БИБЛИОТЕЧКА-КВАНТ-
ВЫПУСК 24
Е.Я. ГИК
ШАХМАТЫ
И МАТЕМАТИКА
БИБЛИОТЕЧКА «КВАНТ-
ВЫПУСК 24
Е.Я. ГИК
ШАХМАТЫ
И МАТЕМАТИКА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1983
Scan A AW
22.1
Г 46
УДК 51
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ?
Академик И. К. Кикоин (председатель), академик А. Н. Колмо-*
горов (заместитель председателя), доктор физ.-мат. наук Л. Г. Асла*
мазов (ученый секретарь), член-корреспондент АН СССР А. А. Аб-
рикосов , академик Б. К. Вайнштейн, заслуженный учитель РСФСР
Б. В. Воздвиженский, академик | В. М. Глушков |, академик
П. Л. Капица, профессор С. П. Капица, академик С. П. Новиков,
академик Ю. А. Осипьян, академик АПН СССР В. Г. Разумовский,
академик Р. 3. Сагдеев, кандидат хим. наук М. Л. С мол я некий,
профессор Я. А. Смородинский, академик С, Л. Соболев, член-
корреспондент АН СССР Д. К» Фаддеев, член-корреспондент
АН СССР И, С, Шкловский
Гик Е. Я.
Г 46 Шахматы и математика.— Мл Наука. Главная
редакция физико-математической литературы.
1983, 176 с,—(Библиотечка «Квант». Вып. 24) —
30 коп.
В книге математика, кандидата технических науи и мастера по
щахматам Е. Я. Гика рассказывается о различных связях между
шахматами и математикой. Рассматриваются многие типы математи-
ческих задач и головоломок на шахматной доске: о силе фигур, об
их маршрутах, расстановках и перестановках, о разрезании и по-
крытии доски. Описываются математические игры на шахматной доске,
устанавливаются рекорды, сообщается о шахматных успехах ЭВМ.
Дается математическое освещение таких шахматных аспектов, как
составление турнирных расписаний, вычисление рейтингов шахмати-
стов, геометрические свойства доски.
1702000000—026
F ' 053 (02)-83	206‘83
ББК 22.1
„ 1702000000-026 _ „„
Г 053 (02)-83	206'83
© Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы,
ПРЕДИСЛОВИЕ
У математики и шахмат много родствен-
ного. Выдающийся математик Г. Харди, проводя па-
раллель между этими двумя видами человеческой дея-
тельности, в своей статье «Исповедь математика» за-
метил, что решение проблем шахматной игры есть не
что иное, как математическое упражнение, а игра в
шахматы это как бы насвистывание математических
мелодий.
Формы мышления математика и шахматиста довольно
близки, и не случайно математические способности не-
редко сочетаются с шахматными. Конечно, не все сту-
денты мехмата поглощены серьезным изучением дебют-
ных вариантов (совмещать занятия математикой и шах-
матами вообще очень сложно), но, пожалуй, именно
на этом факультете труднее всего встретить студента,
не умеющего играть в шахматы!
Среди крупных ученых, специалистов в области
точных наук, известно немало сильных шахматистов,
например, математик академик А. А. Марков, механик
академик А. Ю. Ишлинский, физик академик, лауреат
Нобелевской премии П. Л. Капица.
В то же время многие гроссмейстеры имеют матема-
тическое или близкое к нему образование. Склонность
к занятиям математикой проявлялась даже у чемпио-
нов мира по шахматам. Интересовался ею первый шах-
матный король В. Стейниц. Профессиональным мате-
матиком был его преемник доктор Эм. Ласкер. Доктор
М. Эйве, пятый чемпион мира, возглавлял один из
вычислительных центров в Голландии. Первый совет-
ский чемпион мира М. Ботвинник, доктор технических
наук и специалист в области электротехники, в послед-
ние годы все силы отдает разработке алгоритма игры
в шахматы и, по существу, перекв-алифицировался к
3
математика-прикладника. Яркими математическими спо-
собностями в юные годы обладал М. Таль. Нынешний
чемпион мира А. Карпов с золотой медалью закончил
математическую школу, был победителем ряда матема-
тических олимпиад. После окончания школы он поступил
на механико-математический факультет МГУ, но затем
ради шахмат «пожертвовал» математикой...
Сопоставление математики и шахмат, как сфер че-
ловеческой деятельности, очень интересно и заслужи-
вает специального изучения. Однако эта тема лежит
несколько в стороне от содержания данной книги.
Шахматная доска, фигуры и сама игра часто исполь-
зуются для иллюстрации разнообразных математиче-
ских понятий и задач. Шахматные примеры и термины
можно встретить в литературе по кибернетике, теории
игр, вычислительной математике, исследованию опе-
раций, теории графов, теории чисел и комбинаторике.
Важное место занимают шахматы в развитии современ-
ных методов программирования на электронных вычис-
лительных машинах (ЭВМ).
Еще одна точка соприкосновения математики и
шахмат — это один из популярных жанров заниматель-
ной математики, к которому относятся математические
игры, задачи и развлечения на шахматной доске. Мы
называем этот жанр шахматной математи-
кой. Почти в каждом сборнике олимпиадных матема-
тических задач или книге головоломок и математиче-
ских досугов можно найти красивые и остроумные
задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие
из них имеют интересную историю, привлекали к себе
внимание известных ученых. Например, задачей о ходе
коня занимался великий математик Леонард Эйлер, а
задачей о восьми ферзях — другой великий математик
Карл Гаусс (обе задачи обсуждаются в книге).
Интересно, что «шахматные» увлечения Эйлера от-
носятся к 18-му столетию, а Гаусса — к середине
19-го. С тех пор в течение целого века крупные мате-
матики не занимались шахматами (речь идет о научном
подходе к игре). Ситуация резко изменилась в середине
нынешнего столетия в связи с бурным развитием кибер-
нетики и вычислительной техники. Шахматы — одна
из наиболее удобных моделей, используемых матема-
тиками при разработке современных методов програм-
мирования на ЭВМ. К шахматам постоянно обращались
4
в своих работах такие выдающиеся ученые, как Винер,
Тьюринг и Шеннон.
Наибольшее внимание в данной книге уделено шах-
матной математике (первые десять глав). Рассматри-
ваются многие типы математических задач и голово-
ломок на шахматной доске: о силе фигур, об их марш-
рутах, расстановках и перестановках, о разрезании и
покрытии ддски. Устанавливаются различные шахматно-
математические рекорды, описываются необычные свой-
ства геометрии шахматной доски.
Следующие две главы посвящены занимательным,
математическим и «сказочным» играм на шахматной
доске. Описываются игры на необычных досках, с не-
обычными правилами и с необычными фигурами. В гла-
вах 13, 14 дано математическое освещение двух шах-
матных вопросов: составление турнирных расписаний
и вычисление рейтингов шахматистов (коэффициентов,
характеризующих их силу). Наконец, в заключительной
главе рассказывается о шахматных достижениях ЭВМ —
в практической игре и в анализе окончаний.
По существу, над этой книгой автор работал более
десяти лет,— начиная с 1971 года, когда в журнале
«Квант» были впервые опубликованы его «Шахматно-
математические заметки». У издания «Шахматы и ма-
тематика» было два «промежуточных» этапа — в 1976 году
вышла моя книга «Математика на шахматной доске»,
а в 1981 году «Шахматный калейдоскоп» (в соавторстве
с А. Карповым). После их появления пришло много
писем, в которых читатели уточняли и улучшали пред-
ложенные решения задач, предлагали свои собственные
шахматно-математические игры, задачи, головоломки.
Некоторые из этих предложений нашли отражение в
данной книге. Вот один пример. Известно было, что
перестановку коней в третьем зигзаге Шинкмана (см.
стр. 89) можно осуществить в 107 ходов. Читатели
прислали более короткие решения, и в результате
рекорд был доведен до 45 ходов. Конечно, при работе
над книгой были учтены также материалы на шахматно-
математическую тему, появившиеся в печати в послед-
ние годы, в частности, в журнале «Квант».
Охватить весь жанр шахматной математики в одной
небольшой книжке невозможно. Если бы мы привели
исчерпывающие решения только тех задач, которые
содержатся в книге, то ее объем увеличился бы в не-
5
сколько раз. Вот почему для многих задач даны лишь
краткие решения, указания или ответы. Полные реше-
ния приводятся в тех случаях, когда они не требуют
громоздких выкладок и, кроме того, не лишены, на
вкус автора, некоторого изящества.
Литература по шахматной математике совершенно
необозрима. В список можно было бы включить многие
шахматные издания, монографии по перечисленным
выше разделам математической науки, книги по зани-
мательной математике, научно-популярные статьи и
работы в серьезных математических журналах. Однако
поскольку это не диссертация, решено было не зло-
употреблять ссылками на литературу. В конце книги
приведен список из десяти названий.
ГЛАВА 1
МАТЕМАТИКА ШАХМАТНОЙ ДОСКИ
В математических задачах и головоломках
на шахматной доске дело, как правило, не обходится
без участия фигур. Однако доска сама по себе также
представляет достаточно интересный математический
объект. Поэтому рассказ о шахматной математике мы
начнем с задач о шахматной доске, не расставляя пока
на ней фигур.
Прежде всего напомним одну старинную легенду
о происхождении шахмат, связанную с арифметическим
расчетом на доске.
Когда индийский царь впервые познакомился с шах-
матами, он был восхищен их своеобразием и обилием
красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который
изобрел игру, является его подданным, царь позвал
его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку.
Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца
и. был удивлен его скромностью, когда тот пожелал
получить в награду .пшеничные зерна. На первое поле
шахматной доски — одно зерно, на второе — два, и
так далее, на каждое последующее вдвое больше зерен,
чем на предыдущее. Царь приказал побыстрее выдать
изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако
на следующий день придворные математики сообщили
своему повелителю, что не в состоянии исполнить же-
лание хитроумного мудреца. Оказалось, что для этого
не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах
всего царства, но и во всех амбарах мира. Мудрец скром-
но потребовал
1+2+2*+. . .+26?=2М—1
верен. Это число записывается двадцатью цифрами и
7
является фантастически большим. Подсчет показывает,
что амбар для хранения необходимого зерна с площадью
основания 80 мг должен простираться от Земли до Солнца.
Конечно, связь с математикой здесь несколько условна,
однако неожиданная развязка истории наглядно ил-
260 260 260 260 260 260 260 260
Рис, 1. Альмуджаннах
магический квадрат.
люстрирует грандиозные ма-
2бо тематические возможности,
260 скрывающиеся в шахматной
2бо игРе-
Раз уж речь зашла о про-
260 исхождении шахмат, то уме-
260
стно привести одну гипоте-
260 зу, использующую некоторые
260 математические свойства дос-
2бо ки. Согласно этой гипотезе
шахматы произошли из так
называемых магических ква-
и дратов.
Магический квадрат по-
рядка п представляет собой
пХп, заполненную целыми чис-
квадратную таблицу
лами от 1 до па и обладающую следующим свойством:
сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также
двух главных диагоналей одна и та же. Для магиче-
ских квадратов порядка 8 она равна 260 (рис. 1). Зако-
номерность расположения чисел в магических квад-
ратах придает им волшебную силу искусства. Недаром
выдающийся немецкий художник А. Дюрер был на-
столько очарован этими математическими объектами,
что воспроизвел магический квадрат в своей знаменитой
гравюре «Меланхолия».
Рассмотрим одну из старинных дебютных табий (на-
чальных расположений фигур) под названием альмуд-
жаннах. Она получается из современной расстановки
при помощи следующих симметричных ходов белых и
черных: 1. d3 d6 2. еЗ еб 3. ЬЗ Ь6 4. g3 g6 5. сЗ сб 6. f3
16 7. с4 с5 8. f4 f5 9. КсЗ Кеб 10. Kf3 Kf6 11. ЛЫ ЛЬ8
12. Лgl Лg8 (рис. 1).
Подсчитав сумму чисел, стоящих на восьми полях —
d2, d3, е2, еЗ, d6, d7, еб, е7, участвующих в первых
двух ходах, мы неожиданно получим магическое число
260. Тот же результат даст и, каждая последующая
пара приведенных ходов. Подобные примеры (число их
можно увеличить) и позволяют высказать гипотезу
о связи магических квадратов с шахматами. А исчезно-
вение всех следов этой связи можно объяснить тем, что
в далекую эпоху суеверий и мистики древние индусы
и арабы приписывали числовым сочетаниям магических
квадратов таинственные свойства, и эти квадраты тща-
тельно скрывались. Может быть, поэтому и была выду-
мана легенда о мудреце, который изобрел шахматы.
Среди математических задач и головоломок о шах-
матной доске наиболее популярны задачи на разрезание
доски. Первая из них также связана с легендой.
Один восточный властелин был таким искусным
игр жом, что за всю жизнь потерпел всего четыре пора-
жения. В честь своих победите-
лей, четырех мудрецов, он при-
казал вставить в его шахмат-
ную доску четыре алмаза — на
те поля, на которых был за-
матован его король (см. рис.
2, где вместо алмазов изобра-
жены кони).
После смерти властелина его
сын, слабый игрок и жестокий де-
спот, решил отомстить мудрецам, Рис. 2. Легенда о четы-
обыгравшим его отца. Он велел рех алмазах,
разделить им шахматную дос-
ку с алмазами на четыре одинаковые по форме части
так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу.
Хотя мудрецы выполнили требование нового власте-
лина, он все равно лишил их жизни, причем, как гла-
сит легенда, для казни каждого мудреца использовал
его часть доски с алмазом.
Эта задача о разрезании доски часто встречается в
занимательной литературе.
Разрезать доску на четыре одинаковые части
(совпадающие при наложении) так, чтобы на
каждой из них оказалось по одному коню. Пред-
полагается, что разрезы проходят только по гра-
ницам между вертикалями и горизонталями доски.
Одно из решений задачи представлено на рис. 2.
Располагая четырех коней на различных полях доски,
мы получаем множество задач о разрезании. Интерес
в них представляет не только нахождение одного не-
обходимого разреза, но и подсчет числа всех способов
разрезать доску на четыре одинаковые части, содер-
Ч
жащие по одному коню. Установлено, что наибольшее
число решений — 800 — задача имеет при расположе-
нии коней в углах доски.
Следующую задачу на разрезание обычно связы-
вают с именем выдающегося шахматного композитора
и мастера головоломок С. Лойда.
На какое максимальное число частей можно
разрезать шахматную доску, если считать разными
части, отличающиеся своей формой или цветом
полей при совмещении. Переворачивать части не
разрешается (а поворачивать можно).
Максимальное число частей равно 18. На рис. 3
представлены два разреза. Решение на рис. 3,а при-
надлежит Лойду; особенность его состоит в том, что
б ’
Рис, 3, Задача о разрезании доски,
одна из частей содержит восемь полей (максимум).
В решении на рис. 3,6, отличающемся внешней сим-
метрией, ни одна часть не содержит более пяти полей.
На рис. 3,а части 17 и 18, или 8 и 9, хотя и имеют оди-
наковую форму, отличаются цветом полей при совме-
щении. Другие части, например, 3 и 6, вообще не могут
быть совмещены (переворачивать их нельзя).
Рассмотрим рис. 4,а. Здесь требуется выполнить
сразу три задания, одно математическое (на разрезание
доски) и два чисто шахматных:
а) разрезать доску на четыре одинаковые части
(совпадающие при наложении); б) заматовать чер-
ного короля кратчайшим путем при ходе белых;
в) заматовать черного короля кратчайшим путем
при ходе черных (кооперативная игра).
19
Решение: а) необходимый разрез доски показан на
рис. 4,6; б) при ходе белых мат дается на 12-м ходу:
1. СЬ4 Креб 2. Kpd3 Креб 3. Крс4 Кре5 4. Сс2 Креб
5. СЬЗ+ Креб 6. КрсЗ	„	„
Кре4 7. Cd6 КреЗ 8. Cd5
Кре2 9. Крс2 Kpel (еЗ)
10. Сс5(+)Кре2 П.Сс4+
Kpel 12. СЬ4Х (все
ходы черного короля
вынуждены); в) при хо-
де черных после 1. . .
Кре7 мата нет, так как
король скрывается в уг-
лу — 2. СЬ4+ Кре8 с
Рис. 4, Три задачи на необычной
доске,
угрозой пата; однако
если черные играют ко-
оперативно (помогают
белым дать мат), то цель
1. . . Kpd6 2. Kpd4 Кре7
В двух следующих
достигается всего за три хода:
3. СЬ4+ Креб 4. Cd5X.
задачах требуется разрезать
шахматную доску на самые мелкие части, т. е. на
отдельные поля.
Пусть разрезанные части доски разрешается
прикладывать друг к другу так, чтобы следующий
разрез мог рассечь не одну, а несколько частей,;
Сколько разрезов надо произвести, чтобы получить
64 отдельных поля доски?
Сначала разрежем доску пополам. Затем положим
обе половины рядом и проведем второй разрез, получая
четыре одинаковые части и т. д. Так как каждый разрез
увеличивает число частей вдвое, то после шестого раз-
реза доска распадается на 64 поля (64=2в).
Пусть теперь каждую часть доски разрешается
разрезать только в отдельности. Сколько разрезов
понадобится в этом случае, чтобы получить
64 отдельных поля?
Обычно эта задача, особенно если она предлагается
сразу после предыдущей, вызывает определенные труд-
ности. Вероятно, у решающих задачу в какой-то мере
проявляется инерционность мышления. Ведь сразу
видно, что придется произвести 63 разреза. Действи-
тельно, каждый разрез увеличивает число частей на
единицу, но перед тем, как произвести первый разрез,
И
мы имели одну часть (саму доску), а в результате их
должно стать 64 (все поля доски).
До сих пор мы считали, что разрезы обязательно
проходят между вертикалями и горизонталями доски,
т. е. ровно по границам полей. В следующих двух
задачах это условие не принимается во внимание.
Какое максимальное число полей доски можно
пересечь одним разрезом?
Произвести разрез доски — это то же самое, что
провести на ней прямую. Другими словами, нам нужно
определить максимальное чи-
сло полей, которое может пе-
ресечь прямая, проведенная
на доске. Поля доски обра-
зуются в результате пересе-
чения 18 прямых — девяти
вертикальных и девяти гори-
зонтальных. С каждой из них
прямая-разрез может пере-
сечься лишь в одной точке,
но из четырех прямых, обра-
зующих края доски, она пере-
секается лишь с двум я. Отсю-
да следует, что наша прямая
пересекает прямые, образую-
большее в 16 точках. Эти точки
Рис, 5. Пятнадцать полей
пересечены одной прямой.
щие поля доски, самое
разбивают прямую не более чем на 15 отрезков, каждый
из которых заключен внутри какого-нибудь поля. Таким
образом, любой разрез доски пересекает не более 15 по-
лей. Из рис. 5 следует, что ровно столько полей пере-
секает разрез, проведенный параллельно диагонали
доски и проходящий через середины сторон двух угло-
вых клеток.
Итак, одним разрезом можно пересечь 15 полей
доски. Естественно, возникает следующая задача.
Сколько нужно провести разрезов (прямых)
на доске, чтобы пересечь все ее поля?
Разумеется, восьми разрезов вполне достаточно —
по одному вдоль каждой вертикали или каждой гори-
зонтали. Однако, оказывается, что и семь прямых могут
пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую
нужно провести почти в диагональном направлении
через центр доски, а шесть других — в направлениях
почти параллельных второй диагонали доски (рис. 6).
12
В книге мы будем часто встречаться не только
с обычной шахматной доской размером 8x8, но и с до-
сками других размеров. В частности, многие из рас-
сматриваемых задач легко обобщаются для прямоуголь-
ной доски тХл, имеющей т вертикалей и п горизон-
талей, или квадратной доски (при тех или иных
значениях т и п). Мы говорим, что доска четна, если
число ее полей четно, и доска нечетна — в противном
случае. Всюду, где размеры доски не указаны, имеется
в виду стандартная шахматная
доска, для которой /п=п.=8.
Последние две задачи не- •
трудно сформулировать для
произвольной квадратной дос-
ки. При этом нетрудно убедить-
ся, что существует разрез, пере-
секающий (2п—1) поле доски
пХп, и достаточно провести
(п.—1) разрез (при п>3), чтобы
переоечь все поля доски пХп.
Тему, связанную с разреза-
нием доски, закончим следующим
известным парадоксом. Разрежем
Рис. 6. Семь прямых пе-
ресекают все поля доски.
доску на четыре части, как показано на рис. 7,а (поля дос-
ки специально не раскрашены, чтобы «запутать» чита-
б
Рис. 7. Парадокс с разрезанием доски.
Площадь шахматной доски, очевидно, равна 64, а пло-
щадь полученного прямоугольника — 65. Таким об-
разом, при разрезании доски откуда-то взялось лишнее
поле!
Разгадка парадокса состоит в том, что наши чер-
тежи выполнены не совсем точно (мы умышленно про-
вели толстые линии, чтобы скрыть неточности). Если
>3
делать чертеж аккуратно, то вместо диагонали прямо-
угольника на рис. 7,6 появится ромбовидная, чуть
вытянутая фигура со сторонами, которые кажутся
почти слившимися. Площадь этой фигуры как раз
и дает одно «лишнее» поле.
Другую тему, посвященную задачам о доске, начнем
со следующей старинной головоломки.
Можно ли целиком покрыть домино квадрат 8x8,
из которого вырезаны противоположные угловые
клетки (рис. 8,а)?(
Предполагается, что каждое домино имеет размеры
2X1 и покрывает два соседних поля доски, а каждое
Рис. 8, Задача о домино.
поле покрывается одной половинкой домино. Мы могли
бы воспользоваться алгебраическими рассуждениями,
однако шахматное решение и проще, и изящнее. Окрасим
наш урезанный квадрат в черно-белый цвет, превратив
его в шахматную доску без двух угловых полей а8 и
Ы (рис. 8,6). При любом покрытии доски каждое до-
мино покрывает одно белое и одно черное поле. У нас
же черных полей на два больше, чем белых (вырезанные
поля — белые), и поэтому необходимого покрытия
не существует! Как мы видим, раскраска доски не
только позволяет шахматисту легче ориентироваться
во время игры,.но и служит средством решения мате-
матических гОЛОволомок.
В рассмотренной задаче существенным было не то,
что удалены угловые поля доски, а то, что они одного
цвета. Из наших рассуждений следует, что какую бы
пару одноцветных полей ни вырезать, покрыть домино
оставшуюся часть доски не удастся. Возникает такая
задача.
14
Пусть на шахматной доске вырезаны два поля
разного цвета. Всегда ли можно покрыть остав-
шуюся часть доски 31 домино?
Оказывается, что всегда. Проведем замкнутую линию,
как показано на рис. 9. Если из доски вырезаны сосед-
ние поля, то разорванная линия
будет состоять из одного куска,
проходящего через 62 поля, при
этом цвета полей чередуются.
Если мы станем размещать до-
мино вдоль этой линии, то за-
кроем всю оставшуюся часть
доски. Если вырезанные поля
не являются соседними, то ли-
ния разорвется на две части,
проходящие через четное число
полей, и каждую из них можно
покрыть домино.
Рис, 9, Домино покрыва-
ют доску.
Пусть из шахматной доски вырезано некоторое
количество полей. При каком наименьшем числе
таких полей на оставшуюся часть доски нельзя
поместить ни одного домино?
Достаточно вырезать из доски 32 поля одного цвета —
либо белые, либо черные, и на
ней не останется места ни для
одного домино.
Можно ли доску по-
крыть домино так, чтобы
на ней нельзя было про-
вести ни одной границы
между вертикалями или
горизонталями, не пересе-
кая домино?
Если представить себе, что до-
ска—это стенка, а домино—кир-
пичи, то существование указан-
ной границы (шва) свидетельствует о непрочной кладке.
Иначе говоря, в задаче спрашивается, можно ли располо-
жить «кирпичи» так, чтобы «стенка» не рухнула. Прямо-
угольник, который удается покрыть необходимым образом,
называется прочным. Построение, приведенное на рис. 10,
показывает, что шахматная доска является прочной.
В общем случае, из домино можно сложить произволь-
ный прочный прямоугольник, площадь которого четна,
18
а длина и ширина больше четырех; исключение состав-
ляет лишь квадрат 6X6.
Доска 100x4 покрыта домино. Доказать, что
ее можно распилить по одной из границ между
вертикалями и горизонталями, не затрагивая ни
одного домино.
Очевидно, что любая из указанных границ делит
доску на две части, состоящие из четного числа полей.
Поля каждой части разобьем на два класса: покрытые
домино, целиком лежащие в этой части, и покрытые
домино, пересекаемыми границей. Поскольку число
полей каждой части четно (быть может, нуль), так же
жак и число полей первого класса (каждое домино
покрывает два поля), то и число полей второго класса
четно. А это значит, что число домино, пересекаемых
границей, четно. Всего разделяющих границ существует
102 (99 вертикальных и 3 горизонтальные), и если каж-
дая из них пересекает домино, то в покрытии участвует
не менее 102x2=204 домино. В нашем же распоря-
жении их только 200. Фактически мы показали, что
прямоугольник 100X4 является непрочным.
Рассмотренные задачи о шахматной доске -и домино
легко переносятся на любые четные доски. Разумеется,
если из доски ничего не вырезано, то ее всегда можно
покрыть домино. Другое дело, если доска нечетна.
В этом случае, как ни укладывай домино, по меньшей
мере одно ее поле останется непокрытым. Однако можно
доказать следующий интересный факт: если доска пХп
нечетная, то при удалении из нее любого поля «ббльшего
цвета» или двух полей «ббльшего цвета» и одного «мень-
шего», оставшуюся часть всегда можно покрыть до-
мино.
Задачи о шахматных досках и домино составляют
лишь небольшую часть целой серии задач такого сорта.
В общем случае вместо домино рассматриваются так
называемые полимино, представляющее собой одно-
связную фигуру, состоящую из квадратов. С точки
зрения шахматиста, односвязность означает, что все
квадраты полимино можно обойти ходом ладьи. В за-
висимости от числа квадратов, полимино бывают раз-
личного типа. Мономино содержит один квадрат, до-
мино — два, тримино — три, тетрамино — четыре, пен-
тамино — пять и т. д. (полимино, содержащие более
двух квадратов, имеют различную форму). В задачах
16
о пол имино покрываются разнообразные доски, не обя-
зательно прямоугольные.
Остановимся еще на нескольких вопросах, связанных
с покрытием обычной шахматной доски. Очевидно,
покрыть ее только прямыми тримино, т. е. домино 3X1,
невозможно, так как 64 не делится на 3. Возникает
следующая задача.
Можно ли покрыть шахматную доску 21 пря-
мым тримино и одним мономино? Если можно,
то какие поля занимает при этом мономино?
Одно из покрытий показано на рис. 11, а. Для оп-
ределения возможных расположений мономино про-
ведем на доске две системы параллельных прямых, как
показано на рис. 11,6. Легко-убедиться, что при любом
покрытии доски каждое тримино покрывает ровно одно
поле, через которое проходит сплошная прямая, и ровно
одно, через которое проходит пунктирная прямая.
Поскольку число полей, пересекаемых сплошными пря-
мыми, равно 22, как и число полей, пересекаемых пунк-
тирными прямыми, а тримино имеется 21, то мономино
может занимать лишь поля, пересекаемые обоими се-
мействами прямых. А таких полей всего четыре: сЗ, сб,
f3 и f6. Поворачивая доску на 90, 180 и 270°, можно
получить соответствующее покрытие для каждого из
этих четырех полей.
До сих пор мы рассматривали покрытия досок до-
мино или тримино. Возможность покрытия произволь-
ной прямоугольной доски прямыми 6-мино (домино
&Х 1) определяется следующей теоремой.
17
Доску fflXn можно покрыть прямыми Л-мино
в том и только в том случае, если хотя бы одно
из чисел т или п делится на k.
Проиллюстрируем эту теорему следующей задачей.
Можно ли покрыть доску 10X10 прямыми
тетрамино?
Прямое тетрамино имеет размеры 4X1, и, значит,
в принципе 25 костей могли бы покрыть все поля доски.
Однако это невозможно — 10 не делится на 4.
Обсуждая математические свойства доски, нельзя не
упомянуть об одном старинном доказательстве на шах-
матной доске . . . теоремы Пифагора.
Рис. 12. Теорема Пифагора на шахматной доске.
Разобьем доску на квадрат и четыре одинаковых
прямоугольных треугольника (рис. 12, а). На рис. 12, б
изображены те же четыре треугольника и два квадрата.
Треугольники в обоих случаях занимают одну и ту же
площадь, и, следовательно, одну и ту же площадь за-
нимают оставшиеся части доски без треугольников (на
рис. 12, а — один квадрат, а на рис. 12, б — два).
Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе
прямоугольного треугольника, а маленькие — на его
катетах, то знаменитая теорема Пифагора доказана!
На полях доски расставлены числа так, что
сумма любых четырех из них, расположенных
«буквой Г» (ходом коня), одна и та же. Сколько
чисел может быть использовано при таком запол-
нении?
Рассмотрим фрагмент доски 3x3 (рис. 13, а). Из
равенства (а4+а54-ав)+а3==(а4-!-з,4-ав)-|-а9=а1-|-(а4-{*
+а64-ав)=а,+(а4+а6+ав) следует, что ai=a3=a,==a9>
18
а из равенства а7+а4+аН-аа=а()4-ав+а8+а2, что а4=ав.
Аналогично, а4=а0=а2=а8 и a8=af.
Итак, любой квадрат 3x3 устроен так: на полях
одного цвета стоит некоторое число а,’ а на полях дру-
гого цвета — число b (см.
рис. 13, б). Из этого следу-
ет, что при заполнении всей
доски указанным способом
может быть использовано
либо одно число (а=Ь), ли-
бо два (а#=Ь).
С точки зрения шахма-
тиста наиболее интересное
свойство доски заключается в необычном измерении
расстояний на ней. Расстояние между двумя полями
доски можно определить как число ходов, за которое
король (самая медленная фигура) переходит с одного
из них на другое. Свойства шахматных расстояний
отличаются от обычных. Так, в евклидовой геометрии
расстояние от поля al до h8 больше, чем до а8, однако
на шахматной доске эти расстояния равны — оба пути
король преодолевает за семь ходов.
Рассмотрим знаменитый этюд Рети, в котором гео-
метрические особенности доски проявляются особенно
эффектно (рис. 14). Кажется со-
вершенно невероятным, что в этом
положении белый король в состо-
янии догнать черную пешку. Од-
нако это становится возможным, ес-
ли он отправится за ней не по
«обычной» прямой, а по «королев-
ской».
1.- Kpg7 h4 2. Kpf6! Теперь
грозит 3. Креб, после чего белая рИС1 р рети> ни.
пешка при поддержке короля пре- ’ ‘ чья.
вращается в ферзя одновременно
с неприятельской. Такая угроза не могла бы возник-
нуть, если бы белый король двигался за пешкой пря-
молинеййо, по вертикали «Ь».
2. , .КрЬб 3. Кре5! Снова король хочет помочь своей
пешке, и хотя он довольно далеко удалился от крайней
вертикали, после 3 . . .Кр : сб успевает догнать пешку:
4. Kpf4 h3 5. Kpg3 h2 6. Кр l h2. Ничья,
19
ГЛАВА 2
КОНЬ-ХАМЕЛЕОН
Совсем не обязательно быть .шахматистом,
чтобы знать, какая шахматная фигура самая удиви-
тельная. Конечно, это конь! Не случайно выражение
«ход конем» стало крылатым и прочно вошло в наш
быт. А один из самых остроумных гроссмейстеров,
С. Тартаковер, прямо считал, что «вся шахматная пар-
тия — это один замаскированный ход конем». Поэтому,
переходя к математическим задачам с участием фигур,
мы прежде всего остановимся на задачах о коне.
Основное свойство коня, которое отличает его от
других фигур, состоит в том, что он на каждом своем
ходу меняет цвет поля, на котором стоит. Вот почему
в заголовке этой главы мы назвали его хамелеоном.
Многие задачи о коне удается эффектно решить, если
воспользоваться указанным свойством..
Может ли конь с поля al добраться до Ь8, по-
бывав на каждом поле доски ровно один раз?
Не может. Исходное поле al — черное, и, значит,
на каждом нечетном ходу конь попадает на белое поле.
Однако число 63 (именно на 63-м ходу конь прибывает
в противоположный угол доски) нечетно, а поле h8—
черное.
Все оказалось довольно просто, но любопытно, что
за доской шахматист иногда сталкивается с подобными
вопросами. Рассмотрим, например, позицию, изобра-
женную на рис. 15. Белым здесь удается добиться ни-
чьей единственным путем— 1. Kpcll Теперь их король
будет переходить с cl на с2 и об-
ратно, занимая каждый раз поле
того цвета, что и конь, и не вы-
пуская черного короля из заточе-
ния. В случае 1. Крс2 конь по-
падал на d3 при короле на с2, и
пешка проходила в ферзи.Анало-
гия между этим шахматным при-
мером и предыдущей задачей оче-
видна.
Решим один изящный этюд,
в котором требуется перехит-
рить коня-хамелеона (рис. 16). Простой анализ по-
зиции показывает, что фигуры обеих сторон в правом
20
Рис. 15. Ничья.
нижнем углу не могут двигаться, т. е., выражаясь
шахматным языком, находятся во взаимном ц у г ц в а н-
г е. Например, если ферзь уйдет с ЬЗ, то либо будет
потеряна ладья, либо двинется черный слон с угрозой
f2—f 1Ф. С другой стороны, любой ход слона fl и коня
hl в начальном положении приводит к немедленной
гибели черных, и, значит, они мо-
гут ходить только конем h8. Итак,
белый король должен подойти к
полю h8 и забрать этого коня. Ид-
ти он может только по черным
полям, так как на белом поле по-
лучит шах слоном fl с превраще-
нием пешки «Ь.
Прямолинейное движение коро-
ля к угловому полю не дает резуль-
тата: 1. Kpb2 Kf72. КрсЗ Kh83. Кр
d4 Kf7 (прикрывая поле е5) 4. КреЗ Kh8 5. Kpf4 (на 5. ФЬ4
Cd3 6. Л : hl4- черные играют не 6. . .gh®? 7. Ф : f2x,
а 6. . .ghK!) 5. . .Kf7! (охраняя поля е5 и g5) 6. КреЗ
Kh8 7. Kpd4 Kf7 8. Крс5 Kh8 9. Kpd6 Kg6l Мы видим,
что конь держит все поля вторжения белого короля.
Для того чтобы все-таки прорваться к полю h8 белому
Рис. 16. В. Чеховер.
.Выигрыш,
королю нужно изменить соответствие цветов между
ним и черным конем. Но этого можно достичь, лишь
встав один раз королем на белое поле. Искомым яв-
ляется поле а8 — единственное недоступное для чер-
ного слона.
После проведенного анализа решение находится
почти автоматически: 1—6. КрЬ2—сЗ—d4—с5—Ь6—а7
(черный конь в это время переходит с Ь8 на g6 и обратно)
7. Кра8! Kg6 8. Kpb8 Kh8 9. Крс7 Kf7! Неожиданно
черный конь опять создал барьер для короля, но это
лишь временное препятствие. 10—13. КрЬб—с5—d4—
е5 Kg6+ 14. Kpf6 Kh8 15. Kpg7 Kg6 16. Ь8Ф (после 16.
Кр : g6 Cd34- вся работа белых пошла бы насмарку)
16. . .К: Ь8 17. Кр: h8 Kg3 18. Ф : g3 Cd3 19. Ф: g2X.
Любопытно, что в решении этюда содержится любопыт-
ный геометрический мотив: белый король, прежде чем
добиться цели, побывал в трех углах шахматной доски!
Мы начали главу одной задачей о путешествии коня.
Займемся теперь подробнее этой темой, одной из самых
популярных в шахматной математике. Прежде всего
договоримся о некоторых терминах, связанных о пу-
21
тешествием фигур по доске. Перемещение любой фигуры
между двумя полями доски будем называть путем этой
фигуры.
Если путь содержит все поля доски, то мы называем
его маршрутом. При этом дальнобойная фигура (ферзь,
ладья или слон), перемещающаяся по своему маршруту,
не обязана останавливаться на каждом поле, лишь бы
она проходила мимо всех полей доски (мимо некоторых
можно более одного раза).
Маршрут замкнут, если последним ходом фигура
возвращается на исходное поле, в противном случае
маршрут открыт. В этой главе мы будем рассматривать
только такие маршруты, которые проходят через каж-
дое поле доски ровно один раз.
Произвольному пути или маршруту фигуры можно
поставить в соответствие график, который получается
в результате последовательного соединения прямоли-
нейными отрезками центров полей, посещаемых фигурой.
Такие графики, как мы увидим ниже, иногда могут
иметь довольно забавный вид.
Возвращаясь к рассказу о коне-хамелеоне, заметим,
что задача о его маршруте, проходящем через все поля
доски по одному разу, является классической в занима-
тельной математике (обычно ее называют просто задачей
о ходе коня).
Обойти конем все поля шахматной доски, по-
сетив каждое из них ровно один раз.
Особая популярность задачи объясняется тем, что
в XVIII и XIX веках ею занимались многие крупные
математики, в том числе великий Леонард Эйлер, по-
святивший ей большой мемуар «Решение одного любо-
пытного вопроса, который, кажется, не подчиняется
никакому исследованию». Хотя задача была известна
и до Эйлера, лишь он впервые обратил внимание на ее
математическую сущность, и поэтому задачу часто свя-
зывают с его именем.
Значительно труднее проблема, состоящая не в
отыскании определенного маршрута коня по доске, а в
нахождении всех маршрутов и подсчете их числа. Увы,
эта задача не решена до сих пор, и шансов на успех
немного. Известно, правда, что число решений не пре-
восходит С“8 (число сочетаний из 168 элементов по 63,
оно состоит из ста цифр), но больше 30 миллионов.
Математик Ф. Миндинг, подошедший к проблеме с
22
алгебраической точки зрения, предложил метод, по-
зволяющий вывести формулу для числа всех решений,
однако вычисления, которые следует при этом провести,
практически неосуществимы.
Литература, посвященная задаче о ходе коня, весьма
обширна. Известно много методов для нахождения
маршрутов коня, которые носят имя первооткрыва-
телей — метод Эйлера и Вандермонда, рамочный метод
Рис. 17, Правило Варнсдорфа.
в
Мунка и Коллини, метод деления на четверти Полинь-
яка и Роже и др. Вот самое простое правило построения
маршрутов коня.
Правило Варнсдорфа: при обходе
доски коня следует всякий раз ставить на поле,
из которого он может сделать наименьшее число
ходов на еще не пройденные поля; если таких
полей несколько, то можно выбрать любое из них.
Правило Варнсдорфа было предложено более 150 лет
назад. Долгое время считалось, что оно действует безу-
коризненно. Но позднее было установлено, что его вто-
рая часть не совсем точна. Если в распоряжении коня
имеется несколько возможностей, упомянутых в первой
части правила, то не все они равноценны. Машинный
эксперимент показал, что произвольное применение
второй части правила Варнсдорфа приводит коня в
тупик.
Однако на практике правило Варнсдорфа действует
весьма эффективно, и даже при вольном использовании
его второй части вероятность заблудиться невелика.
Иногда завершить маршрут конк.удается даже в том
случае, если его начальный путь сделан без всякой
23
системы. На рис. 17, а конь, начав путешествие с поля
al, уже прошел 40 ходов. В этой трудной ситуации,
пользуясь правилом Варнсдорфа, конь благополучно
заканчивает маршрут. С поля 40 он мог бы пойти, кроме
поля 12, на поля с5, d&, f3 и g3. Но каждое из этих
полей связано с тремя свободными, а поле 12 — с двумя
(Ы и d3), этим и объясняется выбор,— число 41 ста-
вится на поле f2 (см. рис. 17, б). Дальше у коня выбор
между полями Ы и d3. Второе поле связано с четырьмя
свободными, а. первое — только-с одним, и число 42
ставится на hl. С этого поля ход определяется одно-
значно — на поле g3, которое и получает номер 43.
Теперь у коня имеется выбор между полями h5 и 15,
причем каждое из них связано с тремя свободными.
Согласно правилу, можно выбрать любое из них, в
нашем случае конь идет на h5 (номер 44). Продвигаясь
далее таким же образом, конь в конце концов обойдет
всю доску и последним, 63-м ходом, закончит маршрут
на поле сб, которое получит номер 64 (см. рис. 17, б).
Строго говоря, по правилу Варнсдорфа обход доски
следует начинать с углового поля, так как в начальный
момент именно с него конь может совершить наимень-
шее число прыжков. В нашем примере первые 13 ходов
коня, до поля cl, согласовывались с правилом, однако
очередной ход на поле е2 нарушил его (см. рис. 17, а).
На поле cl конь имел выбор из пяти возможностей и,
как легко видеть, «точнее» было пойти на а2, а не на е2.
На 21-м ходу конь снова сыграл неправильно — пошел
на еЗ, а не на 12. Наконец, неточен был и последний,
40-й ход — полю е4 следовало
предпочесть поле 13. Впрочем,
как мы видели, в конце концов
коню удалось выбраться из ще-
котливого положения.
Правило Варнсдорфа, как
показывает опыт, является эф-
фективным не только для обыч-
ной шахматной доски, но и для
других досок (разных размеров
Рис. 18. Полумагический и разной формы).
маршрут коня.	Многие составители марш-
рутов коня стремились внес-
ти в свое занятие, насколько это возможно, эсте?
тический элемент и достигли довольно любопытных
24
результатов. Маршрут, принадлежащий Янишу (рис. 18),
примечателен в нескольких отношениях. Он замкнут,
образует полумагический квадрат (в отличие от маги-
ческого квадрата, изображенного на рис. 1, магиче-
скому числу 260 в нем равны только суммы чисел вдоль
вертикалей и горизонталей, а суммы вдоль главных
диагоналей отличны от него) и, кроме того, обладает
необычной симметрией — при повороте доски на 180е
первая половина маршрута (номера от 1 до 32) превра-
щается во вторую (от 33 до 64). Отметим попутно, что
построить маршрут коня, образующий настоящий ма-
гический квадрат, еще никому не удалось.
Со времен Эйлера известен так называемый «раз-
дельный ход коня», который заключается в нахождении
его симметричном дуб-
пути по одной половине доски,
лировании и соединении обеих
путей вместе (рис. 19). Для
половины шахматной доски —
доски 8X4 — найдено точное
число маршрутов коня. Это по-
зволило подсчитать число «раз-
дельных ходов коня» на доске
8x8, которое и дает нижнюю
границу для числа всех реше-
ний задачи, указанную в нача-
ле главы.	Рис. J9. Раздельный марш-
Если говорить о графиках	рут коня.
маршрутов коня, то здесь при-
думано множество необычных решений, изобража-
ющих различные предметы, буквы или знаки (известен
даже график, посвященный Наполеону). Два досто-
примечательных примера такого рода приведены на
рис. 20, а, б. График одного маршрута (он является
замкнутым) напоминает собой вазу, а график другого
подобен цветку, части которого расположены в высшей
степени симметрично.
Наиболее интересное обобщение задачи о коне воз-
никает при рассмотрении произвольной доски тХп.
При каких значениях тип существует маршрут
коня по всем полям доски тХп (с посещением
каждого из них по одному разу)?
Если одна из сторон доски меньше трех, то, оче-
видно, маршрута нет (исключение составляет вырож-
денный случай — доска 1X1, для обхода которой до-
25
статочно просто поставить коня на доску). Если одна
сторона доски равна трем, то другая должна либо рав-
няться четырем, либо быть не меньше семи. Если обе
Рис, 20, Ваза и цветок,
стороны больше трех, то маршрут коня, существует
на всех досках, исключая доску 4X4. Итак, конь может
обойти все поля доски тХп при следующих условиях:
т, п^=\, 2; если /п=3, то п=4 или ti^6; соответственно,
если п=3, то /п=4 или //£>6; т=4, /£>5; п—4,
наконец, т,
Для существования замкнутого маршрута прежде
всего необходимо, чтобы доска была четной. В самом
деле, в таком маршруте конь-хамелеон посещает оди-
наковое число белых и черных полей, т. е. тех и других
на доске поровну. Однако здесь важна не столько чет-
ность доски, сколько наличие на ней одинакового числа
белых и черных полей.
