^-, -д/l — x2 -\/l — x2 —x*x = -|-, 246
1—2х2=у-, откуда Xi=-j-, х2=— -у-. Проверка. Выполним ее подстановкой. Получаем: arccos Xi — — arcsin Xi = arccos 4— arcsin -—= -^-= • Таким образом, 2 2 о о о Xi=-^--корень уравнения (21). Далее, arccos *2 — arcsin %2 = = arccos f —Ц — arcsin ( —=т—(—Таким об- \ 2/ \ 2/ 3 \ о / о о разом, х2 = — -посторонний корень. Итак, корнем уравнения (21) 1 является х=~- Пример 27. Решим уравнение arcsin 2% + arcsin х = у-. (22) Решение. Возьмем косинус от обеих частей уравнения (22): cos (arcsin 2% +arcsin x) = cos тогда -д/1 — 4х2 -д/1 — х2 — 2х • х = у-, откуда ~ 2 з 1 ГТ 1 ГТ 7х = _,т. е. Xi=_-yl-, Х2==__-^_. Проверка. Положим а = arcsin 2%i + arcsin Xi. Тогда cos (arcsin arcsin =cos a, откуда т. e. cos a = -—. Так как далее 0« О < arcsin Но тогда 0<arcsin- жит первой четверти arcsin — то л 4 * у-+arcsin (у —, т. е. а принадле- 247
Итак, cos а = у иО<а<у-, но в таком случае а а значит, 1 /3 Xi—— -у----корень уравнения (22). Проверим теперь значение х2 = — уд/у • Положим 0 = = arcsin 2х2 + arcsin х2, тогда arcsin ( + arcsin (-у X X у у) =0. Так как — 1 < — <0 и — 1 < ~уд/у <0, то — л<arcsin ( —+ arcsin (—<0 или — л<0<О. Значит, 0^у, откуда следует, что х2= —у —посторонний корень. Итак, уравнение (22) имеет единственный корень х = у Упражнения 1496. Объедините семейства. а) Л . х— ±——р л/г и л х = у гг; б) л , , х— ± ——h л/г и х = л тп; в) 2 х— ±у л 4*2л/г и X — 2лп; Г) х= — -5-4- л (2/г+ 1) о и х = л , 2л 30+у п; д) л , 2л , и X — л , 2л t+t е) x=^-k о и X — л У"; ж) х = (— 1/ -5-4-лА; о и х = л т+д«; з) Х= J-+ nk и х = Л л , Т±т+л«; и) х = (-1/4 + лй о и X — (-ir'4+лп. О 1497. Из семейства Х\ исключите значения %, принадлежащие семейству х2. л , л a) Xi=—k, х2 = —гг, зт t л б) Xi=—k, Х2=—П' 4 2 в) Xi—-^-k, х2 — (—1) ——|-лл; г) Х1==у + у ^2 = л4-2лм; Д) Х1=^ + ^ k, х2 = л(2м + 1); о о 248
. JT t JT Л e) *i= — k, x2=—— 4-^-n; O O 2 \ t. / i \n ^Л I Ж) X\ ——- k, X2 — (— 1) -£ + ЛИ. □ 0 Решите уравнения. 1498. a) ^sin х — (sin x-h 1) = 0; б) ^cos (cos х — 1)=0; ч / д/2\ / . , л/2\ п в) I COS X J ( Sin ^ + "2' у =0- 1499. a) cosxtg3x = 0; б) sin 4х cos х tg 2х — 0. 1500. (1-j-cos x)(-J-----1 ) =0. \sin x / 1501. 1502. 1504. 1506. 1507. 1509. 1510. 1511. (1 + COS x) tg у =0. cos*. =0 1503. ^±^=0. l+cos2x cos 2x cos2 x+cos x „ ,rnc 2 sin2x—3 sin x+1 =0 I0O0. 9-=0. sin x-------------------------------------cos x — cos x sin 3x = cos 2x. sin (x — l) = cos (x + 2). 1508. cos 5x = sin 15x. sin (5 л —x) = cos (2x4-7 л). 2 cos2 x-j-cos x — 1 =0. sin2 3x —5 sin 3x4-4 = 0. 1512. tg3 x-f-tg2 x —3 tg x=3. 1513. 4 cos4 x —2 cos3 x —4 cos2 x^-cos x-|- 1 = 0. 1514. 2 sin3 x —cos 2x —sin x = 0. 1515. 2 cos2 x-f-5 sin x —4 = 0. 1516. 3 sin2 2x+7 cos 2x = 3. 1517. 2 cos2 x4-sin x = 2. 1518. V2 sin2 x-{-cos x = 0. 1519. sin 2x-f-cos 2x = sin x-hcos x. 1520. V2 cos 2x = cos x4-sin x. 1521. 4 sin2 x-f-sin2 2x = 3. 1522. 4 cos2 2x-f-8 cos2 x = 7. 1523. sin + +cos (x-h-y) = 1 4-cos 2x. 1524. 8 sin6 x-f-3 cos 2x4-2 cos 4x-j- 1 =0. 1525. 3 (1 — sin x)= 1 -]-cos 2x. 3 1526. sin x = -— cos x. 1527. 3 sinx = 2cosx. 4 1528. 2 sin x4-cos x = 0. 1529. sin x cos x —3 cos2 x=0. 1530. sin2 x4-sin x cos x —2 cos2 x=0. 1531. sin2 x4*3 cos2 x— 2 sin 2x=0. 1532. 3 sin2 x4-2 sin x cos x = 2.
1533. 2 cos2 x—3 sin x cos x4-5 sin2 x=3. 1534. sin6 x+sin4 x cos2 x=sin3 x cos3 x+sin x cos5 x. 1535. sin2 x cos2 x— 10 sin x cos3 x4-21 cos4 x=0. л/2 . л/2 i 1536. sin x—— cosx=l. 1537. л/З sin 2x4-cos 2x=V2- 1 л/З 1538. sin 3x4-cos3x = sin5x. 1539. 2 cos Зх4~л/3 sin x4-cos x = 0. 1540. sin 5x4-cos 5х=д/2 cos 13x. 1541. 3 sin x —5 sin ^7x4~-^0 = 4 cos x. 1542. sin 3x sin 6x = sin 8x sin 5x. 1543. cos 4x cos 2x = sin 3x sin 5x. 1544. sin 5x cos 3x = sin 9x cos 7x. 1545. sin 6x cos 2x = sin 5x cos 3x — sin 2x. 7 1546. sin6 x4-cos6 x = -r . lb 1547. 2 cos2 x4-cos 5x = 1. 1548. sin x4-sin 2x4-sin 3x = 0. 1549. sin x-f-sin 3x4-cos x4-cos 3x=0. 1550. sin 5x4-sin x4-2 sin2 x= 1. 1551. sin2 x—cos 2x = 2 —sin 2x. 1552. 8 sin2 —3 sin x —4 = 0. 3 1553. cos4 x4-sin4 x —sin 2x4--^- sin2 2x=0. 1554. 2 sin x — 3 cos x = 3. 1555. 3 sin 2x4-cos 2x = 2. 1556. cos 4x4-2 sin 4x= 1. 1557. sin x cos x —6 sin x4~6 cos x 4-6 = 0. 1558. 4—4 (cos x —sin x) —sin 2x=0. 1559 . 5 sin 2x—11 (sin x4-cos x)4-7 = 0. 1560. cos x cos 2x cos 4x cos 8х = Дг . lb r 5 1561. 3tgy+ctgx=^. 1562. cos 2x 3 cos x—|— 1 —/ . n i \ • / \ • (ctg 2x —ctg x) sin (x —л) tg X 1563. COS X = , , , }—. l+tg2x j , sin x 1564. ctg х4-тп-----=2. b 1 4-cos x 1565. sin 2x-|-tg x = 2. 1566. ctg (x4- л) — tg (x— л) = 6 tg 2x. 1567. tg (x—15°) ctg (x-|-15°) = -|-. 1568. tg (120° + 3x) —tg (140°—x) = 2 sin (80° + 2x). 250
1569. (l sin4 4~ 1 ) —----=2- X 2 / 4 х C0S 2 . _ _л . л . л 1 Зл ____ 1570. sin x cos -4-cos x sin , где —— ^х^л.. о о 2 2 1571. sin4 х + cos4 x — cos 4x, где — 5 x 5. 1572. 2 sin4 2x—sin2 2x sin 4x = 2 sin2 2x —sin 4x, где О^х^л. , lOtgx „ Зл л 1573. cos 4x+ . . x 2 " = 3, где —— <x<—. 14-tg2x 4 2 2 — 3 sin x —cos 2x 1574. —т-i--------2---=°- ox — ЛХ — Л 6 sin2 x —6 sin x 4-cos 2x4-1 '575- -----12х>-8лх + л*------=°- 1576. -\/25 —4x2 (3 sin 2лх4-8 sin лх) = 0. 1577. -д/49 —4x2 ^sin лх4-3соз^^ =0. 1578. д/9^ x2 (sin 2x—3 cos x) = 0. 1579. Ix4~3| sin x = x4-3. 1580. 2|x—6| cos X = X—6. 1581. Найдите сумму корней уравнения cos 4x4-cos 2x4-1 =0 на отрезке [О; Юл]. 1582. Найдите корни уравнения sin х tg 2x4-л/З (sin х —-\/3 tg 2х) = 3 -\/3, удовлетворя- ющие неравенству 2 4-log j х^О. г» Т Решите уравнения. 1583. 2 sin 17x4-л/З cos 5x4-sin 5х = 0. 1584. 4 cos3 -у 4-3 -\/2 sin x = 8 cos . x о x , . x 1585. — cos — — cos -—Hsin — . 4 4 4 2 1586. 4 sin 2x —tg2 ^x—=4. 1587. (sin 2x4-V3 cos 2x)2 — 5 = cos 2x . 1588 * ~s^n x“l“ ••• 0” sin” ••• _ 1—cos2x 1 4-sin x4-••• 4~sinn x4--.. 14~cos2x 4x 9 1589. cos — =cos x. 1590. sin x4~2 cos x = cos 2x —sin 2x. 1591. 32 cos6 x —cos 6x= 1. 1592. tg x4-ctg x —cos 4x = 3. 1593. 2 (1 —sin x —cos x)4~tg x4-ctg x = 0. 1594. sin5 x — cos5 x = —!---J—. cos x sin x 41 99 1595. sin8 2x4-cos8 2x — —— . 1596. sin10 x4-cos10 x = ~ . 1597. sin10 x4-cos10 x = — cos4 2x. lb 1598. | cos x| =cos x —2 sin x. Ж
1599. |ctg x| = ctg *+—4—. sin x 1600. д/5 —2 sin x=6 sin x — 1. 1601. д/24-4 cos x=у 4- 3 cos x. 1602. л/3 + 2 tg x —tg2 х = --^^. 1603. д/-3 sin 5x —cos2 x —3 4~ sin x — 1. 1604. tgx+±ctgx=VV-l-l. 1605. (1 H-cos х)д/tg ~-f-sin x — 2 = 2 cos x. 1606. д/cos2 x + -“+ ~^sin2 x4-y=2. 1607. д/1 —2 tg x—д/1 4-2 ctg x = 2. 1608. д/3 sin x—\/2 sin2 x —sin 2x-|-3 cos2 x = 0. 1609. cos x4-д/sin2 x — 2 sin 2x4-4 cos2 x= 0. 1610. д/cos 2x4- д/l 4~ sin 2x = 2 д/sin x4-cos x. 1611. -^2 sin (x-}-2)—д/2 cos2 x = д/sin x (2 cos 2 —cos x). 1612. 2 ctg 2x —3 ctg 3x = tg 2x. 1613. 6 tg x4-5 ctg 3x = tg 2x. 1614. 2 (ctg x — 1) cos 2x= 1 4-ctg x. 1615. 3 tg 2x —4 tg 3x=tg2 3xtg2x. 1616. 4 tg y+2 tg -^-+8 ctg x=tg —tg у . 1617. cos2 x (1 4-ctg x) ---:—*—---—=3 cos x. Sin X —COS X , ( nV . ( , n\ 4cos3x 1618. tg(x-TJtgxtg(x + TJ------------------ . tgy-ctgy cos 20x4-cos 2x4-2 sin2 x 1619. Г77-------------- = —д/3. cos lOx 1620. sin2 x4--r sin2 3x = sin x sin 3x. 4 1621. 1 4" cos 2x cos 3x = -^- sin2 3x. 1622. sin 5x4-sin x = 2 4-cos2 x. 1623. 3 sin2 ~ 4-5 sin2 x = 8. 1624. 2 sin (y ~3 cos ^2x-hy^ =5. 1625. sin у+ 2 cos Х~2Я =3. 1626. (sin х-|-д/3 cos x) sin 3x = 2. 1627. (sin 2х4-д/3 cos 2x)2 — 2 = cos (—2x ) . 252
1628. cos (л -\/x) cos (л -yJx — 4)— 1. 1629. sin 18x-|-sin lOx-f-sin 2x = 3-|-cos 2 2x. 1630. cos 2x 1 —sin2 2x = 1. 1631. sin x-j-cos x — д/2 4-sin4 4x. 1632. cos6 2x= 1 4~sin4 x. 1633. ctg cos 2лх =-\/3. 1634 . 2 sin2 cos2 x = 1 — cos (л sin 2x). 1635. 4 arctg (x2 — 3x4-3) = л. (л । / 3 л tg —) — arcsin~\/--------7^ = 3. 4 / V x 6 л 1637. arctg 3x— arcctg 3x = — . 1638. 2 arcsin2 x —5 arcsin x 4-2 = 0. 1639. 4 arctg x —6 arcctg х = л. 1640. arcsin x+ arccos (1 — x) = arcsin ( — x). 1641. 2 arcsin x= arccos 2x. , / . л/З \ л 1642. arcsin —arccos (x-J--^- ) =_g"- 1643. arccos x= arctg x. 2 ,--- 1 1644. arcsin-------arcsin yl — x— arcsiri —. 3 V* 3 § 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ При решении систем тригонометрических уравнений используются те же приемы, что и при решении систем алгебраических уравнений. Часто бывает удобнее вместо общих формул, по которым решаются уравнения вида sinx = a, cosx = a, записывать решения этих урав- нений в виде совокупности двух семейств. Пусть, например, нужно решить систему уравнений sin (х + у)=-£-, cos (х —у)=^. (1) Если воспользоваться общими формулами, то придем к системе x + y = (-l)*f+^, X—у — ±“+2лл’ (2) откуда находим: 253
х=(-1)*ТГ±т+т+шг’ !/=(- т+т-пп (3) — решение системы (1). Если решение первого уравнения систе- мы (1) записать в виде совокупности х+у = -£—|-2nfe; х-\-у=^+ 4-2лй, а решение второго уравнения системы (1) записать в виде совокупности х—y=-j—|-2лп; х—у ——^--|-2лп, то получим сово- купность четырех систем: х 4- у=-~]-2 л k, О х — у=-^~^-2лп; х + у=~]-2л&, х — у= —-2—|-2лп; х + у=у+2л/г, х—у=-~^-2лп; х+у=^+2л/г, х — у = — -j—2лп, (4) откуда Х1 = 2?+Л <* + ")> ,У1 = —^-+л(/г —п); х3= — ^-4-л (6-М), Уз = ^-+л (k — ri)\ x2=~|-« (* + «), г/2 = ^-+л (fe —n); Х4 = ^+л (k + n), У4 = 1-^+л(к — п). Эта совокупность семейств представляет собой решение системы (1). Конечно, такая запись не столь компактна, как запись реше- ния в виде системы (3), но более наглядна, поэтому часто подобной записи отдают предпочтение. Обратим внимание читателя еще на одно обстоятельство: при переходе от системы (1) к системе (2) или к совокупности систем (4) мы использовали для записи решений первого уравнения системы (1) параметр k, а для записи решений второго уравнения системы — дру- гой параметр — п. Употребление только одного параметра, напри- мер fe, привело бы нас к потере решений: так, в этом случае из первой Гх{ = ^+2лй, системы совокупности (4) мы получили бы < п1=-й- а множество Zf пар вида (xf; t/f) представляет собой собственное под- множество множества Z\ пар вида (xi; z/i), 254
pl= —4-Л (fe + rt), где < V/l = —ir+ir (*“”)• Итак, Z' cz Zi, Z'=/=Zi, поэтому все пары (x; у) такие, что (%; у)£ gZi\Z' оказываются «потерянными» решениями. Рассмотрим примеры. Пример 1. Решим систему уравнений ( sin х sin // = 0,75, zgx Ugxtg y=3. Решение. Разделив левую и правую части первого уравнения системы (5) соответственно на левую и правую части второго урав- нения системы, получим уравнение cos х cos// = -—. Заменив этим уравнением второе уравнение системы (5), получим систему {sin х sin // = ---, \ (6) cos х cos y = —, 4 равносильную системе (5). Заменим теперь первое уравнение системы (6) суммой уравнений этой системы, а второе уравнение — разностью второго и первого уравнений. Получим новую систему: !cos х cos у + sin х sin у = 1, cos х cos // — sin x sin y= — (7) !cos (x — y) = 1, COS (x + t/)= равносильную системе (6). Из первого уравнения системы (7) нахо- дим х — у = 2лк, второе уравнение системы (7) равносильно сово- купности уравнений х + у = ^--{-2лп; х + // = — ^4-2лп. О о Таким образом, от системы (7) мы перешли к совокупности систем {х — y = 2nk, ( x — y = 2nk, х+у=^-+2лп; (•*+#= — ^4-2лп, которая равносильна системе (7). Из первой системы совокупности (8) находим семейство решений: Х1=-£-4-Л (n + k), |-л (n —fe). * о 255
Из второй системы совокупности (8) находим семейство решений: 1 {х2 = — -£-+ Л (п + k\ о У2= — -£-+л (п — /г). Проверка. Так как в процессе решения выполнялись только * равносильные преобразования (это отмечалось в ходе решения), то 1 совокупность семейств J {Х1=-2—Р JT (/г —/г), Г%2=----Я (п + fe), о I о 01=^-+л (n — k); 1 г/2= — т-Ч-л (л — k) О v о является решением системы (5). Пример 2. Решим систему уравнений {. Q 1 Sin х =——sin у, 3 \ О) 5 COS0 Х = --COS у. Решение. Возведем в квадрат обе части каждого уравнения системы (9) и сложим почленно уравнения, полученные в результате ] этого преобразования. Будем иметь sin6 x + cos6 х = -^-и от системы \ (9) перейдем к новой системе: {sin6 x4-cos6 х=4”, .3 1 . (10) snrx= —siny. Решим уравнение sin6 x + cos6 х = -~. Последовательно полу- чаем: 1 — cos 2х 3 । 1 + cos 2х COS 2% = 0, Таким образом, решение системы (10) мы свели к решению сис- темы x = f+tk’ . з 1 Sin х = —sin у. (11) Имеем: fx=T+fk’ ИЛИ1 . л/2 (siny=±y, 256
откуда (12) Переход от системы (9) к системе (10), возможно, не был равно- сильным преобразованием (возведение в квадрат), поэтому необхо- дима проверка. Проверка. Изобразим значения х и у, содержащиеся в си- стеме (12), точками двух окружностей (рис. 43). В точке А\ имеем sinx>0, cosx>0. Тогда из системы (9) заключаем, что sin у>0 и cosz/>0. Но из точек Вь В2, В3, В4 только точка В\ имеет положительные абсциссу и ординату. Значит, \А\\ В\) — гео- метрическое решение системы (9), т. е. 4 1 —решение системы (9). г/1=-~+2лп Рассуждая аналогично, получаем (Д2; В2), (Л3; В3), (Д4; В4) — геометрические решения системы (9), т. е. Х2 = —+ 2л£, х3 = ^-+2лй, Уз = у-+2лп; х4 = -~+2л/г, г/4 = ^+2лп — решения системы (9). Итак, решением системы (9) является следующая совокупность семейств: Х\ ="7“4-2лЙ, 4 yi = ~j-2nn; x2 = ^+2nfe, У2 = Y-+2nn; х3 = ^+2л/г( Уз = ^+2л«; х4 ———Н2л£, t/4 = ^+2лп- 9 Заказ 840 257
Пример 3. Решим систему уравнений x + z/4-Z = H, tgxtgz = 2, (13) tgytgz=18. Решение. Так как х + у-\-г = л, то tg (х + у) = tg (л — z), • т. е. = - tg z. 1—tgxtgy s Этим уравнением заменим первое уравнение системы (13) и рас- смотрим новую систему: 1— tg х tg у tgxtgz = 2, Jgytgz=18. Введем новые переменные: fz/ = tgx, < ^ = tg у, |^ = tg z. Тогда система (14) примет вид: uw=2, vw = 18, ИЛИ ( UVW = U + V + w, < uw = 2, I vw = 18. (14) (15) (16) Разделив почленно первое уравнение системы (16) на второе, по- лучим: и = ц—, откуда v — u-{-w. Заменим этим уравнением первое уравнение системы (16). Получим: {v = u-}-w, uw — 2, (17) vw = 18, и далее ( v = u-\-w, (v = u+w, <uw = 2, <uw = 2, (18) + w)w = 18; |^2 = 16. Система (18) имеет следующие решения: {и\ =0,5, Ги2 = —0,5, у, =4,5, J V2=—4,5, Wi=4; 1^2— — 4, Возвращаясь к старым переменным, получаем: 258
Xi = arctg 0,5 + f x2 = — arctg 0,5 + nk, z/i = arctg 4,5 +лп, < yz= — arctg 4,5 + nn, (19) Zi = arctg 4 + nm\ (z2= — arctg 4 + nm. Проверка. В процессе решения было три преобразования, каждое из которых могло привести к неравносильной системе: «взятие тангенса» при переходе от системы (13) к системе (14), ос- вобождение от знаменателя при переходе от системы (15) к систе- ме (16) и деление при переходе от системы (16) к системе (17). К потере решений могло привести только деление, но в данном случае этого не произошло, так как правая часть «уравнения-дели- теля» равна 2, т. е. отлична от нуля. Остальные преобразования мог- ли привести к появлению посторонних решений: «отсев» посторонних решений можно осуществить с помощью непосредственной подста- новки значений, содержащихся в найденной выше совокупности (19), в исходную систему. Легко убедиться в том, что совокупность (19) удовлетворяет второму и третьему уравнениям системы (13). Что- бы удовлетворялось и первое уравнение этой системы, придется записать совокупность (19) так: Х\ = arctg 0,5 +nfe, у{ = arctg 4,5 + л/г, = arctg 4 — nk — л/г, (мы воспользовались тем, что arctg 0,5 +arctg 4,5 +arctg 4 = л — это следует из решения примера). Совокупность семейств (20) представляет собой решение систе- мы (13). Пример 4. Решим систему уравнений sin x = cos у, д/6 sin ?/ = tg z, (21) 2 sin 2=-\/3 ctg х. Решение. Возведем в квадрат обе части каждого из уравне- х2 = — arctg 0,5 +ля, У2= — arctg 4,5 +л/г, (20) z2 — — arctg 4 — л/г — л/г + 2л ний системы (21). Получим: 'sin2 x = cos2 у, < 6 sin2 у = tg2 г, k4 sin2 z = 3 ctg2 x. Введем новые переменные: fu = sin2x, < v = sin2 у, ^w = sin2z. Тогда система (22) примет вид: г и= 1 —у, 6v=r^-, V 1 —до = 3 1 , I и (22) (23) 259
откуда находим: f U[ = 1, ” ^1=0, чШ1=0; — решения системы (23). Теперь задача сводится к решению следующей совокупности си- стем: • 2 1 sin Х =--, 2 ’ • 2 1 s,n у=-, (24) sin2 z = 4 Из первой системы этой совокупности находим: Х1=—+лй, (25) У\ = лп, . Zi = ш. Из второй системы совокупности (24) находим: sin2 х = 1, sin2 у — 0, sin2 z = 0; 2?=±у+:ш. Проверка. Подставим найденные решения (25) и (26) в ис- ходную систему (21). Для этого воспользуемся тем же приемом, который был применен при решении примера 3, а именно изобра- зим значения х, у, г, содержащиеся в системе (25), точками со- ответственно трех окружностей (рис. 44). Рис. 44 260
Рис. 45 Возьмем точку А\. В ней sinx>0, а потому cosy>0 (см. пер- вое уравнение системы (21)). Тогда из двух точек В|, В2 мы выберем точку с положительной абсциссой, т. е. В\. Заметим, что при этом из точек Ci, С2 можно взять любую. Аналогично точке А2 соответст- вует точка В2. Итак, мы получили четыре геометрических решения: (Аг Вг, Ci), (Аг, Вг, С2), (А2; В2; Ci), (А2; В2; С2). Таким образом, вместо семейства (25) мы получаем следующую совокупность семейств: | Х1=у-+2л&, ( х2=—-~Ь2л&, । у\ = 2лп, । г/2 = л4-2лп, (27) ( 21=лт; к г2 = лт (остальные кортежи (х; у, z\ содержащиеся в семействе (25), яв- ляются посторонними решениями для исходной системы). Изобразим теперь точками окружностей значения х, у, z. со- держащиеся в системе (26) (рис. 45). Рассмотрим точку Аь В ней sinx>0, ctgx>0, значит, cosz/>0, sinz>0 (см. первое и третье уравнения системы (21). Так как cos z/>0, то на второй окружности выберем точки с положительными абсциссами В\ и В4. Так как sin z>0, то на третьей окружности выберем точки с положительными ординатами С\ и С2. Рассмотрим точку В[. В ней sin у>0, значит, tg z>0 (см. второе уравнение системы (21)), а потому из точек Ci, С2 выберем точку С\ (в ней tgz>0). Аналогично точке В4 будет соответствовать точка С2. Итак, мы получили еще два геометрических решения (Аг Вт Ci) и (Аг В4; С2) и соответственно следующую совокупность семейств решений системы (21): x3=-^-4-2nk, 4 х4 = ---+2л&, Уз = у-+2лп, //4=^+2лАг, (28.) гз = -7—[-2лт; 4 г4 = -^+2лт. Рассуждая аналогично, найдем еще шесть геометрических реше- 261
ним: (Д2; В,; С3), (Д2; В4; С4), (Л3; В2; С,), (Д3; В3; С2), (Д4; В2; С3), (Л4; В3; С4) — и соответственно совокупность семейств решений: Г %5 ==-^-4-2лй, < г/5 = -~+2лп, ( £5 = -~+2лт; Х8 = ^+2л6, У8 = ^4-2ли, Z8=y+ 2лт; v О Таким образом, совокупность семейств шение системы (21). ' x6 = y+2n£, Ув = ^- +2 ли, Ze = у + 2лш; • x9 = ^+2nk, £/9 = у+2ли, , гэ = у+2лт; ' х7==^4-2л£, - У? = у+2ли, L z7 = —+2лиг; ^9) Хю = у 4-2лй, ' (/io —у+2ли, , £ю = у+2лпг. (27), (28) и (29) — ре- Упражнения Решите системы уравнений. 1645. ( sin (х4-£/) = 0, 1646. f sin x cos £/ = 0,25, [ sin (х — z/) = 0. sin у cos x=0,75. 1647. | sin x + cos у = 0, | sin2*x + cos2 У = -^~ • 1648. sin x sin £/=0,25, л 1649. ( 2sin х Н J—= 2, I COS у 1 ^ПА=0,5. ^cos у 1650. j ' cos x + cos у = 0,5, sin2 x+sin2 £/= 1,75. Г 1 x-!/=y cos2 лх — sin2 л£/ = 0,5. 1651. ( sin x + sin £/=0, i COS x + cos £/ = 0. 1652. 1653. | sin2 x + sin2 £/ = 0,75, p+«/=T- 1654. * k cos2 x + cos2 £/ = 0,25, , 5л /+^=т 1655. | sin2 x + cos2 £/ = 0,5, ? . л 1656. COS x + cos £/ = 1, x у д/2 — cos2+cos2 = 4 {V2 COS X sin £/=у— , У 2 , Зл Х + У = ~4 1659. ( tgx + tgy=l, { । л I х + у = —. 1658. 1 — tg х ± i+TFx=tgy’ л х-г/=у. 1660. ( ctg x+ctg у —0, < л р-г/=у 1661. | cos (х — у) = 2 cos (х +1/), 1662. I cos cos ^-^ = 0,5, 1 cos x cos y — 0,75. I _ V I cos x cos £/=0,25. 262
