БИБЛИОТЕЧКА-КВАНТ-
ВЫПУСК 22
М.И. БАШМАКОВ
Б.М. БЕККЕР
В. М. ГОЛЬХОВОЙ
ЗАДАЧ И
ПО МАТЕМАТИКЕ
АЛГЕБРА И АНАЛИЗ
БИБЛИОТЕЧКА’КВАНТ*
выпуск 22
М.И. БАШМАКОВ
Б. М. БЕККЕР
В. М. ГОЛЬХОВОЙ
ЗАДАЧ И
ПО МАТЕМАТИКЕ
АЛГЕБРА И АНАЛИЗ
Под редакцией
Д.К. ФАДДЕЕВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
Scan AAW
22.10
Б 33
УДК 512
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Академик И. К. Кикоин (председатель), академик А. П. Кол-
могоров (заместитель председателя), доктор физ.-мат. наук
Л. Г< Асламазов (ученый секретарь), член-корреспондент АН СССР
Д. А. Абрикосов, академик Б. К. Вайнштейн, заслуженный
учитель РСФСР Б. В. Воздвиженский, академик |в. М. Глушков)?
академик П. Л. Капица, профессор С. П. Капица, академик
С. П. Новиков, академик 10. А. О си пьян, академик АПН СССР
В. Г. Разумовский, академик Р. 3. Сагдеев, кандидат хим. наук
М. Л. Смол янский, профессор Я. А. Смородинский, академик
С. Л. Соболев, член-корреспондент АН СССР Д. К, Фаддеев, член-
корреспондент АН СССР И. С, Шкловский.
Башмаков М. И., ГсккерБ. М., ГольховойВ. М.
БЗЗ Задачи по матехматике. Алгебра и анализ
/Под ред Д. К. Фаддеева.— М.: Наука, Главная
редакция физико-математической литературы,
1982, 192 с.— (Библиотечка «Квант». Вып.
22).— 35 коп.
В книге собраны задачи, представляющие основной круг идей
школьного курса алгебры и начал математического анализа; спе-
циальные разделы посвящены комбинаторике и комплексным чис-
лам.
Особенностью книги является группировка задач в серии:
в каждой серий задачи связаны общей идеей решения и располо-
жены в порядке возрастания трудности. Это расположение материа-
ла, а также указания к каждой серии, составляющие вторую часть
книги, и вводные замечания к отдельным главам помогут читателю
в самостоятельной работе и приобретении навыков математического
мышления.
Для школьников, преподавателей, лиц, занимающихся самооб-
разованием, студентов педагогических вузов,
„ 1702030000—160 „ „	ББК 22.10
Б ~053(02)-82	187'82	512
„ 1702030000—160 .......
Б 053 (02)-82	187-82
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1982
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора Предисловие Глава 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНК- ЦИИ § 1.	Линейные функции § 2.	Кусочно-л инейные функции § 3.	Дробно-линейные функций	5 6 9 14 14 15 17
Глава 3. КВАДРАТНЫЕ ФУНКЦИИ § 1.	Параболы и окружности § 2.	Исследование квадратной функции § 3.	Среднее арифметическое и среднее геометрическое § 4.	Рациональные уравнения и неравенства § 5.	Иррациональные уравнения и неравенства	18 18 21 24 26 30
Глава 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ § 1.	Определение тригонометрических функций § 2.	Теоремы сложения § 3.	Обратные тригонометрические функции § 4.	Тригонометрические уравнения и неравенства § 5.	Исследование тригонометрических функций	31 31 36 40 42 44
Глава 5. ПРОИЗВОДНАЯ § 1.	Вычисление производных § 2.	Касательная § 3.	Монотонность. Экстремумы	45 45 47 49
Глава 6. ИНТЕГРАЛ § 1. Вычисление интегралов § 2. Приложения интеграла Глава 7. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕ- СКИЕ ФУНКЦИИ § 1. Логарифмы } 2. Показательные и логарифмические уравнения и не- равенства 1 3. Натуральный логарифм } 4. Простейшие дифференциальные уравнения 1*	55 55 60 64 64 65 67 70 3
Глава 8. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	71
§ 1.	Математическая индукция	71
§ 2.	Рекуррентные соотношения	74
§ 3.	Суммирование	78
Глава 9. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕ-
РЫВНОСТЬ	80
§ 1.	Числовые множества	80
§ 2.	Числовые функции	84
§ 3.	Предел последовательности	89
| 4. Предел функции	94
§ 5.	Свойства непрерывных	функций	96
Глава 10. КОМБИНАТОРИКА	98
§ 1.	Комбинаторные рассуждения	98
§ 2.	Перебор вариантов	105
§ 3.	Биномиальные коэффициенты	ИО
Глава И. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА	114
§ 1.	Действия над комплексными числами	И4
§ 2.	Комплексная плоскость	116
§ 3.	Корни многочленов	120
Указания и решения	123
Ответы	175
Дополнительные задачи	188
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Занятия математикой — это прежде всего
решение задач. Задачи могут быть разными — от простых
вычислений по формулам, занимающих считанные минуты,
до получения новых качественных результатов, требую-
щих многочасовых усилий, а ийогда длящихся месяцы
и годы. Какую бы задачу Вы ни решали, в конце Вас ждет
счастливая минута — радостное чувство успеха, укрепле-
ние веры в свои силы.
Предлагаемый Вашему вниманию задачник — вдум-
чивый путеводитель по огромному морю школьных задач
по алгебре и началам анализа. Задачи собраны в циклы,
которые позволяют, начав с легких упражнений, прийти
к трудным-новым теоремам.
В задачнике Вы найдете краткие теоретические сведе-
ния, определения и формулы, достаточные, чтобы начать
решать задачи. Желаю Вам больших успехов в занятиях
замечательной наукой — математикой.
Д. Кг, Фаддеев
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга — задачник, охватывающий ос-
новные темы школьного курса алгебры и анализа: числа,
функции, различные операции над ними. Среди собранных
здесь задач есть традиционные упражнения на непосред-
ственное применение изученных в школьном курсе правил
и теорем, но много и таких, которые могут значительно
расширить математический кругозор читателя — школь-
ника; это задачи, в которых нужно творчески осмыслить
основные вопросы школьного курса, установить связи
между различными темами, самостоятельно изучить но-
вые понятия. Цель книги — пополнить запас таких задач
и представить в них наиболее существенные идеи и методы,
которыми пронизан школьный курс математики (в части,
условно относящейся к алгебре и анализу). Этих идей
на самом деле не так уж много, и активное их осознание
поможет читателю не только ориентироваться в разнооб-
разных школьных и конкурсных задачах, но и составить
более цельное впечатление о содержании и возможных
применениях математического анализа. Две последние
главы посвящены комбинаторике и комплексным числам.
Эти важные темы не входят в действующую школьную
программу и у читателя не предполагается наличия ка-
ких-либо предварительных знаний по этим темам.
Однако настоящая книга отнюдь не представляет со-
бой простого собрания задач. Главное заключается в рас-
положении материала: оно должно побуждать читателя
к самостоятельной работе и прививать ему навыки мате-
матического мышления. Авторы надеются достичь этого
благодаря объединению задач в циклы, которые начинают-
ся с конкретных примеров, простых вопросов и постепен-
но подводят к более общим и трудным. При этом, как пра-
вило, упражнения на один и тот же прием не дублиру-
ются — каждое содержит какой-то новый элемент^ так что
6
решать их в каждом цикле полезно подряд. Задачи имеют
двойную нумерацию (например: 3.14 означает 14.ю за-
дачу 3-й главы; она, в свою очередь, делится на пять
пунктов 1) — 5); некоторые такие задачи-циклы имеют
маленькие подзаголовки, называющие тему этого цикла
(например: 3.15 — теорема Виета, 3.16 — расположение
корней квадратного трехчлена).
Перед текстом отдельных задач, а также в начале пара-
графов помещен небольшой теоретический вводный текст,
где сообщаются необходимые сведения—формулы, опреде-
ления новых понятий и т. п., так что задачником можно
пользоваться независимо от того или иного учебного по-
собия.
В конце' книги почти к каждому циклу задач даны
краткие указания, которыми мы советуем постоянно поль-
зоваться, особенно после попыток самостоятельно решить
задачу и в тех случаях, когда возникли затруднения из-за
каких-либо новых, непривычных понятий или постановок
вопросов.
Как обычно, наиболее трудные задачи обозначены звез-
дочкой. Ко всем таким задачам даны решения или указа-
ния.
Несколько интересных и трудных задач, не связан-
ных непосредственно с материалом той или иной главы
задачника, выделейы в самостоятельный раздел под наз-
ванием «Дополнительные задачи». Ко всем этим задачам
даны подробные решения.
При отборе задач авторы использовали материалы,
опубликованные в разные годы в журнале «Квант», за-
дачи международных, всесоюзных и ленинградских мате-
матических олимпиад, задачи конкурсных экзаменов ве-
дущих московских и ленинградских вузов. Ряд задач со-
ставлен специально для этой книги.
Авторы надеются, что учителя, руководители кружков
оценят новую постановку вопросов в традиционных си-
туациях.
Книга предназначена прежде всего для самостоятель-
ной работы и рассчитана на учеников старших классов
школы, интересующихся математикой, но авторы надеют-
ся, что она будет полезной также преподавателям средней
Школы, руководителям математических кружков и сту-
дентам.
Многие циклы задач могут служить основой для заня-
тия школьного кружка.
7
Приносим глубокую благодарность педагогам и мате-
матикам, работавшим в различное время в ФМШ при
ЛГУ, опыт которых отражен в этой кнйге. Особую при-
знательность авторы приносят Ю. И. Ионину, совместная
работа с которым в течение многих лет определила замы-
сел и исполнение э!ой книги. Авторы благодарны Н. Б. Ва-
сильеву, Л. Д. Курляндчику, А. Е. Кучме, А. И. Плот-
кину и С. В» Фомину за помощь и полезные советы.
Авторы
Глава 1
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
1.1. Десятичная запись рационального чис-
ла. Построение десятичной записи произвольного веще-
ственного числа легко сводится к построению десятичной
записи чисел отрезка [0; 1]. Пусть а — число из отрезка
[0; 1]. Разобьем этот отрезок на десять равных частей,
занумеруем их последовательно цифрами 0, 1, 2, . . ., 9
и обозначим через сх номер отрезка, содержащего число а.
Разобьем отрезок C1 др ] (это и есть отрезок с но-
мером сх) на десять равных частей, занумеруем их после-
довательно Цифрами 0, 1, 2,. .	9 и обозначим через $2
номер отрезка, содержащего а, и так далее. Бесконечная
десятичная дробь 0, с2 • • • и является десятичной за-
писью числа а.
1.	Докажите, что рациональное числр, которое можно
т
16“
представить в виде-
(тп, п — целые), имеет две десятич-
ные записи. Как эти записи связаны с десятичной записью
числа тп? Докажите, что рациональные числа, не предста-
т
16““*
вимые в виде
имеют одну десятичную запись.
2.	Докажите, что первая цифра десятичной записи
несократимой правильной дроби p/qf где q отлично от 2, 5f
40f равна целой части числа
3.	Правильная дробь p/q не представима в виде ,
г — остаток от деления Юр на q. Докажите, что если
О, ... — десятичная запись числа р/g, то 0, с2с3с4...—
десятичная запись числа r/q.
9
4.	Докажите, что десятичная запись рационального
числа периодична. (Бесконечная десятичная дробь
О, с1с2с3... называется периодической, если найдутся такие
номера й и Z, что = ch ck+1 — ct+1 и т. д. Такая дробь
записывается в видеО, е^...	(q. .. q_i). Дробь вида
О, (стРъ . . . ст) называется чисто периодической.)
7	11
5.	Найдите десятичные записи чисел , -у-, -у-,
ZjU о /
7 И 37
6 ’ 15 ’ 30 ’
6.	Натуральное число q не делится ни на 2, ни на 5.
Докажите, что существует такое натуральное число п,
что 10п — 1 делится на q.
7.	р и q — натуральные числа, p<Z q, q не делится
ни на 2, ни на 5. Докажите, что десятичная запись чис-
ла p/q — чисто периодическая. Если п — наименьшее
натуральное число, такое, что 10п — 1 делится на q,
то период десятичной записи числа p/q состоит из
п цифр.
8.	Докажите, что любая бесконечная чисто периодичес-
кая десятичная дробь является записью некоторого ра-
ционального числа, представимого в виде дроби, знамена-
тель которой не делится ни на 2, ни на 5.
9.	Докажите, что любая бесконечная периодическая
десятичная дробь является десятичной записью какого-
либо рационального числа.
1.2	. Докажите, что между любыми двумя веществен-
ными числами есть бесконечно много рациональных чисел
и бесконечно много иррациональных чисел.
1.3	. Десятичная запись иррационального числа. До-
кажите иррациональность чисел:
1.	0, 101001000100001 ...
2.	0, 123456789101112 ...
3.	0, 1491625364964 ...
4*. 0, 248163264128256 ...
1.4. Зная достаточное количество цифр в десятичных .
записях двух чисел, можно найти требуемое количество
цифр в десятичной записи их суммы, разности, произведе-
ния, частного. Выясните, сколько можно найти десятич-
ных знаков чисел а + Р, а — р, сф, -j- по заданным де-
сятичным знакам чисел а и |3:
1. а == 2, 30114 р = 0, 23761...,
2. а = 3, 12375 ..., р 1, 02784 ...
ю
1.5. В некоторых случаях несколько первых цифр де-
сятичной записи числа можно найти, оценив это число
с достаточной степенью точности.
Найдите первые 20 цифр после запятой в десятичной
записи чисел:
1. /1 - (0,1 )2°.	2. (5 —/26)20.
3. (5 + /26)20.	4. (/1001 — /1000)12.
1.6.	Выясните, какое из чисел больше:
1.	/2 + /3 или /ТТ.
2.	/34-/7 пли 2/5.
3.	/6 4-2 /7 или /ТО 4- /2Т.
4.	/11 пли 5 — /5.
1.7.	Известно, что для натуральных чисел п и а число
у а является либо целым, либо иррациональным. Дока-
жите иррациональность чисел:
1.	/2 4-/3.	2.	/2	4-/2.
3.	/2 4-/3 4-/5.	4.	(2	4-/3)100.
5.	/2 4- /К.	6.	/2 4- /з .
1.8. Освобождение от иррациональности в знаменателе.
Среди вещественных чисел выделяются те, которые можно
получить из рациональных чисел с помощью операций сло-
жения, вычитания, умножения, деления и извлечения кор-
ня. Справедливо следующее утверждение: всякое число,
которое можно получить из рациональных чисел с помощью
этих операций, можно получить из рациональных чисеЛ
и не используя операцию деления. Мы предлагаем вам про-
верить это утверждение в нескольких частных случаях.
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1 -X. 2. -U. 3 	4
У2	/3 d’ 2 4-Уз	Уз— У2
5' т-Уь 6	2/3 4-Уб~	7	!_
34-У5 *	'	У5—Уз ’	‘ У24-У34-У5
8. --------- 9. -----——10. ---------1--—
14-У2 4- /2 ’	14-/7	14-/54-/25'
11
1.9. Формула сложного радикала. Эта формула позво-
ляет в некоторых случаях проще записывать числа вида
+ ]/"б и ]/"а — У b .
1. Представьте числа ]/"9 + 4 5 ,	7— 2 |/ 10 ,
12 — 2 1^35 в виде Ух + У у или Ух ~У у*
2. а и & — рациональные числа, УЪ — иррациональ-
ное число. Докажите, что число у a Уb можно предста-
вить в виде Ух + У у, где хил. у — рациональные числа,
в том и только в том случае, если число У а2 — Ъ — рацио-
нальное. Выясните, при каком условии число ]/"а — УЪ
можно представить в виде Ух — ]///•
1.10. Числовая.ось. Вещественные числа изображаются
точками числовой оси. Расстояние между точками, изоб-
ражающими числа аир, равно |а — р |. Пользуясь этим,
решите следующие уравнения и неравенства:
1. | х _ 1 | = 2.	2. | х | + | х - 3 1 = 5.
3. \х - 1 | + \х - 5| = 3. 4. |я + 1| + |я - 2| = 3.
5.	|я — 5 |	— 11 = 2.
6.	| х + 3 | - | х — 2 | = 5.
7.	| х - 1 | = 2 | х - 4 |. 8. | х - 3 | < 2.
9.	|я+ 1 |> 1.	10. 2< |ж 1< 3.
11.	| л: — 2 |< |s- 4 |.
12.	|я— ,1 |+ \х +3 |< 6.
13.	| х - 2 | + | х | > 2.
1.11. Перемещения на числовой оси. Перемещение на
числовой оси — это функция ф, заданная на всей числовой
оси и сохраняющая расстояния между точками числовой
оси, т. е. удовлетворяющая условий: для любых чисел
аир выполняется равенство | ф (а) — Ф (Р) I ~ | а — Р |.
1. Докажите, что перемещение на числовой оси есть
либо параллельный перенос, т. е. задается формулой вида
Ф (х) = х + а, либо центральная симметрия, т. е. задает-
ся формулой вида ф (х) а — х.
2*. Существует ли перемещение на числовой оси, пре-
образующее множество всех рациональных чисел, мень-
ших ]/2, в множество всех рациональных чисел, боль-
ших У 2?
12
3**. Докажите, что можно разбить множество всех
рациональных чисел, меньших ]/~2, на такие части и
А2, а множество всех рациональных чисел, больших ]/2,
на такие части В± и /?2, что переводится некоторым пере-
мещением вВ1? а А2 переводится некоторым (возможно,
другим) перемещением в В2.
1.12. Наилучшие приближения. Для данного иррацио-
нального числа не существует самого близкого к нему
рационального числа. Гбворя, что’ несократимая дробь
рЛ? '(/?, q — натуральные числа) является наилучшим
приближением положительного вещественного числа а,
мы будем иметь в виду, что любая дробь, более близкая
к числу а, чем p/q, имеет знаменатель, больший q. В этой
задаче мы укажем простой способ нахождения всех наи-
лучших приближений данного вещественного числа.
Для каждого натурального п можно все несократимые
дроби отрезка [0; 1] со знаменателями, не превосходящими
о
/г, выписать в порядке возрастания, начиная с— и кон-
чая —. Получаемая последовательность дробей назы-
вается последовательностью Фарея порядка п и обозна-
чается Fn.
1. Докажите, что если a, b, с, d — положительные чис-
2*. Пусть--------последовательные члены последова-
тельности Fn^ и -у- -—~ = -^-. Докажите, что если по-
следовательность Fn содержит такую дробь , что
а т с	т а 4- с	*
-г- <С —	, то — = , 	. (В этом случае дробь
fi d	п Ъ А-d v	J
— называется медиантой дробей ~ и . j
п	г Ъ d /
3.	Докажите, что если -у-,	---последовательные
члены какой-нибудь последовательности Фарея, то
д+ р '
ЪА-ч.
] Ъс — ad | = 1 и
4.	а — иррациональное число из отрезка [0; 1]. По-
следовательность отрезков [ах; &J, [а2\ Ь2],... строится сле-
дующим образом: в качестве [ах; берется отрезок [0;
13
1]; разбивая этот отрезок на две части медиантой его кон-
цов, примем за [а2; &2] ТУ из частей, которая содержит чис-
ло а; разбивая отрезок [а2; &2] на две части медиантой его
концов, примем за [а3; &3] ту часть, которая содержит а
и т. д. Докажите, что ближайший к а конец каждого из
отрезков построенной последовательности является наи-
лучшим приближённом к а. Докажите, что так мы получим
все наилучшие приближения числа а.
5.	Найдите все наилучшие приближения числа л со
знаменателями, меньшими 50.
Глава 2
ЛИНЕЙНЫЕ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1.	Линейные функции
Линейная функция задается на всей чис-
ловой оси формулой вида у = кх + Ь, где к и Ъ — веще-
ственные числа. График линейной функции — прямая.
Число к называется угловым коэффициентом прямой и
равно тангенсу угла наклона этой прямой к оси аб-
сцисс. Любая прямая, не параллельная оси ординат,
является графиком некоторой линейной функции. Пря-
мые, параллельные оси ординат, задаются уравнениями
вида х = а.
2.1.	Для того, чтобы задать прямую, достаточно ука-
зать на ней две различные точки или же одну точку и нап-
равление.
Найдите уравнения прямых, удовлетворяющих сле-
дующим условиям:
1.	Прямая проходит через точки (2; 0) и (—1; 3).
2.	Прямая проходит через точки (2; 1) и (2; 7).