Если некоторая доска произвольной формы (не обя-
зательно прямоугольная) содержит разное число белых
и черных полей, то, очевидно, замкнутого маршрута
коня на ней нет. Ясно также, что произвольный марш-
рут коня (не обязательно замкнутый) может сущест-
вовать лищь на тех досках, у которых число полей
разного цвета либо одинаковое, либо отличается на
единицу.
Следующая задача показывает, что четность* доски и
равенство числа белых и черных полей еще не гаран-
тируют наличия замкнутого маршрута коня (с одно-
кратным посещением всех полей).
Доказать, что ни при каком значении т на
доске /пХ4 нет замкнутого маршрута коня.
26
Докажем это от противного. Предположим, что при
некотором т замкнутый маршрут коня на доске тХ4
существует. Поля, расположенные на верхней и нижней
горизонталях доски, назовем крайними, Остальные —
средними. Так как с крайних полей конь может попасть
только на средние, которых имеется 2/п, то из 4/п хо-
дов, образующих маршрут, 2/и сделаны с крайних на
средние. Тогда оставшиеся 2т ходов конь совершил
со средних на крайние. Поскольку на каждом ходу
конь-хамелеон меняет цвет поля, все поля крайних
горизонталей должны быть окрашены в один цвет, а
средних — в другой. Противоречие.
Если обе стороны четной доски больше четырех,
то замкнутый маршрут всегда есть. Если же одна сто-
рона доски равна трем, то другая должна быть не меньше
десяти. Как мы видим, наименьшая по площади прямо-
угольная доска, которую может обойти конь, имеет
размеры 3x4, а наименьшие прямоугольные доски с
замкнутыми маршрутами имеют размеры 5x6 и 3X10.
Доказательство существования маршрутов коня (от-
крытых ; или замкнутых) на указанных досках про-
водится следующим образом. Для ряда «основных»
досок маршруты строятся непосредственно. Далее по-
казывается, как произвольную доску разбить на ряд
«основных», для которых маршруты уже построены.
Из этих «микромаршрутов» и составляется маршрут
коня на данной доске. В известном нам доказательстве
приходится использовать слишком много —. 37 (!) «ос-
новных» досок, и поэтому, в целях экономии места,
полное рассмотрение вопроса о маршрутах коня на
прямоугольных досках мы опускаем. Заметим лишь,
что ни одна из сторон «основной» доски не превосходит
девяти. Эффектный метод построения маршрута коня
на произвольной квадратной доске пХл (п>4) можно
найти в книге «Математика на шахматной доске».
Ниже мы будем' иногда пользоваться чисто матема-
тическим понятием граф. Проще всего определить
граф геометрически, как множество точек (вершин
графа), некоторые пары которых (быть может, все)
соединены линиями (ребрами графа).
Каждой шахматной фигуре можно поставить в соот-
ветствие граф, вершины которого расположены в цент-
рах всех полей доски, и пары вершин соединены реб-
рами, если между соответствующими полями возможен
27
ход данной фигуры. Каждому пути фигуры по доске
соответствует путь в ее графе, а маршруту — маршрут
в графе.
Маршрут, проходящий через все вершины графа по
одному разу, называется гамильтоновым. Задачи о
нахождении гамильтоновых маршрутов в графах яв-
ляются весьма сложными, что ярко иллюстрируется на
графах шахматных фигур, особенно коня. Этим, пожа-
луй, и объясняется популярность задачи о ходе коня
в литературе по теории графов.
Конечно, в разных задачах возникают разные графы,
и если некоторые поля доски не представляют для нас
интереса, то в них не обязательно помещать вершины
графа. С такой ситуацией мы в дальнейшем столкнемся.
В следующей задаче не различаются два хода коня,
связывающих одну и ту же пару полей. Например,
Kgl—f3 и Kf3—gl мы рассматриваем как один и тот же
ход (в графе коня полям gl и f3 соответствует одно
ребро).
Можно ли из всех ходов коня на шахматной
доске составить маршрут, содержащий каждый
ход ровно по одному разу (при этом коню разре-
шается посещать поля доски по нескольку раз)?
Убедимся, что эта задача не имеет решения. По-
скольку в маршруте не должно быть повторений, то,
попадая на некоторое поле одним ходом, конь должен
покинуть его другим. Таким образом, в искомом марш-
руте каждое поле доски (кроме, быть может, начального
и конечного) должно быть связано с четным числом
полей. Однако на доске имеется восемь полей (а2, Ы
и шесть симметричных им), с которых у коня имеется
по три хода на другие поля, и указанное условие не
выполняется.
Гамильтонов маршрут в графе проходит по одному
разу через все его вершины. Маршрут, который прохо-
дит через все ребра графа по одному разу, называется
эйлеровым (конечно, через все вершины графа он про-
ходит тоже). Таким образом, мы выяснили, что в гра-
фе коня гамильтонов маршрут существует, а эйлеров —
нет.
Ниже будут построены маршруты по всем полям до-
ски и для других фигур (для слона — по одноцветным
полям). Существование этих маршрутов означает, что
в графах всех фигур имеются гамильтоновы маршруты,
28
Что же касается эйлерова маршрута, то им обладает
только граф ладьи.
Обобщение задачи о ходе коня связано не только с
рассмотрением досок различных размеров, но и с из-
менением самого хода коня. Обычный конь переме-
щается на одно поле вдоль одной линии (вертикали или
горизонтали) и на два поля вдоль другой, и поэтому
его можно назвать конем (1,-2). Очевидно, можно ввести
в обиход и коня (а, Ь), совершающего прыжок на а
полей в одном направлении и на b в другом. Теперь
можно искать маршруты коня (а, Ь) на доске тХп
при различных значениях а, Ь, т, п.
До сих пор мы рассматривали лишь доски конечных
размеров, однако много интересных задач возникает
и на бесконечной доске.
При каких а и b конь (а, Ь) с произвольного
поля бесконечной доски может попасть на любое
другое поле?
Достаточно выяснить, при каких а и Ь конь может
с данного поля доски перейти на соседнее по вертикали
или горизонтали. Решение задачи требует использо-
вания аппарата «теории чисел». Приведем сразу ответ:
числа а и b должны иметь разную четность и быть вза-
имно простыми. Очевидно, для обычного коня (1, 2)
эти условия выполняются, а, скажем, конь (1, 3) в
состоянии посетить лишь поля одного цвета (числа 1 и 3
нечетны).
На скольких полях бесконечной доски может
оказаться конь за р ходов, начиная свой маршрут
с данного поля?
Обозначим искомое число полей через N(p). Легко
проверить, что М(0)=1, M(l)=8, М(2)=33. За три хода
(р=3) конь с данного черного поля может попасть на
все белые поля восьмиугольника, имеющего центр в
исходном поле. Методом математической индукции до-
казывается, что при любом р^З конь может оказаться
на всех одноцветных полях соответствующего восьми-
угольника (при четных р — того же цвета, что и началь-
ное поле; при нечетных р — противоположного). Под-
считав число полей в таком восьмиугольнике, получим
М(р)=17р2+4р+1 (р>3).
Для остальных шахматных фигур последняя задача
не представляет интереса. Король за р ходов может
попасть на любое поле квадрата (2р+1) X (2р+1) с
29
центром в данном поле. Дальнобойные фигуры уже за
один ход могут оказаться на бесконечном числе полей,
за два хода слон попадает на все одноцветные поля бес-
.w —а конечной доски, а ферзь и ладья — на
А® ЯД любое ее поле.
Шг  	На бесконечной доске расставле-
ны пешки через три поля на четвер-
И,  И	том (рис. 21). Может ли конь по-
Д ИД	следовательно обходить свободные
Рис. 21.Пеш- поля такой доски, посещая каждое
ки мешают из них по одному разу?
коню.	Требуемого маршрута не существует.
Для того чтобы это показать, рассмотрим
два квадрата: 196x196 и концентрично окаймляющий
его 200x200. Ясно, что при указанной расстановке пе-
шек все они стоят на полях одного цвета, на рисунке —
белого. При этом с каждого из 1962/2= 19208 черных
полей внутреннего квадрата конь попадает на одно из
200а/2—2500=17500 свободных белых полей окаймля-
ющего квадрата. Так как 17500<19208, то на неко-
торые белые поля конь встанет более одного раза —
противоречие.
Группу коней, размещенных на бесконечной доске,
назовем эскадроном, если они могут сделать любое
число ходов, не оставляя ни одного коня без защиты.
Эскадрон — активный, если при таком «дружном» пе-
ремещении он может занять одним из своих коней любое
поле доски. Интересна следующая задача.
Из какого наименьшего числа коней можно
создать активный эскадрон?
Ясно, что один или два коня вообще не образуют
эскадрон, а эскадрон из трех или четырех коней пере-
мещается лишь на конечной территории, т. е. не яв-
ляется активным. Минимальный активный эскадрон
состоит из пяти коней. На рис. 22 показано, как пере-
вести пятерку коней из положения 1 в положения 5
и 11. Положения 1 и 11 отличаются друг от друга сдви-
гом по вертикали на одно поле. Отсюда следует, что
в вертикальном направлении можно последовательно
осуществить бесконечное число переходов всей пятерки
коней. Положения 1 и 5 отличаются тем, что одно из
них сдвинуто относительно другого на одно поле по
вертикали на одно по горизонтали (а также перевер-
нуто на 180°). Таким образом, эскадрон, занимающий
30
положение 1, может попасть на любое поле доски, и,
значит, является активным. Заметим, что для осталь-
ных фигур задача об активном эскадроне решается на-
много проще.
В заключение главы рассмотрим еще две задачи о
путешествии коня по доске.
Рис, 22, Активный эскадрон коней,
Задача о коне Аттилы. На шах-
матной доске стоят белый конь и черный король.
Некоторые поля доски считаются «горящими».
Конь должен дойти до неприятельского короля,
повергнуть его и вернуться на исходное место.
При этом ему запрещено становиться как на го-
рящие поля, так и на поля, которые уже пройдены.
«Трава не растет там, где ступил мой конь!» — по-
хвалялся вождь гуннов Аттила, намекая, что предво-
дительствуемые им полчища уничтожают все живое на
своем пути.
На рис. 23, а конь Аттилы стоит на поле g4, неприя-
тельский король — на ЬЗ, а горящие поля заштрихо-
ваны. На рис. 23, б изображен граф коня для рассмат-
риваемой задачи. Его вершины расположены в центрах
полей, доступных коню, а пара вершин соединена ребром
в том случае, если между соответствующими полями
возможен ход коня. В результате задача свелась к на-
31
хождению такого пути в графе, который не содержит
ни одной вершины более одного раза и, кроме того,
проходит через обе заданные (на рис. 23, б они обведены
кружками).
Методы решения подобных задач, называемых л а-
биринтными, приводятся в различных книгах
по теории графов. Для коня Аттилы искомый путь на
с
Рис, 24. Несамопересекающиеся пути коня.
данной доске нетрудно найти и непосредственно, он
состоит из следующих восемнадцати ходов: Kg4—16—
е8—g7—еб—f 8—g6—е7—сб—а5: ЬЗ—d2—Ы — аЗ—Ь5—
06—17—Ь6—g4 (можно воспользоваться и обратным
путем). Для достижения цели коню Аттилы пришлось
побывать на 18 полях из 35, не «сожженных» в начале
сражения.
Несамопересекающимся путем (маршрутом) фигуры
мы называем такой путь, график которого не имеет
самопересечений (и касаний).
32
На шахматной доске найти самый длинный
(по числу ходов) несамопересекающийся путь коня.
Искомый путь коня на доске 8x8 состоит из 35 ходов
(рис. 24, а). Любопытно, что этот несамопересекающийся
путь почти одновременно и независимо друг от друга
нашли сразу две ЭВМ — американская и западногер-
манская.
Задача была исследована для всех досок тХп при
т, п^9. Ни один человек из решавших задачу не су-
мел найти на доске 6x6 путь, содержащий более
16 ходов. Рекорд установила машина! Предложен-
ный ею 17-ходовый путь без самопересечений изобра-
жен на рис. 24, б.
ГЛАВА 3
ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ ЛАДЬЯ
Ладья является самой распространенной
фигурой в комбинаторных задачах на шахматной доске
и часто упоминается даже в серьезной математической
литературе. Что общего, скажем, между шахматным
термином «ладья» и чисто математическим понятием
«многочлен»? Тем не менее американский математик
Дж. Риордан в своей книге «Введение в комбинаторный
анализ» часто использует термин «ладейный многочлен».
Оказывается, большой класс комбинаторных задач,
важных в прикладной математике, сводится к подсчету
числа тех или иных расстановок ладей на шахматной
доске. При этом существенную роль играет многочлен
Г о 4- г\х 4- г2х2 4- ... 4- rkxk 4-... 4- гпхп,
где rk — число расстановок k ладей, не угрожающих
друг другу на доске пХп (k^n) *). Этот многочлен и
называется ладейным, он возникает при решении задач
по комбинаторике, теории групп, теории чисел. При-
ведем один известный пример из области комбинаторики.
*) Конечно, в шахматной игре фигуры одного цвета не угро-
жают друг другу. Когда мы говорим, пользуясь общепринятой тер-
минологией, что две фигуры угрожают друг другу (находятся под
ударом, атакуют), то имеем в виду лишь то, что поля, на которых они
расположены, связаны между собой ходом этой фигуры. Если не-
сколько фигур не угрожают друг другу, то мы их называем также
мирными.
2 Е. Я. Гик	33
Пусть требуется назначить п рабочих на п
различных работ, причем каждая работа должна
выполняться только одним рабочим. Сколькими
способами можно осуществить такое назначение?
Поставим в соответствие рабочим — горизонтали шах-
матной доски и Хи, а работам — ее вертикали. Если
1-й рабочий назначается на /-ю работу, то поле, соот-
ветствующее пересечению f-й горизонтали и /-й вер-
тикали, займем ладьей. Так как каждая работа выпол-
няется одним рабочим и каждый рабочий назначается
на одну работу, то в результате расстановки п ладей
все вертикали и горизонтали доски будут содержать
по одной ладье, т. е. ладьи не угрожают друг другу.
Итак, нашей задаче о назначении можно придать шах-
матную формулировку.
Сколькими способами можно расставить п не
угрожающих друг другу ладей на доске лХп?
Фактически в этой задаче требуется найти число
гп — коэффициент
Рис, 25. Восемь мир-
ных ладей.
при старшем члене ладейного много-
члена. Прежде чем провести вы-
числения, заметим, что при любом
расположении более п ладей най-
дется хотя бы одна вертикаль и
хотя бы одна горизонталь с двумя
.или более ладьями, т. е. п — это
наибольшее число мирных ладей
на доске пХп. Одна из расстано-
вок восьми мирных ладей на обыч-
ной доске приведена на рис. 25 *).
Выясним теперь, сколько все-
го существует искомых расста-
новок п ладей на доске пХп. На первую верти-
каль можно произвольно поставить одну из п ладей,
затем на вторую вертикаль — одну из (п—1) оставших-
ся ладей, причем горизонталь, занятая первой ладьей,
исключается (ладьи не должны угрожать друг другу),
на третью вертикаль — одну из (п—2) оставшихся
(горизонтали, занятые первыми двумя ладьями, исклю-
чаются) и т. д., вплоть до (п—1)-й вертикали, на которой
*) Начиная с этой главы, мы будем часто встречаться с задача-
ми, в которых тех или иных фигур явно больше, чем в одном Шах-
матном комплекте. В этом случае вместо расстановки фигур на доске
удобнее, рисовать их прямо на диаграммах,
34
для ладьи остается выбор из двух горизонталей, и по-
следней, n-й вертикали, с единственным полем для
ладьи. Комбинируя п различных расположений ладьи
на первой вертикали с (п—1) расположением на второй,
(и—2) — на третьей и т. д., получаем п (n—1). . .2-1 =п!
различных расположений ладей. Это число и является
искомым. В частности, на обычной доске восемь ладей,
не угрожающих друг другу, можно расположить 8! =
=40320 способами.
Если ладьи занумерованы числами от 1 до и, то
существует уже (п!)2 расположений ладей, не угрожа-
ющих друг другу. Это следует из того, что п подхо-
дящих полей можно выбрать п\ способами; столько же
способов имеется для расположения на этих полях п
занумерованных ладей.
Итак, п рабочих можно назначить на п работ п!
различными способами. Пусть выбрано назначение,
соответствующее рис. 25, т. е. f-го рабочего назначили
на Лую работу, и требуется сделать новое назначение
с учетом того, что каждый рабочий хочет поменять
свою предыдущую работу. Сколько существует таких
назначений? Эта задача имеет иную ладейную форму-
лировку.
Сколькими способами можно расставить п не
угрожающих друг другу ладей на доске пХп так,
чтобы ни одна из них не стояла на главной диаго-
нали (для обычной доски — на диагонали al—Ь8)?
Дополнительное условие значительно затрудняет ре-
шение задачи. Даже Эйлеру не удалось найти общую
формулу для числа Ап указанных расстановок. Правда,
он вывел рекуррентное соотношение Лп=(п—1)(ЛП_1+
+ЛП_2), с помощью которого можно последовательно
определять значения Ап для любого п^З (Л1=0, Л2“ 1).
Позднее была найдена формула для Лп, которая ймеет
следующий вид:
Л„ —Я1 2!	3! * 4!	♦ •» + п\ ) '
Для п=8 получаем Л8=14833, т. е. при дополни-
тельном условии число расстановок восьми ладей, не
угрожающих друг другу, уменьшается почти втрое.
В рассмотренных задачах о ладьях; как и в анало-
гичных задачах для других фигур, обычно предпола-
гается, что все они одного цвета. Если расставлять и
2*	35
белые, и черные фигуры, то число расстановок увели-
чивается.
Сколькими способами можно расставить п мир-
ных ладей на доске пХп, если k из них — белые
и п — k — черные?
Всякая расстановка, удовлетворяющая условиям за-
дачи, определяется выбором п полей для всех п мирных
ладей и затем указанием k полей из этих на которых
будут расположены белые ладьи, остальные п — k полей
займут черные ладьи. Таким образом, искомое число
расстановок равно п\ С„.
Рассмотрим снова расстановку на рис. 25. Мы видим,
что восемь ладей способны взять под обстрел все поля
шахматной доски. Соответственно, для охраны всей
доски пX п достаточно иметь п ладей. Если ладей меньше,
чем п, то по крайней мере одна ее вертикаль и одна
горизонталь окажутся пустыми и, значит, поле, стоящее
на их пересечении, не будет атаковано.
Сколькими способами можно расставить п ла-
дей на доске пХп так, чтобы они держали под
обстрелом все поля доски? *)
Если п ладей охраняют доску, то либо на каждой
вертикали, либо на каждой горизонтали стоит хотя
бы одна из них (если существуютивертикаль и горизон-
таль, свободные от ладей, то поле, находящееся на
их пересечении, не атаковано). Число расстановок п
ладей — по одной на каждой вертикали равно п” (пер-
вую ладью можно поставить на одно из п полей первой
вертикали; вторую, независимо от первой, на одно из п
полей второй вертикали и т. д.). Столько же имеется
расстановок и по одной на каждой горизонтали. На
первый взгляд кажется, что общее число расположений
ладей равно	Однако при таком подсчете
дважды учитываются расстановки, в которых на каж-
дой вертикали и на каждой горизонтали стоит по одной
ладье. Так как каждая из них характеризуется тем, что
никакая пара ладей не угрожает друг другу, то решением
задачи является число-2-п"—и! Число расстановок
*) В комбинаторных задачах такого типа обычно предполагает-
ся, что под угрозой находятся поля, свободные от фигур. Однако
можно требовать, как в данном случае, чтобы под обстрелом находи-
лись все поля доски (и занятые, и свободные). Далее мы всюду будем
оговаривать, какой из двух случаев имеется в виду.
36
восьми ладей, обстреливающих обычную доску, равно
2 x8е—8!=33514312.
Комбинаторные задачи о расстановке атакующих
фигур не менее популярны, чем задачи о расстановке
мирных фигур. В последующих главах мы рассмотрим
задачи того и другого типа для каждой шахматной
фигуры. Наиболее просто они решаются для ладьи,
видимо, сказывается ее прямолинейность.
В задачах о расстановке мирных ладей мы могли
использовать всю доску. Предположим теперь, что
имеется ряд запрещенных полей, на которые ладьи
ставить нельзя. В этом случае установлены следующие
интересные факты. Если на каждой вертикали и на
каждой горизонтали доски пХп имеется хотя бы по
два поля, доступные ладьям, то существует не менее
двух различных расстановок п мирных ладей. При
этом на доске пХп можно расставить одновременно п
белых ладей, не атакующих друг друга, и п черных,
обладающих тем же свойством. Если каждая вертикаль
и горизонталь доски содержит ровно два свободных
поля (а всего на доске 2п полей), то число расположений
п мирных ладей равно 2Ь, где	(квадратные
скобки означают целую часть числа).
Рис. 26. Доски с запрещенными полями.
Проиллюстрируем сказанное на примере обычной
доски (рис. 26, а). Каждая линия доски содержит по
два разрешенных поля, а остальные являются запре-
щенными. Совокупность всех 16 полей разбита на че-
тыре квадрата 2x2, и в каждом из них можно поставить
две мирные ладьи одним из двух способов (al, Ь2 или
а2, bl для левого нижнего квадрата; сЗ, d4 или с4, d3
37
для следующего квадрата и т. д.). Таким образом,
всего имеется 2Ь=24= 16 различных расположений мир-
ных ладей, а поскольку Ь^п/2=4, это — максимально
возможное число. Простейшее, диагональное располо-
жение ладей дано на рис. 25. Минимальный вариант
представлен на рис. 26, б. Здесь существуют лишь
две расстановки — одна диагональная, а в другой
ладьи занимают все поля, лежащие вне диагонали.
В следующей задаче о ладье (и короле) часть полей
также является запрещенной.
Пусть некоторые поля доски пХп заминиро-
ваны таким образом, что король не может пройти
с одной крайней вертикали на другую. Доказать,
что в этом случае ладья может пройти с одной
крайней горизонтали на другую (с первой на
последнюю) по одним заминированным полям.
На рис. 27 заминированные поля доски выделены
черной краской, и они преграждают королю путь между
крайними вертикалями. По мосту, состоящему из одних
заминированных полей, ладья может пройти с первой
горизонтали доски (поле Ы) на последнюю (поле g8).
До сих пор мы имели дело с мирными ладьями.
В следующей задаче ладьи мо-
гут угрожать друг другу, но бо-
лее одного нападения не разре-
шается.
Какое наибольшее чис-
ло ладей можно расставить
на доске пХп так, чтобы
каждая из них находилась
под ударом не более од-
ной из остальных?
Убедимся, что указанным
образом можно расположить
не более 4п/3 ладей. Пусть
на доске расставлены k ла-
дей, удовлетворяющих условию задачи. На всех за-
нятых ладьями полях напишем сначала число 0, а затем
с каждой из п вертикалей доски проделаем следующую
операцию. Если на ней стоят две ладьи, то к числам
на полях с ладьями прибавим 1, а если стоит одна ладья,
то прибавим 2. Теперь такую же операцию проделаем
t каждой из п горизонталей доски. В результате на
Каждом из k полей с ладьями будет написано число 3
Рис. 27. Ладья на замини-
рованной доске.
38
или 4, и поэтому сумма s всех чисел не меньше 3k. С дру-
гой стороны, поскольку на каждой из п вертикалей и п
горизонталей доски мы добавили не более двух единиц,
s не больше 4и. Итак, 3&<s<4n, откуда te^An/З. Таким
образом, максимально возможное числа ладей равно
[4/г/З], причем эта оценка является достижимой. Для
п=8 имеем [4и/3] = 10, и соответствующее расположение
десяти ладей показано на рис. 28, а (оно легко обоб-
щается для любого п). Расстановка десяти ферзей,
Рис. 28. Пять пар ладей и ферзей,
обладающих тем же свойством — каждый из ферзей
под ударом только одного другого, показана на рис. 28,6.
В отличие от ладей, для ферзей задача в общем случае
не решена.
Вернемся к расстановкам мирных ладей на шахмат-
ной доске.
Пусть на каждом поле доски записано произ-
ведение номеров горизонтали и вертикали, кото-
рым оно принадлежит. Расставить восемь ладей,
не угрожающих друг другу, так, чтобы сумма
чисел на полях, занимаемых ими, была наибольшей.
Ладьи следует расположить вдоль главной диагонали
(см. рис. 25). Докажем это от противного. Пусть в ис-
комом решении имеются ладьи, не стоящие на главной
диагонали. Обозначим через i номер самой первой вер-
тикали с такой ладьей, а через р — номер соответст-
вующей горизонтали; очевидно, p>i (рис. 29, а). Пусть
j — номер вертикали, на которой "стоит ладья f-й гори-
зонтали. Эта ладья также стоит вне главной диагонали
и находится правее первой, т. е. j>i. Переставим две
эти ладьи — оставляя на своих вертикалях, поменяем
их горизонтали. В результате первая из этих ладей
окажется на i-й горизонтали (диагональное поле), а
39
вторая на р-й (рис. 29, б). Ясно, что ладьи по-прежнему
не угрожают друг другу.
Подсчитаем суммы чисел для обоих расположений,
соответствующие двум переместившимся ладьям (на
остальные слагаемые перестановка не влияет). Для
Рис. 29. Перестановочный прием.
исходной расстановки суммы была равна zp+/7, а для
новой — f2+/p. Так как /, р>Ц то имеем
U2+ip)—Up+ji) = (jp—ip)—(ji—i2) =
=pU—i)—iU—i) = (P—i)U—0>0.
Таким образом, во втором случае сумма больше, а
это противоречит предположению о том, что исходное
решение давало максимальную сумму. По существу,
мы здесь использовали так называемый перестановочный
прием, встречающийся при решении различных опти-
мизационных задач (например, в теории расписаний).
Этот прием заключается в следующем: предполагается,
что некоторое расположение объектов (порядок) яв-
ляется наилучшим в том или ином смысле, а затем при
перестановке’объектов расположение улучшается, т. е.
получается противоречие.
На 64 полях щахматной доски выписаны под-
ряд числа от 1 до 64 (на первой горизонтали слева
направо — от 1 до 8, на второй — от 9 до 16
и т. д.). Поставим на доску восемь не угрожающих
друг другу ладей. Какие значения может прини-
мать сумма чисел на полях, занятых ладьями?
' Число, стоящее на f-й вертикали и /-й горизонтали,
можно записать так: i‘+8(j— 1) (/, /=1, 2, . . ., 8). По-
скольку ладьи не угрожают друг другу, на каждой
40
вертикали и горизонтали стоит одна из них. Это озна-
чает, что искомая сумма равна
8	8
2 / + 2 8 (/— 1) = (1+2+... +8)+8 (0 +1 +... + 7)==
i=i / = 1
= 260 (магическому числу!)
и не зависит от конкретного расположения мирных
ладей. Обе последние задачи без труда обобщаются для
доски /1ХИ.
На доске пхп расставлены ладьи, удовлетво-
ряющие следующему условию: если некоторое
поле свободно, то общее число ладей, стоящих на
одной горизонтали и одной вертикали с ним, не
меньше п. Доказать, что на доске находится не
п2
менее -у ладей.
Рассмотрим ту из 2п линий доски, на которой стоит
меньше всего ладей (если таких линий несколько, вы-
берем любую из них). Пусть эта линия — горизонталь
(в противном случае можно повернуть доску на 90°),
и на ней стоит k ладей. Если й^п/2, то на каждой из п
горизонталей не менее п/2 ладей, а всего на доске не
менее и2/2 ладей, и все доказано.
Предположим теперь, что k<in!2. На данной гори-
зонтали имеется п—k свободных полей, и каждая вер-
тикаль, проходящая через это свободное поле, содер-
жит, по условию задачи, не менее п—k ладей, а все
вертикали вместе — не менее (п—k)2 ладей. Остальные k
вертикалей имеют не менее k ладей каждая (ввиду выбо-
ра числа k). Итак, всего на доске стоит не менее (п—k)2+
+k2 ладей. Нам осталось доказать неравенство: (п—6)2+
+&2^н2/2. Это можно сделать разными способами,
например, так:
(n^)2+^2_n2/2==n2/2_2nA+2^2==2(n2/4---n^+/?2)==
==2(п/2—й)2>0.
Если п четно, то, поставив ладьи на все одноцветные
поля доски, получим расстановку, содержащую ровно
п2/2 ладей. Если п нечетно, то можно расставить (п2+1)/2
ладей — на все поля того цвета, которого на доске
больше.
Нам осталось обсудить вопрос о путешествиях ладьи
по шахматной доске. Если маршрут коня находился
41
непросто, то для прямолинейной ладьи никаких слож-
ностей нет. На рис. 30 показаны два маршрута ладьи —
открытый (рис. 30, а) и замкнутый (рис. 30, б). Первый
из них обобщается для любой доски пХп. Что каса-
ется замкнутого маршрута, то для его существования,
Рис. 30, Маршруты ладьи по доске.
как и в задаче о коне, необходимо, чтобы доска была
четна — белые и черные поля в таком маршруте чере-
дуются, и общее число. их четно.
Пусть ладья обошла все поля доски nX/i.
Какое наименьшее число поворотов она могла при
этом сделать?
Ладья должна была сделать хотя бы один ход вдоль
каждой вертикали или вдоль каждой горизонтали (если
найдется вертикаль, вдоль которой ладья ни разу не
двигалась, то каждое ее поле ладья проходила поперек,
т. е. вдоль горизонтали). Пусть, для определенности,
ладья двигалась хотя бы раз вдоль каждой вертикали.
На любую из них, кроме, быть может, тех, где маршрут
начался и закончился, ладья должна была войти и
после движения вдоль нее выйти. При этом вход и выход
обязательно происходят с поворотами. Таким образом,
общее число поворотов не меньше, чем 2 (п—2)+1 + 1==
=2(n—-1). Для любого п маршрут, содержащий ровно
столько поворотов, можно получить из маршрута, при-
веденного на рис. 30, а; при п=8 ладья делает 2(8—1) =
s=14 поворотов.
Так как число ходов ладьи на единицу больше числа
поворотов, то самый быстрый маршрут по доске пХп
состоит из 2(п—1)+1=2п—1 ходов; для любого п его
также можно получить из рис, 30, а. В частности, обыч-
42
ную доску ладья обходит за 15 ходов. Этот маршрут
является открытым, замкнутый маршрут состоит уже
из 16 ходов (рис. 30, б).
ГЛАВА 4
ФЕРЗЬ-БОГАТЫРЬ
Если конь — самая хитрая шахматная фи-
гура, а ладья отличается своей прямолинейностью, то
ферзь — сильнейшая из фигур, богатырь на шахматной
доске. Возможности ферзя чрезвычайно велики, и ему
принадлежат многие шахматно-математические рекорды.
Может ли один белый ферзь (рис. 31) загнать
черного короля из левого нижнего угла в правый
верхний, т. е. на поле d3?
Покажем сначала, как загнать черного
ближайший угол доски: 1. Фб2 Kpbl 2.
ФсЗ Кра2 3. Фс1 КрЬЗ 4. Фс12 КраЗ, и
цель достигнута. Труднее перегнать ко-
роля в противоположный угол доски.
1. ФсЗ+ Кра2 2. Фс1 КрЬЗ 3. Фа1
Крс2 4. Фа2+ КрсЗ (4. . .Kpcl «проигры-
вает» быстрее: 5. ФЬЗ Kpd2 6. ФЫ КрсЗ
7. Фа2 Kpd3) 5. ФЫ Kpd2 6. ФЬ2+ Kpdl.
Возникла позиция, центрально-симметрич-
короля в
Рис. 31. Как
загнать ко-
роля в про-
тивополож-
ный угол?
ная исходной, но теперь короля нужно загнать в бли-
жайший угол доски. Это мы уже умеем делать. 7. Фа2!
Kpcl 8. ФЬЗ Kpd2 9. ФЫ КрсЗ 10. Фа2 Kpd3. Предпо-
лагалось, что белые сохраняют своего ферзя, иначе ре-
шение на ход короче: 6. ФбЗ+! Kpcl 7. ФЬЗ Kpd2
8. ФЫ КрсЗ 9. Фа2 Kpd3.
Аналогичным образом короля можно загнать в любой
угол доски тХп, но при условии, что т=£п, Но, что
удивительно, на квадратных досках завлечь короля на
угловые поля, ближайшие к исходному, невозможно.
Король блуждает между двумя противоположными
углами доски, и ферзь не может изменить его траекторию.
Следующая головоломка того же типа ближе к ре-
альным шахматам.
Задача о неприкосновенном ко-
роле. Белый король находится на поле сЗ и не
имеет права двигаться (почему и называется не-
прикосновенным). Может ли белый ферзи ? по-
43
мощью своего неприкосновенного короля замато-
вать одинокого короля черных?
Эта задача была известна еще в прошлом веке. Мно-
гие шахматисты, в том числе гроссмейстеры, ошибочно
полагали, что заматовать короля нельзя. На помощь
была привлечена ЭВМ. Математики
А. Брудно и И. Ландау выяснили
с помощью машины, что мат всегда
дается, причем не позднее двад-
цать третьего -хода (при любом
начальном положении белого фер-
зя и черного короля), но только
при неприкосновенном короле
на полях сЗ, сб, 13, f6.
Рис. 32. Задача о непри- Первый этап решения состоит
косновенном короле. в том, чтобы загнать черного коро-
ля на угловое поле а8 или h 1. С этим
заданием ферзь справляется без особого труда (устре-
миться на угловое поле al черному королю мешает не-
прикосновенный король белых; впрочем, там его тоже
ожидала бы гибель). В результате получаем позицию,
изображенную на рис. 32.
Если теперь ход черных, то после 1.. .КрЬ8 2. Феб!
белые матуют в 10 ходов.: 2. . .Кра7 3. Фс8! КрЬб 4.
Ф<17! Крсб (4. . .Краб 5. ФЬ7 и 4. . .Краб 5. Фс7 КрЬ5
6. Фс16 приводит к основному варианту) 5. Феб КрЬб
6. Фае Краб 7. ФЬ4+ (7. Феб пат) 7. . .Краб 8. ФЬ8
Краб 9. ФЬ7 Кра4 10. Фабх.
Если же в данной позиции ход белых, то они должны*
передать его очередь противнику. Это достигается
так называемым методом треугольника. Всего четыре
хода: 1. Ф<15+ Кра7 (1. . .КрЬ8 2. Феб!) 2. ФЬб
Кра8 3. Фаб+ КрЬ8 4. Феб! — и цель достигнута.
Следующая оригинальная задача тоже иллюстри-
рует неограниченные возможности ферзя-богатыря.
На доске пХга находятся два белых ферзя и
черный король. За сколько ходов белые могут
поставить мат? Тот же вопрос для бесконечной
доски.
Оказывается, каковы бы ни были размеры доски (она
может быть квадратной, прямоугольной и даже беско-
нечной), и как бы ни располагались в начальный момент
два белых ферзя (король им не нужен) и черный король,
мат дается не позднее четвертого хода!
44
Первым ходом один из ферзей объявляет шах по
вертикали; в ответ на отступление короля на одну из
соседних линий вторым ходом другой ферзь (с помощью
первого) зажимает короля на двух вертикалях. При •
этом возникает позиция подобная той, что изображена
на рис.. 33 (обычная шахматная
доска составляет фрагмент доски
больших размеров или бесконеч-
ной доски). На любое движение
короля на третьем ходу следует
соответствующий горизонтальный
шах и мат следующим ходом,
например 2. . .Кре4 3. Фс4+ Креб
(еЗ) 4. Ф((4Х.
Одной из самых знаменитых ма- Рис 33, Мат не позд.
тематических задач на шахматной нее четвертого хода,
доске, наряду с задачей о ходе коня,
является задача о восьми ферзях. Если задачей о ходе
коня занимался великий математик Леонард Эйлер, то
задача о восьми ферзях привлекала внимание другого
великого математика — Карла Гаусса.
Сколькими способами можно расставить на
доске восемь ферзей так, чтобы они не угрожали
друг другу, т. е. никакие два не стояли на одной
вертикали, горизонтали и диагонали?
Очевидно, больше восьми мирных ферзей (как и
ладей) на обычной доске расставить невозможно. Найти
какое-нибудь расположение восьми ферзей, не угро-
жающих друг другу, легко (на рис. 34 представлены
четыре искомые расстановки). Значительно труднее
подсчитать общее число расстановок, в чем, собственно,
и состоит задача.
Любопытно, что многие авторы ошибочно приписы-
вали эту задачу и ее решение самому К. Гауссу. На
самом деле, она была впервые поставлена в 1848 г. не-
мецким шахматистом М. Беццелем. Доктор Ф. Наук
нашел 60 решений и опубликовал их в газете «Illust-
rierte Zeitung» от 1 июня 1850 г. Лишь после этого Гаусс
заинтересовался задачей и нашел 72 решения, которые
он сообщил в письме к своему другу астроному Шумахе-
ру от 2 сентября 1850 г. Полный же набор решений,
состоящий из 92 позиций, получил все тот же Ф. Наук.
Он привел их в упомянутой газете от 21 сентября 1850 г.
Эта хронология установлена известным немецким
45
исследователем математических развлечений В. Арен-
сом.
Строгое доказательство того, что 92 решения исчер-
пывают все возможности, было получено лишь в 1874 г,
английским математиком Д. Глэшером (при помощи
теории определителей). Забегая вперед, отметим, что
существенных решений (не совпадающих при отра-
жениях и поворотах доски) имеется только двенадцать.
в	г
Рис. 34. Задача о восьми ферзях.
Известно много способов организовать эффективный
поиск расположения восьми мирных ферзей (методы
Пермантье, Ла-Ное, Гюнтера, Глэшера, Лакьера и др.).
Эти способы описаны в многочисленной литературе по
занимательной математике. В наш век ЭВМ задача
такого сорта не вызвала бы столь живой интерес. Ведь
достаточно составить несложную программу, и уже через
несколько минут после ее введения в машину все 92
необходимые позиции будут выданы на печать.
Из каждого решения задачи о ферзях можно полу-
чить ряд других при помощи поворотов (вращений)
доски на 90, 180 и 270°, а также при ее зеркальном
46
отражении относительно линий, разделяющих доску
пополам *). Например, из расстановки, показанной на
рис. 34, а, при повороте доски на 90° по часовой стрелке
мы получаем расстановку на рис. 34, в, а при отражении
доски относительно линии, разделяющей королевский
и ферзевый фланги,— на рис. 34, г. При помощи других
поворотов и отражений доски можно получить еще
пять решений.
Итак, указанные операции с шахматной доской по-
зволяют из одного расположения мирных ферзей полу-
чить, вообще говоря, семь новых. Доказано, что в об-
щем случае на доске пХп (при п>1) для любой рас-
становки п мирных ферзей возможны три ситуации:
1) при одном отражении доски возникает новая рас-
становка ферзей, а при поворотах и других отражениях
новых решений не получается; 2) новое решение воз-
никает при повороте доски на 90°, а ее отражения дают
еще две расстановки; 3) три поворота доски и четыре от-
ражения приводят к семи различным расстановкам (а
если считать и исходную, то всего имеем восемь позиций).
В случае 1) исходное решение называется дважды
симметрическим, в случае 2) — симметрическим, а в
случае 3) — простым. Для обычной доски каждое ре-
шение является либо простым, либо симметрическим,
а дважды симметрических не существует.
Набор расстановок восьми мирных ферзей называ-
ется основным, если, во-первых, эти расстановки не
переходят друг в друга при поворотах и отражениях
доски, и, во-вторых, любая другая расстановка полу-
чается из какой-нибудь основной при помощи данных
преобразований доски. Доказано, что всякий основной
набор решений задачи содержит ровно 12 расстановок.
Вот один из таких наборов:
1)	см. рис. 34, а;
2)	см. рис. 34, б;
3)	а4, bl, с5, d8, еб, f3, g7, h2;
4)	а4, Ь2, с5, d8, еб, fl, g3, h7;
5)	а4, Ь2, с7, d3, еб, f8, gl, h5;
6)	а4, Ь2, с7, d3, еб, f8, g5, hl;
7)	аЗ, Ь5, с2, d8, еб, f4, g7, hl;
*) Предполагается, что при поворотах и отражениях доски си-
стема координат фиксирована, В противном случае при любых опе-
рациях с доской мы бы имели одно и то же решение.
47
8)	a4, bl, с5, d8, е2, f7, g3, h6;
9)	a4, b7, c3, d8, e2, f5, gl, h6;
10)	a6, b4, c2, d8, e5, f7, gl, h3;
11)	a4, b8, cl, d5, e7, f2, g6, h3;
12)	a4, b2, c7, d5, el, f8, g6, h3.
Остальные 80 расстановок получаются из этих две-
надцати при помощи поворотов и отражений доски.
Основная расстановка на рис. 34, б является симмет-
рической, другие одиннадцать основных расстановок —
простыми. Итак, всего на доске имеем 11 X8-F1 X4=92
расстановки восьми ферзей, не угрожающих друг другу.
Отметим несколько интересных свойств расстановок
мирных ферзей. Симметрическая расстановка на рис. 34, б
как ей и положено, обладает внешней симметрией. Она
характеризуется также тем, что центральная часть
доски (квадрат 4x4) не занята ферзями. Свободны
здесь и обе главные диагонали доски (этим свойством
обладает и восьмая основная расстановка). В первой
расстановке (рис. 34, а) никакие три ферзя не нахо-
дятся на одной прямой, проведенной через центры полей
(имеются в виду не только вертикали, горизонтали и
диагонали доски, но и прямые с другими углами наклона).
Всякое решение задачи о восьми ферзях можно за-
писать как набор (ft, t2, . . ., ts), представляющий собой
перестановку чисел 1, 2........8.	Здесь tl — номер го-
ризонтали, на которой стоит ферзь i-й вертикали. Так
как ферзи не стоят на одной горизонтали, то все числа tt.
различны, а поскольку ферзи не стоят и на одной диа-
гонали, то для любых i, j (i<8) имеем: \tj—
Запишем числа 1, 2, . . ., 8 сначала по возрастанию,
а затем по убыванию. После этого сложим числа каждой
из этих двух перестановок с числами произвольной
перестановки восьми чисел, например такой — (3, 7, 2,
8, 5, 1, 4, 6):
, 1,2,3, 4, 5,6, 7,	8	,8,	7,6,	5, 4, 3, 2, 1
+ 3,7,2, 8, 5,1, 4,	6	+ 3,	7, 2,	8, 5, 1,4,6
4, 9, 5, 12, 10, 7, 11,	14	11,	14, 8,	13, 9, 4, 6, 7
Полученные суммы образуют два набора: (4, 9, 5, 12,
10, 7, 11, 14) и (11, 14, 8, 13, 9, 4, 6, 7). Рассмотрим
следующую задачу.
Какие перестановки чисел от 1 до 8 дают в
результате указанной операции сложения два
48
таких набора, в каждом из которых все элементы
различны?
Задача о восьми ферзях привлекла внимание Гаусса
именно в связи с этой чисто арифметической задачей.
Оказывается, между решениями этих двух задач су-
ществует взаимно однозначное соответствие. Другими
словами, каждая расстановка восьми ферзей, не угро-
жающих друг другу, дает решение арифметической
задачи, и наоборот. Для выбранной перестановки оба
набора состоят из различных чисел, и это не случайно —
она соответствует первой основной расстановке (см.
рис. 34, а).
Нетрудно видеть, что при поворотах и отражениях
доски одни решения получаются из других при помощи
простых арифметических операций над координатами
полей, занятых ферзями. Анализ этих операций по-
зволяет обнаружить дополнительные свойства решений,
которые мы не станем обсуждать.
Задача об п ферзях. На шахматной
доске пХп расставить п ферзей так, чтобы они не
угрожали друг другу.
