Text
                    К. И. Швецов, Г. П. Бевз
СПРАВОЧНИН
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИНЕ
Арифметика, алгебра
КИЕВ-1965


51(083) Ш35 Справочник охватывает все вопросы школьной про¬ граммы по арифметике, алгебре, включая таблицы, функ¬ ции и графики, Здесь, кроме материала школьной про¬ граммы, читатель найдет справочные указания о способах решения «типовых» примеров и задач, исторические справки и литературу. В справочнике даны указания, как проводить операции на счетах, арифмометре и логарифмической линейке. Справочник рассчитан на широкий круг читателей; особенно полезным он может быть для поступающих в выс¬ шие и средние учебные заведения. ХАРЬКОВСКАЯ КНИЖНАЯ ФАБРИКА им, ФРУНЗЕ
содержание Стр. Предисловие * . . 7 I. ТАБЛИЦЫ § 1, Латинский алфавит 9 § 2*, Греческий алфавит 9 § 3. Некоторые математические обозначения 10 § 4. Некоторые постоянные 11 § 5. Квадраты 12 § 6. Квадратные корни 15 § 7. Кубы 20 § 8. Значения дробей вида ~ 26 § 9. Десятичные логарифмы 31 § 10. Антилогарифмы 34 §11. Факториалы 37 § 12. Биномиальные коэффициенты 37 | 13. Простые числа, не превосходящие 6000 38 и. АРИФМЕТИКА Предмет арифметики 40 Целые неотрицательные числа § 1. Нумерация 41 § 2. Арифметические действия 46 § 3, Свойства арифметических действий 51 § 4. Изменение результатов действий в зависимости от измене¬ ния данных 56 § 5. Порядок действий, скобки 58 § 6. Проверка арифметических действий 60 § 7. Способы быстрых вычислений 61 § 8. Инструментальные вычисления 64 § 9. Делимость чисел 69 3
Стр. §10. Признаки делимости . . . . . 71 §11. Простые и составные числа 73 § 12. Общие делители и кратные 76 § 13. Недесятичные системы счисления 79 Дробные числа §14. Обыкновенные дроби 83 § 15. Изменение величины дроби с изменением ее членов ... 86 § 16. Преобразование дробей 88 § 17. Арифметические действия над обыкновенными дробями . . 89 § 18. Основные типы задач на дроби 95 § 19. Десятичные дроби 97 § 20. Действия над десятичными дробями 99 § 21. Периодические десятичные дроби 102 § 22. Проценты . . 104 § 23. Основные типы задач на проценты 105 § 24. Приближенные вычисления 108 § 25. Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр 111 § 26. Приближенные вычисления по способу границ 114 Величины и пропорции § 27. Измерение величин 115 § 28. Метрическая система мер 117 § 29. Система СИ • 119 § 30. Исторические сведения о метрологии 120 §31. Именованные числа 122 § 32. Отношение чисел 125 § 33. Пропорции 126 § 34. Пропорциональная зависимость величин 131 § 35. Задачи на пропорциональные величины 133 § 36. Арифметические задачи 136 III. АЛГЕБРА Исторические сведения о развитии алгебры 148 Рациональные числа и алгебраические выражения § 1. Рациональные числа 153 § 2. Действия с рациональными числами 154 § 3. Алгебраические выражения 157 § 4. Тождественные преобразования целых выражений 161 § 5. Действия над целыми алгебраическими выражениями ... 163 4
Стр. § 6. Формулы сокращенного умножения 167 § 7. Разложение многочленов на множители 171 § 8. Алгебраические дроби 173 § 9. Действия с алгебраическими дробями 177 Иррациональные числа и алгебраические выражения § 10. Квадратные кории 180 §11. Иррациональные числа 183 § 12. Действия над действительными числами 186 §13. Иррациональные выражения 188 §14. Действия с радикалами 198 § 15, Степени с отрицательными, „нулевыми и дробными показа¬ телями 210 Уравнения и неравенства § 16. Общие сведения об уравнениях 215 § 17. Уравнения первой степени 220 § 18. Решение задач с помощью уравнений первой степени с од¬ ним неизвестным 224 § 19. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвест¬ ными 229 § 20. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными . . . 237 § 21. Решение задач с помощью системы уравнений 244 § 22. Квадратные уравнения 249 § 23. Задачи на составление квадратных уравнений 259 § 24. Иррациональные уравнения 264 § 25. Системы уравнений второй степени с двумя неизвест¬ ными 269 § 26. Задачи на составление систем уравнений 278 § 27. Числовые неравенства 284 § 28. Неравенства первой степени 286 § 29. Неравенства второй степени и высших степеней 292 § 30. Тождественные неравенства 297 Функции и графики § 31. Функциональная зависимость величин 299 § 32. Простейшие функции и их графики 305 § 33. Графические способы решения уравнений и неравенств . . 314 § 34. Логарифмы 318 § 35. Логарифмирование и потенцирование 323 § 36. Десятичные логарифмы 325 5
Стр. § 37. Показательные и логарифмические уравнения 332 § 38. Логарифмическая линейка 342 § 39. Вычисления на логарифмической линейке 345 § 40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке 349 §41. Числовые последовательности 351 § 42. Арифметическая прогрессия 361 § 43. Геометрическая прогрессия 364 § 44. Метод математической индукции 369 Комплексные числа и уравнения высших степеней § 45. Комплексные числа 371 § 46. Тригонометрическая форма комплексного числа 377 § 47. Исторические сведения о комплексных числах 385 § 48. Уравнения высших степеней 386 Соединения и бином Ньютона § 49. Соединения 396 § 50. Решение примеров и задач на соединения 400 § 51. Бином Ньютона 404 Алфавитный указатель 410
ПРЕДИСЛОВИЕ «Справочник по элементарной математике (арифметика, ал¬ гебра)» состоит из трех частей: таблицы, арифметика и алгебра. Он составлен в соответствии с программой по математике для общеобразовательных средних школ. Что найдет читатель в справочнике? Определения и описания понятий, формулировки правил, теорем, законов, свойств, важ¬ нейшие формулы, важнейшие типы задач и примеров, их реше¬ ния, а также некоторые методические замечания. В разделе «Ал¬ гебра» уделено большое внимание решению линейных, квадрат¬ ных, биквадратных и других типов уравнений. Достаточное место занимает решение различных систем уравнений. Здесь же даны графики элементарных функций и приведены графиче¬ ские способы решения уравнений и неравенств. Справочник снабжен также таблицами, используемыми в средней школе (квадраты, квадратные корни, кубы, десятичные логарифмы, анти¬ логарифмы, факториалы, биномиальные коэффициенты и др.). Есть в книге много исторических справок. Они подготовлены старшим научным сотрудником Института истории АН УССР А. Н. Боголюбовым. В справочнике даны сведения о способах вычисления на счетах, арифмометре и логарифмической линейке. Как пользоваться справочником? Если читатель хочет обра¬ титься к сравнительно широкому кругу вопросов, например к комплексным числам, арифметическим задачам, методу мате¬ матической индукции, можно воспользоваться оглавлением. Если же читателя интересует какое-нибудь частное понятие,
термин, формула, лучше навести справку в алфавитном указа¬ теле, помещенном в конце книги. В нем числа указывают но-’ мера страниц, на которых раскрывается содержание данного понятия, приводится нужная формула и т. д. Делая первую попытку создать справочник такого типа, авторы сознают, что в нем могут быть пробелы и недостатки. Все замечания и предложения будут приняты с благодарностью. Их можно направлять по адресу: Киев, 4, Репина, 3, издатель¬ ство «Наукова думка».
/. ТАБЛИЦЫ § 1. Латинский алфавит Печат¬ ные буквы Рукопис¬ ные буквы Название букв Печат¬ ные буквы Рукопис¬ ные буквы Название буюв • Аа Аа a Nn , Nn ЭН ВЬ Bb бе Оо Oo О Сс Сс це Рр Pp пе Dd Dd Де Qq Qq ку Ее Ее е Рг Rr эр Ff Ff эф Ss Ss эс Gg Og ге (же) Tt Tt тэ Hh Hh ха (аш) Uu Uu У Ii Ii и Vv Vv ве Jj Л йот(жи) Ww Ww дубль-ве Kk Kk ка Xx Xx икс LI LI эль Yy Yy игрек Mm Mm эм Zz Zz зет § 2. Греческий алфавит Печат¬ ные Руко¬ писные Название букв Печат¬ ные Руко¬ писные Название букв Аа Аа альфа Nv Nv ню (ни) щ вр бета ss кси Гт Гт гамма Оо Оо омикрон Д5 д ь дельта Птс Птг ПИ Ее Ее эпсилон РР рр ро zc ZC дзета 1с So сигма Ят, эта Т % Тт тау 00& ’ ее& тета Ги Ги ипсилон (юпсилон) It II йота Фф Фср фи Кх Кх каппа Хх Хх хи А\ АХ ламбда Щ пси М|х М(х мю (ми) Q<o Qco омега 9
§ 3. Некоторые математические обозначения = равно например а = b Ф не равно » афЬ ~ тождественно равно » а+Ь—Ь+а « приблизительно равно ъ а«Ь > больше ъ 5 > 2 < меньше » 3 < 10 ()»[!’&} скобки круглые, квадратные, фигурные > больше или равно, например а !> 6 < меньше или равно ъ а<6 % процент * 5 % %о промилле » 3 %0 | | абсолютное значение » |а| 1/* корень второй степени (ариф- » = 3 метический) У корень п-и степени » /(*) функция от X » /(3) I факториал » 6! = 1-2*3-4-5б= = 240 log ь логарифм при основании Ь » log2 32 = 5 lg логарифм десятичный (лога- » lg 1000 = 3 рифм при основании 10) In логарифм натуральный (ло- » In е = 1 гарифм при основании е) стремится к... х->а lim предел ъ lim Рп~ С П-*-оа const постоянная величина » w —const У! сумма » V] = «1 + а2 + |=*1 -{ (-ая / мнимая единица » 1/^7 = * Д треугольник » Д ABC
Z. или -4 угол например ZABC, или ABC w или дуга » АВ, или АВ, чаще w АВ II параллельно » АВ И CD ± перпендикулярно » АВ х CD оо подобно » Л ABC со Д DEF тс о Отношение длины окружности к диаметру градус 1 / т минута Ужовые или дуго- у | вые меры, секунда ) например 40° 36' 25Г sin синус » sin 60° = ^ cos косинус cos = 0 tg тангенс 1 tg45° = 1 ctg котангенс ctg 15° 18' = 3,655 sec секанс » sec 60° = 2 cosec косеканс 1 cosec 30° = 2 Arc sin множество всех дуг, соответ¬ ствующих данному значе¬ нию тригонометрической функции » Arc sin ~ = 30° x X (~1)л+ 180° л arc sin главное значение дуги, соот¬ ветствующей данному зна¬ чению тригонометрической функции * arc sin = 30Q § 4. Некоторые постоянные тс « 3,14159 26536 lg те» 0,49714 98727 е « 2,71828 18285 \ge « 0,43429 44819 lg 2 = 0,30102 99957 Я
§ 5. Квадраты £222*2 *5 ю «о со о осо «dnnns £Г7Г“ Ч'^’ФЮЮ U)iO ChOiOiOlOO CO CO CO CO CO coiv. ^ ^ Tf Tf»o СО ТГ ю lO Юю 1ПЮЮЮСО о о CO^iOCON ©•чСЧСО-** lOCOSOOO) 00 03 О -* CM <N СО ^ Ю CO ю со со со со со со со со CO COCO <ONNOOO> 03 О О —< CM СМСОСО^Ю Ю COCOt- 00 00 03 CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM LO lOlO со CO f-. to 00 00 0)0)0)0 © —.~ CM см со <—■ —< CM CM CM cn cm CM CM CM СО СО со CO CO ^ Tf ^tC^iOiO Ю Ю Ю СО СО со СО —• —•—• _ ^ _ —• — оосот»«сао оо -* со СО IN — ч*СОО>СЧ оо со см о СМ Ю О Го СО Ю ОО СМ Ю 03 00 СО ^ СМ о со оз ^ — о со см to см Л) СО ^ см о О со 00 ю t- см t-. со оз «СМ СМ СМ СО СО СО т)*^1Ди)ф СО to to 0О ОО СМСО^ЮЮ со t- СОСЧООП-О СО 03 со О О) ~ СО со 03 —< СО СМ 00 Tf о 03 СМ СО СО см •4*00—<Ю9) СО СМ 00 Tt* о см ю оз со ю со Г-- — со — СО СМ 00 ^ о Ю 00 СМ 03 ОО со —< см оо СМ СМ СО СО СО ^^ЮЮСО СО to to 00 00 CM СО rt« Ю Ю (ON 1Л озеоь»^ ■>ф СО —• fo СО *—> СО со 00 —I ю csco to «-* СО 00 СО О) 00 Г*> to м <<4< 00 lflC3COS- ОО О ю -ч о CM t-~ —< СО —< Ю 03 COto О CM Го со см со —* СО см ОО СМ СМ со со СО rt< ю Ю со cototooooo СМСОП*^Ю cot- ^ со оо о см CM 00 lO СО •—< СО Ю 00 | ^ СО 00 о см СО Ю 03 СО т* t". О оо rf со оо о CM ■**со oto ю NCO«iOO "'f СО 00 О CM ю —• 00 СО ЮОСО-HN ^ СО СО 00 СО 03 rtrt-нгнМ СМ СМ СО со СО rf LO Ю СО СО b- t*» 00 00 03 03 . —i _ ~ со со со со со о см со см о -1СОЮОО-Н СО СО СО СО СО о см со см о •^SO^OO СО СО СО со со о см со см о СМ со о ю о со со со со со о см СО см о ЮОЮ-HN СОСО о см СО О) CM CM СО СО СО Tf ^ ю Ю со СО to fo оо ОО 03 03 —<—<—< _ _ ^ _ __ СМ ООО со ОО О СО 03 ^ ОСОЮК о СМ О СО СО ^ to 03 СМ 00 СО СО СО О СО Is» СМ ОООСО^ со 00 —< t^-Ю -lOOTfffl СМ © ОС СО т* lONOcO^e 03 ю о со см о ■4f СО СМ 00 ©~*ч CMCOCOTf Ю СО CM CM CM СО СО СО 't'tiOiOlO СО СО t4* 00 00 03 03 —« —<-* 4 —•*-« r-о со оз ю СО to-* COrt* О W Ю S О — fo СО 03 Ю ^ Ю 03 ^ см СО СО 03 СО to. —• СО 03 ю СМ СО fo см о «— to а> "Ч* оз •—• to СО 03 ю О —■ UO О 00 ^ 03 т*< О ю -*to 00 О) -*to см СО СО COto '~1см см см см со со со со оо оо оз оз ^ ~ О rt< 00 СМ СО Ю 00 -4f —< OtN^SO О ^ ОО СМ СО 1— CM LO 00 СО СО О) со со О ^ оо СМ СО О т* 00 СМ СО Ю со 03 ю (М СО Об СО О) ю о ^ СМ со -«to см со со о см ^ СО 00 см со со ~ оо О СМ ГГ Г^. 03 О СМ со оо 00 03 CM rf СМ ю 03 СМ со О СМ СО 00 ю 00 СО о О 00 со 00 о см СО ОО О —I ^ 03 СО СО 00 СО 00 ч*> о см СО Г'' 0(0 ооооо о —■ ГГ 03 СО ОСМ^СОО) ООООО 10003^-4 СМ Ю 00 СМ СО ооооо 0~rt»03c0 о 00 см ^ CM CM CM СО СО rt* тр Tf> ю ю ооооо iO СО 03 ^ СМ Го СМ 00 4f СО СО tot^ToO оо О-Н о со COto со со см CM CM CM СО СО СО СО t^ г^. 00 03 03 —I —< «-Н oS _ _ «осо ^ < см см СМ СО СО -«а* ■«*• ю Ю СО СО to to оо 03 0} ^ 1 О О -Н СМ СМ со 'fio СО (О 03 03 —4-1 -Н « О — СМ СО ^ ю СО Г^- 00 03 о.-смсо^ см см см см см to СО to 00 03 см см см см см О-ч-нСМСО-4» СО СО СО СО СО СО юсо to оо oi СО СО со coco Ь2
оооооо 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10 ООО —— <N <N <N <N со cO со coco со чг Tf T#> I^N-N. n-n-oooooo 00 00 00 05 0 05 05 05 05 о ООООО CM CM CM CO £0 (О <0(0 00 00 00 00 00 05 05 05 05 05 05 05 Ci О О ooooo 11 11 11. 11 11 ю ю ю 10(0(0(0(0 (0(0 (0(0 N. оо оо оо оо оо 00 05 05 05 05 05 05 05 05 О ч**-<**Ю ЮЮ Ю Ю Ю Ю Ю Ю Ю CO CD CD СО СО СО (О (О (О (О (О 00 00 00 00 00 СОСО ^ тСЮЮЮЮ ю ю ю ю ю ю ЮЮЮ (О CO CO CO CO CO CO CD CO CO CO со со со со со со со со CO CO CO CO CO СО со сО ^ ^ Tt< -«4* >*« ч* Tfi г}* ч* Tt> Tt> ЮЮ ЮЮ Ю СМ СМ СМ CSJ<N<N<MO< <N<N<N<N<N <N<N<N<N<N CM <N СО СО со со со со со со со со CO CO CO CO CO CO CO CO О N. СО т*см — SOrf-O О О 05 05 05 — Tt> 00 Ю 05 05 05 О — UO 00 CSJ 05 00 CM СО LO СО 00 05 см со со см О СОЮ оо— со О ON- СО ^N^— 00 Orf — О CMN- —CO — — Tf< 00 Ю ^ (O — CO CM 00 00 о о — — С* — СЧ СМСОч* NNNNN in <D N 05 О <N <N <N <N CO — СМ СО ^ Ю СО СО СО СО СО г-Гоо 05 о oi со со со ^ СО ^ СО N- 00* rf -rf гГ -rf О — CO ^ CO ю Ю Ю ЮЮ nT 05 о CM CO ЮЮ <0(0(0 CM0ON- СО —О 00 OtO — o 05 05 00 00 00 — CO 00 CO 00 OO 00 050 т*«СО — N.CO — <N Tf LO N- N- 05 rj« О 05 05— TP N*05 О (N N- со <N СО (О СП СО N^ сою осою — Ю о ТГ 05 CO 00 CO 05 00 TJ* 05 Ю О CO 00 05 О •“1 ' см О — с* со -ч* C4C<ICN1<N<N incOSOOO <N <N <N <N CO — Cs»СО СО СО СО СО СО (0 00 05 о — СО СО СО -rf со^ю nToo О-СО^'ю ЮЮЮЮЮ nToo OCMCO Ю LO CO CO CO СОООО СЧ— СП 00 — 10010 00 00 t>- О CO N- CM N^N^N- 00 05 <N Ю 05 СО О —<N ^<0 N- — 00 СО 00 О СОЮ 00 СО 05 со О 00 — ^ 00 с^ю 00 — ю см о 05^00 СО 00 О CON- Tt* CM CO 00 CO 05 Ю ооо>о> о —см со ^ <N<N<N<NCSI io со t^Too oT CS| CS| CSl CS| CSl — СМ СО тр ю" СО со со со СО (ООО 05 0 — СО СО СО со-^ю nToo т!< Tf rt» 05 — о< ^ ю -^■Ю ЮЮЮ nToo о —со IOIO<0<0<0 Ю — 05 — ООО р5 0»сОСМО Is* t«- (О (О СО OCOSCO — (0<0(0N 00 — 00 rj« <N 05 О— СОЮ С^ Ю 05 Ю со N. 05 — со СО О СО ^ OCON O’t •^N- — N-Ю ОО СМ N. — со Ю OO CM OO (O — CO CM N-^CO оо аГаГ О —СМ СО <N<NCS1<NCSI 10(0 tC 00 05 CS| CS| CS| CS| CN ОСМСО-<а<Ю СО СО СО СО СО СО N- 05 О — со со со ^ ^ СО т^Ю^Г00 ^ ^ ^ Tf Tf 05 — СМ т^Ю тг ю ю ю ю tCoo о —со ЮЮС0(0(0 СО (NO 005 00 О CSJ со CSI о Ь^СОЮ ю ю О CN CO CN О ююю<о N- О <N СО (N О 00 05 О сч ^ О CS| СО <N О СО 00 о со со О <N CD CS| О 05 С» Ю 05 СО О СМ СО см о N- —Ю ОЮ о CM со CM о О in о CO см ОО 00 о — СМ 00ч£ <N<N<NCSICSI lO CO nT00 05 CSICN<N<N<N о — со ч^ю со со со со со (О N^05 О — СО СО СО -Ф Tf СМ т^Ю СО 00 rf Tf 05 — СМ т^ю тЦОЮЮЮ N- 00 О — СО юю<о со со оо -^ — oioot*. — СО N- СО О CD LO О <NCO <N 05 Ю LO 05 — Ю — 00 СО 00 05 — <N OOOrCON N- 05 CN N-05 СО 05 СО N.^О -Г N- — СО 00 СМ 00 ю Ю 05 Tj^oo СО Ю N. — N- 00 СО 05 Ч** О nToooT О — CSJCO-^ CS| <N CS| CS| <N Ю CO nToO 05* <NCN<N<NCN о — см-«* ю со со со со со (OnToOO- COCOCO^TC СМт^ЮСООО Tj« Tf •Ч' 05 О СМ СО LO ю ю ю ю СО 00 05 — СО Ю Ю Ю СО СО С5Ю CM оо n- со (N^NCOO lo^fcococo О CN LO — OO CO CO CO ^ ^ ОО О СО 05 (О Ю N- 00 05 — СО 00 — N.-** СОЮ ООО СО ■4f> СО 05 Ю <N СО 05 (N СО О M’tNCOO 00 <N N- СМ О СМ ю — со N-CMN- со ОО [Coo 05 О — <N CO Tt^ Cs| CN Cs| cs| <N to corCoo 05 <N<NCNCN<N О— СМ СОЮ СО СО СО со со (OnToo о — СО СО со TJ* о< СОЮ СО00 •Ч' Tt* •Ч’ 05 О СМ СОЮ тСЮЮЮЮ (ООО 05 — см ЮЮЮ(ОСО —. CD 00(0)0 CO^OOCO — ^CO <N <N <N o —toooo <N <N <N CO CO N- ОО СМ Г-- Ю Tt< Ю N- 00 о т!< Ю 05 ^ СМ см ^coos см — СМ СО — 05 Ю 00 — Ю 00 00 05 СО 00 со СМ СО — Ю О Ю СО ОЮ СО Ю О СО — N^ t'ToooT О — CM CO ^ CSI<NCSI<N<N ioconToo 05 <N CN CM CN <N О — СМ СО Ю со со со со со CON-'oO 05— СО СО СО СО Tf СМ СОЮ со nT Tf Tt< Tt< 05 О СМ сою Ч* ю ю ю ю СО 00 05 — см Ю ЮЮ со со М00Ю NIO^ 'tiO OO't — CO CM — — — O-^OS — — — <N<N CD N- О СО со CO СО h- 05 <N СО СО <N 05' — СОЮ 00 о 00 05 О) 00 Ю СО СО О СО N- ■^■юоо-ч* — — Ю 05 05 О —1 Ч*1 О N- ■^05 Tf> ОЮ nTooo» o — ciwV <N<NCSI<N<N Ю (OnToO 05 <N<N<NCNCN О —<NC0-** со со со со со (onToo os— СО СО СО СО 4f СМ СОЮ СО nT ■4f> Tf> Tfl т#> 05 О — СОт^ тСЮЮЮЮ СО nT 05 — см ю ю ю со со ■*1* 05 CO CO Tj«cO 10(0 05-^ — CM —О О О O — ■^•05(0 oooo — ЮСОС5т*> — <N СО -Ч^СО ОО О — •Ч* 05 СО О <N Tf Ю 05 ю со 05 ^ — смю^оо см со О — 05 СО О 4^00 <N N-_ Ю СО 05— CM N^ СМ 00 ^ tSooai О — CM СО Tf <N<N<N<N<N lO (ObToO 05 <N CSl <N <N <N О —СМ 00^ СО со со СО со СО nT00 05 о СО СО СО со Tt* СМ СО СО nT Tt* Tf> Tj* 05 О —С0т1* ^юююю (О nT050 см ЮЮЮ (0(0 (NCO^ *0(0 n. ООО» o —o»co^ ю (ON °0О5 О — <N со 10(ON-00 0> О —СМ СО Ю^(0 N- 00 05 Tf Ю Ю Ю lO Ю ю юю юю СО (О (О (О (О (O со CO CO со nT nT nT nT nT N-N- N* N^ N- 13
Продолжение о>. ю to ю ю «о со СО <о со CO СО N r- oo 00 00 оо со ео со со ч* ’■ч»* Tf to to to Ю to Ю CO CO CO h- - см см <N ' 12 CM см см со CO I-* ео CO CO eo_ CO 'ч* T* <*• СО о о о о о о о - - - - — - z, CM CM CM CM to 00 00 00 оо оо о> о> Oi 05 Oi 05 05 05 05 05 о о о о о <*• СО 00 oo 00 00 00 00 со 1Л ю ю ю ю ю to ю to ю to ю CO CO CO CO CO CO CO CO СМ ео СО со ео со ео со Tf Tt< Tt* 4t« Tt* 4** - СМ СМ см см см см см см CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM <M Oi о> ю rt* 00 о сч « 00 о о> h- см ю * со о CM oo s ч о CO % h- Oi о 05 00 00 о 00 8 со оо со о t». сч N ео h- £ S N 05 t». о 00 s oS со 00 0O 00 0 01 s «5 Oi a 8 00 8 3 со to см см 5 <N со А 8 ю 00 4j* CO to <N * h- oo 00 о s ' to CO CO 8 8 «о со £ t». со to N S h- 00 t». о 00 CM 00 00 CO oo N oo 8 s 00 Oi to 05 s 05 05 05 к СМ ю ь» о> со со о N 55 00 со CO CO CM Oi о со 05 8 8 00 to Ю to CM о •Ч|« 8 40 со 00 со о N со to £ 00 ь- о 00 CM 00 s to 00 o5 8 o> eo Oi Oi s Oi 8 со СО о> о> ю со см 05 00 N tO н о о ь- о to 00 CM oo о 05. to CO * 8 СЧ eo CO CM CM CM о CM S «о со 00 со 8 £ со h- *5 СО 00 о 00, CM 00 CO 00 8 s* oo Oi 00 Oi s to Oi & Oi Oi ю s СМ TJ* со о см Is» о © см 00 8 см со о о 05 CM CO to CM 8 4 CM CO о CM о о о (О «о со 00 со оГ со t*. со h- СО 00 о 00 s CO 00 Ю oo oS 05 00 a> s to 05 s Oi *Oi Oi «3 со см_ 8 <о tO со CN 05 8 я ю CM 05 CM N *4* to 8 CM - о 8 oo CO 00 о со ■4J* (О СО СО S СО 05 со £ см f-. СО ь- 00 N Oi t>. 00 CO oo to oo г«Г 00 2? 00 Oi CM 05 Oi 8 00 01 СО оо о со h- О) СО со о со 3 см ь- 05 to CO CO 05 Ю © CM 05 CM oo f-. co CO CO о со со 8 cS о> со £ см г*. **• h- со ь» t-T h- 05 N oo 8 8 N 00 00 00 о 05 CM Oi Oi CO Oi 00 Oi сч см со ч ю см см о 05 <3? to о со 05 Is» r^. Ю 8 о CO 00 к eo CO to 00 CO •4t« (О ю со t-T СО о» со о CM ь- h- со г*. s h- g oo со 00 to oo CO 00 8 0 01 CM Oi Oi 8 00 05 со г^. h- о СО о СО CM тг со со оо см СО oo 05 05 CM 00 8 Ю to з oo CM CM CM (О ю СО СО Oi со о ем h- to г^Г N 05 r^. 00 CM 00 00 8 00 00 8 CM Oi Oi 8 8 о о о 3 см 8 со to LO см со 05 ч 4i* ■*« CM о о 00 s Oi CO CO to CM CO Oi о о о S 8 со 8 о г^. см г*. СО N to t- ьГ h- Oi oo CM 00 oS CO 00 oo ,00 0 01 CM Oi Tt* Oi CO Oi Oi о см со 43* to со t*. 00 о CM eo to CO oo 05 00 00 00 оо 00 00 оо 00 оо“ 00 o> 05 05 05 o> oT 05 05 05 Oi 14
§ 6. Квадратные корни о ’ -if 4!f ^ •^со со со ео во во СО вО во во во СО СО СО СО С4 С4 С4 C4 C4 C4 C4 C4 C4C4 ао •ч* ^ со во «о со со со во СО СО СОСО со СО СЧ СЧ СЧ СЧ С4 СЧ С4 С4 С4 C4 C4 C4 C4 C4 C4C4 S со со со со со со со со со во СЧ СЧ С4 СЧ СЧ С4 С4 С4 С4 С4 С4С4С4С4С4 C4 C4 C4 C4 C4 C4C4 СО СО СОСО со сч C4<MC4<N<N СЧ СЧ СЧ СЧ С4 СЧСЧСЧСЧС4 <NC4C4<N<N C4 C4 C4 C4 C4 ю C4<NC4C4<N <NC4C4<N<N С4С4 С4С4 С4 <■«*• сч С4 <n С4С4_ со <м 1 1 1 i - ооооо ооооо ооооо ООООО ООООО ooooo ’во о> -«*• —СОС5- г* CTiCOt- С4 © ©—«_ СЧ — ©вою — со ©cot- — СЧ СО СО СО ч* CD О СО со оо 00 — ^ С- ’t'tiOiOlO 05 О © © 05 © Tf N. О С4 cococot-t*- 00 со ч** —00 Ю 00 —< СО t*. tN. 00 00 00 Ю — t— C4 t— ®«^SCI5 00 05 05 05 05 C4t- — — — —— _____ _____ — — — — ~ <NP< 00 СО 00 СО t- — 00—С1 t*. соч*«—*>» С4 со ©СОЮ ^•S-4T(*S юю ю cot- t-t*. СО О СО СО 05 С4 СО СО СО СО ь» ю со — ос ю ю оо — СО со IS. (V 00 00 00 <N ОО-^* О Ю 05 — 05 00 05 05 05 05 sSs OO _____ _____ _____ ~~~~~ СЧС4 I". TCNNON со со <n tv — о.о.ТЛ СОСЧ Of- '«f ЮО> СО (ро С4С4СОСО^ 05 СО t- 05 СЧ COfs. осог^ ч* ч*ЮЮЮ СО ч* •** т*« СО О СО СО <75 С4 СО СО СО СО С4 ООО СО 00 юооососо *>»|>.ООООСО 05ЮСМГ- C4 CO—. 4f CO05 00 05 05 05 05 ob ————— ~ — — —— C4C4 СО sssssg 0.0.*l'tN. о>ооь-^о ^00 04 СО© «4<NeOCO-^ ю ©со со оо cOh-OCOCO «♦"♦ЮЛЮ § со coSn^ 05 00 со со о ^ь*ососо f— t— оо оо оо IV CO 05 ю о 00 — CO coo OO 05 CT> 05 05 OO —— — —— — — — — — <NC4 ю 1ОС4С0С4ч** <Nf- —со© ю ю со о со тГ 00 СЧ СО 05 С4С4СОСОСО С4 со О со Ю СО СО ©СО со т£ч*<ююю N. 00 00 00 00 05 СЧ ю ОО — Ю союсоог- ^NOCOiO t^N-00 00 00 ■^*©CO<N t- 00 — CO CO 00 OO 05 05 05 05 <N t- — CO OO — — — — — — —— —^: <NC4 ООО ООО С4Ю —ЮО o.o.’t"!,0! — —05 СО СО •ч* 00 — Ю 05 С4 С4 СО СО СО ОО cot- О С4 О) СО 05 со СО ч* гс^изю ■ч«ю ююю 05 С4 Ю 00 — ю ю СО СО т* СЧ © 00 Ю >«f t- © С4 Ю t-1- оо оо оо — tO^OU) ООО COCO 00 00 05 05 05 05 ©Ю — iCO OO — —— C4 C4 со Ю CO Ol СО со о§2£2 t- ^ ю со о> cot^ — юоо С4С4«0С0 со IO 05 во СО 05 С4Ю С35СЧЮ rf ^ ТС ЮЮ — СЧС4С4СЧ О5СЧЮ0О — Ю^СО СО юг- — 05t— Ю СЧ СОС5С4Ю N.N.N.CO.0°. С75Ю — f- <N SOCOIOOO 00 05 05 05 05 Г-С4 88 — — — — — — ~ '—*-* — — — — — — —— <NC4 С4 © 00 Ю 05 СЧ «Ю0т(<0) ОСч"" СО СО— 05 со СО t*>— 'ФОО <N <N СОСО СО —1 со О СО «О С4Ю05СЧЮ 'Ф^^’ЮЮ t— 05 05 05 05 ОО — чМ>- © Ю СО СО со Г- 00 СО ч*1 СЧ 05 CO CO 05 Cl ^ t^N.*^00 00 CO CO 05^0 Г-ОС4ЮОО 00 05 05 05 05 too o-co OO ----- ’-Г’-Г’-Т—— C4©i W^OiflS §о2«2 0505 00 ЮСЧ окоо-фоо С4 СЧ СО СО СО 00 CO Is» О С4 — Ю00С4Ю •Ч* СО СО СО СО оо —<*tvO Ю СО СО СО f- Ю TfC4C5t- CO CO 05 — l^t-t-ooc» «©cows t- ©С4ЮГ- 00 05 05 05 05 ©o ————— _- eiel о © 05 Ю © СО ©ч* о> тгео ооо-« sgsss С4 С4 СОСОСО 4*05<0t*-05 _ ^00 — — СЧ СО СО СО , OO^^SO ю со со со t—^ C4 •—i 051— cocooo — N.N.s.o°.oo. — t— 05 Ю t- 05 C4 t- 00 00 05 05 05 83 OO _____ ____^ _____ _____ _____ _____ ci<N о^счео-^ Ю СО 1^00 05 О — СЧ^СО О —C4 CO-^ Ю COt» CO 05 © — _____ СЧ С4 С4 С4 С4 С4 С4 С4 СЧ СЧ CO CO eo CO CO CO COCO coco 15
Продолжение 05 <N<N<4 C4C4<N<N<N счсчсчсчсч СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ CM<N<NC4<N <N<N<N<N<N СМ СЧ-СЧ СЧСЧ 00 сч сч сч C4C4<N<N<N C4<N<N<N<M <N<NC4<NCN <N <N <N CM (N C4<NCSJ<N<N СЧ — N с4счсч СЧ СЧ С4 СЧ С4 <N<N<NC4 — tO Ю со <N ООО ooooo ooooo ooooo OOOOO ooooo OOOOO - ООО ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo OOOOO 05 -ЮО) C4 CO 05 — -<i« -Ч1< CO OO — CO — — — CM <N CO 00 О C4 CO lasoiN't' C4C4COCOCO 'tiOfONS tO 00 О C4 Tt* CO CO Tf 00 00 00 00 00 ЮОООСЧЧ* Tf ^ЮЮЮ Is.NCOW't CO 00 О C4 toiotototq CO —©CON tOcOO—CO to CO N N N <N <N <N <N<NC4C4<N C4<N<NC4<N <N<NC4C4<N СЧСЧ СЧСЧ СЧ C4C4<N<N<N СЧ СЧ СЧ СЧ C4 со 05 con CD 05 — OO-i oco С0 05СЧ П-ЮОООсО ,-h — C4 C4 Tt« COOO 05 — ION 05 — <N C4 <N CO CO чС4 CO ЮЮ tO 00 О C4 ^* CO CO Tf ■«*« Tt* to to со to to to оо OC4 ^ Ю Ю со C4 tO 00 О <N "Ф to io to to to p^OOONlO CO 00 05 — CO tO tO tO NN <N CS <N C4<N<N<N<N C4<NC4<N<N СЧСЧСЧСЧСЧ СЧСЧСЧСЧСЧ <NC4<NC4<N C4<N<N<NC4 N too''# ggq CO — '«f N 05 COCOCOOC4 — —— C4CN C4 Tl'COS 05 Ю N 05 — CO C4 <N C4 CO CO Q — C4C0C0 to 00 О C4 'Ф COCO Т** ^**Tt* T** Tt* CO 00 OC4 ^ СО СО C4 — О CO 00 О C4 •'** Ю Ю CO CO CO 05 oo сою CO I0N05 — CO tOtOtON N <N CN CN C4<N<NC4<N C4C4C4C4 C4 CN C4C4 СЧСЧ <N<N<NC4C4 <NC4C4<N<N CNC4<N<N<N tO 00 C4 CD 00 — OO — Ю05СЧЮ N СОЮОООС4 .СЧ 05С4 00Ю N •«t1 N 05 — CO <N CN <N CO CO 00 050 — »-. lOSOW^ CO CO ^ C4<N<N<NC4 СООООСЧ'*’ тС^ЮЮЮ «-hOOJOO со oo о — со loiotototo N tO CO — Ю N 05 — CO tO tO tO NN С4сч ci C4 C4 СЧСЧ C4 C4<N<N<NC4 СЧСЧСЧСЧСЧ <N<N<NC4CN <N<NC4C4<N <N<N<NCNC4 ю <N<00 <DOO-h OO-i CO CO 05 CN Ю СО Ю N О <N »^M_«C4C4 N05 — СОЮ Tf CO 05 — CO C4 C4 C4 CO CO to N 00 05 05 IONC5-HCO со со со ■*# ^ OOOOO tO 00 О C4 •*3* т* ЧЭ Ю Ю 05 05 00 N CO lONOS —CO ююю to to Ю ■'f CO — 05 ю N 05— C4 tqtOONN C4 C4 <N С4СЧС4С4С4 C4 C4 C4 C4C4 C4<N<N<NCN СЧ‘С4СЧС4СЧ <NCNC4<N<N C4 CN CN C4 C4 05 CO N Ю00 о oo- — NOW COlONOfN — — — C4C4 Ю N 05 — C4 Tt< CO 00 — CO C4 C4 C4 CO CO ^wtoss lOSO)«n CO CO CO ^ Tti oo oo oo oo oo Ю N 05 — CO Ь^СОЮ^ wso5« со ююю toco СО C4 — 05 00 Ю N050C4 to to to N N CS <N CN <NC4<NC4<N <NC4<NC4<N C4<N<NC4<N СЧС4С4СЧ СЧ СЧСЧСЧСЧСЧ CN<N<N<NC4 со t- • Ю Ю00О ® O — 00 CN Ю 00 О NiON 05 C4 СОЮ N 050 '■f CO 00 oco CN CN <N CO CO СЧСО тМОЮ iCN05-hC0 СОСОсО^ч^ to to to CO to ION 05*—>co ЮЮ Tt* СО C4 Ю CO юю iotqto — 005N tO IONOOOC4 CO CO to N N <NCNCN C4C4C4 C4C4 C4CNC4 C4C4 СЧСЧСЧСЧСЧ C4<N<N<NC4 <N<N<NC4C4 <NCN<N<NC4 <N ^00 СЧ U3NO OO-i CO 05 CO LO 00 W^NO>- — CO ID N oo Tfi CO 00 О C4 <N C4 C4 CO CO C5 —i C4 C4 CO N 05 — CO CO CO CO ^ Tt* ■** Tt* tJ« Ю N 05 — CO CO CO C4 C4 — iONO>«n Ю Ю Ю tO CO OOON <ОтГ Ю to00 OC4 COCO CO NN C4CN <N <N<NC4C4<N C4<N<N<NCN СЧСЧСЧСЧСЧ C4C4<N<N<N <NC4<N<NC4 <NC4C4<N<N — MtOO »ono OO — '■f N © CO CO C4 Tf N 05 « —— C4 OO —« CO CO CO to 00 OC4 C4 CN CN CO CO NCDOOh тГ CO 05 — CO CO COCO Tt* ■** C4C4<NC4 C4 Ю N 05—* CO Tfio Ю «-•0005 Ю N 05 — СЧ ЮЮЮ CO to 00 tO Ю Tt* C4 to 00 О C4 tO CO CON N <NcTc4 C4C4 C4 C4C4 <N<NC4<NC4 <N<N<NC4C4 C4C4<N<N<N <N<NC4C4<N C4<N<N<NC4 О 05 ^ 00 •«3< N 05 ООО — Ю 00 —«4* C4 -*• CO 05 — 0ОООС4Ч* СОЮОООС4 C4C4C4CO CO lO<ONOO 05 rftDOOOC4 COCO CO rp ч* 05000 О -<3< N 05 — CO ’t't TflO Ю О 05 00 00 N Ю <0 00 О C4 ююю to to СО Ю CO CN О 'tcoooocN to со to N N С4С4СЧ <N <N C4 C4 <N C4C4<N<N<N C4 СЧ СЧСЧСЧ C4C4<N<N<N C4<N<N<NC4* C4 C4 C4 C4 CN CN CO rr lO CO SCO 05 0 — С4 СО ^ LCJtON 00 05 О —СЧСО ^ I0t0|s.00 05 O^—C4CC tt Tf ^ Tt* 43* Tt< Ю ЮЮ ЮЮ ю Ю Ю Ю Ю to to to to to to to to to CO NNNNN 16
сюдеедсч сч счсч счсч сч счсч счсч ^ СО СО СЧСЧ — — — о© оо 12 12 11 11 11 ООО©© ©© — ООО© 05 © ОО 00 00 оооо © © оо оо оо 00 N N» N N* ts.© OONSNN © © о© © <©ю со со со Ю ю ююююю ООО©© ООО©© СОСО ооооо ©©©о© ооооо ©ООО© о©©©о со со со со ео со счсч счсч счсч ©ООО® ооооо ооооо оооо© ооооо -- 10£0«0)N Ю N © © СЧ SNNOOOO ^ СЧ 05 N -*f -Ч« © Г*. 05 00 00 00 00 Oi — ОО Ю СЧ 00 СО TJ* «о оо 05 05 О) 05 Oi Oi ю сч оо 'З* —.СО -^-СООО ооооо N- С0 05Ю —1 g — сч © СЧ © СЧ 00 © © Ю 05 СЧ со CO Tf Ю N00 — — N» — оо— ео^**© 05—СЧ СО-* сч © N-00 Ю со СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ сч сч СЧ сч сч СЧ СЧ Сч сч сч во со со со со СО СО СОСО СО со со со со со СО«Ф СО —©NIC Ю t^OO ©СЧ 00 00 COOSION ■^IX)NCS« оо оо оо оо © О) cocoon. сч ^ со С© 05 05 © 05 О) О) СО О СО СО 05 -HCO^fCON. оооо© Ю — N- СО © g — СЧ т»< Ю (OiOOOiflN 00 CON- — ’Ч* счтг ю^оо ю ©©©о © —СОЮ 05 © сч СО — © © со ю © СЧСЧ СЧ СЧ СЧ сч сч сч сч сч OIC4<NC4C<< со со со со со СО СО СО СО со со со со со со СО^т*^** юсоооосч |s.b.t^00 00 — 00 СО СО© ■^lON.© — 00 00 00 00 05^ N* ^ — 00 Ю сч ^ со n. о> 05 О) 05 05 05 СЧООЮ — s — СЧ -«f CON ©о©©© тг © со сч 00 ©— СЧ ч*«ю N СЧ©©3> С* чгю Ь»00 C4N-N-^0O ©ооосчео © © сч со ООО юю ю© СЧ СЧСЧ СЧ СЧ <N<NC4<NC4 сч сч сч” сч сч ео со со оо со со со со со со СО СО со со со ео‘ч*'ч* 000®Т(*« Ю©00 О СЧ ь-n. n^oooo ©N.4»* —© СОЮ N. 050 оо оооо оо oi со ео on со СЧ ^ CO 1*» 05 05 О) 05 © © О N. CO © СО SSSJSfc СЧ 00 'f © СО gOCJ^lO «О © ©00 — Ю ©Ю 00 сч СЧ^ЮОН» O^IOCOS ion.© —сч 050 — СОч* ©оо СО ^ Ю со СЧ СЧ Сч” СЧ СЧ сч сч сч счсч СЧ СЧСЧ СЧСЧ со со со со со СО со” сч со со еосо со ео со СО "Ф -тГП* ОО СО ^ О) О ^©ооосч t^h-r^.00 00 NlflNOS СОЮ N Oi о 00 00 00 оо 05 ^ —1 00 ю сч СЧ Ю N- 05 05 05 05 05 05 оою«оо^ О СЧ Ю N ООООО О СО СЧ 00 g© СЧ СО ю © — СО оо ^ © СО N. © сч со ю со оо г^счсо — © со©ооо — 05© — со ч* ©h- СЧ СО ю© счсч счсч сч сч сч сч” сч" сч сч” сч” сч сч” сч во СО со со со со ео со со со СО со со СО со СО rjT Tjl' ^ ^ -ч* © ■<*■ СЧ О 00 ^ © 00 О — n^n-oooo Ю СО —* оо ю со ю оо © 00 00 00 об 05 СЧ 05 со со© СЧ СО Ю N- © ©05 05 05 05 N- со О СО сч ©СЧ-^Ю N. ©о©©© 05 Ю — N СО СО © СЧ СОЮ ю со —< — ю СЧ N СЧСО © C4COIOCON. 'si* © — © Ю СЧ Ю N- 05 © 05© —СЧ*^ N* © — сч ю© сч счсч счсч сч сч" сч сч сч” сч” сч сч сч сч СО со СО СОСО со СО СО СО СО СО СО СО со со со ^ СЧ О 00 со 'tf1 © 00 © — S N S ОО ч*1 —©©СО со ю со оо © 00 00 00 00 05 — оо ю сч оо СЧСО UON.OO OiOi d OiOi Ю СЧООЮ — ©СЧ COiON. © © О О О N- СО ©Ю — оо© —сою © СЧ N N< СЧ © со О тГ 00 СЧ COlOCON^ СЧ N.©00 со — СО Ю N. © 05 © — СЧ со ©ю © — ю© сч сч сч сч сч сч сч сч сч сч сч сч сч сч” сч СО СО СО СО со со со со со со СО со СО со со СО тг ^ счооо© ^ '«’©Г*.© — t^N^N- N-00 СЧ © Г'- Tf сч СО Ю СО 00 О 00 00 00 00 05 05 СО СО О N СОЮ N. 00 OiOiOi OiOi S88SS ©ООО© ю сч 00 ^ © go-. СОЮ ч** N. СО СО 00 05 © со со — СО "^CON^ ©Ю N. © сч 05C4^f ©00 00 о — счсо Tt< ч*- ©о сч сч сч сч” сч” сч” сч сч” сч” сч сч счсч счсч СО СО со СО СО со со” СО СО СО со со ео со со СО^ч* ч£ ©©N-Ю СЧ ■^ion. с&- N. N>N.N.00 О ОО Ю со о СО Ч* СО 00© 0О 00 00 00 05 N. ^ —< 00 Ю — сою © оо 05 05 05 05 05 СЧООЮ — 00 о —сою© ©©©о© ТРО©СЧОО 00 © — со ^ О — — — —. 00 сч © © ю SCOS-HIO — eo^cDN^ ©счюч*»© 00 — COiON. ОО о — сч СО СОСО ОО © ю СЧ СЧ СЧ СЧ <N сч сч” сч сч” сч сч сч” сч” сч сч со со со со со со СО СО СОСО со со еосо со СО Tf ст> t*. ю со — cOiON.© — N. Г^ОО оо со ч* —оо СЧ ^ <0 00 О) 00 00 00 00 00 ю со ©со со — СО Ю ©00 Oi OiOiOiOi О N. СО О со О —СОЮ© о о о о о СЧ 00 -^ © со 00 ©— СОЧ* оо — — — СЧ1^ ^©сч со —со©^ — CO^CON^ СО О СО со © N-OC4 4**iO ООО— СЧСО СЧСО N ОО •ЧГЮ сч” СЧ СЧ СЧ СЧ сч сч” сч сч сч сч сч счсч сч ео со со со ео coco со со со со со еосо со СО т)« т}« ^ ^ тг to со n.oo о> nnnnn © — счсо ■ч' 00 00 00 00 00 Ю CON. 00 05 оо оо оо оо оо О —СЧСО ■** 05 05 05 О 05 Ю со N 00 05 © © © © © © — СЧ СО Tf Ю ©h- 00 © о — сч сч 17
Продолжение о> 00 000000 00 00 00 N- N- SSSSN tv. tv. N СО С© (0(СФ(0(0 (ОФЮФЮ (ОФФЮЮ ЩЮЙЛЯ N NNN NSNStO (О СО (О (О (О СО СО СО (О СО COlOlOtO Ю ЮЮЮ Ю"Ю ЮКМвЮЮ ЮЮ ЮЮ "'*• <0 (0(0(0 СО со СО СОЮ ЮЮЮЮЮ ЮЮЮЮЮ ЮЮЮЮЮ •*••«*» ^ ч* Tf ч|* Ю СО СО СО СО СО СО СО СО СО СО СО СО СО со СЧСЧСЧСЧСЧ СЧСЧСЧСЧСМ СЧСЧСЧСЧСЧ CM<N<N<NC4 CM СЧ CM CM CM СЧ - о Ю 03 О ОЗ tv. СЧСО 00 О 00 СО СЧ 00 СЧЮСОС^Ь* Ю СО О СО —< ЮОО-нСО'*' СО (N 05 tv. СО ОЗ Ю О 000005 00 Q0QD tv. (O lO'f СОСЧО Ф^ЮСО—• OlSiOMO N-*fC40>(0 СООЬ-чрО N ч* © Г»-Ч* N•0» О —Лсо^** 1Л cot-00 05 05 0-4 0* CO CO Ю СО N N0OO5O5© ^СЧ (N СО"ЧГ Ю^СО со tv. ■** 'в* 1ЯЮ1ПЮ1Л ЮЮЮЮЮ lO со СО (О «О со СО СО СО СО COCOCOCOt»» гСгСг^ьГгС 00 Ю 03 О 05 tv. CO t^ 05 OOIN^O) COCO 00 О) О) tv. Ю СЧ 00 СО ОО -« tJ* СО tv. Nb-COlOCO О N СО 00 СО tv. tv. 00 tv. f- tv. (О Ю Ю CO CM « О» ООСО т»< СЧ © 0О СО ^ • 03 «>■»*• — 00Ю сч 05 со СО О Г— СО О со со N00 05 О —^СЧ СО ^ Ю СО tv. 00 00 05© —‘СЧСО со ^1Я COCO t^OOOOO «-нСЧ^СО^Ю<ОСО«>. юююю!о ююююю юсо coco со со coco со со соЧо со со N гСьСьГг'ГгС tvTtv.Ntv.t- tv. t«0 О tv. СО tv. о мО«Ю>н Ю00 ©—< —• ОООЮ —«СО О ч* tv. 03 О 0005 00 СО СО © СО СЧ N (О СО N tv. СО (О Ю ю т* СО —« © 03 Г-Ю ч*« СЧ © 00 Ю СО •— ОО СО СО О tv. Ю СЧ 0310 СЧ 05 СО ОО 05 со сч 14,000» О —* СЧ СО Tf Ю СО N ОО 00 03 © «ч СЧ СО СО <0(0 S000>®0 СЧ СО СО 'tlOiOION Wusifliau) ЮЮ ЮЮ*Ю Ю СО СО СО СО СО СО СОСО СО СО СО СО СО N NNNNN tvTtvTtvTt>Tv со 'fflOO OOO^COM OmONN tv. О СЧ СО СО СЧ Of- COOO CO CO 03 —• CO COCO COV-I 05 tv. CO 05 ю о 1010(0 СОЮЮч*»т*« СО C4« 0500 СОЮ CO—<05 SlOCtO.S Ю CM 05 tv. ч* -«ООЮСЧОО Ю СЧ00ЮСМ tv. 00 05^ © « СЧ CO Tf Ю CO t— t- СО 030«СЧ СЧ СОча*Ю'СО<© tv. 00 00 05 0 « —^C4 CO CO tWiO®N ч*ч*<ф 10 юю юю ю юююю ю" со со со" со со со со со со со со со со tvT rCtvTtCtCtC tvT tvT tvT tvT t>T ю CO 00 О ООО^фм СО СЧ -« 00 ч* 00 СЧ ч^ЮЮ -чГСЧОЮ-н Ю 03 СЧ ч* со со СО СО ^1* СЧ Ot-COOi4** ч** т»*Ю Ю ч*» ^ СО СО СЧ —J о OOlv. Ю "i* CM © 00 (О OWN Ч**-* О» (О СО Of- ч* —. 00 Ю « ОО1** —• Is* 00 05 Омском Ю со tv. tv. ОО 03 О —« СЧ СЧ СО^ЮЮФ t^OO ОО 05 О «--Ч сч со со тГ Ю Ю <0 tv. ■чГ ч* ЮЮЮЮЮ ЙЮ*ЮЮЮ ю со СО со со (0(0 COccTjO со СО COCO tvT t-1— t— f- t— n t-. t-1-1- ■4* CO tv. О О 00 Ю 03 СЧ 'rf Tt< СЧ 03 Ю О СО СО Г- 1— (О^СЧ 00. CO 00 CM Ю tv. 05 О» 05 03 00 СО СО О со СЧ tv. CO CO ■'f "Ф CO CO <N СЧ —< © 03 t- СО Ю CO—« ©t- ю CO 00 CO CO —« OO Ю CM 05 CO CO o tv. tv. oo 03 © —« CM CO 4f Ю CO CO t— 00 03 © —< —• СЧ СО -<* ю ю CO tv. 00 00 OJ© О —<^C4 CO CO ^wcos loioioioifi ЮЮЮЮЮ Ю СО СО СО со (О со CO CO CO (0(0(0 (ON N N N NN SNNNN со CMN© ОООЮ OCO ЮЮСО—<N — ю tv. 03 05 OON’tO0 -'♦NO- £1 <N <N -h 05 СОСООЮ-» СЧСМСО CO CM CM СЧ —< 0 0>00f-l0 т* СЧ ©00 «О СЧ ООО Ю СО ON ЮСЧ 0550 СО О СО СО О tv. со о t^. ОО 03 о *-< СЧ СО ^ Ю Ю СО tv. ОО О) О —* —« СЧ СО тГ ю ю СО tv>ocxo0 03 0 О « СЧ СО со т^ЮЮ СО tv.^ ю ЮЮ ю Ю U5lO*>OiO*iO* ю"СО СО СО со СО СО СО СО СО СО со CO CO tvT tv. f* ь» tv. ts. t^ ts. ts. сч C4JV. 03 OAIOO^1 Ю сою CM 00 CO 05 « —< О 03 CO CO OO CO tv. О СО ^ Ю Ю Ю Tf СЧ О tv. CO 05 05 oo tv.со ^ со —«озоо со — оз fv- Tt« C4 03tv. ооюсч оз со cooeej w tv. 00 05 О —• CM CO "5* rt* Ю CO tv. OO 05 О О —< СЦ СО ’Ч* ^ ю со t^ оо о> © © *^сч сч со тр^»осо(о 1ПЙ1ГЗЮЙ lOtOtrTlOlO Ю со со СО СО (О* СО (О со (О СО СО со СО tv. SNSNtv tv. tv. tv. t- tv. - —*CO 05 0 03(0^^ CO fv СО СО О ЮОО^СОСО СЧ T—1 00 Ю (О © СОЮ 00 00 00 tv. Ю СООСОСЧОО ООО -<00005 00 tv. СОЮ СЧ О 03 tv. Ю со —« ОО СО.т*» —« 05 СО СО О tv. —« 00 Ю СМ 05 to СЧ 00 tv. 00 оз О «СМ СО СО ^ЮСО^ОО 05 о О— СЧ со^юсо ss«o»o О «СЧ СМ СО т^хЬЮ СО со ЮЮЮ Ю Ю »OiO»OiOtO Ю СО со СО со СО СО СО СО СО СО (О со со t^ t*« tv. tv. tv. SSNNN о О CO 05 OC5CO СЧЮ OOt>- Ю -« СО©СОт*>Ю Юсо—‘hvCO 00 <N CO 00 О —« ООО CO CO OCO 050)05 О ф 05 05 ОО tv. СО ю-^* со —« ООО (О^* смоооюсо О 00 ю СЧ О t^ ^ ; оо «-* оо Ю« оо to fv. оо ООМС(СО ^ Ю СО tv. 00 05 © О —» СЧ СО Tt< -^«ю со t— 00 О) О О —< СЧ СЧ СО ч*ч|>10С0С0 'Ф'Ф'Ч** lOtOlOlOlO lOlOlOlOlO Ю СО СО СО СО (О со со СО со СО COCO COtvT NN tvTlvTtvT SNNNN СЧ СО Ю СО tv. оо 05 О « СЧ СО Ю со tv. ОО Оз О « СЧ СО ■*« Ю СО tv. оо оз О <N СО Ю СО tv 00 05 СМ СЧ СЧ СМ СЧ СЧ СЧ OJ СО СО СО СО со СО СО СО СО СО Tt< rf ^ ююююю ЮЮЮЮЮ 18
(0(0(0(0(e«fiiOK»OlO 1вююю Ю1АЮ1вЮЮ ююйюиз ЮЮЮЮЛ ЮЮЮЮЮ ifttoifl’t't 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 со со со со со со со со со со со со со со со СОСО со со со 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 CO CO eo CO CO CO CO CO CO CO СО СО со оо со СОСО со СО со COCOCOCICI 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C4<NC4<N<N С4 <N С4С4С4 С4С4 С4 С4С4 СЧ С4СЧСЧ СМ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CN<N<N<N<N C4 C4 <N C4 C4 C|C4CIC4<N C4<N<N<NC4 СЧС4 —— — — — — — о© 00 — Tf со ©СОСООЮ 00 00 о>о>о oo oo — — O O) 00 N ч* ClNcOOlQ ч* **Ю Ю «5 СЧ О) СО СО О — СО C4 00 CO NN00 ООО) 4*010 O'* 0)100©*- O)©—i —Cl 00 СЧ Ю О) С4 CDC4NC4 0O C4C0c0 4*Tf. ТРСООООС4 СО 00 со О) 4* ЮуЭ СО СО N СО 4^ 05 Ю о О 4^» о N00 ООО О) NSSSOO OO OO OO OO 00 00 00 00 00 oo 00000)0000 00 0)0 0)0) О) О) О) О) О) О) О) О) О) О) О О О О) о S-U5NO О) со счло ю N0000)0 СЧ СОч^ЮЮ «N«0 0)10 — C4 C4 CO CO <N « Ol' —• N CO O) ч*< ч*« rf Ю Ю CO СО О N CO OCOC4N CO N N00 ООО) О) ■** О) Ч* О 00 -*« 0)10 о 0)00 —Cl CON О СО СО СО — N С4 N <N СО СО 4* 4* о — eou>N С4 00 СО 00 со Ю Ю СО СО N оо о о © © оо со оо 4* о N со ООО 0) NNNNC0 00 CO 00 00 oo 00 00 00 00 00 oo oo oo oooo 00 0)0)0)0 О) О) О) О) О) 0)0 О) О) О) О О О) оо ~«tOOO-*'4' 0)10—*00^* Ь-ООО) О) о CONOOOO) ОСОСЧОО'* <N CN CO 00 00 сою CO OCO <N OO ^rfeeco — GO Ю — N © Ю — N C4 NN00 ООО) CO 0)4* 0)00 00 CO 0)4*0 О) о о — Cl N — ЮОО — ю— со — N С4 СОСО 4^ ч* ТГСОООО — C4NCIOOCO Ю *0 СО СО N 00 СО 00 со оо N00 0000) nnVnoo 00 00 00 00 OO oo oooo oo oo 00 00 00 00 00 00 О) О) О) О) О) О) О) О Q) О) О) О) О) О) о оо о о lOOXNlOS 00 ч* —NCO SCO 0)0)0 o —cico<o ffiCONOO^t © — C4 C4 CO C4C4—ON О CD CM N CO ^ЮЮ(0 Ю <N CT) CO <N ОЮ О СО C4 CO N00 ООО) оо со со со оо NC0 ОО-ФО) 0)00 — — С4 СО О) СО со ЮОЮ — СО С4 СО СО ■■«* ч|* 00 — союсО — NC4N С4 иэ ЮСОСО N 00 О О О О N С4 NCOOO N00 OOOO) N N N N 00 00 00 <50 00 00 oooo 00 00 00 00 00 00 00 00 00 О) О) 0)0) О) О) О) О) О) О) 0)0 0)0) ооооо OOC4CO О — N«0«c0 IV 00 0)0)0 СО Ю CO CO N СО СО Ю CO —< SSS&SSSS&S О) со со о CO oo** О eg- со NOO oo О С4 00 COOOCI N С4 00 со О) 0)00 — — N — t#*N© ^ ©Ю ©СО CN СО СО-tj* со СО ООО — — СО —NC4 Ю Ю CD CD N С4 СО ^*ЮЮ NC4NCIN N00 00 0)0) NNNN00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 oo 00 00 00 oooo 00 О) О) О) О) О) О) О) О) О) ООООО о>о9> о^о С4СООС4Ю NWOCON N00 00 0^0 N0)00—• CO’C-hNW o-^winco О О O) N CO 0)10 © CO <N eo^iowco СО —00ч*« — 00^* 0)10 — CON N00 О) NC4NCIN СО С4 N СО 00 0)0 0 — — — lOOXNrt Т* а^ою 04 01 СО 4* 4* 00 О СЧ т* СО о СО — СО — ЮЮСО CON N00 0)00 СО —СО CTN N 00 00 О О)^ njsVnqo 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 OOOO 00 00 00 00 О) О) О) О) О) О) О) О) О) ООООО ООООо) 100)00 CO О —« <N Tt< -ЧМО CO.C4 О Ю — 00 4j* ©COC4 N 00 00 О О © — cScico lO^COCSO 00ЮСЮЮ OOtJ* ©СО C4 N«0 0)^0 СОЧЧОЮСО CO N N OO O) — NC4N С4 СО — NC4 00 0^0 0 — — COOCONO СО 0)4((* ОЮ С4 CN СО СО 4J* СОЮ N О — ©ю ©ю — ЮЮ со CON <N СО 4# ю Ю СО — со — со N00 00 0)0 NNNN00 00 00 00 00 00 00 00 00 OOOO oo oo oo oooo 00 О) О) О) О) О) О) О О) О) ООООО ооооо OCON©C4 Ю CO CO OO O) Ю0400Ю — NCOOlO — N0000 0)0 © —. — C4 CO 0)00 N CO '■f N CO 0)10 — CO cp ci g) со coo) nc^qo^o) CON N00 00 ю —со —со Ю —COC4N О © О —— О 4f 00 —ю СО 00 СО О) 4* С4 С4 CO CO 4f N О С4 4* СО ' ОЮ ОЮ О ■^*iOCOCON N 00 О О О Ю ©Ю — СО, N 00 00 О О) NN NN 00 00 oo 00 00 00 00 00 00 OOOO 00 00 00 oooo 00 О) О) О) О) О) О) О) О) О) ООООО ООООО NNO'tCO Ю —« OO 'f o N0000 0)0 00 © —C*CO CO CO 0)10—1 o-^csieo CO 04 —ООО N CO 03 Ю o CO^-^IOCO СО Ч* —I^TJ. СОСЧООСОО CON Noooo О со — СО — Л О СО —N 0)00 — — ю о со со о Cl NCOOO со C4CNCO СО С1Ю NO — 0)Т*« О) 4*> О 4** Ю LO СО N С4 СО ч*ЮЮ Ю ОЮ ОЮ N00 00 0)0) NNNN 00 00 00 00 00 00 00 oooo OOOO oo oo oooo oo 00 О) О) О) О) О) О) О) О) О) ООООО О ОО О О lOO^CNO ^ —< N СО О NOOOOCftO C4 4*10 CON CO <N00 4*0 О —< •—< <N CO N СОЮ4*. C4 СООООтР© co^^io со О 00 iO 94 00 CO — N CO 00 CONNOOOO 4*©iOOtO 4* ОЮ — СО 0)00 — — © 4^1 N — 4fl СЧ N. С4 00 СО €4i CI СО СО 4^ N0014*40 00 СО О 4f О ^ЮЮ СО со N 00 О О О rt* О 4j* ОЮ NNOOOOO) NNN CO00 oooo oooo oo oo oooo oo oo oooooooooo 00 О) О) О) О) О) О) О) О) О) ооооо ООООО © —cico*» CO CO CO CO CO Ю CON ООО) CO CO CO CO CO 70 71 72 73 74 76 76 77 78 79 о — е*оо4* оо оо оо оо оо 00 00 00 00 00, о —СЧС0 4*» 0) о о о о Ю СО N 00 О ооооо 19
§ 7. Кубы <NCN<N<M<N C<C<<NCMCM СМ СМ СМ СМ СМ CM CM CM CM CM CM CM CM CM <N <N CM CM CM CO COCO _ ^ _ _ _h ^ CM CM CM CM Cl см см см см CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM ooooo ooooo OOOOO OOOOO OOOOO ©ООО — — — NOOO<NtJ- oOCMCO —S Tf —G500S SOOO-H^ s — CO CM 00 CO Tt< CM CM CM СОЮ CM Ю 05 CM Ю 00 CM Ю 05 CM (OOrtS-. ЮО5С000СЧ CO — lOO't 05тр05-**0> ^Oi ООО — — —CM CM CM CO CO T}< Tt* ЮЮЮ CD S S 00 oo 05 05 05 c? © — — CM Cl tJ< Ю CO 00 — -<3* 00 CO 00 Tf OSvO'trt СО СО Ю S 05 COSCMSTf 1—* 05 Is» t4» ООО CM Ю oo — Ю 00 —Ю00СМ CD 05 CO S — Ю 05 CO S — СО О Ю 05 тг 05 CO OO-CO OO C005 ООО — — — CMCMCMCO СОСОтГ'тГЮ lO Ю СО со S SOOOOOOC5 0500—— см CM — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — CM CM CM CM CM CM N^-005 05 05 — CM Ю 00 CM S CO 05 CO Tf* CM Cl CM CO^ , ^ ^ . Ю 05 CO S О Tf>00COS — Ю О05 CO oo со OO CO oo CO oo ООО — — — CM CM CM CO CO CO Tt* Tt* lO Ю Ю CO CO S f^-00 00 со 05 05 O©— — CM Cl OO 05 © CM ^ 00 — CD — S со о 00 сою Ю Ю СО 00 — тГ оо СО 00 Tj* — 05 00 S S ООО) — Tf 00 — tJ« ^ — Tf 00 — Ю 05 CM CD О Tt* 00 CM СО — Ю 05 ОО СО СО CM s CM S см S ООО — — —CM CM CM СО СОСОт£т*Ю lOWCOCDS^ Г^Г^-СОООО^ 05 О О — — СМ см — — — —Г — — — — — — смсмсмсм см см Ю СО S 05 tJ* 00 СМ S СО 05 CD Tt* CM — — — CM Tf> СО © ^ 00 *"i* СЭ S тр CO CM CM CM Tt* S О TfN — Tf 00 CM CD О тГ 00 CM СО О Ю 05 CO 00 CO SCMSCMS CMS ООО — — —CMCMCMCO СОСОтГ^Ю Ю Ю CO CO Is» S S 00 00 05 05 © © — — CM CM — — — —Г ~-T — « — — —Г — — — — — — —Г — —Г — CM CM CM CM CM CM CM CO Tt* CD 00 «Ю05^01 со СМ О 00 S NNoOOCM Ю 05 tJ« 05 Ю CM 05 °0 S S S 05 -HTfNOCO SOCOSO ^ 00 CM ю 05 CO S — СО О Tj* OO CO S CM t>.—.CO — <o —SP OO© —— —CMCMCMCO CO COTf inmcDCDN S S 00 00 05 05©© — — CM CM 05©—СМЮ 00 —ЮОСО CM 05 CO CO CO CO Tt* CO 00 — ЮС5Ю© S Ю CO CM CM CM ~ — ~ Tt* s — Ю 05 COS — Ю05 Tt* 00 CN S CN CO — CO — CO — CO CO CO Tt* -^* Tt* Ю Ю CO CO CO S S 00 00 05 050© — — CM CM CO COS 05— Tt* oo CN S CM 00 Ю CM — 05 05 05 © — Tf s. © Ю О CO COOOOSS N00 © CO CO 05 CO CD 05 CO CO © COS—Л OO CM CO — Ю 05 CO 00 CM s — со-юою ©Ю © © © © — — — CM CM CO CO CO Tf Tt« Ю Ю CO CO CO SSOOOOG5 050©—^— CM CM CO CO Tf CD OO — *^* 00 CO 05 Ю —OJSlO Ю Ю CO S 05 CM СО О Ю — со Ю CO CM CM <N CO О CO CO 05 CM CO 05 CM CO 05 CONOTfOO CM со О tj* 00 CO S CM CO — Ю © Ю © Ю ОЮ ©©©О — — •—< CM CM CM CO CO_ Tj* Tt* ТГ ЮЮ CO CD CO S^S^OO 00^05 0500 —— CMCMI —7— — — — — — -7^^ Г—— ——Г—— — — — —Г .-Г ^ —Тем см см см cm cm О©— СОЮ 00 — Ю © Ю — 00 ю CO CM — — СМ СО Ю 00 CM CO — s © CO CO 05 CM Ю 05 CM CO 05 CO CD О Tt* 00 CM CD О Tt* oo CMS — COO — — ООО©— — — CM CM CM СО со -4* Tt* ТГ Ю Ю CO CO CO S S 00 00 05 05^000— —CM м ——— — — — — — —Г «—Г — i—Г —Г —— —см см см см cm cm 20
сососо coco СО СО СО СО со СО СОСО СО СО СО COCO СО СО СО П* •Ч** т}« rf ч|< -*■ *«-*•-а* ч* ч* сч сч сч сч СЧ СЧ СЧ СЧ сч сч сч счсо СО СО СОСО СО СО СО со со со со со со со со со ео со со со СОСО Сч сч сч СМ СЧСЧ СЧ СЧ сч сч сч см сч см сч СЧСЧ см сч см сч счсч СЧ СМ СМ С4 сч см счсч счсч СЧ сч сч ечечечеч счсч г- —. ю гГОЙ СО -*Г О СО СЧ О 00 — СО см 00 СО iniOCO®N N- N- 00 О сч 0510 — 00 'f N- 00 О) 05 О СО О LO — 00 о N. ео о со — —см СО со СОЮ ЮЮ N- COON’t — ■^toiocqt^ 05 со N сч 00 оососо —оо N00«OO со Tf со ео СО ^сч О 00 — счсо^^ СО 05 со ^ Ю со сч сч сч СМ СЧ СЧСЧ сч см сч сч сч СО СО СОСО СОСО СО СО СОСО со CO CO CO СЧЮО» ^ 05-41» СО СО Tf ^OS'tCM ©СО — N. СО ЮЮ СО CON- — — СЧ т*СО 05 Ю — N- СО Is- 00 05 05 О 05Т}*05Ю СМ 05 СО СМ 05 со О — СЧ сч со 05 00 00 00 05 СЧ 05 СО СО о Tf Ю СО N- СЧю 05Ю — ООЮ сч ООО 1^00 05 00 00 сою ю со Ю СО — 05 N- — СЧ СОСО Ч» 00 — 8S сч сч сч сч сч сч см см сч см сч счсо со со coco ео со со СО СО со со со со V ^ СО 05 Tj« СО СО rf 05 -f —I ОО СО 0510 — со сч -3«Ю СО CON- ЮЮ СО N. О ОО Tf О СО СО ь- 00 05 05 о CON. СЧООЮ 0510 сч 00 ю о — смсч ео сч «сч СЧ 05 со со о Ю СО сч N со N. tJ* СЧ 05 N. N-00 05 050 ООО N- N.00 ю сч О 00 со — СЧСО со ^ о сч ю ео Ю СО СЧ СЧ СЧ счсчсчсч сч сч см счсч СО СО СОСО СОСО СО СО со" со" СО со со ео со" ^ tjTтг — Ю 05 со оо со СО со ^ СО 05 Ю СО — 05 О со сч тМО СО СО<"- 05 050 —СО N. СО О СО СМ N 00 05 05 О V. — со — 00 <5010 — 00 о — сч СМ СО СО ^ rt* Ю — ООЮ СЧ 05 ^Ю СО СО N. О 05Ю СО —00 со N» 00 05 05 О СЧ О 05 05 о ’Ф СЧ 05 N* СО — счсч еоч* T*.<N ю<о счсч сч сч см счсч см СЧ СМ СМ СЧСО СО со" СО СО СО СОСО СО СО СО СО СО СО СО tJ* со о>со C-*h- СО СОСО ■«* оо со О N. ю со^ою- ^ Ю СО СО Tf СО N. N* СО 0510 — N- 00 00 05 О О 05 Ю — OO'fON^ О —СЧ CNCO 05 N» N- N- 00 О N. Th* — 00 т£ч*Ю со СО О CON. СЧ оо СО СО О 00 ю N. 00 05 05 О ю СЧ ——— СО — 05^- ю — C4<NC0 coco со — Ю«5 сч"сч сч счсч СЧ СЧСЧ сч сч СЧСЧ СО СО СО СО со со со со еосо со СО со" СО со ^ ■** ■»* -41* -.то 00 счг^ сч СО со ^ C4 00rf—05 00 СО 05 ю о т)-ЮЮСОК 00N- 00 05 — СО СМ 00 rf — N- СО 00 05 О СО СО 00 ю N. СО О со СО о — сч счсо счооо — О s Tfrt ОО П^ю со со СО СО О 4J«0 Ю СЧ О N- LO N- 00 05 05 0 N- СО СО СО СЧ О 00 со Tf — см сч со Ю N- сч о LOCO сч счсч сч сч" Сч сч СЧ сч сч" сч СЧ СО СО СО СО СОСО со со со со со со со со со со 05 см — toes СО СО -1* N- сч 00 Ю со N-CO 00 ^ О М<Ю1Л CON сч — _ СО ю СО СМ 00 ■ЧГ о N-00 оо 05 о , 00— СО СМ 00 СО СО 05 СО СЧ О—— счсо Ю СО со ^ 05 СО со ON- СО -^Ю СОСО СО 00 сч N. СЧ — 05 СО ’Ч* N.00 00 05 О 0)МЛЮЮ — 05 N-Юсо — — СЧСО-* N. 05 — 05 ю ю сч сч сч СЧ СЧ СЧ СЧ сч СМ счсч счсо СО СОСО со СО СО СО СО со со СОСО СОСО ■** -3* ^ 'Ч* ^ О СО N. — СО —. СО СО Т*> — N. СО О N- N. СЧ оо rf 05 ч}« Ю Ю СО со со ю Ю СО ОО Ю — N- СО 05 N•^00 00 05 05 — юою — СО СЧ 05 Ю сч о —— счсо 05 N- СО CON- ООЮ СМ 05 СО СО ТГ ЮЮ со 00 —Ю05Ю со — оо ю со N-00 00 050 05 N« N« N- — оо со ^ сч — — CNCO 00 — 005 ю ю сч сч см сч сч" СЧ СЧ сч сч счсч см сч СОСО со со со СО СО СО СОСО СОСО СОСО ■** 38= СО СО-^ СО —« N. 'f — СО CM N- СО 05 Ю»0 СО СО О 05 05 О СЧ Ю О СО СО 05 N•00 00 05 05 Ю 05 СО 00 ю Ю— 00 — О —— СЧ СО СМ 005 05 05 ООЮ —ООЮ СО ^ю Ю СО — N. СЧ N. СО ON- Ю сч N-00 00 05 0 Tf — 05 05 05 о оо ю со — — —, сч со ^ О СО ООО ЮЮ СЧСЧСЧ счсч счсч СЧ СМ СЧ СМ сч" сч" со со со со со со со со со со СО СО СО со ^ т^" О СОСО о ю о еосо ^ ОЮ — 00 со to — N. 5^ 00 т»« to Ю СО со СО СО ^ СО Tf о СО Сч 00 N- 00 00 05 05 05 C4N. СМ оо о —— счсо Ю СО СМ счсч N. Tf — ООЮ со -^«ю ю со ^(£>0^*0 СЧ 05 N. СЧ N.^N. 00 05 о coco сч —— 05 N. Ю СО — о— счсо СЧ ч* 05 N- ТРЮ оГ сч сч сч сч" сч сч сч см см сч см см СО СОСО СО со СО со СОСО со СО СО со со ^ TjT СЧСО ^ СО СО со Ю со 1^* 00 05 СО СОСО СО со О — СЧСО ^ Ю CON- 00 05 ч* ч* т* о — ечсо ююююю lOCON-COaJ ююююю о— СЧСОч* СО со со со со Ю со СО СО --ro¬ ——— —— —Г _г-Г — — — —— -и — 21