3.	Прямая проходит через начало координат и парал-
лельна прямой у = 2х — 1.
4.	Прямая проходит через точку (—1; 2) и параллель-
на прямой Зх — 5у = 2.
5.	Прямая равноудалена от точек (1; 1) и (3; 3) и пер-
пендикулярна прямой, проходящей через эти точки.
2.2.	Всякое уравнение, неравенство, система уравне-
ний или неравенств задает на координатной плоскости
фигуру, состоящую из всех точек, координаты которых
удовлетворяют этому уравнению, неравенству, системе.
14
Изобразите фигуры, задаваемые следующими усло-
виями:
а. жу = 0.	2. -?- = 0.	3. -^±4-==2.
У	у — 2
4.	х2 - у2 = 0.	5. х2 - Ьх + 6 = 0.
6; х2 -- у2-= х + у.
7. х 1.	8. у	2.	9. х	у.
10. ху < 0.	11. у	2х —	1. 12. у	1	— я.
13. у2 у.	14. х2 < у2.
(2х— у<4,	( х + 2у^>1,
15.	16.
(х — 2у 3. I 2х + 4у 3.
§ 2. Кусочно-линейные функции
Функция, определенная на всей числовой
оси, называется кусочно-линейной, если числовую ось
можно разбить на промежутки ненулевой длины, внутри
каждого из которых эта функция линейна. Простыми при-
мерами кусочно-линейных^ функций являются функции
у = sign х, у = [ж!, у = {х}, у = I х |.
Функция у = sign х (знак х) задается формулой
если
если
если
х <^0,
я = 0,
0;
функция у == [ж] (целая часть х) ставит в соответствие
каждому вещественному числу х наибольшее целое число,
не превосходящее хя, функция у =? {х} (дробная часть х)
задается формулой' у = х — Ы; наконец, функция
у — | х | задается формулой
если
если
яг<^0.
2.3. Постройте графики функций;
1. у ~ signa:. 2. у ~ Ld.	3. у — {х}.
4. у s= sign И. 5. у ~ {х} + sign х. 6. у == я + Ы-
гп	I Г 1 Q _____ Г --- 3 1
7. у = х + {х}. 8. у = |—g—|.
15
2.4.	Постройте графики функций:
1.	у = | х |. 2. у = | 2х — 3 J. 3. у = | х -J- 1 | + 2.
4.	у = | я - 1 | + | х + 2 | - Зх + 1.
5.	у = \ х — 3|+|2я+5| — 8.
2.5.	Решите уравнения:
1.	| 2х - 4 | = Зх - 1. 2. | 2х + 1 | = | х - 1 1 + 2.
3.	| 2х — 3 | — | х + 1 I = 5х - 10.
4.	| 2х - 2 | 4- | х I = Зх - 2.
2.6.	Решите неравенства:
1.	|я— 1 |>2rr- 1. 2. 2 |гг - 3 | < | я| + 2.
3.	| 4 - х Г+ 2 | х + 1 | > | х | 4- 2х 4- 2.
2.7.	Изобразите на координатной плоскости фигуры,
задаваемые следующими уравнениями и неравенствами:
1.	sign х = sign у. 2. | х | = |i/|. 3. Ы = [z/].
4. sign х	[г/].	5. ] х | = sign у. 6. | х [ = [г/1.
7. у < {я}. 8. {я} < {у}.
2.8. Уравнение ах 4- Ъу 4- с = 0, в котором хотя бы
один из коэффициентов а, Ъ отличен от нуля, задает на
координатной плоскости прямую. Эта прямая разбивает
плоскость на две полуплоскости, причем координаты точек
одной из этих полуплоскостей удовлетворяют неравен-
ству ах 4- Ъу 4- с > 0, а координаты точек другой полу-
плоскости удовлетворяют неравенству ах 4- Ъу 4- с 0.
Изобразите на координатной плоскости фигуры, зада-
ваемые следующими уравнениями и неравенствами:
1.	I х | 4- I у I = L
2.	|Ж4-1|+|гг-1|=|г/4-1|4-|^-1|.
3.	I х — у I — | 2х 4- у | = | х — 1 |. 4. |я| — |z/|>2.
5. |^4-г/4-1]4-|^~ 2г/|<4.
2.9.	Графическое решение уравнений и неравенств, со-
держащих параметр.
1.	Для каждого значения а решите уравнение
| х — а 4- 1 | 4“Ч х —- 2а | = х,
16
2.	Для каждого значения а решите неравенств^
| Зх — а | + | 2х + а |	5.
3.	Найдите все значения а, при которых наибольшее
значение функции у = 2 | х + а + 1 | — | 2х — а ] мень-
ше 2.
§	3. Дробно-линейные функции
Простейшим примером дробно-линейной
функции является обратно пропорциональная зависи-
мость у = -— (к у= 0). График этой зависимости — линия,
цазываемая гиперболой. Вообще, гиперболой будем назы-
вать любую линию на плоскости, которая в какой-либо
системе координат является графиком обратно пропорцио-
нальной зависимости.
2.10.	Докажите, что график каждой из следующих
функций является	гиперболой. Постройте эти	графики.
1- У = -^Г-	03 II со со | « II оз		 X
г	х + 1 4- У- Z •	’s-l II CD M | LQ	+—L_ 1 3x — 1 *
„	2x4-1 7. у =	Чг- у	х — 2	Q	1 — x • 8- У~ 3x4-2 •	
2.11.	Дробно-линейная функция задается формулой
вида у
» то график дробно-линейной функции — гипер-
бола. Выясните вид графика в остальных случаях.
2.12.	Изобразите на координатной плоскости фигуры,
задаваемые следующими уравнениями и неравенствами:
• Докажите, что, если с =# 0, d =# 0 и
1. ху = у + 1. 2. ху + х == 2у + 1. 3. | ху | = х — у.
4. ху — И + Ы- 5. ху > 1.	6. ху < 1.
7. х2у + ху2^2ху. 8. Д+Д > —1.
2.13. Вершины А и С прямоугольника ABCD лежат
на гиперболе ху — 1, а стороны прямоугольника парал-
лельны координатным осям. Докажите, что прямая BD
проходит через начало координат.
2.14. Гипербола как геометрическое место точек.
17
1. Докажите, что гипербола ху = 1 есть геометриче-
ское место точек координатной плоскости, разность рас-
стояний которых до точек
(/2; /2)_, (-/2; -/2) рав-
на 2/2.
2. Докажите, что гипер-
болы ху = 1 и ху == к подоб-
ны. Чему равен коэффициент
подобия?
3. Докажите, что для ги-
перболы ху = к можно ука-
зать такие точки и F2 (фо-
кусы гиперболы) и такое чис-
ло а, что эта гипербола есть
геометрическое место точек плоскости, разность расстоя-
ний которых до точек F± и F% равна а.
В геометрии гиперболой называют любую линию, яв-
ляющуюся геометрическим местом точек, разность рас-
стояний которых до двух данных точек постоянна. Этому
определению удовлетворяют не только графики обратно
пропорциональных зависимостей, но и другие линии, на-
пример, кривая, задаваемая уравнением х\— 2у2 = 1
(см. рис. 1).
Глава 3
КВАДРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1.	Параболы и окружности
Квадратная функция задается формулой
вида у — ах2 + Ъх + с, где а, &, с — вещественные чис-
ла, а 0. Любая линия .на плоскости, которая в неко-
торой системе координат является графиком квадратной
функции, называется параболой.
3.1.	Из следующих задач вытекает подобие любых
двух парабол.
1.	Докажите, что параболу у ~ ах2 4- Ъх + с можно
получить параллельным переносом параболы у = ах2.
2.	Докажите, что параболы у = х2 и у — ах2 подобны.
Чему равен коэффициент подобия?
3.2.	Построение парабол.
1.	Докажите, что парабола у » ах2+ Ъх + с симмет-
ь
рична относительно прямой х ----.
18
2.	Постройте параболы у ~ я2 + 2, у — —2я2 — 3,
у = 4я2 + 4я + 1, у = —Зя2 — 6я + 2.
3.3.	Прямая однозначно определяется точкой и направ-
лением. Покажем, что парабола однозначно определяется
тремя точками и направлением оси симметрии.
1.	Найдите квадратную функцию, график которой про-
ходит через точки (1; 2), (—1; 3), (0; 0).
2.	Точки А, В, С координатной плоскости имеют по-
парно различные абсциссы и не лежат на одной прямой.
Докажите, что существует единственная квадратная
функция, график которой проходит через эти точки.
3.	На плоскости даны точки А, В, С, не лежащие на
одной прямой, и прямая Z, не параллельная прямым АВ,
АС, ВС. Докажите, что существует единственная пара-
бола, проходящая через точки А, В, С, ось симметрии
которой параллельна прямой Z.
3.4.	Парабола как геометрическое место точек.
1.	Докажите, что парабола у = я2 есть геометрическое
место точек координатной плоскости, равноудаленных от
(1 \ 1
0; —1 и прямой у -------
2.	Докажите, что любая парабола есть геометрическое
место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точ-
ки F (фокуса параболы) и некоторой прямой d (директрисы
параболы).
3.	В геометрии параболой называют геометрическое
место точек, равноудаленных от некоторой точки и не-
которой прямой, не проходящей через эту точку. Дока-
жите, что такое геометрическое место точек в некоторой
Системе координат является графиком квадратной функ-
ции.
3.5.	Найдите область значений каждой из следующих
функций:
1.	у = я2 — я, где я > 1.
2.	у — я2 — я, где я GE [—1; 1].
3.	у = я4 + 4я2 — 5.
4.	у — (я2 — я — З)2 — 2 (я2 — я) + 1.
5.	у = {4 - 2{я}2.
19
3.6.	Изобразите на координатной плоскости фигуры,
задаваемые следующими уравнениями и неравенствами:
1.	х2 = 2у + 1.	2. х = у2.
3. у2 + х = у.	4. у > х2.
5. у 1 — х — х2. 6. х <4 у + у2.
3.7. Найдите все вещественные числа, каждое из ко-
торых является корнем какого-либо уравнения вида
х2 + рх + q = 0, где | р | <Д, | q | <1.
3.8. Изобразите на координатной плоскости фигуры,
задаваемые следующими уравнениями:
1. у — | х2 — х |.	2. | у | ~ х2 — х.
3. | у | = | х2 — х |. 4. у2 — \х + у |.
5. х2 = | у — х2 |.	6. | х | + | у | = | у2 + х 1.
3.9.	Уравнение окружности. Окружность радиуса R
с центром в точке (а; Ь) задается уравнением (х — а)2 4~
+ (У ~ b)2 = R2.
1.	Докажите, что каждое из уравнений х2 — 2х-^
+ 1 + у2 = 4, х2 + У2 + 4г/ — 5, х2 — Зх + у2 + 2у = О
задает окружность. Найдите центры и радиусы этих
окружностей.
2.	Докажите, что уравнение х2 + ах 4- у2 + by = с
задает окружность в том и только в том случае, если
, R2 , &2 п
с+ — +—>°-
3.10.	Изобразите да координатной плоскости фигуры,
задаваемые следующими неравенствами:
1.	х2 + у2	4.	3. | х2 + у2 2.г,
2.	4я2 + 4z/2 > 4я + 2. I у х2.
3.11.	Графическое решение систем неравенству содер-
жащих параметр. Для каждого значения а решите си-
стемы неравенств:
1.	(х — а^> — 1,	2. (jX2 4- а2 <1,
( х2 — Зх<^а — 1.	(х2 — а2^> 0.
3.	|ж24-^<^^?
| 2х — х2^ а — 1.
3.12.	Параболы с взаимно перпендикулярными осями
симметрии.
20
1.	Докажите, что точки пересечения парабол у =»
— ж2 + х — 40 и х == у2 + у — 41 лежат на одной окруж-
ности.
2.	Докажите, что точки переселения двух конгруэнт-
ных парабол с взаимно перпендикулярными осями лежат
на одной окружности.
§	2. Исследование квадратной функции
3.13.	Квадратное уравнение. Уравнение ви-
да ах2 + Ъх с — 0, где а Ф 0, называется квадратным
уравнением. Число D = Ъ2 — 4ас называется дискрими-
нантом этого уравнения. При D > 0 веществен-
ные корни уравнения вычисляются по формулам хг =
=-----------------, ^2 —----(при D =3 0 эти корни сов-
падают); при D 0 уравнение вещественных корней не
имеет.
1.	При каких значениях а уравнение (а + 1) х2 —
— (2а — 3) х + а = 0 не имеет вещественных корней?
2.	При каких значениях а парабола у = 2х2 — х — а
и прямая у — Зя — 1 имеют одну общую точку?
3.	При каких значениях а'параболы у =а я2 + ох — 3
и у = 2х2 — а имеют две общих точки?
3.	14. Число корней квадратной функции / (х) =
= ах2 + Ъх + с тмуж&о определять не только с помощью
дискриминанта. Докажите следующие утверждения:
1.	Если для некоторых чисел аир произведение
/ (а) / (Р) отрицательно, то квадратная функция имеет
два вещественных корня.
2.	Если для некоторого числа а произведение af (а)
отрицательно, то квадратная функция имеет два вещест-
венных корня.
3.	Если а (а + Ъ + с) < 0, то квадратная функция
имеет два вещественных корня.
4.	Если с (а — Ъ + с) < 0, то квадратная функция
имеет два вещественных корня.
5.	а, Ъ, с — вещественные числа. Докажите, что
уравнение (х — а)(х — Ъ) + (х — Ъ)(х — с) + (х — с) X
X (х — а) = 0 имеет вещественный корень.
3.15.	Теорема Виета. Числа х19 х2 являются корнями
уравнения х2 + рх + q = 0 в том и только в том случае,
если х± 4- ^2 ~	^1^2 = Q-
21
1.	xlf x2 — корни уравнения Зх2 — Ъх — 7 = 0. Вы-
числите + у- »	+ ^2>	+ ^2-
2.	Прямая, проходящая через точку С, лежащую на
оси ординат, пересекает параболу у = х2 в точках А и В.
Докажите, что произведение абсцисс точек А и В не за-
висит от углового коэффициента прямой.
3.	Прямые 1Г и Z2 пересекают параболу у = х2 в точках
А19 и А2, В2 соответственно. Докажите, что, если
и Z2 параллельны, то сумма абсцисс точек Лх и Вг равна
сумме абсцисс точек Л2 и В2.
4.	Найдите квадратное уравнение с целыми коэффи-
циентами, корнем которого является число 2 — ]/3 .
3.16.	Расположение корней квадратной функции.
Предположим, что квадратная функция у — ах2 +
+ Ъх + с имеет два вещественных корня х± и х2 (£х< х^.
При а 0 эта функция принимает отрицательные значе-
ния в промежутке (хр, я2) и принимает положительные
значения вне промежутка х21; при a<Z 0 функция
принимает положительные значения в промежутке (х^,
х2) и принимает отрицательные значения- вне промежутка
[жх; х2]. Для того, чтобы для произвольного числа а
выяснить, принадлежит ли оно промежутку (хр, х2), до-
статочно знать знак коэффициента а и знак числа аа2, +
+ Ъа + с.
1.	При каких значениях а уравнение ах2 — (а2 + 3) х +
+ 2 = 0 имеет два вещественных корня разных знаков?
2.	При каких значениях а уравнение ах2 — (За — 3)z +
+ 4а — 4 = 0 имеет два вещественных корня, один из
которых больше 1, а другой меньше 1?
3.	При каких значениях а каждое число из промежут-
ка [1; 2] удовлетворяет неравенству х2 + (а — 2) х — а
< 0?
4.	При каких значениях а неравенство 2х2 + ах — 5
0 имеет хотя? бы одно решение, удовлетворяющее усло-
вию | х | < 1?
3.17.	Расположение корней квйдцатной функции (про-
должение). Если известно, что число а не находится в про-
межутке между корнями квадратной функции, то, чтобы
выяснить, по какую сторону от этого промежутка оно рас-
положено, достаточно сравнить а с каким-нибудь числом,
которое заведомо расположено между корнямиа напримерг
с числом — Ы2а.
22
1.	При каких значениях а оба корня уравнения
х2 + ах — 1=0 меньше 3?
2.	При каких значениях а хотя бы одно число, боль-
шее 1, удовлетворяет неравенству х2 — ах + 2а 0?
3.	При каких значениях а каждое число из промежут-
ка [—1; 1] является решением неравенства ах2 + 2 (а +
+ 1) я + а — 4^0?
3.	18. Задачу нахождения области значений функции
у = f (х) можно переформулировать так: найти все зна-
чения а, при которых f (х) — а имеет хотя бы один ве-
щественный корень. Найдите область значений функций:
1. y = x + -L.	2,у = х—
п ____ ж2 — 10я + 7	,	__ Зя
У ~	2а:2 —1	• У ~ 4х? — х + 1 ’
3.	19. Наибольшее и наименьшее значения квадратной
функции на отрезке. Если а 0, то наибольшее значение
функции у = ах2 +	+ с на отрезке [а; р] достигается
либо при х = а, либо при х = (3; наименьшее значение
функции у = ах2 + Ъх + с на этом* отрезке дости-
гается ,либо при х = а, либо при х = Р, либо при
х = — — ^если — е= [а; Р]^. Нетрудно сформулиро-
вать аналогичные условия для а ’< 0.
1.	Постройте график функции, ставящей в соответ-
ствие каждому числу х наименьшее значение функции
/ (Z) = t2 — 2t на промежутке [х — 1; ж].
2.	Вещественные числа ж, у, а таковы* что х + у ==*
“ а — I,5 ху = а2 — 1а + 14. При каком значении а
сумма х2 + у2 принимает наибольшее значение?
3.20	*. Квадратная функция задана формулой f (х) =*
« х2 —• 2. Докажите, что уравнение /(/(/(я))) = ж имеет
восемь вещественных корней.
3.21	*. Вещественные числа а, &, с таковы, что для
любого числа х из промежутка [—1; 1] справедливо нера-
венство | ах2 + Ъх + с |	1. Докажите, что для любого
числа х из промежутка [—1; 1] справедливо неравенство
|с^ + Ъх+а |< 2/
3.22	*. Среди всех квадратных функций со старшим
коэффициентом 1 найдите ту, для которой на промежутке
(—1; 11 наибольшее по модулю значение минимально.
3.23	*. Докажите, что среди значений функции у =
— х2 + рх + q в любых трех различных целых точках
хотя бы одно по модулю не меньше 1/2.
23
§ 3.	Среднее арифметическое
и среднее геометрическое
Средним арифметическим чисел а2, . . .
а1 + а2 + • • • + ап	о
. . а„ называется число -----------------— , средним
геометрическим^ неотрицательных чисел а2, .. ап на-
п
зывается число	. ап. Содержание этого парагра-
фа составляет замечательное неравенство, связывающее
среднее арифметическое и среднее геометрическое, и
следствия из него.
3.24	. Квадратная функция у = ах2 + Ъх + с при
а 0 строго убывает на промежутке (— оо; —Ь/2а] и
строго возрастает на промежутке [—Ы2а\ + оо), а при
а < 0 строго возрастает на промежутке (— оо; —Ь/2а] и
строго убывает на промежутке [—Ъ/2а, 4-оо).
1.	Найдите промежутки монотонности функции у »
в= х (а — х).
2.	Докажите, что произведение двух чисел с заданной
суммой тем больше, чем ближе эти числа друг к другу.
3.	Сумма п положительных чисел равна а. Докажите,
что произведение этих чисел максимально, если каждое
а
из них равно —.
4.	Докажите, что среднее геометрическое п неотрица-
тельных чисел не превосходит среднего арифметического
©тих чисел. В каких случаях среднее арифметическое рав-
но среднему геометрическому?
5.	ах, а2,. . ап положительные числа. Докажите не-
равенства
/ Л1 + а2 + . . * + ап \п
“	I > ЛХЛ2 « • • йп,
п | п .	| п <4^
4" ^2 4" • • • Т	• • • Яд»
V--------- п
г &1&2 • • •	> J 7----------,
——- 4"4- •• • 4~
«1	0.2	ап
3.25. Неравенства, которые вам предлагается доказать
в этой задаче, можно вывести из неравенства для средне-
го арифметического и среднего геометрического, устано-
вленного в предыдущей задаче.
1.	Если х — положительное число, то ® + -г- > 2.
