Author: Никифоровский В.А.
Tags: физико-математические науки математика задачи древние времена история алгебры теория уравнений
Year: 1987
Text
^ggo>
^Я?*&
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Серия «История науки и техники»
В.А.Никифоровский
В мире уравнений
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
А.Т.ГРИГОРЬЯН
Москва «Наука»
1987
УДК
Н 62
ББК 22г
Рецензенты:
доктор физико-математических наук
С. А. ЛОМОВ,
кандидаты физико-математических наук
А» Б. ЛЕВИН, С. Ф. ПРОКОПЦЕВ
Никифоровский В. А.
Н 62 В мире уравнений.—М.: Наука, 1987.—176 с.
(Серия «История науки и техники»). 65 к. 37 500.
История алгебры уходит своими корнями в древние
времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались еще
в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений
интересовала и интересует математиков всех времен и народов. Автор
рассматривает развитие этой теории во всей своей простоте
и сложности, начиная с древности до трудов Гаусса, Абеля,
Галуа.
П
1602000000-067
054(02)-87
61-87 НП
ББК 22г.
Scan AAW
© Издательство «Наука», 1987 г.
Предисловие
Уравнения! Можно утверждать наверняка^ что не найдет^
ся ни одного человека, который бы не был знаком о ними9
Дети сызмала начинают решать «задачи с иксом», Даль-?
ше — больше8 Правда, для многих знакомство о уравнен
ниями и заканчивается школьными деламис Известный
немецкий математик Р. Курант (1888—1972) писал! «На
протяжении двух с лишним тысячелетий обладание неко^
торыми, не слишком поверхностными, знаниями в области
математики входило необходимой составной частью в
интеллектуальный инвентарь каждого образованного чело*
века» [30, с. 11]. И среди этих знаний было умение решать
уравнения.
Несмотря на популярность уравнений, нет доступных
широкому кругу читателей исследований, посвященных
им. В предлагаемой книге рассказывается о развитии
теории уравнений. Открывается она описанием решения
элементарными способами в глубокой древности задач,
которые приводятся к линейным, квадратным и некоторым
видам уравнений более высоких степеней. Затем
рассматриваются достижения древних греков, индийских и
арабских средневековых математиков. Описывается
открытие способов решения уравнений третьей и четвертой
степеней итальянскими математиками С. дель Феррол
Н. ТартальейА Д. Кардано и Л. Феррари,
совершенствование теории в трудах Ф. Виета, Р. Декарта, И.
Ньютона. Последняя глава посвящена доказательству основной
теоремы алгебры о корнях уравнений и проблеме
разрешимости уравнений в радикалах в работах Ж. Л, Д'Алам-
бера, Л. Эйлера, Ж. Л. Лагранжа, П, С, ЛапласаА
П. Руффини, К, Ф, Гаусса, Н. X. Абеля^ Э. Галуа,
3
Основная тема книги — решение уравнений с одним
неизвестным. В стороне остались вопросы, связанные
с системами линейных уравнений, что составляет предмет
линейной алгебры; почти ничего не сказано о
неопределенных уравнениях; из приближенных методов решения
уравнений изложен только метод Ньютона.
При чтении книги необходимо иметь в виду следующее.
Во все времена одними и теми же проблемами занимались
многие математики. В книге отражены основные
достижения, а вопросы приоритета оставлены на долю историков
науки*
Начало
1
Традиционно считается, что в VI—V вв. до н. э. в Греции
возникла дедуктивная математика, которая в последующие
три столетия бурно развивалась и нашла свое завершение
в творчестве Евклида (ок. 365 — ок. 300 до н. э.),
Архимеда (ок. 287—212 до н. э.) и Аполлония (ок, 260 —
ок. 170 до н. э.). Считается также, что на греческую
математику влияла наука более древних цивилизаций Египта
и Вавилона.
Греческий историк Геродот (ок. 485—425 до н, э.) по
поводу причин, в силу которых появилась математика
в Древнем Египте, писал: «Они (египетские жрецы.—
В. Н.) говорили, что царь разделил землю между всеми
египтянами, дав каждому по равному прямоугольному
участку; из этого он создал себе доходы, приказав
ежегодно вносить налог. Если же от какого-нибудь надела река
отнимала что-нибудь, то владелец, приходя к царю,
сообщал о происшедшем. Царь же посылал людей, которые
должны были осмотреть участок земли и измерить,
насколько он стал меньше, чтобы владелец вносил с
оставшейся площади налог, пропорциональный установленному.
Мне кажется, что так и была изобретена геометрия,
которая затем из Египта была перенесена в Элладу» [19, с. 167].
Рассуждения Геродота могут показаться наивными,
однако они правильно отражают суть дела. Древний
Египет представлял собой по тому времени страну
культурного земледелия. Измерение площадей, организация
орошения и других сельскохозяйственных работ, сбор
налогов, составление отчетов — все эти виды деятельности,
проводимые специально подготовленными людьми,
требовали определенных геометрических и арифметических
знаний. Следует также вспомнить об инженерных
сооружениях, которые возводились во время войн, и
строительстве гигантских пирамид. Например, пирамида Хеопса
(первого фараона IV династии), высота которой
составляет 146,6 м, была воздвигнута более чем за 2,5 тысячи
5
лет до нашей эры. Значит, уже тогда уровень
математических знаний у египтян был достаточно высоким*,
О состоянии математики в Древнем Египте судят по
дошедшим до наших дней математическим текстам,
написанным на особой бумаге — папирусе, изготовляемой из
стеблей многолетнего растения того же названия. Самый
содержательный математический текст имеет папирус
Райнда (Ринда). Это имя английского египтолога, который
приобрел его в 1858 г. Размеры папируса: длина 5,25 м,
ширина 0,33 м. Он содержит 84 задачи. Хранится папирус
частично в лондонском Британском музее, частично в Нью-
Йорке. Текст папируса Райнда впервые расшифрован и
издан вместе с немецким переводом и комментариями
египтологом А. Эйзенлором в 1877 г. На русский язык он
переведен с немецкого издания В. В. Бобыниным и
издан с комментариями в 1882 г.
Второй папирус с математическим текстом, Московский,
приобретен в конце прошлого века русским востоковедом
В. С. Голенищевым и хранится в московском Музее
изобразительных искусств имени А. С. Пушкина. Размеры
его: длина 5,44 м, ширина 0,08 м; он содержит 25 задач.
Расшифровкой Московского папируса занимались
Б. А. Тураев и В. В. Струве, издавший немецкий
перевод папируса в 1930 г.
Оба папируса составлены примерно в одно время и
относятся к XVIII в. до н. э., эпохе Среднего царства. Но
основаны они на математических фактах, известных
египтянам задолго до написания их.
Авторы папирусов — писцы, и предназначены
папирусы писцам, которые представляли собой третий класс
египетских жрецов. Писцы были обучены математике,
астрономии, географии. Круг знаний их изложен в 10
книгах из общего числа 42 книг, составляющих свод знаний
для всех шести классов жрецов. Обучались писцы в
специальных школах.
Некий египтянин Дуау, отправляя сына Пиопи
учиться искусству писца, наставлял его: «Обрати свое сердце
к книгам... Как в воде, плавай в книгах — ты найдешь
там наставление: „если писец находится при дворе, он не
будет в нем нищим, но насытится". Я не знаю другой
должности, которая могла бы дать повод к подобному изречению,
поэтому внушаю тебе любить книги, как родную мать,
низлагаю тебе все преимущества знающих их... Нет писца,
лишенного пропитания от достояния царского двора.
Богиня рождения дает обилие писцу х его ставят во главе
6
суда. Благодарят бога его отец и мать — он направлен
на путь жизни» [16, с, 13],
Благополучию писцов он противопоставил
безотрадное состояние крестьян, каменотесов^ кузнецов и
представителей других профессий. О крестьянах писал:
«У земледельца вечное платье. Его здоровье — как у
человека, лежащего подо львом.. Едва он вернулся домой,
как ему опять надо уходить».
Древнейшее египетское письмо было иероглифическим:
знаки в виде рисунков, изображающих животных, птиц,
насекомых, людей, предметы обихода, обозначали слова
или слоги х. Вместе с распространением бумаги
(папируса) иероглифическое письмо вытеснилось более
скорописным иератическим, в котором от иероглифов остались лишь
некоторые штрихи. Иероглифы же применялись для
писания священных книг, надписей на памятниках.
Папирус Райнда и Московский папирус написаны
иератическим письмом; заключение же папируса Райнда
исполнено иероглифами, вероятно^ для придания
значимости.
В папирусах даны примеры элементарных
арифметических расчетов, а также задачи отвлеченного и
конкретного содержания по «разделу хлебов»^ вычислению
площадей полей, вместимости круглых и прямоугольных
амбаров и корзин, «вычислению пирамид» (определению
некоторых соотношений в пирамидах). Есть и
развлекательные задачи, помещенные с целью тренировки
обучающихся.
В папирусе Райнда особое место занимают задачи на
«аха» («хау»), решаемые нами с помощью линейных
уравнений с одним неизвестным. Таких задач 15, все они
сгруппированы в одном месте. Будем считать это началом начал
алгебраических уравнений. Знали бы дети, приступающие
в школе к решению «задач с ш^сом»^ что у этих задач
четырехтысячелетняя история.
В папирусе дается лишь ход решения вадач; правил,
обоснований и обобщений нет; в результате получается
арифметическое решение. Во многих случаях начало
решения обозначено словами: «делай как делается», после
проверки говорится: «видишь, ты сделал правильно».
Чтобы понять решение египтянами задач на «аха»,
следует предварительно ознакомиться с основными
арифметическими действиями, применяемыми ими. При счете
они пользовались знаками, соответствующими нашим
первым десяти цифрам, десяткам, сотням2 тысячам и
7
далее. Кроме того, применяли дроби вида \1п и дробь
2/3. Дробь Ип изображалась знаменателем ее п с овалом
над ним (это значило «рот» — часть). Будем, как принято
в литературе, вместо Ип писать й, так, что, например,
1/2 = 2, 1/3 = 3, 1/17 = 17 и т. д., и 3 вместо 2/3.
Рассмотрим теперь несколько примеров умножения и
деления. Умножение производилось последовательным
удвоением, а деление — как действие, обратное
умножению, Вот задача 32 папируса Райнда:
12x12:
1 12
2 24
/4 48
/8 96
Всего 144
Удвоение закончено, потому что среди чисел,
записанных в левом столбце, есть степени двойки, дающие в
сумме множитель 12. Эти слагаемые отмечены косой чертой2.
Еще пример умножения:
213x37:
/1 213
2 426
/4 852
8 1704
16 3408
/32 6816
Всего 7881
Удвоение производится до тех пор, пока не получится
2^ < 37 при условии, что 2fe+1 ^> 37. В данном случае
25 = 32 <: 37 и 26 = 64 > 37. Косая черта ставится
около тех чисел, которые в сумме дают 37; подымаясь
вверх по левому столбцу, надо отмечать те числа, сумма
которых равна 37, и пропускать те, для которых она
больше 37.
В основе деления лежит образование половин.
Например, нужно найти частное 19 : 8. Делается это так.
Сначала удваивается делитель:
1 8
/2 16
Удвоение делителя производится один раз, потому что
дальнейшее удвоение дало бы 32 ^> 19. Дальше
выполняется деление делителя пополам до тех пор, пока не
получится единица:
/4 2
/8 1
8
Целая часть частного (два) находится следующим приемом:
из делимого (19) вычитается произведение 2-8 = 16, что
дает 3. Эта разность представляется как сумма,
составленная из чисел второго столбца: 3 = 2 + 1.
Соответствующие строки отмечаются косой чертой и определяют
результат 248 (=2 + 1/4 + 1/8 = (16 + 2 + 1)/8 =
= 19/8).
Выполним деление 180 : 250. Половина от 250
составляет 125, что на 55 отличается от 180. Представим 55 =
= 50 + 5. Возьмем пятую и пятидесятую части делителя
в соответствии с числами 50 и 5, которые в сумме
составляют 55. Вычисления занесем в таблицу:
1 250
/2 125
/5 50
/50 5
В итоге получим 2550 ( = 1/2 + 1/5 + 1/50 = 36/50 =*
- 180/250).
Приведенные примеры наталкивают на мысль, что при
делении можно получать различные выражения, Так^
5 : 12 можно представить в виде: 312 и 46, т. е. 1/3 +
+ 1/12 и 1/4 + 1/6.
Таким образом, результат зависит от того, как
представить делимое в виде суммы делителей числа 12, а
именно: 5 = 4 + 1 и 5 = 3 + 2.
По этой причине, а также с целью некоторой
автоматизации счета были составлены таблицы дробей 2/п для
нечетных п до 101 включительно. Такие таблицы, следует
полагать, появились не сразу, а включили в себя данные,
полученные в течение длительного предшествующего
времени.
Обратимся теперь к интересующим нас папирусам,
Название папируса Райнда многообещающе:
«Наставление, как достигнуть знания всех неизвестных... вещей..,
всех тайн, содержащихся в вещах». После заглавия
сообщается, что книга эта составлена в такое-то время (когда,
установить не удалось) при таком-то царе «Верхнего и
Нижнего Египта, Жизнеподателе» писцом Ахмесом «по
образцу древних сочинений».
Первые восемь таблиц папируса Райнда в издании
Эйзенлора содержат деление двойки на нечетные числа
9
от 3 до 101. В качестве примера рассмотрим деление на
13. Процесс показан в таблице:
1 13
2 62
4 34
/8 128
/52 4
/104 8
Дробление производится до тех_пор, пока не
получится результат между 1 и 2. Это 128 и составляет восьмую
часть J3T 13. Нужно же выразить в долях_^ришщцати 2,
а не_128, поэтому находится разность 2—128 = 48. Числа
4 и 8 записаны в последних двух строках; слева помещены
их значения в долях тринадцати^ т. е, 4 X 13 и 8 X 13.
И вот итог: 2/13 = 852104.
Рассмотрим задачи на «аха»* В переводе это слово
означает «куча», «груда», «величина»; она неизвестна и
соответствует тому, что мы обычно обозначаем через х.
Как правило, и это важно, задачи на «аха» носят
отвлеченный характер: из 15 задач папируса Райнда в 11
входят отвлеченные величины, в четырех же идет речь о
хлебных мер ах ь В Московском папирусе задач на «аха» три.
В наших обозначениях задачи на «аха» сводятся к
уравнению ах + Ъх + . . , + пх = s, откуда х = s/(a + Ъ +
+ * * * + п). Так и решаются некоторые из них в
папирусах. Но есть и решаемые методом, получившим в
Средневековой Европе название «метода ложного положения».
Поясним сущность его. Пусть необходимо решить
уравнение ах = Ъ. Найдем х = Ыа = р. Подставим в
уравнение некоторое число xi («ложное положение») и получим
xi = pi. Тогда, очевидно, х : xi = р i рг, х = xip/pi.
Вот задача 34 папируса Райнда: «куча, ее 2, ее 4, ее
целое составляет 10». Она сводится к уравнению х +
+ я/2 + я/4 = 10. Сложим коэффициенты 1 + 1/2 +
+ 1/4 = 13Д и разделим 10 на 13/4. Египтянину не нужно
было складывать коэффициенты, потому что число 124
записано в канонической форме. Он сразу делил 10 на
Ш: /1 124
2 32
/4 7
/7 4
428 2
/214 1
Вместе куча 527Й
io
Как видим, сначала ведется удвоение* В сумме нужно
набрать 10, поэтому оно заканчивается на третьей строке.
Отметим первую и третью строки. Сумма будет 824,
недостача до 10 составляет 14, Это число надо получить
суммированием чисел правого столбца. Для этого сначала
находится седьмая часть единицы, которой соответствует
число 124, справа записывается 4; дальше ведется удвоение,
причем значение 2/7 = 428 берется из таблицы деления
2 на п. Требуемые IV4 получаются при суммировании
четвертой и шестой строк правого столбца. Числа левого
столбца напротив них помечаются наклонными
черточками. Решение дает сумма отмеченных чисел! 52714-
^акова же задача 19 Моек обского папируса: «Кучаг
ее 2, ее целое вместе с 4 составляют 10», Это значит: х +
+ 2х + 4# = 10. Решается она так же, как и
рассмотренная. А вот задачи 25—29 папируса Райнда решаются
методом ложного положения.
Рассмотрим задачу 29. Она сводится к уравнению
Чъ 1(х + 2я/3) + 73 (х + 2х/3)] = 10,
В папирусе дано решение;
/1 10
/4 22
/10 1
Вместе 132
5 9
Вместе 222
3 72
Вместе 30
3 20
3 10
Куча 132
Дадим пояснение. Начиная с пятой строки,
производится проверка, а в первых четырех указан процесс
решения. Предположим, что х = 21 и подставим в левую часть
уравнения
7з [(27 + 18) + 73 (27 + 18)] = V8 (45 + 15) = 20.
Получили 20, а не 10. Это означает, что 27 не равняется
«куче». Но из пропорции х : 27 = 10 : 20 видно, что
«куча» во столько раз больше 10, во сколько 27 больше 20.
Для получения 27 нужно умножить 20 на 1 + 1/4 + 1/10.
Поэтому х = Ю-(1 + 1/4 + 1/Ю) = Ш2. Такова же
запись в папирусе.
11
Вероятно, приведенных примеров достаточно, чтобы
получить представление о задачах на «аха» в папирусах
Древнего Египта. Но отнюдь не обо всей математике.
Упомянем еще занимательную задачу 79 папируса
Райнда, положившую начало многим задачам-шуткам. Вот
запись ее:
Опись домашнего хозяйства:
дома 7
кошки 49
мыши 343
ячмень 2 401
меры 16 807
Вместе 19 607
Очевидна формулировка: имеется 7 домов, в каждом
по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышь
съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять
^ерна, даст 7 мер зерна. Нужно подсчитать сумму числа
домов, Кошекг мышей, колосьев и мер зерна. Ответ
получен двумя путями: умножением откуда-то взятого числа
2801 на 7, а также суммированием: 7 + 72 + 73 + 74 + 75.
В «Книге абака» Леонардо Пизанского, изданной
в 1202 г.т приведена аналогичная задача; о такой же
древнерусской задаче упомянул В. В. Бобынин.
Папирус Райнда заканчивается написанными
иероглифами напутствиями! «Лови гадов, мышей, выпалывай
сорные травы засвежо; получай обильную пряжу. Проси
у бога Ра тепла, ветра и высокой воды».
2
Если от цивилизации Древнего Египта к нам дошли, по
существу, всего два математических текста, то свидетельств
о состоянии математики в Вавилоне значительно больше.
Австрийскому математику О. Нейгебауеру удалось
расшифровать многие клинописные математические тексты
вавилонян и опубликовать результаты в 30-е годы нашего
столетия, что вызвало поток исследований, посвященных
этим и другим текстам.
Под вавилонской математикой понимают
математическую культуру, возникшую в Южном Двуречье (между
Тигром и Евфратом), вошедшем в Вавилонское
государство. Вавилоняне, в отличие от египтян, пользовались
к/тинописным письмом: на глиняных плитках палочками
призматической формы, изготовленными из бамбука или
кости, наносились клинописные знаки^ а затем плитки вы-
1 2 801
2 5 602
4 11204
Вместе 19 607
12
сушивались или обжигались. Благодаря большей
устойчивости материала по сравнению с папирусом египтян
клинописные тексты сохранились в достаточном
количестве: в музеях разных стран насчитывается около 500 000
глиняных таблиц эпох от III тысячелетия до н. э. до
I в.н. э. Среди них примерно 150 с задачами (около 500
решенных задач) и 200 с числовыми таблицами.
Так же, как и в Египте, составлением клинописных
текстов занимались писцы, принадлежавшие к высшему
сословию. Писцов почитали: «Тот, кто в совершенстве
овладеет искусством писать на табличках, будет сверкать,
подобно солнцу». Клинописные тексты хранились в
храмах.
Математические тексты, как и в Египте, носили
учебный характер: в них решались практические задачи без
обобщений и доказательств. Употреблялись слова:
«прибавь», «отними», «при решении поступай так». И все же
примененные вавилонянами методы показывают, что
вавилоняне имели представление об алгебраических
преобразованиях, что вавилонская математика обладала более
высоким уровнем абстракции, чем египетская. Среди
задач клинописных текстов достаточно много
алгебраических, приводящих к системам линейных уравнений и
уравнениям второй степени. Вавилоняне решали также задачи^
приводящие к кубическим уравнениям.
Вавилонское государство неоднократно подвергалось
нашествиям. Его завоевывали ассирийцы (729 г. до н. э.),
персы (царь Кир в 538 г. до н. э.), македонцы (Александр
Македонский в 336 г. до н. э.). Вместе с вавилонской
культурой завоеватели воспринимали и математическую
традицию, и вавилонская математика получила
значительное распространение.
Вавилоняне пользовались шестидесятеричной
системой. Один и тот же знак изображал 1 и 60; для записи
чисел от 1 до 59 клинья, изображающие 1 и 10,
записывались столько раз, сколько в числе единиц и десятков.
Любое число у вавилонян имело вид тг-бО^ + ттг-бО*-1 +
-f- Z'60^"2 + . . . + г. Сложение и вычитание
производились так же, как и в десятичной позиционной системе.
Умножение велось поразрядно. Алгоритма поразрядного
деления чисел, которым пользуемся мы, вавилоняне не
знали. Они сводили деление к умножению на обратные
величины (а : Ъ = аЛ1Ъ). Всякий раз в соответствующих
задачах говорилось: возьми обратную величину, ты
видишь Ъ (1/6), умножь а на 5, ты видишь аЪ = с.
13
Как для умножения, так и для деления
предназначались специальные таблицы. Составление их было делом
непростым. Набор таблиц был достаточно разнообразен:
таблицы произведений, обратных величин, степеней
некоторых чисел, сумм типа п2 -+- п3 и т. д.
Будем, как принято в литературе, отделять целую часть
записанного в шестидесятеричной системе числа точкой
с запятой, а отдельные разряды запятыми* Например:
3,32; 12,35 = 3-60 + 32 + 12/60 + 35/60.
Обратимся теперь к задачам* Как писал Ван-дер-Вар-
ден: «Ведь о том, что происходило в голове нашего
коллеги-математика времен Гаммурапи 3, мы знаем только то,
что можно вычитать из самих текстов» [11, с. 85].
В задачах, где говорилось о двух неизвестных,
вавилоняне одно неизвестное называли «длиной» (будем
обозначать его #), другое — «шириной» (г/), их произведение
(ху) — «площадью», при этом всегда «длина» больше
«ширины», Если формулировалась задача с тремя
неизвестными, то вводилась «глубина» (z), а произведение всех
трех неизвестных (xyz) называлось «объемом». Несмотря
на явно геометрические истоки терминологии, вавилоняне
обращались с неизвестными как с отвлеченными
величинами, о чем свидетельствуют такие операции, как сложение
линейных величин с «площадями» (например, х + ху) и
«площадей» с «объемами» (ху + xyz).
Вот задача, приводящая к пяти уравнениям первой степени
с пятью неизвестными: «Трапеция. В ней две полосы. 13,3 верхняя
площадь; 22,57 вторая площадь. Третья часть нижней длины для
верхней длины. То, на сколько верхняя ширина превышает
делящую линию и делящая линия превышает нижнюю ширину, дает при
сложении 36. Их длины, ширины и делящая линия, что они?
Делай своим способом. 3 можешь ты взять. 1 и 3 сложи, будет 4.
Обратное от 4 образуй; это будет 0; 15. 0; 15, умноженное на 36,
дает 9. 9, умноженное на 1, дает 9. 9, умноженное на 3, дает 27. 9
это то, на сколько делящая линия превышает нижнюю ширину.
Обратное от 1, умноженное на 13,3, дает 13,3. Обратное от 3
образовано, это 0; 20. 0; 20, умноженное на 22,57, дает 7,39. На сколько 13,3
превышает 7,39? Превышает на 5,24. 1 и 3 при сложении дают 4.
Половину от четырех отломи, дает 2. Обратное от 2 образуй, 0; 30
это есть. 0; 30, умноженное на 5,24, дает 2,42 и ... 2,42 не делится.
Что нужно умножить на 2,42, чтобы получилось 9? 0; 30, 20 должен
ты взять. Обратное от 0; 30,20 образуй, это дает 18. 18, умноженное
на 1, дает 18. 18 является верхней длиной. На 3 умноженное будет
54. Это нижняя длина. Отломи половину от 36. Это 18; на 1,12
умножь. 21,36 от 36,0 отломи. 14,24. Обратное от 1,12, от длины,
образуй; 0; 0,50. Умножь на 14,24. 12 получается. 12 прибавь к 36,
будет 48. 48 — это верхняя ширина, 12 прибавь к 27, будет 39 =-
делящая линия. 12 — нижняя ширина».
14
Проследим 8а ходом решения задачи с помощью
уравнений. Обозначим верхнюю ширину, делящую линию и
нижнюю ширину трапеции (рис. 1) через х\х х2, х3,
верхнюю и нижнюю длины — через угж
у2% Получим пять уравнений:
Si = 1l2(xi + x2)yi = 13,3,
S* = 72 (*2 + *з)У2 = 22,57,
У 2 = Зг/i,
(xi — х2) + (х2 — х3) = 36,
Х2 — хз = " (^1 — Х2/'
Из последних двух найдем х^ —
Х2 И Х2 — х3'
Первые два после за- 3
мены г/2 = Зг/i дают уравнение
Si — -3" 5з= Т (Xl + х*) У1 ~~ Т ^ о ^ Уа =
1 , 1
Р л с. 1
2
— -у (а* + ^2) Уг—Y ^2 + Жз)^ =
= х Г(*1 + **) + (*2 - *8) yi] = 13,3 - 22,57/3 —
= 5,24.
Отсюда определим г/i, а затем и у2. Для нахождения #i,
х2 и #3 разделим трапецию вертикальной прямой на
прямоугольник AECD и треугольник ВЕС* Площадь
треугольника будет S' = (xi — х3) (ух + у2)12, причем
разность xi — хъ находится по разностям хг — х2 и х2 — х3.
Тогда площадь прямоугольника AECD будет Si -f*
+ S2 — S'. Разделим ее на у± + у2 и найдем х3.
Остальные неизвестные определим из соотношений х± = (х± — х3) +
"Т~ X3i Х2 = \Х2 — Хз) ~Г х3*
Основное содержание клинописных текстов
составляют задачи, приводящие к квадратным уравнениям.
Рассматривая их, следует иметь в виду, что вавилоняне не
знали отрицательных чисел, поэтому о нахождении двух
корней квадратного уравнения не могло быть и речи.
Задачи подобраны и сгруппированы по определенным
признакам, однотипные решались одинаково. Решения
давались в различных формах: были или только ответы,
или ответы и подробные объяснения»
15
Вавилоняне решали квадратные уравнения,
принадлежащие к каноническим формам ах2 + Ьх = с, ах2 =
= Ьх + с или к соответствующим приведенным х2 +
+ рх = q, х2 = рх + #, и системы вида
* + У = Рх
ху = q,
дающие еще одну форму: ах2 + с = Ьх. Все они заведомо
имеют один положительный корень.
Обычно к квадратным уравнениям приводили
геометрические задачи, когда по известным площади
прямоугольника и сумме или разности сторон находились стороны.
Прием состоял в следующем. Пусть нужно решить систему
х + у = а$
ху = Ъ2.
Положим х = у = а/2. Но ху = а2/А не равняется Ь2,
поэтому необходимо внести поправку, т. е.
вспомогательное неизвестное z, и считать, что х = а/2 + z, у = а/2 — z.
Тогда (а/2 + z) (а/2 — z) = Ъ2, что дает z2 = а2 /4 — Ъ2,
z = Уа2/4 — Ъ2 и х = а/2 + V а2/'4 — б2, у = а/2 —
- Ya2/A - Ъ2.
В случае системы
х — у = а,
ху = Ъ2
полагаем х = z + а/2, у = z — а/2. Значение z находим
из уравнения z2 — а2/4 = Ъ2. Получим х = ]Ла2/4 + Ъ2 +
+ а/2, у = ]Ла2/4 + Ъ2 — а/2.
Конечно, ничего подобного этим формулам у
вавилонян нет, но то, как они вычисляли искомые величины,
соответствует указанным рассуждениям. В пользу этого
говорит и весьма веский аргумент, состоящий в том, что
впоследствии Диофант решал такие системы именно
аналогичным введением вспомогательного неизвестного.
Проиллюстрируем сказанное задачами из клинописных
текстов.
«Длина, ширина. Длину и ширину я перемножил и так
образовал площадь. То, чем длина выдается за ширину, я умножил на
сумму длины и ширины. К этому я прибавил площадь, получилось 1,
13, 20. Затем я сложил длину и ширину, получилось 1,40. Что есть
длина, ширина и площадь?»
После этого сразу же указываются данные: суммы 1, 13, 20
и 1,40 и ответы: 1,0 длина, 40 ширина, 40,0 площадь.
i6
Вслед за этим дается решение:
«Ты своим способом: 1,40, суммы длины и ширины, умножь на
1,40. 2,46, 40. От 2,46, 40 отними 1, 13, 20. Здесь остановись.
Половину суммы 1,40 отломи. Умножь 50 на 50, это 41, 40 (если х + у =
= а, то а/2 = 1,40/2 = 50, (а/2)2 = 502 = 41, 40). К 1, 33, 20 ты
прибавляешь. 2, 15, 0 имеет корнем 1, 30 [(а/2)2 + (а2 — S) =
= 41,40+ 1, 33, 20 = 2, 15, 0; У (а/2)2 + (а2 - S) = 1/4 15,0 =
= 1,30]. 1,40 за 1,30 чем выдается? На 10 выдается. 10 прибавь
к 50. 1,0 длина. 10 от 50 отними. 40 ширина. 40,0 площадь».
Переведем решение на язык уравнений. Исходная
система
(х - у) (х + у) + ху = S = 1, 13, 20,-
х + у = а = 1, 40.
Была введена вспомогательная величина z: х = а/2 + z,
у = а/2 — z. После этого первое уравнение системы
приняло вид
2az + (а/2)2 - z2 = S,
поскольку х — у = 2z, х + у = а, ху = (а/2)2 — z2.
Корни последнего уравнения
z = а ± У а2 + (а/2)2 - S.
Величина z меньше а/2, поэтому и подавно z <C а. Значит,
знак «плюс» перед корнем следует отбросить. И вот
результат:
х = а/2 + [а - У а2 + (а/2)2 - S]y
у = а/2 - [а - Уа2 + (а/2)2 - S].
Приведение системы к квадратному уравнению
канонического вида требовало от исполнителя значительных
умений производить алгебраические преобразования. В
некоторых текстах отражены поиски решений.
Решались вавилонянами и задачи, которые мы
интерпретируем кубическими уравнениями. Вот пример.
Глубина в 12 раз больше длины, ширина составляет 2/3 длины
(0;40), а сумма сечения и объема 1;10. Требуется найти
длину, ширину и глубину. Пусть х — длина, у — ширина,
z — глубина. Система будет
xyz + ху = 1; 10,
у =0; 40*,
z = 12*.
17
Она сводится к кубическому уравнению 12-0;4Cte3 +
+ 0;40#2 = 1;10. Разделим левую и правую части на 0;
40 и умножим на 122, получим (12<г)3 + (12^)2 = 4,12«
Обозначим \2х = z, Тогда уравнение будет z3 + z2 = 4,12.
Корень его z = 6, вероятно, взят из таблицы пъ -\- п2,
составленной для всех п от 1 до 60. Теперь: длина
находится умножением 6 на 0;5 (делением на 12, так как ?1х = 6)
и будет 0;30 (т. е. 1/2); ширина получится при умножении
6 на 0;3,20, что дает 0;20 (т. е. 1/3. Число 0;3,20 —
результат деления 2/3 на 12). Глубина равна длине 0;30^
умноженной на 12, т. е. 6.
В оригинале говорится: «Обратное от 12, доли глубины, образуй.
0; 5 ты видишь. На 0; 40 умножь. 0; 3, 20 ты видишь. 0; 3,20 на 0; 5
умножь. 0; 0, 16, 40 ты видишь. Обратное от 0; 0, 16, 40 образуй.
4,12 ты видишь. 6 есть корень. 6 на 0; 5 умножь. 0; 30 ты видишь,
0; 30 — длина. 6 на 0; 3,20 умножь. 0; 20 — ширина. 6 на 1 умножь.
6 ты видишь — глубина. Таков способ».
Так же как и при ознакомлении с содержанием
египетских папирусов, мы не останавливаемся на других
вопросах вавилонской математики, поскольку нас интересуют
в основном уравнения и то, что связано с ними.
Из всего же сказанного выше об уравнениях следует,
что в глубокой древности можно усмотреть начала этой
важнейшей области математики. В «Истории математики»
по зтому поводу говорится, что влияние традиций,
восходящих к вавилонской алгебре, можно усмотреть в
творчестве Герона, затем Диофанта, а впоследствии ал-Хорезми
и других математиков стран ислама, основавших
алгебраическую школу.
Дальше эстафету принимают греки. «В эпоху, когда
египетское и вавилонское государства клонились к
упадку, на исторической сцене появился новый народ —греки,
которым предстояло вскоре поднять культуру на
небывалую высоту во всех основных ее областях — формы
политической жизни, изящных искусств, литературы, науки
и философии... Греки были обязаны многими начальными
математическими знаниями ученым Востока. Но они вскоре
превзошли своих учителей и впервые начали развивать
математику как точную науку в нашем современном
смысле. Преобразование математики из совокупности
отдельных расчетных правил и приемов построений в
совокупность стройных дедуктивных систем предложений, в
которой эти правила и приемы получают свое строгое обос-
нованиег являлось делом древних греков» [26х с. 57].
18
Геометрическая алгебра греков
1
Теперь мы «вступаем» на землю Древней Греции, внесшей
значительный вклад не только в создание математики, но
и в развитие всей цивилизации. Та математика, которую
мы привыкли воспринимать, дедуктивная, абстрактная,
сложилась в Древней Греции в период ее расцвета на
основе собранных ранее в Египте и Вавилоне разрозненных
несистематизированных знаний, содержавших правила
для решения различных задач, связанных с вычисление^
площадей и объемов, построением фигур при возведении
храмов и пирамид, расчетами календаря, распределением
урожая, сбором налогов, организацией различных работ*
Как отмечалось выше, в математике Древнего Востока
отсутствовали обоснования рекомендуемых правил. Она
характеризовалась также крайне медленным развитием: на
протяжении многих веков наблюдался лишь
незначительный прогресс,
Платон об отношении греков к культурам Востока
писал: «Что бы эллины ни перенимали у варваров, они
всегда доводили это до более высокого совершенства»
[11, с 114].
В отличие от предшественников, египтян и вавилонян,
находивших лишь путь решения задач, греки стали
интересоваться вопросом, почему следует делать именно так?
«Первоначально греки занимались математикой,— пишет
американский математик Д. Стройк,— имея основную
цель — понять, какое место во вселенной занимает
человек в рамках некоторой рациональной схемы. Математика
помогла найти порядок в хаосе, связать идеи в логические
цепочки, обнаружить основные принципы. Она была
наиболее теоретической из всех наук» [42, с. 55],
С этой точки зрения становится понятным, что в
философских школах Фалеса (ок., 624—548 до н. э.),
Пифагора (ок. 570 — ок. 500 до н. э.), Демокрита (ок. 460 —
ок. 380 до н. э.), Платона (429—348 до н. э.), Аристотеля
(384—322 до н. э.) соседствовали занятия математикой и
философией. Не случайно, видимо, по сохранившейся
легенде, у входа в Академию Платона было начертано^
«Пусть не входит сюда не знающий геометрии». И не
случайно также приписывают Платону слова о том, что бог
высоко ценит геометрию и постоянно геометризует.
19
Основатели греческой науки Фалес, Пифагор,
Демокрит, Евдокс путешествовали по странам Древнего
Востока, где ознакомились с состоянием математики и
астрономии. Заметим, что еще в глубокой древности существовало
два взгляда на причины возникновения математики.
Аристотель отмечал, что жрецы в Египте располагали
необходимым для этого временем. Наука — свободное
творение ума. Геродот подчеркивал практическую
направленность занятий геометрией у египтян. То же самое
утверждал и известный комментатор Евклида Прокл Диа-
дох (410—485): «... согласно большинству мнений,
геометрия впервые открыта в Египте, имела свое
происхождение в измерении площадей» [34, с. 26].
Завершили создание греческой математики виднейшие
представители ее — Евклид, Архимед, Аполлоний. В
трудах их, дошедших до нас, были разработаны положения,
послужившие основой современной математики. И не
только математики, а и всего научного естествознания.
«В плавильном горне эллинизма,— писал О. Нейгебау-
ер,— развилась та форма науки, которая позднее рас-
пространилась от Индии до Западной Европы и
господствовала вплоть до создания современной науки во времена
Ньютона» [34, с. 17].
2
Рассмотрим хотя бы в общих чертах состояние греческой
математики до того времени, когда появились труды
Евклида, Архимеда и Аполлония.
В период с VI по III в. до н. э. греки построили
элементарную геометрию, разработали арифметику целых
и рациональных чисел, обосновали общую теорию
отношений, создали основы теории пределов, метод
исчерпывания, необходимый при вычислении площадей и объемов *
В V в. до н. э. были открыты несоизмеримые величины,
к концу века построена алгебра, применимая к
соизмеримым и несоизмеримым величинам, дана первая
классификация квадратичных иррациональностей. Тогда же были
введены в математику конические сечения и исследованы
первые трансцендентные кривые.
Но достижения греков состояли не только в
значительном количественном накоплении фактов и их
теоретическом обосновании. Важно и то, что была создана
математическая теория, в математику включены логические до^
казательства, отдельные ее части стали строиться как де-
20
дуктивные системы. Кроме того, тогда же впервые было
осмыслено место математики среди других наук. Аристотель
писал: «И в отношении сущего примером служит то
рассмотрение, которому математик подвергает объекты,
получаемые посредством отвлечения. Он производит это
рассмотрение, сплошь устранивши все чувственные свойства,
например тяжесть и легкость и противоположное (ей),
далее — тепло и холод и все остальные чувственные
противоположности, а сохраняет только количественную
определенность и непрерывность, у одних — в одном
направлении, у других — в двух, у третьих — в трех, а также
свойства этих объектов, поскольку последние
количественно определены и непрерывны, но не с какой-нибудь
другой стороны...» [1, с. 185—186].
По преданию, греческую школу математики основал
Фалес из Милета (греческая колония в Малой Азии) —
купец, философ, астроном и математик. Он создал ионийскую
философскую школу, объясняющую многообразие мира
единым материальным началом. Фалес считал таким
началом воду.
Во время путешествий Фалес ознакомился с астрономи»
ческими наблюдениями вавилонян, изучил правила для
астрономических расчетов, полученные от египетских
жрецов, ит по свидетельству Геродота, предсказал
солнечное затмение, происшедшее 28 мая 585 г. до н. э., во время
битвы при Галисе между лидийцами и мидянами. «День
обратился в ночь»,— писал Геродот. Воины были так
напуганы затмением, что прекратили сражение, и обе
противоборствующие стороны, а также Вавилония и Киликия,
заключили мир.
Из геометрических достижений Фалесу приписывают
доказательство того, что диаметр делит круг пополам,
установление равенства углов при основании
равнобедренного треугольника, равенства вертикальных углов при
пересечении двух прямых, доказательство равенства
треугольников, имеющих по одной равной стороне и по два
соответственно равных угла, прилежащих к равным
сторонам, способ определения расстояния до недоступных
предметов, основанный на этом признаке равенства
треугольников.
Заметим вот что. От глубокой древности пошли
рассказы о рассеянности ученых. Платон писал, что во время
наблюдения звезд Фалес упал в колодец и красивая
фракийская рабыня посмеялась над ним: «Хочет знать, что
делается на небе, а что делается у него под ногами, не видит».
21
Историки науки считают, что много нового внес в
математику Пифагор. Прокл писал: «Пифагор преобразовал
эту науку в форму свободного образования. Он изучал
эту науку, исходя из первых ее оснований и старался
получать теоремы при помощи чисто логического мышления,
вне конкретных представлений. Он открыл теорию
иррациональных...» [26, с. 66].
Личность Пифагора стала легендарной еще в
древности. Он родился на острове Самосе, путешествовал по
многим странам Востока. В Египте будто бы попал в плен
к персидскому завоевателю Камбизу и был отправлен
в Вавилон, где изучал у магов теорию чисел, музыку,
другие науки. Возвратившись из Вавилона, Пифагор
поселился в Кротоне (Южная Италия) и основал
пифагорейский союз, ставивший перед собой религиозно-этические,
политические и научные цели. После неудачного
выступления на политическом поприще пифагорейцы были изгнаны
из Южной Италии и союз прекратил существование.
Геродот называл Пифагора выдающимся софистом
(учителем мудрости). Современники считали его
религиозным пророком. Он проповедовал бессмертие души, ввел
для своих последователей строгие правила жизни. В
учении пифагорейцев неразрывно связаны музыка, гармония
и числа. Отсюда сущность учения — «все есть число»,
«все упорядочивается в соответствии с числами». Вот,
например, высказывание пифагорейца Филолая (V в.
до н. э.): «Если бы не число и его природа, ничто
существующее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его
отношении к другим вещам... Мощь чисел проявляется,
как нетрудно заметить... во всех деяниях и помыслах
людей, во всех ремеслах и музыке». Как видим, математика
и числовая мистика были перемешаны в учении
Пифагора.. Но поздние пифагорейцы сумели получить в
математике значительные результаты.
Школа Пифагора была замкнутой, что, как ни стран-
HOj в тех условиях способствовало развитию математики,
поскольку внутри школы тесно общались знающие
математику. Однако это не способствовало распространению
полученных знаний вне школы. По той же причине
неизвестно, какие результаты в математике принадлежат
Пифагору. Вернее всего — все отдавалось ему.
Ранние пифагорейцы занимались астрономией,
геометрией, теорией музыки и теорией чисел (арифметикой).
В геометрии они рассматривали свойства прямолинейных
фигур (треугольников, прямоугольников^ параллело^
22
граммов), Пифагору приписывают доказательство
носящей его имя теоремы, частные случаи которой были
известны и ранее. В честь открытия Пифагор будто бы в знак
благодарности богам принес в жертву 100 быков.
Некоторые математики высказывают сомнение по этому поводу,,
мотивируя это тем, что Пифагор был противником
умерщвления животных. Владели пифагорейцы и первоначальны-
ми сведениями из стереометрии (они знали три
правильных многогранника из пяти). Достижения пифагорейцев
в планиметрии вошли впоследствии в первую книгу
«Начал» Евклида.
Арифметика целых положительных чисел
пифагорейцев резко отличалась от арифметики вавилонян: она
соответствовала мистическим идеям учения. Числа
разбивались на четные, нечетные, простые, составные. Единицы,
составляющие числа, изображались точками,
располагаемыми в правильных фигурах, в результате чего получались
треугольные числа (1;1+2 = 3;1+2 + 3 = 6ит. д.)А
квадратные (1; 1+3 = 4; 1 + 3 + 5 = 9ит. д.),
пятиугольные (1; 1 + 4 = 5; 1 + 4 + 7 = 12 и т, д.).
Рассматривались также прямоугольные, кубические,
пирамидальные числа. Пифагорейцы изучали свойства совершенных
чисел, т. е. таких, сумма делителей которых (за
исключением самого числа) равна самому числу (6 = 1+2 + 3,
28 = 1+2 + 4 + 7 + 14), дружественных чисел, т. е,
таких, каждое из которых равно сумме делителей другого
(1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 +
+ 110 = 284, 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220), Ими
были получены решения в целых числах неопределенного
уравнения х2 + у2 = z2, названные пифагоровыми
тройками. Таких троек бесчисленное множество, они
выражаются найденными пифагорейцами формулами х = (т2 —
- 1)/2, у = т, z = (т2 + 1)/2 \
После смерти Пифагора в его школе появились
различные течения: «математики» — последователи изгнанного
пифагорейцами Гиппаса, отклонившегося от учения
Пифагора (mathemata — отрасль науки), и «акузматики»,
придерживающиеся священных правил учителя — «Akus-
mata». Эти течения вели между собой борьбу.
3
Основное достижение пифагорейцев в математике состоя-
л о в открытии иррациональных величин в виде
несоизмеримых отрезков^ Оно стало поворотным пунктом в развц-
23
тии греческой математики, ибо нарушило пифагорейскую
гармонию арифметики и геометрии; оказалось, что
отношения целых чисел не могут выражать отношения любых
двух отрезков. Не существует, например, среднего
геометрического единицы и двойки, которые у пифагорейцев
считались священными символами, тогда как само среднее
геометрическое выступало символом аристократии. Нетрудно
представить, какой переполох среди самих пифагорейцев
вызвало открытие несоизмеримых величин; пифагорейцы
принимали все меры, чтобы оно не стало предметом
гласности среди непосвященных. По легенде, открыл
несоизмеримые соотношения в V в. до н. э. Гиппазий из Мета-
понта в то время, когда пифагорейцы находились в
плавании в открытом море. Они обвинили Гиппазия в том, что
он внес новшество, противоречившее основам их учения
о сводимости явлений природы к целым числам и
отношениям целых чисел, и выбросили его за борт.
В «Истории математики» открытие несоизмеримых в
Древней Греции сравнивается с созданием неевклидовых
геометрий в XIX в. и теории относительности в XX в.
Проблема несоизмеримости получила в древнем мире
известность. Платон и Аристотель неоднократно
обсуждали ее. Это дает возможность установить время, когда в
математику вошли несоизмеримые отрезки. В «Первой
аналитике» Аристотель писал, что нельзя допустить
соизмеримость диагонали квадрата с его стороной, потому что
это приведет к равенству нечетного числа четному. Значит,
пифагорейцы строили доказательство так, как оно
делается и сейчас,— от противного. Именно, предположим, что
отношение диагонали АС квадрата к его стороне АВ
равно отношению целых чисел: АС : АВ = т : п.
Естественно предположить, что тип — взаимно
простые числа (если бы они имели общие множители, то на них
можно было бы отношение сократить). Тогда из основной
пропорции получаем А С2 : АВ2 = т2 : п2. Но по теореме
Пифагора имеем АС2 = 2АВ2, поэтому т2 = 2п2, а это
означает, что т — четное число. Положим т = 2к и
подставим в выражение для т2 : 4к2 = 2п2, п2 = 2к2. Таким
образом, число п также четное. Значит, тип четные и
отношение т : п сократимо, что противоречит условию о его
несократимости. Возникшее противоречие и служит
доказательством несоизмеримости диагонали квадрата с его
стороной.
Естественно, вслед за доказательством такой
несоизмеримости грекам удалось установить^ что стороны квадра-
24
тов, имеющих площади, выражающиеся числами Зг 5А
6, 7, . . ., несоизмеримы со стороной единичного
квадрата. Так появились иррациональные числа вида Утг, где
п не является точным квадратом.