Продолжение tO -ЧЧОЮ ЮЮ1Й1ЙЮ ЮЮЮЮЮ ЮЮЮЮЮ |0(0<0<0<0 <0<0<0<0<0 со со со «Tj<Tj.Tj<Tt ^ Tt< ч* Tt< Tt< ■ч* т»< n#> TJ. ю ЮЮЮЮЮ со СО со со CO CO CO C3 CO СО СО СО СО СО coco со со co со со со со со СО СО СОСО со СОСО-4'^'Ч* сч стсчсч <N<M<N<N<M <MC4<M<MC4 СЧ сч СЧ СЧСЧ СЧСЧСЧСЧСЧ СЧ C4C4C4<N СЧСЧСЧСЧСЧ *** —-- 05 4,733 4,818 4,904 «00)0)0 05 OO СОЮЮ 0>0-и СЧСО ^loioioia | 5,442 j 5,536 5,630 5,726 5,822 005 00 05 — сч — — «сч 05 О —i СЧСО 10(0(0(0(0 4tO> ■ч* —00 о»<мсоча*т»* ч*чо (ON. ОО «0(0 (OnTcO f- t>- СО О СО lOSDNOO 05 0— СЧтГ> (OnTnTnTnT 7,518 7,634 7,751 7,869 7,988 00 Ю 0(0 сч-.® N-00 00 CO-OO-H ooN(OtO ^ 05 О « СЧ CO ■^*«0(0 ь-оо 005 00 05 — «ООО—. О) О — СЧ СО Tf 00 COON- — — сч со со ■^ю (ON^OO (О (ON 05 СЧ Ю со N. 05 050 —сч СО N. СЧ05Ь>С0 о счсо ion. ю (ON 00® т*> тРчГ 'tifliO ЮЮ ю ю юю ю 10(0(0(0(0 (0(00(0(0 (oVnnn nTn NN^nT N СО— N. — ООО N-00 00 rj« <N — « <N t^COlO^cO C5O«C4C0 ч*1 Г~. — Г-. СО (N«-.00 ^ Ю (О N. ОО о 0500 о — О 05 05 05 О 05 05 о «СО ГР 00 C0 05N- оо —— сч •^•ю (ON. 00 Ю ю со 00 — <*Э -Ч* ю СО 00 050 —СЧСО Ю ON- Ю -Ч« 05- сч ч* (О ч*(0 N00 05 'ГЮЮЮЮ Ю Ю Ю Ю Ю 1010(0(0(0 (О (О (О (О (О (OnTnTiCnT (sVnVn <О 00 СО 00 ©05 N. N^N-^00 ю со <м сч со сою м< со сч 05 О «<N CO Ю 00 СЧ N СО —н О О 05 05 Tj*i0(0(0N.^ « 05 00 05 « 05 00 СО 00 05 coos о« сч СО N. СЧ 00 (О 05 0)00- <0^(ON-00 Tf rt< ^ (О 05 СЧСО Г(»Ю(0 0)0^ «СЧСО т}< О) Ю СО сч 00 05— сою Ю N" 00 05 Ю ЙЮЛЮ ЮЮ <0(0(0 (О CD (О (О <0 (OnTnTnTnT n n n rC n ю S^o O»00N- «>N^00 (O CO CO •л rt* еосч— О) о —1 О) со ЮОО СЧГ- т* 0"05 0»00 00 xf^lOON — 05 00 050 ОО N- N- N. ОО 00 0)0 — сч еоь-счоою 00 00 05 0)0 СОП^ЮСООО со со со ю оо — СЧСО "^Ю 0)0—сч СО СЧN« Tf<— О N 00 О СЧ 'Э* ■^lONj-OOO» ■** юю ю io ю ю ю to 10(0(0(0 (О (О <0 (0(0 (OnTnTnTnT nn n n*n" — (О — qjN- со «О^оо СО Ю Tf* ч*1 СО сч «о ao-wn (О О) СО 00 OOOOONN. СО'tio (ON, « 05 00 05 О N(0<0<0N 00 0)0 — сч СО (О — *>» ’Ч* N. N.00 00 О) со-Ч*ю (О Nj^ СЧ СЧ СЧ ч*1 N- ©—<N00-4* 05 0-^ СЧСО — со СЧ О 00 CON- О— сч ТГЮ СО 00 05 'tf1 ю ю ю ю ЮЮЮЮЮ 1010(0(0(0 (0(0(0(0<0 COSNSN NNNN N со CON-CO СО СОЮ <on oo 05N- ЮЮЮ СО сч — О О) 05 0 — СЧ <Nl NOCOOOtC OOOON- (0(0 CO-^lOtON — 05 00 050 (0ЮЮЮ<0 00 05 О — О» СЧ(0 —N. со (О (О N-N-00 CO^iOCON сч —— сою 050 — счсо ООО —счсо 05 -ч* О 00 (О ч* «О 00 05 — 4*W(ON 05 ■Ф ^ тГЮЮЮЮ Ю lO LO Ю Ю ЮЮ (0(0 (О (О (О (О (О (О (ONTNTiCrC nTnTnTn nT сч t* NW't (ON« 000(0(0(0 СО —< о 05 ОО 05 <Э« — СЧ тГ ююю ю 00 О ^ 05 LO Ь-N. (ОЮЮ CO^iOlOS lOlOiOlOW — 0)00 050 Ю ^ rt* '■tin 00 0)0—СЧ юю (0(0 (О СЧ (00(0 со ЮЮ<0(0£- со-ч«ю(©^ (О (О (О (О <о 6,881 ! 6,990 I 7,100 7,211 7,324 оо со о) (о тр СОЮ (ООО о Ч* ЮСО N.05 N N N. N* N. - ’ 4,666 4,750 4,835 4,922 5,009 5,097 5,187 5,277 05 —< Ю О) ю (OCOin^^ СО^Ю (ON ЮЮЮЮЮ (N005 0)0 ■чг со со 00 05 0— сч ЮЮ (0(0(0 счюоюеч ^^юю«о CO-^iO(ON» (О (О (О (О (О О 05 05 о со N- N. ООО — 00 0)ОСЧС0 coconTnTnT 7,426 7,541 7,657 7,774 7,892 о 4,657 4,742 4,827 4,913 5,000 5,088 5,178 5,268 С35СЧЮОЮ ЮЮ T5* Tl* CO СО (O N- ЮЮЮЮЮ 5,832 5,930 6,029 6,128 6,230 СЧЮ05Ю — со со со ^*ю СО ^Ю (ON (О (О (О (О (О 6,859 6,968 7,078 7,189 7,301 ЮОЮСЧ — — СО TfCOGO 4t>to(ON оо n n n n n N-0O 05 (0(0(0 О — счсо ^ N.S.N.N:S. Ю CO f>. 00 05 N- N- N t4» N о— счсо^ 00 00 00 00 00 Ю со N 00 05 00 00 00 00 оо о« СЧСО-Ч* 05 05 05 О) О) Ю CON 00 05 05 05 05 O) 05 22
СО СО СО СО СО СО СО СО N Г— NN NN N NN 00 00 05 О « « СЧ СО TMOCONOO 05 О « СЧ СО «сч«ч счлм ююююю ююююю ююююо СО СО со N N 00 00 О) о о coco*» Ю со N оо 05 СО со NN ОО 00 О) о о « «СЧ СО СО тр СЧ СЧ СЧ СЧ ГО со со со со со со со со со со ОО СО 00 00 Ч** ««ЮЮЮ СО со со N N 00 00 00 05 05 - « « СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ сч СЧ со СО 00 СО СО >4* ^ Tf, тр Т*. Ю 00 О-СО t-. со о со Ю N о «счсо^со 02 tv. со СО 00 СЧЮ00 «чр N оо сь •—< сч « Ю ON Ю оо«юоосч СО iO<£>N 05 <о о«ю^ ОЮОФ^ N N СЧ -4* СО СО ^ N « N о со «со « Ю<ч*СО 05Ю N СО СЧ СЧ СЧ ^ 00 ю оо оо оо оо оо 00 00 00 05 О 05 05 05 05 05 о о сч сою N оГ«^СО ««СЧСЧСЧ 05СЧЮ*00* СЧ СЧСО СО СО Tt* со" о "Ф оо* со ^•юююо СО 00 —«ю о 05 « ч* Со о ОСЧ СО ю СО ^ СО со ю — Гр N О CO NO0 05 « СЧ N —ГСО СО« со о СО N « СО Ю tO N 05 о юсоюоою ОСООО-^СЧ N Ю 00 05 СО « С^ч^Л-чр СЧ со 03 « ^ сч « сч со « оо^««ч> оооо ©■«*© 00 00 оо 00 00 00 00 00 05 05 05 05 05 05 Oi о о« сою N 05* «* со СО « « сч сч сч 05 СЧ Ю 00 СЧ eg со со со Tf Ю 05 4*00 СО rt< Tf ЮЮЮ СО 00 СЧ N OOOC4ION ОСЧСО-ФЮ ^ « оо« О СО СО ОЗ СЧ N00 010C4 •4*00 COOiN ю оо СЧ Ю 05 CO-^CON 00 СО _ СО сч О « N О СЧ N СО О N СОЮ О о»о счсосч СО «О NN00 03^00 05 СЧ N О СО 00 со N ю^юозю 00 00 оо 00 00 00 00 00 05 О) 05 05 05 05 05 О О « СО ю «о 05« coco ««счсчсч 00 «<#00« СЧ со со со ^ Ю* 05 СО N СЧ ю Ю СО 8,072 8,194 8,316 8,440 8,565 «00 NN00 О) « ^ N О «ООО 05 0СЧ 00 00 00 05 05 « 05 Й СО ■^ N О Tf* 00 COt^CONOO 05 05 05 О 05 10,022 10,08 11,54 13,14 14,89 00 СЧ СЧ 05 со N ОО О 0005 «ооо*«сою ««счсчсч 28.65 31755 34.65 37,93 41,42 СЧ со СО — о « О « ю« Ю* 05 СО N СЧ ^ Tf ю Ю со 0«** NC4 <0 00 о сч ю о«со^ю оо со ю N О СО О 05 <0 00 05 0« N « to СЧ 05 СЧ СО О со со COr**lONOO оо О 03 оо « О СО C3_N ОО « О Ю N Ю СО 00 «со N СО СО О СО СО СЧ СО со о 00 CON со N<0 NOCO оо* об об об об 00*00*00 05 05 05 05 О 05 05 о «* сч <0 00 ОСОЮ « «счсчсч oo «tj^n « СЧ СО СО СО VoOC4N« Tj* ЮЮСО оо 05« ю о ч** ССО) « ч* о~сч-*ю со со « « сч СО 05 СЧ Ю 00 СО N 05 О —1 •4* NC4 00 Ю «Ч^ОО «ю СО ^Ю N ОО О) тр « 00 05 сч оо ю 05 О N « « СОЧ* ЮО>^ 05 со «со « О 05 О СЧ N СО со « СЧСО СО сч со со « оо оо оо оо оо 00**00 00 05 05 05 05 05 05 05 05 «*СЧ<* СО 00 о сч ю «« счсчсч 00 O'»* NO сч со со со гроб счсо« ^ rj* ЮЮСО (osans СО Ю N о сч о —сч ю СО О 00 ОО СУЗ Ю 00 О СО со CO N ОЗ о « « 05 -ч* сч О СО СО о ^ со Ю N 00 О 00 05 Ю Ю 05 О СО со 05 05 Ю N ю «« СОСО« сч to осою СОЮ N05 СО 05 со ООО о 05 00 05«N оооо*оосо*со* 00*00 СО 05 оГ 05 05 05 05 05 05 « СЧ-**" со оо*осчю «« счсчсч NO СОСО О СЧ СО СО СО Гр CON«CO© rf Ю Ю СО TfinsOin сч-^со дз« о « СЧ со lO О N Ю Ю со ^ со 05 сч ю «О N00 0« N « Ю « 00 00 СЧ Ю 05 сч СЧ ^ Ю со 00 со СО "Ч* 05 N О) 05 ООО сч со о О 05 « "'t1 05 "Ч* N 05 05 О Ю СО СОЮ о « чф со ■*» СО NC4 оооо“оооооо 00 00 00 05 О» 05 05 05 05 05 05 ОСЧТГ cos ©сч-»*" ««счсчсч N0 00 (ОО* сч со со со ^ CON «ЮО Г** ЮЮСО ечсоюоосч -<COiONO о «сч СОЮ 00 Ю со СЧ сч СЧЮ0О«ч* «О N00 0« ^•NWNTj. NOTfNrH СЧ "Ч* ю со 00 сч Ю 05 СО о 05 N со СЭ «00 005 т»* 00 N05«C0 N00 00 СОЮ счооечсо гр ю со « оо СЧ OOCON оо 00 00 00 00 00*00 00 05 оГ 05 0505 05 05 05 о сч ^ »ON 0)СЧч* « « « сч сч NO 00 СО 05 СЧ СО СОСО со 0ON« Ю 05 Tf ю Ю Ю о-счюо ОСЧЧ»<0 05 о«сч со-^ Ю СЧ 005 05 ^ N 03 СЧ СО N 00 05 « «■4» оот(«о СО 05 СЧ СО О счеоюсооо оо «О Ю N СЧ 05 УЭ « 00 (N 00 00 .ю 05 СО Ю СО 05 СО 005N4*»© ON N о со 00 СО Ю N СЧ оо со со оо СО 00 00 00 00*00*' осГоо* оо со 05 05 05 05 05 05 05 0*СЧ СО ION 05«^ «««мм N 05СЧЮ05 СЧ СЧ СО СО СО СЧСО ©ч*05 ^^ююю О —< СЧ СО ооооо Ю СО N 0O 05 ооооо о « сч со ю «« СЧСО Ю CON 00 05 °« СЧСО-чр Ю СО Ь.00 05 <NC4<NC4<N СЧСЧ СЧСЧоГ сч сч C4C4<n СЧСЧ СЧСЧ СЧ сч счсч сч сч со со 00 00 со СОСО СО СОСО 23
Продолжение ю ui(ON« о СЧСЧ СЧСЧ СО — CNcOTt-т*. СО СО ^ чф .ф . ююююю Ю СО СО со СО COSNSS ч* о— сч сот»* счсчсчсчсч ю со со со со СЧСЧ ео со со сот* ч^* Т* ч* ч** т}* ююю ю Ю Ю Ю СО (О со tntot^soo 05 05 сч СЧ СЧ СЧ СЧСЧ СО СО СО СО со СО со СО СО т* т* сч оо — — сч СЧ СО — — — счсчсчсчсч счсчсчсчсч счсчсчсчсч СО СО СО со со ~ юююою сч со ю о сч ■Ф LO О) (О Ю ОСО S — 05 05 СО 05 00 ОСО ю S СЧ — со 05 05 СЧ 05 05 TJ* счо — ю CD 00 СООО т* © t© SS 00 05 со со 05 со^ 05 О о — сч — о; оо со ю СО СО ю со Т* Т* Ч* Уф S 00 05 о — — — — СЧСЧ Ю S 00 О СО СЧ сот* СО S СЧ СЧ CN СЧ СЧ со 05 COS- 00 05—сч^** сч сч со со со СЧ соо СОСЧ 05 OTf 005 К О оюсчсчю — OC4SCO S со— СООО 00^0 S S — о> —SS — 00 S СООО т* 05 (ONNOOOO СОСЧ 05 со со 0500 —сч — 05 S Ю СО СО ^ Ю СО СО СО СО СО СО S00 050 — — _ сч сч т* со" S* 05 сч C4COt*iOS счсчсчсчсч ч*оо — юо ОО 05 — СЧ т* СЧСЧ со со со сч —юю — т* ю 00 ,т* со Tt* Ю •^ООЮЮОО СОСЧт* 05S 00 СО — со оо CD 05 Ю Ю СО COS СОСЧ to S NC4S со 05 CDSN00 00 lO — оо ю сч CD О О — СЧ ООО СО т* СО со сот* юсо СЧ СЧ СЧСЧ сч N 00 05 О — — — — сч сч СОТ* СО 00*0 C4COt*iOS СЧ СЧСЧ CNC4 coco oV00 00 05 —СЧСО СЧСЧ со СО СО СЧ 05 — 00 СЧ 05 05 СО 00 Is» оо — 05 00 о СО ^ ю О 00 05 СО — СЧ S ю S со СО со СО Т* 05 00 сч to СО — S СЧ 00 со S S 00 оо Tt** —* s т* сч 0500 —сч 05 S Ю т* сч СЧСОт^ЮСО S00 050 — — — — сч сч СЧ СОЮ S05 сч со Tf ю со СЧСЧСЧСЧСЧ СЧ LO оо* СЧ S 00О5ОСЧС0 СЧСЧ со СО со COSS — C4 СО¬ оч* счюсч —со oo^cqs —05 О Tf* — СЧ со т* СО — ОСО О— Ю т* S ю СО—СОСЧ 00 СО NN СО СО 'tdsVrH 0500 —сч 00* СО СО — СЧ СО ч* Ю СО — ОО ОО S ОО 05 О — — — — сч сч — СЧ ч* СО* 00 СЧ СО Tf Ю СО сч сч сч сч сч —* т*** S* —* Ю 00 05 О СЧ СО СЧ СЧ СОСО СО т* СО СО Ю СО 05 05 СЧ Is» Ю 00 о ю 05 ю со ООО 05 СО о о-ч^— счсо СОЮ ООО— S00 СЧОСО т* Ю о со — s' СО S N 00 00 СО 05 СО соо 05 05 О — СЧ оо*ю*сосч — СЧ со Tf Ю со О 05 05 05 05 S S00 05 0 о — CO*Tt«*S* СЧ СО Tf ю со счсчсчсчсч 05 СЧ* со О Т* S 050 СЧ СО СЧСЧ со со со Ю 05 ОО 'Ф’Т^СО — 05 со ю 05 СЧ S_c« со о — ч^— — ю —счю СО СООО СО 00 т* т* ОО^СО 00_ со ю ою — со (О N N ОО 00 СЧ 05Ю сч 05 05 050— — S ю со — о СЧ СО Tf ю со of00*00*00*00* СО S 00 05 о 05 О—СО Ю — СО Т^ ю СО СЧСЧСЧСЧСЧ 00 —ч* оо СЧ S 05 О— со СЧСЧ со со со сч СО СОЮ счю 05 05 — со СО ю — СО со сч о— Ю СЧ сч со сч счю — — ю СЧСЧ СОТ* СО СЧ —ЮСЧт* ч* 05 Ю ОСО со со s оо оо СЧ0ОЮСЧС5 05 050 — — сот* СЧ О 05 счсоч*юю ОО S S S S СО S ОО 05 о 00* оГ О СЧ* т* ГНСЧТСЮСО <N СЧСЧ СЧСЧ SOCOS— S050— СО СЧСЧ СО со со - 00 СОСЧ COS tt^O.S. ч* С5т* ОЮ СО CDS 00 00 91,73 97,97 1 104,5 111.3 118.4 OOT^^S со Ю СО — 05 с» СЧСОт*т*Ю СО СО СЧ — Т^ S* СО* СО СО СО* CO S 00 05 о — — ЮСЧт* S*"00* 05 — со — СЧ со ю со счсчсчсчсч 0500 — 00 05^ Ю 00* СЧ Ю 05 S00 о — сч СЧСЧ СО СО СО о о сч 05 — оо 005 ОЮ — ^00 т* 05 lO СО СО S S 00 91,12 97,34 103,8 110,6 117,6 OS СОО>Ю юсч ооо* S СЧ СОТ* ч* Ю '■фсосч — со ююю ю СО S оо 05 о О ОСОО — СО S 00 осч — сч со ю со счсчсчсчсч totooo Т* Ю T*s о т*0О S 00 о — СЧ СЧ СЧСО СО со О — СЧ СО ^ Ю СО S 00 05 О — СЧСО т* Ю со S 0Q. 05 о — сч со Tt* incqs 00 05 т* Т* Tf т* ююююю ююююю со со со со со СО СО tO со tO 24
NCO 00 00 00 05 05 О 05 05 ООООн « сч сч с» со со со со -ф Tf Tf Ю Ю Ю <0<D(0(0N NSNNOO 00 00 00 00 О) 05 05 05 05 О оооо-. ^ 1—1 ^ СМ СМ СМ ■^ЮЮЮЮ Ю Ю Ю CO CO СО СО СО со со NN NN N N 00 00 00 00 00 00 05 05 05 05 со еосо со со eo Tt* 4* Tf ■** -ф -Ф т»< т* т!< тСтСЮЮЮ ююююю ЮСО СОСО СОСО «WNNN <M СЧ CM CM <N CM <N CM CM (N сч см сч см сч СМ СО со со СО СО СО СО СО СО СО Tt* N ^ф СО СЧ СЧ 00 N CM *-« IOtCN coo ОО СМ СМ СО ю —< СЧ 00 05 N О 05 СО -Ф О СО >—* N СО О UJNCOOW еосоео'фг^ СЧ-© CO in N 05 -h чф ^ т»« т*> Ю 05 05 05 о СЧ СЧ-Ф СО 05 — ЮЮЮЮСО coco оГсчсо СОЮ N О СМ COCO CONN —Г со -W lO N- О СЧ LO NN00 00 00 СЧ оГоО N N 00 О СОСО 05 00 05 05 05 05 05-н00 05Ю Ю © 05 CO CM Ю CON Ю 00 СО О 00 см см со со см со о СМ 0”ф-Ф о •^ою«оо IOSOOOM СОСОСО'Ф'*' Ю CO O 05 00 COU5NCOO rt< "Ф -ф LO NNN00 05 СЧ со 00 о ЮЮЮЮСО -Гчфсо о-ф СОЮ N О СЧ со СО CONN 00 со оГю СЧ т!« N 05 СЧ Щ NNN00 00 05 N Ю ^П< N О СО СО Oi 00 05 05 05 05 ■'Ф СО СЧ СО 00 00СЧ—»Tt* CO СО СО СО -ф СО -<| N Ю 05 N ~< СО N СО Ю СЧСОЮ© СО 00 "Ч* О СО ю со оо о СОСОСО'Ф'Ф CO*- 05 n CO СОЮ CO 00 О Tf< ”Ф чф т*« Ю ЮЮ Ю со N СЧ '■f со 00 о юююю со 05*" -Vs« СМ Ю N 05 <М СО coco CON со" со" см" 05 -t1 N 05 СМ -Ч* NN N00 00 СО -ф" см —" — N ООО со 05 00 05 05 05 05 05-nNNC4 —< LO СО СО -Ф СО СОСО сою сч ю сч ю со N СО О О СО N^NCOO —< N см оо ю ЮСО 00 05-н со со со со "Ф W O) N lO Tt< СО -4* CO ooo •ча* «ч* rfi ю со со со ю см -ф со оо о ЮЮЮЮСО N 05 СЧ Ю 05 СМ -3* N 05 •—1 СО со СО CON СО оо" о" со" т*С0 05СЧ-Ф N NN 00 00 СО « 05 00 оо N О СЧ Ю 00 00 05 05 05 05 ■*Ю -н~Ю in N. Ю N СОЮСЧт* ОСЧО^СЧ 05^ 01^10^05 О СО 05 N-^ ою-Jn со ЮСООО 05-* СОСО со con* oVio CO CM CO CO OO о ^ чф Tf т*> Ю ^ « СЧ со см-а» со 00 о ююююю Ю N 05 СО СО СМ -Ф СО 05—* СО СО СО СО N —Г со ~Г N СО т* СО 05 -н т*. N NN 00 00 —Too СОЮЮ N 05 СМ Ю 00 00 00 05 05 05 СПОЮ TJ* 00 NO^N 05 CO СЧ 00 ©СО 00 Ю СО СО 05 00 сч СО 00 О 00 —■ 00 т* С5Ю — •'I* !D N О)—1 СО СО СО СО Tf* 00*" Ю CO о CM Tf* CO 00 о Tf Ю 05 05 05 О —* «союооо Ю ЮЮ Ю СО (NlONOrf CM Tf* СО 05 -Н СО СО со CON оо" со" оо" т* —Г СО СО 00 *хт}« N N N 00 00 оо" Ю чф СЧ см СО 05 СМ Ю 00 00 ОО 05 05 05 -Ч4 Ю 05 00 см owoos 00-Tj<Tl« о-н N N СОЮ-Н СО О со сч со Ю-Н.С4С5 — n C4N соо -Ф СО N 05 ~ со со со со '■а* N^« ©00 CM Tf* CO 00 05 <ч» ^ ■*» "Ф NNN00*05* —i СО Ю N 05 ююююю о см ю" 00 см CM Tt* СО 00-* СО СО СО CON со" со сч" оо" СО со 00 —» СО NNN00 00 Ю СО ^05 05 СО 05 CM N 00 00 05 05 05 C5C5^ С4 ю CO LO —* CM 00^ 00 -Ф ^05 05 ЮЮ —-^N 05 со оо СО О) 00 со со о см ю ососчоо СО N- 05 О СО СО СО СО Tt* U5No‘ooV CM CO N- 05 ча» 4* *а» •ч» ЮЮЮЮСО • СО LO N 05 ююююю ооососо о> -*<ч»сооо о «О со со СО N СО оо" со 05 ю СО Ю оо о со N NN 00 00 СМ О оо" N СО СО 05 •—«-Ф N 00 00 05 05 05 ю-ф 00 СО 05 coseo^ 05 05^^05 00 со со оо оо ео -Ф —< СМ О СМ «юю^м *Ф 05 >Ф О СО ■«Ф LO N 05 С5 со еосо со чз* со о oo" со <ф" CM -Ф Ю N 05 -ф чф -»а» т*» еосо со со"Ф -Н СО Ю N 05 ююююю «ООО О CON -мсосоао о со СО СО CON .-Tco-Tn со со Ю оо О СО NNN00 00 о г>Гю чф со СО 00 'Ф N 00 00 05 05 05 О 05 СЧ ОСЯ 05 О ю СО О O^^OON ~м-нЮЮО OCO NTO СО -ф NN СМ СО о со N СО оГю ^UJNOOO со ео со со 4(1» —<05 СО Ч*" СО СЧ сою N 05 чф <Ф чф чф сч" -Г -Г ~ сч —1 СОЮ N 05 ююююю т^СООО —Гю —. со ю оо о СО со СО CON стГ СО оо" 'Ф о CM Ю N © СО NNN00 00 nVn«o*o* Ю 00 N о 00 00 05 05 05 о о—, см со -ф LO СО N00 05 ©-«сч сот*« Ю СО N00 05 ОмМСО -Ч* Ю СО N 00 05 о 05 05 05 О) 05 о n" n" n." n" n n" N N N nT 00 00 00 00 оо 00 00 00 00 00 05 05 05 05 05 25
§ 8. Значения дробей вида о> О О) о> 00 00 00 00 00 00 00 (О СОСО со СО СО со СОЮЮ 1 оо 00 00 00 00 ь- N со со со со со со со со со СО ю ю ю ю ЮЮЮЮЮ 3 N SSSNCO СО со со со со со со сою ю ЮЮЮЮЮ ЮЮЮЮЮ о к о. с со (О со (О (О ю ЮЮЮЮЮ ЮЮЮЮЮ 0) X ю toiotototo со со со со со СО СОСО СОСО Й ч* со СО со со со со со СО СО со со со со ео со СО <N СМ СМ СМ г Я р* со со СО СО СО СО со СО со СОСО CM CM CM CM СМ CMCM<N<N<N CM <N CM CM СМ см см см см см О (N CSI<N<N<N<M <N<N<NCN<N СМ СМ СМ см <N 05 —• оою со —.-«-нсчео G5 00NCOiO 05 05 05 О) 05 СО Ю 00 СО 05 Tf Ю со ао 05 т* со <N -н О 05 05 05 05 05 SNSOCO -н со Ю СО О OQOOSN 05 «ООО 00 00 ! 8628 8554 8482 8410 8340 8271 8203 8137 8071 8006 1 со О 0500 00 'ФОО — ЮО» 05 00 оо N со SSSSS 00 СО 00 ^ СМ СЧ СМ СМ СО чц OJOONtDlO 05 05 05 05 05 СМ СО <0Г*. lOCONOlO *4* 00 СМ -н—« 05 05 05 05 05 IOIQION —< см со оо « 00100SN 05 00 00 00 00 со см аэ оо Г'- сосооо— (ОЮ^^М оо оо оо оо оо 00 о со со со CM <N —« О О 00 00 00 00 00 05С0Ю^*т* ч* 0О CM СО О 05 00 00 N N NfsSsN N ocosco« СО СО со ^ to 05 00NCOIO 05 05 05 О) 05 9-461 9372 9285 9200 9116 coco сою оо СОЮ N 03 —■ 005 00NN 05 00 00 00 ОО со 05СОЮ4* со аэ см ю СОЮ-Ф^СО ООоооОООСО Ю N О тс 05 00 — Ю 00 —« NN-OO оо оо оо со оо ЮСО-нОО Ю 05 СО N — 05 00 00 N N NN NN N о О СО N СО о ч*т*ч*ЮСО 05 001». СО Ю 05 05 05 05 05 9470 9381 9294 9208 | 9124 9042 ' 8961 { 8881 1 8803 8726 со со см — Ю tv о СО СО СО Ю Ю т*| СО 00 00 00 00 00 C-t^SMCO 05 СМ Ю 05 СМ <N<N—•00 00 00 оо со 00 СМ 05 N СО СО со 05 CON — 05 00 00 N N NN NN N ю О СМ СО СМ 05 Ю Ю Ш СО СО 05 00 N СОЮ 05 05 05 05 05 05 0 СМ N СМ N 05 О—< со ** СО СОСМ-* 05 05 05 05 05 9050 8969 8889 8811 8734 оо *-ч Оз 00 Ю оо — со со соююг»* ео оо со оо оо оо 05 о со N см О СО со 05 СО смсм —оо оо оо оо оо оо 00 Ю со СМ СМ со о** сосч 05 05 00 N N N NN N N О СМ <0 —• Оз СО СОСО N N C5CONCOIO 05 О) 05 05 05 00 00 —* LO —i 00 05 «СМ ч* ч*« СО СО СМ —« 05 05 05 Q) 05 00 N N ОО л 10N05-.T}< О 03 ОО ОО t^. 0500000000 СО«чОО СОЮ СО 05—< 4*4*, СОЮЮЧ*>СО оо оо 00 00 00 СО N О ч* 05 О CON о со со см —— о оо оо оо оо оо ч*— 05 00 00 -ч Ч*> оо СЧ 05 05 00 N N NNNNN ео ОСМЮ-нОО NSNOOOO O5 00 NCOIO 05 05 05 05 05 NSO^O) 0)O<MC0Tt* СО CM —1 05 05 03 05 05 СО Ю Ю СО 05 СО ОО О СМ Ч* О 05 03 00 N 05 00 00 00 оо со оо ю со см N 05 СМ Ю ОО СОЮЮ ч*> со 00 00 00 со 00 СО 4* N О Ю C0C4-* — о 00 ОО 00 00 00 —1 00 Ю Ч* 00 —Ю 05 СО O5O5 0ON N NN NN N <М O-IOOS ОО 00 00 05 05 О) 00 N СОЮ 05 05 05 05 05 СО СО 00 <N00 О —. <М 'Ч’ Ю Юч* СОСМ-н 05 05 05 05 05 COCOON N 05 >-» 00 Ю О 05 05 00 N 0500 ОО 00 00 8681 ! 8606 8532 i 8460 8389 8319 8251 8183 8117 8052 N4*CMOO 00 см со От^ 05 05 00 00 N NN NN N - О —' 05 СО О 05 05 05 О 05 OONCOCO 05 05 05 05 05 IOION-*CO СМ СО Ю СО Ю со СМ -Н 05 05 05 05 05 СО-.— СМч* 00 0<MtJ< со OOO00S 05 05 00 00 00 оо со о n со 00 -н ч$« СО 05 coco ю-** со СО 00 00 00 00 8326 8258 ! 8190 8123 8058 4*1000 СО со 05 СОСООЮ 05 05 00 00 N NN NN N О О —• т!< 05Ю о о о о ^ О 0500 N СО О 05 05 05 05 СО 05 Tt* СМ СО ^ Ю N Ю Tf СО <N — 05 05 О) 05 05 ^ 05 05 о см 05 о СМ ю N О о 05 00 N 05 0500 СО оо СО t'- ю со 05 CM ^* N О СОСОЮ^*4* 00 00 00 00 00 COrfNOW СО со 05 CO СО со см —• —< о 00 00 00 оо 00 О N СМ СМ О СО N —< Ю 005 00 00 N 00 N NN N -Го о о о ООООО ооооо ооооо ооооо ООООО С О—«СЧСОП* ООООО Ю СО N ОО 05 ООООО О—CMCO^f* Ю СО N ОО 05 О — СМ СО ^ СМ СМ СМ СЧ см Ю CONOO 05 см см см см см — — -* ~ — ' — 26
юююю ю UMO'lOU^U} СО СО СО СО СО Ч* со СОСО СО со со со со оо со со со со со ■Ч* СО СО СО СО со со со со со СО СО СО СО СО со со со со со СО со СОСО СО Tf СО со со со со со со со со со СО «О СО со со со со со?о СО со СО со со С4 СЧ СЧ СЧ СЧ см <мсчсчсч СО СО СО СО СО оо со со со СО сосч сч сч сч сч сч сч сч м сч сч сч сч см СЧ СЧ СЧ СЧ С4 СЧ С4С4 СЧ СЧ СЧ СЧ С4 СЧ СЧ C4<N<N<N<N C4<NC4<N<N <N<NC4C4<N сч сч сч сч сч СЧ сч сч см сч СЧСЧ С4 — — <M<N<NC4CNI <N<N<N<N<N — ОООО ООООО ООООО ООООО ООООО О» СЧ Ч< 00 СО со о© о* со —t <&Ю ЙЧ1^ SSSNN ооюсчох» Ю О Ю О "Ч* СО СО СЧ — NN NN N N N00 О) —« СЛ-Ч* ®тГО О О О» О» О» N N СО tO СО 4<N — СО — Ю OtO —N 00 00 NN tO to to to to to N со О 00 to СЧОО Tf СП ю СОЮЮ -Ч» Ч< to со to coco ■Ч1 со со con* — N СО О» Ю ^ со сосч сч со со со со со Ю NO)— ■Ч* — N СО О со СЧ — — — о to to to to to IQNO^OO ^0OCON« (ОЮЮ^'С NN SN N rfON Ю СО to — щ о ю СО СОСЧ СЧ — NN NN N СЧ СЧ СО Ч* СО О Ю СУ Ю О — ООО» о» NN N СО СО 6859 6812 6766 6720 6676 6631 6588 6545 6502 6460 00 00 N>-00 — N СО 0»Ю -Ч« СО СО СЧСЧ «О <0 СО СО СО О) о со ю оо — 00 Т* о ю СЧ — — — о to to to со <о — ОО СОО)^« Ю Оз CON <N (OiOiO^Tf NN N NN С»Ю СЧ © 00 СО —Ю —Ю СО СО СЧ <N —« N N N N N NN 00 О)— О Ю О Ю —« —«ОО 0)0) N NN СОСО CONOlOO CO —NC4 00 00 00 NN tO to to to to to 6636 6592 6549 6506 6464 со СЧ—1 —< сч СЧ 00 -Ч« О СО Ч* со со СОСЧ со со СО СО СО СО 'Ч' СО О) сч СЧ 00о N СЧ —— — о со to <о to to N 05-* tOO> Ю Oi Tf OO CN (ОЮЮ’}'^ NNNN N IOmNIOCO N СЧ to —«О оососчеч — NN NN N СЧ Сч со Tf СО —. СО— СО — «000)0» N NN со СО со — ю O) rf tO C4 N СЧ 00 JO 00 NN CO to CO CO CO to О со СО О оо Ч« О Ю —« СО СОЮЮЮ"Ч< со со со со <о N СО Ю Ю со СЧоО’Ч'ОСО Ч»СО СОСО сч со СОСО со to N00 О СЧЮ СЧ 00 Ю — N СЧ — — — о to to to to to cOiOS-lO too •ч*oieo СО СОЮ 4« 4« N N N N N о со со ооо СО <N N <N<0 со со о* сч — NNNN N NN00 0)0 i~i<0 — tOC4 —»оо о» О» N NN СОСО eocoo'to N СЧ 00 CO OO CO OO NN со to to CO to to Ю — NIOC4 ^OiO-N со союю "f со to со со to — оо»о»о СО О» *4* О N ■4е СО СОСО СЧ со to to to to — СЧ-Ч*СОО) CO 0)10— N сч — — — о to to to to to 0)000 COO CD ->Ю O) Tf <0(010^^ nn NN N 7386 7331 7278 7225 7174 СО СЧ СЧ ч»* Ю СЧ N СЧ N СЧ — 000)0» N NN СО СО 00 — ^*0) CO N CO CO COO) 00 00 N N CO co to со со co 6649 6605 6562 6519 6477 tO-^j* СО СО *ч* СО О» Ю — N т»* СО СО сосч со со со to to 4« to ООО CO CO о» Ю СЧ oo СЧ — — — о со to to to to Ю to <J»C4 CO NrtiOOrl' to (ОЮЮтС NNNN N «NCO^Oi О» СО 00 CON со еосч СЧ—. NN NN N 00 NN 00 О C4N СЧ N СО — 000)0) NNN<0(0 сч ю O) CO OO 00 CO 00 ч• O) 00 00 NN <0 to to to to to 6653 6609 6566 6523 6481 O',00NN N СО ОЮ —N Tt* со со со <4 со со со со со COO — -4» CO C*5 О СО СЧ OO СЧ СЧ — — о со со to to со 7680 7622 7564 7508 7452 to СЧ О» со о»-ч* оо со оо со СО <N сч —« N N N N N СОСЧ СЧ СОЮ со 00 «о 00 СО — 000)0» N NN СО СО N О CO 00 СЧ 00 4* OJ-4« o OOOONNN to to co to to 6658 6614 6570 6527 6485 сосч — — — Tf* О СО СЧ 00 Ч" Ч" со СО СЧ tO tO tO СО to СЧ СО Ю N о ч< O to СЧ О) СЧСЧ —— о со to to to to (OOOOCON OO CN (ОСОЮЮЧ1 NN NN N 7402 7348 7294 7241 7189 00 NN 00 О СО ОО СО 00 Tf — 000)0» N NN СО СО СЧЮ 00 C4N O)^** 0)100 00-00 NNN CO to CO to to СЧ 00 Ю СЧ О) со —N со 00 СО СОЮ Ю ч* to to to to со N СО Ю Ю Ю "Ч* О tO С4 00 ■ч* ч*со сосч со со со со со to N о»— ^ OtO COO C4 C4 —1 —< О to to to to to <M rftOOCO <_b CO N —1 CO totoioto^ N N N N N N СО О» СО Ч« 0ю0»т*>0» Tf СО сч СЧ —1 N NN NN СО СЧ СЧ СО '■t •ч* О»-ч* О) — 000)0) NNN tO tO NfflCON — о>-ч*ою — 00 00 00 N N to to to to to N СО 03 tO 'Ч' to сч N СО О) со <ою ю -ч» со coco to со (N0 0)0)0 Ю — to <N00 ч< ч* сососч со со to со to о— сою oo Ю — N CO O) СЧСЧ ——о to to to to to О о ООО О О 00*0* ООООО О О ООО ООООО ООООО Nooooo О —СЧСОч*» О COCO СО СО Ю CON 00 О» СО СО СО со СО © —СЧ COrf Ю СО N 00 О» ■Ч"Ч* -Ч« чг-Ч* О — СЧСО-Ч* ЮЮЮЮЮ Ю СО N 00 О) ЮЮЮЮЮ О — СЧ CO -4* co to to to CO «««««г — — — —— — — — — — — — — ——— — — — — — 27
Продолжение О) coco СОСО СО СО СО ео со СО CO CO CO CO CO to Tf CM CM — Oi 00 СО Ю Tf CO CM — о 00)0» i 00 со со ео со со со со ео со со со со со со d со — CM CM O) S CO Tt* CO сч — — оо» ooooo t*» сососчсчсч счсчсчсчсч CM CM CM CM CM ООО CM — S ю 4** CO CM — Осп 0)00 00 ss I а СО счсчсчсчсч счсчсчсчсч СЧ CM CM CM CM 00 to Tf со см — о О) 0)00 s s (0(0(0 * ю счсчсчсчсч счсчсчсчсч счсчсчсчсч юсо CM — OoiOO 00 s s toco ю Ю Ю й Tt* CM — OOIOOSS (ОЮЮЮЮ Tf Tf 1 я ж со 0)00 S CD СО Ю Ю Ю Tf Tf Tf CO CO CO CO О СМ to Ю Ю Tf -<f Tf CO CO CO CO CM CM CM CM CM - ооооо ооооо ooooo COCO CM CM CM CM CM О 00 см to — СО «ОЮМОО 00)0)0)00 ФЮЮЮЮ — t"- Tf О 00 ю — сою-* 0O0OSSS ююююю Ю CO — О O) OO Ю СЧ О) Ю to to to Ю Ю ЮЮЮЮЮ 5291 5025 4785 4566 4367 4184 4016 MS^O^ CD — oo Ю Tf 00 S Ю Tf CO CO со CO CO CO 3236 3135 3040 оо — Ю о Tf о С0О5 1Д СМ 00 О 0)0 0)00 ююююю ю—*S Tf — Ю СМ ОО ю CM 00 00 sss ююююю CO CD Tt* CO CM OO Ю CM 05 CO to to to Ю Ю юю Ю Ю Ю 5319 5051 00 S CD CM CM О OO 00 О CO * 00 ю CO CM о Tf Tf Tf Tf Tf 3876 3731 3697 3472 3356 3247 3145 3049 S Ю О) СООО СО СО О) to сч О) 00)0) 0)00 (ОЮЮЮЮ oo^os^ Ю CM О) ю CM oooosss ююююю CM 05 N СО Ю О) Ю CM O) to ююююю ююююю 5348 5076 — СО Ю O) 05 CO OO—* Tf 00 CD -4* см о Tf Tf* ’’f Tf* Tf — Ю О Tf S 0)Tf — 0ОЮ oo S to Tf CO со со со CO CO 3257 3155 3058 (О OlMN-O СО о со СО С) О О О) О) 00 to to ю ю ю счсо *ч* os to СМ О) to сч oooosss ююююю Ю со — 05 00 •О) to СОО) to to to СО юю ююююю 5376 5102 Tf О Ю N Ю ю CO CM CO to 00 CO T** CM о Tf Tf Tf Tf* Tf CO O) CO S OO ОЮ CMOS O) S CO Tf CO со со CO CO CO 3268 3165 3067 ю C4tO ою о '«'OS СОО О О О) О) О) to to ю ю ю Ю — STt*-H to СО О) СО CO oooosss ююююю 00 to СМ — 05 СО COOS to СО to со ю ююююю 5405 5128 00 —Tf ЮСМ S Ю Tt* Ю 00 oo со Tf см о Tt* ^ Tt* T* Tt* CM Tf CO 0)0 CMS со о o> osfoioco CO CO CO CO CO 3279 3175 3077 Tf соо^оо ео rf«NCOO О О О) О О to to ююю Oi’tOS't СО со О со СО OOOOOOSS ююююю — О) S Ю Tf otocoos S со СО to ю ююююю 5435 5155 CM CO Tt* Tf* 00 OS to S O) C3)tD Tt* CM о Tf Tf Tf Tf Tf soo o —— CO 00 ю CM о О) S Ю Ю Tf CO СО СО CO CO 3289 3185 3086 со OCOSNS Ю-hStCO О О О) О) О) to to ю ю ю счсо •'«•OS S СО О S СО 00 00 оо s S ююююю s to СО to ю ююююю 5464 5181 СО Ю Tf CM Ю CM 05 00 O) — 0)tO-^*CM — Tf Tf ■*$* T*« CO CM CO Tf CO ю о CO CO — 0)00 to Ю Tf CO CO CO CO CO 3300 3195 3096 сч COS-нЮО ю оо ^ _ О О О) О) О) to Ю ю ю ю U)«St(<-h S-ч* OS'* 00 00 00 ss ююююю ОО Ю СО см о os Tt* — 00 S СО СО со ю ююююю 5495 5208 4950 4717 4505 4310 4132 OO S Ю Ю Ю CD — S Tf CM O) 00 to ю Tf со со CO CO CO 3311 3205 3106 - S OTf G)Tt* Ю CM 00 Tf — о О О) О) о> со to ю ю ю О) Ю — S Tf S Tt* — S ч* OOOOOOSS ЮЮЮЮЮ — 05 S Ю СО — s Tt* М со s to со со Ю ююююю 5525 5236 4975 4739 4525 4329 4149 Tf — 00)Ю 00 со ою CO 0)00 СО Ю Tf CO CO CO CO CO 3322 3215 3115 о — Tf 00 СМ N Ю см 00 ю —■ О О О) О) О) со со ююю ооооо CM 00 Tt* о s 00 <*f — 00 Tf 00 00 00 ss ЮЮЮЮЮ ooooo 0,6714 0,5682 0,5650 0,5618 0,5587 0,5556 0,5263 о CM Ю 00 s о Ю Tt* Tt* to OS Ю CO — ^Tt^Tf ooooo 0,4000 0,3846 0,3704 0,3571 0,3448 0,3333 0,3226 0,3125 с Ю со S оо о> to со to to to О — CM CO Tf sssss ю to S 00 о> S S S S S oo o> o*hnm^ CM CM CM CM CM lOtOSOOOi счсчсчсчсч O — CM^ CO 00 CO 28
00 00 ^N N СО СО СО ююююю СО СО СО СО со СО со со СО СО CM CM <N СМ см см см см см NN (ОЮЮЮЮ Ю Ю Ч»1 ^ ч!* ^ ^ СО со СО СО СО СО СО СО СО СМ см см СМ СМ см см см см см сч см см (0(0 «ОЮЮЮтС СОСО СО СО со СО со со см см см см см см см см см см см см см см.смсм сч юго со со со со СО со со СО СМ см см см см см см см см см см 'Ф ■ф СО со со СО со со СО см см см см см см см см см см "Ф СО СО со со со со' см см см см см CM<NCM<N<N СОСО СМ СМ СМ СМ СМ см см см см см CM СМ о о о СЬО ооооо ооооо ООООО ооооо ооооо 2950 2865 (000)-|(0 00 — СО N О N N (О Ю Ю СМ СМ СМ СМ СМ Ю N —< 00 N rt* 00 CON СЧ со СО см см см см см см см 03 СМ оо Ю "Ф N СО 00 -Ф О — — ООО см см см см см Ю N О Ю — со см 03 ю см 03 о> 00 00 00 оз NN 00 О 00 Ю СЧ О) со N NN СО СО СМСООЮ-. — О) СО со со ю ю ю N Ю СО*- — — О) N Ю СО Ю ■Ф ТГ Tf* 2959 2874 CON (О N СО а> »—< Tt< N •—1 N N СО Ю Ю CM CM CM СЧ СМ — см со со сч Ю 03 СО 00 СО rt* СО со см см см см см см см со N СМ 03 00 ОО СО Оз Tf* о — — ООО см см см см см 03 — ■Ф 0310 СО СО 03 Ю СМ О) 03 оо 00 00 см — о — см О) COCOON NN NN со Ю 00 СМ N со — 03 СО Tt* со СО ю ю ю О N Ю СО СО СМ О) N Ю СО Ю ^ 2967 2882 I—I Ю СО тр О) О СМ Ю 00 — 00 N (О ЮЮ см см см см см N 00 СМ 00 N ю со со СО СО см см см см см см см 2188 2141 2096 2053 2012 СМ 00 см со N СО 03 (О см О) 0)00 00 00 Ю "Ч* СО LO О) COCOON NN NN СО N — Ю ОСО ■Ф СМ 03 N со СО ю ю ю СМ СП N (О Ю СМ 03 N Ю СО Ю Tfi т»« rf 2976 2890 с? см о ю О СО CD СУЗ СМ 00 N CD Ю Ю см см см см см СОП« N^ СМ (О О 03 ч*1 Tt* -rt* СО СМ (М см см см см см со со — 00 СО О) 4ji ОЮ — — — — оо см см см см см СО 00 — СО см N СО О СО СО 03 03 03 00 оо О) N СО СО оо О) СО СО о N NN NN СО О СО N СМ оо Ю СМ СП N гг со со ю ю ю CM 0)00 N CM ON Ю со Ю Ю -ф rf rf 2985 2899 N О NN СМ -Н -ф СО СП СО 00 N (О Ю Ю СМ СМ СМ СМ <м 03 О со 03 N СО —< Ю 03 -ф -Ф СО см см см см см см см оо —.ю см о 03 Ю О со см «««©о <NC4CM<N<N , О СМ Ю 03 ю оо rt* о со со О) 03 03 00 00 см о оз оз — О N СО О 00 00 N NN СО СОСО оюо Ю СМ О N Ю СО со со ю ю N Tt< — О О) СМ О 00 СО со ЮЮ^Т}<^ 2994 2907 UJN-^TfCO СМ П* N о СО 0О N со со Ю см см см СМ СМ Ю Ю 00 Tf см N —<Ю ОЮ rf со со см CM (N СМ СМ см со ю О СО Tf ОЮ — СО см см —— оо см см см см см rt* СО 00 со 00 00 Tf* О N СО С) О) О) 00 00 ю со см см о N -4* — ОО 00 N NN СО СО О) CON СО Ю СМ О N Ю СО СО со юю О) со 'Ф см — СМ О 00 со ЮЮ^"Ф^ 3003 2915 СО lO ю СОЮ ОО — ■«*• 00 N СО СО Ю СМ СМ СМ см см •—1 »-н Tt< 03 N 00 СМ СО ОЮ ^ г** со со см см см см см см ОООте ООО О со — N СМ см —— оо см см см см см ОО 03 см со см 00 Г** — N Г** 03 03 О- 00 00 ООСОЮЮ СО ON^^OO 00 N NN со 00 — ю о ю Ю со О 00 ю со со СО Ю ю — оо со ч* со СО ООО СО ч* ю Ю 3012 2924 «<N00 00 — со 00 — Ю 0О N СО СО ю см см см см см оо N о Ю СМ 00 СМ N — со -ф ^ СО СО СМ см см см см см см Ю 03 Ю СО — (О —N со см —— оо см см см см см СМ СОСО ОЮ 03 ю — оо Оз Оз О) 00 00 СМ 0)00 00 О) «N^—00 00 N N N СО — 00 СМ 00 со СО о оо ю СО СО со ю ю ТС«ОО0Ю СО — 00 (О ^ 3021 2933 03 о Ю Ю 00 -Ф N 03 СМ Ю 00 N СО СО ю см см см см см сою ооо 03 CON СМ со ч*> ■ф СО СО СМ см см см см см N 03 СО 03 N «—• СО CM N СО см — — оо см см см см см СО N 03 со ОО о>ю-ootj« 03 03 03 00 оо Ю СО — — см — 00 Ю СМ О) 00 N NN (О ■^ N О ю О (о со —оо (о (0(0 со юю (О СО ООО N СО —О) (О-ч* ЮЮ^ч*"** о — СО тР чч N со СО СМ •ф Ю N о СО СО ОО N N СО Ю С4 см см см см О 03 — СО со О со оо СМ N Ю rf СО СО см см см см см см см 00 со — СМ N СМ 00 -Ф см —«оо см см см см см о —CON СМ ОСО СМ 00 ю 00)0)00 00 см — — — — 00 со -Ф ^ ю — 00 ю см со 00 N NN СО N О) со N СМ СО СО —00(0 (ОСОСОЮЮ 00 Ю со— О) СО — 03 N "^ Ю Ю Tf* ^ Tf оо ооооо оо“о© о ооооо ооооо ооооо о оо*о о* ооооо со Tf Ю СО N00 О) О —счео-ч* Ю СО N 00 03 О —СМ СОчф JOCONOO О* о —cmcotj^ ЮЮ N ООО) СОСО со со со со со ююююю ююююю со" СО СО (О СО со СО СО СО (О 29
Продолжение О NNWNW й 00 к S се N I с СО V И ю £ ч* — оооо ооооо се 8 а х е* — -.ООО ооооо ооооо ооооо ооооо 5 см ооооо ООООО ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо 9> 1410 1391 1372 1353 1335 1318 1300 1284 1267 1252 1236 1221 1206 1192 1178 ч*« — 00 ЮСМ СО Ю со сч — О 00 СО 1Л xt* ООО S со ю — ООО о СО СЧ — — — ч* СОСЧ —О ооооо СО см соч*. ю s — 05 s ю со со со со со о* счю 05 ео — ООО сою со со см сч см ооечоо соо» СО СМ О 05 N СЧСЧ СМ — — СО СЧ 05 со СО Ю СО см — 1101 1089 1078 1066 1055 СО см счсч ^ со см — о ооооо N ч*« Ю СО N 05 — 05 N Ю СО ч* СО СО со СО 1321 1304 1287 1271 1255 05^ 0510 — со СМ О 05 ОО СМ см см — — SCOOSIO со Юг* СЧ — СО — 05 S СО О 05 N СО Ю — оооо ю Т* т* СОСО ч* СОСЧ^О ооооо СО СО N S 05 О — OJSlO^ ^1* СО СОСО СО сою 05 см СО W ООО S ю со со см см см 1241 1225 1211 1196 1182 00 ю СМ 05 СО СО сч — Tt»C4O00s 005 00 СОЮ — оооо СО Ю Ю tJ* ч* сосч— о ооооо ю 00 05 05 — СЧ -*05SC0tJ* ч* СО СО СО СО inso^oo WOOSU3 СО со см см сч СЧ S CM 00 СО Т* СМ — 05 00 СМ см см —— OOCOON N10 4* СО— 1105 1093 1081 1070 1058 scocoioto ^0054-50 ооооо ч* о —— сч^з* СМ о 00 СО г* ^ СО со СО СО 05 СЧСО 05 cmoo5sio со ео смечем 1244 1229 1214 1199 1185 — s^>-о> NlOrCCO — СО 4* СМ —05 О 05 00 N Ю — оооо 00 S S со со ч** со см —о ооооо ео СМ СО со г* со СЧОООСОт* ч* т* СО СО СО оо — 4*S — CM — 05SC0 СО СО СЧСЧ см юоюосо ч* СО— ООО СЧСЧ СЧСЧ — СМОЮ СОО КЮ« СОСЧ 1107 1095 1083 1072 1060 05 00 00 S S ■ч* СОСЧ — о ооооо СЧ Ю^Ю(000 СМ О 00 СО т* ч** со со со оечюосо СО —OSCO со со см см см SNN СМ00 ч*« СО —ООО СМ счсч СЧ — ■^ON^ — S СО ч* СОСЧ ОСО юсо-сч О 05 ОО N СО — оооо 1050 1040 1029 1018 1008 1427 1406 1387 1368 1350 1 1332 1314 1297 1280 1264 00 СООО СОО) ч*» СО — ООО СМ СМ СМ СЧ — 1175 1161 1148 1135 1122 ООО со ео — 0500 SCO — оооо СЧ — О 05 О: Юч* СО— О ооооо о 05 00 050- СМ О 00 N ю ■ч* т* со со со ооооо со со 05 ем со СО — 0500 со СО СО см см см 0*0000 ОЮ ОЮ О Ю СО 04005 см см счсч — ооооо СО СО 05 <0 4* SCO4* СОСЧ ооооо — 05S10^ — 05 00 S со — оооо ооооо 0,1053 1 0,1042 0,1031 0,1020 0,1010 О-*СЧ00<* Ю СО N00^05 о — смсо^ юсо^оо о 0-J.CM СОч* iOCOSOO 05 nVsW s ssss 00 00 ОО СО 00 00 00 00 00 00 05 05 05 05 05 05 О) 05 05 05 30
§ 9, Десятичные логарифмы A ffi«0s(0 Ю'ГСО СЧ — О 00)00 tosio (ОЮ чсео СО СЧ мО О О) 0>0> QONNtO в> й|чеосо сососо ««« сосчеч w«w еч<N 04 сч ом меч сч — — — мммм Ю^СОСЧ —о О» оо 00 h- К<ОЮ Ю 'ч* СО со СЧ —« О ОО) ООО OOlv SN (ОЮЮЧ< СО со «О СО сососч счсчсч счсмсч счсчсч счсч СЧСЧ СЧ— Z,~ ~,Z |-^N- СОСО СОЮЮ ч* ч* •*< СОСОСО СО СЧ — — — —«© оо ОО 0)00 оооо 0000rs.ro СО СО СЧ СЧ СЧ — — — — О ООО ООО ООО 00 СО ооь. f^tv n«<o coco со со «о u* 05 0)00 со 00 ОО Г- SNS tv (О «О С0СО<О СОЮ ЛЮ ЮЮ.ЮЮ Ч« чЦ ^ ч* <« «*•* Tf Tf* ^ СО 00 СОСОСО СОСОСО IcO СО 1С0 СО СОСЧ СЧСЧ СЧСЧ’СЧСЧ счсчече* СО — ь. IV О СЧ — СЧ СЧ — Ч»*00 -Ч« СЧ — — СЧ 3 N. ЮОСОЮ СО со СО N. СО ^ о — СО Ю N. о СЧ со СО СО СО со О I" ю о 28 О СО со — Ч* N. СЧ СЧ О IOONN со сосо^сч — сою N- О со со со со со — — СЧ ю ю Ю О Ч». «О СЧ СЧ СЧ СО ч* ч_ _ сч со со со со с — О N. «о о — — — С4 00 ■»* СЧ — СЧ- — СЧСЧ —о — COLON, со со со сососо О -*< 4t* «о СЧ СЧ т* СО-^СО 00 00 N. СЧ-*СООО СО СО со со — — СЧ 4* СОтМЛСО ю со СОЮ СО О СЧ 'Ч* СО 00 СО СОСОСО со О О СО со N. 4J< N. О СО to — — СЧ СЧ СЧ — — — ч* со 31 Как пользоваться таблицей см. стр. 327.
Продолжение о> 1ЛЮ^т»<ео сосчсчсм—. — — ООО О 05 05 05 05 05 00 00 00 00 ОО 00 N N N N N N N N 00 Tf* СО СО CM СЧ — ^ — 00 О О 05 05 05 05 00 00 00 00 00 N NN N N NN со СО СО со со со to N 12 11 11 11 10! о O 05 05 05 05 00 00 00 со OOSSNN NN СО со СО СО СО СО СО СО ююююю <0 0005 0 05 05 00 00 00 00 СО СО СО СО СО со со ю ю ю ююююю Ю Ю Ю ч* ч* Ю 05 СО 00 00 N SSNtOffi СО со СО СО LO ююююю NStOCOtO СО СО Ю Ю Ю lOUJiflifl't со со со СО со СО со со со со СО ю ю ю ю ■ч* •ф rt* Ч* 4* 4* Tf< ч* со еосо СО СО СО СО СО СО COCO еосо СО СО сч счсч сч сч сч счсч СЧ со со со еосо со со CO CO CO СЧ сч см см см сч счсч счсч СМ СМ СЧСЧ СЧ сч счсч счсч см сч сч — — О) СО ОО СО 05 N С0 05Ю01Л «O^tON ч* ч* ч* ч* ч*. ОООСЧСЧОО OWNON 050*-* CO-* 4* LO lO Ю Ю — О со 05 О Ю N 00 05 — lOCQNOOO Ю Ю LO Ю со N. СЧ Ю Ю СЧ — сч см сч сч — СЧСО’Ч'Ю со со со со со 00 см со со — I-* о 05 оо со N 00 00 05 со со со СО'СО N СЧ Ю СО СО СОЮ СО —05 о —СЧСО СО NN NN N ч* — N — ч* N Ю СЧ ON ч* ю СО N N N NNNN 00 4116 4281 4440 4594 4742 CO ч* 05 05 CO oo сч lo со *—■ 00 О —СЧч* Tf LO LO LO Ю 05 00 ю 00 05 сою N 00 05 ЮСО N 00 05 ююююю N СЧ ч* Ю СО — сч еоч* ю СО со со СО со 05 см -ч* ^ сч О О 05 00 N СО NN 00 05 со С0<0<0<0 05 СО СО 00 00 Ю 4* СЧ ООО о —счсо СО NN NN N СО СО 05 ч* N СО ч* — 05 СО ч* Ю СО СО N NN NN N N ОЮ1ЛООО 05 СО СЧ N сч OIN^lON ч* ч* ч* тр ч* —« —<юсо CO N N О СО О — CM Tf Tt* LO LO LO LO N NCONOO CM rf СО N 00 IOCONOO 05 ююююю СО — Т^юсо 05 О о о о О СМ СО ю со со со со со 05 СО ю ю 05 05 00 N СО Ю СО N 00 05 СО СО СО СО СО О Ю 00 о о ю ео — ооо О —счсо со NN NN N 05 со счсо о Ю СО —ООО Ч* ю СО со N NN NN N «о СЧ 05 05 rt< СО OO ^ О CO —• OMTj-iON tJ< Tf тГ Tf SMNM-m Ю 05 CO CO 05 00 05 — CM CO ЮЮ1Л ч*« Ю CM СО N еоюсо N Ю со N 00 05 ююююю ю — ч* ю со 00 05 05 05 05 О — СЧСО-Tt* со со со со ® Оч* coco ю 05 00 N со Ю Ю СО N 00 05 со со <о со со СМ со О сч см 4t“ см — 05 N о —счсч со NN NN N — СО ч* 05 СЧ LO СМ О N Ю ч* Ю СО СО N NN NN N ю ЮСЧСООООО tO CO 05 Tj* 05 О СЧ СОЮ CO ч* rt< ч* ч* СО СО О) о 00 ^0O«U3S oo oj — сч со Tj« 4* lO LO LO сч со О ЮСО О CM Tf ю со Ю со N 00 05 ююююю юо^ю^* N00 00 00 00 О — СМ СО со со со со со О Ю NN СО 00 N СО Ю ч* Ю СО N 00 05 СО СО СО СО СО со 00 <N4*4* СО — ООО СО о —счсч СО NN NN N СО О N СЧ Ю Tf СЧ 05 N ч* ч* Ю Ю СО N NN NN N Tt* 00 CO 00 CO CO ч* —< N CO 00 О CN CO LO О Tf Tf. 4f 05 05 Ю N CO CM О О COCO 00 05 — СЧ СО ч*ч* ю ю ю О —< О) СОЮ 05 см ^ ю СО N 00 05 ююююю СО N NN N О —СЧ СОч* со СО СО СО СО Ю 00 ОО N N СО Ю Ч* СО ЮСО N 00 05 со со со со со ч* О СО Ю СО СМ — 05 N Ю о —. — сч СО N NN N N Ю СО 05 ч* 00 СО — 00 СО СО Tt* Ю Ю СО N NN NN N ео 4031 I 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 00 05N CM Tt* N 05— СОч* Ю N СО 05 ююююю СООСОЮ'Ф Ю СО СО со со О — СЧ сот** со со со со со — СО 05 05 00 СО Ю ч* СО СЧ ЮСО N00 05 со со СО СО СО СО — lONOO i О ОО СО 4f о —— СЧСО NN NN N N Ю СЧ N — СМ О 00 Ю СО ■ч* ю Ю СО N NN NN N сч ч* coco СЧч* -нООтС ОЮ О СО Ю CO Tf rf -f -^r ОСЧ05 —о . 00 05 о СМ со ^^чОюЮ Ю N. ю — со СОСО осч СО 4f Ю N 00 05 ююююю СМ 05 со Ю те^ЮЮЮ О — СМ со Tf со со со со со — со 0500 Ю ч* СО СО СЧ ю СО N СО 05 со СО СО со со N СО N 05 О О 05 N Ю ч* ОО —счсо NN NN N 05 N ч^* 05 СО — 05 N ч* СМ ч* ч* IOCON NN NN N - N СО О N 05 o> со со 00 CO 05 —* CO Tf* CO со -a* ч* ч* СО 00 Ю 00 00 00 СЧСО 05 СЧ SCiO-HCO Т(*^ЮЮЮ СО ю Tf 05 см Ю N 05 О.СМ Ю СО 00-05 ююююю —ч 00 СО Ю т!< СО СО Tt« ч* т* О —«Ч СОч* СО СО СО со со CM N О — — ч* СО со см — Ю СО N оо 05 СО СО СО СО СО 00 т* 00 — сч 05 00 СОЮ СО 050—.СЧСО СО N NN N СМ О СО СМ СО — 05 СО ч* —• ч* ю СО N NN NN N о 050-41 CM ^ SIO-NC4 05-* CO T* CO eo ч* ч* ч* —i ч* — Ю Ю N-lOOO-H N 05 о — со тСМ<ЮЮ1Л — со СЧ 00 — Ч* СО 00 05 — Ч* Ю СО N 05 ююююю — 00 СЧ ю ю СЧСЧ СО СО СО О — СЧ СО-* <0 СО со СО СО сч оо — счсч СО сч см — о ЮСО N00 05 со со со со со О СО О СО ч* 05 N СО Th* СЧ 050 —счсо СО N NN N ч* СЧ 05 ч* С ', о 00 Ю СО О Ч* т* Ю СО N N N N N N Ю CO N 00 05 СЧСЧ СЧСЧСЧ О —< CM со Ч*> со со со со со Ю СО N СО 05 со со со еосо О — CM СО 'f ч* -Ч- ч* ч* ч* ЮСО N00 05 ч* ч* ТО ч* ч* О— СМ СО т* ююююю LO СО N 00 05 ЮЮЮЮЮ 32
«О (О О О (О СО со со со со СО ю ю ю ю ЮЮЮЮЮ' ююююю Ю Ю 4* ч* со со со ю ю ююююю ююююю ююююю СО СО СО со со со со со СО со со со со со со 3 3 3 3 3 СО со СО СО со 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 т*" 4* СО СО СО со со со со со СО СО СО со со со со со со со со со СО СО СО со со счсчсч 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 со со со со СО со со со со сч счсч счсчсч СЧ сч СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ СЧ 1 счсч счсчсч счсч счсчсч счсч счсчсч счсч счсчсч счсч счсчсч счсчсч счсч сч сч сч сч сч* _____ _ ___ ^ ооооо ооооо (OSSWN т* —ооюсч 00 ОО О -* NNN00 00 О) О) сч ю 00 Ю — 00 « СЧ СО СО 4* 00 00 00 00 00 СО NN СО Ю О СО СЧ 00 Tf Ю Ю СО СО N 00 00 00 00 00 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 9440 9489 9538 СО COON со 00 со ОО СЧ N СО»СО СО N N ООО о о оо со 00 СЧСО оо ооооо 0)0)000) 0)0000(0 со —00 ■<*« 00 О О О — N NN СО 00 СЧ оо СЧСО О) 00 Ч* — N со — СЧСО СО 4* оооо оо оооо о — — — О) ОСО СЧ 00 СО Ю Ю СО СО N 00 00 00 оооо N 4* ОЮ О ОЮ — со сч N 00 О О) О 00 00 00 00 о 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 — 00 Ю СЧ 00 СО СЧ N СЧ СО Ю СО со N N О О ООО 4*000 00 — -— Ю0ч*0) 00 00 оо о о 'о о о о СЧСО СО —О) COON те О 00 О О О — N N N 00 ОО со —со осч N т* о N со — СЧ со СОТ* оо оо со оо оо Ч* ю Ю ю со О) Ю — N СО 4* Ю СО СО N 00 00 00 00 00 8791 8848 8904 8960 9015 О СЧ Ю N О 0000)00 СО СЧ N СЧ N СОСО СО N СЧ о —— счсч соео5*4*го ООО ОЮ) ооОоо 9576 9624 9671 9717 9763 О о оЬ N ОО 00 Q0 О О о ото о о юсосоюсч СЧ ОСО СОО 00 00 о> о — N NN 00 00 0)ЮС) СОСО СО СО О) со сч — счсч сот* 00 00 00 00 00 00 О О) О) N ОО ^ О со сч Ч* Ю СО СО N 00 00 00 00 00 Ю СЧ о о 00 4* 05 Ю о N 00 00 ОО 00 00 00 00 о 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 Ю 04* О СО ОЮ о со 00 00 004»0)0 о о о о о 00 О) 05 00 со —. оо ю сч о 00 00 О) оо N NN 00 00 СЧ 00 CON О СО СЧ ОЮ сч — СЧ СЧ со Ч* 00 00 00 ОО 00 СЧ со СО со сч ОО ^ О со сч 4* Ю СО СО N 00 00 00 00 со ON СООч* N со о ч* о N 00 00 о о 00 00 оо 00 о 9058 9112 9165 9217 9269 о о оооо СЧ N СЧСО — СО со •фч* Ю О "ОЗ О'О о 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 99&4 9978 7810 7882 7952 8021 8089 to СЧ N — т* Ю СЧ 00 lO •—1 — СЧ СЧ со ч* 00 00 00 00 оо СО N NN СО N со О) Ю — 4*ЮЮСО N 00 00 00 00 00 4* 1 N СО 00 N со 00 Tf со N00 ОООО 00 00 00 00 00 9053" 9106 9159 9212 9263 9315 9365 I 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 Ю —СО От* О 4*00 CON N 00 00 О О ООООО СОЮЮ 'Ф сч О N -4* —t 00 00 00 О) О О NNN00 00 О) Ю O^N 'I' —OOtO — СЧСЧ со ч* 00 00 00 00 00 о —— — о N СО О Ю — т* ю Ю СО N 00 оо 00 00 00 00 ю сч оо со СО СЧ 00 СО о N 00 00 ОО 00 оо 00 00 00 9047 9101 9154 9206 9258 ооооо ОСО —СО о СО СО ч* чф ооооо 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 СО 00 00 N Ю О) СО СО О N N00 0)0 О N NN 00 СО СЧ 0)4*00 — Tj* ON СО О — СЧСЧ СО 4* 00 00 00 00 00 СО Ю Ю Ю 4* СО СЧ 00 4* о ^■lOOCON 00 00 00 00 00 СЧ О СО СЧ N СО СЧ N СО 00 N 00 00 О СТ) 00 00 00 00 00 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 1 9877 9921 9965 ОО-чОО 00 СО СО ОСО N00 0)00 N NN 00 00 СО СЧ N — ю СООС0 со о тн СЧ СЧ со СО 00 00 00 00 00 t4- О) О) О) 00 Ю — N со О) 4* ю ю со со 00 00 00 00 00 СО Т* — N СЧ Ю — N СЧ 00 N оо 00 О О 00 00 00 00 00 СО О со СО 00 СО О 4* о ч* оо —— сч ооооо 9299 9350 9400 9450 , 9499 9547 9595 9643 9689 9736 9782 ' 9827 9872' 9917 9961 СМ СО СО СЧ оо Ю СЧ О) СО N оо О) О) О N N N N 00 CD Ю — Ю 00 СЧ О) СО СЧ 00 —« — СЧ СО СО 00 00 00 00 00 — со со СО сч Ю — N СО О) 4* Ю ЮСОСО 00 00 00 00 00 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 | 9191 9243 9294 9345 9395 i 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 N СО 00 СЧ СО N СЧ СО — Ю N 00 00 О О ООООО О — СЧ С0«4« со со со со со Ю СО N 00 О) со со со со со О — СЧ СО 4* NN NN N 75 76 77 78' 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 2 5-353 33
§ tO. Антилогарифмы Oi <N<NC4CSJ<M СЧ <М CSJ СО со СО СО СО СО СО СО СО СО СО со со СО со -ч< «*• Tj* rf Tf ^4 Tfl 00 CSJ<N<MC<1<N <M<NCSJ<MCS1 04 04 04 СО СО со со со со со со со со со со СО СО СО Tf rf Tt< r- <N<NC4<NC4 CSJ<M<N<N<N 04 04 04 04 04 C4 04 04 04 СО со со СО СОСО СО СО СО СО СО СО СО CO со <N<N<N<N<N 04 04 04 04 04 04 04 04 04 01 СЧ СЧ СЧ 04 04 04 со СО СО СО СО со СО ю —« 04 04 04 04 04 04 04 04 04 04 0104 О» 04 04 04 04 СЧ 04 см сч сч «04 О» О» 04 СМ СЧСЧ СЧСЧ сч сч см со сч ООООО ООООО ооооо ООООО ооооо ООООО ООО а — юотсса С4 ^ СО Oi —. ОООО—* C0 04 0i N СО Tj« О <М Ю — — — СЧ СЧ iOlOCDN О) CG ~< Tf О- О счсо со со-ч* OICO о ю —• N. —,rt* 00 тС^ЧОЮЮ 00 СО ^ г»* «lOCftCON СО СО CONN «ООО —ю — —1 to О Tf 05 СО ОО О) О) о 2037 2084 2133 СО OXNN-HN — со СП — о о о о — COQMO СО •4**0 О) 0410 — — — СЧ СЧ О» 04 СО ч* СО ««-♦NO 04 СО СО СОТ»* О 04 N« 04 00 СО N. 0-4*N. ^ 04 ООО — Ю OiCON «О «О СО N N. — т#* N — СО —*Ю СйтСОО со со оо ст> с> 2032 2080 2128 N «О о ТР О» Г** — ^ со 00 — О О О О — ON^NO ТГ СО 0)01 to —< . <М <м О» о> о —* со N O'fS о 04 со СО СО ю o>cocort* СОСО О СО N. ^•чСЮЮЮ — 00 N СО СО —I Ti* 00 04 СО СО СО tO N N N OiC4C© СЧ 0-^*0) СО оо 00 00 00 Oi о> 2028 2075 2123 1 i • ^ оо сч со сч — со со оо — ОООО — 1138 1164 1191 1219 1247 со со t". оо о N. О СОСО О 04 СО COCO Tf 04 СО О Ю О СО СО О CON- ^•МЧОЮЮ N Tf СОСЧ 04 О СО СЧ СО СО СО СО N N. СО Ю 00 СМ N. Огроо CON 00 00 ОО Oi о> 2023 2070 2118 ► ю CSUOOi'CO) — со ю оо о о о о о — 1135 1161 1189 1216 1245 rj* СО LO СО N. О СО СО О) 04 СО со со со О) ОНО—* N- 04 «О О) СОСО Tf«Tt*Tt«iOiO СО —OiOOcO О N —1 Ю to СО СО N N С>—т*00 сч С» ^ 00 СЧ N N 00 00 О) OJ 2018 2065 2113 ■*« О) СО N —1 N О СО Ю оо о о О о О — 04 О) СО СО 04 СО LO 00 «—< —< С4 04 О О —< со N. О СО СО О) 04 СО СО СО СО СО Oi со 00 со 04 Ю Oi 04 СО Thrf т}<ЮЮ ONlO-^'t О CON — Ю СО tO tO N N. Ю N О) СООО Ci СО N СЧ СО N 00 00 Oi О) 2014 2061 2109 СО SOTCO)^ о сою N о О О О О — ИЗО 1156 1183 1211 1239 00 N- N. <» О СО CD 04 LO СП 04 СЧСО СО СО 04ЮСЙТСО С4Ю0О <МСО со СО —* О О О) CON —«Ю Ю СО tO N N —| СЧ Ю СВ со OiCON —СО N 00 00 О) Oi 2009 2056 2104 (N Ю 00 СЧ СО СЧ OlMiflSO о о о о — N. СО О 00 СО 04 Ю 00 О СО -ч _ — СЧ 04 lfl^TCinN tO О) 04 Ю 00 OI 04 СО СО СО Oi 04 СО —«СО -нЮООСЧЮ tJ* -rf Ю Ю СЧ' Oi N СО СО oi СЧ СО О ^ Ю СО СО N N СООО—<rt< Oi 00 <NN —Ю N 00 00 О) Oi 2004 2051 2099 - (NCDOTj<03 OOliONOi ООООО Ю — 00 Ю СО 04 Ю Is*" О СО —1 —| < 04 04 <N OI Tt< СО CD 04 Ю 00 04 04 СО СО СО СО 0> СО N. 04 — 00 —»Ю rt« ч*< т** Ю Ю О! СО СО 04 04 00 CSJ СО О Tf* ЮСОСО N N СЧ^сООт!* 00 СЧ СО —»ю N 00 00 О) О 2000 2062 2094 О О CON CSl со ONTfNcn ООООО <М ОО Ю С4 О 04 ^ О СО 04 СЧ о^оооооо ю оа— Tf оо 04 04 СО СО со СОЮ Oi О) >—< Tf N- — Ю СЧ О 00 СО 00 СЧСО О) со Ю СО tO tO N 1778 1820 1862 1905 1950 1995 2042 2089 О —< <N со О О о^о о_ Ю СО N 00 О) ооооо О —СЧСО т* “ 4 «Т « ЮСО N00 Oi О — СЧ со -ч* СЧ 04 04 04 04 Ю<© N 00 О) СЧСЧ 04 СЧСЧ 0 — 04 СО СО СО 34
4* ю ЮЮЮЮЮ Ю Ю СО СОСО со со со со со ts. 00 00 00 00 00 03 03 03 03 СП о 4*4* Tj. rj« Tf Ю ЮЮЮЮЮ ю ю ю со со со со СО СО СО 00 00 00 со 0QO3 СО ЮЮЮЮЮ ЮЮЮСОСО СО СО со со со СО I4* ts. t4» t4» tots.' СОСО СО со СО СО СО TJ. Ю Ю Ю Ю Ю Ю Ю Ю СО со со со со со СОСО СЧ СО СО СО СО СО СО со со со еосо СО СО СОчф 4*. 4f 4}« Tt< 4j< 4t< тр Tj. ю ЮЮЮЮЮ юю 04 СЧ СЧ СЧ <N04 (М сч сч C4 со ео coco coco ео сч CO CO CO CO ео со со тс ч* СЧ C4<N<N<NC4 счсч счсчсч <N<N<NC4<N счсч счсчсч сч со со со со со СО СО СОСО СОСО — сч сч сч сч счсч сч сч сч счсч счсчсч счсч 2183 2234 СО О) со оз СО со со 05 ^ о СЧ СО СО ^ ю СЧ СЧ СЧ СЧ 04 ^ Tf Ю 00 сч со счоо — Ю СО CD N- ОО сч сч сч сч сч ts-Tj. со сою Is- 4J* — 00 Ю оо оз о о — сч сч сососо ОО — 03 О СЧ О 00 Юч* СЧ сосо-^ю со со со со со сч t*. СО сч сч СЧ 003 00 to СО t'- t'- 00 03 СОСО СО COCO 03 СО ю t*» союююю О — сч со Tf ч*> 4* TJ. 4560 4667 2178 2228 О со 00 СО О 00 со 00 4* о СЧ СО СО ю СЧ СЧ СЧ сч сч СП 00 03 сч ю w«s^o Ю СО СО 00 сч сч сч сч сч — 00 СО СО оо SCOOS^ ОООЗООм СЧСЧ СО со со — СО со— сч СЧ 03 ^ ю СО СЧ СЧ CO Tf ю СО со со со со 4* 00^» СО СО оз оо t*- со СО СО to 00 03 СОСО СОСОСО ю о со ю со юю^^^ О —СЧ СО 41* 4f Tt< чф-^J* 4f 4550 4656 2173 2223 Юоо СЧ0О ю ts-СЧСО СО OS СЧ сО ГО ^ СЧСЧ ©«счсч СО СЧ СОЮ 03 ю — ts-сооз Ю СО СО ts. t*- СЧ сч сч сч сч S СО 03 S'? 00 0 0)0- СЧ СЧ СЧ СО СО —< 00 СО Tf сч сч сч со ч* ю со со со со со СО О СО Tf 003 ь» сою СО cots. 00 03 СОСОСО СОСО СО ОСОЮ со 41* Ч* СОСОСО о— сч COrt* 4f rf 4539 4645 2168 2218 О СО сч о> tv СЧ t- со 00 СЧ СО СО Ч* Tf СЧ СЧ С4 СЧСЧ Is. со to О) со ^ О СО СЧ 03 lOO«ONN счсч счсчсч 00^ СЧСЧ со Ю СЧ 03 со со оо оз оз о — О» СЧСЧ со СО СО — to coco О 00 Ю СО — СЧ сч COsf ю со со СО СО СО ts. -н ts. ю Ю 0300 СО ю Tf СО СО Г- оо оз СО СО со СО со СО о t*- юсо СО со счсчсч о —сч СО 41» 4f ^ rt* 4529 4634 2163 2213 Ю Г'- ts. СО СО — Ъ» СЧОО сч со ео тс тс сч счсч счсч f—1 О • СО СО чф О СО СЧ 00 incOtONS СЧ СЧСЧ сч сч 2851 2917 2985 3055 3126 03 СО О 00 ОО 0)N10040 — 04 СО ^ Ю СО СО СО СО со 03 СО 00 со СО 00 ts. ю •'*** со СО СО to 00 03 со со со со СО 4027 4121 4217 4315 4416 4519 4624 2158 2208 озсчсо — t". Ю —1 СО C4ts. сч СО СО -Tt* СЧСЧ СЧСЧСЧ (П^ЮСОО СО аз Ю —• оо Ю Ю СО N N СЧСЧ счсч сч ^2844 2911 2979 3048 3119 СЧ СО 04003 03 СО СЧ 03 — 04C0 4*4J. СО со со со со — чц. osco 00 со to со сч ю со 00 03 СО СО СО СО СО 4018 4111 1 4207 4305 4406 4508 4613 2153 2203 4* ts. ОЮ сч ЮОЮ-.N сч ео со Tj. ■*< СЧ СЧСЧ СЧСЧ 03 00 030 со <N00 ч»< — to ЮЮСОМ^. СЧ СЧ СЧ счсч 00 4* сч — сч COON Tf — 00 03 03 о — СЧСЧСЧ СОСО 4* 00 ч* СЧ — ООЮСО —03 — СЧСОч*>т*> со ео ео со со COCO—cots. t'- Ю сч — ю со ОО 03 со со еосо со 03 СЧ оо ю ю О О 03 03 о> о — — сч со 4f 4t< Tfl 4t> 4498 4603 2148 2198 О) < Ю О СО ->з> ОЮ —со СЧ СО COTt* Tt* С4С4С4С4СЧ СО СЧСЧ 4*. to СЧ 00 ^ о со inuxoss СЧ СЧ сч сч сч —< to Ю Tt< ю СО 03 СО СО о 00 00 03 о — счсчсч еосо ts. « ts. чф СО ю сч О 00 СЧ СО Tf TJ. CO СО со СО СО Ю ОО со 03 00 со ч* со —о ЮСО ts. 00 О) со со со со со 03 CO oo ю ю 03 03 00 00 00 03 о — сч СО СО 4f Tf 4f Tf. 4487 4592 2143 2193 -фсоо-^о ОЗЮ OCO СЧ СЧ СО 4f СЧ СЧ СЧ СЧ С4 00 СО СО 00 — — to СО 03 со ЮЮСОСО Is- СЧ СЧ СЧ СЧ сч ю —00 tot». СЧОЭЮСЧОЗ 00 00 03 о о СЧСЧСЧ со СО О СО оз со ю to — 03 ts. — СЧ со СО "«f со со со со со СО Оз Tf « 03 юсо сч — оз ЮСО ts. 00 00 со со СО СОСО О СО 00 сою 03 00 to tots. 03 О — СЧ СО СО 4f 4J. 4*. 4}« 4477 4581 2138 2188 о» — ча« о) ю СО О) о>ю счсч со со 4* сч счсчсч сч СЧООСЧч* — сооэю ю юсо со ts. СЧСЧ СЧСЧ 04 oo^-noo — 00 Ю СЧ 03 00 00 03 о о СЧСЧСЧ СОСО сч со — 00 г- со со — 00 со — СЧ со СО Tt* со со со ео со 00 —ЮСЧО ^ СО — О 03 ЮСО ts- 00 00 СО СО со CO СО — rj. оз СОЮ 00 ts. со СОСО 03 О — СЧ со СО 4f 41» 4}. 4467 4571 СО тс еосо Ю СО 00 о со СО СО СО<2 О —* СЧ СО 4* 4l* 4f< 4*< ч£ Ю со t'- 00 О) О —СЧ сот*. ЮЮЮЮЮ ЮСО ts. 00 03 ю ю ю^ю ю^ О — СЧ ООч* СО СО СО со со Ю СО СО СО 2* 35 Как пользоваться таблицей см. стр. 328.