1663. | sin (x + y) sin (x—y)= — — , 1 cos 2x cos 2r/ = -i- . {1 z л sin x sin i/=j—, 1665. I x —1/ = —, tgxtgt/ = y. Itgxtg y=l. 1666. (x+y=^, I tgx 3 Mg У 4 ' 1667. I x + t/ = 4. 1 5 (sin 2x4-sin 2i/) = 2 (1 4-cos2 (x — y)). 1668. (x-y = %, 1669. ]x+y=-—, < О < 6 sinx = 2sint/. cos 2x = 2 cos 2y. 1670. -ft sin x = sin y, д/2 cos х = д/3 cos y. к 1671. ( sin x cos (x+ r/) + sin (x4-*/) = 3 cos (x-\-y), i 4 sin x = 5 ctg (x + y). 1672. ( ctg x-Ь sin 21/= sin 2x, 1673. | 4 tg 3:/ = 3 tg 2x, I 2 sin у sin (x4-i/) = cos x. I 2 sin x cos (x—z/) = sin y. 1674. j tg x + ctg y — 3, 1675. ( sin x = sin 2y, < , , я | cos x = sin y. llx-!/l=V 1 {2л z 1 x + y = -^, \ЬТ1. I sin x —sin z/ = —, sin x % д/'З —— = 2. I cos x-hcos —. sin у V 2 Z j । /2" 1679. I cos x cos y=--— < 4 1678. f sin (/ = 5 sin x, | 3 cos x + cos у = 2. 1680. ( sin2 x = cos x cos y, 1681. ( cos2 y-\-3 sin x sin z/ = 0, I cos2 x— sin x sin y. | 21 cos 2x — cos 2y= 10. 1682. J 3 sin2 x —cos x cos t/ = 0, I 11 cos 2x +cos 2г/= 6. 1683. ( sin2 x — sin y, 1684. (x-]-y-]-z — n, I cos4 x=cos y. ztgxtgz = 3, |tg*/tgz = 6. 1685. fx4-t/4-2 = n, 1686. Гх4-^+2 = л, J tg x tg y = 2, J sin x = 2 sin y, I tg x4-tg i/4-tg 2 = 6. |V3sint/ = sinz. 263
1687. ( sin2 х-f- sin2 y-\- sin2 z — 1, / cos2 x4-cos2 у — cos2 z=l, |^tg2x-tg2r/4-tg2z=l. 1688. Найдите решения системы уравнений I sin x| sin y =-— , 4 3 cos (x 4-1/)4- cos (x — y)=— , удовлетворяющие условиям: f 0<х<2л, | л<1/<2л. § 6. НЕРАВЕНСТВА Решение тригонометрических неравенств сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств, т. е. не- равенств вида sin х>а, cos x<Za и т. д., а также к решению сово- купностей, систем или совокупностей систем простейших тригоно- метрических неравенств. Для решения простейших тригонометриче- ских неравенств во многих случаях удобно пользоваться окруж- ностью, на которой множество значений переменной, удовлет- воряющих заданному простейшему неравенству, изображается в виде одной или нескольких дуг. Аналогично тому, как с помощью неравенств задаются проме- жутки на числовой прямой, можно записывать и множество то- чек, принадлежащих той или иной дуге окружности S. Условимся символом ^М\М? обозначать дугу, для которой точка Mi — начальная точка (в обозначении дуги она записы- вается первой), М2 — конечная точка пути, описываемого теку- щей точкой по окружности S в положительном направлении (против часовой стрелки). Так, пусть с помощью неравенств требуется записать сле- дующие дуги окружности S (рис. 46): 1) ^©o©i; 2) ^01©з; 3) ^01©о; 4) o©20i; 5) о0оМ; 6) 7) о0зМ, где точка М — середина дуги ©102. 1) Точка ©о соответствует числу 0, точка ©i соответствует числу у-, поэтому текущая точка дуги ©о©1 соответствует числу х тако- му, что Учитывая, однако, что если точка окружности соответствует чис- лу х, то она соответствует и всем числам вида x-\-2nk (k — целое), получаем, что точки дуги 0О©1 соответствуют числам х, удовлетво- ряющим следующей системе неравенств: 0 + 2л/г^х^-|—|-2л&, или 2л£^х^-^—\-2:ik. Это — аналитическая запись дуги ©о©1. 264
2) Для дуги ©i©3 получаем: ~—|-2л&^х^ ^-+2л&. 3) Как было отмечено выше, в этом случае под записью <->010о понимается дуга 01©20з©о. При первом обходе окружности точка ©i соответствует числу у-, а точка ©о — числу 2л (но не числу 0, так как обход окружности от 01 к ©о идет в положительном направлении), значит, аналитически o©i0o можно записать следующим образом: —|-2л/г ^х^2л 4-2лй. 4) Дугу ©2©i можно записать двумя способами: — л-|-2л/г*О<^—\-2nk или л+ 2лА^х^у-+2ли. 5) ^0оЛ1:2лЛ<х<у+2л&. 6) ч>М0о:у+2лА!<х<2л + 2л6. 7) 03М: - у-+2лй < х < 2л/г- Замечание. Записывая дугу в виде а л 0 + 2л&, необходимо следить за тем, чтобы выполнялось неравенство а<0, иначе система неравенств (1) окажется противоречивой. Пусть теперь каждая четверть окружности S разбита на три равные части (рис. 47). Найдем аналитические записи следую- щих дуг: 1) 2) о0|В4; 3) ^В-ЛА\\ 4) ^ЛгВ,; 5) <^Л402; 6) Л3В2. 1) Рассмотрим дугу BiB2. Так как каждая из дуг ©оЛь AtBi, В101, 01Л2, В40о имеет длину у, то при первом положитель- ном обходе окружности точка Bi соответствует числу у, точка В2 — 265
числу Следовательно, аналитическая запись дуги В1В2 будет: 3 6 2) о01В4:у-+2л/гСх^^+2л/г. 3) ^B3A]:-^-+2nk^x^^-+2nk (или ^+2лп<х<фЧ 3 о у 3 о + 2лп) . Замечание. Еще раз обращаем внимание читателя на необходимость кон- троля при записи концов дуг. Так, при первом обходе окружности S точка Вз соответ- 4л „ Л ствует числу — ; продолжая движение в направлении от точки Вз к A h мы при переходе через точку 0о начинаем обходить окружность второй раз, т. е. точка Ai соот- 13л „ я ветствует теперь числу —z~. Отсюда и получается вторая запись для дуги ВзА\. о 4) ^А2Вс.(или >. 3 3 у ^+2лп<х<^-+ О о 5) v4402: —Н2л&хл + 2л/г (или 2лпхЗл + <5 \ о 6) оД3В2: — ^+2л/г^х^^+2л^ (или 6 о у Пример 1. Решим неравенство sin %>у-. ^•+2ли<х<ЦЧ о о (2) Решение. По определению, sin х — это ордината точки t ок- ружности S, соответствующей числу х. Отметим на окружности S точки, имеющие ординату, равную (точки М и Р на рисунке 48). Тогда точки, ординаты которых больше -|», заполняют открытую дугу МР. Эту дугу естественно назвать геометрическим решением неравенства (2). Составим аналитическую запись открытой дуги МР: ~~+2лй< 5л <х<—4-2лй. Это и есть решение неравенства (2). Пример 2. Решим неравенство cosx<-|-. (3) Решение. По определению, cos х — это абсцисса точки 266
соответствующей числу х. Отметим на окружности S точки, имею- щие абсциссу, равную (точки М и Р на рисунке 49). Тогда гео- метрическим решением неравенства (3) будет открытая дуга МР ^каждая ее точка имеет абсциссу, меньшую -у). Составим анали- тическую запись открытой дуги МР: arccos —И 2nk < х < 2л —- arccos -—И 2nk. Пример 3. Решим неравенство (4) Решение, tg х не определен при х = у-4-л£. Этим числам соответствуют точки 01 и 03 окружности S (рис. 50). Отметим на полуокружности 030i точку Л4 = Л4(х) такую, что tgx=-—у-. Так как на дуге 030г (а точнее, на каждом из интервалов числовой прямой R, отображающихся на дугу 030i) функция y — tg х воз- 267
растает, то неравенство tgx^—у будет выполняться для всех точек дуги 0з©1, лежащих от точки М в отрицательном направле- нии, т. е. на полуоткрытой дуге 03Л1. Так как, далее, основной период тангенса равен л, то неравенство (4) будет выполняться и для всех точек дуги 01Р, отличающейся от дуги 03М на половину окружности. Итак, геометрическим решением неравенства (4) является объ- единение двух полуоткрытых дуг 03М и 01Л Составим аналитичес- кие записи указанных дуг. Для дуги 03Л4 имеем: — у + 2л/?<х^С — arctg у + 2л&, а для дуги 01Р:-у4-2л£<х^ л — arctg у+ 2л&. Впрочем, решение неравенства (4) можно записать короче: — у + лп<х^ — arctg у + ли. Пример 4. Решим неравенство ctgxc^-. (5) Решение, ctg х не определен при x = nk. Этим числам со- ответствуют точки ©о и 02 окружности S (рис. 51). Отметим на полуокружности 0о02 точку А4 = М(х) такую, что ctgx=^, для этого отложим дугу 0оА4, длина которой равна arcctg ^~ = у. Так как на дуге 0О02 функция у = ctg х убывает, то неравенство ctg х<. л/з <у будет выполняться для всех точек дуги 0о©2, лежащих от точки М в положительном направлении, т. е. на открытой дуге /з Л402 (при решении неравенства ctg х> у пришлось бы взять дугу 0ОМ). Учитывая, что основной период котангенса равен л, отметим еще дугу Р0О, на которой выполняется неравенство (5) (она полу- чается из дуги Л402 поворотом вокруг точки О на 180°). Итак, геометрическим решением неравенства (5) является объ- единение двух открытых дуг Л402 и Р0О. Аналитическая запись дуги Л402 такова: у4-2л£<х<л + 2л&; аналитическая запись дуги Р0о такова: у + 2л£<х<2л + 2л/г. Короче решение неравенства (5) можно записать следующим образом: у + л£<Сх<Сл + л&. 268
(6) Пример 5. Решим систему неравенств f sin I л/2 I COS Х> “ 2 • Решение. Найдем геометри- ^.л/З ческое решение неравенства sin х<у- (дуга МР окружности S отмечена на рисунке 52 внутренней штриховкой). На той же окружности найдем геомет- рическое решение неравенства cos х> > (соответствующая дуга ЕК отмечена на рисунке 52 внешней штриховкой). Тогда геометричес- ким решением системы (6) будет пересечение дуг МР и ЕК, т. е. объединение дуг МК и ЕР. Осталось лишь составить аналитическую .запись каждой из этих дуг. Для дуги МК имеем: ^4-2л^<х<^+2лй; 3 4 для дуги ЕР имеем: - y+ 2лй < х < У+2nk. Пример 6. Решим неравенство 2 sin2 + л/3 cos 2х>0. (7) Решение. Применив формулу 1 —cos 2а = 2 sin2 а, преобра- зуем неравенство (7) к виду 1 — cos (2х + у) + л/3 cos 2х>0, и далее — cos (2x + y) + \/3 cos 2х> — 1, sin 2x-f--\/3 cos 2x> — 1, 3-sin 2x+^-cos 2x> —sin -£-sin 2x +cos -£-cos 2x> — 2 2 2 b b 2 cos(2x--f-)>(8) Решим неравенство (8). Положив t—^2x—2-), получим не- равенство cos/>—решение которого находим с помощью окружности S (рис. 53): — </<—•+ 2nk. Возвращаясь О О 269
к переменной х, получаем: — ^-+2л/г<2х —-2-<^-+2л&, отку- О и о да — -2-+л/г<х<^-4-л£ — решение неравенства (8), т. е. и не- равенства (7). Пример 7. Решим неравенство 6 sin2 х — sin х cos х — cos2 х>2. (9) Решение. Так как 2 = 2 (sin2 x + cos2 х), то можно преобразо- вать неравенство (9) к виду 4 sin2 х — sin х cos х — 3 cos2 х>0. (10) Так как cos2x^0, то неравенство (10) равносильно следующей со- вокупности систем: I cos2 х = о( rcos2x>0, l4sin2x>0; 14 tg2 х —tg х—3>0. (11) Первая система совокупности (11) имеет решение: х==~^—|-л£. Вторая система этой совокупности равносильна следующей системе: {х#=-2-+л^, (tgx-l)(tgx+-|-)>0, которая, в свою очередь, равносильна совокупности неравенств: tgx<--|-; tg х> 1. (12) Найдем решение совокупности (12). Геометрическим решением неравенства tg 1 является объединение открытых дуг M0i и N&3 (на рисунке 54 отмечено внутренней штриховкой), геометри- ческим решением неравенства tgx<— — является объединение открытых дуг 01L и 03К (отмечено внешней штриховкой). Геомет- Рис 53 Рис. 54 270
рическое решение совокупности (12) представляет собой объедине- ние четырех дуг: Af0i, Л/0з, ®\L, ©з/С Так как, далее, геометричес- кое решение первой системы совокупности (11) представляет собой двухэлементное множество {01, 0з}, то геометрическое решение этой совокупности представляет собой объединение двух дуг ML и М/С Составим аналитическую запись дуги ML: -^-+2лй<х<л — — arctg -~|-2л£. Учитывая, что дуга NK получается из дуги ML поворотом вокруг точки О на 180°, мы можем не составлять аналитическую запись дуги МК, а сразу записать решение совокупности (12) в виде лй < х < л — arctg ~—h л/г. Это и есть решение неравенства (9). Пример 8. Решим неравенство sin хЧ-cos (13) sin х Решение. Имеем последовательно: sinx + cosx----— <0, sin2x + sinzcoSx-l<0) sin X sin X sin x cos x —cos2 x < q cos x (sin x —cos x) q (14) sin x * sin x ’ ' ' Воспользуемся тождеством sin x = tg x cos x. В данном случае это сужает область определения неравенства, но не приводит к по- тере решений, так как значения х, при которых cosx = 0, не явля- ются решениями неравенства (14). Неравенство (14) преобразуется к виду cos2x(tgx—1) „___tgx—1 /1с\ ----и далее -----------------<0. (15) sin X sin X Полученное неравенство равносильно следующей совокупности систем неравенств: П tg х> 1, t sin х<0, (16) 1tg х< 1, t sin х>0. (17) Решим систему (16). На рисунке 55 показано объединение дуг Р0з и Л401, которое представляет собой геометрическое решение неравенства tg х> 1, а дуга 020о — геометрическое решение нера- венства sinx<0. Геометрическим решением системы (16) является дуга Р03, ее аналитическая запись имеет вид: ^-+2лк<х<^+2л1г- 271
Решим систему (17). Из рисунка 56 видно, что геометрическим решением этой системы является объединение дуг OoAf и ©102. Ана- литическая запись имеет вид: 2л£ <х<-~ + 2л£; 4-2л£<;х<; л-|-2л/г. Значит, решение совокупности систем (16) и (17), а вместе с тем и решение неравенства (13) таково: ^+2л&<х<С-у-4“2л/г; 2л£ <Сх<С-^- + 2л6; 2л£ < х < л + 2л/г. Отметим в заключение, что не всегда можно решить систему или совокупность тригонометрических неравенств с помощью окружнос- ти. Так обстоит дело, например, в тех случаях, когда наименьшее общее кратное основных периодов всех функций, входящих в нера- венства, составляющие данную систему или совокупность, больше длины окружности, т. е. больше 2л. В подобных случаях вместо окружности используется числовая прямая. Упражнения Решите неравенства. 1689. a) sin х> — ~; б) COS 2" ’ 1690. a) sin х<_-^~; О б) cos х^ —0,7; В) г) ctg — 1 . в) tg . . л/3 г) ctg х> — -X- 272
Решите системы неравенств. 1691. | ( sin x<-^-, 1692. ( sin x> , 1 1 tgxco. cos x< —. v 1693. 1 ( „ ^-л/2 1694. f tgx<l, 1 cos*<-2 J , V3 ictgx>-V3. з 1695. 1 ( 1 ( -- 3 1 sin x > — . 1696. I cos x , 1 0 < Э 1 1 1 tg x<3. I cos x< — . \ \ 0 1697. 1 f 4 |sinx<-^-, 1698. [tgx>0,23, 1 / l ctg x^ 0,3. 1 ctg x<2. 1 1699. pg2x<l, 1700. (ctg 1701. J sin Зх>-^-, |tgx>V3. Решите совокупности неравенств. 2 1702. sinx>—; cosx<0. 1703. cosx<-^-; tgx>—3,5. 1704. sinx<— ; ctgx<7. /3 1705. tgx<y-; ctgx<-V2. / л \ д/2 1706. sin ( x—— ; cos 2x> - \ 4 / 2 1707. sin 2x^-^-; cos 3x>—. Решите неравенства. 1708. cos x2 > y . 1709. д/3 sin 2x-j-cos 2x< 1. 1710. cos ЗхЦ- уЗ sin Зх< — д/2. 1711. cos 2x + cos x>0. 1712. . ,C°S <0. 1713. sin3x>cos3x. 1 -}-cos 2x 1714. tg x+3 ctg x — 4>0. 1715. sin2 x —cos2 x —3 sin x-|-2<0. 1716. 2 sin2 -^-4-cos 2x<0. 1717. tg3 x + 3>3 tg x-f-tg2 x. 1718. sin 3x —cos 3x sin Зх + cos 3x
1719. 5 sin2 x— 3 sin x cos x — 36 cos2 x>0. 1720. 2 sin2 x—4 sin x cos *4-9 cos2 x>0. 1721. cos2 x4~3 sin2 x-]-2 -д/3 sin x cos x< 1. 1722. 3 sin2 x+ sin 2x —cos2 x^ 2. 1723. sin 4x4-cos 4x ctg 2x> 1. 1724. 24-tg 2x4-ctg 2x<0. 1725. 2 cos x (cos x —л/З tg x)< 5. 1726. sinx4~cosx<—!—. cos x 1727. sin6 x + cos6 x<. 1728. ctgxd--- 16 s cos x — 2 1729. cos2 2x4-cos2 x=C 1. 1730. 8 sin2 -^-4-3 sin x —4>0. 1731. sin x4-cos x>>-^2 cos 2x. 1732. tgx4-tg2x — tg3x:>0. 1733. cos 2x cos 5x<cos 3x. 1734. sin 2x sin 3x—cos 2x cos 3x> sin lOx. (х+у)+2с‘е(х+т)>0- 1735. ctg x4-ctg 1736. 2 sin2 x—sin x4-sin 3x< 1. 1737. 4 sin x sin 2x sin 3x> sin 4x. 1738. Cc°qSs2^3 tg x. 1739. 3 cos2 x sin x —sin2 x< — 1. cos x4-2 cos2 x4-cos 3x cos x-|-2 cos2 x— 1 Решите системы неравенств. § 7. УРАВНЕНИЯ, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ Пример 1. Решим уравнение sin4 х + cos4 х = а. (1) Решение. Применяя формулы понижения степени, получим: 1 — cos 2х । ( 1 4-cos 2х и далее cos22x = 2a—1. (2) Найдем контрольные значения параметра (см. с. 177). В данном случае это такие значения параметра, при которых правая часть уравнения 0 или 1 (если 2а—1<0 или 2а—1>1, то урав- нение не имеет решений). Если 2а — 1 =0, то я = если 2а — 1 = 1, то а= 1. 274
Итак, рассмотрим уравнение (2) в каждом из следующих пяти случаев: 1) а<-|~; 2) а = -|-; 3) -|-<а<1; 4) а=1; 5) а>1. 1) Если Ж-£-> то 2а— 1<0 и уравнение (2) не имеет корней. 2) Если о = то уравнение (2) принимает вид cos22x=0, откуда находим 3) Если а < 1, то 0 < 2а — 1 < 1. Преобразуем уравнение (2) к виду: с^"--=2а— 1, и далее cos4x=4a—3. Так как в рас- сматриваемом случае -^<а<1, то 2<4а<4, а тогда — 1<4а — — 3<1. Значит, уравнение cos 4х=4а —3 имеет решение. Получим 4х= ± arccos (4а —3) + 2л/г, откуда х= arccos (4а — 3)+ -£-£. (3) 4) Если а=1, то уравнение (2) принимает вид cos22x=l. Из этого уравнения находим х=у/?. 5) Если а> 1, то 2а— 1 > 1 и уравнение (2) не имеет корней. Заметим, что если а~~^~ или а=1, то решение тоже можно за- писать в виде (3). Ответ: 1) если а<-|-; а> 1, то корней нет; 2) если у-^а<1, то х= ±-|- arccos (4а — 3)-|— Пример 2. Решим уравнение (а — 1) sin2 х —2 (а 4-1) sin х +2а — 1 =0. (4) Решение. Положим y = sin х, тогда уравнение (4) примет вид (а-1)у2-2(а+1)у + 2а-1=0. (5) Первым контрольным значением параметра а будет значение а=1, которое обращает в нуль коэффициент при у2. При а= 1 уравнение (5) принимает вид —4у+1 =0, откуда находим у=4-, т. е. sin х=4-, и, следовательно, 4 4 х = (— 1)* arcsin + nk. Рассмотрим теперь случай, когда а#=1, Найдем дискриминант уравнения (5). Имеем: у-=(а+I)2—(а—1) (2а—1)= — a2-f-5a. Вторыми контрольными значениями параметра а будут те значе- ния, при которых D = 0. Это будут значения а = 0, а — 5. Заме- 275
тим, что D<0, если а<0 или а>5, и 0^0, если О^а^б. Значит, нам нужно рассмотреть уравнение (5) в каждом из сле- дующих случаев: а СО; г0<а<5; а > 5. t а¥= 1 Если а СО или а >5, уравнение (5) не имеет корней. В случае г О^а^б уравнение (5) имеет два действительных I 1 корня */1,2 1 d= л/5а —а2 а— 1 Так как i/ = sinx, то должны выполняться следующие двой- ные неравенства: — 1 С 1, — 1 1. Нетрудно заметить, что у\ = —1 удовлетворяет двой- ному неравенству — лишь при а = 0. В самом деле, если а=0, то у= — 1; если а>0, то a-j-l>a-1 и тем более а+1 + -\-д/5а — а2> а — 1, т. е. */1>1. Если а = 0, то уравнение sin х=у\, принимает вид sinx= —1, откуда находим х =——\-2nk. Будем теперь искать значения параметра а (из рассматриваемого множества ( О^а^б,), которые удовлетворяют системе неравенств t а =И= 1 — 1 У2 1, т. е. системе {а 4- 1 — л/5а — а2 « а— 1 а 4- 1 — У5а —а2 1 (6) а— 1 Система (6), в свою очередь, равносильна следующей совокупнос- ти систем неравенств: а—1>0, Га — 1<0, а + 1 — Уба — а2 > 1 — а, г а + 1 — д/ба — а2 < 1 — а, а + 1 — -дДэа — а2 < а — 1; (а + 1 — -д/5а —а2 > а — 1. (7) Решим первую систему совокупности (7). Имеем: {а> 1, (а> 1, -у^ба —а2^2а, и далее < ба —а2 4а2, л/5^7>2, (5а-а2>4, откуда находим 1<а^4. Решим вторую систему совокупности (7). Имеем: Га<1, < -\/5а — а2 > 2а, |^5а —а2 < 2, 276
и далее (так как а>0)(а<1, J 5a — а2 4a2, j 5a —a2^4, откуда находим 0<а<1. Итак, совокупность систем (7), а следовательно, и система (6) имеют решения: (Ка<1; 1<а^4. Это значит, что на множестве |0d^5, |a#=l уравнение Sinx=a+|-V5aEZ (8) а— 1 имеет решение только в том случае, если |0^а^4, |а=#1. Это решение таково: х = (—l)fe arcsin —[-л&. Заметим, что эта за- 4 7 а— 1 пись включает в себя и рассмотренный выше случай, когда а = 0. Если 4<а^5, то уравнение (8), а с ним и уравнение (4) не имеют корней. Ответ: 1) если a = 1, то х = (— 1 )k arcsin —|- 2) если ( 0^Са^4, 1 а¥= 1, то х = ( — l)fe arcsin —\-nk; 3) если а<0; a >4, то уравнение не имеет корней. Пример 3. Решим уравнение cos(a + x) = —. (9) COS X х Решение. Умножив обе части уравнения (9) на cos х, полу- чим: cos х cos (а 4-х) = cos а, и далее cos (х 4- а 4- х) 4- cos (х — а — х) = 2 cos а, т. е. cos (2х 4- а) = cos а. (10) Из уравнения (10) находим: x = nk\ х=—а-рлй. (11) Проверка. В процессе решения уравнения (9) мы выполнили умножение обеих частей уравнения на cos х, что привело к расшире- нию области определения уравнения, а значит, и могло привести к появлению посторонних корней. Отберем из найденной совокупности семейств решений уравнения (10) такие семейства, которые являются решениями уравнения (9). Для этого исключим из совокупности се- мейств (11) значения х, при которых cosx = 0, т. е. значения х = 277
= -~+лп. Ясно, что семейства х — nk и х = у-4-лп не пересе- каются. Полагая далее — а-|-л£ = у-+лп, находим а = у-(-1 -2n + 2k). Это значит, что семейство х=— a-\-nk является решением урав- нения (9) лишь при значениях a=^~-(2n — 2k — 1), или, короче, при a=^2L(2/—1), где l = n — fe(/ = 0; ±1; ±2; ...). Ответ: 1) если я —-|-(2/—1), то х = л£; 2) если -|-(2/—1), то x — nk\ х=— a-\-nk. Пример 4. Решим систему уравнений ( sin х cos у = а2, I sin у cos x = a. ' Решение. Заменив первое уравнение системы (12) суммой, а второе — разностью первого и второго уравнений, получим систему, равносильную системе (12): {sin х cos у + sin у cos х = а2 + «, ( sin (x-j-y)==a2 sin x cos y — sin у cos x = a2 — а, или | sin (x — y) = a2 — a. ' ' Ясно, что система (13) имеет решения тогда и только тогда, когда параметр а удовлетворяет следующей системе неравенств: |a24~a| 1, |а2 — а\ С 1. (И) Система (14) равносильна такой системе: а2 + а 1, а2 + а — 1, а2 — а 1, а2 — а — 1, или ' а2 + а — 1 О, О,2 -j- Cl -f- 1 О, а2 —а— 1 ^0, а2 — а+ 1 ^0. (15) Второе и четвертое неравенства системы (15) выполняются при любых а, так как квадратные трехчлены, содержащиеся в левых ча- стях указанных неравенств, имеют отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент. Значит, система (15) равно- сильна следующей системе: г а2-|-а—1 ^0, | а2 — а — 1 0, решив которую нахо- дим: Только при этих значениях параметра а имеет решение систе- ма (13). Итак, пусть — ~2~~^ а. Из системы (13) получаем: 278