24
2.	а, Ъ — положительные числа. Найдите наименьшее
ана.чение функции у = ах + ~на промежутке (0; + оо),
3.	а2 + &2 + б2 > аЪ 4- Ъб + ас,
4.	Если а, Ъ, с — неотрицательные числа, то
ab + be + са > Ьс + са + сУ~аЪ,
5.	а8 4- b8 + с8 > а2Ь2с2 (аЪ + Ъс 4- са),
6.	af 4* al 4~ ... 4* ап 4* ^2аз 4~ • • • 4“ ^n-i^n 4е
4-	лп«1.
«у ai + a2 4~ ‘ • • 4- ап > f ai + а2 4- • • • + % V
п	\	п '	7
8.	Если а, 6, с — неотрицательные числа, то
(а + Ь) (Ь + с) (с + а) > 8abc.
9.	Если а, Ь, с — неотрицательные числа, то
(а 4- Ъ — с) (Ъ + с — а) (с 4~ а — b) <1 abc.
10.	Если ах, а2, . . ., ап — положительные числа,
произведение которых равно 1, то
(1 + ах) (1 4- а2) ... (1 4- ап) > 2п.
11.	Если аъ а2, Ьх, Ь2 — неотрицательные числа, то
V(«1 + &1) («2 4- Ь2) > /ед 4-
12.	Если ах> a2, а3, Ьх, Ь2, Ь3 — неотрицательные чио
па, то
*|/*(^1 + ^1) (^2 + fta) (#3 4* ^з) > а^аз + Ь^Ъз.
13.	Если a, b9 g — положительные числа и а 4- Ь
4-6 = 1, то
4+-г+4>9-
14.	Если а, Ъ, а — положительные числа и а Н- Ъ +
о “ 1, то
(1+4-)(1+т)(*+4-)>64-
15.	Если ai, a2,. . ., an — положительные числа,
произведение которых равно 1, то
«1 + а2 4- . •. 4" ап > п.
Я
16.	Если ах, а2, . . . , ап — положительные числа, то
(а! + а2 + ... + ап) + -i- +•-.. +	> и2.
17*	. Если «1, а2, . . . 1 ап — положительные числа
(п > 2), S — их сумма, то
Д1 ।	а2	|	I ап х.
S — ai ‘	S — а2	»	• • • ‘	5 — о,п^	п — 1’
18. Если аи а2, . . ап — положительные числа, то
19§ **. Если Лц а2» • • м ап — положительные числа,
то
gl I g2 + . . | —gg	_2L.
a2 + a3 a3	* al + a2
20.	n\ < ф—(n — натуральное число, n > 2).
21*. Если alt a2,. . an — натуральные числа, то
( а, + а2 + . . . + ап \а1+ад-...+а„
--------п--------) С а1 а2 • • • апп
< / 4+<4+• > •+а» у*"*--* t
\ а1 + fl2 + • • • + ап /
22*. Если т, п — натуральные числа, а — веществен-
ное число, а > — 1, а =/= 0, то
(1 + а)"1 < 1 + а при m<^nf
•^(1 + а)т> 1+-^-а при тп>п.
§ 4. Рациональные уравнения и неравенства
3.26. Решите уравнения:
1.
3.
4.
3_________6	__ 4 л 3 — х . 15
Ъх + 2 х — 2	3 — х *	’ х + 3 ' х2
1_________1__________________1
2жа — х — 3	’ Зге2 + х — 2 бге2 + lx +1 *
З4— 2х . За? + 1	__ а? + И к
2ж2 +z7a? —4 * 2я2 — 7х Ц- 3 я2 4- х —12 *J
26
3.27. Решите уравнения:
£ 3^4 _ Х2 _ 2 = 0.	2. 2х* - 1Ь3 — 40 = 0.
3.	3(2я2 + я — 2)2 = 8z2 + 4х — 9.
, / Я2 — X — 1 \2	X2 — X — 1   г>
V Зя — 5 / ЗГ=Г5
с-, 2х2 — Зя 4-5 6яЮ п
’	3^+5 Г" 2я2 — Зя+5 “ Л
6. (^2~2а: + 3у _ 5а: = — — 16.
\ Я J	X
г, я2 — 10я 4-15 _ Зя
я2 — 6я4-15 я2 — 8я4*15 *
8.	(2х - 1) (2ж + 3) (Зх - 2) (Зх - 8) 4~ 25 = 0.
о* J________1	_4
• Я2 (я 4-1)2
3.28. Однородные уравнения. Уравнение вида аи 4-
4- bv ±=! 0 с неизвестными и и v называется однородным
уравнением первой степени, аи2 + Ьии 4- си2 = 0 —
однородным уравнением второй степени, аи3 4- bu2V +
4~ cuv2 4- dp3 = 0 — однородным уравнением третьей сте-
пени и т. д. Деля обе части однородного уравнения степени
к на v\ мы придем к уравнению с одним неизвестным
у = й!и. Разумеется, отдельно должен быть рассмотрен
случай v — 0. Следующие уравнения сводятся к однород-
ным, если удачно ввести новые переменные и и v. Решите
уравнения:
1.	(х2 - х 4- З)2 - 3(я2 - х + 3)(2я2 - х 4- 2) +
- 4-2(2ж2 — ж + 2)2 = 0.
2.	(х - 2)2 (х 4- I)2 - (х - 2) (х2 - 1) - 2 (х - I)2 = 0.
3.	(i+LV + £+•	12(^4?.
\ «с — 2/ 1 х — it \х — к/
3.29;	Возвратные уравнения. Каждое из следующих
уравнений можно решить, вводя подходящую замену пере-
менной вида у = ах + Ых. Решите уравнения:
1.	4г4 4- За:3 — 14а;2 + За; + 4 = 0.
2.	9а;4 — 6а;3 - 18а;2 - 2х + 1 « 0.
3.	18а;4 — За:3 - 25а;2 + 2х + 8 = 0.
4.	хе — 2х5 — х4 + Зх3 + а;2 — 2х — 1^0.
27
3.30.	Теорема Безу.
1.	Докажите тождество
хп - ап (х - а) + хп~2 а + . . . + хап-2 + а”"1).
2.	а — корень уравнения хп + an_i хп~г + . . .
... + агх + а0 =* 0. Докажите, что левую часть уравне-
ния можно представить в виде (х —- a) g (х), где g (х) —
многочлен степени п — 1.
3.31.	Рациональные корни многочленов с целыми коэф-
фициентами,
1.	Несократимая дробь plq является корнем уравнения
+ ...' + агх + «о = 0* Докажите, что ап
делится на q, aQ делится на р. Докажите, что левую часть
этого уравнения можно разложить на множители с целы-
ми коэффициентами, один из которых равен qx — р.
Решите уравнения:
2.	х3 — 5х + 4 =± 0. 3. х3 — х2 — х —2 = 0.
4.	4я3 + Зж — 2	0.
5.	6я4 — 11ж3 + 9я2 — 1Ь+ 3 == 0.
3.32. Решите уравнения:
1. 8я3 + 36я2 + 54# + 33 = 0.
2. (х2 — х — 2)4 + (2х + I)4 - (х2 + х - I)4.
3*. (х2 + 2х — 5)2 + 2 (х2 + 2х — 5) - 5 = х.
3.33*. Для каждого значения а решите уравнение
х3 — 2ах2 + (а2 + 1) х — 2а + 2 = 0.
3.34. Метод интервалов. Многие функции, в частно-
сти, линейные и квадратные функции обладают следую-
щим свойством: если нанести на числовую ось все корни
такой функции, то ось разобьется на конечное число про-
межутков, внутри каждого из которых все значения функ-
ции — числа одного знака. - Если функция у = F (х)
получена из таких ^функций с помощью операций умноже-
ния и деления, то, отметив на числовой оси корни всех
сомножителей и выяснив знак F (х) в одном из промежут-
ков, мы сможем последовательно находить знаки F (х)
в остальных промежутках, выясняя каждый раз, сколько
сомножителей изменило знак при переходе в очередной
промежуток из предыдущего. Так мы можем решать не-
равенства F (х) > 0, F (х)	0. Решите неравенства:
Л	1 Ч. р	Г>	Ж + 2	.
я+ 5	—я-2	Ъ
28
3.
4.
(2х2 — х — 1) (6 — 5х — х2) > 0.
(Зя2 + х — 2) (я2 — я) - q
(За:-2) (ха —ж + 1)
(4я2 — 4я + 1) (2 — я — я2) q
(*2-4)(* + 3)	
5.
3.35. При решении неравенств можно использовать те
же замены переменных, что и при решении уравнений.
Решите неравенства:
4 т4   5Г2 X 4 X 0	2 ж2 ~ _______х2 +
1 Ьх +4>0.	Д Ж2_|_2я	Ж2_! > 2 •
3.	_ х _ 3)2 _ (^2 _ х _ 3) (я _ !) > 2 (х - I)2.
4. х^ — Зх3 — 2х2 + Зх + 4	0.
3.36. Решите системы
1.
2x2 —Зг/2 = 24,
2х = Зу.
уравнений:
2.
= 5,
У — 1
2
3.
5.
2 •
— +
я + 2
1
я — 1
4. | х + ху — 3,
I ху2 + ху3 = 12.
6. | х2 — Зху + 2г/2 = 0;
I х2 + ху = 2х + у.
*2 + У^= 7,
х + у2 = 7.
(х2 — у2)х= Зу,
х-}-у __ Зу^
я2 — ху
7. (х2 — ху 4- z/2 = 3,
\2х2 — ху — у2== 5.
х2 + у2==3^
% + у + ху = 23.
(±+v^=i2,
у х
1.1	1
• X "г" у	3 •
x(j/4-z) = 27,
у (z 4- х) = 32,
,z(x4-i/)=,35.
9.
41.
13.
15.
Ж2 4- y2 = 1
ж5 + г/5 = 1
8. (х2 4- у2 — 2,
|2я4	ху34- х2у2 — х3у = 3.
р2 + г/2=13,
(х3 4- у3 = 19.
x(x + y + z) = 7,
У (х 4- У 4-:z) = 14,
w z (х 4- у 4~ 2) = 28.
(14. х3 = yz,
 y3 = zx,
z3 = ху.
1 .
40.
12.
16.
1
ж2 + %У + 2у2= 16.
29
17*. f	—J—г/4 = 2,
(x2y2 + 1 = 2#2.
2,
#,
У-
19*. ( # + # + z = 3,
| ^2 + #2 + z2 = 3.
§ 5. Иррациональные уравнения
и неравенства
3.37. Возведение в квадрат. Решите следую-
щие уравнения:
1. /ж8 + ж — 3 = 3.	2. /ж2—5 = /ж~+1.
3. /ж -f- 2 = х. 4. /б — х — х2 = х +1.
5.	/49 — 4ж/ж2— 5 = 4ж— 7.
6.	Ух + 2 — /2ж — 3 = 1.
7.	/2ж + 3 — /жТЛ = /Зж — 8.
8*. /ж2 — 1 + /ж2 + ж — 2 = /ж2 — 2ж + 1.
3.38.	Замена переменной. Решите уравнения:
1.	У2 — х—#2 —]Л#2 + # — 1 = 1.
2.	V/ _4 +/ж^2 — /ж —3- /ж —2 = 1.
3.	ж3 /ж5 — 5ж2 х = 6 /ж.
4	_ *+_2	_ /ЯЙ + 1 . 4
2/х+1—3	3
5*. (ж2 — 2ж)3 + ж/ж(ж — 2)3 = 2.
6.	4ж2 + 5ж/ж + 5 = 44(ж + 5).
7*. 2 (ж2 + 2) = 5/?+Т.
3.39.	У равнения с кубическими радикалами.
1.	Докажите тождество
а3 + Ь3 + с3 — ЗаЬс =
= (а + Ъ + с) (а2 4- Ь* + с* — аЬ — Ъв — са).
2.	Докажите, что а3 + Ъ3 + с3 = ЗаЬс в том и только
в том случае, если а + Ъ + с = 0 или а =* Ь ** с.
Решите уравнения:
3.	у7 2 + х + У2 — х =	4. У1 — # + i — 3=»1.
5	У# — 1 + У# + 1 = # ^2.
80
3.40.	Каждое из следующих уравнений можно решить,
подобрав корень и доказав, что других корней нет:
1.	^Г+2 + 3 j/'x — l + /Зж — 2 + /5х — 1 = 10.
2.	/2х — 1 + /а; = /17 — х.
3.	/а:3 + а: — 1 + /а:6 — 7 = 8.
4.	/а;2 4* х + 1 + /2а: + 1 = 2.
5.	2/6 — а; — а;2 + а; = 2 /а:2 + 25 — 3.
3.41.	Решите неравенства:
1.	]fx2 + 5x + 5>l.	2. /+ —ж —1<1.
3.	/За:2 — 5а; - 3> /2а: + 3.
4.	/За2 — 2а — 1 > 2а: — 2.
5.	/+^ + /Г=ГЗ>3.	6. а/Ю — а2>х2 -6.
7. а/За2 4-5а — 6<^а24-2а.
8*. /Г+3 + /+=Г> ^3?
Глава 4
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение тригонометрических
функций
Окружность радиуса 1 с центром в начале
координат будем называть числовой окружностью. Длина
числовой окружности равна 2л. Представим себе точку2
равномерно движущуюся по чис-
ловой окружности со скоростью,
равной по величине!. Предполо-
жим, что в момент времени t = 0
эта точка имеет координаты (1; 0)
и направление движения выбрано
так, что в момент времени t= л/2
движущаяся точка имеет коорди-
наты (0; 1)’. (Если оси координат
расположены, как на рис. 2, то
точка вращается против часовой
стрелки.) Этими условиями одно-
значно определяется положение
точки в любой мо-
мент времени t. Обозначим это положение через Р (t).
31
Абсцисса точки Р (f) называется косинусом числа t (cos 0,
а ордината — синусом числа t (sin t). Если cos t 0, то
тангенс числа t (tg t) — это отношение sin f/cos t, а если
sin 1 =/= 0, то котангенс числа t (ctg t) — это отношение
cos f/sin t.
4.1.	Найдите координаты точек P (л), P (Зл/2),
P (-л/2), P (-л), P (л/6), P (л/4), P (л/3), P (—Зл/4),
P (7л/6), P (10л/3).
4.2.	Изобразите на числовой окружности дугу, опи-
сываемую движущейся точкой в течение промежутков вре-,
мен и:
1.	[0; л/2].	2. (—л/4; л].	3. I—л/2; Зл/2).
4.	[1; + оо). 5. (2; 9).
4.3.	Отметьте на числовой окружности положения,
которые занимает движущаяся точка в моменты времени:
1.	t = пк/2, где к — целое число,
2.	t — л/4 + л&, где к — целое число,
3.	t — ztk/6, где к — целое число,
4.	t = —л/2 + л/с/4, где к — целое число.
4.4.	Дано вещественное число tQ и начисловой окруж-
ности отмечены точка А = Р (t0), точка В, симметричная
А относительно оси ординат; точка С, симметричная А
относительно начала координат, и точка/), симметричная
А относительно оси абсцисс. Найдите все значения t, для
которых справедливы утверждения:
1. Р (0 = А. 2.Р (0 = С.
3. Р (t) = D. 4. Р (t) = В.
5.	Точка Р (t) лежит на прямой АС.
6.	Точка Р (t) лежит на дуге АВ.
7.	Точка Р (t) лежит на дуге САВ.
4.5.	На числовой окружности отмечены точка
A (Y2/2; ]/2/2) и точка В (—1; 0). Найдите все значения £,
для которых точка Р лежит на дуге АВ.
4.6*	. Используя иррациональность числа л, докажи-
те, что на любой дуге числовой окружности есть бесконеч-
но много точек вида Р (п), где п — целое число.
4.7.	Для каждого из следующих чисел выясните, по-
ложительно оно, отрицательно или равно нулю:
1.	sin-у-.	2. cos-у.	3. tg-y~.
32
/	ИЛ г • if- n г 13
4. cos-у-.	о. sin/л.	6. ctg—.
7. sin 3,14.	8. tg.	9. cos 12.
о
>10. cos (sin 2). 11. tg (cos 1).
4.8.	Какое из чисел больше:
1.	sin 1 или	cos 10?	2. sin 1 или tg 2?
3.	sin 3 или	tg	3?	4. sin 1 + cos 1 или 1?
4.9.	Расположите в порядке возрастания числа:
1.	sin 1, cos	2,	sin 3,	cos 4, sin 5, cos 6, sin	7,	cos 8.
2*. tg 1, ctg	2,	tg 3,	ctg 4, tg 5, ctg 6, tg 7,	ctg 8.
4.10.	Для решения следующих уравнений и не-
равенств не нужны формулы тригонометрии — достаточ-
но знать лишь определение синуса и косинуса.
1.	sin t =	0.	2.	sin t — 1.
3.	cos t =	-1.	4.	sin t = cos t.
5.	| sin t |	= I cos t |. 6.		sin t — 1/2.
7.	COS t —	- /2/2. 8.		sin t + cos t
9.	sin t =	]/~2 + cos t.		10. sin t 0.
11	. cos£'J>	>0.	12. cos	‘>4-
13	. sini<	' 2 1	14.	sin t^> cos t.
15. sin£ —		-cosi'	> 1.	16. -Д—<2. sm t - '
17 s*n * + cos г sin t — cos t 5			>1.	
4.11.	В этой задаче, как и в предыдущей, можно обой-
тись без формул тригонометрии. Докажите утверждения:
1.	sinlO°>A. 2. Sin6°>l.
3.	Если натуральное число и > 2 и вещественное чис-
ло а таковы, что 0 < па < л/2, то sin па < п sin а.
4.12.	Сумма векторов, идущих из центра правильного
многоугольника в его вершины, равна нулевому вектору.
Эту геометрическую теорему можно использовать при
2 М. И Башмаков и др.
33
доказательстве следующих равенств!
(2п — 2) л л
. . . + cos ---— = — 1
‘	п
(п натуральное число).
2 2л	4л , 6л	I •
. COS — -f- COS -у + COS — = — 72«
3.	cos 36° — cos72° = 1/2,
4.	cos 20° = cos 40° 4- cos 80°.
4.13.	Непосредственно из определения тригонометри-
ческих функций вытекают тождества! cos21 + sin21 = lf
1	1
1+ tg2z =-^y, 1+ctg2i = —rr,tgictgt= 1.Эти тож-
дества позволяют выражать значения одних тригономет-
рических функций через другие.
1.	Найдите sin a, tg ос, ctg ос, если cos ос = — Vc,
sin ос < cos ос.
2.	Найдите sin ос, cos ос,' tg ос, если cig ос = —8/1б,
sin ос cos ос.
3.	Найдите sin ос, cos ос, ctg ос, если tg ос = |Л2;
ос ЕЕ (0; л).
4.	Найдите cos ос, tg ос, ctg ос, если &in а = 5/i3,
, Гл	1
(X С-- —7— 1 Л .
L 4	J
5.	Найдите tg2 ос + ctg2 ос, если tg ос — ctg ос = 3.
6.	Найдите sin ос cos а, если sin ос + cos ос = 6/б.
7.	Найдите tg ос + ctg ос, если sin ос + cos ос =
п тт « sin а + 2 cos а	.	„ .
о. Найдите -----, если tg ос = 2/б.
cos ос — 3 sm ос ’	5	0
9. Найдите tg а, если sin2 а — 2 cos2 а = sin ос cos а,
а ЕЕ [5; 6].
10. Найдите ctg ос, если 3 sin2 ос — cos2 ос == 5 —
— 8 sin ос cos ос, ос ЕЕ (0; 1).
4.14. Из простейших соотношений между тригономе-
трическими функциями (см. задачу 4,13) можно вывести
немало любопытных тождеств. Некоторые из них вы по-
лучите, упростив следующие выражения:
1.	sin4 ос + 2 sin2 ос cos2 ос -f- cos4 ос.
34
2.	(sin a + cos a)2 + (sin a — cos a)2.
3.	sin4 a — cos4 a + cos2 a.
4.	cos4 a + sin2 a + sin2 a cos2 a,
r cosa*tga
o. —-----------ctg a cos a.
sin2 a 6
6.	sin a -cos a«(tg a + ctg a).
7.	(tg a + ctg a)2 — (tg a — ctg a)2.
8.	(—Д----I- ctga^ (—Д— — ctg a) .
\ sm a ’	/ \ sm a ° /
g tg a 1 — ctg2 a
1 — tg2 a * ctg a
10. _______-____I_____i____
1 + tg2 a 1 + ctg2 a ’
11	/ tg a + ctg a _ tg a — ctg a \ / 1_____1 \
\ tg a — ctg a tg a + ctg a / \ sin2 a	cos2 a / ’
42. sin2 a (2 + ctg a) (2 ctg a + 1) — 5 sin a-cos a.