На доске 1 X1 один ферзь ставится на одно-единст-
венное поле, и решение существует. На доске 2x2
один ферзь, где бы ни стоял, нападает на три других
поля, и второго ферзя поставить-некуда. На доске 3X3
умещаются только два мирных ферзя. Итак, для досок
2x2 и 3x3 задача не имеет решения. Эти два случая
представляют собой исключение. Для всех п>3 на доске
пХп можно расставить п не угрожающих друг другу
ферзей.
На доске 4x4 существует одна основная расстановка,-
причем дважды симметрическая: а2, Ь4, cl, d3, т. е.
всего имеется два решения. На доске 5x5 основных
расстановок две: 1) а2, Ь4, cl, d3, е5; 2) а2, Ь5, сЗ, dl, е4.
Общее число расстановок равно десяти, причем из них
можно выбрать пять таких, при наложении кото-
рых друг на друга 25 ферзей заполняют все поля доски
5x5.
Заметим, что в общем случае п расстановок (решений
задачи) могут заполнить при наложении всю доску пХп
только при тех п, которые не кратны двум и трем. Из
этого, в частности, следует, что для обычной доски
подобрать восемь расстановок, накрывающих все 64
поля доски, невозможно.
49
Обобщая алгебраическое свойство решений задачи
о восьми ферзях, получаем, что расстановка п ферзей
(ti, t2, . . ., tn) на доске пХп является искомой, если
для любых I, /	имеет место: |/,-——i.
Таким образом, задача об п ферзях сводится к чисто
математической задаче о нахождении перестановки чи-
сел 1, 2, . , ., п, удовлетворяющей указанному условию.
Известно много решений этой задачи, некоторые из них
опубликованы в серьезных математических журналах.
Один из методов расстановки п ферзей, не угрожающих
друг другу на произвольной доске пХп (п^5), можно
найти в книге «Математика на шахматной доске».
Рис. 35. Задача о 2п ферзях.
На доске пХп (п>1) расставить 2п ферзей
так, чтобы на каждой вертикали, горизонтали и
диагонали стояло не более двух из них.
На рис. 35, а показана расстановка 16 ферзей на
доске 8x8, а на рис. 35, б— 18 ферзей на доске 9x9;
обе они удовлетворяют условию задачи. Первое реше-
ние легко обобщается для всех четных досок, а второе
для всех нечетных. На четных досках ферзи распола-
гаются парами, а на нечетных одна пара (на средней
вертикали) разбивается.
Можно ли расставить на доске 16 ферзей так,
чтобы никакие три из них не стояли на одной линии?
В отличие от предыдущей задачи, здесь речь идет
не только об обычных линиях доски, но и о любых пря-
мых, проходящих через центры полей. Восемь мирных
ферзей мы уже расставляли подобным образом (см.
рис. 34, а). Оказывается, можно расставить и вдвое
больше — 16 ферзей (которые, конечно, уже не яв-
ляются мирными). Одно из решений задачи показано
50
i на рис. 86. Оно является единственным (с точностью
. до отражений доски), в котором два ферзя занимают
центральные поля.
Какое наименьшее число ферзей можно поста-
вить на доске пли так, что-
бы на каждой прямой, про-
ходящей через центр произ-
вольного поля параллельно
сторонам или диагоналям
доски, стоял хотя бы один
ферзь?
Достаточно поставить 2п фер-
зей при четных п (т. е. 16 на
обычной доске), и 2п+1 ферзей при
нечетных п. Способы расстановки
ферзей в зависимости от четности п
Рисв 36. Задача о 16
ферзях.
вытекают из рис. 37, где представлены случаи и=8
(рис. 37, а) и п=9 (рис. 37, б). Нетрудно убедиться,
а	б
Рис, 37, Ферзь на каждой линии доски.
что условия задачи выполнены, и меньшим числом фер-
зей не обойтись.
• Задача о ферзях-часовых. Около
каждой тюремной камеры можно поставить ча-
сового. Находясь у одной из камер, часовой видит,
что происходит в некоторых других, от которых
к данной ведут коридоры. Каково наименьшее
число часовых, необходимое для наблюдения за
всеми камерами?
Если шахматную доску рассматривать как тюрьму
(да простят нам шахматисты такую аналогию), причем
ее поля считать камерами, а вертикали, горизонтали и
диагонали — коридорами, то «часовыми» естественнее
51
всего, назначить ферзей, которые могут вести наблюдение
в любых направлениях. При этом задача о часовых
приобретает следующую шахматную формулировку.
а
Рис. 38. Задача
о ферзях-часовых.
Какое наименьшее число ферзей можно расста-
вить на доске так, чтобы они держали под обстре-
лом все ее свободные поля?
Оказывается, пять ферзей вполне способны спра-
виться со всей шахматной «тюрьмой» (рис. 38). Доказано,
что всего существует 4860
расстановок этих пяти фер-
зей-часовых. В расстанов-
ке, изображенной на рис.
38, д, ферзи держат под об-
стрелом все свободные по-
ля доски, но сами не угро-
жают друг другу. На рис.
38, б ферзи стоят на одной
диагонали и, значит, об-
стреливают не только сво-
бодные поля доски, но и
занятые.
С увеличением размеров
Рис. 39. Пять ферзей-часовых на доски необходимое ЧИСЛО
трех досках.	2	*
г	ферзей-часовых, естествен-
но, возрастает. Любопытно,
однако, что пяти ферзей хватает и для обстрела свобод-
ных полей досок 9x9, 10X10 и даже 11X11. На рис. 39
расположение ферзей дано сразу для трех этих досок.
Внутренний квадрат — это доска 9x9; квадрат, кото-
рый получается при отбрасывании верхней горизонтали
и правой вертикали,— доска 10X10; наконец, внешний
квадрат — доска 11X11.
52
В общем случае задача о ферзях-часовых является
очень сложной, и точная формула для доски пХп не-
известна. Приведем полученные недавно оценки для
минимального числа Р(п) ферзей-часовых, охраняющих
все свободные поля доски пХп:
п/2—1/2 < Р (п)< 5/1/8 +16 //г.
Итак, для охраны обычной доски требуется пять
ферзей-часовых. Как бы мы ни расставляли четыре
ферзя, по меньшей мере два поля доски останутся без
присмотра. В следующей старинной задаче о ферзях
требуется, наоборот, оставить неатакованными поболь-
ше полей.
Расставить на доске восемь ферзей так, чтобы
наибольшее число ее полей оказалось вне поля
зрения ферзей.
Максимальное число равно 11, причем при помощи
всего существует семь
удалось установить, что
основных решений (не сов-
падающих при поворотах и
отражениях доски), наиболее
симметричное из них приве-
дено на рис. 40 (не атакован-
ные поля отмечены точками).
Обобщение этой задачи за-
ключается в определении мак-
симального числа не атакован-
ных полей на доске пхп. при
расстановке на ней п ферзей.
При п^З, очевидно, таких
полей нет. Решение задачи
известно только для п^12.
Рис. 40. На доске 11 безопа-
сных полей,1
Расставить на доске как можно больше ферзей-
часовых так, чтобы при снятии любого из них
появлялось ровно одно не атакованное поле.
Эту задачу связывает с предыдущей только общий
ответ. Указанным образом можно расставить 11 ферзей
(рис. 41).
Остановимся теперь на нескольких задачах о путе-
шествиях ферзя-богатыря, по шахматной доске.
Какой геометрически самый длинный путь,
график которого несамопересекается, может про-
делать ферзь за пять ходов, начиная с поля dl?
53
Рис. 41. Рекорде один-
надцатью ферзями.
Искомый путь показан на рис. 42. Чаще предлага-
ется другой путь: ФсН—Ы— h8—al—а8—g8. Число по-
лей в данном случае действительно больше (32>30),
однако в геометрическом смысле
этот путь короче, Если ширину
одного поля доски считать равной
1, то первый путь длиннее вто-
рого лишь на сотые доли, но
все-таки длиннее:
d1 = 44-7 К2Ч-7 + 6 + 5 |/Т=
= 17+12/2;
d2 = 4 + 7+_
+ 7 /2.4-7 + 6 = 24 + 7 /2;
d,—d2 = 5 /2 —7^0,07.
За какое наименьшее число ходов ферзь может
обойти все поля доски?
Конечно, ферзь может воспользоваться одним из
маршрутов ладьи и потратить на обход столько же
ходов (15 на открытый мар-
шрут и 16 на замкнутый).
. Однако он не обязан переме-
щаться столь прямолинейно
и может закончить путешест-
вив'на ход раньше (рис. 43, а).
Заметим, что любой крат-
чайший маршрут ферзя са-
мопересекается (мимо некото-
рых полей ферзю приходится
проходить дважды). Несамо-
Рис. 42. Длиннейший путь пересекающийся маршрут СО-
ферзя за пять ходов. стоит из пятнадцати ходов.
На рис. 43, б приведен один
из таких маршрутов (он является открытым), его гра-
фик отличается симметрией.
В занимательной математике известна задача, в
которой требуется перечеркнуть четырьмя линиями
девять точек, расположенных в форме квадрата, не
отрывая карандаша от бумаги. Эту задачу можно сфор-
мулировать в шахматных терминах.
Может ли ферзь за четыре хода обойти все
поля доски 3X3?
Будем считать (и это очень важно), что наша ма-
64
ленькая доска является фрагментом обычной шахматной
доски (занимает ее левый нижний угол). Искомый маневр
ферзя изображен на рис. 44. В задаче имеется неболь-
«	б
Рис. 43. Маршруты ферзя по доске.
Рис. 44. Как обойти
доску 3X3 за четы-
ре хода.
шая ловушка — для достижения цели ферзю прихо-
дится дважды покинуть доску 3x3.
Закончим эту главу одним интересным обобщением
задачи о восьми ферзях, придуманным сравнительно
недавно.
Расставить на доске макси-
мальное число ферзей так, что-
бы каждый из них нападал ров-
но на р ферзей.
Условие р=0 означает, что фер-
зи не должны нападать друг на дру-
га, и мы приходим к классической
задаче; искомое число ферзей равно
восьми. Доказано, что при р=1 (под боем у каждого
б
Рис» 45. Обобщение задачи о восьми ферзях.
ферзя находится один ферзь) максимум равен десяти
(рис. 45, а), а при /?=2 — четырнадцати (рис. 45, б).
55
Для больших значений р задача еще не решена до кон-
ца. Для р=3 найдена расстановка шестнадцати ферзей
(она очень проста — ферзи размещаются на первой и
последней горизонталях доски), а для р=4 — двадца-
ти одного ферзя (вся граница доски, кроме полей al,
а8, с8, f8, h8, h6, h5, h4, hl, а также ферзи на полях
сб и g7).
ГЛАВА 5
НЕТОРОПЛИВЫЙ КОРОЛЬ
Эта глава посвящена задачам и головолом-
кам с участием короля, который выделяется среди всех
шахматных фигур своей неторопливостью — он может
переступать только на соседние поля доски. Однако это
свойство короля не мешает ему быть интересной фигу-
рой с математической точки зрения.
В первой главе, при знакомстве с этюдом Рети (см.
рис. 14), мы уже убедились в том, что геометрия шах-
матной [доски заметно отли-
чается от обычной, евклидо-
вой геометрии. ' При этом
необычное измерение рассто-
яний на доске лучше всего
иллюстрирует движущийся
король. Приведем еще один
пример на эту тему (рис. 46).
В этом этюде пешка а7
беззащитна, и единственный
шанс черных заключается
Рис. 46. и. Майзелис. Вы- в том, чтобы на неизбежное
ИГРЫШ-	взятие Кр : а7 ответить Крс7,
не выпуская неприятель-
ского короля из заточения. Путь белого короля до
пешки а7 занимает пять ходов, причем существует 30
способов взять эту пешку за столько ходов, но лишь
один из них приводит к цели (см. рис. 46): 1. Креб! КрсЗ
2. Kpd5!! Белый' король, как говорят шахматисты,
«отталкивает плечом» своего черного оппонента; теперь
тот не может пойти на с!4, и это решает дело. 2. . .Kpd3
3. Крсб Kpd4 4. Kpb7 Kpd5 5. Кр: а7 Крсб 6. КрЬ8,
и пешка проходит в ферзи. Не годится, например,
1. Креб КрсЗ 2. Kpd6 Kpd4 3. Крсб Креб! 4. Kpb7 Kpd6
5. Кр : а7 Крс7 с ничьей.
56
Итак, у короля имеется много кратчайших путей
между двумя полями доски. Для определения этого чис-
ла существует известный математический прием. Выяс-
ним, например, сколькими способами может добраться
король с поля el до поля
d8, двигаясь кратчайшим пу-
тем (т. е. путешествие зани-
мает семь ходов). Очевидно,
он может идти к цели любы-
ми зигзагообразными марш-
рутами, лишь бы на каждом
ходу переходить с одной го-
ризонтали на другую и на-
ходиться в рамках прямо-
угольника el—а5—68—h4.
Для подсчета искомого
числа путей составим табли-
Рис. 47. Треугольник Паска-
ля на шахматной доске.
цу чисел, которые будем помещать прямо на полях
доски .(рис. 47). Число, стоящее на данном поле, равно
числу кратчайших путей до него с поля el. На поля
62, е2 и f2 король может попасть кратчайшим пу-
тем (в один ход) единственным способом, и поэтому на
них стоят единицы. По той же причине единицы стоят
па полях сЗ и g3. На d3 за два хода король попадает
двумя способами (с полей d2 и е2, 1 + 1=2), а на еЗ —
тремя (с полей d2, е2 и f2, 1 + 1 +1=3). В общем случае
число кратчайших путей до данного поля складывается
из одного, двух или трех чисел, стоящих на полях пре-
дыдущей горизонтали, с которых кордль попадает на
данное поле в один ход. Пользуясь этой закономерно-
стью, мы в конце концов заполним всю таблицу и полу-
чим, что с поля el до поля 68 король может добраться
кратчайшим путем 357 способами. Полученная таблица
носит название треугольника Паскаля
(рис. 47).
Заполняя соответствующую таблицу, можно найти
число кратчайших путей короля между любой парой
полей. При этом доска может иметь произвольную форму
и даже содержать запрещенные поля.
В предыдущей главе мы рассмотрели головоломку о
неприкосновенном короле, в которой главная шахматная
фигура играла весьма пассивную роль. Теперь мы при-
ведем иную задачу — в ней все ходы, кроме заключи-
тельного, разрешается делать только королю (рис. 48).
57
Эта задача иллюстрирует один из важнейших прие-
мов в эндшпиле, который носит название оппози-
ции. После 1. Kpg2! короли оказываются на одной вер-
тикали, причем их разделяет нечет-
ное число полей (пять), т. е. белые
захватывают оппозицию. Если те-
перь черный король движется по
линии «g», то оппозиция сохраня-
ется — 1. . .Kpg7 2. Kpg3! (рас-
стояние опять нечетно, три поля)
2. . .Kpg6 3. Kpg4! (одно поле).
Итак, черные вынуждены поки-
Рис. 48. Выигрыш с НУТЬ вертикаль «g» —3. . .Kph6 4.
неподвижной ладьей. Kpf5! До сих пор белый ко-
роль не мог встать перед ладьей,
так как черный король сразу вырывался на сво-
боду через линию «f». Теперь такая возможность по-
явилась, и белые осуществляют обходной маневр.
4. . .Kpg7 (увы, после 4. . .Kph5 ладье разрешается
вступить в игру — 5. ЛЫх) 5. Kpg5! (вновь оппози-
ция завоевана) 5. . .Kph7 6. Kpf6! Kpg8 7. Kpg6! Kph8
8. JIf8X (6. . .Kph8 7. Kpf7 Kph7 8. JlhlX).
Рис. 49. Задача о замкнутом маршруте короля.
Перейдем к вопросу о путешествии короля на шах-
матной доске. Ясно, что его маршрут по всем полям доски
занимает 63 хода (а замкнутый 64). При этом король
может воспользоваться любым несамопересекающимся
маршрутом ладьи или ферзя, но двигаться более медлен-
ным темпом. Интересна такая задача о путешествии
короля.
58
Доказать, что замкнутый маршрут короля по
всем полям доски (ни одно из полей не посещается
дважды) содержит не меньше 28 «прямых» ходов
(вдоль вертикали или горизонтали).
Очевидно, график указанного маршрута не имеет
самопересечений (в противном случае, хотя бы через
одно поле король проходит дважды). Приведем прежде
всего маршрут, в котором король делает ровно 28 «пря-
мых» ходов — рис. 49, а. Рассмотрим теперь произ-
вольный замкнутый маршрут короля без самопересече-
ний, и занумеруем все 28 крайних полей доски числами 1,
2, ... 28 в том порядке, в каком король посещает их.
Этот маршрут можно разбить на 28 участков: от первого
крайнего поля до второго, от второго до третьего, ит. д.,
от поля 28 до первого.
Покажем, что начальное и конечное поля каждо-
го участка являются соседними на границе доски
(рис. 49, а). Предположим, противное: пусть крайние
поля хотя бы одного из участков не соседние. Для участ-
ка, показанного на рис. 49, б, таковыми являются поля
а7 и а4. Поскольку • маршрут короля замкнут, то на-
чальное поле и направление обхода можно выбрать
произвольно. Будем считать, что маршрут начинается
с поля а7 и идет к полю а4. Раз поля а7 и а4 не соседние,
то рассматриваемый участок а7—а4 разбивает доску на
две части. Возьмем два поля, принадлежащие разным
частям, например, аб их1. Король должен побывать и
на этих полях. При этом путь аб—cl обязательно пере-
сечет путь а7—а4. Таким образом, мы получили про-
тиворечие с тем, что маршрут короля не имеет самопере-
сечений.
Итак, начальное и конечное поля каждого из наших
28 участков являются соседними на границе доски.
Ввиду того, что эти поля имеют разный цвет, вдоль каж-
дого из участков король делает хотя бы один «прямой»
ход (при «диагональных» ходах цвет полей не меняется).
Из этого и следует, что искомый маршрут содержит не
менее 28 ходов вдоль вертикали или горизонтали. По-
скольку король при желании может сделать все 64 хода
«прямые», то попутно мы выяснили следующее обстоя-
тельство. Наименьшая длина замкнутого маршрута ко-
роля по всей доске равна 64, а наибольшая 28 + 36 К 2 .
Король-самоубийца. На доске
1000X1000 находится белый король и 499 черных
ладей. Доказать, что при произвольном начальном
расположении этих фигур король за некоторое
число ходов может встать под шах, как бы черные
ни играли.
Пошлем короля сначала в левый нижний угол доски
и затем по главной диагонали вправо вверх. После
первого хода короля из угла
(Kpal—Ь2) и ответного хода черных
три нижние горизонтали и три ле-
вые вертикали должны быть сво-
бодны от ладей, иначе уже* вторым
ходом король встанет под шах. Та-
ким .образом, все ладьи находятся
выше и правее короля. Пусть те-
перь король сделал еще 997 ходов
по главной диагонали, и черные
ответили на его последний ход.
В этот момент ни одна из ла-
Рис. 50. Э.ч Погосянц,
Ничья.
дей не должна находиться на трех верхних гори-
зонталях и трех правых вертикалях. Иначе говоря, все
ладьи расположены левее и ниже короля (иначе он
следующим ходом добьется своей цели). Это означает,
что к рассматриваемому моменту каждая ладья должна
была сделать два хода, поменяв свою вертикаль и го-
ризонталь до того, как на них появится король. Но
ладей имеется 499 и за 997 ходов они не успевают пере-
меститься — не хватает одного хода!
В предыдущей головоломке белый король стремился
встать под шах, а неприятельские фигуры убегали
от него. В следующей задаче цели обеих сторон совпа-
дают.
Белый король стоит в левом нижнем углу, а
черный конь в правом верхнем. Через сколько ходов
король может получить шах на доске 100X100,
на доске 1000X1000?
На обычной доске шах объявляется уже на третьем
ходу: 1. Kpb2 Kg6 2. КрсЗ Kf4 3. Kpd4 Ке6+. На боль-
ших досках сближение короля и коня, очевидно, затя-
гивается. На доске 100X 100 дело кончается шахом после
39. Кр (39, 39) К (41, 40)+, а на доске 1000Х 1000 после
399. Кр (399, 399) К (401, 400)+.
Следующий этюд (рис. 50) к математике непосредст-
венного отношения не имеет, однако он просится в главу
о короле. Дело в том, что это, возможно, единственное
60
шахматное произведение, в котором белые представлены
одним королем.
1. Кре2! Прямолинейное 1. Крс2 проигрывает, вви-
ду 1. . .КеЗ+ и 2. t .Kd5, и черные спасают свою пешку.
1. . .Kpd7. После 1. . .ЬЗ 2. Kpd3 КеЗ 3. КреЗ пешка те-
ряется.
2. Kpd3 КеЗ! .(отвлечение) 3. Кр: еЗ Креб 4. Kpd3
КрЬ5 5. Крс2 Кра4 6. КрЬ2, и белый король, уничтожив
коня, вовремя успел на положенное место.
Какое максимальное число королей можно рас-
ставить на доске так, чтобы они не угрожали др.уг
другу, т. е. не стояли рядом?
Разобьем доску на 16 квадратов 2x2 (рис. 51, до-
ска 8x8 выделена на нем). Если мы хотим, чтобы короли
не касались друг друга, то, очевидно, в каждом из этих
квадратов надо поместить не
более одного из них. Это озна-
чает, что больше шестнадцати-
королей, удовлетворяющих
условию задачи, расставить
невозможно. Итак, максималь-
ное число мирных королей ра-
вно 16 (рис. 51). Число спосо-
бов, которыми можно распо-
ложить на шахматной доске 16
королей, не угрожающих друг
другу, составляет 281571.
Обобщим последнюю за-
дачу для доски пХп. Если п
четно, то доска разбивается н
лг2/4 квадратов, и иско-
мое число королей равно п2/4. При нечетных п доска
разбивается на (п—1)2/4 квадратов 2x2, на каждый
из которых можно поставить по королю; еще п королей
умещается на границе доски, и всего получаем (/г 4*1)2/4
мирных королей. Случай и=9 представлен на рис. 51,
на доске стоят 25 королей. Если п представить в виде
n~2k или n=2k—1, то искомое число мирных королей
на доске пХп, независимо от четности п, записывается
как k2.
Последняя задача о королях решена также для торо-
идальной доски, получающейся из обычной квадратной
Доски при склеивании крайних вертикалей и одновре-
менно крайних горизонталей. Если п четно, то ответ
тот же, что и для обычной доски — и2/4, в частности,
61
расстановка королей на доске 8X8 (см. рис. 51) прохо-
дит и для тороидальной доски — при склеивании краев
обычной доски все короли по-прежнему будут находить-
ся в отдалении друг от друга.
Иначе обстоит дело при нечет-
ных п. Например, при склеи-
вании краев доски 9X9 (см. рис.
51) многие короли окажутся со-
седями—как стоящие на одной
вертикали (al и а9 и т. д.), так
и стоящие на одной горизонтали
(al и il и т. д.). Можно показать,
что на нечетной тороидальной
доске пХп максимальное число
не угрожающих друг другу ко-
ролей равно (п2—п)/4, т. е. на
доске 9x9 вместо 25 мирных
Рис. 52. Короли на торои-
дальной доске.
королей умещается только 18. Искомая расстанов-
ка для этой доски показана на рис. 52, где все короли
располагаются на полях, отдаленных друг от друга
ходом коня. Нетрудно проверить, что цри склеивании
краев этой доски никакие два короля не становятся
соседями.
Какое наименьшее число королей можно рас-
ставить на шахматной доске так, чтобы они на-
падали на все свободные поля доски?
В каждом из девяти прямоугольников, выделенных
на рис. 53 (пять из них квадраты), имеется одно поле
(на нем стоит король), кото-
рое может быть атаковано
только королем, находящим-
ся в этом же прямоугольни-
ке. Следовательно, для того,
чтобы все свободные поля до-
ски были под угрозой, в каж-
дом из наших девяти прямо-
угольников должен стоять
хотя бы один король. Число
девять и является решением
Рис, 53. Задача о королях- задачи для обычной доски.
часовых.	Для д0СКИ пхп задача
также решается с помощью ее
разбиения на квадраты 3x3 и граничные прямоуголь-
ники, содержащие остальные поля. В зависимости от
62
остатка, который получается при делении числа п на 3,
его можно представить одним из трех способов: n=3k,
n=3k—1, n=3&—2. Оказывается, наименьшее число ко-
ролей, которые держат под угрозой все свободные поля
доски пХп, записывается очень просто — й2. При п=8
имеем п=8=3-3—1 (см. второе представление для п),
т. е. А=3, и /г2=9 (см. рис. 53).
ГЛАВА 6
СТРЕНОЖЕННЫЙ СЛОН
В отличие от других шахматных фигур,
слону разрешается перемещаться только по полям од-
ного цвета, чернопольному — по черным и белополь-
ному — по белым. Таким образом, слону доступна лишь
Рис. 64, Доска Уэлча.
половина доски, поэтому мы и называем его «стрено-
женным». Впрочем, преобразование шахматной доски,
придуманное Л. Уэлчем, приводит к такой доске, на
которой уже все поля доступны слону. Эта доска имеет
ступенчатую форму и получается в результате описыва-
ния квадратов около всех одноцветных полей обычной
доски (рис. 54,а). Доска Уэлча состоит из 32 «больших»
полей, каждое из которых может быть занято слоном —
в данном случае чернопольным. Как мы видим, рас-
смотренное преобразование переводит диагонали стан-
дартной доски в вертикали и горизонтали доски Уэлча
(и наоборот), и, значит, ходу слона на 64-клеточной
доске соответствует ход ладьи на 32-клеточной. Итак,
произвольную задачу о слонах на шахматной доске легко
63
переформулировать как задачу о ладьях на более на-
глядной (без лишних полей) ступенчатой доске. Оста-
лось развернуть эту доску на 45° и, для порядка, рас-
красить в черно-белый цвет (см. рис. 54, б). Мы, однако,
будем решать головоломки со слонами на привычной
доске 8X8.
Хотя слон не может обойти всю доску, но если огра-
ничиться полями одного цвета, задача о его путешествии
Рис. 55. Маршруты слона по доске.
становится корректной. Маршрут из 17 ходов, предло-
женный Дьюдени (рис. 55, а), имеет довольно симметрич-
ный вид, однако не является кратчайшим. Самый бы-
стрый маршрут (рис. 55, б) в эстетическом отношении
уступает ему— на графике появляются «точки возврата»,
но зато он на ход короче.
В общем случае, самый быстрый обход слоном всех
одноцветных полей доски п X п состоит из 5п/2—4 ходов
при четных п и (5п+1)/2—4 ходов при нечетных п;
во втором случае п^З, причем имеются в виду поля
черного цвета, которого на доске больше. Метод на-
хождения кратчайших маршрутов слона на произволь-
ных досках вытекает из рис. 55, б. На нечетной доске
слон начинает и заканчивает свое путешествие в про-
тивоположных углах доски и, кроме того, дважды про-
ходит по «большой дороге» (диагонали al—Ь8).
Мы уже знаем, что ферзь, ладья и король (могут вы-
брать такой маршрут по доске, график которого не будет
иметь самопересечений (маршрут ферзя при этом на ход
длиннее кратчайшего). Легкие фигуры — конь и слон,
отличаются тем, что график любого их маршрута по
всей доске самопересекается. Напомним, что самый
64
длинный несамопересекающийся путь коня на шахмат-
ной доске состоит из 35 ходов (см. рис. 24), т. е. прохо-
дит через 36 полей. Самый длинный несамопересекаю-
Рис. 56. Несамопересека-
ющийся путь слона.
а на четной доске он
щийся путь слона проходит че-
рез 29 полей (рис. 56), т. е. на
одноцветной части доски без
внимания остаются лишь три
поля (а8, е8 и fl). В общем слу-
чае, для доски пХп задача о
.самом длинном несамопересека-
ющемся пути коня не решена,
а со слоном имеется полная яс-
ность. На нечетной доске он мо-
жет обойти все поля того цвета,
которого на доске меньше — чис-
ло их равно (п2—1)/2 и график
пути не будет самопересекаться,
проходит через(п2—п+2)/2 одноцветных полей (при п=8
как раз получаем 29 полей).
Со следующей задачей о слоне связана забавная
история.
С углового поля доски mXn (т, п>1) начинает
двигаться слон; всякий раз, дойдя до границы доски,
он меняет направление, и как только попадает в
угол, останавливается. При каких тип слон в
результате такого движения посетит все поля доски
(поля могут посещаться многократно)?
Решим эту задачу. Рассмотрим прямоугольник
ЛооЛоМцЛю с вершинами в центре угловых полей доски
(рис. 57, а). Длина отрезка Л00Л01 равна m—1, а длина
отрезка ЛОоЛю равна п—1. Образуем решетку (рис. 57,6),
которая получается при сдвиге нашего прямоугольника
неограниченное число раз вправо на т единиц и вверх
на п единиц. Узлы решетки обозначим через Л z/(£, /=
=0, 1,2,...). Проведем из точки Лоо луч d под углом
45° к прямой ЛооЛо1 \d — биссектриса прямого угла
решетки). Тогда, очевидно, пути слона ЛОоВ1В2В3. . .на
доске будет соответствовать последовательность точек
Лоо, Bi, Вз, Вд, . . ., в которых луч d пересекает стороны
решетки. Слон останавливается на /-м ходу (попав в
угол доски) тогда и только тогда, когда точка Bt сов-
падает с узлом решетки.
Пусть Арс1 — первый (не считая Лоо) узел решетки,
лежащий на луче d; он соответствует достигнутому сло-
3 Е. Я. Гик
65
НОМ угловому ПОЛЮ ДОСКИ. Поскольку ДоЛоИрИро ~
квадрат, то имеем:
р (п—1)=<7 (т—1)=а,
где число а — наименьшее общее кратное чисел т—1
и п—1 (узел Apq—первый!).
Рис. 57. Задача о слоне.
Между узлами ЛОо и Л^.луч d пересекает стороны
решетки p+q раз, и, соответственно, p+q раз слон по-
падает на край доски. Граница доски тХп содержит
2т+2п—4 полей — поровну белых и черных. Слон
пройдет мимо всех белых полей доски в том и только в
том случае,’если он посетит все граничные белые поля,
т. е. если
p+q=m+n—2.
Из двух полученных равенств следует, что
а/ (tn—\)+al (п— l)=(m— 1) + (и—1),
откуда а— (т—1) (п—1). Но наименьшее общее крат-
ное двух чисел равно их произведению тогда и только
тогда, когда они взаимно просты. Итак, условие, при
котором слон обойдет все белые поля доски тХп, сос-
тоит в том, чтобы числа т—1 и п—1 были взаимно про-
сты. Разумеется, на обычной доске, как и на любой
66
квадратной пХп, слон может сделать ровно один ход —
из угла в угол, посещая всего п полей.
Эта задача возникла как частный случай одной чисто
математической проблемы (из области целочисленного
программирования), не имеющей никакого отношения
к шахматам. Авторы задачи, Е. Гик и А. Жорницкий,
решили опубликовать ее в «Задачнике «Кванта»». Ка-
ково же было их удивление, когда, раскрыв однажды
свежий номер журнала, они обнаружили, что у задачи
появилось... продолжение, а именно вторая часть, в ко-
торой спрашивалось:
Сколько всего полей посетит слон-па доске
тХп, прежде чем остановится?
По «вине» редакции «Кванта» авторам пришлось сно-
ва решать свою задачу, причем вторая часть оказалась
намного сложнее первой. Для полноты картины при-
ведем, пожалуй, и это решение.
Если каждое внутреннее белое поле доски, через ко-
торое слон проходит два раза, считать дважды, то число
белых полей, посещаемых слоном, равно а+1 (поскольку
длина стороны квадрата А00Л0а равна а, и на диагонали
A00Apq лежат центры а+1 квадратов со стороной 1).
Чтобы найти, сколько белых полей обойдет слон на
самом деле, нужно из числа (а+1) вычесть число вну-
тренних белых полей, проходимых слоном дважды.
Подсчитаем, сколько всего имеется таких полей.
Обозначим через b наибольший общий делитель чисел
т—1 и п—1. Конечно, сейчас уже предполагается, что
числа т—1 и п—1 не взаимно просты (в противном слу-
чае, из «основной» части задачи следует, что слон посе-
тит все белые поля доски). Итак, Ь>\ и (т—1) (п—Г)=аЬ.
Положим М = (т—1)/&+1, N=(n—1)/&+1. Числа М—1
и N—1 взаимно просты, поэтому, если взять доску раз-
мерами Л4хЛ\ то слон, начав двигаться из белого угла,
обойдет все ее белые поля. Прямоугольники AooAiOAuAoi
и AqqAioAuAq] (см. рис. 57, б, в) подобны, поэтому
число самопересечений путей слона на обеих досках
(размерами тХп и MXN) одно и то же. Но так как
слон попадает на все граничные белые поля доски MXN
и проходит по всем ее диагоналям, то во всех внутренних
полях этой доски его путь самопересекается. Число вну-
тренних белых полей на доске MXN равно
ГЛТМ — (2M + 2N — 4)4-11 __ Г(Л4 —2) (W —2)4-1 1
L 2 J L 2 J
3*
67
(квадратные скобки означают целую часть числа). Сле-
довательно, на доске тХп число белых полей, которые
обойдет слон, равно
Г(Л4—2) (7V—2)4-1 1
й -г 1 — --------2------- ~~
. (/n i)(n]) + t 1)/^—1) «п—1)/г>—1)4-1J
_ (m_l) (лг_ 1)	\)/Ь- 1М(П— !)/£>—1)-1]
“ ь L 2 J *
На рис. 58 показано перемещение слона по доске
25X10. Числа 24 и 9 не являются взаимно простыми
Рис. 58. Перемещение слона на доске 25Х 10.
(у них общий делитель 3), и-слон в состоянии обойти
только 66 белых полей доски.
Рис, 59. Четырнадцать
мирных слонов.
В заключение главы приве-
дем несколько рекордных рас-
становок слонов.
Какое наибольшее число сло-
нов можно расставить на доске
так, чтобы они не угрожали
друг другу?
Проведем на доске 15 ди-
агональных прямых, как пока-
зано на рис. 59. Если слоны не
угрожают друг другу, то на ка-
ждой диагонали может стоять
не более одного из них. Посколь-
ку прямые пересекают все поля
доски, общее числр слонов не превосходит пятнадцати.
Однако ровно столько слонов поставить не удается, так
68
Рис. 60. Восемь слонов-
часовых.
как две крайние прямые содержат по одному полю, и
оба эти поля расположены на одной диагонали а8—hl.
Рекордная расстановка, содержащая 14 слонов, дана
на рис. 59.
На доске и Хи можно аналогично провести 2/2—1
параллельных диагональных прямых и, значит, расста-
вить 2/2—2 мирных слонов. До-
казано, что общее число расста-
новок равно'2", причем в каждой
из них все слоны располагаются
на краю доски.
Какое наименьшее чис-
ло слонов надо взять, что-
бы они держали под обст-
релом все свободные поля
доски?
Для этой цели вполне доста-
точно восьми слонов (рис. 60).
Покажем, что должно быть не
меньше четырех белопольных и
стольких же чернопольных сло-
нов. Предположим противное. Пусть число белопольных
слонов меньше четырех. Тогда не меньше пяти белых
диагоналей (из восьми отмеченных на рисунке) свободны
от слонов, причем хотя бы одна из них содержит больше
трех полей. Дак как ни один из слонов не может угро-
жать более чем одному полю этой диагонали (на ней
самой слонов нет), то на доске найдутся поля, лежащие
вне зоны действия слонов — противоречие. Также по-
казывается, что на доске должно стоять не меньше четы-
рех чернопольных слонов, т. е. общее число слонов не
меньше восьми.
В общем случае п слонов могут держать под ударом
все свободные поля доски пХп. Слонов следует распо-
ложить вдоль одной из центральных вертикалей или
горизонталей доски.
Итак, каждой из пяти шахматных фигур мы посвяти-
ли отдельную главу. Пешке выделять специальное место
не обязательно. Она может превратиться в произволь-
ную фигуру и, значит, стать предметом исследования
любой из пяти глав...
69
ГЛАВА 7
НЕЗАВИСИМОСТЬ И ДОМИНИРОВАНИЕ
Множество очень интересных и красивых
задач на шахматной доске возникает при решении сле-
дующих двух комбинаторных проблем.
1. Какое наибольшее число одноименных фигур
(ферзей, ладей, слонов, коней или королей) можно
расставить на доске так, чтобы никакие две из них
не угрожали друг другу? •
2. Какое наименьшее число одноименных фигур
(ферзей, ладей, слонов, коней или королей) можно
расставить на доске так, чтобы они держали под
обстрелом все свободные поля доски?
Первое из этих чисел будем называть числом незави-
симости для соответствующих фигур, а второе — числом
доминирования. Для удобства мирные фигуры, т. е. не
угрожающие друг другу, будем называть также неза-
висимыми, а фигуры, обстреливающие все свободные поля
доски, т. е. доминирующие на ней,— доминирующими.
Мы воспользовались здесь некоторыми терминами из
математической теории графов, в которой задачи на шах-
матной доске служат во многих случаях очень удобной
иллюстрацией. Приведем несколько определений.
1. Множество вершин графа называется независимым,
если никакие две из них не соединены между собой реб-
рами. Среди независимых множеств существует хотя бы
одно максимально независимое, содержащее максималь-
ное число вершин. Это число вершин называется чис-
лом независимости для данного графа (или числом его
внутренней устойчивости).
2. Множество вершин графа называется доминирую-
щим, если каждая вершина вне этого множества соеди-
нена ребром хотя бы с одной вершиной, принадлежащей
ему. Среди доминирующих множеств существует хотя
бы одно минимально доминирующее, содержащее ми-
нимальное число вершин. Это число называется числом
доминирования для данного графа (или числом его внеш-
ней устойчивости).
Как уже говорилось во второй главе, каждой шах-
матной фигуре можно поставить в соответствие граф с
вершинами на полях доски. Если фигура может сделать
ход между двумя данными полями доски, то расположен-
ные в них вершины соединяются ребром. Легко убе-
70
диться, что наша первая проблема заключается в опре-
делении числа независимости для графов шахматных
фигур, а вторая проблема — в определении числа доми-
нирования для них.
Такой простой связью между графами и задачами на
шахматной доске и объясняется популярность шахмат-
- ных терминов и задач в литературе по теории графов.
Важно отметить, что многие задачи о графах, весьма
сложные в общем случае, удается решить для графов
шахматных фигур. Примерами служат задачи о незави-
симости и доминировании, которыми мы сейчас и зай-
мемся, рассматривая попутно и ряд других вопросов и
обобщений, в том числе для доски пХп. Обозначим через
N число независимости, а через D число доминирования.
В скобках будет указываться фигура, о которой идет
речь, а индекс обозначает размер доски. Так, Dn(JI) —
это число доминирования для ладей на доске пХп.
Результаты наших исследований будем заносить
в табл. 1 (см. стр. 74), знаки во-
проса означают, что соответствую-
щие числа нам неизвестны. После
каждой строки с числами N и D
в таблице идет строка с числом
расстановок на доске, т. е. расста-
новок, в которых участвует, соот-
ветственно, N независимых или D
доминирующих фигур. >
1.	Конь. С независимостью коней
имеется полная ясность. Очевидно,
расставляя 32 коня на полях одного
цвета (рис. 61), мы получим два независимых множества.
Убедимся, что больше 32 коней расставить невозможно.
Пусть мирные кони каким-то образом расположены на
доске. Рассмотрим произвольный замкнутый маршрут
коня по этой доске. В этом маршруте после каждого поля,
занятого конем нашей расстановки, должно следовать
свободное поле. Значит, кони не могут занимать более
половины доски. Если же половина доски заполнена
конями, то они должны следовать в маршруте через одно
поле и, значит, располагаться на полях одного цвета.
Итак, мы не только доказали, что Ns (К)=32, но и
обнаружили существование двух независимы^ расста-
новок — кони могут стоять только на белых или только
на черных полях. Никаких других фигур, не угрожаю-
Рис. 61. 32 мирных
коня.
71
Рис. 62. Двенадцать
коней-часовых.
щих друг другу, в таком большом количестве расста-
вить нельзя, и поэтому коней по праву можно считать
самыми мирными жителями шахматной семьи.
Совершенно аналогично доказывается, что Nn (К)=
=п2/2, если п четно, и Мп(К)=(п2+1)/2, если п нечетно.
В первом случае вновь имеются
две (одноцветные) расстановки, а
во втором — только одна (кони сто-
ят на полях того цвета, которого
на доске больше).
Для доминирования на обыч-
ной доске достаточно иметь 12 ко-
ней (рис. 62). В общем случае эта
задача для коней не решена.
2.	Ладья. Все интересующие нас
результаты для ладьи получены в
третьей главе: Nn (J\)==Dn (Л)=п,
число расстановок равно, соответственно, п! и 2пп—п\
На шахматной доске имеем 8! расстановок восьми неза-
висимых ладей и 2-88—8! расстановок восьми доминиру-
ющих ладей.
3.	Ферзь. Рассмотрим числа независимости jVn(O).
Как мы знаем (см. четвертую главу), М2(Ф)=1, М3(Ф)=2,
Мп(ф)=п (п=й2; 3). Число соответствующих расстановок
известно только для п^14. На обычной доске можно
расставить восемь независимых ферзей 92-мя различ-
ными способами.
Число доминирования для ферзей на обычной доске,
как, впрочем, ина досках 9x9, 10X10 и 11X11, равно
пяти (см. рис. 38). Существует 4860 расстановок пяти
ферзей-часовых на доске 8x8. В общем случае формула
для числа пхп неизвестна (в четвертой главе указаны
некоторые верхние и нижние оценки для него).
4.	Король. Задачи о независимости и доминировании
для королей мы фактически обсуждали в пятой главе.
Наибольшее число независимых королей на доске пХп
равно fe2, где п=2& или п=2£—1. На доске 8x8 суще-
ствует 281571 расстановка; формула для доски пХп не
найдена. Минимальное число доминирующих королей
на обычной доске равно 9, в общем случае формула ука-
зана выше. Число расстановок доминирующих коро-
лей не подсчитано даже для обычной доски.
5.	Слон. В предыдущей главе доказано, что МП(С) =
=2п—2 (п>1) и, в частности, на обычной доске можно
72
расставить 14 независимых слонов. Число расстановок
равно 2Ч.
Далее, мы знаем, что Dn(C)=n, и на доске 8x8 до-
минируют 8 слонов. Хотя формула для числа расста-
новок п слонов, доминирующих на доске пХи, имеет
довольно громоздкий вид, приведем
ее. Число расстановок слонов
равно [(2й—1)! (4&2 + &)]2 при
и = 4й; [(2^)! (4^2 + 5^ + 2)]3" при
н=4&4-2 и, наконец, 2(&!)2(& + 2)
при n = 2k—1 (&>0).
Интересно, что при четных п
число различных расстановок 2п—2
независимых слонов, как и число
различных расстановок п домини- р б3 р л
рующих слонов, представляет собой	дени, р д
полный квадрат. В частности, на
обычной доске имеем, соответственно, 28=(24)2= 162==256
расстановок мирных слонов и [(2-2 — 1)! (4-22 + 2)]2==
= Ю82= 11664 расстановок слонов-часовых. Понятно,
в чем здесь дело. Белопольные и чернопольные слоны
можно расставлять отдельно друг от друга. При этом,
если доска четная, число расстановок белопольных сло-
нов, обладающих некоторым свойством (независимости
или доминирования), равно числу расстановок черно-
польных слонов, обладающих тем же свойством. Пусть
это число равно t. Комбинируя каждую из расстановок
белопольных слонов с каждой из расстановок черно-
польных слонов, всего получаем t2 расстановок слонов,
обладающих выбранным свойством.
Итак, насколько нам удалось, мы заполнили табл. 1.
Так как числа независимости и доминирования на обыч-
ной доске найдены для всех фигур, то мы решили обе
проблемы, упомянутые выше. Нами указано также,
сколько существует расстановок наибольшего числа
независимых фигур на доске 8x8; что касается домини-
рования, то здесь еще остались нерешенными два вопроса.
Уникальной является позиция Дьюдени, изображен-
ная на рис. 63. Здесь на доске одновременно умести-
лось рекордное число независимых ферзей — 8, ладей —
8 и слонов — 14. На доске находится также 21 мирный
конь, и еще для одного рекорда не хватает 11 белых по-
лей. При желании на свободные черные поля доски можно
поставить, восемь независимых королей.
