ФА КОРОЛЕВ
Книга сосканирована и сделан DJVU файл специально для сайта src.lgg.ru rlbooks.narod.ru
Книгу всегда можно скачать бесплатно на сайтах • bookfi.org
•	free-books.dontexist.com
•	src.lgg.ru
•	rlbooks.narod.ru
За распространение не взимается плата, если вы заплатили за этот файл, Вас обманули.
Очень надеюсь, что книга поможет братьям-бауманцам на РЛ2 и всем студентам!
Lens Wile Scan
lws@bk.ru
vkontakte.ru/lensws
От автора
Оптика — учение о свете — занимает одно из ведущих мест в современной физике. В основе ее лежит теория электромагнитного поля и его взаимодействия с веществом независимо от того, рассматриваются ли эти электромагнитные излучения с волновой или корпускулярной точки зрения.
Одним из фундаментальных положений современной физики является дуализм волн и частиц, т. е. единство корпускулярных и волновых свойств материи и движения. Именно поэтому в основе современной теоретической оптики, как раздела физики, должны быть законы квантовой электродинамики.
Однако отдельные конкретные проблемы теоретической оптики не нуждаются в квантово-электродинамических методах рассмотрения, и можно ограничиться положениями теории Максвелла — Лорентца, а в ряде случаев даже теорией скалярного волнового поля.
Автор полагает, что читатели знакомы с классической электродинамикой, основными положениями квантовой механики и элементами математической физики (ряды и интегралы Фурье, теория функции комплексного переменного, дифференциальные уравнения в частных производный и др.).
В этом пособии излагаются современные достижения оптики: эффект Черенкова, светящийся электрон, квантовая генерация оптического когерентного излучения, модели фотона и ряд других оптических явлений, открытых в физике за последние три десятилетия. Вместе с тем автор не касается проблем атомной и молекулярной
3
спектроскопии и люминесценции, которые служат предметом специальных курсов и соответствующих учебных пособий и монографий и поэтому затрагиваются здесь только в той связи, в которой они соприкасаются с общими проблемами физики электромагнитного излучения.
При изложении материала в данной книге была принята система единиц СГС в связи с тем, что она является естественно вытекающей из основных законов электричества и магнетизма. В конце книги приводятся таблицы, которые дают возможность пользоваться и системой СИ.
Автор с благодарностью примет все замечания и пожелания и просит их направлять по адресу: Москва, И-51, Неглинная ул., д. 29/14, издательство «Высшая школа».
Проф. Ф. Королев
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.	Предмет теоретической оптики
В широком понимании оптика представляет собой науку об электромагнитном поле и его взаимодействии с веществом.
Однако такая трактовка предмета оптики вызывает большие трудности в том отношении, что не позволяет установить сколько-нибудь разумных границ между смежными с ней областями физики — радиофизикой и физикой фотонов высоких энергий, т. е. физикой тех электромагнитных полей, которые связаны с излучением атомных ядер, космических лучей, а также излучений ускорительных установок, например гамма-лучи (или гамма-фотоны). <
Развитие физики последних лет показало, что установление каких-либо жестких границ здесь совершенно невозможно и речь идет о едином электромагнитном спектре от самых длинных электромагнитных волн с частотой порядка одного герца до самых коротких известных электромагнитных волн космических гамма-лучей с частотой порядка 1035 гц и выше. Вся эта совокупность излучений, несмотря на их громадные различия во взаимодействии с веществом, имеет одну и ту же природу, представляя собой электромагнитные волны различной длины, если рассматривать явления излучения с точки зрения волновой теории, или фотоны различной энергии, если электромагнитные процессы трактуются с корпускулярной точки зрения.
Попытки ограничить область оптики по природе излучателей не удаются. Так, например, атомы испускают
радиоволны, инфракрасные лучи, видимый свет, ультрафиолетовые и рентгеновские лучи, перекрывающиеся с гамма-лучами радиоактивных элементов. Не удается разграничить области спектра и по приемникам излучения — болометры и термоэлементы могут регистрировать спектры электромагнитных излучений от радиоволн до наиболее коротких волн ультрафиолетовых лучей.
Но область оптики можно целесообразным образом выделить как раздел физики электромагнитных, излучений, которые могут изучаться с помощью оптических систем: зеркал, линз, призм, дифракционных решеток и т. д., а также их комбинаций, представляющих собой различные оптические приборы — телескопы, микроскопы, спектроскопы, интерферометры и т. п.
Для всех этих устройств характерным является то, что длина % электромагнитной волны много меньше линейных размеров D фронта волны, проходящего через оптическую систему, и потому в пределе поток излучения можно приближенно рассматривать как распространение лучей по прямым линиям.
Такой предельный случай был назван геометрической оптикой.
В соответствии с этим оптические методы изучения могут быть отнесены к любому участку электромагнитного спектра, где только будет выполнено условие TID <Д 1. Но это условие уже трудно выполнимо в области длин волн электромагнитного спектра, больших одного метра, где господствуют специфические радиофизические методы.
Равным образом изучение излучений в области гамма-спектров не удается вести оптическими методами, потому что все известные оптические системы по отношению к таким излучениям не обладают необходимыми свойствами отражения, преломления, фокусировки и т. п.
Поэтому к области оптики следует отнести участок электромагнитного спектра, простирающийся от длин волн 0,1 А до длин волн в 1 м. Для всего этого диапазона спектра, определяемого как оптический, в той или иной степени применимы, оптические методы изучения. В этом случае под словом «свет» в широком смысле слова в дальнейшем будем подразумевать все распространяющиеся электромагнитные поля с длинами волн 0,1 Д~1 м.
6
В силу всего сказанного выше оптика должна охватывать, во-первых, изучение природы электромагнитных излучений, что описывается электромагнитной теорией света на базе теории Максвелла — Лорентца и квантовой теории света в вакууме; во-вторых, изучение возникновения электромагнитного поля, или рождения фотонов. Эти вопросы излагаются в разделе, касающемся теории излучения света. Будут рассмотрены возможности классической и квантовой теорий излучения, так как во многих важных случаях это позволяет глубже понять ряд физических вопросов, связанных с излучением света.
Наряду со спонтанным излучением света элементарными частицами, атомами, молекулами и конденсированным веществом в современной оптике большое место заняли процессы когерентного излучения света системами частиц и проблема структуры фотона, которой также в книге уделено внимание.
Важным и крупным разделом оптики является раздел о распространении света. Так как практически во всех случаях распространения света имеет место его взаимодействие с веществом, приводящее это вещество в возбужденное состояние, сопровождающееся вторичным излучением света, то проблема распространения света теснейшим образом оказывается связанной с проблемой излучения света. Естественно, что теория излучения должна излагаться раньше теории распространения света. Важное место в этом разделе занимают явления интерференции и дифракции.
§ 2.	Исторический обзор
Еще в предыдущей работе автора * были освещены основные этапы развития воззрений на природу света и создания основных теоретических положений, а также крупнейших открытий.
Оптика является одной из древнейших наук. Стремление человека познать природу света было отмечено уже в глубокой древности. Пифагор (582—500 гг. до н. э.) считал причиной зрения «горячие испарения», исходящие из глаз человека. Эвклид (300 лет до н. э.) считал, что из глаз человека исходят зрительные лучи,
* Ф. А. Королев. Курс физики. (Оптика. Атомная и ядерная физика.) М., Учпедгиз, 1962.
7
которые «ощупывают» своими концами внешние предметы и тем самым создают зрительные ощущения. Последователем этой концепции был Птоломей (70—147 гг. н. э.). Величайший атомист древности Демокрит (460—370 гг. до н. э.) разработал противоположное воззрение на причину зрительных восприятий. Он учил, что зрение происходит благодаря тому, что от предметов исходят мельчайшие частицы — атомы, которые, попадая в глаз человека, вызывают зрительные ощущения.
Аристотель также отвергал представление о зрительных лучах, но не был и сторонником атомистических представлений. Он считал, что свет испускается источниками и затем передается прозрачной средой, которая им понималась как непрерывная среда, вызывающая зрительное ощущение в глазах человека. Прозрачная среда является, таким образом, посредником в передаче движения от источника света к наблюдателю. Развивая эти идеи, Аристотель положил начало учению о светоносной среде — эфире.
Существенным шагом вперед в создании учения о световых явлениях была разработка Эвклидом представлений о прямолинейном распространении света, а также установление им законов отражения.
Так, уже в учениях древних о природе света были развиты противоположные воззрения, гипотезы, из которых одна исходила из корпускулярных воззрений, считавших свет дискретным явлением, другая — из взглядов о непрерывности световьих процессов. Этот дуализм характерен и для последующих, более поздних, этапов развития оптики, когда были созданы волновая и корпускулярная теории света.
Таким образом, на протяжении всей истории оптики происходила борьба двух противоположных воззрений на природу света. Эта борьба отражала объективно существующее единство противоположностей в природе световых процессов, которое и было подтверждено новейшим развитием оптики.
В эпоху Средневековья с господством церкви и владычеством инквизиции оптика не сделала существенных успехов, так как условия для развития науки были весьма неблагоприятны. В этот период следует лишь отметить работы арабского физика Альгазена, который изу
8
чал отражение света от зеркал, преломление света и прохождение света в линзах. Альгазен не был сторонником представлений о зрительных лучах, а, наоборот, полагал, что световые лучи идут от предметов к глазам.
В последующие столетия в связи с общим экономическим и техническим прогрессом наука начала постепенно освобождаться от гнета реакционной философии Средневековья — схоластики. Наступает эпоха Возрождения, которая характеризуется подъемом экономики, техники, культуры, искусства, развитием прогрессивных мировоззрений, вступивших в борьбу с реакционной схоластикой, служившей опорой христианской церкви и инквизиции. В науке утверждается экспериментальный метод как основа изучения природы.
В этот период был сделан ряд крупнейших открытий и изобретений в оптике. Важнейшими из них являются изобретение микроскопа (1590 г.) и зрительной трубы (1608—1610' гг.), установление законов преломления света (1626—1637 гг.) Снеллиусом (1580—1626 гг.) и Декартом (1596—1650 гг.) и, наконец, открытие явлений дифракции света Гримальди (1618—1663 гг.).
В XVII и XVIII столетиях развитие оптики связано, в первую очередь, с именем гениального физика и математика И. Ньютона (1643—1727 гг.). Фундаментальным экспериментальным открытием Ньютона, оказавшим огромное влияние на дальнейшее развитие оптики, явилось открытие дисперсии света в призме (1666 г.). Ньютон установил, что луч белого света, проходя через трехгранную стеклянную призму, распадается на бесчисленное множество цветных'лучей, образуя непрерывный спектр цветов. Он подтвердил впоследствии это утверждение обратным опытом: собирая линзой цветные лучи, выходящие из призмы, получил опять белый свет. Но особенно убедительным был опыт смешения цветов с помощью вращающегося круга, который был разделен на несколько секторов, окрашенных в основные цвета спектра. При быстром вращении круга все цвета сливались в один и производили впечатление белого цвета. На основе этих открытий Ньютоном была предложена корпускулярная теория света, или так называемая теория истечения, по которой свет представляет собой поток особых, мельчайших частиц, испускаемых светящимися телщмц.
9
На основе теории истечения Ньютон объяснил различие цветов в разных участках спектра и причину окраски тел, развил теорию отражения и преломления света, дал своеобразную трактовку явлениям интерференции и поляризации света и т. д. Однако следует отметить, что если теория истечения давала хорошее объяснение прямолинейному распространению света, то явления интерференции, дифракции и другие при этом можно было понять только при допущении дополнительных гипотез, которые были весьма сомнительны.
Между тем волновая теория света, которая в этот же период была развита голландским физиком X. Гюйгенсом (1629—1695 гг.), давала этим явлениям удовлетворительное объяснение. Однако из-за огромного авторитета Ньютона волновая теория была отвергнута большинством физиков и не получила развития почти в течение полутора столетий, что, безусловно, нанесло науке очень большой ущерб. Волновая теория света разрабатывалась и английским физиком Р. Гуком (1635—1703 гг.).
Согласно волновой теории Гюйгенса свет представляет собой колебательное движение особой светоносной среды — эфира. Частицы светящегося тела вызывают движение в эфире, которое распространяется в нем в виде волн. Гюйгенс считал свеговьпе волны продольными и поэтому не смог объяснить большое количество явлений, связанных с поляризацией света, обусловленной именно поперечным характером световых волн. Гюйгенсу не удалось также построить теорию цветов и обосновать прямолинейное распространение света и другие важные явления оптики. Поэтому волновая теория оказалась не в состоянии выдержать борьбу против теории истечения, которая оставалась господствующей почти до второй половины XIX столетия, несмотря на то, что противниками теории истечения были Л. Эйлер (1707—1783 гг.) и М. В. Ломоносов (1711 —1765 гг.).
Ряд важных открытий XVII и XVIII столетий в области оптики — измерение скорости света О. Рёмером , и Д. Брадлеем, открытие инфракрасных лучей Шееле и Гершелем, ультрафиолетовых лучей Риттером и Волластоном, двойного лучепреломления Бартолином и другие — носили ^разрозненный характер и не были объединены какой-либо руководящей теорией. В целом
1,0
развитее оптйкй в период Господства теории истечений было сравнительно слабым.
Девятнадцатое столетие явилось периодом бурного развития физики и в том числе оптики. Оно принесло победу волновой теории света. Первые шаги в этом направлении были Сделаны английским физиком Томасом Юнгом (1773—1828 гг.). Основной его заслугой явилось создание теории интерференции волновых движений.
Однако основную победу волновая теория света одержала в результате замечательных работ выдающегося французского физика Френеля (1788—1827 гг.). Френель соединил принцип волновых движений Гюйгенса с теорией интерференции Юнга и разработал на этой основе строгую математическую теорию дифракции света. Это, в свою очередь, позволило ему дать безупречное объяснение прямолинейного распространения света на основе волновой теории. Но Френель не только разработал волновую теорию света, но и произвел ряд блестящих экспериментов по интерференции и дифракции света, которые были объяснены в полном соответствии с волновой теорией света и не могли быть удовлетворительно объяснены с точки зрения корпускулярной теории света Ньютона.
Так, при объяснении своих фундаментальных экспериментальных исследований, проведенных совместно с Араго (1786—1853 гг.) по интерференции поляризованных лучей (1819 г.), Френель пошел на весьма смелый шаг, сделав допущение, что световые волны являются поперечными. После этого все явления поляризации получили прекрасное объяснение. Более, того был предсказан ряд новых явлений, которые, в свою очередь, подтвердились на опыте. Но несмотря на это, большое число физиков того времени продолжали оставаться на позициях теории истечения, поскольку для объяснения поперечности световых волн Френелю пришлось приписать световому эфиру свойства упруго-твердого тела. Отсюда тотчас же возникал вопрос о том, как при этих условиях в нем свободно могли перемещаться небесные тела — Земля, Луна, другие планеты и т. д. Но несмотря на эти трудности волновой теории, смущавшей даже наиболее выдающихся ученых того времени, начиная примерно с 1830 г., волновая теория света получила всеобщее признание, а теория истечения была отвергнута.
И
Волновая теория света привела к крупным экспериментальным открытиям и изобретениям, а также была развита дальше в трудах ряда физиков.
Немецкий физик Фраунгофер (1787—1826 гг.) изобрел дифракционную решетку (1821 г.), с помощью которой произвел весьма точные измерения длин световых волн темных линий в солнечном спектре. Майкельсон (1852—1931 гг.) создал совершенный интерферометр, с помощью которого произвел точнейшее измерение эталона метра в длинах световых волн (1894 г.), провел исследование сверхтонкой структуры спектральных линий и другие важнейшие исследования по волновой оптике. Французский физик Коши (1789—1857 гг.), а вслед за ним и другие ученые разработали волновую теорию дисперсии света. Немецкий физик Кирхгоф в 1882 г. дал строгую математическую теорию дифракции света. Немецкий’физик Аббе (1840—1905 гг.) и английский физик Рэлей (1842—1919 гг.) дали теорию разрешающей способности оптических приборов. Эти и большое множество других важных открытий и исследований, которые были сделаны на базе волновой теории света, в целом составляли триумф этой теории.
Но несмотря на большие успехи волновой теории, в период ее наиболее бурного расцвета наметились трудности, возникшие в связи с открытиями явлений флюоресценции, фотохимии, а также в связи с тем, что явления излучения и поглощения света не поддавались в большинстве случаев удовлетворительному объяснению с позиций волновой теории. Сюда в равной степени относились как процессы излучения и поглощения линейчатых спектров газами и парами, так и испускание сплошных спектров конденсированными нагретыми телами. Весьма большие трудности возникли также при строгом обосновании упругой теории света, т. е. теории световых явлений, основанной на представлении о распространении света в виде поперечных волн в упруготвердом светоносном эфире. Первая теория такого рода была создана Френелем при допущении весьма необычного представления об абсолютной несжимаемости эфира. Эта теория дала превосходное объяснение всем оптическим явлениям, которые укладывались в волновую теорию света.
Однако необычность допущения Френеля об абсолют
12
ной Несжимаемости эфира побуждала многих физикой построить упругую теорию света с более строгим обоснованием. Решением этой проблемы занимались Коши, Грин (1793—1841 гг.), Ф. Нейман (1798—1895 гг.), Мак-Келлог (1809—1847 гг.), В. Томсон (1824—1908 гг.). Ими был разработан целый ряд остроумных вариантов упругой волновой теории света, где приходилось наделять эфир весьма необычными свойствами.
В 1865 г. выдающимся английским физиком Максвеллом (1831 —1879 гг.) была опубликована разработанная им электромагнитная теория света, согласно которой видимый свет представляет собой электромагнитные волны очень короткой длины в свободном пространстве. Создание электромагнитной теории света привело к такой ситуации, при которой всякая теория, претендовавшая на объяснение световых явлений, должна была дать объяснение и всей совокупности электрических и магнитных явлений.
Электромагнитная теория света Максвелла не только охватывала видимый спектр световых волн, но равным образом описывала весь спектр электромагнитных волн. Наиболее важным экспериментальным открытием, подтвердившим электромагнитную теорию света, было открытие электромагнитных волн в свободном пространстве, возбуждаемых электрическими вибраторами. Это было сделано крупнейшим немецким физиком Г. Герцем (1857—1894 гг.) в 1888 г., спустя 23 года после формулировки Максвеллом электромагнитной теории света, а еще через 7 лет знаменитый русский физик А. С. Попов (1859—1905 гг.) изобрел беспроволочный телеграф — радиотелеграф.
Крупнейшие исследования по генерации, приему и изучению свойств электромагнитных волн были выполнены в этот период П. Н, Лебедевым (1866—1912 гг.), открывшим (1899 г.) световое давление на твердые тела, а несколько позднее (1910 г.) световое давление на газы.
Создание электромагнитной теории света было большим шагом вперед в развитии физики, так как позволило объединить два крупнейших раздела физики — электричество и оптику, а дальнейшее развитие учения об электричестве привело к открытию электронов и разработке электронной теории. Это позволило создать элект-
13
ронную теорию излучения света атомами и молекулами, развить электронную теорию дисперсии и дать объяснение очень большому числу оптических явлений, связанных с излучением и поглощением света, а также распространением света в телах.
В 1896 г. голландским физиком Зееманом было открыто явление расщепления спектральных линий в магнитном поле, положившее основу новому разделу физики— магнитооптике. Английским физиком Керром в 1875 г. было открыто явление двойного лучепреломления в электрическом поле, послужившее основой электрооптики. Большое развитие получила оптика движущихся тел: аберрация света, открытая Брадлеем, эффект Допплера, явление Физо, заключающееся .в частичном изменении скорости света в движущемся прозрачном веществе, и др. Особое место занимают здесь вопросы, связанные с влиянием поступательного и вращательного движения Земли на скорость света. Поскольку в этот период в основе учения о световых процессах лежала волновая теория света, которая после открытий Максвелла понималась как теория электромагнитной среды, то все вопросы оптики движущихся сред объединялись в одну проблему — взаимодействие движущихся тел и эфира.
Наиболее фундаментальным был вопрос о том, увлекается ли эфир движущимися телами или он при этом остается неподвижным. Френель при разработке упругой теории света исходил из предположения, что эфир, находящийся вне тел, полностью несжимаем и не увлекаем движущимися телами. Эфир, находящийся внутри движущихся тел, частично увлекается ими. Эта теория Френеля давала объяснение аберрации света и явлению Физо. Электронная теория Лорентца также исходила из абсолютной неподвижности эфира и приводила к точно таким же результатам, как и теория Френеля. До создания электронной теории в 1845 г. английский физик Стокс (1819—1903 гг.) выдвигал прямо противоположную концепцию о полном увлечении эфира движущимися телами. Г. Герц развил на основе этого последовательную теорию электромагнитных процессов, которая, однако, не подтвердилась на опыте. Немецкий физик М. Планк (1858—1947 гг.), пытаясь подкрепить гипотезу увлекаемого эфира, высказал дополнительное пред-14
положение, что эфир испытывает сгущение вблизи тел, но это также не дало результата.
Таким образом казалось, что справедлива гипотеза об абсолютно неподвижном эфире, которая полностью соответствовала концепциям электронной теории, находилась в согласии с известными в то время экспериментальными фактами и позволяла поставить опыт по обнаружению движения Земли относительно эфира. В 1881 г. Майкельсон по идее Максвелла выполнил такой опыт с помощью интерферометра. Однако опыт дал отрицательный результат. Майкельсон и другие физики неоднократно повторяли эти опыты со все более совершенными приборами, но результаты каждый раз были прежними; также не увенчались успехом попытки обнаружить эфирный ветер другими, не оптическими средствами.
В итоге в оптике движущихся тел создалась столь противоречивая ситуация, которая не решалась с помощью всех известных теорий и гипотез и для разрешения которой Лорентцом были предложены принципиально новые преобразования координат, в которых пространственные и временные масштабы оказались зависящими от скорости движения тел. А. Эйнштейн (1879—1955 гг.) в 1905 г. на основе лорентцовых уравнений сформулировал новый принцип относительности, который приводил к радикальным изменениям в прежних представлениях о пространстве и времени.
Таким образом, на рубеже XX столетия развитие фи-, зики оптических явлений привело к крутой ломке основных, наиболее фундаментальных положений физической науки.
В 1895 г. немецким физиком Рентгеном (1845— 1923 гг.) были открыты невидимые лучи, которые хорошо проникали через непрозрачные предметы. Рядом опытов вскоре было доказано, что рентгеновские лучи аналогичны световым лучам и являются электромагнитными волнами, длины которых в тысячи раз короче длин световых волн.
В 1896 г. французский физик Беккерель открыл явление радиоактивности, которое впоследствии привело к созданию современной атомной и ядерной физики.
В 1900 г. М. Планк создал квантовую теорию света, позволившую объяснить наиболее, трудные вопросы в
15
оптике, связанные с излучением света. Планк, в частности, дал теорию излучения абсолютно черного тела. Несколько позже, в 1913 г., датский физик Н. Бор разработал квантовую теорию строения атома и квантовую теорию атомного излучения.
Открытие квантовой теории излучения света составило новую эпоху в физике и особенно в физике микромира. Квантовая теория явилась новой формой корпускулярной теории света. Но замечательным в этой теории явилось то, что она не только не отвергала волновой теории света, но в самой своей основе сохраняла и волновые понятия. Так, энергия и другие свойства световой частицы — фотона — определялись через частоту световых колебаний, наметилась тенденция к единству противоположных концепций, единству волновых и корпускулярных представлений, которые в более поздних работах ряда других физиков получили свое дальнейшее развитие и подтверждение.
На основе квантовых представлений были объяснены и такие важные явления, как явления фотоэффекта, впервые обнаруженные Герцем в 1887 г. и детально исследованные в работах А. Г. Столетова (1839—1896 гг.), установившего законы фотоэффекта (1888 г.). Получили также объяснение законы фотохимии, флюоресценции, излучения рентгеновских лучей и множество других явлений, связанных с взаимодействием света и вещества. Особенно замечательны в этой области работы советского физика С. И. Вавилова (1891—1951 гг.), открывшего и детально исследовавшего квантовые флуктуации светового излучения.
Так было твердо установлено, что свет представляет собой поток особых частиц — фотонов, обладающих массой, энергией, импульсом, моментом количества движения и т. д., и имеет двойственную природу—волновую и корпускулярную, т. е. свет являет собой единство противоположностей, единство прерывности и непрерывности в полном соответствии с законами материалистической диалектики.
§ 3.	Новейшие открытия в оптике
Открытия в современной оптике теснейшим образом связаны с физикой элементарных частиц, которая в настоящее время бурно развивается.
16
В 1932 г. американский физик Андерсон сделал открытие— порождение электронно-позитронных пар фотонами высоких энергий. До этого представление о позитроне было высказано Дираком. Наряду с этим был обнаружен и обратный эффект — превращение пары электрон—-позитрон в два или три фотона, который получил неудачное название аннигиляции (уничтожение).
Крупнейшим открытием в физике элементарных частиц явилось обнаружение в 1947 г. американскими физиками Лембом и Ризерфордом сдвига уровней атомных электронов вследствие взаимодействия их с виртуальными электронно-позитронными парами дираковского вакуума и с виртуальными фотонами фотонного вакуума. Хотя механизм элементарных взаимодействий этих виртуальных частиц с атомными электронами еше совершенно не ясен, но, по-видимому, его изучение прольет свет на структуру фотона и связанные с ним микропроцессы.
В 1944 г. советскими физиками-теоретиками Д. Д. Иваненко и И. Я. Померанчуком была теоретически предсказана возможность'излучения света электронами высоких энергий при движении их по орбитам в кольцевых ускорителях электронов. Экспериментально такое излучение было впервые обнаружено американским физиком Блю-иттом (1946 г.), а затем Поллаком с сотрудниками (1947 г.). Теоретически оно было всесторонне исследовано в работах советских физиков Д. Д. Иваненко, А. А. Соколова, Л. А. Арцимовича, И. Я- Померанчука и др.
Большой цикл экспериментальных работ по изучению свойств излучения электронов в циклических ускорителях в период 1954—1965 гг. был выполнен автором с сотрудниками. Были изучены угловые, поляризационные и прочие характеристики этого излучения. Был выяснен также характер взаимодействия электронов и фотонов при их излучении в ускорителях. Дальнейшее изучение этих процессов в ускорителях высоких энергий, по-видимому, позволит вплотную подойти к элементарным актам порождения фотонов электронами, т. е. к элементарным процессам излучения света.
В 1952 г. А. А. Соколовым и его учеником И. М. Терновым была создана квантовая теория излучения света электронами в ускорителях, на основе которой удалось
17
предсказать принципиально новое явление: возбуждение механических колебаний электронов в ускорителях под действием излучаемых фотонов. Этот эффект экспериментально был обнаружен в 1959 г. в исследованиях, проведенных автором совместно с сотрудниками на ускорителе С-60 Физического института АН СССР с максимальной энергией около 700 Мэв.
Особое место в оптике занимают процессы возбуждения когерентного оптического излучения. К таким процессам, в первую очередь, относится открытое в 1934 г. советским физиком П. А. Черенковым излучение электронов, движущихся в среде со скоростью, большей фазовой скорости света в этой среде. Теоретическое объяснение этим процессам было дано в 1938 г. советскими физиками И. Е. Таммом и И. М. Франком. Когерентное оптическое излучение было также получено с помощью быстрых электронов, возбуждающих электромагнитные колебания в металлических дифракционных решетках, которые становятся источниками когерентного светового излучения.
Наиболее выдающееся открытие в области возбуждения когерентного оптического излучения было сделано в конце 50-х и начале 60-х годов нашего столетия в работах советских физиков А. М. Прохорова и Н. Г. Басова, а также американского физика Таунса.
Этими исследователями вначале были теоретически обоснованы, а затем созданы квантовые генераторы в радиоволновом диапазоне. Затем удалось возбудить системы, которые испускали когерентные видимое и инфракрасное излучения. Это открытие позволяет при дальнейшем его техническом развитии создать перспективные оптические системы для сверхдальней космической и наземной связи, телевидения и других целей. За открытие квантовой генерации когерентного' света ученым А. М. Прохорову и Н. Г. Басову, а также Ч. Таунсу в 1964 г. присуждена Нобелевская премия.
Современная оптика, как и на протяжении многовековой истории, по-прежнему интенсивно развивается,
Глава 1
КЛАССИЧЕСКАЯ (ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ) ТЕОРИЯ СВЕТА
§ 4.	Общие замечания о световых процессах
При изучении оптических явлений разумно, в первую очередь, исследовать свойства самого света, а затем перейти к процессам взаимодействия его с веществом — к явлениям излучения и поглощения света, а также распространения его в телах.
Поскольку свет имеет двойственную — корпускулярно-волновую, природу, то совершенно необходимо изучить обе эти стороны световых процессов и найти их естественный синтез, который в настоящее время дается в известном смысле квантовой электродинамикой.
Так как квантово-электродинамические положения базируются на уравнениях классической электродинамики, то вначале будет изложена классическая теория, т. е. неквантовая теория светового поля, в основе которой лежат уравнения Максвелла. Затем будут рассмотрены те результаты, которые дает квантование уравнений Максвелла, т. е. квантовая теория света в вакууме и квантовая теория взаимодействия света и вещества.
С точки зрения классической теории, свет представляет собой электромагнитные волны, распространяющиеся в вакууме с наибольшей известной скоростью (около 300 000 км)сек}. Распространение волн предполагает наличие какой-либо среды.
19
Райее пОд такой средой нойимаЛи Кировой, светО-йосный, электромагнитный эфир. С появлением теории относительности представление об эфире было отвергнуто, так как допущение его существования приводило к большим затруднениям. Но это привело к тому, что электромагнитные волны оказались без всякого носителя в виде какой-либо среды. .
С точки зрения квантовой механики, волны, которые характеризуют движение любых частиц, в том числе и фотонов, понимаются как волны вероятности, определяющие собой вероятность нахождения частиц в той или иной области пространства. Имеются попытки объяснить вполне конкретным образом процессы! распространения электромагнитных волн и даже структуру фотона.
Возможно, что на этом пути придется видоизменить ряд современных представлений о пространстве и времени в их физическом смысле, что будет дальнейшим шагом вперед и в развитии физики в целом.
Одним из фундаментальных свойств электромагнитного поля является то, что оно распространяется в вакууме со скоростью с = 299 776±4 км!сек. Все известные нам частицы, обладающие массой покоя, не могут, видимо, достигнуть такой скорости. С этой точки зрения скорость света в накууме в настоящее время понимается как предельная скорость, которая могла бы быть достигнута при максимальном ускорении частиц. Это приводит к тому, что оптика, как и физика фотонов высоких энергий, с самого начала является, физикой предельных скоростей, т. е., как теперь принято называть, физикой ультрареляти-вистских скоростей. В области этих скоростей для частиц, имеющих массу покоя, необходимо учитывать зависимость ее от скорости в процессах взаимодействия света и вещества (теория излучения, распространение света в телах и т. д.).
§ 5.	Классические уравнения электромагнитного поля в вакууме
Возбуждение электромагнитных волн происходит .вследствие того, что в какой-либо части пространства происходит нестационарное движение электрических зарядов, обусловливающее появление переменных электрических и магнитных полей. Но раз возникнув, элект-20
ромагнитные волны могут сущесФйоваФь саМи iio себе, распространяясь в пространстве со скоростью с. Это распространение описывается уравнениями Максвелла. Если напряженность электрического поля волны
обозначить через Е, а напряженность магнитного поля через Н, то уравнения Максвелла в случае вакуума и в соответствии с принятой системой единиц* записываются в виде:
rot Е =-------— -д~—, div Е = О,
с dt
(5.1)
(5.2)
rot Н = — С
div Я = О,
где с — электродинамическая постоянная, равная скорости света.
Из уравнений (5.1) и (5.2) следует, что Е и Н распространяются в виде волн.
В самом деле продифференцируем по времени первое уравнение системы (5.2):
, дН	1	&Е
rot----= — --------
dt	с	dt2
и подставим сюда из первого уравнения системы (5.1)
дН значение --:
dt
с rot rot Е =-—	•	(5.3)
с de	'
* В книге используется симметричная система единиц, которую называют гауссовой, или абсолютной, системой единиц (обозначение СГС). Основными единицами этой системы являются сантиметр, грамм и секунда. Диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума в этой системе приняты безразмерными величинами и равны единице. В этой системе электрические величины — заряд, напряженность электрического поля (а также индукция и поляризация), потенциал, емкость, э.д.с., сила тока, плотность тока, сопротивление, электропроводность — измеряются в единицах электростатической системы (СГСЭ); магнитные величины — «магнитный заряд», напряженность магнитного поля (магнитная индукция и намагниченность), коэффициент самоиндукции и взаимоиндукции, магнитный момент — измеряются в единицах электромагнитной системы (СГСМ).
21
->	-4
Поскольку rot rot Е = —у/2 Е-ф grad div Ё, а в Данном
Случае div Е = 0, то
rot rot Е ~ — уа Е.	(5.4)
Подставляя это выражение в 65.3), получим
дгЕ dt2
— с2у2Е = 0.
(5-5)
Это выражение представляет собой дифференциальное волновое уравнение для вектора Е. Аналогичные преобразования для вектора Н дают волновое уравнение для магнитного поля:
(5.6)
В координатной форме эти уравнения перепишутся для вектора Е в виде:
д2Ех	c2(	+	d2Ex dy2	d2Ex >	= 0,	
dt2	V dx2			dz2 ,		
dt2		r2 / d2 Ey < dx2	+	dy2	&Ey' dz2 ,	= o,	(5-7)
S2EZ	d2Ez	+	d2 Ez	&EZ >	= 0;	
St2	\ dx2		dy2	dz2 ;		
для вектора Н в виде:
d2H,	-c-(	d2Hx	L	1	^Hx	) ==°’	
di2		dx2	dy2		dz2		
d2Hy dt2	— c2(	dx2	d2Hy dy2	+	d2Hy 4 dz2	) = 0,	(5-8)
d2Hz	— c2 I	a"H2 J	d2Hz	1	d2Hz >	= °.	
dt2		dx2 "	dy2	1	dz2 y		
В общем случае решения волновых уравнений (5.5) •и (5.6) будут иметь вид:
E = E1h —+	+	(5.9)
22
----+ H2 4-	(5.10)
где Е1гН} — векторы напряженностей электрического и магнитного полей волн, идущих в направлении возрастания положительных значений г; Ё2 и Н2 — то же, для волн, идущих в обратном направлении; г — радиус-вектор, проведенный из начала координат в рассматривае
мую точку волны; п.— единичный вектор нормали к по-
верхности волны.
На рис. 1 поясняются приведенные обозначения величин: О, х, у, z — прямоугольная система координат; S — заштрихованный участок волновой поверхности; Е и Н—векторы электрического и магнитного полей волны; М — точка наблюдения. Не нарушая общности вывода, можно ограничиться рассмотрением
волн, идущих только в
сторону положительных значений г, т. е. ограничиться только членами и Я). В общем случае величины Е\ и Н\ могут выражаться сложными функциями координат и времени. Наибольший интерес представляют плоские и сферические волны, как чаще всего применяемые в тео
рии и на практике.
Особенно большое значение имеют гармонические,
или монохроматические волны, которые в случае плоских волн могут быть записаны в виде:
Е = Д sin со it-----
I с
Н = Но sin о» it----ЁЕЁ.
(5.П)
23
где Ео иHq — амплитуды колебаний векторов напряженностей электрического и магнитного полей; <o = 2nv; v — частота световых колебаний. Подстановкой выражений (5.9), (5.10) и (5.11) соответственно в уравнения (5.5) и (5.6) легко убедиться, что они являются их решениями.
В случае сферических монохроматических волн математические выражения для них могут быть в большинстве случаев представлены следующими функциями:
"с1	 f! (г *1
Е = —Я- sin со И---у,
Г	I	С J
H = -^_sincd h — г	V	с J
(5.12)
где г — абсолютное значение радиуса-вектора г.
Решение (5.12) справедливо всюду, кроме самой близкой окрестности точки г=0, а подстановкой Е и Й из (5.12) в дифференциальные уравнения (5.5) и (5.6)
можно показать, что они являются решениями этих
уравнений.	j - Ру pPj
В проекциях на оси координат выражение (г и) запишется в виде;
(г п) = х cos а у cos Р + z cos у,
(5.13)
где х, у, z — координаты точки наблюдения на волновой поверхности; cos a, cos р, cosy — компоненты вектора п (направляющие косинусы) на оси х, у, z. В случае сферических волн за начало координат наиболее целесообразно выбрать центр сферической волны. В этом слу
чае направления г и п совпадают и, следовательно,
(гп) = г.	(5.14)
Если же вместо векторов Ё и Н взять их абсолютные значения, то выражения (5.12) можно записать в скалярной форме:
Е = sin со (t------------—Y
г	\ С /
Н = sin со (t-------------
Г	\ с /
(5.15)
24
где Е и Н, Ео и Но — абсолютные значения соответственно векторов Е и Н, Ео и Но.
В случае плоских волн удобно выбрать оси координат таким образом, чтобы вектор Е был направлен по оси z, вектор Н — по оси у, а направление распространения (вектор я)— по оси х. Тогда (rri)—x, так как cosa=l, a cosp = cosy = 0. Отсюда
Е	=	Ео sin со (t-—
\	с
Н	=	Hosina(t —
\	С
(5.16)
Часто употребляют комплексную запись волновых полей:
— Zcofi - —)	_	/ „х __	/
Е~ EQe v с ' = Ео cos® (t----------1 iEQ sin со ( t--],
\ с 1	\ с J
Н = Ное‘а^ с ) =H0cosalt — —W i7/osinco It — — Y \ c /	\ c }
(5-17)
Так как Eo и Ho в общем случае также могут быть комплексными величинами с начальной фазой <р0, т. е. Ео = = Ео е‘<Р°, но = ное1^, то
Е = Еое
[4'-т)+фо.
= Ео cos
+ iE0 sin
Шо sin
(5.18)
где Ео и Нд — действительные амплитуды.
25
Преобразуя выражение о» (t-------— V в котором со ==
< с ) 2л	К
=-----, Т =-------период световых колебаний; Л.— длина
Т	с
световой волны в вакууме, будем иметь
сор-----—	(5.19)
х. с J	X
2эт Величина k = ----- определяет циклическое волновое число*
и представляет собой абсолютное значение волнового вектора k, который по направлению совпадает с направлением нормали к волне:
-> 2ir *
k —п.	(5.20)
Используя последнее выражение, уравнения (5.11) можем записать в виде:
Е = Ео sin [arf — (k г)], Н = Но sin [arf — (k г)],
(5.21)
или в случае скалярной записи, соответствующей (5.16):
Е = Eosinic^ — kx), 1
И = Но sin (со/ — kx). J
В дальнейшем будем ограничиваться лишь приведением выражений для электрического поля световой волны, так как выражения для магнитного поля будут аналогичны.
Идеально монохроматические волны являются абстракцией, предельным случаем, когда они продолжаются от —оо до +°о с неизменной амплитудой и частотой во времени, хотя реальные световые волны, как и всякие другие, имеют всегда конечную длительность и выражаются более сложными функциями от времени нежели функции синуса и косинуса, о чем будет сказано далее при рассмотрении спектральных характеристик светового излучения.
* В спектроскопии волновым числом принято называть величину V = 1 /%.
26
В большинстве случаев вместо рассмотрения двух полей Е и Н гораздо удобнее исследовать изменение одного вектора А, называемого вектором-потенциалом, с которым поля Е и Н при отсутствии зарядов связаны соотношениями:
_1______дА
с	dt
Н = rot А.
(5.23)
(5.24)
Подставим Е и Н из уравнений (5.23) и (5.24) в уравнение Максвелла:
, yi 1 дЕ rot Я - — -----•
с dt
Тогда будем иметь:
rot rot Л = — —	(5.25)
с- dt2
rot rot А — — у2 А + grad div А.
Из выражения (5.23) следует, что
div Е =----— —д div Л.	(5.26)'
с dt
Так как div£' = 0, то согласно уравнению (5.26) div Л не зависит от времени, а может быть только функцией координат. Поэтому для переменных полей можно принять, что значение div Л равно нулю.
Тогда выражение (5.25) преобразуется к виду:
4—-С2у2Л = 0.	(5.27)
Решение этого уравнения будет иметь вид:
Л(М) =	+ А	(5.28)
I с ) I с )
27
где А1иА2 — функции координат, времени и аргументов: t ~ с	с
Величины напряженностей электрического и магнитного полей могут быть найдены теперь по формулам (5.23) и (5.24).
§ 6. Классические уравнения электромагнитного
поля в среде
Если электромагнитные волны распространяются не в вакууме, а в среде, обладающей диэлектрической проницаемостью е, магнитной проницаемостью ц и электропроводностью и, то уравнения Максвелла принимают следующий вид:
rot Е = —
дВ dt ’
div D = 4лр,
(6.1)
rottf = — — +— /, divB = 0,	(6.2)
c dt с
где величины /, D и В для случая изотропных сред определяются выражениями:
D = &E,
В = цН, ] = оЕ;
(6.3)
здесь: D — вектор электрической индукции; В — вектор магнитной индукции; j — вектор плотности электрического тока; величина р—плотность электрических зарядов.
Уравнения (6.1) и (6.2) являются усредненными уравнениями Максвелла при наличии среды, в которой имеются заряды.
Вообще говоря, величины е, ц и о являются функциями координат и времени. Так, например, 8, ц, о могут испытывать изменения во времени, если во времени
28
происходит изменение плотности среды, вызванное прохождением в среде упругих волн, макроскопическими и микроскопическими флуктуациями поляризуемости вещества и т. д. Кроме того, изменение электропроводности в среде может быть вызвано изменениями во времени степени ионизации, что наблюдается, например, в плазме газового разряда.
Поэтому классические уравнения электромагнитного поля в среде, для которой величины е, р и и зависят от времени, запишутся в виде:
rot Е =-------1- —
с dt
< 7? в дЕ rot Н =-------------
с dt
И с
Е да с dt
ф
dt ’
। 4л ~
-----оЕ. с
(6.4)
Отсюда видно, что в среде, где параметры е, р и о являются функциями времени, наложение внешних статических полей будет приводить к возбуждению электромагнитных волн за счет колебаний диэлектрической и магнитной проницаемостей, а также за счет колебаний электропроводности.
Полагая е = const, p = const, а о=0, т. е. предполагая, что среда является диэлектриком, получим
rot Е = —
(6.5)
rot Н = —
С
Применив здесь преобразования, аналогичные тем, которые были выполнены в предыдущем параграфе, запишем
дгЕ _ dt2	с2	V2£	= 0,
	ец,		
д*Н	с2	V72 Я	= 0.
5/2	8(1		
(6-6)
29
Это дифференциальные волновые уравнения для Е и И, скорость распространения которых в среде будет иметь не величину с, а величину
с
v = —
V ен
(6.7)
Поскольку в оптической области спектра ц~1, то скорость света оказывается равной
v =
/в
(6.8)
что выражает найденную Максвеллом связь между оптическими и электрическими характеристиками среды в виде п= |/ в, где п — показатель преломления среды. Подтверждение этой зависимости на опыте было в свое время веским доводом в пользу электромагнитной теории света, разработанной Максвеллом.
Для распространения света в среде с постоянными s и it будут справедливы все ранее приведенные решения волновых уравнений, с тем только отличием, что в их выражения вместо скорости света в вакууме с будет входить скорость света в среде v = c/ ]/ ер или и = с/]/б, так как 1.
В случае когда е и р непостоянны во времени, будет иметь место целый ряд весьма важных и сложных явлений, которые будут рассмотрены в соответствующих разделах, где излагаются специальные вопросы распространения света.
§ 7. Поляризация электромагнитных волн
Пусть в диэлектрике распространяется световая волна, электрическое и магнитное поля которой определяются выражениями вида (5.21). Представим их в комплексной форме:
Е = Еп	]
-> . (7Д)
Н =Hoe^at~^k г>1. 1
Для удобства обозначим фазу волны через Ф, тогда
Ф = (^ — (kr).	(7.2)
30
Подставим выражения (7.1) в уравнения Максвелла (6.5), для чего найдем временные и пространственные производные Е и Н:
= 1аЁ0 г») = iaE, dt
= 1аНпе!^-^ 0} = iaE.
dt	0
Далее имеем
(7.3)
rot Е = [у Е] = [уФ •£'].
В этом выражении Е' означает дифференцирование по Ф, следовательно, Е'=1Е. Градиент Ф, как следует из (7.2), будет равен уф =—k, и таким образом для Е и для Н получим:
[у Е] = — i [&•£];
(7.4)
[у И] = — i [k-H].
(7-5)
Подставляя найденные значения производных Е и Н в уравнения Максвелла (6.5), будем иметь:
Ё =
Поскольку — = — и Ш V
выражение (6.7), то
----[k-H]. еа>
поскольку справедливо доказанное
Н =
/f NP
(7.7)
31
Но так как п — k/k, |i 1 для оптического диапазона волн и п =	, получим
Н — п [k/k • Е] = п[п-Е],
С	1 ru,». U1	1 г-* ЕЕ 	(7-8)
Е =-------[k/k-H] —------[п-Н].
п	п
Из выражения (7.8) получаем, что при распространении световых волн в среде, в которой показатель преломления ятИ, напряженность электрического поля в световой волне в п раз меньше напряженности магнитного поля.
Далее из уравнений (7.8) следует, что векторы Е и Н волны направлены перпендикулярно волновому вектору k или, что то же самое, вектору п, т. е. перпендикулярны к направлению распространения световой волны и друг к другу и, таким образом, являются поперечными волнами. Система векторов Е, Н и k (рис. 2) образует правовинтовую комбинацию. Такая взаимная ориентация этих векторов, за исключением некоторых весьма специфических случаев, всегда имеет место, хотя может изменяться в пространстве.
Если направления колебаний электрического и магнитного полей в электромагнитной волне в течение всего времени остаются неизменными, то такая волна называется линейно-поляризованной волной. В таком случае говорят, что свет является линейно-поляризованным. Плоскость, проходящая через направление векторов Enk, называется плоскостью поляризации *.
Если же направления колебаний электрического и магнитного полей в световой волне беспорядочно меняют свою ориентацию в пространстве даже при постоянном направлении распространения, как это наблюдается у большинства естественных источников света, то такой свет называют неполяризованным, или естест--------—-
* В упругих теориях света и в соответствующих учебниках, монографиях и статьях плоскостью поляризации называлась плоскость, проходящая через векторы Н и k.
32
венным, светом, а соответствующие ему электромагнит-
ные волны — неполяризованными волнами.
В экспериментах явление поляризации света прояв
ляется в том, что в зависимости от ориентации векторов Е и Н по отношению к телам, с которыми взаимодействует свет (зеркала, призмы, решетки, кристаллы и т. д.), происходит неодинаковое отражение, прелом
ление или прохождение света, что и позволяет с помощью ряда приборов из .неполяризованной электромагнитной волны выделить поляризованную волну. Такой процесс получе-
ния поляризованного света из неполяризованно-го называется поляризацией света.
Кроме линейно-поляризованного света, можно наблюдать круговую и эллиптическую поляризацию.
Эллиптически-поляри-зованный свет и свет, поляризованный по кругу, возникают в том случае, если в одном и том же направлении одновремен
но распространяются две линейно-поляризованные световые волны со сдвигом фаз относительно друг друга. Рассмотрим для простоты случай монохроматического света, так как немонохроматический свет может быть представлен как суперпозиция того или иного количества монохроматических волн.
На рис. 3 изображена ориентация векторов электрического поля двух волн, распространение которых предполагается перпендикулярно плоскости чертежа в направлении к наблюдателю. Электрические поля обеих волн £[ и £2 в начале координат могут быть записаны в виде:
£1 = Enr sin со/,
Ей = Em sin (со/ — ё),
2 Ф. А. Королев
(7.9)
33
где Eqi и Ео2 — соответственно амплитуды колебаний электрических полей; б — постоянная разность фаз между Ег и Е2.
Сделаем теперь некоторые преобразования. Воспользуемся вместо векторных скалярными выражениями:
---— = sin со/ cos б — cos со/ sin 6. Eq2
Отсюда следует
——---------cos6 = — cos ast sin 6.	(7.11)
Eq:i	Eqi
Умножая первое выражение в (7.10) на sin 6, получим
E1 sin 6 = sin со/sin 6.	(7.12)
Eqi
Возведем (7.11) и (7.12) в квадрат и сложим их:
/ Ei \2	/ Е2 \а о ( Ei \ ( Е2 \ с . о s
( —— I + ( —— ) — 2 —— ) —— ) cos о = sin2 о. \ Eqi J \ Eq2 J \ Eqi J \ Ей2 J
(7.13)
Получим уравнение эллипса в координатах Е\, Е2, вписанного в прямоугольник со сторонами 2Еоь 2Е02 (рис. 4). Электрический вектор Е результирующей волны, являющейся векторной суммой волн Ei и Е2, описывает своим концом в плоскости, перпендикулярной к лучу, эллиптическую траекторию. Частота вращения результирующего вектора Е равна частоте световых колебаний V.
Такие световые колебания и волны называются эллиптически-поляризованными, все явление в целом носит название эллиптической поляризации света.
Если разность фаз 6 = -у- или б=(2т+1)-^-, где m— целое число; sin6=±l; cos 6 = 0, то уравнение (7.13) принимает следующий вид:
GM2+HH2 = 1-	(7-14}
\ ^01 / х ^02 J
34
При Е01 = Е02 и б = — или 6 = (2m 4-1) — , где т — целое число, эллипс превращается в круг, уравнение которого будет
/ 7?! у	/ у = j
\ Ей J	k Еа )
Результирующее световое колебание является поляризованным по кругу. Направление вращения вектора £ в общем случае зависит от б; если 0<б<л, то вращение происходит по часовой стрелке, если же л<б<2л,
то — против часовой стрелки. В первом случае говорят о правополяризованном свете, а во втором — о левополяризованном свете. При этом предполагается, что свет распространяется по направлению к наблюдателю. Если 6=0 или 6 = kn, где k= ±1; ±2, ... , то sin 6=0. В этом случае эллипс превращается в прямую, определяемую уравнением
-А- + -|^ = 0,	(7.16)
£01 -Соз
т. е. результирующая световая волна является линейно-поляризованной.
Как видим, уравнение (7.13) охватывает все случаи поляризации света, если только нет примеси неполярй-
2*	35
зованного света *. Если в световом пучке, кроме поляризованного света, есть неполяризованный свет, то такой пучок света представляет собой частично-поляризованный свет.
§ 8. Энергия и мощность световых волн
Полная энергия электромагнитного поля в общем случае может быть определена в виде:
IF =	(8.1)
v
где V — объем, в котором имеют место электрическое Е и магнитное Н поля (соответственно D и В). Это выражение запишем в виде:
IF = — f (е£2 + р№) dV,	(8.2)
8 л ,)
v
где Е и Н — абсолютные значения векторов Е и Н.
При распространении электромагнитных волн выполняются соотношения (7.7), из которых можно получить связь между абсолютными значениями Е и Н\
/Г E^Vp Н.	(8.3)
В случае распространения электромагнитных волн в вакууме, где е=1 и р=1, имеем
Н = Е.	(8.4)
Используя выражение (8.3), энергию электромагнитных волн можно выразить в виде:
IF = — С еЕ2 dV = —— f	dV. (8.5)
4 j ii J	4 j i
V	V
* Детальный анализ формы и положения эллипса в зависимости от разности фаз 6 можно найти в учебниках по аналитической геометрии.
36
Из (8.3) также следует, что
е£а = pH2,	(8.6)
следовательно, в электромагнитных волнах электрическая и магнитная энергии равны между собой.
Перенос энергии электромагнитных волн определяется вектором Умова—Пойнтинга:
S = [Е Н],	(8.7)
4л представляющим величину мощности электромагнитных волн, проходящих через 1 см2 поверхности, перпендикулярной к лучу. Мощность электромагнитных волн, переносимая через произвольную поверхность 2, будет, очевидно, определяться выражением
Р= ^(SdZ).	(8.8)
s
Если 2 представляет собой поверхность, охватывающую объем V, то соответствующие значения энергии W и излучаемой мощности Р связаны между собой соотношением	.;
Р =----—(8.9)
dt
т. е. мощность, уносимая из объема электромагнитными волнами, равна убыли энергии в объеме в силу закона сохранения энергии.
С учетом первого выражения (7.8) формула (8.7) вектора Умова—Пойнтинга принимает вид:
5 = — [£[«•£]].	(8.10)
4л
Так как (Е-п) = 0, то [Е [п-Е] \ -= п Е2, следовательно,
S = ~-—nE2.	68.11)
4л
Из выражения (8.3) следует, что плотность энергии электромагнитных волн в среде может быть записана в виде:
= = (812)
4л 4л 4л
37
поэтому выражение (8.11) можно переписать как
S = —— nU,	(8.13)
п
или, заменяя cfn = и,
S = vnU,	(8.14)
т. е. вектор Умова—Пойнтинга равен произведению скорости света в данной среде на плотность электромагнитной энергии и на единичный вектор п вдоль направления светового луча.
Рассмотрим энергетические соотношения для сферических волн, возникающих в том случае, когда источник излучения может быть принят за точечный-и находится в вакууме, где п = 1. Такие случаи являются весьма характерными для оптики.
Воспользуемся решением волнового уравнения в виде (5.15). Тогда для абсолютного значения вектора Умова—Пойнтинга будем иметь при п=1
г F2	/	\
| S| = ——^-з1п2го^ — —\	(8.15)
4лг2 \ с )
Вместо sin2co(£--) воспользуемся его средним по вре-
с
мени значением, равным х/2, а среднее по времени абсолютное значение вектора Умова—Пойнтинга обозначим
8лг2
(8.16)
Из формул (8.15) и (8.16) следует, что в случае сферических волн в вакууме мощность излучения, проходящего через единицу поверхности в перпендикулярном к ней направлении, падает с увеличением расстояния от источника обратно пропорционально квадрату этого расстояния. Эту величину называют энергетической освещенностью поверхности.
Обозначая энергетическую освещенность через Еэ, получаем
8лг2
(8-17)
.38
Полная мощность излучения Р через сферическую поверхность будет равна:
сЕ2
р = 4лг2Еэ=	(8.18)
Отсюда можно найти величину лучистой мощности 1Э, распространяющейся в телесном угле в 1 стерадиан. Полный телесный угол, в котором проходит мощность излучения Р, даваемая формулой (8.18), равен 4л стерадиан и поэтому
Величину 1Э называют энергетической силой света, которая, как следует из сравнения формул (8.18) и (8.19), равна:
(8.20)
Электромагнитная мощность Р', проходящая через произвольный телесный угол П, будет равна:
P’=~-I3Q.	(8.21)
Если же возьмем элементарный телесный угол dQ., определяемый соотношением (рис. 5):
dQ^=~-,	(8.22)
то мощность, идущая внутри этого телесного угла, будет иметь величину
dP = I3dQ.	(8.23)
Если угол dQ 0, то ограничивающий его элементарный конус, опирающийся на площадку в сфере dS (см. рис. 5), стягивается в прямую.
Такой бесконечно малый конус можно понимать как луч света. Однако это понятие приложимо только в случае неограниченных фронтов у световых волн. Такими могут быть плоские волны с простирающимися в бесконечность во все стороны размерами волнового фронта или сферические волны. Только при наличии таких вол
39
новых фронтов можно мысленно разделять пространство на сколь угодно малые трубки, наполненные излучением, и представлять их в виде световых лучей. Однако реальные попытки физически осуществить вырезание из широкого волнового фронта узкого луча приводит к тому, что благодаря наличию дифракции света происходит расплывание элементарного конуса, наполненного излу-
чением, и узкого пучка света — луча — наблюдать не удается.
Здесь уместно заметить, чю в оптике широко употребляется термин интенсивность света, хотя точно он почти никогда не определяется. За эту величину можно взять как энергетическую освещенность, так и энергетическую силу света. И та, и другая величина пропорциональна квадрату амплитуды электромагнитных колебаний в световой волне. Поэтому в дальнейшем при использовании понятия интенсивность всегда будем иметь в виду величину, пропорциональную квадрату амплитуды напряженности электрического поля световой волны.
§ 9. Импульс и момент импульса (количества движения) световых волн
К механическим действиям света относятся световое давление, открытое П. Н. Лебедевым в 1899 г., а также существование тангенциального и нормального натяжений и вращательные действия световых волн, которые играют большую роль в природе, особенно в астрофизических явлениях. В последнее время они приобрели исключительный интерес в связи с проблемами завоевания космоса, так как световое давление оказывает су
40
щественное влияние на траектории движения искусственных спутников Земли и космических кораблей.
Вместе с тем велика роль светового давления и других видов механических действий света в физике частиц высоких энергий, в физике кольцевых электронных ускорителей, где потоки электронов испытывают со стороны
излучения мощное световое давление, сильно влияющее на весь режим работы ускорителей. Особенно велико световое давление в местах фокусировки мощных квантовых генераторов света. Все это заставляет в настоящее время обратить на теорию механического действия
света самое пристальное внимание.
Согласно теории электромагнитного поля * в пространстве, где имеется электрическое поле, действуют силы. Эти силы создают натяжения и давления, компоненты которых по осям х, у, г могут быть выражены следующим образом:
Тх = Т'хх C0S <П> Х) + Лу C0S (/?> у) + COS (п, Z), Ту = Тух C0S («> Л‘) + Туу C0S («, У) + Туг COS (П, z), Tz = Tzx COS (n, x) + TZy cos (/2, y) + Tzz COS (n, z),
(9.1)
где n — направление нормали к рассматриваемому элементу поверхности; Тх, Ту, Tz — слагающие сил натяжения по осям, действующих на единичную площадку. Следовательно, сила Т представляет собой тензор, мат-
Txz\
Tyz 	(9.2)
Tzz /
рица которого имеет вид:
/7 Т л XX л ху
т = т т I ух уу \TZX Тгу
В явном виде он может быть представлен в компонентах по осям х, у, z следующим образом:
/Ж-- Е2 2ЕхЕу 2EXEZ\ —	Pt	I
Г = — 2£у£х	2E*~E2 2EyEz I, (9-3)
\2EZEX 2EzEy 2EI — E2 J
* P. Беккер. Теория электричества. T. II. «Электронная теория», Л, —М„ ГИТТЛ, 1941.
В, П а п о в с к и й, М. Ф и липе. Классическая электродинамика. М., Физматгиз, 1963.
41
где s— диэлектрическая проницаемость среды, в которой действуют электрические силы. Таким образом, например, слагающая по оси х силы натяжения Т, действующей в электрическом поле на единичную площадку с внешней нормалью п, будет иметь выражение
= —-—{(2Егх — Е2) cos («, х) 2f fycos (п, у) + 8л
+ '2,EXEZ cos (/г, г)}.	(9.4)
При учете магнитного поля к тензору (9.3) нужно добавить силы, вызываемые-этим полем, выражения для которых будут полностью аналогичны (9.3), где нужно заменить Е на Н и е _на ц.
Выражение для Т в случае площадки с внешней нормалью п при одновременном учете сил электрического и магнитного полей может быть записано в векторной форме:
Т = {е (25 Еп -пЕ2) + ц (2ННп - пН2)}, (9.5)
где ц— магнитная проницаемость среды.
Если по обе стороны какой-либо поверхности раздела действуют разные по величине натяжения 1\ и Т2, то результирующее пондеромоторное напряжение на этой поверхности раздела будет:
Р = 52 Тг.
В общем случае можно написать, что сила, действующая на 1 см3 тела, равна
f=divT.	(9.5')
Для более конкретного анализа механических сил электрического поля рассмотрим случай, когда направления х, у и z относительно нормали к поверхности выбраны определенным образом. Пусть положительное направление оси х идет вдоль направления вектора Е, а ось z перпендикулярна к направлению нормали п (рис. 6); ось z направлена перпендикулярно к плоскости
42
чертежа. Следовательно, Ех~--Е, Еу = 0, Ez = 0, соз(/г, х) = = cosa, cos (п, у) = sin a, cos (/г, z) =0, и поэтому в тензоре Т все компоненты, содержащие Еу, Ez, будут равны нулю, т. е.
(9.6)
Таким образом,
1 г =------cos a,
х 8л
Т у
eg 8л
sin a,
(9.7)
Tz = 0.
При п 11Е (а = 0, cos а = 1)
™ eg
Г =-------п.
8л
(9-8)
Здесь Т представляет собой чистое натяжение, направленное вдоль внешней нормали к элементу поверхности.
43
Для магнитного поля в этом случае будем иметь аналогичное выражение:
Т’ =	(9.9)
При п ± Е (а = sin а = 1)
Т =------(9-10)
Здесь Т представляет собой чистое давление, направленное в сторону, противоположную п.
Для магнитного поля в этом случае соответственно имеем
?-Н2п.
8п
(9.11)
В промежуточных случаях, кроме сил нормального натяжения и давления, появляется тангенциальная сила. В частности (рис.7), когда а = 45° (cos а = sin а =
(9-12)
Здесь Т представляет собой чистое тангенциальное напряжение. Его абсолютное значение, так же как и абсолютные значения нормального натяжения и давления, равно
е£2
8п
(9.13)
В случае переменных во времени полей — электромагнитных волн, одновременно имеются электрическое и магнитное поля, которые производят совместное механическое действие. При нормальном падении световых волн на поверхность тел чистое давление, оказываемое
44
совместно электрическим и магнитным полями, численно равно:
\Т\ =
еЕ® + |1Я2 _ е£~2 _____у
8л 4л
(9.14)
т. е. равно плотности электромагнитной энергии в единице объема.
Плотность электромагнитной энергии U согласно (8.13) и (8.14) .связана с вектором Умова—Пойнтинга соотношением
S = vUSlt
(9.15)
где — единичный вектор Умова—Пойнтинга (Si взято вместо п, так как этим символом здесь обозначена нормаль к поверхности тела, на которое действуют внешние электрическое и магнитное поля); v—скорость света в среде.
Если вещество было бы полностью прозрачно, то излучение, проходя сквозь прозрачное тело, в целом
45
давало бы действующую на тело силу, равную нулю. Наоборот, если излучение полностью поглощается, то действующая на каждую единицу поверхности сила равна |Г| . В случае полного отражения эта сила будет вдвое больше. В дальнейшем для простоты будем полагать, что излучение падает на поглощающее тело из вакуума, т. е. v = c. Тогда световое давление равно:
(9.14Э
где Л=0; Т2=ЕЩл=и.
В этом случае можем написать
S = cUS1.	(9.15')
Следовательно, из фор^мул (9.14') и (9.15') можем написать в векторной форме
р=—=±-[ЕН].	(9.16)
с 4л
Одностороннее давление р должно быть численно равно импульсу (количеству движения), переносимому электромагнитными волнами в 1 сек через 1 см2. Пусть численное значение импульса
p = G;	(9.17)
сопоставим его с некоторым потоком массы т, движущейся со скоростью света с. Тогда количество движения можно выразить в виде:
G = тс.	(9.18)
Приравнивая эту величину G значению |р| из (9.16), находим
| S | = [ р | с — Gc = тс2.
Следовательно,
|S|=mc2,	(9.19)
т. е. электромагнитная энергия, протекающая в 1 сек-через 1 см2, связана с массой, протекающей через этот же элемент поверхности, выражением (9.19). Полагая,
46
что эта связь имеет общее значение, получаем соотношение между массой т и энергией W в виде:
IF = тс*.	(9.20)
Импульс, переносимый единицей объема электромагнитного поля, будет равен импульсу, переносимому в 1 сек, т. е. величине G, деленной на скорость света. Действительно, импульс G распределен в объеме с основанием 1 см2 и высотой, равной по длине значению скорости света с. Следовательно, электромагнитный импульс единицы объема g равен G/c, т. е.
G	S
с	с* ’
или в векторной форме
1
ё = -—
4 да
[Е-Н].
(9-21)
(9.21')
Для произвольного объема V импульс электромагнитного поля будет иметь величину
G = -J— f [E-H]dV.
4 да J v
(9.22)
Наряду с импульсом электромагнитные волны обладают моментом импульса, т. е. моментом количества движения, что обусловлено вихревым характером электромагнитных волн.
Это можно показать, рассматривая взаимодействие световых волн, поляризованных эллиптически или по кругу, с поглощающим веществом. Равным образом и линейно-поляризованные световые волны могут передавать момент количества движения кристаллическим телам, если при прохождении через такие тела происходит превращение линейной поляризации в эллиптическую или круговую. Также происходит обмен моментом количества движения между кристаллическим телом и световой волной, когда свет, поляризованный эллиптически или по кругу, при прохождении кристаллической пластинки становится линейно-поляризованным.
При падении на поглощающее тело световой волны, поляризованной по кругу, электрическое поле волны бу
47
дет вызывать круговые колебания электронов, которые имеются в теле. Если скорость движения электрона в круговом колебании равна и, его масса т и радиус его орбиты г, то момент количества движения электрона будет равен:
l = mvr.	(9.23)
Кинетическая энергия электрона будет равна wK= т& Л
= —— • А так как круговое колебание электрона эквивалентно двум линейным колебаниям по взаимно перпендикулярным направлениям и в колебательном движении соблюдается равенство в среднем кинетической и потенциальной энергий, то полная энергия электрона
We =	= 2йУк.	(9.24)
Выражая момент количества движения электрона через величину его энергии
и имея в виду (9.24), получаем
l = we—.	(9.25)
V
В свою очередь, линейная скорость электрона может быть выражена через угловую по формуле
v = 2л vr,	(9.26)
где v — частота вращения электрона по орбите, которая является частотой вынужденных круговых колебаний электрона, вызванных электрическим полем световой волны. Следовательно, v равна частоте колебаний падающей на тело световой волны. Подставляя значение v из (9.26) в (9.25), получаем
1 = -^-.
2nv
Момент количества движения всех электронов тела, находящихся во взаимодействии со световой волной, будет равен сумме их моментов, т. е.
48
z? = y/=2^ = _Z_i	(9.27)
J 2nv 2rtv
где W— суммарная энергия всех электронов, которую они получили от световой волны.
Момент количества движения, который передается световой волной телу в 1 сек на каждый см? поверхности тела, можно вычислить следующим образом. Поток энергии через 1 см? определяется абсолютной величиной вектора Умова—Пойнтинга S', и, следовательно, площадка в 1 см2 поверхности тела будет получать от световой волны в 1 сек энергию, равную |S| . Момент количества движения, который несет световая волна в 1 сек через 1 с.и2, будет численно равен
Lx = -Ж.	(9.27')
Величина |S|, в свою очередь, может быть представлена согласно (8.14') как произведение |S| =cU, где U — плотность электромагнитной энергии. Подставляя это значение S в (9.27'), будем иметь:
=	(9.28)
или в векторной форме
<9-29> k
где к>1 — единичный вектор угловой скорости вращения векторов Е и Н в световой волне.
Выражение (9.27) можно обобщить следующим образом. Так как в поляризованной по кругу световой волне момент количества движения должен совпадать с положительным направлением оси вращения поля, параллельным или антипар аллельным направлению волнового вектора /г, то в векторной форме (9.27) пишется так:
L = — Д	(9.30)
о k
где IV — энергия электромагнитного поля.
49
В свою очередь, направление k совпадает с направлением вектора Умова—Пойнтинга, поэтому выражение (9.30) для единицы объема может быть представлено в виде:
А = —— [Е-Н].	(9.31)
4лсо
Для световых волн, поляризованных по кругу, векторы поля Е, Н, А равномерно вращаются вокруг направления распространения с угловой скоростью со, а их абсолютные значения остаются постоянными. Напряженность электрического поля будет найдена как функция вектора-потенциала:
£ = - —	= ——[«• А].	(9.32)
с dt	с
Напряженность магнитного поля согласно (7.8) для случая п =' 1 определится с учетом (9.32) по формуле
Н = — — [п [«• А]].	(9.33)
с
Так как лг||со, то из (9.33) получим
Н = — А.	(9.34)
С
Подставляя это выражение в (9.31), будем иметь:
L = —— [£--Л].	(9.3Г)
4лс
Такова величина момента количества движения единицы объема электромагнитного поля поляризованной по кругу световой волны.
Для электромагнитного поля произвольного объема V момент количества движения определится интегралом:
L = —Ь С [E-AjdV.	(9.35)
4лс J
v
Эта формула применима к полям самой произвольной конфигурации.
50
Рассмотренный эффект был теоретически предсказан русским физиком Садовским в 1889 г. Экспериментально его обнаружил американский физик Бет в 1935 г. *.
Таким образом, световые волны обладают энергией, количеством движения, моментом количества движения и им может быть приписана определенная масса, равная переносимой ими энергии, деленной на квадрат скорости света. Все это указывает на то, что световые волны являются своеобразной формой материи.
§ 10. Спектр электромагнитных волн
Одной из важнейших характеристик светового излучения является его спектральный состав, или спектр. Как для всякого колебательного движения, под словом спектр в случае электромагнитных волн понимают полную совокупность монохроматических волн, на которую можно разложить данное конкретное электромагнитное излучение.
Рассмотрим действие волны в какой-либо фиксированной точке пространства. Тогда монохроматическая электрическая волна (5.11) изобразится функцией
Е = Ео sin (at — ф0),	(10.1)
где фо — начальная фаза колебаний для t = 0. Если колебание (10.1) продолжается в течение времени —оо</<оо с неизменными амплитудой, частотой и фазой, то такое колебание (волна) представляет собой идеально-монохроматическое колебание. Необходимо отметить, что монохроматические волны являются обязательно поляризованными волнами (линейно, эллиптически или по кругу). Сложный спектр состоит из целого ряда монохроматических колебаний. Сумма идеально-монохроматических колебаний может быть представлена рядом:
E = ^E„sin(ffl„Z —ф„),	(10.2)
п
где Еп—амплитуда; an = 2nvn — циклическая частота; vn — частота; <рп — начальная фаза п-ro электромагнитного колебания.
* См. Г. В. Розенберг. Наблюдение спинового момента сантиметровых волн. УФН, т. 40, 1950.
51
Однако такая запись в виде дискретной суммы идеально-монохроматических колебаний не соответствует реальности, так как никогда не наблюдается излучений, спектр которых представлялся бы указанной суммой (10.2), поскольку реальные излучения имеют начало и конец, т. е. амплитуды Еп являются функциями времени. Равным образом никогда не осуществляется такого положения, чтобы частота колебаний была строго постоянной. Реальное электромагнитное излучение можно пред-
ставить дискретной суммой излучений Еп в виде:
^ = S^(Z)sinK(0-%}-	(10.3)
п
где En(t) и ып(Г) —амплитуда и циклическая частота п-го парциального колебания, которые в данном случае являются функциями времени. Парциальные колебания En(t) в отличие от парциальных колебаний Еп, содержащихся в сумме (10.2), уже не являются идеальномонохроматическими, а в действительности представляют собой тот или иной конечный участок спектра частот 6vn.
В дальнейшем предполагается, что
Mvno«l,	(Ю.4)
где vno — характерная частота для каждого из парциальных колебаний Еп. В качестве vno обычно выбирается частота колебаний на участке 8vn, для которой имеет место максимум интенсивности в спектре. Если выполнено условие (10.4), то получаемые парциальные колебания Еп представляют собой приближенно-монохроматические колебания, или квазимонохроматические колебания, которыми всегда являются реальные монохроматические колебания.
Итак, в выражении (10.3) при выполнении условия (10.4) сформулирована теорема, которая гласит: любую функцию аргумента t можно представить конечной или бесконечной дискретной суммой вида (10.3) с амплитудами и частотами, являющимися функциями аргумента t.
52
Эта теорема является обобщением теоремы Фурье о разложении в дискретный ряд периодических функций, поскольку выражения (10.3) и (10.4) определяют разложение в дискретный ряд непериодических функций. Она может быть в большинстве случаев сужена в том отношении, что парциальные функции Еп могут быть выбраны с постоянными частотами юп, но с амплитудами, зависящими от времени. Физически разложение (10.3) осуществляется спектральными приборами (оптическим спектроскопом, волномером-резонатором и Др.), которые могут выделить из сложного электромагнитного спектра спектральную компоненту, изображаемую функцией Еп- О реальном виде функции Еп будет говориться в разделе об излучении света.
Если условие (10.4) не выполнено, то разложение (10.3) не является целесообразным, так как в этом случае уже бессмысленно говорить о квазимонохроматиче-ских компонентах. Во всех случаях спектральное разложение можно выражать с помощью второй теоремы Фурье о разложении непериодических функций. Она позволяет любой спектр представить в виде непрерывной суммы монохроматических компонент в комплексной записи:
“	I
Е = у g(a)e‘atda, —оо
оо
g (а) = —С Е (0 e~‘atdt, 2л J
—оо
(10.5)
где g(a)da— амплитуды волны (квазимонохромати-ческого излучения) для спектрального интервала, лежащего между частотами и и a + da. Чем меньше спектральный интервал da, тем ближе выбранное излучение к идеально-монохроматическому, но одновременно тем меньше и его амплитуда, а следовательно, и энергия. В предельном случае, когда da—^0, амплитуда g(a)da^>-->0. Это означает, что идеально-монохроматическое излучение (волна) не переносит никакой энергии. Поэтому понятие идеально-монохроматической волны является абстракцией, предельным случаем реальных волн.
53
Если второе выражение (10.5) для g(co) в первое, то будем иметь:
оо	оо
£(^) —_2— J t/ю J Е (а)
— ОО -----00
подставить
(10.6)
Взяв от этого выражения действительную часть, получим интеграл Фурье в действительной форме:
Е (0 =
1
2л
Е (a) cos со (t — а) da.
(Ю.7)
Так как функция, стоящая под знаком интеграла в (10.7), является четной в отношении переменной со, то это интегрирование можно вести в пределах 0, оо, умножив весь интеграл на 2. Тогда будем иметь:
ОО	оо
Е (t) = — С da С Е (a) cos со (t— a) da. (10.7')
•ГС J	J
О	—оо
Изложенные в этом параграфе теоремы позволяют в каждом случае получить спектральное разложение на соответствующие компоненты, т. е. получить спектр излучения. В случае квазимонохроматических волн распределение интенсивности по частотам имеет резко выраженный максимум. На рис. 8 приведено графическое изображение характера спектра при наличии в нем лишь одной квазимонохром этической составляющей. Здесь по горизонтальной оси отложены частоты, по вертикальной — соответствующие интенсивности. Величина 1тп представляет собой максимальную интенсивность в спектре, которая соответствует частоте vn-
Часто в спектре имеется не одна, а несколько и даже большее количество квазимонохроматических компонент. Такой сложный спектр тоже изображают графически, но ради удобства применяют следующий искусственный прием (рис. 9). Вычисляется интегральная интенсивность квазимонохроматической компоненты:
Z„=p(v)dv,	(10.8)
6
54
которая затем в виде пропорционального ей отрезка откладывается вертикально при максимальном значении частоты уп- В этом случае спектр, состоящий из квази-монохроматических компонент, условно изображается совокупностью равного им числа идеально-монохроматических компонент. Три квазимонохроматические компоненты, представленные на рис. 9, а, условно заменены
Рис. 8
Рис. 9
тремя же идеально-монохроматическими компонентами, изображенными на рис. 9,6. Вместо интенсивностей /], 12, /з можно было бы откладывать условные амплитуды, которые следует выбирать пропорциональными У/2, l^2, Уз ит. д. Тогда, если обозначить эти амплитуды соот
ветственно через О], а2, а3, можно квазимонохроматические компоненты, изображенные графически на рис. 9, записать в аналитической форме:
Е± = ar sin 2rtvxy,
Е3 — а2 sin 2л v2£,
(10.9)
Е3 = а3 sin 2jiv3T
Такая запись тем более соответствует физической действительности, чем уже спектр каждой квазимонохромати-ческой компоненты.
55
Наиболее наглядным способом представления конкретного электромагнитного излучения в виде суммы квазимонохроматических составляющих может быть следующий прием. В соответствии с (10.3) электромагнитное поле излучения может быть выражено как сумма синусоидальных компонент с переменными амплитудами типа
sin cnt	(10.10)
п
в интервале времени 0<И<тп (фазы ф„ полагаем равными нулю), где т„ — длительность n-го цуга электромагнитных волн. В остальное время Еп=0, т. е. ап=0. Для переменных амплитуд обычно служат выражения типа
ап«) = ЕпОе 2
(10.11)
где Еп0— постоянная величина. Следовательно, в промежутке времени 0<.£<тга д-я квазимонохроматическая компонента может быть представлена в виде:
Y t
En(t) = EnOe “sinw^,	(10.12)
для t > rn
En(t) = V.
Пользуясь теперь интегралом Фурье (10.5), можно найти истинный спектр этой компоненты разложения:
gn (ю) elat da,
оо
Еп (®) =	( (ЕпОе
J
— оо
(10.13)
2 sin (dnt) e~iat dt.
Если в последней формуле заменить sin &nt с помощью комплексной записи на выражение
sina^ =
ia„t	J
е п — е п
21
56
то получим
о° Г	Т 1	Г	Y 1
/ Ч Епо с ( '(«>„-«>)-----“• (	- '(«„+“)+-у-,,
gn(ti>) === ~^~ Г	2J —е	2 J pt
— 00
Интегрирование в действительности нужно проводить в пределах 0, тя:
gn (“) =
Если а > 0, то (ы„ + м) > (ы;г— со), следовательно, вторым членом в этой формуле можно пренебречь. Кроме того, в первом слагаемом, если только	(и;г — и) Тп,
2л
где Тп =-----, благодаря наличию члена е 2 можно
Ч>П
пренебречь первым членом в числителе. После этого будем иметь:
гя((о)=-^--------!---- .	(10.14)
(а„—а)
Если же со<0, то можно пренебречь первым членом в выражении для gn(co).
Интенсивность в данном участке спектра будет определяться квадратом амплитуды, который может быть получен из (10.14) путем умножения его на комплексносопряженное выражение g* (а):
1 (“) = £„(«) g'n (®) =
Е2 спО
16 л2
(мп — а)2 + g”
(10.15)
1
57
Найденное аналитическое выражение для распределения интенсивности в спектре квазимонохром этических компонент соответствует изображенному на рис. 8 и рис. 9,а распределению интенсивности в квазимонохро-мэтических компонентах электромагнитного поля излучения.
§ 11. Электромагнитное поле как суперпозиция плоских волн
Наряду со спектром электромагнитных волн, который может быть изображен различным образом, как это было показано в предыдущем параграфе, представляется возможным для волн со сложным фронтом производить пространственно-временное разложение электромагнитного поля на дискретную сумму квазиплоских волн или непрерывную сумму идеально-плоских волн, или, наконец, на сумму сферических волн.
Вначале рассмотрим это разложение для простейшего случая, когда электромагнитное поле излучения задано на ограниченной поверхности.
Предположим, что поверхность, на которой задано волновое поле, имеет размер Хо вдоль оси х, а вдоль оси z имеет столь большие размеры по сравнению с длиной световой волны, что их можно считать бесконечно большими в обоих направлениях. Пусть на этой поверхности задано монохроматическое световое поле, которое выражается функцией:
Е' — (е0 + ^sin -^-х"') sin at, (11-1) \	Ь /
где Ео и Ео' не зависят от времени, b —период изменения амплитуды электрического поля световой волны вдоль направления х. При распространении светового поля в направлении оси у (рис. 10; ось z направлена перпендикулярно плоскости чертежа) имеют место дифракционные явления, вследствие чего электромагнитное поле, заданное вначале на поверхности шириной хо, будет расширяться и заполнять все полупространство ниже плоскости (х, О, z). Из элементарной теории дифракции * следует (для случая дифракции Фраунгофе
* См. Г. С. Ландсберг. Оптика, изд. 4. М., ГИТТЛ, 1957.
58
ра), что световое колебание dE, посылаемое в направлении 6 участком поверхности с шириной dx (рис. 10), может быть записано в виде:
dE = Е' dx sin at — — xsin 0
I %
Введем обозначения:
(11.2)
(Н.З)
Тогда выражение для dE перепишется в виде:
dE = Ео sin (ф — (5) dx + cos (ф — а —(5) dx —
-----— cos (Ф 4- а — (3) dx.
(11.4)
Полное колебание, посылаемое в направлении 0 всем отверстием шириной х0, равно:
Е = J dE. о
(П.5)
59
После интегрирования и преобразований имеем
Е — EqXq
лх0 sin 9
sin
Eqxo
2
ЗТ-^Q
X
COS (й/ —
^(sin0 — —\U X \	b ))
Eqxo
2
sin 9 +------
b .
COS
T~
Jt-Vf)
X
(11.6)
Эти результаты можно интерпретировать следующим образом. Электромагнитное поле (11.1), возбужденное на плоской поверхности, распространяется от нее в виде пучков плоских волн, определяемых наличием в первоначальном поле компонентов с постоянным или синусоидальным по фронту распределением амплитуд. Каждой такой первоначальной компоненте поля соответствует своя пространственная непрерывная группа плоских волн с определенным угловым распределением амплитуд и интенсивностей и определенным преимущественным направлением распространения.
Для поля, возникающего от компоненты с постоянной по фронту амплитудой, максимум электромагнитной энергии распространяется в нормальном к поверхности xOz направлении (компонента с амплитудой Ео'). Для приведенного случая две другие соетавляющие, возникшие от компоненты, имеющей синусоидальное распределение поля на исходной поверхности, представляют собой еще две пространственные группы плоских волн, 60
имеющие преимущественные направления распростране-
ния, определяемые соотношениями: sin 0х =— ,
1 Ъ
sin 0„ =------— .
2	Ъ
(И.7)
Угловое распределение амплитуд всех трех групп волн приведено на рис. 11,я. Здесь Е° означает группу
sln82=-j	9-о	sin 9j= j
волн с преимущественным направлением распространения 9 = 0, а £ и Е2— соответственно для направлений 01 и 02, определяемых выражениями (11.7). На рис. 11,6
61
приведены соответствующие угловые распределения интенсивности. Из рис. 11,6 видно, что угловое распределение интенсивностей в каждой такой группе волн напоминает распределение интенсивностей в спектре квазимонохроматических компонент спектрального разложения. Поэтому каждую такую непрерывную группу плоских волн, например, группу с преимущественным направлением распространения 9, можно принять за квазиплос-кую волну, идущую в направлении распространения, определяемом условиями (11.7). Главная часть энергии этой квазиплоской волны идет в угловом интервале, заключенном между двумя первыми нулями главного максимума распределения энергии. Соответствующая угловая ширина главного максимума для группы волн /° находится из условия для первых минимумов в распределении интенсивности:
Юо sin 0О _ ।
X ~	’
откуда
sin0o=±—~(11.8) Хо
Если соблюдается соотношение
Х«х0,	(11.9)
то sin 9о можно заменить на Оо и тогда
0о= ± —,	(Н-10)
а угловая ширина главного максимума в распределении интенсивности будет
20о = ~—
(П-11)
Ширина каждого из главных максимумов для Р и I2 определится соответственно из условий:
---- sin 0 4----= + л,
X	(	Ь /	“
/sin	е —	А') =	+
х	ь)	~
62
С учетом (11.7) в обоих случаях будем иметь:
sin 0 — sin Эх =--= + — , Л'о
sin 9 — sin 92 = + -	к Хо
или после преобразований получим	
0_01	0 + ех 2 sin		 cos ——- =	+ —
2	2	Хо
0 — 0	0+0	
2 sin	- COS		- =	+ —
2	2	Хо
Учитывая (11.9), можно положить	
о . 0	0х п „ 2 sin		 ^9 — 0, = 2	1	Д0Х,
2sin—-^О — 02 = 2	2	Д02,
0 + 91		, Q . 9 + 02		, 2	х’	2	02,
тогда	
2Д9Х =	,	
х0 cos 0Х	
2Д02 =			 .	
х0 cos 02	
(11.12)
Абсолютные величины 9j и 9г равны, поэтому Д91 = Л92.
Таким образом, для групп волн 71 и /2 также соблюдается положение, что максимальная энергия групп распространяется в очень узких угловых интервалах 2Д91 и 2Д02. Если ширина площадки Хо, на которой задано световое поле, увеличивается так, что
А_^о,	(11.13)
ТО
29О—>0, 2Д0Х — 0, 2Д0а—>0.	(И-14)
Если ширина площадки, на которой задано световое поле, много больше длины волны, то с большой степенью приближения можно считать, что происходит рас
63
пространение энергии в дискретных направлениях 0 = 0, 0 = 01 и 0 = 02. В этом случае можно считать, что имеет место распространение трех плоских волн в указанных выше направлениях.
Из выражений (11.7) следует, что для направлений 0Х и 02 фазы - ( sin 0---и (sin 0 -]—— рав-
X \	b J л \	b J
ны нулю.
Рассмотрим теперь пространственную конфигурацию поля излучения, даваемого только компонентами Е1 и Е2, так как конфигурация поля от Е° не требует пояснений. Плоские волны, распространяющиеся под углами 0j и 02 к плоскости yz, могут быть записаны выражениями:
Ei = E0lcos {a>t — k (х sin 0Х + г/cos 0I)},	1	1115
Е2 = —E^coi, {со/ — A(xsin02 +pcos02)}. J
Так как 02 = —0Х = —0, то, учитывая, что в данном случае Е01 — Е02 = £00, можем написать:
Ег = Е00 cos {со/ — /г (х sin 0 4-c/cos 0)1, i
£2 = —Е00 cos {со/ — /г(—х sin 0 у cos 0)}. J
Суммарная волна Е12 = Е1-\- Е2, т. е.
~-xsin 0^ sin (со/—-^-z/cos0^. (11.16)
Так как sin 0 = -— , то (11.16) можно написать в виде:
12
Е12 = 2£00 sin
z/cos0). (11.17)
Итак, суммарная волна представляет собой также плоскую волну, но с модулированной по фронту волны амплитудой. Эта волна распространяется вдоль оси у с фазовой скоростью
с
v =---------,
cos 0
(11.18)
т. е. со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Характер электромагнитного поля ниже излучающей плоскости xOz имеет при этом вид, изображенный
64
на рис. 12,а. Электромагнитная энергия течет между плоскостями yz, проходящими через точки:
х =0, ±  ------— , + —-— , ± —---------— , .. .
2 sin 0	sin 0	2 sin 0
Учитывая равенство 2i/sin0 = &, эту последовательность можно переписать в следующем виде:
х = 0,+ — Ь, + Ь, ± ——Ь ...
2	2
Если в этих местах поставить идеально-проводящие плоскости, то не произойдет никаких изменений в структуре электромагнитного поля. Такая система представляет собой волноводную систему, или волновод.
На рис. 12,6 в качестве иллюстрации к приведенной теории изображено ультразвуковое поле излучения, возбуждаемое пьезокварцем, на поверхности которого происходят механические колебания с периодическим распределением амплитуд. Из рисунка видно, что ультразвуковое поле излучения имеет характер, схематически изображенный на рис. 12, а. Однако поскольку распре
3 Ф. А. Королев	65
Деление амплитуд колебаний на поверхности кварца из-за небольших неоднородностей не строго синусоидально, отдельные участки поля излучения несколько различаются по интенсивности. Кроме того, на рис. 12,6 видно затухание поля излучения, что обусловлено наличием поглощения в воздухе, в котором распространяется ультразвук. Из сравнения рис. 12,а и 12,6 следует, что геометрическая конфигурация поля излучения, получаемая экспериментально (рис. 12,5), подтверждает теорию (рис. 12,а), развитую в этом параграфе.
Потоки электромагнитных волн, ограниченные плоскостями Xi, х2, ..., сдвинуты по фазе на 180°. Величина b соответствует значению Ь, приведенному в выражениях (Н.1), (П.З), (П.6), (11.7) и (11.17). Ее часто называют постоянной решетки (синусоидальной решетки) или постоянной структуры электромагнитного поля.
Если на расстоянии по оси у, кратном X/cos 0, поставить перпендикулярно оси у идеально-отражающую поверхность, то появится отраженная волна, точно такая же, как и (11.17), но идущая в сторону отрицательных у. Вследствие этого в волноводе установятся стоячие волны.
Отраженная волна будет иметь структуру:
£12 = — 2£°° sin (sin (at +	соя 0
\ Ь /	\ X
(11.19)
Установившиеся стоячие волны запишутся уравнением
£12---£12 + £|2 —
= — 4£00 sin sin cos 6^ cos (Н -20)
Волны такого типа характерны для открытых резонаторов, широко применяемых в настоящее время в когерентной оптике.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда плоские волны распространяются в полностью замкнутом параллелепипеде (рис. 13), внутренние стенки которого будем считать идеально-отражающими.
66
Направим оси координат х, у, z вдоль ребер параллелепипеда, длины которых обозначим через Lx, Ly, Lz. Пусть плоская волна {АВС, А'В'С',...) распространяется внутри параллелепипеда так, что направление волнового вектора k образует с осями х, у, z углы а, р, у. Волновые поверхности АВС, А'В'С', ... отстоят друг от
друга на одну длину волны X. Они отсекают на ребрах куба отрезки bx, by, bz, которые определятся выражениями:
X cos а
X
COS Р
(11-21)
В параллелепипеде может установиться система трехмерных стоячих волн при условии, что
3*	67
h ь.
Ly
иУ
— =пг, Ьг