Характерную оценку открытия несоизмеримых дал
Платон в диалоге «Законы». Афинянин, ведущий диалог,
говорит: «Друг мой, Клиний, я и сам был поражен, что
лишь так поздно узнал то состояние, в котором мы
находимся. Мне показалось, что это свойственно не человеку,
а скорее каким-то свиньям. Я устыдился не только за
себя, но и за всех эллинов» [5, с. 251].
Эти слова более выразительны, чем то удивление,
которое проявил всем известный Журден Мольера, когда
«открыл», что говорит прозой.
На пути преодоления возникших в связи с появлением
иррациональностей принципиальных трудностей
пифагорейцы стали разрабатывать геометрическую алгебру,
применяемую при доказательстве различных алгебраических
соотношений и решений квадратных уравнений 2. Она
изложена во II книге «Начал» Евклида. Ею успешно
пользовались Архимед и Аполлоний.
Объектами геометрической алгебры были отрезки,
прямоугольники, параллелограммы. При сложении отрезки
прикладывались один к другому, при вычитании от
большего отбрасывалась часть, равная меньшему.
Произведение двух отрезков интерпретировалось как площадь
построенного на них прямоугольника. Само собой, о
сложении прямоугольников и отрезков не могло быть речи.
Геометрическая алгебра содействовала получению
древними новых результатов, но впоследствии ста па
тормозить развитие математики.
4
Открытие несоизмеримых отрезков и иррациональных
чисел привело математику к понятию бесконечности; греки
стали оперировать с бесконечными множествами так же,
как с конечными величинами. Проблемой бесконечности
заинтересовались не только математики, но и философы.
Появились парадоксы (апории) Зенона Элейского (ок.
490—430 до н. э.), раскрывшие трудности, связанные с
понятиями бесконечного и непрерывного. Апории Зенона
будоражили мысль раньше, ими занимаются
исследователи и сейчас. Зенон выдвинул около 40 апорий, до вас
дошло девять. Они посвящены движению и
непрерывности. Вот две апории Зенона.
25
«Ахиллес н черепаха». Ахиллес и черепаха движутся в одном
направлении по прямой. Чтобы догнать черепаху, Ахиллес должен
достигнуть точки Лх, из которой черепаха начала движение. Когда
Ахиллес попадет в точку А1% черепаха уже будет в точке Л2; когда
Ахиллес достигнет точки Л2> черепаха переместится в точку А3,
и т. д. Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху.
«Дихотомия» (деление пополам). Тело, начавшее движение из
точки Л, не достигнет конечного пункта 5, потому что ему сначала
надо преодолеть половину пути, затем половину оставшейся
половины, т. е. одну четверть пути, затем половину оставшейся одной
четвертой, т. е. одну восьмую пути, и т. д.
Философ и математик V—IV вв. до н. э., основатель
древней атомистики, Демокрит из Абдера (город во
Фракии) пытался преодолеть возникшие в математике
трудности, полагая, что тела состоят из конечного числа
элементарных частей определенного объема; тогда объем
тела можно получить суммированием объемов элементарных
частей.
Существенную роль в разрешении кризиса и вообще
в построении греческой математики сыграли
разработанные Евдоксом Книдским теория отношений и метод
исчерпывания, усовершенствованный и успешно примененный
Архимедом,
Математик, астроном, географ и врач Евдокс родился
около 406 rs до н. э. в Книде (Малая Азия), умер около
355 г. до н. э. Он путешествовал по Египту и Греции, где
изучал математику, медицину, астрономию; побывал в
Афинах, где в то время функционировала Академия Пла-
тонаа Архит — учитель Евдокса и сам Евдокс основали
в математике то направление, которое впоследствии
превратилось в математический анализ.
В Кизике, на побережье Мраморного моря, Евдокс
организовал первую в Греции обсерваторию, в которой
велись астрономические наблюдения и был создан
звездный каталог. Евдокс построил модель Солнечной системы^
состоящей из 27 вращающихся вокруг Земли сфер.
Разработанные Евдоксом теория отношений и метод
исчерпывания отвергали актуальную (физически
существующую) бесконечность, внесшую столько недоразумений
в античную математику4 Аристотель писал: «Наше
рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного... не
отнимает у математиков их теории; ведь они не нуждаются
в таком бесконечном и не пользуются им: математикам
надо только, чтобы ограниченная линия была такой
величины, какой им это желательно, и в такой же пропорции,
в какой делится величайшая величина^ можно разделить
и какую угодно другую» [22 с. 6].
26
Теория отношений Евдокса изложена в V книге
«Начал» Евклида, в VI книге даны приложения ее к цодобию
фигур и решению квадратных уравнений»
Понятие величины Евдокса включало как числа, так
и непрерывные величины — отрезки, площади, объемы —
и было обобщением аналогичных понятий
предшественников. Относительно равенства и неравенства величин
формулировались аксиомы, приведенные в «Началах»
Евклида. Эти аксиомы Евдокс дополнил еще одной, называемой
аксиомой Архимеда: «Говорят, что величины имеют
отношение между собой, если они, взятые кратно, могут
превзойти друг друга» [24, с. 142]. Значит, для любых
а и Ъ можно найти такие целые п и т, что будет па ^> Ъ
и гпЪ ^> а.
Равенство отношений Евдокс определял так: «Говорят,
что величины находятся в том же отношении: первая ко
второй и третья к четвертой, если равнократные первой
и третьей одновременно больше, или одновременно равны,
или одновременно меньше равнократных второй и
четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности,
если взять их в соответственном порядке» [24, с. 142]»
В таком случае величины называются пропорциональными,
Определение означает: равенство а : Ъ = с : d будет,
когда для любых п и m получим либо та < пЪ и тс < nd,
либо та = пЪ и тс = nd, либо та ^> пЪ и тс ^> nd.
Устанавливалась и транзитивность отношений: если
отношения а : Ь и с : d равны порознь отношению е : /, то
величины а, Ъ, с и d пропорциональны*
Теория отношений Евдокса, в отличие от числовой
арифметики пифагорейцев, применялась как к
соизмеримым, так и несоизмеримым величинам. Ею пользовались
вплоть до того времени, когда в XIX в. Рг Дедекинд
и К. Вейерштрасс разработали теорию действительных
чисел. В «Истории математики» указана существенная
аналогия между теориями Евдокса и Дедекинда. Основное
же различие — у Евдокса не было введенной Дедекиндом
аксиомы непрерывности.
Второй фундаментальный вклад Евдокса в
математику составляет метод исчерпывания, получивший такое
название в XVII в. и применявшийся древними при
доказательстве теорем, связанных с вычислением площадей,
объемов и других величин» Он считается первым
вариантом теории пределов.
Ограничимся лишь упоминанием метода
исчерпывания,, поскольку он лежит вне темы этой книги. Но подчерк-
27
нем, что школа Евдокса заложила основу, на которой га
период от 350 до 200 г. до п. э. трудами великих Евклида,
Архимеда, Аполлония была создана греческая
дедуктивная математика, служившая человечеству многие века.
5
В V в. до н. э. возникли три задачи, получившие
широкую известность как тогда, так и в последующие времена,
потому что оказались неразрешимыми средствами
геометрической алгебры и потребовали новых изысканий. Это
задачи об удвоении куба, трисекции угла, квадратуре
круга. Они были естественным продолжением задач,
решаемых греками с помощью линейки и циркуля, т. е.
построением прямых и окружностей.
Ранее был разработан метод преобразования любой
прямолинейной фигуры в равновеликий прямоугольник
или квадрат. Естественный дальнейший ход —-
преобразовать круг в квадрат, т. е. по данному радиусу круга найти
Сторону равновеликого квадрата. Это задача о
квадратуре круга* После решения задачи об удвоении квадрата
(квадрат, имеющий площадь в два раза больше площади
данного, будет иметь стороной его диагональ) возникла
задача об удвоении куба: зная ребро куба, найти ребро
другого куба, объем которого в два раза больше объема
данного. Известен также был способ деления угла
пополам с помощью циркуля и линейки. Прямым
продолжением ее могло быть деление угла на любое число равных
частей, и в первую очередь на три.
Задача удвоения куба называется делосской и
связана с легендой. На острове Делосе свирепствовала чума.
Жители острова обратились к жрецу Аполлона с
вопросом, чем можно отвратить бедствие. Жрец потребовал
удвоить кубический жертвенник в храме. Жители поставили
на куб новый куб, но чума не прекратилась: нужно было
увеличить объем жертвенника, не меняя его формы (в
легендах греков даже боги — изощренные геометры).
В современных обозначениях задача удвоения куба
решается просто: составим уравнение хъ = 2а3, откуда х —
= у 2а, Но этим решением не могли довольствоваться
древние геометры: необходимо было выполнить
построение, найти по значению а точное значение х.
Первая дошедшая до нас попытка решения делосской
задачи принадлежит Гиппократу Хиосскому (V в. до н. э.).
Еще ранее решалась задача построения квадратал равно-
28
великого прямоугольнику, на основе построения средней
пропорциональной двум данным: а/х = х/b, откуда х2 =
= ab. Подобно этому, Гиппократ задачу удвоения куба
свел к построению двух средних пропорциональных:
а/х = xly = у!2а, что дает х2 = ау, у2 = 2ах, х*/а2 = 2ах,
х3 = 2<23. После Гиппократа делосская задача
формулировалась так: нужно построить два средних
пропорциональных двум данным а и Ъ (в рассматриваемом случае
Ъ = 2 а).
Архит Тарентский (ок. 428—365 гг. до н. э.) установил,
что значение х при удвоении куба можно найти, если
рассматривать пересечение конуса, цилиндра и поверхности^
полученной от вращения окружности вокруг прямой,
лежащей в ее плоскости и не пересекающей окружности
(такую поверхность называют тором). Построение Ар хита
доказывало существование двух средних
пропорциональных любым двум данным. Но метод Архита не годился для
практического применения ввиду очевидной сложности
его. Математики продолжили поиск других способов и
стали изучать геометрические места, связанные с пропорцией
Гиппократа: х2 = ау, у2 = Ъх, ху = аЪ (Ь = 2а).
К известным ранее двум геометрическим местам —
окружности и перпендикуляру, проведенному к отрезку
в его середине,— применяемым греками в геометрических
задачах, добавились новые — конические сечения.
Открытие их приписывается ученику Евдокса Менехму (IV в.
до н. э.). Конус можно получить в результате вращения
прямоугольного треугольника вокруг катета. Острый
угол, прилежащий к неподвижному катету, может быть
равен половине прямого, меньше половины и больше
половины его. В первом случае получим прямоугольный
конус, во втором — остроугольный, в третьем —
тупоугольный. Пересечем каждый конус плоскостью,
перпендикулярной образующей. Получим соответственно параболу,
эллипс и гиперболу. Такие сечения первоначально
назывались триадами Менехма, название конических сечений
возникло во II в. до н. э. Менехм решил делосскую
задачу, показав, что решением будет абсцисса точки
пересечения двух любых конических сечений: х2 = ау, у2 = 2ах,
ху — 2а2.
Теория конических сечений в древности получила
значительное развитие. Окончательное ее завершение
связано с деятельностью Аполлония. Архимед применял
конические сечения к задачам^ которые сводятся к кубическим
уравнениям.
29
В школе Евклида впоследствии была проведена
классификация геометрических задач: к плоским относили те,
которые решались с помощью циркуля и линейки, к
телесным — решаемые с помощью конических сечений, к
линейным — все остальные. Это означало, что греки
были убеждены в неразрешимости задачи удвоения куба при
помощи циркуля и линейки.
Доказательство неразрешимости кубического
уравнения Xs + 2х2 + Юх = 20 в квадратичных иррациональ-
ностях впервые предпринял Леонардо Пизанский (ок,
1170 — после 1228). Через четыре столетия Р. Декарт
установил, что корни кубического уравнения с
рациональными коэффициентами можно построить циркулем
и линейкой, если это уравнение приводимо, т. е. имеет по
крайней мере один рациональный корень.
Задачу о трисекции угла древним не удалось свести к
кубическому уравнению. Это сделали значительно
позднее математики стран ислама, Известно соотношение
sin За ;= 3 sin а — 4sin3 а, Если обозначить sin a = х,
sin За «== а, то получим Ах3 — Зх + а = 0. Греки при
отыскании трисекции угла разработали метод вставок и ввели
первую трансцендентную кривую — квадратрису,
определяемую как геометрическое место точек пересечения двух
отрезков, один из которых вращается вокруг своего
начала, а другой перемещается параллельно самому себе
(сверху вниз), Кривая названа квадратрисой вследствие того,
что применялась и при решении задачи квадратуры круга.
Метод вставок состоял в том, что определенной длины
движущийся отрезок помещался между двумя линиями
так, чтобы концы его находились на этих линияхт а сам
он или продолжение его проходило через данную точку.
Обычно вставку осуществляли между прямой и
окружностью. Если в качестве одной из линий взять прямую,
то второй конец отрезка опишет конхоиду Никомеда.
При исследовании трисекции угла и квадратуры круга
Архимед открыл еще одну кривую — спираль, названную
его именем (полярное уравнение спирали р = а0).
Квадратура круга, в отличие от удвоения куба и трисекции уг-
ла, не может быть сведена к алгебраическому уравнению,
что было доказано только в XIX в.
Гиппократ Хиосский пытался выполнить квадратуру
круга при помощи квадрируемых фигур, названных гиппо-
кратовыми луночками. Такую луночку можно получить,
например^ следующим образом: возьмем четверть круга
радиуса г и на хорде А С, соединяющей концы радиусов
30
ОА и ОС, опишем как на диаметре внешнюю по отношению
к четверти круга полуокружность (рис. 2). Тогда АС =*
= rrf2 и площадь четверти большего круга будет такой
же, как площадь меньшего полукруга, т. е. яг2/4.
Вычислим площадь луночки, для чего вычтем из
площади полукруга площадь сегмента АС. Площадь сегмента
равна разности площади четверти
большего полукруга и площади
треугольника АОС, т. е. лг2/4 —
— г2/2. Площадь луночки будет
зхг2/4 - (яг2/4 - г2/2) = г2/2. А это
и означает, что луночка квадри-
руема.
Гиппократ получил три квад-
рируемые луночки. Однако они
задачу о квадратуре круга вперед
к решению не продвинули, В 30— рис. 2
40-х годах XX в. Н. Г.
Чеботаревым и А. В. Дородновым было доказано, что имеется пять
квадрируемых луночек, но они не квадрируемы вместе
с кругом.
И еще одна задача древних сводилась к
алгебраическим уравнениям — построение правильных
многоугольников. Греки умели с помощью циркуля и линейки строить
правильный треугольник, квадрат, правильный
пятиугольник и все тг-угольники, полученные из них удвоением
сторон. В «Началах» Евклида дано построение правильного
15-угольника. Архимед с помощью вставки выполнил
построение правильного семиугольника, которое дошло до
нас в арабском переводе. Математики стран ислама
показали, что эта задача сводится к кубическому уравнению.
Полное решение задачи о построении правильных
многоугольников дал в конце XVIII в. К. Гаусс.
Даже беглый обзор математики Древней Греции
позволяет указать то, что обеспечивало ее развитие. Это
прежде всего неукоснительное требование строгости,
обоснованности научных построений, открытие несоизмеримых
отрезков, постановка проблемы бесконечного и
непрерывного, установление неразрешимых задач, Все это вошло в
математику на многие столетия,
6
Расцвет античной математики связан с благоприятными
условиями общественного развития. Походы Александра
Македонского сопровождались распространением культу-
т.
31
ры эллинов на многие страны, вплоть до Индии. В 323 г.
Александр Македонский умер в Вавилоне. Его
полководцы разделили завоеванные земли между собой. Сложились
три государства: Египет с династией Птолемеев;
Месопотамия и Сирия, где правили Селевкиды; Македония под
властью Антигона и его преемников. В 331 г. до н. э.
основана столица Птолемеев Александрия, ставшая вскоре
торговым, научным и культурным центром древнего
мира.
Птолемей I организовал в Александрии Мусейон —
дом муз, в который приезжали виднейшие ученые того
времени. Молодежь стекалась из многих стран слушать
в Александрии лекции по философии, математике,
астрономии, медицине. В Мусейоне была огромная библиотека,
содержащая копии многих греческих произведений,
начиная от Гомера. В отличие от афинских частных школ
(Академия Платона, Ликей Аристотеля и др.) Мусейон
субсидировался государством, и ученые, не заботясь о
насущных нуждах, могли целиком посвящать себя наукам.
Особенность математики наступившей эпохи состояла
в том, что ее методы находили применение не только в
астрономии, но и в статике и гидростатике, они проникали
также в оптику, теорию музыки.
Одним из тех, чьи труды дошли до наших дней, был
Евклид, живший во времена Птолемея I в III в. до н. э.
О нем сохранилось очень мало сведений. Александрийский
математик Папп, написавший в III в. восемь книг по
математике, сообщал, что Евклид был доброжелателен,
корректен, лишен тщеславия. Известен анекдот. На вопрос
царя Птолемея I о том, нет ли более короткого пути для
изучения геометрии, чем преодоление «Начал», Евклид
сказал: «В геометрии нет царской дороги».
Евклид написал «Начала» — книгу, которая вслед за
библией в западном мире издавалась наибольшее
число раз. «После изобретения книгопечатания,— писал
Д. Стройк,— появилось более тысячи изданий, а до того
эта книга, преимущественно в рукописном виде, была
основой при изучении геометрии» [42, с. 68]. «Начала» —
фундамент всей античной математики. Построенная
Евклидом математика служит базой изучаемой во всех школах
мира элементарной геометрии и в наше время. Евклидова
геометрия лежит в основании классической и прикладной
механики.
Евклид занимался также астрономией, оптикой,
теорией музыки. «Начала» состоят из тринадцати книг, к ко-
82
ПИФАГОР АРХИМЕД
(ок. 570 —ок. 500 до и. э.) (ок. 287—212 до п. э.)
И. ТАРТАЛЬЯ д. КАРДАНО
(ок. 1499-1557) (1501-1576)
Ф. ВИЕТ Р. ДЕКАРТ
(1540-1603) (1596—1650)
И. НЬЮТОН Ж. Л. Д'АЛАМБЕР
(1643—1727) (1717—1783)
Ж. Л. ЛАГРАПЖ П. С. ЛАПЛАС
(1736-1813) (1749—1827)
Н. X. АБЕЛЬ Э. ГАЛУА
(1802—1829) (1811—1832)
К. Ф. ГАУСС
(1777—1855)
торым присоединяют еще две, не принадлежащие
Евклиду и написанные во II в. до н. э. и в V в. н. э. В «Началах»
изложены планиметрия и стереометрия, геометрическая
алгебра, теория отношений, теория чисел, решение
квадратных уравнений, метод исчерпывания, дана
классификация квадратичных иррациональностей.
«Начала» сыграли огромную роль в развитии
математики. И не только ее. А. Эйнштейн отметил важную сторону
воздействия «Начал» на цивилизацию. Он писал: «Это
удивительнейшее произведение мысли дало человеческому
разуму ту уверенность в себе, которая была необходима
для его последующей деятельности. Тот не рожден для
творческих исследований, кто в молодости не восхищался
этим творением» [48, с. 62].
Упомянем еще раз, что открытие пифагорейцами
несоизмеримых отрезков и иррациональностей потрясло
математику того времени. Греки не смогли преодолеть
возникших в связи с этим трудностей на пути расширения понятия
числа, а обратились к геометрии и стали строить всю
математику в геометрической форме, что вызвало интенсивное
развитие геометрии циркуля и линейки, прямых и
окружностей как наиболее простых линий.
Уже отмечалось, что в геометрической алгебре
сложение величин сводилось к приложению одного отрезка
к другому, вычитание — к отбрасыванию от большего
отрезка части, равной меньшему, умножение — к
построению на данных двух отрезках прямоугольника.
Деление формулировалось как задача на «приложение
площадей»: необходимо «приложить» к данной прямой с
прямоугольник, равновеликий данному аЪ, т. е. найти
сторону прямоугольника х, у которого сторона с известна;
должно быть хс = аЪ.
Решение задачи приписывается пифагорейцам. Оно
строилось так (рис. 3). Приложим к стороне АС = а
прямоугольника аЪ отрезок с и построим прямоугольник
CEFD, Проведем его диагональ и продолжим ее до
пересечения с продолжением стороны АВ. Затем построим
прямоугольник AEA'G. Тогда прямоугольник DFA'D' и
будет искомым. В самом деле, он равновелик
прямоугольнику A.CDB, так как оба они получаются из равных
треугольников AEG и A'EG выбрасыванием из них равных
треугольников 1 и 1' и 2 и 2'. Сторона DD'
прямоугольника DFA'D' и дает значение х, потому что хс = аЪ.
Очевидно, при таком представлении алгебраических
операций природа входящих в них величин не играет ни-
33
J/
J 3
Рис. 8
V и е. 4
Л
1 м
/
7\
1
Я
г
т
?
какой роли. Это дало возможность грекам установить
свойства операций, вывести основные алгебраические
тождества, решать квадратные уравнения. Вот как
устанавливал ась^ например, дистрибутивность умножения
относительно сложения во II книге «Начал». Предложение 1
сформулировано так: «Если имеются две прямые и одна
из них рассечена на сколько угодно отрезков, то
прямоугольник, заключающийся между этими двумя прямыми,
равен <вместе взятым) прямоугольникам, заключенным
между нерассеченнои прямой и каждым из отрезков»
[24, с. 61]. Значит, если отрезок а разбит на части съ с2, . . „
. * ., сп точками Сх, С2, * * ., Сп-Ъ то получим: аЪ =
= (сх + с2 + . . . + сп) Ъ = сгЪ + с2Ь + . . . + спЪ.
Далее во II книге доказаны различные алгебраические
тождества. Обратимся, например, к доказательству
тождества (а + Ъ)2 = а2 + 2ab + б2. Оно проведено в духе
требуемой строгости, но для нас крайне непривычно.
Соответствующее предложение второй книги «Начал»
сформулировано так: если отрезок АВ разделен точкой С
на два отрезка, то квадрат, построенный на АВ, равен
двум квадратам на отрезках А С и С В вместе с удвоенным
прямоугольником на Л С и СВ.
А вот и доказательство. Построим на отрезке АВ
квадрат ABED с диагональю BD (рис. 4). Проведем через
точку С прямую СТ, параллельную AD, и через точку TV
прямую MP, параллельную АВ,
Ясно, что AM = CN = ВР = СВ = NP = ТЕ.
Аналогично АС = MN = DT = MD = NT = РЕ.
Прямоугольник ACNM равновелик прямоугольнику NPET.
Следовательно, квадрат на АВ равен квадрату на АС
(MNTD), сложенному с квадратом на С В и удвоенным
прямоугольником на АС и СВ, что и требовалось
доказать 3„
34
с л
я,
л
S
1
Ъ
5
/
л
71
р
> *<
Рис. 5
Рис. 6
В «Началах» доказаны и многие другие алгебраические
тождества, например (а + Ъ)2 + а2 = 2 (а + Ъ) а + Ь2-К
Решение квадратных уравнений в геометрии Евклида
играло не только самостоятельную роль: дело в том, что
построения с помощью циркуля и линейки сводились
к решению цепочки линейных и квадратных уравнений.
В предложении 14 книги II «Начал» сформулирована
задача решения простейшего квадратного уравнения х2 *=
= ab, т. е. извлечения квадратного корня: «Построить
квадрат, равный данной прямолинейной фигуре». Это
построение излагалось раньше общей теории отношение
которая дана в книге V.
Нахождение отрезка х основывалось на
предварительном преобразовании произведения аЪ в разность квадратов.
Для этого служила лемма: если отрезок АВ разделить
точкой С пополам и точкой D на неравные части, то
прямоугольник, построенный на неравных частях (AD и
DB), вместе с квадратом на отрезке CD будет равновелик
квадрату на половине АС отрезка АВ (предложение 5
книги II). Это утверждение эквивалентно тождеству
Тогда уравнение х2 = аЪ решалось с помощью теоремы
Пифагора: отрезок х будет катетом прямоугольного
треугольника, гипотенуза которого равна (а + Ь)/2, а
второй катет (а — Ъ)12. Построение показано на рис. 5,
где а + Ъ — диаметр окружности, СЕ = (а + fc)/2, CD =
= (а — Ь)/2, х = ED.
Методы геометрической алгебры применялись
древними и при решении двух основных типов квадратных
уравнений. Одна задача формулировалась так: необходимо
приложить к данному отрезку АВ прямоугольник,
равновеликий некоторой прямолинейной фигуре площади S,
35
/1
4
i
I
t,
С Л
/г
/
x
A
Л
?.
J?
p
Ри с. 7
Ри с. 8
так, чтобы «недостаток» был квадратом. Если обозначить
АВ = а и сторону квадрата, служащего недостатком до
полного прямоугольника, через х, то задача сведется
к решению уравнения (а — х) х = S. Такое приложение
площади получило название эллиптического, поскольку
эллипс (iWeityiQ) по-гречески недостаток.
Предварительно фигура S представлялась в виде
квадрата &2, затем применялась приведенная выше лемма.
Пусть АВ = а (рис. 6). Разделим А В точкой С пополам
и приложим прямоугольник ACLAX к отрезку DB.
Получим прямоугольник DBBXD. Тогда прямоугольник
ADGA± будет равен разности квадратов, построенных на
ВС и CD, т. е. Ъ2 = ах - х2 = (а/2)2 - {а/2 - х)2. Зная
Ь и С В = а/2, можно по теореме Пифагора найти
а/2 — х, а затем и х.
Задача имеет решение (действительное, конечно) не
при любых а и Ъ2. Евклид нашел ограничения, для чего
установил наибольшее значение выражения (а — х) х,
равное (а/2)2. Поэтому уравнение имеет решение, когда
S = Ъ2 < (а/2)2.
Таким же приемом решалась другая задача,
приводящая к квадратному уравнению: к данному отрезку
приложить прямоугольник, равновеликий некоторой
прямолинейной фигуре площади S, так, чтобы «избыток» над
прямоугольником был квадратом. В этой задаче идет речь
о приложении площади с избытком, избыток же
по-гречески — гипербола (отгерроХт]); такое приложение
площади называли гиперболическим. Квадратное уравнение
задачи: (а + х) х = S.
Лемма в этом случае записывается так: если отрезок
АВ разделен точкой С пополам и точка D находится на
продолжении АВ, то AD-DB = CD2 — СВ2.
Решение уравнения очевидно. Разделим отрезок АВ =
= а пополам точкой С и на отрезке PG построим прямо-
36
угольник PDJSfi, равный прямоугольнику ACLA1
(рис. 7). Тогда прямоугольник ADPA1 будет равновелик
разности квадратов CDDXC\ и LGBXC^. Эта разность и
квадрат LGB1C1 известны, поэтому по теореме Пифагора
можно получить CDD1C1. Затем определялись величины
DC = а/2 + х и BD = х.
Для сравнения рассмотрим одну задачу, решавшуюся
в школах, когда стандартным учебником по геометрии был
курс А. П. Киселева.
Решим задачу о нахождении стороны правильного
десятиугольника, вписанного в окружность радиуса а. Обозначим сторону
десятиугольника через х и обратимся к чертежу (рис. 8). Здесь АВ = х,
ОА = ОВ = а. Центральный угол АОВ равен 36°, /_ОАВ =
= /ЮВА = 72°. Проведем биссектрису угла ОАВ. Тогда /^ABN =
= /_BNA = 72°, поэтому AN = АВ = х. Но треугольник ANO
также равнобедренный, так как ?NOA = /_AON = 36°. Отсюда
AN = NO = х. Итак, ОА = а, АВ = х, NB = а — х.
Воспользуемся свойством биссектрисы внутреннего угла треугольника и
запишем а/х = а/(а — х). Это дает квадратное уравнение х2 -j- ax —
— а2 = 0. Решив его, получим
х = —а/2 ± У(а/2)2 + а2.
Возьмем только положительный корень, соответствующий решению
древних:
х = —а/2 + У(а/2)2 + а2.
Легко построить его. В самом деле, выражение |^(а/2)2 -j- a2
представляет собой гипотенузу треугольника с катетами а/2 и а.
Построим этот треугольник и из его гипотенузы вычтем отрезок а/2.
Остаток п/потенузы и даст сторону правильного десятиугольника,
вписанного в окружность радиуса а.
Приведенных примеров, вероятно, достаточно, чтобы
получить представление о геометрической алгебре
древних, изложенной в «Началах» Евклида.
7
Некоторые задачи с помощью геометрической алгебры
решал Архимед, который усовершенствовал ряд ее
методов.
Об Архимеде известно больше, чем об упомянутых выше
математиках. И это объясняется не только величием его
научного подвига, а и тем, что жил он в Сиракузах и
вынужден был письменно сообщать математикам
Александрии о своих открытиях; тексты посланий и некоторых его
сочинений сохранились и вошли составной частью в
сокровищницу науки. Исследователи пишут, что Архимед был
S?
не то родственником, не то другом и советником царя Гие-
рона, что способствовало его плодотворной деятельности*
Архимед родился ок. 287 г. до н. э. в Сиракузах;
начальное образование, по-видимому, получил у отца —
Фидия, привившего ему любовь к математике, астрономии,
механике. Затем он отправился в Александрию, где изучал
труды Евдокса, Евклида, других математиков. Здесь он
познакомился с астрономом и математиком Кононом Са-
мосским, его учеником Досифеем и математиком Эрато-
сфеном. С ними Архимед и вел научную переписку.
Личность Архимеда обросла легендами. Всем известна
история открытия закона о гидростатическом давлении,
когда Архимед, после внезапного озарения во время
принятия ванны, выбежал на улицу с криком «Эврика!»
Рассказывается, как он разоблачил ювелира, скрывшего
часть золота при изготовлении венца для царя Гиерона.,
Было и такое: по приказу Гиерона в подарок царю Египта
был построен роскошный корабль «Сиракосия»; все жители
города не могли спустить его на воду. Гиерон обратился
к Архимеду, и тот сконструировал машину, при помощи
которой Гиерон (или сам Архимед) одним движением руки
сумел выполнить необходимую работу. Все знают фразу
Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я подниму весь
мир», а также категорическое обращение к ворвавшемуся
в его дом завоевателю: «Не трогай моих чертежей!»
Но больше всего рассказов, связанных с обороной
Сиракуз. Однако здесь многое противоречиво, и авторы
давних и последующих описаний вступают в полемику,
приводя различные аргументы. Оставим споры на долю
историков науки, нас интересует как бы обобщенный
образ Архимеда. А его роль в том историческом эпизоде
ясна: он организовал длительную оборону Сиракуз.
Определенно также и то, что погиб он в 212 г. до н. э. от
руки римлянина после падения города в день Артемиды.
По желанию Архимеда, на его могильной плите были
высечены цилиндр и вписанный в него шар с указанием
соотношения между их объемами. Могила Архимеда
затерялась. Ее через 150 лет с трудом нашел в зарослях
кустарника в Сицилии ставший квестором Цицерон.
Деятельность Архимеда чрезвычайно многообразна:
конструирование и руководство постройкой
оборонительных машин, руководство обороной Сиракуз, исследования
по статике и гидростатике, оптике, астрономии,
математике. Основным объектом его исследований была математика,
в ней он достиг высочайших для своего времени вершин.
38
Как уже упоминалось, о полученных результатах Архимед
сообщал александрийским математикам. Поражает не
только глубина мысли, но и стиль посланий, создается
впечатление, будто разговаривает с тобой современник и
не прошло двух с лишним тысячелетий.
Архимед широко пользовался методом исчерпывания
Евдокса и получил значительные результаты при
вычислении площадей фигур, объемов и поверхностей различных
тел. Тем самым он заложил основы интегральных методов.
Во второй книге сочинения «О шаре и цилиндре»
Архимед рассмотрел задачу о рассечении шара плоскостью
так, чтобы объемы полученных частей имели заданное
отношение т : п (т^> п).
Задача сводится к уравнению третьей степени.
Воспользуемся формулой для вычисления объема шарового
сегмента и = nh2 (г — йУЗ), где г — радиус шара, h — высота
сегмента.
Если обозначить высоту большего сегмента через х,
то получим
я*2 (г —я/3) , ЗЛ- — х3
Ц '—1 = т/п, : = т п,
п (2г - х)* [г - —д—) 3 -~— (2г - xf
Зх2г — Xs = — (4г3 — Згх2 + х3),
HLx* + x*-3r — x2-3x2r + 4 -^-r3 = 0,
п п п
(i + l)a5._3r(-2. + l)x. + 4-2-r3 = 0.
Архимед также свел задачу к кубическому уравнению,
сформулировав ее так: отрезок DZ (рис. 9) с точками на
нем В и Т разделить точкой X так, чтобы выполнялась
пропорция DB2 : DX2 = XZ : TZ.
В этой пропорции DB = Ъг — диаметр шара, BZ = r
откладывается на продолжении диаметра, DX = х —
высота большего сегмента. Если отношение объемов
сегмента равно m : тг, то величина TZ задается равенством
TZ = mrl{m + п).
Таким образом, пропорция Архимеда дает уравнение
4г2 ; х2 = (За — х) : mr/(m + п)ь
Для удобства анализа переформулируем задачу:
необходимо разделить заданный отрезок а на части х и а — х
так, чтобы выполнялась пропорция (а — х) : с = S l х2,
где с и S — известные отрезок и площадь,
39
Архимед заметил, что положительные решения будут не
при любых значениях с и 5, и указал, что изложит полное
исследование «в конце», но это место впоследствии было
утрачено. Комментаторы Архимеда Диокл (II в. до н. э.)
и Дионисодор (III —II вв. дон. э.) через сто лет после
Архимеда, не зная его решения,
изложили свои результаты
более громоздко, без анализа
общего случая.
В Т Z Лишь в VI в. коммента-
о о—
тор Евтокий обнаружил
утраченное место сочинения.
Оказалось, что Архимед
решал задачу с помощью двух
конических сечений,
получаемых из основной пропор-
9\
О
Л
7
^f\
/L К /
у
И
7 '
Р и с. 10 Р и с. 11
ции: параболы 5 (кара$о\г\) у = х2/р и гиперболы
у = cb/(a — х) (здесь S = pb).
Для отыскания условий существования положительных
решений он рассмотрел кубическое уравнение х2 (а — х) =
= Sc, которое дано в словесной формулировке как
соотношение между объемами. Положительные корни у этого
уравнения будут, когда Sc ^ max х2 (а — х), 0 ^ х ^ а.
Решения уравнения отыскивались как абсциссы точек
пересечения указанных выше параболы и гиперболы.
Возможны три случая: 1) кривые не имеют общих точек,
2) имеют две точки пересечения, 3) имеют одну общую
точку. В последнем случае они будут соприкасаться в этой
точке.
Архимед доказал, что если кривые при некотором
значении пересекаются, то экстремума в этой точке не будет;
он достигается в том случае, когда кривые соприкасаются
40
и имеют общую касательную. Изобразим параболу и
гиперболу, имеющие общую касательную в точке М
(рис. 10). Парабола проходит через начало координат,
гипербола расположена выше ее. Вертикальная прямая,
проходящая через точку А (ее уравнение х = а),—
асимптота гиперболы. Из свойства касательной к гиперболе
следует, что MN = ML, а из свойства касательной к
параболе: МК = OD.
Эти свойства греческим математикам были известны.
Современными средствами анализа они доказываются
элементарно. Найдем кривые, отрезки касательных к которым,
заключенные между осями координат, в точках касания
делятся пополам. Для решения задачи составим
дифференциальное уравнение и проинтегрируем его. Выберем на
искомой кривой произвольную точку М (х, г/), проведем
через нее касательную к кривой и составим уравнение,
связывающее координаты точки М (х, у) с углом ф,
образованным касательной с осью Ох (рис. 11).
Известно, что угловой коэффициент касательной
к кривой в данной точке равен значению производной
функции в этой точке, поэтому dy/dx = —у/х. Знак «минус»
взят из-за того, что отношение у/х равно тангенсу угла
я — ф, а не угла ф.
Проинтегрируем полученное уравнение:
dyly = —dxlx, \ dyly = — J dxlx -f In C,
In у = —In x + In C, In у = In C/x, у = Clx.
Итак, указанным свойством обладают гиперболы
семейства у = Clx, где С — произвольная постоянная.
Докажем теперь, что касательная к параболе у = ах2
отсекает на оси Оу отрезок, длина которого равна ординате
точки касания. Проведем касательную через точку xot
г/0 = ах*. Уравнение касательной к кривой имеет вид
у — г/0 = /' (х0) (х — х0). В нашем случае /' (х) = 2ахх
J \%0/ = ACLXq,
у — г/о = %ахо (х — хо)% у — axl = 2ах0 (х — х0)«
Положим в этом уравнении х = 0 и найдем отрезок, о!ч
секаемый касательной на оси Оу: у — ах0 =¦ —2ах\, у =
= — ах\. Итак, на рис. 10 будет MN = МЬЪ МК = OD,
При этом LK = КА и OL = LK. Значит,
OR = 204/3 - 2а/3, max x2 {a - х) = 4а3/27.
41
Условия существования положительных корней
уравнения состоят в следующем: 1) если Sc < 4а3/27, то
существуют два корня; 2) если Sc = 4а3/27, то имеется один
корень (двукратный, по современной терминологии);
3) если Sc > 4а3/27, то корней нет.
Легко составить числовой пример приложения метода
Архимеда. Дана сфера радиуса г = 3 с центром в точке К
и горизонтальным диаметром DB (см. рис. 9). Отложим
на продолжении диаметра отрезок 5Z, равный радиусу,
так, что DZ = Зг. Проведем через точку X вертикальную
плоскость так, чтобы объем сегмента ADC относился
к объему сегмента ABC как т : п. Допустим, что т : п =
= 2. Основная пропорция Архимеда при этом запишется
в виде
DB2 : DX2 = XZ : TZ,
где TZ = тг/(т + и), TZ = 2-3/3 = 2,
Введем обозначения Ъ = BD = 6, а = DZ = 9, с =
= TZ = 2. Тогда получим Ъ2 : х2 = ( а — х) : с, где х —
высота большего сегмента ADC. Подставим в уравнение
числовые значения а, Ь, с: 36 : х2 = (9 — х) : 2.
Приравняем полученные отношения некоторой величине,
содержащей г/, например dly, где d — произвольная константа.
Возьмем, например, d = 12. Получим два уравнения:
36 ; х2 = 12 : г/, т. е. у = х2/3,— уравнение параболы и
(9 — х) ; 2 = 12 ; г/, т. е, у = 24/(9 — ж),— уравнение
гиперболы.
В данном примере Sc = 72, а = 9, 4а3/27 = 108,
Sc < 4а3/27, поэтому уравнение имеет два
положительных корня. Один из корней уравнения примерно равен
3,68.
Архимед решал и другие задачи, приводящие к
кубическим уравнениям. В книге «О коноидах и сфероидах» 6
рн доказал теоремы, с помощью которых можно решать,
например, такие задачи: от данного коноида или сфероида
отсечь плоскостью, параллельной данной, сегмент,
равновеликий данному конусу, цилиндру или шару. В
случае тупоугольного коноида получается уравнение х2 (а +
+ х) = Sc. Архимед проанализировал и решил его.
Упомянем здесь же сформулированную Архимедом
практически неразрешимую «Задачу о быках»: «Сколько
у Солнца быков, найди для меня, чужестранец...»
Необходимо было определить количество темных, светлых,
коричневых и пестрых быков и коров в стаде бога Солнца
Гелиоса, удовлетворяющее 9 условиям. Задача сводилась
52
к нахождению целого решения неопределенного уравнения
х2 — 4729494г/2 = 1, относящегося к классу уравнений
Пелля 7. Впоследствии было установлено, что число коров
и быков 7766-10206541; для записи восьми чисел,
выражающих число коров и быков разных мастей, понадобился бы
том в 660 страниц, на каждой из которых должно быть
2500 цифр.
8
Третий великий математик античности — Аполлоний
Пергский (вторая половина III в. до н. э.— первая
половина II в. до н. э.) жил и работал в Александрии.
Основное его сочинение — «Конические сечения» в восьми
книгах, из которых первые четыре дошли до нас в оригинале,
следующие три — в арабском переводе Сабита ибн Корры,
восьмая книга утеряна. Аполлоний средствами
геометрической алгебры завершил разработку теории конических
сечений. Он ввел и употребляемые нами названия их —
эллипс, гипербола, парабола — и доказал, что эти кривые
совпадают с триадами Менехма 8.
Одна существенная деталь. С помощью конических
сечений греческие математики, в том числе Архимед,
решали кубические уравнения. Такое же употребление
нашли они у более поздних античных геометров и
арабских математиков. Но нигде более конические сечения
долгое время не находили приложений. Теория конических
сечений была разработана греческими математиками как
бы впрок, на далекое будущее. И в самом деле, лишь
в XVII в. П. Ферма (1601—1665) и Р. Декарт (1596 —
1650) изложили идеи Аполлония на языке алгебры в
созданной ими аналитической геометрии, И. Ньютон (1643 —
1727) применил методы Аполлония для описания кривых
третьего порядка, а в «Математических началах
натуральной философии» широко пользовался ими.
Раньше этого конические сечения стали применяться
в механике земных и небесных тел. И. Кеплер (1571 —
1630) установил, что планеты обращаются вокруг Солнца
по эллиптическим орбитам, Г. Галилей (1564—1642) —
что брошенные камень или снаряд перемещаются по
параболическим траекториям.
В непосредственно интересующую нас теорию
уравнений Аполлоний сделал значительный вклад. Известны три
проблемы Аполлония, приводящие к квадратным
уравнениям. Формулируются они так.
43
Имеются две пересекающиеся прямые Ох и Оу (рис. 12). Через
данную точку А необходимо провести прямую так, чтобы: 1)
отсекаемые этой прямой отрезки на Ох и Оу имели данное отношение;
2) построенный на этих отрезках прямоугольник был равновелик
данному квадрату. Первая задача называлась сечением «в
отношении», вторая — сечением «в площади». Обозначим координаты
точки А и отрезки: OD = 6, OF = с, DM = х1
FN = у. По условию, OD-ON = а2. Из
подобия треугольников AMD и NAF полу-
чим ху = а2.
Первая задача
к системе
а
Ъ + х _
с+ У ~
вторая к
(Ъ + х) (с
т
= ~7Г'
+ у)
Аполлония
ху =
= к\
= <*8,
ху
приводится
= а2.
—A /J Обе системы дают квадратные уравнения.
|\ Третья задача Аполлония — «пробле-
J \ ма определенного сечения»; на прямой
j \ у даны четыре точки А, В, С, D. Необходимо
¦ V >. найти пятую точку X так, чтобы отноше-
I) \ *г ние площади прямоугольника,
построенного на ХА и ХВ, к площади прямоуголь-
Рис. 12 ника, построенного на ХС и XD, было
равно отношению т к п, т. е. чтобы
выполнялась пропорция
(х — а) (х — b) m
, v ,— ,v = —, которая дает квадратное уравнение
п (х — а) (х — Ъ) = т (х — с) (х — d).
Творчеством Аполлония завершилось развитие
дедуктивной математики в Греции. Вслед за этим наступил
длительный период упадка.
Так начиналось «строительство» теории уравнений,
которые дали стимул развитию алгебры будущего и
возбуждали умы математиков многих последующих
поколений. А о том, как характеризуется математика того
времени, образно сказал М. Клайн: «Математики Древнего
Египта и Вавилона, заложившие первые камни своей
науки, не имели ни малейшего представления о том, какое
здание они возводят. Поэтому они не стали рыть глубокий
котлован под фундамент, а начали закладывать его прямо
на поверхности земли. В те давние времена земля казалась
им достаточно прочным основанием, и материал, с которым
они начали строительство,— факты о числах и
геометрических фигурах — был взят из повседневного земного
опыта. Чисто земное происхождение математики нашло
отражение в постоянно используемом нами термине
«геометрия», что означает землемерие.
44
Однако, когда здание математики начало расти,
выяснилось, что все сооружение достаточно шатко и что,
надстраивая новые этажи, можно превратить в руины и то,
что было создано раньше. Греки классического периода
не только заметили грозящую опасность, но и произвели
необходимую реконструкцию. С этой целью они приняли
две меры. Во-первых, выбрали на поверхности земли
узкие полосы прочного грунта, на которых, как им
казалось, не страшно возводить стены. Такими опорными
полосами стали самоочевидные истины о пространстве и
целых числах. Во-вторых, греки укрепили каркас здания
стальной арматурой — роль «стали» здесь играло
дедуктивное доказательство каждого нового факта.
Здание античной математики — структуры, состоящей
в основном из евклидовой геометрии,— оказалось вполне
устойчивым. Правда, в нем обнаружился один досадный
дефект. Дело в том, что длины некоторых отрезков
выражаются иррациональными числами: например, длина
гипотенузы равнобедренного прямоугольного
треугольника с единичными катетами равна иррациональному
числу У 2. Но греки признавали только обычные целые
числа и их отношения; поэтому они не могли допустить
существование таких величин, как ]/"2. Греки решили
возникшую проблему, попросту изгнав иррациональные
числа: они отказались считать ]/ 2 «числом», а
следовательно, отказались и от идеи сопоставлять любым длинам,
площадям и объемам численные значения. Тем самым
греки не внесли никаких дополнений в арифметику и
алгебру целых чисел, которые можно было бы включить
и в структуру геометрии. Правда, некоторые ученые
александрийского периода (в первую очередь Архимед)
производили арифметические действия над
иррациональными числами, но эти результаты не были включены в
канонический свод знаний, составляющих логическую
структуру математики» [29, с. 355].
«Арифметика» Диофанта
1
Творчество Евклида, Архимеда и Аполлония знаменовало
период расцвета античной математики. После него
наблюдается спад — новые исследования не проводились,
дело сводилось в основном к переработке знаний, полу-
45
ченных ранее. Это и понятно: приложение старых методов
к более сложным задачам не могло дать положительных
результатов. Требовалась иная методология, нашедшая
воплощение через 18 веков в аналитической геометрии и
обеспечившая дальнейшее поступательное движение
математики.
В «Истории математики» упоминается Диокл (Диоклес,
II в. до н. э.), который предложил свое решение задачи
Архимеда о делении шара в данном отношении, применил
конхоиду Никомеда к задачам о трисекции угла и удвоения
куба, а также ввел алгебраическую кривую третьего
порядка — циссоиду. Упоминаются еще жившие до н. э.
Зенодор и Гипсикл, творчество которых лежит вне темы
нашей книги.
Но и такие исследования в I в. до н. э. прекратились
из-за разрушительных войн — создавалась Римская
империя. В 212 г. до н. э. римляне завоевали Сиракузы,
в 146 г.— Карфаген, тогда же — всю материковую
Грецию, в 64 г.— Месопотамию, в 30 г. — Египет. В 133 г.
до н. э. римляне присоединили Пергамское царство и
распространили свое господство на Малую Азию.
Эллинистические государства теряли самостоятельность и были
низведены до положения колоний.
По мнению римлян, наукой должны были заниматься
грекули (гречишки), как презрительно называли греков
римляне, и другие порабощенные народы. И все же после
некоторого упадка Александрия со знаменитым Мусейоном
вновь ожила и оставалась в первые века н. э., как и
прежде, научным и культурным центром древнего мира. Если
раньше Мусейон прославили Евклид, Аполлоний, Эра-
тосфен (276—194 до н. э.), то теперь в нем работали
знаменитые Герон Александрийский (I в. н. э.), Клавдий
Птолемей (ок. 100—178), Диофант.