4.15. Докажите тождества:
л tg a + ctg p tga
ctga + tgp tgp ’
2.	cos a (1 — tg a) (sin a + cos a) = cos4 a — sin4 a.
o 1 — sin4 a — cos4 a o . 2
3.	'------з-------= 2tg2a. .
cos4 a	&
4.	(sin a + tg a) (cos a + ctg a) =
= (1 + sin a) (1 + cos a).
5	tga-sin a   tga—-sin a
tga + sina tga sin a ’
6.	sina + cosa-ctga + sinatga + cosa =
=	—i—-—.
sm a 1 cos a
7.	3 sin4 a — 2 sin6 a = 1 — 3 cos4 a + 2 cos6 a.
4.16.	Символом обозначается неотрицательный
корень из неотрицательного числа а. Это следует иметь
в виду, упрощая следующие выражения:
1.	]/1 — cos2a(aEz [0; л]).
2.	У1 — cos2 a (а €= [л; 2л]).
3.	У sin4 а — 2sin2a + l.
4.	]Л1 + tg2a (а е (-%-; л)) .
5.	У1 -|- 2 sin a cos а (а €=	5	] ) •
2*
35
6.	У tg2a4-ctg^a —2 (а е ; -2-]) . .
*7 i Г1 + sin a - /~ 1 — sin a	/ ^ / л \\ '
7-	V 1Ж- V т+ет-	(ae(—5я))-
4.17.	Формулы приведения. Так называют группу фор*
Мул, основанных на симметрии числовой окружности от-
носительно координатных осей и прямых у «= ж, у = —х
и сводящих вычисление тригонометрических функций ар*
лп .
гумента вида —тр + а, где п — целое число, к тригономе-
трическим функциям аргумента а.
1.	Вычислите: sin 135°, tg 150°, cos 1110°J sin-^-,
о
13л A 11л
cos — , tg — .
2.	Упростите:
^sin (л + a) -j- cos + a^2 +
4-	^cos (2л — a) — sin (-4^-a^2.
3.	Упростите:
/л \ /Зл \
tg + ay + ctg — ay — tg (л — a) — ctg a
tg (л + a) sin (2л — a) (sin2 (л + a) — cos2 (л — a)) ’
§ 2.	Теоремы сложения
Теоремами сложения называют формулы:
cos (a —	Р)	=	cos a cos	p	+	sin a	sin p,
cos (a +	P)	=	cos a cos	p	•—	sin a	sin p,
sin (a —	P)	=	sin a cos	p*	—	sin p	cos a,
sin (a +	p)	=	sin a cos	P	+	sin P	cos a,
tcfa I Bl— tga + tgP
+	— i — tgatgp »
t„/p,	tgg-tgP
g' P) l+tgatgp *
Из теорем] сложения вытекает большое число тригоно-
метрических формул, из которых мы отметим следующие*
\ 1) формулы двойного аргумента',
cos 2a — cos2a — sin2a = 2 cos2a —1 = 1—2 sin2a,
36
sin 2a = 2 sin a cos a, tg 2a
cos 9q—
sin 2a
2tga
1	— tg2 a ’
2	tg a
l + tg2a ’	1 + tg2a ’»
2)	формулы половинного аргумента'.
о 1 + cos 2a . 2	1 — cos 2ot
cos2 a = —, sin2 a =---------------------* ’»
3)	формулы преобразования-произведения в суммух
cos a cos [3 == -у (cos (a — P) + cos (a P)),
sin a sin В = -5- (cos (a — P) — cos (a + P)),
sin a cos P =-^- (sin (a — P) + sin (a + P));
4)	формулы преобразования суммы в произведениех
, n о a + В а—В
cos а + cos р = 2 cos —cos —г~-,
&	А
а о . а + В . а — В
cos а — cos р = — 2 sin —sin —~
₽Q . а + В	а — В
= 2 sin —cos —тг1- ,
• о о.а—Р а 4- В
sm а —- sin р = 2 sin —cos —.
4.18.	Найдите значения следующих выражений:
1.	sin 13° cos 17° Я- sin 17° cos 13°.
2.	cos 76° cos 16° + sin 76° sin 16°.
3.	cos 8° cos 37° - cos 82° cos 53°.
4.	sin 64° sin 34° — sin 56° cos 116°.
5 tg 2C° +25° p tg 72° — ctg 48°
1 — ctg b5° ctg 7b° ’	* 1 + tg 42° ctg 18°
Л	ЭТ
7. tg~	8.'	.
i-tg34-	i+tg3^-
11. (cos2 10° - cos2 8O0)2 4- cos? 70°.
37
12. sin 20° + 2 sin2 35°.
43. o —2 sin 70°.	14. cos 20° cos 40° cos 80°.
2 sm 10°
15. sin 20° sin 40° sin 80°.	16. cos-2-.
О
4.19. Теоремы сложения и их следствия значительно
расширяют возможности вычисления значений тригоно-
метрических функций.
4. Найдите sin +о^, если sin а = у, а €= 0г ; 2л^.
2.	Найдите tg(-^---а) > если tga = 2.
3.	Найдите cos а, если cos-^- =	.
Z о
4.	Найдите sin a, cos a, tg а, если tg-^- = 3.
5,	Найдите sin а, если sin (— + а) = -Ц-, а ЕЕ
з*
6.	Найдите cos (а + Р + у), если sin а =-у*, sinp =
12	•	7 р Гл л 1
“Тз ’ Sin? = ^-,a,₽,Te 0;у].
I
7.	Найдите tg a tg Р, если cos (а + Р) =±	,
и
cos(a —0) = -^-.
8.	Найдите cos (а —' 0),	если sin а + sin 0 = 1,
cos а + cos 0 = 1^2.
9.	Найдите tg a, tg 0, если tg а + tg0 = 2, tg (а +
4- 0) = 4, tg.. а < tg 0.
4.20.	Упростите выражения:
1.	sin 3 a cos 2а — cos За sin 2а.
2.	cos 5а cos За + sin 5а sin За.
3	s*n (<* 4~ Р) — 2 sin a cos р ч	cos 2а
cos (а + р) 4- 2 sin a sin р *	‘ sin а 4- cos а *
5.	sin3 a cos а — sin a cos3 а.
6.	cos- (а 4- Р) + cos3 (а — р) — cos 2а cos 2р.
38
4.21. Докажите тождества:
1.
2.
3.
4.
6.
8.
9.
10.
11.
4	.	4	2
tga + ctga^^—.
ctg а — tga = 2 ctg 2а.
tg а + 2 tg 2а + 4 tg 4а + ... + 2n tg 2na ==
= ctg a — 2n+1 ctg 2n+1a.
.	sin 2a K , ( л . \ cos 2a
&	1 + cos 2a *	* ® \ 4 “J” °7	1 — sin 2a 9
sin a + sin ft _. a + P n 2 sin a — sin 2a____	2 a
cos a + cos p &	2	*	2 sin a + sin 2a 2 *
3 — 4 cos 2a 4- cos 4a _. 4
3 4*4 cos 2a 4- cos 4a & a'
tg a tg ^-2- + «) tg (-j- — a) = tg 3a.
tg a 4- tg P + tg v — tg a tg p tg у =  S1'?./a + P + ,v)
& I&ri&r &	& r 6 r cosa cos p cos у
sina + sin 2a + sin 3a 4- ••• + sinna =
. п +1 па
sin —2— a sin ——
а
sm-2-
12. cosa + cos 2a + cos 3a 4- ••• + cosna =
n 4-1 n
cos—9— a sin -y- a
a
sinT
43*e ______;________[______i_____ _l
cos a cos 2a ' cos 2a cos 3a '
।__________1___________tg na — tg a
cos — l)acosna	sina
4.22. Содержание этой задачи составляют условные
ждества, т. е. утверждения, устанавливающие, что одно
отношение является следствием другого.
1. Если 3 sin a = sin (2(3 + a), cos (a + P) =/= 0,
cos p 0, to tg (a + p) = 2 tg p.
2. Если cos a = cos P cos y, cos a + cos P =/= 0f to

3-	Если -|f ~ iXsiSb то sin
е= 7 sin (а — Р).
4.	Если а + Р + ? » л» чо cos а + cos Р eos V »
== 1 + 4 sin -2- sin sin -X-
5.	Если а + p + v Jij to sin а 4- sin 0 4- sill 7 »
, а В л у
= 4 COS -у COS -у COS -у .
6.	Если а + 0 + <у = л, tocos- а + cos- 0 + cos- 7 «
— 1 — 2 cos а cos 0 cos у.
7.	Если а + 0 + 7 = cos а О, cos 0 =# О,
cos 7 =# 0, то tg а 4~ tg 0 4- tg 7 s= tg а tg 0 tg 7.
8.	Если а + 0 + 7 = cos а =/= О, cos 0 Ф Of
cos 7 #= 0, то tg а tg 0 + tg 0 tg 7 + tg 7 tg a — 1.
4.23.	Условные тригонометрические тождества иногда
удобно формулировать как свойства углов треугольника.
1.	Докажите утверждение, что треугольник АВС яв-
ляется остроугольным в том и только в том случае, если
О < ctg А • ctg В < 1.
2.	Углы треугольника АВС таковы, что sin ЗЛ 4-
+ sin ЗВ + sin 3C = 0, Докажите, что один из углов
треугольника АВС равен по величине 60°.
3,	Углы треугольника АВС такова, что
sin А —
sin В 4-sin С
cos В + cos С
Докажите, что треугольник АВС — прямоугольный.
4.	Углы треугольника АВС таковы, что sin Л =э
= 4 sin -у sin -у cos -у. Докажите, что треугольник
АВС — равнобедренный.
5*. Углы треугольника АВС таковы, что cos Л 4-
+ cos В 4- cos С = 3/2. Докажите, что треугольник
АВС — равносторонний.
§ 3.	Обратные тригонометрические функции
Если числа а и Ъ таковы, что a=sin & и-&Е=
€= [—л/2; эт72], то число Ъ называется арксинусом числа
a (b == arcsin а); если числа а и Ь таковы, что а — cos Ъ
и Ъ ЕЕ [0; л], то число Ъ называется арккосинусом числа а
40
(b =s arccos а); если числа a и 6 таковы, что а = tg Ъ и
-------то число Ь называется арктангенсом
числа а (& s= arctg а); если числа а и Ь таковы, что а =
?= ctg Ь и Ъ S (0; л), то число Ь называется арккотанген-
сом числа а (Ъ — arcctg а). Этими условиями однозначно
определены обратные тригонометрические функции у =
j=s arcsin хх у = arccos х на промежутке [—1; 1] и у ==
«а arctg х, у = arcctg х на всей числовой оси. Отме-
рим несколько простых соотношений для обратных три-
гонометрических функций:
arcsin (— х) ~ — arcsin х,
arctg х + arcctg x =	,
arcctg (—x) = л — arcctg x.
4.24.	Вычислите arcsinarccos (—1), arctg (— |/3),
n •	/2	(	/3" \
arcctg 0, arcsin , arccos I--Чу— .
4.25.	Найдите значения следующих выражений:
arcsill x + arccos x = ~,
arccos (—x) = л —arccos x,
arctg (—x) = — arctg
;1.
2.
3.
4.
5.
•	1	, 1
arcsin -5- + arccos -5-.
О	о
1 , / . 1 \
arccos — 4- arccos I------у-).
•	2 '	/	2 \
arcsin -------arccos------5-).
О	\	о /
arctg 2 + arctg —.
arctg (1 4- У 2) — arctg (1 — У 2).
4.26.	Постройте графики функций:
1.	у — arcsin х 4” arccos х. 2. у = sin (arcsin х),
3, у = tg (arctg^r). 4. у = cos ^arccos.
5. у = sin (arccos x). 6. у = arcsin (sin x),
7. у = arcsin (cos x). В. у = arccos (cos	— ж2).
4.27. Докажите, что для любого значения х из проме-
жутка [—1; 1] справедливы неравенства
.	л2
1. arcsin х • arccos х -т-- •
^16
2. arctg (arcsin х} < arcctg (arccos а?).
141
§ 4. Тригонометрические уравнения
и неравенства
Если | а |	1, то все решения уравнения
sin х = а задаются формулами х = arcsin а + 2л&, х ==*
= л —arcsin а + 2л&, гдей — произвольное целое число.
Для а = 1 лучше пользоваться формулой х = л/2 4-
+ 2л/с, для а = —1 — формулой х = —л/2 + 2л&, для
а = 0 — формулой х = лк.
Если | а |	1, то все решения уравнения
cos х — а задаются формулами х = arccos а + 2л&, х =*
= —arccos а + 2л&, где к — произвольное целое число.
Для а = 1, а = —Г, а = 0 лучше использовать формулы
х = 2л/г, х = л + 2лй, х = л/2 + л/i; соответственно.
Если | а | > 1, то уравнения sin х = a, cos х = а корней
не имеют.
Для любого значения а все решения уравнений tg ж =
= a, ctg х — а задаются формулами х = arctg а + л/с,
х = arcctg а + лк (к — произвольное целое число) соот-
ветственно.
4.28. Замена переменной. Решите уравнения:
1.	3	sin2	х —	2 sin х = 1*	2. 2 sin2ж -|-5cos&—4	= 0.
3.	2	cos	2x =	8 cos x — 1.	4. 3 tg2 x + ctg2	x	=	4.
5. 6 tg 2x + tg x H~ 6 = 0. 6. 2 sin x + 3 cos x = 0.
7.	cos2 x	— 3	sin x cos x +	2 sin2 x = 0.
8.	2	sin2	x +	3 sin x cos x + 7 cos2 x = 6.
9.	(sin x + cos ж)3 = 4 sin ж. 10. 2 ^tg -1^ = cos ж.
11.	tg ж + ctg ж = 3 + 2 sin 2ж.
12.	sin ж + cos ж =*= sin 2ж.
13.	sin ж cos ж — 6 (sin ж — cos ж — 1).
14.	—Д----------— = 1.	15. sin4 ж 4-cos4 ж = Ц-.
sm x cos x	•	2
16. sin8 ж + cos8 ж = cos2 2ж.
*	16
4.29. Докажите, что при а > 0 верна формула
. a sin ж + b cos ж = У а2 + b2 sin (х + arctg •
Решите уравнения:
1. sin ж + cos ж = —1. 2. УЗ sin ж — cos ж ==; У2.
3. 3 sin ж 4- 4 cos х — ~.
&
4.30. Разложение на множители.
1. sin7# = sinl5#. '2. cos^3#-----=cos ^#4~
3. tg Зх « tg 5x.	4. cos 3x == sin 10#.
5.	cos x + cos 2# + cos 3x + cos kx = 0.
6.	cos2# + cos2 2# + cos23# = 3/2.
7.	sin23# + sin24# + sin26# + sin27# = 2.
8.	sin 2# cos 4# == sin lx cos 9#.
9.	cos 2# cos 8# + cos x cos 3# + cos 2# cos 10# = 0.
10.	cos3 # cos 2# — sin3 # sin 2# = cos # — 1/4 sin #.
11.	tg 2# tg 7# = 1.	12. cos 2# = cos # 4- sin #.
13.	cos 5# + cos 7# == sin 2#.
14.	5 sin # + 12 cos #4-13 sin 3# = 0.
15.	24 sin 3# 4- 15 cos 5#	20 sin 5# 4- 7 cos 3#.
16.	sin 2# С|Л3 4~ cos #) = sin # (4 4“ 2 sin2 #).
17.	2 tg 3# — 3 tg 2# =5 tg2 2# tg 3#.
4.3	1. Уравнения, предлагаемые в этой задаче, можно
решить, сравнив области значений левой и правой частей:
1. 3sin7 # 4- 4cos10#= 7.	2. sin5# 4-cos11# = -^-.
3.	sin # 4- cos 4# 4- 2 sin 5# = 4.
4.	(cos 2# — cos 4#)2 =5 4 + cos2 3#.
5.	tg2# 4- ctg2# ]/~2 (sin # 4- cos #).
6.	cos2# — cos4 # ~ sin2# sin 3# — 1.
7.	tg2 # 4- tg2 3# = tg # 4- tg 3#-.
4.	32. Решите уравнения:
1.	tg 4 |2ЯЖ.: ~ —2- sin (л cos x) = cos (л sins:).
3*. tg (л tg#) = Ctg’(n ctg #).
4.	33. Системы тригонометрических уравнений. Решите
системы уравнений:
1.
sin # cos у =	,	2. [ sin2# = cos # cos ?/,
!	tcos2 # = sin # sin y.
sin у cos # = -~-.
&
43
3. I sin2 я = sin?/, 4. Jsin#-f-sin ?/=sin3#-f-cos3y+l,
( cos4 x = cos y. I sin2 x + sin2 у = sin4 x -f~ sin4 y.
4.3	4. Тригонометрические неравенства. Решите не-
равенства:
1. cos 2х > sin х.
3. 3 sin 2х 1 + 2 tg х.
д cosz(l — 2 sin я) < q
cos х — sin x
2. sin 5x 16 sin5 x.
4. cos 2x cos x — sin x.
6. cos2 x + cos2 2x + cos2 4я + cos25# > 2.
§ 5. Исследование тригонометрических
функции
Число Т называется периодом функции
у = / (я), если для любого числа х из области определе-
ния этой функции числа х + Т и х — Т также принадле-
жат области определения и / (х + Т) = / (х). Функция,
имеющая период, отличный от нуля, называется перио-
дической.
Периоды функций у sin х, у = cos х задаются фор-
мулой Т = 2л&, а периоды функций у = tg х, у = ctgrp —
формулой Т = лк, где к — произвольное целое число.
4.35. Найдите области^ значений функций:
1,	у = 1 -|~ 2 sin 5я.	2. у = sin х +	cos х.
3.	у = 3 sin х — 4 cos	х	—	1. 4. у — sin2 х + sin 2х.
5.	у = cos х + cos 2я.	6. у = tg х (1	— tg х).
4.36. Какие из следующих функций периодичны?
1.	у = sin Y | х |. 2.	у	=	| sin (х 4- л/3) |.
3.	у = sin | х |.	4.	у	=	cos | х ].
5. у = sin {sin я).] 6*.у = cos х cos (xjf 2).
4.37. Найдита.все периоды функций:
1. у =* sin Зя. 2. у = tg (4я + эт/6).
3. у =s sin2 я. 4. у = cos 2я + sin Зя.
5. у =* cos (sin (cos я)).
4.38; Кривая, которая в некоторой системе координат
задается формулой вида у = A sin соя, где А, со — ве-
щественные числа, отличные от нуля, называется синусо-
44
идой, число | А ] называется амплитудой этой синусои-
ды, | со | — частотой. Докажите, -что Т = 2л/со — пе-
риод функции у — A sin (дх. Докажите, что графики
следующих функций — синусоиды и постройте их.
1. у = cos х.	2. у = 2 sin (л/6 — Згг).
3. у « cos х + sin х. 4:.. у = sin2 х.
5. z/ — 3 cos2 х + 2]Л3 sin х cos х + sin2 х.
4.39.	Постройте графики функций:
А	Щ х	п	х х
1.	У = Г"Г7 9--- •	Z/ = Ctg,-o“Sin^.
1 + tg2 х	&	& 2
3.	у = sin х | cos х ].
4.40.	Изобразите на координатной плоскости фигуры,
задаваемые следующими уравнениями и неравенствами:
1.	sin (х + у) = 0.	2. tg х = tg у.
3.	у = | у — sin х |. 4. sin х cos у.
5*. х2 + 1 2х sin (х + у).
4.41.	а1? а2, . . ., аЛ — вещественные числа (п 2).
Докажите, что | sin 04 sin а2. . . sinan + cos ах cos а2. . .
. . . cos ап | < 1.
4.42.	ссх, а2, I . ., ап— вещественные числа, 0 <	<
-< а2 С . . . < an<Z л/2 (п > 2). Докажите, что
sin cq 4- sin tx2 + • • • + sin ап
ai cos ai cos а2 . 4- cos С 18
Глава 5
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 1. Вычисление производных
5.1. Основные формулы вычисления производ-
ных. Производные суммы, разности, произведения, част-
ного дифференцируемых функций вычисляются по форму-
лам: {и + v)' =^uf + i/; {и — и)' =: и' — v'; (au)z =± auf
/	\ / \г г ,	/ / и V u'v — uvf
(а — число); [uv) =uv+ uv (—) -------------.