где пх, пу, nz — целые числа.
В таких обозначениях волна писана в виде:
Е]2 = — 4Е00 sin	х\ sjn ( _
\ Lx /	\
(11.22)
(11.20) может быть за-
(11.23)

где величина b заменена на Ьх, а величина cos ОД — на \/Ьу в соответствии с (11.21).
В качестве решения волнового уравнения (5.5) для замкнутого параллелепипеда с идеально-отражающими стенками может служить система:
Ех	— Ех0	cos	< 2/цл < Lx	X	sin |	/• 2пуЛ ч Ly	-у)	sin |	' 2nzx	5	sin (oZ,
									ч Lz		
Е	— Е	sin (	' 2пхл	X	cos |	2пул		sin /	2nzn,		sin <s>t,
‘-‘у	^уо		ч Lx			< Ly	i/ )		Lz		
Е?	— Е „	sin(	' 2пхл	X	sin I	2пуя		cos (	2nzx	z j	sin (at.
			< Lx			Ly			Lz		
(11.24)
Подставляя (11.24) в волновое уравнение (например, Ех—в первое уравнение (5.7)), получаем
(11.25)
Если Lx=Ly = Lz = L, т. е. параллелепипед представляет собой куб, то из выражения (11.25) следует, что
V “ у	(Н.26)
Следовательно, каждой тройке чисел пх, пу, nz соответствует определенная частота v(nx, пу, nz), которую обозначим vn и соответственно циклическую частоту ®п.
68
Волновое число & —2л/Л. связано с v выражением: k=2m/c, и поэтому на основании (11.26) можно записать:
k =	=	„2 + „2	(Ц .27)
Компоненты волнового вектора k, соответствующего частоте со„, по осям х, у и z будут иметь вид:
,	2лл,. 1
кг =-----— .
х L
kv = ^-, }	(11.28)
h  2^nz
Следовательно, система (11.24) может быть записана в виде:
Ех = Ех0 cos (kxx) sin (/?(/у) sin (kzz) sin at, Ey = Ey0 sin (kxx) cos (kyy) sin (/ггг) sin at, Ez = Ег0 sin (kxx) sin (kyy) cos (kzz) sin at.
(11.29)
В более общем виде решение волнового уравнения
(5.5) запишется как
£ = 2	+Же 1^-(Г?)]}. (11.30)
k
Выражение в фигурных скобках представляет собой запись в комплексной форме волны, бегущей в направ-—> ->
лении, определяемом k и г. Если взять противоположное направление k, т. е. —k, то выражение в фигурных скобках дает бегущую волну в противоположном направлении. Сумма их определяет трехмерную стоячую волну с частотой ак и волновым вектором, равным по абсолютной величине |£| . Суммирование по всем k дает полную совокупность бегущих или стоячих волн.
В приведенном разложении фигурируют частоты со знаками «плюс» и «минус». Частота со знаком «минус» означает сдвиг колебаний по фазе на л по сравнению с
69
колебанием, имеющим частоту со знаком «плюс». Для единообразия обозначение циклической частоты соп заменим на сод, чтобы показать, что она соответствует волновому вектору k.
Здесь было рассмотрено только поле Е. Для одновременного описания полей Е и Н целесообразно воспользоваться вектором-потенциалом А [см. (5.23) и (5.24)] и решить уравнение (5.27).
Это решение можно записать в комплексной форме следующим образом:
Ш.31) k
где (о/? — циклическая частота волны, соответствующая данному значению волнового вектора k. Суммирование производится по всем возможным значениям вектора k, компоненты которого определяются выражениями (11.28).
Так как div 4 = 0, то
(Г-Д)-о,	(11.32)
т. е. векторы Ак ортогональны волновому вектору k, что соответствует поперечности световых волн.
Векторы
->	—i^t
ak = Ake
*	-> * /со
ak = Ake
(11.33)
удовлетворяют дифференциальному уравнению гармонического осциллятора
Oj. T =	01 ‘34)
Значит, совокупность плоских электромагнитных волн, представленных рядом (11.31), можно рассматривать как систему радиационных осцилляторов, напол-
70
няющих полость куба. После введения обозначений (11.33) для А можем записать выражение
A = 2i(ake + а^е )• k
(11.35)
Каждому числу k{kx, ky, kz) соответствует радиационный осциллятор. Полагая размеры полости куба достаточно большими, можно говорить о числе радиационных осцилляторов, лежащих в интервале изменений kx, ky, kz, равном произведению AkxAkyAkz. В самом деле, возьмем систему прямоугольных координат пх, nv, nz, где каждой тройке чисел пх, пу, nz будут соответствовать одно определенное по частоте колебание и определенный волновой вектор. Изменяя значения пх, пу, nz на целые числа, будем изменять на столько же. число радиационных осцилляторов, т. е. каждому колебанию в пространстве пх, пу, nz будет соответствовать определенная точка. Число этих точек в интервалах пх и пх + Апх, пу и пу + Апу, nz и nz + + Anz будет равно произведению
An = АпхАпуАпг.
Из (11.28) следует, что
L3
Ап = AnvAn,.Anz =--------AkrAkuAkz.
х у (2л)3 х у г
(11.36)
(11.37)
Число Ап представляет собой элемент объема в пространстве пх, пу, nz. Равным образом произведение AkxAkyAkz определяет элемент объема в пространстве kx, ky, kz. Выражая его через сферические координаты в пространстве векторов k, будем иметь
Afe AZ> Akz — /г2А/гАЙ,
где k = ]/k2x + k2y + k2.,
й —телесный угол.
Подставляя полученное выражение в (11.37), находим
An =	k2/\kАЙ.	(11.38)
(2л)3
Так как & = 2nv/c, L3 = V — объем куба, то
Дп = —v2AvAfi.	(11.39)
с3
71
Для всего пространства изменений пх, пу, пг, т. е. в интервале их изменений от —оо до + оо, полная величина изменения Ай будет равна 4л, а полное число радиационных осцилляторов в интервале изменений частоты v и v + Av равно
. 4jtVv2 .
An =-----------Av.
с3
(11.40)
Число радиационных осцилляторов заданной поляризации в единице объема в телесном угле Ай изменений k будет
Ап = ^^АЙ.	(11.41)
с3
В телесном угле в 1 стерадиан число радиационных осцилляторов в единице объема
Ап —
v2Av
с3
(11.42)
С учетом двух направлений поляризации формула (11.40) приобретает вид:
	An = .8nVv8.Av.	(Ц.43) c3
Соответственно дифференциальная формула (11.41) sa-
пишется в виде:	An = -2v2A-- ДЙ,	(11.44) c3
il, наконец, формула (11.42) перепишется как
2v2Av с3
(11.45)
Ап =
Изложенная выше теория позволяет найти энергию, импульс и момент количества движения электромагнитного поля через величины а-,. и a*k , характеризующие радиационные осцилляторы.
Полная энергия (в случае вакуума) определяется соотношением
И? = — f (£2 + #2)<ПЛ
8л: J
v
72
Напряженность поля Е с учетом (11.35) будет равна: k
Поскольку из (11.33) следует, что
ak = — i^kAke = — iook2k,
—>*	Zto.7 ,	—»*
а& = 4«ЛД/ге f = t^j-CLk,
то для напряженности электрического поля Е получим
Е = i k {ake‘ {k'r} — а.1ге~‘<-к'г)}.	(11.46)
k
Для магнитного поля из соотношения И = [\/Д] следует
Н = 1	е'(/г'Л) —	(11.47)
/г
При вычислении квадратов Е2 и И2 интегрирование их по объему приведет 'к тому, что все члены, содержащие произведения с разными значениями волновых векторов, дадут нуль, так как на границах объема эти выражения обратятся в нуль.
Так например,
J j' J /г2 (ака/г') е‘^к г,+(/г z) dxdydz = ООО
L L L
= k~ (akak‘) f J е1'^+к )r^ dxdydz, boo
Тройной интеграл можно вычислять как произведение трех интегралов, т. е.
р	с £t'kidt'kv,y J С Д*2+*г*2 ,
е х х dx е Л/ dy е dz.
ООО
73
Для координаты х
'	2 тг
где Nx — целое число, и поэтому г  L I X J е L dx = 0. 6
L MNV
Таким же образом равны нулю и интегралы Г е L dy
, inN.	J
и J e L dz.
о
Аналогичное положение имеет место и со всеми членами, в которых экспоненциальные множители содержат члены e±2l<kr\ а члены, представляющие произведения комплексно-сопряженных величин, в результате интегрирования по объему будут содержать произведения комплексно-сопряженных амплитуд, умноженных на объем, т. е.
~y>{2k2aka^2[kak][kal]}.	(11.48)
k
Произведение [k-ak] [k-ak\ = A2 (ak-аь) и значит полное выражение для энергии будет иметь вид:
W = ~y.k\2k.Z).	(11.48')
k
Для квантово-механических приложений это выражение более целесообразно записывать в виде:
й7 = У k2 (а1г- ak Д- ak-ak).	(11.49)
k
Полный импульс поля будет равен:
G =—— Г [E-H]dV.
4лс J
V
74
Вычисления, аналогичные тем, которые были выполнены для энергии, дают выражение
8 = ^	+Н[Г-МЬ (11.50)
а
Вычисляя значения векторных произведений, получаем
2ЛС
k
ИЛИ
G = -^—УА = V — -Ж (11.51')
2лс k	k с
k	k
где
Wk — —— k2 (ak-ak).
Момент количества движения поля равен:
Z = —Г— Г [E-AJdV.
4лс .) v
Подставляя сюда значения Е из (11.46) и
(11.31), будем иметь:
L --=	{[ак-ак] — [ак-ак]}.
k
Для классических соотношений
[ak-ak] = -[ак-ак]. Следовательно,
L = -— У , Ik [ak-ak].
А из
(11.52)
(11.53)
k
Найденные выражения для энергии, импульса и момента количества движения электромагнитного поля, в которые входят значения для совокупности радиационных осцилляторов, важны для квантования электромагнитного поля.
75
Чтобы найти еще большее соответствие между совокупностью плоских волн и совокупностью соответствующих им радиационных осцилляторов, введем канонические переменные — координату q^ и импульс pk, связанные с переменными а* и а* соотношениями:
Qk = а (ak + a'k),
'Рк=Чь = -~ laka (ak -ak),
(11.54)
где a—некоторая константа для установления необходимого соответствия между рк и qk как канонически сопряженными величинами. Заменим в выражении для энергии ak и aZ через <?/; и р1г:
W=——V	+	(11.55)
4лс2а3 Zj \ 2	1	2 /
Чтобы это выражение соответствовало энергии совокупности осцилляторов, множитель перед знаком суммы должен быть равен единице, т. е.
С1-56»
Тогда
(11.57
k
Используя гамильтоновые уравнения движения аг Pk =--------------------------ZT-
dqk	I
dPk ’ получаем дифференциальное уравнение движения
q Ч~ — О,	(11.59)
(11.58)
т. е. уравнение движения свободных колебаний осциллятора в его классической форме. Осцилляторная форма уравнений движения и форма гамильтониана (11.57) дают возможность непосредственно перейти к квантованию поля излучения.
Глава 2
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВЕТА В ВАКУУМЕ
§ 12, Фотоны и их свойства
Представление о световых процессах как движении частиц — квантов, подтверждается большим числом явлений — фотоэффект, эффект Комптона, эффекты порождения пар и аннигиляции, явления фотохимии, испускание рентгеновых лучей и др. Во всех этих явлениях происходят процессы так, как если бы световая энергия была сосредоточена в частицах — квантах, взаимодействующих с веществом.
В основе квантовой теории света лежит формула Планка, связывающая энергию W светового кванта — фотона и частоту электромагнитных колебаний v световой волны, которая соответствует фотонам с заданной энергией:
IF = Av,
(12-1)
где А = 6,62-10~27 эрг - сек представляет собой постоянную Планка.
Соотношение между энергией и массой (IF=mc2) позволяет определить массу фотона. Действительно, используя это соотношение и формулу для энергии фотона, получаем
tn =
hv
(12-2)
77
Принято говорить, что фотон нё имеет массы покой, а обладает исключительно массой движения, хотя такое понимание массы фотона лишено всякого смысла, поскольку он вообще не существует без поступательного движения.
Наличие массы у фотона позволяет сделать предположение, что в общем фотоны обладают большинством тех же свойств, какими обладают частицы с так называемой массой покоя, — импульсом (количеством движения) и моментом количества движения. Поскольку количество движения, переносимое в 1 сек. световым потоком через 1 см2, дается выражением (9.16) и это количество движения переносится согласно квантовой гипотезе фотонами, число которых положим равным N, то, обозначив импульс одного фотона через рф, найдем
с
Для | 5 | можно также записать
| S | = Nhv.
(12.3)
Сопоставляя оба выражения, получаем, что импульс фотона
hv
РФ с
(12.4)
Момент количества движения фотона, или спин фотона, находится из сравнения момента вращения, создаваемого световой волной, с суммарным моментом количества движения фотонов, содержащихся в световом потоке. Так, момент количества движения, передаваемый поляризованной по кругу световой волной в 1 сек поглощающей площадке в 1 см2, определяется выражением (9.27') • Если этот момент количества движения переносится N фотонами с моментами количества движения, ориентированными вдоль направления распространения света, то
Ц = Л7Ф
(12.5)
78
где 1ф — момент количества движения фотона. Из сопоставления формул (9.27'), (12.3) и (12.5) следует, что
=	(12.6)
Из приведенных в этом параграфе формул для энергии, массы, количества движения и момента количества движения фотона видно, что если первые три величины объединяют волновые и корпускулярные характеристики света, то частота колебаний v есть лишь типично волновая характеристика. Однако, как следует из формулы (12.6), в выражение для момента количества движения фотона частота не входит совсем—оно является одинаковым для всех фотонов без исключения. Поэтому типично корпускулярной характеристикой света является именно спин фотона.
Наличие у фотона момента количества движения (спина) характеризует его как векторную частицу и тем самым накладывает отпечаток на всю структуру электромагнитного поля, которое имеет векторный характер.
Опыт показывает, что фотоны не имеют электрического заряда, электрического дипольного момента, магнитного момента, а время жизни фотона без взаимодействия с веществом следует считать бесконечным, т. е. фотон можно считать устойчивой частицей *, обладающей свойствами, приведенными в табл. 1.
Итак, электромагнитное поле есть поле фотонное, корпускулярное. Современная физика элементарных частиц установила, что все поля, которые раньше пони-
* Это утверждение требует существенных пояснений. Наблюдение удаленных космических объектов показывает, что спектральные линии излучаемого ими света смещены в красную сторону, т. е. им соответствует меньшая частота нежели таким же излучениям на Земле. Это уменьшение частоты с увеличением расстояния источника их от Земли, а вернее с увеличением длительности жизни фотонов, одновременно означает уменьшение энергии, массы и импульса фотона. Считается, что красное смещение обусловлено Допплер-эффектом и объясняется «разбеганием» галактик, расширением Вселенной, хотя вряд ли это представление соответствует действительности. Скорее можно это смещение понимать как своеобразный постепенный распад фотона, происходящий либо спонтанно (самопроизвольно), либо под влиянием взаимодействия с межзвездной средой, полем гравитации или, наконец, с дираковским электронно-позитронным вакуумом.
79
Таблица
	1 «
	
£ н S U >>	1 ©
2 >>	
СУ о 5 о °	со
л	II
К 5	8
2 га	II
Д S	
®=а а	II
га a g	•&
S S	zC
=а	
а =а £ н	О
о. я = а о 5 2	1Г
0) 2 о	•&
ч ? 5 s	«У
>а	
а	
о	
Ф нг ЙГ S s а	II
	•&
£ га	
Ч	
CD	
?; га К	•«|<й
	II
1 а а а е а	е
а о к а а	
О	
	
	>52
к	
а	II
су о	•&
а CD	
1 0 а	С I u
« а и ь ± а о ft	
	1) •&
„2 0 W-	Ci.
га	1
и	>52 1
га	II
	•&
	5
мали как сугубо непрерывные субстанции, являются полями тех или иных частиц, полями, в которых амплитуды волн могут быть выражены через число частиц.
§ 13. Квантование поля излучения
Фотонная структура электромагнитного поля обусловливает целый ряд новых свойств, которые не описываются целиком максвелловской электромагнитной теорией света. Тем не менее единство волновой и корпускулярной природы света является не внешним феноменологическим свойством электромагнитного поля, а органическим, отражающим внутренне присущее ему свойство. Однако до сих пор остается совершенно неясным «механизм» этой двойственной природы света, неизвестны элементарные процессы распространения фотонов в пространстве и взаимодействия их с другими частицами. Все это связано с тем, что пока еще остается нераскрытой структура фотона как частицы.
Квантование электромагнитного поля, сопоставление свойств света как потока электромагнитных волн и как потока частиц наиболее естественно начать, рассматривая энергию электромагнитного поля с волновой и корпускулярной точек зрения. Сравнение
80
обеих концепций выражает собой так называемый принцип соответствия.
На основе волновой теории электромагнитная энергия может быть представлена в виде (см. 11.48'):
№ = ^У/(аД	(13.1)
k
где k — волновое число й-й электромагнитной волны; ah и' ak — компоненты вектора-потенциала поля.
Но можно также выразить эту энергию через энергию фотонов в виде:
=	(13-2)
k
где Nh — число фотонов, соответствующее волновому числу й; Йсщ— энергия фотона этого сорта; Й =h)2n. Приравнивая (13.1) и (13.2) с учетом (11.33), получаем
АкАк = АкАк = акак = акак =—(13-3) kv
Значит абсолютное значение амплитуды, равное |Л4|, определится выражением
=	^--Ж,	(13.4)
а амплитуда волнового поля, соответствующего одному фотону, равна:
(13-5)
Lt	у	rC
где L — линейный размер ребра куба, в котором заключено электромагнитное излучение. Так как в выражении для модуля амплитуды (13.4), кроме Мк, все остальные величины постоянны, то будем теперь амплитуду электромагнитного поля характеризовать пропорциональной ей величиной
\gk\ = VNk
(13.6)
8)
Следовательно, для | Ak | можно написать:
141 =
1
2л he ,	,
Ы-k
(13.7)
Из выражения (13.4) следует, что амплитуды электромагнитного поля при изменении числа фотонов меняются скачками, прерывным образом, и в отличие от классических представлений полное электромагнитное поле, которое изображалось рядом (11.31) с учетом квантовых амплитуд (13.7), можно представить как:
7- -дт- S ]/+
k
+ ^ЛНИ]},	(13.8)
где величины Ak и X, ak и а\ заменены выражениями:
соответственно
1
(13.9)
a'k ~-=
1
(13.9')
Однако здесь еще нет квантования поля в полном смысле. Чтобы это сделать, необходимо амплитуды электромагнитного поля подчинить соответствующим квантовым условиям, которые определяются соотношениями коммутативности или иначе перестановочными соотношениями для канонических переменных q и р или их компонент qn и р^. Эти соотношения согласно законам квантовой механики имеют вид:
i Pk—P/? i=fa
(13.10)
82
Йодстайляя сюда выражения Для qk И рк из (11.54) й представляя их как операторы, получаем
~2^ (ак "ak — a'k ak) =	(13.11)
где ak и ей — уже не просто числа, а некоммутирующие операторы, действующие на функцию числа фотонов. Операторы амплитуд ак и ak можно заменить операторами
координат и импульсов, если воспользоваться соотношениями 111.54). Тогда
(13.11')
и соответствующие операторы запишутся как:
•з 1 /? ft	д \
= 2а + V ~~dcq!~ J ’
1	Л	д \
ак = 2а	““dqT)'
1 Г v о где а = 1/ ------- . Заменяя в
V 4яс2
(13.11")
формуле (13.1 Г) ак и a*k
их выражениями из (13.9') в операторной форме и имея в виду, что L3 = V, получаем
откуда
gk gk—gkgk^\,
gk~gk = \ + gk gk.
(13.12)
(13.12')
Формулы (13.12) и (13.12') представляют собой перестановочные соотношения для квантованных амплитуд электромагнитного поля, которым можно удовлетворить, если согласно (13.6) положить, что
83
Где Nh — число фотонов, соответствующих радиационному осциллятору с волновым вектором k. Величина Nh в данном случае является собственным значением оператора g*kgk, а величина l+Nk — собственным значением оператора gk g"k .
Определим собственные функции, удовлетворяющие операторам амплитуд g<, и g“k . Для этого воспользуемся явным представлением операторов амплитуд через их выражения канонически сопряженными величинами (13.11") с учетом, что
5= ДЛД	(13.14)
ak = ar at. . — * -» ->♦ где ak и аь — скалярные значения компонент ak и ak', аг — единичный вектор компонент вектора-потенциала.
Используя (13.9') и учитывая (13.13) для произведения операторов ak и ak, получаем —	1	I	2л he	\	Л	-*	1	/	2 л ti с	\	,.	,	, .	,
ak	ak =	——	—-— }gk	gk = —— ( ——	)	1	+ AZJ,
L3	\	k	J	L3	\	k	/
—	1	/	2л h c	\	1	/	2л h c	\	, r
ak ak =	— git gk = —- —t— Nk-
L6	\	к	J	LF	\	R	J
(13.15)
Заменяя ak и dk выражениями (13.1 Г'), будем иметь:
1 Л' fl д \	. А с* \ ________ '2.Л/1С
(2а)з	coft dqk / V * ak dqk / kV k
Преобразуя эти выражения и складывая, находим
/ да	<4	Л	И
Я ’=-(2Л^ + 1)-/.	(13.17)
\ dqk	п	/	1
или
(	(9^	C01L Г)	Ц/ L I
А--------7Г^+ (2^+1)-^- =0, (13.17')
[ dq2k	j
где W}, = hvk — энергия одного фотона.
Это операторное уравнение эквивалентно уравнению Шредингера для гармонического осциллятора, имеющему вид:
[ аз	со? ,	w'k 1
-------~ql + (Wk + l)	~Ьр (%) = 0. (13.18)
I d4k	й	h J
Решение этого уравнения дается функциями вида*:
= (тгИ	,13J9>
где
,	«.	N, f 2 ЯЛ'/г е~
HNi aj = (- 1)	е----.	(13.20)
\	df*
Функция HN есть полином Эрмита, где v k
Таким образом, связь между координатами и импульсами радиационного осциллятора и числом фотонов выражается очень сложной функцией состояния
* См. А. А. Соколов, Ю. М. Лоскутов, И. М. Тернов. Квантовая механика, М., Учпедгиз, 1962.
85
Применяй к функции ф
Nk
операторы электромагнитного
поля ak и ak, можно показать, что

(13.22)
В результате умножения функции состояния радиационного осциллятора на оператор ak получаем функцию состояния с числом фотонов, меньшим на единицу Наоборот, умножение на ак приводит к состоянию с числом фотонов, большим на единицу. Следовательно, операция умножения на ak соответствует уничтожению фотонов, или их поглощению, а операция умножения на ак— рождению фотонов, т. е. их излучению.
Если теперь перейти к амплитудам g^n gk, то можно написать для этих операторов:
£ tv, = VNk ^Nk-\ ; gk gk^Nk = (1 + Nk) ф^;
Й tv, =	tv,+i;	Sk Ф^ = АГ, ф^
или в операторном выражении
gk = VW 1 Sk gk = 1 +	1
gk = VNk + 1; gkgk=Nk. (
Итак, для операторов вектора-потенциала с порождением и поглощением частиц будем иметь:
л=-^У V
(13.25)
86
где А* — оператор вектора-потенциала для излучения фотонов; А — оператор вектора-потенциала для поглощения фотонов; а,— единичный вектор-потенциал. Из (13.25) видно, что электромагнитные поля для излучения и поглощения сдвинуты по фазе на л.
§ 14. Энергия, импульс и момент импульса (количества движения) квантованного электромагнитного поля
Результаты предыдущего параграфа позволяют найти выражения для величин энергии, импульса и момента импульса электромагнитного поля с учетом его фотонной структуры. Рассмотрим энергетические соотношения. Подставим из выражения (13.9') соответствующие величины в формулу (11.49) для энергии и учтем (13.12'), тогда будем иметь:
Scй k Д»Д
— (2^^ + 1).	(14.1)
k
Заменяя операторы gk gk и gk g*k их собственными значениями по формулам (13.13), записываем выражение для энергии
^=2^(4+4-)-	(14.2)
k
Энергия одной из компонент электромагнитного поля равна:
Wk=chk^Nk+±-y	(14.3)
Энергия
UZ0 = V^A	(14.4)
k
представляет собой так называемую нулевую энергию электромагнитного поля, когда реальные фотоны отсутствуют, т. е. когда Nh = (). Энергия Wo выражает энергию электромагнитных колебаний фотонного вакуума, т. е.
87
поля, обусловленного порождением и поглощением виртуальных фотонов, которые не распространяются в окружающем пространстве.
Итак, в формулу для энергии поля входит число фотонов, соответствующих каждой данной компоненте электромагнитного поля с волновым вектором k.
Однако найденным выражениям можно придать другое толкование и соответственно несколько другой физический смысл. В случае если фотоны данного сорта Уй отсутствуют вообще, то это означает, что в данном объеме осциллятор k не возбужден. Имеются только нулевые колебания, обусловленные виртуальным порождением и обратным поглощением фотонов, а свободные фотоны не порождаются. Прибавление фотонов Nk=\, Nk = 2, Мг = 3, ... можно трактовать как возбуждение k-vo осциллятора на уровень энергии соответственно с квантовыми числами осциллятора щ.= 1, щ = 2, щ = 3, ... , оо. Соответственно энергия, которая запасена осциллятором, будет выражена уже не через числа фотонов данного сорта, а через квантовые числа vk возбужденного состояния осциллятора, которые равны числу фотонов. Это возбуждение можно понимать как возбуждение фотонного вакуума. Следовательно, можно записать, что энергия возбужденного состояния вакуума в заданном объеме равна:
W = У cHk(vk-V	(14.5)
\	2 J
k
где vk = 0, 1, 2, 3, . . . , оо.
Переход из одного квантового состояния vh в другое соответствует испусканию или поглощению фотона. Следовательно, в поле излучения фотоны могут быть и в виде возбужденного состояния вакуума и в виде частиц. Число vk может изменяться на ±1, т. е.
Дий=±1,	(14.6)
что соответствует порождению или поглощению одного фотона. Однако возможны случаи, когда] Дий|>1.
Такое рассмотрение дает известное разъяснение корпускулярно-волновому дуализму электромагнитного по-88
ля. Если в каком-либо замкнутом объеме И имеется электромагнитное поле излучения с волновым вектором k, то это поле может изменяться путем передачи ему излучающей системой фотонов или при поглощении фотонов каким-либо телом. Прибавление каждого фотона или его поглощение меняет скачком амплитуды электромагнитного поля. Если энергия поля велика, то скачки амплитуд при прибавлении одного фотона невелики и практически можно считать, что амплитуды поля меняются непрерывно. Однако, когда энергия поля мала, скачки (флуктуации) электромагнитного поля становятся очень заметными, выявляя тем самым прерывную структуру излучения.
Но, изменяя непрерывным образом объем, занимаемый полем излучения, можно менять непрерывно амплитуды электромагнитного поля. Таким образом, электромагнитное (фотонное) поле излучения обладает одновременно свойствами прерывности и непрерывности.
Выражение (11.50) определяет импульс электромагнитного поля, наполняющего объем V, через гармонические компоненты электромагнитного поля:
=	= Х1.k {[1/, [1-фД + |ф*
4л с
и после преобразований приобретает вид:
G =	{(ak-al) + (al-'ak)}.	(14.7)
4 Л С жяяж k
Далее, заменяя ak и al через выражения (13.9') и представляя их как операторы, будем иметь:
G =	{(£*•£*)+ (£*•?*)}•	(14.8)
Учитывая собственные значения (gk-gl) и (gl-gk), даваемые формулами (13.13), можем записать:
k
(14.9)
89
Ввиду -Того, что k принимает положительные и отрицательные значения, имеем
h k
k
= 0.
(14.10)
2
Следовательно, полный импульс электромагнитного поля равен:
k
(14.11)
откуда импульс одной частицы — фотона
p^ = hk.
(14.12)
Таким образом, полученная ранее элементарная формула (12.4) подтверждена и при более строгом рассмотрении.
До сих пор не обращалось внимания на то, что фотоны обладают моментом количества движения I, который определяет поляризационное состояние электромагнитного поля. Чтобы учесть спиновый характер электромагнитного поля, представим величины а& и a*k через компоненты с различными спиновыми состояниями, из которых одно спиновое состояние будет соответствовать ориентации спина фотона параллельно движению фотона (правая круговая поляризация), другое — ориентации спина антипараллельно направлению движения (левая круговая поляризация). В соответствии с этим амплитуды gk и g*k могут быть .представлены через амплитуды различных спиновых состояний следующим образом:
~ i=i ~
Sk аы Skf
i=-i
(14.13)
где gu — амплитуда, определяющая вероятное число частиц в состоянии с импульсом k и ориентацией /= 1 или 1=—1.
90
В случае одного фотона gm характеризует вероятность пребывания фотона с импульсом k в состоянии I. Величину ат можно представить соотношением
«« =	Fl), (14.14)
V
где р— единичный вектор, перпендикулярный направлению движения фотона; k0— единичный волновой вектор.
Таким образом, круговая поляризация здесь представлена через сумму двух линейных поляризаций.
Подставим в формулу (11.52) для L значения амплитуд ak и а* из (13.9'):
=	(14.15)
k
а вместо gk и g*k—их выражения из (14.13) и заменим ak,i его выражением из (14.14). После обычных преобразований получим
£ = £ М {ill gk,\ — gk,-igk,-i},	(14.16)
/г
где g*,i и gk,i — амплитуды, соответствующие фотонам со спином, направленным параллельно волновому вектору А; gk, -I и gk, - ;—то же, со спином фотона, антипараллель-ным вектору k.
Для произведений g^ gk,i и gk,-\ gk,-i с учетом (13.13) можно написать:
gk,\ gk,i ^k,ii	|	(14 17)
gk, -i gk,-i — 1 + АД-1, J
где Nk,i — число фотонов, соответствующих волновому вектору k и имеющих спин, параллельный /г; Nk_i — число фотонов, соответствующих тому же волновому вектору k, но имеющих спин, антипараллельный вектору k.
91
Итак,
1 =	(14.18)
k
Но
Д>=£М> = 0,	(14.19)
k
так как k0 (единичный волновой вектор) имеет и положительное, и отрицательное направление. Следовательно, момент количества движения светового потока окончательно выражается формулой
£ = £йШ,1~ЛЫ-	(14.20)
k
Для одного фотона момент количества движения равен:
4 =	(14.21)
Таким образом, полный момент количества движения светового потока алгебраически складывается из спиновых моментов отдельных фотонов.
§ 15. Поляризация фотонов
Формула (14.20), выражающая момент количества движения светового потока, позволяет сделать определенное заключение о связи между ориентацией спина фотона и поляризацией света.
Если, например, A7Zt,_I=0, то все фотоны имеют момент количества движения, совпадающий по направлению с вектором k. В этом случае имеет место правая круговая поляризация фотонов. Наоборот, если ЛД1 = 0, то все фотоны имеют момент количества движения, антипар аллельный вектору k, что соответствует левой круговой поляризации фотонов.
Но такое определение правой и левой круговой поляризации является обратным тому, которое общепринято (см. § 7), и для согласования обоих определений необходимо считать правой поляризацией света ту, которая соответствует вращению электрического
92
вектора по часовой стрелке при наблюдении вдоль луча в сторону распространения света, а не навстречу ему, как это принято в оптике. Соответственно другое направление вращения электрического вектора будет определять левую круговую поляризацию света. Это значит, что вращение электрического поля определяется вращением материи фотона вокруг направления его движения. Такое понимание дает основание рассматривать структурные характеристики фотонов и исследовать элементарные процессы, происходящие в электромагнитном поле и при его взаимодействии с веществом.
Объяснение круговой поляризации света как ориентации спина фотонов вдоль направления распространения света (параллельно ему или антипараллельно) ставит вопрос о том, как с этой точки зрения можно рассматривать линейную и эллиптическую поляризацию. Обратимся к формуле (14.20) и предположим, что Тогда момент количества движения световой волны будет равен нулю, что может иметь место либо в случае линейно-поляризованного света, либо когда свет неполяризован. В первом случае вектор электрического поля световой волны не испытывает изменений ориентации в пространстве, во втором случае он испытывает быстрые хаотические изменения ориентации, которые и приводят к средней изотропности световых колебаний.
В самом деле, пусть имеем линейно-поляризованную световую волну, когда £ = 0 и, следовательно, NhA = Nh-i. Для простоты ограничимся только одной монохроматической компонентой поля с волновым вектором k. Для нее момент количества движения согласно (14.20) будет иметь вид:
2, = ЙЙ0(^,1-№,_,).	(15.1)
Полное число фотонов Ж с энергией chk равно:
=	+	(15.2)
При совершенно равномерном световом потоке в случае линейно-поляризованной волны АД^АД-!. Но в реальном световом потоке всегда имеются флуктуации светового потока, а следовательно, и флуктуации числа частиц Nk, а также Nk,i и Ж,-ь Поэтому правильнее
93
рассматривать числа NkA и Nh,-i как ния чисел фотонов. Тогда отношения
вероятные значе-
(15.3)
Wk.-l
__ Nk^
Nk ’
можно рассматривать как вероятности нахождения фотонов соответствующего сорта в данном единичном объеме пространства.
Следовательно, учитывая (15.2) и (15.3), можно записать:	;	: ’  
+ &%,_[ =4,	(15.4)
т. е. вероятность нахождения фотона того или иного сорта в рассматриваемом объеме, когда число частиц очень велико, равна единице, а ьулд и соответственно равны 0,5. Однако, если число частиц уменьшается, то может оказаться, что в единице объема будет всего один фотон того или иного сорта (с /=1 или 1=— 1), чего на самом деле не наблюдается: даже единичные фотоны вызывают световые эффекты, соответствующие линейно-поляризованному свету. Следовательно, состояние отдельного фотона таково, что он должен находиться в двух спиновых состояниях с 1=1 и 1=— 1, причем оба состояния равновероятны. Так как фотон все же должен обязательно обладать спиновым моментом, равным единице, то это должно означать, что фотон попеременно переходит из состояния с 1=1 в состояние с 1 = — 1, причем время пребывания в обоих состояниях одинаково.
В таком случае формула (14.16), где момент количества движения фотона выражен через спиновые амплитуды ghil, g и gft-j, g^, должна иметь силу и для одного фотона, но спиновые амплитуды (вернее, их произведения) должны уже пониматься как вероятности пребывания фотона в соответствующем спиновом состоянии, и для спина одного фотона надо записать:
lk = hko^Wk.t —	(15.5)
Для линейно-поляризованного света W,i = ®k-i- Для неполяризованного света и ®s,-i хаотически меня
94
ются й в среднем по врймейи равйы друг Другу, так что при макроскопических измерениях это проявляется в виде неполяризованного света. При эллиптически-поляри-зованном свете =^Wh-i.
Кроме факта линейной, круговой или эллиптической поляризации, необходимо еще учитывать и ориентацию вектора Е или осей эллипса поляризации в пространстве,
—е—т	—е—7	—7
---------------------------------с
Левополяризованный свет
- О Т	—0 - 7	—0— 7
----------------------------------
Правополяризоёанный свет
Т 7 Г
—00— —GO— - 00 ---------------------------------
Линейно - поляризованный свет
Рис. 14
что в случае макроскопического рассмотрения характеризуется разностью фаз между двумя компонентами линейной поляризации (см. § 7). Следовательно, необходимо в компонентах поля учитывать не только амплитуды вероятностей спиновых состояний, но и их фазы. В случае поляризованных фотонов между его состояниями Z и —I должны быть определенные фазовые соотношения, которые и приводят к тем или иным линейным компонентам поляризации фотона. Учесть эти фазовые соотношения можно путем надлежащей трансформации соотношения (14.14), где необходимо ввести соответствующие множители, отражающие неодинаковость амплитуд векторов линейной поляризации.
Различные состояния поляризации наглядно представлены на рис. 14, где направление поляризации света определяется в соответствии с направлением, обычно принятым в оптике, т. е. правой поляризации света соответствует левая поляризация фотонов, и наоборот.
95
Другой вид описания поляризации света через поляризацию фотонов дает Бриллюэн*. Он считает, что различные состояния поляризации определяются различной ориентацией спина фотона в пространстве (рис. 15). Если спин фотона ориентирован вдоль вектора k, то наблюдается круговая поляризация; если вектор спина
flefontmpusoluHHtM Лт
Линейно-потризаВанный еВет
Эшптишки-пшризоВтш Лет
НепопяризоВанный Лет
Рис. 15
ориентирован перпендикулярно к k, то — линейная поляризация, и, наконец, промежуточные ориентации соответствуют эллиптической поляризации света. Неполяри-зованный свет характеризуется хаотическим распределением ориентации спина фотонов в пространстве. Эта концепция поляризации света является весьма наглядной и удобной для физической интерпретации.
§ 16. Спектр электромагнитного излучения в квантовой теории
В § 10 словом «спектр» определялась полная совокупность монохроматических волн, на которую можно разложить данное конкретное электромагнитное излучение.
* Л. Бриллюэн. Квантовая статистика. Харьков — Киев, Гос-научтехиздат УССР, 1934.
96
Представляя электромагнитное поле как Совокупность плоских волн было введено понятие о радиационных осцилляторах, которые соответствуют монохроматическим компонентам поля с волновым вектором k. Каждый радиационный осциллятор представляет собой плоские волны k и — k и имеет значение энергии Wk, определяемое формулой
Wk=---y-k^akal+a^k),	(16.1)
где обозначения соответствуют формуле (11.49).
В результате квантования поля излучения имеем
Wk = cnk(Nk+-±-y	(16.2)
где обозначения аналогичны тем, которые приведены в формуле (14.2). Если не учитывать нулевую энергию, то получим
Wk=cHkNk.	(16.3)
Здесь величина chk = Wlk представляет собой энергию одного фотона; Nh — число фотонов данного сорта. Значит,
Wk = WlNk.	(16.4)
Теперь аналогично тому, как это делалось в § 10, можно изобразить графически зависимость энергии электромагнитного поля от частоты световых колебаний, или
4 Ф. А. Королев
97
как функции энергии фотонов Wlk . Так как пропорционально числу фотонов, то в квантовой теории вместо энергии можно пользоваться числом частиц данного сорта. Тогда графическое изображение зависимости Nrt от Wlk будет давать электромагнитный спектр в квантовом выражении.
На рис. 16 приведен пример корпускулярного изображения дискретного спектра. Здесь показаны три квази-монохроматические компоненты электромагнитного спектра, максимумы энергии которых соответствуют значениям энергии фотонов №}, 1^,	• Вместо энергии
(мощности) спектральная линия представляется числом фотонов данной энергии, попадающих в 1 сек в регистрирующий прибор.
Подобное изображение спектра соответствует методам измерения его с помощью счетчиков фотонов.
Глава 3
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 17. Классическая теория излучения ускоренно движущегося электрона
В общем случае уравнения электромагнитного поля при наличии зарядов представлены в виде:
„	1 д2А	4npv
—Щ
v4> —-y'S'= ~ 4“р'
с2 о/2
(17.1)
где <р и А — скалярный и векторный потенциалы, с которыми напряженности электрических и магнитных полей связаны соотношениями:
D	А 1 дА
Е =- — grad ф---------—,
с dt
Н = rot A.	J
(17.2)
Рассмотрим излучение электромагнитных волн «точечных» электрических зарядов — электронов и других элементарных частиц.
Как известно из электронной теории, размеры электрона, т. е. его классический радиус определяется соотношением
4*
1ЩС2
(17.3)
где е — заряд; тэ — масса покоя электрона. При попытках точного описания распределения заряда по объему электрона в формуле (17.3) появляются числовые коэффициенты, немного отличающиеся от единицы *. Из (17,3) следует, что ге~3-1О-13 см. Это позволяет считать электрон точечным зарядом вплоть до значений радиуса порядка 1011 см, т. е. до значений, во много раз меньших атомных размеров.
В этом случае решения уравнений (17.1), которые даются в форме запаздывающих потенциалов, для произвольно движущегося «точечного» заряда е со скоростью v имеют вид* **:
(17.4)
В выражениях (17.4)
5т = г---(17.5)
с
где г — расстояние от движущегося заряда до точки наблюдения, г= |г|, индекс т означает, что все величины г и v берутся для момента времени
(17.6)
где t — время, соответствующее данному моменту.
На рис. 17 приведены расположения излучающего заряда е в момент времени x = t—— (точка Л) и в момент времени t (точка В с координатами х=0, у = 0, г = 0 и время t). Точкой наблюдения является Р(х, у, z, t).
* См. Д. Иваненко, А. Соколов. Классическая теория по-
ля. М. — Л., ГИТТЛ, 1951.
** Р. Б е к к е р. Теория электричества. Т. 2. М. — Л., ГИТТЛ, 1941.
100
Из рис. 17 следует, что
=	(17.7)
с
Тогда
г2 => __ 2 j_ + тХ. = Г2 __ 2 л с	сл	с	ст
Далее можно написать
ко - у]2 = [г - f]2 = r2v2 si 2 (г, v) = r2v2 [1 — co 2 (r, w)] =
Сравнивая выражения для г2 и [г0,и12> получаем
или
г_ ±Д£ = Го]/1 _p2sin2(;o Jjy	07.9)
С
Из выражений (17.4), (17.5) и (17.9) следует, что потенциалы <р и А являются несимметричными функция-101
ми относительно заряда. Они имеют минимум вдоль направления движения и. максимум в направлении, перпендикулярном к движению.
Для нахождения величин Е и Н необходимо подставить значения <р и А из (17.4) в (17.2):
е , , , ev	ds	е	dv
= — (ys) 4----------
s2	c2s2 dt	c“s	dt
—>	p	—>
H =---— [vs-^J -1-(V^L
cs2	cs
(17.10)
Вычислим производные-----, ---, (ys) и [yp]:
dt _ г с c J dt ’
(VS)=l_l+r_£l+2__£livx, r c [ r c c J
dv	dv dr	5т
	=	= V-, dt----------------dr dt-dt
lV4 = [VT-y|-	(J7.ll)
Для нахождения величин (ут) и можно восполь-di
зоваться выражением для длины г радиуса-вектора через t и т:
r.= c(t — т) = У[Х — £(т)]а 4- [г/ — П (т)]3 4- [г — (т)]2,
(17.12)
где (х, у, z) — координаты точки наблюдения: £, г], £—• координаты точки, в которой находится движущийся заряд в момент времени т.
Тогда
dr dx dx dt
(rv) dx
r dt
(уГ) = -СуТ=7-(^
(17.13)
Г
102
откуда после преобразований получим
дх____г
dt s ’
(VT) =-------r—.
cs
(17.14)
Подставляя (17.11) и (17.14) в (17.10), находим
Е = £1 Ц- Е2,
И == Д + Я2,
где
(17.15)
= — [г£2]. г
(17.16)
Из выражений (17.16) следует, что Е} и
ляют собой квазистатические поля, величина которых не зависит от ускорений и которые переносятся вместе с электрическим зарядом. Поля Е2 и Я2 перпендикулярны! к радиусу-вектору г и, таким образом, являются поперечными, они убывают обратно пропорционально первой степени расстояния и определяются ускорением движущегося заряда. Следовательно, эти поля носят характер электромагнитных волн и представляют собой электромагнитное поле излучения заряда.
Выберем эти компоненты поля за напряженности электромагнитного поля излучения и опустим у них индекс 2. Тогда получим
(17.16')
103
Поверхностная плотность мощности электромагнитного излучения определяется вектором Умова — Пойнтинга:
1 = — [ЕН] = — • — Е3. 4л	4л г
Подставляя сюда значение Е из (17.16'), после соответствующих преобразований будем иметь:
* = e2rr ( ч2 2 (рр) (л 0 _ (1 —Р2)(Гф2 )	7 j_
4ПС3 ( s4	css	s° j- \	•	/
Найдем интегральную мощность излучения:
P = ^(Sd%),	(17.18)
£
которая характеризует полный поток излучения через замкнутую поверхность, окружающую движущийся заряд. Вычисление ее приводит к следующему выражению:
2	е2
3	с3
и2 — — [у у]2 с2
(1 — ₽3)3
(17.19)
которое представляет важнейшее соотношение в теории излучения, позволяя вычислять мощность излучения в самом общем случае движения электронов и других заряженных частиц. Выражение для мощности излучения сильно упрощается для случаев, когда |3<tU и второй член в формуле (17.19) становится пренебрежимо малым. Тогда мощность излучения электронов, движу-
/ v ,, Л
щихся с нерелятивистскими скоростями!— < II,равна:
Р = ±..,И_'	(17.20)
3 с3
Хотя случай излучения нерелятивистских электронов значительно проще нежели случай, когда электроны движутся с большими скоростями, рассмотрим вначале второй случай.
1 04
§ 18. Излучение релятивистских электронов
Рассмотрим движение электрона по макроскопическим круговым орбитам, когда его скорость велика, т. е. v 1
—• ~ 1, как, например, при движении электронов в кольцевых электронных ускорителях типа бетатрон и синхротрон.
На рис. 18 схематически изображено излучение релятивистского электрона, движущегося по макроскопической круговой орбите с радиусом R. Как будет ниже показано, излучение такого электрона происходит в направлении вектора скорости v в очень узком угловом конусе, лежащем на угловых рас-
„	*	9
стояниях 0 от направления V, при-	_У
чем	'"\~~
8	/	\
Г	/	\
где т0— масса покоящегося элек-	I	I
трона; W — его полная энергия.	\	/
Вычислим	интегральную	мощ-	\	7
ность излучения релятивистского
электрона для движения по круго- р 18 вой орбите, пользуясь формулой
(17.19). Для кругового движения
при частоте оборотов v электрона по орбите угловая скорость движения электрона равна o) = 2nv, а линейная скорость v = а/?, где R— радиус орбиты. Для этого случая также имеем, что
v = a2R,
V Рс
(18.2)
Подставляя выражения для v и v в формулу (17.19), получаем, что мощность излучения электрона, движущегося по круговой орбите радиуса R, равна:
2 е2с р4
3 ’ R2 ’ (1-Р2)2'
(18.3)
105
В ультрарелятивистском случае, когда о—>-с и р->1, формула упрощается. Из соотношения для массы и энергии электрона
(18.4)
имеем
1
1 — Р2
(18.5)
Значит формула (18.3) может быть переписана
(18.6)
Из этого выражения следует, что в ультрарелятивистском случае мощность излучения прямо пропорциональна четвертой степени энергии частиц и обратно пропорциональна четвертой степени собственной массы частицы. Вследствие этого мощность электромагнитного излучения очень велика для легких заряженных частиц — электронов и позитронов, но мала для тяжелых частиц—протонов, альфа-частиц и более тяжелых ядер.
Электромагнитное излучение релятивистских электронов получило название «светящийся электрон», так как при энергиях порядка 100 Мэв максимум излучения лежит в оптической области спектра. Электрон, движущийся по круговой орбите в ускорителе, имеет сходство с электроном, совершающим аналогичное движение в атоме. Однако в случае ускорителя можно говорить о макроатоме в отличие от обычных атомов.
Вычислим число фотонов, излучаемых за один оборот электрона по орбите. Для ускорителя с энергией 300 Мэв и радиусом орбиты 1 м излучается энергия 1011 эв/электрон-сек, что при энергии фотонов 10 эв будет соответствовать 1010 фотон/электрон- сек. Так как частота обращения электрона по орбите при этом равна 5-107 сек~\ то за 1 оборот электрона по орбите излучается 200 фотонов. Испускание фотонов происходит не через равные промежутки времени, т. е. наблюдаются флуктуации, но при таком большом числе излучаемых фотонов эти флуктуации мало заметны.
Если электрон достиг в ускорителе максимальной
106
энергии W, а ускорение внешних полей снято, то излучение будет приводить к потере энергии и торможению движения электрона. Вследствие этого радиус орбиты электрона R будет уменьшаться. Это уменьшение радиуса орбиты будет происходить скачками, соответственно скачкообразному испусканию фотонов. На рис. 19, а этот
процесс изображен схематически в виде скачкообразнозатухающей спирали. Скачки электрона к центру орбиты С происходят при испускании фотонов. Масса электрона при этом уменьшается на величину
Дш = /1—-,	(18.7)
с2
а центробежная сила соответственно уменьшается на величину
. „ _ Лтс2 _ hv
~ R - R
(18.8)
Однако центростремительная сила остается прежней, что и приводит к скачку электрона на более низкую орбиту.
Классическая теория исходит из представления о непрерывной потере энергии при излучении, что схематически изображено на рис. 19,6 в виде затухания движения электрона по непрерывной спирали: При больших значениях энергии W и большом числе актов испускания фотонов за 1 оборот классическая и квантовая теории дают практически совпадающие результаты в отношении интенсивности излучения, его поляризации, углового и спектрального распределения и ряда других характеристик. Но несмотря на столь хорошее согласие в этих
107
вопросах, квантовая теория позволяет объяснить целый ряд явлений, связанных с процессами затухания и возбуждения колебаний электронов на макроскопических орбитах, что очень важно для выяснения элементарных процессов излучения света.
§ 19. Спектральные, угловые и поляризационные свойства излучения «светящегося электрона»
Теория спектрального и углового распределения в излучении «светящегося электрона» с математической точки зрения весьма сложна. Она изложена в работах Шотта, Иваненко, Соколова, Тернова, Арцимовича и Померанчука, Швингера и др. *. Воспользуемся здесь результатами теории, изложенной в монографии А. А. Соколова «Введение в квантовую электродинамику» (М., Физматгиз, 1958).
Рассмотрим ориентацию векторов магнитного поля, скорости движения электрона и компонент электрического поля для различных состояний поляризации (рис. 20). На рис. 20 Н — вектор магнитного поля, заставляющего электрон двигаться по круговой орбите радиуса R с центром вращения в точке О; v — вектор скорости движения электрона, направленный по касательной к окружности; Еа— компонента (сигма-компонента) электрического поля излучения, лежащая в плоскости орбиты; Е л—компонента (пи-компонента) электрического поля, направленная перпендикулярно или почти перпендикулярно к плоскости орбиты; k — направление волнового вектора излучаемой электромагнитной волны; Д— угол между направлением вектора напряженности магнитного поля и направлением волнового
* g. Schott. Ebctromagnetic Radiation. Cembridge, 1912.
А. А. Соколов и И. M. Тернов. О поляризационных эффектах в излучении светящегося электрона. ЖЭТФ, т. 31, вып. 9, стр. 473.
Д. Д. Иваненко и А. А. Соколов. Классическая теория поля. М. — Л., ГИТТЛ, 1951.
Л. А. Арцимович и И. Я. П о м е р а н ч у к. The radiation of fast elektrons the magnetic field. Journ. of Phys. USSR, vol. 9, p. 267, 1945.
T. S chwi nger. On the classical Radiation of Accelerated Electrons. Phys. Review, vol. 75, p. 1912, 1949.
108
еектора k. Тогда, по теории Д. Д. Иваненко и А. А. Соколова, будем иметь:
Ра($,п) =	(1 —	(-^---|33-sin2a)V2 1
7	Зл2^2 v 1	7	,3 (	3 J
ря (£,„) =	(1 _ ₽2 s.n2 p (l-p2sin2<y
(19.1)
где АД, и /Д —вторые функции Бесселя, п— номер
Интегрирование этих выражений по углам приводит к зависимости мощности излучения только от частоты:
Ра («) =
^~-P-y^^Hdx + K^ (//)}, У
_	о©
ря («) = JJpL р. у С С (х) dx _ К	\.
1ОЛ	\J	J
Здесь
(19,2)
Р = -
т0с2
}3
3
(19.3)
109
K^i, и Ks,:> — Соответствующие функции Бесселя; п — номер излучаемой гармоники.
Основная частота vi определяется выражением с
v1=——-—, частота гармоники с номером п равна v = nvi. 2 л/?
Гармоника с номером пс, определяемая выражением и/ \з
М ’	им
ос J
называется критической гармоникой. Из сравнения (19.3) и (19.4) следует, что
п
У = ~.	(19.4')
Вместо частоты в формулах можно использовать длину
Рис. 21
волны X. Тогда для у можно написать выражение г/ = Хс/Л, где
1 =2л7?- —= А.,	(19.5)
3 \ W J пс
Если мощность излучения выражать в функции X, то для Р(Х) = Р0(А,) Ц- РЯ(Х) получим
Р(^) =
З '1 2 / е2с \ / F у 16л2 \ Р3 / \ m0c2 J
(19.6)
где
Со
6(у) = У3 $	(п) Лт].
У
(19.7)
110
На рис. 21 приведен график зависимости функции G(y) от обратной величины у.
Максимум излучения соответствует Хт = 0,42Хс и сдвигается в сторону высоких частот пропорционально кубу энергии излучающих электронов. Интегрирование выражений Рв и Ря по спектру дает следующие результаты:
(19.8)
где Р определяется выражением (18.6), т. е. л-компонен-та излучения имеет почти на порядок меньшую мощность нежели о-компонента.
Для качественной оценки углового распределения излучения светящегося электрона отметим, что излучение наблюдается в направлениях, перпендикулярных к направлению электрического поля излучателя. У реляти
Ш
вистских электронов электрическое поле сжато в направлении движения. За меру этого сжатия можно взять угол ДО, который ограничен векторами электрического поля, направленными в вершину углов прямоугольника ABCD, описывающего эллипс векторов электрического поля (рис. 22). Угол ДО определится из выражения
tg ДО ДО =
Ег
Компоненты Ех и Ez находятся из соотношений:
причем Е— поле неподвижного заряда. Следовательно,
ДО = ]/1 — £2,	(19.10)
но 1/ 1 — |32 = m0c2/IF, поэтому
A0__^o£L	(19.11)
Г ’
Величина ДО принимается за угловую меру конуса, внутри которого излучается главная доля энергии светящегося электрона.
На рис. 23 приведено распределение интенсивности,
112
выраженной в относительных единицах в л- и ст-компо--нентах излучения для энергии электронов 250 Мэв и Х = 5500А. По горизонтальной оси отложены значения углов между осью z, совпадающей с направлением перпендикуляра к орбите электрона (направлением вектора /Д, т. е. магнитного поля ускорителя), и направлением излучения. Угол 90° соответствует излучению в плоскости орбиты электрона. Следовательно, о-компонента излучения имеет в направлении плоскости орбиты максимум, а л-компонента в этом направлении не излучает. Угловой раствор конуса излучения здесь равен 1°, что находится в хорошем соответствии с той оценкой, которая дается формулой (19.11).
Экспериментальные исследования, проведенные автором с сотрудниками*, показали хорошее совпадение теории с опытом.
§ 20. Излучение нерелятивистских систем. Классическая теория дипольного излучения
Для случаев нерелятивистских излучающих систем, т. е. когда Р= — <1, в формуле (17.17) второй член в С
скобках будет очень мал по сравнению с первым и третьим. Кроме того, выражение для s совпадает здесь с радиусом г. Следовательно, вектор Умова—Пойнтинга S в этом случае равен:
_ e2r-r f v2	(r-v)2 ) 4ncs 1 г4 гв )
После преобразований будем иметь
—Р^Г 7)2
S =  sin2 (г-у).	(20.1)
Таково будет значение плотности потока энергии излучения на расстоянии г от заряда е, движущегося с нерелятивистской скоростью V.
* Ф. А. К о р о л е в, В. С. М а р к о в, Е. М. А к и м о в, О. Ф. К у-ликов. Экспериментальные исследования углового распределения и поляризации оптического излучения электронов в синхротроне. ДАН СССР, т. НО, 1956.
113
Интегральная мощность излучения согласно формуле (17.20) в этом случае будет равна:
(20.2)
Зс3
Рассмотрим излучение электрона, движущегося по круговой орбите, в случае v<£c. Такое движение совершает электрон в атоме по классической теории. Если согласно принципу соответствия классической и квантовой теорий будем считать частоту v кругового движения электрона равной частоте поля излучения, т. е. частоте квантового перехода упт с уровня Wn на уровень Wm, для которой выполняется условие частот Бора
,	(20.3)
п
то для скорости орбитального движения v найдем и = = 2 я-VnmR, где 7? — радиус орбиты. Тогда =	R2, где
conm=2n;vnm- Следовательно, для мощности атомного излучения можем написать выражение
р = Je2R:... Ю4 .	(20.4)
Зс3 тп
Итак, мощность дипольного излучения системы, в том числе и дипольного излучения атома, прямо пропорциональна четвертой степени частоты колебаний поля излучения.
Если электрон в атоме совершает круговое движение по орбите радиуса R и при этом излучает мощность Р, то его движение должно быть затухающим, т. е. радиус орбиты должен уменьшаться. На рис. 24 схематически изображено орбитальное движение внешнего атомного электрона е вокруг атомного остатка Аг (совокупности атомного ядра и внутренних электронов). Круговое движение электронов эквивалентно двум колебательным движениям синусоидального характера по взаимно перпендикулярным осям, например по осям х и у. Затухание колебаний вследствие излучения называется радиационным и учитывается коэффициентом затухания у, входящим в дифференциальные уравнения колебаний электрона по осям х и у, записанные в виде:
114
X -j- yx -|- cnnmx — 0,
У + ЧУ + ®пт.у = 0.
(20.5)
Предположим, что

(20.6)
Это будет позже доказано. При этих условиях решения уравнений (20.5) могут быть взяты в виде:
—yt
х = хое 2 cos
—yt
у = уйе 2 sin®^/,
(20.7)
где хэ и у0 — амплитудные значения координат х и у. Очевидно, что они равны максимальному значению радиуса орбиты Ro.
Для нахождения мощности излучения необходимо определить ускорения электрона, при вычислении которых можно пренебрегать членами, содержащими множители у, учитывая условие (20.6). Тогда мощности излучения, соответствующие колебаниям вдоль осей х и у, равны:
115

р
х =----cos2 anmt,
n 2^о < _vf • 2	,
Py='----ЗД---	7 Sin ®л,гЛ
Полная мощность излучения атома
р = р I р = 2e2/?Xm yi Гх^ГУ Зсз	•
Мощность излучения должна быть равна убыли энергии атома с обратным знаком, т. е.
р = dw dt
Энергия 'атома складывается из двух компонент:
(20.8)
(20.9)
(20.10)

(20.11)
Если воспользоваться выражениями (20.7) для х и у и подставить их в (20.11), то пренебрегая членами, содержащими у в качестве множителей, получим величины Wx и Wy в следующем виде:
х	2	’
г	е-„.
у	2
Полная энергия атома будет равна:
W =
(20.12)
(20.13)
Подставляя в формулу (20.10) это значение IF и значение Р из (20.9), находим, что коэффициент радиационного затухания равен:
Y =
Зтося
(20.14)
116
Если обозначить
— Що7^о<Г);гт,	(20.15)
то вместо (20.13) можно написать	
W^W^e-yt,	(20.16)
откуда следует, что	
P = yW.	(20.17)
Следовательно,	
Р У = — •	(20.18)
Г
Если затухание неравномерно, т. е. отношение
есть функция времени, то для убыли энергии и других затухающих величин вместо величины у/ нужно записать выражение
t
¥ =	(20.19)
О
и в этом случае энергия излучающего электрона равна: t
— р dt
W = IFoe 0	.	(20.20)
Найдем численные значения коэффициента радиационного затухания для различных участков спектра и проверим предположение (20.6).
В видимой области спектра А=5000А, ft>rtm=3,76-1015 сек~1, у = 8,85 107 сек1, —— = 2,42-10~8. В рентгеновской об-®ntn
ласти спектра К = 0,5А, <в„т = 3,76-1019 сек~г, у = 8,85 х X Ю15 сек—1,  у = 2,42-10-4. Для радиочастотной обла-сти спектра А. = 5 см, апт = 3,76-1010 сект1, у = 8,85 х X 10-3 сект1, -у— = 2,42 -10-13.
®пт
117
Условие (20.6) выполняется в достаточной мере.
Как видно, в радиодиапазоне затухание атомов вследствие излучения ничтожно мало. Это означает, что возбужденные атомы в этом случае будут в течение очень длительного времени испускать электромагнитные волны, т. е. цуги электромагнитных волн будут очень длинны. Определим время, в течение которого атом излучит большую часть своей энергии. Это время примем за длительность возбужденного состояния атома и обозначим его буквой т. Проведем вычисления т, полагая, что
ут = 1.
Тогда
т = —.	(20.21)
Y
Для этого условия из формулы (20.16) получим
=	(20.22)
т. е. энергия к концу времени т падает в е раз.
Как следует из выражения (20.21), длительность возбужденного состояния обратно пропорциональна коэффициенту радиационного затухания. Для приведенных выше участков спектра длительности возбужденного состояния будут иметь следующие значения:
при X = 5000А т = 1,26-10“8 сек,
при К = 0,5А т = 1,26- 101G сек, при К = 5 см т = 1,26-102 сек.
Если принять, что атом излучает равномерно за время т и возбуждения следуют с такими же интервалами, то средняя мощность равна:
Рх = ПД, .	(20.23)
т
Так как W0=hvnm, то
pr = hvnm_ .	(20.24)
т
118
Развитая здесь теория справедлива для свободного, атома, излучение которого не нарушается внешними воздействиями — столкновениями с другими атомами и частицами, флуктуирующими электрическими полями и т. д. Это имеет место лишь для очень разреженных газов, когда среднее время х' свободного пробега между двумя столкновениями много больше длительности т возбужденного состояния атома. Если же этого не наблюдается, то необходимо учитывать влияние столкновений и других воздействий на излучающие атомы.
§ 21. Мощность дипольного излучения с учетом столкновений атомов
Будем рассматривать атом как диполь, момент которого D = eR совершает линейные колебания по закону
_ _.VL.
D = Doe 2 cos cnnmt в интервале 0, t,
D = 0	в интервале t, оо.
(21.1)
Явление происходит таким образом, что атом возбуждается, затем через произвольное время t испытывает соударение, гасящее колебания атома и вскоре
атом возбуждается вновь. Картина колебаний атома при таких процессах взаимодействия приведена на рис. 25, где для наглядности вместо произвольного про
119
межутка между столкновениями показано среднее время т'; величина
'Р __ ®пт
2л
Пусть в 1 см3имеется атомов, из которых W * — число возбужденных атомов, причем
Л/*
(21-2)
Вероятное число атомов, время свободного пробега которых заключено в интервале t и t+dt, определяется по законам кинетической теории газов следующим образом:
dNA=-^-e r dt.	(21.3)
х'
Из этого числа атомов в возбужденном состоянии согласно (21.2) будет находиться
dN*a=q-^-e~~dt.	(21.3')
т'
Вероятная мощность излучения этих атомов dP будет равна:
.. t dP = Paq-—?-e dt, х'
где Ра — мощность излучения одного атома, т. е.
р=--------(21.4)
Зс3
Полная мощность излучения всех атомов, находящихся в 1 см3, определится интегралом:
ОО	t
Р ~qPaNae~~ dt,	(21.5)
6
120
Для 'нахождения Р нужно вычислить интеграл оо	/
/ = — С R2e~ ~ dt, х' J
о
так как все остальные величины постоянны. Введем обозначения:
Тогда интеграл I будет иметь вид:
оо
/ = (О dt.
х' J
о
(21.6)
(21.7)
(21.8)
(21.9)
Для вычисления I воспользуемся интегралом Фурье:
R'(f) = J g (m)e‘atdm, — 00
= — f R'(f)e~iatdt,
(21.10)
где g'(co)c/(co)—амплитуда волн квазимонохроматиче-ского участка спектра, лежащего в интервале со и m+dm. После этого запишем
/ = ~ R' dt § g (со) eiat dm. О	—оо
Меняя порядок интегрирования, получаем
/ = g (со) dm J R' (t) eiat dt. —оо	О
121
Так как R'(t) задано в пределах от 0 до оо, то можем написать:
J 7?' (t) eiai dt = 2ng* (w), о
(21.11)
где g*((a) —величина, комплексно-сопряженная g(a). Учитывая это, имеем
1 = ~ f (й)Й.
(21.12)
—оо
Для нахождения g’(co) вновь воспользуемся интегралом Фурье, для чего представим R'(t) в комплексной форме:
R'(t)	(21.13)
Учитывая, что у'<Дыпт, подставляя /?' (7) во второе выражение (21.10) и отбрасывая члены, содержащие в знаменателе co + conm, получаем
1
g (®) g‘ («’) =
16rt2
(21.14)
Следовательно, мощность р_ ^Хтр20 °г 6лс3т' I
излучения 1 см3 газа
равна:
Ло
(21.15)
(a>„m — со)2
о
где D0 = eR0, N”a — qNa. Вычисление к результату:
интеграла
приводит
Р	du>
I	/ у' \2
J (Wnm — и)2 + ( ~ 1 о	\ 2 /
2л
У'
(21.16)
2
Таким образом, для интегральной по всему спектру мощности излучения будем иметь:
р _ ^пт-Рр qNa	। ।
Зе3 х'у'
122
Поскольку атом представляет собой два диполя, колеблющихся во взаимно перпендикулярных плоскостях, формулу полной мощности излучения следует записать в виде:
qN3
Зс3 т'у'
Мощность излучения, приходящаяся в один возбужденный атом, будет равна: ,
р _	/ т \
а Зс3 +	‘
(21.18)
среднем на
(21.19)
Полученное выражение дает возможность проанализировать явления, в частности, в двух предельных случаях.
Так, когда т' т. е. столкновения, приводящие к гашению и повторному возбуждению колебаний, очень часты, имеем
Pa = -^L	(21.20)
Явление излучения происходит так, как будто мы имеем дело с незатухающим атомом. Это справедливо только для значения интегральной мощности. Спектральное же распределение мощности здесь будет совсем другое, нежели то, которое дал бы незатухающий атом (идеально-монохроматическое излучение).
В другом предельном случае, когда т'^>т, имеем
9ГЧ4 п2
Ра = —2^-2 .-2-,	(21.21)
Зс3 х'
т. е. тушащие столкновения и возбуждения становятся очень редки и средняя мощность излучения сильно падает.
§ 22. Естественная ширина спектральных линий
Найдем распределение энергии в спектре дипольного излучения, для чего обратимся к выражению (21.15). Запишем его в виде:
123
где
I (v) =
Р = J I (v) dv, о
(22.1)
16л2 (v — v„m)2 +
(22.2)
, _ 64л2<О;Х
т ЗЛ'у'2
v= — v =
2л ’ пт 2л
(22.3)
Функция /(v) дает распределение энергии в спектре дипольного излучения атомов, молекул и т. д.. На рис. 26 приведено графическое изображение этой функции. Она имеет резкий максимум при частоте vnm, т. е. собствен
ной частоте колебаний атома, и быстро падает по обе стороны от этого максимума. Оценим ширину этого максимума, для чего найдем расстояние 6v от vmm до точки в спектре, где интенсивность I падает до значения . Если подставить это значение / в выражение (22.2) и произвести соответствующие преобразования, то для 6v получим значение
6v =	.	(22.4)
4л
124
Эту величину называют полушириной спектральной линии. Ширина спектральной линии равна ее удвоенной величине, т. е.
2Sv = ^-2л
(22.5)
В данном случае ширина спектральной линии обусловлена сразу двумя причинами — радиационным затуханием и столкновениями, нарушающими колебания диполя. В развернутом виде можно написать:
2Sv = — (— +— V	(22.6)
2л \ т т' J	4
В первую очередь рассмотрим предельный случай, когда т. е. столкновения очень редки и не играют заметной роли, а все явления обусловлены радиационным затуханием. Тогда для ширины спектральной линии получим
2Sv =	.	(22.7)
Подставляя сюда значение у из (20.14), будем иметь
или в циклических частотах:
26(о =
8-[2g2vL
3m0c3
(22.8')
Переходя от частот к длинам волн, находим
26Х =	,	(22.9)
3m0cz
где 26Х — ширина спектральной линии в длинах волн, равная
267 = 1,2- 10~Л4.
Эта величина называется естественной шириной спектральной линии, или иначе радиационной шириной. Выраженная в длинах волн, она является универсаль
125
ной константой и совершенно не зависит от излучающей системы. Радиационная ширина очень тесно связана с классическим радиусом электрона ге:
26А, =---у-ге	(22.10)
или, обозначая классический диаметр электрона через de, получаем
М;—Д,.	(22.11)
Возможно, что именно размеры электрона определяют естественную ширину спектральной линии.
§ 23. Ширина спектральных линий, обусловленная тушащими столкновениями
При повышении плотности газа, в котором находятся излучающие атомы или молекулы, уже невозможно пренебречь их взаимодействием, и согласно формуле (22.6) следует рассмотреть еще один предельный случай, когда т'<т. В этом случае ширина линии будет определяться лишь столкновениями и выражаться ф°Р_ мулой
26v = —— .	(23.1)
2лт'	v
Ширина линии, обусловленная соударениями, получила название ударной ширины, а ослабление излучения вследствие тушащих столкновений называется ударным затуханием.
Для нахождения этой ширины необходимо опреде-1 т-г
лить величину — . Предположим, что светящиеся атомы составляют небольшую примесь к другому газу. По кинетической теории газов выражение величины — х' имеет вид:
— = rtp2yAZ2,	(23.2)
х'
где р — сумма радиусов сталкивающихся частиц или иначе эффективный поперечник столкновения (рис. 27),
126
Л/'г — число атомов в 1 см3 постороннего газа, к которому примешан светящийся газ, v — средняя относительная
скорость сталкивающихся формуле
у = 1 /.	(23.3)
V лМ
Здесь k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура; М—приведенная масса сталкивающихся частиц, равная
М - -	 ;	(23.4)
mt + m2
частиц, которая находится по
mi и т2— массы атомов (молекул) светящегося и постороннего газов.
Так как парциальное давление светящегося газа очень мало и им можно пренебречь, то по кинетической теории газов
Л^ = ^,	(23.5)
г? 1
р— давление газовой смеси. Подставляя в формулу (23.1) выражение для -у из (23.2) и используя х'
найденные значения входящих туда величин, получаем для ширины спектральной линии, обусловленной столкновениями, выражение
25v = , л -jT 2лА7\И
(23.6)
Яр2 где <у = —-4
Для оценки уширяющего действия столкновений рассмотрим излучающие атомы тяжелого элемента при условиях р = 10 мм рт. ст, р=1 А, пг2 = 6,644• 10~24 г (масса атома Не4), 7'=103 °К. Тогда 2 6v = 10 Мгц, что равно классической естественной ширине спектральной линии для А,= 6000А. При повышении давления ширина линии будет возрастать пропорционально давлению газа.
127
В источниках света при атмосферном давлении она будет достигать уже значений порядка 0,01 А, т. е. будет примерно в сто раз больше естественной ширины линии.
Следует отметить, что величина р для возбужденных атомов значительно больше той, которая получается из газокинетических измерений с внутренним трением, диффузией и другими явлениями.
§ 24. Ширина спектральных линий, обусловленная нетушащими столкновениями
и столкновениями одинаковых атомов
Предыдущие выкладки были сделаны в предположении, что при столкновениях происходит тушение колебаний, хотя это условие не является в действительности обязательным. Однако все выводы будут справедливы и в том случае, если при столкновениях происходит лишь нарушение когерентности отдельных частей цуга электромагнитных волн излучающего атома или молекулы, в результате которого цуг электромагнитных волн оказывается разорванным на некогерентные «куски»:
Е^Ейе 2 cos ((о„„Л + Ф.),	(24.1)
где ti — момент времени, в который произошло нетушащее столкновение; Фг— скачок фазы при столкновении. Величина Фг- является функцией, хаотически меняющейся от столкновения к столкновению. Нетушащие столкновения происходят как при столкновениях с некоторыми атомами, так и при соударениях с электронами и ионами. Особый - случай представляют столкновения одинаковых атомов, когда вследствие резонансного взаимодействия через поле излучения происходит сильное возмущение собственной частоты колебаний излучающей частицы, а также перекачка энергии от возбужденного атома к невозбужденному.
Разберем случаи столкновений излучающих атомов с атомами того же вида, а затем рассмотрим столкновения излучающих атомов с заряженными частицами.
При столкновениях происходит изменение частоты собственных колебаний атома, что приводит к изменению фазы колебаний возмущенного цуга волн по отно-
128
шению к йевозмущейному на величину Ф (рис. 28) аа время «соударения» Ат, равную
/+дг
Ф= С 2xAvnm(t)dt,	(24.2)
i где
АЧт (0 = Ч!т (0 — vnm	(24.3)
— изменение собственной частоты колебаний атома (молекулы); vnm — невозмущенная собственная частота колебаний.
Вообще говоря, строгих границ для интервала времени t и / + Ат нет, так как .взаимодействие атомов можно считать длящимся в течение всего бесконечного промежутка времени, т. е.
Ф= J 2nAvnmdt.	(24.4)
— оо
Более конкретный вид формулы (24.4) найдем из геометрических соотношений (рис. 29). Здесь А — излучающий атом (молекула); В — частица, пролетающая мимо
излучающего атома и возмущающая его колебания; р — прицельное расстояние пролета; г — расстояние между частицами в произвольный момент времени; -V— относительная скорость частиц.
Смещение частоты как функции времени может быть
5 Ф- А. Королев
129
заменено смещением частоты как функции расстояния/*, которое может быть выражено формулой
г = j/'p2 -ф v2t2-	(24.5)
Тогда формулу (24.4) можно записать в виде:
ОО
Ф= J 2nAvnm(r)dt.	(24.6)
— 00
Для решения конкретных задач необходимо найти закон изменения Avnm(r) и установить критерий для минимальной величины Ф, при которой ее изменения еще заметно сказываются на величине расширения спектральной линии. Следуя Вейскопфу, во внимание принимаются только такие пролеты, при которых соблюдается неравенство
ФХ1.
(24.7)
Более далекие пролеты, приводящие к меньшим возмущениям фазы, просто не учитываются, что, вообще говоря, не является вполне обоснованным.
1.	Столкновения одинаковых атомов. При столкновении однородных атомов возможна сильная резонансная связь между атомами как излучающими диполями. Если рассматривать два атома как два связанных осциллятора, совершающих связанные колебания, то согласно Вейскопфу* для смещения частоты будем иметь величину:
e*f
2nAvnm--------------,
m 8nmovnmr3
(24.8)
где f — сила осциллятора — коэффициент, который вводится на основе квантово-механических расчетов; т0— масса электрона.
Подставляя найденную величину в формулу (24.6) и беря из (24.7) предельное условие Ф =' 1, для р получаем
4jtm0v„ma
(24.9)
* Вей скоп ф. Ширина спектральных линий. УФН, т. 13, 1933, стр. 569.
130
Таково будет значение оптического диаметра удара одинаковых атомов при учете только фазовых возмущений. Подставляя р в формулу (23.2), находим ширину линии:
26 v =---------.	(24.10)
8n.mBvnmkT
Если вместо отношения подставить число атомов Аа, то
25v =----.	(24.10')
Хотя формула Вейскопфа качественно правильно передает наблюдающуюся закономерность, расчетные данные значительно меньше получаемых на опыте. Столкновения одинаковых атомов при тех же давлениях дают во много раз большее расширение линий, чем столкновения излучающих атомов с атомами постороннего газа.
2.	Учет амплитудных изменений при соударениях одинаковых атомов. Теория А. А. Власова и В. С. Фурсова *. Власов и Фурсов при рассмотрении проблемы расширяющего действия столкновений одинаковых атомов обратили внимание на то, что при этом благодаря резонансному взаимодействию возможна интенсивная и даже полная перекачка энергии возбуждения от излучающего атома к невозбужденным атомам, что приводит к ослаблению амплитуды колебаний излучающего атома и сильно сказывается на ширине линий.
Власов и Фурсов вычисляют перекачку между двумя связанными осцилляторами и находят для ее величины AIE следующее выражение:
АГ =-----е-----.(24.11)
43t2m0vL Р4о2
Если расстояние q таково, что за время пролета успеет произойти перекачка всей энергии от одного атома к другому, т. е.
AIF = W,	(24.12)
* В. С. Ф у р с о в и А. А. Власов. Теория ширины спектральных линий в однородном газе. ЖЭТФ, т. 6, вып. 8, 1936; ширина спектральных линий при больших плотностях однородного газа. ЖЭТФ, т. 9, вып. 7, 1939.
5*
131
то такой пролет авторы называют ударом. Для этого случая оптический диаметр удара из формулы (24.11) равен:
р2 =------	(24.13)
2removnmy
или с учетом квантовой поправки на силу осциллятора р2=--------------------------е^-~.	(24.14)
Подставляя найденное значение о2 в (23.6), находим ширину линии:
26v = —е2^_.	(24.15)
4jtm0v„m
Власов и Фурсов учитывают и дальние пролеты, что не было сделано Вейскопфом при учете фазовых возмущений *. Влияние взаимодействий атомов при дальних пролетах сказывается в том, что излучающие атомы как бы становятся более сильно затухающими, благодаря чему их энергия ослабляется по закону
№' = Woe-v'^,	(24.16)
где
=	(24.17)
Дополнительное уширение, вызванное этим эффектом, равно:
25v = 	(24.18)
61tm0V пт
Если учесть и фазовые, и амплитудные возмущения, то для ширины спектральных линий однородного газа следует взять сумму всех эффектов, что приведет к выражению
25v = g2/A'a-.	(24.19)
2amovnm
Эта величина в четыре раза превосходит найденное Вейскопфом значение и близко передает получаемые на опыте результаты.
* Ф. А. Королев. Спектроскопия высокой разрешающей силы. М., ГИТТЛ, 1953, стр. 157.
32
3.	Столкновения с электронами и ионами. При пролетах вблизи излучающих атомов заряженных частиц— электронов, ионов или дипольных молекул — они будут воздействовать на излучающие атомы своими электрическими полями (рис. 30), вызывая явление Штарка,
т. е. расщепление и смещение уровней энергии и спектральных линий в электрическом поле. Так как это расщепление не будет постоянным во времени из-за движения заряженных частиц и излучающих атомов, то вместо расщепления получится расширение спектральных линий.
Электрическое поле, создаваемое электронами и ионами, имеет зависимость от г в виде:
Е = — ,2
(24.20)
Если имеет место линейный Штарк-эффект, т. е. расщепление линий пропорционально первой степени поля, то смещение
Av = — пт 2
(24.21)
133
где С — константа линейного Штарк-эффекта. В этом случае для р2 из (24.6) получим выражение
4л4С2 и2
(24.22)
Соответственно ширина линий будет равна:
26v = 2jt'fWg-1	(24.23)
V
где Ne— число электронов (или ионов) в 1 см3.
Для квадратичного Штарк-эффекта Avnm = СЕ2 и с учетом (24.20) будем иметь
Av„m=4--	(24-24)
г4
Подставив это значение Avnm в выражение (24.6), для р2 получим формулу
2
(24.25)
а для ширины линии
4	2	1
26v = л 3 С' 3 и 3 Nе. В случае столкновения с электронами имеем	(24.26)
, / 8kT = 1/	 Для ионов'одного и того же газа	(24.27)
Д = 1/^ V	(24.28)
где mi — масса иона.
При отсутствии термического равновесия в формулу (24.27) должна входить электронная температура. Кроме учета влияния быстроменяющихся электрических полей ионов и электронов, необходимо еще учесть действие среднего квазиэлектростатического поля. Гольт-
134
смарк * нашел для него выражение в случае линейного Штарк-эффекта:
2
26v = 3,25СеЛ>’ .
(24.29)
В ряде случаев расширение линий несимметрично. Иногда различают расширение 6v+ в ультрафиолетовую сторону и расширение 6v_ в красную сторону.
Кроме расширения линий, электрические поля электронов, ионов, атомов и молекул вызывают одностороннее смещение спектральных линий в сторону больших длин волн вследствие наличия среднего квазиэлектро-статического поля, имеющегося в источнике излучения.
§ 25. Расширение спектральных линий вследствие эффекта Допплера
наблюда-v элек-
(25.1)
При относительном движении источника и теля происходит смещение частоты колебаний тромагнитных волн по закону Допплера:
1 — В cos а v = v -----!-----
где Упт — несмещенная частота колебаний источника;
„ v
В =—; v — скорость относительного движения источни-с
ка и наблюдателя; а — угол между лучом наблюдаемого света и вектором скорости движения излучающего атома (или молекулы). Для случая движения по линии наблюдения а = 0 и
Если р невелико, то можно ограничиться приближением
v = v„m(l-₽+-S-).	(25.3)
При наблюдении перпендикулярно к линии движения (поперечный Допплер-эффект) cosa = 0, следовательно,
v' =	(25.4}
* См. сноску на стр. 130.
135
а при небольших значениях |3 поперечный эффект может быть выражен формулой
Допплер-
(25.5)
V' = V +
пт I 1 П 2 7
В случае обычных скоростей у источников света поперечный Допплер-эффект имеет очень малую величину и поэтому учитывается только продольный Допплер-эффект (25.3) без квадратичного члена.
Предположим также, что все источники уширения линий уменьшены вплоть до естественной ширины и вся мощность излучения атома переносится на частоте vnm-Движение излучающих атомов приведет к изменению частоты в соответствии с формулой
(25.6)
где и — проекция скорости движения атома на направление наблюдения. При этом за положительное направление и выбирается такое, при котором расстояние между наблюдателем и источником увеличивается.
По закону Максвелла вероятное число атомов dNa, слагающие скоростей которых заключены в интервале и и u + du, определяется выражением
____ т^и2
dN, = Ма 1 Zе~ du, (25.7) у 2.KR.1
где та — масса атома (молекулы). Мощность, излучаемая этими атомами, будет
dP = P&qdN& = PsqN, 1 /e~ du. (25.8)
Здесь qNa=N"a —число возбужденных атомов. Из формулы (25.6) следует, что
и ~ с ((25.9) \ vnm J
du —---— dv.	(25.10)
Vnm
136
Подставим в формулу (25.8) найденные величины и и dw.
,D NaeP. Г та -~НП— L	oct1.
dP =-------1 / —— е 2kr v пт ' dv. (25.11)
vnm К 2nkT	'	'
Если обозначим
/(V) =7 =2^£L1/' УУ-,	(25.12)
V„m у 2nkT
то для распределения мощности излучения по спектру при допплеровском расширении получим выражение
Z(v)=— =Zme ыт\чпт)' (25.13)
Полуширину линии определим опять как расстояние в спектре между положением максимума интенсивности Zm и точкой в спектре, где I (v) = -у- . Тогда подставляя это значение в формулу (25.13), после логарифмирования и преобразования будем иметь:
1н 9 — таС2 (	\2
2kT \vnm) '
где Sv = vnm — v. Отсюда
2Sv = 2-^-1/ 21п2/гГ--	(25.14)
с V та
Подставляя входящие сюда константы и заменяя та на вес грамм-атома М (или грамм-молекулы), получим следующее выражение:
26v = 7,18-10-7 vnm |/	(25.15)
или в длинах волн
26Х = 7,18-10~7%„т 1/	(25.15')
137
Из этой формулы нетрудно найти значения ширины линии для различных условий. Так, например, для атомов пеона при 7^500° К и Х = 6000 А ширина линии будет иметь значение 2бА~0,02А, т. е. допплеровское уширение линий в источниках излучения имеет большую величину.
§ 26. Другие источники уширения спектральных линий
Кроме рассмотренных причин уширения линий возможны и другие. В действительности все расширяющие факторы действуют не по отдельности, а одновременно, хотя в отдельных случаях удается уменьшить действие каких-либо из них по сравнению с другими. Это, разумеется, усложняет анализ распределения интенсивности спектральных линий.
Очень большое расширение линий может быть в случае, когда излучающие атомы возникают вследствие фотодиссоциации молекул и когда избыточная энергия светового кванта сверх той, которая необходима для разложения молекулы, переходит в кинетическую энергию движения атомов — продуктов распада молекулы, поглотившей световой квант.
Кроме действительного расширения линий, может наблюдаться кажущееся расширение, когда происходит явление самопоглощения, или самообращения линий. В этом случае наибольшее поглощение происходит в центре спектральной линии, благодаря чему ее эффективная ширина увеличивается.
Глава 4
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
§ 27. Квантованные стационарные состояния атомов и молекул
В этой главе рассмотрено излучение квантованных систем, в которых скорость зарядов »«с, г. е. еще далека от релятивистских скоростей. Квантовая теория излучения зарядов при релятивистских скоростях изложена в работах А. А. Соколова и его сотрудников *.
Экспериментальные исследования атомных состояний, начатые впервые Франком и Герцем, показали, что атомы (или молекулы) переходят в возбужденное состояние с последующим излучением лишь по достижении атомами определенных значений энергии 1КП, образующих дискретный ряд:
1К3, ... ,Wm, ... ,Wn...	(27.1)
Если энергия возбуждения атома перейдет некоторое предельное значение (энергия ионизации атома), то электрон отрывается от атома и атом переходит в ион. После этого суммарная энергия ион + электрон меняется уже непрерывно, и поэтому выше энергии ионизации можно условно говорить о непрерывном спектре значений энергии атома.
Состояния атомов и молекул IKj, 1П2, ..., Wm, ..., Wn, ... получили название стационарных состояний. Согласно
* А. А. Соколов. Введение в квантовую электродинамику, М., Физматгиз, 1958,
139
представлениям, впервые высказанным Вором в 1913 Г., атом, находясь в стационарном состоянии, не излучает и излучение света происходит лишь при переходах атома из одного стационарного состояния в другое, причем этот переход понимается как очень быстрый процесс, длительность которого на много порядков меньше длительности нахождения атома (молекулы) в возбужденном стационарном состоянии.
Бор сформулировал закон перехода из одного стационарного состояния в другое с излучением фотона в следующей форме:
=	(27.2)
где Vnm — частота излучаемого света; Wn— энергия верхнего стационарного состояния с большей энергией; Wm— то же, с меньшей энергией. При поглощении св&та происходит обратный процесс.
Разность энергии
(27.3)
называют квантом энергии излучения. Значения энергии называются уровнями энергии.
Таким образом, задача нахождения спектра излучения и поглощения атомов, молекул и вообще квантованных систем переходит в задачу нахождения стационарных состояний. Впервые метод нахождения стационарных состояний одноэлектронных атомов и ионов был предложен Бором, затем развит Зоммерфельдом и др. Он заключался в использовании классических выражений для энергии атомов и наложения определенных квантовых условий на атомные параметры (моменты количества движения). Однако эти методы не имели достаточной общности.
После формулировки Луи де Бройлем дуализма волн и частиц Шредингером было предложено квантовое волновое уравнение, получившее название уравнения Шредингера, которое и стало основой для определения стационарных состояний атомов и других квантовых систем. Методы решения конкретных задач на основе уравнения Шредингера излагаются в курсах квантовой механики, а здесь будут сформулированы лишь осноц-
140
ные положения, следующие из принципов квантовой механики.
Уравнение Шредингера имеет вид:
=	(27.4)
где ip — волновая функция, описывающая квантовое состояние системы; Н—оператор энергии рассматриваемой системы, который находится следующим образом. Если полная энергия системы задана в виде гамильтониана Н:
H = -^(P* + Pl + Pl) + U(x,y,z),	(27.5)
zm	а
то оператор энергии может быть записан в виде:
Й=~^^+-^+^ + и^Х’У’г)’ (27’5,) 2т \ дх2 ду2 dz2 /
ИЛИ
7? = --^-v2 + t/(x, г/.г).	(27.5")
Решения уравнения Шредингера для квантованных систем представляют собой совокупность собственных функций:
Ф1, Фг...фт, . .. , ф„, ...,	(27.6)
которые возможны при собственных значениях оператора энергии Н в виде совокупности чисел
^1,^2.......................(27,6')
определяющих дискретный ряд значений энергии стационарных состояний атома или другой системы.
Наряду с этим в ряде случаев возможен и сплошной спектр собственных функций и собственных значений.
Полное решение может быть записано в виде суммы
Ф(^/ = ХфЛгЛ).	(27.7)
п
14)
Волновые функции, соответствующие тому или иному стационарному состоянию, с учетом временного фактора могут иметь вид:
й *.	(27.8)
Наряду с, этим рассматривают также комплексно-сопряженную волновую функцию ф* , которая запишется следующим образом:
'	(27.8')
Анализ физического смысла функции ф показал, что она характеризует собой вероятность нахождения частиц, в частности электрона, в атоме в том или ином объеме. Так, например, произведение
фф*бШ = dw	(27.9)
дает вероятность нахождения частицы в элементе объема dV, так что произведение фф * показывает плотность вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства. Выражение
J фф'Ж = 1	(27.10)
v
представляет собой так называемое условие нормировки функций ф. Физически оно означает, что вероятность найти частицу в объеме V равна единице.
Решение уравнения Шредингера для конкретного атома (или молекулы) показывает, что энергия стационарных состояний определяется параметрами, характеризующими строение электронной оболочки атома (или молекулы). Сюда входят числа, выражающие размер стационарных орбит электронов, значения орбитальных и спиновых моментов количества движения электрона, полного момента количества движения электрона, суммарного орбитального момента количества движения электронной оболочки и т. д.
Эти числа, называемые квантовыми числами, приведены ниже.
142
Параметр
Квантовое число
1.	Большая полуось а эллиптической орбиты электрона.
2.	Орбитальный момент количества движения I электрона
lZl = /t//(/+ 1).
3.	Спиновый момент количества движения s электрона
И = ft/s(s + Ty
4.	Полный момент количества движения электрона /=/ + s;
1/1 = hV i (j + О-
5.	Полный орбитальный момент количества движения электронной оболочки L = Z,;
L
— VL(L+1).
6.	Полный спиновый момент электронной оболочки S I sf;
L
|S| -	1)
7.	Полный момент количества движения электронной оболочки
J = L + S;
= 1).
И т. д.
Главное квантовое число п.
Квантовое число орбитального момента количества движения I электрона.
Квантовое число спинового момента количества движения электрона s.
Квантовое число полного момента количества движения электрона /.
Квантовое число орбитального момента электронной оболочки L.
Квантовое число полного спинового момента электронной оболочки S.
Квантовое число полного момента количества движения электронной оболочки атома J.
И т. д.
ИЗ
В соответствии с этим значение энергии стационарного состояния определяется всей совокупностью квантовых чисел rii, Ц, ji, L, S, J и т. д., где индекс i относится к i-му электрону. Следовательно, можно написать для энергии стационарных состояний общую зависимость
W = W(nlt L, S, J, ...).	(27.11)
Другое стационарное состояние будет характеризоваться другим наборо-м квантовых чисел:
Г' = 1Г(щ,	s), у;., L', S', J’, . . .).	(27.1 Г)
Излучение света происходит при переходе из одного стационарного состояния атома в другое, при этом
W бч, it, L,S,J, ...) — W' (n\, l\, s't., /), L', S', J’,...) = — -h  ~
(27.12)
изменения квантовых чисел определяются соответствующими правилами отбора. Подробности изложены в руководствах по квантовой механике и теории атомных и молекулярных спектров *.
В дальнейшем основное внимание будет обращено на процессы излучения (и поглощения') света, которые с квантовой точки зрения представляют собой квантовые переходы между стационарными состояниями.
Однако решение уравнения Шредингера (27.4), найденное для стационарных состояний, не дает описания квантовых переходов, что видно из следующего рассуждения. Нахождение вероятного значения для какой-
* А. А. Соколов, Ю. М. Лоскутов, И. М. Тернов. Квантовая механика. М., Учпедгиз, 1962;
М. А. Ельяшевич. Атомная и молекулярная спектроскопия. М., Физматгиз, 1962;
С. Э. Фриш. Оптические спектры атомов. М.—Л., Физматгиз, 1963;
Д. И. Блохинцев. Основы квантовой механики. М., изд-во «Высшая школа», 1963;
А. С. Д а в ы д о в. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963;
Л. Д. Л а н д а у, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963;
Е. Кондон и Г. Ш ортли. Теория атомных спектров. М., ИЛ, 1949.
144
либо величины, характеризующей квантовое состояние, может быть сделано путем умножения этой величины на фф * и интегрирования по всему объему. Так как квантовые переходы связаны с излучением, которое по классической теории определяется величиной дипольного момента атома, то значит необходимо найти вероятное значение дипольного момента атома для состояния, характеризующего переход, например из состояния фп в состояние фт, т. е. для случая одновременного нахождения атома в этих двух состояниях. Тогда для этого случая дипольный момент атома
Dn,n = J dV = е h т ф* (г) Пфш W dv> где D — оператор дипольного момента.
Обозначив через величину
D°nm = J (О Ь^т (7) dV, (27.13) будем иметь
=	.	(27.14)
Вся совокупность атомных переходов может быть охарактеризована матрицей:
/ ^11^12 • • • ®1и \
D = | DZ1D22 ... D2,n J	(27,15)
\ Dnlflnl • •  ^nm /
Отсюда видно, что истинно стационарные состояния описываются только комбинациями функций ф,ф*, тогда как любая другая комбинация функций ффц дает состояния, при которых дипольный момент (и другие величины) является функцией времени. Благодаря этому при комбинациях типа фг-> фл. должен происходить распад одного состояния и образование другого. Тем не менее из выражения (27.14), в котором приведено значение 7),,,,, именно для такой комбинации, видно,
145
что такой процесс распада не осуществляется. Следова-, тельно, решение (27.7) является только первым приближением в описании состояний атома, так как из него-не следует явлений перехода из одного состояния в другое. Для нахождения функций, пригодных для решения задачи о переходах, нельзя ограничиться постоянными значениями D®m , а надо ввести зависимость их от времени. Следовательно, атом нужно рассматривать как набор осцилляторов типа
D„in = Dnm(t)etl .	(27.16)
Коэффициенты, зависящие от времени, позволят найти величины вероятностей, характеризующие переходы атома из одного квантового состояния в другое, т. е. найти так называемые вероятности перехода.
§ 28. Квантовая теория взаимодействия света с частицами вещества
Как в классической, так и в квантовой теории процессы испускания и поглощения света представляют собой результаты взаимодействия света и частиц вещества. При излучении света происходит переход атома (или молекулы) из возбужденного состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией. При поглощении света происходит обратный процесс. Испускание фотонов может происходить либо под действием внешнего электромагнитного поля излучения и при этом называется индуцированным излучением, либо самопроизвольно при отсутствии внешнего электромагнитного поля и называется в этом случае спонтанным излучением. Соответственные переходы между уровнями энергии были названы индуцированными и спонтанными. Поглощение же света может происходить только при наличии поля излучения и в этом отношении оно является качественно таким эффектом, как и индуцированное излучение, но идет в обратном направлении.
Современная теория также рассматривает спонтанные переходы как переходы, возникающие в результате взаимодействия с полем излучения, но обусловленные взаимодействием не со свободными фотонами полд нз-
146
Лучения, энергия которых определяется первой частью формулы (14.2), а с полем излучения виртуальные фотонов (так называемый фотонный вакуум}, энергия которых определяется второй частью формулы (14.2), т. е.
k
Схематически процессы испускания и поглощения света представлены на рис. 31. Спонтанное излучение с уровня Wn (с числом Nn возбужденных атомов в 1 см3) на уровень Wm (с числом атомов на этом уровне Nm)
изображено стрелкой Апт, идущей сверху вниз; индуцированное излучение — стрелкой Впт; переход с поглощением кванта — стрелкой Втп. Внизу схематически показаны все процессы испускания и поглощения. Большим кружком с буквой А обозначен атом, который в возбужденном состоянии заштрихован; маленькими кружками со стрелками — фотоны с энергией Из § 13 известно, что процессы рождения и исчезновения фотонов можно рассматривать как процессы излучения
147
возбужденного осциллятора, энергия которого равна Wk (см. 13.17). Совокупность излучающей системы атома (молекулы) и поля излучения можно рассматривать как единую квантовую систему. Переходу из состояния Wn в состояние Wm соответствует излучение, частота которого определяется формулой
hvnm = cfik = Wn-Wm.	(28.1)
Движение электрона в атоме эквивалентно электрическому току
i = — ev.
(28.2)
Полагая, что энергия взаимодействия этого тока с полем электромагнитного излучения составляет небольшое возмущение энергии всей системы поле + вещество, запишем уравнение Шредингера в виде
(Н + Н') Т = Щ — dt
(28.3)
где Н— оператор энергии системы поле + вещество без учета их взаимодействия; Н' — оператор энергии взаимодействия поля и атомов вещества (оператор энергии возмущения). Если взаимодействие электромагнитного поля и вещества отсутствует, то квантовая система по-ле + вещество разбивается на две подсистемы: электромагнитное поле и атомы вещества. Невозмущенные волновые функции, характеризующие атомы вещества, обозначим буквами ф1, ф2, ф3,..., где верхние индексы показывают номер частицы (атома, молекулы и т. д.). Волновая функция всей совокупности невзаимодействующих атомов может быть записана в виде:
Ta = n^, /
(28.4)
где П определяет собой знак произведения ф1-ф2-ф3Х X ... -ф’... Учитывая, что исследуется система атомов (молекул), не взаимодействующих между собой, достаточно рассмотреть все явления для одного атома, находящегося в поле электромагнитного излучения, и невоз
148
мущеннуЮ волновую функцию, Например для состояния с энергией W, возьмем в виде
(г, 0 = %(r)e h .	(28.5)
Волновая функция для электромагнитного поля как совокупности радиационных осцилляторов запишется в виде:
=	(28.6)
k k
где il’jy —волновая функция для радиационного осцил-лятора с волновым вектором k и числом фотонов Nk. Индекс умножения k указывает, что под знаком произведения берутся волновые функции со всеми значениями волнового вектора. Итак, волновая функция системы поле + атом при отсутствии взаимодействия запишется в виде:
, Wn+Wr t
^^(ШМЫгЪ 1 й ,	(28.7)
k *
где IF,. — энергия электромагнитного поля; IF„r=lFn + + Wr— полная энергия системы атом + электромагнитное поле. Используя последнее обозначение, получаем
W
_. пг *
^^(П^ПД^е 1 h .	(28.7')
k fe
Волновая функция 4J'(irt должна удовлетворять волновому уравнению
ШОп = ЭТ0;г.	(28.8)
Решение уравнения Шредингера (28.3) при наличии взаимодействия атома с электромагнитным полем может быть выполнено по методу возмущений путем разложения Ч7 по собственным функциям Ч'оп невозмущенной (невзаимодействующей) системы (атом + поле), но с коэффициентами, зависящими от времени, т. е.
Ч' = 20По„ = 211'„.	(28.9)
п	п
149
Выражение | bn (t) |2 представляет Собой вероятность по'--лучить собственное значение энергии стационарного состояния Wn и поля в состоянии, определяемом совокупностью функций V
Подставим ГР' из (28.9) в формулу (28.3):
{2	+2	=2	+ 2 b^'xv^ <28-10>
п	fl	fl	п
Учитывая (28.8), выражение (28.10) перепишем в виде:
^Ь^Оп^УЬпН^Оп. (28.11) п	п
Если теперь умножим (28.11) на ’И*,п и проинтегрируем по всему конфигурационному пространству, то с учетом ортогональности функций Ч7сп будем иметь:
t^t -^t
Mm = ^bnHmne h -e h ,	(28.12)
fl
где Wnr— энергия системы атом+электромагнитное поле до перехода атома из одного состояния в другое (W„-+Wт)— то же, после перехода. Так как в силу закона сохранения энергии Wmr = Wnr, то произведение экспоненциальных множителей в (28.12) равно единице и это выражение можно записать в виде
iftbn = рд,,.	(28.129
п
где
нтп = J T*om (Г, Nk + 1) Н'ЧОп (г, лу dV’ (28.13) i"
— матричный элемент оператора энергии взаимодействия Н' для квантового перехода; Wn Wт, ЧД (r, Nk) и T'om (г, Nk + 1) — не зависящие от времени функции состояния системы атом ф- электромагнитное поле до и после квантового перехода Wn —? Wni.
Квантовые переходы атомов (и других квантовых систем), как уже было сказано выше, совершаются под
150
воздействием электромагнитного поля излучения, которое взаимодействует с возбужденным атомом. Предположим сначала, что в поле излучения имеется всего один радиационный осциллятор с частотой колебаний ю без индекса. Электрическое поле этого осциллятора будет
Е = Ео e^t.
(28.14)
Если обозначить переменный дипольный момент атома через D, то для энергии взаимодействия атома с электромагнитным полем радиационного осциллятора получим
ЕГ = — (D Ео) eiat.
(28.15)
При квантовом переходе с уровня Ц7г на W т для D можно записать выражение
->	-> -r<-wm-wn^
D = Dneh	,	(28.16)
где О0— амплитуда колебаний дипольного момента атома. Тогда
Н' = — (По Ео) е1(ш'гт+ш)',	(28.17)
где
=	(28.18)
Обозначая (О0 Ео) = Я'0, будем иметь
/7'= _ Я'°е'(ш«"г+ш)'.	(28.19)
Подставляя И' согласно (28.19) в формулу (28.13), получаем
=	(28.19')
где
Я^= f4^(^ + l)/ro4VG Nk)dV (28.20) v-
—- амплитуда матричного элемента взаимодействия.
151
Используя выражение (28.19'), дифференциальное уравнение (28.12') запишем в виде:
in ~^Г =	(28.21)
п
Рассмотрим переход атома из состояния Wn, в котором он находился в момент t = 0, в состояние Wm. В этом случае Ьп(0) = 1, а все остальные ЬП'(Г)=О. Если возмущение системы мало, то для малых промежутков времени t в правой части (28.21) вместо bn(t) можно положить Ьп—1. Тогда, интегрируя (28.21) в пределах от 0 до t и преобразуя его, будем иметь:
| Ьп (Y) |2 =	J sinH(vnm + v)/ у	(28.22)
& I л (v„m + v) J	7
Если 'Vnm и v имеют одинаковый знак, то вероятность перехода будет ничтожно мала и только, когда conm+ + со-И), она будет иметь заметное значение. Иначе говоря, достаточно большая вероятность перехода будет лишь при условии:
=	'	(28.23)
п
Если 1Еп>1Ет (переходы с излучением фотона), то наступит взаимодействие с радиационным осциллятором, частота излучения которого со-э-1 а>пт I; если же Wn<Wm (переходы с поглощением фотона), то со-> —| a>nm | . Это соответствует тому, что операторы вектора-потенциала, о	1(0« t
имеющие временной множитель е * , являются операторами порождения фотонов, а операторы, имеющие множитель е представляют собой операторы поглощения фотонов. В обоих случаях в точках со=± [ COnm| имеем Wnm + со = 0 и для \Ьт (/)|2 получим
I Н° I2
(28.24) п2
Однако рассмотренный случай взаимодействия атома только с одним радиационным осциллятором с частотой со является довольно редким явлением. В действительности всегда имеется множество радиационных осциллц-15?
торов, которое задается плотностью p(v). Вследствие этого нужно учитывать взаимодействие атомов с полем всех радиационных осцилляторов. Поэтому надо просуммировать | bm(t) |2 по всем радиационным осцилляторам. Тогда, обозначая через Fm полную вероятность перехода атома (или какой-либо другой системы) из одного состояния в другое при учете взаимодействия со всеми радиационными осцилляторами, можем написать
PmV = JlMOI2P(v)dv.	(28.25)
—оо
При интегрировании выражения (28.25) следует учесть, что | bm(,f)\2 имеет резонансный (пиковый) характер вблизи частоты vnm. Функция же плотности радиационных осцилляторов меняется в области, близкой к максимуму, очень медленно. Поэтому при интегрировании можно без заметной погрешности считать ее постоянной и вынести за знак интеграла.
Если теперь сделать замену
л (v„m ± v) t = х
и учесть, что
со
f sin2 х ,
I------ах = л,
J Л2
то получим
Fm(t) = ^\H°n\*p(v)t.	(28.26)
Вероятность перехода в единицу времени равна:
или, используя (28.26),
wm=-^\H°n\2p(v).	(28.26')
л2
В дальнейшем будем применять следующие обозначения: wnm — вероятность перехода с уровней с большей энергией Wn на уровни с меньшей энергией Wm\ \Нпт\2—
153
Квадрат амплитуды матричного элемента; штп и | Н,пП |-2 — для обратного перехода. Следовательно, вероятности перехода в единицу времени с излучением и поглощением фотона соответственно равны:
Wnm = ~ I Н’пт I2 Р М, А2
~|Cni2p (v), А2
где
H'L = J wL Cr, Nk + 1) Я'о Чф,г (г, AQ dV,
V'
н?т = J Ч^ (г, Nk - 1) Н'О Ч^ Cr, N,) dV.
(28.27)
(28.28)
Здесь T;m (r,Wfe+ 1) и TOn (г, Afft) — функции СОСТОЯНИЯ системы атом поле после и до перехода с верхнего уровня атома на нижний с излучением фотона; (г, Nk — 1) и Чгот (г, Nk) — функции состояния системы после и до ее
перехода из нижнего состояния в верхнее с поглощением фотона.
Величина wnm представляет собой среднее число актов излучения, wmn — среднее число актов поглощения в 1 сек.
§ 29. Квантовая теория атомного (молекулярного) излучения и поглощения
Определим теперь вероятности перехода для спонтанного и индуцированного испусканий фотонов атомами и молекулами, а также вероятность поглощения. Воспользуемся как исходными выражениями для вероятности перехода в единицу времени функциями шпт и wmn из (28.27). Для нахождения конкретного вида этих функций при спонтанном и индуцированном излучениях, а также при поглощении фотонов необходимо отыскать вид матричных элементов Н'°т и Нт°га в каждом отдельном случае.
Для энергии возмущения Н' в случае движения только одного атомного (молекулярного) электрона можно написать:
154
Н' = — — (и- Л) =— — цЛсо5(у,Л), (29.1) с	с
где v — скорость электрона; Л—вектор-потенциал электромагнитного поля, взаимодействующего с атомом (или молекулой). Необходимо, таким образом, найти произведения матричных элементов v и Л.
Так как радиус-вектор перемещения электрона периодически изменяется с частотой а>пт, то и = Аг=гсоптАг, где Аг — изменение радиуса-вектора электрона, определяющее переменный дипольный момент атома D = eAr (в § 20 и других величине Аг соответствует R). Таким образом, можно записать:
Я' =----(Аг Л) = — Аге А, (29.2)
с	с
где
Are = Ar cos (и, А) = А г cos &
(29.2')
(О’— угол между направлениями электрического поля
излучения и Аг).
Спектральные компоненты оператора вектора-потенциала согласно (13.25) выражаются формулами:
(29.3)
L 2
Тогда для &-й спектральной компоненты оператора Н'° с излучением и поглощением можем записать:
о k
ianm е (Ar0 /ко)
*
t (Слот е A ko cos $
с
Hk
(Д
i®nm е к г0 Aky cos fr
(29.4)
155
где Дг0 — амплитудное значение Аг,
•л*	1	/ 2лАс
Ak0 = —— 1/ —-— gk и, _ У	«
L2
L 2
(29.4')
Сделаем замену
еДг0 = |О|,
где | D | — амплитуда дипольного момента атома (молекулы). Тогда
//'»* =
^пт I D I Лго COS О' е
(29.5)
Н'О______ i®nm ' В I 'Фо COS 'О1
С
Выражения для амплитуды матричных элементов оператора энергии взаимодействия согласно формулам (28.28), (29.4х), (29.5) в случае переходов с излучением и поглощением можем записать в виде:
н'°
пт
cos I т°т Nk +х
cL 2	V'
X{\D\e^^gk}^On(r,Nk)dV',
i^n Г 2nhc cos Г	Nk _ j) x
3 I/ k	J
cL 2	V'
(29.6)
156
Представим в развернутом виде интегралы в формулах (29.6), используя выражения для функции Yon, До™, Т*п, . Для краткости рассмотрим только первое выражение (29.6), так как преобразования для второго будут аналогичны:
J (Л + 1) { IDI е-^ О gk\ ЧОп (G Nk) dV = /-
= J +1 dVk П J Ф*^ФЛ. dV" J !|4 X
V. k^' k k' V"	к V
R
X {\D\e~‘^^}^ndV.	(29.7)
Здесь Vh и dVk означают, что интегрирование ведется по конфигурационному пространству, определяющему функции ф.д,+1 и фду k', V" и dV"— что произведение охватывает все функции, за исключением функций с волновым вектором k, которому соответствуют функции фЛ,/+1 и Фд^ > а интегрирование ведется по всему конфигурационному пространству, определяющему функции, входящие в П; для всех радиационных осцилляторов, кроме фЛ?А+1 и фд, числа фотонов не меняются; V и dV соответствуют обычному пространству.
Входящие в формулу (29.7) выражения имеют значения:
[ Ф^ +1 gk фд, dvk = VNk + 1 vk k
Пр^Фч^1-
k’ V”
(29.7')
Если речь идет об излучении и поглощении атомов, то в пределах атома изменение г X. Следовательно, в пределах атома (k г) 1 и г) и e~^k практически равны единице. Учитывая (29.7'), для амплитуд матричных элементов можем записать:
157
H'L =-----у Nk + 1 cos fl X
cL 2
X J (r) | D | ф„ (г) dV, v
H°n ------У1У^ cos fl X
cL 2
X j(r) \D\tym(r)dV.
(29.7")
В формулах (29.7") интегрирование ведется по обычному пространству.
Введем для матричных элементов амплитуд дипольного момента атома (молекулы) обозначения:
при переходе с излучением
I Dnm | = f фш | D | dV, v
при переходе с поглощением
\Dmn \ = J i|£|D| tymdV.
v
(29.8)
Окончательно для амплитуд матричных элементов оператора энергии взаимодействия можем записать:
1*пт
И‘П ^тп
f	у J ) cos
g /	’ К 1 I 11 ill I	‘
cL7 ___________________
JZLA£_/)v7|D^|cosfl.
cL 2
(29.9)
158
Следует отметить, что если переходы совершаются между простыми (невырожденными) уровнями энергии, то
^пт I " ’ I тп
Этот вид матричных элементов получен при допущениях, что (k г) «1. Такое приближение называется дипольным приближением. Если | Dnm\ и I Dmn\ при этом окажутся равными нулю, то пренебрежение экспоненциальными множителями недопустимо, как и в ряде случаев, когда \Dnm\ и \Dmn\ не равны нулю. Учет экспоненциальных членов приводит к появлению в матричных элементах членов для мультипольного излучения (см. § 38).
Для числа p(v) радиационных осцилляторов в объеме V, приходящихся на единичный интервал частот, волновые векторы которых направлены внутри телесного угла AQ, можно взять выражение (11.41) и разделить его на Av:
Pv(v)	=	(29.10)
av с3
где ру берется для объема V. Для единицы объема спектральная плотность радиационных осцилляторов равна:
p(v)=-^-AQ.	(29.10')
с3
Для изотропного излучения, т. е. когда k меняет направления во всем пространстве, с учетом формулы (11.43) можем записать:
Теперь подставляя величины из (29.9), (29.10) в формулы (28.27), находим
^пт 2л ti с / \ г । 1 \ ! Е. I a	g п л
wnm = ----------------(AA + 1) \ Dnm 2-----cos2 ft A S.2,
nm Lsh2c2 k v k ' 1 nm' C3
159
Замечая, что V = L?, и вводя для частоты а>пт индекс k, что означает принадлежность этой частоты волне с векто-
ром k (переход Wn->W^, после преобразований
8л3 \Dnm |а Ай
lie3
(7Vfe+ 1) cos2 О'.
получаем
(29.12)