f x + y=(— I)4 arcsin (a2 + a)+лй, | x—y=(— 1)" arcsin (а2 — а) + лп, и далее {х=-|-(( — 1)* arcsin (a2-}-«) + (— 1)" arcsin (a2 — a) + nk-j-nn), y=-i-((— 1/ arcsin (a24-a)—(— 1)" acsin (a2 — a)4-n£ — nn). /к 1 /с | Ответ: 1) если a<— , то решений нет; 2) если a 1 , то {V — a + P4-JT (fe+^) 2 —Р + л (fe —n) У 2 где a = (—1)* arcsin (a2 + a), p=(— 1)" arcsin (a2 —a). Пример 5. Решим неравенство tg % + ctg x<a. (16) Решение. Преобразуем неравенство (16) к виду sin х . cos х Л sin2 x-|-cos2 х 4- г- ci, и далее COS X sin X cos X sin X 2 ------CL. sin 2x Положим z/ = sin2x. Тогда неравенство (17) примет t. e. (17) 2 вид — У и задача сведется к решению следующей системы неравенств: (^_<а (^>0, < у ’ т. е. J У (18) Замечаем, что а = 0 — контрольное значение параметра а. Зна- чит, нам надо рассмотреть три случая: 1) а = 0; 2) а>0; 3) а<0. {2 -----^0, откуда находим — l^i/<0. {2 у----- ___ У — 1^у<1, откуда находим: '^п \ 2 {/<0, у>-, -1<У<1. (19) 279
Здесь контрольным значением параметра является значение а = 2, поэтому надо рассмотреть три случая: а) 0<а<2; б) а = 2; в) а>2. 2 а) Если 0<а<2, то —>1, и система (19) имеет следующее решение: — 1^у<0; б) если а = 2, то система (19) имеет следующее решение: -КК0; //=1; в) если а>2, то система (19) имеет следующее решение: - 1<у<0; 3) Если а<0, то система (18) преобразуется к виду — 1 у 1, и далее {2 —^У<0, а * (20) Здесь контрольным значением параметра является а=— 2. По- этому надо рассмотреть три случая: а) а<—2, б) а=—2; в) — 2<а<0. а) В случае а< —2 имеем -у> — 1 и из системы (20) находим б) В случае а= — 2 из системы (20) находим — 1^у<0. в) Наконец, в случае —2<а<0 имеем —< — 1, и система (20) имеет следующее решение: — 1^у<0. Подводя итоги, получаем следующее решение системы (18): 9 1) если а<—2, то —^у<0; 2) если — 2^а<2, то — 1^у<0; 3) если а = 2, то — 1^у<0; у= 1; 4) если а>2, то — 1^у<0; — Так как y = sin 2х, то получаем: 2 1. Если а<С — 2, то — ^sin2x<0, откуда (рис. 57) 2л& + я < 2х л + arcsin ( —~ ) 4- 2л6, \ а / 2 2л& + arcsin — 2х < 2лй, 280
а значит, лй4--£-<х^-£----arcsin ——|-nfe; лй + 4-arcsin —^x<Znk. 2 2 2 a 2 a 2. Если —2^a<2, то — l^sin2x<0, откуда 2л£— л<2х<2л&, а значит, nk — у-<х<л£. 3. Если a=2, то из системы неравенств — l^sin2x<0 полу- чаем: nk — -2-<х<л/г, а из уравнения sin2x=l находим: Х = -у-+ Ilk. 4 4. Если а>2, то из системы неравенств — l^sin2x<0 нахо- дим (как и выше) jtfe—^-<zx<.nk, а из системы -|-^sin2x^l имеем (рис. 58): 2лй +arcsin —^2х^ л —arcsin —+2лй, а а откуда лй + ~- arcsin — ----- arcsin ——h лй. JL CL l /t CL Ответ: 1) если a<_ — 2, то л^ + у-<х^-^—-a-j-лй; л£-|-а^ <х<лй; 2) если - Jlk—~<х<лй; J <лй; лй + ос^х^ -2^а<2, то nk——<х<лй; 3) если а = 2, то с = -^-4-л/г; 4) если а>2, то лй—^-<х< 4 2 —а + л/г, где ос =~-arcsin 281
Упражнения Решите уравнения с параметром а. 1744. cos 2х — cos 4х— a sin х. 1745. 12 sin x-j-4 д/3 cos (л -}-х) = а д/3. а 1746. sin (х —a) = sin х-|- sin а. 1747. sin (a-f-x)+sin x = cos — . 1748. (a— 1) cos x + (a-h 1) sin x = 2a. 1749. sin (x4-a)-J-cos (x-f-a) = sin (x —a) 4-cos (x— a). 1750. 1 4-sin2 ax = cos x. 1751. sin6 x-pcos6 x = a. 1752. sin4 x4-cos4 x4-sin 2x4-a = 0. 1753. tg x-|-tg a 4- 1 = tg x tg a. 1754. sin 3x = a sin x. 1755. cos 3x = a cos x. 1756. 2 cos (a — x) =---- cos x cos a 1757. sin(x4-a) = —-----. 1758. cos x — sin a4~2 cos 3x sin (a — 3x) = 0. sin x 1759. 1761. 1763. a2 — 2a 4- ——1—;—v cos л (a4-x) sin2 x4-4 sin x4-a = 0. sin4 x —2 cos2 x4-a2=0. = 0. 1760. sin x4-2 cos ax = 3. 1765. 1767. 1762. cos2 x —3 cos x 4-a = 0. 1764. -£±sjL* Q + cos* a cos x4~ 1 a sin x4- 1 1766. tg2 x-2tgatgx4-l=0. 1768. sin a tg2 x — 2 cos a tg x-f-1 =0. 1769. 1771. 1773. a —sinx _ a —cosx a cos x— 1 a sin x— 1 sin x tg x4-2 cos x = a. arctg a— arctg = arctg x. 1770. arctg * 1 —arctgarctg a. sin 3x4-sin 2x = a sin x. 1772. (sin x4-cos x) sin 2x — a (sin3 x4~cos3 x). sin2 x —sin x cos x —2 cos2 x=a. Решите системы уравнений с параметром а. 1774. ( sih x-}-sin у = а, | х+у=т- 1775. ( cos х —cos у— a, < । 2 I х4-у=ул. 1776. ( sin x sin y = a, 1 х-|-у = л. 1777. [ sin x cos y — a, < л I * + У=~2 > 1778. ( sin2 x —sin2 у = a, < . 3 I *+у=^я- 1779. ( sin x sin y = a, { cos x cos y=3a. 1780. ( sin x cos y = 2a, 1781. ( sin x cos 2y = a2-}- 1, { cos x sin y — a. { cos x sin 2y — a. 1782. ( x — y = a, 1783. f sin x-hsin y—a, | 2 (cos 2x4-cos 2y) = 1 -|-4 cos2 (x— y). { sin x sin y= —2a2 Решите неравенства с параметром a. 1784. 1+2Н1£+ 1 — COS X 1 4-COS X 1786. cos x----—a. cos x 14-sinx 1— sinx . 1785. —--------p---------^a. 1 4-COS X 1 —COS X
Часть III ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В этом разделе рассматриваются уравнения, системы уравнений, неравенства, которые либо не могут быть отнесены к рассмотренным выше типам (показательные, логарифмические, иррациональные, тригонометрические) — это так называемые комбинированные урав- нения и неравенства (им посвящен § 1, хотя следует отметить, что некоторые сравнительно несложные комбинированные уравнения и неравенства встречались в предыдущих параграфах), либо ре- шаются не элементарными приемами, а с использованием различных свойств функций — монотонность, выпуклость, ограниченность (этому посвящен § 2), либо содержат избыточное число переменных (нестандартные уравнения — § 3). § 1. КОМБИНИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ, СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВА Пример 1. Решим уравнение l+cos (х + у) pj гр 1 £?C0S __ Л 1 — sin .V _ 4 Решение. Так как 16 = 1о — 4 — упп-х, то заданное уравнение можно переписать в виде • 1 л jsin X _1_+1б=^=Ц—. На первом этапе рассмотрим это уравнение как показательное. Введем новую переменную u = 4slnx. Тогда уравнение примет вид -1—|-и2 = у-, и далее 2и2 — 3ц4-1=0, откуда и\ = 1, w2 = y-. Значит, либо 4sinx=l, откуда sinx = 0, либо 4sinx = -|-, откуда sinx =——. 2 Теперь задача свелась к решению совокупности двух тригономет- рических уравнений: 283
sin x = 0; sin x = —-p Из первого уравнения находим x = nky из второго Ответ: х = л/?; х = (—1)п-н •“-+ля. Пример 2. Решим уравнение lg cos % + logo.i sin 2x = lg 7. Решение. Сначала рассматриваем это уравнение как логариф- мическое. Так как log0,i sin 2x = log(01)-! (sin 2x)“‘ = — log sin 2x, to заданное уравнение можно переписать в виде lg cos х — lg sin 2x = lg 7, и далее lg cos x = lg (7 sin 2x), cos x = 7 sin 2x. Так как по смыслу заданного уравнение cosx#=0, то получим: sin х=— , откуда х = (— 1)* arcsin л£. Проверка. Ее в данном случае можно сделать с помощью области определения исходного уравнения: гсо5х>0, или | sin 2х>0, f cos х>0, откуда ( cos х>0, Это значит, что корни уравне- | 2 sin х cos х>*0, | sinx>0. ния должны принадлежать первой четверти числовой окружности. Таким образом, из двух точек, служащих на окружности образами 1 решении уравнения sin х — —, надо взять лишь ту, которая находится в первой четверти. Ответ: х= arcsin 2nk. 14 Пример 3. Решим уравнение lo&gx 1+cos2x loStgx-i sin2x —3 logtgx2. Решение. Выполним некоторые преобразования: » (sin х — cos %)2 , , 2 sin2 x , r n o '°gtgx 2 cos2 x + J°Stgx—1 2sinxcosx+ 2 — 3’ logtgz-l-Og^-l^^ + logtg,.! tgx=3, 284
2 logtax (tg X— 1) + :-H----77=3- KlgxKK ' ioglgJt(tgx-l) Положив u = log,gx (tg x— 1), получим: 2u + -U=3, 2u2-3u+l=0, откуда ui = l, u2=4-. Значит, либо logtgx (tg x—1)== 1, либо l°gtgx (tg x—1) = —. Отсюда получаем совокупность уравнений: tgx—-l=tgx; tg x— 1 = Vtg первое из которых не имеет решений. Во втором положим / = -7tg х. Получим /2—1 = /, откуда t\ —1 , /2 =1 ~. По смыслу сде- ланной замены /^0. Этому неравенству удовлетворяет лишь первый из полученных корней. Итак, -д/tg х = ^±р^, откуда tg х=3~^^ , х = arctg 4-л&. Проверка. Как и в предыдущем примере, ее можно выпол- нить с помощью области определения исходного уравнения: tgx>0, tg х— 1 >0, tg х— 1 Ф 1, 1 — sin 14-cos2x ’ 1 — cos 2x q sin 2x У нас tg x = 2 * Ясно, что первые три условия системы выпол- няются. Ясно также, что при этих значениях х выполняются неравенства 1—sin2x>0, l-|-cos2x>0, 1— cos2x>0. Осталось проверить выполнимость неравенства sin 2х>0. ОТ У Имеем sin 2х=-—“-г— l+tg X . Отсюда ясно, что из tgx>0 следует sin2x>0. Итак, все значения х, при которых tg х = 3~^^, принадлежат области определения заданного уравнения. Поскольку при его реше- нии, кроме расширения области определения, не было преобразова- ний, которые могли привести к появлению посторонних корней, то х = arctg 4- nk — решения заданного уравнения. 285
П р и м е р 4. Решим уравнение (tg x)sinx = (ctg x)cos *. Решение. Сначала рассмотрим это уравнение как показатель- но-степенное (см. с. 119). Имеем: (tgx)sinx = (tgx)“cos\ (1) Теперь надо рассмотреть это уравнение в каждом из следую- щих случаев: (tgx<0, . 1 х n ftgx>0, . , {tg Хф - 1; ^Х= - 1: ^Х=0: {tgx=#l; tgX=L Если tg х < 0, но tg х =/= — 1, то из уравнения (1), приравняв пока- затели, получим sin х= — cos х, откуда tg х = — 1. Это уравнение не- совместимо с условием tg1. Если tg х= — 1, то |sin х| = |cos х| Это значит, что в уравнении (I) отрицательное число возводится в иррациональные степени, что не имеет смысла. Если tg х = 0, т. е. х = лп, то и sin х = 0. Значит, левая часть урав- нения (1) принимает вид 0°, что не имеет смысла. Если tgx>0, но tg х =# 1, то из уравнения (1), приравняв показатели, получим sin х = — cos х, т. е. tg х — — 1, что противоречит условию tg х>»0. Наконец, если tg х= 1, то уравнение (1) примет вид: т е 1 = 1 Итак, уравнение (1) сводится к уравнению tg х— 1, откуда нахо- дим х — ~—-|-л£. Пример 5. Решим уравнение (2) I v 11 711х-х2-10 10 sin —64---------— =1. sln у Решение. Пусть / = sin у- и и= | 10/ —64-у-| • Тогда нам нужно рассмотреть уравнение (2) в каждом из следующих случаев: п ( и>0, . ,w = 0; J , / 1. и= 1. Пусть и = 0, т. е. 10/ —64~у—0 или 10/2 — 6/4-1=0. Это уравнение не имеет действительных корней. Пусть и — 1, т. е. 10/ — 64-“-= 1 или 10/ —6-|- —= — 1. Первое из этих уравнений преобразуется в уравнение 10/2 —7/4-1 =0, а вто- 286
рое — в 10/2 —5/4-1 =0. Первое уравнение имеет корни = второе не имеет действительных корней. Мы пришли к совокупности тригонометрических уравнений: sinf=-b Sin f Из нее находим x=(—1)*-~|-2л/г, x = ( — 1)л2 arcsin-^—Ь2лп. При этих значениях уравнение (1) принимает вид iVnx-P-To__| gTO— верное равенство при условии Их — х2 — 10Z>0, т. е. l^x^lO. Значит, из найденных решений совокупности тригонометрических уравнений надо отобрать те, которые принадлежат отрезку [1; 10]. Рассмотрим сначала серию х’=(—1/-~|-2л£. Если k = 0, то О х=-£-(41; 101- Если k=l, то х=^-6[1; 10]. Если /г = 2, то х—^-^ 3 3 3 ^[1; 10]. Аналогично не принадлежат отрезку [1; 10] те значения х, которые получаются при других значениях k. Рассмотрим серию х=( — l)rt 2 arcsin ~—|-2ллг. Для облегчения О последующих рассуждений вычислим sin (2 arcsin . Имеем sin (2 arcsin -|-^ = 2 sin (arcsin cos (arcsin — 2 Л i 2/ • ~\ 2 Л Г 4V6 =-Л/ 1 - si"2 (arcsin -) Значит, 2 arcsin -|-= arcsin 4 2^. Но 42^"<^-. Поэтому arcsin 1- Теперь, зная, что 2 arcsin 1, отберем корни из серии x = ( —1)" 2 arcsin—р2лп. Если п = 0, то х = 2 arcsin-|-$[1; 10]. Если п=1, то х = =( 2л —2 arcsin 4~) ^[1; 10]. Если п = 2, то (2 arcsin -i—Н4л)^ £[1; 10]. При других значениях параметра п получающиеся значения х не принадлежат отрезку [1; 10]. Итак, в случае, когда и=1, мы получили следующие корни: Л 5л ПЛ • 1 Х]=—, Х2 = —, %з— 2л— 2 arcsin —. 3 3 5 Осталось рассмотреть случай, когда ц>0, но 1. В этом случае уравнение (2) равносильно уравнению -\/11х —х2 — 10 = 0, откуда находим х4=1 и х5=10 — еще два корня уравнения (2). 287
Таким образом, корнями уравнения (2) являются следующие зна- чения х: Xi=-^-; х2 = ~-; *з = 2л — 2 arcsin 4~; х4=1; х5=10. о а э Пример 6. Решим неравенство 4 logie cos 2x4-2 log4 sin x-f-log2 cos x4-3<0. (3) Решение. Выполняя преобразования, получаем последова- тельно: 4 logie cos 2x4-4 logie sin x-f-4 logi6 cos x4-3<0, 4 (logie cos 2x4-logi6 sin x-|-logi6 cos x)< — 3, logi6 (cos 2x sin x cos x)< logie о Значит, неравенство (3), рассматриваемое на первом этапе реше- ния как логарифмическое, равносильно такой системе неравенств: cos 2х>0, sin х> О, ' cos х>0, cos 2х sin х cos х<4~. ь о Из второго и третьего неравенств этой системы получаем: 2л£<Сх<С-|—(-2лй. Из неравенства cos2x>*0 получаем ——(-2л&<с2х<-^—|-2л&, откуда —j—\-nk<x<Z^-+n,k. Последнее неравенство системы преобразуется к виду sin 4х<-^-, откуда находим — ^-4“ 2л/г < 4х <—|-2л£, т. е. — ттт4~4"^<х< J 6 6 24 2 ——k — k Решая далее систему f 2n£<Cx«<-|—|-2л£, • —-р4- л£<х<-~4- — —_l_2L h х<~ —___к — Ь 24 ‘2 *<'Х^24 2 например, с помощью окружности S (см. с. 264), получим 2л/г < х<^-4- 2лй; ^4- 2л6 <х<-^-4“ 2л& — решения неравенст- ва (3). 288
Пример 7. Решим неравенство / з \Viog73c,sx-1 Решение. Рассмотрим это неравенство как показательное неравенство вида ('у-) . Так как основание то получим и<0, т. е. л/1°ёуз ctg х< 1. Полученное иррациональное неравенство равносильно системе логарифмических неравенств ( log^ ctg х>О, I l°gy3 ctg х< 1, из которой получим ( ctg х~^ I, (ctgx<V3, откуда находим + — решения за- данного неравенства. Пример 8. Решим систему уравнений -i-sin (1 — у 4-х2) cos 2x = cos (х2 — у 4- 0 sin к cos х, log^=2-x. <« Решение. Перепишем первое уравнение системы (4) в сле- дующем виде: sin (х2 — у 4-1) cos 2х —cos (х2 — у 4-1) sin 2х=0. В левой части этого уравнения мы получили синус разности ар- гументов х2 —у-]- 1 и 2х, т. е. sin (х2 —у-f-1 —2х)=0. Из второго уравнения системы (4) получим уравнение 2у+2* -1 - **__________________ 2х ~ откуда у4-2х—1 —х2 = 2х—х2, т. е. у=1. Значит, систему (4) мы свели к более простой системе ( sin (1 — у4-х2 — 2х)=0, (у=1- Решая ее, получаем sin (х2 —2х)=0, т. е. х* — 2x — nk, откуда х= 1 ±-^\—nk, где fe=0, —1, —2, — 3....Из этих значений надо отбросить значение х=0, при котором основание логарифма во втором уравнении системы обращается в 1. Тогда оставшиеся зна- чения х можно записать так: х=2 (при Л=0), х= 1 ±V1 —лЛ, где k —— 1, —2, —3, ... . Птирт. И=2, f x=l±Vl-nfe, где &«= — !, —2, —3........ итвет. |у=1; [у=1. 289 IQ Зака» 840
Пример 9. Решим смешанную систему (л^+ 0 (1 4-cos xy sin ху)=(д/3 +1) sin2 xy-|-cos 2ху, Р е ш е н и е. Первое уравнение системы после преобразования сводится к однородному уравнению: (у/34~ 1) (sin2 xz/4-cos2 xy + cos xy sin xy) = =(д/З +1) sin2 xy 4- cos2 xy — s in2 xy, sin2 xy + (-\/34-1) sin xy cos xy-|--\/3 cos2 xy=0, tg2 xy+(y/3 4-1) tg xy 4-y/3 = 0, tg xy = — 1; tg xy = — y/3, xy= — ^-4-л/г; xy= —-j-4-яп. (6) Подставив эти значения xy во второе уравнение системы (5), по- лучим: —J-4-nfe) 4-1; у*=(—?-4-лп) 4-1. (7) Но из неравенства системы (5) следует, что у2 <6. Подставляя в равенства (7) значения параметров fe = 0, ±1, ±2, ..., п = 0, ±1, ±2, ..., убеждаемся, что условие у2 <6 выполняется лишь при k = 0, п = 0. Из равенств (7) находим (при k = 0, п = 0): 2 2 У2=1т+1^2=т+1- А из уравнений (6) находим соответственно: Л л ху=-т-,ху=-т. В итоге система (5) сведена к более простой совокупности двух систем: „2_ Л2+16 У------16 ХУ=~Т’ ~r+f/2=6; у2 =21+9 У 9 ’ ху=~Т> -^-4-у2<6. Найдя для каждой из систем решения, определяемые первыми двумя уравнениями, и проверив результат по условию -^г + */2^6, получим следующие решения системы (5): __ —л у/л2+9 3 f Л ' иг I | Y Л < у/л2 + 16 ’ I 2 7л5+16 ’ U,=^±IL; U=-£±w.. т/++9
Пример 10. Решим уравнение с параметром а: lg2 cos х + 2 lg cos х — (а24-а — 3)=0. Решение. Положив n = lg cos х, придем к квадратному урав- нению и2+2ы—(а2 + а—3)=0, откуда находим и 1,2 = — 1 ±д/а2 + а —2. Если Д = а2 + а —2<0, т. е. — 2<а<1, то решений нет. Если 0 = 0, т. е. а—— 2 или а=1, то и= — 1, т. е. lgcosx= —1, a cosx=-j^-, откуда x=±arccos ^-+2л£. Осталось рассмотреть случай, когда D>0, т. е. а<.—2; а>1. В этом случае заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: lg cos х= — 1 —-\/а2 + а —2; log cos х= — 1 +д/а2 + а— 2. Из первого уравнения находим cosx=10 1 ^“‘+а 2 и, поскольку 0< io_|_^“’+a-2< 1, находим, что х = ± arccos (10-1 —»'аг+я-2 ) _|_ 2пп. Второе уравнение совокупности отличается от первого тем, что правая его часть может быть положительной при некоторых а. По- скольку lg cos х^ 0, то при таких значениях а уравнение не будет иметь решений. Найдем эти значения а. Для этого надо решить нера- венство — 1 +->/а2 + а—2>0. Имеем: д/а2 + а —2>1, а< —2; а> 1, или а2 + а —3>0, а< —2; а> 1, откуда а <—-- ; а > -~|.+У*3. При этих значениях а уравнение fg сов х— — 1 + V^+ot—2 не имеет корней. Если же l<a<~-+V4t то уравнение имеет решение: x=±arccos 10“1 . Подводя итоги, получаем следующий ответ: 1) если —то х = ± arccos 10"1 ±V«'+«-» + 2лЛ; 2) если а<—1а> то Z & x=±arccos 10-,_^в?+“~*+2«4; 3) если — 2<а<1, то уравнение не имеет решений. 291
Пример 11. При каких значениях параметра а имеет решение система уравнений || 12-y/cos 5| - | 12-y/cos —71 + | 24 д/cos 13 | = = ll--^sinJl^-^-1\ 2 (х2 + (у—а)2) —1=2 д/х2 + (у —а)2 —? Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. Положим /= д/cos f-, u=-y/sin^f^. Тогда это уравнение примет вид: 112/ —5| — |12/ —7| + |24/+13| = 1 Г—и, (9) где ( 0 t 1, Заметим, что |24/ +131 = 24/ +13. Разобьем числовую прямую на три промежутка точками (при первом значении 12/ —5=0, а при втором 12/ — 7 = 0) и рассмотрим уравнение (9) в каждом из сле- дующих трех случаев: /<^-; ^-</<-^- ; • Если /^jy, то уравнение (9) принимает вид: (5- 12/)+(12/-7)+(24/ +13)= 11 -и, и далее 24/ + « = 0. Поскольку / 0 и и 0, равенство 24/ 4- и = 0 выполняется лишь в случае, когда / = 0 и и — 0 одновременно, причем /=0 удовлетворяет К услови/о /С|У • Если > то уравнение (9) принимает вид: (12/-5)+(12/-7)+(24/-f-13)= 11 -и, и далее 48/ + и = 10. Но ^-</<^- > 0С«С 1- Тогда 20<48/ + «<29, т. е. 48/4-м не может быть равным 10. Значит, уравнение (9) не имеет решений при ~г</<-^- • Если, наконец, />^-, то уравнение (9) принимает 1 А 14S 1Х вид: 292
(12<-5)-(12/-7)+(24/ +13)= 11 -и, и далее 24<4-и=—4. 7 Это уравнение также не имеет решений при — и м>0. Итак, уравнение (9) имеет только одно решение: (/ = 0, I и = 0. А это значит, что первое уравнение системы (8) равносильно системе уравнений (cos у- = О, { sin”^T2£-U=o. I о Решая эту систему, последовательно находим: {Т-=7-+л'г. (!/=1+2п, f x = 3 + 4n + 3k, (1q\ *(x-2y-i} ь Ь-2//-1=ЗЙ, Ь=1+2п. > 3 —ли, Теперь обратимся ко второму уравнению системы (8). Положив 2==х24-(у — а)2, перепишем это уравнение в виде 22-l=2^/^f. Имеем (2z — l)2 = 4^z—у), откуда г—1, т. е. х2 + (у-а)2=1. (11) Речь идет об отыскании целочисленных решений уравнения (11), задаваемых условиями (10). Из уравнения (11) следует, что х2^ 1, т. е. х может принять только три значения: 0, 1, —1. Пусть х=0, т. е. 34-4« + 3/? = 0. Это равенство возможно, лишь если п:3, т. е. п = 3т. Тогда уравнение (11) принимает вид 024- +(1 4-6m — а)2— 1, откуда 1 +<5т—а— ± 1, т. е. at =6m, а2=6т4-2, Пусть х=1, т. е. 3 + 4п3£ = 1, или 4п4-3&4-2 = 0. Переписав последнее равенство в виде (3n + 3fe + 3)+(/i—1) = 0, замечаем, что оно возможно при целочисленных п и k лишь в случае, когда (п —1):3, т. е. л = 3m 4-1. Тогда уравнение (11) принимает вид 1 4-(6/n + 3 —а)2 = 1, откуда а=6т4-3. Пусть, наконец, х— — 1, т. е. 34-4л4-36= — 1, или 4п4-36 4- 4-4 = 0. Переписав последнее равенство в виде (Зл4-3/г-|-3)4- 4-(п4-1) = 0, замечаем, что оно возможно при целочисленных п и k лишь в случае, когда (п 4-1): 3, т. е. п=3т — 1. Тогда уравнение (11) принимает вид 1-|-(6т— 1— а)2=1, откуда a = 6m—1. Итак, система (8) имеет решения при следующих значениях параметра а: а=6т—1, а=6/п, а = 6т4-2, а=Вт4-3, где mfzZ. Пример 12. При каких значениях параметра а имеет решения система уравнений 293