И все же комментирование и компилирование древних
авторов становилось основным видом деятельности. Но
это сыграло в историческом развитии и положительную
роль: многие результаты античных математиков и
астрономов дошли до нас именно в работах компиляторов.
Отсутствие новых результатов и движения вперед
объяснялось также и геометрическим образом мышления,
отказом от алгебраических представлений. И если при
соблюдении традиции преподавания, существовавшей раньше и
состоявшей в разъяснении учителем существа вопроса
ученикам, усвоение геометрии шло успешно, то
самостоятельное изучение трудов древних авторов становилось не-
46
посильным. Трудности геометрии сделали ее изучение
особой наукой. В связи с этим Никомах (конец I в. н. э.)
во «Введении в арифметику» писал: «Учение о пропорциях
необходимо для естествознания, теории музыки,
сферической тригонометрии и планиметрии, но всего более для
изучения древних».
2
И вот на фоне упадка античной математики необъяснимой
загадкой встает творчество Диофанта. Загадкой не только
в количественном смысле, но и в качественном — Диофант
нарушил геометрическую традицию эллинов и возродил
и развил алгебру, основы которой заложили египтяне и
вавилоняне. И еще один штрих — исследователи
творчества Диофанта единодушны в мнении, что на пустом месте
оно развиваться не могло — слишком глубоки и необычны
достижения Диофанта. Но установить предшественников
его не удалось. Все сходятся на том, что в творчестве
Диофанта несомненно просматривается влияние
алгебраических работ древних египтян и вавилонян. А что еще,
остается неизвестным.
Слишком много загадок. Время жизни Диофанта также
очерчено приблизительно — III в. н. э., а расцвет
творчества его — середина III в. Из тринадцати книг
основного труда Диофанта «Арифметики» нам известны шесть *.
Особенность «Арифметики» состоит в постановке и
оригинальном решении новых алгебраических задач, а также
в применяемой Диофантом символике. В предисловии
к книге Диофанта И. Г. Башмакова пишет: «Диофант был
последним великим математиком античности. Вместе с тем
он был одним из первых создателей алгебры,
основывающейся не на геометрии (как это было у Евклида, Архимеда
и Аполлония), а на арифметике. Именно Диофант ввел
отрицательные числа и пользовался буквенной
символикой. Можно утверждать, что его произведения оказали
столь же определяющее влияние на формирование
буквенной алгебры, как и творчество Архимеда на создание
дифференциального и интегрального исчисления. Но не
одна только алгебра восходит к Диофанту. «Арифметика»
Диофанта послужила отправным пунктом для теоретико-
числовых исследований Ферма и Эйлера, особенно же для
развития теории неопределенных уравнений, которые
получили в честь их создателя имя диофантовых» [23, с. 3].
Диофант ввел обозначения неизвестного, его первых
шэсти положительных и отрицательных степеней, сформу-
47
лировал правила действий над степенями, в
промежуточных выкладках применял отрицательные числа,
интерпретируемые как «недостатки», указал правила действий с
отрицательными числами, высказал правила приведения
подобных членов и прибавления к обеим частям
уравнения одного и того же числа. Эти правила впоследствии были
в употреблении у арабских математиков и математиков
Западной Европы под названиями «алджебр» и «алмука-
бала».
Все это составило введение к книге I «Арифметики».
Диофант пишет: «(I) Все числа, как ты знаешь, состоят из
некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются,
увеличиваясь до бесконечности. Так вот, среди них находятся:
квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа
самого на себя; это же число называется стороной квадрата;
затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их
сторону,
далее квадрато-квадраты от умножения квадратов самих на
себя,
далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата
на куб его стороны,
далее кубо-кубы от умножения кубов самих на себя.
Из них при помощи сложения, вычитания, умножения или
нахождения отношения между собой или каждого с собственной
стороной составляются многочисленные арифметические задачи; решение
же их получается, если ты пойдешь путем, который будет указан
дальше» [23, с. 37, 38].
Диофант назвал неизвестное числом (dptGfxos 2) и
обозначил ?, квадрат неизвестного — Av (две первые буквы
слова Sovafxts — динамис, что означает силу, степень,
у древних греков — квадрат), куб неизвестного — Kv
(первые две буквы слова х^ос — куб), четвертую
степень — AAV (&va[xo66va[Jitc — квадрато-квадрат), пятую — ДК^
(дьш{1охи$ос, — квадрато-куб), шестую — KVK (%o$oxufio<;—
кубо-куб), свободный член — М° (первые две буквы слова
p-ovac, что означает единицу).
Вслед за определением положительных степеней неизвестного
Диофант пишет: «(III) Подобно тому как для чисел одноименные
части получают названия, схожие с этими числами, например для
трех будет треть, для четырех — четверть, так и теперь для
вышеназванных чисел подобноименные части получают названия,
соответствующие этим числам:
для числа арифметичная,
для квадрата квадратичная,
для куба кубичная,
для квадрато-квадрат а квадрато-квадратичная,
для квадрато-куба квадрато-кубичная,
для кубо-куба кубо-кубичная.
И каждая из них над знаком подобноименного числа будет иметь
знак ft для различения вида» [23, с. 38].
48
Затем Диофант дает правила умножения степеней:
«Число, умноженное на число, производит квадрат, на
квадрат — куб, на куб—квадрато-квадрат... Квадрат же
на квадрат — квадрато-квадрат, на куб — квадрато-куб,
на квадрато-квадрат — кубо-куб. Куб же на куб — кубо-
куб» [23, с. 39].
Относительно неизвестного и его степени, взятой с
некоторым коэффициентом (такое произведение Диофант
называет видом), даются определения: «(V) Всякое число,
умноженное на одноименную ему часть, производит еди-
пяцу.
(VI) Так как единица остается всегда неизменной, то
умноженный на нее вид остается тем же видом» [23, с. 39].
Таким образом, определены действия: х-х'1 = 1, ах11-
•1 = ахп. А это, по современной терминологии,—
групповые свойства операции умножения.
После определений (V) и (VI) даются правила действий
над степенями с отрицательными показателями:
1 1 1
X ' X X2 '
1 1 _ 1
X * ХЬ XQ '
1 _ 1
X* X 7
1 3
х2 ' Х Х1 * ' *
1
т _^_ Тт-п
X
т + п<^6.
11 1
X ' X2 X3 ' * '}
1 1
^_^ ху»Л rp sytO —— /V»2
х г х 7
, —г • ?6 = я4 и т. д., т. е.
11 1 ^fi
хт ' хп ~ хт+п ' т^ '
,., — х6 = х5;
X '
хт-хп=хт+п
?г<6,
Определением (IX) Диофант аксиоматически вводит
отрицательные числа: «Недостаток, умноженный на
недостаток, дает наличие; недостаток же, умноженный на
наличие, дает недостаток; знак же недостатка я|э (пси)
укороченное и опрокинутое вниз: Д».
Даже не верится, что из такой дали могло пойти наше
совсем недавнее школьное: «минус на минус — плюс, плюс
на минус — минус».
Хотя в определении (I) Диофант рассматривает числа
как совокупности единиц, следовательно, только целые
положительные числа, в своих действиях он пользуется
отрицательными числами, а решения задач отыскивает
в области положительных рациональных чисел. Он,
кроме того, упоминает и об иррациональных числах: в задаче
49
9 книги IV, например, получив 35х2 = 5, указывает, что
«х не рационально, так как отношение одного вида к
другому не будет отношением двух квадратных чисел».
При записи уравнений Диофант пользуется знаком
равенства, который обозначает буквой ь (первая буква
слова iaoQ — равно). Знака сложения у него нет, все
члены уравнения пишутся рядом: сначала в каждом члене
указывается степень неизвестного, затем коэффициент;
перед всеми отрицательными членами ставится знак минус.
Например, уравнение х3 + 8х — (5х2 + 1) = х в
символах Диофанта запишется:
Здесь греческие буквы с чертой наверху обозначают числа
(1, 2г 3, 4, например, будут изображаться: а, [$, у, б).
Свои пояснения во введении Диофант завершает так:
«(XI) После этого, если в какой-нибудь задаче получится
равенство одних видов таким же, но в неравном
количестве, то в каждой из частей равенства нужно отнять
подобные от подобных, пока один вид не станет равен тоже
одному виду. Если же в какой-нибудь части имеется
наличие, а в обеих недостатки некоторых видов, то к обеим
частям надо прибавлять недостающие, пока в каждой части
не останутся только находящиеся в наличии виды, а
затем отнимать подобные от подобных, пока в каждой части
не останется по одному виду... потом мы покажем тебе, как
получается решение, если один вид будет равен двум
оставшимся.
Теперь мы перейдем к задачам, в которых собрано
большое количество предложений относительно видов.
Поскольку они имеются в очень большом числе и требуют
много труда, то они медленно усваиваются и
запоминаются учащимися; я постарался распределить все
содержащееся так, чтобы вна^ле находились элементарные и от
более простых совершался переход к более трудным, как
и полагается. Так облегчится путь начинающим и
запомнится его развитие, и все сочинение будет изложено
в тринадцати книгах» [23, с. 40, 41].
Однако, как пишется в «Истории математики», «... сколь
ни удивительны перемены в построении алгебры, еще более
поражает круг проблем, которые ставит и решает Диофант
и которые до сих пор носят его имя» [26, с. 146].
50
3
В «Арифметике» 189 задач, каждая снабжена одним или
несколькими решениями. Задачи ставятся в общем виде^
затем берутся конкретные значения входящих в нее
величин и даются решения.
Задачи книги I в большинстве определенные. В ней
имеются и такие, которые решаются с помощью систем
двух уравнений с двумя неизвестными, эквивалентных
квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант
выдвигает условие, чтобы дискриминант был полным
квадратом. Так, задача 30— найти таких два числа, чтобы
их разность и произведение были заданными числами,—
приводится к системе
х — у = а,
х = Ь.
Диофант выдвигает «условие формирования)): требуется,
чтобы учетверенное произведение чисел, сложенное с
квадратом разности их, было квадратом, т. е. 46 -f a2 = с2.
В книге II решаются задачи, связанные с
неопределенными уравнениями и системами таких уравнений с 2, 3, 4,
5, 6 неизвестными степени не выше второй.
Диофант применяет различные приемы. Пусть
необходимо решить неопределенное уравнение второй степени
с двумя неизвестными /2 (х, у) = 0. Если у него есть
рациональное решение (х0, */0), то Диофант вводит
подстановку
X = Xq -р tf
У = Уо + kt,
в которой к рационально. После этого основное уравнение
преобразуется в квадратное относительно ?, у которого
свободный член /2 (х0, у0) = 0, Из уравнения получается
tx = 0 (это значение Диофант отбрасывает)3 Ц —
рациональное число. Тогда подстановка дает рациональные хжу.
Этому методу можно дать простое геометрическое
толкование. Уравнение /2 (х? у) = 0 задает кривую второго
порядка, рациональному решению (х0, у0) соответствует
точка кривой с рациональными координатами.
Применяемая Диофантом подстановка определяет прямую у — у0 =
= к (х — х0), проходящую через точку (#0, у0) и имеющую
угловой коэффициент А* Прямая пересечет кривую второго
51
порядка в некоторой точке иъ имеющей также
рациональные координаты. Меняя величину /с, будем получать
другие рациональные точки кривой. Между
рациональными значениями углового коэффициента к и рациональными
точками кривой существует взаимно однозначное
соответствие. Отсюда следует, что параметр t представляет собой
рациональную функцию fc, поэтому рациональными
функциями к будут также х и г/. Значит, располагая одним
рациональным решением уравнения /2 (х, у) = 0, можно
получить их бесчисленное множество. Диофант находил
одно решение, соответствующее определенному значению
параметра &, но представлял, что уравнение имеет
бесчисленное множество решений, на что указывал в некоторых
задачах.
В случае, когда задача приводилась к уравнению
у2 = ах2 + Ъх + с, очевидно рациональное решение х0 =•
= 0, г/о = ic- Подстановка Диофанта выглядит так:
х = t,
у = kt+ с.
Другим методом при решении задач книги II Диофант
пользовался, когда они приводили к уравнению у2 =
= а2х2 + Ъх + с. Он делал подстановку
х = t,
у = at + к,
после чего хну выражались рационально через параметр
к:
с — к2 с — к2 , 7
Х= Zak-b ' У = аЪгк=Т + к*
Нетрудно заметить, что употребляемые Диофантом
подстановки совпадают с известными подстановками
Эйлера, применяемыми при вычислении интегралов
R (xf У ах2 + Ъх + с) dx. На это обратил внимание датский
математик Г. Г, Цейтен (1839—1920).
Диофант, по существу, применял теорему, состоящую
в том, что если неопределенное уравнение имеет хотя бы
одно рациональное решение, то таких решений будет
бесчисленное множество, причем значения х иг/ могут быть
представлены в виде рациональных функций некоторого
параметра.
52
В книге II есть задачи, решаемые с помощью «двойного
неравенства», т. е. системы
ах + Ъ = и2,
сх + d = v2.
Диофант рассматривает случай а = с, но впоследствии
пишет, что метод можно применить и при а : с = т2.
Когда а = с, Диофант почленным вычитанием одного
равенства из другого получает и2 — v2 = Ъ — d. Затем
разность Ъ — d раскладывается на множители Ъ — d = nl
и приравнивает и + v = Z, и — у = тг, после чего
находит
и = (I + Л)/2, v = (I - п)/2, х = (I2 + п2)/4а - (Ь +
+ d)l2a.
Если задача сводится к системе из двух или трех
уравнений второй степени, то Диофант находит такие
рациональные выражения неизвестных через одно неизвестное
и параметры, при которых все уравнения, кроме одного,
обращаются в тождества. Из оставшегося уравнения он
выражает основное неизвестное через параметры, а затем
находит и другие неизвестные.
Методы, разработанные в книге II, Диофант применяет
к более трудным задачам книги III, связанным с
системами трех, четырех и большего числа уравнений степени не
выше второй? Он, кроме того, до формального решения
задач проводит исследования и находит условия, которым
должны удовлетворять параметры, чтобы решения
существовали.
В книге IV встречаются определенные и
неопределенные уравнения третьей и более высоких степеней. Здесь
дело обстоит значительно сложнее, потому что, вообще
говоря, неизвестные невозможно выразить как
рациональные функции одного параметра. Но, как и раньше, если
известны одна или две рациональные точки кубической
кривой /3 (х, у) = 0, то можно найти и другие точки.
Диофант при решении задач книги IV применяет новые
методы*
Книга V содержит наиболее сложные задачи; некоторые
из них решаются с помощью уравнений третьей и
четвертой степеней от трех и более неизвестных. Есть и такие,
в которых требуется разложить данное целое число на
сумму двух, трех или четырех квадратов, причем эти
квадраты должны удовлетворить определенным неравенствам.
53
При решении задач Диофант дважды рассматривает
уравнение Пелля 3 ах2 -\- I = у2.
Задачи книги VI касаются прямоугольных
треугольников с рациональными сторонами. К условию х2 + У2 =
= z2 в них добавляются еще условия относительно
площадей, периметров, сторон треугольников.
В книге VI доказывается, что если уравнение ах2 +
-{- ъ = у2 имеет хотя бы одно рациональное решение, то
их будет бесчисленное множество. Для решения задач
книги VI Диофант применяет все употребляемые им
способы, К книге VI Ферма сделал наибольшее количество
своих знаменитых теоретико-числовых замечаний.
4
А теперь в меру возможностей обратимся к
первоисточнику.
Вот задача 1 книги I. «Заданное число разложить на два числа,
имеющие данную разность.
Пусть заданное число будет 100, а разность 40. Определить эти
числа».
Диофант принимает меньшее число за х, тогда большее будет
х + 40; сумма их 2х + 40. Ее надо приравнять 100, т. е. 100 равно
2х + 40. «Из подобных вычитаем подобные: из 100 вычитаем 40;
в остатке будет 2ж, равное 60; тогда каждое х равно 30». Диофант
заключает: «Наименьшее число будет 30, а большее 70;
доказательство очевидно».
Не стоит убеждать читателя, знакомого с уравнениями,
что тут все крайне просто. И особенного ничего в этом нет:
ведь сам Диофант постулировал принцип от простого
к сложному. Однако не будем следовать этому принципу,
пропустим все задачи книги I и обратимся сразу к
знаменитой задаче 8 книги II о разбиении данного квадрата на
два квадрата, т. е. решении неопределенного уравнения
хг + у2 = z2. Она знаменита тем, что именно к ней П.
Ферма записал свое замечательное примечание на полях
«Арифметики»: «Наоборот, невозможно разложить ни куб
на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще
никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем
же показателем. Я открыл этому поистине чудесное
доказательство, но эти поля для него слишком малы» [23,
с. 197]. Это утверждение, как известно, получило
название большой, или великой теоремы Ферма, сыгравшей
в развитии математики выдающуюся роль.
Напомним еще раз, что греки до Диофанта
рассматривали неопределенные уравнения х2 + у2 = z2 их2 — ау2 =
54
*= 1. Решение первого получили пифагорейцы в виде
х = (т2 — 1)/2, у = т, z = (т2 + 1)/2, т — нечетное
число. Решение второго для а = 2 дал в «Началах»
Евклид. Предполагается, что при произвольных а им
занимался Архимед, поставивший перед Эратосфеном и
другими александрийскими математиками задачу о быках,
Итак, вот задача 8 книги II: «Заданный квадрат разложить на
два квадрата.
Пусть надо разложить 16 на два квадрата. Положим, что первый
равен х2\ тогда второй будет 16 — х2\ следовательно, 16 — х2 тоже
равно квадрату». Таким образом, должно быть 16 — х2 = а2.
Диофант дальше поступает так. Он образует сторону этого квадрата из
нескольких х минус столько единиц, сколько содержится в стороне 16.
Для определенности он полагает 2х — 4, что в квадрате дает
Ах2 — 16х + 16. Приравняем зто выражение 16 — х2, прибавим
(по Диофанту) к обеим частям входящие в них отрицательные
члены и выполним приведение подобных. Останется Ъх2 = 16я, х = 16/5*
Квадраты будут 256/25 и 144/25. Их сумма 400/25 = 16.
Диофант приводит и другое решение: берет сторону первого
квадрата за х, а второго, как и в предыдущем случае, за 2х — 4.
Сумма квадратов должна равняться 16, т. е. х2 + 4я2 — 16х -f- 16 =
= 16. Это дает Ъх2 = lQx и х = 16/5, 2х — 4 = 12/5. Квадраты:
256/25 и 144/25.
Соответственно тому, что было сделано выше, дадим
геометрическое толкование. Уравнение х2 + у2 = а2 определяет окружность
радиуса а. Очевидны рациональные решения его (0, ^Ь а). Диофант
делает подстановку
X = ?, у = Ы — Я,
где к = 2. Она означает, что через точку (0, —а) проводится прямая
с угловым коэффициентам к. Она пересечет окружность в точке,
координаты которой будут рациональными функциями к, В самом
деле, получим
гг + (Ы __ а)2 = а2? х= t= 2ak/(k2 + 1),
y = kt — a = a(k2 — 1)/(к2+ 1).
В результате установлено разложение а2 =
= [2ак/{к2 + I)]2 + [а {к2 - 1)/(Аа + I)]2, которому
можно придать вид (к2 + I)2 = (2/с)2 + (к2 — I)2. Это
равенство было известно еще во времена Платона. Его
применяли при отыскании прямоугольных треугольников,
стороны которых выражаются целыми числами t Положим
к = 2 и найдем треугольник со сторонами 3, 4, 5; к = 3
дает треугольник со сторонами 6, 8, 10; к = 4 приводит
к 8, 15, 17; к = 5 дает 10, 24, 26 и т. д. 4
В книге II Диофант не указывает, что число решений
будет бесконечным. В задаче 19 книги III рн до этому
поводу пишет: «.., мы знаем^ что разложение данного квад-
55
рата на два квадрата можно производить бесконечным
числом способов».
Как бы продолжая эту мысль, Диофант решает задачу
19 книги IV: «Найти три числа в неопределенной форме,
такие, чтобы произведение любых двух вместе с единицей
давало квадрат». Он находит числа х, х + 2, 4х + 4 и
заключает: «Итак, в неопределенной форме решена задача,
как сделать, чтобы произведение любых двух чисел [из
трех] вместе с единицей давало квадрат, и х будет таким,
каким мы захотим. Искать в неопределенной форме,
значит получить такую подстановку, чтобы условия
удовлетворялись, если подставить такое х, какое мы
захотим».,
5
Даже такого ограниченного по объему материала, который
изложен в этой книге, достаточно, чтобы понять,
насколько разителен контраст между алгеброй египтян и
вавилонян и алгеброй Диофанта, какой огромный путь прошла
в своем развитии вся математика. Если египтяне и
вавилоняне решали задачи на измерение площадей, емкостей,
раздел имущества, то у Диофанта в первых пяти книгах
все задачи лишены конкретного жизненного содержания,
а касаются только свойств чисел. Задачи же книги VI
связаны с прямоугольными треугольниками и также не носят
прикладного характера.
Евклид, Аполлоний и Архимед завершили развитие
античной геометрии, Диофант — алгебры. После них
начался длительный период изучения и осмысливания
математики древних.
Интересно вот что: работы Диофанта долгое время не
были известны, а его идеи жили и развивались» В течение
12 веков после Диофанта шло развитие основанной им
символики в направлении усовершенствования обозначений
неизвестных и их степеней, а также алгебраических
операций. Обозначения постоянных величин ввел во второй
половине XVI в. Ф. Виет.
Комментировала Диофанта знаменитая Гипатия (ок.
370—415), дочь Теона Александрийского 5. Ее труды до
нас не дошли. Алгебраические идеи Диофанта
развивались арабским математиком Абу-л-Вафой (940—998) и
его школой. Операции над многочленами и уравнениями
всеми повсеместно выполнялись по правилам,
сформулированным Диофантом*
56
Первым из европейских математиков ознакомился
с творчеством Диофанта Региомонтан (Иоганн Мюллер,
1436—1476), нашедший рукопись «Арифметики» в
Венеции. Он был поражен ее содержанием и решил перевести
все 13 книг. Нашел только первые 6 и замысел не
осуществил. В 1572 г. Р. Бомбелли (ок. 1530—ок. 1572)
опубликовал в своей «Алгебре» 143 задачи из «Арифметики»
Диофанта. Он обнаружил рукопись в библиотеке в Ватикане
и «с целью обогатить мир произведением такой важности»
принялся за ее перевод. Его перевод не сохранился.
В 1575 г. вышел первый перевод «Арифметики» на
латынь, осуществленный филологом и философом Ксилапд-
ром. В 1585 г. задачи первых четырех книг «Арифметики»
опубликовал в своей книге С. Стевин (1548—1620). Второе
издание ее осуществил А. Жирар (1595—1633),
поместивший и задачи из последних двух книг. В 1621 г. выпустил
в свет перевод «Арифметики» вместе с греческим текстом
и обширными комментариями Баше де Мезириак.
Далеко продвинули вперед идеи Диофанта Ф, Виет и
П. Ферма. Виет ввел обозначения для произвольных
постоянных величин (параметров), что значительно
упростило формульный аппарат. Он занимался и неопределенными
уравнениями. В задаче 15 книги V Диофант упомянул
о возможности представления разности любых двух кубе в
в виде суммы двух кубов, т. е. о решении уравнения
х3 + у3 = а3 — б3. Виет справился с нею и
сформулировал еще две: х3 — у3 = а3 + Ь3, х3 — у3 = а3 — Ь3.
В первой задаче Виет пользовался подстановкой х =
= * — Ь, у = а — Ы\ это дает t3 (1 — к3) + 3i2 (ак2 — Ь) +
+ 3t (b2 — а2к) = 0. Затем он потребовал, чтобы было
Ъ2 — а2к = 0 и получил t = 3a3b/(a3 + b3). При
рассмотрении двух других задач применялся этот же прием.
К задачам Виета впоследствии Ферма добавил еще
одну — решить уравнение х3 + у3 = а3 + Ь3. Она
вызывала затруднение, так как в результате той же подстановки
х или у получались отрицательные. Ферма избежал этого,
сдвинув всю кривую с помощью замены х = 1 -\- I,
Как уже упоминалось, Ферма на полях «Арифметики»,
изданной Баше де Мезириаком, высказал большинство
своих теоретико-числовых предложений, давших импульс
развитию теории чисел.
Неопределенными уравнениями интенсивно и
плодотворно занимались Л. Эйлер (1707—1783), К. Г. Якоби
(1804—1851). Развитие идей Диофанта нашло свое
воплощение в творчестве А. Пуанкаре (1854—1912). Оценивая
67
роль Диофанта в становлении математики, Г. Г. Цейтев:
отмечает существенную деталь: «Наконец, мы желаем
здесь вкратце указать на важную роль, сыгранную
впоследствии сочинениями Диофанта. Благодаря тому что
определенные уравнения первой и второй степени были
облечены у него в численную оболочку, они оказались более
доступными для людей, не посвященных еще в культуру
греческой математики; более доступными, чем те
абстрактные геометрические формы, которые принимают у Евклида
уравнения второй степени и которые мы встречаем в
сохранившихся до нас трудах других геометров для
выражения уравнений первых двух степеней. Поэтому Диофант
и явился главным посредником в процессе усвоения
греческой алгебры арабами, благодаря которым, в свою
очередь, она проникла в Европу в эпоху возрождения наук»
[45, с. 176].
Имя Диофанта в математике увековечено терминами:
диофантовы уравнения, диофантов анализ, диофантовы
приближения.
Теперь мы расстанемся с эллинами и проследим, как
шло развитие и совершенствование теории уравнений —
одной из основных проблем математики того времени —
на земле Индии, в странах арабского Востока и
средневековой Западной Европы.
Дальнейшие шаги
1
Очевидная истина — математика развивалась вместе
с развитием науки и культуры, а значит — и самого
общества, интересы и запросы которого она обслуживает.
Греческая цивилизация распалась под ударами
римлян, завоевавших Грецию, Египет и Ближний Восток, и
в результате распространения христианства —
непримиримого врага языческой науки. Христианство,
преодолевая сопротивление римлян, добилось такого влияния, что
император Константин Великий в 313 г. провозгласил его
господствующей религией Римской империи. Оно вело
активную борьбу против языческой науки и культуры:
сжигались книги, библиотеки, изгонялись ученые.
Учитель христианской церкви Тертуллиан (II в.) говорил:
«Нам после Христа не нужна никакая любознательность,
после Евангелия не нужно никакого исследования».
58
В 392 г. император Феодосии запретил языческие религии
и Олимпийские игры как языческие, приказал разрушить
храмы, в числе которых был уничтожен храм Сераписа —
знаменитое собрание древних рукописей —
Александрийская библиотека. Христиане стирали с пергамента тексты
греческих авторов и писали на нем свои священные тексты.
Даже слово «математика» связывалось с чем-то
преступным. Один из законов кодекса Юстиниана (483 —
565) «О злоумышленниках, математиках и тому подобных»
гласил: «Совершенно запрещается достойное осуждения
искусство математики». Другой кодекс предписывал: «Да
никто не совещается с гадателем или математиком»*
Император Феодосии разделил Римскую империю
между сыновьями: Гонорию отошли территории Италии и
Западной Европы, Аркадию — Греция, Египет и Ближний
Восток. Западную часть Римской империи bVb. завоевали
готы; в ней надолго было утрачено влияние греческой
науки. Восточная часть, Византия, осталась независимой,
что способствовало сохранению греческого культурного
наследства. И, однако, в 529 г. император Юстиниан
закрыл просуществовавшую 800 лет платоновскую
Академию; профессора философии вынуждены были
перебраться в Персию. Туда направились известный комментатор
Аристотеля Симпликий, давший изложение математики
древних, и строители знаменитого Софийского собора
в Константинополе Исидор из Милета и Анфимий из Тралл.
В VII в. быстро стала набирать силу новая религия —
ислам. Ее основатель Мухаммед (Магомет, ок. 570—632),
объявленный пророком, организовал в 630 г. на
территории Аравии теократическое государство. Халифы,
наследники умершего в 632 г. Мухаммеда, завоевали в 637 г„
Сирию, Месопотамию и Персию, в 642 г.— Египет, затем—
всю Северную Африку, в 711 г.— почти весь Пиренейский
полуостров, в IX в.— Сицилию и юг Италии. В 712 г.
началось покорение Средней Азии, владения арабов
распространились на часть Закавказья и север Индии.
Завоевание арабами Египта нанесло греческой
культуре непоправимый урон. Халиф Омар, второй халиф в
арабском халифате, санкционируя уничтожение книг, говорил:
«Либо в этих книгах написано то, что есть в Коране, и
тогда нам незачем их читать, либо они утверждают то,
что противоречит Корану, и тогда их не подобает читать».
Американский математик М. Клайн отмечает, что «почти
полгода бани Александрии отапливались пергаментными
свитками>>. Такая же картина наблюдалась и на других
59
покоренных территориях. Хорезмийский ученый Ал-Биру-
ни (X—XI вв.) по поводу захвата арабским завоевателем
Кутейбой соседнего с Хорезмом Хорасана писал так:
«И уничтожил Кутейба людей, которые хорошо знали хо-
резмийскую письменность, ведали их предания и обучали
наукам, существовавшим у хорезмийцев, и подверг их
всяким терзаниям, и стали эти предания столь скрытыми,
что нельзя уже узнать в точности, что было с хорезмийца-
ми после возникновения ислама».
Из покоренной арабами Александрии находившиеся
там ученые переехали в Константинополь — столицу
Восточной Римской империи. Здесь, в условиях
относительной безопасности, они продолжили занятия наукой,
что и обеспечило в значительной степени возможность
передачи накопленных знаний в Западную Европу через
800 лет.
2
Начиная с V в. центр математической культуры
сместился на восток — к индийцам и арабам, куда
эллинистическое влияние дошло еще во времена походов Александра
Македонского.
Существенное отличие математики индийцев от
математики греков состояло в том, что она была числовой.
Строгие доказательства греков индийцы заменяли
наглядностью; чертежи, на которых греки строили логические
доказательства, индийцы просто сопровождали словом
«смотри!». Бхаскара II (XII в.) в одном из основных своих
сочинений «Лилавати» * писал: «Искра науки, достигнув
понятливого ума^ разгорится благодаря своей
собственной силе».
Подобно тому как эллины считали, что бог геометри-
зует, индийцы полагали, что Будда арифметизует: он
пэльзовался «асанкиями» (1021) так же, как мы единицами.
Будда, будто бы, победил женихов своей невесты,
определив, сколько атомов уложится на длине одной мили.
Основные достижения индийцев в математике
следующие: они ввели в обращение цифры, называемые нами
арабскими, и позиционную систему записи чисел,
отрицательные числа, обнаружили двойственность корней
квадратного уравнения, двузначность квадратного корня.
По поводу позиционной системы Лаплас писал: «Мысль
выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме
значения по форме, еще значение по месту, настолько
проста, что именно из-за этой простоты трудно понять,
60
насколько она удивительна. Как нелегко было прийти
к этому методу, мы видим на примере великих гениев
греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых
эта мысль оказалась скрытой» [35, с. 23].
Индийцы рассматривали числа и оперировали ими, не
прибегая к геометрическому толкованию. В этом их
алгебра имеет сходство с алгеброй Диофанта. Они
распространили правила действий над рациональными
числами на числа иррациональные, производя с ними
непосредственные выкладки.
При решении задач греки поступали так, чтобы в
результате получались положительные числа; если этого
не происходило, то менялось условие задачи. Индийцы
в аналогичных ситуациях либо отбрасывали
отрицательные решения, либо истолковывали их как долг. Отсюда
был сделан естественный шаг к установлению правил
действий над величинами при любом выборе знаков их и
к установлению наличия двузначности квадратного корня
и существования двух корней квадратного уравнетия.
Правила действий с именованными величинами впервые
ввел Брахмагупта (ок. 598—660). О сложении он писал:
«Сумма двух положительных чисел положительна,
сумма двух отрицательных чисел отрицательна; сумма
положительного и отрицательного чисел есть их разность».
Вслед за правилом вычитания он поместил правила
умножения и деления: «Произведение положительного и
отрицательного чисел отрицательно, двух отрицательных чисел —
положительно, двух положительных — положительно...
Положительное, деленное на положительное, или
отрицательное, деленное на отрицательное, становится
положительным. Но положительное, деленное на отрицательное,
и отрицательное, деленное на положительное, остается
отрицательным» [15, с. 86]. Аналогично писали Магавира
(IX в.), Шрипати (XI в.), Бхаскара II, Нарайана (XIV в.).
Индийцы сделали шаг вперед по сравнению с
Диофантом в совершенствовании символики: они ввели
обозначения нескольких неизвестных и их степеней, которые были,
как и у Диофанта, сокращениями слов. В отличие от
Диофанта индийцы решали неопределенные уравнения
в целых числах.
3
Алгебру на санскрите называли авьяктаганита, т. е.
искусство вычислений с неизвестными величинами, а
арифметику — вьяктаганита — искусство вычислений с из-
61
вестными величинами. Известные величины в
арифметике — вьякта, неизвестные в алгебре — авьякта.
«Искусство вычислений с неизвестными величинами,— писал
Бхаскара II,— есть источник искусства вычислений с
известными величинами.,. Алгебра аналогична арифметике
в отношении правил, но отличается, поскольку является
неопределенной* Но она не неопределенна для острого
ума... Математики провозгласили алгебру, чтобы
вычисления сопровождать доказательством; других различий
между алгеброй и арифметикой нет» [15, с. 77].
Индийцы рассматривали задачи, решаемые при помощи
линейных уравнений и их систем, квадратных, кубических
и биквадратных уравнений. Содержание задач в
большинстве своем конкретно.
Например, Ариабхата (476 — ок. 550) определял стоимость
вещи, если двое с равными капиталами имеют различное количество
вещей а и аг и различные суммы после покупки ЪжЪх. Задача
приводится к уравнению ах -\- Ъ = агх -f- Ь±. Ариабхата дал правило:
«Разность между известными суммами двух людей следует
разделить на разность коэффициентов при неизвестных. Частное даст
величину неизвестного, если общие капиталы равны». Это означает,
что х = (bt — Ь)[(а — ах).
Такую же задачу упоминал и Бхаскара II: «Один имеет 300
монет и 6 лошадей; другой имеет 10 таких лошадей, но у него
недостает 100 монет. Оба одинаково богаты. Какова цена лошадей?».
Очевидно уравнение 6х + 300 = 10# — 100. Лошадь стоит 100 монет.
«Задача о курьерах» обошла впоследствии всю
алгебраическую литературу. В ней необходимо определить время
встречи двух небесных тел, движущихся навстречу друг
другу или одно за другим. Бхаскара I (VII в.)
сформулировал правило для определения времени встречи: «Если
одно светило движется назад, а другое вперед, следует
разделить разность их долгот на сумму скоростей; в
противоположном случае следует разделить разность их долгот
на разность скоростей. Это дает время до или после
встречи двух светил».
Много задач экзотичных, как и сама Индия. Вот, например,
две задачи Магавиры. Первая: «Король взял l/Q часть плодов манго,
королева V5 остатка, три принца взяли соответственно V*, Vs, У2
[каждого остатка], а маленький ребенок — оставшиеся 3 плода.
О тот, кто умеет решать смешанные задачи на дроби, назови [общее
число] плодов». Уравнение будет иметь вид
х — агх — а2 (х — atx) — а3 [х — а^х — а2 (х — а±х)] —. . »
его решение
х = Ы{1 — ах) (1 — а2) (1 — о3) ... (1 — eh).
82
И еще задача: «Во время петушиного боя один из зрителей
договорился с двумя владельцами петухов. Первому он сказал: «Если
победит твой петух то выигрыш отдашь мне, если же проиграешь,
я уплачу тебе 2/3 твоего выигрыша». Второму участнику он сказал:
«Если победит твой петух, то выигрыш отдашь мне, если же
проиграешь, я уплачу тебе 3У4 твоего выигрыша», В обоих случаях
зритель получит 12 золотых монет. О первоклассный математик, назови
призы каждого партнера».
Из условий задачи следует система
х — Ъу1к = 12,
у — 2x13 = 12, откуда х = 42, у = 40.
Решение первых задач с квадратными уравнениями
отмечается у Ариабхаты. Это задачи, связанные с
определением числа членов арифметической прогрессии по
сумме, первому члену и разности и сложными процентами.
Задачи со сложными процентами решались впоследствии
как в Индии, так и в других странах. Такой задачей
открыл раздел о квадратных уравнениях А. Клеро (171 —
1765) в своей «Алгебре» (1746). Брахмагупта дал правило
решения квадратного уравнения ах2 + Ъх = с (а^> 0,
бис — любые числа), которое символически
записывается в виде
_ Vac + (bl2)*— b/2 ^
а
Задачи с квадратными уравнениями решал Магавира.
Например: «V4 стада верблюдов находится в лесу, 15 верблюдов
расположились на берегу реки [остальные верблюды] — удвоенный
квадратный корень из общего числа — на склоне холма. Сколько
верблюдов в стаде?» Получим уравнение я/4 -f- 2 ]/~х + 15 = х, в общем
виде (1 — alb) х — с]/~х = р. Магавира сформулировал решение
словесно, что соответствует формуле
ж_ с/2 ¦¦/-/ с/2 N* —?~
х-Т^Гф+У \l-alb) +1-а/Ьл
Еще задача Магавиры: «Vie часть стаи павлинов, умноженная
на самое себя, сидит на дереве манго, V9 остатка, умноженная на
самое себя, вместе с 14 павлинами находится на дереве тамала.
Сколько всего павлинов?» Уравнение будет хЧ162 + 152х2/1б2-92 +
_^_ 14 = х. Один корень уравнения 48, второй дробный, его
Магавира отбрасывает.
Бхаскара II привел отрывок из не дошедшего до нас
сочинения Шридхары (IX—X вв.), содержащий способ
решения полного квадратного уравнения: «Умножь обе
стороны [уравнения] на учетверенный коэффициент при
квадрате неизвестного, а [затем] прибавь к обеим частям
квадрат [первоначального] коэффициента при неизвест-
63
ном в первой степени, затем [извлекли из обеих частей]
корень».
В наших обозначениях это соответствует тому, как
получается формула решения полного квадратного
уравнения в школе: умножим все члены уравнения ах2 + Ъх +
+ с = 0 на 4а и прибавим к обеим частям его б2: Аа2х2 +
+ kabx + b2 -f 4ас = b2, тогда
4a2r> + 4аЪх + Ь2 + kac = (2ах + Ъ)2 + Аас,
{2ах + Ъ)2 = Ь2 — kac, 2ах + b = ± Yb2 — Аас,
— Ь ± УЬЪ — 4ас
Х~ Та •
Шридхара явно перед корнем наличия двух знаков не
оговаривал, но при решении конкретных задач брал тот
или иной знак в соответствии с условиями.
Бхаскара II учитывал двузначность корней
квадратного уравнения. Это видно из задачи: «Стая обезьян
забавляется; квадрат восьмой части всего числа их резвится
в лесу, остальные двенадцать кричат на вершине холма.
Скажи мне, сколько всего обезьян?» Уравнение будет
я2/64 + 12 = х, х2 - 64* = -768, (х - 32)2 = 256.
Правило таково: «Если квадратный корень из правой
части меньше вычитаемого из х числа в левой части, то
следует искать два значения неизвестного». Значит, х —
— 32 = ±16, хг = 48, х2 = 16.
Бхаскара II изучал и уравнения более высоких
степеней, к которым можно применить искусственные приемы.
Задача: «Назови, о знающий, число, которое, будучи
умножено на 12 и увеличено на куб самого себя, равно сумме
квадрата этого числа, умноженного на 6, и 35» —
приводит к кубическому уравнению хг + 12ж = 6^2 + 35.
Если из обеих частей отнять 8 и перенести 6.г2 в левую часть,
то получим полные кубы (х — 2)3 = 27. Отсюда х = 5.
Точно так же задача: «Если из четвертой степени числа
вычесть удвоенную сумму квадрата числа и числа,
умноженного на 200, то получим десять тысяч без единицы.
Найти число» — дает уравнение четвертой степени #4 —
— 2 (200# + х2) = 9999. Прибавим к обеим частям
уравнения 4я2 + 400.Z + 1, получим (х2 + I)2 = (2х + 100)2.
Отсюда х = 11*
Индийские математики изучали и неопределенные
уравнения первого и второго порядков, системы
уравнений первого порядка, уравнения более высоких порядков.
Как уже сказано, они отыскивали чаще всего целые по-
(54
ложительные решения таких уравнений. Выдающимся
достижением было решение в целых положительных
числах уравнения Пелля ах2 + 1 = г/2, в котором а —
неточный квадрат 2. Это уравнение изучали Брахмагупта, Бхас-
кара П. Был построен метод решения, получивший в
настоящее время название циклического 3. Его на примерах
изложилБхаскара П. Не вдаваясь в детали, укажем
только, что разработанный в 1769 г. Лагранжем способ
нахождения общего решения уравнения Пелля близок к
индийскому.
Индийцы интересовались и неопределенными
уравнениями вида ах + by + с = ху.
Популярной среди индийских и арабских математиков
была задача о птицах: «За 3 [рупа] продаются 5 голубей,
за 5 [рупа] — 7 журавлей, за 7 [рупа] — 9 лебедей и за 3
[рупа] — 3 павлина. Зная названные цены, принеси 100
птиц за 100 рупа для развлечения принца». Задача
порождает систему из двух уравнений с четырьмя неизвестными.,
Арабский математик ал-Каши (XIV—XV вв.) дал
подробный анализ задачи.
Бхаскара II привел задачу неизвестного автора:
«Квадрат суммы двух чисел, сложенный с кубом их суммы,
равен удвоенной сумме их кубов. О математик, назови
число». Уравнение будет (х + у)2 + (х + у)3 = 2 (х3 + у3).
Бхаскара положил х = и -{- v, у = и — v и получил
[щ? + iu2 = i2uv2, (2u + I)2 = 12у2 + 1. Это уравнение
дает бесчисленное множество значений ими, получится
бесчисленное множество значений х и у.
Нарайана рассмотрел уравнения: 1) х3 + у3 = х2 -\-
+ у2, 2) х3 + у3 = (х + у)2, 3) х3 + у3 = ху, 4) (х + у)3 -
= х2 + У2, 5) (х + у)3 = ху. Он нашел рациональные
решения их. Для первого уравнения, например, будет х =
- (т2 + п2)т/(т3 + п3), у = (т2 + n2)nl{m3 + п3).
Достижения индийских математиков не
ограничиваются указанными выше. Они успешно занимались
геометрией, тригонометрией, комбинаторикой и другими
разделами математики.
Индийская математика оказала влияние на
математиков стран Ближнего и Среднего Востока, Средней Азии
и Китая. При посредничестве ученых стран ислама
достижения индийских математиков стали известны в Западной
Европе и вошли составной частью в сокровищницу
мировой науки.
65
3
С расширением и развитием арабского Халифата перед
ним вставали задачи экономического порядка, требующие
знаний математики, астрономии. Это было связано со
строительством, с ирригацией, прокладыванием
караванных путей, ведением сухопутной и морской торговли,
осуществлением планов захвата чужих земель*, Халифы
вынуждены были обращать внимание на развитие науки.
Да и не все они придерживались традиции, насажденной
Омаром*
В 762 г* второй халиф династии Аббасидов недалеко
от развалин Вавилона основал Багдад и перенес из
Дамаска столицу туда* Багдад находился на полпути между
Индией и Европой, и это способствовало процессу
взаимовлияния восточной и западной культур, усвоения
арабами богатого математического наследства эллинов и
индийской арифметики и алгебры.
В IX—X вв., в Багдаде работала большая группа
ученых из Средней Азии и Хорасана, вместе с ними были
потомки вавилонских жрецов-звездопоклонников — сабии,
персы, христианские ученые из сирийских монастырей.
Халиф ал-Мамун, правивший с 813 по 833 г., учредил
«Дом мудрости», напоминавший академию, своего рода
научную школу, где работали прибывшие в Багдад ученые.
Возникновение научной школы вызвало необходимость
перевода древних классиков. В VIII—X вв. переведены на
арабский язык индийские астрономо-математические «сид-
дханты» («учения»), «Начала» Евклида, «Измерение
круга» и «О шаре и цилиндре» Архимеда, «Конические
сечения» Аполлония, «Альмагест» Птолемея, «Арифметика»
Диофанта, основные философские сочинения Аристотеля,
другие книги. «Начала» Евклида комментировали,
например, философ ал-Фараби (IX—X вв.), энциклопедист
Ибн Сина (X в.), ученые Абул-л-Вафа (X в.), Омар Хайям
(XI—XII вв.), ас-Самарканди (XIII—XIV вв.), Кази-за-
де ар-Руми (XV в.).
Но ранее периода усиленного изучения арабами трудов
древних, около 830 г., вышел трактат по алгебре —
«Краткая книга об исчислении ал-джабра и ал-мукабалы»
Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми (т. е. из Хорезма, 787 —
ок. 850), положивший начало самостоятельному
развитию алгебры. Трактат содержит теорию и приложения
линейных и квадратных уравнений. В XII в. он был
переведен на латинский язык. Перевод осуществлен англичанин
66
ном Робертом из Честера и итальянцем Герардом из
Кремоны.
Слово «ал-джабр» означает восполнение,
восстановление отрицательного члена (члена со знаком минус) в одной
части уравнения в виде положительного в другой (такого
же члена со знаком плюс), «Ал-мукабала» представляет
собой противопоставление, те е, приведение подобных
членов в различных частях уравнения. Обе операции в
современной терминологии составляют преобразование
уравнения к каноническому виду. Преобразовав, например,
уравнение 2х2 + Зх — 5 = х2- + 1х в 2х2 + Зх = #2 +
+ 7я + 5, мы выполнили ал-джабр; в уравнении
подобные члены 2х2 и х2, Зх и 7х, поэтому ал-мукабала дает х2=
= 4х + 5,
Кто-то выразил оба правила стихами, которые в
переводе звучат так:
Ал-джабр
При решеньи уравненья}
Если в части одной,
Безразлично какой,
Встретится член отрицательный,
Мы к обеим частям
Равный член придадим,
Только с знаком другим,
И найдем результат положительный.
Ал-мукабала
Дальше смотри, в уравненьи
Можно ль сделать приведенье,
Если члены есть подобны,
Соединить их удобно.
Модификация слова ал-джабр в латинском переводе
трактата ал-Хорезми породила более позднее слово
алгебра, которое и вошло в науку 4.
Ал-Хорезми написал также трактат «Об индийском
счете», в котором изложил правила действий над числами
в индийской позиционной системе с нулем* В латинском
переводе этот трактат ал-Хорезми стал известен как А1-
gorithmus или Algorismus, что дало слово алгоритм,
означавшее сначала правила письменного счета с помощью
индийской позиционной системы, затем — сам счет; в
настоящее время под алгоритмом понимается набор
правил для решения конкретных однотипных задач.
