/
Author: Стафеев С.К. Боярский К.К. Башнина Г.Л.
Tags: оптика физика оптические системы учебное пособие оптические явления оптические приборы
ISBN: 5-469-00846-0
Year: 2006
Text
С. К. Стафеев, К. К. Боярский, Г. Л. Башнина
основы
ОПТИКИ
Рекомендовано научно-методическим советом по физике Министерства
образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям
«Физика» E10400), «Прикладная математика и физика» E11600),
«Оптотехника» E51900), «Приборостроение» E51500) и другим
физическим и техническим направлениям подготовки
300.piter.com
Издательская программа
300 лучших учебников для высшей школы
в честь 300-летия Санкт-Петербурга
осуществляется при поддержке Министерства образования РФ
Москва • Санкт-Петербург - Нижний Новгород • Воронеж
Новосибирск • Ростов-на-Дону • Екатеринбург - Самара
Киев • Харьков * Минск
2006
ББК 22.34я7
УДК 535@75)
Издано при финансовой поддержке Федерального агентства по печати и массовым
коммуникациям в рамках Федеральной целевой программы «Культура России»
Сергей Константинович Стафеев,
Кирилл Кириллович Боярский,
Галина Львовна Баш ни на
Основы оптики: Учебное пособие
Рецензенты:
Ю. Г. Якушенков, профессор, д. т. н., декан естественно-научного факультета МИИГАиК
Е. И. Бутиков, профессор, к. т. н., профессор физического факультета СПбГУ
Заведующий редакцией А. Кривцов
Ведущий редактор В Шанин
Редактор В. Дрождей
Художник Е. Дьяченко
Корректор В. Л истова
Верстка И. Смарышева
Стафеев С. К., Боярский К. К., Башнина Г. Л.
С78 Основы оптики: Учебное пособие. — СПб.: Питер, 2006. — 336 с: ил.
ISBN 5-469-00846-0
Рассмотрен широкий круг физических явлений, относящихся к различным разделам оптики.
Изложены основные принципы математического описания оптических явлений, приведены при-
примеры их практического использования. Дано представление о современных методах управле-
управления спектральными и временными параметрами излучения, применении оптических устройств
в информационных системах и т. д. Приведено большое количество фотографий, полученных
в реальных оптических экспериментах. Материал подробно иллюстрирован и адаптирован для
студентов технических вузов; отражены последние достижения оптики.
Рекомендовано научно-методическим советом по физике в качестве учебного пособия для
студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям «Физика» E10400),
«Прикладная математика и физика» E11600), «Оптотехника» E51900), «Приборостроение»
E51500) и другим физическим и техническим направлениям подготовки.
ББК22.34я7
УДК 535@75)
© ЗАО Издательский дом «Питер», 2006
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было
форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
ISBN 5-469-00846-0
ЗАО «Питер 11ост», 194044, Санкт-Петербург, Б. Сампсониевский пр., 29а.
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, том 2; 95 3005 — литература учебная.
Подписано к печати 11.04.06. Формат 70x100/16. Усл. п. л. 27,09. Тираж 2500. Заказ 607
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Техническая книга»
190005, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29
Краткое содержание
Предисловие 11
Введение 12
Часть 1.Свет: волны, лучи, энергия
Глава 1. Свет как электромагнитные волны 26
Глава 2. Общие свойства лучей ... 38
Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред ... 54
Глава 4. Фотометрия 80
Часть 2. Интерференция и дифракция света
Глава 5. Интерференция и когерентность 92
Глава 6. Методы наблюдения интерференционных картин 101
Глава 7. Дифракция Френеля 120
Глава 8. Дифракция Фраунгофера 136
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах 149
Часть 3. Взаимодействие света с веществом
Глава 10. Поляризация света 174
Глава 11. Отражение и преломление света 184
Глава 12. Распространение света в анизотропных средах 196
Глава 13. Классическая теория излучения И поглощения 214
Глава 14. Классическая теория дисперсии 222
Глава 15. Рассеяние света 235
Часть 4. Квантовая и лазерная оптика
Глава 16. Квантовая теория излучения 242
Глава 17. Лазеры 258
Глава 18. Нелинейная оптика 276
Заключение. Современная оптика: достижения и перспективы . . . 299
Литература 320
Алфавитный указатель 321
Содержание
Предисловие И
Введение 12
Часть 1.Свет: волны, лучи, энергия
Глава 1. Свет как электромагнитные волны 26
1.1. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля 26
1.2. Волновое уравнение. Скорость электромагнитных волн 28
1.3. Плоские и сферические волны 30
1.4. Свойства электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга 33
1.5. Спектральное представление световых волн 35
Глава 2. Общие свойства лучей 38
2.1. Уравнение эйконала 39
2.2. Законы распространения лучей 40
Оптический путь 40
Уравнение светового луча в неоднородной среде 41
Закон прямолинейного распространения света в однородной среде ... 42
Закон изменения интенсивности 42
Закон независимости световых пучков 43
Стигматические световые пучки 43
2.3. Принцип Ферма 44
2.4. Прохождение света через плоскую границу Сред 46
Отражение света от границы двух однородных сред 47
Преломление света на границе двух однородных сред 48
Примеры решения задач 51
Задачи 52
Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред .... 54
3.1. Отражение и преломление на сферической границе 54
Правила знаков 55
Сферическое зеркало 57
Линейные и угловые характеристики изображений 58
Центрированная оптическая система 60
3.2. Преломление света в линзе. Формула тонкой линзы 61
3.3. Идеальные оптические системы 66
3.4. Матричное описание оптических систем 68
3.5. Глаз как оптическая система 72
3.6. Аберрации оптических систем 73
Примеры решения задач 76
Задачи 77
Содержание
Глава 4. Фотометрия 80
4.1. Фотометрические величины 80
Поток лучистой (cDeTODoii) энергии 81
Сила света .• 81
Освещенность поверхности 82
Яркость источника 83
Светимость поверхности 84
4.2. Единицы световых неличин 85
Примеры решения задач 87
ЗаДЯЧИ .,:::.. 89
Часть 2. Интерференция и дифракция света
Глава 5* Интерференция и когерен шесть 92
5.1. Возникновение интерференции 92
5.2. Двухлучевая интерференция 93
5.3. Временная и пространственная когерентность,
степень когерентности 96
Глава 6. Методы наблюдения интерференционных картин 101
6.1. Метод деления амплитуды 101
Полосы равной толщины 101
Кольца Ньютона 102
Полосы равного наклона 103
ПрОСвСтление оптики 105
6.2. Метод деления волнового фронта 105
6.3. Двухлучевые интерферометры. Принципы фурье-спектроекошш .... 108
6.4. Измерение угловых размеров источников.
Звездный интерферометр ._._.11О
6.5. Многолучевая интерференция Hi
Эталон Фабри—Перо 111
Диэлектрические покрытия 114
Примеры решения задач 115
Задачи 117
Глава 7. Дифракция Френеля 120
7.1. Принцип Гюйгенса—Френеля 120
7.2. Зоны Френеля 121
Дифракция на круглом отверстии 121
Применение метода векторных диаграмм 123
Дифракция на круглом диске. Пятно Пуассона 125
Поперечные дифракционные распределения
от круглого отверстия 126
Изменение фазовых соотношений между вторичными волнами.
Зонные пластинки 127
8 Содержание
7.3. Дифракция на прямолинейном крае экрана 129
Дифракция нл полуплоскости. Зоны Шустера 129
Дифракция Френеля на бесконечной щели 130
7.4. Скалярная теория дифракции Кирхгофа , , 131
7.5. Границы дифракционных приближений 134
Глава 8. Дифракция Фраунгофера 136
Особенности дифракции в дальней зоне 136
8.1. Дифракция Фраунгофера как пространственное
фурье-преобразование 137
8.2. Дифракция на прямоугольном отверстии 141
8.3. Дифракция па круглой апертуре 142
8.4. Дифракционный предел разрешающей способности 144
8.5. Основы фурье-оптики 147
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах 149
9.1. Возникновение системы главных и побочных максимумов 149
9.2. Спектральные свойства дифракционной решетки 153
9.3. Фазовые решетки. Решетки со сложной структурой 155
9.4. Дифракция на двумерных структурах 158
9.5. Трехмерная решетка. Дифракция рентгеновских лучей 160
9.6. Дифракционные принципы голографирования 162
Примеры решения задач 168
Задачи 170
Часть 3. Взаимодействие света с веществом
Глава 10. Поляризация света . 174
10.1. Естественный и поляризованный свет 174
10.2. Анализ поляризации. Степень поляризации 176
10.3. Описание поляризации с -Помощью параметров Стокса 178
Примеры решения задач 181
Задачи 182
Глава 11. Отражение и преломление света 184
11.1. Граничные углопия. Формулы Френеля 184
11.2. Анализ формул Френеля 186
11.3. Полное внутреннее отражение 189
11.4. Отражение света от поверхности металлов 192
Примеры решения задач 194
Задачи 195
Глава 12. Распространение света в анизотропных средах 196
12.1. Тензор диэлектрической проницаемости анизотропной среды 196
12.2. Распространение монохроматической плоской волны
в анизотропной среде 197
Содержание
12.3. Двулучепрсломление в одноосных кристаллах 199
12.4. Анализ хода лучей в кристаллах с помощью
построений Гюйгенса 201
12.5. Кристаллические поляризационные устройства 203
12.6. Интерференция поляризованных лучей 205
12.7. Гиротропия или естественная оптическая активность 207
12.8. Параметрическая кристаллооптика 208
Примеры решения задач 211
Задачи 212
Глава 13. Классическая теория излучения и поглощения 214
13.1. Естественная ширина спектральной линии 214
13.2. Механизмы уширения спектральных линий 216
13.3. Поглощение света. Закон Бугера 220
Глава 14. Классическая теория дисперсии 222
14.1. Групповая и фазовая скорости. Дисперсионная зависимость 222
14.2. Нормальная и аномальная дисперсия 225
14.3. Дисперсия вдали от линии поглощения 228
Примеры решения задач 231
Задлчп 233
Глава 15. Рассеяние света 235
15.1. Теория рассеяния Рэлея 235
15.2. Рассеяние Ми и молекулярное рассеяние 238
15.3. Неупругое рассеяние 239
Часть 4. Квантовая и лазерная оптика
Глава 16. Кваитсюая теория излучения 242
16.1. Законы теплового излучения 242
1G.2. Формула Планка . . . . / 247
16.3. Спонтанное и вынужденное излучение 249
16.4. Квантовые эффекты в оптике 251
Фотоэффект 252
Световое давление 253
Эффект Комптона 253
Примеры решения задач 255
Задачи 256
Глава 17. Лазеры 258
17.1. Принципы усиления света ............... 4 258
17.2. Основные типы лазеров 260
Рубиновый лазер 260
Неодимовый лазер 261
Гелий-неоновый лазер 262
10 Содержание
Лазер на углекислом газе 263
Ионные лазеры 264
Эксимерные лазеры 265
Лазеры на красителях 265
Полупроводниковые лазеры 266
Химические лазеры 267
17.3. Открытые резонаторы лазеров 267
Задачи 274
Глава 18. Нелинейная оптика 276
18.1. Механизмы оптической нелинейности 276
18.2. Некогерентные нелинейные эффекты 278
18.3. Генерация второй оптической гармоники . , 279
18.4. Параметрическая генерация света 283
18.5. Вынужденное рассеяние и обращение волнового фронта 284
18.6. Эффекты самовоздействия света 288
187. Нелинейный резонанс и оптическая бистабильность 292
18.8. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии 295
18.9. Световое давление r лазерных пучках 297
Заключение. Современная оптика: достижения и перспективы .... 299
Адаптивная оптика 299
Градиентная оптика 301
Волоконная оптика 303
Интегральная оптика 307
Оптическая обработка информации 313
Силовая оптика , . , 317
Литература 320
Алфавитный указатель 321
От издательства
Ваши замечания, предложения, вопросы отправляйте по адресу электронной
почты comp@piter.com (издательство «Питер», компьютерная редакция).
Мы будем рады узнать ваше мнение!
На web-сайте издательства http://www.piter.com вы найдете подробную инфор-
информацию о наших книгах.
Предисловие
Настоящее издание охватывает две учебные дисциплины, традиционно читаемые
студентам технических факультетов в рамках базовой естественно-научной под-
подготовки. Первая — «Волновая и квантовая оптика» — является частью расши-
расширенного курса общей физики и освещает закономерности, обусловленные волно-
волновой природой оптического излучения, а также эффекты, получившие наиболее
логичное и законченное описание на основе квантовых представлений. Вторая
дисциплина — «Основы оптики» — преподается студентам специальностей и на-
направлений, связанных с оптотехникой, оптоэлектроникой и оптоинформатикой.
В ней больше внимания уделяется вопросам формирования оптических изобра-
изображений, взаимодействия света с веществом, энергетической и информационной
составляющим оптического сигнала.
Объединение в одной книге учебного материала по двум базовым дисципли-
дисциплинам преследовало двоякую цель. С одной стороны, требовалось дополнить тради-
традиционное общефизическое изложение современной методологией, основанной на
интегральных преобразованиях, с другой стороны, следовало связать сугубо тех-
технические приложения с фундаментальными теоретическими принципами оптики.
Выбранное авторами название книги — «Основы оптики» — в точности по-
повторяет наименование известного труда М. Борна и Э. Вольфа, давно ставшего
настольной книгой оптикив-профессионалов. Не претендуя на такую же глуби-
глубину изложения и даже на повторение структуры этой монографии, авторы все же
сочли возможным использовать такое же название, поскольку ограничились из-
изложением самых основных положений оптической науки, и сделали акцент на
рассмотрении физической сути оптических явлений, существенно сократив их
математическое описание.
Работа над этим изданием протекала с перерывами почти шесть лет и при-
пришлась на время совместной педагогической деятельности авторов на кафедре
физики Санкт-Петербургского государственного университета информацион-
информационных технологий, механики и оптики (СПбГУИТМО). За это время были подго-
подготовлены печатный и электронный конспекты лекций, методические пособия по
решению задач и лабораторному практикуму, изданы четыре брошюры по от-
отдельным разделам курса. Материалы, дополняющие содержание этого издания,
доступны в электронном виде по адресу www.optics.ifmo.ru.
Во время подготовки издания неоценимую методическую помощь и неиз-
неизменно благожелательную критику авторы получали от профессора Санкт-Пе-
Санкт-Петербургского государственного университета Е. И. Бутикова, автора лучшего
русскоязычного учебника по оптике. Весьма полезные дискуссии проходили с
профессорами кафедры К. Р. Симовским, А. В. Сечкаревым, Н. А. Ярышевым.
Отдельную признательность хочется выразить ректору СПбГУИТМО профессо-
профессору В. Н. Васильеву за поддержку, оказанную на всех этапах работы.
Выходящая в год 100-летия первого в России выпуска специалистов по опти-
оптической технике, книга «Основы оптики», как мы надеемся, найдет своего читате-
читателя не только среди новых поколений студентов и преподавателей, но и в кругу
всех интересующихся оптикой, по праву называемой сегодня наукой XXI века.
Введение
Краткий исторический очерк
Согласно античному определению оптика — это паука о природе света и меха-
механизме зрения. Уже в древности оптика прямо пли косвенно была связана с: прак-
практическими нуждами. Греческие геометры, приступив к исследованию оптических
явлений, в том числе атмосферной оптики, обнаружили видимую прямолиней-
прямолинейность распространения света: подсказкой послужили отбрасываемые предмета-
предметами тени. Поэтому учение о свете было включено в систему линейной геометрии.
Были разработаны геометрические методы построения изображений как плоски-
плоскими, так н пеплоекпми зеркалами. Эти исследования греки назвали катоптри-
катоптрикой — наукой об отражении лучей зеркальными поверхностями. Методика про-
прослеживания луча «за зеркало» для нахождения изображения, впервые серьезно
изученная еще во времена Пифагора, широко используется и в современных оп-
оптических расчетах.
Пифагор родился в 570 г. до н. э. и жил сначала на острове Самос,
а в 531 г. до н. э. переселился в Южную Италию, которая вмииледст-
вии Именовалась Великой Грецией. Еще в молодости Пифагор при-
пришел к убеждению, что все в мире определяется числами или соот-
соотношениями чисел.
Что касается его исследований в области оптики, он считал, что
объекты становятся видимыми благодаря «выстреливаемым» ими
крохотным частицам, попадающим в глаз человека. Потрясающее
предвидение Пифагора вспоминали на всех этапах создания корпус-
корпускулярной теории. Зная законы отражения, он развивал геометриче-
геометрические методы построения изображений плоскими и кривыми зеркала-
зеркалами, основанные на прослеживании продолжений отраженных лучей
за зеркало.
В 444 г. до и. э. греческий философ Эмпедокл выдвинул теорию, альтернатив-
альтернативную идее Пифагора. По Эмпедокл у предметы становятся видимыми благодаря
использованию неуловимого щупальца, простирающегося от глаза и захватыва-
захватывающего видимый предмет. Идея о существовании какого-то излучения, выходя-
выходящего из глаза, стала известной под названием «теории окулярных пучков». Эта
теория получила широкое распространение, и хотя ее противником был сам Ари-
Аристотель, даже в конце средневековья некоторые серьезные ученые предполагали,
что такой тип зрения возможен у ночных животных.
Аристотель считал свет проявлением некоей разряженной среды, называемой
пеллуцид и заполняющей все пространство. По его мнению, через эту среду пере-
Введение. Краткий исторический очерк 1 3
дается определенного рода воздействие от объекта к глазу. Мысль эта безуслов-
безусловно созвучна высказанной в XIX в. идее распространения света как колебаний
разряженного эфира. Аристотель изучал не только законы отражения, но и пре-
преломления световых лучей.
Автором первых дошедших до нас греческих работ по оптике был Эвклид.
Известна его «Оптика» — трактат по теории перспективы. Законы перспективы
выводятся здесь из четырнадцати исходных положений, установленных на осно-
основе оптических наблюдений. На закон отражения Эвклид ссыл2лся как на нечто
уже известное. Он говорил, что этот закон доказан в его «Катоптрике», которая,
увы, не сохранилась.
Эвклид создавал свои труды в Александрии в начале III в. до н. э.
В своем первом математическом трактате он подвел итог предшест-
предшествующему развитию древнегреческой математики. Создатель геомет-
геометрической системы (евклидовой геометрии), на которой затем осно-
основывалась вся классическая физика. В трактатах Эвклида «Оптика»
и «Катоптрика» изложены результаты его оптических исследований.
Его геометрические построения теней и изображений в плоских зер-
зеркалах указывают на понимание прямолинейности световых лучей и
равенства углов падения и отражения. Он исследовал отражение
светового луча системой нескольких плоских зеркал. В своих трудах
рассмотрел отражения света от плоских и сферических зеркал, при-
привел теорему о равенстве углов падения и отражения, о симметрично-
симметричности предмета и изображения в плоском зеркале, о положении изо-
изображения на одной прямой с предметом в сферических зеркалах
и т. п. Все это дает основание считать Эвклида основоположником
геометрической оптики.
Вероятно, уже в древности сочинение Эвклида было оттеснено на второй план
более объемной «Катоптрикой» Архимеда, содержавшей строгое изложение всех
достижений греческой геометрической оптики. Сам Архимед был не только тео-
теоретиком оптики, но и мастером оптических наблюдений, о чем свидетельствует
описанная им методика определения видимого диаметра Солнца, учитывающая
размеры человеческого зрачка.
Во II в. до н. э. теория построения изображений кривыми зеркалами доста-
достаточно продвинулась вперед, оправдывая предание, по которому Архимед поджег
римский флот около Сиракуз, сконцентрировав солнечный свет «зажигательны-
«зажигательными» вогнутыми зеркалами. Кроме того, древним грекам было известно и зажига-
зажигательное действие собирающих линз, описанное впервые в V в. до н. э. в комедии
Аристофана «Облака». О зажигательном действии стеклянных и хрустальных
шаров пишут римляне Плиний и Сенека. Последний указывает на увеличитель-
увеличительное действие стеклянной сферы, заполненной водой.
В эпоху поздней античности оптическими исследованиями занимались Герои
и Птолемей. Трактат Герона «Катоптрика» содержит обоснование прямолиней-
прямолинейности световых лучей бесконечно большой скоростью их распространения. Далее
Герои приводит доказательство закона отражения, основанное на предположе-
предположении, что путь, проходимый светом, должен быть наименьшим из всех возможных
(это частный случай принципа, традиционно связываемого с именем Ферма).
Вслед за наукой об отражениях развивалась и греческая диоптрика — наука
о прохождении света через прозрачные среды и о его преломлениях. Впервые ко-
14 Введение. Краткий исторический очерк
личественными диоптрическими измерениями занимался Птолемей. Он иссле-
исследовал преломление лучей в воде, наполовину погружая диск с делениями в воду
и определяя углы падения и преломления. Полученные по его данным значения
показателя преломления воды лежат в диапазоне от 1,25 до 1,34. Пюлемей впер-
впервые описал явление полного внутреннего отражения.
Клавдий Птолемей (II в. н. э.) — великий геометр и астроном из
Александрии, автор трактата «Альмагест», который более тысячеле-
тысячелетия оставался сводом астрономических знаний Придал завершен-
завершенный вид геоцентрической теории мироздания (птолемеева система
мира), которую со временем заменила гелиоцентрическая систе-
система Коперника. Создатель трактата «Оптика» в пяти книгах, где впер-
впервые описаны действительно точные диоптрические исследования с
целью учеш влияний преломления атмосферы на астрономические
наблюдения. Птолемей не смог открыть количественный закон, свя-
связывающий углы падения и преломления, ошибочно полагая, что для
данных двух сред углы преломления изменяются почти пропорцио-
пропорционально углам падения. Это предположение, справедливое при ма-
малых углах падения, не выполняется для больших углов, поскольку
пропорциональность наблюдается не для самих углов, а для их си-
синусов.
После античного периода развития науки о световых явлениях на протяже-
протяжении почти 900 лет — от Птолемея до Ибн ал-Хайсама — оптические исследова-
исследования принесли мало нового. Возрождение античного знания и дальнейшее разви-
развитие науки начались в арабском мире. Арабы сделали немало в области многих
наук, в том числе и в оптике. Считается, что именно они создали линзы, хотя еще
император Нерон, по преданию, пользовался обработанным смарагдом (изумру-
(изумрудом) для наблюдения гладиаторских боев.
Крупнейшим сочинением по оптике, написанным в Средние века, был трак-
трактат «Сокровище оптики» Ибн ал-Хайсама, где он критикует представление о зри-
зрительных лучах и исходит из того, что лучи света распространяются от источника
света. На основе изучения анатомии глаза ученый рассматривает механизм зре-
зрения, зрительное восприятие и обманы зрения. Кроме «Книги оптики», он напи-
написал еще целый ряд оптических трактатов, в частности «Книгу о зажпгптельной
сфере», лежащую в основе теории линз, и два трактата о зажигательных парабо-
параболических зеркалах.
Ибн ал-Хайсам написал «Книгу о форме затмений», содержащую теорию ка-
камеры-обскуры. Последняя, являясь фактическим предшественником проекцион-
проекционного волшебного фонаря и фотоаппарата, представляла собой яшик с неболь-
небольшим входным отверстием, на задней стенке которого за счет дифракционных
эффектов формировались действительные уменьшенные перевернутые изобра-
изображения. Камера-обскура была излюбленным оптическим инструментом средних
веков. В долинзовую эпоху ею пользовались не только ученые, но даже худож-
художники и владельцы модных салонов.
Большое влияние на средневековые оптические исследования оказал напи-
написанный в 1271 г. десятитомный трактат польского физика Витслло «Оптика»,
в котором описаны многочисленные опыты и наблюдения за природными опти-
оптическими явлениями и разработаны важные для художников вопросы перспекти-
перспективы. Являясь в большой степени удачной компиляцией работ Эвклида, Птолемея
Введение. Краткий исторический очерк 1 5
и Альхазена, трактат начиная с XV в. на долгие годы стал основой университет-
университетских оптических курсов.
Ибн ал-Хайсам — латинизированное имя Альхазен (965-1039). Ро-
Родился в Басре. Жил и работал в Каире. Благодаря своим выдающимся
способностям занимал на родине должность визира, однако любовь
к науке побудила его оставить службу и заняться только исследова-
исследованиями. Ибн ал-Хайсам был выдающимся физиком, математиком, ас-
астрономом, врачом и философом-комментатором Аристотеля. Он яв-
является автором фундаментального трактата «Сокровище оптики»,
состоящего из семи книг, из которых три посвящены глазу и зрению.
Внес существенные уточнения в закон отражения, проверявшийся им
на зеркалах, сделанных из железа. Ибн ал-Хайсам установил, что па-
падающий на поверхность зеркала луч, нормаль к этой поверхности и
луч отраженный лежат в одной плоскости. Опроверг теорию окуляр-
окулярных пучков, решил задачу об отражении от выпуклых зеркал. Открыл
возможность получения действительных изображений при помощи
зеркал и преломляющих сред, описал действие «прозрачных сфер»
из стекла и горного хрусталя и шаровых сегментов, названных впо-
впоследствии его именем.
К сожалению, фундаментальная работа Вителло более 150 лет практически
не была известна, что, конечно, сказалось на темпах развития оптических иссле-
исследований в Европе. При этом появился значительный разрыв между практикой
ремесленников-стекольщиков и теорией университетских профессоров-оптиков.
В результате самое важное открытие физиологической оптики — возможность кор-
коррекции зрения при помощи очков — было сделано в XIII в. не на университет-
университетской кафедре, а в стеклодельной мастерской. Оторванностью чистой науки от
практики объясняется тот факт, что ученые-оптики даже не рекомендовали но-
ношение очков: «Основная цель зрения — знать правду, линзы для очков дают
возможность видеть предметы большими или меньшими, чем они есть в дейст-
действительности... иной раз перевернутыми, деформированными и ошибочными,
следовательно, они не дают возможности видеть действительность».
Среди наиболее известных работ по оптике того времени следует указать на
труды Роджера Бэкона, много внимания уделявшего преломлению и отражению
в линзах и зеркалах. Он тщательно исследовал и усовершенствовал работу вол-
волшебного фонаря (камеры-обскуры), а за изобретение (скорее пропагандирование)
очков был заключен в тюрьму, так как считалось, что это творение дьявола.
Однако остановить развитие очкового ремесла было невозможно, и начиная
с конца XV в. во многом благодаря трудам Леонардо да Винчи происходит рез-
резкий сдвиг оптики в практическую область.
После работ Леонардо долгое время не было сколько-нибудь систематиче-
систематических исследований по оптике. В этой области знаний царила такая путаница, что
итальянский математик и физик Мавролик побоялся опубликовать свое ориги-
оригинальное исследование по оптике. В его первой части были рассмотрены вопросы
геометрической оптики, а во второй — преломление света, явление радуги, стро-
строение глаза, механизм зрения и принцип действия очков. Полагая, что хрусталик
глаза работает как линза, он в то же время не смог признать, что изображение
получается перевернутым, и серией ухищрений пытался доказать, что изображе-
изображение будет прямым.
16
Введение. Краткий исторический очерк
Леонардо да Винчи A452-1512) — великий итальянский художник,
скульптор, мыслитель, сочетавший в себе глубокого теоретика и та-
талантливейшего практика. Он иьчавил громадный След в развитии
всех областей знаний, которыми занимался, в том числе в оптике.
В его «Атлантическом кодексе» и других манускриптах были постав-
поставлены и решены задачи построения хода лучей в глазе и в камере-об-
камере-обскуре, рассмотрены вопросы перспективы, аккомодации и адаптации
глаза, дано научное объяснение действия линз, зеркал и очков, В его
трудах встречаются вопросы аберраций (искажений), приведены
результаты первых фотометрических исследований по сравнению
освещенностей, даваемых несколькими разнесенными свечами. Им
была создана уникальная модель человеческого глаза с роговой
оболочкой, хрусталиком, зрачком и стекловидным телом. Леонардо
описал технологии изготовления линз и зеркал и даже предложил-
конструкцию станка для шлифовки вогнутых сферических и параболи-
параболических зеркал.
Следующий шаг был сделан итальянцем Порта, который усовершенствовал
камеру-обскуру, добавив собирающую линзу, тем самым выдвинув идею проек-
проекционного фонаря. Вскоре он делает попытку построения хода лучей в линзах и
даже описывает оптическую систему телескопа, утверждая, что ему первым уда-
удалось видеть на большом расстоянии мелкие предметы. Однако никаких доказа-
доказательств тому не сохранилось.
Первая зрительная труба появилась на рубеже XVI и XVII вв. в Голландии,
о чем сообщил в 1608 г. очковых дел мастер Лигшерсгейм. Известие о его изо-
изобретении побудило Галилея через год в Падуе построить свой телескоп и тем са-
самым положить начало современной астрономии. Прогресс в развитии всех при-
прикладных оптических исследований в значительной мере связан с его именем.
Галилео Галилей A564-1642) — великий итальянский физик и ас-
астроном, один из основателей точного естествознания р 1581 г. по-
поступил в Пизанский университет, где изучал медицину. Но, увлек-
увлекшись геометрией и механиком, оставил университет и уехал во
Флоренцию, где четыре года самостоятельно изучал математику. Не-
Несмотря на то что Галилея нельзя считать создателем первого теле-
телескопа, он, несомненно, являлся первым, кто создал этот инструмент
на научной основе. Астрономические наблюдения принесли ему
большую славу. Уже при дворе герцога Тосканского он продолжает
свои исследования, открывая фазы Венеры, пятна на Солнце и его
вращение. Микроскоп он создал, подбирая соответствующее рас-
расстояние между линзами, при котором оказывались увеличенными не
удаленные, а близкие предметы. О наблюдении насекомых имеется
запись от 1614 г., а в 1624 г. он посылает сконотруирпн^нный им мик-
микроскоп Федерико Чези с описанием наводки на резкость. От долгих
прямых наблюдений Солнца (светофильтры придумали только в 1617г.)
Галилей ослеп.
В каком-то смысле все сделанное до него в науке можно считать всего лишь
Предысторией современного естествознания. «Звездный вестник» Галилея по-
послужил могучим стимулом к созданию разнообразных конструкций телескопов
и других оптических приборов. Путем логических рассуждении он пришел к вьр
воду о необходимости сочетания выпуклой и вогнутой линз для получения ис-
искомого эффекта увеличения. Галилей первым понял, что качество изготовления
линз для очков и для зрительных труб должно быть совершенно различным, усо-
Введение. Краткий исторический очерк 17
вершенствовал технологию изготовления линз, что позволило ему создать инст-
инструмент, увеличивающий в 32 раза, в то время как все существовавшие до него
зрительные трубы давали увеличение лишь в 3-6 раз.
После смерти Галилея его сменил Торричелли, которому суждено было от-
открыть секрет контроля качества обработки линз. В первой половине XVII в. еще
не было известно явление интерференции, поэтому результат работы шлифо-
шлифовальщиков целиком зависел от случая. Хотя Торричелли так и не открыл свой
секрет и не опубликовал ни одной работы по оптике, полагают, что он заметил
интерференционные кольца, возникающие во время притирки линзы с поверхно-
поверхностью формы, и использовал их для оценки качества обрабатываемой поверхно-
поверхности. Заметим, что когда умер Торричелли, официальным открывателям «колец
Ньютона» Роберту Гуку и Исааку Ньютону было 12 и 5 лет соответственно.
Фундамент современной научной оптики линз заложил выдающийся немец-
немецкий астроном Кеплер. Точный закон преломления при нем еще не был известен,
и все же он придумал такие системы линз для телескопов, что даже в наши дни
кеплеровский окуляр находит применение в оптических приборах. Помимо ин-
интенсивных занятий астрономией, он изобретает зрительную трубу, состоящую из
двух положительных линз (телескоп Кеплера) с большим полем зрения и проме-
промежуточным перевернутым действительным изображением, в плоскости которого
можно располагать визирующее устройство. Это превратило телескоп из инстру-
инструмента наблюдательного в инструмент измерительный.
Иоганн Кеплер A571-1630) — немецкий астроном и оптик, один из
творцов небесной механики. Окончил Тюбингенский университет.
В 1600 г. переехал в Прагу к датскому астроному Тихо Браге, после
смерти которого стал математиком при дворе императора Рудоль-
Рудольфа II. Оставил работы в области астрономии, механики, оптики, мате-
математики. Сго астрономические расчеты и три знаменитых закона стали
основой для динамического объяснения, разработанного позднее
Ньютоном. В 1604 I. написал «Дополнение к Вителлию», в котором
четко описал перевернутое изображение на сетчатке глаза. Здесь же
привел формулу, связывающую фокусное расстояние линзы с поло-
положениями предмета и его изображения на оптической оси, и ввел ряд
новых терминов (сходимость и расходимость пучков, оптическая ось,
фокус системы).
Главным трудом Кеплера по оптике стала «Диоптрика», написанная в 1610 г.
всего за два месяца под впечатлением открытий Галилея. В ней дано четкое
определение и классификация линз, выявлены закономерности в положениях
предмета и изображения при одной и двух линзах, обоснована схема своего теле-
телескопа. Им были проанализированы сферическая аберрация и диафрагмирование
объектива, а также рассмотрена схема трехлинзовой трубы с прямым изображен
нием. Кеплер впервые применил камеру-обскуру для наблюдения солнечного
затмения, установив, что форма изображения на стенке камеры не зависит от
формы отверстия. В «Диоптрике» Кеплера содержатся начала анализа и синтеза
оптических систем, а также1 все основные понятия геометрической оптики.
В XVII в. произошла поистине революция в оптике: появились телескоп
и микроскоп, были изобретены совершенные рецептуры варки стекла, резко под-
поднялось мастерство шлифовальщиков и открылась возможность контроля формы
18 Введение. Краткий исторический очерк
обрабатываемых поверхностей. Однако настоящий научный аппарат для расче-
расчета оптических систем мог быть создан только на основе точной формулировки
закона преломления. Честь его открытия по праву делят голландец Снеллиус
и француз Декарт.
Уже со второй половины XVII в. в научный оборот входят понятия аберра-
аберраций, диафрагм и зрачков. Возникают методы габаритных и энергетических рас-
расчетов. Из общего оптического знания начинает выделяться как отдельная наука
прикладная оптика.
К середине XVII в. накопились факты и наблюдения, выходившие за рамки
геометрической оптики. Впервые высказанная Пифагором, оформилась корпус-
корпускулярная теория, согласно которой счет есть поток каких-то частиц, испускае-
испускаемых светящимся телом. С другой стороны, последователи Аристотеля и Декарта
рассматривали свет как распространяющееся в пространстве (в среде) действие
или движение.
Одним из первых ученых, подтолкнувшим научную мысль к волновой тео-
теории, был чешский физик Марци. В 1648 г. в ходе опытов с призмами он открыл
эффект разложения белого света на цвета, то есть явление дисперсии. Другим ука-
указанием на волновую природу света стало явление, подробно описанное итальян-
итальянцем Гримальди. Он заметил, что если на пути узкого пучкя световых лучей по-
поставить предмет, то на экране, поставленном сзади, не получается резкой тени.
Края тени размыты, кроме того, вдоль тени появляются цветные полосы. Откры-
Открытое явление он назвал дифракцией, но объяснить правильно не сумел.
Гримальди занимался важнейшим вопросом того времени; является ли свет
субстанцией или свойством. Его вывод совпал с выводом Аристотеля: свет — это
свойство распространяющегося светового флюида. Когда свет встречается с пре-
препятствием, то оно вызывает волны этого флюида. Гримальди приписал наблюда-
наблюдаемые им явления волновым колебаниям, подобным всем хорошо знакомой ряби
на воде или звуковым колебаниям, причем впервые предположил, что различ-
различным цветам соответствуют различные длины воли, подобно музыкальным звукам.
Высказанная в античности мысль Герона Александрийского о минимальных
длинах световых лучей, распространяющихся из точки в точку, обрела строгую
математическую форму во второй половине XVII в. благодаря французу Ферма,
оставившему заметный след в оптике. Он установил основной принцип геометри-
геометрической оптики (принцип Ферма) — свет распространяется между двумя точками
по наикратчайшему пути. Ферма вывел законы отражения и преломления, исходя
из постулата: «Природа действует наиболее легкими и доступными способами».
Вопрос о скорости света был актуален и для корпускулярной, и волновой
теорий. Впервые скорость света была определена датским астрономом Ремером
в 1676 г. До этого времени среди ученых существовало два противоположных
мнения. Одни полагали, что скорость света бесконечно велика. Другие же счита-
считали ее хотя и очень большой, но тем не менее конечной. Ремер подтвердил второе
мнение. Он правильно связал нерегулярности во времени затмений спутников
Юпитера со временем, которое необходимо свету для прохождения по диаметру
орбиты Земли вокруг Солнца. Ремер впервые сделал вывод о конечной скорости
распространения света и определил ее величину. По его подсчетам, скорость све-
света получилась равной около 225 000 км/с.
Введение. Краткий исторический очерк 1 9
Распространение света в природных кристаллах наблюдалось на протяжении
многих веков. В отличие от всех жидкостей и аморфного стекла, кристаллы пред-
представляют собой анизотропную среду, физические свойства которой неодинаковы
в различных направлениях. В 1669 г. датский ученый Бартолиниус обнаружил,
что если смотреть на какой-либо предмет через кристалл исландского шпата, то
видно не одно, а два изображения, смещенных друг относительно друга. Барто-
Бартолиниус не только открыл двулучепреломление, но и дал его полное описание, по-
положив начало кристаллооптике. Затем это явление исследовал Гюйгенс и попы-
попытался дать ему объяснение с точки зрения волновой теории света.
Христиан Гюйгенс A029-1695) — голландский физик, механик, ма-
математик и астроном. Учился в университетах Лейдена и Бреда.
В 1665-1681 гг. жил в Париже, был избран членом Парижской Акаде-
Академии наук, с 1681 г. — снова в Гааге. Физические исследования в 66-
ласти механики, оптики, молекулярной физики. В 1678 г. в мемуарах,
представленных в Парижскую Академию наук, разработал волновую
теорию спета (опубликована в "Трактате о свете» в 1690 г ) Объясняя
механизм распространения света, выдвинул известный принцип, на-
названный впоследствии его именем. Изучал также двулучепреломле-
ние, с большой точностью измерил геометрические характеристики
исландского шпата, в котором наблюдалось это явление, и обнару-
обнаружил его в кристаллах кварца. Ввел понятие «ось кристалла». Открыл в
1678 г. поляризацию света. Работал над усовершенствованием теле-
телескопов и микроскопов, сконструировал иепплкяующийся поныне оку-
окуляр Гюйгенса.
В ставшем знаменитом «Трактате о свете», вышедшем в 1690 г., Гюйгенс из-
изложил свою волновую теорию света (световые возбуждения являются упругими
импульсами в эфире), исследования по кристаллооптике, а также первое описа-
описание явления поляризации света. Здесь же сформулирован знаменитый принцип
Гюйгенса, согласно которому каждый элемент волны считается центром вторич-
вторичных волн и прямолинейное распространение света является следствием огибаю-
огибающей вторичных волн, как в прямом, так и в отраженном свете. Для объяснения
двулучепреломления Гюйгенс ввел понятие сфероидных волн, а также матема-
математически показал, каким образом волновая теория света объясняет дифракцию и
цвета тонких пленок. Однако в XVII в. победил авторитет Ньютона, и волновая
теория должна была ожидать своего часа более чем сто лет.
Изучая цвета мыльных пленок и тонких пластинок из слюды, английский
физик Гук обнаружил, что эти цвета зависят от толщины пленки или пластинки.
Гук полагал, что свет — это колебательные движения, распространяющиеся в эфи-
эфире. Более того, он прозорливо считал, что эти колебания являются поперечными.
Явление интерференции света в тонких пленках Гук объяснял тем, что от двух
поверхностей тонкой, например мыльной, пленки происходит отражение свето-
световых волн, которые, попадая в глаз, производят ощущение различных цветов. Од-
Однако он не связывал цбст с частотой колебаний или с длиной волны, поэтому
не смог разработать теорию интерференции. Независимо от Гримальди в 1672 г.
Гук проделал ряд опытов и описал явление дифракции с точки зрения колеба-
колебаний эфира. Вообще, оптические дискуссии конца XVII в. проходили под зна-
знаком соперничества волновой теории Гука и корпускулярной теории сэра Иса-
Исаака Ньютона.
20
Введение. Краткий исторический очерк
Изучая уже известное явление дисперсии, Ньютон пришел к заключению,
что белый свет является сложным и представляет собой сумму простых цветных
лучей. По Ньютону призма сортирует световые частицы, отклоняя их на разный
угол в соответствии с их цветностью. Что касается дифракции, то захождение
лучей в область геометрической тени объяснялось притяжением между частица-
частицами, из которых состоит экран, и «атомами света».
Исаак Ньютон A643-1727) — выдающийся английский ученый, зало-
заложивший основы современного естествознания, президент Лондонско-
Лондонского королевского общества с 1703 г. Окончил Кембриджский универси-
университет A665). В 1669-1701 гг. возглавлял в нем кафедру. С 1695 г. —
смотритель, с 1699 г. —- директор Монетного двора. Работы относят-
относятся к механике, оптике, астрономии, математике. Создал огромный
труд «Математические начала натуральной философии», изданный в
1687 г. Оптические исследования изложил в «Оптике» A704). В 1666 г.
при помощи трехгранной стеклянной призмы разложил солнечный
свет на семь цветов (в спектр), а затем соединил их снова, получив
исходный белый свет. Открыл хроматическую аберрацию и, пытаясь
ее избежать, сконструировал отражательный телескоп-рефлектор
оригинальной системы. Исследовал интерференцию и дифракцию
света, изучая цвета тонких пленок, открыл так называемые коль-
кольца Ньютона, установил закономерности в их размещении, высказал
мысль о периодичности светового процесса. Пытался объяснить дву-
лучепреломление и близко подошел к открытию явления поляриза-
поляризации. Свет считал потоком корпускул, однако на разных этапах рас-
рассматривал возможность существования и волновых свойств света,
в частности, в 1675 г. предпринял попытку создать компромиссную
корпускулярно-волновую теорию света.
Ньютон сделал важный шаг в исследовании интерференции света, изучая
темные и светлые кольца, которые видны при освещении монохроматическим
светом зазора между линзой и пластинкой. Это так называемые кольца Ньютона.
Для их объяснения пришлось предположить, что в одних местах световые части-
частицы испытывают «приступы легкого отражения», а в других — «приступы легкого
преломления».
Почти весь XVIII в. в оптике доминировала корпускулярная теория Ньюто-
Ньютона. Наиболее значительные оптические достижения были связаны с изучением
световой энергетики — в качестве самостоятельной науки оформилась фотомет-
фотометрия, в первую очередь благодаря работам Бугера и Ламберта. Последний в своем
классическом труде 1760 г. фактически установил основные понятия фотомет-
фотометрии (сила света, яркость и освещенность) и ряд фотометрических закономерно-
закономерностей, в частности, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстоя-
расстояния и прямо пропорциональна синусу угла, образованного лучами света с осве-
освещаемой поверхностью. Там же был помещен 6Г0 Закон поглощения света средой,
первоначально установленный в 1729 г. Бугером.
В честь Иоганна Ламберта источники света и рассеивающие поверхности,
у которых яркость одинакова по всем направлениям (идеально рассеивающие),
назвали ламбертовскими.
К этому времени относятся первые научные исследования по оптике в Рос-
России. Ломоносов не только создавал отечественные рецептуры варки цветных и
прозрачных стекол, но также вел активные прикладные работы: разрабатывал
Введение. Краткий исторический очерк 21
конструкции зрительных труб, телескопов, микроскопов, предлагал не имеющие
кшровых аналогов рефлекторы для морских маяков и т. п. В отличие от боль
шинства ученых-современников, он был последовательным приверженцем вол-
нгтой теории света.
Значительные успехи в оптике XVIII в. связаны с именем постоянно работав-
работавшего в России Эйлера. Помимо собственно оптических достижений (формула
для показателя преломления среды, формула двояковыпуклой линзы), его теория
функций комплексного переменного стала впоследствии фундаментом матема-
математического аппарата волновой оптики. Сторонник теории эфира, Эйлер полагал,
что цвет тел зависит от частоты колебаний светового луча, что максимальная
длим я нплны соответствует красным лучам, а минимальная — фиолетовым. Счи-
Считается, что Эйлер первым записал уравнение плоской гармонической волны.
Начиная с XIX в. взгляды ученых-оптиков постепенно склоняются в пользу
волновой теории света. Уже известные кольца Ньютона, цвета ТОНКИХ пленок И
ряд эффектов, говорящих о неаддитивности освещенности от нескольких источ-
источников, весьма смутно объяснялись корпускулярной теорией. В пер^уто очередь
благодаря работам Юнга появляется теория интерференции как явления пере-
перераспределения световой энергии в прпстрянгтпе. При соблюленпи некоторых
условии (когерентность источников) суммарная интенсивность в данной точке
может оказаться вдвое больше суммы интенсивностей от двух одинаковых ис-
источников света, причем в соседней точке она может оказаться нулевой. Ставший
классическим интерференционный опыт Юнга с двумя щелями позволил впер-
впервые оценить длину световой волны.
Томас Юнг A773-1829) — английский ученый, один из созда-
создателей волновой оптики, член королевского научного общества
A794), в 1802-1829 гг. — его секретарь. Учился в Лондонском,
Эдинбургском и Гёттингенском университетах, где сначала изу-
изучал медицину, но потом увлекся физикой, в частности оптикой
и акустикой. В последние годы жизни занимался составлением
египетского словаря. Работы относятся к оптике, акустике, меха-
механике, математике, астрономии, геофизике, филологии. Юнг впер-
впервые объяснил явление аккомодации глаза изменением кривизны
хрусталика. В трактате «Опыты и проблемы по звуку и свету»
выступил в защиту волновой теории света и предложил принцип
суперпозиции волн. В 1801 г. первым объяснил явление интерфе-
интерференции света, ввел сам этот термин. Выполнил первый демонст-
демонстрационный эксперимент по наблюдению интерференции cdctg,
получив два когерентных источника света. Измерил длины волн
разных цветов, получив для красного света значение 0,7 мкм, для
фиолетового — 0,42 мкм. Высказал мысль, что cdct и лучистая то-
плота отличаются друг от друга только длиной волны, выдвинул
идею поперечности световых волн.
Настоящий триумф волновой теории света наступил после серии работ Фре-
Френеля, в которых дополненные интерференцией вторичных воли положения Гюй-
Гюйгенса (принцип Гюйгенса—Френеля) позволили развить первую феноменоло-
феноменологическую теорию дифракции. Метод разбиения волнового фронта вторичных
источников нл пплуполнгжые зоны {зоны Френеля) оказался весьма продуктив-
продуктивным при анализе картин дифракции от щели, круглого отверстия, резкого края
и т. п. Академик Пуассон указал, что по Френелю в центре геометрической тени
22 Введение. Краткий исторический очерк
непрозрачного диска должно наблюдаться светлое пятно {пятно Пуассона), что
казалось абсурдным. Однако вскоре другой академик — Араго — поставил со-
соответствующий опыт, и теория дифракции Френеля полностью подтвердилась,
Огюст Жан Френель A788-1827) — французский физик, член Па-
Парижской академии наук и Лондонского королевского общества. Окон-
Окончил Политехническую школу и Школу мостов и дорог в Париже. Рабо-
Работал инженером по ремонту и строительству дорог в различных депар-
департаментах Франции, с 1817 г. — в Политехнической школе. Дополнил
известный принцип Гюйгенса, введя представление о когерентности
элементарных волн и их интерференции (принцип Гюйгенса—Френе-
Гюйгенса—Френеля). Исходя из этого разработал теорию дифракции света. Выполнил
классические опыты по интерференции света с бизеркалами и би-
бипризмами. Исследовал интерференцию поляризованных лучей. От-
Открыл в 1823 г. эллиптическую и круговую поляризации света. Устано-
Установил законы отражения и преломления света на плоской поверхности
раздела двух сред (формулы Френеля). Исследовал проблему о влия-
влиянии движения Земли на оптические явления. Высказал мысль о час-
частичном увлечении эфира и вывел коэффициент увлечения света дви-
движущимися телами. Однако эти его выводы получили свое объяснение
лишь в рамках теории относительности.
Поляризационные исследования Френеля доказали поперечность
световых волн, формулами Френеля для отраженной и преломленной
волн пользуются и сегодня, а изобретенная им плоская линза Френе-
Френеля является обязательным элементом современных проекционных
систем.
Вопрос об ориентации поперечных колебаний эфира впервые исследовал Ма-
люс, который и ввел понятие плоскости поляризации, содержащей световой луч и
вектор световых колебаний в состоянии линейной поляризации. Он установил,
что при отражении, даже если падающий свет являлся естественным, отраженный
луч может стать поляризованным. Кроме того, он открыл закон, по которому из-
изменяется интенсивность линейно поляризованного света при развороте поляриза-
поляризатора {закон Малюса).
Следующий важный шаг в изучении поляризации сделал шотландец Брюстер,
который открыл угол полной поляризации при отражении (угол Брюстера) и уста-
установил существование, кроме линейной, круговой и эллиптической поляризаций.
Подтверждением поляризационных гипотез стало открытие Брюстером двулуче-
преломления в стекле, подвергнутом одноосному сжатию {искусственная анизо-
анизотропия).
Па протяжении веков многие оптические исследования инициировали разви-
развитие фундаментальных физических теорий. Яркий пример тому — наука об ато-
атомарном строении вещества, по сути появившаяся после открытия линейчатых
спектров.
Ньютон исследовал спектр Солнца. Другие раскаленные тела дают аналогич-
аналогичные сплошные спектры. Однако известно, что некоторые вещества, будучи на-
нагретыми в пламени, окрашивают его в какой-либо цвет, то есть демонстрируют
только часть спектра (медный паяльник нагревается на газовой горелке и делает
ее пламя зеленым). В 1802 г. Волластон заметил дискретные черные линии в
спектре солнечного света и, таким образом, первым наблюдал то, что мы теперь
называем фраунгоферовыми линиями.
Введение. Краткий исторический очерк 23
Открытие линейчатых спектров излучения было сделано, по-видимому, Гер-
шелем в 1822 г. Он вносил соли металлов в пламя и наблюдал с помощью приз-
призмы возникающие при этом спектры. Позднее Фраунгофер заметил, что положение
желтой линии, испускаемой поваренной солью, совпадает с положением одной
из увиденных им темных линий в солнечном спектре.
Помимо формирования начал спектроскопии Волластон и Гершель внесли
заметный вклад в расширение диапазона оптических частот для невидимой части
спектра: первый исследовал ультрафиолетовые, а второй — инфракрасные лучи.
Исследования особенностей дифракции на периодических (регулярных) струк-
структурах привели к открытию нового способа разложения света на спектральные
компоненты. Наряду с призменнымн диспергирующими устройствами появились,
в первую очередь благодаря теоретическим и практическим работам Фраунго-
фера, приборы с дифракционными решетками. Они позволили резко улучшить
спектральное разрешение и начать систематическое изучение сплошных и ли-
линейчатых спектров.
Измеренное астрономом Ремером значение скорости света было огромным,
но только в середине XIX в. появились технические возможности ее измерения в
земных условиях. Впервые это удалось сделать Физо в 1849 г. при помощи быст-
быстро вращающегося зубчатого колеса. Чуть позже Физо установил влияние скоро-
скорости движения среды на скорость света в ней, вслед за Френелем положив начало
оптике движущихся сред.
Однако важно было не только уточнить саму величину скорости света, но и от-
ответить на принципиально важный вопрос о том, где эта скорость больше: в более
или менее плотных средах? Корпускулярная теория Ньютона предсказывала, что
большему преломлению света в среде должна соответствовать большая скорость.
Волновые же представления со времен Гюйгенса строились на обратном соотно-
соотношении; чем больше показатель преломления среды, тем меньше в ней скорость
света. Блестящие опыты Фуко с вращающимися многогранными зеркальными
призмами доказали, что в воде скорость света почти на четверть меньше, чем в
воздухе. Сторонники волновой теории света торжествовали. Само значение ско-
скорости света в воздухе Фуко определил очень точно; оно составило 298 000 км/с.
Представление о световых волнах как поперечных колебаниях эфира, этого
«неосязаемого флюида», нисколько не помогали понять, что именно колеблется
в световых волнах. Только в 1845 г. Фарадей впервые решил исследовать связь
между светом и каким-либо другим физическим явлением, например магнетиз-
магнетизмом. Пропуская поляризованный пучок света через свинцовое стекло, помещен-
помещенное между полюсами электромагнита, он наблюдал поворот плоскости поляри-
поляризации на значительный угол. Тем самым он не только положил начало магнито-
магнитооптике, но и убедительно доказал воздействие магнитного поля на световые
колебания.
Следующий, поистине великий шаг в понимании природы света был сделан
Максвеллом почти через 20 лет, когда составленные благодаря его математиче-
математическому гению дифференциальные уравнения для напряженностей электрического
и магнитного векторов дали в качестве решения электромагнитные волны, распро-
распространяющиеся в свободном пространстве с конечной скоростью. Последняя в тео-
теории Максвелла оказалась комбинацией размерных констант, вычисления кото-
которых дачи значение, совпавшее с измерениями скорости света в опытах Физо и Фуко.
24
Введение. Краткий исторический очерк
Джеймс Клерк Максвелл A831-1879) — английский физик, член
Эдинбургского и Лондонского королевских обществ. Учился в Эдин-
Эдинбурге и Кембридже. В 1856-1860 гг. — профессор Абердинского уни-
университета, в 1860 -1865 гг. — Лондонского королевского колледжа,
с 1871 г. — первый профессор экспериментальной физики в Кем-
Кембридже. Работы посвящены электродинамике, молекулярной физи-
физике, общей статистике, оптике, механике, теории упругости.
Наиболее весомый вклад Максвелл сделал в молекулярную физи-
физику и электродинамику. В кинетической теории гя?ов, одним из осно-
основателей которой является, установил статистический закон, описы-
описывающий распределение молекул газа по скоростям (распределение
Максвелла). Самым большим научным достижением Максвелла яв-
является созданная им в 1860-х гг. теория электромагнитного поля, ко-
которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений
{уравнения Максвелла), предсказав новый важный эффект; сущест-
существование в свободном пространстве электромагнитного излучения
(электромагнитных волн) и его распространение со скоростью света.
Последнее дало ему основание считать свет одним из видов электро-
электромагнитного излучения и раскрыть связь между оптическими и элек-
электромагнитными явлениями.
Экспериментальное подтверждение теории Максвелла было получено Гер-
Герцем, который создал генератор электромагнитных колебаний с X = 50 см. Серией
блестящих опытов он доказал тождественность их свойств световым колебаниям
(отражение, преломление, интерференция, дифракция, поляризация).
Исследования закономерностей расположения спектральных линий различ-
различных элементов, а также попытки количественно описать характеристики самих
линий (полуширина, форма огибающей, тонкая структура и т. п.) фактически
завершили историю традиционной волновой оптики. Электронная теория дис-
дисперсии Лоренца стала вершиной достижений клягг.мческой физики в области
излучения. Она смогла объяснить естественную ширину спектральной линии,
эффекты ударного и доплеровского уширения, позволила подвести количествен-
количественные критерии под понятия когерентности и монохроматичности, наконец опи-
описать интерференционные и дифракционные явления на языке затухающих волн
и волновых цугов.
Однако, начиная с работ Бальмера, Ритца и Ангстрема, спектроскопические
данные все более указывали на квантовый характер взаимодействия света с ве-
веществом. Еще не родилась теория Планка с ее парадоксальной связью энер-
энергия-частота, но уже стало ясно, что спектральные серии не укладываются в про-
простые последовательности кратных гармоник. На новом витке развития физики
начинается возврат к корпускулярным идеям. И этот очередной рубеж преодо-
преодолевается во многом благодаря исследованиям по квантовой оптике и выяснению
механизмов взаимодействия света с веществом.
Заканчивая исторический обзор развития оптической науки, хочется под-
подчеркнуть, что сила и актуальность оптики заключается не только в основатель-
основательном фундаментальном характере оптического знания, но также в динамичном и
эффективном проникновении оптики практически во все отрасли современных
информационных технологий.
Часть 1
Свет:
волны, лучи, энергия
ГЛАВА 1 Свет как электро-
электромагнитные волны
По современным физическим воззрениям свет представляет собой электромаг-
электромагнитные колебания определенного частотного диапазона. Поэтому математическое
описание оптических явлений строится на основе базовых уравнений электро-
электромагнетизма — уравнений Максвелла. В рамках электромагнитно!i теории спета
его распространение рассматривается как волновой процесс. С помощью волно-
волновой теории мы можем решать задачи о распространении света как в однородной
среде, так и через любую оптическую систему, то есть через совокупность раз-
различных сред, ограниченных теми или иными поверхностями или диафрагмами.
1.1. Уравнения Максвелла
для электромагнитного поля
Теория Максвелла представляет собой феноменологическую теорию электро-
электромагнитного поля. Она устанавливает связь между четырьмя основными величи-
величинами: напряженностями электрического и магнитного полей (Ел II) и индук-
индукциями (D и В). Электрические и магнитные свойства среды характеризуются
тремя величинами: диэлектрической проницаемостью (s), магнитной проницае-
проницаемостью (ц) и удельной электрической проводимостью (а). Обычно предполага-
предполагается, что эти параметры среды известны из опыта.
Теория Максвелла — макроскопическая теория. В ней рассматриваются поля
макроскопических зарядов и токов, то есть таких систем покоящихся пли дви-
движущихся зарядов, пространственная протяженность которых намного больше
размеров атомов и молекул.
В основе теории лежат четыре уравнения, которые могут быть представлены
в двух формях; интегральной и дифференциальной. Полная система уравнений
Максвелла в дифференциальной форме имеет вид:
rotE=-—, (l.l)
dt
ЯП
j + ^, A.2)
1.1. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля 27
divD=p, A.3)
divB=0. A.4)
Первое уравнение является обобщением закона электромагнитной индукции.
Это уравнение означает, что с переменным магнитным полем связано индуциро-
индуцированное вихревое электрическое поле. Причем это электрическое поле существу-
существует, независимо от того, находится в нем проводник или нет. Знак «минус» в пра-
правой части уравнения A.1) означает, что вихревое электрическое поле «стремится
скомпенсировать» изменения, вызванные увеличением или уменьшением маг-
магнитного поля (правило Ленца).
Из второго уравнения Максвелла вытекает, что вихревое магнитное поле соз-
создается, прежде всего, токами (j — плотность токов проводимости), но даже в от-
отсутствие тока электрических зарядов индуцированное магнитное поле возникает
при наличии переменного электрического поля.
Третье уравнение является обобщением электростатической теоремы Гаусса.
Оно означает, что электрическое поле создается зарядами, на которых начинают-
начинаются и заканчиваются силовые линии поля (р — объемная плотность свободных за-
зарядов).
Наконец, четвертое уравнение выражает факт отсутствия магнитных зарядов.
Из него вытекает, что силовые линии магнитного поля замкнуты или уходят на
бесконечность.
Величины, входящие в уравнения Максвелла, связаны дополнительными со-
соотношениями {материальными уравнениями), которые учитывают реакцию сре-
среды на внешнее электромагнитное поле. Для изотропной несегнетоэлектрической
и неферромагнитной1 среды эти уравнения имеют вид:
D=coeE, A.5)
В=^оцН, A.6)
j = aE, A.7)
где б и |л — относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости, е0 и ц0 —
электрическая и магнитная постоянные, с — удельная проводимость. Первые два
материальные уравнения связывают напряженности и индукции электрического
и магнитного полей, третье представляет собой закон Ома в дифференциальной
форме.
Оптические среды, как правило, немагнитны, то есть для них ц = 1. С учетом
этого обстоятельства на основании материальных уравнений A.5) и A.7) можно
провести классификацию возможных типов оптических сред, представив ее в виде
табл. 1.1.
Для каждого типа сред уравнения Максвелла принимают специфический
вид. Соответственно, для каждого из них существуют специфические решения,
учитывающие особенности конкретной оптической среды, в которой распростра-
распространяется электромагнитное излучение.
1 Сегнетоэлектрики и ферромагнетики — вещества, обладающие электрическим и магнит-
магнитным гистерезисом, то есть своеобразной «памятью». Их свойства не определяются пол-
полностью условиями в данный момент времени, а зависят от предыстории.
28
Глава 1. Свет как электромагнитные волны
Таблица 1.1. Типы оптических сред
Параметр
а = 0
8 = COnSt
? = ? (X, у, Z)
е = е(направления)
е = е (Е)
Тип среды
Д \ i эл с к:тр \ i ч ее кая
Проводящая
Однородная, изотропная
Неоднородная
Анизотропная
Нелинейная
Для оптики типичной является ситуация наличия границ раздела сред, то
есть поверхностей, на которых значения параметров е, ц, а изменяются скачком.
Строго говоря, производные, входящие в уравнения A.1)-A.4), в точках, при-
принадлежащих этим поверхностям, не определены. Для анализа процесса распро-
распространения оптического излучения через границу сред необходимо пользоваться
граничными условиями для электромагнитного поля. Они могут быть получены
из уравнения Максвелла в предположении, что на границе существует тонкий
переходный слой, в пределах которого параметры сред изменяются непрерывно.
Если толщину переходного слоя устремить к нулю, можно смоделировать резкое
изменение характеристик среды на пути распространения электромагнитного из-
излучения.
Граничные условия связывают тангенциальные (т) и нормальные (п) проек-
проекции полевых векторов и в отсутствии на границе сред поверхностных токов и за-
зарядов могут быть записаны так:
UIn ~
A.8)
Таким образом, на границе раздела остаются непрерывными тангенциальные
составляющие векторов напряженностей и нормальные составляющие векторов
индукции электрических и магнитных полей.
При заданных значениях s, \x и а и известных пространственных распределе-
распределениях Е (х, г/, z) и Н (х, г/, г) в начальный момент времени t = О система дифферен-
дифференциальных уравнений Максвелла имеет единственное решение.
1.2. Волновое уравнение.
Скорость электромагнитных волн
Запишем первые два уравнения Максвелла в дифференциальной форме для од-
однородного и изотропного диэлектрика, не содержащего свободных зарядов.
1.2. Волновое уравнение. Скорость электромагнитных волн 29
5Е A-9)
Продифференцируем второе уравнение по времени (г):
rot
dt ot1
Подставляя dH/dt из первого уравнения, получим:
1
- rot rot E = ??п
at1
Используя известное тождество векторного анализа rot rot = grad div - Д, а так-
также то, что по третьему уравнению Максвелла divE=0, окончательно находим:
ДЕ = ггоццо^, A.10)
л $2 д2 д2
где А = + + оператор Лапласа. Аналогичное уравнение получается
дх2 ду2 дг2
и для напряженности магнитного еОмО поля Н.
Уравнение A.10) называется волновым уравнением. Из него вытекает факт су-
существования электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью
1 A.11)
В вакууме г - \л = 1, следовательно, скорость электромагнитных волн в вакуу-
вакууме равна с = l/ /? и ~ 3 • 108 м/с. Этот результат практически совпадает с экс-
экспериментально полученным значением для скорости света. В настоящее время
для величины скорости света в вакууме принято стандартизованное значение:
с = 299 792 456 м/с.
Отношение скорости света в пакуумг к скорости света в веществе называется
показателем преломления. Из теории Максвелла показатель преломления можно
определить с помощью значений диэлектрической и магнитной проницаемости
среды;
rc = -=V^u~. A.12)
и
То есть для немагнитных сред п = Ve.
В табл. 1.2 приведены экспериментальные и теоретические значения показа-
показателей преломления некоторых веществ при нормальных усдопияу1.
1 Нормальными называются физические условия, определяемые давлением Р= 101 325 Па
(нормальная атмосфера) и температурой Т - 273,15 К @ °С).
30
Глава 1. Свет как электромагнитные волны
Как видно, равенство п и Vs практически выполняется для газов; в меньшей
степени для жидких углеводородов; а для воды, спиртов и большинства других
твердых и жидких тел наблюдаются значительные отклонения от этого соотно-
соотношения. Например, у воды диэлектрическая проницаемость равна 81. а показа-
показатель преломления — 1,33. Причины подобных расхождений обусловлены сверх-
сверхвысокой частотой оптических колебаний (~10и Гц) и подробно обсуждаются
в главе 14.
Таблица 1.2. Показатели преломления и диэлектрическая проницаемость
некоторых веществ
Вещество
Воздух
Азот
Кислород
Водород
Углекислота
Окись угле-
углерода
Аммиак
/7
1,000292
1,000299
1,000270
1,000139
1,000499
1,000335
1,000385
1,000302
1,000307
1,000273
1,000139
1,000485
1,000346
1,000385
Вещаптво
Толуол
Бензол
Сероуглерод
Парафин
Этиловый
спирт
Метиловый
спирт
Вола
п
1,499
1,501
1,629
1,422
1,36
1.34
1 :м
г~
1.549
1,511
1,626
1,405
5,1
5,7
1.3. Плоские и сферические волны
Найдем решения волнового уравнения A.10) для разных случаев распростране-
распространения волны. Предположим для нриешгы, чш электрическое поле зависит только
от одной координаты, например z, и времени. В этом случае оператор Лапласа
сводится к выражению Д = д'}Iиг'1 и волновое уравнение принимает вид:
Д '>¦ 17 1 Л 2 ЪГ
A.13)
Одним из возможных решений этого уравнения является плоская монохрома-
монохроматическая волна1.
E=E0cos f
A.14)
Величина Ео называется амплитудой, а все выражение, стоящее под знаком
косинуса, — фазой волны. Величина ф0 задает начальную фазу.
Распределение напряженности поля в монохроматической плоской волне по-
показано на рис. 1.1. Если в A.14) зафиксировать t, то зависимость волновой функ-
функции от z дает как бы моментальную фотографию волны — распределение зна-
значений напряженности поля в пространстве. Пусть в момент времени г.{) точка с
фазой волны ф0 имеет координату zn. В другой момент t{) + Af точка с этой фазой
1.3. Плоские и сферические волны
31
^ vAt ^
Рис. 1.1. Распространение
монохроматической волны
сместится на расстояние Az = v • At. Очевид-
Очевидно, что Дг > 0, то есть волна распространя-
распространяется в положительном направлении оси Z
Чтобы получить уравнение волны, распро-
распространяющейся в отрицательном направле-
направлении, достаточно поменять знак в выражении
для фазы: со (г + г/а).
Таким образом, параметр v, более точно
называемый не просто скоростью, а фазовой
скоростью, определяет скорость перемеще-
перемещения волнового фронта, то есть поверхности,
на которой колебания происходят с одина-
одинаковой фазой. В рассматриваемом случае пол-
новые фронты являются плоскостями, перпендикулярными оси Z, где z = const,
чем и объясняется название волны — «плоская».
Поле ВОЛНЫ может быть описано И по-другому, например, п виде:
E=E0cos(co?-ib). A.15)
Здесь введено обозначение k = й/п. Параметр k называется волновым числом.
Используя справедливое для волн любых типов соотношение \ • v = v (где ^ —
длина волны, a v — частота колебаний), находим, что k =9.tt/X RnnHORoe число
измеряется в единицах, обратных длине, как правило, в см.
С учетом формулы Эйлера cos ф = = Re(e;<p) можно применять также
символическую запись уравнения поля в комплексном виде:
E=E0expO(co?-fo)). A.16)
При этом надо помнить, что реальное физическое поле описывается вещест-
вещественной частью выражения A.16).
Часто бывает необходимо рассмотреть вол-
волну, которая распространяется не вдоль оси Z,
а в каком-то произвольном направлении. Пусть
это направление задается единичным векто-
вектором нормали п к волновому фронту (рис. 1.2).
Тогда уравнение поверхности постоянной фа-
фазы можно записать в виде п • г = const, где г —
радиус-вектор к некоторой точке волнового
фронта. Следовательно, в уравнении плоской
волны вместо z следует записать скалярное
произведение п • г:
Е =E0exp(z(co?-&nr)) = E0exp(z(co?-kr)), A-17)
где к = &п — волновой вектор, длина которого равна волновому числу, а направ-
направление указывает направление перемещения волнового фронта.
Вторым важным типом волн являются сферические волны, волновые фронты
которых представляют собой концентрические сферы. Анализ этих волн удобно
вести в сферической системе координат (г, 0, ф), см. рис. 1.3. Сферические волны
Z
Рис. 1.2. Волновой фронт
плоской волны
32
Глава 1. Свет как электромагнитные волны
описываются такими решениями волнового уравнения A.10), которые зависят
только от расстояния г и не зависят от угловых координат 0 и ф.
В сферических координатах радиальная часть
оператора Лапласа может быть записана:
ДЕ (гЕ). A.18)
г дг2
Следовательно, волновое уравнение прини-
принимает вид:
д2 1 д2
Я*-2 ^Г ' " 7/2 я*'
(гЕ).
A.19)
РИС- 1-3- Сфвричрг.кир
координаты
Это уравнение совпадает с A.13) с точностью
до замены Е на (гЕ). Его решение можно запи-
записать в виде, аналогичном A.14)-A.16):
A.20)
где г0 — расстояние, на котором амплитуда равна Ео.
Решение A.20) представляет собой сферическую волну, расходящуюся от ис-
источника, находящегося в начале координат. Отметим, что в отличие от плоской
волны амплитуда сферической волны убывает с увеличением ее радиуса. Испус-
Испускать сферическую волну может любой источник, размеры которого малы по срав-
сравнению с длиной волны. При этом сам источник может состоять из большого коли-
количества элементарных излучателей, например атомов. Такой источник называют
физическим точечным источником.
В отличие от сферической плоская волна, напротив, не может быть испуще-
испущена каким-либо реальным источником. Волновой фронт может быть близок к
плоскому только на некотором локальном участке, например на фрагменте сфе-
сферического фронта с очень большим радиусом. Получить плоский, с определен-
определенной степенью точности, фронт можно, пометил точечный иггпчник1 гпотя r фоку-
фокусе линзы. Однако необходимо помнить, что плоская волна с заданным направле-
направлением волнового вектора — это математическая абстракция. Отклонения формы
волнового фронта от неограниченной плоскости приводят к различным дифрак-
дифракционным эффектам.
В оптике часто встречаются ситуации, когда волна близка к монохроматиче-
монохроматической, но сложным образом зависит от пространственных координат, например
после прохождения через оптическую систему. В этом случае опишем поле урав-
уравнением
E(r, O = E(r)exp(f(oO-
Подставляя это выражение в волновое уравнение A.10) и учитывая связь ме-
между частотой и волновым числом, найдем, что координатно-зависимая функция
Е(г) удовлетворяет уравнению
ДЕ(г) + РЕ(г) = 0, A.21)
которое называется уравнением Гельмгольца. Это уравнение будет в дальнейшем
применяться для анализа пространственных распределений световых полей.
1.4. Свойства электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга
33
1.4. Свойства электромагнитных волн.
Вектор Пойнтинга
Подставим выражение для поля плоской монохроматической волны A.17) в урав-
уравнения Максвелла A.9). Очевидно, дифференцирование по времени сведется про-
просто к умножению Е на (/со). Раскрывая скалярное произведение по координат-
координатным составляющим кг = kxx + k у + kzz, убеждаемся, что дифференцирование по
координате (например, по х) приводит к умножению Е на (-ikx). Применение
оператора Гамильтона V с проекциями (д/дх} д/ду} д/dz) будет соответствовать
умножению на вектор (-/к). Таким образом, вместо системы дифференциальных
уравнений A.9) получим систему алгебраических уравнений
-zkx Е = -цц0коН,
-zk х Н = е?0/соЕ.
A.22)
На основании этой системы молено сделать следующие выводы.
Q Поскольку векторное произведение есть вектор, перпендикулярный своим
сомножителям, то Е _L k и Н _1_ к, то есть колебания электрического и магнит-
магнитного полей в волне происходят в направлениях, перпендикулярных направле-
направлению распространения. Эти соотношения выражают поперечность электромаг-
электромагнитных волн. Кроме того, Е J_ H. Таким образом, волновой вектор к, векто-
векторы Е и Н (именно в таком порядке) образуют правую ортогональную тройку
векторов.
а Из того, что уравнения A.22) долж-
должны выполняться в любой момент вре-
времени и в каждой точке пространства,
вытекает, что поля Е и Н в волне ко-
колеблются синфазно (см. рис. 1.4), ам-
амплитуды этих колебаний связаны со-
соотношением
A.23)
Рассмотрим теперь энергетические ха-
характеристики электромагнитных воли.
Предположим, что электромагнитное по-
поле заполняет некоторый объем V, огра-
ограниченный замкнутой поверхностью I (рис. 1.5). Как
известно из курса «Электричество и магнетизм», ruioi-
ность энергии поля равна
О
Рис. 1.4. Электрическое и магнитное
поля световой волны
Используя преобразования векторного анализа,
из уравнений Максвелла можно получить следую-
следующее соотношение:
Рис. 1.5. К определению
вектора Пойнтинга
34 Глава 1. Свет как электромагнитные волны
at
v
=-$Sndi:-JEjdV, A.24)
где Sn — нормальная проекция вектора
S = ExH, A.25)
называемого вектором Пойитинга.
Физический смысл уравнения A.24) заключается в следующем. Интеграл
в левой части дает изменение полной энергии поля, заключенной в выделенном
объеме. Это изменение может происходить за счет двух процессов, представлен-
представленных двумя слагаемыми правой части. Первое слагаемое описывает утечку энер-
энергии через поверхность S за счет излучения. Второе — переход электромагнитной
энергии в тепловую форму (выделение джоулева тепла при наличии токов про-
проводимости).
Несмотря на то что уравнение A.24) имеет интегральный вид, вектор Пойн-
Пойнтинга часто интерпретируют как вектор локального потока энергии, то есть энер-
энергии, протекающей за единицу времени через единичную площадку, перпендику-
перпендикулярную к направлению потока. Это допустимо, если размеры площадки велики
по сравнению с длиной волны, что в оптическом диапазоне, как правило, спра-
справедливо. Иногда вектор S называют вектором Умова—Пойнтинга, в честь Н. А. Умо-
ва, впервые введшего аналогичный вектор для звуковых волн в 1874 г. — за 20 лет
до Дж. Пойнтинга.
Учитывая соотношения A.22), нетрудно увидеть, что направление переноса
энергии, описываемого вектором Пойнтинга S, совпадает с направлением пере-
перемещения волнового фронта, задаваемым волновым вектором k = ee0coS. Откло-
Отклонения от этого правила возможны в анизотропных средах (см. главу 12).
Для величины потока энергии из A.25) и A.23) получаем:
кг)'Я0со5(со? кг) = ——El cos2(co? -kr). A-26)
Таким образом, поток энергии представляет собой величину, колеблющуюся
с частотой 2со. Так как эта частота для света видимого диапазона чрезвычайно
высока (~1015 с1), любой реальный фотоприемник реагирует на усредненное
значение потока, причем время усреднения определяется динамическими харак-
характеристиками приемника и составляет огромное число периодов световых коле-
колебаний. Величина /= <5> называется интенсивностью света. Из A.26) вытекает,
что I ~Eq, следовательно, любой фотоприемник можно рассматривать как квад-
квадратичный детектор, регистрирующий величину, пропорциональную квадрату
амплитуды световой волны. Это свойство фотоприемников чрезвычайно важно
при анализе всевозможных интерференционных явлений (см. главу 5).
Отметим, что выражение интенсивности света через квадрат амплитуды элек-
электрического, а не магнитного поля имеет глубокий физический смысл. Дейст-
Действительно, действие электрического поля на заряд определяется силой Кулона,
а магнитного поля — силой Лоренца. Величины этих сил различаются в v/c раз,
где v — скорость заряда. Поэтому для нерелятивистских скоростей зарядов вели-
величиной, определяющей их взаимодействие с электромагнитной волной, является
напряженность именно электрического поля.
1.5. Спектральное представление световых волн
35
1.5. Спектральное представление
световых волн
Световая волна, испущенная реальным источником, никогда не имеет вид беско-
бесконечного гармонического колебания. Однако, как доказывается в математике, лю-
любой процесс может быть представлен в виде суперпозиции (сложения) гармони-
гармонических колебаний с должным образом подобранными частотами, амплитудами и
фазами. Пример формирования прямоугольного импульса при постепенном уве-
увеличении числа монохроматических составляющих показан на рис. 1.6. Кривые
Ф, A) и ® получаются при суммировании одной, двух и восьми гармоник с крат-
кратными частотами. Соотношение их амплитуд показано на диаграмме справа, а ча-
частоты кратны частоте основной гармоники ©. Отметим, что основная доля энер-
энергии, переносимой импульсом, приходится на составляющие с низкими частотами,
в то время как высокочастотные компоненты отвечают за формирование крутых
фронтов импульса.
.1.1 .
-4-2024
Рис. 1.6. Формирование прямоугольного импульса из гармонических составляющих
С математической точки зрения замена волны сложной формы суммой моно-
монохроматических составляющих означает разложение функции в ряд Фурье (или
интеграл Фурье для непериодических функций):
NT'wdco. A.27)
Величина Дсо) представляет собой амплитуду колебания с частотой со, назы-
смектрпм яолньт F(t) и определяется выражением
¦<"'«*. A.28)
Два примера спектрального разложения колебаний показаны на рис. 1.7. Ам-
плитудно-модулированный сигнал вида Е = Ео cos(co1^)cos(co0^)(pHC. 1.7, а) пред-
36
Глава 1. Свет как электромагнитные волны
ставляет собой колебание с частотой со0, амплитуда которого изменяется СО вре-
временем с периодом Т{ = 2я/ш1. При аз1 «с оз0 спектр такого сигнала состоит из трех
компонент, причем частота центральной совпадает с частотой несущей 0H, а две
боковые составляющие смещены на величину, равную частоте модуляции colt
Спектр одиночного импульса (рис. 1.7, б) представляет собой колоколообразную
функцию. Длительность импульса Дт и ширина спектра Доз связаны соотноше-
соотношением неопределенности: Дт - Дсо ~2я. Таким образом, изменение амплитуды при-
видш к нарушению монохроматичности волны.
а б
Рис. 1.7. Спектр амплитудно-модулированного колебания (а) и одиночного импульса (б)
В оптике физическое разложение сложного колебания на гармонические со-
составляющие (аналог математического вычисления интеграла Фурье) производит-
производится с помощью спектральных приборов. Они ппзипляют по отдельности регистри-
регистрировать спектральные компоненты различных длин волн (читай — различных
цветов), совокупность которых и составляет исходный свет сложного спектра.
Поэтому, несмотря на то что полностью монохроматические волны представля-
представляют собой математическую абстракцию, спектральный анализ бывает очень ва-
важен. Имея информацию о гармонических составляющих сложного сигнала, мож-
можно на основании теоремы Фурье спрогнозировать его изменение.
Несколько забегая вперед, отметим, что кроме временного Фурье-разложе-
Фурье-разложения но спектральным компонентам (по частотам или по длинам волн), важную
роль r оптике играет пространственное Фурье-преобразование, которое позво-
позволяет представить световую волну со сложным волновым фронтом в виде супер-
суперпозиции плоских пплн различной направленности. По аналогии с частотами,
измеряемыми в герцах (то есть в обратных секундах), вводятся пространствен-
пространственные частоты, измеряемые в обратных метрах и определяющие угловые Отклоне-
Отклонения световых ноли от оси гигтрмы, Формализм пространственного Фурье-разло-
Фурье-разложения широко используется при описании дифракционных эффектов и в теории
формирования оптических изображений.
Но вернемся к особенностям временного (частотного) спектра световых ко-
колебаний в рамках классической физики. Электромагнитные волны с разными
длинами волн (разными частотами) подразделяются на диапазоны, перечислен-
перечисленные в табл. 1.3. Поскольку для излучения ультрафиолетового (УФ), видимого
и инфракрасного (ИК) диапазонов характерны схожие механизмы излучения
1.5. Спектральное представление световых волн
37
и способы регистрации, об этой области спектра часто говорят как о едином оп-
оптическом диапазоне.
Внутри видимой части спектра, как это хорошо известно, световые волны
классифицируются по цветовому визуальному ощущению, которое производят
на глаз человека. Коротковолновое видимое излучение отвечает сине-фиолето-
сине-фиолетовой части спектра, сто середина соответствует желто-зеленой палитре, а длин-
длинноволновый край формируется оранжево-красными цветами.
Таблица 1.3. Шкала электромагнитных волн
Диапазон
у-лучи
Рентген
УФ
Видимый
И К
Микроволновый
Радио
Длина волны
0,001 им
0,1 им
1 им
12 им
120 им
380 им
760 им
2 мкм
500 мкм
101 мкм
Свсрхвысокочастотныи (СВЧ)
2 • 108мкм
Радиочастот!iыи (РЧ)
3 • 101() мкм
Энергия
кванта, эВ
10fl
10<
1(Р
100
10
3,2
1,6
0,6
0,003
1,5 • Ю-4
6 • 10 у
4 • Ю-11
Частота, рад/с
2 • 1021
2 • 101У
2 • 1018
1,5- 1017
1,5 • 101(>
5 • 1013
2,5 • 1015
1015
4 • 1012
2- 1011
107
7 • 10'1
Для сравнения параметров волнового и корпускулярного описания света
в этой же таблице приведены пропорциональные частоте излучения величины
энергии световых квантов (фотонов). Именно они определяют процессы взаимо-
взаимодействия света и вещества в рамках квантовой физики.
ГЛАВА 2 Общие свойства лучей
В очень многих технических областях, имеющих важное практическое значение,
например при решении вопросов формирования световых пучков (светотехни-
(светотехника), образования изображения (оптотехника), правильные решения можно полу-
получить не решая волновых уравнений, а гораздо более простым путем с помощью
представлений геометрической оптики. Интуитивно понятные и применяемые
обычно без дополнительных объяснений методы геометрической оптики основа-
основаны на понятии отдельных световых лучей, поведение которых в окружающих
средах было установлено экспериментально. Построения с помощью световых
лучей достаточно формальны, удобны в использовании и в большом числе слу-
случаев вполне адекватно описывают формирование даже самых сложных оптиче-
оптических изображений.
Понятие светового луча используется при анализе реального распространя-
распространяющегося в однородной среде светового пучка, из которого при помощи одной
или нескольких диафрагм с отверстиями выделяется узкий параллельный пучок.
Чем меньше диаметр этих отверстий, тем уже выделяемый пучок. Казалось бы,
переходя к очень малым отверстиям, можно получить световой луч в виде пря-
прямой линии. Однако подобный процесс выделения сколь угодно узкого пучка
(луча) путем бесконечного уменьшения отверстия диафрагмы невозможен из-за
возникновения явления дифракции (см. раздел 8.4). В связи с этим геометриче-
геометрическая оптика требует некоторого обоснования и определения границ ее примени-
применимости.