( 2 cos x+a sin у== 1, . log, sin t/=logz a-logo (2 — 3 cos x), U*) loga z + loga — 1 )= o? Решение. Начнем решение системы (12) с наиболее сложного уравнения системы — со второго. Имеем последовательно: loga Sin у _ lOga (2 — 3 COS х) loga Z loga Z ’ 10ga Sin у = 10ga (2 — 3 COS %), sin у = 2 — 3 cos x. Рассмотрев это уравнение совместно с первым уравнением систе- мы (12), получим sin у= —-1-- , cos х= . Из последнего урав- X — Od х — Od нения системы (12) находим Z=pz^- Выясним теперь, при каких а можно найти х, у, г, определяемые указанными уравнениями. Так как sin у—2 , а по смыслу систе- мы (12) siny>0, должны выполняться неравенства - —- >0 и тГ-Ц-<1. Так как *~^a = cosx, а по смыслу системы (12) cos х <-|-, должны выполняться неравенства Iz^SL JL • 1 — 1 3 2-За 3 ’ 2-За Наконец, по смыслу системы (12) должны выполняться условия: a>0, а#=1, 1>0, т. е. Кроме того, должно выпол- няться условие z=/=l, т. е. =?= 1 , откуда а =/=-—. Итак, система (12) имеет решение при значениях параметра а, удовлетворяющих следующей системе неравенств: ' 0<а<-Ь, а*Т’ 2-За ’ 1—2a _2_ 2 —За 3 ’ 1 —2а । \ 2—За *' Решив эту систему, находим -|-<аС-|-. При этих значениях параметра а система (12) имеет решения. 294
Упражнения Решите уравнения. 1 1787 . 81sin!x+81cos2jt=30. 1788. 4tg!*+2cos’*-80=0. 1789. 2cos2x = 3-2cos2*—4. 1790. 5clg'x(26 —5si"Ix)=5. 1791. 3cos2x(4.3sin’x-9) = l. 1792. (0,5)cos 2x-4~sin’ x=0,5. 1793. sin (3*-' +3'~2) cos(3'-1 +3‘-2) = -p 1795. ctg 2*=tg 2*4-2 tg2'+l. 1796 . 2l+2cos5x4-16 2 =9. 1797 3sin2 x+2 cos2 ^Ч-З1 ~sin 2x+2 s,n2 *=28 sin(T~x) 1798. 14-2tgx=3>4 V2cosx . 4 t/2 cos f-?- —x) , . 1 1799. 4-2 U 7-15.5-4cosx+s,nx=4-log,/I16. О 1800.log . cosx-Mog sinx=2. ° Sin X ° COS X 1801. sin (л lg x)4-cos (л lg x)=l. 5 1802. lg2 (sin x-f-4)4-2 lg (sin x4-4)——=0. 1803.log, fsinx—^-cosx)=3. tosin x \ 4 / 1804. log o 2 sin x=-J-. & 8 cos2 x 2 1805. log9 sin 2x = log3 1806. log r- . (14-cos x) = 2. ° 72 sin X v ' 1807. log. (cos x—cos 2x)= 1. sin Jx 1808. 3 log! sin x-Hog2 (1 — cos 2x) = 2. 1809. log2 cos 2x — log2 sin x —log2 cos x = 1. 1810. lg sin 2x — lg sin x=lg cos 2x— lg cos x4-2 lg 2. x 1811. lg sin (cos x —sin x)4-lg (cos x4-sin x). 1812. log2 sin x —log2 cos x — log2 (14-tg x)= 14-log2 (1 —tg x). 1813. logs tg x = log5 4*log4 (3 sin x). 1814. -—; 2---^=iog • о 10. lg ' ()s x) & sin 2x
1815. log . 2 +log 2 +log . 2-log 2=0. • sin X ’ ® ©OS AC 1 6 sinx & COS X > 816. 2 logs Ictg x\ = logo,2 7—:—^4- . Б ’ 5 sin x — 4cosx > •17. log2 |tg x| + log4 -:-44г- = 0, если sin x2 cos x 4 > •18. 1+log6 (4 cos3 x—cos x— l)=log6 (4 — 7 cos x). l8J9.log, (—4— — cos 2x —sin 2x4-sin x —cos x ) =2. etg * \sm2 x / 1820. ' —sin 2x + cos 2х + д/3 cos x—д/3 sin x =2. (sin 2x , . 9 nr . \ ———l-cosx — sin2 x—i/2sinxy =2. 1822. logsjn (sin 2x— 2 cos x-|-sin x—cos2 x) = 2. *W3/ ,O*eoSXSin (1 —O’) 5‘П (Т + Т)) + +21ogl (Cos(x—+cos(x+y)) =3-log<0sx2. — — COS Xх' 1824. Iog2^cos 2x-|-cos~^ 4-logo,5^sin x+cos 1825. log6(cosу+3tgx—+ log ] (cosy+tg2x—=0- T >826. log 1 ^sin y+cos 2x) +log3 ^sin y—sin x) =0. 1827. log ( (sin y-3 tg x-3-+log. (sin у - tg 2x- -=0. T 1828. Ilog J (1 + sin 2x)l +|log t (1 —sin 2x)| = 1. "sF T 1829. |log3 (1 + cos 2x)| + |log3 (1 —cos 2x)| =1. 1 , . 1 1 , f -5- + >og3 ©os x — — 4- log« sin x 1830. 32 +63 =92 1 1 * . . 1 , . •o’ — 4-logs sm ac — 4-log is cos x 1831. 52 +52 =152 -|-+2tos2Af 2 yiog^sinx^-1) *832. 22 — (2-^—1)-4‘“ +(2sin3x)2 =0. 1833. 4,g2*+log . 1 ~C0S 2x =4*+coa 2J- log „ Jg 4. 1 ® sin ac 2 & 2 V2 *834. log fi(27e0S’Jt-3’in’Jr)+2cos3x=r-^+log9(l+3-0’5+ees27. V» 10gi2O 1835. Vtg x+sin x+Vtg x—sin x=2 д/tg x cos x. / 17 1 1836. Л/-Ч- +8 tg x—!-------16 = 2 tg x (1 +4 sin x). V cos2 X 6 cos X 6 7 1837. (sin x)”9bl x -1 = ctg8 x. 296
Г ° 2 . х I gyl Решите неравенства. 1839. a) (V^-4x+3+l)-log54+—(V8jc-2x2-64-1)<0; О X (о \ ,______„ 2 у—1 j<(V14х-2х2 — 24 + 2) • log, у . 1840. а) 45'пгя1+3-4С05!"х<8; б) 9i + sin’nx+30-9eos’nx<117 1841. 0,2cos2x---Ц- < -Д=. 25COSX 5л/5 1842. |3tg"x-31-tg"x|>2. 1843. Iog2 cos x>log2 tg x, если 0<х<л. 1844. logn . (2 cos x)+2 log n (2sinx)>3. & 2 sin x x 71 & 2 cos x x 7 1845. (log . 2)2<log . (4sin3x). 1846. (log tgx3)2<logtgx(3tg2x). 1847. l°g(cosx+^3sinx)“2‘>°- 1848.log . tgx<21og. sinx+1. ° sin X & tg X ’ 1849.log. (^-^+зЪо. & sin х + уз cos x \ 2 2 / 1850. log лг. . . . (V6 sin х-Ьд/2 cos x)> 1. & V2 (sin x4-COS x)v v v 7 1851. log s , (x2 + 2%+l)>0. & 73 sin x4-cosx 4 1 7^ 1852. log . (sin x—5 cos x)> 1. & sin X — cos x 4 7 1854. log _ л/l 4~2 c°s 2x <1. b 2 cos x * 1 V3 1855. logtgxVSin2x“n<_L 3 1856. log , . 1 (x2-8x+23)> -j-r-.-r. &|sinx|v 7 log2|sinx| 1857. log o . Vcos 2x ^4"» если 0<x^-77, x=#-^-. to2sinxv 2 2 6 _ / 2 cos 2x . 1 1858. log2tgx V l + cos2x 2 ’ если л^х^2л, х^~л. 1850. lg sin x-|-lg cos x lg (tg *4-ctg x)—2 lg 2 > ’ л 3 если 0<jt<2n, x=^—n. S97
lg 24-lg COS (* + -т) о ,8“- '"lg(sin x+cosx) >“*’ если -«<*<«. ^±Tn- 1861. logtg2jf (cos x — cos 3x) —log tg2*(sin x + sin 3x)>0,45. 1862. log 2 (sin x+sin 3x)< 0,55 +log 2 (cos x + cos 3x). lg ~X lg XX 1863. -VI - log tgx 2 (1 -3 log tg x 2+2 log2g x 2)>0. Vlog I tg x-1 1864.2 i <1. 1865. 10-0>3Vl°BV5ctBJ(>3. 1866. log^sinx.Iog2,(y(22‘-2-3-2'-2-l)) <0. 1867. -\/tgx— 1 (log (2+4 cos2 x)—2)>0. lg X 1868. д/4 sin2 x- 1 -log . #^->0. v 6sinx2x—1 1869. ^3+2 tg x-tg2 x> . 1870. -y/5 — 2 sin x^6 sin x — 1. 1871. V2+~4 cos x>~+3 cos x. 1872. -y/sin x+-\/cos x> 1. 1873. cos (2 — 4x) + cos (2 + 4x) > ^2 cos4 2x — 1 . /17 1874. Vl + 2 COS х+т/cos x> —----COS X . . оте arccos (*2 — 3x + 2) n ,875- ’ 8x^10^ +3“ >0- 1876. arctg &> arccos (1 —x). 1877. xlgsinJ>l. 1878. X2s«-“2'<1. X Решите системы уравнений. 1879. ( Зу==х, I 2 sin x + sin 2x — 2 cos2 ~. 1880. ( 1 +log2-2-— =log 2 log2 (x+j/). I . x—у _______________у J l°g2 ~2J— 21 I ,/5ei„ n(x —2) пУ nu ( y2sin--------=cos——sin-^. 1881. ( Vl+sin x sin {/ = cos x, | 2 sin x ctg £/ +1 ==0. 1882. /VH7 sin x sin £/ = cos yt | 2 sin у ctg х + д\+о. 298
4883. Tcos2 xy —3 sri n xy cos xy=2 cos у cos (2xy—y)—2 cos2 (xy — y), J x3—xy+1 =0, |x64-2xy<5. Решите уравнения с параметром а. 1884. lg2 sin х—2а lg sin x —a2+ 2=0. 1885. log . 2-log . 2 a4-1=0. °sin X ° sirr X 1886. |cosx|ctg2x+ectgx=l. 1887. xsinx-° >1 (a>0; 0<x<y). 1888. Для любого a>0 найдите решения неравенства xsmx~a принадлежащие л\ интервалу (0; — I. Решите системы уравнений с параметром а. 1889. J 2 -\[х — 2 arccos y+z = 1, < 5 V* + arccos y+z = 0a — 14, I -\fx+arccos у 4- 2z = 2a 4-1. 1890. | 2х —у—arcsin z = —6, < 3‘2x4-2y—3 arcsin z = 7, 15•2х—у4“arcsin z=6a4“2. 1891. При каких значениях параметра а система уравнений лх | | 1 _ / лх J I 11 — 14“\/cos — J — J 12^/cos—--1| = =3+ | -20-^^ -7 | , 2 ((х—а)2 4- у2 4-2у)+1 =2~у(х—а)2+у2+2у+-^- имеет хотя бы одно решение? 1892. При каких значениях параметра а система уравнений ((а—2) sin x4-cos у = 1, loga (2 cos у) = loga z«logz (14" 7 sin x), 10^=‘ имеет хотя бы одно решение? § 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ Не всякое уравнение f (x) = g (х) в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к урав- нению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда дказывает- ся полезным использовать некоторые свойства функций f (х), g (х). Так, если одна из функций убывает, а другая возрастает на про- межутке X, то уравнение f(x) = g(x) либо имеет один корень (см. рис. 59, а) и тогда можно найти его хотя бы подбором, либо не имеет корней (см. рис. 59, б). Например, для решения уравнения 299
•\]7 — х =х — 1 нет надобности возводить обе части уравнения в квад- рат. Достаточно заметить, что х = 3— корень уравнения и других корней нет, поскольку левая часть уравнения — убывающая, а пра- вая — возрастающая функция. Аналогично обстоит дело при реше- нии неравенства Vv+18<2 — x. Здесь при х=—2 левая и правая части равны, но поскольку левая часть — возрастающая, а правая — убывающая функция, то неравенству удовлетворяют значения х, которые меньше —2. С учетом области определения получаем ответ: — 18=Сх< — 2. Если, далее, функция f (х) на пррмежутке X ограни- чена сверху, причем Sup f (х)=Л, а функция g (х) ограничена снизу, х£л причем inf g (х)=Л, то уравнение f (x)=g (х) равносильно системе х£Х уравнений }г(х)=л. Иногда для решения уравнения f (x)=g (х) полезно построить гра- фики функций y=f (х), y = g (х) и определить абсциссы точек их пере- сечения. Используются и другие неэлементарные приемы решения уравнений и неравенств, иногда с привлечением производных. Обо всем этом и идет речь в настоящем параграфе. Пример 1. Решим уравнение |6х —5| =4 sin у-. Решение. Построив графики функций у=|6х — 5| и £/ = = 4 sin у- (рис. 60), находим два корня уравнения: Х|=—, х2=^-. Пример 2. Решим уравнение Vx-l + 2 V3x + 2 = 4+д/З-х . Решение. Подбором находим, что уравнение имеет корень х=2. Так как в области определения уравнения, т. е. на отрезке [1; 3], функция у=4/х— 1 4-2 ^3*+2 возрастает, а функция = 4-|-л/3 —х убывает, то других корней уравнение не имеет. Итак, х = 2 — единственный корень уравнения. зоо
ПримерЗ. Решим уравнение Iog2(l+V*) = log3 X. Решение. Положим t = = log3x. Тогда х=3', -у/х=(л/3)/, и заданное уравнение можно пере- писать в виде 10g2(l+(W) = ^ откуда 1+(-\/3)/ = 2/. Это уравне- ние имеет очевидный корень / = 2, но утверждать, как в предыдущем примере, что это единственный корень уравнения, мы не можем, ибо как левая, так и правая часть уравнения — возрастающая функ- ция. Но если обе части уравнения разделить почленно на (л/З/, то получим: Рис. 60 Теперь левая часть уравнения, т. е. показательная функция у= =(-L) +1 • убывает (основание < 1 ) , а правая часть уравнения, т. е. показательная функция У=(^) > возрастает (основание^ > 1). Значит, t = 2 — единственный корень уравнения. Поскольку / = log3 х, то из уравнения logs х=2 находим х=9 — единственный корень заданного уравнения. Пример 4. Решим уравнение (-0х 7+(V^zO)2 + i3,3=x2-ff1- +х. (1) Решение. Выполнив преобразования, получим (-0 + 4-8=^*~2 . Замечаем, что это уравнение имеет корень х = 7. Дока- жем, что других корней нет. ✓ 1 Функция У—(—) +8 убывает. Если окажется, что функция возРастает в области определения заданного уравнения, т. е. на луче [5,3; + оо), то можно будет сделать вывод о том, что х—1 — единственный корень уравнения (1). (х— 1? Найдем производную функции . Получим у' . Если х>5,3, то «/'>0, т. е. функция В03Растает ма ЛУ' 901
че [5,3; + °о), что и требовалось установить. Итак, х=7 — единственный корень уравнения (1). Пример 5. Решим уравнение V2^T=v*2+t • (2> Решение. Замечаем, что Xi = 1 — корень уравнения (2). Но, как и в примере 3, утверждать, что это единственный корень уравне- ния, мы пока не можем, поскольку и функция у=^/2х—1, и функция //=-^-х2+-^- возрастают в области определения уравнения (2), т. е. на луче оо^. Если в примере 3 нам удалось преобразовать уравнение к такому виду, что одна часть представляла собой убываю- щую, а другая возрастающую функцию, то здесь нам этого не удает- ся. Поступим по-другому. Найдем производные функций yi = \]2х— 1 и У2=-|-х2-|--|- и вычислим их в точке х = 1 (в точке пересечения графиков этих функ- ций). Имеем i/f =-——(2х — 1) 4-2=~====j ; (1)=-^-. Далее, 4/2=-^-; У2(1) = -|-- Так как У' = ТО графики функций yt (х), уг (х) имеют общую касательную в точке (1; 1). Но поскольку функция у\ (х) выпукла вниз, а функция у2 (х) выпукла вверх, то их графики расположены по разные стороны от общей касательной (рис. 61), а потому уравнение у\ (х)—у2(х) имеет только один корень. Итак, х= 1 — единственный корень уравнения (2). Пример 6. Решим уравнение 2cos2^±£ =2* + 2~\ (3) Решение. Положим t = 2x. Тогда правая часть уравнения (3) примет вид Воспользуемся известным неравенством /+у->2, если t>0 (см. с.~~27). В то же время справедливо неравенство 2 cos2 ^2. Значит, уравнение 6 (3) сводится к системе уравнений ( 2cos2^ =2, 1 2Х+2~Х=2. Из второго уравнения системы находим х=0. Поскольку это зна- чение удовлетворяет и первому уравнению системы, то х=0 — решение системы, а тем самым и корень уравнения (3). 302
Пример 7. Решим уравнение tg п______ ёх2 + 4х + 7 (4) Решение. Имеем tg 2 , „ =tg . , - 6 х2 + 4%4-7 6 (х+2)2+3 Так как 0<^+^г+3 а на промежутке (о возрастает, то tgOctg <tg-g-, т. е. 0<tg(7+i+3 <V3. (5) ; -у-1 функция tg х Значит, правая часть уравнения (4) должна быть положительной. Более того, поскольку sin^n-f-qp) ’CU получим: V3—-г------г>л/3. (6) Сопоставляя неравенства (5) и (6), приходим к системе tg (х+2)2 + 3 = Л^’ ’^•-тЪа=^ Первое уравнение системы обращается в верное равенство только при х = — 2. Поскольку это значение удовлетворяет и второму урав- нению системы, то х—~ 2 — единственный корень уравнения (4). Пример 8. Решим уравнение sin х+2 sin 2x = 44-sin 17х. (7) Решение. Так как sin х^ 1, sin 2х^ 1, то sin x-j-2 sin 2x^3. Более того, sin х-|-2 sin 2х<3. В самом деле, рассмотрим уравнение sin х-|-2 sin 2х=3. Такое равенство может иметь место тогда и только тогда, когда sinx=l и sin2x=l, что невозможно, ибо sinx=l при х=~|-2л£, а при этих значениях имеем: sin 2x = sin 2(-£-+2nfe) =sin (n-|-4nfe)=0. Итак, sin x + 2 sin 2x<3. В то же время правая часть уравне- ния (7) удовлетворяет неравенству 44-sin 17x^3. Таким образом, можно сделать вывод, что уравнение (7) не имеет решений. Пример 9. Решим неравенство 2 + l0g3X 6 /т х-1 2х—1 ' ' 1 303
Решение. Чтобы преобразовать неравенство к более простому виду, рассмотрим два случая: х> 1; 0<х< 1. В первом случае нера- венство преобразуется к виду 2+1оёзх>-^Ет), и далее log3 х> 2х —4 2х— 1 Во втором случае получаем log3*< 2х —4 2х—1 Итак, неравенство (7) равносильно совокупности систем не- равенств х> 1, log3 х> 2х —4 2х— 1 (8) 0<х<1, 1О§3*<2-ВТ- (9) Построим в одной системе координат графики функций z/ = log3 х и У=^х^ (рис. 62). Замечаем, что при х> 1 график логарифмичес- кой функции расположен выше графика дробно-линейной функции, т. е. х > 1 — решение системы (8). Если же 0 < х < 1, то график лога- рифмической функции расположен ниже графика дробно-линейной 304
функции при 0<х<-~, т. е. —-решение системы (9). Объединяя решения систем (8) и (9), получаем ^0; -0 U(l; °0) — решение неравенства (7). Пример 10. Решим неравенство (8-x),ogl(8-x) <23х~4. (10) Решение. Так как область определения неравенства задается неравенством 8-—х>0, т. е. х<8, то, прологарифмировав обе части неравенства (10) по основанию 2, получим равносильное ему неравенство log2 (8-x)log’(8-x)<log2 23х“\ т. е. log! (8 — х) Зх — 4. Равенство log2 (8 —х) = 3х—-4 выполняется при х=4. Поскольку функция t/ = log2 (8 — х) убывает, а функция у = 3х — 4 возрастает, делаем вывод, что неравенство log2(8 — х)^3х — 4 выполняется при х>4 (рис. 63). Итак, [4; 8) — решение неравенства (10). Пример 11. Решим смешанную систему psinx = log2|^| , ' (6t/2 + 2i/)(4sin,x4-4c0$,x) = 25t/2 + 6y+l> (11) . It/I < 1. Решение. Преобразуем второе уравнение системы к виду 4-+^=25f+y , (12) 4г 6г/24-2(/ х ' где z = sin2x, т. е. O^z^l. Рассмотрим функцию и = 4г + -~-на отрезке [0; 1], найдем для нее ^наиб и ^наим- Имеем и' = 4г In 4 — 4-4-z In 4 = ln 40z — ^0 = Значит, u' = 0, если 42г = 4, т. e. z = а потому свои наибольшее и наименьшее значения непрерывная функция « = 4г+^- на от- резке [0; 1] может принимать только на концах отрезка или в точке Имеем u(0) = 5, и (0 = 4, ы(1)=5. Итак, цнаиб = 5, инанм = 4. Значит, и правая часть уравнения (12) должна удовлетворять системе неравенств 305
{25//Ч6У+1 Gtf+ty ’ 25у2 + 6</+1 б«г+2{/ Решив эту систему и учтя, что система (11) содержит условие |у|^1, получаем у— — 1; у-СУ5^ 1- Рассмотрим первое уравнение системы (11) в каждом из этих случаев. Начнем со случая, когда -|-^у^1. Тогда первое уравнение системы (11) можно переписать так: ysinx=log2 t^3^-+log2 |sinx|. (13) Рассмотрим функцию v — у и найдем инанб и онаим на отрез- 1 -j-6y кё Г-|-; 11. Имеем v' = .-t , т. е. р'>0, а потому функция v==T+3y в03Растает на 1]- Значит, унаии=у(-|-)=-|-, а »ианб=^ (1)=4~- Но тогда функция log2T-^;- принимает значения 4 I -pot/ от log2 до log2 -j-, т. е. от —3 до —2. Оценим теперь границы левой и правой частей уравнения (13). Так как -|-^у^ 1, — 1 ^sin х^ 1, то — 1 ^у sin х^ 1. Так как — 3<log21-fr-< — 2, log2|sinx|<0, то log2+ + log2 I sin х|< — 2. Итак, правая часть уравнения (13) не меньше чем —1, а левая часть не больше чем —2, значит, уравнение (13) не имеет решений. Рассмотрим теперь случай, когда у= —1. В этом случае вто- рое уравнение системы (11) принимает вид 4s,n2х+4C0S’х = 5, отку- да после несложных преобразований получаем sin2x=0, что нам не подходит, или sin2x=l, т. е. х=±-у+2лп. Первое уравнение системы (11) при у= —1 принимает вид: -sinx=log2 | . (14) Так как | -у-1 <1, то log2 |Sl^* | <0. Значит, — sin х<0, т. е. sin х>0, а потому из найденных выше значений х= ±-~Н2лп возьмем только х=у-+2лп. Они удовлетворяют уравнению (14). 306
Итак, I x=-^—f-2nn, (y= —1 —решения системы (11). Пример 12. При каких значениях параметра а из интервала (2; 5) неравенство log2 |3— |sin ах\| =cos (лх—(15) имеет решения на отрезке [2; 3]? Решение. Ясно, что log2 |3 — |sin ах\| ^log2 2= 1, a cos (лх— —Значит, уравнение (15) равносильно системе уравнений {log2 |3—|sinax|| = l, (|sinax| = l, (16) / \ ИЛИ J ' cos (лх—= 1, ^x=-~+-2fe. Из чисел вида |-2/г отрезку [2; 3] принадлежит только 1-2, т. е. х=^-. При этом значении первое уравнение системы (16) принимает вид | sin | =1, откуда 13а л . ~ „ Зл-|-6лп г- Л/2. d —— 1 ' - . 6.....2.’ 13 Осталось среди этих значений отобрать те, которые принадлежат интервалу (2; 5). Таковыми будут 01=77 (при п=1) и 02=77- (при 1 <5 1 о п = 2). Итак, условиям задачи удовлетворяют значения параметра а: 9л , 15л 13 ’ 13 ’ Упражнения Решите уравнения. 1893. (у У+у=2’. 1894. 3х+4х=5х. 1895. 1о§2*=х-4. 1896. Зх = 4-х. "5 1897. 5х4-2х+1 -3Х=9Х + 4Х. 1898. х-2х=х(3—х)+2(2х—1). 1899. Iog2 х+(х— 1) logj х—6 — 2х. I960. х‘ = 10х-х' (х>0). 1901. 8-х-2х + 23“х—х=0. 1902. х 'в‘х+ 10lgx=20. 1903. х2+х+12 VTM=36. 1904. x2 + cosx=0. 307
1905. sin х = х24-х4-1. 1906. 2 sin x=5x24“ 2x4-3. 1907. 2 cos лх = 2х — 1. 1908. cos лх=х2 — 4x4-5. 1909. 3 arcsin x-|-nx —л = 0. 1910. 3 arccos x — nx—^- = 0. 1911. 3W=cosy. 1912. logn x= 1-{-sin x«log„ 2. 1913. x24-(x+ 1) sin 1914. -2л/3я sin x = |x-{- л | |x — 2л |. Q7 9 — 5 1916. V4x-3=yx3+y. ,9,7-тта-ттпо+1=1^" 1918. 2 sin2 sin2-~-=р4-л:2. 1919. 34-(* —л)2= 1 —2 cos x. 1920. 2 cos ~=5x4-5~* 1921. 3,sin = Icos x|. 1922. 2”cosx=lognx4-logx л. 192Э. уР1+х-1=дДЗ|+-^С4. 1924. • xz 1—X 1925. x=Vx+3 4-2,O82(-*). 1926. 3|x-Tt+2=5+4 sin 2nx. 1927. 5,‘—‘x’1 = sin nx. 1928. 21~|4x-1| = tg лх+ctg лх. 1929. 2,-|х-1|=х2-2х+3. 1930. 2 sin ^x+y-^ = tg x+ctg x. 1931. •72+cosi 2x = sin 3x—cos 3x. 1932. cos2 ^sin х4-д/2 cos2 x — tg2 tg2 x )=!• 1933. log3(84-2x-x2)=2x-‘4-21-Jc. 1934. 1oga(3 + 2x—x2)=tg’y + ctg2y. 1935. log! (3+ (sin *|)=2W-2. *3 . | №36. logs (3—|cos x|)=2~ " 308
.лп_ . / 1 I Зл 1937. logs (у- | у 1938. logs (4— cos = sin x. sin x. 1939. 1940. 1941. я log3 |x| 4-log|X| 3 x2 + 6x+ 13 2 ^2 16л __ 1 C0S 16x2 — 8x 49 ~ tg2 лх -f- ctg2 лх ’ sin x — sin 15x cos x—~2 • 1942. Vsin3 x + Vcos3 *=л/2- 1943. lg sin x-f-lg sin 5x=log0,i cos 4x. 1944. arcsin (x2 —2x4-2) = ~ . 1945. arccos (6x —x2— 10)= —— . 1946. 3 arcsin (x2 -|- x+--r )=--------------• \ 4 / . 2 ЛХ . . 2 ЛХ tg2y + ctg2y 1947. cos4 (arcctg x)H-sin4 (arcctg x) = sin 2 (arcctg xj. Решите неравенства. a___________________________________________3*-н in 1948. 2Х> 11 -х. 1949. ---------> . 195, s >Щ!Ы«±2) 2x4-1 х 1952 . 2-|х—21 logj (4х-х1-2)> 1. 1953. cos!(x+l)lg(9—2х-хг)>1. 1954. (4х —х2 —3) log2 (cos2 лх4- 1)> 1. 1955. lV2|x|-l|.log2(2-x2)>l. 1956. cos~2 (х4-3 tg x)4-(tg x —tg2 x)2< 1. 1957. COS ^Л ^x4"^- s’n JTX^4-(sin2 ЛХ4-5Ш лх)2^ — 1. 1958. sin(y ^2x4-sin^ ))4“I3X4-31-^4|<-1. 1959. Решите смешанную систему (3 — i/2) cos2 x = logs |y.f?±^,_| . (у*+8г/) (З2+2 tin< к+З2 cos< “+sin*ix - 4)=2»г + 16у+64. к 1 <//< 10. 1960. Решите систему неравенств | 4*+1'-,4-3-421'-* <2, (х4-3^>2 — log4 3. . Ь 1961. При каких значениях параметра а из интервала (2; 7) уравнение logf^i 4“ 4-sin2f 4-775 = lcos а*1 — * имеет решения на отрезке [1; 2]? у».