Родина ал-Хорезми — среднеазиатское государство
Хорезм. Ал-Хорезми называли еще ал-Маджуси; это означа-
67
ло, что происходил он из семьи магов-жрецов зороастрны-
ской религии, руководивших во времена до ислама наукой
в Персии и Средней Азии. Жил ал-Хорезми в Багдаде при
халифах ал-Мамуне, Мутасиме (правил в 833—842 гг.),
ал-Васике (842—847). При ал-Мамуне он возглавлял
библиотеку «Дома мудрости». В это время им написан
алгебраический трактат и составлены астрономические
таблицы, названные «Астрономическими таблицами ал-Маму-
на» *
Тогда же ал-Хорезми производил измерение длины
градуса земного меридиана между городами Тадмор и Ракка
в Сирии. При халифе ал-Васике ал-Хорезми руководил
экспедицией к хазарам. Последнее упоминание об
ал-Хорезми относится к 847 г.— году смерти халифа ал-Васика.
4
Основной вклад ал-Хорезми в математику — его
«Краткая книга...» Влияние ее на математику прослеживается
вплоть до XVI в. Структура книги такова: введение, шесть
глав, содержащих линейные и квадратные уравнения
различных видов, три главы, посвященные
геометрическому обоснованию правил решения, сформулированных в
предыдущих главах. Несколько глав содержат правила
алгебраических преобразований и составления
канонических уравнений. После этого — многочисленные задачи,
необходимые «при дележе наследств, составлении
завещаний, разделе имущества и всевозможных сделках, а
также при измерении земель, проведении каналов, геометрии
и прочих разновидностях подобных дел» [44, с. 26]. Вся
книга в русском издании содержит 64 страницы.
Вначале ал-Хорезми воздал должное ал-Мамупу —
покровителю наук, с почтением отозвался о тех
предшествующих ученых, которые писали книги для пользы
последующих поколений, объяснил цель книги, сформулировал
определение числа как совокупности единиц, пояснил, что
понимать под корнем (стороной) и квадратом.
Три короткие первые главы (по 10—12 строк)
посвящены уравнениям ах2 = Ьх, ах2 = с, Ъх = с, где а, 6, с —
положительные числа. Все формулируется в словах:
«квадраты равны корням», «квадраты равны числу», «корни
равны числу». Как опытный методист, ал-Хорезми,
сформулировав правила, решает примеры. В главе первой: х2 = 5х,
х = 5; г/3х2 = Ах, х2 = 12#, х = 12; Ъх2 = 10ж, х2 = 2х,
х = 2. В главе второй: х2 = 9, х = 3; Ъх2 = 80, х2 = 16,
68
х = 4; 1/2х2 = 18, x2 = 36, я = 6. В главе третьей: х = 3
(я* = 9);" 4ж - 20, х = 5 (х2 = 25); У2х = 10, ж - 20
(х2 = 400).
Здесь необходимо отметить следующие важные
качества. Нулевой корень уравнения, как и во всей предыдущей
математике, не учитывался, поэтому уравнение первого
типа сокращалось на х, после чего получалось уравнение
первой степени 5. Точно так же, как и раньше,
отрицательных решений не было, они просто не существовали. В
книге нет не только символов, но и цифр, различные правила
алгебраических операций, уравнения и их решения
формулировались словесно 6.
Короткие главы 4, 5, 6 содержат канонические
трехчленные квадратные уравнения ах2 + Ъх = с, ах2 + с =
= Ъх, Ъх -\-с = ах2 и правила их решений. Опять же
отыскиваются только положительные корни, поэтому
уравнения первого и третьего типов имеют по одному такому
корню (другой отрицательный), а уравнение второго —
два положительных или же не имеют действительных
корней вообще. Сформулированы условия существования
корней и существования одного корня (т. е. двукратного
положительного).
Ал-Хорезми подвел итог: «Таковы те шесть видов,
которые я упомянул в начале этой моей книги. Я истолковал
их и сообщил о том, что в трех из этих видов нет
раздвоения [числа] корней, и объяснил необходимое для них
правило. Что же касается, когда необходимо раздвоекпе
[числа] корней в трех остальных главах, то я достоверно
изложил их в [этих] главах и начертил для каждой главы
чертеж, объясняющий причину раздвоения» [44, с. 29].
Следующие три главы посвящены геометрическому
обоснованию сформулированных правил решений
уравнений. В главе 4, например, дано правило для решения
уравнения х2 -\- iOx = 39. Это уравнение, как и многие
другие, впоследствии обошло арабскую и западноевропейскую
алгебраическую литературу.
Ал-Хорезми писал: «Что касается квадратов и корней, равных
числу, то если, например, ты скажешь: квадрат п десять его корней
равны тридцати девяти дирхемам *, то это означает, что если
добавить к некоторому квадрату то, что равно десяти корням, получится
тридцать девять. Правило таково: раздвои [число] корней,
получится в этой задаче пять, умножь это на равное ему, будет двадцать
пять. Прибавь это к тридцати девяти, будет шестьдесят четыре.
Извлеки из этого корень, будет восемь, и вычти из этого половину [чис-
Дирхем — серебряная монета на средневековом Востоке.
69
/? 3
3
\ я
fj
3
с
Р и с. 13 Р и с. 14
ла] корней, т. е. пять, останется три: это и будет корень квадрата,
который ты искал, а квадрат есть девять. Так же [поступают] и^если
указаны два квадрата, три или меньше или больше — ты приводишь
их к одному квадрату, а корни и число, [данные] с ним, приводишь
к тому же, что и квадрат» [44, с. 27—28].
Все это соответствует тому, что в настоящее время пишет любой
школьник старших классов средней школы:
х = l/"(10/2)2 + 39 — 10/2 = /25 + 39 — 5 = 8-5 = 3.
(Здесь, следуя ал-Хорезми, мы перед корнем взяли только один
знак.)
После этого уравнения ал-Хорезми решает еще
примеры, когда старший коэффициент отличен от единицы.
В главе 7 даны два геометрических обоснования
правила решения уравнения х2 + 10# = 39.
Вот первое* Предположим, что ABCD — искомый квадрат со
стороной х (рис. 13). Разделим 10 на 4, получим 2,5. К каждой
стороне квадрата приложим прямоугольник, длины сторон которого
х и 2,5. Площадь четырех таких прямоугольников будет 2,5^-4 =
= 10#, а полученной фигуры х2 + 10я, что равно 39. Добавим
теперь эту фигуру до квадрата, т. е. дополним ее четырьмя
квадратами, имеющими площади 2,5-2,5 = 6,25. Сумма площадей их будет
6,25*4 = 25. Площадь большого квадрата составит 39 + 25 = 64,
сторона его 8, она же х + 5, откуда х = 8 — 5 = 3.
Второе обоснование лаконичнее первого. Пристроим к двум
сторонам основного квадрата со стороной х два прямоугольника,
имеющие размеры х и 5 (рис. 14). Тогда фигуру, площадь которой х2 +
+ 2-5#, до полного квадрата следует дополнить только одним
квадратом со стороной, равной 5, Площадь большого квадрата 39 + 25 =
= 64, сторона его 8 = ж + 5, тогда х = 3.
В конце рассуждений ал-Хорезми сделал важное
замечание, относящееся к правилу решения уравнения и
утверждающее тождественность обоих чертежей. Он сказал,
что если четверть числа умножить на самое себя и резуль-
70
тат учетверить, то получится столько же, сколько будет
пюи умножении самой на себя половины числа, т. е,
4(а/4)2 = (а/2)2,
Геометрическое построение корней трехчленных
уравнений еще двух типов дано в главах 8 и 9А За,тем следуют
главы «об умножении», «увеличении или уменьшении», о
составлении канонических уравнений, о различных
задачах. После изложения правил действий над
одночленами и многочленами, иррациональностями, правил
приведения уравнений к каноническому виду ал-Хорезми присту*
пил к решению многочисленных задач о сделках2
завещаниях, разделе имущества, практических делах*
Думается, что чтение «Краткой книги...» ал-Хорезми не было
развлекательным и требовало значительных усилий. Обратимся к
одной из задач, в которой, как и в других, ал-Хорезми называет
неизвестную величину вещью. «Если скажут: ты разделил десять на
две части, затем умножил одну из частей на пять и разделил ее на
другую, затем половину того, что у тебя получилось, прибавил к
умноженному на пять, и получилось пятьдесят дирхемов, то
правило этого таково: возьми вещь, [являющуюся частью] десяти,
умножь ее на пять, будет пять вещей, раздели это на остаток от
десяти, т. е. на десять без вещи, раздвои это; известно, что если ты
разделишь пять вещей на десять без Еещи и раздвоишь частное,
получится то же, как если ты разделишь половину пяти вещей на десять
без вещей, а если ты раздвоишь пять вещей, получатся две с
половиной вещи, которые и следует разделить на десять без вещей.
[Частное] равно пятидесяти без пяти вещей, так как в задаче сказано:
прибавь это к одной из частей, умноженной на пять, и это будет
пятьдесят. Ты знаешь, что если умножить частное от деления на
делитель, имущество восстановится. Твое имущество — две о половиной
вещи. Поэтому умножь десять без вещи на пятьдесят без пяти
вещей, получится пятьсот дирхемов и пять квадратов без ста вещей,
что равно двум с половиной вещам. Приведи это к одному
квадрату, получится: сто дирхемов и квадрат без двадцати вещей равны
половине вещи. Восполни сто и прибавь двадцать вещей к половине
вещи, у тебя получится: сто дирхемов и квадрат равны двадцати с
половиной вещам. Умножь половину [числа] вещей на себя, вычти
из этого сто и извлеки корень, а то, что останется, вычти из
половины [числа] корней, т. е. десяти с четвертью t Останется восемь, это
и есть одна из частей» [44, с. 43].
Переведем решение на язык символов^ Будет:
Ъх 2 х/о х
V. Ц>=7+ 5* = 50, 1(ГГ7 = 50-5^
2 7а* = (50 — 5*) (10 — х),
2 i/г х = 500 + б*2 — 100*, 100 + х* — 20* = i/2 x,
х* + ЮО = 20 V* х,
= Ю i/4 - У'105 7i6-lM = 10 xk - У^ТГс = 10 7* - 2 74 = 8.
Й это еше не самая трудная задача в «Краткой книге...»
71
5
Вслед за ал-Хорезми науку о решении уравнений долгое
время именовали алгебра и алмукабала. Но уже Омар
Хайям, внесший эти слова в название своего трактата,
занимающихся решением уравнений математиков называл
алгебраистами. И примерно с XI в, так и пошло —
алгебра.
Методы ал-Хорезми были развиты в трудах многих
арабских математиков. Багдадский ученый Сабит ибн
Корра (836—901) написал трактат «Рассуждение об
установлении задач алгебры с помощью геометрических
доказательств», посвященный квадратным уравнениям
канонического вида. В нем он обосновал правила решений
уравнений с помощью предложений книги III «Начал»
Евклида. Кроме того, что ибн Корра написал много сочинений
по математике, астрономии и механике, он делал
переводы с греческого и сирийского. В его переводе дошли до нас
«Конические сечения» Аполлония, трактаты Архимеда. Он
перевел «Альмагест» Птолемея, редактировал «Начала»
Евклида*
В сочинении «Книга об алджабр и алмукабале»
египетского математика X в. Абу Камила Ал-Мисри
алгебраическое исчисление получило дальнейшую разработку. Ал-
Мисри строил корни квадратных уравнений с помощью
геометрической алгебры древних греков. В его книге нет
геометрических приложений алгебры (этот вопрос он
рассмотрел в другом труде), отсутствуют и задачи о делении
наследства, занимающие большое место в книге
ал-Хорезми. Ал-Мисри хорошо владел алгебраическими
преобразованиями, в том числе и над иррациональными
выражениями. Иррациональности он внес и в коэффициенты
уравнений. Например, задача об отыскании высоты
правильного треугольника, у которого сумма площади и высоты
равна 10, приводит к уравнению х2 + х^Ъ = 300. Здесь
нарушен принцип однородности, которого категорически
придерживались математики древности.
Персидский математик Абу Бакр ал-Хараджи,
живший во второй половине X в., рассматривал квадратные
уравнения относительно хп.
Значительны достижения арабских математиков в
изучении уравнений третьей и частично четвертой степени.
Импульс этому дало переведенное Сабитом ибн Коррой
сочинение Архимеда «О шаре и цилиндре». Арабские
математики не знали решения задачи о делении шара плос-
72
костью на два сегмента в данном отношении, полученного
Архимедом и его комментаторами Диоклом и Диосодором.
Ал-Махани (ум. ок. 880) впервые свел задачу к уравнению
вида х3 + г = рх2, но не смог решить уравнение. Это
примерно через сто лет сделали хорасанский математик Абу
Джафар ал-Хазин (ум. между 961 и 971) и работавший в
Каире Абу Али ибн ал-Хайсам. Они самостоятельно
восстановили метод геометрического построения значения
ж, известный грекам еще со времен Евдокса по решению
Менехмом задачи об удвоении куба. В X в. ряд
физических, геометрических и тригонометрических задач
арабам удалось свести к кубическим уравнениям — задачу
о трисекции угла, определении сторон вписанных в круг
правильных семи- и девятиугольников, построении
сегмента шара по известным объему и поверхности и др.
В сочинении «Деление прямолинейного угла на три
равные части» ибн Корра произвел трисекцию угла в духе
Архимеда методом вставки. Здесь же он пересечением
гиперболы и окружности получил построение двух средних
пропорциональных между двумя данными; частным
случаем этой задачи было удвоение куба.
Построение стороны правильного вписанного девяти-
угольника осуществил ал-Бируни (973 — ок. 1050),
который свел определение искомой стороны к решению
кубических уравнений х3 + 1 = Ъх и х3 = 1 + Зх. Он
привел результаты приближенного решения их, не сообщив
о том, как они получены.
В «Книге оптики» Абу Али ибн ал-Хайсама (965—
1039) встречается задача об определении места отражения
светящейся точки от цилиндрического зеркала, которая
сводится к уравнению четвертой степени. Ал-Хайсам
решил его с помощью пересечения гиперболы и окружности.
Из сказанного следует, что если у древних задачи,
приводящие к кубическим уравнениям, оставались своего
рода эпизодическими, то у математиков стран ислама в этом
разделе алгебры был накоплен значительный материал,
в связи с чем возникла необходимость его систематизации.
И это выпало на долю Омара Хайяма (ок. 1048 — ок.
1123).
6
Омар Хайям широко известен в мире как автор зпамени-
тых четверостиший. Но мало кто знает, что он выполнил
важные исследования по математике, занимался
астрономией, провел реформу персидского солнечного календа-
73
ря, написал несколько философских трактатов.
Интересно, что в «Энциклопедическом словаре» Брокгауза и
Ефрона имеются две различные статьи о Хайяме: «Хейямили
Омар Хейям» (о поэте) в томе 42 (1897) и «Омар Аль-Кайя-
ми» (об ученом) в томе 72 (1903).
Контрастны оценки личности Омара Хайяма. Одни
считали его только любителем удовольствий (гедонистом),
другие — скептиком, третьи — мистиком. Известный
востоковед В, А4 Жуковский в работе о Хайяме (1897)
собрал характеристики его; «Он вольнодумец, разрушитель
веры; он безбожник и материалист; он насмешник над
мистицизмом и пантеист; он правоверный мусульманин,
точный философ, острый наблюдатель, ученый; он —
гуляка, развратник,, ханжа и лицемер. Он не просто
богохульник, а воплощенное отрицание положительной
религии и всякой нравственной веры; он мягкая натура,
преданная более созерцанию божественных вещей, чем
жизненным наслаждениям; он скептик-эпикуреец, он
персидский Абу-л-Ала, Вольтер, Гейне» [41, сг 5, 6]t
В своих четверостишиях Хайям осуждал и высмеивал
представителей властей и духовенства, поэтому
официальная наука ислама замалчивала его поэтические и
научные творенияе Результатом такого замалчивания было то,
что его математические идеи не оказали влияния на
развитие математики. Западная Европа ознакомилась с
математическими работами и поэзией Хайяма лишь в XIX в.
Первое издание четверостиший Хайяма в Европе
осуществил английский поэт Э, Фицджеральд в 1859 г.; оно
содержало около 100 четверостиший, каждое из которых
представляло собой своего рода законченное поэтическое
произведение. Четверостишия — рубай — были
размещены так, что сначала шли стихи, воспевающие вино,
наслаждения, радости жизни, за ними — свидетельствующие
о разочарованности, в конце — о мистической вере в
бога. Таким предстал перед англичанами восточный мудрец:
в юности — любитель развлечений, в зрелом возрасте —
разочарованный скептик, в старости — мистик.
В 1851 г4 в Париже немецкий математик Ф. Вепке
опубликовал «Алгебру Омара Альхайями», содержащую
перевод на французский язык алгебраического трактата,
Были упоминания Хайяма в западной специальной
литературе и ранее, но начало изучению его творчества на
западе положили две указанные публикации. В XX в.
появились переводы четырех философских, физического,
двух математических трактатов, части астрономического.
74
В настоящее время Хайяму приписывается более
1000 четверостиший* В США и некоторых других странах
существуют «клубы хайямистов», объединяющие
поклонников стихов Хайяма* Среди почитателей Хайяма был
проведен сбор пожертвований, и на собранные средства
в 1934 г. на могиле Хайяма в Нишапуре воздвигнут
памятник,
Полное имя Хайяма таково* Гияс ад-Дин, Абу-л-Фатх
Омар ибн Ибрахим Хайям (ал-Хайями) Нишапури (ан-
Найсабури). Это означает: Омар — его имя, ибн
Ибрахим — сын Ибрахима, Абу-л-Фатх — отец Фатха, Гияс
ад-Дин — «помощь веры» — полученное впоследствии
почетное звание, Нишапури (по-арабски ан-Найсабури)
говорит о том, что он родом из Нишапура,
Город Нишапур расположен на расстоянии около
100 км от административного центра иранского Хорасана
г. Мешхеда. В древности Хорасан был ядром парфянского
царства. Парфию в 331 г* завоевал Александр
Македонский, впоследствии она вошла в сирийское царство селев-
кидов, завоеванное арабами*
Слово «Хайям» переводится как палаточный мастер
(«хайма» — палатка 7). Предполагается, что отец
Хайяма был ремесленником. На это намекает Хайям в
четверостишии:
Палаток мудрости нашивший без числа,
В горнило мук упав, сгорел Хайям дотла,
Пресеклась жизни нить, и пепел за бесценок
Надежда, старая торговка, продала *.
В средневековых источниках Хайям именовался
имамом — духовным вождем, ходжой — учителем,
«доказательством истины», славился как мудрец-энциклопедист*
Учился он в Нишапуре, изучал Коран, труды Ибн Сины,
переводы Аристотеля, Евклида, Архимеда, Аполлония,
работы арабских математиков — ал-Хорезми и др.
Хайям слыл превосходным знатоком Корана и обладал
обширной памятью. Рассказывают такой случай. Хайям,
будучи в Исфахане, прочитал 7 раз одну книгу и
запомнил ее. Вернувшись в Нишапур, он ее продиктовал. Когда
сравнили с подлинником, то не нашли значительных
расхождений.
К периоду обучения относят первый математический
трактат Хайяма об извлечении корня степени п из целых
положительных чисел. Хотя его текст не дошел до нас, о
* Пер. О, Румера.
75
нем судят по упоминанию в сохранившемся алгебраическом
трактате. Приемом извлечения квадратных и кубических
корней на основе формул возвышения в квадрат и куб
суммы двух чисел пользовались греческие, китайские и
индийские математики. Хайям предложил прием извлечения
корня степени п на основе разложения бинома, которое,
как предполагают, он знал. Эту идею впоследствии
развивали арабские математики ат-Туси (1201 — 1274) и ал-Ка-
ши (ум. ок. 1530), указавшие биномиальные коэффициенты
до п = 12. В Европе извлечение корней на основе
биномиальной формулы до п = 8 рассматривал П. Апиан
(1495—1552). М. Штифель (1486—1567) привел таблицу
до п = 18 и назвал коэффициенты разложения
биномиальными. Б. Паскаль (1623—1662) в опубликованном в 1665 г.
«Трактате об арифметическом треугольнике» исследовал
биномиальные коэффициенты теоретически. И. Ньютон
(1643—1727) распространил формулу разложения бинома
на любые действительные показатели.
Хайяму приходилось много скитаться. Тогда он
наукой практически заниматься не мог. И все же судьба
иногда доставляла ему возможность плодотворно работать. Так
было, когда при покровительстве Абу Тахира, по
предположению — главного судьи Самарканда, Хайям
написал алгебраический трактат.
С 1074 г. Хайям находился при дворе сельджукского
султана Маликшаха, где пользовался покровительством
везира Низамулмулка и стал во главе астрономической
обсерватории в Исфахане. Здесь он предпринял реформу
персидского солнечного календаря, написал трактаты по
философии, естествознанию. И создавал свои бессмертные
четверостишия.
7
Первым из арабских математиков, занимавшихся теорией
кубических уравнений, был Абу-л-Джуд. Его сочинение
не сохранилось. Хайям узнал о нем после того, как
выполнил исследование сам. Он отмечал, что Абу-л-Джуд не
произвел классификации кубических уравнений и не
исследовал случаи возможных и невозможных решений.
В рукописи первого алгебраического трактата Хайям
при рассмотрении задачи о делении четверти окружности
в определенном отношении и связанным с ним построением
прямоугольного треугольника, стороны которого
удовлетворяют некоторым требованиям, получил уравнение
х3 + 200.Z = 20:с2 + 2000. Он указал, что уравнение не
76
может быть решено с помощью «плоской геометрии» из-за
присутствия куба неизвестной; требуется применение
конических сечений. Таким образом, Хайям впервые
высказал утверждение о невозможности решения уравнения
третьего порядка в квадратичных иррациональностях,
т. е. построения его корней циркулем и линейкой,
повторенное в 1637 г. Декартом и доказанное в 1837 г.
французским математиком П. Л. Ванцелем (1814—1848).
После записи уравнения Хайям сформулировал
попятив числа, неизвестной величины и ее степеней, а затем
перечислил 25 форм канонических уравнений первой,
второй и третьей степеней. Они определялись словесно;
например: «куб и корни равны числу» (х3 + qx = г),
«число и корни равны кубу» (г + qx ¦= х3), «куб, квадраты
и корни равны числу» (х3 + Vx% + 4х = г)* Хайям
выделил 14 форм кубических уравнений: одно двучленное,
шесть трехчленных и семь четырехчленных* Это будут:
1) х3 = qr, 2) х3 + рх2 = г, 3) х3 + г = qx, 4) х3 + г =
= рх2, 5) х3 + qx = г, 6) х3 = рт2 + г, 7) я3 = qx -f r,
8) х3 = рх2 -\- qx -\~ г, 9) х3 -\- qx + г = рх2, 10) х3 +
+ рх2 + г = qx, 11) ж3 + рх2, + qx = г, 12) я3 + рх2 =
= qx + г, 13) я3 + дя = рх2 + г, 14) х3 + г = рх2 + g«r.
Хайям отметил, что первый тип был рассмотрен еще
древними, уравнение второго типа решено Ибн-Ираком,
четвертого — ал-Хазином, девятого — Абу-л-Джудом,
решение которого ему известно не было. Дальше он указал:
«До нас не дошла речь ни об одном из оставшихся десяти
видов, ни об этой классификации». Он, пообещав в
будущем подробно рассмотреть кубические уравнения,
обратился к уравнению х3 + 200х = 2(Ь2 + 2000 и произвел
построение его корня как пересечения окружности у2 =
= (х — 10) (20 — х) и равносторонней гиперболы ху =
= 10 У2 (х — 10). Этим Хайям обосновал существование
решения уравнения. Относительно арифметического
решения он заметил: «Если кто хочет узнать это при помощи
арифметики, то для этого нет пути».
Развитие и завершение намеченных Хайямом идей
осуществлено в «Трактате о доказательстве задач алгебры»,
написанном около 1074 г. Трактат открывается обычным
для арабских авторов того времени восхвалением Аллаха,
сетованием на судьбу, лишившую Хайяма возможности
заниматься наукой, благодарностью покровителю
Хайяма Абу Тахиру.
Здесь же дано определение алгебры как науки о
решении уравнений. Хайям писал: «Я утверждаю, что искусст-
77
во алгебры и алмукабалы есть научное искусство, предмет
которого составляют абсолютное число и измеримые
величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-
нибудь известной вещи, по которой можно их определить.
Эта вещь есть или количество или отношение, не
связанное ни с чем другим. Цель этого искусства состоит в
нахождении соотношений, связывающих его предмет с
указанными данными* Совершенство этого искусства состоит
в знании методов изучения, посредством которых можно
постигнуть способ определения упомянутых неизвестных,
как числовых, так и геометрических» [43, сФ 70—71].
Под абсолютными числами Хайям понимал
натуральные числа, измеримыми величинами считал линии,
поверхности, тела и время. Следовательно, предметом алгебры
у Хайяма служили дискретные и непрерывные величины
и отношения их*.
Дальше Хайям пояснил: «Алгебраические решения
производятся при помощи уравнений, т. е., как это
хорошо известно, приравнивания одних степеней другим».
Он определил степени неизвестной и подчеркнул, что
степени выше третьей (квадрато-квадраты, квадрато-кубы,
кубо-кубы) следует понимать условно — они не
представляют истинных величин. И вновь подчеркнул, что для
решения кубических уравнений необходимо пользоваться
коническими сечениями и что арифметическое решение
их неизвестно. «Может быть,— писал Хайям,—
кто-нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это для случая,
когда имеются не только три первых степени, а именно
число, вещь и квадрат» [43, с. 72].
Основную часть трактата составляют уравнения
упомянутых видов. Для квадратных уравнений Хайям привел
построения корней, основанные на геометрической
алгебре древних греков, и числовые решения, Построение
корней кубических уравнений 14 приведенных выше видов
выполнено с помощью соответствующих конических сечений.,
Хайям рассмотрел случаи, когда специально подобранные
к каждому виду конические сечения пересекаются,
касаются или не имеют общих точек. Этим самым
устанавливалось наличие или отсутствие корней (положительных,
конечно). Ввиду того что рассматривались только
положительные корни, изображались части конических
сечений, лежащие в первой координатной четверти. При
изучении различных случаев Хайяму удалось впервые
установить наличие двух корней кубического уравнения,
Возможности трех корней Хайям не заметил; это сделал лишь
78
й /J ff
еь a ;fe.
С ЛЯГ В 6 Я & Я Л
Р и с. 15
в XVI в. Д. Кардано. Уравнения вида х3 + рх + q = О,
ж3 + рх2, ~\- qx -{- г = О (p, д, г ^> 0), не имеющие
положительных корней, как и во всей алгебре стран ислама,
Хайямом не исследовались.
В качестве конкретного примера обратимся к
уравнению х3 + г = рх1, встречающемуся еще у Архимеда.
Хайям произвел построение его корней при помощи параболы
у2 = j/V (р — х) и равносторонней гиперболы ху = yV2.,
Верхние ветви их могут пересекаться, касаться и не иметь
общих точек. Это означает, что уравнение может иметь
два или один корень, а может и не иметь их.
Хайям показывает, что при условии ~]/~r > p задача не-
За —
возможна. Именно тогда при х=уг будет рх2 <^ г, при
х<^~\/~г будет px2<ir, при х^у^г будет х3^>рх2, а все
это противоречит уравнению.
Затем Хайям разбирает случаи Vr^>p/2, Уг = р]2
и У г <^ р/2, для чего строит ординаты параболы и
равносторонней гиперболы, когда х = р — j/r (рис.15).
На рис. 15 величины имеют следующие значения: АС = р,
ВС = Н=угг, АВ = р — j/r, BD — ордината
гиперболы.
3 - —
В предположении уг = р/2 получится, что орди-
Ъг-
наты гиперболы и параболы одинаковы и равны у г,
поэтому кривые пересекутся еще в одной точке (рис. 15,а),
Если угг > р/2, то х = р — V? < Vti поэтому ушп =
= уг2/(р—У^г)^уПар = угг- Следовательно, справа от
точки D кривые могут соприкасаться^ пересекаться или
79
же могут и не иметь общих точек, т. е. задача может иметь
одно, два решения, а может и не иметь их (рис. 15, б).
Если же угг<^р/2, то х = р — yrr ^> Yr и получится
г/пш < г/пар» т. е. точка D гиперболы лежит внутри
параболы, что означает наличие двух точек пересечения
и двух корней уравнения (рис. 15, в).
Как видно, Хайям произвел подробный анализ
уравнения, но границы положительных корней
установил менее точно, чем это сделал Архимед,
показавший, что положительные корни будут, когда г^4р3/27.
Хайям же указал, что при г ^ р 3/8 = 3 3/8 (ps/21)
существуют два корня, в случае г ^> 3 3/8 (р3/27) будут два,
один или ни одного корня, а когда г ^ р3 корней нет.
Все это — модернизированный пересказ рассуждений Хайяма.
Сам же он писал так. Изобразим отрезок А С, равный числу
квадратов, и построим куб, равный данному числу. Обозначим его
ребро Я. Линия Я может равняться А С, быть больше ее или меньше.
«Если Я равна А С, задача невозможна, так как тогда ребро
искомого куба будет необходимо равно Я, либо же меньше или больше.
Если они равны, произведение Л С на квадрат этого ребра будет
равно кубу Н, тогда это число будет равно числу квадратов без того,
чтобы добавить к нему куб. Если искомое ребро меньше Я,
произведение Л С на квадрат этого ребра будет меньше данного числа без
того, чтобы что-нибудь к нему добавить, и, наконец, если ребро
больше Я, его куб будет больше произведения А С на его квадрат, без
того, чтобы добавить к нему число.
Если, далее, Я больше А С, эти три случая тем более
невозможны. Поэтому необходимо, чтобы Я была меньше АС, иначе задача
будет невозможной» [43, с. 90].
Затем Хайям откладывает линию ВС = Я. На первом рисунке
она равна половине АС, на втором — больше половины, на
третьем — меньше. Вслед за этим строятся квадрат DBCE, гипербола,
проходящая через точку D и имеющая асимптоты АС и СЕ, и
парабола с вершиной в точке А, осью А С и «прямой стороной» 8 ВС. На
первом рисунке парабола пройдет через точку D, потому что квадрат
DBEC будет равен произведению АВ-ВС. Она пересечет гиперболу
еще в другой точке, «что ты можешь определить при небольшом
размышлении». На втором рисунке квадрат больше произведения
АВ'ВС и точка D будет находиться вне параболы. «Поэтому, если
эти два конических сечения встретятся в другой точке, касаясь
или пересекаясь, перпендикуляр, опущенный из этой точки,
необходимо упадет между точками А и В, и задача возможна; в
противном случае она невозможна. На это касание или пересечение не
обратил внимания досточтимый геометр Абу-л-Джуд, который решил,
что если ВС больше АВ, то задача невозможна, и упустил этот
случай. На третьем чертеже точка D расположена внутри параболы, так
что два конических сечения пересекутся в двух точках» [43, с. 91].
В таком же духе Хайям решал и другие кубические
уравнения — легко и строго. Он упомянул уравнения,
содержащие «доли вещи», «доли квадрата»^ вроде
80
1/х3 + 3/х2 -f Ых- = 33/8, которые заменой Их = z
приводил к рассмотренным. Относительно уравнения
х2 + 2х = 2 + 2-1/я2, эквивалентного уравнению
четвертой степени, Хайям высказал утверждение, что не
существует способа решения его и аналогичных ему.
Идеи исследования кубических уравнений,
принадлежавшие Хайяму, развивал ал-Каши (ум. ок. 1430),
распространивший метод геометрических построений на
уравнения четвертой степени. Он построил
приближенное решение уравнения трисекции угла хъ + #=
= рх, в котором х = sin а, р = 3/4, q = sin За/4,
и применил его для вычисления sinl°, которое произвел
с точностью до 18 верных знаков.
Заметим, однако, еще раз, что работы Хайяма до
XIX в. не были известны и на развитие математики
в Западной Европе оказать влияние не могли.
8
Обратим теперь свой взгляд на состояние
интересующего нас вопроса и всей математики в те же времена
в Европе. Наука об этом располагает скудными
сведениями.
Господство Римской империи привело к упадку
экономики и застою науки. Центрами грамотности
стали монастыри и церкви. Это обусловило ведущую
роль церковной догмы в мышлении. Богослов Иоанн
Дамаскин (ок. 675 —ок. 753), автор «Точного
изложения православной веры», писал, что «решение проблем
мироздания несущественно. Важно сознавать, что
все в мире определяется деятельностью творца».
Низкий уровень хозяйства не предъявлял к
математике требований, стимулирующих ее развитие.
В хозяйстве и в быту необходимы были только способы
элементарного счета с целыми числами и дробями и
измерения простейших фигур.
В монастырях к математике предъявлялись те же
требования и добавлялись еще задачи, связанные с
календарем и определением дней церковных праздников.
Изучаемые науки традиционно делились на «семь
свободных искусств»: тривиум (трехпутье) и квадривиум
(четырехпутье). Первый цикл — тривиум — включал в
себя грамматику, риторику (искусство красноречия)
и диалектику (элементарную логику). Второй —
квадривиум — составляли арифметика (изложение прос-
81
тейших свойств чисел и числовой мистики), геометрия,
астрономия (составление календарей и гадание по
звездам) и музыка (учение о гармонии). Мистика и магия
соседствовали с наукой.
С конца XI в. в Европе появляются условия для
развития науки и техники. Они были вызваны
значительными изменениями в экономике: возникают
различные ремесла, растут города, развивается торговля,
увеличивается продуктивность сельского хозяйства.
Во время крестовых походов европейцы ознакомились
с культурой Востока.
Развивающееся хозяйство нуждалось в
специалистах. Возникли светские школы, университеты. В Европе
началось серьезное изучение наследства древних
греков и арабов; этот процесс затянулся надолго.
Структура университетов была примерно одинакова.
Они состояли из четырех факультетов: искусств,
богословия, права и медицины. Сначала шло обучение на
факультете искусств (оно продолжалось около шести
лет), затем студент мог перейти на любой другой
факультет. Наиболее влиятельным был богословский
факультет, обучение на котором длилось около восьми лет.
Математика изучалась в объеме квадривиума на
факультете искусств. Ее программа включала в себя
одну или две книги «Начал» Евклида, теорию
пропорций, сведения из оптики, теорию движения светил,
сферическую астрономию. Как курьез можно привести
такой факт: даже в начале XVI в. кандидаты на степень
магистра искусств в Парижском университете не
сдавали экзамен по геометрии,: а присягали в том, что
прослушали лекции по шести первым книгам «Начал».
Теология играла главенствующую роль в
идеологической жизни. Она основывалась на догматизированном
и канонизированном учении Аристотеля, религиозных
учениях «отцов церкви», системе мира Птолемея,
Передовые мыслители видели несостоятельность
догматизированных концепций Аристотеля, но бороться
против его взглядов — значило выступать против
католической церкви, а на это отваживались немногие.
Учение церкви требовало построения целой системы;
такая система получила воплощение в схоластической
теологии, господствовавшей в школах и университетах.
Средневековую науку называют схоластической
(дословно — школьной), схоластикой. Это слово в наши
дни ассоциируется с чем-то примитивным. Но в средние
82
века перед схоластикой стояли определенные научные
задачи, и она с ними справлялась. Куно Фишер
(1824—1907) в «Истории философии» отмечал, что нелепо
жаловаться на пустоту и бесплодие схоластики и
«бранить лес за то, что он не фруктовый сад».
В России и в странах Восточной Европы развитие
науки и культуры в это время задерживалось
иноземными нашествиями^ Нашествие монголов не только
сдерживало развитие России в XIII—XV вв., но и
отбросило ее назад, Пушкин сказал, что татары не
походили на мавров: они не подарили России ни алгебры,
ни Аристотеля.
Несмотря на идеологическое засилие церковных
догм, с ростом производства практика ставила перед
наукой все более сложные задачи. Существенное
влияние на ее развитие оказали великие географические
открытия конца XV — начала XVI в. Морские
экспедиции поставили новые задачи перед астрономией,
механикой, математикой.
Достижения науки и прогрессивные идеи средних
веков вместе с техническими и производственными
усовершенствованиями послужили основой научной
революции XVII в*
9
Первым европейским математиком, которому удалось
осветить многие вопросы и внести в математику свой
вклад, был Леонардо Пизанский (Фибоначчи, сын Бо-
наччи, 1180—1240), написавший «Книгу абака»,
длительное время служившую основным трудом, по
которому изучали математику* В «Книге абака» рассмотрены
арифметические действия, различные задачи, указаны
методы их решения; арифметика и алгебра линейных
и квадратных уравнений изложены с небывалой до
этого (да и долгое время спустя) строгостью и полнотой.
Задачи Леонардо и приемы их решения разошлись
в XV—XVI вв* по многим книгам на разных языках.
Они встречаются и в знаменитой «Алгебре» Эйлера,
изданной в 1768—1769 гг*
Существо задач Леонардо излагает словесно;
неизвестную он называет res (вещь) или radix (корень);
квадрат неизвестной — census (имущество) или quadra-
tus (квадрат); данное число — numerus. Все это —
латинские переводы соответствующих арабских слов.
83
Леонардо Пизанский получил важный результат:
он доказал, что уравнение х3 + 2х% + Ю# = 20 не
может иметь целых (положительных) корней и что корни
его не представимы в виде иррациональностей,
рассмотренных Евклидом. Он привел приближенное значение
корня этого уравнения в шестидесятеричных дробях,
отличающееся от истинного всего на 3-Ю"11.
Современник Леонардо Пизанского Иордан Немора-
рий (XIII в.) употреблял буквенные обозначения более
систематично и решал задачи с применением линейных
и квадратных уравнений (а также систем уравнений)
сначала в общем виде, а затем иллюстрировал их
числовыми примерами.
Французский епископ Ииколь Орем (1323—1382)
рассматривал «дробно-рациональные отношения»,
соответствующие современным степеням а1/г, а1/*, а3/з
и т. д., сформулировал правила операций с этими
отношениями. Орем вплотную подопнЗл к понятию
иррационального показателя. Он доказал расходимость
гармонического ряда 1 + V2 + V3 + V4 + ...
Выдающимся алгебраистом своего времени был
монах-францисканец Лука Пачоли (ок. 1445 — ок. 1514),
друг Леонардо да Винчи (1452 — 1519), работавший
профессором математики в университетах и различных
учебных заведениях Рима, Болоньи, Неаполя,
Флоренции, Милана и других городов.
В 1494 г. вышел его основной труд «Сумма знаний
по арифметике, геометрии, отношениям и
пропорциональности». Алгебру Пачоли называл «правилом вещи»
(regula della cosa) и «великим искусством» (arte magiore).
Он ввел «алгебраические буквы», дал обозначения
квадратному и кубическому корням, корню четвертой степени;
неизвестную х он обозначал со (cosa — вещь), х2 — се
(censo — квадрат, от латинского census), х3 — cu (cubo),
?4 — се. се. (censo de censo), x5 — p°r° (prima relato —
«первое отношение») и т. д.; свободный член
уравнения — /г° (numero — число). Специальными символами
Пачоли обозначил вторую неизвестную и ее степени.
Для обозначения операции сложения он пользовался
знаком p(plus — больше), для обозначения
вычитания — знаком т (минус — меньше). Он сформулировал
правила умножения чисел, перед которыми стоят
знаки р и /гг.
В той же книге Пачоли изложил теорию
разработанной им двойной бухгалтерии. Предполагается, что
84
на его трактовку отрицательных чисел как долга оказала
влияние двойная бухгалтерия, в которой денежные
операции записываются в столбцах «кредит» (доход)
и «дебет» (долг).
Раздел «Суммы», посвященный алгебраическим
уравнениям, Пачоли закончил замечанием о том, что для
решения кубических уравнений х3 + ах = Ъ и хъ + Ъ =
= ах «искусство алгебры еще не дало способа, как
не дан еще способ квадратуры круга».
Некоторый шаг в совершенствовании
алгебраической символики сделал бакалавр медицины Н. Шюке
(ум. ок. 1500 г.), который в книге «Наука о числах
в трех частях» изложил правила действий с
рациональными и иррациональными числами и теорию
уравнений. Для сложения и вычитания он вслед за Пачоли
пользовался знаками р и т, знак т служил у него и
для обозначения отрицательного числа. Неизвестную
величину он называл premier («первое число»), а ее
степени — вторыми, третьими и т. д. числами. Записи
степеней у Шюке лаконичны. Например, вместо
равенства 8х3 • Ix'1 = 56#2 Шюке писал: «83, умноженное
на 7lim, дает 562». Таким образом, он рассматривал и
отрицательные показатели. Относительно свободных членов
уравнения Шюке указывал, что эти числа «имеют имя
нуль».
В таком состоянии подошла теория уравнений к
рубежу, на котором предстояло свершиться великим
открытиям. Как ни значительны были достижения
греческих, индийских, арабских и западноевропейских
математиков, крепость, содержащая уравнения третьей
и четвертой степеней, оставалась неприступной.
Великие открытия
1
В XV и XVI столетиях произошел небывалый взлет
науки и искусств, и эти столетия именуют эпохой
Возрождения. Но они, кроме того, характеризуются
глубокими социальными преобразованиями: в недрах
феодального строя возникали капиталистические
общественные отношения, создавалась новая, более
прогрессивная формация — буржуазное общество.
Расширялось ремесленное производство, наблюдался дальней-
85
пшй рост городов, чрезвычайно оживились торговля
и мореплавание. Появились мануфактуры.
Книгопечатание и наличие сравнительно дешевой бумаги сделали
достижения науки доступными широким слоям
населения»
Утверждение гелиоцентрической системы мира,
выдвинутой Н. Коперником (1473—1543) вместо
геоцентрической системы Птолемея, вызвало революционный
переворот в естествознании* Новый взгляд на систему
мира дал импульс развитию физических и
математических наук.
Значительного успеха в совершенствовании
введенных в алгебру Лукой Пачоли математических знаков
добились немецкие алгебраисты — «коссисты». Это
название объясняется тем, что они именовали алгебру
Coss по аналогии с итальянским cosa — вещь
(неизвестная величина). Коссисты вместо р и т ввели + и —,
знаки для неизвестной, ее степеней и свободного члена,
которые получили название «коссические знаки» и
распространились во многих странах Европы.
XVI в. в алгебре, да и во всей математике,
ознаменован величайшим открытием — решением в общем виде
уравнений третьей и четвертой степеней. Проблема
решения их занимала математиков около двух
тысячелетий; ее разрешение было подготовлено всем ходом
развития науки.
Среди итальянских университетов того времени
одно из первых мест занимал университет Болоньи.,
С 1496 по 1526 г. профессором математики в нем был
Сципион дель Ферро (1456—1526). Известно, что в 1505 г„
он нашел решение кубического уравнения вида х3 +
+ ах = b, a,b^>0.
Свое решение дель Ферро не опубликовал, а сообщил
зятю и преемнику по должности Аннибаллу делла Наве
и одному из учеников — Фиоре.
Утаивание научного открытия такого типа с
современной точки зрения может показаться странным* Но
в те времена поступок дель Ферро был легко объясним.
Журналов, предназначенных для публикации научных
статей, еще не было, выпуск книги — дело длительное
и дорогостоящее. Обладание общим методом решения
некоторого класса задач доставляло ученому большие
преимущества перед другими математиками, В
описываемую эпоху получил распространение особый вид
общения и соревнования ученых — научный диспут
86
(поединок, турнир)*, Такой поединок по математике
состоял в том, что два математика предлагали друг
другу для решения определенное количество задач
с числовыми данными* Выигрывал тот, кто решал
большее число предложенных задач. Победитель
получал денежное вознаграждение, известность, нередко
ему предлагались должности на выгодных условиях*
Неизвестно, принимал ли дель Ферро участие в таких
турнирах, но Фиоре участвовал неоднократно, И в
основном пользовался сообщенным ему методом
решения уравнения вида х3 + ах = Ъ.
В одном из поединков, 12 февраля 1535 г., Фиоре
встретился с Никколо Тартальей (1500—1557),
настоящая фамилия которого, как предполагают, Фонтана.
Тарталья был выдающимся математиком, обладал
блестящими способностями и большой силой воли. Прожил
он тяжелую жизнь. Шестилетним мальчиком он вместе
с родственниками спасался в церкви от захвативших
его родную Брешию французских войск. Старинный
обычай — прятаться в храме — не уберег от несчастья:
Тарталья получил увечье гортани от згДара мечом. После
этого Никколо остался на всю жизнь заикой, отсюда
его прозвище (tartaglia — заика).
Бедность не позволила Тарталье получить
достаточное образование: он не мог даже обучиться грамоте,
В то время родители ребенка должны были платить
учителю трижды: перед началом учебы — первый разв
когда ученик достигал в алфавите буквы к — второй, по
изучении всей азбуки следовал окончательный расчет.
Мать Тартальи, к тому времени овдовевшая^ смогла
заплатить только аванс, так что мальчик под
наблюдением учителя выучил лишь половину алфавита. Дальше
он овладевал знаниями уже сам, проявив
необыкновенную любовь к наукам и настойчивость в учении.
В доме не было бумаги; это не остановило мальчика: он
упражнялся в письме и счете на кладбищенских
могильных плитах* В книге «Вопросы и различные
изобретения» о трудностях и перенесенных лишениях Тарталья
писал: «С тех пор я учился сам, и у меня не было другого
наставника, кроме спутницы бедности —
предприимчивости».
Турнир намечался на 12 февраля. Тарталья
предполагал, что легко победит Фиоре, но, узнав, что Фиоре
владеет секретом дель Ферро, приложил много усилий,,
чтобы открыть способ решения кубических уравнений.
87
Его старания не были напрасными. Вот его слова:
«...приложил все рвение, прилежание и искусство, чтобы
найти правило этих уравнений, и это удалось за десять
дней до срока, т. е, 12 февраля,, благодаря счастливой
судьбе».
К диспуту участники подготовили по 30 задач, текст
которых был отдан на хранение нотариусу. За каждую
решенную задачу полагался приз — 5 сольди. В день
диспута Тарталья за два часа решил все задачи Фиоре,
противник же его, по словам Тартальи, не решил ни
одной, даже тех, которые мог бы решить по правилу
дель Ферро.
Через день после диспута Тарталья решил также
уравнение х3 = ах + 6, а, 6^>0.
Все это было величайшим открытием. Надо обладать
достаточным мужеством, чтобы взяться за задачу, не
поддающуюся усилиям выдающихся математиков около
двух тысячелетий. Популярность Тартальи сильно
возросла: его приглашали преподавать математику
в Верону, Венецию, Пьяченцу, Брешию.
Но на этом изучение кубических уравнений не
закончилось. Завершил построение алгоритма решения
их Кардано — замечательный представитель эпохи
Возрождения.
2
Джироламо Кардано родился 24 сентября 1501 г.
в семье юрисконсульта Фацио Кардано в местечке
недалеко от Милана. Первые четыре года мальчик
провел у кормилицы в деревне, где едва не погиб от
чумы, затем жил вместе с родителями в Милане. У отца
была обширная клиентура, и он часто отлучался из
дома.