Продолжение 05 ООО il 11 11 11 12 СМ СМ СМ СО СО СО ч? Tf т(* Ю ююсососо N NN 00 00 О) 05 оо о ««смсм см 00 ОФО) О) о о о о 11 п и 11 01 ем см см со со СО СОч* Tf Tf Ю Ю Ю CO o N NN оооо N- сооо со 00 ОО О) 03 05 05 О) ООО 2-"- СМ СМ СМ СМ СО СО ГО Tf Tf Tf ю Ю Ю СОО СО NSS N- N- N. ОС 00 00 00 ОО 00 о 05 05 05 05 О о о о — — — — CM CM CM см со со со Tf ю ю со со СО СО СО СО Ю N. 00 00 00 ОО 00 X С5 05 05 05 05000 10 11 11 11 11 ч* Tf Tf Ю ююююю Ю Ю Ю со 'О СО СО СО СО СО N 00 00 OO 00 00 00 05 05 О) СО СО со СО ^ 4J* Tf Tf Tf Tf Tf Tf Tf Tf Ю Ю Ю Ю ююююю О CO CO CO CO со CON N N СМ <N СМ СМ CM CM CM СО СО CO СО СО СО СО СОСО СОСО СО СО СО СО Tf Tf Tf 4f Tf ’S* T* Tf Tf Tf Tf Ю - — см см см см С) CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM 05 4775 4887 5000 N. СО 00 СОО —< СОЮ00 — « см c0 4f со ююююю — ЮСМ СЧЮ 'f N-.ЮО N. оо О — СМ Ю Ю со СО СО см см Ю СМ СО Tf* 05 ""t* О СО Tf Ю N 05 О СО СО СО СО N. 00 CO 00 Ю Ю CM O) CO Tf CM CM СО Ю N. 05 IS NN N N 'O 05 CM О CM « 05 05 05 05 «CM Tf CO 00 00 00 00 00 00 05 — 00 О N 05 — CM Ю N О COION 05 05 05 0) 05 05 00 4764 4875 4989 Ю^(ООСО OlNrj-SO — см со Tf ю ююююю 00 — оооо« СМ СО 05 со 00 N 00 05 — СЧ Ю Ю Ю со со N- N. О N. N. CM N- СО ООП* Tf ю N 00 о СО СО со CON. NN « N Ю CM О CM СО Ю N 05 N N"N N N « 05 CM О CM 05 N NN N О CM Tf CO 00 O0 00 00 00 00 00 О CO N Tf N О) О CM Ю о см Ю N 05 05 05 05 05 05 N. 4753 4864 4977 СО СМ СО 00 ю О) гн СО Ю ОО OCMCOTf Ю Ю Ю Ю 1-0 LO Ю 00 Tf Tf со — Tf 00 СМ со N 00 05 — см Ю Ю Ю со о СМ — Tf — — — СО — N. СО 4f Ю N 00 О СО О СО О N TfCMTf 05 05 05 СО со О 00 — CO Ю N 00 NN NN N CM о со о — N со ЮЮЮ О CM Tf CO oo 00 00 00 00 ao N 00 Tf Ю — Ю CO 00 О CO О CM Tf N 05 05 05 05 05 05 СО 4742 4853 4966 сч о — ю см 00 ОСЯ Tf N. О СМ СО Tf ю ююююю CM Tf О О) см О CON- ОЮ N 00 05 « СМ ю юю со со N СО О) ю ю 05 Tf 05 Ю — СОЮ СО 00 о СО СОСО СО N. 00 Ю CO — о N 4f — 05 N « со ю со oo NN NN N Tf « со O « Ю Tf CO CO CO О CM Tf CO oo 00 00 00 00 00 CO N CM CO 00 CO Tf СО ООО О CM Tf CO 05 05 05 05 05 05 ю 4732 (4842 4955 5070 5188 5309 5433 5559 05 — N Ю N 00 СМ Ю 05 СО СО 00 05 О см ю ЮЮ СОСО СО—«СО 05 оо 00 СО 00 СО 05 СО Ю СООО 05 СО СО СО СО со —*00 05 Tf CM CO CM O) N Ю «СО 4* CO 00 NN NN N Ю CM 4f о о со CM « « « OCMTf сооо 00 00 00 00 00 CO CO « — CO — CM Tf CO CO OCMTf CO 00 05 05 05 05 05 4721 I 4831 4943 оо conoco Ю N- 05 CM Tf О —< CM Tf ю ЮЮЮЮЮ ю оо со — со S О Tf 00 СЧ СО 00 05 о см ю Ю Ю СОСО 00 сооо СО см со «СО СМ 00 СО Ю со со 05 СО со со со со Ю — CM CO Tf Tf — 00 Ю CO — OO Tf CO oo NN NN N N Tf Ю О О « О 05 05 05 О CM СО Ю N оо оо оо оо оо Ю Tf 05 00 CO 05 О —* CO CO O) CM Tf CO 00 0O 05 05 05 05 со 4710 4819 4932 N Tf Tf 00 Tf Tf СО 00 О со о — см тг ю ююююю CM Tf 05 N 05 СО О) см СОО СО N. 05 О см ЮЮЮ (Осо СО — СО 00 СО Ю о ю О СО СО Ю СО ОО 05 со со СО со СО 05 Ю ^ 00 CO CM 05 CO CO« «CM Tf CO 00 NN NN N 7998 8185 8375 8570 8770 Tf CON COO N 00 05 — Tf 05 « CO CO 00 00 O) 05 05 O) см 4699 4808 4920 ЮСМСМЮ« СОЮ N 05 СМ о«см СОЮ ююююю 5649 5781 5916 6053 6194 05 со N- СМ О СООО СО 05 ю CO Tf СО N. 05 со со со со со CM 00 N«00 « N -4* CM 05 — CM CO N NN NN N ОСО со — о оосоююю 05 « СОЮ N N00 00 00 00 Tf CM CO 4f N Ю CO N 05« 05 « СО Ю 00 00 05 05 05 05 - 4688 4797 4909 СО О О СО оо CM rf со 00 о о « см со ю ююююю СО 00 СМ 0)0 СО Ю О со 00 CON050- Ю Ю Ю СО СО 6324 6471 6622 6776 6934 CO « о СО О 05 СО СО ООО О CM Tf CO N N N N N N СМ NN — О СО Tf СО СО со 05 — СО Ю N N00 со СООО CO « Tf CM Ю CO Tf Ю N05 05 « СО Ю N OO 05 05 05 05 о 4677 4786 4898 СМ 05 ОО о ю — СЧ Tf N 05 О — CM со Tf ююююю CO Tf 0О СО СО CM LOOO см со СО N ОО О — ю ю ю со со 6310 6457 6607 6761 6918 05 Tf COCO CM N Tf «00 CO О CM Tf Ю N N N N N N СООО 00 « о Tf см««« 05«C0«ON N 00 00 00 00 СО О COO CM — CM со Ю N 05 — СО Ю N 00 05 05 05 05 t-ooo О —* см СО Tf NN NNN ю со N 0O О) О — CM СО Tf 00j30 00 OOJ30 Ю CO N 00 05 oo oo °o oo °o О « CM СО Tf 05 05 05 05 05 Ю CON 00 05 O) 05 05 05 05 ае
п О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 § 11. Факториалы Л!»1'2’3-"Л п я! = 1.2-3-..я 1 1 11 399 16800 2 12 4790 01600 > 6 13 62270 20800 24 14 8 71782 91200 120 15 130 76743 68000 720 16 2092 27898 88000 5040 17 35568 74280 96000 40 320 18 6 40237 37057 28000 362 880 19 121 64510 04088 32000 3 628 800 20 2432 90200 81766 40000 §12. Биномиальные коэффициенты 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 36 84 126 126 84 36 1 10 45 120 210 252 210 120 37
151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 §13. Простые числа, не 353 577 811 1049 359 587 821 1051 367 593 823 1061 373 599 827 1063 379 601 829 1069 383 607 839 1087 38J 613 853 1091 397 617 857 1093 401 619 859 1097 409 631 863 1103 419 641 877 1109 421 643 881 1117 431 647 883 1123 433 653 887 1129 439 659 907 1151 443 661 911 1153 449 673 919 1163 457 677 929 1171 461 683 937 1181 463 691 941 1187 467 701 949 1193 479 709 953 1201 487 719 967 1213 491 727 971 1217 499 733 977 1223 503 739 983 1229 509 743 991 1231 521 751 997 1237 523 757 1009 1249 541 761 1013 1259 547 769 1019 1277 557 773 1021 1279 563 7S7 1031 1283 569 797 1033 1289 571 809 1039 1291 1559 1823 2089 2377 1567 1831 2099 2381 1571 1847 2111 2383 1579 1861 2113 2389 1583 1867 2129 2393 1597 1871 2131 2399 1601 1873 2137 2411 1607 1877 2141 2417 1609 1879 2143 2423 1613 1889 2153 2437 1619 1901 2161 2441 1621 1907 2179 2447 1627 1913 2203 2459 1637 1931 2207 2467 1657 1933 2213 2473 1663 1949 2221 2477 1667 1951 2237 2503 1669 1973 2239 2521 1693 1979 2243 2531 1697 1987 2251 2539 1699 1993 2267 2543 1709 1997 2269 2549 1721 1999 2273 2551 1723 2003 2281 2557 1733 2011 2287 2579 1741 2017 2293 2591 1747 2027 2297 2593 1753 2029 2309 2609 1759 2039 2311 2617 1777 2053 2333 2621 1783 2063 2339 2633 17 87 2069 2341 2647 1789 2081 2347 2657 1801 2083 2351 2659 1811 2087 2357 2663 2371 2671 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553
превосходящие 6000 2677 2939 3257 3541 3833 2683 2953 3259 3547 3847 2687 2957 3271 3557 3851 2689 2963 3299 3559 3853 2693 2969 3301 3571 3863 2699 2971 3307 3581 3877 2707 2999 3313 3583 3881 2711 3001 3319 3593 3889 2713 ЗОИ 3323 3607 3907 2719 3019 3329 3613 3911 2729 3023 3331 3617 3917 2731 3037 3343 3623 3919 2741 3041 3347 3631 3923 2749 3049 3359 3637 3929 2753 3061 3361 3643 3931 2767 3067 3371 3659 3943 2777 3079 3373 3671 3947 2789 3083 3389 3673 3967 2791 3089 3391 3677 3989 2797 3109 3407 3691 4001 2801 3119 3413 3697 4003 2803 3121 3433 3701 4007 2819 3137 3449 3709 4013 2833 3163 3457 3719 4019 2837 3167 3461 3727 4021 2843 3169 3463 3733 4027 2851 3181 3467 3739 4049 2857 3187 3469 3761 4051 2861 3191 3491 3767 4057 2879 3203 3499 3769 4073 2887 3209 3511 3779 4079 2897 3217 3517 3793 4091 2903 3221 3527 3797 4093 2909 3229 3529 3803 4099 2917 3251 3533 3821 4111 2927 3253 3539 3823 4127 4447 4751 5051 5399 5683 4451 4759 5059 5407 5689 4457 4783 5077 5413 5693 4463 4787 5081 5417 5701 4481 4789 5087 5419 5711 4483 4793 5099 5431 5717 4493 4799 5101 5437 5737 4507 4801 5107 5441 5741 4513 4813 5113 5443 5743 4517 4817 5119 5449 5749 4519 4831 5147 5471 5779 4523 4861 5153 5477 5783 4547 4871 5167 5479 5791 4549 4877 5171 5483 5801 4561 4889 5179 5501 5807 4567 4903 5189 5503 5813 4583 4909 5197 5507 5821 4591 4919 5209 5519 5827 4597 4931 5227 5521 5839 4603 4933 5231 5527 5843 4621 4937 5233 5531 5849 4637 4943 5237 5557 5851 4639 4951 5261 5563 5857 4643 4957 5273 5669 5861 4649 4967 5279 5673 5867 4651 4969 5281 5581 5869 4657 4973 5297 5591 5879 4663 4987 5303 5623 5881 4673 4993 5309 5639 5897 4679 4999 5323 5641 5903 4691 5003 5333 5647 5923 4703 5009 5347 5651 5927 4721 5011 5351 5653 5939 4723 5021 5381 5657 5953 4729 5023 5387 5659 5981 4733 5039 5393 5669 5987 4129 4133 4139 4153 4157 4159 4177 4201 4211 4217 4219 4229 4231 4241 4243 4253 4259 4261 4271 4273 4283 4289 4297 4327 4337 4339 4349 4357 4363 4373 4391 4397 4409 4421 4423 4441 39
//. АРИФМЕТИКА ПРЕДМЕТ АРИФМЕТИКИ Арифметика — наука о числах. Название «арифметика» произо¬ шло от греческого слова арьб^тпо), состоящего из двух частей: api0p.o<; — число и xeXvTj — искусство. Арифметика, как и многие дру¬ гие науки, возникла из потребностей практической деятельности лю¬ дей. Еще задолго до нашей эры у людей возникла необходимость подсчитывать количество добычи, вести счет времени и т. п. Несомнен¬ но, что сначала люди оперировали только конкретными и мелованны¬ ми числами, и только позже начали употреблять абстрактные числа. Сначала людям были известны только натуральные числа, но позже жизнь заставила расширить понятие числа, рассматривать и дробные числа. Когда впервые появилось понятие дроби, не известно. Но исследования показывают, что древние египтяне, китайцы, хорез¬ мийцы за много веков до нашей эры были знакомы с дробными числа¬ ми и умели выполнять простейшие арифметические действия над ними. В арифметике как науке рассматриваются все виды чисел от натуральных до комплексных. Однако в школьной арифметике изу¬ чают только положительные рациональные числа, а остальные виды чисел рассматриваются в алгебре. Авторы данного справочника при¬ держиваются школьных традиций. В «Справочнике» отрицательные, иррациональные и мнимые числа изложены в главе «Алгебра», а в главе «Арифметика» рассматриваются только натуральные и дробные числа. Первые книги, содержащие учение о счете и вычислениях, поя¬ вились еще за несколько веков до нашей эры. Много арифметических сведений есть в «Началах» Евклида (III в. до н. э.), в «Арифметике» Диофанта (III в. н. э.) и других книгах древнегреческих матема¬ тиков. Известный хорезмский математик Мухаммед ибн Муса (около 780—850 гг.), использовав известные ему работы греческих и индий¬ ских математиков, написал книгу по арифметике, которая в латин¬ ском переводе попала в Европу в XII в. и содействовала распростра¬ нению десятичной позиционной нумерации. 40
В Киевской Руси были широко распространены элементарные сведения из области арифметики, включая действия с обыкновенными дробями, что доказывается наличием косвенных источников. От XVII вв. сохранились рукописи математического содержания, из ана¬ лиза которых явствует, что познания в арифметике на Руси того вре¬ мени соответствовали уровню, достигнутому в Западной Европе. В начале XVIII в. появляются и печатные учебники по арифметике. Так, в 1703 г. была издана «Арифметика» Л. Ф. Магницкого, самая популярная книга на протяжении первой половины XVIII в., кото¬ рую М. В. Ломоносов называл «вратами своей учености». Этот учеб¬ ник энциклопедического содержания, кроме арифметики, включал элементы геометрии и технических наук. В 1740 г. было напечатано «Руководство к арифметике» JI. Эйлера. Во второй половине XVIII в. вышли из печати учебники арифметики, написанные академиками С. К. Котельниковым, С. Я. Румовским и другими авторами. Широко распространены были в то время «Универсальная арифметика» Н. Г. Курганова, а также «Теоретическая и практическая арифме¬ тика» профессора Московского университета Д. С. Аничкова. В 1866 г. были изданы «Руководство арифметики» и «Собрание арифметических задач» А. Ф. Малинина и К. П. Буренина, по кото¬ рым учились в русских средних школах на протяжении полустолетия. Во второй половине XIX в. вышли в свет учебники по арифметике Ф. И. Симашко, В. А. Латышева, В. А. Евтушевского и других авто¬ ров. В 1884 г. издана «Арифметика» А. П. Киселева, на которой воспиталось несколько поколений русских, а затем и советских спе¬ циалистов и которую только недавно заменил учебник «Арифметика» И. Н. Шевченко. ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА § 1. Нумерация 1. Натуральный ряд чисел. Когда пересчитывают какие-нибудь предметы, называют в строго определенном порядке числа: один> два> три, четыре, пять, шесть и т. д. Изображают их символами 1, 2, 3, 4, 5, 6, . .. Эти числа называют натуральными. Множество натуральных чи¬ сел, упорядоченных в строго определенной указанной выше последо¬ вательности, называют натуральным рядом чисел, или короче нату¬ ральным рядом. То из двух натуральных чисел, которое в натуральном ряде ближе стоит к 1, т. е. которое при счете появляется раньше, назы- 41
Устная нумерация Число Болгарская Польская Чешская Сербо¬ хорватская Латышская, 1 един jeden jeden jedan viens 2 два dwa dva dva divi 3 три trzy tfi tri tris 4 четири cztery «yH 6etiri cetri 5 пет pi$c pet pet pieci 6 шест szesc sest sest se§i 7 седем siedem sedm sedam septini 8 осем osiem osm osam astoni 9 девет dziewi^c devet devet deviiji 10 десет dziesi^c deset deset desmit 20 двадесет dwadziescia dvacet dva deset divdesmit 30 три десет trzydziesci tficet tri deset trisdesmit 40 четиридесет czterdziesci dtyficet cetrdeset 6etr desmit 50 петдесет pi^cdziesi^t padesat pedeset piec desmit 60 шестдесет szescdziesi^t gedesat gezdeset segdesmit 70 седемдесет siedemdziesi^t sedmdesat sedamdeset sept in desmit 80 осемдесет osiemdziesi^t osmdesat osamdeset astondesmit 90 деветдесет dziewi^cdziesi^t devadesat devedeset devigdesmit 100 сто sto sto sto simts 1000 хиляда tysi^c tislc tisuca tukstotis вается меньшим, второе число — большим *. Следовательно, в нату¬ ральном ряде каждое число, кроме 1, больше предыдущего. 1 — наи¬ меньшее натуральное число, но наибольшего натурального числа нет. Какое бы ни было большое натуральное число, существует еще боль¬ шее следующее за ним натуральное число. Натуральный ряд беско¬ нечен. Это показал еще в III в. до н. э. древнегреческий математик Архимед. * Приведенные выше описания нельзя считать строгими определениями. Строгие определения этих понятий очень сложны (см. «Энциклопедия элемен¬ тарной математики», 1, Гостехиздат, М., 1951, стр. 133, 142 и др.). 42
некоторых народов Таблица 1 Латинская Англий¬ ская Немец¬ кая Французская Испанская unus one ein un uno duo two zwei deux dos tres three drei trois tres quattuor four vier quatre cuatro quinque five f unf cinq cinco sex six sechs six seis septem seven ; sieben sept siete octo eight *acht huit ocho novem nine neun neuf nueve decem ten zehn dix diez viginti twenty zwanzig vingt veinte triginta thirty dreizig trente treinte quadraginta fourty vierzig quarante cuarenta quinquaginta fifty funfzig cinquante cincuenta sexaginta sixty sechzig soixante sesenta septuaginta seventy siebzig soixante-dix setenta octoginta eighty achtzig quatre-vingt ochenta nonaginta ninety neunzig quatre-vingt-dix noventa centum hundred hundert cent cien mi lie thousand Tausend mille mil 2. Устная нумерация. При помощи слов «один», «два», «три», «четыре», «пять», «шесть», «семь», «восемь», «девять», «десять», «со¬ рок», «сто», «.тысяча», «миллион», «миллиард», определенным спосо¬ бом комбинируя и», можно назвать очень большие числа, встречаю¬ щиеся в практике. Устная нумерация у большинства народов появилась очень давно. О большом сходстве названий чисел у разных европейских народов см. табл. 1. 3. Письменная нумерация. Для записи натуральных чисел*исполь¬ зуют символы 0, 1, 2, 3, 4У 5, 6, 7, 8, 9. Их называют цифрами- С помощью этих десяти цифр можно записать любое натуральнее число. 43
Пример. 327 — триста двадцать семь, 1002 — тысяча два. Такая экономная запись чисел достигается благодаря применению принципа поместного значения цифр, В зависимости от занимаемого цифрой места она может обозначать то одно, то другое число. Так, в приведенном выше примере цифра 2 в первом случае обозначает двадцать, а во втором — два. Первая, вторая, третья и т. д. цифры числа, если считать справа налево, называются соответственно цифрами единиц, десятков, сотен и т. д. Их называют еще единицами первого, второго, третьего и т. д. разрядов. Например, в числе 7194 имеется 4 единицы первого, 9 еди¬ ниц второго, 1 единица третьего и 7 единиц четвертого разрядов. Цифрой «0» — нуль обозначают отсутствие единиц того или иного разряда. Десять единиц какого-нибудь разряда составляют одну еди¬ ницу следующего высшего разряда. Поэтому говорят, что мы поль¬ зуемся десятичной системой счисления. Десятичная система счисления возникла в глубокой древности. Люди стали пользоваться ею потому, что привыкли считать десят¬ ками, имея на руках десять пальцев. Однако некоторые народы в свое время создали и недесятичные системы счисления (см. стр. 79). Принцип поместного значения цифр и начертания цифр (правда, несколько отличные от современных) возникли в Индии только в на¬ чале н. э. В Европе они стали известны благодаря книге «Арифме¬ тика Индорум», которую написал хорезмский математик Мухаммед ибн Муса. Она была написана на арабском языке и поэтому стали называть эти цифры арабскими. Позже, узнав, что Мухаммед в основу имеющейся в книге нумерации положил практику вычислителей Индии, стали называть эти цифры индийскими. В России с индийской нумерацией познакомились только в XIII в. До этого числа обозначали старославянскими буквами, только сверху писали специальные значки (титло): Тысячи обозначали теми же буквами, но впереди ставили зна¬ чок $. Например, числа 7205, 1963 записывали соответственно так: 44 *3te, *<mlr
В некоторых случаях еще и сейчас пользуются римскими циф¬ рами. Римская система нумерации состоит из семи знаков: I V X L С D М 1 5 10 50 100 500 1000 При этом, если меньший знак пишется после большего, то его прибавляют к большему числу; если же перед большим — вычитают, например: 8 — VIII, 24 —XXIV, 26-XXVI, 46 —XLVI, 176 — CL XXVI, 1963 —MCMLXIII. 4. Целые числа. О нуле мы уже упоминали, но рассматривали его только как цифру (знак), а не число. Однако в математике принято рассматривать нуль не только как цифру, но и как число. 0 — число не натуральное. Нуль меньше 1 и любого натурального числа. Если разместить нуль и все натуральные числа в порядке возрастания, получим: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... Эту послёдовательность чисел называют расширенным натуральным рядом. Все натуральные числа и нуль называются вместе целыми неотри¬ цательными числами. Но так как в арифметике обычно отрицательных чисел не рассматривают, здесь их называют просто целыми числами*. 5. Названия больших чисел. Для удобства чтения и запоминания больших чисел их цифры разбивают на классы: справа отделяют три цифры — первый класс, следующие три — второй, класс и т. д. Послед¬ ний класс может иметь три, две или одну цифру. Между классами обычно оставляют небольшие промежутки. Например, в числе 2 365 423 первый класс дает число единиц, второй — число тысяч и третий *— число миллионов. Сообразно с этим записанное число читают так: два миллиона триста шестьдесят пять тысяч четыреста двадцать три. Единицы четвертого, пятого, шестого и т. д. классов называют соответственно: миллиард или биллион — 1 000 000000, триллион — 1 000 000 000 000, квадриллион — 1 000 000 000 000 000, квинтиллион — 1 000 000 000 000 000 000, секстиллион — 1 000 000 000 000 000 000 000, септиллион — 1 000 000 000 000 000 000 000 000. * В алгебре целыми числами называют все натуральные числа, нуль и все целые отрицательные числа: —1, —2, —3 и т. д. 45
Эти названия возникли сравнительно недавно. Существующее сейчас в большинстве европейских языков выражение «миллион» — 106 возникло в Италии в XIII в. *. Термины «биллион», «миллиард» и т. п. возникли в XVI—XVII вв., но до сих пор имеют различное (в разных языках) значение. Миллиард обычно означает 109, но то же значение имеет в США и во Франции биллион, тогда как в Германии биллион означает 1012. Триллион в США и во Франции означает 1012, а в Англии и Германии— 1018. В русских математических рукописях встречаются наименования больших чисел, возникших, по-видимому, не раньше XII в.: тьма—10е, легион—1012, леодр — 1024, ворон — 1048, колода — 1049. § 2. Арифметические действия 1. Понятие арифметического действия. Если по двум данным чис¬ лам определяют третье число, удовлетворяющее некоторым условиям, то этот процесс в математике вообще называют действием. В арифметике рассматривают следующие действия: сложение, вы¬ читание, умножение й деление называют арифметическими действиями. 2. Сложение. Сложением натуральных чисел называют арифме¬ тическое действие, при помощи которого узнают число, содержащее столько единиц, сколько их есть в данных числах вместе. Числа, которые нужно сложить, называют слагаемыми, а резуль¬ тат сложения, т. е. число, получающееся от сложения, называют суммой. Например: 11+9 = 20. Здесь II и 9 — слагаемые, 20 — сум¬ ма. Знак сложения + (плюс) ставится между слагаемыми. Однозначные ** числа складывают, пользуясь таблицей сложения: 1 + 1=2, 2+ 1=3 и т. д. Эту таблицу дети запоминают еще в первом классе. Сложение многозначных чисел удобней выполнять «в столбик», записывая слагаемые числа так, чтобы единицы были против еди¬ ниц, десятки против десятков и т. д., например , 29327 4 398 186 4 427513 • 10е = 1 ООО ООО. Вообще 10« обозначает число, записанное единицей с п последующими нулями. •• Однозначными, двузначными и т. д. называют числа, записанные одной, двумя чи т. д. цифрами. Число, записанное несколькими цифрами, называют также многозначным. 46
Сложение натуральных чисел всегда возможно и однозначно, т. е., какие бы числа в качестве слагаемых ни брали, всегда можно найти их сумму и эта сумма должна быть для каждых данных чисел одна и та же. Прибавление к числу нуля не изменяет этого числа, например 12 + 0=12; 0+12 = 12; 0 + 0 = 0. Примечание. Древнейшим приемом сложения целых чисел было сложение слева направо; результат записывался сверху. Джон Голивуд (Сакробоско) ввел сложение справа налево; впоследствии этот прием распространился по всей .Европе. Знак сложения + (плюс) возник не ранее XV в. По-видимому, он образовался путем стили¬ зации латинского союза «et» (и). Тогда же появился и термин «сум¬ ма» в смысле результата сложения. В России вместо «сложение» в XVII—XVIII вв. иногда приме¬ нялся латинский термин «аддиция». 3. Вычитание. Вычитанием называется действие, посредством ко¬ торого по данной сумме и одному данному слагаемому отыскивается другое слагаемое. Таким образом, число, которое при сложении является искомым, при вычитании оказывается данным, и наоборот. Поэтому вычитание называют действием, обратным сложению. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают, — вычитаемым. Число, которое получается в ре¬ зультате вычитания, называется разностью. Пример. 30 — 12 = 18. Здесь 30 — уменьшаемое, 12 — вычи¬ таемое, а 18 — разность. Знак вычитания минус (—) ставится между уменьшаемым и вычитаемым. Вычитание в множестве натуральных чисел выполнима лишь при условии, когда уменьшаемое больше вычитаемого. При Зтом разность выражается всегда определенным единственным натуральным числом. Примечания: а) Вычитание нуля из числа не изменяет этого числа, например, 8 — 0 = 8. б) Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю. Например, 9 — 9 = 0. Подобно, сложению более старым является прием, пр» котором вычитание ведется слева' направо. Прием этот применялся в Запад¬ ной Европе дочти" до XV в. Зцак минус (—) появился в учебниках арифметики в XV в. одновременно со знаком плюс (+). Латинское название дейЬтвйя вычй?ания («субстракцио») применялось it в Рос¬ сии в начале XVIII в. 4. Умножение. Умножением натуральных чисел называется дей¬ ствие, состоящее в нахождении суммы одинаковые слагаемых. Напри¬ мер, если число 4 нужно повторить» слагаемым 7 раз, .то пишут: 5x7 = 35, и говорят, что нужно 5 умножить на 7: 5 + 5 + 5 + 5 + 5+5 + 5 = 5х7. 47
Можно сказать иначе: умножить одно натуральное число на дру¬ гое — значит взять первое число слагаемым столько раз, сколько единиц во втором числе. При этом то число, которое повторяется как слагаемое, называется множимым, число, показывающее, сколько бе¬ рется таких одинаковых слагаемых, — множителем, а число, полу ченное в результате умножения — произведением. Так, в нашем при мере, 5 — множимое, 7 — множитель, 35 — произведение. Множимое и множитель называются также сомножителями. Знак умножения (х) ставится между множимым и множителем. В качестве знака умножения часто употребляется точка (•)> напри¬ мер 3 - 5 = 15.* Примечания: а) Если один из двух сомножителей равен еди¬ нице, то произведение равно второму сомножителю, например 1-5 = 5; 10 - 1 = 10. б) Если хоть один сомножитель равен нулю, то и произведение равно нулю: 0- 342 = 0; 37‘0 = 0; 0*0 = 0. 5. Исторические сведения об умножении натуральных чисел. В древ¬ ней Индии умножение начинали с высших разрядов, т. е. слева на¬ право. Способ умножения справа налево был выработан, по-видимому, не раньше XV в. ' Знак умножения (х) был предложен в первой половине XVII в. Точка, как знак умножения, появилась в XV в. Название действия, принятое в большинстве европейских языков и встречающееся также у старых русских авторов, «мультипликацио» применялось еще в древ¬ нем Риме. Среднеазиатскими учеными был разработан способ умножения решеткой, который применялся также и в Западной Европе. Напри¬ мер, при умножении числа 25 на 36 эти числа записывали около сторон прямоугольника, который делился горизонтальными и верти¬ кальными чертами на несколько частей (в зависимости от числа раз¬ рядов;. Полученные меньшие прямоугольники делились пополам диа¬ гоналями, идущими снизу вверх направо. Результат поразрядного умножения записывался внутри маленьких прямоугольников, начиная с нижнего ряда так, что высший разряд стоял над диагональю, а низший — под ней. Умножаем сначала 25 на 6 и произведение записываем в нижнем ряду прямоугольника: 5 • 6 = 30, нуль пишем в нижнем правом прямоугольнике под диагональю, а 3 над ней; 2 • 6 = 12; 2 записываем во втором справа нижнем прямоугольнике под диагональю (т. е. в разряде десятков), а 1- — над диагональю (в разряде сотен). Затем умножаем 25 на 3 и аналогично записываем * Перед буквенными сомножителями знак умножения не ставят. См. стр. 158. 43
произведение в верхнем ряду, после чего соответствующие разряды, складываем по диагоналям: г 5 X 9 0 0 Интересный также древнерусский способ умножения. При умноже¬ нии этим способом один из сомножителей последовательно делим по¬ полам (остаток отбрасывается), а второй удваиваем. Потом склады¬ ваем числа второй последовательности, соответствующие нечетным числам первой последовательности. Пример. 44 х 35 = 140 + 280 + 1120 = 1540 22 70 11 140 5 280 2 560 1 1120 Древнерусский способ умножения применяется сейчас на счетных машинах. Оказывается, что умножение этим способом на некоторых машинах выполняется в 2—2,5 раза быстрее, чем умножение на тех же машинах способом последовательного сложения *. 6. Деление. Делением называется действие, посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомно¬ жителей отыскивается другой сомножитель. Число, которое делят, называется делимым; число на которое делят,— делителем; число, которое получается в результате деления, называется частным, или отношением**. Деление записывается так: 40:8 = 5. Здесь 40 — делимое, вы¬ делитель, а 5 — частное. Знак деления: (двоеточие) ставится между делимым и делителем. Число, которое при умножении является искомым, при делении оказывается данным, и наоборот. Поэтому деление называется дей¬ ствием, обратным умножению. * П. Г. X о м е н к о, Умножение на счетных машинах, Машгиз, М., 1962. ** См. стр. 125. 49
Примечания: а) Если делимое равно делителю, то частное равно единице, например 14:14=1. б) Если делитель равен единице, то частное равно делимому, например 14 : 1 = 14. в) Частное от деления нуля на какое-либо число, отличное от нуля, равно нулю, например 0 : 12 = 0. г) Деление на нуль невозможно. Деление натуральных чисел не всегда выполнимо. Например, нельзя разделить 30 на 7, ибо нет такого натурального числа, кото¬ рое при умножении на 7 давало бы 30. 7. Деление с остатком. Как видим, разделить 30 на 7 (в указан¬ ном выше смысле) невозможно. Но в жизни встречаются ситуации, которые требуют распространить деление натуральных чисел и на такие случаи, например, разделить 30 тетрадей между 7 учениками поровну. Поэтому рассматривают также деление с остатком. Примечание. Чтобы не смешивать деление с остатком с рас¬ смотренным выше арифметическим действием делением, последнее назы¬ вают еще делением без остатка или делением нацело. Деление с остатком -г- есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком; он всегда меньше делителя. Пример. 19 не делится нацело на 5. Числа 1, 2, 3 при умно¬ жении на 5 дают 5, 10, 15, не превосходящие делимого 19, но уже 4 дает в произведении с 5 число 20, большее 19. Поэтому неполное частное^ будет 3, а остаток — 4 (разность между 19 и произведением 3 • 5 * 15); 19 = 5 • 3 + 4. Для натуральных чисел точному делению (делению без остатка) и делению с остатком можно дать следующее общее определение: раз¬ делить число а (делимое) на число b (делитель) — значит найти такие два числа q (частное) и г (остаток), которые удовлетворяли бы соот¬ ношениям: а = bq + г, 0 < г < Ь. Если делитель b не равен дулю, то деление всегда возможно и дает единственный результат. Остатком при делении на число b может быть любое из чисел 0, 1, 2, Ь— 1. Примечание. В древности деление считалось самым труд¬ ным действием, которым мог овладеть не каждый. Причиной этого был очень громоздкий прием деления, который был занесен в Западную Европу вместе с арабскими учебниками и применялся до XVIII в. Способ, который является в настоящее время общепринятым, был разработан итальянскими учеными в XV в. Название действия, обще¬ 50
принятое в западноевропейских языках и применявшееся в России вплоть до первой половины XVIII в., — «дивизио», заимствовано из латинского языка. Знак деления (:) был принят в XVII в. 8. Возведение в степень. Частный случай умножения, а именно умножение одинаковых чисел, называют возведением в степень. Если, например, надо перемножить 5 одинаковых чисел, каждое из кото¬ рых равно 2, говорят: надо число возвести в пятую степень. И вместо 2 • 2 • 2 • 2 • 2 пишут 2s. Возвести число во вторую, третью, четвертую и т. д. степень значит взять его сомножителем соответственно два, три, четыре и т. д. раза *. Число, повторяющееся сомножителем, называется основанием степени; число, указывающее, сколько раз берется одинаковый мно¬ житель, называется показателем степени, а результат — степенью. Запись: 53 = 5 • 5 • 5 = 125; здесь 5 — основание степени, 3 — показатель степени, 125—степень. Вторая степень называется иначе квадратом, третья степень — кубом. Первой степенью числа называют само это число, например 71 = 7. § 3. Свойства арифметических действий 1. Свойства сложения, а) Переместительный закон сложения. Сумма не изменяется от перемены мест слагаемых. Переместительный закон в обшем виде записывается равенством: а-\~Ь— Ь-\-а, где а — первое слагаемое, b — второе слагаемое. Примеры: 3-|-5 = 5-J-3; 4 +0 = 0 + 4. б) Сочетательный закон сложения. Сумма не из¬ менится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заме¬ нить их суммой. В общем виде это свойство для трех слагаемых записывается так: а + Ь + с = а + (Ь + с). Пример. 35+ 15 + 20 = 35 + (15 + 20). Переместительный и сочетательный законы называют также соот¬ ветственно коммутативным и ассоциативным законами. в) Прибавление суммы к числу и числа к сум¬ ме. Чтобы прибавить к какому-нибудь числу сумму нескольких чи¬ сел (или наоборот), достаточно прибавить к этому числу одно слагае¬ мое, к полученной сумме прибавить второе слагаемое и т. д. * О возведении в отрицательную, нулевую и дробную степени см. стр. 210. 51
Примеры. 584 4- (12+23 + 34) = 584 69 = 653, или 584 + 12 = 5^6; 596 + 23 = 619; 619 + 34 = 653. (345 + 424 + 576) + 55 = 1345 + 55 = 1400, или 345 + 55 = 400; 400 + (424 + 576) = 1400. 2. Свойства вычитания, а) Вычитание суммы из числа. Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое и т. д. Обозначим уменьшаемое буквой а, отдельные слагаемые вычитае¬ мой суммы буквами бис, тогда свойство можно записать так: а — (Ь + с) — а — b — с. Пример. 25 —(13+ 5) = 25—5 — 13 = 20 — 13 = 7. б) Вычитание числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из какого-нибудь одного сла¬ гаемого (предполагае*1ся, что слагаемое больше вычитаемого) и полу¬ ченную разность прибавить к сумме остальных слагаемых. Это свой¬ ство с помощью букв записывается так: (а + Ь) — с = (а — с) -f- b = а + (6 — с)\ Примеры. (36 + 27) — 16 = (36 — 16) + 27 = 47, (36 + 27) — 17 = 36 + (27 — 17) = 46. в) Прибавление разности. Чтобы прибавить разность к числу, достаточно прибавить к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое. Это свойство с помощью букв записы¬ вается так: а + (Ь — с) = а -{- b — с. Пример. 50 + (36 — 16) = 50 + 20 = 70, или 50+36 = 86, 86— 16 = 70. г) Вычитание разности. Чтобы вычесть разность из числа, достаточно вычесть из него уменьшаемое (если это возможно) и к полученной разности прибавить вычитаемое. Это свойство в общем виде записывается так: а — (6 — с) = а — Ь-{-с. Пример. 65 — (35— 18) = (65 — 35) +18 = 48. 3. Свойства умножения, а) Переместительный закон умножения. Произведение не изменяется от перемены мест сомножителей. 62
Если обозначим первый сомножитель буквой а, а второй — бук¬ вой Ь9 то переместительный закон можно записать в виде такого равенства: аЬ — Ьа. Пример. 5* 6=6*5. б) Сочетательный закон умножения. Произведение не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножите¬ лей заменить их произведением. В общем виде этот закон можно записать так: abc — а(Ьс). Пример. 12 ♦ 8 • 4 = (12 • 8) • 4 = 12 • (8 • 4) = 384. в) Распределительный закон умножения (отно¬ сительно суммы). Произведение суммы нескольких чисел на какое-ни¬ будь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число. В общем виде для случая трех слагаемых этот закон можно запи¬ сать так: (а + Ъ + с) d = ad + bd + cd. Пример. (30 + 45+ 120) . 12 = 30 • 12 + 45 • 12+120 • 12 = = 360 + 540 + 1440 = 2340. Переместительный, сочетательный и распределительный законы на¬ зывают также соответственно коммутативным, ассоциативным и ди¬ стрибутивным. г) Умножение произведения на число и числа на произведение. Чтобы умножить произведение нескольких чисел на какое-нибудь число (или наоборот), достаточно один из сомножителей произведения умножить на это число, оставив другие сомножители без изменения. Примеры. (35 • 12) • 4 = (35 • 4) • 12 = 140 • 12= 1680, 20 • (7 • 18-5) = (20 • 5) • 7 • 18 = 100 • 7 • 18 = 12600. д) Умножение разности на число. Чтобы умножить разность на число, достаточно умножить на это число отдельно умень¬ шаемое и вычитаемое и затем из первого произведения вычесть второе. В общем виде это свойство записывается так: (а — Ь)с = ас — Ьс. Пример. (35 — 15) • 4 = 35 • 4 — 15*4= 140 — 60 = 80. Примечание. Это свойство иногда называют также распре¬ делительным законом умножения относительно разности. 4. Свойства деления, а) Деление суммы на число. Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое отдельно (если это возможно) и по¬ лученные частные сложить. В общем виде это записывается так: (а + Ь): с = а : с + b : с. Пример. (8 + 12): 4 = 8 : 4 + 12 : 4 => 2 + 3 = 5 63
б) Деление разности на число. Чтобы разделить раз¬ ность на какое-нибудь число, достаточно (если это возможно) разде¬ лить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно, а потом из первого частного вычесть второе. При помощи букв это свойство можно записать так: (а — Ь) :с = а : с — b : с. Пример. (18 — 6):3 = 18:3 — 6:3 = 6 —2 = 4. Однако в примере (17 — 7) : 5 надо сперва найти разность 17 — 7. в) Деление числа на произведение. Чтобы разделить число на произведение, достаточно разделить это число на один сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, вновь полученное частное разделить на третий сомножитель и т. д. Пример. 960 разделить на произведение 4*6-8 можно так: 960 : 4 *= 240; 240 : 6 = 40; 40 : 8 = 5. г) Деленйе произведения на число. Частное от де¬ ления произведения двух сомножителей на число равно произведению одного из сомножителей на частное от деления другого сомножителя на это число (если такое деление выполнимо). В общем виде (аЬ) :с — (а: с)Ь. Это свойство остается справедливым и в случае произведения нескольких сомножителей; с помощью букв оно записывается так: (abc) :d — (a : d)bc. Пример. Разделить произведение 24 • 18 • 10 (равное 4320) на 8 можно так: 24 :8 *= 3; 3 • (18 • 10) = 3 • 180 = 540. Однако в примере (6 • 8) : 16 надо сперва вычислить произведение 6 • 8. д) Умножение числа на частное. Чтобы умножить число на частное, достаточно умножить это число на делимое и по¬ рченное произведение разделить на делитель. При помощи букв это свойство можно записать: а(Ь : с) = (ab) : с, Пример. 6 • (200 : 5) можно решить так: 6 • 200 = 1200; 1200 : 5 = 240. е) Деление числа на частное. Чтобы разделить число на частное, достаточно (если это возможно) разделить данное число на делимое и полученное частное умножить на делитель. 54
В общем виде а:(Ь : с) = (а: Ь)с. Пример. 360 : (180 : 6) можно решить так: 360: 180 = 2; 2-6=12. Но пример 30: (60: 10) так решить нельзя, так как число 30 на 60 не делится. ж) Деление частного на число. Чтобы разделить част¬ ное на число, достаточно умножить делитель на это число и на по¬ лученное произведение разделить делимое. Можно также разделить делимое на данное число, а полученное частное разделить на дели¬ тель. В общем виде (a: b) :с = а: (Ьс) или (а : Ь): с = (а : : Ь. Пример. (1200 : 15): 40 можно вычислять тремя способами: а) (1200 :15) : 40 = 80 : 40 = 2; б) (1200 :15): 40 = 1200 : (15 • 40) = 1200 : 600 = 2; в) (1200 : 15) : 40 = (1200 : 40): 15 30 : 15 = 2. 5. Зависимость между данными числами и результатами действий над ними. Сложение. Если известна сумма двух слагаемых, а одно слагаемое неизвестно, /по, чтобы найти его, достаточно из суммы вы¬ честь известное слагаемое, т. е., если а-\- b = с, то а = с — b и b — с — а. Пример, х 30 = 42; х = 42 — 30; х — 12. Вычитание. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, доста¬ точно к вычитаемому прибавить разность, т. е., если а — Ь = с, то а = Ь-\-с. Пример, х — 8 = 5; х — 8 -f- 5; х = 13. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, достаточно из уменьшае¬ мого вычесть разность, т. е., если а — Ъ = с, то Ъ = а — с. Пример. 45 — х=\5;х — 4В—15; * = 30. Умножение. Чтобы найти неизвестный сомножитель, доста¬ точно разделить произведение на известный сомножитель (или на про¬ изведение известных сомножителей): если ab = c, то а = с:Ь> 6 = с: а. Примеры: а) 25* = 200; х = 200 :25; х = 8. б) 3 • 5* • 2 = 210; х = 210 : (3 • 5 • 2); х = 7. 55
Деление. Чтобы найти неизвестное делимое, достаточно де¬ литель умножить на частное, т. е., если а:Ь — с, то а — Ъс. Пример, х : 25 = 3; х = 25 • 3; х = 75. Чтобы найти неизвестный делитель, достаточно делимое разде¬ лить на частное, т. е., если а : 6 = с, то b = а :с. Пример. 400 : л: = 16; * = 400:16; * = 25. Чтобы найти делимое при делении с остатком, достаточно де¬ литель умножить на частное и прибавить остаток. В общем виде, если при делении а на b получили частное q и остаток г, то а — bq -|- г. Пример. Если 30 : 4 = 7 (ост. 2), то 30 = 4-7 -f- 2. х : 5 = 4 (ост. 3), то х = 5 • 4 + 3 = 23. Чтобы найти делитель при делении с остатком, достаточно из делимого вычесть остаток и разность разделить на частное. С помощью букв можно записать так: b = (а — г): q. Пример. 40 : л: = 6 (ост. 4), лг = (40 — 4) : 6 = 6. § 4. Изменение результатов действий в зависимости от изменения данных 1. Изменение суммы и разности. Если одно из слагаемых увели¬ чить (уменьшить) на какое-нибудь число, то на это же число увели¬ чится (уменьшится) и сумма, т. е., если а + 6 = с, то (а-\-т)-\~Ь — с-\-т и (а — т)-\~Ь — с — т. Примеры. 5 + 8= 13, тогда (5 + 2) + 8 = 13 +2; 18+12 = * 30, тогда (18 — 5) + 12 = 30 — 5. Если уменьшаемое увеличится (уменьшится) на какое-нибудь число, то и разность увеличится (уменьшится) на то же число, т. е., если а — Ъ = с, то (а + ш) — Ь — с-\-т и (а — т) — b — с — т. Примеры. 18—12 = 6, тогда (18 + 5)— 12 = 6 + 5; 30— 12= «= 18, тогда (30 — 10) — 12 = 18 — 10. 56
Если вычитаемое увеличить (уменьшить) на какое-нибудь число, то разность уменьшится (увеличится) на то же число, т. е., если а — 6 = с, то а — ф + т) = с — т и а — (6 — т) = с т. Примеры. 45 — 12 = 33, тогда 45 — (12 + 3) = 33 — 3; 52 — — 30 = 22, тогда 52 — (30 — 10) = 22 + 10. Если одно слагаемое увеличить, а другое уменьшить на одно и то же число у то сумма не изменится, т. е., если а + b = с, то (а + т) + (Ь — т) = с. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (или уменьшить) на одно и то же число, то разность не изменится, т. е., если а — b = с, то (а + т) — (Ь -f- т) = с и (а — т) — (Ь — т) = с. 2. Изменение произведения и частного. Если один сомножитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то и произведение увеличится (уменьшится) во столько же раз. В общем виде, если аЪ = с, то (am) b — cm и (а : т) b = с : т. Примеры. 5-6 = 30, тогда (5 • 4) • 6 = 30 • 4; 4 • 8 = 32, тогда (4 :2) • 8 = 32 : 2. Если один сомножитель произведения увеличить (уменьшить) в несколько раз, а другой уменьшить (увеличить) во столько же разу то произведение не изменится, т. е., если ab = с, то (а: т) (Ьт) = с. Пример. 25-10 = 250, тогда (25 : 5) • (10 • 5) = 250. Если делимое увеличится (уменьшится) в несколько раз, то и частное увеличится (уменьшится) во столько же раз, т. е., если а: Ь = с, то (та): b = тс и (а : т): b = с : т. Примеры. 40:5 = 8, тогда (40 • 6) : 5 = 6 • 8; 440:11 =40, тогда (440 : 4) : 11 = 40 : 4. Если делитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то част¬ ное уменьшится (увеличится) во столько же раз, т. е., если а : b = с, то а : (Ьт) — с : т и а:(Ь : /и) = ст. 57
Примеры. 64 : 8 = 8, тогда 64 : (8 • 2) = 8 : 2; 81:9 = 9, тогда 81 : (9 : 3) = 9 • 3. Если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное не изменится, т. е., если а: b = с, то (am) : (Ьт) = с и (а : т): (Ь : т) — с. Это свойство называют основным свойством частного. Пример. 32 : 16 = (32 • 2) : (16 • 2) = 2 и 32 : 16 = (32 : 4) : : (16 : 4) = 2. 3. Изменение остатка. Если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то частное не изменится, но остаток увеличится (или уменьшится) в то же число раз. С помощью букв это записывается так: пусть а — делимое, b — делитель, q — частное, г — остаток; тогда a — bq-\-r (r<b), am = (bm)q -f- rm, a : m = (b : m) q -f- (r : m). Об этом нельзя забывать при делении чисел, оканчивающихся нулями. Например, деление 84100 :400 иногда выполняют так: _841ОД 4Щ 84 210 1 В действительности же для чисел 84100 и 400 остаток будет не 1, а 100, так как мы делили 841 сотню на 4 сотни и получили 210 и в остатке 1 сотню. Иначе: так как, зачеркнув нули, уменьшили делимое и делитель в 100 раз, то согласно правилу и остаток умень¬ шился в 100 раз, поэтому для получения остатка от деления задан¬ ных чисел, его надо увеличить в 100 раз. Таким образом, 84100 : : 400 = 210 (ост. 100). § 5. Порядок действий, скобки 1. Порядок действий. При выполнении нескольких действий ре¬ зультат зависит от данных чисел и от порядка их выполнения. Так, например, 4 — 2 —1 = 3, если производить действия в порядке их записи; если же сначала сложить 2 и 1 и вычесть полученную сумму из 4, то получим 1. Для предупреждения недоразумений вводятся соглашения, в каком порядке следует выполнять действия в выраже¬ нии, записанном без скобок. Действия сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень принято делить на три ступени. Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, умножение и деление — дейст- 58
еиями второй ступени, а возведение в степень — действием третьей ступени. Если в выражении (без скобок) встречаются действия только первой или только второй ступени, то их выполняют в том порядке, в каком они написаны, слева направо. Примеры: а) 10 — 3 + 4 + 2 = 7 + 4 + 2=11 + 2=13; 6) 40-2:4-5 = 80:4-5 = 20-5 = 100. Примечание. Такой порядок действий второй ступени не соответствует принятому в алгебре, где под выражением а : Ьс всегда понимают (а деленное на произведение Ьс). Поэтому в некоторых новых руководствах по арифметике (для последнего случая) рекомендуется иной порядок действий, отвечаю¬ щий принятому в алгебре: если в выражении встречаются действия только второй ступени, то сначала выполняется умножение, а затем деление. Следуя этому правилу, последний пример надо было бы ре¬ шать так *: 40 • 2 : 4 • 5 = 80 : 20 = 4. Однако пока в школе придерживаются традиционного правила. Если в выражении встречаются действия разных ступеней, то сначала'выполняют действия высших, а потом низших ступеней. Пример. 2 • Б2 — 3-3; 52 = 25; 2-25 = 50; 3-3=9; 50 — — 9 = 41. 2. Скобки. При решении примеров, которые содержат скобки, действия нужно проводить в таком порядке: сначала выполнить дей¬ ствия, заключенные в скобки, потом остальные, согласно принятым выше правилам. Пример. 9+ 16:4 —2(16 —2 - 7 + 4)+ 6 - (2 + 5). Решение. Сначала выполняем действия в скобках: 16 —2 • 7 + 4= 16 — 14 + 4 = 6; 2 + 5 = 7. Затем выполняем остальные действия: 9+16 : 4 —2 -6 + 6-7=9 + 4— 12 + 42 = 43. Часто для указания порядка действий необходимо заключать в скобки такие выражения, которые уже сами содержат скобки. Тогда, кроме обычных круглых скобок ( ), применяют скобки квад¬ ратные [ ]. Если в скобки нужно заключить выражение, содержащее уже круглые и квадратные скобки, пользуются фигурными скобками { {. Вычисление подобных выражений проводится в следующем по¬ рядке: сначала — вычисление внутри всех круглых скобок в указан¬ ной выше последовательности; затем — вычисление внутри всех квад¬ * И. К. Андронов. Арифметика. Учпедгиз, 1962, стр. 108. 59
ратных скобок по тем же правилам: далее — вычисление внутри фи¬ гурных скобок; наконец, выполняются остальные действия. Пример. 5 + 2 . [14 —3 • (8 — 6)] + 32: (10 — 2 - 3)- Решение. Выполняем действия в круглых скобках: 8 — 6 = 2; 10 —2-3 = 10 — 6 = 4; действия в квадратных скобках дают: 14 — 3 • 2 = 8; выполняя осталь¬ ные действия, находим: 5 + 2 - 8 + 32 : 4 = 5+ 16 + 8 = 29. § 6. Проверка арифметических действий 1. Проверка действий на основании зависимости между данными и результатами действий. Когда выполняют много вычислений, при¬ бегают к контролю приводимых вычислений, т. е. к контролю пра¬ вильности выполнения арифметических действий. Для этого чаще всего используют основные законы арифметических действий и зави¬ симости между данными и результатами действий. Например, пра¬ вильность выполнения сложения 243596 + 32483 = 276079 можно про¬ верить сложением — переставив слагаемые, или вычитанием: 276079 — — 243596 = 32483. Аналогично проверяют правильность выполнения и других ариф¬ метических действий: вычитания, умножения и деления. Но иногда целесообразно пользоваться специальными приемами проверки вычис¬ лений, например «правилом девятки». 2. Правило девятки. Если надо проверить правильность выполне¬ ния сложения, часто делают так. Находят остатки от деления на 9 сумм цифр каждого слагаемого, складывают их и результат снова де¬ лят на 9. Полученный остаток сравнивают с остатком от деления на 9 суммы цифр найденной суммы. Если сложение выполнено верно, то эти остатки должны быть равны. Если же остатки не равны, значит сложение выполнено неверно. Пример. 2378 2 3819 3 955 1 200369 2 206521 7 В данном примере остатки от деления на 9 сумм цифр слагаемых равны: 2, 3, 1, 2, их сумма равна 8. А остаток от деления на 9 суммы цифр результата 206521 равен 7. Значит, сложение выполнено неверно. 60
Аналогично можно проверять и правильность выполнения умно¬ жения. Только полученные остатки от деления на 9 сумм цифр со¬ множителей надо не складывать, а перемножать. Пример. F 1362 3 103 £ 4086 1362 140286 3 Здесь остатки от деления на 9 сумм цифр сомножителей равны 3 и 4. Их произведение 12. Разделив 12 на 9, получим остаток 3. Такой же остаток получается, если разделить на 9 сумму цифр чис¬ ла 140286. Следовательно, можно надеяться, что умножение выпол¬ нено верно. Примечание. Правило девятки не всегда дает возможность обнаружить ошибку в вычислениях. Например, если бы вместо вер¬ ного ответа 140286 получили 140376 или 142086, правило девятки не обнаружило бы ошибки, ведь остатки от деления на 9 суммы цифр каждого из этих чисел равны 3. Следовательно, этот способ проверки не является достаточным. Однако подобные ошибки, когда найденный результат отличается от верного только порядком цифр и др., маловероятны. Так как вычитание и деление есть действия, обратные сложению и умножению, и правильность вычисления разности и частного про¬ веряется соответственно сложением и умножением, то правило де¬ вятки можно применять также для контроля вычитания и деления. Известен также способ проверки арифметических действий * при помощи числа 11. § 7. Способы быстрых вычислений Умение быстро и безошибочно производить устные ^письменные вычисления позволяет экономить труд и время, а также быстро об¬ наруживать ошибки в своих или чужих расчетах. Приведем несколько способов, которые наиболее часто используются в вычислительной практике. 1. Способы быстрого сложения и вычитания. Прием, округ¬ ления. Этот прием основан на изменении суммы или разности в зависимости от изменения компонентов и применяется в том слу¬ чае, когда хотя бы один из компонентов представляет собой число, близкое к круглым десяткам, сотням, тысячам и т. д. * Б. А, Т у л и н о в, Я- Ф. Чекмарев. Теоретическая арифметика. Учпедгиз, М., 1940, стр. 111. 61
а) Если одно из слагаемых, округляя, увеличим на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц. Пример. 264 + 391 = 264-f- (391 + 9) — 9 = 264+400—9 = 655. б) Если одно слагаемое увеличим на несколько единиц, а вто¬ рое уменьшим на столько же единиц, сумма не изменится. На осно¬ вании этого выполняется округление одного слагаемого за счет другого. Пример. 998 + 936= 1000 + 934= 1934. в) Если вычитаемое при округлении увеличим на несколько еди¬ ниц, то, чтобы разность не изменилась, надо и уменьшаемое увели¬ чить на столько же единиц. Пример. 2342 — 996 = 2346 — 1000 = 1346. г) Если уменьшаемое при округлении уменьшим на несколько единиц, то к полученной разности надо прибавить столько же единиц. Пример. 10012 — 8645 = 10000 — 8645+ 12 = 1355 +12=1367. Использование свойств сложения и вычитания. Примеры. 279 + 583 + 721 = (279 + 721) + 583 = 1583; 352 + 109 — 52 = (352 — 52) + 109 = 409; 573 — 432 — 68 = 573 — (432 + 68) = 73. 2. Способы быстрого умножения и деления. Умножение ме¬ тодом Ферроля. Для получения единиц произведения перемно¬ жают единицы сомножителей, для получения десятков умножаются десятки одного на единицы другого сомножителя и наоборот и резуль¬ таты складываются, для получения сотен перемножаются десятки *. Этот способ можно изобразить схематически так. Пример. 32 2 • 6 = 12, 2 пишем, 1 помним 46 3-6= 18, 2*4 = 8, 18 + 8+ 1 =27, 1472 ^ пишем 2 помним. 3 • 4= 12 и 2 — пишем 14. Умножение на число, близкое к единице како- го-нибудь разряда. Примеры. 405 • 97 = 405 • (100 — 3) = 405 • 100 — 405 • 3 = «= 40500 — 1215 = 39285; 8012 • 1006 = 8012 (1000 + 6) = 8012000 + 8012 • 6 = 8012000 + + 48072 = 8060072. Умножение на 9, 99 и 999. Чтобы умножить на число, написанное девятками, надо к множимому приписать справа столько ну лей у сколько девяток во множителе, и из результата вычесть мно¬ жимое. * Этот способ умножения следует из тождества (10 а+Ь) (Юс+йГ)=100ас+10 {ad+bc)+bd. 62
Примеры. 387 • 9 = 3870 — 387 = 3483; 24 . 99 = 2400 — 24 = 2376; 18 • 999 = 18000 — 18 = 17982. Умножение двузначного числа на 11. Чтобы умно- жить двузначное число, сумма цифр* ксторого меньше 10, на 11, надо между цифрами числа написать сумму его цифр. Пример. 72 • 11 = 792. Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого больше или равна 10, надо между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать избыток суммы цифр числа над 10. Пример. 68-11 = 748. Умножение на 5, 25, 125. Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и ре- зультат умножить на 10, 100, 1000. Примеры. 2486 • 5 = 12430, так как 2486 : 2 = 1243; 8084 • 25 = 202100, так как 8084 : 4 = 2021. Деление на 5, 25, 125. Чтобы разделить число на 5, 25, 125, достаточно умножить его соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000. Примеры. 235 : 5 = 47, так как 235 • 2 = 470; 1175 : 25 = 47, так как 1175 • 4 = 4700. Использование свойств умножения и деления. Примеры. 93 • 8 • 125 = 93 • (8 • 125) = 93000; 36 • 18 : 9 = 36 • (18 : 9) = 36 • 2 = 72; 26 • 235 : 13 = (26 : 13) • 235 = 470. Возведение в квадрат чисел, имеющих цифру 5. Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся цифрой 5, достаточно число его десятков умножить на число, увеличенное на единицу, и к произведению справа дописать 25. Пример. Вычислить 352. Решение (выполняется устно). 3*4=12, дописав 25, полу¬ чим результат: 352 = 1225. Чтобы возвести в квадрат двузначное число, имеющее 5 ££СЯ1Ков, достаточно к 25 прибавить цифру единиц и к результату приписать справа, квадрат числа единиц так, чтобы в результате получилось четырехзначное число**. * См. сноску на стр. 71. ** Эти правила следуют из тождеств: (10а+5)*=100а(а+1)+25, (50а+6)=2500+1 63
Пример. Вычислить 542; 522. Решение (выполняется устно). К 25 прибавляем 4, получаем 29. Приписываем 16. Получаем: 542 = 2916. 522 = 2704. § 8. Инструментальные вычисления Кроме устных и письменных вычислений, широкое распростра¬ нение получили также различные инструментальные вычисления, т. е. вычисления с помощью специальных приспособле¬ ний — счетов, арифмометров и т. п. 1. Русские счеты. Это приспособление представляет собой деревянную раму с параллельными проволока¬ ми (обычно их 15). На каждой проволоке, наниза¬ но по 10 косточек, на четвер¬ той пли на третьей сни¬ зу — четыре косточки. Для удобства две средние кос¬ точки на каждой проволоке окрашены в черный цвет (рис. 1). На счетах разрядные единицы заменяются косточ¬ ками, которые откладыва¬ ются на соответствующих проволоках. Целое число изображается при помощи косточек в таком же поряд¬ ке, как и на письме, начи¬ ная с единиц высшего раз¬ ряда числа, последовательно разряд за разрядом, вплоть до простых единиц. При откладывании чисел на счетах пользуются следую¬ щими правилами: а) 10 косто¬ чек на любой проволоке счетов заменяются одной косточкой соседней верхней проволоки, а одна косточка на любой проволоке может заменяться десятью косточками соседней нижней проволоки; б) на определенных проволоках счетов надо откладывать лишь столько Рис. 1. 64
косточек, сколько единиц содержит соответствующий разряд дан¬ ного числа; в) проволоки счетов, соответствующие тем разрядам, где в записи данного числа стоит нуль, надо оставлять свобод¬ ными. Для того чтобы сложить два числа, следует отложить на счетах первое слагаемое, затем — второе. Если при откладывании второго слагаемого на какой-нибудь проволоке не хватает косточек, следует отложить одну косточку на проволоке следующего высшего разряда, одновременно сняв (слева) на данной проволоке столько косточек, сколько единиц соответствующего разряда не хватает во втором слагаемом до 10. Отложив на счетах второе слагаемое, получим результат — сумму двух слагаемых. Если нужно сложить три или больше слагаемых, то к сумме первых двух прибавляют третье и т. д. Например. 235 + 387. Отложив на счетах 235 (слева), при¬ соединим к 2 косточкам разряда сотен еще 3, получим 5 сотен. На следующей нижней проволоке следует отложить влево 8 косточек, но там их только 7, поэтому вместо 8 десятков отложим на следую¬ щей верхней проволоке 1 сотню, т. е. 10 десятков и сбросим на дан¬ ной проволоке 2 косточки (2 десятка, которые мы отложили лишние). Чтобы прибавить 7 единиц, прибавим 1 десяток, а 3 единицы сни¬ мем. Получим 622. При вычитании на счетах надо отложить уменьшаемое и с него сбросить вычитаемое. При этом: а) сбрасывание косточек начинают с единиц старшего разряда; б) если в процессе вычитания на какой-нибудь проволоке для сбрасывания соответствующего разрядного числа вычитаемого не хватает косточек, то на этой проволоке переводят влево число кос¬ точек, дополняющее число разрядных единиц вычитаемого до 10, а на ближайшей сверху проволоке сбрасывают одну косточку; в) по оставшимся слева косточкам, читают разность. Умножение чисел на счетах приводится к сложению. Но приведение умножения к сложению на счетах практически оправды¬ вает себя только тогда, когда пользуются сокращенными способами умножения. Наиболее распространенный способ основан на умноже¬ нии одного из сомножителей на сумму разрядных единиц второго сомножителя с последовательным сложением полученных произведе¬ ний. Например, 123 • 12 = 123 • 10 + 123 • 2 = 1230 + (123+123). Часто используется также прием округления. Деление на счетах сводится к последовательному вычитанию из делимого делителя и его произведений на целые степени десяти. При этом в каждом разряде частного будет столько единиц, сколько раз пришлось вычитать произведения делителя на соответствующую степень 10. Исчерпывание делимого следует начинать со старших 3 5-353 65
разрядных единиц. При делении верхние проволоки отводят для изображения частного. Например, пусть требуется разделить 9375 на 75. Для этого от¬ кладываем на счетах 9375, затем отделяем большим пальцем левой руки в делимом 93, из 93 вычитаем (сбрасываем) делитель 75 :93 — — 75 = 18. В частном (на крайней верхней проволоке) откладываем одну кость. Передвигаем большой палец левой руки вниз на одну проволоку. Из числа 187 два раза вычитаем число 75, в частном на одну проволоку ниже откладываем две кости. Из оставшегося числа 375 вычитаем пять раз число 75; каждое вычитание отмечаем одной костью в частном на третьей сверху проволоке. После этого в дели¬ мом не будет остатка, а в частном будет отложено 125. Это будет искомый результат. 2. Арифмометр. Существует много различных типов арифмомет¬ ров*. Мы рассмотрим арифмометр «Феликс» (рис. 2). Установка чисел на этом арифмометре осуществляется передви¬ жением установочных рычагов 2 вниз по установочным шкалам. Всего установочных шкал 10, каждая из них соответствует опреде¬ ленному разряду. Нумерация установочных шкал идет справа на¬ лево и воспроизведена на специальной шкале. * Г. П. Евстигнеев и В. Н. Криушин, Счетно-цифровые ма¬ шины, Машгиз, 1953. 66
Чтобы привести все установочные рычажки в исходное положе¬ ние (погасить установку), необходимо повернуть на четверть оборота по часовой стрелке оперативную рукоятку 4 при отведенной влево кнопке гасительной гребенки рычажков 18. В каретке 5 арифмометра находятся окна счетчиков: справа окна счетчика результатов 7 и слева окна счетчика оборотов 8. В счет¬ чике результатов имеются 13 разрядов (окошек), в счетчике оборо¬ тов — 8. Разряды результативного и оборотного счетчиков занумеро¬ ваны справа налево. При вращении оперативной рукоятки в окош¬ ках оборотного счетчика появляются цифры (белые при вращении по часовой стрелке, красные при вращении против часовой стрелки), указывающие число соответствующих оборотов. Счетчики гасятся гасительными барашками 6 и 9, при помощи поворота их до защел¬ кивания. При одном нажиме на рычажок 15 каретка может переместиться только на один разряд в соответствующем направлении. При подня¬ том рычажке 15 каретка может свободно перемещаться вправо и влево. Для указания разряда, в котором идет счет, служит стрелка 17. Подвижные запятые служат для отделения целой части чисел, кото¬ рые получаются на счетчиках, от дробной части. Перед началом работы на арифмометре необходимо pro привести в исходное положение, т. е.: а) оперативная рукоятка 4 должна быть опущена вниз и за¬ щелкнута; б) барашки 6 и 9 горизонтально и защелкнуты; в) каретка 5 неподвижна и защелкнута рычажком 15; г) оба счетчика погашены. Во время вращения оперативная рукоятка 4 должна быть оття¬ нута вправо, а по окончании вращения защелкнута. Вращать руко¬ ятку надо с остановкой внизу. Барашки, рукоятка и установочные рычажки должны работать легко. При работе на арифмометре запрещается: а) вращать рукоятку, не убедившись в том, что барашки за¬ щелкнуты; б) останавливать рукоятку не в вертикальном нижнем поло¬ жении; в) перемещать каретку, не проверив, что барашки и рукоятка за¬ щелкнуты; г) делать резкие движения и удары по рычагу при перемещении каретки на несколько делений. Сложение на арифмометре. Пусть требуется сложить два числа: 38785 и 30817. Для этого поступаем таким образом: 1) приводим арифмометр в исходное положение; 2) ставим каретку в крайнее левое положение; 3* 67
3) установочными рычажками набираем первое слагаемое 38785,— единицы на первой шкале, десятки на второй и т. д.; 4) оперативной рукояткой 4 делаем полный оборот по часовой стрелке; в окошках результативного счетчика появляется первое сла¬ гаемое (38785), в окошке оборотного счетчика — белая цифра 1; 5) отводим влево рычажок гасительной гребенки и делаем четверть оборота по часовой стрелке, гасим на установочных шкалах первое слагаемое; 6) не сдвигая каретку, устанавливаем рычагами второе слагаемое (30817); 7) делаем полный оборот оперативной рукоятки по часовой стрелке; 8) в окошках результативного счетчика читаем сумму (69602). При сложении трех или большего количества слагаемых повто¬ ряем пятую, шестую и седьмую операции и только после этого читаем результат. Вычитание. Пусть требуется из числа 38785 вычесть число 30817. Для этого проделываем шесть первых операций, которые сле¬ довало бы сделать при сложении указанных чисел, а затем в качестве 7-й операции делаем полный оборот оперативной рукоятки против часовой стрелки и в качестве 8-й операции, так же как и в случае сложения, на результативном счетчике читаем разность (7968). Умножение. Пусть требуется найти произведение 654 • 56. Для этого делаем следующее: 1) приводим арифмометр в исходное положение; 2) ставим каретку в крайнее левое положение; 3) устанавливаем рычажками сомножитель с большим числом зна¬ чащих цифр (654); 4) вращаем оперативную рукоятку по часовой стрелке 6 раз (до появления в окошке оборотного счетчика низшего разряда второго сомножителя; 5) передвигаем каретку на один разряд и вращаем рукоятку по часовой стрелке 5 раз (до появления во втором окошке оборотного счетчика следующей справа налево цифры второго сомножителя); 6) на результативном счетчике читаем произведение (36624). Если бы во втором множителе была цифра третьего разряда, то 5-ю операцию следовало бы повторить. Так; же следовало бы посту¬ пить при наличии во втором множителе цифр четвертого и высших разрядов. Примечание. При перемножении десятичных дробей, прежде чем считать результат, следует произвести отделение целой части про¬ изведения от дробной при помощи запятой 13 на шкале счетчика ре¬ зультатов. При выполнении в каком-либо разряде умножения на число, боль¬ шее пяти, имеет смысл для сокращения числа оборотов сделать один 68
лишний положительный оборот в соседнем слева разряде, а в разряде, производимом умножение, сделать отрицательные обороты в количестве, равном разности 10 и числа, на которое производится умножение. Например, при умножении на 187 можно обойтись шестью обо¬ ротами (вместо 16): тремя отрицательными оборотами в разряде еди¬ ниц, одним отрицательным в разряде десятков и двумя положитель¬ ными в разряде сотен (200—13). На счетчике оборотов будет число 213, причем 2 — белая цифра, 1 и 3 — красные цифры. Читать это число следует так: -200 — 13 = 187 (число оборотов, равное мно¬ жителю). Деление. Операция деления на арифмометре, так же как и на русских счетах, приводится к повторному вычитанию делителя из де¬ лимого, в результате чего в счетчике оборотов получается частное. Пусть требуется произвести на арифмометре деление 624 : 24. Для этого поступаем так: 1) приводим арифмометр в исходное положение; 2) подаем каретку вправо до отказа (а не влево, как при умно¬ жении); 3) устанавливаем делимое 624 при помощи оперативной рукоятки 4, каретки 5 и гасительного барашка 6; 4) прямым оборотом оперативной рукоятки переводим делимое в счетчик результатов, где оно расположится в окошках: 6 в 13-м окошке, 2 в 12-м окошке и 4 в /i-м окошке; 5) гасим единицу, получившуюся в окне счетчика оборотов 8, и установочные рычажки; 6) устанавливаем рычажками при помощи каретки 5 и гаситель¬ ного барашка счетчика результатов 6 делитель 26 против 62 делимого; 7) делаем два обратных оборота рукояткк, после чего на месте первых двух цифр делимого появляется 10, а в счетчике оборотов — красная цифра 2; 8) подаем каретку на один разряд влево и делаем четыре обрат¬ ных поворота. В счетчике результатов появляются нули, а в счетчике оборотов—частное 24 (красными цифрами). Следовательно, 624:26=24. § 9. Делимость чисел 1. Делимость суммы. Если каждое из слагаемых делится на ка¬ кое-нибудь число, то и сумма их обязательно разделится на это же число. Пример. 32 делится на 4, 16 делится на 4, 40 делится на 4, следовательно, сумма 32+ 16 + 40 также делится на 4.
Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на какое-нибудь число, а делится, то сумма не разделится на это число. Пример 32 делится на 16, 16 делится на 16, 40 не делится на 16, сумма 32 —|— 16 —40 также не разделится на 16. Если же два или больше слагаемых не делятся на какое-нибудь число, то о делимости суммы нельзя сказать ничего определенного: в одних случаях она делится, а в других не делится на данное число. Пример. 13 и 7 не делятся ни на 5, ни на 6; сумма 13 + 7 делится на 5, но не делится на 6. 2. Делимость разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делится на какое-нибудь число, то и разность разделится на это же число. Пример. 100 делится на 5, 35 делится на 5, разность 100 — 35 делится на 5. Если только одно из чисел — уменьшаемое или вычитаемое — де¬ лится на какое-нибудь число, а другое не делится, то и разность не делится на это число. Пример. 100 делится на 20, 30 не делится на 20, разность 100 — 30 не делится на 20. Если ни уменьшаемое, ни вычитаемое не делится на данное число, то разность их может делиться, а может и не делиться на это же число. Пример. 100 и 30 не делится ни на 7 ни на 13. Их разность 100 — 30 делится на 7, но на 13 не делится. 3. Делимость произведения на число и числа на произведение. Если хоть один из сомножителей делится на какое-нибудь число, то и произведение их также разделится на это число. Пример. 15 делится на 3, следовательно, каждое из произве¬ дений 15 -17, 8 . 15 • 101, 23-15-15 также делится на 3. Если же ни один из сомножителей не делится на данное число, то из этого еще не следует, что на данное число не разделится и их произведение. Пример. Ни 15, ни 10 не делится на 6, а их произведение 15 • 10 на 6 делится. Если данное число делится на произведение, то оно делится так¬ же на каждый из сомножителей этого произведения. 70
Пример, 90 делится на произведение 2*3*5, поэтому 90 де¬ лится и на 2, й на 3, и на 5. Обратное утверждение ошибочно. Если какое-нибудь число делится в отдельности на несколько данных чисел, то на их произведение оно может и не разделиться. Пример. 180 делится и на 5, и на 9, и на 6, но на произве¬ дение 5*9*6 оно не делится. Примечание. Если же данное число делится на несколько попарно взаимно простых чисел (см. стр. 78), то оно делится и на их произведение. Пример. 180 делится на 5, 3 и 4; эти числа попарно взаимно простые, поэтому 180 делится и на произведение 5*3*4. § 10. Признаки делимости. Деление без остатка не всегда может быть выполнено. Чтобы, не выполняя деления, установить, делится или не делится одно число на другое, пользуются признаками делимости. 1. Признак делимости на 10. На 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулями. Пример. Число 2350 делится на 10. 2. Признак делимости на 2 и на 5. На 2 или на 5 делятся те и только те числа, у которых последняя цифра выражает число, де¬ лящееся соответственно на 2 или на 5. Примеры. Число 140 делится и на 2, и на 5, так как оно оканчивается нулем (а нуль делится на любое число). Число 1306 делится на 2, так как последняя его цифра 6 выражает число, деля¬ щееся на 2, но на 5 это число не делится, так как 6 не делится на 3. Число 2035 делится на 5, так как 5 делится на 5, но на 2 это число не делится, так как 5 не делится на 2. 3. Признак делимости на 3 и на 9. На 3 или на 9 делятся те и только те числа, у ксторых сумма цифр* делится соответственно на 3 или на 9. Пример. Число 31521 делится на 3, так как сумма его цифр 3+1 + 5 + 2+1 = 12 делится на 3. На 9 это число не делится, так как 12 не делится на 9. Число 5193 делится на 9, так как сумма его цифр 5+ 1 + 9 + 3=18 делится на 9. Это число делится также и на 3 (если число делится на 9, то, естественно, оно делится и на 3). 4. Признаки делимости на 4 и на 25. На 4 или на 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у кото¬ * Выражение «сумма цифр» употребляется с целью упрощения формулировки вместо слов, «сумма однозначных чисел, выраженных цифрами», ведь цифры — только значки, и действия выполняются над числами, а не над цифрами. 71
рых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4 или на 25. Пример. Число 4600 делится и на 4, и на 25, так как оно оканчивается двумя нулями (следовательно, делится на 100 == 4 • 25). Число 1264 делится на 4, так как 64 делится на 4, но это число не делится на 25, так как 64 не делится на 25. Число 1275 делится на 25, так как 75 делится на 25, но не делится на 4, так как 75 не де¬ лится на 4. 5. Признак делимости на 8 и на 125. На 8 или на 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями, а также у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответ¬ ственно на 8 или на 125. Пример. Число 3279000 делится и на 8 и на 125, так как оно делится на 1000 = 8 • 125. Число 5248 делится на 8, но не делится на 125, так 248 делится на 8, но не делится на 125. 6. Признак делимости на 7, 11 и 13. На 7, 11, или 13 де¬ лятся те и только те числа, у которых разность между числом, вы¬ раженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным осталь¬ ными цифрами (или наоборот), делится соответственно на 7, «а 11, или на 13. Пример. Число 253253 делится и на 7, и на 11, и на 13, так как разность 253 — 253 = 0, а нуль делится на любое число (не рав¬ ное нулю). Число 253264 делится на 11, но не делится ни на 7, ни на 13, так как разность 264 — 253= 11 делится на 11, но не делится ни на 7, ни на 13. Число 1 208 965 не делится ни на 7, ни на 11, ни на 13, так как разность 1208 — 965 = 243 не делится ни на одно из этих чисел. 7. Признаки делимости на 6, 12, 18, 24 и т. д. На 6 делятся те и только те числа, которые делятся на 2 и на 3. Пример. Число 31242 делится на 6, так как оно делйтся на 2 и на 3 (а числа 2‘и 3 не имеют общих множителей, больших 1). На 12 делятся те и только те числа, которые делятся на 3 и на 4 (но не на 2 и на 6, так как 2 и 6 имеют общий множитель, поэтому, например, 18 делится и на 2 и на 6, но не делится на 12). Пример. 216 делится на 12, так как оно делится на 3 и на 4. На 18 делятся те и только те числа,, которые делятся на 2 и на 9. Пример. 9396 делится на 18, так как оно делится на 2 и на 9. Существуют признаки делимости и на другие числа, но они слож¬ ные, поэтому в таких случаях иногда пользуются общим признаком делимости чисел. 8. Общий признак делимости чисел. Для того чтобы число N де¬ лилось на dy необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений цифр этого числа на остатки, получаемые от деления на d соответ¬ ствующих степеней десяти, делилась на d. 72
Если N~an- 10* + Ял-i • lO*""1 -| 1- «а • 10* + ах- 10+во и 10h = d-qn + rn\ 10" l = d^qn_1 + rn_1; . . .; 10* = d • q2 + r2; 10 = dqx-{-rlt то N делится на d в том и только в том случае, когда на d делится сумма: М = ап rn + —1 1 + • • • + Ог г2 + аг гг + Qq. Из общего признака легко вывести рассмотренные выше част¬ ные признаки делимости и некоторые другие. Пусть, например, d = = 11. Тогда 10 = 11 . 1 — 1 /1=— 1 10»= И . 9+1 г2 = +1 10»= 11 • 91 — 1 г3 = —1 10* = 11 • 909+ 1 г4 = +1 и т. д. Следовательно, при #—11 М — а0 — г^+Яг — а3+а4 — ... Имеем такой признак: на 11 делятся все те и только те числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой остальных цифр делится на 11. Пример. Делится ли на И число 47 214 051 819? 9+8 + 5 + 4 + 2 + 4=32, 1 + 1 + 0+1 + 7= 10, 32— 10 = 22. 22 делится на 11, следовательно, и данное число делится на 11. § 11. Простые и составные числа 1. Простые и составные числа. Всякое число * делится на единицу и само на себя. Существуют числа, которые делятся не только на единицу и сами на себя, но имеют еще и другие делители. Например, число 12, кроме 1 и 12, имеет еще делители: 2, 3, 4, 6. Всякое число, кроме единицы, которое делится только на еди¬ ницу и само на себя, называется простым. Число, которое делится не только на единицу и само на себя, но еще и на другие числа, называется составным. Число 1 не причисляется ни к простым, ни к составным числам, оно занимает особое положение. 2. Таблица простых чисел. Для решения многих теоретических вопросов и практических задач большую помощь оказывают таблицы простых чисел. Поэтому еще в древности математики составляли эти таблицы. Очень простой способ составления таких таблиц нашел древнегреческий математик Эратосфен (III в. до н. э). Способ Эрато¬ сфена состоит в том, что из ряда натуральных чисел последовательно вычеркиваются все составные. Пусть, например, надо найти все про¬ стые числа в натуральном ряде от 1 до 30. Для этого выпишем все * Здесь имеются в виду только натуральные числа. 73
натуральные числа от 1 до 30 в порядке возрастания. Первое из них, 1 — не простое, вычеркиваем его. Следующее за ним число 2 простое, оставляем, а каждое второе после 2, т. е. 4, 6, 8, ... вычеркиваем. Следующее простое число 3 оставляем, а каждое третье, начиная после 3, вычеркиваем. Следующее простое число 5, оставляем, а каж¬ дое пятое, начиная после 5, вычеркиваем (при этом считаем и уже вычеркнутые числа). В результате получаем: W Л, 2, 3,л 5, $.7, §, \0, 11, U 13, 14, \5, Хб, 17, \8, 19, 2*0. *1, $2, 23, 514, $5, $6, V, $8, 29, $0. Оставшиеся невычеркнутые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 — простые, меньшие 30. Такой способ составления таблиц простых чисел называют «ре¬ шетом Эратосфена». Примечание. Если требуется составить таблицу простых чи¬ сел, не превышающих N, то указанным выше способом вычеркивают все составные числа, делящиеся на 2, 3^ 5, и т. д. до наибольшего простого числа р, не превышающего YN. Например, если надо со¬ ставить таблицу простых чисел, не превышающих 1000, надо вычерк¬ нуть все составные, делящиеся на каждое простое число до 31 вклю¬ чительно. В настоящее время имеются напечатанные таблицы простых чи¬ сел до двенадцати миллионов, а в библиотеке Венской Академии наук хранится рукописная таблица простых чисел до ста миллио¬ нов. Однако уже известно много отдельных простых чисел, далеко выходящих за пределы даже самых больших таблиц. На стр. 38 этого справочника приведена таблица простых чи¬ сел, не превышающих 6000. 3. Свойства простых чисел. Хотя изучением простых чисел зани¬ мались многие математики от древнейших времен до наших дней, простые числа и законы их размещения среди натуральных чисел таят в себе много нерешенных проблем. Известно, что последовательность простых чисел бесконечна (тео¬ рема Евклида). Среди простых чисел есть много таких, разность ко¬ торых равна 2, например, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, . .., 179 и 181, 10016957 и 10016959. Такие пары чисел называют про¬ стыми числами-близнецами. Есть предположение, что чисел-близнецов существует бесконечно много. Однако это не удается никому ни до¬ казать, ни опровергнуть. Многие проблемы простых чисел можно было бы решить, если бы мы умели определять, сколько есть про¬ стых чисел, меньших любого натурального N. Однако этого мы сейчас еще не умеем делать. Известны только методы, дающие возможность приближенно находить количество простых чисел, меньших данного числа. В решении этой проблемы большое значение имеют работы ве¬ 74
ли кого русского ученого П. Л. Чебышева (1821—1894). В наше время ряд вопросов теории простых чисел разрешен известным советским математиком И. М. Виноградовым (род. 1891). Литература. И. Я. Депман, История арифметики, Учпедгиз, 1959. В. Серпинский, Что мы знаем и чего не знаем о простых числах, Физматгиз, М., 1963. 3. Трост, Простые числа, Физматгиз, М., 1959. 4. Разложение чисел на простые множители. Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел. Составное число разлагается на простые множители единственным образом (р точностью до порядка сомножителей). Это значит, что если, например, число 20 разложилось на две двойки и пятерку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнем ли мы разложение с множителей 2 или с 5: 20 = 2 • 2 . 5 = 2 • 5 • 2 = 5 • 2 . 2. Способы разложения чисел на простые множители изложим на примерах. Пример 1. Пусть требуется разложить на простые множители число 315. На основании признаков делимости 2 не будет делителем числа 315, а 3 будет делителем 315. Тогда пишем число 315, прово¬ дим справа от него вертикальную черту и справа от черты пишем найденный делитель 3, а под числом 315 — частное от деления 315 на 3, т. е. 105. Далее с числом 105 поступаем так же и устанавливаем, что 105 тоже имеет 3 своим делителем. * Пишем число 3 справа от 105 за чертой, а под числом 105 записываем число 35, являю¬ щееся частным от деления 105 на 3. Число 35 на 3 не де¬ лится, поэтому испытываем следующее по величине простое ^число 5. Выполнив с 35 те же операции, справа от 35 пи¬ шем 5, а под ним число 7. Так как 7 простое число, то делим его самого на себя, под ним пишем 1. Таким образом, этот процесс испытаний продолжаем до тех пор, пока не получим в частном L Числа, записанные справа от верти¬ кальной черты, и составят все простые множители числа 315, т. е. 315 = 3-3.5.7. Этот общий способ в некоторых случаях можно упрощать. Пример 2. Разложить на простые множители 5600. Решение. Замечаем, что 5600 = 56 • 100. Число 56 равно про¬ изведению 7 • 8, следовательно, равно произведению трех двоек и одной семерки. Число 100 равно произведению двух двоек и двух пятерок. 75 315 3 105 3 35 5 7 7 1
Поэтому 5600 = 2‘2'2'2‘2‘5*5'7. Как видим, среди сомножителей разложения могут быть и рав¬ ные числа. В таких случаях упрощают записи, используя поня!ие степени (стр. 51). Например, приведенное выше разложение запи¬ сывают так: 5500 » 2» • 52 • 7. Такая запись числа в виде произведения степеней разных простых чисел называется каноническим разложением данного числа. 5. Разложение на множители больших чисел. Если данное число небольшое, или если оно делится на небольшое простое число, то его без особого труда можно разложить на множители. Но в общем слу¬ чае разложение чисел на множители очень трудоемко. Например, не так легко разложить на множители сравнительно небольшое число 12091. Испытывая числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т. д., мы долгое время не можем обнаружить его делители. А ведь данное число не простое! Несколько лет математики не могли разложить на множители число 549755 813 881. И только недавно электронная вычислительная машина обнаружила, что это число (оно равно 289 — 7) простое. § 12. Общие делители и кратные 1. Делители числа. Делителем данного числа называется число, на которое данное число делится без остатка. Всякое простое число, например 13, имеет только два делителя: единицу и самого ссбя. Всякое составное число имеет более двух делителей, например число б имеет 4 делителя: 1, 2, 3 и 6. Чтобы найти делители данного состав¬ ного числа, предварительно раскладывают его на простые множители; каждый из этих множителей будет простым делителем данного числа. Перемножением же простых множителей по два, по три, по четыре и т. д. получают составные делители данного числа. Пример. Найти все делители числа 50. Решение. 50 « 2 • 52, следовательно, 50 делится на 1, 2, 5, 2 • 5, 52, 2 • 52. Других делителей число 50 не имеет. Ответ. 1, 2, 5, 10, 25, 50. Известна- правило, по которому можно легко определять коли¬ чество всех делителей данного числа. Для этого надо увеличить на единицу показатель степени каждого сомножителя канонического раз¬ ложения данного числа и полученные числа перемножить. Пример. Сколько делителей имеет число 5600? Решение. 5600 = 2* • 52 • 7; (5+ 1) • (2+ 1) • (1 + 1) = 36. Ответ. Число 5600 имеет 36 делителей. 76
2. Общий делитель нескольких чисел. Общим делителем несколь¬ ких чисел называется число, на которое все данные числа делятся без остатка. Например, числа 25 и 35 имеют общие делители: 1 и 5; числа 42 и 105 имеют общие делители: 1,3, 7 и 21. Среди всех об¬ щих делителей всегда имеется наибольший. Это число называется наибольшим общим делителем (ИОД). В наших примерах в первом случае НОД равен 5, во втором — 21. Пишут: НОД (25, 35) = 5; НОД (42, 105) = 21. Для нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел пользуются чаще всего двумя способами. Первый способ — посредством разложения на простые мно¬ жители!. Чтобы найти НОД нескольких чисел, раскладывают каждое из этих чисел на простые множители и выписывают все общие мно¬ жители, причем каждый из них берут с наименьшим показателем, встречающимся в этих разложениях. Пример. Найти НОД чисел: 210, 1260 и 245. Разложим эти числа на простые множители: 210 = 2-3-5-7; 1260 = 2* - З2 • 5 • 7; 245 = 5 • 72. Тогда НОД будет 5 • 7 = 35. Второй способ — посредством последовательного деления. Он называется еще алгоритмом Евклида. Чтобы найти НОД двух чисел, делят большее число на меньшее, и если получается остаток, то делят меньшее число на остаток; если снова получается остаток, то делят первый остаток на второй. Так продолжают делить до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель и бу¬ дет НОД данных чисел. Пример. Найти НОД чисел 391 и 299. Разделив число 391 на 299, получим в остатке 92. Разделив 299 на 92, получим в остатке 23. Разделив 92 на 23, получим в остатке 0* Следовательно, 23 есть НОД чисел 391 и 299. Запись удобно расположить так: 391 | 299 299 -1 299 I 92 276 — 92 I 23 92 — 0 Чтобы найти таким способом НОД трех и более чисел, находят сначала наибольший общий делитель каких-нибудь двух из них, за¬ тем — наибольший общий делитель найденного делителя и какого- нибудь третьего данного числа и т. д. 77
3. Взаимно простые числа. Два или несколько чисел, наибольший общий делитель которых равен единице, называются взаимно про¬ стыми. Примеры. Числа 15 и 22 взаимно просты; числа 7, 19, 32 и 84 взаимно просты; числа 18 и 15 не взаимно просты, так как ЙОД (18, 15) = 3. Если данных чисел больше двух и каждые два из них взаимно просты, то такие числа называют попарно взаимно простыми. Примеры, б, 9 и 4 — числа взаимно просты, но не попарно взаимно просты; числа 8, 9, 7 и 55 — попарно взаимно просты. 4. Общее кратное чисел. Общим кратным данных чисел называется любое натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел (без остатка). Например, числа 12, 24 и 36 являются общими кратными чи¬ сел 3 и 4. 5. Наименьшее общее кратное (НОК). Из всех общих кратных особый интерес представляет наименьшее общее кратное. Наименьшим общим кратным нескольких чисел называется самое меньшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел. Например, для трех чисел: б, 15 и 20 наименьшее общее крат¬ ное есть 60, так как никакое число, меньшее 60, не делится на 6, на 15 и на 20, а 60 делится на эти числа. Пишут: НОК (6, 15, 20) = 60. Укажем два способа нахождения наименьшего общего кратного нёскольких чисел. Первый способ — посредством разложения на простые мно¬ жители. Чтобы найти НОК нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем, взяв разложение одного из них, умножить его на недостающие простые множители из разложений других чисел. Пример. Найти НОК чисел 72 и 108. Разложим данные числа на множители: 72 = 23 • З2, 108 = 22 • З3. Выпишем все множители числа 108 (это удобнее, так как число 108 больше 72) и, добавив множитель 2, который еще дополнительно имеется в числе 72, получим: НОК (72, 108) = 23 • З3 = 216. Если большее из данных чисел делится на все остальные, то оно и будет наименьшим общим кратным этих чисел. Например, НОК (60, 120, 40) = 120. Если никакая пара данных чисел не имеет общих множителей отличных от единицы, то для нахождения наименьшего общего крат¬ 78
ного данных чисел их нужно перемножить. Например, наименьшее общее кратное чисел 7, 8 и 11 равно их произведению, т. е. НОК(7, 8, И) = 7 • 8 • И =616. Второй способ. Известно, что НОК (а, Ь) = ^— т. е.: НОД (а, о) наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению этих чисел, деленному на их наибольший общий делитель *. Используя эту зависимость, можно определить НОК. Пример. Найти НОК чисел 360 и 70. Так как НОД (360, 70)= = 10, то НОК (360, 70) = 360 • 70 : 10 = 2520. Чтобы найти этим способом наименьшее общее кратное трех и более чисел, сначала находят наименьшее общее кратное каких- нибудь двух из них, потом — наименьшее общее кратное этого наи¬ меньшего кратного и какого-нибудь третьего данного числа и т. д. § 13. Недесятичные системы счисления 1. Систематические числа. Общепринятая сейчас система счисле¬ ния называется десятичной, потому что по этой системе 10 единиц одного разряда составляют единицу следующего высшего разряда. В десятичной системе все числа записываются с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Если мы пишем, например,4 число 3827, то понимаем, что оно состоит из 3 тысяч, 8 сотен, 2 десятков и 7 единиц: 3827 = 3000 + 800 + 20 + 7, или 3827 = 3 • 103 + 8 • 102 + 2 • 10 + 7. Говорят: основанием десятичной системы счисления есть число 10. Однако возможны и недесятичные системы счисления. Можно считать не десятками, а, например, пятерками. Тогда 5 единиц пер¬ вого разряда будут составлять одну единицу второго, а 5 единиц, вгорого — одну единицу третьего разряда и т. д. В этом случае будем иметь систему счисления с основанием 5. Ее называют пятеричной системой счисления. Для записи чисел в пятеричной системе доста¬ точно иметь пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. Возможны также двоичная, троичная, двенадцатеричная и дру¬ гие системы счисления. Чтобы не смешивать числа, записанные в различных системах, принято правее и несколько ниже последней цифры в скобках писать основание системы **. Например, числа 214(5), 1011(2), 299(12) записаны * В. М. Б р а д и с, (Теоретическая арифметика, Учпедгиз, 1954, стр. 68. ** Но иногда пишут и без скобок. 79
соответственно в пягеричной, двоичной и двенадцатеричной системах. Это значит, что 214(в) =2 • 52 +1-5 +4, 1011(2) =1-23 +0 • 22 + 1 • 2+ 1, 299(12) = 2 • 122 + 9- 12 + 9. Очевидно, в качестве основания системы счисления можно взять любое натуральное число, большее 1. Если за основание взять чис¬ ло gf тогда для записи любого числа достаточно иметь g цифр: 0, 1, 2, 3, ...» g— L Числа, записанные в системе счисления при основании g в виде gnan + grt“~4i_i Н Ь^ + Яо» где а», а19.. ап — цифры, называются вообще систематическими. Примечание. Для изображения чисел по системе счисления, у которой основание превосходит 10, недостаточно наших цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Например, для двенадцатеричной системы пришлось бы ввести особые знаки для 10 и 11, потому что наши обозначения этих чисел выражали бы тогда другие числа, а именно: 10 означало бы 1 единицу 2-го разряда, т. е. дюжину, all означало бы 1 единицу 2-го разряда и 1 единицу 1-го разряда, т. е. 13. 2. Переход от одной системы счисления к другой. Для перехода от одной системы к другой достаточно уметь: а) переходить от любой системы счисления к десятичной; б) переходить от десятичной системы к другой системе. Переход от любой системы к десятичной выполняется путем пря¬ мого вычисления. Пример. Дано число 3021 (4), записать его в десятичной системе. Решение. 3021и> = 3-4» + 2- 4+1 = 192 + 8+1 =201. Переход от десятичной системы к другой покажем на примере. Число 856 записать при основании 4. Устанавливаем, сколько четверок содержится в числе 856: 856 : 4 == 214. Значит, число состоит из 214 единиц 2-го разряда (214 четверок). Сосчитаем единицы 2-го разряда четверками; делим 214 на 4; получаем 53 единицы 3-го разряда и 2 единицы 2-го раз¬ ряда. Ведем теперь счет единиц 3-го разряда четверками; делим 53 на 4 и получаем 13 единиц 4-го разряда и одну единицу 3-го раз¬ ряда. Делим теперь 13 на 4. Результат счета единиц 4-го разряда: 3 единицы 5-го разряда и одна единица 4-го разряда. На письме этот процесс оформляют так: 856 j_4_ 856 _ 214 | 4 1 р. О 212 53 | 4 Нр.2 52 13 | 4 III р. 1 I2_ 3Vp. IV р. 1 80
Значит, данное число содержит 3 единицы 5-го разряда, 1 еди¬ ницу 4-го разряда, 1 единицу 3-го разряда, 2 единицы 2-го разряда и 0 единиц 1-го разряда. Это число запишется так: 31120(4). Таким образом, 856(ia) = 31120(4). 3. Арифметические действия над систематическими числами. Сло¬ жение. Отыскание суммы сводится к сложению единиц одного и того же разряда, начиная с единиц 1-го разряда, и к преобразоранию суммы единиц низшего разряда в высший, если эта сумма — число двузначное. Поэтому сложение можно производить непосредственно, как и в десятичной системе, используя таблицу сложения однознач¬ ных чисел. Например, в системе счисления с основанием 4 таблица сложе¬ ния имеет такой вид: 0 + 0 = 0 1 + 1 = 2 2 + 2=10 0+1 = 1 1+2 = 3 2 + 3=11 0 + 2 = 2 О 3 = 3 1+3=10 3 + 3=12 Пример. Сложить числа 2103(4> и 1312(4>. Решение. I 2103(4) + 1312(4) 10021(4) Еще проще таблица сложения в двоичной системе счисления: 0 + 0 = 0, 0+1 = 1, 1 + 1 = 10. Пример. , 110101 (*> + 1100011(8) 10011000(a) Вычитание. Вычитание выполняем так же, как и в десятич¬ ной системе: подписываем вычитаемое под уменьшаемым и произво¬ дим вычитание чисел, являющихся цифрами единиц соответствующих разрядов, начиная с 1-го; если вычитание единиц невозможно, произ¬ водим в уменьшаемом раздробление единицы следующего высшего разряда и т. д. Пример. Вычислить разность 2301 (4) — 1223(4). Решение. От одной единицы 1-го разряда нельзя отнять 3, 2301 (4> а единиц 2-го разряда в уменьшаемом нет, тогда 1223(4) берем одну единицу 3-го разряда, она содержит Ю12(4) четыре единицы 2-го разряда, из них три остав¬ ляем на месте единиц 2-го разряда, а одну раз¬ дробим в единицы 1-го разряда, получим четыре единицы 1-го разряда, плюс одна единица 1-го разряда, которая у нас 81
есть, всего имеем пять единиц, которые при основании g = 4 запи¬ шутся как 11. Дальше вычитаем поразрядно: разность единиц 1-го разряда: 11 — 3 = 2; разность единиц 2-го разряда: 3 — 2=1; 3-го разряда: 2 — 2 = 0; 4-го разряда: 2 — 1 = 1. Результат: 1012(4). Ум н о ж е н и е. Умножение выполняется так же, как и в деся¬ тичной системе: подписываем множитель под множимым и производим умножение, исцользуя таблицу умножения. Так, при g = 7 таблица примет вид: 6=42 0 0 = 0 1*1 = 1 2-2= 4 3 - 3 = 12 4 - 4 = 22 5 0-1 = 0 1*2 = 2 2-3=6 3-4=15 4 - 5 = 26 5 0-2 = 0 1-3 = 3 2-4=11 3-5 = 21 4-6=33 6 0-3 = 0 1-4 = 4 2 - 5 = 13 3 • 6 = 24 0-4 = 0 1 - 5 = 5 2 - 6= 15 0-5 = 0 1-6 = 6 0-6 = 0 Пример. Вычислим 2034(7) • 5(7). Решение. 2034(7) Х 5(7) 13236(7) Вычисляем: 4 • 5 = 26; 6 — цифра единиц; 2 прибавляем к произ¬ ведению 3-5; 3 - 5 + 2 = 21 + 2 = 23; цифра единиц 2-го разряда 3; 2 прибавляем к произведению 0*5; 0 *5 + 2 = 2; 2 — цифра еди¬ ниц 3-го разряда; 2 -5 = 13; 3 —цифра единиц 4-го разряда и 1 — цифра единиц 5-го разряда. Результат: 13236(7). В двоичной системе таблица умножения следующая: 0*0 = 0, 0*1 = 0, 1*1 = 1. Пример. X Ю1(2) П0(2) 101 101 11110(2) Деление. Деление систематических чисел основано на тех же приемах, что и в случае g = 10. Пример: Вычислить частное 23604(7>: 51(7). 82
Делитель — число двузначное, отделяем в де¬ лимом слева направо две цифрЪ1. Они выра¬ жают число всех единиц 4-го разряда, но 23(7) <51(7), поэтому берем в делимом трех¬ значное число 236(7) и делим на 51(7); в част¬ ном получаем 3 единицы 3-го разряда; умно¬ жаем 51 • 3 и полученное произведение 213 вы¬ читаем из 236, остаток 23 раздробим в единицы 2-го разряда и продолжаем деление, пока не получим остаток, меньший делителя. 4. Краткие исторические сведения о системах счисления. Чело¬ вечество не сразу пришло к десятичной системе счисления. Одной из древнейших была пятеричная система счисления. К III—II тысячелетиям до н. э. относится шумеро-вавилонская система счисления, основанием которой являлось число 60. Эта система имела значительные достоинства, так как число 60 делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60, тогда как основание нашей системы 10 имеет только 4 делителя: 1, 2, 5 и 10. Остатки шести¬ десятеричной системы сохранились до сих пор (деление круга на 360°, деление градуса на 60 мин и на 3600 сек, деление часа на 60 мин и на 3600 сек). У народов, населявших в древности Европу, приме¬ нялась система счисления с основанием двадцать, следы которой сохранились во французском и английском языках. В различных языках остались также следы двенадцатеричной системы счисления (русское «дюжина» — 12, немецкое «гросс» равно 122). Некоторые ученые в XVIII в. предлагали даже заменить ею (как более удобною) десятичную систему. Едва ли не самой древней была двоичная система счисления. В последнее время эта система нашла практическое применение в электронных счетных машинах: здесь важно то преимущество, что в ней пользуются только двумя цифрами: 0 и 1, а их легко переда¬ вать двумя операциями с электронными лампами: включением и выклю¬ чением. Таким образом, одно из древнейших достижений человеческой культуры возродилось на новой технической основе. ДРОБНЫЕ ЧИСЛА § 14. Обыкновенные дроби 1. Доли единицы. Когда мы говорим* что от дома до школы полчаса ходьбы, то выражаем время не в целых часах, а в частях часа. Если одно яблоко нужно разделить поровну между тремя маль¬ чиками, то каждый из них может получить только треть яблока, или третью его часть. В этих случаях мы имеем дело- не с целыми Решение. _ 23604(7) | 51(7) 213 332(7) 230 213 144 132 83
единицами, а с их частями, или долями единицы. Доли могут быть самые разнообразные, например сантиметр есть сотая доля метра, грамм есть тысячная доля килограмма, минута есть щестидесятая доля часа и т. д. 2. Дробные числа. Число, составленное из одной или нескольких равных долей единицы, называется дробью (обыкновенной дробью). Например, 1 десятая, 3 пятых, 12 седьмых — дроби. Числа, в состав которых входит целое число и дробь, назы¬ ваются смешанными числами. Например, если 5 яблок разделить между двумя мальчиками, то число яблок у каждого мальчика выра¬ зится целым числом (два) и некоторой дробью (половина), т. е. сме¬ шанным числом. Дроби и смешанные числа вместе называют дробными числами. Получаются дробные числа в результате измерений и деления. 3. Изображение дроби. Дробь изображают с помощью двух нату¬ ральных чисел и дробной черты. Под чертой пишут число, показы¬ вающее, на сколько долей разделена единица. Оно называется зна¬ менателем дроби. Над чертой пишут число, показывающее, сколько таких долей содержится в дроби. Оно называется числителем дроби. Числитель и знаменатель называются членами дроби. Например, 5 у дроби у числитель равен 5, а знаменатель 7. Читают дроби так: сначала называют числитель, потом — знаменатель, например: 2 •j— «две седьмых». „ ^ 100 120 Примечание. Дроби и читаются одинаково: «сто двадцать пятых». В подобных случаях надо между произношением числителя и знаменателя делать паузу. Смешанные числа изображают так: сначала пишут целое число, а затем рядом с ним справа приписывают дробь. Например, смешан¬ ное число «два и четыре пятых» записывают: 2-g-. 4. Правильные и неправильные дроби. Различают дроби пра¬ вильные и неправильные. Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если же числитель больше знамена¬ теля или равен ему, такая дробь называется неправильной. Напри¬ мер, дроби 1 10 3 *2 ’ И’ Т25 — правильные, 3 37 100 37’ ~7 неправильные. 84
Правильная дробь меньше единицы, а неправильная — больше или равна единице. 5. Обращение неправильной дроби в смешанное число и обратное преобразование. Чтобы обратить неправильную дробь в смешанное число, нужно числитель дроби разделить на знаменатель и найти остаток; частное покажет число целых единиц, а остаток — число долей единицы. 20 2 Пример. -q" = 6-5-, так как 20 : 3 = 6 (остаток 2). о «5 Чтобы обратить смешанное число в неправильную дробь, нужно знаменатель умножить на целое число, к полученному произведению прибавить числитель и сделать эту сумму числителем искомой дроби, а знаменатель оставить прежний. _ 2 9*7 + 2 65 Пример. 7Т =—д—=т. 6. Сравнение дробей по величине. Две дроби считаются равными, если величины, выражаемые этими числами при одной и той же еди¬ нице измерения, равны между собой. Например, = -g-, так как две 3 6 длины, из которых одна составляет — м, а другая -g- м, равны (рис. 3). 3 4 I 6 I 1 я 1 I £ I I Рис. 3. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, 5 3 у которой больший числитель. Например, у > у * так как 5 > 3. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, у которой 6 6 знаменатель меньше. Например у > уу • поскольку 7 < 11. В общем случае дроби сравниваются по величине так. Умножают числитель первой дроби на знаменатель второй, а знаменатель пер¬ вой на числитель второй. Если первое из этих произведений больше
(равно или меньше) второго, значит и первая дробь соответственно больше (равна или меньше) второй. 5 7 Примеры. так как 5 • 9>6 • 7; 5 ' |Q -g- равно yg, так как 5 • 16 = 8 • 10; 10 9 у < -g-, так как 10 • 6 < 7 • 9. В некоторых случаях соотношение между дробями легче устано¬ вить путем сравнения их с единицей или половиной. 15 36 Пример 1. Сравнить дроби *г= и тг=. 17 о5 15 ^ 1 Л 36 ^ 1 15 36 17 * 35 следовательно, < gg • Пример 2. Сравнить дроби ~ и —. о! оо 16 ^ 1 1 16 31 Т* так как Т = 32; 27 1 1 27 56 Т’ так как “2"= 54• Следовательно, . oi оо § 15. Изменение величины дроби с изменением ее членов 1. Кратное изменение числителя и знаменателя. Поскольку дробь можно рассматривать как частное от деления двух чисел, то при изменении членов дроби ее величина изменяется так же, как изме¬ няется частное при изменении делимого и делителя (см. стр. 57). Если числитель дроби увеличить или уменьшить в несколько раз, не изменяя знаменателя, то величина дроби соответственно увели¬ чится или уменьшится во столько же раз. Пример. Возьмем дробь -g- и увеличим ее числитель в 2 раза. 4 Получим дробь в 2 раза большую первоначальной (рис. 4), 5 Если знаменатель дроби увеличить или уменьшить в несколько раз, то величина дроби соответственно уменьшится или увеличится
во столько же раз. Если, например, знаменатель дроби ~ увеличить в 2 раза, то величина дроби уменьшится в 2 раза (рис. 5). т 1 ' —5— з _ ,<2>: 1 ^ у —1—•—1—4 ^^5 SL 1 J 6 6 Рис. 4. Рис. 5. Величина дроби не изменится, еслй числитель и знаменатель ее умножить на одно и то же число (или, что то же самое, увеличить в одинаковое число раз). Это утверждение называют основным свой¬ ством дроби. В общем виде это свойство дроби можно записать так: а am b ~~ Ът* Отсюда следует, что величина дроби не изменится, если числи¬ тель и знаменатель ее разделить на одно и то же число (или, что то самое, уменьшить в одинаковое число раз). 12 4 8 Пример. - = — = -£- = — и, наоборот, (рис. 6). 1 2 A -XL*aI —1—*- 1 2 4 8 2 4 8 16 8 4 2 1 16 8 4 2 & Г**?::' /б J_ 4 ... Рис. 6. С увеличением числителя и знаменателя на одно и то же число дробь увеличивается, если она правильная, и уменьшается, если она неправильная иле равна единице. 3 3-4- 1 4 7 7+ 1 8 римеры. g <5+j - 6 ; 6 > 6+ 1 ”7* 87
§16. Преобразование дробей 1. Сокращение дроби. Сокращением дроби называется замена ее другой, равной ей дробью с меньшими членами, путем деления числи¬ теля и знаменателя на их общий делитель. Есть несколько способов сокращения дробей. Первый способ/ Последовательное сокращение на общие делители числителя и знаменателя. „ 72 36 9 3 П Р и м е p. gg 48 12 4 . Второй способ. Полное сокращение на наибольший общий делитель числителя и знаменателя. # 840 Пример. Сократить дробь gggg. Решение. НОД (840, 3600) == 120. Поэтому можно сразу сокра¬ тить на 120: 840 7 3600 30 * Третий способ. Рассмотренными способами сокращают дроби в тех случаях, когда числитель и знаменатель легко разложить на множители. Если это не удается сделать быстро, пользуются алгорит¬ мом Евклида (см. стр. 77). гг * 12091 Пример. Сократить дробь • Решение. 14017 | 12091 12091 —i 12091 | 1926 11556 — 1926 | 535 1605 —з““ 535 | 321 321 —Г“ 321 I 214 214 — 214 | 107 214 —2 0 Как видим, НОД (14017, 12091)= 107. Поэтому 12091 113 14017 131 * 88
Если члены дроби не имеют общих делителей, то дробь назы¬ вается несократимой. У такой дроби числитель и знаменатель взаимно простые числа. Две несократимые дроби равны только тогда, когда у них равны и числители, и знаменатели. Любая дробь равна одной и только одной несократимой дроби. 2. Раздробление дробей. Чтобы выразить дробь в меньших долях единицы, не изменяя ее величины, надо увеличить числитель и зна¬ менатель в одно и то же число раз. Выражение дроби в меньших долях единицы называют раздроблением дробей. 4 Пример. Выразить дробь -g- в пятнадцатых долях единицы. Имеем: 4 4-3 12 5~~5.3 15* 8. Приведение дробей к общему знаменателю. Привести дроби к общему знаменателю — значит выразить их в одинаковых частях единицы без изменения величины дроби. Обычно приводят дроби к наименьшему общему знаменателю. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, по¬ ступают так: сокращают дроби, если это возможно; находят НОК всех знаменателей; вычисляют"для каждой дроби частное от деления найденного НОК на ее знаменатель, т. е. дополнительные множи¬ тели; умножают оба члена каждой дроби на соответствующий ей дополнительный множитель. Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби A JL 72 " 48 ‘ Решение. НОК (72, 48) = 144. Дополнительные множители: 144 : 72 = 2, 144 : 48 = 3. Следовательно, 5 5-2 10 7 7-3 21 72 72 • 2 144 * 48 48 • 3 ~ 144# § 17. Арифметические действия над обыкновенными дробями 1. Сложение. Суммой дробей с одним и тем же знаменателем называют дробь, имеющую тот же знаменатель, а числитель равен сумме числителей данных дробей, т. е. а . b а-\- b "л * /Г п Это определение можно сформулировать также в виде следую¬ щего правила.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сло¬ жить их числители, а знаменатель оставить тот же. 2,3 2+3 5 Пример, у+ у = = у. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем сложить полученные числители и под суммой подписать общий знаменатель. 5 , 7 15 , 14 15+ 14 __ 29 ^ Пример. 24 24 24 24 * „ 5 . 7 15+ 14 29 ,5 Короче записывают так: _ + — = ——. = ~ = 1~ . Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно найти сумму целых и сумму дробных частей. Действие записывается так: 4 + + 4 = 1з21 + 45+ 2° = 131" 14 J ■ 2. Вычитание. Вычитание дробей можно определить как дейст¬ вие, обратное сложению дробей. Вычесть из одного дробного числа второе это значит найти третье число, которое в сумме со вторым дает первое. Из этого определения следует правило: Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вы¬ честь числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и оставить прежний знаменатель. Действие записывают так: 7 з 7 — 3 4 1 8 8 8 8 Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числи¬ теля уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель. Действие записывают так: 11 5 22 — 15 7 12 8 24 ~ 24 * Если нужно вычесть одно смешанное число из другого смешан¬ ного числа, то, если можно, вычитают дробь из дроби, а целое из целого. Действие записывают так: о 9 г 3 с36 — 33 0 3 87T-5Т_=3—44 44 ’ Если же дробь вычитаемого больше дроби уменьшаемого, то берут одну единицу из целого числа уменьшаемого, раздробляют 90
ее в надлежащие доли и прибавляют к дроби уменьшаемого, после чего поступают, как описано выше. Действие записывают так: с 4 , 11 _ , 16 —33 052 —33 п19 12 36 36 “d36- Аналогично поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное. п о пЗ 05 03 2 Пример. 3-2т=2т-2у = т. 3. Распространение свойств сложения и вычитания на дробные числа. Все законы и свойства сложения и вычитания натуральных чисел (см. стр. 51) справедливы и для дробных чисел. Их примене¬ ние во многих случаях значительно упрощает процесс вычисления. Пример 1. 4-i+1-^ + 2^-f-5j- + i^ +Ц- = (4-|: + 3-Ь)+ +('т+4)+(4+п)-8+7+3-18- Здесь использованы переместительный и сочетательный законы сложения. гг о о 7 , /031 , 53\ /0 7 , 53^ , 031 06 . П р и ме р 2. 2?20+ ^Зщ + 720J - (^2720 + 72о] + 3144 - 272+ , 0 31 _с12 + 31 е43 144 144 444 ’ Здесь использовано правило прибавления суммы к числу. Пример 3. 4^-(15Ц-4)-(4з|-15и) + 4_24+ + 41 = 33. Пример 4. 17X-(2| + 4)-(l7|-l4)-4_ll- -4-4- Здесь использованы правила вычитания из числа разности и суммы. 4. Умножение. Умножение дроби на целое число можно понимать так же, как и умножение целого числа на целое, т. е. как сложение одинаковых слагаемых. Например, 1.5-l+l+l+A+A 3 3+3+3+3+3\ Но для умножения на дробь такое толкование не подходит. Напри-
3 2 3 мер, умножая у на нельзя сказать, что здесь «у надо взять 2 у раза слагаемым». Здесь необходимо дать новое определение. Произведением дробей называют такую дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — про¬ изведению их знаменателей, т. е. — • — = ——- . Это определение п т т • п не является произвольным измышлением. Оно вытекает из необхо¬ димости сохранить за действием умножения ту роль, которую оно играло в теории и практике, пока мы рассматривали только целые числа, а также те свойства, которыми обладает умножение целых чисел (см. стр. 53). В частности, при таком определении те задачи, которые в случае целых числовых данных решаются умножением, в случае дробных числовых данных также можно решать умножением. Из приведенного определения вытекает правило умножения дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение ~ а с ас сделать числителем, а второе — знаменателем: -г- • т = тгз • о а оа При умножении следует делать (если возможно) сокращение. 2 12 19 12.. Ж 2 ПрИМеР- jg'gQ— 19.30-5* 5 Если учесть, что целое число представляет собой дробь со зна¬ менателем 1, то умножение дроби на целое число и целого числа на дробь можно выполнять поэтому же правилу. 2 2 7 14 1 Примеры. -.7 = 1S.T = 13=1T5; « JL- 6 5 _ 30 _ о 1 12 Г * 12 12 !Г * 5. Умножение смешанных чисел. Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножать по правилу умножения дробей. 01 Q1 5 16 80 Пример. 22 • 3-g 2 • g ш — 8. Если же перемножают смешанное число на целое, то проще мно¬ жить отдельно целую часть и дробную часть. Пример. 2J- • 3 = 6^ = 7-i. 92
& Распространение свойств умножения на дробные числа. Свой¬ ства умножения натуральных чисел (см. стр. 53) справедливы и для дробей. Их использование упрощает устные и письменные вычисления. 7. Деление дробей. Для деления дробей сохраняется то же опре¬ деление, что и для деления целых чисел: это — действие, посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается второй сомножитель. Разделить одно число на второе — значит найти такое третье число, которое при умножении на второе дает первое. Выполняют деление дробей по следующему правилу. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой на числи¬ тель второй и первое произведение записать числителем, а второе — По этому же правилу можно выполнять деление дроби на целое число и целого на дробь, если представить целое число в виде дроби со знаменателем 1. Пример 1. 7-^ - 30 = (7 —[— j • 30 = 210-J-4 = 214. Пример 2. 9у-8 = 9-8+^- 8 = 72 + 7 = 79. знаменателем: а с __ad b ' d be п 5 15 5 Примеры. 15 : у = у : у 131 1 13-2 13 8 • JL - 8 ' 1 _ ± Однако в последнем примере проще числитель разделить на це¬ лое число: ’ 8 п 8:2 4
8. Деление смешанных чисел. Чтобы выполнить деление смешан¬ ных чисел, их предварительно обращают в неправильные дроби и за¬ тем делят по правилу деления дробей. Пример. Однако при делении смешанного числа на целое бывает удобней делить отдельно целую часть и отдельно дробную часть смешанного числа. Пример. ЗОу : 5 = 6-у. 9. Замена деления умножением. Если в какой-нибудь дроби по¬ менять местами числитель и знаменатель, получится новая дробь, 8 7 обратная данной. Например, для дроби у обратная дробь будет Очевидно, что произведение двух взаимно обратных дробей равно 1. 7 8 Учитывая это, можно деление выполнять по следующему пра¬ вилу. Чтобы разделить сдно число на другое, нужно делимое умножить на число, обратное делителю. 1 2 5 2 7 14 Пример 1. т:т = т.- = _. Пример 2. 14 : -g- = 14 • у = = 16. п - о 4 с 1 4 16 43 3 ПримерЗ. _:51- = т:т = т.т?=28. 10. Примеры на все действия с обыкновенными дробями. Решение примеров на все действия с дробями выполняют с помощью записи по отдельным действиям или записи цепочкой. Пример. Вычислить: 3 5, 15 5 Л . 1 lo.l
5) 10+10 = 20;. ~о±.90 ®L-2®. m J-- ч- ‘ . 6) 9? .20-? .20-35. 3 ' 9"’ 7) 2;у = 4; |2)-j. +1_ о\ о . 1 л. to . ^ 13 • 36 ол "з"= • 36= 13 9)4 + 9=13; 14)36-^=1; 104:2=т; Ответ. 1. Пример вычисления цепочкой: 1-L.13- 4 5 (5-4):Ю (2-4) = 4 Т:Ю 4:4- 15 £ 5_ 8_ 15 .2*7 4 5 7 2 15 50 _ 250 £ JL A А~~£ ±~т з+ 7 + 5 ‘ 10 8 ■ 25 50 5 = 35-^- +10 =' 45у-. § 18. Основные типы задач на дроби 1. Нахождение дроби от числа. Существует много задач, в кото¬ рых требуется найти часть или дробь данного числа. Такие задачи решают умножением. 2 Задача. Хозяйка имела 20 руб.; -g- их она израсходовала на покупки. Сколько стоят покупки? 2 Здесь требуется найти -г- числа 20. Сделать это можно так: 5 20 • 4 = »• О 95
Ответ. Хозяйка израсходовала 8 руб. 2 1 В этой задаче: 20 —данное число, -=—дробь, выражающая ис- 5 комую часть, 8 — искомая часть данного числа. 7 7 Примеры. Найти — от 30. Решение. 30 *7^= 14. 15 15 Найти -f- от 20-^-. Решение. 20-^- • -5- = 34. о 5 5 о В последнем примере найдена не часть от числа, так как 34 2 больше 20-гг-. Поэтому в общем случае говорят: найдена дробь от - 5 числа. Чтобы найти дробь от данного числа, нужно данное число умно- жить на эту дробь. 2. Нахождение числа по известной величине его дроби. Иногда требуется по известной части числа и дроби, выражающей эту часть, определить все число. Такие задачи решаются делением. 3 Задача. В классе 12 комсомольцев, что составляетчасти /• 5 всех учащихся класса. Сколько всех учащихся в классе? 3 Решение. 12: -=- = 20. о Ответ. 20 учащихся. 5 Пример. Найти число, которого составляет 34. Решение. 34 : = 20-|-. о 5 2 Ответ. Искомое число равно 20-g-. Такие задачи называют задачами на нахождение числа по извест¬ ной величине его дроби. Чтобы найти число по известной величине его дроби, надо поде¬ лить эту величину на данную дробь. 3. Нахождение отношения двух чисел. Рассмотрим задачу: Рабочий изготовил за день 40 деталей. Какую часть месячного задания выполнил рабочий, если месячный план составляет 400 де¬ талей? 40 ~ 1 Решение. 40 : 400 = = jjj. Ответ. Рабочий выполнил часть месячного плана. 96
В данном случае часть (40 деталей) выражено в долях целого (400 деталей). Говорят также, что найдено отношение числа изготов¬ ленных за день деталей к месячному плану. 4. Более сложные задачи на дроби. Задача 1. На одной фабрике число работающих женщин со¬ ставляет числа работающих мужчин на этой фабрике. Какую о часть составляют женщины от общего числа работающих на фабрике? Решение. Женщины составляют -г- числа мужчин, следова- о тельно, мужчин было 3 части, а женщин 1 часть. Всего работающих было 3 части ~f-1 часть = 4 части. Женщины составляли — часть от общего числа работающих на фабрике. Задача 2. В классе число отсутствующих учеников составляет — числа присутствующих. После того как из класса ушел еще один 1 ученик, число отсутствующих оказалось равным -g- числа присутст¬ вующих. Сколько учеников в классе? Решение. Если число учеников класса примем за 1, то число отсутствующих составит 1 : (1 + 6) = у всего числа учеников; во втором случае число отсутствующих увеличилось на 1; оно состав- 1 /1 , гч 1 111 ляло: 1 : (1 + 5) = -£- всего числа учеников; — ; следова- о 0/42 1 тельно, один ученик составляет — часть всех учащихся класса, по¬ этому в классе всего 42 ученика. Ответ. 42 ученика. § 19. Десятичные дроби 1. Десятичная дробь, ее запись и чтение. Отдельным видом обык¬ новенных дробей есть дроби, знаменателями которых являются числа, изображенные (в десятичной системе счисления) единицей с после¬ дующими нулями, например 3 17 241 1 10’ 100’ 100' 100000’ Такие дроби называют десятичными. Десятичные дроби записывают без знаменателя, при этом исполь¬ зуется тот же принцип, что и для целых чисел, а именно: значение 4 5-353 97
каждой цифры зависит от места, на котором она стоит. В десятич¬ ных дробях целую часть отделяют запятой, а справа от запятой за¬ писывают дробную часть. Цифры дробной части называют десятич¬ ными знаками. Первый десятичный знак — это десятые части ёди- ницы, или просто десятые, второй — сотые, третий — тысячные и т. д. При чтении десятичной дроби сначала читают целое число и опре¬ деляют разряд лос^еднего справа десятичного знака. Затем читают всю дробную часть, называя наименование последнего разряда. На¬ пример, 2,381 читают так; две целых, триста восемьдесят одна тысяч¬ ная. 0,90007 читается, как ноль целых, девяносто тысяч семь стоты¬ сячных . Благодаря поместному принципу записи десятичные дроби имеют большое преимущество над обыкновенными: при сравнении десятичных дробей и выполнении действий над ними нет необходимости приво¬ дить их к общему знаменателю. Поэтому на практике чаще поль¬ зуются десятичными дробями, чем обыкновенными. 2. Превращение десятичной дроби в обыкновенную. Чтобы пре¬ образовать десятичную дробь в обыкновенную, ее записывают со знаменателем и, если возможно, сокращают: гг л,- 45 9 1 Л10С . 125 t 1 Примеры. 0,45 = -щ = ^; 1,0125 = 1^=1^. 3. Превращение обыкновенной дроби в десятичную. Существует несколько способов превращения обыкновенной дроби в десятичную. Первый способ. Чтобы обратить обыкновенную дробь в деся¬ тичную, нужно числитель разделить на знаменатель. Второй способ. Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно помножить числитель и знаменатель данной дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилась единица с нулями (если это возможно). 7 7 -25 175 Л1,с Пример. 40 — 40 . 25 — 1000 ’ Однако следует иметь в виду, что не всякую обыкновенную дробь можно обратить в десятичную (конечную). В виде конечной де¬ сятичной дроби можно представить все те и только те обыкновен¬ ные дроби, которые после сокращения в знаменателе не содержат никаких простых множителей, кроме 2 и 5. Если знаменатель несо¬ кратимой обыкновенной дроби содержит хотя бы один простой мно¬ Примеры, = 0,27; Примеры. ^ = 7 : 25 = 0,28; ~ = 3 : 40 — 0,075.
житель, отличный от 2 и б, то при обращении ее в десятичную полу¬ чается бесконечная десятичная дробь (см. стр. 102). 4. Основное свойство десятичной дроби. Величина десятичной дроби не изменится, если к ней справа дописать несколько нулей. Например, 0,3 = 0,30 = 0,300 и т. д. Это свойство является след- 3 30 ствием основного свойства обыкновенных дробей: 0,3 = уд = = 300 “ 1000 и Т' Д’ На основании этого свойства выполняется раздробление и сокра¬ щение десятичных дробей. Чтобы выразить десятичную дробь в мень¬ ших десятичных частях, т. е. выполнить раздробление, достаточно написать соответствующее число нулей после последнего ее разряда. Пример. 2,31 = 2,310 = 2,3100 = 2,31000 и т. д. В других случаях приходится решать обратную задачу: десятич¬ ную дробь, имеющую в конце хотя бы один нуль, выражать в более крупных десятичных частях (сокращение). Для этого достаточно за¬ черкнуть (отбросить) эти нули*. П р ивмеры. 5,750 = 5,75; 12,700 = 12,7; 23,3000 = 23,3. 5. Сравнение десятичных дробей по величине. Чтобы выяснить, какая, из двух десятичных дробей больше, надо сравнить их целые части, десятые, сотые и т. д. При равенстве целых частей больше та дробь, у которой десятых частей больше; при равенстве целых и де¬ сятичных— та больше, у которой больше сотых, и т. д. Пример. Из трех дробей 2,432; 2,41 и 2,4098 наибольшая пер¬ вая, так как в ней сотых наиболыне, а целые и десятые во всех дробях одинаковы. § 20. Действия над десятичными дробями. , 1. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. В десятичной дроби так же, как и в целом числе, значение цифры увеличивается в 10 раз при переходе на одно место справа налево и, наоборот, уменьшается в 10 раз при переходе на одно место слева направо. На основании этого можно быстро выполнять умножение и деление на 10, 100 и т. д. Чтобы умножить десятичную дробь на 10> 100, 1000 и т. д. надо перенести запятую соответственно на один, два, три и т. д. знака вправо. Если при этом нехватает знаков у числа, то приписы¬ вают нули. * В случае приближенных чисел нули в последних разрядах справа в деся¬ тичной дроби отбрасывать нельзя, так как они характеризуют, с какой точ.- ностью задана десятичная дробь (см. стр. 109). 4* 99
Пример. 15,45 • 10 = 154,5; 32,3 ■ 100 = 3230. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо перенести запятую соответственно на один, два, три и т. д. знака влево. Если для перенесения запятой нехватает знаков, их число до¬ полняют соответствующим числом нулей слева. Примеры. 184,35 : 100 = 1,8435; 3,5 : 100 = 0,035. 2. Сложение и вычитание десятичных дробей. Десятичные дроби складывают и вычитают почти так же, как складывают и вычитают натуральные числа. Примеры. , 5в065 16,29 + 7,83 ~ 4,75 12,895 11,54 3. Умножение десятичных дробей. Чтобы перемножить две деся¬ тичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, пере¬ множить их как целые числа и в произведении отделить запятой справа столько десятичных знаков, сколько их было во множимом и множителе вместе. Пример 1. 2,064 • 0,05. Перемножаем целые числа 2064 • 5= 10320. В первом сомножи¬ теле было три знака после запятой, во втором — два. В произведе¬ нии число десятичных знаков должно быть пять. Отделяем их справа и получаем 0,10320. Нуль, стоящий в конце, можно отбросить: 2,064 • 0,05 *= 0,1032. Пример 2. 1,125 • 0,08; 1125 • 8 = 9000. Число знаков после запятой должно быть 3 + 2 = 5. Приписы¬ ваем к 9000 нули слева (009000) и отделяем справа пять знаков. Получаем 1,125 • 0,08 = 0,09000 = 0,09. 4. Деление десятичных дробей. Рассматривается два случая де¬ ления десятичных дробей без остатка: 1) деление десятичной дроби на целое число; 2) деление числа (целого или дробного) на десятич¬ ную дробь. Деление десятичной дроби на целое число выполняется так же, как и деление целых чисел; получаемые остатки раздробляют после¬ довательно в меньшие десятичные части и продолжают деление до тех пор, пока в остатке будет нуль. Примеры. __ 2,368! 4 _ 66,0242 | 22 20 0,592 66 3.0011 36 24 ~~36 22 8 22 8 ~"22 0 0 100
Деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь во всех случаях приводят к делению на целое число. Для этого уве¬ личивают делитель в 10, 100, 1000 и т. д. раз, а чтобы частное не изменилось, в то же- число раз увеличивают и делимое, после чего делят на целое число (как в первом случае). Пример. 47,04 : 0,0084 = 5600; 470400 |84 420 5600 504 504 0 Во всех рассмотренных выше примерах деление доводилось до конца, т. е. получалось точное частное. Однако в большинстве случаев точное частное в виде десятичной дроби не может быть получено, как бы далеко ни продолжалось деление. Пример. 0,5 | 6 _48_ 0,08333... 20 18 20 ~~ 18 * 20 и т. д. Здесь все время повторяется один и тот же остаток 2, следова¬ тельно, процесс деления можно продолжать без конца. Частное в данном случае можно представить в виде бесконечной периодиче¬ ской десятичной дроби 0,08333.., (см. стр. 102). 5. Примеры на совместные действия с обыкновенными и деся¬ тичными дробями. Рассмотрим сначала пример на все действия с де¬ сятичными дробями. Пример 1. Вычислить: 2,7 . 12,4 . 45 0,9 . 0,31 ’ Здесь пользуются приведением делимого и делителя к целому числу с учетом того, что частное при этом не изменяется. Тогда имеем: 27^124^450 ^3.4.450^ 5т 0.9 • 0.31 9 • 31 101
При решении примеров на совместные действия с обыкновенными а десятичными дробями часть действий можно выполнять в десятич¬ ных дробях, а часть — в обыкновенных. Надо иметь в виду, что не всегда обыкновенная дробь может быть превращена в конечную де¬ сятичную дробь. Поэтому записывать десятичной дробью можно только тогда, когда проверено, что такое преобразование возможно. Пример 2. Вычислить: (о,5 :1,25 + 3-i-. 1,03— 1,00б) : (2I - l||) . а) 0,5 : 1,25 = 50 : 125 = 0,4; б) 3-1- • 1,03 = 3,5 • 1,03 *= 3,605; в) 0,4 + 3,605 = 4,005; г) 4,005 — 1,005 = 3; . _1 .23 _ _6_ ,92 _ ,102 ,92_ Ю__5 . W 16 24 ~ 96 96' ” 96 96 _ 96 ~ 4§ ’ о. 5 _3-48_144 И е) 48 5 ”5” о" * § 21. Периодические десятичные дроби 1. Определение периодической десятичной дроби. Бесконечные десятичные дроби, в которых одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называются пе¬ риодическими десятичными дробями. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Периодические дроби бывают чистые и смешанные. Чистой пе¬ риодической дробью называется такая, у которой период начинается сразу после запятой, например 2,363636...; смешанной — такая, у ко¬ торой между запятой и первым периодом есть одна или несколько цифр неповторяющихся, например 0,5232232... Периодические дроби сокращенно пишут так: вместо 2,3636... пишут 2,(36): вместо 0,08333... пишут 0,08(3); вместо 0,5232232... пишут 0,5(232), т. е. заключают в скобки период. Если обыкновенная несократимая дробь обращается в бесконеч¬ ную десятичную дробь, то последняя будет обязательно периодической, причем, если у знаменателя дроби отсутствуют множители 2 и 5, сна будет чистой периодической, если же знаменатель содержит множителем 2 или 5, она будет смешанной. 5 Примеры. Дробь ^ превращается в чистую периодическую 7 десятичную, так как 27 не делится ни на 2, ни на 5. Дробь ^ пре¬ 102
вращается в смешанную периодическую, так как 12 делится на 2. Действительно 5 | 27 7 | 12 50 0,185185... *= 0,(185) 70 0,5833... = 0,58(33). 27 ~60 230 100 216 96 140 40 135 ~36 50 40 Известно правило, позволяющее сразу определить, сколько будет цифр в периоде и сколько до периода, если превращать обык¬ новенную несократимую дробь в бесконечную десятичную. Если Ъ = 2* • 5^ • с, и с взаимно простое с 10, то несократимая дробь —■ превращается в такую бесконечную десятичную, в которой число цифр от запятой до первого периода равно большему из пока¬ зателей а и р, а число цифр в периоде равно числу цифр в наимень¬ шем из чисел 9, 99, 999, 9999 и т. д., которое делится на с. Пример. Сколько цифр до периода и сколько в периоде имеет бесконечная десятичная дробь, равная ? Решение. 440 = 2s - 5 - 11. Больший показатель степени здесь равен 3. Следовательно, до периода должно быть 3 цифры. Число 99 делится на 11 (а 9 не де^ лится), следовательно, в периоде должно быть 2 цифры. Проверка. 301 440 ЗОЮ 0,6840909... = 0,684 (09) "”2640 3700 3520 1800 1760 4000 3960 4000 2. Обращение периодической дроби в обыкновенную. Чтобы обра¬ тить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно запи¬ сать числителем ее, период, а знаменателем — число, выраженное столькими девятками, сколько цифр в периоде. 103
Примеры. 0,(7) = -^-; 2,(05) = 2^; 0,(063) = Ц = . Чтобы обратить смешанную периодическую дробь в обыкновенную, достаточно из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода,, и полученную разность взять числителем, а знаменателем написать число, выраженное столькими девятками, сколько цифр в периоде и со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и периодом. Пример 1. 0,3(52) = 35^~3 = ^; 70 7 71 Пример 2. 5,7(8) ==5 ^-^ = 5^. 10. Историческая справка о десятичных дробях. Десятичные дроби были введены значительно позже, чем обыкновенные. Впервые теорию десятичных дробей разработал среднеазиатский математик и астроном ал-Каши в начале XV в. В Европе десятичные дроби были вторично' открыты голландским математиком Симоном Стевином в 1585 г. Совре¬ менное обозначение десятичных дробей — введение запятой для отде¬ ления целой части числа от дробной было предложено немецким астрономом И. Кеплером (1571—1630). В Англии и США вместо запя¬ той до сих пор употребляется точка — знак, предложенный изобрета¬ телем логарифмов Джоном Непером в 1616 г. В России десятичные дроби впервые были изложены в «Арифметике» Магницкого. § 22. Проценты 1. Понятие о проценте. Процентом какого-либо числа называется сотая часть этого числа. Например, вместо того, чтобы сказать «54 сотых всех жителей нашей страны составляют женщины», можно сказать «54 процента всех жителей нашей страны составляют жен¬ щины». Вместо слова «процент» пишут также значок %, например 35% — значит 35 процентов. Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что означают «с сотни». Раньше процентами называли деньги, которые должник должен был платить дополнительно за каждую занятую им сотню рублей. Так как процент есть сотая часть, то отсюда следует, что про¬ цент есть дробь со знаменателем 100. Поэтому дробь 0,49, или 49 можно прочитать как 49 процентов и записать без знаменателя 1UU в виде 49%. Вообще, определив, сколько в данной десятичной дроби сотых частей, ее легко записать в процентах. Для этого пользуются 104
правилом: чтобы записать десятичную дробь в процентах, надо пере¬ нести в этой дроби запятую на два знака вправо. Примеры. 0,33 =33%; 1,25= 125%;. 0,002 = 0,2%; 21 =2100%. И наоборот: 7% =0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% =0,001; 200% = 2. Иногда употребляют понятие промйлле. Промилле числа назы¬ вают тысячную долю этого числа. Слово промилле происходит от латинского pro mille — с тысячи. Обозначают промилле знаком °/оо* Пример. 0,002 = 0,2% = 2°/оо* В тысячных долях выражают концентрации растворов, отноше¬ ния веса чистого золота, серебра, платины к общему весу сплава и др. Однако в последнем случае вместо промилле употребляют слово проба. Пробой называют число граммов драгоценного металла в 1000 г сплава. Например, золотом 920-й пробы называют сплав, в 1000 г которого содержится 920 г чистого золота. § 23. Основные типы задач на проценты 1. Нахождение процентов данного числа. Задача. Бригада трактористов по плану должна израсходовать 9 т горючего. Трактористы взяли соцобязательство сэкономить 20% горючего. Определить экономию горючего в тоннах. Если в этой задаче вместо 20% написать равное ему число 0,2, получим задачу на нахождение дроби числа. А такие задачи решают умножением (см. стр. 95). Отсюда вытекает способ решения: 20% = 0,2; 9 • 0,2= 1,8 (ш). Вычисления можно записать и так: Тог=1.8 <*>. Вообще, р% числа а равны . Чтобы найти несколько процентов данного числа, достаточно данное число разделить на 100 и умножить результат на число про¬ центов. Задача. Рабочий в 1963 г. получал в месяц 90 руб., а в 1964 г. стал получать на 30% больше. Сколько получал он в 1964 г.? Решение (первый способ). 1) На сколько рублей больше стал получать рабочий? ^ = 27 (руб). 105
2) Какова была месячная зарплата рабочего в 1964 г.? 90 + 27= 117 (руб). Второй способ. 1) Сколько процентов прежнего заработка стал получать рабо¬ чий в 1964 г.? Ю0% + 30% = 130%. 2) Какова была месячная зарплата рабочего в 1964 г.? 90 • 130' t1- , ‘ ' -Too— -117 (РУб). 2. Нахождение числа по данной величине его процентов. Задача. В колхозе посеяли кукурузу на площади 280 га, что составляет 14% всей посевной площади. Определить посевную пло¬ щадь колхоза. Если в этой задаче вместо 14% написать 0,14 ^или , то по¬ лучим задачу на нахождение числа по известной величине его дроби <стр. 96). А такие задачи решают делением. Решение. 14% = 0,14; 280 : 0,14 = 2000 (га). Можно это решение оформить и так: 280: 1^==280.1.1-°9 = 2000 (га). Вообще, если р% какого-то числа составляет а, то все число а • 100 равно —-— . Чтобы найти число по данной величине нескольких процентов его, достаточно эту величину разделить на число процентов и результат умножить на 100. Задача. В марте завод выплавил 125,4 т металла, перевыпол¬ нив план на 4,5%. Сколько тонн металла завод должен был выпла¬ вить в марте по плану? Решение. 1) На сколько процентов завод выполнил план в марте? 100%+ 4,5% = 104,5%. 2) Сколько тонн металла завод должен был выплавить? 125,4- 100 1ПЛ 104,5 ~ 3. Нахождение процентного отношения двух чисел. Задача. Нужно вспахать 300. га земли. В первый день вспахали 120 га. Сколько процентов к заданию вспахали в пер¬ вый день? 106
Решение. Первый способ. 300 га составляет 100%, значит, на 1% приходится 3 га. Определив, сколько раз 3 га, составляющие 1%> содержатся в 120 га, мы узнаем сколько процентов к заданию вспахали земли в первый день 120 : 3 = 40(%). Второй способ. Определив, какую часть земли вспахали в первый день, выразим эту дробь в процентах. Записываем вычисление: = .J = 0,4 = 40%. Чтобы вычислить процентное отношение числа а к числу Ь, нужно найти отношение а к b и умножить его на 100. Задача. Автомобиль на каждые 100 км пути летом расходует 8 л бензина, а зимой 8,8 л. На сколько процентов зимняя норма больше летней? Решение. Зимой на каждые 100 км автомобиль расходует на 8,8 — 8 = 0,8 (л) больше, чем летом. Эти 0,8 л по отношению к 8 л составляют 0,8 : 8 = 0,1 = 10%. Ответ. На 10%. Примечание. Иногда учащиеся считают, что в данном слу¬ чае летняя норма расхода бензина меньше зимней также на 10%. Это неверно. В первом случае, когда мы сравниваем расход бензина с летней нормой, мы принимаем за 100% 8 л, если же сравнивать с зимней нормой, нужно за 100% принимать 8,8 л, и ту же раз¬ ность 0,8 л делить уже не на 8 л, а на 8,8 л, т. е. 0,8:8,8 = 0,091 =^9,1%. Как видим, летняя норма меньше зимней не на 10%, а на 9,1%. 4. Таблицы процентных отношений. Задачи на нахождение про¬ центного отношения чисел широко распространены на практике. Для облегчения вычислений и экономии времени составлены таблицы про¬ центных отношений. 61 | 62 63 64 65 66 67 68 | 69 70 61 100,00 98,39 96,83 95,31 93,85 92,42 91,04 89,71 88,41 87,14 62 100,00 98,41 | 96,88| 95,39 93,94 92,54 91,18 89,86 88,57 63 100,00 98,44 96,92 95,45 94,03 92,65 91,30 90,00 64 100,00 98,46 96,37 95,52 94,12 92,74 91,43 .65 100,00 98,48 97,01 95,59 93,20 92,86 66 100,00 98,51 97,06 95,65 94,29 67 100,00 98,53 97,10 95,71 68 100,00 98,55 97,14 69 100,00 98,57 70 100,00 107
В приведенной части таблицы можно найти процентные отноше¬ ния чисел от 61 до 70 к числам от 61 до 70. Найдем, например, чему равно процентное отношение 62 к 64. Во второй строке первого столбца найдем число 62; на пересечении этой строки и столбца с числом 64 найдем процентное отношение 62 к 64. Оно равно 96,88%. Воспользуемся теперь нашей таблицей для решения такой задачи. Для отопления дома необходимо заготовить 70 т угля. На 1 ок¬ тября привезено 65 т. Сколько процентов топлива заготовлено? Решение задачи состоит в нахождении процентного отношения 65 к 70. Это отношение ищем по таблице, оно равно 92,86%. 5. График для решения задач на проценты. С помощью простого графика (рис. 7) можно решать задачи на проценты. Искомые и дан¬ ные числа откладывают на отрезках АВ и ВС. На графике показано, как при помощи линейки найти 80% от 50, а также, что число 40 составляет 80% от 50 (обратная задача). 1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встре¬ чаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значе-^ ние величины, другие — только приблизительное. Первые называют D Ю0% 00% 80% 70% 60% 50% 1*0% 30% 20% 10% Рис. 7. , § 24. Приближенные вычисления 108
точными, вторые — приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих слу¬ чаях точное число вообще найти невозможно. Так, если говорят, что в классе есть 29 учеников, то число 29 — точное. Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 — приближенное, так как, с одной сто¬ роны, наши измерительные инструменту не абсолютно точны, с дру¬ гой стороны, сами города имеют некоторую протяженность. Результат действий с приближенными числами есть тоже прибли¬ женное число. Выполняя некоторые действия над точными числами (деление, извлечение корня), можно также получить приближенные числа. Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспече¬ ния требуемой точности результата; 3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влия¬ ния на точность результата. 2. Округление. Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как приближенные, так и точ¬ ные числа. Округлением данного числа £0 некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбра¬ сывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями. Эти нули обычно подчеркивают или пишут их меньшими. Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такими правилами: чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие'после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее: 1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то послед¬ нюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком); 2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком). Покажем это на примерах. Округлить: а) до десятых 12,34; б) до сотых 3,2465; 1038,785; в) до тысячных 3,4335. г) до тысяч 12375; 320 729. Ответы. а) 12,34 « 12,3; б) 3,2465 « 3,25; 1038,785 » И)38,79; в) 3,4335 « 3,434. г) 12375 « 12000; 320 729 « 321 000- 109
Примечание. Еще несколько лет назад в случае отбрасыва¬ ния одной лишь цифры 5 пользовались «правилом четной цифры»: последнюю цифру обставляли без изменения, если она четная, и уве¬ личивали на единицу, если нечетная. Теперь же «правила четной цифры» не придерживаются: если отбрасывают одну цифру 5, то к последней оставленной цифре прибавляют единицу не зависимо от того, четная она или нечетная. - 3. Абсолютная и относительная погрешности. Разность между точным числом и его приближенным значением называется абсолют¬ ной погрешностью приближенного числа. Например, если точное чис¬ ло 1,214 округлить до десятых, получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1,2 равна 1,214 —1,2, т. е. 0,014. Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой вели¬ чины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная по¬ грешность неизвестна. В этйх случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погреш¬ ностью>. Говорят, что точное значение 4исла равно его приближен¬ ному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная абсолютная погреш¬ ность равна 0,01 *. Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом А а. Запись *«а(±Да) следует понимать так: точное значение величины х находится в про¬ межутке между числами а — Да и а-f-Да, которые называют соот¬ ветственно нижней и верхней границей х и обозначают НГ* и ВГ*. Например, если х » 2,3 (±0,1), то 2,2 < х < 2,4. Наоборот, если 7,3 < х < 7,4, то х « 7,35 (±0,05). Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризует качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина. Например, есл* измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого измерения, в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой. Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины * Абсолютная погрешность бывает и положительной и отрицательной. Например, 1,68 ~ 1,7. Абсолютная погрешность равна 1,68 — 1,7 «—0,02 (см. стр. 153). Граничная абсолютная погрешность всегда положительна. 110
абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому' мерой точности служит относительная погрешность. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительна, погрешностью; обозначают ее так: —. Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в про¬ центах. Например, если измерения показали, что расстояние х между двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км9 то за прибли¬ женное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т. е. их полусумму, тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случае х« 12,5 (±0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км, а граничная относительная g = 0,016 = 1,6%.' § 25. Приближенные Мчисления с помощью правил подсчета цифр 1. Предварительные замечания. Различают приближенные вычис¬ ления со строгим учетом погрешностей и без строгого учета. В менее ответственных вычислениях с приближенными числами пользуются вторым способом, основанным на так называемых правилах подсчета цифр. В этих правилах используются понятия десятичных знаков, зна¬ чащих цифр, точных и сомнительных цифр. Напомним, что десятич¬ ными знаками числа называют все его цифры, стоящие правее запя¬ той (см. стр. 98). Например, числа 3,5 и 3,05 имеют соответственно один и два десятичных знака. Значащими цифрами числа называются все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, кроме нулей, стоящих в конце записи числа на месте отброшенных при округлении цифр (как уже отмечалось, эти нули обычно подчеркивают или пишут меньшими). Примеры. В числе 3,5 — две значащих цифры, в числе 0,0307 —три значащих цифры. В числе 35000. полученном в резуль¬ тате округления до тысяч, две значащих цифры. Если граница абсолютной погрешности приближенного числа равна половине единицы разряда последней его цифры, то все цифры этого числа называют точными. Если же эта граница больше поло¬ вины единицы разряда последней цифры числа, то последняя цифра такого числа называется сомнительной. 111
Примеры. В числе 2,06(±0,005) цифры 2, 0 точные, а 6 — сомнительная. В числе 2,06 (±0,01) цифры 2 и 0 точные, а 6 — сомнительная. В числе 35 000, полученном в результате округления до тысяч, цифры 3 и 5 точные, а все три нуля — сомнительные. Правила подсчета цифр тесно связаны с принципом Л. Н. Кры¬ лова (1863—1945): Приближенное число следует писать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь по¬ следняя цифра была бы сомнительна и при том не более как на одну единицу. Например, если приближенное число записано так: х « 3,52, то это значит, что оно дано с точностью до сотых, т. е. х « 3,52(±0,01 )• Если же известно, что х ж 3,72 (± 0,02), то, согласно принципу А. Н. Крылова, его надо писать так: х « 3,7. Вычисления с приближенными числами, записанными таким спо¬ собом, выполняют как и над точными числами, но, придерживаясь' таких правил. 2. Правила подсчета цифр. I. При сложении и вычитании прибли¬ женных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков у сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков. Пример. Найти сумму приближенных чисел 127, 42, 67, 3, 0,12 и 3,03. Решение. 127,42 г 67,3 + 0.12 3,03 197.87 « 197,9. Пример. Найти разность чисел: 418,7 — 39,832. Решение. . 418,7 39,83 378.87 « 378,9. И. При умножении и делении приближенных чисел в произведе¬ нии надо сохранить столько значащих цифр, сколько их есть в дан¬ ном числе с наименьшим количеством значащих цифр. Пример. Умножить приближенные числа 3,4 и 12,32. Решение.