Такова будет вероятность перехода в единицу времени квантовой системы для излучения фотона в направлении волнового вектора k в телесном угле AQ.
Как видим, wnm состоит из двух слагаемых, причем одно из них не зависит от наличия в пространстве свободных фотонов Nh. Это слагаемое дает вероятность перехода для спонтанного излучения:
Wnm
8n3 Vfe ] Dnm |2 ДЙ he3
cos2 ft.
(29.13)
Второе слагаемое определяет испускание света, стимулированное (вынужденное) полем излучения и прямо пропорциональное числу фотонов в объеме, т. е. зависит от плотности излучения. Это слагаемое дает вероятность перехода для индуцированного излучения:
,	8л3 v? I Dnm !2 Ай
wlnm =------------------Wftcos2ft. (29.14)
Будем в дальнейшем относить вероятности перехода к единице объема. В выражении (29.14) можно представить число фотонов Nk через плотность излучения и(уь), которая равна плотности радиационных осцилляторов в единице объема, умноженной на энергию одного осциллятора Nkhvk, т. е.
hvl Nk
и (vft) = hvk Nk P (vfe) = — -•	(29.15)
Подставляя u(yk) в формулу (29.14), получаем
wlnm =	AgL cos2 ft.	(29.16)
Л2
Важным свойством индуцированного излучения является то, что испускание фотонов происходит в том же направлении k, в котором распространяются фотоны ин-
160
Аудирующего поля. Излученные фотоны имеют ту же частоту и то же направление поляризации, как это видно из (29.16); они также находятся в фазе с вынуждающим излучением.
Для вычисления вероятности перехода с поглощением света необходимо использовать второе выражение (29.9) для матричного элемента оператора энергии возмущения. Из сравнения первого и второго выражений (29.9) следует, что они имеют одинаковую структуру, если только в первом отбросить под корнем единицу около числа Nk. Следовательно, вероятность поглощения в единицу времени аналогично (29.16) равна:
wamn =	tos2	(29 i7)
ft2
В формулах (29.13), (29.16) и (29.17) величины
-> з 8л.3 [ Dnnl |2 v, ---дГ k cos2 ft,
8л31 Dnm I2 cqs2 ф ft2
(29.18)
. cos2 ft
/l2
представляют собой дифференциальные коэффициенты Эйнштейна соответственно для спонтанного излучения (апт), индуцированного излучения (bnm) и для поглощения (bmn).
Вероятности перехода wsnm, wlnm, wamn соответствуют излучению и поглощению квантов с определенным направлением волнового вектора k и частотой vk, а также с определенным направлением поляризации.
Для случая изотропного излучения и поглощения, т. е. когда свет распространяется по всем направлениям, причем ни одно из них не преобладает, выражения (29.13), (29.16) и (29.17) необходимо проинтегрировать по всем направлениям распространения k, или соответственно ft. Если заменить угол ft между направлением вектора поля излучения Е и радиусом-вектором пере-
б Ф. А. Королев
161
мещения электрона Аг0 на угол 0 между Дг0 и г, то cos'® в указанных формулах переходит в sin 0. Для нахождения интегральных вероятностей перехода Fsnm, F'lnm и F"ir. нужно вычислить интегралы:
Fnm = J Wn,nd^i, а
Fnm ~ J ^iim dQ, а
Ffnn = J Wmn dQ. a
(29.19)
Поскольку
dQ = sin 0 dQ dtp,
(29.20)
где ф — угол между двумя плоскостями Аг, г, то интегралы (29.19) могут быть записаны в виде:
2л Л
, Г С 8л31 Dnm I2 v?
Fnm = J J-------------sin3 0 dQ d(?’
0	0
2л Л
F‘nm = J J.........8jT? I 1а.Д s.n3 g dQ d(j),
0	0
2л л
f C 18 “(Vfe) sinBe d0 dtp, J J №
0 0	}
и так как sin3Ot/0 = (l—cos20)d(cos0), то
2л л
J У sin3 0 dO d<p = -уД о о
Таким образом,
_ 64Я4|РШ„ |2Дт пт	3/1Сз
(29.21)
(29.22)
(29.23)
162
Это выражение соответствует интегральному излучению диполя. То же выражение можно получить, если оставить постоянным направление наблюдения г, а изменить при этом ориентацию дипольного момента атома. Так как в формулы входит квадрат дипольного момента, то интегрирование по всем направлениям соответствует суммированию интенсивностей с различными направлениями поляризации. Всюду дальше в интегральных формулах будем обозначать частоту колебаний не индексом k, что ранее соответствовало определенному направлению излучения, а индексами пт, указывающими переход между этими состояниями.
При вычислении Р‘пт^ и F“nn нужно учесть, что для изотропного излучения спектральная плотность радиационных осцилляторов будет даваться выражением (29.11), и тогда
ра
1 пт
8л31 D„ln |2	,	.
-----'—!— U . IV )
3/г2 <s \ птЬ
(29.24)
где
8л h vnm Nпт
с-
(29.25)
представляет собой спектральную плотность изотропного (полностью неполяризованного) излучения; Nnm—Nk — число фотонов на частоте излучения
Vfe — Vnm-
Формулы (29.23). и (29.24) дают вероятности переходов в единицу времени для случая изотропного излучения. Величины
А — Fs —	64 л« | Dnm |2 ^пт	
лпт гпт	3/zc3	
п 		8л3 | Dnm I2 ЗА2	(29.26)
Вг, =	8л3 | Ртп |2	
тп	ЗЛ2	)	
6*
163
принято называть коэффициентами, Эйнштейна для изотропного излучения.
Изложенная теория относится к случаям, когда уровни Wn и Wm простые (невырожденные). В случае же кратных (вырожденных) уровней, т. е. уровней, состоящих из нескольких, имеющих одинаковую энергию подуровней, матричные элементы дипольного момента перехода между всей совокупностью gn верхних подуровней и всей совокупностью gm нижних подуровней будут иными, нежели матричные элементы дипольного момента для переходов между простыми уровнями. Величины gn и gm (числа соответственно верхних и нижних подуровней сложных состояний Wn и Wm) называются статистическими весами верхнего и нижнего уровней. Они определяются формулами, которые следуют из квантовой теории атома:
ёп —	+ 1, 1
ё>п —	1 J
(29.27)
где 1п и Jm — квантовые числа полного момента количества движения электронной оболочки атома в соответствующих состояниях Wn и Wm.
Если обозначить подуровни верхнего и нижнего состояний индексами а и |3, то квадрат дипольного момента перехода между двумя подуровнями обозначится как 1-0па, тр|2- Сумма квадратов дипольных моментов для всех переходов называется силой перехода, или силой линии (силой спектральной линии), которую принято обозначать символом Snm;
$nm	I -Ола.тР |2-
(29.28)
а,₽
Тогда вероятность спонтанного перехода с какого-либо одного подуровня верхнего состояния на все подуровни нижнего состояния определится выражением
Д
Ппт
64 л4 vnm Snm 3hc3 gn
64 л4 У I Dna I2 vnm a,₽	1
3/z.C3 gn
(29.29)
Если обозначим теперь величину Snm как квадрат некоторого результирующего дипольного момента | Dnm]2, то
164
величина его и в случае квантовых переходов между сложными уровнями будет одинакова как для переходов с излучением, так и для переходов с поглощением, т. е.
I ^пт I2 ~~ $пп —	।	|2,
пт
а,р
В этом случае величины А„„„ В„,„ и В„,„ "	tL/ll' 111П	//Zrt
жаться следующим образом:
А =	I2
пт	3hc3gn
R __ 8n3[£)„m|2 Dntn
(29.30)
будут выра-
D
° тп
3h2 gn
8л3 I Dnm I2 3h2gm
(29.31)

где Л„т—’Средняя вероятность спонтанного перехода из состояний п в состояния т; Впт и Втп—.соответствующие средние значения коэффициентов Эйнштейна для индуцированного излучения и поглощения.
Из (29.31) следует, что
8лЛ yl А —________пт R
^ntn	о urutv
С3
В 0 = В g , “птйп “тпот*
Наконец, для дифференциальных коэффициентов (29.18) в случае сложных переходов можем записать выражения:
(29.32)
8я8|Д-|гcos^, £„/lC3
8л3 [ Dnm |2	, „
——‘cos2 A gnh2
=	cos^.
gmh2
anm
(29.33)

В случае направленного излучения большой совокупности атомов, что наблюдается, как увидим далее, при когерентном излучении лазеров, необходимо ввести представление об усредненных по пространству (по углу О или соответственно 0) дифференциальных коэффициентах апт, bnm, Ьтп, которые можно назвать изотропными дифференциальными коэффициентами Эйн
165
штейна. В качестве таковых можно взять величины: Лпт, разделенное на угловую величину всего пространства, т. е. на 4л, а также Впт и Втп. Тогда
16л3	1 D„m |2
апп
ЗЛс3 ёп
_ 8л3|Дпт|2 3/i2g„
__ 8 Л3 | D пт |2 3/l2 gm
(29.34)
выражается в виде
Величина u(vnm) здесь
= —^-Nnm	(29.35)
С6
в случае неполяризованного излучения и
u(vnm)=—^Nrim	(29.35')
с3
— для поляризованного излучения.
Величины (29.34) должны использоваться для вычисления направленного излучения большого числа атомов (молекул).
§ 30. Интенсивность спонтанного излучения
Здесь рассматривается интенсивность спонтанного излучения, так как вопросы интенсивности индуцированного излучения будут разобраны в разделе, где излагается теория квантовой генерации когерентного оптического излучения.
После возбуждения атома (молекулы) на уровень Wn атом находится некоторое время t в возбужденном состоянии, а затем,' излучая, самопроизвольно переходит в одно из нижележащих стационарных состояний Wm. Поскольку этот процесс осуществляется под воздействием флуктуаций, фотонного вакуума, то спонтанные переходы происходят чисто статистически.
Из предыдущих результатов следует, что вероятность перехода атома из состояния Wn в состояние Wm в интервале времени t и t + dt равна:
.......... dw = Anmdt.	(30.1)
166.
Если в момент времени t имелось Nn возбужденных атомов в 1 см3, то число переходов за время dt будет
dNn = -NnAnmdt.	(30.2)
Интегрируя (30.2) при начальных условиях t=0, Nn=Nn0, получаем
Nn = NnOe~Arimt .	(30.3)
Излучаемая мощность равна изменению энергии возбужденных атомов в единицу времени, т. е.
Р =------—(N hv ) = N пА hv e~Anmt (30.4)
Из выражения (30.3) найдем среднюю продолжительность жизни атома в возбужденном состоянии
00
= -1- С tN^-^dt = —.
" Nn0 J n	Anm
о
Итак, вероятность перехода и длительность возбужденного состояния атома на уровне Wn связаны фундаментальным отношением:
Апт = ^~-	(30.5)
Если с уровня Wn возможен переход не на один, а на несколько нижележащих уровней, то полная вероятность перехода будет равна простой сумме вероятностей перехода на отдельные уровни (рис. 32). В этом случае средняя длительность возбужденного состояния атома тп на уровне Wn будет связана с парциальными вероятностями перехода соотношением
Интенсивность излучения Рпт для частоты vnm определяется числом актов излучения в 1 см3. Учитывая это, можно записать:
. Рпт = NnAnmhvnm.	(30.7)
Подставляя сюда Апт из (29.31), будем иметь
11т "	3c3g„
(30.8)
167
Число возбужденных атомов сильно зависит от условий возбуждения, которые в разных случаях могут быть самыми разнообразными. Наиболее полно удается проанализировать случай, когда происходит термическое возбуждение светящихся атомов и молекул и притом
Рис. 32
Рис. 33
такое, когда можно считать, что в светящихся областях газа (или пара) имеется тепловое равновесие. Тогда среднее число возбужденных атомов с энергией возбуждения Wn может быть вычислено по статистической формуле Больцмана:
=	кт у	(30.9)
Si
где —число атомов в единице объема в нормальном состоянии, gn и g\ — статистические веса состояний с энергиями Wn на возбужденном уровне и Wi в невоз
168
бужденном состоянии; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура. Тогда подставляя (30.9) в (30.7), получаем
=	kT. (30.10)
gl
Такова мощность излучения 1 с.и3 светящегося газа при температурном возбуждении. В случае неравновесного возбуждения атомов (и молекул), например, в разреженных газах при электрическом разряде в формулах (30.9) и (30.10) температура Т чаще всего является температурой электронного газа, которая обычно на целый порядок выше температуры светящегося газа и достигает значений 20 ООО-нЮО 000° К и выше. Это приводит к возбуждению уровней энергии и испусканию очень коротковолновых излучений.
Формула (30.8) (если gn=l) может быть выражена для одного атома в виде:
4 0)4
=	(30.11)
Зс3
Если положить, что классическая величина дипольного момента атома
D = 2Dnm,	(30.12)
то (30.11) переходит в формулу для излучения классического диполя:
Fnm =ра =	(зо.13)
Таким образом, квантовая формула (30.11) для атомного излучения имеет ту же структуру, что и формула классической теории дипольного излучения (21.17), если только для дипольного момента атома взять квантовое выражение (30.12), а величины у' и т' приравнять у и т-
Из полученных выражений следует, что, вообще говоря, атомы могут спонтанно излучать во всем диапазоне 0, оо спектра частот V, если только в атомной системе имеются переходы | Dnm\, которые лежат в данном участке спектра. В частности, возможно испускание и атомного радиоизлучения. Например, у атомного водорода (рис. 33) имеются переходы, которые дают излуче
169
ния с частотами, лежащими в сантиметровом участке радиодиапазона.
На рис. 33 приведены схемы переходов для одного, двух и трех квантовых уровней атомного водорода. Эта совокупность переходов приводит к испусканию излучений, лежащих в радиодиапазоне. Так, например, переходу 22Pi/2—22Si/2 соответствует излучение с частотой v = 1051 Мгц, что соответствует длине волны А. = 28,5 см. Наибольшая частота радиоизлучения атомного водорода получается для перехода 225у2— 22РзЛ : v = 10420 Мгц, к = 2,75 см; наименьшая — для перехода 32Р/2 — 32Dy2: v = 60 Мгц, А, = 5 м.
Мощности спонтанного излучения в оптическом и радиодиапазоне весьма сильно различаются. Если для видимого и ультрафиолетового диапазонов возможны мощности излучения, измеряемые величиной в несколько ватт на 1 см3, то в радиодиапазоне, например для самого низкочастотного перехода, мощность излучения по (30.11) упадет до 10“28 вт/см3. Разумеется, такую мощность нельзя уловить от источников излучения, которые обычно употребляются на практике. Однако протяженные космические объекты — газовые туманности, межзвездная среда, которые содержат большие количества водорода, дают радиоизлучения достаточно большой мощности, которая может быть обнаружена с помощью радиотелескопа. Космическое радиоизлучение атомов, молекул и конденсированного вещества изучается радиоастрономией. Теория взаимодействия радиоизлучения с веществом — радиопоглощение вещества — служит основой радиоспектроскопии.
§ 31. Квантовая теория естественной ширины спектральных линий. Сила осциллятора
Найдем квантовое обобщение ширины спектральных линий, которая обусловлена спонтанными радиационными переходами, т. е. дадим теорию естественной ширины спектральных линий. В классической теории для естественной ширины спектральных линий было найдено выражение
26v =
Y
2л
(31.1)
170
В свою очередь, для у имеет место классическое соотношение
Т = —.	(31.2)
х
и значит,
26v = ——  2лг
(31.3)
Будем в дальнейшем предполагать, что это соотношение справедливо и в квантовой теории. Пусть излучение происходит при переходе с возбужденного уровня на единственный нижний уровень Wm, причем уровни Wn и Wm будем считать простыми. Тогда
=	(31.4)
Обозначим ширину вместо символа 6v через 6vnm, а длительность возбужденного состояния вместо т через т„ так, что
26vn,n = ~T-	(31.5)
Заменим здесь величину 1/т„ ее выражением из (30.5):
26vnm = ^,	(31.6)
2 Л
или иначе
26® == у = А	(317)
Взяв значение Апт из (29.26), для квантового выражения естественной ширины спектральных линий будем иметь:
2bvnm = — . 64"4vLl^l2.	(3! .8)
Пт 2л 3htfl
Сравним теперь это выражение с классическим из формулы (22.8). Для удобства запишем классическую ширину в циклических частотах и выразим ее через коэффициент радиационного затухания у:
2 (2n6v) = 26® = у,	(31.9)
171
(31.10)
(31.11)
а для квантовой ширины имеем 2S“nm = 2 (2n6v„m) = упт. Отсюда получим
У пт   ^то^пт I D/m I2 у	йе2
Следовательно, квантовая ширина спектральной линии связана с классической соотношением
Vnm = fn,nV’	(31.12)
где 2/?г0К1пт | Dnm|2 Йе2
(31.12')
пт
—«сила осциллятора» для квантового перехода Wn-+Wm.
Если fnm=l, ^nm = Ynm=y является классическим коэффициентом радиационного затухания классического осциллятора. Вероятность перехода Апт для квантового осциллятора выражается через классическую величину у и силу осциллятора в виде:
Апт = ?птЪ	(31-13)
Формулы (31.8) и (31.13) позволяют на основе измерения ширины спектральных линий находить важнейшие атомные константы, определяющие интенсивность излучения — вероятность спонтанного перехода и силу осциллятора. Выражение (31.12) показывает, что действительная естественная ширина спектральной линии может существенно отличаться от классической.
Формула (31.12'), как и формула (31.8), найдена для переходов между двумя простыми (невырожденными) уровнями. В случае переходов между вырожденными уровнями для силы осциллятора вместо | Dnm | нужно брать силу линии | Dnm |, отнесенную к статистическому весу gn (или соответственно к gm). Тогда
£ ___	1 Dnm I2
Пт ~ tu?gn
(31.14) г __	' Dnm |2
172
где fnm и fmn — Силы осцилляторов соответственно для переходов с излучением и поглощением. Так как
Штп — апт ~	7		(31-1 °)
II
то атп следует считать положительной величиной, а апт — отрицательной. Соответственно имеем
gnfnm. = “ gmfmn-	(31.16)
Подставляя в формулу (30.6) вместо Ant величину fniy согласно формуле (31.13) и заменяя fni на fin по формуле (31.16), будем иметь (если не учитывать знака «минус»):
или с учетом уп = 1/т„
(31-18)
Sn i
Такова будет естественная ширина вырожденного уровня энергии, переходы с которого возможны на. другие вырожденные уровни. Так как испускание тех или иных спектральных линий происходит при переходах между уровнями энергии, то расширение спектральных линий можно понимать как следствие расширения уровней энергии. Поэтому, если умножим ширину линии 2 бв>ит на Й, то получим суммарное уширение уровней энергии, между которыми совершается переход:
2dco,im = Шп + АГт.	(31.19)
Если AW7m = 0, то
П2^пт = ^п	(31.20)
или, заменяя ширину уровня через тп, можем написать:
ДЙ7„ = —,	(31.21)
173
т. е. ширина уровня энергии обратно пропорциональна длительности возбужденного состояния' атома. Если тр-^оо, то	Так как в невозбужденном состоя-
нии Wy атом может без внешних возмущений находиться бесконечно долго, то Ti = oo и Л>| =0. Следовательно, если в формуле (31.18). вести суммирование по всем i от 1 до п, то выражение Йуп даст ширину уровня энергии (в эргах):
1—п
=	(31-22)
Z=1
Рис. 34
Из изложенного выше легко видеть принципиальные различия, к которым приводит квантовая теория естественной ширины линий по сравнению с классической. По классической теории между шириной линии у и мощностью излучения Р существует соотношение
Р =
т. е. интенсивности излучений и ширина линий прямо пропорциональны друг другу. В квантовой же теории это не обязательно, так как здесь ширина линий объясняется согласно формуле (31.19) расширением уровней энергии. На рис. 34 изо
бражены два случая, где переходу с уровня 1^2 на уровень 1F] соответствует широкая и интенсивная линия, а переходу с уровня на широкий уровень 1^2 — широкая и слабая линия. Классическая теория не могла обосновать эти факты, тогда как квантовые представления очень хорошо объясняют наблюдаемые явления.
По классической теории излучения ширина линии
2бмлт = у =
2 6^61^
3moc3
174
должна быстро падать с уменьшением частоты электромагнитных колебаний. Так было найдено, что
для Л=5000А у = 8,85 • 107 се/< ', у/(иПт = 2,42 • 10“8; для Л=5 см у =s= 8,85 -10—3 сек-1, у/(опт = 2,42 • 10“13.
Величина
 м,,т - = Q	(31.23)
в радиофизике получила название добротности резонатора. В данном случае для атомного резонатора имеем: при % = 5000 A Q = 4,13-107, при %=5 см	Q = 4,13-1012.
Эти значения добротностей атомных резонаторов являются исключительно высокими и совершенно недостижимы в обычных радиофизических резонаторах. Этим и обусловлено, что в радиочастотных устройствах, где применяются атомные или молекулярные резонаторы, удается получить весьма монохроматические колебания, позволяющие создать принципиально новые приборы, например атомные или молекулярные часы с высокой точностью отсчета времени. Однако приведенные выше большие значения добротности атомных (или молекулярных) резонаторов можно получить лишь при условии, если радиочастотный переход совершается между- основным уровнем и самым ближайшим к нему возбужденным подуровнем. Тогда, по квантовой теории, уровни энергии почти не уширены за счет радиационных процессов. Наоборот, если радиочастотное излучение или поглощение соответствует переходам между подуровнями тонкой структуры возбужденных уровней, как это, например, имеет место для радиоизлучения или радиопоглощения атомного водорода, то благодаря значительной ширине уровней ширина линии радиоизлучения получается очень большой. Так, уровни 22Р щ.з/г имеют ширину 2 6v=100 Мгц. Поэтому добротность атомного резонатора для перехода 22S щ	кото-
рому соответствует частота излучения v~103 Мгц, будет равна v/2 6v = 10, тогда как согласно классической теории добротность должна была быть равной Q = l,5-1014. Таким образом, классическая теория здесь совершенно неприменима.
175
§ 32. Соотношение неопределенности
i
Из формулы (31.21) следует, что /
Д1ГЛ=Й. /	(32.1)
Однако надо заметить, что ширина представляет не полную ширину, а только ее часть, ограниченную условием: половинной интенсивности испускаемой спектральной линии. Равным образом т„ выражает среднюю продолжительность жизни атома в возбужденном состоянии. В различных случаях длительность возбужденного состояния Ktn может превосходить хп и тогда более общим будет соотношение
дг„дг„ > п.	(32.2)
Эта неопределенность значения уровня энергии Wn, лежащего в пределах Wn и W^ + AW7,!, и неопределенность в длительности возбужденного состояния атома А7П, выраженная формулой (32.2), называется соотношением неопределенности. Оно отражает статистический характер значений энергии стационарных состояний атома, а также статистический характер актов спонтанного излучения, обусловленных электромагнитными флуктуациями фотонного вакуума.
Соотношение (32.2) можно преобразовать к другому виду.
Энергия водородоподобного атома может быть выра-£>2
жена как W = — -----, откуда
27?
ДЦ7= 2Е_д^ = e^L = pAK (32.3) др	2R2	2
где e2IR2 = F— сила кулоновского взаимодействия. Умножая обе части на А7, находим
ДГД^ = FM —, 2
причем произведение F\t = A.p определяет изменение импульса электрона, А/?/2 = А</— изменение координаты электрона. Подставляя эти значения в формулу (32.2) с соответствующими индексами, получаем
^Рп  \qn > И.	(32.4)
176
Это соотношение неопределенности является прямым следствием корпускулярно-волнового дуализма процессов в микромире.
§ 33. Соответствие между классической и квантовой теориями излучения (принцип соответствия)
В § 30 было найдено, что средняя мощность излучения возбужденных атомов определяется выражением (30.7). Если в этом выражении Апт заменить через hvnm^n = то формулу (30.7) можно записать в виде:
Pn,n = ynWam.	(33.1)
Классическая формула имеет вид:
P'nm^yWnlll,	(33. Г)
где Wnm = NnW, W— энергия одного атома.
Таким образом, имеет место полная аналогия в выражениях для интенсивности излучения по классической и квантовой теориям. Однако это лишь внешнее соответствие: ведь формула (33.К) справедлива и для излучения отдельного изблированного атома, а процесс излучения понимается как непрерывный. Формула же (33.1) относится к большой совокупности излучающих атомов, испускающих фотоны статистически, прерывным образом, но средние величины мощности, отнесенные к одному атому, здесь близки к тем, что дает классическая теория для одного атома.
Значит, соответствие между классической и квантовой теориями здесь следует рассматривать как статистическое, предельное соответствие, когда квантовая система имеет очень большое число излучающих атомов, а полная энергия системы во много раз превышает энергию излучаемого фотона Й<впт. Только .в этом случае можно говорить о количественном соответствии между средней мощностью излучения, приходящейся на один атом,
Рпт = Упт^пт	(33.2)
и мощностью излучения атома
=	(33.3)
вычисленной по классической теории.
177
Таким образом, соответствие между классической и квантовой теориями может иметь место, только в том случае, если
(33.4) пт
Если энергия системы растет, а <в,гт остается постоян1 ным, то Wn,„-^-oo, следовательно, anmfi/W«m-^О. Формально обычно говорят, что если в квантовых формулах положить то квантовая теория переходит в классическую. В действительности, критерием соответствия служит выражение (33.4).
Другим важным примером такого согласования теорий является излучение светящегося электрона, для которого вычисления на основе классической теории приводят к прекрасному совпадению с опытом (см. рис. 19). На рис. 19, а изображен квантовый процесс излучения: энергия испускается квантами и электрон затухает по прерывистой спирали. С увеличением энергии излучающего электрона число актов излучения растет, расстояние между ступенями в спирали уменьшается, и ступенчатая спираль все более приближается к непрерывной спирали, показанной на рис. 19,6, т. е. постепенно квантовый характер излучения как бы переходит в непрерывный процесс. Поэтому в соответствии с классической теорией в предельном случае, когда средняя энергия излучаемых фотонов hv будет много меньше энергии излучающего электрона We, то все лучше и лучше будет выполняться условие
и тем больше скачкообразная квантовая спиральная орбита будет приближаться к непрерывной классической спиральной орбите, выражаемой формулой
_ Л
Re = Roe 2 ,	(33.5)
где Re0 —радиус орбиты электрона при t=0; у — коэффициент радиационного затухания.
При выполнении критерия (33.4) наступает соответствие классических и квантовых частот излучения. Покажем это на примере водородоподобных атомов.
178
Из квантовой теории водородоподобных адоМбв й ионов следует, что радиус стационарной орбиты электрона для энергии 1ИП выражается формулой
_ пЧг*
4л2т0е22 ’
(33.6)
где п — главное квантовое число; е и т0 — заряд и масса электрона; eZ — положительный заряд атомного остатка.
Классическая частота излучения v определяется частотой обращения электрона по орбите, связанной со скоростью движения по орбите v формулой

(33.7)
В свою очередь, момент количества движения электрона по орбите может быть с достаточным приближением (когда п велико) представлен как
movRen=n~.	(33.8)
2л;
Из формул (33.6), (33.7) и (33.8) получим
v =	(33.9)
п3
где
/? = 21г2/п°е---	(33.10)
с/г3
— постоянная Ридберга.
Энергия стационарного состояния в водородоподобном атоме (без учета тонкой структуры) может быть записана в виде:
Й7„ =----(33.11)
Квантовая частота излучения (по абсолютной величине), согласно Бору, равна:
- cRZ2 (4- - -И	(33-12)
h	\ tn2 п2, /
179
Рассмотрим случай, когда и п-+со, т. ё. излучение при переходах между уровнями энергии при очень больших квантовых числах. Обозначим n = m+s, где s < т и Тогда, пренебрегая членами второго порядка малости, из (33.12) получим
__ 2cRZ2s пт	о
п3
(33.13)
Сравнение формул (33.9) и (33.13) показывает, что классические и квантовые частоты излучения совпадают, когда 8=1, т. е. для переходов между уровнями IT'n и IT'n-i (соседними уровнями энергии). Для переходов между более далекими уровнями квантовая частота излучения совпадает с обертоном классической частоты излучения, имеющим номер 8. Значит, и в данном случае речь идет о квантовой системе, которая возбуждена на очень высокий уровень энергии:
AIF,M =
а излучаемые фотоны имеют энергию
Ай^г.л—1 — hvn,n—1, которая много меньше ь т. е. hvn „—1
—« 1.
Критерий соответствия классической и квантовой теорий и в этом случае остается прежним. Принцип соответствия классической и квантовой теорий часто облегчает нахождение конечных результатов без пользования сложными расчетами квантовой механики.
§ 34. Действие внешнего магнитного поля на атомное излучение. Эффект Зеемана
Элементарная классическая теория эффекта Зеемана приводит к следующему результату. При действии магнитного поля на излучающие атомы наблюдается расщепление спектральных линий на три компоненты, из которых одна имеет ту же самую частоту колебаний vo, как и при отсутствии внешнего поля (несмещенная ком
180
понента), а Две другие компоненты смещены относительно v0 на величину Avo, равную
л	еН
Av0 = -----,
где Н — значение напряженности внешнего магнитного поля. Например, для Н=\э Av0 = 1,4-106 г^=4,4 Мгц. Для Н= 10000э Avo=l,4-104 Мгц, а соответствующая длина волны 1=2,14 см.
При наблюдении излучения перпендикулярно к магнитному полю несмещенная компонента имеет поляризацию вдоль магнитного поля, т. е. колебания вектора электрического поля в световой волне происходят вдоль вектора Н. Смещенные компоненты имеют направление колебаний вектора электрического поля перпендикулярно к вектору Н. При наблюдении вдоль магнитного поля несмещенная компонента совсем не видна, а смещенные компоненты имеют круговую поляризацию: компонента с увеличенной частотой поляризована по правому кругу, компонента с уменьшенной частотой — по левому кругу. Принято обозначать компоненты, поляризованные вдоль магнитного поля, как л-компоненты, а компоненты, имеющие круговую поляризацию при распространении света вдоль поля (и линейную поляризацию перпендикулярно к полю, когда наблюдение ведется перпендикулярно к полю), как сг-компоненты. Такой тип расщепления спектральных линий имеет место только у одиночных, или сингулетных, линий и называется простым (нормальным) эффектом Зеемана. У сложных, мультиплетных, линий наблюдается более сложное расщепление линий. Отличие сингулетных и мультиплетных линий состоит в том, что в первом случае суммарный спин электронной оболочки равен нулю и полный момент электронной оболочки равен полному орбитальному моменту, т. е. J = L. В случае мультиплетных линий полный спин не равен нулю.
Согласно квантовой теории расщепление линий обусловлено расщеплением уровней энергии на несколько компонент. Если обозначить значение энергии уровня без поля через 1Е0, то для простого эффекта Зеемана при наложении поля его энергия изменяется на величи-
(34.1)
181
йу, кратную кванту энергии hAv0, т. е. энергия W компоненты расщепленного уровня будет
IF = Wo + hAvom,	(34.2)
где tn—магнитное квантовое число.
Дополнительная энергия уровня hAvom появляется вследствие взаимодействия магнитного момента электронной оболочки атома с внешним магнитным полем. Для сингулетных линий магнитный момент и механический момент параллельны друг другу. Величина
/n = Lcos(L, Д),	(34.3)
где L — вектор суммарного орбитального момента электрона в атоме; L — квантовое число полного орбитального момента количества движения электронной оболочки (см. § 27). Магнитное квантовое число может меняться от L до —L (через 1), т. е. принимает значения:
L,L— 1, L — 2, ... , —L+l, — L. (34.4)
Таким образом, т принимает
М = 2L + 1	(34.5)
значений. Число m = L, когда имеется параллельная ориентация вектора L электронной оболочки и внешнего магнитного поля Н. Этой ориентации соответствует наибольшее значение энергии одной из компонент расщепления уровня энергии IF; число т = —L при антипар аллельной ориентации L и Н; число т принимает промежуточные значения, когда L и Н ориентируются под различными углами.
Излучение происходит при переходах с уровня IF' = IF о + tn'h Д vo на уровень IF=IF0 + m/zAvo, тогда согласно закону частот Бора имеем
т =	(34.6)
h.	h.
где W'o и IFo — значения энергии уровней без поля; т' и т — магнитные квантовые числа. Для того чтобы
182
теория соответствовала опыту, должно выполняться условие:
Ат = 0 или Ат = + 1.	(34.7)
При этом в излучении будут присутствовать три компоненты:
v = v0 + Av0.	(34.8)
Схема уровней энергии и переходов между ними изображена на рис. 35: справа — одиночные уровни и испускаемые при переходах между ними спектральные линии в отсутствии магнитного поля, слева — уровни и
□ТЕППл-..^ ешееаеё:
7	Л	7	2 Л д
Рис. 35
переходы при наложенном магнитном поле. Простая схема расщепления уровней у сингулетных линий обусловлена параллельностью направлений магнитного момента атома и его механического момента, что вызвано отсутствием спинового момента.
Для мультиплетных линий явление Зеемана усложняется, так как в этом случае электронная оболочка обладает спиновым моментом, который имеет аномаль
183
ное отношение магнитного момента к механическому, вследствие чего полный момент атома и его магнитный момент уже не направлены по одной прямой. Благодаря этому вместо формулы расщепления (34.2) имеет место выражение
W7 = IF0 + mghkv0,	(34.9)
где
= 1 +	+	+	+	(34 10)
27(7+1)		\	!
Значения чисел L, S и / даны в § 27. Вследствие этого величины расщепления компонент могут быть представлены в следующем виде:
Av = (///'§•' — mg) Av0 = ~ Av0. (34.11) г
Величины q/r являются рациональными дробями и называются дробными числами Рунге (по имени известного спектроскописта). Тип расщепления (34.11) получил название аномальный (сложный) эффект Зеемана.
Эффект Зеемана на линиях излучения принято называть прямым эффектом Зеемана, а на линиях поглощения — обратным эффектом Зеемана. Эффект Зеемана имеет большое значение в радиоспектроскопии, так как на нем основан один из мощных методов исследования — электронный парамагнитный резонанс.
§ 35.	Расщепление спектральных линий во внешнем электрическом поле. Эффект Штарка
При наложении внешнего электрического поля на атомы наблюдаются расщепления и смещения частот спектральных линий. Наиболее ярко этот эффект проявляется у одноэлектронных (водородоподобных) атомов и ионов. Как и в случае действия внешнего магнитного поля, здесь наблюдается изменение энергии уровней атома. При наложении внешнего электрического поля орбита электрона начинает совершать прецессию вокруг направления вектора Е так, что электрический центр тяжести орбиты С (рис. 36) начинает совершать враще-
184
ние вокруг центра О, смещенного вдоль поля на расстояние z. Тогда дополнительная энергия атома, которую он приобрел во внешнем электрическом поле, равна:
\WE = — eE-z, (35.1)
где
z = g cos ср;	(35.2)
т
^=±^dt,	(35.3)
о
g— проекция радиуса-вектора Е электрона е на большую ось эллиптической орбиты; Т — период обращения электрона по орбите.
При вычислении интеграла (35.3) получим
£ = as, (35.4)
Рис. 36
где 8 — эксцентриситет орбиты; а — ее большая полуось. Подставляя эти значения в (35.1), находим
ЛГЕ = -	3 г? 	е&Е cos ср. 2	(35.5)
Из элементарной теории	атома имеем	
а —	/г2/;2	(35.6)
	4m2m0e2Z ’	
8 =	]/ /г2 — г2 п	(35.7)
где п — главное квантовое число; I — орбитальное квантовое число электрона. Подставим найденные величины 8 и а в формулу (35.5):
= U?Enk .		135.8)
	8jt2moeZ	
где	k~ ± У гЕ — /2 cos ср	(35.9)
		185
— «электрическое квантовое число», принимающее значения:
k = 0, ±1, ± 2, ... , + (п — 1).	(35.10)
Всего будет
NE = 2n— 1	(35.11)
значений электрического квантового числа, т. е. каждый «водородоподобный» уровень энергии расщепляется во внешнем магнитном поле на (2п—1) уровней, а величина расщепления прямо пропорциональна первой степени напряженности внешнего электрического поля Е.
Частоты излучаемых компонент (по абсолютной величине) определяются законом частот Бора:
v = W(n’,k')-W(n,k) = cRZ2 / J	1_\ h	\ п2 п'2 J	
, 3hE . •4	(п k —nk). 8n2moeZ	(35.12)
Можно записать	
v = v0 + Av,	(35.13)
где	
v0=c^(4—L.'i \ пл	n	(35.14)
— частота излучения водородоподобного атома (или иона) без внешнего поля, тогда как
Av =3hE 	(n'k’ _ nk)	(35.15)
8«2m0eZ j
— величина расщепления компонент при переходах между подуровнями с квантовыми числами п', k' и п, k. На изменения чисел п и k не накладывается никаких ограничений.
Поляризация компонент определяется следующими правилами: если A(n-f-&) равно четному числу, то излучается л-компонента; если Д(п + /г) равно нечетному числу, то излучается о-компонента. На рис. 37 приведен пример расщепления двух- и трехквантовых уровней. Спектральная линия расщепилась на 15 компонент.
186
Наряду со Штарк-эффектом, пропорциональным первой степени электрического поля, который называется линейным Штарк-эффектом, имеет место и квадратичный Штарк-эффект, когда линии испытывают кроме
расщепления и некоторое смещение в спектре. У сложных атомов, имеющих в оболочке больше одного электрона, наблюдается квадратичный Штарк-эффект и лишь при очень сильных полях начинает появляться линейное расщепление, аналогичное расщеплению линий у водородоподобных атомов.
Глава 5
ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА МОЛЕКУЛАМИ
§ 36.	Энергетический спектр двухатомных молекул
Теория молекулярных спектров излагается в курсах по молекулярной спектроскопии*, и поэтому в этой главе будут затронуты только некоторые общие свойства электромагнитного поля излучения молекул, имеющие значение для теоретической оптики.
Общие закономерности процессов излучения, найденные в предыдущих главах, полностью применимы и к излучению молекул. Это, в первую очередь, относится ко всем случаям, когда молекулу можно рассматривать как дипольную систему. Однако сложная структура распределения электрических зарядов в молекуле приводит к тому, что в большинстве случаев молекула излучает как мультиполь, а сложный характер движения молекул приводит к тому, что молекулярный осциллятор становится ангармоническим. Наконец, особую печать на энергетический спектр молекул накладывает их вращение.
В § 27 были рассмотрены энергетические уровни и их зависимость от структуры электронной оболочки атомов, т. е. от числа и состояний отдельных электронов, а также
* См. М. А. Е л ь я ш е в и ч. Атомная и молекулярная спектроскопия. М., Физматгиз, 1962;
В. Н. Кондратьев. Структура атомов и молекул. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1946.
188
всей их совокупности. Выражения (27.11) и (27.12) дают представление, как усложняются энергетические спектры атомов и спектры их излучения при увеличении числа электронов в оболочке. При переходе к энергетическим спектрам и спектрам излучения молекул следует ожидать дальнейшее усложнение строения уровней энергии и спектров излучения, что действительно имеет место.
При соединении атомов в молекулы происходит взаимодействие электронных оболочек атомов. Электрические поля электронных оболочек атомов при их сближении в процессе образования молекул вызывают расщепление уровней энергии соединяющихся атомов. Вследствие этого энергетический спектр молекулы получается более сложным нежели спектры атомов, из которых она возникла. Электронная оболочка молекулы представляет собой совокупность электронов соединившихся атомов. При этом валентные электроны образуют общую внешнюю оболочку молекулы.
Итак, уровни энергии образовавшейся электронной оболочки, или, как их называют, электронные уровни молекул, происходят из уровней, образующих молекулу атомов в результате расщепления их в электрическом поле образовавшейся молекулы и других элементарных взаимодействий. Такое происхождение электронных состояний имеет место у двухатомных молекул и сложных линейных молекул. Для нелинейных молекул процесс образования электронных состояний усложняется. Значения энергии электронных уровней получили название электронная энергия молекулы, которая обозначается символом We. Вычисление значения уровней энергии и вообще расчеты стационарных состояний электронной оболочки молекул аналогичны расчетам для электронных оболочек атомов: как и в теории атома здесь применяются количественные методы квантовой механики стационарных состояний.
Частота излучаемых спектральных линий для молекул определяется тем же законом, как и в атомах, т. е.
где We и U7' — значения энергии стационарных состояний нижнего и верхнего уровней.
189
Наличие в молекулах нескольких дискретных масс—. ядер атомов, связанных между собой силовыми полями взаимодействия электронных оболочек, приводит к тому, что в целом молекула является системой, обладающей колебательными степенями свободы. В простейшем случае двухатомной молекулы она имеет одну колебательную степень свободы и может рассматриваться как осциллятор с одной степенью свободы.
Для энергии гармонического осциллятора в § 14 было найдено выражение (см. 14.5)