В возрасте 6 лет мальчик сильно заболел, и в это
время сказал отцу, что его посещают видения; такие
явления будто бы продолжались долгие годы.
Не следует удивляться этому: нужно учитывать
обычаи, верования, мораль, пороки того времени, когда
широкое распространение получили магия, мистика,
астрология, вера в духов; было убеждение, что
обладающий знаниями человек может получить помощь
фантастических существ — вот для чего нужна наука.
Один из биографов Кардано писал, что глубочайшая
набожность его соседствовала с грубейшими
суевериями.
88
Когда Джироламо исполнилось восемь лет, отец
стал брать его с собой и ходил с ним к своим клиентам
в городе и вне его. Он рассказывал сыну о магах,
демонах, чудесах, одновременно обучал арифметике,
геометрии, началам арабской астрологии, языкам,
искусству вести полемику. Мальчик показывал выдающиеся
способности, усваивал все быстро и хорошо и не заметил,
как стал знать гораздо больше, чем его сверстники,
обучающиеся в школе.
На восемнадцатом году Джироламо поступил на
медицинский факультет университета Павии, затем
продолжил свое образование в университете Падуи,
который и окончил в 1524 г. В городке Сакко, примерно
в 6 милях от Падуи, Кардано начал медицинскую
практику. Здесь он женился на молодой Лючии Бондарени.
У них было трое детей.
Вначале коллегия врачей Милана отказала Кардано
в приеме, мотивируя свое решение тем, что он
незаконнорожденный сын (его отец и мать долгое время жили,
не оформив брак). Кардано сильно бедствовал. В эти
годы он написал много работ по медицине, философии,
математике, но они не приносили ему дохода и славы.
Лишь в 1539 г. по протекции знатного вельможи, у
которого Кардано вылечил сына, он был принят в
коллегию миланских врачей.
С этого времени у Кардано появилась обширная
медицинская практика, он преподавал в различных
университетах. Удача сопутствовала ему, уровень жизни
стал достаточно высоким, и слава его все время росла.
В написанной в конце жизни «Автобиографии» Кардано
упоминает, что им разработаны приемы лечения около
5000 болезней, число разрешенных им проблем
достигает 40 тысяч, а более мелких вопросов — 200 тысяч.
Он сравнивает себя с великими врачами
предшествующих поколений — Гиппократом, Галеном, Авиценной.
В 1570 г. Кардано попал в тюрьму. О причинах
осуждения в «Автобиографии» он не пишет. Версии
биографов различны: обвинение в черной магии и
наговоры завистников, обвинение инквизиции в связи
с опубликованием гороскопа Христа, большие долги
сына; выдвигались и другие причины.
После двухмесячного заключения Кардано вернулся
домой и еще 89 дней находился под домашним арестом.
Ему было запрещено преподавать и публиковать книги*
89
Высокопоставленные друзья настаивали на топ,
чтобы Кардано отправился в Рим искать
покровительства папы, который пользовался услугами его как
астролога. В конце 1571 г* Кардано переехал в Рим и в
1573 г. получил от папы пожизненную пенсию. В
последние годы жизни Кардано был нелюдим, много
размышлял в уединении, приводил в порядок рукописи*
Умер Кардано в Риме 20 сентября 1576 г*
Обстоятельства его смерти неизвестны. Существует легенда, что
будто бы он умертвил себя в тот день, который
предсказал собственным гороскопом.
Близкие Кардано прочили ему непродолжительную
жизнь. Уверовав в это, он старался написать как можно
больше,, чтобы оставить о себе память, Изданное в 1663 г«
в Лионе собрание сочинений Кардано составило 10
больших томов*
Кардано был выдающимся представителем
последних десятилетий «предрассветной эпохи»* Его книги
носят энциклопедический характер. Они содержат
научные наблюдения, сведения о состоянии науки, техники,
описание верований, суеверий, алхимических опытов.
В них — медицина, философия, астрология,
математика, мистика, магия, хиромантия, рассказы о снах
Кардано и его отца, толкование снов, суждения об
азартных играх1, гороскопы (Петрарки, Лютера, Везалия,
Христа, английского короля Эдуарда VI и др.) и т. д*
Книги Кардано «О тонкости» и «О разнообразии
вещей» дают наиболее полное изложение состояния
естественных и физических наук в XVI в. Они вместе
с «Великим искусством» получили распространение
в других странах и длительное время изучались в
различных учебных заведениях.
Имя Кардано носит не только формула решения
кубического уравнения. Известны карданов подвес,
карданный вал, карданный механизм,, Идея карданова
подвеса была известна в античности, а Леонардо да
Винчи в одной работе поместил рисунок судового
компаса с таким подвесом; эти компасы в начале XVI в,
получили достаточное распространение.
3
Вернемся к кубическим уравнениям. На исходе 1536 тф
в Милане появился математик Д, да Кои, который ветре-*
тился с Кардано и сообщил емуд что Тарталья из Брепшй
90
и Фиоре из Болоньи знают найденный дель Ферро способ
решения уравнений третьей степени. Кардано в то время
был занят другими делами, поэтому не занимался этой
задачей,
В начале 1539 г* он задумал написать книгу по
математике, которая представляла бы энциклопедию всего
известного в арифметике и алгебре. Ему хотелось
поместить в книгу и уравнения третьей степени. Кардано
вспомнил разговор с да Кои и 12 февраля 1539 г.
отправил Тарталье письмо с просьбой сообщить метод решения*
18 февраля Тарталья прислал ответ, но о методе
решения уравнений третьей степени в нем ничего не
говорилось.
В результате предпринятых Кардано шагов 25 марта
того же года Тарталья приехал в Милан и встретился
с Кардано. Кардано поклялся «на святом божьем
Евангелии и как истинно благородный человек» никому
не открывать секрет решения, и Тарталья под
впечатлением клятвы сдался. «Если бы я не поверил такой
клятве,— писал онг— то сам стал бы человеком,
недостойным доверия».
Тарталья избрал необычную форму сообщения
секрета: изложил его в терцинах, на манер «Божественной
комедии» Данте (1265—1321). Начало описания таково:
Когда куб с вещами вместо
Равны какому-нибудь числу,
Найди два других, на него разнящихся. . •
В стихотворении Тарталья указал решение
уравнения
х3 + ах = Ь, а, Ъ > Oj (1)
в виде x=yu — yv, где и — v ¦* bf uv = (а/3)%
откуда и и и отыскиваются как корни квадратного
уравнения. Далее он находил решение уравнения
х3 = ах + 6, а, &> 03 (2)
в виде х=^и + У~и, где и + v = b, uv =* (а/3)3. Там
же Тарталья упомянул, что уравнение
Xs + Ъ = ах, а, Ъ ^> 0Л (3)
можно решить с помощью уравнения (2)#
Последнее утверждение очевидно, поскольку между
уравнениями (2) и (3) существует связь, в силу которой
91
их корни равны по абсолютной величине, но
противоположны по знаку. Например, уравнение х3 = Зх + 2
имеет корни хг = 2, #2,з= — 1> уравнение же хъ +
+ 2 = З.г — корни «ri = — 2, х2, з — 1-
В те времена избегали отрицательных корней
уравнений и задачи, приводящие к отрицательным корням
уравнения (2), преобразовывали так, чтобы они
приводили к положительным корням уравнения (3). Кар-
дано позже осознал выгоду рассмотрения отрицательных
корней.
Возникают некоторые вопросы. Почему дель Ферро
не открыл метод решения уравнения (2), зная его для
уравнения (1)? Приходится только гадать.
Высказывается предположение, что при рассмотрении числовых
задач он мог встретиться с неприводимым случаем
(о нем будет сказано дальше), перед которым отступило
искусство и Тартальи, и Кардано. Тарталья,
хваставший умением решать уравнения, может быть,
неприводимый случай не сразу обнаружил или надеялся
впоследствии разрешить и его.
Почему оперировали только с уравнениями (1) и
(2)? Это вопрос простой и на него дал ответ
Кардано. Чтобы разобраться, рассмотрим полное уравнение
у3 + ay2 + by + с = 0.
Не следует думать, что Тарталья и Кардано писали
такие уравнения. Нет, так стали поступать намного
позже. Записывать все члены уравнения в одной части,
приравнивая их нулю, начал Декарт. Да и символики
не было, пользовались прообразами символов и словами.
Уравнение х3 -\- ах = Ъ записывалось примерно так:
«куб» (х3) р некоторое количество (а) «вещей» (х) равно
«числу» (Ь).
Полное уравнение можно преобразовать в неполное,
не содержащее члена с квадратом неизвестной. Сделаем
замену у = х + а и подставим в уравнение; получим
х3 + (За + а)х2 + (За2 + 2аа + Ь)х + (а3 + аа2 +
+ Ьа + с) = 0.
Положим За + а = 0. Найдем отсюда а = —а/3
и подставим в выражения р = За2 + 2аа + b, q =
= а3 + аа2 + Ьа + с. Тогда уравнение примет вид
х3 + р% + q = 0. В нашей символике оно
соответствует уравнениям (1) и (2), которые решал Тарталья.
Кардано в стихотворении Тартальи не разобрался
92
и 9 апреля 1539 г. послал ему просьбу дать
разъяснения. Переписка продолжалась, 12 мая Кардано
подтвердил данную ранее клятву и отправил Тарталье
только что вышедшую книгу «Практика общей
арифметики»2. Он, видимо, стал совершенствовать метод Тар-
тальи, но столкнулся с затруднениями в неприводимом
случае; в письме 4 августа он сообщил об этом. Как
только Кардано коснулся неприводимого случая, Тар-
талья перестал ему отвечать.
В 1545 г. вышла в свет знаменитая книга Кардано
«Великое искусство, или об алгебраических
преобразованиях». Кардано нарушил клятву и опубликовал в ней
решение дель Ферро — Тартальи, указав, что Тарталье
принадлежит честь открытия «такого прекрасного и
удивительного, превосходящего человеческое
остроумие и все таланты человеческого духа, истинно
небесный дар, такое доказательство силы ума, его
постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него
непостижимым». Несмотря на столь пышное признание
заслуг Тартальи, формула для решения уравнений
третьей степени носит название «формулы Кардано».
Тарталья был глубоко обижен поступком Кардано.
Он давно намеревался написать книгу об уравнениях,
но откладывал из-за занятости другой работой. Не
прошло и года после выхода книги Кардано, как
Тарталья выпустил «Вопросы и различные изобретения»,
где осветил историю своих взаимоотношений с Кардано.
Он называл Кардано невеждой, «беднягой со скудным
содержанием».
Ученик Кардано Луиджи Феррари (1522 — 1565)
вступился за своего учителя и послал 10 февраля 1547 г.
Тарталье вызов на публичный диспут. Вызовы (картели)
и ответы продолжались около полутора лет. Ссора
закончилась диспутом Феррари с Тартальей (10 августа
1548 г.), принесшим поражение Тарталье. Такова
история вопроса. Она так запутана участниками, что
установить истину можно только предположительно.
Выведем теперь формулу Кардано. Вывод может
показаться крайне простым, но надо помнить, что задача
ждала своего разрешения около двух тысячелетий. Дель
Ферро и Тарталья угадали вид иррациональности,
которую должны иметь корни уравнения. Тарталье было
легче: он знал, что решение существует.
Рассмотрим уравнение х3 + рх + q = 0, к которому
сводится полное уравнение третьей степени.
93
Введем новые неизвестные х = и + и и подставим их
в исходное уравнение; получим
ид + v3 + {3uv + p) (и + v) + q = О,
Приравняем 3uv + p нулю; уравнение примет вид
и3 + v3 + q = О,
Тогда
ии = —р/3, и3 у3 = —р3/27, 1^8 + у3 = — д*
Выражения и3 и v3 можно принять за корни квадратного
уравнения z2 + qz — р3/27 = 0, Решая его, получим
ег = -q/2 + УдЩ + р8/27, z2 =» -д/2 -
- /д2/4 + р3/27*
Таким образом^
х = и + у = /zi + / z2.
*= у/_ g/2 + YQ 2/4 + pW+
+ ^-g/2-l/g74 + P3/27,
Это и есть формула Кардано«, Нелишне заметить, что
в таком виде Кардано ее не искал: он формулировал
решение уравнений (1)и(2) и рассматривал связь между
уравнениями (2) и (3)ft
Уравнение (2) соответствует случаю р < 0* Если при
этом | р3/27 | > дЩх то будет д2/4 + р3Ш < 0А и
квадратный корень в формуле Кардано даст мнимость* Этот
случай получил название неприводимого^ так как решение
уравнения третьей степени не приводится к решению
квадратного уравнения, Как уже говорилось, с ним не
справились ни Тарталья, ни Кардано* Его с помощью
тригонометрии проанализировал Виет*
4
Книга Кардано «Великое искусство» посвящена
решению уравнений. И хотя Кардано рассматривал только
числовые примеры и символика его несовершенна, книга
представляет собой значительный шаг в развитии алгеб-
ры, да и всей математики, Кардано^ обладавший более
высокой математической культурой, чем Тарталья, сумел
из рецептуры решения уравнений (1) и (2) получить
глубокие выводы, Он высказал несколько идей,; нашедших
дальнейшую разработку у последующих алгебраистов*
94
Для решения уравнения (3) х3 + Ь = ах Кардано
применил такой прием. Он записал уравнение типа (2)
У3 = ау + Ъ. (4)
Затем получил выражение х через г/:<
Ъ = ах — х3 = у3 — ау, ах — х3 = у3 — ау,
х {а — х2) = у (у2 — а), (у2 — а): (а — х2) = х: у,
(у2 — а + а — х2): (а — х2) = (х + у): у,
(у2 — х2): (у + х) = [а — х2): у, {у — х): 1 = (а — х2): у,
у2 — ху = а — х2у х = у/2 ± Ya — Зг/2/4. (5)
Отсюда следует, что по известным корням уравнения
(4) относительно у можно найти корни уравнения (3). Но
этот прием не дает решения уравнения (3) при любых
значениях а и Ъ. Применимость его ограничивается случаем,
когда (а/3)3 = (Ь/2)2 и когда корень уравнения (4)
известен.
Кардано знал о существовании положительного корня
уравнения (4). В более позднем сочинении «Великое
искусство арифметики» он высказал утверждение: если члены
левой части уравнения более высокой степени, чем праъой,
jto уравнение имеет только один положительный корень
(предполагается, что все коэффициенты положительны).
Это относится и к уравнению (4). Значит, уравнение (3)
имеет отрицательный корень — у (ложный корень).
Кроме того, в неприводимом случае есть еще два
положительных корня, для получения которых Кардано находит
уравнение с помощью операции деления на ж — (— у) =
= х + у.
Из квадратного уравнения у2 — ху = а — х2 следует,
что абсолютная величина отрицательного корня у равна
сумме положительных корней х. Уравнения (2) и (3)
получаются одно из другого изменением знаков корней,
поэтому Кардано замечает, что в неприводимом случае
уравнение (2) имеет один положительный и два
отрицательных корня. Он рассмотрел уравнения х3 + 10х =
= 6х2 + 4, х3 + 21.* = 9х2 + 5, х3 + 26* = 12я2 + 5 и
нашел у каждого из них по три корня: (2|_2 + /2; 2 —
-Y2); (5; 2 + /3; 2 - /3), (2; 5 + /19; 5 - /19),
Уже это было большим достижением в то время, потому
что никто раньше трех корней не находил. Кардано
пошел еще дальше: он сложил корни и установил, что
сумма их равна коэффициенту при х2. Это было
приближением к теореме Виета^
95
Кардано разработал способ освобождения уравнения от члена,
содержащего х2. Для уравнений хв = ах2 + Ь, Xs -\- ах2 = Ь он
предложил с этой целью подстановки х=у-{-а/Зшх=у — а/3.
Уравнение хг -f- 6х2 =100 подстановкой х = у — 2 он свел к урав-
V 7=
нению уъ = 12г/ -[- 84 и записал решение х = у 42 -|- у 1700 -f-
4- У 42 — |/Ч700. Уравнение хъ -\- Ъ = ах2 подстановкой х =
= у^Ь21у Кардано преобразовал в у3 + Ъ = уа j/"b, а это, в свою
очередь, решал с помощью уравнения z3 = za j/~b -j- Ь.
Таким образом, полное уравнение хъ + Ъх = ах2 + с
подстановкой х = у ± а/3 было сведено к известным
ранее. Если существуют три действительных корня, то
сумма трех значений у равна нулю, а сумма трех значений х
равна а.
В работах Кардано встречаются комплексные числа,
которые он называет «чисто отрицательными». Он получил
их при решении задачи о делении числа 10 на две части
так, чтобы произведение этих частей равнялось 40, т. е.
при решении системы х + у = 10, ху = 40.
Кардано показал, что заданным условиям
удовлетворяют числа 5 ±Y—1^' если их перемножать как
двучлены и считать, что — ]/"—15 •]/"—15 = 15.
В изложении Кардано это выглядит так: «Бери половину 10,
т. е. 5. Умножь ее на себя, получишь 25. Отними отсюда требуемое
произведение, получишь — 15. Прибавь к 5 и отними от 5 "\[—15,
получишь 5 + ]/"—15 и 5 — j^—15. Умножь 5 + \f—\Ъ
на 5 — |/~—15; произведения накрест выпадут и получится
25 — (—15). Таким образом, произведение равно 40». Далее Кардано
поясняет, что результат покоится на формальной логике, поскольку
не установлено, как производить вычисления — так же, как с
отрицательными величинами, или придавать им иной смысл.
Чтобы получить представление о символике Кардано, приведем
пример записи корня кубического уравнения хъ -\- Qx = 20.
Выражение V 1/408 + 10 — 1/^108 — 10 записывалось так:
Rx. u. cu. Rx. 108р10 | mRx. u. cu. Rx. 1080*10.
Здесь Rx — знак корня (Radix), Rx. u. cu. (Radix universalis
cubica) означает кубический корень из всего выражения до
вертикальной черты или после нее, р и т — сокращения слов plus u
minus.
Книга «Великое искусство» примечательна еще и тем,
что в ней впервые опубликовано решение уравнения
четвертой степени. Искусственными приемами Кардано
удалось решать некоторые уравнения. Например, уравнение
х* ± ах = bx2 + a2/ib он свел к х* = Ъ (х =F а/26)2, ко-
96
торое после извлечения корня из обеих частей дает
квадратное. Более общее уравнение Кардано получил при
решении задачи да Кои: число 10 представить в виде суммы
таких трех чисел, чтобы произведение первых двух
равнялось 6, а сами числа составляли геометрическую
прогрессию. Задача приводит к уравнению я4 + 6х2 + 36 =
= 60#. Кардано его не решил.
Открыл метод решения уравнений четвертой степени
23-летний ученик и воспитанник Кардано Луиджи
Феррари.
О Феррари известно немного. Родился он в Болонье.
Его отец был убит интервентами-французами. Маленький
Луиджи скитался по стране и зарабатывал тем, что умел
хорошо читать и писать (тогда это было редкостью).
Каким-то образом Феррари попал в дом Кардано.
Выдающиеся способности мальчика и любовь к учению расположили
к нему хозяина дома. Феррари быстро освоил латинский
и греческий языки и значительно продвинулся в
математике, после чего стал помогать Кардано в оформлении
книг.
К моменту диспута с Тартальей Феррари уже овладел
вершинами математики, открыл метод решения уравнений
четвертой степени. После победы над Тартальей он
получил предложение читать лекции в Риме, Венеции и
расстался с Кардано. В 1565 г. Феррари внезапно скончался.
Феррари рассматривал уравнение, не содержащее я3,
т. е. вида
х* + ах2 + Ъх + с = 0. (6)
Он преобразовывал уравнение так, чтобы в левой
части его был полный квадрат, а в правой — выражение не
выше второй степени относительно х. В книге Кардано
это выполнялось на частных примерах. Общий же прием,
предложенный Феррари, такой. Из уравнения (6)
выделением полного квадрата получалось
(х2 + а/2)2 = х* + ах2 + а2/4 = -Ъх - с + а2/4,
(х2 + а/2)2 = — Ъх — с + а2/4.
Теперь следовало выполнить такие преобразования,
чтобы из левой и правой частей можно было извлечь
квадратный корень. С этой целью Феррари ввел новую
неизвестную t и прибавил к обеим частям уравнения 2 (х2 +
+ а/2) t. Это дает
(х2 + а/2 + t)2 = 2tx2 — Ъх — с + at + а2/4 + *»,
(х2 + а/2 + t)2 = 2tx2 -bx + {-c + a2/i + at + t2).
97
Нужно, чтобы правая часть была полным квадратом*
Вспомним, как обстоит дело с трехчленом ах2 + Ъх + с9
Выделим в нем полный квадрат:
ах2 + Ъх + с = а (х2 + bxla + с/а) = а (х2 +
+ 2хЫ2а + ЪЩа2 - ЬЩа2 + с/а) = а (х + Ы2а)2 +
+ (Аас - Ь2)/4а29
Трехчлен будет полным квадратом, когда Аас — Ъ2 = О*
В нашем случае роль коэффициента при х2 играет 21,
а роль свободного члена — выражение в скобках в
правой части уравнения. Тогда выражению 4ас — Ъ2 = О
соответствует 4-2? (t2 -\- at -\- а2/\ — с) — Ъ2 = О, Ъ2 =
= 2t (it2 + Ш + а2 - 4с).
Таким образом, нахождение t свелось к решению
кубического уравнения, а х находится из квадратного
уравнения после извлечения квадратного корня из левой и
правой частей, т. е. из уравнения
х2 + а/2 + t0 = ± V2J~o (х — b/it0).
Кар дано отметил, что таким же приемом можно решать
уравнения, в которых отсутствует член не с третьей
степенью ж, ас первой. В этом случае применяется
подстановка х = к/у.
И еще одно важное достижение содержит «Великое
искусство». Кар дано видел трудности аналитического
решения уравнений третьей и четвертой степеней. Он
разработал и изложил метод приближенного решения уравнений
любой степени, основанный на «правиле двойного ложного
положения». Метод Кар дано дает возможность получать
последовательные приближения к корню уравнения.
Были у Кардано и другие работы по алгебре. В
«Правиле трудных случаев» Кардано утверждает, что можно
найти несколько корней уравнения, когда его «константа»
(свободный член) — число составное. Если же оно
простое, то трудно найти и единственный корень. И десь
угадывается теорема Виета. Кардано показывает, что целое
число может состоять из иррациональных множителей,
например:
(3v5 + У%л) (3V5 - V %7) = ю..
5
Открытия, сделанные итальянскими математиками в
алгебре и систематически изложенные в «Великом искусстве»
Кардано, стали доступны математикам других стран и
дали импульс развитию науки.
Дальнейшее развитие алгебры связано с
совершенствованием символики и с разработкой общих методов
решения уравнений. Дело обстояло не так просто, как может
показаться на первый взгляд. После работ Кардано
алгебра стала располагать правилами решения 66
различных форм уравнений, приводимых к квадратным и
кубическим. Ведь в те времена уравнения, например х2 +
+ Зх = 7, х2 = Зх + 7, х2 + 7 = Зх, не были объединены
одной формой х2 ± Зх ± 7 = 0, т. е. тем видом х2 ~\- рх +
+ q = О, с которым сейчас знакомы все школьники, и
каждое решалось по особому правилу.
Еще при жизни Кардано была предпринята успешная
попытка рассмотреть неприводимый случай уравнения
третьей степени. Осуществил ее соотечественник Кардано
инженер-гидролог из Болоньи Рафаэль Бомбелли (ок.
1526—1573). В 1572 г. он издал «Алгебру», в первой
книге которой исследовал уравнение х3 = рх + q. В случае,
когда (p/3)z > (#/2)2, он писал, что разность (q/2)2 —
(р/3)3 после извлечения из нее квадратного корня «не
может быть названа ни плюсом, ни минусом; поэтому я буду
называть ее плюсом минуса, а в тех случаях, когда она
должна вычитаться, я буду ее называть минусом минуса...
Корни этого рода покажутся многим скорее
софистическими, чем имеющими действительное значение; того же
мнения придерживался и я, пока не нашел доказательства
на линиях» [26, с. 296].
Бомбелли указал правила действий, соответствующие
следующим: (±1) i = ±&, (+0 (+0 = —1, (—i) (+ i) =
= 1, (±1) Ы) = =FS, (+0 (-0 = 1. Ы) (-0 - -U
Он приводил примеры типа 8i + (—5?) = 3?,
|/3-И]Я0. у^З— «Vrl0 = v/lS.
Во второй книге «Алгебры» Бомбелли удалось
показать, что в неприводимом случае кубическое уравнение
имеет действительные корни, но большого достичь ему не
удалось.
Бомбелли применил прием Феррари к уравнению
я4 + 8х3 + И ~ 68х. Он свел его к (х2 + Ах — t)2 =
99
= (16 - 2t)x2 + {68—8t)x - (11 - t2). Из уравнения
147? — t3 + 666 он нашел t = 6 и для определения х
квадратное уравнение (х2 + ix — б)2 = 4^2 + 20я +
+ 25 - (2х + 5)2.
Важно заметить, что Бомбелли в 1572 г. впервые дал
алгебраический вывод корней квадратного уравнения.
Некоторые совершенствования в алгебраическую
символику кроме Бомбелли внесли математик из Вюртембер-
га протестантский пастор М. Штифель (1486—1576) 3,
профессор Парижскою университета Пэ Рамус (1515—
1572), фламандец С, Стевин (1548—1620) и другие ученые,
но проблема ждала своего разрешения^ Это случилось с
появлением трудов Виета и Декарта* Отметим, что Штифель
был первым, кто рассматривал отрицательные числа
как величины, меньшие нуля.
На этом мы расстанемся с итальянскими математиками
и основным действующим лицом — Кардано и
перенесемся во Францию и Англию, где также происходили
важные события в интересующей нас области знаний.
К вершинам
1
Важнейший этап в развитии теории уравнений —
творчество Виета. Один из выдающихся математиков XVI в.
Франсуа Виет родился в 1540 г. в небольшом городке
Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату. О жизни
его известно немного. Он окончил университет в Пуатье,
получил юридическое образование и в 19 лет начал
адвокатскую практику в родном городе.
Естественнонаучные интересы проявились у него
рано. Занимаясь астрономией, он пришел к выводу, что
система Коперника недостаточно точна и следует развить
и улучшить систему Птолемея. Для глубокого изучения
астрономии необходимо было прежде всего знание
тригонометрии, которая была тогда составной частью
вычислительной астрономии.
В 1567 г. Виет оставил частную адвокатуру и перешел
на государственную службу. К этому времени он получил
новые результаты в математике. У него появилась
потребность в общении с другими математиками, и он стал пег
чатагь небольшие брошюры и рассылать их.
В 1571 г.. Виет переехал в Париж, где на первых порах
100
занялся частной адвокатурой. Переезд был вызван
стремлением Виета познакомиться с математиками и прежде
всего с П. Рамусом. Рамус (де л а Раме) — человек
трагической судьбы, и о нем необходимо сказать несколько слов.
Сын плотника, он проявил исключительную тягу к
знаниям, поступил слугой к молодому дворянину, чтобы
посещать вместе с ним лицей. Блестяще сдал экзамен на
право преподавания и получил место лектора в
университете. В своих лекциях по философии Рамус решительно
выступал против Аристотеля.
Выдающиеся способности Рамуса и открытый
благородный характер создали ему популярность среди студентов,
а его взгляды вызвали ожесточенную ненависть
большинства профессоров. Он погиб вскоре после
Варфоломеевской ночи (в конце августа 1572 г.), растерзанный
толпой разъяренных погромщиков, которых возглавлял один
из университетских профессоров. Рамус был воинственным
гугенотом, это и послужило поводом для расправы над
ним. Причина же состояла в другом: так завистники
многолетних успехов Рамуса выместили свою накопившуюся
злость.
В 1573 г. Виет стал советником в окружном судебном
учреждении (парламенте) в Бретани. Знакомство с
Генрихом Наваррским, ставшим впоследствии королем
Франции Генрихом IV, и его матерью способствовало
продвижению Виета по службе. Он был частным советником
короля Генриха III Валуа (1551—1589).
К этому времени относится одно достижение Виета,
доставившее ему известность. Враждебная королю
группировка вела переписку с испанским двором. Виет
исследовал попавшие ему в руки письма, раскрыл ключ
шифра, состоявшего из 500 знаков, и восстановил текст.
Математика была страстью Виета. Ей он посвящал все
свободное время и работал самозабвенно. Рассказывают,
что над каким-либо исследованием Виет мог просидеть за
письменным столом трое суток кряду. Период с 1554 по
1559 г. он посвятил глубокому изучению древних
классиков (Евклида, Архимеда, Аполлония, Диофанта),
знакомству с работами Тартальи, Кардано, Бомбелли, Сте-
вина и созданию своего основного труда — «Искусство
анализа».
В 1589 г. король Генрих III был убит и Виет перешел
на службу к Генриху IV (1553—1610). Одно событие,
происшедшее с Виетом в 1594 г., способствовало укреплению
его авторитета среди математиков,
101
Это произошло в ноябре 1594 г., когда Виет вместе
с Генрихом IV находился в Фонтенбло. Нидерландский
посланник в разговоре с королем о наиболее
замечательных людях государства высказал мнение, что во Франции
нет математиков, поскольку голландский математик
А. ван Роомен (1561—1615) в списке тех, кому следовало
отправить его научный вызов, не назвал французов.
Король возразил: «И все же у меня есть математик, и весьма
выдающийся». Затем он послал за Виетом. Когда
пришедший Виет получил от посланника письмо ван Роомена, он
сразу же написал решение содержащегося там уравнения.
А на следующий день указал еще 22 корня»
В вызове речь шла об уравнении 45-й степени,
которое ван Роомен предложил решить математикам Европы
и один из корней которого Виет указал, едва прочитав
письмо. Об этом уравнении еще будет рассказано.
Впоследствии ван Роомен стал ревностным почитателем
таланта Виета. Он приезжал к Виету в 1601 г.
Виет скончался в Париже в 1603 г. Из его
многочисленных работ часть опубликована при жизни, многие —
несметно, некоторые так и остались в рукописях. Основные
алгебраические идеи Виет изложил во «Введении в
аналитическое искусство», которое должно было стать частью
задуманного им большого трактата по алгебре. Издание
некоторых трудов осуществили ученики Виета —
шотландец А, "Андерсон (1582—1619) и М. Геталдич (1566—1627)
из Дубровника* «Математические сочинения» Виета издал
в Лейдене в 1646 г* Ф. ван Схоотен (1615—1660)*
2
Виет считается одним из основоположников алгебры. Его
интерес к алгебре первоначально связан с возможными ее
приложениями к тригонометрии и геометрии. А задачи
тригонометрии и геометрии, в свою очередь, приводили
Виета к важным алгебраическим обобщениям. Так было,
например, с решением уравнений третьей степени в
неприводимом случае и с исследованием некоторых
разрешимых уравнений высших степеней.
Виет понимал важность разрабатываемой им алгебры.
Во «Введении в аналитическое искусство» он писал:
«Искусство ,> которое я излагаю, ново, или по крайней мере
настолько испорчено временем и искажено влиянием
варваров, что я счел нужным придать ему новый вид... Все
математики знали, что под их алгеброй и алмукабалой
102
были скрыты несравненные сокровища, но не умели их
найти; задачи, которые они считали трудными, совершенно
легко решаются десятками с помощью нашего искусства,
представляющего поэтому самый верный путь для
математических изысканий» [26, с. 308].
Виет не пользовался словом «алгебра»; эту науку он
называл «искусством анализа». Он различал видовую и
числовую логистики. Термин «логистика» у него означает
совокупность приемов вычислений, «вид» имеет смысл
символа.
Видовая логистика Виета после внесенных им в
символику усовершенствований представляла собой
буквенное исчисление. Ее объектами служат геометрические
и псевдогеометрические образы, связанные различными
соотношениями. Виет был последователем древних: он
оперировал такими величинами, как сторона, квадрат,
куб, квадрато-квадрат, квадрато-куб и т. д.,
образующими своеобразную лестницу скаляров. Действия над
скалярами у Виета, как и у древних геометров,
подчинены «закону однородности»: составленные из неизвестных
и известных величин уравнения должны быть
однородными относительно всех их. Умножение чисел у Виета
приводит к образованию нового скаляра, размерность
которого равна сумме размерностей множителей. Операция
деления дает новую величину, размерность которой равна
разности размерностей делимого и делителя.
Закономерности видовой логистики применяются
к геометрии и числовой логистике, предметом которой
служат числовые величины и их отношения.
Виет разработал символику, в которой наравне с
обозначением неизвестных впервые появились знаки для
произвольных величин, называемых в настоящее время пара-
метрами» Для обозначений он предложил пользоваться
прописными буквами: «искомые величины будут
обозначены буквой А или другой гласной Е, I, О, Z7, Y, а
данные — буквами В, D, G или другими согласными» [26,
с. 310].
Слово «коэффициент» введено Виетом. Рассматривая
выражение (А + В)2 + D (А + В), он назвал величину!),
участвующую с А + В в образовании площади,
longitude coefficiens, т. е. содействующей длиной.
Из знаков Виет употреблял плюс, минус и дробную чер*
ту. Современные скобки у него заменяла общая черта над
всем выражением.
Символика Виета страдала недостатками, в некотором
103
отношении она была менее совершенна, чем у
предшественников и современников. Виет для записи действий
употреблял следующие слова: in у него означало
умножение, aequatur заменяло знак равенства. Для трех низших
степеней он взял названия из геометрии: например, А3
называл A cubus. Высшим степеням он давал
геометрические наименования, происходящие от низших: А9,
например,— A cubo-cubo-cubus. Известная величина В
представлялась как величина девятой степени записью solido-
solido-solidum. Если сторона (latum) умножается на
неизвестную величину, то она называется содействующей
(coefficiens) при образовании площади.
Неудобства символики Виета связаны и с требованием
однородности. Как и древние греки, Виет считал, что
сторону можно складывать только со стороной, квадрат —
с квадратом, куб — с кубом и т. д. В связи с этим
возникал законный вопрос: имеют ли право на существование
уравнения выше третьей степени, поскольку в трехмерном
пространстве четвертая, пятая и т. д. степени аналогов не
имеют.
Для придания уравнению однородности Виет после
входящих в него параметров писал planum (плоскость),
solidum (тело) и т. д. Вот как выглядит в записи Виета
уравнение А3 + 354 = D: A cubus + В planum in A3
aequatur D solidum.
Символики Виета придерживался П. Ферма. От
«тирании» однородности просто и остроумно сумел
освободиться Декарт (об этом будет сказано дальше).
Может показаться, что Виет ввел в символику алгебры
совсем немного. Буквами для обозначения отрезков
пользовались еще Евклид и Архимед, Леонардо Пизанский,
Николай Орем, Лука Пачоли, Кардано, Бомбелли и
многие другие математики. Но Виет сделал существенный шаг
вперед. Его символика позволила не только решать конк-
ректные задачи, но и находить общие закономерности и
полностью обосновывать их. Это, в свою очередь,
способствовало выделению алгебры в самостоятельную ветвь
математики, не зависящую от геометрии.
Поясним сказанное элементарным примером. Для составления
уравнений Виет широко пользовался умножением разностей
неизвестной и некоторых чисел. Пусть хг и х2— корни квадратного
уравнения. Перемножим разности х — хг и х — х2\ (х — хх) (х — х2) =
= х2 — (#! + х2) х + ххх2. Но (х — хг) (х — х2) = х2 + рх 4- q.
Сравнивая с предыдущим, получим
р = — («1 + х2)> Q= х\хг>
104
Выполним то же самое для кубического уравнения: (х — xt)'
• (х — Х2) (X — Х3) = X3 — (ХХ + Х2 + Х3)2 + (*1*2 + ^1^3 + *2*з) "
• ж — ж^а^з. Сравним результат с выражением (х — хг) (х — х2)-
-(х — х3) = х3 -f- ахх2 + ^ + аз- Это дает ах = — (хг -\- х2 + #з)>
д2 == ^1^2 г" ^1^3 ~т~ -^г^з? аз == х-±х2х3.
Связь корней с коэффициентами квадратного
уравнения была известна Кардано (в случае положительных
корней — еще раньше); он отметил также свойство корней
кубического уравнения относительно коэффициента при х2.
Но в общем виде это сделал Виет для уравнений до пятой
степени включительно.
Усовершенствование символики позволило Виету не
только получить новые результаты, но и более полно
обосновать и изложить известное ранее. И если
предшественники Виета высказывали некоторые правила для
решений конкретных задач, то Виет дал полное изложение
вопросов, связанных с решением уравнений первых
четырех степеней.
Рассмотрим ход рассуждений Виета при решении
кубического уравнения. Возьмем уравнение х3 + Зах = 2Ь.
Положим а = t2 + xt. Найдем отсюда х = (а — t2)/t
и подставим в исходное уравнение. Получим (а — t2)3/t3 +
+ За (а — t2)lt = 2b, откуда для определения t находим
квадратное уравнение относительно t3: (t3)2 + 2bt3 — а3 =
= 0. Отсюда определится t, а затем и х. Заметим еще, что
подстановка а = t2 + xt приводит исходное уравнение
к виду (х + t)3 — t3 = 26, которое вместе с уравнением
(х + t3)t3 = а3 дало бы возможность применить метод
Тартальи и дель Ферро. Но Виет таким путем не пошел.
Найдем методом Виета действительный корень уравнения
хг _|_ 24* = 56.
Здесь а = 8, Ь = 28. Запишем уравнение относительно и
U3)2 + 56*3 — 83 = 0.
Решив его:
t3 = _ 28 ± /282 + 83 = — 28 ± 36, tx = У% = 22
^2=3/ZT64 = _4,
найдем х:
ч = (8 - 4)/2 = 2, х2 = (8 - 16)/- 4 = 2 = *1§
Виет, верный последователь древних, решения
уравнений обосновывал геометрически. Он рассматривал
также трехчленные уравнения различных степеней и интере-
105
совался количеством их корней, имея в виду
положительные корни* Отрицательные он определял как корни
уравнения, в котором неизвестная х заменена на—у. Виет
получал трехчленные уравнения из квадратных; он
поступал так, чтобы количество положительных корней
оставалось прежним* При этом он пользовался подстановкой
х = кут или специальными приемами,
Виет распространил известные ранее частные
преобразования на все алгебраические уравнения* Подстановку
х = у + к, применявшуюся Кардано для исключения из
кубического уравнения члена второй степени, он
применил к уравнению любой степени* Также известную
Кардано подстановку х = к/у Виет употреблял, чтобы
освободиться в некоторых случаях от отрицательных
коэффициентов и иррациональностей* Например, уравнение
аг1 — 8х = j/~80 подстановкой х = jf80/y он преобразовал
к виду г/4 + 8г/3 = 80* Пользовался Виет и другими под-
сгановкамиэ
Особый интерес представляет исследование Виета по
составлению уравнений из линейных множителей и
установлению связи между корнями уравнения и
коэффициентами. Первоначальные сведения об этом были у Кардано.,
Виет составил полные уравнения с заданными
положительными корнями вплоть до пятой степени и показал, как
образуются коэффициенты при хп~1г хп~2, хп~3,. . » Он
установил, что эти коэффициенты при условии, что
старший коэффициент равен I или —1 (свободный член в
правой части должен стоять со знаком +), представляют
собой с чередующимися знаками суммы: самих корней,
парных произведений их, произведений корней, взятых по
три, и т. д. Работа, в которой Виет подробно изложил этот
вопрос, до нас не дошла* Неизвестно, как он поступал
в том случае, когда уравнение имеет и отрицательные
корни, Но скорее всего это не представляло для Виета
трудностей: достаточно было сделать замену х = —у и можно
оперировать с положительными корнями нового
уравнения. Такие примеры в его работах встречались.
Как видим, у Виета намечены начала теории
симметрических функций и разложения многочленов на
линейные множители, что вскоре привело к открытию
основной теоремы алгебры о корнях уравнения произвольной
степени. Эти исследования Виета продолжили
математики следующего поколения Т. Гарриот (1560—1621),
А. Жирар (1595-1632), Р. Декарт (1596-1650).
106
3
Многие результаты Виета были продолжением и
развитием наметившихся у древних и средневековых
математиков основных идей. И хотя они в некоторой степени
обусловлены запросами практики, но в основном углубляли
предшествующие научные достижения. Однако есть
область деятельности Виета, непосредственно связанная
с практикой,— это его работы по тригонометрии.
Обратимся к тем из них, которые относятся непосредственно
к уравнениям.
Виет установил, что знаменитая задача о трисекции
угла связана с кубическим уравнением. Было известно,
что точного ее решения с помощью циркуля и линейки
не существует, приближенные же решения предлагались
неоднократно. Одно из них принадлежит Архимеду.
В «Дополнении к геометрии» (1593) Виет показал, что
решение кубического уравнения в неприводимом случае
сводится к трисекции угла, и с помощью тригонометрии
разобрал этот случай.
Он исследовал также деление угла на 5 и 7 равных
частей. Тем самым он был достаточно подготовлен к решению
задачи, направленной ван Рооменом как вызов
математикам мира. Ван Роомен предложил решить уравнение 45-й
степени с числовыми коэффициентами 45ж — 3795.x3 +
+ 95634*5 - 113850(te7 + 7811375^9 - . , . - 123GCb39 +
+ 945х41 — 45я43 + я45 = а при
а= 1Л 3А - Y 57^- УТт7- Y*fc.
Он указал, кроме того, что при
а=уГ2+У~2 + Y2 + /2
решение будет
Х=У 2-]^2+V2 + Y2 + Y3.
Виет определил, что а есть сторона вписанного в
единичный круг правильного пятнадцатиугольника, т. е. хорда
дуги в 24°, а по коэффициентам первого и предпоследнего
членов уравнения установил, что х — хорда V45 этой
дуги, т. е. дуги 8715. Тем самым задача была решена. На
другой день Виет сообщил еще 22 положительных корня,
которыми были
0 . 360° гс+12° , 0 оп
2sin ?Г ' где п = ' ' ' * '' 22'
Это решение Виета математики ценили очень высоко.
107
Отметим еще одно оригинальное открытие Виета, при
получении которого проявилась удивительная
способность его объединять алгебру, геометрию и тригонометрию.
Он удваивал число сторон правильных вписанных в
окружность многоугольников, начиная с квадрата, находил
отношения площадей каждых двух «соседних»
многоугольников, затем перемножал левые и правые части
полученных равенств и переходил к пределу при п -> сю. В итоге
Виет впервые нашел бесконечное произведение,
определяющее число я:
2/я = УЪ У11г + \У411/~72 + 4 У V» + 4 УЧ~г"
Виет был первоклассным вычислителем. Он
опубликовал таблицы значений тригонометрических функций с
шагом в 1\ Для вычисления, например, sin 1' ему
понадобилось найти длины сторон вписанного многоугольника
с числом сторон 3-211 и описанного многоугольника с
числом сторон 3-212. Можно лишь предполагать, какого
огромного труда требовало составление таблиц при уровне
«вычислительной техники» тех времен.
В работе «О численном решении чистых и связанных
степеней», опубликованной в 1600 г. М. Геталдичем, Виет
изложил метод приближенного решения уравнений с
числовыми коэффициентами. Этот метод применялся
математиками до конца XVII в., а затем был вытеснен
более эффективным методом Ньютона.
Исследования Виета оказали существенное влияние на
развитие математики. Его имя донесла до наших дней всем
известная теорема Виета.
4
Ближайшими последователями Виета в алгебре были Гар-
риот, Жирар и Оутред. Томас Гарриот получил
университетское образование в Оксфорде. Основной труд его —
«Применение аналитического искусства к решению
уравнений» — вышел в 1631 г., через десять лет после его
смерти. В нем была изложена теория уравнений в духе Виета,
заслугам которого автор отдал должное.
Изложение теории уравнений у Гарриота проще, чем
у Виета, за счет улучшений, внесенных в символику. Он
применил вместо прописных букв строчные, целую
положительную степень записывал в виде произведения
одинаковых сомножителей, пользовался знаком равенства,,
108
введенным английским математиком Р. Рекордом (1510 —
1558), знаками + и —, ввел знаки ^> и <^, при записи
уравнений нередко собирал все члены с одной стороны,
приравнивая их нулю. Он ввел термин «каноническое уравнение»
для уравнения, свободный член которого уединен в какой-
либо его части. В записи Гарриота уравнение х3 — ЗЬх2 +
+ ЗЬ2х = 2Ъ3 имело вид ааа — Ъ.Ъаа + Ъ.ЪЬа = 2.ЪЪЪ.
Гарриот, как и Виет, не признавал отрицательных
корней уравнений, но прием составления уравнений
перемножением двучленов вида а — 6, а — с, а -{- d (Гарриот
писал а вместо х) давал ему возможность выражать
коэффициенты уравнения через корни и в случае отрицательных
корней. Так же, как и Виет, Гарриот знал, что уравнение,
составленное из п множителей указанного вида, имеет а
корней, но основную теорему алгебры в явном виде не
сформулировал.
Альбер Жирар (1595 — 1632) родился в Лотарингии, но
большую часть жизни провел в Голландии, куда переехал
в молодости из-за гонений на протестантов. Основной его
труд — «Новое открытие в алгебре» (1629).
Жирар наравне с положительными корнями уравнения
пользовался отрицательными и даже мнимыми.
Отрицательные он называл «решениями с минусом» и
истолковывал их геометрически как «движение вспять», а мнимые —
«скрытыми», «невозможными» и выражал их как квадрат-
ные корни из отрицательных чисел. Мнимые корни ему
понадобились для придания общности сформулированным
утверждениям. Он разъяснил это на примере уравнения
.г4 — 4т + 3 = 0, которое имеет четыре корня: xi = х2 =
= 1, хзЛ = -1 ± il/"2.
Допущение всех трех видов корней позволило Жирару
впервые сформулировать основную теорему алгебры: «Вез
уравнения алгебры получают столько решений, сколько
их показывает наименование высшей величины».
Жирар несколько продвинул вперед теорию
симметрических функций корней уравнений и установил связь их
с коэффициентами. Он изучал также степенные суммы
корней и первые четыре суммы выразил через коэффициенты.
Жирару принадлежит оригинальный способ решения
кубического уравнения в неприводимом случае, в котором
он реализовал идею Виета,
Сельский священник Вильям Оутред (1574—1600)
успешно занимался исследованиями в различных областях
математики. В 1631 г.вышлаего книга «Ключматематики»,
в которой прослеживается арифметическое построение ал-
109
гебры и практическая направленность всей математики^
Алгебру он называл «видовой арифметикой» и писал:
«Эта видовая арифметика более подходит для
аналитического искусства (при помощи которого искомое
находится, когда его рассматривают как данное), чем числовая».
Он ввел в математику знак умножения в виде косого
креста.
Все работы последователей Виета обеспечивали
дальнейшее развитие алгебры. Но они по каким-то причинам
остались незамеченными. К тому же вскоре вышла
знаменитая «Геометрия» Декарта, это сопровождалось реформой
всей математики, в том числе и алгебры.