73
Таблица 1
W; D	Конь	Ладья	Ферзь	Король	Слон
Число независи- мости для дос- ки 8X8	32	8	8	16	14
Число расстано- вок	2	40320	92	281571	256 /
Число независи- мости для дос- ки nXn (Nn)	п2/2, при четных я, (п2+1)/2, при нече- тных п	п	1, при п~ 1 и п = 2, 2, при п=3, гс, при п^4	&2, где n=2k или n=2k—1	Ч, при п— 1, 2п—2, при п^2
Число расстано- вок	2, при четных п, 1,при не- четных п	nl	?	?	1, при п=1, 2«, при п^2
Число домини- рования для доски 8X8 (О8)	12	8	5	9	8
Число расстано- вок	?	2-88—8!	4860	?	20736
Число домини- рования для доски пХп (О„)	?	п	?	&2, где n = 3k, п= 3k— — 1 или n=3k—2	п
Число расстано- вок	?	2-п"—п\	?	?	см. стр. 73
74
Менее популярны задачи о доминировании и неза-
висимости пешек; мы предлагаем читателям исследовать
их самостоятельно. Заметим, что, в отличие от фигур,
для пешек можно рассматривать отдельно два случая —
когда все они одного цвета, и когда на доску разреша-
ется ставить и белые, и черные пешки.
До сих пор мы занимались лишь классическими ком-
бинаторными Задачами о расстановке шахматных фигур.
Однако существует множество интересных задач такого
типа, в которых допускаются различные наборы фигур
(не обязательно одноименные).
Например, если говорить о независимости, то весьма
сложными являются задачи о расстановках на доске
данного числа фигур, не обязательно равного'п. Вот
общая формулировка таких задач.
Сколькими способами можно расставить р не-
зависимых фигур на доске пхп (p^Nn)?
В восьмой главе такая задача будет решена для двух
ферзей (р=2); при увеличении р ее решение существенно
усложняется.
а
б
Рис. 64. Белые и черные не мешают друг другу.
В задачах о независимости цвет фигур не играл ни-
какой роли. Однако много интересных вопросов воз-
никает, если расставлять фигуры обоих цветов, но тре-
бовать, чтобы белые и черные не угрожали друг другу.
Вот одна из задач такого типа.
При каком минимальном значении п можно
уместить на доске пХп весь комплект белых и
черных фигур (без пешек), чтобы фигуры] разно-
го цвета не били (уже по-настоящему!) друг
Друга?
Очевидно, на доске 4X4 шестнадцать шахматных фи-
гур займут все ее поля и невольно войдут в соприкос-
новение. Однако на доске 5x5 искомые расстановки уже
существуют (рис. 64), одна из них центрально-симметрич-
на (рис. 64, а).
75
В задачах о доминировании часто требуется, чтобы
под обстрелом находились не только свободные поля до-
ски, но и занятые фигурами. Мы
уже приводили расстановку пяти
ферзей-часовых, обладающих этим
свойством. Восемь ладей, .стоящих
вдоль любой вертикали или гори-
зонтали также нападают на все
поля доски. Что касается других
фигур, то для нападения на все
поля доски их требуется несколь-
ко больше, чем для обычного до-
Рис. 65fc Под охраной все поля доски.
минирования.'Коней и слонов надо иметь на два больше,
а королей даже на три. Таким образом, 14 коней, 10
слонов или 12 королей в состоянии держать под обстре-
лом все 64 поля доски. Соответствующие расстановки
приведены на рис. 65, а—в.
Исследуем теперь доминирование различных наборов
фигур, не обязательно одноименных. Пять ферзей справ-
ляются с шахматной доской (держат ее свободные поля
под ударом), но меньшим числом фигур не обойтись.
Любопытно, однако, что двух из пяти ферзей можно за-
менить более слабыми фигурами,— двумя ладьями или
даже ладьей и слоном (рис. 66, а, б), причем-в первой
расстановке атакованы Ъсе 64 поля доски. Если мы хо-
тим, ’чтобы ферзей сопровождал конь или король, то на
доске придется оставить четыре ферзя (рис. 66, в, г,
положение ферзей здесь одно и то же).
Можно ли расставить на доске восемь фигур
одного цвета, чтобы они держали под обстрелом все
64 поля доски?
76 ,
Как ни странно, комплект фигур доминирует на дос-
ке лишь в том случае, если слоны одноцветные (рис. 67, а).
Если же слоны разного цвета, то одно поле всегда будет
Рис. 66. Пять фи гур-часовых.
Рис.
67. Доминирование на шахматной доске.
в безопасности. Доказано, что неатакованным может
быть любое поле доски (на рис. 67,6 — это поле cl).
Если мы хотим, чтобы под охраной, как и раньше, на-
ходились только свободные поля доски, то хватает семи
фигур из комплекта, одного слона можно просто снять
(рис. 68).
77
Прежде чем рассказать еще об одной задаче о расста-
новке фигур, дадим следующее определение из теории
графов. Пусть каждой вершине графа приписан неко-
торый цвет. Тогда скажем, что граф раскрашен правиль-
но, если любые две вершины, связанные одним ребром,
имеют разный цвет. Минимальное число красок, которое
требуется для правильной.раскраски графа, называется
хроматическим числом данного графа. Нахождение хро-
матического числа (как и чисел независимости и доми-
нирования) в общем случае представляет собой чрез-
вычайно сложную проблему. Упомянем знаменитую
задачу четырех красок, которая
сводится к определению хромати-
ческого числа в графе.
Можно ли произвольную
географическую карту раскра-
сить четырьмя красками так,
чтобы любые две соседние
страны были окрашены в раз-
ный цвет?
Рис. 68. Семь фигур-
часовых,
Если в каждой стране поместить
вершину графа и соединить ребром
каждую пару вершин, расположен-
ных в соседних странах, то получим граф географической
карты. Его хроматическое число совпадает о минималь-
ным числом красок для раскраски карты. Гипотеза,
согласно которой хроматическое число графа любой
карты не более, чем четыре (хватает четырех красок),
была высказана еще в середине прошлого века. Несмотря
на усилия многих выдающихся математиков, доказать
ее удалось только в 1976 году. Забавно, но в это же вре-
мя был снят и последний вопрос о хроматическом числе
графов шахматных фигур для обычной .доски.
Каким наименьшим числом красок надо вос-
пользоваться для раскраски доски, чтобы любые
два поля, связанные ходом данной фигуры (ферзя,
ладьи, коня, слона или короля), были окрашены в
разные цвета?
Иначе говоря, спрашивается, при какой раскраске
доски фигуры, стоящие на полях одного цвета, не угро-
жают друг другу, т. е. являются независимыми. Меньше
всего красок — две — требуется в случае коней. Собст-
венно, здесь и раскрашивать нечего, годится обычная
черно-белая доска. Двух красок хватает для раскраски
78
любой доски пХп, а при п, равном 1 или 2, можно огра-
ничиться и одной краской.
В случае слонов и ладей для раскраски обычной
доски достаточно восьми красок (а для раскраски доски
пХп — п красок). Каждую вертикаль доски, заполнен-
ной слонами, можно окрасить в свой цвет. Для ладей
все поля первой горизонтали окрасим в разные цвета, а
для раскраски последующих горизонталей используем
циклический сдвиг красок. Другими словами, если кра-
ски занумеровать числами от 1 до 8 (для доски пХп —
числами 1,2, ... п), то окраска первой горизонтали —
1,2,.. ., 8; второй — 2, 3, . . ., 8, 1; третьей —
3, 4, . . ., 8, 1, 2 и т. д.; восьмой — 8, 1, . . ., 7.
Переходя к королям, заметим, что для них все четыре
поля произвольного квадрата 2X2 должны быть окра-
шены в разные цвета. Четырех красок хватает и для
любой доски пХп (при п—1 — одна краска). Левый
нижний квадрат 2x2 можно
произвольно раскрасить в че-
тыре цвета, затем так же рас-
красить соседние квадраты 2x2
и т. д., пока не будет раскра-
шена вся доска (если п не де-
лится на 4, то, естественно, чи-
сла полей, окрашенных в раз-
ные цвета, могут несколько от-
личаться).
На рис. 69 показана раскра-
ска шахматной ДОСКИ для фер- Рис. 69. Задача о раскра-
зей (числа от 1 до 9 соответ-	ске доски>
ствуют девяти краскам). Дей-
ствительно, здесь никакие два одинаковых числа не
стоят на одной вертикали, горизонтали и диагонали.
Восьми красок для раскраски доски с ферзями не хва-
тает. Если предположить противное, то найдутся во-
семь расстановок восьми мирных ферзей, заполняющих
в совокупности всю доску. Но такого набора расста-
новок не существует (см. стр. 49). В общем случае до-
казано, что любую доску пХп можно раскрасить в /г+3
цвета так, чтобы ферзи, стоящие на полях одного цве-
та, не угрожали друг другу. Для некоторых п jipma-
точно и меньшего числа красок: п+2, п+1 или п. Су-
ществует гипотеза, по которой хроматическое число гра-
фа ферзей при любом п^З равно либо п, либо п+1.
79
ГЛАВА 8
СИЛА ФИГУР
Каждый шахматист знает, что сила фигу-
ры — величина относительная и зависит от конкретной
обстановки на доске. Легко придумать позицию, в ко-
торой одна пешка справляется со всей армией неприя-
тельских фигур. Рассмотрим один изящный пример на
эту тему (рис. 70). У черных здесь подавляющий мате-
риальный перевес, и все же белая пешка берет верх.
1. Кр: el Фа1 (выбора нет) 2. ЬЗ! (пешка продви-
гается всего на одно поле, хитрость обнаружится позд-
нее) 2. . .Фа2 3. Ь4 Фа1 4. h5 Фа2 5. Ь6 Фа1 6. Ь7 Фа2
7. Ь8К!! Единственная белая пешка даже не желает
превращаться в ферзя; теперь новоявленный конь про-
ходит по траектории 8—15. КП—
е5—d7 : с5—е4—d6 : с4—а5 и, на-
конец, 16. Ка5 : ЬЗХ.
Мат оказался возможен благо-
даря тому, что белые проявили
сдержанность на втором ходу и
выиграли темп; в противном слу-
чае всякий раз, когда белый конь
нападал на пешку ЬЗ, черный
ферзь защищал бы ее с поля а2.
Парадоксальных позиций, в
которых материальное соотноше-
ние сил не играет никакой роли, можно при-
вести сколько угодно: в то же время ясно, что фигуры
отличаются друг от друга своей силой. Даже начинаю-
щий шахматист быстро усваивает, что ладья сильнее*
слона или коня, которые, в свою очередь, равноценны,
причем каждую из этих фигур можно разменять на три
пешки, ферзь намного превосходит любую фигуру и т. д.
В шахматных учебниках можно найти различные шкалы
оценок для силы фигур (за единицу обычно принимают
силу пешки). Вот некоторые из них (через F (х) мы
всюду обозначаем силу фигуры х):
F(n)=l, F(K)=F(C)=3, F (JT)=5f F (Ф)=9;
или:
F(n)=l, Ж)=3, F(C)=3,5, Г(Л)=5,5, Г(Ф)=10;
цли:
F(n)=l, F (K)=F (С)=3,5, F (Л)=5, Г(Ф)=10.
Рис. 70. Пешка про-
тив всей армии фигур.
ВО
Все эти шкалы в достаточной степени соответствуют
нашему представлению о силе фигур в шахматной игре.
Так, например, в них отражено, что ладья в среднем
равносильна легкой фигуре и двум пешкам, ферзя мож-
но разменять за две ладьи или ладью, легкую фигуру
и пешку и т. д. Позиционные фактор’ы здесь, конечно,
не учитываются.
Понятно, что шахматист во время игры при разме-
нах и взятиях фигур автоматически сравнивает их
'силу и никаких арифметических действий не произво-
дит.
Что же касается ЭВМ, то она без информации о силе
фигур просто не в состоянии играть. При выборе хода
машина прежде всего складывает отдельно силы белых и
чернь/х фигур, и разность между полученными сумма-
ми служит основой для оценки позиций. Заметим, что
последняя из указанных шкал используется экс-чем-
пионкой мира «Каиссой>х в ответственных соревнова-
ниях (см. главу 15).
Приведенные шкалы строятся эмпирически, на ос-
нове опыта шахматистов. Теперь мы рассмотрим один
чисто математический подход к определению силы фигур,
связанный с особенностями их передвижения.
Очевидно, фигура тем сильнее, чем большее число
полей она держит под ударом. Число атакованных полей
зависит от ее положения на доске, и для всех фигур,
кроме пешки (которая ходит одним способом, а бьет —
другим), совпадает с числом полей, достижимых из
данного поля за один ход.
Подсчитывая число возможных ходов фигуры х с
каждого поля доски и складывая эти числа, получаем
общее число ходов S (х). Деля S (х) на число полей,
доступных фигуре, получаем Р (х) — ее подвижность.
Выразить количественно силу фигуры х можно, деля
Р (х) на подвижность пешки Р (п).
Найдем силу фигур на обычной доске, а затем перей-
дем к доске иХп. Начнем с короля. С угловых полей
доски он может сделать по три хода, а с остальных край-
них полей по пять. На внутренних полях доски в его
распоряжении имеется восемь ходов (рис. 71, а). Сум-
мируя, получаем общее число ходов короля на доске
(рокировки для простоты не учитываются):
S (Кр)=3х4+5Х24+8Х36==42О.
81
Аналогично для других фигур:
5(Ф) = 21 X 28 + 23 х 20 + 25 х 12 + 27 х 4= 1456;
$(Л) = 14 X 64 = 896;
5(C) =7 X 28 + 9 х 20 + 11 х 12+13 X 4 = 560
(если считать отдельно подвижности белопольного и
чернопольного слонов, то вместо последней формулы
можно написать: S (С6) = S (Сч) = 280);
S(K) = 2 X 4 + 3 х 8 + 4 X 20 + 6 X 16 + 8 X 16 = 336;
S(n) = 2 X Ю + З X 32 + 4 X 6=140.
Для пешки считаем поля, на которые она может пойти
без взятия, и поля, которые она держит под охраной (пере-
мещаясь на них при взятии). Тот факт, что при достиже-
нии последней горизонтали она может превратиться в
разные фигуры, мы сейчас во внимание не принимаем
(см. рис. 71, б).
4
Рцс. 711 Сила фигур.
Наибольшее число ходов ферзь и слон могут сделать
с полей центрального квадрата 2x2, конь — с полей
квадрата 4X4, а для ладьи все поля равноценны.
Обозначим через R (х) число полей, на которых может
находиться фигура х. Очевидно, для всех фигур, кроме
пешки, R (х)=64, a R (п)=48 (пешки не стоят на-край-
них горизонталях); для разнопольных слонов имеем:
/? (Сб) = 7? (Сч) = 32.
Подвижность Р (х) фигуры х мы определяем из сле-
дующей формулы:
Р (x)=S (x)/R (х).
82
Вычислим подвижности всех фигур:
Р(Ф) = 22,75 «23;
Р(Л)=14;
Р (С) - Р (С6)» Р (С,) = 8,75 « 9;
Р(Кр) = 6,5625 «7;
Р (К) = 5,25 «5;
Р(п)«3.
По нашему предположению, сила шахматной фигуры
прямо пропорциональна ее подвижности. Принимая силу
пешки, как и раньше за единицу, силу фигуры х находим
по формуле:
F (х)=Р (х)/Р (п).
В результате получаем следующую шкалу силы шах-
матных фигур (значения округлены до десятых долей):
F(n) = l; Р(К) = 1,7; Г(Кр) = 2,5;
f (C) = F(C6) = F(C4) = 3; Р(Л) = 4,7;
Г(ф) = 7,7.
Здесь у нас впервые появился король, отсутствовав-
ший в предыдущих шкалах. Конечно, это самая важная
фигура намного ценнее остальных, и потеря ее означает
просто-напросто, что король получил мат (при создании
шахматной программы в качестве силы короля обычно
выбирается очень большое число). Однако в смысле
подвижности найденная оценка вполне разумна.
В построенной шкале можно обнаружить определен-
ные расхождения с практикой. Бросается в глаза, в
частности, слишком большое превосходство ферзя, ладьи
и слона над конем. Дело в том, что здесь не учтено, что
в шахматной партии действия дальнобойных фигур (в
отличие от коня) почти всегда ограничены другими фигу-
рами, как своими, так и неприятельскими, и их реальная
подвижность уменьшается (яркой иллюстрацией служит
позиция, изображенная на рис. 70). Вычисление силы
фигур мы проводили в несколько искусственной'ситуа-
ции, считая, что на доске нет других фигур. Правильно
было бы подсчитывать число ходов данной фигуры, зани-
мающей данное поле для каждой дислокации белых и
черных фигур на остальных полях доски. Разумеется,
такой подсчет вызвал бы огромные трудности.
83
Предлагаемый математический подход к оценке силы
фигур позволяет рассматривать различные обобщения
и придумывать интересные задачи. Найдем подвижности
Рп (х) на доске п X п. Для этого нам надо подсчитать число
ходов Sn(x) фигуры х на доске пХл и разделить его на
Rn(x).
Начнем снова с короля. С четырех угловых полей он
имеет по 3 хода, с остальных 4(п—2) крайних полей —
по 5 ходов и с (п—2)2 внутренних полей доски — по
8 ходов. Суммируя, находим:
Sn(Kp)=4 (п-1) (2п—1).
Ладья на каждом из п2 полей доски имеет в распо-
ряжении 2 (п—1) ходов, и поэтому
5п(Л)=2п2(п—1).
Формулы для остальных фигур приведем без выводов:
S„(K)«8(n-l)(n-2),
S„(n) = (n — l)(3n—4) (для n>4),
Sn(C) = -|-n(n—1) (2n—1).
Если n четно, то
Sn(C6) = Sn(C4)=»S„(C),
а если п нечетно, то суммарные числа ходов белополь-
ного и чернопольного слонов отличаются друг от друга.
Считая, что черных полей н.а доске больше, имеем:
S„(C6) = l(2n-3)(n2-l),
S„ (C4)=|(n-l)(2n2-n + 3).
Поскольку ферзь ходит, как ладья и слон, получаем:
S„ (Ф) = S„ (Л) + Sп (С) =» | и (и -1) (5л -1).
Для всех фигур, кроме пешки, 7?п(х)=п2, а 7?п(п)=
=п(п—2). Пользуясь формулами Pn(x)=Sn(x)/Pn(x) и
Rn(x)== Рп(х)/Рп(п), легко найти подвижность и силу
всех фигур на доске пХп. Однако мы не станем произ-
водить эту простую операцию.
Выясним теперь, как меняется подвижность фигур
при неограниченном увеличении размеров доски пХп
84
(п-*оо), иначе говоря, не бесконечной доске. Подвиж-
ность фигуры х на этой доске обозначим 'через PJjc),
для ее нахождения достаточно вычислить соответствую-
щий предел. Для фигур с ограниченным перемещением
по доске — коня, короля и пешки имеем:
P.(Kp)=lim Pn(Kp)= lim 4(п~-^^ = 8>
Л. (К) = 8, Р,(п) = 3.
Движения ферзя, ладьи и слона ограничены только
размерами доски и поэтому их подвижности при п->оо
неограниченно возрастают. Нетрудно получить следую-
щие приближенные формулы:
• Рп(Ф)«10п/3, Рп(Л)=2п, Рп(С)«4п/3.
Из них вытекает, что подвижности и силы дально-
бойных фигур, соответственно ферзя, ладьи и слона,
при больших значениях п находятся приблизительно в
отношении 5:3:2.
Рассмотренный подход дает возможность проводить
обобщения не только для необычных досок, но и для
необычных фигур. Например, можно определить силу
магараджи (М), который ходи ту как ферзь и конь
(см. главу 12), пользуясь тем7 что F (M)=F (Ф)+
+F (С). Интерес представляют и обратные задачи, в
которых требуется найти размер доски по заданным
соотношениям Между силами фигур. Рассмотрим, на-
пример, задачу с участием кентавра, эта сказочная фи-
гура ходит одновременно как конь и слон.
По нашей шкале на обычной доске ладья и кен-
тавр равны по силе. Существуют ли другие доски,
на которых эти фигуры имеют одну и ту же силу?
Очевидно, для ответа на этот вопрос достаточно ре-
шить уравнение относительно п:
КП(Л)=КП(С)+КП(К).
Как нетрудно видеть, оно сводится к квадратному и
имеет два корня: п=3 и м=8. Таким образом, кроме
обычной доски, ладья и кентавр равносильны на доске
3X3.
Аналогично, решая уравнение Fn(Kp)=/:'n(C), можно
получить, что король и слон равносильны на доске
6x6 (уравнение имеет один корень п=6).
85
Выведенные формулы позволяют также решать зада-
чи, которые не связаны непосредственно с силой фигур.
Сколькими способами можно поставить на доске
двух ферзей так, чтобы они не угрожали друг дру-
гу?
Каждому расположению пары ферзей на одной ли-
нии соответствуют два их хода (с одного из этих полей
на другое). Отсюда следует, что число расстановок двух
атакующих друг друга ферзей (обозначим его через t)
равно половине всех возможных ходов ферзя, т. е.
/=5п(Ф)/2. Поскольку существует способов поста-
вить двух ферзей на доске пХп, %ля искомого числа
Ап имеем:
Ап = С2пг-t = СЪ-Sn (Ф)/2 = и? (п2 —1)/2—
— п (п— 1) (5м —1/3) = п (п— 1) (м—2) (Зп — 1 )/6,
что для п=8 дает 1288 расстановок.
Для трех ферзей получаются очень громоздкие фор-
мулы, 'а для большего числа ферзей последняя задача
вообще не решена.
Подобным задачам (ферзей в них можно заменить
другими фигурами) легко придать вероятностный ха-
рактер.
На два случайно выбранных поля доски пХп
ставятся два ферзя. Какова вероятность того, что
они не будут угрожать друг другу?
Очевидно, искомая вероятность Рп равна отношению
числа Л„, найденному в предыдущей задаче, к общему
числу расстановок двух ферзей на доске мХм;
__ ЛГ1(/2—2) (3/z— 1)
С22	3/г(п+1) ’
что для обычной доски дает приблизительно 2/3.
На три поля доски п Хп случайным образом ста-
вят двух разнопольных белых слонов и черного
короля. При каких п вероятность того, что король
окажется под шахом, равна 0,5?
Пусть п четно. Тогда число возможных расположений
трех наших фигур равно Т1 = -^-п2-~п2 (п2—2). Каж-
дому расположению слона и короля, находящегося под
его шахом, можно поставить в соответствие ход этого
слона со своего поля на поле с королем. Таким образом,
число способов, которыми можно поставить слона и ко-
86
роля (под шахом), равно Sn(C). Если учесть, что при фик-
сированном положении этих фигур второго слона можно
^2
поставить на любое из -у полей другого цвета, то полу-
чаем, что число расположений короля и двух неприя-
тельских слонов, один из которых объявляет шах, равно
T2=Sn(C) n2/2=n3(n—1) (2n—1)/3.
Решая уравнение 712/Т1=0,5, находим единственное
решение п=4. Так как в аналогичном уравнении для
нечетных п решений нет, то искомой является лишь
доска размером 4X4.
ГЛАВА 9
ЗАДАЧИ О ПЕРЕСТАНОВКАХ
Одной из самых известных занимательных
игр является игра «пятнадцать», придуманная С. Лой-
дом. Она относится к так называемым перестановочным
играм и имеет строгую математическую теорию. И на
шахматных досках существует много интересных задач
и головоломок, связанных с перестановкой фигур, при-
чем для решения некоторых из них придуман специаль-
ный математический прием.
Прежде всего напомним условия игры. В коробочке 4X4 находятся пятнадцать квадратов, занумерованных числами от 1 до 15 (одно из возможных расположений									
квадратов показано на рис. 72, а). Требуется, не вынимая квадраты из коробочки, пе- реставить их так, чтобы но- мера шли в возрастающем по-	1	2	3	4 ,		1	2	3	4
	5	6	7	8		5	6	7	8
	9	10	11	12		9	10	11	12
	13	15	14			13	14	15	
рядке (рис. 72, б). За решение головолом- ки в начальной «позиции»	Рис.		а. 72. кИгра <			б «пятнадцать».			
(рис. 72, а) Лойд назначил большую денежную премию.
Правда, он ничем не рисковал, так как предварительно
доказал, что задание невыполнимо. Всего существует 16!
расположений квадратов, и все они распадаются на два
равных по численности класса. Расположения первого
класса приводятся при помощи перестановок к искомому
виду (рис. 72, б), а расположения второго удается при-
87
вести лишь к позиции с переставленными квадратами
14 и 15 (рис. 72, а).
Как определить, к какому из двух классов принадле-
жит данная позиция? Для этого нужно подсчитать число
транспозиций в ней. (Говорят, что два квадрата образуют
транспозицию, если квадрат с большим номером пред-
шествует квадрату с меньшиц.) Если число транспози-
ций четно, то позиция относится к первому классу
(на рис. 72, б оно равно нулю), а если нечетно, то ко вто-
рому. Подробный анализ игры не входит в наши планы
(ей уделено много внимания в литературе по заниматель-
ной математике), а вспомнили мы о ней в связи с ее лег-
ким «переводом» на шахматный язык. Рассмотрим сле-
дующую задачу.
На доске 4x4 расставлены 15 ладей, занумеро-
ванных числами от 1 до 15 (рис. 73). Требуется
переставить ладьи так, чтобы их номера располо-
жились в возрастающем порядке, а пустым осталось
поле dl.
Так как ходы ладьи на доске 4x4 совпадают с пе-
квадратов в игре «пятнадцать», эта. зада-
ча о ладьях изоморфна игре Лойда. Ина-,
че говоря, существование ее решения
зависит от ч^сла транспозиций ладей в
данной позиции (в частности, на рис. 83
число транспозиций равно двум, т. е.
четно,-и необходимая перестановка су-
ществует).
Задачу о ладьях можно обобщить для
досок любого размера. При этом на обыч-
ной доске все позиции с 63 занумерован-
ными ладьями также распадаются на два равных по чис-
ленности класса: в одном ладьи можно расположить в
возрастающем порядке (с пустым полем hl), а в другом —
нет. Любопытно, что такая же ситуация имеет место и для
коней, т. е. все позиции с 63 занумерованными конями
также распадаются на два класса, и в половине случа-
ев коней можно расположить в возрастающем порядке
номеров, а в половине — нет. Для занумерованных фер-
зей и королей необходимая перестановка возможна при
любой начальной позиции, а для слонов задача лишена
смысла, так как они не могут менять своего цвета.
Перейдем к другим перестановочным задачам на шах-
матной доске. В «пистолете» Доусона (рис. 74), изобре-
ремещениями
Рис. 73. Пере-
ставить ладьи в
возрастающем
порядке.
88
тенном им 70 лет назад, фигурам очень тесно, и поэтому
в течение двадцати ходов механизм приводится в действие
(ладья за это время занимает место своего короля), и
только затем раздается выстрел!
Перечислим белые фигуры в том порядке, S каком
они натягивают пружину (в распоряжении черного ко-
роля имеется лишь два свободных
поля, на которых он и ждет раз-
вязки): 1—20. К, Л, К, Л, С, Л, К,
Л, К, С, К,Л,К,Л,Кр, К, Кр, л,
Кр, К, и наконец 21.Л:Сх.
Данная задача, хотя фигу-
ры и перемещались на необычной
Рис. 74. «Пистолет»
Доусона.Матв 21 ход.
доске, является вполне шахматной. Следующие три
головоломки, придуманные В. Шинкманом (рис. 75),
уже по-настоящему перестановочные. В каждой из них
Рис. 75. Зигзаги Шинкмана.
задание нужно осуществить за наименьшее число пере-
мещений фигур.
В зигзаге на рис. 75, а требуется попасть коро-
лем на al, не проходя им через поле Ь2.
Цели можно достичь за 26 ходов: С, Ф, Кр, С, Л,
Ф, С, Л, С, Кр, С, Ф, Кр, С, Л, Ф, Л, С, Л, С, Л, €,
Кр, С, Ф, Кр.
В зигзаге на рис. 75, б белый король должен
взять черного коня, при условии, что тот не дви-
гается с места, а король не становится под шах.
Король уничтожает неприятельского коня за 27 хо-
дов: С, Л, Кр, С, Лс2—cl (на cl могут пойти две ладьи),
С, Л, Л(11—cl, С, Л, С, Кр, Л, С, Кр,, С, Л, С, ЛсЗ—с2,
С, Кр, Л, Кр, Лс£—d2, С, Кр, Kpbl : al.
В зигзаге на рис. 75, в король и ферзь должны
поменяться местами.
Авторское решение последнего зигзага занимает це-
лых 107 ходов. Любопытно, что после того, как эта зада-
ча была помещена в книге «Математика на шахматной
89.
доске», пришло немало писем с решениями, более корот-
кими, чем у Шинкмана. На сегодняшний день рекорд
равен 45 ходам, т. е. он улучшен почти втрое: Л, С,
Л3с12, Кр, К, Кр, Л, С, Кр, С, Кр, С, ЛМ2, С, К, Л,
Л2с13, С, Кр, Ф, К, Ф, Кр, Ф, К, Кр, Ф, С, Л, Л4с13,
К, С, Л, С, Ф, С, Ф, С, Л3с12, Ф, К, Ф, л, С, Л.
Выяснить окончательно, являются ли указанные пере-
становки кратчайшими, можно только с помощью ЭВМ.
Займемся теперь перестановочными задачами, которые
носят более математический характер. Начнем с одной
старинной головоломки.
В углах доски 3x3 стоят два белых и два чер-
ных коня (рис. 76, а). Поменять местами белых и
черных коней за наименьшее число ходов.
Эта задача, придуманная итальянцем Гуарини еще в
XVI веке, хорошо знакома любителям занимательной
Рис. 76. Метод пуговиц и нитей.
математики. Наиболее изящно она решается при помощи
«метода пуговиц и нитей», придуманного известным ма-
стером головоломок Г. Дьюдени.
На каждое поле маленькой доски, кроме централь-
ного (на него кони не могут попасть), поместим по пу-
говице (на рис. 76, б их заменяют кружки). Если между
двумя полями возможен ход коня, то расположенные
в них пуговицы свяжем нитью (на рис. 76, б нитям соот-
ветствуют отрезки). Полученный клубок пуговиц и ни-
тей распутаем так, чтобы все пуговицы расположились
по кругу (рис. 76, в).
Теперь решение задачи находится почти автоматиче-
ски. Выбрав одно из направлений по кругу, будем пере-
ставлять коней до тех пор, пока они не поменяются ме-
стами. Необходимое перемещение коней на доске полу-
чается заменой пуговиц соответствующими полями. Не-
90
трудно убедиться, что решение состоит из 16 перемеще-
ний коней (восьми белых и восьми черных), причем кони
противоположного цвета могут ходить по очереди. Если
дополнительно потребовать, чтобы кони разного цвета
при своем движении не угрожали друг
другу (очередность ходов в этом случае
можно нарушать), то. решение также
находится из распутанного клубка. Ну-
жно следить лишь за тем, чтобы белые
и черные кони не оказались в клубке
соседями. Если круговое движение (про-
тив часовой стрелки) начинает белый
конь al, то решение будет такое: Kai —
ЬЗ, КаЗ—с2, КеЗ—Ы—аЗ, Кс1—а2—сЗ,
КЬЗ—cl—а2, Кс2—al—ЬЗ, КаЗ—с2—al,
КеЗ—Ы— аЗ, Ка2—сЗ, КЬЗ-cl.
Метод пуговиц и нитей легко ин-
терпретировать в терминах теории гра-
фов. Действительно, нашей задаче о пе-
рестановке коней можно сопоставить Рис- 77• Белые
граф, вершины которого, как обычно, меняются мес-
соответствуют полям доски (пуговицам), тами.
а ребра—возможным ходам коня между
полями (нитям). При этом распутывание клубка пуговиц
и нитей есть не что иное, как более наглядное располо-
жение графа на плоскости. Разумеется, метод пуговиц
и нитей может быть использован не только для решения
задачи Гуарини, но и для целого класса перестановоч-
ных задач и головоломок (не обязательно шахматных).
Поменять местами белых и черных коней
(рис. 77, а) так, чтобы они ходили по очереди и
кони разного цвета не угрожали друг другу.
Хотя доска в этой задаче побольше, и у каждой сто-
роны не по два, а по три коня, метод пуговиц и нитей
также позволяет быстро найти необходимую переста-
новку. Распутанный клубок показан на рис. 77, б.
Решение состоит из 22 ходов (11 белых и 11 черных):
Kai—ЬЗ, Ка4—Ь2, КЫ—сЗ, КЬ4—с2, Кс1—а2, Кс4—аЗ,
КЬЗ—cl, КЬ2—с4, КеЗ—а4, Кс2—al, Ка2—сЗ, КаЗ—с2,
Кс1—а2, Кс4—аЗ, КЬЗ—cl, КЬ2—с4, КеЗ—а4, Кс2—al,
Ка2—сЗ, КаЗ—с2, Кс1—а2, Кс4—аЗ, Ка4—Ь2, Kai—ЬЗ,
КеЗ—а4, Кс2—al, Ка2—Ь4, КаЗ—Ы, КЬ2—с4, КЬЗ—cl.
Если мы имеем дело с досками 3x3 и 3x4, то графы,
изображенные на рис. 76, б и 77, б, годятся для любых
91
начальных расстановок коней. Так, пользуясь рис. 77, б,
можно поменять местами белых и черных коней в пози-
ции, представленной на рис. 78. Приведем эту переста-
новку, состоящую из 44 ходов: Кс4—аЗ, Кс1—а2,
КЬЗ—cl, Kai—ЬЗ, Кс2—al, КаЗ—с2, КЬ2—с4—аЗ,
Ка4—Ь2—с4, КсЗ—а4—Ь2, Ка2—сЗ—а4, Кс1—а2—сЗ,
КЬЗ—cl—а2, Kai—ЬЗ—cl, Кс2—ЬЗ—cl, Кс2—al—ЬЗ,
КаЗ—с2—al, Кс4—аЗ—с2, КЬ2—с4—аЗ, Ка4—Ь2—с4,
КсЗ—а4—Ь2, Ка2—сЗ—а4, Кс1—а2—сЗ, КЬЗ—cl,
Kai—ЬЗ, Кс2—al, КЬЗ—с2, КсЗ—а2, Ка2—Ь4, КЫ— сЗ,
КаЗ—Ы.
Рис. 78. Перестановка
коней за 44 хода.
Рис. 79. Перемещение коней
через «транзит».
Доска на рис. 79, а имеет довольно причудливую
форму, но для нашего метода это не является препят-
ствием. Для того чтобы найти перестановку белых и
черных коней (на этот раз им не запрещается нападать
друг на друга), вновь распутаем клубок пуговиц и ни-
тей (рис. 79, б). Анализируя ситуацию, обнаруживаем,
что поле сЗ является как бы транзитным — связь между
двумя ветками полей возможна только через него.
Из рисунка видно, что для достижения цели необходи-
мо произвести следующие маневры. Сначала через тран-
зит на сЗ все три коня левой ветки (а4, Ь2, d3) перево-
дятся на правую, причем для экономии времени распола-
гаются на полях Ы, аЗ, с2. Теперь черный конь а2 пе-
ребирается на d3, а белые кони возвращаются на левую
ветку (поля а4, Ь2). После этого второй черный конь с2
временно располагается на а2 и пропускает белых коней
на правую ветку (Ы, аЗ). Затем конь а2 проходит на
Ь2, а белые кони занимают поля а4, а2. Все кони на нуж-
ных местах!
Указанный «план» не очень сложен, но для его вы-
полнения требуется целых 40 ходов. Заметим, что поля
al и ЬЗ не используются в решении, и их можно выре-
зать, что придаст доске еще более загадочный вид.
92
При решении перестановочных задач на досках боль-
шего размера применить метод пуговиц и нитей труд-
нее, хотя в отдельных случаях вполне возможно. «Ра-
спутывая» доску 4X4, как показано на
рис. 80, б, можно находить различные
перестановки коней. В частности, в по-
зиции, изображенной на рис. 80, а, бе-
лых и черных коней удается поменять
местами следующим образом. Сначала
перемещения производятся по внешне-
му кольцу: Ка2—сЗ, Кс1—а2, Kd3—
cl, Kb4—d3, Ка2—Ь4, Kcl—а2, Kd3—
cl, Kdl—Ь2, Kb2—d3. Затем «работает»
третье по величине кольцо: Кс4—Ь2,
КаЗ—с4, Кс2—аЗ, Kd4—с2, КЬЗ—d4,
Kai—ЬЗ, Кс2—al, Kd4—с2, КЬЗ—d4,
Kd2—ЬЗ. Далее кони проходят по са-
мому маленькому , кольцу: Кс4—d2,
КаЗ—с4, КЫ—аЗ, КсЗ—dl, Ка4—сЗ,
КсЗ—Ы. Наконец, три хода еще по од-
ному кольцу: Kdl—сЗ—а4, КЬ2—dl, и цель достигнута!
Все перемещения в последней задаче заняли 28 хо-
дов. Когда она была опубликована, один из читателей
Рис, 80. Движе-
ние по четырем
кольцам.
Рис. 81. «Распутывание» доски 5X5.
прислал более короткое решение, состоящее из 24 ходов,
причем белые и черные кони ходят по очереди: Kdl—сЗ,
Ка4—Ь2, КсЗ—а4, Kb2—dl, КЫ—сЗ, Кс4—Ь2, Kd2—с4,
93
КаЗ—Ы, Кс2—аЗ, КЬЗ—d2, Kai—с2, Kd4—ЬЗ, Кс2—d4,
КЬЗ—al, Kcl—ЬЗ, КЬ4—с2, Ка2—Ь4, Kd3—cl, КеЗ—а2,
Kdl—сЗ, КЬ4—d3, КЬ2—dl, Ка2—Ь4, КеЗ—а2.
Если «распутать» доску 5x5 (рис. 81), то на ней легко
решается классическая задача о ходе коня. С поля сЗ
Рис. 82. «Переход через Дунай».
можно пойти на Ь5, затем обойти внутренний круг про-
тив часовой стрелки, дойдя до поля аЗ, перейти на с4
и пройти большой круг, заканчивая путешествие на
поле е5.
В отличие от предыдущих примеров, графы ходов ко-
ня для досок 4X4 и 5x5 являются неплоскими, т. е.
при любом расположении их на листе бумаги некоторые
ребра (нити) всегда будут пересекаться.
«Переход через Д у н а й». В голово-
ломке С. Лойда (рис. 82, а) белых коней нужно пере-
ставить на вертикали е, f, g и h, а черных — на а,
b и с. Другими словами, кони должны поменяться
флангами — берегами Дуная. Очередность ходов
может не соблюдаться, но кони не должны отсту-
пать (белые — влево, черные — вправо), й, кроме
того, на каждой вертикали может находиться толь-
ко один конь.
Эту головоломку Лойд считал очень трудной и гор-
дился тем, что многим его друзьям не удалось «перейти
через Дунай» (вертикаль «е»). Размотанный клубок
пуговиц и нитей показан на рис. 82, б, где в кружках
(пуговицах) записаны вертикали доски, и пуговицы
связаны нитями в том случае, если между вертикалями
возможен ход коня.
Конечно, как и в задаче Гуарини, мы могли бы по-
следовательно перемещать коней по кругу, пока они
94
не окажутся на нужных местах, но при этом придется
проделать много лишних перемещений. Чтобы предель-
но сократить их число, надо всякий раз, когда это воз-
можно, использовать для движения внутренние нити.
При таком условии цель достигается за 19
ходов. Так как нам безразлично, на какую
именно половину доски, верхнюю или
нижнюю, ставить коней, в решении до-
статочно указать лишь хами вертикали:
de (на первом же ходу конь идет по вну-
тренней нити), fd, gf, eg, се, be, db, fd, hf,
gh, eg, се, ac, ba, db, fd, ef, ce, de. Легко ^становке^
убедиться, что ни один из коней ни разу слонов,
не отступал. В результате мы не только
решили задачу Лойда, но и «перешли через Дунай» крат-
чайшим путем.
Поскольку коням в этой главе было уделено и так
Рис. 83. За-
МНОГО внимания, рассмотрим три
перестановочные задачи с участи-
ем других фигур.
На доске 4x5(рис. 83) по-
менять местами белых и чер-
ных слонов так, чтобы они хо-
дили по очереди, и слоны
противоположного цвета не
угрожали друг другу.
Необходимая перестановка со-
стоит из 36 перемещений (по 18 бе-
Рис. 84. Задача о пе-
рестановке ферзей.
лых и черных): Сс1—Ь2, СЬ5—с4,
СМ—с2, Сс5—Ь4, СЬ2—d4, Сс4—а2, Сс2—d3, СЬ4—аЗ,
Cdl—а4, Са5—d2, Са4—Ь5, Cd2—cl, Cd4—сЗ, Са2—ЬЗ,
Cd3—Ы, СаЗ—с5, СсЗ—а5, СЬЗ—dl, Cal—сЗ, Cd5—ЬЗ,
СЬ5—d3, Cel—аЗ, СсЗ—d2, СЬЗ—а4, Cd3—с4, СаЗ—Ь2,
СЫ—а2, Сс5—d4, Cd2—Ь4, Са4—с2, Сс4—Ь5, СЬ2—cl,
Са2—d5, Cd4—al, СЬ4—с5, Сс2—Ы. Все в порядке!
На обычной доске (рис. 84) находятся четыре
белых ферзя и три черных. За сколько ходов белые
ферзи могут попасть на ферзевый фланг, а черные
на королевский, если ферзи не должны угрожать
друг другу?
Задачу удается решить за 13 ходов: ФаЗ—al ,ФЬ6—ЬЗ,
ФГ2—d2, Фа1—f6, ФЬЗ—аЗ, ФЬ5—Ь5, ФГ6—fl, Фс7—Ь6,
Ф62—d7, Фе4—с2, ФП—el, ФЬ6—f6, Ф§8—Ь8. Оче-
видно, при восьми ферзях задание невыполнимо, так
95
как первое же движение любого из них нарушит мир
на доске.
Наконец, задача с ладьями (рис. 85). Белые должны
поставить мат черному
Рис. 85. Задача о пере-
становке ладей.
королю, выполняя одновременно
три условия: а) мат ставит ладья
с номером 8; б) ладьи не покида-
ют выделенного квадрата 3x3
(исключение для последнего хо-
да); в) в заключительной пози-
ции ладьи располагаются, по
кругу в той же последователь-
ности, что и в исходной пози-
ции (рис. 85).
В принципе черного короля
можно заматовать первым же хо-
дом— Л65 : d6x, однако допол-
нительные условия настолько
усложняют дело, что мат дается
только на 32-м ходу. Укажем номера ладей в том по-
рядке, в каком они делают ходы (у черного короля вы-
бор невелик — с d7 на d8 и обратно): 5, 6, 7, 5, 6, 4,
3, 6, 4, 7, 5, 4, 7, 3, 6, 7, 3, 5, 4, 3, 1, 8, 3, 4, 5, 6, 7, 1,
8, 2, 1, и ладья с номером 8 берет слона с матом.
ГЛАВА 10
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕКОРДЫ
Большинство задач и головоломок, о ко-
торых шла речь до сих пор, были связаны с теми или
иными рекордами на шахматной доске. В одних задачах
мы искали расстановки наибольшего или наименьшего
числа фигур (независимых или доминирующих на доске),
в других находили кратчайшие маршруты, в третьих —
скорейшие перестановки и т. д. В настоящей главе
также будет установлено много рекордов, но таких,
которые имеют более близкое отношение к самой шах-
матной игре. Не все эти рекорды можно считать абсо-
лютными, т. е. неулучшаемыми. Возможно, некоторые
из них будут побиты читателями.
Рассказывая о шахматных рекордах и рекордсменах,
прежде всего необходимо упомянуть имена американца
Сэмюэля Лойда и англичанина Генри Дьюдени, с голо-
воломками которых мы уже встречались раньше. Лю-
96
Рис. 86. Мат в 3 хода.