45
Таблица производных
у = а (постоянная функция)		yr =		0	
У	п = X	y'	=	пж11"1	
У	— sin ж	y'	=	cos X	
У	= СОЗ X	y'	=	— sin x	
У	= tgs	y'	=	1 COS2 X	
У	= ctg X	y'		1 sin2 x	
У	= arcsin х	y'	=	1 Vi — X2	
У	= arccos x	y'	=	1 Vi — x*	
У	= arctg x	y'	=	i 1 + x2	
У	= arcctg x	y'	=	i 1 + x2	
Вычислите производные следующих функций:		
1. у = 3 — 2х.	2.	у = 2х — х2.
З.у = {х + ^.	4.	5
5.у = угх.	6.	у = X2 Xs.
7.у = (х2 + х) (fix2 + у4х).	8.	У = COS X — tg X.
9. у = я2 ctg я.	10.	sin х
		У	X
11. у = х + arcsin х. ,13 ц= 1 + tgx	12.	у — sin х^ arctg Хь
1 — tg ж		
5.2. Производная сложной функции. Производная
сложной функции у ~ g (f (х)) вычисляется по формуле
У* =* gr (f (x))f (#)• В* частности, если и (х) — дифферен-
цируема, то основные формулы вычисления производных
обобщаются следующим образом:
если у *=* ип (ж), то у' — пи11"1 (х) и' (х)-,
если у sin и то у' « cos и (х)-и' (ж);
46
если у = tg и (х), тоу' = с“/У(ж) и т. д.
Вычислите производные следующих функций:
у = sin 2х.
з. у =	— Зх.
5.	у = —-Д—.
* COS3 X
7. у = sin (cos2 (tg3 <r)).
2. у = (x + I)50.
4. y — fr(2#3 — #2)3
6. у = Ytg2 2я.
g ______ sin (cos x)
V cos (sin x)
5<3. Производная в точке.
1. Вычислите f » если / (х) =	1 + 5х.
2. Вычислите f (]Л2), если / (х) == х‘3 arcsin -i-.
3.	Вычислите f (0), /' (2), f (3), * если f (х) =
= х3 (х - 2)2(я - 3).
4.	Вычислите величину производной f (5), если f(x) =
= х (х — 1) (х — 2)... (х—10).
2х
5.	Вычислите;/' (0), если /(х) — arctg ^_х2 •
5.4.	Приближенные вычисления. Если функция у =
/ (х) имеет в точке производную, то при малых /\х
ее приращение Ду = / (я0 + Д<г) — / (я0) можно вычис-
лять по приближенной формуле Ду ~ /' (я0) Д<г. Вычис-
лите приближенно:
1. 2,013. 3. -^1,04.	2. 9,9988. 4		 1,0023’
5. sin 31°.	6. tg 43°.
7. arctg 1,01.	Я -.У 1)98 °’ V 2,02 •
§ 2. Касательная
5.5.	Если функция у f (х) имеет произ-
водную в точке х0, то касательная к графику этой функции
в точке с координатами (<r0; / (xQ)) имеет угловой коэффи-
циент /' (<г0) и задается уравнением у = f'(xQ)(x — xQ) +
+ / (х0).
47
1.	Какие углы образуют с осью абсцисс касательные
3 I 2х_____________х2
к параболе у — —--------- в точках с абсциссами —1;
1; 3?
2.	Найдите уравнение касательной к графику функции
у = Зх3 — х — в точке с абсциссой 1.
3.	Найдите уравнение касательной к графику функции
у = хъ + Зх + 2 в точке с ординатой 2.
4.	В каких точках касательная к параболе у = х?
параллельна прямой у — кх — 5; перпендикулярна пря-
мой 2х — бу +' 5 = 0; образует с прямой Зх — у + 1 = С
угол в 45°?
5.	При каких р и q парабола у — х2 + рх + q касает-
ся прямой у — Зх — 2 в точке с абсциссой 0?
6.	При каких а, Ь, с график функции у = х3 + ах2 +
+ Ъх + с касается прямой у = ^х -J- 4 в точке с абсцис-
сой —1 и пересекает эту прямую в точке с абсциссой 2?
5.6.	Касательные к параболе.
1.	Докажите, что касательная к графику квадратной
функции имеет с ним только одну общую точку.
2.	Докажите, что прямая, не параллельная оси ор-
динат и имеющая с графиком квадратной функции
только’ одну общую точку, является касательной к этому
графику.
3.	При каких р и q парабола у — х2 + рх + q ка-
сается прямых у — 5х + 1 и у = —х — 2?
4.	Найдите уравнения касательных к параболе у — х2,
проходящих через точку (2; 3).
5.	Докажите, что абсцисса точки пересечения двух
касательных к графику квадратной функции равна полу-
сумме абсцисс точек касания.
6.	Докажите, что любая касательная к параболе
у = х2 образует равные по величине углы с двумя пря-
мыми, одна из которых проходит через точку касания
параллельно оси ординат, а другая проходит через точку
касания и точку (0; х/4) (фокус параболы, см. 3.4).
7.	Докажите, что любая касательная к параболе
у = я2 пересекает прямые у = х/4 и у = —г/4 в точках,
равно удаленных от точки (0; х/4).
8.	Докажите, что две касательные к параболе у = х2,
проведенные из произвольной точки прямой у =5 —-Vi?
взаимно перпендикулярны.
48
9.	Докажите, что если две касательные к параболе
у — х2 взаимно перпендикулярны, то их точка пересече-
ния лежит на прямой у — —г/4.
10.	Через произвольную точку оси абсцисс проведены
две прямые, одна из которых касается параболы у = х2
(и не совпадает с осью абсцисс), а другая проходит через
точку (0; Vi). Докажите, что эти прямые взаимно перпен-
дикулярны.
11.	Обобщите утверждения задач 6—10 на произволь-
ную параболу.
5.7,	Касательные к гиперболе.
1.	Докажите, что касательная к гиперболе у = — имеет
с ней только одну общую точку.
2.	Докажите, что прямая, не параллельная осям
координат и имеющая с гиперболойу — — только одну
общую точку, является касательной к этой гиперболе.
3.	Докажите, что любая касательная к гиперболе у—
образует равные по величине углы с двумя прямыми, од-
на из которых проходит через точку касания и точку
(]Л2; У2)» а другая — через точку касания и точку
(_/2; -/2).
4.	Докажите, что отрезок любой касательной к гипер-
боле у— — , заключенный между осями координат, де-
лится точкой касания пополам.
5.	Докажите, что площадь треугольника, ограничен-
ного осями координат и произвольной касательной к ги-
1	о
перболе у==--^ равна 2.
6.	Докажите, что произведение расстояний от точек
(/£ /2) и (— ]/£; — |Л2) до произвольной касательной
к гиперболе у—— равно 2.
§ 3. Монотонность. Экстремумы
Будем говорить, что функция у = f(x) воз-
растает (строго возрастает; убывает; строго убывает)
на промежутке, если для любых двух чисел х2 из этого
промежутка, таких, что хг> х2, выполнено неравенство
/ (*1) > / (*2) (/ (*1) > / (^2); / (*1) < / («2)» / (*1) < / te))-
49
Возрастающие и убывающие функции называются моно-
тонными, строго возрастающие и строго убывающие —
строго монотонными. Если у =f (х) — дифференцируе-
мая функция, то она возрастает (убывает) на промежутке
в том и только в том случае, если во всех точках это-
го промежутка выполнено неравенство у* > 0 (у'	0).
Эта монотонная функция строго монотонна в том и только
в том случае, если нет такого промежутка, все точки кото-
рого удовлетворяют уравнению у' = 0. (В частности, это
условие выполнено, если производная у' вовсе не имеет
корней или имеет конечное число корней.)
5.8. Для каждой из следующих функций укажите про-
межутки строгой монотонности.
1. у = х3 + х.	2. у == Зх — х\
3.	у = (х — I)5 (2ж + 3)\ 4. г/ = а:+-^-.
к	1	а	1	1
О. У—Х---------.	о. ?/ = “7 Г—Г77  ---9- •
*	X	V (х + I)2 X2 *
7.	=	+	— ]/ж2 — #4-1.
8.	у = sin3 х + cos3 х. 9. у = tg х — 2х.
5.	9. Функция задана формулой у = х3 + ах2 + Ъх +
+ с (а, Ъ, с — вещественные числа). Докажите, что най-
дутся такие числа аир, что эта функция возрастает на
каждом из промежутков (— об; а], [р; + оо).
5.1	0. Зная промежутки монотонности функции, не-
трудно найти ее наибольшее значение и наименьшее зна-
чение.
1.	Найдите наименьшее значение функции у = х3 —
— &х2 + 1, если —1	х	2. j
2.	Найдите наибольшее значение функции у = х3 —
— 6я2 + 1, если —1	х	5. '
3.	Найдите наибольшее значение функции у = Зя4 —
— 4я3 — 12я2 + 5, если —2 х 4.
4.	Найдите наибольшее значение функции у = 7 +
+ 4.г3 — ж4, если —1 х 3.
5.	Найдите наименьшее значение функции у —
= [6яб — 15я?4 — Юж3 + И, если —1 х 3.
6.	Найдите наибольшее значение функции
2х2 — 9# — 2	п	г
t/= ——е-----г;— , если 0 < х < 5.
J х2 — Ъх — 6 *
7.	Найдите наибольшее значение функции
Чх2 — 8	л	п
и =——----——	если —1
J я2 + я -4- 1 ’
50
8.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции у — 2х — 4 + у 5 — х.
9.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
Ции У= ж2 + 9'--- > если —2	< 4.
10.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции у — cos 2х— х, если----
11.	Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции у — sin х sin
12.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции
f 2х2— х3, если —1<^я<^3,
[ 8х— х2, если 3<^гг<^5.
13.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции у = | х3 — 1 | — | х2 — 2х | — я, если —2 х 3.
14.	Найдите наименьший член последовательности
ап — п4 — 5п3 — Зп2.
15.	Найдите наибольший и наименьший члены после-
п — 12
довательности ап =	п_|, 7" •
16.	Докажите, что если —1 х 0, то |*я3 + 2а; +
+ 1 I < 2.
17.	Докажите, что если —2 х 2, то Зя5 — 5я3 —
— ЗОя < 40.
18.	Докажите, что если —2 х 2, то | х3 — Ъх |
< 2.
19.	Докажите, что если —2	— 1, то 7 х^ —
— х3 + 2я2 — Ъх &8.
Зж2__5
20.	Докажите, что если х <Z — 1, то 1 0 — 1.
21.	Докажите, что если 0 < х < л/2, то sin х
2x1л.
5.1	1. Каждую из следующих ’задач можно свести к на-
хождению наибольшего или наименьшего значения не-
которой функции.
1. Какое наименьшее значение может принимать сум-
ма расстояний от начала координат до точек пересечения
координатных осей с прямой, имеющей положительный
угловой коэффициент и проходящей через точку (—1; 2)?
2л Какое наименьшее значение может принимать про-
изведение расстояний от начала координат до точек пере-
сечения координатных осей с прямой2 имеющей отрица-
51
тельный угловой коэффициент и проходящей через точку
(2; 1)?
3. Найдите точку параболы у = ж2, ближайшую
к точке (—1; 2).
4*. Дифференцируемая функция у = / (х) определена
на открытом промежутке. Точка А не лежит на графике
у — f (х), В — ближайшая к А точка графика функции
у — f (х), I -— касательная к графику к точке В. Докажи-
те, что прямая АВ перпендикулярна I.
5.	Какое наименьшее значение может принимать сум-
ма квадратов расстояний от точки (2; 2) до двух то-
чек параболы у — х2^ симметричных относительно оси
ординат?
6.	Какое наименьшее значение может принимать рас-
стояние между такими двумя точками А и В параболы
у — х2, что прямая АВ перпендикулярна касательной
к параболе в точке А?
7.	Какую высоту имеет прямоугольник наибольшей
площади, вписанный в сегмент круга радиуса /?, если
высота сегмента равна Ш (Основание прямоугольника
лежит на основании сегмента.)
8.	Параболическим сегментом называется фигура, ог-
раниченная параболой и прямой, перпендикулярной ее
оси. Расстояние от вершины параболы до этой прямой на-
зывается высотой сегмента, а длина отрезка прямой, вы-
секаемого параболой — основанием сегмента. Какую наи-
большую площадь может’ иметь прямоугольник, вписан-
ный в параболический сегмент с основанием а и высотой
Н1 (Одна из сторон прямоугольника параллельна оси
параболы.)
9.	Какую наибольшую площадь может иметь прямо-
угольник, вписанный В'Круговой сектор радиуса R с цен-
тральным углом а? (Одна из сторон прямоугольника па-
раллельна оси симметрии сектора.)
10.	Какую наибольшую площадь может иметь тра-
пеция, три стороны которой равны а?
11.	Какую наименьшую площадь полной поверхности
может иметь цилиндр, если его объем равен V?
12.	Тело представляет собой прямой круговой цилиндр,
завершенный сверху полушаром. Какую наименьшую
площадь полной поверхности может иметь это тело, если
его объем равен V?
13.	Докажите, что объем шара, вписанного в конус,
не превосходит половины объема этого конуса.
14.	Какой сектор надо вырезать из данного круга,
чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку
наибольшей вместимости?
15.	Определите радиус основания цилиндра, вписан-
ного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь
боковой поверхности. Чему равна площадь боковой по-
верхности этого цилиндра?
' 16. Определите высоту конуса, вписанного в шар ра-
диуса R и имеющего наибольшую площадь поверхности.
17.	Правильная четырехугольная призма и правиль-
ная четырехугольная пирамида расположены так, что
одно из оснований призмы лежит в основании пирамиды,
а вершины другого основания лежат на боковых ребрах
пирамиды. Какой наименьший объем может иметь пира-
мида, если сторона основания призмы равна а, а боковое
ребро равно 2а?
18.	Дождевая капля, начальная масса которой равна
т (г), а начальная скорость равна нулю, падает под дей-
ствием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что
масса уменьшается пропорционально времени (коэффи-
циент пропорциональности равен к (г/с)). Через сколь-
ко секунд после начала падения кинетическая энергия
капли будет наибольшей?
19.	Из пункта А, находящего в лесу в 5 км от прямо-
линейной дороги, пешеходу нужнц попасть в пункт В,
расположенный на этой дороге в 13 км от пункта А. По
дороге пешеход может двигаться с максимальной скоро-
стью 5 км/ч, а по лесу — с максимальной скоростью
3 км/ч. За какое минимальное время пешеход сможет
добраться из пункта А в пункт В?
5.1	2. Доказательство неравенств. Функции у = / (х)
и » = g И дифференцируемы на промежутке [а; + оо).
Докажите, что, если f (а) > g (а) и при всех х, больших
а, справедливо неравенство /' (х) g' (х), то при всех х,
больших а, справедливо неравенство / (х) > g (х). Дока-
жите неравенства:
1.	Если я>0, то 1+“^------~<]Л1 4- я < 1 +
2.	Если х > 0, то 1 + -------+ х <С
< 1 4- JL (п — натуральное число).
3.	Если х 02 то cos х 1 —
53
4.	Если ж*>0, то sin#>>#-------
о
5.	Если 0 < х < л/2, то tg#>#-|--y-.
6.	Если 0 < а < р < л/2, то а sin Р < Р sin а.
7.	Если 0 < а < р < л/2, то а tg р > р tg а.
5.	13. Построение графиков. Постройте графики функ-
ций:
1. г/ = -|-ж3 — я2 —4# + 2. 2. р = я4 —2я2 +1.
3. у = х* — 4#3 + 4#2 — 1. 4. у = х3 — 6#	6 arctg х.
5. у = cos х Н—y cos 2я.
5.14. Число корней уравнения. Для того, чтобы найти
число корней уравнения / (х) = 0, часто бывает достаточ-
но представить себе график функции у = / (х).
Выясните, сколько корней имеют уравнения:
1. х3 — Зя2 + Зх — 1=0.	2. х3 — х = -4=- •
3. 12я4 —12я3-3я2 —5 = 0.
4-]Лг2 + х + 1 — j/" х-1" = 1.
з
5.	6 arctg х — х3 = —л— 1.
6.	Сколько корней на отрезке [0; 2л] имеет уравнение
3sin х + 2 cos3 х = 2,5?
7.	Сколько корней на отрезке £---; -yj имеет урав-
нение cos 2х + tg Зх е= 5?
Для каждого значения а выясните, сколько корней
имеют следующие уравнения:
8.	Зх4 - 14я3 - 45я2 + а = 0.
9.	х5 — х3 — 2х + а = 0.
10.	2я4 + 2ая3 - а2х2 +1=0.
11.	sin 2х + 2 sin х = а (0 х 2л).
5.1	5. Число корней кубического уравнения. Кубическое
уравнение х3 + ах2 + Ъх + с = 0 сводится подстановкой
х—у —у к уравнению вида у3 + ру + q = 0.
1	. Докажите, что, если 4р3 + 27д2	0, то уравнение
х3 4- рх + q = 0 имеет один корень.
2	. Докажите, что если 4р3 + 27q2 = 0, а из коэффи-
циентов р, q хотя бы один отличен от нуля, то уравнение
х3 + рх + q =s 0 имеет два корня.
3	. Докажите, что если 4р3 + 27q2 < 0, то уравнение
х3 + рх + q = 0 имеет три корня.
5	.16*. Найдите все значения я, при которых разность
между наибольшим и наименьшим значениями функции
у « х3 — ах на отрезке [0; 1] равна 2.
5	.17*. Найдите все значения^?, при которых наимень-
шее значение функции у = х3 + яя2 — 1 на отрезке [0;
1] равно наибольшему значению ее на отрезке [1; 3].
5	.18*. Найдите все значения а, при которых область
значений функции у = sin х (а — соз 2х) содержится в
отрезке [—1; 1].
Глава 6
ИНТЕГРАЛ
§ 1. Вычисление интегралов
6.1. Функция у — F (х) называется первооб-
разной функции у s= f (х) на отрезке [а; Ь], если функция
у F (я) имеет в каждой точке отрезка [а; Ь] производную
F! (х) — f (х). Если у - F (х) — одна из первообразных
функции у = / (ж), то любая другая первообразная этой
функции имеет вид у = F (х) + с, где с — веществен-
ное число.
Если интегрируемая функция y~t{x) имеет на отрезке
' ъ
[а; Ы первообразную!, у — F (х), то § / (х) dx = F (b) — F (а).
Отметим несколько свойств интеграла:
ь	ь
§ а/ (х) dx — а § / (х) dx	(а — число);
а	а
Ъ	Ъ	Ъ
$ (/ (*) + g (ж)) dx =5 / (ж) dx + g (х) dx;
а	а	а
Ь	Ь	Ъ
$ (/ (^) — g (ж)) dx = / (х) dx — g (?) dx;
а	а	а
Ь	с	с
^f(x)dx + ^f(x)dx = ^f (х) dx.
aba
55
Таблица первообразных ♦)
Функция		Первообразная	।
У	= а (а — число)	у = ах
У	— хп (п =/= — 1)	.. 		-	«а+1 v~ п + 1 ®
У	= sin х	у = — COS X
У	= cos X	у = sin х
	1	р = — ctg да
У	*" sin2 х	
	1	
У	= cos2 X	у = tg да
	1	у = arctg да
У	= X2 + 1 1	
		у = arcsin да
У	V1 —а;2	
*) Для каждой пз функций, приведенных в левом столбце таблицы,
в правом столбце помещена одна из ее первообразных.
Вычислите интегралы;
5
1. § 5dx.
-1
2
3.	(2я3 — х — 1) dx.
о
8
с С dx
6;
2
2
_ Г 2x3 + Зх — 2 ,
7. \------!-т-----dx.-
J хь
1
3 /-
s. ( 2»1+<f+Lfe.
1	Vх2
q С д3 + а: + 1 dx
У* J	dX"'
О
4
2. § (3 — 2х) dx.
1
2
» (* dx •
4. \ ~О~Т •
J Зда6
1
1
6. хъ dx.
о
Л/2
10. С cos2-^-dx.
'—л/г
56
Л	Л/4
11. \ (sin да — 3 cos да — x)dx. 12. § tg2#d#.
о	о
X	л
13.	§ (| 2® — 11 — | х |)2d®.	14. § | sin х — cos х | dx,
—1	о
6.2. Линейная замена переменной. Линейная замена
переменной в интеграле осуществляется по формуле
Ь	аЬ+₽
^/(а®+ P)d®=-^- f(x)dxt
а	аа-НЗ
где а, р — вещественные числа, а О,
Вычислите интегралы}
Л/2
1. sin Зх dx.
о
1
3. ^(Зда4-1)7йда.