5
Один из величайших мыслителей Франции, основатель
философии и науки Нового времени Рене Декарт родился
31 марта 1596 г. в местечке Лаэ провинции Турень. Отец его
был советником парламента, принадлежал к «дворянству
мантии»1. На восьмом году Рене был отдан в иезуитскую
школу Ла Флеш — одно из лучших учебных заведений
того времени. Наряду с традиционными предметами —
грамматикой, риторикой, богословием, схоластической
философией — там изучались физика и математика (цикл
наук, состоящий из арифметики, геометрии, акустики и
астрономии). Изучение философии не удовлетворяло
пытливый ум Декарта, вызывало критические настроения
и зародило начало тех сомнений, которые привели его к
созданию иной философской системы. Математика же
увлекала, служила стимулом к творчеству. Уже в школьные
годы у Декарта оформилась мысль построить все науки
по образцу математики.
В школе Декарт познакомился с М. Мерсенном (1588—
1648), который стал одним из друзей Декарта, а позднее
являлся его доверенным лицом в Париже.
Декарт закончил школу в 1612 г., не получив, по его
словам, достаточных знаний. Поэтому он решил черпать
их из жизни, «...искать только ту науку, которую мог
обрести в самом себе или же в великой книге мира...» [36,
с. 122].
С этой целью Декарт вступил добровольцем в войска
знаменитого Морица Оранского — статхаудера
(наместника короля) и главнокомандующего Нидерландов.
Франция из вражды к испано-австрийской монархии
поддерживала Нидерланды, и служба французских дворян
в нидерландской армии была модой. Армия эта славилась
110
хорошей организацией, опытными военачальниками.
Военная наука там опиралась на новейшие достижения
механики и математики.
Процесс экономического развития в XVI—XVII вв.
в Нидерландах, где Декарт провел большую часть своей
жизни, шел быстрее, чем во Франции. В Нидерландах
раньше, чем в других странах Западной Европы,
произошла буржуазная революция (1566—1609).
Освободившаяся в длительной борьбе от испанского
ига, Голландия получила благоприятные условия для
развития экономики, науки, культуры. Голландия XVII в.—
передовая в политическом и экономическом отношениях
страна, переживавшая пору бурного расцвета. Рост
экономики немыслим без успехов таких наук, как
математика, физика, механика, астрономия, география, которые
находили применение в кораблестроении, строительстве
плотин, каналов, шлюзов, мореплавании.
В стране работали выдающиеся ученые, получило
широкое распространение книгопечатание, развилась сеть
университетов, в которых обучались студенты различных
сословий из многих стран Европы.
Весной 1622 г. Декарт возвратился во Францию и
зиму 1623 г, провел в Париже, где встречался с Мерсенном,
математиком К. Мидоржем (1585—1647), ставил
оптические опыты. Посетив Италию, Декарт в 1625 г. снова
вернулся в Париж, где продолжил исследования по
математической теории прохождения лучей через различные
среды. К тому же времени относится сообщение Декарта
Мидоржу о том, что он нашел новые решения задач об
удвоении куба и трисекции угла.
Осенью 1628 г. Декарт уехал в Голландию. Он
объяснял свой переезд тем, что ему необходима была
относительная свобода, «мир с его плодами», удобства большого
города, где можно среди «деятельного народа» жить,
предаваясь непрерывному труду.
Годы жизни Декарта в Голландии (1628—1649)
насыщены интенсивным трудом. Обычно его дни были
заполнены длительными размышлениями, решением различных
задач, экспериментированием, подготовкой рукописей к
изданию, ответами на письма. Он переписывался с учеными
Франции, Италии, Голландии. Мерсенн знакомил его с
научными открытиями, присылал для решения физические
и математические задачи. В ту пору среди ученых решение
предложенных задач считалось делом чести, и Декарт
уделял этому занятию много внимания.
Щ
В Голландии Декарт написал все свои философские и
естественнонаучные сочинения. Его жизнь не была
спокойной и размеренной, как может показаться на первый
взгляд. Декарт заботился о введении своего философского
в физического учения в практику университетов, но
богословы видели в философии Декарта антисхоластическую
направленность и противились этому. Они обвинили
Декарта даже в безбожии. Против него был возбужден
судебный процесс. Враги Декарта рассчитывали на изгнание
ученого из Нидерландов и публичное сожжение его
сочинений. Но этого не произошло. В общей сложности борьба
Декарта с голландскими богословами тянулась восемь
лет. И лишала его покоя. Не избежал Декарт конфликта
и с парижскими богословами.
В октябре 1649 г. Декарт по приглашению 23-летней
королевы Христины приехал в Швецию. Христина
ознакомилась с учением Декарта и, движимая желанием
прославить отечество, пригласила его в Стокгольм. Она
намеревалась изучить философию Декарта в беседах с ним.
Королева назначила часы для занятий, а французский
посол в Швеции предоставил Декарту для поездок во
дворец карету.
Стояла суровая северная зима* Декарт, привыкший
подолгу оставаться в постели, предаваясь размышлениям,
вынужден был изменить свою привычку и ранними
морозными утрами трястись в карете, поспешая на занятия.
Вскоре он заболел воспалением легких и 11 февраля
1650 г. скончался.
Через 16 лет, в 1666 г., гроб с прахом Декарта был
перевезен в Париж и установлен в церкви св. Павла, а 24
июня 1667 г* перенесен в церковь свд Женевьевы (нынешний
Пантеон).
6
Бурное развитие науки в XVI и XVII вв. вылилось в
научную революцию. Она характеризовалась созданием
основ современного научного естествознания и математики
как его рабочего аппарата.
В науке проявлялись новые тенденции: она все более
чутко откликалась на запросы практики, обслуживала ее,
развивалась в борьбе с догматизмом, базировалась на
результатах экспериментов.
Производство ставило перед наукой сложные задачи.
Они возникали в промышленности, строительной и транс-
112
портной технике, в кораблестроении и навигации, при
изобретении и совершенствовании различных приборов и
инструментов. В то же время существовала обратная связь:
наука выдвигала перед практикой новые задачи. В
процессе совершенствования науки существенную роль играли и
внутренние стимулы, присущие ей самой и также
обусловливающие прогресс. Его дальнейший ход во многом
определяется предшествующей историей.
Начало активного и научно обоснованного выступления
против средневековых догм связано с выходом в свет
основного труда Н. Коперника (1473—1543) «Об обращении
небесных кругов». Вслед за Коперником движение за
новую науку возглавили Дж. Бруно (1548—1600) и Г.
Галилей (1564—1642).
К этому времени резко изменилось отношение к
эксперименту: опыты стали ставиться с научными целями как
для установления новых закономерностей, так и проверки
и подтверждения выдвинутых гипотез.
В XVII в. мир рассматривался как механизм,
действующий в соответствии с незыблемыми законами. В связи с
таким взглядом ведущее значение приобрела механика,
а вместе с ней и математика.
В условиях Нового времени формировался ученый
нового типа: ученые были в большинстве своем
одновременно механиками, инженерами, физиками, астрономами,
математиками и часто философами.
Возникла настоятельная необходимость в общении
ученых. Это привело к развитию научной переписки,
появлению своего рода центров научной информации,
впоследствии — академий. Во Франции переписка между
учеными шла через монаха М. Мерсенна.
Уже существовавшие в большинстве стран Европы
университеты не стали центрами науки. Этому мешало за-
силие в них схоластики. Объединению ученых служили
организованные в XVII в. в Италии, Англии, Франции
первые научные академии.
7
Деятельность Декарта-математика, как и большинства
математиков того времени, тесно связана с кружком
Мерсенна. Ядро кружка составляли несколько человек,
встречавшихся, как правило, каждую неделю в келье у Мерсенна.
Его собственный вклад в науку не очень значителен, но
в истории естествознания Мерсенн оставил своеобразный
ИЗ
и заметный след. Он обладал редкой способностью
объединять вокруг себя людей с общими интересами и отличался
замечательной интуицией, позволявшей ему из потока
научных работ выделять наиболее значительные.
Благодаря этому Мерсенн стал душой парижских
естествоиспытателей. Кроме того, и это, пожалуй, главное, он вел
переписку почти со всеми европейскими учеными. Она тогда
заменяла научные журналы, появившиеся значительно
позже. Декарт постоянно переписывался с Мерсенном и
знал обо всех открытиях в физике и математике.
Декарт считается одним из основателей новой
математики. Его имя сохранили термины: «декартовы
координаты» 2, «декартов лист», «правило знаков Декарта», «метод
неопределенных коэффициентов Декарта».
Основные математические идеи и построения Декарт
изложил в «Геометрии», вышедшей как часть
«Рассуждения о методе» в Лейдене на французском языке осенью
1637 г., и в переписке (и полемике) с крупнейшими
математиками века.
Выход «Геометрии» был воспринят учеными по-разному.
Приверженцы Декарта считали его метод единственно
возможным в математическом исследовании. С другой
стороны, была и критика, обвинения в заимствовании
некоторых результатов у Виета, Гарриота, Жирара. Но эти
обвинения несостоятельны: во всех вопросах, которые
развивали Виет, Гарриот и Жирар, Декарт продвинулся
значительно дальше и рассматривал их более фундаментально.
Он писал Мерсенну, что «начал там, где Виет кончил».
В чем проявилась новизна идей Декарта, что придавало
его творению революционный характер? Это прежде
всего построение алгебры как самостоятельной части
математики, что изменяло существовавшее ранее соотношение
алгебры и геометрии и соответствовало основной мысли
Декарта о необходимости создания «всеобщей математики».
Основная идея сочинений Декарта, посвященных
алгебре,— освобождение ее от геометрических построений.
Правила буквенного исчисления — сложения, вычитания,
умножения, деления, действия с дробями и корнями
выступают вне связи с геометрией.
Другое новшество Декарта — введение переменных
величин как координатных отрезков переменной длины,
характеризующих положение точек на плоскости ж своими
концами описывающих при движении различные кривые.
Основная же идея геометрии Декарта состоит в том, что
геометрический объект задается уравнением, связываю-
114
щим переменные величины. По свойствам уравнения
судят о свойствах геометрического объекта. Это и дало
повод в последующем геометрию Декарта назвать
аналитической.
Постулирование алгебраических операций над
отрезками, сделанное Декартом в начале «Геометрии», означало
не только новый подход к вопросу о соотношении между
алгеброй и геометрией, диаметрально противоположной
подходу древних. Оно также вело к расширению понятия
числа. Декарт отождествлял отношение произвольного
отрезка к единичному с соответствующим этому
отношению целым, дробным или иррациональным числом. Он дал
геометрическое толкование отрицательным числам как
противоположно направленным отрезкам. И хотя Декарт при
рассмотрении уравнений применял неудачную
терминологию, называя отрицательные корни «ложными» в
противоположность «истинным» (положительным), он
объединил те и другие в класс «действительных» в отличие от
«воображаемых» (мнимых).
Кроме того, применение к исчислению отрезков
алгебраических формул и операций снимало требование
однородности величин, которому должны были удовлетворять
соотношения в математике древних и Виета.
Формализации алгебры (и всей математики)
чрезвычайно способствовало то, что Декарт усовершенствовал
буквенную символику. Он обозначал известные величины
буквами а, Ь, с, . . ., неизвестные («неопределенные») —
буквами х, у, z, . -. . 3. Он ввел обозначения степеней: а2,
Правда, квадраты он выражал и с помощью
символов аа, хх. Обозначение корня несколько
отличается от современного. Так, выражение У С означает у
Декарта кубический корень.
Все буквы в формулах Декарта считались
положительными; для обозначения отрицательных величин ставился
знак минус; если знак коэффициента произволен, перед
ним ставилось многоточие. Знак равенства имел
необычный вид ос. Вот как, например, выглядело уравнение с
произвольными коэффициентами: + х^х г . рх3 . „ л qx ос
осО.
И еще один символ применял Декарт: он ставил
звездочки, чтобы показать отсутствующие члены уравнения,
например: #5*** — Ъ ос 0.
Очевидны преимущества символики Декарта.; Кроме
всего прочего, разработка и введение ее сделали
математику более демократичной.
115
Общая теория уравнений изложена Декартом в третьей
кпиге «Геометрии». Уравнения, по утверждению Декарта?
представляют собой равные друг другу суммы известных и
неизвестных членов или же, если рассматривать эти
суммы вместе, равные «ничему» (нулю). Декарт указал, что
«уравнения часто удобно рассматривать именно последним
образом», т. е. в виде Р (х) = 0. Для теоретических
построений Декарта такая запись уравнений играла важную
роль.
Этой формой он пользовался при установлении числа
корней алгебраического уравнения, что привело к
формулировке основной теоремы алгебры: число корней
уравнения (положительных — «истинных», отрицательных —
«ложных» и мнимых — «воображаемых») равно числу
единиц в наивысшем показателе степени входящей в
уравнение неизвестной величины. Справедливость теоремы он
аргументировал тем, что при перемножении п двучленов
вида х — а получается многочлен степени п. Недостающие
«воображаемые» корни, природу которых Декарт не
разъясняет, можно примыслить.
Если все корни положительны, то, по словам Декарта,
дело обстоит так: «Знайте, что всякое уравнение может
иметь столько же различных корней или же значений
неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений;
ибо, если, например, принять х равным 2, или же х — 2
равным ничему, а также х равным 3, или же х — 3 = 0,
то, перемножив оба эти уравнения х — 2 = Оиж — 3 =
= 0, мы получим хх — 5х + 6 = 0, или же хх = 5^ — 6,
уравнение, в котором величина х имеет значение 2 и вместе
с тем значение 3. Если принять еще, что х — 4 = 0 и
умножить это выражение на хх — Ъх + 6 =0, то мы
получим х3 — 9хх + 26х — 24 = 0 — другое уравнение, в
котором х, обладая тремя измерениями, имеет вместе с тем
три значения, а именно 2, 3 и 4» 4.
Если же «я выражает собой также недостаток
какой-либо величины, скажем 5, то мы получим х + 5 = 0».
Умножив х + 5 на левую часть предыдущего уравнения и
приравняв результат нулю, получим
х± _ 4г* — 19яя + 106s — 120 = 0, (1)
«уравнение, у которого четыре корня, именно три
истинных 2, 3, 4 и один ложный —5».
Построение левой части уравнения в виде произведения
двучленов пррхводит к тому, что степень уравнения можно
понизить, разделив левую часть на х — а, где а — корень
116
уравнения. С другой стороны, если такое деление
невозможно, то а не будет корнем уравнения. Левую часть
уравнения (1), например, можно разделить па х — 2, х — 3,
х — 4, х + 5 и нельзя разделить на любой другой двучлен
х — а; «это показывает, что оно может иметь лишь четыре
корня: 2, 3, 4 и —5».
Декарт сформулировал правило знаков, дающее
возможность установить число положительных и
отрицательных корней уравнения: «Истинных корней может быть
столько, сколько раз в нем изменяются знаки + и —, а
ложных столько, сколько раз встречаются подряд два
знака + или два знака —». Впоследствии он внес уточнение:
при наличии мнимых («невозможных») корней уравнения
число положительных корней может (а не должно) быть
равным числу перемен знаков.
Декарт высказал правила и на примерах показал,
какие следует выполнять преобразования, чтобы изменить
знаки корней уравнения, увеличить или уменьшить
корни, получить уравнение, не содержащее второго члена,
и т. д. «Легко, далее, сделать так, чтобы все корни одного
и того же уравнения, бывшие ложными, стали истинными
и вместе с тем бывшие истинными стали ложными; именно
это можно сделать, изменив на обратные все знаки + или
—, стоящие на втором, четвертом, шестом и других,
обозначенных четными местах, не изменяя знаки первого,
третьего, пятого и им подобных, обозначенных нечетными
числами мест».
Применив такое преобразование к уравнению (1),
получим уравнение
я* + 4г* — 1<дхх — 106^ — 120 = 0, (2)
имеющее один положительный корень 5 и три
отрицательных: —2, —3, —4.
Можно, не зная корней уравнения, увеличить или
уменьшить их на какую-либо величину, для чего необходимо
сделать соответствующую замену. Например, уравнение (2)
после замены х = у — 3 преобразуется к виду у3 — 8г/2 —
— у + 8 = 0, его положительный корень 8 превышает
положительный корень уравнения (2) на 3.
Декарт заметил, что, «увеличивая истинные корни, мы
уменьшаем ложные и наоборот», при этом он имел в виду
абсолютные величины корней.
Правило исключения второго члена уравнения, известное и
раньше, Декарт иллюстрировал примерами. Так, уравнение z/4 +
-f- 16г/3 + 71 z/2 — ky — 120 = 0 подстановкой z — 4 = у он сводил
к z4 — 25z2 — 60z — 36 = 0; его корни —3, —2, —1, 6.
117
Второй член уравнения я4 — 2ах3 + х2 (2а2 — с2) — 2а3х + я4 =
= 0 он исключал подстановкой х = z + а/2, которая
преобразует его к виду z4 -[- z2 (а2/2 — с2) — z (а3 + ас2) + 5а4/16 —»
_ а2с2/4 = о.
Декарт писал, что можно также «сделать, чтобы все
ложные корни уравнения стали истинными, но истинные
не стали ложными». Он утверждал, что легко
приблизительно оценить величину неизвестных отрицательных
корней уравнения. В этом усматривается постановка вопроса
о границах действительных корней уравнения, чему
впоследствии уделил большое внимание Ньютон,
Для умножения и деления неизвестных корней
уравнения на число, приведения дробных и иррациональных
коэффициентов к целым Декарт пользовался теми же
подстановками, которые были известны и Виету.,
Вот пример.
Если положить у = х \ГЪ и z = Зг/, то уравнение х3 «=- х21/"3 +
+ 26#/27 — 8/27 j/"3 = 0 преобразуется в уравнение у3 — Зу2 +
+ 26z//9 — 8/9 = 0, а затем в z3 — 9z2 + 26z — 24 = 0.
Корни последнего уравнения: 2, 3, 4; предыдущего: 2/3, 1, 4/3;
первого: 2^3/9, j/"3/3, 4^3/9,
О «воображаемых» корнях уравнения Декарт писал: «Как
истинные, так и ложные корни не всегда бывают действительными,
оказываясь иногда лишь воображаемыми. Другими словами, хотя
всегда можно вообразить себе у каждого уравнения столько корней,
сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины,
которая соответствует этим воображаемым корням. Так, например,
хотя у уравнения х3- — бхх + 13х — 10 = 0 можно вообразить себе
три корня, но на самом деле оно имеет только один действительный,
именно 2. Что касается двух других корней, то сколько бы их ни
увеличивать или умножать так, как я только что объяснил, все
равно их не удастся сделать иными, чем воображаемыми».:
Еще одна чрезвычайно важная задача алгебры была
поставлена Декартом в «Геометрии» — задача
приводимости уравнений, т. е* представления целого многочлена
с рациональными (целыми) коэффициентами в виде
произведения многочленов низших степеней, Декарт установил,
что корни уравнения третьей степени с целыми
коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице,
строятся с помощью циркуля и линейки (иначе говоря,
уравнение разрешимо в радикалах) тогда и только тогда, когда
уравнение имеет целый корень (т. е. левая часть его может
быть представлена в виде произведения множителей
первой и второй степеней).
Для уравнения четвертой степени он также указал
условие разрешимости; оно состоит в разрешимости его ре-
118
зольвенты, т> е* соответствующего уравнения шестой
степени, кубического относительно i/2.
В конце третьей книги «Геометрии» Декарт графически
решал уравнения третьей, четвертой, пятой и шестой
степеней, отыскивая их корни как пересечение некоторых
линий.
Высказанные Декартом идеи развивались в дальнейшем,
в первую очередь его последователями Э, Бартолином
(1625—1698), Ф. Схоотеном (1615—1660), Ф„ Дебоном
(1601-1652), Я.де Виттом (1625-1672), И. Гудде (1628—
1704) и др.
Существенный шаг в арифметизации алгебры сделан в
работах Валлиса.
Дж. Валлис (1616—1703), сын священника из Кента,
получил классическое образование в Кембриджском
университете, а свой досуг отдавал математике. Он обладал
феноменальной памятью и был выдающимся вычислителем.
Однажды в бессонную ночь он вычислил в уме 27 знаков
квадратного корня из 53-значного числа и утром
продиктовал их.
В период английской буржуазной революции Валлио
прославился расшифровкой перехваченных писем
сторонников короля. О. Кромвель (1599—1658) назначил Вал-
лиса профессором кафедры геометрии Оксфорда; в этой
должности Валлис находился и после реставрации,
совмещая ее с обязанностями придворного священника.
Валлис был в числе организаторов Королевского общества и
стал одним из первых его членов. Основные труды
Валлиса по алгебре — «Всеобщая математика или полный куро
арифметики» (1657) и «Трактат по алгебре» (1685),
Валлис подчеркивал арифметический характер
алгебры, указывал, что арифметика приложима к геометрии и
другим наукам: «...всеобщая алгебра является поистине
арифметической, а не геометрической, и разъясняется ско*
рее при помощи начал арифметических, а не
геометрических. Хотя в геометрии многое находится из
алгебраических начал, но отсюда не следует, что алгебра геометрична
или же опирается на геометрические начала, ... наоборот,
скорее геометрия подчинена общей арифметике» [36],
Для отрицательных и мнимых чисел Валлис предложил
свою интерпретацию. Числа, меньшие нуля, по мнению
Валлиса, являются абстрактными, но так же реальны,
как и положительные. Он пояснял положительные и
отрицательные числа на примерах движения в
противоположные стороны и т. п*
119
В «Алгебре» Валлис называет и положительные и
отрицательные числа действительными, термин же
«воображаемые» относит к квадратным корням из отрицательных
чисел. Необходимость мнимых чисел Валлис видел в том,
что они показывают неразрешимость той или иной задачи
и дают возможность сформулировать ее так, чтобы решение
было действительным. Он дал первую интерпретацию
мнимых чисел: величину ]/"(—Ъ) с следует рассматривать как
среднее пропорциональное между —Ъ и с или между Ъ и
—с, т. е. как отрезок, перпендикулярный отрезкам Ъ и
с, откладываемым на прямой по разные стороны от
основания перпендикуляра.
«Алгебра» Валлиса содержала многочисленный
фактический материал; в латинском издании ее изложены
основные алгебраические открытия Ньютона. Валлис
выполнил построение корней кубического уравнения с помощью
прямой и введенной им кубической параболы.
И все же: как ни значительны достижения Декарта и
его последователей в построении алгебры как
самостоятельной науки, в вопросах решения уравнений Декарт
придерживался установившейся традиции: находил корни
уравнений как результат пересечения некоторых линий.
Дальнейшая арифметизация алгебры связана с работами
Ньютона.
8
Имя Ньютона, так же как и имя Архимеда, известно всем,
кто живет сейчас, и будет известно тем, кто придет
после нас.
Исаак Ньютон родился 25 декабря (по старому стилю)
1642 г. в семье фермера в деревне Вулсторп,
расположенной в 75 км к северу от Кембриджа. Отец его умер до
рождения сына, и мать осталась хозяйкой небольшой фермы.
Первоначально мальчик учился в деревенской школе, а в
двенадцать лет переехал в соседний городок Грантем, где
и продолжил учение.
В 1656 г. Ньютону пришлось оставить школу, чтобы
взять хозяйственные дела в свои руки. Но он продолжал
занятия, заключавшиеся главным образом в изучении
древних языков, и в 1661 г. поступил в Тринити-колледж
(колледж св. Троицы) Кембриджского университета.
Здесь Ньютон основательно изучил работы
древнегреческих классиков (в особенности Евклида и Аполлония),
труды Виета, Оутреда, Ферма, «Геометрию» Декарта,
«Арифметику бесконечных» Валлиса. С 1663 г. он начал
120
слушать лекции профессора математики И. Барроу (1630—-
1677).
В 1665 г. Ньютон окончил университет со степенью
бакалавра искусств. В этот год в Англии вспыхнула
эпидемия чумы, от которой в Лондоне погибло около 100 тысяч
человек. Чума вынудила горожан искать убежища в
деревнях, и Ньютон уехал в Вулсторп, где прожил до марта
1667 г., интенсивно занимаясь научными исследованиями.
Здесь у него возникли и сложились основные идеи
последующих бессмертных открытий.
В эти годы Ньютон в основном разработал
дифференциальное и интегральное исчисления, открыл закон
всемирного тяготения, провел многочисленные опыты по
оптике, придумал конструкцию зеркального телескопа. Это
потребовало огромного напряжения умственных и
физических сил. В бумагах Ньютона обнаружена запись:
«В том же году я начал думать о тяготении,
простирающемся до орбиты Луны... Все это происходило в два чумных
года 1665 и 1666, ибо в это время я был в расцвете своих
изобретательских сил и думал о математике и о философии
больше, чем когда-либо после».
Ньютон обладал исключительным даром сосредоточить
свое внимание на каком-либо предмете и отрешиться от
всего окружающего; порою он даже забывало сне и еде.
Когда его однажды спросили, как ему удается решать
столь трудные задачи, он ответил: «Постоянным
размышлением о них». Эта способность не покидала Ньютона всю
жизнь.
По возвращении из Вулсторпа Ньютон продолжал
интенсивные научные исследования. Он ничего не печатал,
но работал успешно и стал известен в научных кругах.
В 1668 г. он получил степень магистра. В 1669 г. Барроу,
убедившийся в том, что Ньютон как математик превосходит
его, передал ему свою физико-математическую кафедру,
которую Ньютон занимал до 1701 г.
Научные интересы Ньютона лежали в области
математики, механики, оптики. Тогда считалось, что телескопы,
состоящие из линз, обладают неисправимым
недостатком — хроматической аберрацией. У Ньютона возникла
идея создать телескоп, лишенный этого недостатка, и в
1668 г. он собственноручно изготовил телескоп-рефлектор;
длина трубы составляла 15 см, радиус зеркала — 2,5 см.
Несмотря на небольшие размеры, телескоп давал
40-кратное увеличение, и с его помощью Ньютон наблюдал
Юпитер и Венеру. В 1671 г. Ньютон построил второй зеркаль-
121
ный телескоп большего размера. Ньютон послал его в дар
королю, который для осмотра телескопа пригласил
членов Лондонского королевского общества, в том числе его
президента Р. Гука (1635—1703). Демонстрация
телескопа произвела сильное впечатление. 11 января 1672 г.
Ньютона избрали членом Лондонского королевского
общества,
Как уже упоминалось, университеты в разных странах
не были в большинстве своем научными центрами. Новые
идеи в университетскую и школьную науку не проникали.
Говорят, что «Начала» Ньютона в первые годы после
издания прочитало всего четыре человека. Об отношении к
преподаванию математики можно судить по тому, что во
многих школах на преподавателей математики смотрели
свысока, они не входили в коллегии преподавателей,
возникла даже пословица «mathematicus поп est collega»
(математик — не коллега).
Однако развитие науки настоятельно требовало
общения ученых. Это привело к организации академий.
Первые научные академии возникли в Италии по
опыту академий литературы. В 1560 г. в Неаполе
организована Accademia secretorum naturae (Академия тайн
природы), просуществовавшая недолго.
В 1603 г. основана Accademia dei Lincei (Академия
«рысьеглазых», т. е* видящих очень хорошо),
предназначенная для изучения природы и распространения знаний
по физике. Членом ее был Г, Галилей, она способствовала
распространению его учения.
С 1654 г. в Англии начало функционировать
Оксфордское научное общество «Невидимая коллегия». Девиз
общества «Nullius in verba» («Ничего из слов») направлен
против схоластики. Общество официально было признано
королем и в 1662 г. преобразовано в Royal Society for the
Advancement of Learning (Королевское общество для
развития знания). С марта 1665 г, стал издаваться журнал
общества «Phylosophical Transactions».
Во Франции на базе кружка Мерсенна министром
Кольбером в 1666 г. организована Academie des Sciens
(Академия наук). Первым президентом ее был X. Гюйгенс
(1629—1695). «Journal des Scavans» («Журнал ученых»)
издается с 1665 г. Лейпцигский журнал «Acta Erudito-
rum», издававшийся на латинском языке, основан в 1682 г.
После того как в 1689 г. королем Англии стал
Вильгельм III Оранский, был создан «учредительный»
парламент. Кембриджский университет избрал Ньютона депу-
122
татом парламента.. Деятельность в парламенте лавров ему
не принесла. И еще одному виду деятельности довелось ему
отдать свое время и энергию — в 1696 г. он был назначен
смотрителем Монетного двора в Лондоне и организовал
перечеканку всей английской монеты* До этого она не
имела строго определенных размеров и формы, что
способствовало развитию мошенничества — монеты обрубали
и подпиливали. В обращении появились неполноценные
и фальшивые монеты, а натуральные переправлялись за
границу или припрятывались. Бедствие могло принять
размеры катастрофы. Ньютону удалось изменить технику
монетного дела и перечеканить все монеты. За эти заслуги
он в 1699 г, получил высокооплачиваемую пожизненную
должность директора Монетного двора.
Основной труд Ньютона — «Математические начала
натуральной философии» — вышел в 1687 г. Научный
авторитет Ньютона в это время был высок. В 1699 г. его
избрали иностранным членом Парижской академии наук,
в 1703 г.— президентом Лондонского королевского
общества (в этой должности он состоял до самой смерти).
После Вильгельма III королевой стала Анна Стюарт.
В 1705 г, она посетила Кембридж, куда из Лондона
приехал и Ньютон. Анна возвела Ньютона в рыцарское
достоинство. Это был первый случай возведения в дворянство
за научные заслуги.
В последующие годы Ньютон новых научных
результатов не получал. Он был занят руководством
Королевским обществом, готовил к изданию и переизданию свои
труды, выполнял различные поручения, требующие
высокой научной квалификации.
Много энергии затрачивал Ньютон на дискуссии и
приоритетные споры сначала с Р. Гуком по поводу
открытия закона всемирного тяготения, а впоследствии —
с Г. Лейбницем в связи с созданием дифференциального и
интегрального исчислений. Печальный факт: в споре о
приоритете Ньютон и Лейбниц изменили первоначальные
оценки деятельности друг друга, а результат спора
вылился в то, что англичане отказались пользоваться
алгоритмом Лейбница, на континенте же многие математики
не признавали достижений школы Ньютона. Так
продолжалось более 100 лет 5.
Последние годы жизни Ньютон посвятил различным
теологическим вопросам, в результате чего появились
такие сочинения, как «Хронология по св. писанию» и др.
123
Умер Ньютон на 85-м году жизни, 31 марта 1727 г.,
похоронен в Вестминстерском аббатстве. Эпитафия на его
памятнике заканчивается словами: «Пусть радуются
смертные, что существовало такое украшение рода
человеческого».
9
Исследования Ньютона по алгебре в основном изложены
им во «Всеобщей арифметике». В 1673—1683 гг. он читал
в Кембридже курс лекций по алгебре. Устав университета
предписывал сдавать рукописи лекций в библиотеку.
В 1702 г. У. Уинстон (1667—1752), сменивший Ньютона
на кафедре, извлек рукопись из библиотеки и в 1707 г.
издал ее. Так появилась «Всеобщая арифметика». В
дальнейшем она несколько раз переиздавалась с обширными
комментариями и дополнениями.
Алгебра Ньютона носит арифметический характер и
цель ее — практические приложения. Ньютон
подчеркивает отделение алгебры от геометрии. «Умножения,
деления и тому подобные вычисления,— пишет он,—
введены были в геометрию недавно и при этом неосторожно
и в противоречии с основной целью этой науки. Всякий,
кто рассмотрит построения задач при помощи прямой и
круга, найденные первыми геометрами, легко увидит, что
геометрия была изобретена для того, чтобы мы, проводя
линии, могли с удобством избегать утомительных
вычислений. Поэтому не следует смешивать эти две науки.
Древние столь тщательно отличали их друг от друга, что
никогда не вводили в геометрию арифметические термины-
Современные ученые, смешивая обе науки, утратили
простоту, в которой состоит все изящество геометрии» 6.
Арифметизации алгебры служило и введенное
Ньютоном определение действительного числа. Он объединил
целые, дробные и иррациональные числа: «Под числом
мы понимаем не столько множество единиц, сколько
отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой
величине того же рода, принятой нами за единицу. Число
бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное (sur-
dus). Целое число есть то, что измеряется единицей;
дробное — кратной долей единицы; иррациональное число
несоизмеримо с единицей». Таким образом, Ньютон дал
понятие числа как базы алгебры и всей математики.
Наряду с положительными Ньютон вводил и
отрицательные числа, которые в духе того времени считал
меньшими, чем ничто. При решении уравнений он учитывал
124
и мнимые корни, называя их невозможными, поскольку
наличие их указывает на невозможность той или иной
задачи: «Корням уравнений часто надлежит быть
невозможными, иначе они выражали бы как возможные те
частые случаи задач, которые невозможны».
Структура «Всеобщей арифметики» такова. Книга
открывается замечанием о соотношении алгебры и
геометрии. Затем дается понятие числа, приводятся
обозначения известных (параметров) и неизвестных, корня,
степени, знаков равенства, пропорциональности. Отдельные
разделы книги посвящены сложению, вычитанию,
умножению, делению, извлечению корней, операциям с
дробями, отысканию линейных и квадратичных делителей
многочленов, приведению дробей к общему знаменателю,
упрощению радикалов, различным формам записи
уравнений, приведению уравнений к простейшему виду,
методам исключения неизвестных из нескольких уравнений,
исключению из уравнений радикалов, составлению
уравнений по условиям задач. Изложение сопровождается
примерами с числовыми величинами и алгебраическими
выражениями. Большой раздел книги занимает решение
алгебраических и геометрических задач. Затем
излагается общая теория уравнений и геометрическое построение
их корней.
Ньютон по каждому вопросу дает конкретные
рекомендации и почти не приводит обоснования высказанных
правил и теорем, аргументируя тем, что «они
представлялись слишком легкими, а иногда не могли быть
изложены без докучливых длиннот». Некоторые утверждения
Ньютона удалось доказать лишь в середине XIX в.
Ньютон посвятил специальный раздел книги вопросу
представления целой рациональной функции с
рациональными коэффициентами в виде произведения аналогичных,
но более простых функций. Этот вопрос связан с
проблемой приводимости уравнений, решением которой
занимался Декарт. Нахождение линейных множителей Ньютон
связывал с подстановкой в многочлен вместо аргумента
членов арифметической прогрессии.
Поясним прием на примере, взятом из «Всеобщей арифметики».
Пусть нужно найти линейные делители многочлена хъ — х2 —
— 10# + 6. Подставим вместо х члены прогрессии 1, 0, —1; тогда
получатся числа —4, 6, 14. Затем составим таблицу, содержащую
указанные члены прогрессии, числа —4, 6, 14 и все их делители:
—4
6
14
1,2,4
1,2,3,6
1,2,7,14
125
Старший член многочлена хъ «делится» только на единицу,
поэтому среди написанных делителей надо выбрать прогрессию с
разностью, равной единице, члены которой убывали бы так же, как
члены прогрессии 1, 0, *—1. Такая прогрессия^, 3, 2. Из нее берем
число 3, находящееся в той строке, в которой записан 0
первоначальной прогрессии, и проверяем деление многочлена на х -j- 3.
Он делится на х + 3 нацело, в частном получается х2 — 4г + 2.
В некоторых случаях может появиться несколько
прогрессий, это даст несколько подлежащих проверке
двучленов. Ньютон не утверждал, что полученные таким
способом двучлены будут обязательно делителями
многочлена, но если у многочлена есть линейные делители, то
они должны быть только среди найденных двучленов»
«Если по этому методу не удастся найти делитель вообще
или же делитель, делящий данную величину, то следует
заключить, что последняя не имеет делителей первого
измерения. Однако, если данная величина выше трех
измерений, то она может иметь делитель двух измерений»*
Затем Ньютон высказал правило для нахождения
квадратичных делителей. Тот же прием он применил при
выделении делителей однородных функций, нахождении
общих делителей нескольких многочленов, сокращении
дробей. Все это он давал без обоснования. Правила
Ньютона для отыскания делителей вида р + qx и р + qx ¦+•
+ гх% доказал в 1708 г. Николай I Бернулли (1687—1759)
и опубликовал в 1745 г. После Ньютона проблема
приводимости уравнений стала в алгебре одной из центральных
и привлекла внимание многих математиков.
Об уравнениях Ньютон писал так: «Уравнения
представляют собой собрания величин, либо равных между
собой, либо равных все вместе нулю. Уравнения
рассматривают главным образом с двух точек зрения: либо как
последние заключения, к которым приходят при
решении задачи, либо как средства, при помощи которых
получают окончательные уравнения». Уравнения первого
вида содержат известные величины и одну неизвестную,
значение которой и следует найти* Уравнения второго
вида содержат несколько неизвестных, из них необходимо
получить уравнение с одной неизвестной.
Ньютон рекомендует запись уравнения, которую
теперь принято называть канонической, т. е. слева писать
все члены уравнения, а справа — нуль, Такую форму
записи, как известно, предпочитал и Декарт.
Для приведения уравнения к каноническому виду
Ньютон предлагает несколько правил, вошедших теперь
!в практику повсеместно. Затем он приводит способы ис-
126
ключения неизвестных из систем уравнений: подстановки,
приравнивания одной неизвестной величины, полученной
из двух или большего числа уравнений.
Вслед за этими общими соображениями Ньютон
приступает к реализации их в практике решения задач с
помощью уравнений, которые занимают почти половину
«Всеобщей арифметики». Этим курс Ньютона выгодно
отличается от всех предшествующих руководств по алгебре.
Теория уравнений и методы построения их корней
излагаются Ньютоном после решения задач. Вместе с
отысканием линейных и квадратичных делителей многочленов
это составляет основной вклад Ньютона в алгебру.
Корень уравнения Ньютон определяет как «число,
которое, будучи поставленным в уравнение вместо
обозначающей его буквы или вида, приводит к исчезновению
всех членов». Он сразу же обращает внимание на то, что
уравнение может иметь несколько корней, и приводит
соответствующие примеры.
Затем он разъясняет причину множественности
действительных корней: «Для того чтобы вы не удивились
тому, что одно и то же уравнение может иметь несколько
корней, вам следует знать, что одна и та же задача может
иметь более чем одно решение».
После иллюстрации этой мысли задачей о нахождении
пятой части дуги окружности, стягиваемой некоторой
хордой, когда уравнение будет иметь пять корней,
Ньютон заключает: «Поэтому необходимо, чтобы во всякой
задаче дающее ответ уравнение имело столько же корней,
сколько имеется различных случаев для искомой
величины, зависящих от одних и тех же данных и
определяемых посредством одного и того же метода рассуждения.
Уравнение может иметь столько же корней, сколько
оно имеет измерений, но не более».
Заключительная фраза цитаты представляет собой
формулировку основной теоремы алгебры, о которой
будет идти речь дальше.
Ньютон применял известный ранее прием
образования уравнения умножением двучленов х — а, х — &,
х — с и т. д. и приравниванием произведения нулю.
Отсюда следовало, что число корней уравнения не может
превышать его степени*
Как уже говорилось, Ньютон наравне с положительными и
отрицательными корнями уравнениявводил и мнимые (комплексные),
которые называл невозможными. Интересно рассуждение Ньютона
для обоснования четного числа невозможных корней.
127
Пусть окружность и эллипс пересекаются в точках С, D, Е, F.
Опустим из этих точек на прямую АВ перпендикуляры (рис. 16).
Предположим, что удалось составить уравнение для отыскания
длины какого-либо из перпендикуляров. Окружность пересекает эллипс
в четырех точках; уравнение имеет
четыре действительных корня. Если
теперь радиус окружности
уменьшать, перпендикуляры KF и IE
будут сближаться и в какой-то момент
совпадут; окружность и эллипс
станут касаться в одной точке; тогда
два корня окажутся равными. Если
радиус уменьшать и дальше, то
останутся только две точки пересечения
эллипса с окружностью; два корня
«станут невозможными», так же как и
соответствующие им два
перпендикуляра. «Таким же образом,—
заключает Ньютон,— во всех уравнениях при
увеличении или уменьшении их членов два неравных корня сперва
становятся равными, а затем невозможными. Поэтому число
невозможных корней всегда бывает четным».
Ньютон в той же манере исключительной доступности
показывает, что в некоторых случаях действительные
корни уравнения могут не соответствовать условиям задачи.
Затем он формулирует правило знаков для определения
числа положительных и отрицательных корней
уравнения и отмечает, что правило Декарта недостаточно в
случае невозможных корней (это знал и сам Декарт).
Формулировка правила Ньютона такова: «Если среди корней
уравнения нет невозможных, то по знакам членов уравнения можно
узнать число его положительных, а также отрицательных корней.
Именно, положительных корней будет столько, сколько в
последовательности знаков имеется перемен знаков от +к — и от — к -{-;
остальные корни будут отрицательными».
Например, в уравнении я4 — хъ — 19я2 + 49.Z — 30 = 0 знаки
расположены так: -| 1 . Перемена их: от первого ко
второму, от третьего к четвертому и от четвертого к пятому члену.
Следовательно, уравнение имеет три положительных и один
отрицательный корень.
«Однако,— продолжает Ньютон,— это правило не имеет силы,
когда некоторые из корней невозможны, если не рассматривать эти
невозможные корни, которые не являются ни положительными, ни
отрицательными, как неопределенные по знаку. Так, знаки в
уравнении
хъ -|- рх2 + Зр2х — q = 0
показывают, что оно имеет один положительный корень и два
отрицательных. Положите х = 2р, или х — 2р = 0, и умножьте первое
уравнение на х — 2р = 0. При этом добавится еще один
положительный корень, и вы получите уравнение
х± — рхз _|_ р2д.2 _ (6/?з + ^ x + 2pq = 0г
128
которое должно иметь два положительных и два отрицательных
корня. Между тем, ecim вы рассмотрите перемены знаков, то
увидите, что оно имеет четыре положительных корня. Таким образом,
здесь имеются два невозможных корня, которые в силу своей
неопределенности в первом случае казались отрицательными, а в
последнем — положительными».
Ньютон привел далее правило для определения числа
невозможных корней уравнения. В современных
обозначениях оно выглядит так: уравнение а0хп + а^г71"1 + . . .
. . . -\-ап = О имеет по крайней мере столько
комплексных корней, сколько перемен знаков в последовательности
9 1 п—1 2 2 п—2 2
П—1 1 2 2
После примеров на приложение этого правила
Ньютон сформулировал приемы преобразования уравнений
с целью изменения знаков корней, уменьшения или
увеличения их на определенное число, исключения из
уравнения какого-либо члена, преобразования корней в
обратные и т. д. Все это известно было и ранее (аналогичные
приемы применяли Кардано, Виет, Декарт).
Раздел о преобразовании уравнений Ньютон закончил
формулировкой зависимостей между коэффициентами
уравнения и симметрическими функциями корней,
частично известных Кардано и установленных Виетом.
Формулы для первых четырех степенных сумм корней
алгебраических уравнений любых степеней привел в 1629 г.
Жирар. Ньютон сформулировал правило для
определения границ действительных корней и их
приближенного вычисления.
За изложением методов решения уравнений третьей
и четвертой степеней следует заключительный раздел
книги «Линейное построение корней», посвященный
приближенному решению уравнений построением. В отличзе
от Декарта Ньютон пользовался построениями не как
обоснованием существования решения той или иной
задачи, но преследовал цель получить несколько первых
знаков корней, чтобы в последующем можно было
приложить разработанные им приближенные методы решения
уравнений.
Ньютон полемизировал с Декартом, исключавшим из
математики трансцендентные кривые (например,
циклоиду). Он писал: «...меня не следует упрекать, если я вместе
с князем математиков Архимедом и другими древними
129
применяю для телесных задач конхоиду. Впрочем, если
кто-либо думает иначе, то пусть он имеет в виду, что я
забочусь здесь не о геометрическом построении, но о каком-
то приеме, при помощи которого мог бы кратчайшим
путем найти численное значение корня» [37, с. 299].
Ньютон изложил построение корней различных
видов кубических уравнений с помощью конических
сечений, конхоиды, циссоиды, уравнение которой у2 =
= х3/ (а — х). Он применил свои методы к решению задач
древних о трисекции угла и определении двух средних
пропорциональных.
10
Ньютон во «Всеобщей арифметике» не привел
разработанного им метода приближенного решения уравнений. Этот
метод описан в «Анализе с помощью уравнений с
бесконечным числом членов» (написан около 1665 г., опубликован
в 1711 г.) и кратко изложен в 94-й главе «Алгебры» Вал-
лиса. О нем Ньютон сообщил Лейбницу в письме 13 июня
1676 г., посланном через Г. Ольденбурга (1615—1677).
Он отметил преимущества своего метода перед более
громоздким приемом Виета.
Идея состоит в том, что корень уравнения
отыскивается с помощью последовательного вычисления поправок.
Если для уравнения / (х) = 0 известно приближенное
значение корня х0, то следует положить х = х0 -\- /?, где
р — малая поправка. Уравнение / (х) = / (х0 -\- р) = 0
заменяется уравнением /х (р) = 0, и приближенное
значение р0 находится линеаризацией его, т. е.
отбрасыванием членов степени выше первой. Затем полагается р =
= р0 + д; приближенное значение q0 отыскивается
линеаризацией уравнения fy (p0 + q) = /2 (q) = 0. Таким
же приемом находятся следующие поправки.
Ньютон решил этим способом уравнение хъ — 2х —
— 5 = 0 и получил к х0 = 2 три поправки, что дало
значение корня с восемью верными знаками: х = 2 + 0,1 —
- 0,0054 - 0,00004853 = 2,09455147.
Соотечественник Ньютона Д. Рафсон (1648—1715) в
«Общем анализе уравнений» (1690) привел модификацию
метода Ньютона. Он находил последовательные
приближения по одной и той же формуле и не пользовался
уравнениями /х = 0, /2 = 0, /3 = 0, ...
Первая поправка получается после линеаризации
уравнения
130
/(*)=/ (xo + P)=f (*o) + /' (*о) Р + Г (хо) Р2/2! +
+ . . . = 0
в виде р0 = —/ (oc0)/f/(x0). Тогда приближенное значение
корня будет хг = х0 — / (х0)/}'(х0).
Затем образуется уравнение / (хх + #) = 0, из
которого
Я о = ~/ (xiVf(xi) и ^2 = xi — / fai)//'(*i)«
Продолжая процесс, можно находить
последовательные приближения по формуле
хп+1 = хп / \хп)Ч \хп)-
В таком виде метод Ньютона изложен Эйлером в
«Основаниях дифференциального исчисления» (1755). Им
пользуются и сейчас для
решения не только
алгебраических, но и
трансцендентных уравнений.
Метод Ньютона имеет
простую геометрическую
интерпретацию. Пусть
действительный корень уравнения
/ (х) = 0 находится на
интервале (а, Ь). Изобразим
кривую у = / (х) (рис. 17) и
проведем через соответствующий
конец интервала, в данном случае через точку В [b, f (b)]>
касательную к кривой. Уравнение ее у — / (Ь) =¦
= f (Ъ) (х — Ъ). На оси Ох будет у = 0, х = хъ поэто-
му -/ (Ь) = f (Ь) (хг - Ь), хх - Ъ = -/ (6)//' (Ь), хх =
= ь - / {b)if (Ъ).