Неизбежное угловое расширение реального светового пучка с длиной вол-
волны X, пропущенного через диафрагму с диаметром D, определяется углом ди-
дифракции ф « X/D. Только в предельном случае, когда X -> 0, подобное расшире-
расширение не имело бы места, и можно было бы говорить о луче как о геометрической
линии, направление которой определяет направление распространения световой
энергии. Таким образом, световой луч есть абстрактное математическое понятие,
а не физический образ, и геометрическая оптика есть лишь предельный случай
волновой оптики, соответствующий исчезающе малой длине световой волны.
Соотношение ср « X/D показывает, что угловое отклонение, нарушающее пря-
прямолинейность распространения света в однородной среде, может быть весьма ма-
мало, если размеры отверстия или экрана велики по сравнению с длиной волны X.
Поэтому в реальной оптике, где X — конечная величина порядка долей микро-
2.1. Уравнение эйконала 39
метра, отступления от законов геометрической оптики должны быть тем меньше,
чем больше размеры диафрагмы.
Таким образом, при использовании законов геометрической (лучевой) опти-
оптики нельзя забывать, что они — лишь первое приближение к действительности и
что без дифракционных явлений не обходится ни один случай распространения
света. Следовательно, необходимо понимать волновой (дифракционный) смысл
этих геометрических построений. Из этого ясно, что законы геометрической оп-
оптики имеют ограниченное применение, и надо уметь ориентироваться, при каких
условиях применение этих законов допустимо и будет находиться в достаточном
соответствии с экспериментом. В практической оптике наиболее тонкие вопросы
(например, вопрос о разрешающей силе оптических инструментов) решаются
только с учетом теории дифракции.
2.1. Уравнение эйконала
Рассмотрим монохроматическую световую волну с длиной волны в вакууме Хо,
распространяющуюся в немагнитной (ц=1) среде с показателем преломления
п - vc. Поле этой волны должно удовлетворять уравнению Гсльмгольца
AE + ?0VE=0, B.1)
где k0 = 2к/Х0 — волновой вектор, обратный длине волны.
Будем игкять решение этого уравнения в виде
Щг) = Е0(г)ехр<ВДг)). B.2)
где L(t) — вещественная скалярная функция координат, имеющая размирнисть
длины и называемая оптическим путем или эйконалом (от грен, eikov — путь).
Нетрудно видеть, что равенство I = const определяет поверхность постоянной
фазы, то есть геометрический волновой фронт.
Подставим выражение B.2) в B.1) и перейдем к пределу геометрической оп-
оптики X -> 0 (k0 -» оо), оставив только слагаемые с Ц. Тогда получаем:
2 2 /ооч
Уравнение B.3) называется уравнением эйконала и является основным урав-
уравнением, описывающим поведение света в приближении геометрической оптики.
Отметим, что при его выводе мы пренебрегли многочисленными слагаемыми,
получающимися при дифференцировании уравнения волны B.2). Отсюда сле-
следует, что приближение геометрической оптики справедливо, если изменения ам-
амплитуды Ео на расстоянии порядка длины волны малы по сравнению с самой ам-
амплитудой. Это условие, очевидно, нарушается на границе геометрической тени,
так как там интенсивность света, а значит, и напряженность поля меняется скач-
скачком. Действительно, именно на границе тени особенно ярко проявляют себя ди-
дифракционные эффекты, обусловленные волновой природой света. Нельзя также
ожидать, что геометрическая оптика даст правильное описание полей вблизи то
чек, где имеется резкий максимум интенсивности, например в окрестности фор-
формируемого линзой оптического изображения точечного источника.
40
Глава 2. Общие свойства лучей
Уравнение эйконала можно также записать в векторной форме. Введем еди-
единичный вектор s, совпадающий по направлению с вектором grad L, тогда
gradZ. = ns. B.4)
Из векторного анализа известно, что вектор градиента всегда ортогонален
к поверхности уровня функции, то есть поверхности, на которой функция посто-
постоянна. В данном случае поверхность уровня для .эйконала представляет собой
волновой фронт, следовательно, s — орт нор-
нормали к волновому фронту. Исходя из уравне-
уравнений Максвелла, можно показать, что направле-
направление вектора Пойнтинга, определяющего пере-
перенос энергии света, совпадает с вектором s.
Таким образом, линии вектора s (обозна-
(обозначенные на рис. 2Л цифрами 1, 2, 3) представля-
представляют собой геометрические световые лучи, а се-
семейство волновых фронтов (а> Ь, с) образует
Рис. 2.1. Волновые фронты с Ш1МИ ортогональную (в общем случае криво-
и световые лучи линейную) сеть.
2.2. Законы распространения лучей
Экспериментальным путем был установлен набор понятий и закономерностей,
которые легли в основу геометрической оптики и позволяют рассчитывать ход
световых пучков в различных оптических средах и системах.
Оптический путь
Рассмотрим два последовательных близких положения волнового фронта, от-
отстоящих друг от друга на расстояние ds (рис. 2.2).
Из B.4) следует, что в силу ортого-
ортогональности отрезка ds волновым поверхно-
поверхностям dL/ds = n, то есть
L = const
Рис. 2.2. Соседние положения
волнового фронта
, dL
as = —.
п
B.5)
Это означает, что расстояние между со-
соседними волновыми фронтами увеличива-
увеличивается по мере уменьшения показателя преломления. Таким образом, например, на
рис. 2.1 показатель преломления среды в левой части рисунка больше, чем в пра-
правой. Из сказанного можно сделать вывод, что оптическая длина пути совпадает
с геометрической только в вакууме (п = 1), во всех других средах dL > ds.
Учтем, что nds = (c/v)ds = cdt, где dt — время прохождения лучом расстоя-
расстояния ds. Тогда из B.5) следует, что оптическую длину пути между двумя точка-
точками Р{ и Р2, лежащими на одном луче, можно определить как
= L2-Lx =c\dt, B.6)
2.2. Законы распространения лучей
41
то есть оптический путь между двумя точками равен скорости света в вакууме,
умноженной на время прохождения лучом расстояния между этими точками.
Уравнение светового луча в неоднородной среде
Рассмотрим более детально характер искривления лучей в неоднородной среде.
Будем рассматривать радиус-вектор г некоторой точки, лежащей на луче S, как
функцию длины дуги луча s (рис. 2.3).
Тогда — =s (s — единичный вектор, направленный по
ds
касательной к траектории луча) и уравнение эйконала
запишется в виде п— = gradL. Продифференцировав это
ds
уравнение по длине дуги $ с учетом того, что gradL = ns>
получим
d
О
=grad"-
B.7)
Рис. 2.3.
Искривление луча
в неоднородной
среде
Поскольку вторая производная от радиус-вектора характеризует кривизну
луча, из B.7) следует, что в неоднородной среде световые лучи изгибаются в сто-
сторону увеличения показателя преломления. Этот вывод согласуется с ходом лучей
на рис. 2.1.
Примеров наблюдения криволинейных световых лучей при прохождении све-
светом прозрачных неоднородных сред достаточно много. Искривлением световых
лучей в неоднородной среде объясняется, например, появление миражей. Ниж-
Нижние миражи (рис. 2.4, а) обусловлены тем, что слои воздуха, прилегающие к нагре-
нагретой поверхности песка в пустыне, имеют меньшую плотность (а значит, и мень-
меньший показатель преломления), в результате возникает изображение удаленных
предметов, как при отражении в зеркале.
Рис. 2.4. Появление нижнего (а) и верхнего (б) миражей и атмосферная рефракция (е)
42
Глава 2. Общие свойства лучей
К этому же типу оптической иллюзии относится известный всем автомоби-
автомобилистам эффект зеркальных «луж» на нагретом асфальте.
Для возникновения так называемого верхнего миража (рис. 2.4, б) необходи-
необходимо, чтобы показатель преломления приповерхностного слоя воздуха достаточно
быстро уменьшался с высотой, что возможно, когда, например, внизу располага-
располагается холодный слой, а над ним находится слой теплого воздуха.
Эффект атмосферной рефракции возникает из-за искривления световых лу-
лучей при наклонном прохождении верхних слоев атмосферы (рис. 2.4, в). Бла-
Благодаря этому Солнце остается видимым еще некоторое время после ухода под
горизонт, а видимые положения небесных светил смещаются относительно ис-
истинных в сторону зенита,
Закон прямолинейного распространения света
в однородной среде
Из уравнения B.7) следует, что в однородной среде (п = const, grad n - 0) кри-
кривизна лучей равна нулю, то есть свет распространяется прямолинейно. Этот за-
закон может считаться прочно установленным на опыте, его изложение встречает-
встречается еще за 600 лет до нашей эры в сочинениях Фалеса Милетского. Он имеет
глубокий смысл, ибо понятие о прямой линии, по-видимому, возникло из опти-
оптических наблюдений.
Геометрическое понятие прямой как линии, представляющей кратчайшее рас-
расстояние между двумя точками, издревле трактовалось как понятие о луче, по ко-
которому распространяется свет в однородной среде, образуя геометрические тени
(рис. 2.5).
Рис. 2.5. Прямолинейное распространение световых лучей
Закон изменения интенсивности
Рассмотрим узкую трубку лучей, выходящих из
элемента dSx волнового фронта L{ и пусть dS., —
элемент, который пересекают эти лучи на дру-
другом волновом фронте L2 (рис. 2.6).
Поскольку направление вектора Пойнтинга
в каждой точке трубки совпадает с направлени-
ем луча, полная энергия, протекающая по труб-
Рис. 2.6. Трубка лучей ке, постоянна и не зависит от изменения ее сече-
2.2. Законы распространения лучей
43
ния: Wx = W2. Тогда интенсивности /, и 12 в двух сечениях связаны соотношением
IldSi =I2dS2, выражающим закол изменения интенсивности в геометрической
оптике: произведение I • dS остается постоянным вдоль трубки лучей. В важных
частных случаях плоской и сферической волн из этого закона вытекает постоян-
постоянство интенсивности в первом случае и ее изменение во втором. Легко видеть, что
интенсивность сферических волн оказывается обратно пропорциональной квад-
квадрату расстояния от источника.
Закон независимости световых пучков
Закон независимости включает в себя два положения: а) если единый световой
поток разбить на отдельные пучки с помощью диафрагм, то действие на экране
этих выделенных пучков оказывается независимым от того, действуют ли одно-
одновременно другие пучки или они устранены; 6) распространение всякого светово-
светового пучка в среде совершенно не зависит от того, есть в ней другие пучки света
или нет. Закон независимости световых пучков необходимо дополнить утверж-
утверждением, определяющим совместное действие световых пучков при попадании их
на освещаемую поверхность: освещенность экрана, создаваемая несколькими
световыми пучками, равна сумме освещенностей, создаваемых каждым пучком в
отдельности. Нарушения справедливости этого утверждения имеют место при
интерференции света или в нелинейной оптике.
В первом случае взаимная сфазированность электромагнитных волн приво-
приводит к перераспределению интенсивности света во времени и пространстве. Во
втором случае интенсивность пучков столь велика, что их совместное действие
изменяет свойства среды, и поведение пучков в зоне перекрытия отличается от
поведения в других областях.
Стигматические световые пучки
Исходя из представлений лучевой (геометрической) оптики, каждую светящу-
светящуюся точку источника света следует рассматривать как вершину расходящегося
пучка лучей, называемого гомоцентрическим, то есть имеющим общий центр.
Если после отражения или преломления света на границах раздела сред такой
пучок сохраняет свой гомоцентризм, то вершина преобразованного пучка явля-
является изображением светящейся точки. При сохранении гомещентричности каж-
каждая точка источника дает одну точку изображения {сопряженную). Такие изо-
изображения называются точечными или стигматическими (рис. 2.7).
Рис. 2.7. Гомоцентрические пучки, соответствующие действительному (S) и мнимому E")
стигматическим изображениям
44 Глава 2. Общие свойства лучей
В силу обратимости световых лучей (см. следующий раздел) изображение
можно рассматривать как источник, а источник — как изображение. Поэтому
при стигматическом изображении центры пучков называются сопряженными
точками той оптической системы, в которой происходит преобразование расхо-
расходящегося гомоцентрического пучка в сходящийся. Соответственные лучи и пуч-
пучки также называются сопряженными. Если в результате отражения и прелом-
преломления пучок перестает быть гомоцентрическим, то стигматичность изображения
теряется и точка уже не изображается точкой. Это явление называют астигма-
астигматизмом. Так как в практической оптике обычно ставится задача получения изо-
изображений, точно передающих форму источника, то важнейшим вопросом гео-
геометрической оптики является выяснение условий сохранения гомоцентричности
пучков.
2.3. Принцип Ферма
В неоднородных оптических средах путь луча и общем случае не является пря-
прямолинейным, поэтому возникает задача определения оптичегкпт пут лучи. Най-
Найдем величину оптического пути между двумя точками Л и В, лежащими на од-
одном луче (рис. 2.8), путем интегрирования
L(A) ^VA^-~""^ по траектории луча:
\ns-dr= $ gr-dd Ldr = L(B)-L(A). B.8)
АН Mi
Этот интеграл, равный разности значений
эйконала в точках В и А и, следовательно, не
Рис. 2.8. Оптический путь зависящий от пути интегрирования, назьша-
светового луча между двумя точками ТТ
у у у стся интегральным инвариантом Лаграижа.
Но s • dx = dlcos(sdr) < dl, поэтому L(B)-L(A) < \ndl Знак равенства имеет ме-
меля
сто только в том случае, когда направления векторов s и dx совпадают в каждой
точке траектории, то есть когда она представляет собой реальный световой луч
(АСВ на рис. 2.8). Для любой другой траектории, соединяющей точки А и В
(например, ADB), оптическая длина пути оказывается больше, чем для реаль-
реального луча.
Обобщением вышеприведенных рассуждений является принцип Ферма: сеет
распространяется по такой траектории, оптическая длина которой (а значит,
и время распространения) имеет экстремальное значение (минимальное, макси-
максимальное или стационарное) в некоторой регулярной окрестности светового луча.
Под регулярной окрестностью понимается область, которую можно заполнить
световыми лучами так, чтобы через каждую точку проходил единственный луч.
В большинстве случаев оптическая длина луча принимает минимальное значе-
значение, поэтому этот принцип называют также принципом наикратчайшего оптиче-
оптического пути.
В формулировке минимального светового пути этот принцип был выдвинут
еще Героном Александрийским п ТТТ в до и. я , я п формулировке минимального
времени — Пьером Ферма в XVII в.
2.3. Принцип Ферма
45
Иллюстрация применения принципа Ферма к отражению света от поверхно-
поверхностей различной кривизны показана на рис. 2.9. Нетрудно доказать, что для пло-
плоской (рис. 2.9, а) и выпуклой (рис. 2.9, 6) поверхностей из всех возможных тра-
траекторий АКБ, соединяющих точки Л и В, таких что точка К лежит на зеркале,
наименьшую длину имеет та, для которой угол падения равен углу отражения.
LAKB = min
LAKB = min
= COnSt
LAKB = max
Рис. 2.9. Иллюстрация принципа Ферма отражением от зеркальных поверхностей
различной формы
Для эллиптического зеркала, у которого точки А и В являются фокусами,
сумма длин отрезков ЛК и KB постоянна (рис. 2.9, в). Поэтому оптическая длина
траектории АКБ имеет стационарное значение, и все реальные лучи, вышедшие
из точки Л, попадают в В. Точка В является изображением точки Л, то есть фоку-
фокусы эллиптического зеркала А и В есть сопряженные точки. Этот пример иллюст-
иллюстрирует закон таутохронизма (одновременности); оптическая длина лучей меж-
между двумя сопряженными точками постоянна, лучи, одновременно вышедшие из Л,
достигнут точки В также одновременно.
В случае когда отражение света происходит от вогнутой поверхности с кри-
кривизной большей, чем у эллипса, оптическая длина реального луча оказывается
не минимальна, а максимальна по сравнению с соседними лучами (рис. 2.9, г).
Принцип Ферма может рассматриваться как основополагающий принцип гео-
геометрической оптики. Из него, так же как из уравнения эйконала, могут быть по-
получены такие важнейшие следствия, как, например:
? прямолинейное распространение света в однородной среде;
? отражение и преломление на границах раздела;
46
Глава 2. Общие свойства лучей
а траектории распространения световых лучей в неоднородной среде с непре-
непрерывно изменяющимся показателем преломления;
? обратимость или взаимность световых лучей, в соответствии с которой их
траектории остаются без изменения при изменении направлений распростра=
нения на противоположные.
2.4. Прохождение света через плоскую
границу сред
Предположим, что световой пучок распространяется в среде, показатель прелом-
преломления которой плавно изменяется, но зависит только от одной координаты:
п = п(г). Поскольку в плоскости XY показатель преломления остается постоян-
постоянным, такие среды называются плоско-слоистыми. Исходя из уравнения эйконала,
можно показать, что каждый световой луч в этом случае является плоской кри-
вой7 а угол 8, который луч образует с осью OZ, удовлетворяет справедливому для
любых зависимостей n(z) соотношению
n(z)-sin9(z) = const. B.9)
Распространение лучей, испущенных точечным источником, помещенным
в плоско-слоистую среду, показано на рис. 2.10. Случаю убывания функции п{т)
соответствует рис. 2.10, я, возрастанию — рис. 2.10, б, а наличию минимума пока-
показателя преломления — 2.10, б. Если луч распространяется в сторону уменьшения
показателя преломления, он может у1'лубиться в среду только на определенное
расстояние, дойдя до точки поворота zn. Поскольку в точке поворота луча 0 = я/2
и sinO = 1, то 2п определяется из соотношения n(zu) = п0 sin60l где п0 — показа-
показатель преломления в месте расположения источника, й0 — угол выхода луча из ис-
источника.
х
Рис. 2.10. Распространение света в плоско-слоистых средах. На каждом рисунке слева —
график показателя преломления, справа — траектории лучей
Частным, но практически наиболее важным случаем плоско-слоистых сред
являются две однородные среды с показателями преломления пх и п2с плоской
границей раздела между ними. Взаимное расположение лучей описывается зако-
законами отражения и преломления света на границе раздела. Эти законы подробно
обсуждаются в главе 11, поэтому здесь приведем только основные формулировки.
2.4. Прохождение света через плоскую границу сред
47
Отражение света от границы двух однородных сред
Как непосредственно вытекает из принципа Ферма и проведенного выше ана-
анализа, падающий луч, нормаль к отражающей поверхности и отраженный луч ле-
лежат в одной плоскости {плоскости падения), которая определяется как плос-
плоскость, образованная падающим на границу лучом
и нормалью к границе, проведенной в точке паде-
падения луча (рис. 2.11).
Углы между лучами и нормалью равны между
собой: угол падения а равен углу отражения C. Этот
закон был установлен уже в очень отдаленную эпоху
благодаря использованию полированных металли-
металлических поверхностей в качестве зеркал. Построе-
Построение изображения точечного источника 5" в плоском
зеркале приведено на рис. 2.12, а. В результате от-
отражения формируется мнимое стигматическое изо-
изображение S' источника, то есть изображение, воз-
возникающее в точке пересечения продолжений отраженных лучей. Расстояние от
зеркала до изображения Ь' равно расстоянию от источника до зеркала Ь.
Построение изображения протяженного объекта показано на рис. 2.12, 6. По-
Поскольку изображение объекта строится как совокупность изображений всех его
точек, то результат для плоского зеркала очевиден: изображение получается рав-
равным, прямым и мнимым. При визуальном восприятии такого изображения пра-
правая и левая стороны как бы меняются местами.
Рис. 2.11. Падающий
и зеркально отраженный луч
S
S'
Рис. 2.12. Построение изображений точечного источника (а)
и протяженного объекта (б) о плоском зеркале
Построение изображений в скрещенных зеркалах представлено на рис. 2.13.
При отражении источника S в зеркале 1 образуется изображение S', которое,
в свою очередь, служит источником для изображения S" в зеркале 2 (рис. 2.14, а).
С другой стороны, начиная построение с зеркала 2, получим изображения S'"
и S"" (рис. 2.13, б). Можно показать, что сам источник S и все формирующиеся
изображения лежат на дуге одной окружности с центром в вершине зеркального
угла. Кроме того, из простых геометрических соображений очевидно, что угол 8
между направлениями лучей до и после отражения от двух зеркал равен удвоен-
удвоенному углу между зеркалами: 5 = 2р.
48
Глава 2. Общие свойства лучей
Рис. 2.13. Изображения источника в скрещенных
Последнее свойство широко используется для конструирования уголковых
отражателей света (рис. 2.14). Зеркала, образующие прямой угол, возвращают
все световые лучи точно в обратном направлении.
Рис. 2.14. Плоский и объемный уголкооые отражатели
Преломление света на границе двух однородных сред
Правильная формулировка закона преломления света принадлежит Снеллиусу
и доказывается принципом Ферма. Иллюстрацией этого принципа может слу-
служить первая задача в данном раздали. При прохождении через границу двух од-
однородных сред свет испытывает отражение и преломление (рис. 2.15). Согласно
закону Снеллиуса, преломленный луч лежит в плоскости падения, а синусы углов
падения и преломления связаны соотношением
/Zjsina = ?72sinp, B.10)
которое является частным случаем общего закона B.9).
Рисунок 2.15 соответствует ситуации, когда показатель преломления первой
среды меньше, чем второй (п{ < п2), а, следовательно, скорость света в первой
среде больше (у{ > v2). При этом преломленный луч как бы «прижимается» к пер-
перпендикуляру к границе.
2.4. Прохождение света через плоскую границу сред
49
При прохождении луча сквозь плоскопарал-
плоскопараллельную пластинку направление прошедшего
луча света совпадает с направлением падающе-
падающего, однако луч смещается параллельно самому
себе. Расстояние х, измеренное в направлении,
поперечном лучу, носит название смещения лу-
луча (рис. 2.16). Оно пропорционально толщине
пластинки d, зависит от ее показателя прелом-
преломления и в общем случае равно
Л" = ^/cosa(tga-tgP).
Рис. 2.15. Преломление света
на границе двух сред
Рис. 2.16. Смещение луча в плоскопараллельной пластинке
Если луч идет из оптически более плотной среды в менее плотную (п2 < nv
рис. 2.17), то при некотором угле падения а0 оказывается, что sin C = (n, /n2 )sin a0 =
= 1, то есть преломленный луч скользит по границе раздела.
При больших углах падения формально вы-
вычисленный в соответствии с законом Снеллиу-
са синус угла преломления начнет превосходить
единицу. Соответствующего угла преломления
не существует, поэтому преломленный луч не
возникает, а свет отражается от границы сред
полностью. Это эффект носит название полного
внутреннего отражения (ПВО). Угол падения,
при котором возникает явление ПВО, опреде-
определяется условием a > a0, причем
sina0 =— = nl2, B.11)
i
П2
> *
5
- /\
a/
*
Рис. 2.17. Предельный угол
полного внутреннего отражения
где п{2 — относительный показатель преломления. Угол а0 называется предель-
предельным углом полного внутреннего отражения. Физическое объяснение этого явле-
явления дается в дальнейшем (см. раздел 11.3).
Практически важным случаем является прохождение света через стеклянные
призмы различной формы. На рис. 2.18, а представлен ход лучей через треуголь-
треугольную призму с преломляющим углом 9. Как видно из условий преломления на
обеих гранях призмы, световой луч всегда отклоняется к основанию призмы АС.
50
Глава 2. Общие свойства лучей
Исключением из этого правила является случай, когда окружающая среда обла-
обладает показателем преломления большим, чем сама призма (например, воздушная
призма в воде).
а б
Рис. 2.18. Ход луча через призму (а) и зависимость угла отклонения от угла падения F)
Зависимость угла отклонения а от угла падения лучей на призму показана на
рис. 2.18, 6. Угол отклонения становится минимальным при симметричном ходе
лучей (otj = <х2), в этом случае зависимость угла минимального отклонения от по-
показателя преломления вещества приямы и преломляющего угла определяется
выражением:
п = ¦
sin - + ¦
2
B.12)
Последнее соотношение обычно применяется для определения показателя
преломления по измеренным с помощью гониометра углам 0 и amin.
Если преломляющий угол призмы мал, то такая призма носит специальное
название — клип (рис. 2.19). В случае прохождения лучей сквозь клин выраже-
выражение B.12) преобразуется к виду п =
illliL-,
0
и угол отклонения лучей в клине
Рис. 2.19. Прохождение
лучей через клин
можно определить как а = 0(и -1).
В оптических приборах широко применяют-
применяются различные типы призм, принцип действия ко-
которых основан ня явлении полного внутреннего
отражения (так называемые, призмы ПВО). Для
призм, сделанных из обычного оптического стек-
стекла (средний показатель преломления п - 1,5),
предельный угол равен arcsin( 1/1,5) « 42°. Это
означает, что любая 45-градусная призма полно-
полностью отражает свет без нанесения зеркального пи-
крытия. Некоторые варианты призм ПВО показа-
ны на рис. 2.20.
Примеры решения задач
51
Рис. 2.20. Поворотная (а), оборачивающая F) и отражающая (в) призмы ПВО
Примеры решения задач
Пример 2.1. Предмет S установлен перед двумя плоскими зеркалами Л/, и M2J
расположенными параллельно друг другу. Первое зеркало Мх — полупрозрачное.
Найдите расстояние между изображениями предмета в обоих зеркалах, если рас-
расстояние от предмета до первого зер-
зеркала а = 1,6 м и расстояние между
зеркалами b = 1,2 м.
Решение
Выполним построение изображений
S{ и S2 источника S в обоих зеркалах.
Из него следует, что расстояние
SS{ = 2а, SS2 = 2(а + Ь).
Таким образом,
х = SS2 - 55, = 2(а + b)-2a= 2b,
или х= 2,4 м.
Пример 2.2. Угол падения луча на пластинку толщиной d = 3,46 см равен углу
полного внутреннего отражения для стекла, из которого изготовлена пластинка.
Вычислите смещение луча при прохож-
прохождении сквозь пластинку, если ее показа-
показатель преломления n-^Jb.
Решение
Угол падения луча на стеклянную пла-
пластинку по условию равен предельному
углу полного внутреннего отражения для
границы стекло-воздух, то есть
а = arcsin-
. 1
= arcsin—.
п
Искомое смещение х равно расстоянию между мысленным продолжением па-
падающего луча за пластинку и реальным лучом. Из треугольника BCD x = BD-
= ВС -cos a.
52
Глава 2. Общие свойства лучей
Из треугольников ОЛС и ОЛВ: ВС = d- (tg a - tg Р). Выражая sinp, cosa и cosp
через sina, так как именно это значение задано в условии, находим:
х = d - sin a • 1 -
cos a
n cos Р,
Подставим численные данные:
х = 3,46 10 2 ~
V3
Д-1/3 3,46-Ю-2
1,73
A-1/2) = 0,01m.
Задачи
2.1. Всадник должен преодолеть расстояние от пунк-
пункта Л до пункта В. Пункт А расположен в чистом поле,
где скорость всадника vu. Пункт В лежит и лесистой
местности, где скорость всадника снижается до vb < va.
Предполагая границу лес-поле прямолинейной и счи-
считая расстояния ha и hh равными, определите соотно-
соотношение между углами а и р, соответствующими траек-
траектории минимального времени.
2.2. При освещении непрозрачного диска D радиу-
радиусом г на экране Q, отстоящем от него на расстояние d,
получается тень радиусом г, и полутень радиусом г2.
Источник света S также имеет форму диска, причем
прямая, соединяющая центры дисков, перпендикуляр-
перпендикулярна к ним и к плоскости экрана. Определите размер ис-
источника света и его расстояние от освещаемого диска.
2.3. В воде идут два параллельных луча 1 и 2. Луч 1
выходит в воздух непосредственно, а луч 2 проходит
сквозь горизонтальную плоскопараллельную стеклян-
стеклянную пластинку; а) будут ли лучи 1 и 2 параллельны
по лыуоде в воздух? б) выйдет ли в воздух луч 2, если
луч 1 испытывает полное внутреннее отражение?
2.4. Пловец, нырнувший с открытыми глазами, видит
Солнце из воды на угловом расстоянии 30° от зенита.
На какой высоте над горизонтом находится Солнце?
Показатель преломления воды 4/3.
Задачи
53
2.5. Луч света падает на плоскопараллельную пла-
пластинку под углом 40°. Определите угол между отра-
отраженным и прошедшим через пластинку лучами. Пла-
Пластина находится в воздухе.
2.6. Человек смотрит вертикально вниз на свое изо-
изображение в плоском зеркале, лежащем на дне водо-
водоема. Определите кажущееся расстояние от глаза до его
изображения в зеркале. Глубина водоема равна 80 см,
расстояние от глаза до поверхности воды 50 см. По-
Показатель преломления воды 4/3.
2.7. При переходе из первой среды во вторую угол
преломления луча равен 45°, а из первой в третью —
30° (при том же угле падения). Найдите в градусах
предельный угол полного внутреннего отражения лу-
луча, идущего из третьей среды во вторую.
2.8. Показатель преломления стекла призмы для крас-
красных лучей равен 1,483. Преломляющий угол призмы
60°. Определите угол наименьшего отклонения крас-
красных лучей призмой.
2.9. Язычок пламени свечи помещен на расстоянии
15 см от плоскопараллслыюй стеклянной пластинки.
Наблюдатель рассматривает его через пластинку, при-
причем луч зрения нормален к ней. Найдите расстояние
от изображения пламени до ближайшей к наблюдате-
наблюдателю поверхности пластины. Толщина пластины 4,5 СМ,
показатель преломления 1,5.
м
NX
\
——-fij
i
ГЛАВА 3 Прохождение света
через сферическую
границу сред
Сформулированные в предыдущей главе законы распространения света носят об-
общий характер и применимы при решении всех задач геометрической оптики, но
в ряде случаев возможны определенные упрощения. Рассмотрим поведение све-
света и построение изображений на неплоских, в частности сферических границах
раздела сред.
3.1. Отражение и преломление
на сферической границе
Пусть свет от точечного источника S
падает на сферическую границу двух
сред Z с показателями преломления п{
и п2, где п2 > пх (рис. 3.1). Индексация
определяет порядок прохождения сред
(луч падает на границу из первой сре-
среды и проходит во вторую). Ход лучей
через эту границу построен по общим
законам геометрической оптики. Изо-
Изображение S' получено как точка пе-
пересечения двух лучей, исходящих из
точки предмета 5. Линия SS\ по кото-
которой идет луч, проходящий границу I
по перпендикуляру, носит название
главной оптической оси системы. Точка К — вершина поверхности I, точка О —
центр кривизны этой поверхности.
Ушчшш услииия (или ограничения), при которых рассматривается прелом-
преломление света на сферической границе:
? пучки гомоцентрические;
? изображения стигматические;
Рис. 3.1. Преломление на сферической
границе сред
3.1. Отражение и преломление на сферической границе 55
? пучки параксиальные — это означает, что углы у и у' малы настолько, что от-
отрезки SK = SA и AS' = KS' можно считать равными.
Без этих условий мы не получим четких изображений, будут иметься искаже-
искажения или аберрации, речь о которых пойдет далее (в разделе 3.6).
Правила знаков
При выводе выражения, связывающего положения предмета и его изображения,
будем пользоваться следующими правилами. Поставив предмет по одну сторону
преломляющей поверхности, выбираем направление хода лучей через систему,
например слева направо. Отсчет всех расстояний производится от преломляю-
преломляющей поверхности в сторону окончания отрезка. Если направление отсчета совпа-
совпадает с направлением хода луча, такой отрезок считается положительным, если
наоборот — то отрицательным.
Показатели преломления сред, как правило, считаются положительными.
Только если лучи меняют направление распространения после отражения, пока-
показателю преломления соответствующей среды.приписывается знак «минус».
С учетом изложенного правила, введем обозначения (см. рис. 3.1) SK = SA =
= - av AS' = KS' = а2 и А О = КО = R, где а^ — расстояние от источника до грани-
границы сред, а2 — расстояние от границы сред до изображения источника, R — радиус
кривизны сферической поверхности (границы сред). Записав закон преломле-
преломления на границе, получим соотношение
R) \a2 R
Последнее выражение показывает, что произведение п\ при преломле-
U R)
нии остается неизменным. Его называют инвариантом Аббе. Для расчетов этот
инвариант удобнее записать в виде
a, a, R
C.2)
Это соотношение называется формулой сферической преломляющей поверхно-
поверхности. Она позволяет однозначно определить положение изображения, если из-
известно положение предмета, и наоборот. Правая часть этого равенства не зависит
от положения предмета и его изображения, а определяется только свойствами
самой оптической системы и носит название оптическая сила (D) сферической
преломляющей поверхности:
^\ C.3)
R
Пользуясь установленным выше правилом знаков, можно выяснить, какого
типа изображения получаются в случае выпуклой (R > 0) и вогнутой (R < 0) по-
поверхностей. В зависимости от того, будут ли у а{ и а2 разные знаки или одинако-
одинаковые, мы будем иметь случаи, когда изображение располагается с противополож-
противоположной по отношению к источнику стороны преломляющей поверхности или лежит
по одну сторону с ним.
56
Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
? В первом случае (а2 > 0) точка, именуемая изображением, есть действительно
точка пересечения преломленных лучей. Такое изображение называется дей-
действительным (см. рис. 3.1).
? Во втором случае (а2 < 0), очевидно, преломленные лучи, идущие во второй
среде, остаются расходящимися и реально не пересекаются. В этом случае на-
название изображения относится к той воображаемой точке, которая представ-
представляет собой место пересечения предполагаемого продолжения преломленных
лучей. Такое изображение называется мнимым (см. рис. 2.13 для случая пло-
плоской границы).
а б
Рис. 3.2. Передний (а) и задний F) фокусы преломляющей поверхности
Помимо оптической силы сферической преломляющей поверхности данную
оптическую систему характеризуют постоянные величины называемые фокусны-
фокусными расстояниями. Точкой переднего фокуса F по определению называется точка
на оптической оси, в которую надо поместить предмет, чтобы после преломления
на сферической преломляющей поверхности изображение находилось на беско-
бесконечности (рис. 3.2, а). Расстояние /, от поверхности Е до точки первого фокуса
называется передним фокусным расстоянием и определяется из выражения C.2)
при условии а2 - ад как
n{R
п, - п
D'
C.4)
Точкой заднего фокуса F' по определению называется точка на оптической
оси, куда после преломления на сферической преломляющей поверхности собе-
соберутся лучи от предмета, находящегося на бесконечности (рис. 3.2, б). Расстоя-
Расстояние /2 от поверхности I до точки заднего фокуса называется задним фокусным
расстоянием и определяется из выражения C.2) при условии ах = оо:
n2R _ п2
-щ D
Л = а>
C.5)
В данном случае точки фокусов лежат по разные стороны сферической гра-
границы раздела и в соответствии с правилом знаков переднее фокусное расстояние
отрицательно, а заднее — положительно. Как видно,
/i Щ '
3.1. Отражение и преломление на сферической границе
57
то есть соответствующие фокусные расстояния прямо пропорциональны показа-
показателям преломления сред, в которых они расположены.
Сферическое зеркало
Практически важным случаем является отражение света от сферического зеркала.
Например: если границу на рис. 3.2 сделать зеркальной (это будет выпуклое сфе-
сферическое зеркало), то при попадании луча на границу зеркало отражает луч об-
обратно в среду с показателем преломления пх. Так как для отраженного луча пока-
показатель преломления второй среды п2 = -п{, то выражение C.3) будет иметь вид:
-я,-я, 2я,
C.6)
D
R
R
Очевидно, что для сферического зеркала /, = f2=R/2 — фокусное расстояние
сферического зеркала равно половине радиуса кривизны, причем у собирающего
(вогнутого) зеркала оно положительно, у рассеивающего (выпуклого) — отри-
отрицательно. Напомним, что это справедливо только для сравнительно узких (па-
(параксиальных) пучков. В данном случае условие параксиальное™ означает, что
расстояние d от главной оптической оси до луча должно быть много меньше ра-
радиуса кривизны зеркала R и его фокусного расстояния / (рис. З.ЗI.
* .^:
Рис. 3.3. Сферические зеркала: выпуклое (рассеивающее) и вогнутое (собирающее)
Таким образом, случаи выпуклого и вогнутого зеркала отличаются лишь зна-
знаком R. Легко видеть, что фокус вогнутого зеркала — действительный, а фокус
выпуклого зеркала — мнимый (см. рис. 3.3).
Примеры построения изображений в сферических зеркалах приведены на
рис. 3.4. Во всех случаях использованы те лучи, ход которых легко определить.
Для вогнутого зеркала:
? луч, идущий параллельно оптической оси, после отражения проходит через
фокус зеркала;
1 Очень важно не забывать об этом условии, потому что в учебной литературе, в том числе
и в этой книге, оптические системы для упрощения рисунка нередко изображают с иска-
искажениями, когда диаметр светового пучка сопоставим с фокусным расстоянием. Строго
говоря, это неверно, потому что параллельный пучок фокусирует в точку параболиче-
параболическим зеркалом, а не сферическим. Вспомните, как называется антенна для приема спут-
спутниковых телепрограмм.
58
Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
? луч, прошедший через фокус, отражается параллельно оптической оси;
? луч, попавший в вершину зеркала, отражается под тем же углом к оптиче-
оптической оси;
? луч, прошедший через центр кривизны, отражается по тому же пути в обрат-
обратном направлении.
Аналогично выполняется построение для выпуклого зеркала, но в этом слу-
случае через фокус или центр кривизны проходят продолжения лучей.
Рис. 3.4. Построение изображения в сферических зеркалах при различных положениях
предмета у: а-г — вогнутое зеркало, д, е — выпуклое
Плоское зеркало может рассматриваться как частный случай сферического
зеркала. Плоская поверхность имеет радиус кривизны R - со, ее оптическая сила
D = О, а по формуле сферической преломляющей поверхности C.2), учитывая,
что гц = -nv получим а2 - -ах Это еще раз подтверждает сделанный ранее вывод:
изображение предмета в плоском зеркале мнимое, равное и зеркально-симмет-
зеркально-симметрично расположенное относительно плоскости зеркала.
Линейные и угловые характеристики изображений
Используя свойства параксиальных гомоцентрических пучков, можно построит!,
изображение небольших протяженных предметов при преломлении на сфериче-
сферической поверхности. Плоскость предмета и плоскость его изображения называют-
называются плоскостями, сопряженными в данной оптической системе.
Поставив предмет SC перпендикулярно главной оптической оси, получим
изображение S'C (рис. 3,5). Обозначим длину отрезка SC через г/, отрезка S'C —
3.1. Отражение и преломление на сферической границе
59
через у'. Отношение размера изображения к размеру предмета носит название
линейного или поперечного увеличения.
т, У' S'C
У SC
C.7)
с
Рис. 3.5. К определению линейного увеличения. Первый луч без преломления
проходит через центр кривизны О, второй — преломляется в вершине К
Для отрезков, перпендикулярных главной оптической оси, вводится правило
знаков, по которому отрезки, идущие вверх от оптической оси, считаются поло-
положительными, а идущие вниз — отрицательными. Это означает, что увеличение
оптической системы положительно, если изображение прямое, и отрицательно,
если изображение перевернутое.
В параксиальном приближении для точки К закон преломления можно запи-
записать как
sin a tg а _ п2
sinp tgp я,'
и увеличение определяется через расстояния от предмета и изображения до вер-
вершины преломляющей поверхности (а{ и а2) и показатели преломления обеих сред:
V=^^L. C.8)
п2 а,
Для преломляющей системы показатели преломления пх и п2 всегда положи-
положительны, так что знак увеличения определится знаком отношения а2/ах. Для рас-
расположения изображения и предмета, соответствующего рис. 3.5, отрезки ах и а2
имеют разные знаки, то есть V отрицательно, а изображение перевернутое; для
мнимых изображений — наоборот.
Сопряженные плоскости называются главными, если для них V = 1, то есть
изображение получается прямым и равным по величине объекту. Оптическая
система, состоящая из одной сферической преломляющей поверхности, пред-
представляет собой вырожденный случай: главные плоскости совпадают между со-
собой и представлены плоскостью Н, касательной к сфере в точке К (рис. 3.5), то
есть ах- а2- 0. Соответственно, фокусные расстояния сферической поверхно-
поверхности следует считать расстояниями от этой единственной главной плоскости до
фокусов.
60 Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
Углы \j/ и V}/' на рис. 3.5 определяют максимальное раскрытие {апертуру) пуч-
пучков, падающих на поверхность I — угол 2у; и сопряженных им изображающих
пучков — угол 2у\ Предельное значение этих углов определяется требованием со-
соблюдения условий параксиальности. При выполнении условий параксиальное™
без искажения передается изображение не только точки, но и небольшого пред-
предмета, расположенного около оси оптической системы. ОнраБа линзы или иное
отверстие, ограничивающее углы \|/ и у', называется апертуриой диафрагмой.
Для параксиальных лучей имеет место соотношение
ущу =#'и2\|/\ C.9)
носящее название теоремы Лагранжа—Гельмголъца.
При использовании пучков со значительной апертурой получение четких
изображений возможно лишь при выполнении условия
*//2jSinv|/ -y'n2sin\\f' C.10)
(условие синусов Аббе). Для параксиальных лучей углы yj/ и Yj/r малы, так что ус-
условие Аббе переходит в уравнение C.9).
Оба этих условия налагают ограничение на свободу преобразования световых
пучков с помощью оптических систем, связывая апертуру и размер предмета с
апертурой и размером изображения. Из него вытекает, что преобразование за-
заданного оптического пучка оптической системой н пучок произвольного стро-
строения невозможно. Геометрия преобразованного пучка может быть только такой,
какую допускает условие Лагранжа—Гельмгольца.
Это важное принципиальное ограничение приобретает особое значение в во-
вопросах фотометрии и концентрирования лучистой энергии с помощью оптиче-
оптических систем.
Центрированная оптическая система
Преломление лишь на одной сферической границе двух сред в реальных оптиче-
оптических системах используется сравнительно редко. Большинство оптических при-
приборов содержит, по крайней мере, две преломляющие поверхности. В качестве
простейшего оптического прибора можно привести линзу.
Система сферических поверхностей называется центрированной, если центры
всех поверхностей лежат на одной прямой, которая называется главной оптиче-
оптической осью системы (рис. 3.6).
В центрированной оптической системе при любом числе преломлений на гра-
границах сред гомоцентрический параксиальный пучок остается гомоцентрическим
и дает стигматическое изображение.
Изображение малого отрезка возникает аналогично тому, как это происходит
на одной преломляющей поверхности. Также в центрированной системе имеет
место наличие двух фокусов и двух фокальных плоскостей, установленное для
одной преломляющей поверхности; сохраняет силу теорема Лагранжа—Гельм-
Лагранжа—Гельмгольца:
Для центрированной оптической системы сохраняет смысл и понятие глав-
главных плоскостей, то есть таких сопряженных плоскостей, в которых объект и изо-
3.2. Преломление света в линзе. Формула тонкой линзы
61
Рис. 3,6= Пример центрированной оптической системы из трох
преломляющих поверхностей
бражение имеют одинаковые величину и ориентацию. В то же время если для
одной преломляющей сферической поверхности обе главные плоскости слива-
сливаются в одну, касающуюся ее вершины, то для центрированной системы эти две
плоскости уже не совпадают (см. следующий раздел). Фокусные расстояния сис-
системы, так же как в случае одной сферической поверхности, рассчитываются как
расстояния от соответствующей главной плоскости до фокуса.
3.2. Преломление света в линзе.
Формула тонкой линзы
Простейший случай центрированной системы, состоящей всего из двух сфериче-
сферических поверхностей, отделяющих от окружающей среды какой-либо прозрачный,
хорошо преломляющий материал, имеет большое значение. Такая система назы-
называется линзой и играет важную роль во многих оптических приборах.
Линза считается тонкой, если расстояние между вершинами сферических по-
поверхностей, ограничивающих ее, мало по сравнению с радиусами кривизны по-
поверхностей. В случае тонкой линзы вершины преломляющих поверхностей мож-
можно считать совпадающими в одной точке, которая носит название оптического
центра линзы. Любой параксиальный луч, проходящий через точку оптического
центра, практически не испытывает преломления. Действительно, для таких лу-
лучей участки обеих поверхностей линзы можно считать параллельными, так что
луч, проходя через них, не меняет направления, но лишь смещается параллельно
самому себе (преломление в илоеконараллелыюй пластинке), а так как толщи-
толщиной линзы можно пренебречь, то смещение это ничтожно и луч практически про-
проходит без преломления. Луч, проходящий через центр, называется осью линзы.
Та из осей, которая проходит через центры кривизны обеих поверхностей, назы-
называется главной, остальные — побочными.
Выражение, связывающее положение предмета и его изображения в линзе
{формула линзы), может быть получено, если рассмотреть два последовательных
преломления луча на каждой из границ (см. рис. 3.7).
Первая (по ходу луча) преломляющая поверхность дает изображение предме-
предмета Л в точке С, которое, в свою очередь, является предметом для второй по ходу
луча поверхности. Окончательное изображение предмета А в линзе — точка В.
62
Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
ср
Рис. 3.7. Формирование изображения при преломлении на двух границах раздела
Формула тонкой линзы справедлива при тех же ограничениях, которые мы
ввели при преломлении на одной сферической границе сред. Условия: гомоцеп-
тричиостъ пучков, стигматичпость изображений, параксиальность и правило
знаков. Главные плоскости тонкой линзы совпадают между собой и проходят
перпендикулярно главной оптической оси в оптическом центре, поэтому рас-
расстояния до предмета и изображения отсчитываются от оптического центра лин-
линзы (я! и а2). Показатель преломления материала линзы обозначим n:v показатель
преломления однородной среды, в которой находится ЛИНЗа, — Пср. R{ — радиус
кривизны первой по ходу луча сферической преломляющей поверхности, R2 —
радиус второй поверхности (рис. 3,8).
Рис. 3.8. Тонкая линза
В этом случае формула линзы будет иметь вид:
Пср Иср ( 1 1
а2 ах \^Rl R2
C.12)
Формула C.12) позволяет однозначно определить положение изображения,
если задано положение предмета. Правая часть равенства не зависит от положе-
положения предмета и его изображения и определяется только свойствами самой опти-
оптической системы. Первый сомножитель (пл - wt.p) определяет физические пара-
параметры системы, а второй — (\/R{ - 1/#2) ~~ геометрические. По аналогии с фор-
формулой сферической преломляющей поверхности правая часть выражения C.12)
названа оптической силой тонкой линзы:
1 1
C.13)
3.2. Преломление света в линзе. Формула тонкой линзы
63
Легко показать, что оптическая сила тонкой линзы, по сути, есть сумма опти-
оптических сил ее поверхностей. Действительно,
Измеряется оптическая сила линзы в диоптриях (дптр). 1 диоптрия — это оп-
оптическая сила линзы, находящейся в воздухе, имеющей фокусное расстояние
в 1 метр.
Линза называется собирающей (положительной), если D > 0; рассеивающей
(отрицательной), если D < 0. В случае линзы, представленной на рис. 3.8, Rx > 0,
a R2 < 0; тогда
_1 1 _ 1 1
R\ R2 \R\\ \Rl\
и оптическая сила такой линзы D > 0, если пЛ > я(.р. Таким образом, знак оптиче-
оптической силы линзы определяется ее геометрическими параметрами и соотношени-
соотношением показателей преломления сред.
у
л
J
1\
и
Рис. 3.9. Классификационные типы линз: 1 —двояковыпуклая, 2 — плосковыпуклая,
3 — выпукло-вогнутая (положительный мениск), 4 — двояковыпуклая,
5 — плосковогнутая, 6 — вогнуто-выпуклая (отрицательный мениск)
На рис. 3.9 представлены линзы различных конфигураций. Если пл > яср, то
линзы под номерами 1, 2, 3 являются положительными, а под номерами 4, 5, 6 —
отрицательными, если же пл < яср, то наоборот. Видно, что знак оптической силы
линзы коррелирует с геометрическим фактором ее относительной осевой толщи-
толщины: если стеклянная линза тоньше на краях и толще по центру, то она является
собирающей (в воздухе или в воде), и наоборот, более тонкая по центру линза
в этих же условиях будет рассеивающей.
Рассматривая тонкую линзу, находящуюся в однородной среде, можно ввести
величины, определяющие положения точек главных фокусов этой оптической
системы, — фокусные расстояния:
/.=-
«ср
"ер
(«л - «ер )
R2
1 1
= -g-. C.14)
Они получены по аналогии с фокусными расстояниями сферической прелом-
преломляющей поверхности и, как видно, имеют разные знаки. Таким образом, точки
фокусов лежат по разные стороны от линзы (точка первого фокуса — перед лин-
линзой, точка второго фокуса — за линзой по ходу луча), но фокусные расстояния
64
Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
равны по абсолютной величине. Поэтому иногда, используя физический жаргон,
говорят о «фокусе» линзы (одном фокусном расстоянии).
Пример построения изображения в тонкой линзе представлен на рис. 3.10.
Здесь собирающая (положительная) линза строит действительное, перевернутое и
уменьшенное изображение у' предмета г/. Линейное (поперечное) увеличение, да-
даваемое тонкой линзой, рассчитывается точно так же, как и для одной поверхности:
У «i
C.15)
Рис. 3.10. Построение изображения в тонкой положительной линзе
В соотвествии с вышеизложенным найдем, что для перевернутых действи-
действительных изображений увеличение отрицательно, а для прямых мнимых V > 0.
Величина и знак линейного увеличения для одной и той же линзы зависят от
расположения предмета.
V<0, \V\<
V<0,\V\=
V<0, \V\> 1
V не определено
V> 1
F
F У
0< V<
Рис. 3.11. Построение изображений и значения линейных увеличений для положительных
{а-д) и отрицательной (е) линз в зависимости от положения предмета
? Если предмет расположен за двойным фокусом собирающей линзы, то его
изображение оказывается действительным, перевернутым и уменьшенным
(рис. 3.11, а).
3.2. Преломление света в линзе. Формула тонкой линзы
65
? Если предмет находится в точке двойного фокуса, то изображение оказыва-
оказывается по величине равным предмету, оставаясь действительным и переверну-
перевернутым (рис. 3.11, б). При дальнейшем приближении предмета к линзе изобра-
изображение постепенно отдаляется, увеличиваясь в размерах, а при достижении
предметом передней фокальной плоскости — переносится в бесконечность
(рис. 3.11, в, г).
? Расположение предмета между фокусом и линзой приводит к формированию
мнимого, прямого, увеличенного изображения (случай увеличительного стек-
стекла или лупы, рис. 3.11, д).
Отрицательная (рассеивающая) линза характеризуется существенно меньшей
вариативностью формируемых изображений: при любом расположении предме-
предмета изображение получается мнимым, прямым и уменьшенным (рис. 3.11, е).
Для определения фокусного расстояния оптической системы, состоящей из
нескольких сложенных вместе тонких линз, находящихся в однородной среде
с показателем преломления п, можно воспользоваться выражением
п
J смет
Д.,
C.16)
где Д.пст — оптическая сила системы, определяемая суммой (с учетом знаков) оп-
оптических сил каждой линзы в отдельности, рассчитанных для той среды, в кото-
которой находится система.
На рис. 3.12 изображена система двух линз: собирающей и рассеивающей.
Видно, что в данном случае оптическая сила собирающей линзы по модулю
больше, чем рассеивающей (ее фокусное расстояние короче). Поэтому при их со-
совмещении друг с другом итоговая оптическая сила оказывается положительной:
D = Dt + D2 > 0. Естественно, что оптическая сила такой системы меньше, чем оп-
оптическая сила у первой (собирающей) линзы, а фокусное расстояние — больше.
x >0
Рис. 3.12. Пример собирающей двухлинзовой системы
из положительной и отрицательной линз
66 Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
Если в многолинзовой системе оптические элементы расположены на некото-
некотором расстоянии друг от друга, то оптическая сила такой системы не равна про-
простой сумме оптических сил составляющих ее линз, а зависит еще и от расстоя-
расстояния между линзами I: D = Д + D2-DXD2L (см. раздел 3.4).
3.3. Идеальные оптические системы
Тонкая линза как совокупность двух центрированных поверхностей представ-
представляет собой простейшую оптическую систему, дающую довольно несовершенное
изображение. В большинстве оптических приборов используются более слож-
сложные системы, характеризующиеся наличием большого числа преломляющих по-
поверхностей и не ограниченные требованием близости этих поверхностей (усло-
(условие тонкой линзы).
В 1841 г. Гаусс сформулировал общую теорию идеальной оптической систе-
системы, то есть системы, в которой сохраняется гомоцентричность пучков и изобра-
изображение геометрически подобно предмету. Согласно определению Гаусса всякой
точке пространства объектов в идеальной системе соответствует точка простран-
пространства изображений, и эти точки называются сопряженными. Аналогично, каждой
прямой и каждой плоскости пространства объектов должны соответствовать со-
сопряженные прямая и плоскость пространства изображений. Иными словами,
теория идеальной оптической системы — чисто геометрическая теория, устанав-
устанавливающая соотношение между точками, линиями, плоскостями.
Из изложенного в параграфе 3.1 следует, что идеальная оптическая система
может быть осуществлена с достаточным приближением в виде центрированной
оптической системы, если ограничиться областью вблизи оси симметрии, то есть
параксиальными пучками. В теории Гаусса требование тонкости системы отпа-
отпадает, но по-прежнему предполагается, что лучи параксиальные. Построение фи-
физической системы, которая приближалась бы к идеальной даже при значительно
расходящихся пучках, есть задача прикладной геометрической оптики.
В идеальной оптической системе линия, соединяющая центры кривизны сфе-
сферических поверхностей, представляет собой ось симметрии центрированной сис-
системы (ось 00' на рис. 3.13) и по-прежнему называется главной оптической осью
системы. Теория Гаусса устанавливает ряд так называемых кардинальных точек
и плоскостей, задание которых полностью описывает все свойства оптической
системы и позволяет пользоваться ею бея построения реального хода лучей в си-
системе.
Рассмотрим луч, входящий в оптическую систему параллельно оптической
оси 00' (см. рис. 3.13). Выйдя из системы, этот луч пройдет через задний фо-
фокус F2. Точка пересечения падающего и выходящего лучей определяет положе-
положения задней главной плоскости Я2. Аналогично, рассматривая луч, идущий через
систему справа налево, найдем точку пересечения падающего и выходящего лу-
лучей, определяющую положение передней главной плоскости Hv Любой точке на
плоскости Нх найдется сопряженная точка на плоскости Н2, то есть плоскости Н{
и Н2 изображаются друг в друге. К тому же, поскольку любой луч пересекает обе
главные плоскости на одной и той же высоте, увеличение равно +1.
3.3. Идеальные оптические системы
67
Рис. 3.13. Главные плоскости оптической системы
Точки /4j и Л2 пересечения главных плоскостей с осью носят название глав-
главных точек системы. Расстояния от главных точек до фокусов называются фокус-
фокусными расстояниями системы (расстояния f{ и /2 на рис. 3.13). Примеры опре-
определения фокусных расстояний в толстой линзе, часiном случае простейшей
центрированной оптической системы, показаны на рис. 3.14.
О' О
Рис. 3.14. Томки фокусов и фокусные расстояния толстой линзы
Главные плоскости и главные точки могут лежать как внутри, так и вне сис-
системы (рис. 3.15), совершенно несимметрично относительно поверхностей, огра-
ограничивающих систему, например даже по одну сторону от нее. Поскольку фо-
фокусные расстояния центрированной системы отсчитываются от главных плоско-
плоскостей, расстояния от тпчртс фокусов до реальных поверхностей, ограничивающих
систему, могут быть различными (например, линзы-мениски на рис. 3.15, третья
и шестая).
Две фокальные ПЛОСКОСТИ, две главные плоскости и точки их пересечения
с главной оптической осью системы носят название кардинальных плоскостей и
точек системы. Используя свойства этих кардинальных объектов, можно строить
изображение предмета в толстой линзе, находящейся в однородной среде, не рас-
68
Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
сматривая прохождение этих лучей внутри линзы. Примеры таких построений
приведены на рис. 3.16.
-К
Н{ Щ
Н{ Щ
Нх Н2
Рис. 3.15. Положение главных плоскостей линз разных типов
II Н'
Н Н'
-а
-а'
НИ'
Рис. 3.16. Примеры посфиенин изображений в толстых линзах
3.4. Матричное описание оптических систем
Траектория любого луча, проходящего через оптическую систему, представлен-
представленную набором преломляющих поверхностей, состоит из отрезков прямых линий.
В приближении гауссовой Оптики каждый меридиональный луч, то есть луч, ле-
лежащий в одной плоскости с главной оптической осью системы Z, можно задать
3.4. Матричное описание оптических систем
69
оп
двумя параметрами. Этими параметрами являют-
являются: высота г/, на которой этот луч пересекает не-
некоторую заранее выбранную опорную плоскость
(ОП) Z = const и угол vj/ между лучом и оптиче-
оптической осью (рис. 3.17). Для проведения расчетов
оказывается удобнее заменить угол \у соответст-
соответствующим ему параметром п\\/. (Строго говоря, про-
произведением /7-sinvj/, но, как известно, значение
функции sin vj/ малого угла примерно равно значе-
значению самого угла у.)
Для исследования поведения луча при про-
прохождении оптической системы необходимо рас-
рассмотреть только два основных процесса.
? Перемещение между двумя преломляющими поверхностями через оптиче-
оптический промежуток. Луч просто проходит по прямой линии от одной поверхно-
поверхности к другой. Область между поверхностями характеризуется ее толщиной /
и показателем преломления среды п.
? Преломление на сферической границе раздела с радиусом R между областями
с разными показателями преломления пх и п2.
Преобразование параметров у и n\\f луча при переходе от одной опорной плос-
плоскости к другой в параксиальном приближении линейно и имеет вид:
Рис. 3.17. Опорные плоскости
и оптический промежуток
Это преобразование можно записать в матричной форме:
[с
C.17)
Таким образом, каждому элементу оптической системы можно сопоставить
свою матрицу преобразования лучей. Для того чтобы получить общую матрицу
преобразования лучей, описывающую оптическую систему в целом, нужно пере-
перемножить все матрицы перемещений, преломлений и отражений в порядке, отве-
отвечающем последовательности прохождения луча через соответствующие элемен-
элементы оптической системы.
Очевидно, что при прохождении луча через оптический промежуток угол
наклона у остается постоянным, а высота изменяется по закону у2 = У\+ЩУ
(см. рис. 3.17). Переходя от угла наклона к параметру n\\f и учитывая, что в пара-
параксиальном приближении tg vj/ ~ vj/, находим, что преобразование параметров луча
оптическим промежутком можно описать матрицей
т f1 //n'
О 1
C.18)
где L = 1/п — приведенная длина оптического промежутка. Следовательно,
О 1
70
Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
Для нахождения матрицы преломления выберем опорные плоскости
и ОП2 в непосредственной близости от преломляющей поверхности по обе ее
стороны (рис. 3.18).
Рис. 3.18. К выводу матрицы преломления
Расстояние между ними в параксиальном приближении пренебрежимо мало,
поэтому можно считать, что луч пересекает обе плоскости на одной и той же вы-
высоте: у2 - у{. Для параметра n\\i из несложных геометрических преобразований с
учетом закона преломления получаем n\\i2 = п\\): - Dyv где D — оптическая сила
преломляющей поверхности:
п.<и2-Я|
R
(см. формулу 3.3).
Таким образом, матрица преломления имеет вид;
R =
-D 1
C.19)
и соответствующее матричное уравнение преобразуется к виду:
У2 W 1 0? Ух
J { JU
?z2Y|/
-D
Правило знаков позволяет распространить формулу C.19) и на сферические
зеркала, заменив п2 на (~пх) и использовав для оптической силы выражение C.6).
Если произвольная оптическая система состоит из N элементов (оптических
промежутков и преломляющих поверхностей), то каждый из них может быть
описан своей матрицей преобразования Мт. Обозначив вектор луча
Ут
на т-й опорной плоскости, находящейся перед соответствующим элементом,
через Кт, получим рекуррентное соотношение: К,л+ { = Мт • Кт, аналогично К^ =
= Мт_1 • Кт_, и т. д. Отсюда находим, что для опорной плоскости ОПдг+ lf нахо-
находящейся на выходе из системы, Kv+, = М • Kv где М — матрица преобразования
3.4. Матричное описание оптических систем
71
системы, представляющая собой произведение всех матриц, взятых в обратном
порядке:
М =М„ -MN_X -MN_2 -...-Mj. C.20)
Так, например, для толстой линзы в воздухе, представляющей собой однород-
однородную среду толщиной / с показателем преломления п, ограниченную сферически-
сферическими поверхностями с радиусами кривизны /^ и R2, получаем
m-r.tr, =| - ~" ¦ - - ' " "^ L
Как и следовало ожидать, оптическая сила такой линзы не равна сумме оп-
оптических сил составляющих ее поверхностей, а определяется как D = Dt + D2 -
-DXD2L (см. раздел 3.2). В частном случае тонкой линзы, когда L -» 0, матрица Т
вырождается в единичную и общая матрица преобразования М имеет такой же
вид, как матрица R преломления на одной поверхности, но с оптической силой
/) = Ц +Д2.
Отметим, что определители матриц Т и R равны единице: AD - ВС = 1. Сле-
Следовательно, будет равен единице и определитель матрицы для любой оптической
системы. Для того чтобы лучше представить смысл элементов матрицы преобра-
преобразования Л, В, С и Д рассмотрим случаи, когда один из ее элементов обращается
в ноль.
а бег
Рис. 3.19. К определению физического смысла матрицы преобразования
1. Л - 0, следовательно у2 = В • nl\\fv Это значит, что все лучи, входящие в систе-
систему под одинаковым углом, пройдут через одну и ту же точку на выходной
плоскости ОП2 (рис. 3.19, а). Следовательно, ОП2 является задней фокальной
плоскостью системы.
2. В = 0, следовательно у2 = Л • ух. Все лучи, выходящие из точки S с координа-
координатой ух па плоскости ОПР попадут в точку Р с координатой у2 на плоскости
ОП2 (рис. 3.19, б). Таким образом, точки S и Р являются объектом и изобра-
изображением, а плоскости ОИ{ и ОП2 — сопряженными плоскостями. Величина
Л = у2 /ух дает коэффициент увеличения системы.
3. С = 0, тогда п2\у2 = D • пх\ух. В этом случае все лучи, входящие в систему парал-
параллельно друг другу под углом \|/j к оптической оси, выйдут из системы также
параллельным пучком (рис. 3.19, в). Оптическая система, преобразующая па-
параллельный пучок лучей в параллельный, называется афокальиой или теле-
телескопической. Величина i|/2/vj/i = nx • D/n2 представляет собой угловое увеличе-
увеличение системы.
72 Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
4. D = 0, при этом n2\\f2 = С • z/,. Все лучи, выходящие из точки ух входной опор-
опорной плоскости, выйдут из системы под одинаковым углом (рис. 3.19, г). Сле-
Следовательно, Orij — передняя фокальная плоскость системы.
5. Если один из элементов А или D равен нулю, то условие AD - ВС = 1 требует,
чтобы ВС = -1. Аналогично, если в нуль обращается В или С, то AD = 1.
3.5. Глаз как оптическая система
Опуская физиологические особенности строения глаза и механизма зритель-
зрительного восприятия, рассмотрим, как работает человеческий глаз с точки зрения оп-
оптики. Оптическая система глаза — хрусталик представляет собой прозрачное
бесцветное тело, напоминающее двояковыпуклую линзу, передняя поверхность
которой менее выпуклая, чем задняя. Он состоит из слоев различной плотно-
плотности, имеющих волокнистое строение. Мышца глаза, рефлекторно напрягаясь или
расслабляясь, может изменять кривизну поверхностей хрусталика, главным об-
образом передней. Таким образом, осуществляется аккомодация, то есть изменение
оптической силы глаза, позволяющее фокусировать на сетчатке изображение
предметов, находящихся на разном расстоянии. Так как деформация хрустали-
хрусталика может производиться только в определенных пределах, для глаза существу-
существуют определенные границы, в пределах которых глаз может отчетливо видеть
предметы. Эти границы определяют так называемую область аккомодации гла-
глаза. Наиболее отдаленная граница, которую глаз может отчетливо видеть при
ненапряженной мышце, называется дальней, а ближайшая граница* которую он
способен отчетливо видеть при максимальном напряжении мышцы, — ближней
точкой ясного видения. В ненапряженном состоянии нормальный глаз аккомо-
аккомодирован па рассматривание бесконечно удаленных предметов, то есть он собира-
собирает параллельные лучи в точке сетчатки (рис. 3.20, а). Таким образом, дальняя
точка ясного видения для нормального глаза находится в бесконечности. В воз-
возрасте до десяти лет ближняя точка нормального глаза лежит на расстоянии
7-8 см от глаза. В среднем, к тридцати годам это расстояние увеличивается при-
примерно до 15 см,
С приближением рассматриваемого предмета к глазу увеличивается угол зре-
зрения, а с ним и размеры изображения на сетчатке. Это позволяет рассмотреть бо-
более мелкие детали. Однако при максимально возможном приближении усилива-
усиливается напряжение мышцы, деформирующей хрусталик, работл гляяя становится
утомительной. В случае нормального глаза оптимальное расстояние для чтения
и письма составляет около 25 см. Это расстояние для нормального глаза и при-
принимается условно за расстояние наилучшего видения.
У близорукого глаза (рис. 3.20, б) оба предела наилучшего видения находятся
ближе, чем у нормального. Ближний предел дальнозоркого глаза расположен
дальше, чем у нормального глаза, а его дальний предел всегда отрицателен, то есть
дальняя точка ясного видения находится не спереди, а позади глаза (рис. 3.20, в).
Такой глаз в ненапряженном состоянии может собирать на сетчатке только схо-
сходящиеся пучки лучей. У близорукого глаза в ненапряженном состоянии парал-
параллельные лучи сходятся перед, а у дальнозоркого — за сетчаткой.
3.6. Аберрации оптических систем
73
в а
Рис. 3.20. Глаз и коррекция недостатков зрения
Близорукость может быть обусловлена большей, а дальнозоркость — мень-
меньшей глубиной глаза по сравнению с глубиной нормального глаза. Эти, а также
другие недостатки глаза могут возникать из-за неправильных значений кривиз-
кривизны преломляющих поверхностей хрусталика и роговицы, несимметричности этих
поверхностей, неправильного положения хрусталика и т. д.
С термином «дальнозоркий*» ассоциируется ошибочное представление, что
дальнозоркость якобы дает возможность видеть далекие предметы. Никакими
преимуществами перед нормальным глазом дальнозоркий не обладает, так как
вся область перед глазом, отчетливо видимая дальнозорким глазом, видна и нор-
нормальным глазом. Но область между ближними точками ясного видения дально-
дальнозоркого и нормального глаза недоступна для отчетливого рассматривания даль-
дальнозорким глазом. Примерно к 50-ти годам из-за уплотнения хрусталика, теряю-
теряющего возможность достаточно сжиматься, появляется, так называемая, старческая
дальнозоркость — ближняя точка наилучшего видения удаляется от глаза на рас-
расстояние 50 см. Читать на таком расстоянии уже трудно.
Для того чтобы скорректировать зрение и позволить человеку читать с рас-
расстояния наилучшего видения, применяются очки для дальнозоркого глаза с поло-
положительными, то есть собирающими, линзами (рис. 3.20, д), а для близорукого —
с отрицательными, то есть рассеивающими, линзами (рис. 3.20, г). Положитель-
Положительные линзы приближают, а отрицательные отдаляют ближнюю точку наилучшего
видения.
3.6. Аберрации оптических систем
В предыдущих разделах описан порядок построения и анализа изображений
в идеальных оптических системах. При этом использовался ряд ограничений,
например параксиальное™ пучков, добиться выполнения которых в реальных
системах практически невозможно, Поэтому важно упомянуть о погрешностях
{аберрациях), возникающих в реальных оптических системах, исправлением ко-
которых занимается прикладная оптика.
Астигматизм — преобразование точечного (стигматического) фокуса в две
взаимно перпендикулярные фокальные линии а и Ь (рис. 3.21).
74 Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
Рис. 3.21. Астигматизм
Астигматизм возникает, если центральный луч светового пучка идет под боль-
большим углом к оптической оси системы. При этом лучи, лежащие в меридиональ-
меридиональной плоскости, то есть плоскости, проходящей через оптическую ось и централь-
центральный луч (вертикальная плоскость на рис. 3.21), пересекаются в точках, лежащих
на горизонтальной фокальной линии а. Лучи же, лежащие в перпендикулярной
сагиттальной или экваториальной плоскости, пересекаются на вертикальной
фокальной линии Ъ. Расстояние между фокальными линиями Аг (астигматиче-
(астигматическая разность) возрастает по мере увеличения наклона пучка.
Астигматизм может быть обусловлен также нарушением гомоцентричности
пучков при преломлении наклонных пучков или связан с асимметрией фоку-
фокусирующей системы: отклонением от сферы при изготовлении фокусирующей
оптики.
Погрешность, носящая название сферической аберрации, возникает при па-
рушениях параксиальное™ падающих пучков и связана с тем, что сферическая
преломляющая поверхность, вообще говоря, не обеспечивает сохранения гомо-
гомоцентричности пучка.
Продольная сферическая аберрация AS = S'S" (размытие точечного фокуса)
представлена на рис. 3.22. Параксиальные лучи образуют изображение У, в то
время как лучи, идущие под большими углами к оптической оси и пересека-
пересекающие линзу вблизи ее краев, преломляются сильнее и формируют изображе-
с ft
ние Ь .
Величина Д5 положительна для рассеивающей линзы и отрицательна для со-
собирающей, что позволяет предложить способ ее устранения. Реальные изобра-
изображающие системы представляют собой комбинации положительных и отрица-
отрицательных линз, сделанных из различных сортов стекла, рассчитанные так, чтобы
суммарная продольная сферическая аберрация равнялась нулю.
Если в системе компенсирована сферическая аберрация для лучей, исходя-
исходящих из точечного объекта, расположенного на оптической оси, то она может со-
сохраниться при отображении висоссвых объектов. В этом случае изображение
точки принимает характерную форму, напоминающую запятую. Подобная абер-
аберрация, приводящая к несохранению гомоцентричности внеосевых пучков, назы-
называется комой (рис. 3.23).
3.6. Аберрации оптических систем
75
Рис. 3.22. 11родольная сферическая аберрация
Рис. 3.23. Кома
Кома отсутствует у систем с исправленной сферической аберрацией, если вы-
выполняется условие синусов Аббе (см. ранее в этой главе), что возможно лишь
для пары сопряженных плоскостей, называемых аплаиатическими.
Погрешность оптической системы, при которой увеличение неодинаково по
всему полю зрения, носит название дисгпорсыя (рис. 3.24). Если линейное увели-
увеличение растет от центра к краям, то изображение квадрата приобретает вид «по-
Подушкообразная
дисторсия
Бочкообразная
дисторсия
Г""
1
1
[>.,
1—
i
1
i
1
Рис. 3.24. Дисторсия
76 Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
душки», и противном случае — форму «бочки». В отличие от рассмотренных
выше аберраций, дисторсия приводит не к ухудшению резкости, а к искажениям
геометрической формы изображения.
Еще одна важная погрешность оптических систем — хроматическая аберра-
аберрация, природа которой непосредственно связана с зависимостью показателя пре-
преломления оптических материалов от длины волны, то есть с дисперсией вещест-
вещества. Вследствие дисперсии фокусное расстояние зависит от длины волны, что
приводит к невозможности получить точечный фокус для немонохроматическо-
немонохроматического излучения. Прикладная оптика разработала ряд методов устранения хромати-
хроматической аберрации и создания ахроматических объективов, в которых использу-
используются стекла с различным ходом дисперсионной кривой.
Отметим, что зеркальным оптическим системам, так же как и линзовым, прису-
присущи геометрические аберрации (сферическая, астигматизм и т. д.), но они свобод-
свободны от хроматической аберрации. Это обусловлено тем, что закон отражения света,
в отличие от закона преломления, не зависит от показателей преломления сред.
Исправление аберраций — трудная задача, требующая прецизионных расче-
расчетов и предъявляющая высокие требования к технологии изготовления оптиче-
оптических деталей. Обычно исправляют лишь те погрешности, которые мешают реше-
решению конкретной оптической задачи.
Если исследователя интересует четкость изображения, сформированного ка-
какой-либо оптической системой, и возможность раздельного наблюдения на нем
близких частей объекта, требуется определить так называемую разрешающую си-
силу оптического инструмента. Это понятие непосредственно связано с волновой
природой света и наблюдением явления дифракции на краях диафрагм. Оценка
разрешающей силы отдельных оптических приборов будет сделана в разделе 8.5.
Примеры решения задач
Пример 3.1. На тонкостенную сферическую колбу, наполненную жидкостью, па-
падает параллельный пучок лучей света, диаметр сечения которого значительно
меньше диаметра колбы. На противоположной стороне колбы пучок света осве-
освещает кружок, диаметр которого в два раза меньше диаметра падающего на колбу
пучка. Каков показатель преломления жидкости в колбе?
R
Задачи
77
Решение
Оптическая система в данной задаче представляет собой сферическую прелом-
преломляющую поверхность, разделяющую две среды: воздух с показателем преломле-
преломления пх = 1 и жидкость с показателем преломления п2. Поскольку диаметры сече-
сечений пучка даны внутри колбы, вторая поверхность колбы в оптической системе
не играет роли. Если бы второй поверхности не было, то изображение бесконеч-
бесконечно удаленного источника, дающего параллельный пучок лучей, получилось бы
на продолжении лучей в точке S.
Следовательно, OS — фокусное расстояние передней преломляющей поверх-
поверхности. По формуле C.5)
Из подобия треугольников ЛОЗ и BO'S находим
4 - / -о
d2 f-2R
где d} - 2ЛО, d2 = 2ВО' — диаметры входящего и выходящего пучков. Отсюда
/=4Дии2 = 4
Пример 3.2. В толстой стеклянной пластине (п = 1,5) на расстоянии 3 см от пло-
плоской грани имеется воздушная полость в виде двояковыпуклой линзы. Опти-
Оптическая ось этой системы перпендикулярна к плоской грани пластины. Радиусы
кривизны линзы 4 см и 6 см. На каком расстоянии от линзы получится изобра-
изображение царапины S, нанесенной на плоской грани пластины? Постройте ход луча.
Решение
Образовавшаяся в стекле линза имеет
оптическую силу D меньше нуля (рас-
(рассеивающая линза).
Найдем фокусное расстояние этой
линзы:
и,.,.
/=— =¦
D па - п,.
Я, + R<>
= _7,2 см.
Изображение царапины будет на-
находиться на расстоянии а2 от линзы,
причем с учетом правила знаков
1_ }___}_
f
откуда а2 = 2,12 см.
Задачи
3.1. Стеклянный тонкостенный шаровидный аквариум наполнен водой. На-
Наблюдатель смотрит вдоль диаметра аквариума на рыбку, перемещающуюся вдоль
78
Глава 3. Прохождение света через сферическую границу сред
этого же диаметра. Как изменяется положение изо-
изображения рыбки, если она от удаленного по отноше-
отношению к наблюдателю конца диаметра перемещается
к ближнему концу? Диаметр аквариума 10 см, длина
рыбки много меньше радиуса колбы. Постройте гра-
график зависимости расстояния до изображения от рас-
расстояния дп рыбки.
3.2. Радиус стеклянного шара {п = 1,5) равен R = 4 см.
Найдите расстояние S от центра шара до изображе-
изображения предмета, который расположен в L ~ 6 см от по-
поверхности шара.
3.3. Небольшой светящийся предмет находится на
расстоянии 15 см от вершины сферического вогнутого
зеркала на главной оптической оси; изображение точ-
точки получилось на расстоянии 30 см от зеркала. Опре-
Определите, на сколько и в каком направлении сместится
изображение, если предмет приблизится к зеркалу на
1 см. Постройте ход лучей в обоих случаях.
3.4. Определите фокусное расстояние вогнутого сфе-
сферического зеркала, которое представляет собой сим-
симметричную двояковыпуклую стеклянную линзу С по-
посеребренной одной поверхностью. Радиус кривизны
поверхностей линзы равен 30 см.
3.5. Две одинаковые плосковыпуклые линзы с пока-
показателем преломления п посеребрены: одна с плоской
стороны, другая с выпуклой. Найдите отношение фо-
фокусных расстояний /, и /2 полученных сложных зер-
зеркал, если свет в обоих случаях падает с непосереб-
ренной стороны.
I
s
Л
(г
3.6. Имеется линза с оптической силой +2,5 дптр. Найдите предельно большое
расстояние между предметом и линзой, при котором получается прямое изобра-
изображение предмета.
3.7. Расстояние от лампочки до экрана L = 50 см. Линза, помещенная между
ними, дает четкое изображение лампы на экране при двух положениях, расстоя-
расстояние между которыми d = 10 см. Найдите фокусное расстояние линзы.
Задачи
79
3.8. Предмет расположен на расстоянии 50 см от поверхности линзы с оптиче-
оптической силой +2,5 дптр. Найдите минимальное расстояние, на которое следует пе-
переместить предмет, чтобы получить изображение, равное по величине первона-
первоначальному.
3.9. На рассеивающую линзу вдоль главной оптиче-
оптической оси надает параллельный пучок света диамет-
диаметром 5 см. За линзой на расстоянии 20 см поставлен
экран, на котором получается круглое светлое пятно
диаметром 150 мм. Определите в сантиметрах глав-
главное фокусное расстояние линзы.
и
1. L ¦
3.10. Выпуклый мениск изготовлен из стекла с показателем преломления п = 1,5.
Радиус кривизны выпуклой поверхности R{ = 22,4 см, радиус кривизны вогнутой
поверхности R2 = 46,2 см. Как изменится фокусное расстояние этой линзы в воде
по сравнению с фокусным расстоянием в воздухе?
3.11. Объектив фотоаппарата установили относитель-
относительно фотопластинки на расстоянии, равном фокусному
расстоянию объектива, После этого на объектив на-
надели собирающую линзу с оптической силой 5 дптр.
На каком расстоянии от этого сложного объектива
должен находиться предмет съемки, чтобы получить
его резкое изображение на фотопластинке? Фокусное
расстояние объектива без линзы-насадки 14 см.
3.12. Имеются две тонкие симметричные линзы: одна
собирающая с показателем преломления 1,7, другая
рассеивающая с показателем преломления 1,51. Обе
линзы имеют одинаковый радиус кривизны поверх-
поверхностей, равный 10 см. Линзы сложили вплотную и
погрузили в воду. Каково фокусное расстояние этой
системы в воде?
ГЛАВА 4 Фотометрия
Воздействие света на глаз или какой-либо другой чувствительный приемный
элемент состоит, прежде всего, в передаче ему энергии, переносимой световой
волной. Поэтому важно составить представление о спстовой энергетике — фото-
фотометрии, — которая сводится либо к непосредственному измерению энергии, пе-
переносимой световой волной, либо к измерению величин, так или иначе с этой
энергией связанных. В измерительной практике используются фотометрические
понятия, связанные с особенностями приемников оптического излучения, а так-
также с реализацией эталонов этих физических величин. Чаще всего в качестве
приемников излучения используются специальные устройства, реакция которых
зависит не только от энергии, переносимой светом, но также от его спектрально-
спектрального состава. Такими селективными приемниками являются фотопластинки, фото-
фотопленки, фотоэлементы и, что особенно важно, человеческий глаз. Поэтому при
световых измерениях необходимо принимать во внимание особенности глаза как
приемника, выделяющего определенный, довольно узкий, участок длин волн из
всего многообразия электромагнитных колебаний.
4.1. Фотометрические величины
Излучающие свет структуры носят название источников света. Источники света
делятся по размерам на точечные и протяженные, а по природе — на самосветя-
самосветящиеся и несамосветящиеся.
Точечный источник — такой источник, размерами которого можно пренеб-
пренебречь по сравнению с расстоянием до освещаемой им поверхности. Источник
света можно считать точечным, если линейные размеры источника не превыша-
превышают 1/10 расстояния от него до освещаемой поверхности. В этом смысле для на-
наблюдения на Земле Солнце — точечный источник, так как его видимый угловой
размер равен 0,5°, или 0,01 рад, что означает, что диаметр Солнца меньше рас-
расстояния до Земли примерно в 100 раз. Источник, размеры которого не удовле-
удовлетворяют указанным условиям, называется протяженным. Как правило, дейглши
протяженного источника сводится к действию некоторой совокупности точеч-
точечных источников, полученной путем разбиения поверхности протяженного ис-
источника на элементарные участки.
4.1. Фотометрические величины 81
Самосветящимися источниками называются те, в которых излучение проис-
происходит за счет переработки другого вида энергии. Большинство окружающих нас
предметов не являются самосветящимися в видимой области спектра; они отра-
отражают или рассеивают падающие световые потоки. Поэтому в практических це-
целях особенно важна энергетика несамосветящихся источников.
Поток лучистой (световой) энергии
Количество энергии, переносимой световой волной в единицу времени через
площадку I, называется световым потоком:
D.1)
где S — вектор Пойнтинга, характеризующий плотность потока энергии (см. раз-
раздел 1.4).
Световой поток имеет размерность мощности. Он является основой для оцен-
оценки количества энергии, переносимой светом. Знание потока необходимо при рас-
расчете многих оптических устройств. Большинство приемников света (например,
фотоэлементы) реагируют непосредственно на световой поток.
Сила света
Для характеристики пространственно-углового распределения светового потока,
испускаемого источником, применяется понятие силы света.
Для определения силы света по какому-либо направлению надо выделить
вдоль этого направления достаточно малый телесный угол dil и измерить свето-
световой поток с/Ф, распространяющийся в этом телесном угле. Телесный угол нужно
выбирать таким образом, чтобы поток и нем можно было считать равномерным,
тогда сила света источника по определенному направлению численно равна свето-
световому потоку, заключенному в единичном телесном угле/.
/F,Ф) = -^. D.2)
dd
Размерность силы света совпадает с размерностью светового потока (Вт), но
в обозначении единицы силы света указывается единица телесного угла — стера-
стерадиан (Вт/ср).
Если световой поток испускается точечным источником равномерно по всем
направлениям, то / = Ф/4тг есть истинная сила света точечного источника по лю-
любому направлению. В случае неравномерного потока величина Ф/4тс представ-
представляет собой лишь среднюю силу света и называется средней сферической силой
света.
Величина полного светового потока характеризует излучающую способность
источника, которую невозможно увеличить никакими оптическими системами.