Задача. Площадь прямоугольной грядки «приближенно равна 7,6 кв. м, ширина — 2,38 м. Чему равна ее длина? Решение. Длина грядки равна частному от деления 7,6 на 2,38. Действие деления выполняют так: _ 7,60 I 2,38 7,14 3,19 « 3,2 (л). 460 238 222 Последнюю цифру частного 9 можно было и не писать, а, полу¬ чив в частном две значащие цифры, заметив, что остаток больший половины делителя, округлить частное с избытком. III. При возведении приближенных чисел в квадрат и куб в резуль¬ тате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании *. Примеры. 2,32 = 5,29 « 5,3; 0,8* = 0,512 «0,5. IV. В промежуточных результатах следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила. V. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях первой ступени) или больше значащих цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно сле¬ дует округл-ить, сохраняя лишь одну запасную цифру. VI. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k цифрами данные следует брать с таким числом цифр, которое дает согласно правилам I—IV k 1 цифру в результате. 3. Применение правил. Применение вычислений способом подсчета цифр рассмотрим на примере. Пример. Найти значение х = ——, если а « 9,31, Ь « 3,1, а + о с * 2,33. Решение, а — 6 = 9,31—3,1=6,21; (а — Ь)с = 6,21 • 2,33 « 14,5; а + Ь = 9,31 + 3,1 = 12,4; х — 14,5 : 12,4 и 1,2. Ответ, х « 1,2. * Аналогичные правила для извлечения корней и логарифмирования см на стр. 182. 113
Примечание. Сформулированные выше правила подсчета цифр имеют вероятностный смысл: они наиболее вероятны, хотя существуют примеры, не удовлетворяющие этим правилам. Поэтому вычисления способом подсчета цифр — самый грубый способ оценки погрешности результатов действий. Однако он очень прост и удобен, а точность таких вычислений вполне достаточна для большинства технических расчетов. Поэтому этот способ широко распространен в вычислитель¬ ной практике. В более ответственных вычислениях пользуются способом границ или способом граничных погрешностей. § 26. Приближенные вычисления по способу границ Наилучшим в смысле строгости из известных способов прибли¬ женных вычислений является способ границ. Пользуясь этим спосо¬ бом, по известным нижним и верхним границам данных чисел, находят 'отдельно нижнюю и верхнюю границы результата. Пусть, например, надо сложить два числа: * « 3,2 (±0,05) и у * 7,9 (±0,05). Имеем: 3,15 < х < 3,25, 7,85 < у < 7,95, откуда 11,00 < л; £/<11,20- Итак, х-\-у » 11,1 (±0,1). Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сум¬ ме нижних границ слагаемых, а верхняя — сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так: НГ (х + у) » НГ* + ИГ у; ВГ (*+</) = ВГх + ВТ у. Аналогичные правила справедливы для умножения: НГ (ху) — НГ* . НТу; ВГ (ху) = ВГ* • ВТу. Для обратных действий — вычитания и деления — соответствую¬ щие правила имеют такой вид: НГ (* — */) = НГ* — ВГ*/; ВГ (*—г/) = ВГ* — НТу. НГ(|)-ВД; вг(т)-яй- Из определения НГ и ВГ вытекают также следующие правила: 1) округлять' НГ можно только по недостатку, а В Г — по из¬ бытку; 2) чем меньше разность ВГ* —НГ*, тем точнее определяется *; 3) в качестве приближенного значения * рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГ* и ВГ* или число, близкое к нему. 114
Применение способа границ при вычислениях рассмотрим на примере. Пример. Найти значение г (а-Ь)с и + Ь 9 если а « 9,21 (±0,01); Ь « 3,05 (±0,02), с * 2,33 (±0,01). Решение. Определяем НГ и В Г каждого из чисел а, Ь, с и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа х. Запись удобно оформить в виде такой таблицы. 1,15 <*<1,19 ,1.15 1,19 + 1,19 —1,15 2,34 0,04 2,34:2 = 1,17; 0,04:2 = 0,02 х w 1,17 (±0,02). Литература. Энциклопедия элементарной математики, I, М, 1951. В. М. Б р а д и с, Средства и способы элементарных вычислений, Учпедгиз, М., 1954. А. Н. Крылов, Лекции о приближенных вычис¬ лениях, Изд-во АН СССР, Л., 1933. ВЕЛИЧИНЫ И ПРОПОРЦИИ § 27. Измерение величин 1. Величины и их измерения. Дать строгое определение понятию «величина» нельзя. Это одно из основных (неопределяемых) понятий, смысл которого раскрывают при помощи различных описаний. В ста¬ рых книгах величинами называли все то, что способно увеличиваться или уменьшаться. Однако это нельзя считать строгим определением, так как говорят, например, об увеличении аппетита, прав, обязан¬ ностей и других понятий, которых не принято считать величинами. Примерами величин есть: длина, площадь, объем, вес, скорость, время и др. ' Характерное свойство величины состоит в том, что наряду с дру¬ гими свойствами она имеет и числовую характеристику. Поэтому говорят о том или ином числовом значений величины. Величины можно измерять. 115 Компоненты | НГ ВГ а 9,20 9,22 Ъ 3,03 3,07 с 2,32 2,34 а — Ь 6,13 6,19 (а — Ь) с 14,22 14,49 а+ Ь 12,23 12,29 X 1,15 1,19
Измерить какую-нибудь величину — значит сравнить ее значение со значением другой величины такого же рода, принятой за единицу. В каждом государстве установлены определенные единицы для измерения основных величин'. Единицы измерения, вошедшие в упо¬ требление, называются мерами. Так, сейчас у нас приняты: за еди¬ ницу длины метр, за единицу веса — грамм, за единицу времени — секунда и т. д.*. Однако не всегда у нас пользовались такими мерами, а в неко¬ торых странах и теперь приняты другие меры. 2. Старые русские меры. Некоторые старые русские меры и соот¬ ношения между ними. Меры длины Миля содержит 7 верст « 7,4676 км Верста » 500 саженей « 1,0668 км Сажень » 3 аршина « 2,1336 м Аршин » 16 вершков ж 0,7112 л Сажень » 7 футов ж 213,36 см Фут ъ 12 дюймов«30,48 см Дюйм » 10 линий «2,54 см Ме р ы веса Пуд содержит 40 фунтов (1 пуд « 16,4 кг) Фунт » 32 лота Лот » 3 золотника Золотник » 96 долей 3. Английские меры. Меры длины 1 мил содержит 0,001 дюйма 1 ладонь 1 пядь » 1 фут » 1 ярд ъ 1 пол » 1 фурлонг » 1 англ. миля » 1 лига » 4 дюйма 9 дюймов 12 дюймов 3 фута 5,5 ярдов 220 ярдов 8 фурлонгов 3 мили * Для каждого рода величин выбирают несколько единиц: одни более круп¬ ные (кратные), другие более мелкие (дольные). 116
Примечание. Основной единицей длины в английских систе¬ мах мер является ярд. Британский ярд равен 0,91439841 м. В США 3600 ярд равен м. Мера веса 1 унция содержит 16 драхм 1 фунт » 16 унций 1 стоун » 14 фунтов 1 британская четверть содержит 2 стоуна 1 четверть (в США) » 25 фунтов 1 центнер » 4 четверти 1 тонна » 20 центнеров 1 длинная тонна (бри- » 2240 фунтов танская мера) 1 короткая тонна » 2000 фунтов (в США) Примечание. Основной единицей веса в Англии и США является фунт. Он равен 0,453559243 килограмма. Перечень других английских мер дан в книге «Англо-русский словарь математических терминов», М., 1962. § 28. Метрическая система мер В СССР с 1918 г. введена Метрическая система мер. Производ¬ ные меры получаются из основных посредством увеличения или уменьшения их в 10, 100, 1000 и т. д. раз. Некоторые важнейшие меры Метрической системы: Меры длины Основная единица — метр (м) Более мелкие единицы Дециметр {дм) — 0,1 м Сантиметр (см)—0,01 м Миллиметр (мм) — 0,001 м Микрон или микрометр (ц.) — 0,000001 м Миллимикрон (tn\k) — 0,000000001 м Более крупные единицы Декаметр (дкм) —10 м Гектометр (гм)—100 м Километр (км)—1000 м Мириаметр (мм) — 10000 м Мегаметр —1000000 м 117
Меры площади Основная единица — квадратный метр (кв. м, или м2) Более мелкие единицы Более крупные единицы Квадратный дециметр (кв. дм) = Квадратный декаметр или ар = 0,01 кв. м (а) = 100 кв. м Квадратный сантиметр (кв. см)= Квадратный гектометр или гек- = 0,0001 кв. м тар (га) =10 000 кв. м Квадратный миллиметр (кв. мм) = Квадратный километр (кв. км)= = 0,000001 кв. м = 1 000000 кв. м Меры объема а) Газообразных и твердых тел Основная единица — кубический метр, или стер (куб. м, или л3) Более мелкие единицы Болея крупные единицы Кубический дециметр (куб. дм) = Кубический километр (куб. юи)= 0,001 куб. м = 1 000 000 000 куб. м Кубический сантиметр (куб. см) = = 0,000001 куб. м Кубический миллиметр (куб. мм) = = 0,000000001 куб. м б) Жидкостей и сыпучих тел Основная единица — литр (л) — объем 1 куб. дм. Точнее 1 л = = 1,000028 куб. дм. Более мелкие единицы Более крупные единицы Децилитр (дл) = 0,1 л Декалитр (дкл) = 10 л Сантилитр (сл) = 0,01 л Гектолитр (гл) = 100 л Миллилитр (мл) = 0,001 л Килолитр (кл) = 1000 л Микролитр (мкл) = 0,000001 л Меры веса Основная единица — грамм (г) вес 1 куб. см чистой дистиллиро¬ ванной воды при 4° С и атмосферном давлении 760 мм рт. ст. Более мелкие единицы Более крупные единицы Дециграмм (дг) = 0,1 г Декаграмм (дкг) = 10 г Сантиграмм (сг) = 0,01 г Гектограмм = 100 г Миллиграмм (мг) = 0,001 г Килограмм (/сг) = 1000 г Микрограмм = 0,000001 г Центнер (ц) = 100 кг Карат (к) = 0,2 г Тонна (т) = 1000 кг 118
§ 29. Система СИ В октябре 1960 г. XI Генеральная конференция по мерам и ве¬ сам, на которой присутствовали представители 32 стран (в том числе СССР, Чехословакии, Франции, Великобритании, США и др.), при¬ няла Международную систему единиц SI (СИ — система интерна¬ циональная) в качестве универсальной "системы для всех отраслей науки и техники. В сентябре 1961 г. Комитет стандартов, мер и измерительных приборов при Совете Министров СССР утвердил новый государст¬ венный стандарт «Международная система единиц» (ГОСТ 9867-61) для предпочтительного его применения с 1 января 19бЗ г. во всех областях науки, техники и народного хозяйства. Международная система единиц состоит из шести основных еди¬ ниц: метра (м)—для длины, килограмма (кг)— для массы, секунды (сек) — для времени, градуса Кельвина (°К) — для термодинамиче¬ ской температуры, ампера (а)— для силы тока и свечи (ев) — для силы света; двух дополнительных единиц: радиана (рад) — для плос¬ кого угла и стерадиана (стер) — для телесного угла и 27 важнейших производных единиц: площади — квадратный метр (м2), объема — кубический метр (м8), линейной скорости — метр на секунду (м/сек)> угловой скорости — радиан на секунду (рад/сек) и др. *. Большинство определений основных единиц в системе СИ является новыми. Например: «Метр —длина, равная 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2Р1о и 5d5 атома криптона 86»; «Килограмм — единица массы — представлен массой международного прототипа килограмма»; «Се¬ кунда — 31556995 9747 часть тропического года для 1900 г. января 0 в 12 часов эфемер и дного времени». Необходимость новых определений вызвана тем, что старые опре¬ деления не обеспечивали надлежащей точности измерений при совре¬ менном состоянии техники. Новые определения основных единиц более стабильны, чем старые, и дают возможность повысить точность их воспроизведения. Более крупные (кратные) и более мелкие (дольные) единицы измерения по сравнению с приведенными в системе СИ (как и в ме¬ трической системе) следует образовывать путем их умножения на степень числа 10, соответствующую приставке, присоединенной к на¬ именованию основной единицы**: * М. Г. Богуславский и др., Таблицы перевода единиц измерений, Стандартгиз, М., 1963. ** 10—*, 10—*,' . . . обозначают соответственно , . .. (см. стр. 210). .119
дека — 10 (дк) гекто — 102 (г) кило — 103 (к) мега — 10е (М) гига —10® (Г) тера — 1012 (Т) деци — 10_т (д) саити — 10 2 (с) милли — 10~3 (м) микро — 10~"6 (мк) нано — 10“~9 (н) пико — 10~12 (п) § 30. Исторические сведения о метрологии Почти все единицы мер, принятые разными древнейшими наро¬ дами, связаны с размерами частей человеческого тела. Такое проис¬ хождение имеют в частности дюйм (ширина пальца), фут (длина ступни), локоть (длина руки от локтя до конца среднего пальца), сажень (расстояние между концами средних пальцев двух вытянутых в стороны рук). Тысяча двойных шагов в древнем Риме получила название мили (от milia — тысяча). Наиболее разработанной из древнейших метрологий была вави¬ лонская, оказавшая значительное влияние на метрологию иных древ¬ них народов. До настоящего времени мы пользуемся единицами измерения времени, заимствованными из вавилонской метрологии (сутки имеют 24 часа; час имеет 60 минут; минута имеет 60 секунд). Древнейшие метрологии заключали в себе измерение длин, пло¬ щадей (земельных участков), объемов, веса, времени, а также монет¬ ные системы, связанные обычно с измерением веса. До конца XIX в. большинство европейских стран имело свои особые системы измерений; особенно много их было в средние века и в новое время, когда Европа была раздроблена на много мелких государств. Азиатские, американские и другие страны и рароды также имели свои особые системы мер и весов. В старых русских рукописях (в «Русской правде» и др.) сохра* нились сведения о единицах измерения, которыми пользовались в IX—XIII вв. в Киевской Руси. Подобно тому, как это было в За¬ падной Европе, отдельные русские земли имели свои меры и весы. Регламентация мер была начата в Московской Руси и получила свое завершение при Петре I. Единица длины — сажень, была приравнена 7 английским футам. Тогда же были установлены меры сыпучих тел: гарнец и четверик, равный 8 гарнцам. До XVII в. была установлена величина десятины, как единицы измерения площадей, равная 80 X Х30 саженей, а также сложились меры веса: 1 пуд равен 40 фунтам и др. С развитием общества росли требования к точности мер и изме¬ рений. Усилились торговые связи между отдельными странами и на¬ родами. Однако развитие торговых отношений усложнялось тем, что в каждом государстве существовали разные исторически сложив¬ 120
шиеся системы мер и под одним и тем же названием в разных мест¬ ностях зачастую подразумевались разные величины, например суще¬ ствовали 100 различных футов (рабочий, землемерный, ткацкий, портняжный, инженерный, геометрический и др.), 120 различных фунтов (большой, малый, обыкновенный, казенный, торговый, город¬ ской, медицинский, горный и др.), 46 различных миль и т. д. Бессистемность мер использовали купцы и крупные землевла¬ дельцы для еще большего закабаления бедного населения: меряя собственным аршином и собственным фунтом, они извлекали для себя максимальные прибыли. Реформа системы мер была вызвана не столько научными инте¬ ресами, сколько материальными интересами народных масс, которые страдали от путаницы всей системы мер, от отсутствия правитель¬ ственного контроля за мерами, от права феодальных владельцев вводить собственные меры. Метрическая система мер была разработана французской Акаде¬ мией наук в 90-х годах XVIII в. во время Французской буржуазной революции и была введена во Франции 7 апреля 1795 г. В основу метрической системы была положена единица длины — метр, равная длине одной сорокамиллионной части Парижского меридиана. Все остальные единицы измерений находились в определенных соотноше¬ ниях с метром, причем за основу была принята десятичная система счисления, вследствие чего метрическая система экономически была самой выгодной. Несмотря на это, проведение новой системы в жизнь встретило большие препятствия. Проведение реформы мер было не в интересах крупной буржуазии, пришедшей к власти во Франции, а восстановление королевской власти (1815 г.) содействовало забве¬ нию метрической системы, наряду с другими достижениями рево¬ люции. Революционное происхождение метрической системы препятство¬ вало ее распространению и в других странах. Например, в 1823 г. петербургский академик Н. И. Фусс забраковал руководство гео¬ метрии Н. И. Лобачевского, мотивируя тем, что в нем за единицу длины принят метр, а за единицу измерения дуг — градус, а «сие разделение выдумано было во время Французской революции, когда бешенство нации уничтожить все прежде бывшее распространилось даже до календаря и деления круга». В 1869 г. Петербургская Академия наук обратилась к научным учреждениям всего мира с призывом пересмотреть основание метри¬ ческой системы с тем, чтобы она могла стать международной. Достижения науки требовали заменить определение метра как одной десятимиллионной четверти меридиана, так как архивный метр не совпадал ни с одним из результатов последних измерений. По предложению Петербургской Академии наук были приняты архивные эталоны метра и килограмма за прототипы. 121
В 1877 г. в Париже на средства двадцати государств — участии- ков «Конференции метра» было создано «МехСдународное бюро мер и весов», которому вменено в обязанность хранить эталоны мер и изготовлять их образцы. Новый эталон метра был изготовлен из устойчивого сплава пла¬ тины и иридия и вместе с эталоном килограмма (масса 1,000028 куб. дм воды при 4° С) помещен в подвалах бюро на хранение (Франция, Бретёйльский павильон). В царской России большую работу по подготовке и внедрению в обиход метрической системы мер провели Б. С. Якоби и Д. И. Мен¬ делеев, который с 1892 г. стоял во главе Главной палаты мер и ве¬ сов, преобразованной впоследствии во Всесоюзный научно-исследова- тельский институт метрологии им. Д. И. Менделеева. Новая реформа мер (введение системы СИ) является только даль¬ нейшим шагом по уточнению единиц измерения в международных интересах. § 31. Именованные числа 1. Числа отвлеченные и именованные. Численное значение вели¬ чины, взятое вместе с указанием единиц измерения, называется име¬ нованным числом. Так, 5 /сг, 35 см — именованные числа. Если же при числе не указано единиц измерения, то такое число называется отвлеченным (35 — отвлеченное число). Именованное число называется простым, если численное значение величины выражено одной единицей измерения, например 8 см. Име¬ нованное число называется составным, если чнслецное значение вели¬ чины выражено несколькими единицами измерения, например 5 м 25 см. 2. Превращение и раздробление именованных чисел. Преобразо¬ вание именованного числа в единицы какого-нибудь низшего найме-! нования называется раздроблением, а обратное преобразование в еди¬ ницы высшего наименования называется превращением, или укрупне- нием. Так, преобразование числа 2 км 25 м в 2025 м есть раздроб¬ ление, а обратное преобразование числа 2025 м в 2 км 25 м -*■ превращение. Раздробление и превращение именованных чисел вы¬ полняется в большинстве случаев устно и записывается так: Раздробление: 75 руб. 17 коп. « 7517 коп.; 7 кг 250 г = 7250 г; 27 м 15 см 5 мм = 27155 мм. Превращение: 3574коп.= 35руб. 74коп.; 6005 м = 6 км 5м. В отдельных случаях, если устно трудно выполнить раздробле¬ ние или превращение, то следует использовать, форму полуустного вычисления. Записывать можно, например, так: 122
а) Раздробить в секунды 17 ч 24 мин 39 сек. х 60 X 17 , 1020 + 24 v 1044 х 60 , 62640 + 39 62679 17 ч 24 мин 39 сек = 62679 сек. 3. Действия с именованными числами. Арифметические действия с именованными числами выполняются так же, как и с отвлеченными числами, только здесь иногда одновременно с выполнением действия делают и некоторые преобразования. Поэтому различают действия с преобразованием и без преобразований. Ниже на примерах показано, как принято записывать действия с именованными числами. Сложение . 257 м , 375 г *\2м7дм2см ‘ 149 м ‘ 26 кг 935 г * 8 м 8 дм 8 см 406 м 26 кг 1310 г 20 м 15 дм 10 см 27 кг 310 г 21 м 6 дм Вычитание 37 км 750 м 7 м 2 дм 5 см 15 км 385 м 5 м 8 дм 6 см 22 км 365 м 1 м 3 дм 9 см Умножение Запись при письменном умножении составных именованных чи¬ сел можно вести по двум формам. Пример. 35 км 252 м х 125. А. 35 км 252 м v 252 м 35 км х 125 х 125 х 125 4406 км 500 м 1260 175 -{- 504 «4- 70 252 35 31500 м = 31 км 4375 км 500 м + 31 км 500 м 4406 км 500 м 123
Б. 35 км 252 м х 125 v 35252 м х 125 176260 + 70504 35252 4406500 м 4406 км 500 м Деление При делении именованных чисел различают два случая: а) деление именованного числа на абстрактное число, т. < ление на равные части; б) деление именованного числа на именованное число, т. < ление по содержанию. а) Письменное деление на равные части выполняется так: Без раздробления. _ 312 кг 420 г | 12 24 , 26 кг 35 г 72 ~72 420 г 36 60 ‘60 О С раздроблением. 5 кг 120 г I 16 5120 г 320 г 48 - 32 '32 0 б) Письменное деление по содержанию выполняется так: 65 ч 15 мин ] 45 мин 3915 мин 87 360 315 315 0 I. де- де- 124
33 кг 950 г : 2 кг 425 г 33950 г | 2425 г 2425 —Л 9700 9700 § 32. Отношение чисел 1. Отношение чисел. Как уже отмечалось (стр. 49), частное от деления одного числа на другое называется также их отношением. Таким образом, частное и отношение обозначают одно и то же поня¬ тие. Однако, когда говорят «частное», имеют в виду одно число, полученное в результате деления двух данных чисел. Когда же гово¬ рят «отношение», имеют в виду пару чисел, соединенных знаком деления. Например, если разделить 10 на 2, получим 10:2 = 5. В данном случае говорят, что частное от деления 10 на 2 равно 5, говорят также, что отношение 10 к 2 равно 5. Но само отношение данных чисел записывают в виде 10:2, или ~. Понятно, что числа 10:2 и 5 равны. Поэтому и говорят, что отношение — то же самое, что и частное. Для обозначения отношения используют дробную черту или двоеточие — знак деления. Определив величину отношения, получаем ответ на вопрос, во сколько раз одно число больше другого или какую часть другого числа оно составляет. ) В общем виде отношение записывают так: а: Ь. Числа а и Ь называются членами отношения. Первый член а называется предыдущим, второй b — последующим. Например, в отно¬ шении 4 : 5 число 4 есть предыдущий член, 5 — последующий. Из двух чисел можно составить два отношения, например из 7 и 8 имеем: 8:7 и 7:8. Эти отношения отличаются друг от друга тем, что пре¬ дыдущий член одного является последующим членом другого и наобо¬ рот. Такие два отношения называются обратными. Произведение обратных отношений равно единице: Так как отношение двух чисел получают с помощью деления, то для него справедливы все свойства частного. Основное свойство отношения: величина отношения не изменится, если его члены умно¬ жить или разделить на одно и то же число. 125
Члейами отношения могут быть любые числа, только последую¬ щий член не может быть равен нулю. Поэтому возможны и такие 1 2 отношения: 2-^- : 3-5-, или —<г- . г. 6 2 Чтобы получить отношение двух именованных чисел, надо дать эти числа в одних единицах измерения. Пример. Найти отношения 73 см к 2,92 м. _ 73 см 73 см л ос Решение- 2ЙЙПЙ~29!Гся = 2. Сокращение членов отношения и замена отношения дробных чисел отношением целых чисел. Используя основное свойство отно¬ шения, выполняем два преобразования: 1) сокращение членов отно¬ шения и 2) замену отношения дробных чисел отношением целых чисел. Как это выполняется, видно из следующих примеров. Пример 1. Сократить члены отношения: 48:32. Решение. 48 :32 = 3 :2. Пример 2. Заменить отношение дробных чисел отношением 1 1 2 целых чисел: 1 1 2 3 2 9 4 Л . Решение. |у: j = уу т t-g- = 9 : 4. 'Мы привели дроби к общему знаменателю, а затем умножили предыдущий и последующий члены отношения на их общий знамена¬ тель (на 6). Примечание. Раньше различали разностные отношения (вида а — Ь) и кратные отношения (вида а : Ь). Теперь понятие «разностное отношение» не употребляют. А то, что раньше называли «кратным отношением», называют «отношением». § 33. Пропорции 1. Понятие о пропорции. Пропорцией называют равенство двух а с отношений. Общий вид пропорции: -g- = ~, или а: b = с :d. Примеры пропорций. 3:4 = 9:12, 2__ 8_ 3 ~ 12’ 10:21Г = hr: ¥ ’ 20 м : 4 м = 10 кг : 2 кг. 126
Пропорции читают так: «3 относится к 4, как 9 к 12», «10 отно¬ сится к 2-i-, как lj к » и т. д. Или: «отношение 3 к 4 равно отношению 9 к 12»; «10 во столько раз больше 2-i, во сколько раз больше Члены отношений, составляющих пропорцию, называются чле¬ нами пропорции. Пропорция состоит из четырех членов. Первый и последний члены, т. е. члены, стоящие по краям, называются крайними, а члены пропорции, находящиеся в середине, называются средними членами. Так, в первой пропорции числа 3 и 12 будут край¬ ними членами, а числа 4 и 9 — средними членами пропорции. Все члены пропорции могут быть абстрактными числами, но два члена одного отношения (или обоих отношений) могут быть и одно¬ родными именованными числами: 15 Зу кг: 5 кг = -£ м : y м* 2. Основное свойство пропорции. Произведение крайних членов Пропорции равно произведению средних ее членов. В общем виде это свойство пропорции -у = — записывают так: ad = be. Основное свойство пропорции может быть использовано для про¬ верки правильности составленных пропорций. Пример. Проверить правильность пропорции. — : — = 20 : —. 2 48 6 15 1 Решение. —g- = ^ • 20. Пропорция правильная, так как выполняется основное свойство пропорции: — ^ • Правильность пропорции может быть проверена также путем вычисления каждого из двух отношений, которые составляют про¬ порцию. Пример. Проверить пропорцию 0,75 : 1-i- = 1,25 : 2,5. о Решение. 0,75 :1-~- — у ; 1,25 : 2,5 = у. 127
Величина отношений одинакова, следовательно, пропорция состав¬ лена правильно. Итак, из приведенных примеров видно* что если мы напишем такое равенство, у которого в левой части стоит произведение одних двух чисел, а в правой части произведение двух других чисел, то из этих четырех чисел можно составить пропорцию. 3. Вычисление неизвестных членов пропорции. Вычисление неиз¬ вестного члена пропорции называют решением пропорции. Для вычи¬ сления членов пропорции используются следствия из ее основного свойства. 1) Неизвестный крайний член пропорции равен произведению сред¬ них членов, деленному на известный крайний, т. е. если х:а = b :с, ab то х — —. с 2) Неизвестный средний член пропорции равен произведению край- них членов, деленному на известный средний, т. е., если а : х = Ь : с% ас то х — —. 12 . 4— 12 • — 1 ю „3 -1 4 4 Пример 1. jc : 12 = 4— : / * 12-19‘8 q 4-57 5 5 10,4' П '4'П Пример 2. 10,4 : 3-у = х : уу; х = ^ Зу Зу 52 5^ 5 ' 11 52 • 7 _ 14 _ j j5_ “ 26 “11-26 11 11 7 4. Перестановка членов пропорция. В каждой пропорции можно переставить: а) средние члены, б) крайние члены, в) средние и край¬ ние; г) крайние на место средних и средние на место крайних. Всего можно получить из данной пропорции 8 пропорций (включая дан¬ ную). В буквенной записи они принимают такой вид: а: Ь = с : d с: d = а: Ь d:b = c : a b :d = a:c а: с = : d c:a~d:b die = b :а b : a = d : с 128
Для всех этих пропорций выполняется основное свойство: ad — be. Пример. Выполнить возможные перестановки членов в про¬ порции 5 : 3 = 20 : 12. Решение. 5 : 3 = 20: 12 3: 5= 12:20 5 : 20 = 3 : 12 3 : 12 = 5 : 20 20 : 5 = 12 : 3 12 : 20 = 3 : 5 20 : 12= 5 : 3 12 : 3 = 20 : 5 Примечание. Если в пропорции средние или крайние члены равны (такие пропорции называют непрерывными), то из нее можно получить путем перестановки членов только 4 разных пропорций. Например, 18: 6 = 6:2 2:6= 6: 18 6: 18 = 2:6 6 : 2 = 18 : 6 5. Упрощение пропорций. К числу преобразований, не нару¬ шающих пропорцию, относится: 1) одновременное увеличение или уменьшение обоих членов любого отношения в одинаковое число раз; 2) одновременное увеличение или уменьшение обоих предыдущих или обоих последующих членов в одинаковое число раз; 3) одновременное увеличение или уменьшение всех членов про¬ порции в одинаковое число раз. Перечисленные преобразования дают возможность упрощать про¬ порции, в частности освобождать их от дробных членов. Примеры. Упростить пропорции: а) т4==20:30: Л JO 15 .л Ю 1 1 ОЛ ^ б) 12 :14 _ 16 : ? ; в) -g-: ^ - 20 : g . 2 3 Решение, а) Приведем дроби к общему знаменателю: —: ~ = = 20 : 30. Умножив на 8 оба члена первого отношения, получим: 2 : 3 = 20 : 30. б) Приведем дроби к общему знаменателю: 12 : -ц = 16 : . Умножив оба последующих члена "на 14, получим 12 :15 = 16 : 20. 11 5 в) Умножив все члены пропорции *тг : тз = 20 : на 48, полу- Z *кО О чим 24 :1 = 960 : 40, или 24 : L = 96 : 4. 5 5-353 129
6. Производные пропорции. Если к обеим частям данной про¬ порции а_ с Ь ~~Ч прибавить по 1, то получим Ь + d ^ 9 или a+b__c + d а) ~Ь~ ~d~' Словами это можно выразить так. Сумма членов первого отно¬ шения данной пропорции относится к его последующему члену, как сумма членов второго отношения относится к его последующему. „ 5 20 8 32 Пример. Если у = 721 Т° Т ^ Т2 ‘ Аналогично из данной пропорции можно получить следующие: т. е. разность членов первого отношения относится к его последую¬ щему члену, как разность членов второго отношения к его после¬ дующему члену; a + b_c + d 'а с 9 т. е. сумма членов первого отношения относится к его предыдущему члену, как сумма членов второго отношения относится к его преды¬ дущему члену; ч а—Ъ c~d г) —=—• т. е. разность членов первого отношения относится к его предыду¬ щему члену, как разность членов второго отношения относится к его предыдущему члену; а -4- b с -j- d Д) а — о с — а т. е. сумма членов первого отношения относится к их разности, как сумма членов второго отношения относится к их разности; а + г _ а _ с е) T+~d ~ Ь ~~d9 130
т* е. сумма предыдущих членов пропорции относится к сумме после¬ дующих. как каждый предыдущий к своему последующему. Все^ эти и многие другие пропорции, получаемые из данной, называются производными пропорциями. 7,» Свойство равных отношений. Последний пример производной пропорции можно обобщить на случай нескольких равных отношений. Если fll+gg-l \-<*п <*1 &i4-+ • • • -I- ьл bi ’ т. е. если несколько отношений равны друг другу, то сумма всех пре¬ дыдущих их членов так относится к сумме всех последующих, как каждый предыдущий член к своему последующему. 1. Величины прямо пропорциональные. Значения двух различных величин могут взаимно зависеть друг от друга. Так, площадь квад¬ рата зависит от длины его стороны и, обратно, длина стороны квад¬ рата зависит от его плОщади. Если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз соответствую¬ щее значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины в арифметике называются прямо пропорциональ¬ ными *. Примеры. Время работы и заработок, полученный за это время при поденной оплате труда, — величины прямо пропорциональные, так как чем ^больше работает рабочий, тем больше его заработок, причем за три дня, напруимер, он получает втрое больше, чем за один день. Длина стороны квадрата и его площадь — не прямо пропор¬ циональны, так как с увеличением стороны вдвое площадь квадрата увеличивается не в 2 раза, а в 4. Прямо пропорциональные величины обладают следующим свой¬ ством: если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению * В алгебре дается иное определение пря&о пропорциональной зависимости величин (см. стр. 305). Oi = <Ц Ь\ &2 то VI 30 3 - 20 ’ Т° 50 - 5 • § 34. Пропорциональная зависимость величин 131
двух соответствующих значений второй величины. Отсюда следует* что для данной пары прямо пропорциональных величин частное от деления любого значения одной величины на соответствующее зна¬ чение другой величины есть число постоянное. Это постоянное число называется коэффициентом пропорциональности. Обозначив какое-либо значение одной величины буквой у, а соот¬ ветствующее значение другой величины — буквой л:, определим коэф¬ фициент пропорциональности k так: *—=£. Отсюда, у == kx. Это равенство называется формулой прямой пропорциональности. Пример. При постоянной скорости время движения и расстоя¬ ние, пройденное движущимся телом за это время, — величины прямо пропорциональные. Пусть, например, поезд движется равномерно со скоростью 50 км 1ч. Тогда за 1 ч, 2 ч, 3 ч, 4 ч и т. д. он пройдет соответственно 50 км, 100 км, 150 км, 200 км и т. д. Отношения 50 100 150 200 Т‘, “2“9 ~з“ ’ ”4“ равны, так как каждое из них равно 50. Число 50 здесь и есть коэффициентом пропорциональности. Если обозначить время движения поезда буквой х, а расстояние, пройден¬ ное поездом за это время буквой у, то получим формулу у = 50*. Пользуясь этой формулой, можно узнать, сколько километров прой¬ дет поезд за любое данное время. Например, если х = 5, то у = 250. Следовательно, за 5 ч поезд пройдет 250 км. 2. Величины обратно пропорциональные. Если две величины свя¬ заны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой соответственно умень¬ шается (увеличивается) во столько же раз, то такие величины назы¬ ваются обратно пропорциональными. Например, если на 15 руб. нужно купить несколько килограммов конфет, то количество конфет будет зависеть от цены одного килограмма. Во сколько раз выше цена, во столько раз меньше можно купить на эти деньги конфет. Обратно пропорциональные величины обладают следующим свой¬ ством: если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений сдной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины. Отсюда можно сделать такой вывод: для данной пары обратно пропорциональных величин произведение любого значения одной вели¬ чины на соответствующее значение другой величины есть число по¬ стоянное. Обозначим некоторое значение одной величины буквой х, а соот¬ ветствующее значение другой величины буквой у. Тогда ху = k. k Отсюда Это равенство называется формулой обратной про¬ порциональности. 132
Пример. Если покупать товар стоимостью в 1 руб., - 1,5 руб., 2 руб., 3 руб. за килограмм, то за 15 руб. можно купить соответ¬ ственно: 15 кг, 10 кг, 7,5 кг, 5 кг. Здесь количество килограммов обратно пропорционально стоимости одного килограмма. Произведения 1 • 15; 1,5 - 10; 2 - 7,5; 3 • 5 равны, так как каждое из них равно 15. § 35. Задачи на пропорциональные величины 1. Простое тройное правило. Из задач на пропорциональные величины наиболее часто встречаются задачи на так называемое простое тройное правило. В этих задачах даны три числа и требуется определить четвертое, пропорциональное к ним. Задача 1. 10 болтов весят 4 кг. Сколько весят 25 таких бол¬ тов? Такие задачи можно решать несколькими способами. Решение I (способом приведения к единице). 1) Сколько весит один болт? 4 кг : 10 = 0,4 кг. 2) Сколько весят 25 болтов? 0,4 кг • 25 = 10 кг. Решение II (способом пропорций). Так как вес болтов прямо пропорциональный их количеству, то отношение весов равно отно¬ шению штук (болтов). Обозначив искомый вес буквой х, получим пропорцию: л:: 4 = 25 : 10, откуда 4 . * = 1^=10 (кг). Можно рассуждать и так: 25 болтов больше 10 болтов в 2,5 раза. Следовательно, они тяжелее 4 кг тоже в 2,5 раза: 4 кг • 2,5 = 10 кг. Ответ. 25 болтов весят 10 кг. Задача 2. Первое зубчатое колесо делает 50 об}мин. Второе зубчатое колесо, сцепленное с первым, делает 75 об {мин. Найти число зубьев второго колеса, если число зубьев первого равно 30. Решение (способом приведения к единице). Оба сцепленные зубчатые колеса передвинутся за минуту на одинаковое число зубьев, 133
поэтому число оборотов колес обратно пропорционально числу их зубьев. 50 обор. — 30 зуб. 75 обор. — х зуб. х: 30 = 50: 75; х = 52^2 = 20 (зубьев). Можно рассуждать и так: второе колесо делает оборотов в 1,5 раза больше первого (75 :50 = 1,5). Следовательно, оно имеет зубьев в J,5 раза меньше первого: 30 : 1,5 = 20 (зубьев). Ответ. 20 зубьев. 2. Сложное тройное правило. Задачи, в которых по данному ряду соответствующих друг другу значений нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений остальных величин, называют задачами на сложное тройное правило. Задача. 5 насосов в течение 3 ч выкачали 1800 ведер воды. Сколько воды выкачают 4 таких насоса в течение 4 ч? Решение. 5 нас. 3 ч— 1800 вед. 4 нас. 4ч— х вед. 1) Сколько ведер воды выкачал 1 насос в течение 3 ч? 1800 : 5 = 360 (ведер). 2) Сколько ведер воды выкачал 1 насос в течение 1 ч? 360 : 3 = 120 (ведер). 3) Сколько воды выкачают 4 насоса за 1 ч? 120 • 4 = 480 (ведер). 4) Сколько воды выкачают 4 насоса за 4 ч? 480 • 4’= 1920 (ведер). Ответ. 1920 ведер. Сокращенное решение по числовой формуле: 1800 ‘4*4 * = —— = 1920 (ведер). 8. Пропорциональное деление. Задача. Разделить число 100 на две части прямо пропорцио¬ нально числам 2 и 3. 134
Эту задачу^ следует пощщать так: разделить 100 на две части, чтобы первая доносилась дсф второй, как 2 к 3.. Ecjiii обозначить иско¬ мые числа буквами л^ил^то эту задачу можно сформулировать и так. Найти И; *2 такие, чтоб хг-\-х2= 100, хх : *2 = 2 :3. Такие задачи решают, пользуясь следующим правилом. Чтобы разделить число на части прямо пропорционально несколь¬ ким данным числам, достаточно разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из этих чисел. Решим приведенную выше задачу. 100 -2 ,Л 100-3 Xl 2 + 3 ' *2~~ 2 + 3 Ответ. 40 и 60. Аналогично делят числа на три и более частей, пропорционально данным числам. Задача. Разделить 780 на четыре части пропорционально числам 1,5; 0,75; 0,4; 1,25. Эту задачу следует понимать так: если обозначить искомые числа через хг, х2, х3 и л:4, то: Х\: *2 == 1 >5 : 0,75; : х$ == 0,75 : 0,4; х3:х4 = 0,4: 1,25; Коротко условились записывать это так: Х\ : *2 • *з • ^4 = 1>5 ! 0,75 : 0,4 :1,25. После замены отношения дробных чисел отношением целых чисел получим схематическую запись: xi: х2 : х3 :х4 = 30 :15 : 8 : 25. 78° -10 30+ 15 + 8 + 25 Xi = 10 • 30 = 300, *2 = 10 • 15 а= 150 и т. д. Чтобы разделить число на части обратно пропорционально дан¬ ным числам, надо разделить его прямо пропорционально числам; обратным данным. Задача. Разделить число 52 на три части обратно пропорцио¬ нально числам .4, 6 и 8. 135
Решение. Числа, обратные данным, будут: ~ у ~ , -g-. Сле¬ довательно, *| : х2 : *з = 4": 4“: 4- = 6 : 4 : 3. 4 Ь о 52-6 _ *1 6 —J— 4 —{— 3 52‘4 гс ** 6 4 -f- 3 ’ 52-3 ^=6 + 4 + 3= 12‘ Ответ. 24, 16 и 12. § 36. Арифметические задачи 1. Общие сведения. Различают арифметические задачи на вычис¬ ление, доказательство и исследование. Рассмотрим несколько арифметических задач. 1. У ученика было 12 тетрадей, 5 тетрадей он списал. Сколько тетрадей у него осталось? 2. Доказать, что если к трехзначному числу приписать такое же число, то полученное шестизначное число будет обязательно делиться на 7, И и 13. 3. Существуют ли числа, которые при делении на 9 дают в ос¬ татке 5, а при делении на 15 дают остаток 6? Первая из этих задач — на вычисление, вторая — на доказатель¬ ство, третья — на исследование. В каждой арифметической задаче даны некоторые числа, соот¬ ношения и т. д. и сформулированы некоторые требования. То, что дано в задаче, называется ее условием *, что требуется сделать — требованием или вопросом. Решить задачу — значит выполнить то, что требуется в ней. В результате решения задачи получают ответ или решение. Обычно арифметические задачи содержат лишь такие данные, которые необходимы и достаточны для получения определенного единственного ответа. Такие задачи называют определенными. Но иногда встречаются задачи, имеющие несколько и даже бесконечное множество решений; их называют неопределенными задачами. Бывают и такие задачи, которые не имеют ни одного решения; их называют переопределенными задачами. Иногда к переопределенным относят * Иногда условием задачи называют всю задачу, включая и вопрос ила требование. 136
и такие задачи, которые имеют единственное решение, но все же содержат лишние числовые данные. 2. Арифметические задачи на вычисление. Арифметической зада¬ чей на вычисление называют требование определить численное зна¬ чение какой-либо величины по известным численным значениям дру¬ гих величин, находящихся в определенной зависимости между собой и с искомым. Необходимыми элементами арифметической задачи на вычисления являются: 1) числовые данные; 2) словесные пояснения той зависимости, которая имеется между данными числами и между данными и искомыми; 3) тот вопрос задач и,\ ответ на который требуется найти. Все' арифметические задачи на вычисление принято делить на простые и составные. Простыми называются задачи, которые можно решить одним действием. Задачи, которые невозможно решить одним действием, называют составными. Рассмотрим важнейшие типы составных арифметических задач. 3. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности. Задача 1. Кусок полотна в 104 м надо разрезать на 2 такие части, чтобы в перЕоД было на 16 м больше; чем во второй. Сколько метров полотна будет в каждой части? Решение. Если бы первая часть куска по длине была такая же, как вторая, т. е. на 16 м меньше, чем в действительности (рис. 8), то весь кусок имел бы 104 м — 16 м — 88 м. Рис. 8. Разделив его пополам, получим длину второй части: 88 м : 2 = 44 м. Тогда первая часть имеет: 44 м 16 = 60 м. Ответ. 60 м и 44 м. Пр имечание. Вместо последнего действия можно было бы выполнить иное: 104 м — 44 м = 60 м. 137
Можно было бн предположить, что вторая часть такая же, как первая. Тогда имели бы: 104 м + 16 м = 120 м, 120 м : 2=* 60 м, 60 M — 1в Л£ е= 44 М. Можно эту задачу решить и таким способом. Искомые числа мо¬ гут быть уравнены, если от большего отнять и прибавить к меньшему их полуразность (рис. 9). Следовательно, 104 м : 2 = 52 м. 16 м : 2 = 8 м, 52 м + 8 м = 60 м, 52 м — 8 м = 44 л. Д-Дч Рис. 9. Задача 2. На опытном участке площадью 940 кв. л* имеется виноградник, фруктовый сад, полевые культуры и овощи. Площадь виноградника меньше площади сада на 120 кв. м9 площадь под по¬ левыми культурами больше площади виноградника на 40 кв. м, а площадь под овощами меньше площади полевых культур на 60 кв. м. Какова площадь сада, виноградника, полевых культур и овощей? Решение. Из условия задачи видно, что наименьшая площадь, под овощами. Она меньше площадей под полевыми культурами, ви¬ ноградниками и садом соответственно на 60 кв. м, 20 кв. м и 140 кв. м (рис. 10). Следовательно, если из общей площади вычесть сумму приведенных выше чисел, получим учетверенную площадь под ово¬ щами: 940 — (60 + 20 + 140) = 720 (кв. м). Тогда площадь под овощами равна: 720 кв. м : 4 = 180 кв. м, под полевыми культурами: 180 кв. м + 60 кв. м = 240 кв. м, 138
под садом: под виноградником: 180 кв. м + 20 кв. м = 200 кв. м, 180 кв. м + 140 кв. м = 320 /се. м. Ответ. 320 кв. м, 200 кв. м, 240 кв. м и 180 /се. м. 120 40 JO Рис. 10. Задача 3. В двух участках земли было 24,27 га. Если бы от первого отрезать 3,5 га и прибавить ко второму, то в первом все- таки оказалось бы на 0,61 га больше, чем во втором. Каковы раз¬ меры каждого участка? Решение. Первый участок больше второго (рис. 11) на 3,5 • 2 + 0,61 = 7,61 (га). 3,5 0,61 3,5 Рис. 11. Тогда площадь удвоенного второго участка будет: 24,27 — 7,61 = 16,66 (га). Следовательно, второй участок имеет 16,66 : 2 = 8,33 (га)у а первый: 8,33 + 7,61 = 15,94 (га). Ответ. 15,94 га и 8,33 га. 139
4. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме или разности и отношению. Задача 1. В двух ящиках 390 болтов. Сколько болтов в каж¬ дом ящике, если число болтов во втором составляет числа болтов о первого ящика? Решение. Принимаем, что число болтов в первом ящике со¬ ставляет одну часть. Тогда число болтов во втором ящике составит 2 2 — такой части. Следовательно, 390 болтов составляют 1-^- части. о о Значит, в первом ящике 390 : 1^- = 234 (болта), О а во втором 234 * ~ = 156 (болтов). Ответ. 234 болта, 156 болтов. Задача 2. Разность двух чисел равна 14. Частное от деления большего числа на меньшее равно 4-i-. Найти эти числа. о Решение. Так как частное от деления большего числа на меньшее равно 4-g-, то меньшее число составляет 1 часть, а боль¬ шее — 4-i- таких частей. Имеем: 4-J 1 = 3-^- (части) составляет О О и разность чисел 14; 14 : 3-г- — 4^—меньшее число; 4-^- *4 4“ = о о о о = 184— большее число. ь Ответ. 1о,2 и 4,2. Задача 3. На одном складе в 3 раза больше муки, чем на другом. Если из одного склада ^вывезти 850 кг, а из другого 50 кг> то на обоих складах останется муки поровну. Сколько муки было на каждом складе? !б0кг 800кг Г vrr“ | 850кг I I М I 50кг Рис. 12. 140
2 Решение. Из рис. 12 ясно, что — части имеющейся муки со¬ ставляют 800 кг, значит, на втором складе было 400 кг частьj, на первом — 1200 кг (3 части). Ответ. 1200 кг, 400 кг. Задача 4. Разность двух чисел равна 40. Если из первого 4 2 числа вычесть — его, а из второго его, то получим равные ос* о о татки. Найти эти числа. Решение. Разность 40 показывает, что одно число больше другого на 40. Кроме того, известно, что -g- часть первого ^исла /i 4 1 \ 1 /, 2 1\ II —g- = — 1 равна — второго (1 —— = — 1. Какое из этих чисел больше? Первое число больше, так как меньшая его часть, только 1 1 “ж равна ~ второго числа, а все первое число будет равно: о о *3" * 7Г ~ 1Г второго. Если первое число состоит из 5 частей, то вто¬ рое состоит из трех таких же частей. 2 части составляют 40. Тогда легко найти, что первое число равно 100, а второе 60. Ответ. 100 и 60. 5. Задачи на исключение одного неизвестного заменой его другим. Задача 1. За 5 кг яблок и 3 кг винограда заплатили 2,8 руб. Сколько стоит килограмм яблок и килограмм винограда, если изве¬ стно, что килограмм винограда на 0,4 руб. дороже килограмма яблок? Решение. Заменим 3 кг винограда на 3 кг яблок. 1) На сколько рублей 3 кг яблок дешевле 3 кг винограда? 0,4 руб. - 3 = 1,2 руб. 2) Сколько килограммов весит вся покупка? 5 яг -|- 3 кг = 8 кг. 3) Сколько стоят 8 кг яблок? 2,8 руб. — 1,2 руб. = 1,6 руб. 4) Сколько стоит килограмм яблок? 1,6 руб. : 8 = 0,2 руб. 141
5) Сколько стоит килограмм винограда? 0,2 руб. + 0,4 руб. = 0,6 руб. Ответ. 0,2 руб. и 0,6 руб. Примечание. Можно было бы решить задачу иначе, заме¬ нив 5 кг яблок на 5 кг винограда. Тогда покупка стоила бы на 2 руб. дороже. Задача 2. Сосновая шпала весит 27,8 кг, а дубовая — 45,5 кг. 10 шпал весят 384,2 кг. Сколько среди них сосновых и сколько ду¬ бовых? * Решение. 10 шпал, если бы они все были дубовые, весили бы: 45,5 • 10 = 455 (кг). На сколько меньше весят 10 сосновых и дубовых шпал, чем 10 дубовых? 455 — 384,2 = 70,8 (кг). На сколько дубовая шпала тяжелее сосновой? 45,5 —27,8= 17,7 (кг). Сколько было сосновых шпал? 70,8 : 17,7 = 4. Сколько было дубовых шпал? 10 — 4 = 6. Ответ. 4 шпалы и 6 шпал. 6. Задачи на уравнивание данных. Задача 1. За 1,5 кг товара первого сорта и 28 кг второго сорта уплатили 252,5 руб. В другой раз за 30 кг второго сорта и 4,5 кг первого сорта уплатили 325,5 руб. Сколько стоит 1 кг каж¬ дого сорта? Краткая запись условия: 1,5 кг I и 28 кг II — 252,5 руб. 4,5 кг I и 30 кг II — 325,5 руб. Решение. Заметив, что во второй раз куплено в 3 раза больше товара первого сорта, можно уравнять число килограммов товара первого сорта, купленных оба раза. Для этого предполагаем, что первая покупка была в 3 раза больше данной условием. Тогда, имеем: 4.5 кг I и 84 кг II — 757 руб. 50 коп. 4.5 кг I и 30 /са II — 325 руб. 50 коп. При этом предположении товара второго сорта купили на 54 кг больше (84 — 30 = 54), чем второй раз, и уплатили больше на 432 руб. (757 руб. 50 коп. — 325 руб. 50 коп. = 432 руб.). Тогда 1 кг товара второго сорта будет стоить: 432 :54 = 8 (руб.) и 28 кг этого товара стоят 8 • 28 = 224 (руб.), а 1,5 кг товара первого сорта стоят 252,5— ♦ Подобные задачи обычно относят к типу «на предположение*. 142
— 224 = 28,5 (руб.)» следовательно, 1 кг его стоит 28,5 : 1,5 = = 19 (руб.). Ответ. 19 руб. и 8 руб. Задача 2. За 30 тетрадей и 12 карандашей уплатили 96 коп. По той же цене за 20 тетрадей ,и 7 карандашей уплатили 61 коп. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит карандаш? Запись условия: 30 тетр. и 12 каранд.— 96 коп. 20 » 7 » —61 коп. Решение. Уравняем число тетрадей, купленных в обеих по¬ купках. Для этого предполагаем, что первая покупка в два раза, а вторая в три раза была больше действительной, тогда имеем: 60 тетр. и 24 каранд. — 1 руб. 92 коп. 60 » 21 » — 1 руб. 83 коп. Далее так же, как и в предыдущей задаче, находим стоимость карандаша и тетради. Ответ. 2 коп. и 3 коп. 7. Задачи на смешение. Задача 1. Сплавили 180 г золота 920-й пробы со 100 г 752-й пробы. Какой пробы получился сплав? Решение. В первом слитке чистого золота было 0,92 от 180 г, т. е. 180 • 0,92 = 165,6 (г). Во втором слитке чистого золота было 0,752 от 100 г, т. е. 100 • 0,752 = 75,2 (г). Следовательно, в получен¬ ном сплаве чистого золота содержится 165,6 + 75,2 = 240,8 (г). Общий вес сплава равен 180 + 100 = 280 (г). Его проба равна w-1000 = 860- Ответ. Получен сплав 860-й пробы. Задача 2. К 2 кг воды прибавили 8 кг 70-процентного рас¬ твора серной кислоты. Определить процентную концентрацию полу¬ ченного раствора. Решение. 1) Сколько в растворе чистой (безводной) кислоты? 8 кг • 0,7 = 5,6 кг. 2) Чему равен вес раствора? 2 кг + 8 кг = 10 кг. 3) Чему равна процентная концентрация раствора? 5,6 кг : 10 /сг = 0,56 = 56%. Примечание. Если количество кислоты выражено не в ки¬ лограммах, а в литрах, то подобные задачи можно решать только с помощью таблиц удельных весов растворов серной кислоты. Рас¬ 143
смотрим, например, такую задачу. К 2 л воды прибавили 8 л 70-про¬ центного раствора серной кислоты. Определить процентную концен¬ трацию полученного раствора. Решение. В таблице находим удельный вес 70-процентного раствора серной кислоты. Он равен 1,6. Следовательно, 8 л этого раствора весят 1,6 • 8 = 12,8 (кг). Безводной кислоты в нем содер¬ жится 12,8 • 0,7 = 8,96 (кг). Концентрация раствора равна 8,96: : 14,8=0,6 = 60%. Рассмотренные задачи относятся к задачам на смешение первого рода. Они сравнительно не трудны. Более сложными задачами являются задачи на смешение второго рода. Задача 3. В каком отношении нужно взять два сорта товара стоимостью по 7,5 руб. за 1 кг и по 7 руб. за 1 кг, чтобы получить смесь стоимостью по 7,2 руб. за 1 кг? Решение. Обозначив неизвестные количества товара ценой 7,5 руб. и 7 руб. за 1 кг соответственно через хг и х2> составляем таблицу: — 7,5 руб. \ 72 б на 0,3 руб. дороже *2—7 руб. J * уу на 0,2 руб. дешевле Далее рассуждаем так. При стоимости 1 кг смеси по 7,2 руб. каждый килограмм товара первого сорта оценивался дешевле его стоимости на 0,3 руб., а каждый килограмм второго сорта, вошед¬ ший в смесь, оценивался дороже на 0,2 руб. Для того чтобы уменьшение стоимости первого сорта могло быть покрыто повышением стоимости второго сорта (стоимость всей по¬ купки не изменилась), необходимо, чтобы каждый раз, когда берут 0,2 кг товара первого сорта, брали 0,3 кг второго сорта, т. е. xt: аг2 = 0,2 :0,3, или хг: х^ = 2 :3. Ответ. В отношении 2 :3» Задача 4. Из двух сплавов с 60-процентным и 80-процентным содержанием меди надо изготовить сплав весом 40 кг с 75-процентным содержанием меди. Сколько килограммов каждого сплава надо взять для этого? Решение. Выражаем содержание меди в граммах на 1 кг сплава: хх — 600 г \ меньше на 150 г х2 — 800 г) больше на 50 г _ 50.. . _ , . о. 150 ’ Xl • •** “ •3’ 40 40 JCX = ^ = ДО (/сг); х* = ^ • 3 = 30 (кг). Ответ. 10 кг и 30 кг. 144
8. Задачи на движение. К арифметическим задачам на движение принадлежат такие, в которых на основании зависимости между вре¬ менем, скоростью и расстоянием при равномерном движении надо найти одну из этих величин. В зависимости от их содержания раз¬ личают задачи на встречное движение и на движение в одном на¬ правлении. а) Встречное движение. Задача 1. Из города А в 11 ч выехала легковая машина и движется ""со средней скоростью 50 км/ч по направлению к городу В. Через^30 мин навстречу ей из города В вышла грузовая машина со средней скоростью 35 км/ч. В котором часу произойдет их встреча, если расстояние между горо¬ дами равно 195 км (рис. 13)? ^ 50 км/ч 35км!чt АК" 195 нм Рис. 13. Решение. 1) Какое расстояние пройдет легковая машина до выхода грузовой? 50 • 0,5 = 25 (км). 2) Какое расстояние пройдут до встречи при совместном движе¬ нии легковая и грузовая машины?' 195 — 25 = 170 (км). 3) На сколько километров сближаются за один час легковая и грузовая машины? 50 + 35 = 85 (км). 4) Через сколько часов после выхода грузовой машины они встретятся? 170 : 85 = 2 (ч). 5) В котором часу произойдет встреча машин? 11 ч + ЗО лш« + 2 ч = 13 ч 30 мин. Ответ. В 13 ч 30 мин. Задача 24 Из двух пунктов, расстояние между которыми 37 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Пер¬ вый проходил за час на 0,5 км больше второго. С какой скоростью 145
шел каждый турист, если ^ерез 2,5 ч после выхода расстояние меж¬ ду ними было 18,25 км? Решение. Оба туриста прошли за 2,5 ч расстояние: 37—18,25= = Д8,75 (км). За час они прошли 18,75 :2,5 = 7,5 (км). Если бы ско¬ рость первого туриста была такая же, как и второго, они за час прошли бы 7,5 — 0,5 = 7 (км). Тогда второй турист за час проходил 7 :2 = 3,5 (км), а первый — 3,5 -|- 0,5 = 4 (км). Ответ. 4 км и 3,5 км. б) Движение в одном направлении. Задача 3. Из пункта А выехал велосипедист и едет по направлению пункта В со средней скоростью 12 км/ч. Через 2 ч из этого же пункта отпра¬ вился в том же направлении второй велосипедист со скоростью 18 км/ч. Через сколько часов и на каком расстоянии от А второй велосипедист догонит первого? 12 км/ч I 07.-. 1 | 18 км/ч » Рис. 14. Решение (рис. 14). 1) Какое расстояние проходит первый велосипедист до выхода второго? 12 • 2 = 24 (км). 2) На сколько километров больше проходит в час второй вело¬ сипедист, чем первый? 18—12 = 6 (км). 3) Через сколько часов после своего выхода второй велосипедист догонит первого? 24 км : 6 км = 4 (ч). 4) На каком расстоянии от А второй велосипедист догонит пер¬ вого? 18 х 4 = 72 (км). Ответ. 4 ч, 72 км. Задача 4. Мотоциклист, отправляясь в экскурсию, рассчитал, что если он будет проезжать по 20 км/ч, то приедет на место на 15 мин раньше, чем если поедет со скоростью 18 км/ч. Какое расстояние он должен проехать? 146
Решение. 1) Сколько километров проехал бы мотоциклист за 15 мйн со-скоростью 20 км/ч? 20 • ~ = 5 (км). 2) На сколько километров больше проезжал бы мотоциклист за один час в первом случае, чем во втором? 20—18 = 2 (км). 3) За какое время мотоциклист пройдет все расстояние со ско¬ ростью 18 км/ч? 5 : 2 = 2,5 (ч). 4) Какое расстояние он должен проехать? 18 • 2,5 = 45 (км). Ответ. 45 км
III. АЛГЕБРА ИСТОРИЧЕСКИЕ ^ВЕДЕНИЯ О РАЗВИТИИ АЛГЕБРЫ Первые алгебраические задачи были поставлены и решены еще математиками древнего Египта и Вавилона. Папирус Ахмеса, относящийся к XVIII в. до н. э., содержит решение одиннадцати задач, приводящих к уравнениям с одним неизвестным. Значи¬ тельно более глубокими знаниями обладали вавилоняне. До нашего времени сохранились тексты с решением системы двух уравнений с двумя неизвестными, квадратных и кубических уравнений, систем квадратных уравнений с двумя и с тремя неизвестными. В древней Греции алгеброй занимались очень мало. Однако за¬ мечательный труд Диофанта Александрийского, написанный около 250 г. н. э., является доказательством того, что в древней Греции уже тогда существовала алгебра как наука, связанная, очевидно, с вавилонской математикой. Этот труд, носивший название «Арифме¬ тика», содержал решения задач, приводимых к уравнениям перЕой и второй степени и к неопределенным уравнениям. Все рассуждения Диофанта — чисто аналитического типа, но при решении каждой задачи он пользовался специальным способом: общих способов ре¬ шений он не знал. Диофант не знал также отрицательных чисел, а при решении квадратного уравнения давал только положительный корень в качестве ответа. В своих алгебраических рассуждениях он пользовался некоторой символикой. В истории математики, и в частности алгебры, различают три способа изложения — риторический, синкопированный и символиче¬ ский. Риторическим способом называется такой, когда все предло¬ жения записываются словами, символика отсутствует полностью. Этим способом изложения пользовалось большинство математиков вплоть до нового времени. Синкопированный способ также характеризуется словесной записью математических выражений, однако для часто встречающихся дей¬ ствий и понятий применяется символика. Таким способом выполнен трактат Диофанта, которым вплоть до середины XVII в. пользова¬ лись западноевропейские алгебраисты. 148
Символический способ изложения, при котором математические выражения полностью записываются математическими символами, впервые в Европе был разработан французским математиком Виетом (1540—1603) и применяется со второй половины XVII в. Однако за¬ долго до этого времени он уже применялся индийскими математиками. Индийцы внесли в алгебру значительный вклад. Во II в. н. э. они пользовались иррациональными числами. В VII в. математик Брахмагупта уже полностью владеет теорией уравнений первой и вто¬ рой степеней с одним неизвестным. Он пользуется также и понятием отрицательного числа. К XII в. относятся два трактата математика Бхаскарй,— «Лилавати» и «Биджаганита». В последнем Бхаскара занимается решением квадратных уравнений, причем рассматривает оба корня, считая, однако, второй корень ненужным. Некоторыми познаниями в алгебре обладали также математики древнего и средневекового Китая. Последняя часть «Математики в девяти книгах», написанной во II—III вв. н. э., посвящена приме¬ нению алгебры к некоторым задачам геометрии. В XIII в. выдаю¬ щийся китайский математик Цинь Цзю-Шао написал трактат «Девять отделов искусства счета», в котором он дает численные решения уравнений вплоть до четвертой степени. Эю было наивысшим дости¬ жением китайцев в области алгебры; дальнейшее развитие матема¬ тики в Китае последовало лишь в XIX в., после овладения евро¬ пейскими методами исследования. Начиная с IX в., алгеброй начали заниматься ученые ряда стран, входивших тогда в состав Арабского халифата. Они пользовались поэтому для своих сочинений арабским языком. Сирийскими, египет¬ скими, иракскими и иранскими учеными были переведены на арабский язык, тщательно изучены и прокомментированы сочинения греческих математиков. Особенно значительный вклад принадлежит средне¬ азиатским ученым, которые, кроме греческой математики, изучили и индийскую, чем облегчили свои дальнейшие исследования. Великий хорезмский математик Мухаммед ибн Муса написал трактат под названием «Книга восстановления и противопоставления». «Восстановлением» Мухаммед называет перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; «противопоставлением» — собирание неизвестных в одну сторону урав¬ нения, а известных — в другую сторону. «Восстановление» по-арабски называется «ал-джебр». Отсюда и произошло слово «алгебра». В этом трактате Мухаммед дает учение об уравнениях первой и второй степеней, рассматривает применение алгебры к геометрии, а также к ряду вопросов, связанных с наследованием и делением имущества по сложным законам мусульманского права. Значение Мухаммеда в истории науки велико. В сущности, он подытожил и свел воедино знания греков, индийцев и среднеазиат¬ ских народов по арифметике и алгебре. 149
Знаменитый таджикский поэт и ученый Омар Хайям (1040—1123) написал около 1070 г. трактат по алгебре, содержащий решение уравнений первой, второй и третьей степеней, а также некоторых специальных видов уравнений методом геометрических построений. Много алгебраических задач было решено среднеазиатскими и арабскими учеными в связи с развитием астрономии и геометрии. Так, астроном Улуг-Бек (1394—1449) разработал численное решение кубических уравнений типа *3 + 0* +6 = 0, необходимое для составления тригонометрических таблиц. Его совре¬ менник ал-Каши разработал правило извлечения корней любой сте¬ пени из целых чисел. Ал-Каши принадлежит также первое в истории науки применение правила возведения двучлена в любую степень («бином Ньютона»). В Западной Европе алгебра начала развиваться, начиная с XIII в. В 1202 г. Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанский) написал «Книгу об абаке», энциклопедическое сочинение, в котором свел знания своего времени в области арифметики и алгебры, в значительной степени заимствованные у восточных математиков. Как это сочинение, так и его прообразы — труды среднеазиатских и восточных ученых на¬ писаны чисто риторическим способом и совершенно не содержали символики. К самостоятельным достижениям Леонардо Фибоначчи относится приближенное алгебраическое решение кубического уравнения. Точное алгебраическое решение этого уравнения было уже ре¬ зультатом трудов математиков эпохи Возрождения. В сущности, нахождение этого решения явилось одним из тех шагов, которые продвигают науку вперед и дают ей импульс для дальнейшего раз¬ вития. Поэтому нахождение решения уравнения третьей степени явилось одним из крупнейших достижений математиков XVI в. В 1541 г. итальянский ученый Н. Тарталья нашел общее решение кубического уравнения, но опубликовал его другой итальянский ученый Джеро¬ нимо Кардано (1501—1576) в своей книге «Великое искусство». Там же Кардано привел и решение уравнений четвертой степени, найденное его учеником Феррари. В течение следующих трех веков математики безуспешно искали алгебраические решения уравнений выше четвертой степени и только знаменитый норвежский математик Нильс Генрик Абель (1802—1829) доказал, что общее алгебраическое уравнение выше четвертой степени не разрешимо в радикалах. В своем труде Кардано указал также, что уравнение третьей степени имеет три корня. Правда, он не дал общего теоретического вывода этого положения, а привел его лишь в нескольких частных случаях. Он впервые решает задачу с комплексными числами: делит 150
10 на две части, произведение которых равно 40, и в результате получает 5+ V—15; 5 — V—15. Перемножив эти числа, он полу¬ чает: 25+15 = 40. Наибольшего развития алгебра как наука достигла^ XVI в. во Франции. Труд Франсуа Виета «Введение в аналитическое искусство», опубликованный в 1591 г., был первой из работ в области алгебры, написанной полностью в символической форме. Виет усовершенство¬ вал методы алгебры и тригонометрии и весьма подробно и система¬ тически изложил применение алгебры к геометрии. При решении уравнений третьей и четвертой степеней он поль¬ зовался методом приведения. Однако все корни, кроме положитель¬ ных, отвергал. В 1629 г. Жирар (1590—1633) опубликовал свой труд под назва¬ нием «Новые изобретения в алгебре», где оценил пользу отрицатель¬ ных корней и установил, что каждое уравнение имеет столько корней, сколько единиц содержится в его показателе степени. До XVII в. европейские математики, за исключением Жирара, не признавали отрицательных чисел, пока знаменитый французский геометр Рене Декарт (1596—1650) не дал геометрического истолкова¬ ния их на числовой оси. Однако и после Декарта встречаются не¬ правильные взгляды на отрицательные числа; только с середины XIX в. в учебниках для средней школы отрицательные числа изла гаются систематически и -дается их правильное истолкование. Декарт систематизировал также символическую запись алгебраи ческих выражений. В 1614 г. шотландец Джон Непер (1550—1617) опубликовал тео¬ рию изобретенных им таблиц логарифмов. Одновременно с Непером и совершенно независимо от него швейцарец Юст Бюрги составил свои таблицы антилогарифмов — «Арифметические и геометрические таблицы прогрессий», но опубликовал их только в 1620 г. Несколько позже теорию логарифмов развил Бриггс (1556—1630). Знак «log» ввел И. Кеплер в 1624 г. Значительны^ исследования в области алгебры принадлежали ве¬ ликому французскому ученому Пьеру Ферма (1601—1665), который разработал прием исключения одного неизвестного из двух уравне¬ ний одинаковой степени. В 1707 г. была опубликована «Универсальная арифметика» И. Ньютона (1642—1727), в которой содержался ряд полученных им результатов из области алгебры. Частично эти результаты были опуб линованы несколько раньше, в 1685 г., в «Алгебре» Валлиса (1616— J703). Ньютон усовершенствовал метод исключения Ферма, открыл теорему о биноме, хотя и не дал ее доказательства. «Алгебра» Джона Валлиса долгое время служила наиболее пол ным руководством по этому предмету. Кроме глав из области теории и практики алгебры и арифметики, книга содержала также раздел 151