о
Л/2
5. cos3 х dx.
о
2
« С dx
’ J*2+4*
о
1
9 С dx
J /2—-я2 *
о
з
11. ^у/Г2х — [х — 2|drr.
1
1
2. § j/Ч — х dx.
Л/2
4. J sin2^cos5^d^.
о
о
л (* dx
°’ J ж2+ 2^ + 2 ‘
—1
1
Q С
°’ J 2х* + 2х + 1 *
—
л
12.	+ sin^dj:.
о
6.3.	Используя лйнейную замену переменной, докажи-
те следующие утверждения:
1.	Если у = / (х) — нечетная интегрируемая на отрез-
а
ке [—я; а] функция, то § / (®) dx = 0.
—а
2.	Если у = / (х) — четная интегрируемая на отрезке
а	а
[—а; а] функция, то § f(x) dx — dx.
—а	О
57
3.	Если у = / (х) — периодическая функция, опредёй
ленная на всей числовой оси и интегрируемая на любой
отрезке, Т — ее период, то для любых чисел а и &
Ь	Ь+Т	а+Т
^f(x)dx = § j(x)dx и § f(x)dx
а	* а4-Г	а
не зависит от а. Если при этом график функции y^f(x)
симметричен относительно какой-нибудь точкй оси
М-Г
абсцисс, то § f(x)dx = 0.
а
6.4.	Общая формула замены переменной. Следующая
формула обобщает формулу линейной замены переменной:
•	Ь	<р(Ь)
$ / (ф (#)) ф' (я) dx= / (t) dt.
а	<р(а)
Вычислите интегр алы:
1 1
1.	С я2]/я3 4-1 dx. 2. ( dx.
J	J	1 + ж16
о	о
. 1	Я/4
з.	4. \ ™±dx.
J 1 + X3	J	COS3 X
о	о
1
5.	С	6*. \ tyfxdx.
J 1 + X2	J
—1	о
6.5. Теорема о среднем. Если ш — наименьшее, а М —
наибольшее значения функции / на отрезке [а; Ы, то
&
m(Ь — a) (х) dxМ(Ь — а),
а
b
Более точную оценку для ^f(x)dx можно получить,
разбив отрезок [а; Ы на несколько меньших отрезков и
применив теорему о среднем к каждому из них. Докажите
неравенства:
18	2
1. 9<С	2. 0,6<С -^rdx <0,75.
a	Hi
58
10
С Х Л 5
J ж3 + 16 dx<~
о
2
dx <^5.
5.
7.
8.
3,5	3,5
8< $ 7Z7T^<10-	6. 8,25< jj
1,5	1,5
53V1
\ i ,	. dx <^n.
2	' j 14- sm2 x
Л/4
•5л/1
7 л	1	z7-»»	5 л
TT^ J l-J-sin2# ax<^~'
л/i
j йя<9,25.
6.6*. Докажите, что если среди чисел а, 5, с хотя бы
одно отлично от нуля, то функция у = а cos х + Ь cos 2х +
+ с cos Зя принимает как положительные, так и отри-
цательные значения.
6.7. Интеграл с переменным верхним пределом.
Если функция у == / (я) непрерывна на отрезке [а; Я
(в частности, если эта функция имеет производную в каж-
х
дой точке отрезка [а; 6]), то функция F (x)==^f(t)dt
а
является первообразной функции у = / (я) на отрезке
[а; Я, т. е. при всех я ЕЕ [а; Я имеет место равенство
F' (х) = f (я).
х
1. F (х) = J dt. Найдите F1 (0), F' (л), F' ( - -J-).
0 '
х+1
2-	$ ^Wdi' Найдите F'(0),F' (л),
X
х2+1
3. F(x)==	1 + Найдите F! (я),
о
х4
-——j-dt. Найдите промежутки монотон-
о
пости функции у = F (х).
COS X
5. F (х) =	+ t2 dt. При каких значениях х
sin х
функция у = F (х) принимает свое наибольшее значение?
59
§ 2. Приложения интеграла
6.8. Вычисление площадей. Если функция
у — f (х) интегрируема на отрезке [а; 6] и все ее значения
на этом отрезке неотрицательны, то площадь подграфика
этой функции, т. е. фигуры, задаваемой условиями
ь
а х Ъ, 0 < i/< / (я), равна ^f(x)dx. Если функции
а
у = f (х) и у = g(x) интегрируемы на отрезке [а; Ь\
и во всех точках этого отрезка выполнено неравенство
то площадь фигуры, задаваемой условиями
ъ
а х &, g (х) у f (х), равна § (/ (х) — g (х)) dx.
а
Найдите площади фигур, задаваемых следующими
условиями:
1.
1 < X < 2,
°<уО2 + 1.
4. 0 у 1 — х2.
6. х2— х — §^y<^x — 2.
8. х2—
10. | х — 11 у <11 + 2# — я2.
И. Докажите, что площадь параболического сегмента
(см. п. 8 задачи 5.11) с основанием а и высотой h равна
12. Парабола у = х2 — х — 2 касается сторон неко-
торого угла в точках с абсциссами —1 и 3. Найдите пло-
щадь фигуры, состоящей из всех точек этого угла, коор-
динаты которых удовлетворяют условию у < х2 — х —; 2.
13. Парабола у = ах2 + Ьх + с касается сторон угла.
Докажите, что прямая, проходящая через вершину угла
и перпендикулярная оси абсцисс, разбивает на две рав-
новеликие части фигуру, состоящую из всех точек угла,
60
координаты которых удовлетворяют условию у ах2 +
+ Ъх + с.
6.9. Максимум и минимум площади.
1*. Через точку, лежащую на параболе у = х2, про-
водится прямая у = ах + Ъ, перпендикулярная касатель-
ной к параболе в этой точке. Какую наименьшую площадь
может иметь фигура, задаваемая условием х2 у
ах + 6?
2. При каком положительном а площадь фигуры*,
задаваемой условием
принимает наименьшее возможное значение?
3*. Точка Л с координатами (я0; z/0) такова, что z/0
4- Для каждого вещественного числа а через S (а)
обозначим площадь фигуры, задаваемой условием х2
у а (х — х0) + yQ. Докажите, что, если S (п0) —
наименьшее значение функции a i-> S (а), то прямая”// =
= а0 (х — х0) + у0 пересекает параболу у ~ х2 в точках,
симметричных относительно точки А.
6.10. Представление об интеграле от неотрицательной
функции как площади подграфика этой функции иногда
бывает полезным при нахождении интегралов и первооб-
разных.
1
1.	Вычислите ]Л1 — x2dx.
о
2.	Найдите первообразную функции у —	1 — х2-
1
3.	Вычислите § arcsin х dx.
о
4.	Найдите первообразную функции у = arcsin х.
5*	. Взаимно обратные возрастающие функции у —
= f (х) п у = g (х) определены при всех х 0 и / (0) =
= 0. Докажите, что для положительных чисел а и Ъ
а	Ъ
справедливо неравенство / (х) dx -f- § g (х) dx ab.
о	о
6.	а, Ъ — положительные числа; р, q — числа, боль-
.1,1 .-гг	ap bq	L
шие 1, — -f- — = 1. Докажите, что —-—|——	ab.
,61
6.11.	Объем тела вращения. Объем тела, полученного
вращением вокруг оси абсцисс подграфика неотрицатель*
вой интегрируемой на отрезке [а; 6] функции у и*).
ъ
равен л \f2(x) dx. Вычислите объемы следующих тел:
а
1.	Тело получено вращением вокруг оси абсцисс фигу-
ры, задаваемой условием 0 у 1 — я2.
2.	Тело получено вращением вокруг оси ординат фи-
гуры, задаваемой условием 0 у 1 — х2.
3.	Тело получено вращением вокруг прямой у *** 10
фигуры, задаваемой условием 0 <1 у 6 — х — х2.
4.	Тело получено вращением вокруг оси абсцисс фи-
гуры, задаваемой условием
л,
О у sin х.
5.	Тело (тор) получено вращением круга радиуса г
вокруг оси, лежащей в плоскости круга и отстоящей от
его центра на расстояние R (R г).
6.12.	Объем как интеграл от площади сечения. Пусть
[я; Ъ\ — проекция некоторого тела на ось абсцисс. Для
произвольной точки х из отрезка [а; Ь] обозначим через
S (х) площадь сечения этого тела плоскостью, перпенди-
кулярной оси абсцисс и проходящей через точку х. Тогда,
если функция у = S (х) интегрируема на отрезке [а; 6],
ъ
то объем данного тела равен§5 (х) dx.
а
1.	Найдите объем тела, полученного объединением
всех квадратов, удовлетворяющих следующим условиям:
плоскость квадрата перпендикулярна оси ординат, две
противоположные вершины квадрата лежат на параболе
у — х2, центр квадрата принадлежит отрезку [0; 1] оси
ординат.
2.	Найдите объем тела, полученного объединением
всех кругов, удовлетворяющих следующим условиям:
плоскость круга перпендикулярна оси абсцисс, граница
круга пересекает ось абсцисс, центр круга лежит на
окружности х2 + у2 = 1.
3.	Дан круг радиуса 2?, прямая I и положительное
число h. Найдите объем тела, полученного объединением
всех параболических сегментов (см. п. 8 задачи 5.41)?
62
удовлетворяющих следующим условиям: плоскость сег-
мента перпендикулярна плоскости круга, высота сегмента
равна /г, основание сегмента — хорда данного круга, па-
раллельная прямой Z.
4.	Zx и Z2 — взаимно перпендикулярные пересекающие-
ся прямые, R — положительное число. Найдите объем те-
ла, состоящего из всех точек пространства, отстоящих от
каждой из прямых Zlt Z2 на расстояние, не большее R.
5.	Радиус основания прямого кругового цилиндра ра-
вен 7?, высота цилиндра равна h (h^R). Плоскость, про-
ходящая через две диаметрально противоположные точки
одного из оснований цилиндра и образующая с плоскостью
основания угол 45°, разбивает цилиндр на две части. Най-
дите объем каждой из этих частей.
6.	Найдите объем общей части двух одинаковых на-
клонных круговых цилиндров с радиусом основания R
и высотой h, верхние основания которых совпадают,
а нижние — касаются.
6.	13. Физические приложения интеграла.
/ 1. Точка движется по оси абсцисс таким образом, что
скорость ее в произвольный момент времени t задается
формулой v (t) — cos (t 4- л/4). Найдите положение точки
в момент времени t = л/2, если в момент времени t — л/4
она имела абсциссу —1.
2.	Квадратная пластина со стороной Z погружена в во-
ду таким образом, что плоскость пластины перпендикуляр-
на поверхности воды, а верхнее основание находится на
поверхности. Найдите силу F давления воды на одну из
боковых поверхностей пластдны (атмосферное давление
не учитывать).
3.	Найдите силу гравитационного взаимодействия
между расположенными на одной прямой материальной
точкой массы т и однородным стержнем длины I и массы М.
Расстояние от точки до ближайшего конца стержня рав-
но с.
4.	Найдите количество тепла, выделяемого переменным
синусоидальным током I (t) — Zo sin (coZ + ф) в течение
одного периода времени в проводнике с сопротивлением R.
5.	Найдите кинетическую энергию однородного стерж-
ня длины Z и массы т, вращающегося в горизонтальной
плоскости с постоянной угловой скоростью со вокруг вер-
тикальной оси, проходящей через один из концов стержня.
6.	Найдите кинетическую энергию однородного диска
радиуса R и массы М, вращающегося с постоянной угло-
63
вой скоростью со вокруг оси, проходящей через центр
диска и перпендикулярной его плоскости.
7.	Из цистерны, имеющей форму прямого кругового
конуса с радиусом основания R и высотой Я, требуется
выкачать воду с помощью насоса, расположенного в вер-
шине конуса (цистерна стоит на основании). Найдите наи-
меньшую работу по выкачиванию воды из полной цистерны.
8.	Размеры пирамиды Хеопса приблизительно таковы:
высота — 140 м, ребро основания (квадрата) — 200 м.
Плотность камня, из которого она сделана, приблизитель-
но равна <2,5-103 кг/м3. Найдите работу по преодолению
силы тяжести, совершенную при постройке пирамиды
Хеопса.
Глава 7
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
§ 1. Логарифмы
Если а, Ъ — положительные числа, а 1,
то существует единственное число х такое, что ах = Ъ.
Это число обозначается loga Ъ.
7.1. Свойства логарифмов. Из определения логариф-
ма и свойств степеней вытекают следующие .тождества:
loga Ху = loga X + loga У,
10ga у- = 10ga % — loga У\
loga ха ~ a loga х;
в частности, loga Ъ
logaaX = -i- loga Х-, loga X =
1	\ тэ
— ;----I • Вычислите:
10gb a )
logj,?
1.	log2 2/2.	2. logs^.4.		3.	log 1 V125. /5
4.	log i (log4 ,-625). т—	у 5 /2 4+10g x 625	5.	21°g4 25M	6.	910g37,
7.	/3 T .	8.	log_i_2 + log log" .27		e
9. 11.	log812 +log 13.	10.	У 6 8	1°о25 V 3 log! 5 • logs 6 • logs 7 • log? 8.			•	
64
12. Iogs49.1og/55.1ogs8 27.	13.
' ‘	lOgae" 10g72*
14. 3l°si>7__7to?»3.
15*. logn+rs (4/2 4-3/3). log/5+1 (/3 - /2) 4-
+ ^°^2/e+7 (2/6 + 5).
7.2. Число logo b, где а и b — натуральные числа,
можно получить с помощью арифметических действий из
чисел вида logp q, где р и q — простые числа.
1. Найдите logs 9, если logn 18 = а.
2. Найдите log2S0 120, если logo 20 = a, 1g 2 = b.
7.3. Если а > 1, то функция у = loga х строго возрас-
тает; если 0 < а < 1, то функция у = loga х строго убы-
вает.
Выясните, какое из чисел больше:
1 1
logs -If- или log2 — .
log 1 3 ИЛИ log ! 5.
log ! 3 ИЛИ log ! 3.
Iog9 80 или log? 50.
logo 5 4- log5 6 или 2.
11. logl 5 — log3 5 или
12. log4 5 4- logo 6 + log6 4- log? 8 или 4,4.
1.
3.
5.
7.
9.
2. log i 5 или log i 7.
"з	T
4. log6 2 или logs 2.
2
6. log3 2 или -X-.
о
8. log12 5 или logxs 7.
10*. logi00 99 или log101 100.
1.
§ 2. Показательны» и логарифмические
уравнения и неравенства
7.4. Логарифмирование показательных урав-
нений. Переход от равенства Ъ = с к равенству loga Ъ —
= loga с (а, Ъ, с > 0, а 1) называют логарифмирова-
нием. Решите уравнения:
1. 25® = 5s’®.	2. 2®-3®+1 = 81.
3. 3®-52®"3 = 45. 4. г®^®’1^2®*1 = 250.
5. 3®.72’“! = 21. 6. (ж2 4- 1)23C’S = 1.
7.5. Замена переменной в показательных уравнениях.
Решите уравнения:
1. 2® 4- 2”+1 4- 2®+2 4- 2®+3 = 30.
2. 4®+3 4- 22®+2 = 51. 3. З2® — 2-3® = 3.
3 М. И, Башмаков и др.
65
х—1
4. 5я — 4=5 2 .	5. 2-3*+1 — 5-9х-2 = 81.
6.	23X+1 + 1 = 4“ + 2“+1.
7.	(3 - 2/2)“ + (3 + 2/2)“ = 34.
8.	2x+i + 2Д+2 = 5“+1 + 3-5“.
9.	18-4“ + 2-9“ = 36-4“+1 — 32“+3.
10.	2M+1 — 5-6“ + 3-9“ = 0.11. 4“ + 52«+i = 6-10“.
12.	73“+1 + 23“+2 = 16-28“ — 5-98“.
7.6. Потенцирование логарифмических уравнений.
Переход от равенства b = с к равенству аь = ас (а 0,
а 1) называется потенцированием. Решите уравнения;
1. loga х = 3.	2. 1g (Зж _ 1) = 0.
3. log i (2х — 3) = —2. 4. loga; 3 = 2.
~2
5.	log6_x х	=	2.	6.	log? log3	log2	log2 x = 0.
7.	log2 (2ж	—	3)	+	log2 (^ +	6) = 3.
8.	log3 (2ж	+	1)	—	log3 (ж —	1) = 1.
9.	1 + 21g	2 = 1/21g (ж + 30)	+ 1g /ж	—	30.
10.	logs (lg (2ж + 14) + 1g (ж + 12)) = 1.
11.	logs (2“ — 3) = 2 — x.
12.	1g (6-5“ - 25-20“) = ж + 1g 25.
7.7	. Замена переменной в логарифмических уравнениях.
Решите уравнения:
1. 1g2 ж — 2 1g ж — 3 = 0. 2. log| 2ж = 2 log* ж — 9.
3.	log® (Зж2) = 8 + loga; 81.
4.	logs (2“ + 3)-log2 (2“+2 + 12) = 8.
5.	ж21°8’“ = Зж.	6. 2-418ж + б-Зб’е* = 7ж.
7.8.	Переход к одному основанию. Решите уравнения:
20
1.	logs х — 2 logs х + log/s 2ж = —.
2.	logs ж-logs ж + logs ж-log5 х + log3*-log5 ж =
= log2 ж* log3 ж - log3 ж.
3.	log3x-|- + 1о8|ж = 1.	4. 210^ = Аж.
7.9.	Каждое из следующих уравнений можно решить,
подобрав корень и доказав, что других корней нет. Реши-
те уравнения:
1. 3я + 4х 7.	2. 3я + 4х =± 7я.
3.	(3 — 2 2)х + (3 + 2 ]Л2)Х = 6х.
66
4.	.г* = 27 (ж>0).
5.	хг* = 16 (ж > 0), 6.	- 2х’-4 = 992.
7. log2 ж = 3 — ж. 8. a: logs х = 18.
9. х log2 (ж + 1) = log х х + 7.
7.10. Показательные и логарифмические неравенства.
Решите неравенства:
'	2 •
5. loga (ж — 1)>1-
7. logs ж 4- logs (ж — 2)>1.
4. _2_<	1	.
3х 5	з«+1 _ 1
6. log_^ (1 — 2ж)> — 1.
3
8- bgAlog8i55r<0.
9.
10gj_
2 »
2хЦ-3
х—2
10. ^з_яж< —1.
11. (ж2 —ж+ 1)х-2>1.
7.11. Решите системы уравнений:
logj^x	2. Г х^у-у2 — 1,
5 ‘	U+»)-=ta.
4“=Ш •
2 log4 ж + logs (у — 1) = 1.
logs ж • log (у — 1) --у ,
loge ж = у + 4,
жгт = 4".
5*. ( ж10&> v + i/ios»® = 4.
I log4 ж — loga у = 1.
§ 3. Натуральный логарифм
7.12. Натуральный логарифм положительно-
а
— ЙХ.
1
Если а > 1, то In а равен площади подграфика функ-
цииу=— на отрезке [1; а]; если 0 < а < 1, то In а ра«
3*
67
вен площади подграфика функции у =± — на отрезке (а; 1],
взятой со знаком минус. Существует такое число е, что
для любого положительного числа a In а — loge а.
1.	а, Ъ — положительные числа, а Ъ. Докажите, что
площадь подграфика функции у =	на отрезке [а; Ъ] равна
In —.
а
2.	а, Ъ — положительные числа, а Ъ. Докажите, что
3.	Докажите, что для любого натурального п выполне-
/, , 1 \” , 1 \n+1
ны неравенства (1 + —1 <Се<Ср + “)
4.	а, Ь — положительные числа, а Ь. Докажите, что
. b b<-a / 1	1 \
In —<—о—--------F -т- •
а 2	\ а 1 b /
5.	Докажите, что для любого натурального п выполне-
ны неравенства
1	,	1	,	,	1	л I 1	.	I 1
— + -§- + ••• + — <1пге<1+— + ••• +
6.	Докажите, что для любого натурального п выполне-
но неравенство
1	1 I 1 I I 1	. n-t 1
Inn<— + — + ••• +	+ ~sr •
7. Докажите, что 2 < е < 4.
8. Докажите, что 2,5<е<3.
7.13. Производная функции у =± ах вычисляется по
формуле у' — ах In а; производная функции у = loga х
вычисляется по формуле
, 1
у = —,  .
* я In а
Вычислите производные следующих функций:
1. у = езя. 2. У = -^-.	3. у==ж21па:.
4. у = ех2~2х. 5. у — log2 sin х.