1962. При каких значениях параметра а из интервала (5; 16) уравнение 1 + cos2^~+~ ^ = ^~^lcosnx“s,n^*l имеет решения на отрезке fl; 2]? 1 1963. При каких значениях параметра а из интервала (1; 5) уравнение cos2^nx + ++~ = f 4~ V + ls’n ах1 имеет решения на отрезке [2; 3]? 1 £ J £ \ £ J § 3. НЕСТАНДАРТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА Термин «нестандартная задача» имеет в методике математики много толкований. В настоящем параграфе к нестандартным мы относим уравнения и неравенства с двумя, тремя переменными, а также системы уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных. Разумеется, не всякое уравнение с двумя пе- ременными можно отнести к нестандартным, например уравнение *+у = 5, имеющее своими решениями любые пары чисел, которые в сумме дают 5. Это уравнение настолько же просто, насколько неопределенно (бесконечное множество решений). Мы будем нестан- дартным считать такое уравнение с двумя, тремя переменными, ко- торое после более или менее оригинальных рассуждений приводит к вполне определенным решениям. Пример 1. Решим уравнение х2 —6х+у — 4 -\/у+ 13 = 0. Решение. Имеем х2 —6х-Ьу —4-\/у+13=(х2—6х+9)+(у—4 Vy + 4)= =(х-3)2 + (^-2)2. Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (х —3)2 + + (-д/у —2)2 = 0. Но сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Значит, х = 3, а -уу=2, т. е. у=4. Ответ: (3; 4). Пример 2. Решим уравнение sin4 x + cos4 у + 2 = 4 sin х cos у. Р е ш е н и е. Последовательно имеем: (sin4 х —2 sin2 х cos2 y + cos4 у) + 2 sin2 х cos2 у + 2 —4 sin х cos у = 0, (sin2 х — cos2 у)2+ 2 (sin x cos y — l)2 = 0. Рассуждая, как в предыдущем примере, приходим к системе три- гонометрических уравнений ( sin2 х = cos2 у, ( sin х cos у= 1. Положив u = sinx, v = cos у, получим систему (u2=v2, t uv = 1, 310
откуда находим pi=4, , U2—— 1, | »i = 1; | и2= — 1, T. e. rsinx=l, или fsinx=-l, (cost/=l; (cosx= —1. Из первой системы получим ( x==-^—f-2nk, у=2лп, из второй | х=—^-+2л^, ( У = л + 2лп. Это решения заданного уравнения. Пример 3. Решим уравнение cos (х — у)—2 sin %4-2 sin у = 3. Решение. Выполним некоторые преобразования: — 2 (sin х — sin i/)=(l —cos (x—1/))4-2, _4 sin cos ^=2 sin2 ^+2. Положив t = sin y , получим уравнение /2 + 2cos^tL-/+l=0, которое рассмотрим как квадратное относительно t. Имеем: /1,2 — — cos COs2^i^—1. Отсюда следует, что cos2^i^—1^»0. Так как, с другой сто- роны, cos2-^i^-^l, то делаем вывод, что cos2^i^.= l, и тогда t = — cos -Ху— . В итоге, как в предыдущем примере, приходим к системе триго- нометрических уравнений ,COs2^tX=l, |sin£z^=_Cos±±X. Эта система равносильна совокупности двух систем: zCos^-=l, /cos^=-l, | sin^-=-1; |sin ^-=1. Из перг^’> системы получаем: 311
(*±£=2л*, P=-f-+2n(fe + n), (12Х=-у-+2лп, (у=-2-4-2 л (Л-и). Из второй получаем: {±±!L = n + 2nk, (x=^-+2n(k + n), Y_n тт откуда \ ^-=-2-+2лп, (у=-2-4-2л(*-п). Пример 4. Решим уравнение Ictgxyl cos2 ху = 1°g^ (у2-2у4-у) • (1) Решение. Заметив, что—I—=l4-tg2xu, а у2 — 2у4--^г== cos ху 9 =(у— l)24--i-, перепишем уравнение (1) в виде (2) Нетрудно показать, что 1 Для этого достаточно пере- писать это неравенство в виде Itg х| >2 и воспользовать- ся известным неравенством /4--у->2, если />0 (см. с. 27). В то же время logj | -~-+(у—1)2)^2. В самом деле, ~|-(у—1)2>-|-, а (тогда в силу убывания функции log| /) log ( (-1—|-(у—1)2\ <logl -i-=2. ’ з а Итак, левая часть уравнения (2) не меньше чем 2, а правая не больше чем 2, значит, каждая из них равна 2, т. е. мы приходим к системе уравнений !L+!gl£2.=2 Hg^l ’ j|tgxy| = l, 10gj (т+(г/-1)2)=2’ или t(y-i)2=o. Из второго (более простого) уравнения системы получаем у=1. Тогда первое уравнение системы принимает вид |tgx| = l, откуда л , лп х 4 2 * Пример 5. Решим уравнение 3+2coS(x-y) =^34:2xz^.cos2 ^-4- 312
Решение. Выполним некоторые преобразования: f+cos2 sin2 ^.=V3 + 2x-x1-cos2 i=^+ +2sin2i^cos2i=l. <4) £ £ Положим f = cos2-Тогда sin2 *y-- = 1 — / и уравнение (4) принимает вид: -|-+/-(1 -/)=Л/34-2х-х2-1 + 2 (1 -/)•t, и далее -\/3 + 2х —х2=2/+у-, где 0</^1. Так как -\/3+2х—х2 = ="\M —(1 — х)2^2, а 2/+у-^2, то получаем систему V4-(1-x)4 = 2, 2/ + ^=2, откуда находим: |х=1, |'х=1, 11= 1, 1_„2 X—U < v ICOS—2 = ’ Решив эту систему, получим следующие решения заданного урав- нения: | х— 1, 1//==1+2ли. Пример 6. Решим уравнение (sir|!z+i)>+(“s’+d^)"=l2+Tsln « Решение. Имеем последовательно: sin4 * + 2Ч—Д—hcos4 % + 2-|-Д- = 12+Д- sin у, 1 1 sin4 х 1 ' cos4 х ’2 v sin4 X + cos4 x + sin?-+^-fX=8+4- sin y, 1 1 sin4 x cos4 x ’ 2 v (Sin2 x + cos2 x)2 —2 Sin2 X COS2 x+(sin2x+cOs»^-2 sin^coS^= (5) v ' 7 1 sin4 X cos4 X = 8 + ^-siny. Положив / — sin2 x cos2 x, перепишем уравнение (5) в виде l-2/+-L^-=8+-l-siny, т. е. -у—у—2/= 7+у-sin у. (6) 313
Рассмотрим функцию Z=p----2—2t. Здесь f = sin2 x cos2 x, t. e. f=4-sin22x. Значит, 0</<4-. Найдем наименьшее значение 4 4 12 / i 1 функции г = ^----—2t на промежутке (0; — J. Имеем z'=—р—Ь-р—. Ясно, что на рассмат- риваемом отрезке -24-2/ — 2/3<0, т. е. г' <0, а потому функ- ция z (/) убывает на ((J; y-j . Значит, zHaBM=z(-y) =7,5, т. е. левая часть уравнения (6) удовлетворяет неравенству р 2—2<>7,5. В то же время правая часть уравнения (6) удовлетворяет не- равенству 7-f-у-sin у^7,5. Значит, каждая из частей уравнения (6) равна 7,5, т. е. мы приходим к системе уравнений |^_f-2/ = 7,5, V+y- sin у = 7,5, откуда (/=-|-, или (sin2 х cos2 х=7“’ lsiny=l, | у=^-+2лп. Из уравнения sin2 х cos2 х=-|- получаем: sin2 2х = 1, 2х=^-4-л/г, ____ Л I Jik “Т* т * В итоге находим следующие решения заданного уравнения: {г_________________________ Л j nk 4 “Г 2 ’ 1/=у-+2лп. Пример 7. Решим систему уравнений {8 cos х cos у cos (х—у) +1 = 0, , x+y=z. Решение. Выполним некоторые преобразования первого уравнения системы: 4 (cos (х+у) + cos (х—t/)) cos (х — у)+1 =0, (4 cos2 (х—у) + 4 cos (х—у) cos (x+y))+(cos2 (x-|-y) + sin2 (х4~у))=0, (2 cos (x—y)4-cos (x-|-y))2 + sin2 (x4-y) = 0. 314
Это« уравнение равносильно системе уравнений |2cos(x—y) + cos(*+t/)=0, t sin (x-|-i/)=0. Vй/ Уравнение sin(x+</)=0 сводится к совокупности уравнений: х+у = 2лп или x-j-i/ = n + 2nn. В первом случае cos (х^-у) — 1, во втором cos (х+у)= — 1. Значит, Система (8) равносильна сово- купности двух систем: {х + у = 2лп, (х + у = л+2лп, cos (х—у) = —Ц cos (х—у)=-j-. Из первой системы находим |'х + у = 2лл, I х—у=±^4-2лЛ, т-е- (х= ±-^-4-л («+&), I 3 (9) ly=Tv+n(n-fc). X о Из второй системы находим f x-f-y = n-j-2nn, lx — y=±~-+2nk, \ о откуда (х = ^ + л (« + *), { я (Ю) |у=-г+я («-*)’ > о или (х=-2—|-л (n + k), 1 L <Н> 1у=^+л(п-4 V о Пары, задаваемые условиями (9), (10), (11)—решения систе- мы (8). Воспользовавшись теперь тем, что z=x+y, получаем ре- шения системы (7): х= ±-—-+ л (п + й), <5 х=-^-+л(п + &), о х~ з +«(« + £), i/==F-2-+n(n-^, ‘ у=^—|-л (n — k\ <5 1/='у-+л (n — k\ г = 2ли; г = л + 2лп; г = л+2лм. Пример 8. Решим неравенство X— |у|-п/х2+у2—1>1. (12) Решение. Преобразуем неравенство к виду X— |у| — 1 >^/х2+у2—1 (13) 315
и возведем обе его части в квадрат, учтя при этом, что х2+у2 — 1 >0 (область определения) и х— |у| —1^0 (по смыслу неравенст- ва (13)). Получим систему неравенств, равносильную неравенст- ву (13): {х2 + у2-1>0, х —lt/| —1>0, (14) (х—|l/| —1)2>Х2 + у2—1. Из третьего неравенства последовательно получаем: х2 + у2 + 1 — 2х|г/| — 2x-f-2|z/| ^x2-j-y2— 1, 1 —х—x|i/H-|у| >0, (14-|у|)(1-х)>0. Отсюда, в частности, следует, что х^1. Поскольку из второго неравенства системы (14) следует, что х^1, нам остается лишь сделать очевидный вывод: х=1. Итак, системе (14) может удовлетворять лишь значение х=1. При этом значении система (14) принимает вид: ( у2 > 0, U2>f/2. что выполняется одновременно лишь при у — 0. Итак, (1; 0) — единственное решение неравенства (12). Пример 9. Решим неравенство 1—tg ^р-|-arccos (х-Мsin у|)<0. (15) Решение. Так как функция u = arccos t определена лишь для /£[—1; 1], то —1 ^x-f-1sin у\1, т. е. — 1 — |sin t/|<x< 1 — |sin у\. (16) Так как 0 I sin у | 1, то из двойного неравенства (16) следу- ет, что -2<х<1,. (17) На промежутке ( — 2; 1] функция u = tg-2p возрастает, зна- чит, vHa„6=n(l)=tg-j-==l, т. е. на этом отрезке tg 1, а зна- чит, 1 — tg^-^O. В то же время функция v = arccos t по определе- нию принимает значения из отрезка [0; л], т. е. arccos (х+I sin у |)>0. Итак, в левой части неравенства (15) содержится сумма двух неотрицательных выражений 1— tg~ и arccos (х4- [sin у\). Значит, - неравенство (15) может выполняться лишь в случае, когда каждое из указанных выражений обращается в нуль: 116
p-tg^=o, 1 arccos (x-|- |sin yl) = 0. Решая эту систему, получаем: ях л . —=— +л«> x-t-lsin i/| = l; |x=4fe+l, (18) 11sin y\ = —4k. Последнее уравнение имеет решения лишь при k — О (при других целочисленных значениях k правая часть уравнения будет по модулю больше 1). Значит, систему (18) можно переписать в виде гх=1, tlsin«/|=O, откуда находим (х=1, (у = л& — решения неравенства (15). Упражнения Решите уравнения. 1964. 5x24-5i/24-8xt/4-2x —21/4-2 = 0. 1965. Зх2-j-3i/2 — 4xi/-j-6х+6//-j- 18 = 0. 1966. 2 (х4 — 2х2 4-3) (у4 — 3t/2 4-4) = 7 1967. (x2 —2x4-3)(у24-61/4-12) = 6. 1988. —Д=-+4 Vx^2+VF:1 = 28- -yx —2 yy— 1 1969. sin2 nx4-logi (y2 — 21/4- l)=0. 1970. tg2 2x + 2 V3 tg 2x+3=-ctg2 ) . 1971. x2 4- 4x cos xy 4- 4 = 0. 1972. x24-2x sin xy-f-1 =0. 1973. cos2 x 4- cos x cos у 4- cos2 у—0. 1974. tg2 x 4- 2 tg x (sin у 4- cos y) 4- 2 = 0. 1975. 24-2 sin x (sin у 4-cos y)=cos 2x. 1976. 2 -y/2 (sin x4-cos x) cos y=3-f-cos 2y. 1977. 45inx-21+sinxcosxi/4-2l*l=0. 1978. logs (x+y)—2 sin ^logs (*+</)+ |j(— 11 = — 1. 3 1979. cos x 4* cos t/cos (x 4-{/)="2“ • 1980. (3 sin x4-^3 cos x4-5i/)2 = 37 (1 4-//2)- 1981. tg4 x-t-tg4 «/4-2 ctg2 x ctg2 i/=3+sin2(x+t/). 1982. 1— 2x—x2=tg2(*+i/)+ctg2(x+i/). 1983. 2‘“x’+2x’~‘ = 2sin^. 1984. 2W -cosj/4-lg(l+^+ l«/l)=0. 1985. logs (2+2 sin (x+y)—cos2 (x+y})=4’ — 2*+1 + 3. 1988. logs (cos2 xy 4-1—)=~5—н—nr- ’ 6 \ ’ cos!xi// tf—2y+2 317^
/ 2x 1987. tg2 n(x+y)4-ctg2 л (х+у)=д/-5— V X -f 2 1988. logs |ях| 4-log|nx| 3 - sin2 (x_|__ 2 sin (x2 ’ 4 1989. 2^ху+^*у-------- log2 (4x — 4%4-3) 4 1990. 4 sin2 xy -f- 4 sin xy 4- 3 = ,— - .---r-. In lt/14-logiyp IQQ1 QSiH X = ___________1______________ l°g^U4-*/)-6 log^(x4-(/)4- l2 ' 1992. 4 (з д/4х —x2 sin^i^4-2 cos (x4-z/) — 134-4 cos2 (x4-i/). 1993. xsin!/ + (l-x)cos*==l. 1994. ^cos2 x4~ C0SV~ ) (I 4-tg2 2t/)(34-sin 3z)=4. Решите системы уравнений. 1 Ox2 4- 5t/2 4-13z2 = 12xy 4- 4xz 4- 6yz, x3+y3 4- z3 = 288. 8 sin x cos у sin (x4-*/)4~ 1 =0» x = f/4-2. 4 (2cos x cos у —(д/34~ 1) cos z) cos (x 4-//) 4-3=0» x—y = z. tg2 x4-ctg2 x=2 sin2 y, sin* (/4-cos2 z— 1. log! |sin x| +log|Slnx| -U=2 cos2 y, * tg?</4-2s,nz=l. 2000. f2l+sin!jc+2c°s’x=4 cos2 </, i log i sin z4-sin2 y = 1. ~2 Решите неравенства. x4V4-V*—f/2--~K b л-------1 у — д/l — y~x >n-----r . y v |cos x| cos x—y2—~\!y — x2— 1 > 0. log3(2 + 2|x|) cos2 (x4“{/) (3 — cos2 x —2 sin x) (lg21/4-2 lg */-H)<3. (sin2 (x4-t/)4-2 sin (x4-j/)4~2) log2 (3x4-3-x)< 1. 2y — 2 cos x 4- д/t/—x2— 1 < 0. 2008. 2с°’х-11/1+д/1/1+-Г^7Г-»< jq/4-2 arcsin (x2 4- ^)>2n. lg (> + V)+arcsin (21 *l + у) > у. log । (14-*)4-arccos (x4-y*X — 1- 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005. 2006. 2007. 2009. 2 ’ 2010. 31Ж 2011.
ОТВЕТЫ Часть I. Алгебра Глава I. Тождественные преобразования. § 1. Разложение многочленов на множители 1. (а- 1) (а+ 1) (а2+ 1). 2. (а-3)2 (а + 3)2. 3. (а- 1) (а2 4- 1) (а2 + а+ 1). 4. а2 (а4-3)Х Х(а—2) (аЧ-2). 5. (а— 1)(а4-1)\ 6. (а — Ь + с) — с) (—а4-&4гс) (а^Ь 4-с). 7. (а2 + а6+62)(а2—а6 + &2). 8. (а2 + а+1)(а2-а+1). 9. (а2+а + 1)(а2-а+ 1)Х Х(а2+ат/3+1)(а2-а-\^+1)- (а2+6а + 18) (а2-6а+18). 11. (а2+а6 т/2 + *2)Х Х(а2-а6л/2+*2). 12. (а—1) (а+1) (а2+а+1)(а2—а+1). 13. (а2+1)(а2+а^3+1)Х Х(а2-а->/3+1). 14. (а-1)2 (а+1)2(а2+а + 1)2(а2-а+1)2. 15. (а-1){а+1)(а2+5). 16. (а2+1) (4а2 +1). 17. (а2+1) (2а2+а + 2). 18. (а+^2)(а — т/2)(а2+3а + 6). 1». (а— 1)(а2+а + 2). 20. (а+1)(2а2-3а+3). 21. (а-1)(а+3)2. 22. (а-с)(а+26)Х Х(26 —с). 23. (а + 6)(5+с)(с+а). 24. (а+6) (а-2с) (6-2с). 25. а(а-1)(а+1)Х Х(а-2)(а+2)(а-3)(а+3). 26. 5аЬ (а + 6) (а2 + аб + 62). 27. (а-6) (6-с)(с-а)Х Х(а5 + &с + са). 28. (b-f-c) (2а—Ь) (2а+с)(2а + 6 —с). 29. 3 (а+6)(6+<^(с+а). 30. а (а+1)(а2+а+7). 31. (а2 + 3а+ I)2. 32. (а+2)(а+6)(а2+8а+ 10). 33. (За*+4а- -1) (За2+2а+1). 34. (а-6)(6-с)(а-с)(а+& + с). 35. 3(а-6)(6-с)(с-а). 36. 3(а+с)(а—с)(а2+62)(62+с2). 37. (а2— ab-b2) (а2+3а6+62). 38. (а+6 + с)Х Xfab + bc+ac). 39. (а+6 + с) (а+6 —с) (а—6+с) (а—6 —с). 40. (а+1)(a2-|-a-j- 1)Х Х(а2-а+1). 41. (а2 + а+1)2. 42. (а+6)2(а2-4а6 -62). 43. (а2 + а ^2+1) (а2-а-Д+ + 2). 44. (а2 + а+1)(а8—а7 + а5—а’+а3—а+1). 48. При а=1. § 2. Тождественные преобразования рациональных выражений «2~1 . 54. 5 5а 4-4 а4 4-1 51. 2 , -ГТ • 52. 53. 4 $ — - а24-а-|-1 «4-1 а4-2а24-4 „ 1___ „ 16а15 32 57> а*-Ь2 ’ 58' 1—а13 ’ 59‘ 1—а32 ’ 6°’ (а+Д+с)2 . 64. 0. 65. 0. 66. —J—. 67. 2Ьс а 4- с Х(5 + с)(с+а). 76. 1. 97. 98. «.= 3-^ = 5ZTT- ,0L ^=(-1)л+1 "(n+1). □л 4” 1 * 63. а2—4 2a2 4-3 5a2 а* + 5 -55‘За2-3'56’ а24-2 * а^ 4~ За 4~ 2 __ п 61. --—г-—. 62. 2а. а4 — 1 а(а+5) ’ . 68. 0. 69. а+b + с. 70. (а + b) X " . 99. 100. S„ = 4л4- 1 § 3. Тождественные преобразования иррациональных выражений 119. бд/5 + 2. 120.39. 121. 56 V*0+12 122 10 )23 124. , если о О —1^6<1; Ь, если b<Z — 1, 6>1. 125. a-j-b, если а>0 и Ь>0; —а, b если а<0, Ь<0. 126. 2+^/3. 127. -^2—1- 128. 3. 129. (^+Г)Ц2. 130. 1+^/2. 131. ->/3— 1. 132. V5 —2. 133'. 134. т/2. 135. . I4fi V225+Vi05+V49 ... <2(V3+V5) ^/2(1+^_^) lob. -------g--------. 1о/. ----2----- loo. -------------------. 139. T^f-Vi5-V14 + Vi0 140. |+^ И1 142. V3-V2- »«<>• тр 161. 2. 162. т/a—fi. 163. -а2^Ь. 164. 2. 165. —1, если 0<а<1; -------------------------1 а2 если -1<а<0. 166. ~\/—167. а+6. 168. 4 -у/а. 169. 4а. 170. у-Ц-. V а4-4Ь \—сг М9
171. 1. 172. m^Jb. 173. I. 174. x, если пгДГ7>0; если -г-Дп<®- v x — 2az x — 2az 2 л 3 -|-1 2 \[ab R r~ a . 175. ----. 176. - V . 177. П8. . 179. a-1, если-1<а<0, 4 26 7Г 6 / b 0<а<1, а>1; 1—а, если a< —1. 180. 2a. 181. . V a § 4. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражении 4(3 — 3 + а ‘ г(р+д$ РЯ б) 192. 198. 182. а) 0; б) -1. 183. а) ; б) —L=. 184. а) 24; б) 890. 185. 0. 186. a) log3 12; V9 VT25 187. а) 0; б) 0. 188. 3,0970. 189. 190. . 191. 3 2 (а 4-1) 1—a . 193. ± _ ЧМ. " + №~2. .95. 3“^+,5 . ,95. . .97. a + b b 1—a a —6 + 1 2a -\-b 5f>~3 . 199. 1. 208. loga Zj. 209. log. b. 210. a + b. 211. 4>loe!“. 212. —а, если 0<a<l; a —2, если a>l. 213. loga b, если a>l и 6>1 или если 0<a<l и 0<6 < 1. 214. 0, если a> 1 и b > 1 или если 0<a< 1 и0<6<1; — 2 (log* a + loge b), если a> 1 и 0<zb<Z 1 или если 0<a< 1 и 6> 1. 215. 2, если 1 <a^6; 2 loga b, если I <b<a. § 6. Сравнение значений числовых выражений 269. a>b. 270. a<b. 271. a > b. 272. a<b. 273. a) a>b; 6) a<b. 274. a) a>b; 6) a>6. 275. a) a<6; 6) a>b. 276. a) a<6; 6) a> b. 277. a) a = 6; 6) a==6. 278. a) a>b; 6) a<b. 279. a) a>b; 6) a<b. 280. a) a>6; 6) a<b. 281. a) a>6; 6) a >6. 282. a) a<b; 6) a<b. 283. a<Zb. 284. d<b <Za<c. Глава П. Решение уравнений, систем уравнений и неравенств $ 7. Равносильность уравнений 295. Да. 296. Нет. 297. Нет. 298. Да. 299. Да. 300. Нет. 301. Да. 302. Да. 303. Да. 304. Нет. 305. Да. 306. Да. 307. Нет. 308. Нет. 309. Да. 310. Нет. 311. Нет. 312. Нет. 313. Нет. 314. 4. 315. 0; —2. 316. 13. 317. 5; —2. 318. 9. 319. 8. 320. 6. 321. 6. 322. 2; 34. 323. 4. 324. 3. 325. 4. 326. 8. 327. 5. 328. 329. 3; 4. 330. 3. О § 8. Рациональные уравнения 2 331. 1; —1. 332. 2; —2. 333. 1. 334. —1; 2; 3. 335. -1. -3, -5. 336. ——, 3 — у. 3. 337. 1; 2; 2.5; 5. 338. —1; 2. 339. 1; 2. 340. — 4; —3; 3. 341. —1. 342.-1, 4-. 3. 343. 4. 344. — 2. 2, . 345. 0. 346. 0. 347. -4; -д/2; 3 7 7 __ । ^2. 348. 3. 349. -1. 350. -2; 2. 351. а) 2; 3; б) -1; 3; 1 ±-/И). 352. у; 2. 353. -2, —1, 0, 1. 354. 0; 1. 355. 1; 2. 356. -1; 2. 357. 3±2^- 358. -3; 2. 359. ~5^‘3.360. -4-. -4- • 361. 4,5; 5,5. 362. —5, —3. 363. —364. I- 365. -4. 3±,4—• 366. -4-. 367. —1-, 4-. 4 • 368. 0.3; 0.4; 0.5. 369. 4.4- *• 2 19 2 422 23 320
370. -3. 371. 4- 372- 4-' 373’ V’ 374- 4; 2' 375’ V’ 2’ о 4 z Z Z z — 11±У1О5 376 1; — 3±л/5 377 2. 6 378 зуд 0 380. — 1; 2; 4 2 2 ~3±аА7 38Е _1; _ 1 382. 0 383 _1; 9. 5±^61 . 2 4 z § 9. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 384. а) 0; -1; б) 0; . 385. а) ; -1 ±у; б) "'^V33 386. а) А; б) у; 3. 387. а) -4; 4; б) ; irf7.388. а) (-оо; Z-J б) [у ; + оо ) 2 1 11 7 1 389. а) -1; б) -у; 4. 390. а) -5; у; б) -у. 391. а) -5; у; б) -у, -у. 392. а) 1; ~3^Л/Т7-. б) -л/2; 1 -л/5. 393. а) ~-5±^П3; б) 1±л/2. 394. а) 0; б) -3; 3. 395. а) -2; 0; б) —3; —2; 0; 1. 396. а) [-1; 0]; б) -у; -у. 397. а) [2; оо); б) у; у. 398. а) [1; 2]; б) -14; у. 399. а) 1; у; б) —А; 0.400. а) 4: б) -|-; 2. 401. а) -2; б) А 1 4- 402- а) о Z и____ и о / б) А 403. а) -3; 2; t^;6) - 1. 404. а) (-00; - 3]U[3; 00); б) [-3; — 2]U о 2 U[2; 3]. 405. а) 2; б) + 406. а) у ; б) А. 407. а) 0; б) 0; [у; оо ) . 408. а) Г—у; у1; б) -2-409-а) 4 2; б) [°: ‘J' 41°- а) 4: 1; Т: б) -1. § 10. Системы рациональных уравнений 411 . (-4; -4), (-6; -2). 412. (-1; -3), (А; в). 413. (-4; -5), (5; 4). 4|Чт4)’(,;4)- 4*5- (2; -5)- (-4; з)- (1+2^; 3-±Р^)’ (|-2т/3; 3~дДЙ). <16. (1; -3). (-1; -3). 417. (-1; -3). (Н; _±). 4„. (,- (yfe тцупу (-цупо. -7-упу (4; () 420. (2; 0), (0; -2). 421. (1; 3). 422. (1; - 2), (- ЗН-2 V2; 2- 2 д/2), (- 3- 2 V2; 2 + 2 ^). 423.(1; -1; 0). 424. (1; 1; 1), (7; -3; -1). 425. (3; 1; 2), (у; у; у). 7 2 \ / 2 \ 426. 3), (--у -3), (1; 2), (-1; -2). (OQQ 117 \ -w; 4б )429-(1; 1; °- (-2; ~2; -2)- 43°- 431. (1; 0). 432. (3; I), (3; -1), (-А; 3^) , ( _ А ; 427. (1; 2). 428. (1; 2), (0; 0), (4; 2), (-2; —4). . 433. (3 д/2; V2), U / (-З-а/2; -л/2), (3^; --^2), (-Зд/2; л/2). 434. (3; 2), (1; 4), (-3; -4), (-5; -2). 11 Заказ 840 321
(о: -у). (I; I). (-1: -I). (^/+ 4F)- “ 437. (3; 1), ( —3; /14-/106 4-/106 \ \ 53 ’ 53 /’ t; —yz)> 439. 0 . 440. /д/30 д/30 \ \ 40 ’ 10 / «-•(|; -3>- ; „2 (2; . (_2; _4) , ^)- 443- <1; 2)- -2)’ (2; 1), (-2; -1). 444. (2; 3), (-2; -3), (3; 2), (-3; -2). 445. (2; 3), (3; 2). 446. (0; 0), (д/7; д/7), (-д/7; -д/7), (л/ТЭ; -д/19), (-лАэ; дДб), (2; 3), (-2; -3), (3; 2), (-3; -2). 447. (2; 1), (-2; -1). 448. (3; 2), (-2; —3), (0; 0). 449. (3; 2), (-4; - 12), (0; 0). 450. (3; 5), (5; 3). 451. (2; 3), (3; 2), ( —2 + д/7; -2-д/7), ( — 2—д/7; -2 + д/7). 452. (3; 1), (1; 3), (-1; -3), (-3; -1). 4S3. (-2; 3), (3; - 4И. (6; 6). (~3 + 3^ . -З-З^Зу ( -3-3-JS . . 4И. (1; 4). (4; ,, (уЩЯ; . (=ii< уЦА<[) о ПА ( 3 , / 103 3 / 103 \ / 3 / 103 3 , 3; 2)’ (-т+л/-4Г; -т-л/"4г)’ (-т-лЬг= -т+ . 457. (2; 3), (3; 2). 458. (3 + 2 д/2; 3-2 д/2), (3-2 д/2; 3 + 2 д/2), ) . 459. (2; 1), (1; 2). 460. (0; 0), (2; 1), (1; 2), (-2; -1), (-£; -2). 461. (2; -1), (-2; 1), (1; -2), (-1; 2). 462. (3; 1), (—1;_—3), (V13; -УГЗ). 463. (Н 2; -1), (-1; -2; 1). 464. (1; 2; -1), (-1; -2; 1), (ЗД_Д 5Д7; £). (2; 0), (_2; 0), (-1; —1; -1). 466. (0 ; 0; 0), (1; 1; 1), (0; д/2; д/2), (0; -д/2, -д/2), (д/2; 0; д/2), (-д£; 0; -д/2), (д/2; д/2; 0), (-д§; -д/2; 0). 467. (1; 2; 3), (1; 4; 1), (5; 2; -1), (5; 4; —3). 468J1; -2^3), (3; -2; 1), (1; -3; 2). (2; -3; 1), (2; -1; 3), (3; -1; 2). 469. (0; 0; 0), (д/2; д/2; д/2), (-д/2; -д/2; -д/2). 470. (3; 2; 5), (3; -2; -5), (-3; -2; 5), ( —3; 2; —5). 471. (9; 3; 1), (1; 3; 9). 472. (3; —2; 2), (9 + 3 У5 ~7~Зд/5 . (9+'"'5\ ^-+3+ +^). 473. (!; 2; 3). 474. (1; !; I). 473. (I; I). 476. (|; 2;±) . (2; ±; 1). (±; 1; 2). (1; з). (2. I; 1). (/ 2; 1 ) . 477. ») .3^3 ^т+упз; -7^та; _9у(^1П31^1+да; „9); (3; 4; 5). (4; 3; 5), (-3; —4; -5), (-4; -3; -5). 478. (0; 0; 0), (1; 2; 1), (2; 1; 1), /З + д/6 3-д/б 2 \ /3 — д/6 3 + -/6 2 \ V—в-; ; ТЛ ; ТА 479. (13; 0; 13), (8; 2; 4). §11. Задачи на составление уравнений и систем уравнений 480. 31. 481. 24. 482. 12 и 1232. 483. 103. 484. 285 714. 485. 54. 486. 83. 487. 428 и 824. 488. 2. 489. 0,25 кг серебра. 490. 24 и 16 станков сверх плана. 322