где Vk — колебательное квантовое число; k— абсолютное значение волнового вектора. Однако в действительности двухатомная молекула представляет собой ангармонический осциллятор, причем ангармоничность возрастает по мере увеличения амплитуды колебаний атомных ядер, входящих в состав молекулы. В этом случае согласно законам квантовой механики энергия колебания молекулы в первом приближении равна:
Wv=hvQ^(v+ -1-) -b(v + -yyb
(36.2)
Здесь Ц7г,— обозначает энергию стационарного состояния молекулы, обусловленной колебаниями; v (индексk опущен)—колебательное квантовое число; b — константа ангармоничности; vo — основная частота колебаний молекулы. Wv называют колебательной энергией, или энергией колебаний. В более общем случае энергия колебаний молекулы может быть выражена в виде ряда по степеням разложения	) •
Наряду с колебательными степенями свободы молекула обладает вращением и, следовательно, имеет еще вращательные уровни энергии. Момент количества движения системы квантуется по закону (см. § 27):
| J\ = n ]/7(J+ 1),	(36.3)
190
где J — квантовое число момента количества движения. Так как энергия вращения выражается через J формулой
<36-4)
2/ Q
где /о — момент инерции молекулы, то для Wr можно написать выражение:
й2
IFr = ^-(J +1) Л	(36.5)
J
Ч-------
(4/ - _—_.----------------———------------------
Электронные электронно- электронно-нопеоатепно-уровни колеИателбНыв вращательные уровни	уровни.
Рис. 38
В данном случае J называется вращательным квантовым числом, принимающим значения 0, 1, 2,... Изменения J подчиняются правилу:
Д7=±1.	(36.6)
191
В простейшем случае все компоненты энергетического состояния молекулы складываются аддитивно, т. е.
R7 = We +	+ Wr.
(36.7)
В действительности всегда происходит большее или меньшее взаимодействие между процессами движения в молекулах, благодаря чему имеет место более сложный вид для уровня энергии молекулы. На рис. 38 приведена схема уровней энергии двухатомной молекулы и переходов между ними. Здесь видно, что энергетический спектр молекул состоит из системы линейчатых полос, а не отдельных линий.
Для более сложных молекул закономерности в энергетическом спектре усложняются, однако и в этом случае проявляются указанные выше энергетические компоненты — электронная, колебательная и вращательная энергия молекул.
§ 37.	Спектры излучения молекул
Из предыдущего параграфа следует, что спектры излучения молекул будут иметь в своем составе три выраженные структуры — электронную, вибрационную и ротационную. Это непосредственно следует из соотношения, определяющего частоты излучений квантовых переходов:
где IFe'o/. и Wevr —значения энергетических уровней верхнего и нижнего состояний. Заменяя эти значения по формуле (36.7), получаем
(Г; + W'v + w'r) - (We + ^ + Wr)
(37.2)
Подставляя в (37.2) выражения для Wv и Wr, We (см. 37.3'), находим
v = ve + vv 4- vr,
(37.3)
192
где
й
	(37.3')
h
W'r — Wr h
Для колебательных частот можно записать выражение в явном виде:
vv = vo (у' — у) (1 — b) + vob (v'2 — у2).	(37.4)
Для ангармонического осциллятора на изменение числа v не накладывается ограничений. Однако, когда ангармоничность молекулярного осциллятора невелика, переходы интенсивны только для основного тона
Рис. 39
v0(Ay=±l). Для обертонов с частотами 2vo, 3vo и т. д. (Ду = ±2, ±3 и т. д.) интенсивности линий очень слабы и в первом приближении можно принять для осциллятора молекулы те же правила переходов, как и для гармонического осциллятора, т. е. полагать, что Ду=±1. Тогда для vv получим
Д = v0 {1 —— 2& (у Д- 1)}.	(37.5)
Если же b очень мало, то v!) = vo.
Для частоты vr согласно (36.5), (36.6) и (37.3') имеем
'’' = ДДГ<''+1)'	<37-6)
Здесь всюду частоты ve, vv, vr полагаются как аддитивные величины. В общем случае между всеми тремя видами энергий имеется взаимодействие и реальная струк
7 Ф. А. Королев
193
тура энергетического и оптического спектров всегда оказывается сложнее той, которая следует из формулы (37.2).
Соответственно полосатому энергетическому спектру спектр излучения молекул также состоит из характерных групп полос (рис. 39). Еще более усложняются энергетические спектры излучения многоатомных молекул.
§ 38.	Мультипольный характер излучения молекул
В § 29 были написаны выражения (29.3) для спектральных компонент вектора-потенциала излучающей системы:
а , У 2лйс	И]
A‘=i^V
"t а . /~2лЛс	И]
A‘ = T>:V ~Г«-е
В случае атома считалось, что множитель (или соответственно	) в пределах атомных размеров
равен единице ввиду малости размеров атома по сравнению с длиной волны. Действительно, в нормальном состоянии атом водорода имеет диаметр орбиты около 1 А, тогда как световые волны даже в вакуумной ультрафиолетовой области имеют длину порядка 1000 А. Поэтому в пределах атомных размеров Дг/Х<^1 и (£Дг) << 1 (здесь г заменен на Аг).
В общем же случае множитель el(k Аг) должен учитываться. Тогда, разлагая его в ряд, находим
= j + j д У) _ (Хдг)2 _j_ ...
(38.1)
В этом случае можно записать:
(Дг-Gj) Д'-) = (Дг-aJ ф- i (Ar-nJ (k- Ar) —
-±(д;.а1)(1.д7)а+ ....
(38.1')
194
(Ar  a±) е~№	= (Дг • ar) — i (Дг • a,) (k  Ar) +
+ -|-(Дг.а1)(1д?)2+ ...
В свою очередь, для матричных элементов изменения координаты электрона получим выражения:
J 'С/7!	(k^r)-----~ Ar (kAr)2 + ... J- tyndV
.	(38.2)
J ij/a! |Дг — iAr (kAr) + -у Дг (kAr)2 -j- ... I tymdV.
Первый член в скобках дает матричный элемент для дипольного излучения (или поглощения) и был приведен в § 29. Второй член соответствует электрическому квадруполю и магнитному диполю, а следующие члены разложения — мультиполям более высокого порядка.
Для атома Дг имеет величину размера атома, и тогда все члены высшего порядка, кроме первого, могут быть опущены. Только в том случае, если матричный элемент, соответствующий дипольному излучению,
Л^т = °> или e\Arnm\ — \Ъпт\=®,	(38.3)
члены высшего порядка необходимо учитывать. Переход, соответствующий условию (38.3), называется в спектроскопии «запрещенным» переходом. В действительности запрет является неполным, поскольку атом (или молекула) может совершить переход с излучением за счет мультипольных моментов. Однако интенсивность этого излучения, как это можно понять из (38.1) и (38.2), будет очень мала по сравнению с интенсивностью дипольного излучения, если только не переходить в область рентгеновского спектра, где "к~Аго.
В разложении (38.1) изменение Аг порядка R— размеров атома (молекулы), т. е.
Дг~7Д	(38.4)
Второй член в разложении (38.2) может быть записан без множителя i и после умножения на заряд электрона имеет вид:
7*
195
DM =- e&.r (k&.r'),	(38.5)
где D’a — мультипольный момент молекулы второго порядка.
Если обозначить через /л радиус-вектор из центра молекулы к точке наблюдения, то можно считать, что k совпадает с г0 по направлению. Тогда
= — = п,	(38.6)
г0 k
т. е.
~k = kn.	(38.7)
С учетом (38.7) выражение (38.5) принимает вид:
DM = eW(«Ar).	(38.8)
Если имеется система из I зарядов, то для DM необходимо взять сумму по всем зарядам:
DM = ke S	(38.9)
i
— расстояние от центра системы зарядов молекулы до /-го заряда. Если произвести замену k = a>k/c, a>liAr[ = = —ivt, то формулу для Dm можно переписать в следующем виде:
в;	- т Sе^1	(38,10)
i „
Выражение t>z(«Arz) преобразуем следующим образом:
uz («Arz) =	~ Дгг Й д) + -у- 5 (яАф) — ~ (пиг).
Отсюда
5 («м = -у ~1г	~ т[[	п]  <38,11 >
196
Подставляя (38.11) в (38.10), получаем
S" = —7 Е f -V 4г<	- Т S f[	
I	I
(38.12)
Так как в матричном элементе стоит множитель i, то при умножении DM на i знак «минус» исчезает.
Итак, для системы гармонически колеблющихся зарядов величина
q=2 ei^i I
(38.13)
представляет собой квадрупольный момент системы (атома, молекулы).
В свою очередь, величина
(38-14)
i
выражает магнитно-дипольный момент атома (молекулы).
На рис. 40 приведена система зарядов квадруполь-ной молекулы, которая наглядно поясняет сказанное.
Для молекул в отличие от атома квадрупольные и магнитно-дипольные моменты и вообще мультипольные моменты могут быть уже не малы по сравнению с дипольными моментами. Поэтому у большого количества молекул излучение носит типично мультипольный характер со своеобразным пространственным распределением интенсивности излучения, резко отличным от распределения интенсивности при дипольном излучении, а также с другими поляризационными характеристиками.
Рис. 40
197
Используя разложение (38.1) и вычисляя матричные элементы (38.2), можно найти соответствующие вероятности мультипольных переходов. Излучая угловые и поляризационные характеристики в спектрах излучения молекул, можно заключить о мультипольности излучающей молекулы и, таким образом, составить представление о ее структуре. Обширные экспериментальные исследования мультипольного характера излучения молекул были проведены крупнейшим советским физиком С. И. Вавиловым и его учениками *.
§ 39.	Инфракрасное, субмиллиметровое излучения и радиоизлучение молекул
Молекулы излучают очень большой спектр частот, простирающийся от коротковолновой ультрафиолетовой области, включая и вакуумный ультрафиолетовый спектр, вплоть до радиочастот метрового диапазона. Инфракрасное излучение молекул заключено во всем интервале этого спектра-от длин волн 0,75 мк до миллиметрового диапазона радиоволн, и, значит, полный интервал, излучаемых молекулами частот инфракрасного спектра, составит полосу частот от 4-1014 до 3-1011 гц. Однако интервал спектра от 100 мк до 1000 мк (3-1012 гцч-З-1011 гц) принято называть диапазоном субмиллиметровых волн. Область спектра радиоизлучений НЮ мм соответственно называют миллиметровыми волнами, а область спектра 1-4-100 см — сантиметровыми волнами.
Спектр колебательных частот молекул простирается от красной границы видимого спектра примерно до начала субмиллиметровой области, т. е. лежит в интервале 4 • 1014 гц-i-S • 1012 гц. Субмиллиметровая же часть спектра является главным образом областью ротационных спектров молекул, которые частично простираются и в более коротковолновую область, а также захваты
* С. И. Вавилов. Микроструктура света. Собр. соч., т. 2. М., Изд. АН СССР, 1952; П. П. Феофилов. Поляризованная люминесценция атомов, молекул и кристаллов. М., Физматгиз, 1959; Б. И. Степанов, В. П. Г р и б жо в с к и й. Введение в теорию люминесценции. Минск, Изд. АН БССР, 1963.
198
вают миллиметровый, сантиметровый и даже метровый диапазоны электромагнитного спектра. Ротационные спектры молекул захватывают, таким образом, всю область частот 3-L012 гц~3  10й гц и еще более длинноволновые области спектра.
Поглощение и излучение молекулами радиоизлучений в широком диапазоне частот является основой для радиоспектроскопии молекул.
Глава 6
ИЗЛУЧЕНИЕ КОНДЕНСИРОВАННОГО ВЕЩЕСТВА
§ 40.	Энергетический спектр конденсированного вещества
В предыдущей главе показано, что энергетический спектр системы отдельных уровней энергии атомов превращается у молекул в группы полос уровней энергии, состоящих из отдельных квантованных уровней. Если же плотность вещества достаточно велика, то благодаря взаимодействию атомов и молекул отдельные уровни энергии будут испытывать расширения и линейчатые полосы могут превратиться в сплошные энергетические полосы или зоны (энергетические зоны вещества). Наибольшее взаимодействие атомов и молекул (ионов) происходит в конденсированном состоянии вещества — твердых телах и жидкостях, энергетический спектр которых должен иметь также зонную структуру и в зависимости от вида конденсированного вещества — весьма различную. У диэлектриков отдельные зоны уровней разделены очень большими промежутками (запрещенными зонами). Запрещенные зоны у полупроводников значительно меньше. Наконец, у металлов (проводников) различные зоны уровней вообще не разделены между собой и сливаются в сплошной, непрерывный спектр уровней энергии. Так на рис. 41 изображены зонная структура диэлектрика (а), полупроводника (б), проводника (металла) (в).
200
Самая нижняя полоса (зона) уровней простирается между наинизшим уровнем энергии W7] и верхним уровнем этой полосы W]' и называется нормальной зоной (см. рис. 41, а). Так как обычно все валентные электроны находятся на уровнях энергии этой зоны и полностью ее заполняют, то она также называется валентной, или заполненной, зоной. Поскольку на одном уровне
энергии может находиться лишь один электрон, а у диэлектриков все уровни заполнены, то электроны в диэлектриках не имеют возможности перемещаться — электропроводность диэлектриков практически равна нулю.
Интервал энергий между наинизшим W2 и самым верхним W2' уровнями следующей полосы представляет собой вторую — возбужденную зону, или зону проводимости. Интервал энергий между валентной зоной и зоной проводимости, как было ранее сказано, называется запрещенной зоной. На рис. 41 это соответственно зоны ДТЯГй и ДТГр. Электроны не могут находиться на уровнях энергии в запрещенной зоне, если только по каким-либо причинам (наличие примесей, дефектов структуры и др.) там не появятся новые добавочные уровни энергии.
Если диэлектрик или полупроводник облучать светом, кванты энергии которого больше ширины запрещенной зоны, то электроны из заполненной валентной зоны переходят в зону проводимости, где могут пере
201
ходить с одного уровня на другой и, следовательно, перемещаться по веществу. Так как в валентной зоне также освобождаются уровни энергии, то и там открывается возможность для перемещения электронов. Благодаря этому вещество приобретает электропроводность. На рис. 41, а изображен случай возбуждения диэлектрика квантом энергии A-vi > Д1^(г. У проводника (см. рис. 41,в) обе зоны и WYVIV перекрываются, и электроны могут свободно переходить из одной зоны в другую.
У диэлектриков ширина запрещенной зоны порядка 10 эв, и поэтому для его возбуждения необходимы кванты сравнительно большой энергии (больше Wd). У полупроводников ширина этой зоны около десятых и сотых долей электронвольта, и излучения даже с небольшими величинами кванта энергии /zv2 (см. рис. 41,6) могут переводить электроны в зону проводимости: излучения тел при комнатной температуре уже возбуждают полупроводники и они приобретают большую электропроводность. Наконец, в металлах кванты любой энергии в состоянии переводить электроны с одних уровней на другие.
Соответственно энергетической структуре конденсированных тел при их возбуждении наблюдаются спектры, состоящие из полос, которые в случае диэлектриков будут разделяться широкими промежутками, в случае полупроводников расстояния между полосами будут значительно меньше и, наконец, в случае проводников будет вообще сплошной спектр.
§ 41.	Неравновесное излучение конденсированного вещества
Свечение конденсированного вещества может быть возбуждено различными способами: с помощью нагревания, светового, рентгеновского и гамма-излучения, быстрыми электронами и даже электрическим полем. В большинстве случаев свечение происходит при отсутствии термодинамического равновесия между источниками возбуждения, излучающим веществом, а также излучаемым светом. Излучение в отсутствие термодинамического равновесия представляет собой неравновесное излучение вещества.
Пусть вещество каким-либо действием переведено в
202
возбужденное состояние и переходы с возбужденных уровней на невозбужденные сопровождаются излучением, спектр и другие свойства которого будут определяться свойствами излучающих частиц вещества. Если излучаемая мощность равна мощности, подводимой к излучающему веществу, то в системе устанавливается стационарное состояние. Излучаемая веществом мощность будет равна разности между мощностью излучения всех возбужденных частиц и мощностью поглощения излучения веществом. Если для вероятности переходов с излучением и поглощением примем выражения, которым соответствуют коэффициенты (29.31), а плотность установившегося в системе излучения равна u(vnm), то мощность излучения единицы объема системы равна:
Рпт = \AnmNn + Впти (упт) Nn — Bmnu (vnm) Nm} hvnm, (41.1) где Nn и Nm — число частиц на верхнем и нижнем уровнях, между которыми совершаются квантовые переходы с излучением и поглощением.
Часть мощности излучения, зависящую от плотности излучения, т. е.
рпт = [Впти (vnm) Nn — Втпи (упт) Nm\ hvnm, (41.2)
можно выразить в виде:
- Р*т = Втп (Nm -	и (упт) hvnm.	(41.3)
\ Sn /
Величина —Р *т представляет собой мощность, теряемую в единице объема:
Рпт = kmnU (У ппг) С ’	(41.4)
где kmn— коэффициент поглощения вещества; с' — с/п — скорость света в данной среде; п — показатель преломления среды. С учетом (41.4) для Рпт можно написать выражение:
рп,п = ^п,п^п^пт — kmnu (упт) с/п.	(41.5)
Если бы в системе существовало термодинамическое равновесие, то
Вцт^ (Упт) п/^пт ~~ \-ВПти (Упт) +	(41.6)
203
В отсутствие термодинамического равновесия мощность излучения превышает поглощаемую мощность.
В зависимости от способа возбуждения различают фото-, рентгено-, радио-, катодо-, электролюминесценцию и др.
Энергетическая схема процесса люминесценции сложных молекул изображена на рис. 42. Электрон с помощью кванта света /ivB переводится из нижней полосы уровней в верхнюю на какой-либо из уровней W2"-Взаимодействие возбужденного электрона с веществом
* В. Л. Левшин. Фотолюминесценция жидких и твердых веществ. М.—Л., ГИТТЛ, 1951; Б. И. С т е п а н о в, В. П. Грибков с к и й. Введение в теорию люминесценции. Минск, Изд. АН БССР, 1963.
204
быстро переводит его внутри верхней полосы на самый нижний ее уровень W2, причем энергия его в виде тепла отдается веществу. Переходы такого рода, происходящие без излучения света, получили название безызлучательных переходов. С уровня W2 электрон переходит на какой-то из уровней нижней полосы с испусканием фотонов различных энергий. Наибольшей энергии, а следовательно, и частоты излучаются фотоны при переходе на самый нижний уровень Фотоны наименьшей энергии излучаются при переходе на верхний уровень нижней полосы, т. е.
^изл	(41.7)
где Уизл — частота излучения; vB — частота возбуждения.
Неравенство (41.7) выражает закон Стокса. Ширина полосы люминесценции определяется шириной нижней полосы. На самом деле она будет шире. Действительно, пусть электрон совершает переход из нижней полосы не с самого нижнего уровня IFi, а с какого-либо из вышележащих уровней на самый нижний уровень верхней полосы. Назад же он может совершить переход на самый нижний уровень нижней полосы. Тогда частоты излучения и возбуждения связаны обратным (41.7) соотношением
^ИЗЛ>Н-	(41-8)
Излучение, определяемое неравенством (41.7), называется стоксовским излучением, а излучение, подчиняющееся закону (41.8), — антистоксовским излучением, интенсивность которого во много раз меньше стоксовского (см. рис. 42).
Рассмотренный процесс люминесценции происходит очень быстро после возбуждения и измеряется длительностью возбужденного состояния порядка 10~9 сек. Такое свечение получило название флюоресценции.
Наряду с «быстрым» высвечиванием у ряда веществ наблюдается свечение, которое продолжается длительное время после возбуждения — фосфоресценция. Это свечение обусловлено наличием в конденсированном веществе метастабильных уровней энергии или метаста-бильных полос уровней. Энергетическая схема уровней
205
и переходов для случая длительного свечения приведена на рис. 43. Метастабильные уровни образуются в запрещенной зоне из-за примесей, или активаторов. При этом появляются уровни а выше заполненной зоны (уровни активатора) и уровни b ниже зоны проводимости (локальные уровни). Вещества, дающие длительное свечение, получили название фосфоров.
Процессы возбуждения и излучения происходят следующим образом. Фотон с энергией /iv переводит один
Рис. 43
из электронов из заполненной зоны уровней I в зону уровней проводимости II. Теряя энергию на тепловое движение частиц фосфора, электрон быстро переходит к нижней границе зоны проводимости. В нижней зоне после вырывания электрона образовалась «дырка» — незаполненный уровень, на- который переходит электрон из соседнего верхнего уровня зоны, освобождая уровень для электрона со следующего уровня, и так дырка диффундирует к уровню а, который соответствует положительно заряженной частице активатора. Электрон с нижнего уровня зоны проводимости может сразу перейти на уровень а с испусканием фотона энергией hv', что соответствует кратковременному свечению фосфора (рис. 43,а). Возможен и другой процесс, когда электрон перейдет на уровень Ь, являющийся метастабильным и переход на нижние уровни с которого запрещен. Но если электрон поднять с этого уровня добавочным квантом анергии Av" или за счет энергии колебаний атомов ве
206
щества в зону проводимости, то электрон вновь получит возможность для перехода на уровни активатора с излучением кванта hv' (рис. 43,6). Последний процесс и обусловливает длительное свечение фосфора.
§ 42.	Равновесное (тепловое) излучение. Излучение абсолютно черного тела.
Формула Планка
В конденсированном веществе со сплошным энергетическим спектром, когда оно находится в термодинамическом равновесии со своим излучением, нет возможности описывать процессы излучения микроскопическими характеристиками, например, такими, как матричные элементы дипольных моментов атомов и молекул, квантовые переходы между уровнями энергии отдельных частиц и т. д. Вещество здесь излучает как агрегат частиц, характеризуемый его макроскопическими параметрами, применяемыми в термодинамике, — плотность энергии, температура, энтропия и др. Мощность излучения будем относить теперь к излучающей поверхности тел.
Назовем излучательной способностью Рэ, или энергетической светимостью тела, полную мощность излучения с единицы поверхности (1 еж2) тела, а коэффициентом поглощения а тела — отношение лучистой мощности Ра, поглощаемой 1 см2 поверхности тела, к мощности Р, падающей на эту же поверхность:
(42.1)
Если а=1, то тело поглощает всю падающую на него энергию. Такое тело называют абсолютно черным, излучательную способность которого обозначают буквой Rs3 .
Исследуем температурное излучение абсолютно черного тела.
Если в системе установилось термодинамическое равновесие, то в нем имеет место полная хаотичность всех процессов. Следовательно, в любом элементе объема плотность излучения должна быть постоянна. Это относится как к интегральной плотности, так и к плотности энергии, приходящейся на любой спектральный интервал. Ни одно направление распространения и ни
207
одно направление поляризации не может быть преобладающим, и, значит, мощность, идущая в объеме, по всем направлениям одинакова, а излучение должно быть неполяризованным.
Обозначая спектральную излучательную способность для абсолютно черного тела при температуре Т через г\т > для нечерного тела через и спектральный коэффициент поглощения через а^т, можем написать следующие соотношения:
ОО
J ГК,Т^’
ОО
7?э — j* e^dk, | о
(42.2)
о
Для анализа процессов излучения в условиях температурного равновесия рассмотрим замкнутую полость G, помещенную в термостат с температурой Т (рис. 44).
При температурном равновесии все части полости будут находиться при температуре термостата Т. Положим, что одна из стенок полости S представляет собой абсолютно черное тело, тогда как другие стенки, например S', не являются абсолютно черными- При термодинамическом равновесии в полости каждая единица ее поверхности излучает столько же, сколько и	поглощает—-необходимое
условие равновесия. Через единицу любой поверхности внутри полости туда и обратно проходит одинаковая мощность I. Так как абсолютно черное тело поглощает всю падающую на него мощность, то оно должно излучать точно такую же мощность:
= I.
(42.3)
208
Термодинамическое равновесие возможно только в том случае, если соотношение (42.3) имеет место и для спектральных мощностей, т. е.
гк,т	(42.4)
где I i,t — спектральная плотность мощности излучения в полости, проходящей через любую площадку, равную единице. Равенство (42.4) и аналогичные ему соотношения выражают принцип детального равновесия.
Рассмотрим условия лучистого равновесия для нечерного тела S'. Падающая на единицу его поверхности (на 1 с.и2) мощность также равна I, из которой поглощается доля al. В свою очередь, излучение определяется величиной R3. Равновесие возможно только при условии:
	7?э == al,	(42.5)
или с учетом (42.3)		
	R3 = aRl.	(42.5')
Отсюда		
	а	(42.6)
Уравнение (42.6) выражает закон Кирхгофа, который гласит: для всякого тела отношение его излучательной способности к коэффициенту поглощения равно излучательной способности абсолютно черного тела.
Закон Кирхгофа справедлив не только для интегральных значений 7?э, а и но и для спектральных величин, т. е. е. т, а. т, г. • Tvt 1 Гу’* Л’ *
ХГ = Ч.Т-	<42.7)
Из соотношения (42.7) видно, что для знания законов излучения всех тел очень большое значение имеет функция	вид которой был найден Планком
(1900 г.).
Для вывода формулы Планка рассмотрим излучение при термодинамическом равновесии, в полости, наполненной газом, атомы которого поглощают и излучают
209
электромагнитную энергию. Плотность излучения в полости обозначим через и1т , и пусть атомы обладают уровнями энергии Wu W2, ..., Wm,..., Wn,...
В системе, в которой имеет место термодинамическое равновесие, вероятное число атомов Nm, обладающих энергией Wm, определяется формулой Больцмана:
gi
Для энергии Wn
Nn=Nr~^-e kT,	(42.8')
gi где Ni — число атомов в 1 см3 с энергией IFi; gm и gn — статистические веса уровней Wm и Wn.
При переходе с уровня Wn на уровень Wm испускается излучение с частотой
__ W' д — Win h
Из (42.8) и (42.8') следует, что
wn-wm
Nm  gm c kT _ gm ekT	(42.9)
Nn gn	gn
Среднее число спонтанных переходов в 1 сек с уровня Wn на Wm будет
AN'n = AllmNn.	(42.10)
Число индуцированных переходов с испусканием фотонов равно:
&N'n=BnmNnuvT.	(42.11)
Число переходов с поглощением фотонов
При термодинамическом равновесии должно соблюдаться равенство:
(.^nmJrBnmuv,T')Nn = BmnNmuV'T. (42.12)
210
Из (42.12) получим, что плотность излучения
„	AnmJBnm.
UV,T ~.
Д/ига N тп ।
В пт N п
(42.13)
Если теперь подставить сюда выражения для Апт, Впт и Втп из формул (29.31) и (29.32), а для Nm!Nn из (42.9), то будем иметь (индекс пт •зл.&с.ъ опущен):
8n/iv3 1
^•Т = -----------------
ekT -1
(42.14)
Это выражение представляет собой формулу Планка для распределения энергии в спектре излучения абсолютно черного тела.
Для случая направленного излучения связь между плотностью энергии излучения и и мощностью излучения единицы объема Р имеет вид:
Р = си.	(42.15)
Для излучения по всем направлениям, как это имеет место при равновесном излучении черного тела, энергетическая спектральная излучательная способность и плотность излучения связаны выражением
rv,r = —— uv,T.	(42.16)
4л Следовательно,
_ 2/iv3	1
„2	hv
ekT — 1
Если в (42.17) частоты заменить на длины волн и заменить dv на dA в соотношении rv Tdv = rKTdX, то выражение для гк т может быть записано в виде:
(42.17)
Формула Планка представляет собой основной закон теплового излучения, из которого можно получить все остальные законы излучения абсолютно черного тела.
211
§ 43.	Следствия из основного закона теплового излучения
Формулы (42.14), (42.17) и (42.18) позволяют вывести и все остальные законы теплового излучения. Интегрируя (42.17) по всему спектру, получим интегральную мощность излучения абсолютно черного тела:
оо
frv,rdv = -^-T\	(43.1)
J	15с2 Л3
о
или
Rl = аТ\	(43.2)
что представляет собой закон Стефана—Больцмана. Постоянная о в законе Стефана—Больцмана имеет величину
ст = 5,6686-10-12 вт/(см2-градл).
Выражение (43.2) дает излучательную способность абсолютно черного тела при излучении в пространство, в котором отсутствуют излучающие тела, т. е. Т = 0. При Т5^0 необходимо учитывать обратное излучение. Если оно носит характер излучения абсолютно черного тела при температуре То, то формула (43.2) примет вид:
Я| = ст(Т4-7^).	(43.2')
Из формулы Планка можно вывести еще один важный закон излучения — закон смещения Вина. На рис. 45 приведены кривые распределения по спектру интенсивности излучения абсолютно черного тела при различных температурах. Все эти кривые имеют максимум, который с изменением температуры смещается по спектру, причем с ростом температуры его положение, характеризуемое длиной волны Z™, смещается в сторону коротких волн, и наоборот.
Дифференцируя (42.18) по %, приравнивая производную г')Т нулю и решая полученное уравнение, находим
к!ПТ = 2880 мк-град.	(43.3)
Это уравнение называется законом смещения Вина.
Формула Планка дает возможность получить ее некоторые предельные выражения. Если показатель сте-212
пени в знаменателе формулы (42.14) или (42.18) мал, то hv	he
можно разложить выражения ekT и e^kT в ряд и ограничиться двумя первыми членами. Тогда формулы (42.17) и (42.18) примут вид:
uv,r = -------—
с3
ckT
ГЬ,Т ==
(43.4)
(43.4')
Эти выражения представляют собой так называемые формулы Джинса для плотности энергии и мощности излучения абсолютно черного тела, которые выводятся на основе классических (неквантовых) положений. Они
Рис. 45
справедливы при условии, что hv^kT, т. е. при очень высоких температурах и малых энергиях фотонов — в «красном» участке кривой распределения энергии в спектре.
Таким образом, и здесь критерием соответствия классической и квантовой теорий излучения является то, что энергия фотона hv много меньше средней энергии радиационного осциллятора W=kT. Условие hv'^kT
213
имеет место при низких температурах и в коротковолновом участке кривой распределения энергии по форму-hv
ле Планка. Тогда е kT 1, следовательно, формулам Планка может быть придан вид:
/IV
8n/iv3£
Uvt — ------------------
с3
'.he hc2e
(43.5)
(43.6)
Последние выражения представляют собой так называемый закон Вина для плотности энергии и мощности излучения абсолютно черного тела в коротковолновой части спектра, когда температура излучающего тела невелика.
§ 44.	Равновесное (тепловое) излучение нечерных тел
Закон Кирхгофа и формула Планка позволяют находить одну из величин аКТ или еКТ для тел, которые являются не абсолютно черными, если только одна из них известна по соотношению:
ек,т = ак,тг^,т	(44.1)
Для металлов в инфракрасной области можно определить коэффициент отражения из теории Максвелла, которая позволяет найти в этом случае точное решение. Если обозначить спектральный коэффициент отражения для металлов через R К т, то
+	=	(44.2)
Вычисляя отсюда аКТ и подставляя в (44.1), получаем излучательную способность нечерного тела. Далее можно находить экспериментальным путем, тогда, пользуясь опять выражением (44.1), находим еКТ,
Неравенство
(44.3)
Д.т
214
показывает, что мощность излучения обычных тел всегда меньше мощности излучения абсолютно черного тела при той же температуре. Очень часто отношение
е = --Л’-7'- = const	(44.4)
гк,т
в значительном интервале температур и достаточно широкой области спектра. Тела, которые излучают в соответствии с формулой (44.4), называются серыми телами, а величина е — коэффициентом черноты. Одной из важнейших практических задач теории излучения является вычисление или измерение коэффициентов черноты. Для серых тел соблюдаются законы, аналогичные законам Стефана—Больцмана и Вина.
Глава 7
КОГЕРЕНТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА СИСТЕМАМИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И КОНДЕНСИРОВАННЫМ ВЕЩЕСТВОМ
§ 45.	Когерентность излучения и ее связь с шириной спектральных линий
При рассмотрении вопросов, связанных с генерацией когерентного излучения, возникает необходимость проанализировать понятие когерентности.
Как увидим дальше, когерентность определяется длиной цуга волн, способного давать различимую интерференцию. На протяжении этой длины в цуге волн не наблюдается заметных возмущений амплитуды и фазы. При обычном излучении атомов его когерентность ограничена. Можно изобразить такое излучение в виде бесконечной совокупности волн. Если электрическое поле атомного излучения обозначить через Е(0, то, применяя разложение в интеграл Фурье (в действительной форме), получаем
оо
£(/) = J § (ю) cos [со/ — ф(и)]^и,	(45.1)
— оо
где
£(®)
---------- I Е (/) cos (at — Ф) dt,
(45.2)
216
Ф(ю) —фаза колебаний в данном участке спектра, которая является случайной функцией со. Каждая из монохроматических компонент электромагнитного поля (45.1) представляет собой излучение, которое может давать интерференцию при разности хода тем большей, чем меньше взят участок спектра da.
Пусть складываются излучения двух одинаковых источников (атомов) £\(/) и E2(t):
оо
£j(^)==: j (a))cos [atf — Фх] do),
— oo
oo
E, (t} = J g2 (di) cos [cd£ — Ф2 | da.
—oo
(45.3)
Сумма этих излучений будет
Е = Ег + Е2 — j g (<i>) cos [со/ — Ф]с/о),	(45.4)
— оо
где
g (®) = }/~g\	+ 2^ cos (Фх — Ф2).	(45.5)
Интенсивность (мощность) излучения определяется вектором Умова—Пойнтинга 3 = 131 = ----- Е2, который пере-4 я
пишем следующим образом:
оо
3 = —— Е С g (со) cos (ю/ — Ф)й(в. (45.6) 4л J
В виду быстрой изменчивости световых процессов приемники излучений регистрируют лишь средние по времени значения мощности:
S = A- j*sdtj
О
(45.7)
где т'— средняя длительность одной «вспышки» атома (молекулы и т. д.), т. е. среднее время между двумя его возбуждениями. Так как после времени т' 3 = 0, то мож
217
но в верхнем пределе интеграла (45.7) подставить оо; тогда заменяя S его выражением из (45.6), получаем
S = -° r- Еdt J g (со) cos (mt — Ф) dm =
О	—оо
оо	оо
= — - , Edt J g (со) cos (at — Ф) da.
—оо	—оо
Меняя порядок интегрирования, запишем
S =—-— ( g(a)dm С E(f) cos (mt — &')dt. 8лт' J	J
—oo	—oo
Но согласно (45.2) второй интеграл представляет собой величину
J Е (t) cos (mt — <£>)dt = 2ng (a) — 00
и, следовательно,
s = ~- J g2(m)dm.	(45.7')
—oo
Подынтегральное выражение можно выразить через функцию (45.5):
оо
S = -V f {^(ffl)+^(ffl) + 2g-1(co)^3(co)cos (Ф3—Ф2)}Ло.
4Т Л	(45.8)
Поскольку Ф;—Ф2 есть статистическая функция от со, хаотически меняющаяся по спектру, то интеграл от третьего слагаемого будет равен нулю. Так как g2 = g%, то для S в этом случае будем иметь:
00
s=~J^(“)dco-	(45.9)
—00
218
Такова интенсивность излучения, получаемая от сложения излучений двух некогерентных атомов. Мощность, приходящаяся на один атом, будет
оо
= -^7- J	(45.10)
— оо
Если вместо мощности, идущей в определенном направлении, возьмем мощность излучения по всем направлениям, то вместо S нужно писать Ра. Для Nn (возбужденных атомов) получим
SN = -^ С gUa>)da>,	(45.10')
4т' J
—оо
т. е,
(45.11)
Следовательно, мощности излучений некогерентных источников просто суммируются между собой без каких-либо проявлений интерференционных эффектов.
Рассмотрим теперь другой пример, когда складываются излучения двух источников, для которых разность фаз Ф, определяемая из условия
Ф2 = Ф1 + Ф(0,	(45.12)
меняется не хаотически по спектру, а является монотонно изменяющейся функцией, например, вида:
Ф (/) = I .-=	1,	(45.13)
X с
где I — разность световых путей для излучений, идущих от первого и второго источников. Ее называют разностью хода лучей. Если разность фаз двух световых волн определяется условием (45.13), то эти волны являются когерентными.
ПуСТЬ ОПЯТЬ gi=g2 и
£?(<*) =^'2(®),	(45.14)
где йДю) имеет в максимуме значение, равное единице. Тогда вместо (45.8) для рассматриваемого случая можно записать:
219
- /
S = —
cosO(Z)]da>. (45.15)
g'2((o) дает относительное распределение энергии по спектру в излучении наших источников. Если речь идет
ности в аппроксимированной следующим образом:
об излучении атомных или молекулярных излучателей, то это будет контур спектральной линии допплеровского, или дисперсионного (смешанного) вида. Для упрощения аппроксимируем его функцией в виде прямоугольника (рис. 46). Здесь приведено графическое распределение интенсивности по спектру действительной линии и аппроксимированной. Аналитически распределение интенсив-линии можно записать
g'2(v) == 1 в интервале vnm ± g'2 (v) = 0 вне этого интервала.
(45.16)
Если теперь вычислим интеграл (45.15) с учетом (45.16), то
S = 4/,„6со
1 +
sin
• cos
с
где
6<в = 2n6v;
9
/ - cgm
(45.18)
220
— средняя мощность, переносимая излучением одного источника в единичном интервале спектра.. Полная мощность, переносимая излучением одного источника, равна:
/. = 25»^,, Д>.	(45.19)
4т'	2т'
Следовательно, S, обозначенная здесь через /, будет изображаться формулой
/ = 2/0
/6(0 ’ с
(45.20)
Если 1?>а/с < л, то множитель sin формула (45.20) примет вид:
1, тогда
/ = 2/0!1 +COS
I	\ с
(45.21)
или
/ = 4/0 СО82Л^Л \. 2с j
2л
Так как anmllc =--i, то
‘‘“Пт.
I = 4/0 cos2/—-l-- V
\ ^пт /
Последние формулы показывают, что если
Иго // „ ----С я, с
(45.22)
(45.23)
т. е.
2Sv«—, 1/с
то наблюдается отчетливая интерференция двух пучков, которые дают полосы интерференции с максимумами интенсивности 4/0 и минимумами, равными нулю.
Отношение
Цв = Ы
(45.24)
221
представляет собой время пробега световым излучением разности хода двух лучей, и, значит, условие получения отчетливой интерференции записывается в виде:
26t«-L,	(45.25)
А/
т. е. ширина спектральной линии должна быть много меньше обратной величины времени пробега лучами разности хода. Это условие может служить мерой когерентности двух пучков света.
Поскольку (45.25) будет не одинаково для различных участков спектра, то более рационально выбрать за такой критерий относительную величину, т. е. 26v/v1im-Тогда
26v	1	_ Т _ _1_
^пш	УптЫ А/ П
где Т — период световых колебаний; п — число волн, укладывающихся в разности хода, т. е. условием когерентности лучше брать обратное отношение
vnm .. А/
—— >----- = П.
26v Т
Если умножить At и Т на с, то выражение можно переписать в виде:
26v ? кпг1г '
Если увеличить разность хода до значения Ik, ляемого из условия
= л, с ’
то интерференция исчезнет, и будем наблюдать мерное освещение. При этом
(45.26)
(45.27) (45.27)
(45.28) опреде-
С45.29) равно-(45.30)
4/с
т. е. ширина спектральной линии равна обратной величине времени А/у, необходимого для пробега световым пучком предельной разности хода Ik, при которой интер
222
ференция исчезает. Эта длина Ik называется длиной когерентности, а А4 — длительностью когерентного цуга волн. В течение времени в цуге волн фаза волны не подвергается какому-либо возмущению, а амплитуда волны практически постоянна. Значит, две световые волны являются когерентными, если за время наблюдения их разность фаз остается постоянной.
В этой оценке когерентности излучения было выбрано искусственное распределение интенсивности в линии. Если взять распределение, которое соответствует реальной линии, то вместо (45.30) можно получить условие
Это означает, что А^ равно длительности т возбужденного состояния атома. При увеличении АД сверх т можно увидеть, что интерференция получается неотчетливой и вскоре вовсе исчезает. Следовательно, предельная длина когерентности у естественных источников излучения будет равна:
lk = ст.	(45.32)
Однако следует подчеркнуть, что распространенное мнение, будто при больших разностях хода невозможно получить интерференцию, является неверным. Можно искусственно удлинять цуг электромагнитных волн с помощью многолучевых интерферометров (или других спектральных приборов) и искусственно получать гораздо большие значения длины когерентности нежели lk- Можно также попытаться уменьшить затухание атомных колебаний, что приведет к уменьшению у и увеличению r=il/y. Следовательно, будет увеличена и длина когерентности. Это достигается в квантовых генераторах и усилителях когерентного оптического излучения.
§ 46. Когерентное излучение сверхсветовых электронов. Эффект Черенкова
Здесь будет рассмотрено явление излучения электромагнитных волн электрически заряженной частицей при ее равномерном движении в среде. Для простоты будем считать, что среда является диэлектрической и немаг-
223
нитнои, а движущаяся в среде заряженная частица представляет собой переносимый со скоростью ее движения электромагнитный импульс, который вызывает переменную во времени электрическую поляризацию среды, наводя в ней переменные дипольные моменты. Вследствие этого атомы (молекулы) среды становятся излучателями электромагнитных волн*. Так как обычно атомы и молекулы среды расположены на расстояниях, много меньших длины световой волны, то они находятся в фазе между собой. Постепенно возбуждаемые движущейся заряженной частицей другие участки диэлектрика будут сдвинуты по фазе с ранее возбужденными участками среды, причем этот сдвиг фаз пропорционален пути'заряженной частицы. Благодаря этому отдельные излучения возбужденных атомов среды являются когерентными и интерферируют между собой. Но если скорость заряженной частицы v меньше фазовой скорости света в среде с', равной
с'— с/п,	(46.1)
(с — скорость света в вакууме; п—показатель преломления среды), то интерференция волн отдельных атомов приводит к взаимному гашению и суммарное излучение оказывается равным нулю. Наоборот, если скорость движения частицы v превышает фазовую скорость света в среде с', то элементарные волны от отдельных атомов, расположенных вдоль траектории движения частицы, могут совпадать по фазе на определенном фронте распространения, образуя результирующую электромагнитную волну (рис. 47). На рис. 47 показана заряженная частица е, движущаяся последовательно вдоль траектории 1, 2, 3, ... слева направо. Числа 1, 2, 3, ... изображают возбужденные частицы среды, испускающие элементарные (в данном случае сферические) электромагнитные волны.
В момент t волны от частиц 1, 2, 3, ... пройдут пути соответственно 1 Г, 2.2', 3 3' и т. д. (по другую сторону траектории это будут 1 1", 2 2", 3 3" и т. д.). На фронте S, представляющем собой поверхность конуса с вершиной е, элементарные волны будут в фазе и они
* См. И. Е. Т а м м, И. М. Ф р а н к. Доклады АН СССР, т. 14, 1937, стр. 107.
224
будут интерферировать На усиление, вследствие чего 6 среде распространятся конические световые волны с осью конуса, совпадающей с траекторией частицы. Угол направления распространения волны 0 будет связан со скоростями V и с' соотношением (см. рис. 47)
Так как с' = cjn, v/c = |3, то можно написать
Рис. 47
Если и — с' = с]п, то cos 0 = 1, 0 = 0,	1/щ В этом слу-
чае имеет место порог излучения, распространяющегося вдоль направления движения частицы. В ультрареляти-вистском случае (р=1) угол 0 достигает максимального значения:
п
(46.3)
Излучение Черенкова наблюдается в видимой, ультрафиолетовой и инфракрасной областях спектра, а также в миллиметровой и других радиочастотных областях. В рентгеновской области /г<1, следовательно, излучение Черенкова не может возникать. Движущееся в
8 Ф. А. Королев
225
бреде электрическое поле частицы вызывает поляризацию среды Р\
Р = -6-~ 1 Е.	(46.4)
4л
Учитывая, что е = /г2, (46.4) можно переписать в виде:
и2 _ 1	—>
Р —---------Е.
4л
(46.5)
Так как поле Е и дипольный момент среды Р носят импульсный характер, то их спектр будет непрерывным и его можно изобразить в виде интеграла Фурье:
Е = j* Е ((») eiatda,	(46.6)
—оо
где
£(a) = JL J Е (!) е~гш* dt. — 00
В свою очередь, можно написать
Р (f) = Р (и) ег'-‘! da,	(46.7)
-----------------------------00 где
Р(и) = Р (t) e~iaidt. —оо
Подставляя (46.6) и (46.7) в формулу (46.5), между спектральными компонентами £(со) и Р(а) будем иметь соотношение
?(<*) = ^~Е(а).
(46.8)
Если задано распределение плотностей токов j и зарядов р, то векторный А и скалярный ср потенциалы системы токов и зарядов даются известными из электродинамики формулами для запаздывающих потенциалов:
226
1
где г — радиус-вектор из точки, где расположен заряд р и протекает ток /; г'— радиус-вектор из начала координат (выбранного внутри объема, заполненного токами и зарядами); dV'=dx'dy'dz'— элемент объема, заключенный в интервале х', у', z' и x' + dx', y'+dy', z'+dz'-, х', у', z'— компоненты по осям вектора г'.
Если радиус-вектор из начала координат в точку наблюдения обозначить через г0 (рис. 48), то можно написать:
г = Го + г'.
(46.10)
А и ср аналогично Е и Р можно представить интегралом Фурье. Произвольную компоненту Фурье (г) можно представить в виде:
А(г) = -----------dV,
J сг V
146.11)
где /и означает компоненту /, соответствующую частоте разложения и. Если объем V мал, т. е. | г' | < | г01 (и соответственно г), то можно в знаменателе выражения (46.11) без большой погрешности заменить г на г0, а в числителе записать (kr) = (k {r0 + г'}) и вынести e^‘<kr°> за знак интеграла. Тогда
А (г) =
е-«(* '»)
СГО
jae~i<kr’'> dVr.
(46.12)
8*
227
Напряженность магнитного поля H,.s выразится формулой
На = [?Х] •
Применяя это выражение к (46.12), получаем
• 00
[уЛ] = А-------- \ f [i^i{a,t+{kr'}}]dV dt. (46.13)
2лсг0 J J
— 00 V*
Операция \7 берется по координатам х, у, z, от которых / не зависит. Если заменить \7 на , который берется по координатам х', у', z', то надо учесть, что V =— V' и тогда (46.13) перепишется в виде:
оо
—*	—>	л ?‘о) р С* ->	—>->
на = [у/Ав] =---------- С I [j\de^a,i+<-k'"'»]dV' dt =
2лсг0 J J
— OO V'
:p~Hk r0)	« p -> >	->->
= --------I \ [jkye-^+^^dV’dt. (46.13')
2ясг0 J .)
— oo V'
В случае движения элементарного заряда е вдоль z' плотность тока j может быть выражена дельта-функцией:
j = euH)(z' — uf) b (х’) & (у'),	(46.14)
где 6 — символ дельта-функции; е — заряд элементарной частицы; и — скорость частицы вдоль оси z'. Далее можно сделать замену:
t = z’ tu и dt = dz'/u.	(46.15)
В дальнейшем воспользуемся свойствами дельта-функции:
J6(B)^=1	(46.16)
и свойствами интеграла от произведения произвольной функции на 6-функцию:
j/a)6a-2)^ = /(2).’	(46.17)
228
Из подынтегрального выражения (46.13') можно выделить интеграл
оо
-1- f ~je~ia>tdt = ~jw,	(46.18)
— 00
где /й—спектральная компонента (компонента разложения Фурье) плотности тока j. Тогда, заменяя t через и, z' и dz', а также учитывая, что / есть 6-функция, на основании (46.17) и (46.18) для /а запишем
у	2'
!а = ^е~,аз~^(х')Ь(у'),	(46.18')
/Л
где щ — единичный вектор скорости и.
Подставляя в (46.13') /а из выражения (46.18'),. получаем
Л со = На-----е I и	/ dz, (46.19)
2лс/* о	J
где Н® — единичный вектор Яи; 0 —угол между г (или/г) и и (или соответственно угол (0—л) между k и г'). Нужно иметь в виду, что cos (/г г) = —cos(A’z'). Интегрирование по dx' и dy’ дает согласно (46.16) единицу. Электрическое поле в волновой зоне связано с магнитным полем соотношением
= - — [«•’Д],	(46.20)
п
где п— показатель преломления среды {n = cfc', с' — скорость света в среде); п — единичный вектор вдоль направления k.
Из соотношения (46.20) можно найти мощность излучения для спектрального интервала dco внутри телесного угла dQ. Поток мощности через элемент, поверхности равен:
dP = — [E^H^da d%, 4л
(46.21)
229.
где dS— элемент поверхности, который можно заменить через телесный угол dQ по формуле
dS = rodQ.	(46,22)
Тогда, заменяя Еа и На их абсолютными значениями, для потока мощности dP будем иметь
е2а>2п
16я3с3
dz'
sin20dQ dco, (46,23)
и так как
оо
— С = 6(a),	(46,24)
2л J
•—00
то
“°	( г'	1
Г — i со----kz’ cos 9	/	со \
I е и	dz— S ( k cos 0 --------) . (46.24 )
J	\	и J
—оо
Поскольку 6-функция в точке, где ее аргумент равен нулю, становится равной бесконечности, а в остальных точках она равна нулю, то это означает, что излучение идет в направлении, для которого
fecos 0-----— = О
и
или
cos0 = —=	.	(46.25)
kll пи
Вычислим теперь интеграл:
г°	о ' • '
п	2zn sin zna
С e‘z’adz' =	 , 0  ,	(46.26)
J	i zQa
- z0
где ±z’o—путь, пробегаемый заряженной частицей до полной остановки, и
a = ftcos0 ----— .	(46.27)
230
СледоВаТельНо, для dP получим выражение: e2co2/izT sin2 (z'na)
dP =--------1----PP-L sin2 odQ da. (46.28)
4n:’c (zQa)2
Так как заметное излучение наблюдается только для 0, удовлетворяющего условию (46.25), то, взяв это значе^ йие и заменив sin20=l—cos20, где cos 0 берется из (46.25), будем Иметь:
sina0 = l-----— ,	(46.29)
(ЯД
Рис. 48
Вычислим теперь полное излучение по всему пространству, для чего проинтегрируем (46.28) по d£l. Величину d£l можно заменить по формуле
dd.1 = sin 0 dQ dtp,
(46.30)
где ср — угол между двумя перпендикулярами к оси z’ (рис. 48). Тогда мощность, приходящаяся на спектральный интервал da, будет:
dPm — § dP = а
e2a>2nZg2
2л2с3
sin2 (гоа) (*0«)2
d (cos 0) da.
(46.31)
Так как подынтегральное выражение имеет резкий максимум, то пределами интегрирования можно взять —оо, оо, тогда
dPa-
е2(02/гг0
2 л2 kc3
1 —
sin2В tn i ------dB da.
B2
(46.32)
231
Так как интеграл равен л, то
dPw =	< 1 _ -1-Ъсо.	(46.33)
2лс3 \	р2/г2 /
Длина пробега электрона равна 2z0', поэтому мощность излучения с одного сантиметра длины будет
Квантовая теория дает лишь ничтожные поправки к этой формуле1*.
Излучение Черенкова нашло широкое применение для изучения заряженных частиц высоких энергий, получаемых при ядерных реакциях, в космических лучах и с помощью ускорителей.
§ 47. Когерентное излучение решеток, возбуждаемых быстродвижущимися электронами
При движении быстрых электронов в вакууме вблизи поверхности, имеющей периодическую структуру, в ней будут наводиться периодические во времени и пространстве дипольные моменты, которые являются источниками элементарных электромагнитных волн, когерентных между собой. Здесь, как и в случае эффекта Черенкова, получается результирующая электромагнитная волна с определенным фронтом, который распространяется в пространстве под определенным углом к излучающей поверхности. На рис. 49,а изображена схема процесса излучения отражательной дифракционной решетки, вблизи поверхности которой движется релятивистский электрон.
Применяя метод электрических отражений, можно представить движущийся над поверхностью решетки электрон как равномерно движущийся осциллирующий электрический диполь с моментом
Dr = — ed,
(47.1)
* А. А. Соколов. Введение в квантовую электродинамику. М., Физматгиз, 1958.
232
где d—удвоенное расстояние электрона е от поверхности ступени отражательной решетки. Период основной гармоники колебаний диполя равен:
Т = -- ,	(47.2)
V
а частота его колебаний
(47.3)
Если бы это излучение распространялось нормально к решетке, то и основная длина волны равнялась бы
В действительности, интерференция волн от решетки дает усиление под некоторым углом 0. За время AZ, пока частица движется между соответственными точками соседних ступеней решетки, волна от ступени, возбужденной ранее, пройдет путь A/' = cAZ; где &t=b/v. На рис. 49,6
233
приведена в увеличенном виде часть рис. 49,а. Здесь ДС = Д/, АВ — Ь — постоянная решетки.
Если бы решетка была возбуждена сразу в одной и той же фазе, можно было бы написать, что разность ХО’ да лучей 1 и 2 равна:
Л/ — b cos 0 = Л.
Однако фаза точки В меньше фазы точки А по времени на величину At или на величину разности хода Al'—c&t. Следовательно, условием интерференции на усиление здесь следует считать равенство:
Д/ — сД/ = b cos 0 — b = X.
Отсюда в максимуме излучения длина волны будет иметь значение:
к — b ( cos 0------
k Р
(47.5)
Кроме этих волн, должны излучаться высшие гармоники. При увеличении 0 длина волны излучения будет уменьшаться, т. е. будут излучаться преимущественно высшие гармоники. Интегральная мощность излучения может быть оценена на основе формулы
В этой формуле вместо v можно взять вторую производную от d, т. е. d, и подставить ее в формулу.
Для излучения е частотой т = с/л компоненту дипольного момента можно записать в виде:
Dr=ed = e{d0 ф- h cos wf),
(47,7)
где Д— расстояние пролета электрона над решеткой; Л —высота ступени решетки; ш = 2лу. Производная d будет равна:
d = — m2/z
(47.8)
234
После этого, пблагйй приближенно, что z)±v, получаем
Р = -^-— з с3
1 (1-Р2)3
(47.9)
Однако необходимо учесть, что эта формула будет справедлива только для пролетов электрона в непосредственной близости от решетки. На значительных расстояниях от решетки величина переменной части дипольного момента будет значительно меньше. Чтобы это учесть, введем в (47.9) множитель е(с?о), который на расстояниях d0 <^b равен 1, а на расстояниях d^> b — нулю, / tJZ \4
Отношение (1/1—В2)2 = | ------- ) , следовательно, мош/
\ /«ос2 /
ность будет равна
Р = — — со%2е (
3 с3 \ тос2 )
Если приближенно положить для основного тона
2лс
со =------ ,
Ь
То для Р имеем
32л4е2с/г28 /ГУ
ЗЬ4 \ /и0с2 )
(47.10)
(47.11)
(47.12)
 Так, если h=.b = l мк, IF=moc2~O,5 Мэв, то при е= 1 Р = 6-102 эрг)сек-электрон — такая мощность излучалась бы электроном, если бы в течение всей секунды он двигался над решеткой. На самом деле он движется над решеткой в течение времени x = Llc, где L — длина решетки. Следовательно, энергия, испущенная электроном при пролете над решеткой длиной L, будет
Рс =
32n4e2/z2Ls / ВТ у Зй4	у /п0с2 J ’
(47.13)
а на один сантиметр решетки излучается энергия
Л =
32л.'Ч;27?е / Г У
Зй4 \ т0с2 )
(47.14)
235
Если над решеткой протекает ток, сила которого i = env (положим, что у —с), то излучаемая мощность будет равна:
п 32лЦ/г2Г1'а / W V	,	, с.
Р =-------------- ------ ) .	(47.15)
ЗсЬ4 \ m0c2 J
Если 4=1 мка, L=10 см, то при условиях, которые соответствуют приведенному выше примеру, мощность излучения составит Р — 100 мет, а полная мощность в электронном пучке равна 500 мет, поэтому к. п.д. излучающей системы т| = 30%. При большей длине решетки к. п.д. соответственно должен возрасти.
§ 48.	Квантовые генераторы и усилители когерентного оптического излучения (лазеры)
Из всех видов когерентного оптического излучения наибольший интерес представляет излучение оптических квантовых генераторов-лазеров (название происходит из начальных букв следующего выражения: «light amplification by stimulated emission of radiation» — усиление света стимуляцией излучения с помощью радиации)*. Хотя теория квантовых генераторов может быть построена и на основе классических представлений, здесь будет изложена квантовая теория генерации когерентного оптического излучения.
Рассмотрим систему возбужденных атомов или молекул (или других центров излучения, которые, например,
* Н. Г. Басов, О. Н. Крохин, Ю. М. Попов. Генерация, усиление и индикация инфракрасного и оптического излучения с помощью квантовых систем. УФН, т. LXXII, вып. 2, 1960;
Ф. А. Б у т а е в а и В. А. Фабрикант. Сборник памяти Г. С. Ландсберга «Исследования по экспериментальной и теоретической физике»., .М., Изд. АН СССР, 1959;
Г. Троуп. Квантовые усилители и генераторы. М., ИЛ., 1961. «Лазеры». Сборник статей. М., ИЛ, 1963.
В. Р. Беннетт. Газовые оптические квантовые генераторы. УФН, т. LXXXI, вып. 1, 1963;
О. С X и в е н с. Оптические квантовые генераторы. УФН, т. LXXXI, вып. 3, 1963;
А Ш а в л о в. Современные оптические квантовые генераторы. УФН, т. LXXXI, вып. 4, 1963;
М, Л. К а ц, Мч А. К о в п е р, Н. К. С и д о р о в. Оптические квантовые генераторы. Изд. Саратовского университета, 1964.
236
могут иметь место в твердых й ЖйДкйх телах), находящихся в поле излучения. Предположим, что поле излучения имеет направленный характер, например, вдоль оси х. Число атомов в 1 ел3 на двух уровнях возбуждения IFn и Wm обозначим через ЛК и N1V, плотность излучения на частоте перехода vn,„ = (Wn—Wm)/h через uv. Мощность спонтанного излучения определяется формулой
Рит — AnmNnhvn nr
(48.1)
Если установившаяся плотность направленного излучения uv значительно превышает плотность спонтанного излучения и‘, то для мощности индуцированного излучения Рпт и мощности поглощения Ртп можно написать выражения (для 1 см3 в телесном угле 1 стер):
Рпт — bnlnllvhvnmNа, Р тп &	т‘
(48.2)
Как уже отмечалось, процессы индуцированного излучения и процессы поглощения когерентны с излучением, имеющимся в объеме. Если угол излучения dQ, то мощность излучения будет:
dPnm = PnmdV,
(48.3)
Плотность излучения
где Nnm — число фотонов на частоте vnm (индекс волнового числа k здесь заменен индексом квантового перехода пт). Мощность когерентного излучения будет определяться разностью
Рпт Фпт^п bmnN 11хНхпп.^£1.
(48.5)
Если выражение в скобках больше нуля, то имеет место
237
излучение когерентного света, в противном случае — поглощение его.
Заменим Ьпт и Ьтп их выражениями из (29.34) и получим
~ N,n} ^hvnmdQ. (48.6) gn \	gm J
Итак, если осуществлено условие инверсной заселенности уровней
Nn—^-Nm>0, gm
(48.7)
то имеет место генерация когерентного излучения. Если подставить вместо uv его выражение из (48.4), то для ^пт будем иметь
Рпт = _.8я3|Р^..1Ч»^Пт (Nn~^L Nm 'j dQ.	(48.8)
\ gm J
Когерентное оптическое излучение весьма монохро-матично. Это легко понять из того, что поглощение и индуцированное излучение с наибольшей вероятностью идут в максимуме спектральной линии. Поэтому после осуществления в объеме условия (48.7) происходит быстрое обогащение поля излучения фотонами с часто
Рис. 50
той vnm в максимуме спектральной линии или в непосредственной близости от него, тогда как фотоны других частот практически излучаться не будут. Если же объем, в котором происходит излучение, имеет вытянутую геометрическую форму, излучение будет идти вдоль
238
наиоольшего размера системы, в частности, в случае цилиндра оно будет распространяться вдоль его оси.
Рассмотрим теперь вопрос о работе квантового генератора как усилителя (рис. 50). Пусть в направлении х распространяется некоторое количество фотонов N °пт, которое может возникнуть за счет спонтанных переходов. Коэффициент пропускания слоя толщиной в х см обозначим через тх, мощность излучения, проходящую через 1 см2 плоскости х = 0,— через Р°пт , тогда на расстоянии х от плоскости х = 0 мощность излучения будет равна:
РХпт = Рпт^х.	(48.9)
Если ввести коэффициент поглощения /г, то (48.9) можно переписать как
Рп,п = P°nme-kx.	(48.9')
Следовательно,
гх = е~кх.	(48.10)
Если выполнено условие инверсной заселенности уровней (48.7), то вместо потери мощности может происходить ее нарастание (отрицательное поглощение). Поэтому k будет отрицательно. Полагая \k\ =k*, можем записать
ф = ек"х.	(48.11)
Если сечение проходящего через усилитель светового пучка равно единице (1 см2), тогда приращение мощности в единице объема будет
нр*
—Р- = k*Pnmek*x = k*P*rn.	(48.12)
dx
Это изменение мощности возникает за счет когерентной генерации, мощность которой определяется (48.8). Приравнивая величины из (48.8) и (48.12), будем иметь
к*Рхпт =	(м _	N^d®. (48.13)
.Зс3Д/г	\. gm J
239
Но величину Р*т можно выразить как плотность излучения, умноженную на скорость света в среде cjn, т. е.
/IV3
Pxnm=-^-NnmdQ^ .	. 	(48.14)
с3	п
Тогда из формул (48.13) и (48.14) получим
Г =	(N	Sn_ N\ .	(48> j 5)
3gnhc \ n	gm J
Очень важной величиной является коэффициент отрицательного поглощения, приходящийся на один радиационный осциллятор. Для его нахождения нужно разделить величину k* на число радиационных осцилляторов в единице объема, приходящееся на угловой интервал в 1 стер. Это число будет:
р (v) Av = —Av.
Следовательно, коэффициент отрицательного поглощения для одного радиационного осциллятора будет:
| Рпт | 2с2 / N Nт \	15')
3^vnmAv \ gn gm /
При прохождении светового пучка через активную среду усилителя на каждый сантиметр длины луча согласно (48.9') и (48.11) величина усиления будет равна:
=	(48.16)
Если невелико, то (48.16) можно разложить в ряд. Тогда, ограничиваясь первыми двумя членами, будем иметь
т' = 1 + /г*'.	(48.16х)
В случае газовых усилителей величина Av обычно выражается как допплеровская ширина спектральной линии. По мере продвижения потока фотонов, идущих вдоль оси х, будет происходить усиление светового потока: нарастание лавины фотонов и мощности направленного излучения. Излучение в перпендикулярном направлении и вообще под значительными углами к оси возбужденного тела не будет заметно развиваться, 240
так как лавина быстро выходит на стенки и здесь обрывается.
Лавина, распространяющаяся вдоль оси, при достаточной длине образца не только возрастает по мощности и становится все более и более монохром этичной, но и приобретает все более направленный характер, поскольку фотоны, идущие под углами к оси, все время
уходят из возбужденного объема и их роль в принудительном излучении оказывается малой. При достаточной длине образца и высокой степени его возбуждения из его концов выходят мощные, исключительно монохрома-тичные и узконаправленные световые пучки. Такой усилитель когерентного света представляет собой усилитель бегущей волны.
Чтобы уменьшить размер образца, активное излучающее вещество помещают между отражателями с высоким коэффициентом отражения, где лавина испытывает многочисленные отражения и может достигать большой величины при сравнительно небольших объемах активного (возбужденного) вещества (рис. 51). На рисунке АВ — активное вещество, возбуждаемое извне потоком фотонов v/iB, и S2 — отражатели, 1, 2, 3, ...— лавина фотонов hvnm после отражений от 5] и S2. Если одно из зеркал сделать частично прозрачным, то когерентное излучение, возникшее в объеме, выйдет узким пучком весьма монохроматического света во внешнее пространство и может быть использовано для различных целей. Такой тип усилителя представляет собой усилитель С настроенным резонатором,
241
Всякий усилитель является генератором с посторонним возбуждением. Выясним теперь условия самовозбуждения системы атомов (или других активных элементарных излучателей), помещенных между отражателями (см. рис. 51). Система параллельных зеркал Si и S2 представляет собой оптический резонатор (открытый резонатор), обладающий определенной добротностью Q. Самовозбуждение такого резонатора будет в том случае, если излучаемая системой возбужденных атомов мощность превысит мощность потерь в резонаторе.
Излучаемая мощность в объеме V согласно (48.8) равна:
pk 8л31 Dnm \ 2vnmNnmy
* nm
З.дд3
^-Nm}dQ, (48.17)
Sin J
где Nnm— число фотонов в 1 с.и3. Мощность, приходящаяся на один радиационный осциллятор в полосе частот Av, будет:
Pk пт
О/г ___
гпт — ТТЛ дг » р (v) Av dQ.
где
i \	C’;
P (v) = —— c3
(48.18)
(48.19)
Следовательно, для P„m будем иметь
m 8л3 ] Dnm 12^mNnmV /	gn	\
Pnm =-------—----------- AZ„ — —	. (48.20)
3gnAv	\	gm	J
Самовозбуждение генератора будет осуществляться в том случае, если мощность потерь PD будет меньше мощности излучения Р^т . Мощность потерь можно выразить следующим образом:
рд = - Wv<^m. ,	(48.21)
где Wv— энергия, запасенная резонатором (реактивная энергия) в расчете на один радиационный осциллятор;
24?
Q— добротность резонатора. Величина ИД даётся формулой
Wv = fa)nmNnmV.	(48.22)
Самовозбуждение генератора будет происходить при условии:
> PD
Рк' * пт
(48.23)
Подставляя в неравенство туда величин и преобразуя
4я21 Рпт 12Q / у
3^Av п
(48.23) значения его, находим
ВХОДЯЩИХ
(48.24)

В случае естественной ширины величина /гЛт = ЛД1 + Л£т есть сумма уширений уровней, между которыми совершается переход. Чем АД, и АЕт уже, тем легче наступает условие самовозбуждения. Av большей частью определяется допплеровской шириной, даваемой формулой (25.14), т. е.
Av = 25v = 2 ^-1/ ^21^21 ;	(48.25)
С V /Па
где k— постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура; та—масса атома (молекулы).
Добротность Q оптического резонатора определяется формулами для интерферометра Фабри — Перо. Характеристика резонатора-интерферометра, а также типы колебаний и другие связанные с этим вопросы будут изложены в гл. 15. Теория генераторов когерентного излучения, развитая из классических представлений, будет дана в гл. 10.
§ 49. Энергетический спектр вещества, обеспечивающий возможность квантовой генерации оптического когерентного излучения
Для того чтобы было выполнено • условие
Nn— — Nm>0, необходимо выбрать такое вещество, в gm
243
котором можно было бы получить очень большую заселенность возбужденных уровней, по крайней мере хотя бы одного. В качестве примера рассмотрим схему уровней энергии кристаллического вещества — синтетического рубина с примесью 0,05% ионов хрома, которые и являются элементарными излучателями (рис. 52). С помощью излучения Лт12 от внешнего источника вещество возбуждается с основного уровня на уровни возбужденной зоны Й72- За очень малое время электроны с возбужденной полосы переходят без излучения на метаста-бильные уровни 1К3 и W'3. Наконец, под воздействием стимулирующих квантов Av31 и hv3l совершаются индуцированные переходы с уровней 173 и в основное
испусканием когерентного излучения на и V',.
Рис. 52
И/3' и/,
состояние с частотах у3|
Создание большого числа возбужденных уровней IF3 и 1К' с помощью внешнего оптического излучения hvl2 получило название «оптической накачки». Для оптической накачки используют мощные источники света, которые имеют большую интенсивность в области , полосы поглощения активного вещества hv12. Для рубина, активированного хромом, эта полоса лежит в области Х=5600А, и поэтому в качестве лампы накачки используется мощная газоразрядная лампа на смеси криптона и неона, дающая интенсивное излучение в области полосы 5600А. Лампа работает в импульсном режиме от большой батареи конденсаторов.
Когерентное оптическое излучение активированного хромом рубина происходит на длинах волы Z=6943A и Z=6929A. Излучение на волне 6943 А по мощности во много раз превосходит излучение на волне 6929 А.
Система уровней энергии, которая имеется у ионов хрома и используется для квантовой генерации коге
244
рентного излучения, представляет систему из трех уровней — основного уровня, уровня (вернее полосы уровней), на который накачка возбуждает ионы хрома, и уровня, на котором создается инверсная заселенность. Такая система называется «трехуровневой». Безызлучательные переходы IF2-происходят с передачей разности энергии этих переходов в тепловую энергию. Ширина полосы поглощения /zv12 около 700 А.
Схемы уровней энергии, аналогичные приведенным на рис. 52, имеются и у ряда других веществ, но гораздо более эффективной является «четырехуровневая система», в которой инверсная заселенность осуществляется не между возбужденным и основным уровнями, а между двумя возбужденными уровнями. Благодаря тому, что нижний уровень практически оказывается незаселенным, инверсная заселенность создается при очень небольших мощностях накачки, которая может быть не обязательно оптической, а, скажем, электронной. Так, в гелий-неоновом газовом оптическом квантовом генераторе рабочим веществом является смесь газов гелия и неона при давлениях порядка 1 мм рт. ст. Отношение компонент He:Ne~10:l. Электрическим разрядом атомы гелия возбуждаются на метастабильные уровни ls2s'So и ls2s3Si. Благодаря большому времени жизни этих возбужденных состояний число атомов на указанных уровнях будет велико. К уровню >S0 очень близка группа уровней неона 3s2_s (по символике Пашена), на которые происходит безызлучательная передача энергии с возбужденных уровней атомов гелия ('So) атомам неона, приводящая к возбуждению уровней 3s2 <>. Так создается инверсная заселенность между уровнями 3s и 2р неона, а переход 3s2—2/ц приводит к генерации когерентного излучения с длиной волны 6328 А. Возможны и другие частоты генерации.
В свою очередь, столкновения второго рода атомов гелия, возбужденных на уровень 3Si, с атомами неона приводят к инверсной заселенности уровней неона 2s2~5-Переходы с этих уровней на уровни 2pi_i0 неона сопровождаются когерентной генерацией в ближней инфракрасной области, например переходы 2s2—2/ц при Х=11 523 А. Инверсная заселенность существует и между другими уровнями неона.
245
Такйм обрйзйк, если Квайтовый переход, Сопровождающийся когерентным излучением, происходит на уровень, не являющийся основным, то условие (48.7) может быть выполнено за счет одновременного заселения уровней Wn (атомы Nn) й разрушения С переходом в более нижние состояния уровней Wm (атомы Л/т), Благоприятным обстоятельством в этих Случаях также может Ввиться различие в статистических весах верхних и нижних уровней. Чем меньше статистический вес верхнего состояния и больше статистический вес нижнего состояния, тем быстрее наступает возможность для выполнения условия (48.7).
Глава 8
СТРУКТУРА ФОТОНА
§ 50. Фотон как структура из нейтрино и антинейтрино
Представление о фотонах, составляющих электромагнитное поле излучения, ставит вопрос о природе этих частиц — их свойствах, структуре, движении в пространстве, механизме взаимопревращения и др.
Первое представление о фотоне как сложной частице было высказано Луи де Бройлем * **, который сделал предположение, что фотон с энергией hv есть некоторое образование из двух нейтрино с энергией hv/2. Затем Иордан1"* в 1935 г. развил теорию фотона как сложной частицы из двух нейтрино. В отличие от гипотезы Луи де Бройля Иордан предположил, что излучение фотона с частотой v можно рассматривать как испускание в направлении движения фотона двух когерентных (т. е. движущихся параллельно) частиц — нейтрино и антинейтрино с энергиями hv' и h(v—v') или как поглощение частицы с энергией hv' и вылетом в том же направлении такой же частицы с энергией h(y + v'). Тогда квантовые амплитуды поля двух нейтрино, подчиняющихся статистике Ферми, можно сопоставить с квантовыми амплитудами поля фотонов, подчиняющихся статистике Бозе.
* Lui de В г о g 1. Sur la nature du photon. Comptes Rendus, 198, 1934, 135.
** P. Jordan. Zur Neutrinnotheorie des Lichtes. Zeitschr f. Phys., Bd. 93, 1935,
247
Несколько работ по нейтринной теории света было сделано А. А. Соколовым *. В первой из указанных работ была развита одномерная теория, которая в дальнейшем была распространена и на трехмерный случай. Для нейтринного поля в одномерном случае решается уравнение Дирака:
(Г 4- cap) ip = 0,	(50.1)
где
(50.2)
а =
41
42
4’ =1141, 4*2 II, • (50.3)
Полная энергия W определится как ОО	оо
W = j 1|)’F4dx = — — J 4* dx. (50.4) — оо	—сю
Уравнение (50.1) может быть записано в виде:
1	341	= 3\[?2	.	1	<342	= 34х	(50
с	di дх с	dt дх
Решения этих и аналогичных уравнений получаются в виде разложения Фурье:
оо
4, (х, t) = L_ ( {at (k) e-icW-£kx + с* (— k) е£с^+£кх} dk,
V 2л J
—оо
(50.6) где i = 1,2;
ОО
4/ (х> 0 — —‘ f {аг (&) eic^Mt~‘kx -j- ci (— k) е~£с\к\£~‘кх} dk.
У 2 я J
— 00
(50.7)
* А. А. С о к о л о в. О возможности нейтринной теории света. ЖЭТФ, т. 7, 1937, стр. 1055; А. А. С о к о л о в. К возможности построения нейтринной теории света. ЖЭТФ, т. 8, 1938, стр. 114; 644, 248
Причем й{ относится к полю нейтрино, a Ci — к полю антинейтрино. Переходя к квантовым амплитудам с помощью квантового уравнения движения
F = 1-(WF — FW)	(50.8)
 й
и рассматривая квантовые амплитуды а(&) и a*(k) как операторы, действующие по определенным правилам, приводящим к порождению и поглощению частиц, находим полную энергию как сумму положительных энергий нейтрино и антинейтрино:
W = J cH\k\ {Na(k) + Nc(k)— N0}dk, (50.9) — 00
где Na(k) и Nc(k)—числа нейтрино и антинейтрино; No — число частиц, соответствующее нулевой энергии.
Для квантованных амплитуд нейтринного поля получаются выражения:
a(k)=	!_ С {М*. О ~ Midxс,:с[ц^х
'	/2л J	/2
--00
= г	t^dx +lkx
/2л J	/2
— 00
оо « Ф	$
/2л J	/2
— 00
/ (k) = __.L- С М-Мх/ t)}dx e^[cW+£kx
/2л J	/2
— 00
(50.10)
Используя эти амплитуды для построения фотонного поля, можно найти амплитуды этого поля из уравнения для потенциала <р(х, ?):
ОО-")
dt2 дх2
249
решение которого было Записано в виде интеграла Фурье:
<р (к, 0 =
1
У 2л
{Ь (й) е~1с^+гкх 4- b* (A) ycWt-ik.^
(50.12)
а после вторичного квантования, В Случае Иредстйвления квантованных амплитуд как операторов излучения и поглощения частиц, для полной энергии и квантованных амплитуд фотонного поля были найдены выражения:
(50.13)
00
b = TyW SZ) 4
—оо
t	дф(Х,/) )
с | k | dt	J	’
(50.14)
b* (k) = —C dx ftp (x, t)------------------1— д^У1\Л e-tc\k\t+ik^
2 У 2 л J (	с | k ] dt )
—oo
(50.14')
где Nk = N(k) — число фотонов с волновым вектором k. Затем были получены выражения для амплитуд фотонного поля через амплитуды нейтринного поля. При этом потенциал <р(х, t) был представлен в виде:
—оо —оо
х [— а* (к) а (/)	с(__ k) с'(—Г)	Ц-
+ [с (— k) а (/)	— а* (k) с (— /) j,
(50.15)
250
где b (k), b(— k) и b* (k), b* (— k) для k > 0 имеют вид:
b(k) = (]/ -^^dl[a^l)a(l + k)+c(l + k')c\r)\ + 0
k
+ ^dlc(l)a(k — r)},	(50.16)
0
b(-k) = l
dl [a (— l')a(— I — k) -|-
k
(50.16')
+ c (— /
(50.16")
Эти* соотношения можно интерпретировать следующим образом: поглощение (испускание) фотона с волновым числом k есть поглощение (испускание) нейтрино и антинейтрино с волновыми числами I и I—k, или же поглощение (испускание) одной из частиц (нейтрино, антинейтрино) с волновым числом l+k при одновременном испускании (поглощении) аналогичной частицы с волновым числом I. Вторая возможность представляет
251
собой Раман-эффект без изменения направления движения фотона, что было предсказано Иорданом в работе по нейтринной теории света, и дает хорошее объяснение красному смещению в атмосферах звезд.
§ 51.	Фотон как возбужденная электронно-позитронная пара в дираковском вакууме
Эта модель фотона была предложена в дипломной работе Л. И. Слабкого *, выполненной под руководством автора. Здесь фотон рассматривается как сложная частица, состоящая из аннигилировавших электрона и позитрона, т. е. как возбужденная виртуальная пара в дираковском электронно-позитронном вакууме. Такая пара при поглощении большой энергии может распасться на е+ и е~, или, наоборот, при аннигиляции испустить фотоны большой энергии. Этот факт служит первым подтверждением данной модели фотона.
Полная энергия фотона может состоять из двух компонент — энергии колебаний Wv, которая аналогична энергии осциллятора и равна
=	(51.1)
где v — квантовое число; со — частота световых колебаний, и энергии поступательного движения равной
Wx = pxc,	(51.2)
где рх — продольный импульс фотона. Полный импульс фотона будет:	‘
р = (у ++ Рх.	(51.3)
с \	2 /
Масса фотона т$ также состоит из двух частей — поперечной mv и продольной тх.
* Л. И. Слабкий. Структура фотона. Дипломная работа. МГУ, Физический факультет, 1959; Научно-методический сборник № 26, 1961, ВВИА им. Жуковского, стр. 42.
252 .
Для продольной массы т% справедливо соотношение: тхс2 = IFt = рс,	(51.4)
а полная энергия фотона может быть записана в виде:
Йсо = Йи (и + тхс2.
Отсюда находим для v =О
для v = 1
(51.5)
(51.6)
Среднее значение продольной массы фотона за период колебания равно нулю, если только шО1 = ^1о, где Woi и Wio—вероятности перехода фотона из состояния t' = 0 в состояние f = l и обратно. Продольная энергия изменяется между значениями:
ЙСО	г,
-у- для v = О,
йсо	,
-------для v = 1,
(51.7)
и поэтому в среднем она равна нулю: значит, продольная масса и энергия не переносятся в пространстве.
Поперечная часть энергии принимает значения:
1FO = -у- для v = О,
~ ha для v = 1,
(51.8)
и соответственно масса изменяется в пределах:
Йсо /пи =	 v 2с2	для v = 0,
3 Йю пг„ = 	 v	2 с2	для	1.
(51.9)
253
Средние значения поперечной энергии и массы соответственно равны:
Ws = -fia,	(51.10)
=	(51.11)
с1
т. е. поперечная часть массы и энергии переносятся в пространстве со скоростью с. Но этот перенос следует рассматривать не как трансляцию массы и энергии, а как волновой процесс — передачу массы и энергии (а также импульса и момента импульса) от одной виртуальной пары другой виртуальной паре, приходящей в колебательное состояние после перехода к ней энергии возбуждения.
В этой модели процесс распространения электромагнитных волн мыслится как распространение волн поляризации в дипольной среде, какой является дираковский электронно-позитронный вакуум.
§ 52.	Фотон как осциллирующее электронно-позитронное поле дираковского вакуума
В более общем виде реальные и виртуальные фотоны можно понимать как осцилляторы в дираковском вакууме, в качестве которых могут быть приняты волны поляризации дираковского вакуума, скорость распространения которых равна скорости света. Так как энергия осциллятора равна
W — fiafv ф- -i-
(52.1)
то в случае f = 0 есть лишь нулевые колебания с энергией
Wo = ~
(52.2)
соответствующей виртуальным фотонам. Это волновое поле вызывает спонтанные переходы атомов, являющиеся индуцированными переходами под влиянием виртуальных фотонов. Тогда фотон представляет собой волновое возбуждение электронно-позитронного вакуума. В таком случае фотоны как частицы являются
254
возбужденной электронно-позитронной парой, на которую статистическим образом в результате флуктуаций в поле излучения может сосредоточиться энергия ЦХф = Йщ. Механизм такого внезапного флуктуационного перераспределения энергии волн поляризации дираковского вакуума не вполне ясен. Но если это происходит, то в данной точке пространства возникает фотон как частица с массой m = tui>lc2, импульсом p = ha/c, энергией Йи и моментом количества движения Й. Вероятнее всего флуктуационное рождение фотонов как частиц может происходить лишь благодаря наличию частиц вещества, в результате взаимодействия с которыми и происходит квантовый обмен энергией между полем и частицами вещества.
§ 53.	Модели фотона и внегалактическое красное смещение
Одно из наиболее загадочных оптических явлений нашего времени заключается в красном смещении спектральных линий излучений, идущих от внегалактических туманностей. Это смещение подчиняется эмпирической формуле
АХ = Хй7?,	(53.1)
где АХ — смещение спектральной линии в красную часть спектра; X — наблюдаемая длина волны; R— расстояние от Земли до внегалактической туманности (в мегапарсеках); k= 1,82• 1СХ3 Мпарсек-1. Если длина наблюдаемой световой волны равна Х = 5500 А, то для расстояния от внегалактической туманности в 1 Мпарсек
АХ = 10 А.
Такие смещения спектральных линий соответствуют потере энергии фотоном, равной AIF=6,6-10-15 эрг при энергии фотона IF=3,6-10-12 эрг.
Гипотеза разбегающихся туманностей (расширяющейся Вселенной), скорость которых возрастает с радиусом R по формуле (53.1), позволяет объяснить красное смещение как Допплер-эффект.
255
Возможна также гипотеза «старения» фотонов, когда фотоны теряют свою энергию на всем пути движения от туманности до наблюдателя. Такая потеря может происходить по крайней мере по двум причинам: или благодаря специфическому взаимодействию с веществом, при котором происходит частичная потеря энергии фотоном без изменения направления импульса, или вследствие рассеяния энергии фотона в дираковском вакууме. Постепенно теряя энергию, фотон испытывает, таким образом, красное смещение.
Глава 9
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ПРОЗРАЧНОЙ ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
§ 54.	Общие замечания о распространении света
Согласно двойственной природе света распространение его можно рассматривать и как процесс распространения электромагнитных волн, и как движение фотонов в пространстве, что неизбежно связано с взаимодействием со средой. Такой средой могут быть твердые, жидкие и газообразные тела. Если такие среды отсутствуют, то распространение происходит в вакууме. Но и чистый вакуум не является абсолютной пустотой, а согласно современной релятивистской квантовой механике представляет собой среду, наполненную аннигилировавшими электрон-позитронными и протон-антипро-тонными парами.
Как видим, термин «вакуум» имеет лишь условное значение.
Взаимодействие света со средой в общем виде состоит в том, что составляющие среду частицы приходят в возбужденное состояние и становятся излучателями света. Поле вторичного электромагнитного излучения играет большую роль, благодаря чему проблема распространения света теснейшим образом связана с проблемой излучения света. Возбуждение среды обусловливает вторичные процессы и приводит к возникновению целого ряда новых явлений — отражения и преломления света, дисперсии и поглощения, рассеяния света, дифракции и интерференции и др.
9 Ф. А. Королев	257
В ряде случаев, когда среда может считаться совершенно однородной, явления распространения света могут изучаться без детального анализа взаимодействия их с отдельными частицами и в основу рассмотрения всех явлений могут быть положены макроскопические уравнения Максвелла. Будем также вначале считать, что волновые фронты безграничны, поэтому явления дифракции будут исключены. Однородность среды обусловит отсутствие рассеяния света. Итак, мы рассмотрим сначала явления в однородной и прозрачной среде. Из уравнений Максвелла непосредственно вытекают волновые уравнения (см. § 6):
-^r~Tv2s==0’	(54J)
где s — либо вектор Е, либо вектор Н (е заменяется на р).
Уравнение (54.1) описывает распространение электромагнитных волн в среде, в которой поглощение отсутствует. Как уже было найдено, решения уравнений (54.1) могут быть получены в виде либо плоских волн, либо сферических. В общем случае волны могут быть более сложными, что определяется характером состояния среды, в которой распространяется свет.
В отличие от электромагнитной теории света, которая исходит из равномерного распределения энергии по поверхности световой волны и из закономерного распределения в пространстве, фотонная теория приводит к тому, что распределение числа фотонов в пространстве не будет вполне равномерным, а будет испытывать флуктуации. Число фотонов Уф только в среднем будет постоянным. Такие флуктуации фотонов в световом потоке впервые обстоятельно были исследованы С. И. Вавиловым.
§ 55. Отражение и преломление света на границе раздела двух изотропных и однородных сред
При распространении света в однородной среде важными процессами являются процессы на границе раздела таких сред, когда’ возникают явления отражения и преломления света.
258
Рассмотрим отражение линейно-поляризованного света от границы раздела двух сред с абсолютными показателями преломления П\ и п2.
Пусть амплитуда электрического поля падающей волны (вектор Е лежит в плоскости падения; рис. 53) равна Ео, амплитуды отраженной и преломленных волн равны Ео и Eq, их проекции на оси х, у и z будут
Г7	. Z7	. Е7
Лох, Лох, Лох, Ло//, Лоу, Лоу, Лог, Ло2, Ло?.
Тогда (см. рис. 53) Еоу, ЕоУ и Еоу равны нулю, а для остальных компонент будем иметь:
ЕОх — — Ео cos ф, Eoz = Ео sin ф, Еох — Ео cos ф, Eoz = £?sill ф, Еох = — Ео cos гр, r-\ D	j—<D' 1
EOz = Ео sin
(55.1)
9*
259
Вектор магнитного поля Н, очевидно, перпендикулярен к плоскости падения, и амплитуды его компонент падающей, отраженной и преломленной волн соответственно будут равны:
Яо — niEo> Н$ = п^, Н% = rt2£0D.
(55.2)
Компоненты этих амплитуд по осям будут иметь значения:
нох = О, Н& = 0, Яо^ = 0;
Яо, = Яо,
— По , Поу = По ,
яог = о, Я£ = о, Яо° = 0.
(55.3)
Запишем
граничные условия для векторов Е и Н:
Я’ = El е^Е}, = е2Е2г, н1у = Н2,
(55.4)
где Ех и Е2, Нд и Н2У — тангенциальные слагающие электрического и магнитного полей в первой и второй средах; Ez и Ez — нормальные слагающие электрического поля в первой и второй средах; ех и е2—диэлектрические проницаемости первой и второй сред.
Подставляя значения соответствующих компонент из (55.1) и (55.3) в формулы (55.4), получаем
(Ео — Ео) cos ср = Eq cos ф,
Яо + Я? = Я0°
Заменяем Яо, Но и Я° их выражениями из (55.2): (Ео + Ео) = Еоп2.
(55.5)
(55.6)
260
Из уравнений (55.5) и (55.6) с учетом, что ra2//ii = ra = = sin ср/sin ip, находим
77/?
со ___ sin ф cos ф — sin гр cos т|?
Ео	sin ф cos ф + sin гр cos гр
Правую часть можно преобразовать к выражению через тангенсы, тогда, обозначая отношение Е§/Ео как гр~ амплитудный коэффициент отражения для поляризованного света с вектором Е, лежащим в плоскости падения, можем написать:
tg (ф — тр)
tg (<р +1’)
(55.8)
Коэффициент отражения 7?р для интенсивности равен отношению квадратов амплитуд Е% и Ео, т. е.
_ tg'-’Cp —гр.) р tg3 (<р + 4’)
(55.9)
Коэффициент пропускания для интенсивности будет
<55-10>
Коэффициент пропускания для амплитуды определится как
dp=VDp.	(55.11)
После необходимых выкладок для dp будем иметь:
_	2 sin гр cos ф
р sin (<р + гр) cos (ф — гр)
(55.12)
Вычислим аналогичные коэффициенты для случая, когда электрический вектор Е расположен перпендикулярно к плоскости падения, а магнитный вектор Н — в плоскости падения. Таким образом, эти векторы поменялись местами. Следовательно, для компонент магнитного поля по аналогии с предыдущим случаем можно записать:
261
Ноу = О, С = 0, < = О, Нох = — Д0СО5 ф, Нйг = Нй sin ф, Нох = Но cos ср, Ног = Но sin ф, Нох = — Но cos ф, Ног = Но sin ф.
Для компонент электрического поля будем
(55.13)
иметь:
ЕОх = о, Е& = О, Еох = 0;
Е0у = Е0, Еоа = О', Еоу = Ео; 
Еог = 0, Eg = 0, Е?г = о. .
Используя граничные условия (55.4), имеем
Е0 + Е§=Е%,
(Hq — Яо) cos ф = — Но cos ф.
Заменяя Н через п и Е, находим
пг (Ео — Ео) cos ф = п2Ео cos ф.
Если учесть, что n2/ni = sin ф/sin ф, то из
(55.15) и (55.16) для амплитудного коэффициента отражения получим
г = Ев _ _ sin(Ф~ гР) s Ео	sin (Ф + гр)
Коэффициент отражения для интенсивности ственно будет равен:
sin3 (<р — гр) s sin3 (<р ф ф) Коэффициенты пропускания Ds и ds будут иметь зна чения:
(55.14)
(55.15)
(55.16) выражений
(55.17)
соответ-
(55.18)
£>s = i-*s> | ds = VD^ j
(55.19)
!62
откуда
2 sin гр cos ф sin (<p + ip) *
(55.20)
Приведем формулы всех коэффициентов отражения и пропускания поляризованного света на границе раздела:
г = tg (ф —10	_ tg2 (ф —10
р tg(<p + ip)’ р tg2 (ф + гр) ’
Г — sin ~ W 7? = sin2 (ф—гр)
s sin^ + ip) ’ s sin2(<p + ip) ’
(55.21)
_	2 sin гр cos ф	_	4 sin2 гр cos2 ф
p sin (ф + гр) cos (ф — гр)’ p sin2 (ф + Ю cos2 (ф—гр)’
d ___ 2 sin гр cos ф ____4 sin2 гр cos2 ф
s sin (ф + гр) ’ s sin2 (ф + гр)
При падении на поверхность раздела неполяризован-ного света его полная интенсивность / может быть представлена в виде суммы двух интенсивностей 1Р и Is, т. е. интенсивностей двух компонент поляризации с векторами электрического поля, лежащими в плоскости падения и перпендикулярно к ней, т. е.
(55.22)
Тогда коэффициент отражения R будет равен:
। /Д /Д /Д
п _ S	___ Js__1 р
I 'll'
Так как / = — I и I = — Z, то 7=2/ = 27_, и, следо-s 2	д 2	® м
вательно, । / /Д	/Д \
/? = — —+ — •
2 \ ls	1Р )
Но /f/Zs = 7?s, Jp/Ip = Rp, поэтому
+ <55-23>
263
Подставляя выражения для R3 и Rp, получаем
р = 1 f Sin3 (ф — тр)	tg3((p — 4) }	f 55
2 \ sin2 (<р + ф)	tg3 (ф + ф) Г
Формулы для R, Rs и Rp были найдены Френелем и называются формулами Френеля.
Для случая, когда ф + ф = 90° и tg(<p + ip) =оо, RP = Q, т. е. для света, поляризованного так, что вектор Е лежит в плоскости падения, вовсе нет отражения от поверхности раздела. При падении естественного света отраженный свет будет полностью поляризован. Угол падения фв, при котором это имеет место, называется углом полной поляризации, или углом Брюстера. Так как соз(фв+ф) =0, Фв+ф = 90°, <рв = 90°—ф, то созфв=зтф, sin фв = га sin ф. Отсюда имеем
tg <рв = п.	(55.25)
Когда ф = -у, Rs = 1, Rp = 1 и R = 1.
Когда ф->0, формулы могут быть упрощены, так как при этом ф^гаф. Подставляя это соотношение в выражения для и Rp, получаем
/ ф — — \2
Rs = Rp = ------П— = Y. (55.26)
U + JL / \«+lJ
4 п 7
Следовательно, для ср = О
(55,26') \ п + 1 J
Для стекла крон (К-8) га =1,5, тогда
-°'04'R=4%-
\ Л .О J	«.О
Из формул Френеля следует, что коэффициент отражения RP для нормального падения очень мал, а с увеличением угла ф начинает убывать до нуля при ф = фВ, а затем возрастать до 1 при ф=л/2. Rs непрерывно возрастает до I при ф= ~ . На рис. 54 приведены зависи
264
мости для 7?s, Rp и R. Отражение света от диэлектрических поверхностей можно как ослабить, так и усилить. Для этой цели на поверхность диэлектрика наносят слои других диэлектриков с иным показателем преломления.
Формулы (55.26) и (55.26') можно выразить в более общем виде. Так как n=ii2ln\, то вместо (55.26') получим
«2 —
^2 Т~ Щ
(55.27)
Рис. 54
Для того чтобы уменьшить отражение света от поверхности раздела двух сред, наносят слой диэлектрика D, как показано на рис. 55.
Коэффициент отражения на первой границе раздела будет
7?! =
/?2 — «I
^2 "Т
то же на второй границе
/ «з — «2 у
265
Если 7?j = R3, то
n| = гщ.
(55.28)
Если при этом оптическая толщина слоя с п2 равна X/4, a ni<«2<«3, то отраженные лучи гасят друг друга вследствие интерференции (просветление оптики). Вторичными отражениями здесь можно пренебречь. Если же п2>п3 и оптическая толщина слоя с п2 равна Л./4, то происходит усиление отражения света. Действительно,
отражение на первой границе сопровождается скачком фазы на —л. Кроме этого, разность хода лучей в слое диэлектрика соответствует приращению фазы второго луча на л. Поэтому разность фаз обоих лучей будет 2 л. При нанесении нескольких чередующихся слоев толщиной Х/4 с «1 и п2, неравных друг другу, можно получить значения R, близкие к единице. Весьма важно при этом, что такие отражатели имеют очень малые коэффициенты поглощения. Получается диэлектрическое зеркало с коэффициентом отражения 7?~1. Так, девятислойное зеркало из ZnS (я=2,3) и криолита (Na3AIF6) (п=1,35) имеет /? = 0,98. Поглощение в таком зеркале меньше 0,003. Металлические зеркала дают поглощение в десятки раз больше (~0,03). В настоящее время такие методы просветления оптики и получения диэлектрических зеркал нашли очень большое применение для резонаторов квантовых генераторов оптического диапазона (см. § 95).
266
§ 56. Полное внутреннее отражение
Если свет падает из среды с пх в среду с п-2, когда Mi<«2, то при возрастании угла падения <р угол преломления ф также возрастает. Для ф = л/2 ф достигает значения фь, определяемого формулой
SID Ф	1	/СТР 1 \
----— =---------- = п,	(56.1) sin ipL sin ipL
где ipL представляет собой предельный угол. Таким образом, в среде с п2 при падении на нее света из первой среды с «1 свет может распространяться только внутри конуса лучей с угловым раствором 2 ipL (рис. 56).
Если же луч света идет из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим показателем преломления, то <р<ф, хотя по-прежнему
sin ф
-----— = п sin ф
(56.2)
где п <1.
Коэффициенты отражения согласно формулам Френеля можно записать в виде:
267
	 sin	cp cos ip—____cos cp'sin ip s_____________________________sin	<p COS Ip +	cos <p sin cp
	 sin	cp cos cp —	sin ip cos ip p_____________________________sin	cp COS <p -J-	sin ip cos ip
Если sin ср > n, to
sincp .	,
Sin Ip = ------i- > 1.
n
(56.3)
(56.4)
Тогда наблюдается полное отражение падающего луча от границы раздела обратно в первую среду (луч 4' на рис. 57).
Для решения задачи об интенсивности отраженного света в этом случае найдем величину cos гр:
cos гр = ± Г1 — sin2 гр = ±	1------—.
Так как sin гр> 1, то для cos гр получаем мнимое выражение. Из физических соображений, которые будут ясны из дальнейшего, перед корнем необходимо брать знак «минус». Тогда для cosip имеем
cosrp = -ij/^-l.	(56.5)
Для амплитудных коэффициентов отражения и преломления можем написать:
268
— i sin ф I / ---x. — 1 — cos ф sin ip
V n2________________________a + i‘P
/sin2 cn	a
.---X — 1 -p COS ф31П ip
n2
(56.6)
sin ф cos ф i sin ip 1 / s‘? *P._________j
л3 ___________ й + i'Y
/ . 2	’ Й — iy
sin ф cos ф — i sin ip 1 / -ln __________1
V n2
Рис. 58
Здесь a, p, у и 6 — вещественные числа. Можно также
формулы для rs и гр переписать в виде:
где
 = Л1_ г ^Л2.
3	21 ’ р ~ z2 ’
Z1 = \Z1\e№', j
(56.7)
Следовательно,
Z2 = \Z2\e‘'®°, |
Z2 = \Z2\e~№‘. |
Отсюда видно, что женной волны равна
при отражении амплитуда отра-амплитуде падающей волны и
269
наблюдается изменение фазы волны либо на 2ФЬ либо на 2 Ф2 в зависимости от компоненты поляризации. -
Явление сдвига фаз используется для получения поляризованного по кругу света при пропускании -луча света через специальную призму — параллелепипед Френеля (рис. 58). Падающий свет линейно-поляризован под углом 45° к плоскости падения. После каждого отражения Д = Ф;—Фа изменяется на 45°. Следовательно, выходящие лучи будут иметь сдвиг фаз 90°, т. е. свет будет поляризован по кругу.
§ 57. Проникновение света во вторую среду при полном внутреннем отражении. Оптические волноводы
Электрическое поле волны, проникающей во вторую среду, может быть найдено на основе рис. 59. Для ком-
поненты с вектором Е, лежащим в плоскости падения, запишем
Я? = -£0D cos ,1
Для компоненты с перпендикулярной поляризацией имеем
Е° -	(57.2)
270
где
"(jp 2зт
~Т
х sin ip + г cos ip
V2
(57.3)
v2 — скорость света во второй среде; Т — период световых колебаний. Ранее было найдено, что cos ip = =------^-’}/'sin3(p — /г2. Подставляя это выражение в фор-
п
мулы (57.1) и (57.2), можем записать
Е
iEn sin <р п
2пг
nv2T
Таким образом, во второй среде распространяются волны с убывающей вдоль z амплитудой и имеющие скорость распространения вдоль поверхности раздела в направлении оси х, равную
v =
х sin ip
(57.5)
Если второй средой является вакуум, то v2 — c. Поскольку вблизи полного внутреннего отражения 1р~л/2, simp« 1, то щ-~с. Приблизительно тот же результат будет, если второй средой является воздух или другой газ при обычных давлениях.
Коэффициент, определяющий затухание волн (если вторая среда — вакуум), равен:
x = -^/sin2<p--«2^-^--l/'sin2(p--rt2. (57.6) nv2T	псТ
Такжак сТ — Х, то, учитывая, что в данном случае будем иметь
и = — /sin2 <р — гс2.	(57.7)
271
Убывание амплитуды колебаний с глубиной проникновения света во вторую среду при полном внутреннем отражении означает, что хотя энергия и проникает во вторую среду, но не распространяется в ней в направлениях, не совпадающих с направлением поверхности раздела. Наоборот, вдоль поверхности раздела практически со скоростью света с бежит электромагнитная волна, имеющая продольную составляющую вектора напряженности световой волны.
Глубина проникновения может быть оценена из условия:
xz = 1 или z = —.	(57.8)
X
Величина ]/sin2(p — п2 имеет значение порядка 0-е0,5. Если взять последнее значение и подставить его в (57.8), то для глубины проникновения получим
т. е. 2d составляет доли длины световой волны.
На рис. 60 схематически изображено ослабление амплитуды электромагнитных волн во второй среде при полном внутреннем отражении: L — падающий, L' — отраженный лучи света, ерь — угол падения, при котором наступает полное внутреннее отражение, и*— скорость
27?
распространения электромагнитных волн во второй среде вдоль х.
По мере уменьшения <р растет и при sirup=/г становится равным бесконечности, т. е. при этом уже начинается распространение энергии во второй среде. Замечательным обстоятельством при полном внутреннем отражении является то, что вдоль поверхности раздела бегут электромагнитные волны Ex, Еу, Е? (формулы 57.4) и граница раздела становится волноводом. Если же ограничить среду П\ двумя границами раздела, то электромагнитная энергия будет бежать внутри
nf
Рис. 61
среды /?[, не выходя из нее наружу (рис. 61). Такая система называется волноводом, в данном случае плоским.
. Если ограничивающая среду щ поверхность имеет форму прямоугольника или цилиндра, то соответственно будем иметь прямоугольный или цилиндрический волноводы. На практике оптические волноводы, или светопроводы, изготовляются в виде тонких прозрачных нитей из стекла или другого вещества. Эти нити имеют толщину порядка нескольких микрон, светоизолируются и объединяются в пучки, которые способны проводить изображения по криволинейным путям без каких-либо искажений. Наряду с простыми светопроводами применяют волноводные линзы, призмы и другие детали, которые открывают новые возможности для изготовления оптических систем. Изображенный на рис. 61 оптический волновод обладает такими же свойствами, как и диэлектрические радиоволноводы. Поэтому на них в полной мере может распространяться теория радиоволноводов, которая в настоящее время достигла большого совершенства. В частности, если в волновод, изображенной на рис. 61, будет падать волна, поляризованная таким образом, что в ней вектор напряженности электрического поля будет лежать в плоскости падения, то в Волноводе будет распространяться ЕЛ4отп-волна; если же
эта
падающая волна будет иметь электрический вектор, ориентированный перпендикулярно к плоскости падения, то в волноводе -будут бежать 77?тга-волны. В цилиндрических оптических волноводах могут быть возбуждены волны как типа ТЕтп, так и типа ТМтп. Следует заметить, что для полной аналогии рис. 61 с радиоволноводами необходимо в оптический волновод пропустить сразу две волны, из которых одна должна идти так, как показано на рис. 61, а другая будет входить так же, но только первое отражение должно происходить от верхней границы волновода. Картина течения энергии в этом случае будет такой же, как это показано на рис. 12, а и б. Оптические волноводы в настоящее время приобрели огромное значение для квантовой генерации когерентного света.
Проникновение энергии при полном внутреннем отражении может быть использовано для модуляции света. Так, если к границе раздела со стороны среды п2 приблизить на расстояние порядка zd тело из вещества с показателем преломления, близким к пь то это тело будет отсасывать энергию из поля и она проникнет внутрь тела, придвинутого к границе раздела. Меняя зазор между границами этого тела и первой среды можно модулировать интенсивность света, пропускаемого через придвинутое к границе раздела тело.
Теория явления полного внутреннего отражения была подробно развита выдающимся русским физиком А. А. Эйхенвальдом *, учеником П. Н. Лебедева.
§ 58. Распространение света в однородной анизотропной среде. Оптика кристаллов
Для изотропных диэлектриков связь между напряженностью электрического поля и электрической индукцией имеет вид:
Z) = e£,	(58.1)
где s — простой скаляр.
* А. А. Э й х е и в а л ь д. О движении энергии при полном внутреннем отражении света. ЖРФХО, т. 41, вып. 3, 1909, стр. 131; Uber die Bewegimg dec Energie bei Totalreflexion. Annalen der Phy-sik, Bd. 35, S. 1037, 1911.
274
Для кристаллов соблюдается более сложное соотношение между векторами Е и D:
8ц£х Д" е12-Д/ Д" Б1зДг, ^у ~ 821Дс + ^22^ у Д’ !-'2.'1Дг, ^z = е31Ех Д" 632fy -j- e33Ez.
(58.2)
Таким образом, диэлектрическая проницаемость у кристаллов представляет собой тензор.
Для изотропного тела 8ц = 822=833, а остальные компоненты равны нулю. Можно показать, что
е21 ~ е12>	£13 ~ Б31,	£23 = е32>
и, значит, тензор диэлектрической проницаемости является симметричным. Если в качестве осей координат выбрать так называемые главные электрические оси кристалла, то
Dx = 8; Ех, Dy ~ 82^у> = 8g EZ.
(58.3)
Итак, вектор индукции в кристалле не будет совпадать по направлению с вектором напряженности электрического поля.
Если в кристалле распространяется плоская световая волна, то для векторов D, Е и Н можно записать уравнения волны:
D = Ъа
Е = Еое^-?к?Н,
(58.4)
И = Н0е^-$о},
где Dq, Eq и Hq — в общем случае комплексные амплитуды этих полей. Уравнения Максвелла будут иметь вид:
с rot И = D, с rot Е — — И.
(58.5)
275
Для плоской монохроматической волны имеем rot Е = — i [&£], 1 rot Н — — i \kH]. I
Так как далее в этом случае D = i«) D,
Е = i <в Е, то
(58.6)
(58.7)
(58.8)
Из (58.8) непосредственно следует, что D ±Н, D 1 k, 1 Е ± И, Н ±k, J
но Е не перпендикулярно k.
(58.9)
Так как поток энергии определяется вектором Умова— Пойнтинга, то
276
S = — [EH], 4л
(58.10)
отсюда следует, что
E±S, Н ±S.
(58.11)
Таким образом, векторы Ё, Н, Ь, S и k имеют расположение, показанное на рис. 62. Как видим, направление k волны электрической индукции D не совпадает с направлением потока энергии 3. Это обстоятельство является очень важным в оптике кристаллов. Направление k называется направлением волны или нормали к волне- Плоскость D, Н представляет собой поверхность волны.
§ 59. Закон Френеля для скорости света в кристалле. Двойное лучепреломление
Из уравнений Максвелла (58.5) следует волновое уравнение:
D = с2 v2 Е — с2 v (V £)>
или в координатах:
61	д2Ех	/ &ЕХ	, д2Ех	д2Е_,
с2	dt2	У дх2	ду2	dz2
	д /	' дЕх ,	дЕу ,	дЕг X
				 +		
	дх \	. дх	ду	dz )
е2	д2Еу _ /	д2Еу	д2Еу	д2Еи >
С2	dt2 \	дх2 '	ду2	dz2 )
	д (	' дЕх	дЕу	дЕг
	ду \	ч дх	ду	dz У ’
е3	д2Ег	/	д2Ег	д2Ег	d2Ez \
	dt2	\	дх2	ду2	dz2 J
д / дЕх	дЕу	дЕг \
dz у дх	ду	дг )’
(59.1)
277
Для компонент электрического поля можно написать
Д-	Dx
	е1
Еу =	Ру е2
Ег =	Рг
	8з 7
(59.2)
Для абсолютной величины вектора Ь имеет место скалярное уравнение волны
\D\ = O0cos ~(t~
ах -k pz/ -k yz v
(59.3)
где a, p, у — направляющие косинусы вектора k, v — скорость волны. Если обозначим направляющие косинусы вектора D через т, п, р, то из (59.3) получим
Dx = т Do cos Ф, Dy = п Do cos Ф, = p£)0cos Ф,
(59.4)
. 2зт /, ах + Во 4- yz \ г,,	74 ।
где Ф =------- t-----------— - - — . Так как D J_ k, то
Т \	v J
ат + fin + YP == 0.	(59.5)
Далее имеем
щ2 + п2 + р2 == a2 + Р2 + У2 = 1 •	(59.6)
Подставляя значения Dx, DtJ, Dz из (59.4) в формулы (59.2), а затем Ех, Еу, Егиз (59,2) в (59,1) и преобразуя их, получаем
т 		пг	a V	am 81	+	P/l ®2	83 /	
	61 V2						
п __ с2	п £1^2	t<2 \	am 81	- +	P« e2	83 /	
р	р	Y	( am	+	P/l	+ YP 83 /	
’ (? -	e3w2		8i		82		
(59.7)
278
Введем обозначения:
<->2	/-<2	г>2
А2 = ~, В2 = -^—, С2=--, 81	82	е3
А2 ат + В2 $п С2 ур = G2,
тогда согласно (59.7) запишем
ctG2	BG2	yG2
т =---------, п = —---------, р = — -------
Л2 — v2	В2 — г2	С2 — и2
(59.8)
(59.9)
Умножая уравнения (59.9) соответственно на а, р, у и складывая их, находим
—-------Ч---------- +’—--------= 0.	(59.10).
Л2 _ V2 Вг _ у2 С2 _ И2
Это уравнение называется законом Френеля для скорости света в кристалле.
Если а=1, то р=у = О, волна идет вдоль оси х. Тогда, чтобы уравнение (59.10) имело смысл, должно быть В2—у2 = 0 и С2—v2 — 0, т. е. скорость будет иметь два значения и=В и v = C. Следовательно, каждому направлению распространения (а, р, у) соответствуют два значения V, величина которых меняется в зависимости от направления, т. е. имеет место распространение сразу двух волн. Это явление называется двойным лучепреломлением. Величины А, В, С представляют собой скорости волны для направлений, когда колебания D совершаются соответственно вдоль х, у, г. Величина v — это скорость волны для произвольного направления.
Итак, в кристаллах и вообще в анизотропных средах происходит одновременное распространение двух электромагнитных волн ко скоростями У1 и V2- Это очень хорошо наблюдается в кристаллах исландского шпата (кристаллы углекислого кальция — кальцит СаСО3). Схема этого явления изображена на рис. 63. Кристаллы исландского шпата являются одноосными кристаллами, в которых луч света разбивается на два луча Lo и Le — обыкновенный и необыкновенный лучи. Луч Lo испытывает обычное преломление, для которого п0 не зависит от направления распространения света в кристалле. Луч Le испытывает необыкновенное преломление, для которого пе является функцией направления луча в кристалле.
279
Для понимания явлений, происходящих в кристаллах, очень полезно исследовать структуру волновой поверхности. Для этого рассмотрим случай распространения в кристалле волны от точечного источника внутри кристалла.
На рис. 64 изображена поверхность волны в кристалле с источником в точке О. Сечения этой поверхности плоскостями XOY, XOZ, YOZ приведены на рис. 65, а, б и в. Величины А, В и С представляют собой зна-
чения главных скоростей. В двух направлениях ОО' и ОО” скорости обеих волн совпадают. Эти направления называются оптическими осями кристалла.
Таким образом, в общем случае имеются две оптические оси. Такие кристаллы называются двуосными. В некоторых кристаллах эти оси сливаются между собой. Такие кристаллы являются одноосными. Если слияние происходит вдоль оси z, то совпадут между собой главные скорости Л и В. Если это слияние произойдет по оси х, то совпадут скорости В и С.
Волновые поверхности здесь состоят из сферы для Lo и из эллипсоида вращения для Le. Если ne>n0(v0> >уе), то кристалл называется положительным (рис. 66, а); если же ne<.no(yo<ve), то кристалл будет отрицательным (рис. 66, б).
Итак, в случае одноосного кристалла для луча Lo имеет место yQ=const, т. е. vQ не зависит от направления