7.14. Для того чтобы вычислить производную функции
вида у = (/ (х))^х\ удобно представить эту функцию в ви*^,
68
де у — 1п «*), функцию вида у == log/(X) g (х) удобно
представить в виде у= .
Вычислите производные следующих функций:
1
1. у = хх. 2. ?/ = #sinx. 3. у = (\пх)х .
4.	у = logx 2.	5.	== logcos х sin х.
7.15.	Постройте графики следующих функций:
1.	у = ех —. х. 2. у = х — in х.
3.	т/ = #2-г~х. 4. у == #*1п х.
7.16.	Число корней уравнения. Для каждого значения
а найдите число корней следующих уравнений:
1.	ех = ах.	2. loga# = %.
3.	In х = #2— х + а. 4*. loga я = а?.
7.17.	Доказательство неравенств. Докажите неравен-
ства:
1.	1+ а;<еж<1+^4--^ (*>0).
П	If.	„	71	J-
—— К	714-1 00	v—. К
2-Ёт<е"<й4>г+£т  <-><»
Л=и	/1=0
3. 2,71 <е<2,73.
4. х—<* In (1 + х) <ZX (я>0).
271	» If	2'ft'-“1	1л t -i fc
5 £<^<1П(1+1)<£Ь4^ (i>0).
/1=1	fc=l
6.	Если a > b e, то	.
a b
7.	Если a> Ь>1 и c>0, to loga b < loga+c (b + c).
8.	ле < e".
7.	18. Иррациональность числа e.
1.	Дробь — (p, q — натуральные числа) удовлетво-
n	n
ряет условию У, < -j- < У, + -^Т1)Г * Докажите-
А=0	^=0
что п q.
2.	Докажите, что е — иррациональное число.
69
7.	19. Неравенство Бернулли. Докажите неравенства:
4.	Если а > 1, ж > — 1, ж О, то (1 + #)“ > 1 + «ж.
2.	Если 0 < а < 1, х^> — 1, х 0, то (1 + х)а <
< 1 4- ССЖ.
3.	Если а < 0, х > — 1, х =f= 0, то (1 + ж)® > 1 + аж.
/	1 \*\	/	1	\n+1
(*+т) <(1 + ^)	<»>°>-
/	1 \n+1	/	1	\п+2
И1+4-)	("Х»-
§ 4. Простейшие дифференциальные
уравнения
7.20. Нахождение функции по производной.
Для того, чтобы задача нахождения функции по ее про-
изводной имела единственное решение, следует наложить
на эту функцию дополнительные ограничения. Чаще всего
задают значение искомой функции в некоторой точке
(если область определения искомой функции распадается
на несколько промежутков, то следует задать по одному
из ее значений в каждом из промежутков).
Найдите функции, удовлетворяющие условиям:
4. /' (х) = х2, f (2) = 1.
2. /' (*)=*-, 7(0) = -2.
3. f(x)=-L(x>0), f(e) — e.
5.	/'(*)= 4"’	= /(-^3) = 2.
6-	/(—2) = 1, f(0) = l, /(2) = 1.
7.	21. Уравнения показательного роста. Так называют
дифференциальные уравнения вида у' = ку, где к — ве-
щественное число, не равное нулю. Все решения такого
уравнения задаются формулой у = Секх, где С — ве-
щественное число.
Найдите функции, удовлетворяющие условиям:
1.	/' (я) =2/(s), /(1) = 2.
2.	f (х) + 3/ (х) = 0, / (— 1) = е.
3.	2/-' (х) - 5/ (х) = 0, / (л) = 0.
70
7.	22. Уравнения показательного роста (продолжение).
1. Период полураспада урана U235 равен 4,5 409 лет.
Через сколько лет останется 99,99% исходного количе-
ства урана U236?
2.	В начальный момент времени в питательной среде
имелось Nq бактерий, а через 1 секунду — Л\ бактерий.
Известно, что скорость размножения бактерий при доста-
точном запасе пищи пропорциональна их количеству.
Через какое время количество бактерий увеличилось
в 10 раз по сравнению с начальным?
3.	Найдите дифференцируемую функцию, определен-
ную на всей оси, если известно, что ее график проходит
через точку (2; 3), а касательная к графику в любой точке
А пересекает ось абсцисс в такой точке В, что проекция
вектора АВ на ось абсцисс равна 1.
4.	Точка движется в координатной плоскости так, что
если (х; у) — ее координаты в произвольный момент
времени, то в этот же момент времени (ж; —-z/) — коорди-
наты ее вектора скорости. В момент времени t = 0 точка
имела координаты (1; 2). Может ли она в какой-нибудь
момент времени иметь координаты (3; 1)?
Глава 8
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1.	Математическая индукция
Метод математической индукции применя-
ют в тех случаях, когда нужно доказать, что некоторое
утверждение справедливо для любого натурального чис-
ла п. В таких случаях достаточно проверить справедли-
вость этого утверждения при п = 1 (база индукции) и до-
казать, что для любого натурального числа к из справед-
ливости утверждения при п = к вытекает его справедли-
вость при п = к + 1 (индукционный переход).
8.1.	Докажите, что для любого натурального числа
п справедливы утверждения:
1.	п3 + 5п делится на 6.
п	м2
2.	-g- 4- — + — — Целое число.
3.	22п~1 4- Зп 4- 4 делится на 9.
4.	11п+2 4- 122n+1 делится на 133.
7i
5.	32П — 1 делится на 2П+2 и не делится на 2*+3.
6.	52n+x-2n+? + 3W^-22W+X делится на 19.
7.	Натуральное число, десятичная запись которого
состоит из Зп единиц, делится на Зп и не делится на 3n+1.
8.2.	Числа Фибоначчи. Последовательность чисел Фи-
боначчи (аЛ) задается следующим образом: а± = а2 = 1,
ап == an-i + ап-2 (п > 3). Докажите, что для любого нату-
рального числа п справедливы утверждения:
1.	ах	+	а2	+	.	.	.	+	ап = ап+2 — 1
2.	аг	+	а3	+	.	.	.	+	а2п-! = а2п.
3.	а2	+	а4	+	.	.	.	+	а2п = а2п+1 —	1.
4.	аг — а2 + а3 —	. 4- а2п-г — а2п — 1 —
5.	af +	. + ап = an'an+v
6.	aLa2 + а2аз + . . . +	^2п«
7,	аъп делится на 5.
8.3.	Доказательство тождеств по индукции. Предпо-
ложим, что заданы числовые последовательности (ап) и
(Ьп). Для того, чтобы доказать справедливость равенства
ап = Ъп при всех п, достаточно проверить, что аг = Ъг и
при любом к ак+1 — ак = bk+1 — Ък. Докажите тождества:
1.	1 + 2 + 3+... + »=	.
(Л
2.	12 + 22 + З2 + ... + »2 = п<в±-^(2п-±,,1) , .
3.	1» + 23 + З8 + ... + »8= 7,2 (га + .1)а..
А	1	. I ___________1_________
1-2-3 “ 2-3-4 т п(п + 1)(п + 2) “
__ п (п + 3)
~ 4(п + 1)(« + 2) •
п + 1 п + 2	2п *
8.4.	Доказательство неравенств по индукции. Пусть
(Gn)> (М — числовые последовательности. Если для не-
которого натурального числа S справедливо неравенство
as Ьз и для всех k S справедливо неравенство
72
ak+i — aic> bfc+i — fyb то при всех п^> S справедлива
неравенство ап> Ьп.
Докажите неравенства:
~-'-г +^й + "' + ^>т- (»>3>-
2- "2Г +	+  + —г<1—j-	(п>2).
3. 2()ЛГ+1-1)<1+^ + ^+ ... + -^<2/^
8.5. Доказательство неравенств по индукции (продол-
жение). Пусть (ап), (Ьп) — последовательности положи-
тельных чисел. Если для некоторого натурального числа
S справедливо неравенство as > bs и для всех k S
справедливо неравенство —iil. > -Лн t то при всех п S
ак	°к
справедливо неравенство ап Ъп. Докажите неравенства:
1. п\ ^2п(п^ 4).	2. 2П > 2п (п > 3).
3. 2п > п2 + 2 (п > 5).	4. Зп > п3 (п =£ 3).
5. пп > (n + If-1 (п > 2). 6. (и!)2 > пп (п > 2).
10. 2! 4! 6!. . . (2п)! > ((п + 1)!)п (п > 3).
H. (-г)”>«’(»>6).	12. (-?-)”<«!•
13*. (n!)!> ((п — 1)1)п!.
8.6. Иногда при помощи метода математической индук-
ции легче доказать более сильное утверждение, чем то,
которое предложено в задаче. Так, например, неравенство
2 задачи 8.4 доказывается легче, чем более слабое нера-
11 1
венство -gr + -32" + ••• 4--В°т примеры такого
рода:
л * тт	1	3	5 2м -1
1*. Докажите неравенство “•“•“••• —
___1__
< Узй *
2*. (an) — последовательность чисел Фибоначчи. До-
кажите, что для любого натурального п справедливо ра-
венство (an-! + ап+1)ап а2П.
73
8.7*. Многочлены Чебышева. Докажите, что для лю-
бого натурального п функция /л (х) == cos (п arccos х) —-
многочлен со старшим коэффициентом .
8.8	*. Рациональные значения тригонометрических
функций. Вы знаете, что при рациональных значениях х
функции у !=! sin ля, у cos ля могут принимать значе-
ния 0; */2; ±1, а функции у == tg ля, у ±=± ctg ля — значе-
ния 0; ±1. В этой задаче мы покажем, что никаких других
рациональных значений при рациональных значениях х
эти функции принимать не могут.
1.	cos а — рациональное число. Докажите, что для
любого натурального числа п число cos па рационально.
2.	Пусть числа cos a, cos па рациональны (п — нату-
ральное число), cos a =s p/q, cos па — r/s, где p/q, r/s —
несократимые дроби. Докажите, что 2s делится на q.
3.	Найдите все рациональные я, для которых cos ля —
рациональное число.
4.	Найдите все рациональные я, для которых sin ля —
рациональное число.
5.	Найдите все рациональные я, для которых tg ля —
рациональное число.
8.9	*. Каждый из двух мудрецов задумал натуральное
число. Мудрецам сообщили значение модуля разности за-
думанных ими чисел. Каждый мудрец пытается узнать
число, задуманное его партнером. Мудрецы по очереди со-
общают друг другу, удалось ли им это сделать. Докажите,
что через некоторое время каждый мудрец узнает число,
задуманное его партнером.
8.10	**. Докажите, что из любых 2п — 1 натуральных
чисел можно выбрать п чисел, сумма которых делится
на п.
§	2. Рекуррентные соотношения
8	.11. Формула общего члена. В следующих
последовательностях найдите члены а25 и а4о.
1.	=	2- «п = я2 —5п.
3. д —	..	4. ап = []/гп].
ft 1 Г А
5. ал = (— 1)п/2, если п — четное число, иал = cos-^-,
о
если п — нечетное число.
74
8.12.	Рекуррентные соотношения.
1.	Последовательность (ап) такова, что а± = 3 и ап »
= п2 4- 2ап^г при п > 2. Найдите а2, а3, а±, аь.
2.	Последовательность; (ап) такова, что = а2 = 1
и ап »	— пап_2 при п 3. Найдите ав.
3.	Последовательность (ап) такова, что аг — 2, ап —
= Яд-ь если п — четное число, и ап — ап^ 4- ап_2» если
п — нечетное число, п > 3. Найдите а4, ав, а6, а?о.
4.	Последовательность (ап) такова, что — 0, а2 = 1
и при п > 3 an = an-i — ап_2. Найдите а90, а885*
8.13.	Прогрессии. В этой задаче мы изучим последова-
тельности, задаваемые рекуррентными соотношениями
вида ап = qan-i + d. Если - 1, то такая последователь-
ность называется арифметической прогрессией, а число
d — ее разностью*, если d — 0, то такая последователь-
ность называется геометрической прогрессией, ад — ее
знаменателем.
Общий член арифметической прогрессии задается
формулой = fli 4- t/ (zz - 1), общий член геометриче-
ской прогрессии — формулой ап = Сумма первых
п членов арифметической прогрессии находится по формуле
с fli + fln
оп =—£—п, сумма первых п членов геометрической
прогрессии со знаменателем q ф 1 находится по формуле
о _п <7п-1
Sn~ 01 q — 1 ’
1.	Найдите сумму всех четырехзначных чисел, деля-
щихся на 30.
2.	Найдите сумму всех трехзначных чисел, не деля-
щихся ни на 2, ни на 3.
3.	Найдите сумму первых 15-ти членов арифметической
прогрессии, если ее восьмой член равен 11.
4.	(ап) — арифметическая прогрессия. Докажите, что
существует такая линейная функция у ~ f (х), что для лю-
бого натурального п справедливо равенство / (п) —	+
4* а2 4" • • • 4“ ^п*
5.	(ап) (Ьп) — арифметические прогрессии, а — ве-
щественное число. Докажите, что (ап + Ьп), (ап — Ьп),
(аап) — арифметические прогрессии.
6.	(ап) — арифметическая прогрессия. Докажите, что
существует такая квадратная функция у ~ f (х), что для
любого натурального п f (п) аг + а2 + ... + ап.
75
7.	=s / (я) — квадратная функция, / (0) == 0. Дока-
жите, цто существует такая арифметическая прогрессия
(ап), что для любого натурального п f (га) ±= ах -|- а2 + . . .
• • • + ап’
8.	Докажите, что последовательность (ап) является
арифметической прогрессией в том и только в том случае,
если при га > 2 справедливо равенство 2ап » an-i + ап+1.
9.	Докажите, что последовательность (ап) является
геометрической прогрессией в том и только в том случае,
если при га > 2 справедливо равенство ап *= ап~гап+1'
10.	(ап) — геометрическая прогрессия. Последова-
тельность (Sn) задана формулой Sn ±=± аг + а2 + • • • +ап.
Докажите, что для любого натурального к последователь-
ность 5/f, S2i£ — Sn, S3it — S2it, . . ., является геометриче-
ской прогрессией.
11.	(ап), (bn) — геометрические прогрессии, а — ве-
щественное число. Докажите, что последовательности
(а \
т— I (если для любого п Ъп =0= 0), (аап) являются
°п /
геометрическими прогрессиями.
12.	Последовательность (ап) задается рекуррентным
соотношением ап = qan-i + Докажите, что при q =И= 1
можно указать такое число с, что последовательность
Ъп « ап + с является геометрической прогрессией.
8.14. Покрытие натурального ряда арифметически-
ми прогрессиями. Будем говорить, что несколько арифме-
тических прогрессий покрывают натуральный ряд, если
каждое натуральное число является членом хотя бы од-
ной из этих прогрессий. Натуральный ряд легко покрыть
несколькими арифметическими прогрессиями, например,
прогрессиями ап 2п, bn in — 1, сп in — 3. В этой
задаче мы выясним, можно ли покрыть натуральный
ряд конечным числом арифметических прогрессий с раз-
личными разностями, не равными 1.
1. Докажите, что натуральный ряд нельзя покрыть
двумя арифметическими прогрессиями с различными це-
лыми разностями, не равными 1.
2. Докажите, что натуральный ряд нельзя покрыть
тремя арифметическими прогрессиями с различными це-
лыми разностями, не равными 1.
3*. Докажите, что натуральный ряд нельзя покрыть
четырьмя арифметическими прогрессиями с различными
целыми разностями, не равными 1.
76
4*. Укажите пять арифметических прогрессий с раз-
личными целыми разностями, не равными 1, покрывающих
натуральный ряд.
5. Докажите, что натуральный ряд нельзя покрыть
конечным числом геометрических прогрессий.
8.15. Решение рекуррентных соотношений. Решить
рекуррентное соотношение — значит найти формулу об-
щего члена для последовательности, заданной этим соот-
ношением. Найдите формулы общего члена для последо-
вательностей, заданных следующими условиями:
1.	а1 = 1,вп = ^_ (И>2).
1	“п-1
2.	ai = 1, ап = V2а^-! + 1 (га >= 2).
О	Л	ап-1 ап—2 /
3.	а1==а2 = 1, ап = -у------г- (га>3).
z“n-l “ 1
8.16. Решение рекуррентных соотношений (продолже-
ние). В этой задаче мы рассмотрим общий метод решения
рекуррентных соотношений вида ап = аап^ + f$an-2 +
+ у.
1.	Последовательность (ап) удовлетворяет соотноше-
нию ап	+ Р«п-2, уравнение х2 — ах — |3 — О
имеет два различных корня хг и х2. Докажите, что можно
найти такие числа с2, что для всех п справедливо ра-
венство ап =?	+ с2х2. Докажите, что коэффициенты
с1? с2 однозначно определяются членами а2.
2.	Найдите формулу общего члена последовательности
(ап), заданной условиями аг 2, а2 — 5, ап 5ап-1 —
— 6ап_! (п > 3).
3.	Найдите формулу общего члена последовательности
Фибоначчи (см. задачу 8.2).
4.	Последовательность (ап) удовлетворяет соотноше-
нию ап аап-х + ₽«п-2? дискриминант уравнения х2 —
— ах — р = 0 равен нулю. Докажите, что можно найти
такие числа с1? с2, что для всех п справедливо равенство
«П = (с1 + С2П) (-f-)” .
5.	Найдите формулу общего члена последовательности,
заданной условиями == 0, а2 = 2, ап 4	— ап-2)
(п > 3).
6.	Докажите, что, если последовательность (ап) удов-
летворяет соотношению ап « аап^ + ₽ап_2 + то по~
77
следовательность Ъп — ап — ап-х удовлетворяет соотно-
шению Ьп = аЬп-х + рЬп-2‘
7.	Найдите формулу общего члена последовательно-
сти, заданной условиями ах = О, а2 = 1, ап = ап^ Jr
+ 2<2п-2 + 1 (п > 2).
8.	Найдите формулу общего члена последовательности,
заданной условиями ==s а2 2, ап ==	(и > 3).
9.	Найдите формулу общего члена последователь-
ности, заданной условиями ах = 1/2, а%~1/3, ап =
йаП-2 6ап-1
§ 3. Суммирование
п
Для последовательности (aft) символом У а*
к=т
при т <; п обозначается сумма всех членов последова-
тельности с номерами т + 1, . . п\ при т — п
п
полагают 3 ак и ат-
к=>т
Запишем с помощью знака 2 несколько известных
вам формул
7f = l	/с==0
п
У, = п(п+.1Н2п + 1) (см задачу 8 3)?
fc=sl
8.17. Свойства знака 2- Докажите следующие свойства
знака
п	п
1. 2J (—«к)=— S я»»
ktssm	ks=am
2. (ak + &»)== 3 e» +
k—m	k=m	k^n.
n	n
8. У (aaj)«a 5i afc (a — вещественное число).
k=m	k=m
78
n	n-H
4. 3 ak+i — 3 «л O' — натуральное число).
n
5. 2 (#fc+i djt) — (in+i —
bl
8.18. Найдите
n
l 2 i.
Zf=m
10 k
/1=1
суммы:
2. S (2ft + 3).
b2
n
n	n
5. ^k(2k — 1).	6. 2 к(* + !)(* + 2).
fc=l	bl
8.19. n-й частичной суммой последовательности (a^)
n
называется чисж> Sn — 2 ак* Найдите n-e частичные
суммы следующих последовательностей:
к
1. йк = (_1)\ 2.	=	3,ei=2i.
i=l
8.20. Найдите суммы:
п
Xj fc (* +1) •
6 =1
п
V 1
2-J k(k+i)(k + 2) ’
i. =i
VI к— 1
2-j и *
Л=1
4.
3.
5.
4& +1
к (к + 1) (4A;2 — 1)
k-k\.
8.21. Преобразование Абеля. Пусть (an), (&n) — число-
вые последовательности. Последовательности С#п), (^п)
п	п
заданы формулами Вп= 2 Вп== 2 а^. Докажи-
/f=l	fc=l
те, что при любых натуральных п (тг > 2) справедливо
п—1
равенство Sn— 2 («л — «л+i)+ «Л- Найдите суммы:
»=1
1. 2	2. 2
fc=l	й«=1
79
n	If	n
3. Vizi* 4. V ,4 Bin fa.
Z_l Ц4 + 1	Z_l
fc==l	fc=l
n
8.22. Знак JJ. Символом П обозначается произве-
k=m
дение amam+i . , . an,
n
1. Докажите равенство: П	"p 
Найдите произведения:
2. ft(j-l). з. П(1-4-).
fc=3	4	'	'	R=2
П
6*. П (i + 32t).
fc=l
Глава 9
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ.