На интервале (а, хг) поступаем аналогичным образом;
находим х2 = х1 — / (#i)//' (#1) и т. д.
Этот метод Ньютона так и называется — метод
касательных. Его недостаток состоит в том, что приближение
к корню происходит с одной стороны. Но он легко
устраним, если с другой стороны приближаться с помощью
метода хорд; через концы интервала провести хорду, найти
абсциссу точки пересечения ее с осью, а затем проводить
хорды каждый раз на новых интервалах. Так обычно и
поступают.
Ньютон разработал также метод решения уравнений
/ (х, у) = 0 с буквенными коэффициентами. При этом он
разлагал неявную функцию у по степеням #, в том числе
Рис. 17
131
дробным и отрицательным. Первый член разложения
отыскивался из вспомогательного уравнения, получаемого
с помощью некоторого механического приема, которое
применялось к «параллелограмму Ньютона». Этот
параллелограмм нашел впоследствии применение в различных
разделах математики.
«Всеобщая арифметика» оказала большое влияние на
последующее развитие алгебры и совершенствование
системы преподавания ее в учебных заведениях. Она
получила признание в научных кругах; издавалась в 1707,
1722, 1732, 1761 гг. и позднее; в 1720 и 1728 гг. была
переведена на английский язык, в 1802 г.— на
французский.
Многим фактам и правилам Ньютон не дал
обоснования. Это вызвало обилие комментариев с доказательствами.
Начатое Ньютоном построение алгебры на
арифметической основе развивалось и далее, в связи с чем из книг
по алгебре исключались геометрические приложения.
В «Началах алгебры» французского математика А. Клеро
(1713—1768), вышедших в 1746 г., и в «Универсальной
арифметике» Л. Эйлера, опубликованной в 1768 —1769 гг.
в Петербурге, все изложение носило арифметический
характер.
Широкое распространение нашло данное Ньютоном
определение действительного числа. Многие работы
математиков XVIII в. посвящены сущности отрицательных
чисезг и обоснованию действий над ними. Вместе с тем
шло развитие теории комплексных чисел.
Творчеством Ньютона в алгебре можно, вероятно,
подытожить многовековую работу алгебраистов, когда были
найдены способы приведения различных задач к
уравнениям, решены квадратные уравнения, уравнения третьей
и четвертой степеней, найдены зависимости между
корнями и коэффициентами уравнений, получены способы
приближенного решения уравнений, сформулирована
основная теорема алгебры, поставлена общая задача решения
уравнений в радикалах.
Значительное место в исследованиях математиков
непосредственно после Ньютона заняло разрешение
выдвинутых им проблем. Это проблемы приводимости,
исключения переменных, численные методы решения уравнений,
теория симметрических функций, уточнение и
доказательство правил знаков Декарта и Ньютона и др.
Основными задачами алгебры были определение вида корней
уравнений и нахождение их.
132
Доказательство основной теоремы алгебры и
разработка проблемы решения уравнений в радикалах стали делом
второй половины XVIII — начала XIX в. Этому
знаменательному периоду в развитии теории уравнений,
а вместе с ней и всей алгебры, посвящена последняя глава
книги.
Вершины
1
Думается: в каждом деле есть свои вершины. Не только
у альпинистов, покоряющих не доступные обычным
людям горные пики. Чем не вершины — задачи, не
поддающиеся решению многим поколениям и передающиеся по
наследству? К ним в мире уравнений того временного
интервала, к которому мы подошли, следует безусловно
отнести основную теорему алгебры и решение уравнений в
радикалах. И штурмовать эти вершины выпало на долю
великих Д'Аламбера, Эйлера, Лагранжа, Лапласа,
Гаусса, Абеля, Галуа.
2
В указанный период в мире происходили коренные
изменения, обусловившие прогресс науки. Буржуазная
революция XVII в. в Англии и промышленная революция
конца XVIII — начала XIX в. обеспечили буржуазии
руководящую роль в управлении страной. Во Франции
произошла Великая французская революция 1789—1794 гг.,
идеологической подготовкой которой послужила
деятельность Ф. Вольтера (1694—1778), Ж. Руссо (1712 —
1778) и других просветителей. Важнейшим событием века
был выход 35 томов «Энциклопедии или Толкового
словаря наук, искусств и ремесел» (1751—1780). Издание
«Энциклопедии» возглавлял философ Д. Дидро (1713—1784),
вторым редактором был Ж. Д' Аламбер (1717—1783).
Революция во Франции значительно ускорила развитие
науки.
Влияние французских просветителей проявлялось в
различной степени во всех странах Европы, и русская
императрица Екатерина II, и даже прусский король
Фридрих II вынуждены были проводить некоторые
мероприятия в области образования и науки.
Сложившаяся в XVII в. механистическая концепция
мира в XVIII в. нашла дальнейшее развитие и
распространение. Она служила основой физических наук и
проникала в другие науки. В связи с этим особую значимость
получила механика, развивавшаяся в тесном
взаимодействии с математикой. Трудами Эйлера, Лагранжа и
других математиков в основу механики были положены
методы дифференциального и интегрального исчислений.
Центрами науки, как и раньше, оставались академии.
Ведущими среди них были Парижская, Берлинская,
Петербургская и Лондонское королевское общество. В
академиях наряду с теоретическими исследованиями
проводились работы, вызванные нуждами практики:
организовывались экспедиции, составлялись карты, изучались
флора и фауна, недра Земли, велись астрономические и
геофизические наблюдения, решались задачи
мореплавания, военного дела. Академии занимались подготовкой
научных кадров.
Значительно оживилась научная информация, чему
способствовало растущее количество периодических
изданий. В конце XVIII в. появились издания, посвященные
специально математике. Значительное место в научной
информации занимала переписка ученых, способствующая
более быстрому распространению открытий.
Внутри математики наметилась важная особенность:
если раньше многие достижения получены были учеными,
для которых математика представляла как бы побочное
занятие (Ферма, Декарт, Паскаль, Лейбниц), то в XVIII в.
математикой стали заниматься профессионально
государственные служащие — академики, преподаватели
высшей школы. Такое изменение в положении специалистов,
занимающихся математическими исследованиями,
объясняется в первую очередь все более интенсивными
приложениями математики к многочисленным задачам
практики. И это, по мнению многих, должно было все
усиливаться, о чем свидетельствуют, например, слова Ж. Фурье
(1768—1830), отметившего, что математический анализ
настолько же обширен, как и природа.
Обучение математике проводилось на философских
факультетах университетов, где традиционные курсы
элементарной математики стали дополняться сведениями из
аналитической геометрии и математического анализа.
Важную роль в подготовке инженерных и научных
кадров во Франции сыграли организованные в 1794 г.
Политехническая и Нормальная школы, а также военные,
134
военно-инженерные, морские школы, в которых курсы
математики были намного шире университетских. В
Нормальной и Политехнической школах преподавали почти
все известные математики Франции, из них вышли
выдающиеся математики.
В XVIII в. значительно пополнилась учебная
литература по математике: появились «Первые основания
всех математических наук» (1710) X. Вольфа, «Начала
геометрии» (1741) и уже упоминавшиеся «Начала
алгебры» А. Клеро, «Трактат по алгебре в трех частях» (1748)
К. Маклорена, «Универсальная арифметика» Эйлера, его
же двухтомное «Введение в анализ бесконечных» (1748),
«Дифференциальное исчисление» (1755), трехтомное
«Интегральное исчисление» (1768—1769), другие
значительные курсы, способствовавшие распространению
математических знаний,
3
Основная теорема алгебры в виде утверждения:
алгебраическое уравнение имеет столько корней, какова его
степень, высказана Жираром и Декартом. Ее формулировка,
состоящая в том, что алгебраический многочлен с
действительными коэффициентами раскладывается в
произведение действительных линейных и квадратичных
множителей, принадлежит Д'Аламберу и Эйлеру. Эйлер
впервые сообщил об этом в письме Николаю I Бернулли
(1687—1759) от 1 сентября 1742 г. Отсюда следовало, что
корни алгебраических уравнений с действительными
коэффициентами принадлежат полю комплексных чисел *.
Первое доказательство теоремы предпринял в 1746 г.
Д'Аламбер.
Жан Лерон Д'Аламбер родился 16 ноября 1717 г. в
Париже. Он был внебрачным сыном маркизы де Тансен
и артиллерийского офицера Детуша. Вскоре после
рождения его подкинули на ступени церкви св. Жана Лерона,
чем и объясняется его имя.
Д'Аламбер окончил колледж Мазарини, где изучал
право. Математикой занимался самостоятельно. В 1739 и
1740 гг. он представил Парижской академии сочинения
по гидродинамике и интегральному исчислению, в 1741 г.
был избран адъюнктом Академии. В 1756 г. Д'Аламбера
избрали академиком, в 1772 г. он стал непременным
секретарем Академии. Петербургская академия наук избрала
Д'Аламбера иностранным членом в 1764 г.
135
Основные работы Д'Аламбера относятся к механике,
гидродинамике, небесной механике, математике. В 1743 г.
в Париже опубликован «Трактат по динамике»,
содержащий известный «принцип Д'Аламбера», позволяющий
сводить задачи динамики к задачам статики. В 1748 г.
появились «Исследования по интегральному исчислению»,
в которых и содержалось доказательство основной
теоремы алгебры.
С 1750 по 1757 г. Д'Аламбер совместно с Д. Дидро
руководил изданием «Энциклопедии». В первом томе ее
(1751) помещена большая вступительная статья
Д'Аламбера «Очерк происхождения и развития наук». В других
томах также содержатся многочисленные его статьи,
в том числе «Геометрия», «Дифференциал», «Предел» и др.
Умер Д'Аламбер 29 октября 1783 г.
Доказательство основной теоремы алгебры,
выполненное Д'Аламбером, было аналитическим, а не
алгебраическим. Д'Аламбер пользовался не оформившимися еще
в то время понятиями анализа, такими, как степенной
ряд, бесконечно малая. Поэтому его доказательство
страдало погрешностями, подверглось справедливой критике
Гаусса (об этом речь пойдет дальше) и было забыто.
Сохранилась доказанная в 1806 г. Ж. Арганом (1768—
1822) «лемма Д'Аламбера», применяющаяся и в
настоящее время при доказательстве основной теоремы
алгебры. Она состоит в следующем: если Рп (х) Ф 0 в
некоторой точке х0, to найдется как угодно близко к х0
значение хъ для которого будет | Рп (х^ | <С | Рп (х0) |.
Иными словами, утверждается, что нижняя грань
абсолютных величин Рп (х) равна нулю.
4
Следующий значительный шаг в доказательстве
основной теоремы алгебры сделал Эйлер.
Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 г. в Базеле,
в семье пастора Пауля Эйлера, любителя математики,
учившегося у Я. Бернулли (1654—1705). После
окончания гимназии Л. Эйлер в 1720 г. поступил на
философский факультет Базельского университета, где слушал
лекции по математике И. Бернулли (1667—1748).
Бернулли обратил внимание на чрезвычайно одаренного
юношу, посоветовал ему изучать труды математиков,
стал заниматься с ним еженедельно у себя дома. Здесь
Эйлер познакомился с его сыновьями — Николаем и Да-
136
ниилом. После окончания философского факультета
Эйлер поступил на богословский факультет, где с особым
усердием изучал древние языки и древних классиков.
Летом 1724 г. он получил степень магистра искусств.
В конце октября 1725 г. Даниил и Николай Бернулли
по приглашению президента недавно организованной
Петербургской академии наук Л. Л. Блюментроста прибыли
в Петербург. Вскоре Эйлер также получил приглашение
и в мае 1727 г. приехал в северную столицу.
В благоприятных условиях быстро развивающейся
Петербургской академии гений Эйлера раскрылся во всю
ширь. Исследования по математике и механике принесли
ему широкую известность в научных кругах. Он стал
членом Берлинской академии наук, иностранным членом
Лондонского королевского общества (1749), Парижской
академии наук (1755).
О значении Петербургской академии в своей жизни
Эйлер писал Шумахеру 18 ноября 1749 г., что если бы
не такое превосходное обстоятельство, то он «...был бы
вынужден главным образом обратиться к другим
занятиям, в которых, по всем признакам, мог бы заниматься
только крохоборством», что он «...всем обязан своему
пребыванию в Петербургской академии».
В 1738 г. Эйлер ослеп на правый глаз, но это не
отразилось на его работоспособности, он продолжал
проведение различных исследований, результаты которых
публиковались в «Комментариях Петербургской академии
наук».
В 1741 г. Эйлер на 25 лет покинул Петербург.
Причина — сложная, неустойчивая политическая обстановка
во времена регентства Анны Леопольдовны, что
отражалось и на работе Академии. Эйлер принял предложение
Фридриха II и стал работать в Берлинской академии.
Там он продолжал интенсивные исследования, публикуя
результаты их в изданиях Берлинской и Петербургской
академий.
В 1766 г. Эйлер принял приглашение Екатерины II
вернуться в Петербург. Жизнь Эйлера протекала в
интенсивных трудах. Вскоре после приезда в Петербург
он окончательно ослеп, но продолжал диктовать статьи
сыновьям и ученикам. С 1773 по 1783 г. секретарь
Эйлера Н. Фусс (1755—1825) выпустил 355 его работ.
Умер Эйлер 18 сентября 1783 г. Как сказал М. Кон-
дорсе (1743—1794), он «перестал жить и вычислять».
Похоронен Эйлер на Смоленском евангелическом клад-
137
бище. В 1837 г. на его могиле Петербургская академия
наук воздвигла памятник.
Творчество Эйлера составляет эпоху не только в
развитии математики, но и механики, физики, астрономии
и ряда других наук. Ему принадлежат выдающиеся
достижения в математическом анализе, вариационном
исчислении, теории дифференциальных уравнений,
дифференциальной геометрии, теории чисел, топологии,
гидродинамике, математической физике, теории теплоты,
оптике, механике твердого тела, механике машин,
сопротивлении материалов, гидравлике, теории навигации,
баллистике и др. Не чуждался Эйлер и практики. Он
ввел в математику тригонометрические функции, и во всех
школах Земли дети до сих пор изучают их по Эйлеру.
Он употреблял некоторые символы и термины,
получившие распространение и дошедшие до наших дней,например:
обозначения кие (основание натурального логарифма).
Можно безошибочно сказать, что нет ни одной точной
науки, в которой бы не сохранилось имя Эйлера.
Он был фантастически работоспособен. Его перу
принадлежат 886 статей и мемуаров, среди которых
двухтомные и трехтомные, служившие долгое время
основными руководствами для исследователей. В 1908 г.
«Швейцарское общество естественных наук» приняло решение
издать полное собрание сочинений Эйлера, состоявшее
по предварительным подсчетам из 72 томов объемом
примерно по 600 страниц каждый. К ним добавляются
еще 8 томов переписки Эйлера с более чем 270
корреспондентами. Издание продолжается до сих пор.
Эйлера изучали и высоко ценили все последующие
великие математики. «Читайте Эйлера,— говорил
П. С. Лаплас,— это наш общий учитель». К. Ф. Гаусс
сказал: «Изучение работ Эйлера остается наилучшей
школой в различных областях математики, и ничто
другое не может это заменить».
В октябре 1983 г. Президиум Академии наук СССР
и многие академические институты провели в Москве и
Ленинграде торжественные заседания и симпозиум
«Развитие идей Эйлера в современную эпоху», посвященные
275-летию со дня рождения и 200-летию со дня смерти
академика Л. Эйлера.
Доказательство Эйлера основной теоремы алгебры
приведено в работе «Исследования о воображаемых корнях
уравнений», представленной им в «Мемуары Берлинской
академии наук» в 1749 г. и опубликованной в 1751 г.
138
Эйлер построил наиболее алгебраическое доказательство
теоремы, его основные идеи повторялись и углублялись
в последующем другими математиками. Разработанные
Эйлером в процессе доказательства методы исследования
уравнений получили развитие у Лагранжа, вошли
составной частью в теорию Галуа.
Эйлер предполагал, что всякий многочлен степени п
с действительными коэффициентами можно представить
в виде произведения п сомножителей х — х\\
хп + Axn~x + Bxn~2 + ... + N = (х - хг)(х - х2)...
...\Х Хп),
гдея^, х2, . . ., хп — символы количества, называемые
корнями уравнения.
Если выполнить в правой части записанного равенства
умножение и приравнять коэффициенты при одинаковых
степенях х, то получим соотношения
xi "г х2 г • • ¦ т~ %п = — А,
Х-^2 \ Х]Х% -\- . . . ~\- Xn-iXn = t),
хгх2. . . хп = (- l)nN.
Они давали возможность доказать теоремы о
симметрических функциях.
Основная теорема состояла в том, что все корни
уравнения имеют вид а + 6]^— 1 (а + bi), т. е.
принадлежат полю комплексных чисел. Для доказательства этого
Эйлер установил, что всякий многочлен с
действительными коэффициентами можно разложить в произведение
действительных линейных или квадратичных множителей.
Эйлер писал: «Итак, мы полагаем, что, какова бы ни была
степень предложенного уравнения
ХП + АхП-1 _|_ ВхП-2 + . . . + iV = О,
оно всегда может быть представлено в виде
(х + а) (х + Р) (х + у) (х + 6) . . . (х + v) = О,
где число таких множителей = п. А так как эти множители, будучи
действительно перемноженными, должны произвести предложенное
уравнение, то очевидно, что количества А, В, С, D, . . . будут
таким образом определены через количества а, Р, Y> • • • > v, что
будет
А = сумме количеств а, р, у, б, . . ., v7
В = сумме всех их произведений по два
С = сумме произведений по три>
D = сумме их произведений по четыре,
139
и, наконец, N = произведению всех аруб. . .v.
Так как число этих уравнений = д, то значения букв а, р, у,
б, . . ., v будут обратно из них определяться» [4, с 261—262].
Значения а, |3, у, б,. . ., v, не являющиеся
действительными, Эйлер называл воображаемыми и указывал,
что обычно считают их такими, которые попарно в сумме
и произведении дают действительные числа.
Следовательно, если воображаемых корней будет 2т, то это даст т
действительных квадратичных множителей в
представлении многочлена. Эйлер пишет* «Поэтому говорят, что
каждое уравнение, которое нельзя разложить на
действительные простые множители, имеет всегда
действительные множители второй степени. Однако никто, насколько
я знаю, еще не доказал достаточно строго истинность
этого мнения; я постараюсь поэтому дать ему
доказательство, которое охватывает все без исключения случаи».
Такой же концепции придерживались Лагранж,
Лаплас и некоторые другие последователи Эйлера. Не
согласен с ней был Гаусс.
Эйлер сформулировал три теоремы, вытекающие из
свойств непрерывных функций.
1. Уравнение нечетной степени имеет по меньшей
мере один действительный корень. Если таких корней
больше одного, то число их нечетно.
Это следует из того, что
lim Р2т+1 (х) = оо, lim Р2т+1 (х) = — оо.
X—оо X——оо
2. Уравнение четной степени либо имеет четное число
действительных корней, либо не имеет их совсем.
В самом деле, lim P2m(x)=oo, поэтому график много-
X—+оо
члена пересечет ось Ох четное число раз или не пересечет
ни разу.
3. Уравнение четной степени, у которого свободный
член отрицательный, имеет по меньшей мере два
действительных корня разных знаков.
Поскольку многочлен четной степени, его значение
при х —>- Hz оо будет стремиться к оо. Но Р2т (0) <С 0,
поэтому график многочлена по меньшей мере два раза
пересечет ось Ох (в разных полуплоскостях: х "> 0 и
х < 0).
Вслед за этим Эйлер доказал теоремы о разложимости
на линейные и квадратичные действительные множители
многочленов с действительными коэффициентами. Так
140
как уравнение нечетной степени имеет действительный
корень, то он рассмотрел уравнения четной степени и
доказал, что многочлен степени 2т при 2т = 2К
разлагается на два множителя степеней 2к~г, т. е. Р2ь (х) =
= Р2^_х (x)Q2k_i (x), коэффициенты которых выражаются
через коэффициенты исходного многочлена.
Применив этот прием несколько раз, представим
многочлен в виде произведения множителей второй степени.
Если 2т Ф 2к, то можно найти такое значение /с, что
будет 2*-1 <Z 2т <С 2к. Тогда домножим многочлен Р2т (х)
на произведение 2к — 2т множителей вида х — а и
придем к случаю 2т = 2К.
При доказательстве основной теоремы Эйлер
установил два свойства алгебраических уравнений: 1)
рациональная функция корней уравнения, принимающая при
всех возможных перестановках корней к различных
значений, удовлетворяет уравнению степени /с,
коэффициенты которого выражаются рационально через
коэффициенты данного уравнения; 2) если рациональная
функция корней уравнения инвариантна (не меняется)
относительно перестановок корней, то она рационально
выражается через коэффициенты исходного уравнения.
Теорему о возможности представления многочлена
степени 2?с в виде произведения двух многочленов
степени 2Л~1 Эйлер доказал для 2к = 4; 8; 16 и наметил
для произвольных т = 2,f. Доказательство для т = 2К
провел Лагранж в работе «О виде мнимых корней
уравнений» (1774). Он пользовался свойствами симметрических
и введенных особых функций.
В лекциях по математике, читанных в 1795 г. в
Нормальной школе, П. С. Лаплас (1749 — 1827), допуская вслед
за Эйлером и Лагранжем разложение многочлена на
множители, доказывает, что они будут действительными.
Пусть я, 6, с, . . . — корни уравнения степени т = 2г-к,
где к — нечетное число. Лаплас получает уравнение, корни
которого представляют собой различные комбинации вида a -f- Ъ + sab,
где s — действительное число. Степень этого уравнения будет 2Г-1- к,
где к нечетно. При г = 1 степень этого уравнения нечетна и при
любом s у него должен быть действительный корень. Следовательно,
возможны различные значения s, при которых корень а + Ъ + sab
действителен. Запишем:
a -f- Ь -\- s±ab = сг, a -f- Ъ -\- s2ab = с2,
где с1ис2 — действительные постоянные. Тогда a -f- b и ab должны
быть также действительными и исходное уравнение будет иметь
действительный множитель второй степени х2 — (а -|- Ь) х + ab.
141
Если г — произвольное число, Лаплас показывает, что в случае,
когда построенное им уравнение степени 2г~1-к имеет
действительный множитель второй степени, у данного уравнения будет
действительный множитель четвертой степени, разлагающийся в
произведение двух действительных множителей второй степени.
Таким образом, Эйлер, Лагранж и Лаплас строили
доказательство основной теоремы алгебры на
предположении существования поля разложения многочлена на
множители.
5
В своем раскрытии темы мы подошли к знаменательному
времени в развитии алгебры и к величественной фигуре
Гаусса.
М. Клайн в книге «Математика. Утрата
определенности» пишет: «Девятнадцатый век начался для
математики хорошо. Активно работал Лагранж. В зените славы
и расцвете сил находился Лаплас... Карл Фридрих Гаусс
опубликовал (1801) свои «Арифметические исследования»
(Disquisitiones arithmeticae), ставшие знаменательной
вехой в развитии теории чисел, и был на пороге множества
новых достижений, снискавших ему титул «король
математиков». А французский конкурент Гаусса Огюстен Луи
Коши (1789—1857) продемонстрировал свои незаурядные
способности в обширной статье, опубликованной в 1814 г.»
[29, с. 83].
В феврале 1855 г. по заказу Ганноверского двора
была изготовлена медаль с барельефом Гаусса, под
которым значится: Mathematicorum princeps (король
математиков).
Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 г. в
Брауншвейге. Отец его был мастером-водопроводчиком;
он отличался умением хорошо считать, чем оказывал
услуги купцам Брауншвейга и Лейпцига.
Математическая одаренность Гаусса проявилась очень рано. Легенда
утверждает, что он, в возрасте трех лет, наблюдая
однажды за расчетами отца с мастерами, поправил его.
Сам Гаусс заметил, что научился считать раньше, чем
говорить.
Умением считать он поразил учителя в начальной
школе. Занятия там проводились одновременно с детьми
разных возрастов, поэтому учитель давал задание одним
для самостоятельного выполнения, чтобы в это время
заниматься с другими. Группе учеников он предложил
просуммировать натуральные числа от 1 до 100. Каждый
142
выполнивший задание должен был класть грифельную
доску на стол учителя. Гаусс положил ее сразу же после
того, как учитель кончил диктовать задачу:
десятилетний Гаусс самостоятельно открыл формулу для суммы
п первых членов арифметической прогрессии. И только
у него одного оказался правильный ответ.
Выдающиеся вычислительные способности Гаусса
сыграли особую роль в его творчестве. Ф. Клейн,
исследовавший творчество Гаусса, отметил, что он, будучи
еще мальчиком, накопил такой эмпирический материал,
Каким не обладал никто из математиков ни до, ни после
него. Как пример Клейп привел выражение Гауссом
дробей Ир от р = 1 до р = 1000 в виде десятичных дробей.
Гаусс искал при этом полные периоды, что иногда
требовало нескольких сотен десятичных знаков. Из
обильного эмпирического материала у Гаусса возникли многие
идеи теории чисел.
После случая с суммированием арифметической
прогрессии слава о Гауссе широко распространилась и дошла
до герцога Брауншвейгского, который помог Гауссу
поступить в Геттингенский университет. В нем он учился
в 1795—1798 гг. Гаусс долго не мог решить, что избрать
в качестве профессии — математику или филологию,
которой занимался также успешно. Остановился он на
математике после того, как в марте 1796 г. открыл способ
построения правильного 17-угольника.
В 1807 г. Гаусс стал директором университетской
астрономической обсерватории в Геттингене и
профессором университета. Эти должности он занимал до смерти.
Вся творческая жизнь Гаусса связана с Геттингенским
университетом. Он основан в 1734 г. английским королем
Георгом II, бывшим также ганноверским курфюрстом,
и открыт в 1737 г. Сюда приглашались первоклассные
ученые, поэтому он стал лучшим среди университетов
германских княжеств.
Геттингенский университет был и остается до сих
пор одним из центров математической пауки. В нем
работали такие выдающиеся математики, как Г. Ф. Б. Ри-
ман (1826-1866), Ф. Клейн (1849-1925), А. Э. Нётер
(1882-1935), Д. Гильберг (1862-1943).
На первых порах жизни в Геттингене на Гаусса
обрушились несчастья. В 1809 г. после рождения сына
умерла жена, а вскоре и сам ребенок. Наполеон обложил
Геттинген контрибуцией, и Гаусс должен был
выплатить непосильный налог — 2000 франков. Астроном
143
Г. В. Ольберс (1758—1840) и Лаплас предлагали ему
свою помощь, но от отказался. Деньги внес курфюрст
Майнцский, друг Гёте.
Творчество Гаусса охватывает многие области
математики и других наук. Он провел основополагающие
исследования в теории чисел, высшей алгебре,
дифференциальной геометрии, геодезии, небесной механике,
астрономии, теории электричества и магнетизма,
математической физике. Вместе с В. Вебером (1804—1891) Гаусс
разработал систему физических единиц.
В 1801 г. Петербургская академия наук избрала
Гаусса членом-корреспондентом, а в 1824 г.—
иностранным членом. В возрасте 62 лет Гаусс выучил русский
язык. По предложению Гаусса, в 1842 г. Н. И.
Лобачевского (1792—1856) избрали членом-корреспондентом
Геттингенского научного общества.
Гаусс придерживался правила: «Не считать ничего
сделанным, если еще кое-что осталось сделать». Возможно,
убеждение в этом, а также боязнь «крика беотийцев» 2
не позволили ему опубликовать при жизни некоторые
великие открытия, в том числе по неевклидовой
геометрии, теории эллиптических и абелевых функций, теории
функций комплексного переменного. Об этом
математикам стало известно после изучения личных бумаг ученого
во второй половине XIX в. Многие его результаты были
переоткрыты О. Коши, Н. Абелем, К. Г. Якоби (1804—
1851) и другими математиками.
Умер Гаусс 23 ноября 1855 г.
Гаусс выполнил четыре доказательства основной
теоремы алгебры. Первому доказательству он посвятил
выпущенную в 1799 г. докторскую диссертацию: «Новое
доказательство теоремы о том, что всякая целая
рациональная алгебраическая функция одного переменного
может быть разложена на действительные множители
первой и второй степени». Он обратил внимание на
допущенные Эйлером пробелы, на которые еще раньше
указал Лагранж, и подверг критике саму постановку
вопроса, когда заранее предполагалось существование
корней уравнений.
Гаусс писал: «Так как помимо действительных и
воображаемых величин а + b)f — 1 нельзя представить
никаких других видов величин, то не совсем ясно, чем
отличается то, что надо доказать, от того, что
предполагается в качестве основного предложения; но даже
если бы можно было придумать еще и другие виды вели-
144
чин, как F, F', F", . . ., то и тогда нельзя было бы
принять без доказательства, что каждое уравнение
удовлетворяется либо действительным значением х, либо
значением вида а + bY — 1, либо вида F, либо F' и т. д.
Поэтому это основное предложение может иметь только
такой смысл. Каждое уравнение может удовлетворяться
либо действительным значением неизвестной, либо
мнимым вида а + ЬУ—1, либо, может быть, некоторым
значением другого еще не известного вида, либо
значением, которое вообще не содержится ни в каком виде.
Как эти величины, о которых мы не можем составить
никакого представления,— эти тени теней — должны
складываться и умножаться, этого нельзя понять с ясностью,
требующейся в математике» [31, с. 46].
Первое доказательство Гаусса было аналитическим,
так же как и Д'Аламбера. Наиболее алгебраично второе
доказательство, выполненное им в 1815 г. В нем Гаусс
опять вернулся к критике доказательства основной
теоремы алгебры при помощи рассуждения, когда заранее
предполагается существование корней уравнения. Гаусс
заявил, что оно содержит порочный круг.
Во вводном параграфе Гаусс пояснил необходимость
нового своего доказательства так: «Хотя доказательство
о разложении целой рациональной функции на
множители, которое я дал в мемуаре, опубликованном 16 лет
тому назад, не оставляет желать лучшего в отношении
строгости и простоты, надо надеяться, что математики
не будут считать нежелательным, что я вновь
возвращаюсь к этому чрезвычайно важному вопросу и
предпринимаю построение второго не менее строгого
доказательства, исходя из совершенно иных принципов.
А именно, это первое доказательство зависело частично от
геометрических рассмотрений, тогда как то, которое я
здесь начинаю объяснять, покоится на чисто
аналитических принципах» [4, с. 286—287]. Аналитическим
методом здесь Гаусс называет тот, который мы именуем
алгебраическим.
Гаусс дал новое доказательство теоремы о симметрических
функциях. Он рассмотрел т независимых величин ах, а2, . . ., ат
и положил
«1 + а2 + • • • + ат = <*1,
аха2 + аха3 + . . . + ат_1ат = а2
. . . ат — ат.
145
Затем он доказал теорему: для целой рациональной функции р
величин а1? а2, . . ., ат можно указать целую функцию такого же
числа величин st, s2» . . ., sm, которая при подстановках s$— &i
(i = 1, 2, 3, . . ., т) перейдет в функцию р. И это можно сделать
единственным способом^
Следовательно, если имеется какое-либо соотношение между
aj, о*2, . > -г от Ф (о1? о*2, . . ., от) = 0, то по причине
алгебраической независимости элементарных симметрических функций опо
может быть только тождеством. Значит, допустима подстановка в это
тождество вместо о*1? о*2, . . ., от т любых неопределенных величин
sii 52т 5з> • » •> sm- Л наоборот, если дано соотношение
Y (5l, 52, -. . ., Sm) = О,
имеющее т независимых неопределенных величин s^ s2l s3, . . ., sm,
то можно произнести замену st= о^, s2 = о*2, • • •» %г = <Ы и
получить всегда истинное равенство ? (о*1? о*2, . . ., о*т) = 0.
Это утверждение, применяемое при доказательстве
теорем алгебры, Д. Кёниг (1849—1913), Л. Кронекер
(1823—1891) и другие математики назвали принципом
Гаусса.
Пусть теперь имеется многочлен, разлагающийся па
линейные множители:
п
Рп(*) = П (* — Xi),
i=l
и между его коэффициентами получено соотношение
Ф (аъ а2, ¦ . .т оп) = 0. Из принципа Гаусса следует, что
последнее соотношение останется верным при
подстановке в него коэффициентов любого другого
многочлена степени п. Получается, что соотношения для
коэффициентов разложимых многочленов остаются верными
для коэффициентов всех многочленов.
На основе этого Гаусс ввел понятие дискриминанта
многочлена
п
Р= Д {Xi-Xj) (1ф1)
г, /=1
и доказал несколько лемм. В дальнейшем он пользовался
леммой: если
в (и* *) = П(?Ч + 1ЧИ + Vi-c) (* = 1, 2,..., п)
г
и w — неопределенная величина, то 0 (и + wdQ/dx,
х — wdQ/du) будет делиться на 6 (и, х).
ш
В качестве следствия из леммы он получил для много
членов знаменитое тождество
0 (и + w дв/дх, x — w дО/ди) = 0 (щ x)Qx (u± x, w,ar * .
где 0Х (и, х, w, %,...,ап) — целая рациональная функция.
Гаусс применил это тождество к доказательству
основной теоремы алгебры. Он построил поле, в котором
вспомогательный многочлен 0 (и, х) имеет линейный
множитель, а заданный многочлен будет иметь множитель
второй степени.
В мемуаре Гаусса изложение построения поля
разложения многочлена не выступало с достаточной
ясностью. Более чем через 60 лет Л. Кронекер
усовершенствовал и развил метод Гаусса для построения поля
разложения любого многочлена. Впоследствии Гаусс дал
еще два доказательства основной теоремы алгебры,
четвертое относится к 1848 г.
Подводя итог рассмотрению доказательств основной
теоремы алгебры Эйлером, Лагранжем и Гауссом, можно
отметить, что «алгебраические доказательства основной
теоремы алгебры ценны именно тем, что для их
проведения были развиты новые глубокие методы самой
алгебры и были испробованы силы уже созданных методов
и приемов» [4, с. 304].
6
Проблема решения уравнения в радикалах интересовала
математиков всех времен. Удача Тартальи и Феррари
в решении уравнений третьей и четвертой степеней внесла
надежду на успехи в этом направлении и далее. И сама
алгебра до конца XVIII в. развивалась как наука о
решении уравнений.
В 1683 г. друг Г. В. Лейбница Э. В. фон Чирнгауз
(1651—1708) опубликовал в Лейпцигском журнале «Acta
Erudiiorum» преобразование алгебраического уравнения
в уравнение той же степени с меньшим числом членов.
Исключение второго члена кубического уравнения при
помощи подстановки у = х + h, как было уже сказано,
выполняли итальянские математики; Декарт
распространил его на уравнения любых степеней»
Чирнгауз из уравнения
ха + а^'1 + а2хп~2 + ... + ап = 0
и уравнения с неопределенными коэффициентами
147
у = Ъ^-ъ + Ъ2х"-з + ... + Ья-1
исключал х. Он полагал, что получится уравнение
уп + Ciyn-1 + С2уп-2 + ... + Сп = О,
и можно будет подобрать коэффициенты Ъи от которых
зависят Ci, так, что все коэффициенты с\ обратятся в нуль.
Тогда последнее уравнение примет вид
Уп + сп = О
п исходное уравнение относительно х будет разрешимо
в радикалах.
Чирнгаузу удалось решить таким образом уравнение
при п = 3. Но в общем случае прием к цели не приводил.
Уже Лейбниц, которому Чирнгауз сообщил письмом
в 1677 г. идею метода, заметил, что ничего не получается
даже для уравнений пятой степени. Однако
преобразование Чирнгауза сыграло важную роль при изучении
уравнений высших степеней.
Во «Всеобщей арифметике» Ньютон, после
рассмотрения способов приведения уравнений с рациональными
делителями, поставил задачу о приведении уравнения
степени 2т с помощью иррациональных делителей. Он
имел в виду простейшие иррациональности вида Уп*
Эта задача в настоящее время решается с помощью теории
Галуа.
Ньютон сформулировал алгоритм, позволяющий
представить многочлен /2w (x) в виде произведения cpm(#)'i|)m(.r)
или установить, что такого представления нет. Этот же
алгоритм давал возможность определять коэффициенты
многочленов
<рт(х) и -фт (х)*
Ньютон не привел доказательства критерия
приводимости. Некоторые пояснения дал К. Маклорен (1698—1746)
в своей «Алгебре» (1748). Эти исследования Ньютона
продолжил Э. Варинг (1734—1798). Он пытался применить
методы Ньютона к основным вопросам теории Гаусса
и указать случаи, когда корень определенного уравнения
выражается через некоторые иррациональности.
Следующий этап развития теории решения уравнений
связан с творчеством Эйлера, который, как и все
предшественники, считал возможным решение уравнений
любых степеней. Эйлер установил, что уравнения второй,
148
третьей и четвертой степеней сводятся к уравнениям
первой, второй и третьей степеней, которые он назвал
«разрешающими уравнениями» (aequato resolvens, отсюда
пошло слово «резольвента»). Резольвента алгебраического
уравнения степени п представляет собой уравнение более
низкой степени, коэффициенты которого служат
рациональными функциями коэффициентов исходного уравнения,
а по корням его можно определить корни данного
уравнения. Резольвенту кубического уравнения хъ = ах + Ъ
Эйлер получил, положив
х=уА+?в.
Для уравнения четвертой степени
х* = ах2 + Ъх + с
он рекомендовал подстановки х = У А + У В -+- У С и
х = Уа+У~В + Ус'.
Тем самым он открыл новый способ решения уравнения
четвертой степени.
Эйлер полагал, что уравнение
хп = ах71-* + Ьхп-* + ...+?
может быть решено с помощью подстановки
где число слагаемых равно п—1. Затем Эйлер ввел еще
подстановку
x = w + Ayr~u + В YT? + С У и* + . . . +Ryrv^71.
Однако уравнения выше четвертой степени в общем виде
Эйлеру решить не удалось.
При доказательстве невозможности решения уравнения
пятой степени Н. X. Абель опирался на предложенную
Эйлером подстановку
x = w+A Уи + Ву^ + CV^ + D У*.
Э. Варинг в 1762 г. применил к уравнению четвертой
степени подстановку, предложенную Эйлером. Варинг
указал, что с помощью подстановки
х= Уа+ У$-\- Уу + Vb
149
уравнение пятой степени не решается. Он отыскивал и
другие подстановки, но для решения уравнений выше
третьей степени они ничего не дали.
Исследования Эйлера продолжил Э. Безу (1730—1783).
Он исходил из того, что уравнение хп — а = 0 разрешимо
в радикалах. В самом деле, одним из корней этого
уравнения будет арифметический корень п-ж степени из а,
остальные же запишутся в виде
хк = a (cos 2kn/n + isin2&jt/ft), к = 0,1,...,?г — 1,
где а — указанный арифметический корень.
Выражение
cos 2кп/п + I sin 2кл/п
задает корни уравнения
п ,
- ±- = 1 + х + х2 + хъ + .,, + х71-1 = 0.
X — I
которое в радикалах Безу решать не умел.
Безу следовал Чирнгаузу и стремился найти
подстановки, переводящие уравнения общего вида в двучленные.
В работе 1768 г. он получил выражение для определения
степени резольвенты уравнения степени п и нашел
резольвенты только для п<^Ь.
А. Вандермонд (1735—1796) в мемуаре 1774 г.
исследовал уравнения хп — 1=0 и предположил, что такие
уравнения разрешимы в радикалах. Он применил
полученные результаты к уравнению х11 — 1 = 0. Вандермонд
одним из первых ввел понятие подстановки корней
алгебраического уравнения (о них будет сказано дальше).
В «Истории математики» (т. 3) упоминается шведский
математик-любитель Э. С. Бринг (1736—1798), который
применил в 1786 г. к общему уравнению пятой степени
преобразование Чирнгауза и привел его к такому:
хъ + рх + q = 0.
Открытие Бринга не получило достаточно широкого
распространения и в 1834 г. было повторено
англичанином Д. Джеррардом» Преобразование Бринга—Джеррар-
да применил впоследствии Ш. Эрмит (1822—1901) к
решению уравнений высших степеней с помощью
трансцендентных функций.
150
7
Основной вклад в проблему разрешимости уравнений
в радикалах сделал Лагранж.
Жозеф Луи Лагранж родился 25 января 1736 г. в
Турине в семье казначея Управления промышленностью
и укреплениями. Учился в Туринском университете,
в 20 лет начал преподавать математику в Туринской
артиллерийской школе. В 1757 г. вместе с друзьями
организовал научное общество, переросшее в Туринскую
академию наук. В сборниках академии печатались работы
Лагранжа по механике твердых и жидких тел,
вариационному исчислению и др. Восемнадцати летним юношей
Лагранж начал переписку с Эйлером, который высоко
оценил его достижения. По представлению Эйлера
Лагранж в 1759 г. был избран иностранным членом
Берлинской академии наук, а в 1766 г. по представлению Д'Алам-
бера и Эйлера был назначен на пост директора
математического класса в Берлине, который до возвращения
в Петербург занимал Эйлер. Здесь Лагранж выполнил
многие работы по дифференциальным уравнениям,
механике, алгебре, теории чисел. С 1772 г. Лагранж —
иностранный член Парижской академии наук, с 1776 г8—-
Петербургской.
В 1787 г. Лагранж переехал в Париж, где
преподавал в Политехнической и Нормальной школах. Здесь
были написаны «Теория аналитических функций» (1797)
и «Лекции об исчислении функций» (1801). В Париже
он принял деятельное участие в работе комиссии по
введению десятичных мер.
Творчеству Лагранжа присущи широта и глубина
рассматриваемых проблем. Стиль его работ
характеризуют изящность, сжатость изложения, сочетающиеся с
необычайной общностью. Лагранж выполнил выдающиеся
исследования по математическому анализу, теории
дифференциальных уравнений, вариационному исчислению,
геометрии, теории чисел, аналитической механике,
теории аналитических функций, алгебре, теоретической
астрономии.
В «Размышлениях об алгебраическом решении
уравнений» (опубликованы в 1771 и 1773 гг.) Лагранж
проанализировал приемы решения уравнений первых четырех
степеней с целью понять, почему они неприменимы к
уравнениям более высоких степеней. Лагранж изучал
уравнения хп + a±xn~l -f . . А + ап = 0 и установил, что
151
математики отыскивали рациональные функции корней
хъ х2, . . ., хп, принимающие при различных
перестановках к < п различных значений. Вообще говоря,
функция ф (хг, х2, . . ., хп) принимает п\ значений, но можно
найти такие функции ф (хъ х2, . . ., хп), у которых
некоторые значения будут совпадать. Например, существует
24 значения у рационального выражения корней хъ х2,
#з> х* уравнения четвертой степени. Но одночлен примет
при различных перестановках четыре значения: хъ х21
х3, х±, двучлен х±х2 + хъх± — три различных значения,
выражение (хх — х2) (хг — х3) {х1 — х±) (х2 — х3) (х2 —
— х4) (х3 — ^) — только два.
Пользуясь теоремой о симметрических функциях,
состоящей в том, что рациональные функции корней
уравнения, не изменяющиеся при перестановке корней,
выражаются рационально через элементарные
симметрические функции, Лагранж доказал известную еще Эйлеру
теорему: если функция ф (хъ х21 . . ., хп) при различных
перестановках принимает к значений, то она
удовлетворяет уравнению степени к:
ф (у) = (У — 4>i)(y — ф2) • • • (У — Фк) = О,
т. е. Ф (у) = ук - (ф1 + ф2 + . . . + щ)у*-1 + . . .
... + (—1)кф1... Фк = 0- При этом коэффициенты
уравнения не меняются ни при каких перестановках корней,
следовательно, выражаются рационально через коэффициенты
Лагранж свел вопрос о решении уравнений в
радикалах к рассмотрению групп подстановок корней
уравнений и их подгрупп, чем дал импульс созданию теории
Галуа. Понятия группы Лагранж не ввел, он
оперировал подстановками корней.
Группой в математике называют совокупность
элементов, для которых определена некоторая «групповая
операция» (например, умножение или сложение),
сопоставляющая любым двум элементам ее третий элемент
(ab = с или а + Ъ = с). Эта операция должна
удовлетворять следующим условиям: 1) условию ассоциативности,
(ab)c = a(bc), 2) условию существования единичного
элемента, а А = 1-а = а, 3) условию существования
обратного элемента, аЪ = Ъа = 1. Если выполняется еще
условие коммутативности, аЪ = Ъа, то группа называется
коммутативной или абелевой.
152
Группы могут образовывать числа, различные
геометрические преобразования (повороты фигур и др.),
функции, подстановки 3. Подстановкой любых предметов
называется переход от одного порядка их к другому.
Природа переставляемых предметов несущественна, поэтому
их обычно обозначают числами и оперируют
подстановками чисел. Из чисел 1, 2, 3, 4 подстановки будут^
например, такие:
/1 3 2 4\ /3124
V3 2 4 1) ' \2 3 4 1
Общий вид подстановок таков:
/1 2...п\
Здесь символы 1Ъ i2, . . ., in — те же числа, но
записанные в другом порядке.
Подстановка означает, что на место числа, стоящего
в верхней строке, ставится соответственное число нижней
строки.
Из п чисел получается п\ подстановок. Тождественная
подстановка
/1 2 ... п\
\\ 2...п)
играет роль единицы. Каждая подстановка
имеет обратную
[l 2...n)'
Произведением двух подстановок называется
подстановка, получающаяся в результате последовательного
выполнения их.
Группа всех подстановок п элементов называется
симметрической. Ее обозначают Sn. Подстановки,
оставляющие неизменной функцию ср корней уравнения, образуют
подгруппу Н группы Sn. Число элементов подгруппы
называется ее порядком. Лагранж доказал, что порядок
подгруппы h является делителем порядка N группы Sn4
Если N = kh, то функция ср принимает при всех под-
и т. д.
153
становках из Sn ровно к значений. Число к называют
индексом подгруппы Н*
Вопрос о разрешимости уравнения в радикалах Лаг-
ранж свел к отысканию подгруппы с индексами к <п
и функций* инвариантных при подстановках из этих
подгрупп. Установив это, Лагранж отметил, что
подстановки играют важнейшую роль в проблеме решения
уравнений.
Лагранж доказал, что если п — простое число, то
решение уравнения степени п можно свести к решению
уравнения степени (п — 2)! Для п = 3 и п = 5 это дает
1 и 6. Следовательно, решение уравнения пятой степени
приводит к решению уравнения шестой степени. И
Лагранж заключил: «Отсюда следует, что весьма
сомнительно, чтобы методы, которые мы рассмотрели, могли дать
полное решение уравнения пятой степени» [28, с. 93].
8
И вот в течение нескольких десятилетий была
разрешена проблема, будоражившая умы математиков много
столетий. И сделано это было тремя молодыми гениями,
двое из которых не дожили до 30 лет. Мало того, работы
их ознаменовали поворот не только в развитии алгебры
и математики, но и наложили отпечаток на стиль
современного точного естествознания.