бая книга по занимательной математике содержит ряд
блестящих задач, рожденных неисчерпаемой фантазией
Лойда и Дьюдени. Многие творения этих классиков за-
нимательного жанра до сих пор остаются непревзой-
денными шедеврами.
Головоломки Лойда , известны более широко, а его
игра «пятнадцать» (см. главу 9), имеет мировую извест-
ность. Шахматисты знают Лойда особенно хорошо, так
как он является одним из крупнейших композиторов.
Хотя Дьюдени не был композитором, но и в его творче-
стве шахматная тематика занимала важное место. До-
статочно напомнить об изобретенном им «методе пуго-
виц и нитей».
Следующая рекордная задача является как бы сов-
местным произведением двух
великих изобретателей голово-
ломок (рис. 86).
Первое задание (трехходов-
ка) принадлежит Лойду. Мат
ставится следующим образом: 1.
d4 Kph5 2. 0d3 Kph4 (g4) 3.
ФИЗХ; или 1. . .Kpg4 2. е4+
Kph4 3. g3X.
Заметим, что Ь4 — единст-
венное поле для одинокого чер-
ного короля, на котором он получает мат так быстро.
При его симметричном расположении на другом фланге
(поле а4) дело затягивается на два хода: 1. с4 КрЬ4!
(1. . .Краб 2. ФЬЗ Краб 3. ФЬ8 Краб 4. ФЬбХ) 2. d4 Краб
(2. . .Кр : с4 3. е4+ КрЬ4 4. Cd2x) 3. ФЬЗ Краб 4. ФЬ8
Краб 5. ФЬбХ. При расположении короля на своем за-
конном месте е8 мат. дается уже в шесть ходов, а труд-
нее всего, как ни странно, заматовать короля в том слу-
чае, если он занимает опасное на вид поле е4.
Итак, на рис. 86 мы имеем рекордную позицию, в
которой одинокий черный король получает мат в три
хода. Дьюдени заинтересовал вопрос, как эта позиция
может быстрее всего получиться в партии (второе зада-
ние). Поскольку белым нужно взять 15 черных фигур
и пешек, а на первом ходу взятие невозможно, то реше-
ние содержит не менее 16 ходов. Это число и является
рекордным: 1. КеЗ d5 2^ К • d5 Кеб 3. К : е7 g5 4. К : с8
Kf6 5. К : а7 Ке4 6. К : сб КеЗ 7. К : d8 Лg8 ‘8. К : f7 Лg6
9. К : g5 Леб 10, К: Ь7 КЫ 11. К: f8 ЛаЗ 12. К: еб Ь5
4 Е. я. Гик	97
13. К: С7+ Kpf7 14. К: Ь5 Kpg6 15. К: аЗ Kpg5 16.
К: bl Kph4.
В дальнейшем была найдена партия, приводящая к
позиции на рис. 86, на полхода короче, но при ходе чер-
ных, и мата в три хода уже нет.
Пусть теперь на своих местах стоят не только белые
фигуры, но и черные, и партия началась. Если черными
играет новичок, то дело может кончится «детским ма-
том»: 1. е4 е5 2. ФЬ5 Кеб 3. Сс4 Kf6 4. 4>:f7X.
Имеется восемь последовательностей ходов, приво-
дящих к мату на втором ходу (1ЛЗе5 2. g4 ФЬ4х).
Число партий, в которых белые дают аналогичный мат
в три хода (ферзем на Ь5), уже равно 305, а всего имеется
347 способов заматовать черного короля на третьем
ходу. Известны различные оценки для числа партий, в
которых те или иные фигуры матуют на заданном
ходу.
Конечная цель шахматной игры заключается в объяв-
лении мата неприятельскому королю. Однако партия
может закончиться не только матом, но и патом (с ни-
чейным исходом). Возникает следующий вопрос.
Как быстрее всего партия может завершиться
патом?
В отличие от мата, при котором только у* короля
(стоящего под шахом) нет ходов, при пате все фигуры
одной из сторон не могут двигаться (при этом их король
не находится под шахом). И тем не менее пат может полу-
читься уже на десятом ходу!
1. еЗ а5 2. ФЬ5 Лаб 3. Ф : а5 h5 4. Ф : с7 ЛаЬб 5. h4 f6
6. Ф : d7+ Kpf7 7. Ф : Ь7 ФйЗ 8. Ф : Ь8 ФЬ7 9. Ф : с8
Kpg6 10. Феб пат.
Эту рекордную партию Лойд придумал около ста
лет назад. Идее, содержащейся в ней, можно придать
и несколько иное оформление:
1. сЗ d5 2. ФЬЗ Ь5 3. Ф : Ь7 Cf5 4. Ф : а7 СЬ7 5. Ф : Ь8
Лаб 6. Ф : с7 ЛаЬб 7. h4 f6 8. Ф : d8+ Kpf7 9. Ф : d5+
Kpg6 10. Феб пат. В отличие от предыдущей партии,
здесь на Ь7 замурован не ферзь, а слон черных.
Потребуем теперь, чтобы ни одна из фигур,
ни белых, ни черных, не была взята. За сколько
ходов возможен пат в этом случае?
Дополнительное условие не сильно затягивает игру,
пат получается всего на два хода позднее.
1. d4 d6 2. Фd2 е5 3. а4 е4 4. ФГ4 f5 5. h3 Се7 6. Фй2 Себ
98
7. ЛаЗ с5 8. Л§3 Фа5+ 9. Kd2 Ch4 10. f3 СЬЗ 11. d5 еЗ
12. с4 f4 пат.
Строго доказать, что приведенные паты быстрейшие,
сложно, так как для этого надо перебрать слишком
много партий. Однако нет никаких сомнений, что эти
рекорды Лойда непревзойденны. Интересно, что и чер-
ные могут запатовать белые фигуры за десять ходов.
Рис. 87. Два симметричных пата.
1. Ь4 е5 2. с4 d5 3. ФЬЗ de 4. е4 cb 5. ab Ф : Ь4 6. Ла4
Ф : Ы 7. g4 С: g4 8. ЮЗ С: 13 9. КаЗ С: аЗ 10. Л : Ь4
С: Ь4 пат.
А как обстоит дело со взаимным патованием сторон?
Партия, которая заканчивается патом одновременно и
белым, и черным фигурам, продолжается 19 ходов.
1. е4 d5 2. е5 d4 3. сЗ 16 4. Ф13 Кр17 5. Ф : Ь7 Фd5
6. Kpdl Ф : g2 7. Крс2 Ф : 11 8. Ф : с8 Ф : gl 9. Ф : Ь8
Л : Ь8 10. Л : gl ЛЬЗ 11. Лg6 ЛаЗ 12. ЛЬ6 gh 13. ba
Kpg7 14. Kpb2 d3 15. еб а5 16. Ь4 а4 17. Ь5 с5 18. f4 с4
19. 15 пат белым и черным (рис. 87, а).
В последнем примере в заключительной позиции
симметрично запатованными оказались оба короля.
При этом сама игра была несимметричной (ходы копи-
ровали то белые, то черные), и по пять фигур исчезло
с доски. Уникальной является следующая патовая пар-
тия, в которой, во-первых, доску покидают только по
одному коню, во-вторых, оба короля вновь оказываются
симметрично запатованными, и, в-третьих, все до еди-
ного ходы белых и черных центрально-симметричны!
1. ЮЗ Кеб 2. КеЗ К16 3. Kb5 Kg4 4. ЬЗ аб 5. Ка7 КЬ2
6. К: Ь2 К: а7 (первый и последний размен) 7. g4 Ь5
8. Cg2 СЬ7 9. е4 d5 10. Кре2 Kpd7! 11. Фgl ФЬ8! (исход-
ные расположения королей и ферзей не были центрально-
4*	99
симметричны, теперь же на доске установлен полный
порядок) 12. Ь4 g5 13. Cb2 Cg7 14. ЛИ Лс8 15. Cd4 Се5
16. f3 сб 17. Cf2 Сс7 18. Cel Cd819. Kpf2 Крс7 20. a4h5
21. а5 h4 22. с4 f5 23. с5 f4 24. е5 d4 25. еб d3 пат обоим
королям (рис. 87, б).
Партия заканчивается вничью не только при пате,
но и в позиции, где мат невозможен (король против ко-
роля, король с легкой фигурой против короля, король
и слон против короля и слона при одноцветных слонах).
Здесь наиболее интересен такой вопрос.
Через сколько ходов после начала игры на
доске могут остаться одни короли?
Каждая сторона должна взять по 15 фигур и пешек
противника. На первом ходу брать нечего, и можно до-
казать необходимость еще одного хода без взятия. Та-
ким образом, доска опустошается за 17 ходов. В зави-
симости от заключительного положения королей, су-
ществуют различные партии, приводящие к цели. Вот од-
на из них, в которой короли занимают оппозицию —
белый оказался на поле fl, а черный на f8.
1. е4 d5 2. ed Ф : d5 3. ФЬ5 Ф : а2 4. Ф : h7 Ф : Ы
5. Ф : g7 Л : Ь2 6. Л : а7 Л : g2 7. Л : Ь7 Л : gl 8. Л : с7
Ф : Ь2 9. Л : с8+ Kpd7 10. Л : Ь8 Л : Ь8 11. С: Ь2 Л :
Ь2 12. Л : gl Л : с2 13. Ф : f7 Л : d2 14. Ф : е7+ Кр:
е7 15. Л:#Л:12 16. Л: f8 Л: fl+ 17. Кр: fl
Кр: f8. Как мы видим, белые и черные фигуры вместе
истребляются всего на один ход позднее, чем одни
черные.
Также вничью партия заканчивается при троекратном
повторении позиции; имеется в виду одинаковое рас-
положение фигур, их одинаковые возможности (взятие
на проходе, рокировка) и одна и та же очередь хода.
Самым распространенным случаем троекратного повто-
рения позиции служит вечный шах, при котором одна
из сторон не может избежать повторения и в дальнейшем.
В рекордной партии вечный шах наступает после третье-
го хода: 1. f4 е5 2. Kpf2 Ф16 3. Kpg3 Ф : f4+ с вечным
шахом (Ф(4—h6+, ФИ6—f4+).
Поскольку число всех позиций на доске является
конечным, шахматная партия не может продолжаться
бесконечно. Обозначим через А число различных по-
зиций на шахматной доске. Очевидно, через ЗА ходов
хотя бы одна из позиций повторится трижды (мы счи-
таем, что при этом партия заканчивается вничью автрма-
100
тически, на самом деле по шахматному кодексу соответ-
ствующая сторона должна потребовать ничью до
совершения своего хода, приводящего к троекратному
повторению). Таким образом, самая длинная шахмат-
ная партия не может длиться более ЗА ходов. К сожа-
лению, ответить на вопрос, чему равно Д, практически
невозможно. Ведь недостаточно подсчитать число раз-
личных расположений фигур на доске, надо еще выяс-
нить о каждом, из них, может ли оно получиться в ре-
альной партии. Точное число ходов в самой длинной
партии будет получено ниже на основании другого ни-
чейного правила.
Любопытно, что еще полвека назад вместо правила
о троекратном повторении позиции действовало правило
о троекратном повторении серии ходов. Как будто, это
правило не отличается от современного — в том смысле,
что и оно не позволяет «сыграть» бесконечную партию.
Об этом, в частности, писал М. Эйве в одном математиче-
ском журнале. Однако, как ни странно, справедливо сле-
дующее утверждение.
Существует бесконечная шахматная партия, в
которой ни одна как угодно длинная серия ходов
не повторяется три раза подряд.
Оказывается, что «до бесконечности» по доске могут
перемещаться одни короли; более того, каждому из них
достаточно иметь в распоряжении всего три поля! Пусть,
например, белый король ходит по полям al, а2, bl, а
черный по полям g8, h8, h7 (других фигур на доске нет).
Обозначим ход королей по часовой стрелке через 1, а
против часовой стрелки через 2. Если начальное поло-
жение фиксировано, то всякому передвижению королей
соответствует определенная последовательность из еди-
ниц и двоек. Верно и обратное: любая последователь-
ность из единиц и двоек задает некоторое передвижение
королей. Пусть короли стоят на угловых полях доски
(белый — на al, черный — на Ь8), тогда последователь-
ности 12 21 21 12 21 12 соответствуют такие ходы: 1. Кра2
(первый член последовательности 1 — белый король идет
по часовой стрелке) 1. . .Kpg8 (второй член 2 — черный
король идет против часовой стрелки) 2. Kpal Kph8 3.
Kpbl Kph7 4. Kpal Kph8 5. Kpbl Kph7 6. Kpal Kph8.
Итак, нам осталось выяснить, существует ли беско-
нечная последовательность цифр 1 и 2, в которой нет
трех одинаковых, рядом стоящих групп цифр. Решение
101
этой чисто математической задачи можно найти в книге
А. М. Яглома, И. М. Яглома (см. стр. 174). Доказано,
что искомая последовательность существует и, следова-
тельно, возможна бесконечная партия, в которой ни
одна серия ходов не повторяется три раза подряд. Та-
ким образом, правило о троекратном повторении пози-
ции является более «точным», чем о троекратном повто-
рении серии ходов.
Последний вид ничьей (кроме, разумеется, самого
простого, когда один из противников предлагает мир, а
другой соглашается) связан с правилом 50 ходов, ко-
торое заключается в следующем. Если пятьдесят ходов
подряд не была разменена ни одна фигура и ни одна
пешка не продвинулась вперед, партия автоматически
заканчивается вничью (на самом деле вновь ничью
необходимо потребовать). Это правило позволяет оце-
нить число ходов в самой длинной шахматной партии.
Проведем необходимые расчеты.
Шестнадцать пешек в процессе игры могут сделать
максимум 16 X 6=96 ходов. Пусть все эти ходы сделаны —
тогда пешки взяли по крайней мере восемь фигур (если
пешки, стоящие на одной вертикали, проходят «сквозь
друг друга», то осуществляется хотя бы одно взятие).
Если было произведено ровно восемь взятий, то еще мо-
гут быть взяты 2x7—8=6 оставшихся фигур и 2x8=16
превращенных фигур, итого 6+16=22. Таким образом,
общее число взятий и движений пешек не более 96+22=
= 1 18. Очевидно, если число движений меньше 96, то
общее число ходов пешек и взятий может только умень-
шиться. Поскольку между каждыми двумя продвиже-
ниями пешек или взятиями может быть сделано не более
50 ходов (точнее говоря, на 50-м ходу какая-нибудь пеш-
ка должна продвинуться или какая-нибудь фигура долж-
на быть взята), а после последнего взятия партия сразу
прекращается (на доске остались одни короли), то ее
общая продолжительность не более 50 X 118=5900 ходов.
Более тонкий, чисто шахматный анализ показывает,
что самая длинная партия тянется на два хода меньше —
5898.
Перейдем теперь к рассмотрению других рекордов
на шахматной доске.
За сколько ходов белые могут объявить мат
неприятельскому королю, если черные симметрично
повторяют все их ходы?
102
Мат дается ферзем на четвертом ходу, причем одним
из двух способов: 1. с4 с5 2. Фа4 Фа5 3. Феб ФсЗ 4.
Ф: с8Х; 1. d4 d5 2. ФdЗ Фd6 3. ФЬЗФЬ64. Ф: с8Х.
Несколькими ходами позднее матуют другие фигуры.
Ладья: 1. Kf3 К46 2. Kg5 Kg4 3. К : h7 К : h2 4. К : f8
К : fl 5. Kg6 Kg3 6. Л : h8X; слон: 1. e4 e5 2. f4 f5
3. ef ef 4. f6 f3 5. fg fg 6. Ce2 Ce7 7. Ch5X; конь: 1. g3 g6
2. КсЗ Кеб 3. еЗ еб 4. Kge2 Kge7 5. Ke4 Ke5 6. Kf6X;
пешка: 1. g4 g5 2. h4 h5 3. Kf3 Kf6 4. Ke5 Ke4 5. hg hg
6. g6 g3 7. gf X. Наконец, на девятом ходу мат может
объявить белый король: 1. d3 d6 2. Kpd2 Kpd7 3. КрсЗ
Крсб 4. КрЬЗ КрЬб 5. КраЗ Краб 6. СеЗ Себ 7. СЬЗ СЬб
8. ab ab 9. КрЬ4Х.
Кажется невероятным, но при полном копировании
ходов противника черные могут даже выиграть. Белые
(шутки ради) заматовывают сами себя, причем обрат-
ный мат ставится уже на восьмом ходу. Приведем этот
забавный рекорд, также относящийся к исходной по-
зиции на доске.
1. е4 е5 2. Кре2 Кре7 3. КреЗ Креб 4. 4>f3 <Pf6 5. Ке2
Ке7 6. ЬЗ Ьб 7. СаЗ Саб 8. Kd4+! edx.
Целая серия рекордных задач связана с конструирова-
нием шахматных позиций, для которых выполняется
одно из следующих условий:
1)	число возможных ходов максимально;
2)	число возможных взятий максимально;
3)	число возможных шахов максимально (допуска-
ются шахи, которые на самом деле приводят к мату);
4)	число возможных матов максимально.
Каждую из рекордных позиций можно конструиро-
вать при одном из четырех дополнительных условий:
1)	на доске нет превращенных фигур, и превращение
пешек запрещается;
2)	превращенных фигур нет, но пешки могут превра-
щаться;
3)	могут быть превращенные фигуры, но пешки не
превращаются;
4)	допускаются нелегальные позиции (они не могут
получиться в шахматной партии), пешки не превра-
щаются.
Учитывая, что каждое задание может относиться
как к одним белым фигурам, так и к белым и черным фи-
гурам вместе, всего имеем 4x4x2=32 задачи на кон-
струирование рекордных позиций. В табл. 2, состав-
103
ленной Н. Петровичем, даны все 32 известных рекорда.
Некоторые из них. держатся чуть ли не 100 лет, другие
установлены совсем недавно. В таблице перед каждым ре-
кордом указан номер соответствующей позиции, под
которым она приводится. Некоторые рекорды достига-
ются на одной и той же позиции.
Рис. 88. Наибольшее число ходов.
1)	Рис. 88, а.
2)	Белые: Крс2, Фе4, Ла1, h8, Cd6, f7, Ке2, f6,
пп Ь2, Ь6, g2; черные: Kpg7, d>g5, Ла8, hl, Cd7, f2,
КсЗ, d3, nn c7, e7, f3.
Таблица 2
1 ема	Цвет фигур	Без превращенных фигур		С превра- щенными фигурами без превра- щения пе- шек	Нелегаль- ные пози- ции без превраще- ния пешек
		без превра- щения пе- шек	с превра- щением пе- шек		
Максимальное число ходов Максимальное число взятий Максимальное число шахов Максимальное число матов	б бич б бич б бич б бич	1) 109 2) 181 9) 49 10) 88 16) 45 17) 82 24) 43 25) 68	3) 144 4) 223 11) 68 12) 109 18) 52 19) 85 26) 47 25) 68	5) 218 6) 324 13) 65 14) 116 20) 105 21) 142 20) 105 27) 107	7) 288 8) 412 15) 168 15) 336 22) 143 23) 170 22) 143 22) 143
3)	Белые: Kpg5, ФЬ6, Ла4, cl, Ce2, e5, Kd5, f5,
nn b7, d2, d7, f2, f7, h2, h7; черные: Kpg2, Лс8, e8, Cg8,
Ka8, nn e3, g3.
4)	Белые: Kph3, Ф14, Ле1, gl, Cf6, h5, Kai, cl, nn a7,
c7, d7, f7, h7; черные: Kpb6, ®d5, Ла4, e8, Cd3, d6 Kb8,
g8, nn b2, d2, f2, h2.
104
5)	Белые: Kpfl, ФаЗ, Ьб, с4, d2, d7, f3, g6, h4, Ла8,
h8, СЫ, gl, Kcl, dl; черные: Kpal, пп a2, b2.
6)	Белые: Kph2, Фаб, b8, cl, d8, el, f8, h3, h5, h7,
Jlgl, Ca4; черные: Kpa2, ФаЗ, a5, bl, c8, d4, e8, fl, g8,
h6, Ла7, Chi.
Рис. 89. Рекорды для нелегальных позиций.
б
7)	Рис. 89, а.
8)	Рис. 89, б.
9)	Белые: Краб, Фd5, Лс7, е7, Cb6, g6, Kd6, f6, пп
а4, ЬЗ, сЗ, d3, еЗ, f3, g3, h3; черные: Kpd2, ФЬ5, ЛЬ7,
d7, Са5, f7, Кс8, е8, пп а7, Ь5, с4, d4, е4, f4, g4, h7.
10)	Белые: Креб, Фd6, Ла1, сЗ, Се4, f6, Kel, еЗ, пп
а4, Ь4, с4, d4, е2, f4, g4, h4; черные: Kpd2, Ф<13, ЛаЗ,
dl, Се5, f3, Кс2, g2, пп. а5, Ь5, с5, d5, е7, f5, g5, h5.
11)	Белые: Kpg5, ФЬ7, Лd4, е5, Се2, Kd6, f6, пп Ь7,
с7, d7, е7, f7, g7; черные: КрЬ2, Фd8, Ле8, Ь8, Сс8,
f8, Kb8, g8, пп с4, d5, е4, f5, h5.
12)	Белые: КреЗ, Фе1, Лс1, Cdl, gl, КЫ, fl, пп Ь7,
с7, d7, е7, f7, g7; черные: Креб, ®f8, ЛЬ8, g8, Сс8, h8,
Kd8, е8, пп с2, d2, е2, f2, h2.
13)	Белые: Kpd8, Феб, d3, d7, el, e5, f3, f7, g5,
ЛЬ7, h8, Саб, ЬЗ, e8, h3, Kg3, g7; черные: Kpa8, ФЬ5,
еЗ, fl, f5, Лс7, dl, Cc3, d5, Ke7, h5.
14)	Белые: Kpa8, ФЬ5, сЗ, dl, d5, e3, e7, f5, g3, Лс7,
g7, Ca3, fl; чёрные: Kph8, ФЬЗ, c5, d3, d7, el, e5, f3, g5,
ЛЬ7, f7, Cel, h3.
15)	Рис. 90, a.
Напомним, что в позициях с превращенными фи-
гурами пешкам превращаться не разрешается. Если это
ограничение снять, то рекорды можно улучшить, по-
скольку каждое превращение дает целых четыре хода.
Так, если в позиции под номером 15 предпоследнюю го-
105
ризонталь заполнить белыми пешками, а последнюю
горизонталь — черными конями, то число «белых» взя-
тий станет равным 179. Общее число взятий может быть
увеличено до 338 еще более простым способом: заменой
Рис. 90. Наибольшее число взятий.
б
Рис. 91. 143 мата чер-
ному королю.
в этой позиции четырех коней двумя пешками и двумя
ферзями (рис. 90, б).
16)	Белые: Kpg5, ФдЗ, JIf7, h5, Cd4, g8, Ka2, g2,
пп c2, e2; черные: Kpd5, Kd8.
17)	Белые: Kpf3, Феб, ЛЬ7, cl, Ca8, d6, Каб, c3;
черные: Крсб, ФdЗ, Л18, g2, Chi, Kf6, h3.
18)	Белые: Kpa8, Ф17, ЛЬ5, d3, Ca4, d4, Kc4, e4,
пп c7, e7; черные: Kpd7, Cd8, Kb8, f8.
19)	Белые: Kpf2, Фс7, Лg5, h7, Cfl, h4, Kdl, hl,
пп d7, f7; черные: Kpe7, ФЬ2, ЛЬ6,
h2, Ca7, c8, Ke8, g8, пп c2, e2, e4, g2.
20)	Белые: Kpa2, ФЬ4, b6, d2,
d8, f3, f8, gl, g6, h4; черные: Kpe5
п a6.
21)	Белые: Kpc4, Фd8, e2, e3,
e8, g2, g7, g8, h4, h6, Ca4, Kc8;
черные: Kpf5, ФаЗ, a5, bl, b2, b7,
dl,d6, d7,el,Ch5, Kfl.
22)	Рис. 91.
23)	Белые: Kpc4, Фа1, а2, а4, аб,
cl, d8, е2, еЗ, е7, е8, gl, g2, g8, h2,
h4, h6, Kc8, fl; черные: Kpf5, ФаЗ, a5, a7, bl, b7, b8, dl,
d2, d6, d7, el, f8, h3, h5, h7, h8, Ka8, fl.
24)	Белые: Kpf7, Фс14, Л18, g5, Ce4, h6, КсЗ, h4,
пп d2, f2, h2, h3; черные: Kpf4, пп еЗ, g3.
25)	Белые: Kpf3, Фd8, ЛЬ7, f6, Ca8, d6, Ka6, g8,
106
пп а5, с4, е4; черные: Крсб, Фе1, ЛсЗ, g2, СеЗ, hl, КМ,
ЬЗ, пп d5, f5, h4.
26)	Белые: Кре7, Ф15, Лс4, dl, Са2, е5, Kd3, е8,
пп а7, Ь5, d7, е2, Ь7; черные:
Kpd5, Л§8.
27)	Белые: Kpcl, ФЬ4, Ь6, d2,
d8, f3,f8, gl, h4, h6; черные: Kpe5,
Фа1, a2, пп аЗ, ЬЗ, c2.
Предъявляя к позициям иные
требования, можно установить
много других математических ре-
кордов. Интересное условие, что-
бы каждый ход (одной из сторон Рис. 92. 100 ХОДОВ у
или обеих вместе) был вынужден- восьми фигур,
ным взятием, шахом или матом.
Другое условие заключается в том, чтобы на доске
присутствовал полный комплект из 32 фигур.
Рассмотрим две рекордные задачи, в которых уча-
ствуют восемь фигур одного цвета (король, ферзь, две
ладьи, два слона, два коня, пешек нет).
Расставить на доске восемь фигур так, чтобы
они4 имели максимально возможное число ходов.
Если на доске, кроме восьми белых фигур, допуска-
ются еще и восемь пешек, то имеется 109 ходов (рис.
88, а). Если к тому же пешкам разрешено превра-
щаться, то рекорд равен 122 ходам (рис. 88, б). Если же
пешек нет, то максимально возможное число ходов
равно 100 (рис. 92).
Интересно сравнить расстановки восьми фигур на
рис. 67, а и рис. 92. Во втором слу-
чае восемь фигур имеют в своем
распоряжении целых 100 ходов, но
при этом 14 полей доски не атако-
ваны ими. В первом же случае бе-
лые фигуры могут сделать только
74 хода, но зато держат под обст-
релом всю доску.
Расставить на доске во-
семь фигур так, чтобы они
имели минимально возмож- Рис* 93, Три оминиРе“
корда в одной пози-
ное число ходов.	г ции
’ При самом неуклюжем распо-
ложении фигуры могут сделать
всего 10 ходов (рис. 93; здесь семь ходов имеют
107
кони и три — король). Последние два рекорда установле-
ны еще в прошлом веке и давно признаны'окончатель-
ными. Положение фигур на рис. 93 (ферзя и белополь-
ного слона можно поменять местами) является рекорд-
ным еще в двух отношениях:
а) фигуры держат под ударом минимально возможное
число полей — 16; б) в состоянии двигаться минимально
возможное число фигур — 3.
Заметим, что в позиции со всем щахматным комплек-
том (32 фигуры и пешки) можно добиться того, чтобы у
Рис. 94. В распоряжении
32 фигур два хода.
Рис. 95. Ходить мо-
жет только ферзь.
фигур было всего два хода. В позиции на рис. 94 это
ходы Сс2—dl и Кс1—е2. В позиции на рис. 95 из 32
фигур ходить может только одна — ферзь (в его ра-
споряжении семь ходов). Легальной позиции с пол-
ным комплектом фигур, в которой ни одна сторона не
может ходить, придумать не удается.
Сколько различных ходов можно сделать в шах-
матной партии?
Ход в шахматах характеризуется фигурой, которая
его делает, цветом этой фигуры, начальным и конечным
полями, взятой фигурой (если ход совершается со взя-
тием) и превращенной фигурой (если ход состоит в пре-
вращении пешки). Надо также учесть рокировки. Тон-
кий анализ показывает, что всего на доске существует
43 732 различных ходов. Последнему вопросу можно
придать шуточный характер.
Сколькими ходами может закончиться шахматная
партия?
Таких ходов — 43 732. Дело в том, что после любого
хода каждый из партнеров может... немедленно сдаться.
108
ГЛАВА 11
ИГРЫ НА НЕОБЫЧНЫХ ДОСКАХ
Шахматная игра создавалась на протяже-
нии многих веков, и ее правила неоднократно менялись.
С точки зрения математики различия в правилах игры,
ходах фигур и форме доски не имеют принципиального
значения.
Известно множество одних только национальных раз-
новидностей шахмат, имеющих далекую историю. Са-
мой древней шахматной игрой считается чатуранга,
пришедшая из Индии и затем превратившаяся в шат-
рандж у арабов и шатранг у персов. До сих пор играют
в японские шахматы (шоги), китайские (цюнь ки), ко-
рейские (тьян-кеуи), армянские (тама), монгольские
(шатар) и т. д. Эти игры (список можно продолжить и
дальше) больше относятся к истории шахмат, чем к ма-
тематике, и не приводятся в книге.
Прежде чем начать рассказ о необычных шахматных
играх, стоит сказать несколько слов о шашечных играх,
которых существует много десятков. Широко распростра-
нены русские шашки — на доске 8x8, известны шашки
американские, турецкие, итальянские, немецкие, ис-
панские и т. д. Особой популярностью пользуются в
мире стоклеточные или международные шашки, в них
играют на доске 10x10. Назовем еще такие игры, как
поддавки, уголки, волки и овцы, диагональные шашки,
шашки Ласкера, башни и т. д. Несколько в стороне стоят
шашечные игры го, реверси и рэндзю, особенно распро-
страненные в Японии, а также нарды.
Вообще под шашками обычно понимают игры, в ко-
торых все фигуры (шашки, фишки, камни) внешне оди-
наковы и отличаются только своим цветом.
Шахматы в каком-то смысле являются обобщением
шашек, но они, безусловно, богаче их. Во-первых, игра
идет на всей доске и, самое главное, набор фигур здесь
значительно шире, каждая из них имеет свои характер-
ные особенности. Кстати говоря, в старинных вариантах
шахмат играли на одноцветной доске, разделенной на
квадратные клетки; белые и черные поля появились
лишь в XIV столетии.
Ниже мы рассмотрим ряд необычных шахматных игр,
которые содержат те или иные математические элементы
или носят занимательный характер. Прежде всего отме-
109
тим, что эти йгры могут отличаться от настоящих шах-
мат, во-первых, своей необычной доской, во-вторых,
необычными фигурами и, в-третьих, необычными пра-
вилами игры. Разумеется, возможно при-
сутствие двух «необычностей» или даже
всех трех одновременно.
В этой главе речь пойдет, в основ-
ном, об играх, которые получаются при
изменении формы доски. Другие раз-
Рис. 96. Мини- новидности необычных шахматных игр
шахматы. рассматриваются в следующей главе.
Минишахматы и максишахматы. Са-
мый простой способ получить новую шахматную игру —
изменить размеры доски, уменьшить или увеличить их. Иг-
ру в минишахматы (рис. 96) Гарднер предлагает тем, кто
желает сыграть во время небольшого перерыва на работе.
Доска 5x5 является наименьшей, на которой умещаются
все шахматные фигуры. Ходят они по традиционным
правилам, лишь пешкам запрещено переступать сразу
на два поля вперед. Любопытно, что даже при таких
размерах доски очень трудно определить, ничейна ис-
ходная позиция или одна из сторон должна победить в
ней.
Другой вариант минишахмат изобрел один венский
любитель шахмат. Доска в два раза меньше стандарт-
ной, и каждая сторона имеет по 12 фигур вместо 16
(на четыре пешки меньше, пешкам разрешается ходить
только на одно поле вперед). Остальные правила не ме-
няются. По мнению автора игры, его изобретение соот-
ветствует современным условиям жизни на Западе,
когда в обстановке экономического спада становится
преобладающей тенденция к экономии средств.
При увеличении размеров доски, разумеется, ника-
ких ограничений не существует. Можно рассматривать
различные игры и задачи на прямоугольных досках тХи,
квадратных пХп и даже на бесконечной доске. Такие
доски в основном используются для придумывания ин-
тересных математических задач и головоломок.
Если говорить о реальных шахматных играх, то
среди прямоугольных досок рекорд, видимо, принадле-
жит доске 16X12. Такие максишахматы предложил в
свое время чемпион мира Х.-Р. Капабланка с целью
преодолеть казавшуюся ему неотвратимой «ничейную
смерть» шахмат. Игра на максидоске ведется удвоенным
ПО
и
12 пешек, причем фигуры
Рис. 97.
шах-
Гексагональные
маты Глинского.
комплектом фигур, причем начальный ход пешки воз-
можен сразу на четыре поля вперед. Для победы доста-
точно заматовать любого из королей противника.
Матч в максишахматы между Капабланкой и венгер-
ским гроссмейстером Мароци, состоявшийся в 1929 году,
закончился победой автора игры со счетом 3:1. Партии
продолжались более ста ходов и тянулись часов по де-
сять. Как показала жизнь, опасности «ничейной смер-
ти» не существует, и изобретение Капабланки распро-
странения не получило.
Среди досок большого размера можно упомянуть
доску 12X12 для игры в так называемые «великие шах-
маты», колыбелью которых была Индия. Каждому игро-
ку полагалось по 12 фигур
носили экзотические назва-
ния—крокодилы жирафы,
львы, единороги.
Известный завоеватель
Тамерлан был страстным
любителем шахматной иг-
ры, но считал недостаточ-
ным обыкновенные разме-
ры доски. Шахматы его
личной .системы, которые
именовались «образцовы-
ми», имели доску 11X10.
Одиннадцать видов фигур
(среди них генерал, верб-
люд, рыцарь и др.) распо-
лагались в них в три ряда.
Шестигранные шахма-
ты. В шестигранных или,
иначе, гексагональных шахматах доска для игры отли-
чается от обычной, квадратной, она имеет вид шестиуголь-
ника. Известны два варианта игры — советский (автор
И. Шафран) и польский (автор В. Глинский). Гекса-
гональные шахматы в польском варианте распростра-
нены в ряде стран, а в 1980 году по ним даже был про-
веден первый чемпионат Европы. Расскажем о правилах
игры в польские шахматы.
Доска имеет 91 поле трех цветов (рис. 97) — белого,
черного и серого (в комплекте, который выпускается
в Польше,— белого, желтого и коричневого). На доске
11 вертикалей, от «а» до «1», поля каждой из них нумеру.
Ш
ются от первого до последнего (на крайних вертикалях
имеется по шесть полей, а на центральной вертикали их
одиннадцать). Роль горизонтальной доски играют диаго-
нали, которые слева от центральной линии идут в одном
направлении, а справа — в другом.
Рис. 98. Ходы фигур в польских шахматах.
В дополнение к обычному комплекту фигур каждая
сторона получает всего лишь одного слона — серополь-
ного и одну пешку. Начальное расположение фигур по-
казано на рис. 97, ходы ладьи — на рис. 98, а. Ходы коня
и короля, соответственно крестиками и точками, пока-
заны на рис. 98, б. Слон ходит по прямой своего цвета,
ферзь, как обычно, объединяет ходы ладьи и слона. Пеш-
ки передвигаются на одно поле вперед по вертикали, а в
начальном положении на два. Бьют они наискосок под
углом 30°, меняя цвет поля — а4 : Ь5, g7 : f8 и т. д. При
ходе белой пешки е2—е4 она может быть взята на про-
ходе черной пешкой d3. Достигая последнего поля вер-
тикали, пешка может превратиться в любую фигуру.
Рокировок в польских шахматах нет. Все остальные
правила игры, а также ее цель — объявить мат неприя-
тельскому королю — сохраняются.
Рассмотрим одну задачу на гексагональной доске
(рис. 99). Решение ее несложно, но основано на чисто
геометрической идее — пересечении линий. 1. g4—g6!
Пешка встала на пересечение линий действия ладьи
и слона. После 1. • .Се4 : g6 матует 2. Kh6—g4,>, так
112
как слон перекрыл ладье дорогу к полю g4, а на 1. . .
JIg9 : g6 решает 2. Kh6—ебх — ладья перекрыла слону
дорогу к полю еб.
Разумеется, на гексагональных досках можно решать
все те же задачи и головоломки, что и на обычной доске,
в том числе о независимости и доминировании фигур. Ус-
тановлено, например, что на доске Глинского также до-
статочно пяти ферзей-часовых, их можно поставить на
поля с5, d8, g5, fl, h6.
Шахматы для нескольких игроков. По терминологии
математической теории игр шахматы представляют собой
игру двух лиц, т. е. в них играют двое. Однако известны
шахматные игры, в которые могут одновременно играть
три или четыре игрока. Так, в одном из вариантов шахмат
«на троих» доска представляет собой шестиугольник с
96 полями, а фигуры окрашены в три цвета — белого,
черного и красного. Выигрывает тот, кто берет королей
обоих партнеров.
Интересно, что в своем первоначальном виде шахматы
были предназначены для четырех игроков. Речь идет о
старинной игре чатуранга, в которую играли двое на
двое. Вряд ли стоит описывать правила чатуранги,
поскольку в наше время
эта игра представляет
лишь исторический инте-
рес.
Четверо шахматистов
сражались когда-то и в «ко-
ролевскую игру», доска для
которой имела форму кре-
ста и состояла из системы
линий, пересекающихся по
вертикалям, горизонталям
и диагоналям. Сейчас ко-
ролевская игра совсем за-
быта, а название сохрани-
лось в виде синонима обык-
новенных шахмат.
Из игр с четырьмя участ-
никами шахматы постепен-
но превратились в игру для двоих. Хотя современные
шахматы завоевали всеобщее признание, игра для четырех
человек не была полностью забыта. В так называемые
Четверные шахматы играют на 160-клеточной доске, ко-
Рис. 99. Мат в 2 хода- на гек-
сагональной доске.
5 Е, Я. Гик
113
торая получается из доски 8x8 добавлением к каждому
ее краю трех горизонталей — на двух крайних из них
расставляются фигуры стандартным образом, всего имеем
четыре обычных комплекта. Играют двое на двое, причем
члены одной команды сидят напротив друг друга или ря-
дом. Известны различные виды четверных шахмат, они
отличаются не только расположением участников около
доски, но и правилами игры, территорией, на которой
разрешено действовать, и цветом фигур. Любопытно, что
в одном варианте игры заматованный король снимается
с доски, а В'другом остается на ней и может быть разма-
тован союзником.
Если у вас собралась шахматная компания из четырех
человек, все жаждут играть, а ничего, кроме одной, са-
мой обыкновенной доски под руками нет, то не отчаивай-
тесь. Играйте двое на двое обычную партию, но ходы
делайте по очереди, через одного. Это очень веселая игра,
и не беда, если один из членов команды придумает инте-
ресную идею, а другой сразу же ее разрушит.
Итак, для четырех игроков придуманы разные игры.
Однако рекорд по количеству действующих лиц принад-
лежит астрономическим шахматам, распространенным
в глубокой древности. В них играло семь человек на
круглой доске, а фигурами были планеты и звезды (Луна,
Солнце, Венера, Марс и т. д.).
Цилиндрические и тороидальные шахматы. Упомяну-
тые выше доски, несмотря на их разнообразие, отлича-
лись одним свойством — все они были плоские. Целый
класс необычных досок получается, когда в «игру» всту-
пает математика. При помощи тех или иных геометриче-
ских или топологических преобразований стандартной
доски нетрудно соорудить доски самой разнообразной
формы. Можно играть на цилиндрической или сфериче-
ской доске, тороидальной, конусоидальной и даже на лис-
те Мебиуса (доска для такой игры получается при пере-
кручивании на полоборота обычной доски и склеивании
ее краев). Шарообразная шахматная доска однажды,
как экспозиция, участвовала на выставке авангардистов-
художников.
Конечно, найдется немного желающих сыграть в шах-
маты на перечисленных досках, однако некоторые из них
весьма популярны среди шахматных композиторов-фан-
тастов. При составлении и решении задач на таких досках
не обязательно вооружаться ножницами и клеем, соот-
114
ветствующие геометрические преобразования можно про-
водить мысленно.
Особой популярностью у шахматных композиторов
пользуются цилиндрические шахматы. Из обычной доски
можно соорудить две цилиндрические — вертикальную
а	б
Рис. 100. Цилиндрические шахматы.
(рис. 100, а) и горизонтальную (рис. 100, б). Первая об-
разуется при склеивании вертикальных краев обычной
доски, а вторая при склеивании горизонтальных краев.
Интересно, что на цилиндрической доске получается
далеко не все, что возможно на«
обычной. Например, король и ладья
на ней не всегда могут заматовать
одинокого короля противника.
Взгляните на рисунок, изображен-
ный на обложке книги. На обычной
доске это мат, а на цилиндриче-
ской — черный король благополуч-
но убегает от ладьи. В то же вре-
мя в цилиндрических шахматах
открываются и новые интересные
возможности.
Позиция, изображенная на
Рис. 101. А. Кузнецов,
Н. Плаксин. Мат в 2
хода на обычной доске
и на вертикальной ци-
линдрической.
рис. 101, дает нам сразу две
задачи. На обычной доске все просто — 1. Ла5: аб
Kpbl — cl 2. Лаб—al X. Однако на цилиндрической доске
после 1. Лаб : аб следует 1. . ,Ь7 : аб! (вертикали «а»
5*
115
и «Ь» склеены!), и черные забирают ладью. Если же белая
ладья уйдет с а5, то черные продвинут пешку «а», и мата
не будет. Что же делать? Оказывается, решает ход
1. Ла5—а5!! — ладья проходит по кругу и возвращается
на исходное место! Теперь все ясно — 1. . .Крс! 2. Ла1 X.
Рассмотрим позицию, представленную на рис. 102.
На этот раз мы имеем сразу три задачи. Примечательно,
что на каждой из трех досок — обычной и двух цилиндри-
Рис. 102. Ф. Бондарен-
ко. Мат в 1 ход на обыч-
ной доске, а также
на двух цилиндриче-
ских—вертикальной и
горизонтальной.
ческих имеется свое решение, кото-
рое не проходит в двух других
случаях. На обычной доске матует
1. Фе2—е8Х; на вертикальном ци-
линдре этот ход не матует из-за
ответа 1. . .Кра8—Ь7!, а к цели
ведет только I. Фе2—g8X (белый
ферзь проходит по маршруту е2—
аб—h7—g8); на горизонтальном
цилиндре 1. Фе8 также ничего
не дает,- ввиду 1. . .Кра8—al!, а
решает 1. Фе2—а2 X!
При переходе к новым доскам
возникают не только оригинальные
шахматные задачи, но и интересные
математические. Анализ следующей задачи показы-
вает, что на цилиндрической доске (вертикальной или го-
ризонтальной) не имеет ни одного решения задача о
восьми ферзях.
Можно ли на цилиндрической доске расставить
восемь ферзей так, чтобы они не угрожали друг
другу?
Если на обычной доске существуют 92 искомые рас-
становки, то на цилиндрической уже нет ни одной! До-
кажем это для вертикального цилиндра. Для этого возь-
мем обычную доску, помня о том, что ее края склеены.
Это означает, в частности, что ферзь с dl может пойти
на а4 и далее, не останавливаясь, через h5 на е8 (этот
путь показан стрелками на рис. 103), и, значит, поля
с dl до а4 и с Ь5 до е8 составляют одну диагональ. Запи-
шем на каждом поле доски номер вертикали, горизонтали
и диагонали, проходящих через это поле (диагонали рас-
сматриваются параллельные стрелкам, нумерация их
видна на рис. 103).
Если восемь ферзей не угрожают друг другу, то на
восьми полях, занимаемых ими, все первые цифры долж-
116
ны быть различны и, значит, образуют полный набор чи-
сел 1, 2, ..., 8. То же утверждение справедливо для вто-
рых и третьих цифр. Итак, сумма всех 24 цифр, стоящих
на восьми полях с ферзями, равна (1+. . .+8)ХЗ—108.