по истории алгебры. В частности, Валлис начал рассматривать сте¬ пени с отрицательными показателями. Он ввел также знак бесконеч¬ ности (оо). Над доказательством биноминальной теоремы в течение XVIII в. работало много выдающихся математиков. Якоб Бернулли (1654—1705) доказал ее, пользуясь теорией сочетаний, для случая целых доложи - тельных показателей. Тео'рема для случая отрицательных и Дробных показателей была доказана Леонардом Эйлером (1707—1783). Строгое доказательство было дано лишь в XIX в. Абелем. На русском языке первой печатной книгой, содержавшей сведе¬ ния по алгебре, была «Арифметика» JI. Ф. Магницкого. Таким обра¬ зом, уже с самого начала XVIII в. сведения по алгебре входят в, Рос¬ сии в состав школьного преподавания. Л. Эйлер написал «Полное введение в алгебру», которое было переведено на русский язык и издано в 1769 г. под названием «Уни¬ версальная арифметика». Книга представляла для своего времени наиболее полное и научно изложенное руководство по алгебре. Осо¬ бенно хорошо была изложена теория логарифмов, совершенно пере¬ работанная Эйлером. Книга была дважды переиздана, а также неод¬ нократно издавалась на немецком и французском языках. Молодой французский математик Эварйст Галуа (1811—1832), погибший в возрасте 21 года, положил основу новому учению в ал¬ гебре — теории групп, которое особенно развилось уже в наше время. Однако этот раздел выходит за пределы элементарной алгебры. В русской школе отдельные сведения из области алгебры изла¬ гались в течение всего XVIII в. Сюда относилось учение об уравне¬ ниях первой и второй степеней, действия с буквенными выражениями, логарифмы, применение алгебры к решению геометрических задач. С конца XVIII в. под влиянием Эйлера и его учеников в русских учебных заведениях начинает читаться систематический курс алгебры. Особенно много сделал для постановки преподавания алгебры академик С. Е. Гурьев (1764—1813). В 1826—1839 гг. издал свою «Ручную математическую энцикло¬ педию» v профессор Московского университета Д. М. Перевощиков (1788—1880); третий том этой энциклопедии представлял собой учеб¬ ник алгебры. Он был дважды переиздан; третье издание вышло в 1854 г. Учебники Д. М. Перевощикова явились значительным вкладом в дело математического образования в России. Следует отметить, что вопросами преподавания элементарной ма¬ тематики в средней школе занимались в середине XIX в. такие вы¬ дающиеся математики, как Н. И. Лобачевский (1792—1856), М. В. Ост¬ роградский (1801—1861), В. Я. Буняковский (1804—1889), О. И. Со¬ мов (1815—1876), П. Л. Чебышев (1821—1894) и другие. Лобачевским и Сомовым, в частности, были составлены учебники по элементарной алгебре для средней школы. 152
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 1. Рациональные числа 1. Положительные и отрицательные числа. По мере развития ма¬ тематики происходило обобщение понятия числа. Обнаружилось, что чисел, которые использует арифметика, недостаточно для решения многих теоретических и практических задач. Были введены новые — отрицательные числа. Для их обозначения используют знак минус, например: —2, —19, —0,7 и т. д. Отрицательные числа бывают целые и дробные. Например, числа 2 —4, —306 — целые отрицательные, а числа —0,7, —4,18, — —5~- — дробные отрицательные. Чтобы не смешивать с отрицатель¬ ными числами те натуральные и дробные числа, которые рассматри¬ вались в арифметике, условились называть их положительными. Перед положительными числами иногда пишут знак плюс, но можно его и не писать. Например, числа -\-7 и 7 —одно и то же. Число нуль не принадлежит ни к положительным, ни к отрица¬ тельным числам. Перед ним можно ставить и плюс, и минус; числа +0, —0 и 0 — обозначают одно и то же. Целые положительные (т. е. натуральные), целые отрицательные числа и нуль все вместе называют целыми числами. Все целые числа и дробные числа (положительные и отрицательные) называют рацио¬ нальными числами. Примечание. Раньше рациональные числа называли относи¬ тельными. 2. Числовая ось. Рациональные числа удобно изображать на пря¬ мой линии. Для зтого достаточно взять на прямой какую-нибудь точку О (ее называют начальной или нулевой), в обе стороны от нее отложить равные отрезки и их концы обозначить числами, как пока¬ зано на рис. 15. Тогда каждому рациональному числу на прямой В О А —I 1—| 1 ■ | ( 1 1 i ► -•3 -2 -/ 0 12 3 4 Рис. 15. будет соответствовать определенная точка. Например, число 2 изобра¬ жает точка А, число —2,3 — точка В. . Прямая, точки которой изображают числа, называется числовой прямой или числовой осью. 153
Каждому рациональному чисЛу на числовой оси соответствует единственная точка. П р имечание. Однако не каждой точке числовой оси соответ¬ ствует рациональное число (см. стр. 185). Двум рациональным числам, которые отличаются только знаками, на числовой оси соответствуют точки, расположенные по обе стороны от нулевой точки и на одинаковых расстояниях от нее. Такие пары чисел называют противоположными числами. Например, число 9 про¬ тивоположно числу —9 и наоборот. Противоположными называют также знаки -(- и — 3. Абсолютная величина числа. Два противоположных числа, на¬ пример -)-7 и —7, отличаются знаками, но записываются одинаковыми цифрами. Говорят, что они имеют одинаковые абсолютные величины. Абсолютная величина каждого из них равна 7. Абсолютной величиной положительного числа называется само это числоу абсолютной величиной отрицательного числа называется про¬ тивоположное ему число, абсолютной величиной числа 0 называется само число 0. Обозначают абсолютную величину числа а знаком \а\. Таким образом, | а | = а, если а > 0; | а | = — а, если а < 0; 10 J = 0. Например, | —13 | = 13; 141 = 4; |0| = 0. 4. Сравнение рациональных чисел. Отрицательные числа сравни¬ вают по величине как между собой, так и с положительными числами. Из двух рациональных чисел то больше, которому на числовой оси соответствует точка, расположенная правее. Отсюда вытекают следующие положения: а) всякое положительное число больше нуля и больше отрицатель¬ ного числа; б) всякое отрицательное число меньше нуля; в) из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолют¬ ная величина меньшая. Например, 3>0; 1 > —5; ‘--§-<0; 10; =-4<— 1. Равными считаются только такие числа, у которых и знаки, и абсолютные величины равны, например -==—0,5 = —*-g-. § 2. Действия с рациональными числами Действия сложения и умножения рациональных чисел опреде¬ ляют; правила вычитания и деления выводят из правил слежения и умножения. 154
1. Сложение, а) Чтобы сложить рациональные числа с одинаковыми знаками, складывают их абсолютные величины и перед суммой ставят их общий знак. Примеры. (+8) + (+11) = 19; (—7) + (—3) = —10. б) Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, необходимо из большей абсолютной величины вычесть меньшую абсо¬ лютную величину и поставить знак числа с большей абсолютной ве¬ личиной. Примеры. (+19) + (—7) = 12; (—2,4) + 15,8 = 13,4. в) Сумма двух противоположных чисел равна нулю. Пример: (*Ч5) + (+15)' = 0; (~4|-) + (+4т) = 0‘ г) Если одно из двух слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому: а + 0 = 0 + а = а. Законы сложения положительных чисел справедливы для всех рациональных чисел. Сложение нескольких чисел с разными знаками можно выпол¬ нить последовательно: сначала найти сумму первых двух слагаемых, к этой сумме прибавить третье и т. д. Однако удобней сложение выполнять по такому правилу: чтобы сложить несколько рациональ¬ ных чисел с разными знаками, надо сложить отдельно все положи¬ тельные и все отрицательные числа и полученные два числа сложить по правилу сложения чисел с разными знаками. Примеры. (+15) + (—4) + (—8) + (+9) + (—1) = (+24) + + (-13) = +11. (-7т)+(+3т)+(-|0т)+(+14)- -(-17|) + (+Я 12|. 2. Вычитание. Чтобы вычесть одно число из другого, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Примеры. (—3)-(+8) = (-3) + (—8) = —11; —7 — (—4) = 7 + (+4) = Вычитание рациональных чисел заменяется сложением. Поэтому вычитание рациональных чисел всегда возможно. 3. Алгебраическая сумма. Так как вычитание рациональных чисел можно заменять сложением, то каждое выражение, состоящее из нескольких сложений и вычитаний, можно подать в виде суммы чи¬ сел с теми же абсолютными величинами. Поэтому на такие выраже¬ ния можно смотреть как на суммы. Их называют алгебраическими суммами. 155
Примеры алгебраических сумм: 3 + 7-4, (—2) + (—7) + (+8) — (—4), а + 6-c+rf. 4. Умнождае. Чтобы перемножить два рациональных числа, надо перемножить их Абсолютные величины и перед результатом поставить знак плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, или минус, если сомножители имеют разные знаки. Примеры. (—2) • (—3) = +6; (—0,5) • (+2) = —1; (+2) • (+3) = +6; (+0,5) • (-4) = —2. Если хоть один сомножитель равен нулю, то и произведение равно нулю, например 0 • (—5) = 0; (+2,5) -0 = 0. Чтобы умножить несколько сомножителей с разными знаками, надо перемножить абсолютные величины чисел и определить знак произведения: если , число отрицательных сомножителей четное, то произведение будет положительным, если число отрицательных со¬ множителей нечетное, то произведение будет отрицательным. Примеры. (—5) • (+4) • (—2) • (—3) • (+10) = —1200 (число отрицательных сомножителей нечетное — три). (+2,6) • (-7,3) • (+4) • (-2) • (-1) • (+1) -(-6) = +292 (число отрицательных сомножителей четное — четыре). Законы умножения положительных чисел справедливы для всех рациональных чисел. 5. Возведение в степень. Степень любого рационального числа с натуральным показателем определяется так же, как и степень по¬ ложительного числа, т. е. представляет собой произведение несколь¬ ких равных сомножителей. Четная степень отрицательного числа положительная, нечетная степень — отрицательная. Примеры. (+2,1)* = +4,41; (-i-JL-g; (—0,03)2 = 0,0009. 6. Деление. Частное от деления двух рациональных чисел с одина¬ ковыми знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком плюс. Примеры. (-16) : (-4) = +4; (+28): (+4) = +7. Частное от деления двух рациональных чисел с противоположными знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком минус. Примеры. (—48) : (+12) = —4; (+16,8) : (—8) = ^-2,1. 7. Исторические сведения о развитии понятия отрицательного числа. Впервые отрицательные числа появились у китайских матема¬ тиков *жоло начала нашего летоисчисления. В IV—V вв. индийские 156
математики развили учение об отрицательных числах, а в VII в. Брахмагупта дал и истолкование действиям над отрицательными числами, называя положительные числа имуществом, а отрицатель¬ ные — долгом: «Сумма двух имуществ есть имущество,, двух долгов— долг, сумма имущества и долга — их разность, или, если они равны,— нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля — имущество, двух нулей — нуль. Меньшее вычитается из большего, имущество из имущества, долг из долга, но если вычитается большее из меньшего, значение избытка меняется. Долг, будучи вычтен из нуля, делается имуществом, имущество превращается в долг». Однако, несмотря на логичность и увязку с практикой, учение индийских ученых не было воспринято на Западе. Лука Пачиоли (1445—1514) пользуется отрицательными числами, но лишь в составе многочленов. Он пользуется правилом «минус на минус дает плюс» в применении к выражениям типа (а—Ь) х (а — Ь). В большей степени пользуется отрицательными числами Кардано. М. Штнфель, исходя из положения, что отрицательные числа «меньше, чем ничто», назвал их «нелепыми числами». Большинство европей¬ ских ученых придерживалось такого же взгляда и оперировало ис¬ ключительно с положительными числами. Декарт тоже называл отрицательные числа «ложными», однако он представлял их в виде отрезков, имеющих направление, противо¬ положное отрезкам, соответствующим положительным числам. Дальнейшее развитие теории отрицательных чисел в конце XVII и начале XVIII вв. связано было с открытием Ньютоном и Лейбни¬ цем дифференциального и интегрального исчислений. Развитие новых областей Еысшей математики потребовало нового освещения отрица¬ тельных величин и выяснения их роли. Это было сделано в трудах Ньютона и Эйлера. Однако и во второй половине XVIII в. многие математики, даже такие крупные ученые, как Даламбер и Карно, не признавали отрицательных чисел, считали их «ложными», недействи¬ тельными. Они считали, что в математику не следует вводить отри¬ цательных чисел, так как последние суть ничто иное, как вычитае¬ мые положительные числа, а следовательно, и все действия должны сводиться исключительно к действиям с положительными числами. Только в XIX в. отрицательные числа полностью вошли в оби¬ ход алгебры. § 3. Алгебраические выражения 1. Употребление букв. В алгебре для обозначения чисел, кроме цифр, пользуются буквами, чаще всего латинского алфавита (см. стр. 9). Буквы употребляют: 1) для обозначения неизвестных чисел, например в упражнении «Определить *, если * + 0,9 = 2,7»; 157
2) для обозначения произвольных чисел; например, когда хотят сказать, что переместительный закон сложения имеет место для лю¬ бых рациональных чисел, пишут: какие бы ни были рациональные числа а и b, а + Ъ — b + а. Обычно неизвестные числа обозначают последними буквами ла¬ тинского алфавита (*, у, г), а известные — первыми (a, bf с, d и т. д.). Целые числа чаще всего обозначают буквами m, п, k, I и др. Однако этих соглашений не всегда придерживаются: могут быть неизвестными и числа, обозначенные буквами а, 6, я, и известными считаться х, У» г ит. д. 2. Алгебраические выражения. Так как под буквами в алгебре подразумевают числа, то с ними оперируют, как с числами, обозна¬ ченными цифрами. Например, если требуется сложить а и 6, пишут а + 6. Эту запись и называют суммой чисел а и 6. Примечание. Перед множителями, выраженными буквами, знак умножения не ставят, а только подразумевают. Например, вместо а - b • с, 4-х пишут abc, 4х. Однако перед множителями, обозначен¬ ными цифрами, знак умножения пишут обязательно. Например, вместо 9*3, 3 • писать 93, 3-^- нельзя. Совокупность чисел, обозначенных буквами или цифрами и со¬ единенных знаками действий, называют алгебраическим выражением. Для краткости вместо «алгебраическое выражение» говорят просто «выражение». Примеры алгебраических выражений: j±|; 3m%; 9(p* + q*); а; (13+18)7; 3,7. Алгебраическое выражение может состоять из одной буквы, может совсем не содержать чисел, обозначенных буквами. В последнем слу¬ чае (см. два последних примера) их называют также арифметическими выражениями. 3. Числовое значение алгебраического выражения. Числовым зна- чением алгебраического выражения при данном значении входящих в него букв называется число, полученное в результате подстановки вместо букв соответствующих чисел и выполнения указанных действий. Пример. Определить числовое значение выражения За + 5 при а = 5,7. Решение. Если а = 5,7, то За+ 5 = 3 • 5,7 + 5 = 22,1. Ответ. При а = 5,7 числовое значение данного выражения равно 22,1. 158
Пр имер. Определить числовое значение выражения ^ ^ при а = 1 и п = —2,5. Решение. Если а = 1, п = -^2,5, то а 1 1 2п + 5а “ 2 • (—2,5) + 5 • 1 ~ о"’ Однако на 0 делить нельзя, следовательно, при данных значениях букв данное алгебраическое выражение не имеет числового значения. Говорят также, что при а = 1 и п = —2,5 это выражение лишено смысла или что эти значения недопустимы для данного выражения. Числовые значения, которые могут принимать буквы в данном алгебраическом выражении, не лишая его смысла, называются допу¬ стимыми значениями для этих букв. 4. Одночлен и многочлен. Алгебраические выражения, составленные из цифр и букв с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем, называ¬ ются рациональными алгебраическими выражениями. у m2 4- 2 Примеры, а— 6; а26; — ; 2^ 2; а + + . r г у т2 — /г2 6 Рациональное алгебраическое выражение называется целым, если оно не содержит деления на буквенное выражение. П р и м е р. За2 + -i- Ъ\ х — у; 5*~ ; as&. Из целых выражений наиболее простыми являются одночлены. Алгебраическое выражение, которое содержит только действия умно¬ жения и возведения в степень, называется одночленом. Примеры. 7аб2; —6; -g- *2#2; —0,23; с. Эти одночлены записаны в простейшем (каноническом) виде. Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется много¬ членом, или полиномом. 2 Пример. 2а + 76 — с; a3 — 68 — -g- с2; я2 4- я — 5. Каждый одночлен, входящий в состав многочлена, называется его членом. Многочлен, состоящий из двух членов, называется также двучленом, или биномом (например, 2а — 6); многочлен, состоящий из трех членов, называется трехчленом (например, За — 26 + 8) и т. д. Одночлен принято также считать многочленом. 5. Расположенные многочлены. Пусть дано многочлен, содержащий только одну букву в различных степенях. Пользуясь переместитель¬ ным законом сложения, мы можем переставить его члены так, чтобы они были расположены или по возрастающим, или по убывающим степеням этой буквы. 159
Пример. Многочлен — 15х2 -f- 7х4 — 8лг -f- 3 — Бх3 расположить: а) по возрастающим степеням х; б) по убывающим степеням х. Решение, а) 3 — 8х — 15*2 — 5л? + 7л4 (по возрастающим сте¬ пеням); б) 7х4— 5х3 — 15*2 — 8лс ■+ 3 (по убывающим степеням). Если ‘многочлен содержит две или несколько букв, то выбирают одну из^них, которую называют главной, и располагают многочлен по степеням эрй главной буквы. Например, выражение Зх3— 2ах2+ + а4л:-^5а2 является многочленом, расположенным по убывающим степеням буквял х. Первый член расположенного многочлена, содер¬ жащий главную букву в наивысшей степени, называется старшим, а последний — низшим членом этого многочлена. Степень старшего члена называется степенью и самого многочлена. Так, в нашем слу¬ чае З*3 — старший член, —5а2 — низший член, 3 — будет степенью старшего члена и степенью самого многочлена. 6. Коэффициент. Числовой множитель, стоящий впереди буквен¬ ных множителей, называется коэффициентом. Если выражение содержит только буквенные множители, то его коэффициент равен единице, например, вместо 1 с пишут просто с, вместо lab пишут ab. Коэффициент может быть целым числом, на¬ пример в выражении bed, а также дробным, например в выражении •g-afc. Если коэффициент — натуральное число, то он показывает, сколько раз стоящее за ним выражение берется слагаемым, например 5 cd = cd -J- cd + cd -f- cd + cd. Если же коэффициент — дробное поло¬ жительное число, то он показывает, какую дробь надо взять от зна¬ чения стоящего за ним выражения. Например, в выражении 5 коэффициент -g- означает, что при любых значениях а и 6 надо взять 5 -g- от их произведения. С помощью коэффициентов можно короче записать многие вы¬ ражения, содержащие одинаковые буквы, соединенные знаками 4- и —, например: с-Ьс + с + с + г = 5с; х±х — у — у — у = 2х — 3у; 3" + ТГ“ 3 ’ х + х + х + х + х + х + х 7х У + У 4* У ЗУ Примечание. В дальнейшем понятие коэффициента обобща¬ ется, даже буквенные множители можно рассматривать как коэффи¬ циенты. Например, в выражении 2abx коэффициентом при х есть 160
7. Порядок действий. В алгебре сохраняются правила о порядке выполнения действий, которые приняты в арифметике (если не учи¬ тывать одного исключения, рассмотренного на стр. 59). В выра¬ жениях без скобок, содержащих действия разных ступеней, сначала надо выполнять возведение в степень, затем умножение, деление и, наконец, сложение и вычитание. Если в выражении есть скобки, то действия над числами, заключенными в скобки, выполняются первыми. Пример. Найти числовое значение выражения bjb-ja, 1 а при а = —1, 6 = 0,5. Решение. Если а = — 1, Ъ = 0,5, то a + + -°**°* (-1) • 0.5* = = —1 + 0,5 ((^+ 2): (-1) • 0,25 = -1 + °,5_12,5-: (-0,25)= = —1 — 1,25 : (—0,25) =—1 + 5 = 4. § 4. Тождественные преобразования целых выражений 1. Тождественные выражения и преобразования. Два выражения называются тождественными, если они имеют одинаковые числовые значения при всех допустимых значениях входящих в них букв. Пример. Выражения 3 (а — 2) + 6 и За тождественны: при а = 1 3 (а — 2)+ 6 = 3 и За = 3, при а = 2 3 (а — 2)+ 6 = 6 и За = 6 и т. д. Два тождественных выражения, соединенные знаком равенства, составляют тождество. Можно сказать и так: равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством. Примеры. 3(а — 2)+ 6 = За; х + 2х + 5* = 8х — тождества. Тождествами являются также все равенства, выражающие законы сложения и умножения: CL + 6 = 6 + Q, а + 6 + с = а + (6 + с), ab = 6а, abc = а (6с), (а,+ 6) с = ас + Ъо. 6 5-353 (61
Замена одного выражения другим, тождественным ему, называется тождественным преобразованием этого выражения. Дальше будут приведены примеры простейших тождественных преобразований целых алгебраических выражений. 2. Приведение подобных членов. Два одночлена равны, если у них равны коэффициенты и они составлены из одинаковых букв с соот¬ ветственно равными показателями. Одночлены называются подобными, если они равны или отличаются только коэффициентами. g Примеры. Одночлены 2а2Ь3 и а2Ь3 равны; одночлены 2а3, —За3 и ~а8 подобны. Замена алгебраической суммы подобных членов одним членом, тождественным этой сумме, называется приведением подобных членов. Чтобы привести подобные члены, надо сложить их коэффициенты и полученную сумму записать коэффициентом того же буквенного выражения. Примеры. 3а2Ь — а2Ь + 7Аа2Ь = (3 — 1 + 7,4)а2Ь = 9,4а2Ь\ 14т2п — 27т8ла+0,7т2я+2т3л2 — 0,5т3л2 — 6т2л = 8,7т2п—25,5т3л2. 3. Раскрытие скобок и заключение в скобки. Раскрыть в алгебра¬ ическом выражении скобки, значит заменить его тождественным ему выражением, не содержащим скобок. Правила раскрытия скобок следуют из свойств сложения и вычитания; я + (Ь + с) = а + b + с, а — (Ь — с) = а — b + с. Формулируют эти правила так: а) чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с их знаками; б) чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с противо- по ложными знаками. Примеры. 9а2 + [7а2 — 2а — (а2 — За)] = 9а2+ (7а2 — 2а — a2-f- + За) = 9а2 + 7а2 — 2а — а2 + За = 15а2 + а; (3 т + 5л) — {9 т — [6т + 2п — (12л + Ют) — т — (7т — 4л)]} = = Зт -f 5л — [9т — (6т + 2л — 12л — Ют) — т — 7т -f- 4л] «= Зт -{- + 5л — (9т — 6т — 2л + 12л -J- Ют — т — 7т + 4л) = Зт+5л—9т+ 4- 6т + 2л — 12л — Ют + т + 7т — 4л = —2т — 9л. При заключении в скобки пользуются такими правилами: а) чтобы заключить в скобки многочлен со знаком плюс перед скобками, надо записать в скобках все члены многочлена с их знаками; б) чтобы заключить в скобки многочлен со знаком минус перед скобками, надо записать в скобках все члены многочлена с противопо¬ ложными знаками. 162
Примеры. В выражении 2*3 + Бх2у — 4ху2 — у9 заключить в скобки крайние члены со знаком плюс перед скобками, а средние члены — со знаком минус. Решение. 2х3 + 5л:2*/ — 4х#2 — #3 = (2л? — у3) — (4ху* — 5х2у). В выражении х2 — у2 — (у — х) изменить перед скобками знак на противоположный, не изменяя величины выражения. Решение. X2 — у2 — (# — X) = X2 — у2 + (х — у). § 5. Действия над целыми алгебраическими выражениями 1. Сложение одночленов и многочленов. Чтобы сложить одно- члены, достаточно записать их один за другим с их знаками и при- вести подобные члены, если они есть. Пример. (—0,2ху) + (3,7л:2) + (—3,5л:#) + (—6,8*2) = —0,2ху + + 3,7*2 — 3,5 ху — 6,8*2 = —3,7ху — 3,1*2. Чтобы сложить многочлены, надо записать последовательно все их члены с их. знаками и привести подобные члены, если они есть. Пример. (12а+76 — с)4-(с — 7& + 8а) = 12а+ 76 — с+с — а-76 + 8а = 20а. Сложение расположенных многочленов выполняют так: подписы¬ вают многочлены так, чтобы подобные члены находились один под другим; после этого сразу приводят подобные члены и записывают окончательный результат. Пример. Сложить многочлены: Зл:4 + 7х?у — х2у2 — 5*#3; —7*4 — 5х3у + 8х2у2 + Юху3; 4л:4 + \0х3у — 2л:2#2 — 7ху3. Решение. Зя* + 7х3у — х2у2 — Ъху3 -| 7х* — 5 х?у + 8л:2#2 + 1 Оху3 4jc4 + 1 Ох3 у — 2х2у2 — 7ху3 12х3у + 5л:2#2 — 2л*#3. 2. Вычитание одночленов и многочленов. Чтобы вычесть одно- член, достаточно прибавить его к уменьшаемому с противоположным знаком и привести подобные члены, если они есть. Примеры. 10а3 — (+7а3) = 10а3 — 7а3 = За3; —0,2 т2п — (+7,3ят) = -—0,2 т2п — 7,3 тп. Чтобы вычесть многочлен, надо записать после уменьшаемого все его члены с противоположными знаками и привести подобные члены, если они есть. Пример. (5л:2 — Ъху + у2) — (6*2 — 8ху + у3) = 5х2 — 3 ху + + #2 — 6*2 + Ъху — у3 = —*2 + Ъху + #2 — #3. 6*
Вычитание расположенных многочленов можно выполнять так: у вычитаемого многочлена меняют знаки всех членов на противопо¬ ложные, подписывают его под уменьшаемым так же, как и при сло¬ жении, и приводят подобные члены. Пример. Выполнить вычитание в столбик: (в*4 — З*3 + 7*2 + +* — 18) — (б*4 — б*8 + З*2 + 4* — 7). Решение. , 8л4 — 3*3 + 7*2 + х—18 ‘t~ — б^ + б*3 — Зл:2 — 4* + 7 З*4 + З*3 + 4л:2 — 3* — 11. 3. Умножение одночленов и многочленов. Чтобы перемножить одночлены, надо перемножить их коэффициенты и к произведению приписать множителем каждую букву из перемножаемых одночленов с показателем, равным сумме показателей этой буквы в сомножите¬ лях. Если буква входит только в один из сомножителей, то ее запи¬ сывают в произведение с тем же показателем. Примеры. ^—j x3y2zj . 21 ху = —6х?у*г; (—влг'И-1) • (—0,5х?у )= 4хп+*у. Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Примеры. (5/гс2 — 10/ил — 4п2) • ^—i- mnj = —2 у т3п + + Ът2п2 + 2 тп3; 1 J. аЬ • а*Ь ^ ^ аЪ2 — — 2аДО — 1 -i- ab* Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена, умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить. Примеры. (4г2 — 1) • (г2 + 5) = 4г4 + 20z2 — г2 — 5 = 4г4 + + 19г2 — 5; (*2 + 3*+2) * (л: — 5) = л? — 5л:2 -f Зл:2— 15*: + -Ь 2* — 10 = *3 — 2*2 — 13* — 10. Умножение расположенных многочленов покажем на примере: З*2 — 2ах + 5а2 х —*2 + Зал: + 4а2 —З*4 + 2а*3 — 5а2*2 + 9а*3 — 6а2*2 + 15а3* 12а2*2 — 8а3* + 20а4 —З*4 + 11а*3 + а2*2 + 7а3* + 20а4, 164
При умножении многочленов их располагают по убывающим сте¬ пеням одной из букв. Умножение выполняют в следующем порядке. Все члены множимого умножают на первый член множителя и ре¬ зультат записывают в строку под чертой. Затем все члены множи¬ мого умножают на второй член множителя и результат записывают во второй строке так, чтобы подобные члены оказались друг под другом. Так же записывают произведения всех членов множимого на третий член множителя и так далее до конца. Подобные члены приводят и окончательный результат записывают внизу под чертой. 4. Возведение в степень одночленов. Чтобы возвести одну степень в другую, надо основание возвести в степень, равную произведению показателей степеней. Примеры, (а3)2 = а8; (*2)4 = Xs; (ат)п = атп. Чтобы возвести в степень одночлен, надо возвести в эту степень каждый сомножитель и полученные результаты перемножить. Примеры. (2x2y3z)* = \6x8y12z*', [—(—а)2]3 = [-—а2]3 = —а8. 5. Деление одночленов. При делении степеней одного и того же основания из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание остается прежним. _ Примеры, л? : х2 = я4; ат : = ат п (при т > /г). Примечание. Если т равно п, то в этом случае делитель и делимое равны, значит, частное равно единице: ат : ат — 1. Чтобы разделить одночлен на одночлен, надо разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя и к полученному частному припи¬ сать множителями каждую букву делимого с показателем, равным разности показателей этой буквы в делимом и делителе. Примеры. (—15а*2) : 7,5* = —2ах; 30т*х* : (—18m**2) = —1 О Деление одночленов нацело невыполнимо, если показатель какой- либо буквы в делителе больше показателя той же буквы в делимом или если делитель содержит букву, которой нет в делимом. 6. Деление многочлена на одночлен. Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо разделить на этот одночлен каждый член много¬ члена и полученные частные сложить. Примеры, ^-^-а6*8 + l-g-а3*4 — ~ ал^ : -|-а*3 = 1~аБ + + 2а2*— 1у*2; [5 (а + Ь)* —10 (а + b'fi — 15{а + &)*]: 5 (а + 6)* = = (а + 6)* —2(а + 6) —3. 165
7. Деление многочлена на многочлен. Рассмотрим деление много¬ членов на примере, когда оба многочлена зависят от одной буквы. Пусть надо разделить многочлен б*4—II*2 4* 5*3 + 9*—5 на многочлен З*2 + 4* — 5. Для этого располагают многочлены по убы¬ вающим степеням букв *. Затем выполняют деление в следующем порядке: а) делят первый член делимого на первый член делителя и полу¬ чают первый член частного; б) умножают делитель на первый член частного и произведение вычитают из делимого. Получают первый остаток; в) делят первый (старший) член остатка на первый член дели¬ теля, получают второй член частного и так делят до тех пор, пока деление не окончится или пока не получится остаток, старший член которого не делится на старший член делителя. Записывают так: б*4-f-5*3 — II*2+ 9* ~ 6*4 + 8*3 — 10*2 __ —З*3 — *2 + 9* —З*3 — 4*2 + 5* 3*2 + 4*- 3*2 + 4*- 0 Если многочлены зависят от двух или нескольких букв, выби¬ рают какую-нибудь букву главной и располагают многочлены по убывающим степеням этой буквы. Тогда остальные буквы рассматри¬ вают как коэффициенты, и деление таких многочленов выполняют так же, как и в первом случае. Пример. __ав+2а3* + *2 [ а3 + * 4~ а3* а3 + * а3*- -*2 а3*- -*2 О или *2 + 2*а3 + а® | * + а3 *г+ ха9 * + а» ха3 - [-я6 ха3 - -О» О Деление многочленов не всегда выполняется нацело. В большин¬ стве случаев при делении многочлена на, многочлен получается остаток. — 5 I 3*2 + 4* —5 2*2 — * + 1 5 5 166
Пример. _ л8 — 2аб — а4 4- 2а3а + 1 | а3 — 2а2>-f- За — 1 а* — 2a5 -f- За4 — а8 а3 — 4а — 5 —4 а4 -f- За3 — а —4а4 + 8а3 — 12а2 -}- 4а —5а3 + 12а2 — 5а+ 1 ~~ —5а9 + 10а2 — 15а+ 5 2а2 + 10а —4. Здесь многочлен 2а2+10а— 4 уже не делится на а3 — 2а2 + + 3а—1, следовательно, в результате деления получено частное а3 — 4а — 5 и остаток 2аа + 10а — 4. Между делимым А, делителем В, частным Q и остатком # суще¬ ствует следующая зависимость: A = BQ + R. В рассмотренном примере имеем: а* — 2а5 — а4 + 2а3 — а 1 = (а3 — 2а2 + За — 1) (а3 — 4а — 5) + + 2а2 -f 10а — 4. Примечание. В случае деления многочленов от нескольких букв частное и остаток определяются не однозначно в 'зависимости от того, какую букву выбрано главной. Например, _а2 + аЬ + 62 | а-f Ъ __ Ь2 + 6аа2 | Ь-\-а a2~f“ оЬ а 9 но 62 Ьа £ . 62 а2 Здесь делимое и делитель в обоих случаях одинаковы, но част¬ ные и остатки — разные. § 6. Формулы сокращенного умножения 1. Произведение суммы двух чисел на их разность. Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел: (а + Ь) (а — 6) = а2 — б2. Эту формулу можно представить геометрически (рис. 16). Пло¬ щадь заштрихованной части на верхнем рисунке равна а2 — 62, на нижнем она равна (а + Ь) (а — 6). Примеры. (7х + 2У3) (7х — 2у9) = 49л;2 — 4у*\ /2 , 7 \( 7 2 \ 49 „ 4* lTX+TyjUi'-TJCj = 64f' - 9-Л 167
2. Квадрат суммы. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа: (а + Ь)* = а* + 2аЬ+Ь*. Ь Ь а-ь О'Ь a+b Рис. 16. Примеры. (тг*^ 10*2) = 2 * \xlJ *~ = + bxhy + 1°0^; (^гт2п3 -f- "|‘/плj = ^-|-mansj -)-2 • -|-m2ns • -|-тп -j- = 95 Q = ~т4/гв + m3n4 + —m2n2. 00 zo Геометрически формулу квадрата суммы двух чисел можно изобра¬ зить, как показано на рис. 17. Квадрат суммы нескольких слагаемых можно определить по формуле (а* + ^2 “Ь • ; • "Ь ап)2 = + а! + • • • + ап “Н + 2аха2 -)-•••+ 2аЛ—хаЛ. 168
Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов, сло¬ женной с суммой всевозможных удвоенных произведений его членов, взятых по два. Пример. (*+у + z)2 = *2-Ь У2+г2 + 2ху + 2уг + 2хг (рис. 18). XZ п Z2 ху уг X2 ху xz ab Ьг а* ab а b х у Z Рис. 17. Рис. 18. 3. Квадрат разности. Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа: (а — 6)2 = а2 — 2а6 + 62. Примеры. (х2 — За)2 = (*2)2 — 2 (*?) (За) + (За)2 = х*— 6 х2а + 9а2* (1—0,5с)2 = 1 —с + 0,25с2. 4. Куб суммы и разности. Куб суммы двух чисел равен кубу пер- вого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа: (а + Ь? = а3 + 3 а2Ь + Заб2 + 63. Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроен- ное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произ¬ ведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа: (а — б)3 = аз — За26 + Заб2 — 6«. Примеры. (а2 + 463)3 = (а2)з + з (а2)2 . 4^3 + За2 . (4^3)2 I (4^3)3 в = а9 + 12а46* + 48а26в + 646»; (2а — 56)3 = (2а)3 — 3(2а)2 • 56 + 3 • 2а(56)2 — (56)* = = 8а3 — 60а26 + 150а62 — 12563.
5. Сумма и разность кубов. Сумма кубов двух чисел равна произ¬ ведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности: а* + № = (а + Ь)(сР — аЬ+Ь2). Примечание. Неполным квадратом разности чисел а и b называют выражение а2 — ab + b2. От полного квадрата разности а2 — 2аЬ + № оно отличается только средним коэффициентом. Выра¬ жение а2 + ab -|- № называют неполным квадратом суммы. Если приведенную выше формулу прочитать справа налево, по¬ лучим: произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их раз¬ ности равно сумме кубов этих чисел. Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы: а? — Ь* = (а — Ь) (а2 + ab + b2). Эта формула читается и справа налево: произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел. Примеры. l^ + TgJ'-d'*) +(!»■) -(т'+ (т“+т") ■ (т"’~гтг+те"’)-(т")'+(т*)’- =,27m* + 64"*! (0,8а2 — 56) (0,64а4 + 4а26 + 2562) = (0,8а2)» — (5 bf = 0,512а« — — 1256s. 6. Применения формул сокращенного умножения. При помощи формул сокращенного умножения можно сравнительно быстро выпол¬ нять тождественные преобразования многих алгебраических выра- жсний Пример. Упростить (х — 1) (х -f- 1)(д^ -Ь **+ 1) — (дса + I)3. 170
Решение (по частям): (ж-1Н*+1) = ж*-1; (**— l)(^ + x2+l) = *«— 1; (ж2 + 1)* = *» + 3** + ах*+1; *• — 1 — (*• + 3** 4- Зл? + 1) = — Ъх* — Зл® — 2. Однако удобней преобразования выполнять цепочкой: (* — 1) (* + 1) (х* + *2 + 1) - (х* + 1)» = (Xs— 1) (** + х* + 1) — —(*2 + 1)3 = (д« _ 1) _ (^« _|_ 3*4 _|_ Зд-2 1) = _3jC4_3jC2_2. Можно использовать формулы сокращенного умножения и при делении многочленов. Примеры. (4ft*4 — 64</2) : (7х? _ 8(/) = [(?**)» — (ву)2]: (7** — — 8у) = 7х» + 8у; (16а2 — 256») : (56» + 4а) = [(4а)2 — (56s)2] : (56* + 4а) = 4а —56s; (а8 — 86s): (а — 26) = [а«—(26)3]: (а — 26) = а2 + 2а6 + 462; (27*» + 8t/e) : (3* + 2(/») = [(3*)* + (2y*f]: (3* + 2уЗ) = 9х* — — 6*#® + 4#®. Формулы сокращенного умножения используют также при уст¬ ных вычислениях. Пусть, например, надо вычислить 50,52 — 49,52. В данном случае возводить в квадраты было бы нерационально, лучше воспользоваться формулой разности квадратов: 50,52 — 49,б2 = (50,5 + 49,5) • (50,5 — 49,5) = 100 • 1 = 100. Еще пример: 31 • 29 = (30 + 1) • (30 — 1) = 900 — 1 = 899. Такие вычисления можно выполнять устно. § 7. Разложение многочленов на множители Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения многочленов, тождественного данному много¬ члену. Ниже укажем простейшие способы разложения многочленов на множители. !. Вынесение за скобки общего множителя. Чтобы разложить мно¬ гочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, надо: а) определить этот общий множитель; б) разделить на него все члены многочлена; в) записать произведение общего множителя на полученное частное, взяв это частное в скобки. 171
Примеры. 2а*3 — 4а2*2 — 2а*2 (х — 2а); 40т2п — 25тп2 + 30тп = 5тп (8т —- 5п + 6); х(р — а) — */(р — а) — 2(р —а) = (р —а)(* — # — г); а2(х— 1) — 6 (1 —х) = а2(х — 1)-|-6(х — 1) = (jc — 1)(а2 + 6). 2. Способ группировки. Этот способ изложим на примере. Пример. Разложить на множители За — 36 + ах — Ьх. Общего множителя все члены данного многочлена не имеют, но если сгруп¬ пируем члены по два в том порядке, как они написаны, то выра¬ жение примет вид (За — 36) + (ах — Ьх). Если вынесем в первой группе общий множитель 3, а во второй общий множитель х, получим: 3 (а — 6) + х (а — 6). В этом выражении общим множителем является а — 6. Следова¬ тельно, За — 36 + ах — Ьх — (а — 6) (3 + х). Примечание. Данный пример можно решить также другим способом: За — 36 -f- ах — Ьх = (За + ах) — (36 + Ьх) = а (3 + х) — — 6 (3 + *) = (3 + *) (а — 6). В некоторых случаях прежде чем группировать члены, нужно отдельные члены многочлена подать в виде суммы или разности. Примеры. #2-f- 8* 12 = х2 -J- 6* -{- 2х 12 = х (х -J- 6) -J- + 2(л:+6) = (л: + 6)(лг + 2). х2 — 2х — 8 — л;2 — 4х + 2х — 8 = х (х — 4) + 2 (л: — 4) = = С* — 4) (х + 2). 6я2 — х — 1 = 6я2 — Зх 2х — 1 = Зх (2х — 1) + (2лг — 1) = (2х — -1)(3*+1). 3. Разложение на множители по формулам сокращенного умноже¬ ния. Способ разложения на множители заключается в использовании формул сокращенного умножения, которые надо читать не только слева направо, но и справа налево, т. е. надо пользоваться следу¬ ющими формулами: а2 — 62 = (а + 6) (а — 6); а2 + 2а6 + 62 = (а + 6)2; а2 — 2а6 -f- 62 = (а — 6)2; а* + За26 + Заб2 + 63 = (а + 6)3; а3 — За26 + Заб2 — 63 = (а — 6)3; аз + &3 = (а + 6) (а2 — аб + 62); аз __ = (а Ь) (а2 + аб + 62), 172
Примеры, а) (х + y'fi — (х — у)* = (х + у -f х — у)(* + у — —л -\-у) — 2х-2у = 4ху; б) —6а — а2 — 9 = — (а2 + 6а + 9) = — (а + З)2; в) т2 + rfi — 2тп = (т — л)2; г) 125m3 — 75т2я + 15тп2 — п3 = (5т — п)а; д) х3 + By3 = (х + 2у) (лг2 — 2ху + 4(/2); е) 125а* — ^ 6« = (ба — -^62) ^25a2 + 1^- аб2 + ^ **) • 4. Применение различных способов разложения на множители. При разложении многочленов на множители часто используются несколько приемов. В каждом отдельном случае надо предварительно изучить состав данного многочлена и затем определить, какие приемы разложения на множители здесь следует использовать. В большинстве случаев приходится применять все указанные выше приемы разложения на множители в различной последовательности. Иногда при этом исполь¬ зуют искусственные приемы. Примеры. а) тр — /гр + т2 — 2тп -f- п2 = (тр — пр) + (т2 — 2тп -f- п2) = = р (т — п) + (т — п)2 = (т — п) (р + т — /г); б) 1 — р2 — 2pq — q* = 1 — (p* + 2pq+ q*)= 1 — (p + q)**= = (1 + p + 9) (1 — p — q); в) be (6 + c) + ca {c — a) — ab (a + b) = b2c-\- be2 -j- c2a — ca2 — — ab (а-\-Ь) = (Ьгс — ca2) -|- (be2 + c2a)— ab (a + 6) = с (b2 — a2) + + d*(b + a) — ab(a + b) = c(a + b)(.b — a) + d*(a + b) — ab (a + 6)= = (a -j- 6) [c (b — a) -j- c2 — ab] = (a -{- 6) (6c — ac + c2 — aft) = (a + -f- b) [(6c— ab) + (с8 — ac)] = (a + b) [6 (с — a) + с (c — a)] = (a + 6) X X (c — a) (b -f c); r) **+5*2 + 3* — 9 = (jc» — 1) + (5л:2 — 5) +(3x — 3) = (x — 1)X X (x* + x+ 1) + 5(*2 — l) + 3(* — 1) = (л:— l)(*2+* + l) + 5(* — - 1)(л: + 1) + 3(*- 1) = (л:-1)[*2 + x + 1 + 5 (* + 1) +3] = = (.x— 1)(л:2 + х -f1 + 5х + 5 + 3) = (*— 1)(л24- блг + 9) = = (*-1)(* + 3)2. § 8. Алгебраические дроби 1. Дробные выражения и алгебраические дроби. Алгебраическое выражение называется дробным, если среди указанных в нем дей¬ ствий есть деление на буквенное выражение. Примеры дробных выражений: ^ За* „ 1 а~Т 1 2а- а + х’ а2* 1 ’ . . 1 * 1 Ъ а 4-—— а ^ Ь+ Q m
Простейшими среди дробных выражений считаются выражения вида 4-, где А и В — многочлены. Они называются алгебраическими В дробями. Многочлены А и В называются соответственно числителем и знаменателем алгебраической дроби. Числитель и знаменатель называются также членами дроби. Примеры алгебраических дробей: Ъах + с 2 а а2 + b — а 0,7 * — 6,5с* * 0=1 ’ 2 ’ 4х * Примечание. Напомним, что одночлен считается частным видом многочлена (стр. 159). В частности, число 1 также можно рас¬ сматривать как многочлен. Поэтому каждое целое алгебраическое выражение можно считать алгебраической дробью со знаменателем, равным 1. Каждую обыкновенную дробь также можно рассматривать как алгебраическую дробь. 2. Основное Свойство алгебраической дроби. Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же неравное нулю число. Это свойство сшомощью букв записывается так: а am b ~bm* где а и 6 — члены дроби, а т может быть любым числом — целым или дробным (положительным и отрицательным), но не равным нулю. Из этого свойства вытекают следующие положения. Значение дроби не изменится, если у числителя и знаменателя одновременно изменить знаки на противоположные. __ —Зх —Зх(—1) Зх Например. ——-х = ■—; к —4 У —4#(—1) 4у 8 а __ 8а (—1) _—8а —13Ь2 ~ —13Ь2 (—1) “ 1362 * Значение дроби не изменится, если изменить знак у одного из членов дроби и перед самой дробью. _ а — 6 а — 6 а — 6 Примеры. -—- = + —1-Г)==—; а—1_ (а—1) (—1)_ 1—а Ь^2 6-2* 3. Сокращение дробей. Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на их общий делитель. Если числитель и знаменатель дроби одночлены, то общие дели¬ тели находят устно и затем сокращают. 174
_ 24 а*№с 3 ас Пример. 40^=ТГ- Если числитель и знаменатель дроби многочлены, то их надо предварительно разложить на множители (если это возможно) и после этого произвести сокращение. п « . Л ~ ас — Ьс + ad — bd (ас — be) + (ad — bd) пример. bc ad _j_ bd — (ac + bc) _j_ (flrf + - c(a —6) + d(a —6)_(a —6)(c+d)_a —6 ~~ c(a + 6) -f- d (a + b) (a + b)(c + d) a -f b * Иногда для нахождения общего делителя многочленов используют алгоритм Евклида. Пример. Сократить дробь д4_|_а2£2—I— ft4 а*+ 2a26 + 2a62+ б8 ‘ Найдем общий делитель многочленов а* + м*+Ъ*9 a8 + 2a26 + 2a&2-fR а) Разделим первый многочлен на второй: a4 + а262 + 64 I а8 + 2а26 + 2аЬ2 + а4 + 2а86 + 2а262 + аб8 | —2а36 — а262 — а&3 + 6* “ —2а36 — 4а262 — АаЪ3 — 264 + За262 + Зяб8 _j_ 3^4 = зб2 (Л2 + + &2)# б) Разделим делитель а3 + 2a26 + 2аЬ2 + № на один из сомно¬ жителей остатка, — на a2 + ab + b2: —а3 + 2а26 + 2а62 + 6» | а2 + ab + 62 а8 + a2b + ab2 а26 + аб2 + 68 — a2b + ab2 + 68 О Следовательно, общим делителем будет a2 + ab + 62. Тогда а8 + 2а26 + 2а62 + 68 = (а2 + аб + 62) (а + 6), а4 + ct2b2 + 64 = (а2 + аб + 62) (а2 — + 62) Знячит а4 + <РЬ2 + а4 (а2 + ab + 62) (а2 — ab + Ь2) а8 + 2а26 + 2а62 + б8 (а2 + аб + 62) (а + Ь) а2 — ab + Ь2 ~ а + Ь * 175
4. Приведение дробей к общему знаменателю. Приведение алге¬ браических дробей к обшему знаменателю выполняется так же, как и & арифметике. Простейшим общим знаменателем дробей с одночленными зна¬ менателями есть наименьшее общее кратное коэффициентов знаме¬ нателей *, умноженное на все различные буквы, входящие в знаме¬ натели, причем каждую букву берут с наибольшим показателем, с каким она входит в знаменатели. Так, например, простейший общий знаменатель дробей Ъх 2у 1 аЬ ’ 3а*6 И — 2am равен баа62 Дополнительные множители следующие: б а262 : ab = б ab, ба*Ь* : За26 = 26, 6а2Ь2 : 2а262 = 3. Поэтому имеем: Ъх Ъх • б ab ЗОлгаб ab~~ аЪ • 6аЬ ~~ ба262 * 2у 2у • 26 _ 4*/6 За26 “ За26 • 26“6aW; 1 1-3 3 2а262 2а262 • 3 “ ба262 ‘ Для вычисления простейшего общего знаменателя дробей с мно¬ гочленными знаменателями сначала надо их разложить на множители. Пример. Привести к общему знаменателю алгебраические т + п /и2 4- пг дроби: Решение. 2т — 2п = 2 (т — п), т2 — я2 = (т — п) (т -J- п). * Если они — натуральные числа, т
Следовательно, т + п __ (т + п)(т + п) _ т2 + 2тп -f- п2 в 2т — 2п (2т — 2п) (т + п) 2т2 — 2п2 9 т2 + п2 _ (т2 + п2) • 2 _ 2т2 2/га т2 — л2 ” (т2 — л2) • 2~2т2 — 2п2' п т2 + 2тл + л2 2т2 + 2я2 2та — 2ла ’ 2т* —2л*‘ Примечание. Если не требуется, чтобы общий знаменатель был простейшим, можно, не тратя времени на разложение многочле¬ нов, просто взять за общий знаменатель произведение знаменателей данных дробей. § 9. Действия с алгебраическими дробями 1. Сложение и вычитание. Чтобы сложить (вычесть) алгебраичес¬ кие дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить (вычесть) их числители и результат разделить на их общий знаменатель. Пример. Сложить ^ И^Г- Решение. а , 1 .а — 5 а +1 + а — 5 2 а — 4 _ а — 2 2х2 2х2 2&~ я?2 * Пример. Вычислить алгебраическую сумму дробей х + 1 х-\-2 х — 1 а — b b — а а — b * Решение. х+1 х-\-2 х— 1 я+1 л: + 2 дс — 1 а — Ь Ь — а а — Ь а — b ' а — Ь а — Ь _х+1+х+2—х+1=х+4 а — Ъ а — Ь * Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, сложить (вычесть) числители и результат разделить на их общий знаменатель. Пример. Упростить выражение: а— 1 а + 1 1 а* + 2а + 1 а2 — 2а +1 а2 — 1 * 17 f
Решение. Разложим знаменатели на множители: а* + 2а + 1=(а+\)\ а2 — 2а+\=(а—1)\ а2 — 1 = (а— 1)(а + 1). Общий знаменатель равен (а+1)2(а— I)2. Следовательно, а—1 а + 1 1 (а —1)(а —l)2 (а + 1)(а + I)2 а2 + 2а+1 а2 — 2а + 1 а2— 1 (а + 1)2(а — If (а+1)2(а — I)2 (а+1)(а-1) <«_ I)» — (Л + 1)» _ («2_ 1} (а + I)2 (а — I)2 (а2 —I)2 ~ (а3 — За2 + За — 1) — (а3 + За2 + За + 1) — (а2 — 1)__ " (а2 — I)2 а3 — За2 -|_ За — 1 — а3 — За2 За — 1 — cl2 -f* 1 —7а2 — 1 ~ (а2 — I)2 (а2 — l)2 " Так как каждое целое алгебраическое выражение можно рас¬ сматривать как алгебраическую дробь со знаменателем 1, пользуясь изложенными выше правилами, можно складывать и вычитать также алгебраические дроби и целые выражения. Пример. Ь2 а — Ь Ь2 а2 — Ь2 -|~ б2 а2 а а+6 1 а + 6 а + 6 a-J-6* 2. Умножение и деление дробей. Чтобы перемножить дроби, /шдо перемножить отдельно их числители и знаменатели и первое произ¬ ведение записать числителем, а второе знаменателем. Чтобы разделить дробь на дробь, яадо делимое умножить на дробь, обратную делителю. Примеры умножения и деления дробей с одночленными числи¬ телями и знаменателями: 2>p2mq ЪаЬс _ 3p2mq • 3abc __ 9pmc в 2а262 ’ 8pq ~~~ 2а2Ь2 • 8р<7 16а6 * 862cd 7cd 8b2cd 12а3 862Ы • 12а3 3252 9аб : 12а3 9аб # led 9а6 • 7cd 21 а2' При умножении и делении дробей с многочленными числите¬ лями и знаменателями их числители и знаменатели разлагают на множители и сокращают, если это возможно, 178
Примеры: х2 — 4 у2 х — у (х~2у){х + 2у) х — у = х* — ху'х2+2ху х (х — у) ‘ х(х + 2у) = = (х 4- Щ (* — 2у) (Х — У) _ х — 2уш х(х — у)х(х + 2у) X2 * а2 — 62 4а — 46 (а — 6) (а + 6) # 4(а —6) (а -f" 6)2 ‘ За + 36 (а + 6)2 *3(а + 6) (а + 6)(а — 6) • 3(а + 6)_ 3 “ (а + 6)2 • 4(а —6) 4' Пользуясь правилом умножения алгебраических дробей, можно также умножать алгебраическую дробь на целое выражение и наобо¬ рот, ведь целое выражение можно рассматривать как алгебраическую дробь со знаменателем 1. Примеры. а Л а 2х а • 2х 2ах 2х-. х — с х — с 1 (х — с) * 1 х — с* 1 1 у4 1 х4 I ■<** - П= ^—Г ■ = ^5—1 = ^ + 1- X2 — 1 ' X2 - 1 1 X* — 1 3. Возведение в степень. Чтобы возвести алгебраическую дробь в какую-нибудь степень, надо возвести в эту степень отдельно чис¬ литель и знаменатель и первый результат разделить на второй. ( а V а4 а4 Примеры. (_j=— (—Г = [a-he) 8 (а-1)3 + cj (а + с)3 • 4. Упражнения на все действия. Если надо выполнить несколько действий над данными алгебраическими дробями или упростить гро¬ моздкое выражение с алгебраическими дробями, можно выполнять преобразования двумя способами: по частям и цепочкой. Пример. Упростить выражение а2 +-а6 \ I 1 2 аЬ \ "2/ : \а — 6 а3 — а26 + об2 — 63/ # \а3 + аЧ + аб2 + 63 ‘ а2 + 62/ 179
Решение первым способом: и а*+ аЬ , ь 1 cfl + a2b + аЬ* + б» *1" аа _j_ = а2+а6 + ай + 62 а2 + 2а6+6* (а + 6)(аг + Ь2) (а+ bY ’ (в+ Ь) (а2+62)‘ 1 (а+6)(а2+62)' CL —|— Ь а2+Ь2' 2 ab ^ a —b a? — a2b + ab2 — b* а2 + б2 — 2 аЪ (а — 6)2 :(a__6)(a2_j_62) “ а — b (а — Ь) (а2 + б2) а2 + б2 ’ 3) а — b лР + дя' а* + Ь2 ““ (а + 6) (а2 + Ь2) а + Ь : (аа + ь2) (а — 6) “ а — 6 Решение вторым / а2 + аЬ \а3 + a2b + ab2 + б3 а2 + 62 _Г g(g+fe) L (а3 + аЧ) + (а*2 + Ь3) = = а2(а + 6) + 62(а + 6)= = (а + 6)(оа + й2). (а» — а26) + (а6« — Ь») = = а2(а — 6) + *2 (а — 6)=> = (а — 6) (а3 + 62). способом: Ж 2а6 6 а3 — a2b + ab2 b a2(a + b) + b2(a + b) 2аЬ 1 = ( - Ь) J \ а2 4- 62 ■R4, — &з) 'а2 (а — 6)4-62(а 2аЬ а + . К" (а — Ь) (а2 4- 4 (а 4- 6) • (а _) = £ ')/ а* аг + б^аз + б2 + 6 а2 + Ь2 — 2а6 2 —j— 62 (а- 6)(а2+6*) Ь)(а2 + Ь2)' а + Ь (а2 + 62) • (а — Ь)2 ’ а — Ь' ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ § 10. Квадратные корни 1. Определения. Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которого равен а. Например, квадратный корень из 9 равен 3, так как 32 = 9« т
Однако —3 также есть квадратный корень из 9, так как (—3)2 = 9. Квадратный корень из 9 имеет два значения: 3 и —3. Положительное значение квадратного корня называется также арифметическим значением. Арифметическое значение квадратного корня из числа а обозначают символом V<*• Знак называют зна¬ ком квадратного корня или радикалом. Число или выражение а, ко¬ торое стоит под радикалом, называется подкоренным числом или вы- ражением. Подкоренное число может быть не только целым, но и дробным. Например, , VW5 = 2,5. Квадратный корень из 0 имеет только одно значение: 0. Квадратный корень из отрицательного числа не существует: нет рационального числа, квадрат которого был бы отрицательным. 2. Извлечение квадратных корней. Вычисление квадратных кор л ней называют также извлечением квадратных корней. Действие извле¬ чения квадратного корня обратно действию возведения в квадрат: если из положительного числа а извлечь квадратный корень и ре¬ зультат возвести в квадрат, получим то же число а, т. е. (/а)з = а. Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натураль¬ ных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и т. д., квадратные корни можно извлекать устно. Чтобы извлечь квадратный корень из многоцифрового целого числа, разбивают его справа налево на грани, содержащие по две цифры (в крайней левой грани может оказаться и одна цифра). Записывают так: /ггэвчт = 529 25 102 2 298 204 1049 9 9441 9441 0 Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекают квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27). Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98). Слева от полученного числа (298) пишут удвоенную пер¬ 181
вую цифру корня (10), делят на нее число всех десятков ранее по¬ лученного числа (29 : 10 ж 2), испытывают частное (102 • 2 = 204 должно быть не большим 298), после чего записывают его (2) после первой цифры корня и т. д. Примечание. Распространена и другая форма записи, на¬ пример j/5'79'36'49 = 2407 4 179 [44 176 4 _33649 | 4807 33649 7 О Проверка. 24072 = 5793649. Аналогично извлекают квадратные корни из десятичных дробей. Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы за¬ пятая была между гранями. Пример. /0, W95'64'84' = 0,0978 81 187 14 64 7 13 09 1948 1 55 84 8 1 55 84 0 Примечание. Если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается. 3. Приближенные значения квадратных корней. Если подкорен¬ ное число приближенное, то квадратный корень из него также будет приближенным числом. Квадратные корни из приближенных чисел можно извлекать точно так же, как из точных, но с учетом следую¬ щего правила подсчета цифр. При извлечении квадратного корня из приближенных чисел в ре¬ зультате сохраняют столько значащих цифр, сколько их содержит подкоренное число. Чтобы правильно определить последнюю значащую цифру, ищут в результате на одну значащую цифру больше, чем в подкоренном числе, а затем результат округляют по правилу ок¬ ругления, отбрасывая эту запасную цифру. Пример. Извлечь квадратный корень из приближенного чис¬ ла 2,37. 182
Решение. |/2,37 = 1,53 1 25 f1 37 5|1 25 30311200 3| 909 3069 29100 9 27621 1479 Ответ. У2,37 # 1,54 (с избытком). Однако приближенные значения квадратных корней получают не только в результате извлечения квадратных корней из приближенных чисел, но также из точных. Пусть, например, требуется извлечь квадратный корень из точного числа 2. Имеем: ]/2= 1,414 ... J 241100 4| 96 281 400 1 281 2824 11900 4 11296 Этот процесс можно продолжать без конца. Поэтому }/2 в виде десятичной дроби можно дать только приближенно с любой точ¬ ностью. § 11. Иррациональные числа 1. Понятие иррационального числа. Если продолжать извлекать квадратный корень из 2, получим бесконечную непериодическую деся¬ тичную дробь*. 1/2= 1,4142... . Это — не рациональное число, так как каждое рациональное чи¬ сло равно или конечной, или бесконечной периодической десятичной дроби (стр. 102). Эшг пример приводит к следующему заключению. Или мы не должны считать у 2 числом, или должны расширить уже * Можно доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Из этого следует, что V2 не равно ни конечной десятичной дроби, ни бесконечной периодической десятичной дроби. 183
известное нам множество рациональных чисел, прибавив к ним но¬ вые, не рациональные числа, которые представляют собой бесконеч¬ ные непериодические десятичные дроби. Но если не считать Y2 числом, тогда мы не смогли бы, например, выражать числами длины многих отрезков. Получилось бы, что диагональ квадрата со сторо¬ ной 1 см не имеет длины. В самом деле, если сторона квадрата ABCD (рис. 19) равна 1 см, то его площадь равна 1 кв. см, а площадь ква¬ драта ACKL равна 2 кв. см (сравните, сколь¬ ко равных треугольников содержится в каж¬ дом квадрате). Значит, длина стороны АС должна выражаться числом, квадрат кото¬ рого равен 2. А среди рациональных чисел такого числа нет. Вот почему условились считать числами и |/^2 и все бесконечные непериодические десятичные дроби. Но они— не рациональные числа, их называют ирра¬ циональными числами. Иррациональным называют каждое чис¬ ло, которое можно выразить бесконечной непериодической десятичной дробью. Иррациональные числа бывают и поло¬ жительные, и отрицательные. Примеры иррациональных чисел: V2 = 1,4142... , /ГО = 3,162... , —0,5050050005... % = 3,14159..., lg 2 = 0,3010..., cos 10° = 0,9848... и др. Рациональные и иррациональные числа вместе называются дей¬ ствительными, или вещественными числами. Несмотря на то, что существование отрезков, длины которых нельзя выразить рациональным числом, обнаружили еще в древней Греции (Пифагор, Евклид), однако они не ввели иррациональных чисел. Они считали, что длина таких отрезков не может быть вы¬ ражена числом, так как рассматривали только рациональные числа. Впервые к понятию иррационального числа пришли ученые ближ¬ него и среднего Востока. В начале XIII в. иррациональные числа появляются и у запад¬ ноевропейских ученых, прежде всего у Леонардо Пизанского, однако рассматриваются они лишь с геометрической точки зрения, как не¬ равноправные числа. Это мнение разделяло большинство математи¬ ков до XVII Однако развитие математики в XVII в. и ознаком¬ ление с новыми фактами заставили задуматься над самим понятием иррационального числа. К началу XVIII в. большинство математиков считало, что иррациональное число является корнем некоторой сте¬ пени из целого или дробного числа, который не может быть выражен 184
точно. Несколько иначе рассматривал иррациональные числа Нью¬ тон, исходивший из отношение некоторого числа к числу, принятому за единицу; при несоизмеримости обоих чисел первое из них и по¬ лучило название иррационального. 2. Сравнение действительных чисел. Из двух положительных дей¬ ствительных чисел больше то, у которого целая часть больше. Если целые части равны, большим считается то число, у которого первый из неравных десятичных знаков больше, а все предшествующие одина¬ ковы. Из двух отрицательных действительных чисел больший счита¬ ется то, у которого абсолютная величина меньше. Каждое отрица¬ тельное число меньше нуля и любого положительного числа. Равными считаются такие действительные числа, которые изоб¬ ражаются одной и той же десятичной дробью. 3. Геометрическое изображение действительных чисел. Действи¬ тельные числа, как и рациональные, можно изображать на числовой оси точками. Пусть дана числовая ось (рис. 20) с начальной (нуле¬ вой) точкой О и единичным отрезком ОА. Изобразим на этой оси точку, отвечающую иррациональному числу |/2. Для этого строим на отрезке О А квадрат, его диагональ ОС = 1^2. Если раствором циркуля ОС, как показано на рисунке, сделать засечку на оси, то полученная точка пересечения дуги с осью К и будет соответство¬ вать числу |/2. Каждому действительному числу на числовой оси соответствует единственная точка. Наоборот, каждой точке на числовой оси соот¬ ветствует единственное действительное число. Говорят, что между всеми точками числовой оси и всеми действительными числами су¬ ществует взаимно однозначное соответствие. Примечание. Между точками числовой оси и всеми рацио¬ нальными числами не существует взаимно однозначного соответствия, так как не каждой точке оси соответствует рациональное число. Примеры. 1,4142... > 1,4139. —1,4152... <—1,4139. —0,0674... < 0,00176.. 9,8691... < 9,87 -10 12 3* Рис. 20. 185
4. Приближение иррациональных чисел рациональными. Пусть иррациональное число а выражается такой бесконечной непериоди¬ ческой десятичной дробью: в = р» + Тб + ТбЬ + +к* + ~ Тогда конечные дроби D } Pi \ Р* I l£il н d a-ELjlH* l ... | Рв + ю^юо^ MO* Po^ 10 MOO ^ 10« f между которыми заключено число а, называются его десятичными приближенными значениями по недостатку и по избытку с точностью до То«* Для получения десятичного приближенного значения по недос¬ татку данного действительного числа с точностью до следует в десятичной дроби, изображающей это число, сохранить п первых десятичных знаков и откинуть все последующие. Увеличив на 1 по¬ следний десятичный знак приближенного значения по недостатку, мы получим приближенное значение по избытку с точностью до -j-L Пример. Рассмотрим число 3,5781 Его приближенные зна¬ чения суть: По недо¬ статку По избытку С точностью до 3 4 1 3,5 3,6 0,1 3,57 3,58 0,01 3,578 3,579 0,001 § 12. Действия над действительными числами 1. Обозначения. Если а данное действительное число, то его де¬ сятичные приближенные значения по недостатку с точностью до' 1, 0,1, 0,01 и т. д. до будем обозначать соответственно симво¬ лами а0, а1, ~а2у . .. , «Л» ... > а приближенные значения по избытку— 185
+ + + + символами о0, а1э ctg, ... , ап Пусть, например, а = 3,1471.... Тогда а0 = 3; ai== 3,11 ®2 = 3,14; ®з == 3,147; ... • + + + + а0 = 4; ^ = 3,2; 02 = 3,15; а3 = 3,148; .... 2. Сложение. Суммой двух положительных действительных чисел называется действительное число, большее суммы любых приближен¬ ных значений слагаемых по недостатку, но меньшее суммы любых при- ближенных значений слагаемых по избытку. Пример. Положим а = 3,3121... и р = 2,5483..., складываем приближенные значения по недостатку: «о == 3 р0 = 2 а0 -(- Ро = 5 а* = 3,3 Pi=2,5 «1 + Pi = 5,8 а2 = 3,31 |2 = 2,54 ^ + |2 = 5,85 а3 = 3,312 р3 = 2,548 а8 + рз = 5,860 а4 = 3,3121 р4 = 2,5483 а4 +~р4 = 5,8604 Складываем приближенные значения по избытку: + , «о = 4 •Ь ах = 3,4 <*25=5 3,32 £*з = 3,313 а4 = 3,3122 Так последовательно определяют десятичные знаки суммы a -f р = 5,860.... Примечание. Если какое-нибудь слагаемое рациональное и выражается кднечной десятичной дробью или даже является целым числом, его тоже можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, приписав в качестве десятичных знаков бесконечное число нулей, например: 2,3 = 2,3000...; 7 = 7,000... Тогда сумму рационального и иррационального чисел можно также определять изложенным выше способом. 187 Й-З £ + ij» = 7 it-2,в ai + Pi = 6,0 £=2,55 а2 *4" Рг = 5,87 h = 2.549 £ + &> = 5.862 р4 = 2,5484 Q4 -I- Р4 — 5,8606
Аналогично можно определить и сумму двух отрицательных дей¬ ствительных чисел, и отрицательного с положительным. Вообще, сложение двух действительных чисел всегда возможно и однозначно. 3. Умножение. Произведением двух положительных действитель¬ ных чисел аир называется действительное число, большее произведе¬ ния любых приближенных значений сомножителей по недостатку, но меньшее произведения любых приближенных значений сомножителей по избытку. 1 р. Положим а = 1,7320... ; р = 1,4142..., тогда получим «0= 1 Ро= 1 «оР~о = 1 «1=1,7 Pi =1.4 <*iPi = 2,38 «2= 1,73 Pa = 1,41 <*2p2 = 2,4393 «з= U32 Ре = 1.414 <*аРз = 2,449048 а4 = 1,7320 р4= 1,4142 “Л = 2,44939440 4* + + «о = 2 Ро = 2 аоРо = 4 + «1 = 1,8 £=1,5 ++ «А = 2,70 5=1,74 Р+2 = 1,42 = 2,4708 t3 = 1,733 & = 1.415 *зРз = 2,452195 ?4= 1,7321 &= 1,4143 £р4 = 2,44970903 Так последовательно определяют десятичные знаки произведения ар = 2,449... Умножение отрицательных действительных чисел выполняют со¬ гласно с правилами, данными для рациональных чисел: произведение двух отрицательных чисел считается положительным, а отрицатель¬ ного и положительного — отрицательным. Действия вычитание, деление и возведение в степень действи¬ тельных, чисел определяются так же, как и для рациональных чисел. Законы арифметических действий в множестве всех действитель¬ ных чисел остаются справедливы, как и для множества рациональ¬ ных чисел. § 13. Иррациональные выражения . 1. Корень т-Pi степени. Раньше (см. стр. 180) было введено по¬ нятие квадратного корня, или, как его еще называют, корня второй степени. Но в математике рассматриваются корни не только второй, но и третьей, четвертой, пятой и вообще т-й степени. 1Й8
Пусть т — произвольное натуральное число больше 1, а «—лю¬ бое вещественное число. Корнем т-й степени из а называется такое число, m-я степень которого равна а. Примеры. Корень 3-й степени из 64 равен 4, так как 43 = = 64; корень 5-й степени из —32 равен —2, так как (—2)5 = —32; корень 4-й степени из 81 имеет (в множестве действительных чисел) два значения: 3 и —3, так как З4 = 81 и (—З)4 = 81. Корень т-й степени из числа а обозначают символом 'yfa. Однако в случае корня четной степени, например 2-й, 4-й и т. д., этим символом обозначают только неотрицательное значение корня, например >ЛЭ>000001 =0*1- Их называют арифметическими значениями корней или короче арифметическими корнями. Следовательно, гу/га только при отрицательном а и нечетном т имеет отрицательное значение. При положительном а Гуга число все¬ гда положительное. Если же а < 0, am четное, то *т/~а (в множестве действительных чисел) не существует. Примечание. Знак радикала впервые ввели немецкие алгеб¬ раисты в XV в. В 1525 г. математик Христоф Рудольф фон Яуэр издал первое сочинение по алгебре на немецком языке. Знак корня он применял в форме у. Горизонтальную черту над подрадикальным выражением ввел французский геометр Рене Декарт (1637 г.), а по¬ казатель корня над радикалом — голландский математик Альбер Жирар (1629 г.). 2. Иррациональные выражения. Раньше мы рассматривали рацио¬ нальные алгебраические выражения, содержащие только действия сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с натуральным показателем. Дальше будут рассматриваться и такие выражения, которые, кроме этих пяти действий, содержат также и действие извлечения корня m-й степени. Такие алгебраические вы¬ ражения называются иррациональными. Примеры иррациональных выражений: VXba, сЧ\/т — п, -£- + Уз, 5/2, Уз. Гс Иррациональные выражения вида аУЪ называют также ради- калами. 3. Тождественные преобразования иррациональных выражений. Определение тождественных иррациональных выражений и тож¬ дественного преобразования остаются такими же, как и для рацио¬ нальных выражений (см. стр. 161). Дальше рассмотрим важнейшие тождественные преобразования иррациональных выражений. 189
4. Основное свойство радикала.* Величина радикала не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножим на одно и то же число, т. е. Из этого свойства получаем следствия: 1) Радикалы разных степеней можно привести к одинаковым по¬ казателям. Выполняют это так: находят общее кратное (лучше всего наи¬ меньшее) показателей всех радикалов и умножают показатель каж¬ дого из них на соответствующий дополнительный множитель, возвы¬ шая вместе с тем каждое подкоренное выражение в надлежащую степень. Примеры. Привести к общему показателю радикалы: Решение, а) Наименьшее общее кратное показателей ради¬ калов 6; дополнительные множители будут: для первого радикала 3, для второго 2. Тогда: б) Наименьшее кратное показателей: радйкалов 30; дополнитель¬ ные множители соответственно будут: 15, 6, 10. Тогда в) Наименьшее кратное показателей радикалов 4л; дополнитель¬ ные множители соответственно будут п, 2 и 4. Тогда а) Vах, у'а5; Vox = yjaxfi = УШ*\ У а* = = Уat. х— 1 х~+1 (* + 1)" ’ 190
2) Если подкоренное выражение есть степень, показатель кото¬ рой имеет общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно разделить оба показателя, т. е. Примечание. Эта теорема требует дополнительного усло¬ вия: у/Цр должен существовать, так как без этого теорема может быть неверной. Например, вместо у/ (—2)® нельзя писать jГ(—2)3 , так как последний корень в области действительны» чисел не суще¬ ствует. Всегда верно следующее равенство: = Y\af. В частности, Т/да = I а I = { °’ «лжв>0, 1 I \ —а, «ели а < 0. Примеры. у/1? = Ух3; ¥m = V№F = V02; /(=3? = |-3| = 3; V{1—/2)« = /|1-V?2|8 = 1/ (/2— О3. 3) Если подкоренное выражение есть произведение нескольких сте¬ пеней, показатели которых имеют один и тот же общий множитель с показателем радикала, то на этот множитель можно разделить все показатели. Пример 1. Сократить показатели корней и подкоренных вы¬ ражений: а) ¥Ш; б) утр: Решения. в) Уь*? = УШ*-, б) v'lkV = У&х?уг = 1/23ЙЛ 191
Пример 2. Сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения при заданных условиях: y^ix-l)2 прих<1; Y(3 — *)4 при*>3. Решение. Воспользуемся формулой у'а, если а > О, у —а, если а < 0. Тогда получим V4*- о2 = Vl *-i I*—Vi *—11 = /-(*-1)=» = V—X + 1 (*<1); |/ (3 — л:)4 = ^ 13 — х\* = /13^1 = = = V—3 + х (*>3). 5. Основные теоремы о радикалах. Корень из произведения не- скольких чисел равен произведению корней той же степени из каждого числа, если корень из каждого числа существует, т. е. УаВ-фа-УЬ- Чтобы извлечь корень из дроби, «адо извлечь его из числителя и знаменателя, если 5/пи /сор/ш существуют, и первый результат разделить на второй, т. е. г & ^ Примечания. Оговорки о существовании корней в предыду¬ щих теоремах необходимы, так как при четных п и отрицательных а и b корни у/~аВ и Ут существуют, а у/~а и не существуют. В этих случаях приведенные выше равенства неверны. Однако всегда верны равенства: nai-rFl-m.f/ffl-J®. Чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, нужно разделить показатель степени на пока¬ затель корня, т. е.