В июне 1796 г. в «Литературной газете»,
издававшейся в Йене, была помещена заметка;
«Новые открытия
Всякому начинающему геометру известно, что можно
геометрически, т. е. циркулем и линейкой, строить разные правильные
многоугольники, а именно: треугольник, пятиугольник, пятнадцати-
угольник, и те, которые получаются из каждого из них путем
последовательного удвоенпя числа его сторон. Это было известно уже во
времена Евклида, и, как кажется, с тех пор было распространено
убеждение, что область элементарной геометрии дальше не
распространяется: по крайней мере, я не знаю удачной попытки
распространить ее в эту сторону. Тем более кажется мне заслуживающим
внимания открытие, что, кроме этих правильных многоугольников,
может быть геометрически построено множество других, например
семнадцатиугольник. Это открытие является лишь следствием одной
еще не совсем законченной большой теории. Как только она
получит эту законченность, она будет предложена публике.
К. Ф. Гаусс из Брауншвейга, студент-математик в Геттингене» 4.
Это была прелюдия. Решение задачи о делении
круга изложено Гауссом в седьмом разделе
«Арифметических исследований» (1801)^ которые Гаусс на-
т
писал в Брауншвейге, посяе учебы в Геттингенском
университете.
Гаусс изложил теорию решения в радикалах
уравнения хп — 1 = 0. Известно, что корни его лежат в
вершинах вписанного в круг с центром в начале
координат правильного тг-угольника в комплексной
плоскости, поэтому уравнение хп — 1 = 0 называется
уравнением деления круга.
Гаусс для этого уравнения, по существу, построил
теорию Галуа, которая была разработана в 1830 г.,
через 30 лет после «Арифметических исследований».
Опубликованная теория Галуа стала широко известна
математикам лишь в конце 50-х годов XIX в.
Гаусс свел задачу деления круга к случаю, когда п — простое
число, и, поскольку х = 1 является корнем уравнения хп — 1 = 0,
рассматривал корни многочлена
X = (хп — 1)/(х — 1) = Xй-1 + хп~2 + • • • + х + 1.
Он доказал, что многочлен X неприводим в поле рациональных
чисел. Он также доказал, что если п— 1 разлагается на простые
натуральные множители а, (3, у, . . ., то многочлен X будет
разлагаться на а множителей степени (п — 1)/а, коэффициенты которых
определятся решением уравнений степени а; каждый из этих
множителей будет разлагаться на Р множителей степени (п — 1)/оср,
коэффициенты которых определятся при решении уравнений
степени р, и т. д.
Таким образом, если число множителей а, р, у1 * 9 г равно v,
то нахождение корней многочлена X сведется к решению уравнений
степеней а, (3, у, . . В случае п = 17 будет п — 1 = 16 = 2-2.2-2,
следовательно, нахождение корней многочлена X сведется к
решению четырех квадратных уравнений Когда п = 7, будет п — 1 =
= 6 = 2-3, и корни многочлена X можно определить из одного
квадратного и одного кубического уравнений.
Построение, равносильное решению квадратного уравнения,
можно выполнить циркулем и линейкой, а кубического — нельзя.
Поэтому теорема Гаусса означает, что при простом п правильный
га-угольник можно построить только в тех случаях, когда число п
представимо в виде 22 + 1 (это простые числа Ферма). При к =
= 0, 1, 2, 3, 4 получаем п = 3, 5, 17, 257, 65537 &. Из теоремы
Гаусса вытекает, что в общем случае можно построить циркулем и
линейкой правильные многоугольники, когда число п имеет вид
2кргр2 . . . Рт, гДе Pi — простые числа 22 +1.
В предпоследнем параграфе Гаусс заметил, что может доказать
и обратное, т. е. что ни при каких других значениях множптелей
pi правильный многоугольник построить нельзя. Он пишет: «Если
же п — 1 содержит, кроме числа 2, другие простые числа, то мы
приходим к уравнениям более высокой степени .„ и мы можем
со всей строгостью доказать^ что эти уравнения более высоких
степеней никак не могут быть исключены или сведены к уравнениям более
низкой степени; хотя границы этого сочинения не позволяют
привести здееь это доказательство, мы считаем своим долгом указать на
155
это, чтобы никто не надеялся бы свести еще и другие деления, кроме
делений, дающихся нашей теорией, например деления на 7, 11, 13,
19, . . . частей, к геометрическим построениям и не тратил бы
бесполезно свое время» [18, с. 572].
Гаусс доказал, что при любых п корни
промежуточных уравнений, кроме последнего, если оно квадратное,
действительны. При помощи резольвенты Лагранжа
он установил, что все промежуточные уравнения
разрешимы в радикалах; это и доказывает разрешимость
в радикалах уравнения хп — 1=0.
Работа Гаусса послужила исходным пунктом для
исследований Абеля и Галуа.
9
Доказательству невозможности решения уравнений
пятой и более высоких степеней посвятил несколько работ,
вышедших в 1798—1813 гг., Паоло Руффини(1765—1822).
Он, как и Лагранж, изучал подстановки корней
уравнений, исследовал конечные перестановки, ввел термин
«группа». Доказательство неразрешимости уравнений
степени п ^ 5 в радикалах, полученное Руффини, не
было общим, потому что он принял без
обоснования допущение о том, что корни резольвент выражаются
рационально через корни исходных уравнений.
Теорему о неразрешимости в радикалах уравнений
пятой и высших степеней строго доказал Н. X. Абель.
Нильс Хенрик Абель родился 5 августа 1802 г. в
деревушке Финней на юге Норвегии. Отец его был
священником. Нильс с детства отличался слабым здоровьем.
Сначала отец обучал Нильса и его старшего брата
сам, а в 1815 г. отправил их в кафедральную школу
в Христианию (ныне Осло). Здесь учитель математики
Б. М. Хольмбое сумел заинтересовать Абеля и вскоре
определил, что его ученик «несомненный математический
гений». В школе Абель усиленно изучал самостоятельно
книги С. Ф. Лакруа, С. Д. Пуассона, К. Ф. Гаусса,
Ж. Л. Лагранжа. Он поставил перед собой задачу найти
формулы для решения уравнения пятой степени в общем
виде с помощью арифметических действий и извлечения
корней. В течение нескольких недель упорного труда
они были получены. Работу Абеля читали многие
профессора университета и не могли обнаружить
погрешностей в рассуждениях юного математика. Лишь когда
по совету одного профессора Абель стал применять
156
формулы к конкретным уравнениям, он убедился в
ошибочности их.
В 1821 г. Абель успешно выдержал экзамен в
университет и обратился с просьбой о выделении ему
стипендии. Необходимость ее диктовалась тем, что в 1820 г.
его отец умер и семья располагала крайне скудными
средствами. Университет не имел такой возможности,
но несколько знающих Абеля профессоров, «дабы
сохранить для науки это редкое дарование», стали
выплачивать ему стипендию из своего жалованья. Чтобы
облегчить участь семьи, Абель перевез к себе младшего
брата и вынужден был подрабатывать частными
уроками. С этого времени началась у него жизнь, полная
бедности и забот о нуждах насущных.
Абель много времени уделял чтению математических
книг, интенсивно обдумывал математические проблемы.
Первые его работы появились на норвежском языке,
поэтому остались неизвестными математикам Европы.
Одна из задач, решенных им, привела к тому, что
искомая функция вошла в уравнение под знаком
интеграла. Тем самым Абель предварил интегральные
уравнения, теория которых стала развиваться лишь в конце
XIX в.
В 1824 г. Абель вновь обратился к алгебрическим
уравнениям и доказал невозможность решения
уравнения пятой степени в радикалах. Небольшую брошюру
(всего шесть страниц), содержащую доказательство,
он отпечатал за свой счет.
Окончив университет, Абель получил возможность
поехать за границу, где познакомился с ведущими
математиками. Статья Абеля «Доказательство
невозможности решения в радикалах общего уравнения выше
четвертой степени» опубликована вместе с другими его
статьями в первом номере журнала А. Крелле (1780—
1855) за 1826 г. Это доказательство стало известно
широким кругам математиков.
Молодому гению не везло. 30 октября 1826 г. на
заседании Парижской академии наук О. Коши должен
был сделать сообщение о содержании одного из
представленных Абелем мемуаров. Безмерно занятый своими
идеями и работами, Коши затерял мемуар. Только после
смерти Абеля ему за это исследование вместе с К. Г. Якоби
(1804—1851) была присуждена большая премия
Парижской академии наук.
Как пригодилась бы Абелю эт^ премия при жизни!
т
В Париже он жил бедно: одевался скромно, снимал
бедную квартиру, докупал еду один раз в день. Когда
потерпевший от грабителей прохожий посоветовал
Абелю остерегаться их, Абель сказал: «Мне нечего
бояться. Что могут отнять у меня грабители?» Все свое
время Абель посвящал решению математических
проблем.
В 1827 г. после возвращения из Парижа Абелю не
нашлось места не только в университете, но даже и в школе.
Чтобы не прекращать занятия наукой, он вынужден
был просить Коллегию университета оказать помощь.
Ему выделили столько же, сколько он получал во время
учебы,— 200 талеров в год.
В 1828 г. Абелю предоставили место в
университете, его жалование составило 533 талера в год, но жил
он все так же бедно, потому что выплачивал
накопившиеся долги. В этом же году Абеля избрали в
Королевское общество Норвегии.
В марте 1828 г. Абель узнал, что те же проблемы,
которыми занимается он, успешно разрабатывает
К. Г. Якоби. В соперничестве двух гениев прошел весь
год, и это изнурило Абеля. За соревнованием следил
Гаусс, получивший многие результаты, установленные
Абелем и Якоби, еще когда ни того, ни другого не было
на свете. Эти открытия Гаусса опубликованы после
его смерти.
Однако в разработке общей теории интегралов от
алгебраических функций Абель превзошел Гаусса и
Якоби. И именно изложение ее содержалось в
затерянном Коши мемуаре.
В декабре 1828 г. молодой ученый отправился на
рождественские праздники к знакомым во Фроланд.
В пути он простудился, у него обострился туберкулез;
6 апреля 1829 г. Абель скончался.
Всего семь лет продолжались его занятия
математикой, но сделал он много. На лекции, посвященной
теореме Абеля, Якоби сказал, что Абель умер рано,
«как будто хотел сделать только то, чего никто не могг
предоставив остальную работу другим».
После смерти Абеля О. Коши разыскал
затерявшийся мемуар, в течение недели подготовил сообщение,
сделал его на очередном заседании Парижской
академии наук, где и было принято решение о присуждении
Абелю и Якоби большой премии.
На Королевской площади в Осло воздвигнут дамят-
158
ник Абелю. В математику навечно вошли теоремы,
преобразования, уравнения Абеля, абелевыинтегралы,
функции, группы.
В опубликованной Абелем брошюре с
доказательством неразрешимости общего уравнения пятой степени
в радикалах допущена та же ошибка, которая
содержалась и в доказательстве Руффини. Исчерпывающее
доказательство было дано Абелем в мемуаре,
опубликованном в журнале А. Крелле, но этот мемуар не снимал
вопроса о разрешимости некоторых классов уравнений
в радикалах и возможности такой разрешимости
уравнений с числовыми коэффициентами. Этот вопрос ученый
рассмотрел в «Мемуаре об одном особом классе
алгебраически разрешимых уравнений» (1829). Класс таких
уравнений впервые найден Лагранжем — это так
называемые циклические уравнения.
Исходными положениями для Абеля были
исследования Лагранжа и Гаусса. Абель открыл важный класс
разрешимых уравнений, определяемых условиями:
1) всякий корень Xi уравнения выражается как
рациональная функция фиксированного корня xi=6i(xi);
2) рациональные функции Q{ обладают свойством
бг [е^)] = ejej^)].
Такие уравнения в настоящее время называются
нормальными с абелевой группой Галуа.
10
Создание теории групп выпало на долю прожившего
всего 20 лет Э. Галуа.
Эварист Галуа родился 26 октября 1811 г, в
г. Бур-ля-Рен в семье мэра города. В 1823 г. родители
отправили Эвариста учиться в Королевский коллеж
в Париже. Здесь он увлекся математикой и стал
самостоятельно изучать сочинения Лежандра, Эйлера, Лагранжа,
Гаусса. Один из его учителей писал: «Страсть к
математике владеет им; я думаю, что для него было бы лучше,
если бы его родители согласились, чтобы он занимался
только этой наукой: здесь он теряет свое время и только
изводит своих учителей и навлекает на себя наказания»
[17, с. 321].
Идеи Лагранжа целиком овладевают Галуа, Ему,
как когда-то Абелю, кажется, что он нашел решение
уравнения пятой степени. Он предпринимает
безуспешную попытку поступить в Политехническую школу?
159
знаний работ Лежандра и Лагранжа оказалось
недостаточно, и Галуа возвращается в коллеж.
В 1829 г. была опубликована его заметка
«Доказательство одной теоремы о периодических непрерывных
дробях». Тогда же Галуа представил в Парижскую
академию наук другую работу; она затерялась у Коши.
Галуа пытается вторично поступить в
Политехническую школу, и вновь неудача. К этому вскоре
добавилось событие, потрясшее юношу: затравленный
политическими противниками отец Галуа покончил с собой.
Обрушившиеся на юношу несчастья повлияли на него:
он стал нервным и вспыльчивым.
В 1829 г. Галуа поступил в Нормальную школу.
Здесь он выполнил исследование по теории
алгебраических уравнений и в 1830 г. представил работу на
конкурс Парижской академии наук; она также
затерялась у Коши.
В жизни Галуа наступило время, заполненное
важными событиями. Он примкнул к республиканцам,
вступил в «Общество друзей народа» и записался в
артиллерию Национальной гвардии. За выступление
против руководства Нормальной школы его исключили
из нее. На следующий день после банкета национальных
гвардейцев 9 мая 1831 г. его арестовали и держали
в тюрьме до суда 15 июня, обвинив в подстрекательстве
к покушению на жизнь короля. Суд оправдал Галуа.
14 июля 1831 г. в ознаменование 42-й годовщины
взятия Бастилии состоялась манифестация
республиканцев. Полиция арестовала шестьсот манифестантов,
в том числе Галуа. Он сидел в той же тюрьме Сент-Пелажи
до 16 марта 1832 г. Здесь он узнал, что еще 11 июля
Парижская академия наук отвергла посланный им
мемуар: Пуассон и Лакруа дали отрицательное
заключение. Суд над Галуа состоялся 23 октября 1831 г. Его
осудили на 9 месяцев. Галуа продолжал свои
исследования и в заключении.
В тюрьме Галуа заболел. 16 марта 1832 г. его
поместили в больницу, где он находился еще некоторое время
по окончании срока заключения 29 апреля.
Утром 30 мая на дуэли в местечке Жантийи Галуа
был смертельно ранен пулей в живот. Один из местных
жителей случайно наткнулся на Галуа и отвез его в
больницу. Умер Э. Галуа в 10 часов утра 31 мая 1832 г.
Причину дуэли никто не знает. Версип разные:
политические интриги, любовная история. Перед дуэлью,
160
29 мая, он написал письма друзьям-республиканцам
и Огюсту Шевалье; в этом письме он изложил свои
математические идеи. На одной из записок, найденных
у него на столе, было: «Это доказательство надо
дополнить. Нет времени».
После некролога Э. Галуа, опубликованного О.
Шевалье, имя его забыли. Через 14 лет, в 1846 г., Ж. Лиу-
вилль опубликовал рукописи Галуа. Развитие его
теории относится к 70-м годам XIX в.
За свою короткую жизнь Галуа написал мало. В
русском издании его работы вместе с черновиками
занимают всего 120 страниц небольшого формата, но
значение их огромно. Кто-то сказал, что Галуа — это
Лермонтов в математике.
Фундаментальное достижение Галуа — введение в
математику понятия группы, ставшей одним из
основных в современной математике. С помощью групп
подстановок корней уравнений Галуа сформулировал
необходимое и достаточное условие разрешимости
алгебраических уравнений.
В «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах»
(1846) Галуа определил область рациональности. Для уравнения
Рп (х) = хп + а^х71'1 + . . . -f ап_гх + ап = 0
областью рациональности будет совокупность рациональных
функций коэффициентов R (alf а2, . . ., ап).
Галуа показал, что для уравнения Рп (х) = 0 в той же области
рациональностп можно найти уравнение Q (х) = 0, такое, что корни
обоих уравнений будут выражаться друг через друга рационально.
Уравнение Q (х)=0 в этом случае называется нормальным.
Подстановки корней нормального уравнения образуют группу G, называемую
группой Галуа уравнений Q (х) = 0 и Рп (х) = 0. Галуа доказал,
что всякое рациональное соотношение между корнями уравнения и
элементами поля R инвариантно относительно подстановок группы G.
Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения
в радикалах состоит в разрешимости соответствующей группы
Галуа. Более подробно об этом можно прочитать в [20].
Подчеркнем, что главное в творчестве Галуа состояло
не в установлении этого результата, а в новом подходе,
базой которого служило понятие группы. Оно
впоследствии проникло в другие области математики —
появились группы Ли в теории дифференциальных
уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также
группы Галилея в механике и группы Лоренца в теории
относительности.
161
и
Современному человеку невозможно даже
представить себе, с каким трудом проникли в науку привычные
для нас, обычные истины. Вот, например, высказывание
об отрицательных числах и корнях уравнений У. Френда
(1757—1841), члена совета Кембриджского университета,
в предисловии к книге «Начала алгебры» (1796): «[Любое
число] допустимо вычитать из большого числа, но любая
попытка вычесть какое-либо число из меньшего числа
смехотворна сама по себе. Тем не менее именно это пытаются
делать алгебраисты, толкующие о числах, меньших нуля;
об умножении отрицательного числа на отрицательное,
дающем положительное произведение; о мнимых числах.
Они разглагольствуют о двух корнях любого уравнения
второй степени и предлагают тому, кто их слушает,
попытать счастья с доставшимся ему уравнением; они
толкуют о решении уравнения, имеющего лишь невозможные,
или мнимые корни; они умеют находить невозможные
числа, которые при многократном перемножении дают
единицу. Все это не более чем жаргон, в котором нет ни
капли здравого смысла. Но будучи однажды принят,
он, подобно многим другим измышлениям, находит
множество горячих приверженцев среди тех, кто охотно
принимает на веру всякую бессмыслицу и не склонен к
серьезным размышлениям» [29, с 179].
Как уже сказано, работы Галуа были опубликованы
Лиувиллем в 1846 г. Это послужило началом развития
теории групп. Но некоторые ее основные понятия вошли
в математику еще до Галуа. Лагранж и Вандермонд в
алгебраических работах оперировали таким групповым
понятием, как подстановки. В «Размышлениях об
алгебраическом решении уравнений» (1771—1773) Лагранж
доказал первую теоретико-групповую теорему,
состоящую в том, что число значений функции п переменных
при всех перестановках ее аргументов является
делителем п\. Это частный случай утверждения о том, что порядок
подгруппы делит порядок группы.
П. Руффини в работах 1808—1813 гг., посвященных
теории уравнений,, исследовал вместе с группами
подстановок и их подгруппы.
В «Арифметических исследованиях» Гаусса
содержатся многие глубокие алгебраические идеи, сыгравшие
значительную роль в становлении теории групп. Гаусс
впервые построил примеры наиболее абстрактных для
того времени групп.
162
Теории подстановок посвятил несколько работ О, Коши
(1780—1857)* В «Мемуаре о числе значений, которые
может принимать функция, если переставлять всеми
способами содержащиеся в ней величины» (1815) он
установил число значений алгебраической функции при
перестановках аргументов. В 1844—1846 гг. Коши
возвратился к тем же вопросам и в серии статей изложил новые
результаты.
Он провел систематическое исследование группы
подстановок п букв; она имеет порядок п\. Мемуар Коши
1815 г. изучали Абель и Галуа.
И все же сколь ни важны достижения
предшествующих математиков, поворотным пунктом в теории групп
стали работы Галуа. Особенность их состояла в том, что
старинную задачу о разрешимости уравнений в
радикалах Галуа связал с исследованием новых объектов — групп.
При этом он пользовался такими понятиями, как простая
группа, нормальная подгруппа, разрешимая группа и др.
После Галуа теория групп стала развиваться интенсивно.
Значительны результаты профессора Кембриджского
университета А. Кзли (1821—1895), давшего первое
определение абстрактных групп и занимавшегося их
изучением. В мемуаре «О группах, зависящих от
символического уравнения 8П = 1» (1854) он определил группу
как множество символов с заданным законом композиции,
удовлетворяющим требованию ассоциативности; это
множество должно содержать единичный элемент, в нем
требуется однозначная разрешимость уравнений ах = Ь,
у а = Ъ при любых а и Ь.
Кэли подчеркнул, что элементами группы могут быть не
только подстановки, но и другие величины, например
матрицы. Название «группа» Кэли взял в память Галуа.
Дальнейшее развитие теория групп получила в трудах
К. Жордана (1838—1922), который воссоздал работы
Галуа, дополнил их доказательствами, значительно
усовершенствовал и расширил область применения идей и
методов.
И все же современное понятие группы в работах
Жордана не появилось. Оно оформилось в последние 30 лет
XIX в., после того как С. Ли (1842—1899) и Ф. Клейн
(1849—1925), прибывшие в 1870 г. в Париж и
ознакомившиеся там с исследованиями Галуа и Жордана, обратили
внимание на группы преобразований.
Таково в общих чертах развитие теории групп в XIX в.,
теории, изменившей структуру всей алгебры.
163
Послесловие
Самое интересное в истории, которой посвящена эта
книга, состоит в том, что рассматриваемая проблема
для практических нужд разрешена давно: разработаны
методы приближенного решения уравнений,
позволяющие находить корни их с любой заданной точностью*
И никто даже уравнения третьей степени по формуле
Кардано не решает. Да тут еще электронные
вычислительные машины, таящие возможность «перемалывать»
задачи, считавшиеся прежде неразрешимыми. А чем,
скажем, точный корень уравнения x=Y% лучше
приближенного х = 1,73, если требуется точность до сотых
долей?
Но такое суждение однобоко. Нужно учитывать
следующее.
1) Более двух тысяч лет всю математику составляли
алгебраические уравнения и геометрия, проблемы их
питали математику, стимулировали ее развитие.
Несмотря на то, что современная алгебра занимается
изучением различных абстрактных структур и теория
уравнений — рядовой раздел ее, до конца XVIII в.
уравнения составляли всю алгебру. Эйлер, Лагранж,
Гаусс, Абель, Галуа начинали свои исследования с
вопросов разрешимости уравнений.
2) Приближенные методы на уравнения с буквенными
коэффициентами не распространяются.
3) Многие математики, включая Эйлера, Лагранжа,
Абеля, Галуа, считали, что уравнения выше четвертой
степени могут быть решены; нужно приложить усилия, чтобы
получить необходимые формулы.
4) На пути решения задачи возникли новые
методы и теории. Яркий пример — теория групп.
5) При преодолении возникших препятствий дело
шло, как говорят в народе, «на характер»: надо было
взять крепость, стоявшую много веков неприступной.
Автору этой книги довелось воевать в Великую
Отечественную. При написании этой книги
вспомнилось и сопоставилось следующее.
164
Однажды воздушно-десантная дивизия, в которой
автор был начальником штаба полка, остановилась
на небольшой срок в предгорьях Балкан. Стало известно,
что предстоят бои с горнострелковыми частями
противника. Войскам не давали бездельничать, начались
ученья. По бездорожью штурмовали горы,
разыгрывали бои. А горы были покрыты густым кустарником,
на нем шипы с мизинец длиной. Кисти рук и лицо
приходилось заматывать тряпками и продираться сквозь
чащобу. И все это ради победы правого дела.
Так вот, точно так же пытливый ум человеческий
продирался в течение многих веков от незнания к
знанию. Ради победы ума!
И еще вот что. Ж. Фурье сказал, что математика
необходима человеку для решения практических
задач и познания законов природы. К. Г. Якоби отметил,
что Фурье прав, но не мог же такой мыслитель, как
Фурье, не знать, что математика прежде всего
предназначена для возвеличивания человека.
Может, это суждение крайнее, однако суть отражает
верно.
Примечания
К главе «Начало»
1 Иероглиф происходит от греческих iepo<; — священный и ^Хисру] —*
резьба.
2 У египтян таблица выглядит не так: нужно столбцы поменять
местами.
3 Хаммурапи — царь Вавилонии в 1792—1750 гг. до н. э.; составил
свод законов — прототип 12 таблиц римлян.
К главе «Геометрическая алгебра греков»
* Аналогичную задачу решал впоследствии Диофант. В книге II
его «Арифметики» сформулирована задача 8: «Заданный квадрат
разложпть на два квадрата», т. е. квадрат некоторого числа
представить в виде суммы двух квадратов. В качестве данного Диофант
взял а = 16. Значит, задача определяется равенством а2 = х2 -f-
•4- у2. Диофант получил решение
х = 2ак/(1 + /с2), у = {к2 — 1) а/(1 + к2).
Французский математик Баше де Мезириак издал в 1621 г,
«Арифметику» Диофанта и прокомментировал ее. Через 13 веков
после Диофанта П. Ферма на полях изданной Баше де Мезириаком
«Арифметики» сделал свое знаменитое примечание к задаче 8:
«Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни
биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень, большую
квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому
поистине чудесное доказательство, но эти поля для этого слишком
малы».
Здесь сформулирована великая теорема Ферма, в общем виде
не доказанная до сих пор. Над ее доказательством безуспешно
бились крупнейшие математики. Она породила обширную
литературу, поток которой значительно увеличился в начале XX в.,
когда немецкий астроном П. Вольфскель 13 сентября 1907 г.
завещал (до 13 сентября 2007 г.) выдать в качестве вознаграждения
доказавшему великую теорему Ферма 100 000 марок. Это сыграло
положительную роль не только тем, что привлекло к проблемам
математики большой круг людей, но и тем, что на проценты с
лежащей в банке премиальной суммы (до ее обесценивания во
время инфляции после первой мировой войны) Геттингенский
университет, которому было завещано право выдавать премию,
приглашал для чтения лекций и ведения научной работы математиков
других стран.
2 При чтении этих строк следует иметь в виду, что ни о каком
решении квадратных уравнений в привычном нам смысле не может
быть и речи: у древних не было символической алгебры, все
уравнения записывались словесно. Квадратные уравнения они решали
геометрически, построением.
3 Как увидим дальше, арабы впоследствии не были озабочены из-
166
лишней строгостью и в аналогичных случаях рисовали картинку
и писали: смотри!
4 Стоит заметить, что предложения, соответствующего формуле
(а — Ъ)2 = а2 — 2аЪ + Ь2, у Евклида нет. Его не дает и
комментатор Евклида X. Клавий (1574). Не запоминается оно и в
учебниках XVII в. Впервые появилось это соотношение у
комментатора Евклида А. Мархетиса в 1709 г., а затем — в «Элементах»
А. Лежандра в 1794 г.
5 Парабола у древних означала простое приложение площади (без
недостатка п без избытка).
0 Сфероидами древние называли эллипсоиды вращения,
прямоугольными коноидами — параболоиды вращения, а тупоугольными —
двуполостные гиперболоиды вращения.
7 Уравнение Пелля х2 — ау2 = 1 при а = 2 решил в целых числах
Евклид в своих «Началах».
8 Обратимся еще раз к происхождению терминов парабола, эллипс',
гипербола, вошедших в обиход в математике и научном
естествознании.
Древние решали геометрически квадратные уравнения ах 4:
+; х2 = Ь, в которых величина ах представляет собой площадь
прямоугольника, х2 — площадь квадрата, Ъ2 — площадь
заданного квадрата. Рассмотрим уравнение ах + сх2 = Ъ2. При
различных значениях параметра с будут параболическое,
эллиптическое и гиперболическое «приложения площадей». Когда с = 0,
на данном основании а строится прямоугольник, равновеликий
данному квадрату, В этом случае прямоугольник приравнивается
квадрату. Если с<0, то будет недостаток площади квадрата до
площади прямоугольника, если с > 0 — избыток,
Обозначим Ъ2 через у2] тогда решаемое древними квадратное
уравнение будет при разных значениях с задавать различные
кривые. Так, у2 = ах + сх2 при с = 0 определяет параболу, при
с < 0 — эллипс, при с > 0 — гиперболу а
К главе ««Арифметика» Диофанта»
1 «Книга» у древних резко отличается от того, что понимаем под этим
термином мы. Малый объем ее, видимо, обусловлен характером
материала для письма. В нашем издании «Арифметики» шесть
книг занимают всего 130 страниц. То же самое следует сказать
о книгах, составляющих сочинения Евклида и Аполлония,
2 От слова «аритмос» произошло слово «арифметика».
3 Уравнение вида их2 + 1 = у2, решение которого необходимо найти
в целых числах, ошибочно в 1730 г. назвал уравнением Пелля
Л. Эйлер, хотя Пелль (1611—1685) никакого отношения к нему не
имел. В Древней Индии знали решение 2-4082 + 1 = 5772. Брах-
магупта (ок. 598—660) привел вывод наименьшего решения при
а = 92 : 92-1202 -j- 1 = 11512. Общий способ нахождения
наименьшего целочисленного решения получили Бхаекара II (XII в.),
П. Ферма, У. Броункер (1620—1684), Л. Эйлер (1707—1783);
обосновал метод Ж. Л. Лагранж (1736—1813).
4 В Колумбийском университете хранится древневавилонская
клинописная таблица, относящаяся к 1500 г. до н. э. На ней указаны
пифагоровы тройки, в том числе 3,4, 5; 4961, 6480, 8161. Как
решали задачу Диофанта древние вавилоняне — остается лишь гадать,
5 Гипатия славилась как знаток философии Платона и блестящий
оратор. Она не приняла христианства и была растерзана толпой
монахов и фанатиков-христиан.
167
К главе «Дальнейшие шаги»
? «Лилавати» («Прекрасная») — одна из четырех частей трактата
Бхаскары «Венец учения», посвященная арифметике. Около 1400 г.
переписана на пальмовых листьях.
2 Рациональные решения уравнения ах2 + 1 = у2 получить просто.-,
Положим, например, у = 1 + тх/п, найдем ах2 + 1 = 1 -[-
+ 2тх/п -f- т2х2/п2, ах = 2W^ -f- т2ах/п2, х (а — т21п2) = 2т/п,
х = 2??т /(атг2 — ттг2), г/ = (an2 + т2)/(ап2 — иг2). В
комментариях к «Патпганите» Шридхары приведено общее рациональное
решение уравнения Пелля в виде х = р/(Ат — Вп), у = (An —
—Вт)/(Am — Вп), где А, В, п, т, р связаны соотношениями
А2 — В2 = а, т2 + р2 = п2. Оно включает в себя указанные
Брахмагуптой, Шрипати, Бхаскарой II, Нарайаной
рациональные решения.
2 Интересующиеся деталями могут обратиться к книгам: Эдварде Г.
Последняя теорема Ферма. М.: Мир,1980; История математики.
Т. 1. М.: Наука, 1970; Цейтен Г. Г. История математики в
древности и в Средние века. М.; Л.: ГТТИ, 1932.
* И не только в науку. В. П. Шереметевский в «Историческом
очерке развития анализа и его приложений к геометрии», включенном
в книгу Г. А. Лоренца «Элементы высшей математики», изданную
в 1903 г., указывает, что в народном испанском языке сохранилось
слово «алгебрист» (врач, лекарь). Санчо Панса искал для побитого
Дон-Кихота алгебриста.
6 Равный нулю корень математики не принимали во внимание до
XVII в.
6 Еще Архимед в «Исчислении песчинок» разработал способ записи
сколько угодно больших чисел при помощи системы десятичных
разрядов и показал возможность обращения с ними. Но то, что
мы наблюдаем сейчас, скажем, даже в элементарном счете,
складывалось крайне медленно. Термин «миллион» («большая тысяча»),
вошедший в математику, придумал Марко Поло (1254—1324) для
обозначения увиденных им в Китае сказочных богатств. Не
верившие рассказам Марко Поло итальянцы прозвали его Марко
Миллионе.
Гораздо позднее числовая терминология оставалась
громоздкой. Немецкий математик Адам Ризе (1489—1559) число
86 789 325 178 называл так: «восемьдесят шесть тысяч тысяч,
семьсот тысяч тысяч, восемьдесят девять тысяч тысяч, триста
тысяч, двадцать пять тысяч, одна сотня, семьдесят восемь».
7 От слова «хайма» происходит русское «хамовник», текстилыцпк,
сохранившееся в названии «Хамовники» в Москве.
8 «Прямой стороной» Хайям называет отрезок, равный удвоенному
параметру параболы. Этот термин ввел Аполлоний.
К главе «Великие открытия»
1 Кардано много играл в азартные игры. В 1526 г. он написал
«Книгу об игре в кости», напечатанную в 1663 г.
2 Это первая книга Кардано по математике. Написал он ее по
побуждению да Кои. Она была встречена холодно на родине автора
и с одобрением во Франции и Германии. Нюрнбергский издатель
А. Осиандер выпустил ее вторым изданием; на фронтисписе
Кардано поместил: «Никто не пророк в своем отечестве». Осиандер
предложил Кардано на своп средства печатать и другие его сочи-
168
нения. Это было началом славы Кардано в области знаний,
отличных от медицины.
3 М. Штифель занимался изысканиями в связи с встречающимися
в священных книгах числами. Он определил, что конец света
наступит 19 октября 1533 г. Когда этого не произошло, он решил
серьезно заняться математикой. И правильно сделал. Это
позволило ему получить значительные результаты в математике.
К главе «К вершинам»
1 «Дворянство мантии» — знать из чиновников парламентов.
Родовое дворянство именовалось «дворянством шпаги».
2 Слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц (1646—1716).
3 Интересно отметить: основная неизвестная обозначается нами
сейчас буквой х, ввиду того что в кассах наборщиков в типографиях
когда-то чаще всего встречалась литера с этой буквой.
4 Здесь и далее цит. по: Декарт Р. Рассуждение о методе. М :
Изд-во АН СССР, 1953. С. 369—379.
5 Не будем судить гениев. Счастье человечества, что они
появляются на земле.
6 Здесь и далее цит. по: Ньютон И. Всеобщая арифметика. М :
Изд-во АН СССР, 1948.
К главе «Вершины»
1 Числовым полем называется любое множество чисел, содержащее
хотя бы одно отличное от нуля число и вместе с любыми двумя
числами а и Ь также их сумму а + Ъ, разность а — Ь,
произведение ab, частное а/b, если Ъ =/= 0. Числовыми полями будут: Q —
множество рациональных чисел, R — множество действительных
чисел, С — множество комплексных чисел.
2 Жители Беотии, провинции Древней Греции, по преданию,
славились глупостью.
3 О группах можно более подробно прочитать в книге:
Александров П. С. Введение в теорию групп. М.: Наука, 1980.
4 Цит. по: Карл Фридрих Гаусс. Сборник статей к 100-летию со
дня смерти. М.: Изд-во АН СССР, 1936. С. 93.
5 Описание построения для п = 257 содержится в сочинении
объемом 80 страниц. Сочинение о построении правильного
многоугольника с числом сторон 65 537 занимает чемодан, хранящийся
в Геттингене. Д. Литлвуд (1885—1977) придумал анекдот.
Навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот
сказал: «Идите и разработайте построение правильного
многоугольника с 65 537 сторонами». Аспирант ушел и возвратился с
построением через 20 лет.
Литература
1. Аристотель. Метафизика / Пер. и прим, А. В. Кубицкого.
М.; Л.: Соцэкгиз, 1934.
2. Аристотель. Физика / Пер. В. П. Карпова. М.; Л.: Гостехиздат,
1936.
3. Архимед. Сочинения / Пер., статья и коммент, И. Н. Веселов-
ского. М.: Физматгиз, 1962.
4. Башмакова И. Г. О доказательстве основной теоремы алгебры //
ИМИ. 1957. 10.
5. Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней
Греции//ИМИ. 1958. Т. X.
6. Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. М.: Наука,
1974.
7. Б ер нал Д. Наука в истории общества. М.: ИЛ, 1956.
8. Бобынин В, В. Математика древних египтян. М., 1882.
9. Бройлъ Луи де. По тропам науки. М.: ИЛ, 1962.
10. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963.
11. Ван-дер-Варден. Пробуждающаяся наука. Математика
Древнего Египта, Вавилона и Греции / Пер. И. Н. Веселовского.
М.: Физматгиз, 1959.
12. Веселовский И. Н. Египетская наука и Греция // Тр. ИИЕ.
1948. Вып. 2.
13. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики,
составленная по первоисточникам / Пер. П. С. ЮшкеЕича и А. П.
Юшкевича. 2-е изд. М.; Л.: ОНТИ, 1935.
14. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до XIX столетия/
Пер. с нем. под ред. А. П. Юшкевича. М.: Физматгиз, 1960.
15. Володарский А.И. Очерки истории средневековой индийской
математики. М.: Наука, 1977.
16. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире.
2-е изд. М.: Наука, 1967.
17. Талу а Э. Сочинения. М.; Л.: ОНТИ, 1936.
18. Гаусс К. Ф. Труды по теорпи чисел. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
19. Геродот. История в девяти книгах / Пер. Ф. Г. Мищенко, М.,
1882. Т. I.
20. Далъма А. Эварист Галуа — революционер и математик / Пер.
с франц. 10. С. Родман. Под ред. Ю. И. Мерзлякова. М.:
Наука, 1984.
21. Декарт Р. Геометрия / Пер., примеч. и статья А. П. Юшкевича.
М.; Л.: ОНТИ, 1938.
22. Делоне Б. Н. Пути развития алгебры // УМН. 1952. Т. 7, вып. Ъ
(49).
23. Диофант. Арифметика / Пер. с древнегреч. И. Н. Веселовского.
Под ред. и с коммент. И. Г. Башмаковой. М.: Наука, 1974.
24. Евклид. Начала. Т. I / Пер., статья и коммент. Д. Д. Морду-
хай-Болтовского; Под ред. М. Яд Выгодского, И. Н.
Веселовского. М.; Л.: ГТТИ, 1948.
170
25. Инфелъд Л, Эварист Галуа. Избранник богов. М.: Молодая
гвардия, 1958,
26. История математики. Т. 1. М.: Наука, 1970.
27. История математики. Т. 2. М.: Наука, 1970.
28. История математики. Т. 3. М.: Наука, 1972.
29. Клайн М. Математика. Утрата определенности / Пер. с англ.
Ю. А. Данилова. Под ред. И. М. Яглома. М.: Мир, 1984.
30. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика / Пер. под ред.
В. Л. Гончарова. М.; Л.: ГТТИ, 1947.
31. Математика XIX века. М.: Наука, 1978.
32. Матвиевская Г. П. К истории математики в Средней Азии.
Ташкент, 1961.
33. Мордухай-Болтовской Д. Д. Первые шаги буквенной алгебры//
Изв. Сев.-Кавк. ун-та. 1928, 3(15).
34. Нейгебауер О. Точные науки в древности / Пер. В. Г. Гохман;
Под. ред. и с предисл. А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1968.
35. Никифоровский В. А., Фреймам Л. С. Рождение новой
математики. М.: Наука, 1976.
36. Никифоровский В. А. Ив истории алгебры XVI—XVII вв.
М.: Наука, 1979.
37. Ньютон И. Всеобщая арифметика / Пер., статья и коммент.
А. П. Юшкевича. М.: Изд-во АН СССР, 1948.
38. Оре О. Нильс Генрик Абель. М.: Физматгиз, 1961.
39. Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск
1967.
40. Розенфелъд Б. А., Юшкевич А. П. Математика стран Ближпего
и Среднего Востока в Средние века // Сов. востоковедение. 1958.
№ 3.
41. Розенфелъд Б. А., Юшкевич А. П. Омар Хайям. М.: Наука,
1965.
42. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики / Пер. с нем.
и дополи. И. Б. Погребысского. М.: Наука, 1978.
43. Омар Хайам. Трактаты / Пер. Б. А. Розенфельда. Вступ.
статья и коммент. Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича. М.:
Изд-во вост. лит., 1961.
44. Ал-Хорезми. Математические трактаты / Пер. Ю. X. Копелевич
и Б. А. РозешЬельда. Коммент. Б. А. Розенфельда. Ташкент,
1964.
45. Цейтен Г. Г. История математики в древности и в Средние века.
М.; Л.: ГТТИ, 1932.
46. Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.:
Л.: ГТТИ, 1933.
47. Эйлер Л. Универсальная математика. Т. I—II / Пер. П. Ино-
ходцева, И. Юдина. СПб., 1768—1769.
48. Эйнштейн А. Физика и реальность. М.: Наука, 1965.
49. Юшкевич А. П. Омар Хайям и его «Алгебра» // Тр. ИИЕ. 1948.
Вып. 2.
50. Abel iV. Н. Oeuvres completes. Т. 1, 2. Christiania, GrtfndahL
1881.
?1. Gauss C. F. Werke. Bd. 3. Gottingen, 1886.
Содержание
Предисловие 3
Начало , 5
Геометрическая алгебра греков 19
«Арифметика» Диофанта * 45
Дальнейшие шаги 58
Великие открытия 85
К вершинам 100
Вершины о 133
Послесловие * 164
Примечания 16)
Литература 17!)
Виктор Арсеньевич Никифоронекий
В МИРЕ УРАВНЕНИЙ
Утверждено к печати
редколлегией серии
Шаучно-популярная литература»
Академии наук СССР
Редактор издательства В. П. Лишевский
Художник М. л. Блох
Художественный редактор В. Ю. Кученков
Технический редактор Т. С. Жарикова
Корректоры Н. Б. Габасова, И. А. Талалай
ИБ № 35397
Сдано в набор 27.10.86. Подписано к печати 11.02.87.
Т-00221. Формат 84X108V32
Бумага книжно-журнальная
Гарнитура обыкновенная. Печать высокая
Усл. печ. л. 9,45 Усл. кр. отт. 9,77 Уч.-изд, л. 10,2
Тираж 37500 экз. Тип. зак. 3274. Цена 65 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
117864, ГСП-7, Москва, В-485,
Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Готовятся к изданию научно-популярные книги:
Садовский В. Д., Маханек Г. В.
СТАЛЬ
10 л. 70 к.
В книге, одним из авторов которой является крупнейший
специалист в области металловедения ж металлографии академик
В. Д. Садовский, популярно и сжато изложены современные
представления о стали, ее значении в технике, происходящих при ео
термической обработке превращениях., с которыми и связан
широчайший диапазон ее свойств, благодаря чему сталь занимает
господствующее положение среди современных технических
материалов, в частности в машиностроении.
Для всех, интересующихся проблемами металловедения и ме-
таллургииг
Барский Л. А.
ПРИКЦЫ И НИЩИЕ В ЦАРСТВЕ МИНЕРАЛОВ
10 л. 70 к.
В книге рассказано о происхождении, открытии, промышленном
освоении, методах извлечения из руд и роли в истории
человечества наиболее важных минералов: золота, алмаза, угля,
сульфидов цветных металлов, соединений редких металлов, железа,
марганца, неметаллических ископаемых — слюд, асбеста, каолина
и др. Показана роль минералов в современной технике и
технологии, новые направления их использования, утилизации ранее
бесполезных минералов, синтезе искусственных кристаллов.
Для Есех, интересующихся минералогией.
174
Прудковский Б. А.
ЗАЧЕМ МЕТАЛЛУРГУ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ?
10 л. 70 к»
В книге в доступной форме представлены существующие матема-
тические модели металлургических процессов, представлены
способы построения таких моделей и примеры их использования при
проектировании технологических процессов (в том числе и
автоматизированного), при управлении процессами и при оптимизации
существующих процессов.
Для металлургов и всех читателей, интересующихся применением
математических моделей.
Эттингер И. Л.
НЕПРЕДСКАЗУЕМЫЕ КАТАСТРОФЫ И НЕОБЪЯТНЫЕ
ЗАПАСЫ:
ТВЕРДЫЕ РАСТВОРЫ МЕТАНА В ЗЕМНОЙ КОРЕ
10 л. 70 к.
В книге идет речь о двух важных источниках энергии, без которых
невозможно существование цивилизации на ее современном
уровне. Это каменный уголь и природный газ. Однако эти два
ценнейших вещества часто рождаются одновременно в земной коре и их
очень трудно разъединить между собой, хотя добыче каждого из
них мешает присутствие другого. Наличие метана в угольных
пластах может привести к катастрофам, при которых гибнут
люди. Что же такое твердый раствор метана в угле, каковы его
физико-химические свойства и почему метан иногда из друга человека
становится его врагом — вот вопросы, которые рассмотрены в
предлагаемой книге.
Для физико-химиков, горняков и всех интересующихся
вопросами геологии, экологии и энергетики.
Мизун Ю. Г.
ВОЛНЫ В КОСМОСЕ
10 л. 70 к.
В книге рассмотрены современные представления о волнах в
околоземном и межпланетном пространстве, полученные в
результате прямых измерений на космических аппаратах и искусственных
спутниках Земли. Приведены характеристики свойств волн
различной длины, влияющих на биосферу, атмосферу, ионосферу Земли9
Для читателей, интересующихся проблемами околоземного кос-»
мического пространства и солнечно-земных связей.
Для получения книг почтой заказы просим направлять по одному из
адресов: 117192 Москва, Мичуринский проспект, 12, магазин «Книга —
почтой» Центральной конторы «Академкнига»; 197345 Ленинград,
Петрозаводская ул., 7, магазин «Книга — почтой» Северо-Западной
конторы «Академкнига» или в ближайший магазин «Академкнига»,
имеющий отдел «Книга — почтой».
480091 Алма-Ата, 91, ул. Фурманова, 91/97;
370005 Баку, 5, Коммунистическая ул., 51;
690088 Владивосток, Океанский проспект, 140;
320093 Днепропетровск, проспект Ю. Гагарина, 24;
734001 Душанбе, проспект Ленина, 95;
664033 Иркутск, ул. Лермонтова, 289;
252030 Киев, ул. Пирогова, 4;
277012 Кишинев, проспект Ленина, 148;
343900 Краматорск, Донецкой области, ул. Марата, 1;
443002 Куйбышев, проспект Ленина, 2;
220012 Минск, Ленинский проспект, 72;
630090 Новосибирск, Академгородок, Морской проспект, 22;
620151 Свердловск, ул. Мамина-Сибиряка, 137;
700185 Ташкент, ул. Дружбы народов, 6;
450059 Уфа, 59, ул. Р. Зорге, 10;
720000 Фрунзе, бульвар Дзержинского, 42;
310078 Харьков, ул. Чернышевского, 87,
65 коп.
*АУ*+
Исторически складывалась терминология математики, с ее
развитием возникали слова: «математа» у пифагорейцев
означало отрасль науки, словом «аритмис» (число) Диофант
обозначал неизвестное, название «алгебра» произошло от
вышедшего в 820 г. трактата ал-Хорезми об исчислении
«ал-джабра и ал-мукабалы», «алгоритм» — от
латинизированной формы фамилии ал-Хорезми. Математика бурно
развивается и сейчас; появляются новые термины, в
которых неспециалисту трудно разобраться.
?
ft»
О
«у
o-v
* к
41
0.0'
сч vj