Действие любых оптических систем сводится лишь к перераспределению све-
светового потока, например большей концентрации его по некоторым избранным
направлениям. Такие системы в оптике называют коллимирующими. Наглядным
примером коллимирующей системы является прожектор, преобразующий близ-
близкое к сферическому излучение лампы в узкий направленный луч.
82
Глава 4, Фотометрия
Освещенность поверхности
Освещенностью поверхности называется величина, численно равная световому
потоку, падающему на единицу поверхности:
D.3)
Так как лучистая энергия в од-
однородной среде распространяет-
распространяется прямолинейно, ш, проведя из
точки S (точечный источник све-
света) совокупность лучей, опира-
опирающихся на контур площадки da,
мы получим конус, ограничива-
ограничивающий часть потока, протекаю-
протекающего через da (рис. 4.1).
Если внутри среды поглоще-
поглощения энергии нет, то через любое сечение этого конуса протекает один и тот же
поток. Если нормаль п к площадке da составляет угол 0 с осью конуса, а расстоя-
расстояние от точки S до площадки есть R, то телесный угол dCl, под которым площадка
видна из источника, равен
D.4)
Рис. 4.1. К определению освещенности площадки
R2 '
Учитывая определение силы света D.2), получим:
_, / COS ф
Е = .
D.5)
Таким образом, если на поверхность ? падает световой ниток от точечного ис-
источника, то освещенность поверхности убывает пропорционально квадрату рас-
расстояния между источником и освещаемой поверхности (рис. 4.2, а). Из опре-
определения D.3) следует, что в потоке параллельных лучей, если нет поглощения
в среде, освещенность поверхности остается неизменной (рис. 4.2, б).
При изучении освещенности, создаваемой протяженными источниками, их
поверхность можно разбить на элементарные участки (достаточно малые по
Рис. 4.2. Зависимость освещенности площадки от расстояния до источника
для расходящегося (а) и параллельного F) пучков света
4.1. Фотометрические величины
83
сравнению с расстоянием до освещаемого объекта) и определить освещенность,
создаваемую каждым из элементарных точечных источников по закону обрат-
обратных квадратов.
Затем следует проинтегрировать по всей площади источника с учетом зави-
зависимости силы света от направления. Таким образом, для протяженных источни-
источников связь освещенности поверхности с расстоянием до источника оказывается
более сложной, чем для точечных.
Яркость источника
Точечные источники света, размерами которых можно пренебречь, играют ис-
исключительно важную роль в расчетах оптических систем. Однако большинство
реальных источников достаточно велики, чтобы различить их форму при обыч-
обычных для практики расстояниях. Иными словами, видимые размеры источни-
источника лежат в пределах способности глаза
или оптического приемника отличить
протяженный предмет от точки. По от-
отношению к таким источникам исполь-
используется понятие поверхностной яркости
(или просто яркости) излучающей и от-
отражающей поверхностей.
Пусть приемник К поглощает све-
световой поток, излучаемый элементом
поверхности da в направлении угла 9
с направлением нормали к излучающей
поверхности п. Тогда этот поток про-
пропорционален видимой поверхности из-
излучателя da cos 0 и величине телесного
угла dQ. (рис. 4.3).
Коэффициент пропорциональности зависит от свойств поверхности и мо-
может быть различным для различных направлений углов 0 относительно норма-
нормали. Обозначим этот коэффициент через В@) и определим световой поток выра-
выражением:
Рис. 4.3. К определению яркости
источника
или
= B(Q) cos Q da dn
dI(Q)
da cos 0
D.6)
D.7)
Коэффициент В называется яркостью источника по направлению, определяе-
определяемому углом 0, то есть яркость источника — это поток, посылаемый в данном на-
направлении единицей видимой поверхности в единичном телесном угле. Подчерк-
Подчеркнем, понятие яркости вводится как для самосветящихся, так и для несамосветя-
несамосветящихся источников.
Яркость есть величина, зависящая от направления; однако есть источники,
для которых сила света элемента поверхности пропорциональна видимой по дан-
данному направлению площади этого элемента da cos 0. Из D.7) следует, что в этом
84
Глава 4. Фотометрия
случае яркость источника не зависит от направления (то есть можно считать
В(в) = Во) и
/F) = B0acos6, D,8)
где a = J da — полная площадь светящейся поверхности.
i
Такие источники носят название косинусных излучателей, псэдчиняющихся
закону Ламберта. Строго говоря, указанным свойством обладает только абсо-
абсолютно черное тело. Матированная поверхность или мутная среда, каждый уча-
участок которых рассеивает свет равномерно во все стороны, служат более или менее
хорошими подобиями ламбсртовскош источника. Поверхность Солнца излучает
свет по закону, довольно близкому к закону Ламберта.
Если рассмотреть светящийся плоский диск I (рис. 4.4) и светящуюся сферу
I' и предположить, что обе поверхности, подчиняясь закону Ламберта, имеют оди-
одинаковую яркость В, тогда световые
потоки, посылаемые соответствую-
соответствующими участками диска и сферы по
любому направлению, будут одина-
одинаковы, так как видимые поверхности
их равны, а яркости по условию не
зависят от направления. Таким об-
образом, светящийся диск неотличим
от светящейся полусферы, если они
являются косинусными излучате-
излучателями. Например, Солнце или Луна
в полнолуние при не очень тщатель-
тщательных наблюдениях кажутся нам пло-
плоскими дисками равномерной яркости; это подсказывает, что их можно считать
приблизительно ламбертовскими источниками.
Светимость поверхности
Понятие светимости тесно связано с понятием яркости поверхности. Свети-
Светимость S представляет собой световой поток, посылаемый единицей поверхности
наружу по всем направлениям (внутри телесного угла 2тг — полусферы наблюда-
наблюдателя). То есть S = г/Ф'Д/а, если Ф' — полный поток, посылаемый светящейся пло-
площадкой da по всем направлениям.
Для ламбертовского источника светимость и яркость связаны между собой
простым соотношением:
7J'1
u и
Сравнение определений светимости S и освещенности Е показывает, что обе
эти величины имеют одинаковые размерности (Вт/м2) и представляют собой по-
поток, отнесенный к единице поверхности. Светимость характеризует свечение по-
поверхности, то есть поток, исходящий от единицы поверхности, а освещенность
характеризует освещение поверхности, то есть поток, падающий на единицу по-
поверхности.
Рис. 4.4. Сравнение плоского и сферического
ламбертовских источников
4.2. Единицы световых величин
85
Исходящий из самосветящихся источников световой поток является их соб-
собственным свойством, а для несамосветящихся он, естественно, зависит от осве-
освещенности поверхности и свойств отражающей поверхности.
Для несамосветящихся источников исходящий световой поток всегда меньше
падающего светового потока Ф'< Фи определяется коэффициентом отражения г,
меньшим единицы. В этом случае между освещенностью поверхности и ее свети-
светимостью имеет место соотношение
D.10)
где г(А-) — коэффициент отражения поверхности, зависящий от длины волны па-
падающего света.
Все разнообразие красок мира определяется зависимостью коэффициентов от-
отражения окружающих нас предметов от длины волны падающего на них излуче-
излучения от Солнца или искусственных источников освещения.
Белыми или серыми мы видим тела или вещества, которые имеют коэффици-
коэффициенты отражения, не зависящие от длины волны падающего излучения и по вели-
величине близкие к единице. Если коэффициент отражения тела одинаков для всех
длин волн и близок к нулю, такое тело мы воспринимаем как черное.
4.2. Единицы световых величин
В светотехнике под термином «свет» обычно подразумевают излучение видимо-
видимого диапазона с длинами волн в интервале от 380 до 760 нм. Поэтому интерес
представляет не просто восприятие энергии излучения, а ее световое воспри-
восприятие. В связи с этим во многих оптических системах необходимо учитывать
связь между энергетическими величинами, характеризующими излучение, и ве-
величинами, характеризующими ее визуальное восприятие, определяемое свойст-
свойствами глаза человека.
Таблица А
X, нм
400
410
420
430
440
450
460
470
480
L1. Спектральная чувствительность глаза
0,0004
0,0012
0,0040
0,0116
0,023
0,038
, ,„., _ 1
0,060
0,091
0,1 ЗУ
X, нм
490
500
510
520
530
540
550
560
570
к>
0,208
0,323
0,503
0,710
0,862
0,954
0,995
0,995
0,952
Л, НМ
580
590
600
610
620
630
640
650
660
0,870
0,757
0,631
0,503
0,381
0.265
0,175
0,107
0,061
X, нм
670
680
690
700
710
720
730
740
750
0,032
0,017
0,0082
0,0041
0,0021
0,00105
0,00052
0,00025
0,00012
86
Глава 4. Фотометрия
Чувствительность глаза к свету различной длины волны можно охарактери-
охарактеризовать кривой видности. По оси абсцисс откладывается длина волн излучения X,
а по оси ординат — относительная чувствительность глаза Кх, то есть величина,
обратно пропорциональная мощности монохроматического излучения, дающего
одинаковое зрительное ощущение на разных длинах волн. Несмотря на субъек-
субъективность таких оценок, воспроизводимость их достаточно высока. Кривая вид-
видности разных наблюдателей не сильно меняется от одного к другому.
Относительные значения спектральной чувствительности Кк для так называ-
называемого среднего глаза человека приведены в табл. 4.1.
Чувствительность глаза имеет максимум, условно принимаемый за единицу,
в зеленой области спектра при X = 555 нм.
Графически усредненная кривая видности в линейном и логарифмическом
масштабах показана на рис. 4.6.
0,8
0,6
0,4
0,2
4
ц
/
г
/
И
Ж
1
1
\
V
___ .
_ _
_
400 500 600 700 800
Х} нм
0,0001
400 500 600 700 800
X, нм
Рис. 4.6. Кривая относительной спектральной чувствительности глаза в линейном (а)
и логарифмическом F) масштабах
Экспериментально установлено, что излучение с длиной волны X = 760 нм
(далекая красная область) должно иметь энергетическую мощность в 20 000 раз
большую, чем излучение с длиной волны X = 555 нм, чтобы вызвать у человека
аналогичное ощущение яркости.
Принимая в качестве приемника световой энергии глаз, Международная ко-
комиссия по освещенности (МКО) определила световой поток как поток лучистой
энергии, оцениваемой по зрительному ощущению.
Для калибровки используемых на практике источников по величине свето-
светового потока и другим светотехническим параметрам служит условный световой
эталон. В качестве эталонного выбрано излучение абсолютно черного тела при
температуре затвердевания платины B042 К).
Единица силы света — кандела (кд), равная 1/60 силы света, излучаемого
в направлении нормали с площади 1 см2 светового эталона.
Единицей светового потока является люмен (лм) — поток, посылаемый ис-
источником света в 1 кд внутри единичного телесного угла в 1 стерадиан (ср).
1кд
1 лм =¦
1ср
Примеры решения задач
87
Единица освещенности, люкс (лк), есть освещенность, соответствующая пото-
потоку в 1 лм, равномерно распределенному по поверхности в 1 м2.
1 лм
1 лк = .
1м2
Таким образом, 1 лк — это освещенность, создаваемая на поверхности шара
радиусом в 1 м, в центре которого расположен излучающий равномерно во все
стороны источник силой сиета в 1 кд.
Светимость, так же как и освещенность, выражается в единицах лм/м2, но эта
величина относится к испускаемому потоку, а не к падающему на поверхность.
Единицей яркости служит яркость излучающей свет площадки, дающей силу
света в одну канделу с каждого квадратного метра поверхности в направлении,
перпендикулярном к поверхности площадки. Часто эту единицу в литературе
называют пит (нт).
Л 1КД
1м2
Имея эталон, дающий определенный световой поток, выраженный в люменах*
можно было бы определить этот поток в ваттах и установить связь между све-
световыми и энергетическими единицами. Однако вследствие различной чувстви-
чувствительности глаза к свету с разной длиной волны, единый коэффициент пересчета
{механический эквивалент света) установить невозможно. Для длины волны,
соответствующей максимуму чувствительности глаза (X, = 555 им), отт считает-
считается равным: 0,00146 Вт/лм. Соответственно, коэффициент видности излучения
на длине волны 555 нм равен 683 лм/Вт.
Примеры решения задач
Пример 4.1. На высоте h = 7 м над полом на расстоянии / = 3 м
от стены повешена лампочка S силой света 100 кд. Прини-
Принимая, что сила света лампочки одинакова во всех направлени-
направлениях, определите освещенность пола и стены у линии их пересе-
пересечения.
Решение
Освещенность, создаваемая точечным источником света на по-
поверхности, определяется выражением
I cos ф
" ~ 7, >
где / — сила света точечного источника, ср — угол падения лучей на поверхность,
г— расстояние от источника до точки на поверхности.
Пусть в точке пересечения стены и пола угол падения лучей на пол равен а,
а на стену — р. Расстояние от источника S до точек стены и пола на линии их пе-
пересечения одинаково и равно
г = <yjh'2 + Г2, кроме того, cos а = —, cos C = -.
г г
88
Глава 4. Фотометрия
Отсюда найдем:
700
-1,58 л к;
300 rQ
= 0,68 лк.
Пример 4.2. На расстоянии L = 1 м от небольшого экрана расположен точечный
источник света S. Посередине между источником и экраном в точке Л поместили
линзу. Оказалось, что освещенность экрана не изменилась. Определите фокус-
фокусное расстояние линзы.
Решение
По определению освещенность поверхности есть величина, численно равная све-
световому потоку, падающему на единицу поверхности. Следовательно, линзу надо
поставить так, чтобы весь поток, попадавший на экран, после прохождения лин-
линзы снова попал на экран.
По формуле линзы
где ах = SA, а2 = ЛВ — расстояния от линзы до источника и его изображения. Сле-
Следовательно,
{ 4- а2
По условию ах = L/2. Из подобия треугольников заключаем, что отношение
освещенных1 областей на экране и линзе D/d - 2.
Кроме того,
d D
L
г**
откуда а2 = L/6.
Задачи
89
Таким образом,
/ = *Ф-тт =4 = 12,5 см.
2 6
Задачи
4.1. Лампа S силой света в 200 кд находится на рас-
расстоянии L = 2 м от лежащей на столе книги. Осве-
Освещенность книги равна 25 лк. Определите, под каким
углом падает свет на книгу и на какой высоте подве-
подвешена лампа над столом.
4.2. Лампа, в которой светящимся телом служит на-
накаленный шарик диаметром 3 мм, дает силу света
в 85 кд. Найдите яркость этой лампы, если сфериче-
сферическая колба лампы сделана: 1) из прозрачного стекла;
2) из матового стекла. Диаметр колбы 6 см.
4.3. В основании полусферы радиусом 50 см нахо-
находится ламбертовский источник света S в виде плос-
плоского диска площадью 10 см2 и яркостью 1000 нт. Во
сколько раз отличаются освещенности, создаваемые
этим источником, в точках А и С на полусфере, рас-
расположенных на одном меридиане? Точка Л находит-
находится над источником по вертикали, а точка С — по на-
направлению, образующему угол 30° с плоскостью ис-
источника.
4.4. Светящаяся часть люминесцентной лампы потребляемой мощностью 15 Вт
имеет форму цилиндра длиной 42 см и диаметром 2,24 см. Яркость ее 0,5 • 104 нт.
Определите КПД лампы. Средний механический эквивалент света для данной
лампы считать равным 0,03 Вт/лм.
4.5. Над полусферой находится точечный источник S
силой света / = 50 кд на высоте, равной диаметру по-
полусферы. Определите освещенность в точке А поверх-
поверхности полусферы, в которой лучи падают под углом
<х = 35°. Радиус полусферы равен 1 м.
90
Глава 4. Фотометрия
4.6. Точечный источник снега S освещает поверх-
поверхность MN. Как изменится освещенность в точке Л,
в которой лучи от источника падают нормально, если
сбоку от него на таком же расстоянии, как и освещае-
освещаемая поверхность, поместить зеркало К, отражающее
свет в точку Л? Коэффициент отражения зеркала при-
примите равным 1.
4.7. На столе лежит книга на расстоянии 1 м от основания перпендикуляра, опу-
опущенного из лампы на поверхность стола. Лампа может перемещаться только вверх
и вниз. На какой высоте над столом ее следует повеешь, чтобы освещенность
книги была наибольшей?
4.8. Собирающая линза с фокусным расстоянием fx = 6 см расположена на рас-
расстоянии 1 = 4^ = 24 см от экрана. На линзу вдоль оптической оси падает парал-
параллельный пучок света. Во сколько раз изменится освещенность экрана, если еще
одну собирающую линзу с фокусным расстоянием /2 = 12 см поставить перед
первой линзой так, чтобы расстояние между линзами было равно сумме их фо-
фокусных расстояний?
4.9. Над центром круглого стола подвешен светильник в виде горизонтального
диска площадью 100 см2. Яркость светильника 1,6 • 104 нт и не зависит от на-
направления. На какой высоте от поверхности стола надо поместить светильник,
чтобы освещенность периферийных точек стола была максимальной? Какова бу-
будет эта освещенность?
4.10. Освещенность, получаемая при нормальном падении солнечных лучей на
поверхность Земли, составляет 1,0 • 105 лк. Какова освещенность изображения
Солнца, даваемого свободной от аберраций линзой диаметром 5 см и фокусным
расстоянием 10 см? Угловой диаметр Солнца а = 30'.
Часть 2
Интерференция
и дифракция света
ГЛАВА 5 Интерференция
и когерентность
Интерференцией называют явление возникновения пространственно-неоднород-
пространственно-неоднородного распределения интенсивности енета в области пересечения нескольких пуч-
пучков, вызванное суперпозицией электромагнитных волн.
При анализе излучения протяженных источников или нескольких точечных
необходимо учитывать амплитуды колебаний, вызванных всеми элементарными
источниками с их индивидуальными пространственными (Дк) и временными (Аи>)
спектрами. При этом распределение суммарной интенсивности света в области
суперпозиции меняется от точки к точке, достигая максимума, превышающего
сумму интенсивностей пучков, и минимума, который может оказаться равным
нулю. Теоретически легче всего получить интерференцию с помощью монохро-
монохроматического источника, генерирующего излучение одной частоты ш. Напротив,
источник белого света (Дсо ~~ а>) может создать интерференционные полосы толь-
только в предельно тонких пленках. Промежуточный случай представляет собой ква-
квазимонохроматический источник, с малой шириной спектра (Aw «; со).
5.1. Возникновение интерференции
Рассмотрим волновое поле, образованное в точке наблюдения Р несколькими
протяженными квазимонохроматическими источниками Sv S,h ..., Sn (рис. 5.1).
Важно отметить, что любой физический детектор имеет конечные размеры и ко-
конечную разрешающую способность во времени, поэтому он регистрирует не
мгновенную величину интенсивности в заданной точке, а среднюю интенсив-
интенсивность в некоторой области пространства за определенный промежуток времени.
Особенно существенным является времен-
„У*^ ное усреднение, так как постоянная време-
,,''У ч\Чч ни даже наиболее быстродействующих де-
jf'*'у*' V4\. текторов на несколько порядков больше
['" 4*'' \ чч <-, периода световой волны.
По принципу суперпозиции суммарная
Рис. 5.1. Освещение точки напряженность Е(Р) в точке наблюдения
наблюдения двумя источниками складывается из амплитуд полей элемен-
b.2. Двухлучевая интерференция
тарных излучателей Е,- в точке Р, сдвинутых по времени за счет различной длины
путей до этой точки:
Наблюдаемая интенсивность 1(Р) есть квадрат модуля усредненной по време-
времени напряженности Е(Р):
/(/)) = (|(E1 + E2 + ... + E,,)|;!)=((E1-E; + ... + E,,.E;) + 2Re(ErE;+ ...)>• E.1)
Нетрудно заметить, что выражение для интенсивности разбивается на две
части: аддитивный член, являющийся простой суммой интенсивностей источни-
источников, и интерференционный член, содержащий перекрестные произведения напря-
женностей полей от различных источников.
Если разность фаз колебаний от разных источников подвержена случайным
и некоррелированным флуктуациям, то интерференционный член в результате
усреднения обратится в ноль. Такие источники называются пекогерентпыми.
Два независимых обычных (нелазерных) источника всегда некогерентны, поэто-
поэтому не возникает интерференции, например, в излучении от двух лампочек. Если
корреляция есть, то говорят о частичной или полной когерентности. В этом слу-
случае интенсивность в точке Р может быть больше или меньше суммы интенсивно-
интенсивностей излучения всех источников, то есть могут наблюдаться интерференционные
эффекты неаддитивпого1 перераспределения световой энергии. Интерференци-
Интерференционный член также исчезает при Et • Е*2 = 0, то есть при Е{ ± Е2. Ортогонально по-
поляризованные световые волны не интерферируют. В дальнейшем при анализе
интерференции будем полагать, что поляризация волн одинакова, отвлекаясь от
векторных свойств светового поля.
5.2. Двухлучевая интерференция
Рассмотрим простейший случай интерференции излучения двух точечных мо-
монохроматических источников. Эта идеализация позволяет выявить особенности
интерференционной картины в условиях полной пространственно-временной ко-
когерентности, то есть при отсутст-
отсутствии каких-либо случайных позму
щений. Пусть источниками явля-
являются две щели 5, и S2 в непрозрач-
ном экране, освещаемые плоской —
монохроматической волной — так ^
называемая схема Юнга (рис. 5.2). —
Из-за того, что нуги г{ и г2 от
источников до точки наблюдения
неодинаковы, поле от источника S2
запаздывает в точку Р на время Рис. 5.2. Интерференционна* схема Юнга
i
\
• 0
s2
-
>
\\
-41
+^
r-~-
L
o' x
^ ^
1 Когда результирующая интенсивность отличается от простой суммы интенсивностей из-
излучения разных источников.
94
Глава 5. Интерференция и когерентность
т = А/с, где А = \г2 - г\ — геометрическая разность хода, с — скорость света. В слу-
случае когда световые пучки распространяются в разных средах, под А следует по-
понимать оптическую разность хода: А = \п2г2 - п{г^, отличающуюся от геометри-
геометрической умножением на соответствующие показатели преломления. Комплекс-
Комплексная амплитуда электромагнитной волны в точке Р равна:
Тогда формула E.1) примет вид:
E.2)
где 5 — сдвиг фаз между волнами: 8 = 2тгАД. В случае источников равной интен-
интенсивности /, = /2 = /0; ?, = Я2 = ^/77, и в точке наблюдения имеем:
Таким образом, в зависимости от разности хода от источников до точки на-
наблюдения, интенсивность меняется от 0 в тех точках, для которых А = Aт + \)Х/2
и куда волны приходят в противофазе, до 4/0 в точках, для которых А = тХ (вол-
(волны приходят в одинаковой фазе). Отношение разности хода к длине волны, рав-
равное отношению разности фаз к 2тг, называют порядком интерференции (обычно
обозначаемым буквой т). Например, в случае равенства начальных фаз источни-
источников 1 и 2, по центру картины наблюдается полоса нулевого порядка.
Очевидно, что для наблюдения интерференционных полос расстояние меж*
ду источниками d должно быть больше длины волны излучения X. В свою оче-
очередь, расстояние от источников до экрана L, как правило, много больше d. Кро-
Кроме того, L значительно больше х — расстояния от центра интерференционной
картины до точки Р на экране, то есть угол 0 можно считать малым. В этом слу-
случае приближенное выражение для разности хода получается наиболее простым:
4/п
-?Х
L
Рис. 5.3. Распределение интенсивности при двухлучевой интерференции. Для выделенных
точек на векторных диаграммах указаны значения соответствующих разностей фаз
5.2. Двухлучевая интерференция
95
А = dsinQ = xd/L. Соответственно для ширины интерференционной полосы Ах (рас-
(расстояния между соседними максимумами или минимумами) находим Ах = XL/d.
График распределения интенсивности на экране приведен на рис. 5.3. В нижней
части рисунка схематически показаны относительные фазы складывающихся волн
в разных точках экрана.
В случае разных интенсивностей интерферирующих источников контраст-
контрастность полос уменьшается: интенсивность минимумов растет, а максимумов пада-
падает (рис. 5.4). Для количественной оценки качества интерференционной картины
Майкельсоном было введено понятие видности полос V, определяемое через со-
соотношение интенсивностей максимумов и минимумов:
т/ _ max min
-2л 0 2n An 5
Рис. 5.4. Интерференция в случае источников с неодинаковыми интенсивностями
Если рассматривать двумерную интерференционную картину от двух точеч-
точечных источников, то интерференционные полосы на экране представляют собой се-
семейства гипербол, отвечающих постоянству оптической разности хода. По мере
удаления экрана от плоскости источников постепенно в доступной для наблюде-
наблюдения области остается практически прямолиней-
прямолинейная система полос, ортогональных линии, соеди-
соединяющей источники. На рис. 5.5 изображена по-
последовательность удаляющихся экранов Pv P2
и Р3» охватывающих разные зоны наблюдения.
Период, положение и контрастность интер-
интерференционных полос зависят от основных па-
параметров источников излучения: их длины
волны (или частоты), начальной фазы, соотно-
соотношения амплитуд, а также от взаимного распо-
расположения источников. Проследим это влияние
на модельных экспериментах.
Влияние расстояния между источниками из-
излучения на интерференционную картину про- ^
рл и Рис. 5.5. Интерференционные
демонстрировано на рис. 5.6. На этом рисунке полосы от двух Т0Чечных
области чередования темных и светлых участ- источников
96
Глава 5. Интерференция и когерентность
ков (гребней и впадин волн) соответствуют максимумам интерференционной кар-
картины, а расходящиеся веером серые полосы — интерференционным минимумам.
Как и следует из формулы для ширины интерференционной полосы, при сбли-
сближении источников (рис. 5.6, б) период интерференционной картины возрастает.
-20
Рис. 5.6. Влияние расстояния между источниками на ширину интерференционных полос:
в случае (а) расстояние вдвое больше, чем в случае (б)
Изменение длины волны источников моделируется ма рис. 5.7. При неизмен-
неизменном расстоянии между ними с увеличением длины волны (рис. 5.7, б) ширина
интерференционной полосы возрастает — чтобы набрать прежнюю разность хода,
теперь нужно большее расстояние.
-40
Рис. 5.7. Влияние длины волны излучения на ширину интерференционных полос:
в случае {а) длина волны вдвое меньше, чем в случае (б)
5.3. Временная и пространственная
когерентность, степень когерентности
Входящая в интерференционный член формулы E.2) величина Г12(т) =
= (El(t + x)E'2(t)) называется взаимной корреляционной функцией величин Ex(t)
и E2(t). Математически эта функция представляет собой интеграл свертки двух
медленно меняющихся комплексных амплитуд:
5.3. Временная и пространственная когерентность, степень когерентности 97
E.4)
Если оба источника совпадают, но излучение может попасть в точку наблюде-
наблюдения Р но двум путям неравной длины, то из E.4) получаем
Ги(т) ~]E{(t + r)E\(t)dr. E.5)
Величина Г(т) = Гп(т) называется автокорреляционной функцией. Она зави-
зависит только от относительного запаздывания т и характеризует временную коге-
когерентность. Очевидно, что при т = 0 автокорреляционная функция дает просто
интенсивность соответствующего источника; Ги@) = /,.
С другой стороны, если запаздыванием излучения от двух различных источ-
источников можно пренебречь, величина Г12 = Г12@) зависит только от их положения
и характеризует пространственную когерентность.
Пронормируем корреляционную функцию, положив
Величина у12(т) называется комплексной степенью когерентности световых
колебаний и может быть представлена как у12(т) = |у12(т)|ехр(/5), причем |у|< 1.
Формула E.2) принимает вид;
V E.7)
Нетрудно видеть, что видность интерференционных полос в точке Р
где g12(x) = jy12(i)|. Эта формула связывает видность полос с интенсивностями
двух пучков и их степенью когерентности. Для пучков с равной интенсивностью
У(Р) = ЙиХ1)» то есть видность полос равна модулю степени когерентности. Фо-
Фотография двухлучевой интерференционной картины (изображение дано в нега-
негативе, интерференционным максимумам соответствуют темные полосы) и рас-
распределения интенсивности при различной степени пространственной когерент-
когерентности источников у12@) показаны на рис. 5.8, а. Общее снижение интенсивности
ПОЛОС К Краям картины обусловлено конечным поперечным размером перекры-
перекрывающихся световых пучков и дифракционными эффектами (см. главу 8).
Из проведенного анализа видно, что условия возникновения интерференци-
интерференционной картины определяются, помимо свойств источников, их взаимным рас-
расположением относительно точки наблюдения. Важнейшим параметром двухлу-
двухлучевой интерференционной схемы является оптическая разность хода А. Понять
зависимость степени когерентности от разности хода можно, исходя из следую-
следующей модели.
Квазимонохроматические источники с шириной спектра Av испускают волно-
волновые цуги (импульсы) со средней длительностью тк « 1/Av и характерной длиной
цуга 1К = стк (для вакуума). Величины LK и тк называют длиной и временем коге-
98
Глава 5. Интерференция и когерентность
ипин
7E),
Л 1
ш
1/111) 1
А 1 Л
Л1 П
"" ~~Ш~ТГ
Iff
Y
1 Л
ft г
Yi2 - 1.0
7E)
О
7E),
1
аЛЛ/
V/W
о
Рис. 5.8. Двухлучевые интерференционные картины при различной степени
пространственной когерентности источников у12: а — в условиях полной,
б — в условиях частичной временной когерентности
рептностщ они растут с повышением монохроматичности источника (сужением
его спектра) и характеризуют временную когерентность. Если LK меньше А, цуги
не перекрываются, когерентности не хватает, интерференция не наблюдается. Если
же оптическая разность хода столь мала (или столь велика длина когерентно-
когерентности), что скоррелированные волновые пакеты перекрываются во времени, то с той
или иной видностыо интерференция наблюдается. Падение видимости полос в ин-
интерференционной картине с ростом порядка интерференции за счет уменьшения
степени временной когерентности представлено на рис. 5.8, б.
5.3. Временная и пространственная когерентность, степень koi ереншосш
99
Взаимное положение двух волновых цугов по мере увеличения разности хода
приведено па рис. 5.9. В нижней части рисунка схематически показано уменьши
ние корреляционной функции с уменьшением нлощади перекрытия огибающих.
)
У
V.
t
Рис. 5.9. Корреляционная функция частично перекрывающихся цугов волн при различных
временах запаздывания
Для анализа временной когерентности оценим характерные значения време-
времени и длины когерентности. Из теории излучения известно, что ширина спектраль-
спектральной линии, испускаемой обычными тепловыми источниками, равна по порядку
Av ~ 10lJ...10lu Гц. Отсюда следует, что хк ~ 10~9...10~10 с, а длина когерентности
1К ~ 3...30 см. Таким образом, интерференция в оптике, даже при освещении од-
одной выделенной спектральной линией, может наблюдаться лишь при разностях
хода, не превышающих нескольких сантиметров.
Если разброс длин волн равен д^, то, с учетом соотношений у = сД,
|Av|= сЛХ/Х1 длина когерентности может быть оценена как
При использовании источника белого света, захватывающего весь видимый
диапазон, АХ ~ X, и интерференция отеутетвует (дттиня когерентности равна ДЛИ-
не волны). Однако при визуальном наблюдении реальный интервал АХ опре-
определяется способностью глаза различать цветовые оттенки и составляет ~ 10 нм.
Окрашенные интерференционные полосы видны при разностях хода в несколь-
несколько микрометров.
Полоса излучения лазеров значительно более узкая, она может составлять
мегагерцы и даже килогерцы. Следовательно, длина когерентности в случае ла-
лазерных источников света может доходить до нескольких километров.
Иная ситуация складывается в радиодиапазоне. Монохроматичность излуче-
излучения радиогенераторов чрезвычайно велика, и тк может доходить до десятков и
сотен часов, что соответствует LK - Юп км. Это больше размера Солнечной сис-
системы, что означает отсутствие принципиального предела дальности ралиоинтер-
ферометрических измерений.
Для анализа пространственной когерентности предположим, что две щели А
и В освещаются протяженным источником шириной w, с угловым размером ф
(рис. 5.10). Волны, пришедшие от участков поверхности 5" и 5", создадут на эк-
экране интерференционные картины с центрами в точках М' и М". Отдельные
100
Глава 5. Интерференция и когерентность
участки источника света некогерентны друг с другом, поэтому интерференцион-
интерференционная картина, наблюдаемая на экране, будет являться наложением картин, созда-
создаваемых каждым из участков в отдельности. Интерференция будет различима при
условии, что расстояние М'М" меньше половины ширины полосы, то есть при
условии, что интерференционные максимумы, образуемые излучением от одних
участков источника, не накладываются на интерференционные минимумы от
других участков.
М"
М'
Рис. 5.10. К определению пространственной когерентности
Излучение, испущенное точкой S' источника, достигает щелей А и В с разно-
разностью хода
wsind wd
Интерференция на экране видна при условии А < Х/2, то есть
Хг
E.9)
Поскольку угловой диаметр источника ср, видимый из точек А и В, равен »»/г,
то условием когерентного освещения этих точек является ограничение ср < X/d.
С другой стороны, можно утверждать, что излучение источника S когерентно в
конусе с углом при вершине 0 < X/w. Этот угол называется апертурой интерфе-
интерференции. Соответственно поперечный размер области когерентности d = r0 = Х/ц>.
Так, например, Солнце, угловой размер которого около 0,01 рад, когерентно
освещает пятно (при X = 500 нм) диаметром порядка 0,05 мм.
ГЛАВА 6 Методы наблюдения
интерференционных
картин
Как было показано в предыдущей главе, два независимых источника света всегда
некогерентны. Поэтому в оптических исследованиях для получения когерент-
когерентных источников часто используют изображения одного физического источника
излучения. Интерференционные схемы, в которых присутствуют два источника,
называются двухлучевыми. Все двухлучевые интерференционные схемы делят-
делятся на два больших класса:
? схемы, построенные по методу деления амплитуды волны;
U схемы, построенные по методу деления волнового фронта.
6.1. Метод деления амплитуды
Отличительной особенностью схем первого класса является амплитудное деле-
деление (с помощью полупрозрачных зеркал, границ раздела, пленок и т. д.) всего
волнового фронта падающей волны как единого целого. В плоскости наблюдения
обе разделенные волны перекрываются и, при условии достаточной когерентно-
когерентности, создают интерференционные явления: полосы, цветовые эффекты и т. п.
Полосы равной толщины
Если интерференция создается параллельным пучком света в тонком зазоре, то
максимумы и минимумы интенсивности «отслеживают» вариации толщины этого
зазора, в результате создается в общем случае довольно сложная картина полос
равной толщины. Форма каждой такой полосы всегда соответствует геометриче-
геометрическому месту точек с одинаковой толщиной зазора или пленки. Например, для
плоского клина эти полосы эквидистантны1 и параллельны ребру клина (рис. 6.1).
Когерентными источниками в этой оптической схеме являются два мнимых изо-
изображения источника света, образующихся при отражении от двух поверхностей
зазора.
1 Расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.
102
Глава 6. Методы наблюдения интерференционных картин
Ш\\
Рис. 6.1. Получение полос равной толщины в воздушном клин*? Углы отклонения лучей
от нормали сильно преувеличены
Полосы могут наблюдаться как в отраженном, так и в прошедшем свете, одна-
однако в последнем случае видность интерференционной картины сущее!пенно ни-
ниже. Действительно, если лучи 1 и 2 примерно равны по интенсивности, то луч 3
во много раз сильнее луча 4 (коэффициент отражения от стекла равен пример-
примерно 4 %), а как следует из формулы E.8), максимальная видность обеспечивается
при равных интенсивностях источников.
Очевидно, что разность хода между интерферирующими лучами равна удво-
удвоенной толщине зазора d. Если зазор заполнен средой с показателем преломле-
преломления п, следует использовать оптическую длину пути: 2dn. При расчете положе-
положения максимумов и минимумов необходимо учитывать дополнительный фазовый
сдвиг на я, образующийся при отражении от более плотной среды (см. главу 11).
Кольца Ньютона
Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона, обра-
образующиеся в зазоре между сферической линзой и плоскостью (рис. 6.2). Их лучше
наблюдать в отраженном свете. В этом случае в центре картины за счет фазового
скачка при отражении образуется темное пятно.
Между радиусом кривизны линзы R, толщиной зазора d и радиусом пыото
новского кольца г существует строгое геометрическое соотношение, а именно:
R2 =(R-dJ +r2 *R2 -2Rd + r2
Отсюда
(при d «: R).
2R
F.1)
Если разность хода А = 2nd равна чет-
четному числу полуволн, то (с учетом до-
дополнительного фазового сдвига) в ин-
интерференционной картине наблюдает-
наблюдается темное кольцо, если нечетному — то
светлое. Отсюда находим для радиусов
темных колец г = ^JR\m (m = 0, 1,2,...),
Рис. 6.2. Получение колец Ньютона
а для светлых — г = ^jRX(m+ 1/2).
Так как толщина зазора d меняется
нелинейно (при малых толщинах мож-
6.1. Метод деления амплитуды
103
но считать функцию d от поперечной координаты квадратичной), то и система
колец постепенно сгущается от центра к периферии (рис. 6.3).
отн. ед
1,0
0,5
Прошедший свет
Отраженный свет
Рис. 6.3. Вид колец Ньютона в отраженном свете (а) и радиальное распределении
интенсивности для квазимонохроматического источника (б)
Три-четыре первых ньютоновских кольца можно наблюдать при освещении бе-
белым светом, при этом явно выражена их хроматичность (окрашенность), усиливаю-
усиливающаяся к краям. Ширина ньютоновских колец увеличивается с ростом длины волны
освещающего излучения, а их контрастность, как обычно, возрастает при исполь-
использовании средств спектральной селекции (светофильтры, дуговые лампы и т. п.).
С ростом порядка интерференции (увеличением номера кольца) в силу ко-
конечной когерентности источника света контрастность ньютоновских колец пада-
падает. Для источника со спектральным интервалом АХ = Х{ - Х2 интерференционная
картина пропадет, если максимум порядка т для Х{ совпадет с минимумом (т + 1)
порядка для Х2:
!= 777+- \Х2.
М- I 2.
Отсюда находим, что число видимых колец равно
т =
АХ
к:
F.2)
где Хср = (Х^ + Х2)/2 — средняя длина волны, 1К — длина когерентности. Таким
образом, определяя число видимых ньютоновских колец, можно оценить длину
когерентности источника.
Заметим, что при отсутствии поглощения в стекле картины колец в отражен-
отраженном и прошедшем свете являются дополнительными, то есть в любой точке зазо-
зазора сумма их интенсивностей постоянна и равна интенсивности падающей пло-
плоской волны.
Полосы равного наклона
Методом деления амплитуды можно получить еще один тип интерференцион-
интерференционной картины — полосы равного наклона. Они наблюдаются при освещении пле-
пленок или плоскопараллельных пластинок расходящимся пучком. Отражения от
104
Глава 6. Методы наблюдения интерференционных картин
передней и задней поверхностей пластины формируют два мнимых изображения
5" и S" источника S (рис. 6.4). Сферические волны от этих мнимых источников,
накладываясь в плоскости экрана, создают систему интерференционных колец,
каждое из которых отвечает определенному углу наклона и осью которых явля-
является перпендикуляр, опущенный из центра источника на поверхность пластины.
Рис. 6.4. Получение полос равною наклона
Рассмотрим ситуацию, когда оба отраженных луча образуются из одного и того
же падающего (рис. 6.5). Разность хода между отраженными лучами при произ-
произвольном угле падения для случая тонкой пленки, находящейся в воздухе, равна
-=2ndcosp> + -. F.3)
Рис. 6.5. Интерференция лучей, отраженных тонкой пленкой
Таким образом, для всех волн, падающих на пленку под одним и тем же углом,
разность хода одинакова. Отраженные лучи при этом параллельны, вследствие
чего интерференционная картина локализована в бесконечности и может наблю-
наблюдаться на экране, помещенном в фокальную плоскость собирающей линзы.
Из формулы F.3) следует, что при увеличении угла падения света (Р > 0) оп-
оптическая разность хода между отраженными лучами не только не увеличивается,
но даже уменьшается. Следовательно, номера колец равного наклона, соответству-
соответствующие порядкам интерференции, будут убывать по мере перехода от центра к пе-
6.2. Метод деления волнового фронта 105
риферии. При этом конечная когерентность источника S может привести к тому,
что внешние кольца будут иметь большую видность, чем внутренние. В этом со-
состоит качественное отличие полос равного наклона от полос равной толщины.
При применении в качестве светоделителей плоскопараллельных стеклянных
пластин толщиной в единицы или десятки миллиметров требуются лазерные ис-
источники света, иначе длина когерентности может оказаться меньше оптической
разности хода. Порядки полос в этом случае могут составлять десятки тысяч (для
оси системы колец m = 2dn/X).
При использовании реальных протяженных источников полосы равной тол-
толщины оказываются локализованы на поверхности пленок или зазоров, а полосы
равного наклона — на бесконечности. Для случая точечных источников это раз-
различие теряется: оба типа полос делокализованы, то есть наблюдаются в любой
точке области перекрытия интерферирующих пучков.
Просветление оптики
Предположим теперь, что тонкая пленка нанесена на поверхность стекла, при-
причем показатели преломления воздуха, пленки и стекла удовлетворяют соотноше-
соотношению п0 < п{ < п2. Поскольку фазовый едьиг на п возникает при отражении от оп-
оптически более плотной среды, оба интерферирующих луча, отраженных от
пленки и от подложки, претерпевают одинаковый скачок фазы и взаимной рас-
фазировки не происходит. При толщине пленки, равной d - X/Anv получается
минимум коэффициента отражения:
Нетрудно видеть, что R = О при
Это условие имеет простое физическое объяснение. Коэффициент отражения
на границе двух сред зависит только от относительного показателя преломления
(подробнее см. главу 11). На границе воздух-пленка он равен пх/щ, на границе
пленка-подложка — n2/nv Приравнивая эти выражения, получаем условие F.4).
Эффект уменьшения отражения на границе раздела воздух-стекло называет-
называется просветлением оптики, он широко применяется для уменьшения потерь света
в оптических приборах. Конечно, полное просветление может быть достигнуто
лишь для волны одной длины — той, для которой выполнено соотношение X =
6.2. Метод деления волнового фронта
Применение этого метода предполагает формирование вторичных источников
из единого волнового фронта путем выделения различных его частей. Все основ-
основные интерференционные схемы, основанные на методе деления волнового фрон-
фронта, тем или иным способом сводятся к схеме Юнга (см. рис. 5.2). Это обусловле-
обусловлено одной и той же задачей формирования вместо одного источника излучения
двух, причем на минимальном расстоянии друг от друга с целью получения по-
полос максимальной ширины в области перекрытия пучков.
106
Глава 6. Методы наблюдения интерференционных картин
Бипризма Френеля (рис. 6.6) представляет собой две клиновидные призмы,
соединенные основаниями, и формирует два мнимых источника. Преломляю-
Преломляющий угол а обеих половин одинаков и (у бипризмы хорошего качества) чрезвы-
чрезвычайно мал и составляет единицы угловых минут. Угол 9 отклонения луча стек-
стеклянным клином с показателем преломления п и преломляющим углом а равен
9 = (п - 1)а. Смещение изображения источника SS{ = I, • tg6. Тогда в силу мало-
малости угла а расстояние между источниками d = 5152 = 2L1(/?-l)u, ширина интер-
интерференционной полосы
Ах =¦
2L1O-l)a
Рис. 6.6. Бипризма Френеля
Бизеркшш Френеля (рис. 6.7) составляют плоский угол (близкий к 180°) и по-
позволяют за счет отражения сформировать два мнимых источника. Как и в любой
системе плоских зеркал, все три источника находятся на одинаковом расстоянии
от ребра плоского угла (на окружности с центром в ребре). Хотя при отражении
от зеркала происходит фазовый сдвиг, дополнительной разности фаз не возника-
возникает, — ведь сдвигаются фазы обоих пучком При повороте зеркала на угол а свето-
световой луч смещается на 2а, поэтому S\S2 = г • tg2a. В силу малости угла а расстоя-
расстояние между источниками d = 5,52 = 2/та, ширина интерференционной полосы:
L + r ^ L + г
Ах л = X.
Рис. 6.7. Бизеркала Френеля
6.2. Метод деления волнового фронта
107
Билииза Бийе (рис. 6.8) изготавливается из единой линзы путем ее разреза-
разрезания по диаметру и раздвигания половин на расстояние h поперек оптической
оси. Другой вариант использования: вырезание вдоль диаметра тонкого пояса
и склеивание оставшихся половин. В обоих случаях формируются два действи-
действительных источника. Расстояние между источниками
j hf 111
а = , поскольку — + — = —,
a-f a b f
где/— фокусное расстояние линзы.
Ширина интерференционной полосы:
Л х = — = — —.
Рис. 6.8. Билинза Бийе
При использовании зеркала Ллойда (рис. 6.9) интерферируют пучки от само-
самого источника 5 и его мнимого изображения S{ в плоском зеркале М, размещае-
размещаемом как можно ближе к источнику. Поскольку один из пучков (отраженный)
претерпевает фазовый сдвиг, то положения максимумов и минимумов интерфе-
интерференции меняются местами.
Ширина полосы зависит не только от высоты источника над зеркалом h (S^S.f —
= 2h), но и от угла скольжения а, так как разность хода составляет Л = 5\S2 • tgoc -
- Х/2 « 2/za - \/2.
Рис. 6.9. Зеркало Ллойда
108
Глава 6. Методы наблюдения интерференционных картин
6.3. Двухлучевые интерферометры.
Принципы фурье-спектроскопии
Большинство двухлучевых интерферометров построены по схеме деления амп-
амплитуды. Наиболее известный из них — интерферометр Майкельсопа (рис. 6.10)
с одним 50-ироцентным светоделителем и двумя зеркалами Mi и М2.
О
м2
i
X
Рис. 6.10. Интерферометр Майкельсона
Разность хода в нем равна удвоенной разности расстояний ОМ{ и СШ2, назы-
называемых плечами интерферометра. Съюстированный равноплечий интерферометр
дает равномерную засветку поля зрения в плоскости наблюдения Р (бесконечная
полоса нулевого порядка). В случае наклона или отклонения от идеальной плос-
плоскости одного из зеркал в поле зрения появляются полосы, ширина которых об-
обратно пропорциональна углу наклона зеркала и прямо пропорциональна фокус-
фокусному расстоянию объектива 12.
Отличительной особенностью интерферометра Майкельсона является воз-
возможность изменения разности хода в очень широких пределах. Тем самым ста-
становится возможным прямое измерение ллины когерентности, как расстояния
между зеркалами .г, при котором интерференционная картина пропадает. Более
того, как известно, по теореме Винера—Хинчина модуль степени когерентности
g(x) и спектральная плотность излучения G(v) связаны преобразованием Фурье:
\G(v)e2Khndv
F.5)
Если интерферометр Майкельсона с подвижным зеркалом дополнить бло-
блоком, подвергающим сигнал преобразованию Фурье, получим простейший фурье-
6.3. Двухлучевые интерферометры. Принципы фурье-спектроскопии
109
спектрометр. При максимальной разности хода в интерферометре, равно^
Amax = 2rhuix, разрешение фурье-спектрометра по частоте составит Av « c/Amax,
а разрешающая сила Х/АХ « ДтахД. При разности плеч интерферометра 1,5 мм
разрешающая сила составляет 104, а в интерферометре с возможностью смеще-
смещения зеркала на 1,5 м достигает 107. Это делает фурье-спектрометр мощным инст-
инструментом изучения тонкой структуры спектров, например, в составе экологиче-
экологических лабораторий.
Практические применения интерферометров не ограничиваются областью
спектрального анализа. Например, для контроля качества изготовления оптиче-
оптических элементов служит интерферометр Тваймана—Грина (рис. 6.11, а), собран-
собранный на базе той же схемы. В его измерительное плечо помещается проверяемый
оптический элемент. В случае проверки призмы второе плечо просто разворачи-
разворачивают, оставляя в нем плоский отражатель. Для контроля линз или многолинзо-
многолинзовых объективов зеркало М2 делают сферическим.
О
Рис. 6.11. Оптические схемы интерферометров Тваймана—Грина (а),
Маха—Цен дера (б) и Жамена (в)
Интерферометр Маха—Цендера (рис. 6.11, б) предназначен в первую очередь
для измерения показателей преломления газов. В плечи интерферометра поме-
помещаются кюветы К1 и К2, одна из которых заполнена исследуемым веществом,
а другая служит для компенсации разности хода, обусловленной окнами кюве-
кюветы. При прохождении света через кюветы появляется добавочная разность хода
А = (п2 - nx)L , где L — длина кюветы, п{ип2 — показатели преломления веществ,
заполняющих кюветы. Такие устройства для прецизионного измерения пока-
показателя преломления называют интерференционными рефрактометрами. Они
обладают предельно высокой чувствительностью, определяемой отношением дли-
длины световой волны X к длине кюветы L Действительно, визуально можно заме-
заметить сдвиг интерференционной картины с точностью до 1/40 порядка, что при
I = 10 см позволяет обнаружить разность показателей преломления п2 - пх по-
порядка 10'7.
110
Глава 6. Методы наблюдения итерференционных картин
щ Интерферометр Жамена (рис. 6.11, в), состоящий из двух толстых плоскопа-
плоскопараллельных пластин, наиболее прост в настройке и регулировке (в оптической
терминологии — юстировке). Он также может использоваться для измерения по-
показателей преломления жидкостей и газов. Его недостаток — слишком близкое
расположение обоих световых лучей: объектного и реперного, не позволяющее
размещать кюветы большого диаметра.
6.4. Измерение угловых размеров
источников. Звездный интерферометр
Как известно из предыдущей главы (см. рис. 5.10), в случае протяженного источ-
источника, расфазировашюсть колебаний, приходящих от различных его точек, приво-
приводит к уменьшению видности интерференционных полос {конечная пространст-
пространственная когерентность). Измеряя вилность в низких порядках, можно определить
модуль степени когерентности g12@) и по нему оценить угловой размер удален-
удаленного источника. Это особенно важно в астрономических наблюдениях, где невоз-
невозможно оптическими методами получить изображения звезд в виде дисков.
В звездном интерферометре Майкельсона (рис. 6.12), собранном на базе теле-
телескопа-рефрактора, перед объективом I установлена маска с двумя щелями Sx и S2.
Свет на эти щели направляется системой зеркал, причем расстояние dm между
зеркалами М{ и М2 может изменяться; За счет этого удается измерить корреля-
корреляционную функцию для лучей, расстояние между которыми намного больше, чем
диаметр объектива телескопа. Вторая пара неподвижных зеркал М3 и М4, разне-
разнесенных на фиксированное расстояние ds, обеспечивает постоянство ширины ин-
интерференционных полос. В соответствии с анализом, сделанным для схемы Юн-
Юнга, эта ширина равна Ax=fX/ds. Таким образом, при изменении расстояния dm
интерференционная картина сохраняет свою периодичность, что существенно
повышает точность измерения видности.
Рис. 6.12. Звездный интерферометр
6.5. Многолучевая интерференция
111
При увеличении расстояния dm видность полос в плоскости Р падает. Опреде-
Определив значение dm, при котором V(dm) -> 0, оценивают угловой размер источника ф.
В Предположении о равномерном распределении интенсивности на источнике
видность интерференционной картины определяется как
V =
71
-
К
F.6)
Эта функция обращается в 0 при dm - X/q>. Несмотря на высокие требования,
предъявляемые к конструкции интерферометра, допускающей перемещение зер-
зеркал Mi и М2, с сохранением их ориентации с точностью до долей длины волны,
Майкельсону удалось обеспечить dm до 6 м, что соответствует угловому разреше-
разрешению 0,02 угловой секунды. Определив из интерфь'рс-нцишшых измерений угловой
размер и оценив из других соображений (параллакс, смещение Доплера и т. п.)
расстояние до звезды, можно получить ее реальный диаметр.
6.5. Многолучевая интерференция
Эталон Фабри—Перо
Интерференция может наблюдаться не только при на-
наложении световых волн от двух источников, но и от
нескольких и даже от бесконечного числа источни-
источников {пластинка Люммера—Герке, эшелон Майкелъсона
и т. п.). Расчет интенсивности при многолучевой ин-
интерференции также проводится на основе универсаль-
универсального принципа суперпозиции. Одним из типов мно-
многолучевых интерферометров является эталон Фабри—
Перо, представляющий собой плоскопараллельную пла-
пластинку, на поверхности которой нанесены отражающие
покрытия (рис. 6.13).
Обозначим амплитудный коэффициент отражения
на одной поверхности через г, тогда энергетический
коэффициент отражения на одной поверхности равен
R = | г |2, а коэффициент пропускания (в отсутствие по-
поглощения) 7' = 1 - R.
Амплитуды прошедших волн равны:
Рис. 6.13. Эталон
Фабри—Перо
Результирующая амплитуда представляет собой сумму геометрической про-
прогрессии с комплексным знаменателем q = r2exp(z5), зависящим от фазового на-
набега 5 = 2nd cos б между прошедшими лучами:
l-r2exp(i5)
F.7)
112
Глава 6. Методы наблюдения интерференционных картин
а коэффициент пропускания эталона
F.8)
Выражение F.8) носит название формулы Эйри. Она остается справедливой
и при наличии частичного поглощения на границах раздела, когда R + Т < 1.
Проанализируем формулу Эйри. Так как интенсивность зависит от сдвига
фазы 5, который, в свою очередь, определяется углом 9, под которым световой
пучок проходит через эталон (см. формулу F.3)), интерференционные полосы
будут иметь вид колец равною наклона. Светлое КОЛЬцо, соответствующее мак-
максимуму пропускания, будет образовываться при sin5/2 -О, 5 = 2пт. Минимумы
интенсивности будут наблюдаться при |sin5/2| = l. Нетрудно заметить, что при
отсутствии потерь (R + Г= 1)
V Ч
iOmax ~" i> ¦'Omin ""
1-R
1+Д
F.9)
Примечательно, что независимо от R и б пропускание в максимуме равно 1.
Очевидно также, что чем больше коэффициент отражения на поверхности этало-
эталона R, тем меньше интенсивность прошедшего света в минимуме.
2гпп
3)я
Рис. 6.14. Функция Эйри. Кривые 7-6 соответствуют увеличению
коэффициента отражения от 0,04 до 0,90 (см. табл. 6.1)
Зависимость коэффициента пропускания от разности хода, описываемая фор-
формулой Эйри, резко отличается от функции вида cos2 5, характерной для двухлу-
чевой интерференции, и показана на рис. 6.14. Чем больше R} тем острее стано-
становятся максимумы, разделяемые широкими минимумами, одновременно увели-
увеличиваются видпостъ
У = 0|Г|ах ~ О'П'п ¦^
F
+Т0
6.5. Многолучевая интерференция
113
и резкость картины
_ 2 л _ n-jR
с 1-й"
Резкость имеет смысл отношения расстояния между соседними максимума-
максимумами к их ширине; ближайшее к ней целое число есть примерное число лучей, ко-
которое надо учитывать при суммировании. Значения видности и резкости для не-
некоторых значений коэффициента отражения R приведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1. Параметры многолучевой интерференционной картины
я
V
F
0,04
0,08
0,6
0,10
0,20
1,1
0,25
0,47
2.1
0,50
0,80
4,4
075
0,96
11
0.90
0,99
30
Практически неограниченное сужение максимумов пропускания при много-
многолучевой интерференции позволяет реализовать на ее ог.игте исключительно точ-
точные устройства спектральной селекции. Если постоянный фазовый набег 6 между
тысячами интерферирующих лучей выдержан идеально, то малейшее отклоне-
отклонение длины волны в ту или иную сторон)' может изменить резонансные условия
настолько, что максимум пропускания превратится в минимум.
Современная технология оптических покрытий позволяет достичь значений
коэффициента отражения R на уровне 0,999, что дает значение /;> 3000. С дру-
другой стороны, применение инваровых1 оправ дает возможность в широких темпе-
температурных пределах выдерживать расстояние между отражателями с точностью
до сотых долей микрона. Именно такие параметры требуются в эталоне Фаб-
Фабри-Перо.
На примере многолучевых полос поясним важное понятие разрешающей спо-
способности, вводимое для наблюдательных или спектральных приборов. Наблюда-
Наблюдательная разрешающая способность — это возможность раздельно видеть два близ-
близких точечных источника: спектральная разрешающая способность — возможность
раздельно наблюдать две соседние спектральные линии.
Существует несколько количественных критериев разрешающей способности,
из которых наиболее употребительный — критерий Рэлея, по которому на преде-
пределе разрешения находятся линии или контуры, пересекающие друг друга так, что
в центре суммарного контура образуется провал глубиной около 20 % (рис, 6.15).
Критерий Рэлея, как и любой другой, носит условный характер. Если интен-
интенсивность одной из линий существенно больше другой, то провал в наблюдаемом
контуре может отсутствовать даже тогда, когда расстояние между ними значи-
значительно больше, чем требует критерий Рэлея. С другой стороны, близко располо-
расположенные линии могут быть разрешены, если погрешность измерения интенсивно-
интенсивности меньше 20 %.
1 Инвар — сплав никеля с железом, имеющий очень малый коэффициент температурно-
температурного л инеч'шого расширения. Практически не расширяется в интервале температур от -100
доЮ0°С.
114
Глава 6. Методы наблюдения интерференционных картин
J
i
U
г тг
г"''1' 1
Рис. 6.15. Зависимость разрешения двух близких спектральных линий от порядка
интерференции (а) и критерий Рэлея F)
Разрешающая сила эталона Фабри—Перо может быть оценена как Х/АХ = mF,
где т — порядок интерференции, F — резкость. При толщине эталона в несколь-
несколько миллиметров разрешающая сила может доходить до сотен тысяч.
Типичная ширина спектральной линии в видимой области спектра Av ~
~ 1010 Гц (см. главу 13), что соответствует АХ = X1 Av/c ~ 0,008 им. Для того чтобы
эта ширина могла быть зарегистрирована прибором, последний должен иметь раз-
разрешающую силу Х/АХ ~ 60 000. Эта величина достигается и даже перекрывается
современными интерференционными и дифракционными спектральными при-
приборами высокого разрешения. Таким образом, классические спектральные при-
приборы достигли фактического предела разрешения. Дальнейшее увеличение раз-
разрешающей способности возможно только на основе принципиально новых физи-
физических идей, реализуемых, например, в лазерной спектроскопии.
Диэлектрические покрытия
Интересных эффектов можно достичь, используя многослойные диэлектрические
покрытия, состоящие из четвертьволновых (nd = Х/А) слоев с чередующими-
чередующимися высокими (п{) и низкими (я2) показателями преломления (рис. 6.16), всего
2N + 1 слой. Если п{ > яс, то волны, отраженные от всех границ слоев, оказы-
оказываются сфазированными, и в результате
интерференции коэффициент отражения
не уменьшается, как при просветлении
границы раздела, а увеличивается; полу-
получается диэлектрическое зеркало.
Спектральные характеристики таких
зеркал, сделанных из нанесенных на стек-
стекло (яс = 1,52) слоев ZnS (я, = 2,3) и MgF2
(п2 = 1,38), приведены на рис. 6.17. Для
пятислойного зеркала (N =2) коэффи-
коэффициент отражения в максимуме достигает
Рис. 6.16. Многослойное 86 %> а ^ля 11-слойного (N = 5) - 99,3 %.
четвертьволновое покрытие Такие интерференционные покрытия —
Примеры решения
115
R,%\
100
20
W=5
500
600
700 К нм
Рис. 6.17. Спектр отражения
диэлектрического зеркала
600
700 Л,, нм
Рис. 6.18. Спектр пропускания
интерференционного фильтра
единственный способ получения широко используемых в лазерной технике вы-
сокоотражающих зеркал для видимой и ультрафиолетовой частей спектра.
Если оптическую толщину центрального слоя сделать кратной тк/2, то вме-
вместо зеркала получается интерференционный светофильтр. У такого фильтра ко-
коэффициент отражения высок, а коэффициент пропускания мал для всех длин
волн, кроме узкого диапазона. Спектры пропускания 9-слойного фильтра с тол-
толщинами центрального слоя тх = 1 и т2 - 2 показаны на рис. GAS.
Примеры решения задач
Пример 6.1. Па экране наблюдается интерференционная картина от двух точеч-
точечных когерентных источников. На сколько изменится разность хода и разность
фаз колебаний в центре картины, если на пути первого луча поместить мыльную
пленку толщиной d - 1 мкм? Длина волны X = 660 нм, показатель преломления
пленки п - 4/3.
Решение
В отсутствие пленки в центре картины наблюдается интерференционный макси-
максимум, так как длины путей от источников одинаковы и разность хода равна нулю.
При помещении мыльной пленки первый луч вместо расстояния d в воздухе
проходит это расстояние в среде с показателем преломления п. Возникающая оп-
оптическая разность хода равна A = nd-d = d(n -1) = 0,33 мкм. Соответствующая
разность фаз будет
_ 2яА _ 2тс • 0,33
X 0,66
= п.
Это означает, что волны от обоих источников придут в центр картины в про-
тивофазе и светлая полоса в этом месте экрана сменится темной.
Пример 6.2. Высота радиомаяка над уровнем моря Я = 200 М, расстояние до ко-
корабля d = 5,5 км. Определите оптимальную высоту h мачты корабля для приема
сигналов с длиной волны равной 1,5 м.
116 Глаоа 6. Методы наблюдения интерференционных картин
Решение
Несмотря на то что длина волны радиоизлучения в тысячи раз больше световой,
в данном случае можно воспользоваться анализом явления оптической интер-
интерференции, поскольку все расстояния и высоты много больше длины волны. При-
Приемник на мачте корабля принимает сигналы, приходящие от радиомаяка S на-
напрямую и отраженные от поверхности воды. В этом случае возникает второй
когерентный источник S' как в схеме Ллойда. В этой схеме не может возникнуть
нулевой интерференционный максимум (длина пути от источника-отражения
всегда больше), поэтому оптимальной является ситуация, когда сигналы прихо-
приходят с разностью хода А = X. В схеме Ллойда расстояние между источниками рав-
равно 2/1/ и разность ходя ппррделяртгя fc^k
А 2Hh X
d 2
где слагаемое Х/2 появляется за счет скачка фазы при отражении от оптически
более плотной среды (воды). Отсюда находим
= 10,Зм.
Пример 6.3. В проходящем свете при освещении стеклянного клина (п = 1,50)
излучением с длиной волны 520 им в некоторой точке наблюдается светлая по-
полоса. При уменьшении длины волны на 20 им н эту точку перемещается следу-
следующая светлая полоса. Найдите толщину клина в этой точке. Падение лучей на
клин нормально к поверхности.
Решение
В проходящем свете картина интерференции наблюдается на нижней поверхно-
поверхности клина. Учитывая, что стеклянный клин находится в воздухе, падение света
нормальное, оптическую разность хода лучей на нижней поверхности можно за-
записать как Л = 2dn. Так как при толщине d наблюдается интерференционный
максимум для Xv то на оптической разности хода укладывается целое число
длин волн: 2dn = kX{. При изменении длины волны на Х2 на той же разности хода
укладывается на одну длину волны больше: 2dn = (k + 1)Х,2. Отсюда находим, что
k = Х2/(ХХ - Х2) и d = ^ = 4,33 мкм.
2п(Х{-Х2)
Пример 6.4. Две плосковыпуклые тонкие стеклянные линзы соприкасаются
сферическими поверхностями. Найдите оптическую силу такой системы, если
в отраженном свете с длиной волны 600 нм диаметр пятого светлого кольца ра-
равен 1,5 мм.
Решение
Условие наблюдения k-то светлого кольца имеет вид:
2dn'-X/2 = kX,
где d — толщина зазора в точке наблюдения на расстоянии гк от точки касания
линз, yjl — показатель преломления среды между линзами, в данном случае я'= 1.
Задачи
117
г2 г
Толщина зазора можеч быть представлена как d = d{ + d2, где dx - —^—, d2 = ——
2JRj 1R.}
(см. формулу F.1)). Подставляя эти выражения, находим, что радиус k-vo свет-
светлого кольца равен
к 2 Rt+R./
Оптическая сила системы ршша сумме оптических сил линз:
Заменяя I't^d'fjA, находим
ад
2 _ ABk -
и, следовательно,
n 2B*-1)Ц
с!2
= 2,4 дитр.
Задачи
6.1. Источник света с длиной волны 400 нм создает
в схеме Юнга два когерентных источника S{ и S2, по-
помещенных в бензол (п - 1Т5). R точку М на экране луч
от первого источника дошел за tx = 2ДЮ02 • 10~10 с,
а от второго — за t2 = 2,0000 * 10~10 с. Определите раз-
разность фаз колебаний в точке М и порядок интерфе-
интерференции к.
6.2. В опыте Юнга расстояние между точечными ис-
источниками света Sx и S2 равно 1 мм; расстояние от
источников до экрана L = 1 м, длина волны 550 нм.
Определите расстояние ОМ от центрального пятна на
экране до 4-го минимума. Найдите толщину стеклян-
стеклянной пластинки d (п - 1,5), которую надо поместить на
пути луча от источника S2. чтобы нулевой максимум
занял место 4-го минимума.
6.3. В опыте Юнга интерференционная картина на-
наблюдается на экране Ру пометенном в фокальной
плоскости линзы Ls с фокусным расстоянием/- 60 см.
Найдите ширину полосы, если расстояние между ще-
щелями d = 0,5 мм, длина волны 600 нм, расстояние до
линзы L - 80 см.
118
Глава 6. Методы наблюдения интерференционных картин
6.4. Радиотелескоп расположен на берегу океана на
высоте h. Восход Солнца, происходящий со скоро-
скоростью 12 град/ч, сопровождается модуляцией радио-
радиоизлучения с периодом 2,5 мин. Длина волны равна
1,5 м. Определите h (задача является радиочастотным
аналогом оптической схемы Ллойда).
6.5. Из линзы 15, в переднем фокусе которой нахо-
находится точечный источник S, вырезана центральная
часть шириной h - 0,6 мм. Обе половины сдвинуты
до соприкосновения. Найдите ширину интерференци-
интерференционных полос на экране Р, если длина волны X - 600 им,
фокусное расстояние линзы равно 50 см.
6.6. Преломляющий угол бипризмы равен 3'26". Ме-
Между точечным источником монохроматического сое
та (X = 500 им) и бипризмой помещена линза таким
образом, что ширина интерференционной полосы ока-
оказалась не зависящей от расстояния экрана до биприз-
бипризмы. Найдите ширину интерференционной полосы
и максимальное число полос, которое может наблю-
наблюдаться в установке, если оно получается на расстоя-
расстоянии /=5м от бипризмы до экрана. Показатель пре-
преломления вещества бипризмы п = 1,5.
6.7. С поверхности стекла (п2 = 1,62) испаряется во-
водяная пленка (п{ - 1,33). По нормали на стекло падает
свет X - 0,68 мкм. Найдите скорость испарения плен-
пленки, если промежуток времени между двумя последо-
последовательными максимумами отражения равен 15 мин.
6.8. Между двумя поверхностями образован тонкий
клин, заполненный водой (п = 1,34) и освещенный мо-
монохроматическим излучением с длиной волны 670 нм.
Определите и нанометрах разность толщин клина
в точках Л и В.
ниши
\ Ч
Задачи
119
6.9. Картина интерференционных колец Ньютона на-
наблюдается в отраженном свете через два светофильт-
светофильтра — фиолетовый и красный. Определите длины волн
пропускания обоих светофильтров, если толщина зазо-
зазора между линзой и пластиной в точке А равна 480 нм.
6.10. В точке Л измеряют интенсивность / монохро-
монохроматического излучения, отраженного от обеих граней
плоскопаряллельной пластины^ Определите зависи-
зависимость I(d) величины сигнала в точке А при посте-
постепенном уменьшении толщины d. Угол падения а по-
постоянен и равен 45°.
6.11. При освещении тонкой пленки точечным ис-
источником S с тремя длинами волн (фиолетовой, зеле-
ной и красной) на экране в отраженном свете наблю-
наблюдаются полосы равного наклона. Определите окраску
отраженного света в точках Л, В и С, если на всем эк-
экране присутствуют полосы одного порядка.
6.12. При наложении плосковыпуклой линзы ня эта-
эталонную вогнутую поверхность в отраженном свете на-
наблюдаются три светлых интерференционных кольца.
Считая к = 0,56 мкм, найдите в микронах отклонение
поверхности линзы от эталона.
6.13. Кольца Ньютона наблюдаются при интерфе-
интерференции света, отраженного от зазора между линзой
сп = 1,75 и плоскопараллельной пластинкой с п - 1,38.
Как изменится интерференционная картина, если за-
зазор между пластинкой и линзой заполнить жидко-
жидкостью сп- 1,5?
6.14. На стеклянную непоглощающую пластинку, име-
имеющую отражающие покрытия, падает волна с ампли-
амплитудой А{) и претерпевает в ней многократные отраже-
отражения. Найдите амплитуду второго отряженного луча,
если амплитудный коэффициент отражения каждой
грани равен г.
Д
ш
/
А
I
R
ГЛАВА 7 Дифракция Френеля
Изучение оптических явлений в областях, где происходит концентрация свето-
световой энергии (например, в фокусе линзы), а также вблизи геометрической грани-
границы света и тени выявило отклонения от законов простой лучевой оптики. Как
правило, эти отклонения проявляются в виде пространственных вариаций ин-
интенсивности световой волны, прошедшей через те или иные апертуры или вблизи
непрозрачных экранов. Если волна монохроматическая, то дифракционные по-
полосы образуются из светлых и темных участков, а в случае белого света эти по-
полосы оказываются окрашенными
Со времен Франческо Гримальди, который еще в XVII в. первым подробно
описал дифракционные эффекты и даже ввел сам термин «дифракция», ее счита-
считали редким исключением из строгого свода законов геометрической оптики. Од-
Однако анализ волнового уравнения показывает, что независимо от природы рас-
распространяющихся колебаний (световые и звуковые, поперечные и продольные)
дифракция не только не является чем-то аномальным, по присуща любому бол
новому процессу изначально.
С учетом этого нужно говорить о том, что геометрическая оптика и прямоли-
прямолинейное распространение света являются предельным случаем дифракции, а трудно-
трудности наблюдения последней связаны с малостью длины световой волны и низкой
пространственной и временной когерентностью естественных источников сдота.
7.1. Принцип Гюйгенса—Френеля
Для объяснения большинства дифракционных картин достаточно, не прибегая
к интегральным преобразованиям волнового уравнения, применить принцип Гюй-
Гюйгенса—Френеля.
Согласно построениям Гюйгенса, каждую точку волнового фронта можно счи-
считать центром вторичного возмущения, которое вызывает элементарные сфериче-
сферические волны, а волновой фронт в любой более поздний момент времени является
огибающей этих волн (рис. 7.1). Френель дополнил этот принцип положениями
о когерентности вторичных источников и интерференции испускаемых ими вто-
вторичных волн.
С помощью принципа Гюйгенса удается легко пояснить, например, преломле-
преломление света на границе раздела двух сред с пЛ < п2 (рис. 7.2). За время, пока световое
7.2. Зоны Френеля
121
At
Рис. 7.1. Вторичные волны
и перемещение волнового фронта
Рис. 7.2. Принцип Гюйгенса
и преломление света
возмущение в первой среде проходит путь BSB2, вторичные волны во второй сре-
среде успевают пройти меньшее расстояние Л{А2, так как скорость света во второй
среде меньше. Световые лучи перпендикулярны волновым фронтам. Поскольку
ВХВ2 = АХВ2 ¦ sin a, a АХА2 = АХВ2 • sinp, получаем обычный закон преломления:
sina
ВХВ2 _
_«2
Принцип Гюйгенса позволяет также продемонстрировать такое чисто дифрак-
дифракционное явление, как проникновение световых лучей в область геометрической
тени у границ непрозрачного экрана Р (рис. 7.3).
' ' ' \
А
7\
71
7\
7\
В
Рис. 7.3. Проникновение световых лучей в область геометрической тени
Ограничение бесконечного нлоского фронта исходной волны отверстием АВ
приводит к искривлению огибающей вторичных волн, а следовательно, к откло-
отклонению от прямолинейного распространения света.
7.2. Зоны Френеля
Дифракция на круглом отверстии
Рассмотрим дифракцию сферической монохроматической волны, расходящейся
от точечного источника 5 и падающей на непрозрачный экран с круглым отвер-
отверстием АВ (рис. 7.4). Для простоты анализа предположим, что сам источник 5
122
Глава 7. Дифракция Френеля
и точка наблюдения Р расположены на оси отверстия. Определим интенсивность
света в центре дифракционной картины.
тпХ
Рис. 7.4. Зоны Френеля
В соответствии с принципом Гюйгенса псе точки полнового фронта, запол-
заполняющего отверстие АВ, становятся источниками вторичных сферических волн.
Поскольку расстояние до точки наблюдения Р определяет фазу пришедшего в
эту точку возмущения, имеет смысл выделить те области волнового фронта, вто-
вторичные волны из которых оказываются синфазны. С этой целью разобьем запол-
заполняющий отверстие волновой фронт АОВ на кольцевые полу волновые зоны. Раз-
Разбиение проведем путем последовательного добавления половины длины волны
к радиусу Ъ опорной сферы с центром в точке Р, до тех пор, пока расстояние
(Ь + Д) не станет равным расстоянию АР до края отверстия, что и определит чис-
число т открытых для точки Р зон.
Если расстояние 50 = а} OP = b, a высота сегмента /г, то радиус т-\\ зоны Rm
удовлетворяет соотношениям
G.1)
Выражая из первого уравнения G.1) h = R?,,/2a и подставляя во второе, по-
получим
RI
тпк
Если радиус отверстия R и длина волны X много меньше расстояний а и /?, то
нетрудно показать, что радиус пт-й зоны Rm равен
Д. =
а + b
G.2)
7.2. Зоны Френеля 1 23
Площадь m-й зоны S =n(R'^+l-Rfn). Подставляя радиусы зон из G.2), по-
получаем
„ _ паЬХ
а+ b
Таким образом, площади полуволновых зон (обычно называемых зонами Фре-
Френеля) приблизительно одинаковы. Световое возмущение, создаваемое m-й зоной в
точке наблюдения, определяется напряженностью светового поля исходной вол-
волны, плошадью зоны и некоторым коэффициентом наклона K(a)f учитывающим
зависимость амплитуды вторичных волн от угла а между нормалью к волновому
фронту и направлением на точку наблюдения. Многие практически важные за
дачи дифракции можно решить, не вычисляя точно вид этого коэффициента,
а предположив лишь, что модуль К(а) максимален в первоначальном направле-
направлении распространения света, то есть при а - О, и монотонно убывает с ростом а.
Поскольку разность хода для световых колебаний от соседних зон равна Х/2,
то разность фаз б = я и волны приходят в точку Р в противофазах. Таким обра-
образом, результирующая амплитуда А(Р) равна сумме знакопеременного ряда
где Kj — коэффициент наклона для j-й зоны, т — номер последней видимой
зоны. Для вычисления суммы в равенстве G.3) перепишем ее в виде
У К C-1V+I = — + f— -К +— l + f— -К + —
fa J 2 I 2 2 2 J { 2 4 2
Величина каждого К} лишь немного отличается от величин соседних К} _ 1
и К>+ р поэтому суммы 13 скобках d выражении GЛ) близки к пулю, и можно счи-
считать, что
ТС ТС
—L + «л. для нечетных т,
2 2 G.5)
К К
—L для четных т.
. 2 2
Таким образом, в центре френелевской дифракционной картины при нечет-
нечетном т должен наблюдаться максимум, а при четном т — минимум интенсивности.
Применение метода векторных диаграмм
Изобразим амплитуду вторичных волн, пришедших от малого участка волнового
фронта, вектором на комплексной плоскости, длина которого пропорциональна
амплитуде, а поворот против часовой стрелки отражает фазовый сдвиг по срав-
сравнению с волнами, пришедшими от центра отверстия. Проследим за изменением
получающихся диаграмм.при постепенном увеличении диаметра отверстия в не-
непрозрачном экране.
Случай, когда открыта одна полуволновая зона (т= 1), показан на рис. 7.5, а.
Элементарные векторы сложились в половину окружности, так как разность фаз
между центром отверстия и краем зоны равна я. Жирной стрелкой показан ре-
результирующий вектор, длину которого находим из формулы G.3): А{Р) = А0К{.
124
Глава 7. Дифракция Френеля
ReZ
ReZ
ReZ
Рис. 7.5. Векторные диаграммы для круглого отверстия, открывающего одну зону (а),
две зоны (б) и весь волновой фронт (в)
При дальнейшем увеличении отверстия поле от участков второй зоны Френе-
Френеля приходит в противофазе с нолем от первой зоны, однако длина каждого из эле-
элементарных векторов несколько уменьшена из-за снижения коэффициента накло-
наклона. Поэтому вместо полной окружности мы получаем виток сужающейся спира-
спирали. При двух открытых зонах получаем диаграмму, изображенную на рис. 7.5, б;
Л(Р) = А{)(К{ - К2), амплитуда и интенсивность света очень малы.
Повышение числа открытых зон может быть реализовано двумя способа-
способами: расширением отверстия или уменьшением расстояния до точки наблюдения.
И в том и в другом случае происходит наращивание спирали с периодической
модуляцией результирующей интенсивности. При полностью открытом волно-
волновом фронте получаем диаграмму рис. 7.5, в. Из нее следует, что амплитуда поля в
точке наблюдения вдвое меньше, чем при одной открытой первой зоне (коэффи-
(коэффициент наклона для последней зоны в этом случае равен нулю и А(Р) = А0К{/2),
а интенсивность света — в четыре раза меньше, чем только от первой зоны.
Приведенные результаты находятся в противоречии с предсказаниями гео-
геометрической оптики, согласно которым освещенность в точке, лежащей на одной
линии с источником и центром круглого отверстия, не зависит от диаметра от-
отверстия. С другой стороны, из приведенных расчетов следует, что при отсутст-
отсутствии экрана в результате интерференции взаимно уничтожается действие всех зон,
кроме части первой зоны. Из формулы G.2) получаем, что в оптическом диапа-
диапазоне при а = Ъ - 1 м радиус первой зоны Френеля R{ « 0,5 мм. Таким образом,
физическое действие в точке Р оказывают только лучи, незначительно отклоня-
отклоняющиеся от лучей, описываемых геометрической оптикой.
т
т
т = 4
т
т = 6
Рис. 7.6. Дифракционные картины от круглого отверстия при освещении
лазерным излучением
7.2. Зоны Френеля
125
Рис. 7.7. Зависимость интенсивности
на оси отверстия от расстояния
до точки наблюдения
Фотографии реальных поперечных рас-
распределений интенсивности дифракцион-
дифракционных картин при постепенном приближе-
приближении точки наблюдения к экрану с круглым
отверстием представлены на рис. 7.6. При
этом число открытых френелевских зон
возрастает. Соответствующее продольное
распределение осевой интенсивности при-
приведено на рис. 7.7.
Интенсивность света на оси отверстия
при движении из бесконечности моно-
монотонно увеличивается вплоть до расстоя-
расстояния xv соответствующего одной открытой
зоне. Затем осевая интенсивность начи-
начинает осциллировать в зависимости от четности т. При больших т (вблизи от от-
отверстия) эти осцилляции сглаживаются, и значение интенсивности стремится
к /0 — интенсивности падающей волны. Именно в этой области справедливы за-
законы геометрической оптики.
Дифракция на круглом диске. Пятно Пуассона
Если на пути световой волны от источника вместо экрана с отверстием располо-
расположен круглый непрозрачный диск, то для точки наблюдения оказываются откры-
открытыми полуволновые зоны начиная с некоторого т0. Легко показать, что такая по-
постановка задачи приводит к парадоксальному выводу: независимо от диаметра
диска, расстояний до источника и точки наблюдения и длины волны в центре
тени диска должен наблюдаться максимум интенсивности.
Действительно, в соответствии с рис. 7.8, суммарная амплитуда всех открытых
зон должна начинаться в точке на спирали, соответствующей числу т0, и оканчи-
оканчиваться в центре векторной диаграммы. Если вектор Ah определяет суммарную
амплитуду, даваемую некоторым отверстием, то вектор Ad есть суммарная ам-
амплитуда волны, дифрагированной на диске того же диаметра. Сумма векторных
амплитуд Ah и Ad во всех случаях отверстия и диска одного диаметра всегда рав-
равна амплитуде Ар волны, распространяющейся в отсутствие препятствия. В этом
заключается принцип Бобине для дифракции на дополнительных экранах, про-
прозрачные части одного из которых соответствуют непрозрачным частям другого.
Таким образом, независимо от числа перекрыва-
перекрываемых диском полу вол новых зон, векторная амплиту-
амплитуда в осевой точке оказывается конечной, монотонно
возрастая по мере уменьшения диаметра диска. Это
значит, что в центре его геометрической тени обяза-
обязательно наблюдается максимум интенсивности: ведь
волны от краев идеально круглого диска в его центре
всегда синфазны.
Впервые это теоретическое предположение выска-
высказал академик Пуассон в 1818 г. при обсуждении ме-
муара Френеля. Через некоторое время эксперименты
lm Zi
ReZ
Рис. 7.8. Принцип Бабине
и образование пятна
126
Глава 7. Дифракция Френеля
Араго подтвердили наличие пятна Пуассона в центре тени диска произвольного
диаметра при условии достаточной когерентности освещающей волны.
Фотографии реальных дифракционных распределений интенсивности световой
волны за непрозрачными дисками различных диаметров приведены на рис. 7.9.
Отчетливо видно центральное пятно, интенсивность которою возрастает при
уменьшении диаметра диска.
Рис. 7.9. Пятно Пуассона
Отметим, что для дифракционных эффектов возможны и другие адекватные
физико-математические объяснения, отличные от принципа Гюйгенса-Френеля.
Например, Т. Юнг предложил способ расчета дифракционных картин на основе
учета взаимодействия всего двух волн: реальной прямой волны от источника и вол-
волны, испущенной краем отверстия или диска. При этом нет необходимости постули-
постулировать наличие источников вторичных возмущений по всему волновому фронту.
«Краевые» волны хорошо заметны на рис. 7.9 как в виде волновых фронтов, рас-
расходящихся наружу, так и сходящихся внутрь и образующих пятно Пуассона.
Поперечные дифракционные распределения
от круглого отверстия
Поперечные распределения интенсивности при дифракции на круглом отвер-
отверстии можно понять, приняв во внимание особенности построения полуволновых
зон для внеосевой точки Р'\ в этом случае возникает эксцентриситет (смещение)
вершины опорной сферы О' относительно центра отверстия (рис. 7.10).