Примечание. При а отрицательном, п четном и т нечетном приведенное выше равенство неверно. Однако всегда справедливо равенство Пользуясь этими теоремами, можно извлекать корни из различ ных алгебраических выражений. Примеры. Извлечь корни *: 6) Вынесение множителей за знак радикала. Если подкоренное вы¬ ражение разлагается на такие множители, что из некоторых можно извлечь точный корень, то такие множители, по извлечении из них корня, могут быть напцсаны перед знаком корня (т. е. могут быть Еынесены за знак корня). Это выполняется по формуле Примечание. При отрицательном а и четном п равенство * И здесь, и в следующих примерах на преобразования радикалов с четными показателями, где не даются дополнительные условия, следует под буквами по¬ нимать положительные числа. У\ а™ | = | ат\. Решения. а) /32 • 10® = /2* • Ю6 = Y25 . f/" 10» = 2 . 10 = 20; YапЪ = аУЪ. (а > 0). Примеры, а) У~&с = a2Yc* б) /300 =/100.3 = 10/3; в) Yа*псп+1 — У а2п • сп ‘ с — а2с У~с. У апЬ = аУb неверно, но при любых значениях а, Ь и п V\*nb\ = \*\'VW\. 7 5-353 193
Примеры. Вынести множители за знак радикала, учитывая допустимые значения букв илй ограничения на них: а) Vab(b — З)2 при а> О, 6:>3. б) У а* (3 — а)2 при 0 < а < 3. в) |/ 3 (х2 —2хг/-|-у2) 4(л» + 2^ + вв)' Решения. aj V& (6 — 3)* = а2 (6 — 3) У~а. б) /а3 (а — З)2 = а (3 — а) /а. -| / 3 (л:2 — 2ху у2) -|/3(*-</)2 |*-*| /3 ' Г 4(x* + 2xy + t?) V А{х + у)* \х + у\' 2 ' 7. Подведение множителей под знак корня. Для подведения под знак корня множителей, стоящих перед ним, достаточно возвысить такие множители в степень, показатель которой равен показателю корня, а затем написать эти степени под знаком корня. Это выполняется по формуле = (а > 0) Пример ы.* -/«■-» • Иг. - y'W- д) Внести множители под знак радикала при заданных значе¬ ниях букв:' (2 — а) пРи а > 2; при 0< * < «,. * В примерах а) — г) все множители перед радикалами считаются положи¬ тельными. 194
Решение. = — У 2а (а — 2); ^ 1 /“у2 —х2 _ 2 1 f у2 — х2 5 — у V 2 ~ у — х V 2 = — У 2а (а — 2); у2 — х2_ 2 I 2 ~ у—хI е) Не извлекая корни, определить, которое из чисел больше: Решение. 2 Уз = /227з = у 12; 3/2 = /Р"7! = /18. так как /18 > У12, то 2/3<3l/2. 2Уз=У2*Тз =^24, так как fr25>fli, то ^25> 2>/!. 8. Освобождение подкоренного выражения от дроби. Используя два предыдущих преобразования радикалов, можно освобождать подкоренные выражения от дроби. Примеры. Освободить подкоренные выражения от дроби: Решение, а) Чтобы в первом радикале из знаменателя можно было извлечь квадратный корень, умножим оба члена дроби на 7: б) Чтобы во втором радикале из знаменателя можно было из¬ влечь кубический корень, умножим оба члена дроби на За: 2 У3 или 3 У2; 2 f/T* или 25. 195
в) Чтобы в третьем радикале из знаменателя можно было из¬ влечь корень четвертой степени, умножим оба числа на 2 (так как 8 = 23): Если подкоренное выражение — алгебраическая дробь, подобные примеры решают аналогично. Примеры. l/лГ -I fmn 1 г— V тг=У -* = цУтп' \fbrn * /З/п • (2а)2 1 Vnnr V 2а=У -ЩГ-= 25/™-’ 1 4 f °3т 1 с 4 / °?т ' ^т2п , е \ [За3т3л У 27m2n3 - 15mn |/ 27т2п3 ■ Znfin ~ i5mnY (Зтл)4 - 15/пп • ^ уАЗа3т3п = 5 >/ За3т3л. = (* —</)2 ■ ху {х — у)*=\х — у\Уху(х — у)К Примечание. Последние примеры можно решать и другим способом: »- УЖ. - 5/з31Ш^ -'»•*** = 1* — — у)2-**/- 9. Приведение радикалов к простейшему виду. Для того чтобы привести радикал к простейшему, или нормальному виду, надо вы¬ полнить последовательно такие операции: 1) упростить подкоренное выражение (если это возможно); 2) сократить показатели корня и подкоренного выражения (если они имеют общий множитель); 3) вынести из-под радикала рациональные множители; 4) освободить подкоренное выражение от дроби. 196
Примеры. Привести к простейшему виду следующие ради¬ калы: 4г—гг- Решение. 3^-|/Т = 3^|/4-^ = 3^ . А/_= /5_. 2 Г *1/ 2 Г 2 ху ^ 2с№ * ГЙкГ 2аЬ**Г 5а ■ 24 2аЬ* 1 s/-s^r_ ^ с У 16W- с У 246*с* • 2aft с ' ФЬс* = а±УШь-, в) JLVa* — oW* = — Yо® (a2 — &2) = — • a* y^a2 — 62 = a У a3 — б2; a a a r>a*V^-+=«г|/^=«8Ч4>/^=в4/^- 10. Подобие радикалов. Два или несколько радикалов называю¬ тся подобными, если они одинаковой степени и имеют одинаковые подкоренные выражения. пр и м е р. а Ух2с и 4х Y х2с — подобные радикалы, так как они оба третьей степени и имеют одинаковые подкоренные выражения х2с. Иногда данные радикалы оказываются подобными только после некоторых преобразований. Примеры, а) Подобны ли радикалы /18, /128, У32? Решение. У18 = У2-9 = 3 ]/2; УШ = уг2^64 = 8 У 2; У32 = У2^Т6 =41/2. Ответ. Подобны. б) Подобны ли радикалы Vi ■ 197
Решение. Ответ. He подобны, в) Подобны ли радикалы *1Л*л±_л х]/"— у V *\у )’ Г хг — уг Г у2 у Решение. jVHf -'НУ* ■ M-f-fv*=h XV^Z-“V)-ХУ-^Гу~Фу\У~К У If _ 1 = y**zL*» = IVW^) = - VZ=V- f У1 У v у2 у у Ответ. Подобны. § 14. Действия с радикалами 1. Сложение и вычитание. Чтобы сложить (или вычесть) ради¬ калы, их соединяют знаками плюс (или минус) и приводят подобные члены, если они окажутся. Примеры. Выполнить указанные действия: а) (2 /20 — /45 + 3 /Тв) + (/72 — /80). Решение. (2 /20 —/45 + 3/18)+ (/72 —/80) =2 /20-/45 + + 3/I8+/72 —/80 -4/5 —3/5 + 9/2 + б/2 — 4/5 = = 15/2 — 3/5. б) (/9х — У%у) — (/27(/ — /Тбл). *98
Решение. (/9* - У By) - (УЩ - Vito) = Vto - УЩ/ - У27у + /16* = = 3 Ух— 2 У у — 3 Уу + 4 Vx = 7 /л — 5>^р. в) 5+ 4</* jA|^- + -&хуY^-- — -jxy* yifiy* = by У&у* + Ay У^у* — Ay /iV - — 6y + 3y y¥f = +2i/ yifiiii. г) ]/l-y + 3/4^2^-/l6^8i + 8]/i-|-. Решение. У l-i. + 3Vr4=^-/T6^8j+8j/ i-y = -/'Z4+3/4(1-t)-/16(>-t)+ +8/4'<|-зд-]/|-| + б/|—</|—J+ + 4/П=2* = 3 j/1— ^. + 4/1— 2*. 2. Умножение. Чтсбы перемножить несколько радикалов одинако¬ вой степени, яадо перемножить подкоренные выражения и из произ¬ ведения извлечь корень той же степени. Если перемножаются радикалы с различными показателями, то их надо предварительно привести к одному показателю. Если перед радикалами имеются коэффициенты, то их перемножают. 199
Пример 1. Выполнить умножение: а) 5/2а • 2/во*. Решение. 5У2а • 2/8а» = ЮУШ = 10-2а = 20а; б) (/б — 3 /§ + 51/2 — -i-/ej • 2 /б. Решение. ^/б —3/3+ 5/2—-i-/ej • 2/£=2/3<э —6/^8+10/IЗ — —/48=12—18/S+10- 2/3—4/3=12—18/2+ 1б/з. в) (4л: У~& — 5у yfxy + ху YW) • 2*У Vw- Решение. (4хУх*— byVxy + xyVH*) • ЪхуУху = Ъх2уУ1&у^ — 10*1/2 у/"л'2г/2 + 2х2(/2 \гху* — &х3у |/"у — 10хуг /х2у2 + 2х*у* /*. г) (7/5-4) (2/5-1). Решение. (7/5 — 4) (2 /5 — 1) = 14 /25 — 8/5— 7 /5 + 4 = = 70 + 4 —15 /5 = 74—15 /5. Пример 2. Перемножить радикалы с различными показате¬ лями: а) V2 ■ \Г2. Решен и е. V2- У2 = Yl. \Г2=У*; б) тУЪт • >/"Зт • m2 у^Зт3. Решение. т \f Зт • Зт • т21/ Зт3 = т |/"34т4 • |/~32/яа • т2 3/п3 = = т3 У&т9 = Зт4 “j/" . в) (01/0 + 1/^) • (f^а2 — a Yа3) • 200
Решение. (aVa + V^) • (Va*~a Y9) = (а У* + Уа*) ■ (УЭ - - а У а*) = аУа* - в» У^ + У^~° - аУ^ = = a2lj/~а2 — a8 1j/rа3 -|- 1|/ла10 — а Ху/~а11 = а2 \/~а — a3 a -j- + ^-а1|/^т. 3. Деление. Чтобы разделить радикалы с одинаковыми показате¬ лями, мадо разделить их подкоренные выражения и из частного из¬ влечь корень той же степени. Чтобы разделить радикалы с различными показателями, их надо привести предварительно к одинаковым показателям. Если есть коэф¬ фициенты, то их делят. Пример 1. Выполнить деление: а) У6а* : У2а. Решение. уё^-.уш = у^ = уш=ауз. *l/2a““2^ 4 1/a— 6 3a 3/ a2” 2a т/ 2a~ б)“6K —:lK 56 r Г'ббК Решение. Л1 / 2a — 26 4 т/а — 6 6 • 5 l/2 (a — 6) 26*2 ie1/r W = --4- V x2 (g — 6)' 3a 3/ a2”" e 2a“■ / 2a” _ 3a * / a4 . 2a_j/ 8a3 _ 56 К « — д:: 56 r a — x~~ bb V (a —д?)*:56Г (a — _ 3a • 56 • / a4 (a — *)3 __ 3 ® /"a (a — *) ” 56 • 2a К (a — *)2 8a8 “ 2 К 8 Решение. Йг/|-«У5+т/1) = п^-т/|- 201
г) (У%х*у— 21/Ух — хУх): (/2у —/*). Решение. (V8x2y — 2yYx—xl/x) : (У2у — Ух) = (2х У2у — 2у Ух — х Ух) : : (У2у — Ух) = \{хУ2у — хУх) + (х /2// — 2у Ух)]: : (УЩ—Ух) = [х (У2у — Ух) — У2ху (/й/ — Ух)]: (/2i/ — /*)= = (УЩ) — Ух)(х—У2ху): (У2у — Ух)=х—У2ху. Пример 2. Выполнить деление с помощью формул сокращен¬ ного умножения: (Уя*-\гт) : (^5Н-^4&). Решение. (Уя* - ут*): (уа -Зуть) = t(/§5)а - (уть)*i: : (/55 - ущ = (/53 - уть) tyja + уть): (У si- ауТь) = = /Ва + /46. 4. Возвышение в степень. Чтобы возвысить радикал в степень, wado возвысить в эту степень подкоренное выражение, оставив тот же показатель корня: (V~a)k=VTk. Примеры. (/2аГ2)2 = /4а2*5 = х /За2*; (V (х + I/)2)5 = у/' (дг+«/)10 = (*+(/)» Ух~+у; (V(х2 + г/2)т)"Р = /(*2 + </2)тлр _ (*2 -|_ tf)mp. Алгебраические суммы радикалов можно возводить в степень, пользуясь формулами сокращенного умножения. Примеры. (/3 — 1/2)* =3 — 2/6 + 2 = 5 — 21/6; (1/3 — 2 У 2)* - 1/3» — 3-3-2 /5+ 3/3.4 У 4 — 8/.2» = = 31/3-18/2 + 12/3- /4—16 =3/3 — 18/2 + + 12 /432—16; 202
(Кз + /5 + /з - /б)8 = 3 + Vs + 2 У{Ъ + VI) (3 - Кб) + + 3 —1/5 = 6 + 21/9 —5=6 + 2-2 = 10; (31/2 — 21/5 — /ТО)2 = [(31/2 — 21/5) — 1/То]2 = = (3 /2 — 21/5>а — 2 (3 1/2 — 21/5) l/To + fl/lo)2 = = 18 — 121/10 + 20 — 61/20 + 41/50 + 10 = = 48—121/10—121/5 + 201/2*. 5. Извлечение корня. Чтобы извлечь корень из корня, яадо яере- множить показатели корней: 6. Квадратный корень из двучлена вида А ± YВ. При преобра¬ зовании выражений, содержащих квадратные радикалы, иногда поль¬ зуются формулой где А > 0, В > 0 и Ла > В, а знаки в правой и левой части одно¬ временно берутся либо верхние, либо нижние (соответственно). Эта формула называется формулой сложного радикала. Примеры. * Можно также воспользоваться формулой квадрата многочлена (см. стр. 169). Примеры. ущгъ-УА+Ул;-в ±VA-V*'-B. 203
6) V3V3-2VS = yrэ/3 + К(з/з)2-24 _^ГзУз-У(зУз)*-24 рХ зУз + Уз _ _ К571 - KF! - ГИ- П 7. Уничтожение иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Замена дроби, у которой знаменатель (числитель) — иррацио¬ нальное выражение, тождественной ей дробью с рациональным зна¬ менателем (числителем) называется уничтожением иррациональности в знаменателе (числителе) дроби. Ниже рассмотрены основные приемы уничтожения иррациональ¬ ностей в знаменателях. Уничтожение иррациональностей в числите¬ лях дробей выполняется аналогично. а) Дробь вида ——, п > k. В этом случае умножают чис- У bk литель и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе корень извлекался бы нацело, т. е. на Уbn~k. Примеры. 5 5 _ 5-УЪ = 5j/3 = у=. V425 Vs® V& • 5 У 9 Уз2 уз2 - Уз3 а _ а • Ух _ а У* У^~~У^Ух~ х д б) Дробь вида т= . Числитель и знаменатель умно- V а ± у b _ _ жают на сопряженное * выражение У а Т УЬ. * Сопряженным множителем относительно иррационального выражения М называется всякое выражение В, неравное тождественно нулю, такое, что произ¬ ведение MB не содержит радикалов. 204
А В частном случае, когда дробь вида —7= , то ее члены pVa±q умножают на ру а Т Я» Примеры. 6 б(/5 + /§) 6 (/5 + /8) 1/5 -1/8 (1/5 -1/8) (1/5 +1/8) (1/5)2 - (/8)а б 6 (31/2 — 4) 6(3/2 —4) _ 3/2+4 (31/2+ 4) (31/2 — 4) “(31/2)2 — 4* 15 _ 15(5/3 + 31/5) 15(5/3 + 3 /В) 5/3 —3/5 (5/3 —3/5)(5/3 + 3/5) (5/з)« — (3/б)2 _ 256^^2. „1(5/3+ 3/5); /Б + 6 — /Б^Гб (/а + б - Уа^ь) (/а+6 - /а~^б) _ /а+6+ /£■=! (/а + 6 + fa^S)(/Hi-/в^1) °° в- (/Д + 6 — /а — б)2 а + 6 — 2/а + б/а — 6 + а.— 6 ^ ^(/анГб)2 —(/а^б)2~ а + 6 —(а —6) 2а —2/а2 —6* а —/а2 —6* 26 ~ 6 ,4 в) Дробь вида . В этом случае числитель и зна- /5±/S менатель дроби умножают на неполный квадрат разности или суммы: Уа^УЪЪ + У&. Примеры. 6 _ б(/7»+/ГГ4 -+ УЩ _ yi-\a (\п - у 4) +у—4 + ущ = 6 (/49+ /28+ /16) =2(у- у- у (/7)_(/4)3 205
+ i-^5 + 1^25 I+УВ (1+|/5)(1-^5 + ^) ‘+5 = l(l-^ + f'25). О A г) Дробь вида —з . В этом случае сопряженный а — УЪ множитель определяется на основании тождества ап —b" = (а — Ь) (а'1'”1 + a*-*b Н b ^_1). д Для дроби вида сопряженный множитель определяе- Ya + Yb тся на основании тождества ап + Ь” = (а + Ь) (а"-"1 — ап~Ч ± 6«-1) (последний член Ьп~1 берется со знаком + при п нечетном, и — при п четном). Пример. 4(l-f/2-|-j/4-^8 + Kl6) В AT 5/ 1 + ^2 (1 -|- УН) (l — У 2 + У4 — + V16) Если в знаменателе встречаются радикалы с разными показате¬ лями, то надо предварительно привести их к одному знаменателю. Пример. 1 1 УЪ-УЪ ^27-^4 (Уй—У4)(УШь + УТГ*У4-\ (- e ГТ^Гл вА-7 , . в ГЛ в rz=z , в у ¥27* + У274 V\ Н h УТЪ _ V27* + У27* ^ 4 Н \- {/4* 1 27 — 4 23 206
Но такие примеры можно решать и другим способом, уничтожая сначала один радикал, а затем второй: 1 \-{Уъ + УЪ) Уз+у/Ъ V3-V2 (УЗ-У2)(УЗ + У2) з — У4 fl/3 + j/2) (9 + 3/4 + ^16) ... (/з + ^2) (9+ 3^4+ 21/2) (3_|/1)(9 + з|/4 + ?/Тб) 23 д) Дробь вида • . В этом случае пользуются у~а + уь + у7 тождеством (а -f* Ь + с) (а2 + 62 + с2 — ab — Ьс — ас) = а9 + 68 + с8 — ЪаЬс. е) Если в знаменателе имеются три и более радикалов, то иног¬ да полезно предварительно сгруппировать члены и свести данный случай к уже разобранным. Пример. 1_ _ (У2 + Уз)-У5 У 2 + Уз — У 5 = У 2 + l/з +1/5 (/2 + /3)а —(1/5)8 2 + 21/6 + 3 — 5 У 2 + Уз — У 5 (1/2+ 1/3-1/5)/6 21/5 12 8. Примеры более сложных преобразований. а) Доказать, что при х = (Р> 0, а > 0) Va -f *+ У а — х __ | 6 при 6> 1, i/а +х—У а — х | — » 0 < 6 < 1. Доказательство. /а + л:+ У а — х fl/g +5: + У а — х)2 _ 2а + 2 У а2 — х2 _ 1/а + дг — l/а — дс (1/а~+л:)г — (/а~^*)2 ~~ 2* — _ а + У а2 — х2 + Уф ~ (бГ+l) a(fc2 + i) + l/a2(j,a_ лс 2ab W+1 2аЬ 207
Если О <6 <1 и а > О, то Уа2 (&2 — |)2 _ _а _ 1), Следовательно, данное выражение равно а (62-f 1) — а (62 — 1) 1 2аЪ Ь * Если 6!>1, то данное выражение равно а (62 + 1) + а(62— 1) _ъ 2а6 б) Доказать, что если x = Yab и а > 6 > О, то л_У(.а + х)(Ь + х) + У(.а — х)(х — Ь)_ УаЬ у {а + х)(Ь + х) - У (а- х) (х-b) * Решение. Разделив числитель и знаменатель на У (а—х)(х—Ь), получим: •« Г7Г~\ Z v _i_ h ^ га + х х + 6 , а — х х — 6 1 г а + х х + 6 _ „ t а х а + x х4~Ь ^ ^ л Так как х2 = аб; — = — ; —[— = —L-г и а>6>0, то х 6 а — х л: — 6 * *= l/^аб > ^б2 = 6, т. е. х > 6 > 0, и 1+^+1 _ »__х — Ь _2х Vab x + b “26“ 6 ' дг — 6 Примечание. Этот и следующий примеры можно также ре¬ шить, непосредственно подставляя вместо х его значение, в) Найти 2Ь У1 + х3 А = - V1 + х2 — х при 208
Решение. ■+*■-1 +t(t-2+4)-t(t+2+t)’ -№+V$- Подставим значение x и 1 + x2 в данное выражение _*/ т(/1+/1)’ 1/т(/т+/тГ-т(/т-У1) =!(vWIL+, /I -./2*1 ч (1 — ах) У \ + Ьх V b г) Упростить выражение - . - при х — (1 ах) У \ — Ьх а а<Ь <2а. г» тх /2а ~ „ 2а , Решение. Из условия х = — у — 1 следует а2х2 = -у —1 или 2а 1 —1~ а2х2 Поэтому (1 — ах) УТ+Тх 0-«)1/~1+Г 2ах + а2х2 (I +«jyi-te"(1 + ^y1_TTte_ Е(1— а^)|/(1 + а^)2 1 (1 -j- а*) / (1 — ах)2 209
Vf1 так как при а< b<2a [/ —— 1 < 1, следовательно 1 — ах > О и 1 + ах > 0. д) Преобразовать е- & где х — любое действительное число, отличное от нуля. Решение. R 2х 2х 2хУ(\ + х2У* “/(1+**)* — (1— *2)а _-|/ 4x2 ~ V (1 +х2)2 V (1+ла)* = — (1 _4_ д:2) = Г 1+*2, если *>0, 1*1 \—(1 л:)2, если х<0. §15. Степени с отрицательными, нулевыми и дробными показателями 1. Предварительные замечания. Раньше мы рассматривали сте¬ пени только с натуральными показателями. Возведение в п-ю степень понимали как повторение некоторого числа сомножителем п раз. С этой точки зрения выражения 10 2Э ЗМ, (1 — УЗ)0 представля¬ ются бессмысленными, ведь нельзя число взять сомножителем минус два раза, 0,3 раза, 0 раз. Однако в математике рассматривают и та¬ кие выражения, т. е. степени с любыми рациональными и даже ирра¬ циональными показателями. Какой же смысл вкладывают в эти понятия? 2. Степени с отрицательным и нулевым показателями. Под сте¬ пенью какого-либо отличного от руля числа с отрицательным пока- зателем понимают дробь, числитель которой равен единице, а знаме¬ натель — степень того же числа с положительным показателем, про¬ тивоположным данному отрицательному, т. е. если а Ф 0, то 210
Действия над степенями с отрицательными показателями можно выполнять по тем же правилам, что и действия над степенями с поло¬ жительными показателями. Равенства ат . ап = ат+п\ (ат)п = атп\ ат : ап = ат ~п верны не только при положительных т и я, но и при отрицательных. Последнее из этих равенств теперь уже верно не только при т>п (см. стр. 165), но и при т<п. Чтобы это равенство было справед¬ ливо при любых тип, даже при т = /г, вводят понятие о степени с нулевым показателем. Под степенью любого отличного от нуля числа с нулевым пока¬ зателем понимают единицу, т. е. если а Ф 0, то а0 = 1. Примеры. 3°= 1, 0,2®=], (Уз — 1)°=1, (3 + *2)®=1. Примечание. Выражение 0° неопределенно. 3. Степени с дробными показателями. Под степенью какого-либо „ т п/—— числа а с дробным показателем — понимают корень у ат, т. е. т dn~z=Yam. 12 1 Примеры. =/а; 8Т = У& = 4; (9-f= $/9 + *2. т Примечание. Формулу а п = yfат в элементарной матема¬ тике обычно рассматривают только при а^ 0, так как при отрица- т тельных значениях а выражение jfa™, а следовательно, и а~ может не иметь значения (в множестве действительных чисел). Дробные показатели могут быть не только положительные, но и отрицательные, т. е. любыми рациональными числами. Действия над степенями с любыми рациональными показателями выполняют по тем же правилам, что и действия над степенями с на¬ туральными показателями. Для любых рациональных и и v и дей¬ ствительного а > 0 верны равенства: аи • av = au+vy а” : av = au~v, (au)v = auv. 4. Преобразования выражений, содержащих степени с рациональ¬ ными показателями. Ниже показаны некоторые наиболее часто встре¬ чающиеся виды преобразований алгебраических выражений, содержа¬ щих степени с различными рациональными показателями. 211
Пример 1. Вычислить значения следующих выражений: [т'Ы J ' ЧтГ ' Решение. 4 Д v-a ~-3 "1 = 5 — 2 •-1-3' (тГ 4 (*)’ W -от " s' 1 2 _1 27 26 4 4 _ 4 _ 01 . 3 “ 3 “ 6 ’ J 1_ J_ * 2» /3\4 4 J 4* J 64 8 З4 8 81 —(1Г(Ч)‘ 21 ш 10''+ (-!)’ й+| ’и 431 • 10 2155 81*8-11” 3564 Пример 2. Преобразовать следующие выражения так, чтобы они не содержали отрицательных показателей степеней: Б^ху-* 5а (а — б)-4 2-ад>-4* б-*(*_ у)-*' 212
Решение. 5~*ху~2 х • 2364 __ Шх 5а (а — 6)~4 5а6а (х — */)а 2~3аЬ~* ~ а-5у*~ 5ау* : Ь~*(х — у)~2 (а — 6)4 ' Пр и м е р 3. Выполнить действия: (~iS~)2; (*~2+«~з)-(*-2 Решение. / 5а«+Л“2 1 1 96»" V 36» / / 5ал+Л2 _ 25азп+г ~ 25а2л+а ’ 1~ -36Й-/ 962" (*“* + a-8) (Jt~2 — а-*) = (*-*)* — (а-3)2 = лГ 4 — а~« = 1 1 а« — ж4 х* а* а6*4 ‘ Пример 4. Заменить выражениями с дробными показателями следующие радикалы: У~х*, Уа*. V(а + Ь)-\ У(х — «/)-2. Решение. 4 3 1 yG4 = *"*", /оз = аТ1 /(а + Ь)-1 = (а + 6)" 2 !/(■*—г/П2 = (*—у)~ Пример 5. Заменить выражения с дробными показателями радикалами: is m (x + i/)T, (х* + (р + q)~ '7Г. Решение. 8 1 1 1 . /„ * ЗУ т-1*6 = т а ; (at -h £/)3 =у лг-j-£/; 8 с*2+у*)* = VW+y*)*-, (р+<?Г“= >^(р + ?)-<«. 213
Пример 6. Упростить выражения: при а > О, Ъ > О, а > 6; б) Г(а.-1)~х_(1_а)-Л. в°+.?(*-2). т/ИНТ. Ч ( * j J в+1 Г (а-И)-*’ з“2 т 1 : [(1 — х)* (1—2х+х*Г']. в) х (1 — *ГТ + j (1-х)» Решение. (аб)4 —62 L fl^4 __£2 1 5 1 ^ (iab)2 (а -f- V ab) — ab и а4 + а64 __ а + /аб о — 6 3 1 11 1 а 2 6 2 -|- аб — аб а (а 4 + 6 4 ) “ JL JL -i ITT ~ 1 а=П) 64 (а4 — 64) а2 (а2 +62) 3 1 a~b~{a-b) -1 I 1 ; i i j I 1 1 ® —у 6, бТ (а 4~ — Ь*) а* (а* + б"2) а (ат + 6 4") ’(Д-Л_ _ (1 _в)-»] . а0+Д(а-2). у 1 = в-з U а> J _1_ Г (а+1Г* X б) а +1 /73 _1_ 1 (п — П2 _/* М . 1 + а2 — 2а п __ fl3 + 1 (а-1)2 \а — I 1 — а/ а2 — а + 1 а — 1 а2 — а + 1 X (а + 1) = (а + 1) (а2 — 1); 214
2 i Г |_(1 —*)T (i-*)T 1 а: . (I-*)3 „ I * (1 _ х)2 — (1 — *) О — *)8 УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА §16. Общие сведения об уравнениях 1. Определение уравнения. Два числа или какие-нибудь выра¬ жения, соединенные знаком равенства (=), образуют равенство. В ма¬ тематике равенства употребляются в двух случаях:, когда утверждают, что данные числа или выражения при таких-то значениях букв равны, и когда ставят вопрос, при каких значениях букв, входящих в выра¬ жения, эти выражения равны. В первом случае равенство называют тождествами, а во втором — уравнениями. Например, когда утверж¬ дают «при любом а действительном а+ 1 = 1 -f-а», здесь равенство есть тождество; когда же ставят вопрос «при каком значении х х + 3 = 10?», здесь имеем уравнение. Уравнением называют равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы, обозначающие неизвестные числа в уравнении, называются неизвестными. Неизвестных в уравнении может быть несколько. Например, в уравнении два неизвестных: х и у. Выражения, стоящие в уравнении слева и справа от знака равен¬ ства, называют соответственно левой и правой частями уравнения. Так, в приведенном выше уравнении 2х -J- у — левая часть, а 7х—3— правая. 2. Виды уравнений. Различают уравнения с одним, двумя, тремя и т. д. неизвестными в зависимости от того, сколько неизвестных оно содержит. Например, Зх — 5=10 — уравнение с одним неизвестным х. х2 + у = 50* — уравнение с двумя неизвестными х и у; х2 = Vy — z — уравнение с тремя неизвестными х, у иг. 2х + у = 7х — 3 215
В уравнении могут быть буквы, не являющиеся неизвестными (параметры). Например, уравнение ах + 3 = с имеет одно неизвестное ху а параметры а и с можно считать произвольными известными чис¬ лами. Такие уравнения называют буквенными. Уравнения, которые, кроме неизвестных, не содержат никаких букв, называются числовыми. Числовыми есть, например, следующие уравнения: 2* +3 = 7, хУ = у*. По характеру операций, выполняемых над неизвестными, уравне¬ ния делятся на алгебраические, дробные, иррациональные и транс¬ цендентные. Обозначим левую и правую части уравнения буквами А и В. Тогда уравнение А = В называется: 1) алгебраическим у если А и В — многочлены; 2) дробным (рациональным), если А и В — рациональные выра¬ жения, причем хотя бы. одно дробное; 3) up рациональным у если А и В — алгебраические выражения, причем хотя бы одно из них иррациональное; 4) трансцендентным у если хотя бы одно из выражений Ли В содер¬ жит трансцендентные * операции над неизвестными. Уравнения 2х2 + 3 = 7х и ах + by = с — алгебраические; Х2 + -L = 3— и —^-г + *2= — дробные; X ' 1— X х—\ с ]/3 —* = 5 и V а + х + Vх2 —1 = 0 — иррациональные; хУ — logy х и sin х —■ tg х = 0 — трансцендентные. Алгебраические уравнения бывают первой, второйу третьей и т. Д. степени в зависимости от^степеней многочленов А и В. Например, Зх = 2 (х — 5) + 1 — уравнение первой степени; 0,5*2 __ 3,2* = 0 — уравнение второй степени; 7ху-\-х — # = 5 —тоже уравнение второй степени, так как сумма показателей при неизвестных в первом члене 7ху равна 2 Алгебраическое уравнение первой степени называют также линей¬ ным уравнением, а уравнения второй и выше степеней называют нелинейными. 3. Решения уравнении. Если в уравнение с одним неизвестным вместо неизвестного подставить какое-нибудь число, выраженное циф¬ * Трансцендентными называют неалгебраические операции, например воз¬ ведение в степень с иррациональным показателем, логарифмирование, вычисле¬ ние значений тригонометрических функций и т. п. 216
рами или буквами, и в результате получится, что левая часть тож¬ дественно равна правой, то говорят, что данное число (значение неиз¬ вестного) удовлетворяет уравнению. В противном случае говорят, что оно не; удовлетворяет уравнению. Значение неизвестного, удовлетво¬ ряющее уравнению, называется решением, или корнем, уравнения. Например, если в уравнение Злг -}- 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2, получим тождество 3 • 2 + 7 = 13. Следовательно, значение х = 2 удовлетворяет данному уравнению, число 2 есть реше¬ ние или корень этого уравнения. А значение * = 3 не удовлетворяет этому уравнению, так как 3 • 3 + 7 =£ 13. Еще пример. Уравнение 2х-\-с = Ъ с неизвестным х имеет реше¬ ние х = 0,5 (3 — с), так как 0,5 (3 — с) • 2 + с = 3 — тождество. Решением уравнения с несколькими неизвестными называют систему значений всех неизвестных, удовлетворяющих данному урав¬ нению. Пусть, например, имеем уравнение с двумя неизвестными Пара значений х= 1, у — 3 удовлетворяет этому уравнению, так как 12+2-3 = 7. Эта пара чисел считается одним решением данного уравнения*. Существуют и другие решения этого уравнения, напри¬ мер х — —1, у = 3; х = 3, t/== — 1 ит. д. Уравнение может не иметь совсем решений, может иметь един¬ ственное решение, несколько решений и бесконечное множество решений. П р име р ы. Уравнение * + 8 = * + 5 не имеет решений, так как при любых действительных значениях х левая часть больше правой; уравнение 3* + 2 = 11 имеет единственный корень х = 3; уравне- уравнение 5 (х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1 удовлетворяется при любом значении х, т. е. является тождеством. Приведенное выше уравнение х2 + 2у = 7 также имеет бесконечное множество решений, но не является тождеством. 4. Равносильные уравнения. Два уравнения называются равно¬ сильными (или эквивалентными), если все решения первого уравнения являются решениями второго и, наоборот, все решения второго урав¬ нения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений. Примеры. Уравнения 2х — 5=11 и 7х+ 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень х = 8. * В таких случаях слово «кореньэ не употребляют. ние *+ — = 7 имеет два как 3 + -у = 7; 217-
Уравнения *2-|-^-{-1=8 — у и х2 4- 2# = 7 равносильны, так как каждое решение первого удовлетворяет второе и любое решение второго удовлетворяет первое уравнение; уравнения х-\-2 = х-{-5 и 2*+7 = 2* равносильны, потому что оба не имеют решений; уравнения лг-f- 2 = 2 (х-\- 1) — х и Зх = 3(х—- 1) + 3 равно¬ сильны, поскольку любое значение х удовлетворяет и первое и вто¬ рое уравнения. Примечание. Согласно приведенному выше определению, уравнения х2 — 14лг 49 = 0 и х — 7 = 0 равносильны, так как каждый корень одного уравнения удовлетво¬ ряет также другое уравнение, и наоборот. Однако многие автор01 считают их неравносильными, так как они имеют разное число кор ней: считают, что уравнение второй степени х2— 14х-|--49 = 0 имеет два одинаковых корня хх = 7; х2 = 7, а уравнение первой степени х — 7 = 0 имеет только один корень: хг = 7. Понятие об эквивалентности уравнений является относительным: два уравнения, рассматриваемые в одной области чисел, могут быть эквивалентными, в другой же области — неэквивалентными. Например, (х — 2) (х2 4-1) = 0, (х —2)(х24-4) = 0. В области действительных чисел данные уравнения эквивалентны, в области комплексных чисел — неэквивалентны. Два уравнения, равносильные третьему, равносильны между собой. 5. Теоремы о равносильных уравнениях. Теорема 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число или много¬ член, то новое уравнение будет равносильно данному. Так, уравнение 2х— 1 =7 имеет корень х = 4; прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2x4-4= 12, которое имеет тот же корень х = 4. Следствия из первой теоремы: а) Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить. Так, уравнение 9х4~ 5х = 184“ 5х имеет один корень х = 2; опустив в обеих частях 5х, получим уравнение 9х=18, которое имеет тот же корень х = 2. б) Любой член уравнения можно перенести из одной части урав¬ нения в другую, переменив его знак на противоположный. Так, уравнение 7х — 11 =3 имеет один корень х = 2, перенеся 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7х = 3 4“ 11» которое имеет то же решение х = 2. 218
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, не равное нулю, то' новое .уравнение будет равно¬ сильно данному*. Пример. Уравнение 2х — 15 = 10 — Ъх имеет корень х = 5. Умножив обе части на 3, получим (2х — 15) • 3 = (10 — За:) • 3, или 6х — 45 = 30 — 9х, которое имеет тот же корень х = 5. Деление на какое-либо число, отличное от нуля, можно рассмат¬ ривать как умножение на число, ему обратное. Поэтому обе части уравнения можно также и разделить на одно и то же число, отлич¬ ное от нуля. Пример. Уравнение 12л:2 — 3 = 6л: -J- 33 имеет два корня: хх = 2 и х2 — —1,5. Разделив все его члены на 3, получим уравнение 4х2 — 1 = = 2*+11, равносильное данному, так как оно имеет те же два корня: хх = 2 и х2 — —1,5. Следствия из второй теоремы: а) Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей уравнения на —1). Пример. Уравнение —3* + 7 = —8 после умножения обеих частей на —1 примет вид: Ъх — 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень х — 5. б) Уравнение, в котором коэффициенты всех или некоторых чле¬ нов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами (для этого обе части уравнения надо умно¬ жить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффи¬ циентов). _ __ Ъх — 4 16л:4-1 . Пример. Уравнение —^— после умножения обеих Л I его частей на 14 принимает вид: 5izii . 14 = . 14; (5*—4) • 7=(16*+1) • 2; 35* — 28 = 32* + 2. Легко убедиться в гом, что первое и последнее уравнения удов¬ летворяются только при лг = 10. * Верны также более общие теоремы. Теорема 1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выра¬ жение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному. Теорема 2. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение, имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному. 219
в) Уравнение можно сократить (разделить все его члены на одно и то же число). Пример. Уравнение 75х2— 20Q*=900 -J- 60л;2 — 50* можно сокра¬ тить на 5. Тогда получим уравнение 15*2— 40*= 180 -f~ 12лга — 1 Ojc, равносильное данному. Примечание. Иногда приходится умножать обе части урав¬ нения на какое-нибудь выражение, содержащее неизвестное. В ре¬ зультате этого может получиться уравнение, не равносильное дан¬ ному. Примеры. Пусть дано уравнение 2х — 1=5, имеющее один корень х = 3. Если умножить обе части этого уравнения на х — 2, получим новое уравнение (2х — 1) (х — 2) = 5 (х — 2), не равносиль¬ ное данному, так как, кроме корня лг = 3, оно имеет еще один х = 2, который данное уравнение]не удовлетворяет. Если бы обе части данного 1 * 2х — 1 уравнения умножили на ^, то получили бы уравнение ^ = X — О X — о 5 = ’ 5, которое вообще не имеет корней и, следовательно, тоже х — о не равносильное данному. Рассмотренные теоремы (их называют также свойства уравнений) и следствия из них дают возможность сравнительно легко решать многие уравнения. Ведь, преобразуя уравнение согласно упомянутым свойствам и следствиям, мы каждый раз получаем новое, более про¬ стое, уравнение, равносильное данному. Таким способом можно прийти к очень простому уравнению, корни которого определить нетрудно. А так как полученное уравнение равносильно данному, то и корни его есть не что иное как корни данного уравнения. Дальше рассмотрим, как решать различные виды уравнений. § 17. Уравнения первой степени 1. Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным называют каждое уравнение, в одной части которого есть много¬ члены первой степени относительно одного неизвестного, а во вто¬ рой — тоже многочлен первой степени относительно этого же неизве¬ стного или какое-нибудь число. Примеры. 2х 3 = 7 —^, 0,7*/ = 0; тг + 1 = * £“ • Каждое уравнение первой степени с одним неизвестным х можно привести к виду ах — Ъ. Разделив обе части этого уравнения на а (если а Ф 0), получим Ь единственное решение: * ^ ~ • 220
Если а — О, то уравнение не имеет решений (при b Ф 0) или имеет их бесконечно много (при Ь — 0). 2. Общая схема решения уравнений первой степени. Пусть надо решить такое уравнение: *—4 , 2(дг + 1) , 5 (* — 3) , 0_ Ш + 43 3 4 1 " 2 + 6* Решение, а) Умножим все члены на наименьшее общее крат¬ ное знаменателей, которое равно 12. Произведя сокращения, полу¬ чаем: 4(* — 4)+ 6 (х + 1) — 12 = 30 (х — 3) + 24* — 2 (11* + 43). б) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестное и свободные члены, раскроем скобки: 4л: — 16 + б* +6 — 12 = ЗОл: — 90 + 24л: — 22л: — 86. в) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой — свободные члены: 4л: + 6* — 30* — 24л: + 22л: = —90 — 86 + 16 — 6 + 12. г) Приведем подобные члены: —22* = —154. д) Разделим обе части на —22. Получим: * = 7. Как видим ;корень полученного уравнения, а значит и данного, равен х — 7. Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме: а) привести уравнение к целому виду; б) раскрыть скобки; в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены — в другой; г) привести подобные члены; д) решить уравнение вида ах = 6, которое получили после приведения подобных членов. Однако эта схема не может быть обязательной для всякого урав¬ нения. Во-первых, при решении многих, более простых, уравнений приходится начинать не с первого, а со второго, третьего и даже сразу с пятого этапа. Во-вторых, при решении некоторые промежу¬ точные этапы могут оказаться ненужными. В-третьих, иногда бывает выгоднее нарушить порядок, указываемый схемой, так как уравнение тогда решается проще и короче. 221
Аналогично можно решать и уравнения первой степени с одним неизвестным с буквенными коэффициентами. П р и м е р ы: а) сх — 6 (с — х) = a (6 — х) — 6 (а — лг); сх — Ьс + bx = ab — ах — аЬ Ьх; сх — Ьс = —ах; сх-j- ах = Ьс; х(а-\-с) = Ьс; Ьс х = <если а Ф —с). а~~х I Зх _3д2 — аЬ — 462 ' 6 — а ‘ а + 6 ~~ а2 — 62 * а—6 j а — л; , Зл: За2 — ab — 46а а — Ьга+Ь а2 — Ь2 —(а — х) (а + Ь) + Ъх (а — Ь) = 3а2 — ab — 46а; —а2 — аЬ + ах + Ьх + Зах — 3 Ьх = За2 — аЬ — 462; 4ах — 26л: = 4а2 — 462; 2х (2а — 6) = 4 (а2 — 62); 4(а2 — Ь2) 2 (а2 — 62) 0 , .ч X=2W-b)’ (если2«*6>‘ 3. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе. К урав¬ нениям первой степени приводятся многие дробные уравнения с одним неизвестным. Чтобы решить такое уравнение, часто приходится умно¬ жать обе части на выражение, содержащее неизвестное, а это, как показано на стр. 220, может привести к нарушению эквивалентности уравнений. Поэтому при решении этих уравнений надо все получен¬ ные корни проверять подстановкой в начальное уравнение. Корни, не удовлетворяющие начальному уравнению, надо отбросить как посторонние. 2 . 5 13 Примеры, а) Решить уравнение у + jqjTj = & + к — 2 ‘ Решение. Разлагая х2 х — 2 на множители, получаем: х2 + х — 2 = (х — 1) (х + 2). Следовательно, х2 + х — 2 — общий зна- - менатель дробей. Тогда дополнительными множителями будут соот¬ ветственно х + 2, х — 1, 1. , х+2 х—1 I 2 ^ ~13 х — 1 + 2 х2 + х — 2* 2(* + 2) 5 (л: — 1) 13 (х — 1) (* + 2) (х — 1) (х + 2) (*-1)(* + 2)- 222
Для упрощения уравнения надо обе части его умножить на (х — 1) (х + 2); получим: 2(* + 2) + 5(* — 1) = 13; 2* + 4 + 5* — 5 = 13; 7*=13 — 4 + 5; 7* = 14; * = 2. 2,5 13 . о , 5 _ 13. 13_13 Проверка. + 2 + 2“-4 + 2 — 2 4 4 * 4 4’ х = 2 удовлетворяет данному уравнению. Ответ, х = 2. 2 5 6 /1Ч б) Решить уравнение j—у + Решение. Общий знаменатель хг + х — 2; дополнительные множители: я + 2, х— 1, 1. х+2 х—\ j 2,5 ^6 х — 1 г х + 2 *а + я — 2 9 2(х + 2) , 5(лг— 1) (х~ 1)(лг + 2) ^ (х- 1) (х + 2) - (л:- 1) (х + 2) ‘ Умножаем обе части уравнения на (*—1)(jc+2), получаем 2 (* + 2) + 5 (* — 1) = 6; (3) 2* + 4 + 5лг —5 = 6; 7х = 7; *=1. Уравнение (3) имеет корень *= 1. Но он является посторонним для данного уравнения, так как 1 не может быть допустимым зна¬ чением для *: при х = 1 знаменатель первой и третьей дроби урав¬ нения (1) обращается в нуль. Эквивалентность нарушилась при пе¬ реходе от уравнения (2) к уравнению (3). Ответ. Данное уравнение не имеет решений. - х — 2 2 (х — 2) в) Решить уравнение —— = , с- . х + о х + 5 Решен-ие. Приводим к общему знаменателю (дг— 2)(*-f5) 2 (х — 2) (jc -J- 3) (* + 3)(x + 5) (х + 5) (х + 3) ‘ 223
Умножаем обе части уравнения на (* + 5) (х4- 3), получаем: (* — 2) (х + 5) = 2 (х — 2) (х + 3). Делим обе части уравнения на х — 2, * + 5 = 2(* + 3); * + 5 = 2* + 6; —1 = *; * = —1. Легко убедиться, что х — —1 удовлетворяет данному уравнению. Однако при делении уравнения (* — 2) (х 5) = 2 (* — 2) (х + 3) на х — 2 мы потеряли корень х = 2. Чтобы не было потери корня, урав¬ нение надо решать так: (х — 2) (лг —J— 5) — 2(х — 2) (* + 3)=0; (* — 2) [(* + 5)-2(* + 3)] = 0; (* — 2) (л; —j— 5 — 2х — 6) = 0; (х — 2) (—х — 1) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Тогда полученное уравнение распадется на два: х — 2 = 0 и —х — 1=0. Отсюда имеем: *х =2, х2 — —1. Ответ. *i = 2; х2 — —1. § 18. Решение задач с помощью уравнений первой степени с одним неизвестным Чтобы решить задачу с помощью уравнения, необходимо: 1) выбрать неизвестное и обозначить его буквой; 2) выразить остальные неизвестные при помощи этой буквы; 3) составить уравне¬ ние; 4) решить уравнение; 5) проверить полученное решение и ответ по условию задачи. Дальше для примера приведены решения несколь¬ ких задач с помощью составления уравнений первой степени. Задача 1. На первом складе было 185т угля, а на втором — 237 т. Первый склад начал отпускать ежедневно по 15 т угля, а второй — по 18 т. Через сколько дней на втором складе будет угля в полтора раза больше, чем на первом? Решение (с объяснением). Предположим, что через х дней на втором складе будет угля в полтора раза больше, чем на пер¬ вом. Первый склад отпускал ежедневно по 15 т угля, поэтому за х дней с первого склада было выдано угля 15* (<т). Значит, на пер¬ вом складе осталось угля 185—15* (т). Второй склад отпускал ежедневно по 18 т, поэтому за х дней со второго склада было выдано угля 18* (т). На втором складе осталось угля 237—18* (т). По условию задачи остаток угля на втором складе в полтора раза больше, чем на первом. 224
Составляем уравнение: 237— 18* = (185— 15*), 2 (237 — 18*) = 3 (185 — 15*), откуда 474 — 36* = 555 — 45л:; —36л; + 45л: = 555 — 474; 9л: = 81; х = 9. Проверка. 1)3а9 дней было выдано угля: с первого склада 15 • 9 = 135 (т)\ со второго склада 18*9 = 162 (т); 2) осталось угля на первом складе 185— 135 = 50 (т); на втором складе 237 — 162 = = 75 (т)\ остаток угля на втором складе в полтора раза больше, чем на первом. Задача решена верно. Ответ. 9 дней. Задача 2. Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу прибавить 63, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанное в обратном порядке. Найти это число. Решение. Обозначим число единиц в искомом числе х, тогда число десятков будет 11 —х и искомое число примет вид (11—*)10+х. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет 10х 4- (11 —х). Составим уравнение: <11 — х) 10 + х -|- 63 = 10* + 11 — х, реше¬ ние которого х = 9 даст единицы искомого числа. Число десятков составит И —х — 2. Число будет 29. Ответ. 29. Задача 3. В трех ящиках имеется 64,2 кг сахара. Во втором 4 1 ящике находится -g- того, что есть в первом, в третьем — 42-^% того, что есть во втором. Сколько сахара в каждом ящике? Решение. Обозначим вес сахара в первом ящике (в кг) через 4 х. Тогда вес сахара во втором ящике будет ху или 0,8*, а в третьем о 49 ^ °»8* • ущ = 0,34*. Составим уравнение: * + 0,8*+ 0,34* = 64,2, отсюда * = 30, тогда 4-*=24 и 0,34* =10,2. О Оъвет. 30 кг, 24 кг и 10,2 кг. 8 5-353 225
Задача 4. За семичасовый рабочий день токарь должен был по норме обточить некоторое количество деталей. Применив новый резец, токарь стал в каждый час обтачивать на 4 детали больше, чем полагалось в 1 ч по норме, а потому за 6 ч работы выполнил 1,2 дневной нормы. Сколько деталей в час обтачивает токарь, при¬ меняя новый резец? Решение. Обозначим количество деталей, обрабатываемых то¬ карем в 1 ч, буквой *. Тогда его дневная норма при семичасовом рабочем дне будет 7х. С применением нового резца он обрабаты¬ вает за 1 ч JC-j-4 деталей, за б ч работы он обрабатывает 6(* 4- 4). Составим уравнение: б(*-|- 4) = 1,2 • 7х\ х = 10; х + 4 = 14. Ответ. 14 деталей. Задача 5. Двумя экскаваторами вырыли котлован для колхоз¬ ной электростанции за 24 дня. Первым экскаватором можно было бы выполнить эту работу в 1— раза быстрее, чем вторым. За сколько дней каждым из экскаваторов отдельно можно выполнить вскх работу? Решение. Обозначим через х дней время* за которое первый экскаватор мог бы выполнить всю работу; 1,5* дней — время, за ко¬ торое вторым экскаватором можно было бы выполнить всю работу. Первым экскаватором за 1 день выполняли ~ часть работы; вторым экскаватором за 1 день выполняли ^4" часть работы. Оба экскава- тора за 1 день выполняли ~ часть работы. Составим уравнение: 1 , J 1. 1 , * ' 1,5* 24’ * ^ 3 * 24* 1.2.1-1- 1-1.1- 11 -3 1 . „40 3 х 24 ’ х ~~ 24 ’ 3 ’ х 24 • 5- 40 ’ Решение уравнения *=40 дает количество дней, в течение ко¬ торых первым экскаватором можно было бы вьшодшш> всю работу. Вторым экскаватором можно выполнить эту работу за 40 • 1,5 = 60 дней. Ответ. 40 дней и 60 дней. Задача 6. Одной автомашиной можно перевезти некоторый груз за 18 ч, а второй — за 24 ч. Перевозку груза начали двумя машинами одновременно. Через несколько часов вторую машину перевели на Другую работу, а остаток груза перевозили только первой автомаши¬ ной в течение 4 ч. Сколько часов работала первая автомашина? 226
Решение. Обозначим буквой х (ч) время, в течение которого ра¬ ботала вторая автомашина; х(ч) есть также время, в течение которого работали обе машины одновременно. За 1 ч первой машиной можно пе¬ ревезти ~ часть груза, а второй Двумя машинами за 1 ч пере¬ везли /1 , 1\ /1 , 1\ rjg + 24] часть груза, а за х часов rjg + ^l*—часть груза. Первая машина перевезла оставшийся груз за 4 ч, следовательно, за это время она перевезла * 4 = ~ частей груза. 1о У Учитывая, что весь груз составляет условную единицу, получим уравнение: (1+1) \ 18 24/ *+4-=ь Решение уравнения х = 8 (ч) дает время совместной работы обеих машин. Тогда, первая машина работала 8 + 4=12 (ч). Ответ. 12 ч. Задача 7. Турист шел из деревни на железнодорожную стан¬ цию. Пройдя за первый час 3 км, он рассчитал, что, если будет дви гаться с той же скоростью, то опоздает к поезду на 40 мин. Поэтому остальной путь он прошел со скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 45 мин до отхода поезда. Каково расстояние от деревни до станции? Решение. Пусть расстояние от деревни до станции равно х (км). Если бы турист шел все время со скоростью 3 км/ч, то он потратил бы X 9 на путь чу что на ~ ч больше, чем было в его распоряжении. Та- о о ким образом, чтобы успеть точно к отходу поезда, он должен был х 2 потратить времени -у—ч. В действительности же он за первый час прошел 3 км, а оставшиеся (л; — 3) км прошел со скоростью л , х — 3 „ , . х — 3 4 км/ч за —^— ч. Весь же путь он прошел за 1 -| ^— ч. 3 Принимая во внимание, что турист пришел за —ч до отхода по¬ езда, составим уравнение х - 2 д , *—3 . 3 т-T=i+—+т.. Решение уравнения х = 20 и дает искомое расстояние. Ответ. 20 км. 8* 227
-Задача 8. Ежедневно в 12 ч. дня от пристани А к пристани В отправляется по реке пассажирский катер. Весь путь от А до В катер проходит без остановки со скоростью 12 км/ч. Затратив на стоянку у пристани В 2,5 ч, катер отправляется обратно и, пройдя весь путь без остановки со скоростью 15 км/ч, прибывает к пристани А в 19 ч того же дня. Найти расстояние от А до В. Решение. Пусть расстояние от Л до Б равно х (км). X X Тогда время движения катера от Л к В будет — ч, а от В к Л тг= ч. U 10 Катер возвратился в лункт Л через 19—12 = 7 ч, из них 2,5 ч сто¬ янка, поэтому он был в пути 7 — 2,5 = 4,5 ч. Отсюда получаем уравнение Х I х л С 12 + 15 =4’5, решение которого * = 30 (км) дает искомое расстояние. Ответ. Расстояние между Л и В 30 Км. Задача 9. Кусок железа и кусок меди весят вместе 1280 г, причем объем куска меди вдвое больше объема куска железа. Найти объем каждого куска, если удельный вес железа 7,8 г/см3, а удель¬ ный вес меди 8,9 г/см3. Решение. Обозначим объем (в куб. см) куска железа через х, тогда объем куска меди равен 2х. Вес железа х • 7,8, а меди 2*-8,9. Составим уравнение: 7,8* + 17,8* = 1280, Его решение * = = 50 дает объем куска железа. Тогда объем куска меди равен 100 куб. см. Ответ. 50 куб. см и 100 куб. см. Задача 10. Имеются два сплава золота и серебра; в одном количество этих металлов находится в отношении 2 :3, в другом — в отношении 3: 7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5 : 11? Решение. Обозначим буквой * вес первого сплава в кг, тогда 2 вес второго будет (8 — *) кг. Золота в первом — * /сг и серебра 3 3 -t- * кг. В (8 — *) кг второго сплава содержится ^ (8 — *) кг зо- 5 I v 7 лота и jq(8 — *) кг серебра. Составив уравнение по условию задачи, получим: [тх + Й(8_х)]: [|'л:+Й(8“'1с)] = 5: "• 223
Его решение * = 1 (кг) дает вес первого сплава. Вес второго сплава 8 — х = 7 (кг). О т в е т. 1 кги 7 кг. § 19. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 1. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. Если в урав¬ нении с двумя неизвестными каждый член содержит только одно из неизвестных и при том в первой степени, или же совсем не содержит неизвестных, то такое уравнение назыв|£тся уравнением первой сте¬ пени с двумя неизвестными. В общем виде оно записывается так: ах + Ьу = с, где х и # —неизвестные числа, а коэффициенты а, 6, с — известные (параметры). Примеры таких уравнений: 5* — 2х + 3 = 2х + у — 1; 8л:-— 1,3# = 15; ~ х + 0,7# = 3,4; */ = 4* — 9. о Любая пара допустимых значений х и у> удовлетворяющая уравнению, называется решением этого уравнения. Так, например, значения х = 1, у = 14 или х = 2, у = 13 будут решениями уравне¬ ния * + # = 15. Одно уравнение с двумя неизвестными первой степени имеет бесконечное множество решений. Так, в уравнении х + «/ = 15 неиз¬ вестное х может принимать любые значения, и для каждого из них имеется соответствующее значение у, например: *х = 1, #1== 14; *2=2, 1/2 = 13; *з = 100, #з =—85 и т. д. Для уравнения первой степени с двумя неизвестными имеют место те же свойства, что и для уравнения с одним неизвестным (стр. 218). Используя их, каждое такое уравнение можно привести к нормальному виду (т. е. к виду ах + by = с). }2 - 12 ~ , - Пример. 7 + -* --- =2* ff-jl- ; 4 6 84 + 3 (* — Зу) = 24* — 4 (# + 5); 84 + 3* — 9у = 24* — 4у — 20; 3* — 9у — 24* + 4# = —20 — 84; —21* — 5# = —104 или 21* + 5у = 1W. 2. Системы уравнений с двумя неизвестными. Если находят общие решения двух или нескольких уравнений, то говорят, что эти урав¬ 229
нения образуют систему. В системе уравнений каждое неизвестное означает одно и то же число во всех уравнениях. Чтобы показать, что данные уравнения образуют систему, их обычно записывают одно под другим и объединяют фигурной скоб¬ кой, например ( * + х/=20, t *-0 = 10. Каждая л ара значений неизвестных, которая одновременно удов¬ летворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы. Например, приведенную выше систему уравнений удовлетворяет пара чисел х — 15, § = 5. Это и есть решение данной системы. Других решений она не имеет. Существуют системы уравнений, имеющие бесконечное множество решений, а также системы, вовое »е имеющие решений. Система, не имеющая решений, называется несовместимой. Примечание. Называть решение системы корнями нельзя. Решить систему — это значит найти все решения этой системы или показать, что она не имеет их. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалент¬ ными), если все решения одной из них являются решениями другой и, наоборот, все решения другой системы являются решениями пер¬ вой. Например, решением системы / 2jc + £/ = 11, I 3* — #= 9 является пара чисел: х = 4 и </ = 3. Эти же числа являются также решением системы J 5х — Ъу — 11, \, * + 8i/= 28. (Это легко проверить, подставив значения х = 4 и у = 3 в оба урав¬ нения системы). Следовательно, рассматриваемые системы уравне¬ ний равносильны. Две несовместимые системы уравнений также считаются равно¬ сильными. Две равносильные системы уравнений могут состоять из одинакового и разного количества уравнений. В частности, система уравнений может быть равносильна одному уравнению. Понятие рав¬ носильности систем уравнений является относительным: две системы уравнений равносильны в одном числовом множестве и не равно¬ сильны— в другом. Наиболее важным приемом решения систем уравнений является переход от данной системы к другой, равносильной данной, но более простой. Поэтому важно знать приемы получения новых систем урав¬ нений, равносильных данной. В основе этих приемов лежат следую¬ щие-тес ре мы. 230
3. Теоремы о .равносильности систем уравнений первой степени. Теорема 1. Любое из уравнений системы можно заменить равносильным ему уравнением; полученная в результате этого система будет равносильна» данной. Например, если в системе / 2х — Зу = 4, \ Зх + 2у = 19 заменить второе уравнение равносильным ему уравнением 9*-f-6#= = 57, получим новую систему j 2х — 3*/ = 4, \ 9* +6# = 57, равносильную данной. Теорема 2. Любое из уравнений системы можно заменить уравнением, полученным в результате алгебраического сложения обоих уравнений системы. Новая система будет равносильна данной. Например, если первое уравнение в приведенной выше системе заменить таким образом, получим новую систему ( 5х — у = 23, \ Зх-\-2у = 19, которая будет равносильна данной. Теорема 3. Можно из одного уравнения системы выразить какое-нибудь неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение. Новое уравнение вместе с первым образует си¬ стему, равносильную данной. Пусть, например, дано систему ( 2х -f- 3it = 33, I х — 2у = 1. Выразим из второго уравнения неизвестное х через у х = 2у + 1 и подставим это выражение в первое уравнение; нолучим 2(2*/+1)+3*/ = 33. Если к этому уравнению с одним неизвестным присоединить второе уравнение системы, получим новую систему | 2{2у+\) + Зу = 33. \ х — 2у = 1, равносильную данной. На приведенных выше теоремах основаны различна способы решений систем уравнений. Ниже рассмотрим важнейшие из этих способов. 231
4. Решение систем уравнений способом алгебраического сложения. Если коэффициенты при каком-нибудь неизвестном в обоих уравне¬ ниях равны по абсолютной величине, то, складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Решая это уравнение, определяют одно неизвестное, а, подставляя его в одно из уравнений системы, находят второе не¬ известное. Пр и м е р 1. Решить систему уравнений Решение. Здесь коэффициенты при у по абсолютному значе¬ нию равны между собой, но противоположны по знаку. Для получе¬ ния уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем: Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравне¬ ние системы (например, в первое) и находим значение у: Решение. Здесь коэффициенты при х равны между собой. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы по¬ членно вычитают: Г 2* + 0 = 11 I 3 х — у= 9 Ьх = 20; х = 4. 2-4 + у = 11, */ = 11-8, */ = 3. Следовательно, система имеет решение: х = 4, у — 3. Пример 2. Решить систему уравнений ( х + 5у = 7, \ лг — Зг/ = —1 Полученное значение у = — подставляем в одно из уравнений системы (например, во второе) и находим значение х: 3 9 1
Система уравнений имеет решение: Если коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы разные по абсолютной величине, то в этом случае уравнивают абсо¬ лютные величины коэффициентов при одном из неизвестных, а затем поступают так же, как и в первом случае. Пример 3. Решить систему уравнений - Решение. Уравняем коэффициенты при х. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на —2 и сложим полученные урав¬ нения. Решение можно записать так: Аналогично можно решать и системы уравнений с буквенными коэффициентами. Пр и мер. Решить систему уравнений / ах — by = а26а, I х+ у = 2а (а + ЬфО); Решение. (ах — by = а2 + Ь2 I I ах — by = а2 + Ь2 | х + у = 2а I b I fa -f- by = 2ab x (a -f b) = (a + b)2 x=a + b* a + 6 + i/ = 2a; У — a — b. Ответ. x=a + by у ==a — b. * Если бы в условии, не было отмечено, что а+Ьф0, тогда следовало бы этот случай рассматривать отдельно. При а+6=0 полученное уравнение удовлетво-/ ряет любому значению х. В этом случае система имела бы бесчисленное множе¬ ство решений: х — любое число, у=2а—х. ( 4х + 3у \ 6* + 5«/ —4 1 3 1 12* + 9(/= —12 —7 I —2 | — 12л— Юу = 14 4* + 3 -X—2) = —4, 4х =2, х — ~. 233
5. Решение систем способом подстановки. Если из одного уравне¬ ния системы какое-либо из неизвестных выразить через второе и под¬ ставить это выражение во второе уравнение, то получим уравнение с одним неизвестным. Из этого уравнения можно найти значение одного неизвестного, а из выражения, которое получили,— второго. Пример. Решить систему уравнений Г 3* —20 = 11, t 4лг — 5у = 3. Решение. Из первого уравнения находим - 11+2*/ Подставив это значение во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным — у: 4.1i+^_5, = 3, 4(11 + 2*/)-15*/ = 9, 44 + 8у — \5у = 9; —7у = —35; у = 5. Подставив у = 5 в выражение для х9 получим: Н+2-5 * = g ; х = 7. Система имеет решение: х — 7^ у = 5. Некоторым видоизменением этого способа является способ сравнивания неизвестных. Чтобы решить систему этим способом, надо в каждом уравнении одно и то же неизвестное вы¬ разить через второе. Полученные таким образом разные выражения для этого неизвестного сравнивают одно с другим и получают урав¬ нение с одним неизвестным. Решив это уравнение, находят значе* ние одного неизвестного, затем второго. Пример. Решить систему уравнений / Ъх+ 6у = 13, 1 7х + \8у = —-1, Решение. Из двух уравнений выражаем х через у: 13 —.6у, _ -3— Щ
Сравнивая эти выражения, получаем уравнение с одним неиз* вестным у: 13 —бу —1 — 18у 5 “ 7 Решаем это уравнение: 7 (13 — 6у) = —5 (1 + 18#); 91 — 42у = —5 — 90у\ 48# = -96; # = -2. Неизвестное х найдем, подставив значение у в одно из выражений для х: 13 —(—2) .6 * 5 -5- Таким образом, система имеет решение х — 5, у = —2. 6. Способ замены. К системам двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно приводить многие нелинейные системы. Это можно делать способом замены. Пусть, например, надо решить систему 15-1-9; X у 1 + 1 = 35. X у Решение. Заменим неизвестные, положив — = и, = v\ го> * у лучим линейную систему: / 15ы — 7v= 9; I 4м + 9v = 35, которая имеет решение: и =2, v — 3. Из соотношений ~ = 2, —= о 1 * = 3 находим * = у = ~з- Ответ. *=у, У=-j. 7. Решение системы при помощи определителей. Решения системы вида f ахх + Ъ& = clt \ а2х+Ь2у = с2 х у 235
можно находить по формулам у ^2С1 а1с2 а2^1 ^1^2 — ^2^1 О^Ь2 а2Ь\ Эти формулы легко запомнить, если ввести следующие обозначе¬ ния. Условимся выражение ps — rq обозначать так: | ^ ^ | . Это вы¬ ражение называют определителем, или детерминантом второго по¬ рядка. Итак, |г? | = Р*-Г*. Пример. | 3 2 I =2 ' 2—1 • 3 = 1, С помощью определителей решение системы а±х + Ьху = съ а2х + Ь2у = с2 можно представить в удобном для запоминания виде: Cl «1 Cl С% ь2 _ а — _ а2 с2 ах bi у У <*1 h » а2 Ьг а2 Ь2 Знаменатель здесь общий. Его называют определителем системы и обо¬ значают знаком Д = Если определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение: значение неизвестного равно дроби, знамена¬ тель которой является определителем системы, а числитель — опре¬ делителем, получающимся из определителя системы заменой коэффи¬ циентов при этом неизвестном свободными членами (правило Крамера). Пример. Решить систему / X— у = 1, \ *+2«/ = 3. Решение. Составляем определитель системы: А = | 1 ~2 | = 1 -2 —(—1)* 1=3. 236 ai Ь1 а2 Ь2
Применяем правило Крамера (так .как А Ф 0): I 1 -1 I I 1 1 I 3 2 2+3 5 13 3—1 2 х = J - = —■— = —: и = = = 3 3 3’* 3 33 8. Исследование системы уравнений. Исследуем, сколько решений может иметь система уравнений: | агх + Ь1у = с1( \ а,,х + Ъ2у = С2. Введем следующие обозначения: 12 £!-*• IS ЙИ- \Z 2I-4* Возможны следующие случаи: а) А Ф 0. Система в этом случае имеет единственное решение. б) А = 0 и по крайней мере один из определителей и Д2 отли¬ чен от нуля. Система не имеет решений. в) А = Ai = Д2 = 0 и по крайней мере один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. Система в этом случае имеет беско¬ нечное множество решений. Примеры последних двух случаев дают системы уравнений /2* +3*/= 4, ( *-f # = 1, \ 4х + 6у = 5; \ 2х + 2у = 2. г) Все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Если хотя бы один из свободных членов сг и с2 отличен от нуля, то система не имеет решений. Если с1 — с2 = 0, то система удовлетворяется тождественно произвольными значениями хну. § 20. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными 1. Уравнение первой степени с тремя неизвестными. Уравнение первой степени с тремя неизвестными *, #, z в нормальном виде за¬ писывают так: ах + by + cz = d. Примеры. 10*-f 10# + 8z= 164; 2* — 3# + 2 = 7. Одно уравнение первой степени с тремя неизвестными имеет беско¬ нечное множество решений. Действительно, взяв для х и у какие-либо произвольные числа, например, х — 2, у — 5 и подставив эти значения в уравнение 15*+ 10# *+• Sz = 164, получим 15 • 2 + 10 • 5 + 8г=164, 237
или 80 + Sz — 164. Отсюда z= 10—. Дав другие произвольные зна¬ чения х и у, получим другое значение для г и т. д. 2. Система двух уравнений с тремя неизвестными. Систему двух уравнений первой степени с тремя неизвестными в общем виде запи¬ сывают так: Г агх + + cxz = dlt \ CL%X + + С2% — ^2* Вообще говоря, система двух уравнений с тремя неизвестными имеет бесчисленное множество решений. Рассмотрим, например, сис¬ тему / Зл: + Ъу + Аг = 64, ( 2х + у + 2 = 14. Выберем произвольное значение неизвестного х. Пусть х = -j-. Подставив это значение в уравнения нашей системы, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными: j 5г/ + 4г = бз1, j У+ * = 131. Решив эту систему, найдем у = 9^-, z = 4 Значит, данная систе- 1 J - I ма имеет решение х = —, у — 9— , z = 4-r. 4 4 4 Взяв для х другое значение, получим новую систему с двумя не¬ известными, из которой найдем у и z и т. д. Однако можно привести пример системы, не имеющей ни одного решения, например / x — y + 2z = 5t \ х-у+2г = 7. Какие бы значения ни имели х, у, г, выражение х — у +,2г не может одновременно быть равным 5 я 7, 3. Система трех уравнений с тремя неизвестными. Система трех уравнений с тремя неизвестными имеет вид: {агх + Ь& + сгг = db Нх + hy + 238
Здесь х, у, г — неизвестные, а ах, а2, а8, Ъх, Ъ2, 63, Съ г2, с3, Зх, d2, dz— данные числа. Все свойства-уравнений с одним и двумя неизвестными справед¬ ливы и для <системы уравнений с тремя неизвестными. Поэтому для решения данной системы применимы те же способы, что и для системы двух уравнений с двумя неизвестными. Пример 1. Решить систему Г 15* + \0у + 82 = 164, { х+ у 4- г =16, [ г =2у. Решение. Исключаем * из первого и второго уравнений дан¬ ной системы*. Для этого умножим обе части второго уравнения на 15: / 15*+ \Ьу+ 152 = 240, \ 15* + 10# -f 8г = 164. Коэффициенты при * равны. Вычтя из первого уравнения второе, получим 5у 4* 72 = 76. Вместе с третьим уравнением оно дает систему уравнений с двумя неизвестными: [ 5^+72 = 76, I г = 2у, решив которую найдем: у — 4, г = 8. Подставляя эти значения в уравнения первое или второе, полу¬ чаем * = 4. Следовательно, данная система трех уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение: * = 4, у = 4, г = 8. Пример 2. Решить систему t 7* + 6у + 7г = 100, { * — 2у 2 = 0, 13*+ у — 2г = О. Решение. Умножим второе уравнение на 3 и прибавим его к первому: ,7* + 6*/ 4- 72=100 ^З* —6 у+ Зг — 0 10* + Юг = 100 или *42 = 10 Умножим третье уравнение на 2 и прибавим ко второму: * — 2 #+ г = 0 6* 4- 2у — 42 — 0 7* — 32 = 0 * Эту систему нетрудно также решить, подставив в двух первых уравне¬ ниях вместо г. равное ему выражение 2у. 239
Полученные два уравнения дают систему: | х+ г= 10, 1 7х — 3г = 0, решив которую, найдем: х = 3, г = 7. Подставляя значения х и г в третье уравнение системы, получаем: 9 + #—14 = 0, i/ = 5. Ответ. Система имеет единственное решение: х = 3, у = 5, г=7. В ряде частных случаев, учитывая специфические свойства дан1|ой системы, можно применять приемы, упрощающие процесс решения. Пример 3. Решить систему х + у = а, x-j-z = Ь, у + г = с. Решение. Складывая почленно все три уравнения и деля на 2, получаем . а + b + с х + У + г= Т2Т--. Вычитая из него последовательно третье, второе и первое урав¬ нения, находим: а + 6+ с а + 6 — с Х~ 2 2 ; а — b + с —а + Ь + с 2 = г=~ 2 ' Пример 4. Решить систему ( х + ау + а2г + а3 = 0, { x + by + b*z + b3 =0, I х+ су+ c*z+ <? = 0, где а, 6, с — попарно различные числа. Решение. Вычитая второе уравнение из первого, получаем: (а_ Ь)у + (а2 — 62) z + (а3 — 63) = 0. Сократим на ^ — b (так как а Ф Ь)\ у + (а + Ь)г + (а* + ab + Ь2) = 0, Аналогично, вычитая йз первого уравнения третье, находим: У + (<* + с) г + (а* + ас + са) = 0; 240