Так как сумма цифр каждого поля делится на 8, то и най-
денная. сумма должна быть
кратна восьми, однако 108
на 8 не делится — противо-
речие!
Тороидальная доска (рис.
104) получается в резуль-
тате двойного склеивания
краев обычной доски (см.
стрелки на рис. 100). На
такой доске одинокого коро-
ля не могут заматовать даже
ферзь с королем — здесь про-
сто нет ни одной матовой по-
зиции.
Решим задачу на рис. 105.
После 1. Ф15—h7! в распо-
ряжении черных имеются два
(поля dl, el и fl контролирует
Рис. 103. Задача о восьми
ферзях на цилиндрической
доске.
ответа: а) 1. . .Кре8—48
белый король с е2 — на
торе действуют правила горизонтального цилиндра!)
Рис. 104. Тороидальные
шахматы.
Рис. 105. 3. Мах. Мат в 2
хода на тороидальной доске.
2. ФЬ7—g6 Kpf8—е7 3. Кре2—el Кре7—d7 (поля d8 и f8
держит белый король с el) 4. Ф§6—е8X!; б) 1. . .Кре8—
d8 2. ФЬ7—с7+ Kpd8—е8 3. КЬ5—h6! (конь идет по
тору, как по вертикальному цилиндру!) 3. . .Кре8—f8
4. Фс7—el X! (поля f7 и g8 держит белый конь, а. другие—
ферзь).
Проективные шахматы. Чтобы разобраться в этой иг-
ре, нет необходимости изучать раздел математики, назы-
.117
ваемый проективной геометрией. Достаточно восполь-
зоваться одним свойством проективной плоскости, со-
гласно которому любое семейство параллельных прямых
пересекается в так называемой бесконечно удаленной
точке. В соответствии с этим доска для проективных
шахмат получается из бесконечной доски (которая про-
стирается по всей плоскости) при добавлении четырех бес-
конечно удаленных полей: Рг — пересечение горизонта-
лей, Рв пересечение вертикалей, Рдх — пересечение
диагоналей, параллельных диагонали al—h8, Рд2 —
пересечение диагоналей/ параллельных диагонали
а8—hl.
На проективной доске сохраняется большинство пра-
вил обычных шахмат, а основное изменение состоит в том,
что дальнобойная фигура может переместиться на бес-
конечно удаленное поле (с учетом ее способа передвиже-
ния) и через несколько ходов вернуться на конечное поле
доски.
Более ясной игра станет, если мы разберем одну за-
дачу на проективной доске (рис. 106).
Первый ход решения 1. Kph2—gl! Теперь у черного
короля несколько ответов. Если он идет на е4, то мат дает
белый ферзь с бесконечно удаленного поля а5: 1. . •
Kpf4—е4 2. Фс5—Рг X. Действительно, с поля Рг
ферзь нападает на черного короля и держит все поля
вокруг него: еЗ и f3 — через h3; d4, е4 и f4 — через h4;
d5, е5 и f5 — через а5. Ход 2. Фс5—Рг матует и при 1. . .
Kpf4 —f3. В этом случае поля е4, f4 и g4 ферзь обстрели-
вает через h4; поля еЗ, f3 и g3 — через ЬЗ; а поля е2, f2
и g2 — через h2 (белый король предусмотрительно ушел
с этого поля).
При отступлении черного короля на линию «g»>
а также при 1. . .d3—d2 матует 2. Фс5—РдхХ (ферзь
уходит в бесконечность по диагонали с5—аЗ). Например,
после 1. . .Kpf4—g5 2. Фс5—Рд,Х поля f4, g5 и h6
ферзь держит через cl; поле f6 — через al, поле f-5 —
через Ь7; поле g4 и h5 — через dl, наконец, поле Ь4 —
через el.
Осталось рассмотреть ходы черных коней. На любой
ход коня d6 следует 2. Фс5—Рд2 X, а на любой ход коня
с7 — 2. Фс5—Рв X (в первом случае ферзь уходит в бес-
конечность через а7, во втором — через с8).
Для шахматной задачи важно не только, чтобы реше-
ние имелось, но и чтобы оно было единственным. Нетруд-
на
Рис. 106. Н. Петрович.
Мат в 2 хода на про-
ективной доске.
но убедиться, что при других вступлениях белым уже не
удастся поставить мат на следующем ходу. Так, после
1. Фс5—Рг+ черный король скрывается на g5, а после
1. Фс5—Рд + идет на е4, с поля
Рд2 ферзь даже не дает шаха, а
хода Фс5—Рв и вовсе нет (верти-
каль «с» загорожена с обеих сто-
рон). Любопытно, что в решении
задачи использовались все четыре
бесконечно удаленных поля проек-
тивной шахматной доски.
Объемные шахматы. На всех
досках, о которых шла речь до
сих пор, поля определялись двумя
координатами, т. е. мы могли
использовать обычную шахматную
нотацию. Иначе обстоит дело в объемных (пространствен-
ных) шахматах. В них играют на трехмерной доске,
представляющей собой параллелепипед размером тХпХ
Xk (в частности куб пХпХп), единичные кубики которо-
го образуют «поля» доски. Эти поля записываются уже
тремя координатами. Возьмем, например, объемную дос-
ку 4 X 4 X 4, содержащую, как и обычная, 64 поля, но толь-
ко объемных (64 кубика). Если четыре горизонтальных
слоя такой доски занумеровать числами 1, 2, 3, 4, то ее
левый ближний столбец содержит поля all, а12, а13, а14
и т. д. Перемещению вдоль одного слоя объемной доски
соответствует ход на обычной доске, но фигуры могут
переходить также из одного слоя в другой. Скажем, ферзь
с поля all в состоянии двигаться не только обычными
маршрутами до полей а41 и hl 1, но может попасть и на
верх доски — на поле а 14 или пройти по ее большой диа-
гонали all—h44. Конь по-прежнему ходит буквой «Г»:
на одно поле вдоль одного слоя и на два поля в перпенди-
кулярном направлении. Следующая задача обобщает
классическую задачу о ходе коня.
Обойти конем все поля объемной доски 4X4X4,
посетив каждое из них по одному разу.
Найти маршрут коня на объемной доске равносильно
тому, чтобы последовательно занумеровать все ее поля-
кубики числами от 1 до 64 так, чтобы каждые два поля с
соседними номерами были связаны ходом коня. На
рис. 107 представлены проекции четырех горизонтальных
слоев объемной доски на плоскую шахматную доску
119
4X4 (слои занумерованы числами от 1 до 4). Нетрудно
убедиться, что, отправляясь от поля ЬЗЗ (с номером 1)
и двигаясь в указанной последовательности, конь обой-
дет все. поля данной доски.
Частным случаем объемных шахмат служат различ-
ные модификации игры, в которых фигурам также раз-
решен выход в «пространство». В игре андромеда
Рис. 107. Маршрут коня по объемной доске 4X4X4.
на полях обычной доски ставятся специальные подстав-
ки, и каждая фигура может7 покидать свое «плоское»
поле, располагаясь, временно или постоянно, на под-
ставке, стоящей на этом поле. Эта процедура означает,
что фигура оторвалась от земли и переместилась в
небо.
В игре на параллельных досках используются две
стандартные доски, которые как бы находятся одна над
другой. Кроме обычных ходов на каждой из досок фигуры
могут перемещаться с одной доски на другую и об-
ратно.
Многие задачи о расстановке фигур, решенные для
плоских досок пХ/г, становятся весьма сложными при
переходе к объемным доскам и Хи Хи.
Какое минимальное число ладей можно расста-
вить на доске пХ/гХп так, чтобы они держали под
ударом все остальные поля доски?
Фактически здесь требуется найти число ладей-часо-
вых, доминирующих на объемной доске nXnXn. Оказы-
вается, что оно равно и2/2 при четных п и (и2+1)/2 при
нечетных п. В частности, для охраны доски 8x8x8
достаточно имёть 32 ладьи. Число независимых ладей на
доске /iX/iX/t равно /г2 (по п ладей в каждом слое доски).
На доске 8x8x8 удается расставить 64 ладьи так,
чтобы они не угрожали друг другу и в то же время дер-
жали под обстрелом все свободные поля доски. Задачи
о доминировании и независимости ладей на доске иХпХ
X п можно сформулировать в терминах линейной алгебры.
120
Пусть дано множество всех трехмерных векторов
(/i, ^2» ^з), компоненты которых принимают одно из зна-
чений 1, 2, . . п (всего таких векторов п3). Какое
наименьшее число векторов можно выбрать из этого мно-
жества так, чтобы каждый из оставшихся векторов- имел
не менее одной общей компоненты хотя бы с одним из
выбранных? Какое наибольшее число векторов можно
выбрать так, чтобы никакие два из них не имели ни одной
общей компоненты?
Первый вопрос эквивалентен определению числа до-
минирования ладей на доске пХпХп, а второй — числа
независимости. Таким образом, в первом случае ответ
п2/2 или (п2+1)/2 векторов, во втором случае—ji*
векторов.
Многомерные шахматы. Формулировки задач о ладь-
ях в терминах векторной алгебры наводят на мысль обоб-
щить объемные, трехмерные шахматы и рассмотреть шах-
маты многомерные. Полями доски для такой игры явля-
ются многомерные кубики 1Х1Х. . .Х1. На ^-мерной
шахматной доске наши задачи о ладьях принимают сле-
дующий вид.
Пусть дано множество всех ^-мерных векторов (/j,
/2, • • •» ^а)» компоненты которых принимают одно из
значений 1, 2, . . ., п (всего таких векторов nk). Какое
наименьшее число векторов можно выбрать из этого мно-
жества так, чтобы каждый из оставшихся векторов имел
не менее одной общей компоненты хотя бы с одним из
выбранных? Какое наибольшее число векторов можно вы-
брать так, чтобы никакие два из них не имели ни одной
общей компоненты?
Ответы на эти вопросы неизвестны. Аналогичные за-
дачи на многомерных досках можно поставить и для дру-
гих фигур. Любопытно, что у задач такого типа сущест-
вует определенная связь с задачами теории информа-
ции — в ее разделе, называемом кодированием.
ГЛАВА 12
СКАЗОЧНЫЕ ШАХМАТЫ
В предыдущей главе мы рассказали о раз-
личных играх, связанных с теми или иными преобразова-
ниями шахматной доски. Однако для получения новой
игры не обязательно использовать специальную доску,
121
достаточно на обычной доске 8x8 изменить традицион-
ные правила или ввести необычные фигуры. Именно на
таких играх мы остановимся в данной главе. Разновид-
ности шахмат с необычными ходами фигур и необычными
правилами игры, в том числе использующих математиче-
ские элементы, композиторы относят к жанру сказочных
или фантастических шахмат, а эти «необычности» ис-
пользуют для составления интересных и оригинальных
позиций и задач.
Шахматы с шахами и без шахов. В игре «до первого
шаха» все, как в настоящих шахматах, только выигрыва-
ет не тот, кто «первым» дает мат, а тот, кто первым объяв-
ляет шах. В обычной начальной позиции белые форсиро-
ванно побеждают, причем не позднее пятого хода.
1. КсЗ. Грозит выпад конем на е4, d5 или Ь5 с неиз-
бежным шахом, у черных единственный ответ 1. . .еб
(1. . .е5 2. Kd5 и 3. Kf6+), и после 2. Ке4 Кре7 3. Kf3
второй белый конь с решающим эффектом вступает в иг-
ру: 3. . .Фе8 (3. . .d6 4. Kd4) 4. Ке5, и шах следующим
ходом.
Чтобы оживить игру, следует каким-либо образом
изменить начальную позицию, например, передвинуть
белую пешку с с2 на сЗ, а черную — с с7 на сб. Теперь
невозможен первый ход 1. КсЗ, и форсированного выигры-
ша уже не видно, после 1. ФЬЗ d5 2. ФЬ4 Фd6! 3. Фа4
Cd7 4. ФЬ4 Kf6 черный король надежно защищен от
шахов.
В игре «шахматы без шахов» фигуры ходят обычным
образом, но объявлять шах им запрещено — первый же
шах должен быть одновременно и матом. В игре «шахматы
с шахами» правила иные — партия продолжается, как
обычно, до мата, но шах является обязательным — если
он имеется, то его нужно объявлять (любым способом).
Шахматы с костями. Расстановка фигур и основные
правила игры не меняются, но перед каждым ходом иг-
рок бросает кость и ходит той или иной фигурой, в за-
висимости от числа выпавших очков (1 — ходит пешка,
2 — король, 3 — конь, 4 — слон, 5 — ладья и 6 —
ферзь). Если данная фигура не может пойти или ее вооб-
ще нет на доске, то очередь хода передается противнику,
который в свою очередь бросает кость и т. д. Кстати
говоря, в древнейшей игре чатуранга, упомянутой нами
выше, фигура, совершающая ход, определялась числом
очков на брошенной кости. Таким образом, данная раз-
122
новидность шахмат близка к их первоначальной форме
с применением костей.
Двухходовые шахматы. В этой игре каждый ход белых
и черных состоит из двух обычных (после первого хода
«цикла» король может находиться под шахом). Такое
изменение правил позволяет доказать следующий не-
ожиданный факт.
При правильной игре в двухходовые шахматы
белым, по меньшей мере, гарантирована ничья.
Попробуем доказать это от противного. Пусть белые,
как бы хорошо они ни играли, всегда проигрывают.
Тогда после 1. КЫ—сЗ—Ы сохраняется начальная по-
зиция, а первый ход уже принадлежит черным. Факти-
чески теперь черные играют белыми и, по предположе-
нию, также проигрывают. Противоречие.
Кажется, все правильно. Однако это доказательство
является не совсем точным. После первого хода белых
позиция действительно повторяется, но ситуация иная!
Так, при 1. . .Kg8—f6—g8.2. КЫ—сЗ—Ы белые еще не
могут потребовать ничью, а черные могут, поскольку
2. . .Kg8—f6—g8 приводит к троекратному повторению
исходной позиции. Таким образом, нельзя считать, что
после 1. КЫ—сЗ—Ы черные играют белыми — возмож-
ности сторон разные. Примечательно, что на эту весьма
тонкую ошибку в доказательстве указал академик
А. Н. Колмогоров.
Приведем теперь строгое доказательство. Вновь пред-
положим, что как бы белые ни играли в двухходовые
шахматы, они должны проиграть. Будем играть с вооб-
ражаемым партнером одновременно две партии на двух
досках. На первой доске начнем партию ходом 1. КЫ—
сЗ—Ы (не изменяя расположения фигур на ней). Ответ
черных на этот выжидательный ход повторим со стороны
белых на второй доске (скажем, если черные сыграли на
первой доске 1. . .е7—е5, d7—d5, то наш первый ход
на второй доске будет 1. е2—е4, d2—d4). Затем ответ
противника на второй доске повторим на первой за бе-
лых, ход черных на первой — на второй за белых и т. д.
По нашему предположению, черные рано или поздно
должны выиграть обе партии, и, значит, наступит такой
момент, когда на первой доске они своим очередным хо-
дом объявят мат белому королю. Но тогда на второй дос-
ке при повторении этого хода за белых возникнет пози-
123
Рис. 108. Двухходовые
шахматы.
ция, в которой мат получает черный король! Противо-
речие.
Наше доказательство, как говорят математики, не-
конструктивно. Мы доказали, что белые могут не проиг-
рать в двухходовые шахматы, но не выяснили, как им
нужно играть. Более того, если бу-
дет показано, что белые форсиро-
ванно выигрывают (как, например,
в игре до первого шаха), то тогда,
очевидно, первый ход белых 1.
КЫ—сЗ—Ы проигрывает! Таким
образом, не исключено, что доказа-
тельство беспроигрышное™ белых
проведено с помощью проигрыва-
ющего хода!
Вот одна из распространен-
ных модификаций двухходовых
шахмат. У одного игрока полный комплект фигур,
которые ходят обычным образом, а у другого лишь ко-
роль и несколько пешек, но делают они по два хода сра-
зу. Цель слабейшей стороны — побить неприятельского
короля. Эта игра довольно забавная: тот, кто впервые
знакомится с ней, всегда выбирает фигуры с нормальны-
ми ходами и... быстро проигрывает. В двухходовых шах-
матах один голый король способен уже на четвертом ходу
объявить мат противнику, обладающему всей армией
фигур (рис. 108). Вот как это может произойти. 1. Kpel —
е2—еЗ (первый двойной ход) 1. . .е7—е5 (ход черных
одинарный). 2. КреЗ—е4 : е5 Фб8--е7+ (черные не чув-
ствуют опасности) 3. Кре5—d6 : с7+! и следующим хо-
дом- белый король забирает черного.
Шахматы без цугцванга. Если в некоторой позиции
любой ход белых проигрывает, то мы говорим, что они
в цугцванге (если проигрывает и любой ход черных, то
цугцванг взаимный). Данная игра отличается от обычной
добавлением всего одного хода — хода на месте. В ней
цугцванга уже не бывает, так как всегда можно передать
очередь хода партнеру.
Приведеннре выше доказательство того, что при пра-
вильной игре в двухходовые шахматы белым гарантиро-
вана ничья, полностью проходит и для шахмат без цуг-
цванга. Однако, в отличие от двухходовых шахмат, поиск
непосредственного мата здесь безнадежен! Напомним,
что в настоящих шахматах, где шансы белых, судя по
124
статистике, заметно выше, вовсе не доказано, что даже
при наилучшей игре им обеспечена хотя бы ничья.
Последовательные шахматы. Эту игру придумал
А. Ратушный. Б ней за один раз можно последовательно
сделать не то что два’ хода, а целых 16. Точнее говоря,
каждая фигура, имеющаяся в данный момент на доске,
может сделать одно движение (а может и оставаться на
месте). Если несколько фигур одновременно объявляют
мат неприятельскому королю, то своим ответом против-
ник может ликвидировать все нападения на его короля.
Игра эта очень динамичная, ее главное достоинство в том,
что на доске могут возникать самые необычные, сказоч-
ные позиции, которые никогда не получаются в обычных
шахматах.
Поддавки. Более популярны шашечные поддавки,
однако их шахматный вариант также довольно интере-
сен. Основная задача игроков в обеих играх— избавить-
ся от всех своих фигур. Правда, если в шашках цели
обычной игры (прямой) и обратной прямо противополож-
ны, то в шахматах ситуация несколько иная — понятие
мата здесь отсутствует, и победителем становится тот,
кто первым отдает противнику все свои фигуры или запа-
товывает их. Как и в шашках, взятие обязательно, а если
есть выбор, то брать можно любую фигуру, включая ко-
роля.
Интересно, что в шахматных поддавках имеется своя
необычная и не столь простая теория. Как это ни парадок-
сально, но уже самый первый ход может оказаться
решающей ошибкой. Доказано, что ходы 1. е4 и 1. d4
(т. е. наиболее распространенные вступления в нормаль-
ных шахматах) форсированно проигрывают в поддавки —
черным удается одну за другой отдать все свои фигуры!
Вот как достигают они цели при движении белой коро-
левской пешки на два поля вперед.
1. е4? Ь5! 2. С: Ь5 Kf6 (тихий ход) 3. С: d7 К: е4
4. С : с8 (возможность 4. С : е8 рассмотрена ниже) 4. . .
К : d2 5. С : d2 Ф : d2 6. Ф : d2 Каб 7. С : аб Лс8 8. С : с8
f5 9. С : f5 Лё8 10. С : Ь7 с5 11. С : g8 еб 12. С: еб с4 13.
С : с4 аб 14. С: аб g5 15. Ф : g5 Kpd8 16. Ф : d8 Се7 17.
Ф : е7, и на доске остались одни белые фигуры.
На 4. С: е8 решает 4. . .Ф : d2 5. Ф : d2 (5. С : f7
Ф : cl 6. Ф : cl К : f2 7. Кр : f2 Лё8 и т. д.) 5. . .К : d2
6. Кр : d2 Лg8 7. С : f7 с5 8. С : g8 g6 9. С : h7 е5 10. С : g6
е4 11. С : е4 Кеб 12. С : сб СЬ7 1». С: Ь7 Лс8 14. С : с8 аб
125
15. С: аб с4 16. С: с4 СаЗ 17. К: аЗ, и черные выиг-
рали.
Еще проще «опровергается» первый ход ферзевой
пешки: 1. d4 е5! 2. de Ф§5! 3. Ф : d7 С: d7 (этот размен
на d7 может произойти и позднее) 4. С : g5 Kpd8 5. С : d8
аб 6. С: с7 Ла7 7. С: Ь8 Ь6 8. С: а7 а5 9. С: Ь6 g6 10.
Рис. 109. Белые выигрывают в поддавки.
С; а5 СЬ4 11. С: Ь4 Ке7 12. С: е7 JIf8 13. С: f8 h6 14.
С; h6 g5 15. С: g5 f6 16. С: f6 Ch3 17. К : h3. Победа
за черными!
Оригинальные и неожиданные идеи присутствуют и в
задачах, связанных с поддавками. В позиции, приведен-
ной на рис. 109, а, на доске всего две пешки, а посмотри-
те, сколько тонкостей она содержит!
1. аЗ! Белые отдают противнику темп — весьма рас-
пространенный прием в нормальных шахматах. 1. . .h5
2. а4 h4 3. а5 h3 4. аб h2 5. а7 hl Л! Если черные ставят
ферзя или слона, то после любого превращения белой
пешки они будут вынуждены сразу взять ее. На 5. . .hlК
следует 6. а8Ф и 7. ФЫ! Если на доске появляется чер-
ный король — 5. . .h 1 Кр, то не проходит 6. а8Ф и 6. а8С
из-за 6. . .Kpg2, превращение 6. а8Кр приводит к ни-
чьей, не годится и 6. а8К; в этом случае решает 6. а8Л!
Kpg2 7. Ла4 Kpf2 8. Л64 Kpg2 9. Ле4 Kph2 10. ЛГ4 Kphl
11. ЛГЗ Kpg2 12. ЛГ2 Кр : f2, и белые добились своей цели.
6. а8С! Белые ставят на доску еще более слабую фи-
гуру. При других превращениях черные легко избавля-
ются от своей ладьи. Теперь же на любой ее ход следует
7. Chi!, и игра в шахматные поддавки заканчивается
в пользу белых.
В забавной позиции, изображенной на рис. 109, б,
белые от некоторых фигур избавляются, а остальные за-
126
патовывают: 1. ЛЬ6! С : а2 2. Jlg6 С : Ы 37 g5 С ! с2 4. g4
С: d3 5. Ch4! С : е4 6. g3 С : g6. Белые выиграли в под-
давки, потому что им нечем ходить.
Изменение исходной позиции. Получить новую игру
на шахматной доске можно без введения каких-то особых
правил, достаточно в исходной позиции поменять места-
ми несколько фигур. Действительно, в результате такой
процедуры глубокое знание классической теории дебютов
и даже середины игры уже теряет значение. При изме-
нении начального положения на доске пешки обычно
оставляют на местах, а фигуры переставляют на крайних *
линиях, за пешечным частоколом.
Не очень радикальные новаторы предлагают для соз-
дания новой игры ограничиться перестановкой у каждой
стороны короля и ферзя. Весьма наивное предложение!
Хотя полученная игра довольно непривычна, однако
ничем не отличается от обычных шахмат. Чтобы в этом
убедиться, достаточно мысленно перекрасить цвет полей
доски и рядом с ней (слева или справа) поставить зерка-
ло, глядя в которое и делать ходы. Зеркальное отражение
нашей позиции совпадает с обычным расположением фи-
гур перед началом игры. Если ваш противник неважно
играет в нормальные шахматы, то и здесь он может бы-
стро получить «детский мат»: 1. d4 d5 2. Cf4 Kf6 3. Фа5
Кеб 4. Ф : с7Х.
Применяются и другие забавные способы изменить
начальную расстановку фигур. Например, можно посту-
пить так. Белые ставят на любое поле крайней горизон-
тали одну из своих фигур, черные такую же фигуру ста-
вят напротив и в свою очередь сами выбирают поле для
следующей фигуры. Теперь белые ставят ту же фигуру
напротив и т. д. При такой процедуре ни у одного из
партнеров нет оснований считать, что его фигуры перед
началом игры расположены хуже.
Есть и другой, более увлекательный способ расста-
новки фигур. В середине доски ставится экран, и оба
соперника, по секрету друг от друга, расставляют свои
фигуры как им заблагорассудится. После того как фигу-
ры расставлены, экран снимается с доски, и начинается
игра (по обычным правилам), которая называется «шах*
маты втемную». В английском городе Брайтоне недавно
состоялся турнир по этой игре («темный турнир»).,.
С последней игрой связано одно очень интересное
обобщение. Оно заключается в том> что фигуры расстав* ~
127
ляются обычным образом, но зато втемную протекает
сама партия!
Каждый из двух играющих делает ходы на .своей до-
ске, причем белые не знают, как ходят черные, а черные —
как ходят белые! За игрой следит посредник. Если кто-
то из партнеров совершает ход не по правилам, то по-
средник сообщает ему об этом. Игрок меняет ход, делая
при этом соответствующие выводы о дислокации не-
приятельских фигур. Партия заканчивается, когда после
очередного хода игрока посредник сообщает, что на доске
мат. Любопытно, что в математическом сборнике, выпу-
щенном в 1981 году по случаю юбилея М. Гарднера,
целая глава посвящена исследованию эндшпиля в опи-
санной шахматной игре.
Магараджа. До сих пор мы обауждали игры с необыч-
ными правилами, но фигуры в них ходили, как в настоя-
щих шахматах. Безграничное море необычных игр,
задач и идей возникает при введении в обиход сказочных
фигур. Многие задачи, рассмотренные нами для класси-
ческих фигур (об их силе, расстановках, путешествиях
й т. д.), нетрудно перенести
и на эти фигуры. Возьмем,
к примеру, фигуру магарад-
жа (в других источниках ама-
зонка), которая объединяет
в себе ходы ферзя и коня.
Мы знаем, что восемь ферзей
можно расставить на обыч-
ной доске так, чтобы они
не угрожали друг другу. А
как обстоит дело с магарад-
Рис. ПО. Десять мирных ЖЗМИ?
магараджей.	Оказывается, на доске 8 X
Х8 восемь мирных магарад-
жей уместить не удается. Проанализировав все 12 ос-
новных расстановок ферзей, легко убедиться, что в каж-
дой из них по меньшей мере три пары ферзей связаны
между собой ходом коня. На доске 9x9 девять наших
мощных фигур (магараджа намного сильнее ферзя) также
не могут находиться в безопасности. И лишь на доске
10X10 можно расставить десять мирных магараджей.
При этом имеется всего одно основное решение (рис. ПО;
здесь ферзи играют роль магараджей), из которого дру-
гие получаются поворотами и зеркальным отражением
128
доски. Конечно, использование сказочных фигур дает
и новые игры. В следующей игре участвует магараджа.
У одного игрока — полный комплект фигур, стоящих
на первоначальных местах, а у другого — один магарад-
жа, которого он ставит на произвольное поле. Магараджа
проигрывает, если его удается взять, и выигрывает, если
ставит мат неприятельскому королю.
В этой игре пешкам запрещено превращаться, в про-
тивном случае выигрыш слишком прост — достаточно
провести обе крайние пешки в ферзи, после чего три фер-
зя и две ладьи без труда окружают магараджу. При сде-
ланной оговорке' магараджа оказывает упорное сопро-
тивление, а у неопытного игрока быстро выигрывает
(здесь имеет место та же ситуация, что и в борьбе полного
комплекта фигур против короля и пешек, делающих по
два хода). И все же магараджу удается форсированно
поймать. Гарднер предлагает план окружения, состоя-
щий из 25 ходов. Однако цель достигается, по крайней
мере, десятью ходами раньше!
Не обращая внимания на перемещения магараджи,
белые должны сделать следующие 14 ходов подряд:
1—14. а4, h4, КеЗ, Kf3, ЛаЗ, ЛЬЗ, ЛЬЗ, Л§3, d4, Ф<13,
Фе4, ЛЬ7, Фс15, Л§8. При этом магараджа не может
взять ни одной белой фигуры, и теперь для него имеются
лишь два безопасных поля — аб и f6. На поле аб он гиб-
нет после 15. Cg5, а на поле f6 — после 15. е4.
Сказочные фигуры. Магараджа — лишь одна из мно-
гих десятков сказочных фигур, придуманных любителя-
ми необычных игр и композиторами-фантастами. Различ-
ные сказочные персонажи получаются из обобщенного
коня (а, Ь) при выборе тех или иных значений а и Ь.
Если а=1, Ь=2, то мы имеем* обычного коня. Конь (1, 3)
называется верблюдом, он перемещается на одно поле
вдоль одной линии и на три вдоль другой. Конь (1,4) —
жираф, конь (2, 3) — зебра. Если одно из чисел а или b
равно нулю, то мы имеем ладью, перемещающуюся на
фиксированное число полей, а при а=Ь получаем слона,
обладающего тем же свойством. Коню, который за один
ход делает несколько скачков подряд, присваивается
звание всадника.
Вообще, фигуры-животные населяют многие сказоч-
ные игры на шахматной доске. Так, в игре джунгли
(древняя форма китайских и индийских шахмат) участ-
вуют собаки, волки, коты, пантеры, крысы...
129
Многие фигуры, подобно магарадже, являются комби-
нированными. Императрица объединяет в себе ходы ладьи
и коня, дракон — ходы пешки и коня, кентавр — ходы
слона и коня. В старинных играх встречаются мудрецы,
шуты, епископы и другие личности.
Известны шахматные фигуры, наделенные военными
должностями и званиями — гренадеры, саперы, солда-
ты, офицеры, генералы. После первой мировой войны на
доске появились грозные фигуры танков и самолетов,
а после второй — была изобретена «атомная бомба»,
в которую превращается пешка, дошедшая до последней
горизонтали. Эта страшная фигура ставится на любое
поле доски и «взрывается», уничтожая все вокруг себя
в заданном радиусе действия.
Вот еще несколько удивительных фигур, которые мож-
но встретить в мире шахматной фантастики. Сверчок хо-
дит как ферзь и перепрыгивает через свои и чужие, фи-
гуры, останавливаясь сразу вслед за ними. Лев, в отли-
чие от сверчка, приземляется на любом поле за пере-
прыгнутой фигурой. Сверхслон ходит как обычный слон,
но, кроме того, может отражаться от краев доски подобно
биллиардному шару. В шахболе фигуры действуют по
футбольным правилам, и цель игры заключается не в ма-
товании неприятельского короля, а в забивании гола.
Нейтральными фигурами могут играть и белые, и чер-
ные, а бьющим фигурам разрешается делать ход только
со взятием. Бьющий конь — гиппопотам, бьющий
ферзь — динозавр. Рентгеновские фигуры оказывают
воздействие на поля доски сквозь другие фигуры. Дип-
ломат — такая фигура, которая сама не ходит, но и
ее нельзя брать, около дипломата фигуры того же цве-
та неприкосновенны. А фигура камикадзе (само-
убийца) убирается с доски вместе со взятой фигу-
рой!
Немало разновидностей и у сказочных пешек. Пешка-
хамелеон при взятии неприятельской фигуры превра-
щается в ту же фигуру, но своего цвета. Сверхпешка хо-
дит на любое число полей по прямой и бьет на любое чис-
ло полей по диагонали. Пешка-такси движется и вперед,
и назад. Берлинская пешка ходит по диагонали, а берет
по вертикали. Неподвижная пешка не ходит и не бьет,
а ее брать можно. Пешка замедленного действия превра-
щается только во взятые фигуры, а если таких пока нет,
она выжидает.
130
Рис. 111. Шашматы.
Шашматы. Итак, мы уже подробно ознакомились
с шахматными играми на нестандартных досках, с не-
обычными правилами и сказочными фигурами. В игре
шашматы, которую придумал американский математик
С. Голомб (автор полимино), ис-
пользуются одновременно все три
необычных элемента.
Игра, как это видно из назва-
ния, представляет собой смесь шах-
мат и шашек, фигуры в ней шах-
матные, но перемещаются они толь-
ко по черным полям доски — как
в шашках. Расстановка перед на-
чалом игры показана на рис. 114.
Как мы видим, набор фигур в шаш-
матах несколько иной, чем в шахма-
тах. У каждой стороны по два короля, которые могут пе-
ремещаться на соседние черные поля. Шашматный слон
ничем не отличается от шахматного, а пешки ходят
как шашки. Поскольку обычный конь (1, 2) не в со-
стоянии сделать на шашматной доске ни одного хода
(он сразу попадает на запретное белое поле), его заме-
няют верблюдом (1, 3), который перемещается по
полям одного цвета. Взятие пешек и королей про-
исходит как в шашках (перепрыгиванием через фи-
гуру), а взятие слона и верблюда как в шахматах (заня-
тием поля, на котором стоит фигура). Взятие пешек и
королей обязательно, а выбор между шахматным и ша-
шечным взятием, если он имеется, произволен. Пешка,
дошедшая до последней горизонтали, превращается в лю-
бую из трех фигур. Выигрывает в шашматах тот, кто пер-
вым берет обоих королей противника.
Рассмотрим две задачи о шашматном коне-верблюде.
Как мы знаем, на обычной доске существует замкнутый
маршрут коня по всем ее полям. На ней удается также
расставить 32 мирных коня (не угрожающих друг дру-
гу). Те же вопросы возникают и для верблюда.
Существует ли замкнутый маршрут верблюда
по всем полям шашматной доски? Какое наиболь-
шее число верблюдов можно расставить на шаш-
матной доске так, чтобы они не угрожали друг
другу?
Решения обеих задач представлены на рис. 112. Поля
маршрута, по которому проходит верблюд, последова-
131
тельно занумерованы числами от 1 до 32. Поскольку
поля с номерами 1 и 32 связаны между собой, то марш-
рут замкнутый.
Максимальное число мирных верблюдов равно 16,
т. е. они, как и кони, занимают на доске (шашматной)
половину всех доступных им полей. На рис. 112 верблю-
ды могут занять все поля с четными или все поля с не-
четными номер ами.
Математические игры на шахматной доске. Необычные
шахматные игры придумывают не только композиторы-
фантасты, но и математики. Последние предпочитают
игры, допускающие точный ма-
тематический анализ. В этих
играх интерес представляет на-
хождение правильного алго-
ритма, гарантирующего победу
или ничью. Правда, если алго-
ритм уже найден, то сам про-
цесс игры лишается творческо-
го характера, столь привлека-
ющего нас в интеллектуальных
Рис. 112. Две задачи на играх.
шашматной доске.	Любопытно, что в эпоху Воз-
рождения популярной была
игра арифметические шахматы или, иначе, рифмо-
махия. На доске 16x8 передвигались три рода фигур —
в форме круга, треугольника и прямоугольника. На каж-
дой фигурё были написаны разные числа, комбинации
которых определяли ходы, взятия и объявление мата.
Игра требовала слишком сложных математических рас-
четов и поэтому постепенно была забыта.
Конь и верблюд. В углу доски пХп (п^4) стоит конь,
которого противники перемещают по очереди. Первый
игрок обращается с ним как с обычным конем, но с двой-
ным ходом (как в двухходовых шахматах), а второй —
как с верблюдом, т. е. перемещает его натри поля вдоль
одной линии и на одно вдоль другой. «-Белые» начинают
и стремятся поставить фигуру в противоположный угол
доски, а «черные» стараются им помешать. Чем закончит-
ся игра?
В этом несколько странном соперничестве коня и
верблюда (а точнее было бы говорить о хамелеоне, пре-
вращающемся то в одну фигуру, то в другую) победите-
лем выходит обычный конь! Если фигура стоит на боль-
132
пюй диагонали, то на любое отступление верблюда с нее
конь возвращается на диагональ, продвигаясь по край-
ней мере на одно поле ближе к цели. В конце концов он
попадает в нужный угол.
Кошки-мышки. У одного игрока только одна фигу-
ра — мышка, а у .другого несколько фигур — кошек.
Мышка и кошки ходят одинаково — на одно поле по
вертикали или горизонтали, т. е. получаются из коня
(а, Ь) при а=0, Ь=1. Если мышка оказалась на .краю
доски, то очередным ходом она спрыгивает с нее и убе-
гает от кошек; если кошка и мышка попадают на одно
поле, то кошка съедает мышку.
Борьба кошек с мышкой происходит на обычной дос-
ке, причем играющие ходят по очереди, и второй пере-
двигает одним ходом сразу всех своих кошек (в любых
направлениях). Начинает мышка, которая старается
спрыгнуть с доски, а кошки хотят ее съесть. Возможны
два варианта игры:
а)	Пусть кошек две, а мышка стоит на внутреннем
поле доски. Можно ли так расположить кошек на краю
доски, чтобы они сумели съесть мышку?
б)	Пусть кошек три, стоят они где угодно, но зато
мышка на первом ходу делает два хода подряд. Сможет
ли мышка убежать от кошек?
Покажем, что в первом случае мышке не сдобровать,
а во втором она благополучно убегает от кошек.
а)	Через поле, на котором стоит мышка, проведем
одну из двух диагоналей и поставим кошек на ее концы.
После каждого хода мышки кошки ходят так, чтобы все
три фигуры снова оказались на одной диагонали, а рас-
стояние между кошками сократилось на одно поле (по
диагонали). Такая стратегия позволяет кошкам в скором
времени съесть мышку.
б)	Рассмотрим две диагонали доски, проходящие че-
рез поле, занятое мышкой. Если поле не крайнее (иначе
мышка сразу спрыгивает с доски), то эти диагонали раз-
бивают доску на четыре части. Поскольку кошек три, то
внутри одной из частей их нет. Проведем перпендикуляр-
ный отрезок (горизонтальный или вертикальный), соеди-
няющий мышку с краем доски внутри этой части. Оче-
видно, если мышка отправится прямо вдоль этого отрез-
ка к краю доски, то кошкам ее не догнать.
133
ГЛАВА 13
МАТЕМАТИКА ТУРНИРОВ
Существуют различные системы для про-
ведения шахматных турниров: кубковая, швейцарская,
круговая, матчевая, шевенингенская, и каждая из них
имеет свои математические особенности.
В турнирах по кубковой или, иначе, олимпийской
системе проигравший сразу выбывает из борьбы, и поэто-
му элемент случайности здесь наиболее высок.
Предположим, что отношение между силами шахма-
тистов, как говорят математики, транзитивно, т. е. если
А играет сильнее 5, а Б в свою очередь сильнее В, то
и А играет сильнее В. В этом случае кубковая система
является вполне объективной — если шахматист одер-
жал победы на всех этапах, включая финал, то он дока-
зал, что сильнее всех в турнире.
В розыгрыше кубка города участвует п шахма-
тистов. Предварительно проходят кубки районов
(в городе р районов с числом участников nt, п2, . . .,
пр), и их победители уже разыгрывают главный ку-
бок. На обоих этапах соревнования участники в
каждом туре разбиваются на пары, играют между
собой одну партию, и проигравший выбывает, а
при ничьей борьбу продолжают черные (если для
кого-то пары не найдется, он сразу попадает в сле-
дующий этап). Сколько всего партий будет сыграно
в розыгрыше кубка города?
Решение этой задачи короче, чем ее условие. После
каждой партии из кубка выбывает один участник, а по-
скольку в конце концов из него выбывают (п—1) шахма-
тист — все, кроме победителя, то в общей сложности
будет сыграна (п—1) партия. Как мы видим, ответ не
зависит ни от числа районов в городе, ни от распределе-
ния шахматистов в них.
Если число участников кубка представляет собой сте-
пень двойки, т. е. /г=2*, то, очевидно, он будет разыгран
за k туров. Так, восемь претендентов на мировую корону
в три этапа определяют имя очередного соперника чем-
пиона мира (п=8=23, fe=3). Командные соревнования
на кубок обычно разыгрывают 16 коллективов, и турнир
проводится в четыре тура (/?= 16=24, fe=4). Автору дан-
ной книги в 1971 году удалось завоевать впервые разыг-
рывавшийся кубок Москвы; в соревновании участвовали
134
64 шахматиста. Для победы пришлось выиграть шесть
матчей (n=64=2e, fe=6).
Предположим теперь, что имеют место неравенства:
2*<n<2*+1. Тогда число туров в кубке равно (й+1)_,
причем победитель сыграет либо (й+1) партию, либо k
(при удачной жеребьевке). В общем случае, если в кубке
играет п шахматистов, то число туров равно ]log2n[
(квадратные скобки означают наименьшее целое число,
большее или равное данному).
Какре число партий достаточно сыграть, чтобы
определить первого и второго призеров кубка (ус-
ловие транзитивности по-прежнему соблюдается)?
Обычно вторым в кубке объявляется шахматист, про-
игравший финальный матч, но на самом деле им может
быть любой участник, поверженный победителем кубка.
Таковых, как мы знаем, не больше ]log2n[, микротурнир
между ними определит истинного второго призера. Для
этого нужно сыграть ]log2n[—1 партий (см. предыдущую
задачу), и, значит, для определения двух победителей
кубкового турнира с участием п шахматистов достаточно
провести (n+]log2n[—2) партий. Аналогично решаются
задачи о наименьшем числе партий для определения
трех и более призеров кубкового турнира.
Так как на практике транзитивность между силами
шахматистов не соблюдается, кубковая система ненадеж-
на и в шахматных соревнованиях используется редко.
Вот два «противоречащих» примера. Чемпион мира Лас-
кер постоянно выигрывал у Чигорина, Чигорин побеж-
дал Пильсбери, а Пильсбери имел перевес в счете с Лас-
кером. Более современный пример: Фишер, до того как
он оставил шахматы, имел большой перевес в счете с
Ларсеном, у Ларсена положительный баланс в партиях
с Геллером, а у Геллера больше побед, чем поражений
во встречах с Фишером.
Преимущество олимпийской системы заключается
в большом числе шахматистов, которые могут одновре-
менно играть в турнире (точнее, начать его). Тем же до-
стоинством обладает и швейцарская система, которая
имеет еще один плюс — проигравший здесь не выбывает.
Эта система обычно применяется в турнирах с числом
участников, большим 20. При этом 10—13 туров, как
правило, хватает, чтобы определить достойных победи-
телей. Напомним, например, что XXXV юбилейный
чемпионат страны (Харьков, 1967 г.) проходил по швей-
135
царской системе; в нем играло 130 шахматистов (в 13 ту-
ров), и чемпионами стали М. Таль и Л. Полугаевский.
По швейцарской системе обычно проводятся первенства
мира среди юношей, открытые, чемпионаты стран. В по-
рядке эксперимента эта система была испробована на
нескольких шахматных Олимпиадах.
Перед началом турнира по швейцарской системе про-
водится жеребьевка. В первом туре встречаются номера
1 и 2, 3 и 4 и т. д., причем нечетные играют белыми.
В последующих турах между собой играют участники,
имеющие одинаковое количество очков. Если в одной
очковой группе число их нечетно, то смешивают соседние
группы. При жеребьевке стремятся к тому, чтобы участ-
ники чередовали цвет фигур или, по крайней мере, игра-
ли примерно одинаковое число партий белыми и чер-
ными.
Самая распространенная и объективная система про-
ведения соревнований — круговая, при которой все
участники встречаются друг с другом. Иногда, чтобы
элемент случайности свести к минимуму, турнир прово-
дят в два или большее число кругов. Порядок встреч по
турам и цвет фигур, которыми играют шахматисты в
круговом турнире, зависит только от номеров участни-
ков (получаемых ими при жеребьевке), и указывается
в специальных таблицах, составленных немецким шах-
матистом Й. Бергером. Несложный математический ана-
лиз этих таблиц позволяет вывести простые правила для
нахождения номера тура, в котором встречаются против-
ники, и цвета их фигур. Укажем эти правила для турнира
с четным 'числом участников п.
Если номера обоих участников отличны от п, то сло-
жим их. Номер тура получается при вычитании из суммы
1, если она не больше п, и вычитании п в противном слу-
чае. Если сумма нечетна, то белыми играет меньший но-
мер, а если четна, то — больший. Например, при десяти
участниках второй номер с пятым играет белыми в 6-м
туре (2+5=7 — нечетное число, меньшее 10; 7—1=6),
а шестой номер с восьмым играет черными в 4-м туре
(6+8=14 — четное число, большее 10; 14—10=4).