Рис. 7.10. Разбиение фронта на зоны Френеля для внеосевой точки наблюдений
7.2. Зоны Френеля
127
Очевидно, что часть зон оказывается, как и для осевой точки, открытыми,
а часть — открываются только частично. В примере на рисунке первая и вторая
зоны открыты полностью, а зоны с третьей по пятую частично экранируются
верхним краем отверстия. В результате возникает система внеосевых максиму-
максимумов и минимумов (колец), по которым можно определить полное число откры-
открытых френелевских зон т для данной плоскости.
i
А
1{х)
д
И--'
X
1(х)
с к
7.'7.7 У'ХЯУ.
X
в
Рис. 7.11. Изменение интенсивности дифракционной картины в поперечном направлении.
Отверстие открывает для осевой точки две (а) и три (б) полуволновые зоны
Изменение интенсивности дифракционной картины в поперечном направле-
направлении при т = 2 иллюстрируется рис. 7.11, а. Точка Л лежит на оси отверстия, от-
открывающего две полуволновые зоны. В этой точке наблюдается минимум интен-
интенсивности. Точка В расположена на кольцевом максимуме, который соответствует
поперечному смещению, частично закрывающему вторую и открывающему тре-
третью зону. При большем смещении интенсивность падает, так как сверху начина-
начинает срезаться первая зона, а снизу появляются четвертая, пятая и так далее (точ-
(точка С). На рис. 7.11, б эти же рассуждения иллюстрируются для случая т = 3.
Изменение фазовых соотношений между вторичными
волнами. Зонные пластинки
Из теории дифракции Френеля вытекает возможность управления формой вол-
волнового фронта и распределением интенсивности посредством изменения фазо-
фазовых соотношений между вторичными волнами. Так, например, если все четные
(или нечетные) зоны закрыть непрозрачной маской, то, поскольку вторичные
волны от этих зон синфазны, в точке Р будет наблюдаться многократное усиле-
усиление света (рис. 7.12, а). По закону сохранения энергии в других точках простран-
пространства интенсивность света должна уменьшиться, то есть произойдет фокусировка
света в точку Р. Такая маска называется амплитудной зонной пластинкой.
Если вместо непрозрачной маски для четных или нечетных зон ввести допол-
дополнительный фазовый сдвиг 5 = тг, то есть использовать свет всех зон, интенсив-
интенсивность света в фокусе возрастет еще в 4 раза. Искомого фазового сдвига мож-
можно добиться, например, путем размещения в отверстии стеклянной пластины
128
Глава 7. Дифракция Френеля
с кольцевыми ступенями равной высоты /z, как показано на рис, 7,12, б. При по-
показателе преломления стекла п вносимая ступенькой разность хода составит
д = h(n - 1). Для Д = К/2 высота ступеньки должна быть h = Х/2(п - 1). В этом
случае мы имеем дело с фазовой зо/шой пластинкой.
а б
Рис. 7.12. Амплитудная (а) и фазовая (б) зонные пластинки
Главный фокус зонной пластинки образуется в точке, для которой радиус
центральной открытой части равен радиусу первой френелсвской зоны. Пола-
Полагая в формуле G.2) а = ос (то есть падающая волна -- плоская), b =/, получаем
Д?=/Д,или
/**-L. G.6)
к
В отличие от обычных фокусирующих систем (линз, зеркал), зонная пластин-
пластинка обладает свойством полифокальпости. Дело в том, что помимо главного фоку-
фокуса/у нее образуются так называемые побочные или кратные фокусы на расстоя-
расстояниях
где k — целые числа. Например, если мы приблизимся к зонной пластинке на
расстояние //3, то попадем еще в одну точку фокусировки, хотя и более слабой:
открытыми окажутся зоны A, 2, 3) + G, 8, 9) + A3, 14, 15) и т. д. В каждой такой
триаде волны от нечетных зон по амплитуде почти вдвое превзойдут четную. Бо-
Более того, зонная пластинка одновременно играет роль собирающей и рассеиваю-
рассеивающей линзы: в результате дифракции образуются две равные по амплитуде вол-
волны — сходящаяся и расходящаяся.
Пример амплитудной зонной пластинки и реальные дифракционные распре-
распределения интенсивности в плоскостях, отстоящих от пластинки на различные
расстояния I, представлены на рис 7.13. Можно заметить наличие кратного фо-
фокуса ^3. Как и в случае дифракции на непрозрачном диске (см. рис. 7.9), отчет-
отчетливо видны две дифрагированные волны: сходящаяся и расходящаяся.
7.3. Дифракция на прямолинейном крае экрана
129
1=/ 1 = 0,75/ 1 = 0,5/ L
Рис. 7.13. Фокусировка света амплитудной зонной пластинкой
0,3/
Фокусировки излучения можно добиться, ТаЮке применяя маски не с равной
высотой, а с равной шириной кольцевых поясов. В этом случае, придавая коль-
кольцевому поясу нужный профиль, можно заменить выпуклую линзу плоским фо-
фокусирующим элементом — линзой Френеля. Фактически в пределе речь идет о ку-
кусочно-непрерывной аппроксимации сферической поверхности.
7.3. Дифракция на прямолинейном
крае экрана
Дифракция на полуплоскости. Зоны Шустера
Результат дифракшш Френеля на пплубгг.конечной плоскости (рис. 7Л4, а) ха-
характеризуется, в первую очередь, проникновением части энергии световых воли
в область геометрической тени (на рисунке — слева от точки Р).
м
\xaZi
0,2-
0,4-
0,6.
О
0,8 0,6
0 0,2 0,4 0,6 Re Z
0,2
0,4
¦0,6
а 6
Рис. 7.14. Зоны Шустера (а) и спираль Корню (б) для дифракции на полуплоскости
В освещенной области (справа от точки Р) образуется система параллельных
краю полос, период и контраст которых убывают по мере удаления от границы
130
Глава 7. Дифракция Френеля
раздела. Средний уровень, к которому стремятся максимумы и минимумы, соот-
соответствует интенсивности /0 волны в отсутствие полуплоскости.
Указанные особенности можно объяснить, основываясь на разбиении плоско-
плоского волнового фронта на полуволновые зоны (зоны Шустера, рис. 7.14, я), анало-
аналогичные френелевским, но, в отличие от них, постепенно убывающие по площади
с ростом т.
Разбиение на зоны ведется путем последовательного добавления половины
длины волны к расстоянию b от точки наблюдения Р до границы полуплоскости.
При этом поперечный размер первых зон имеет порядок (йаH>5 и быстро убыва-
убывает по мере увеличения фазового набега 8, поэтому амплитуды вторичных волн от
зон Шустера убывают быстрее, чем в случае круглого отверстия, а векторная
диаграмма на комплексной плоскости для данного случая трансформируется
r спираль Корню с дпумя фокусами (рис. 7.14, 6).
Для точек в области геометрической тени суммарная амплитуда изображается
вектором, начинающимся в фокусе F_ и монотонно возрастающим по мере при-
приближения к точке Р, находящейся на перпендикуляре к линии края. В этой точке
амплитуда волны (вектор F_ О) вдвое меньше амплитуды падающей волны, кото-
которая равна расстоянию F_Fr, а интенсивность составляет четверть от /0.
Очевидно, что при дальнейшем перемещении в освещенной области должны
возникать убывающие по разхмаху осцилляции интенсивности, так как векторная
амплитуда начинает движение по второй ветви спирали Корню, неограниченно
приближаясь к амплитуде волны без экрана.
Дифракция Френеля на бесконечной щели
Задача о дифракции Френеля на щели сводится к предыдущей (дифракции
на двух резких краях) с учетом конечного числа т открытых полуволновых зон
Шустера.
1ПШ1Ш
TmZ
ReZ
х ^ \/г
а 6
Рис. 7.15. Зоны Шустера (а) и спираль Корню (б) для дифракции на бесконечной щели
7.4. Скалярная теория дифракции Кирхгофа
131
В этом случае амплитуда дифрагированной волны в точке наблюдения Р
определяется как длина вектора А, проведенного между двумя точками на спи-
спирали Корню, координаты которых зависят от положения точки наблюдения от-
относительно краев щели (см. рис. 7.15, а).
Если точка Р находится в пределах ширины щели, то для нее открываются
зоны и справа, и слева, поэтому концы вектора А принадлежат различным вет-
ветвям спирали. Для точки Р, лежащей в области геометрической тени, работает
только одна ее ветвь.
На рисунке векторы А{ и А2 соответствуют комплексным амплитудам вто-
вторичных воли в точках Рх и Р2 из освещенной области и из области геометриче-
геометрической тени.
Напомним, что расстояние OF_ = OF+ на диаграмме соответствует амплитуде
волны в точке на геометрической границе света и тени (Ро) для полубесконечной
плоскости, а расстояние F_F+ — амплитуде падающей волны в отсутствие препят-
препятствия.
Как и в случае дифракции Френеля на круглом отверстии, интенсивность за
щелью на ее оси симметрии определяется четностью числа открытых полувол-
ноиых зон: при четном т в центре картины наблюдается минимум, при нечет-
нечетном — максимум. При неограниченном расширении щели дифракционные эф-
эффекты ослабевают.
Представленное на рис. 7.15 поперечное распределение интенсивности в ди-
дифракционной картине за щелью соответствует четырем открытым зонам Шусте-
ра. По сути оно является суперпозицией амплитуд двух встречных распределе-
распределений, аналогичных показанному на рис. 7.14.
Реальные дифракционные распределения интенсивности за вертикальными
щелями различной ширины приведены на рис. 7.16. Увеличение числа открытых
зон т соответствует постепенному переходу к приближению геометрической оп-
оптики, а его уменьшение — к так называемой дифракции Фрауигофера или ди-
дифракции в дальней зоне.
т
т = 2 т- 3 т = 4
Рис. 7.16. Дифракция Френеля на щелях различной ширины
7.4. Скалярная теория дифракции Кирхгофа
Метод Кирхгофа является математическим обобщением принципа Гюйгенса-
Френеля и основан на интегральной теореме Грина, согласно которой для ком-
комплексных функций Ф и Ч', определенных внутри объема V, ограниченного замк-
замкнутой поверхностью 5, справедливо соотношение
132
Глава 7. Дифракция Френеля
'f-°fb
G.7)
где V2 — оператор Лапласа, д/дп — производная по внешней нормали к поверх-
поверхности.
Возьмем в качестве VF координатную часть ?0 поля монохроматической волны
E(x,y1zJt) = E0(x,y,z)exp(- mt)y а в качестве Ф — сферическую волну единичной
амплитуды Ф = exp(ikr)/r, где г — расстояние от точки наблюдения Р до произ-
произвольной точки (х, у, z) (рис. 7.17). Обе функции удовлетворяют волновому урав-
уравнению, не зависящему от времени {уравнению Гельмгольщц A.21))
где к = 2п/Х — волновое число.
Так как функция Ф имеет сингулярность при г= 0, исключим точку Р из об-
области интегрирования, окружив ее небольшой сферой радиуса е. Тогда левая
часть выражения G.7) равна нулю и
Я
6771 У
Г СП
G.8)
где интегрирование производится по поверхности, состоящей из трех участков:
5, — поверхность экрана с отверстием, 52 — сферическая поверхность очень
большого радиуса с центром в точке Р, S3 — малая сфера радиуса ? (см. рис. 7.17).
На участке поверхности 5., г = е,
8 (е"
дп[ г
8 f e'*c
dz\ ?
ik -
функция Еь непрерывна в точке Р, и в пре-
пределе г -> 0 интеграл G.8) по 5;} стремится
к -4я?0(Р). Следовательно,
4л,
JL\^—\-EHLEEAdS.
d_
дп
дп
G.9)
Рис. 7.17. Область интегрирования
в теории Кирхгофа
Эта формула называется интегральной
теоремой Кирхгофа. Она позволяет выразить световое возмущение в произволь-
произвольной точке Р через значения поля и его производной на замкнутой поверхности,
окружающей Эту точку.
Дальнейшие преобразования требуют некоторых допущений.
О Оптическое приближение: кг = 2ттгД » 1, точка Р находится от экрана на рас-
расстоянии много большем длины волны.
? Граничные условия Кирхгофа: для поверхности S{ на теневой стороне экрана
значения функции Ео и ее производных равны нулю всюду, за исключением
отверстий; значения Ео и ее производных внутри отверстия остаются такими
же, какими они были бы, если бы экран отсутствовал.
7.4. Скалярная теория дифракции Кирхгофа
133
? Условие излучения Зоммерфелъда: на удаленной сфере 52 значения функции Ео
и ее производных равны нулю.
Сделанные приближения справедливы в большинстве оптических дифракци-
дифракционных задач, однако неприменимы в некоторых практически важных случаях:
дифракция радиоволн (большая длина волны), ближнепольная оптика (расстоя-
(расстояние до экрана порядка А,). При выполнении этих при-
приближений интеграл G.9) по замкнутой поверхности
сводится к интегралу по отверстию, распределение по-
поля на котором известно.
Проведем поверхность 5, по участку волнового
фронта, заполняющему отверстие (рис. 7.18). Тогда
е"
ikR
R дп
R
дп
oikr
-ik COS0.
Г
Учитывая, что k = 2тгД, из G.9) получим:
2 AzjikR . „\kr
Рис. 7.18. К выводу
дифракционной
формулы Кирхгофа
(V.10)
В формуле G.10) множитель задает амплитуду падающей на экран сфе-
XV
g/ли-
g/лирической волны, прошедшей расстояние R от источника; множитель ам-
амплитуду вторичной гюйгенсовской волны, дошедшей от экрана до точки наблю-
наблюдения. Остальные сомножители представляют собой коэффициент наклона, фи-
фигурирующий в теории Френеля, он, очевидно, равен
G.11)
Множитель e~'rJ2 означает, что вторичные волны опережают исходную волну
по фазе на я/2, Па секторных диаграммах рис. 7.5 и далее следствием этого фа-
фазового сдвига является ориентация результирующего вектора тртпппгп поля от
любого целого числа зон вдоль мнимой оси. Коэффициент K(Q) максимален в
направлении нормали к волновому фронту (при 0 = 0 \К\ = 2) и минимален в про-
противоположном направлении (при 6 - 180° К- 0, отсутствие обратной волны). В то
же время он равен единице вдоль волнового фронта при 0 = ±90°, что означает не-
ненулевую амплитуду вторичных волн в этом направлении. Как следует из дифрак-
дифракционных формул, переноса энергии вдоль волнового фронта не происходит, пото-
потому что возмущения от разных участков волнового фронта гасят друг друга.
Дифракционная формула G.10) Симметрична относительно источника и точ-
точки наблюдения. Это означает, что точечный источник, находящийся в S7 произ-
производит в Р такое же действие, какое производил бы в S источник равной интен-
интенсивности, помещенный в Р. Этот вывод называют теоремой обратимости Гелъм-
гольца.
134
Глава 7. Дифракция Френеля
7.5. Границы дифракционных приближений
Из всего сказанного в этой главе следует, что результат дифракции монохрома-
монохроматического излучения на каком-либо препятствии зависит не от абсолютных его
размеров, а от числа т перекрываемых им иолуволновых зон.
При т » 1 (порядка нескольких сотен или тысяч открытых зон) дифракцион-
дифракционные эффекты незначительны и распределение интенсивности приближенно опи-
гыиш'чг.и законами мюммпричвскпй оптики (плоскоеi ь 1 на риг.. 7.19).
Рис. 7.19. Дифракционные распределения на различных расстояниях от отверстия
Промежуточное условие (когда открыты единицы или десятки зон) соответ-
соответствует дифракции Френеля и приводит к сложному распределению интенсивно-
сти, когда в центре картины может наблюдаться и минимум, и максимум (плос-
(плоскости 2, 3 и 4).
При т < 1 перекрывается малая часть первой зоны и возникает практически
важный случай дифракции Фрауигофера или дифракции в дальней зоне (плоско-
(плоскости 6 и 7). Условной границей между двумя видами дифракции считают дистан-
дистанцию Рэлея R, соответствующую расстоянию, на котором круглое отверстие диа-
диаметра Д освещенное плоской монохроматической волной, открывает для цент-
центральной точки наблюдения одну первую зону, то есть
Дифракционные распределения в области Фраунгофера имеют идентичный
характер, линейно увеличиваясь в поперечном направлении по мере удаления от
экрана с отверстием. Угловой размер 0 центрального дифракционного максиму-
максимума в дальней зоне определяется отношением длины световой волны к диаметру
отверстия.
7.5. Границы дифракционных приближений
135
Проведем численные оценки; при X = 0,5 мкм для отверстия диаметром 1 мм
R = 2 м; для D = 10 мкм дистанция Рэлея составляет всего 0,2 мм. С другой сто-
стороны, для отверстия диаметром 5 см даже на расстоянии 5 м число открытых по-
полуволновых зон составляет т = 1000, а дистанция Рэлея отодвигается на 5 км!
Таким образом, область, где работает приближение геометрической оптики, для
отверстия размером в десятки микрон будет сжата до миллиметров, а для санти-
сантиметровых отверстий может составлять и сотни метров.
Реальные дифракционные картины от экрана с кольцевым отверстием в по-
поперечных плоскостях, соответствующих рис. 7.19, показаны на рис. 7.20. Первая
дает изображение, близкое к геометрической оптике, со второй по четвертую со-
соответствуют дифракции Френеля, пятая — дистанции Рэлея, последние две —
дифракции Фраунгофера.
Рис. 7.20. Дифракционные картины за экраном с кольцевым отверстием
ГЛАВА 8 Дифракция
Фраунгофера
Особенности дифракции в дальней зоне
Если отверстие в экране освещается плоской монохроматической волной, а точ-
точка наблюдения Р находится так далеко от экрана, что дуга окружности с центром
в точке Р может быть заменена отрезком прямой, то оптическая разность хода А
и фазовый сдвиг 8 линейно зависят от координаты волнового фронта в пределах
размера отверстия Ь (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Наблюдение дифракции Фраунгофера
Последний составляет малую часть диаметра первой полуволновой зоны
(т <к 1), поэтому для центра картины всегда выполняются условия максимума
(все комплексные амплитуды вторичных источников сфазированы и Д = 0).
Такое приближение соответствует наблюдению дифракции Фраунгофера или
дифракции на бесконечности. Применив собирающую линзу, можно перенести
эту картину в заднюю фокальную плоскость. Поскольку положение точки Р
в обоих случаях определяется только углом дифракции G (x =LtgO без линзы,
или х =/tg9 с линзой), то говорят еще о дифракции в параллельных лучах.
Поперечные распределения интенсивности в области дифракции Фраунгофе-
Фраунгофера много проще френелевских: все они идентичны и отличаются масштабирую-
масштабирующим множителем, линейно увеличиваясь по мере удаления точки Р или с ростом
фокусного расстояния /. Многие дифракционные задачи в этом приближении
имеют аналитические решения. Углы дифракции 0 в дальней зоне, как правило,
малы (не больше единиц угловых градусов), следовательно, тригонометрические
8.1. Дифракция Фраунгофера как пространственное фурье-преобраЗойаНйе
1 37
функции (синусы и тангенсы) углов дифракции могут быть заменены значения-
значениями самих углов Э в радианах. Тогда характерные расстояния х на экране наблю-
наблюдения оказываются прямо пропорциональными углу дифракции.
Таким образом, для выяснения особенностей дифракции Фраунгофера доста-
достаточно проанализировать угловые зависимости интенсивности дифрагированного
излучения для различных отверстий.
8.1. Дифракция Фраунгофера
как пространственное фурье-преобразование
Пусть волна ?0, созданная произвольной системой монохроматических источни-
источников, распространяется вдоль оси OZ и достигает плоскости z = О, в которой поме-
помещен экран с известным амплитудным коэффициентом пропускания t (x, у). Не-
Непосредственно за экраном поле прошедшей волны равно произведению поля
падающей волны на коэффициент пропускания:
E[(x,y)-E0(x,y)t(x,y). (8.1)
По теореме Фурье функцию Et (x% у) можно представить в виде:
El(x%y)= ] F(u,v)cxp[i2n(ux + vy)]dudv.
(8.2)
Физически это означает, что поле световой волны представляется в виде су-
суперпозиции плоских волн с амплитудами F(u, v) (пространственный спектр),
определяемыми пространственным преобразованием Фурье:
F(u,v)=
(8.3)
„ cos a cos C
Величины и = и v = Ч где аир — углы между волновым вектором
л X
и осями X и Г, получили название пространственных или угловых частот по ана-
аналогии с обычной частотой v - 1/71 Пространственные частоты определяют число
периодов колебания на единицу длины вдоль соответствующей оси (см. рис. 8.2,
штриховой линией показана проекция волнового вектора на плоскость XY).
С другой стороны, пространственные частоты
задают направление распространения плоской вол-
волны. Направляющие косинусы любого вектора удо-
удовлетворяют соотношению
cos2 а + cos2 р + cos2 у = 1.
Отсюда следует, что излучение, дифрагиру-
дифрагирующее на сравнительно большие углы с осью Z,
содержит высокие пространственные частоты, и,
наоборот, при дифракции (или рассеянии) на от-
относительно малые углы с оптической осью гово- рис> 3.2 К определению
рят о низких пространственных частотах. Волне, пространственных частот
Y>
\ \ \
1 '
\\
\
й
и
•4. »
\\
138
Глава 8. Дифракция Фраунгофера
распространяющейся вдоль оси Z, соответствует нулевая пространственная ча-
частота. Таким образом, для решения задачи дифракции Фраунгофера достаточно
найти пространственный спектр поля за экраном.
По известной теореме фурье-анализа, пространственный спектр F(u, v) вол-
волны Е( (х, у), определяемой соотношением (8.1), равен свертке спектров падающей
волны Е0(х, у) н коэффициента пропускания экрана t (дт, у). Если же Е{) представ-
представляет собой плоскую волну, поле которой не зависит от поперечных координат,
то угловой спектр дифрагировавшей волны совпадает с угловым спектром коэф-
коэффициента пропускания экрана.
a i
vE(x)
ь
X
Рис. 8.3. Коэффициент пропускания щели (а) и его угловой спектр (б)
Для бесконечно длинной щели формула (8.3) сводится к одномерному инте-
интегралу по поперечной координате х на экране от -Ь/2 до +6/2, а угловая частота и
может быть выражена через синус угла дифракции;
sine
и .
При этом функция пропускания есть простой импульс с плоской вершиной
(рис. 8,3, а).
Спектр такой функции известен — это функция
sm nbu
nbu
= Eob
sin л;/Г
I x )
nb
sinG
X
(8.4)
(рис. 8.3, б), высота которой пропорциональна «площади импульса», а шири-
ширина обратно пропорциональна «длительности>> импульса, то есть ширине ще-
щели Ь. Распределение интенсивности пропорционально мощности Фурье-спектра
sin
nbu
(8.5)
как показано на рис. 8.4.
Как и следовало ожидать, интенсивность максимальна в центре дифракцион-
дифракционной картины при 6 = 0. Существуют направления, в которых интенсивность обра-
обращается в нуль. Соответствующие им углы дифракции находятся из соотношения
sin 0 :
X
• 77? — .
8.1. Дифракция Фраунгофера как пространственное фурье-преобразование
139
/
Urn
Ч
ess
ч
bar
/
У
/
/
\ш
3
Ь
ч
\
Ъ
Г
\
I
F(
1
1
1
ill
ж
щ
\
\
\
F'
1
1
г
1
2
Ь
0
\
\
3
b
ч
•
\
С В Л
Рис. 8.4. Распределение интенсивности при дифракции Фраунгофера на щели
Между минимумами находятся побочные максимумы, величины которых, од-
однако, невелики. Отношение интенсивностей центрального и двух первых макси-
максимумов равно 70: 7j : /2 = 1000 : 47 : 17. Таким образом, можно утверждать, что ос-
основной световой поток сконцентрирован в пределах, определяемых значениями
Особенности одномерной дифракции Фраунгофера удобно проиллюстриро-
проиллюстрировать, сравнивая векторные диаграммы для двух тонких щелей, разнесенных па
расстояние Ь (интерференционный опыт Юнга) (рис. 8.57 а), и для одной сплош-
сплошной щели шириной Ъ (рис. 8.5, б). В последнем случае в сложении векторных ам-
амплитуд участвуют не только два крайних вектора, соответствующих краям щели,
но и все промежуточные вторичные источники, то есть мы имеем своего рода
предельный случай многолучевой интерференции при бесконечном (контину-
(континуальном) числе вторичных волн, испущенных всеми элементами щели.
Рис. 8.5. Сравнение векторных диаграмм при двухлучевой интерференции
и дифракции на щели
140
Глава 8. Дифракция Фраунгофера
Легко видеть, что угловому положению первого интерференционного мини-
минимума отвечает конечная и довольно большая интенсивность дифракции в преде-
пределах нулевого порядка (точка А на рис. 8.4). Первому же интерференционному
максимуму — наоборот, первый минимум дифракционного распределения (точ-
(точка В) и т. д.
Анализ фазовых диаграмм для комплексных амплитуд излучения, дифраги-
дифрагировавшего на узкой щели, позволяет независимым образом получить относитель-
относительное угловое распределение интенсивности 7@)//о.
Отклонение дифрагировавшего луча под углом 0 приводит к появлению фа-
фазового сдвига ft = 2ndsmQ/X = 2nduy где u=sinQ/X — пространственная частота.
Угол 5 на фазовой диаграмме опирается на дугу, составленную векторами ам-
амплитуд всех элементарных вторичных источников, заполняющих щель. Длина
этой дуги пропорциональна амплитуде падающей волны ?0, а длина хорды, со-
соединяющей концы этой дуги, пропорциональна Е@) (см. рис. 8.5, в, диаграмма Л).
Следовательно,
?@)
Ч!)
sin(ndu)
ndu
а отношение интенсивностей
7@)
ndu J '
что совпадает с выражением (8.5).
Фотографии дифракции Фраунгофера на вертикальной щели при постепен-
постепенном ее расширении представлены на рис. 8.6. Видно, что излучение дифрагирует
в горизонтальной плоскости, а центральный максимум вдвое шире и много ярче
боковых. Поскольку ширина центрального максимума обратно пропорциональ-
пропорциональна ширине щели, при расширении последней дифракционная картина сжима-
сжимается. Вертикальный размер картины определяется конечным диаметром исход-
исходного пучка.
Рис. 8.6. Дифракция Фраунгофера на щелях различной ширины
8.2. Дифракция на прямоугольном отверстии
8.2. Дифракция на прямоугольном
Очевидно, случай дифракции на прямоугольном отверстии яв.
аналогом предыдущей задачи. Дифракционное распределение
плоскости определяется шириной Ь, а в вертикальной — высо
Рис. 8.7. Дифракция на прямоугольных отверстия
Рис. 8.8. Дифракция на квадратной рамке
142
Глава 8. Дифракция Фраунгофера
Дифракционное распределение в дальней зоне от пяти отверстий при посто-
постоянном размере b и постепенно уменьшающейся высоте а показаны на рис. 8.7
(слева направо, начиная с квадратного). Видно, что при уменьшении вертикаль-
вертикального размера отверстия излучение начинает дифрагировать вверх и вниз на боль-
большие углы.
Интересно проследить, что происходит с картиной дифракции Фраунгофера
при превращении прозрачного квадратного отверстия в прозрачную квадратную
рамку (рис. 8.8, изображения отверстий даны в негативе, прозрачные части пока-
показаны черным). По мере уменьшения ширины прозрачных участков центральный
максимум сужается, максимумы высших порядков растут, становятся ярче и
сближаются. Постепенно распределение вдоль декартовых осей приближается
к интерференционным полосам Юнга.
8.3. Дифракция на круглой апертуре
Задача о дифракции Фраунгофера на круглом отверстии имеет наибольший
практический интерес, поскольку оправы и диафрагмы большинства оптических
приборов круглой формы.
Решение этой задачи удобно искать \\ цилиндрической системе координат
(рис. 8.9) путем двойного интегрирования по радиальной (г) и азимутальной (Р)
переменным. В этом случае интеграл Фурье по отверстию может быть выражен
через функции Бесселя:
Е(Р) = i J J exp(-ikr • sin9 • cos P) ¦ rdrdfi =
(8.6)
0 0
где ?, = —2nRsinQ. Результатом дифракции является аксиально-симметричная
картина с ярким центральным максимумом (так называемый диск Эйриу содер-
содержащий 84 % световой энергии), представленная на рис. 8.10 в логарифмическом
масштабе. Угловой радиус первого темного
кольца определяется равенством
X
' ~R
и, как и следовало ожидать, обратно про-
пропорционален радиусу отверстия. Кольцевые
максимумы убывают по интенсивности еще
быстрее, чем в случае отверстия прямоуголь-
прямоугольной формы.
Важным следствием теоремы Бабине при
дифракции Фраунгофера является идентич-
идентичность дифракционных распределений для
дополнительных экранов, например отвер-
Рис. 8.9. К расчету дифракции стия и Диска равных диаметров. Действи-
на круглом отверстии телыю, если коэффициенты пропускания
8.3. Дифракция на круглой апертуре
двух экранов связаны соотношением t2(x, у) = 1 - tx(x, г/), то д
тров получаем:
F2(u> v) = JJA -t{(x, у))- exp(-ik(ux + vy))dxdy = 8(w, о
где 8(w, а) — 5-функция Дирака. С точностью до фазовых множ
ственные спектры таких экранов совпадают везде, кроме точе
падает в отсутствие экранов. Для центрированной оптической
ключением является точка главного фокуса.
э
-1
-2
-3
I
1
1
Ч
1
¦
1—
№
1
I
ill—
¦IF
I
IB
10°
10
ю
ю-
-10,17 -7,02 -3,8 0 3,8 7,02 10,
Рис. 8.10. Распределение интенсивности при дифракции на круп
Рис. 8.11. Дифракция на кольцевых отверстиях
Угловое дифракционное распределение, характерное для кар
быть трансформировано несколькими способами. Путем раз]
144
Глава 8. Дифракция Фраунгофера
отверстия непрозрачного диска (случай кольцевого зрачка) можно несколько
уменьшить диаметр центрального пятна, одновременно многократно увеличив
интенсивности кольцевых максимумов (рис. 8.11). В этом случае функция про-
пропускания «обостряется», а в дифракционной картине возрастает доля высоких
пространственных частот.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
к
i
Кг) 1 1
JiiillllllK^
1111111111
кШШШёШШШШЯШ.
AfliiiiiiSiiiS
i
1
п
1ни
|
-1
я
Z
о
о
3,83 7,02
Рис. 8.12. Управление дифракционным распределением с помощью
кольцевого фильтра (кривая 2) и аподизации (кривая 3)
Сделав края отверстия менее резкими, можно устранить дифракционные «орео-
«ореолы», незначительно увеличив ширину центрального максимума (рис. 8.12). Та-
Такую операцию называют аподизацией зрачка, и в пределе гауссовского распреде-
распределения пропускания (кривая 3) получают гауссовскую дифракционную картину.
8.4. Дифракционный предел
разрешающей способности
Явление дифракции принципиально ограничивает возможности раздельного на-
наблюдения двух близких по углу предметов. Действительно, если с помощью объ-
объектива строить изображения двух бесконечно удаленных точечных источников,
плоские волны от которых приходят под малым углом 0, то в задней фокальной
плоскости будут наблюдаться результаты дифракции этих волн на оправе объек-
объектива, причем чем меньше ее диаметр Д тем более размыты эти кружки (в оптике
их называют ФРТ — функции рассеяния точки).
В качестве критерия, определяющего возможности раздельного наблюдения
двух точек, Рэлей предложил использовать ситуацию, когда центральный макси-
максимум кружка Эйри одной точки совпадает по угловому положению с первьш мини-
минимумом другой (рис. 8.13).
Можно показать, что в этом случае угловое расстояние между разрешаемыми
точками 90 совпадает с шириной диска Эйри и равно 1,22А./К, а глубина миниму-
минимума между изображениями точек составляет 26 %.
8.4. Дифракционный предел разрешающей способности
/(в)
Ms-
&
if
6
J
-4-
i
л
!6
1,0
0,5
о
Рис. 8.13. Критерий Рэлея
Величина, обратная минимальному угловому расстоянию
-решающей способностью оптического прибора. Для ее новь
увеличивать световые диаметры, однако это приводит к рост
раций) получаемого изображения.
Рис. 8.14. Дифракционные изображения двух близких и
Фотографии дифракционных изображений двух близких
дены на рис. 8.14. На первых двух фотографиях представлс
точного разрешения, на двух следующих — искомые точки р
Понимание основ дифракционной теории формирования
лило разработать телескопические методы измерения преде;
размеров удаленных источников, а также микроскопические н
но малых объектов, составляющих долю длины световой вол;
говорят о методах повышения разрешающей способности о?
абстрагируясь от аберраций.
146
Глава 8. Дифракция Фраунгофера
Одним из методов является применение кольцевого зрачка вместо круглого. Как
было показано выше (см. рис. 8.12), при этом уменьшается кружок рассеяния
Эйри, который и определяет угловое расстояние между минимально различимы-
различимыми точками. Диафрагмирование центра светового пучка широко применяется
в наблюдательных приборах и приводит к заметному (на 20-25 %) росту разре-
разрешающей способности. Побочными эффектами такого метода являются уменьше-
уменьшение освещенности изображения и усиление периферийных дифракционных мак-
максимумов.
Разрешающая сила оптических микроскопов, прежде всего, связана с величи-
величиной числовой апертуры, определяемой как произведение показателя преломле-
преломления среды п на синус апертурного угла 6 (рис. 8.15).
Рис. 8.15. К определению разрешающей силы микроскопа
Условие инварианта Аббе (см. формулу 3.10)
уп щ sin 0О = у V sin 6'
устанавливает обратную пропорциональность размеров изображения и числовой
апертуры. Увеличение диаметров объективов и уменьшение их фокусных рас-
расстояний дает возможность получить максимальное значение sin Э = 1 (при 0 = к/2).
Еще примерно в полтора раза можно повысить разрешающую способность в ре-
результате заполнения пространства между предметом и первой линзой илшерси-
оппой жидкостью1 с высоким показателем преломления я0. При этом минималь-
минимально различимый размер у0 окажется равным 0,61 Х/п0 = 0,451.
Рис. 8.16. Применение пространственных фи
1 В качестве иммерсионных жидкостей применяют кедровое или минеральное масло (по-
(показатель преломления 1,515); мОнобромнафталин A,656); йодистый метилен A,741).
8.5. Основы фурье-оптики
147
Дифракция света накладывает ограничения на возможность наблюдения бо-
более мелких деталей, однако детектировать их наличие можно. Отметим метод
темного поля, при котором в отсутствие рассеянного или Дифрагированного из-
излучения в оптический тракт свет не проходит. Для этого применяются коль-
кольцевые осветители или блокирующие пространственные фильтры (непрозрачный
фильтр 5Гна рис. 8.16).
8.5. Основы фурье-оптики
Распределение амплитуд в фокальной плоскости идеальной оптической системы
с точностью до несущественных фазовых и масштабирующих множителей явля-
является фурье-образом исходного распределения амплитуд.
С этой точки зрения можно говорить о принципах дифракционного образова-
образования изображения предмета (рис. 8.17).
u, v)
А\х\у)
Рис. 8.17. Фурье-преобразование в линза
Свет, дифрагировавший на объекте Л, разделяется по углам 0 в соответствии
с описанным выше пространственным фурье-преобразованием. Объектив Ls пе-
переносит дифракционное распределение Фраунгофера в заднюю фокальную плос-
плоскость, где и наблюдается пространственный спектр F(u, v). Формирование изо-
изображения А' может быть описано на языке интерференции волн от вторичных
источников, образуемых линзой в фурье-плоскости.
Пусть, например, исследуемый объект Л совершенно прозрачен, но различ-
различные его участки имеют неодинаковые и мало отличающиеся от единицы показа-
показатели преломления п (х). Тогда прошедшая через объект световая волна оказыва-
оказывается промодулированной по фазе:
?(*)= ?0ехр0'ф(*))« ?оA + "Р<*))- (8-8)
Визуально такую модуляцию заметить нельзя, так как интенсивность света
/ - \E(x)f = El. В фурье-плоскости постоянная составляющая Ео формирует цен-
центральный дифракционный максимум. Если перекрыть этит максимум фазовой
пластинкой (пластинкой Цернике), вносящей дополнительный фазовый сдвиг
на я/2, то (учитывая, что ехр(/л/2) = i) поле в плоскости изображения будет рав-
равно Е(х') = Е0(г + г'ф(х')). Соответствующее распределение интенсивности
)). (8.9)
148
Глава 8. Дифракция Фраунгофера
Таким образом, происходит преобразование фазовой модуляции в амплитуд-
амплитудную. С помощью пластинки Цернике реализуют метод фазового контраста для
обнаружения малых фазовых (непоглощающих) объектов.
Размещая в фурье-плоскости различные фазовые или амплитудные маски,
можно добиваться заданной трансформации итогового изображения. Результаты
компьютерного моделирования пространственной фильтрации представлены на
рис. 8.18. Первое изображение сформировано всей апертурой линзы (потеряны
только самые мелкие детали); второе получено в результате срезания высоких
частот (фильтр-маска НЧ — круглое отверстие в плоскости F(u, v), изображение
расплывается); наконец, третье, содержащее только контуры, образовано лишь
иыткими пространственными частотами (фильтр-маска ВЧ — непрозрачный
диск на оси системы).
А
V
Рис. 8.18. Фильтрация пространственных частот
Фактически вторая и третья операции являются пространственными интег-
интегрированием и дифференцированием соответственно. Результаты этих аналоговых
преобразований могут быть эквивалентными цифровым операциям над компью-
компьютерными изображениями с применением сглаживающих (blur, median) и обост-
обостряющих (sharp, trace) фильтров.
ГЛАВА 9 Дифракция
на регулярных
структурах
Важным случаем дифракции Фраунгофера является дифракция на периодиче-
периодических структурах амплитудных или фазовых объектов (отверстий, частиц, упру-
упругих колебаний и т. д.). Особенностью этого случая является то, что пучки после
дифракции на соседних объектах интерферируют друг с другом. В результа-
результате распределение интенсивности становится более сложным и информативным,
а это открывает новые практически важные возможности.
Из опыта Юнга для двух параллельных узких щелей было получено, что пе-
период эквидистантных интерференционных полос Ах определяется расстоянием
между щелями d и длиной волны К (Ах ~ X/d). С другой стороны, в результате
дифракции Фраунгофера на одной щели шириной b образуется максимум нуле-
нулевого порядка, размер которого пропорционален отношению \/Ь. Если рассмат-
рассматривать щели конечной ширины Ь, расположенные параллельно друг другу на рав-
равных расстояниях d, TO Следует ожидать, что огибающая картины дифракции будет
определяться размером Ь, а интерференционное перераспределение энергии
расстоянием d. Кроме того, поскольку оба эффекта зависят от длины волны, та-
такая периодическая структура должна обладать хроматическими свойствами.
Именно на этих базовых принципах основано устройство самой известной
и практически важной регулярной структуры — дифракционной решетки.
9.1. Возникновение системы главных
и побочных максимумов
Дифракционная решетка — это устройство, осуществляющее периодическую мо-
модуляцию падающей световой волны по амплитуде или фазе.
Рассмотрим простейшую одномерную амплитудную решетку — регулярную
структуру, состоящую из N параллельных щелей с шириной Каждой щели Ъ и рас-
расстоянием между соседними щелями (периодом решетки) d (рис. 9.1). При нор-
нормальном падении монохроматического света на амплитудную дифракционную
решетку оптическая разность хода для волн, испущенных соседними щелями, рав-
равна Д = б/sinG, а соответствующий фазовый сдвиг
150
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
2яА
"Т"
2ndsinQ
= 2ndut
где м = sin0/X — введенная ранее пространствен-
пространственная частота. Результирующая амплитуда может
быть определена как сумма комплексной гео-
геометрической прогрессии, в которой знаменате-
знаменателем является чисто фазовый множитель:
Л? = Л,+ Ах exp(-i8) +
] exp(-z25) + Л, exp(-z 35) + ...,
(9.1)
Рис. 9.1. Однимернан
амплитудная решетка
где Л{ — амплитуда поля, прошедшего через од-
одну щель. Просуммировав, получим
1 схр( 2JN8)
/lv — /А, . iJ.Zi
fc l-exp(-/S)
Учитывая, что интенсивность пропорциональна квадрату модуля амплитуды,
а распределение интенсивности света, дифрагировавшего на одной щели, опре-
определяется выражением (8.4), найдем-
s'm(nbu)
nbu
-i 2
sin(Nndu)
sinGtr/w) J
(9.3)
где /0 — интенсивность падающего света.
Из (9.3) следует, что распределение интенсивности при дифракции на решет-
решетке описывается произведением двух функций: 1{ характеризует дифракцию на
одной щели, a /v — многолучевую интерференцию пучков, исходящих от всех
щелей. В отличие от многолучевой интерференции в интерферометре Фабри—Пе-
Фабри—Перо, в данном случае все пучки имеют равную интенсивность.
Проанализируем поведение множителя /v. Очевидно, что при выполнении
условия
(9.4)
или —=и=-, т -0, ± 1, ±2,...
X d
и числитель и знаменатель функции /v обращаются в нуль. Известно, что
lim
sin 6 1
= N,
следовательно,
(nmbJ m'1
d )
(9.5)
Таким образом, при выполнении условия (9.4), которое называется условием
главных максимумов, интенсивность света, дифрагировавшего на системе из N ще-
щелей, возрастает в N2 раз. Эта квадратичная зависимость есть результат многолу-
многолучевой интерференции ПУЧКОВ, Прошедших через регулярную структуру. Если бы
щели располагались хаотически, то интерференционный член был бы равен нулю
и суммарная интенсивность была прямо пропорциональна числу щелей,
9.1. Возникновение системы главных и побочных максимумов
Рис. 9.2. Угловое распределение интенсивности излучения, дифрэ
на системе из N щелей. Число щелей равно (сверху вниз): 2, 3, 4
Зависимость распределения IN от пространственной частот!
значений N показана на рис. 9.2. Для соотнесения вертикальны:
зана интенсивность центрального максимума в относительны
скольку пространственная частота и пропорциональна синусу yi
положение максимумов на оси абсцисс определяет их углово
первоначального направления распространения света. Видно, т
152
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
жения главных максимумов во всех случаях одинаковы (определяются перио-
периодом d). Одинакова и форма огибающей, которая обусловлена шириной каждой
щели Ъ. Отметим, что при N = 2 распределение интенсивности соответствует
двухлучевой интерференционной схеме Юнга, см. рис. 5.3.
Из формулы (9.5) следует, что интенсивность главных максимумов быстро убы-
убывает с ростом порядка. С другой стороны, эта интенсивность зависит от соотно-
соотношения между периодом решетки d и шириной каждой щели Ь. Так, при d/b = k,
где k — целое число, главные максимумы порядков k, 2k и т. д. приходятся на
минимумы дифракции от одной щели, и их интенсивность оказывается равной
нулю. Например, при k = 2 (прозрачная и непрозрачная части равны друг другу)
спектр решетки содержит только главные максимумы нулевого и нечетных по-
порядков, а четные порядки отсутствуют.
Решетка из ./V щелей создает в промежутках между главными максимумами
(N - 1) минимум освещенности и (N - 2) побочных максимум. Относительная
интенсивность дополнительных максимумов резко падает с ростом числа щелей,
и в практически важных случаях их наличием можно пренебречь.
Для пояснения причин формирования побочных максимумов обратимся
к случаям дифракции на трех и четырех щелях. На рис. 9.3 показаны зависимо-
зависимости интенсивности / от разности фаз 5 (или пространственной частоты и) для
N=3 (а) и N=4 (б), между главными максимумами нулевого и (-1) порядков
для случая трех щелей образуются два минимума и один побочный максимум.
На рисунке представлены соответствующие фазовые диаграммы. Оба минимума
соответствуют такой разности фаз, что три равных амплитудных вектора скла-
складываются в правильный треугольник E = я/3 и 5 = 2я/3), в результате векторная
сумма равна нулю. Побочный максимум образуется при 5 = я, когда три парал-
параллельных вектора складываются «гармошкой»; векторная сумма втрое меньше их
суммарной длины, интенсивность этого максимума в N2 = 9 меньше главного.
В случае дифракции на четырех щелях очевидны три промежуточных мини-
минимума E = я/2, я, Зя/2; векторы складываются в «квадрат» или «гармошкой» ну-
-2я
-п
0 5 0
а б
Рис. 9.3. Формирование побочных максимумов для трех (а) и четырех (б) щелей
9.2. Спектральные свойства дифракционной решетки 1 53
левой длины). Имеются также два побочных максимума E = я/3, 2л:/3), когда
векторная сумма трех амплитуд равна нулю, а оставшаяся четвертая определяет
результирующую интенсивность в N2 = 16 раз меньшую, чем интенсивность глав-
главного максимума.
На практике важным является вопрос о наклонном падении света на дифрак-
дифракционную решетку под углом 90. В этом случае падающая волна имеет ненулевую
пространственную частоту
_ sin0o
и в условие главных максимумов войдет разность пространственных частот ди-
дифрагированной и падающей волн:
(9.6)
Пространственный спектр дифракционной решетки формируется в полном
соответствии с уже упомянутыми принципами фурье-лреобразования. Функция
пропускания прозрачной щели t(x) представляет собой прямоугольный импульс
единичной высоты и ширины Ь, Его фурье-спектр Fx(u) известен (см. рис. 8.3
и формулу 8.4). Поскольку прибавления следующих щелей на равных расстоя-
расстояниях d могут рассматриваться как смещения исходной функции на d, 2d> 3d
и т. д., то результирующий спектр будет состоять из суммы спектров всех щелей,
домноженных на соответствующие фазовые множители. По теореме о сдвиге, сме-
смещение функции на d приводит к домножению спектра на значение expBniud).
Для N щелей результат такого суммирования спектров совпадает с выражени-
выражением (9.3), если учесть, что наблюдаемое распределение интенсивности пропор-
пропорционально квадрату фурье-сиектра функции пропускания объекта.
9.2. Спектральные свойства
дифракционной решетки
Практически значимыми являются спектральные свойства решеток, которые по-
позволяют использовать их наряду с преломляющими призмами и уже рассмот-
рассмотренными интерференционными устройствами для спектральной селекции. Ди-
Дифракционные решетки обладают диспергирующими свойствами, разводя лучи,
соответствующие различным длинам волн, в различных направлениях. Это свя-
связано с угловой зависимостью главных максимумов от длины волны излучения:
чем больше длина волны, тем больше угол дифракции, соответствующий данно-
данному порядку т (рис. 9.4).
Спектральные свойства дифракционной решетки характеризуются следую-
следующими параметрами.
? Угловая дисперсия D дифракционной решетки определяется как отношение при-
приращения угла дифракции к приращению длины волны. Угловая дисперсия вы-
вычисляется дифференцированием условия главных максимумов, ее значение пря-
прямо пропорционально порядку спектра т и обратно пропорционально периоду d:
*2U (9.7)
дХ dcosQ
154
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
Увеличение дисперсии за счет уменьшения d имеет свои границы. Дейст-
Действительно, для каждой решетки существует максимальное значение дифрак-
дифракционного порядка (при sin 8 = 1 целочисленное т не может быть больше
ти111ах = d/X)\ при d <Х остается только нулевой максимум, дисперсия в кото-
котором отсутствует.
О sin 9
Рис. 9.4. Дифракция на решетке при бихроматическом освещении
а Разрешающая способность, то есть отношение длины волны к минимально
разрешимому спектральному интервалу R = X/AX, обусловлена угловой ши-
шириной главного максимума и определяет возможность раздельного наблюдс
ния двух близких спектральных линий; возрастает с ростом т и полного чис-
числа штрихов N Условием разрешения близких спектральных линий по Рэлею
является совпадение главного максимума для длины волны X и первого нуля
интенсивности для длины волны X + ДА,:
1
откуда
тХ = \ т—г (А.+ДА.),
to,
да/
(9.8)
? Свободная дисперсионная область G определяет для каждого порядка спек-
спектральный диапазон, свободный от перекрытия спектров. Свободная диспер-
дисперсионная область сужается с ростом дифракционного порядка т: G = Х/т. Пе-
Перекрытие спектров различных порядков при освещении решетки белым светом
(вся видимая область) показано на рис. 9.5. Видно, что для света широкого
спектрального состава перекрытие начинается уже со 2-3 порядков. Для бо-
более узкого спектрального интервала оно может вообще не наступить, если для
максимального порядка (титах = d/X) выполнено условие ДА, < Ginin = X2/d.
Таким образом, повышение разрешающей способности решетки путем ее ис-
использования в области высоких порядков сопровождается сужением свободного
от перекрытия спектрального диапазона. Именно поэтому, как правило, предпочи-
9.3. Фазовые решетки. Решетки со сложной структурой
155
/ Ф К
*~ — — А
I :
-г-
ш
ж
Лф
|..||м.ш.|.|..|Ш|,
к
1
¦
Шт = 41
О sinG
Рис. 9.5. Перекрытие спектров разных порядков при освещении решетки белым светом
тают работать в области низких порядков, но при этом увеличивают линейный
размер решетки, добиваясь максимального числа штрихов N. Например, решетка
с 600 штр/мм и рабочей областью 10 см имеет период г/= 1,7 мкм, общее число
штрихов N=60 000 и максимальный порядок в видимом спектре /ишах = 2. Такая
решетка может разделить спектральные линии, отстоящие на АХ = 0,004 нм. Воз-
Возможность получать высокую разрешающую силу в низких порядках является су-
существенным преимуществом дифракционных решеток перед интерференционны-
интерференционными спектральными приборами (например, интерферометры Фабри—Перо, Май-
кельсона), в которых рабочие порядки интерференции составляют тысячи или да-
даже десятки тысяч, что ведет к резкому сужению свободной дисперсионной области.
9.3. Фазовые решетки.
Решетки со сложной структурой
Описанная в предыдущем разделе простая амплитудная дифракционная решет
ка имеет спектральные характеристики, крайне невыгодные для практических
применений. Действительно, свет разбрасывается по многим порядкам, причем
основная доля энергии приходится на ахроматический нулевой порядок, а в мак-
максимумы высоких порядков, обладающие высокими дисперсией и разрешающей
силой, попадает очень мало света.
Улучшить спектральные свойства прибора можно с помощью так называемых
фазовых решеток, штрихи которых имеют определенный профиль (рис. 9.6).
И прозрачная, и отражательная решетки с профилированным штрихом прак-
практически не влияют на амплитуду световой волны, но вносят периодические из-
изменения в ее фазу. В случае отражательной решетки с пилообразным профилем,
показанной на рисунке, максимальная интенсивность дифрагированного света на-
наблюдается в направлении зеркального отражения от плоскости штриха (т= 1).
Когда ширина рабочей грани занимает почти целый период (Ь - d) и 2 sin a = mX/d,
решетка дает только один главный максимум порядка т. Угол а при этом называ-
называется углом блеска.
156
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
m- -1
m- -2
Рис. 9.6. Фазовые дифракционные решетки: а — отражающая; б — прозрачная
Для направления максимума энергии в перьый порядок прозрачной фазовой
решетки необходимо выполнить для угла отклонения 90 одновременно два уело
вия: dsmQ0 = к и б0 = (п - 1)а, где п — показатель преломления материала решет-
решетки, а — угол при вершине микропризм, ее составляющих. Последнее условие со-
соответствует отклонению света прозрачным клином.
Результат перераспределения энергии между главными максимумами при ис-
использовании фазовой решетки показан на рис. 9.7. На нем пунктиром показана
огибающая главных максимумов для амплитудной решетки с центром в ахрома-
ахроматичном нулевом порядке. Сплошная линия соответствует смещенной огибающей
для фазовой решетки, настроенной на +1 порядок.
а
т = -\
/
/
-—
/
i
/
у
/;
/
/1
/ \
1
д
1
1
К'
•
т =
\
\
\
к
Л
\
\
, 1
)
К
Л
т
= 2
\
\
Рис. 9.7. Главные максимумы амплитудной (а) и фазовой (б) решеток!
Свойства дифракционных решеток находятся в полном соответствии с пред-
представлениями о фраунгоферовой дифракционной картине как фурье-образе ис-
исходного объекта. Действительно, в данном случае перед нами экран, периоди-
периодически модулированный либо по амплитуде, либо по фазе. Как известно, спектр
периодического сигнала в отличие от импульсного не является непрерывным.
Он дискретен, причем расстояние между гармониками в частотной области об-
обратно пропорционально периоду самого сигнала.
9.3. Фазовые решетки. Решетки со сложной структурой
157
Формируемые решеткой главные максимумы и есть те самые дискретные про-
пространственные частоты, к которым стягивается энергия световой волны, если на
ее пути оказывается любая периодическая структура. По законам фурье-оптики
огибающая этих максимумов определяется спектром структурного элемента
(щели, ступеньки и т. д).
Управляя функцией пропускания дифракционной решетки, можно трансфор-
трансформировать ее пространственный спектр нужным образом. На рис. 9.8 представлены
дифракционные спектры, полученные на фурье-решетках со сложным базисом:
штрихами переменной ширины и периодичности, пропадающими штрихами и т. п.
М ЩИ ПИЩИМ!' ><|(! I;
11 i mi i ! iHi 11 il'liii!'!1! 11 !l>! i i ini i )!
: ' м i и i| Hi |i I ! i i i' :
• i i i|i 'i iiiiJiiiiilliiliNnlii'i h ! i i
2k
a
0 X_ 2X sine
a a
Рис. 9.8. Спектры сложных решёток
Первым показан спектр простой решетки, у которой отношение d/b = 7. Это
видно из того, что в спектре симметрично справа и слева исчезают максимумы
седьмого, четырнадцатого и так далее порядков.
Второй показана решетка с тем же основным периодом, но с чередующимися
широкими и узкими штрихами. В пределах центральной части спектра угловые
положения «старых» главных максимумов сохранились, но между ними появи-
появилась система новых максимумов, отвечающих удвоенному периоду решетки. Дей-
Действительно, функция пропускания такой «решетки с базисом» имеет существен-
существенную гармонику с периодом 2d} внутрь которого попадают один узкий и один ши-
широкий штрих.
Обратная ситуация реализуется на третьей решетке, в которой, по сравнению
с первой, добавлены более узкие штрихи между исходными широкими. В этом
случае пространственный спектр дифрагированного излучения становится реже,
проявляется доминирующая удвоенная пространственная частота, отвечающая
линейному расстоянию d/2.
Наконец, в четвертой решетке на фоне частых штрихов с периодом d/2 отсут-
отсутствуют четвертые штрихи. Это приводит к заметному проявлению тех же про-
пространственных гармоник, что и у второй решетки, поскольку (d/2) A = 2d.
В этих примерах наглядно проявляется основная дифракционная закономер-
закономерность: чем мельче структура, на которой происходит дифракция света, тем на
большие углы он отклоняется.
Не должно смущать параллельное рассмотрение дифракционных решеток двух
типов: в виде прозрачных щелей на непрозрачном экране и в виде непрозрачных
158
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
штрихов на прозрачной (например, стеклянной) основе. Результаты дифракции
на них эквивалентны во всех точках, кроме тех, куда свет попадает, минуя эти
препятствия (принцип Бабине, см. раздел 7.2).
Применительно к амплитудным решеткам это означает разную интенсивность
нулевых максимумов и одинаковую всех остальных. На первый взгляд это ка-
кажется невозможным, так как огибающие функции зависят не от периода решет-
решетки, а от отношения прозрачной и непрозрачной частей. Тем не менее для любых
дополнительных решеток с функциями пропускания tt(x) и t2(x) = 1 - tx(x) дело
обстоит именно так. Пример, рассмотренный на рис. 9.9, поясняет этот результат
для двух видов решеток, у которых прозрачные части штриха равны 1/3 и 2/3.
Легко видеть, что эти решетки дополнительные. Интенсивность нулевого макси-
максимума у этих решеток отличается вчетверо (вторая решетка вдвое «прозрачнее*-),
а вот все остальные максимумы абсолютно одинаковы.
/
Ь, - d/Ъ
h2 - 2///3
1
4
1
i
-1-
\
\
\
\
г
-1
Щх)
^1 Т2(х)-1-Т{(х)
-0,5 0 0,5 1
Рис. 9.9. Дифракция на дополнительных решетках
9.4. Дифракция на двумерных структурах
Если экран, на котором происходит дифракция, содержит несколько одинаковых
элементов (структурных единиц), то результат дифракции зависит от формы ка-
каждого элемента, их общего количества и взаимного расположения. В качестве
примера на фотографиях рис. 9.10 приведены дифракционные распределения
для случаев одинаковых круглых отверстий. Число отверстий N увеличивается
слева направо от 2 до 6, а расположены они, начиная с N = 3, в вершинах пра-
правильных М-угольников. При N=2 перед нами классические интерференционные
полосы Юнга от двух отверстий, разнесенных по вертикали.
При большом количестве структурных единиц можно выделить два предель-
предельных случая: полная хаотичность их расположения на экране (рандомизированная
структура) и полная их упорядоченность (периодическая структура). В первом
случае фазы волн от отдельных элементов нескоррелированы, их распределения
накладываются друг на друга аддитивно, и в результате мы имеем усиленную
в N раз дифракционную картину от одной структурной единицы.
Поскольку координата каждого отверстия в случае дифракции Фраунгофера
определяет только фазу волны, пришедшей в точку наблюдения, то для любого
расположения элементов справедлива интуитивно понятная теорема растра: оги-
9.4. Дифракция на двумерных структурах
159
Рис. 9.10. Дифракция на N отверстиях (Л/ = 2, 3, 4, 5, 6)
бающая всей дифракционной картины определяется формой структурной едини-
единицы растра, а перераспределение энергии внутри этой огибающей диктуется вза-
взаимным располоэ/сеиием его элементов. Любая периодичность в таком расположе-
расположении должна приводить к появлению системы главных максимумов.
Случай двумерной дифракционной решетки принципиально ничем не отли-
отличается от одномерного аналога. В двух ортогональных плоскостях образуют-
образуются системы главных дифракционных максимумов, угловые положения которых
определяются соответствующими периодами по осям X и Y. Кроме расположен-
расположенного вдоль осей наиболее яркого креста, по плоскости наблюдаются максимумы
меньшей интенсивности, отвечающие перекрестным произведениям фурье-обра-
зов обеих решеток. При этом картины дифракции от позитивной и негативной
решетки абсолютно одинаковы везде, за исключением центрального максимума
нулевого порядка
В истории оптики известен очень красивый и наглядный опыт, связанный
с дифракцией когерентного излучения на двумерных решетках (так называемый
эксперимент Аббе—Портера, рис. 9.11). По сути, он является примером уже упо-
упоминавшейся пространственной фильтрации и имеет самое прямое отношение
к современной фурье-оптике и оптическим методам обработки информации.
Если использовать двумерную решетку в качестве предмета S для построения
изображения с помощью оптической системы Ls7 то в плоские!и ее фурье-об-
раза FT (в задней фокальной плоскости линзы) будет наблюдаться описанная
выше дифракционная картина, а в сопряженной плоскости — результат обратно-
обратного пространственного преобразования Фурье, то есть изображение исходной ре-
решетки S'. Разместив в фурье-плоскости маску М{ в виде вертикальной щели,
можно наблюдать исчезновение вертикальных штрихов и сохранение системы
горизонтальных линий. Обратный результат получается, если использовать го-
горизонтальную щель (маска М2).
Суть эксперимента заключена в том, что, блокируя в плоскости фурье-образа
определенные дифракционные максимумы, мы не даем возможности на этапе
160
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
Рис. 9.11. Эксперимент Аббе—Портера
обратного преобразования Фурье восстановить те или иные детали, присутст-
присутствующие в исходном объекте.
Фильтрующие маски Л/3 и Л/4 приведут к результатам, аналогичным уже рас-
рассмотренным в разделе о принципах фурье-оптики. Прозрачное отверстие Л/3 сде-
сделает изображение менее резким за снег исчезновения высоких частот, а блоки-
блокирующий диск МА может привести к удвоению числа штрихов в изображении
решетки. При этом новые штрихи будут расположены на бывших границах чер-
черных и белых участков.
9.5. Трехмерная решетка.
Дифракция рентгеновских лучей
Найдем условия образования дифракционных максимумов от трехмерной пе-
периодической структуры с периодами dv d2, d:i по осям X, У, Z. Пусть на нее падает
пучок параллельных лучей, образующий с осями X, У, Z углы а0, [30, у0, а дифра-
дифрагировавшей пучок распространяется в направлении, заданном углами а, р, у. То-
Тогда условия возникновения главных максимумов для каждой из осей координат
(условия Лауя) имеют нид:
d{ (cos а - cos а 0 ) = т j А.,
; = 0, ± 1, ±2,...,
(9.9)
Углы а, р, у не являются независимыми, поскольку для них выполняется со-
соотношение cos2a + cos2p + cos20 = 1. Таким образом, при заданных а0, Ро, уоил
углы, определяющие направления максимумов, находятся из решения системы
четырех уравнений. Если число уравнений превышает число неизвестных, сис-
система уравнений оказывается разрешимой только при выполнении определенных
условий (равенство нулю определителя системы). Так, если исходная волна рас-
9.5. Трехмерная решетка. Дифракция рентгеновских лучей 161
пространялась вдоль оси Z(cos а0 = cos р0 = 0, cos у0 - 1), должно выполняться ра-
равенство
т2Х]
+ —г- +
Соотношение (9.10) может рассматриваться как условие, накладываемое на
длину волны X, при выполнении которого существует дифракционный макси-
максимум с порядками (т,, т2, т3). Таким образом, дифракционная картина в случае
трехмерных решеток принципиально отличается от картин, получаемых от од-
одно- и двумерных решеток. При освещении плоской монохроматической волной
трехмерная решетка вообще не имеет дифракционных максимумов кроме нуле-
нулевого порядка если только не выполнено равенство (9-Ю). При освещении немо-
нохроматическим светом образуется система главных максимумов, каждому из
которых соответствует определенная длина волны.
Реальными структурами с трехмерной периодичностью являются кристаллы.
Периоды кристаллических решеток (единицы ангстрем) не позволяют наблю-
наблюдать дифракцию в оптическом диапазоне, однако рентгеновские лучи, длина вол-
волны которых имеет те же масштабы, как нельзя лучше подходят для исследования
внутренней атомарной структуры веществ. Зарегистрированные в широком те-
телесном угле результаты дифракции рентгеновских лучей на монокристалла* —
так называемые лауэграммы — используются для расшифровки внутренней сим-
симметрии и количественных параметров сложных кристаллических решеток.
В определенных случаях падения
лучей в тех или иных кристаллогра-
кристаллографических направлениях задача ди-
дифракции может быть сведена к дву-
двумерной. Если представить кристалл в
виде набора атомных слоев (рис. 9.12),
то интерференционное усиление вили,
отразившихся от разных слоев, будет
происходить при выполнении условия
Вульфа Брэггоо:
ZuSlYlv = 77lX. (У. 11) Рис. 9.12. Отражение рентгеновских лучей
Угол 6, который составляют пада- от атомных слоев в ^^галле
ющие лучи с атомарной плоскостью
и который определяет разность хода между волнами, рассеянными соседними
плоскостями, называют углом скольжения. Условие Вульфа-Брэггов выводится
из любого уравнения системы (9.9). Например, для оси Y в обозначениях d2 = d,
m2 = mt p0 = Зтг/2 - 9, p = Зя/2 + 9 получаем:
\ cf elf
{
d\ cosf— + el-cosf— -G \\ = 2flfsinG = mX.
{ I 2 J I 2 ))
Общая картина дифракции на кристаллических решетках достаточно сложна,
что объясняется практически неограниченным числом различно ориентирован-
ориентированных семейств атомарных плоскостей,
162
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
Особый случай составляет дифракция на периодической структуре, в кото-
которой пространственная модуляция амплитуды или фазы является гармонической.
Это возможно как в системах с периодически меняющейся прозрачностью (сте-
(степенью почернения), так и в случаях синусоидального изменения толщины или
показателя преломления. Поскольку в объекте присутствует только одна про-
пространственная частота, то падающий свет разбивается всего на три пучка: цен-
центральный нулевого порядка (свет, прошедший без дифракции) и два дифракци-
дифракционных максимума плюс/минус первого порядка равной интенсивности.
Характерным примером такого поведения световой волны является дифрак-
дифракция на ультразвуке (рис. 9.13). Образец в виде кристаллического бруска или
кюветы с жидкостью устанавливается на пьезокерамическом основании. Пере-
Переменное напряжение частоты Q преобразуется пьезокерамикой в продольные уп-
упругие колебания, передающиеся образцу. В последнем устанавливается стоячая
волна с периодом d = яа/Q, где v — скорость ультразвука в кристалле или жид-
жидкости.
т= 1
Рис. 9.13. Дифракция на ультразвуке
Колебания модулируют плотность образца и тем самым показатель прелом-
преломления п. Для видимого света, распространяющегося перпендикулярно направ-
направлению колебаний такой объект является синусоидальной фазовой решеткой с
п = по + An sin kx у k = 2Q/v. В результате дифракции на этой структуре сохраня-
сохраняется нулевой максимум (свет, прошедший без отклонения) и появляются два
симметричных боковых максимума. Типичные значения скорости ультразвука —
1000...1500 м/с, поэтому даже на частоте 10 МГц пространственный период со-
составляет 100... 150 мкм, что соответствует угловому отклонению боковых макси-
максимумов видимого света менее 0,5°.
9.6. Дифракционные принципы
голографирования
Принципы регистрации трехмерных объемных изображений были сформулиро-
сформулированы еще в 1948 г. Д. Габором; однако вплоть до изобретения в 60-х гг. лазерных
источников, обладающих требуемой когерентностью, принципы голографии не бы-
были реализованы на практике.
9.6. Дифракционные принципы голографирования
163
Основой трехмерного видения является регистрация на светочувствительной
пластине не только амплитуды световой волны, рассеянной объектом, по и ее фа-
фазы. Информация о пространственном распределении фазы волны теряется при
обычном фотографировании, так как степень почернения фотоэмульсии зависит
от интенсивности слета в данной точке.
Для запоминания «фазового портрета» было предложено освещать фотопла-
фотопластинку наряду с объектным излучением (I), дополнительно интенсивным коге-
когерентным фоном (опорной, или рспсриой волной 1Л), заставляя обе волны интер-
интерферировать в плоскости регистрации (рис. 9.14).
d I
(
mmm
X
Рис. 9.14. Запись голограммы плоской волны (а) и сферической волны
от точечного источника (б)
Простейший случай записи голограммы плоской волны представлен на
рис. 9.14. а. Такая голограмма представляет собой систему эквидистантных ин-
интерференционных полос, так как угол между пучками 6 во всех точках голограм-
голограммы одинаков. Пространственный период полос d определяется углом 9 и длиной
волны излучения X:
d
sin О
На рис 9.14, 6 приведен пример записи «фазового портрета» сферической вол-
волны. В этом случае по мере удаления от оптической оси период концентрических
полос, аналогичных кольцам Ньютона, убывает, поскольку угол 0 между интер-
интерферирующими волнами растет. Такую систему уплотняющихся от центра к краю
интерференционных колец принято называть решеткой Сорэ. Именно она и яв-
является голограммой идеального точечного источника.
Схема наблюдения или, как говорят, восстановления голограммы поясняется
на рис. 9.15, а. В данном случае восстанавливается голограмма точки S.
За счет дифракции на синусоидальной решетке, образуемой интерференци-
интерференционными полосами, возникают три волны. Одна из них соответствует главному
максимуму нулевого порядка т = 0 и распространяется в направлении падающей
волны. Какой-либо полезной информации эта волна не несет. Направление вол-
волны с т - 1 определяется условием c/sin9 = X, таким образом, ее направление и
все остальные характеристики такие же, как у предметной волны I при записи
164
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
Рис. 9.15. Восстановление голограммы точечного источника (а)
и увеличенная схема верхней части (б)
голограммы. Эта волна формирует мнимое изображение исходного предмета S".
Третья волна с т - -\ отличается знаком пространственной частоты и создает
действительное изображение предмета S'.
Формирование восстановленных изображений поясняется r укрупненном виде
на рис. 9.15, б. Поскольку плотность интерференционных колец возрастает по
направлению к краю голограммы, лучи, попадающие на периферийную часть го-
голограммы, отклоняются сильнее. Реальные сходящиеся дифрагированные лучи
собираются в точке 5", а продолжение за голограмму расходящегося пучка фор-
формирует мнимое изображение S".
Поскольку пучок нулевого порядка и волна, формирующая действительное
изображение, зачастую мешают восприятию трехмерного мнимого изображения,
было предложено (Лейте и Упатниекс, 1962 г.) когерентный фон в виде плоской
опорной волны при записи направлять наклонно к оси объектной волны. Тогда
при восстановлении голограммы ненужное излучение быстро покидает область
наблюдения объекта (рис. 9.16).
Рис. 9.16. Получение и восстановление голограммы Лейтса и Упагниекеа при наклонном
падении опорного пучка
Указанный прием повышает требования к качеству используемых фотомате-
фотоматериалов, в частности к их разрешающей способности: с увеличением угла 6 умень-
уменьшается период интерференционных полос dy а максимальный размер зерна фото-
фотоэмульсии должен быть существенно меньше d.
Еще одна особенность записи качественных голограмм — требование увели-
увеличенной интенсивности опорной волны по сравнению с объектной. Дело в том,
что кривая почернения фотоматериалов (зависимость оптической плотности
9.6. Дифракционные принципы голографирования
165
Рис. 9.17. Зависимость степени почернения
фотопластинки от экспозиции
A - Г) от экспозиционной дозы D), ви-первых, нелинейна (рис. 9.17) и, во-вто-
во-вторых, даже на линейном участке зависит от общей интенсивности света. При вос-
восстановлении голограммы необходима неискаженная информация об амплитуде
светового поля, поэтому в отличие от высококонтрастных полос при двухлуче-
вой интерференции, получаемых при равенстве амплитуд источников, синусои-
синусоидальная пространственная модуляция голограмм должна обеспечиваться поло-
полосами малой видности.
При использовании плоской волны в качестве когерентного фона, как пра-
правило, различные части голограммы записываются в условиях заметно различа-
различающихся углов 9. По такой схеме создаются голограммы Френеля (рис. 9.18, а),
которые предъявляют повышенные требования к разрешающей способности фо-
фотоэмульсии. Р1з рисунка видно, что плоская опорная волна ?^, отразившаяся от
зеркала М, попадает на голограмму Р в широком интервале углов от 0t до 02, об-
образуемых с объектной волной Z.
U
Ls2
М
а б
Рис. 9.18. Получение голограмм Френеля (а) и Фурье (б)
Другая возможность — использовать в качестве опорной сферическую волну от
точечного источника SR — реализуется при записи голограмм Фурье (рис. 9.18, б).
В этом случае опорная волна формируется дополнительной линзой Ls2, собира-
собирающей опорный пучок в области точечной диафрагмы SR. Интерференция с объ-
объектной волной I от любой точки объекта Л по всей голограмме создает полосы
примерно равного периода, поскольку углы 0 практически не меняются. Таким
166
Глава 9. Дифракция на регулярных стр>
образом, размещая объект и опорный источник на одном расстоянии от
пластины, можно добиться сравнительно больших пространственных пер
полос.
При изучении голограммы под микроскопом (рис. 9.19) хорошо видны <
мы интерференционных полос, образующихся при наложении двух когере]
волн: опорной и объектной.
Рис. 9.19. Голограмма под микроскопом
В отличие от обычной фотографии, где информация о какой-либо точк
екта фиксируется на одном определенном участке отпечатка, свет, рассек
каждой точкой предмета при голографировании, падает на всю поверхност
топластинки. Поэтому каждый участок голограммы содержит в закодиров;
виде информацию сразу о всех точках предмета, и восстановить предметну»
ну можно с помощью небольшого участка голограммы. По мере уменьшени
мсров голограммы лишь ухудшается разрешающая способность и сужаете*
зрения.
Отметим, что при записи голограммы в монохроматическом свете, уве
вая или уменьшая длину волны освещения при восстановлении изобрая
можно изменять его масштаб.
Задача регистрации трехмерного цветного изображения с возможность!
становления голограммы в белом свете была решена академиком Ю. Н. Де]
ком с использованием так называемых толстых, или объемных голограмм,
сывасмых во встречных пучках при последовательном экспонировании <
Действительное
изображение
Рис. 9.20. Запись и восстановление объемной голограммы
9.6. Дифракционные принципы голографирования
пластины в трех основных цветах (рис. 9.20). Именно по мет<
стоящее время создаются все художественные голограммы
Из многочисленных практических применений голограф]
всего голографическую интерферометрию, позволяющую hj
ренцию волн, зарегистрированных в разные моменты времен
и тот же опорный пучок, на одной фотографии можно двал
но зафиксировать рассеянные предметом волны. Если межд>
кие-то части предмета сместились или деформировались, то г
две одновременно возникающие предметные волны будут и;
разность хода, и изображение предмета будет покрыто систе]
онных полос, аналогичных обычным полосам равной толщи
нию этих полос можно судить об изменениях объекта между
этом изучаемый объект может иметь сложный рельеф и nit
ность, так как эти факторы одинаково влияют на обе восста
метные волны.
На рис. 9.21 показано, как голографическая интерферомс
фиксировать газовые потоки над раскаленной нитью лампы, л
Рис. 9.21. Технические применения голографической интер<
модель летящей пули, лампа накаливания, стеклянная
сложной формы
168
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
волны от летящей пули или данные бесконтактного контроля стеклянной колбы
электронно-лучевой трубки.
Трехмерные динамические голограммы уже сейчас используются для реализа-
реализации SD-дисплеев, например, для авиационных диспетчеров. Другое перспектив-
перспективное применение голограмм — создание компьютерных запоминающих устройств.
Голографическая память сулит прорыв в области оптических информационных
систем как по плотности записи, так и по надежности, поскольку информацион-
информационные единицы не привязаны к конкретным точкам (пикселам) матрицы, точно
так же, как информация о данной точке объекта записана на всей голограмме,
а не на отдельном участке.
Примеры решения задач
Пример 9.1. На чертеже зон Френеля, сделанном для плоского фронта волны,
радиус первой окружности, ограничивающей центральную зону равен 2 см. Ра-
Радиус последней окружности 14 см. Сколько зон Френеля содержится на черте-
чертеже? Зная, что площади всех зон равновелики, определите расстояние между дву-
двумя последними окружностями.
Решение
Для плоского волнового фронта радиус га-й зоны Френеля связан с параметрами
оптической системы соотношением rj = mbX, где т — видимое из точки наблюде-
наблюдения число зон Френеля, b — расстояние до точки наблюдения (см. формулу 7.2).
Отсюда находим, что
Расстояние между двумя последними окружностями (ширина последней изо-
изображенной зоны) определится как
Агт = гт- гт_х = (т[т-л1т-1)Ь\ =
-l) г,2 = 0,28 см.
Пример 9.2. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью /п падает по
нормали на круглое отверстие с г - 1,2 мм. Расстояние а велико, длина волны
X = 640 нм. Найдите интенсивность в точке В при Ь = 1,5 м.
Примеры решения задач
169
Решение
Интенсивность в центре экрана определяется количеством зон Френеля га, укла-
укладывающихся в отверстии:
г2
т = — = 1,5 (см. предыдущую задачу).
На векторной диаграмме такому отверстию соответствует вектор АВ, длина
которого LAB = LA0^f2. Учитывая, что длина вектора определяет амплитуду поля
в точке наблюдения, а интенсивноегь пропорциональна квадрату амплитуды, по-
получаем: / = 2/0.
Пример 9.3. Узкая щель шириной b - 35 мкм освещается монохроматическим
излучением с плоским фронтом. Длина волны X = 620 им. На экране Р, помещен-
помещенном в фокальной плоскости линзы Is, наблюдается дифракция Фраунгофера с
характерным размером а. Определите величину а, если расстояние от линзы до
экрана / = 80 см.
Решение
Лучи, дифрагировавшие на щели, образуют на экране систему дифракционных
максимумов и минимумов. Условие минимума имеет вид &sin0 = mA,. Из тре=
угольника ОАВ, условия первого минимума и условия малости угла дифракции
(к/Ь «: 1) получаем
tgG «sinG = — =-, откуда
/ Ь
= f - = 14,2 мм.
о
Пример 9.4. Перед объективом фотокамеры установлена дифракционная решет-
решетка с периодом 0,002 мм. На решетку, нормально к ней, падает пучок белого света.
Найдите длину гпектра первого порядка, если фокусное расстояние объектива
/=21 см, а пленка чувствительна к лучам с длиной волны от 400 до 680 нм.
Решение
Длина спектра первого порядка может быть определена из выражения А/ = /АО =
= Df/sX, где D = m/(d cos 0) — угловая дисперсия, см. формулу (9.7). Из условия
главных максимумов в первом порядке: sinO ^ k/d, и среднее значение
rosB = Jl-| — I *
170
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
для всех длин волн указанного интервала. Таким образом, можно считать, что
дифракционная решетка имеет в данном порядке спектра постоянную диспер-
дисперсию. Отсюда находим, что Д/ = 30 мм.
Задачи
9.1. Плоская монохроматическая волна с интенсив-
интенсивностью / падает нормально на непрозрачный экран D
с отверстием. Какова интенсивность в точке Р, для ко-
которой размер d соответствует открытию первой зоны
Френеля. Ответ дайте для трех различных отверстий.
9.2. В точке S находится источник монохроматическо-
монохроматического света (X = 500 им). Диафрагма с отверстием радиу-
радиусом 1 мм перемещается из точки, отстоящей от S на
1 м, в точку, отстоящую от S на 1,75 м. Сколько раз
будет наблюдаться затемнение в точке Р, если SP=2 м?
9.3. В точке Р наблюдается дифракция излучения от
точечного источника S на круглом отверстии D. От-
Открыто 14 первых зон Френеля. Определите, во сколь-
сколько раз уменьшится интенсивность в точке Р, если по-
половину отверстия закрывают непрозрачным экраном.
9.4. На амплитудную зонную пластинку падает пло-
плоский волновой фронт (X = 585 нм). Максимальная кон-
концентрация световой энергии на оси пластинки достига-
достигается в точке Fo на расстоянии 450 мм от нее. Найдите
диаметр центральной непрозрачной зоны. Найти зна-
значения 3-х первых дополнительных фокусов.
9.5. Диск диаметром 0,5 см с неровностями 10 мкм
расположен на расстоянии 1 м от точечного источни-
источника S (X = 0,5 мкм). Считая, что пятно Пуассона видно
до тех пор, пока неровности перекрывают зону Фре-
Френеля не более чем на 1/4, найдите минимальное рас-
расстояние (/Inin) для его наблюдения.
Задачи
171
9.6. Плоская волна падает на экран с прямоугольной
щелью ширины d. При этом в точке Р наблюдается
самый глубокий минимум. Затем щель расширяют еще
на 0,7 мм и наблюдают следующий минимум. Найди-
Найдите число открытых зон kx и kv если b = 60 см.
9.7. Свет от источника S дифрагирует на круглом от-
отверстии D. Выберите на фазовой диаграмме векторы,
соответствующие амплитудам в точке Р, если; а) от-
отверстие открывает почти 7 первых зон; б) вместо эк
рана с отверстием — диск того же диаметра; в) экрана
нет вообще.
9.8. Плоская световая волна (интенсивности /0 и дли-
длиной волны X) падает нормально на стеклянную пла-
пластину (показатель преломления п) с круглой выем-
выемкой глубиной h и радиусом R. Для точки Р радиус R
соответствует первой зоне Френеля, а величина h —
максимальной интенсивности. Найдите h .
9.9. На рисунке представлен график распределения
интенсивности света в случае дифракции Фраунгофе-
ра на щели, где а — характерный размер на экране.
Как изменится вид графика, если ширину щели умень-
уменьшить в два раза?
9.10. Плоская монохроматическая волна падает по
нормали на щель шириной d. На экране Р наблюдает-
наблюдается дифракционная картина в дальней зоне. Опишите
изменения этой картины после перекрытия щели стек-
стеклянным клином.
9.11. Как изменится дифракционная картина главных
максимумов, если у амплитудной решетки G с перио-
периодом 6 мкм увеличить ширину щелей до 2 мкм? Ис-
Исходную ширину щели считать бесконечно малой.
ъ/\ к
|
U А '
; д '.у; .•,. л /.•Л.'Л-Лу.^Л луЖум-о,, . 4., №f. .•,'.,. л..... ¦. h ••..,.;ь ... •j/Vi.-У:-;
i i j j j j i i ! | | ! i
t f Ш H H ? H f
-4а -Ъа -2а -а 0 а 1а За 4а
172
Глава 9. Дифракция на регулярных структурах
9.12. Дифракционная решетка шириной 25 мм имеет
400 штр/мм. Определите: а) ее разрешающую способ-
способность для спектра третьего порядка; 6) наименьшую
разность длин волн ЪХ двух спектральных линий оди-
одинаковой интенсивности вблизи X ~ 0,56 мкм, которые
можно разрешить этой решеткой в максимальном по-
порядке спектра, если свет падает на решетку нормально.
9.13. Какое фокусное расстояние должен иметь объ-
объектив Is спектрографа с дифракционной решеткой,
имеющей ширину заштрихованной части 10 см и пол-
полное число штрихов 60 000, чтобы разрешаемые им во
втором порядке спектральные линии были видны
на фотопластинке не ближе чем на расстоянии 0,2 мм
(X = 650 нм)?
ttttttttj
p
Часть 3
Взаимодействие света
с веществом
ГЛАВА 10 Поляризация света
При рассмотрении в рамках скалярных теорий интерференционных и дифрак-
дифракционных явлений намеренно игнорировался векторный характер электромагнит-
электромагнитного поля световых волн. Однако результат взаимодействия света с веществом
во многих случаях зависит от ориентации вектора Е. Поэтому описание этих яв-
явлений следует предварить рассмотрением векторных особенностей поперечных
световых колебаний.
10.1. Естественный и поляризованный свет
Поляризация — свойство света, связанное с поперечпоетъю электромагнитных
волн и описывающее пространственное поведение векторов электрического и маг-
магнитного полей. Заметим, что направления электрического и магнитного векторов
в волне не являются независимыми.
Из уравнений Максвелла для монохроматических волн A.22) вытекает, что
волновой вектор к, векторы Е и Н взаимно ортогональны и составляют правую
тройку (см. также рис. 1.4). Это позволяет ограничиться рассмотрением ориен-
ориентации только вектора электрической напряженности. Именно по этому вектору
обычно определяют поляризацию света.