распространения в кристалле. Для луча Le скорость ve есть функция этого направления. В двуосных кристаллах оба луча являются необыкновенными. Плоскость в кристалле, которая проходит через обе оптические оси, называется главным сечением. Для одноосного кристалла
Рис. 66
главным сечением является плоскость, проходящая через направления луча и оптической оси. Так как оптическая ось есть любая линия, проведенная параллельно направлению, в котором совпадают скорости v0 и ve, то в кристалле существует бесчисленное множество главных сечений.
281
Колебания электрического вектора обыкновенной волны Ео всегда перпендикулярны к главному сечению, а следовательно, и к оптической оси. Поэтому значение диэлектрической проницаемости е0 для нее будет определяться ее значениями по осям х и у, когда оптическая ось лежит вдоль z, и значениями по осям у и г, когда оптическая ось лежит вдоль х. Таким образом, е0 будет постоянной величиной. Наоборот, ее будет функцией направления, следовательно, и ve будет зависеть от направления распространения в кристалле. На основе разобранных выше законов можно рассмотреть различные случаи преломления света в кристаллах. При этом необходимо только иметь в виду, как уже было отмечено раньше, что между направлениями волны k в кристалле и луча S, переносящего энергию, имеется угол ё, зависящий от оптических характеристик кристалла.
§ 60. Хроматическая поляризация
В явлениях кристаллооптики важное значение имеет хроматическая поляризация. Рассмотрим ее для случая параллельных пучков.
Пусть на кристаллическую пластинку Р' (рис. 67), помещенную между поляризатором Р и анализатором А, падает параллельный пучок белого света. Кристаллическая пластинка Р' вырезана из одноосного кристалла и имеет направление оси вдоль ОО.
282
Допустим, что угол между плоскостью колебаний поляризатора (направление электрического поля Е) и так называемой плоскостью поляризации рр пластинки равен а. Тогда луч света разобьется в пластинке на два — обыкновенный Е° и необыкновенный Ее, которые пойдут в ней с разными скоростями v0 и ve (рис. 68).
Если плоскость электрических колебаний анализатора совпадает с плоскостью колебаний поляризатора, то, падая на анализатор, лучи Е° и Ее, в свою очередь, разобьются на следующие компоненты (рис. 68): лучи Е0' и Ее' вдоль направления Р'А и лучи Е°" и Ее" вдоль перпендикулярного ему направления. Лучи Е°" и Ее" будут погашены анализатором, поэтому будем рассматривать только лучи Е0' и Ее'. Если выходящий из поляризатора свет является монохроматическим, то при входе света в пластинку можно написать:
Е —Ей sin---1.
Т
Так как Е разбивается в кристаллической пластинке на два луча, то каждый из них в пластинке получит дополнительную разность фаз:
283
zk 2л ,
ф0 = ~nod, Л
2jt i
Фе = -T~ned-
Л
(60.2)
Амплитуды обыкновенного и необыкновенного лучей будут а0~Е0 cosa, ае = Ей sina, и следовательно, для колебаний, входящих в анализатор, можно взять выражения:
Г7/Ч Г?	* f	2jt
Е° = Еа cos a sin (-----------—---------п„ а ,
\ Т X	° j
r-tff г1 *	• f	2л	<\
Ее = Еа sin a si п (--------------------------------п. а .
\	Т К	j
(60.3)
После прохождения анализатора образуются два луча Е0' и Ее', которые будут иметь амплитуды:
а0 = Ео cos2 а, а'е = Ео sin2 а.
Тогда имеем
Е°’ — Ео cos2 a sin ---------Фо ) ,
Ее> = Ео sin2 а sin --------Ф J,
(60.3')
(60.4)
Результирующее колебание будет
E' = asin^—---Ф'j = a sin ((of — Ф'),	(60.5)
где со = 2я/Т.
Можно теперь для Е' написать:
Е' = a sin (at — Ф') = а0 sin (at — Фо) + ае sin (at — Фе)
(60.6) или
a sin at cos Ф' — a cos at sin Ф' = a0 sin at cos Фо — — a0 cos at sin Фо -p sin at cos Фе — ae cos at sin Фе.
284
(60.7)
Приравнивая по отдельности члены, содержащие только sin at или cos м/, будем иметь
a sin at cos Ф' = а0 sin at cos Фо ae sin at cos Фе, a cos at sin Ф' = aocos at sin Фо ae cos at sin Фе.
Сократив первое и второе соотношения соответственно на sin at и cos at, возведя в квадрат и сложив, получим
/2	>2	,2
а2 = а0 cos2 Фо а0 sin2 Фо Ц- ае cos2 Фе + ,2	' '	, ,
+ ае sin2 Фе	2 а0 ае cos Фо cos Фе 2а0 ае sin Фо sin Фе,
отсюда имеем
/2	/2	,	,
а2 = а0 + ае + 2а0 ае cos (Фо — Фе).
Так как интенсивности света пропорциональны квадратам амплитуд, то, обозначая а2 = /, Е2а — /0 и заменяя а0 и ае их значениями из (60.3'), будем иметь
/ = /0{1 + sin22а cos (Фо — Фй)}.	(60.8)
Если а = 45°, то учитывая, что
Ф0-Фе=(60.9)
формулу (60.8) можем записать в виде:
г т	9 ftd --- Пр)	/г>г\ 1 г\\
I ~/0cosa —————.	(60.Ю)
Л
Таким образом, в зависимости от (п0—пе) значения d и Л будут иметь максимумы или минимумы в проходящем свете. Если же спектр падающего света будет сплошной, то в проходящем свете будет наблюдаться различная окраска в зависимости от толщины d. При скрещенных поляризаторе и анализаторе картина будет дополнительной по отношению к (60. Ю), т. е.
Г = i0 Sin2 *d(n0-ne) '	(6O.j j)
А
285
Явления хроматической поляризации широко используются при исследовании механических напряжений оптическими методами, а также при исследовании кристаллов.
§ 61. Элементарная теория вращения плоскости поляризации
Целый ряд веществ обнаруживает способность по-
ворачивать плоскость поляризации проходящих через
них лучей, причем для монохроматического света соблюдается закон:
<р = ad,
где а — удельное вращение; d— толщина пройденного' светом слоя вещества. Вращение плоскости поляризации происходит потому, что элементарными волнами, распространяющимися в таком веществе, являются волны, поляризованные по кругу. Поэтому линейно-поляризованная волна, войдя в вещество, разбивается на две поляризованные по левому (Eg) и правому (Ed) кругам волны (рис. 69). Если волна проходит в веществе слой d, то электрический вектор волны Ed сделает число оборотов, равное
N = d К
(61-1)
а электрический вектор волны Eg сделает число оборотов
п„ d.
N =	-
s х
(61.2)
где nd и пр— показатели преломления для соответствующих волн.
286
Тогда углы <prf и ф^. будут
Фу = 2aNd = ndd, Л
Ф„ = 2nN„ = -^- nBd. а Ё /» Ё
Угол между векторами Ed и Eg равен: *	2jtd f	\
АФ = —7- («d —«й).
Л
(61.3)
(61-4)
Угол поворота плоскости поляризации будет равен ф = = Дф/2, т. е.
ixd .	,
Ф =	— «Д
Л
(61.5)
Эта теория, развитая Френелем, была подтверждена им в следующем опыте (рис. 70). Изготовлялась сложная призма, состоящая из трех призм I, II, III: призмы I и III были сделаны из> правовращающего кварца,
Рис. 70
призма II — из левовращающего. При нормальном падении на поверхность призмы лучей линейно-поляризованного света раздвоения их не происходит, хотя имеется разница в показателях преломления лучей, поляризованных по правому и левому кругам. Для призм из правовращающего кварца nd<ng, а для призм из левовращающего кварца	Это приводит к тому, что на
границе раздела призм I и II, II и III, а также при выходе света из призмы III наружу будет происходить преломление света и лучи света и Lg с правым и левым вращением электрического (и магнитного) поля разойдутся в разные стороны.
287
Глава 10
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ, ОБЛАДАЮЩЕЙ ПОГЛОЩЕНИЕМ
§ 62. Классическая теория дисперсии и поглощения света
В основе классической теории атомного (молекулярного) излучения лежало представление о колебаниях электронов в атомах (молекулах) или других зарядов около положения устойчивого равновесия. Собственные частоты vnm этих колебаний определяются условием:
\m = -n~hWm-,	(62.1)
где Wn и Wm—уровни энергии атома, между которыми совершается квантовый переход с излучением света на частоте vnm. Будем считать, что Wn>Wm. Если переход совершается с уровня на уровень Wm и при этом происходит излучение света, то нужно принять, что в этом случае
=	=	(62.2)
Следовательно, частота колебаний в этом случае является отрицательной величиной. Если же переход происходит снизу, вверх, т. е. Wm-+Wn, то
(62.3)
В этом случае частота колебаний является положительной величиной и происходит поглощение света. Со-
288
(62.4)
ответствующий этому переходу осциллятор колеблется с частотой vmn, определяемой условием (62.3). Процессом, обратным поглощению, является индуцированное излучение, т. е. вынужденный переход с КД на Wm. Этому переходу соответствует осциллятор, колеблющийся с частотой, определяемой условием (62.2).
Физический смысл отрицательной частоты в формуле (62.2) можно пояснить, сравнив между собой два колебания:
— sin {2л |	| Z},
Е2 ~ sin {— 2л | vnm | ?} = — siп (2л | vnm 11}.
Здесь колебание Е2, имеющее отрицательную частоту, сдвинуто по фазе относительно Ех на л, т. е. наличие двух осцилляторов ic частотами |vnJ и — |vnm| означает, что они колеблются в противоположных фазах.
Колебания электронов в классической теории излучения считались свободными, чему соответствует спонтанное излучение атомов (и других частиц вещества). Наоборот, при распространении света в среде колебания электронов в атомах являются вынужденными и совершаются с частотой падающей на атомы световой волны. Благодаря вторичному излучению возбужденных падающей волной атомов, а также потере энергии возбуждения при столкновениях электроны будут испытывать радиационное и ударное торможение, а колебания их будут затухать.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний электрона .в атоме (молекуле) можем записать в виде:
тйх -j- тй у* х + т0 а2пт х = еЕ, (62.5)
где Е — напряженность электрического поля падающей световой волны;,
т* = y + y', 1 , 1
Y = — Y = — t	x'
(62.6)
т — длительность возбужденного состояния свободного (невозмущенного) атома; т'—средняя длительность
10 Ф. А. Королев
289
свободного пробега между двумя столкновениями атома с другими частицами (атомами, молекулами). Пусть на вещество падает плоская монохроматическая линейно-поляризованная световая волна в направлении распространения z. Вектор Е электрического поля волны будет направлен вдоль х, а вектор Н магнитного поля—вдоль у. Тогда
£ = Еоcos (at— kz),	(62.7)
где со и k — соответственно циклическая частота и волновое число падающей волны. Представим Е в комплексной форме:
£=Eoe^-fe),	(62.8)
тогда уравнение движения электрона в атоме в точке 2 = 0 выглядит как
т0 х ф- /поу* х 4- т0 a2nmx = eE^e‘at. (62.9)
В выражении (62.9) записана только одна возможность, соответствующая переходам атомов под воздействием излучения с нижних уровней на верхние, т. е. колебаниям радиационного атомного •осциллятора с положительной частотой. В этом случае соотношение фаз х и Е будет определяться уравнением (62.9). Если же переходы будут происходить с верхних уровней на нижние, то им будет соответствовать отрицательное значение частоты, и в этом случае фазы х и Е сдвинутся по сравнению с (62.9) на л. Это можно учесть, если в выражении (62.9) правую (или левую) часть умножить на — 1. Тогда, заменив х на х', вместо (62.9) будем иметь
тйх' + т0 у*х' + т0 a2nmx’ = — eEoelat. (62.9')
Умножим обе части уравнений (62.9) и (62.9') на е и заменим бх^==Т)г^п и ех ~Епту где Е^п и Епт скалярные величины дипольных моментов атома соответственно для переходов т-*-п и п-*т, тогда будем иметь два уравнения движения:
290
Dmn + Y Dmn + ojram Dmn — Eo eiat, m0
^nm + Y Aim + ^nm =	Е» e‘at-
mo
Положим пока, что уровни энергии атомов простые, и тогда
\Dnm\ = \Dmn\.	(62.11)
Следовательно, можно перейти к дипольному моменту единицы объема по формуле
D'=DmnNm, 1
D" = DnmNn, J
(62.12)
где Nm— число атомов в единице объема (1 см3) на уровне Wm; Nn — то же, на уровне Wn- Всюду дальше индексом «штрих» отмечены величины, относящиеся к переходам с Wm на Wn, а индексом «два штриха» — величины, относящиеся к переходам с Wn на Wm. После такой замены уравнения (62.10) можно записать для единицы объема:
Ь' + Y*O' + D' = Ео e‘at, то
Ь" +	+ ^гт D" = - Епе^‘.
т0
Решение этих уравнений можно искать в виде:
D' = D'oe‘at,
D" = Doeiat,
(62.13)
(62.14)
где Dq и D'q —в общем случае с учетом поглощения в веществе комплексные амплитуды дипольного момента единицы объема вещества.
Если теперь ИЗ’ (62.14) найти величины первых и вторых производных по времени для D' и D" и подставить их в (62.13), то получим решения:
10*
291
(62.15)
Между D и Е существует соотношение
п3 — 1
£>= -\ 1	Е^-^-^-Е,
4л	4л ’
(62.16)
где е и п— соответственно комплексная диэлектрическая проницаемость и комплексный показатель преломления, хотя следует заметить, что в более общем случае нужно брать формулу Клаузиуса—Мосотти—Лорентца:
D = NaE',	(62.17)
где а — поляризуемость атома (или молекулы); Е' — поле, действующее на заряд внутри вещества:
Е' = Е + — nD.	(62.18)
3
Из соотношений (62.17) и (62.18) следует, что
-I--1-- = —cOV,	(62.19)
е + 2	3
где е — диэлектрическая проницаемость вещества, которая в общем случае может быть комплексной величиной; a — комплексная поляризуемость. Воспользуемся здесь более простой связью между D и £—выражением (62.16), справедливым для неконденсированного вещества (газы при невысоких плотностях). Для п можно написать:
п = п — i%,	(62.20)
где п — действительный показатель преломления, а величина к, как увидим ниже, определяет поглощение света. Если теперь возьмем амплитудные значений D' и
292
D” и, выразив их через Ео по формуле (62.16), подставим в уравнения (62.15), то будем иметь:
и'3—1 =
е2
4л--------Nm
то
апт -	+ »®Y*
п"2 — 1 =
е2
4л ----Nn
то
(62.21)
®п,п ~ w2 + шу*
где п'— показатель преломления, соответствующий D'’, п" — тоже дляЕ>". Отделяя действительные части от мнимых, будем иметь
(62.22)
и соответственно для п" и к":
“2)
п"2 — х"2 — 1 =-------------------------------------
(®L - ®2i2 + ®2 Y*2
е2
2 л -----Nn coy*
п"н" =_______________'Jh_______________ .
(шпт ~ с°2)2 И" “2 Y*2
(62.22')
Для веществ, обладающих малой плотностью, когда и'<1 и z"<l, a s'xil и п"^1, можно написать: п'2—1 = (га'4-1) (и' — 1)^2 (га'—1), аналогично будет га"2 — 1 ^2 (га" — 1). Тогда выражения (62.22) и (62.22') примут вид:
293
п
/лдо
(Ш2т_Ш2)2+м2^ е2 2л-----ДГт сот*
,	та
х =---------®----------,
(“L—®2)2 + “2 У*2
е2
2л —----Nn — со2)
,//_। „___________2_______________
(<o,2im-co2)2 + «2у*2
е2
2л ---N п соу*
_ то
<Rnm — “2)2 + W2 У*2
Рассмотрим прохождение света в среде, когда одновременно имеются возбужденные и невозбужденные атомы, причем п'~\, п"^1, х' и х" много меньше единицы. Тогда при вычислении показателя преломления среды и величины х можно взять суммы Rm и Rn, к' и %", обозначаемые соответственно буквами Rmn и х (без индекса), где Rm, Rn и Rmn — правые части выражений (62.23) и (62.25), т. е.
Rmn — Rm + Rn , X — ХЛ X \	(62.24)
Тогда вместо выражений (62.23) можно написать:
2л — (Л’т - Nn) (ш2пп— со2) т„
е*
2л------(Nm — Nn) к>у*
Х =----------------------—
(fi>L-“2)2 + fi>Y
Если уровни Wn и Wm вырожденные, а их статистические веса соответственно gn и gm, то вместо разности Nm— Nn в формулы (62.25) нужно подставить величину lNm—	тогда будем иметь:
\	ёп /
294
2Я m0 ~ gn ^nm ~
(^„-co^+^y*2
2л — f^-—coy* m0 \______gn !___
(.rfm ~ ®2)2 + “¥2
(62.26)
Если в среде с такими характеристиками распространяется световая волна (62.8), то по прохождении слоя толщиной z напряженность поля будет
Е = Е
ia>[t-----
о ' v
0е
(62.27)
С ,	т~г
где у= — —фазовая скорость света в среде. Подстав-ляя вместо п его выражение по формуле (62.20), получаем
• ri—iv. \
Е =	(62.28)
или 2лхг ( nz \
Е = Ейе	,	(62.29)
где Z = c7\ Отсюда следует, что волна по мере ее распространения в среде испытывает ослабление — поглощение. Амплитуда световой волны Е'о убывает по закону
2ЛХ
Е'о = Еое ь~г.	(62.30)
Величина k\ определяемая соотношением
k' =	(62.31)
называется коэффициентом поглощения для амплитуды. ло(<~—)	«о (г-—)
Множитель е с = е ' v представляет собой периодический волновой член, характеризующий распространение фазы волны.
295
(62.33)
(62.34)
(62.35)
Поскольку интенсивность света пропорциональна ,2	о
квадрату амплитуды, т. е. I — Ео , /0 — Ео, то
I = Ioe~kz,	(62.32)
где I — интенсивность света, прошедшего слой толщиной z; 10 — интенсивность падающего света; k — коэффициент поглощения для интенсивности.
Следовательно, для /г = 2/г' имеем
. 4лх 4nvx	2 coz
k = -----=-------- = ----.
Л	с с
Итак, окончательно можно написать:
g2
2л-—- АЛ^	- со2)
1а	/ТМ
J. ______У_______________
е2
4л ---ДЛ’лтсо2у*
д, ________т0____________
с {(“L— и2)2 + с^у*2) ’
где
EN = N пт iV т	па
Sn,
На рис. 71 приведены зависимости п и k от частоты падающего света; vnm соответствует одной ИЗ' собственных частот колебаний электрона в атоме. п+ и k+ означают показатель преломления и коэффициент поглощения для АЛ/’пт>'0, п~ и k~ — то же, для АЛ/’„т<'0.
Из рис. 71 видно, что по мере приближения vk vnm для AArnm>0 показатель преломления возрастает. Это явление называется нормальной дисперсией. Затем п начинает падать й при частоте v=vnm становится равным единице. При этом скорость света в среде равна скорости света в вакууме. Таким образом, падающий на среду свет как бы не испытывает с ее стороны воздействия на скорость распространения. При дальнейшем возрастании частоты показатель преломления п становится меньше единицы и затем снова приближается к 1. Зависимость п (v) в области, еде гг падает с увеличением частоты, называется аномальной дисперсией. В области аномальной
296
дисперсии происходит и сильное поглощение света, имеющее максимум для v = vnm. Зависимость k+(y) такая же, как и зависимость интенсивности излучения атомов от частоты. Ширина линии поглощения равна:
2Sv = А
2л
(62.36)
т. е. определяется той же самой величиной, что и ширина линии испускания. Здесь необходимо отметить, что такой вид линии поглощения, который дается формулой
(62.23) или (62.34) (как и аналогичный вид эмиссионных линий), имеет место для бесконечно тонкого слоя. Для слоя конечной ширины это распределение искажается.
При рассмотрении явлений не учитывалось влияние движения атомов вследствие Допплер-эффекта, который приводит к значительному уширению линий. С учетом явления Допплера величина п будет иметь в максимуме меньшие значения и ход кривой п будет более пологий. Равным образом кривая для коэффициента поглощения также будет более широкой и пологой, а максимальное значение k будет практически обратно пропорционально допплеровской ширине линии.
297
Рассмотрим теперь случай, когда A2Vnm<0. Такое состояние вещества возможно лишь при специальном возбуждении и представляет собой инверсную заселенность уровней энергии (см. § 48). В этом случае кривые дисперсии и поглощения меняют свой ход (см. рис. 71, кривые п~ и k~). Полная симметрия кривых п+ и п~, а также k+ и k~ возможна лишь, ' когда &Nnm имеет одинаковую абсолютную величину в обоих случаях. Ход дисперсии и ход поглощения, отображаемые функциями п~ и k~, получили названия отрицательной дисперсии и отрицательного поглощения.
В случае отрицательного поглощения при распространении света наблюдается не ослабление светового пучка, а его усиление. Таким образом, среда с отрицательным коэффициентом поглощения является усилителем света.
При наличии нескольких собственных частот в веществе показатель преломления может быть записан в виде:
где у*гт — коэффициент затухания для перехода пт. Вдали от полос поглощения (<в2т — со2)2 д> <в2у*2г, и тогда

е2 2 л
(62.38)
что дает возможность теоретически просто рассчитывать показатель преломления п.
В конденсированном веществе, в котором п^>1, связь между поляризацией и внешним электрическим полем дается уже не выражением (62.16), а формулой Клаузиуса— Мосотти (62.19).
Найдем выражение для поляризуемости атома а (молекулы) в этом случае:
Dmn = ех = аЕ.
(62.39)
298
Так как b' = DmnNm, то Из (62.10), (62.12), (62.39) и (62.14) для а имеем
еа
________«о_________
“n,n -- “2 + ‘“Y*
(62.40)
Подставляя а в формулу (62.19) и заменяя е=гс2, на
ходим
е2
___	4jt ----
га2 — 1 _ т0 ЧП ^пт
га2+ 2	3	+
пт
(62.41)
или, освобождаясь от комплексного выражения в знаменателе правой части, получаем
е2
га2- 1 = 4Я yi ^пт {(“nm-^l-^YnnJ zg2 42)
n2 + 2	3	(“^-“2)2 + “2Yn2m
Если приближенно заменить п2 + 2«3, а в числителе левой части вместо п взять п—in, то, отделяя действительную и мнимые части, будем иметь:
л2 — х2 — 1 = 4л ~ V
iilWTrn пт
kNnm (со“т со2)
(“,2im-“2)2+“2Ynm
g2
2пк = 4л------
т0
&МптшуП1П
(“,™-“2)2+“2YnL
1
(62.43)
Когда вещество можно считать практически невоз-бужденным (Nn=Q), а поглощение незначительно и им можно пренебречь по сравнению с единицей, кроме того, когда явления рассматриваются вдали от полосы поглощения, то можно также пренебречь величиной <в2у*2т в знаменателе, и тогда (62.43) можно записать в следующем виде:
299
/г2—1 = 4л —V—--------------,
«о	^пт - со2
пт
(62.44)
2пк = 4л — V "’о
NmwVnm ^гт ~ “2)2 '
Для ы » I апт I имеем
в случае положительной дисперсии
(62.45)
а при отрицательной
^-<0 dv
(62.45')
Для области wC|®nm | эти неравенства будут обратными.
Формулы (62.44) справедливы и для смесей различных веществ, что отражает аддитивное воздействие различных компонент смеси на показатель преломления. В случае смеси веществ (или растворов) индексы пт распространяются на все возможные квантовые переходы в данном веществе.
§ 63. Вторичное излучение света атомами и молекулами вещества, в котором распространяется свет.
Реактивная мощность среды и мощность поглощения
Как было показано в § 62, электрическое поле световой волны, распространяющейся в веществе, наводит в атомах (молекулах) вещества дипольный момент Dmn = ex, колеблющийся в соответствии с уравнением (62.14). Рассмотрим полное решение дифференциального уравнения колебаний атома под воздействием электрического поля внешней световой волны.
Запишем уравнение (62.9) в действительной форме:
X 4-	тх = ——Д0 cos (£>t.	(63.1)
300
Решение этого уравнения будет иметь вид:
_ y*t
х = е 2 (a cos (i\t + b sin	Д-
+ — Eo-------- cos (ю/ ~	,	(63.2)
m° V- ®2)2 + y*2“2
где фо — сдвиг фаз между электрическим полем световой волны и колебаниями электрона в атоме, а и b — амплитуды свободных колебаний электрона,
=	(бз-з)
Если
Y* «®пт> то со^со^.
До падения световой волны атомы не возбуждены и
Д=о = 0, х<=0 — 0.	(63.4)
При этих начальных условиях получим
y*t в „-----
--Еое 2
х =	+ K-L- ®2)cos at + ®Y* sin®zl +
+ . (63 5)
mo V (®nm — w2)3 + й2у*2
tg<Po = ~2 •	(63.6)
__y*/
Член, содержащий e по прошествии времени т«Д/у* становится очень мал, и в выражении (63.5) остается только второй, незатухающий член, который характеризует возбуждение среды.
Рассмотрим теперь явления вблизи области резонанса. Как следует из (63.6), когда и>='а>пт, 1£ф0 = оо и Фо = -^-.Колебания, даваемые формулой (63.5), могут быть записаны в виде:
х =------°-—(1— е 2 ) sin со,г К (63.7)
301
Таким образом после начала освещения вещества в момент t = 0 амплитуда световых колебаний в среде нарастает по закону (63.7), а затем устанавливаются вынужденные колебания с амплитудой
х0 =-----.	(63.8)
т0<£>пту*
Вычислим мощность, отдаваемую световой волной веществу. Она равна произведению внешней силы F = eE0cos(i>t на скорость х, которая для случая чисто вынужденных колебаний, когда
„ _ еЕ0 cos (<oZ — фр)	Q.
будет равна:
* _____ соеДр________sin (со/ — ф0)
тЧ V — О2)2 + И2у*2
Умножая х на F, получаем, что мощность Ра, отдаваемая одному атому световой волной, будет
ше2£(2 (w2m — и2) sin со/ cos at
а “	(“L-“2)2 + “2y^ Н
, юе2^о_______my* sin2 at	.
+ т0 (Ш2т-Ш2)2 + Ш2у*2 •	(	•	>
Первый член дает величину мощности, которая не теряется в веществе, а передается проходящей волне. Второй член определяет потери мощности на поглощение. Иначе можно сказать, что первый член выражения для Ра является реактивной составляющей мощности, второй член — активной составляющей.
Когда (оу*< (ю^л—ю2), реактивная компонента играет большую роль, обусловливая замедление скорости волны. Затем по мере уменьшения (ю2т—ю2) возрастает роль активной компоненты и при резонансе она достигает максимума, а реактивная компонента полностью исчезает. При переходе через область резонанса в сторону высоких частот последняя меняет знак, т. е. волна поляризации бежит со скоростью, большей, чем с.
302
Рассмотрим теперь случай, когда электромагнитная волна распространяется в среде, возбужденной, например, с помощью другого источника. При этом падающая на вещество волна имеет сдвиг по фазе по отношению к волне, проходящей через невозбужденное вещество, равный л. Тогда
Е' = —E0cosat.	(63.12)
В этом случае мощность в отличие от (63.11) можно записать как
, <oe2£jj ((йл.7! — <о2) sin со/ cos (о/ т0 (а2пт — ш2)2 + со2у*2
®e2El	sin2 at
-------------5 -------------,	(OO. 10)
m0 (®nm — w2)2 + co2y*2
т. e. знаки у активной и реактивной мощностей здесь изменились на противоположные, соответственно чему должны измениться и знаки у дисперсии и поглощения, и, значит, если в случае (63.11) в области со <£ соПт
— >0	(63.14)
dv
и поглощение среды было положительным, то в случае (63.13) дисперсия среды должна стать в этой области отрицательной, т. е.
dn dv
(63.15)
а поглощение среды также будет отрицательным. Это означает, что вместо ослабления проходящей волны происходит ее усиление.
Если число невозбужденных и возбужденных частиц соответственно будет Nm и Nn, то, суммируя выражения (63.11) и (63.13), можем написать для полной мощности, реализуемой в среде:
Р =------
пт
а>е2Еп (а2 — со2) sin orf cos at nm--------------------------------(N —-N) +
(oo2m-oo2)2 + ooV2 ' n m’'
+-----1
m0
wy* sin2 coZ--- N __ N (63 J6)
(a2nm- co2)2 + «2у22
303
Таким образом, если Nm<Nn, то будет иметь место усиление световой волны, проходящей через среду, тем большее, чем больше разность (Nn—Nm). При этом проходящая компонента волны (первый член в формуле (63.16) и вторая компонента, связанная с индуцированным излучением среды, когерентны между собой и рас--пространяются в одном, и том же направлении. В области резонанса первый член выражения (63.16) пропадает, а второй равен:
— е2Е~
PTH=~^(Nm-Nn),	(63.17)
где Pn —мощность, усредненная за период. Если вместо у* взять коэффициент классического радиационного затухания у, а заменить через1 вектор Умова — Пойнтинга ST, то для Ру получим
рт = _3^S_Tc\	__ дг )
У 2 vv m 1)1 nJ ‘ шпт
(63.18)
Следовательно, при Nm>Nn будет иметь место положительное поглощение, при Nm<№n — отрицательное поглощение, т. е. усиление проходящей волны. Формулы (63.16), (63.17), (63.18) справедливы для вещества с невырожденными уровнями. В случае вырожденных уровней вместо разности Nm—необходимо взять выражение
дг — Ят-N gn
§ 64. Переход от классической к квантовой теории дисперсии
В теории излучения было найдено, что квантовая ширина спектральных линий излучения может быть сопоставлена с классической. Если классическую естественную ширину спектральной линии умножить на силу осциллятора f, то получим значение ширины спектральной линии, которое дает квантовая теория. Так как классический контур линии поглощения и ее ширина, даваемые формулами (62.34) и (62.36), совпадают с форму
304
лами для линий испускания, то, следовательно, и квантовые выражения для них могут быть так же получены путем умножения классических значений на силу осциллятора f.
Для линии поглощения можно написать (например, для случая, когда АД-И), а у* = у—коэффициент естественного затухания), что коэффициент поглощения
е2
4 л:-Nma>2y
k= -------------------
С[(Ш2т-М2)2 + М2у2]
(64.1)
Тогда для перехода к формуле ширины: линии квантовой теории необходимо заменить классическую ширину линии у на квантовую утп, связанную с у соотношением
Утп = fmny-	(64.2)
Тогда (64.1)
Вдали от будем иметь
перепишется в виде: е2 4Л------------- (SpyfmnNm
k = -_________________
®2)2 + ®2yLi
(64.3)
линии поглощения	—®2^>®2У^П, и для k
е2
4 л---®2у fmnNm
h —_____^2________
с(<-(02)2
(64.4)
Как видим, формулы: (64,3) и (64,4) получаются из классических, если только число атомных осцилляторов Nm классической теории заменить на число fmnNm.
Следует ожидать, что аналогичное положение будет иметь место и в процессах дисперсии света. Следовательно, чтобы получить формулу дисперсии по квантовой теории, необходимо произвести замену Nm на f тп N'm, тогда
г2	9
4л —-
п2 — 1 = —__________________________________
((£? — со2)2 4- o>2v2 \ пт ' т шп
(64.5)
305
Вдали от линии поглощения — и2 > и формула (64.5) преобразуется к виду:
е2
4п	/тnN т
Сила осциллятора определится по ранее найденной формуле
(б4-7)
Гге
где | Dmn | — матричный элемент дипольного момента для перехода с частотой
<^n~-Wn~Wm 	(ем
п
Если переход совершается с уровня Wm на Wn, то частота дается формулой (64.8) и в этом случае она положительна. При обратном переходе
(64.9)
и в этом случае частота отрицательна, т. е.
®m„ = —(64.10)
Отсюда следует, что для перехода Wm->Wn сила осциллятора fmn 'О, тогда как для перехода Wn Wm fnm<0. Благодаря этому переходы с нижнего уровня на верхний приводят к положительным дисперсии и поглощению (истинное поглощение), в то время как переходы под воздействием излучения (индуцированные переходы) с верхних уровней на нижние приводят к отрицательным дисперсии и поглощению. Это означает, что вместо поглощения света на самом деле происходит его излучение. Так как колебания дипольного момента при этом находятся в постоянных фазовых отношениях с падающим излучением, вторичное излучение имеет то же направление и ту же поляризацию и является когерентным с падающим излучением. Ход кривых положительной и отрицательной дисперсии, а также положительного и отрицательного поглощения приведен на рис. 71, 306
В более общем виде формулы дисперсий й Поглощения в квантовой теории могут быть записаны так:
[ — 4ле* V1 fmnNm-	~ 6)2)4
•Щ 2ai ^пт - а2)2 + (О2у2г„ ’ т
4ле2<а2у	________
тйс	<^пт - о>2)2 + <o2Ymn ’
т
(64.11)
где (о„т — частота перехода между уровнями Wm и Wn; Nm — число атомов (молекул) на уровне, с которого совершается переход; утп — ширина линии для квантового перехода |®пот|. Как и в классической теории, для I ®nm|=(o имеем п=1, при этом наблюдается максимум поглощения, равный (для перехода Wm-^Wn)
h ------
'hnax
4ne2A<OT
(64.12)
При отрицательном k закон поглощения будет иметь вид:
I = Ioe^z,
(64.13)
и в такой среде будет происходить усиление света. Величина
т = ekz
(64.14)
представляет собой коэффициент усиления для слоя толщиной Z.
С учетом переходов с излучением и поглощением формулы (64.11) необходимо записать в виде:
4ле2	+ fntnNn) ^п,п — ю2)
то	(<oL - со2)2 Щ ш2у^
тп
4flg2(O2y ! ______(fmnNm~V fnmN n)
moc Z* ~ a2)2 + <o2yL * tnn
(64.15)
Величины fmn и fnm связаны выражением (31.16),
с учетом которого формулы (64,15) примут вид:
307
4лР У	-	а2)
/и0	(a2nrtl - co2)2 + а>2У2тп
nut
4ле2(о2у mQc
(64.16)
Дисперсионные формулы (64.15) и (64.16) могут служить для определения сил осцилляторов.
Одним из наиболее эффективных методов определения сил осцилляторов по дисперсионным формулам является интерферометрический метод, разработанный выдающимся советским физиком Д. С. Рождественским и известный в литературе как «метод крюков Рождественского».
§ 65. Распространение света в сильно поглощающих телах. Оптика металлов
К сильно поглощающим средам относятся металлы, плазма при больших концентрациях, диэлектрики вблизи областей резонанса (полос поглощения) и др. В большинстве случаев можно считать, что поглощение в этих телах обусловлено движением под действием внешнего поля свободных электронов.
Основные вопросы оптики металлов * могут быть решены на основе уравнений Максвелла, которые для среды с поглощением, вызванным наличием свободных электронов, запишутся так:
с rot Е = — Н,
с rot Н = D + 4л/.
Величины / и D определяются соотношениями:
(65.1)
f= оЕ,
D = sE,
(65.2)
* А. В. Соколов. Оптические свойства металлов. М., Физ-матгиз, 1961.
308
где /— плотность тока; о—удельная электропроводимость среды (для постоянного или переменного тока); е — диэлектрическая проницаемость.
Для простоты положим, что в направлении оси z распространяется плоская линейно-поляризованная монохроматическая волна Е, которая в комплексной форме может быть записана (по абсолютной величине) в виде:
2Ш ( nz \
Е = Еое r V ~	(65.3)
Вектор Ё будем считать направленным по оси х, а вектор И — по оси у. Тогда уравнения (65.1) преобразуются к виду:
дЕ	дН
с----- =-------
дг	dt
(65.4)
с----= — еЁ 4- 4лоЕ.
дг
Дифференцируя первое уравнение по z, а второе по t и подставляя первое во второе, находим
д2Е	е	д2Е	4лег	дЕ	,сс
дг2	с2	dt2	с2	dt
Подставляя сюда Е из (65.3), получаем
4л2 —о	4л2е . 2л 4п<т
.----ft* =________I ___ . ___
V	с2Т2 Т с2 '
Заменяя здесь п2 = е (комплексная диэлектрическая проницаемость), сГ=Х, будем иметь
п2 = е = е — 2(о7\
(65.6)
где е — действительная диэлектрическая проницаемость.
Комплексный показатель преломления определяется выражением (62.20), а комплексная диэлектрическая проницаемость—выражением (65.6). Сравнивая их, находим, что
е — 21оТ = п? — 2пм — х2.
309
Отсюда для действительной части диэлектрической проницаемости е, действительного коэффициента преломления п и показателя поглощения % получим соотношения: -
/г2 —х2 — е, /ги = оТ.
Решение этих уравнений представляется в виде:
п2 = ~ (Уе2 + 4о2Г2 + е), х2 = JL (/82 + 4ff2T2 __ е)
(65.7)
(65.8)
У металлов е<^оТ для длин волн А,)§> 10 мк, следовательно, из формул (65.8), пренебрегая величиной е, находим
п = и = У<зТ.	(65.9)
Поскольку коэффициент поглощения k определяется формулой (62.33), то для сильно поглощающей среды получим
k = ±Ly~^f _±Li.	(65.10)
А,	А V v
Из (62.32) следует, что I = Ioe~~hz, поэтому можно определить глубину z1 проникновения электромагнитных волн внутрь поглощающей средьи для интенсивности из условия:
kz' = 1, откуда
<65-“>
Например, для А. = 10 мк, v = 3-1013 гц, о=6,12-1017 СГСЭ (электропроводность серебра),
г1 = — 7-10-3 = 5,6-10-7 см = 56А.
4л:
310
Если 1 см, v = 3-1010 гц, то
z1 =1,79-10-5 см = 1790 А ? з 0,2 мк.
На этих глубинах интенсивность падает до 1/е первоначального значения. Для напряженности электрического поля глубины проникновения поля в два раза больше, следовательно,
мк = 112 А и Zi см = 3580А.
Если определять глубины проникновения из условия, что Z/Zo = O,O5, то нужно взять условие, что kzT=3. Тогда глубины проникновения для интенсивности в двух предыдущих случаях будут
zfo мк = 168А, z' см = 5360А.
Соответственно глубины проникновения для электрических полей будут
zfo мк = 336А и zi см = 10720А = 1,072 мк.
Найдем величину коэффициента отражения при нор-
мальном падении лучей. Коэффициент отражения г для
амплитуды из формулы (55.26') г =' У R =
п — 1	„
—— • Для
П + 1
комплексного показателя преломления можно написать
п — 1
(65.12)
Величина г определяется из следующих соображений. Амплитуда колебаний падающего света равна Ео, комплексная амплитуда отраженного света равнаЕ'' = Er0 г1®, где Ег0 —действительная амплитуда; ф—угол фазового сдвига между падающим и отраженным светом. Тогда
— Ег
(65.13)
Ео
Чтобы получить действительный коэффициент отражения для интенсивности, определяемый как
/ ег V
я= НЧ -	(64Л4>
\ -Ср /
ЗП
нужно (65.13) умножить на комплексно-сопряженное ему выражение, тогда будем иметь
п —	( п — \ \ ( п* — 1
R = гг =	----) -=------
(65.15)
Подставляя сюда выражение п = п—in, получаем
(п — I)2 -j- х2 (« + I)2 + х2
(65.16)
Для металлов в случае длинных инфракрасных волн (длиннее 10 мк) пТ 1 и «=%= УаТ. С учетом этих ограничений выражение для R можно написать в виде:

2 /аТ
(65.17)
Если вместо а ввести удельное сопротивление р и если Л. измерять в микронах, то вместо (65.17) можно написать приближенную формулу
1 — Я = 0,365

(65.18)
Эта формула была эмпирически установлена Гагеном и Рубенсом на основе измерений коэффициентов отражения от металлов. Однако формула (65.16) справедлива не только для металлов, но и для поглощающих диэлектриков.
Установим связь для п, е и k с частотой световых колебаний и микроскопическими параметрами среды, как это делалось в § 62. В этом случае, т. е. при колебаниях свободных электронов, надо собственную частоту колебаний (йпт приравнять нулю. Тогда
е2
2 л-----Ne
п = 1-------------------
СО2 + у*2
е2
4л — Ney*
k =
С (<n2 + у*2) ’
(65.19)
312
где Ne— число свободных электронов в 1 см3. Величина у* в этих выражениях определяется формулой
< = — +	(65.20)
т т'
Для металлов т'Дт/, поэтому
Т* = У'=Л-	(65.21)
т
Но величина 1/т' есть средняя длина свободного пробега электрона, которая, как известно из кинетической теории, равна среднему числу столкновений электрона в 1 сек, т. е. z, и значит,
у* = z.	(65.22)
Тогда формулы (65.19) примут вид:
е2
2л — Ne
е2
4 л — Nez k- ,п« с(оэ2 + г2)
Формулы (65.23) играют большую роль при исследовании электромагнитных волн в ионосфере и других ионизированных средах. Из этих выражений видно, что коэффициент преломления для металлов и вообще для проводящих сред (например, сильно ионизированных газов— плазмы) всегда меньше единицы. Вследствие этого фазовая скорость распространения электромагнитных волн в ионизированных газах, например в ионосфере, больше скорости света с в вакууме.
Все предыдущие выкладки производились в предположении, что в металлах колебания совершают только электроны проводимости. Это справедливо лишь для сравнительно низких частот, когда длины световых волн не короче 5 мк. Для более коротких волн необходимо учитывать колебания связанных электронов, что приводит к сильному усложнению теории.
В настоящее время большое значение приобретают явления в тонких металлических пленках, толщина ко-
313
торых порядка длины световой волны. Теория их была развита в ряде теоретических и экспериментальных работ *. Общая теория оптических свойств таких пленок является весьма громоздкой, однако вытекающие из этой теории предельные формулы, справедливые для случая, когда выполняется (65.9), являются достаточно простыми и практически наиболее важными. Так, для металлических пленок толщиной d коэффициенты отражения R, поглощения А и пропускания Т выражаются формулами:
А = ——— , (1 + «)2
т = -—?—, (1 + а)2
где
2поД
а =-------
с
(65.24)
(65.25)
Из этих формул следует, что максимальное значение Д = 0,5 для а—1. Эксперимент подтверждает этот вывод теории. Из указанных формул также следует, что для
1 R^A. Так, например, в случае серебра, когда d= 10 мк, уже для Z=1000A, а=103, следовательно, Л?=0,998. Как видим из формул, в случае длинных волн R, А и Т не зависят от длины волны.
* Н. Murmann. Untersuchungen fiber die Durchlassigkeit diin-ner Metallschichten fur langwellige ultrarote Strahlung und ihre elec-ktrishe Leitfahigkeit. Zeitschr. f. Phys. Bd. 54, N 11—12, S. 741, 1929; Die optischen Konstanten durchsichtigen Silbers. Bd. 80, N 1—2, S. 161. 1933;
R. B. Barnes and M. Czerny. Concerning the reflection power of metals in thin layers for the infrared. Physical Review, vol. 38, p. 338, 1931;
W. Wolfersdorf f. Uber die optischen Konstanten diinner Metallschichten im langwelligen Ultrarot. Zeitschrift fur Physik, Bd. 91, N 1—2, S. 230, 1934;
G. H e 11 n e r. Durchlassigkeit und Reflexionsvermogen diinner Metallschichten im langwelligen Ultrarot bei beliebigem Einfallswin-kel. Zeitschrift fur das gesamte Gebiet der wissenschaftlichen und an-gewandten Optik. Bd. 1, 1946;
С. V. F r a g s t e i n. Das. Absorptionsmaximum extrem diinner Metallschichten; Zeitschrift fur Physik, Bd. 168, N 4, S. 419, 1962.
314
§ 66. Двойное лучепреломление и вращение плоскости поляризации в магнитном поле
Из теории эффекта Зеемана следует, что даже в самом простейшем случае оптические собственные частоты вещества распадаются на несколько новых компонент. В теории дисперсии это означает, что каждая собственная частота колебаний в дисперсионных формулах разобьется на несколько частот.
Для простоты рассмотрим явления вдали от полос поглощения, когда формула (62.26) для случая №п = 0 может быть переписана в виде:
е2
2л---Nm
Д-1	(66.1)
При наложении магнитного поля частота апт разобьется В триплет (Опт, (й1гт + А(й И (Опт—Аи, где A(o = 2nAvo, Av0— величина расщепления в магнитном поле, равная
Ат0 =----(66.2)
4пт0с
(здесь Н — внешнее магнитное поле).
Компонента сопт будет соответствовать колебаниям электрического поля вдоль поля Н, а компоненты сОп + Аи и con—Aw—лучам, распространяющимся вдоль Н с поляризацией по правому и левому кругам. Следовательно, для показателя преломления света с направлением электрических колебаний вдоль магнитного поля может быть написана формула
»1|-1	(66.3)
«U -
т. е. в этом случае показатель преломления не изменяется. Величина А равна числителю в правой части выражения (66.1). Для света, колебания которого совершаются перпендикулярно к магнитному полю, показатель преломления п± будет определяться двумя собственными частотами (опт+До> и (оп«—Ао, т. е.
— 1 = — f-----------?----+ •-------1-------1 . (66.4)
2 I (<£>пт + Лео)2 —>2	(а>пт — Лео)2 — (О2 J
315
Если преобразовать выражение в скобках и отбросить члены второго порядка малости, то
— 1 =---------------------гг---.	(66.5)
2	2<±>дто) Дю
(“/г/п —“)—	2	2
^пт
Из формул (66.3) и (66.5) следует, что п^_ >Пц в области 0)<.(Опт ’И	Иц в области (0>C0mm.
Таким образом, показатели преломления лучей, колебания электрических полей которых совершаются вдоль магнитного поля и перпендикулярно к нему, различны между собой. Следовательно, имеет место двойное лучепреломление света в веществе, помещенном во внешнее магнитное поле. Это явление получило название магнитного двойного лучепреломления. Оно сильно возрастает вблизи полос поглощения, а тем более внутри полосы поглощения, где меняется его знак.
При распространении света вдоль направления магнитного поля показатели преломления для лучей, поляризованных по правому и левому кругам, будут иметь значения:
(игет + Дсо)2 — и2
АГ2	(66'6)
п„ — 1 =-----.
(<ЬПт ~ А“)2 — ®
(Явления по-прежнему рассматриваются вдали от полос поглощения.)
Согласно (66.6) различаются показатели преломления лучей разной круговой поляризации. Следовательно, при этом будет наблюдаться вращение плоскости поляризации. Это явление, открытое Фарадеем, называется магнитным вращением плоскости поляризации-Согласно теории вращения плоскости поляризации угол вращения будет равен:
—(66-7) Л
где d — путь луча в веществе. Если подставить сюда значения nd и tig из (66.6), то будем иметь
<₽ =	~ -2-?-Л-гг н-	(66-8)
X mac — СО2)2
316
Для данной длины волны к (частоты а) формулу (66.8) можно переписать следующим образом:
q> = rdH.	(66.9)
Величина г в данном случае является характеристикой вещества и функцией длины волны.
§ 67.	Электрооптическое явление Керра
Наложение электрического поля на вещество с анизотропными молекулами вызывает в нем искусственную анизотропию. Благодаря этому вещество приобретает свойства одноосного кристалла с направлением оптической оси вдоль вектора электрического поля, наложен-
ного извне на вещество. На рис. 72 схематически показано явление двойного лучепреломления в веществе, на которое наложено внешнее электрическое поле Лвн. Луч света L, распространяющийся в направлении, перпендикулярном к Лв„, распадается на два с векторами электрического поля волны Е° (обыкновенный луч) и Д’ (необыкновенный луч). Это явление, открытое Керром, носит его имя.
Показатели преломления обыкновенного и необыкно-
317
венного лучей эмпирически даются формулами (они могут быть выведены и теоретически):
=«
2ХВВ2вн ns = п +---------
3
(67.1)
где п— показатель преломления вещества без поля; В — величина, характеризующая электрооптические свойства вещества; Евп— внешнее электрическое поле; Л. — длина световой волны. Величина В иногда называется постоянной Керра. Фактически она зависит от длины волны и уменьшается с ее увеличением. Для нитробензола в средней части видимого спектра В' .:о • Ю-5 сгсэ.
Разность фаз обыкновенного и необыкновенного лучей по прохождении слоя вещества толщиной d равна:
ДФ = ^~(пе-п0).	(67.2)
Если подставить сюда значения п0 и пе из (67.1), то получим
ДФ = 2лЛЗДвн.	(67.3)
Эффект Керра имеет значительную величину у ряда жидкостей и твердых тел, он очень мал в газах. Будучи практически безынерционным, эффект Керра применяется для исследования быстропротекающих процессов. Действительно, если в формуле (67.3) внешнее электрическое поле меняется со временем, то разность фаз ДФ также испытывает изменения, что можно с успехом использовать для исследования целого ряда явлений во времени, в частности для модуляции света,
Глава 11
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ОПТИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНОЙ (МУТНОЙ) СРЕДЕ
§ 68.	Макроскопические и микроскопические неоднородности как причины рассеяния света
В предыдущих главах рассматривались случаи распространения света в идеально однородной среде. Реальная среда не является однородной, в ней имеют место градиенты плотности, температуры, неоднородности анизотропии и т. д., вследствие чего показатель преломления среды зависит от координат и времени.
Наряду с такими макроскопическими неоднородностями, которые меняются сравнительно медленно в пространстве и времени, в среде могут быть микроскопические неоднородности. К ним относятся взвешенные мелкие частички, имеющие иной показатель преломления и иной коэффициент поглощения, как, например, коллоидные частицы в коллоидных растворах, частицы пыли, тумана в воздухе, твердые частицы в жидкостях. Такая неоднородная среда, в которой взвешены посторонние микроскопические частицы, получила название мутной среды.. При распространении света в мутной среде взвешенные частицы вызывают отклонение света от первоначального направления распространения: возникает явление рассеяния света по всем направлениям и ослабление прямого светового пучка по мере прохождения его через среду.
319
Оптические микроскопические неоднородности в веществе могут возникать и тогда, когда нет никаких посторонних взвешенных частиц, т. е. совершенно самопроизвольно. Такие неоднородности возникают в среде благодаря флуктуациям — статистическим колебаниям в очень малых объемах, вызванным хаотическим тепловым движением атомов, молекул и других частиц, из которых состоит вещество. Интенсивность флуктуаций, как и интенсивность рассеяния света, возрастает с температурой среды. Рассеяние света, которое вызвано тепловым движением молекул среды, получило название молекулярного рассеяния света.
§ 69.	Молекулярное рассеяние света
Рассмотрим сначала явления рассеяния света изотропной средой, не обладающей поглощением (случай электрически изотропных молекул, т. е. бездипольных молекул). Тепловое движение молекул нарушает однородность среды. Если число'частиц в 1 см3 при идеально равномерном распределении в пространстве равно Ми, то вследствие молекулярного движения имеют место отклонения .от идеального распределения. Мгновенное число частиц в единице объема можно определить как
N = N01 + bN,	(69.1)
где Мн — равновесная молекулярная плотность; ДМ — флуктуация плотности молекул. Так как М~р, Moi~po, ДМ~Др, где р — плотность вещества; р0 — плотность вещества при идеально однородном веществе; Др — флуктуация плотности, то
Р = Ро + Др.	(69.2)
Введем относительную величину флуктуации:
б = -Al = р —.ро .	(69.3)
Ро Ро
Поскольку интенсивность рассеяния света, как увидим ниже, определяется квадратом флуктуации плотности, то необходимо найти б2.
Энтропию в объеме, в котором рассматривается
3 20
флуктуация, обозначим через s, а энтропию в этом же объеме в состоянии идеального термодинамического равновесия — через s0. Тогда по теореме Больцмана вероятности обоих состояний w и w0 связаны с энтропией s и So формулами:
S = t'r- )	(69.4)
s0 = k In w0, J
где k — постоянная Больцмана. Из этих соотношений имеем
1п — = w0 k ’
поэтому плотность вероятности равна:
s—So
w = wae k .	(69.5)
Для вероятности отклонения от состояния термодинамического равновесия в интервале изменения параметров dQ, характеризующих систему, можно написать:
dw = wae k dQ.	(69.5х)
Если объем флуктуации обозначить через v0, объем грамм-молекулы через Ео, энтропию грамм-молекулы в состоянии флуктуации через Кив состоянии термодинамического равновесия через So, то
s-s0 = -^(S-S0) = -^AS.	(69.6)
Кроме флуктуаций числа частиц в объеме, т. е. флуктуаций плотности, еще могут иметь место флуктуации скорости частиц, которые эквивалентны флуктуации температуры ДД Флуктуации плотности эквивалентны флуктуации удельного объема, или флуктуации объема грамм-молекулы V. Следовательно,
S = f (ДЕ, ДД).
Поэтому энтропию можно разложить в ряд по степени ДЕ и ДД:
П Ф. А. Королев
321
S = S0 + f—1 AV+f— к д'/ /о к дТ
I А72 +
О
-	> AV AT + — < -gg-Л ДТ2-|-....
dV дТ Jo	2 \ дТ2 J
Так как рассматриваются лишь отклонения от термодинамического равновесия, когда S0 = maxS, то
=0, W =0.
\ dV /о \ дТ Jo
Положим также, что вещество подчиняется уравнению состояния Ван-дер-Ваальса, для которого^—Qy	J
Это означает, что флуктуации плотности и температуры не зависят друг от друга. Учитывая это и отбрасывая высшие члены разложения, получаем
AS = J_<JjLA дуа +-L/JjLA Д7\
2 \ dV2 Jo	2 \ дТ2 Jo
f d2S \	/ d2S \
Так как состояние Sn = maxS, то (------) и |------ ] отри-
k dV2 Jo УдТ2 J
цательны. Введем обозначения:
1 / d2S \	о 1 / d2S \	,,
— ----- ) = — а , —-(------) = — о2,
2 к дУ2 Л	2 к 5Т2 Л
я ЛЕ	ДТ	/йп г,-.
6--—, т = —•	(69.7)
"о	1 о
Перепишем теперь формулу (69.6) в виде:
s-s0 = -^-(S-50) = -(a2^62+62^r2)^L .	(69.8)
У о	•'о
Таким образом, вероятность одновременной флуктуации плотности и температуры (69.5) будет равна:
(а2у262 + 62Г2т2)
dw = woe	k v«db-dr. (69.9)
Это выражение представляет собой произведение двух вероятностей: для флуктуации плотности и температуры. Для вероятности одной только флуктуации плотности можно написать
__ агУо6гОо
dw = Ае k d&.	(69.10)
322
Вычисление б2, т. е. среднего значения квадрата флуктуации плотности, как и вообще средних значений в статистической физике, производится по формуле
б2 = бМау =--------------
J	2и0И0а3
о
Подставляя сюда выражение для а2, получаем
(69.11)
Для уравнения состояния Ван-дер-Ваальса б2 будет иметь значение
fe(^o-P)2
Я»оП>
(69.12)
где р — поправка на объем. Если заменить R = kN0, где No — число молекул в грамм-молекуле, то
б2 =	.	(69.12')
Для идеальных газов (3 = 0, N0/V0 = N0i, где Мн— число молекул в 1 см3, следовательно,
б2 = —— .	(69.13)
MnVo
Значит, относительные флуктуации в идеальных газах тем больше, чем разреженнее газ и чем меньше объем вещества, в котором рассматривается флуктуация. Если записать, что б=—, то абсолютное значение
Ро флуктуации плотности для идеального газа будет
(69.14)
где ц— масса молекулы в граммах; Др2 — средний квадрат флуктуации плотности.
1 1*	323
Изменение плотности среды приводит к изменению диэлектрической проницаемости:
Если в элементе объема v0 имеется возмущение диэлектрической проницаемости, равное Де, то при облучении его электромагнитным полем с напряженностью Е в нем возникает дополнительный момент, равный
ДО5 = ----гм.
4л
(69.15)
Поэтому рассматриваемый элемент объема будет источником вторичного (рассеянного) излучения, которое определяется по формуле для излучения диполя Герца:
Ее
Еп /2
Un f 2 л \ 2 .	_
—— ( -------1 Де sin 9,
4лг \ Z )
(69.16)
где Ео — амплитуда напряженности электрического поля линейно-поляризованной падающей волны; г — расстояние от излучающего объема до точки наблюдения; 0— угол между направлением поля падающей волны и радиусом-вектором, проведенным в точку наблюдения, т. е. sin0 = sin (Е, if).
Интенсивность рассеянного света, в качестве которой возьмем абсолютное значение вектора Умова—Пойнтинга, будет
Е - с
Е-----—
4л
F2 v2
J-Q и0
2 (4лг)2
Е2
Так как -——— = / — интенсивность падающего света, 4л 2
то окончательно можно написать
2
Ц =/---------—( — У Де2 sin2 0.
(4лг)2 \ 1 )
(69.17)
324
Для определения флуктуации диэлектрической проницаемости надо взять ее среднее значение (в соответствии со средним значением б2):
Ле2 = 1/^-^¥б2.	(69.18)
\ dV j0
Диэлектрическая проницаемость и молекулярный объем связаны формулой Клаузиуса—Мосотти:
|7Z±l/ = C,	(69.19)
где С — константа. Из (69.19) нетрудно получить, что
+	(69.20)
\ dV	Л	9	V !
Если для б2 возьмем выражение (69.12х), то, учитывая соотношения е = п2 и (69.17), получаем, что интенсивность рассеянного света
= I	(*L ¥ Ч»2-1)2(»2 + 2)2 Д,--[Д in2 0
(4л/-)2 \ X J	9J	N0V0
(69.21)
Отсюда следует, что при молекулярном рассеянии света интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны.
Следовательно, коротковолновая часть спектра будет рассеиваться во много раз интенсивнее нежели длинноволновая. Поэтому при молекулярном рассеянии света всегда будут преобладать в рассеянном свете голубые, синие и фиолетовые лучи, чем и объясняется голубой цвет неба.
В то же время прямые лучи света, прошедшие через толщу атмосферы, будут обедняться сине-фиолетовыми лучами и поэтому будут иметь красно-оранжевую окраску, что наблюдается при восходе и заходе Солнца.
Из формулы (69.21) также следует, что интенсивность рассеянного света пропорциональна рассеивающему объему v0.
Описанное в этом параграфе рассеяние света впервые теоретически было рассмотрено Релеем и называется релеевским рассеянием.
325
§ 70. Поляризация рассеянного света
- В § 69 явление рассматривалось в предположении, что падающий свет линейно-поляризовап.
В общем же случае падения на вещество естественного света можно представить его суммой двух волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях. Бели падающая световая волна распространяется вдоль оси х, то электрическое поле ее можно разложить по осям у и z и обозначить его компоненты Еу и Ez. Тогда рассеянный свет состоит из двух компонент, одна из которых имеет электрические колебания в плоскости (Еу, г), другая — в плоскости (Ez, г) (рис. 73), и полная интенсивность ^рассеянного света может быть представлена в виде суммы:
Е = 4+ 4-	(70.1)
Если в формуле (69.21) заменить все множители, кроме / и sin20, одним и обозначить его через А, то выра-э жение (70.1) запишется так:
= 1А {sin2 0 4- sin2 т]},	(70.2)
где sin 9 = sin (Я2, г); sin ц = sin (Еу, г). Элементарные соотношения дают: sin (Еу, г) = sin (у, г),
sin (Ez, г) = sin (z, г); cos2 (х, г) + cos2 (у, г) +
4- cos2 (z, г) = 1 ,
sin2 0 = 1 —cos20, sin2 г) = 1 —cos2 т], k || х,
sin2 0 4- sin2 т] = 1 4- cos2 (х, г) = 1 4- cos2 (k, г).
Тогда интенсивность света, рассеянного в направлении г, будет:
Е =7Л[1 +cos2(C rj],	(70.3)
где Is = Ze,,].
Из (70.2) следует, что в общем случае при различных ориентациях вектора г интенсивности отдельных компонент поляризации рассеянного света не равны друг 526
другу, т. е. рассеянный свет частично поляризован. Если же наблюдения ведутся перпендикулярно к направлению падающей волны, например вдоль оси у, то компонента Msin2T] = 0 и остается только компонента Msin20 (в этом случае 0=эт/2, следовательно, интенсивность рассеянного света просто равна М). При этом рассеянный свет полностью поляризован, т. е. в направлении, перпендикулярном к распространению падающей волны, рассеянный свет поляризован полностью.
Наглядно распределение интенсивности рассеянного света в пространстве может быть изображено с помощью полярной диаграммы, в которой его интенсивность дается радиусом-вектором Is, отложенным вдоль направления распространения рассеянной световой волны (рис. 74). На рисунке видно, что полярная диаграмма симметрична относительно оси х, вдоль которой падает свет.
Рассмотренная здесь теория поляризации рассеянного света справедлива для случая электрически изотропной среды, состоящей из молекул, поляризуемость которых одинакова по всем направлениям.
В противном случае не будет, например, полной поляризации при наблюдении перпендикулярно к направлению распространения падающего света. Флуктуации анизотропных молекул будут вызывать деполяризацию рассеянного света.
В общем случае связь между индуцированным дипольным моментом молекул и внешним электрическим полем Е дается выражениями:
327
Dx = axxEx + axyEy + ахгЕг, Dy QyxDx —|- a,yyEy ^yz^zt Dz = агхДх 4" azyEg Д- a22f2,
(70.4)
T. л T~\Xi T\L^
vjifi Dx , Dy , Dz — компоненты по осям дипольного момента молекулы; аХЛ, аху, ... , агу, агг— компоненты тензора поляризуемости молекулы. Для изотропной молекулы поляризуемость является скалярной величиной, и выражения (70.4) принимают вид:
Dx1 = аЕх, D™ = аЕу, D™ = aEz,
(70.5)
и тогда изложенные ранее законы молекулярного рассеяния справедливы. В случае же рассеяния света на анизотропных молекулах зависимости усложняются. Будем по-прежнему считать, что свет распространяется вдоль оси х, тогда
Дх — ахуЕу + ахгЕг> Dy = UyyEy 4~ ОугЕг, Dz = ^гуЕу + azzEz. .
(70.5')
Отсюда сразу вытекает важное следствие, что в случае рассеяния на анизотропных молекулах будет наводиться электрический момент в веществе, имеющий слагающую по оси х, и в рассеянном свете появится компонента Isx, электрический вектор которой совершает колебания в плоскости (х, г). Поэтому даже в направлении, перпендикулярном к распространению падающего света, не будет полной поляризации. Это явление называют деполяризацией рассеянного света. Величина ее характеризуется отношением
4
Д = —,
(70.6)
328
где I sx и Isz —интенсивности рассеянного света при наблюдении в направлении, перпендикулярном к падающему лучу. Для изотропных молекул индуцированный дипольный момент, вызванный флуктуацией плотности в объеме Vo, равен:
^=*5%.	(70.7)
4 л
Наличие анизотропии молекул и флуктуаций анизотропии, которые совершаются статистически независимо от флуктуаций плотности, приводит к появлению флуктуирующего дипольного момента AD®, в результате которого полный электрический дипольный момент будет
ADg = AD® + AD’,	(70.7Z)
где \DS — момент, вызванный флуктуациями плотности; ДД® — момент, связанный с флуктуациями анизотропии.
Вычисление момента ADS дает ранее полученную величину (70.7), а момента AZ) ® приведет к появлению в рассеянном свете дополнительной компоненты!, которая будет складываться с найденной для флуктуаций плотности.
Весьма сложные расчеты этой компоненты рассеяния можно найти в специальных руководствах *.
Результаты вычислений приводят к тому, что выражение для интенсивности света, рассеянного на флуктуациях плотности, должно быть умножено на величину g, равную
I =	(70.8)
Поэтому при наблюдении под углом 90° к направлению распространения падающего света интенсивность его при рассеянии единицей объема будет
/® 2 = Г С 2jT У (я2-1)(я2 +г2) (Ио-Р)а 6(1 +А) 0 9 Л/2	(4лг)2 О )	9	6 — 7А ’	' ’ '
Эта формула оказалась в хорошем согласии с экспериментом.
* М. В. В о л ь к е п ш т е й и. Молекулярная оптика. М.—Л,, ГИТТЛ, 1951.
329
§ 71. Зависимость интенсивности рассеянного света от плотности вещества
Формула (69.21) позволяет определить зависимость интенсивности рассеянного света от плотности вещества.
Рассмотрим сначала рассеяние в газах и парах, когда членом р можно пренебречь по сравнению с К0- Для газов п^1, и, следовательно (п2 + 2)2?^9, (п2—1)2^4(п— — I)2. Кроме того, До/К0 = Л^о1, где Ми —число молекул в 1 см3. Учитывая эти соотношения при рассеянии света в газах и парах для о0=|1 (т. е. для излучения из 1 см3), получаем следующее значение интенсивности рассеянного света:
+ cos2(£P (71.1)
Лг2 \ А. / JVoi
где k— волновой вектор падающей световой волны.
Показатель преломления связан с плотностью линейной зависимостью:
п — 1=СМ01.	(71.2)
Подставляя отсюда п—1 в (71.1), находим
= “V (РУ	<1 + cos2 (*’ Р <71 -3>
л г2 \ А /
Так как C2Moi = C'po, где С' — константа для данной
длины волны, то
М —С'Ро {! ч-cos2(/7, 7)}.	(71.3')
л г2 \ A J
Таким образом, рассеяние света в газах (парах) оказывается прямо пропорциональным плотности рассеивающего газа (пара).
Рассмотрим более общий случай. Найдем вторую производную от энтропии:
d2S __ 1 / д2£ д2Л \	,71 ..
Щ'2 — Т \. dV2  dV2 )’	1-1
где Е и А — соответственно внутренняя энергия и внешняя работа, определяемые из основного уравнения термодинамики:
TdS = dE — dA.	(71.5)
330
Для жидкостей и твердых тел
V
[ (Р — Po)dV, откуда
Й»
д2Е ,, й2А .
<9У2 «ЗУ2 ’
д2А _ _ ( др \
ЙУ2 ~	\ dV )'
(71-6)
Для флуктуации плотности отсюда будем иметь
б2 =
kT
(71-7)
Значит, в жидкостях и твердых телах интенсивность рассеянного света должна быть прямо пропорциональна абсолютной температуре, а также тесно связана со сжимаемостью вещества. Это в действительности наблюдается на опыте.
Представляют интерес явления вблизи критического состояния вещества. В этом случае = 0, и уже
д2Е
нельзя пренебречь членом  & . Для нахождения интенсивности рассеяния вычислим абсолютное значение флуктуации плотности.
Так как
§2 = ЛАКУ = < ар у
\ V )	\ р / ’
то для среднего значения квадрата флуктуации находим Др2 = р°62.
Поскольку Vo=MVoi, где М — молекулярный вес; Voi— удельный объем, то, подставляя значение б2 из (69.12'), получаем
(71.8)
Мл J/3
Исследуя эту функцию на максимум и минимум, определяем, что Др2 будет иметь максимум, когда объем
^ = 3₽ = У0кр.	(71.9)
331
Таким образом, в критическом состоянии должны быть максимальные флуктуации. Равным образом, и интенсивность рассеянного света должна иметь максимальное значение. Опыт подтверждает это предсказание теории. Именно в критическом состоянии вещество столь интенсивно рассеивает свет, что становится часто совсем мутным, непрозрачным.
Однако следует отметить, что сделанное в самом начале этой главы предположение о независимости флуктуаций плотности и температуры друг от друга (что вытекает из предположения о применимости уравнения состояния Ван-дер-Ваальса) не может считаться оправданным для критического состояния. Более того, в критическом состоянии уже нельзя рассматривать флуктуации в различных объемах независимыми, как это было сделано выше. Поэтому данная теория для критического состояния может рассматриваться лишь как ориентировочная, так как необходимо учитывать взаимодействие флуктуаций плотности и температуры, а также взаимодействие флуктуаций в соседних объемах.
В критическом состоянии сильно увеличивается fo. т. е. тот средний размер флуктуации, который имеет место при данных давлении и температуре. Линейный размер »о может стать равным длине световой волны и даже превзойти ее, что делает рассеивающую среду аналогичной среде со взвешенными посторонними микроскопическими частицами. Такая среда, как показывают теория и опыт, более равномерно рассеивает свет всех участков спектра, если только в веществе нет заметных областей поглощения света.
§ 72. Рассеяние света крупными взвешенными частицами
Теория рассеяния света крупными частицами очень сложна. Здесь может быть несколько случаев, отличающихся соотношением размеров частиц и длины световой волны. Очень сильно будут различаться явления рассеяния диэлектрическими, совершенно прозрачными частицами и частицами, обладающими свойствами металлической проводимости. Наконец, наиболее сложный случай будет соответствовать диэлектрическим поглощающим частицам.
33 2
Теория рассеяния света проводящими частицами, когда их размеры сравнимы с длиной световой волны или больше ее, была развита в работах Ми *, а также в работах советских физиков В. В. Шулейкина, К. С. Шифрина** и др. Из-за громоздкости математических расчетов ограничимся лишь качественными выводами из этой теории.
При релеевском рассеянии, когда размеры оптических неоднородностей (радиус неоднородности р) много меньше длины световой волны, интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени %, т. е.
/~v4.
(72.1)
При других размерах неоднородностей этот закон уже несправедлив, а в общем случае имеет место зависимость
I ~ лГр,
(72.2)
где р<4 и уменьшается с увеличением размеров неоднородностей. При рассеянии па непрозрачных частицах, немного больших длины световой волны, явления можно рассматривать как чисто дифракционные, которые рассчитываются математически для частиц сферической, эллиптической и другой правильной формы. При увеличении размеров частиц к дифракционным эффектам присоединяются «геометрические эффекты», т. е. явления отражения от поверхности частиц.
Если размеры частиц много больше длины световой волны и частицьи прозрачны, то рассеяние в большей части определяется геометрическими эффектами преломления света на поверхности ча стиц .при падении на них света и выхода его наружу. Во всех случаях рассеяния на крупных частицах полярные диаграммы интенсивности рассеянного света становятся вытянутыми в направлении распространения падающего света (рис. 75). На рис. 75, а приведена диаграмма рассеянного света для релеевского рассеяния. Внешняя кривая дает интенсивность суммар-
* G. Mie. Beitrage zur Optik triiber Medien, speziell kolloida-ler Metallosungen. Annalen der Physik, Bd. 25, N 2, S. 377, 1908.
'** К- С. Шифрин. Рассеяние света в мутной среде. М.— Л., ГИТТЛ, 1951.
333
ного рассеянного излучения в плоскости х, г. Внутренняя кривая дает интенсивность рассеянного света от компоненты падающего света с электрическим вектором, параллельным оси г. На рис. 75, б приведена диаграмма рассеянного света коллоидными частицами золота,
Рис. 75
размеры которых р^ЗОО к (160 мк). На диаграмме видна резкая направленность рассеянного излучения в сторону распространения падающего света /. Если частицы достигают таких размеров, что
— >10,
(72.3)
то интенсивность рассеянного света уже не зависит от длины световой волны. Поэтому свет, рассеиваемый такой средой, если только частицы ее не обладают полосами поглощения, уже не приобретает окраски, как в случае релеевского рассеяния. Это и наблюдается при рассеянии света в туманах, которые имеют белый цвет.
При прохождении через мутную среду свет испытывает ослабление за счет рассеяния по такому же закону, как и при поглощении его:
I = 70е-2я"1р2№,	(72.4)
где /о — интенсивность света, вошедшего в среду; I — интенсивность света после прохождения слоя толщиной
334
г; М—число частиц в 1 см3 мутной среды; р — радиус частиц; К — функция, зависящая от радиуса  частиц и длины световой волны.
Стрэттон и Хаутон * вычисляли функцию К для капелек воды, пренебрегая поглощением. Результаты расчетов представлены графически на рис. 76. Здесь приведена зависимость К от параметра а, который определяется выражением:
Из графика рис. 76 следует, что для значений а, превышающих 40, зависимость К от а практически исче-
зает. Если при этом считать, что р = const, а меняется лишь %, то интенсивность рассеяния уже не зависит от длины световой волны.
§ 73. Квантовая теория рассеяния света
Элементарная квантовая теория рассеяния света может быть построена на основе рассмотрения столкновения фотонов с частицами вещества с учетом обмена импульсом и энергией между фотоном и рассеивающей частицей. Так как при рассеянии света веществом световая волна взаимодействует сразу со множеством частиц вещества, то для выяснения характера этого взаимодей
*1. Stratton and Н. G. Houghton. A theoretical investigation of the transmission of light through fog. Physical Review, Vol. 38, p. 159, 1931.
335
ствия необходимо знать полный энергетический спектр вещества.
В общем случае молекулы вещества обладают энергией, которая в первом приближении может быть разбита на электронную, колебательную и вращательную. В конденсированном веществе необходимо учитывать энергию взаимодействия молекул, которая при флуктуациях испытывает колебания. Сами же флуктуации можно рассматривать как колебания решетки кристалла, т. е. как распространение упругих волн в веществе.
Следует различать области частот энергетического спектра вещества, которые соответствуют: 1) дебаевскому спектру упругих волн, 2) спектру вращательных частот, 3) спектру колебательных частот и 4) электронному спектру.
Дебаевская область энергетического спектра соответствует частотам порядка Ю^н-Ю11 гц, область вращательного спектра — 10"“1013 гц-, область колебательных частот—1013-е—1014 гц. Электронный спектр частот лежит выше области 1014 гц. Эти области перекрываются, однако разделение на указанные области вполне закономерно.
Особенностью колебательных и вращательных частот является то, что уровни энергии, при переходах между которыми они возникают, соответствуют внутримолекулярным взаимодействиям и поэтому локализованы! в отдельных частицах или небольших группах частиц. Поэтому внутримолекулярные колебательные и вращательные движения не распространяются волнообразно в веществе. Колебания и вращения отдельных молекул вещества не связаны друг с другом по фазе. Это приводит к тому, что излучения, соответствующие рассеянному свету при взаимодействии с этими видами движений (колебания и вращения), не являются когерентными.
Наоборот, дебаевские упруго-тепловые колебания распространяются в веществе и рассеяние света на этих движениях приводит к когерентности излучений из различных объемов вещества. Так как рассеяние на дебаевских волнах это то же самое рассеяние, которое происходит на флуктуациях плотности, т. е. релеевское рассеяние, поэтому релеевское рассеяние относится к разряду когерентного рассеяния света.
336
Рассмотрим энергетическую схему взаимодействия света и вещества в общем случае.
На рис. 77 приведена схема уровней и переходов, возникающих в веществе при облучении его квантами света различных энергий. Здесь	... соответству-
ют значениям двух электронных уровней энергии. Колебательные уровни различных энергий отмечены числами
w = 0, 1, 2, ...; над колебательными уровнями показана вращательная структура, пронумерованная цифрами О, 1,2, 3, 4, 5, ... Ниже вращательной структуры первого электронного уровня показана структура дебаевского спектра, ограниченного полосой энергий Д1Кд.
Если падающий на вещество квант света имеет энергию, определяемую отрезком 1, то в молекуле вещества совершится переход с нижнего электронного уровня 1Ке1
337
(с одного из подуровней колебательно-вращательной структуры, в данном случае с подуровня у = 0, 7 = 0) на верхний электронный уровень — на подуровень колебательно-вращательной структуры (у = 1, 7=1). После безызлучательного перехода (см. рис. 77, стрелка 3) молекулы с подуровня w=l, 7=1 на подуровень w=0, 7 = 0 электрон совершит переход (стрелка 2) вниз на какой-то из подуровней колебательно-вращательной структуры нижнего электронного уровня при этом будет иметь место явление флюоресценции.
Если падающие на вещество фотоны не могут перевести электроны с нижних уровней на верхние стационарные электронные уровни, а в состоянии поднять их лишь на нестабильные (виртуальные) уровни W или W" или другие, то явления флюоресценции не произойдет, а при возвращении электрона на какой-либо из подуровней колебательно-вращательной структуры нижнего электронного состояния будет наблюдаться явление рассеяния света веществом. Переходу (см. рис. 77, стрелка 4) электрона из нижнего электронного состояния WeI на виртуальный уровень W, с которого он практически мгновенно переходит на один из подуровней дебаевской полосы уровней энергии, соответствует явление релеев-ского рассеяния света. Особенностью этого вида рассеяния света является то, что со светом взаимодействует не одна молекула, а целая область вещества, на которую простирается дебаевская гиперзвуковая волна. Таким образом, речь идет о рассеянии света на упругой волне, что схематически изображено на рис. 78. Здесь hv — квант падающего света (фотон энергии hv); Л — длина дебаевской гиперзвуковой волны; L — направление рас
338
пространения падающего света; AQ — гиперзвуковой квант, соответствующий данной дебаевской волне; Q — частота гиперзвуковых колебаний. Все явление можно трактовать как соударение фотона и фонона (гиперзвукового кванта) с соблюдением законов сохранения энергии и импульса. Рассматриваемое явление практически идентично рассеянию рентгеновских лучей на кристаллической решетке, которое, как известно, имеет место только в направлениях 0, удовлетворяющих условию:
2d sin 0 = /?%,	(73.1)
где d — расстояние между атомными слоями; 0 — угол между лучами падающим и рассеянным атомной плоскостью; k — порядок интерференции (&=1, 2, ...); %— длина световой волны.
В данном случае d=A. — длине гиперзвуковой волны. Тогда (73.1) для й=1 запишется так:
2Asin0==Z.	(73.2)
Из рис. 78 можно записать следующие соотношения для импульса рассеянного кванта hv':
hv'	hv , 2hv . „	,~o o,
----=-----+ .----- sin Q.	(73.3)
c	c c
tt	„	2hv . n
Дополнительный импульс--------- sin 0, который получил
с
рассеянный фотон, отдан ему гиперзвуковой волной. Он .	2/1Q
должен быть равен величине •----, так как при столкно-
с
вении имеет место двойное изменение импульса светового
кванта: уничтожается импульс-------— sin 0 и появляется
с
импульс + sin 0. Первому и второму слагаемым соот-с
ветствуют отдачи одинаковых по величине импульсов зву-
кового кванта -----. Следовательно,
с
2/iQ	2/iv
------- =----- sin с с
(73.4)
339
Абсолютное значение вектора определяется путем с
сложения абсолютного значения вектора и проекции
на него вектора	2/iv . „	„ 2/iv . „ п 	sin 0, равной	sitr 0. С	С	Значит,
	hv'	hv , 2hv . , „ 		=	+	snr (j, с	с	с	
откуда	v' = v (1 ±2 sin2 0).	(73.5)
Поскольку	• п	v sin 0 = —, с	(73.6)
то	v' = vQ + 2 — sin 0^,	(73.7)
или	Av = + 2 —sin 0. c	(73.8)
Значит, при релеевском рассеянии должны наблюдаться смещения частот в рассеянном свете на величину Av, при этом смещение будет зависеть от угла наблюдения рассеянного света по отношению к падающему.
В рассеянном свете будут наблюдаться сразу две смещенные компоненты ±Av. Как показывает опыт, имеет место и несмещенная компонента с частотой падающего света V. Если в веществе могут распространяться упругие волны с разными скоростями, то число смещенных компонент будет больше двух. Так, например, при рассеянии в кристаллах должно наблюдаться шесть смещенных компонент, в жидкостях — две компоненты. Указанное явление теоретически было предсказано Мандельштамом и Бриллюэном, а экспериментально обнаружено Гроссом.
Формулы (73.7) и (73.8) позволяют понимать смещение частоты рассеянного света как результат Допп
340
лер-эффекта на бегущих 'гиперзвуковых (дебаевских) волнах. Если рассеяние происходит в направлении распространения волны, то частота рассеянного света должна увеличиваться, и наоборот. Опыт полностью подтверждает это предсказание теории.
Рассмотрим случай, когда падающий на вещество световой квант 9 возбуждает электрон на виртуальный уровень W' (рис. 77), но обратный переход 10 совершается на колебательный подуровень v = l (и на какой-либо вращательный подуровень этой структуры). В таком случае рассеянный свет также будет иметь другую частоту нежели возбуждающий, причем в данном конкретном случае рассеянный свет будет иметь уменьшенную частоту согласно уравнению
hv' = hv — hvOi>	(73.9)
где v — частота падающего света; v' — частота рассеянного света; voi — колебательная частота. Возможен и другой случай, когда переход вверх //на виртуальный уровень IF" совершается не из основного колебательного состояния w = 0, а из возбужденного v = 1, а переход вниз 12 происходит на нижний колебательный подуровень у = 0. Тогда произойдет увеличение частоты рассеянного света согласно уравнению
hv" = hvhvQi.	(73.10)
В отличие от рассеяния при взаимодействии с дебаевскими гиперзвуковыми волнами здесь'будет происходить некогерентное рассеяние, так как колебания отдельных молекул изолированы друг от друга и не распространяются в веществе.
Итак, частоты рассеянного света будут являться комбинациями частот падающего света и колебательных частот вещества, т. е.
v' = V — vn. 1
Ot’	(73.11)
v" = v + vol. J
Явление в целом получило название комбинационного рассеяния света и было открыто индийским физиком Раманом при исследовании явлений рассеянного света в жидкостях. Мандельштам и Ландсберг обнаружили аналогичное явление при рассеянии света в кристаллах.
341
Это явление обычно называют в литературе как Раман-эффект.
Наряду с комбинацией частот падающего света с колебательными частотами будут происходить комбинации с вращательными частотами, т. е. будет иметь место также ротационный Раман-эффект. Компоненты v' в рассеянном свете по аналогии с явлениями флюоресценции получили название стоксовских компонент, а компоненты v" — антистоксовских. Так как отношение числа молекул на возбужденных уровнях N{ к числу молекул на невозбужденных уровнях No равно
(73.12)
то в таком же отношении будут находиться и интенсивности антистоксовских и стоксювских компонент.
Явление Раман-эффекта можно объяснить и на. основе классических представлений. Рассеяние света определяется изменением дипольного момента молекулы Ьм под влиянием внешнего электрического поля световой волны Е:
DM = аЕ,
где а — поляризуемость молекулы,
Е = Ео sin at,
(73.13)
(73.14)
Ео и со — соответственно амплитуда напряженности электрического поля и циклическая частота падающей (световой волны. Из-за колебаний в молекулах поляризуемость также испытывает периодические колебания по закону
(73.15)
где ио — постоянное значение поляризуемости;
да \ dqi /о
Qi~
изменение поляризуемости, обусловленное колебанием степеней свободы причем
Qi = Qio cos a J,
(73.16)
342
qto и од— амплитуда и циклическая частота колебаний t-й колебательной степени свободы. Подставляя (73.16) в (73.15), (73.14) и (73.15) в (73.13), получаем
DM = ct0£0 sin a>t + V Ц- q 0Е0 sin (и — <oz) ^ + Хм/ [ 2 \ dqi Jo
+ V (q^E°sin +	•
* \ /О	J
(73.17)
Из этой формулы видно, что в соответствии с изменениями дипольного момента молекулы в рассеянном свете будут иметь место как компоненты с несмещенной частотой со, так и компоненты со смещенными частотами со—од и со 4-сд. Из выражения (73.17) также можно получить значения интенсивностей компонент, однако они будут справедливы лишь для очень высоких температур, а для низких температур необходимо учитывать соотношение (73.12).
Явления рассеяния света широко используются при изучении молекулярного строения вещества.
Глава 12
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛАХ
§ 74. Движущиеся источники и приемники. Движущиеся среды
До сих пор при изучении оптических явлений не учитывался тот факт, что в процессе излучения, распространения и приема электромагнитных волн возможно общее движение источника излучения как целого относительно среды (или системы отсчета) или относительно друг друга, а также движение приемника света. Эти движения источника и приемника могут быть одинаковыми, так что относительно друг друга они могут быть неподвижными.
Но могут быть и такие случаи, когда движения источника и приемника таковы, что они движутся относительно друг друга.
Среда, в которой происходит распространение света, в общем случае может быть движущейся относительно выбранной системы отсчета, что приведет к ряду оптических эффектов.
При рассмотрении всех этих вопросов возникает ряд кинематических проблем, связанных с распространением электромагнитных волн и изменением их взаимодействия с движущимся веществом и относящихся к электродинамике движущихся тел.
К числу оптических эффектов в движущихся телах относится эффект Допплера — смещение частот колеба-
344
ний при движении источников, приемников излучения и среды, в которой распространяется свет; явление аберрации света — отклонение луча наблюдения источника при относительном движении источника и приемника; явление Физо — изменение скорости света в движущейся среде, а также вопросы, связанные с влиянием движения источника и наблюдателя на скорость света.
Однако далее будут рассмотрены только наиболее существенные теоретические проблемы оптики движущихся тел.
§ 75. Фазовая и групповая скорости света. Сверхдисперсионная среда
При изучении волновых процессов представляет большой интерес различие скоростей распространения монохроматических волн и сложных, немонохроматических, волн. Скорость распространения монохроматических волн называют фазовой, а скорость распространения сложных волн — групповой скоростью. Связь между той и другой может быть установлена на основе элементарных представлений.
Рассмотрим наиболее простую группу волн, состоящую из двух монохроматических волн Е\ и Е2.
Ег = Eg sin COj
Е2 = Ео sin со2 (t--------—А.
\	V2 J
(75.1)
Обе волны распространяются в одном и том же направлении х с фазовыми скоростями соответственно vt и Будем считать, что. частоты coj и со2 и скорости vt и v2 разнятся не очень сильно. Следовательно, можно написать:
Ы2 = сох + А<0, У2 = + АУ, Л2 =	+ A^i
Agx^c^, Ду<^ух, АА,
В результате сложения Et и £2 получается группа волн;
Р J Р — 9Р Ф1 — ®2 cin
Ei -f- Е2 — ^Ео cos	sin	,
345
где
Ф1=<й1(1----—Y Фг = <ва(7-------— Y (75.2)
A V2 /	\ V2 )
Если пренебречь при вычислениях величинами Ли и Av, то для полусуммы фаз получим выражение
,ф1±.фл =(й1Л_^£_\	(75.3)
2	\	v1 )
для полуразности фаз
®1 Фг _ Ю1 ю2 (j.________х	к Ю1____ю2	(уд 4)
2	2	\ (dt — со2 \	v2 J)
Согласно предположению их иа
можно считать, что множитель sin
= и, следовательно, Ф, д- ф„
——-определяет рас-
м	и	(От “4“ со»
пространение волны со средней частотой и = ———— и
средней скоростью v = -- (хотя благодаря пренебре-
жениям в формуле (75.3) фигурируют
. „	Фх — а
тота их). Второй множитель cos—±--
скорость vr и час-определяет рас-
пространение волны, скорость которой, как следует из выражения (75.4), может быть представлена формулой
	— =	!	 (	М.	(75.5) IL	С0х — С02 \	V2 J
Заменяя	иа=.	находим Xj	%2
1 и	1	О (	1	1	\ , -2л	). (75.6) . / ^1	v2 \	\ Xj	л2 / v ’ 2я ( —— —	 \	A.2 /
Если обозначить Vj — v, v2 = v 4- Av, = к, к2 = к -J- АХ, то после преобразований можно написать:
u = v—(75.7)
346
или, при переходе к пределу,
« dv U = V —Л--------.
dk
(75.8)
Такова связь между групповой скоростью и и фазовой скоростью V.
На рис. 79 приведена группа из двух синусоидальных волн, которая образует серию впадин и гребней с длиной волны гребня Л. Высокочастотное колебание с длиной волны X бежит с фазовой скоростью V. Но ампли-
туда этих волн совершает биение в пространстве и времени с частотой Ан = ?пи-~. Скорость распространения Л
волны биений и есть групповая скорость.
В зависимости от хода дисперсии групповая скорость может быть и меньше, и больше фазовой скорости. Если
>0, то наблюдается нормальная дисперсия; при dk,
. n	«	dv п
этом u<v. В случае аномальной дисперсии —’<0, и Л
тогда м>р.
Так как скорость света в среде v связана со скоростью света в вакууме соотношением с = пи, то отношение dvjdk можно выразить через сип:
du	dn	п
п---------В v--- = 0,
d/.	dX,
отсюда
dv	v	dn   с	dn
dk	n dk	ra2 dk
(75.9)
347
Подставляя это выражение в формулу (75.8), находим
(75.10) rt \ п d./. J
Если X короче резонансной длины волны то dn!dK> 0, следовательно, в формуле (75.10) вместо dn]dh берется величина \ dn!d\\, тогда можно написать
Так как в этой области п<1, то н>с, т. е. групповая скорость света в такой среде больше фазовой скорости. Такая среда называется сверхдисперсионной средой.
Вообще говоря, не исключена гипотеза о мировой сверхдисперсионной среде, в которой возможно распространение волн с очень большими групповыми скоростями, что может физически пояснить дуализм волн и частиц.
§ 76. Преобразования Лорентца
Оптика движущихся тел, как и вся электродинамика движущихся тел, нуждается в основных уравнениях преобразования координат при переходе от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой с некоторой скоростью. Такие преобразования были сформулированы Лорентцем и носят его имя.
Пусть какой-либо процесс характеризуется в первой координатной системе величинами х, у, z, t, где первые три определяют положение, t — момент времени. Тогда во второй координатной системе, движущейся относительно первой с некоторой скоростью, например, со скоростью V, направленной вдоль оси х, этот процесс будет характеризоваться величинами х', у', z', t'. При этом направления х'^х, у'\\у, z’ || z в момент t=0, t'=0 и начала координат обеих систем совпадают. Тогда переход от одной координатной системы к другой дается уравнениями:
, х — vt
У’ = У, 2’= 2,-	(761)
t — ₽2 —
Г=—r	v .
/1-₽а
348
Из этих уравнений преобразования вытекают важные следствия. Так, длина, имеющая относительно неподвижного наблюдателя протяженность I, в системе, движущейся относительно него со скоростью v, будет иметь меньшую протяженность I':
/' = //1—р .	(76.2)
Промежутки времени т = t2 — tx в неподвижной системе и х' = в системе, движущейся относительно часов, связаны между собой соотношением
т
(76.3)
Наконец, из преобразований Лорентца следует правило сложения скоростей. Если система координат движется вдоль оси х со скоростью и, а какое-то тело движется относительно этой системы со скоростью v', то результирующая скорость и определяется выражением
и —
V + v'
. w' i + — с2
(76.4)
Преобразования Лорентца и их следствия дают возможность вывести законы для оптических явлений в движущихся телах.
§ 77. Явление Физо. Аберрация света. Эффект Допплера
По формуле (76.4) можно определить скорость распространения света в среде, движущейся со скоростью v относительно неподвижного наблюдателя.
Скорость света в неподвижной среде, обладающей показателем преломления п, равна v'='dn. Тогда формула (76.4) принимает вид:
и = с/п + v
1 + v/cn
Для не слишком больших скоростей V, т. е. когда формула (77.1) может быть переписана в виде:
(77.1)
349
откуда ввиду малости — v2/nc находим
с	/.	1 \
и -------|-и ( 1 — —— ).
п	\	пй /
(77.2)
Эта формула дает значение скорости распространения света в среде, движущейся относительно неподвижного наблюдателя со скоростью V. Величина
х = 1 - _1_	(77.3)
п‘
называется коэффициентом увлечения, поскольку явление происходит так, будто свет частично увлекается движущейся средой с «коэффициентом увлечения» х.
Это явление исследовал Физо и нашел полное согласие теории с опытом. Коэффициент увлечения был еще раньше определен Френелем в его упругой теории света.
Другим важным следствием оптики движущихся тел является эффект Допплера.
Пусть линейно-поляризованная плоская световая волна распространяется в системе х, у, z, t в направлении k(m, п, р), где k — волновой вектор световой волны, т, п, р — направляющие косинусы волнового вектора k. Уравнения волны в комплексной форме можно записать в виде:
Е = Ео е‘ф,
Н = Ное‘ф,
(77.4)
где Е, Н, Ео, Но — мгновенные значения и амплитуды электрического и магнитного полей световой волны; Ф — ее фаза. Последняя в координатной форме имеет вид:
Ф
тх + пу 4- рг с •
(77.5)
В системе координат х', сительно системы х, у, z, t для волны будут иметь вид:
у', z', t', движущейся отно-со скоростью V, уравнения
Е'=Еое‘ф’, |
Н' = Но е1ф’ , J
(77.6)
350
где Е', Н', Ёо, Но, Ф' — имеют тот же смысл, что и в (77.4). Фаза Ф' запишется аналогично:
Ф' = a' f —
(77.7)
С
где т', п', р' — направляющие косинусы волнового век-тора k' в системе х', у', z', V.
В силу инвариантности уравнений электродинамики относительно преобразований Лорентца
Ф' =Ф,
т. е.
( /~р2 —
(О t----тх + пу + рг \ = ю' ------_
<	с J ( /1 — р2
- Т- (	т> + п'у +	(77-8>
Так как эти соотношения должны быть справедливы для любых х, у, z, t, то из (77.8) получим
(77.9)
Если и в левой части первого уравнения обозначить со', а величины в правой части писать без штриха, то |3 нужно заменить на —|3, после чего будем иметь (для обычной частоты т)
v' = v
1 — р cos Ck, v) /Г^Р5
(77.10)
Эта формула показывает зависимость наблюдаемой частоты источника света от величины и направления скорости его относительного движения. Это явление называется эффектом Допплера.
351
При распространении световой волны.вдоль направления v формула (77.10) принимает вид:
’-'’/Ьт	<77J1)
Для малых значений f, разлагая (77.11) в ряд, получаем v' = vfl-P + -S--..A	(77.12)
Если же угол между k и v равен л/2, то cos (/г, и) =0, и формула (77.10), записанная в виде:
V
(77.13)
выражает поперечный Допплер-эффект, который возникает при распространении света перпендикулярно к скорости относительного движения. Впервые поперечный Допплер-эффект наблюдался американским физиком Айвсом * в 1938 г.
Рассмотрим здесь также влияние относительного движения на направление распространения световых волн, т. е. аберрацию света. Пусть свет распространяется от звезды в направлении m' = 0, п'—1, р' = 0 и в этой системе х', у', z', t', связанной со звездой, ее излучение направлено перпендикулярно к скорости движения Земли. Следовательно, для наблюдателя, движущегося вместе с Землей, имеющей орбитальную скорость V, из (77.9) найдем:
п' /1 — р2 1 + pm'
/./ /1 - - Р3 1 + pm'
(77.14)
* Н. Е. Ives and G. R. Stilwell. An Experimental Study of the Rate of a Moving Atomic Clock. Journal of the Optical Societe of America, Vol. 28, N 7, p. 215, 1938.
352
Таков общий закон изменения фронта волны при переходе от наблюдения в неподвижной системе координат (%', у', z', t') к наблюдению в подвижной (х, у, г, Г). При выбранных выше условиях (m' = 0, n'=i,	р'—0) будем
иметь:
т =$, п = /1 — р2 , Р = о,