491. 35 кг пшеничной и 45 кг ржаной муки. 492. 18 дней. 493 . 3%. 494. 200 495. На 10%. 496. 1. 497. 44 чел. 498 . 32 чел. 499. 10. 500. 820. 501. 6; — . 502. 12; 24; 36; 54 или 52,5; 37,5; 22,5; 13,5. 503. 5103 или . 504. 931. 505. 1350. 81 16 506. 12, 18, 27. 507. 20. 508. 5. 509. За 8 ч. 510. 18 к. 511. 18 рыб. 512. За 16 ч и у ч. 5 5 513. За 20 ч и 30 ч. 514. За 3 ч и 4 ч. 515. За 12 ч и 8 ч. 516. За — ч и — ч. о 1о 517. За 16 дней. 518. За ~ ч и ~ ч. 519.7,5 ч и 10,5 ч. 520. За 14,4 ч. 521. За 3 ч. 522. Про- о <5 60 изводительность второй фабрики в 2 раза выше. 523. За 6 дней. 524. За — мин. 525. 8 ч. 526. 50 ч. 527. В 1,5 раза. 528. Через вторую трубу в 2 раза больше. 529. В 3 ра- за. 530. В 4- раза. 531. За 10 дней. 532. 60%. 533. Уровень нефти поднялся. 534. 300 г и 500 г. 535. 441 г. 536. 40 т и 60 т. 537. 187,5 кг. 538. 50 кг. 539. 53%. 540.5%. 541. 10 кг. 542. 2^ кг. 543. 1:3. 544. 1,64 л и 1,86 л. 545. 15 кг. 546. 1 кг и 2 кг. 547. 10 кг, 69%. 548. В 2 раза. 549. 18 кг. 550. (а + &-с)°. 551. 5% и 10%. 552. 40% и 65%. 553. 170 кг. 554. 6 л. 555. 6 л. 556. 2,4 кг и 4,8 кг. 557. 3,5 л глицерина и 0,5 л воды. 558. 10 л, 90 л. 559. 20 км. 560. 50 км/ч. 561. 10 км/ч. 562. 360 см и 18 см/с или 60 см и 6 см/с. 563. 1375 км. 564 . 840 км, 80 км/ч, 70 км/ч. 565. 40 м/мин. 566. 6 км/ч и 3 км/ч. 567. 6 м/с и 8 м/с. 568. 3 ч, 2 ч. 569. 20 км/ч. 570. 20 км/ч. 571. 3 км/ч и 1 км/ч. 572. 8 км. 573. 10 ч и 9 ч. 574. 60 км/ч и 40 км/ч. 575. 15 ч и 10 ч. 576. а(1 +д/2) ч. 577.50 км/ч и 100 км/ч. 578. 60 км/ч и 100 км/ч. 579.25 ч. 580. 16 ч. 581.2 ч. 582.25 км/ч. 583. Скорость течения 3 км/ч, а катеров 15 км/ч. 584. 14 км/ч. 585. 1 с. 586. 20 км/ч. 587. 20 км/ч. 588. Скорость первого пешехода в 2 раза больше скорости второго. 589. В 8 ч 30 мин. 590.5 ч. 591. За 3 ч. 592.1:2. 593.4 км/ч; 3,2 км/ч. 594. 4 км/ч; 60 км/ч. 595. В 2,75 раза. 596. 48 км/ч. 597. За 6 ч и за 4 ч. 598. За 4 ч. 599. За 3 ч. 4 600. 24 ч. 601. За 90 с. 602. 4 ч и — ч. 603. 80 км/ч. 604. 40 м/с и 36 м/с. 605. 20 м/мин, 15 м/мин, 280 м. 606. и • 607. 15 м/мин, 20 м/мин, 280 м. 608 . 20 км/ч; 25 км/ч; 15 км/ч. 609. «306,7 м. 610. 40 км/ч и 60 км/ч. 611. В 10 раз. 612. 5 км/ч и 4 км/ч. 613. Первая— 13 деталей, вторая— 11 деталей. 614. 16 ч 615. 60 м3/ч и 24 М3/ч. 616. 100 м3 и 140 м3. 617. а = 0,5. 618. с= 10. 619. 9 км. 62Q. 3 т. 621. В 1,5 раза. 622. 20 км. 623. 160 км. 624. 7 км/ч, 6— км/ч и 6,5 км/ч. 625. НО км/ч, 120 км/ч и 100 км/ч. 626. 832 заявления. 627. 26 бойцов. § 12. Иррациональные уравнения и системы уравнений 1 4 628. 2; 3. 629. 7; 8. 630. 2. 631. Нет решений. 632. 0. 633. —2; у. 634; 4 + 635 0. 2. 636 . 0 ; 0,5. 637. 1,25. 638. —1; 1. 639. 64 . 640. —у 1. Z о 641. 1. 642. 1; 2. 643. -1; 0. 644. —2; 1. 645. 2. 646. 1. 647. -4 ; 4. 648. —2; 6. 649. -1; 4. 650. -7; 2. 651. ~ 1 + ^7460-2 ~ 1 ~^74602 1024 L 18 18 654. —0,5. 655. ‘--Zt 2^1. 656 . 9- /—. 657. 1. 658. —1; 8; 27. 659. —; 1. 6 4 8 660. 1. 661. 5. 662. -37 ; 6. 663. 2. 664. 15. 665. -2; 5. 666. 1. 667. 1. 668. -88; -24; 3. 669. -1; -у; 1; 2. 670 . 2. 671. 1. 672. 1; 2; 10. 673. 1; 20. 674. -3; 3 . 675. -2. 12л/2Т 12 ч/2Т 676. 1; 3. 677. 8— у ; 8-f-^^-; 8. 678. 0. 679. 1416. 680. 9. 681. 12. 682. 1. 323
683. 2; 3. 684. 1; 4. 685. 2; 6. 686. —61; 4. 687. 0. 688. 2; 6. 686. 1; 32. 690. 17- ,257; 17 + V257. 691. 6 19 . 692. 0. 693. 0,25. 694. 3; °— > --. 695. 2; 3. 119 о 696. -6 I. 697. 1. 698. 3. 699. 5. 700. . 701. (1; 4). 702. (9; 4). 7O3.(y; -y) ; (3; 2). 704. (y; —L). 705. (7; 13), (-7; -13), (y; u), (-y ; -I4). 706. (3; 1). 707. (6; 5). 708. (2 ; 8), (8; 2). 709. (1; 9), (9; 1). 710. (1; 4), (4; 1). 711. (1; 8), (8; 1). 712. (1; 8). (8; 1). 713. ( — 8; —1), ( — 8; 1), (8; —1), (8; 1). 714. (1; 7), (7; -8), (y ; y). 715. (0; 0). 716. (5; 4). 717. (2; 3), (y ; -y). 718. Qy y). 719. (4; 9; 1), (-4; -9; - 1). 720. (3; -2; 6). 721. (5; 4; 5). 722 (1. -А-2П \58 ’ 29 ’ 29 / ' § 13. Показательные уравнения 723. 3. 724. —3; 1. 725. 3~У*3 ; 2+_УИ_. 726. —L 3. 727. —; 3. 21 - 5 728. 3. 729. 0. 730. log 3 —. 731. 2. 732. 3. 733. 0. 734. 0. 735. - 1; 1; — у'2; -у/2. 736. 1. т 737. 3. 738. 3. 739. 2,5. 740. — 1; 1. 741. 1; 1 +^2; 1—^2. 742. 0; 1. 743. 1. 744. 0. 745. 0. 746. 0. 747. 1,5. 748. 0. 749. —0,5; 0,5. 750. 0. 751. 0. 752. 0. 753. — 1; log04 5. 754. 0. 755. 1. 756. 1. 757. 0; log15 3. 758. —1; 1. 759. —1; 1; 2. 760. —4; -2; 2. 761. -3; 1; 2; 4 5 3; 4. 762. — ; — ; 2. 763. -1; 1;2. 764. -(2 + log3 2); 1.765. -(1 + logs 2); 2. 766. [0; 1]. 767. -3; [-1; оо). 768. 0. 769. 9; 2. 770. 1; 4. § 14. Логарифмические уравнения 771. 2; 3. 772.2. 773. 1,5; 3. 774. 0; 1,5. 775. 2 —т/З; 2 + у/З. 776. 5. 777. 4; 6. 778. 41. 779. 0. 780. . 781. 8. 782. 6. 783. 1,5; 10. 784. 37. 785. 2; 3. 786. 0. -4 + V6 - 4 - Уб 787. 10~3; 10"'; 10; 1_03. 788. — 1+V10; 9. 789. 10 5 ; 10 5 . 790. 10. 791. 10_|; 105. 792. ^5; 5. 793. 10. 794. ^/2; 4. 795. 2-7; 2. 796. —8; —3. 797. 1; 2. 798. — 5; 3. 799.10~'; АДб. 800. — 100. 801. — 11; 1; -5 + V14; -5 — д/Т4.802.3; З+л/2. 803. —64; — 1. 804. 3..~ .805. —4. 806. 0,75. 807. 3. 808. -5; 5. 4 4 809.-у . 810. 9~1; 9. 811. 1; у ; у. 812. 0. 813. 2. 814. 1. 815. 4. 816. 2. 817. 2. 818. 2; 8. 819. 3~f . 820. У • 821. —; -5- . 822. 1. 823. 2. 824. 10; 105. 825. 0,5; 8’8 12 3УЗ V3 32. 826. 10-'; 103. 827. 100. 828. 1; Ю"2'8 ||5; Ю^'8 '’5. 829. IO '2; 102. 830. 0. 831. 2. 832. 10~4; 10. 833. 5“'; 52. 834. 3“‘; З2. 835.л/'б26. 836. 10~2; 103. 837. 2“4; 2. 838. 2“'; 1; 16. 839. Зл/З. 840. У ; У . 841. 100. 842. 7; 14. 843. 9“'; 9. 844. У.; 1; 2. 3 15 у8 845. 2 9 . 846 . 3. 847. 17 . 848. -2 . 849. 1. 850. -1; 3; — У. 851. 1; 2. § 15. Системы показательных и логарифмических уравнений 852. (-10; -12), (12; 10). 853. (2; 3), (3; 2). 854. (у; у), (у; у). 324
855. (у ; у) . 856. (3; 2). 857. (4; 1). 858. (3; 2). 859. (4; 3). 860. 0 . 861. (1; 1), (4; 2i 862. (1; 1), (2; 4), (-2; 4). 863. (1; 2), (2; 1). 864. (у • 64 ) & 2)- 865• 7)- 866• (2: 32). (32; 2). 867. Q-; у), (3; 1). 868. (7; 3). 869. (17; 9). 870. (2; 6). 871. (125; 4), т)’(3; 4)- 874-(4; °- 875> (9: V9)- у) . 877. (5,5; 2,5). 878. з) . 879. ' (625; 3). 872. (3; 27), (27; 3). 873. 880. (log, 12; log, 3). 881. (1; - 1). § 16. Рациональные неравенства 882. (0; 1)U(1; оо). 883. 3)’885, °° (-°°; -у)и(у; 2). 884.(- оо; -2)U(-2; - 1)U ). 886. [2; 5]. 887. ( 7~^~ 1 7-+) . 888. 4 889. (-8; 0)0(8; оо). 890. (-оо; — 2; 00). 891. (—00; 1). 892. -1; 1 893. (-00; |)и(1; у). 894. (-4; -3)U(-2; - l)u(y ; 3 ) . 895. (-00; -4] (J u[‘ 2^‘3 ’ 1+2^]U[4: °°}- 896’ (-2; 2)U(2; 4)- 897’ [~3; 4^~]U u[°; 1+y4‘ ]u(3|. 898. (-00 U(2 + V6; 00). 900. (-y; 2)U(3; 5)U(7; 00). 899. (-00; -3)0(2-3)U oju(y; 00 ) 901. (-1; 5). 902. (-8; 1]. 903. (-2; ‘2 a/3)u(-1+—; 2 ).904.(-oo;-|-)u(y ; 00 ). 905. (-00; -2)0 U[l; 00). 906. (— 00; 0)U_(3; 00). 907.(-8; —1). 908.( — 3; —2)(J(—1; 1). 9O9.(— 00; 2)U 0(2; 00). 910. ( ' ~6A'Z3-; -1 )o(l; -’^^L) . 911. (-00; l)o(y; 2) -4 M-Я ; 4)u(2; 00). 913. (-00; — 7]U( —1; 0)0(0; 1]U(3; 00). □ / \ / Э £ / 914. (-00; — 1)U(—1; 2]. 915. (-00; 2)U[3,5; 4)0(7; 00). 916. (-00; 5). 917. (0; 9). 918. (2,7; 6). 919. (I; 2). 920. [1; 2). 921. (-3; — a/7)0(V7; 3). 922. (—00; -|- )(J u(y; 2). 923. (-1; 1)0(3; 5). 924. (-5; —fjofyl >) 925. [-у у]. 926.(0; 1). 927. (-4; —3)(J[-2; — 1](J[1; 2). 928. ( — 8; — 6,5)U(0; 5). 929. ( — 4; — 3)(J U(-2; -i)u(o; y)u(h 2)0(2; 3)0(3; 4). 930. (-00; -7)U(-7; -2]U(1; 7)U U(7; 8]U(H; 00). 931. [-1; —Ljufyl 1) 932. (—°°1 DU(1; 2)0(2; oo). 933. [у; б)и(6; 7]. 934. |j|"; 2^и(3; 00). 935. 0 . 936. (—00; 1)0(2; 3). 937. ( - oo ; 4)u(3; 00). 938. (-1; 1). 939. [0; 8]. 940. (-00; 2)0(2,5; 00). 941. (-00; —5)U( — 2; - 1]U(5; 00). 942. (-1; 0)U(3; 5). 943. (0; 1)U(2; 3)U(5; 6); (6; 7). 944. (-1; 3). 945. (-3; 1)U(2; 00). 946. a) (1; 6); 6) (y ; 1 j(J[6; «>); в) 0 325
S47. (—oo; -1)U(2; 3). 948.(-6; 2). 949. (-2; 4). 950. а) (- оо; - 16)U(6; оо); б) (1; 4). 9ui.a)(-co; оо); б) [1,5; 2,5]. 952. а) (-оо; - l)U(0; оо);б)(-оо; -0.4JU U[4; оо). 953. а) (-оо; -5)U( —1; l)U(h ~); б) (-оо; -4)U(-4; 2)Щ6; оо). 954. а) (—оо; — 2)tj(-^-; оо ) ; [4,5; оо). 955. а) (—оо; 1]U[1,5; оо); б) (-оо; оо).956.а)(-оо; оо);б) оо У 957.(O;O,4).958.[o;-i-} 959. (-оо; l^-)u(^; оо ). 960. (-оо; 1}U U(2,2; оо). 961. [ ~1 ~^ГГ-; - 1 )и(- 1; 1)и(1; "Ц—] 962. (-оо; -2)U U(-2; - 1)U(- 1; 0). 963. (- оо; -2](J[- 1; оо). 964. (-оо; -2)U(-2; 0]U[l,6; 2)U U(2; 2,5]. 965. [-1; 1]. 966. (-oo; -3)U(3; oo). 967. (-oo; —l)u(3; oo). 968. (-oo; —4](J[1; oo). 969. (-oo; -5)(J(-1; oo). 970. (-oo; oo). 971. [1,5; 2). 972. (1; 3). 973.(-5; —2)(J(2; 3)U(3; 5). 974. (- oo; -3). 975. (-2; 3). 976. (- oo; -2)U U(3; oo): 977. (—oo; oo). 978. ( — 0,5; 2,75). 979. (—oo; 0)0(6; oo). 980. (-oo; -0,5)0 0(0;4). 981.(—oo; -2)(jly; oo 1.982.(—oo; — 4)(J( — 2; 1)0(3; oo). 983. (— oo; 2](J U[4; oo). 984. (—oo; 2). 985. (0; oo). 986. [у; з} 987. (-oo; 0)0(4; oo). 988. (—oo; 1,75) (J (2,5; oo). 989. В первом — 24 детали, во втором — 7 деталей. 990. В первой — 11 человек, во второй — 17 человек. 991. 119 пионеров. 992. 25 300 м. 993. 850 л. 994. По 9 человек. 995. 8 книг. 996. Двоек— 11, троек — 7, четверок — 10, пятерок — 2. 997. 180 р. 998. 14 р. 999. 144. 1000. 44. 1001. 30<х<5 (29 — д/505). 1002. 14 красных, 19 синих. 1003. 11 гвоздик, 7 роз. 1004 . 39 ю. § 17. Иррациональные неравенства 1005. (1; оо). 1006. [2,6; 4). 1007. (-оо; 0,5]U[0,68; 1009. (—оо; —1). 1010. [0,5; оо). 1011. (—оо; —2]и[б; 5- 1013. (-3; 1). 1014. [у; 4)(J(5; .оо). 1015. (-оо; 0]Щ4,5; < 1017. Г—21и[3; оо). 1018. (—оо; оо). 1019. [3; оо). 1020. L 1 з J __ 1022. [4; 5). 1023. [з; 12 + ^У15^. Ю24. 0. 1025. 0. 1026. 1027. 0. 1028. (-V2T; 2 л/7]- 1029. ( — 5; 5). 1030. (-д/5; 1032. (—оо; — 2)U[20,5; оо). 1033. ( — 9 ; 4). 1034. (—оо; —4)(J(1; оо). 1035. [-1; 4]. 1036. (-1; 3]U[3,5; 7,5). 1037.(2; оо). 1038. (-оо; оо). 1039. (-оо; оо). 1040.(0; оо). 1041. [2; 6]. 1О42.(- оо; V2)U(V2; °о). 1043.(— оо; -2)(J(0; 1)U(1; «>). 1044. (-2; — 1 ]U иГ—1045. (-оо; -4 + 2д/5). 1046. (—оо; —12 |(_|[3; оо). 1047. [-4; 16). 1048. (2; 8). 1049. [-2; 0)U(0; 2]. 1050. (5; оо). 1051. [-1; оо). 1052. (-оо; — 2]U (j[-l; ) Ю53. (-1-; оо ) . 1054. [0; 3]. 1055. [2; 5]. 1056. [-1; 0]. 1057. [ — 3; 1]. о). 1008. (3; оо). -). 1012. [4; оо). >). 1016. (-оо; 0]. 4; 4-У. 1021. 0. 16J '2.5; 0). 1031. (9; оо). § 18. Показательные неравенства 1058.(0; оо). 1059.(8; оо). 1060.(—оо; - 1)U(1; оо). 1061. (-оо; 0,4). 1062.(0; оо). 326
1063.(—оо; 1,5). 1О64.(-оо; у ) . 1065.(-оо; -1)0(7; оо). 1066. (—оо; 0)0(6; оо).? 1067. (-оо; — 6]0[2; оо). 1068. (-8; 14). 1069.(0; оо). 1070.(-оо; 1 - log2 3). 1071. (-оо; у log3.2 2} 1072. ( — 2 д/2; 2 д/2). 1073- (3; 00 \ 1074. (-00; 1). 1075. (-1; 1). 1076. (-оо; 66]. 1077. 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. 1078. — д/3 jo и[л/3; ^==]. Ю79. (-1; 0)0(0; 1)0(1; 2). 1080. (-2; - -|-)и(о; у). 1081. (0; оо). 1082. (-|-; logs 60) . 1083. (0; 1). 1084. 0. 1085. (2; 00). 1086. (0; 00 1087. (1; 00). 1088. (-00; 0)0(1; 00). 1089. (-00; log2 (1 + д/3)). 1090. (2; оо). 1091. (0; оо). 1092. (-00; logt.sO.5). 1093. (-у; °° ) • 1094. (2; оо). 1095. (0; 2). 1096.(1; 2). 1097. (-00; 0)U(2;3)U(3; 3,5)0(4; оо). 1098. ; 1 ) . 1099. (- оо; -0,5)0 0(1; оо). 1100. [log5 7; 2]. 1101. [log13 5; 1]. § 19. Логарифмические неравенства 1102. (1; 2)0(4; 5). 1103. (—1; 0)0(1; 2). 1104. (—1; 1)0(3; 5). 1105. (4; 5]0[95; оо) 1106. (1; 4). 1107. (3; 4,5). 1108. (-1; у). 1109. (3; 4)0(4; оо). 1110. (0; оо). 1111. (1; 1,04)0(26; оо). 1112. (3; 7). 1113. ( —2; у ) . 1114. [1; 4]. 1115. (— оо; —2)0 0(6; оо). 1116. (о; 3~^^o(3~^^; з). 1117. 0. 1118. (1; 3). 1119. (1; 3). 1120.(0; 1)о[-~7;^—--; 2^. 1121. ( —2д/3; —2)0(2; 2 д/3). 1122. (1; оо). 1123. (0; 0,75)0(1,25; 2). 1124. [2; 3)0(3; 4]. 1125. (1; 4). 1126. (2; оо). 1127. (0; 1)0 о(1 ; 2^ . 1128. (-со; 0)0(5; оо). 1129. (-оо; -7)0(-5; -2]0[4; оо). ИЗО. [0,5; 4]. 1131. (0; 0,5)0[д/2; оо). 1132. (—оо; —5)0(3; оо). 1133. [у; y)lJ(4; 8)- 1134. (4logo,°’2; 00). 1135. (V5; 5). 1136. (logs (д/2+1); logs 3). 1137. (0; 0,4)0(1; 00). 1138.(0; 0,25)0(4; 00). 1139.(1; 2)0(64; 00). 1140. (о; у )о(243; оо). 1141. (0; 0,5)0(2; оо). 1142.(0,01; оо). 1143.(1; 5). 1144.(0,25; 1)0(1; 4). 1145. (-00; log4 (-1 + 73))0(1,5; оо). 1146. (о; log30(log3 4; 00). 1147. (4~7; 4). 1148.(1; оо). 1149. (log4.s ; 1,5^. 1150. [--; )0(1; д/2]. 1151. [0,5; 1). 1152. (3; оо). 1153. (0; 2)0(4; оо). Ц/2 V4 ' 1154. у )о(!; 2^). Ц55. (_д/3; —1,5)0(1,5; д/3). 1156. 1; ~ 0^—^—; 1] • 1157. (-0,5; 2). 1158. (2“28; 1). 1159. (- оо; 0)0(1; оо). Н60. (у; з) . 1161.(4; 10). 1162.(—д/2; — 1)0(1; д/2). 1163.(log4 12; 2]. 1164.(0; 4). 1165. (— 00; у )о 0(3; оо). 1166. (0; 0,5)0(2; 3). 1167. (- оо; 0)0(1; 2)0(2; 3)0(4; оо). 1168. (-2; - 1)0 0(1; V8). Н69. (5; оо). 1170. (-2; 13). 1171. (13; 29). 1172. (40; 41)0(48; оо). 327
1173. [22; oo)U( —2,96; -2). 1174. (О; -L_ |(j[l; oo). 1175. (-1; -0,5)U(0; 1). 1176. (— oo; 0]U[loge 5; 1). 1177. (—oo; 0]U[log2 3; 2). 1178. [0,2; 5]. 1179. (3; oo). 1180. (—1; 0)U[l; oo). П81. (0; 1)U[2; oo). 1182. (2~15; 2-9]U[29; oo). 1183. (-1; 0)U U(l,5; 2). 1184. (-3; — 1 —->/3)11(1; 5). 1185. (й; -|-) . 1186.(1; 1,5). 1187. (~log23; 0). 1188. (1; 4). $ 20. Уравнения, системы уравнений и неравенства с параметрами 1189. (— оо; оо) при а=1; а=—2, а = 2; ——— при s а =/=1, а J ау=2, I a — 2. при а=£1. 1190. (—оо; оо) при а = 1; 0 при 1191. 0 при а=— 3, а= —1,5, а = 0; — ПРИ (а=£ — 3, 1192. 0 при а= — 2, а= — 1; — (2а2 + 3а) при 3(2а + 3) I а=/=_ 1Д I а#=0. 6 — а ( а^= — 2, 1193. 0 при а—— 3, а = 0, а<=2; ——при ( а=£ — 3, 1194. а; За. {а#=-1. а + 3 {а¥=0, I а 2. 1195. —2 при а = 0; 0 при а<-±-- -3 при а=-1; 1 ~2a±V^+j_ 4 4 2а н —-^-<а<0, а>0. 1196. —при а=-^-; 0 при — 9 — 2 ^/2Т<а< — 9 + 2 3а+1^2а-+П18~Пр11 a<-9-2V2T, -9 + 2л/2Г<а<у, а>у. 1197. -у при а= — 2; 0 при а= 1; Xi — * । —-, х2= - при | а#= — 2, 1198. 0 при а У= 1. 6~2V2T<a<6 + 2-V2l; при а<6-2^21, а>6 + 2л/2Г. 1199. — 1 при а = — 2, а = 1; =а+ 1, х2 = а — 2 при | а=# — 2, 1200. 0 при а = 0; 1 а =#= 1. 1 2 —— а при а^0. 1201. 0 при а = 0; —1,5 при а = 1; 1 при а =—*1 = 1, 3 о х2~ — -^4“ при ( а^=—|-, 1202. 0 при а=#1; (—оо; — 2)|J( — 2; — 1)U(— I; 1)U Л 9 о । аУ=0. ---—— при а<—л/З. (а + л/З)2 а>1. 1205. 0 при а<0, л а2 + 24а+16 а>—4; ------—--- при 1о U(l; 2)0(2; оо) при а=1. 1203. 0, а^—д/З; xi=0, х2~ (а — 1 )2 1204. 0 при а<0, 0<а<1; 0 при а = 0; -— - при 1 а2 1 -<а<1; ------ при 0<а<—, а>1. 1206. 0 при 2 2а — 1 2 а<—4. 1207. — а-д/З при а<0; а д/З при а>0. 1208. 0 при а<0; —а ПРИ а>0- 1209. 0 при а<1; ——?-приа>1. 1210. 0 при |а| >~при |а|<~. V?—l 24 2 1211. -j-а.... -[в?при \ 0 при а>^-. 1212. 0 при а<1, а>3; 15 —4а 4 4 328

nr i n n f a -yfaa — a2 a -yl^a-a2 \ n _ при a = 2;,[ — а; а] при 0<a<2; (-—----; —--------- 1при2<а<4. 1247. 0 . i Г i a — ^l2 — a2\ , ., Г i a — ^2 — a2~] Га-{--^2 — а2 при а<-1; [—1; ----------у при — 1<а<1; |_—1; ----------JU|_------- ; 1 j при 1 <а<д/2; [— 1; 1] при я>д/2. 1248. [л; 0] при а<0; 0 при а = 0; (0; а) при а>0. 1249. о] ПРИ а<^ fa(^~’ ] ПРИ 1250- 0 при 1 +V1 + 4? \ л t / 14-V1 4-4? \ а^О, а = 1; ( 1; --------J при 0<а<1; (-----; 00 ) ПРИ Д>1- 1251. (1 — д/9 —а; 1 —д/1 —a)U(l 4~л/1 —а> 1 4"л/9 — а) ПРИ h (1 —— 1 -^-у/д — а) при 1<а<9; 0 при аJ>9. 1252. ^1; ——— при а<0; ~~ > 1 при 0 при а = 0, a^l; (а; 1) при 1253. 0 при а<0, а=1; (2; 3) при 0<а<1, а>1. 1254. 0 при а$СО, а=1; (a; 00 при 0<а<1; Q ПРИ а>1. 1255. Нет решений, если а<1; (2 —д/4 —lg a; 1)U и(2 4-л/4 — 1g а; 4) при 1<а^ 10000; (1; 2 —д/4 —1g а)и(24-л/4 —1g а; 4) при 1000 <а10 000; (1; 4) при а>10 000. 1256. 0 при a^ZO, а=~; (1—д/1—а; 1 4-д/1 —а) при 0<а<у; (1 — д/\-\-а- 1 — д/1 — a)U (1 + л/1 -~а', 14-лЛ+<з) ПРИ 2-<а<1; (l-VT+а; 1 + д/Г+а) при а>1. 1257. а>у. 1258. 2^2<а<у. 1259. а>2. 1260. у<а<1. 1261. 0<а<у. 1262. а<~!+? а>1. 1263. — Кос'у—. 1264. а<2; а>у. 1265. — -у/2<а<— 0<а<д5. 1266. — 1 <а< 1 ; 1 <а<^у^. 1267. а< —2; а>0. 1268. а< —у ; а> 1. 1269. а=1; а = 2; 5<а<6. 1270. —6<а<—4; —3<а< —1; а=1. 1271. —6< V 1 3 5; а=— 2; а— — 1. 1272. — ~2<^а < — 22 ’ а=1- Часть II. Тригонометрия Глава III. Тождественные преобразования § 1. Тождественные преобразования тригонометрических выражений 1273. cos а. 1274. — 1275. —!-----------------. 1276. tg 2а. 1277. sin 2а. 1278. 1. sin р cos а 1279. 1. 1280. 1. 1281. tg За. 1282. tg 4а. 1283. tg (у—у ) 1284. 8 cos4 а. 1285. tg а. 1286. tg4 а. 1287. S'n “ . 1288-cos (з0°+4) • 1289.^. 1290. 1291? j~^. Л \ Л / О & тг 1292. 2-д/З. 1293. - . 1294. - + . 1295. ~^2 ? 1296. 0.1297. 4 4 2 16 1298.1. 1299 . 4. 1300. sina=^, cosa=—tg а = —д-. 1301. sina = —, о о о 4 3 5 12 5 120 tg«=-3-- Ctga=y. 1302. cosa = — ,tga=—- , ctg a = — — . 1303. sin 2a= 330
««. >з=з. 5^. 1G9 119 120 78 26 __ 1306. 1307. а) 7; б) 18; в) ±л/5. 1308. a) sin-£-=^, cos^ = 6>22> A L, iи 2 1 и . а 1 ... а 4 а З а 4 _лл 4 . 2 л/2 б) 5,ПТ=Т’СО5Т=-Т’^Т=-Т- !309 ¥ »3io.slna=-J-, cos а= —2, tg а = — 2 д/2, ctg а = — . 1311. § 2. Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции 1387.-^-л. 1388. -1. 1389. . 1390. -2 1391. . 1392. 0,3л. 1393. . о 2 2 4 3 1394. 4-- 1395. 1396. 2б 1397. л 1398. —2?. 1399. 0,2. 1400. 1401. 0. 4 3 7 3 11 1402. — . 1403. 1404. ху—\/1 — х2 д/1 —у2. 1405. ху + ^/l — х2 д/1 ~У2- 1406. *+у . 1407. 1408.2x^/1 -х2. 1409.-6^. 1410. 2^?. l-ху д/1- + -JY-y2-xy______ 1-х >+* 14Н. ,412. 4^-- И13. лД! 1414. ~1+7Г+4 1 + х2 х2 +1 V 2 х § 4. Уравнения . л . .. л . . 2л . .л 2л t . л 2л . л _ . л f 1496. a) --k; б) — k; в) — k; г) — + д) -=- + -=- k; ± —+ 2лп; е) k; О 4 о ои О э О о о л . 2л . л 2л , л । _ . л л . л . \ ± — 4-ля; ±~+лт; ж) —4-—4-2лп; з) —4-—и) ±—4-л/г. 1497. а) 0; □ э о 3 2 12 3 о б) + (—О'**1-т-4-лп; г) ±-^4-2л&; д) ±-2-4-2л£; ±^?4~2ля; Т’ 2 2л 1 О О О * л * л л л Z1 2л - I г /* \ 2л * е) -тгб; -7-4—о“ л; ж) лк; ± —4-ля; (— 1) т 4- лт. 1498. а) -—4—-А?; б) — k\ 2 О 2 О О О и о в) 4+У* (* = 4л + 1). 1499. а) у б) k. 1500. 4 + 2лй- ,50t 2nk- 1502. 0. 1503. 0. 1504. -^+л&. 1505. (-1)‘-^+л£. 1506. ^+4*. 2 о 10 5 1507. -4+4 +л.. 1508. 4 + ^; ^л. 1509. 1510. | + ^ k. . . л 2 л . . л / л < * п л । 2л л л, 1511. —4_-5" 1512. ±^-4-лЛ; —--\-лп. 1513. п‘ 1514. у4”у^ оЗ 3 4 423 42 _^. + 2лп. 1515. (-1)‘4 + лй. 1516. 4+Т*- 15,7‘ л1г’ (-1)"4 + л'1- 1518. ±-т-+2лй. 1519. 2лЛ; -^ + ^ п. 1520. (—1)‘ + '-£ +л£; —7 + лп. 1521.-^ + 4 о 3 о 4 4 +4*- 1522. ±4 + лА- 1523. 4 + лАг- ±-т + 2л/г- ,524- 2 о 2 о л 3 2 (— 1)п-7-4-ля. 1526. arctg— 4~лк. 1527. arctg— 4-лк. 6 4 3 1525- 1528. arctg —^-^4-л/г. 1529. -^-4-л/г; arctg 34-лп. 1530. -2-4-лк; —arctg 24-лп. 1531.-2-4"л/г; arctg 34-ля. 1532. arctg (—1 ±^/3)4~ л/г. 1533. arctg ~~у^"4- л/г. 1534. л/г; -2-4-яп- 1535.-2-4- лk\ 331