Сначала рассмотрим случай, когда колебания вектора Е полностью детерми-
детерминированы. Проекции электрического вектора световой волны, распространяю-
распространяющейся вдоль оси OZ, могут быть записаны следующим образом:
Ех = Е{)х. cos(co? -kz + 5V),
Исключив из этих уравнений переменную часть фазы со? - kz, получим урав-
уравнение, описывающее движение конца вектора Е в фиксированной плоскости X0Y:
У ( Е V ЕЕ
+ И -2 v y cos5 = sin25, A0.1)
KJ ЕОхЕОм
где 6 = 8- 8V — разность фаз проекций электрического вектора. В общем случае
траектория, задаваемая A0.1), представляет собой эллипс (рис. 10.1). В соответ-
соответствии с формой описываемой кривой, такая поляризация называется эллиптиче-
10.1. Естественный и поляризованный свет
175
ской. Степень вытянутости эллипса зави-
зависит от соотношения амплитуд проекций и
разности фаз 5. Так, при 5 = тп уравнение
A0.1) переходит в
= 0.
A0.2)
Рис. 10.1. Эллиптическая траектория
движения электрического вектора:
а, Ь — полуоси эллипса; м/ — азимут
Это — уравнение отрезка прямой в плос-
плоскости XOY. Колебания вектора Е при рас-
распространении волны происходят в фикси-
фиксированной плоскости, называемой плоско-
плоскостью поляризации, поэтому такая поляри-
поляризация волны называется линейной или плоской- Именно такая волна была изо-
изображена на рис. 1Л, плоскостью поляризации является плоскость XOZ.
Если амплитуды проекций равны ЕОх = Е{I/ = ?0, а фазовый сдвиг:
R Bт+1)тг
о = ,
из A0.1) получим;
E^E^Eg. A0.3)
тп есть уравнение окружности. Такая поляризация называется круговой или цир-
циркулярной.
Несколько примеров эллипсов поляризации при фиксированном отношении
EJE и изменении 5 показаны на рис. 10.2. Видно, что описываемые кривые мо-
могут отличаться не только формой, но и направлением вращения. В соответствии
с этим, эллиптическая или круговая поляризация может быть правой или левой.
Поляризация считается правой, если электрический вектор вращается по чяго-
вой стрелке (при наблюдении навстречу волне).
я/2<5<я 8-я я<5< 3/2я
Рис. 10.2. Зависимость вида эллипса поляризации от фазового сдвига
Если с помощью какого-либо прибора удалось бы отследить пространствен-
пространственное поведение вектора Е в световом пучке, испущенном обычным (нелазерпым)
источником света, то обнаружилось бы, что вместо вращения по эллипсу он хаоти-
176
Глава 10. Поляризация света
чески меняет свою ориентацию (рис. 10.3, а). Такой свет называется пеполяриэо-
ваиным или естественным.
Причина отсутствия поляризации заключается в том, что обычный источник
состоит из большого числа независимых друг от друга элементарных излучате-
излучателей (атомов). Каждый отдельный атом испускает свет со своей поляризацией, но
в результате сложения всех колебаний общий характер движения вектора Е при-
приобретает хаотический характер.
X
оо
Yk
Рис. 10.3. Движение вектора Е в естественном (а), частично поляризованном (С)
и полностью поляризованном (в, г) свете
Возможна ситуация, когда в источнике существует некоторая корреляция меж-
между излучателями. Тогда, несмотря на хаотичность движения вектора Е, вероятно-
вероятности разных ориентации Е неодинаковы (рис. 10.3, б). Это — частично поляризо-
поляризованный свет. Наконец, если все атомы испускают свет с одинаковой поляризаци-
поляризацией, излучение источника и целом будет полностью поляризованным (рис. 10.3, в, г).
Такая ситуация типична для лазеров, в которых атомы взаимодействуют друг с
другом через поле излучения, или для слета, пропущенного через специальные
устройства — поляризаторы. Линейно, циркулярно или эллиптически поляри-
поляризованный свет является различными реализациями полностью поляризованного
излучения, а частично поляризованный свет может быть представлен как смесь
естественной и полностью поляризованной компонент.
10.2. Анализ поляризации.
Степень поляризации
Для изменения и анализа поляризации света применяются различные устройст-
устройства: поляризаторы, анализаторы, компенсаторы, фазовые пластинки и т, и. Неко-
Некоторые типы таких устройств и принципы их работы рассмотрены ниже.
Поляризаторы с технической стороны могут быть самых разных типов: кри-
кристаллические, пленочные, отражательные и т. д. Независимо от конкретной реа-
реализации, поляризатор пропускает свет с определенной ориентацией вектора Е.
Таким образом, прошедший через поляризатор свет всегда линейно поляризо-
поляризован. Если в оптической схеме имеется два последовательно стоящих поляризую-
поляризующих элемента, то первый обычно называется поляризатором, а второй — анали-
анализатором.
10.2. Анализ поляризации. Степень поляризации
177
Если падающий на поляризатор или
анализатор свет уже линейно поляризо-
поляризован, то дальше пройдет только проекция
электрического вектора на направление
пропускания поляризатора (рис. 10.4.).
Следовательно,
?,= ?0cos(p и /1 =
(Ю.4)
Ф
Рис. ю.4. Прохождение линейно
поляризованного света через
поляризатор
где ф — угол между плоскостью поляри-
поляризации падающей волны и направлением
пропускания поляризатора. Соотноше-
Соотношение A0.4) называется законом Малюса
(Малю).
Если падающий смет неиоляризован, то в нем присутствуют компоненты
с любыми ориентациями вектора Е (то есть с любыми значениями ср). Усреднив
A0.4) по углам, получим: 1^0,51^. Значит, при любой ориентации поляризато-
поляризатора через него проходит половина интенсивности естественного света.
Из вышесказанного видно, что типы поляризации световых волн отличаются
большим разнообразием, поэтому необходимо ввести количественную характе-
характеристику — степень поляризации. Определение степени поляризации основано на
представлении частично поляризованного света как смеси естественной /ест и по
ляризованной /ПО1 компонент:
Р--—1ио\ . A0.5)
L + 4
Нетрудно заметить, что согласно A0.5) степень поляризации может изме-
изменяться в пределах 0 < Р < 1. При этом значение Р = 1 соответствует полностью
поляризованному свету (с любым типом поляризации), а Р = 0 — естественному
(неполяризованному) свету. Все промежуточные значения соответствуют час-
частично поляризованному свету.
Определенная по A0.5) величина не дает ответа на вопрос, каков тип поляри-
поляризации светового пучка. Поэтому на практике часто используется другая характе-
характеристика, основанная на анализе изменения интенсивности света, прошедшего че-
через поляризатор, при его повороте вокруг направления светового пучка. В ходе
поворота определяют максимальное /1Пах и минимальное Vmin значения интенсив-
ностей, которые соответствуют двум взаимно ортогональным ориентациям поля-
поляризатора. Затем вычисляют величину Д по формуле;
А = /тах ~ min . A0.6)
Определенный таким образом параметр Д, так же как и Р, лежит в пределах
О < Д < 1. Значение А = 1 соответствует линейно поляризованному свету (при опре-
определенном положении поляризатора свет полностью гасится), а значение Д = 0 —
естественному или циркулярно поляризованному свету (интенсивность прошед-
прошедшего света не зависит от положения поляризатора). Величина А представляет,
по сути, степень линейной поляризации, ее удобно использовать, например, при
анализе света, отраженного от границы оптических сред (см. раздел 11.2).
178 Глава 10. Поляризация света
Поскольку и поляризация, и когерентность света непосредственно связаны
с фазами электромагнитных волн, встает вопрос о соотношении друг с другом
степени поляризации и степени когерентности света.
Хаотическое изменение фазы излучения обычных источников белого света
приводит к появлению нскогерептпого и неиоляризованного излучения. С помо-
помощью поляризаторов и компенсаторов это излучение может быть сделано линей-
линейно, циркулярно или эллиптически поляризованным без изменения его спектраль-
спектрального состава. В результате получается поляризованный, но некогерентный свет.
С другой стороны, монохроматизация белого света, реализуемая изотропны-
изотропными абсорбционными или интерференционными светофильтрами, не влияет на
его состояние поляризации — свет может стать квазимонохроматическим, но ос-
остаться неполяризованным.
Таким образом, непосредственной связи между степенью поляризации и сте-
степенью когерентности нет. Заблуждения на этот счет часто появляются в резуль-
результате знакомства с предельно когерентным излучением лазерных источников с
линейной поляризацией (например, гелий-неонового лазера). Его линейная по-
поляризация определяется не только механизмом вынужденного излучения, но
и особенностями конструкции лазера (брюстеровскими окнами в резонаторе,
см. раздел 11.2). Если расположить выходные окна перпендикулярно оптиче-
оптической оси лазера, поляризационные свойства излучения оказываются совершенно
иными. С другой стороны, короткоимпульсные лазеры могут давать свет полно-
полностью поляризованный, но с весьма низкий степенью когерентности.
10.3. Описание поляризации с помощью
параметров Стокса
Описать состояние поляризации света можно непосредственно параметрами эл-
эллипса поляризации, как наиболее общего случая сложения двух ортогональных
колебаний с одинаковой частотой. Если разворотом системы координат совмес-
совместить ее оси с полуосями эллипса (рис. 10.5), то величину tgx называют эллип-
эллиптичностью, а угол у — азимутом. Состояние поляризации часто определяют с
помощью так называемого вектора Стокса, четыре компоненты которого имеют
размерность интенсивности и могут быть измерены экспериментально:
я - /с2 + 92 а- 92 F'2 + F2 - Т
51 = ?02x-?02y = 50cos2xcos2\|/,
S>2 = 2E[)xE{)y cos S - S{) cos2xsin2v|/,
Параметр 50 пропорционален полной интенсивности световОг/О пучка. В даль-
дальнейших примерах будем полагать интенсивность единичной. Параметр Sx пред-
представляет степень преобладания горизонтальной линейной поляризации (вдоль
оси ОХ) над вертикальной (вдоль оси OY). Для горизонтальной поляризации 5, = 1,
для вертикальной — 5\ = -1. Параметр S2 определяет преобладание линейной по-
поляризации под углом 45° E2= 1) над поляризацией под углом 135° E2 = -1).
10.3. Описание поляризации с помощью параметров Стокса
179
Рис. 10.5. Определение эллиптичности и азимута для эллипса поляризации
Наконец, параметр 53 позволяет определить направление вращения вектора Е.
Для правого вращения 53 > 0, для левого — 53 < 0. Значения 53 = ±1 соответствуют
циркулярно поляризованному свету.
Параметры 5,, 52, 53 можно рассматривать как декартовы координаты точки Р
на поверхности сферы радиусом So. При этом 2у и 2% представляют собой сфе-
сферические угловые координаты этой точки (рис. 10.6, я). Такая сфера, каждая точ-
точка которой представляет определенное состояние поляризации, называется сфе-
сферой Пуанкаре.
Рис. 10.6. Сфера Пуанкаре. Связь угловых координат с параметрами Стокса (а)
и отображение различных состояний поляризации (б)
На полюсах сферы Пуанкаре расположены две циркулярные поляризации, на
экваторе — линейные поляризации всех азимутов. Параллели являются линия-
линиями равной эллиптичности («широта места» равна 2%), а меридианы — линиями
равных азимутов («долгота места» равна 2i|/) (рис. 10.6, б). Если передвигаться
по одному из меридианов от верхнего полюса к нижнему, то в верхнем полуша-
полушарии мы пройдем последовательно через всё более вытянутые эллипсы с правым
вращением электрического вектора и на экваторе попадем в точку, характеризу-
характеризующую линейную поляризацию с азимутом, равным азимуту больших полуосей
180
Глава 10. Поляризация света
эллипсов. В нижнем полушарии направление вращения сменится на противопо-
противоположное.
Описание с помощью параметров Стокса применимо и для частично поляри-
поляризованного света. В этом случае 5q > S'f + 5| + S'?, все четыре параметра оказыва-
оказываются независимыми, а степень поляризации, совпадающая с определением A0.5),
описывается выражением:
A0.8)
Параметры Стокса часто записывают в матричном виде как вектор-столбец
из четырех элементов. Некоторые примеры векторов Стокса приведены ниже.
Ертрртванный
свет
0
0
Линейная
поляризация
вдоль оси ОХ
1
0
Линейная
поляризация
вдоль оси OY
m
-1
0
Линейная
поляризация
под углом 45°
0
1
Правая
круговая
поляризация
пл
0
0
При прохождении света через различные оптические приборы состояние по-
поляризации может изменяться. Поляризационные характеристики устройства за-
задаются с помощью матрицы Мюллера, которая связывает между собой входной
и выходной векторы Стокса.
\ С с \ /с'\
я,,
а22
а32
аА1
а.,.
а.
зз
«43 «4
U
s:2
A0.9)
где atj — 16 безразмерных коэффициентов, зависящих от особенностей конкрет-
конкретного типа устройства. Так, например, поляризатор с пропусканием вдоль оси X
описывается матрицей
'1/2 1/2 0 0^
1/2 1/2 0 0
0 0 0 0
,0 0 0 0;
Действительно, если эту матрицу умножить на вектор Стокса, соответствую-
соответствующий произвольной поляризации, получим вектор линейно поляризованного света:
1/2 0 0^ (So) f(S0-
1/2
0
о
1/2
0
0
0
0
0
0
0
0
s2
о
о
Примеры решения задач
181
Еще пример — матрица устройства, превращающего поляризацию света из
линейной в круговую — так называемая фазовая пластинка Х/А (см. раздел 12.5)
имеет вид:
0 0 0 1
0 0 10
0 -1 0 0^
Ее действие на свет, линейно поляризованный вдоль ОХ, описывется уравне-
уравнением
0 0
0
0 0 0 1
0 0 10
0-100
о
-5,
о У
то есть на выходе получается свет, поляризованный но левому кругу.
Примеры решения задач
Пример 10.1. Частично поляризованный свет, состоящий из компонент, поляри-
поляризованной по кругу (интенсивностью /к) и естественной (интенсивностью /е) про-
проходит через четвертьволновую пластинку и анализатор. При вращении послед-
последнего найдено, что интенсивность прошедшего света меняется от /шах до /min, причем
/max//min = 3. Найдите отношение /к//е.
Решение
Четвертьволновая пластинка вносит дополнительную разность фаз я/2 между
двумя ортогональными составляющими электрического вектора. Поэтому при про-
прохождении пластинки циркулярно поляризованный свет E = я/2) превращается
в линейно поляризованный E - я) с той же интенсивностью, и наоборот. Есте-
Естественный свет не претерпевает никаких изменений, так как в нем фазовый сдвиг
хаотически изменяется. В соответствии с законом Малюса A0.4) интенсивность
прошедшей линейно поляризованной компоненты меняется от 1К до нуля, а ес-
естественной — всегда равна /е/2. Таким образом,
IJ2
_ о
откуда находим, что /к//е = 1.
Пример 10.2. Световой пучок, вектор Стокса которого имеет вид
1/2
1/2
182
Глава 10. Поляризация света
проходит через поляризатор. При какой ориентации поляризатора интенсивность
прошедшего через него света будет максимальной?
Решение
Определим вначале тип поляризации исходного пучка. Степень поляризации
в соответствии с формулой A0.8) равна
р _V(l/2J +A/2J-К1/2O" _ УЗ
1 2 '
Так как эта величина меньше единицы, то свет частично поляризован и пред-
представляет собой смесь естественной и эллиптически поляризованной компонент.
Максимальная интенсивность света, прошедшего через поляризатор, получится,
если плоскость пропускания поляризатора будет совпадать с большой полуосью
эллипса. Ее положение определим с помощью соотношений A0.7):
1 = 50cos2xcos2\|/ = 1/2,
2 = 5'0cos2xsin2\|/ = 1/2.
Отсюда tg2\|/ = 1; 2\|/ = л/4; у = я/8. Следовательно, поляризатор нужно ори-
ентировать под углом 22,5° к оси ОХ.
Задачи
10.1. Естественный свет проходит через поляризатор
Р и анализатор А, поставленные так» ЧТО угол между
их главными плоскостями равен ф. Как поляризатор,
так и анализатор поглощают и отражают 8 % пада-
падающего на них света. Оказалось, что интенсивность
луча, вышедшего из анализатора, равна 9 % от интен-
интенсивности естественного света, падающего на поляри-
поляризатор. Найдите угол ф.
10.2. Поляризованный по кругу свет интенсивностью /0
падает на стопку из трех поляризаторов. Первый и по-
последний из них скрещены, а главная плоскость сред-
среднего образует угол ф с главной плоскостью первого.
Определите интенсивность на выходе из системы.
10.3. Естественный свет проходит через два поляри-
поляризатора, главные плоскости которых составляют угол
45°. Выйдя из второго поляризатора» свет отражается
от зеркала и проходит через оба поляризатора в об-
обратном направлении. Определите отношение интен-
сивностей света на входе и на выходе этой системы.
'о
Л
А
Ф
и
Рг
Задачи
183
10.4. Смесь линейно поляризованного и поляризован-
поляризованного по кругу света проходит через анализатор. При
повороте анализатора на угол ср = 30° от положения,
соответствующего максимальной интенсивности про-
прошедшего через него света, интенсивность уменьши-
уменьшилась на 20 %. Чему равно отношение интенсивностей
света поляризованного по кругу и линейно поляризо-
поляризованного?
10.5. Степень поляризации частично поляризованного света Р = 0,25. Найдите
отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к интен-
интенсивности естественной составляющей,
ГЛАВА 11 Отражение
и преломление света
Классической задачей, для решения которой имеет значение ориентация векто-
вектора Е, является прохождение световой полны через границу раздела двух срид.
Это связано с тем, что отражение и преломление различно поляризованных со-
составляющих пучка света (перпендикулярно иди параллельно плоскости падения)
происходит по-разному. Следовательно, исходно неполяризованный свет после
отражения или преломления становится частично поляризованным, если свет
падяет не* но нормали.
11.1. Граничные условия.
Формулы Френеля
Граничные условия для векторов напряженности и индукции, известные из элек-
электростатики, уравнивают на границе раздела тангенциальные компоненты векто-
векторов Е и Н и нормальные компоненты векторов D и В, по сути, выражая отсутст-
отсутствие токов и зарядов вдоль границы и ослабление внешнего электрического поля
в ? раз при попадании н диягтртггрик (см тякже соотношения 1.8):
?« = ?00; ЯЯ = ЯТ("); Z?« = Dju>; В® = В^. A1.1)
При этом поле в первой среде складывается из полей падающей и отражен-
отраженной волн, а но второй среде — равно полю преломленной волны (см. рис. 11.1).
Рис. 11.1. К выводу законов отражения и преломления
11.1. Граничные условия. Формулы Френеля
185
Поле в любой из воли может быть записано п виде тшнмшнний типа
EQ = Aoexp[i(kxx + kyy + k2z-<ut)].
Так как граничные условия A1.1) должны выполняться в любой точке грани-
границы сред и в любой момент времени, из них можно получить следующие законы
отражения и преломления.
1. Частоты всех трех волн одинаковы: со0 = со^ = со2.
2. Волновые векторы всех волн лежат в одной плоскости: kQy = kXy = k2y = 0.
3. Угол падения равен углу отражения: а = а'.
4. Закон преломления Снеллиуса: wtsina = n2smp. Можно показать, что произ-
произведение п • sina остается постоянным при любом законе изменения показате-
показателя преломления вдоль оси OZ, не только ступенчатом на границах раздела, но
и непрерывном. Третий и четвертый законы ранее были получены методами
геометрической оптики (см. разделы 2.3, 2.4).
На эти законы поляризация волн не влияет. С другой стороны, непрерыв-
непрерывность соответствующих компонент векторов Е и Н приводит к так называемым
формулам Френеля, позволяющим рассчитать относительные амплитуды и ин-
интенсивности отраженной и прошедшей волн для обеих поляризаций. Выражения
оказываются существенно различными для параллельной (когда вектор Е лежит
в плоскости падения) и перпендикулярной поляризации, естественно совпадая
для случая нормального падения (а = р = 0).
Геометрия полей для параллельной поляризации показана на рис. 11.2, я, для
перпендикулярной — на рис. 5.2, б. Как было отмечено в разделе 1.4, в электро-
электромагнитной волне векторы Е, Ник образуют правую ортогональную тройку.
пх
I J '
*> * **Wiw<,
Рис. 11.2. Геомефии полки пядзющёи, Отраженной и преломленной поли
для параллельной (а) и перпендикулярной (б) поляризации
Поэтому если тангенциальные компоненты векторов Ео и Е, падающей и от-
отраженной волн направлены одинаково, то соответствующие проекции магнит-
магнитных векторов имеют разные знаки, С учетом этого, граничные условия приобре-
приобретают вид для параллельной поляризации;
' Ео cos a + Е{ cos a = ?, cos |3,
и для перпендикулярной поляризации:
A1.2)
Но cos a -H}cosa = H2cos$.
A1.3)
186 Глава 11. Отражение и преломление света
Кроме того, в каждой из волн напряженности электрического и магнитного
полей связаны соотношениями ^гг^Е = ^\x\xQH. С учетом этого, из граничных
условий A1.2) и A1.3) можно получить выражения для амплитудных коэффи-
коэффициентов отражения и пропускания:
r = En _ tg(a-p). r _ЕХ1 _
sin(a + p)'
11
2sinpcosa _ Е21 2$inpCQsa
a + P)cos(aP)' JL " E[ *~ sin(a + P)
sin(a
Помимо амплитудных, представляют интерес энергетические коэффициенты
отражения R и пропускания Г, равные отношению потоков энергии соответст-
соответствующих волн. Так как интенсивность световой волны пропорциональна квадра-
квадрату напряженности электрического поля, для любой поляризации выполняется
равенство R = \r\2. Кроме того, справедливо соотношение R + Г= 1, выражающее
закон сохранения энергии при отсутствии поглощения на границе сред.
Таким образом,
R
Совокупность формул A1.4), A1.5) и называется формулами Френеля. Осо-
Особый интерес представляет предельный случай нормального падения света на
границу сред (а = р = 0). При этом исчезает различие между параллельной и пер-
перпендикулярной поляризациями и
Щ + П) Пл + Щ
1 ' 2 A1.6)
(пх +п2J'
Вводя относительный показатель преломления пуг - п2/п{, можем переписать
соотношения A1.6) в виде
Из A1.6) находим, например, что при нормальном падении света из возду-
воздуха (п{ = 1) на стекло (п2 = 1,5) отражается 4 % энергии светового пучка, а прохо-
проходит 96 %.
11.2. Анализ формул Френеля
Рассмотрим сначала энергетические характеристики. Из A1.5) видно, что при
a + р = п/2 коэффициент отражения параллельной компоненты обращается в нуль
11.2. Анализ формул Френеля 187
(/?|( = 0). Угол падения, при котором возникает этот эффект, называется углом
Брюстера. Из закона Снеллиуса легко найти, что
tga6|l=-^ = Wt2, A1.7)
где пп — относительный показатель преломления. В то же время для перпенди-
перпендикулярной компоненты R^ 0. Поэтому при падении неполяризованного света
под углом Брюстера отраженная волна оказывается линейно поляризованной в
плоскости, перпендикулярной плоскости падения, а прошедшая — частично по-
поляризованной с преобладанием параллельной компоненты (рис. 11.3, а) и степе-
степенью поляризации
с?»-о*
(см. пример 11.2). Для перехода воздух-стекло угол Брюстера близок к 56°. Как
нетрудно видеть, геометрия Брюстера соответствует взаимно перпендикуляр-
перпендикулярным направлениям отраженного и преломленного пучков. С микроскопической
точки зрения на границе раздела возникает монослой излучающих диполей, ори-
ориентированных перпендикулярно преломленной волне (что является прямым
следствием граничных условий Максвелла). Как будет показано ниже (см. фор-
формулу A3.1) и рис. 13.2), вдоль своей оси диполь не излучает. Поэтому при пер-
перпендикулярности преломленного и отраженного пучков коэффициент отраже-
отражения соответствующей поляризации обращается в нуль.
Рис. 11.3. Поляризация света при отражении под углом Брюишра (а) и стопа Столетова (б)
На практике получение линейно поляризованного света за счет отражения
под углом Брюстера используется редко из-за низкого коэффициента отраже-
отражения. Однако возможно построение поляризатора, работающего на пропускание,
с использованием стопы Столетова (рис. 11.3, б). Стопа Столетова состоит из
нескольких плоскопараллельных стеклянных пластинок. При прохождении че-
через нее света под углом Брюстера перпендикулярная компонента практически
полностью рассеивается на границах раздела, а прошедший луч оказывается по-
поляризован в плоскости падения. Такие поляризаторы используются в мощных
лазерных системах, в которых поляризаторы других тиной могут быть разруше-
разрушены лазерным излучением.
188
Глава 11. Отражение и преломление света
Другим применением эффекта Брюстера является снижение потерь на отра-
отражение в лазерах за счет установки оптических элементов иод углом Брюстера
к оптической оси резонатора.
Вторым важнейшим следствием формул Френеля является существование
полного внутреннего отражения (ПВО) от оптически менее плотной среды при
углах падения больших, чем предельный угол, определяемый из соотношения
sinaI1BO = -
= n
12-
(П.8)
Подробно эффект полного внутреннего отражения будет рассмотрен в сле-
следующем разделе, сейчас лишь отметим: из формул A1.7) и A1.8) следует, что
угол Брюстера всегда меньше предельного угла.
На графиках рис. 11.4, а приведены зависимости коэффициентов отраже-
отражения при падении света из воздуха на границу со средами г разными показателя-
показателями преломления: п'2 =1,5 (сплошные линии) и я'2' = 2,5 (штриховые линии). На
рис. 11.4, б направление прохождения границы раздела обратное: из более плот-
плотной среды в воздух.
0,8
0,6
0,4
Rn,
*o
Rb
R,
*¦— —*
- 1—
у
''I
^ /
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0 ?
Я,,,
Яо
R,
T „
| Ob II
1
II
/1
/1
' 1
1
|Л||
Ю
D'
7
20
40 a6p60a6p 80 a
О
40
Рис. 11.4. Угловые зависимости коэффициентов отражения от более плотной (а)
и менее плотной (б) сред
Видно, что для среды с меньшим показателем преломления п'2 начальный
уровень отражения ниже, угловые зависимости «мягче», а угол Брюстера мень-
меньше, чем для п. Кривая отражения для естественного света, представляющего со-
собой суперпозицию параллельной и перпендикулярной компонент, идет посере-
посередине между зависимостями /?„ и Rv что подтверждает известный факт: для стекла
коэффициент отражения практически постоянен вплоть до углов падения в 40*.
Обратимся теперь к анализу амплитудных коэффициентов A1.4). Нетрудно
увидеть, что при любых соотношениях между показателями преломления и при
любых углах коэффициенты пропускания t положительны. Это означает, что пре-
преломленная волна всегда софазна падающей.
Коэффициенты отражения г, напротив, могут быть отрицательны. Поскольку
всякую отрицательную величину можно записать как г = |г| • ехр(шO отрицатель-
отрицательность соответствующего коэффициента можно интерпретировать как сдвиг фазы
11.3. Полное внутреннее отражение
189
на л: при отражении. Об этом эффекте часто говорят как о потере полволпы при
отражении.
Из A1.4) следует, что при отражении от оптически более плотной среды
(пх < п2, а > C) г < 0 при всех углах падения, а г,, < 0 при углах падения меньших
угла Брюстера. При отражении от оптически менее плотной среды (пг > nv a < р)
отражение софазное за исключением случая падения света с параллельной поля-
поляризацией под углом больигим угла Брюстера (но меньшим предельного угла).
Очевидно, что при нормальном падении на оптически более плотную среду фаза
отраженной волны всегда сдвинута на п.
Таким образом, естественно поляризованный свет при прохождении границы
раздела двух сред превращается в частично поляризованный, а при отражении
под углом Брюстера даже в линейно поляризованный. Линейно поляризован-
поляризованный свет при отражении и преломлении остается линейно поляризованным, но
ориентация плоскости поляризации может измениться из-за различия коэффи-
коэффициентов отражения двух компонент.
11.3- Полное внутреннее отражение
При падении света на оптически менее
плотную среду (например, переход стек-
ло-тюздух) угол преломления больше, чем
угол падения (рис. 11.5). При угле паде-
падения, называемом предельным углом и опре-
определяемым формулой A1.8)
п.
sina.nnn — ¦
1.
Рис. 11.5. К возникновению полного
внутреннего отражения
то есть р = 90°.
Для границы стекло (и, = 1,5) — воздух аппо ~ 42°.
Если а > апв0, то формально вычисленный синус угла преломления стано-
становится больше 1, что возможно только при комплексных углах. Разумеется, все
реальные углы, образуемые световыми лучами с осями координат, остаются ве-
вещественными, но меняется физическая сущность происходящих процессов.
При а > а,шо для угла (J имеем:
sin р =
sin г/
1, cos р = + -
Следовательно, волновой вектор преломленной волны становится комплекс-
комплексным и поле во второй среде может быть записано как
Е2 =Е() ехр|-4 ехр гю| t-
71
L
X
V;
A1.9)
где / = ¦
со
а -
sin а
— скорость перемещения волнового фронта
во второй среде.
190
Глава 11. Отражение и преломление света
Соотношение A1.9) означает, что электромагнитное поле во второй среде
представляет собой неоднородную волну, распространяющуюся параллельно гра-
границе раздела, с амплитудой
2
7
убывающей по мере удаления от границы. Величина /, по порядку близкая к дли-
длине волны, характеризует эффективную глубину проникновения поля во вторую
среду. Таким образом, при полном внутреннем отражении электромагнитное
поле во второй среде существует только в тонком приповерхностном слое.
Прямым экспериментальным доказательством
проникновения волн во вторую среду является эф-
эффект нарушенного полного внутреннего отражения
(НПВО). Если две стеклянные призмы поместить
близко друг от друга, как показано на рис. 11.6, то
неоднородная преломленная волна попадает во
вторую призму и часть светового пучка проходит
не отражаясь. Изменяя толщину воздушного за-
зазора, можно менять соотношение интенсивностей
отраженной и прошедшей волн, то есть получить
модулятор света. Слой воздуха между призмами
играет роль потенциального бярьеря для гпртпш-лх
квантов. Если толщина этого барьера сравнима с длиной волны, то существенная
доля световой энергии может проникнуть во вторую среду. Аналогом НПВО яв-
является туннельный эффект в квантовой механике. В последнем случае толщина
барьера сравнивается с длиной волны де-Бройля для частиц микромира.
Используя формулы Френеля A1.4) и подставляя в них значения sin р и cos C,
найдем амплитудные коэффициенты отражения при углах падения больших пре-
предельного:
Рис. 11.6. Нарушенное
полное внутреннее отражение
п22 cos а + гф'т2 а -п\2 cos а + гф'т2 а -п\2
A1.10)
п\2 cos а -
а - п\
cos а - \
а - nt
Коэффициенты отражения становятся комплексными. Причем для любой по-
поляризации R = \г\2 = 1. Таким образом, при полном внутреннем отражении вся
световая энергия возвращается обратно в первую среду. Этот эффект находит
многочисленные применения в оптических устройствах. Примеры призм ПВО:
поворачивающей (а), оборачивающей (б), отражающей (в) показаны на рис. 11.7.
а б в г
Рис. 11.7. Применения полного внутреннего отражения
11.3. Полное внутреннее отражение 191
Полное отражение используется также в оптических световодах, представ-
представляющих собой тонкое стеклянное волокно, по которому свет может распростра-
распространяться на значительные расстояния (рис. 11.7, г) без заметного затухания. Све-
Световоды широко применяются в оптических линиях связи, медицине и других
областях.
Всякое комплексное число можно записать в показательной форме: s =s{ + is2 =
= |s|exp(i8). Тот факт, что коэффициенты отражения A1.10) стали комплексны-
комплексными, означает наличие фазового сдвига между отраженной и падающей волнами.
Этот сдвиг не одинаков для двух поляризаций, причем 5„ > 5±. Поэтому в отра-
отраженной волне появляется дополнительный фазовый сдвиг 5 = 5(| - 5± между па-
параллельной и перпендикулярной компонентами электрического вектора, опрсдс
ляемый соотношением
COS a
2 sin2 a
Фазовый сдвиг достигает максимума, равного
при угле падения
sin2 a = Пу1 . A1.13)
1 + nlvl
Из формул A1.11)-A1.13) вытекает, что после полного внутреннего отраже-
отражения состояние поляризации света может измениться. Так, линейно поляризован-
поляризованный свет превращается в поляризованный по эллипсу. Этот эффект используется,
в частности, для получения циркулярно поляризованного света. Однако полу-
получить необходимый для этого фазовый сдвиг я/2 можно, как следует из A1.12),
только если показатель преломления первой среды не меньше 2,41. В видимой
области такой показатель преломления имеет только алмаз. Френелем было пред-
предложено использовать призму (ромб Френеля), в которой свет испытывает пол-
полное внутреннее отражении дважды (рис. 11.8).
Рис. 11.8. Двойное полное внутреннее отражение в ромбе Френеля
Для стекла с п = 1,5 фазовый сдвиг я/4 достигается при углах падения 48°37'
и 54°37f. Если угол при вершине ромба Френеля равен одному из этих углов,
а плоскость поляризации падающего света образует угол 45° или 135Л с плоско-
плоскостью падения, то выходящий свет будет поляризован по правому или левому кругу.
192 Глава 11. Отражение и преломление света
11.4. Отражение света
от поверхности металлов
Последовательная теория, описывающая распространение электромагнитных волн
в проводниках, должна учитывать колебания свободных электронов, плотногть
которых в металлах весьма высока. Однако основные оптические свойства ме-
металлов и других проводящих сред могут быть описаны на основе классической
электромагнитной теории.
Все отличие проводников и полупроводников от диэлектриков с точки зре-
зрения теории Максвелла заключается в ненулевой величине слагаемого, содержа-
содержащего плотность тока проводимости в уравнении
dt J
Для квазимоиохроматических волн операция дифференцирования по време-
времени сводится к умножению на гсо. С учетом закона Ома j = аЕ, где а — удельная
проводимость среды, получаем:
rotH = ш)8?0Е + аЕ. A1.14)
Вводя комплексную диэлектрическую проницаемость
б = б- —, A1.15)
80СО
уравнение A1.14) можно формально привести к такому же виду, что и для ди-
диэлектриков; rotH = гшсс0Е.
Из A1.15) видно, что мнимая часть комплексной диэлектрической проницае-
проницаемости обусловлена проводимостью среды.
Естественно, что комплексным становится и показатель преломления прово-
проводящей среды: п ш пA лс). Мнимая часть показателя преломления описывает wo-
глощеиие света (см. раздел 14.2), поэтому величина к называется показателем
затухания.
Глубина проникновения поля в среду (расстояние, на котором интенсивность
прошедшей волны падает в е раз), определяемая уравнением
E(z, t) — EQ exp[i((ot -nkz)] - Eo ехр[-пккг]- exp[i(co?- nkz)\
равна Х/Аппк. Для большинства металллов в видимой области (пк) = 3 ... 5, то
есть глубина проникновения составляет доли длины волны. Даже очень тонкие
металлические пленки непрозрачны для света.
Приравнивая вещественные и мнимые части соотношения п2 = ё, находим:
AU6)
80СО J
Отсюда следует, что для идеального проводника (а -+ оо) п -> со, к = 1.
Проанализируем теперь поведение волны, отраженной от поверхности метал-
металла. Воспользуемся формулами Френеля для нормального падения A1.6), заме-
заменив в них п на п:
11.4. Отражение света от поверхности металлов
193
й-1
= 1 —
— . A1.17)
1J + (икJ
Отсюда видно, что при больших значениях п коэффициент отражения стре-
стремится к 1. Что поверхности металлов являются хорошими зеркалами, всем извест-
известно хотя бы на бытовом уровне. Таким образом, несмотря на то, что металлы обла-
обладают высоким коэффициентом поглощения, реального поглощения света практи-
практически не происходит — электромагнитное поле просто не проникает в проводник.
Для неидеального проводника с показателем преломления « » 1 и показате-
показателем затухания к <* 1 из A1.17) с учетом второго уравнения A1.16) находим, что
коэффициент отражения отличается от единицы на величину
A1.18)
Это означает, что потери при отражении растут с ростом частоты, то есть
с уменьшением длины волны. Кроме того, с ростом частоты проводимость среды
падает. Поэтому металлические зеркала, прекрасно отражающие ИК-излучение,
в видимой области отражают значительно хуже, а в УФ-диапазоне коэффициент
отражения металлических зеркал не превышает 20-30 %, Полупроводники, име-
имеющие меньшую удельную проводимость а, занимают промежуточное положение,
отражая в видимой области больше, чем диэлектрики, но меньше, чем металлы.
Единственным способом создания высокоотражающих (на уровне 99 %) зеркал
для видимой и УФ-областей является использование многослойных интерфе-
интерференционных покрытий.
Вследствие того, что показатель преломления металлов является величиной
комплексной, комплексными становятся и амплитудные коэффициенты отра-
отражения при наклонном падении света. Так же как в случае полного внутреннего
отражения (см. раздел 11.3), возникает дополнительная разность фаз между
параллельной и перпендикулярной составляющими электрического вектора, то
есть линейно поляризованный свет после отражения превращается в эллиптиче-
эллиптически поляризованный. Представив комплексный коэффициент отражения в виде
г=рехр(/5), сравним угловые зависимости параметров
для диэлектрика с п = 2 (рис. 11.9, а) и проводника с п = 2, к = 1 (рис. 11.9, б).
а
\
7
7
д
1
д 1
\
\
30°
60° 90°
п
30° 60° 90°
Рис. 11.9. Угловые зависимости амплитудных (П) и фазовых (А) характеристик
при отражении света от диэлектрика (а) и проводника {б)
1 94 Глава 11. Отражение и преломление света
Как видно, у диэлектриков величина П неограниченно возрастает в окрестно-
окрестности угла Брюстера (ру -» 0), а А претерпевает скачок (р(| меняет знак). Напротив,
у проводников отсутствует угол полной поляризации, хотя коэффициент отра-
отражения параллельной компоненты всегда больше, чем перпендикулярной. Угол,
соответствующий максимуму П, называют псевдобрюстеровским, имея в виду,
что коэффициент отражения параллельной составляющей становится при этом
угле минимальным (хотя не нулевым). Также нет резкого скачка фазы при угле
Брюстера, которая изменяется от 0 до л; плавным образом.
Примеры решения задач
Пример 11.1. Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный сосуд
(п2 = 1,5) и отражается от дна. Отраженный луч полностью поляризован при па-
падении его на дно сосуда под углом а = 42Q37'. Найдите показатель преломления
пх жидкости. Под каким углом должен падать луч, чтобы наступило полное внут-
внутреннее отражение?
Решение
Показатель преломления жидкости найдем из закона
Брюстера A1.7): и,= w2/tgar)p = l,63.
Так как пх п2, полное внутреннее отражение воз-
возможно. Объединяя выражение для предельного угла
ПВО sinanB0 = п2/п\ с законом Брюстера, получаем
sinanB0 = tg a6p = 0,92, откуда a11B0 = 66°55\
Пример 11.2. Определить степень поляризации А света, прошедшего из воздуха
(пх = 1) в стекло (п2 = 1,52) под углом Брюстера. Падающая волна неполяризована.
Решение
Пусть в падающей волне интенсивности параллельной и перпендикулярной со-
составляющих равны /0. В прошедшей волне интенсивность параллельной компо-
компоненты не изменится Ц = /0, а перпендикулярной уменьшится за счет отражения
и станет равной /1 = /0A - R±).
В соответствии с формулами A0.6) и A1.5) степень поляризации прошедшей
волны
1- и--
sin2(a-p)
Так как a = afjpf a + P = я/2, sin2(a + p) = 1, sin2(a -p) = cos2Ba). Используя
определение угла Брюстера A1.7) и выполняя тригонометрические преобразова-
преобразования, получаем
д_ (я.2а-О2 =85%
2B1)^B1J '
Задачи
195
Задачи
11.1. На стеклянную пластинку (пх = 1,73) падает луч
под углом полной поляризации. Насколько надо из-
изменить угол падения, чтобы сохранить поляризацию
отраженного луча, если пластинку помесить в сосуд
с жидкостью (п2 = 1,3).
11.2. Найдите угол полной поляризации для света, от-
отраженного от стекла (п = 1,483). Найдите степень по-
поляризации лучей, прошедших через пластинку. Лучи
падают на пластинку под углом полной поляризации.
Падающий свет — естественный. Поглощения в стек-
стекле нет.
11.3. Найдите степень поляризации А света, прошед-
прошедшего через стопу Столетова, состоящую из 5 стеклян-
стеклянных пластин с показателем преломления п = 1,52. Па-
Падающий свет — естественный.
11.4. Каким должен быть показатель преломления стек-
стекла в ромбе Френеля с углом а = 45°, чтобы при прохо-
прохождении через него линейно поляризованный свет пре-
превращался в циркулярно поляризованный?
п2
щШ
11.5. Показатель преломления германия для длины волны Хо = 0,5 мкм (в ваку-
вакууме) равен п = 3,47 + 1,40*'. Рассчитайте коэффициент отражения от полированной
поверхности германия при нормальном падении.
11.6. По данным предыдущей задачи найдите фазовый сдвиг отраженной от гер-
германия волны при нормальном падении.
ГЛАВА 12 Распространение
света в анизотропных
средах
Поляризацию световых колебаний особенно ваэкно учитывать при изучении ани-
анизотропных сред, например кристаллов. В них показатель преломления и ско-
скорость световой волны зависят от выбранного
направления, а нормаль к волновому фронту
и вектор потока энергии могут быть неколли-
неарны. Причиной такого сложного описания
является несовпадение по направлению век-
векторов поляризации среды Р и напряженности
электрического поля Е (см. раздел 14.2) и, как
следствие, неколлинеарность векторов D и Е
(рис. 12.1). Кристалл, в силу своей простран-
пространственной упорядоченности (гексагональной,
тетрагональной, ромбоэдрической и т. п. ре-
решетки) не может реагировать на внешнее воз-
воздействие, как изотропная среда: в одних на-
направлениях диполи поляризуются легче, в дру-
Рис. 12.1. Неколлинеарность гих — труднее,
векторов D и Е
12.1. Тензор диэлектрической
проницаемости анизотропной среды
В отличие от изотропных диэлектриков, характеризующихся одним значением
диэлектрической проницаемости (е), в кристаллах диэлектрическая проницае-
проницаемость становится тензором второго ранга и может быть представлена следую-
следующей матрицей:
? =
У У
12.2. Распространение монохроматической плоской волны в анизотропной среде 197
компоненты которой определяют связь между проекциями векторов электриче-
электрической индукции (D) и напряженности электрического поля (Е):
D = б (е Е + г Е + е Е ), A2.1)
Значения компонент тензора зависят от выбора системы координат. Можно
показать, что соответствующим поворотом осей тензор диэлектрической проницае-
проницаемости может быть приведен к диагональному виду:
(Ч о о'
ё= 0 е, О
,0 0 t,.
Оси координат, в которых тензор диэлектрической проницаемости диагона-
диагоналей, называются главными осями кристалла. Диагональные значения ?XJ zy и t2
в этом случае называют главными значениями диэлектрической проницаемости,
величины пх = д/^7, пу = ^Ё^, п2 - ^Г2 — главными показателями преломления,
а скорости vx= с/пх и т. д. — главными скоростями. Подчеркнем, что vx, vy, v2 не
являются проекциями какого-либо вектора, а характеризуют анизотропию опти-
оптических свойств кристалла. Главная скорость — это скорость волны, поляризован-
поляризованной вдоль соответствующей главной оси. В дальнейшем будем всегда предпола-
предполагать, что оси координат совпадают с главными осями, тогда соотношения A2.1)
принимают вид
Если все три главных значения одинаковы; ьх = ьу - ег, кристалл с оптической
точки зрения ЭКбив&лентен изотропному телу. Это свойственно кристаллам С
кубической симметрией решетки, например NaCl, используемых для создания
оптических элементов ИК-диапазона. Если совпадают два главных значения:
гх = еу ф г21 кристалл называется одноосным. К одноосным кристаллам относятся
широко применяемые в оптике кварц и исландский шпат. Наконец, если все три
главных значения различны; sA. ^ sv * ег, кристалл называется двухосным. К таким
кристаллам относится, например, слюда.
12.2. Распространение монохроматической
плоской волны в анизотропной среде
Рассмотрим геометрические соотношения между основными векторами в элек-
электромагнитной волне. Уравнения A.22) остаются справедливыми и в анизотроп-
анизотропных средах. Введем единичный вектор нормали к волновому фронту N = k/k =
= kc/mo, тогда A.22) можно переписать в виде:
cD=-n[NxH], A23)
H[NE]
198
Глава 12. Распространение света в анизотропных средах
Направление переноса энергии в волне определяется вектором Пойнтинга
S = [Е х Н]. Определим лучевой вектор как s = S/S. Из свойств векторного произ-
произведения следует, что
D±H, DIN, N±H, slE, sJ_H, E_LH. A2.4)
Поскольку векторы D и Е в анизотропной среде неколлинеарны, приходим
к выводу, что в волне существует две правые ортогональные тройки векто-
векторов (Е, Н, s) и (D, H, N), повернутые на угол а относительно общего вектора Н
(рис. 12.2). Таким образом, направление перемещения волнового фронта (век-
(вектор N) в кристаллах в общем случае не совпадает с направлением переноса энер-
энергии (вектор s), Соответственно различают фазовую скорость v (скорость переме-
перемещения фронта) и лучевую скорость и (скорость переноса энергии)г
Соотношение между фазовой и лучевой скоростями
можно определить, рассматривая два положения волно-
волнового фронта, соответствующие близким моментам време-
времени (рис. 12.3). Из-за анизотропии среды форма волно-
волновой поверхности отличается от сферической (более под-
подробно этот вопрос рассматривается в следующем разделе).
Направление фазовой скорости совпадает с направлени-
направлением волновой нормали N, а направление лучевой скоро-
скорости — с лучевым вектором s, проведенным от источни-
источника О в точку наблюдения. Из рисунка видно, что фазовая
скорость равна проекции лучевой скорости на направле-
направление волновой нормали:
v=ucosa. A2.5)
Различие фазовой и лучевой скоростей является про-
проявлением анизотропии. Эти скорости отличаются даже для монохроматических
волн, а также в отсутствие временной дисперсии, когда пфп (X).
Исключая из уравнений A2.3) напряженность магнитного поля и учитывая со-
соотношения A2.2), можно получить выражение для скорости волны, распростра-
распространяющейся в кристалле с главными скоростями vx > vy > vz
в направлении вектора N с проекциями (Nx, Ny, N2), наэыва
емое уравнением волновых нормалей Френеля:
Рис. 12.2. Взаимное
расположение векторов
поля в анизотропной
среде
О
= 0.
A2.6)
Рис. 12.3. Связь
фазовой и лучевой
скоростей
Уравнение волновых нормалей может быть преобразова-
преобразовано к биквадратному уравнению относительно фазовой скоро-
скорости v и, следовательно, вообще говоря, имеет два решения.
Эти решения соответствуют волнам, распространяющимся
в одном направлении, но имеющим разные поляризации.
Можно показать, что эти поляризации ортогональны друг
другу. Таким образом, в каждом направлении в кристалле мо-
могут распрострашться две волны с различными фазовыми ско-
скоростями v' и v" и ортогональными поляризациями D' 1D".
12.3. Двулучепреломление в одноосных кристаллах
199
Каждому вектору D соответствует свой век-
вектор Е, повернутый на угол а, а каждому век-
вектору Е — ортогональный ему лучевой век-
вектор s (рис. 12.4).
Следовательно, попадая в кристалл, про-
произвольная световая волна распадается на две
ортогонально поляризованные волны с раз-
разными скоростями и разными направлениями
переноса энергии — возникает двойное лу-
лучепреломление. Следует отметить, что в ряде
случаев лучевые векторы этих волн могут со-
совпадать (а = 0), например, при распростра-
распространении волны вдоль любой из главных осей
кристалла.
При определенном выборе направления распростране-
распространения, а именно:
Рис. 12.4. Возникновение
двойного лучепреломления
о
N1 =
! = 0, N? = -
два решения уравнения Френеля совпадают, то есть v'= v".
Такие направления @ 0' и О" О" на рис. 12.5) называют-
называются оптическими осями кристалла, а сам кристалл называ-
называется двухосным. Если vx = vy ф vv to обе оптические оси сли-
сливаются с осью OZ. Такой кристалл называется одноосным.
o\
О"
Рис. 12.5.
Оптические оси
12.3. Двулучепреломление
в одноосных кристаллах
Пространственное распределение показателя прелом-
преломления анизотропной среды можно представить с по-
помощью эллипсоида волновых нормалей, полуоси кото-
которого равны главным значениям показателя преломле-
преломления (рис. 12.6).
Построим сечение этого эллипсоида плоскостью,
перпендикулярной волновому вектору к. Это сечение
представляет собой эллипс, направления осей которого
определяют направления векторов D' и D" двух рас-
распространяющихся в кристалле волн, а длины полуосей
пропорциональны показателям преломления этих волн.
Известно, что любой трехосный эллипсоид имеет два
центральных круговых сечения. Направления, перпен-
перпендикулярные этим сечениям, и есть направления опти-
оптических осей кристалла.
В одноосном кристалле эллипсоид нормалей превращается в эллипсоид вра-
вращения вокруг оси OZ, его единственное круговое сечение лежит в плоскости XOY.
Рис. 12.6. Эллипсоид
волновых нормалей
200
Глава 12. Распространение света в анизотропных средах
Для одноосных кристаллов принято обозначать главные показатели преломле-
преломления п2 = пв, пх = пу = по\
Если волновой вектор лежит в плоскости X0Z, то D' совпадает с осью 0Y}
длина полуоси постоянна и равна п0. Такая волна называется обыкновенной,
ее скорость не зависит от направления распространения. Длина второй полуоси
эллипса меняется от по до пе. Это — необыкновенная волна, ее скорость зависит от
направления распространения. Плоскость, содержащая оптическую ось OZ и век-
вектор к, называется главной плоскостью. Таким образом, вектор поляризации не-
необыкновенной волны лежит в главной плоскости, а вектор поляризации обыкно-
обыкновенной волны — перпендикулярен главной плоскости. Еще раз подчеркнем, ЧТО
понятия «обыкновенная» и «необыкновенная» волна относятся только к одноос-
одноосным кристаллам.
На рис. 12.7 представлены эллипсоиды нормалей для двух возможных случа-
случаев: а — скорость обыкновенного луча меньше скорости необыкновенного (пп > пе,
отрицательный кристалл) и б — скорость обыкновенного луча больше скорости
необыкновенного (п0 < пе, положительный кристалл). В обоих случаях при по-
последовательном изменении направления луча от kj до к5 показатель преломле-
преломления луча с F-поляризацией п0 не изменяется. Показатель преломления необык-
необыкновенного луча в первом случае уменьшается от по до пе, а во втором — возрастает.
Серой заливкой выделены главные плоскости.
Рис. 12.7. Эллипсоиды нормалей отрицательного (а) и положительного (б)
одноосных кристаллов
Найдем зависимость фазовой скорости световой волны в одноосном кристал-
кристалле от направления распространения. Уравнение волновых нормалей A2.6) при
vx = vy = v0, v2 = ve можно переписать в виде
+ N1 )(v*-vl) + Nl(v> -v] )) = 0. A2.7)
1 В индексах использованы латинские буквы о и е, соответствующие английским словам
ordinary (обыкновенный) и extraordinary (необыкновенный).
12.4. Анализ хода лучей в кристаллах с помощью построений Гюйгенса
201
Направление нормали удобно зада-
задавать углом 0, образуемым с оптической
осью. Тогда
N2y = sin2
= cos2 9
и решениями уравнения A2.7) являются
v'2 = v- A2,8)
2 2 2
Анализ распространения света в кри
сталлах и его преломления на границах
становится более наглядным при исполь-
использовании сечений волновых поверхностей
(рис. 12.8).
Из начала координат откладываются
отрезки, длина которых пропорциональ-
пропорциональна фазовым скоростям vf и v" в данном
направлении (обратно пропорциональна
соответствующим показателям прелом-
преломления).
Тем самым в плоскости рисунка изо-
изображаются «мгновенные» сечения вол-
волновых фронтов волн, испущенных точеч-
точечным источником, помещенным в начало
координат. Для обыкновенной волны
они сферические, а для необыкновен-
необыкновенной — представляют поверхности вра-
вращения, описываемые вторым уравнени-
уравнением A2.8).
Направление, в котором эти сечения
совпадают (то есть обыкновенная и не-
необыкновенная волны распространяются
с одинаковой скоростью v0), и является
оптической осью кри<лилла О' О', в дан-
данном случае совпадающей с осью OZ.
О
Рис. 12.8. Волновые поверхности
обыкновенной и необыкновенной ВОЛН
12.4. Анализ хода лучей в кристаллах
с помощью построений Гюйгенса
Качественно явление двулучепреломления на границах анизотропных сред было
объяснено Гюйгенсом с помощью построений, фактически основанных на сече-
сечениях волновых поверхностей (рис. 12.9).
Эти построения для изотропной среды объясняют закон Снеллиуса (рис. 12.9, а),
а для анизотропной — эффекты двулучепреломления. Каждая точка волнового
фронта, достигшая границы раздела, становится источником вторичного возму-
возмущения, образуя две волновые поверхности — для обыкновенной и необыкновен-
202
Глава 12. Распространение света в анизотропных средах
ной волн. Результирующий волновой фронт строится как огибающая этих волно-
волновых поверхностей, а лучи (направления переноса энергии) проходят через точки
касания огибающих. Отметим, что направления волновых векторов, перпендику-
перпендикулярных к фронтам, и в анизотропной среде подчиняются закону Снеллиуса, хотя
и с разными показателями преломления для обыкновенной и необыкновенной
волн. Направления лучей не могут быть определены через закон Снеллиуса, на-
например, необыкновенный луч может не лежать в плоскости падения.
Рис. 12.9. Описание двулучепреломления с помощью построений Гюйгенса
Построения Гюйгенса для падения света на одноосный кристалл с различны-
различными ориентациями оптической оси показаны на рис. 12.9, б-е. Там же указаны на-
направления колебаний для обыкновенного и необыкновенного лучей. Во всех пред-
представленных случаях плоскость рисунка является главной плоскостью.
На рис. 12.9, б, г оптическая ось О' О' перпендикулярна поверхности для по-
положительного и отрицательного кристаллов; на рис. 12.9, д, е — оптическая ось
12.5. Кристаллические поляризационные устройства 203
лежит в плоскости падения параллельно поверхности. Рисунок 12.9, б иллюст-
иллюстрирует тот факт, что и при нормальном падении света в общем случае происхо-
происходит отклонение необыкновенного луча. Отметим, что если обыкновенный луч
всегда перпендикулярен волновому фронту, то необыкновенный луч может со-
составлять с волновым фронтом угол, отличный от 90°.
Необыкновенный луч демонстрирует возможность несовпадения направле-
направления перемещения волнового фронта {фазовой скорости) и направления перено-
переноса энергии (лучевой скорости). Это и есть одна из отличительных особенностей
распространения света в анизотропных средах.
12.5. Кристаллические поляризационные
устройства
Двулучепреломляющие свойства кристаллов используют для получения поляри-
поляризованного света из неполяризованного. Самый старый кристаллический поляри-
поляризатор — призма Николя или просто николь (рис. 12.10) — был изобретен в 1828 г.
Он состоит из двух кристаллов исландского шпата (СаСО.^ — отрицательный
кристалл с по= 1,65 ипе= 1,48), склеенных слоем канадского бальзама* (п — 1,55).
Углы склейки подобраны таким образом, что обыкновенный луч претерпевает
полное внутреннее отражение и поглощается нижней зачерненной гранью, а не-
необыкновенный, поляризованный в главной плоскости, совпадающей с плоско-
плоскостью падения, проходит через николь.
Исландский шпат (п01 пе)
1\
Канадский бальзам (по> п> пе)
Рис. 12.10. Призма Николя
Таким образом, призма Николя естественный свет превращает в линейно по-
поляризованный, интенсивность его уменьшается вдвое. Система двух николей,
как и любых поляризаторов, может пропускать или гасить свет в зависимости от
их взаимной ориентации (рис. 12.11).
Существует ряд модификаций двухлучевых поляризационных призм (рис. 12.12).
Как правило, они склеены из двух полупризм из кварца (п{) - 1,544, пе = 1,553,
положительный кристалл) или исландского шпата (п0 = 1,65, пе = 1,48, отрица-
отрицательный кристалл), вырезанных вдоль и поперек оптической оси. Эффект разде-
разделения поляризованных пучков достигается благодаря различным условиям пре*
Канадский бальзам — высокоочищенная смола пихты, используемая в медицине и технике.
204
Глава 12. Распространение света В анизотропных средах
/=0
Рис. 12.11. Прохождение естественного света через систему двух николей
(о)
Призма Рошона
Призма Волластона
Призма Сснармона
Рис. 12.12. Кристаллические поляризаторы из исландского шпата.
Линиями или точками показаны направления оптических осей
ломления на склейке: в зависимости от ориентации оптической оси луч, являю-
являющийся обыкновенным в первой половине призмы, может стать необыкновенным
во второй,и наоборот.
Если пропустить свет через кристаллическую пластинку в направлении, пер-
перпендикулярном оптической оси (рис. 12.13), то оба луча пойдут по одной траек-
траектории, но между ними возникнет разность фаз, зависящая от толщины кристал-
кристаллической пластинки d:
«. 2nd,
Если эта разность фаз равна 8 = Bт + 1)я/2, то пластин-
пластинка называется четвертьволновой (оптическая разность хода
обыкновенной и необыкновенной волн кратна "к/А).
Четвертьволновая пластинка описывается матрицей Мюл-
Мюллера (см. раздел 10.3) типа
О
РИС. 12.13
Фазовая пластинка
ИЗ отрицательного
кристалла.
Оптическая ось
вертикальна
0 0 0
1 0 0
0 0 0-1
0 0 10
или
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
-1
0
0
в зависимости от ориентации оптической оси. В первом слу-
случае оптическая ось параллельна оси ОХ, во втором — по-
повернута на 45°.
12.6. Интерференция поляризованных лучей
205
При прохождении через четвертьволновую пластинку линейно поляризован-
поляризованного света с плоскостью поляризации, повернутой на 45° относительно оптиче-
оптической оси, он превращается в свет с круговой поляризацией.
Кристаллическая пластина, которая вносит разность фаз, равную я, называет-
называется полуволповоп. Тип поляризации света при прохождении через такую пластинку
не меняется, однако для круговой или эллиптической поляризации направление
вращения меняется на противоположное, а для линейной плоскость поляри-
поляризации поворачивается (см. следующий раздел).
Две клиновидные пластинки с перпендику-
перпендикулярными оптическими осями могут создавать
варьируемую разность фаз
5 = (nedx + nod2)-(nodx
= (ne-n0)(dl-d2),
ned2 ) =
8<0 5=0 5>0
Рис. 12.14. Оптический
компенсатор
регулировка которой производится взаимным
перемещением клиньев (рис. 12.14). Устройст-
Устройства, вносящие фиксированную или переменную разность фаз между двумя орто-
ортогональными линейными поляризациями и тем самым изменяющие состояние по-
поляризации прошедшего света, называют компенсаторами.
12.6. Интерференция поляризованных лучей
Явления интерференции поляризованных лучей исследовались в классических
опытах Френеля и Араго A816 г.), доказавших поперечность световых колеба-
колебаний (рис. 12.15). Суть их в зависимости результата интерференции от угла меж-
между плоскостями световых колебаний: полосы наиболее контрастны при параллель-
параллельных плоскостях и исчезают, если волны поляризованы ортогонально. Прошедшее
через поляризатор Р излучение точечного источника S возбуждает вторичные
волны в плоскости экрана с отверстиями 5\ и 52.
ГТТЛ
Е
«!—¦
к
о
' G
Y>
тд
О,
/TV
G
Ш
X
Рис. 12.15. Наблюдение интерференции поляризованных лучей при различной
ориентации фазовой пластинки О
Полуволновая кристаллическая пластинка Q в сочетании с обычной стеклян-
стеклянной пластиной G позволяет изменять угол между плоскостями поляризации ин-
интерферирующих лучей. Если оптическая ось пластинки параллельна направле-
206
Глава 12. Распространение света в анизотропных средах
нию пропускания поляризатора Р, обе волны Е, и Е2 в плоскости наблюдения
поляризованы одинаково (рис. 12.15, а). В этом случае на экране наблюдает-
наблюдается четкая интерференционная картина. Поворот пластинки на угол а приводит
к повороту вектора Е, на угол 2а (вектор Е' на рис. 12.15, б). В этом случае с уве-
увеличением угла а видимость интерференционных полос падает, а при а = я/4
обращается в нуль (ортогонально поляризованные волны не интерферируют).
Если наблюдать интерференционные полосы через анализатор, то при его пово-
повороте на я/2 картина инвертируется, так как из-за дополнительной разности фаз я
темные полосы становятся светлыми, и наоборот.
Вообще, при прохождении поляризованного света через кристалл разность
хода А между двумя компонентами поляризации зависит от толщины пластинки,
среднего угла преломления и разности показателей п0 и пе. Очевидно, возникаю-
возникающая при этом разность фаз 5 различна для разных длин волн, в результате чего
интерференционная картина оказываются окрашенной. Для плоскопараллельных
пластинок наблюдаются полосы равного наклона, а для тонких клиновидных пла-
пластинок — полосы равной толщины.
Система «поляризатор-пластинка-ана-
«поляризатор-пластинка-анализатор» (рис. 12.16) используется для на-
наблюдения так называемой интерференции
в параллельных лучах. Формула A2.9) по-
позволяет для любой фазовой пластинки, со-
создающей разность фаз 5, рассчитать интен-
интенсивность на выходе при скрещенных поля-
поляризаторе и анализаторе и заданной ориен-
ориентации оптической оси пластинки (угол ф).
1 г . ,о • о 5 A29)
Рис. 12.16. Интерференция
в параллельных лучах
Ф
Более сложные коноскопические карти-
картины наблюдаются при интерференции схо-
сходящихся поляризованных лучей. Проявля-
Проявляющиеся за анализатором линии постоянной разности фаз называют в этом случае
изохроматами. На рис. 12.17 показаны коноскопические картины, слева направо:
одноосный кристалл, поляризаторы скрещены; одноосный кристалл, поляриза-
поляризаторы параллельны; двухосный кристалл, поляризаторы скрещены; кварцевая
пластинка, поляризаторы скрещены; две развернутых кварцевых пластинки, по-
поляризаторы скрещены. В двух последних случаях к двулучепреломлению добав-
добавляется поворот плоскости поляризации (см. следующий раздел).
Рис. 12.17. Коноскопические картины
12.7. Гиротропия или естественная оптическая активность 207
12.7. Гиротропия или естественная
оптическая активность
Кроме эффекта двулучепреломления пространственная дисперсия в анизотроп-
анизотропных средах может проявляться в виде вращения плоскости поляризации или оп-
оптической активности (гиротропии). В этом случае по мере прохождения среды
вдоль ее оптической оси плоскость колебаний линейно поляризованного света по-
поворачивается на некоторый угол ф. В отличие от
двулучепреломления вращение плоскости поля-
поляризации объясняется различной скоростью рас-
распространения в гиротропной среде право- и ле-
воциркуляриого света. Действительно, линейное
колебание мижни представить как векторную [ Фо ^ Фо \ ,' ф*Г^^[/чф_
сумму двух противоположных по направлению \ / \ /
вращений частоты со0 (рис. 12.18). В случае если Хчч-.___-''/ ч^_.-'''
скорости этих волн неравны, плоскость поляри- Vt - у у < у
зации света, прошедшего через оптически актив-
активную среду толщиной Л, повернется на угол ли^01 %1%^гнногТс^а
nd(n+-n_ ) в виДе суперпозиции круговых
ф- 1 , A2.10) компонент
А.
Оптической активностью могут обладать не только анизотропные среды типа
кристаллов, но и жидкости, содержащие молекулы, структура которых не имеет
центров и плоскостей симметрии. К ним относятся практически все биологиче-
биологически активные вещества: белки, сахара, аминокислоты, молекулы которых имеют
спиралевидную форму. Угол поворота плоскости поляризации r растворах про-
пропорционален концентрации оптически активного вещества. На этом основан
принцип действия сахариметра, в котором по повороту плоскости поляризации
определяется концентрация глюкозы.
Все оптически активные вещества могут существовать в двух модификациях:
право- И левовращающей, структуры которых представляют зеркальное отобра-
отображение друг друга. Такие модификации называются стереоизомерами. При хи-
химическом синтезе, например, глюкозы, правые и левые изомеры образуются в
одинаковых количествах, и раствор такого сахара не обладает оптической актив-
активностью. Но глюкоза, полученная в организмах биологическим путем, всегда толь-
только лсвовращающая.
Демонстрация оптической активности и стереоизо*мерии в микроволновом
диапазоне реализуется при пропускании поляризованных электромагнитных ко-
колебаний через объем, хаотично заполненный металлическими пружинами с оди-
одинаковым направлением закручивания (рис. 12.19). Характерно, что при заполне-
заполнении объема в равных количествах левыми и правыми спиралями поворот не на-
наблюдается.
В 1811 г. Араго открыл оптическую активность в пластинах кварца, а несколь-
несколько позже Френель, скомбинировав три призмы из правовращающего (К) и лево-
вращающего (L) кварца (рис. 12.20), доказал существование в нем воли обеих
циркулярных поляризаций. Преломление на плоскостях склейки призм для этих
208
Глава 12. Распространение света в анизотропных средах
К приемнику
Пружины
с одинаковой
навивкой
К излучателю
Рис. 12.19. Демонстрация оптической активности и стереоизомерии
в микроволновом диапазоне
поляризаций различно: в правом кварце и+ < п_, а в левом — наоборот. Поэтому
на каждой грани возникает угловое расхождение двух лучей, которое на выходе
из составного параллелепипеда достигает 4 угловых минут.
Матрица Мюллера оптически ак-
активной среды содержит четыре нену-
ненулевые центральные компоненты:
О О Ф
О cos2cp -sin2cp О
R' 152° R"
Рис. 12.20. Призма Френеля
О sin2<p cos2cp О
0 0 0 1
и, будучи умножена на вектор Стокса линейно поляризованного света, действи-
действительно приводит к его повороту на угол (р. Очевидно, прохождение света через
оптически активную среду отображается на сфере Пуанкаре дугой экватора (для
входной линейной поляризации) или параллели (для входной эллиптической
поляризации). «Широта места» или параметр эллиптичности при этом не изме-
изменяется. Отметим, что при повторном прохождении гиротропной среды в обрат-
обратном направлении (например, после отражения) поворот плоскости поляризации
будет скомпенсирован.
12.8. Параметрическая кристаллооптика
Изотропное тело, подвергнутое упругим деформациям, может стать анизотроп-
анизотропным и изменить состояние поляризации проходящего света. Это явление, откры-
открытое в 1818 г. Брюстером, получило название фотоупругости или пьезооптиче-
ского эффекта (рис. 12.21). При одностороннем растяжении или сжатии тело
становится подобным одноосному кристаллу с оптической осью, параллельной
направлению приложенной силы. Возникающая при этом разность фаз пропор-
пропорциональна величине механических напряжений а:
12.8. Параметрическая кристаллооптика
209
О'
ШтШшшШ
О'
Рис. 12.21. Фотоупругость: возникновений нянеденной оптической оси (а)
и вид фотоупругой модели в параллельных и скрещенных поляризаторах (б)
Помещая прозрачные фотоупругие модели между поляризатором и анализа-
анализатором и подвергая их различным нагрузкам, можно изучать распределения воз-
возникающих внутренних напряжений.
В 1875 г. был открыт электрооптический эффект Керра, заключающийся
в возникновении в изотропном теле одноосной анизотропии при наложении по-
постоянного электрического поля (рис. 12.22). Оптическая ось соответствует на-
направлению напряженности приложенного поля, а величина двулучепреломле-
ния пропорциональна квадрату напряженности; пе-п0 = КЕ2. На основе ячеек
Керра построены практически безынерционные затворы и модуляторы света со
временем срабатывания до 10~12 с. Объясняется эффект Керра анизотропией мо-
молекул, описываемой тензором поляризуемости. При наложении внешнего поля
молекулы ориентируются вдоль поля осями наибольшей поляризуемости, что и
приводит к различным условиям для распространения света ортогональных по-
поляризаций.
0\
1-
\\
и
шШшш
шш
1
и
¦--и 2
е
Рис. 12.22. Электрооптический эффект: возникновение наведенной
оптической оси (а) и схема электрооптического затвора F)
Большим значением постоянной Керра обладает нитробензол, который часто
используется в электрооптических устройствах. 'Гак, для конденсатора длиной 5 см
210
Глава 12. Распространение света в анизотропных средах
и расстоянием между пластинами 1 мм при напряжении 1500 В разность фаз
достигает к/2, то есть ячейка Керра работает как четвертьволновая пластинка.
В двупреломляющих кристаллах без центра симметрии наблюдается другой ва-
вариант электрооптического эффекта — эффект Поккельса, при котором разность
показателей преломления An линейно зависит от напряженности электрического
поля.
Первым историческим доказательством связи между оптикой и электромаг-
электромагнетизмом стал открытый в 1846 г. Фарадеем эффект магнитооптического вра-
вращения (рис. 12.23, а). При помещении оптически неактивного вещества, напри-
например обыкновенного стекла, в продольное магнитное поле плоскость поляризации
поворачивается на угол ф = VBd, где V — постоянная Верде, зависящая от свойств
вещества и длины волны. Эффект Фарадея обусловлен тем, что для заряженных
частиц одного знака в магнитном поле имеется определенное направление вра-
вращения под действием силы Лоренца, поэтому условия распространения для пра-
право- и левоциркулярных волн оказываются различными. В отличие от естествен-
естественной оптической активности, при эффекте Фарадея реверсирование направления
луча приводит к удвоению угла поворота ф, что позволяет конструировать опти-
оптические вентили (рис. 12.23, б).
Рис. 12.23. Эффект Фарадея (а) и оптический вентиль {б)
В оптическом вентиле ячейка Фарадем пинирачииает плоскость поляризации
на 45°. Эта ячейка помещена между поляризатором и анализатором, плоскости
пропускания которых развернуты тоже на 45°. При этом плоскость поляризации
света, идущего от объекта 1} совпадает с направлением пропускания анализато-
анализатора Л, и свет полностью проходит к объекту 2. Для света, идущего в обратном на-
направлении, вращение плоскости поляризации происходит в ту же сторону по от-
отношению к вектору В, поэтому после ячейки плоскость поляризации света
перпендикулярна направлению пропускания поляризатора Р, и свет не попадает
на объект 1.
Одностороннее пропускание оптического вентиля приводит к так называемо-
называемому парадоксу Вина, Если тела 1 и 2 первоначально имели одинаковую темпера-
температуру Го, то из-за попадания части теплового излучения на тело 2 через некоторое
Примеры решения задач
211
время возникнет разность температур: Тх < Т2. Таким образом, как бы наруша-
нарушается второе начало термодинамики и становится возможным вечный двигатель
второго рода. Предлагается самостоятельно ответить на вопросы: а) возникнет
ли разность температур и б) если возникнет, будет ли это достаточно для работы
вечного двигателя?
В заключение раздела, посвященного поляризации света, кратко перечислим
некоторые оптические явления, оставшиеся за рамками рассмотрения. Если раз-
различные поляризационные компоненты по-разному поглощаются в среде, то гово-
говорят о дихроизме (соответственно, линейном или циркулярном). Существует также
поперечное магнитооптическое вращение (эффект Фогта). Наконец, различные
состояния поляризации наблюдаются при расщеплении атомарных спектраль-
спектральных линий в магнитном (эффект Зеемапа) или электрическом (эффект Штар-
ка) поле.
Е'
Примеры решения задач
Пример 12.1. Пучок света проходит через два николя, главные плоскости кото-
которых составляют угол а = 20°. Между николями ставится полуволновая пластин-
пластинка. Какой угол должна составлять оптическая ось пластинки с главной плоско-
плоскостью первого николя, чтобы свет через эту систему не прошел?
Решение
После первого николя световой пучок будет линей-
линейно поляризован с вектором поляризации Е. Попав в
пластинку, этот пучок распадется на два: необыкно-
необыкновенный е, поляризованный вдоль оптической оси Z,
и обыкновенный о, с поляризацией, перпендикуляр-
перпендикулярной Z.
Полуволновая пластинка внесет разность фаз я
между обыкновенной и необыкновенной компонен-
компонентами, благодаря чему они сложатся в вектор Е\ Очевидно, в результате плос-
плоскость поляризации повернется на угол 2ср, где ср — искомый угол между направ-
направлением пропускания первого николя и оптической осью пластинки. Чтобы свет
через систему не прошел, направление вектора Е' должно быть перпендикулярно
направлению пропускания анализатора Л. Из рисунка следует, что 2ф - а = я/2,
следовательно, q> = 55°.
Пример 12.2. Кварцевая пластинка Q, вырезанная перпендикулярно оптической
оси и помещенная между поляризатором Р и анализатором Л с параллельными
главными плоскостями, полностью затемняет поле
зрения. Минимальная толщина пластинки й? = 4,20мм.
Найдите постоянную вращения кварца а.
Решение
Изложенное в условии задачи означает, что в кварце-
кварцевой пластинке произошел поворот плоскости поля-
поляризации луча на угол ср = я/2 (так как толщина пла-
212
Глава 12. Распространение света в анизотропных средах
стинки, при которой происходит затемнение, минимальна). Угол поворота опре-
определяется как ф = ad, откуда а = 21,4 град/мм.
Задачи
12.1. Между скрещенными поляроидами Р и А помес-
поместили пластину кварца Q, вырезанную поперек опти-
оптической оси. Чтобы погасить свет с X - 0,5 мкм, при-
пришлось повернуть анализатор на угол ф = 22°. Найдите
толщину пластинки, если постоянная вращения квар-
кварца для этой длины волны а = 29,7°/мм.
12.2. Между скрещенными николями Р и Л помеще-
помещена кристаллическая пластинка Q, вырезанная парал-
параллельно оптической оси так, что ее ось составляет
угол 45° с главными плоскостями николей. Рассчи-
Рассчитайте минимальную толщину пластинки, при которой
линия с Х{ = 660 нм будет максимально ослаблена,
а линия с Х2 = 410 нм максимально усилена, если раз-
разница показателей преломления пе - по = 0,01.
12.3. Естественный свет проходит через систему из
двух поляризаторов Р и Л, между которыми помеще-
помещена кристаллическая пластинка в полволны Q. Глав-
Главные плоскости поляризаторов составляют с главной
плоскостью пластинки углы аир. Определите отно-
отношение интенсивностей света на выходе и входе в эту
систему. Рассчитайте при а = 50° и р = 20°.
12.4. Частично поляризованный свет с компонента-
компонентами, поляризованной по кругу GК) и естественной (/е),
проходит через четвертьволновую пластинку Q и ана-
анализатор (призму Николя) Р. При вращении последне-
последнего найдено, что (/max//min) = 3. Найдите отношение /к//е.
12.5. Естественный свет интенсивностью /0 проходит
через систему, состоящую из поляризатора Р и чет-
четвертьволновой пластинки Q Затем свет отражается
от зеркала М и проходит через пластинку и поляри-
поляризатор в обратном направлении. Определите интенсив-
интенсивность на выходе этой системы как функцию угла ф
между плоскостью пропускания поляризатора и глав-
главной плоскости пластинки. Чему равны максимальная
и минимальная интенсивности?
Ра
'г
Q
k
1
Л
Ф
lJ
Шм
V
Задачи
213
12.6. На ячейку Керра, помещенную между скрещен-
скрещенными поляризаторами, подается переменное напря-
напряжение U = Uo cos(Clt). Постройте график интенсивно-
интенсивности прошедшего через систему света с длиной волны
А, = 500 нм, если Uo = 3,3 кВ, расстояние между пла-
пластинами конденсатора d = 1 мм, длина конденсатора
/= 10 см. Постоянная Керра равна 10~18 м2В~2. Ориен-
Ориентация поляризатора Р перпендикулярна пластинам
конденсатора.
12.7. Решите предыдущую задачу для параллельной
ориентации поляризатора и анализатора и угла 45°
меаду направлением пропускания поляризатора и плос-
плоскостью пластин конденсатора.
—
р
8
—
l
А
0
12.8. Какую минимальную разность показателей преломления волн натриевой
лампы (X = 589 нм) с правой и левой круговой поляризацией можно измерить,
поместив оптически активную среду длиной /= 10 см между скрещенными поля-
поляризаторами? Чувствительность системы позволяет заметить поворот плоскости
поляризации на 1°.
12*9* Ячейка Фарадея с посеребренными гранями, из-
изготовленная из стекла с п = 1,7, помещена между па-
параллельными поляризаторами. Свет падает на ячейку
под углом а = 10°, расстояние между точками входа и
выхода луча d = 10 см. При какой индукции магнит-
магнитного поля свет перестанет проходить через систему,
если постоянная Верде V - 12° см^Тл'1?
12.10. На сколько процентов отличаются фазовые
скорости обыкновенной и необыкновенной волн в ис-
исландском шпате (по = 1,65, пе - 1,48) при падении све-
света под углом ф = 45°? Оптическая ось О'О' перпенди-
перпендикулярна поверхности кристалла.
в
г
ГЛАВА 13 Классическая теория
излучения
и поглощения
По классической электромагнитной теории простейшей системой, которая мо-
может излучать электромагнитные волны, является электрический диполь, диполь-
ный момент которого р = qd не постоянен во времени. На практике изменение
дипольного момента может быть вызвано как изменением заряда q, что харак-
характерно для антенн радиодиапазона, так и изменением эффективного размера ди-
диполя d в классической модели атома. Процесс может развиваться в две стороны:
исходно возбужденный диполь может генерировать электромагнитную волну (из-
(излучение света), или диполь в невозбужденном состоянии способен резонансно
поглощать внешнюю энергию высокочастотных электромагнитных волн (погло-
(поглощение света).
13.1. Естественная ширина
спектральной линии
Из уравнений Максвелла следует, что амплитуды электрического и магнитного
полей волны оказываются пропорциональными второй производной дипольного
момента по времени. В точке, отстоящей от колеблющегося диполя на расстоя-
расстояние г г$> X (так называемая дальняя, или волновая зо-
зона), поле определяется выражением
Дг, t) =
Акеос2г
dt2
sinp,
A3.1)
Рис. 13.1. Излучение
диполя
где р — угол между осью диполя и направлением на
точку наблюдения (рис. 13.1). При этом направление
колебаний электрического вектора лежит в меридио-
меридиональной плоскости, а магнитного — в широтной.
Отметим ряд важных следствий, вытекающих из
формулы A3.1). Во-первых, при гармоническом из-
13.1. Естественная ширина спектральной линии
215
Рис. 13.2. Пространственное
распределение интенсивности
менении дипольного момента р = pQ cos (со0О амплитуды полей оказываются про-
пропорциональными квадрату частоты Wq, а интенсивность излучения — четвертой
степени частоты: / ~ cOq.
Во-вторых, имеется зависимость интенсив-
интенсивности излучения от направления: /=/0 sin2p,
что иллюстрирует рис. 13.2. Максимальная
интенсивность наблюдается в экваториаль-
экваториальной плоскости при Р = л/2, а вдоль своей оси
диполь не излучает. Эти зависимости игра-
играют важную роль в теории рассеяния света,
обсуждаемой ниже.
В-третьих, волновой фронт, то есть поверх-
поверхность постоянной фазы, представляет собой
сферу. Таким образом, точечный источник
(точнее источник, размеры которого малы по сравнению с длиной волны) всегда
излучает сферические волны. Плоская волна, характеризующаяся определенным
направлением распространения, является математической абстракцией, прибли-
приближением, применимым при очень больших радиусах волнового фронта.
Поскольку колеблющийся диполь теряет энергию на излучение, его колеба-
колебания затухают. Уравнение затухающих колебаний хорошо известно, оно имеет вид:
p"+yp'+a>gp=0, A3.2)
где у — так называемый коэффициент радиационного трения, учитывающий по-
потери на излучение. Решая уравнение A3.2) при условии со0 » у, с учетом A3.1)
для излучаемой волны находим:
/ .. л
). A3.3)
Изменение амплитуды со временем приводит к нарушению монохроматично-
монохроматичности волны и появлению новых частот в ее спектре F(<o). По теореме Фурье, огра-
ограничиваясь положительными частотами соп:
A3.4)
Перейдя от напряженности поля к интенсив-
интенсивности, получим:
ьл>г. (,.,5,
В этом случае распределение энергии по час-
частотам /(со) соответствует лоренцевскому контуру
(рис. 13.3), ширина которого на половине высоты
определяется коэффициентом затухания у. Эта
величина называется естественной шириной спект-
спектральной линии.
Дсо^у. A3.6)
Д
Г
* 1
./
J
\.
V
щ
Асо
t
со
Рио. 13.3. Затухающий
колебания и их лоренцевский
спектр
216
Глава 13. Классическая теория излучения и поглощения
В соответствии с классической теорией коэффициент затухания зависит толь-
только от частоты излучения и равен:
Для излучателя оптического диапазона (X = 0,6 мкм, оз0 = 3 • 1015 с~!) естест-
естественная ширина линии имеет порядок 108 с, а добротность атомного осциллято-
осциллятора Q= (oH/y) ~107. Атомарный осциллятор с такой естественной шириной являет-
является высокодобротной системой, превосходящей по значению Q любые устройства
радиодиапазона. Излучение спектральной линии можно считать квазимонохро-
квазимонохроматическим, ПОСКОЛЬКУ отношение АХ/Х не превосходит 10~7.
Переменные самой функции и ее спектра (в данном случае — время и часто-
частота) являются сопряженными, поэтому для произведения времени затухания х
и ширины спектра Асо выполняется универсальное ограничение: т • Асо « 2л. Та-
Таким образом, амплитуда колебаний уменьшается вдвое за несколько миллионов
периодов. Можно считать, что излучение отдельного атома представляет собой
волновой цуг конечной длительности т - 10~8 с и протяженностью / = с • т ~ 3 м.
Последняя оценка соответствует длине когерентности в условиях генерации из-
излучения одной спектральной линии естественной ширимы и свободного затуха-
затухания атомного осциллятора.
Современная квантовая теория позволяет значительно более строго и точно
рассчитать спектральные характеристики излучаемого атомом света, однако ос-
основные качественные результаты совпадают с классическими: линия имеет ло-
ренцевскую форму с типичной естественной шириной Acott.T ~ 108 с.