(77.15)
а если р < 1, то
т = р,
1	₽2
/1 = 1------!,
2
р = 0.
(77.16)
На рис. 80 приведен случай распространения света от звезды 5 в системе х', у', z', t' (волновой вектор /г'), неподвижной относительно звезды, и в системе х, у, z, t, движущейся относительно системы х', у', z', i' со скоростью V, перпендикулярной к k'. В системе х, у, z, t (Земля) k изменит направление на
Рис. 80
угол а, который определится направляющими косинусами т, п и р из уравнений (77.15). Так как cos а = п = = /1— Р2, sina = |/l—п2= р, то
.	sin а т	В
tg а = ---------=-------— ——1  
cos a п	1 — р2 ’
(77.17)
Этот наклон фронта световой волны в движущейся системе координат, впервые обнаруженный Брадлеем, называется аберрацией света. На наблюдении и измерении этого эффекта основан один из методов измерения скорости света.
§ 78. Опыт Майкельсона
Представление о неподвижном эфире, в котором распространяются световые волны, делало возможным по-
12 Ф. Л. Королев	353
ставить опыт по определению скорости света относительно эфира. Впервые идея экспериментальной проверки этих представлений была высказана Максвеллом и осуществлена Майкельсоном в 1881 г. с помощью изобретенного им интерферометра.
Схема опыта Майкельсона приведена на рис. 81. Здесь I — источник света; L — линза, посылающая свет от источника I параллельным пучком на светоделитель-
I
Рис. 81
ное зеркало S, которое делит лучи света на два пучка: один идет к зеркалу Sb второй — к зеркалу S2. После отражения оба пучка света вновь встречаются на светоделительном зеркале S и от них отделяются два луча, идущие к зрительной трубе f, где интерферируют.
Если интерферометр движется вместе с Землей в направлении и и если справедлива гипотеза неподвижного эфира, то за время пробега луча от 8 к и обратно к S последнее к этому времени сместится в положение S'. Время пробега луча между S и S2 и обратно к S
ч=—1—+-4—=— -т-V-	(78л>
С — V	С V	с 1 — р2
Время же пробега луча по пути SS'iS' может быть определено следующим образом. Из рис. 81 запишем
354
/2 = c2t2 — у2/2,
где t — время пробега луча от S к Si; ct — путь от S до Si; vt — путь, который пройдет за это время зеркало S вдоль направления движения. Время пробега луча пути SSi S' будет
Разность AZ
/1-₽3
Если повернуть весь прибор вокруг вертикальной оси (в плоскости чертежа) на 90°, то лучи поменяются местами. Тот луч, который перед этим запаздывал, станет опережающим, а разность времен пробегов At' будет равна и противоположна по знаку At, т. е.
Разлагая выражение в скобках в ряд по степеням |32 и ограничиваясь первыми членами разложения, получаем
Ы = -2Ц>2.
(78.4)
В этом случае должно бы происходить изменение интерференционной картины, т. е. смещение полос. Число полос z, на которое сместится картина, равно
(78.5)
но тщательные опыты показали, что никакого смещения полос не происходит. Отсутствие такого смещения можно объяснить тем, что интервалы длины I и промежутки времени т испытывают в движущихся системах изменения по формулам (76.2) и (76.3). Так, промежуток SS2 в случае его ориентации вдоль v должен согласно (76.2) быть равным I ]/1 — р2, и тогда
Т=р-} = 0-	<78-6>
12*
355
Точно такое же выражение получится и для промежутка l\t'. Если же плечи интерферометра не равны друг другу, а составляют SS\=lA, SS2 = l2, то и в этом случае будем иметь
Ы = М' = — (—U ,	(78.7)
с \ /1 — р2 /	'
т. с. А^—Ai'=0, и поворот интерферометра на 90° даст тот же отрицательный результат.
Отрицательный результат опыта Майкельсона объясняется следствиями, к которым приводят преобразования координат Лорентца, однако исторически именно уравнения Лорентца были сформулированы в результате отрицательного эффекта опыта Майкельсона.
§ 79. Оптические эффекты, связанные с действием гравитации на свет
При излучении света источниками, находящимися в поле тяготения, наблюдается изменение частоты световых колебаний, когда световые лучи распространяются в направлении изменения сил тяжести. Явление изменения частоты колебаний при распространении света в поле тяготения объясняется работой, которую совершают эти силы при движении фотона.
Действительно, масса фотона
^ф =	>	(79.1)
а работа АЛ при движении этой массы в поле тяготения определится формулой
где
kM
(79.2)
(79.3)
— потенциал сил поля тяготения, создаваемого массой тела М; k — гравитационная постоянная; гх и г2— расстояния от центра тяготеющей массы М.
Очевидно, фотон при распространении в поле тяготения теряет или приобретает энергию АЛ в зависимости
356
от того, движется ли он против сил тяжести или по направлению их, что приведёт к изменению его частоты на величину Av:
h Av = АЛ,	(79.4)
где h — постоянная Планка.
Таким образом,
Ау=-^-(Ф1-ср2),	(79.5)
h
и так как /г/ф = /iv/с2, то
Av =4-(Ф1-Ф2).	(79.6)
с2
В зависимости от разности гравитационных потенциалов, которую проходит фотон, Av может быть положительным и отрицательным, т. е. смещение может быть как в «фиолетовую», так и в «красную» часть спектра.
Однако нельзя понимать это смещение частоты спектральных линий как «замедление хода часов» в гравитационном поле: из (79.6) видно, что тогда в одном и том же гравитационном поле будет и «замедление», и «ускорение» хода часов в зависимости от гравитационного потенциала точки наблюдения фотона.
Наличие массы у фотона приводит к еще одному эффекту действия поля тяготения на распространение света: фотон, движущийся в поле тяготения перпендикулярно к нему, отклоняется в направлении действия сил тяжести, что приводит к искривлению лучей света вблизи тяготеющих масс.
Угол отклонения фотона в поле тяготения массы Л! (рис. 82) равен углу а между асимптотами ДИ] и Л2Л2 гиперболической траектории.
Угол а, как следует из элементарных геометрических соображений, равен:
где s — эксцентриситет орбиты. Согласно законам небесной механики имеем
е2 — 1 =	Г£2 .,	(79.8)
ntyPM2
где Т'— энергия фотона; L — момент количества движения фотона относительно центра массы М; пц}— масса фотона; k — гравитационная постоянная. Момент количества движения фотона относительно центра притягивающей массы М равен:
L = г,	(79.9)
С
где % — некоторый числовой коэффициент, а
(79-Ю)
тогда
82 — 1 _
k2M2 '
Подставляя это выражение в формулу (79.7),
2 kM а =----------
& г ’
(79.11)
находим
(79.12)
где величина £ определяется экспериментально.
।
Рис. 82
Теория относительности трактует отклонение световых лучей в поле тяготения как искривление пространства, хотя формула, которую опа дает, имеет точно такой же вид, как и формула (79.12), а численный коэффициент в ней равен Величина а, вычисленная по
358
формуле, вытекающей из общей теории относительности, для сил тяжести на поверхности Солнца составляет Г',75.
Искривление лучей света в поле тяготения можно объяснять и как зависимость скорости световых волн от величины силы тяжести, когда распространение света идет в направлениях, перпендикулярных grad ср (ср — потенциал тяготения). Тогда можно говорить о зависимости показателя преломления вакуума (в смысле электронно-позитронного и фотонного вакуума) от потенциала поля тяготения, которая выражается формулой *
п—	(79.13)
с2
где g — численный коэффициент, который должен быть выбран в соответствии с опытом. Если принять £ = —, то g = 2.
Из (79.13) следует, что фазовая скорость света уменьшается с возрастанием сил тяготения.
Однако необходимо отметить, что в настоящее время трудно еще говорить о точном значении коэффициента g, так как состояние среды в околосолнечном пространстве (внешняя корона Солнца и др.) недостаточно изучено. Влияние этой среды на ход лучей в околосолнечном пространстве может быть весьма значительным.
* В. А. Фо к. Теория пространства времени и тяготения. М., Физматгиз, 1961.
Глава 13
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
§ 80. Общие замечания о явлениях интерференции и дифракции
Явления интерференции представляют собой сложение волн, в результате которого получается устойчивая во времени картина распределения интенсивности в пространстве, причем результирующая интенсивность света не равна сумме интенсивностей складывающихся волн. Это явление наблюдается при сложении между собой волн от когерентных источников света, т. е. таких источников, у которых колебания имеют постоянную во времени разность фаз.
Естественные источники света, основную долю излучения которых составляет спонтанное излучение, испускаемое элементарными источниками чисто статистически, некогерентны между собой. Поэтому наблюдение интерференционной картины при сложении световых пучков от различных естественных источников света невозможно. Когерентные источники света, или, точнее, когерентные световые пучки, осуществляются путем разделения светового пучка (световой волны) на два или большее количество пучков (вплоть до бесконечности), которые, складываясь после прохождения ими различных путей в пространстве, дают ту или иную картину распределения интенсивности, обычно в виде чередующихся максимумов и минимумов света.
360
Образование интерферирующих лучей может происходить различными путями. Так, можно весь пучок света как целое расщеплять на ряд световых пучков таким образом, что амплитуды получающихся парциальных волн составляют часть амплитуды падающей волны.
Тогда можно говорить, что интерферирующие лучи производятся путем деления амплитуды падающей электромагнитной волны на амплитуды парциальных волн.
Рис. 83
На рис. 83 приведен пример получения интерферирующих лучей путем деления амплитуды электромагнитной (световой) волны с помощью отражений на зеркалах: плоская электромагнитная волна L падает на два зеркала Si и S2, частично пропускающих излучение и находящихся на расстоянии h друг от друга. Благодаря большому коэффициенту отражения этих зеркал образуется множество когерентных пучков волн: 1, 2, 3, 4,..., а также Г, 2', 3', 4', ... . Между соседними лучами (например, 1 и 2) разность хода у составит:
y = 2/zcoscp.	(80.1)
Если fl-'— коэффициент пропускания зеркал для амплитуды, р — коэффициент отражения для амплитуды, Ео — амплитуда падающей волны, то амплитуды воли в пучках Л 2, 3, 4, ... образуют последовательность:
361
a, = fl,a Eo,
«2 = P2 ^0,
as = fl'2 p4E0,
aN = fl'2 Pnv-i)£o.
(80.2)
Отсюда видно, что амплитуда каждого из вновь образуемых пучков постепенно убывает, и значит амплитуда пучка L, упавшего на пластинку, ограниченную
D
L
1 / 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
Рис. 84
зеркалами Si и S2, делится между пучками 1, 2, 3, 4, ... и 1', 2', 3', 4', ...
Образованные таким способом пучки можно собрать с помощью линзы в фокусе, где и будет наблюдаться интерференция.
Рассмотрим другой способ образования интерферирующих пучков (лучей) электромагнитных волн (рис. 84). Здесь фронт волны L, имеющий ширину D, разбивается с помощью экрана с равноотстоящими отверстиями (дифракционная решетка) на ряд более узких фронтов 11, 22, 33, 44, ... Основ
ная часть излучения идет в направлении падающего пучка L, но часть электромагнитного излучения благодаря его волновой природе отклоняется преимущественно в направлениях 0, для которых соблюдается условие:
b sin 0 = kk,
(80.3)
где b— постоянная решетки; %— длина электромагнитной волны; k — целое число.
В этом случае образование интерферирующих лучей является следствием деления фронта световой волны на 362
отдельные участки. Однако это деление фронта волны также сопровождается и делением амплитуды световых волн, которые, распространяясь по всем направлениям, в одних местах складываются и усиливаются, а в других ослабляют друг друга.
В более общем случае распространения световой волны каждый сколь угодно малый участок фронта волны можно считать источником интерферирующих лучей. Интерференция волн, исходящих от этого множества отдельных участков фронта световой волны, называется дифракцией. Если фронт световой волны имеет ширину D к, то получающаяся в результате дифракции световая волна (если только расстояния г, на которых происходит ее наблюдение, невелики, т. е. D/г л/D) очень мало отличается от исходной, и дифракционные явления почти не проявляются. Поэтому если складываются световые пучки, удовлетворяющие приведенным выше условиям, то можно говорить об интерференции в чистом виде.
Напримрр, для случая, изображенного на рис. 83, можно взять очень большие зеркала S] и S2, следовательно, очень широкий пучок L. Благодаря этому может иметь место случай, когда k <^.D, т. е. получатся практически бесконечно широкие интерферирующие пучки, когда можно пренебречь явлениями дифракции. Если же условие k^D не выполняется, то пренебрегать явлениями дифракции уже нельзя.
В действительности, даже в случаях «интерференции в чистом виде», строго говоря, нельзя полностью пренебрегать дифракционными явлениями. Наоборот, как видно из предыдущего, дифракционные явления по сути дела также представляют интерференцию элементарных волн, идущих от каждого элементарного участка поверхности исходной волны, в чем и заключается суть принципа Гюйгенса—Френеля.
В этой главе рассматриваются явления интерференции двух лучей, двухлучевая интерференция в пленках и пластинках и в оптических системах, а также двухлучевые интерферометры, так как они имеют большое значение на практике. Явления же интерференции большего количества лучёй, когда уже нельзя разделять явления интерференции и дифракции, будут рассмотрены в гл. 15, 16.
363
§ 81. Двухлучевая интерференция в пленках и пластинках
При рассмотрении явлений интерференции, осуществляемой с помощью прозрачных пленок и пластинок, могут иметь место два сильно различающихся случая. В первом случае поверхности, ограничивающие пластинку, непараллельны друг другу и образуют небольшой
Рис. 85
угол. Такие пластинки называются клинообразными. Во втором случае поверхности пластинки параллельны и • тогда говорят об интерференции света в плоскопараллельных пластинках.
1. Интерференция в клинообразных пластинках. Одним из наиболее важных случаев двухлучевой интерференции с делением амплитуды волны является интерференция отраженных или прошедших лучей через прозрачные пленки и пластинки. Схема образования интерферирующих лучей приведена на рис. 85.
Параллельный пучок лучей L сечением D падает на прозрачную пластинку Р, ограниченную поверхностями S, и S2; пластинка имеет в общем случае переменную толщину h. Угол падения лучей на пластинку равен ср, 36 4
угол преломления ф. Будем считать, что изменения толщины пластинки при перемещении вдоль ее поверхности очень малы и сравнимы с длиной волны падающего излучения, когда перемещение вдоль пластинки происходит на расстояния, много большие длины волны (сотни, тысячи длин волн и т. д.). Тогда два луча 1 и 2 после преломления в точках О и О' и отражения в точках О и О" образуют две парьи интерферирующих лучей: Г и 2'— в отраженном свете и /" и 2" — в-проходящем свете. Так как коэффициенты отражения на границе раздела двух прозрачных сред невелики (порядка 5%), то интерферирующие лучи 1' и 2' будут почти равны по интенсивности, тогда как лучи !" и 2” резко отличаются по интенсивности.
Если с помощью какого-либо устройства (глаз, линза L[ и др.) собирать лучи, выходящие из точек поверх--ности S) (или S2), например на экране Э (или аккомодировать на эту поверхность глаз), то эти лучи будут интерферировать между собой, давая максимумы и минимумы интенсивности. Разность хода лучей 1' и 2', а также 1" и 2", как легко убедиться с помощью несложного вычисления, равна:
у = 2nh cos ф,	(81.1)
где п— показатель преломления вещества пластинки Р по отношению к окружающей ее среде; ф— угол преломления. Однако необходимо учесть, что при отражении от верхней поверхности имеется дополнительный скачок фазы, соответствующий разности хода между лучами 1' и 2’ и равный Х/2, т. е. для отраженных лучей надо написать
yr — 2nh cos ф ф-	(81.2)
для проходящего света
yd = 2«/kos ф.	(81.3)
В проходящем свете интерферируют лучи, сильно различающиеся по интенсивности, интерференционная картина получается мало отчетливая и не представляет большого практического интереса. Наоборот, в отраженном свете до тех пор, пока не нарушено условие коге-
365
рентное™, будет видна отчетливая интерференционная картина с чередующимися максимумами и минимумами интенсивности света. Распределение интенсивности в полосах интерференции определяется выражением (45.20). Если в нем перейти от частот к длинам волн, то его можно переписать в виде (индексы пт опущены):
/=2/в
2л/ дЛ.
Л_____
2 л/ <5Л	Л
Л Л
(81.4)
Если b’k/'k 1, т. е. излучение монохроматичным, то sin Р/Р ( где р
является достаточно
2л/ ПГ
остается
близким к единице даже при сравнительно больших разностях хода. Если
2л/ <5л ..
----------< л, Л Л
(81.5)
и, значит,
2й/. Л
Т'<Т'
то
sin р/р 1.
При этих условиях формула (81.4) упрощается:
/ = 2/0{1 +
cos
2л/ Л
(81.6)
или
/ = 4/0 cosI 2 —,	(81.7)
Л
где /о — интенсивность в каждом интерферирующем пучке по отдельности. Величину I нужно приравнять разности хода у, и тогда
I = 4/0cos2-^-.	(81.7')
Л
366
На рис. 86 приведен график распределения интенсивности для случая, описываемого формулой (81.4); на рис. 87, а изображено распределение интенсивности согласно формуле (81.7), на рис. 87, б — вид полос интерференции для отраженного света, когда разность хода изменяется линейно при изменении расстояния по по-верхности пластинки; величина Ф= -----у или Ф= —у.
Пусть пластинка Р представляет собой клин с некоторым углом а (рис. 88). Толщина пластинки h -на произвольном расстоянии х от тонкого края,клина А может быть выражена равенством (учитывая малость а):
/г ==/г0 + пх.	(81.8)
Разность хода для отраженных лучей определяется формулой (81.2).
Положим, что ф = 0. Тогда
у, = 2nh + А..	(81.9)
Найдем в этом случае расстояние между полосами интерференции.
367
Максимумы интерференции, как это следует из (81.7Л), будут наблюдаться при условии:
2/г/г +=/гХ.	(81.10)
При переходе от одного максимума к другому изменяются h и k, но п и л остаются постоянными. Продифференцируем выражение (81.10) по /г и /г:
2n&h = Хб£.
Из (81.8) для 6/г получим
б/г = абх.
Рис. 87
Подставляя найденное значение б/г в предыдущее выражение и полагая бй=1 (так как ищем расстояние между двумя соседними полосами, для которых k изменяется на 1), находим
бх = -^—,	(81.11)
2ма
368
где 6х — расстояние между соседними полосами интерференции.
Как видим, расстояние между полосами очень быстро возрастает с уменьшением а и не зависит от толщины пластинки. Если Л,=6-10~5 см (6000А), а = 2-10~5 рад, «=1,5, то бх=1 см. Отсюда видно, что с помощью интерференции можно легко измерять очень малые углы. Кроме того, можно с очень большой точностью производить сравнение калиброванных мер, накладывая на полированные концевые поверхности поставленных рядом двух эталонных мер выверенную плоскую стеклянную пластинку. Наблюдая полосы интерференции лучей, отраженных полированными поверхностями этих мер и прилегающей к ним поверхностью стеклянной пластинки, можно найти разность длин эталонной и сравниваемой меры. С помощью интерференции производится измерение эталонов метра в длинах световых волн.
В разобранном случае множество полос интерференции получается вследствие изменения толщины промежутка между поверхностями, на которых происходит образование интерферирующих лучей, и потому данный вид интерференции получил название интерференции равной толщины. Такого рода интерференция возникает и при постоянной толщине пленки (или пластинки), по если при этом показатель преломления меняется при переходе от одного места пленки к другому. В общем случае одновременно могут меняться п и fl. Интерференция равной толщины легко наблюдается на тонких пленках масла, плавающих на поверхности воды, на тонких пленках осевших на поверхность стекла капель воды, в тонких пленках, образующихся при окислении блестящих поверхностей металлов (например, при отжиге, электролитическом оксидировании) и др.
2. Интерференция в плоскопараллельных пластинах. У плоскопараллельных пластин угол а = 0 и, следовательно, /z = const. В этом случае при освещении пластинки (пленки) параллельным пучком лучей, как это показано на рис. 85, вся поверхность пластины будет иметь одинаковую интенсивность освещения и, следовательно, несмотря на сложение двух лучей, не будет видно чередующихся полос интерференции различной интенсивности. Однако и здесь возможно наблюдать множество полос интерференции, если осветить
369
поверхность пластинки не параллельным пучком лучей, а пучком лучей с широким угловым раствором, т. е. бесконечной совокупностью плоских волн, имеющих всевозможные направления. При этом наблюдение полос интерференции необходимо вести в фокусе линзы О (рис. 89).
Параллельные пучки 11 и 22 (а также любые другие) образуют при отражении от поверхностей Si и S2
по паре интерферирующих пучков ГГ и Г'1", 2'2' и 2"2", которые, проходя сквозь линзу О, дают в ее фокальной плоскости Э изображения в виде точек I и II. Так как в этом случае /z = const, то различные интерференционные полосы получаются вследствие изменения угла падения ср. Интенсивность полос интерференции и здесь определяется выражением (81.4) или (81.7), если только считать, что в каждой паре интерферирующих лучей их интенсивности равны. Кроме того, нужно учесть, что интенсивность полос интерференции разного порядка будет различаться вследствие изменения коэффициента отражения при изменении угла падения ср. Разность хода интерферирующих лучей определяется и здесь выражением (81.2) при условии, что /z = const, а ср меняется.
370
Запишем условие максимума
2nh cos ф +	= ZA.
(81.12)
Значениям углов ф (и, следовательно, ср), удовлетворяющим этому условию, будут соответствовать максимумы интерференции. Полосы интерференции будут иметь вид колец (кругов) согласно уравнению (81.12), которое можно переписать в виде:
ф = arc cos
2nh
(81.13)
Это уравнение конуса с угловым раствором ф (или соответственно ср), который в фокальной плоскости Э линзы О дает круг.
Итак, полосы интерференции получаются в виде кругов, соответствующих ф = const. Поэтому их называют полосами равного наклона, а все явление — интерференцией равного наклона. Угловое расстояние между полосами интерференции можно найти из выражения (81.12), дифференцируя его по переменным ф и k. Тогда, принимая Д&=1, получим
Дф =---------h--- .	(81.14)
2nh sin ф
Так как sin ф = sin ср/n, Дф 1, то Дф = и п
Аф = --~— 	(81-15)
2/г sin ср
Из (81.15) видно, что расстояние между полосами интерференции быстро уменьшается с увеличением ср (а также и /г).
§ 82. Интерферометр Майкельсона
К числу исключительно важных приборов, основанных на интерференции с делением амплитуды волны, относится двухлучевой интерферометр, изобретенный Майкельсоном. Его оптическая схема приведена на рис. 90.
371
Свет от источника I линзой О направляется на систему плоских зеркал S, Si и S2, нанесенных на пластинки Р, Pi и Р2. Зеркало S является светоделительным. Оно делит поток излучения на две равные части — два луча 1 и 2 равной интенсивности. Луч 1 идет к зеркалу Si и, отражаясь, возвращается на «ветоделительное
I
о
Рис. 90

зеркало. Часть луча 1 проходит через светоделительное зеркало S и образует один из интерферирующих лучей 1'. Луч 2 после прохождения светоделительного зеркала S идет к зеркалу S2, отражается от него и возвращается к светоделительному зеркалу 5. Часть луча 2 отражается от светоделительного зеркала S и образует второй интерферирующий луч 2’. Оба луча собираются линзой О' и интерферируют в точке Is. Система зеркал интерферометра Майкельсона эквивалентна воздушной пластинке толщиной h, ограниченной двумя отражающими поверхностями Sx и S2 . Зеркало S2 является мнимым изображением зеркала S2 в светоделительном зеркале S.
372
Одно из зеркал Sj (или S2) делается подвижным, благодаря чему разность хода лучей Г и 2' можно менять по желанию экспериментатора и даже можно сделать равной нулю. Можно также изменить «направление» разности хода, т. е. меньшее плечо интерферометра сделать большим, и наоборот.
В интерферометре Майкельсона путем изменения наклона зеркал Si и S2 по отношению к оптической оси можно осуществлять либо интерференцию равной толщины (клинообразная пластинка), либо интерференцию равного наклона (плоскопараллельная пластинка). В первом случае освещение производится параллельным пучком лучей, во втором — пучком лучей с широким угловым раствором. Пластинка Р3 является компенсатором. Так как луч Г дважды проходит путь в стекле пластинки Р, а луч 2' этого пути не проходит, то для устранения этого различия и вводится пластинка Р3, которая практически одинакова с Р, так как делается из того же куска стекла, что и Р. Интерферометр Майкельсона позволяет производить самые разнообразные и весьма точные измерения *.
§ 83. Методы осуществления двухлучевой интерференции с делением фронта волны
1. Зеркала Френеля. Интерференционная установка с двумя зеркалами представляет собой один из наиболее прямых опытов сложения световых пучков с целью изучения явлений интерференции. Этот опыт был осуществлен Френелем и явился решающим доказательством волновой природы света.
Схема опыта Френеля приведена на рис. 91. Свет от точечного (или линейного) источника, помещенного в светонепроницаемый кожух G, через отверстие F освещает два зеркала Sj и S3, соприкасающиеся по линии Е, перпендикулярной к плоскости чертежа. Зеркала наклонены под углом а, благодаря чему отраженные от них пучки AN и ВМ частично накладываются друг на друга в области АВ. Отраженные от зеркал S! и S2 пучки можно рассматривать, как исходящие от двух мнимых
* Множество самых разнообразных модификаций интерферометра приведены в монографий Майкельсона «Световые волны и их применения».
373
когерентных источников Ц и /2, являющихся мнимыми изображениями источника I в зеркалах 5j и S2.
Как видим из рис. 91, фронт световой волны, выходящей из отверстия F, делится на две части зеркалами Si и Sz и ими же направляется после отражения на
экран Э, где и наблюдается интерференция. Так как зеркала обычно имеют большие размеры по сравнению с длиной световой волны, то дифракционные явления здесь незначительны и можно говорить об «интерференции в чистом виде». Определим разность хода лучей, складывающихся в области АВ. Если обозначить расстояние между мнимыми источниками через а, рас
374
стояние CD через L, расстояние точки Р в интерференционной картине (в плоскости MN) от ее середины через х, разность хода лучей от Л и /2 до рассматриваемой точки Р через у, то будем иметь (см. рис. 91):
а у = — х, r L
(83.1)
а расстояние между полосами интерференции будет определяться выражением:
Ъх=К— . а
(83.2)
Формулы для распределения интенсивности будут теми же, что и для случая интерференции в пластинках. Существует много вариантов видоизменения установки Френеля с зеркалами: бипризма, билинза, установка Ллойда с прямым пучком и одним зеркалом и др.
Рис. 92
2. Интерферометр Рэлея. В противоположность зеркалам Френеля в интерферометре Рэлея имеет место двухлучевая интерференция с делением фронта волны, когда выделяемые участки фронта не являются очень большими по сравнению с длиной световой волны. Следовательно, уже нельзя пренебрегать явлениями дифракции. Больше того наличие значительной дифракции и обеспечивает работу этого интерферометра.
Оптическая схема интерферометра Рэлея приведена на рис. 92. Свет от источника I конденсором К направляется на экран Sp, в котором из спроектированного на него изображения источника он вырезает «точечный» источник. Выходящий из этого отверстия (точечного источника) пучок света линзой О] превращается в параллельный пучок, падающий на экран Е. В экране Е
375
имеются две узкие щели Spl и Sp2 . (шириной порядка 1 мм), расположенные относительно друг друга на расстоянии в несколько миллиметров (Юн-15 мм). Из этих щелей выходят два пучка света 1 и 2, которые линзой О2 собираются в ее фокальной плоскости и интерферируют между собой, давая интерференционную картину. Последняя рассматривается с помощью очень сильного окуляра Ок. Интерферометр Рэлея используется для изучения процессов в жидкостях и газах. Для
этой цели на пути лучей 1 и 2 ставятся специальные кюветы.
Действие интерферометра Рэлея происходит следующим образом. На отверстиях Spi и 5р2 происходит дифракция (рис. 93), благодаря чему наряду с прямо прошедшими лучами 11 и 22 возникнут дифрагирующие лучи, например, 1'1' и 2'2'. Разность хода лучей Г и 2' составит ВС и, как нетрудно видеть из чертежа, будет равна ABsin9. Так как AB = c + d = b, то разность хода лучей
Y = &sin9.	(83.3)
Следовательно, интенсивность излучения, дифрагировавшего на щелях Spi и Sp2 под углом 9, будет определяться и здесь формулой, аналогичной (81.7).
Обозначим интенсивность излучения, идущего в направлении 9, от одной щели буквой h , тогда для суммарной интенсивности I от двух щелей получим
1 -= 4/9cos1 2	.	(83.4)
X
376
Из теории дифракции на одной щели, которая будет изложена .в гл. 14, следует, что /в определяется формулой /o = /oJ^L,	(83.5)
где /о — интенсивность света, падающего па одну щель,
nd sin 9 а =-------------
X
(83.6)
Таким образом, полное выражение для интенсивности полос интерференции принимает вид:
(83.7)
Так как углы дифракции в интерферометре Рэлея обычно очень малы (порядка 5- КТ'4 рад и меньше), то sin9--T, и формула (83.7) упрощается:
(83.8)
Графическое изображение функции / приведено па рис. 94; величина
ф/2 =	.
Из формулы (83.8) и рис. 94 видно, что благодаря интерференции от двух щелей дифракционные максимумы, графически изображенные функцией /а, разбиваются на ряд более мелких максимумов: центральный — на пять максимумов, а боковые — на три. Если в одно из плеч интерферометра, например 11, ввести дополнительную разность хода, не зависящую от 0, то положение максимумов / сместится. Разность хода может быть в этом случае выражена в виде:
у = b sin 0 + е,	(83.9)
377
где е не зависит от 6, а зависит только от разности показателей преломлений веществ и п2), находящихся в кюветах, и длины L кювет, т. е.
е = (/?1 — n^L.	(83.10)
Положение полосы, соответствующей у=0, будет определяться выражением:
sin0 = —— Ь
(83. П)
Для приведения нулевой полосы в прежнее положение служит компенсатор, отсчет по которому дает величину П1—п2.
Интерферометр Рэлея является наиболее простым. Однако он имеет очень небольшую светосилу ввиду малости его щелей.
Глава 14
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
§ 84. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зоны Френеля
При распространении в однородном пространстве электромагнитной волны с неограниченным фронтом волна не испытывает изменения геометрической формы фронта. Однако, если распространение света идет в неоднородной среде, в которой могут находиться непрозрачные экраны или области пространства с сравнительно резким изменением показателя преломления, приводящим к соответствующим искажениям фронта волны и перераспределениям интенсивности в пространстве, то возникают явления, которые получили название дифракции света. Наиболее отчетливо эти явления возникают в случае, когда фронт волны ограничивается непрозрачными экранами, которые могут вырезать из неограниченного фронта ту или иную его часть. Дифракционные явления проявляются и тогда, когда сплошность фронта волны нарушается прозрачными телами с оптическими характеристиками, отличными от тех, которые имеет однородная среда.
Законы распространения ограниченного фронта волны даются теорией дифракции. В основе ее лежит принцип Гюйгенса, который гласит: каждую точку всякой волны можно рассматривать как центр новой системы элементарных волн. Волна, получающаяся в результате наложения элементарных волн, совпадает с непосредственно распространяющейся первоначальной волной. Однако в таком виде принцип Гюйгенса справедлив
379
только для безграничного фронта волны — безграничная плоскость, сфера и т. д.
Более общая формулировка дана Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса тем, что указал на необходимость учитывать при сложении колебаний элементарных волн их фазы.
Пусть дано монохроматическое световое поле, которое может быть в общем виде изображено функцией:
Е (х, у, z, f) =	(х, у, г).	(84.1)
Согласно принципу Гюйгенса участок фронта волны d2 (рис. 95), расположенный около точки М, будет посылать, например, в точку Р элементарную волну dE: pi(at—kr)
dE = 4 (М) d2 -------к (S),	(84.2)
Г
где T(M) =Чг(х, у, г)—в точке М\ г — расстояние от точки М до точки наблюдения Р; Л = 2л/Х — абсолютное значение волнового вектора k; К(ф) — функция угла 6
между направлением волнового вектора падающей волны в точке М и направлением г (см. рис. 95). Функция К(6) имеет максимум при 6=0 и К(6)=0, когда 6=л/2.
Результирующая напряженность электрического поля световой волны в точке Р будет равна сумме всех элементарных волн, которые фронт волны 2 посылает в эту точку, т. е.
л	i(u>t-kr)
Е(Р) = Т (Л4) d2 —---------К (6).	(84.3)
J	г
S
380
Рассмотрим более подробно случай, когда падающая световая волна Е (х, у, z, t) имеет сферический фронт:
р „Hat—kR)
Е (х, у, г, f) = —-— ---- ,	(84.4)
где Ео — некоторая константа; R— радиус сферического фронта падающей световой волны (рис. 96); О — центр сферического фронта; г0 = СР— ближайшее расстояние
от сферической падающей волны до точки наблюдения Р.
Из рис. 96 следует, что элемент поверхности
с/S = 7?2ййр sin ftd®	(84.5)
(<р— угол между радиусами в плоскости, перпендикулярной к чертежу), а
г2 = 7?2 + (г0 4- R)2 — 2R (r0 + R) cos &.
Дифференцируя это выражение, получаем
2г dr = 2R (r0 + R) sin й d®.
Подставляя отсюда значение /?sim9'di9' в (84.5), находим
dE ——~^rdrdq>.	(84.6)
Тогда для результирующего поля в точке Р из выражения (84.3) после подстановки в него (84.4) и (84.6) будем иметь
381
Е (Р) =	Г К (г) e~ikr dr,
+ -R J fo
(84.7)
где Го — расстояние от С до Р; г;— расстояние от точки Р до точки касания г со сферой S; Д(г) —то же, что и /((d).
Для удобства выкладок введем обозначения
e~ikr
И —-------------,
ik
V = К (г).
(84.8)
Интегрирование (84.7) по частям с помощью этих обозначений дает
ri
J Д (г) е~'кг dr ==
1 1С (г) e~ikr ik
rl
+ — C e~ikrK' (r) dr.
ik J
(84.9)
Интегрируя по частям, можно второй член в (84.9) вновь разбить на два, причем они будут содержать в знаменателе уже k2 и й3. Так как k очень велико, то обоими этими членами стоит пренебречь и ограничиться только первым членом. Учитывая теперь характер функции Д(г), которая при г = /у равна нулю, получаем
. (84>10)
|_ ik J	ik
r0
Тогда для поля в точке Р находим
Е(Р) = -2-К Е°	\	(84 11)
ik(r0+R)
Для того чтобы амплитуда волны в точке Р имела ту же самую амплитуду, как и падающая волна после прихода ее в точку Р, нужно приравнять
2лД (Гр) k
(84.12)
382
Однако волны (84.11) и (84.4) отличаются множителем Z-1, что эквивалентно сдвигу волны Е (Р) па дополнительную разность фаз, равную — л/2. Действительно,
I — giit/2, l~ 1 = е-гЛ/2_
Таким образом, предложенный Френелем расчет волнового фронта имеет тот дефект, что вносит дополнительную разность фаз л/2. Правда, в остальном вычисление на основе принципа Гюйгенса—Френеля дает правильные результаты.
Если в формуле (84.7) ограничиться под интегралом только действительной частью, то
§ cos К (/-) dr = А.
(84.13)
На рис. 97 приведен график подынтегральной функции. Функция /((г)cos(£/) будет равна нулю для значений г, удовлетворяющих уравнению
—— = (2/72-1-1) — ,
Л
откуда
г = (2/77 + 1) -у ,	(84.14)
383
где т — целое число. Если первый нуль имеет место для числа т, то второй будет для »г+1, третий — для т-\-2 и т. д. Разность радиусов для т и т-1-1 будет равна:
гт+1-гт=Ь/2.	(84.15)
Участки волновой поверхности (сегменты), вырезаемые на ней соседними радиусами rm+1 и гт, называются зонами.
Элементарный расчет показывает, что, с точностью до величин второго порядка малости, поверхности этих зон AS равны:
AS = лг0Х.	(84.16)
Напряженность поля, посылаемого каждой из зон, согласно принципу Гюйгенса—Френеля пропорциональна AS и функции К(6), которая убывает при увеличении угла 6. Суммируя напряженности поля от всех зон, получаем поле в точке наблюдения. В случае неограниченной волны
£(Р) =
яг0 (г0 4- R)
ZK (г) AS.
(84.17)
Для того чтобы получить конечный результат, согласующийся с (84.11), в формулу (84.17) введен множитель 1/лго.
Вычисление ЕД (г) AS приводится в виде следующего ряда:
N
Ж (г) AS = AS J Кт (г) = AS^ Д2 +-f-) + m=l
Длг-i +	+
А,у
2
(84.18)
где Дь Дг, Дз, •••, Дл' — значения Д(г) для различных зон. Выражения в скобках равны нулю. Если Д->оо, то Дл—>0. Следовательно, в этом случае
ЕД(г)Д5 = ^у~,	(84.19)
384
т. е. равно действию половины первой зоны. Поэтому (84.17) можно переписать в виде:
Е ,р, = jgoKi(r)AS е/[и^ад+го)].	(84.20)
2лг0 (r0 + R)
Величина /<! (г)/2 в формуле (84.20) равна Д(г0) в формуле (84.11). Выражение (84.20) показывает, что действие неограниченной волны по сути дела равно действию половины первой зоны и, значит, свет в этом случае практически распространяется прямолинейно.
§ 85.	Теория дифракции по Кирхгофу
Вычисление светового поля, которое было проведено в § 84, основывалось на том, что поле падающей волны во всем объеме заменялось полем, заданным на некоторой поверхности. Световое поле в какой-либо точке наблюдения вычислялось как результат интерференции волн от всех участков заданной поверхности. Такое вычисление приводит к правильному выражению для напряженности поля, но дает дополнительное постоянное смещение по фазе на л/2, что является недостатком. Однако если это смещение по фазе не существенно, то теория Френеля вполне применима для расчета. Другим ее недостатком является то, что она, вообще говоря, приводит к наличию обратной волны, направленной к источнику света.
Рассмотрим явления без этих допущений, ограничивающих общность рассуждений.
Пусть опять световое поле Е задано волной вида:
Е (л, у, z, 0 =	(х, у, г).	(85.1)
Наряду с этим поле элементарной волны может быть записано (для единичной амплитуды) в виде:
Обозначения в формулах (85.1) и (85.2) прежние.
Для Е' можно написать в общем виде:
Е' = eiat^(x, у, г).	(85.3)
13 ф. А. Королев
385
Поля Е и Е' удовлетворяют волновому уравнению: Ё = с\2Е, Ё' = с\2Е'.
Подставляя в (85.4) выражения для Е и Е', получаем
(85.4)
со2Т = c2v2T, со2Х = c2VX-
(85.5)
Для функций W и х справедлива теорема Грина:
, f (W-ХАЧ9dV = - f (ТА- - X	(85.6)
/ J	J \ дп дп J
V	S
где интеграл по объему V означает трехкратный интеграл, а интеграл по поверхности 2— двукратный интеграл; п — нормаль
Рис. 98
к поверхности интегрирования (рис. 98). Подынтегральное выражение в левой части согласно (85.5) равно нулю. Следовательно,
(•(Т-^-х^р2 = О.
J (. дп дп ) s
(85.7)
Пусть точкой наблюдения является Р, находящаяся внутри объема интегрирования, ограниченного поверхностью 2. В точке Р г—0 и х обращается в бесконечность. Для того что-
бы избежать расходимости интеграла, выделим точку Р окружностью с радиусом Д. Тогда интеграл (85.7) разобьется на два—по поверхности 2 и поверхности 2', т. е.
(Я-°-
S S'
(85.7')
Для второго интеграла
дх дп'
д / e-‘kK \ дп' \ R )
д
dR
e^ikR
R
386
— ~ ikRe~ikR — e~ikR ~	R2
Если /?—>0, то полученное выражение будет иметь значение
дп' \ R R2) '
Далее имеем
d%' = R2dQ,
где d£i— телесный угол. Следовательно,
f = С (Т-^- -X —	=— f TdQ —
J J l дп' дп' )	J
2' R-Л	Д->0
— f ikRWdQ— C R~ dQ. J	J	dR
R-^0	R->0
Второй и третий интегралы в правой части при 7?->0 равны нулю. Первый интеграл дает значение 4лгЕ(Р). Тогда для поля в точке Р получим
Т(Р) = — f/Т —	Д^_Ь2> (85.10)
4л J \ дп \ г ) г дп ) 2
Если же умножить (85.10) на eia>t, то
Е(Р) = — f (£——(85.11)
4л J | дп \ г } г дп j
2
(85.8)
(85.9
Это выражение называется формулой Кирхгофа. Она дает строгое выражение для принципа Гюйгенса. С ее помощью можно рассчитывать электромагнитное поле в точке наблюдения, когда поле световой волны Е(х, у, z, t) задано на произвольной поверхности.
В дальнейшем будут рассмотрены два вида дифракционных явлений.
В первом случае дифракционная картина наблюдается в произвольном месте после прохождения световой волной ограничивающих экранов. Этот сид дифракции получил название дифракции Френеля.
13*
387
Во втором случае дифракционная картина наблюдается в месте изображения источника излучения и, если нет оптических систем, формирующих изображение источника, то в этом случае дифракционная картина наблюдается в бесконечности. Этот вид дифракции получил название дифракции Фраунгофера. Как видно из ее характера, дифракция Фраунгофера имеет исключительно большое значение для теории оптических инструментов. Однако оба типа дифракции не отличаются принципиально — дифракция Фраунгофера является лишь предельным случаем дифракции Френеля.
§ 86.	Дифракция Френеля
Рассмотрим дифракционные явления Френеля для случая прохождения электромагнитной волны через отверстие в безграничном экране Э (рис. 99). Координаты в плоскости экрана Э обозначим через £, т], координаты в плоскости, перпендикулярной к нормали п к поверх
Рис. 99
ности экрана Э и проходящей через точку наблюдения Р, — через х и у. Ось z направлена вдоль нормали п через середину отверстия О; z и имеют одно и то же направление.
В этом случае интеграл в формуле (85.11) может быть разбит на три части: интеграл по отверстию, интеграл по непрозрачной части экрана и интеграл по бесконечной полусфере, охватывающей точку наблюдения Р 388
и замыкающейся на экране Э (см. рис. 99). Будем считать, что поле позади непрозрачного экрана равно нулю, хотя это и не является достаточно точным предположением. На бесконечной полусфере подынтегральное выражение тождественно равно нулю. Действительно, для бесконечной полусферы можно положить, что поле
д = х(0)
eH<At—kr)
(86.1)
Тогда
д / е~1кг \ е~1^ дЕ дп \ г ) г дп
Значит, интегрирование в формуле (85.11) следует вести только по поверхности So отверстия в экране.
Пусть на отверстие падает плоская световая волна
Е =
(86.2)
Здесь Z и z отличаются только на постоянную величину. Для дальнейшего необходимо вычислить г2, где г — расстояние от произвольной точки А на отверстии до точки наблюдения Р.
Из общих геометрических положений следует, что
r2 = (X-	+	л)2 + (г- Q2.	(86.3)
Вычислим производные Е и e~ikr / г на отверстии, т. е. полагая £ = 0:
ikE9eie>t-,
ikr-Y\ g - z c^,kr г2 г
Так как kr 1, то
Подставляя эти выражения в формулу Кирхгофа, получаем
Е (х, у, z, 0 = ikEfat { I 1 + —'j dl dn- (86.4) 4л J г \ г j
Ж
389
Так как z/r — cos0, то
С* p—lkr
Е(х, у, г, t) =	°	—------(1 + cos 0) dl Лц. (86.5)
4л J г
2о
Если поле на отверстии задано более сложной функцией Е(£, т|, 0), то выражение (86.5) запишется в более общем виде:
ihpitot р	p-lkr
Е (х, у, z, t) —----- \ Е (|, ц, 0)-----(1 + cos 0) d%,dr{.
4л ,)	г
(86.6)
Для вычисления конкретного вида функции Е(х, у, z,t) необходимо задать форму отверстия So-
§ 87.	Дифракция Фраунгофера
Рассмотрим дифракционные явления, наблюдаемые «в бесконечности», т. е. дифракцию Фраунгофера. Найдем выражение для радиуса г. Из рис. 100 следует, что г2 = (х — О2 + (У — П)2 + z2 х2 + у2 + z2 — 2 (4 + г/ц) + + S2 + п2.
Заменяя х2 + у2 + г2 = г2 , получаем
r2 = ^-2(4 + z/il) + ^ + n2-	(87.1)
Пусть отверстие экрана имеет диаметр d (или вообще размеры ~d), тогда q Далее можем написать г2 ~Го = (г + г0) (г — г0) 2г0 (г — г0).
393
Следовательно,
г = г0 Выражение
___^_+ДП । g2 + na
Го	2г0
?2 + 1]2 < cP
2ra	г о
Если соблюдается условие
г/2
— «Л,
Го
(87.2)
(87.3)
(87.4)
то последним членом в выражении (87.2) можно пренебречь. Неравенство (87.4) можно интерпретировать следующим образом. Перепишем его в виде:
— « 4-	(87.4х)
Го d.
Отношение k/d, как увидим ниже, представляет собой угловой размер 0 главного максимума дифракции, d/r0— угловую величину отверстия при наблюдении его из точки Р. Таким образом, угловая величина дифрагирующего отверстия должна быть много меньше углового размера главного максимума дифракции.
Пренебрегая квадратичным членом в (87.2), получаем
Го
(87.5)
Кроме того, для малых углов	в знаменателе
(86.4) можно г заменить на г0. Тогда формула (86.4) примет вид:
Е (х, у, z, t) =	-------- е r°	(87.6)
2лг0 J 2»
В более общем случае, когда поле в плоскости ц при £ = 0 задано произвольной функцией Е(£, г], £=0), формула (87.6) может быть записана ввиде:
ike‘^u>t^kr^ г „	&
E(x,y,z,t) =--------------\ Е(^, т])е r°	(87.6')
2лг0 ..)
391
Найденная формула позволяет провести вычисление дифракционного светового поля E(x,y,z,t), когда задана конкретная форма отверстия.
В случае квадратного отверстия со стороной а необходимо вычислить интеграл:
Е (х,	= ~
ХЛГ Q
4 "у	. kax
Р г. ik	Sin ------
( I е r^>'~ d£,dtf = — а2--------------——
J J ?	4	kax
а а	--
2 ~ 2	2г»
Тогда для поля Е будем иметь: kax ika2Eaei^t2kr°) S‘n~2^~ kax 2r0
kay
sin-----
------. (87.7)
kay
kay sin ——
------. (87.8)
kay
2r о
Величину интенсивности получим умножением Е и Е*:
k№E2
I =--------5-
(2лг0)2
. 9 kax sin2-------
2г о
/ kax \2
\ 2/’о /
• 2
sin2 —— 2r0
/ kay \2
\ 2г0 /
(87.9)
Такова будет закономерность в распределении интенсивности в дифракционной картине при дифракции Фраунгофера на квадратном отверстии без применения оптических систем для формирования изображения.
Если размеры отверстия в направлении g, ц различны, например имеют величины а и Ь, то формула (87.9) перепишется в виде:
k2(ab)2E2 (2лг0)2
sin2
kax 2гд
sin2
kb у 2r0
(87.10)
Чтобы получить мощность, проходящую через- 1 см2 поверхности, на расстоянии г0 от отверстия, необходимо величину / умножить на с/4л, тогда, заменяя k на 2л/Л., находим
392
сД;
Р =-----2
4лг0
( лах
„ sin2 —------
2 к
/ лах \ 2
----. (87.11)
/ лЬу у \ ^г0 )
Как видим, интенсивность дифракционной картины убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.
Введем обозначения
— = sin 0,
Го
где 0 и р — углы дифракции
стях (х, гв) и (у, Го). Тогда формула (87.11) примет вид:
ла sin 0 X / лЬ sin Р
------ 1	sin2 I ------
/.	/	\	X
= sin р, Го
(87.12)
в соответствующих плоско-
с/у Р =—Т 4лгц
sin2
.(87.13)
ла sin 0 X2	/ лЬ sin р X2
I J	V к )
Распределение интенсивности Р по углам дифракции 0 приведено на рис. 101. Для углов 0 = 0 и [3 = 0
наблюдается максимум Р=Р0. Для угла 0Ь удовлетворяющего условию
sin01=±—,	(87.14)
а
имеют место минимумы Р = 0. Для малых углов можно записать
sin 0j 0Х = + К/а.	(87.14')
393
Следующие минимумы получаются для углов
sin 0 = ±т —,	(87.15)
а
где т — целое число.
Из графика рис..101 видно, что главная часть мощности излучается дифракционным отверстием в телесном угле, определяемом линейными углами Z/fl и Х/Ь, т. е. в телесном угле Q, равном
Й= —.	(87.16)
ab
Если размеры источника излучения равны dX'dY', а свет проектируется линзой L на дифракционное
(87.17)
отверстие в экране Э (рис. 102), то освещенность отверстия может быть выражена следующим образом:
„ Вэ dX' dY'
ЕЭ =	~2
г0
где Еэ — энергетическая освещенность линзы; Вэ — энергетическая яркость источника. Так как линза вплотную придвинута к отверстию в экране Э и полагается тонкой, то можно считать, что и отверстие имеет энергети
394
ческую освещенность £э, которая может быть выражена вектором Умова—Пойнтинга, т. е.
Е = —Ео.	(87.18)
4л
Приравняем (87.17) и (87.18):
_L_£2	(87.19)
4я	го
Если обозначить
= dtp, = da,	(87.20)
го	го
то (87.19) перепишется в виде:
с£2
—- = B9d<pda.	(87.21)
4л
После введенных обозначений формулу (87.13) можно переписать следующим образом:
(87.22)
или
Если 0 = 0 и р = 0, то
D ___ B3d<pda(ab')
р°
(87.23)
представляет собой освещенность в центре дифракционной картины в месте изображения dXdY источника dX'dY'\ Го —это расстояние от отверстия (линзы) до изображения dXdY\ величина Badqda(ab') — полная мощ
395
ность, падающая на отверстие, a B9dqda(ab)/Q— осевая энергетическая сила света, дифрагировавшего на отверстии.
Таким образом, энергетическая сила света в произвольном направлении 0, 0 будет выражаться формулой
Л
ab \2
V )
sin2 А
Д2
-s!”*В - d(f da, (87.24)

а энергетическая освещенность в плоскости изображения
Е = Р = -4 У	dy da, (87.24')
г2й \ к J A* В3	v >
где
л ла sin 9 D
/I —--------------, £j =~-
X
лЬ sin 0
(87.25)
Выражение (87.24) является основной формулой для расчета дифракционных явлений на прямоугольном отверстии.
В случае если отверстие в одном из направлений, например в направлении Ь, имеет очень большую величину, то углы дифракции 0 очень малы. Тогда при достаточно большом а, много большем, чем Z/6, формула (87.24) примет вид:
/э = JL(aZ>)B9-^-d<p.	(87.26)
Л
Эта формула дает силу света, дифрагировавшего на длинной щели.
§ 88. Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии
Дифракционные явления Фраунгофера на круглом отверстии играют очень большую роль в оптических инструментах, так как отверстия линз и диафрагм у них обычно имеют круглую форму.
Схема для наблюдения дифракции Фраунгофера на круглом отверстии приведена на рис. 103. Ее отличие от случая прямоугольного отверстия заключается лишь в том, что вся картина будет симметричной относитель
396
но оптической оси и поэтому достаточно рассмотреть явления в одной из плоскостей, проходящих через оптическую ось системы. На рис. 103 излучение от «точечного» источника — квадратной площадки со стороной dq', расположенного в фокальной плоскости линзы Lx, направляется на круглое отверстие с радиусом р, проделанное в экране S, расположенном перпендикулярно к оптической оси системы. За отверстием помещена вторая линза Л2,
которая превращает плоские волны, выходящие из отверстия р, в сферические с радиусом, равным фокусному расстоянию линзы Ь2, Однако для расчета более удобно расположить отверстие позади второй линзы, в ее главной плоскости. Тогда расстояние от дифрагирующего отверстия будет равно фокусному расстоянию второй линзы.
Обозначим амплитуду световых колебаний на отверстии через Ео, и тогда световые колебания на отверстии могут быть записаны в виде:
Е = Eoeiai.	(88.1)
Так как картина здесь симметрична относительно оси, то в качестве координаты в плоскости изображения вместо X и У возьмем координату q — расстояние от оптической оси в плоскости изображения qq. Обозначим расстояние ММ' точки М от оптической оси буквой р (рис. 104), угол между вертикальной плоскостью т]О£,
397
Проходящей через оптическую ось, и плоскостью MM'F через а; угол дифракции через 0; угол MFM' через е. Тогда координаты точки М будут:
— /2 f 2 COS 8, ц = /2 sin 8 cos а, В = sin е sin а.
(88.2)
Расстояние г от точки М до точки наблюдения N может быть записано следующим образом:
'2 = (/2~02 + (П~<7)2 + ^.	(88.3)
В свою очередь, для f?2 будем иметь
/1 = (Д —£)2 + В2 + Л2-	(88.4)
Отсюда получим следующее равенство:
г2 = р2 — 2дц 4- q2.	(88.5)
Учитывая, что q^f% можно ограничиться приближенным значением для г в виде:
г = Ф---------(88.6)
\	/2	/
398
или
(88.9)
r = f2 — qsine cos a.	(88.7)
Для величины dS можно записать выражение:
d^^-pdpda.	(88.8)
Результирующее световое колебание в точке N от всех элементов сферической волны в соответствии с формулами (87.6) и (88.7) запишется интегралом:
. ... р=Ра=2и
E(N) = -	°-------- \ e^sinEC0Sapdpda.
Р=0 a=0
Интеграл в последнем выражении представим суммы двух интегралов:
Р=Р а=2и
J J cos (kq sine cos a) pdp da -ф P—0 a=0
p=p a=2n
+ 1 J J sin(fe7sinecosa)pdpda. P=0 a=0
Интегрирование no a второго интеграла дает
Оставшийся двойной интеграл вычисляется с помощью бесселевых функций первого рода нулевого и первого порядков: J0(s) и Ji (s), где s — их аргумент. Заменим sine на отношение sine = p/f2 и введем обозначение
ф =	(88.11)
V2
в виде
(88.10)
нуль.
тогда
р =
2.ту
dp = -	- dip.
Теперь поле в точке N можем записать в виде: i|>i ;ьр	f* л2/9
E(N) =	X
v	2л/2 J 2л<?2
о
2Л
X — J cos (ф cos a) da.
(88.12)
(88.13)
399
Но выражение
2Л
Л (Ф) =	? cos (ф cos a) da	(88.14)
2л ,)
о есть бесселева функция первого рода нулевого порядка, следовательно,
ф.
Е (Д/) =	------ । jo (ip)	(88.15)
4jt242 J
о
где
ф1 = -^.	(88.16)
Vs
Для бесселевых функций имеет место 'соотношение
<МФЛ(Ф)} = следовательно,
Ф1
J Ф/О(Ф)^Ф = Ф1Л(Ф1)-о
Подставляя это значение интеграла в (88.15), получаем
Е (N) = -ik^P.E^rkfl,). . q\	(88.17)
2лу	( Vs }
Интенсивность света определяем умножением E(N) на Е* (N):
(88.18)
4.TV \ Л/з /
Если углы дифракций невелики, то можно положить, что
qih = 0.
(88.19)
400
Заменяя далее в формуле (88.18) А=2л/Л и подставляя значение 7 = 6f2, из (88.19), находим
2 / 2яр0 \
FB = (... L_3 .7 .,	(88.20)
\ Л/г )	( 2яр9 \а
I и
Величина FB пока еще является не вполне определенной энергетической величиной, но по аналогии с (87.19) можно заменить энергетическую освещенность отверстия, выражаемую вектором Умова—Пойнтинга, на фо
тометрическую величину, т. е.
4л
(88.21)
где с/о — элементарная площадка источника излучения. На рис. .105 поясняются приведенные соотношения. Источник излучения помещен в фокальной плоскости
Рис. 105
q' линзы Л] (рис. 105, б); q' означает радиус, па котором расположена от оптической оси элементарная площадка с площадью do, w — угол между осью q'q' и одним из радиусов в этой плоскости (рис. 105, а):
do = q’ dw dq’.	(88.22)
Если сделать замену
-^ = dq>,	(88.23)
/1 /1
40 J
то
(88.23')
(88.24)
= ср dtp dw.
Из (88.21) и (88.23') следует, что
сЕо
----= Вэ ср dcp dw.
4л
Если умножить Ее на с/4л, где с — скорость света, то получим энергетическую освещенность Еэ в дифракционной картине:
сЕ1 / 2лр2 у 72(Д) 4л \ АД J Л2
С учетом (88.24) выражение (88.25) можно в виде:
Е,
(88.25)
переписать
,	7'(Л) Л Л
э------- Ф “Ф
(88.25')
э
Величина А имеет значение:
Л = -^0.
Для 0 = 0 Л = О и J2 (Л)/Л2 = 1. Первый минимум получим при значении 0 = 0(, когда
Л =	= 1,22зт,
(88.26)
(88.27)
откуда
0 =0,61 — = 1,22 —. Р	2р
Освещенность и сила света для произвольного угла и произвольно расположенного элементарного источника света будут выражаться согласно (88.25') формулами:
э k X / fl л2 Y v
(88.28)
(88.29)
, 71(Л) я
<pd<pdw.
(88.30)
40?
Совокупность формул (88.25'), (88.29) и (88.30) дает возможность произвести количественные расчеты для всех практически необходимых случаев. Отметим, что здесь рассматривалось формирование изображения в плоскости qq с помощью двух линз и Л2 с фокусными расстояниями fi и ft, однако тот же самый результат получился бы и в случае одной линзы, но вместо Л и f2 во все формулы вошли бы расстояния от линзы до источника г'о и до изображения /'о (см. рис. 102).
Глава 15
МНОГОЛУЧЕВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ С ДЕЛЕНИЕМ АМПЛИТУДЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ.
МНОГОЛУЧЕВЫЕ ИНТЕРФЕРОМЕТРЫ
§ 89.	Общие замечания о многолучевых интерферометрах
В этой главе будут рассмотрены явления интерференции многих лучей. Образование большого числа интерферирующих лучей может происходить как путем деления амплитуды всего фронта световой волны, так и путем деления фронта световой волны на отдельные парциальные фронты. Сначала разберем многолучевую интерференцию с делением амплитуды всего фронта волны и относящиеся сюда многолучевые интерферометры, а затем в гл. 16 будет изложена теория многолучевой интерференции с делением фронта волны на парциальные фронты, т. е. теория дифракционных решеток,.
Многолучевые интерферометры делятся на целый ряд типов: по принципу освещения — на интерферометры с боковым входом света и интерферометры при нормальном падении света. Если отражатели зеркал непараллельны, то получаются клинообразные многолучевые интерферометры. Особого рассмотрения требуют кратные, или сложные, интерферометры, а также интерферометры со сферическими зеркалами. Дифракционные решетки могут быть также разбиты на ряд принципиально отли-
404
чающихся видов: плоские и ступенчатые, плоскйе и вогнутые, пространственные решетки и их разновидности.
Многолучевые интерферометры и дифракционные решетки обычно применялись для анализа спектрального состава излучения, а в последние годы интенсивно развивается направление по их использованию для генерации и усиления когерентного оптического излучения, а также для работы в миллиметровом диапазоне электромагнитного спектра.
§ 90.	Типы многолучевых интерференционных приборов с делением амплитуды волны
Многолучевые интерференционные приборы являются самыми «мощными» приборами, позволяющими получать наиболее монохром этичные электромагнитные излучения, так как они обладают наивысшей разрешающей силой, или наивысшей добротностью. Вот почему они приобретают основное значение в современной спектроскопии высокой разрешающей силы *, квантовой генерации когерентного света, радиофизике сверхвысоких частот и т. д.
Многолучевые интерференционные приборы с делением амплитуды волны — интерферометры — представляют собой плоскопараллельные или клиновидные пластинки, ограниченные плоскими поверхностями с высоким коэффициентом отражения. У сферических интерферометров зеркала вогнутые, сферические. В зависимости от способа прохождения через них света многолучевые интерферометры разделяются на два сильно различающихся типа — приборы Ламмера—Герке и Фабри—Перо. В первом типе приборов ширина общего фронта электромагнитных волн, получившегося в результате сложения всех N интерферирующих пучков, образовавшихся в интерферометре, в N раз (или больше) шире фронта падающей волны. В другом типе интерферометров ширина результирующего фронта всех интерферирующих лучей лишь немного больше (или равна) ширины падающего фронта волны.
Рассмотрим способы образования интерферирующих лучей в этих основных типах приборов.
* См. Ф. А. Королев. Спектроскопия высокой разрешающей силы. М., ГИТТЛ, 1953.
405
На рис. 106 приведен простейший многолучевой интерферометр — плоскопараллельная прозрачная пластинка Р с постоянной толщиной h, ограниченная весьма совершенными плоскими поверхностями S( и S21, отполированными с точностью до сотых долей длины волны. С такой же точностью должна быть выдержана и оптическая толщина пластинки nh, тде п — показатель
преломления вещества пластинки. Если на пластинку падает под- достаточно большим углом ср пучок лучей L, то вследствие многократных отражений на граничных поверхностях Si и S2 образуется множество интерферирующих лучей в проходящем (/, 2, 3,4,...) и отраженном (!', 2', 3', ...) свете. Собранные с помощью линзы в фокусе они дадут резкую интерференционную картину.
На рис. 107 показаны варианты такого многолучевого интерферометра. Пучок лучей вводится в плоскопараллельную пластинку Р сбоку через дополнительную призму Р' (см. рис. 107, а) или падает на «воздушную» плоскопараллельную пластинку, ограниченную двумя сильно отражающими и частично пропускающими электромагнитное излучение зеркалами Si и S2 (см. рис. 107,6). Последние наносятся на весьма совершенные плоские поверхности вспомогательных плоскопараллельных пластинок Pi и Р2, которые должны быть укреплены так, чтобы расстояние между Sj и S2 было
406
постоянным достаточно строго. Характерной особенностью этих модификаций является то, что интерферирующие лучи в них идут.под большими углами по отношению к нормали, проведенной к отражающим поверхностям.
Интерферометр, изображенный на рис. 107, а, обычно называют пластинкой Люммера—Герке. В дальнейшем будем обозначать угол падения луча из воздуха на
Рис. 107
пластинку через ф, угол преломления через ф', угол дифракции от направления падения <р через 0, сумму углов через ф + 0 = ф— «угол выхода излучения», сумму угла преломления ф' и соответственно дифракционного угла 0' внутри вещества пластинки через ф'+0'=ф'. Тогда можно написать:
sin ф = п sin ф', sin ф = п sin ф',
(90.1)
где п— относительный показатель преломления вещества пластинки. На рис. 106 и 107, а углы ф' и ф близки к углу полного внутреннего отражения.
В радиофизике пластинка, аналогичная пластинке Люммера—Герке, представляет собой плоский волновод, работающий при частичном пропускании электромаг-
407
нитного излучения во внешнюю среду. Такими же свойствами обладает и интерферометр, изображенный на рис. 107,6. Из рис. 106 и 107 видно, что суммарный фронт интерферирующих лучей, получившихся путем деления падающего пучка, в Л/ раз больше фронта падающей волны. Такие плоскопараллельные пластинки
Рис. 108
называют интерферометрами с боковым входом света.
Интерферометр Фабри — Перо изображен на рис. 108. Здесь воздушная пластинка толщиной h ограничена поверхностями Si и S2 двух стеклянных (кварцевых или других) пластинок Pi и Р2. Поверхности Si и S2 покрываются прозрачными зеркальными слоями с высоким коэффициентом отражения и некоторым коэффициентом пропускания. Расстояние h может быть либо переменным, либо строго фиксированным с помощью спе
циальных распорных колец Н из плавленого кварца, инвара и других материалов, отшлифованных на заданный размер с весьма высокой степенью точности (порядка десятой'доли длины волны). Пластинки Pi и Р2 специальными приспособлениями прижимаются к распорным кольцам.
В случае переменного h одно из зеркал перемещается на специальных салазках, весьма точно пришлифо
ванных к направляющим, с помощью точного микрометрического винта. Интерферометр Фабри—Перо иногда делают в виде сплошного куска стекла, кварца или другого вещества (рис. 109).
Образование интерферирующих лучей в интерферометре Фабри—Перо происходит при многократных отражениях на зеркалах Si и S2, вследствие чего получается множество интерферирующих лучей (Л 2, 3, 4, 5, ...). С точки зрения радиофизики интерферометр Фабри— Перо представляет собой объемный резонатор с откры
408
тыми боковыми стенками и торцевыми поверхностями, частично пропускающими электромагнитную энергию.
В последние годы особое значение приобрел многолучевой интерферометр со сферическими зеркалами, схема которого приведена на рис. ПО. Здесь Sf и S2 — вогнутые сферические зеркала, частично пропускающие
Рис. 109
свет; f—-фокусные расстояния зеркал; О\ и О2— вершины зеркал. Фокусы зеркал Si и S2 совпадают в точке F. Такой интерферометр получил название конфокального многолучевого интерферометра, или конфокального резонатора. Для наглядности зеркала помещены на вогнутой поверхности собирающих менисков, подобранных таким образом, что их фокусные задние расстояния равны фокусному расстоянию зеркал. Вследствие этого падающий на один из менисков (слева) параллельный пучок света после прохождения мениска I и зеркала Si собирается в общем фокусе F обоих зеркал и затем, многократно отражаясь на зеркалах Si и S2, дает на выходе из обоих менисков множество интерферирующих лучей, из кото
409
рых на рис. 110 показаны только лучи 1, 2 и 1', 2'. В таком приборе интерферируют на усиление те лучи, для которых .выполняется условие максимума
4й = kl — 6 + Л,	(90.2)
где h=2f; 6 и 6' — скачки фаз на отражающих поверхностях. Если 6 + б' = 2л, то условие (90.2) можно записать как
8/=(& — 1)Л.	(90.3)
Конфокальный резонатор является исключительно эффективным резонатором оптического диапазона и широко применяется в квантовых генераторах когерентного света.
§ 91.	Теория многолучевых интерферометров при входе света через отражающую поверхность (интерферометр Фабри—Перо)
Схемы образования интерферирующих лучей в этом случае приведены на рис. 106, 108 и 109. Для получения большого количества отражений поверхности пластины обычно покрывают отражающими слоями Si и S2 с очень большими коэффициентами отражения R и с достаточным коэффициентом пропускания -0. Будем полагать, что ширина входящего пучка ограничена, а выходное отверстие интерферометра будет неограниченным. В таком случае, когда выходное отверстие имеет прямоугольную форму, для интенсивности входящего в интерферометр света можно написать выражения
410
(87.13), (87.24) или (87.24'); когда отверстие имеет форму круга, — то выражения (88.25), (88.29) или (88.30).
' Соответственно амплитуды падающего света могут быть выражены корнем квадратным из приведенных в этих формулах величин. Обозначим эти амплитуды а0, понимая при этом, что ао есть функция угла дифракции 0.
Сначала разберем случай, когда свет входит в интерферометр через одну из отражающих поверхностей Si (см. рис. 109). Коэффициент отражения зеркал S] и S2 для амплитуды обозначим через р, коэффициент пропу--скания зеркал для амплитуды через коэффициент пропускания прозрачного материала между зеркалами $i и 32 для амплитуды через т'. Нетрудно подсчитать, что разность хода соседних интерферирующих лучей 7, 2 или Г, 2' (а также любой другой пары лучей) равна:
у = 2nh cos ф'.	(91.1)
Если б и б' — скачки фаз на отражающих поверхностях 3! и S2, то разность фаз соседних интерферирующих лучей будет
ф = 2x^+6+ 6'.	(91.2)
Световое колебание, падающее на отверстие интерферометра, обозначим буквой (квадратом этой величины является либо сила света, либо освещенность в зависимости от того, какая формула берется за исходную для а0); временную фазу через Ф'=®7, амплитуду колебаний на входном отверстии через а0, тогда
s0 = a°ela>t.	(91.3)
После прохождения входного отверстия с диаметром D = 2p световое колебание будет
s = aoe‘at.	(91.4)
Рассмотрим сначала образование интерферирующих лучей в проходящем свете, т. е. систему лучей 1, 2, 3, 4, .... Тогда световые колебания в соответствующих лучах будут выражаться формулами:
411
sx == Ье!'ф',
s2 = Ьт,2р2е‘ф'е~‘ф,
s3 = Ьт'4р4е!'ф'е~2/ф,
(91.5)