arctg 7-|-лп; arctg 3-|-яш. 1536. ~ + 2л/г. 1537. ^--4 л/г; 1538. у + л/г; ж Z*K LI Л . Л <^лл 1 Л t . w л л Л Л . Л Л л ш л л Ф л . Л t ® . Т2 + Т”' ,539‘ ~z+~2k' ,540’ — зг+т*’ 72+1ГЯ' 164 6~зц+~3к’ т+ 5 л л л # л _ л л t > л л + до+-уМ» где ф = arccos —. 1542. — k\ — -f-лп. 1543. —I544e Т; **О * О 1 1 Z I4*/ ж Л I Л „ 1EJC Л Л I „„ Л , л . лг.л^ л , 2л . л , 2л л„лп л , 24 ^"12 l545‘Т+ ,546‘ ±T’+v/j- 1547. —4--у/г; v+т п- 1548.—/г; о О Z / / о о Z 2 Л , — 4 — . л । f 3 JX , JT . — — _ • ЗТ t / .ХИ m Г ±-х- + 2лп. 1549. -~- + nk; -jr+^n. 1550. -r+~^k; (—1) Тя+тп- ,55L т + я*: О Z о Z 4 Z loO z 3 4 3 arctg—4-лп. 1552. — arctg —-|-я&. 1553. 0. 1554. л-}-2л&; 2 arctg — 4-2лп. Л <j z 1555. arctg 3=~^+nfe 1556. ^-k\ -1- arctg 2+4 n. 1557. 4 + 2л^ " + 2"”- 1558. ink- — 4 + 2"”. 1559. 4±arccos Tb + 2llft- 1560. T?+ + ^-(n^= 17m~1 ) • 1561. 0. 1562. 0. 1563. 0. 1564. (—1)‘4 + "*- 1565.4+ "*- 1566. ±4+4*' ,567< 4 + "й- *568- —40°+60°£. 1569. ±4+2n*. 1570. 1Z Z 4 О Z * л 17л . __. л л л л 5л Зл «л 7л л 24; '24“- ,57Е 0; ±у; ±п- ,572> 0; Т1 Т’ У’ Т’ Т’ ,573’ ” 12 ; 12 ’ 1574. 4 + 2лп, где п=±1; ±2; ±3; ...; (—1)‘4 + л^- 1575. 4 + 2"”. где 1Z Z О Z ”=±1; ±2; ±3; ...; (—1)*-^ + лй, где fe=±l; ±2; ±3; ... . 1576. 0; ±1; ±2. 1577. ±1; ±3. 1578. ±у- 1579.4 + 2"*, где * = 0; 1; 2; ...; -^- + 2пп, гдеп=-1; — 2; —3; ... . 1580. 6; ; ±4 + 2л*, где *=2; 3; 4; ...; ±4 + 2"”. гДе ” = 0; , л о 445л л 5л л , л , л , л -1; —2; -3; ... . 1581. —. 1582. у; у. 1583. -55 + ^*; у + Т”. 1584. л + 2л*; (—Ify + S"”- 1585. 2л + 4л*; (-1)" 4+4лл. 1586. 4+ "fe' 1587. 4 + "*. 1588. (-1)‘4 + "*- >589- 3”*; ±4 + vn' 1590, -4 + 2пй; -^-±arccos 4"2л/1. 1591. -^- + л&; ±-^- arccos f—^-^4-лп. 1592. ~- + лЛ; (— 1)п ~ arcsin 1593. —^4~arccos Y!? -]-2лп. 1594. --г+ 1 l 1 4 4 4 4 + nk. 1595. ±4+4*- 1596. 4+ 4*- 1597. 4+4k- >598. 2л*; 4 + 2"”- 12 4 8 4 8 4 4 1599. 4 + 2л*. 1600. (—l)ft 4 + "*- 1601. ±4 + 2л*. 1602. -^- + nk. 1603. 0. 3 О О 4 1604. —arctg 4- + л&; — arctg 4" + nn. 1605. -^- + 2л£. 1606.^-4"yr k. 1607. —~ + nk о о Z 4 Z о 1608. y + 2ji^» — arctg 3 +л (2n-H). 1609. ^ + 2л£; arctg 3 +л (2n + 1). 1610. 2л&; —2.4-ли. 1611. у + лб. 1612. 0. 1613. arccos у + л/г; ±y arccos —у ^ + 4-л/г. 1614. -j^ + y k. 1615. nk\ ±y arccos у4-л/г. 1616.Iy4-?12. k. 1617. —у + л/г; 332
±-£- + лп. 1618. 0. 1619. ±-£+4г*- nk; ±^~ + лп. 1621. л + 2лй. 1622. -£- + о 12 5 о 2 + 2лй. 1623. у + Злй. 1624. 0. 1625 . 2л + 24лй. 1626. у + лй. 1627. ^ + лй. 1628. 4. 1629 . 0. 1630. лй. 1631. -^ + 2лй. 1632. лй. 1633. ±2- + й, где k£Z. 4 о 1634. -^- + лй; ±arctg2- + nn. 1635. 1; 2. 1636. 4. 1637. . 1638. sin-t-- АЛ о Z 1639. tg^. 1640. 0. 1641. . 1642. 0. 1643. . 1644. 2-. 5 2 3 § 5. Системы уравнений 1645. (у(й + л); у(й-п)}. 1646. (у + л(й — п); у+л(й + п)), у+л(й — п); у+л(й+л)). 1647. ({ — 1/-^-Ч-лй; ±^+2лл \ ({— 1)*+1 -^-+лй; ±-^-4-2лп Y 1648. (у +лй; у-лй). 1649. ((-!)* у+лй; 2лл) . 1650. (у + лй; у + 2лл) , (у + лй; — у+2лп), (у+2лй; у + лп), ( — у + 2лй; у+лл ). 1651. (/; / + л(2й+1)), где i£R. 1652. (у+ й; — у+й) , где й£7. — л/г ). _ л ( JT . f JT * . 1654. (— 4-л&; ——nk 1653. (у+лй; 1656. ^±у+4л£; 2л + 4лп^, ^2л^-4л/г; ±-^-+4л/г^. 1657. ^лАг; ——лАг (у + лй; у-лй). 1658. (g + y й; k). 1659. 0. 1660. ^у+л/г; —^-4-лА’^. 1661. л (п + /г); -^-+л(п — k)^, (—g-4-л (« + /»); —^-+л(и— k)^ . 1662. ( ±у + 2л&; ±у + 2ля). 1663. ^±-^-+л/г; лм ^-^-4-л/г; ±~+лп^. 1664. ( v±4 + л (k + «); ±±± + ^k-n)Y \ Z о Z о / / а , л а л \ -д/2 у±у+л (А?4-/г); —у±у+л (^ — дг)), где а = arccos у . 1665. — + л/г; —-—|-л&^ , л/г; 2L_j_1666. ^а-|-л/г; — а — л/г ^РН-л/г; —р— л/г где а = arctg — 7 > ₽=агс*£—7 ’ 1667. ^-~- + л/г; —у^ ——’л^)- 1668. —^-^-л/г^. 1669. (-у-^k- у + уЛ \ 2^ Z О / 333
1670. (y+2nfe; -^-4-2ял), ^+2лй; у+2л/г ), ( — у + 2л<’; —-^-+2лп ) (-^+2л£; -^+2лп). 1671. ((-l)‘-^+nfe; (- 1)"+1 -J + arctg -| + л (й-л)). 1672. (4г + л(^~"); 7ГП )> —2м); -^-+лп ), \ 2 2 / \ и о/ л (£ — 2/г); —^-f-л/г^, ^-^- +л (/г —2/г); л/г 1673. k; л(пН-А’)^. 1674. (--^+(-1)‘а+у6; -^- + (-1)*а + -7р). где а = у arcsin • 1675. 2л&; -^-4-2лп^, ^л4-2л/г; —^- + 2л/г^, ^-у4-2л&; -^-4~2л/г^, (2л , л , 7л , л \ /4л , _ t л , _ \ / л . _ , 5л . о \ — 4-2л&; — + 2л/г ), ( — 4-2л£; —— + 2ллг), ( — — 4-2л£; —-}-2л/г). 3 6 / \ 3 о / \ 3 о/ 1676. ^--\-nk; ——nk 1677. 4-2л (n-{-k); |-2л/г (—0_4’2л (м+ ^); —£—Н2л/г 1678. (2л£, л + 2л/г). 1679. (1? + л № + пУ т^ + л (&-/г)), (^-4-л(& + /г); |^+л(£-/г)У й+я —^+я (*—")) (—^+л(^+«); — 7^-+я(*-«))- 1680. (-l+A(fe + „); Л+^(„_з^. 1681. (4 + л*; ”4 + ™)' (—^-4-л/г; |-ли\ 1682. Г-^-|-2л/г; ±~+2лп\ ( — -^-4-2л6; ±-^-+2лп\ \о о/ \о о /\о о / ^^4-2л/г; =Ь~-|-2л/г^, —^?-]-2л&; ±-^- + 2л&^. 1683. (nk; 2лп), (^- + nk; }-2лп^. 1684. ^^ + л/г; arctg 2 + л/г; — — arctg 2 — л (k + п)^, —^- + ak; —arctg 2 + л/г; ^р4"arctg 2 — л (k + /г)^. 1685. + arctg 2-J-л/г; arctg 2 — л (k + /г)^, ^arctg24^&; -^--j-nn; arctg 2 — л (k + /г)^. 1686. (nk; пп; л — n(k-\-n)\ (-^- + 2л/г; ~+2л/г; —2л (k -f- п)\ (—^~ + 2nk; —^-4~2л/г; — 2л (k -|-/г) \Z и о / \ Л и и > 1687. (4 + л^; -J + лл; m ), (~f+ я*; у + у"1)' (т+лЛ; “У+™; Т+Тт)’ (“Т+я/г; “Т+л,г; Т+Ут)' *688-fir?}fi?;1?) \Ь 6/\6 6/\6 6/\6 6/ 334
§ 6. Неравенства 1689. а) —^-4"2л/г<х<^-4-2л/г; б) -^4-2л/г<х< 4г"+2л/г; ООО о в) —^-4" л/г<х<-^-4~ л/г; г) ^4-л/г <х< л 4-л^. 1690. а) л —arcsin -^- + 2л/г<Сх<2л 4- arcsin —р2л&; б) —arccos ( —0,7)4-2л/г<х< arccos ( —0,7)4-2л/г; в) —^-4-л/г<х< arctg 54-л/г; г) л/г<х< arcctg —^^4“л/г. 1691. ^+2л/г<х<^+2л/г. 1692. -4+2лй<х^2л*; 4 + 2лА<х<" + 2я*- ио <5 z 1693. -£-4-2л/гСх<^тг4-2лk\ л4-2л/г<х<4“+2л&. 1694. л/г <х <-^-4~ л/г; 4 е о 4 4 ~4-л/г<х^^4" л/г. 1695. arccos 4—Ь2л/г<х<л —arcsin 4—Ь2л/г. 2 о э 5 1696. —^4-2л/г<х<arctg 34-2л/г; -^-4-2л/г<х^arccos ( —^-)4-2л/г; 2 2 \ 5 / 3 л4-згссо5 — 4-2л/г^х<л4~аг^ 34-2л/г. О 4 4 1697. arcctg 24- 2л/г<х< arcsin —4~2л/г; л — arcsin——И2л/г<х< л4-2л/г; л-harcctg 24~2л/г<х<2л4"2л/г. 1698. arcctg 0,34-л/г^х<-^-4~л/г. 1699. ~4'л/г<х<^4~ л/г. 1700. 4~ л/г<х<^^4~ л/г. 1701. ^+2л*<х<4? +2л/г. 1702. arcsin -|-4-2л/г<х<~ 4~2л/г. 1о 2 о 2 1703. — оо<х<оо. 1704. arcctg 74-л/г ^х< л 4-л/г. 1705. arcctg-д/24-л/г<х<^? 4-л/г. 1706. —4-2л/г<х^^4“2л/г; ^4-2л/г<х<Ц л4-2л/г. 1707. — |^4“2л/г<х^^4~2л/г; 4~2л/г<х<^| л4-2л/г. 1 Z \ Z У У \ Z 1Z —^/-^4-2л/г^х —у 4-2 л/г, где k^N. 1709. -^-4-л/г<х<л4-л/г. 13л ,2л. 19л . 2л, л , _ , л , _ , 1710. ^7-4-v^<x<_qa"+^"^- 17Н- —5-4-2л/г<х<—4-2л^. □о 3 оо о о о - м. - л л . о t 3jt . _ * л пт 2л> t 5jt . 2л t 1712. —+2nk<x<-tf+2nk. 1713. — + — k<x<— + — k. Z Z 1Z (j 1Z О 1714. л/г<x<~4"л/г; arctg 34- л/г<x<-^-4-л/г. 1715.-^-4-2л/г<х<-^-4"2л/г; у4-2л/г<х<~+2л/г. 1716. -у+2л/г<х<-у+2л/г; у+2л^<х<у4-2л/г. 1717. —^-4-л/г<х<4-4-л/г; -^-4"л/г<х<-^-4-л/г. о 4 о 2 335
1718. 1719. arcctg “-4~^<x<arcctg 1£ о 1x0 О (~п)+л*- 1720. — оо<х<оо. 1721. л л —--{-jikCxCnk. 1722. — 4~ л/: <x<arcctg (-4)+я*- _ Л , Л । Л t л л t л । Л , Л | Л , Л , 1723. y*<z<T+y*. 1724. -_+-k<x<-T + ~k; --+-k<x<-k. 1725. —^--}-2л&<х<-^-+2л&; -^-+2л£<х<^4~ 2л/г. 1726. —^-4~2л/г<х<2л/г; 4 Л Л Л X л л 5л л л л л —4-2л£<х<—4-2л£; л4~2л&<х< ——Н2л&. 1727. —+— k <х< —4--у k. *т £ х О х О £ 1728. —^-4“2л/г ^х<2л/г; -^--}-2л/?^х<л4~2л/г. О о 1730. 2 arcctg 24~2л/г<х<2 arcctg —^-^4~2л/г. 1731. Ц^4-2л£<х<^р + 2л&. 1732. —~ + л/г<х< — -^-+ л/г; 1 х 4 о 4 1729. hл£<х<-^-|-л/г. о о + 2 л/г < х < ~4- 2л/г; л л ---Л—ЬлЯ<Х< —-j-JlR', 4 о л£<х<-^- +л/г; -^- +л/г<х<-^-+л/г. 1733. —^-4~2л/г <х<2л/г; 2л/г<х< О 4 о х О <-^-+2л/г; ^+2л& <х<-^-+2л/г; ^4-2л/г <х<^4" 2л/г; ^4-2л/г <х<-^4- о о х о о о о + 2л£; -^4-2лй<х< — + 2л£. 1734. 2 5 л 2 л T7F а л . 2л л 2л 30+T*; То+Т 7л 2л 30+1Г 1735. —^-4-л/г<х<—^-+л/г; л/г <х<^4~ л/г; ~^-4-л/г<х< <^4-л/г. 1736. —^4-2л/г<х<-^4-2л/г; -^+ 2 л/г <х <-р+ 2л/г; -^4-2л/г<х< 9 4 о 4 4о 5jt » л . г 1 । 1 5jt - jt . oTt f < —4-2л/г. 1737. ——+ л/г <х< л/г; — 4-л/г<х<——j-л/г; <х<—4- nk. 4 о 2 о о о 1738. — — + л£<%< у + л/г; -у + л/г<х<^ + лй. 1739. -у + 2лй<х< ; л4-arcsin 4-2л/г<х<^-|-2л/г. 1740. —^-\-2nk<_x ОХ о <-^-4~2л£. 1741. -^-4" Юлб<х<-^4-Юл&; —-4- 10л/г<х<-^4~ Юл/г; -^4~Юл/г< О х х О хХ Сх<5л4- Юл/г; —4~ Юл^<х<“ТГ"4" Юл/г. 1742. —^-4~2л/г<х<4~2л/г; -^4" о х О О и 4-4л^<х<-^4-4л^. 1743. Зл 4~24л/г г^х^—^-4“5л 4- 24л&; 12л—^-4"24л£^ ^х< 13л 4-24 л/г; 19л 4-24 л/г х —^-4" 20л 4~24л/г; 21л—^4~ 24л/г CJx 21 л 4- 4-24лАг. § 7. Уравнения, системы уравнений и неравенства с параметрами 1744. л/г при а< — 2, а> 2; Х| = л/г, х2 =-^- ( — l)fe arcsin -л-4--тг & при — 2 а^2. О X О 1745. 0 при а< —8, а>8; -£-4-(~ 0* arcsin 4-4-л/г при —8^а<8. 1746. x£R при о о а = 2л/г; х1=л4-2л/г, х2 == а4-л4~2л/п при а#=2л/г. 1747. x^R при а = л4-?лЛ; 336
—^ + (— 1)п-7г +ПРИ а#=л4-2лЛ. 1748. 0 приа<0, а>1; arcsin —L JL-- + 2 о д/2а24-2 + (— !)* arcsin-—---f-nk при 0<a< 1. 1749. x^R при а = л/г; -5-4-лп при а=/= nk. ^2а2 + 2 4 1750. 2nk при а рациональном; 0 при а иррациональном. 1751. 0 при , а>1; 1 5а — 8 , л , 1 , .. ^.3 1 л ±—arccos—-------при —1752. 0 при а<—, а>—; — -f-ля при а=—л/г при a=-i-; l)ft arcsin (1+ при —1-< Z 4 Z Л £ & <а<-^-. 1753. 0 при а = -5-4-л/г, а = — ^5 4- л (/г — п); —а—5-4" лп при {,z л . , a=£—+nk, а^= -^-4-л (k — n). 1754. ^-k при а— — 1; nk при а = 3; %i =nk, х2,з= — arccos —^“4- л/г при — 1 < <а<3. 1755. ^-k при а = 1; -5-4-л/г при а— — 3; X\—^--\-nk, Х2,з = = ±4~ arccos 4~лп при — 3<а<1. 1756. 0 при а = — 4-л(2п — k); -у4“ 2 2 2 Z 4--5-(2/г-j-1) при а=£-^~ + п (2п — k). 1757. -^--j-nk при а=~ + п (k—n); %i л/г, । л л л-|-2а , 2л, л + 2а , х.= — а+ — +nk при а^= — + n(k — п). 1758. х{= ——- + — k, х2= ' -4~ Z Z 14/ 1U 4~^& при a£R. 1759. 0 при a=^=l; x£Z при а=1. 1760. 0 при д Г ’ -у 4-2 л/г О * гС I 1 4ц• ь г--- при а — . 1761. 0 при а<—5, а>3; (—1/arcsin ( — 2+ -у4__а)4-л/г при 5<а<3; -^--j-2nk при а=—5, а=—3. 1762. 0 при а<—4, а>2; л-[-2л/г при 3_______________________________д/д_4а а——4; 2nk при а = 2\ ±arccos-----------Ь2л/г при — 4<а<2. 1763. 0 при а< — д/2, а> д/2; л/г при а= ±V2; arccos (3 —2д/3 —а2) +л/г при — д/2 <а<д/2. 1764. -^--|-2л/г при а=д/2; ^4-2л/г при а—— д/2; |-л/г при ( ау=^/2, \а^-^2. 1765. 2nk при а = д/2; -^--{-2nk при а= — д/2; |-л/г при f а^=д/2, | а #= — д/2. 1766. 0 при а = —-f-лп, ——-f-лп<а<—4-лп; --f-ля при а =—4~лп; ——-f- 4-л/г при а——^-4-лп; arctg (tg a±-yjtg2 а — 1 )4-л/г при —^-4-лп<а<—5-4- 4-лп, у4-лп<а<у4-лп. 1767. 0 при —2<а<2; л-Ь2л/г при а= — 2; 2л/г при 337
л а4-д/а2 —4 , _ , п . а — 4 а1 — 4 , _ , _ а — 2; ±arccos———------\-2nk при аС — 2; ± arccos--—------|-2л/г при а>2. ~ ~ х cos а±д/соз2 а — sin а , 1768. 0 при (р + 2л/г<а<л — <р-}-2лп; arctg----—----------\-jtk при л — — <р4-2лл<а< л4-2лл, л4-2лл<а<2л4-2лп, 2лл<а<ф4-2лл; arctg (ctg а) при а = <р4т2лл; arctg 4~ л/г при а — яп ^<p=arcsin—^2~'^У ^69. 0 при / 2 а= — 1; 1 при а=£ — 1770. 0 при а<0, а = 2; ±“\/ — при ( а>0, V ° }а^2. 1771. л/г при ас—, а^5; %1 = л/г, х2,з= ±arccos^—У^4-2л6 при а—— , — 1 — д/4а4-5 . о , 5 1 , л Х1=л/г, х2,з=±arccos------------|-2л/г при --^СаС\\ Х1=л£, %2,з=±-у+ । г» « 1 1 — 1 4“ д/4а -4- 5 _ t _ 4-2л« при а=1; Х1=л/г, х2, з=±arccos---------}-2ля при 1<а<5. 4 I Г 2 ГЧ I Л I L. 1772. — -—\-nk при аС—5-, а>2; —-4-л/г при а= — —xi=——4-л/г, х2 = 4 о 4 о 4 = J-(— 1/ arcsin + k при —-|-<а<2; ~4-л/г при а —2. 1773. 0 при 2 а “Т" 2 2 о 4 — 1— д/ТО — 1+д/ТО Л . , , Q . , 1 аС——, а>------------—; x\= — + nk, х2=—arctg 34-л/г при а=1; i -1±д/-4а2-4а + 9 , , -1-дД0^ .-1+дДо 177Л „ arctg-----2(а~1)-------л/г при ----------<«<1, 1<а<-----------. 1774. 0 при а<—д/2, а>^2\ ^^р4-2л£; ——2л£^ при а=—д/2; arccos ^—+ Ч-2л£; -j-zfcarccos ^^—2nk при —д/2<а<д/2; ^~4-2л/г; 2л/г ) при а=д/2. 1775. 0 при а<—д/3, а>д/3; (у— 2л&; —у+2л&) при а= — д/3; (у+ + (— 1)*+1 arcsin ^У^ + л^; ~+(— l)rt arcsin \ при — д/3<а<д/зУ — ~ — О О О / ДО 5л \ — 2л/г; — + 2л& ] при а = д//3. 1776. 0 при а<0, а>1; (л/г; л —л&) при а = 0; ((—!)* arcsin (±дй) 4-л/г; л — (— l)fe arcsin (±д/а) — л/г) при 0<а<1;^-^-4-л/г; -у— — л/г при а=1. 1777. 0 при а<0, а>1; ^л/г; — л/г при а = 0; ^(—l)ft arcsin (±д/а)4-л/г; (— I)* arcsin (±д/а) — л/г при 0<а<1; ^-^-4-л/г; — л/г при а=1. 1778. 0 при аС — 1, а>1; ^л/г; л/Q при а= — 1; / 1 / х I z, Зл— 1 / \ 1 1 (я । А Зл ( ±—arccos ( — а) 4" л/г; arccos ( — а) —л/г 1 при —1<а<1; (— 4-л/г; —— — Jik\ при а=1. 1779. 0 при аС— , «>у; (а + л(^+А2)’ —Р4-л(& —п)), (₽4- 4- л (/г 4-«); — а 4- л (/г — и)), (— ₽ 4- л (/г 4- и); а 4- л (/; — гг)), (— а 4- л (/г 4- н); ₽ 4“ л (/г — ,ч arccos 4а 4-arccos 2а п arccos 4а —arccos 2а 1 _ ^.1 -л)), где а=---------------------, р=--------2----------’ п₽и 338
1780. 0 при а<— а>у; (а4-л (/г-НО; 0 4" л (/г — п)), (у 4-0 +л (k + п); —+ л + у — а4~ л (а —/г)у, (л —а 4" л (/г —/г); л — arcsin За4- arcsin а п arcsin За —arcsin а 1 — 0 4-л (а —/г)), где а =----------, 0=---------’ ПРИ ”У^ <а<4- ,781- 0 3 при а=#0; ^у4-л (/г4-м); у(/г —/г)у при а=0. 1782. 0 при Л / I / I 1 \ aHzt-^—Ьл/г; ( ±у4* л (п 4- &); при а= + л ~ /л л т+2л”; (у±т+ + n(n + fc); 4+y + n('1 —fe) 2л при а=±у4-2лп. 1783. 0 1 1 при а<-у, а>у; ((—1)*+' arcsin a + ak\(— I)” arcsin 2а + лп), ((— 1)‘ arcsin 2а + л£; (— l)n+l arcsin а + 11 3 / 1 \ 3 4-лп) при — 1784- 0 ПРИ а<~2; arcctg^ — — J-±nk при а = у; arcctg—1 ^а- ~4~ л/? <х< arcctg—!——-4-л/г при а>у. 1785. 0 при z z Z 3 л —а , а<у; —----------[-л/г при а — 3 / а а>—I а = arccos ---. , 2\ 2 * * * * 4-4 (0 — а , , 04-а , , —-----Ьл/г<х^ л —-------\-nk при Л'=т= Л/7 0 = arccos ———Y 1786. — 4 + 2л/г<л-гС Р л/аг+4/ 2 a + H±i + 2nfe, arccos + <4+2л/г при 2 А а<0; л4-2ля, — -^-4-2л/г<х<-^-4-2л£, при а = 0; — -^-4-2л/г<х<-^4-2л/г, 2 2 2 z п — J a2 -4-~4 а — л/а2 -HI arccos---v Т-4-2л/?<х<2л—arccos----------------\-2nk при а>0. Часть III Дополнительные задачи § 1. Комбинированные уравнения, системы уравнений, неравенства ТГ л л л л л 1787. — 4-л/г, — ——|-л/г, ——}-л/г, —-—Илл. 1788. ——\-nk, —-—j-л/г. 1789. л/г. о о о 3 3 3 1790. ,79L 4+"*- ,792- т+4^ 1793- 10ёз((-1)*т£ + ^)’ Где k = \ Ю О / = 0, 1, 2, 3, ... . 1794. log2 ^у-}-4л/г j, где /г = 0, 1, 2, . • » log2 —^-4-4лп где п = 1, 2, 3 1795. log2 (4+4*)’ где k==0, *’ 2 Iog2 (—Н4" ) где п = 1, 2, 3, ... . 1796. =^k, ^ + ^k, ~^+=?k. 1797. 4+"*- -4 + л«- |798- 4+^- >799- 2nk’ о 1э о 1о о 2 4 4 у4-2ли. 1800. у4-2л&. 1801. 102*+1, 102п. 1802. (-l)fe arcsin (^10-4) + nk. 1803. -^4-2л/;, -^4-2лп. 1804. (— 1)* arctg -д/84- л/;. 1805. arccos-^-4~ 2 л/г. 339
1806.4 + 2nk. 1807.-y-+2л£. 1808. (- 1)” 4+ м. 1809. 4 + 2"*. 1810. 4 arccos — + й 4 6 8 2 3 + 2лЛ. 1811.4+4"*- 1812. arctg ~^^+2nfe. 1813. arccos 4+2"+ 1814.4 + "*- 1815. “p+2nk. 1816. л — arcctg 5-f-лп. 1817. 1818. ±arccos^— + 2л&. 1819. -^+2л£. 1820. -^+2л£. 1821. --^- + 2л£. 1822. ^+2л£. о о 4 3 1823. ±arccos-J—|-2л&; ±arccos—-}-2лп. 1824. -£- + 4nk, ^4-2пп. 1825. 4г4- 4 2 boo + 4лй. 1826. —~+2nk, у±4лп. 1827. ^+4л£. 1828. ±ут>+у*- 1829. ±-4+ + 4- 1830. 4 + 2"*- I831- 4 + 2л*. 1832. (-1/4+ "*; (-l/4arcc°s2-=^+ 46 12S . О О Л 4 + nk. 1833-4 + 2"*, 4+2лп. 1834. ±4 + "*- 1835. л*, 4 + 2"". 1836. ±4+2"*, 4 4 b b b (—l/+l arcsin 2- + "*- 1837. -^-j-2nn. 1838. 2л — arctg-у ; ; 2; 6. 1839. а) 0; б) 3; 4. 1840. 4 + * + *<4- + *- 1841. — 4 + "*<*<-^- + "*- 1842. 4 + *<х< 4 4 b b 4 <4-+^ --^-\-п<х^п. 1843. 0<x<arcsin—. 1844. arccos —“^ + ^2 2 4 + 2лй <х<4 + 2л^, 4 + 2"'!<х<4 + 2дп- ,845- 2лА<х<4 + 2"*, 4 + 4 3 6 6 + 2лп <%<л-}-2лп. 1846. л/г <х< arctg— +л/г, 2LЛп < х <-£--f-лп. 3 3 2 1847. ^4-2л& <х<^ 4- 2л/г, —~ -|- 2л/г <х<2л/г. 1848. 2л/г <х<-^-+ 2л/г, 3 b b 4 arccos—* 2л/г<х<-^-|-2л/г. 1849. —— . 1850. 2л/г^ Z Л 0^0 ^х<^-|-2л^; ^4-2л/г<х<^р+2л/г; —^-4~2л£<х< — + 2л/г. 1851. — 1Z 1Л 4 4 1Z О <х<0; 2л/г<х<~4-2л^. 1852. -^Ц-2л^<х<-^- + 2лЛ; у+ 2лп<%<л+ 2лп. 1853. ( —^- + 2л/г<х<-^-+2л/г, ( ^+2л£<х<^4-2л/г, <4 b < b 4 ^хт^2л&; л 4-2л/г; {-^4-2л&<х<^+2л/г, х=/=у+ 2л/г. 1854. 4г+ 2л£<х<arccos ^+2л&, — arccos 4г+2лп<х<—^4-2лп. 1855. — + 6 4 4 6 4 4-л/г<x<-^--J-л/г. 1856. 3<х<л, л<х<^, ^<х<5. 1857. <%<: arcsin—!-47.У1 . 1858. л <х< arctg (^2—1) +л, arctg -^-4-л<х<^. 340
1859. ±<х л л Т’ т 5л 12 • к 5л Зл Зл л '• Т<Х<Т’Т<Х<У Зл т 1861. 2л*<х<у+2л*, у+2лп <х<у+2лл. 1862. л , л Зл , п — 4-2лп —+ 2лл, 2л/: < х < + 2 л/г, х=/=~4”2л/г; о хУ=^+2лп. о 1863. arctg 2 4~л/г; л& < х <~^+л/г; arctg 4 + лп. 1864. arctg—Н-л/гС <х^-^-4-л/г. 1865. -^-4”Л/г<х<-^-4-л£. 1866. 2л/г<х< л4~2л/г (/г = 1, 2, 3, ...), 4 о 4 3^х<л. 1867. 4-л/г<С%+л/г. 1868. ——4; -^-4"2лл <х<-^-4” 4 О £ О Л 4-2лл (пУ=0); -^-4-2л/<х<-^4"2л/ (/#=0; — 1); (— 1)т-^-4-лт (m=#0; 1). 2 о о 1869. —^4~ л/г ^х^-5*4” л/г. 1870. —-54-2л/г%^4^ + 2л/г. 1871. -5+л/г^х^ 4 4 о о о С^+л*. 1872. 2л* <х<-^+2л*. 1873. -£-+^. 1874. 3 2 о 4 1,0,. <о,с 3 —-\/5 1 3 ^.З + л/5 < arccos—4“ 2 л/г. 1875. —^х<—; —<х^—. — arccos ——|-2л/г <х< 1876. 0. 1877. у+ + 2л* (* = 0, 1, 2, ...). 0<х<1. 1878. л 4-2л/г < х < 2л 4~ 2л& (/г = 0, 1, 2, ...), х#=у4-2л/г, 0<х<1. 1879. (л4-2л/г; log3 (л 4-2л/:)) (/г = 0, 1, 2, 3, ...); 1)п -^-4-лп\ logs (—1)"-5-+лл)) (л =0, 1,2,3,...). 1880. (Зп —4- , л + -1А(бл-4-; -2«+4-\ О/ \ о о / \ 4 4 / п = 1, 2, 3, 4, ... . 1881. (-5*4” 2лп; —^-4”2л/г , ( —^--{-2лп; -5*4"2лk . \ 3 3 / \ 3 3 / 1882. /^-+2л*; —^ + 2лл) , (-^-+2л*; ^- + 2ллЗ • 1883. ( -У4~л ; \ о о / \ о о / \ 4/4 л \ / з /-----------Г -arctgy X ---------- |, | —“Ч/1—arctg.........-....). 1884. 0 при — 1<а<-\/2; 2У8Л2л/ \ V ё 2 3 I р / -д/1- arctg у (—1/arcsin 10а±^2а!~2-|-л* при — -72<а< — 1; (—1/arcsin 10а-^2аг-2+л* при — —у logs а а^д/2. 1885. 0 при а<0, а>1; (—1)* arcsin 2 v 4-л/г при 0<а<1. 1886. 0 при а<—; arcctg ( 4--------- J4- л/г при а>—. л л 1887. 0<x<arcsina, 1<х<— при 0<a^sin 1; arcsin а<х<—, 0<х<1 при sin 1 <а< 1; 0<х<1 при а>1. 1888. 1) arcsin а<х<1 при 0<a<sin 1; 2) 1< 341
<x<arcsin а при sin 1 <а<1; 3) 1<х<у при a>l. 1889. 0 при a<3. a>n-f-2; Д _ ((a — 3)2, cos (fl —2), при 3<а<л + 2. 1890. 0 при a< — 1, a > ; (log2 (a+ 1); 5; sin (a+ 2)) при — 1 < fl < Л- . 1891. 12& + 9; 12&+11. 1892. 2<fl< <2,5; 2,5<fl<5. § 2. Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств 1893. 1. 1894. 2. 1895. 3. 1896. 1. 1897. 2. 1898. 0; 2. 1899. 2; 4-. 1900. 1. 1901. 2. 4 1902. 10. 1903. 3. 1904. 0. 1905. 0. 1906. 0. 1907. 0,5. 1908. 2. 1909. 0,5. 1910. 0,5. 1911. 0. 1912. л. 1913. —1; 1. 1914. 4?; V’ ,915- 9- *9*6- L *917- 2- О о о о 1918. 0. 1919. л. 1920. 0. 1921. 0. 1922. л. 1923. 0. 1924. 0. 1925. —1. 1926. 4-. 4 1927.-4-. 1928. 4“- 1929. 1. 1930. -?- + л/г. 1931. -?-|-2л*. 1932. — ^- + 2л/г. 1933. 1. 2 4 4 4 4 1934. 1. 1935. 0. 1936. л. 1937. у. 1938. —у +6л*. 1939. —3. 1940. у. 1941. 0. 1942. 0. 1943. у+2лй. 1944. 1. 1945. 3. 1946. —у. 1947. 0. 1948. [3; оо). 1949. (в; 1). 1950. (1; 1,5). 1951. (-у ; о). 1952. 2. 1953. -1. 1954. 2. 1955. 0. 1956. лй. 1957. 2Й+1; 1958 . 0. 1959. (nA; 1). 1960. (y + yiog43; у- -у log4 3). 1961. у; —. 1962. у; —; 5л. 1963. у-; ур § 3. Нестандартные уравнения и неравенства 1964. (-1; 1). 1965. (-3; -3). 1966. (1; (1; -у), (-1; у), (-1; -у)- 1967. (1; -3). 1968. (11; 5). 1969. (fe; 0), (k; 2). 1970. (-y + y«J y+yfe)' 1971. (-2; nk), (2; у + лй). 1972. (1; у + 2лб), (-1; у+2лй). 1973. (y-f-лй; у+л/г). 1974. (nk — arctg -\/2; -^-+2л&у, ^лп + + arctg^/2; у + 2л^). 1975. ((- 1/ + 1 у + лй; у + 2лл ), ((-1/у + л*; + 2лп). 1976. (у+2л/г; 2лп(у + 2л&; л+2л«У 1977 (л/г; 0). 1978. (1; 1). 1979. (^+2л(п + &); ~4+2л (n-Л)); 2 л (n + fe); -^+2л(л-kA (у+2л(п-Н); у+2л(п — й)), (—у-|-2л(п + й); — у+2л(гг —й)^. 1980.^ —у+ , о 5л/з\ / Л . , 5д/5\ 1по> / л , # л. \ / л . t л, + 2nfe;-£_), (—+лй; -g- ). 1981. (—T+nk; —т + я/г )• (т+л*; 7т+ о / \о о/ \4 4 /\4 4 + лп). 1982. (-1; l+4-+vfe)- 1983- (Ь !+4*)- 1+44 I984- (0; 0). / \ т Z / 342