Соотношение между шириной спектра и резонансной частотой Асо <&: со0 опре-
определяет условие квазимонохроматичности света (для монохроматического света
считают Аш = 0).
13.2. Механизмы уширения
спектральных линий
Ширина линии излучения реальных источников света обусловлена не только ра-
радиационным затуханием, но и рядом других физических эффектов. Один из них —
столкновения излучающих атомов с окружающими их атомами и молекулами.
При таких столкновениях может произойти обрыв излучаемого волнового цуга
или скачок фазы излучения. И в том и в другом случае эффективная длитель-
длительность цуга т уменьшается и, соответственно, возрастает ширина спектра (рис. 13.4).
ill A A a
1111111Л Л Л Л лл/v
Леем
г
Рис. 13.4. Уширение спектральной линии при сбоях фазы в результате столкновений
13.2. Механизмы уширения спектральных линий
217
При фиксированных давлении и температуре время т статистически одинаково
для всех атомарных излучателей.
Можно показать, что в газоразрядном источнике света с максвелловским рас-
распределением атомов по скоростям спектральная линия описывается лоренцев-
ским контуром, аналогичным A3.5), но с шириной Асо = у + уст, где уст — ушире-
ние, определяемое числом столкновений в единицу времени. Из кинетической
теории Максвелла следует, что
U^ A3.7)
Асо
где NA — число Авогадро, р, Г, \л — давление, темпе-
температура и молярная масса газа, о2 — сечение столк-
столкновений, параметр, по порядку величины близкий к
геометрическому размеру молекул и характеризую-
характеризующий вероятность обрыва волнового цуга.
Расчеты показывают, что при давлении порядка
10 мм рт. ст. столкновительное уширение в несколь-
несколько раз превышает естественную ширину линии. Про-
Проводя измерения ширины линии при различных дав-
давлениях (рис. 13.5) и экстраполируя результаты к
нулевому давлению, можно определить естествен-
естественную ширину, а из наклона — сечение столкновений.
Другая причина уширения спектральных ли-
линий — эффект Доплера. Как известно, этот эффект заключается в сдвиге наблю-
наблюдаемой частоты излучения при движении источника (атома) относительно не-
неподвижного фотоприемника (рис. 13.6).
Рис. 13.5. Зависимость
столкновительного уширения
от давления газа
(О0
со0
vwwvvw
coo - Асо со0 + Асо
Рис. 13.6. Сдвиг частоты излучения при движении источника
Величина сдвига определяется как Aw = со0^г/с, где vz — проекция скорости на
направление наблюдения. При этом, если атом движется к приемнику, Асо 0, ви-
видимая частота увеличивается (фиолетовый сдвиг); если от приемника, Асо < О
(красный сдвиг). Полный спектр излучения источника представляет собой нало-
наложение сдвинутых друг относительно друга одинаковых спектральных распреде-
распределений отдельных атомов (рис. 13.7).
Форму и ширину получающегося спектра можно найти в предположении, что
естественная ширина линии отдельного неподвижного атома мала, а распределе-
распределение ансамбля атомов по скоростям — максвелловское. Как известно, число атомов,
имеющих определенную проекцию скорости, пропорционально exp(-mv'^/2kT)}
218
Глава 13. Классическая теория излучения и поглощения
Рис. 13.7. Формирование доплеровского контура
где Т — температура, к — постоянная Больцмана. Перейдя от распределения по
скоростям к распределению по частотам, получим:
' тс2(со-со0J
{-:
A3.8)
В этом случае спектральный контур называется гауссовским или доплеровским.
Для его ширины на половине высоты нетрудно вывести соотношение:
со0 \kT-2\n2
A3.9)
Как видно, доплеровское уширение растет с ростом температуры газа и с уве-
увеличением частоты (уменьшением длины волны) спектральной линии. Для ви-
видимого диапазона и температур Г~ 300 К, Асодопл ~ 1010 с. Таким образом, при
рассматриваемых условиях доплеровская ширина примерно на два порядка пре-
превышает естественную и столкновительную. Именно вследствие доплеровского
уширения эффективная длительность волнового цуга, а следовательно, и время
когерентности (см. главу 5) составляют всего ~ 10~ш с.
Отметим принципиальное различие между радиационным и столкновитель-
ным уширениями, с одной стороны, и доплеровским уширением, с другой. Вслед-
Вследствие затухания колебаний или влияния столкновений каждый атом излучает цуг
волн конечной длительности, поэтому излучению атома соответствует весь про-
профиль спектральной линии. Такой тип уширения называется однородным. В слу-
случае доплеровского уширения излучению разных атомов соответствуют различные
частоты из общего широкого спектра. Этот тип уширения называется неоднород-
неоднородным. Однородное столкновительное уширение сохраняет лоренцевскую форму
спектральной линии, а неоднородное доплеровское ее изменяет, формируя гаус-
совский профиль линии излучения ансамбля хаотически движущихся атомов.
Понятия естественной ширины линии, столкновительного и доплеровского
уширения относятся, как уже указывалось, к излучению изолированных атомов.
Это приближение хорошо выполняется только для газообразного состояния ве-
вещества. Именно для газов спектры имеют линейчатый характер (рис. 13.8).
Спектральные линии группируются в спектральные серии, объяснение ко-
которых можно получить только в рамках квантовомеханической модели атома.
Для нас важно подчеркнуть квазимонохроматичность (Дсо <?<. соо) спектральных
линий газовых источников света (ртутные, натриевые, водородные и т. д. лам-
лампы). В отличие от них излучение жидкостей и твердых тел обладает значительно
13.2. Механизмы уширения спектральных линий
219
400
450
500
550 600
700 К нм
Не
Na
Hg |
HI
1
1
1
¦1
Фраунгоферовы линии
Рис. 13.8. Линейчатые спектры излучения некоторых элементов и спектр поглощения
верхними слоями атмосферы Солнца (фраунгоферовы линии)
более широким спектром. Сильное взаимодействие атомов вещестиа и конденси-
конденсированном состоянии может сделать спектр излучения сплошным, в итоге обеспе-
обеспечивая излучение немонохроматического белого света.
Из вышеизложенного понятно, что допле-
ровское уширение накладывает определенные
ограничения на возможности спектрального ана-
анализа. Так, например, спектр водорода, получен-
полученный с помощью прибора с низким разрешени-
разрешением (призменный спектрограф), имеет вид, по
казанный на рис. 13.9, а. Увеличение разреше-
разрешения в 30 000 раз с помощью дифракционного
спектрографа или интерферометра Фабри—
Перо позволяет увидеть дублетную структуру
одной из линий (рис. 13.9, б). Однако на са-
самом деле эта линия состоит не из двух» а из
семи компонент. Дальнейшее увеличение раз-
разрешения спектрографа не имеет практическо-
практического смысла, так как эти компоненты все равно
будут перекрываться из-за доплеровского уши-
уширения. Поэтому возникает задача спектроско-
спектроскопии, свободной от доплеровского уширения, то
есть выработки методов, позволяющих довести
спектральное разрешение до величины поряд-
порядка естественной ширины.
Большинство методов субдоплеровской спектроскопии основаны на приме-
применении лазерных источников и базируются на принципах квантовой механики.
Рассмотрим кратко схему одного из классических методов оптической спектро-
спектроскопии под доплеровским контуром — метода атомпого пучка,, реализованного
впервые Добрецовым и Терениным в 1928 г.
Схема эксперимента показана на рис. 13.10. Пучок атомов, летящих в направ-
направлении OZ, формируется с помощью двух диафрагм и имеет углопуто расходи-
расходимость 2ф. Эти атомы возбуждаются перпендикулярным электронным
Рис. 13.9. Спектр, полученный
при низком (а), высоком (б)
и сверхвысоком (в) разрешениях
220
Глава 13. Классическая теория излучения и поглощения
Атомный
пучок
Возбуждение
Диафрагмы
Источник
Направление
наблюдения
Рис. 13.10. Метод
атомного пучка
в направлении ОХ, а возникающая флуорес-
флуоресценция наблюдается также строго перпенди-
перпендикулярно пучку в направлении OY. Проекция
скорости атомов на это направление мала,
поэтому они будут посылать внешнему на-
наблюдателю излучение практически одной
частоты. Таким образом, сокращение допле-
ровского уширения определяется степенью
коллимации атомного пучка и имеет порядок
8со«ф-ДсоДОШ1.
Экспериментальный спектр, полученный
с помощью субдоплеровской спектроскопии,
показан на рис. 13.9, в. Хорошо видны все
спектральные компоненты.
13.3. Поглощение света. Закон Бугера
Напомним некоторые важные соотношения между физическими параметрами,
характеризующими электрические свойства сред. Как известно, связь между ин-
индукцией и напряженностью электрического поля может быть записана двояко.
Относительная диэлектрическая проницаемость е показывает, во сколько раз из-
изменяется поле при попадании в среду: D = soeE. С другой стороны, поляризация
среды описывает аддитивную добавку к внешнему полю: D = е0Е + Р. В прибли-
приближении линейной теории поляризация пропорциональна напряженности поля:
Р = еохЕ, где % ~~ диэлектрическая восприимчивость. Отсюда находим, что ди-
диэлектрическая проницаемость и восприимчивость связаны соотношением г = 1 + %•
В свою очередь, диэлектрическая проницаемость определяет показатель прелом-
преломления среды: п2 = г. Таким образом, определив частотную зависимость % (со), лег-
легко найти также зависимости е (со) и п (со), то есть закон дисперсии.
Отметим, вектор поляризации среды Р отстает по фазе от внешнего поля све-
световой волны Е, вследствие чего диэлектрическая восприимчивость x(w)> a следо-
следовательно, и показатель преломления гс(со) являются комплексными величинами.
Очевидно, что комплексный показатель преломления п- пA - /к) не может трак-
трактоваться просто как отношение скоростей света в вакууме и в среде. Для выясне-
выяснения физического смысла п запишем уравнение монохроматической световой
волны, распространяющейся вдоль оси 0Z:
E(zy t) = Ео exp [i(wt - ckz)] = Ео ехр [- mckz] • ехр[*'(со? - nkz)]. A3.10)
Из A3.10) видно, что в среде с к * 0 амплитуда поля убывает по мере проник-
проникновения света в глубь среды, то есть происходит поглощение. Перейдя от напря-
напряженности к интенсивности света, получим:
/B) = /оехр(-аг), A3.11)
где коэффициент поглощения а =2пк& = Аппк/Х. Соотношение A3.11) носит на-
название закона Бугера—Ламберта—Бэра. Таким образом, действительная часть
комплексного показателя преломления определяет преломляющие (рефракцион-
13.3. Поглощение света. Закон Бугера
221
ныв) свойства среды. Мнимая часть описывает
поглощение {абсорбционные свойства).
Обе части не являются независимыми. Они
связаны некоторыми общими интегральными
соотношениями, именуемыми соотношениями
Крамерса—Кроиига. Это указывает на глубокую
взаимосвязь, казалось бы, далеких друг от друга
эффектов преломления и поглощения.
Наряду со спектрами испускания, о которых
шла речь выше, существуют также спектры по-
поглощения. Как правило, спектры поглощения и
испускания являются дополнительными: веще-
вещество в «холодном» состоянии поглощает там же,
где оно светится при возбуждении (рис. 13.11).
Исключения, например, когда в спектре испус
кания присутствуют линии, отсутствующие в спектре поглощении, объясняются
в рамках квантовой механики. Наиболее ярким примером спектра поглощения
являются фраунгоферовы линии — темные полосы на фоне непрерывного сол-
солнечного спектра. Их возникновение обусловлено газами, составляющими корону
Солнца (см. рис. 13.8).
Рис. 13.11. Сравнение
спектров поглощения
и испускания
ГЛАВА 14 Классическая теория
дисперсии
Тот факт, что реальная световая волна не является идеально монохроматичной,
а представляет собой суперпозицию колебаний с различными частотами, оказы-
оказывается особо иажным при анализе взаимодействия света с веществом. Реакция
молекул вещества на внешнее электромагнитное поле всегда запаздывает, при-
причем величина запаздывания зависит от частоты. В результате возникает явление
дисперсии света, заключающееся в различии фазовых скоростей для спектраль-
спектральных компонент с разными частотами.
14.1. Групповая и фазовая скорости.
Дисперсионная зависимость
Поскольку волновой пакет, или щг волн, оказывается суперпозицией гармоник
с различными частотами, возникает вопрос о поведении этих волн в среде рас-
распространения. Представим волновой пакет в виде импульса, длительность кото-
которого значительно превышает период колебаний электромагнитного поля в свето-
световой волне (рис. 14.1). Из-за инерционности любой фотоприемник не реагирует
на мгновенную величину поля. Поэтому при измерениях скорости света реаль-
реально регистрируется скорость распространения медленно меняющейся огибаю-
огибающей импульса, а не заполняющей его высокочастотной синусоиды.
Представим себе волновой пакет, распространяющийся вдоль оси 02 в виде
суперпозиции гармонических составляющих, каждая из которых имеет некото-
некоторое волновое число k и соответствующую частоту со(&):
?(*,0 = \EQ(k)exp[i((o(k)t-kz)]dk, A4.1)
t
С-*- причем Асо «с: со0, Ak «: kQ.
Запишем фазу колебания как
w(k)t-kz = (uot-koz +
Рис. 14.1. Волновой пакет + [(ю(^)~ ^о)^ ~(^ ~^o)zl-
14.1. Групповая и фазовая скорости. Дисперсионная зависимость
223
Тогда выражение A4.1) можно преобразовать к виду
E(zt t) - A(z, Оехр[?(ю0' ~ V)L
где A(z, t) — медленно меняющаяся амплитуда, представляющая собой огибаю-
щую импульса,
A(z,t)= ej?0(*)exp[i[(co(*)-ee0)f-(*-*0)z]]rf*.
A4.2)
Разложив зависимость со(&) - со0 в ряд и ограничившись первым членом раз-
разложения
получим из A4.2):
A4.3)
Соотношение A4.3) означает, что амплитуда A(z, t) представляет собой су-
суперпозицию низкочастотных составляющих, распространяющихся с одинаковой
скоростью
V-Q A4.4)
dk
С такой же скоростью движется и волновой пакет как целое. Эта скорость на-
называется групповой. Напомним, что скорость монохроматической волны, опреде-
определяемая как скорость перемещения волнового фронта, то есть поверхности рав-
равной фазы {фазовая скорость), равна
с 6)
Для вакуума обе эти величины совпадают, поскольку частота и волновое число
связаны соотношением со = с k, но в любых других средах эта связь более слож-
сложная. Зависимость со = ш(?) называют диспер-
дисперсионной зависимостью (рис. 14.2).
В этих координатах фазовая и групповая
скорости имеют прозрачную геометрическую
трактовку как тангенсы углов наклона секу-
секущей и касательной r выбранной точке k или,
что то же самое, для данной длины волны
X = 2n/k. Если график со(&) имеет выпук-
выпуклость вверх (вторая производная отрицатель-
отрицательна, рис. 14.2, кривая а), то секущая наклонена
сильнее касательной и v > U. В противном
случае угол наклона касательной больше и
v<U (рис. 14.2, кривая б). Линейный гра-
график со(&) соответствует условию v = U. Функ-
Функцию со = со(&) можно определить, зная зави-
зависимость показателя преломления от длины
со
со
(Яг
со.
Л . , /
V
/
/ ,Y
A
•
•
У
Рис. 14.2. Типы дисперсионных
зависимостей
224
Глава 14. Классическая теория дисперсии
волны или частоты: п = /г(со) или п = п(Х), которая обычно называется дисперсией
среды. Найдем связь групповой и фазовой скорости:
[/ = ¦
dk
d(vk) _ , dv
dk Ik'
Перейдя к независимой переменной X с учетом соотношения k = 2п/Х, полу-
получаем формулу Рэлея:
тт л dv тт D X dn
и = v - X ¦, или и - щ 1 i
dX у ndk
A4.5)
Очевидно, возможны три случая:
1. dv/dX = dn/dX = 0; дисперсия отсутствует; строго говоря, эта ситуация реали-
реализуется только в вакууме, но на практике бывает, что дисперсией можно пре-
пренебречь, например, при распространении света в воздухе:
2. dv/dX > 0, dn/dX < 0; показатель преломления убывает с ростом длины волны;
такую дисперсию называют нормальной, и в этом случае групповая скорость
меньше фазовой1, такой тип дисперсии типичен для прозрачных сред; функция
со = (о(&), показанная на рис. 14.2, кривая а, соответствует нормальной диспер-
дисперсии (см. пример 14.2);
3. dv/dX < 0, dn/dX > 0; показатель преломления растет с ростом длины волны;
такая дисперсия называется аномальной (см. рис. 14.2, кривая б), для облас-
областей аномальной дисперсии характерно превышение групповой скорости над фа-
фазовой и сильное поглощение света.
Иллюстрация отличия фазовой скорости от групповой для случая нормаль-
нормальной дисперсии приведена на рис. 14.3.
Показаны положения волнового пакета в последовательные моменты време-
времени t{117, t$. Видно, что формирующая пакет высокочастотная волна как бы «пере-
«переползает» вперед, из-за чего ее фазовая скорость v оказывается выше, чем группо-
групповая скорость U пакета в целом.
Отметим также, идеально монохроматическая волна не переносит какой-либо
информации, поэтому теория относительности не накладывает каких-либо огра-
ограничений на фазовую скорость, и воз-
возможны среды, в которых п < 1 и v > с.
В области аномальной дисперсии из
формулы Рэлея может получиться, что
U > с, то есть групповая скорость боль-
больше скорости света в вакууме, а в неко-
некоторых случаях даже U < 0. Очевидно,
этот результат противоречит теории от-
относительности, в соответствии с кото-
которой скорость света в вакууме есть пре-
предельная скорость передачи информа-
информации. Причиной неприменимости фор-
формулы Рэлея в данном случае является
Рис. 14.3. Отличие фазовой скорости деформация световых импульсов в ус-
от групповой ловиях сильного затухания (рис. 14.4),
t
14.2. Нормальная и аномальная дисперсия
225
вследствие чего само понятие групповой скорости, как скорости перемещения
импульса, нуждается в уточнении. При нормальной дисперсии (рис. 14.4, а) мак-
максимум импульса отстает от переднего фронта, при аномальной (рис. 14.4, б) —
максимум смещается вперед.
Рис. 14.4. Деформация светового импульса при распространении в средах
с нормальной (а) и аномальной (б) дисперсией
Последний случай реализуется, например, при распространении поверхно-
поверхностных волн в жидкости в условиях уменьшающейся глубины водоема — так на-
называемые волны прибоя. В них как бы моделируется ситуация аномальной
дисперсии: групповая скорость превосходит фазовую; вершина волны смещает-
смещается вперед и даже переваливает через передний волновой фронт, вызывая обру-
обрушение волны. Причиной возникновения волн прибоя является потеря ветровой
энергии волны за счет трения о дно. Уже из этого примера понятно, что в усло-
условиях аномальной дисперсии волны не могут распространяться далеко — они за-
затухают.
В оптике схожие деформации световых импульсов возникают в квантовых
усилителях. Проходя через среду с инверсной населенностью (см. часть 4), пе-
передняя часть импульса усиливается сильнее «хвоста», и максимум смещается
вперед.
Наблюдающуюся в прозрачных средах зависимость диэлектрической прони-
проницаемости ?, а следовательно, и показателя преломленния п от частоты принято
называть временной дисперсией. В этом случае фазовая и групповая скорости не
совпадают по величине, но имеют одно и то же направление. В анизотропных
средах (см. главу 12) фазовая и групповая скорости могут не совпадать и по на-
направлению.
14.2. Нормальная и аномальная дисперсия
В классической физической теории широко применяется квазиупругая модель,
в которой атом представлен двумя зарядами: положительным (по современной
терминологии — ядро) и отрицательным — электрон. Эти заряды находятся в
равновесии на некотором расстоянии d0 между ними. При смещении электрона
из положения равновесия на него начинает действовать возвращающая квази-
квазиупругая (пропорциональная расстоянию) сила. Такая система является гармони-
гармоническим осциллятором с собственной частотой со0, определяемой параметрами
системы.
Движение электрона в поле падающей световой волны Ео ехр(/со?) описывает-
описывается уравнением, аналогичным A0.2) с той разницей, что в правой части присутст-
присутствует вынуждающая кулоновская сила:
226 Глава 14. Классическая теория дисперсии
х"+ ух'+ оэ^х - - Е{) exp (zcoO, A4.6)
где е — заряд, т — масса электрона. Стационарное (без учета переходных про-
процессов) решение этого уравнения имеет вид:
1A47)
т cog - со2 - гусо
В результате смещения электрона от положения равновесия атом приобрета-
приобретает наведенный дипольный момент р = ex. Если среда достаточно разряженная
(взаимовлиянием поляризованных атомов друг на друга можно пренебречь), то
поляризация среды пропорциональна концентрации атомов N, то есть Р = zQNp.
Следовательно, из A4.7) можно найти, что восприимчивость среды равна:
х(«>) 2 ; , ,
g)q - or -f гусо
где ш^ = Ne2/zqIti — плазменная частота, физический смысл которой подробно
обсуждается в следующем разделе. Таким образом, вещественная и мнимая части
комплексной диэлектрической проницаемости, описывающие дисперсию и по-
поглощение света, оказываются равными соответственно
\f A4.8)
Анализ соотношений A4.8) и A4.9) упрощается, если показатель преломле-
преломления близок к единице, коэффициент поглощения мал, а частота света со близка к
собственной частоте осциллятора со0, так что в этом случае соо-со2«2(о0((о0~а)).
Тогда
il aa (,4.10)
A4.11)
Графики функций к(со) и гг(со) - 1 показаны на рис. 14.5 (С = со^/4усо0). Как
видно, если частота света достаточно далека от со0, показатель преломления рас-
растет с частотой, то есть имеет место нормальная дисперсия. Аномальная диспер-
дисперсия наблюдается только вблизи со0, но в этой области существует сильное погло-
поглощение.
Экспериментально дисперсионную зависимость можно наблюдать, например,
методом скрещенных призм (рис. 14.6, а). Первая призма (с вертикальным реб-
ребром) — стеклянная, она разлагает проходящий через нее белый свет в спектраль-
спектральную полосу. Вторая призма (с горизонтальным ребром) изготавливается из ис-
14.2. Нормальная и аномальная дисперсия
227
следуемого материала. Она смещает каждую точку спектра по вертикали, причем
величина смещения зависит от показателя преломления на данной частоте. Та-
Таким образом, форма спектральной полосы на экране отражает зависимость пока-
показателя преломления от длины волны. На рисунке показан примерный вид спек-
спектра для случаев нормальной (НД) и аномальной (АД) дисперсии.
ш0 со
Рис. 14.5. Дисперсионные зависимости
АД
589,0 нмТ I 589,6 нм
Рис. 14.6. Наблюдение дисперсии методом скрещенных призм (а) и фотографии
дисперсионных кривых в методе крюков (б)
Для более точного определения изменения показателя преломления в облас-
области аномальной дисперсии, где велико поглощение, Д. С. Рождественским был
предложен спектро-интерференционный метод «крюков», основанный на внесе-
внесении дополнительной разности хода между опорным и измерительным пучками
в двухлучевом интерферометре. В результате интерференционные полосы ока-
оказываются наклоненными, что позволяет количественно оценить параметры ано-
аномальной дисперсии. На рис. 14.6, б> изображена дисперсия в парах натрия в об-
области желтой дублетной линии.
228
Глава 14. Классическая теория дисперсии
14.3. Дисперсия вдали от линий поглощения
Рассмотрим более подробно поведение показателя преломления прозрачных сред.
При выполнении неравенства |соо-о)| » у дисперсионная формула A4.8) сво-
сводится к виду
со2
я*((о) = 1 + " A4,12)
(Щ-ю )
Как следует из A4.12), при любых частотах в области прозрачности имеет ме-
место нормальная дисперсия (рис. 14.7). В реальных случаях собственные часто -
ты со0, как правило, лежат в ультрафиолетовом диапазоне. Поэтому для относи-
относительно низких частот (со < соо, видимая область) показатель преломления, как
ему и положено, больше единицы. Напротив, в высокочастотной области (со > со(),
рентгеновский диапазон) п < 1, и, следовательно, фазовая скорость волны боль-
больше скорости света в вакууме v > с.
Рис. 14.7. Дисперсия в прозрачных средах
Как указывалось ранее, это неравенство не противоречит теории относитель-
относительности, поскольку монохроматическая волна является математической абстрак-
абстракцией. Из-за низкого показателя преломления в рентгеновской области может на-
наблюдаться полное внутреннее отражение на переходе воздух-среда.
Предполагая, что со «с со0, дисперсионную формулу A4.12) можно разложить
в ряд по степеням малого параметра со/со0. Тогда
СОп
ton
Переходя от частоты к длине волны, получаем дисперсионную формулу Коши:
A4.13)
где Л - ш^/соо — коэффициент рефракции, В - 4л:2с''7шо "" коэффициеш диспер-
дисперсии (рис. 14.8). Несмотря на то что формула Коши носит явно приближенный
характер, она с удовлетворительной точностью описывает изменение показателя
преломления в области прозрачности. Например, для водорода в нормальных ус-
условиях зависимость п2 = 1 + 2,72 • 10ч + B,11 • 10~G)/A,2 (А. — в микрометрах) ока-
оказывается справедлива для диапазона длин волн 0,4-9,0 мкм (см. задачу 14.6).
14.3. Дисперсия вдали от линий поглощения
229
О л
Рис. 14.8. Дисперсионная зависимость по формуле Коши
Другой важный предельный случай дисперсии — со » соо. На практике он реа-
реализуется, например, при распространении электромагнитных полн r плазме, то
есть в среде, содержащей большое количество свободных зарядов, для которых во-
вообще отсутствует квазиупругая сила (со0 = 0). Из A4.12) в этом случае находим:
or
со2
A4.14)
Мало того, что показатель преломления меньше единицы, при ш < ьур оказы-
оказывается п1 < 0, то есть показатель преломления становится мнимым. Это означает,
что при частотах излучения, меньших ш/;, для любых углов падения наблюдается
полное отражение (R = 1). Граничная частота со/; =
или лэнгмюровской частотой (рис. 14.9).
называется плазменной
Рис. 14.9. Частотные зависимости коэффициента отражения и показателя
преломления при распространении радиоволн в ионосфере
Оггигыняемпе я мление проявляется, например, в отражении радиоволн от
ионосферы. Концентрация заряженных частиц в ионосфере такова, что Хр лежит
в области нескольких метров. Поэтому радиоволны коротковолнового диапазона
сХ> Хр отражаются от плазмы ионосферы, обеспечивая дальнюю радиосвязь.
Телевизионный диапазон лежит по другую сторону плазменной частоты, по-
поэтому прием телесигнала возможен только в зоне прямой видимости. В период
230
Глава 14. Классическая теория дисперсии
магнитных бурь концентрация заряженных частиц резко возрастает, плазменная
частота повышается, и складываются условия для сверхдальнего приема телеви-
телевизионных передач метровых каналов.
Аналогично объясняется зеркальный блеск металлов, обусловленный плазмой
свободных электронов. В этом случае из-за высокой концентрации зарядов плаз-
плазменная частота лежит в УФ-области.
Вблизи лэнгмюровской частоты наблюдается плазменный минимум отраже-
отражения Rmint возникающий при переходе показателя преломления через единицу.
Физический смысл плазменной частоты заключается в том, что она соответ-
соответствует частоте собственных колебаний электронов в плазме, состоящей из N час-
частиц с зарядом ±е. Такие колебания могут возникнуть, например, при смещении
заряженных частиц из положения равновесия. Тогда под действием кулонов-
ских сил заряды противоположных знаков будут ускоренно двигаться навстречу
друг другу, по инерции проскочат положение равновесия, затем начнут дви-
двигаться в обратном направлении и т. д, совершая затухающие колебания с часто-
частотой соу/
Учтем теперь, что вклад в дисперсию дают колебания не только электронов,
но и ионов. Поскольку масса ионов намного больше, соответствующие собствен-
собственные частоты оказываются меньше. Ионные линии поглощения для веществ, про-
прозрачных в видимой области, попадают в ИК-диапазон. Дисперсионная формула
может быть записана в виде:
и2 = 1 + ¦
A4.15)
Например, для флюорита (CaF2) длины вили, соответствующих электрон-
электронным и ионным линиям поглощения, равны соответственно Х^{ = 0,094 мкм (УФ)
и Х02 = 35 мкм (ИК) (рис. 14.10).
п(Х)
1,5
1,45
1,4
1,35
1,3
1,25
:=>
А.
01
Д
>
од
10 X, мкм
Рис. 14.10. График зависимости показателя преломления флюорита (CaF2)
от частоты падающего излучения (ВД — видимый диапазон)
При переходе к очень низким частотам со -» О основной вклад в показатель
преломления вносит именно ионная составляющая. Этим объясняется наблюда-
наблюдающееся у некоторых веществ расхождение измеряемой величины п и вычислен-
Примеры решения задач 231
ной по теории Максвелла. Например, для воды п = 1,33, а е = 81. Дело в том, что
диэлектрическая проницаемость определяется для статического поля, а показа-
показатель преломления — для оптического диапазона электромагнитных волн. Между
этими областями лежат инфракрасные ионные полосы поглощения.
Формулы A4.12), A4.15) были получены в предположении, что среда доста-
достаточно разреженная и взаимовлиянием поляризованных частиц можно пренеб-
пренебречь. В конденсированных средах (жидкости, твердые тела) локальное поле, дей-
действующее на рассматриваемый атом, обусловлено не только полем световой волны,
но и соседними атомами. Г. Лоренц и Л. Лоренц показали, что в этом случае
справедливо соотношение (формула Лоренц—Лоренца):
-^Ь1 = ^ . A4.16)
т?2 + 2 3((о2-со2) V
Если показатель преломления близок к единице, то п2 + 2 » 3 и A4.16) пере-
переходит в A4.12). В правой части A4.16) величина со^ пропорциональна концен-
концентрации атомов N, а следовательно, и плотности вещества р. Поэтому во многих
случаях справедлив закон постоянной удельной рефракции:
llLli = const. A4,17)
р п2 + 2
Например, для воздуха при увеличении давления в 200 раз удельная рефрак-
рефракция изменяется на доли процента.
Так же как классическая теория излучения, классическая теория дисперсии
в определенных случаях требует уточнения с учетом квантовой природы вещест-
вещества. Тем не менее основные качественные (а во многих случаях и количествен-
количественные) результаты остаются справедливыми. Так, дисперсионную формулу A4.12)
следует заменить формулой Зелъмвйера:
«2=1 + ?^Ч. A4.18)
где соод, — частота, соответствующая одному из переходов между квантованными
уровнями энергии атома, fk — сила осциллятора, коэффициент, зависящий от кван-
квантовых чисел уровней.
Примеры решения задач
Пример 14.1. Показатель преломления сероуглерода при Х{ = 656 нм равен
пх - 1,620, а при Х2 - 580 нм равен п2 = 1,629. Найдите, во сколько раз отличаются
фазовая и групповая скорости света в сероуглероде для желтой области спектра
(X = 620 нм).
Решение
Связь между групповой и фазовой скоростью описывается формулой Рэлея;
= v\ 1 + - —
ndX
232 Глава 14. Классическая теория дисперсии
Считая дисперсию сероуглерода в интервале длин воли A,t Х2 постоянной,
найдем ее среднее значение
0,11810мЧ
dX Х2 - Хг
Величину показателя преломления вблизи 620 нм можно оценить как
п = щ +(X.-Ji,)—= 1,625.
dX
Тогда отношение групповой скорости к фазовой равно
U , Xdn nOrr
— = 1 + = 0,955, дисперсия нормальная.
v n dX
Пример 14.2. Показатель преломления вещества для длимы волны X = 600 нм
равен п - 1,8. Дисперсия вещества в этой области dn/dX = 3 • 105 м. Групповая
скорость распространения света равна [/ = 2,9 • 108 м/с. определить фазовую ско-
скорость волны v и тип дисперсии.
Решение
Запишем формулу Рэлея в виде:
тг (л X dn\ Xc dn
1, п dk) n2 dX
откуда
v=U- — —=2№-10* м/с.
п2 dX
Поскольку групповая скорость больше фазовой, мы имеем дело с аномальной
дисперсией.
Пример 14.3. Водород при 0*С и давлении 760 мм рт. ст. имеет плотность
0,0000896 г • см, а его показатель преломления равен 1,000138. Плотность жид-
жидкого водорода равна 07068 г • см~\ Считая, что формула Лоренц—Лоренца приме-
применима к этому случаю и используя понятие удельной рефракции, определите по-
показатель преломления жидкого водорода.
Решение
Используя понятие удельной рефракции A4.17), можно записать:
1 п'{-1 = 1 п\-\
р, и,2+ 2 р2 п\ + 2
Подставим численные значения:
п]-1 _ 276 -10° 68
nl + 2 ~ 3,000276896-Ю-4'
откуда
^ = 1,22514; п2= 1Д07.
Задачи
232
Задачи
14.1. Показатель преломления стекла для длины волны X. = 0,5 мкм равен п = 1,5
Дисперсия стекла в этой области dn/dX = -3 • 104 м. Определите, на сколькс
процентов групповая скорость распространения света с этой длиной волны в стек
ле меньше фазовой скорости.
14.2. Какие графики из представленных соответству-
соответствуют нормальной дисперсии?
IV
к
©
__ А.
Ф
Г-
V
г
1—
¦к
а,
о
14.3. Зависимость фазовой скорости волны у от дли-
длины волны А. представлена на рисунке. Покажите, что
отрезок ОЛ на оси v, отсекаемый касательной к этой
кривой в точке А,о, равен групповой скорости для этой
длины волны X - Хо.
14.4. Дисперсионная зависимость вещества пред-
представлена зависимостью со (k). В каких точках графи-
графика фазовая и групповая скорости одинаковы? Груп-
Групповая скорость максимальна или минимальна? Фазо-
Фазовая скорость максимальна или минимальна?
14.5. С помощью объектива О и стеклянной призмы
Рг с преломляющим углом 60° на экране Р получены
изображения щели 5 в монохроматических цветах
(спектр). Какова ширина спектра при таких усло-
условиях: лучи падают на призму под углом 49°, экран на-
находится на расстоянии 3 м от объектива, показатель
преломления для красных и фиолетовых лучей равен
1,505 и 1,525 соответственно.
14.6. Дисперсия показателя преломления водорода при нормальных условия?
(температуре и давлении) может быть представлена в интервале от 0,4 до 9 мкь
в виде следующей зависимости: п2 = 1 + 2,72 • 10~4 + B,11 • 10~G)/A,2 (X в микро-
микрометрах). Найдите значения коэффициентов рефракции и дисперсии Л и В в фор-
муле Коши и убедитесь, что собственная частота осциллятора лежит в УФ-об-
ласти. Найдите отношение q/m. К какой частице применимо полученное значе-
значение? Плотность водорода 9,0 • 10 кг • м~*.
234
Глава 14. Классическая теория дисперсии
14.7. Вычислите групповую скорость U волн, фазовая скорость v которых зави-
зависит от длины волны следующим образом:
О акустические волны в воздухе: v = A, А — константа;
О поперечные упругие волны в стержне: v-A/\\
О глубоководные волны: V- Ал[Х;
О капиллярные волны: V = A/VX;
О ионосферные электромагнитные волны: V=-Jc2 + А2Х2 (с — скорость света
в вакууме).
14.8. Майкельсон измерил скорость света в сероуглероде и нашел ее равной
[/= с/1,77. Источник излучал белый свет. Значения показателя преломления се-
сероуглерода для трех длин волн в воздухе приведены в таблице. Покажите, что
эти значения согласуются с экспериментом Майкельсона.
А, МКМ
п
0,589
1,628
0,550
1,640
0,486
1,652
14.9. Световой пучок интенсивностью IQ проходит че-
через три частично поглощающие пластины. Коэффи-
Коэффициент пропускания каждой пластины Г=0,8; коэф-
коэффициент отражения на одной поверхности R = 0,2.
Определите интенсивность прошедшего света.
14.10. Показатель преломления германия для длины волны >.0 = 0,5 мкм (в ва-
вакууме) равен й — 3,47 + 1,40г. Рассчитайте глубину проникновения плоской иил-
ны в германий, на которой ее интенсивность уменьшится в 1000 раз.
¦
1
швт
к
ГЛАВА 15 Рассеяние света
Электрическое поле распространяющейся в веществе световой волны взаимо-
взаимодействует с частицами среды и вызывает переизлучение энергии. Если среда не
вполне однородна, возникает рассеяние, то есть разброс направлений волновых
векторов к при сохранении полной энергии световой волны. При этом световой
поток в первоначальном направлении ослабевает (рис. 15.1).
В качестве рассеивателей могут выступать
частицы различной формы и размеров, от еди-
единиц ангстрем до тысяч нанометров, наконец,
оптические неоднородности (посторонние вклю-
включения, дефекты структуры, упругие колебания
решетки, флуктуации плотности). Если размер
рассеивателя а менее к/15, наблюдается рэле-
евское рассеяние; если более — рассеяние Ми.
При а ~ к эффекты рассеяния постепенно пе-
переходят в дифракционные.
Среды с явно выраженной оптической неоднородностью носят название мут-
мутных сред. К их числу относятся дымы (аэрозоли), взвеси (суспензии), эмульсии,
молочные стекла и т. п. Рассеяние в таких средах называют эффектом Тиндаля
и учитывают через коэффициент рассеяния (или экстиищии) к\ аддитивно вхо-
входящий в показатель экспоненты бугеровского закона A3.11):
/ = /0 ехр
Рис. 15.1. Схема рассеяния света
15.1. Теория рассеяния Рэлея
В модели Рэлея оптическая неоднородность создается сферическими частицами
с диэлектрической проницаемостью сг Размеры рассеивателей (как правило, мо-
молекул) предттппягяются много меньшими длины полны. Поэтому рассеянная волна
считается когерентной с падающей, так как не возникает фазового сдвига, зави-
зависящего от размеров и формы рассеивателя. Частицы хаотически распределены в
среде с диэлектрической проницаемостью е2, и волны от них складываются по ин-
интенсивности. Под действием поля Е падающей волны в веществе возникают наве-
наведенные диполи, дипольный момент которых параллелен Е (рис. 15.2) и пропор-
236
Глава 15. Рассеяние света
ционален напряженности поля и поляри-
поляризуемости рассеивающих частиц. В услови-
условиях модели Лоренц—Лоренца A4.16)
(e1+2e2)
где V — объем частицы.
В соответствии с законами электроди-
электродинамики индуцированный диполь излуча-
излучает, причем величина вектора Пойнтинга Sf
переизлученного света зависит от направ-
направления рассеяния. В случае линейно по-
поляризованного падающего света колебания электрического вектора происходят
вдоль оси ОХ, поэтому все наведенные диполи тоже ориентированы параллельно
этой оси. Диаграмма направленности излучения, или индикатриса рассеяния,
описывается формулой A5.1), которая легко получается из A3.1):
Рис. 15.2. К определению углов
рассеяния
(Gj+ 2c2)j X4 г2
Поскольку вдоль своей оси диполь не излучает, интенсивность рассеяния
вдоль ОХ равна нулю, а вдоль OF и OZ — максимальна (рис. 15.3, а). Длина от-
отрезка /'@)> отсекаемого на индикатрисе, определяет относительную интенсив-
интенсивность рассеяния в заданном направлении. Видно, что от азимутального угла ср
рэлеевское рассеяние не зависит.
щ
\
р
РИС. 15.3. Сечения индикатрисы рассеяния линейно поляризованного (а)
и неполяризованного (б)света
Показанное на рисунке сечение индикатрисы плоскостью XOZ получило на-
название «бабочки Рэлея» (ср. с рис. 13.2). Такую же форму имеет и сечение XOY.
Как следует из A5.1), рэлеевское рассеяние происходит с равной интенсивно-
интенсивностью вперед, назад, вбок и линейно поляризовано в плоскостях, проходящих через
ось ОХ (см. раздел 10.1). Нулевая интенсивность наблюдается только в направ-
направлении оси ОХ, а сечение индикатрисы YOZ является круговым. Таким образом,
общая форма индикатрисы — почти тороид, у которого в центре не птиерстие,
а нулевая точка, в которую стягивается поверхность индикатрисы (рис. 15.4).
Если же падающий свет неполяризован, то есть колебания вектора Е проис-
происходят хаотично в плоскости XOY, то и оси индуцированных диполей равномерно
15.1. Теория рассеяния Рэлея
237
Рис. 15.4. Индикатриса рассеяния линейно поляризованного света
распределены в этой плоскости. Диаграмма направленности рассеянного света в
этом случае дается соотношением A5.2) и показана на рис. i5.3, 6. Ее можно
представить как результат суммирования множества поляризованных индикат-
индикатрис, повернутых вокруг оси OZ в пределах угла 2тг.
Пунктиром внутри диаграммы показаны индикатрисы рассеяния для ортого-
ортогональных компонент поляризации — в плоскости рисунка и перпендикулярно ей.
Итоговая индикатриса во всех направлениях плоскости XOY будет иметь еди-
единичную ширину, а в направлении оси OZ — удвоенную. Это легко получить и из
формулы A5.2) для углов 0 = я/2 и 6 = 0, п. Таким образом, рэлеевское рассеяние
неполяризованного света симметрично и максимально вперед и назад, а под пря-
прямым углом к направлению распространения имеет вдвое меньшую интенсивность.
Обратная пропорциональность интегральной интенсивности рассеяния чет-
четвертой степени длины волны называется законом Рэлея и является причиной из-
изменения оттенков белого света на красноватые при рассеянии вперед и на сине-
синеватые — при рассеянии под углом 90°. Кроме того, рассеянный в поперечном
направлении спет оказывается линейно поляризованным. Эффектами рассеяния
объясняется красный цвет Солнца на закате и восходе, а также голубой цвет неба.
Фарадеем была предложена изящная демонстрация оптической активности
(см. раздел 12.7) с использованием рэлеевского рассеяния. В раствор сахара, об-
обладающий способностью вращать плоскость поляризации, добавляют несколько
капель молока (рассеиватель). При наблюдении поперек кюветы, легко заметить
винтовую модуляцию интенсивности рассеяния (рис. 15.5), поэтому эффект был
назван «винт Фарадея».
Линейно
поляризованный
CDCT
Направления максимальниги рассеяния
Рис. 15.5. Рассеяние света в мутной оптически активной среде (винт Фарадея)
238
Глава 15. Рассеяние света
15.2. Рассеяние Ми
и молекулярное рассеяние
Если размеры рассеивателя оказываются сравнимы с длиной волны падающего
излучения, то приближения теории Рэлея не выполняются: возникающий на
каждом рассейвателе фазовый сдвиг зависит от формы, размеров и оптических
свойств частицы. Кроме того, сами элементарные диполи, находящиеся на ко-
конечных расстояниях друг от друга, оказываются под воздействием различных
полей в результате переизлучений.
Теория рассеяния Ми предсказывает для ряда простейших случаев (прелом-
(преломляющие или отражающие частицы круглой или эллиптической формы) интуи-
интуитивно понятную трансформацию индикатрис рассеяния при изменении разме-
размеров рассеивателей. Индикатрисы теряют свою симметричность (рассеяние вперед
может превосходить рассеяние назад, и наоборот) и постепенно становятся мно-
многолепестковыми, причем боковые максимумы подчиняются дифракционным со-
соотношениям а • sin 0 = X (рис. 15.6).
Математическую основу теории Ми составляет разложение уравнений для
переизлученной электромагнитной волны по малому параметру а = ka - 2па/Х.
При возрастании этого параметра приходится учитывать все больше членов раз-
разложения по степеням а. Частотная зависимость интенсивности рассеяния /' так-
также изменяется и становится более медленной, чем следует из закона Рэлея.
Примерами рассеяния Ми являются облака, тучи, клубы дыма, рассеяние ту-
туманами, проявление трассового следа реактивных самолетов и т. д. По мере уда-
удаления из оптической среды посторонных примесей и включений, индикатрисы
рассеяния становятся все уже, интенсивность рассеяния ослабевает, уступая ме-
место когерентному переизлучению вперед. Однако даже в идеально чистых средах
наблюдается так называемое молекулярное рассеяние за счет тепловых флуктуа-
флуктуации плотности атомов или молекул и, следовательно, флуктуации показателя пре-
преломления.
Оптические неоднородности с линейными размерами порядка длины волны
образуются также в окрестностях критической точки К на диаграмме Р- V для
реального газа (рис. 15.7). При стремлении к нулю производной dP/dV исчезает
а < 0,07 X
а~0,1Х
а ~ 0,25 X
а~Х
Для крупных
непрозрачных частиц
Рис. 15.6. Индикатрисы рассеяния
на частицах разных размеров
Т = const
Рис. 15.7. Критическая точка реального
газа. Затенена область двухфазного
состояния жидкость-пар
15.3. Неупругое рассеяние 239
различие между жидкостью и паром, флуктуации плотности, а следовательно,
и показателя преломления резко нарастают; их уже нельзя считать малыми. Это
приводит к критической опалесцепции — сильному рассеянию света в этих усло-
условиях. Среда становится практически непрозрачной.
15.3. Неупругое рассеяние
В отличие от рассмотренных ранее типов рассеяния, в некоторых случаях частота
рассеянного излучения отличается от частоты падающего света. Такой вид рас-
рассеяния называют неупругим1. Одним из них является комбинационное рассеяние
света или эффект Романа — рассеяние на колебаниях молекул газов и жидко-
жидкостей, сопровождающееся заметным изменением частоты, открытое Ч. Раманом в
1928 г. Проявляющиеся в спектре рассеянного излучения линии делятся на сто-
ксовы (с уменьшением частоты — «красные спутники») и аптистоксовы (с уве-
увеличением частоты — «фиолетовые спутники»).
Феноменологическое волновое описание эффекта Рамана заключается в мо-
модуляции дипольного момент молекулы с колебательной частотой Q. Действи-
Действительно, если нормальная координата хп соответствующая какой-либо колебатель-
колебательной степени свободы, зависит от времени как х. = a cos Of, электронная поляри-
поляризуемость молекулы изменяется на частоте Q:
+ —
)
A5.3)
где а0 — восприимчивость молекулы в равновесной конфигурации, а коэффици-
коэффициент |д характеризует изменение восприимчивости при смещении атомов из рав-
равновесных положений. В результате наведенный дипольный момент молекулы
(см. раздел 14.2) оказывается промодулированным с частотой колебаний Q:
р = Епа? = ?п(ап + \iacosQt)E[) cos co0? =
' A5.4)
Таким образом, гармоническая амплитудная модуляция приводит к возникно-
возникновению в спектре сигнала комбинационных частот, отличающихся от несущей час-
частоты со0 на величину П (рис. 15.8), которые и наблюдаются в рассеянном свете.
По квантовым представлениям, стоксова компонента с частотой со0 - Q воз-
возникает, когда энергия фотона йсо уменьшается на величину, равную энергии ко-
колебательного возбуждения молекулы; антистоксова (со0 + Q) — когда квант энер-
энергии hQ первоначально возбужденной молекулы передается излучению. Посколь-
Поскольку отношение числа возбужденных и невозбужденных молекул ехр( - hQ/kT) <зс 1,
интенсивность антистоксовой компоненты оказывается много меньше интенсив-
интенсивности стоксовой. Комбинационное рассеяние является мощным средством иссле-
исследования структуры и свойств молекул.
1 По аналогии с механикой, столкновения двух неупругих объектов, когда нарушается за-
закон сохранения механической энергии.
240
Глава 15. Рассеяние света
i
I
/ СО0\
t
со
юо - п
о
Рис. 15.8. Амплитудная
модуляция и появление
в спектре комбинационных
частот
Красные и фиолетовые спутники появляют-
появляются и при неупругом рассеянии света на колеба-
колебаниях кристаллической решетки — так называе-
называемом рассеянии Мандельштама—Бриллюэна, при
этом частотный сдвиг О. оказывается зависящим
от угла рассеяния. Волновое описание этого эф-
эффекта опирается на формулу Вульфа—Брэггов
(9.11) для наводимых в кристалле динамических
дифракционных решеток.
Предположим, чти в среде распространяется
упругая волна с частотой Q, длиной волны Л
и волновым вектором К (рис. 15.9). Периоди-
Периодические изменения плотности среды приводят к
появлению динамической дифракт{ионной решет-
решетки, перемещающейся в направ-
направлении К со скоростью v=Q/K.
Условие дифракционных макси-
максимумов для такой решетки сво-
сводится к соотношению для волно-
волновых векторов k'=k + K, где к —
волновой вектор падающей, к' —
рассеянной волны. Знак «-» со-
соответствует красному смешению
частоты, возникающему при ост-
остром угле между векторами к и К
(рис. 15.9, а). Знак «-Н соответст-
соответствует фиолетовому сдвигу частоты
при тупом угле между векторами к и К (рис. 15.9, б).
С квантовой точки зрения рассеяние Мандельштама—Бриллюэна представ-
представляет собой рассеяние фотона исходного светового пучка с испусканием или по-
поглощением кванта упругих колебаний среды — фонопа, представляющего собой
квазичастицу с энергией Ш и импульсом йК (рис. 15.10).
Рис. 15.9. Рассеяние нединамической решетке:
стоксово (а) и антистоксови (б)
<? Фонон
Фотон
Q)
Фотон
Фонон
Рис. 15.10. Комбинационное рассеяние как результат взаимодействия фотона и фомома
При этом рассеяние происходит с соблюдением законов сохранения энергии
Ш = Лео' и импульса: ftk + йК = hV.
Часть 4
Квантовая и лазерная
оптика
ГЛАВА 16 Квантовая теория
излучения
Все рассмотренные в предыдущих главах оптические явления (за исключением
неупругого рассеяния) имеют вполне удовлетворительное волновое описание.
Даже дискретный характер атомарных спектров допускает классическую трак-
трактовку на я;зыке затухающих колебаний.
Рассматриваемые ниже явления, в первую очередь — равновесное тепловое
излучение, фотоэффект, световое давление, эффект Комптона, — получили наибо-
наиболее логичное и законченное объяснение на основе иного механизма взаимодейст-
взаимодействия света с веществом. Этот механизм базируется на понятии фотона — светового
кванта, минимальной порции световой энергии.
16.1. Законы теплового излучения
Излучение телами электромагнитных волн (свечение тел) требует энергетиче-
энергетических затрат и может осуществляться за счет различных видов энергии. Если све-
свечение происходит за счет внутренней (тепловой) энергии тела, оно называется
тепловым излучением. Все остальные виды свечения, возбуждаемые за счет любо-
любого другого вида энергии, кроме тепловой, называются люминесценцией. В первую
очередь, к ним относятся: хемилюминесцеиция (свечение вещества при некото-
некоторых химических превращениях), электролюминесценция (свечение газового раз-
разряда под действием соударений заряженных частиц), фотолюминесценция (излу-
(излучение, вызываемое предварительным освещением тела) и т. д.
В отличие от других видов излучения, тепловое может находиться в состоя-
состоянии термодинамического равновесия с материальными телами. Рассмотрим не-
несколько тел, нагретых до различной температуры и помещенных в замкнутую
оболочку, полностью отражающую падающее на нее излучение (рис. 16.1, а). Та-
Такую систему называют еще адиабатической, поскольку в ней отсутствует тепло-
теплообмен с окружающей средой. Каждое из этих тел испускает тепловое излучение,
причем его интенсивность возрастает с повышением температуры тела. Одно-
Одновременно тела полностью или частично поглощают падающее на них излучение.
Через некоторое время температуры всех тел выравняются, а испущенная каж-
каждым телом лучистая энергия станет в среднем равной поглощенной энергии.
16.1. Законы теплового излучения
243
Рис. 16.1. Установление термодинамического равновесия
При этом плотность энергии излучения в пространстве между телами достигает
определенной величины, соответствующей установившейся в системе темпера-
температуре (рис. 16.1, б).
С увеличением температуры внутри оболочки возрастет энергия равновесно-
равновесного излучения и изменится его спектральный состав. Наблюдать эти изменения
можно, проделав небольшое отверстие в стенке и регистрируя выходящее из него
излучение.
Для описания распределения энергии по частотам введем зависящую от тем-
температуры спектральную плотность излучения UW(T), тогда величина ?/ш(Г)б?ш
будет представлять энергию единицы объема излучения с частотами от со до
со + с/со. Если в качестве независимой переменной взять не частоту, а длину вол-
волны, то получим спектральную плотность Uv для которой легко вывести соотно-
соотношение
inc
A6.1)
Очевидно, что полная плотность излучения ЩТ) может быть найдена интег-
интегрированием Ua (или Uk) по всем частотам (или по всем длинам волн):
A6.2)
В соответствии с первым законом Кирхгофа, равновесная спектральная плот-
плотность энергии зависит только от абсолютной температуры и не зависит от ко-
количественного и качественного состава термодинамической системы. Это озна-
означает, что функция ИШ(Т) (иди UX(T)) является универсальной, независящей от
вида тел, находящихся в оболочке, их числа, материала стенок, коэффициента
отражения стенок и т. д.
Для теплового излучения тела, не находящегося в полости (в отсутствие рав-
равновесия с излучением), спектральное распределение зависит от материала по-
поверхности. Для описания этого распределения введем понятие испускательиой
способности тела rw (или гх), которая представляет собой спектральную плот-
плотность потока энергии излучения, испускаемую единичной площадкой поверх-
поверхности по всем направлениям. Испускательная способность измеряется в Дж/м2.
244
Глава 16. Квантовая теория излучения
Полный поток излучения для всех длин волн дает энергетическую светимость R
поверхности:
\ ^d\. A6.3)
Всякое тело полностью или частично поглощает падающее на него излучение.
Поглощательная способность (или спектральный коэффициент поглощения) аш
показывает, какая доля энергии падающего излучения данной частоты поглоща-
поглощается телом. Это безразмерная величина, которая может принимать значения от О
до 1. Поглощательная способность зависит от температуры и свойств тела, на-
например окраски. Тело, которое при любой температуре полностью поглощает всю
энергию падающих на него электромагнитных волн, независимо от частоты, по-
поляризации и направления распространения, называется абсолютно черным тс
лом (АЧТ). Моделью АЧТ может служить замкнутая полость, в стенке которой
имеется малое отверстие.
Рассмотрим поток равновесного теплового излучения Фм в единичном спект-
спектральном интервале вблизи частоты со, падающий на единичную площадку поверх-
поверхности тела. Так как равновесное излучение изотропно, то в пределах телесного
угла dQ = sin QdQdy распространяется энергия, составляющая долю dQ./4n от всей
энергии. Если выбранное направление образует угол 9 с нормалью к поверхно-
поверхности (рис 16.2), то поток г/Фш, заключенный в телесном угле dCl, связан со спек-
спектральной плотностью энергии ?/ы и равен
, cU@ cos I
An
Полный поток со всех направлений
сЦ /
Ф =
An
ГсЛр f sin0cos0(/0 =
cUm
A6.4)
Рис. 16.2. К выводу второго закона Кирхгофа
Часть этого потока, равная яшФш, поглощается, остальная часть A - «@)ФС0 от-
отражается. С отраженным потоком складывается поток собственного теплового
излучения поверхности rw. В условиях равновесия полный, исходящий от поверх-
поверхности поток равен падающему:
A-ОФш+гш=Ф(и, A6.5)
16.1. Законы теплового излучения 245
откуда с учетом формулы A6.4) получим:
г,., cU
A6.6)
Соотношение A6.6) выражает второй закон Кирхгофа: отношение испуска-
тельной способности тела к его поглощательной способности не зависит от ма-
материала тела и совпадает (с точностью до множителя с/А) со спектральной
плотностью равновесного излучения. Это означает, что тело, сильнее поглощаю-
поглощающее какие-либо лучи, будет эти лучи сильнее и испускать. При этом не следует
смешивать испускание лучей с их отражением.
Для АЧТ аы = 1, следовательно, спектральное распределение теплового излу-
излучения черного тела будет таким же, как у равновесного излучения при той же
температуре. Именно поэтому равновесное излучение называют также черным
излучением. В методе оптической пирометрии производится бесконтактное опре-
определение температуры путем сравнения энергетических и спектральных характе-
характеристик теплового излучения объекта с излучением эталонного АЧТ.
Коэффициентом черноты (степенью черноты) называется отношение испуска-
тельной способности тела к испускательной способности АЧТ. Если коэффици-
коэффициент черноты меньше единицы и не зависит от частоты излучения, то тело назы-
называют серым. Если коэффициент черноты различен в различных частях спектра,
то тело называют селективным или цветным. Непрозрачные тела, у которых сте-
степень черноты равна нулю, ни излучают и не поглощают электромагнитных волн.
Падающее на них излучение эти зеркальные тела полностью отражают.
R 1893 г Вином было доказано, что спектральная плотность черного излуче-
излучения должна иметь универсальный вид:
(jj A6.7)
где / — некоторая функция отношения частоты к температуре, конкретный вид
которой в рамках классической электромагнитной теории света и термодинами-
термодинамики установить невозможно.
Проинтегрируем соотношение Вина A6.7) но частотам, введя новую перемен-
переменную х - со/ Т:
U(T) = j(o:if(-)d(o = r]x3f(x)dx. A6.8)
о vTV о
Поскольку интеграл не зависит от температуры, плотность равновесного из-
излучения, а следовательно (в соответствии с A6.6)), и энергетическая светимость
оказываются пропорциональными четвертой степени температуры:
R(T) = nT* A6.9)
Равенство A6.9) называется законом Стефана—Больцмапа. Постоянная Стефа-
Стефана—Больцмана ст была определена из опыта, ее значение а = 5,7 • 10~8 Вт/(м2 • К4).
Экспериментально установлено, что зависимость гх(Т) (или 17,G)), рассмат-
рассматриваемая как функция длины волны, имеет максимум при некотором значении Хт1
причем с увеличением температуры этот максимум смещается й сторону более
246
Глава 16. Квантовая теория излучения
коротких длин волн. Перейдя в A6.7) от частот к длинам волн, с учетом A6.1)
получим
A6.10)
где/j — функция, зависящая от произведения XT. Продифференцировав ее, най-
найдем, что при любой температуре максимумы зависимости U^(T) и VX{T) получа-
получаются при одном и том же значении Хт1\ что выражает закон смещения Вина:
КТ = Ъ% A6.11)
где константа Ъ = 2,90 • 10 м • К.
Реальные зависимости испускательной способности гк АЧТ при четырех тем-
температурах, отличающихся друг от друга в 1,2 раза, показаны на рис. 16.3. Вид-
Видно, что даже при 3000 К максимум теп-
теплового излучения лежит в ИК-области
(видимая часть спектра затенена). Зна-
Значение спектральной плотности в мак-
максимуме пропорционально пятой степе-
степени температуры.
Попробуем объяснить законы теп-
теплового излучения с точки зрения клас-
классической электродинамики. Поскольку
спек 1 ральние распределение равновес-
равновесного теплового излучения не зависит
от того, какие именно тела находятся в
тепловом равновесии, рассмотрим про-
простейший вид излучателя: гармониче-
гармонический осциллятор с собственной часто-
частотой со0, зарядом е и массой т. Ранее бы-
бымкм
Рис. 16.3. Смещение максимума
теплового излучения с ростом
температуры (закон смещения Вина).
Затенена видимая область споктра
ло показано (см. разделы 13.1 и 14.3),
что такой осциллятор излучает pi по-
поглощает излучение только в узкой по-
полосе частот вблизи w0. Учитъшия, что при равновесии поглощаемая мощность
(пропорциональная 1!ш) равна испускаемой (пропорциональной средней энергии
осциллятора (г)), получим:
^=^Т- A6.12)
В соответствии с законом о равнораспределении энергии, на каждую степень
свободы приходится kT/2 кинетической энергии. У осциллятора средние значе-
значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы, так что
<е> =kT. A6.13)
Таким образом, для спектральной плотности равновесного теплового излуче-
излучения получим формулу Рэлея—Джинса:
U =
A6.14)
16.2. Формула Планка
247
/
/)
й- М
I/
и.
ч
CD
"Рэле
>орму/
я-Дж
\
а \
инса
Нетрудно увидеть, что это соотноше-
ние удовлетворяет закону Вина A6.7).
Несмотря на то что с классической
точки зрения вывод формулы Рэлся
Джинса безупречен, с экспериментом
она согласуется лишь при больших
длинах волн (малых частотах) и резко
расходится с опытом для малых длин
волн (рис. 16.4).
Экспериментальная кривая (сплош-
(сплошная линия) демонстрирует прохожде-
прохождение функцией [/ш максимума с после-
последующим ее уменьшением с ростом час-
тоты. В то же время [7Ш, вычисленная
по формуле Рэлея—Джинса, не имеет
никакого экстремума, монотонно воз-
возрастая с частотой. Более того, интегрирование выражения A6.14) по всем часто-
частотам дает для равновесной плотности энергии бесконечно большое значение. Этот
результат получил название ультрафиолетовой катастрофы. Суть ее в том, что
по классической теории получается, что вся энергия тела перейдет в энергию вы-
высоких частот излучения и установление термодинамического равновесия вообще
невозможно. Расхождение формулы Рялея—Джинса с опытом указывало на су-
существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями клас-
классической физики, и послужило одной из причин великой революции в физике
в начале XX века.
со
Рис. 16.4. Ультрафиолетовая
катастрофа
16.2. Формула Планка
В 1900 г. Планком была получена формула для спектральной плотности равно-
равновесного теплового излучения в предположении, что энергия осциллятора МОЖСТ
принимать не любые, а только определенные дискретные значения энергии zn.
По гипотезе Планка все разрешенные значения энергии осциллятора кратны не-
некоторой наименьшей энергии: е„ = nz0, где п = 0, 1, 2, .... В этом случае средняя
энергия осциллятора в формуле A6.12) не будет равна kT. Действительно, веро-
вероятность того, что осциллятор находится в состоянии с энергией гп, в соответст-
соответствии с распределением Больцмана пропорциональна exp[-zn/kT]. Тогда
(е)=Л
A6.15)
Выражение в знаменателе A6.15) представляет собой геометрическую про-
прогрессию и равно
[l-exp(-Ce0)]
где р = т?-
kT
248 Глава 16. Квантовая теория излучения
Выражение в числителе A6.15) может быть представлено как
1Я8осхр(рД8в) .
V ° <Ф [l-exp(-p?o)P
Таким образом, для средней энергии осциллятора находим:
[ехр(Рео)-1]
<16Л6>
Подставляя полученное значение в A6.12), получим вместо формулы Рэлея—
Джинса следующее выражение;
U =C°2g° - A6 17)
Формула A6.17) будет удовлетворять термодинамической формуле Вина
A6.7), если энергия осциллятора пропорциональна частоте:
e0=ftco = /zv. A6.18)
Кшффицисш пропорциональности h —2кЬ впоследствии был назван посто-
постоянной Планка. По современным данным, Ь ~ 1,05 • 10~*4 Дж • с. Окончательно для
спектральной плотности равновесного теплового излучения получим формулу
Планка:
и(Т)
к2с'3 ехр(Лш/*Г)-1
A6.19)
Покажем, что обсуждавшиеся выше классические соотношения для теплово-
теплового излучения могут быть получены из формулы Планка в качестве предельных
случаев.
? Формула Рэлея—Джинса. Получается из формулы Планка при низких часто-
частотах или высоких температурах, когда hd)/kT <? 1. Разложив экспоненту в ряд
exp[hco/kT] » 1 + Тка/kT, получим формулу A6.14).
а Закон Стефана—Болъцмана A6.9). Энергетическая светимость АЧТ, опреде-
определяемая по формуле Планка, равна
[in2 с2 ехр(/*со/?Г)-1 Ап2с2{ h ) | exp(*)-l'
гдех = hw/kT. Интеграл в последнем выражении равен п/{/15. Таким образом,
приходим к закону Стефана— Больцмана Я(Т)= сГ4 с постоянной
=5.67-10^ ВТ
60c2 ft
? Закон смещения Вина A6.11). Перейдем в формуле Планка от частот к дли-
длинам волн. С учетом A6.1) получим:
^5 expBnhc/kTX)-\
16.3. Спонтанное и вынужденное излучение 249
Введя безразмерную переменную х =2nfic/kT\, сведем задачу к нахождению
максимума функции
— ' ех_х
Продифференцировав, найдем х =5A-е~х). Это уравнение может быть реше-
решено численно, его корень х - 4,965. Отсюда
ХтТ- 2nhc -b. AG.20)
4,965*
Полученное из A6.20) численное значение константы Вина Ъ в точности со-
совпадает с приведенным выше экспериментальным значением.
Напомним, что по классической теории энергия (интенсивность) электромаг-
электромагнитных волн определяется квадратом амплитуды и никак не связана с частотой.
Гипотеза Планка о пропорциональности энергии и частоты фактически застави-
заставила вновь (после Ньютона) обратиться к корпускулярной теории света.
16.3. Спонтанное и вынужденное излучение
Развивая идеи Планка, Эйнштейн в 1905 г. предположил, что дискретный харак-
характер присущ не только процессам испускания и поглощения, но и самому свету,
представляющему собой поток световых квантов — фотонов. По современным
физическим представлениям свет обладает так называемым корпускулярио-вол-
новым дуализмом, то есть в одних экспериментальных ситуациях проявляют себя
преимущественно квантовые свойства света, в других — волновые.
Элементарная квантовая теория теплового излучения строится на основе двух-
двухуровневой модели атома. Предполагается, что атом имеет два дискретных энер-
энергетических состояния: основное с энергией WQ и возбужденное с энергией Wv
Число атомов в каждом из этих состояний — No и N{ — называют иаселеииостя-
ми соответствующих уровней. Разность энергий основного и возбужденного со-
состояний равна энергии светового кванта, поглощаемого при переходе 0 —> 1 или
излучаемого при переходе 1 -> 0:
ftoo = Wi-Wro. A6.21)
По Эйнштейну, возможны следующие типы радиационных переходов между
энергетическими уровнями:
? Спонтанное излучение (рис. 16.5, а). Атом исходно находится в возбужденном
состоянии W{ и в некоторый случайный момент времени самопроизвольно
переходит в основное состояние, испуская фотон. Этот процесс характеризу-
характеризуется вероятностью перехода в единицу времени Л10.
Q Поглощение (рис. 16.5, б). Атом находится в основном состоянии и, поглощая
квант света, переходит в возбужденное состояние (из которого он через неко-
некоторое время вернется в основное состояние). Вероятность такого перехода
пропорциональна плотности энергии электромагнитного поля 11Ш на частоте
перехода и некоторому коэффициенту 501, зависящему от конкретного сорта
атомов. При каждом акте поглощения число фотонов уменьшается на единицу.
250 Глава 16. Квантовая теория излучения
•w0 о-
а б в
Рис. 16.5. Типы радиационных переходов в двухуровневой системе
Указанные типы переходов вполне соответствуют классической теории, одна-
однако они не могут обеспечить выполнение условий энергетического баланса. Дей-
Действительно, если вероятность спонтанного излучения зависит только от внутрен-
внутренних свойств атомов, то вероятность поглощения всегда связана с количеством
падающих фотонов с данной частотой. Поэтому детальное равновесие (то есть
равновесие для всех частот) не может быть установлено. Для устранения этого
противоречия Эйнштейн ввел еще один тип перехода.
? Вынужденное излучение (рис. 16.5, в). Атом переходит из возбужденного со-
состояния в основное, но не самопроизвольно, а под воздействием внешнего
электромагнитного поля. Вероятность вынужденного излучения равна ?ш • Uw.
Число фотонов увеличивается на единицу. В отличие от спонтанного процес-
процесса, при котором фотоны испускаются различными атомами независимо друг
от друга, при вынужденном излучении новый фотон неотличим по своим
свойствам от фотона, вызвавшего переход. Все фотоны, возникшие в резуль-
результате вынужденного излучения, имеют одинаковую частоту, фазу, направле-
направление распространения и поляризацию. Таким образом, вынужденное излуче-
излучение когерентно (см. главу 5).
Рассмотрим сначала спонтанное излучение, благодаря которому светятся
обычные (нелазерные) источники света. Пусть в начальный момент времени
L = О в состояние Wx было возбуждено NlQ атомов (например, коротким импуль-
импульсом тока). С вероятностью Л10 атомы переходят в основное состояние, в резуль-
результате чего к моменту t в возбужденном состоянии остается N{ атомов. За время dt
спонтанный переход совершат в среднем
dNw =A^N,dt A6.22)
атомов. Соответственно, изменение числа атомов на верхнем уровне равно dN{ =
= - dN{0 = -AmNxdt Интегрируя, получим, что число возбужденных атомов убы-
убывает по экспоненциальному закону
Л10О. A6.23)
Интенсивность спонтанного излучения пропорциональна числу испущенных
фотонов, то есть числу переходов. Из формул A6.23) и A6.22) получаем:
I(t) = /0 ехр(- Al0t) = /0 expf ~ J, A6.24)
где Tt = 1/Л10 — радиационное время жизни уровня 1.
Формально выражение A6.24) совпадает с классической формулой излучения
затухающего осциллятора (см. раздел 13.1) с точностью до замены постоянной ра-
радиационного трения у на коэффициент Эйнштейна А10. Соответственно, остается
16.4. Квантовые эффекты в оптике 251
справедливым обсуждение вопроса о естественной ширине спектральной линии:
Асоест = Л10 = 1/т1. Однако физический смысл времени жизни в классическом и
квантовом случаях совершенно различен. По классической электродинамике все
излучающие осцилляторы одновременно совершают затухающие колебания и вре-
время т одинаково для всех осцилляторов с данной частотой. По квантовым пред-
представлениям, спонтанные переходы происходят в случайные моменты времени,
и понятие времени жизни имеет статистический смысл, применимый к большому
ансамблю атомов. Кроме того, коэффициент Эйнштейна зависит от вида атомов
и от того, в какое именно возбужденное состояние переведен атом. Времена жиз-
жизни различных состояний могут различаться на много порядков, однако для боль-
большого количества спектральных линий справедлива оценка т ~ 10~8...10'9 с.
Статистический характер спонтанного излучения приводит к тому, что фазы
направления распространения и поляризации волн, испущенных разными ато-
атомами, не скоррелированы друг с другом — именно поэтому спонтанное излуче-
излучение пекогерептпо.
Учтем теперь и вынужденное излучение. В состоянии термодинамического
равновесия число переходов между уровнями 1 -» 0 должно равняться числу пе-
переходов 0 —» 1, следовательно
Nx{Am + BmUM) = NQBJ{y A6.25)
Равновесные населенности уровней связаны соотношением Больцмана
N, ( W*-WA ( /ко
—- = ехр ¦ - = exp
Чем больше энергия уровня, тем меньше его населенность.
Кроме того, при высокой температуре, когда плотность энергии высока, спон-
спонтанным излучением можно пренебречь, а населенности уровней выравниваются,
откуда следует, что В10 = В0]. Подставив эти соотношения в формулу A6.25), для
спектральной плотности равновесного теплового излучения получим:
[7(Г) = ^1Ь± . A6.26)
ехр(йю/#О -1
Это выражение совпадает с формулой Планка A6.19) при
Таким образом, совместное действие квантовых механизмов спонтанного
и вынужденного излучения обеспечивает экспериментально наблюдаемую спек-
спектральную плотность равновесного теплового излучения.
16.4. Квантовые эффекты в оптике
Проявления квантовых свойств света отнюдь не исчерпываются тепловым излу-
излучением. В конце XIX - начале XX в. были получены экспериментальные данные,
которые могли быть последовательно интирпретированы на основе квантовых
представлений. Обсудим некоторые из них.
252
Глава 16. Квантовая теория излучения
Фотоэффект
Испускание электронов веществом под действием света было открыто Г. Герцем
еще в 1887 г. Схема наблюдения фотоэффекта показана на рис. 16.6, а. Свет, про-
проникающий через кварцевое окошко, освещает фотокатод К. Под действием при-
приложенного электрического напряжения электроны перемещаются к аноду Л, в ре-
результате чего в цепи прибора течет ток, измеряемый амперметром.
U
Рис. 16.6. Фотоэффект (а) и вольтамперные характеристики фотоэлемента (б)
Вольтамперная характеристика, то есть зависимость фототока / от величины
приложенного напряжения ?/показана на рис. 16.6, б. Видно, что при U= О суще-
существует определенное киличисгво электронов, обладающих достаточными скоро-
скоростями, чтобы долететь до анода без помощи ускоряющего поля. С ростом U сила
тока растет, однако затем наступает насыщение, связанное с тем, что все электро-
электроны, вылетевшие из катода, достигают анода. Величина тока насыщения /пас, а сле-
следовательно, и число вылетающих в единицу времени электронов пропорциональ-
пропорциональны интенсивности света.
Для обращения силы тока в нуль нужно приложить задерживающее напряже-
напряжение Uo. По этому напряжению можно определить максимальную скорость фото-
фотоэлектронов vM.
„ mvl
Величина vm не зависит от интенсивности света, а определяется только его
частотой. Для каждого вещества существует минимальная пороговая частота из-
излучения (максимальная длина волны Хо), при которой возникает фотоэффект.
Если длина волны падающего излученния превышает эту красную границу фо-
фотоэффекта, то фотоэлектроны отсутствуют даже при достаточно большой ин-
интенсивности облучающего света.
Указанные закономерности противоречат классической теории, по которой
энергия фотоэлектронов должна определяться интенсивностью света. В 1905 г.
экспериментальные закономерности фотоэффекта были объяснены Эйнштей-
Эйнштейном на основе гипотезы о световых квантах. По этой теории энергия фотона /гсо
целиком передается электрону. Часть ее (так называемая работа выхода Л) за-
затрачивается на освобождение электрона из вещества, остаток определяет кине-
16.4. Квантовые эффекты в оптике 253
тическую энергию электрона. Таким образом, уравнение Эйнштейна для фото-
фотоэффекта, по сути представляющее закон сохранения энергии, имеет вид:
йсо = Л + —. A6.27)
Красная граница фотоэффекта соответствует энергии фотона, равной работе
выхода, то есть нулевой кинетической энергии освобожденного электрона. Мак-
Максимальная длина волны излучения, вызывающего фотоэффект, равна
^ A6.28)
Для большинства металлов ^0 лежит в ультрафиолетовой области, только
у щелочных металлов красная граница попадает в видимый диапазон, поэтому
именно они используются для покрытия фотокатодов.
Световое давление
Давление света, впервые обнаруженное в опытах
П. Н. Лебедева в 1900 г., может быть интерпрети- Ар = р о -«ш
рОвано как результат передачи импульса фотонов #_
поглощающей или отражающей стенке (рис. 16.7). м *~* •-*•
По известной релятивистской формуле Эйнштей- N •-» #-^
на, энергия фотона может быть записана как #_^ ""* •—
Ы = тс2, откуда находим, что импульс фотона а - 2 <- ъ—^ А
р = *^ = йА. A6.29)
6 Рис. 16.7. Световое давление
При нормальном падении каждый поглощен-
поглощенный фотон передает стенке импульс р, отраженный — 2р. При коэффициенте от-
отражения R из общего потока в N фотонов отразится NR частиц, a N( I - R) погло-
поглотится. Число фотонов, попавших на поверхность за единицу времени, может быть
выражено через объемную плотность излучения U:
Nh(» = Uc. A6.30)
Из формул A6.29) и A6.30) получаем для переданного стенке импульса, то
есть для величины светового давления Р соотношение1
Д). A6.31)
Эффект Комптона
В 1923 г. было обнаружено, что при рассеянии рентгеновского излучения на ми-
мишени из вещества с небольшим атомным номером появляется спектральная ком-
1 Интересно, что точно такое же выражение получается и в чисто классической модели как
результат взаимодействия электрического и магнитного полей волны с зарядами в пеще-
стве. В последнем случае сила светового давления выражается через силу Лоренца, дей-
действующую на заряды, ускоренные электрическим полем световой волны, со стороны
магнитного поля той же волны.
254
Глава 16. Квантовая теория излучения
6 = 0°
Хо - 0,07 нм Я
Рис. 16.8. Спектральный сдвиг
при комптоновском рассеянии
рентгеновских лучей
понента, смещенная в сторону длинных волн
(эффект Комптона). Величина смещения непо-
непостоянна и зависит от угла рассеяния. Пример
экспериментальных кривых Комптон-эффекта
в графите при его освещении рентгеновским из-
излучением с X = 0,07 нм (iCa линия молибдена)
приведен на рис. 16.8.
Элементарная теория этого эффекта рас-
рассматривает упругое рассеяние фотона на элек-
электроне (рис. 16.9).
В атомах легких элементов энергия связи
электрона около 10 эВ, что на несколько по-
порядков меньше энергии рентгертовгкого фотона
(-10 кэВ), поэтому электроны в этих опытах
можно считать практически свободными. За-
Запишем законы сохранения энергии и импульса
при упругом ударе;
2
A6.32)
file = file' + p.
где fik и fik' — импульс фотона до и после столк-
столкновения, р — импульс электрона после удара.
По теореме косинусов из второго уравнения
A6.32) находим
р2 = (ПкJ + (Й*1 У -2h2kk' cos 0.
Подставив в это выражение квадрат импуль-
импульса электрона из закона сохранения энергии
и учтя, что k = со/с, получим:
—
с2
)—. A6.33)
2
Поскольку fico/rac2«: 1, изменение часто-
ты Дсо = со' - со <: со, а ДА. Д = -Дсо/со, из A6.33)
окончательно получим, что изменение длины
волны равно
ДА, = —sin2 - I =
тс 12
~. A6.34)
Рис. 16.9. Эффект
Комптона как рассеяние
фотона на электроне
Входящая в выражение A6.34) константа Л = h/(mc) =
= 0,00246 нм называется комптоновской длиной волны
электрона.
Таким образом, в ряде эффектов (интерференция,
дифракция) свет проявляет себя как электромагнит-
электромагнитная волна, в других случаях (фотоэффект, эффект Ком-
Комптона) — как поток фотонов. Это — проявления уже
Примеры решения задач 255
упомянутого корпускулярно-волнового дуализма, который присущ не только фо-
фотонам, но и всем другим частицам микромира, и находит свое объяснение в рам-
рамках квантовой механики.
Примеры решения задач
Пример 16.1. В какой области спектра лежат максимумы излучения чернокоже-
чернокожего африканца и человека с белой кожей? Считайте, что они излучают как абсо-
абсолютно черные тела.
Решение
Реально человек не является абсолютно черным телом. Но при температуре
кожного покрова человека коэффициент серости у белой и черной кожи практи-
практически одинаков. Поэтому можно считать, что максимум излучения и того и дру-
другого можно рассчитать по закону смещения Вина A6.11): ХтТ,кл = Ь, откуда
Хт = = 9,35 мкм.
Пример 16.2. Чему равна равновесная температура черной пластинки, помещен-
помещенной перпендикулярно солнечным лучам? Расстояние от Земли до Солнца L =
= 1,5 • 1011 м, температура поверхности Солнца Гс = 5760 К, радиус Солнца
гс = 7 • 108 м. Конвекцией и теплопроводностью пренебречь.
Решение
По мере нагрева пластинки солнечным излучением и роста ее температуры бу-
будет соответственно увеличиваться и энергия, испускаемая ею в виде теплового
излучения. Равновесие установится, когда излучаемая мощность станет равен
поглощаемой: Nnor;i = Nmv Мощность, поглощаемая пластинкой, будет равна по-
потоку излучения Солнца, приходящемуся на единицу поверхности сферы радиу-
радиусом Солнце-Земля, умноженному на площадь пластинки:
Испускаемая всей поверхностью Солнца мощность может быть записана как
дгс = #с -471/с2, 1№ ^с ~ налу нательная способность Солнца, равная по закону
Стефана-Больцмана A6.9) Rc= aT^. Аналогично, мощность излучения пластин-
пластинки Nu:vi = Rtul • 511Л, где излучательная способность пластинки RWi = <зТ*,г Таким об-
образом, уравнение энергетического баланса принимает вид
откуда
Пример 16.3. При поочередном освещении поверхности некоторого металла евс
том с длиной волны Х{ = 0,35 мкм и Х2 = 0,54 мкм обнаружили, что соответствую-
256
Глава 16. Квантовая теория излучения
щие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в 2 раза.
Найдите работу выхода электронов с поверхности этого металла.
Решение.
Запишем уравнения фотоэффекта Эйнштейна для обоих случаев:
zvt = А
rnvt
Поскольку работа выхода электронов А есть константа для данного металла,
выражаем ее из обоих равенств и, учитывая что г,»,пшх =2г>2|Ш1Х, получаем
Перейдя от частоты к длине волны (v = с/Х), найдем:
mv
2 max
hc(X2-Xx)
2 3X{X2
Подставив это значение кинетической энергии фотоэлектронов в уравнение
Эйнштейна, ПОлучИм выражение для работы выхода:
he
hc(AX,-X2)
-30,2-Ю-20 Дж.
Переведя эту величину в обычные для атомной физики единицы — элек-
электрон-вольты, окончательно получим:
30,2-Ю-20
А =-
= 1,89эВ.
1,6- ю-19
Эта величина работы выхода соответствует цезию.
Задачи
16.1. Каково соотношение температур Тх/Т2 источни-
источников излучения (АЧТ), если отношение длин волн, со-
соответствующих максимуму их излучения, Х{/Х2 = 2?
16.2. Температура АЧТ возросла с 500 до 1500 °С. Во
сколько раз увеличилась его интегральная энергети-
энергетическая светимость?
/ ^ *^
°
= 2
Aw
CO
Задачи
257
16.3. Интенсивность солнечной радиации вблизи Зем-
Земли .sa пределами ее атмосферы (солнечная постоян-
постоянная),/ = 1350 Вт/м~. Приняв, что Солнце излучает как
абсолютно черное тело, определи re температуру его
излучающей поверхности.
16.4. Как изменилось бы общее количество энергии,
излучаемой Солнцем, если бы одна половина его по-
поверхности нагрелась на AT, а другая на столько же ох-
охладилась?
16,5. Красная граница фотоэффекта для рубидия рав-
равна 540 им. Определите работу выхода и максималь-
максимальную скорость электронов при освещении поверхно-
поверхности металла светом с длиной волны X - 400 им.
16.6. Выбиваемые светом при фотоэффекте электро-
электроны полностью задерживаются обратным потенциа-
потенциалом 4 В. Красная граница фотоэффекта 0,6 мкм. Оп-
Определите частоту падающего света.
16.7. Солнечная батарея R площадью 5 м2 с 50 % от-
отражением развернута перпендикулярно солнечным
лучам. Считая среднюю длину волны X - 0,5 мкм,
оцените световое давление при попадании N = 6 • 1013
фотонов в секунду на 1 см2.