вычитая почленно полученные уравнения, исключаем у: (6 — с) z + (ab — ас + Ь2 — с2) =*= О, откуда z — — (а + b + с). Тогда, из уравнения у *f (a -f b) z + (а2 + + ab + Ъ2) = 0 получим у *= аЬ + Ъс + ас, и, наконец, воспользовав¬ шись первым уравнением системы, найдем х — —abc. 4. Решение систем трех линейных уравнений с помощью опреде¬ лителей. Определителем третьего порядка, составленным из таблицы девяти чисел #i> Ьц Ci, &2> ^2» ^2» о>з* называется число ai bl Cl I A = a% b2 c2 I — #162£3 -f- 02^3^1 Ч- ^361^2 — a^b^Ci — a^b^c^—а±Ь$р%. a3 63 C3 I Вычисление определителей третьего порядка можно проводить по следующему правилу Саррюса. Дописав к данной таблице первый и второй столбцы, составим произведение элементов, находящихся на -Ь Ч- -Ь «главной диагонали» (рис. 21), а также элементов, находящихся на параллельных ей диагоналях, и возьмем эти произведения со своим знаком; составим произведение элементов, находящихся на «побочной диагонали», а также на. параллельных ей диагоналях, и возьмем эти произведения с противоположным знаком. Алгебраическая сумма всех произведений равна А. 241
Можно вычислить определитель с помощью правила, называюще¬ гося схемой треугольников (рис. 22). На левом рисунке соединены места таблицы, для которых произведения элементов следует взять со своим знаком. На правом рисунке соединены те места таблицы, для которых произведения элементов следует брать с противополож¬ ным знаком. + Рис. 22. Пример. Вычислить определитель 1 2 3 Д = 2 2 1 3 1 2 Решение. Согласно правилу Саррюса, имеем Д=1 *2*2 + 2* 1 * 3 + 3 • 2 * 1 — 3*2*3 — 1 • 1* 1 — 2* 2*2 = = —11. Теперь рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвест¬ ными ахх + b'sjy + C\Z = di, а2х + b2y + c2z = d2, azx + bsy + c3z = d3. Если система имеет решение, то это решение представляется в удобном для запоминания виде: d 1 h Ci <*1 d! Cl a* bi di d2 b2 c2 02 d2 c2 «2 b2 d2 d3 % d3 c$ a» &3 ds ai bi Cl * ir Ol bi Cl * «1 h Cl a2 b2 с2 % bu C2 a2 ь2 C% a8 bz c3 «3 b3 C3 a* b3 242
Обозначая определители, стоящие в числителе, соответственно через Aj, А2> Аз и определитель, стоящий в знаменателе, через А (опреде¬ литель системы уравнений), решение системы уравнений запишем так: At А2 A3 * = Т>^ = Т’г = Т- Эти равенства выражают правило Крамера для системы трех линей¬ ных уравнений с тремя неизвестными. Пример. Решить систему I х + У + г = 3, I х —1/ -|- 3z = 7, ( 2х-\-Зу— г = 0. Решение. = 4; 1 1 1 3 1 1 д = 1 —1 3 = 4ф0; Ai = 7 —1 3 2 3 —1 0 3 —1 До = 1 3 1 1 1 •3] 1 7 3 11 0 11 1 —1 7 2 0 ■ -1 2 3 0 = 8. По правилу Крамера находим единственное решение системы: :2. 4 1 0 8 * = Т=1; </=Т = 0; г=т 5. Исследование системы уравнений. Исследование системы произ¬ водится в соответствии со следующими возможными случаями, а) А Ф 0. Система имеет единственное решение: At Д2 х — - »“Г- б) А = 0 и по крайней мере один из определителей А*» А^, А3 отличен от нуля. В этом случае система не имеет решений или имеет их бесконечное множество *. Пример. Исследовать систему х + 2у — г = 3, Зх-у-\- 22 = —1, \lx + y-\-Az =0, * Уточнения даются в курсах высшей алгебры, например Л. Я• Окунев, Высшая алгебра, Учпедгиз, 1958. 243
Решение. 1 2 ~1 3 2 -1 А = 3 —1 2 = 0, —1 —1 2 11 1 4 0 1 4 Ответ. Система не имеет решений. Когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю, то система противоречива, т. е. не имеет решений (если хотя бы один из сво¬ бодных членов отличен от нуля) или удовлетворяется тождественно (если все свободные члены равны нулю). 6. Однородные системы. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены ее равны нулю. Однородная система трех уравнений с тремя неизвестными имеет вид: aix+b& +cxz= О, а%х -|- Ь2у -|- с%2 = О, а3х + Ь$у + c3z = 0. Однородная система не может быть противоречивой, так как она всегда имеет нулевое, или тривиальное, решение х = у = г = 0. Чтобы система однородных уравнений допускала решения, отличные от тривиального, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю. § 21. Решение задач с помощью системы уравнений Задача. На корм 8 лошадям и 15 коровам отпускали еже¬ дневно 162 кг сена. Сколько сена ежедневно выдавали каждой ло¬ шади и каждой корове, если 5 лошадей съедали ежедневно сена на 3 кг больше, чем 7 коров? Решение. Пусть для лошади отпускали ежедневно х кг сена, а для коровы » » у » » Тогда из первой части условия следует: 8* +150= 162, а из второй части условия — еще одно уравнение: Ьх — 7у = 3. Решим систему этих уравнений: Г 8* + 150 — 1621 51 40* + 75у = 810 15* — 7у — 3 I — 8 I 40* + 560 = —24 5* —42=*3, 1310 = 786 х = 9. 0 = 6. Ответ. 9 кг и 6 кг сена. 244
3 а д а ч а. Латунь состоит из сплава меди и цинка. Кусок латуни весом J24 г при погружении в воду «потерял» 15 г. Сколько в нем содержится меди и цинка отдельно, если известно, что 89 г меди «теряют» в воде 10 г, а 7 г цинка — 1г. Решение. Пусть в латуни было х граммов меди и у граммов цинка. Тогда * + #=124. Так как медь «теряет» Щ своего веса, . 1 10 а цинк у-, T9 х граммов меди потеряет j^x, а у граммов цинка ---#. Следовательно, + 15. Решив систему уравнений, по¬ лучим: х = 89, #==35. Ответ. 89 г меди и 35 г цинка. Задача. Пароход прошел 100 км по течению реки и 64 км против течения за 9 ч. В другой раз за это время он прошел 80 км против течения и 80 км по течению реки. Определить скорость паро* хода в стоячей воде и скорость течения реки. Указание. Скорость движения по течению равна сумме собственной скорости парохода и скорости течения. Скорость движе¬ ния против течения равна разности между собственной скоростью парохода и скоростью течения, Решение. Принимаем собственную скорость парохода в км/ч за х, а скорость течения за #. Используем табличную запись решения. Этапы Направление движения Путь (км) Скорость Скм1н) Время (ч) Израсхо¬ довано времени Первый По течению Против течения 100 64 X + У х — у 100' х + У 64 х — у 9 ч Второй Против течения 80 Х — У 80 X — и По течению 80 Х + У л У 80 х + у 9 ч Имеем систему х+У х—у , 80 -0 х + у X—у 245
Это не линейная система, но способом замены ее можно привести к линейной. Обозначим * + У Тогда получим и, = V. / 100к + 64» — 9 1 5 1 500и + 320с; = 45 \ 80и + 80v = 9 | —4 I —320и - 320г> = —36 180и =9 1 “ 20 80.1 + 80с = 9, 9 _ I 5__1_ 0 80 20 80 16' Следовательно, 1111 х + у 20* * — у 16’ или \х + у = 20, \х-у= 16. Решив эту систему, получим: х= 18, у = 2. Ответ. 18 км/ч и 2 км/ч. Задача. Два трактора различной мощности при совместной работе вспахали за 15 <* — всего поля. Если бы первый трактор ра¬ ботал один 12 ч, а второй трактор — 20 ч, то они вспахали бы 20% всего поля. За сколько времени может вспахать все поле каждый трактор отдельно? Решение. Площадь поля принимаем за единицу. Пусть пер¬ вый трактор вспашет все поле за х часов, а второй — за у часов. Тогда производительность первого будет равна —, а второго — . _/1 , 1\ 1 12 , 20 1 / По условию задачи имеем: 15 1 1 = , b ~ — Т" Iтак \х У} о х у о \ как 20% = -L-j . Решив систему уравнений, получим х = 360, у = = 120. Ответ. 360 ч и 120 ч. 246
Задача. Из двух мест, расстояние между которыми 650 км, отправляются два поезда навстречу друг другу. Если оба поезда тронутся с места одновременно, то они встретятся через 10 ч. Если же второй поезд отправится на 4 ч и 20 мин раньше первого, то встреча произойдет через 8 ч после отправления первого. Опре¬ делить среднюю скорость каждого поезда. Решение. Пусть скорость первого поезда * (км/ч), скорость второго у (км/ч), тогда в первом случае первый поезд пройдет до встречи 10* (км), второй 10# (км). Следовательно, 10* + Ю# = 650. Во втором случае первый поезд пройдет до встречи 8* (км), а вто¬ рой, который шел 12^- ч, пройдет 12-^- у (км). Следовательно, 8* + о о + 12-jj- у = 650v Решив систему уравнений ( 10* + 10# = 650, j 8* + 12у (/ = 650, получим: * == 35, # = 30. Ответ. 35 км/ч и 30 км/ч. Задача. Два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу со станций Л и Б, расстояние между которыми 600 км. Первый из них приходит на станцию В на 3 ч раньше, чем вто¬ рой на станцию Л. В то время как первый проходит 250 км, второй пройдет 200 км. Найти скорость каждого поезда. Решение. Пусть скорость первого поезда * (км/ч), второго у (км/ч). Расстояние в 600 км первый поезд проходит за ч, а вто- « ^ 600 _ рои*'-за ч. Согласно условию, запишем систему уравнении У 600 I з = 600 250 __ 200 X ~ у ’ X ~ у ’ решив которую получим * = 50 (км/ч);^у *= 40 {км/ч). Ответ. 50 км/ч и 40 км/ч. Задача. Расстояние между селами по шоссе 19 км. Из села Л в село В выехал велосипедист с некоторой постоянной скоростью; через 15 мин после него в том же направлении выехал автомобилист. Через 10 мин после выхода он нагнал велосипедиста и продолжал путь до В, где, не останавливаясь, повернул обратно и через 50 мин после своего выхода из Л встретил велосипедиста вторично. Опреде¬ лить скорости автомобиля и велосипедиста. 247
Решение. Пусть скорость велосипедиста * (км/мин), автомо¬ билиста—у (км/мин). Автомобилист пробыл в пути 10 мин, а велосипе¬ дист 10 + 15 = 25 (мин), когда его догнал автомобилист. В этот момент расстояния, пройденные ими, были одинаковы. Следовательно, 25* = = 10у. Когда на обратном пути автомобилист встретил велосипедиста, автомобилист прошел уже ЪОу (км), а велосипедист 65* (км). Эти расстояния в сумме дают двойное расстояние между селами А и В. Поэтому 65*-{- 50у — 38. Решив систему уравнений 25* = \0у и 65* + -f 50f/ = 38, найдем: * = 0,2 (км/мин), у = 0,5 (км/мин); Ответ. 0,5 км/мин и 0,2 км/мин. Задача. По окружности движутся два тела; первое пробегает окружность на 5 сек скорее второго. Когда они движутся по одному направлению, то встречаются через каждые 100 сек. Какую часть окружности (в градусах) пробегает каждое тело в 1 се/с? Решение. Пусть в 1 сек первое тело пробегает дугу в * (гра¬ дусов), а второе у (градусов). Из первого условия находим — — ЁЁ2 = 5. Каждую секунду расстояние между телами (по дуге) уве¬ личивается на * — у (градусов). За время, протекающее от одной встречи к другой (т. е. за 100 сек), расстояние должно увеличиться на 360°. Поэтому 100 (* — у) = 360. Полученная система имеет два решения *х = 18, ух = 14,4; *2 = —14,4, у2 = —18. Оба они пригодны, но физический смысл их один и тот же (меняются только номера тел и направление движения). Ответ. Первое тело за 1 сек пробегает 18°, второе 14°24'. Задача. Велосипедист прибыл из пункта А в пункт В в назна¬ ченное время, двигаясь с определенной скоростью. Если бы он уве¬ личил эту скорость на 3 км/ч, то прибыл бы на место на час раньше срока, а если бы он проезжал в час на 2 км меньше, чем в действи¬ тельности, то он опоздал бы на час. Определить расстояние между пунктами А и В, скорость велосипедиста и время его дви¬ жения. Решение. Неизвестное расстояние обозначим через S, ско¬ рость велосипедиста v и время его движения t. Используем табличную запись решения. Имеем систему трех уравнений (нелинейных) с тремя неизвест¬ ными vt = S, (v + 3)-(t— 1) = S, (о-2)-# + 1)=S, Этапы Путь (км) Скорость (км/ч) Время (ч) Первый S V . t Второй S о + з t — 1 Третий S 0 — 2 248
Эту систему можно привести к системе линейных уравнений: из vt = (v + 3) • (t — 1) и vt = (v — 2) • (/ + 1) Г — v + 3 / = 3, слеДУет { v- 2t — 2. Решив эту систему уравнений, получим t = 5, . = 12. Тогда 5 = 12-5 = 60 (км). Ответ. 60 /си, 12 км/ч, 5 ч. § 22. Квадратные уравнения 1. Общие понятия. Уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0, где* — неизвестное, а коэффициенты а, Ь и с — данные числа, называется квадратным уравнением. В квадратном уравнении а Ф 0, так как в противном случае, оно было бы уравнением первой степени: Ьх + с = 0. В то же время а может быть и положительным, и отри¬ цательным. Если а < 0, то умножив обе части уравнения на —1, получим уравнение с положительным коэффициентом при х2. Коэф¬ фициент с называется свободным членом, ах2 — старшим членом, Ьх — членом, содержащим первую степень неизвестного. Если Ь Ф0 и сфЪ, то уравнение ах2 + 6* + с = 0 называется полным квадратным уравнением общего вида. Разделив все члены его щ а (а Ф 0), получим Ь с *а + ---* + --- = 0. а 'а п b с Полагая — = р, ~ = q, имеем уравнение х2 + рх + q = 0, которое называется полным квадратным уравнением приведенного вида или приведенным квадратным уравнением. Если же хотя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю* то квадратное уравнение назы¬ вается неполным. Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: а) если 6=0, с Ф 0, то ах2 + с = 0; б) » Ь Ф 0, с = 0, то ах2 -f Ьх = 0; в) » 6 = 0, с = 0, то ах2 = 0. 2. Решение неполных квадратных уравнений, а) Уравнения вида а*2 + с = 0 и ах2 = 0. Чтобы решить уравнение вида ах2 + с = 0, переносим свободный член в правую часть и находим значение х2 и * = , Если коэффициенты я и, с одного знака^ то уравнение ах2-[-с = = 0 в области действительных членов не имеет решений, так как 249
квадрат действительного числа не может быть равный отрицатель- £ ному числу — . Если же а и г противоположных знаков, то урав¬ нение ах2 + с = 0 всегда имеет два корня, которые являются проти¬ воположными числами. Пример. Решить уравнение. 2** — 32 = 0. Решение. 2*2 = 32, х2 = 16, * = ± /16 = ±4. Ответ. хх=4, х2 = —4. Пример. Решить уравнение 2*2 -f- 8 = 0. Решение, х1 — —4. В области действительных чисел уравнение не имеет решения. • Если а и с противоположных знаков, то уравнение ах2 -j- с = 0 можно решить и путем разложения на множители. Пример. 4*2 — 9 = 0, (2х — 3) (2х + 3) = 0; 2х — 3=0, *! = -§-; 2х -j- 3 = 0, *2 = 2" • Уравнение ах2 = 0 имеет равные между собой корни: хг = 0, *2 = 0. б) Уравнение вида ах2 -f bx = 0. Чтобы решить уравне¬ ние а*2 + Ьх = 0, надо его левую часть разложить на множители: * (ах + Ъ) = 0. Тогда или х = 0, или ах + b = 0, откуда х = —. Итак, уравнение ах2 + Ьх = О имеет два корня: xL = 0, х2 = ——. а Пр и м е р 1. Решить уравнение *2 — 12* = 0. Решение. *(*—12) = 0, *х = 0, *-12 = 0, *2 = 12. 250
Пример 2. Решить уравнение 47 — х (Зх + 4) = 2 (17 — 2х) — — 62. Решение. 47 — Зле2 — 4л: = 34 — Ах — 62; 47 — З*2 + 28 = О, Здг2 = 75; х2 = 25; х=± /25; ^=5; *2 = —5. Пример 3. Решить уравнение 5л:2 + 9 4*2 —9_0 б“~ 5 Решение. 5 6 5*2 + 9 4*2 — 9 4 б 5 25*2 + 45 — 24*2 + 54 = 90; *2 + 99 = 90; *2 + 9 = 0. Ответ. Уравнение не имеет решений <в области действитель¬ ных чисел). Пример 4. Решить уравнение 10 (* — 2) + 19 = (5* — 0 (1 + + 5*). Решен не. 10(* — 2) + 19 =<5*— 1) (1 +5лг), 10* —20+ 19=25*2—1, 10* — 25*2=0; 5* (2 — 5*) = 0; ** = 0, 2 — 5* = 0, *2 = ~. 2 Ответ. *х=0; *2=—. 3. Приведенное квадратное уравнение, а) Решение квадрат¬ ного уравнения путем выделения полного квад¬ рата двучлена. Пусть надо решить уравнение *2 + 14* + + 24 = 0. Разложим левую часть на множители, выделив из выражения х2 + 14* + 24 полный квадрат двучлена. Первый член есть квадрат числа х {первого числа), второй член (14*) можно рассматривать, как удвоенное произведение первого числа * на второе число, равное 7, так как 14* = 2 • * • 7. Чтобы получить полный квадрат двучле¬ на, прибавим квадрат второго числа 72 = 49«, а чтобы численное значение не изменилось, вычтем это же число 49. Получим: <*2+14*+ 49) —49 + 24 =0, или (*+7)2 —25 = 0. Разложив левую часть на множители, получим <* + 7 + 5) (* + 7 — 5) =0, или <*+ 12)(* + 2) =0. 251
Итак, уравнение *2 + 14* + 24 =0 равносильно такому: (*+12)(* + 2) = 0, oi сюда (* + 2) = 0; *1 = —2; *+12 = 0: *2 = —12. Пример. Решить уравнения путем выделения полного квад¬ рата двучлена: а) *2 + 8* — 33 = 0; б) *а — 11* + 30 = 0. Решение. а) *2 + 2*4** +16 — 16 — 33 = 0, или (* + 4)2 —49 = 0, (* + 4 — 7) (* + 4 + 7) = 0, (* — 3)(*+ 11) = 0. Отсюда * — 3 = 0, = 3j * + 11 = 0, *2 == —11 • *4 * О 11 , 121 121 . п / llY 1 Л б) х*-2-тх + -4 _+ 30 = 0; (*--2-] ~Т = 0, —^ ——у+у)=°; (х — 6)(* — 5) = 0. Отсюда * — 6 = 0, *х = 6; * — 5 = 0, *2 = 5. б) Формула корней приведенного квадратного уравнения. С помощью выделения полного квадрата двучлена в уравнении *2 + рх + q = 0 при любых р и q получают общую фор¬ мулу для корней приведенного квадратного уравнения: выражающую зависимость корней от коэффициентов. Формула читается так: корень приведенного квадратного уравне¬ ния равен половине коэффициента при неизвестном в цервой степени, взятом с противоположным знаком, плюс — минус квадратный корень из квадрата половины этого коэффициента без свободного члена. По этой формуле можно определить действительные корни при- (р\* веденного уравнения только в случае, когда выражение —q (оно называется дискриминантом приведенного квадратного уравне¬ ния) неотрицательно, т. е. когда j — q !> 0. Если — q > 0, то данное уравнение *2 + рх + q =? 0 имеет два разных корня. 252
Если — q < 0, то данное уравнение не имеет действитель¬ ных корней. Если —<7 = 0, то оба корня равны: *1=*2= — . Рассмотрим на примерах, как с помощью этой формулы решать уравнения. Пример 1. Решить уравнения: а) х2 — 4х — 60 = 0; б) хг-^-х — 26 = 0. О Решение. а) Здесь р = —4, q = —60. По формуле имеем: х = 2± ]А-(—60)=2 ± /64 = 2 ± 8; ^ = 2 + 8=10; *2 = 2 — 8 = —6. 5 б) Здесь р = —~, q = —26. По формуле имеем: о Пример 2. Решить уравнение х2 + 2тх — 2 (тп + 0,5п2) = 0. Решение. Здесь р =г= 2т, <7 = —2 ^тя + я2| . По формуле имеем: х = —т ± т2 + 2 [тп + п2 j = —tn ± j/m2 + 2/яя -f- я? = = -^т ± V(m+n)2 = —т + | т + я j; = — т + (т + я) = я; *2 = —/я — (т + я) = —2/я — <я. Примечание. Формулы? ± | /я + л | и ± (т + я) дают одина¬ ковые пары чисел, поэтому в данном случае вместо —m ± |/я + я | можно писать —/я ± (т-\- я). 253
Дальше дано несколько примеров на исследование квадратных уравнений приведенного вида. Пример 1: Не решая следующих уравнений, определить, какие из них имеют два различных корня или не имеют корней (действи¬ тельных). а) х2 — 4* + 4 = 0; б) х2 — 2х + 5 = 0; в) х2 + 16 + 48 = 0. I/>\2 / 4 \2 Решение, а) Здесь р = —4, q = 4; Iу I —q = I — 1 — 4 = 0, следовательно, уравнение имеет два равных корня. б) Здесь р = — 2 и q = 5, так как j — q = — 5 < 0, то уравнение не имеет действительных корней. в) Здесь р = 16 и q = 48, так как — q = j — 48 > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня. Пример 2. При каком значении k уравнение х2 + kx + 15 = 0 имеет корень, равный 5. Решение. 52 + k • 5 + 15 = 0; 25+ 5*+15=0, $k = —40; k = — 8. Ответ. При k = —8. Пример 3. При каких значениях а следующие уравнения имеют по два равных действительных корня: а) х2 + ах + 9 = 0; б) х2 + 12* + а = 0; в) х2 + 2 (а — 4) х + а2 + 6а + 3 = 0. Решение, а) Уравнение х2 + рх + q = 0 имеет равные корни при условии j = q. В нашем случае р = а, <7 = 9. Следовательно, (у) =9; а2 =36, а — ±6. /12\* б) р — 12, <7= а; lyl = а, а = 36. в) р = 2 (а —- 4), q = а2 + 6а + 3; (а — 4)2 = а2 + 6а + 3, а2 —8а + 16 = а2 + 6а +3, 14а = 13, а = ||. 4. Полное квадратное уравнение общего вида. Квадратное урав¬ нение вида ах2 + bx+ с = 0 можно решать по формуле корней при-' веденйого уравнения, если данное уравнение предварительно рззде- 254
лить на а (а Ф 0). Однако можно пользоваться и специальной фор¬ мулой: .. —Ь ± /ба — 4ас Х~ 2а Эта формула читается так: корень полного квадратного уравнения общего вида равен дроби, числителем которой есть коэффициент при неизвестном в первой степени, взятый с противоположным знаком, плюс или минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения коэффициента при неизвестном вто¬ рой степени на свободный член, а знаменателем есть удвоенный коэф¬ фициент при неизвестном второй степени. Выражение Ь2 — 4ас, входящее в этой формуле под радикал, называют дискриминантом квадратного уравнения общего вида. Если Ь2 — 4ас > 0, уравнение имеет два разных действительных корня. Если Ь2— 4ас = 0, уравнение имеет два одинаковых корня: Ь * = *а = -25- Если Ь2 — 4ас < 0, уравнение не имеет корней (действительных). На следующих примерах показано, как можно применять общую фррмулу корней для решения квадратных уравнений. Пример. Решить уравнение З*2 + 11х + 6 = 0. Решение. Здесь а = 3, 6 = 11, с = 6. По формуле имеем: —11 ±/121—4-3-6 —И ± /121—72 —11 ± /49 Х 2-3 6 6 ~ —11 ±7 -11+7 2 —11 —7 а — 6 ; g ’ — з ’ хг— g — 3. Пример. Решить уравнение о.. , (*-3)2 (* + 3)2 , <*+ 1)(*-1) ^ + 4 8 3 Решение. 72лг + 6 (л;2 — бис + 9) = 3 (лг2 + 6л: + 9) + 8 (лг2 — 1); 72* + 6*2 — 36* + 54 = З*2 + 18*+ 27+ 8*2 — 8; —5*2 + 18* + 35 = 0, 5*2 —18*- 35 = 0; „ 18 ± /324 + 700 18 ± /ТШ ^ 18.± 32 . „ __ в. _ _ х~ ю ю 10 ’ 1— ь’х*— *'4' 255
Примечание. По общей формуле можно решать также и квадратные уравнения приведенного вида. Если Ь — четное число, то лучше представить общую формулу в виде а Пример. Решить уравнения: а) З*2 — 14*— 80 = 0; б) ах2 — 2 (а + Ь) х + АЬ = 0. Решение, а) Здесь а = 3, Ь = —14, с = —80. Подставив в фор¬ мулу значения коэффициентов, получим „ _ 7 ± /72 + 3 • 80 7 ± 1/289 7 ± 17 . 10 3 ~ 3 — 3 ’ ~S; х*~ 3 ■ б) По формуле имеем: Х_а + Ь ± У(д + Ь? — АаЪ _а + 6 ± ]/аа — 2аЬ + Ь* а а „ а + Ь ± (а—by* a X\ = 2, *2 = -- . Пример. Не решая уравнений, определить, сколько действи¬ тельных корйей имеет каждое из них: а) Ах2 -J- 6* + 9 = 0; б) 2ха —3* -+ 1 =0. Решение, а) Ь2 — 4ас = 62 — 4*4-9 = 36 — 144<0. Уравне¬ ние не имеет действительных корней. б) (—З)2 — 4 • 2 • 1=9 — 8>0. Уравнение имеет два действи¬ тельных различных корня. Пример. При каком значении k уравнение kx2 + 12* — 3 = 0 имеет корень, равный ? Решение. *'(т) +12-у-3=0, А + ^_з=0, * + 60 — 75=0, * = 15. * См. примечание на стр. 253. 256
Пример. При каком значении а уравнение ах2 + 4х -f 1 = 0. имеет два равных корня? Решение. Уравнение имеет, два равных корня при условии, что его дискриминант равен нулю. В нашем случае 4а — 4 • 1 • а=0, откуда а — 4. 5. Зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения. Между коэффициентами и корнями приведенного квадрат¬ ного уравнения х2 + рх + ц = 0 существуют такие зависимости: а) Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэф¬ фициенту при неизвестном в первой степени, взятом с противополож¬ ным знаком, т. е. xi + x2 = —р. б) Произведение корней этого уравнения равно свободному члену, т. е. *1 * Ч = <7- Эти зависимости известны под названием теоремы Виета. Пр и м е р ы. а) Уравнение х2 + 2х — 80 = 0 имеет корни xt = 8, х2 ^ —Ю, Xi + х2 == $ — Ю — —2, * *2 = 8 (—10) = -—80. б) Уравнение х2 + 9* + 14 = 0 имеет корни хх = —2, х2 = —7, *1 + *2 = —2 + (—7) = —9; = (^2) (—7) = 14. Правильно и обратное утверждение: если сумма двух чисел хг и *2 равна —р, а их произведение равно q, то эти числа являются корнями квадратного уравнения **+/>* + <7 = 0. Для случая полного квадратного уравнения неприведенного вида существуют зависимости: I ь с + = хгх2 = ~ . Например, уравнение 4*2 + 25* — 21 = 0 имеет корни: = —7, _ . 3 25 , _ 3 21 *i + *2 — 7+4 — ^ , *х*2 — ( 7) • ^ ^ . Эти утверждения дают возможность составлять квадратные урав¬ нения, которые имели бы наперед заданные корни, а такжз решать много других задач на составление и исследование квадратных урав¬ нений. Пример 1. Составить квадратное уравнение, имеющее корни 5 и —6. 9 5-353 257
Решение. Здесь хг + *2 = 5 + (—6) = —1, xxx2=b (—6)——30; следовательно, р=1, <7 = —30. Получаем уравнение Пример 2. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратными корням уравнения ах2 + Ьх + с = 0. Решение. Перепишем уравнение ах2 + Ьх + с = 0 так: по условию, корнями искомого уравнения будут — и —. Чтобы Xi х2 получить его коэффициенты, вычислим Пример 3. Не решая уравнение х2 + рх + q = 0, выразить сумму квадратов его корней через р и q. Решение. По теореме Виета: *х + х2 = —р и ххх2 = q хj -j- х2 = (Xi -j- х2 + 2*1*2) — 2*х*2 — (*i + х2)2 — —2хгх2 = (—р)2 — 2q = р2 — 2q. Пример 4. Известно, что ^их2 — корни уравнения *2+3*+ + т = 0. При каком значении т разность корней данного уравнения будет равна 6? Решение. Имеем: х2+х — 30 = 0. ь_ J_ , J хг + х2 а A J. JL *i х2 ххх2 ~ с ~~ с ’ Xi х2 1 _ 1 *1*2 с а а с а Уравнение будет иметь вид: х2 + — х + — = 0, 1 с с или сх2 + Ьх + а = 0. Xi -f- 2х-\х2 + х2 = 9; —4*1*2 = —4т. Складывая почленно равенства, получаем х\ — 2*1*2 + *2 = 9 — 4т, 258
или (хх — х2)2 = 9 — 4т. 27 Тогда 62 = 9 — 4т, значит т = —— . 4 § 23. Задачи на составление квадратных уравнений Задача 1. Огородный участок, имеющий форму прямоуголь¬ ника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется' обне¬ сти изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что пло¬ щадь участка равна 1200 кв. м. Решение. Пусть одна сторона прямоугольника х, тогда другая будет *+10. По условию имеем: *(*+ 10) = 1200. Следовательно, получили квадратное уравнение: х2 + Юл: —1200 = 0. Решая его, получаем: хх = 30, х2 = —40. Второе решение уравнения не принимаем во внимание, так как длина стороны прямоугольника не может выражаться отрицательным числом. Поэтому длина изгороди 2лг + 2(*+ 10) = 2 • 30 + 2(30 + 10) = 140 (м). Ответ. 140 м. Задача 2. Бригада лесорубов должна была по плану загото¬ вить в несколько дней 216 куб. м дров. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготовляла 8 куб. м сверх плана. Поэтому уже за день до срЬка было заготовлено 232 куб. м дров. Сколько дров в день должна была заготовить бригада по плану? Решение. Количество дров, которое должна заготовить бри¬ гада за 1 день по плану, принимаем за х (куб. м). Первые три дня бригада заготовила Зл; (куб. м). Остальные дни она заготовляла по 216 * + 8 (куб. м). По плану она должна работать (дней); с произво- . о / * ч * 232 — Зл: . „ч дительностью х + 8 (куб. м) в день она работала г-3— (дней). X + о Согласно условию задачи, имеем: 232 — Зх , „ , , 216 232 — Зх , . 216 -^-^+3+1= — , или --^-+4 = — . 9* 259
После преобразования получаем уравнение х2 + 48х —1728 = 0. Его корни хг = 24, х2 =*= —72. Следовательно, бригада в день должна была заготовлять по плану 24 куб. м. Ответ. 24 куб. м. Задача 3. Два автомобиля выходят из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости другого, и поэтому первый автомобиль приходит на место на 1 ч раньше второго. Опре¬ делить скорость обоих автомобилей, если известно, что расстояние между городами 560 км. Решение. Принимаем скорость второго автомобиля за х (км/ч). Тогда скорость первого будет 10 (км/ч). Значит, время движения 560 560 первого автомобиля будет—; время движения второго равно —г-г-т:. X По условию задачи первое из этих чисел на 1 больше второго. Следовательно, 560 __ 560 х Л'+Ю' После преобразований имеем: х2—10л: +5600 = 0. Корни этого уравнения: хх = 70, х2 = —80. Отбрасывая второй корень, так как скорость не может быть отрицательной, получаем: скорость первого автомобиля 70 км/ч. Тогда скорость второго равна 80 км/ч. Ответ. 70 км/ч и 80 км/ч. • Задача 4. Теплоход прошел по течению реки 48 км и столько же против течения и потратил на весь путь 5 ч. Определить ско¬ рость теплохода в стоячей воде, если считать скорость течения реки 4 км/ч. Решение. Скорость теплохода в стоячей воде принимаем за х (км/ч). Тогда его скорость по течению реки будет х + 4 (км/г), а скорость против течения х — 4 (км/ч). Значит, он пройдет по тече- 48 48 нию 48 км за - - ■ - ч и против течения за -ч. По условию за- X -j- 4 X 4 дачи получаем: 48 48 * — 4 + л: + 4 После преобразования получаем уравнение 5х2 — 96лг — 80 0. Его 4 корни: хх = 20, х$ = —g-. Значит, скорость теплохода в стоячей воде была 20 км/ч. Ответ. 20 км/ч. Задача 5. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом из того же пункта вышла мотор¬ ная лодка, которая догнала плот, пройдя 20* км, С какой скоростью 260
(в км/ч) проходил плот, если моторная лодка шла быстрее его на 12 км/ч? Решение. Скорость плота принимаем за х (кмfa), тогда ско¬ рость моторной лодки будет *+12 (км/ч). Время, в течение кото¬ рого моторная лодка догнала плот (к этому моменту она прошла 20 км), будет: ~pj24. Плот пройдет 20 км за ~ ч. Но плот плыл на дольше, чем лодка. Тогда _^_ + 51 = ^ х+12 х ’ После преобразований получаем уравнение *а+12* — 45 = 0. Его корни хх = 3, х2 =—15. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Следовательно, плот плыл со скоростью 3 км/ч. Ответ. 3 км/ч. Задача 6. Два велосипедиста выезжают одновременно на¬ встречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, и через час встречаются. Не останавливаясь, они продолжают пугь с той же скоростью. Первый велосипедист прибывает в пункт В на 35 мин раньше, чем второй в пункт Л. Определить скорость каж¬ дого велосипедиста. Решение. Расстояние между пунктами А и В представим отрезком АВ и предположим, что велосипедисты встретились в точке С (рис. 23). АС В Рис. 23. Обозначим расстояние АС (в км) через *. Тогда расстояние СВ (в км) будет 28 — *. Из условия задачи следует, что скорость первого велосипедиста * км/ч, а второго (28 — *) км/ч. Первый прошел рас- 28 . 28 стояние 28 км за —ч, а второй за ч. х г 28 — * Принимая во внимание, что первый велосипедист прибывает в пункт В на 35 мин раньше, чем второй в пункт Л, полу¬ чаем уравнение: -28 7 28 28 — * 12 х 9 261
После преобразований уравнение примет вид: *2 -f- 68* — 1344 = 0. Его корни: хг = 16, х2 = —84. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Получаем, соответственно, скорости велосипедистов 16 и 12 км/ч. Ответ. 16 км/ч и 12 км/ч. Задача 7. Из двух пунктов А и Bt расстояние между кото¬ рыми 24 км, отправились в одно и то же время два автомобиля на¬ встречу друг другу. После их встречи автомобиль, вышедший из пункта А, приходит в пункт В через 16 мин, а другой автомобиль приходит в пункт А через 4 мин. Определить скорость каждого автомобиля. Решение. Изобразим расстояние от Л до В отрезком АВ и предположим, что автомобили встретились в точке С (рис. 24). А В 24-х Рис. 24. Обозначим расстояние АС через * (в км). Тогда расстояние СВ 1 4 (в км) будет 24 — *. Так как 4 мин = ч, а 16 мин = трч> тоско- 15 15 24 х рость автомобиля, вышедшего из пункта А, равна —^— = 15 15 /24 *) *=—^ (км/ч). Скорость автомобиля, вышедшего из пункта В, равна *: ~ = 15* (км/ч). 15 (24 х) 4* До встречи первый автомобиль шел * : —^ 24 — * второй (24 — *): 15* = ■■ (ч). До встречи они шли одно и то же время, поэтому 4* 24 — * 15 (24 — *) ~ 15* После преобразования получаем уравнение х2 + 16*—192 — 0. Его корни *х = 8, *2 = —24. 262
Отрицательный корень отбрасываем. Значит, расстояние равно 8 км. Тогда скорости автомобилей: первого —— ='60 (км/ч); второго 15 • 8 = 120 (км/ч). Ответ. 60 км/ч и 120 км/ч. Задача 8. За 4 дня совместной работы двух тракторов различ¬ ной мощности было вспахано 2/з колхозного поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым трактором отдельно, если первым трактором можно вспахать все поле на 5 дней скорее, чем вторым трактором? Решение. Работу принимаем за единицу. Предполагаем, что вторым трактором можно вспахать все поле за х дней, тогда первым трактором можно вспахать все поле за х — 5 дней. Значит, за 4 дня 14 1 второй трактор вспашет — • 4 = — часть поля, первый =• • 4= XX х — о 4 = = часть. Так как это составит 2/з всего поля, то получаем X — о уравнение 1 - — После преобразования это уравнение X X — Э О примет вид: х2 — \7х + 30 = 0. Его корни хх = 15, х2 = 2. Второй корень не отвечает условию задачи, так как 2 — 5 = —3. Значит, второй трактор может вспахать все поле за 15 дней, а первый — за 10 дней. Ответ. 10 дней и 15 дней. Задача 9. Колхоз купил для заправки тракторов на а рублей лигроина и на такую же сумму керосина, всего п кг. Сколько кило¬ граммов куплено лигроина и сколько керосина, если килограмм пер¬ вого на 6 рублей дороже килограмма второго? Решение. Пусзъ куплено х (кг) лигроина. Тогда керосина было куплено п — х (кг). Цена килограмма лигроина будет ~ руб., а ке¬ росина ~~х РУб. Так как килограмм лигроина на 6 рублей дороже килограмма керосина, то получаем уравнение X п — х После преобразования уравнение примет вид: Ьх2 — (2а + Ьп) х -J- ап = 0. Тогда __ 2а + Ьп ± У4а? + Ь2п2 26 263
Знак плюс перед радикалом не годится, потому что в этом слу¬ чае х был бы больше /г, так как* 2а + Ьп^ Ьп п Via2 + №п? /ЙР Ьп п 2Ь 26 ~2 " 2Ь >_2Г‘>26 = ‘2- Покажем, что второй корень положительный, т. е. что 2а + Ьп — Via2 + Мп* „ 26 >0 или Же, что 2а + 6/г > /4а2 -f- 6*/i2. 4а2 + 62л2 + 8а2Ь2п2 = 2 а + 6л, тогда ]/"4а2 + б2/!2 < 2а + Ьп. Итак, имеем: лигроина 2а + Ьп — /4а2 + 62n2 , v 26 (/сг>’ а керосина _ 2а + Ьп — /4а2 + 62л2 Ьп — 2а + /4а2 + 62/*2 , ч “ 26 26 (/Сг)* § 24. Иррациональные уравнения 1. Определение. Иррациональным называется каждое уравнение, левая и правая части которого есть алгебраические выражения, при¬ чем хотя бы одно из них иррационально. Примеры иррациональных уравнений: УТ=3 = 7, |/Т+5-1^7=5 =10, /5 +ж = 71. Но уравнения V%x —f- 3 — 7, lg х — Vх — 2 = 7 не иррациональны. В элементарной алгебре рассматриваются лишь такие иррациональ¬ ные уравнения, в которых имеющиеся радикалы четной степени пред¬ полагают арифметическими (а нечетной степени — положительными или отрицательными, в зависимости от знака подкоренного выра¬ жения). Общий метод решения иррационального уравнения заключается в том, что сначала изолируется один радикал, затем обе части уравнения * Из условия задачи следует, что а > 0, Ъ > 0, п > 0. 264
возводят в степень, потом снова изолируется радикал и т^д. Вся¬ кое иррациональное уравнение после конечного числа таких преобра¬ зований может быть приведено к рациональному уравнению. Полу¬ чающееся в результате уравнение, вообще говоря, не будет экви¬ валентным заданному. Поэтому, найдя решения этого уравнения, йадо проверить их путем подстановки в данное уравнение и отбро¬ сить, как посторонние, те из них, которые не будут ему удовлетво¬ рять. Однако, если обе части иррационального уравнения возводились в нечетную степень, то проверять решение не обязательно, так как в этом случае придем к уравнению, эквивалентному данному. Если уравнение содержит радикалы с неизвестным в знаменателе, то его надо, как всегда, освободить от знаменателя, выполнив необхо¬ димые преобразования. Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, целесообразно определить область допустимых значений для неиз¬ вестного, так как в некоторых случаях после этого вообще отпадает необходимость решать уравнение. Пример. Решить уравнение -f- — з. Решение. Для первого радикала * !> 3, для второго * ^ 2. В области действительных чисел уравнение не имеет решений, так как нет общих значений х, для которых оба радикала имеют значение. Ответ. Данное уравнение не имеет решений. 2. Решение простейших иррациональных уравнений. Пример 1* Решить уравнение 3 + /* — 2 = 4. Решение. \fx--2 = 4 — 3, 2 = 1, * — 2 = 1, Jt = 3. Проверка. 34-1/3 — 2 = 3+1 = 4. Как видим, х = 3 удов- летворяет данному уравнению. Ответ, х = 3. Пример 2. Решить уравнение У* — 7 = х — 13. Решение. Возведем в квадрат обе части * — 7 =*a — 26*+169; х2 — 27*+ 176 = О, Х\ = 16, *2 = 11. Проверкой легко убедиться, что * = 16 удовлетворяет уравнению. *2 = 11 уравнению не удовлетворяет. Ведь левая часть уравнения неотрицательное число; тогда и правая часть должна быть неотрица¬ тельным числом, а это возможно при условии, что *> 13. Ответ. * »= 16. 265
Пример 3. Решить уравнение У х -\-Ъ-|- 1^2* + 8 = 7. Решение. ]/2* + 8 = 7 — УТ+Ъ\ 2лг —f-8 = 49 — 14Ух~^Ъ -|-* + 5; * — 46 = —14 Vx + 5; (* — 46)2 = 196 (* + 5); x2 — 288* + 1136 = 0, *i = 4, *2 = 284. Значение * = 4 удовлетворяет уравнению. Значение * = 284 ему не удовлетворяет. Ответ. * = 4. _ Ух —2 Ух — 6 Пример 4. Решить уравнение ?-==, = . ух — 4 ух — 7 Решение. Область допустимых значений * ;> 0, * Ф 16 и *=£49. (/* - 2) (Ух - 7) = (Ух - 6) (Ух - 4); х — 2Ух — 7 /* + 14 = * — б/* — 4/* + 24; —9/*+14 = —10/* + 24; /* = 10, * = 100. /100 — 2 /100 — 6 8 4 Проверка. L7== = ^-== , — = ~- . /100 — 4 /100 — 7 6 3 Ответ. * = 100. Пример 5. Решить уравнение ill (3* + 1)7 + (4* — 3)7 = (5* + 4)7 . Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. ii 1 [(3* + 1)7 + (4* - 3)7]* = [(5* + 4)7]2; 1 1 3*+ 1 + 2 (3* + 1)7 (4* — 3)74* ■— 3 = 5* 4\ 1 1 [(3* + 1)7 (4* — 3)7р = (3 — *)2; (3* + 1) (4* — 3) = 9 — 6* + *2. После преобразований имеем: 11*2 + *—12 = 0. Тогда хх = 1, 12 *2- ,j. 12 Значение * = 1 является корнем данного уравнения, а * = — yj не удовлетворяет уравнению. Ответ. * = 1. 266
Пример 6. Решить уравнение * -| } = x + Vl+x* x-Vl+x* : 2. Решение. * — Vi +*a-f* + /l+*2 = — 2(х + 1Л+*2)(* — VT+^); 2x = —2 [x2 — (1 +x*)]; 2* = 2, лг = 1. Проверка. —L + —Ц== 1 ~^ + *+)£l =-2. 1+/2T1 —/2 1—2 Ответ. * = 1. 5a2 Пример 7. Решить уравнение д: + ]/ a2 + *2 = Vcfi + X* Решение. лг "[/a2 + x2 + a2 + x2 = 5a2; x У a2 -f* x2 = 4a2 — *2. После возведения в квадрат обеих частей уравнения и некоторых преобразований получаем: 9a®x2 = 16a4; xt = ~, х2 = — у. Пусть а > 0. Тогда хх удовлетворяет данному уравнению, а х2 — нет. Если a < 0, то х2 удовлетворяет, а хг — нет. 4 Ответ, л: = — | а|. 3. Решение иррациональных уравнений способом замены. Этот спо¬ соб состоит в том, что выражение, находящееся под знаком радикала, обозначают новым неизвестным в некоторой степени, так чтобы корень извлекался. Пример 1. Решить уравнение х2 — Ух2 — 4 = 16. Решение. Область допустимых значений: х2 — 4 0, т. е., *<—2 и *:>2. Положим Ух2 — 4 = */, тогда х2 — 4 = у2; х2 = у2 + 4 и данное уравнение принимает вид у2 — у — 12 = 0, откуда уг = 4, у2 = —3. у2 отбрасываем, так как у> 0. Найдем значение х: лг2 = х^ + 4 = = 16 + 4 = 20, х1Л = ±У%0. Оба значения xlf2 = ±У20 принадлежат области допустимых зна¬ 267
чений и удовлетворяют уравнению, в чем можно убедиться путем проверки. Ответ. *1,2= ±1/20. Пример 2. Решить уравнение |/ 97 — л; + Vх = 5. Решение. Пусть {/97 — л: = и, = Тогда ы2 + у2 е= 25 — 2 «о, «4 + о4 = 625 — 100 uv + 4u2v2 — 2u2v2, 97 = 625100 uv + 2u2v2, (uv)2 — 50 (uv) + 264 = 0, Первая система в области действительных чисел не имеет реше¬ ний. Вторую систему решаем устно: их = 3, vx = 2; и2 =2, v2 = 3. Отсюда хг = 16, х2 = 81. Оба корня удовлетворяют данному уравнению. Ответ. Х\ = 16, л:2 = 81. 4. Умножение обеих частей уравнения на величину, сопряженную выражению в левой части. Пример. Решить уравнение У х-\-4 + 1/20 + х = 8. Область допустимых значений: * + 4!>0, х—4; 20 + * >■ 0, -20. Следовательно, —4. Решение. Положим К* 4- 4 —1/20 + * = #. Перемножим эти равенства почленно: Складывая эти уравнения, получаем 2 Ух + 4 = 6, откуда х 4- + 4 = 9, * = 5. Это значение принадлежит области допустимых зна¬ чений и удовлетворяет уравнению. Ответ, х а= 5. 5. Применение формул сокращенного умножения. ^ Пример. Решить уравнение (8* + 4) 8 — (8* — 4) 8 =2. и + v = 5, ы* _v* = 97 (к + 4) — (20 + х) = 8 #, откуда # = —2. Тогда 268
Решен йе. 1 1 [(8л: + 4)3" — (8л: — 4)*> = 8; 1 1 1 8* + 4 — (8* — 4) — 3 (8* + 4)^ (8* — 4)«" [(8* + 4)"» — 1 _(8л: — 4)т]=8*. Учитывая, что по условию выражение в квадратных скобках должно быть равно 2, получим: 1 8*+ 4 —8* + 4 — 6(64*2 — 16)Т = 8, откуда 64*2 — 16 = 0, * 4 ’ Проверка. *1 = Т’ **=-т- 1 1 (4 + 4)Т-(4 — 4)8 =2. 1 1 (—4 + 4)Т—(—4..4)Т“ — 2. ^ 1 1 Ответ. *1==у, *2 = — у. § 25. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными 1. Уравнение второй степени с двумя неизвестными. Общий вид уравнения второй степени с двумя неизвестными такой: а*2 + bxy + су2 + dx + еу + / =0. Здесь а, Ь, с, d, е, / — любые числа, только а, Ъ, с не могут одновременно равняться нулю. Примеры. *2 -f 3*# + 0,5#2 — 5^ = О, *</ + 7 = 0. Однако уравнение *2 + б*2# + 3# — 2 =± 0 ♦ Так как (а — Ь)* * а* — — За&(<* — Ь). 269
не является уравнением второй степени, так как его член Ьх*у не втс.рой, а третьей степени (степенью одночлена называют сумму по¬ казателей всех его букв). Уравнение второй степени с двумя неизвестными может иметь бесконечное множество решений, но может иметь только несколько* или вообще не иметь решений. Примеры Уравнения: *2 + 4#2 + 7 = 0 не имеет решений (действительных); х2 + 9#2=0 имеет одно решение: х = 0, у = 0. х2-\-2ху = 0 имеет бесконечное множество решений: хг = 0, уг = 0; *2 = 1, Уг = — у ; *з = 2; Уз = — 1 и т. д. 2. Системы двух уравнений, из которых одно первой степени, а другое — второй. В общем виде эта система уравнений записывается так: ( ахх2 + Ьхху + Cly2 + dxx + ем + h = 0; I d2x + e2y + /2 = 0- • Удобнее всего эту систему решать способом подстановки. Для этого достаточно из второго (линейного) уравнения выразить одно из неизвестных через другое. и найденное выражение подставить в пер¬ вое уравнение. В результате получим квадратное уравнение, решив которое, найдем значения одного из неизвестных. Затем, подставив эти значения неизвестного в какое-нибудь из данных уравнений (лучше в линейное), получим соответствующие значения второго не¬ известного. Пример 1. Решить систему: / 2*2 + 1 Ъху + 4#2 43* 4“ 24# + 7 = 0; \ * — 2# + 5 = 0. Решение. Из второго уравнения находим: х = 2у — 5. Подстав¬ ляем в первое: 2 (2у - 5)2+ 15 (2 у -5 )у + 4#2 + 43 (2у - 5) + 24# + 7 = 0. Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим 79 42#2 — 5# — 158 = 0, откуда #х = 2, #2 = — тн* 184 16 Из равенства х = 2у — 5 найдем: хх = —1, х2 = —щ- = —8^у . Однако многие системы такого вида можно решать также искус¬ ственными способами. 3. Решение системы вида: I X ± у = а, \ ху = Ь. 270
Пример 1. fx + y=5, \ ху = 4. Решение. Значения хи у можно рассматривать как корни квадратного уравнения г2 — 5г + 4 = 0. Имеем: zx = \9 г2 = 4. Оба уравнения системы симметричны относи¬ тельно х и у, поэтому получаем две пары решений: если одно реше¬ ние хх = 1, i/i = 4, то второе будет, наоборот: х2 =4, у2 = 1. Пример 2. I х-у = 7, 1 ху = 18. Решение. Эту систему записываем в виде I * + (—у) = 7, 1 х (—у) — —18. Тогда х и —у будут корнями квадратного уравнения: г2 —7г—18 = 0. Получаем 2х = 9, z2 = —2. Тогда х± = 9, —Ух = —2 или *! = 9, ух = 2 и *2 = —2, —02 = 9 или х2 = —2, 02 = —9. 4. Решение системы вида: Г х+у = а, \ хг + у2 = Ь. Возвысив первое уравнение в квадрат и вычтя из него второе, получим: а2 —b 2ху — а2 — Ь, откуда ху = —g— . Теперь вопрос сводится к решению системы: ( х + у = а, которую мы рассмотрели выше. 5. Решение системы вида Г *2 — 02 = а, \ х±у*=*Ь. 271
Эта система решается почленным делением первого уравнения на второе. В результате данная система заменяется следующей, рав¬ носильной ей: {* *»-■£• I X ± у = Ь, т. е. приводится к решению линейной системы с двумя неизвестными. 6. Система двух уравнений, из которых каждое второй степени. Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными имеет вид: Г ахх2 + Ьхху-\-с$2 + dxx + еху + fx = О, \ а2х2 -j- Ь2ху -|- с2у2 -f" d2x -f- е2у -|- f2 = 0. Такая система в общем виде не решается элементарно, так как она, вообще говоря, приводится к полному уравнению четвертой степени. Рассмотрим некоторые частные виды таких систем, которые мож¬ но решить элементарно. Пример 1. / ху + х + у — 2$, \ ху — 2 (х + у) = 2. Решение. ( ху-\-х + у — 29 121 2ху -f- 2х + 2у — 58 \ ху *— 2х — 2у — 2 I 1 I ху — 2х — 2у — 2 3ху = 60 или ху = 20. Подставив в первое (или во второе) уравнение ху = 20, получим: * + У = 9. Тогда из системы уравнении / ху = 20, \х + у = 9 находим: хх = 5, ух = 4 и х2 — 4, у2 — 5. Ответ. Данная система имеет два решения* хх =4, ух — 5; х2 = у2 — 4. Пример 2. Г 2*а — 3*1/ + 2#2 = 14, I х2 + ху — 02 = 5. - 272
Решение. 2*2 — 3ху 4- 2у2 = 14 *а + *# — #а = 512 2х2 — Ъху + 2#* = 14 2х2 + 2ху — 2 у2 = 10 4х2 — ху = 24 Отсюда 4*2 — 24 у=—т~- Подставляя значение у во второе уравнение системы, получаем уравнение 11**—163*2 +576=0. 2 2 64 Отсюда *! = 9, *а = и. Тогда находим четыре значения *: 8 8 3, —3, yj=* — Yjf * п°Дставив их в уравнение 4*а—ху = 24, получим соответствующие значения у. Иногда системы решаются способом разложения левой части одного из уравнений на множители, если, era правая часть равна нулю. Пример 3. ( 2*2 — 3ху + 5у — 5 = 0, \ *# + 2 —2# —*=0. Решение. ху +- 2 — 2# — * = (*# — *) + (2 — 2у) =* (# — 1) — 2(#~ 1) = = (*/- 1)(*-2). Тогда (* — 2) (у — 1) = 0 или * — 2 = 0 или # — 1=0. Значит, система приводится к решению совокупности двух систем уравнений { #—1=0 ( * — 2 = 0 \ 2*2 — 3*# + 5# — 5 = 0 \ 2*2 — 3*# + 5# — 5 = 0. П р и м е р 4. | *2 + #2 = а, \ ху = 6. Эту систему можно решать несколькими способами. Первый способ (способ подстановки). Из второго уравнения определяем одно неизвестное через другое; например, * = ~. Под¬ ставив это значение в первое уравнение, получим биквадратное урав¬ нение; #* — а#8 + б2 = 0. 273
б Решив его, найдем для у четыре значения. Подставляя их в ^='~, получим четыре соответствующих значения х. Второй способ. Умножим второе уравнение на 2 и приба¬ вим к первому: Решение этой системы рассмотрено выше. Третий способ. Если умножить обе части второго уравне¬ ния на 2 и вычесть его почленно из первого, то получим х2 + у2 — 2ху = а — 26, Если умножить второе уравнение на 2 и прибавить к первому, то получим X + у = ± ]/а + 26. Таким образом, имеем совокупность четырех систем линейных уравнений: Четвертый способ. Возвысив второе уравнение в квадрат *, получим следующую систему: Отсюда видно, чт& х2 и у2 — корни квадратного уравнения: х2 + у2 + 2ху = a -f- 26 или (л: -|- у)2 = a -f- 26; откуда x + y=±Va + 2b, т. е. получили систему уравнений {x + y=±Va + 2b; I ху — Ь. или x-y=±Va — 26, когда а >>26. { х-\- у = — У а2Ь, х — у=— Уа — 26; ( х+ у = — У а + 26, х — у = — У а —5б. / х2 + у2 = а, \ х2У2 = 62. г2 — az + 62 = 0. 274
Решив его, получим: ** = *1. У2 = г2- и, наоборот, х2 =s г2> y2 = Zi и т. д. Ниже рассмотрим два конкретных примера. Пример 5. ( *2 + #*=41, \ ху = 20. Решение. / *2 + I/2 = 41, \ х2у2 = 400. Составляем уравнение t2 — 41/+ 400 =0 Откуда tx = 25, t2 — 16. Значит х2 = 25, #2 == 16 и, наоборот, у2 =* = 25; jc2 = 16. *1>2 = ±5; *3,4 = ±4; #1,2 =±4; #з» * = ±5. Учитывая, что ху > 0, получаем всего четыре решения данной системы. О т в е т. = 5, ух = 4; х2 = — 5, У2 = — 4; *3 = 4, #з = 5; *4 = — 4, #4 = — 5. Пример 6. Г *2 + #2 = a2+4&2, t *# = 2a6. Р е ш е н и е. / х2 + I/2 = аа + 462, \ х2у2 = 4а^2. Составляем квадратное уравнение t2 — (a2 + 462) * + 4a262 = 0. Отсюда ti = a2, t2 = 462, лгь 2 = ±a, #b 2 = ±26, х3, 4 = ±2b, #3,4= ±я. 275
О т в е т. Хх = а, уг = 26; *2 =—а; у2 = — 2Ь; х3 = 26, 0з = а; *4 = — 26, уА = — а. Во многих случаях способ введения новых переменных значи¬ тельно упрощает решение системы уравнений. Пример 7. Решить систему j* , J/_34 у х ~ 15* *2 + ^2 _ 34. х и \ Решение. Пусть — = г, тогда — = —. У х z Имеем: z+-f = jg’ 15*2-342+15 =0, Zl=-|-, *. = ■§-. Значит, получаем две системы уравнений: * ( х_ 5^ Т9 - * ~ " ° ’ У 5 и < у 3 *2 + 02 = 34 ( *2 —J— 02 == 34, откуда находим четыре решения: *i = 3, ух = 5; — 5, 0з = 3; •^2 = — 3, 02 = — 5; *4 = —- 5, 04 — — 3. Пример 8. Решить систему Г *2 + 0* = 10, \ *+*0 + 0 = 7. Решение. Умножим обе части второго уравнения на 2 и при¬ бавим к первому: *2 + 02 + 2*0 + 2 (* -f 0) = 24. Положим * + 0 z, тогда г2 -f 2г — 24 = 0, откуда гА = — 6, г2 = 4. Получается две системы: |* + 0 = —6, Г * + 0 = 4, { *0 = 13 и \ Х0 = 3, которые имеют два действительных решения: *х = 1, 01 = 3 И *2 =* 3, 02 = 1. 276
Пример 9. Решить систему х + у 5 * х2 + if = Ю4. Решение. Делим второе уравнение на х2у2 (легко показать, что х Ф 0, уФ 0), югда 1+1=1 -х + у 5 ’ 1 . 1 _ 104 х2 у% v2##a * Прибавим к обеим частям второго уравнения по —, тогда по- ху лучим или 1+1-1 Х + у-5 • ' 1 . 1 \а _ 104 | 2 i* У) х2у2 ху ’ 1+1=1 х ^ у 5 ’ 9 104 2 25 х*у* ~ ху' 1 9 Полагая — = и, имеем: 104м2 + 2и — = 0. После получения значений wi = ^ и и2 = — щ система приводится к двум таким системам: ±4-1- 3 х + у - 5 * -!=-! ху~~ 20 ’ L-lJL^-JL * у 5 ’ 1 9 130* которые решаются легко. Пример 10.
Р е ш ен v е. Уравняем свободные члены Г *2 — ху + 02 = 21 15 I 5*2 — 5*0 + 5г/2 = 105 I у* —2ху = —15 J 71 7^/2— I4*f/ = —105 и сложим полученные уравнения: 5*2 — 19*0 + 1202 = 0. Так как у Ф 0, то разделим обе части этого уравнения на у2: Полагая — = и, получаем уравнение 5ы2 — 19и + 12= 0, 4 4 откуда «1=3, и2 = -g-. Следовательно, * = 3у и * = — у. Подставив значение * = Зу в одно из данных уравнений, напри¬ мер во второе, получим у2 —3, у = ± ]/3, откуда * = ±3 ]/3. Если 4 взять * = — 0, то получим * = ±4, 0 = ± 5. о Ответ. *i = 3 3, 01 = 1^3, *2 = —3 V3> 02 — 1/3, *3 = 4, 03 = 5, *4 = —4, 04 = —5. Примечание. Рассмотренным здесь приемом можно решать также многие приведенные ранее системы (см. примеры 2, 5, 8). § 26. Задачи на составление систем уравнений Задача 1. Расстояние между двумя городами, равное 480 км, пассажирский поезд проходит на 4 ч скорее товарного. Если ско¬ рость пассажирскою поезда увеличить на 8 км/ч, а скорость товар¬ ного увеличить на 2 км/ч, то пассажирский поезд пройдет все рас¬ стояние на 5 ч скорее товарного. Найти скорость каждого поезда. Решение. Обозначим скорость товарного поезда через * (км/ч), а скорость пассажирского поезда через у (км/ч). Тогда в первом случае товарный поезд пройдет 480 км за — (ч), а пассажирский — 480 , ч
Так как время движения пассажирского поезда меньше времени движения товарного на 4 ч, то получим уравнение: 480 __ 480 _ 4 У х Во втором случае скорость товарного поезда будет х + 2 (км/ч), а скорость пассажирского у + 8 (км/ч). Значит, товарный поезд пройдет 480 км за ^ ^ а пассажирский — за Др-- (ч). Тогда, со. X + 1 у -f- о гласно условию задачи, составим уравнение 480 480 0 + 8“* + 2 5* Таким образом, получили систему уравнений 480 = 480 4 У х 480 480 у + 8 х + 2 или 120 __ 120 У ~ х 96 96 # + 8-л: + 2 Решив эту систему уравнений, получим: х =30 км/ч, у = 40 Ответ. 30 /сл*/ч и 40 /сл/ч. Задача 2. Студенты взяли на лодочной станции напрокат лодку. Сначала они спустились на 20 км вниз по течению реки, загем повернули обратно и вернулись на лодочную станцию, затра¬ тив на всю прогулку 7 ч. На обратном пути, на расстоянии 12 км от лодочной станции, они встретили плот, проплывавший мимо лодоч¬ ной станции как раз в тот момент, когда они отправлялись на про- тулку. Определить, с какой скоростью двигалась лодка вниз- по течению реки и какова скорость течения реки. Решение. Если обозначить скорость лодки в стоячей воде через х (км/ч), скорость течения реки, а следовательно, и скорость плота через у (км/ч), то скорость лодки по течению будет х-\-у, 20 против течения х — у; время движения лодки по течению -у- ■ ч, X ~гУ 20 20 , 8 против течения ч9 до встречи с плотом —; и, на- х — у v х + у х — у 12 конец, время движения плота —. У 279
Так как, согласно условию, прогулка длилась 7 ч, получим уравнение 20 20 х+У х—у Поскольку время движения лодки и плота до их встречи было одно и то же, 'получим уравнение 20 8 = 12 х + у~^~х — у у * Решая систему уравнений 20 20 х + у^х-у '■ 20 8 __12' х + у х — у~~ у 9 находим х = 7, у = 3. Итак, скорость лодки по течению равна 10 км1ч% а скорость течения реки 3 км/ч. Ответ. 10 км/ч и 3 км1ч. Задача 3. На двух прямоугольных участках земли посажено рядами 350 плодовых деревьев, причем оказалось, что на каждом участке число рядов на 1 больше числа деревьев в ряду. По скольку деревьев было посажено в каждом ряду на том и другом участке, если на первом из них было на 130 деревьев больше, чем на втором? Решение. Обозначим число деревьев в ряду на первом участке через х, на втором через у. Тогда число рядов на первом участке будет х + 1, на втором у -f 1. А деревьев на первом участке будет *(*+1), на втором у(у+ 1). Согласно условию задачи получаем систему уравнений f * 1) — У (у 1) — 130; I * (*+ 1) -f у(у+ 1) = 350. Решив эту систему, получим: хг = 15, х2 = 16, уг = 10, у2 = —11. Значит, число деревьев в ряду на первом участке равно 15, на вто¬ ром 10. Ответ. 15; 10. Задача 4. Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска. Велосипедист, двигаясь на спуске со скоростью на .6 км/ч большей, чем на подъеме, тратит на путь от А до В 2 ч 40 мин, а на обратный путь от В до А на 20 мин меньше. Найти скорость вело¬ сипедиста на подъеме, и на спуске и длину подъема в направлении от А и Ву если длина всей дороги равна 36 км. Решение. Обозначим длину подъема в км через х, а скорость велосипедиста на подъеме через у {км/ч). 280
Далее запишем данные в виде схемы: Этапы S V t Подъем X У X Т Спуск j 36 - X | у + 6 * , 36 — х ... _8 У У + 6 з 36 — х U+ 6 2 ч 40 мин -4* Этапы S V Подъем 36 — X У 36 — * У Спуск | 1 ■ У + 6 X у 4-6 36 — х х 7 у з 9 ц 40 мин — — 20 мин = = 2 ч 20 лак = Решив полученную систему уравнений, находим = 12, */2 = ==—3,6; *1 = 24. Таким образом, длина подъема от А до В — 24 км, скорость на подъеме—12 км/чу скорость на спуске—18 км/ч. Ответ. 12 км/ч, 18 км/ч и 24 км. Задача 5. Деревянная балка весит 90 кг, а железная балка, длина которой на 2 м больше деревянной, весит 160 кг, причем вес 1 пог. м железной балки на 5 кг больше веса 1 пог. м деревянной балки. Найти вес 1 пог. м и длину каждой балки. Решение. Приведем сокращенную запись. Длина деревянной балки—х (м) » железной » —х-\-2 (м) Вес деревянной балки—90 кг Вес 1 пог. м деревянной балки — у (кг) » 1 пог. м железной » — у + 5 (кг) Вес железной балки — 160 кг Получаем систему уравнений f ху — 90, 1 (х 4~ 2) (у 4* 5) ^ 160., Решив эту систему, получим хъ * = 6Т у =* 15. Ответ. Вес 1 пог. м деревянной балки 15 кг, длина деревян¬ ной балки 6 ж, вес 1 пог. м железной балки — 20 яг, длина желез ной балки 8 м. 281
Задача б. По двум сторонам прямого угла по направлению к его вершине движутся равномерно два тела. В известный момент тело А отстояло на 60 м от вершины угла, а тело В — на 80 м от нее. Через 3 сек расстояние между А и В стало равно 70 м, а через сле¬ дующие 2 сек расстояние между телами уменьшилось еще на 20 м. Найти скорость каждого тела. Решение. Обозначим скорость тела А через х (м/сек), ско¬ рость В через у (м/сек). Тогда расстояние от Л до вершины угла через 3 сек— 60 — 3*; расстояние от В до вершины угла через 30 сек— 80 — 3у; квадрат расстояния между этими телами через 3 сек будет составлять (60 — 3*)2 + (80 — 3у)2. Так как по условию задачи рас¬ стояние равно 70 м, получаем уравнение (60 — З*)2 + (80 — 3 у)2 = 702. Расстояние тела А от вершины угла через 3 сек + 2 сек = 5 сек — 60 — Ьх\ расстояние от тела В до вершины угла через 5 сек — 80 — by; тогда квадрат расстояния между этими телами через 5 сек будет (60— 5л:)2 + (80—5у)2. Так как по условию расстояние равно (70—20) = = 50 (ж),то получим уравнение (60 — Ьх)2 + (80 — Ьу)2 = 502. Решив систему уравнений (60 — Зх)2 + (80 — 3 у)2 = 702, (60 — 5лг)а -f (80 — by)2 = 502, получим ylt 2 = 8, хь 2 = 6. Следовательно, скорость тела А равна 6 м/сек\ скорость тела В — 8 м/сек. Ответ. 6 м/сек; 8 м/сек. Задача 7. По круговой дорожке длиной 2 км движутся в одном направлении два конькобежца, которые сходятся через каждые 20 мин. Найти, с какой скоростью движется каждый конькобежец, если пер¬ вый пробегает окружность на 1 мин скорее второго. Решение. Обозначим скорость первого конькобежца через х (км/мин), скорость второго — через у (км/мин). Тогда первый прой¬ дет всю дорожку за ~ мин, второй за мин\ так как первый из х у них пробегает дорожку на 1 мин быстрее второго, получаем урав¬ нение У х Каждую минуту расстояние между конькобежцами увеличивается на х — у. За время, прошедшее от одной встречи до следующей (т. е. за 20 мин), расстояние должно увеличиться на 2 км, поэтому 20 (лс —- 282
— у) = 2. Полученная система уравнений имеет решение: хх = -i-; 2 2 1 0 Ух = -g-; *2 = —g-; 02 = —2"' Значит, скорость первого конько- 1 2 бежца -j км 1 мин = 30 kjh/ч, а скорость второго км/мин — = 24 ./м*/ч. Ответ. 3Q км/ч, 24 /си/ч. Задача. Рабочий изготовил в назначенный срок некоторое количество одинаковых деталей. Если бы он ежедневно изготовлял их на 10 штук больше, то выполнил бы работу на 4-~- дня раньше срока, а если бы он делал на 5^ деталей меньше, то опоздал бы на 3 дня против назначенного срока. Сколько деталей и в какой срок он выполнил? Решение. Пусть рабочий сделал х деталей в у дней. Тогда ежедневно он изготовлял — деталей. По условию, если бы он еже- У дневно изготовлял 10 деталей, то выполнил бы работу за у — У — 4дня. Значит + icj —4-i-j = *. Второе условие дает уравнение — 5^ (у -f- 3) = х. Получаем систему уравнений 10у_4Т7=45, —by + 3~- = 15. ► у X Сначала находим — =50. Тогда у = 27, а так как х = 50#, то х = У = 1350* Значит, рабочий сделал 1350 деталей за 27 дней. у Ответ. 1350 деталей, 27 дней. Задача 9. При совместной работе двух тракторов различной мощности колхозное поле было вспахано за 8 дней. Если бы поло¬ вину поля вспахать сначала одним трактором> то при дальнейшей работе двух тракторов вся работа была бы закончена за 10 дней. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каждым тракто¬ ром отдельно? ,283
Решение. Пусть первым трактором можно вспахать все поле за х дней, вторым —за у дней. Первое условие дает 1 + 1 = 1 х у 8 * Первый трактор может вспахать половину поля за 1 х дней. По условию другая половина может быть вспахана двумя тракторами за 10—~х дней. Отсюда получаем второе уравнение _1_ 1.1 2 Решив систему уравнений, получим х = 12, у = 24. Следовательно, первым трактором можно вспахать поле за 12 дней, вторым — за 24 дня. Ответ. 12 дней, 24 дня. § 27. Числовые неравенства 1. Понятие о неравенстве. Два числа или выражения, соединен¬ ные знаком «больше» (>) или знаком «меньше» (<), образуют не¬ равенство. Примеры неравенств: 3 < 8; 5 > —2; £r^>3*-l; £±|<За-2; т + п>7. Выражение, стоящее слева от знака неравенства, называется левой частью, а выражение, стоящее справа от знака неравенства,— правой частью. Знаки > и < противоположны друг другу. Если два неравен¬ ства имеют противоположные знаки, то они называются неравенст¬ вами противоположного смысла. Так, —4 > —5 и 2 < 5 являются не¬ равенствами противоположного смысла. Иногда между двумя числами или выражениями ставят знаки >* (не меньше) и < (не больше), например ^>/56. Такие записи называют нестрогими неравенствами. Примечания. 1. Знаки > (больше) и < (меньше) предло¬ жил английский алгебраист Т. Гарриот (1560—1621) в своем сочи не-' нии по алгебре, опубликованном посмертно в 1631 г. 284
2. Неравенствами называют также два числа или выражения, сое¬ диненных знаком Ф (не равно). Однако дальше речь будет итти не о таких неравенствах. Неравенства бывают числовые и буквенные. Числовыми называют такие неравенства, обе части которых есть числа, записанные циф- рамй. Если хотя бы одна часть неравенства есть буквенное выраже¬ ние, такое неравенство называется буквенным. 2. Свойства числовых неравенств. 1) Если первое число больше второго, а второе больше третьего, то первое также больше третьего. С помощью букв это свойство (его называют свойством транзитив¬ ности) можно записать так: Если а > b и Ъ > с, то а > с. 2) Неравенство не нарушится, если к каждой части его приба¬ вить одно и то же число, т. е. если а> Ь, тоа + с>& + с. Примеры, а) К обеим частям неравенства 9> 5 прибавим по 7, получим 16 > 12. б) Из обеих частей неравенства —12 < 1 вычтем по 5, т. е. при¬ бавим по —5, получим —7 < -г-4. 3) Любой член неравенства можно перенести из одной части в Другую, переменив его знак на противоположный, т. е. из а + Ь>с следует, что а>с — Ь, а + Ь — с> 0. 4) Если обе части неравенства имеют одинаковые члены, их можно опустить, т. е. из неравенства а + с > Ь + с следует неравен¬ ство а > Ь. 5) Два неравенства одинакового смысла можно почленно скла¬ дывать; при этом получим неравенство такого же смысла, как и данные. Примеры. , 3<9 , а>Ь 2<1 с> d 1 < 10 a + c>b + d. 6) Из одного неравенства можно почленно вычесть другое нера¬ венство противоположного смысла, оставляя зцак того неравенства, из котррого вычиталось другое. Прим еры. —10 < 0 а>Ь —8 > —13 c<d —2 <13 a — c>b — d. 7) Неравенство остается верным, если обе части его умножить на одно и то же положительное число. Неравенство переходит в ра* 285
венство 0 = 0, если обе части его умножить на нуль. Неравенств® меняем смысл на противоположный, если обе части его умножить на одно и то же отрицательное число. Это свойство кратко записы¬ вается так. Если а > bf то при с > 0, ас > Ьс; при с = 0, ас = Ьс; при с < 0, ас < Ьс. Примеры. Дано неравенство Множитель Новое неравенство 7 > 4 2 14 > 8 —9 < —1 4 —36 < —4 13 > 9 —2 —26 <—18 3 > — 10 —5 —15 <50 —3,2 > —7,5 0 0 = 0 Примечание. Так как деление на число, отличное от нуля, можно рассматривать как умножение на обратное ему число, то это свойство распространяется и на деление обеих частей неравенства на положительное и отрицательное число: а Ь Л если а > 6, то — > — при с > 0 с с и а b — < — при с < 0. с с г 8) Если почленно перемножить два неравенства, имеющих поло¬ жительные члены и один и тот же смысл, то получится неравенство того же смысла, т. е. если a, by с, d — положительные и а > 6, с > d, то ac>bd. 9) Неравенство, имеющее положительные члены, не нарушается, если каждую его часть возвести в степень с одним и тем же нату¬ ральным показателем, т. е. если а, b — положительные, п — натураль¬ ное и а > by то ап > Ьп. 10) Если а, Ь — положительные, п—натуральное и а > bt то V~«>V~b■ Примечание. Все эти свойства, сформулированные для стро¬ гих числовых неравенств, остаются в силе и для нестрогих числовых нераве