Расписание встреч участника с номером п отличается
от остальных. Чтобы узнать, в каком туре он играет с
другим участником, удваивается номер того. Из полу-
ченного числа надо вычесть 1, если оно не больше п, и
вычесть п в противном случае. При этом с участниками от
136
1 до п/2 последний играет черными, а с остальными —
белыми.
Если и нечетно, то добавлением «фиктивного» участ-
ника с номером и+1 мы переходим к разобранному слу-
чаю. При этом встреча с «фиктивным» партнером озна-
чает, что в соответствующем туре шахматист свободен
от игры. При четном и участники первой половины тур-
нирной таблицы играют на одну партию белыми больше
(за счет «белой» партии с последним номером), и поэтому
при жеребьевке шахматисты предпочитают вытягивать
номера от 1 до *п/2.
По круговой системе проводятся не только шахмат-
ные турниры; используют ее и в соревнованиях по дру-
гим видам спорта, например, по футболу. Но такое ма-
тематически строгое расписание игр по турам приме-
няется, пожалуй, только в шахматах (и шашках). Это
объясняется тем, что шахматные соревнования проходят
компактно, в сжатые сроки (конечно, это не касается
турниров по переписке, в которых все партии вообще иг-
раются одновременно и могут продолжаться не один год).
При составлении календаря игр в футбольном чемпиона-
те страны приходится учитывать международные матчи,
считаться с погодой, климатом и т. д.
Всякий закончившийся круговой турнир полностью
характеризуется графом, вершины которого соответст-
вуют участникам турнира, а ребра — встречам между
ними. Такой граф содержит и вершин и ребер и на-
зывается полным. Если партия результативна, то соот-
ветствующему ребру можно приписать стрелку, направ-
ленную от победителя к побежденному. Графы такого
типа (и их обобщения) называются графами турниров,
их исследованию посвящено немало серьезных матема-
тических работ.
О круговых турнирах составлено много интересных
логических задач. Конечно, в их формулировке можно ис-
пользовать различные виды спорта, но предпочтение, как
правило, отдается шахматам. Рассмотрим пять различ-
ных задач на эту тему.
Три шахматиста сыграли несколько партий,
причем каждые двое одинаковое число друг с дру-
гом. После игры возник спор, кто победил? Первый
сказал: «У меня больше выигрышей, чем у каждого
из вас». Второй заявил: «А у меня меньше проигры-
шей, чем у каждого из вас». Когда же подсчитали
137
очки, оказалось, что больше всех набрал третий.
Могло ли так случиться?
Если составить таблицу турнира и записать все ус-
ловия ’ задачи, то получится система линейных нера-
венств, неизвестными в которой будут победы, ничьи и
поражения игроков. Однако вмешательство алгебры не
обязательно. Покажем, как мог закончиться турнир.
Пусть каждые двое сыграли между собой по семь партий:
при этом первый выиграл две партии у второго и три
у третьего, второй две у первого, и третий четыре у пер-
вого. Все остальные партии закончились вничью. Итак,
первый игрок одержал больше других побед — пять;
второй потерпел меньше других поражений — два; тре-
тий же набрал больше всех очков — 7,5.
Всего в турнире было сыграно 55 партий. Два
участника выбыли из него, причем один успел сыг-
рать 10 партий, а другой только одну. Встречались
ли они между собой?
Пусть п — число участников турнира, тогда (п—2)
шахматиста, которые довели турнир до конца, сыграли
между собой (п—2) (п—3)/2 партий. А два интересующих
нас шахматиста провели 10 или 11 встреч — в зависимо-
сти от того, состоялась ли партия между ними. Таким
образом, надо рассмотреть два квадратных уравнения:
(п—2)(/г—3)/2+10=55 и (/г—2)(/г—3)/2+11=55.
При этом нас интересуют лишь натуральные зна-
чения п. Искомое решение (/г=12) имеет лишь первое
уравнение, откуда и следует, что упомянутая партия
состоялась.
В турнире играли п гроссмейстеров и мастеров.
После его окончания оказалось, что каждый участ-
ник половину очков набрал, играя с мастерами.
Доказать, что Уп— целое число.
Пусть а — число мастеров, а b — число гроссмейсте-
ров. Мастера между собой разыграли а (а—1)/2 очков,
а так как это половина всех их очков, то столько же они
набрали и против гроссмейстеров. Аналогично, гросс-
мейстеры, как между собой, так и с мастерами, набрали
b (Ь—1)/2 очков. Из того, что число партий между стар-
шими и младшими по званию равно ab, получаем
а (а—1)/2+& (Ь—1)/2=аЬ, или, после упрощений,
а+Ь=(а—Ь)2. Так как п=а-\-Ь> то У п = У а-\-Ь —
138
= К (fl—b)2=\a—b\— целое число, что и требовалось
доказать.
Доказать, что после окончания турнира всех
его участников можно занумеровать так, чтобы ни
один из них не имел поражения от участника со
следующим номером.
Воспользуемся методом математической индукции.
Для двух участников утверждение очевидно. Предполо-
жим теперь, что оно верно для произвольного турнира
с k участниками. Покажем, что в этом случае в требуемом
порядке можно расположить и (fe+l) участников. Рас-
положим, как требуется, произвольных k из них (по
предположению, это можно сделать) и посмотрим, как
(й+1)-й сыграл с первым. Если он выиграл или сыграл
вничью, то поставим его на первое место, а если проиграл,
то посмотрим, как он сыграл со вторым и т. д. Если мы
в конце концов найдем среди упорядоченных k участни-
ков такого, у которого (£+1)-й выиграл (а предыдущему
проиграл), то поставим (&+1)-го перед ним, в противном
случае поставим его на последнее место. В результате
все (£+1) участники будут расположены в необходимом
порядке.
В турнире участвует п шахматистов. Какой мак-
симальный разрыв в очках может быть между дву-
мя участниками, занявшими соседние места?
Пусть максимальный разрыв в очках имеют участ-
ники, занявшие места s и $+1. Шахматисты, занявшие
первые s мест, сыграли между собой s (s—1)/2 партий и
цабрали столько же очков. Кроме того, они сыграли
s (п—s) партий с занявшими места $+1, $+2, . . ., п и
набрали с ними не больше, чем s (и—s) очков. Таким
образом, количество очков, набранных первыми s участ-
никами, не превосходитs (s—l)/2+s (n—s)=(2n—s—l)s/2.
Поскольку участник с номером s среди первых s шахма-
тистов занял последнее место, то он набрал не более
(2п—s—l)s/2s=(2n—s—1)/2 очков.
Участники с номерами $+1, . . ., п сыграли между
собой (п—s)(n—s—1)/2 партий и набрали столько же
очков. Поскольку участник с номером (s+1) занял пер-
вое место среди последних (п—$) шахматистов, то он
набрал не менее (п—s)(n—s—l)/2(n—s) = (n—s—1)/2
очков.
Итак, максимальный разрыв в очках между участ-
никами $ и $+1 не превосходит (2/г—s—1)/2—(п—s—1)/2=
139
~п/2. Такой разрыв достигается, например, если побе-
дитель обыграл всех противников и набрал п—1 очко,
а остальные участники все партии между собой закончи-
ли вничью и набрали по (п/2—1) очков; (п—1)—(п/2—1) =
=п/2.
Разумеется, в крупных шахматных соревнованиях
такой разрыв в очках маловероятен. Впрочем, Алехин
однажды установил своеобразный рекорд, оторвавшись
от ближайших соперников на 5х/2 очков (Блед, 1931 г.).
Конечно, самой объективной и справедливой формой
шахматных соревнований является матч. И не случайно
вот уже почти 100 лет чемпион мира по шахматам опре-
деляется в результате «кровопролитного» единоборства
в матче.
Среди матчевых систем с математической точки зре-
ния наибольший интерес представляет шевенингенская
система, на которой мы сейчас и
остановимся. В турнире по «шеве-
нингену» встречаются две коман-
ды, и каждый участник одной из
них играет с каждым участником
другой. Таким образом, наряду с
основным матчем удается провести
также личный турнир (и эта систе- ‘
ма, по существу, является матч-
турнирной).
Пусть каждая команда состо-
t'nc. 1 io. rauiiKdrinc	J	-J-,
для шевенингенского ит из п шахматистов. В. этом слу-
турнира.	чае шевенингенский турнир про-
должается ровно п туров. Для п=6
возможное расписание турнира
представлено на рис. ИЗ, причем оно легко обобщается
для любого п. Здесь строки таблицы соответствуют
участникам первой команды, а столбцы — участникам
второй. Номер тура, в котором играют между собой дан-
ные противники, стоит в клетке, лежащей на пересече-
нии соответствующей строки и столбца, а цвет фигур (для
участников первой команды) определяется цветом этой
клетки.
Каждый столбец и каждая строка квадрата, выделен-
ного на рис. 113, содержат все числа от 1 до 6, располо-
женные в том или ином порядке. В общем случае строки
и столбцы квадрата содержат все числа от 1 до п. Такой
квадрат в комбинаторном анализе называется латин-
140
ским квадратом порядка и. (Эйлер, который исследовал
эти квадраты, вместо чисел пользовался латинскими
буквами, чем и объясняется название квадратов.) Ясно,
что всякий латинский квадрат порядка и, клетки кото-
рого окрашены в черно-белый цвет, дает некоторое рас-
писание шевенингенского турнира для двух команд, со-
стоящих из и шахматистов.
В расписании на рис. 113 все шахматисты играют
одинаковое число партий белыми и черными, что само по
себе справедливо. В то же время обе команды в каждом
туре играют все партии одним цветом, а это нельзя при-
знать удачным, так как команда, играющая белыми,
имеет явное преимущество.
Организаторы товарищеского матча СССР — Югосла-
вия, состоявшегося в 1970 г., попытались найти распи-
сание (для мужских команд, из шести человек каждая),
удовлетворяющее сразу трем довольно естественным
условиям:
1)	все участники играют одинаковое число партий
белыми и черными;
2)	в каждом туре участники обеих команд играют
одинаковое число партий белыми и черными;
3)	все участники в каждом туре меняют цвет фигур.
В общем случае задача состоит в нахождении тех зна-
чений и, при которых существует расписание «шевенин-
гена», удовлетворяющее этим трем условиям.
Очевидно, следует рассматривать только четные п,
так как в противном случае нарушаются два первых ус-
ловия.
Если все участники команды в каждом туре играют
одним цветом (как в расписании на рис. 113), то условие
3) выполняется, а условие 2) — нет. Однако условия 2)
и 3) одновременно выполняться не могут. Действительно,
если имеет место условие 2), то найдутся хотя бы два
представителя разных команд, которые уже в первом
туре играют одним цветом. Так как по условию 3) эти
шахматисты в каждом туре должны менять цвет фигур,
то они до конца турнира не встретятся между собой!
Будем считать условие 2) более важным и ради него
откажемся от условия 3) (организаторы упомянутого
матча так и поступили). Теперь надо выяснить, сущест-
вует ли расписание шевенингенского турнира, удовлетво-
ряющее только первым двум условиям. Перед началом
141
матча СССР — Югославия организаторы попытались
найти такое расписание, но у них ничего не вышло.
Предположим, что клетки некоторого латинского'
квадрата порядка п раскрашены в черный и белый цвета
так, что одновременно выполняются следующие два ус-
ловия:
а)	в каждом столбце и в каждой строке квадрата
содержится одинаковое число белых и черных клеток;
б)	половина всех клеток квадрата, в которых записа-
но одно и то же число (любое), окрашена в белый цвет, а
половина —• в черный.
Раскрашенный указанным образом латинский квад-
рат дает расписание «шевенингена», удовлетворяющее
условиям 1) и 2),— для команд, состоящих из п шахма-
тистов. Действительно, из а) непосредственно следует
справедливость условия 1), а из б) — условия 2).
Итак, возникает следующая чисто математическая
задача, эквивалентная нашей задаче о составлении
расписания.
При каких п (четных) существует латинский квадрат
порядка и, клетки которого можно раскрасить в черный и
белый цвета так,
чтобы одновременно
выполнялись условия
а) и б)?
Введем еще одно '
понятие, связанное с
латинскими квадрата-
ми. При наложении
одного такого квадра-
та на другой (оба по-
рядка п) получают-
1	2	3‘	4
4	3	2	1
2	1	4	3
3	4	1	2
а
Рис. 114. Ортогональные латинские
квадраты.
ся п2 пар чисел, стоящих на одинаковых местах — первое
число пары берется из первого квадрата, а второе — из
второго квадрата (пары, отличающиеся порядком чисел,
считаются различными). Два латинских квадрата порядка
п называются ортогональными, если все п2 пар чисел,
возникающих при наложении, отличаются друг от друга.
Например, два латинских квадрата четвертого порядка
на рис. 114 ортогональны, так как при наложении одно-
го из них на другой все /г2=16 пар чисел различны.
Покажем, что если существуют два ортогональных
латинских квадрата порядка п (п четно), то каждый из
142
них можно раскрасить так, чтобы выполнялись условия
а) и б).
Предположим, что указанные квадраты существуют.
Возьмем в этом случае один из них в качестве исходного
и закрасим в черный цвет все его клетки, на которые при
наложении второго квадрата попадают клетки с четными
числами (остальные клетки первого квадрата — белые).
Убедимся, что наш раскрашенный квадрат удовлетворяет
условиям а) и б). Так как в каждой строке и в каждом
столбце произвольного латинского квадрата половина
чисел четна, а половина нечетна (при четном п), то при
указанной раскраске условие а) выполняется. Ввиду ор-
тогональности выбранных
квадратов каждым п оди-
наковым числам исходного
квадрата соответствует по-
ловина четных и половина
нечетных чисел второго
квадрата, т. е. условие б)
1,1	2,2	3,3	4,4
4,2	3.1	2,4	1,3
2,3	1,4	4,1	3,2
3,4	4,3	1,2	2,1
к	1	2	3	4
1	1	Ж	з	S
2		3		
3	2	и	4	1
4	в	4	8	2 *
б
также выполняется.	Рис. 115. Латинские квадраты
В качестве примера рас- и турнирная таблица.
смотрим два ортогональных
латинских квадрата четвертого порядка. При наложе-
нии второго из них на первый и соответствующем рас-
крашивании клеток мы получим расписание шевенинген-
ского турнира для двух команд, состоящих из четырех
шахматистов (рис. 115, а, б).
Итак, задача о шахматном турнире неожиданно при-
вела нас к одному из интереснейших разделов комбина-
торного анализа — теории латинских квадратов! Проб-
лема существования ортогональных латинских квадратов
в общем случае не поддавалась разгадке около 200 лет.
Лишь в 1959 г. было, наконец, доказано, что ортогональ-
ные квадраты существуют для всех п, отличных от 2 и 6.
Теперь мы знаем, что для любой пары команд, состоя-
щих из четного числа шахматистов (но не из двух и шес-
ти!) существует расписание шевенингенского турнира,
удовлетворяющее условиям 1 и 2. Однако в упомянутом
матче СССР — Югославия каждую страну представляло
именно шесть человек, и поэтому наша проблема снова
остается открытой. В самом деле, при п=2 или п=6 мы
не можем утверждать, что расписание имеется, хотя и
нет оснований утверждать обратное (во всяком случае,
из отсутствия ортогональных квадратов это не следует).
143
Простой перебор показывает, что для п=2 нужное
расписание составить невозможно. Что же касается инте-
ресующего нас случая п=6, то здесь ручной перебор
вариантов чрезвычайно велик. Для того, чтобы «закрыть»
проблему, А. Битман прибегнул к помощи ЭВМ. Предва-
рительно из всех латинских квад-
ратов шестого порядка он отобрал
лишь 22 так называемых неизомор-
фных (остальные получаются из
них перестановкой строк и столб-
цов и ничего нового не дают). Ма-
шине предстояло «раскрасить» эти
22 квадрата всевозможными спосо-
бами и выяснить, существуют ли
раскраски, удовлетворяющие усло-
виям а) и б).
В результате в 16 случаях из
22 ЭВМ обнаружила необходимую
раскраску. Таким образом, иско-
	1	2	3	4	5	в
1	И	В	3	*	Ц	6
2	2	3	в		ч	Ж
3		О		1	4	5
4	4	1	а		в	О
5	5			и		2
в	1	6	и	3	2	S
Рис. 116. Идеальное
расписание для шеве-
нингенского турнира.
мое расписание шевенингенского турнира было найде-
но! Одно из них показано на рис. 116. Это расписание
примечательно еще и тем, что никто из шахматистов не
играет более двух партий подряд одним цветом. Посколь-
ку полного чередования цвета, как мы знаем, добить-
ся невозможно, расписание на рис. 116 можно признать
идеальным.
ГЛАВА 14
РЕЙТИНГ ШАХМАТИСТОВ
В те далекие времена, когда во всем мире
в турнирах играло всего несколько десятков мастеров,
сравнивать их силу было совсем нетрудно. Вопрос о том,
кто из двух мастеров играет сильнее, решался просто.
Они часто встречались вместе в турнирах, и если один
регулярно опережал другого, значит, он и был сильнее;
если же впереди оказывался то один, то другой, можно
было предположить, что их сила примерно равна; в особо
спорных случаях между ними устраивался матч.
Сейчас шахматные турниры нередко проходят одно-
временно не только в нескольких странах, но даже в не-
скольких городах одной страны. В одних международных
соревнованиях участвует добрая тысяча шахматистов,
144
многие из которых знают друг о друге лишь понаслышке.
В таких условиях сравнивать силу шахматистов стало
куда труднее. Естественно, возникла идея о математиче-
ском подходе к этой задаче.
Первые попытки построить математическую систему
оценок силы шахматистов относятся к началу века. А в
конце 50-х годов начались практические испытания ряда
систем, основанных на том, что каждому шахматисту
присваивается индивидуальный коэффициент или, иначе,
рейтинг (от английского слова «rating» — оценка),
который меняется от соревнования к соревнованию и за-
висит от показанных им результатов. После многолетнего
обсуждения различных систем, принципиально не отли-
чающихся друг от друга, Международная шахматная
федерация (ФИДЕ) в 1970 году приняла систему коэф-
фициентов, разработанную американским профессором
А. Эло.
Покажем сначала, как ведется расчет коэффициентов
по системе Эло, а затем обсудим ряд ее особенностей. Ес-
ли ваш «старый»-коэффициент (до начала соревнования)
равен /Сст, то новый коэффициент /Сяов (после оконча-
ния соревнования) находится по следующей формуле:
Кно»»Ке1 + 10(ЛГ-ЛГож),
где N — число набранных очков, a N0M — так называе-
мое ожидаемое число очков (как его определяют, показа-
но ниже), которое зависит от вашего коэффициента и
коэффициентов соперников. Если результат совпал с
ожидаемым, то ваш рейтинг после турнира не изменится;
если набрано больше или меньше очков, чем положено,
то он возрастет или упадет. Из формулы видно, что одно-
му очку в турнире соответствует 10 единиц рейтинга;
Итак, чтобы воспользоваться формулой, надо уметь
определять число Nox. Начнем с наиболее простого слу-
чая, когда играется, матч. Предположим, что ваш рейтинг
совпадает с рейтингом партнера. Тогда следует ожидать,
что матч закончится вничью, и вы наберете 50% очков.
Если ваш рейтинг выше (ниже), чем у соперника, то сле-
дует предположить, что вы наберете больше (меньше)
50% очков, причем чем больше разница в коэффициентах,
тем больше для одного и меньше для другого должен быть
процент. Эти соображения и лежат в основе табл. 3,
составленной Эло. Здесь Д/С — разность между большим
и меньшим коэффициентами партнеров, h6 — процент.
6 Е. Я. Гик
145
который «полагается» набрать шахматисту с большим рей-
тингом, a hM — с меньшим (/i6+/iM=100%).
В случае турнира будем считать, что с каждым про-
тивником вы как бы играете матч из одной партии. Тогда
Nom получается при сложении «очков», которые вы долж-
ны набрать в этих микроматчах согласно табл. 3. Напри-
мер, если ваш рейтинг равен 2250, а рейтинги соперни-
ков — 2200, 2250, 2280 и т. д., то с первым из них вы
должны набрать 0,57 очка (57% по табл. 3), со вторым
0,5 очка, о третьим 0,46 очка и т. д. При этом 2V01H=
=0,57+0,5+0,464-. . . Понятно, что рассмотрение не-
скольких матчей из одной партии служит лишь для
подсчета N0K, реально свою сумму вы можете набирать
любым способом, проигрывая одним партнерам и выигры-
вая у других.
Таблица 3
дк			ДК		»и	дк		%
0—3	50	50	122—129	67	33	279—290	84	16
4—10	51	49	130—137	68	32	291—302	85	15
11—17	52	48	138—145	69	31	303—315	86	14
18—25	53	47	146—153	70	30	316—328	87	13
26—32	54	46	154—162	71	29	329—344	88	12
33—39	55	45	163—170	72	28	345—357	89	11
40—46	56	44	171—179	73	27	358—374	90	10
47—53	57	43	180—188	74	26	375—391	91	9
54—61	58	42	189—197	75	25	392—411	92	8
62—68	59	41	198—206	76	24	412—432	93	7
69—76	60	40	207—215	77	23	433—456	94	6
77—83	61	39	216—225	78	22	457—484	95	5
84—91	62	38	226—235	79	21	485—517	96	4
92—98	63	37	236—245	80	20	518—559	97	3
99—106	64	36	246—256	81	19	560—619	98	2
107—113	65	35	257—267	82	18	620—735	99	1
114—121	66	34	268—278	83	17	свыше 735	100	0
Осталось добавить, что в системе Эло числа JV01K, как
для матча, так и для турнира, округляются до полуочка,
и поэтому рассчитываемые рейтинги всегда числа целые
и оканчиваются на 0 или 5.
Приближенный расчет рейтингов для турнира с уча-
стием п шахматистов можно упростить, если предполо-
14G
жить, что вы играете не (п—1) партию с разными участ-
никами, а один матч с «фиктивным» партнером, рейтинг
которого равен среднему арифметическому рейтингов
соперников. При этом Nox находится, как и в случае
матча, по табл. 3. Еще немного жертвуя точностью, можно
упростить и этот расчет. Для этого введем коэффициент
турнира Кт, равный среднему арифметическому рейтин-
гов всех его участников (он также округляется до 0 или
5). Очевидно, коэффициент Кт представляет интерес сам
по себе, так как характеризует силу данного турнира.
Число Nox определяется теперь при помощи табл. 3 в
предположении, что Д/С равно разнице между вашим
Кст и коэффициентом Кт (вычитать надо из большего
числа меньшее). При таком расчете нам нет необходимос-
ти п раз считать рейтинги «фиктивных» партнеров (чтобы
найти К„ов для всех участников), а достаточно один раз
вычислить коэффициент турнира Кт.
Для квалификации международного турнира по сис-
теме Эло необходимо, чтобы, во-первых, не менее 2/3 его
участников имели рейтинг, и, во-вторых, коэффициент
турнира Кт был бы не менее, чем 2250. Если перед нача-
лом турнира у кого-то из участников еще нет рейтинга,
то он условно получает начальный коэффициент /Со=
«=2200.
В качестве примера приведем расчет коэффициентов
Эло для Московского международного турнира 1981 года
(табл. 4). Этот турнир представлял собой одно из круп-
нейших состязаний за всю историю шахмат.
Четырнадцать гроссмейстеров, его участников, рас-
положены в табл. 4 в порядке убывания их рейтингов
Кст- Коэффициент турнира Кт=2605. Проведем расчет
/Сн0В для А. Карпова. Имеем ДК=2690—2605=+85, по
табл. 3 Яб=62%, и после округления получаем N0K—
=9x0,62=8,06^8 очков. Чемпион мира набрал М=9 оч-
ков и, таким образом, Кнов=2690+10х(9—8)=2700.
Аналогично рассчитаны коэффициенты К„ов и для ос-
тальных участников турнира. Кроме его победителя,
свой рейтинг увеличили советские гроссмейстеры
Г. Каспаров, Л. Полугаевский и В. Смыслов, разделив-
шие места со второго по четвертое, а также Ф. Георгиу
и Я. Смейкал. Остальные участники либо сохранили
рейтинг, либо ухудшили его, причем неудачно высту-
пивший Е. Геллер «выскочил» из престижной зоны
2600 единиц.
6*
147
Таблица 4
Участники ।	ст	ДК		N	^нов
А. Карпов	2690	+ 85	8	9	2700
Л. Портиш	2650	+ 45	7,5	7	2645
Г. Каспаров	2625	+ 20	7	7,5	2630
А. Белявский	2620	+ 15	7	6,5	2615
Л. Полугаевский	2620	+ 15	7	7,5	2625
Я. Тимман	2620	+ 15	7	5,5	2605
Е. Геллер	2615	+ 10	6,5	4	2590
У. Андерссон	2610	+ 5	6,5	6	2605
Ф. Георгиу	2605	0	6,5	7	2610
Ю. Балашов	2600	-5	6,5	6,5	2600
Т. Петросян	2585	—20	6	6	2585
Э. Торре	2550	-55	5,5	5,5	2550
В. Смыслов	2545	—60	5,5	7,5	2565
Я. Смейкал	2535	—70	5	5,5	2540
Для расчета рейтингов мы постоянно пользуемся
табл. 3; остановимся несколько подробнее на ее построе-
нии. Внимательно посмотрев на таблицу, мы замечаем,
что от строки к строке h меняется на 1 (в обе стороны)
и при достижении /гб=100 (соответственно Лм=0) ста-
билизируется (мы попадаем в «зону насыщения»).
Рис. 117. График для вычисления рейтингов.
Постараемся графически изобразить зависимость h
от Д/С, причем h будем воспринимать в соответствии с ин-
туитивным смыслом слов «ожидаемый процент очков».
На рис. 117 Д/С равно разности между вашим рейтингом
/Сст и рейтингом противника; знак ее может быть любым.
Если ваш рейтинг совпадает с рейтингом соперника,
то вероятнее всего, что вы наберете в матче с ним 50%
148
очков; поэтому искомая кривая должна проходить через
точку с координатами Д/(=0,- /гб=/гм=50. Естественно
считать кривую симметричной относительно этой точки.
Если ваш рейтинг больше, чем у соперника, то мы
попадаем в зону h6, а если меньше, то в зону Лм. По-
скольку h меняется от 0 до 100, кривая должна асимптоти-
чески стремиться к прямой /1=100 при Д/С -*+оо и к
оси абсцисс при Д/С -* —оо.
Огромная статистика соревнований показывает, что
если из двух шахматистов, играющих матч, один сильнее,
другого, так сказать, на разряд, то он в среднем наби-
рает против него 75% очков. При построении кривой это
обстоятельство Эло учел следующим образом: положив,
что разница между двумя соседними ступенями в шах-
матной иерархии составляет 200 единиц рейтинга, он
провел кривую через точки с координатами Д/С=200,
й6=75 и, соответственно, Д/С=—200, /гм=25.
Итак, вид нашей кривой довольно ясен (рис. 117),
и ее можно использовать для определения значений h6 и
йм при данных значениях Д/С. Однако такой способ на-
хождения h неудобен по нескольким причинам. Во-пер-
вых, сама кривая, несмотря на перечисленные выше
свойства, не определена однозначно; во-вторых, сущест-
вует бесконечно много целых значений Д/С и все их нельзя
затабулировать; наконец, не измерять же всякий раз
величину h линейкой! Поэтому и возникает идея разбить
ось абсцисс на конечное число отрезков (и два бесконеч-
ных полуинтервала) с постоянным значением h на каж-
дом из них и меняющимся на единицу при переходе к со-
седнему отрезку.
В результате вместо гладкой кривой получается «лест-
ница» (на рис. 117 она едва видна). Высота всех ее сту-
пенек одинакова и равна 1, а ширина по мере удаления
от центра увеличивается.
Разумеется, табл. 3, построенная по лестнице, могла
бы выглядеть и несколько иначе (при выборе чуть более
узких или широких отрезков с фиксированным h), однако
принципиального значения это не имеет — лишь бы со-
хранялся общий характер зависимости h от Д/G,
Основываясь на своей системе, Эло в 1963 году рас-
считал коэффициенты всех крупнейших шахматистов ми-
ра со времен Морфи. Для каждого «классика» шахмат он
вычислил средний рейтинг, характеризующий результат
его выступлений на «наилучшем» отрезке длиной в пять
149
Таблица 5
Эм. Ласкер, Х.-Р. Капабланка, М. Ботвинник	2720
М. Таль	2700
П. Морфи (за три года выступлений)	2690
А. Алехин, В. Смыслов	2680
Д. Бронштейн, П. Керес	2670
С. Решевский, Р. Файн	2660
В. Стейниц, И. Болеславский, М. Найдорф	2650
А. Рубинштейн, М. Эйве, 6, Глигорич	2640
С. Флор, А. Котов	2620
3. Тарраш, Г. Мароци, А. Нимцович, Е. Боголюбов	2610
А. Андерсен, Г. Пильсбери, М. Видмар, Г. Шталь- берг, Л. Сабо	2600
лет. К тому времени лидерами в списке Эло (рейтинг 2600
и выше) были 28 шахматистов (табл. 5). За прошедшие
годы список можно было бы пополнить еще десятью-
пятнадцатью гроссмейстерами экстр а-класса, в том числе
четырьмя последними чемпионами мира — Т. Петрося-
ном, Б. Спасским, Р. Фишером и А. Карповым.
В настоящее время коэффициенты Эло лежат в основе
квалификации шахматистов. Все международные тур-
ниры, в зависимости от их коэффициента Кт, делятся на
16 «категорий трудности» со своими процентными норма-
ми международных званий мастера и гроссмейстера
(табл. 6). По правилам ФИДЕ для присвоения междуна-
родного звания соответствующую норму требуется вы-
полнить дважды, достигнув при этом рейтинга 2400 —
для мастера и 2500 — для гроссмейстера. Как мы видим,
Московский международный турнир 1981 года относится
к 15-й категории трудности, и турниров более высокого
ранга не существует. Исключение составляют матчи на
первенство мира и матчи претендентов.
В СССР система квалификации, основанная на коэф-
фициентах Эло, официально применяется уже почти де-
сять лет. При этом числа N0M округляются до 0,1 очка,
и поэтому рейтинги шахматистов могут оканчиваться
любой цифрой. У нас также существует своя шкала тур-
ниров и соответствующие нормативы (мастерский рей-
тинг — 2325).
Чтобы система коэффициентов не тормозила спортив-
ное продвижение талантливых шахматистов, мастерство
которых растет быстро, а рейтинг медленно, в наших со-
150
Таблица 6
Категория трудности	Коэффициент турнира	Процентные нормы	
		мг	мм
1	2251—2275		76
2	2276—2300		73
3	2301—2325		70
4	2326—2350	—	67
5	2351—2375	—	64
6	2376—2400		60
7	2401—2425	76	57
8	2426—2450	73	53
9	2451—2475	70	50
10	2476—2500	67	47
11	2501—2525	64	43
12	2526—2550	60	40
13	2551—2575	57	36
14	2576—2600	53	33
15	2601—2625	50	30
16	2626—2650 .	47	—
ревнованиях коэффициент /<вОВ для участника с рейтин-
гом /<о=2200 подсчитывается по такой формуле:
Кнов = 2Ю0Ч-200дам,
где NM — норма мастера. Если способный кандидат в мас-
тера с первой попытки выполнит норму (Af=WM), то он
увеличит свой рейтинг сразу на целых 100 единиц, а при
ее перевыполнении (примерно на 1,5 очка) низкий на-
чальный коэффициент не помешает ему достичь мастер-
ского рейтинга.
Отметим один забавный парадокс, который возникает
при применении исходной формулы расчета /<вОв. Пред-
ставьте себе, что вы играете матч со своим товарищем из
1000 партий. Вы оба перворазрядники с рейтингом 2000.
Пусть этот марафон окончился вашей победой со счетом
580 : 420. По прогнозу вы должны были набрать 500 оч-
ков, и разница в 80 очков дает вам прибавку к рейтингу
800 единиц. Таким образом, после матча ваш рейтинг
станет равен 2800 — намного больше, чем у самого чем-
пиона мира!
Происхождение парадокса связано с тем, что у нас не
учтено то обстоятельство, что коэффициенты шахматистов
фактически меняются не только в конце соревнования,
151
но и в процессе его. Так, в упомянутом матче из 1000 пар-
тий вы вскоре поведете в счете, что должно привести к
увеличению вашего рейтинга и падению рейтинга против-
ника. Согласно окончательному счету, в среднем вы на-
бираете 58% очков. Это значит, что как только разница
в рейтингах достигнет 60 единиц (2030 против 1070),
рейтинги, ваш и партнера, должны стабилизироваться
(разница в 60 единиц как раз соответствует 58% — см.
табл. 3).
Из сказанного следует, что система Эло исправляется
очень просто — пересчет коэффициентов надо произво-
дить после каждой партии! Однако такой вариант, хотя
и оправдывается математически, вряд ли кого-нибудь
устроит. Итак, не годится расчет рейтингов ни после
большого числа партий, ни после каждой партии. Ис-
тина, как всегда, лежит посередине. Формула для на-
хождения /(нов проста и удобна, и не стоит от нее отка-
зываться, но при ее применении необходимо ограничить-
ся «средним» числом партий. Сам Эло полагает, что если
оно не превосходит 25, то никаких недоразумений про-
изойти не может. А большего числа партий в соревнова-
ниях не бывает.
Как мы видим, система коэффициентов Эло устроена
вполне разумно и практически очень удобна. Лучшее ее
подтверждение — достоверность прогнозов. Поскольку
результат шахматной партии в какой-то мере случаен,
все предсказания носят вероятностный характер и не
всегда оправдываются. Однако статистика показывает,
что расхождения между предсказанными и действитель-
ными результатами не выходят за пределы так называе-
мой «стандартной ошибки».
Использование системы коэффициентов долгое время
вызывало бурные дискуссии, причем высказывались
самые противоречивые точки зрения. Некоторые скептики
до сих пор считают, что в вопросах шахматного твор-
чества, как и вообще в искусстве, цифровой подход не-
уместен. Однако в том и состоит преимущество шахмат
по сравнению с другими видами искусства, где оценки
сплошь и рядом субъективны, что они обладают и объек-
тивным критерием. Можно спорить, убедительна или не-
убедительна победа, но сам ее факт обсуждению не под-
лежит. Конечно, рейтинги шахматистов учитывают лишь
спортивные результаты, но ведь они, как правило, тесно
связашд с творческими достижениями.
152
Отметим еще некоторые достоинства системы коэффи-
циентов Эло. Она дает возможность прогнозировать ре-
зультаты шахматистов в турнирах, устанавливать квали-
фикационные нормативы, создавать равноценные группы
в отборочных соревнованиях (межзональные турниры
комплектуются на основе рейтингов шахматистов). На-
личие рейтингов позволяет следить за ростом молодых
шахматистов, а стремление мастеров увеличить свой ко-
эффициент вынуждает их вести полноценную борьбу
в любой турнирной ситуации.
В настоящее время перед началом крупного турнира
для всех его участников подсчитываются числа 7V0>K, что
позволяет прикинуть наиболее вероятные итоги турнира.
Этот популярный способ прогнозирования можно приме-
нять не только перед началом соревнования, но и перед
каждым его туром. Если сложить очки, набранные участ-
ником в уже прошедших турах, с очками, которые «обе-
щают» ему коэффициенты Эло в оставшихся турах, то
мы получим ожидаемый результат шахматиста с учетом
уже сыгранных им партий (текущий прогноз). Эти про-
гнозы точнее характеризуют положение участников в
данный момент, чем фактически набранные ими очки,
так как учитывают информацию об оставшихся против-
никах.
Любопытно, что анализ результатов 44-го чемпионата
СССР (Москва, 1976 г.), победителем которого стал
А. Карпов, показал, что хотя в первой половине турнира
чемпион мира выступал не совсем удачно, тем не менее
по текущему прогнозу он во всех турах оставался
лидером.
Метод прогнозирования, о котором идет речь, имеет
некоторые технические трудности. Ведь, скажем, при
22 участниках турнира расчет чисел #ож придется про-
вести 21 раз (для каждого тура). Вручную такая работа
потребует нескольких часов вычислений, причем присту-
пить к ней можно только после жеребьевки турнира.
Однако ЭВМ справляется с этой задачей всего за, какую-
то минуту.
Каждые полгода ФИДЕ публикует так называемый
рейтинг-лист с указанием коэффициентов всех действую-
щих шахматистов на данный момент времени. На 1 июля
1982 года в него вошли уже почти 3000 шахматистов.
В табл. 7 указаны гроссмейстеры, имеющие к этому вре-
мени рейтинг 2600 и выше.
153
Таблица 7
А. Карпов	СССР	2700	Л. Псахис	СССР	2615
Г. Каспаров В. Корчной	СССР Швейцария	2675 2635	У. Андерсен Л. Полуга-	Швеция	2610
Р. Хюбнер	ФРГ	2630	евский	СССР	2610
Л. Портиш	Венгрия	2625	М. Таль	СССР	2610
А. Беляв- ский	СССР	2620	Б. Спасский Т. Петросян	СССР СССР	2610 2605
Л. Любоевич	Югославия	2615	В. Горт	Чехослова-	
Э. Мекинг	Бразилия	2615	Я. Тимман	кия Нидерланды	2600 2600
Наивысший рейтинг за всю историю шахмат имел пос-
ле завоевания звания чемпиона мира Р. Фишер — 2780.
Однако, по правилам ФИДЕ, он был исключен из рей-
Тинг-листа как шахматист, не выступающий в соревно-
ваниях три года подряд (после матча со Спасским, со-
стоявшегося в 1972 году, Фишер встречался за шахмат-
ной доской только с ЭВМ). С 1975 года рейтинг-лист
неизменно возглавляет новый чемпион мира А. Карпов.
ГЛАВА 15
ЭВМ И ШАХМАТЫ
Одна из самых популярных тем, связываю-
щих математику и шахматы, это, конечно, шахматная
игра электронно-вычислительных машин (ЭВМ). Ею мы
и закончим нашу книгу. Шахматной игре компьютеров
посвящена обширная литература — научная, популяр-,
ная, философская, фантастическая. Одна библиография
по этому вопросу заняла бы целую книгу. Мы ограничим-
ся лишь кратким рассказом о достижениях электронных
шахматистов.
Разработкой шахматных алгоритмов и программ для
ЭВМ занимаются многие коллективы математиков в раз-
ных странах, создано большое число играющих программ,
уже около пятнадцати лет проводятся шахматные со-
ревнования машин.
Почему математики так много времени уделяют соз-
данию шахматных программ? Разумеется, ими движет не
желание лишить шахматистов их любимой игры, что,
впрочем, и невозможно сделать. Причина в другом,—
шахматы, выражаясь языком кибернетики, служат удоб-
154
ной моделью многих важных и сложных задан, возникаю-
щих на практике. Преимущество шахмат, как модели,
состоит в том, что в них, с одной стороны, легко сформу-
лировать необходимые цели и задачи, а, с другой,— не
так легко' добиться этих целей. Аналогичная картина
наблюдается и в экономике, планировании, управлении
производственными объектами и т. д. Выбор успешного
решения в сложных ситуациях, возникающих на прак-
тике, можно сравнить с выбором хорошего хода в шахмат-
ной партии в условиях ограниченного времени. Возмож-
ности использования ЭВМ в решении задач, возникающих
в экономике и управлении «большими системами»,
изучаются в разделе кибернетики, который часто назы-
вают «искусственный интеллект». К этому же разделу
относятся и работы по созданию шахматных автоматов.
Как известно, ЭВМ хорошо решает задачи, в которых
точно задана последовательность действий (алгоритм),
а основная трудность связана с огромным объемом вы-
числений. Однако реальные задачи управления, как
и шахматную игру, невозможно свести к одним вычисли-
тельным процессам. Во многих случаях,— и на производ-
стве, и за шахматной доской, человек часто принимает
верные решения, полагаясь на свою интуицию или, вы-
ражаясь научно, руководствуясь эвристическими пра-
вилами. Поэтому программирование соответствующих
задач, в том числе шахматной игры, иногда называют
эвристическим. Результаты и выводы, которые получают
математики при разработке шахматных программ, ис-
пользуются гораздо шире. Например, многие методы пе-
ребора вариантов, придуманные специально для шахмат-
ной игры, эффективно применяются для управления про-
изводственными и экономическими объектами. Выбирая
в качестве модели исследования именно шахматы, мате-
матики и специалисты в области компьютеров учитыва-
ли и то важное обстоятельство, что игра пользуется
в мире необычайной популярностью, а привлечь к своей
работе общественное мнение тоже значит не мало...
Шахматная игра практически является бесконечной —
если бы все человечество, со времен Адама и Евы, не от-
ходило от доски, то и в этом случае все партии до сих пор
не были бы сыграны. Однако с математической точки зре-
ния шахматы — игра конечная, поскольку число воз-
можных позиций и партий теоретически можно под-
считать. Найдем, например, верхнюю оценку для числа
155
возможных позиций. Каждое поле доски может быть либо
свободно, либо занято одной из шести различных фигур
белых или черных, т. е. для произвольного поля доски
имеется не более 13 возможностей. Всего на доске 64 поля
и, значит, число расстановок фигур не более, чем 1364.
Одно и то же расположение фигур может дать, строго
говоря, разные позиции — играет роль, чей ход, в кото-
рый раз положение возникло на доске (если в третий,
то одна из сторон может требовать ничью). После умно-
жения на два (ход белых и черных), а затем еще на три
(повторение положений), получаем верхнюю оценку —
2X3X1364 числа возможных позиций на доске. Разу-
меется, здесь учтено много положений, заведомо не
существующих (с числом фигур, большим 32, с пешками
на первой и последней горизонтали и т. д.). Можно раз-
личными способами уточнять оценку, но сейчас нас
интересует лишь сам факт ее существования.
Из конечности числа позиций следует, что каждая
из них предопределена, т. е. результат партии при наи-
лучших действиях белых и черных однозначен — ничья
или одна из сторон выигрывает. (Этот факт обычно
называют теоремой Цермело, по имени математика,
впервые обратившего на него внимание). Идея доказа-
тельства теоремы Цермело заключается в следующем.
Сначала рассматриваются все позиции, в которых на дос-
ке стоит мат, пат или выигрыш уже невозможен (напри-
мер, осталось два одиноких короля). От этих позиций,
называемых «заключительными», всеми возможными спо-
собами отступают на один ход назад, и полученным
позициям приписывают оценки 1, 0, 1/2, в зависимости
от того, в какую заключительную позицию из них можно
попасть. Это движение в обратном направлении продол-
жается до тех пор, пока не будут исчерпаны все позиции
на доске (те, которые не встретятся при такой процедуре,
являются ничейными). В результате не только будут оце-
нены все шахматные позиции, но и для каждой из них
будет указан лучший ход белых или черных. В частности,
мы сможем установить, в чью пользу исходная расстанов-
ка фигур, и выигрывает ли в ней ход 1. е2—е4. К счастью
для шахматистов, эта возможность является лишь теоре-
тической...
Описанная процедура оценки позиций носит название
минимаксной, поскольку на каждом ее шаге выбирается
минимальная или максимальная оценка из тех, что по-
156
лучены на предыдущем шаге. Процедура эта лежит в ос-
нове всех играющих программ, но только при оценке дан-
ной позиции «заключительными» считаются те, которые
получаются из нее через определенное число ходов (глу-
бина перебора).
Основные принципы игры шахматных программ впер-
вые были сформулированы в конце 40-х годов известным
американским кибернетиком К. Шенноном. Они заклю-
чаются в следующем. Для выбора хода в данной позиции
машина перебирает все варианты на заданное число хо-
дов вперед, и заключительные позиции оценивает с по-
мощью так называемой оценочной функции, сопостав-
ляющей каждой позиции определенное число. Теперь, на
основе минимаксной процедуры, находится оценка ана-
лизируемой позиции и лучший ход в ней (ведущий
к позиции с максимальной оценкой).
Оценочная функция состоит из двух компонентов —
материальной и позиционной. Подсчет материальной
составляющей производится на основе шкалы относи-
тельной ценности фигур (можно, например, сложить
силы белых и черных фигур по одной из шкал, указанных
в восьмой главе, и взять разность между полученными
суммами). При нахождении позиционной составляющей
учитывается владение открытыми линиями и центром,
подвижность фигур, наличие сдвоенных пешек, безопас-
ность короля и другие факторы позиции, каждому из ко-
торых приписывается некоторый «вес». Суммируя веса
тех признаков, которыми обладает данная позиция, мы
получаем ее оценку.