ГЛАВА 17 Лазеры
Одной из наиболее эффективных и практически значимых реализаций принци-
принципов квантовой оптики стало создание лазеров — уникальных источников коге-
когерентного высоконаправленного мощного излучения.
Принципы работы лазеров основаны па уже рассмотренном механизме вынуж-
вынужденного излучения, позволяющем в неравновесных условиях добиваться усиле-
усиления интенсивности излучения по мере прохождения среды с так называемой ин-
инверсной населенностью.
17.1. Принципы усиления света
При распространении свешьшо ниiока в веществе tru энергия может перехо-
переходить во внутреннюю энергию атомарных систем за счет поглощения (рис. 17.1).
Т
Т:
Т-
Безызлучательная
релаксация
Вынужденное
излучение
Спонтанное
излучение
Рис. 17.1. Преобразование энергии при поглощении света в веществе
Часть этой энергии преобразуется в тепловые колебания решетки благодаря ме-
механизму безызлучательноп релаксации. Оставшаяся часть поглощенной энергии
высвечивается в виде спонтанного и вынужденного излучения. При этом только
вынужденные переходы, для которых выполняются условия когерентности, при-
приводят к усилению направленного потока фотонов. Спонтанное же излучение на-
направлено во все стороны.
17.1. Принципы усиления света
259
Изменение числа фотонов, распространяющихся в прямом направлении, при
прохождении слоя вещества толщиной dz = cdt/n равно
Так как В10 = В01, а в соответствии с распределением Больцмана равновесная
населенность возбужденного состояния меньше, чем основного N{ < No, то dN< О
и излучение при прохождении вещества ослабляется. Поскольку спектральная
плотность излучения ?/ш пропорциональна полному числу фотонов с данной ча-
частотой, для интенсивности света получаем обычный закон Бугера A1.7):/(z) =
= /0 exp(-az), где а — коэффициент поглощения, равный:
a = fi(oB(N0-Nl)-. A7.2)
с
Часто вместо коэффициента поглощения используют величину а = а/(JV0 - Л^),
которая имеет размерность площади и называется сечением поглощения.
Очевидно, добившись изменения знака а, можно реализовать условия опти-
оптического усиления. Для этого необходимо, чтобы населенность верхнего уровня
хотя бы на некоторое время превзошла населенность нижнего, то есть была бы
достигнута инверсная населенность среды. Нетрудно заметить, что в двухуровне-
двухуровневой схеме нельзя добиться инверсии населенностей. Действительно, в соответст-
соответствии с принципом детального равновесия, увеличение количества переходов 0 —> 1
сопровождается ростом числа обратных переходов, при этом конкретный меха-
механизм, вызывающий переходы, не имеет значения. В пределе, при очень большой
вероятности перехода населенности уровней выравниваются (условия насыще-
насыщения) No = Nv то есть процессы вынужденного излучения и поглощения компен-
компенсируются, и среда становится прозрачной.
Для создания инверсной населенности и получения оптического усиления на
резонансной частоте используются трех- и четырехуровневые схемы. В трех-
трехуровневой схеме первого рода (рис. 17.2, а) накачка осуществляется в систему
энергетических состояний 1 с малым временем жизни и быстрой релаксацией на
долгоживущий (метастабильиый) уровень 2. Для получения инверсии на уров-
уровне 2 нужно накопить больше половины всех атомов. В трехуровневой схеме вто-
1«
1
МС
Генерация
МС
Генерация
— МС
Генерация
Рис. 17.2. Трехуровневые (а, б) и четырехуровневая (в) схемы получения
инверсной населенности
260
Глава 17. Лазеры
рого рода (рис. 17.2, б) инверсия создается между метастабильным уровнем 1
и возбужденным уровнем 2. За счет высокого положения и быстрой релаксации
населенность уровня 2 может быть очень малой, поэтому для получения инвер-
инверсии количество атомов на уровне 1 может составлять малую долю от общего чис-
числа. Четырехуровневая схема (рис. 17.2, в) представляет собой комбинацию двух
трехуровневых.
Легко видеть, что минимальная энергия накачки, необходимая для излучения
одного вынужденного фотона, равна ftaH1, так что КПД оптического усилителя
не может превысить йсо.20/Йю(И в трехуровневой схеме первого рода или /?со23//ш>ш
в четырехуровневой.
Усилитель
Генератор =
усилитель +
положительная
обратная связь
Рис. 17.3. Прохождение сигнала через усилитель и генератор
Известно, что любой усилитель сигнала можно превратить в генератор, если
дополнить его положительной обратной связью, то есть направить часть выход-
выходного сигнала на вход (рис. 17.3). Лазер (от Light Amplification by Stimulated Emis-
Emission of Radiation) — генератор когерентного оптического излучения, основанный
на явлении вынужденного излучения в среде с инверсной населенностью, в ко-
котором обратная связь осуществляется с помощью открытого (незамкнутого)
резонатора, В простейшем случае резонатор выполнен в виде интерферометра
Фабри—Перо (см. раздел 6.5), одно из зеркал которого полностью отражающее,
а второе обладает конечным пропусканием на уровне 2-6 % для вывода излуче-
излучения. Таким образом, более 90 % энергии при каждом отражении возвращается в
систему, создавая условия для возникновения генерации. Подробнее особенно-
особенности открытых лазерных резонаторов обсуждаются в разделе 17.3.
17.2. Основные типы лазеров
Рубиновый лазер
Впервые лазерная генерация была получена на кристалле рубина (л = 694,3 нм),
химически представляющего собой корунд (Al2O3), в котором часть трехвалент-
трехвалентных ионов алюминия замещены ионами хрома (^0,05 %). Именно их концентра-
концентрация и определяет цвет рубина — от бледно-розового до темно-красного.
Схема уровней Сг3+ приведена на рис. 17.4, а. Накачка рубина осуществля-
осуществляется светом от мощных ламп-вспышек, подобно тому, как это делается в фото-
фотографии. Ионы хрома обладают сильным поглощением на двух широких полосах
17.2. Основные типы лазеров
261
в сине-зеленой области спектра. Часть света, которая соответствует по частоте
этим полосам, переводит ионы Сг3" на уровни AF.
1
а б
Рис. 17.4. Схема уровней (а) и конструкция {б) рубинового лазера
Процесс быстрой релаксации S{2 за время т, « 5 • 10~8 с на верхний лазерный
уровень 2Е с. большим временем жизни (т2 * 3 • 10~3 с) позволяет накопить на
этом уровне больше половины атомов. Тем самым создается инверсная населен-
населенность между долгоживущим уровнем 2Е и основным состоянием, являющимся
нижним лазерным уровнем. Таким образом, рубиновый лазер — трехуровневый,
1-го рода.
Типичный режим работы рубинового лазера — импульсный с длительностью
импульса генерации ~1 мс. При энергии в импульсе несколько джоулей мощ-
мощность излучения достигает десятков киловатт. Генерация происходит на длинах
волн красной части спектра.
Конструкция рубинового лазера показана на рис. 17.4, 6) на китирим / — кри-
кристалл рубина, 2 — спиральная лампа-вспышка, 3 — зеркала резонатора.
Неодимовый лазер
Активным элементом неодимовых лазеров (Л. = 1,06 мкм) непрерывного дейст-
действия служит кристалл алюмо-иттриевого граната (У3А12О15 или YAG), в котором
часть ионов Y3^ замещена ионами Nd3r. Импульсный режим генерации реализует-
реализуется на менее теплопроводном стекле, активированном ионами NcP. Когерентное
излучение в ближнем ИК-диапазоне получают по четырехуровневой схеме с оп-
оптической накачкой (рис. 17.5, а). Нижний лазерный уровень лежит выше основ-
основного состояния на АЕ = 0,3 эВ, поэтому его населенность в ехр(Д?/(&Г)) = е10 раз
меньше населенности основного состояния. Поэтому получить инверсную насе-
населенность оказывается значительно легче, чем в случае рубина. Пороговая мощ-
мощность накачки YAG: Nd3+ лазера оказывается на три порядка меньше, чем у руби-
рубина, а КПД — значительно выше.
Накачка излучением на границе видимого и ИК-диапазонов приводит к воз-
возбуждению ионов Nd*J+ в состояние 2Н. Безызлучательная релаксация 512 перево-
переводит их в состояние 4F (верхнее лазерное), а нижний лазерный уровень АТ эффек-
эффективно освобождается за счет спонтанного излучения Л30.
262
Глава 17. Лазеры
1 2
Рис. 17.5. Схема уровней (а) и конструкция (б) неодимового лазера
Типичная конструкция непрерывного твердотельного лазера показана на
рис. 17.5, б. Активный элемент 1 и лампа накачки 2 расположены вдоль фокаль-
фокальных осей эллиптического отражателя 4 с внутренним зеркальным покрытием.
При такой конфигурации большая часть света, испускаемого лампой, проходит
через лазерный стержень. Резонатор лазера образован зеркалами 3.
Лазерные системы на основе неодима относятся к наиболее мощным лазерам.
При анергии в импульсе несколько килоджоулей и сокращении длительности
импульса до ~1 не, мощность излучения превышает 1012 Вт, а в особо мощных
установках, предназначенных для управляемого термоядерного синтеза, может
достигать 1018 Вт.
Гелий-неоновый лазер
Газовый лазер на смеси неона и гелия является в настоящее время одним из са-
самых популярных и распространенных. Газовая смесь помещается в электриче-
электрический разрядник, а накачка осуществляется путем неупругих столкновений ато-
атомов Не и Ne с электронами, разгоняемыми высоким напряжением. При каскад-
каскадной релаксации возбужденных атомов гелия к основному состоянию многие из
них накапливаются на долгоживущих метастабильных уровнях 2sS и 2х S (время
жизни 10 и 5-10 с соответственно). Так как эти мстастабильные уровни почти
совпадают по энергии с уровнями 2s и 35 неона, при столкновениях происходит
передача возбуждения (рис. 17.6, а). Осуществляя спектральную селекцию, мож-
можно сменой зеркал резонатора настроить гелий-неоновый лазер на одну из трех
длин волн: красную 0,63 мкм (переход 3s-2p) или инфракрасные 1,15 (переход
2s-2p) и 3,39 мкм (переход 3s-3p).
По схеме уровней гелий-неоновый лазер относится к трехуровневым 2-го рода.
Поскольку оба нижних лазерных уровня Bр и Зр) расселяются радиационно с
постоянной времени около 10~8 с, нет необходимости для получения инверсии
переводить на верхний лазерный уровень более половины всех атомов, как в ру-
рубиновом лазере. Генерация в таких условиях может осуществляться в непрерыв-
непрерывном режиме.
Схема гелий-неонового лазера показана на рис. 17.6, б. Разрядная трубка 1
закрыта с торцов окнами 2, установленными под углом Брюстера (см. раз-
17.2. Основные типы лазеров
263
дел 14.2) к оптической оси. Это делается для уменьшения потерь на отражение,
так как коэффициент усиления невелик и соеишляст всего порядка 2 % на метр
для X = 0,63 мкм. Из-за такой установки торцевых окон условия генерации вы-
выполняются только для поляризации, перпендикулярной плоскости падения на
них луча (вертикальная ориентация вектора Е на рис. 17.6, 6),
! Ч
1 Т
: *
%
2lS
yiiiiiiiii ^-«=
2 5
е удар
=
р2л
f \
S
= 15
А
30
Не
Ne
а б
Рис. 17.6. Схема уровней (а) и конструкция (б) гелий-неонового лазера
Давление рабочей смеси гелий-неононого лазера составляет несколько мил-
миллиметров ртутного столба, столкновительное уширение незначительно, и излуче-
излучение отличается высокой степенью когерентности. Поэтому такие лазеры широко
применяются для интерферометрических измерений, в лазерных гироскопах и
других устройствах, в которых требуется монохроматическое когерентное излу-
излучение.
Лазер на углекислом газе
Лазер на смеси CO2-N2-He (А, = 10,6 мкм, дальний ИК-диапазон) является са-
самым мощным из газовых. Он относится к классу молекулярных лазеров и рабо-
работает на низкоэнергетических колебательно-вращательных уровнях (рис. 17.7, а),
то есть уровнях, энергия которых обусловлена движением составляющих моле-
молекулу атомов, а не возбуждением электронов. Накачка осуществляется электрон-
электронным ударом и передачей возбуждения от молекул N2 на долгоживущий 001-уро-
001-уровень антисимметричной моды колебаний. Излучение генерируется при переходах
молекулы СО2 на симметричные @01-100) или на деформационные колебания
удвоенной частоты @01-020).
Гелий выполняет роль буферного газа: через неупругие столкновения с его
атомами молекулы СО2 переводятся в основное состояние; кроме того, более эф-
эффективно отводится тепло на стенки трубки. Для СО2 лазера характерен высо-
высокий КПД (до 30 %), объясняемый тем, что все рабочие уровни находятся очень
близко к основному состоянию.
Лазеры на углекислом газе могут давать излучение мощностью в десятки
килова! 1 и непрерывном режиме. Это обусловлено тем, что молекула, испустив
фотон, быстро возвращается в основное состояние, где ее можно использовать
снова. Высокие мощность и КПД определили широкое применение СО2 лазе-
264
Глава 17. Лазеры
10,6 мкм
Рис. 17.7. Схема уровней (а) и конструкция (б) лазера на. углекислом газе
ров в технологических процессах. Схема импульсного TEA1 CO2 лазера показана
на рис. 17.7, б, на которой 1 — канал, по которому прокачивается рабочая смесь,
2 — разрядник, J — зеркала резонатора.
Ионные лазеры
Ионные лазеры — это тип газовых лазеров, в которых верхний уровень заселяет-
заселяется путем дну* последовательных столкновении с электронами и электрическом
разряде (ионизация + возбуждение). Энергии ионов превосходят атомарные» по-
поэтому ионные лазеры генерируют в видимой и УФ-области спектра.
Рис. 17.8. Конструкция аргонового лазера
Из-за большой плотности тока в разрядной трубке '/ (рис. 17.8) может проис-
происходить перекачка ионов к катоду, поэтому требуется дополнительный обводной
канал 2. Для предотвращения разрушения трубки при бомбардировке быстрыми
ионами ее изготавливают из керамики и пометают в продольное магнитное поле,
создаваемое соленоидом 3. Радиально движущиеся заряженные частицы испы-
1 Название означает: с поперечным электрическим возбуждением, при атмосферном дав-
давлении.
17.2. Основные типы лазеров
265
тывают отклоняющее действие силы Лоренца, в результате их траектории ис-
искривляются, уменьшая скорость диффузии зарядов к стенкам. Примером может
служить аргоновый лазер, генерирующий в видимой области на линиях Х] = 488 нм
(голубая) и Х2 = 514,5 нм (зеленая).
Эксимерные лазеры
Эксимерные лазеры — молекулярные лазеры, использующие переходы молекул,
существующих только в возбужденном состоянии. Поскольку в основном состо-
состоянии атомы эксимера (от англ. excited dimer) отталкиваются, то сразу после геле-
рации молекула диссоциирует, и нижний лазерный уровень всегда будет пустым.
Это облегчает получение инверсии и повышает эффективность накачки. Благо-
Благодаря тому, что рабочие лазерные уршшп имеют высокую энергию, эксимериые
лазеры генерируют в коротковолновой части спектра, например, ксеоноиый ла-
лазер излучает в области вакуумного ультрафиолета1 (Х- 170-175 нм). Второй
особенностью эксимерных лазеров является возможность перестройки частоты
генерации, так как нижний лазерный уровень из-за очень короткого времени
жизни сильно уширен.
Лазеры на красителях
Многие органические красители (то есть соединения, которые сильно поглоща-
поглощают свет в определенных диапазонах видимых длин волн) являются эффективны-
эффективными люминофорами, причем их люминесценция охватывает широкий диапазон волн
в видимой части спектра. Схема уровней молекулы
органического красителя показана на рис. 17.9. Со-
Состояние S{) — основное, Sv 52, Tv Т2 — возбужденные
пшглетные и триплетные состояния, соответствую-
соответствующие переходам электрона на возбужденные орбиты.
Каждое из электронных состояний имеет структуру,
состоящую из колебательных и вращательных пол-
полуровней.
Оптическое поглощение переводит молекулу на
разные колебательные подуровни состояния 5, с по-
последующей быстрой релаксацией на основной коле-
колебательный подуровень. Лазерные переходы проис-
происходят на возбужденные колебательные подуровни
основного состояния. Благодаря очень большой ши-
ширине линий флуоресценции, которая может дости-
достигать сотен нанометров, можно перестраивать длину волны излучения лазера на
красителе по всей видимой области. Активная среда, которой является раствор
органических красителей в воде или спиртах, легко приготавливается и заме-
заменяется, накачка осуществляется, как правило, азотным УФ-лазером. Лазеры на
красителях незаменимы в тех случаях, когда необходимо получить когерентное
излучение с заданной длиной волны.
Рис. 17.9. Схема уровней
лазера на красителе
1 Так называется область спектра короче 320 нм. Эти длины волн поглощаются ятмогфер-
ными газами и могут распространяться только в вакууме.
266 Глава 17. Лазеры
Полупроводниковые лазеры
Широкое распространение получили твердотельные лазеры на обычных полу-
полупроводниковых;?—^-переходах (лазерные диоды) или многослойных гетеропе-
гетеропереходах с использованием так называемых твердых растворов (гетеролазеры).
Одно из главных отличий полупроводникового лазера от лазеров других типов
состоит в том, что индуцированные переходы происходят не между узкими уров»
нями энергии, а между энергетическими зонами.
Р
QQOO;
а б q
Рис. 17.10. Схема энергетических зон (а, б) и конструкция (е) полупроводникового лазера
Как известно, примесные полупроводники бывают двух типов: я-тииа с элек-
электронной проводимостью, в которых носители заряда — отрицательно заряжен-
заряженные электроны, и р-типа> где носители заряда — положительно заряженные дыр-
дырки. В области контакта полупроводников двух типов (р—п-переход) потенциаль-
потенциальная энергия носителей ведет себя, как показано на рис. 17.10* а. Потенциал элек-
электронов в р-области выше, чем в ^-области, у дырок — наоборот, поэтому возни-
возникает потенциальный барьер, препятствующий прохождению носителей через пе-
переход. Если к переходу приложить электрическое напряжение в прямом направ-
направлении (плюс — к р-области, минус — к га-области), то высота барьера снижается
(рис. 17.10, б) и появляется узкая область, которая содержит и электроны, и дыр-
дырки. Энергия, выделяющаяся при электрон-дырочной рекомбинации, примерно
равная ширине запрещенной зоны, может обеспечить усиление света.
Конструктивными особенностями полупроводниковых лазеров являются по-
лосковая геометрия активной зоны (рис. 17.10, в) и различная расходимость излу-
излучения в ортогональных сечениях: большая в поперечном, меньшая в продольном.
Высокий коэффициент усиления позволяет полупроводниковым лазерам гене-
генерировать даже в отсутствие зеркал резонатора, так как для обратной связи доста-
достаточно отражения на боковых гранях кристалла.
Если р—я-переход на основном полупроводнике дополнен неоднородными
{гетерогенными) границами с другим полупроводником или твердым раствором
(например, GaAs-Ga^l^^s), то область рекомбинации электронов и дырок рез-
резко сужается. Расходимость излучения также значительно уменьшается, так как
ограничение среды с меньшим показателем преломления приводит к эффекту
волноводного распространения. Поэтому гетеролазеры, в отличие от обычных
лазеров, имеют более когерентное, мощное и направленное излучение.
Полупроводниковые лазеры генерируют, как правило, в ближнем ИК-диапа-
зоне или в красной части видимого (у распространенного лазера на арсениде
17.3. Открытые резонаторы лазеров 267
галлия X = 0,84 нм). Эти лазеры обладают самым высоким КПД, который может
превышать 70 %. Низкая энергия электрического возбуждения, малые размеры,
возможность управления частотой генерации — все это обусловило применение
полупроводниковых лазеров в системах оптоволоконной связи, записи инфор-
информации (компакт-диски) и т. д.
Химические лазеры
Инверсная населенность в химических лазерах создается в процессе химиче-
химической реакции, когда избыток энергии выделяется в виде колебательно-враща-
колебательно-вращательного возбуждения молекул. Поэтому линии генерации лежат в среднем и
дальнем И К-диапазонах. Пример наиболее распространенной лазерной реакции:
Е, + ft, - 2HF* (X - 2,7-3,2 мкм).
Диапазоны длин волн, перекрываемые лазерами разных типов, схематически
показаны на рис. 17.11. Следует, однако, помнить, что эти области состоят из от-
отдельных дискретных линий генерации, принадлежащих лазерам с той или иной
активной средой, за исключением перестраиваемых в широких пределах лазеров
на красителях.
Ультра- '^?пр Инфракрасный
фиолетовый *f ifti диапазон
диапазон "i
| | Полупроводниковые лазеры
лишний | | Химические лазеры
| \ Лазеры на красителях
1 1 Газовые лазеры
i Т . 1 Твердотельные лазеры
0,1 1 10 100 1000 Я., мкм
Рис. 17.11. Диапазоны генерации лазеров различных типов.
Видимая область спектра затенена
17.3. Открытые резонаторы лазеров
В теории лазеров рассматриваются так называемые открытые незаполненные
резонаторы, образованные плоскими или сферическими зеркалами. Два основ-
основных типа резонаторов: линейный (а) и кольцевой (б) схематически показаны на
рис. 17.12. Одно из зеркал резонатора частично пропускает свет, через него и
осуществляется вывод излучения. При решении большинства задач влиянием ак-
активной среды, заполняющей пространство между зеркалами, пренебрегают, а све-
световое поле, устанавливающееся в таких системах, рассчитывается путем просле-
прослеживания лучей при многократных отражениях в приближении геометрической
оптики, но с учетом дифракционных потерь на краях зеркал,
В зависимости от значений радиусов кривизны зеркал R и базы резонатора I
могут возникать различные конфигурации светового поля:
268
Глава 17. Лазеры
Активная среда
а б
Рис. 17.12. Линейный (а) и кольцевой F) резонаторы
Q лучи могут постепенно концентрироваться в прносевой параксиальной облас-
области (случай устойчивых резонаторов, рис. 17.13, а);
Q они могут создавать некоторые фиксированные во времени и пространстве
траектории (рис. 17.13, 6)\
? наконец, они могут покидать систему при конечном числе отражений (случай
неустойчивых резонаторов, рис. 17.13, в).
При всех конфигурациях оптических резонаторов явление дифракции света
играет определяющую роль.
а б в
Рис. 17.13. Открытые рдзоматоры: a — концонтричдекий, б — полуконцднтрический,
в — неустойчивый
Как уже говорилось, простейшим резонатором является эталон Фабри—Пе-
Фабри—Перо, состоящий из двух плоских параллельных зеркал (см. рис. 17.12, а). Электро-
Электромагнитное поле в таком резонаторе представляет собой суперпозицию встреч-
встречных волн с одинаковыми амплитудами. Эти волны формируют стоячую волну;
Е = Ео cos(co? - kz) - ?0 cos(co? + kz) = 2?0 cos(coOsin(fe). A7.3)
Стоячая волна в пространстве имеет пучности (точки, в которых |sinte| = l,
2 =Bт+ 1)А,/4, амплитуда поля максимальна) и узлы (sinfo =0, 2 = тХ/2, поле
равно нулю). Граничные условия (см. раздел 14.1) на зеркалах таковы, что на по-
поверхности зеркала всегда находится узел стоячей волны. Следовательно, в резо-
резонаторе могут устпйчигт гущрг.тпппать только такие продольные моды, которые
удовлетворяют простому условию: в базу резонатора L должно укладываться це-
целое число полуволн. В этом случае расстояние по частотной оси между продоль-
продольными модами Асо обратно пропорционально длине L. Аш= nc/L, или Av = с/21.
Так, при длине резонатора 1 м частотное расстояние между соседними мо-
модами равно Дсо = 150 МГц, что для гелий-неонового лазера соответствует
АХ = 0,0002 нм.
17.3. Открытые резонаторы лазеров
269
а 1,0
0,5
0
б 1,0
Рис. 17.14. Изменение структуры продольных мод при уменьшении длины резонатора
В обычных условиях на сравнительно широком контуре линии усиления мо-
может укладываться несколько продольных мод (рис. 17.14). Следовательно, спектр
излучения лазера состоит из ряда равноотстоящих спектральных линий, причем
их число зависит как от длины резонатора, так и от уровня потерь. На рис 17.14
показано, как по мере уменьшения длины резонатора лазер переходит от пяти-
модового режима (см. 17.14, а) к трехмодовому (см. 17.14, б) и к одномодовому
(см. 17.14, в). Естественно, что в каждом случае генерация происходит только на
тех модах, для которых усиление превышает потери.
На практике резонатор, состоящий из двух плоскопараллельных зеркал, поч-
почти не применяется, так как малейшая разъюстировка приводит к потере устой-
устойчивости и срыву генерации. Реальные резонаторы образованы сферическими
зеркалами, причем два сферических зеркала с общим центром кривизны состав-
составляют концентрический резонатор, а в случае, когда центр кривизны каждого из
270
Глава 17. Лазеры
зеркал лежит в вершине противоположного зеркала, говорят о конфокальном ре-
резонаторе (рис. 17.15).
Рис. 17.15. Конфокальный резонатор
Общую классификацию лазерных резонаторов можно наглядно пояснить
с помощью g-диаграммы (рис. 17.16). На ней по осям координат для каждого из
зеркал отложены параметры g = 1-L/R. На рисунке затенена ограниченная ги-
гиперболами область устойчивых резонаторов, а также отмечена прямая, соответ-
соответствующая геометрическому месту точек симметричных резонаторов (R{ = R2).
?
-1 О
Рис. 17.16. Диаграмма устойчивости резонаторов
Каждой точке на g-диаграмме соответствует свой тип резонатора: Л — кон-
концентрический, В — конфокальный, С — плоский (Фабри—Перо), D — полукон-
полуконфокальный, Е — полуконцентрический, F — неустойчивый плосковогнутый, G —
неустойчивый с выпуклыми зеркалами, Н — неустойчивый двояковогнутый.
17.3. Открытые резонаторы лазеров
271
Рассмотрим более подробно конфигурацию светового поля в конфокальном
резонаторе. Несмотря на то что лучи в пустом резонаторе распространяются
прямолинейно (за исключением дифракционных потерь на зеркалах), форми-
формирующиеся лазерные пучки имеют криволинейные огибающие. На рис. 17 Л 7 по-
показано, как прямолинейные отрезки, развернутые в пространстве на определен-
определенный угол, могут образовать криволинейную (в данном случае гиперболическую)
поверхность, подобную той, что возникала в известной конструкции шуховской
телебашни в Москве. Точно такая же каустическая поверхпость переменной кри-
кривизны характерна для лазерных гауссовых пучков. Название этих пучков обус-
обусловлено тем, что поперечное распределение интенсивности описывается гауссов-
ской функцией
A7.4)
где w — радиус пучка по уровню 1/е2.
Рис. 17.17. Формирование криволинейной каустической поверхности
Конкретные свойства гауссова пучка определяются несколькими основными
параметрами, среди которых число Френеля
.. а1 0„
XL л;00
по сути являющееся числом перекрываемых первым зеркалом полуволновых
зон для точки в вершине второго зеркала, радиусы кривизны зеркал резонатора
и его длина. Если число Френеля велико, то расчет поля в резонаторе может
проводиться в приближении геометрической оптики. В этом случае радиус пуч-
пучка в фокальной плоскости резонатора w0 (рис. 17.18), называемый радиусом пе-
перетяжки каустики, не зависит от поперечного размера зеркал 2а и составляет
для симметричного конфокального резонатора
W, =
A7.5)
Для резонаторов с иной конфигурацией зеркал вводится параметр конфо-
кальности #к:), численно равный базе L эквивалентного конфокального резонато-
резонатора, так что
272
Глава 17. Лазеры
Ширина распределения интенсивности w меняется вдоль оси 2 по закону
"]1+bd 1
Таким образом, радиус пучка на зеркалах при г = /?к.,/2 увеличивается в -72 раз
по срапнению с радиусом перетяжки. Угол расходимости светового пучка в даль-
дальней зоне определяется но формуле:
29,, = ---. A7.7)
= const
Рис. 17.18. Гауссов пучок
Из последнего соотношения следует, что расходимость гауссова пучка не-
несколько меньше, чем дифракционная расходимость плоской волны на круглой
апертуре такого же радиуса 20кр- 1.22X/R (см. раздел 8.4).
Очевидно, соотношение A7.7) показывает невозможность одновременного
уменьшения расходимости излучения 26П (коллимации лучка) и сужения пере-
перетяжки пучка 2zc{i (фокусиропки излучения). В зависимости от назначения ла-
лазерной системы необходимо выбрать приемлемый способ трансформации пучка;
для передачи энергии на большие расстояния следует увеличивать перетяжку и
уменьшать угол расходимости; для достижения высокой плотности излучения
(лазерная резка, сварка) следует увеличивать апертуриый угол, добиваясь мини-
минимального размера перетяжки.
Для гауссова пучка характерна переменная кривизна волнового фронта. Внут-
Внутри резонатора она увеличивается от нуля в области перетяжки (плоский фронт)
до кривизны зеркал, являющихся поверхностью равной фазы. Вне резонатора
кривизна убывает (радиус кривизны растет) по мере увеличения расстояния
(рис. 17.19) подобно кривизне сферической волны в соответствии с выражением
Г / ., \ 2 1 Г
= 2
J
1 4- I — -
A7.8)
То есть на расстояниях, много больших базы резонатора, волновой фронт га-
гауссова пучка можно считать сферическим.
Помимо рассмотренных продольных мод, в резонаторе могут существовать
также поперечные моды, в которых световой пучок направлен под углом к оси
резонатора. Для поперечных мод используются обозначения ТЕМ (поперечное
электрическое и магнитное поле) с двумя индексами по числу узлов функции
17.3. Открытые резонаторы лазеров
R
\
*
Рис. 17.19. Изменение радиуса кривизны фронта гауо
в зависимости от расстояния до перетяжки
распределения спстовоп энергии по соответствующей коор;и
ся выше гауссов пучок, распространяющийся вдоль оси, 6j
ние ТЕМ{)(Г Фотографии распределения поля r различных <
речных модах приведены на рис. 17,20,
ТЕМ
оо
ТЕМ
ю
ТЕМ,
fit
ТЕМ2)
Рис. 17.20. Распределение поля в различных
Трансформация гауссовых пучков в различных оптичес*
шинстве случаев хорошо описывается формулами геометри
прохождении гауссова пучка через линзу с фокусным рассто
визны волнового фронта меняется:
.1=!-!
R'~ R F'
274
Глава 17. Лазеры
Рис. 17.21. Фокусировка гауссова пучка
Если F<R, то знак кривизны изменяется и пучок становится сходящимся.
Пример фокусировки гауссова пучка, сформированного в резонаторе с плоским
выходным зеркалом, показан на рис. 17.21. Поскольку в дальней зоне волновой
фронт близок к сферическому, новое положение перетяжки определяется по
формуле, аналогичной обычной формуле линзы;
s s' F'
а радиус вычисляется по формуле линейного увеличения:
S'
° 5
Задачи
17.1. Рубин, используемый в качестве лазерной сре-
среды, имеет плотность 3,98 г/см3 при концентрации
активного вещества (Сг) 0,05 %. Максимальное зна-
значение коэффициента поглощения на лазерном пере-
переходе а = 0,4 см. Чему равно соответствующее сече-
сечение поглощения?
A7,10)
A7.11)
17.2. Чему равно число генерирующих мод гелий-не-
гелий-неонового лазера при длине резонатора 1 м и уровне
потерь 50% от максимального усиления? Сколько
мод будет при уменьшении длины резонатора до
20 см? Температуру газа считайте комнатной, контур
линии усиления — доплеровским.
17.3. Резонатор образован погнутым сферическим зер-
зеркалом радиусом R{ = -l м и выпуклым сферическим
зеркалом радиусом R2= 1,5 м. Каково должно быть
наименьшее расстояние между зеркалами, чтобы ре-
резонатор оставался устойчивым?
До
Задачи
275
17.4. Гелий-неоновый лазер (А, = 0,63 мкм) имеет кон-
конфокальный резонатор длиной Lx - 1 м. В лазерном
пучке на расстоянии L2 = 1,5 м от выходного зеркала
помещена линза с оптической силой D - +0,5 дптр.
Определите расходимость пучка в моде ТЕМ00 после
линзы.
17.5. Гауссов пучок от гелий-неонового лазера в види-
видимом диапазоне имеет размер перетяжки wQ = 0,5 мм.
Требуется сфокусировать этот пучок таким образом,
чтобы получить пятно размером w = 50 мкм на рас-
расстоянии L = 1 м от места расположения перетяжки
исходного пучка. Какое фокусное расстояние должна
иметь линза и где она должна располагаться?
Г J
2 1
ГЛАВА 18 Нелинейная оптика
Нелинейная оптика изучает процессы взаимодействия света и вещества, пара-
параметры протекания которых зависят от интенсивности света. Как описывалось
раньше (см. раздел 14.2), реакция среды на электрическое поле световой волны
описывается уравнением Р = ?()хЕ; где х ~ диэлектрическая восприимчивость,
зависящая только от свойств среды. Такой линейный отклик, при котором век-
вектор поляризации среды Р сонаправлен и прямо пропорционален напряженности
внешнего поля Е, характерен для значений Е много меньших внутриатомных
значений Еп1 определяемых кулоновским взаимодействием ядра и внешних элек-
электронов (?ц 4010 В/м).
В ряде случаев, например в интенсивных лазерных пучках, напряженность
поля Е может быть весьма высокой, и члены высших порядков в разложении
функции Р(Е) становятся существенными. В результате возникает зависимость
оптических характеристик среды от интенсивности света. Поляризуемость х
(а значит, и показатель преломления п1 - 1 + х) оказывается различной в раз-
различных точках пространства в соответствии с распределением энергии в сече-
сечении светового пучка или меняется со временем вслед за временной зависимо-
зависимостью амплитуды светового импульса. Для такой среды должны быть характерны
пространственные и временные трансформации световых полей, отсутствующие
в линейных средах. Более того, оказывается возможным наблюдение взаимодей-
взаимодействия света со светом — ведь в области пересечения пучков амплитудно-зави-
амплитудно-зависимый поляризационный отклик будет иным. Таким образом, для нелинейно-
оптических эффектов характерно нарушение принципа суперпозиции световых
волн.
18.1. Механизмы оптической нелинейности
Для определения связи поляризации среды с напряженностью внешнего поля
обобщим модель гармонического осциллятора, лежащую в основе классической
теории дисперсии. Разложим зависимость потенциальной энергии электрона
в атоме от его смещения от положения равновесия U(x) по степеням х\
2! ax2 3I дх3 4! дх*
18.1. Механизмы оптической нелинейности
277
В приближении гармонического осциллятора ограничиваются только квадра-
квадратичным членом а разложении (рис. 18.1, а).
Щх)
Щх)
Щх)
Рис. 18.1. Потенциальная энергия гармонического (а) и ангармонических (б, в)
иицилляторов
В следующих приближениях нужно учесть более высокие степени в разло-
разложении A8.1). Конкретный тин нелинейности определяется типом осциллятора.
В средах, не имеющих центра симметрии, например в анизотропных кристаллах,
появляется кубический член (рис. 18.1, б). В центрально-симметричных средах
(гады, жидкости, стекла) — член четвертого порядка (рис. 18.1, в) и т. д. Электри-
Электрическая индукция по-прежнему определяется как D - е0Е + Р, однако поляриза-
поляризация среды теперь зависит от напряженности поля более сложно;
Р = ео(ХЯ + г™ ЕЕ + t'])EEE + ...), A8.2)
где хФ ~~ квадратичная восприимчивость, х{Л) ~" кубичная и т. д.
В анизотропных средах восприимчивости % являются тензорами, поэтому
уравнение A8,2) нужно понимать как уравнение для проекций векторов:
Р = с
A8.3)
r;ie индексы суммирования пробегают значения г, у, z. Однако при упрощенном,
качественном анализе мы будем пользоваться изотропной моделью, описывае-
описываемой уравнением A8.2).
Нелинейность восприимчивости приводит и к нелинейности показателя пре-
преломления среды, который начинает зависеть от поля световой волны
n(E) = n + nxE + n2E2 +.... A8.4)
Физическими причинами, определяющими появление нелинейных восприим-
чивостей у}п\ могут быть: нелинейный отклик свободного или связанного элек-
электрона, нелинейные колебания многоатомных молекул и кристаллической решет-
решетки, возбуждение светом дрейфа и диффузии зарядов в кристаллах, индуцирован-
индуцированная светом ориентация анизотропных молекул, электрострикция (локальные
изменения плотности среды под действием поля), тепловые эффекты и т. п. Все
они обладают существенно различным временем установления нелинейного от-
отклика т, которое может варьироваться в широких пределах от 10~2 до 10~14 с.
278 Глава 18. Нелинейная оптика
В типичном нелинейном кристалле KDP (дигидрофосфат калия, КН2РО4)
квадратичный показатель преломления имеет величину порядка 10~п м/В. Это
означает, что нелинейные оптические эффекты могут наблюдаться, как правило,
при очень высоких напряженностях электрического поля ~1010 В/м и выше,
чему соответствует интенсивность ~10и Вт/см2, хотя в некоторых случаях они
могут возникать и при существенно меньших интенсивностях. Так, широко из-
известен нелинейный эффект увеличения степени поглощения при превышении
некоторого порогового значения интенсивности. Он характерен для так называе-
называемых фототропных стекол, применяемых, п частности, в очках-хамелеонах.
18.2. Некогерентные нелинейные эффекты
Рассмотрим вначале нелинейные явления, для которых высокие монохроматич-
монохроматичность и направленность лазерного излучения не играйт определяющей роли. Од-
Одним из них является насыщение поглощения, то есть просветление нелинейной
поглощающей среды при прохождении мощных световых пучков.
Как было показано ранее (см. формулу A7.2)), коэффициент поглощения
двухуровневой среды с показателем преломления п определяется разностью ма-
селенностей уровней;
_ h&B(Nt-N{)n
с
При малой интенсивности падающего излучения почти все атомы находятся
в основном состоянии (iV0 « N, Nl « 0), и коэффициент поглощения не зависит от
интенсивности и равен а = TmBNn/c. С повышением интенсивности населенно-
населенности уровней начинают меняться:
Введем обозначения В10 = В01 = В, Л10 = А7 тогда для стационарного режима
(dNQ/dt = 0) получим:
A + 2IBn/c ' A + IBn/c
Таким образом, в сильных пучках (/ -» оо) населенности уровней выравнива-
выравниваются, то есть Nu и N{ стремятся к Л//2, коэффициент поглощения а -> 0, а погло-
поглощаемая мощность
Отсутствие в последнем выражении коэффициента Эйнштейна для вынуж-
вынужденных переходов В означает, что при насыщении поглощаемая мощность для
конкретной среды определяется только скоростью спонтанных переходов, по-
поскольку йсоЛ/1 есть суммарная энергия потока N фотонов. Таким образом, при вы-
высоких плотностях мощности излучения происходит заметное уменьшение коэф-
коэффициента поглощения а и возникает просветление среды, которая становится
тем прозрачнее, чем выше интенсивность света.
18.3. Генерация второй оптической гармоники
279
В активной среде с инверсией населенностей эффект насыщения приводит
к уменьшению коэффициента усиления при увеличении интенсивности света
и тем самым к установлению стационарного режима генерации в лазерах.
Если непрозрачная для слабого света среда за счет эффекта насыщения ста-
становится прозрачной в сильных световых пучках, то в прозрачных средах может
наблюдаться противоположная ситуация. Здесь в результате мпогофотошюго
поглощения интенсивный свет может поглощаться гораздо сильнее, чем слабый.
При больших плотностях энергии атом с уровнями энергии Wo и Wx может по-
поглотить сразу два фотона с частотами Wj и со2, удовлетворяющими закону со-
сохранения энергии Wx-Wq= ftcoj + /7со2. Вероятность такого процесса пропорцио-
пропорциональна произведению интенсивностей световых пучков. Возможно также по-
поглощение двух (или нескольких) фотонов из одного и того же лазерного пучка.
Многофотонные процессы играют большую роль и в когерентных нелинейных
эффектах, описываемых ниже.
К нелинейным эффектам поглощения примыкает и миогофотоииый фотоэф-
фотоэффект. В сфокусированных лазерных пучках возможно одновременное поглоще-
поглощение до 7-8 фотонов. В результате происходит фотоионизация атомов длинно-
длинноволновым излучением и смещается красная граница фотоэффекта.
18.3. Генерация второй оптической
гармоники
Удвоение частоты света в кристалле (генерация второй гармоники) было пер-
первым нелинейно-оптическим эффектом, обнаруженным вскоре после создания
лазера. Знаменитый опыт Франкена заключался в фокусировке пучка красного
излучения рубинового лазера на кристалл кварца (рис. 18.2).
6943 А
6943 А
Кварц
Вторая
3471,5 А"
гармоника
Рис. 18.2. Опыт Франкена по генерации второй гармоники
Нелинейно-оптические эффекты, проявляющиеся в области перетяжки, при-
приводили к появлению сине-фиолетового свечения вполовину меньшей длины вол-
волны. Вначале КПД преобразования был ничтожным — порядка 10~8, но уже к
1963 г. его подняли до 20-30 %, а сегодня возможно практически 100 % преобразо-
преобразование энергии падающей световой волны (волны накачки) во вторую гармонику.
280
Глава 18. Нелинейная оптика
Для объяснения эффекта удвоения частоты рассмотрим нелинейные явления,
обусловленные квадратичной восприимчивостью хB) в уравнении A8.2). В поле
монохроматической волны нелинейная часть поляризации имеет вид
-^. A8.5)
Первое слагаемое здесь не зависит от времени. Это означает, что в нелиней-
нелинейной среде создается статическое поле как в обычном конденсаторе. Такой эф-
эффект получил название оптическою детектирования, он аналогичен выпрямле-
выпрямлению электрического тока и может использоваться в детекторах мощных лазерных
импульсов, ведь с его помощью сравнительно медленная огибающая светового
импульса может быть непосредственно преобразована в импульс электрического
тока (рис. 18.3).
Световой
импульс
Электрический
импульс у \
Рис. 18.3. Пптичяпкде Дет
Второе слагаемое в A8.5) представляет волну поляризации, изменяющуюся
с удвоенной оптической частотой со2 = 2(о.
Отметим, что для нелинейностей высших порядков N аналогичные слагаемые
будут содержать гармоники cov = Afco. Скорость распространения волны поляри-
поляризации равна
с со
Эта волна порождает оптическую волну с частотой со2 и волновым числом k2.
Из-за дисперсии скорость второй гармоники в нелинейной среде отличается от
скорости исходной волны, то есть
с _2со^
k2
Следовательно,
A8.6)
В этом случае испущенные в разных точках нелинейной среды волны удво-
удвоенной частоты оказываются в различных фазовых соотношениях, и результи-
результирующий эффект по интенсивности может варьироваться от полного гашения
до максимально эффективного преобразования энергии во вторую гармонику.
18.3. Генерация второй оптической гармоники
281
Предположим, что удвоение частоты происходит в нелинейном кристалле дли-
длиной L. Волна квадратичной поляризации, достигшая точки z, имеет фазу
ФB) = 2(ю^-*12). A8.7)
Фаза световой волны, переизлученной в точке z и достигшей конца кристалла
Возникающая волна второй гармоники есть результат интерференции всех
таких волн, она находится путем интегрирования по всей длине активной среды:
I.
?<2w> = Cjcoscp(z)d!z, A8.9)
о
где С — константа, не зависящая ни от г, ни от Ak. Подставив A8.8) в A8.9) и вы-
выполняя интегрирование, получим:
™_ С
1С .
A8.10)
/: -k2L + AkL).
Множитель перед косинусом представляет собой амплитуду второй гармони-
гармоники на выходе из кристалла, следовательно, ее интенсивность равна:
= L
A/? J
;Bсо) i
A8.11)
Ak
JL
Ak
Рис. 18.4. Зависимости интенсивности второй гармоники от расстройки
волновых векторов (а) и длины кристалла (б)
Таким образом, эффективность удвоения частоты зависит от расстройки вол-
волновых векторов Ak (рис. 18.4, а) и наиболее эффективна при малых Д&. При
Ak ф 0 интенсивность второй гармоники немонотонно зависит от длины криоал-
криоалла L и обращается в ноль для AkL = тп (рис. 18.4, б). При такой длине нелиней-
нелинейной среды вторичные волны чнг'п.т.ш Ъ,\\} иг.нущенньте в разных точках, гасят
друг друга в результате интерференции. Максимальное расстояние, на котором
вторичные полны еще усиливают друг друга, называется когерентной длиной /КО1.
282
Глава 18. Нелинейная оптика
Так как
с
то выражение для когерентной длины будет иметь вид:
A8.12)
Так же как длина когерентности, введенная при анализе интерференции (см.
раздел 5.3), когерентная длина имеет смысл предельного расстояния, на котором
разность хода интерферирующих волн не превышает Х/2. На участке от 0 до /кш.
энергия от исходной волны передается второй гармонике, а на интервале от /кш
до 2/ког — возвращается в исходную волну. Эти выводы подтверждаются резуль-
результатами измерений интенсивности второй гармоники в кварцевой пластинке, эф-
эффективная толщина которой менялась за счет угла наклона пластинки к лучу 9
(рис. 18.5).
гB»)
Л"
ft
1
1
V
L—
—1
А—
1
-А—
Л
л—
-30 -20 -10 0 10 20 30 0
Рис. 18.5. Изменение интенсивности второй гармоники при варьировании
Эффективной толщины нелинейного кристалла
Величиной /ког можно управлять. Так, при выполнении условия фазового (про-
(пространственного, волнового) синхронизма лгB со) = я(со) когерентная длина /R(JI об-
обращается в бесконечность, и на всем пути света в нелинейной среде происходит
переход энергии от исходной волны ко второй гармонике. Из формулы A8.11)
следу©!, 4'i'u при ДА? = 0 интенсивность излучения на удвоенной частоте пропор-
пропорциональна квадрату длины нелинейной среды. В пределе, вся световая энергия
может быть перекачана во вторую гармонику.
В изотропной среде выполнение условия синхронизма невозможно, так как
всякая прозрачная среда обладает нормальной дисперсией. Однако в отрица-
отрицательном одноосном кристалле (см. раздел 12.3), например KDP, скорости волн
основной частоты и второй гармоники могут быть равными, если эти волны име-
имеют разные поляризации. В этом случае накачка является обыкновенной волной,
а гармоника — необыкновенной (рис. 18.6). Интенсивность второй гармоники
максимальна в указанном направлении и спадает почти до нуля при отклонении
от направления синхронизма всего на 3'.
В настоящее время наиболее мощное излучение в видимой части спектра по-
получают при удвоении частоты излучения неодимовых лазеров с X = 1,06 мкм.
18.4. Параметрическая генерация света
283
Рис. 18.6. Возникновение пространственного синхронизма
В центрально-симметричных средах ха) = 0> но за счет кубичной нелиней-
нелинейности генерируется третья гармоника. Использование более высоких нелиней-
ностей открывает перспективы генерации когерентного излучения в вакуумном
УФ и мягком рентгеновском диапазонах. В сверхсильных световых полях в бла-
благородных газах (Не, Аг) удалось получить и более высокие нечетные гармоники
вплоть до двадцать первой.
(О л
18.4. Параметрическая генерация света
В общем случае для сред с квадратичной нелинейностью характерны трехволно-
вые (трехчастотные, трехфотонные) взаимодействия световых волн (рис. 18.7).
Поляризация среды на удвоенной частоте или на суммарной (разностной) частоте
при определенных условиях может приводить к переизлучению световой волны
на соответствующих частотах. Так,
для возбуждения поля на суммарной
частоте (см. рис. 18.7, а) необходимо
выполнить условие векторного вол-
волнового синхронизма вида ks - kj + k.,.
С этой точки зрения процесс генера-
генерации второй гармоники (рис. 18.7, б)
относится к случаю вырожденного
(o)j = co2) трехчастотного взаимодей-
взаимодействия.
С нелинейной поляризацией Р(о1_(о2
связаны процессы генерации разно-
разностной частоты ?1 и параметрическо-
параметрического усиления волны со2 (рис. 18.7, в).
При этом интенсивная волна накач-
накачки cOj модулирует в пространстве и
во времени диэлектрическую прони-
проницаемость среды, приводя к парамет-
параметрическому усилению на частотах <й2
со2
со2
—>
СО
со
- т,+
= Ш] +
со2
- (Л)
со
Рис. 18.7. Трехволновые процессы
284 Глава 18. Нелинейная оптика
и Q. На квантовом языке параметрическое усиление можно рассматривать как
процесс вынужденного распада фотона с энергией hio{ на два фотона с энергия-
энергиями /zco2 и hCl.
Распад фотона на два может происходить и в отсутствие слабой волны со->
(см. рис. 18.7, г), тогда со' + со"= сог Частным случаем этого процесса является ге-
генерация субгармоник, когда со' = со" — со, /2.
со.
\
со'
-> со"
\
Рис. 18.8. Параметрическая генерация
Последний из описанных эффектов используется в параметрическом генера-
генераторе света ~ источнике когерентного оптического излучения, в котором мощ-
мощная световая волна частоты накачки со, преобразуется в волны меньших частот.
Волна со, запускает механизм нелинейной поляризации. Уже у входной грани
анизотропного нелинейного кристалла из шумов возбуждаются электромагнит-
электромагнитные колебания частот со' и со" (рис. 18.8.). Если для них выполняются условия
фазового синхронизма, то возникает возможность перестраиваемой генерации.
Варьирование частот со' и со" производится поворотом нелинейного кристалла,
который приводит к изменению волновых векторов к' и к" в условии синхрони-
синхронизации к,= к' + к", а открытый резонатор увеличивает эффективную длину взаи-
взаимодействия. Полоса перестройки определяется диапазоном частот, для которых
в данном кристалле возможен пространственный синхронизм.
18.5. Вынужденное рассеяние
и обращение волнового фронта
С кубической нелинейностью центросимметричных сред (газы, жидкости, плаз-
плазма, твердые тела) связано явление вынужденного рассеяния света — рассеяния
на индуцированных самой световой волной элементарных возбуждениях среды:
собственных колебаниях молекул, колебаниях кристаллической решетки, темпе-
температурных волнах и т. п. Причиной его является обратное воздействие световых
волн на рассеивающую среду в силу нелинейности последней.
Спонтанное неупругое рассеяние (см. раздел 15.3) происходит в линейном ре-
режиме на равновесных тепловых флуктуациях и поэтому является некогерент-
некогерентным. Напомним, что частота рассеянного излучения по отношению к частоте па-
падающего света либо уменьшается {стоке) либо увеличивается (антистокс). При
вынужденном рассеянии также наблюдаются частотные сдвиги, но происходит
взаимодействие излучения накачки и рассеянного света через среду, и поэтому
18.5. Вынужденное рассеяние и обращение волнового фронта 285
элементарные возбуждения становятся когерентными. Наиболее характерные
признаки режима вынужденного рассеяния — резкое возрастание интенсивно-
интенсивности и сужение диаграмм направленности всех спектральных компонент.
Вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) описывается с помощью мо-
модели нелинейно-связанных осцилляторов. Представим энергию молекулы в виде
суммы электронной и колебательной составляющих
f г2 f и2
U =±r— + J-^— + axi/\ A8.13)
2 2
где а — нелинейная поляризуемость молекулы; хну координаты колебаний
атомов в молекуле и колебаний внешних электронов соответственно. Последнее
слагаемое описывает взаимодействие электронных и колебательных возмуще-
возмущений в молекуле {электрои-фоиоииые взаимодействия) и является следствием
различной деформации электронных оболочек в разных колебательных состоя-
состояниях (модах) многоатомной молекулы. В этом случае уравнения движения ато-
атомов и электронов имеют вид:
М A8.14)
(сЕ-2ахи)
Ь П
т
где И — одна из колебательных частот данной молекулы, М w m — массы атома
и электрона соответственно.
Изменение координат атомов х ведет за собой изменение поляризуемости
молекулы xdcLJdx, что, в свою очередь, приводит к появлению разностной сток-
совой частоты сос = со0 - Q. Условия усиления для стоксовой компоненты выпол-
выполняются для всех направлений распространения без ограничений на вОлнОвЫС
векторы. В результате нелинейного взаимодействия на хаотическое внутримоле-
внутримолекулярное движение накладываются регулярные вынужденные колебания, проис-
происходит фазирование молекулярных колебаний во всем объеме, занятом полями.
Энергия волны накачки резонансно передается стоксовой волне, и при достаточ-
достаточной интенсивности накачки рассеяние на молекулярных колебаниях нарастает
экспоненциально — возникает эффект ВКР.
В отличие от стоксова антистоксово рассеяние возникает в четырехфотон-
ном процессе. На первом этапе из лазерного фотона образуются стоксов фотон
и фонон ЙП с волновым вектором К: к0 = кс + К. На втором этапе с участием ро-
родившегося фонона и еще одного фотона накачки образуется антистоксов фотон
ko + K = kac. Векторная диаграмма процесса имеет вид, показанный на рис. 18.9.
Из нее следует, что антистоксово излучение возникает только под определенным
углом 6 к возбуждающему лазерному пучку.
Рис. 18.9. Векторная диаграмма вынужденного антистоксова рассеяния
286
Глава 18. Нелинейная оптика
Длины волновых векторов связаны соотношениями
0Пп U _°>0 +
С С
A8.15)
Введем обозначения' Лп{ = пж - п0, Ди_, = w0- nc. Учитывая, что An «: nQt
О «: со0, cos 9 « 1 - 92/2, для угла антистоксова рассеяния найдем;
A8.16)
Таким образом, антистоксово излучение распространяется вдоль образующей
конуса с углом 9 (рис. 18.10). На экране, поставленном за нелинейной средой,
облучаемой ИК-лазером, образуются цветные кольца, соотиетствующие антисто-
антистоксовым гармоникам сото = со0 + тпП.
Нелинейная среда
ИК-излучение
Зеленый (т = 3)
Желтый (ти = 2)
Красный {тп =1)
Рис. 18.10. Генерация антистоксовых гармоник
Каждому виду спонтанного рассеяния можно сопоставить соответствующее
вынужденное. Например, вынужденное рассеяние Мандельштама— Бриллюэпа
(ВРМБ) наблюдается при индуцированной генерации гиперзвуковых волн в твер-
твердых телах. Как и в спонтанном случае, частотный сдвиг компонент ВРМБ мень-
меньше, чем ВКР (доли обратного сантиметра) и зависит от ориентации кристал-
кристаллической решетки. Как и другие нелинейные эффекты, ВРМБ обусловлено
влиянием мощной световой волны на параметры среды. Такое влияние, в част-
частности, связано с явлением электрострикции, так как электрическое поле в ди-
диэлектрике вызывает дополнительное давление, пропорциональное квадрату на-
напряженности поля. В соответствии с формой и длительностью импульгя элек-
электромагнитного излучения, в среде генерируется акустическая волна, на которой
и происходит когерентное рассеяние света.
С ВРМБ тесно связано явление обращения волнового фронта (ОВФ), не
имеющее аналога в классической оптике. Схема этого эффекта показана на
рис. 18.11. Исходный лазерный пучок с высокой направленностью проходит че-
через среду с фазовыми неоднородностями, превращаясь в сильно расходящийся
пучок 1 (рис. 18.11, а). Затем в нелинейной среде происходит обращение волно-
волнового фронта, то есть генерируется волна 2, поле которого связано с исходной
волной 1 операцией комплексного сопряжения: Е2(г)~ Е|(г)(рис. 18.11, б).
Каждая составляющая пространственного спектра Ajexp[i(a)? -kr)] преобра-
преобразуется в волну А2 exp[i(a)? + кг)], и эти Две волны распространяются точно в про-
противоположных направлениях. При вторичном прохождении в обратном направ-
18.5. Вынужденное рассеяние и обращение волнового фронта
287
>
•Ф
Звук
Рис. 18.11. Обращение волнового фронта
лении через ту же неоднородную среду (рис. 18.11, в), все фазовые искажения
пучка 2 полностью компенсируются, и он снова приобретает высокую направ-
направленность.
Одним из методов осуществления обращения волнового фронта является
ВРМБ назад (рис, 18,11, /)^ когда усиливаемые упругая и световая волны рас-
распространяются навстречу и каждая из них обеспечивает положительную обрат-
обратную связь для параметрического усиления другой.
Возникающая в кювете с сероуглеродом или метаном гиперзвуковая волна
формирует динамическую голограмму, отражающую световой пучок под углом
180°. При этом в результате нелинейного взаимодействия происходит перекачка
энергии исходного лазерного пучка EL в рассеянную волну Es. Отметим, что для
получения эффективной динамической голограммы пучок накачки должен быть
пространственно неоднородным. Поскольку параллельный пучок не может вы-
вызвать ОВФ, в схеме указан рассеивающий фильтр i7, вводимый специально либо
реализуемый естественным образом (турбулентности атмосферы, аберрацион-
аберрационные искажения, мутные среды и т. п.).
Большой научный интерес к обращению волнового фронта, проявляемый
в настоящее время, связан с задачами развития лазерной техники. ОВФ — один
из эффективных методов борьбы за повышение качества изображений, получа-
получаемых наземными телескопами или спутниками, исследующими поверхность
Земли. Прохождение световых лучей через неоднородную атмосферу искажает
форму волнового фронта, снижая разрешающую способность и смещая наблю-
наблюдаемые координаты объектов. Другой пример — аберрации, имеющиеся в раз-
различных оптических элементах. Наряду с неоднородностями усиливающей среды
они препятствуют получению мощных лазерных пучков с расходимостью, близ-
близкой к дифракционной. Если искаженный пучок обратить и вторично пропустить
через усилитель, наряду с дальнейшим увеличением интенсивности произойдет
компенсация искажений волнового фронта, и выходящее излучение будет иметь
направленность, близкую к предельной
Еще одним применением ОВФ является самонаведение лазерного излучения
на малую мишень. Если подсветить мишень вспомогательным лазером, то она
станет источником вторичной световой волны, возникающей вследствие отраже-
отражения и рассеяния лазерного света. Некоторую часть этой волны можно направить
288 Глава 18. Нелинейная оптика
в усилитель и после его прохождения подвергнуть обращению. Распространяясь
по пути исходной волны, мощная обращенная волна пройдет усилитель в обрат-
обратном направлении, а затем соберется точно на мишени.
18.6. Эффекты самовоздействия света
Четырехволновые взаимодействия в среде с кубической нелинейностью приво-
приводят к возникновению волн нелинейной поляризации на исходных частотах. Че-
Через компоненты Р{=х^р EjEjEj (см. формулу A8.3)) они определяют эффекты
кроссмодуляции (например, уже рассмотренное вынужденное рассеяние), а через
Р{-у}^]Е\Е\Е{ — различные явления самовоздействия, связанные с нелинейной
добавкой к показателю преломления п2. При дальнейшем анализе пренебрежем
анизотропией среды и будем считать, что все диагональные компоненты нели-
нелинейной восприимчивости одинаковы: х)ш = Р- Физические механизмы зависимо-
зависимости показателя преломления от интенсивности излучения п = w(/) = no+ n;Е2 мо-
могут быть различными: ориентация анизотропных молекул (высокочастотный эф-
эффект Керра), нелинейность электронной поляризации, изменение плотности в
результате электрострикнии или термических воздействий.
В терминах осцилляторной модели возникает иеизохроипоетъ нелинейного
осциллятора, то есть зависимость частоты колебаний от амплитуды. Действитель-
Действительно, решение уравнения с кубической нелинейностью х" + cojj.v - р.г3 - 0 имеет вид
колебаний с частотой
= со0-
8оH
где А — амплитуда колебаний, определяемая амплиту-
амплитудой светового поля (рис. 18.12). Неизохронность при-
приводит к появлению дополнительного фазового сдвига,
зависящего от интенсивности световой волны. Такая
фазировка ансамбля осцилляторов в поле пространст-
пространственно неоднородного (например, гауссова) пучка при-
А водит к искривлению волнового фронта и изменению
Рис. 18.12. поперечных размеров пучка — его самофокусировке или
Зависимость частоты самодефокусировке (в зависимости от знака п., = 3p/8w0).
колебаний от амплитуды ^ак всегда в неоднородной среде, световые лучи откло-
нелинейностью няются в сторону большего показателя преломления
(рис. 18.13).
Для получения численных оценок рассмотрим упрощенную модель, в кото-
которой в однородную нелинейную среду с п2 > О попадает лазерный пучок с посто-
постоянной по сечению d амплитудой поля (рис. 18.14).
Под воздействием пучка в среде образуется своего рода световод с повышен-
повышенным показателем преломления. Лучи, распространяющиеся под небольшим уг-
углом 6 к оси световода, испытывают полное отражение на его границе. Предель-
Предельный угол полного отражения определяется соотношением
(?i0 + n2E2)cos00=n0. A8.17)
18.6. Эффекты самовоздействия света
При малых углах cos 0О - 1 - QI /2, откуда
п, > О
п2 < О
Рис. 18.13. Самофокусировка (а) и самодефокусировка {б)
гауссова пучка б нелинейной среде
—¦ма
'¦V
!¦ i—
1
-—i 4^-^__,
*\з п *<
Рис. 18.14. Возникновение нелинейного световода
Если принять, что наклонные лучи возникают в результате дифракции на диа-
диафрагме диаметром d, ти угол дифракции по порядку равен 1,22Хс/щб1, где Ха —
длина волны в вакууме. Подставив это значение и качестве 00 в формулу A8.18),
получим, что компенсация дифракционной расходимости произойдет при напря-
напряженности поля в пучке не менее
1,5Х'О
El-
2nein1di
A8.19)
Учитывая, что мощность излучения сиязана с напряженностью световою элек-
электрического поля соотношением
N =
и2 Гц 10Ч3пЕа
пЕ2 l-i- =
1\пЕ
v 4 ) \'ц0
16с
290 Глава 18. Нелинейная оптика
найдем для пороговой мощности самофокусировки
_1,5-107?120
пор 32пос
A820)
Примечательно, что пороговая мощность не зависит от диаметра пучка. Для
значений п2 ~ 10~21 м2/В2 получим, что Nim ~ 1 МВт. Режим, когда нелинейность
среды полностью компенсирует дифракционную расходимость, называется са-
самоканализацией света.
Поскольку в реальных световых пучках интенсивность возрастает от краев
к оси пучка постепенно, то при превышении пороговой мощности нелинейная
среда начинает вести себя подобно собирающей линзе, и происходит самофоку-
самофокусировка пучка (см. рис. 18.13, а). При этом за счет уменьшения сечения пучка
резко возрастает интенсивность света, что может привести к оптическому про-
пробою и разрушению оптических элементов.
Дефокусировка пучка наступает при п2 < 0. Однако на практике дефокусировка
чаще связана не с нелинейностью, а с неоднородным нагревом среды, например
воздуха, уменьшением его плотности и, соответственно, показателя преломления.
Именно этот эффект в основном ограничивает возможности передачи большой
энергии в атмосфере на уровне максимальной плотности мощности -100 МВт/см2.
Нелинейный фазовый набег может зависеть не только от координат, но и от
времени. В коротком световом импульсе интенсивность быстро меняется и, сле-
следовательно, частота и фаза оказываются промодулированными во времени. Та-
Таким образом, мощный световой импульс в нелинейной среде может испытывать
самомодуляцию (как сжатие, так и расширение). При компенсации нелинейного
сжатия и дисперсионного расплывания могут образовываться своеобразные ста-
стационарные импульсы — устойчивые оптические солитоны. Еще из общей теории
нелинейных колебаний были известны уединенные волны, распространяющиеся
на большие расстояния с малыми искажениями, например волны в узких кана-
каналах или гигантские океанские цунами, возникающие после землетрясений. На
рис. 18.15 показано, как при достижении некоторой критической плотности энер-
энергии wK? формируется солитон, форма которого описывается гиперболическим се-
секансом
г + \
18.15, tf).
Импульс с плотностью энергии меньше критической w < wKV расплывается
(рис. 18.15, а), а с w> wKp — сжимается (рис. 18.15, в).
В настоящее время методами нелинейной оптики получены предельно корот-
короткие световые импульсы длительностью 4,5 фс в видимом диапазоне (два периода
колебаний) и 40 фс в средней ИК-области спектра (всего один период). Осво-
Освоение фемтосекундного масштаба времени A фс = 10 5 с) означает фактически
полную реализацию возможностей оптики, поскольку один период колебания —
это не только минимальная длительность светового импульса, но и предельное
время оптического отклика материальной среды.
С прикладной точки зрения переход к фемтосскундным импульсам это,
прежде всего, реализация предельных скоростей передачи и обработки данных,
развитие активной спектроскопии сверхбыстрых процессов (область 1 на диа-
18.6. Эффекты самовоздействия света
291
грамме энергия-длительность рис. 18.16) и переход, за счет уменьшения дли-
длительности, к тераваттным уровням мощности сверхсильных световых полей (об-
(область 2).
W < W,
кр
w =
Рис. 18.15. Изменение характера распространения импульса в нелинейной среде
С ростом плотности энергии
10
Рис. 18.16. Диаграмма энергия-длительность:
7 — сверхбыстрые процессы, 2 — сверхсильные поля
Для генерации фемтосекундных импульсов успешно применяют принцип фа-
фазировки спектральных компонент света (рис. 18.17, а). Так как длительность им-
импульса и ширина его частотного спектра есть величины дополнительные, то на
первой стадии путем самовоздействия импульса в нелинейной среде получают
широкополосное излучение, и лишь на второй, вводя дополнительную разность
хода между различными спектральными компонентами, добиваются их наилуч-
наилучшей фазировки и тем самым формирования сверхкороткого светового импульса.
Один из наиболее эффективных вариантов этой техники — компрессия модули-
модулированного импульса (рис. 18.17, 6). Используя самомодуляцию мощного лазерно-
лазерного импульса в волоконном световоде (среда с безынерционной кубической не-
нелинейностью керровского типа), получают частотно-модулированный импульс.
Как и положено в глучяе нормальной дисперсии прозрачных сред, в этом им-
292
Глава 18. Нелинейная оптика
пульсе фазовая скорость больше групповой и низкочастотные компоненты обго-
обгоняют высокочастотные. Этот частотно-модулированный импульс направляется
на оптический компрессор, состоящий, например, из двух дифракционных реше-
решеток Gx и G2 и зеркала М. Решетки обладают аномальной дисперсией (при ди-
дифракции длинноволновое излучение получает большую задержку, чем коротко-
коротковолновое). Это Следует из условия главных максимумов ^shi(p = тп\ когда боль-
большим длинам волн соответствуют большие углы отклонения пучка. В результате
вполне могут реализоваться необходимые условия синхронизации высокочастот-
высокочастотных и низкочастотных компонент.
E0(t)
Exit)
Оптический
компрессор
ZZ
м
Рис. 18.17. Принцип компрессии световых импульсов (а) и его реализация F)
с помощью нелинейного состоаода и дифракционных решеток
Обсуждаемые принципы имеют глубокие аналогии в классической оптике.
Так, сжатие во времени фазово-модулированного сигнала дисперсионным опти-
оптическим элементом есть аналог фокусировки пучка с помощью линзы, которая фак-
фактически синхронизует волны, идущие под разными углами к оптической оси, то
есть различные пространственные гармоники.
18.7. Нелинейный резонанс
и оптическая бистабильность
Резонансная кривая кубично-нелинейного осциллятора может быть получена из
лоренцевского контура линейного резонанса путем замены частоты ш0 на часто-
частоту, зависящую от амплитуды (учет неизохронности). При нелинейном резонансе
существует область частот с двумя амплитудными режимами, установление ко-
18.7. Нелинейный резонанс и оптическая Оистабильность
293
торых зависит от предыдущего значения частоты внешней силы. Действительно,
решив нелинейное уравнение для амплитуды стационарных колебаний
х" + ух' + сф- -$х* = 0, A8.21)
получим выражение
A8.22)
Рис. 18.18. Зависимость амплитуды нелинейного осциллятора
от расстройки частоты {а) и оптический гистерезис {6)
Зависимость амплитуды от расстройки частоты Лео = со0 -со показана на
рис. 18.18, а. Пунктиром дана зависимость частотной расстройки от амплитуды
(см. рис. 18.12). Физически реализуется случай, когда одной и той же расстройке
частоты соответствуют две возможные амплитуды: высокая и низкая (рис. 18.18, б).
Образующийся оптический гистерезис может быть положен в основу создания
бистабильных элементов, которые могут играть роль двоичных оптических пере-
переключающих устройств. Одна из возможных схем — резонатор, заполненный не-
нелинейной средой и обеспечивающий системе обратную свяяь (рис. 18.19, а).
Рис. 18.19. Бистабильный элемент (а) и его передаточная характеристика (б)
При постепенном увеличении интенсивности входного пучка /их интенсив-
интенсивность на выходе растет сравнительно медленно в соответствии с нижней ветвью
гистерезиса. По достижении некоторого порогового значения /' нелинейная сре-
среда просветляется, ее коэффициент поглощения скачком уменьшается, приводя к
резкому повышению выходной мощности (рис. 18.19, 6). Если теперь уменьшать
интенсивность /11Х> то поглощательные (абсорбционные) свойства нелинейной
среды восстанавливаются при значении /"< /', обеспечивая своеобразную «оити-
294
Глава 18. Нелинейная оптика
ческую память». Участок от /" до /' и является областью абсорбционной оптиче-
оптической бистабильности. В этом случае при одной и той же мощности входного пуч-
пучка интенсивность на выходе имеет два возможных значения — оптические
аналоги логических «О» и «1».
В пассивном кольцевом резонаторе помимо описанной выше абсорбционной
бистабильности могут возникать поляризационные мультистабильиости. Обычно
считается, что поляризационные эффекты характерны для пучков с наклонным
падением. Но даже для распространяющегося вдоль оптической оси интенсивного
линейно поляризованного излучения флуктуации поляризации могут нарастать
во времени, приводя к появлению ряда конкурирующих стационарных состояний.
На динамику пространственно-временной неустойчивости в нелинейном коль-
кольцевом резонаторе могут влиять диффузионные процессы, дифракционное «пере-
«перемешивание» поперечных возмущений и специально введенные трансформаторы
светового поля (например, оборачивающие призмы, рис. 18.20). В таком резона-
резонаторе полупрозрачные зеркала М{ и М2 обеспечивают связь между встречными
волнами. Благодаря тому, что в резонатор помещена оборачивающая призма Рг,
каждый луч на следующем проходе захватывает новый участок нелинейной сре-
среды NL. Таким образом осуществляется нелинейное взаимодействие по попереч-
поперечному сечению пучка.
м<
NL
Рис. 18.20. Кольцевой резонатор с нелинейным элементом и оборачивающей призмой
В результате оказывается возможной визуализация явлений самоорганизации
света: рождение регулярных структур из хаоса, появление вращающихся опти-
оптических ревербераторов, концентрических и ротационных волн, оптических спи-
спиралей и т. п. (рис. 18.21). Эти эффекты активно изучаются в рамках новейшего
раздела оптики — оптической синергетики.
Рис. 18.21. Самоорганизующиеся оптические структуры
18.8. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии
295
18.8. Принципы нелинейной лазерной
спектроскопии
Динамические нелинейные эффекты лежат в основе активной лазерной спектро-
спектроскопии, исследующей поглощение и рассеяние зондирующего пучка света в сре-
среде, предварительно возбужденной мощным лазерным импульсом накачки. Как
известно, разрешение традиционных спектральных методов ограничено неод-
неоднородным, например, доплеровским уширением (см. раздел 10.2). Методы ла-
лазерной спектроскопии позволяют исключить влияние неоднородного уширения
и тем самым поднять разрешение на несколько порядков.
В методах спектроскопии насыщения излучение накачки насыщает неоднород-
неоднородно уширенную линию поглощения (переход 0-1 на рис. 18.22).
юн со
Рис. 18.22. «Провал» в линии поглощения
Этот эффект заключается в том, что под действием вынужденных переходов
населенности рабочих уровней выравниваются и среда становится прозрачной.
Однако для доплеровски уширенной линии выравнивание населенностей проис-
происходит не для всех атомов, а только для тех, у которых частота перехода соо с учс
том доплеровского сдвига совладает с частотой лазера накачки со:
A8.23)
0)п 1 " =
где v2 — проекция скорости атома на направление лазерного луча. Иначе говоря,
накачка селективно возбуждает только группу атомов со скоростями, удовлетво-
удовлетворяющими соотношению A8.23).
Сканируемый по частоте зондирующий пучок фиксирует своеобразный «про-
«провал» в линии поглощения (рис, 18.22), по которому можно определить время
жизни возбужденного состояния и естественную ширину спектральной линии.
Другим методом устранения влияния доплеровского уширения является двух-
фотонное поглощение во встречных лазерных пучках. При этом доплеровские
сдвиги частоты для каждого из пучков равны но величине, но противоположны
по знаку. Поэтому условия поглощения выполняются как для покоящихся ато-
атомов (рис. 18.23, а), так и для движущихся (рис. 18.23, 6), В результате контур
линии поглощения имеет такую же ширину, как в отсутствие движения атомов.
Интересны быстропротекающие переходные оптические эффекты, возникаю-
возникающие при скачкообразном изменении амплитуды излучения накачки Ан. Эффект
оптических нутаций заключается в затухающих осцилляциях излучения на
296
Глава 18. Нелинейная оптика
CD
Г> Г\ Г\ .
СО
со + kv
Рис. 18.23. Компенсация доплеровского сдвига при двухфотоммом
поглощении во встречных пучках
выходе из исследуемой среды сразу после включения (выключения) накачки
(рис. 18.24, а). Затухание свободной поляризации наблюдается в виде излу-
излучения, испускаемого атомами (молекулами) сразу после их возбуждения ре-
резонансным импульсом (рис. 18.24, 6).
Сигнал оптического эха возникает в нелинейной среде, возбужденной двумя
импульсами, разнесенными во времени на интервал т. Первичное эхо (рис. 18.24, а)
появляется через такой же промежуток времени т после второго импульса на-
накачки. Таким образом, время т определяет длительность «запоминания» инфор-
информации.
Возникающее в ряде случаев вторичное эхо (рис. 18.24, г) позволяет значи-
значительно увеличить эту длительность (Г» т). При этом в оптических системах об-
обработки информацрги два первых импульса являются импульсами записи, а тре-
третий — считывающим.
п
I! 11
Л
¦
с-
1
1
1
1
1
т
! Л
Т
Г" "
1
1
1
m х ^
А .
Рис. 18.24. Переходные оптические эффекты
18.9. Световое давление в лазерных пучках 297
18.9. Световое давление в лазерных пучках
Как указывалось ранее (см. раздел J6.4), световое давление в квантовой оптике
может рассматриваться как результат передачи суммарного импульса фотонов
частицам среды. Для классических источников света эта величина чрезвычайно
мала. Например, сила давления солнечного излучения на поверхность земли на
десять порядков меньше атмосферного давления.
Ситуация, однако, в корне меняется, если рассмотреть воздействие света на
отдельный атом при резонансном взаимодействии интенсивного лазерного излу-
излучения с веществом, то есть когда частота света со близка к частоте перехода в ато-
атоме о)п. При насыщении поглощения (см. разлил 18.2) сила светового давления
перестает зависеть от интенсивности света, определяется исключительно скоро-
скоростью распада возбужденного состояния у и может иметь достаточно заметную
величину. Так, атом натрия массой 23 а.е.м. - 3,8 • 10Г) кг с у ~ 107 с в лазерном
пучке с X = 6 • 10 м получает ускорение около 2,5 • Ю5 м/с2. Возможно наблю-
наблюдать прямое действие сфокусированного лазерного пучка на прозрачные микро-
микрочастицы. Эффект оптической левитации достигается, например, при воздейст-
воздействии пучка мощностью 250 мВт на сферические полимерные частицы диаметром
5-20 мкм, поскольку ускорение частиц может превышать ускорение свободного
падения, они оказываются как бы подвешенными в световом луче.
Световое давление дало возможность лазерного управления атомными пучка-
пучками, Силы, действующие на атомы, позволяют коллимировать (направлять) атом-
атомные пучки и изменять скоростное распределение частиц в них. Исключительно
важным практическим применением этого эффекта является разделение изото-
изотопов, основанное на том, что изотопический сдвиг спектральной линии атома по-
позволяет настроить лазерное излучение в резонанс только с одним изотопом.
Облучение лазером атомов натрия, находящихся в буферном инертном газе,
позволило создать своего рода оптический насос, так как при перестройке часто-
частоты лазера вблизи резонанса меняется направление движения атомов Na. Если
частота несколько ниже резонанса, атомы двигаются в направлении лазерного
пучка, а если выше — навстречу пучку.
Еще одним применением светового давления является лазерное охлаждение
атомов. Его сущность состоит в следующем. Лазер настраивается на частоту,
меньшую, чем частота перехода. В соответствии с уравнением A8.23) эффектив-
эффективно взаимодействовать с излучением, то есть испытывать силу светового давле-
давления, будут преимущественно те атомы, скорость теплового движения китирых
направлена в сторону лазера. При каждом поглощении фотона атом массой т
получает тормозящий импульс, изменяющий его скорость на Av =йт/тг. Сред-
Средняя скорость теплового движения равна v = ^JkT/m, поэтому в среднем для оста-
остановки атома необходимо
Av h
актов поглощения. Для атомов Na с Т= 300 К формула A8.24) дает п * 2 • 104.
Обмен скоростями при столкновениях атомов приводит к общему охлаждению
газа. С помощью этого эффекта удалось достичь температур порядка 100 мкК.
298
Глава 18. Нелинейная оптика
Рис. 18.25.
Оптическая ловушка
для ультрахолодных
атомов
В неоднородных по сечению лазерных пучках воз-
возникают не только продольные, но и поперечные силы.
С их помощью, используя шесть лазерных пучков,
сфокусированных с разных сторон в одну точку, была
простроена оптическая ловушка (рис. 18.25). В такой
ловушке ультрахолодные атомы могли удерживать-
удерживаться в объеме -10 мм'1 в течение -10 с. Эксперимен-
Эксперименты с захваченными атомами и ионами позволили ис-
исследовать формирование химических связей, прове-
проверить выполнение законов сохранения в единичных
актах рождения и уничтожения фотонов, получить
физические объекты с совершенно необыкновенны-
необыкновенными свойствами, например с показателем преломления
до 5000.
Светокинетические эффекты использу-
используются для получения сверхузких резонан-
сов, необходимых для создания оптических
стандартов частоты, прецизионного изме-
измерения спектральных характеристик и дру-
других метрологических применений. Дело в
том, что ширина резонанса не может быть
меньше обратного времени взаимодействия
атома с излучением (так называемое вре-
мяпролетное уширеиие), что ограничивает
точность измерения частоты. При тепловых
скоростях атомов (-500 м/с) и поперечни-
поперечнике светового пучка в несколько миллимет-
миллиметров это время составляет десятки микросе-
микросекунд. Увеличить его на много порядков по-
позволяет «оптический фонтан» (рис. 18.26).
Шесть лазеров L{...L6 формируют опти-
оптическую ловушку, в которой накапливаются
медленные атомы. Кратковременное уве-
увеличение мощности лазера L2 выбрасывает
атомы вверх из ловушки, после чего они начинают двигаться в поле силы тяже-
тяжести по баллистической траектории. Детектор D регистрирует спонтанное излуче-
излучение атомов на участке подъема и спуска. Эффективное время взаимодействия
при этом определяется интервалом между двумя прохождениями детектора и до-
доходит при высоте фонтана в десять сантиметров до десятых долей секунды.
Рис. 18.26. «Оптический фонтан
Заключение
Современная оптика:
достижения
и перспективы
Вступительный раздел данного издания посвящен историческим аспектам разви-
развития знаний в области оптики, а его основное содержание базируется на достиже-
достижениях оптики XVII-XIX вв. Заключительную главу логично посвятить наиболее
современным приложениям оптической науки в отраслях высоких технологий.
Однако даже поверхностный обзор всех передопых оптических направлений за-
занял бы в данном пособии неоправданно большую часть. Поэтому авторы решили
ограничиться лишь кратким перечислением некоторых наиболее важных и сравни-
сравнительно легко объясняемых технических реализаций оптической теории.
Этот раздел носит скорее обзорный характер, нежели традиционный учебно-ме-
учебно-методический.
Адаптивная оптика
Адаптивная оптика изучает оптические системы с динамическим управлением
формой волнового фронта для компенсации случайных возмущений. Это позво-
позволяет повышать разрешающую способность наблюдательных приборов, увеличи-
увеличивать степень концентрации излучения или точность наведения оптической систе-
системы на мишень.
Классическим примером природной адаптивной системы является глаз чело-
человека: в зависимости от внешней освещенности изменяется диаметр диафрагмы
зрачка и чувствительность сетчатки, а линза хрусталика глаза имеет переменную
кривизну для аккомодации к различным расстояниям зрения.
Информацию о необходимом воздействии на волновой фронт получают не-
несколькими способами, например методом пробных возмущений или прямым из-
измерением формы волнового фронта. Первый метод заключается в измерении ре-
реакции на небольшие, преднамеренно вносимые фазовые искажения, а второй
реализуется, как правило, интерферометрически в сочетании с использованием
300
Заключение. Современная оптика: достижения и перспективы
компенсации волнового фронта (для приемных систем) и метода фазового сопря-
сопряжения (для излучателей).
Суть последнего представлена на рис. 19.1, она заключается в управляемой
деформациии поверхности небольшого зеркала М. Деформация соответствует
волновому фронту излучения подсветки, который прошел некую турбулентную
(возмущающую) среду между мишенью и излучателем.
Мишень
а
Источник М Привод
f
Подсветка
Рис. 19.1. Метод фазового сопряжения
Для непосредственного анализа волнового фронта часто применяют метод
Гартмапа, состоящий в измерении градиента волнового фронта и вычислении
кусочно-плоской аппроксимации волновой функции (рис. 19.2). С этой целью
волновой фронт разбивается на участки, в пределах которых его можно считать
плоским, и направляется на регулярный микролинзовый растр с матрицей пози-
ционно-чувствительных фотоприемников. Информация о форме волнового фрон-
фронта получается после обработки коорди-
координат центров тяжести сепаратных пучков
от всех детекторов.