где
b ---- аот'О'2щ'ф-;	.	(91.6)
Ф1=-^-.	(91.7)
Последовательность формул (91.5) представляет собой геометрическую прогрессию, первый член которой равен Ье1ф' а знаменатель прогрессии равен т'2 р2 е~1Ф. Для вычисления суммарного светового колебания, получающегося в результате интерференции всех N лучей, необходимо найти сумму членов геометрической прогрессии, которая выразится формулой
SjV = яот,'&'2ег(ф'~ф‘) •
1 т-«р2^-«Ф
1 -Т'2р2е-‘Ф
(91.8)
Для отраженных лучей световые колебания составят
последовательность:
Sg = — аорег'ф',
si = а0'&'2т'2рег'ф'е-гф,
s2 = а0'&'2т'4р3ег'ф'е~2/ф,
s3 - о0'&,2т'6р5ег'ф'е-3/ф,
(91.9)
sN = аой 'V^pp2^-!) e-iN^e№'. .
Эта последовательность без нулевого члена So' представляет собой геометрическую прогрессию, первый член которой равен а0'&'2т,2ре‘'(ф'-ф)> а знаменатель прогрессии т'2р2е~‘ф. Результирующее световое колебание после интерференции всех отраженных лучей s0', $/, S2', ... выразится суммой:
412
97	1 — i,2N о2К е~£А,ф
sN = —аорегф' + а0т'2Г2ре‘ф'е-‘ф.	• (9L10J
Обозначим sv =5#, «д, =sp, тогда можно записать
s* = аот'О'2е''(ф'-ф.)
l_T,2wp2ye-<w®
1 _ Т'2р2<-‘'ф
sp= — аоре'ф’
Г 1 _ т'2 (р2 + 0,2) е-№ + 0,2т,(2ЛГ+1)р2Уе-/(.У+1)Ф
1 - т'2р2е-/ф
(91.1
В дальнейшем будем исследовать эти выражения для малых углов ср и ф. Тогда N можно считать равным бесконечности, и последние члены в числителях выражений (91.10) и (91.11) должны обратиться в нуль. Заменив квадраты коэффициентов т', &' и р через соответствующие коэффициенты пропускания и отражения для интенсивности, т. е.
т'2 = Т, а'2 = fl, Р2 = R,	(91.12)
и переходя в знаменателях этих выражений от комплексных величин к действительным, получаем
s* = аоа	------1 ~т^гФ-------,
(1 — х7?)2 + 4x7? sin2 —
(91-13)
s _ а	[1-т(Я+А)е-'ф](1-т7Уф)
(1 — х7?)2 -|- 4x7? sin2 —
2
Соответствующие значения интенсивностей находим умножением и sp на комплексно-сопряженные величины. Тогда, обозначив силу света лучей, прошедших через интерферометр и отраженных от него, соответственно через и I будем иметь
д _	хО2а2
(1 — х7?)2 4x7? sin2 —
4 =
{1 — х (7? + О-)}2 + 4х (7? + О) sin2 ~
(91.14)
(1 — х7?)2 + 4x7? sin2 —
413
Величина flo2=/e находится из формулы! (88.30).
Если коэффициенты отражения и пропускания зеркальных слоев не равны, т. е. Rt^R? и	то вели-
чины R и О’ во всех формулах определяются выражениями:
R = а =	(91.15)
Графические изображения распределения интенсивностей в зависимости от фазы Ф приведены на рис. 111. Для значений
ФА = 2/гл,	(91.16)
где k — целое число, в проходящем свете наблюдаются острые максимумы интенсивности (рис. 111, а), а в от-
<9
Рис. 111
раженном — острые минимумы (рис. 111, б). Максимальное значение получается, когда
Ф4,=2^ф-Мл.	(91.16')
414
Значения 1° и Im определяются выражениями:
Iя т
р
(1 -т< ’ 7?а*[1 +?(/? +W (1 + т£)2
(91.17)
Минимальные значения 1° и будут иметь место соответственно для значений Ф/г< и Ф/г и будут равны
,D __ ТтРд2)
гтп ^(1+т< ’
rn = a20R (1 — T(Z? + ^-)}2
min	(1-W
(91.18)
С учетом (91.17) и (91.18) формулы (91.14) можно пе-
реписать в виде:
/£(1-W Ф (1 —т7?)2 + 4тЯ sin2 —
(91.19)
для проходящего света и
zmin (! —	|[1 — т(/? + д)]2 + 4-г (7? + й) sin2 —|
{1 — т (R + fl)}2 {(1 — -tR)2 + 4tR sin2 -у-1
(91.20)
для отраженного света.
Выражения (91.14) получены для случая падения на отверстие интерферометра плоской волны. Если же на отверстие падает пучок равноинтенсивных плоских неко-горентных Волн со всевозможными углами падения, то надо проинтегрировать 1^ и по всем углам падения, что приводит к выражениям:
415
лр2ВдО2
(1 — rR)2 + 4tR sin2 —
{1—т (R + б)}2 4~ 4т (R 4- О) sin2 —
= xP433R------------------------------
(1 — rR)2 + 4rR sin2 —
(91.21)
Итак, когда в проходящем свете имеет место максимум интенсивности, в отраженном свете будет минимум, и наоборот. Условие (91.16) приводит к соотношению для максимума интерференции:
2nh cos ф' — kX------------— 0! + б2).	(91 .22)
Для случая воздушной пластинки или вакуума можно считать, что т=1. Ширина максимумов интерференции в проходящем свете и минимумов в отраженном определяется главным образом величиной xR. Оценим ширину максимума интерференции интервалом изменения фазы 6Ф по формуле
Ф = Ф* + 6Ф,	(91.22')
при ЭТОМ интенсивность изменяется ОТ 1т ДО ~^т-Тогда
Y 1т =-------ЛЛ1 —W---------	(91.23)
(1 — TR)2 + 4rR sin2 ~
Отсюда для фазы Ф получим соотношение
Подставляя вместо Ф выражение фазы из (91.22') и полагая, что бФ«л, находим
6Ф =	(91.25)
/tR
Таким образом, чем ближе xR к единице, тем уже максимум интерференции.
416
§ 92.	Многолучевые интерферометры с боковым входом света (пластинка Люммера—Герке)
Этому случаю соответствуют интерферометры, изображенные на рис. 107, в которых лучи идут под углом, близким к углу полного внутреннего отражения, и поэтому коэффициенты отражения от поверхностей пластинки достигают больших значений. Придерживаясь обозначений предыдущего параграфа, для двух систем лучей 1, 2, 3, 4, ... и Г, 2', 3', 4', ... напишем последовательности колебаний:
, <у ! /Ф'
Sj aor !к
,3 , гф' — (ф
s2 = аот рн? е ,
/Ъ a i 1 гФ' —2/Ф
s3 = аот v е ,
s<v = иот о Р ее ,
si = а0т,2'&' регФ ,
s2 = а0т'4'&'р3егф е гф,
s3 -= а0т'61Э',р5егФ е~2гФ,
(92.1)
(92.2)
'	,2Уп/ 2(/V—1) /Ф' -ДА/-1)Ф
хл/ = аот $ рр1	’ е е
Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены в § 91, для интенсивности совокупности лучей (92.1) и (92.2) приводят к формулам:
7° = ДоТтЭ'
+ sin
(1 — т/?)2 + 4т/? sin2
7^ = о2от207?
{1— (т/?)л'}2 + 4 (т/?)лг sin2
(92.3)
(1 — т/?)2 + 4т/? sin2
14 Ф. А. Королев
417
Величина а% определяется формулой (87.24). Так как углы гр и гр' здесь велики, то число интерферирующих лучей N конечно.
Для воздушной пластинки т=1. Как и в случае интерферометра Фабри—Перо, здесь наблюдаются резкие максимумы интерференции. В отличие от интерферометра Фабри—Перо здесь обе системы лучей практически дают идентичные картины. Если на входное отверстие
Рис. 112
интерферометра пустить широкий конус лучей, то, интегрируя по углу ф, вместо а% получим величину CDBZ, где С и D — размеры входного отверстия интерферометра, Вэ — энергетическая яркость источника излучения.
На рис. 112 приведено графическое изображение распределения интенсивности согласно (92.3). Оно имеет почти такой же характер, как и на рис. 111, только здесь 'Имеет место осциллирующий спад с промежуточными максимумами и минимумами, что обусловлено конечным числом интерферирующих лучей. Минимумы не доходят до нуля из-за неравенства интенсивностей интерферирующих лучей. Промежуточные максимумы в сотни раз меньше основных максимумов, для которых Ф = 2йл. Интерференционная картина, изображенная на рис. 112, получается такой же, как и в случаях интерференционной пластинки из диспергирующего материала (см. рис. 107) и воздушного (или вакуумного) интерферометра с боковым входом света (см. рис. 108).
418
§ 93.	Многолучевая интерференция в клинообразных интерферометрах
Если в интерферометре с входом света через отражающую поверхность отражатели Si и 5г не параллельны, то получается клинообразный многолучевой интерферометр (рис. 113). Когда на клинообразный многолучевой интерферометр «нормально» к его поверхностям падает параллельный пучок лучей L, то в каждом месте
Рис. 113
прохождения, луча света, например в сечении MN, возникают многократные отражения падающего луча света и образуется множество интерферирующих лучей, которые создают расходящийся веер лучей 1, 2, 3, 4, .... Если угол клина интерферометра а невелик, то расхождение множества лучей невелико, и можно считать, что практически они идут по одному и тому же направлению. Поэтому при рассмотрении (или фотографировании) поверхности Зг можно увидеть, что она покрыта резкими полосами интерференции. Распределение интенсивности в них дается формулами (91.19) и (91.20), а резкость интерференционных полос 'Определится формулой (91.25).
Разность хода также будет равна:
у = 2nh,	(93.1)
где
h = h0 ф- ах.	(93.2)
14*
419
Расстояние между полосами интерференции определяется, как и при двухлучевой интерференции, формулой (81.11) *.
§ 94.	Сложные многолучевые интерферометры («мультиплекс»)
В ряде случаев один многолучевой интерферометр не может решить поставленных задач. Это может произойти из-за того, что излучение, которое падает на интерферометр, может быть недостаточно монохроматическим. Вследствие этого интерференционные максимумы могут сильно расшириться. Это расширение максимумов может быть столь значительным, что они сольются между собой и интерференция исчезнет.
В § 81 было найдено (81.14), что расстояние между полосами интерференции (углу ф здесь соответствует угол ф') равно:
Дф'=------------.	(94.1)
2nh sin ф'
Отсюда следует, что расстояние между полосами интерференции быстро уменьшается с увеличением h. Если падающее излучение не монохроматично, имеет спектральную ширину ДА,, то из условия максимума интерференции (см. 91.22)
2nh cos ф' = kh--------— ф- 62)	(94.2)
можно найти угловой интервал, который займет этот участок спектра в интерференционной картине. Если пока пренебречь дисперсией в прозрачном материале интерферометра, то из1 (94.2) следует
— 2nh sin ф'Дф' = (^k — ДА.,
* Ф. А. Королев. Применение клинообразных пластинок для спектроскопии высокой разрешающей силы. Вестник МГУ, № 8, 1953, стр. 101,	...............
420
откуда
^1 ~Р ^2 \
2 л / 2nh sin i|/
(94.3)
Приравнивая это значение Аф' величине Аф/ из (94.1), находим, что полосы интерференции сольются в сплошной фон, когда
м =-------(94-4)
k —-------
2л
или приближенно
АХ^Д-	<94-4')
k
В этих случаях и даже, когда А%> ~ , применяют k
сложные интерферометры с разной толщиной h.
На рис. 114 приведена схема такого сложного интерферометра, состоящего из двух интерферометров I и II с толщинами слоя между зеркалами h\ и h2, причем в данном случае h'\<h2. Прошедшие через первый интерферометр лучи испытывают повторное деление во втором интерферометре, благодаря чему результирующая интерференционная картина сильно усложняется. На рис. 114 лишь для наглядности оптические оси (нормали к зеркальным поверхностям) интерферометров не совпадают, а составляют угол а, в действительности всегда добиваются совпадения обеих осей.
В § 91 была найдена величина прошедшего и отраженного от интерферометра светового колебания (91.13). Выразим эти величины в виде коэффициентов пропускания и отражения для амплитуды, обозначив их для каждого из интерферометров I и II через Г/, Г/, г/, г2'. Тогда
Гн. .ф...............
S	(1 — Т11?1)2 + 4?!/?! sin2
е~гф‘-------------
S	^1^99
(1 — т27?2)3.+ 4т2% sin2
(94.5)
421
- SP.	{1-^(7?!+^1)е~/Ф1Ч (1-^1е/ф“)
s '	1	фп
(1 — Т17?1)2 4- 4^7?! sin2 -у
= Ч == у^ (t ~ t2 (Т?2 + Оа) е-‘ф^} (1 - - Т27?2е/Ф^) s	ф99
(1 — *аЯ2)а + 4т37?2 sin2 —у
(94.6)
где -fri, Т], -0’2., та — коэффициенты пропускания (для интенсивности) зеркал и слоев между ними; Ф1 и Фг — увеличения разности фаз при одном отражении, а Фц
Рис. 114
Рис. 115
и Ф22 — увеличения разности фаз между двумя отражениями; 7?! и Т?2 — коэффициенты отражения зеркал (для интенсивности), причем индексы 1 и 2 относятся соответственно к первому и второму интерферометрам.
Рассмотрим теперь каждый отдельный интерферометр I и II как зеркало интерферометра, составленного из этих двух интерферометров (рис. 115), и применим к
422
такой системе (мультиплекс — интерферометр) теорию, которая была развита для обычного многолучевого интерферометра. Для проходящего света по аналогии с формулой (91.19) можно написать
Г ° (1 - ТмЯм)2
lD —
—	г
(1 — TU/?M)3 + 4гм/?ы sin2—
(94.7)
где /£м—интенсивность (сила) света, проходящего через мультиплекс в направлении угла ф;
RM = Vw	(94.8)
Г1 и г2 — коэффициенты отражения интерферометров I и II (для интенсивности); тм — коэффициент пропускания среды в промежутке между интерферометрами I и II;
Г=~УМ:	(94.9)
Л
ум —разность хода соседних интерферирующих лучей, образующихся в пространстве между интерферометрами;
г В __	тм и ма0
М “ (1-Тм^м)2 ’
(94.10)
K=Vl\-7\.	(94.11)
Поскольку
7\ = Т\Т'х-, Т2 = т'2Т2;
Г1 = r/f; г2 = г'/*.
(94.12)
то
423
1
________________
(1 — tifti)2 + 4ч/?1 sin3 y~L
(1-t37?2)3 + 4t2Z?2 sin3
{1 — Tj (7?! + 0Д)}3 4- 4rx (7?x + fli) sin2 ~-
Г1 = ----------------------------------- -------£_
Oi i
(1 — Т1Я1)2 -b 4^7?! sin2 ——
{1 T3 (fl2 + 'б'г))2 + 4t2 (/?, + 'Q's) sin2 -
r^R,--------------------------------------------i-
фор
(1 — t37?3)3 + 4ra/?3 sin2 ~y-
(94.13)
Если sin-y-^O, то /^м</м, t. e. пропускание му ль-p
типлекса очень мало. Для случаев, когда sin — =0, интенсивность прошедшего света, обусловленного взаимодействием обоих интерферометров, определится формулой (94.10). Коэффициент пропускания всего мультиплекса в данном случае будет равен:
(1-тм7?м)3 '
(94.14)
Если тм невелико, например —0,5, то произведение тм вдали от максимумов пропускания каждого из интерферометров I и II очень мало, и в этих местах Ум < 1. Поэтому в этих случаях можно пренебречь максимумами интерференции, обусловленными многократными отражениями от интерферометров согласно схеме рис. 115. Там же, где sinT/2^0, эта интерференция еще менее ощутима. Следовательно, для коэффициента пропускания мультиплекса можно ограничиться выражением (94.14). Однако в силу предположения, что тм невелико, изменения знаменателя при изменении Фп и Ф22 на первых порах также пренебрежимо малы. В тех ме
424
стах, где имеет место совпадение максимумов пропускания отдельных интерферометров, коэффициент 7?м-*0, sin 172=0, и, следовательно, можно пользоваться вообще совсем простой формулой для коэффициента пропускания мультиплекс-интерферометр а:
Тм = тЛм =	(94.15)
Отсюда следует, что коэффициент пропускания муль-типлекс-интерферометра практически может быть- принят равным произведению коэффициентов пропускания обоих интерферометров на коэффициент пропускания промежутка между ними.
Рис. 116
Сделанные выкладки иллюстрирует рис. 116. Здесь частые максимумы с промежутками Афг— это интерференционные максимумы пропускания для толстого интерферометра, а редкие и более широкие максимумы фц и ф2— это максимумы интерференции от тонкого интерферометра. Свет проходит через систему интерферометров только там, где максимумы их пропускания совпадают (сплошные черные максимумы на рис. 116). Все остальные места интерференционной картины оказываются погашенными, и в результате действия сложного интерферометра получаются резкие максимумы интерференции с большим расстоянием А-фд друг от друга. Это позволяет наблюдать отчетливую интерференционную картину даже в том случае, когда падающий свет недостаточно монохроматичен. Ширина участка спектра АЛ в этом случае в h2lh\ раз может быть больше, чем в случае одного интерферометра толщиной h2. Если тм-*1, то интерференционная картина в мультиплексе осложняется появлением максимумов, обусловленных взаимодействием интерферометров согласно формуле (94.7).
425
§ 95. Многослойные интерференционные зеркала
Для многолучевой интерференции очень важно иметь отражатели (зеркала) с очень большим коэффициентом отражения,-заметным коэффициентом пропускания и как можно меньшим коэффициентом поглощения. Это видно, например, из формулы для интенсивности максимума пропущенного света (91.17). В случае применения металлов для изготовления отражателей наилучшие результаты удается получить с металлическими слоями из1
Рис. 117
серебра. Но они в большинстве случаев не удовлетворяют требованиям, предъявляемым при работе с интерферометрами. Идеи многолучевой интерференции позволяют и здесь создать отражательные системы, которые обладают большим отражением при очень малых потерях *. Эти системы представляют собой многослойные диэлектрические зеркала (рис. 117). На поверхность стеклянной пластинки (или другого прозрачного тела) наносятся чередующиеся тонкие прозрачные слои с оптической толщиной **:
* Ф. А. Королев, A. IO. Клементьева. Методы получения диэлектрических зеркал и интерференционных светофильтров и исследование их оптических свойств. Вестник МГУ, 3, 1957, стр. 65—73.
** Нанесение слоев делается путем испарения в вакууме, при этом слои с большим «[ it малым щ показателями преломления чередуются между собой.
426
nh = -~,	(95.1)
/I и По — показатели преломления соответственно подложки и внешней среды.
Для видимого света очень удобными оказались вещества: сульфид цинка ZnS (показатель преломления /71 = = 2,3) и криолит Na3AlF6 (показатель преломления п2 = = 1,35). Для других областей спектра применяются другие пары веществ. Благодаря отражениям на границах раздела слоев получается большое число интерферирующих лучей, например лучи 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 для отраженного света.
Если чередующиеся слои с большим и малым показателями преломления имеют оптические толщины n^hi и n2h2, задаваемые условием
n-Jit — nji2 =	,	(95.2)
то при отражении они интерферируют на усиление, поскольку разность хода, которую отраженные лучи приобретают в каждом из слоев, равна:
2/г^ = 2лга/га = -А-.	(95.3)
Благодаря наличию скачка фазы, эквивалентного 7/2 па границе раздела слоев п2 и nlt общая разность фаз соседних интерферирующих лучей равна 2л. Следовательно, все лучи интерферируют на усиление. Наоборот, при прохождении света лучи в этом случае интерферируют на ослабление.
Для вычисления коэффициентов отражения R и пропускания Т такого многослойного зеркала необходимо просуммировать все интерферирующие лучи. Ввиду громоздкости расчета здесь приводятся конечные формулы* для коэффициента пропускания Т;
----------------—---------------,	(95.4) « С2 l(af — a2) sin3 6 + aj +	+ Cg2
* Ф. А. Королев, В. В. Сухановский. Диэлектрические зеркала и их применение для эталона Фабри—Перо. Изв. АН СССР, серия физич., т. XIX, № 1, 1955; В. В. Сухановский. К теории многослойных двухкомпонентных диэлектрических покрытий. ДАМ СССР, т. 106, № 2, 1956.
427
gl = —-
(а?-а?Шсоз26-|-
&2 fg2 б — i L
+ 75T + 2vA41 + ‘I’4=j;
« “ VgT^r-r [(“»- b21sin 251 +
V bj tg2 s — i
(95.5)
+ 2a2a3b1b2 J tg d | ];
« + n0	»«o + «?	nti0 — n2
——a2 =----------------------, a3 =-------------
2/z	2п/гх	2/zn.j
63 = .«l+^i	(95.6)
2 у «1П3	2 у пхп2
С = (— l)m cos mcp,
когда | zn |< 1;
когда | zix | > 1;
S — (— l)m+i sin mq>,
Ф = arctg
С = (— 1)"’ ch /7гФ,
S = (— 1)"’~1 sh тФ, Ф=аг(ЕОЕГ.
— г11
211 = 1 __ (?1+Л21г sin2 6>
(95.7)
(95.8)
(95.9)
а величина т связана с числом диэлектрических слоев N выражением W=2m-M. Коэффициент отражения 7? из-за малости коэффициента поглощения можно брать в этом случае как разность
7?-1-7.	(95.10)
Численные расчеты по приведенным формулам приходится делать с помощью вычислительных машин. На
428
рйс. 118 дана графическая зависимость (от длины волны) для коэффициента пропускания диэлектрического зеркала с числом слоев, равным 7; на рис. 119 — для коэффициента отражения соответственно трех-, пяти-, семи- и девятислойных интерференционных зеркал.
Коэффициент поглощения таких зеркал составляет величину порядка О,1-кО,3°/о. Как видно из приведенных результатов, коэффициент полезного действия таких зеркал очень близок к единице. Это имеет огромное значение для многолучевых интерферометров, когда они применяются как спектроскопы высокой разрешающей силы и квантовые генераторы когерентного света.
§ 96. Интерференционные светофильтры
Если взять многолучевой интерферометр со сравнительно небольшой разностью хода (в несколько длин волн), то он будет работать как светофильтр достаточно высокой монохроматичности* (рис. 120). Он обычно
* Ф. А. Королев. Теория интерференционных монохроматических светофильтров. Изв. АН СССР, серия физ., т. XI, № 4, 1947. Интерференционные светофильтры высокой монохроматичности и их применение в технике. Вестник МГУ, 1958, № 3; Ф. А. К о р о л е в, А. Ю. Клементьева, Т. Ф. Мещерякова. Многослойные интерференционные диэлектрические светофильтры для видимой и близкой инфракрасной области спектра. Инженерно-физический журнал, т. Ill, № 1, 1960. Интерференционные светофильтры с шириной полосы пропускания 1,5 А. Оптика и спектроскопия, т. IX, вып. 5, 1960.
429
Изготовляется следующим образом. На стеклянную (илй какую-либо другую) подложку Р наносятся обычно путем испарения в вакууме последовательно зеркало S2, затем прозрачный разделительный слой D и после этого второе зеркало Зеркала Sj и S2 могут быть как металлическими, так и многослойными диэлектрическими.
Рис. 120
На рис. 120 ф — угол падения; ф— угол выхода, равный ф = ф + 0. Для светофильтров с достаточно большим р угол падения ф приблизительно равен углу выхода ф. Падающий на такую систему луч света L испытывает в ней многолучевую интерференцию. Интенсивность проходящего света / у определяется здесь формулой (91.21). Соответственно интенсивность в максимуме полосы пропускания будет
лр2т&2Вэ
(1 — тЯ)2'
(96.1)
Распределение интенсивности по спектру приведено на рис. 121.
Основными характеристиками светофильтра являются величины: длина волны максимума %т; коэффициент пропускания в максимуме
I	ТЙ2
у»  	1 пг ___	1 и	.
т ~ лр2Вэ ~ (1—TR)2’
(96.2)
ширинаДюлосы пропускания 26Д определяемая расстоянием в спектре между точками, где	1т\ фактор
контрастности, равный отношению интенсивностей
430
апертура светофильтра 2с1л\-, представляющая собой ширину конуса лучей, при которой монохроматичность светофильтра еще не ухудшается заметно от углового расширения падающего светового пучка.
Длина волны максимума полосы пропускания согласно условию максимума равна:
- __ 2nh cos ip'
где n — показатель преломления разделительного слоя, ф'— угол преломления.
Если свет падает на светофильтр нормально к ее поверхностям, то ф = 0.
Для нахождения полосы пропускания 2 6/. воспользуемся формулой (91.25)
где
Ф = ^ + б1 + ба.	(96.4)
Л
Продифференцируем Ф по X при постоянных h, k, ср и срД ф и ф', полагая ради простоты <5i = <52 = (5, тогда б1 + б2 = 26:
=	= —	+ дЛ.
дк	Л2 di.
431
Выражение для разности хода 2nh cosip' можно выразить через ф:
у=2/г]/п2—• sin2 ф.	(96.5)
Тогда после преобразований (изменением показателя преломления при этом пренебрегаем) находим
26Х =-----------------------(96.6)
_ л 2 ЛЛ	/- 4	'
2h 1/п2 — sin2 ib —--— к У
я 5%
	'а блица 2	Величина
		Ме =	(96.7) е	Л
0,50	4,46	получила название числа эффективных интер-
0,60 0,70	6,10 8,77 	ферирующих лучей и име-
0,75	10,09	ет значения, приведенные
0,80	14,08	в табл. 2.
0,82	15,82	Так как
0,85 0,88	19,40 24,60	
		2/i У п2 — sin3ф _ ,	/95 g)
0,90	29,82	X	’
0,92 0,95 0,97	37,70 61 40	где k — порядок интерфе-
	юз’ю	ренции (порядок свето-
0,98	155,70	фильтра), то формулу
0,99	314,16	(96.6) можно переписать
1,00		в виде:
2ЪК	.	(96.9)
Если —	то формула для ширины полосы
я <Э/.
пропускания принимает совсем простой вид:
26Х = _А_.	(96.10)
kNe
Эта формула идентична формуле для предела разрешения, получаемого с помощью интерференционного прибора с числом Ne интерферирующих лучей.
432
Согласно формулам (91.17) и (91.18) фактор контрастности равен
с = zMin = <2+^¥.	(96.11)
\ 1 — xR J
Обратная ему величина 1/С равна относительной величине коэффициента пропускания в крыльях максимума полосы пропускания.
Апертуру светофильтра можно найти следующим образом. Если максимум полосы 1т имеет место при нормальном падении, то
Ym-2^ = ^m-^-(61 + 62).
ZJt
Для луча, падающего под углом ср, будем иметь
у,1,, = 2/гЛсоз ф' = k'k-— (бх ф- б2).
2л
Здесь молчаливо предполагается, что при небольших изменениях угла падения значения 61 и ба не меняются. Тогда
Уш — УФ' = 2nh (1 — cos ф') = (¥ —	(К,п — X),
или
4/гЛ sin2 — — ( 7?— ¥ М 6Х
2 у 2л J
здесь k----—Ё2. — 2я/гД . Если углы невелики, то
2л
sin ф'/2;=^ф72, и тогда
(96.12)
Так как ф'= ф/лг, где ф — угол наблюдения луча, то полный угловой раствор будет
2ф = 2/г 1/ ™	(96.13)
V
и представляет собой апертуру светофильтра при ширине полосы пропускания 6Х. При современной технике изготовления светофильтров путем испарения в вакууме
433
удалось достигнуть ширины полосы пропускания в 1,5А. Для получения еще меньшей ширины нужно брать светофильтры с воздушным промежутком при больших значениях k.
§ 97.	Многолучевые интерферометры как спектроскопы высокой разрешающей силы
Поскольку положение максимумов интерференции зависит от длины волны, многолучевые интерферометры с успехом применяются как спектроскопы высокой разрешающей силы.
Дисперсию интерферометра вычислим из условия максимума:
2/г/гсозф' = kX--— (Si + S2).	(97.1)
Дифференцируя это выражение по длине волны и преобразуя, а также заменяя угол ф' на ф по формуле п зшф'=ф, получаем
dn п
dty' dX
Если 1 I — , то .дГ1х
dh X nig ф'
(97.2)
dip' ____	1
(97.3)
4%	% tg ф'
Для воздушной (и вакуумной) пластинки гг^-Л, ^0, следовательно, из (97.2) находим, что
dip ___1
dK	% tg ф
(97.4)
Формулы (97.2), (97.3) и (97.4) определяют угловую дисперсию многолучевых интерферометров.
Величина спектрального интервала, которую можно исследовать с помощью многолучевого интерферометра, пока его полосы интерференции не сольются из-за расширения интерференционных максимумов вследствие
434
немонохроматичности падающего света, была найдена в § 94. Согласно формуле (94.4') она равна:
k
(97.5)
Эта величина называется областью дисперсии, интерферометра. Однако более точной является формула (94.4).
Найдем предел разрешения интерферометра. Две спектральные компоненты с длинами волн Л; и Ki, отли
чающимися друг от друга на величину 28K=Ki—М, в пределе считаются разделенными спектроскопом, если контуры максимумов интерференции, соответствующих каждой из них, пересекаются на уровне интенсивности, равной половине максимальной (рис. 122). Для определения углового расстояния 6ф от точки в спектре, соответствующей Im, до точки, где интенсив-
ность максимума интерфе-
ренции спадает до воспользуемся формулой (91.25).
Продифференцируем фазу Ф (см. 91.2) по переменной ф' при постоянных h, п, k, К, 61 и 82:
__ 4лпИ sin
4n/i sin фбф пК
(97.6)
К
Приравнивая (97.6) и (91.25), для бф' будем иметь выражение (по абсолютной величине):
бф' =-------------.	(97.6')
2nh sin 1]/ 2зт у т7?
Далее, приравнивая 2бф' величине <Л|/ из (97.3), получим, что предельный спектральный интервал 28K = dK, разделяемый («разрешаемый») данным многолучевым интерферометром, будет равен:,
26Х = -----,	(97.7)
2nh cos ty'Ne
435
где Ne = лУ rRH—rR. Поскольку 2n/zcos ф'Д = k, где k — порядок интерференции, то
Величина 26Х/Х представляет собой относительный предел разрешения интерферометра. Обратная ей величина 91 называется разрешающей силой интерферометра:
9? = -А_ = ш	(97.9)
В этой формуле 6/. представляет собой половину разрешаемого спектрального интервала. Величина 26ф', или эквивалентная ей величина 26ф, где бф = пб'ф'', называется монохроматической шириной максимума интерференции, или аппаратной шириной.
Приведем числовой пример: пусть /г = 10 см, п=1, /? = 0,95, Л- -5000А. Тогда Лф = 61,4, 2бХ= 0.0002А, т. е. почти равно естественной ширине, спектральной линии. Отсюда видно, как велика разрешающая сила интерферометров. Но так как интерферометры имеют погрешности, то действительная разрешающая сила обычно оказывается несколько ниже расчетной.
§ 98.	Разрешающая сила интерферометров при пространственном и временном разделении спектра
Разделение различных спектральных компонент многолучевым интерферометром можно производить или в пространстве, наблюдая различные спектральные участки под разными углами ф при постоянном значении h, или, наоборот, оставлять постоянным угол наблюдения ф и менять во времени толщину h промежутка между зеркалами интерферометра. Эти два случая сильно различаются между собой по дисперсии и разрешающей силе. В первом случае получается резко неравномерная угловая дисперсия и, как здесь будет показано, разрешающая сила ограничена дифракционными явлениями на выходном отверстии интерферометра. При временном разложении спектра (путем изменения во времени h) дисперсия постоянна.
436
Рассмотрим случай, когда п = 1. Ширина максимума интерференции из (97.6') при этом будет
А.
(98.1)
26ф =
2/г sin tyNe
Из-за дифракции на выходном отверстии, ширину максимумов
которого обозначим через D, каждый из интерференции расширится на величину
60^ — . D
Пока 60<26ф, дифракция не будет
сказываться на разрешающей силе прибора. Но если
60 > 26ф,	(98.3)
разрешающая сила достигнет предела и дальше возрастать не будет. Найдем условие (98.3), когда Ф = 0 и бф имеет максимальное значение. Условие максимума при этом имеет вид:
2h = k\-----
2л
Изменение порядка интерференции 8k с изменением угла па величину бф определится формулой
2/zcos (бф) = (/г -ф 8k) к-
(98.2)
существенно
(98.4)
(98.4Z)
Соответственно фазы будут:
4tth , s -Т— + °1
Л
4nh ,, ----cos (< А.
Фо
21
(98.5)
Приращение фазы при изменении угла от 0 до бф равно: бф=2^.6ф2.	(98.6)
Приравнивая это значение выражению (91.25), получаем
бф2 =	= _J_
2/i	/т7? kNe
(98.7)
437
т. е.
бФа = --
91
(98.8)
Предельным условием для бф будет 6ф = 69 (см. (98.2) для 69). откуда для предела разрешающей силы многолучевого интерферометра при пространственном разделении спектра будем иметь:
sjj = <Л¥ .	(98.9)
\ A J
Приравнивая из (98.9) его выражению из (97.9), находим
Если путем повышения коэффициента отражения достигнуть этого условия для k=\, то
д у
% )
Ne =
(98.11)
Такова предельная величина числа интерферирующих лучей, которых следует добиваться в многолучевом интерферометре. При пространственном разделении в этом случае будет иметь место и предел разрешающей силы. При временном же разделении получится минимальное значение ширины максимума интерференции, а разрешающая сила <)с определится формулой (97.9), но вместо Ne ,в ней нужно взять величину (ДД)2. Тогда разрешающая сила при временном разделении спектра будет определяться следующим приближенным выражением:
% =	(98.12)
где k = 2h/K. Эта формула является предельной.
Как видно из нее, разрешающая сила может достигать огромных значений. При временном разрешении дисперсия
dh   h.
dK	У
(98.13)
растет с увеличением h.
438
Формула (98.12) имеет особенно большое значение для длинных волн, в частности, для волн миллиметрового диапазона, где (D/Х) невелики. Так, если (D/K) =100, то (£>Д)2 = 104, и даже в первом порядке разрешающая сила может достигать значений 10 000, тогда как решетка может дать в этой области примерно 91 =100. Отсюда видно исключительно большое значение использования многолучевых интерферометров как спектроскопов (волномеров) в этой области спектра.
§ 99.	Многолучевой интерферометр как резонатор высокой добротности
Многолучевой интерферометр типа Фабри—Перо представляет собой резонатор, в котором происходит накопление электромагнитной энергии. Эта энергия циркулирует в интерферометре как реактивная мощность системы стоячих световых волн (мощность радиационных осцилляторов), возникающих благодаря многократным отражениям на зеркалах интерферометра. В отличие от обычно применяющихся в радиотехнике резонаторов сверхвысоких частот многолучевой интерферометр является резонатором с открытыми боковыми поверхностями, через которые может происходить потеря энергии лучей, идущих под углами к оси интерферометра, т. е. потеря энергии из-за дифракции. При нешироких источниках излучения и малых углах дифракции эти потери мало ощутимы и мало влияют на добротность резонатора.
Как и в случае других резонаторов, добротность многолучевого интерферометра определяется отношением реактивной мощности, циркулирующей в объеме резонатора, к мощности потерь. Если реактивную мощность обозначить через Рг, а мощность потерь через Ра (активная мощность), то добротность Q выразится отношением:
Q = ~^-	(99.1)
г а
Добротность резонатора может быть определена также через отношение собственной частоты v (длины волны
439
Л.) резонатора к ширине полосы пропускания резонатора Av (или Ал):
Q = —= —.	(99.2)
Av ДА
Из сравнения формул (99.1) и (99.2) следует, что
Рг = — Ра.
(99.3)
В случае интерферометра Фабри—Перо АА = 2бА определится фомулой (97.7). Если ф = 0 (ф' = 0), /2=1, то
26А = —,	(99*4)
тогда добротность многолучевого интерферометра
Q = -А- = -Al .	(99.5)
2d/.	/. 1 — т/?
Если мощность потерь интерферометра определяется в основном величиной мощности, излучаемой через зеркальные поверхности Si и S2, причем излучение идет через одну поверхность и мощность его равна Pir то
п ___ 2hPj л	,qq ...
r ~ А 1 - т7? '	_ ’ '
Из этой формулы видно, что реактивная мощность внутри интерферометра тем больше, чем больше коэффициент отражения R и коэффициент пропускания т.
Реактивная мощность Рг может быть выражена через запасенную в резонаторе энергию Wr по формуле
Pr = &Wr.	(99.7)
Отсюда с учетом (99.7) и (99.6) будем иметь
Wr = Р, —	.	(99.8)
г 1 с \ — XR
Многолучевые интерферометры как резонаторы высокой добротности в настоящее время приобрели огромное значение в квантовой генерации когерентного света. Они также являются эффективными спектрометрами электромагнитного излучения.
440
Формула (99.5) может быть обобщена следующим образом. Если потери при отражении па зеркалах обозначить через бг, а потери вследствие дифракции при каждом отражении через 6а, то в формуле (99.5) вместо обычного коэффициента отражения 7? нужно взять кажущийся коэффициент отражения, для которого можно написать выражение:
R' = i — — ad.	(99.9)
Тогда формула (99.5) может быть записана в виде:
Q = л:	(99 Ю)
X 1 — r(l —6r —>
Если в веществе между зеркалами интерферометра потерь нет, то т = 1. Предположим далее, что как бг, так и ба много меньше единицы, и ими под знаком корня в (99.10) можно пренебречь. Тогда
где k = 2hl'k—порядок интерференции;
6Г = 1— R.	(99.12)
Для величины дц Бойд и Гордон* нашли приближенное выражение
=	(99.13)
где D — диаметр зеркал интерферометра. Фокс и Ли** для основного типа колебаний интерферометра нашли, что
а.-0,207 р^Ц1,4. а	< D;! J
(99.13')
* G. D. Boyd, G. Р. Gordon. Bell System Techn. Jotirn., Vol. 40, № 2, 1961, p. 489. (См. русский перевод в сб. «Лазеры», М., ИЛ, 1963.)
** A. G. Fox, Т. Li. Bell System Techn Journ., Vol. 40, № 2, 1961, p. 453; (См. русский перевод в сб. «Лазеры», М., ИЛ, 1963.
441
С учетом (99.12) и (99.13) формула (99.16) запишется как
Если дифракционные потери малы по сравнению с потерями на отражение, то формула (99.10) переходит в (99.5). Если же, наоборот, потери на отражение малы по сравнению с дифракционными, то потерями при отражении можно пренебречь. Тогда формула (99.10) примет вид:
Q = k Л^Т(1-.М_ .	(99.15)
1 — -г (1 — 6d)
Формула (99.14) может быть еще представлена так:
Q =--------ЁЕ------- .	(99.16)
Если использовать для 6<г значение (99.13'), то формула (99.14) примет вид:
Q = —__________.	(99.17)
(1 _^) +0,2(2^^
Однако следует отметить, что выражения (99.12) и (99.13), как показали наши измерения*, не всегда удается согласовать с опытом.
Рассмотрим еще один путь учета дифракционных потерь. Вследствие дифракции световой пучок, выходящий от одного из зеркал резонатора к другому, расширится на угол, определяющий ширину главного дифракционного максимума:
60^ — .
D
* Ф. А. К о р о л е в, В. И. Гриднев. Многолучевой интерферометр как резонатор высокой добротности. «Радиотехника и электроника», т. VIII, вып. 8, 1963, стр. 1480; Оптические и радиочастотные характеристики многолучевого интерферометра с дифракционными зеркалами на тонких диэлектрических подложках. «Вестник МТУ», серия «Физика, астрономия», № 4, 1963, стр. 14.
442
Поэтому сечение светового пучка, которое было до этого равно
S = лО2/4,
увеличится за один проход между зеркалами на величину
А2=2лу-.	(99.18)
Следовательно, фронт волны при продвижении на расстояние h увеличивается по своему сечению на величину одной зоны Френеля, соответствующей этому расстоянию. Мощность, теряемая вследствие дифракции через эту площадь, будет равна:
APd = nMS,	(99.19)
где S— величина вектора Умова—Пойнтинга (для простоты будем принимать за S его среднее значение по сечению пучка). Потеря мощности за два прохода между зеркалами равна:
APd = 2AZV	(99.19')
Реактивная мощность внутри интерферометра может быть вычислена как
Рг = УсоГ,	(99.20)
где
V = nJ^-h	(99.21)
— эффективная величина активного объема интерферометра; W— средняя плотность энергии внутри интерферометра, равная
W = — .	(99.22)
с
Тогда согласно (99.20), (99.21) и (99.22) можно записать
Pr = -a--PS/t- S.	(99.22')
2Z
443
Если теперь возьмем отношение (99.19') к (99.22'), то получим величину 6^:
= —		(99-23)
л г ЗТ \ U J
Подставляя эту величину в (99.11), будем иметь
Q =
nk
2?.. V
D /
(99.24)
л \
Для случая, когда 6d >6г, формула (99.24) примет вид:
л3 , f D \2
<2 =
(99.25)
Структура этой формулы полностью отвечает выражению (98.12), за исключением фактора л2/4, который имеет величину ~2. Для лучшего согласования формулы (99.24) и соответственно (99.25) с опытом необходимо величину 6d из (99.23) умножить на некоторый коэффициент q, который уточняется экспериментально.
В случае когда интерферометр работает в режиме квантового генератора, т может быть значительно больше единицы и тогда
Т(1 - б,- 6J = ^"’-(1 -df-6d),
где Лд,—коэффициент поглощения может сделаться очень близким к единице и даже превзойти ее. Значение Q в активном резонаторе (квантовом генераторе) возрастет до очень большой величины и даже может стать равным бесконечности. При этом наступает самовозбуждение интерферометра.
Как и во всяком резонаторе-волноводе, в интерферометре Фабри—Перо могут устанавливаться самые разнообразные типы волн. Фокс и Ли в указанной ранее работе рассматривали этот вопрос для резонатора, между зеркалами которого имеется вакуум. Если в первом приближении пренебречь дифракцией, то можно ставить вопрос о типах колебаний в интерферометре, базируясь на типах колебаний в замкнутой полости. Поле в зам
444
кнутом объеме V можно представить бесконечной совокупностью волн типа:
	E0xcos\	< Lx	X	sin (	Л/Z у Ly	tj	sinZ	' лпг	1 sin at,
Еу =	El)y sin	f ^x	X	cos (	ЛПу	y>	sin Z	nnz	г) sin (at,
		< Lx			Ly			Lz	
Ег =	Eqz sin (	' nnx ч Lx	X	sin (	ЛТ1 у Ly	У	cos		z jsincoK J
(99.26)
Для компонент магнитного поля, в свою очередь, будут служить выражения:
\ Ltx ?	/ TCllff	\	/ TT 17	\ COS (	 у ) COS I 	L Z ) COS (Sit, \ Ly y)	\ M	J
г г	т т	f ^ZZ i- //v-H0ycos	- x \ ^x	>	. / ГМУ	\	/ TCtl, X	, | sin ( 	 у ) COS I 	—Z ICOS (Of, \ Ly	j	\ Lz	/
r r	T T	f	*\ 74 = Hozcos — x	/ япу \ . f	\	, cos 	и j sin 		 z cos at. \ Ly /	\ Lz J	,
(99.27)
В отличие от § 11 здесь основная частота определяется величиной волнового вектора = k(a/Lx, л/Ly, n/Lz),a не k(2a/Lx, 2л/Ly, 2л/Lz).
Если координаты выбраны таким образом, что зеркала интерферометра лежат в плоскости ху, то ось интерферометра будет совпадать с направлением z. Как и в технике сверхвысоких частот, будем обозначать электромагнитные волны различных типов, устанавливающихся в волноводах и объемных резонаторах, символами ТМ, ТЕ или ТЕМ. Если волна имеет слагающую Е вдоль направления распространения z, т. е. Ez, то такую волну называют поперечно-магнитной волной (ТМ-волной); если же имеется слагающая Hz, то такая волна называется поперечно-электрической волной (ТЕ-волной); ТЕМ — поперечные электромагнитные волны, для которых Ег = 0 и /Д = 0.
В многолучевом интерферометре для оптического диапазона (включая инфракрасный, субмиллиметровый
445
и миллиметровый диапазоны) устанавливаются волны, когда пх и пу имеют величину порядка нескольких единиц, a nz может быть найдено из соотношения:
,	«г/ .	_ 4va = 4
4 + 4 + 4	<? ~~	’
л	у	z
(99.27')
где Lx, Lv, Lz— размеры электромагнитного поля вдоль осей х, у, z, при этом Lx и Ly — это размеры отражающих зеркал (или ограничивающих их диафрагм); Lz = h.— расстояние между зеркалами интерферометра. Так как пх и пу порядка единицы, то в (99.27") членами, содержащими их, можно в первом приближении пренебречь и для nz получим
=	=2L = k, (99.28)
с X Аг
где k — число волн (порядок интерференции) для направления z, укладывающихся в удвоенном расстоянии между зеркалами (здесь k не нужно смешивать с абсолютным значением волнового вектора k, которое равно \k | = 2лД).
Если в (99.26) положить Ez = 0 и Я2=0, то получим ТЕМтп-волны, где индексы т и п зависят от значений пх и Пу. Если иж=0 и пу=1, то получаем волну ТЕМ00, уравнение которой согласно (99.26) и (99.28) может быть записано в виде:
(99.29)
Если пу=0, пж=1, то Ех = 0, Ez=0 и
рОО
sin at.
(99.29')
Это будут системы стоячих волн с распределением амплитуд в плоскостях, параллельных зеркалам, при котором узловые линии будут иметься только на краях зеркал.
446
Выражения (99.29) и (99.29') дают распределение поля для замкнутого объемного резонатора. В открытом с боков резонаторе, каким является интерферометр Фабри—Перо, поле Е°х° будет убывать от оси резонатора к краям вследствие дифракции. Однако узловых линий, кроме как на краях, и здесь не будет, т. е. чибло узловых линий и вдоль оси х, и вдоль оси у будет равно нулю. Этим определяется символ волны ТЕМп,, (хотя более рационально было бы в соответствии со значениями пж=0, пу~1 ее обозначать волной ТЕМ10). Далее символами ТЕМ10 и ТЕМ01 будут обозначены волны, у которых в плоскости х, у будет соответственно по одной узловой линии параллельно вектору Е или перпендикулярно к нему; ТЕМп — волны, у которых имеются узловые линии сразу по двум направлениям и т. д. (рис. 123).
Для получения волн ТЕМт нужно взять пж=1, пу=1. Таким образом, для разных значений пх и пу можно получить самые разнообразные распределения амплитуд электрического поля в плоскостях, перпендикулярных к направлению распространения, т. е. можно получить волны TEMtyi, ТЕМп, ТЕМ12 , ТЕМ22 и т. д. Волны типа ТЕМ01 могут быть выражены системой уравнений:
„01	г-01 лх . л« . 2л .	,
Ех = Ед* cos — sin —— sin--------г sin ид,
Lu Д
„01	г-01 . Лх	Ли . 2л	,
£(, = Вог sin-----cos—— sin-------гзшид,
Д.	Ly	Д
„	„	. лх . ли 2л .	»
Ez = Eoz Sin ----- Sin —2- cos---- Z Sin ИД.
Еп Д	I
(99.30)
Значение длины волны здесь будет меньше нежели для волны ТЕМОо, как это следует из (99.27'). Соответственно для пх=2, пу = \ получим:
„02	„02	2лх	.	ли	.	2л z	.	.
Ex = EoxCOS. ------- sin—2- sin------ sinco2r,
Ex	Еу	Ла
„и	„и	.	2лх	ли	.	2л
Еу — Equ sin	cos------sin-----z sin иД
J J Lx	Ly Л2	2
(99.31)
Ez =. EOz sin-sin—cos----z sin cpJ.
T	f	a	Z
Lx	Ly	^2
447
т^моо
7ЕМО2
и»J t и ФИН » 1 > । М '		Ф |ИнФ ф ф|ф f j < р ।} 1111
ТЕМЮ		TEMto
ф । ф 	1	 ч * н н		qmjihlf ффНф
7ТМ,,		гем27
ф I ф ПФР		ф|ф!ф Ф
|)Н р)		ф|ф|ф
а)		ТЕМг?
ТЕМ0,	ТЕМ,,	ТЕМ?,
ТЕМаг	ТЕМ,?	ТЕМ??
6)
Рис. 123
Если пх = 1 и пу = 2, то будем иметь:
„п	_ц „ лх	2л//	.	2лг	.	,
Ел = Еох cos----sin —sin.------sinco3f,
—	Lx	Ly	X3
„02	„02 • лх _ 2nu	.	2nz	.	,
Ey =Eoysm-------cos—-sin-------sin co../,
Lx	Ly	%3
„	„	. лх . 2nw 2itz .	,
Ez = Еог sin sin ——cos---------sin co3r.
(99.31')
Из выражений (99.29), (99.29'), (99.30), (99.31) и (99.31') следует, что истинно ТЕТИ-волнами являются только волны для пж=0 и пу=\ (или соответственно пу=0, пх=1), тогда как все другие типы волн содержат хотя и очень небольшую, но отличную от нуля компоненту Ez. Поэтому они могут считаться 7ЕЛ'1-волнами только приближенно. На рис. 123, а приведена схема конфигурации электрического поля в плоскостях, параллельных зеркалам, для волн типа ТЕМтп для случая квадратных зеркал, а на рис. 123, б — то же, для круглых зеркал. Как видно, номенклатуры типов волн для квадратных зеркал и для круглых различаются между собой по конфигурации полей.
Разумеется, структура полей (99.26), (99.29), (99.29'), (99.30), (99.31) и т. д. точно передает распределение поля только для закрытых резонаторов. В открытых резонаторах поля Ех, Еу и Ez будут несколько отличаться от тех, которые следуют из предыдущих выражений.
Следует, наконец, заметить, что по существу все типы волн ТЕМ. являются сложными волнами, скорость которых превышает фазовую скорость света в вакууме. Поэтому с физической точки зрения может оказаться удобнее проводить анализ процессов в интерферометре Фабри—Перо, исходя не из типов волн ТЕМ, а из рассмотрения поля как суперпозиции плоских волн (оптический метод).
§ 100.	Многолучевые интерферометры как генераторы и усилители когерентного света
Рассмотрим следствия, которые дает анализ первой формулы (91.21) для случая ф = 0 с учетом дифракционных потерь.
15 Ф. А. Королев
449
Будем ймёТь
ID =
ф
(1 — tR')2 -р 4т7?/ sin2 —
(loo.i)
Положим, что sin Ф/2 = 0, т. е. для тр=О наблюдается максимум интерференции. Тогда
rD = т __ яраВэтб'2
т (1—ту?')2
(100.2)
По мере возрастания tR' мощность, проходящая через интерферометр, возрастает и, наконец, при
tR'^1,	(100.3)
/в=оо.	(100.4)
Это означает, что при условии (100.3) наступает самовозбуждение многолучевого интерферометра, и он становится генератором когерентного света. В настоящее время многолучевой интерферометр в режиме самовозбуждения принято называть квантовым генератором когерентного света.
В этом случае коэффициент пропускания прозрачного промежутка между зеркалами интерферометра становится большим единицы. Действительно, из (100.3) следует, что
(100.5)
Так как Д'<1, то т>1. Для определения т служит формула
т = e~kfl
(100.6)
Так как т> 1, то это означает, что £<0, т. е. коэффициент поглощения вещества, заполняющего промежуток между зеркалами интерферометра, является отрицательной величиной. Это возможно в том случае, когда частицы вещества находятся в возбужденном состоянии, как это рассмотрено в гл. 4.
Выясним теперь свойства излучения, даваемого многолучевым интерферометром в режиме квантового гене
450
ратора света. Согласно формуле (98.7), если 7? заменить на R', для получим выражение
бльа =	,	(100.7)
2Л л xR'
из которого следует, что в режиме самовозбуждения, когда 1—т7?'=0, бф = О. Это означает, что квантовый генератор дает остро направленное излучение, угловая ширина которого в принципе может быть сделана как угодно близкой к нулю, т. е. излучение идет строго параллельным пучком в направлении оси интерферометра. Ширина пучка здесь будет определяться лишь дифракцией на выходном отверстии интерферометра-генератора, т. е. углом 60 = A,/jD, где D — диаметр излучаемого светового пучка на выходе из интерферометра.
Излучение является также весьма монохроматическим, что следует из формулы (97.7), которая для гр7=-0 принимает вид:
2ЙХ =	,	(Ю0.8)
2nh л xR'
Поскольку в режиме самовозбуждения 1—тД'=0, то 2б% = 0. Это означает, что ширина излучаемого спектра практически равна нулю, т. е. излучение является исключительно (почти идеально) монохроматическим. Такие высокие качества излучения квантовых генераторов когерентного света открывают большие перспективы их использования в науке и технике.
Полученные здесь выводы об угловой ширине генерируемого пучка света приложимы лишь к волне ТЕМоо-Другие типы волн идут под углами к оси генератора, определяемыми соотношениями (например, для квадратного зеркала):
sin 0,
sin 0ПА,
(100.9)
Lx пуХ Ly
(см. § 11). Чем выше тип волны, тем больше расходимость пучка. Различные типы волн отличаются друг от друга по длине волны (частоте колебаний), как это сле
15*	451
дует из (99.27'). Если nz = const, а пх и пу изменяются, что приводит к другим типам 'ВОЛН, то v (и %) хотя и незначительно, но меняется. Наибольшие изменения частоты дает изменение nz, что соответствует генерации в различных порядках интерференции. Все генерируемые типы волн в квантовом генераторе получили название моды.
Как уже отмечалось, более ясный физический анализ излучения квантового генератора, по-видимому, можно произвести, исходя из представлений не о модах, а о поле как совокупности плоских волн.
Если выполнено условие, что коэффициент поглощения &<0, а самовозбуждение еще не наступило, то такой интерферометр-резонатор работает в режиме квантового усилителя. Коэффициент усиления определяется выражением:
Т =-----,	(100.10)
где Ф— коэффициент пропускания зеркал интерферометра.
Из выражения (100.10) видно, что чем ближе произведение т/?' к единице, тем больше коэффициент усиления.
Глава 16
МНОГОЛУЧЕВАЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ С ДЕЛЕНИЕМ ФРОНТА СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ.
ДИФРАКЦИОННЫЕ РЕШЕТКИ
§ 101.	Плоские дифракционные решетки
Теоретическое рассмотрение плоских дифракционных решеток имеет общий интерес, так как в них отчетливо выступает многолучевая интерференция с делением фронта волны.
Плоская дифракционная решетка представляет собой ряд правильных параллельных друг другу прямоугольных щелей в непрозрачном или отражающем экране. На рис. 124, а изображена решетка в непрозрачном экране; на рис. 124, б — в отражательном экране. При падении параллельного пучка лучей Le на дифракционную решетку G фронт волны разбивается на щелях решетки на ряд парциальных фронтов. Вследствие дифракции возникает множество интерферирующих лучей 1,1', 2,2', 3,3', ... Разность хода соседних интерферирующих лучей для прозрачной решетки (см. рис. 124, а), равна:
Y = ВС + СЕ.
Величина AC = b = d+c называется постоянной решетки; d — ширина щели, с — ширина непрозрачной части решетки; <р — угол падения лучей на решетку, <р + ф=9—
453
угол дифракции. Из чертежа следует, что ВС = b sin ср, £C = &smip. Следовательно,
у = b(sin ф + sin ср),	(101.1)
у = 2b sin	cos - •	(101.2)
Рис. 124
Так как ср + ф = 9; где 0 — угол дифракции, то у = 2&sin -Lcos-fc^- .	(101.3)
цели ср = ф, то cos —~ Ь следовательно, в этом случае
454
Y = 2b sin .	(101.4)
Для отражательной решетки (рис. 124, б) разность хода определяется разностью
у = ЕС — АВ,	(101.5)
т. е.
Y = b (sin ф — sin ср).
Это выражение преобразуется к виду:
у = 2b sin cos -УйДДЕ .	(101,6)
Величина ф—ф = 0, т. е. углу дифракции. Следовательно, выражение (101.6) можем переписать:
у 26 sin cos	.	(101.7)
Так как в выражение (101.5) входит разность sin ф и sin ф, то разность хода лучей для плоской отражательной решетки невелика, что делает ее невыгодной для практики.
§ 102.	Распределение интенсивности у решеток
Пусть на решетку G (рис. 125) падает излучение от линзы Д, в фокусе которой находится линейный источник света Sp, т. е. решетка освещается с помощью коллиматора. Дифрагированный свет собирается линзой Ь2 на плоскости Ph, в которой можно либо расположить фотопластинку, либо производить наблюдение глазом через окуляр, либо, наконец, поместить фото- или термоэлектрический приемник.
Интенсивность излучения Г.э^ , посылаемого одной щелью в направлении наблюдения ф (энергетическая, или обычная, сила света), согласно (87.26) определяется выражением
1^ = ..М.2созср ^ sin^£	(Ю2.1)
455
где Вэ — энергетическая яркость источника Sp с учетом потерь света в решетке; I — длина щели; d — ее ширина; dtp— угловая ширина щели коллиматора. Множитель cos <р взят здесь потому, что излучение падает на решетку не перпендикулярно, а под углом ср. Величина А определяется формулой
X=-?ls‘n9 .	(102.2)
Л
В дальнейшем вместо 7"Вф или IЭ1|> будем просто писать Д|> или 1$ .
Рис. 125
Мощность (или световой поток), дифрагированная в направлении ф от одной щели, распространяющаяся в телесном угле dQ, может быть записана в виде:
Л|, = Х|4Й.	(102.3)
Если введем обозначение
а'* = Р^	(102.3')
то световое колебание в направлении ф можем записать в комплексной форме:
s\ — a’e№',	(102.4)
где
456
Световое колебание s2 от второй щели в направлении ф будет запаздывать по фазе от колебания, даваемого первой щелью, на величину
,,, 2л
ф = ------ у
Л
(102.5)
где у для прозрачной решетки определяется выражением (101.2), а для отражательной решетки — выражением (101.6). Следовательно, для s?' будем иметь:
S2 = аУф'е“/ф.	(102.6)
Для N-й щели можем записать аналогично:
sN = а'егф’е~‘'^~1)ф.	(102.7)
Суммарное колебание, которое получается после того, как все эти отдельные колебания собираются линзой L-2 в месте изображения источника , будет выражаться суммой:
s = £ а'егф'е-‘("~1)ф .	(102.8)
m=i
В результате суммирования получим
. УФ	[
sin  —/ф -—!
s = а'егф'----— е 2 .	(102.9)
sin —
2
Световой поток (интенсивность) определится как произведение этой величины на комплексно ей сопряженную величину s*. Обозначая ss* = Дф, можем полностью записать для Р^ :
sin* I --- |
г> И2 n	sin2Л ,	\. 2 /
Р* = Вэ cos ф ——— dqpdQ---------------------. (102.10)
sin2 (— |
\ 2 I
457
Наконец, сила света будет равна:
„ / nd sin 0 sin --------
/ф = Py/dQ =------cos cpB  --------—
%	3 / jrdsine у
\ x J
dtp.
(102.11)
Введем обозначения: полная ширина решетки
D0 = bN;	(102.12)
нормальная ширина щели коллиматора, когда свет падает перпендикулярно к поверхности решетки:
Фо = ~~рг
^0
(102.13)
В этом случае ширина щели коллиматора, выраженная в долях нормальной ширины щели, будет e — d<p/d(p0, откуда
dq> = ed(p0,	(102.14)
и пусть отношение d!b=u, тогда для произведения d2d^lK получим
__ хг6г _______ ех2 %   sx2&2
X ~ х £ Фо ~ V Ъ? ~ Do
или с учетом (102.12)
d2d(P ... „..2 D«
----- --- ОД --.
Сила дифрагированного от решетки света при этом будет
/ф = sz2-^-B cos ср р Л’2 э
. 2 Wiry 11г ----
X
eZZ?0B? cos ср = /0
(102.15)
Величина
(102.16)
представляет собой сйлу света отверстия Всей решетки^ поэтому выражение (102.15) можно
nd sin 0 sin2--------
X
/	/ А V А
*	\ b / ,V2 / nd sin О
V а.
(102.17)
переписать:
ЗИГ-----
Л
згу sin----
Л
Эта функция имеет максимумы при условии rty/Z k — целое число, т. е.
*=kn, где
у = kb.
Если в случае прозрачной решетки выполнено (102.18), то для величины 7^ получим
(102.18)
условие
, COS-----
knd 2
(102.19)
0
COS--•
V	2
Когда отношение-------------мало
"Ф — <Р
cos---—
2
отличается
от единицы,
то это выражение упростится:
I b J
(102.20)
Так, например, при с1/Ь = '/2 интенсивность максимумов согласно (102.20) будет принимать значения:
А» = 0,25/0;
/^ = f4Po4 = °>1 7°: А2 = 0;
\ b J л2
Д>, = 0,011/0, /^4 = 0 и т. д.
459
Таким образом, четные максимумы исчезают все, кроме нулевого, а из нечетных значительную интенсивность имеет только первый максимум, равный 0,4 нулевого. Так как дисперсия не имеет места в нулевом максимуме, то для монохроматизации излучений может быть использован только первый максимум. Если 9/2 близко к л/2, а ф—<р?«0, то величина /м будет близка /	. 2
к I —) 70, т. е. одного порядка с величиной /до. Однако для этого случая угол падения света на решетку <р~>зт/2
и, следовательно, coscp-^O, т. е. тогда сила света решетки быстро приближается к нулю, и наблюдение под такими большими углами становится практически невозможно.
Распределение интенсивности для дифракции на решетке приведено на рис. 126. Кривая I характеризует дифракцию на одной щели решетки; нулевой максимум обозначен цифрой II. Другие максимумы соответствуют различным значениям Л. Аналогичные явления наблюдаются для плоской отражательной решетки.
Как видно из формул, приведенных выше, а также из рис. 126, в плоских решетках большая часть света тратится бесполезно, так как идет в нулевой максимум и в излишние боковые максимумы (например, k = — 1, & = ±3). Для устранения этих недостатков применяются решетки эшеллетного типа.
460
§ 103. Дифракционные решетки эшеллетного типа
Рассматриваемый тип решеток представляет собой ступенчатую решетку с высотой ступени порядка длины волны падающего электромагнитного излучения. На рис. 127 приведен принцип действия отражательной
Рис. 127
эшеллетной решетки, а на рис. 128 — прозрачной решетки такого типа.
Отражательные эшеллетные решетки для видимой, ультрафиолетовой и инфракрасной областей спектра нарезаются на металлической поверхности, обладающей большим коэффициентом отражения для данной области спектра излучения. Так, для ближней инфракрасной, видимой и ультрафиолетовой областей спектра используют алюминий, который испарением в вакууме пано-
461
СитСЯ на плоскую стеклянную пластинку. Затем на делительной машине резцом специально подобранного профиля нарезается ступенчатая поверхность (см. рис. 127). Каждая ступенька представляет собой зеркальную полоску шириной порядка длины волны и является «щелью» отражательной зшеллетной решетки. Прозрачные решетки изготовляются в виде так называемых реплик (копий), что достигается специальными приемами.
Преимуществом решеток эшеллетного типа является то, что у «их имеется разность хода между двумя соседними щелями (ступенями) даже тогда, когда лучи интерферируют в направлении отражения или прохождения, соответствующем законам геометрической оптики. Благодаря этому все дифрагированные излучения концентрируются в одном направлении, или, как говорят, в одном порядке интерференции. Правда, это не может быть осуществлено сразу для очень широкой области спектра, а имеет место лишь для сравнительно небольшого участка спектра. Для других же участков спектра концентрация излучения является неполной. Однако выигрыш в интенсивности все же оказывается очень большим и для широких областей.
На рис. 129 приведен ход лучей на двух соседних ступенях отражательной эшеллеты. На эшеллету падает параллельный пучок лучей Le, из которых лучи 1 и 2 являются соответственными лучами двух соседних ступеней. Здесь g—ширина ступени; h — высота; b — расстояния между ребрами А и В ступеней; ср — угол падения лучей на ступени; 0 — угол дифракции; Lr — лучи, отраженные от эшеллеты по законам геометрической оптики; Ld — дифрагированные лучи в отраженном свете; s, 6,т] — углы для вспомогательных построений.
Как видно из рис. 129, разность хода соответственных лучей Г и 2', дифрагировавших от соседних ступеней решетки, равна:
у = ЛС -ф АЕ.
Выражая АС и АЕ через параметры эшеллеты и углы, получим
у = b (sin е -ф cos т]).
462
Из рис. 129 можно найти, что е = б — ср, т] = 90 — (б -j- ф + 6), b = ]/g'2 4" h2, tg6 = А_ g
Тогда разность хода
у = b [sin (б — ф) + sin (б 4* ф + 0)1-
(103.1)
(103.2)
Так как 4 = ср4~0, то для у можно написать:
y = &[sin(6 — <р) 4-sin (б 4-ф)].	(103.3)
Формулу (103.3) можно представить следующим образом, если выполнить элементарные преобразования:
у = 6 (sin б cos <р — cos б sin ф)	b (sin б cos 4 4- cos б sin 4).
Так как b sin б = h, b cos 6 = g, то окончательно найдем у = (h соь'ф — g sin <р) 4- (h cos 4 4- g sin 4). (103.3') 463
Вычисление интенсивности может быть приведено аналогично тому, как это было сделано в случае плоской решетки. Различие состоит в выражении для разности хода у и ширины отдельной «щели», которая здесь будет функцией угла падения ср (см. рис. 129): g<p = = £4 =B£'/ = &sin(r]+ 0). Так как т] + 6= 90— (б 4- ф), то
£ф = 6cos(a-b ф).	(103.4)
Ширина всего пучка лучей, отраженного от решетки, равна:
Оф = Wt = Mb cos (6 -|- ф),	(103.5)
где N — число ступеней эшеллеты.
Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены в § 102, приводят к формуле для силы дифрагированного света:
т е IDB3 . „ .	.
А»= cos (б + ф)
2 Г nb cos (6 + ср) sin 0
\ L Л
 лб COS (6 + ср) sin 9 12
. z J
(103.6)
где D=Nb — полная ширина решетки; 8 = Лр/с/ф0; dcp— угловая ширина щели коллиматора; йфо = А,/£>; Вэ — яркость источника (с учетом потерь на отражение от решетки), освещающего решетку; ф = ф4-0— угол наблюдения дифрагированного излучения.
Максимумы интенсивности будут наблюдаться при условии:
у = b {sin (6 — ф) 4- sin (б Ц- ф)} = kK (103.7)
или
(h cos ф — g sin ф) -J- (h cos ф 4" g sin ф) = kK.
Если максимумы имеют место для направления зеркального отражения по законам геометрической оптики, т. е. когда 0 = 0, то условием максимума для этого случая будет выражено
2b sin б cos ф’= kK,	(103.8)
464
что равносильно формуле
2/z cos q> = kK,	(103.8')
т. е. разность хода в этом случае целиком определяется высотой ступени и углом падения. Для углов ср^О и k = \ имеем условие
2/z = Л,	(103.9)
т. е. глубина ступени должна быть равна половине длины световой волны. Для других направлений глубина должна быть больше.
Сила света для максимумов зеркального отражения, как это следует из (103.6), будет равна:
7Ф = е IDB3 cos (6 -ф ср).	(103.10)
Так как 8 Z£>B3cos ср = 10 — сила падающего на решетку света (с поправкой на отражение), то, поскольку 5 обычно очень мало, /ф —10. Если угол ср <Дб, то
= 8/ДВэ cos5.	(103.10')
Найдем количество дифракционных максимумов от всей решетки, которое укладывается между двумя пер-,	sirr Д
выми нулями первого дифракционного множителя - 	
в выражении (103.6). Для этого надо положить
лЬ cos (6 + <р) sin 0 _
откуда
Sin 9 =------.	(103.11)
b cos (о ф- ср)
Определим угловое расстояние между двумя соседними максимумами интерференции от всей решетки, для чего продифференцируем условие (103.7) по переменным ф и k'.
b cos (б -J- ф) Дф = h&k.
Полагая Д£=1 и считая, что наблюдение проходит при углах дифракции 0, близких к направлению ср, получаем
—дтд-	(103.12)
Ь cos (о + ф)
466
Если в выражении (103.11) считать, что sin0 ~ 0, Фо для углового расстояния между двумя первыми нулями дифракции на одной щели будем иметь
20 =-------.
Ь cos (6 -|- ф)
(103.13)
Из (103.12) и (103.13) следует, что между двумя первыми минимумами дифракции на одной ступени укладывается два дифракционных максимума от всей решетки.
На рис. 130 изображены три случая расположения дифракционных максимумов у эшеллеты для монохроматического излучения:
Рис, 130
дифракционный максимум имеет место в направлении отражения (или преломления ;в случае прозрачной эшеллеты) по законам геометрической оптики (рис. 130, а; 0 — угол дифракции, ср — угол падения лучей на эшел-лету, или угол отражения; здесь виден единственный дифракционный максимум, так как все другие попадают на нули функции зт2Л/Д2, описывающей дифракцию на одной ступени);
дифракционные максимумы сменены относительно направления ср (рис. 130,6; видны два дифракционных максимума неравной интенсивности);
дифракционные максимумы расположились симметрично относительно направления ср (рис. 130, в; интенсивность дифрагированного света значительно меньше, чем на рис. 130, а, для которого она равна /ф согласно (103.10).
Отражательные эшеллеты могут быть с успехом применены во всем диапазоне электромагнитного спектра — от длинноволновых рентгеновских лучей до электромагнитных волн сантиметрового диапазона. Для более длинных волн эшеллеты становятся громоздкими и недостаточно эффективными.
Аналогично может быть построена теория прозрачной эшеллетной решетки, которая будет отличаться лишь выражением для разности хода интерферирующих лучей. Формулы для распределения интенсивности практически останутся теми же, если только учесть отличие в выражении аргумента А в дифракционном множителе. sin2A/A2.
§ 104. Дифракционные решетки как спектроскопы.
Дисперсия, область дисперсии и разрешающая сила (добротность) эшеллетных решеток
Одно из основных назначений дифракционных решеток— это спектральное разложение падающего на них излучения. Оно выражается в том, что излучения разных длин волн распределяются решеткой в разных направлениях. Такое угловое распределение в пространстве монохроматических излучений характеризует дисперсию или, точнее, угловую дисперсию._ Для нахождения количественных характеристик обратимся к выражению (103.7) и продифференцируем его по Л:
b cos (б + ф) ~~ — k,
откуда
dip _ k
dx Ь cos (6 + Ф)
(104.1)
Величина'йф/йД называется угловой дисперсией.
467
Из (104.1) следует, что угловое расстояние dty между двумя монохроматическими излучениями Xi и Хг, различающимися по длине волны на dk, равно
(/ф =-----*----dl.	(104.2)
b cos (S -ppp)
Величина cos (б + ф) близка к единице, так как все углы обычно невелики. Линейной дисперсией называется произведение
L = f~dLT	(Ю4.3)
с/Л
где f— фокусное расстояние объектива, проектирующего спектр на фотопластинку или другой приемник излучения. Часто линейную дисперсию измеряют величиной, обратной L. Большое значение имеет величина, называемая областью дисперсии. Она представляет собой участок спектра, укладывающийся в угловое расстояние между двумя дифракционными максимумами одной и той же длины волны, и характеризует спектральный интервал, который можно наблюдать с решеткой без перена-ложения излучений разных длин волн.
Для нахождения области дисперсии продифференцируем выражение (103.7) по переменным ф и k:
b cos (б -ф ф) Дф = ХД&.
Полагая Дй=1, получаем
Лф=т-----------•	(104.4)
b cos (6 + ф)	'
Величина Дф называется угловой областью дисперсии. Приравнивая t/ф из выражения (104.2) Дф из (104.4), находим спектральную величину области дисперсии:
М =	(104.5)
К
где k дается условием (103.7). Для k=l ДХ=Х. Так, если исследования ведутся в области ультрафиолетового, видимого и ближнего инфракрасного спектров (длины волн порядка 3000-н 10000А), то можно наблюдать
468
одновременно область спектра или 2000 А-н8000 А, или 4000 А-г-10000 А и т. д. В более высоких порядках область дисперсии в соответствии с формулой (104.5) будет меньше.
Максимальная интенсивность [1$ = (см. 103.10) будет иметь место для угла дифракции 0=0, т. е. для угла ф = <р; для границ области дисперсии интенсивность будет равна	Так как практически равно
/у = Rio, где Io — сила света, падающего на решетку; R— коэффициент отражения решетки, то
Др — Q,4loR.
(104.6)
Для плоской же решетки, например, для весьма благоприятного случая, когда dlb = \l'2,, даже максимальная величина силы дифрагировавшего света будет равна:
4 =o,izo,
т. е. в десять раз меньше, чем в максимуме отражения для эшеллеты. Здесь очевидно огромное преимущество эшеллетных дифракционных решеток по сравнению с
плоскими решетками в отношении светосилы — спектральные приборы с эшеллетными решетками не уступают по светосиле, а в ряде случаев даже превосходят призменные приборы.
Как следует из формул, например (103,6), и соответствующих графиков (например, рис. 130), даже для строго монохроматического излучения максимум интерференции имеет конечную ширину. Поэтому два
Рис. 131
V
монохроматических излучения с длинами волн и Х2 могут быть разделены решеткой только в том случае, если их интерференционные максимумы раздвинуты благодаря дисперсии на расстояние йф, которое превосходит их ширину бф (рис. 131, а). Если же, наоборот, t/ф меньше бф, то мак-
469
Симумы Интерференции Сольются и их раздельно будет невозможно наблюдать (рис. 131,6).
Пределом разрешения можно считать условие, когда максимум для волны Ai накладывается на ближайший минимум для волны Х2. (точка Р па рис. 131,5). В этом случае контуры интерференционных максимумов пересекаются на высоте, равной 0,42 7ф (суммарная интенсивность в середине будет 0,84 А]?). Величина dip находится из уравнения для дисперсии (104.2). Для определения предела разрешения обратимся к формуле (103.6) и воспользуемся выражением для второго дифракционного множителя:
. 9 Мяу / , 9 пу sirr--L / sin2—
А, / А
Условием максимума интерференции является у
Условием соседнего минимума будет	= У^л-фл.
Так как = Nkn, то
А
бу = —.
* N
(104.7)
Для нахождения величины бу продифференцируем формулу (103.3) по углу ф (остальные величины при этом остаются постоянными):
бу = бф — b cos (б -ф ф) бф. 5ф
Приравнивая последнее выражение величине бу из (104.7), получаем
бф =-------------.	(104.8)
bN cos (6 -у ф)
Приравнивая это значение бф величине Лр из (104.2), находим предельное спектральное расстояние 6А между двумя излучениями А] и Аг, которые еще можно зафиксировать как имеющиеся в суммарном излучении, т. е.
bN cos (6 -j- ф) b cos (6 + ф)
470
(104.12)
отсюда
— =——	(104.9)
Z kN
Величина 6%/% называется относительным пределом разрешения. Обратная ей величина, т. е. SR = %/6%, называется разрешающей силой решетки и характеризует способность решетки выделять квазимонохроматические излучения (с шириной спектра 6%). Следовательно, для 91 имеем
91 = kN.	(104.10)
Из выражения (103.8') следует, wo, например, для правильного отражения
k = 2ft cos <р ,	(104.11)
X
и разрешающая сила для этого случая будет равна:
_ 2Nh cos <р ~ %
Но Nh есть суммарная высота всех ступеней, a 2Nh cos ср— суммарная длина цуга волн, образуемых всей решеткой. Следовательно,
91 = 2Л'71 cos ср =	(104.13)
X
т. е. 9? равна числу длин волн, укладывающихся в результирующем цуге, образуемом решеткой.
Для других направлений это положение также остается справедливым, только несколько усложняются выражения для 91 через N, h, X, ср, 6, ф.
Дадим оценку добротности решеток в различных областях спектра, в том числе и в области сантиметрового, миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов волн. Сначала оценим эту величину в ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной областях спектра соответственно для длин волн 2000 А, 5000 А, 2 мк, 10 мк и 100 мк. Суммарная ширина решетки равна bN = D; пусть Д = 1ООЛ1М, h = %, g=3 %, тогда /? = 3,14%. Поскольку Ь и g очень
471
мало отличаются друг от друга, то положим, что b^g. Тогда N=D/g, и, следовательно,
(Ю4.14)
. g
Для данного случая h/g=~ , поэтому
91 = — — .	(104.15)
3 Л
Значения добротности решеток для упомянутых выше областей оптического спектра приведены в табл. 3.
Таблица 3				Таблица 4
Л		Л		
2000А	330000	300 1000	мк мк	670 200
5000А	130000	3	мм	67
2 мк	33000	'5	мм	40
10 мк	6700	10	мм	20
100 мк	670	3	см	6,7
1000 мк (1 мм)	67	10	см	2
Для микроволнового,. миллиметрового и сантиметрового диапазонов разрешающая сила (добротность) решетки размером 100 мм будет слишком мала, поэтому необходимо брать очень большие решетки (порядка 30 см или больше). Соответствующие указанным волнам значения разрешающей силы 91 (добротности) для решетки в 30 см даны в табл. 4.
Из табл. 3 и 4 следует, что спектральная эффективность дифракционных решеток в длинноволновой (инфракрасной) области, а также в областях субмиллиметровых, миллиметровых и особенно сантиметровых волн становится весьма ничтожной. Многолучевые интерферометры с делением амплитуды имеют добротности в этих участках спектра в тысячи и миллионы раз большие нежели добротности решетки,
472
§ 105. Ступенчатые решетки
Если у эшеллетной решетки h^>g и, кроме ТоГО, h.^> X (значения k порядка тысяч и десятков тысяч), то такая решетка получила название ступенчатой решетки, или эшелона. Прозрачную ступенчатую решетку иногда еще называют эшелоном Майкельсона, так как изобрел ее известный американский физик А. А. Майкельсон. Отражательный эшелон был осуществлен Вильямсом *.
Рис. 132	Рис. 133
На рис. 132 приведен ход лучей у отражательной ступенчатой решетки, а на рис. 133 — у прозрачной решетки.
Прозрачные ступенчатые решетки не нашли большого применения, так как с ними не удается получить разрешающую силу, намного превышающую разрешающую силу обычных эшеллет, у которых й~Х. Действительно, как видно из рис. 133, для случая <р = 0 и 0 = 0 разность хода соседних интерферирующих лучей 1 и 2 равна:
у = . ~ I. h,	(105.1)
X
* W. Е. Williams. Applications of the interferometry, London, 1930.
473
где ft— показатель преломления стекла. Если Число ступеней равно N, то разрешающая сила St будет:
= ЛЕ =1-JV/г.	(Ю5.2)
Л X
Более точный расчет приводит к формуле, учитывающей дисперсию в стекле:
-----------(105.3) \ A, d'f. J
Но обычно дисперсия в стекле значительно меньше числа (п—1)/А. Если 1,5, h= 1 см, N = 20, А = 5000 А, то 91=200 000. Такую же разрешающую силу можно получить с обычной отражательной эшеллетной решеткой с h = X и длиной 15 см, т. е. с решеткой меньших размеров, чем прозрачный эшелон с общей толщиной 20 см.
Для практического использования представляет интерес только отражательный эшелон. Так как трудности изготовления его исключительно велики, он почти не применяется в оптической области спектра, но используется в субмиллиметровой и инфракрасной областях, где не требуется чрезмерно высокая точность изготовления. С отражательным эшелоном можно работать только при очень малых углах ср и 0 и углах 6, близких к 90°.
Подставим в формулу дисперсии (104.1) выражение для k из (103.7) и заменим 6соз(6 + ф) следующим образом:
b cos (б + ф) = & cos б cos ф — bsin б sin ф =
= g cos ф — h sin ф.
После этих подстановок получим
с/ф   h (cos ф + cos ср) + g (sin ф — sin <р) dX	A (g cos ф— /гзшф)
Так как БШф^О, sincp^O, созфчгй, coscp^l, то с достаточной степенью приближение можем написать
(105.4)
d). gx
474
Для нахождения разрешающей силы используем выражение (104.10). Поскольку в этом случае
/г~2/г/Х,	(Ю5.5)
то
91 = —,	(105.6)
X
где Nh=H — полная высота ступеней эшелона.
Для угловой величины области дисперсии здесь будет служить формула
Дф=—,	(105.7)
g
которая легко может быть получена из (104.4). Равным образом из (105.4) и (105.7) для спектральной области дисперсии находим
ДХ = -^-_	(105.8)
Приведем численные примеры. Пусть имеем отражательный эшелон с -общей длиной 25 см, h= \ см, g=l мм. Тогда для длины волны Л = 5000 А получим следующие значения дисперсии и разрешающей силы эшелона:
= 400 000 рад 1см = 4-10~3 рад/А;
d}.
L = Для / = Ю3 мм L = 4 мм/А;
1/L = 0,25А/лш;
91 = 10е;
ДХ = 0,125А;
Дф = 5 -10 4 рад.
Эти данные показывают высокие качества отражательного эшелона. Однако многолучевые интерферометры с делением амплитуды намного превосходят отражательные эшелоны. Следует заметить, что отражательные эшелоны в принципе могут быть использованы
475
в вакуумной ультрафиолетовой области, хотя для этого требуется исключительно высокая точность изготовления, трудно достижимая на практике.
Также представляет интерес применение отражательных эшелонов в микроволновой области спектра. Если взять эшелон с общей длиной 1 м, /г=10 см, g = 2 мм, то для длины волны 1 мм будем иметь:
= 1000 рад 1см,
SR = 2000, SL = 50 мм
— линейная ширина для предела разрешения.
Приведенные цифры показывают, что отражательный эшелон можно применять в миллиметровой, микроволновой и инфракрасной областях спектра. Точность изготовления его может быть при этом не слишком большой.
§ 106. Вогнутые решетки
Особый случай дифракционных решеток представляют собой решетки, нарезанные на вогнутом зеркале. В этом случае решетка одновременно является и объективом коллиматора, и объективом камеры, благодаря чему ее очень удобно применять в ультрафиолетовой и инфракрасной областях спектра, где линзы сильно поглощают излучение.
Выражения для разности хода, а также для дисперсии, области дисперсии и разрешающей силы аналогичны таковым для плоской решетки, так что нет необходимости здесь подробно их анализировать. Особенности теории и методы установки можно найти в книге Сойера *.
§ 107. Синусоидальные решетки
Существенный интерес представляет дифракционная решетка, для которой распределение амплитуды а по фронту падающей на нее электромагнитной волны может быть записано в виде:
ах = a sin’-^- х,	(107.1)
* Р. С о й е р. Экспериментальная спектроскопия. М., ИЛ, 1953.
476
где
О0 а = ——, CD
(107.2)
ао — амплитуда волны на всем отверстии решетки; D — размер решетки в направлении х; С — размер решетки в перпендикулярном направлении (рис. 134). Следовательно, амплитуда электромагнитной волны по фронту
меняется по синусоидальному закону. Решетка с таким пропусканием по фронту волны называется синусоидальной решеткой.
Рассмотрим несколько более общий случай, когда пропускание решетки для амплитуды может быть записано формулой
ах - +esin-^- ху	(107.3)
что более соответствует реальным случаям. Величина Л в данном случае будет постоянной синусоидальной решетки. Расчет будем вести элементарным путем, аналогично тому, как это делается при рассмотрении дифракции на отверстии.
Колебание в элементарной зоне решетки dx может быть записано в виде:
ds'— ахС dx sin at,	(107.4)
где а = 2п/Т— циклическая частота электромагнитных колебаний, падающих на решетку. Элементарная зона решетки dx в точке х будет посылать в направлении угла дифракции 0 волну, запаздывающую по сравнению
477
с элементарной волной, посылаемой краем решетки О, на величину разности хода у, равную
у = х sin 6.	(107.5)
Элементарная волна от зоны dx может быть записана в виде:
ds = axC'dx sin (at — Ф),	(107.6)
где
O=-^-xsin0.	(107.7)
Подставляя в (107.6) выражение для ах из (107.3), будем иметь:
ds = ds1 + ds2 + ds3, где
dst = aC dx sin (at — Ф),
as.> ==----C dx cos co/ + (--------sin 0 ) x
i 2	(	< Л X J
, ка~, { , f 2л , 2л . n\ ds4 ~----C dx cos i at —---------sin 0 ) x
2	(	\ Л л J
На основании принципа супперпозиции можно раздельно вычислить колебания Si, s2„ s3 и затем их сложить. В результате вычислений получим:
sin с — пЛ"*/-)	nD sin 0		
	sin /	, nD sin 0 X	
			
ft£>sin0	\		A, J’	
			