Итак, в основе шахматной игры ЭВМ лежит перебор
вариантов на заданную глубину. Возникающие на дан-
ном ходу разветвления обычно называют деревом пере-
бора, корнем которого служит позиция, в которой ищется
ход. Шеннон предложил две возможные схемы перебора.
В первой из них предусмотрен полный перебор вариан-
тов, т. е. рассматриваются всё допустимые ходы; во вто-
рой схеме перебираются лишь те ходы, которые по тем
или иным соображениям признаются разумными. Опреде-
ление разумности ходов представляет собой чрезвычайно
сложную проблему, и действующие ныне программы
в основном используют первую схему Шеннона.
Первые шахматные программы играли очень слабо,
и перед математиками и программистами встал вопрос,
как усилить игру машин. Поскольку в основе игры лежит
157
оценочная функция, то сначала пытались улучшить эту
функцию. Однако опыт показал, что это уточнение «ве-
сов» существенных результатов не дает — важен лишь
сам факт учета важнейших позиционных факторов.
Другой путь заключается в увеличении глубины рас-
чета вариантов. Но при этом катастрофически растет
дерево перебора. Современные ЭВМ в среднем ведут рас-
чет на 3—4 хода (или, иначе, 6—8 полуходов — отдельно
ходов белых и черных), а при дальнейшем увеличении
глубины время, необходимое для выбора хода, увеличи-
вается во столько раз, что ни о какой игре не может быть
и речи (не ждать же ответного хода машины 3 года).
Кроме того, при любой фиксированной глубине расчета
машина может прекратить его как раз там, где он более
всего необходим. Действительно, оценочная функция
учитывает лишь статические факторы позиции, и то об-
стоятельство, что уже следующим ходом противник
может снять с доски ферзя, ее совершенно не волнует...
Основное направление, по которому в последние годы
идут почти все разработчики шахматных программ,
заключается в сокращении перебора вариантов и одно-
временно в улучшении его качества. Дело не в том, чтобы
отказаться от первой схемы Шеннона, по существу, пере-
бор на данную глубину остается полным, но из него ис-
ключаются плохие ходы, приводящие к низкому значе-
нию оценочной функции. Пусть, например, в исследуе-
мой позиции машина на первом же ходу ставит под бой
ферзя. Человек такой ход отбрасывает автоматически,
а компьютер, как и положено, будет рассматривать все
возможные продолжения после «зевка» и в конце концов
убедится, что они никуда не годятся. Задача состоит
в том, чтобы машина сразу отсекала как можно больше
нелепых ходов, экономя массу времени. Один из основ-
ных приемов, реализующих указанную идею, носит
название «метода граней и оценок».
Другой важный прием, который используется в шах-
матных программах, называется форсированным вари-
антом. Он состоит в том, что, дойдя до заключительной
позиции на данной глубине расчета, машина не останав-
ливается, как раньше, а идет дальше, изучая все взятия
и шахи («тихие» ходы она уже не смотрит), исключая
таким образом грубые ошибки.
.В нашей стране первая шахматная программа была
создана в начале 60-х годов и вскоре получила романти-
158
ческое имя «Каисса» — в честь музы шахмат. В разработ-
ке программы и ее усовершенствовании участвовали ма-
тематики: Г. Адельсон-Вельский, В. Арлазаров («тренер»
команды), А. Битман, М. Донской, А. Усков.
Первая в истории международная шахматная встреча
компьютеров состоялась в 1967 году. Советская програм-
ма «Каисса» в телеграфном матче из четырех партий вы-
играла у американской программы со счетом 3:1. Став
достоянием прессы, этот матч дал мощный импульс к
развитию шахматного программирования.
В 1974 году в Стокгольме состоялся первый чемпионат
мира по шахматам среди ЭВМ. Это соревнование факти-
чески подвело итог начальному периоду развития шахмат-
ного программирования и явилось смотром достижений
в этой области. В чемпионате, проводимом по швейцарской
системе в четыре тура, играло 13 компьютеров из восьми
стран. Разумеется, машинам и написанным для них шах-
матным программам не надо было отправляться в далекое
путешествие. Они оставались дома, в своих странах, а в
Стокгольме присутствовали лишь разработчики про-
грамм. Ходы передавались по телефону в координацион-
ный центр.
Организаторами были разработаны правила, учиты-
вающие специфику этого необычного состязания. На-
пример, определенное время отводилось на исправление
неверно введенного хода и на устранение в машине тех-
нических неполадок, которые могли возникнуть в про-
цессе партии. Операторам запрещалось вмешиваться
в игру или менять параметры программы и т. д. Контроль
времени был установлен 2 часа на 40 ходов, независимо
от быстродействия ЭВМ.
Фаворитами считались две программы — американ-
ская «Чесс» и советская «Каисса». Однако во втором туре
«Чесс» неожиданно проигрывает программе «Хаос». За-
тем она выиграла две оставшиеся партии, но догнать «Ка-
иссу», которая победила всех своих соперниц, уже не
смогла.
Окончательные итоги соревнования таковы: «Каис-
са» — 4 очка из четырех; «Чесс», «Хаос» (обе США) и
«Риббит» (Канада) — по 3 очка и т. д. На закрытии пер-
венства «Каиссе» была навечно вручена памятная золотая
медаль, как первой чемпионке мира среди ЭВМ.
Через три года в канадском городе Торонто был про-
веден второй чемпионат мира среди машин. Число участ-
ка
ников возросло до 16. Вырос и общий уровень игры элек-
тронных шахматистов. «Каисса» на этот раз уступила
свое звание и поделила 2—3 места с американской про-
граммой «Дачесс». А новой чемпионкой мира стала про-
грамма «Чесс», выигравшая все четыре партии и опере-
дившая преследователей на очко.
Борьба в турнире началась сенсацией: «Каисса» в
первом туре проиграла «Дачесс» партию, которая еще
несколько дней будоражила - умы шахматистов и про-
граммистов.
«Дачесс» — «Каисса»
Скандинавская партия
1. е4 d5 2. ed Kf6 3. d4 К: d5 4. Kf3 g6
5. Ce2 Cg7 6. c4 Kb6 7. КсЗ 0—0 8. Ce3 Cg4. Последнее
время во всех шахматных программах используются де-
бютные библиотеки. Это позволяет машинам быстро
разыгрывать дебют партии и делает ее более интересной
для человека. В данной встрече обе программы до сих
пор играли по дебютной библиотеке. Теперь начинается
самостоятельная игра.
9. с5 Kd5 10. 0—0 еб 11. ФЬЗ Ь6 12. К: d5 ed 13. Cg5
<Pd7 14. h3 Cf5 15. ФсЗ! Тонкий ход, препятствующий раз-
витию коня Ь8, на 15. . .Кеб последует 16. cb cb 17. СЬ5;
в случае 15. Лас1 ход 15. . .Кеб был бы возможен —
16. cb Ка5.
15. . .Ле8 16. JIfel Се4 17. Kd2 Ф15 18. СеЗ Феб.
Идет конкретная счетная игра, обе программы пока на
высоте.
19. К : е4 de 20. cb cb 21. Лес1 Kd7 22. Cg4 Фd5 23. Феб
Kf6 24. Ce2 Ла08 25. Фа4 Ле7 26. СЬ5 Ф15 27. Лс2 Kd5 28.
Лас1 Cf6 29. ФЬЗ. Черные удачно перегруппировали свои
силы,, их конь занимает отличную позицию в центре,
но что делать дальше? Человек в такой позиции занялся
бы ограничением возможностей противника, играя 29. . .
h5, 30. . .Kpg7 и т. д. Если белые будут держаться пас-
сивно, то возможен план с продвижением g6—g5—g4
и вскрытием линии «Ь». В случае же размена слона Ь5
на коня, осаде подвергнется пешка d4. Но машине пока
еще недоступно построение перспективных и в то же вре-
мя корректных планов.
29.	. .а5? Ход, проигрывающий партию из-за наличия
у белых скрытой угрозы. Чтобы ее обнаружить, требо-
вался расчет на пять ходов.
160
30.	g4! Феб 31. Лев а4. Черные уже заметили, что те-
ряют фигуру в варианте 31. . .JId6 32. Лс8+ Kpg7 33.
g5. Ход 31. . .а4 удлиняет вариант, и машина считает,
что проигрывает только пешку.
32.	Ф : а4! Л d6 33. Л : d6 Ф: d6
34. Фа8+! (рис. 118)
34. . .Ле8?!
Неожиданно* «Каисса» отдает
целую ладью. Комментаторы были
в недоумении и смущенно объяс-
няли зрителям, что шахматные про-
граммы пока еще далеки от совер-
шенства и от них можно ожидать Рис п8 «дачесс1>_
чего угодно. Каково же было всеоб- ‘ «Каисса».
щее изумление, когда «Каисса» объ-
яснила свой «зевок» следующим вариантом: 34. . .Kpg7
35. Ф18-Н! Кр : f8 36. Ch6+ и 37. Лс8+ с неизбежным
матом! Как писал английский шахматный журнал, ни
один «белковый» шахматист, присутствующий на чемпи-
онате, не обнаружил этой эффектной жертвы ферзя.
Неизвестно, увидела бы эту комбинацию «Дачесс», но из
сугубо практических соображений следовало избрать ход
34. . .Kpg7, так как игра без ладьи лишена смысла, а
ход 35. Ф18+ может найти далеко не каждая программа
(и не каждый мастер!). Если белые собрались в ответ на
34. . .Kpg7 выиграть фигуру путем 35. g5, то они сами
проигрывали ввиду 35. . .К : еЗ 36. gf + Ф : f6 37. fe
®g5+ и Ф : Ь5 с решающим перевесом у черных.
35. Ф : е8+ Kpg7 36. g5. Конец партии интереса не
представляет, через несколько ходов черные сдались.
В третьем чемпионате мира, который состоялся в
1980 году в Австрии, участвовали 18 программ из шести
стран. На этот раз первыми на финише с результатом 3-i-
очка из четырех оказались сразу две американские про-
граммы «Белл» и «Хаос». Дополнительная партия, сыг-
ранная между ними прямо в США (в Австрию передавали
только текст партии), принесла победу и звание чемпион-
ки мира программе «Белл».
Обе экс-чемпионки «Чесс» и «Каисса» показали доволь-
но скромный результат, набрав соответственно 2,5 и
2 очка. Успех «Белл» во многом объясняется ее значи-
тельным техническим превосходством над соперницами.
Для игры использовалась специализированная шахмат-
161
ная машина, в которой определение возможных ходов,
передвижение фигур и оценка были реализованы не про-
граммно, а схемно, т. е. представляли собой готовые ма-
шинные команды. Благодаря этому «Белл» успевала рас-
сматривать около 20000 ходов в секунду и вела в середине
партии расчет на 4 хода (8 полуходов).
Приведем дополнительную встречу, завершившую
третий чемпионат мира среди ЭВМ.
«Белл» — «Хаос»
Защита Алехина
1. е4 Kf6 2. е5 Kd5 3. d4 d6 4. Kf3 de 5. К: e5
g6 6. g3 Cf5 7. c4 Kb4 8. Фа4+ K4c6 9. d5 Cc2 10. ФЬ5
Фd(? 11. К : сб К : сб 12. КеЗ Cg7 13. Ф : b7 0—0 14. Ф : c6
ФЬ4 15. Kpd2 Ce4 16. Лgl ЛШ8 17. Ch3 Ch6+ 18. f4 Фа5
19. Ле1 15 20. Феб+ Kpf8 21. ЬЗ Cg7 22. Cb2 Cd4 23. g4
ЛЬ6 24. Фd7 Лd6 25. Фа4 ФЬб 26. СДЗ С: сЗ+ 27. Кр: сЗ
JIdd8 28. Лаб1 Ф12 29. gf Фс2+ 30. Kpd4 gf 31. Феб
Ф12+ 32. Кре5 Kpg8 33. 4gl+ Kph8 34. С: е7 Фg2 35.
Ф16+ Kpg8 36.*С: g2 Л: d5+ 37. Креб h6 38. Ф : Иб
Ле5+ 39. fe Л18 40. Cf3X.
Может ли машина реально конкурировать за шахмат-
ной доской с человеком? Эта проблема ставилась еще на
заре шахматного программирования. Если рассматри-
вать единоборство ЭВМ с человеком в обычной турнир-
ной партии, то здесь успехи машин выглядят пока до-
вольно скромно. Лучшие программы играют примерно
в силу первого разряда. Тем не менее, шахматисты с ин-
тересом и опаской наблюдают, как растет и набирает
мощь шахматная семья компьютеров, как ведет она на-
ступление на позиции человека — шахматиста. Вопрос
только в том, до какого уровня смогут дорасти ЭВМ,
и как скоро они начнут на равных сражаться с масте-
рами.
Известно уже немало шахматных поединков между
ЭВМ и человеком. Здесь, конечно, прежде всего надо
упомянуть матч между программой Гринблата и экс-
чемпионом мира по шахматам среди людей Р. Фишером,
сыгранный несколько лет назад. Эта программа создана
специально для игры с человеком и сторонится себе по-
добных. В то же время Фишер уже десять лет не садится
за доску е людьми. Таким образом, партнеры были до-
162
стойны друг друга! Надо сказать, что Фишер провел
матч в своем лучшем стиле и досрочно выиграл его со
счетом 3 : 0 (планировалось четыре партии).
Машина — Р. Фишер
Сицилианская защита
1. е4 с5 2. Kf3 g6 3. d4 Cg7 4. КсЗ cd 5. К:
d4 Кеб 6. СеЗ Kf6 7. К: сб be 8. е5 Kg8 9. f4 f6 10. ef.
Первый самостоятельный ход белых в этой партии явно
не лучший, теоретйческое продолжение 10. Cd4 сохраня-
ло за ними небольшой перевес.
10.	. .К: f6 11. Сс4. Второй неудачный ход подряд.
11. . ,d5 12. Се2. Машина, видимо, решила, что отсталая
пешка е7 будет компрометировать позицию противника.
12.	. .ЛЬ8 13. ЬЗ Kg4 14. Cd4 е5! После 14. . .КеЗ
белые могли пожертвовать ферзя — 15. С : g7! К : dl
16. С : Ь8 К : сЗ 17. С: сЗ — и получить труднопробивае-
мую позицию. Ход, сделанный Фишером, явно сильнее.
15.	fe 0—0! Задерживая белого короля в центре. 16.
С: g4 ФЬ4+ 17. g3 Ф: g4 18. Ф: g4 С: g4 19. ЛИ.
Упорнее было 19. Kpd2.
19.	. .Л : Н+ 20. Кр: И сб! 21. Cf2 С: е5 22. Cel
ЛТ8+ 23. Kpg2 Л13 24. h3 Л : сЗ 25. С: сЗ С: сЗ 26. Л fl
Cf5, и черные вскоре объявили мат неприятельскому
королю.
Если в серьезной партии машинам пока что далеко
до гроссмейстеров, то в «блице» или в сеансе одновремен-
ной игры, они время от времени берут верх над знамени-
тыми шахматистами. Однажды, например, жертвой ком-
пьютера пал английский гроссмейстер М. Стин. Ему
было отпущено пять минут на партию, машине — пять
секунд на ход.
«Чесс» — М. Стин
Ферзевое фианкетто
1.	еб Ь6 2. d4 СЬ7 3. КсЗ с5 4. de be 5. СеЗ
d6 6. СЬ5+ Kd7 7. Kf3 еб 8. 0—0 аб 9. С: d7+ Ф : d7 10.
ФdЗ Ке7 11. Лadl Л68 12. Фс4 Kg6 13. ЛТе! Се7 14. ФЬЗ
Феб 15. КрЫ 0—0 16. Cg5 Са8 17. С: е7 К: е7 18. а4
ЛЬ8 19. Фа2 ЛЬ4 20. ЬЗ. Гроссмейстер избрал скромное
начало, а машина вела партию бесхитростно, в основном
делая развивающие ходы. Поэтому, хотя положение чер-
163
ных и лучше, решающим образом разница в классе игры
еще не сказалась..Последующая азартная игра черных
является типичной для блицпартии. В серьезной встрече
Стин избрал бы более надежное продолжение.
20.	. Л5 21. Kg5 fe 22. Кс : е4. Соблазн вскрыть боль-
шую диагональ и линию «f» был велик, но использовать
это обстоятельство не удается, а центр черных заметно
ослаблен.
22.	. .Л : f2? Проигрывающий ход; может быть, гросс-
мейстер рассчитывал быстро закончить дело — 23. К : 12
Ф : g2x?
23.	Л : d6 Ф : d6 24. К : d6 Л : g2 25. Kge4 Л§4 26. с4
Kg5 27. h3 Kg3+ 28. Kph2 Л : e4 29. Ф12 h6 30. К : e4
К: e4 31. Ф13, и через несколько ходов черные сда-
лись.
Победой над гроссмейстером может «похвастаться»
и компьютер, которого допустили в сеанс одновременной
игры, проводимый У. Брауном. Если говорить о любите-
лях среднего уровня, то таким шахматистам машина мо-
жет сама дать сеанс. Одно из наиболее впечатляющих ме-
роприятий такого рода состоялось в 1977 году в Париже.
Против «Чесс» выступали десять шахматистов, в основ-
ном видные культурные и общественные деятели.
Сеанс, который стал демонстрацией достижений со-
временной техники, проводился в зале, связанном по-
средством спутника с компьютером, находящимся в США.
Все партии воспроизводились на демонстрационных дос-
ках и на телевизионном экране. Ход борьбы комменти-
ровали французские мастера.
Машина выиграла семь партий, две проиграла и одну
свела вничью. При этом в половине встреч она играла чер-
ными. Если учесть, что шахматная квалификация ее
противников колебалась где-то между первым и третьим
разрядом, то результат следует признать успешным.
После окончания сеанса известный французский ма-
тематик Франсуа Ле Лионнэ отметил, что за последние
10 лет в создании шахматных программ наметился замет-
ный прогресс. Однако он еще недостаточен для того, что-
бы решить главную задачу — раскрыть тайну человече-
ского мышления. «Самое важное и интересное,— сказал
ученый,— это не сама игра, как бы прекрасна и высоко-
интеллектуальна она ни была. Главное — это методы
и алгоритмы, которые необходимы для обеспечения авто-
матизации шахматной игры, так как они могут быть рас-
164
пространены и на другие области человеческой деятель-
ности».
Рассказывая об успехах больших ЭВМ, стоит упомя-
нуть и об их младших собратьях — микрокомпьютерах,
которые сейчас широко распространяются по всему све-
ту, и интерес к ним постоянно растет. Так, на междуна-
родном турнире 1980 года в Бад-Киссингене его органи-
заторы в целях рекламы решили провести сеанс четырех
гроссмейстеров, участников турнира — А. Карпова,
Б. Спасского, Р. Хюбнера и В. Унцикера — против
100 микрокомпьютеров. Собственно, каждый шахматист
боролся против 25 ЭВМ, но для большей солидности
было объявлено, что в бой с гроссмейстерами вступила
сразу сотня машин.
В ходе сеанса гроссмейстеры часто экспериментиро-
вали, интересуясь возможностями машин. Например,
Б. Спасский так много жертвовал, что ему пришлось при-
ложить немало усилий, чтобы не отстать от своих коллег
и добиться стопроцентного результата. А чемпион мира,
ради шутки, выиграл четыре одинаковые партии. Прав-
да, в одной встрече А. Карпов допустил зевок и чуть-
чуть не проиграл. Вот эта почти сенсационная пар-
тия, в которой машина впервые была близка к победе,
встречаясь за доской с чемпионом мира по шахма-
там среди людей!
А. Карпов — «Суперсистем 111»
Английское начало
1. с4 е5 2. КеЗ Кеб 3. g3 Сс5 4. Cg2 Kf6
5. Kf3 0—0 6. 0—0 d6 7. d3 Себ 8. аЗ a5 9. h3 Фе7 10. ЛЫ-
Cf5 11. Cg5 Kph8 12. Kd5 0d8 13. b4 ab 14. ab Ca7 15. Ла1
h6 16. C : 16 gf 17. <Pd2 Kph7 18. Kh4 Себ 19. Ce4+ Kpg7
20. g4 Kd4. Позиционные достижения компьютера не-
велики, и продолжая 21. ЛаЗ, белые, конечно, довели бы
свой перевес до логического конца. Однако чемпион мира
допускает редкий в своей практике зевок.
21. Kph2? КЬЗ 22. ФЬ2 К: al 23. еЗ. Увы, брать коня
нельзя ни ферзем, ни ладьей из-за 23. . .С : f2.
23. . .сб 24. КеЗ d5 25. cd cd 26. Cg2 d4 27. Kb5 ФЬб
28. К : a7 Ф : a7 29. f4 de 30. fe fe 31. Ф : e5+ Kpg8 32.
Kg6 (рис. 119). .
Играя здесь 32. . .ФЬ8!, машина одерживала победу
над чемпионом мира. После почти форсированного 33.
165
Ke7+ Kph7 34. Се4+ f5 35. Ф : Ь8 ЛГ: Ь8 36. gf Cf7
37. f6+ Kph8 38. JIgl Ла2+ 39. Kphl е2 белым пришлось
бы' пожать руку компьютеру.
Что же случилось в партии? Обнаружив, что ладья
находится под боем, машина не пожелала отдавать каче-
ство и убедившись, что 32. . .fg ведет к вечному шаху,
отступила ею в сторону — 32. . ,JIfd8. В результате элек-
тронному шахматисту удалось сохранить огромный мате-
риальный перевес, но дорогой ценой — последовало
33. ФИ8Х. Возможна и другая разгадка поведения ЭВМ,
заключающаяся в том, что в изнурительном поединке
с чемпионом мира у машины в критический момент не
выдержали нервы!
Мы уже рассказали о трех первенствах мира среди
больших ЭВМ. А в 1980 году в Лондоне состоялся первый
Рис. 119. А. Карпов —
«Суперсистем III».
официальный чемпионат мира по
шахматам среди микрокомпьюте-
ров. В турнире, проходившем по
швейцарской системе в 6 туров,
приняли участие 14 машин, пред-
ставляющих шесть стран. Чемпи-
оном мира стал автомат «Сенсори
Вайс» (США), сделавший всего од-
ну ничью при пяти победах.
На открытии третьего чемпиона-
та мира среди ЭВМ в приветствием
выступил президент Международ-
ной шахматной федерации гроссмейстер Ф. Олафссон. Он
отметил большой интерес, который вызывают подобные
соревнования в шахматном мире, и обещал поддержку со
стороны ФИДЕ международной ассоциации шахматного
программирования. Эта ассоциация уже принята в ФИ-
ДЕ, и на одном из его заседаний обсуждался вопрос
о том, чтобы компьютеры не только соревновались между
собой, разыгрывали свой чемпионат мира, но играли и в
официальных турнирах с шахматными мастерами. И не
исключено, что в одной из шахматных Олимпиад примет
участие сборная команда ЭВМ!
Если в обычной шахматной игре машина, как мы ви-
дели, пока еще уступает человеку, то в анализе отдель-
ных окончаний она уже сейчас превосходит его.
Конечно, для исследования шахматных окончаний
используются не игровые программы, о которых шла
речь выше, а программы, написанные специально для
166
анализа эндшпиля и предусматривающие полный пере-
бор вариантов. В результате исследуемые позиции и даже
классы позиций получают вполне однозначную оценку
(выигрыш одной из сторон или ничья), которая уже не
может быть подвергнута сомнению. Шахматный анализ,
проведенный с помощью ЭВМ, является исчерпывающим
и в этом смысле напоминает собой математическую тео-
рему. Но чтобы доказать шахматную «теорему», про-
граммистам приходится преодолевать немало техниче-
ских трудностей, связанных с переработкой большого
объема информации.
... В 1968 году в столице проходил традиционный
матч Москва — Ленинград. При счете 39 1/2 ! 39 1/2
(матч проводился на 40 досках в два круга) оставалась
всего одна незаконченная партия, которая и решала
судьбу матча. Ленинградец, игравший черными, имел
лишнюю пешку, и в случае успеха его команда побежда-
ла. Доигрывание длилось долго,
ленинградцы уже рисковали опоз-
дать на поезд, и партия была отда-
на на присуждение в позиции на
рис. 120.
Партию присуждала авторитет-
ная гроссмейстерская комиссия.
Но вся беда была в том, что окон-
чания «ферзь с коневой пешкой
против ферзя» шахматисты иссле-
дуют много лет, и установить точ-
но, какие из них выиграны, а ка-
кие ничейны, не могут. Что касается данной пози-
ции, то жюри в растерянности признало ее ничейной, и
это вызвало естественное возражение со стороны ленин-
градцев. Дело кончилось тем, что ответный визит сбор-
ной команды Москвы в Ленинград не состоялся, и много-
летняя традиция была нарушена...
Очевидно, если бы ЭВМ разбиралась в подобных окон-
чаниях, то никакого недоразумения не произошло. Для
анализа указанных ферзевых эндшпилей была привле-
чена «Каисса». Машина изучила все позиции с коневой
пешкой на предпоследней горизонтали, и теперь о каж-
дой из них может точно сказать, выигрывает ли в ней
сильнейшая сторона или нет, а если выигрывает, то во
сколько ходов. В партии упомянутого матча пешка, как
мы видели, стояла на шестой горизонтали и, значит, ма-
J67
Рис. 120. Позиция из
матча Москва—Ленин-
град.
шине осталось сделать всего один шаг, чтобы оценить
позицию. Таким образом, есть надежда, что матчи Моск-
ва — Ленинград скоро возобновятся...
Любопытно, что, анализируя ферзевый эндшпиль,
«Каисса» обнаружила две выигранные позиции, в кото-
рых при наилучшей игре обеих сторон размен ферзей
происходит только на 59-м ходу. Одна из этих пози-
ций — ход в ней черных — представлена на рис. 121, а.
Тонкое маневрирование белого короля и ферзя, несмот-
ря на упорную защиту черных, через 53 хода приводит к
Рис. 121. Выигрыш в 59 ходов.
положению на рис. 121, б. Здесь черный ферзь вынужден
занять пассивное положение 54.. .4>g8, и после 55. ФЬ64-
КраЗ 56. ФЬ7 Кра4 57. КреЗ Кра5 58. ФЬ4+ Краб 59.
Фс4+ белые разменивают ферзей и проводят свою пешку.
В десятой главе мы уже говорили о правиле, по кото-
рому партия заканчивается вничью, если в течение 50
ходов ни одна фигура не была взята и ни одна пешка не
сделала хода. К этому правилу в шахматном кодексе
есть толкование, согласно которому в окончаниях «ко-
роль и два коня против короля и пешки» вместо 50 ходов
при определенных расположениях пешки (указываемых
в кодексе) разрешается до 100 ходов.
Позиции, обнаруженные «Каиссой», показывают, что
число ходов следует увеличить и для эндшпиля «король,
ферзь и пешка против короля и ферзя». По существу
это первый случай в истории, когда ЭВМ вмешивается в
шахматный кодекс! (Окончания «король и два коня про-
тив короля и пешки» были исследованы очень давно и
без помощи ЭВМ.)
С данным эндшпилем связан и другой необычный слу-
чай, когда ЭВМ впервые оказала практическую помощь
168
гроссмейстеру. Это произошло в 1975 году на зональном
турнире в Вильнюсе. Партия Григорян — Бронштейн
была отложена в ферзевом окончании с лишней пешкой у
черных. Гроссмейстеру было известно об успехах «Каис-
сы», и он обратился к ней за консультацией. Незадолго
до начала доигрывания Бронштейн получил бандероль
с анализом позиции. Правда, Григорян сыграл неточно
уже в самом начале, и дело обошлось без подсказки «Ка-
йе сы».
Само по себе это событие весьма примечательно, но
возникает естественный вопрос: а правомерно ли шахма-
тисту в официальном соревновании прибегать к услугам
электронного помощника? С одной стороны, в этом нет
ничего предосудительного — разрешается же при домаш-
нем анализе пользоваться помощью тренеров и загляды-
вать в шахматные книги. Однако здесь есть существен-
ная разница — ведь к товарищам или шахматным спра-
вочникам может обратиться любой шахматист, а общение
с машиной доступно далеко не каждому. Немного фанта-
зии, и легко представить себе ситуацию, когда звание
чемпиона мира среди людей будет зависеть от ... быстро-
действия ЭВМ в странах, представляемых участниками
матча!
На практике значительно чаще ферзевых окончаний
встречаются ладейные. Один из наиболее распростра-
ненных и самых сложных видов таких окончаний —
«ладья с пешкой против ладьи». Их также было поручено
Рис. 122. Выигрыш в 60
ходов.
Рис. 123. Куда поставить
белого короля?
исследовать «Каиссе». В результате она научилась
оценивать любую позицию такого типа, независимо от
расположения пешки. При этом машина обнаружила
позиции, которые выигрываются лишь за 60 ходов, одна
169
из них показана на рис. 122 (ход черных). Любопытно,
что сдвинуть пешку с места здесь удается только на 32-м
ходу!
А на рис. 123 мы имеем настоящую головоломку.
Представьте себе, что вы играете белыми, сейчас ход
противника и вам дано право поставить своего короля на
любое поле доски. Какое из них следует выбрать, чтобы
одержать победу? Удивительно, но такое поле всего одно:
белые выигрывают только при короле на е8! Любопытно,
что один из крупнейших специалистов в области эндшпи-
ля гроссмейстер Ю. Авербах, поиграв несколько часов
с «Каиссой» в «ладейные окончания», признал ее полное
превосходство:
Из четырехфигурных окончаний интереснее других —
«ладья против коня». На его исследование «Каисса»
затратила всего 15 минут! В рекордной позиции (рис. 124,
Рис» 124. Выигрыш в
27 ходов.
Рис. 125. Выигрыш в 18
ходов.
ход черных) при точной защите конь ловится на 27-м
ходу. Приведем основной вариант решения: 1. . .Ке2+
2. Kpd2 Kd4 3. КреЗ КЬ5+ 4. Крс4 Kd6+ 5. Крс5 КЬ7+
6. Kpb6 Kd6 7. Л14! КрЬЗ 8. Крс5 КЬ7+ 9. Креб Kd8+
10. КрЬ5 Кеб 11. Л134- Крс2 12. Крс4 Kpd2 13. Л15 Крс2
14. Л12+ Kpdl 15. Kpd3 Кс5+ 16. Kpd4 Kb3+ 17. КреЗ
Kpel 18. ЛЬ2! Кс5 19. Kpd4 Кеб+ 20. КреЗ Kpdl 21. ЛЬб
Kg5 22. Лсб! Kf7 23. Лс7 Ке5 24. Кре4! Kg4 25. flg7l
Kf6+ 26. Кре5 Kh5 27. Лg5, и конь пойман.
Эндшпиль «ладья против коня» был изучен, незави-
симо друг от друга, «Каиссой» и одной американской
программой. Интересно, что рекордные позиции, найден-
ные каждой из программ, совпали почти полностью. Толь-
ко на приведенном рисунке американская ЭВМ постави-
ла коня на поле е2 (вместо gl), что сокращает решение
на полхода,
170
Более простым для шахматиста является эндшпиЛЪ
«ладья против слона». В этом окончании практически
отсутствуют положения, вызывающие сомнение в их
оценке. Следующий рекорд установлен программой, раз-
работанной математиками из ФРГ (рис. 125). При своем
ходе белые выигрывают на 18-м ходу.
1. Кра5! КрЬ7 2. ЛЬЗ+ Кра7 3. Л43! Се2 4. ЛГ7+
КрЬ8 5. КрЬб Крс8 6. Крсб Kpd8 7. Kpd6 Крс8 8. Лс7+
КрЬ8 9. Крсб Сс4 10. КрЬб СЬЗ 11. ЛсЗ Са2 12. Лс2 СЬЗ
13. ЛЬ2 Сев 14. Ле2 Cd7 15. Л12 Сев 16. Л18+ Сс8 17. ЛЬ8
Кра8 18. Л : с8Х.
Если в окончании «ладья против коня» «Каисса» на
полхода «обыграла» зарубежную конкурентку, то в дан-
ном окончании, наоборот, полхода уступила другой про-
грамме. Эта небольшая разница в рекордах, видимо,
объясняется тем, что «Каисса» выносила окончательный
приговор позициям с ходом черных, а ее «соперницы»—
позициям с ходом белых.
Рассмотренные окончания интересны тем, что в них
один неточный ход может сразу изменить оценку позиции.
Например, ход 2. Крс2 вместо 2. Kpd2 в окончании
«ладья против коня» уже упускает победу. Исследуя
позиции, в которых выигрыш очевиден, машина всегда
интересуется вопросом, как долго может продлить со-
противление обреченная сторона. Доказано, что одино-
кого короля ферзь матует за 10 ходов, а ладья за 16.
При точной игре обеих сторон ферзь справляется с ладь-
ей за 31 ход. Разумеется, эти цифры дают нам позиции,
в которых фигуры расположены самым неудачным обра-
зом для сильнейшей стороны.
На рис. 126 приведена рекорд-
ная позиция, в которой белые (их
король под шахом) забирают ладью
только на 31-м ходу. Вот как это
происходит: 1. КрЬ7 ЛЬ4+ 2. Крсб
Лс4+ 3. КрЬб ЛЬ4+ 4. Кра5 Ле4 5.
*d6 Л84 6. Ф16 Kpd3 7. КрЬ5 КреЗ
8. Крс5 ЛТ4 9. Фа! Л18. Ладья иног-
да далеко удаляется от своего ко-
роля, но так, чтобы не попасть под рис. 12б. Выигрыш в
двойной удар. Этот метод защиты,	31 ход.
найденный ЭВМ, усложняет зада-
чу белых. 10. <£d4-|- Кре2 11. Фй4+ КреЗ 12. Фе64-
Kpf3 13. Kpd4 Лгё84- 14. КрсЗ Л18 15. Фсб+ Kpg4
171
16. Фо64- Kpf3 17. Ф§5. Ферзь, с одной стороны,
стремится ограничить подвижность черных фигур, а с
другой — прикрыть тыл, обеспечивая приближение
собственного короля. 17. . .Jlf4 18. КраЗЛа4 19. Фс?5+
Kpf2 20. Фс5+ Kpg3.21. КреЗ Л§4 22. ФИ5 Ла4 23.
Фе5+ КрЬЗ 24. Фе6+ Kph4. 25. Фе7+ Kpg3 26. Ф66+
Kph4 27. Kpf3 Kph5 28. Ф05+ Kph4 29. Ф<18+ Kph5
30. Фе8+ Kpg5 31. Ф : a4. При любых других расстанов-
ках фигур белые выигрывают ладьк) (или дают мат)
быстрее.
Каковы дальнейшие, перспективы ЭВМ в анализе
шахматных окончаний? Во-первых, ждет своего завер-
шения работа, связанная с полным анализом оконча-
ний «ферзь с пешкой против ферзя» (при любом по-
ложении пешки). При этом не исключено, что будут
найдены позиции, в которых сильнейшей стороне для
достижения выигрыша требуется более 100 ходов. Во-
вторых, очень интересным по результатам представляет-
ся анализ эндшпиля «ладья со слоном против ладьи».
Традиционно считается, что большинство окончаний та-
кого типа ничейны. Однако точный анализ позиций зат-
руднен из-за большого числа вариантов и отсутствия на-
дежных критериев для оценки возникающих положений.
И не исключено, что устоявшееся мнение придется из-
менить...
С учетом ресурсов современных компьютеров, анализ
пятифигурных эндшпилей (считая королей), по-видимому,
находится на пределе их возможностей. Однако вполне
вероятно, что следующему поколению ЭВМ будет уже
доступен анализ шестифигурных окончаний.
В книге было приведено несколько головоломок, с
которыми легко справилась ЭВМ. А каковы успехи ма-
шин в области шахматной композиции? Конечно, в реше-
нии задач с небольшим числом ходов человеку трудно
соперничать с компьютером, который быстро перебирает
все варианты. Популярная трехходовка на рис. 127 яв-
ляется одной из первых задач, решенных машиной: 1. е8С!
Кр: d6 2. с8Л! Креб 3. ЛсбХ или 1. . .Кр: f6 2. g8Л!
Креб 3. Лg6x.
В соревнованиях по шахматной композиции предло-
женные проблемистами произведения публикуются в
печати, тщательно анализируются, и лишь затем подво-
дятся окончательные итоги. При этом в задачах нередко
обнаруживают ошибки, неточности, побочные решения
172
(дуэли) и т. д. К проверке задач вполне можно привлечь
машину. Одна из программ для такой проверки была сос-
тавлена голландцем П. Виерайном. Машина прорешала
все задачи из «Альбома ФИДЕ 1968—1970», содержащего
лучшие в мире композиции за указанные годы. На реше-
ние двухходовки машина тратила не больше четырех
секунд, трехходовки — не больше двух с половиной ми-
нут, четырехходовки — не больше 12 минут, на пятихо-
довку в среднем уходило чуть больше часа. В результате
было обнаружено около десяти, так сказать, неполно-
ценных задач.
Рис. 127. Э. Кригер.
Мат в 3 хода.
Рис. 128. Г. Надареи-
швили. Выигрыш.
Очевидно, этюды ЭВМ решает хуже, так как в них
расчет не ограничен числом ходов. Впрочем, как сообща-
ет М. Ботвинник, его программа «Пионер», которая в
настоящие шахматы пока не играет, решила довольно
сложный этюд (см. рис. 128): 1. g6 Kpf6 2. g7 Ch7 3. e4!
(глубокий смысл этого хода, вскрывающего диагональ
cl—h6, обнаружится в самом конце решения) 3.. .Kf3
4. е5+ К: е5 5. Кр: h7 Kf3 6. g8Ф Kg5+ 7. Ф : g5+
Кр: g5 8. h6 c4 9. Kpg7 c3 10. h7 c2 11. Ь8Ф С1Ф 12. ФИбЬ
и 13. Ф : cl.
Игровая программа также может решить этюд, если
игра в нем носит форсированный характер. Так, «Каис-
се» потребовалось всего две минуты, чтобы заматовать
черного короля в этюде, приведенном на рис. 129. Собы-
тия протекают стремительно: 1. g4-H Kph4 2. Ch6! Ф:
h6 3. Ф112+ Kpg5 4. Ф<12+ Kf4 5. Ф68Х.
Что касается составления машинами задач и этюдов,
то этому вопросу пока уделялось мало внимания. Зада-
ча на рис. 130 примечательна тем, что является совмест-
ным плодом шахматного композитора и компьютера.
Очевидно, белые могут заматовать неприятельского коро-
173
Рис. 129. С. Каминер,
М. Ботвинник. Выигрыш.
Рис. 130. X. Мертес,
ЭВМ. Кооперативный мат
в 7 ходов.
ля только в том случае, если черные подыгрывают им!
1. Креб (в кооперативных задачах обычно начинают чер-
ные) Kpd3 2. Kpd5 КреЗ 3. Крс4 Kpd2 4. КрЬЗ Kd4+ 5.
Кра2 КрсЗ 6. Kpal КрЬЗ 7. КЫ Кс2х.
Нет сомнений, что в будущем ЭВМ ждет немало новых
успехов за шахматной доской.
ЛИТЕРАТУРА
Адельсон-Вельский Г,, Арлазаров В., Донской М. Программиро-
вание игр.— М.: Наука, 1978.
Гарднер М, Математические головоломки и развлечения,—Мл
Мир, 1971.
Гарднер М. Математические досуги.— М.: Мир, 1972,
Гарднер М. Математические новеллы.— Мл Мир, 1974.
Гик Е. Д, Математика на шахматной доске.— Мл Наука, 1976.
Голомб С, Полимино.— Мл Мир, 1974.
Дьюдени Генри Э. Кентерберийские головоломки.— Мл Мир,
1979.
Карпов A. Efi Гик Е. Я, Шахматный калейдоскоп.— Мл Нау-
ка, 1981.
Окунев Л. Я- Комбинаторные задачи на шахматной доске.—
М. —Лл ОНТИ, 1935.
ЯгломА. M,f Ямом И, М, Неэлементарные задачи в элементар*
ном изложении,—Мл Гостехиздат, 1954*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	3
Глава	1. МАТЕМАТИКА ШАХМАТНОЙ ДОСКИ	5
Глава	2,	КОНЬ-ХАМЕЛЕОН	20
Глава	3.	ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ ЛАДЬЯ	33
Глава	4.	ФЕРЗЬБОРАТЫРЬ	43
Глава	5.	НЕТОРОПЛИВЫЙ КОРОЛЬ	56
Глава	6, СТРЕНОЖЕННЫЙ СЛОН	63
Глава	7,	НЕЗАВИСИМОСТЬ И ДОМИНИРОВАНИЕ 70
Глава	8. СИЛА ФИГУР	80
Глава	9.	ЗАДАЧИ О ПЕРЕСТАНОВКАХ	87
Глава-	10.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕКОРДЫ	96
Глава	11.	ИГРЫ НА НЕОБЫЧНЫХ ДОСКАХ	109
Глава	12. СКАЗОЧНЫЕ ШАХМАТЫ	121
Глава	13,	МАТЕМАТИКА ТУРНИРОВ	134
Глава	14.	РЕЙТИНГ ШАХМАТИСТОВ	144
Глава	15, ЭВМ И ШАХМАТЫ	154
Литература	174
Евгений Яковлевич Гик
ШАХМАТЫ И МАТЕМАТИКА
(Серия; Библиотечка «Квант»)
Редактор М. Л, Смолянский
Техн, редактор Е. В. Морозова
Корректор Е. Я. Строева
И Б № 12347
Сдано в набор 09.09.82. Подписано к печати 17.01.83. Т-02914.
Формат 84X108732. Бумага тип. № 3. Литературная гарнитура. Высокая
печать. Условн. печ. л. 9,24. Уч.-изд. л. 9,36. Тираж 300 000 экз.
(1-й завод 1—150 000 экз.). Заказ № 874. Цена 30 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградском производственно-техническом объединении «Пе-
чатный Двор» им. А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государствен-
ном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торгов-
ли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский просп., 15, с матриц ордена Ок-
тябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первой Образ-
цовой типографии имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Госу-
дарственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28 ,
Цена 30 коп.
БИБЛИОТЕЧКА «КВАНТ»
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ:
Вып. 1. М. П. Бронштейн. Атомы и электроны.
Вып. 2. М. Фарадей. История свечи.
Вып. 3. О. Оре. Приглашение в теорию чисел.
Вып. 4. Опыты в домашней лаборатории.
Вып. 5. И. Ш. Слободецкий, Л. Г. Асламазов. Задачи по
физике.
Вып. 6. Л. П. Мочалов. Головоломки.
Вып. 7. П. С. Александров. Введение в теорию групп.
Вып. 8. Г. Штейнгауз. Математический калейдоскоп.
Вып. 9. Замечательные ученые.
Вып. 10. В. М. Глушков, В. Я. Валах. Что такое ОГАС?
Вып. 11. Г. И. Копылов. Всего лишь кинематика.
Вып. 12. Я. А. Смородинский. Температура.
Вып. 13. А. Е. Карпов, Е. Я. Гик. Шахматный калейдоскоп.
Вып. 14. С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках.
Вып. 15. А. А. Боровой. Как регистрируют частицы.
Вып. 16. М. И. Каганов, В. М. Цукерник. Природа магнетизма.
Вып. 17. И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии [планиметрия].
Вып. 18. Л. В. Тарасов, А. Н. Тарасова. Беседы о преломле-
нии света.
Вып. 19. А. Л. Эфрос. Физика и геометрия беспорядка.
Вып. 20. С. А. Пикин, Л. М. Блинов. Жидкие кристаллы.
Вып. 21. В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович. Наглядная топо-
логия.
Вып. 22. М. И. Башмаков, Б. М. Беккер, В. М. Гольховой. Зада-
чи по математике [алгебра и анализ].
Вып. 23. А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Прохоров.
Введение в теорию вероятностей.
Вып. 24. Е. Я. Гик. Шахматы и математика.