1985. (о; у + 2л*У 1986. (nfe; 1). 1987. (1; 3). 1988. ; у—-^- + 2^), (—7; Т+4+2л*)' ,989’ (4; T+"fe)' ,990‘ ((-1)‘^+Т; е); 4_1)*+'"+^; Д 1991. ( —^+2nfe; 3+4+2лА 1992. Д ±~2 + + 2лл) . 1993. (0; 2л*г<(/<л + 2л£). (b ~у+ 2лЛ <у<у+2л£ ). 1994. (л/г; Т; ~Т+Т'”)' '"5- (4; 6; 2)- 1"6-(у+л (« + £); —у+л(п-й); у+2лй), (—^-4~л(п + /г); — у4-л(п — k)\ у + 2лй^, (——+ л(« + /г); -у+л(га — k); _^. + 2л^), (у + л(л+й); у + л(п-/г); -у + 2л/г). 1997. (^ + л(л + /г); ^ + л(п — k); 2л*У (—j^+я (« + *); — Y^+л (п —/г); 2лй (-^-+л (n + fe); _2L + n(„_fe); л + 2лй), (-^ + л(п+*); ~+л(п-Л); л + 2л*). 1998. (у+ + -%-k; -^- + лл; ^- + лт\ 1999. f^ + v/e; яп; лт У 2000- (nk’ пп'< 1)'"1т+ 22 2 / \42 / \ и + лт). 2001. (1; 0). 2002. (0; 1). 2003. (0; 1). 2004. (0; nk). 2005. (y + nfe; 2006. (о; -у + 2л^У 2007. (0; 1). 2008. (л + 2лА; /), где t£R. 2009. (0; 1). 2010. (0; 0). 2011. (1; 0).
Указания к решению задач части III. 1803. Преобразуйте уравнение к виду ( sin х—~ cos х^ =sin3 х и далее sin х—cos х^ sin2 х +cos2 х^ = sin3 х. Это однородное уравнение сводится к уравнению третьей степени относительно ctgx, откуда ctgx = 0, ctg х=2 + д/3, ctgx = 2—л/3. 1836. Уравнение преобразуется к виду 174-8 sin х — 16 sin2 х 4sin2x., , л . ----------2 = 2-(1 +4 Sin ХГ COS X------------------------cos X и далее (1 4-4 sin х)2 = 4 sin2 х (1 -f-4 sin х)2, откуда х = ( — l)rt-H arcsin ~4-ля, х = = ±-^-4-л&. Проверка по условию 2 tg х (1 4-4 sin х)^0 отсеивает во второй серии часть решений. 1839. Найдите область определения неравенства. 1855. Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств {tg х> 1, ( 0<tg х< 1, 0<sin2 х—-j|><ctg2 х; sin2 х —~> ctg2 х. Вторая система не имеет решений, так как при 0<tg х< 1 имеем ctg2x>l. 1862. Так как левая часть неравенства преобразуется к виду logtg22A. tg 2х<0,55, т. е. -^-<0,55, то достаточно найти область определения. 1883. Тригонометрическое уравнение преобразуется в однородное cos2 ху — 3 sin xy cos xz/4-2 sin2 xt/ = O, откуда tg xy= 1 или tgxy = ~. T. fx3 — xy-j- 1 =0» Из системы|хб_|_2х//^5 находим x64~2x2 — 3<0, —3<x2< 1, t. e. — 2<xy^2. Значит, из решений уравнений tg xy— 1, tg xy = ±- надо отобрать те, что принадлежат отрезку [—2; 2]. 2 1897. Преобразуйте уравнение к виду 5х = (3х —2х)2 и далее (^5)Х = 3Х —2х, ч^)'=ф' 1899. Рассмотрите уравнение как квадратное относительно log2 х. 1903. Преобразуйте уравнение к виду (х4~ 1)2 = (6 — лД'4~ I)2- 5х2 3 1906. Учтите, что — + *+L 1912. Преобразуйте уравнение к виду 2sinx = — и используйте графический л метод решения. 344
1916. В точке х=1 графики функций пересекаются, имеют общую касательную и разный характер выпуклости. Значит, х—1 —единственный корень уравнения. 1917. Используйте ту же идею, что в № 1916. 1923. Из получаемх >0, а тогда д/у-* + 4-х—1<0, т. е. корней нет. ___ ______ 1925. Преобразуйте уравнение к виду д/х24~х =д/х4-3 — у/2 и учтите, что при х^.—3 левая и правая части представляют собой функции разного характера монотонности. 1932. Имеем cos2f (sin x-j--y/2 cos2 хЙ-------------------г-, откуда \ 4 / о/ । а 2 \ cos2( X4-— tg2 X \ {cos2 -2- (sin х 4- л/2 cos2 x)j = 1, cos2^x4--j-tg2 х^ = 1. Первое уравнение преобразуется к виду sin х-\--\[2 cos2 х = 4и, что возможно лишь при и = 0. 1939. Докажите, что sin (x+3)t+4<y а ^(log3 1x1 +1о?1х|3)>у • 1941. Преобразуйте уравнение к виду Л sin х4-# cos х=—, где Л = 1, В—— sin 15х, и учтите, что тогда дМ24“^2 ^л/2- 1947. Если / = arcctgx, то sin4 /4-c°s4 / = s.-ry; здесь левая часть не больше 1, а правая не меньше 1. 1949, 1950, 1951. Используйте графический метод решения неравенств. 1952, 1953, 1954, 1955. Докажите, что левая часть неравенства не превосходит 1. 1957. Задача сводится к решению системы неравенств sin2 л%4- sin лх = 0, cosf л^ х4--^- sin лх^ = — 1. 1958. 1959 Используйте ту же идею, что в № 1957. _ 1 2z/2 4-16//4~ 64 Преобразуйте второе уравнение системы к виду 9/4-др- =—у*-\-%у---------’ где / = 92sin x, /6 [1; 81]. Докажите далее, что наименьшее значение функции 9/4-др на [1; 81] совпадает ж 2г/2 4-16//4-64 с наибольшим значением функции --------у—------- и сделайте отсюда вывод о воз- У 4-8z/ можных значениях х и у. 1960. Преобразуйте систему к виду Г 4х+у-,+3-42у-1<2, I 4* + </~ 1.42^-1 1 3 и введите новые переменные. 1961, 1962, 1963. Воспользуйтесь тем, что наименьшее значение одной части уравнения совпадает с наибольшим значением другой части уравнения. ,nco п 4а2 + 36 , />2+4 оо 4(а —З)2 1968. Представьте уравнение в виде--------1------—=28, а далее — ------— 4- а о а 345
(±#=о. b где a = л/х —2, b = д/у—^ 1971, 1972. Рассмотрите уравнение как квадратное относительно х. 1974. Преобразуйте уравнение к виду (tg x-J-(sin г/4-cos у))2 +(1 — sin 2z/) = 0, {tg x + sin i/4-cos y— 0, sin 2t/= 1. 1975. Рассмотрите уравнение как квадратное относительно sin х. 1976. Рассмотрите уравнение как квадратное относительно cos у. 1977. Рассмотрите уравнение как квадратное относительно 2s,nx. 1978. Рассмотрите уравнение как квадратное относительно log2(x + i/). X “l- ц 1979. Рассмотрите уравнение как квадратное относительно cos —-—. 1980. Рассмотрите уравнение как квадратное относительно у. 1981. Докажите, что левая часть уравнения не меньше 4, а правая не больше 4. 1985. Докажите, что левая часть уравнения не больше 2, а правая не меньше 2. 1987, 1988. Используйте идею № 1985. 1989. Используйте идею № 1981. 1990. Используйте идею № 1985. 1991. Докажите, что левая часть уравнения не меньше — , а правая не больше — . 1992. Преобразуйте уравнение к виду 4/2 + (6а —8) / + (13— 6а) = 0, где а=д/4х—х2, / = cos(x + z/), и рассмотрите его как квадратное относительно t. 1993. Рассмотрите уравнение по отдельности в каждом из четырех возможных случаев: х = 0, х= 1, х= — 1, 0<х<1. 1994. Докажите, что левая часть уравнения не меньше 4. 1995. Преобразуйте первое уравнение системы к виду (Зх - 2у)2 + (х - 2г)2 + (у - Зг)2 = 0. 1996. Преобразуйте первое уравнение системы к виду 4/2 + 4 sin (х — у) t +1 =0, квадратному относительно f = sin (х+#). 1997. Преобразуйте первое уравнение системы к виду 4/2 — 4д/3 cos/•/+ 3 = 0, квадратному относительно Z = cos (х+у). 1999. Докажите, что задача сводится к решению системы уравнений I sin х| = — , V2 cos2 у= 1, 2sinz=l. 2000. Докажите, что левая часть первого уравнения системы не меньше 4, а правая часть не больше 4. 2001. Так как x^z/2 + l, то левая часть неравенства не меньше 1. 2002. Докажите, что левая часть неравенства не больше 1, а правая часть не меньше 1. Это значит, что неравенство сводится к системе уравнений ’ |cos х I = 1, .У=Ч^—у — ^+^- 2005. Преобразуйте неравенство к виду ((Sinx-l)2+l)((lg</+l)2 + 3)<3 и докажите, что оно сводится к системе уравнений 2006. Преобразуйте неравенство к виду sin х = 1, \gy= — 346
((Sin (x + y)+ 1)2+ l)-log2(3’ + l) < 1 „ ( sin (x-\-y) — — 1, и докажите, что оно сводится к системе уравнений 1 з*—_ j 2008. Воспользуйтесь тем, что "у у2 + । х । ~ ^ 1^1 • 2009. Докажите, что у^1, и воспользуйтесь тем, что 2 arcsin (х2 4-у)^ я. 2010. Докажите, что f/<0, lg (1 +j/X0 и arcsin (2,х|. 2011. Докажите, что log j (1 4-х)> — 1, и воспользуйтесь тем, что arccos(х + */2)>0. ~2
ПОСЛЕСЛОВИЕ Настоящее пособие предназначено для студентов физико-матема- тических факультетов педагогических институтов и имеет своей целью дать студентам и преподавателям педвузов достаточно разно- образный материал для практических занятий по многосеместровому курсу элементарной математики. При написании этого пособия мы опирались на нашу книгу «Практикум по решению математических задач. Алгебра. Тригонометрия», опубликованную издательством «Просвещение» в 1984 г., существенно ее переработав и дополнив. Остановимся на тех изменениях и дополнениях, которые сделаны при переработке указанной книги. Прежде всего отметим включение в пособие нового раздела «Дополнительные задачи». В нем рассмо- трены уравнения, системы уравнений и неравенства, которые не от- носятся к стандартным: комбинированные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства, содержащие избыточное число переменных; уравнения и неравенства, решаемые с использованием свойств функций (монотонность, выпуклость, достижение наибольших и наименьших значений). В трех параграфах этого раздела имеется свыше 30 разнообразных примеров, подробно разобранных в тексте, и более 200 упражнений, предлагаемых для самостоятельного ре- шения. Включение этого раздела в книгу делает имеющийся в ней алгебраический и тригонометрический материал завершенным. Существенно пересмотрена вся система упражнений: более ло- гичной стала их компоновка в каждом параграфе, увеличено число упражнений, значительно больше стало задач повышенной труд- ности. Теперь в книге свыше двух тысяч упражнений, подобранных таким образом, чтобы они в системе представляли собой надежный фундамент методико-математической подготовки учителя как для ведения уроков, так и для внеклассной работы в школе. Ко всем упражнениям в конце книги приведены ответы, а ко многим задачам из дополнительного раздела — и указания к решению. Редакционные или методические изменения по сравнению с нашей 348
предыдущей книгой коснулись практически всех параграфов, в ряде случаев переработка была радикальной — это относится, например, к § И главы I и к § 1 главы II. Предлагаемая вниманию читателя книга — не только и не столь- ко задачник, сколько практикум. Это нашло свое отражение в струк- туре книги. Каждый параграф содержит необходимый теоретиче- ский материал (в справочной форме, в виде методических рекомен- даций и т. д.) и довольно большое число (свыше 300) примеров с решениями. Поэтому книга будет полезна широкому кругу читате- лей: студентам и преподавателям педвузов, учителям математики общеобразовательных школ, лицам, интересующимся матема- тикой или готовящимся к поступлению в высшие учебные заведения. Авторы.
ОГЛАВЛЕНИЕ Часть I. Алгебра. Глава I. Тождественные преобразования. § 1 Разложение многочленов на множители.................................. 3 Упражнения (1—50)..................................................... 5 § 2 Тождественные преобразования рациональных выражений .... 7 Упражнения (51 —118)............................................ 12 § 3 Тождественные преобразования иррациональных выражений ... 15 Упражнения (119—181).............................................. 20 § 4 Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений......................................................... 23 Упражнения (182—215).............................................. 25 § 5 Доказательство неравенств ..................................... 27 п. 1. Доказательство неравенств с помощью определения............ 27 п. 2. Синтетический метод доказательства неравенств.................. 28 п. 3. Доказательство неравенств методом от противного................ 31 п. 4. Доказательство неравенств методом математической индукции 32 Упражнения (216—268).................................................. 34 § 6 Сравнения значений числовых выражений............................... 36 Упражнения (269—284).................................................. 38 Глава II. Решение уравнений, систем уравнений и неравенств. § 7 Равносильность уравнений.............................................39 Упражнения (285—330).................................................. 45 § 8 Рациональные уравнения............................................. 47 Упражнения (331—382).................................................. 52 § 9 Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля...................53 Упражнения (384—410).................................................. 57 § 10 Системы рациональных уравнений...................................... 57 п. 1. Основные понятия............................................... 57 п. 2. Основные методы решения систем уравнений....................... 63 п. 3. Однородные системы..............................................67 п. 4. Симметрические системы......................................... 70 Упражнения (411—479).................................................. 72 § 11 Задачи на составление уравнений и систем уравнений.................. 74 п. 1. Задачи на числовые зависимости.................................74 п. 2. Задачи на прогрессии.......................................... 75 п. 3. Задачи на совместную работу................................... 77 п. 4. Задачи на сплавы и смеси.......................................80 п. 5. Задачи на движение............................................ 83 Упражнения (480—627).................................................. 88 § 12 Иррациональные уравнения и системы уравнений........................101 п. 1. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень..........................102 п. 2. Метод введения новых переменных................................105 п. 3. Искусственные приемы решения иррациональных уравнений . . 110 п. 4. Системы иррациональных уравнений...............................111 Упражнения (628—722)................................................. 112 § 13 Показательные уравнения..............................................115
Упражнения (723—770).......................................................................... 121 § 14 Логарифмические уравнения.....................................................................122 п. 1. Решение уравнений вида loga f (х) = loga g (х) и уравнений, сводя- щихся к этому виду............................................123 п. 2. Решение уравнений вида log«(X) f (x) = logfl(x) g (x) и уравнений, сво- дящихся к этому виду..........................................127 п 3. Разные логарифмические уравнения.........................................................128 Упражнения (771—851).......................................................................... 130 § 15 Системы показательных и логарифмических уравнений..............................................132 Упражнения (852—881).......................................................................... 135 § 16 Рациональные неравенства.......................................................................136 п. 1. Основные понятия....................................................................136 п. 2. Рациональные неравенства............................................................137 .п. 3. Системы и совокупности неравенств с одной переменной .... 142 7 п. 4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля ... 147 п. 5. Задачи на составление неравенств....................................................150 Упражнения (882—1004) 152 § 17 Иррациональные неравенства....................................................................157 Упражнения (1005—1057)...................................................................... 163 § 18 Показательные неравенства..................................................................•. 164 Упражнения (1058—1101)...................................................................... 168 § 19 Логарифмические неравенства...................................................................169 Упражнения (1102—1188)...................................................................... 174 § 20 Уравнения, системы уравнений и неравенства с параметрами .... 176 Упражнения (1189—1272)...................................................................... 194 Часть II. Тригонометрия. Глава III. Тождественные преобразования. § 1 Тождественные преобразования тригонометрических выражений ... 198 Упражнения (1273—1386).............................................................. 207 § 2 Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции..........................................................212 Упражнения (1387—1433).............................................................. 216 § 3 Доказательство неравенств...................................217 Упражнения (1434—1495).............................................................. 225 Глава IV. Решение уравнений, систем уравнений и неравенств. § 4 Уравнения.........................................................................227 Упражнения (1496—1644).............................................................. 248 § 5 Системы уравнений...................................253 Упражнения (1645—1688).............................................................. 262 § 6 Неравенства...................................264 Упражнения (1689—1743).............................................................. 272 § 7 Уравнения, системы уравнений и неравенства с параметрами .... 274 Упражнения (1744—1786).............................................................. 282 Часть III. Дополнительные задачи. § 1 Комбинированные уравнения, системы уравнений, неравенства . . . 283 Упражнения (1787—1892)..................................................................... 295 § 2 Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств . . 299 Упражнения (1893—1963)..................................................................... 307 § 3 Нестандартные уравнения и неравенства.........................................................310 Упражнения (1964—2011)..................................................................... 317 Ответы.........................................................................................319 Указания к решению задач части III.......................................................... 344 Послесловие....................................................................................348
Учебное издание Литвиненко Виктор Николаевич Мордкович Александр Григорьевич ПРАКТИКУМ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ АЛГЕБРА. ТРИГОНОМЕТРИЯ Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Г. А. Шаламова Младший редактор Е. В. Коркина Художник Е. П. Титов Художественный редактор Ю. В. Пахомов Технический редактор Н. Н. Бажанова Корректор Н. С. Соболева ИБ № 13626 Сдано в набор 06.06.90. Подписано к печати 10.10.91. Формат 60Х90‘/1б. Бум. типографская № 2. Гарнит. Литер. Печать высокая. Усл. печ. л. 22 4-0,25 форз. Усл. кр.-отт. 22,68. Уч.-изд. л. 20,84 + 0,42 форз. Тираж 104 000 экз. Заказ 840. Цена 2 р. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Министерства печати и массовой информации РСФСР. 129846, Москва, 3-й проезд Марьи- ной рощи, 41. Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Министерства печати и массовой информации РСФСР. 410004, Саратов, ул. Чер- нышевского, 59.