	/ 1	sin0 X	
	sin nD —		  •	
eaCD	k A	к J ,	
			x	
2	/ 1	sin 0 X	
	nD 1 — —		
	\ A	x ;	
			(107.9)
X COS ^at	+ nD f — —	• a SX sin 0 Xi	
	k A	i 7Г	
	/ 1	sin0 X	
	sin nD — +		 )	
saCD	kA		
*3			X	
2	/ 1	sin 0 X	
			
	kA	X )	
X cos		sin 0 \)	
	X A	л	
478
Суммарная Волйа в направлении 0 будет выражаться суммой
5 У т — s:i	(107.10)
Рассмотрим каждую компоненту (107.9) по отдельности. Волна $i представляет собой излучение, даваемое отверстием с размерами CD, когда на нее падает плоская волна с амплитудой электромагнитных колебаний a0 = aCD. Волны s2 и s3— это излучения, возникшие вследствие дифракции на синусоидальной решетке. Максимумы дифрагированного излучения будут иметь место для волны s2, когда
sin0_-=+A;	(107.11)
для волны «з, когда
sin0 = —А.	(107.11')
Ширина дифракционного максимума для $i будет
Д0Х =
X
D ’
т. е. как и обычно для дифракции на прямоугольном отверстии.
Вычислим ширину максимумов для s2, условием которых служит (107.11). Для s2 первый минимум будет при условии
гл / 1	sin 0' \
It D I	“ I — Л,
\ А X	J
откуда
А, . Д/
------sin0 = л
А
D '
Так как для $2 имеем X/A = sin0, то sin 0 — sin 0' = К/D.
Преобразуя это равенство, получаем
о • е — 6'
2 sin--------
2
COS
е+ е' __
2 D ’
479
следовательно,
АО, =
Л £>cos0
(107.12)
Аналогичное выражение будет и для А0з. Значение 0 определяется из формул (107.11) и (107.1 Г).
Дисперсия такой решетки следует из (107.11):
d& =	1
dk Л cos 0
(107.13)
а разрешающая сила, как это легко получить из (107.12)
и (107.13):
«К = -£sin9 = JL = N,	(107.14)
А Л
где N — число периодов решетки, содержащихся во всей ее ширине D. Максимумы, соответствующие условиям (107.11) и (107.1 Г), получили название спектров «плюс первого» и «минус первого» порядка.
Для любой другой решетки с периодической пропу-скаемостью электромагнитного излучения, задаваемого выражением:
ОО
ах = а{1+ ^eAsin(-^-x + %^j, (107.15)
где и — некоторая константа для каждого члена суммы, будем иметь спектры ±&-го порядков для каждого члена суммы (107.15), амплитуды которых могут быть записаны в виде:
kmCD ak = —-----
й 2
/ sin 0 k sin nD ( -------- ± —
\ А Л
/' sin 0 nD ---------
( А Л
(107.16)
k
Величина ai = P]'K2CD, P — световой (энергетический) поток.
Интенсивность (сила света) определится квадратом амплитуды. Максимумы, или иначе спектры ±&-го порядков, будут определяться условиями:
sin0ft=±A^-s	(107.17)
480
Рассмотренный здесь способ разложения электромагнитного поля на произвольной решетке в виде полей суммы синусоидальных решеток имеет преимущества в ряде случаев, например при исследовании дифракции света на ультразвуковых волнах.
§ 108. Погрешности решеток, «духи»
У решеток обычно наблюдаются погрешности, вызывающие вблизи максимумов разных порядков появление ложных слабых максимумов, которые получили название «духи». Их можно при недосмотре спутать с реальными слабыми спектральными линиями. «Духи» появляются вследствие дополнительной периодичности в интенсивности фронта волны, обусловленной периодическими ошибками при нарезке решеток. Для анализа явления «духов» очень наглядным является способ разложения фронта электромагнитной волны на синусоидальные компоненты.
При наличии дополнительных периодичностей амплитуда электромагнитного поля на решетке может быть записана в виде:
ах =: с Н 4
Ct)
/=1
А
(108.1)
где их, а, zk, %, Л, ид. имеют прежний смысл; g— новый период в распределении амплитуд; гр — амплитудный коэффициент i-й гармоники новой периодической структуры; Jp — постоянный член для данного i. Период g^>A, что упрощает рассмотрение этого явления.
Из-за наличия такой многократной периодичности в дифракционном поле появляются, кроме членов вида (107.15), члены следующего вида:
а’ _
ik —
„ „ sin лО Вд^Я-С-Р 
sin 0	1
—\	±
л	Л'
(108.2)
4
IG1/^ Ф- А. Королев
481
ai.k =
f sin 9 IX
„ sin aD ( —-— d--------
e^a-C-D kA, ~ A" J
где
(108.3)
f sin 0
kg — iA
kg + iA '
(108.4)
Следовательно, новые максимумы возникнут для направлений 6, удовлетворяющих условиям:
sin 0' = ± — (k — i — V
Л k	Н’
sin0" = ± A (k + i — V Л <	g л
(108.5)
Таким образом, около главных максимумов, определяемых условиями (107.17), т. е.
sin0ft = + &Х/Л,
появляются побочные максимумы, определяемые условиями (108.5). Эти максимумы во много раз менее интенсивны нежёли основные максимумы дифракции. Они и представляют собой «духи». При конструировании решеток необходимо свести к минимуму интенсивности «духов». Если периодическая структура с периодом g велика, то «духи» могут сделать решетку непригодной для употребления.
§ 109. Дифракционные решетки как генераторы когерентного света
Если дифракционную решетку возбуждать каким-либо образом с помощью извне подводимой энергии, то она становится генератором когерентного света. Так, в диапазоне радиоволн решетка может быть сделана в виде отдельных вибраторов, которые питаются от генератора высокой или сверхвысокой частоты. В зависи
432
мости от фазовых соотношений между колебаниями в отдельных вибраторах антенны она будет обладать той или иной характеристикой направленности.
В ряде случаев, если отдельные проводящие штрихи решетки изолированы друг от друга, колебания в решетках возбуждаются ю помощью пропускания через них искрового разряда. Электронное возбуждение решеток было рассмотрено в гл. 7. Одной из возможностей возбуждения когерентного излучения решеток является их нагревание до достаточно высокой температуры, когда решетка может под некоторыми углами испускать волны определенной длины.
Глава 17
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
§ ПО. Геометрическая оптика . как предельный случай волновой оптики
Когда электромагнитные волны имеют неограниченные размеры волнового фронта, как это, например, имеет место в случае плоских волн с бесконечно большими размерами фронта волны или в случае сферических волн, то мощность электромагнитных волн распространяется в направлениях, нормальных к поверхности фронта волны. Эти нормали можно принять за световые лучи и в этом случае распространение света идет по прямым линиям. Поэтому можно рассматривать распространение света в виде лучей, которые представляют собой бесконечные совокупности бесконечно малых цилиндров или. конусов, внутри которых течет электромагнитная энергия.
При ограниченных световых фронтах в общем случае невозможно рассматривать явления распространения света на основе представления о световых лучах из-за дифракционных явлений. При распространении света в неоднородной среде возникают явления искривления лучей. Однако при определенных условиях* и в неоднородной среде даже для волнового фронта конечных раз
* С. М. Рытов. Доклады АН СССР, т< 18, 1938, стр. 263. Труды физического института АН СССР им. П. Н. Лебедева, т. II, вып. 1, 1940.
484
меров возможно применение понятия световых лучей или, как говорят, возможен переход от волновой к геометрической оптике, при котором геометрическая оптика оказывается предельным случаем волновой оптики.
Не касаясь всех аспектов применения геометрической оптики, рассмотрим наиболее принципиальные ее положения и следствия из них, а также некоторые выводы, имеющие существенное значение для практической оптики.
Предположим, что распространение света происходит в изотропной, но неоднородной среде без поглощения. Следовательно, скорость волны и амплитуда волны будут функциями координат (а вообще говоря, они могут быть и функциями времени). Любая из компонент электрического или магнитного поля световой волны подчиняется волновому уравнению:
Л2/7
-------и2(х, у, z)y2E = 0,	(110.1) or
где Е— произвольная компонента поля (Е или Н); v(x, у, г)—скорость света в рассматриваемой точке среды (х, у, z). Исследуем распространение монохроматических световых волн:
Е = Ео (х, у, г) eiai,	(110.2)
где Ео(х, у, г) — амплитуда колебаний световой волны в точке (х, у, z); со — циклическая частота колебаний.
Подставляя (110.2) в (110.1), получаем
г.-» 2
V2E0 + -^-------Ео = О.	(110.3)
о2 (х, у, Z)
Это уравнение называется уравнением монохроматической волны. Будем искать его решение в виде:
Ео = с (х, г/, г) е*г7г/-О'^.г);	(110.4)
где а(х, у, z) — амплитуда, медленно меняющаяся, от точки к точке; L(x, у, z) — оптическая длина пути светового луча как функция х, у, z; /? = 2лД, X — длина волны в вакууме. Предположим, что волновое число k очень велико, т. е. речь идет о коротких световых волнах. По-
Wa*	485
нятие короткой световой волны будет дополнительно уточнено.
Уравнение (110.3) можно переписать в виде:
V2E0 + n2kzE0 — О,
(110.5)
где п— показатель преломления среды, являющийся в данном случае функцией координат; k— волновое число.
Найдем производные от Ее:
=	_ tka e~ikL,
dx \ дх	дх J
d2E0 ( д2а ., Го да dL , d2L "I
dx2 I <3x2	dx dx dx2
(110.6)
,2 ( dL >2i
— k a — e~tkL. \ dx } \
Теперь, подставив (110.4) и (110.6) в (110.5), получим &2а {^2 __ ।	|2| _ |2 (у/а) (\/Т) + cvsT} +
+ V2a = 0.	(110.7)
Поскольку k очень велико, то вторые члены в (110.7) часто оказываются пренебрежимо малыми по сравнению с первым членом и тогда уравнение (110.7) переходит в приближенное:
Функция L(x, у, z), являющаяся решением (110.8) для любого п(х, у, z), приближенно представляет собой поверхность равных фаз. Ее называют эйконалом, а уравнение (110.8)—уравнением эйконала. Это уравнение является основой геометрической оптики. Его можно выразить в виде:
|уЕ|=п,
или
gradL — — п, 6	k
(110.8')
486
где k определяет направление нормали к поверхности L(x,y,z).
Уравнение (110.8z) можно записать в виде производной по направлению, т. е.
dL ds
k ,	.
= ~ п(х, у, г), k
(107.8")
Таким образом,
L (х, у, г) = ~ С п (х, у, z) (k • ds).
(110.9)
Рассмотрим условия, при которых можно пренебречь вторым и третьим членами в (110.7), для чего сравним второй и третий члены с первым. В этом случае получим следующие неравенства:
kan2 > 2(v«) (v^)> An2 (ф> v2T, fe2a2 > V2fl>
(110.10)
которые надо оценить по абсолютным значениям величин. Так как \yL\ *=п, то из первого выражения имеем kan или
L I да п I дх
< л | а |,
(110.11)
где 'Kln—'k' — длина волны в данной среде.
Такие же соотношения должны иметь место для [ да[ду [ и \да/дг\. Вторая производная от L связана с кривизной поверхности. Если имеем плоскую кривую L = f(x), то ее кривизна выражается формулой:
ТЕ,
	A Y% (1+^-1 \	dx J
Так	dL как в нашем случае 	 stn, то, следовательно, дх d2L (110.12') (1 +
487
г-т	1
Поскольку радиус кривизны фронта волны pL=—>то,
д2Ь
полагая у2Л~----------, второе условие (110.10) можем по-
дл2
реписать:
1	„ ktl2
п)я/3
Но га2/(1 ф-ц)8/« х/а и поэтому
Рп » — 
Л
(110.13)
(110.14)
Третье условие по аналогии с (110.14) можно трактовать ic точки зрения кривизны поверхности равных амплитуд а(х, у, z) = const. Если через ра обозначить радиус кривизны поверхности равных амплитуд, то третье условие перепишется в виде:
2лра/Г > Г/2ла2.	(110.15)
Из второго неравенства (110.10) можно вывести еще одно условие. Если написать, что
I v2^l = I v (v^) I = I vH
то
V
5/1 I //
------ <<f 2м dx I
(110.16)
и т. д.
Наконец, нужно принять во внимание, что фронт волны на практике всегда имеет ограничения. Поэтому, чтобы можно было пренебречь дифракционными явлениями из-за ограничения общих размеров фронта волны, которые будем характеризовать линейной величиной D, необходимо, чтобы выполнялось условие:
D»V.	(110.17)
Полученные неравенства дают условия перехода от волновой к геометрической оптике:
1)	изменение амплитуды, на длине световой волны должно быть много меньше величины самой амплитуды;
2)	радиус кривизны волнового фронта должен быть много больше длины световой волны;
488
3)	радиус кривизны поверхности равных амплитуд, отнесенный к длине волны, должен быть много больше длины световой волны, деленной на квадрат амплитуды волны;
4)	изменение показателя преломления на длине световой волны должно быть много меньше величины показателя преломления;
5)	линейные размеры фронта световой волны должны быть много больше длины световой волны.
При указанных условиях волновыми свойствами света, приводящими к дифракционным явлениям, можем пренебрегать. Эти условия не соблюдаются в точках изображения предметов и соответственно в фокусах оптических систем. Они не соблюдаются при прохождении света в мутных средах, при прохождении поверхностей с поглощающими экранами и в других случаях, когда в среде имеются резко меняющиеся оптические неоднородности. Во всех этих случаях приближенные законы геометрической оптики совершенно неприменимы.
§ 111. Распространение света в среде по законам геометрической оптики
Рассмотрим распространение света в квазиоднород-ной среде, подчиняющейся условиям (110.11), (110.14), (110.15), (110.16) и (110.17). Положим в выражении (110.7) второй и третий члены равными нулю. Воспользуемся равенством нулю второго члена, т. е.
2 (Va) (V^) +	= °-	О11-1)
Выберем следующую систему ортогональных криволинейных координат: две координаты р и q будут линиями на поверхности L — const, а третья координата s совпадает с линией grad L. Найдем выражение для у2 L:
\2L = div (\/А) = lim -------,	(111.2)
ду->о AV
где (yjL)n — нормальная составляющая gradL к элементу поверхности dS; ДР — объем, охватываемый поверхностью 2. Выражение (111.2) можно переписать следующим образом:
489
= lim
Д >0
dL \ ds /
AS-ds
J____— ( — АЗЛ .
AS ds \ ds J '
(111.3)
Здесь ДЕ'(-^Л и ДеГ^--'1—потоки gradL через по-верхности ДЕ' и ДЕ, ортогональные к grad L; AEds = = ДИ— объем, ограниченный поверхностями ДЕ' и ДЕ и
Рис. 135
касающейся их границы' поверхностью с образующими линиями gradL (рис. 135). Найдем теперь выражение для (W)(VL):
(V«)(V^) = -^	(Н1.4)
as ds
Следовательно, формула (111.1) перепишется в виде:
2——+ —— (дЕ—Y (1П.5) ds ds AS ds ( ds J
Так как = n, to (111.5) можно переписать следую-ds
щим образом:
	da 2	 ds	d О	(111.6)
	а	— и.	
Из (111.6) или	следует 2 In а + In (пДЕ) = const (р, q) na2^=^f2(p, q) ДЕо,		(1Н.7)
490
й = 1/	(111.8)
и «AS
Следовательно, световое поле может быть выражено формулой
Е = 1 /	9)е^^-Аад;._	(Ш.9)
Поток мощности, определяемый вектором Умова— Пойнтинга S по абсолютной величине, будет равен:
P = SA2-- —Е2Д2 = ^-/2(р, ?)А2П. (111.10) 4л	4лл	u
Если свет сначала проходил через площадку ASe, а затем пройдет через площадку AS (рис. 136), ограниченную линиями, уравнения которых p = pi = const,
Рис. 136
Ч = <7i=const; p = p2 = const, v = 92=const, то f2AS будет величиной постоянной. Следовательно, световой поток распространяется без изменения величины внутри трубки, ограниченной Цилиндрической поверхностью с образующими линиями grad L, т. е. криволинейными лучами света 5. Если AS->0, то световая трубка будет стягиваться в линию, которая в пределе и представляет луч света.
491
§ 112. Принцип Ферма
Соотношение между градиентом L и показателем преломления п как функцией координат позволяет установить положение геометрической оптики, называемое принципом Ферма: время пробега светового луча между двумя точками пространства представляет собой минимум (в смысле экстремума). Запишем соотношение между L и п в виде:
gradL = — kn (х, у, г).	(112.1)
k
Так как rot grad = 0, то
ф nkdl =-- rot (krijdh = 0,	(112.2)
I	2
где I — произвольный контур интегрирования. Выберем этот контур таким образом, что часть его будет проходить по истинному лучу 5 (рис. 137) между точками А и В, а другая часть — по кривой АСВ, которая не
Рис. 137
совпадает с направлением луча света АВ\ I — источник излучения, находящийся в квазиоднородной среде, в ко торой от него распространяется свет по криволинейным лучам 1, 2, 3,...
Тогда интеграл (112.2) может быть переписан в виде:
У n(kdl)A~ j* fends = 0.	(112.3)
АСВ	s
492
Теперь можно написать n(kdl) | < j* kndl, АСВ	АС В
тогда
L — п ds < j" п dl. s лев
Таким образом,
L = У nds = min. s
Это соотношение выражает принцип Ферма.
Заменяя n = clv, формулу (112.5) можем виде:
С ds	f‘	dl
,1 v	J	v	’
S	АСВ
ИЛИ
t (х, у, г) = С--—— = min,
J v(x,y,z)
s
(112.4)
(112.4')
(112.5) записать в
(112.6)
(112.7)
где /(х, у, г)— время пробега луча.
Это выражение есть другая математическая формулировка принципа Ферма. С помощью принципа Ферма, варьируя выражение (112.7), можно установить геометрические закономерности для световых лучей в каждом конкретном случае. В частности, этим путем могут быть получены законы отражения и преломления света на границе раздела двух сред.
§ 113. Идеальные оптические системы
Выяснив условия для применимости чисто геометрических законов распространения света вдоль линий, называемых лучами, которые в общем случае квазиодпо-родной среды будут криволинейными, рассмотрим прохождение света через среду, которая представляет собой совокупность различных строго однородных сред, разделенных резкими границами. Эти границы раздела являются поверхностями, отделяющими среды с различ-
17 Ф. А. Королев
493
ними показателями преломления п\, п^, п3, пк, ... Будем рассматривать системы, представляющие собой совокупность прозрачных сред, ограниченных сферическими поверхностями, центры которых лежат на одной прямой, называемой оптической осью системы.
Для понимания закономерностей прохождения света через всю систему выясним сначала явления, возникающие при прохождении света из одной среды в другую через сферическую границу раздела. Причем в первую
Рис. 138
очередь ограничимся такими случаями, когда углы, образуемые лучами света с оптической осью, невелики. Кроме того, будем рассматривать явления, когда лучи света проходят близко от оптической оси. Это будет соответствовать случаю гауссовой параксиальной оптики (по имени ее автора Гаусса). Найденные здесь закономерности служат основой теории идеальных оптических систем.
Реальные оптические системы отличаются от идеальных тем, что они обладают аберрациями. Поэтому теория идеальных оптических систем при переходе к реальным системам должна быть дополнена теорией аберраций.
Рассмотрим преломление на сферической поверхности (рис. 138). Лучи света выходят из точечного источника А, лежащего на оптической оси АОА'. После преломления в точке М луч света AM идет по МА', пересекая оптическую ось в точке А', которая является изображением точки А, так как в ней сходятся лучи, в част-
494
пости лучи АМА' и АОА'. Пусть началом координат считается вершина поверхности О, положительными отрезками— отрезки, откладываемые от вершины (или вообще от преломляющей поверхности) вдоль распространения света, а отрицательными — отрезки, идущие в противоположном направлении. Углы отсчитываются от оптической оси или нормали к преломляющей поверхности. Они будут положительными при отсчете по часовой стрелке, и наоборот. При распространении света слева направо вертикальные отрезки, направленные вверх от оптической оси, считаются положительными, при направлении вниз — отрицательными. Кроме того, будем считать, что все углы и, и', и", ф и гр малы. После этого можно написать, если в буквенных обозначениях углов и отрезков понимать их абсолютные значения:
tg (— и) =----,
— 3
tg«'=4>	(113-D
S
tg и" = — . г )
Кроме того, из закона преломления имеем
п sin <р = п' sin гр'.	(113.2)
Из рис. 138 находим
Ф — гр = и — и', (р = и — и".
(113.3)
Вследствие малости углов вместо (113.2) запишем:
Пф = п 'гр.
(113.4)
Если умножить первое равенство (113.3) на п', а второе на (п'—п) и вычесть второе равенство из первого, то в результате будем иметь:
+ — — — = 0.	(113.5)
г	s s'
17*
495
Преобразуя его, получим
-2^sl. =	.	(113.6)
s'	S
Если это соотношение разделить на г, то оно может быть переписано следующим образом:
п'(------1-\ = п(Л-------LA.	(113.7)
\ г	8 J \ Г	S }
Величина
Q = n'f-------=	------(113.8)
\ г s' /	\ г ' s J
называется нулевым инвариантом Аббе.
Формула (113.5) дает связь между расстояниями s и s' от вершины О до источника света А и его изображения А', между свойствами преломляющей поверхности и разделяемых ею сред (г, п, п').
Если изображение А' лежит в бесконечности ($'=оо), то s=f называется передним главным фокусом преломляющей поверхности и определяется формулой
f =-------.	(113.9)
п’ — п
Если же s = oo (Л лежит в бесконечности), то s'=f' называется задним фокусным расстоянием преломляющей поверхности и для него служит формула
/' = —.	(113.10)
п' — п
Умножая (113 9) на п', а (113.10) на п и складывая их, получаем
n’f + nf = 0.	(113.11)
Если имеется не одна преломляющая поверхность, а целая система коаксиальных сферических преломляющих поверхностей, разделяющих среды с показателями преломления Пэ, П[, щ, пк (рис. 139), то уравнение (113.5) может быть записано в более общем виде:
~	_ 21* = о. (113.12)
rk	sk-l sk
496
Если с помощью сферической преломляющей поверхности происходит отображение не точки на оси, а целого отрезка, перпендикулярного к оси, то изображение его будет также отрезком, коллинеарным предмету. На рис. 140 дано отображение отрезка АВ через преломляющую поверхность 5. Изображение точки А, лежащей
Рис. 139
Рис. 140
на оси, находится в точке А', которая также лежит на оси. Если повернуть оптическую ось вокруг центра кривизны С преломляющей поверхности, то точка А переместится в точку Bi, а' точка А' перейдет в точку В\. Однако в случае параксиальной оптики, где все углы малы, дуги ABi и А'В^ можно заменить отрезками АВ и А'В', касательными к ним в точках А и А'. Отрезок А'В' является отображением отрезка АВ. Значит, s случае параксиальных лучей малый отрезок, перпендикулярный к оптической оси, отображается малым отрезком, также перпендикулярным к оптической оси. Такое отображение называется коллинеарным.
Из рис. 140 можно определить увеличение, которое получается при коллинеарном отображении. Обозначим АВ = у, А'В'=у', тогда увеличение U будет выражаться формулой
U = уЗ =	=	.	(113.13)
у AC s — г
497
Из (113.1) имеем
,	, >	V
s tg u
из фоомулы (113.6) для отношения----------следует
S — г
Подставляя полученные отношения в (113.13), находим
(/ =	= -”tg - .	(113.16)
У п' tg и'
Из формулы (113.16) следует, что
nytgu = n'y'tgu'.	(113.17)
Эта формула является математическим выражением теоремы Лагранжа—Гельмгольца. Она записывается в более общем виде:
пу tg и = const	(113.18)
и называется инвариантов, коллинеарного отображения.
Из (113.13) и (113.15) вытекает, что
П = —.	(113.19)
п' S
Если отображение производится через систему сферических поверхностей, то изображение, даваемое одной поверхностью, является «предметом» для следующей поверхности (см. рис. 139). Центрированная оптическая система сферических поверхностей дает от светящейся точки А ряд изображений Ah Az, Аз, ... в последующих оптических средах. Итак, исходящий из светящейся точки гомоцентрический (имеющий один центр излучения) пучок параксиальных лучей системой центрированных сферических поверхностей, отделяющих различные преломляющие среды одну от другой, опять превращается в гомоцентрический пучок.
В случае отображения предметов (рис. 141) можно сформулировать следующее: если в плоскости, проходя-498
щей через точку А, помещен предмет АВ, перпендикулярный оптической оси, то при отображении в системе сферических поверхностей получается последовательный ряд изображений, перпендикулярных оси: А'В', А"В", А'"В'" и т. д.
Для системы k сферических поверхностей увеличение выразится формулой, аналогичной (113.19):
Uk — — ... — ,	(113.20)
Hfo $1 Sg	Sk
где по — показатель преломления среды, в которой находится предмет.
В центрированной оптической системе поверхностей существуют две такие сопряженные точки на оптической оси, в которых линейное увеличение равно единице, т. е.
t7= + l.	(113.21)
Следовательно, изображение предмета оказывается равным самому предмету и прямым. Эти особые точки называются главными точками системы. Все лучи, которые проходят через одну главную точку, проходят и через вторую. Если через главные точки провести плоскости, перпендикулярные к оптической оси, то каждая из точек одной плоскости изображается точкой другой плоскости так, что все точки этих плоскостей конгруэнтны. Эти плоскости называются главными плоскостями системы.
Установим существование главных плоскостей и главных фокусов оптической системы. Если на систему падает луч LM, параллельный оптической оси (рис. 142),
499
то после прохождения оптической системы он пересечет оптическую ось в точке F2, называемой задним, или вторым, фокусом системы.
Наоборот, если параллельный оси луч L'M' падает с другой стороны системы, то он пересечет оптическую ось в точке Fr, называемой передним, или первым, главным сроку сом системы. Пересечение лучей LM и NFlr а также лучей L'M' и N'F2 определит положение точек
N и N', являющихся сопряженными, так как лучи, проходящие через одну из точек (М), проходят и через другую точку Следовательно, N' является изображением N. Равным образом отрезок N'H2 является изображением отрезка NHi, причем увеличение {7= + 1.
Знание главных точек и плоскостей системы позволяет построить изображение, даваемое произвольной оптической системой. На рис. 143 приведен пример построения изображений. Здесь АВ— предмет, А'В'— его изображение, F\ и F2— главные фокусы, HY и Я2— главные плоскости системы. Метод построения ясен из рисунка и особых пояснений не требует.
Если обозначим FiA=x, F2A'=x',	H2F2=f',
то
xx’ = ff'.	(113.22)
Это соотношение называется уравнением Ньютона. Обозначим АНг = s, А'Н2 = s', х = s — f, х' =s' — f. Из (113.22) можем написать
= Z
/ х'
590
или
2L+1 =Л + 1> f	х'
откуда имеем s ______________________ s'
/ s' — f'
Преобразуя последнее выражение, находим
_L + _L = i.	(пз.23)
s s'
Формула (113.23) дает возможность вычислить положение изображения, когда задано положение предмета, известны положения главных фокусов и главных плоскостей системы.
Найденные выше законы для идеальной оптической системы, справедливые для параксиальных лучей, будем
считать справедливыми и для пепараксиальных лучей, если только для них существуют идеальные оптические системы. В действительности для непараксиальных лучей свойства оптических систем более или менее уклоняются от свойств идеальных систем. Эти отклонения учитываются теорией аберраций, на основе которой добиваются того, чтобы выбранная для тех или иных целей непараксиальная оптическая система как можно меньше отклонялась от идеальной оптической системы,
501
§ 114. Простейшие оптические системы. Линзы
Наиболее простой оптической системой является линза, которая представляет собой тело из прозрачного вещества (стекло, кристаллы и т. д.), ограниченное двумя сферическими поверхностями Si и S2 (рис. 144).
Пользуясь выражением для нулевого инварианта Аббе (113.8), можем написать для преломления через первую поверхность:
(114.1)
и через вторую поверхность:
=	----------------------------И. (114.1')
\ /'2	«2 /	\ Г2 S2 J
Введем обозначения: $1 = a, s'2 = b. Будем считать, что линза тонкая и окружена веществом с показателем преломления rii=n'2 =1, а показатель преломления вещества линзы равен п. Тогда = « и sj =s2. Следовательно, инварианты Q,nQ2 можно записать в виде’
(114.2)
Тогда, исключая 1/sJ, получим формулу для тонкой линзы:
4-—L = (n —1)Г-------------L\ (114.3)
о а	\ ri r3 J
502
Для ТОЛСТОЙ лййЗЫ й может быть выражено как 52=5/—I. Величина f, определяемая выражением
4-=(°-1)р-----LY (И4.4)
Г	\ rL г2 /
называется фокусным расстоянием, линзы, a 1/f — оптической силой линзы.
Для линз конечной толщины фокусные расстояния отсчитываются от главных ее плоскостей. Если переднее и заднее фокусные расстояния толстой линзы обозначим через f и f', то для них будет служить выражение:
1	1	/ п (/ 1	1 \ , п — 1 I
— = (»-1) (-----------------+------------
f I	1x^1	12 / П 1 1Г2
(114.5)
Расстояния главных плоскостей от вершин даются формулами:
— + (« — !)/
линзы
(114.6)
Я(Г2— /'!)-+(«— 1)1
где а — расстояние от первой вершины линзы до первой главной плоскости; |3 — расстояние от второй вершины линзы до второй главной плоскости.
По форме ограничивающих поверхностей линзы бывают двояковыпуклые, выпукло-вогнутые, вогнуто-выпуклые, плоско-выпуклые, плоско-вогнутые и двояковогнутые. Более сложной оптической системой является система из двух линз, изображенная на рис. 145. Здесь Hi, Н> и Hi, Н2—главные плоскости первой и второй линз. Расстояние D между плоскостями Н2', Hi" называется оптическим интервалом системы. Значения фокусных расстояний системы линз f и / и расстояния hi и h2 ее главных плоскостей Hi, Н2 от главных плоскостей со
ставляющих линз определяются выражениями:
1_ 1 __ _1_ Д D * f ~ Г ~ /1 h	/1/2 ’
(И4.7)
/1 + /2 — -О
503
где fi и fz — фокусные расстояния первой и второй линз, hi = Hi'Hi,	Для тонких линз D просто равно
, Рис. 145 расстоянию между линзами, (составляющими систему, а величины /, а и р в выражениях (114.5) и (114.6) должны быть равны нулю.
§ 115. Теория углового эйконала
Рассмотренные в § 114 идеальные оптические системы могут быть проанализированы с более общей точки зрения на основе закономерностей, которым подчиняются явления в оптических средах с переменными показателями преломления. Одним из таких методов может быть принцип Ферма или аналогичные ему формулировки, связанные с исследованием оптической длины светового пути в той или иной системе. Разновидностью общих методов исследования оптических систем является метод эйконала, который пригоден для анализа не только идеальных оптических систем, но и реальных систем, обладающих теми или иными аберрациями.
Функция, называемая эйконалом, как следует из (110.9), может быть выражена интегралом, который для точек предмета Р(х, у, z) и изображения Р'(х', у', z') запишется в виде:
р’
L (х, у, z; х', у', г’) — — j п(х, у, z) (kds). (115.1) _ р
Если же взять вместо (k-ds) его выражение через элемент луча ds=\ds\,то, имея ввиду, что (kds) =kds, получаем
504
р'
L(x, у, z; х’, у', z') = J п(х, у, z)ds. (115.2) р
Рассматривая L как функцию Р, т. е. функцию точек пространства предметов, можем написать
gradpZ. = — п (х, у, z) s,
где s — единичный вектор вдоль луча в предметов.
Для пространства изображений
gradp, Л = гг' (х', у', z') s',
(115.3)
пространстве
(115.4)
луча в пространстве значением показателя
где s' — единичный вектор вдоль изображений. Здесь луч задается
Итак, для характеристики светового луча необходимо задать точку, через которую он проходит, и характеристику этой точки — показатель преломления п(х, у, z), а также вектор s (или s'), указывающий направление луча. Однако, кроме этого, необходимо еще связать проходящие через систему лучи с другими, определяющими свойства оптической системы.
Выберем для этого две точки Р и А в пространстве предметов (рис. 146) с радиусами-векторами г, а и две
505
точки Pz и А' в Пространстве изображений, характеризуемые радиусами-векторами г', а'. Расстояние между точками Р, А и А', Р' обозначим соответственно через р и pz. Точки А и А' для определенности выберем на оптической оси хх (см. рис. 146), т. е. точки А и А' будут иметь координаты (а, 0, 0) и (а', 0, 0). После введенных обозначений для расстояний между точками Р, А и точками Р', А' можем написать следующие выражения:
р = г-—а, р' = г’ — а'.
Вместо (115.3) и (115.4) напишем
(115.5)
(115.6)
или в дифференциалах:
dL — —ns ds + n's' ds'.
Но величины
s ds = s dp, s' ds' = s' do'.
Таким образом, будем иметь
dL = — п s dp + n's' dp'.
(115.7)
(115.8)
(115.9)
Произведем преобразование Лежандра в последнем выражении:
dL = — nd (s р) + пр ds Ц- n'd (s'p') —n’p' dp' (115,10)
и введем новую характеристическую функцию:
W = L-\-n's'p'— nsp.	(115.11)
506
Тогда для дифференциала этой функции с учетом (115.10) можно написать
dW = npds— n'p'ds'.	(115.12)
Функция IF называется угловым эйконалом Шварцшильда. Она равна оптической длине пути между основаниями N и N' перпендикуляров, опущенных из точек А и А' на направления лучей s и s'. Действительно, оптическая длина пути между точками Р и Р' равна В; NP = —nsty, N'P'—n's'p'. Оптический путь между ,N и N' равен сумме: L+PN+P'N'=L+n's'p'—nsp. Следовательно, геометрическое выражение для W может быть записано в виде:
W = n(NM) + n’(MN") = n(NM) — п' (N'M). (115.13)
Из выражения (115.12) следует, что угловой эйконал Шварцшильда является функцией величин s и s', т. е. единичных векторов вдоль световых лучей в пространстве объектов и изображений. Обозначим компоненты этих векторов через т, р, q и соответственно т', р', q'. Между этими компонентами имеет место соотношение:
m2 + p2 + <73 = m'2 + p,2 + 9,2= 1.	(115.14)
Следовательно, в каждом случае независимыми переменными являются только две величины из трех. Выберем в качестве независимых переменных р, q и р', q', тогда
т — У1 •— р2— q2, т' =1^1 — р'2 — q'2.
(115.15)
Заменим теперь р и р'в выражении (115.12), а также ds и ds' через их компоненты по осям х, у, z, тогда будем иметь следующее соотношение для dW-.
dW = п (рх dm + ру dp + рг dq) —
— n'(p'xdm' + р'уйр' + ydq'), (115.16)
507
или, заменяя dm и dm' через dp, dq-, dp', dq' согласно (115.15), получаем
dW = n [-- pjdp + (pz — pЛ dq\ —
l\ ‘ m J \	mJ)
— n'~m7P'x) dq'}
Если компоненты по осям рл, р4„ рг и р', р' р' теперь заменить через компоненты векторов г, а и г', а':
Рх = х — а, ру = у, р2 = z, Р'х = х’ — а’, р'у = у', р; = г',
то можно написать следующее соотношение для дифференциала dW по переменным р, q и р', q’-.
— п'\[у' — -----—p'^dp'-V	-------— dq'] . (115.18)
1\	т' j \	tn' ) j
Если возьмем частные произведения от W по переменным р, q и р', q', то получим следующие уравнения:
(115.19)
Определим физический смысл найденных выражений, для чего проведем в пространстве предметов и изображений плоскости Xi=a и Xi=a' (рис. 147). Тогда луч пересечет эти плоскости в точках Q (a, Y, Z) и Q'(a', Y', Z'). Найдем соотношение между координатами точек Р, Р' и Q, Q'. Они линейно связаны между собой, и поэтому можно написать
508
X — а — х —Till t Y = y + pi, Z = z + ql,
(115.20)
где / — некоторый параметр.
Определяя из первого выражения (115.20) величину I и подставляя ее в формулы для Y и Z, получаем
У = у----— (х — а),
пг
Z —z-----— (х— а),
т
(115.21)
Аналогично для У' и I' будем иметь:
У' = У'----— (х' — а'),
т
Z' = г'----q—(x'— а),
т'	'
Уравнения (115.19) ьожно переписать для
X, Y, X, Y':
dW	-z
др	dq
dW ,v, dW
---- — — fl I >	--- =
dp'	dq'
(115.21')
параметров
(115.22)
509
т. е. частные производные W по р, q и р', q' дают координаты точек пересечения лучей с плоскостями, перпендикулярными к оптической оси.
Если точки а и а' совпадают с началом координат, то
а = О,
У = у — — х, т
Z = z — — х, т
а' = 0;
У = У' ~ А х’ т
Z' = z'------q-- z'.
т/
(115.23)
В этом случае функция W дает оптическую длину пути луча между основаниями перпендикуляров N и N', опущенных из начала координат на направление луча в пространстве предметов и изображений (см. рис. 147), т. е.
W = n(NM)-\-n' (MN').	(115.24)
В предыдущих выражениях значения величин т, р, q и т', р', q' не ограничивались. Следовательно, рассмотренный метод применим как для случая параксиальной оптики (диоптрика Гаусса), так и для случая реальных оптических систем, когда необходимо учитывать отклонения от идеальности. Применение метода эйконала позволяет учесть аберрации оптических систем.
§ 116. Угловой эйконал для сферической преломляющей поверхности
Рассмотрим теперь практически наиболее важный случай: преломление на сферической поверхности, разделяющей оптические однородные среды с показателями преломления п и п' (рис. 148). Радиус сферической поверхности равен го. Уравнение окружности, по которой
510
сферическая поверхность Пересекается с плоскостью х, У, будет
U-ro)2 + y2 = ^	(116.1)
откуда для х имеем выражение
.г = г0-]/^-г/2-	(116.Г)
Разложим величину х в ряд по степеням
x =	 	(116.2)
2г0	8г"
Аналогичное соотношение можно записать и для случая пересечения сферы плоскостью х, z. Таким образом, для сферической поверхности будем иметь уравнение
Z'O	ОГд
Угловой эйконал в данном случае может быть записан в виде:
IF = n(NM) + n'(MN').	(116.4)
Векторные координаты точек А, М и А' обозначим соответственно через а, г и а', тогда
NM — (r — a)s; MN'= (г — a')s'	(116.5)
или в координатной форме
NM = т(х — а) А- РУ
MN' = т' (х — а') р'у -j- q'z.
(116.6)
Следовательно, для углового эйконала получим выражение
W = п [т (х — а) + ру 4- qz] — п' \т’ (х — а') -ф- р'у -ф- q'z]. (116.7)
Подставим сюда выражение для х из формулы (116.3), а величины т и т' заменим через р, q и р', q':
511
m = Kl-(p2 + 72) ~1- -^±?L
m-- 16-(№+^1 -	,
(116.8)
тогда будем иметь
W = — па + п'а' + п \ ру + qz Н—Ldz_?-1_
L
+ ~ (p2 + <72)] — n' [p'y + q'z + y2^ +
+ v(//2 + q'^ 1 + П f "P"	~
2	J L 8^
1
4ro
(y2 + z2) (p2 + <?2)

А_(^ + 22)(/2 + /2)1 + ... •
4r0	J
(116.9)
Необходимо заменить у и z таким образом, чтобы IF была функцией только р, q и р', q', для чего используем закон преломления, который в векторной форме выглядит так:
n's' — ns = N.
(116.10)
где N— нормаль к преломляющей поверхности в точке преломления (точка М на рис. 148). Направляющие косинусы нормали к поверхности пропорциональны частным производным от функции F (х, у, z), выражающей уравнение поверхности. Поскольку преломляющая поверхность удовлетворяет уравнению (116.3), для F(x, у, z) будем иметь
F(x,r/,2) = ^- + ^±^-x+ ... = 0. (116.11) 2г0
Отсюда для направляющих косинусов нормали к преломляющей поверхности с учетом (116.10) можем написать
512
л дР л	) )
К----= — К = пт — п т
дх
- dr	. у	, ,
Л —- = — Л — + ... —-Пр — Пр , оу	г0
1 dF	a z ।	/ /
л —— = — л-----=nq — п q ,
dz	r0
(116.12)
где X — множитель пропорциональности.
Предположим, что углы лучей с осью х невелики, и поэтому тит' практически можно заменить единицей.
Далее можно показать, что в формулах (116.12) членами выше первой степени у и z можно пренебречь. Тогда, заменяя к из первого выражения (116.12), для у и z получим формулы:
пр—п'р‘
'о	——
—- п
nq—n'q'
'О	----
—• п
(116.13)
Если теперь в (116.9) поставигь у и z из (116.13), то выражение для эйконала можно представить в виде суммы:
w = Wo + W2 4- Wi,	(116.14)
где 1Го — члены нулевого порядка; W2 — члены второго порядка; IF4 — члены четвертою порядка относительно переменных р, q ц р', q'.
513
Нулевая составляющая эйконала вЫраШет'сй й виде:
Щ’о — —па-1-п'а',	(116.15)
т. е. вовсе не зависит от углов. Составляющая эйконала второго порядка
TV7	f	/ 9 I 9\ Л ( г < ?П >\
^2	«-------7 )(Р2 + <72)— V \а +--г X
2 \ п— nJ	2 \ п— n J
Х{р’2 +q'2)+^Lr(pp' + qq').	(116.16)
п — п
Составляющую четвертого порядка W,i проанализируем при разборе теории аберраций.
Обозначим:
(116.17)
Тогда уравнение для углового эйконала с учетом только первых двух членов IF0 и W2 может быть записано в виде:
= К + ~ (р2 + 72) + ~ (Р'2 + q'2) + а" (рр' + w').
(116.18)
Такой вид эйконала соответствует идеальным оптическим системам, у которых отсутствуют аберрации.
§ 117. Приложение метода углового эйконала к теории идеальных оптических систем
Рассмотрим приложение углового эйконала второго порядка к теории идеальных оптических систем, т. е. когда углы малы и, следовательно, /п?«1; т'^1.
Тогда из (115.21) и (115.2Г) будем иметь:
514
Y = У + р(х —a), Z ~z + q(x — a), Y' = y' +p'(x' — a'), Z' = z' + q' (x' — a').
(И7.1)
Из уравнений (115.22) с использованием (116.18) получим
nY — ар + а"р',
nZ = aq -f- a"q', — n'Y' — a'p' + a"p, — n'Z' = a'q' + a"q.
(117.2)
Предположим, что точка P'(af, Y', Z') есть изображение точки P(a, Y, Z). Следовательно, координаты точки P' должны быть линейными функциями координат точки Р'. С учетом этого решим систему уравнений (117.2) только для У и Y', так как для Z и Z' будет получено то же самое.
Из уравнения для У имеем
p' = —Y-—р.	(117.3)
а" а"
Подставляя найденное выражение в уравнение для Y', получаем
Г' = — — — Y + (~ — —}р.	(П7.4)
п' а" \ п’ п'а" )
Так как условием правильного отображения является зависимость Y' — bY, то надо положить, что
а"2 — аа' = 0.	(117.5)
Подставляя сюда значения величин а, а' и а" из (116.17), находим
п2/г'2г2	, (	пг \1 , п'г \
-----— = — пл (а-------------- ) а -|-------- ) .	117.6) (п — пр	\ п — п7\ п — П У
Преобразуем это соотношение:
(п — п')аа' — (па' — п’а)г.	(117.7)
515
Если точка а' изображения на оси удаляется в бесконечность, то точка a=f представляет собой переднее фокусное расстояние, т. е.
/ = limiz=-------—.	(117.8)
а' -»оо	Пг — П
Соответственно для f', т. е. заднего фокусного расстояния, будем иметь
f = lira а' =	.	(117.9)
Из (117.7), (117.8) и (117.9) следует, что
af + a'f = act'.	(117.10)
Это уравнение можно переписать в более симметричном виде
-^- + -21 = 1.	(117.11)
а а'
Если отсчитывать координаты а и а' не от вершины преломляющей поверхности О, а от положений фокусов (117.8) и (117.9), то
Подставляя а и а' из этих выражений в (117.10), получаем
xfxf = ff'-	(117.13)
Это выражение идентично со (113.22), если только в данном параграфе величины и xf считать равными значениям х и х' из § 113. Величины а и а' здесь также идентичны величинам s и s' в § 113.
Применяя полученные здесь закономерности к линзам или системам линз, можно вывести все необходимые уравнения гауссовой оптики.
§ 118. Эйконал Зейделя Г
После того как были изучены идеальные оптические системы на основе теории углового эйконала, перейдем к тем отклонениям от идеальных систем, которые возникают в рамках геометрической оптики, т. е. без учета 516
явлений дифракции. Рассмотрим геометрические ошибки изображения, которые называются аберрациями оптических систем. В основном будут разобраны наиболее общие свойства основных геометрических ошибок.
Отклонения от идеального оптического изображения учитываются членами более высокого порядка в разложении эйконала:
ПУ = IF0 + IF2 + U/4 + .	(118.1)
Однако непосредственно для анализа геометрических ошибок оптических систем целесообразно преобразовать угловой эйконал к другой форме. Из (115.18), (115.21) и (115.21') для dW имеем
dW = п (Ydp Zdq) — п' (Yr dp' Z' dq'). (118.2)
Для построения теории аберраций необходимо рассмотреть прохождение лучей не только в области предмета и его изображения, но также и в плоскостях зрачков входа в оптическую систему и выхода из нее. Таким
Рис. 149 образом, здесь необходимо напомнить о свойствах входных и выходных зрачков оптических систем (апертурных диафрагм).
Входным зрачком оптической системы называют диафрагму, наиболее сильно ограничивающую угловой раствор светового пучка, посылаемого точкой предмета, лежащей на оптической оси. Если в оптической системе имеется несколько диафрагм, то все их необходимо отобразить системой в ^пространстве предметов, и та из диафрагм, изображение которой определяет наименьший апертурный угол, т. е. угол между крайним лучом и оптической осью, будет зрачком входа. На рис. 149 изо-
517
бражены две диафрагмы D и Pi, ограничивающие световые пучки, отображаемые линзой L. Изображение диафрагмы Pi в пространстве предметов дает диафрагму Р/, которая определяет больший апертурный угол и', нежели диафрагма Р, которая определяет меньший апертурный угол и. Поэтому D здесь является зрачком входа.
Аналогичным образом находится зрачок выхода. Все диафрагмы отображаются в пространство изображений, и та диафрагма, края которой видны из точки изображения на оси под наименьшим углом, будет зрачком выхода.
Выберем координаты х, у, z и х', у', г' точек и масштаб соответственно в пространствах предметов изображений следующим образом:
г/ = И, z = Z,
у' = Y' -Д- , г' = Z' -4 , Xf	Xf
(118.3)
где Xf и х/ определяются выражением (117.12). В случае параксиальной оптики, когда
X;	„ X;
Y' = Y-L, Z' = Z—L, Г .	Г
будем иметь
г/ = г/', z = z'.
Введем координаты точек в плоскостях зрачка входа и выхода и обозначим их через Хь Уь Zy, X/, У/, Z/. Тогда по (115.21) найдем
Обозначим расстояние
Хт — а = Л	(118.5)
518
и положим, что т=1, тогда будем иметь
z{ — z A'
= Ч-
(118.6)
Аналогично, если обозначить координаты точек в зрачке выхода через X/, У/, Z/; X'—а'=Л.'-, т'=\, то
z\ — Z'
= q •
(188.7)
Л'
Введем теперь для координат в входа и выхода новые координаты:
плоскостях зрачков
П =	£ = Z1;
S/==Z‘ xf + л
г xf +л'
(118.8)
Выразим У, Z, У', Z', а также р, q, р', q' через у, г, у', z'\ т], Т]Л, %. Тогда, обозначая f'/xt' = g, f'/х/+A.'=g', будем иметь
Y — У, Z = z, y' = gY', z' =gZ',
A A 7 Л A
dp = -^L-^L, dq = ^-^.
A A 7 Л A
Для p', q', dp', dq' получим выражения:
(118.9)
P ==-
g'A' dp'=-^-g'A’
y'	q' =		zr	
				
g'A'		g'A'	g'A'	(118.10)
dy'	dq' —	dZ'	dz'	
g'A'				
		g'A'	g'A'	
519
Подставим из (118.9) и (118.10) найденные величины в (118.2):
dW = n(Ydp + Z dq) — ti' (Yr dp' + Z' dq') —
= n (y dp + 2 dq)----— (y' dp' -j- z' dq') ~
g
----~~(ydy+ z dz) 4- -J— (y’ dtj' + z' dz') +
Л	g2A'
+ -jAyd^ +zdt)~ (y'di-]' + z'dt,'), (118.11)
или
=----^d^ + z^^-^-d^y’2+ z'2) +
2Л	2g2A' V	7
+ 4 (y A] + z dl)--~~r (y'd^' + z' dt,'). (118.12)
A	gg A'
Для анализа геометрических ошибок Зейдель предложил еще одну форму эйконала 3, называемого эйконалом Зейделя, в качестве которого можно взять выражение
Sr = W + ~ (z/2 + 22)-----------------(/2 + 2'2) +
2Л	2g2A' V	’
+ -4тг(^' + гГ)-4^ + ^- (118лз) gg A	A
Тогда
dSr =
~~~Г {~ У'} df]' + (z — 2') dt,'} + gg'A-’
f n' , n \	, f n't' n M\ ,
----777- n-----г ’I }dy + -------7T,--------4dz.
< gg'K' A /	\ gg'A' Л J '
Найдем отсюда частные производные Зг по
SSj	, ,	, AS,	. ,	.
у— = — е (у — у); —1 == — е 2 — 2); С7Г| dSj	г	& t
—1. = ет] — 0-q; —A - eg — 0g, oy	dz
(118.14)
п'- У,
(118.15)
e = «'W'A'; O = n/A,
520
Если вместо выбранной таким образом функции 8j взять функцию 8=Si/e, а также выбрать масштаб для ц, г]', £, £' из условия, что
е/в = 1,	(Н8.16)
то для	частных производных 8 по rf, t,', у, z получим д8	,	as , 	= у — у,	= z —z; ап'	*	аг 1	(118.17) as	as	г \	 y- - f| -i|; а«/	az	)
В случае идеальных оптических систем у'=у, z’=z,
=	t,' = £. Для реальных оптических систем у' =£у,
z’ -t-z, ц' =^=r\,	Следовательно, имеют место гео-
метрические ошибки изображения — аберрации.
§ 119. Аберрации оптических систем
Эйконал Шварцшильда разлагается по четным степеням p2+q2, p'2+q'2, pp'+qcf, благодаря чему были получены члены IF0, IF2, W4 и т. д. Аналогичным образом эйконал Зейделя разлагается по степеням y2 + z2, т]'2 + £'2, уц'+zt,, т. е.
+ 82 + 84 + 86 + ...	(119.1)
Так как для идеальных систем, описываемых членами второго порядка, разности т/—ц;	у'—у; z'—z
равны нулю, то иэ (118.17) следует, что 8г = 0. Поэтому эйконал Зейделя должен иметь вид:
8 = 80 S4 -|- 86 -|- ... 	(119.2)
Аберрации изображения определяются разностями между координатами у, z идеальной оптической системы (параксиальная оптика) и координатами у', z' лучей, получаемых в пространстве изображений от реальной оптической системы. Эти разности у'—у и z'—z даются уравнениями (118.17).
Проанализируем в основном аберрации третьего порядка, получаемые в результате дифференцирования 84 по т)' и т. е,
521
Еу = у' — У =
Так как S4 содержит координаты в четвертой степени, то его первые производные содержат их в третьей степени, откуда и название аберрации третьего порядка. Полный их анализ можно найти в руководствах по геометрической оптике и теории оптических приборов *.
Общий вид S4 может быть записан следующим образом:
s4=4- а	+г2)з+ 4 w2+s'2)2 +
т:	т:
+ 4 с (уг\' + гГ)2 + 4 W + г2) (п'3 + Г2) +
+ Е (у2 + г2) (уц’ 4- ?£') + Е (л'2 + S'3) (ут}' + 4'), (119.4) где А, В, С, D, Е, F — коэффициенты.
Для оптических систем с осевой симметрией достаточно проанализировать аберрации в одной из> плоскостей, например плоскости ху, и соседних с ней областях пространства. Из (118.17) и (119.4) найдем Ау = у'—у и Az = z'—г, полагая, что z = 0:
Еу = — —- = 5л' (л'2 + £'2) + О/2Л' + Е)у\’ + ОТ]
+ Е^ + 5г/(л'2+^2)+25г/л'2;	(Н9.5)
dS
=----(л'2 + :'2) + DyK' + 25г/л'Г. (119.6)
Итак, в выражении для аберраций остались только члены, содержащие пять коэффициентов, так как член с коэффициентом А равен нулю.
Пять коэффициентов В, С, D, Е и F определяют различные виды аберраций, которые будут рассмотрены
* А. И. Тудоровский. Теория оптических приборов. М. — Л., Изд. АН СССР, 1937; М. Герцбергер. Современная геометрическая оптика. М., ИЛ, 1962.
522
ниже. Величина у выражает расстояние точки предмета от оптической оси, которую и возьмем в качестве одного из параметров оптической системы, от которой зависит величина аберрации. Другим параметром выберем радиус — расстояние р' от оптической оси до точки в плоскости зрачка выхода, через которую проходит луч, вышедший из точки предмета.
Если обозначить угол в плоскости зрачка выхода между осью т/ и р' через <р, то
П ~ Р cos <р,1	(119 7)
t,' = р' sin (р. /
Тогда для Ду и Az можно написать следующие выражения:
Ду — Bp'® cos ф Д- Fy'2y (1+2 cos2 ф) +
4- (С 4- D) у2р' cos ф 4- Еу3;	1д
Дг = By'2 sin ф 4- 2Вур'2 sin ф cos ф 4-
4- Dy^y' sin ф.
1. Сферическая аберрация характеризуется коэффициентом В, и для этого случая можно написать
Лу = cos ф, 1	(11М)
Дг = By'2 sin ф. J
Отсюда следует, что аберрации выражаются кругами в пространстве изображений с центром вокруг точки, соответствующей изображению, даваемому идеальной оптической системой. Этот радиус аберрационной ошибки возрастает пропорционально кубу диаметра апертурной диафрагмы. Величина сферической аберрации не зависит от положения изображаемой точки в предметной плоскости (а следовательно, и в пространстве изображений). На рис. 150 показано аберрационное изображение точки А линзой, которое получается в виде непрерывной совокупности изображений, располагающихся между изображением Ао' в параксиальных лучах и изображением А/, даваемым самыми крайними лучами, проходящими через линзу. Величина 6s'=A/—А/ называется продольной сферической аберрацией. В простран
523
стве изображений у', z' радиус аберрационного круга равен АГ"АО'. Он определяет величину поперечной сферической аберрации.
Если Л = оо, то получается картина, изображенная на рис. 151. Параксиальные лучи собираются в фокусе
Рис. 151
лучи от краев линзы соберутся в фокусе //. Между эти-, ми крайними точками располагаются фокусы от всех других участков линзы. Расстояние
ёз™	(119.10)
также называется продольной сферической аберрацией, или просто сферической аберрацией. Система лучей, собирающихся в различные точки изображения или различные фокальные точки, имеет огибающую (на рис. 150 совокупность точек Mit М2, М3, ...), которая называется
524
‘каустикой. Поверхность БраЩёнИй, огибающая йесЬ Rd* нус лучей, называется каустической поверхностью.
На рис. 152 приведены графики сферической аберрации: 1 — для простой собирающей Линзы, 2 и 3— для линзы, исправленной на сферическую аберрацию; кривая 2 соответствует сферической аберрации кривая 3 — сферической аберрации (изображений) 6s'.
2. К б м а — разновидность аберрации, определяемая Членом с коэффициентом F в (119.8). Для нее из (119.8) получим
Az/ = T?p'2z/(l + 2 cos2<p), 1 (нэп) Аг ~ 2Fp'“y sin ср cos ср. j
Преобразуем это выражение:
Аг/= Д'р'2г/(2 Д-cos 2<р),(	(119П/)
Аг = Fp’2y sin 2ср. ]
Для какой-либо точки у предмета аберрационное изображение представляет собой круг радиуса Fp'^y с центром, смещенным относительно параксиального изображения на величину 2Fp'2y. Если провести из точки параксиального изображения к окружности касательные,
18 Ф. А. Королев
525
ТО онй сосТййят угбЛ, ЙОЛоййна КдТорОГо определится соотношением
 a	Fp'2g	1
sin -- •—= 
2	2F?'2y	2
t. e. a = 60°.
Если p' меняется от нуля до его полного значения,
То вместо точечного изображения получается непрерывный ряд кругов изображения, образующих освещенный
конус в соответствии с рис. 153. Из формул (119.11) и (119.1 Г) следует, что для точек на оптической оси (у —
= 0) кома отсутствует. Рис. 153 соответствует внеосевому изображению А'.
3. Астигматизм и кривизна изображения определяются коэффициентами С и D. Из (119.8) для этого случая имеем
Дг/ = (С -|- D) р'у2 cos ср, 1
Ди = Dp'у2 sin ср.	|
(119.12)
Результатом данной геометрической ошибки является то, что элементарный гомоцентрический пучок лучей AS (рис. 154), проходящий наклонно оптическую систему, изображается в виде двух линий А\ и А2', распо
ложенных перпендикулярно к главному лучу и перпендикулярно друг к другу. Главным лучом называется луч пучка, проходящий через середину входного зрачка си
стемы.
Линия Л/ лежит в так называемой сагиттальной поверхности, а линия А2'— в меридиональной поверхности; sm и sa—расстояния меридионального и сагиттального изображений от плоскости изображения для параксиальных лучей являются функциями угла <р. Их обычно изображают в виде графиков, аналогичных тем, которые приведены для сферической аберрации.
526
Величина
tas — So S/n
(119.13)
называется астигматической разностью и является мерой астигматизма.
Величина
б s° + s^	(119.14)
г 2
называется средней кривизной изображения и является мерой этой кривизны.
4. Дисторсия характеризуется членом, содержащим коэффициент Е. Из (119.8) 'следует, что
XX!
Здесь видно, что изображения точек получаются также в виде точек, т. е. резкими, но расстояние точек изображения от оси не пропорционально расстоянию точек
18*
527
от оси предмета и увеличение меняется по полю зрения. В этом случае прямые линии остаются прямыми только при прохождении их через оптическую ось, остальные линии искривляются.
На рис. 155 приведены картины изображения предмета: а) при отсутствии дисторсии; б) и в) при наличии дисторсии (рис. 155, б соответствует £>0, рис. 155, в для E<Q).
§ 120. Светосила оптических систем.
Условие синусов
Пусть на оси оптической системы находится светящийся элемент c/S (рис. 156). Световой поток dP, посылаемый этим элементом под углом i к оптической оси и
Рис. 156
проходящий через элемент dS в плоскости зрачка входа, определяется формулой
dP == B3d S cos id^l,	(120.1)
где dGi— элементарный телесный угол, опирающийся на площадку dS в плоскости зрачка входа; Вэ—энергетическая яркость площадки d2. Величина d£l может быть выражена формулой (см. рис. 156)
528
dGi = sin ididq.
(120.2)
Тогда
dP = B3dS cos i sin ididff.	(120.3)
Интегрируя dP по <p в пределах от 0 до 2л и по углу i в пределах от 0 до и, получаем, что полная мощность, проходящая через отверстие зрачка входа, равна
2Л и
Р = J dtp J sin i cos idi. (120.4) о 0
Отсюда
P = nB3d S sin2 u.	(120.5)
Точно таким же образом можно было бы найти, что через площадку dS', находящуюся около точки изображения на оси А', являющуюся изображением dS, пройдет та же мощность, которая при этом может быть выражена формулой (если только не учитывать потери в оптической системе)
Р = nB3dS' sin2 и'.	(120.6)
Следовательно,
B3d2 sin2 и - Bad'S sin2tz'.	(120.7)
Для пространства изображений (120.1) может быть записана в виде:
dP = Bad'S cos i'dQ’.	(120.8)
Если взять непосредственный переход света из среды с показателем преломления п в среду с показателем преломления п', то
п sin i — п' sin Г.	(120.9,
Дифференцируя (120.9), получаем
п cos idi = ri cos i’di'.	(120.18)

(120.11)
Умножая это выражение на элемент угла dB в плоскости, перпендикулярной к плоскости падения света, и на выражение (120.9), будем иметь
и2 cos i sin ididB = n'z cos i' sin i'di'dB.
По величины
sin ididB = dQ, sin i'di’dB = dQ'
представляют собой телесные углы, в которых распространяются световые потоки в средах с и и и'. Значит,
п2 cos idO. = п'2 cos i'dQ'. (120.12)
Приравнивая (120.1) и (120.8), а также используя выражение (120.12), получаем
Вэп'2 = Вэп2.	(120.13)
Если в оптической системе имеются потери, которые можно характеризовать коэффициентом ослабления %, то формула (120.13) должна быть переписана:
= Вэп2.	(120.14)
Если теперь заменить Вэ' в формуле (120.7) выражением из (120.13), то будем иметь следующее соотношение:
n2dS sin2 и — find's’ sin2«'.	(120.15)
Если линейный элемент, образующий квадратную площадку dZ, обозначим через I, а для d,W— соответственно через V, то dS = /2, dZ'=l'2. Заменяя <£S и dZ' на /2 и I'2 в формуле (120.15) и извлекая из нее квадратный корень, находим
nl sin и = п’Г sin и'.	(120.16)
Это выражение получило название условия синусов. Оно служит условием неискаженного изображения предметов, так как при выводе этой формулы предполагалось, что имеет место точное отображение площадки сЕ в виде dZ'.
530
Выразим прошедший световой поток через диаметр Зрачка входа D и расстояние его а до источника света, а также через диаметр зрачка выхода D' и его расстояние b до изображения. Для простоты будем считать, что зрачки входа и выхода совпадают и проходят через центр системы (линзы)—точку С (см. рис. 156). Тогда
 2 Р2 1 sin2 и =--------,
£>2 + 4а2
. 2 , О2
Sin2« =---------
D2 + 462
(120.17)
(120.18)
120.13)
Значит для светового потока, проходящего через площадку можем написать выражение:
Р _ itD2B3dS __ nD2B'3dl' ~~ D2 + 4a2 ~~ D3 + 462
Если а = оо, то b—f'. Предположим, что п—п', D и для освещенности площадки сЕ', которая выразится через £Э = Р/<Й/, получим выражение (с учетом
Г-. лР2Вэ
Е3 =-----2^-.
4/ 2
С учетом потерь на отражение, поглощение, ние в системе формула примет вид:
Е —--------—
э 4/'2	’
(120.19)
рассея-
(120.20)
пропор-
Таким образом, освещенность изображения циональна яркости источника, квадрату диаметра зрачка и обратно пропорциональна квадрату фокусного расстояния. Величина D/f' называется относительным отверстием оптической системы.
§ 121. Разрешающая сила оптических приборов
В соответствующих разделах была исследована разрешающая сила дифракционных и интерференционных спектральных аппаратов. Здесь будет рассмотрена разрешающая сила телескопа микроскопа и призменного спектрального прибора.
531
Разрешающая способность Телескопа. Как следует из теории дифракции на круглом отверстии, дифракционное изображение, даваемое линзой или зеркалом телескопа, определится размерами центрального дифракционного максимума, радиус которого имеет угловую величину:
А0 = 1,22-^-,	(121.1)
где D — диаметр линзы или зеркала телескопа.
Предположим, что в телескоп (или аналогичный оптический прибор: бинокль, зрительную трубу и т. д.) наблюдаются два точечных источника света (два точечных предмета), которые находятся на угловом расстоянии Atpt (рис. 157, а). Если это угловое расстояние таково, что максимум дифракционного изображения одного из источников А\ накладывается на минимум в дифракционном изображении источника А^, то распределение интенсивности в суммарной картине будет таково, как это показано на рис. 157, б. При этом в промежутке между центрами дифракционных максимумов в изображениях Л/ и А% будет явно различимый минимум, составляющий по абсолютной величине 84% от максимальной интенсивности Л (или /г). Угловое расстояние Аф1 = А0 является пределом разрешения телескопа и,таким образом, равно
АФ1 = 1,22 А.	(121. Г)
Если телескоп имеет фокусное расстояние f', то линейная величина предела разрешения будет равна:
А/=1,22/'у.	(121.2)
Этим же выражением определится предел разрешения всякой линзы (зеркала или другого объектива), если только не учитывать аберраций, которые ухудшают качество изображения, и предел разрешения при этом увеличивается.
Разрешающая сила микроскопа. В отличие от телескопа и других приборов, с помощью которых 532
наблюдают удаленные предметы и в которых изображение лежит либо в фокусе, либо между фокусом и двой
ным фокусным расстоянием, изображение в микроскопе всегда находится далеко за двойным фокусным расстоя-
нием, а предмет практически кусе входной линзы микроскопа (рис. 158). Здесь Л1Л2 — наблюдаемый микроскопический объект; A'iA2 — его изображение, даваемое объективом L; у — размер
находится в переднем фо-
Рис. 158
Рис. 157
микроскопического предмета; у'—размер его изображения; и — апертурный угол входа; и' — апертурный угол выхода; Acpiугловая величина предмета AiA2 при отображении его линзой L; А — расстояние от переднего края объектива до изображения предмета, равное длине тубуса микроскопа. Если у соответствует пределу разрешения микроскопа, то
533
y = \,22~f, j d
y' = 1,22 А Д.
y	D
(121.3)
Условие синусов дает
ny sin и = п'у' sin и'.	(121.4)
Так как и' очень мал, то sin tg м'=£>/2А. Если п'=1,тоиз (121.4) и (121.3) имеем
пу sin и = 0,61Х.	(121.5)
Величина у является здесь пределом разрешения микроскопа. Произведение п sin и называется числовой апертурой объектива микроскопа. Для ее увеличения нужно погружать исследуемые объекты в жидкость, в которую погружается и входная линза микроскопа. Такие жидко-сти называются иммерсионными жидкостями (или иммерсиями), а объективы, работающие с иммерсионными жидкостями, — иммерсионными объективами.
Разрешающая способность призменного спектроскопа. В спектроскопе разделяемыми объектами являются спектральные линии. Их изображения при предельном разрешении образуют такое же распределение интенсивности, какое приведено на рис. 157, б. Однако величина Acpi здесь будет равна:
Лф1 = ~.	(121.6)
где D — ширина пучка, проходящего через призму (рис. 159). Если длина основания призмы равна Т, то угловое смещение двух спектральных линий Sep, отстоящих друг от друга в спектре на расстоянии SA, определяется дисперсионной формулой призмы
(121.7)
1 д аг
где dn/dX — дисперсия вещества призмы. Приравнивая Sep величине Acpi, для предела разрешения получаем
А
б^АА	(121.8)
dn
dk
534
Величина
«К =-А- = Т—	(121.9)
дЛ d-к
получила название разрешающей силы спектроскопа. Выражения (121.8) и (121.9) справедливы для угловой
ширины щели спектроскопа, когда она значительно меньше Х/D и практически считается бесконечно узкой. Для реально применяемых щелей разрешающая сила спектроскопа меньше той, которая дается формулой (121.9).
§ 122. Дифракционная теория изображений
Геометрическая теория изображений не позволяет дать детальную трактовку целого ряда явлений, имеющих место при формировании изображений. Поэтому, хотя эта глава практически базируется только на законах геометрической оптики, в качестве заключения здесь дана теория изображений, основанная на волновых представлениях. Эта теория была развита Аббе с учетом дифракционных явлений.
Теория Аббе рассматривает случаи получения изображения не самосветящихся объектов, а объектов, освещенных другим источником. При этом освещение объекта таково, что различные части изображаемого предмета испускают когерентные лучи (рис. 160). Свет от точечного источника / линзой Li направляется параллельным пучком на исследуемый объект АВС, располо-
535
женный в плоскости Г), I, £ = 0. После прохождения объ= екта АВС свет, испытавший в нем различные амплитудные и фазовые возмущения, выходит По разным направлениям и линзой Ь2 собирается в ее фокальной плоскости х, у, z = 0, а затем, распространяясь далее,
Рис. 160
дает в плоскости X, У, 2 = 0 действительное обратное изображение А'В'С' объекта АВС.
Световое поле после прохождения объекта АВС может быть задано некоторой функцией:
Е = Ер&	(122.1)
В таком случае согласно (87.6') в фокальной плоскости линзы получится распределение светового поля:
•ь г (СоГ—*£„)
E(x,y,z = 0,t) =
2nz0
X J j
(122.2)
536
где go й fjo — размеры предмета; to — оптическая длина пути от плоскости g, т] до фокальной плоскости линзы L.2 (т. е. от g, т] до /о); ni = sin0; p = sin'&; ft и 0 — углы дифракции в плоскостях т], g и g, g. В формуле (87.6') вместо тир стояли величины xjrQ и у/г0. В данном случае в выражении (122.2) неопределенной величиной является Го, которую можно заменить из условий (87.3) или (87.4). Если бы предмет был квадратным со сторонами go = T]o, то условие (87.4) при замене d2 на go^lo можно было бы записать в следующем виде:
gono = 4-	(122.3)
Тогда выражение (122.2) примет вид:
Е (х, //,2 = 0,0 = ----------------
f ЕР(1,
(122.4)
Электромагнитное поле в плоскости х, у, z = 0 вследствие интерференции дает в точках плоскости X, У, Z = 0 картину, которая является изображением предмета АВС. В плоскости изображения световое поле может быть записано в виде:
Е, (X, Y, Z = 0, 0 = —-------------
1	2л (& — Г)
Й'+А8' тЭ 'Н-АО'
Е(х, у, z = 0)dk{m’x+p'y}dxdy, (122.5)
8'—Ай' тЭ*'—ДтЭ*'
где b — расстояние от линзы Ь2 до плоскости изображения;
т' = sin 0' ~ tg 0' =-
b-f
(122.6)
р' = sin ft' ях tg ft' = ———
537
О' и О1' — углы между оптической осью z, Z и лучами, идущими из заднего фокуса линзы Ь2 по законам геометрической оптики; ДО' и ДО' — угловые интервалы,'в которых распространяются лучи, испытавшие отклонение (дифракцию) на объекте АВС-, О', ДО' и О', АО' — углы соответственно в плоскостях XZ и YZ. Если принять, что оптическая система достаточно исправлена и практически не искажает изображения, то можно считать распределение интенсивности в плоскости X, Y, Z = = 0 полностью подобным распределению интенсивности в плоскости %, г], £ = 0, т. е.
Et (X, Y,Z = 0) = E	т], S = О). (122.7)
Рассмотрим более конкретно отдельные случаи.
Пусть объект АВС представляет собой периодическую структуру, например плоскую дифракционную решетку с прозрачными и непрозрачными щелями. Если постоянная решетки равна Ь%, то световое поле на такой решетке может быть записано в виде (если опустить множитель е!("'):
EG, T])=E0 + ^E;sin^< (122.8) /
где Е'о — постоянное поле по £ и ц; Е3- — амплитуда пространственного распределения поля в направлении %; / = 1, 2, 3, ...; Л — постоянная периодической структуры (постоянная решетки). Ради простоты считаем, что поле в плоскости т] не зависит от т) (р=О), кроме того, здесь и дальше не будем писать | —0, z = 0, Z = 0.
Подставляя (122.8) в (122.4), для Е(х, у) получим выражение:
Е(лд у) = Ео-^---+ V--E + уЛщ EASl, (122.9) Д	2	В j	2	С j
/ /
где
д Jtgom % ’
(122.10)
538
Компоненте поля, характеризуемой членом sinA/A, соответствует постоянное по предмету и изображению поле с амплитудой Ео в плоскости предмета и амплиту--. с ! f \2	<	г?
дои	——j в плоскости изображения. Если источник
/ света линейный с большой протяженностью I вдоль т], то амплитуда поля в плоскости изображения будет

Каждой паре компонент поля в фокальной плоскости f', характеризуемой величинами Bj и Q, будет соответствовать синусоидальное распределение поля вдоль £ или X в пространстве предмета и изображения.
Если поле предмета имеет периодичность и вдоль г] (как это следует из рис. 160), то в решении для Е(х, у) будут члены вида (122.9) также и для координаты у, т. е. поле будет двукратно-периодичным, что будет иметь место и в изображении. Поле в плоскости х, у будет носить характер многократного изображения источника света в различных дифракционных порядках /0, h, 1-\ И Т. д.
Часто применяют в этом случае для изображения источника терминологию: «спектр нулевого порядка», «спектры ±- первого порядка», «спектры ±' второго порядка» и т. д. Если источник света одноцветный, то изображения /о, h, I-\, Iz, 1-2 и т. д. также одноцветны. В случае немонохроматического источника / спектры, кроме нулевого, представляют собой действительно спектральные полосы различной ширины в зависимости от спектра излучения источника. Однако изображение в плоскости XY всегда ахроматично.
Из этого примера следует, что, изменяя распределение светового поля в фокальной плоскости линзы Ь2, можно менять распределение светового поля в изобра--жении. Особенно важным является возможность убирать нулевой максимум 10 с помощью какой-либо диафрагмы в фокусе линзы Ь2, Тогда постоянная составляющая в поле изображения, обусловленная членом Ео sin А/А, исчезнет, и в поле зрения будут видны периодические структуры, соответствующие членам с коэффициентами Ej, т. е. структуры типа
539
E}(XY)~ sin(122.11)
Эти структуры будут видны на общем темном поле, благодаря чему их наблюдение сильно облегчается. Такой метод наблюдения получил название метода темного поля.
Если теперь в фокальной плоскости линзы Т2 убрать, кроме нулевого спектра, спектры ±/-го порядка, то исчезнет и компонента Ej(XE) в поле изображения. Если убрать только один из спектров (/-го или —/-го порядка), то вместо периодической структуры F3(XT) будет виден равномерный фон, обусловленный одним из спектров /-го порядка. Однако если при этом нулевой максимум не убран, то периодическая структура /-го порядка все же будет -видна. Итак, можно самым различным образом изменять изображения, модифицируя световое поле в фокальной плоскости линзы.
Если периодическая структура предмета не явно выражена, а имеется некоторая произвольная структура, то распределение светового поля в нем можно выразить в виде интеграла
оо	J
£р(£Ьр(Л)еЛ dA,
(122.12)
если только поле не зависит от т]. В противном случае нужно- вместо (122.12) брать двойной интеграл.
Поле в фокальной плоскости запишется в виде:
Е (х) =
g (Л) dA
sin--------
Л,
(122.13)
Следовательно, в фокальной плоскости будет непрерывная совокупность изображений источника. В этом случае диафрагмирование фокальной плоскости всегда вырезает целую полосу дифракционных спектров.
Модифицирование изображения с помощью воздействия на спектры в фокальной плоскости может производиться не только путем диафрагмирования спектров различных порядков (амплитудные воздействия), но И 540
путем внесения между ними искусственного сдвига фаз (фазовые воздействия). На этом основан метод фазового контраста, позволяющий улучшить наблюдения деталей структуры в изображении объекта, которые при обычных условиях могут ускользать.
Метод особенно эффективен в том случае, когда объект прозрачен, а различные его участки имеют различия в показателе преломления. При небольших периодических вариациях показателя преломления у объекта в фокальной плоскости линзы получаются спектры нулевого и ± первого порядка, и тогда изображение объекта никакой структуры при этом не обнаруживает. Однако если убрать нулевой максимум, то периодическая структура появится в изображении. Она также появится, если внести в нулевой максимум (нулевой спектр) дополнительную разность фаз, благодаря чему интерференция света в плоскости изображения от нулевого спектра и спектров ± первого порядка даст отчетливую периодическую структуру объекта.
В отличие от метода темного поля метод фазового контраста является более светосильным. Поэтому он особенно ценен в микроскопии, где при больших увеличениях освещенность изображения невелика и метод темного поля может оказаться малопригодным из-за слабой интенсивности. Кроме того, при больших увеличениях, когда рассматриваемые объекты очень мелки, в фокальной плоскости объектива микроскопа вообще может остаться только нулевой и один из первых спектров. Тогда метод темного поля также неприменим для выявления деталей структуры, в то время как метод фазового контраста вполне применим и в этом случае.
§ 123. Заключение
В заключение можно высказать несколько слов о дальнейшем прогрессе в области оптики. Наиболее важной проблемой является проблема природы фотонов и тех элементарных процессов, которые связаны с излучением, распространением и поглощением света. В этом отношении физика фотона тесно связана со всей физикой элементарных частиц, которая в настоящее время испытывает очень бурный прогресс. Особенностью фото-НД как элементарной частицы является то, что он не
541
имеет массы покоя и поэтому обладает максимальной скоростью движения в вакууме. Изучение элементарных световых процессов неизбежно должно быть связано с раскрытием природы дуализма волн и частиц, что, по-видимому, вызовет установление новых фундаментальных закономерностей.
В настоящее время исключительное значение приобретают нелинейные световые процессы, имеющие место при взаимодействии мощных световых пучков с веществом. При этом обнаруживаются процессы удвоения частоты световых колебаний, уменьшение коэффициента поглощения вещества и т. д. Особенно большое значение имело бы обнаружение нелинейных световых процессов в вакууме, т. е. обнаружение нелинейных эффектов при взаимодействии между собой фотонов в световых пучках сверхвысокой плотности энергии. В настоящее время такие возможности открылись в связи с развитием физики и техники квантовых генераторов света. С помощью гигантских импульсов света, получаемых в квантовых генераторах света, можно осуществить процессы взаимодействия при огромных плотностях энергии, которые могут привести к открытию ряда новых важных явлений. Новые возможности исследования открываются в связи с исключительно высокой когерентностью световых пучков, даваемых квантовыми генераторами света. Есть все основания ожидать, что возникновение когерентной оптики даст возможность продвинуться на пути познания элементарных световых процессов.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица 5
Основные единицы измерений электрических и магнитных величин
Величина	Единица измерения в системе СГС (по ГОСТ 8033—56)		Единицы измерения в системе СИ (по ГОСТ 9867—61)		Соотношения между единицами систем СГС и СИ
	Название (в скобках сокращенное обозначение)	Размерность	Название	Сокращенное обозначение	
Заряд	—	смЖ-г22- сек-1	кулон	Я	10 1 ед. СГСд =	 к. с
Потенциал, разность потенциалов, э. д. с.	—	см Ж Ж2- сек-1	вольт	в	1 ед. СГСф = с • КГ"8 в
Сила тока	—	3/	I/		9 см'2-г'2-сек	ампер	а	ю 1 ед. СГС,—	а 1	с
Напряжен ность электрического поля	—	см~'-2- г'2- сек-1	вольт на метр	в/м	1 ед. СГС£;= с-10“6 в/л!
Напряженность магнитного поля	эрстед (э)	см~'1г- сек-'2	ампер на метр	а/м	1 1 э —	 103 а/м 4~
Векторный потенциал	эрстед-сантиметр (э-CM)	см Ж2  сек-1	вебер на метр	вб/м в-сек нли м	1 э-см = 10—6 вб/м
Величина	Гдиница измерения в системе СГС (по ГОСТ 8033—56)	
	Название (в скобках сокращенное обозначение)	Размерность
Электрическая постоянная*	—	—
Магнитная постоянная**	—	—
Электрическая проводимость	—	см  сек~1
Энергия	эрг (эрг)	см2  г  сек~~2
Продолжение табл. 5
Единица измерения в системе СИ (по ГОСТ 9867—61)		Соотношения между единицами систем СГС и СИ
Название	Сокращенное обозначение	
фарада на метр	ф/м	см. сноску к таблице
генри на метр	гн/м	2>	В	В
снменс	сим	109 1 ед. СГСа = С*
джоуль	дж	1 эрг = 10—7 дж. т
Мощность	эрг на секунду (эрг/сек)	см2  г  сек 3 Ч * &	ватт	вт	эрг	, _7 1	_ Ю 7 впг сек
Вектор Умова — Пойнтинга	эрг на секунду-сантиметр в квадрате (эрг/сек -см2)		о г-сек	ватт на квадратный метр	вт/м2	эрг	о вт 1	2 ~10	2 сек- см*	м*
* Электрическая постоянная равна
Ч
Ео = ~,
где еа — абсолютная диэлектрическая проницаемость; е — относительная диэлектрическая проницаемость среды „ 1011
приводимая в справочных таблицах. В СИ г0 =------------ ф!м', в СГС е0=1.
4~. с2
** Магнитная постоянная равна:
14 . Р
и, где tta—абсолютная магнитная проницаемость; и — относительная магнитная проницаемость среды, приводимая
&	в справочных таблицах. В СИ р0 = 4к-10~7 гн/м-, в СГС р0 = 1.
СП 05 .-----------------------------------------------------------—___________
Величина	Единица измерения в системе СГС (по ГОСТ 8083—56)	
	Название (в скобках сокращенное обозначение)	Размерность
Плотность (объемная) электромагнитной энергии	эрг на кубический сантиметр (зра/сж3)		1		о см • г-сек
Момент электрического диполя	—	см'2- г'2  сек~х
Момент магнитного диполя	—	см К г'2- сек~х
Магнитный поток	максвелл (мкс)	31	If		1 см ,2- г,2- сек 1
Продолжение табл. 5
Единица измерения в системе СИ (по ГОСТ 9867—61)		Соотношение между единицами систем СГС и СИ
Название	Сокращенное обозначение	
джоуль на кубический метр	дж/м.3	эрг	, дж 1 ——= ю~1 	 см3	м3
кулон-метр	к-м	,	1СГ1 1 ед. сГСус) q — с
ампер-квадратный метр	а-м2	1 ед. СГСмр = = 10—3 а'м2
вебер	вб илн в  сек	1 мкс = 10-8 вб
Электрическая емкость	сантиметр (сж)	СМ ;	фарада	ф	109 1 сж-	ф С2
Ин дуктивность	сантиметр (сл«)	СМ	генри	гн	1 см= 10~9 гн
Плотность	(объемн ая) электрического заряда	—	91	1 /		1 см г ,2- сек	кулон на кубический метр	к/м3	Ю7 1 ед. СГС =	 к/м3 р	с
Примечание.
В этой таблице приведены величины и соотношения, используемые в данной книге. Читатель может найти интересующие его данные относительно единиц измерения в книгах:
В. Пановский, М. Филипс. Классическая электродинамика. М., Физматгиз, 1963.
К- Шимон и. Теоретическая электротехника. М., Изд. «Мир», 1964.
М. Г. Богуславский, П. П. Кремлевский, Б. Н. Олейник, Е. Н. Чечурнна, К- П. Широков. Таблицы перевода единиц измерений. Стандартгиз, 1963.
Таблица 6
Уравнения величин, характеризующих электромагнитное поле, в системах СГС и СИ
Система СГС	Система СИ
-»	1 дВ rot Е — —			 с д t	rot Е = - ’ dt
, 7}	1	dD	4л / rot И =	। 	 с dt	с	rotн = д t
1	дА Е — grad 	 с	д t	дА ' Е — —grad <р — dt
Н = rot А	Н = rot А
div D = 4лр	div D = р
div В = 0	div В = 0
В = гЕ	tn !1 (П о СП hij,
В = р и
В = р0 р И
j = о Е
j = а Е
546
Продолжение табл. 6.
СОДЕРЖАНИЕ
От автора .	............................ 3
Введение...................................г	...	.	5
§ 1.	Предмет теоретической оптики........................>5
§ 2.	Исторический обзор .........	7
§ 3.	Новейшие открытия в оптике .	  16
Глава 1.	Классическая (электромагнитная) теория света .	.	19
§ 4.	Общие замечания о световых процессах ....	19
§ 5.	Классические уравнения электромагнитного поля в вакууме	.	.......................... ...	.	20
§ 6.	Классические уравнения электромагнитного поля в среде......................................... ,	28
§ 7.	Поляризация	электромагнитных	волн	.....	30
§ 8.	Энергия	и	мощность	световых	волн	......	36
§ 9.	Импульс и момент импульса (количества движения) световых волн.............................. а	40
§ 10.	Спектр электромагнитных	волн..........51
§ 11.	Электромагнитное поле как суперпозиция плоских волн...............................................58
Глава 2, Квантовая теория света в вакууме s ,	77
§ 12.	Фотоны « их свойства	........	77
§ 13.	Квантование поля излучения .	  80
§ 14.	Энергия, импульс и момент импульса (количества движения) квантованного	электромагнитного	поля	87
§ 15.	Поляризация фотонов..........................92
§ 16.	Спектр электромагнитного излучения в квантовой теории	а ....	.	96
550
Глава 3. Классическая теория излучения .......	99
§ 17.	Классическая теория излучения ускоренно движущегося электрона .........................................99
§ 18.	Излучение релятивистских электронов .	.	. . Ю5
§ 19.	Спектральные, угловые и поляризационные свойства излучения «светящегося электрона»......................108
§ 20.	Излучение нерелятивистских систем. Классическая теория дипольного излучения.............................ИЗ
§ 21.	Мощность дипольного излучения с учетом столкновений атомов...........................................119
§ 22.	Естественная ширина спектральных линий .	.	.	123
§ 23.	Ширина спектральных линий, обусловленная тушащими столкновениями....................................126
§ 24.	Ширина спектральных линий, обусловленная нетушащими столкновениями и столкновениями одинаковых атомов...........................................  128
§ 25.	Расширение спектральных линий вследствие эффекта Допплера............................................135
§ 26.	Другие источники уширения спектральных линий .	138
Глава 4. Квантовая теория излучения ........	139
§ 27.	Квантованные стационарные состояния атомов и молекул................................................139
§ 28.	Квантовая теория взаимодействия света с частицами вещества............................................146
§ 29.	Квантовая теория атомного (молекулярного) излучения и поглощения.....................................154
§ 30.	Интенсивность спонтанного излучения .	.	.	.	166
§ 31.	Квантовая теория естественной ширины спектральных линий. Сила осциллятора............................170
§ 32.	Соотношение неопределенности......................176
§ 33.	Соответствие между классической и квантовой теориями излучения (принцип соответствия) .	.	.	177
§ 34.	Действие внешнего магнитного поля на атомное излучение. Эффект Зеемана..........................180
§ 35.	Расщепление спектральных линий во внешнем электрическом поле. Эффект Штарка.....................184
Глава	5.	Излучение света молекулами ,	..........188
§	36.	Энергетический спектр двухатомных	молекул	.	.	188
§	37.	Спектры излучения молекул..................192
§	38.	Мультипольный характер излучения	молекул	.	.	194
§ 39.	Инфракрасное, субмиллиметровое излучения и радиоизлучение молекул....................................198
551
•Глава 6. Излучение конденсированного вещества	,	200
§ 40.	Энергетический спектр конденсированного вещества 200
§ 41.	Неравновесное излучение конденсированного вещества ...................................................202
§ 42.	Равновесное (тепловое) излучение. Излучение абсо-
лютно черного тела. Формула Планка ....	207
§ 43.	Следствия из основного закона теплового излучения	212
§ 44.	Равновесное (тепловое) излучение нечерных тел .	.	214
Глава Т. Когерентное излучение света системами атомов, молекул и конденсированным веществом .	,	.	.	216
§ 45.	Когерентность излучения и ее связь с шириной
спектральных линии.................................216
§ 46.	Когерентное излучение сверхсветовых электронов.
Эффект Черенкова...................................223
§ 47.	Когерентное излучение решеток, возбуждаемых бы-
стродвижущимися электронами........................232
§ 48.	Квантовые генераторы и усилители когерентного
оптического излучения (лазеры) ................... 236
§ 49.	Энергетический спектр вещества, обеспечивающий
возможность квантовой генерации оптического когерентного излучения.................................243
Глава 8.	Структура фотона................................  247
§ 50.	Фотон как структура из нейтрино и антинейтрино	247
§ 51.	Фотон как возбужденная электронно-позитронная
пара в дираковском вакууме.........................252
§ 52.	Фотон как осциллирующее электронно-позитронное
поле дираковского вакуума..........................254
§ 53.	Модели фотона и внегалактическое красное смещение ..................................................255
Глава 9. Распространение света в прозрачной однородной среде 257
§ 54.	Общие замечания о распространении света .	.	.	257
§ 55.	Отражение и преломление света на границе раздела двух изотропных и однородных сред . .	.	258
§ 56.	Полное внутреннее отражение...................... 267
§ 57.	Проникновение света .во вторую среду при полном внутреннем отражении. Оптические волноводы .	.	270
§ 58.	Распространение света в однородной анизотропной среде. Оптика кристаллов................................274
§ 59.	Закон Френеля для скорости света в кристалле.
Двойное лучепреломление ........	277
552
§ 60.	Хроматическая поляризация......................................282
§ 61.	Элементарная теория вращения плоскости поляризации .................................................286
Глава 10. Распространение света в однородной среде, обладающей поглощением.........................................288
§ 62.	Классическая теория дисперсии и поглощения света 288
§ 63.	Вторичное излучение света атомами и молекулами вещества, в котором распространяется свет. Реактивная мощность среды и мощность поглощения 300
§ 64.	Переход от классической к квантовой теории дисперсии ....................'...........................304
§ 65.	Распространение света в сильно поглощающих телах. Оптика металлов...................................308
§ 66.	Двойное лучепреломление и вращение плоскости поляризации в магнитном поле.............................315
§	67.	Электрооптическое явление Керра.317
Глава	11.	Распространение света в оптически неоднородной
(мутной) среде ................................................ 319
§ 68.	Макроскопические и микроскопические неоднородности как причины рассеяния света......................319
§ 69.	Молекулярное рассеяние света.....320
§ 70.	Поляризация рассеянного света....326
§ 71.	Зависимость интенсивности рассеянного света от плотности вещества.....................................330
§ 72.	Рассеяние света крупными взвешенными частицами 332
§ 73.	Квантовая теория рассеяния света...............................335
Глава 12. Распространение света в движущихся телах .	.	344
§ 74.	Движущиеся источники и приемники. Движущиеся среды..................................................344
§ 75.	Фазовая и групповая скорости света. Сверхдисперсионная среда..........................................345
§ 76.	Преобразования Лорентца	.	.	 348
§ 77.	Явление Физо. Аберрация	света. Эффект Допплера 349
§ 78.	Опыт Майкельсона...............................................353
§ 79.	Оптические эффекты, связанные с действием гравитации на свет..........................................356
Глава 13.	Интерференция	света...........................................360
§ 80.	Общие замечания о явлениях интерференции и дифракции ...............................................360
§ 81.	Двухлучевая интерференция	в пленках и пластинках 364
§ 82.	Интерферометр	Майкельсона......................................371
553
§ 83.	Методы осуществления двухлучевой интерференции с делением фронта волны............................373
Глава 14. Дифракция света ...........	379
§ 84.	Принцип Гюйгенса—Френеля. Зоны Френеля .	.	379
§ 85.	Теория дифракции по Кирхгофу....................385
§ 86.	Дифракция Френеля...............................388
§ 87.	Дифракция Фраунгофера  .........................390
§ 88.	Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии .	.	396
Глава 15. Многолучевая интерференция с. делением амплитуды световой волны. Многолучевые интерферометры .	...........................404
§ 89.	Общие замечания о многолучевых интерферометрах 404
§ 90.	Типы многолучевых интерференционных приборов с делением амплитуды волны...........................405
§ 91.	Теория многолучевых интерферометров при входе света через отражающую поверхность (интерферометр Фабри—Перо)...................................410
§ 92.	Многолучевые интерферометры с боковым входом света (пластинка Люммера—Герке)....................417
§ 93.	Многолучевая 'Интерференция в клинообразных интерферометрах .....................................419
§ 94.	Сложные многолучевые интерферометры («мультиплекс») ...........................................420
§ 95.	Многослойные 'интерференционные зеркала .	.	.	426
§ 96.	Интерференционные светофильтры..................429
§ 97.	Многолучевые интерферометры как спектроскопы высокой разрешающей силы...........................434
§ 98.	Разрешающая сила интерферометров при пространственном и временном разделении спектра .	.	.	436
§ 99.	Многолучевой интерферометр как резонатор высокой добротности....................................439
§ 100.	Многолучевые интерферометры как генераторы и усилители когерентного света ..................... 449
Глава	16. Многолучевая интерференция с делением	фронта
световой волны. Дифракционные решетки	.	. .	453
§	101.	Плоские дифракционные решетки.................453
§	102.	Распределение интенсивности у решеток	.	. .	455
§	103.	Дифракционные решетки эшеллетного типа	.	. .	461
§	104.	Дифракционные решетки как спектроскопы.	Дис-
персия, область дисперсии и разрешающая сила (добротность) эшеллетных решеток................467
55)
§ 105.	Ступенчатые решеткй........................473
§ 106.	Вогнутые решетки...........................476
§ 107.	Синусоидальные решетки.....................476
§ 108.	Погрешности решеток, «духи»................ 481
§ 109.	Дифракционные решетки как генераторы когерентного света ..........................................482
Глава 17.	Геометрическая оптика .	  484
§ НО.	Геометрическая оптика как предельный	случай	волновой оптики	484
§ 111.	Распространение света в среде по законам геометрической оптики.................................489
§ 112.	Принцип Ферма..............................492
§ 113.	Идеальные оптические системы...............493
§ 114.	Простейшие оптические системы. Линзы	....	502
§ 115.	Теория углового эйконала...................504
§ 116.	Угловой эйконал для сферической преломляющей
поверхности.................................510
§ 117.	Приложение метода углового эйконала к теории
идеальных оптических систем.................514
§ 118.	Эйконал Зейделя............................516
§ 119.	Аберрации оптических систем................521
§ 120.	Светосила оптических систем. Условие синусов	.	.	528
§ 121.	Разрешающая сила оптических приборов .	.	.	531
§ 122.	Дифракционная теория изображений	....	535
§ 123.	Заключение.................................541
Приложения................................................. 543
Федор Андреевич Королев
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Научный редактор Е. И. Кушт Редактор издательства Е. С. Гридасова Художественный редактор Н. К.. Гуторов Технический редактор С. С. Горохова
Корректор В. В. Тютина Переплет художника А. Т. Яковлева
Т-05204.Сдано в набор 3/IX-65 г. Подписано к печати 18/Ш-66 г.
Формат 84х1081/Э2 Объем 17,375 печ. л. 29,19 усл. п. л.
24,68 уч.-изд. л. Изд. № ФМХ-180 Тираж 13.000 экз.
Цена 1 р. 02 к. Заказ № 847.
Сводный тематический план 1965 г. учебников для вузов и техникумов. Позиция № 287.
Москва, И-51, Неглияная ул., 29/14, Издательство «Высшая школа»
Типография изд-ва МГУ, Москва, Ленинские горы
Ф. А. КОРОЛЕВ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Допущено
Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов физических и физико-математических факультетов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА» МОСКВА — 1966
2 3- _4 287--65
В книге «Теоретическая оптйка» излагаются электромагнитная и квантовая теории света, а также освещаются вопросы излучения и распространения света. Значительное место уделено квантовой генерации когерентного светового излучения и в связи с этим теории интерференции. Затрагиваются вопросы теории структуры фотона.
Книга предназначается в качестве учебного пособия по теоретической оптике для университетов и других учебных заведений, в которых имеются физические илн физико-математические факультеты и отделения. Она может также служить пособием для аспирантов и научных работников учебных заведений и научно-исследовательских институтов.
aSVOdQM w