Адаптивные оптические системы клас-
классифицируются по порядку волновых абер-
аберраций, которые они способны компенси-
компенсировать. Простейшие системы — 1 и 2 по-
порядков — изменяют общий наклон или
кривизну волнового фронта путем пере-
перемещения отдельных оптических элемен-
элементов. В более сложных системах исполь-
используют сегментированные или мембранные
зеркала. Чаще всего в сечениях пучка с
минимальными размерами устанавливают
деформируемые зеркала, управляемые с
помощью пьезоэлектрических приводов. Пример кусочно-непрерывной аппрок-
аппроксимации одномерной волновой функции ф(х) и диаграмма силовых воздействий
на сегментированное зеркало с учетом первой и второй производной волновой
функции представлен на рис. 19.3.
—*
—>
1
\
1
}
\\
Волновой
фронт
и-. «=-
Растр
а
Н S
Рис. 19.2. Метод Гартмана
Градиентная оптика
301
¦¦¦¦¦
ч
X
X
Рис. 19.3. Кусочно-непрерывная аппроксимация волнового фронта
и деформация сегментированного зеркала
Для целей адаптивной оптики часто используют уже рассмотренный в главе
по нелинейной оптике механизм обращения волнового фронта.
Градиентная оптика
Градиентная оптика (GRIN-optics — GRadient INdex of refraction) изучает рас-
распространение оптического излучения в средах, показатель преломления которых
является функцией координат. Считается, что в классической градиентной (не-
рассеивающей) среде изменение п на расстояниях, сравнимых с длиной волны,
пренебрежимо мало. В этом случае согласно принципу Ферма могут возникать
различные эффекты искривления (рефракции) излучения (например, миражи
и зеркальный блеск нагретого асфальта).
Световой луч, задаваемый уравнением п— = gradl (см. раздел 1,2), в каждой
ds
точке волновой поверхности 1(л", г/, z), может изменять свое направление. Оче-
Очевидно, что кривизна световой трубки зависит от градиента показателя преломле-
преломления, заставляя лучи загибаться в область с большим п (то есть с меньшей фазо-
фазовой скоростью) (рис. 19.4, а).
Уравнение эйконала, записанное для градиентной среды, приводит к уравне-
уравнению для траекторий луча, допускающему ряд частных решений со стигматиче-
стигматическим (резким, безаберрационным) изображением трехмерного объекта. Приме-
Примерами реализации таких решений могут быть плоские граданы с определенными
радиальными или аксиальными распределениями показателя преломления, на-
например так называемые абсолютные приборы Лунеберга и Максвелла
п(г) = щ
2-\Г-
а
и п(г) =
Такие пространственные зависимости показателя преломления заставляют все
световые лучи, испущенные из одной точки градиентной среды, собираться в дру-
302
Заключение. Современная оптика: достижения и перспективы
гой ее точке без каких-либо преломляющих поверхностей исключительно за счет
искривления траекторий (рис. 19.4, б).
gradl
= const
Рис. 19.4. Искривление луча в неоднородной среде (а) и Оезлинзовое
формирование стигматического изображения (б)
Плоские блоки граданов, реализующих подобные градиентные трансформа-
трансформации световых пучков, используются, например, в лазерных системах видеозапи-
видеозаписи и в копировальных аппаратах.
Радиальные граданы в виде цилиндрического отрезка с распределением типа
n(r) = sech(gr) соответствуют периодически фокусирующему снетоноду (рис. 19.5, а)
и могут совмещать в себе свойства объектива переменного фокуса и оборачиваю-
оборачивающей системы. Постоянная распространения
определяется радиусом градана а и относительной вариацией показателя пре-
преломления An.
Примеры двух градиентных световодов с периодической фокусировкой пуч-
пучка с осевым максимумом (а) и с кольцевым максимумом (б) представлены на
рис. 19.5. Рядом показаны соответствующие профили показателя преломления
по сечению волновода.
К числу радиальных граданов, имеющих широкое применение, относят безобо-
ЛОЧСЧНЫе кварцевые световоды — сельфпки. Они гппгоГшы формировать и транс-
Рис. 19.5. Градиентные световоды с периодической фокусировкой
Волоконная оптика
303
лировать ИК-изображение без дополнительных средств, поскольку в них все воз-
возбуждаемые моды (типы колебаний, см. следующий раздел) имеют равные скоро-
скорости. Сельфоки используют в системах дальней оптической связи, интро- и эндо-
эндоскопии; в них часто наблюдаются нелинейные эффекты.
Волоконная оптика
Волоконная оптика — раздел оптики, изучающий распространение оптического
излучения по волоконным световодам и возникающие при этом явления. В 50-
60-е гг. XX в. использовались главным образом жгуты световодов (с регулярной
и нерегулярной укладкой) длиной порядка нескольких метров. Материалом для
волоконных световодов являлись многокомпонентные стекла, а пропускание
составляло не более 70 % па метр. В 70-х гг. произошло второе рождение сието-
водов на основе кварцевого стекла с оптическими потерями порядка 1 дБ/км
(-50 % на несколько километров) в ближней инфракрасной области спектра.
Именно они стали основным элементом волоконно-оптических линий связи
(ВОЛС) и глобальных компьютерных сетей.
В простейшем варианте волоконный световод представляет собой гибкую нить,
сердцевина которой из высокопрозрачпого диэлектрика с показателем прелом-
преломления пх окружена оболочкой с п2 < nv В таком световоде возникают устойчивые
типы колебаний — моды. Собственные моды представляют собой бегущую волну
вдоль оси световода z и стоячую — поперек оси. Поперечный размер сердцевины
2а обычно составляет 5-10 мкм в одиомодовых волокнах и десятки - сотни мик-
микрон в многомодовых;разность показателей преломления Ап-п{ - п2, как правило,
составляет доли процента в первом случае и 2-3 % во втором.
Три типичных профиля показателя преломления по сечению световода для
многомодового, одномодового и градиентного волокна представлены на рис. 19.6.
2а
n(r)
Рис. 19.6. Профили показателя преломления волоконных световодов
Распространение света в волоконных световодах обусловлено рассмотрен-
рассмотренным в разделе 11.3 эффектом полного внутреннего отражения (ПВО) на границе
сердцевина-оболочка. Легко показать, что лучи, падающие на торец световода
под углом менее 7?j sinвкр« п{$Щ), действительно испытывают эффект ПВО при
304
Заключение. Современная оптика; достижения и перспективы
каждом отражении от оболочки. Наряду с конечной прочностью волокна это об-
обстоятельство (сохранение угла ПВО) определяет минимальный радиус изгиба
световодной жилы.
Ход светового луча, падающего на торец под критическим углом и испыты-
испытывающего полное отражение на границе сердцевина-оболочка, показан в геомет-
рооптическом приближении на рис. 19.7. Пунктиром показана траектория луча,
частично проходящего в оболочку и тем самым быстро затухающего при удале-
удалении от торца.
Рис. 19.7. Критический луч в световоде
Основными источниками светопотерь в волокне являются; отражения на тор-
торцах, поглощение и рассеяние в материале сердцевины и потери при внутренних
отражениях. Зная спектральные зависимости коэффициентов поглощения и рас-
рассеяния, можно оценить интегральные светопотери в волокне с помощью таких
параметров, как эффективная длина пути и эффективное число отражений
Первая величина показывает, какую полную длину с учетом его ломаной тра-
траектории проходит свет внутри световода. Очевидно, что эта длина отличается от
длины самого волокна тем больше, чем больше критический угол. Вторая вели-
величина показывает, какое число отражений претерпел световой луч на выбранной
длине волокна, и резко возрастает с уменьшением его диаметра.
В лучевом геометрическом приближе-
приближении и в предположении малой толщины *^
оболочки построение «развсртки>> спето ---^
вого луча в волокне длиной 10 и диамет- ~~^
ром 2а представлено на рис. 19.8. у*"*1
Диапазон максимальной прозрачности ---^—
кварцевых волокон лежит в спектральной
области 0,8-1,8 мкм. Это обстоятельство
позволяет обеспечить высокие эксплуата-
эксплуатационные характеристики многокиломет-
многокилометровых оптических линий связи в ближ-
ближнем И К-диапазоне.
Лучевой подход вполне адекватен для
Световодов Диаметром 2й ^ X, однако полную картину дает волновгчя теория,
определяющая дискретный набор разрешенных типов электромагнитных колеба-
колебаний или собственных мод. При An «: и,, щ широко используют приближение слабо
направляемых: мод, в котором световые поля считаются плоскополяризованными
Рис. 19.8. К определению эффективной
длины пути луча в световоде
Волоконная оптика
305
и все их компоненты выражаются через производные от преобладающей попе-
поперечной напряженности ?v (для круглых волноводов х — аксиальная пли ради-
радиальная координата). Величина
-г 2 па I— y
л
называется характеристическим параметром (или нормализованной частотой)
световода и определяет число мод, которые могут распространяться по светово-
световоду. Для ступенчатого профиля показателя преломления это числи приближенно
равно V2/2. Соответствующее сравнение представлено в табл. 19.1.
Таблица 19.1. Число мод световода в зависимости от характеристического
параметра V
Характеристический параметр
< 1,4
2,4
3,8
5,1
5,5
Число мод
1
3
6
8
10
Среди собственных мод выделяют ТМ-моды (Я2 = 0, поперечная магнитная),
ТЕ-моды (Ег - О, поперечная электрическая) и гибридные ЕН-моды, обладающие
ненулевыми компонентами векторов электрической и магнитной напряжеино-
стей Es и Нг. Поляризации и поперечные распределения амплитуды для днух низ-
низших мод показаны на рис. 19.9.
Рис. 19.9. Поперечные распределения амплитуды поля в световоде
Каждая волноводная мода характеризуется не только определенной структу-
структурой и поляризацией, но и минимально возможной несущей частотой. Энергети-
Энергетические потери для высших мод, как правило, больше. Низшие, так называемые
дипольные модьи имеют минимальные потери, могут распространяться даже при
306
Заключение. Современная оптика: достижения и перспективы
нулевой частоте и их фазовая скорость стремится к скорости свеча в окружаю-
окружающей среде. Именно поэтому одномодовые волокна, несмотря на их малое сече-
сечение, применяют для передачи энергии и информации на большие расстояния.
Примеры графиков зависимостей продольного волнового числа k = 2п/к от
нормализованной частоты для нескольких низших мод показаны на рис. 19.10.
Видно, что при постепенном увеличении диаметра волокна (возрастании V) сна-
сначала возбуждается мода ?"ЯП, затем молы ТЕ[){ и TMin, а потом и все остальные.
0 1234567V
Рис. 19.10. Возбуждение волоконных мод
Весьма распространенными сегодня стали регулярные световодпые жгуты,
способные передавать на расстояние не только световую энергию, но и качест-
качественные изображения. Матричная структура регулярных волоконно-оптических
элементов (шайб и жгутов из спеченных волокон), предназначенных для передачи
изображений, играет роль фильтра пространственных частот. Ее структура опре-
определяет предельно пропускаемую пространственную частоту v, а следовательно,
разрешающую способность и контрастность выходного изображения (рис. 19.11).
Контроль частотно-контрастной характеристики элементов на основе регуляр-
регулярных световодов ведется стандартными способами с использованием тестовых
объектов {мир).
v = 0,5Z>
ЧЗнеапертурный луч
I >j
* Изоляционный луч
Рис. 19.11. Передача изображения волоконно-оптическими элементами
При этом гексагональная упаковка волокон (рис. 19.11, 6) обеспечивает пдвос
меньшую площадь нерабочей области по сравнению с ортогональной (9 % вмести
21 %) и несколько большее (на 15 %) оптическое разрешение.
Интегральная оптика
307
Для спеченных волоконно-оптических элементов характерны дополнитель-
дополнительные потери на так называемые паразитные вив апертур ныв (не удовлетворяющие
условиям полного внутреннего отражения) и изоляционные (попадающие в об-
область между волокнами) пучки. Из рис. 19.11 ясно, что спет, попадающий п яти
области, не участвует в формировании изображения. Именно поэтому при осве-
освещении входного торца регулярного световода излучением точечного источни-
источника на выходе могут наблюдаться три пространственно разделенных максимума:
один осевой (рабочий) и два нерабочих кольцевых — внеапертурный м изоляци-
изоляционный.
Интегральная оптика
Интегральная оптика — раздел современной оптики, изучающий процессы гене-
генерации, распространения и преобразования света в тонкопленочных (плапарпых)
диэлектрических волноводах и пути объединения (интеграции) на единой под-
подложке оптических и сштоэлектронных устройств.
Плаиарпыс волноводы делятся на тонкопленочные (которые формируются
в виде однородной пленки толщиной h - К нанесенной на подложку с п{ < п)
и диффузионные (они создаются диффузией примеси в подложку, имеют плав-
плавное изменение п по глубине). Примеры планарных волноводов обоих типов при-
приведены на рис. 19.12.
п(х),
п,
n(x)t
Рис. 19.12. Планарные волноводы: а — тонкопленочный; б — диффузионный
Важным параметром планарного волновода является не только толщина, но
и его ширина, Для передачи излучения по заданной траектории или осуществле-
осуществления межволноводной связи в ответвителях применяют канальные или полоско-
вые волноводы, ширина которых может быть соизмеримой с толщиной h.
Каждая собственная мода планарного волновода / характеризуется своим эф-
эффективным показателем преломления п* = nsinGp который определяет ее фазо-
фазовую скорость и зависит от критического угла данной моды. Чем выше порядок
моды, тем меньше ее эффективный показатель преломления и сильнее ее про-
проникновение в подложку. Поскольку в результате волноводной дисперсии с утонь-
шением пленки уменьшается /?*, то. изменяя толщину й, можно ограничивать
модовый состав излучения, обеспечивать его полный вывод и даже реализовы-
308
Заключение. Современная оптика: достижения и перспективы
вать планарные призмы и линзы. Схема проникновения излучения в подложку
под клиновидным скосом планарного волновода, а также пример преломления
плоского луча при пересечении границы между пленками разной толщины пред-
представлены на рис. 19.13.
Рис. 19.13. Влияние переменной толщины на распространение света в планарном
волноводе: а — проникновение в подложку; б — преломление в результате
волноводной диспдрсии
Принцип действия планарной линзы поясняется на рис. 19.14. В интеграль-
интегральной оптике применяются так называемые геодезические линии, которые работают
за счет прогиба волноводной пленки в вертикальной плоскости. Траектории сфо-
сфокусированных лучей в такой линзе совпадают с траекториями кратчайших рас-
расстояний (геодезическими линиями) изогнутой поверхности.
Рис. 19.14. Планарная линза
Ввод и вывод излучения в планарные волноводы осуществляется несколькими
способами (рис. 19.15): прямой фокусировкой в торец (я); через призму с исполь-
использованием явления нарушенного полного внутреннего отражения (НПВО) (б);
с помощью поверхностной дифракционной решетки (в).
Интегральная оптика
309
'./6,
d
а 6 е
Рис. 19.15. Способы ввода излучения в планарный волновод
Первый способ характеризуется необходимостью точной юстировки, техноло-
технологической сложностью и недостаточной эффективностью ввода излучения. Вто-
Второй основан на проникновении излучения за границу ПВО в случае, когда на
расстоянии порядка длины волны от нее расположена другая граница, в данном
случае — поверхность планарного волновода. Этот способ требует выполнения
условия фазового синхронизма, то есть соответствия направлений и модулей вол-
волновых векторов излучения в призме и в волноводе, и позволяет изменять эффек-
эффективность передачи излучения (степень связи), варьируя толщину зазора Ь. При-
Применение поверхностной дифракционной решетки позволяет эффективно возбу-
возбуждать заданную моду, подбирая период решетки d и угол падения 0:}. Поскольку
при наклонном падении света на фазовую решетку угол дифракции зависит не
только от периода d, но и от угла падений, то перестройка волновода на другую
моду может происходить путем небольшого наклона возбуждающего пучка.
Элементы интегральной оптики позволяют осуществлять различные дейст-
действия над излучением: генерировать и регистрировать (светодиоды, гетеролазеры
и детекторы), селектировать и модулировать (частотные фильтры и модулято-
модуляторы), изменять направление распространения (ответвители и дефлекторы).
Основой излучательных полупроводниковых структур является контакт элек-
электронного и дырочного полупроводника — так называемый р-гс-переход. В случае
инжекционной накачки («впрыскивание» носителей заряда в область контакта)
к р-и-нереходу прикладывается прямое напряжение и возникает ток основных
носителей. Излучение генерируется при электронно-дырочной рекомбинации,
то есть когда электрон проводимости, уменьшая свою энергию, занимает вакант-
вакантное место в валентной зоне. Энергия излученного кванта примерно соответствует
ширине запрещенной зоны полупроводника. Так работают обычные светодиоды,
излучение которых характеризуется малой когерентностью и большой угловой
расходимостью.
Для создания эффекта генерирования узконаправленного излучения с высо-
высокой спектральной яркостью jp-w-переход ограничивают г двух сторон слоями так
называемых твердых растворов — структур, имеющих более низкий показатель
преломления и более широкую запрещенную зону. Эти контакты двух разнород-
разнородных кристаллических структур принято называть гетеропереходами. Дополни-
Дополнительные гетеропереходы ограничивают диффузию (распльшание) носителей и тем
самым повышают степень монохроматичности излучения. Кроме того, они со-
создают дополнительные скачки показателя преломления, ограничивая область
распространения излучения и уменьшая его расходимость. Гетеролазеры можно
310
Заключение. Современная оптика: достижения и перспективы
рассматривать как планарный волновод со встроенным в него активным усили-
усиливающим слоем.
Пример полупроводниковой гетероструктуры на основе арсенида галлия GaAs,
слой которого ограничен двумя гетеропереходами на основе твердых растворов
GaAlAs, представлен на рис. 19.16. Заметим, что одна и та же гетероструктура в
режиме ниже порогового тока может спонтанно излучать перпендикулярно ак-
активной зоне, а при превышении пороговой плотности тока — продольно генери-
генерировать лазерное излучение.
р - GaAlAs
п — GaAlAs
п — GaAs
Лазерный диод
Светодиод
Рис. 19.16. Излучающие полупроводниковые гетероструктуры
Зеркалами гетеролазера обычно служат внешние грани кристалла. Однако
возможно исполкзопмние pa.cnрш)р.п.р.}1Ш)й обратной сиязи, когда активный слой
гетеролазера имеет границу, гофрированную поперек направления излучения
(рис. 19.17, а). Такой решеточный профиль, шаг и глубина которого составляют
доли микрона, играет роль «распределенных» зеркал интерферометра Фабри—
Перо, используемых в обычных резонаторах.
а ^ б
Рис. 19.17. Гетеролазеры с распределенной обратной связью (а) и с пучковой накачкой (б)
Наряду с инжекционными лазерами в интегральном исполнении существуют
источники излучения и усилители света с прямой лучковой накачкой (рис. 19.17, б).
В этом случае энергия основным носителям заряда сообщается либо путем фото-
фотовозбуждения световыми квантами большей частоты по сравнению с генериру-
генерируемым излучением, либо путем неупругих соударений с электронами, обладаю-
обладающими кинетической энергией, большей, чем ширина запрещенной зоны полу-
полупроводника.
Принцип работы интегральных фотодетекторов, так же как и их объемных
аналогов, заключается в поглощении фотона с изменением состояния электрона
и созданием разности потенциалов па электродах (фотовольтаический режим)
или изменением сопротивления (режим фотопроводимости).
В фотодиоде p-w-нереход смещен в обратном направлении так, чтобы преоб-
преобразовывать падающее излучение в модуляцию тока или напряжения. Свет но пла-
нарному волноводу проникает в структуру фотолетектора непосредственно или
с помощью затухающей волны.
Интегральная оптика
311
Поскольку размеры интегральных фотодиодов могут быть сделаны субмик-
субмикронными, то их легко компоновать в многоэлементные матрицы, управляемые
по единой сигнальной шине. Собранные в двумерные интегрооптические матрицы
фотодетекторы различных типов могут включаться в схему электронной комму-
коммутации и адресации для хранения и передачи изображений.
Реализация такой матрицы кремниевых фотодиодов, снизу освещаемых спрое-
спроецированным изображением, а сверху опрашиваемых электронным пучком, услов-
условно представлена на рис. 19.18. В зависимости от светового потока, попадающего
на конкретный элемент матрицы, стекающий с него заряд вызывает различный
ток и общей цепи. Синхронизуя этот сигнал с последовательностью электронного
сканирования, можно получить точную побитовую информацию об освещенно-
стях каждого пикселя матрицы, Легко оценить плотность точек в таком изобра-
изображении: при указанном на рисунке периоде один квадратный миллиметр матрицы
будет содержать от 2,5 до К) тысяч элементов. Именно так устроены ПЗС-матри-
цы\ являющиеся самыми распространенными светочувствительными элемента-
элементами современных цифровых фотоаппаратов и видеокамер.
Сканирующий
электронный пучок
10-20 мкм
i i j t i
Изолирующая решетка
(SiO2)
- Si
п- Si
Просветление
Свет
Рис. 19.18. Светочувствительная диодная матрица
Важными компонентами интегральной оптики являются модуляторы, дефлек-
дефлекторы и ответвители. Действия этих элементов основаны на резонансном взаим-
взаимном преобразовании мод в волноводе с периодически промоделированной опти-
оптической толщиной (использование фазовой дифракционной решетки) или в сис-
системе нескольких близкорасположенных канальных волноводов (использование
туннельной связи). Плавно изменяя параметры оптической связи — период или
глубину гофрировки, — можно существенно изменять распределение интенсив-
интенсивности в выходящем из волновода пучке.
Волноводная решеточная структура может использоваться как отражатель, ес-
если поверхностная волна падает на участок гофрированного волновода под брэг-
говским углом: 2dn\ sin Bo = X. (рис. 19.19). Для нескольких рягишчных мод такая
структура может выполнять роль энергетического преобразователя (при их кон-
конструктивной интерференции возникают условия перекачки излучения из одной
моды в другую) или частотного фильтра с центром на брэгговгких частотах и
АХ ~ 0,01 им. На длину I элементов штриховой структуры при этом накладыва-
накладываются определенные ограничения:
d1
L » ,
ПЗС — прибор с гчярядоиой связью.
312
Заключение. Современная оптика: достижения и перспективы
они обусловлены необходимостью эффективного пересечения плоским световым
пучком не менее десяти пространственных периодов даже для предельных брэг-
говских углов скольжения.
Рис. 19.19. Брэгговский отражатель
Брэгговская дифракция поверхностной световой волны активно использу-
используется в интегральных модуляторах и дефлекторах на основе акустооптическою
эффекта. Отклонение света происходит на фазовой решетке, создаваемой аку-
акустическими волнами под действием переменного напряжения, которое прикла-
прикладывается к пьезопреобразователю. Варьируя частоту акустических волн в диапа-
диапазоне выполнения условий дифракции, можно изменять угол отклонения.
Часто применяемые электрооптические модуляторы индуцируют фазовую
решетку за счет эффекта Поккельса. Приложенное электрическое поле вызыва-
вызывает двулучепреломление в пленочном пьезоэлектрическом кристалле, наведенная
оптическая ось которого параллельна вектору напряженности электрического
поля Е. Изменение необыкновенного показателя преломления меняет условия
распространения световой моды, поляризованной вдоль поверхности волновода,
и может приводить к ее отражению. Эти устройства практически безынерцион-
безынерционны, а глубина модуляции линейна по напряженности поля.
Направленные ответвители могут формироваться из двух канальных волно-
волноводов, туннсльно связанных (то есть расположенных достаточно близко, на рас-
расстояниях меньших длины волны) так, что световая энергия может перекачиваться
из одного в другой. При этом коэффициент связи управляется величиной прило-
приложенного напряжения. Также разработаны электрооптические модуляторы, рабо-
работающие по принципу классических интерферометров. В них управляющее напря-
а б
Рис. 19.20. Интегрооптические ответвитель (а) и модулятор (б)
Оптическая обработка информации
313
жение изменяет оптическую разность хода, в результате чего на выходе пучки
могут оказаться синфазными или противофазными.
Два основных типа интегрооптических ответвителей схематически представ-
представлены на рис. 19.20. Первый (а) может переключать световой сигнал от одного из
двух входных каналов на любой из выходных волноводов, а второй (б) позво-
позволяет пропускать или блокировать входной сигнал в зависимости от потенциала
средней точки интегральной схемы. В обоих случаях управляющим воздействи-
воздействием служит электрическое напряжение U.
Оптическая обработка информации
В главе 9 было отмечено, что развитие теории дифракции привело к появлению
таких направлений, как фурье-оптика и голография. Дифракционные принципы
формирования оптического изображения использованы в ставших классически-
классическими экспериментах по пространственной фильтрации и распознаванию образов.
Ниже поясняется суть разработок в области синтезируемых компьютером пло-
плоских дифракционных оптических элементов (ДОЭ). Исторически первыми эле-
элементами плоской оптики были зонные пластинки, френелевские линзы и регу-
регулярные дифракционные решетки.
Алгоритм построения простейших ДОЭ можно проиллюстрировать на при-
примере фокусатора в кольцо (рис. 19.21). Если взять узкую полоску дифракцион-
дифракционной решетки, отклоняющей плоскую монохроматическую волну на фиксиро-
фиксированный угол, и прокрутить ее вокруг центра, придав аксиальную симметрию, то
получится структура из концентрических колец одинаковой ширины {дифрак-
{дифракционный аксикон). Если теперь совместить его с зонной пластинкой, то в фо
кальной плоскости последней при освещении плоской волной образуется свет-
светлое кольцо.
Дифракционная
решетка
Зонная
пластина
<
<
«I-
<
<
о
Рис. 19.21. Фокусатор в кольцо
Другим примером ДОЭ могут служить всем известные насадки к лазерным
указкам, формирующие практически произвольные точечные изображения. На-
Наблюдаемые картины есть результат дифракции плоской волны на системе фазо-
фазовых, голографически выполненных решеток с различным шагом и ориентацией.
314
Заключение. Современная оптика; достижения и перспективы
Каждая решетка может представлять собой либо синусоидальную гофрировку
поверхности (вариации толщины), либо периодические изменения показателя
преломления (вариации п). И в том и в другом случае вносится пространствен-
пространственная гармоническая модуляция оптической разности хода и, следовательно, фазо-
фазового сдвига прошедшей волны. Результат такой модуляции известен (см. раз-
раздел 9.6): за объектом наблюдаются три максимума, из которых один является
максимумом нулевого порядка, а два других — плюс-минус перяого.
А
/
\
V
X
х
_ up ¦ п.
[ч
У
\
Z.
ч>
/
\
/
\^
/
\
X
X
х
X
/
\
ч
/
ч
/
\
\
/
/
\
/
\
/
X
х
X
х
ч
ч
ч
ч
ч
\
х
X
у
х
у
d2
\
Система
дифракционных
решеток
Рис. 19.22. Голографическая лазерная насадка
Таким образом, каждая решетка дает три пятна, симметричных относительно
пентра лазерного пучка и расходящихся поперек направления штрихов тем боль-
больше, чем меньше период соответствующей решетки (рис, 19.22). Если профилиро-
профилирование делается негармонической пилообразно!1! функцией, то возникают разные
фазовые условия для правого и левого максимумов и можно добиться исчезно-
исчезновения одного из них.
Технология создания фокусаторов в произвольно задаваемое распределение
сложнее. Компьютер синтезирует бинарную или ступенчатую аппроксимацию
фурье-образа искомого объекта, затем фотолитографически создается ампли-
амплитудная, фазовая или амплитудно-фазовая маска, с которой копируют микро-
микрорельеф ДОЭ.
При кодировании дискретной матрицы пикселов и ее переносе на физиче-
физический носитель могут использоваться методы цифровой голографии. При этом,
если за отдельные элементы изображения отвечают различные секторы синте-
синтезированного ДОЭ, то его называют сегментированным, а фазовый дифракцион-
дифракционный элемент, созданный с игнорированием амплитудной информации, — кино-
киноформ ом.
Принцип реализации сегментированного фокусатора для пространственного
преобразования энергии плоской волны в произвольный символ, например бук-
букву R, показан на рис. 19.23. Центральный сектор фокусатора, имеющий горизон-
горизонтальную модуляцию, отводит часть световой энергии вверх и вниз, формируя
левую вертикальную полосу. Серединный кольцевой сектор с веерообразной
гофрировкой обеспечивает верхнюю полулугу, а внешнее кольцо фокусатора —
правую нижнюю ножку требуемой буквы. Для того чтобы все эти части заняли
правильное взаимное положение, общие профили трех указанных секторов мо-
могут выполняться в виде отклоняющих клиньев.
Оптическая обработка информации
315
Рис. 19.23. Сегментированный фокусатор в букву R
Более сложные типы фокусаторов позволяют реализовьшать практически лю-
любое пространственное преобразование входного пучка в заранее заданное полу-
полутоновое изображение. Примеры компьютерного расчета фазовых распределений
четырех ДОЭ-фокусаторов, а также результаты их использования представлены
па рис. 19.24. Два первых элемента (адаптивно-аддитивный и геометрооптиче-
ский, рис. 19.24, а) преобразуют входной пучок в светящийся квадрат, а два дру-
других — композиционных (рис. 19.24, б) — в буквы Y и А.
Рис. 19.24. Фокусаторы излучения в квадрат (а) и буквы (б)
При оптической обработке информации, например, с целью распознавания об-
образов, часто выполняется операция пространстве}той фильтрации, а наиболее
просто реализуются пространственно-инвариантные фильтры, для которых спра-
справедливо уравнение свертки Когерентная фурье-оптика (см, раздел 8.6) представ-
представляет широкие возможности для пространственной фильтрации световых полей
в реальном времени.
Фронт световой волны, искаженный транспарантом, может направляться на
согласован)чый пространственный фильтр. Он обладает тем свойством, что ком-
компенсирует искажения волнового фронта, если падающая на него волна является
316
Заключение. Современная оптика; достижения и перспективы
двумерным фурье-спектром от искомой картинки. Тогда прошедшее излучение
оказывается квазиплоской волной и собирается вторым объективом в яркое цен-
центральное пятно. Если в плоскости исходного транспаранта помещена другая кар-
картинка, то компенсации искажений не происходит и свет распределяется по всей
выходной плоскости.
Широкий класс методов распознавания образов связан с вычислением функ-
функции взаимной корреляции (ФВК) эталонного и предъявляемого изображений сред-
средствами голографии. Поскольку фурье-голограмма эталона является Для объект-
объектной волны согласованны фильтром пространственных частот, то при ее размеще-
размещении за исследуемым объектом возникает несколько его изображений (рис. 19.25),
освещенность одного из которых пропорциональна ФВК.
Голограмма
Рис. 19.25. Определение функции взаимной корреляции с помощью
согласованного фильтра
Операции фильтрации могут базироваться на когеренто-оптическом вычис-
вычислении коэффициентов ортогонального разложения с помощью синтезированных
ДОЭ. Это разложение по так называемым базисным функциям (базисы Уолша,
Фурье, Карунена, Адамара и т. д.) заключается в установке на входе фурье-кас-
када фильтра с комплексной функцией t(x, у) пропускания и подаче на вход
поля w(x, ц). Последовательно меняя фильтры или производя параллельное вы-
вычисление коэффициентов разложения в плоскости пространственного спектра,
получают набор признаков изображения
wl} = Цгфг, y)t\x, y)dxdy,
используемый далее в процедуре цифровой классификации!
В заключение приведем пример использования упомянутых алгоритмов в од-
одном из очевидно важных практических приложений — дактилоскопии (рис. 19.26).
Современные технологии распознавания отпечатков базируются не на субъектив-
субъективно-визуальном экспертном заключении, а на объективных количественных дан-
пых о ФВК анализируемого изображения и отпечатка из базы данных правоохра
Силовая оптика
317
нительных органов. Высота и полуширина корреляционного пика (рис. 19.26, б)
характеризуют вероятность совпадения или различия предъявленных изобра-
изображений.
а б
Рис. 19.20. Дактилоскопический отпечаюк (а) и его ФВК с эталонным отпечатком F)
Почти все рассмотренные выше приложения могут быть по праву отнесены
к новой зарождающейся науке об оптических методах получения, передачи и об-
обработки информации — оптоинформатике. Реалии сегодняшнего дня — оптиче-
оптические системы записи и считывания, голографические элементы памяти и систе-
системы объемного видения, оптоволоконные каналы связи, жидкокристаллические и
матричные дисплеи — все это есть элементная база оитоинформатики, постепен-
постепенно вытесняющая традиционные электрические сигнальные цепи. Грядущий про-
прогресс информационных технологий напрямую связывают с достижениями опти-
оптической науки, с созданием и совершенствованием оптических и квантовых ком-
компьютеров. Нетрудно заметить, что даже самые передовые оптоинформационные
разработки базируются на фундаментальных оптических законах, явлениях и прин-
принципах. Эта неразрывная связь должна убедить будущих специалистов в любых
сферах высоких технологий с уважением и вниманием отнестись к изучению ба-
базового курса оптики.
Силовая оптика
Связанные с прямым энергетическим воздействием лазерного излучения (тепло-
(тепловым или ударным) нелинейные эффекты и их технологические применения при-
принято рассматривать в рамках так называемой силовой оптики.
Нагрев вещества под воздействием мощного излучения может сопровождать-
сопровождаться возникновением сил, на много порядков превосходящих рассмотренное выше
световое давление. Конвективные силы связаны с нагревом окружающей среды и
обратным воздействием потоков газа или жидкости на тело. Радиометрическое
давление возникает в разряженных газах, поскольку скорость молекулы после
соударения с нагретой поверхностью больше, чем начальная. Светореактивпое
давление обусловлено испарением вещества с поверхности облучаемого тела, оно
пропорционально скорости истечения вещества и скорости изменения массы еди-
единицы поверхности.
318
Заключение. Современная оптика: достижения и перспективы
Рис. 19.27. Принципиальная схема лазерного термоядерного синтеза
Фокусировка лазерных импульсов, приводящая к разогреву вещества и его
сжатию за счет светореактивного давления, используется для лазерного термо-
термоядерного синтеза (рис 19.27). В современных установках достигается интенсив-
интенсивность 10к; Вт/см2 и используются ЮОмикрсжньк.1 уц1и гсрий-тритпепые мишени,
испарение которых вызывает ударную волну. Ее кинетическая энергия разогре-
разогревает плазму до 107 К за время 10~9 с.
Достигнутые в настоящее время величины эффективных мощностей Р* и ин-
тспсивностей /* импульсного лазерного излучения уже обеспечивают локальные
параметры напряженности электромагнитного поля, превышающие внутримоле-
внутримолекулярные и даже внутриатомные значения A0!П В/,м). В первую очередь, это до-
достигается предельной концентрацией световой энергии в пространстве (фокуси-
(фокусировка) и во времени (компрессия).
Примерные силовые параметры излучения лазеров разных типов и их срав-
сравнение с предельно достижимыми значениями приведены в табл. 19.2.
Таблица 19.2. Энергетические параметры некоторых лазеров
Параметр
Мощность
Интенсивность
Длительность
импульса
Радиус свето-
светового пятна
He-Ne лазер,
непрерывный
режим
Р~ 10 2 Вт
/-0,1 Вт/см2
СО2 лазер,
импульсный
режим
Рт ~ 10(; Вт
Г - Ю7 Вт/см2
т ~ 10~7с
г~ Ю-1 см
Nd-YAG лазер
с модулиро-
модулированной доб-
добротностью и
фокусировкой
Рт ~ Ю7 Вт
Г - 1010 Rt/cm2
т ~ Ю-8 с
Г~ 10 СМ
Предельные
возможности
Р' - 1(I:* Вт
/* - 1018 Вт/см2
т ~Т- Ю-15 с
г- л - 104 см
Тепловое действие света основано на его поглощении по закону Нугера, приво-
приводящем к появлению распределенных источников тепла в области, ограниченной
диаметром перетяжки сфокусированного гауссова пучка d и глубиной поглоще-
поглощения i0, обратной коэффициенту поглощения а. Выделение энергии приводит к
росту температуры среды, который может ограничиваться процессом термодиф-
термодиффузии (растекание тепла) (рис. 19.28).
Силовая оптика
319
Рис. 19.28. Локальный разогрев мишени сфокусированным лазерным излучением
Тепловое воздействие излучения па вещество определяется многими пара-
параметрами; коэффициентами поглощения и теплопроводности, длительностью ла-
лазерного импульса и частотой его повторений, скоростью сопутствующей газовой
Струи и т. п. При соответствующем подборе этих факторов МОЖНО реализовать
различные технологические операции; закалку, гравировку, резку, сварку и ис-
испарение металлов, скрайбироиание (нанесение поверхностного рисунка), отжиг
(индуцирование поверхностной рекристаллизациии) и аморфизашш полупро-
полупроводников, пробой, сверление и профилирование диэлектриков, обработку био-
биотканей лазерным скальпелем и многие другие.
Компьютерное сканирование лучом позволяет формировать сложные трех-
трехмерные поверхности, ппдгтраинлть электронuuw элементы, балансировать вра-
вращающиеся детали и т. д. Уникальные возможности лазерных технологий связа-
связаны в первую очередь е экстремальными скоростями нагрева (до 108...1010 К/с),
локальностью и бесконтактностыо воздействия.
Литература
1. Бутиков Е. И. Оптика: Учебное пособие для студентов физических специаль-
специальностей вузов. 2-е изд. СПб.: Невский Диалог; БХВ-Петербург, 2003.
2. Матвеев А. Н. Оптика: Учебное пособие для студентов физических специаль-
специальностей вузов. М.; Высш. школа, 1985.
3. СивухипД. В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика; Учебное пособие для студен-
студентов физических специальностей вузов. М.: Наука, 1980.
4. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны.
Оптика, Учебное пособие для вузов. 3-е изд. М.; Наука, 1988.
5. Калитесвский Н. И. Волновая оптика: Учебное пособие /шя пузов. 3-е изд. М.:
Высш. школа, 1995.
6. Бори А/., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970.
7. Нагибина И. М. Интерференция и дифракция света: Учебное пособие для оп-
оптических специальностей вузов. Л.: Машиностроение, 1985.
8. Москалев В. А. и др. Прикладная физическая оптика: Учебное пособие. СПб.:
Политехника, 1995.
9. Степанов Б. И. Введение в современную оптику. Минск, 1989.
10. Ишанин Г. Г., Козлов М. Г., Томский К. А. Основы светотехники: Учебное посо-
пособие для вузов. СПб.: Береста, 2004.
11. Ахмаиов С. Л., Никитин С. /О. Физическая оптика: Учебник. М.: Московский
университет, 1998.
12. Сечкарев А. В. Фотонная оптика. СПб.: СПбГИТМО (ТУ), 2000.
13. Ярив А. Введение в оптическую электронику. М.: Высш. школа, 1983.
14. Информационная оптика: Учебное пособие / Евтихиев Н. Н. и др. М.: Изда-
Издательство МЭИ, 2000.
15. Методы компьютерной оптики / Под ред. Сойфера В. А. М.: Физматлит, 2000.
Алфавитный указатель
А
Аббе
инвариант. 55, 146
условие синусов, 60
Аббе— Портера эксперимент, 159
аберрация, 55, 73, 145
астигматизм, 44, 73
кома, 74
оптической системы, 73
сферическая, 74
хроматическая, 76
абсолютно черное тело (АЧТ), 84, 244
абсорбционная бистабильность, 294
абсорбционные свойства среды, 221
автокорреляционная функция, 97
адаптивная оптика, 299
азимут, 178
аккомодация, 72
аксикон дифракционный, 313
активная
спектроскопия, 290
лазерная, 295
активность
оптическая, 207, 237
естественная, 207
акустооптический эффект, 312
Альхазен, 13
амплитудная
дифракционная решетка, 150
зонная пластинка. 127
модуляция, 35, 148, 240
амплитудные маски, 148
амплитудный
коэффициент
отражения, 186
пропускания, 186
объект, 149
анализатор, 176
Ангстрем, 24
анизотропия,21
анизотропная среда, 28, 196, 197
аномальная дисперсия, 224, 225
антистоксовы линии, 239, 286
апертура, 60
интерференции, 100
числовая, 146
апланатичеекпе плоскости, 75
аподпзация зрачка, 144
Араго опыт, 205
аргоновый лазер, 264
Архимед, 12
астигматизм, 44, 73
афокалытя оптическая система, 71
АЧТ, 244
модель, 244
Б
Бабинс
принцип, 125, 157
теорема, 142
бальзам канадский, 203
Бальмер, 24
Бартолиниус, 17
Бесселя функция, 142
бизеркала Френеля, 21, 106
билииза Бийе, 107
бипризма Френеля, 21, 106
бистабильность
абсорбционная, 294
оптическая, 292
бнетабильный элемент, 293
близорукий глаз, 72
Больцмана распределение. 247
брэгговская дифракция, 312
брэгговский
отражатель, 312
угол, 311
Брюстср, 21
Брюстера угол, 187, 188, 194
Бугер, 19
Бугсра закон, 220, 235
Бугера—Ламберта—Бэра закон, 220
Бэкон,14
В
вектор
волновой, 31
лучевой, 198
Пойнтинга, 34
Стокса, 208
Умова—Пойнтинга, 34
322
Алфавитный указат
поли чины фотометрические, 80
вентиль оптический, 210
Верле постоянная, 210
взаимодействие улектрон-фононное", 285
видность интерференционных полос, 95, 97
Вина
закон смещения, 246
парадокс, 210
соотношение. 245
бинт Фарадея, 238
ВКР, 285
внеапертурпый пучок, 307
вогнутое сферическое зеркало. 57
Волластон, 21
Волластоиа призма, 204
волна
необыкновенная, 200
неоднородная, 190
обыкновенная, 200
плоская, 30, 215
рассеянная, 235
стоячая, 268
сферическая, 31, 215
улектромапштиая, 23
волновод
диффузионный. 307
канальный, 307
планарный, 307
полочжовый, 307
тонкопленочный, 307
волноводная дисперсия, 307
волновое
поле, 92
уравнение, 29
число, 31
волновоГт
вектор, 31
пакет, 222
синхронизм,282
фронт, 31, 299
фронт геометрический, 39
цуг, 216, 218
волновых поверхностей сечение, 201
кол им
амплитуда, 30
вторичные, 120
начальная фаза, 30
световые поляризованные, 93
сферические элементарные, 120
фаза, 30
волокно
многомодовое, 303
одномодопос-. 303
волоконная оптика, 303
вращение плоскости поляризации. 207
временная
дисперсия, 198, 225
когерентность, 96, 98
временной спектр, 92
Ft рем я
жизни уровня радиационное, 250
когерентности. 98, 218
премяпролетнос уширепне, 298
ВРМБ, 286
вторая оптическая гармоника. 279
вторичные
волны, 120
источники, 120
второй лаком Кирхгофа, 245
Нул||фа- Ьр:нтоп углоппе, 1П1
вынужденное
аптпетокешю рассеянно. 286
излучение. 249, 250. 258
комбинационное рассеяние (ВКР), 285
колеоанпе, 285
рассеяние, 284
рассеяние Мандельштама—Бриллкк-ша
(ВРМБ), 286
выпуклое сферическое зеркало. 57
высокочастотный эффект Керра, 288
гармоника. Зо
антистоксова, 286
гармоническая модуляция, 1 62
гармонический осциллятор, 276
Гартмана метод, 300
гауссов пучок, 271
гауссоиский контур. 218
гелий-неоновый лазер, 262
Гельмгольца
теорема обратимости, 133
уравнение. 32, 39
генератор оптический, 260
генерация
параметрическая, 283, 284
субгармоиик, 2М
гголезичегкпи линия, 308
геометрическая оптика прикладная, GG
геометрические световые лучи. 40
геометрически!! волновой фронт, 39
Герои, 17
Герц, 23. 252
Гсршель, 21
гетерогенная граница. 26G
гетеролазер, 2GG, 309
гетеропереход, 309
гипотеза Пламкн, 217
гиротроппя, 207
гистерезис оптический, 293
главная
оптическая ось, 54, GO, GG
оптическая ось линзы, 61
ось кристалла, 197
плоскость, G6, 200
скорость, 197
глапмое значение диэлектрической
проницаемости, 197
Алфавитный указатель
323
главные
сопряженные плоскости. 59
точки, 67
главный
максимум, 149, 150
показатель преломления, 197
глаз, 72
Ч, 72
дальнозоркий, 72
глубина проникновения поля, 192
голограмма
динамическая, 168, 287
Френеля, 165
Фурье. 165
голографпческая
интерферометрия, 167
лазерная насадка, 314
память, 168
голография, 162
нифропая, 314
гомоцентрический
параксиальный пучок, 60
спетопой пучок, 43, 54
гомоцентричиость, 62, 66
градан, 301
градиентная оптика, 301
граница
гетерогенная. 266
сред плоская, 46
сред сферическая, 54
фотоэффекта красная, 232
границы дифракционных приближений. 134
граничные условия, 184
Кирхгофа, 132
Гримальди, Франческо 17, 120
Грина теорема, 131
грунпииим скорость, 222
Гук, 16
Гюйгенс, 120
Гюйгенса
построение, 201
принцип, 121, 122
Гюйгенса—Френеля принцип, 120, 131
давление
радиометрическое, 317
световое, 242, 253. 297
евстореактпште, 317
дактилоскопия, 316
дальнозоркий глаз, 72
двойное лучепреломление, 199
дпулучепреломление, 18, 201
двумерная интерференционная картина, 95
двухлучевая
интерференционная картина, 97
интерференция, 93
поляризационная призма, 203
двухосный кристалл, 197, 199
двухфотонное поглощение, 295
действительное изображение, 56, 164
деление
амплитуды, 101
иолншшго фронта. 101. 105
Денисюк, 166
Диниенжа мстя, 166
детектирование оптическое, 280
детектор, 309
квадратичный, 34
физический, 92
дефлектор. 309
деформация светового импульса, 224
диаграмма
g-иараметроп, 270
фазовая (векторная), 94, 123-125, 128, 130,
139, 152
диапазон
видимый, 36
инфрякрягным, 36
микроволновый, 37
радиочастотный, 37
реитгеиопг.кий, 36
ультрафиолетовый, 36
диапазоны электромагнитных волн, 36
диафрагма аиертурная, 60
динамическая голограмма, 168, 287
диод лазерный, 266
диоптрика, 12
липольная мода, 305
диск Эпри, 142
диспергирующие свойства, 153
дисперсионная
зависимость. 222
формула, 230
формула Кош и, 228
дисперсия, 17. 222. 224
аномальная, 224, 225
волноводная, 307
временная, 198,225
нормальная, 224, 225
угловая, 153
дисторсия, 75
дифракционная решетка, 22, 149, 309
амплитудная, 150
одномерная, 150
со сложной структурой, 155
фазовая, 311
дифракционное перемешивание. 294
дифракционные
потери, 267
ПрИНЦИПЫ голографирования, 162
распределения от круглого отверстия, 126
эффекты, 32
дифракционный
аксикон, 313
оптический элемент (ДОЭ), 313
предел разрешающей способности, 144
элемент сегментированный, 314
элемент фазовый, 314
324
Алфавитный указате
дифракция, 17, 76, 92, 120
брэгговская, 312
в дальней зоне, 131, 134, 136
в параллельных лучах, 136
Кирхгофа, 131
на бесконечности, 136
на двумерных структурах, 158
на круглой апертуре, 121, 142
на круглом лиске, 125
на круглом отверстии, 121, 142
на полуплоскости, 129
на прямолинейном крае экрана, 129
на прямоугольном отверстии, 141
на регулярных структурах, 149
на ультразвуке, 162
рентгеновских лучей, 160
Фраунгофера, 131, 134, 136, 137, 139, 149
Френеля, 120, 127, 129, 130, 134
Френеля на бесконечной щели, 130
дифференцирование
прострянгтяенное, 148
диффузионный волновод, 307
дихроизм,211
диэлектрическая
проницаемость, 26, 220
проницаемое ц> комплексная, 192
среда, 28
диэлектрическое
зеркало, 114
покрытие, 114
покрытие многослойное, 114
AHjjwKipuHWKufi проницаемости главное
значение, 197
длина
когерентная, 281
когерентности, 98
приведенная, 69
пути эффективная, 304
Добрецов, 219
добротность, 216
Доплера эффект, 217
доплеровский контур, 218
ДОПЛерОБСКое уширение, 219
дополнительные экраны, 125
ДОЭ, 313
-фокусатор, 315
дуализм кориускулярно-волновой, 249
единицы световых величин, 85
естественная
оптическая активность, 207
ширина спектральной линии, 214
естественный свет, 174, 176
ж
Жамена интерферометр, 110
жгут световодный, 306
жидкость иммерсионная, 146
зависимость дисперсионная, 222
заднее фокусное расстояние, 56
задний фокус, 56
закон
Бугера, 220, 235
Бугера-8-Ламберта—Б.эра, 220
изменения интенсивности, 42
Кирхгофа второй, 245
Кирхгофа первый, 243
Ламберта, 84
Малюса, 21, 177
независимости световых пучков, 43
одновременности, 45
постоянной удельной рефракции, 231
преломления, 4Ь\ ЬУ, 185, 201
Рэлея, 237
смешения Вина, 246, 248
Снеллиуса, 48, 59, 185, 201
Стефана—Больцмана, 245, 248
таутохронизма, 45
законы теплового излучения, 242
запись голограммы, 163
затвор безынерционный, 209
затухание свободной поляризации, 296
звеялный интерферометр Майксльсопа, 110
Зеемана эффект, 211
Зельмейера формула, 231
лрркяпо
диэлектрическое, 114
Ллойда, 107
ПЛПГКПР, 58
сферическое, 57
зеркальное тело, 245
Япммррфрльдя углпрче излучения, 133
зона энергетическая, 266
зонная пластинка, 127, 313
амплитудная, 127
фазовая, 128
зоны
Френеля, 121, 123
Шустера, 129, 130
зрачок кольцевой, 146
зрительная труба, 15
и
Ибн ал-Хайсам, 13
идеальная оптическая система, 66
излучатель косинусный, 84
излучающая поверхность, 83
излучение
вынужденное, 249, 250, 258
когерентное, 250
некогерентное, 251
спонтанное, 249, 258
тепловое, 242
черное, 245
измерение
волнового фронта, 299
угловых размеров источников, НО
Алфавитный указатель
325
изображение
действительное, 56, 164
мнимое, 56, 164
стигматическое, 43, 54, 60
точечное, 43
точки, 43
изоляционный пучок, 307
Hjuipuutiuu среда, 28
изохроматы, 206
иммерсионная жидкость, 146
инвариант
Аббе, 55, 146
Лагранжа интегральный, 44
индикатриса рассеяния, 236
интеграл Фурье, 35
интегральная
оптика, 307
теорема Грина, 131
теорема Кирхгофа, 132
интегральный инвариант Лагранжа, 44
интегрирование пространственное, 148
интенсивность
наблюдаемая, 93
света, 34
средняя, 92
интерференционная
картина, 101
двухлучевая, 97
схема, 101
интерференционное кольцо, 16
интерференционные полосы, 92
Юнга, 142
интерференционный
опыт Юнга, 139
светофильтр, 115
член, 93
интерференция, 21, 43, 92
в параллельных лучах, 206
вторичных волн, 120
двухлучевая, 93
многолучевая, 111, 139, 151
ПОЛЯрИЗОМНных лучей, 205
сходящихся поляризованных лучей, 206
интерферометр, 108
Жамена, 110
звездный, НО
Майкельсона, 108
Маха—Цен дера, 109
Тваймана—Грина, 109
Фабри-Перо, 310
интерферометрия голографическая, 167
ионные линии поглощения, 230
ионный лазер, 264
исландский шпат, 203
испускательная способность, 243
источник
белого света, 92
вторичный, 120
квазимонохроматический, 92
когерентного излучения, 258
источник (продолжение)
монохроматический, 92, 93
некогерентный, 93
несамосветящийся, 81
протяженный, 80, 99
самосветящийся, 81
точечный, 32, 80, 215
К
калибровка источников, 86
камера-обскура, 14
канадский бальзам, 203
канальный волновод, 307
кандела, 86
кардинальные
плоскости, 66, 67
точки, 60, 67
картина
интерференционная, 101
коноскопическая, 206
катастрофа ультрафиолетовая, 247
катоптрика, 11
каустическая поверхность, 271
квадратичная нелинейность, 283
квадратичный детектор, 34
квазимонохроматический источник, 92
квазимонохроматичность, 216, 218
квазиупругая модель, 225
квантовая
оптика, 22, 242
теория элементарная, 249
Керра
эффект высокочастотный, 288
эффект электрооптпческий, 209
ячейка, 209
киноформ, 314
Кирхгоф, 23
Кирхгофа
второй закон, 245
дифракция, 131
метод, 131
первый закон, 243
теорема, 132
условия, 132
классификация линз, 63
классическая теория
дпгпергии,222
излучения, 214
поглощения, 214
клин, 50, 101
когерентная
длина, 281
фурье-оптика, 315
когерентное излучение, 250
когерентность, 92, 178
временная, 96. 98
вторичных источников, 120
полная. 93
пространственная, 96, 99, НО
частичная, 93
326
Алфавитный ука
когерентный фон, 163
колебания вынужденные, 285
коллимирующая система, 81
кольца Ньютона, 19, 102
кольцевой
зрачок, 146
резонатор, 267
кольцо интерференционное, 16
Кома, 74
комбинационное рассеяние снега, 239
комбинашшпньш чашотм, 240
компенсатор, 178, 205
компенсация волнового фронта, 299
комплексная
диэлектрическая проницаемость, 192
степень когерентности, 97
компрессия модулирштннот
импульса, 291
Комптона эффект, 242, 253
коноскопичсская картина, 206
контур
гауссовскии, 218
ДпппррпрсКИП, 218
лоренцев, 215, 292
конфокальный резонатор, 270
концентрический резонатор, 268, 269
Корню, 23
спираль, 130, 131
корпускулярная теория, 11
корпускулярно-волноиой дуализм, 249
корреляционная функция, 96
косинусный излучатель^ 81
Коши формула дисперсионная, 228
коэффициент
видности излучения, 87
наклона, 123
отражения
амплитудный, 186
энергетический. 186
поглощения спектральный, 244
пропускания
амплитудный, 186
экрана, 138
энергетический, 186
радиационного трения. 215
рассеяния, 235
черноты, 245
Эйнштейна, 251
экстинкции, 235
Крамерса—КроНИГа Соотношение, 221
красная граница фотоэффекта, 252
красный сдвиг, 217
красные спутники, 239
кривая видности, 85
кристалл, 196
двухосный, 197, 199
одноосный, 197, 199
отрицательный, 200
положительный, 200
кристалла главная ось, 197
кристаллооптика параметрическая, 208
критерий Рллея, 113
критическая опалесненцпя, 239
круговая поляризация, 175
кружок Эпри, 141
кубическая нелинейность, 284. 288
Л
Лагранжн интегральный инвариант, 44
Лагранжа- Гильмгольца тгпрема, 60
;ia«ep, 258
пргопотшй, ?Г>4
гелий-неонотшн, 262
ионный, 264
на красителе, 205
па углекислом галс, 263
нсодимонып, 261
полупроводниковый, 266
рубиновый, 260
химический, 267
экекме-рнын, 265
лазерная
оптика, 242
спектроскопия, 295
лазерное
охлаждение, 297
упрапление атомными пучками, 297
лазерный
диод, 266
термоядерный синтез, 318
Ламберт, 19
Ламберта :шкон, 84
ламбертовский источник, 84
лауюграмма, 161
Лебедев. 253
Лейте, 164
линейная
поляризация, 175
теория поляризации, 220
линейное увеличение. 50
линейный резонатор. 267
линейчатый спектр, 21, 218
линза, Ы
отрицательная. 63
положительная. 63
рассеивающая, 63
собирающая, 63
толстая, 67, 71
тонкая, 61
Френеля, 128
линзы формула, 61
линии
антистоксовы, 239
поглощения ионные, 230
поглощения электронные, 230
стоксовы, 239
фраунгоферовы, 21
Липперсгейм, 15
Алфавитный указатель
327
Ллойда зеркало, 107
ловушка оптическая, 298
Ломоносов, 19
Лоренц, 23
Лоренца сила, 34, 210
лоренцев контур, 215, 292
Лоренц—Лоренца модель. 236
луч
меридиональный, G8
параксиальный, G1
лучевая скорость, 198, 203
лучевой вектор, 198
лучепреломление двойное, 199
лучи
параксиальные, u'U
сопряженные, 44
лэнгмюровская частота, 229
люкс, 87
люмен, 87
люминесценция, 242
Люммсра—Геркс пластинка, 111
М
Майкельсона интерферометр, 108
звездный, ПО
Максвелл, 23
Максвелла
распределение, 217
теория,26
уравнения, 23, 26
максимум
главный, 149
побочный, 149
Мал юс, 20
Мал юса закон, 21, 177
Марци, 17
маски
амплитудные, 148
фазовые, 148
материальные уравнения, 27
матрица
Мюллера, 180, 204, 208
преобразования системы, 71
матричное описание оптических систем,
Маха—Цсндсра интерферометр, 109
Международная комиссия
но освещенности (МКО), 86
меридиональная плоскость. 74
меридиональный луч, 68
метод
атомного пучка, 219
векторных диаграмм, 123
Гартмана, 300
деления
амплитуды, 101
пол нового фронта, 105
Денисюка, 166
Кирхгофа, 131
крюков, 227
пробных возмущении, 299
метод (продолжении)
темного поля, 147
фазового сопряжения, 299
методы
наблюдения интерференционных картин, 101
обработки информации оптические, 159
м(»ханмч(ч-кий эквивалент света. 87
механическое напряжение, 208
Ми рассеяние, 235, 238
минимум отражения плазменный, 230
мираж, 41
МКО, 86
мнимое изображение, 47, 56, 164
стигматическое изображение, 47
многолучевая интерференция, 111, 139, 151
многомодовое волокно, 303
многослойное покрытие
диэлектрическое, 114
че i вер 1ыпмнииие\ 114
многофотонное поглощение, 279
многофотонный фотоэффект, 279
мода, 285, 303
дипольная, 305
поперечная, 272
продольная, 268
модель
АЧТ, 244
квазиупругая, 225
Лоренц—Лоренца, 236
Модулятор света, 309
электрооптический, 312
модуляция
амплитудная, 148, 240
гармоническая. 162
импульса частотная, 291
фазовая, 148
мультистабильность поляризационная, 294
Мюллера матрица, 180, 204, 208
н
наблюдательная разрешающая
способность, 113
наклона коэффициент. 123
нарушение принципа суперпозиции, 276
нарушенное полное внутреннее
и i ражен не, 190, 308
населенность уровней, 249
насос оптический, 297
насыщение noi лишения, 278
незамкнутый резонатор, 260
некогерентное излучение, 251
НСКОгерснтные нелинейные эффекты. 278
некогерентный источник, 93
нелинейная
лазерная спектроскопия. 295
оптика, 43, 276
среда, 28
нелинейное колебание
кристаллических решеток, 277
молекул, 277
328
Алфавитный укаа
нелинейность
квадратичная, 283
кубическая, 284, 288
нелинейные эффекты некогерентные, 278
нелинейный
осциллятор, 288
отклик электрона, 277
резонанс, 292
необыкновенная волна, 200
неодимовый лазер, 261
неоднородная
волна, 190
среда, 28, 41
неоднородное уширение, 218
неноляризованный свет, 176
несамосветящийся источник, 81, 85
неупругое рассеяние, 239
неустойчивый резонатор, 268
николь, 203
Николя призма, 203
нит, 87
нормализованная частота световода, 305
нормальная дисперсия, 224, 225
НПЬО, 1У0, 308
нутации оптические, 296
Ныитин, 1G, 19
Ньютона кольца, 19, 102
область аккомодации, 72
оборачивающая призма, 190
обработка информации оптическая, 313
обратимость световых лучей, 44
обратная связь распределенная, 310
обращение
волнового фронта (ОВФ), 284, 286
объекты сопряженные, 66
объемная голограмма, 166
обыкновенная волна, 200
ОВФ, 286
одномодовое волокно, 303
одноосный кристалл, 197, 199
однородная среда, 28
однородное уширение, 218
опалесценция критическая, 239
описание оптических систем
матричное, 68
опорная плоскость, 69, 70
оптика, 11
адаптивная, 299
волоконная, 303
градиентная, 301
интегральная, 307
квантовая, 242
лазерная, 242
нелинейная, 276
прикладная, 76
силовая, 317
физиологическая, 14
фотонная, 22
оптическая
активность, 207, 237
бистабильность, 292
гармоника вторая, 279
ловушка, 298
обработка информации, 313
ось
главная, 54, 60, 66
кристалла, 199
линзы главная, 61
линзы побочная, 61
пирометрия, 245
разность хода, 94, 97
сила, 55, 62
синергетика, 294
система
афокальная, 71
идеальная, 66
телескопическая, 71
центрированная, 60
оптические
методы обработки информации, 159
нутации, 296
оптический
нентиль, 210
генератор, 260
гистерезис, 293
компенсатор, 205
насос, 297
переключатель, 293
промежуток, 69
путь, 39, 40, 41,44
путь наикратчайший, 44
световод, 191
центр, 61
центр л низы, 61
элемент дифракционный, 313
фонтан, 298
оптических систем аберрации, 73
оптическое
детектирование, 2$0
приближение, 132
эхо, 296
оптоинформатика, 317
интшихникн, 38
опыт
Араго, 205
Френеля, 205
Юнга, 149
ортогональная тройка векторов, 33
освещенность, 82, 84, 87
осциллятор
атомарный, 216
гармонический, 276
ось
кригтялля оптическая, 18, 199
линзы, 61
открытый резонатор, 260
отражатель
брэгговский, 312
уголковый, 48
Алфавитный указатель
329
отражающая
поверхность, 83
призма, 190
отражение, 47, 184
полное внутреннее, 49, 188, 189
нарушенное, 190
от металлов, 192
отрицательная линза, 63
отрицательное увеличение, 59
отрицательный кристалл. 200
охлаждение лазерное, 297
п
пакет волновой, 222
память голографическая, 168
парадокс Вина, 210
параксиальность, 62
параксиальный
луч, 60, 61
пучок, 55
гомоцентрический, 60
параллельная поляризация, 185
параметр
конфокальности, 271
световода характеристический, 305
параметрическая
генерация света, 283, 284
кристаллооптика, 208
параметры Стокса, 178
ПВО, 49, 188, 303
пеллуцид, 11
первый закон Кирхгофа, 243
переднее фокусное расстояние, 56
передний фокус, 56
переключатель оптический, 293
перемешивание дифракционное, 294
перпендикулярная поляризация, 185
пирометрия оптическая, 245
Пифагор, 11
плазменный минимум отражения, 230
планарный болновод, 307
Планк, 24
Планка
гипотеза, 247
постоянная, 248
формула, 247, 248
пластинка
зонная, 127, 313
амплитудная, 127
фазовая, 128
Люммера—Герке, 111
полуволновая, 205
Цернике, 147
четвертьволновая, 204
плоская
волна, 30, 215
граница сред, 46
плоский клин, 101
плоское зеркало, 58
плоская поляризация, 175
плоскослоистая среда, 46
плоскости
апланатические, 75
кардинальные, 66, 67
опорные, 70
сопряженные, 58, 66
плоскость
главная, 66, 200
меридиональная, 74
опорная, 69
падения, 47
поляризации, 20, 175
сагиттальная, 74
экваториальная, 74
плотность
излучения спектральная, 243
энергии поля, 33
побочная оптическая ось линзы, 61
побочный максимум, 149
поверхностная яркость, 83
поверхность
излучающая, 83
каустическая, 271
отражающая, 83
сферическая преломляющая, 55
поворачивающая призма, 190
поворот плоскости поляризации, 207
повышение разрешающей способности, 145
поглощятрттьияя способность, 244
поглощение, 192, 220, 249
двухфотонное, 295
миогофотошюс, 279
Пойнтинга вектор, 34
показатель
затухания, 192
преломления,29
преломления главный, 197
Поккельса эффект, 210» 312
покрытие
диэлектрическое многослойное, 114
четвертьволновое, 114
полесверхеилыюе, 291
полифокальность, 128
полная
когерентность, 93
пространственно-временная, 93
полное внутреннее отражение, 4У, 188, 189, 303
нарушенное, 308
полностью поляризованный свет, 176
положительная линза, 63
положительное увеличение, 59
положительный кристалл, 200
полосковый волновод, 307
полосы
интерференционные, 92
равного наклона, 104
равной толщины, 101
Юнга, 159
полуволновая пластинка, 205
полуконцентрический резонатор, 268
полупроводниковый лазер, 266
330
Алфавитный указа
поляризатор, 176
поляризации степень, 177
поляризационная мультистабильность, 294
поляризационное устройство
кристаллическое, 203
поляризация, 20, 174, 220, 282
круговая, 175
левая, 175
линейная, 175
параллельная, 185
перпендикулярная, 185
плоская, 175
правая, 175
света. 174. 178
циркулярная, 175
частичная, 184
эллиптическая, 175
поляризованные световые волны, 93
поляризованный свет, 174
поперечная мода, 272
поперечное увеличение, 59
поперечность электромагнитных волн, 33, 174
постоянная
Верде, 210
Планка, 248
Стефана^Болышана, 245
построение Гюйгенса, 201
потери дифракционные, 267
потеря иол волны, 189
поток
световой, 81
энергии, 34
правая
ортогональная тройка векторов, 33
поляризация,175
правило знаков, 55, 59, 62, 70
предел разрешающей способности, 144
предельный угол, 49, 189
преломление
в линзе, 61
света, 48. 184
преломления
закон, 59
показатель, 29
условия, 204
преобразование Фурье, 108, 147, 160
приближение
геометрической оптики, 39
оптическое, 132
прибор
набл юдател ьн ый, 113
спектральный, 113
приведенная длина, 69
приемник сг'лек'пшный, 80
призма, 49
ромб Френеля, 191
Волластона, 204
Нпколя, 203
оборачивающая, 190
отражающая, 190
призма (продолжение)
поворачивающая, 190
поляризационная двухлучевая, 203
Рошона, 204
Сенармона, 204
треугольная, 49
Френеля, 208
принцип
Бабине, 125, 157
Гюйгенса, 121, 122
Гюйгенса — Френеля, 120, 131
суперпозиции, 92
фазиропки спектральных
компонент, 291
Ферма, 44, 45, 301
принципы голографирования, 162
дифракционные, 162
продольная мода, 268
промежуток оптический, 69
проницаемость
диэлектрическая, 26, 220
комплексная, 192
магнитная, 26
просветление
оптики, 105
среды,278
пространственная
когерентность, 96, 99
фильтрация, 313, 315
пространственное
дифференцирование, 148
интегрирование, 148
фу рье- преобразование, 137
пространственные частоты, 137
пространственный
синхронизм, 282
спектр, 92, 137
протяженный источник, 80, 99
процесс сверхбыстрый, 290
Пуанкаре сфера, 208
Пуассон, 125
Пуассона пятно, 125, 126
путь оптический, 39, 44
наикратчайший, 44
пучки
гомоцентрические, 54
параксиальные, 55
сопряженные, 44
пучок
внеапертурный, 307
гомоцентрический параксиальный, 60
изоляционный, 307
пьезооптический эффект, 208
пятно Пуистсша, 125, 126
работа выхода, 252
равновесие термодинамическое, 242
радиационное время жизни уровня, 250
радиометрическое давление, 317
Алфавитный указатель
331
радиус перетяжки, 271
разделение изотопов. 297
размер области когерентности. 100
разность хода оптическая, 91, 97
разрешающая
сила, 76. 114
способность. 113, 145, 154, 164,306
наблюдательная, 113
оптического прибора, 145
спектральная, 113
разрешение спектр^чыюе, 219
Рама!iа эффект, 239
распознавание образов. 313
распределение
Больпмана, 247
Максвелла, 217
распределенная обратная спяль, 310
рассеипаюшая линза, 63
рассеяние, 235
вынужденное, 284
антистоксово. 286"
комбинационное, 285
Мандельштама-- Бриллюэиа, 286
Ми. 235, 238
на динамической решетке, 2Л0
неупругое, 239
рЭлёейское, 235
света, 235
комбинационное. 239
спонтанное неуиругое, 284
рассеяния коэффициент, 235
рассеянная полна, 235
расстояние
наилучшего видения, 72
оптимальное. 72
системы фокусное, 67
фокусное, 56
реакция среды па аиешнее Электромагнитное
ноле, 27
регулярная структура, 119
резонанс нелинейный, 292
резонатор
кольцевой, 267
конфокальный. 270
концентрический, 268.269
лазера. 267
линейный. 267
незамкнутый, 260
неустойчивый, 268
открытый. 260
полуконцентрический, 268
устойчивый, 268
рекомбинация электронно-дырочная, 309
релаксация безызлучательная. 258
релятивистская формула Эйнштейна, 253
Ремер, 17, 22
рефрактометр, 109
рефракционные свойства среды, 221
рефракция удельная, 231
решения волнового уравнения, 30
решетка
дифракционная, 22, 149, 309
одномерная амплитудная, 150
со сложной структурой, 155
Сор-), 163
трехмерная. 160
Ритм. 24
Рожлегтпсиский, 227
ромб Френеля, 191
Ротона призма, 204
рубпнонып лазер, 260
рздсспскос рассеяние, 235
Рэлся
закон,237
критерии, 113
теория рассеяния, 235
формула, 224
Рэлся— Zl/Kniiea формула, 246, 248
ряд Фурье, 35
сагиттальная плоскость. 74
самок/Шилпм/ЩПЯ, 290
самомодуляция, 290
самоорганизация спета, 294
глмпгнгтящийгя ИСТОЧНИК, 81, 85
самофокусировка, 288, 290
сверхбыстрый процесс, 290
сверхеилыюе поле, 291
свет
естественный, 174, 176
лсшширкуляриып, 207
не пол я pi \:ю ванный, 170
поляризованный, 174
полностью, 176
частично, 176
правоциркулярный, 207
света модулятор, 209
светимость, 84
энергетическая, 244
световод оптический, 191
световодпый жгут, 306
световое
восприятие, 85
давление, 242, 253, 297
световой
поток, 81, 87
пучок гомоцентрический , 43
световые
лучи геометрические, 40
пучки стигматические, 43
светодиод, 309
светореактивное давление, 317
светотехника, 38
светофильтр интерференционный, 115
свободная дисперсионная область, 154
свойства
диспергирующие, 153
оптической системы, 66
332
Алфавитный ука
свойства {продолжение)
среды абсорбционные, 221
среды рефракционные, 221
связь туннельная, 311
сдвиг
красный, 217
фиолетовый, 217
сегментированный дифракционный элемент,
314
грллктипнол тс по, УАЪ
селективный приемник, 80
селекция спектральная, 113
сел ьфок, 302
Сенармона призма, 204
серия спектральная, 218
серое тело, 245
сечение
волновых поверхностей, 201
поглощения, 259
сигнал амплитудно-модулиронанный, 35
сила
конвективная. 317
Кулона, 34
Лоренца, 34, 210
оптическая, 55, 62
осциллятора, 231
разрешающая, 76, 114
света, 81,86
снега средняя сферическая, 81
силовая оптика, 317
синергетика оптическая, 294
синхронизм
волновой, 282
пространственный, 282
фазовый, 282, 309
система
адиабатическая, 242
коллимируюшая, 81
многолинзовая, 66
скалярная теория дифракции Кирхгофа, 131
скачок фазы, 102, 216
скорость
главная, 197
лучрияя, 198, 903
перемещения фронта, 198
переноса энергии, 198
фазовая, 31, 198, 203
электромагнитных волн в вакууме, 29
смещения Вина закон, 248
Снеллиуса закон, 48, 185, 201
собирающая линза, 63
солитон, 290
соотношение
Вина, 245
Крамерса—Кронига, 221
сопряжение фаяопое, 299
сопряженная точка, 43
сопряженные
лучи, 44
объекты, 66
сопряженные (продолжение)
плоскости, 58, 66
главные, 59
пучки, 44
точки, 66
Сорэ решетка, 163
спектр
полны, 35
временной, 92
испускания; 221
линейчатый, 21, 218
поглощения, 221
пространственный, 92, 137
угловой, 138
спектральная
плотность излучения, 243
разрешающая способность, 113
селекция,113
серия,218
чувствительность глаза, 85, 86
спектральное разрешение, 219
спектральные свойства дифракционной
решетки, 153
спектральный
коэффициент поглощения, 244
прибор, 113
спектроскопия лазерная
активная, 290, 295
нелинейная, 295
насыщения, 295
спираль Корню, 130, 131
гппнтаннпг
излучение, 249, 258
рассеяние неупругое, 284
способность
испусьательная» 243
поглощательная, 244
разрешающая, 113, 154, 164,306
СПУТНИКИ
красные, 239
фиолетовые, 239
среда
анизотропная, 28, 196
диэлектрическая, 28
изотропная, 28
мушая, 84, 23Л
нелинейная, 28
неоднородная, 28, 41
иднириднаи, 28
плоскослоистая, 46
проводящая, 28
средняя
интенсивность, 92
сферическая сила спета, 81
степень
кпггрРМТПОСТИ, 96
комплексная, 97
поляризации, 176, 177
линейной, 177
стереоизомер, 207
Алфавитный указатель
ззз
Стефана—Бол ы уиана
закон, 245, 248
постоянная, 245
стигматические световые пучки, 43
стигматическое изображение, 43, 54, 60
стигматичность, 62
Стокса
вектор, 208
параметры, 178
стоксовы линии, 239
столкновительная ширина спектральной
линии, 217
стопа Столетова, 187
стоячая волна, 268
структура регулярная, 149
суперпозиция
гармонических колебаний, 35
колебаний, 35
электромагнитных волн, 92
суспензия. 235
сфера Пуанкаре, 208
сферическая
аберрация, 74
волна, 31, 215
граница сред, 54
преломляющая поверхность, 55
сферические волны элементарные, 120
сферическое зеркало, 57
вогнутое, 57
выпуклое, 57
схема
интерференционная, 101
трехуровневая, 259
Юнга, 105
Тваймана—Грина интерферометр, 109
телескопическая оптическая система, 71
тело
зеркальное, 245
непрозрачное, 245
селективное, 245
серое, 245
цветное, 245
темного ппля метол, 147
тензор диэлектрической проницаемости, 196
теорема
Бабинр, 142
Гаусса электростатическая, 27
Грина, 131
Кирхгофа, 132
Лагранжа-Гельмгольца, 60
обратимости, 133
ГильмгоЛЬца, 133
теория
дисперсии классическая, 22?
дифракции Кирхгофа, 131
излучения классическая, 214
квантовая элементарная, 249
корпускулярная. 11
теория (Продолжение)
Максвелла, 26
поглощения классическая, 214
поляризация линейная, 220
рассеяния
Ми, 238
Рэлея, 235
Френеля, 133
тепловое излучение, 242
Теренин, 219
термодинамическое равновесие, 242
термоядерный синтез лазерный, 318
Тиндаля эффект, 235
тип
осциллятора, 277
поляризации, 205
типы
лазеров, 260
линз, 63
оптических сред, 27
толстая
голограмма, 166
липла, 67, 71
тонкая линза, 61
тонкопленочный волновод, 307
Торричслли, 15
точечное изображение, 43
точечный источник, 32, 80, 215
точка сопряженная, 43
точки
главные, 67
кардинальные, 66, 67
сопряженные, 66
трансформатор светового ПОЛЯ, 294
треугольная призма, 49
трехмерная решетка, 160
трехуровневая схема, 259
тройка векторов ортогональная, 33
туннельная связь, 311
туннельный Эффект, 190
увеличение
линейное, 59
отрицательное, 59
положительное, 59
поперечное, 59
угол отражения, 47
угловая дисперсия, 153
угловой спектр, 138
характеристики изображений, 58
частоты, 137
угол
блеска, 156
брэгговский, 311
Брюси'ра, 187, 194, 262
зрения, 72
отражения, 47
падения, 47
предельный, 49, 189
334
Алфавитный ука
уголковый отражатель, 48
удельная
рефракция, 231
электрическая проводимость, 26
ультрафиолетовая катастрофа, 247
Умова—Пойнтинга вектор, 34
Упатниекс, 164
управление атомными пучками лазерное, 297
уравнение
волновое, 29
волновых нормалей Френеля, 198
Гульмгольца, 32, 39
Максвелла, 174
плоской волны, 31
поверхности постоянной фазы, 31
эйконала, 39, 46
Эйнштейна для фотоэффекта, 253
уравнения
Максвелла, 23. 26
материальные, 27
усиление света, 258
условие
Вульфа—Брэггов, 161
главных максимумов, 150
излучения Зоммерфельда. 133
квазимонохроматичности света, 216
синусов Аббе, 60
условия
граничные, 184
Кирхгофа, 132
преломления, 204
устойчивый резонатор, 268
устройство поляризационное
кристаллическое, 203
ушпрение
времяпролстиос, 208
доилеровское, 219
неоднородное, 218
однородное, 218
спектральных линий, 216
ф
Фабри—Перо
интерферометр, 310
эталон. 111, 268
фаза волны, 30
фазовая
диаграмма, 94, 123-125, 128, 130, 139, 152
дифракционная решетка, 311
зонная пластинка, 128
модуляция,148
решетка, 155
скорость, 31, 198, 203, 222
фазовое
соотношение между вторичными волнами, 127
сопряжение. 299
фазовые маски, 148
фазовый
дифракционный элемент, 314
портрет, 163
фазовый {продолжение)
объект, 149
синхронизм.282, 309
скачок, 102
Фаралей, 22
Фарадея
винт, 238
эффект, 210
ячейка, 210
Ф1Ж.316
Ферма, 17
принцип, 44, 45, 301
физический
детектор, 92
точечный источник, 32
Физо, 22
фильтр частотный, 309
фильтрация пространственная, 313. 315
фильтр-маска, 148
фиолетовые спутники, 239
фиолетовый сдвиг, 217
флюорит, 230
Фогта эффект, 211
фокус
задний, 56
линзы, 64
передний, 56
фпкусатор. 315
фокусное расстояние, 56
заднее, 56
переднее, 56
системы, 67
фокусные расстояния сислимы, 61
фон когерентный, 163
фонон, 240
фонтан Оптический, 298
формирование прямоугольного
импульса, 35
формула
дисперсионная, 230
Зельмейера, 231
Коши дисперсионная, 228
линзы,61
Планка, 247. 248
Рэлея, 224
Рэлея-Джннса, 246, 248
тонкой линзы, 61
Эйлера, 31
Эйри, 112
сферической преломляющей
поверхности, 55
формулы Фргнрття, 1^4, 186
фотолюминесценция, 242
фотометрия, 19, 80
фотон. 242Г 249
фотонная оптика, 22
фотопроводимость, 310
фотоупругость, 208
фотоаффект, 242, 252
многофотонный, 279
Алфавитный указатель
335
Фраун гофер, 21
Фрау и гофера
дифракция, 131. 134, 136, 137, 139, 149
фрпуШОфгроНЫ .'ПИШИ, 21
Френель, 120, 125
Френеля
6п зеркал а, 106
бипризма, 106
голограмма, 165
дифракшгя. 120. 127. 129, 134
ионы, 121, 123
линза, 128
опыт, 205
призма, 208
ромб, 191
теория, 133
уравнение» волновых нормалей, 198
формулы, 184, 186
число, 271
фронт волновой, 31, 299
ФРТ, 144
Фуко, 22
функция
автокорреляционная, 97
Бесселя, 142
взаимной корреляции (ФГЖ), 316
координатно-завпеимая, 32
корре.чяционная, 96
рассеяния точки (ФРТ), 111
Фурье. 22
голограмма, 1G5
интеграл, 35
преобразование1. 108
ряд, 35
фу piic-
образ, 147. 159
оптика, 147, 156, 159
оптика когерентная, 315
плоскость, 147, 160
преобразование, 137, 14/
спектрометр, 109
спектроскопия, 108
характеристики изоораженпп
линейные, 58
угловые, 58
характеристически и параметр световода. 305
химический лазер, 267
хроматическая аберрация, 76
хрусталик, 72
ц
цветное nvio, 245
центр линзы оптический, 61
центрированная оптическая система. 60
Цериике пластинка, 147
циркулярная поляризация. 175
цифровая голография, 314
цуг волн, 218. 222
ч
частичная
когерентность, 93
поляризация, 184
частично поляризованный свет. 176
частота
лзнгмюропекая, 229
световода нормализованная. 305
частотная модуляция импульса, 291
частотный фильтр, 309
частоты
комбинационные. 240
пространственные, 137
угловые, 137
Чези, 15
черное излучение, 245
четвертьволновая пластинка, 204
число
волновое, 31
отражений эффективное, 304
Френеля, 271
числовая апертура, 146
чувствительность глаза, 85
спектральная, 85, 86
Ш
ширина
интерференционной полосы, 95
спектральной линии
доплеровская, 218
естественная, 214
етолкнопитедьная. 217
шпат исландский, 203
Штарка эффект, 211
Шуперазоны. 129, 130
Эвклпд, 12
:¦) и ко нал, 39, 44
уравнение, 46
Эйлер, 19
Эйлера формула, 31
Эйнштейна
коэффициент, 251
уравнение для фотоэффекта, 253
формула релятивистская. 253
Эйри
диск-, 142
кружок, 144
формула. 112
экваториальная плоскость, 74
эквивалент света механический, 87
экраны дополнительные, 125
эксимерный лазер, 265
эксперимент Аббе—Портера, 159
экстпнкции коэффициент, 235
электрические свойства среды, 26
электронно-дырочная рекомбинация, 309
электронные линии поглощения, 230
злектрон-фононное взаимодействие, 285
336
электрооптический
модулятор, Я \ 2
эффект Керра, 209
электростатическая теорема Гаусса, 27
элемент Гжстабилышй, 993
элементарная квантовая теория, 249
элементарные сферические волны, 120
эллипс поляризации, 175
эллипсоид волновых нормалей, 199
эллиптическая поляризация, 175
эллиптичность, 178
Эмпедокл, 11
энергетическая
зона, 266
светимость, 244
энергетический коэффициент
отражения, 186
пропускания, 186
энергии поток, 34
эталон Фабри—Перо, 111, 268
эффект
акустооптическим, 312
Брюстсра, 188
двулученреломления, 201
Доплера, 217
Зсемана, 211
Керра
высокочастотный, 288
электрооптпческий, 209
Алфавитный укг
эффект (продолжение)
Комптона, 242, 253
магнитооптического вращения, 210
Поккельса, 210, 312
пьезооптический, 208
Рамана, 239
самовоздействия спета, 288
Тин дал я, 235
туннельный, 190
Фа радея, 210
Фогта, 211
Штарка, 211
эффективная длина пуш, 301
эффективное число отражений, 304
эхо оптическое, 296
ю
Юнга
интерференционные полосы, 142
ОПЫТ, 139, 149
полосы,159
схема, 105
Я
яркость, 83, 87
ячейка
Керра, 209
Фарадея, 210