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
§ 1. Числовые множества
9.1. Множество — это произвольная сово-
купность предметов. Предметы, из которых составлено
множество, называют его элементами. Запись Е Л
означает, что х — элемент множества А. Иногда мно-
жество задают перечислением его элементов. Запись
А = {2; 2/3; —4} означает, что множество А состоит
из чисел 2, 2/3; —4. Часто, чтобы задать множество,
указывают свойство, характеризующее его элементы.
Например, запись А = {х | х — целое число и х2 < 5}
означает, что множество А состоит из чисел —2; —1; 0;
1; 2. Запись В =± {2п | п — целое число} означает, что
В — множество всех четных целых чисел. За некоторыми
часто встречающимися множествами закреплены стандарт-
ные обозначения. Так, множество всех натуральных чи-
сел обозначается IN, множество всех целых чисел — Z,
множество всех рациональных чисел — Q, множество всех
вещественных чисел — R. Множество, но имеющее эле-
80
ментов, называется пустым множеством и обозначается
0. Если каждый элемент множества А является элемен-
том множества В, то говорят, что А — подмножество
множества В, и пишут A CZ В. Для любого множества
А справедливы утверждения: 0 GZ 4, A CZ А.
Выясните, какие из следующих утверждений справед-
ливы:
1. 2е{^|2^3 —3^2 + 1 = 0}.
2-
3'
4. {1; — 1; 2} GZ {# | я3 + я2 — х — 1 = 0}.
5. {х | х3 + х* - х - 1 = 0} С {1; —1; 2}.
а [ I 2х — 3	41__
О.	---F-5-:-г-п- = 1 Г CZ
[ I 2я3 — 5#2 4- х 3 J
CZ {% 12х — 3 = 2я3 — 5я2 + х + 3}.
9.	2. Пересечение множеств. Пересечением множеств А
и В называется множество, состоящее из всех элементов,
принадлежащих каждому из множеств А, В. Это множест-
во обозначается A Q В. Найдите пересечение следующих
множеств:
1.	4 = {1; 2; 3; 4}, В = {5; 4; 3; 2}.
2.	4 — множество всех ромбов, В — множество всех
прямоугольников.
3.	4	=	{2az	j п Е—•	IN},	В = {3tz j n EE IN}.
4.	4	=	{8n	| n e	IN},	В = {12n | n	EE IN}.
5.	A	=	{8лг	+ 3 |	n e	IN}, В = {Ъп -	1 | n EE	IN}.
6.	4	=	{x |	x* -	3z2 +	2x + 4 = 0},	В = {x	|	2z4 +
+ rr2+ 4# + 1 = 0}.
9.3.	Объединение множеств. Объединением множеств
А и В называется множество, состоящее из всех элемен-
тов, принадлежащих хотя бы одному из множеств 4, В.
Это множество обозначается 4 [J В. Найдите объедине-
ние следующих множеств:
1.	4 = {—1; 1; 4; 0}, В = {0; 1; 2; 3}.
2.	4 = {Ъп + 1 | п е IN}, В = {Ъп + 4 I п е IN}.
3.	4 — множество всех целых чисел, не делящихся
на 6, В — множество всех целых чисел, не делящихся
на 9.
9.4.	Разность множеств. Разностью множеств А и В
называется множество, состоящее из всех элементов мно-
жества 4, не принадлежащих множеству В. Это множест-
81
во обозначается А \ В. Найдите разность следующих
множеств:
1.	4 =	—1; 3|, В = {—1;; 5; о} .
2.	А — множество всех правильных многоугольни-
ков, В — множество всех равнобедренных треугольников.
3.	А — множество всех целых чисел, делящихся на 6,
В — множество "всех целых чисел, не делящихся на 4.
л = {*1*4^+1 >°b з={*к3 + * + 1<0}.
9.5.	Равномощные множества. Конечные множества
можно сравнивать по числу элементов. Чтобы иметь воз-
можность сравнивать бесконечные множества, заметим,
что конечные множества А и В имеют поровну элементов
в том и только в том случае, если между элементами этих
множеств можно установить взаимно однозначное соот-
ветствие. Назовем произвольные множества А и В равно-
мощными, если между их элементами можно установить
взаимно однозначное соответствие. Докажите равномощ*
ность следующих множеств X и У»
1.	X, Y — замкнутые отрезки ненулевой длины.
2.	X, Y — окружности.
3.	X — график некоторой числовой функции, У —
область определения этой функции.
4*. X — прямая, У — объединение двух параллель-
ных прямых.
5*. X — прямая, У — объединение двух пересекаю-
щихся прямых.
6*. X = [a; Ы, Y = [а; Ъ) (а, Ъ е R, а< Ь).
7*. X = [а; &], У = (а; Ь) (а, Ъ G= R, а< Ъ).
8.	X — открытый промежуток, У — прямая.
9.	X — замкнутый промежуток, У — прямая.
9.6.	Счетные множества. Множество называется счет*
ним, если оно равномощно множеству всех натуральных
чисел. Докажите следующие утверждения:
1.	{2п | n IN} — счетное множество.
2.	{п2 + Зп — 1 | п е N} — счетное множество.
3.	N U {0} — счетное множество.
4.	Z — счетное множество.
5*. Q — счетное множество.
6.	Если X — счетное множество, A CZ X, то А — ли-
бо конечное, либо счетное множество.
7.	Если X, У — счетные множества, то X (J У —»
счетное множество.
82
8.	Если (Xn) — последовательность счетных мно-
жеств, то их объединение — счетное множество.
9*	. Если А — бесконечное множество, В — счетное
множество, то множества A (J В и А равномощны.
10.	Множество всех алгебраических чисел — счетное
множество. (Число называется алгебраическим, если оно
является корнем какого-либо уравнения вида хп +
+ а1хп~1 + . . . + а^х + ап 0, где аг, . . ., ап eQ.)
11*. Любое бесконечное множество попарно непересе-
кающихся кругов, лежащих в одной плоскости,— счет-
ное множество.
12*. Любое бесконечное множество попарно непер ссе-
кающихся «восьмерок», лежащих в одной плоскости,—
счетное множество. («Восьмерка» — это объединение
двух касающихся окружностей.)
13*. Любое бесконечное множество попарно непересе-
кающихся «крестов», лежащих в одной плоскости,— счет-
ное множество. («Крест» — это объединение двух отрез-
ков, имеющих единственную общую внутреннюю точку.)
9.7.	Континуальные множества. Множество называет-
ся континуальным, если оно равномощно множеству всех
вещественных чисел.
1.	Докажите, что множество всех иррациональных чи-
сел континуально.
2.	Докажите, что множество всех трансцендентных чи-
сел континуально. (Число называется трансцендентным,
если оно не является алгебраическим, см. п. 10 задачи
9.6.)
3.	Поставим в соответствие каждой паре вещественных
чисел (а; Р) с десятичными записями а = 0, aitf2a3 . .
Р = 0, ЪуЬ2Ъ3 . . . число у = 0, аф^аф^аф^ . . . (для
т	___ rjj
чисел вида —тг , где т, п G=: L, из двух десятичных записей
10
выбирается та, которая имеет в периоде 0). Используя это
соответствие, докажите континуальность квадрата.
4.	Докажите континуальность множества всех точек
плоскости.
5*. Докажите, что если объединение двух множеств
континуально, то хотя бы одно из них континуально.
9.8.	Счетное и континуальное множества не равно-
мощны.
1* (^п) — последовательность вещественных чисел.
Число а таково, что для любого натурального п п-я после
запятой цифра десятичной записи числа а отлична от 9
83
и от тг-й после запятой ви^ры десятичной записи числа х.
Докажите, что число а не равно ни одному из членов после-
довательности (хп).
2*. Докажите, что множества IN и R не равномощны.
§ 2. Числовые функции
9.9.	' График числовой функции. Множество
точек на координатной плоскости является графиком ка-
кой-нибудь функции в том и только в том случае, если
всякая прямая, перпендикулярная оси абсцисс, пересе-
кает его не более чем в одной точке. Выясните, существу-
ют ли функции, графики которых есть множества точек
координатной плоскости, задаваемые условиями:
1. ху = 0.	2. ху = 1.	3.	х2 +	У2 = 1.
4. х2 + у2	— 2у — 1.	5.	2У =	х. 6. sin	у = х.
7. cos у =	2 + sin 2х.	8.	2у2	cos х.
9.10.	Постройте графики каких-либо функций, удов-
летворяющих условиям:
1.	Область определения функции — промежуток [0; 1],
область значений — множество всех вещественных чисел.
2.	Область определения функции — множество всех
положительных чисел, область значений — промежу-
ток [0; 1].
3.	Область определения функции — промежуток [0; 1],
область значений — промежуток (0; 1).
4.	Область определения функции — промежуток (0; 1),
область значений — промежуток [0; 1].
9.11.	Пусть / — числовая функция. Для любого мно-
жества 4, содержащегося в области определения функции
/, через f (А) обозначим множество {/ (х) \х ЕЛ}. Для
любого вещественного числа Ъ обозначим через У"1 (Ъ) мно-
жество {х | f (х) = Ъ}. Для любого числового множества
В обозначим через У*1 (В) множество {х | / (х) ЕЕ 5}.
Функция / задана формулой / (х) = ж2. Найдите следую-
щие множества;
1. /([0; 1]).	2. / ((—1; 2]). 3. Л (4).
4. Г1 ((- оо; 1]).	5. Г ([1; 9]).
Функция f задана формулой
/ (х) = |я| + I х — 1 | —- 12# — 4 | + 12# — 7 | — 4.
Найдите следующие множества;
6. /((_оо; + оо)).	7. /([0;1]).	8. /((0;4]).
9. / ((-оо; 0)).	10. / ((- 1; 3)). 11. Г1 (2).
84
12. П (0) 13. ГЧ10-, 1)).	14. ГА(Ю; 2j).
15. Г((0; -boo)).
9.12.	Постройте графики каких-либо функций, оп-
ределенных на множестве всех вещественных чисел
и удовлетворяющих условиям:
1.	Множество (а) состоит из одного числа, если
а 0, Г (0) = 0.
2.	Множество У”1 (а) состоит из одного числа, если
а #= 0, и из двух чисел, если а = 0.
3.	Для любого числа а множество (а) состоит из
двух чисел.
9.13.	Периодические функции (см. гл. IV, § 5). Пусть
/ — числовая функция, й — множество ее периодов.
1.	Докажите, что, если х, у €= £2, то х + у. х — у Й.
2.	Докажите, что либо в множестве Й есть наименьшее
положительное число к, и в этом случае Й = {пк | п G= Z},
либо в каждом промежутке ненулевой длины есть числа
из множества Й.
3.	Приведите пример числовой функции, множество пе-
риодов которой есть множество всех рациональных чисел.
4.	/, g — числовые функции с общей областью опре-
деления, к — период /, I — период g, к 0, Z =# 0,
к
у Е Q. Докажите, что f + g, f — g, fg — периодиче-
ские функции.
5*. a, p — вещественные числа, a Ф 0. Числовая
функция /, определенная на множестве всех вещественных
чисел, такова, что f (х + a) = f (х) + р для любого чис-
ла х. Докажите, что функцию / можно представить в ви-
де суммы периодической функции и линейной функции*
6*. а, р — вещественные числа, а Ф 0. Числовая
функция /, определенная на множестве всех веществен-
ных чисел, такова, что / (х + а) = р«/ (х) для любого
числа х. Докажите, что функцию / можно представить
в виде произведения периодической функции и показа-
тельной функции.
9.14.	Четные и нечетные функции. Числовая функция
/ называется четной, если ее область определения сим-
метрична относительно точки 0,, и для любого числа х
из области определения справедливо равенство / (— х) =
= f (х). Числовая функция / называется нечетной, если
ее область определения симметрична относительно точки
0, и для любого числа х из области определения справед-
ливо равенство / (— х) = — / (х). Пусть / и g — число-
85
вые функции с общей областью определения. Докажите
следующие утверждения:
1.	Если f и g — четные функции, то f + g, / — g,
f'g — четные функции.
2.	Если /и g -— нечетные функции, то / + g, f — g —
нечетные функции, f'g — четная функция.
3.	Если f — четная функция, g — нечетная функция,
то fg — нечетйая функция.
Функция f определена на всей числовой оси, а, Ь —
вещественные числа. Докажите следующие утверждения:
4.	График функции f симметричен относительно пря-
мой х = а в том и только в том случае, если / (а + я) ==
== / (а — х) при всех х.
5.	График функции f симметричен относительно точки
(а; Ь) в том и только в том случае, если f (а + х) +
+ / (а — х) = 2Ь при всех х.
Докажите, что для любой числовой функции/справед-
ливы следующие утверждения:
6.	Если график функции / имеет две оси симметрии,
перпендикулярные оси абсцисс, то / — периодическая
функция.
7.	Если график функции / имеет ось симметрии, пер-
пендикулярную оси абсцисс, и центр симметрии, то / —
периодическая функция.
8.	Если график функции / имеет два центра симмет-
рии, то функцию / можно представить в виде суммы перио-
дической и линейной функции.
9.	Если область определения функции / симметрична
относительно точки 0, то / можно единственным образом
представить в виде суммы четной и нечетной функции.
10*. Если функция / определена на всей числовой
оси, то ее можно представить в виде суммы двух функций,
определенных на всей числовой оси, график каждой из
которых имеет центр симметрии.
9.15.	Обратная функция. Пусть А — область опреде-
ления, а В — область значений числовой функции /.
Функция / называется обратимой, если для любых раз-
личных чисел ах, a^Ez А выполнено условие / (aj =# / (а2).
Если / — обратимая функция, то функция g, ставящая
в соответствие каждому числу Ъ Ez В такое число «ЕЛ,
что / (а) = Ъ, называется обратной к /. График функции
g симметричен графику функции / относительно прямой
у = х. Примерами взаимно обратных функций могут слу-
жить функции / (х) = ех и g (х) = In х; f (х) =; sin х
86
6. /(ж) = (
[---’ IF |) и S (x) — arcsin x. Для каждой из сле-
дующих функций найдите обратную:
1. /(ж) = 2ж4-3.	2.f=^±.
3. /(х) = x*(xG= [0; 4-оо)). 4. /(х) = а?(хS(—оо; 0]).
5. / (х) = — ж2 (х е (— оо; 0]).
х, если ж€=[0; 1),
3—х, если ж€=[1; 2].
7.	/ (ж) = sin ж (же	•
8.	/ (ж) = ех 4- е~х (х & [0; + оо)).
9.	/ (ж) = log2 (ж2 — 1) (ж е 12; +оо)).
9.16.	Композиция функций. Пусть f и g — числовые
функции, причем область определения функции g содер-
жит область значений функции /. Композицией функций
/ и g называется функция g о /, задаваемая формулой
(g ° f) (х) — g (f (ж)). Найдите композицию g ° f для
следующих функций f и g:
1. f (ж) = ж3 4- х, g (ж) = 2ж — 1.
1 2. / (ж) = 2ж — 1, g (ж) == ж2 4-ж.
„	( е®, если ж<1,
3.	№) = !«, 8W = {e« всли
4.	f и h — числовые функции с общей областью опре-
деления. Докажите, что если функция / обратима, то су-
ществует единственная функция g, определенная на об-
ласти значений функции /, такая, что g © / = h.
5.	Приведите пример определенной на всей числовой
оси функции /, такой, что f (ех) ~ х при всех х.
6.	fe — четная функция, определенная на всей число-
вой оси. Докажите, что существует определенная на всей
числовой оси функция g такая, что h (ж) = g (ж2) при всех ж.
7.	h —- четная 2л-периодическая функция, определен-
ная на всей числовой оси. Докажите, что существует опре-
деленная на всей числовой оси функция g такая, что
Л (я?) — g (cos ж) при всех ж.
8.	Существует ли определенная на всей числовой оси
функция g такая, что g (sin ж) ~ cos ж при всех ж?
9.	17. Промежутки монотонности. Если в компози-
ции g © / функция g монотонна, то каждый промежуток
87
монотонности функции / является промежутком монотон-
ности функции go/. Это соображение поможет вам найти
промежутки монотонности и построить графики следую-
щих функций:
1. / (х) = In (х2 — 4х + 3). 2. f (х) = log2 (2 — х2).
3. / (х) = In sin х.
5. f (х) — 1/cos х.
7.	/(ж) = -5— ------г.
J '	2 — х — х2
4. f (х) == е1%~.
6. /(.r) = logx2.
9.18.	Числовая функция может вовсе не иметь про-
межутков монотонности. Такова, например, функция
Дирихле: / (х) = 1, если х — рационально, и / (х) = О,
если х — иррационально.
1.	Приведите пример обратимой функции, определен-
ной на всей числовой оси и не имеющей промежутков мо-
нотонности.
2.	Функция /, определенная на всей числовой оси, та-
кова, что для любых различных рациональных чисел
хъ х2 числа / (х^), / (х2) — различные целые. Докажите^
что функция не имеет промежутков монотонности.
9.19.	Функциональные уравнения.
1.	Найдите функцию /, если известно,что ее областью
определения является множество (—оо; 1) (J (1; +оо), и
при всех х Ф — 1 выполняется равенство /
2*. Найдите функцию /, если известно, что при всех хФО
выполняется равенство (х + 1) f (х) = 1 — / (“J")’ f = *
3*. Найдите функцию /, определенную при всех х^^~
и удовлетворяющую равенству
9.20.	Функциональное уравнение линейной функции.
Монотонная функция / определена на всей числовой оси
и для любых чисел ж, у справедливо равенство
/ (X + у) = / (х) + / (у).
Докажите следующие утверждения»
1.	Если п е IN, то / (пх) = nf (х) при всех х.
2.	Если т, п G= 1N, то =
3.	f (0) - 0.
88
4.	f (— x) = —f (x) при всех x.
5* / — линейная функция.
9.21.	Функция / определена на всей числовой оси, п
для любых г, у выполняются равенства / (х + у) =
f (я) + f (у), f (х у) == f (х) / (у). Докажите следующие
утверждения:
1.	Если х > 0, то / (х) > 0.
2.	/ — монотонна.
3.	Либо / (х) — 0 для любого х, либо / (х) = х для
любого х.
9.22.	Функциональное уравнение показательной функ-
ции, Строго монотонная функция / определена на всей
числовой оси, и для любых чисел х, у справедливо ра-
венство f (х у) == / (х) f (у). Докажите утверждения:
1.	Если п ЕЕ N, то / (пх) ~ (/ (х))п при всех х.
2.	/ (х) > 0 при всех х.
3.	Если т, п <= IN,	=» ]/(/(1))т.
4.	/ (0) = 1.
5.	/(— = при всех х.
6*. / — показательная функция.
§ 3. Предел последовательности
Число а называется пределом последователь-
ности (хп), если для любого положительного числа е най-
дется такой номер N, что для всех номеров п, начиная
с номера N, выполняется неравенство | хп — а | < е.
Иначе говоря, а — предел последовательности (#п), если
любой промежуток ненулевой длины, содержащий внутри
себя точку а, содержит все члены последовательности (#n)f
начиная с некоторого. Последовательность, имеющая пре-
дел, называется сходящейся последовательностью. Сходя-
щаяся последовательность (хп) имеет единственный пре-
дел. Он обозначается lim хп.
П-*оо
9.23. Для каждой из следующих последовательностей
(яп) найдите число а, являющееся ее пределом, и для про-
извольного положительного числа е укажите какой-ни-
будь номер начиная с которого выполняется нера-
венство | хп — а | < е0
89
i. xn—.	2.	xn —	.	3.	xn	—	•
4. zn	= (-|~y.	5.	xn = ^-.	6.	tfn = arctgn.
7 x —	1
• Лп 2»*4-5n ’
fi 1	1-	1	1	1	. 1	. 1 .	1
»• 2	’ 1;	4	;	3	’	8	* 5	’ 16 ’	7 ’•••
9. xn = sgn (na — 5n — 7).	10. xn =	•
9.24.	Выясните, существуют ли последовательности,
сходящиеся к нулю и удовлетворяющие следующим
условиям*
л	1
1.	хп^~ ПРИ всех
о	1
2.	> — ПРИ всех
1	1
3.	2> "ттг-------при всех п.
п ' 10	п г
4.	0 < хп < ж2п при всех п.
9.25.	Докажите, что следующие последовательности
не имеют пределовз
1.	1;-1; 1;-1;... 2. 1;-J-; 2;-L; 3;.
л	О	4
О 1 . _2_. J_. 3 ,_1_. _4_.
°* 2 ’ 3 ’ 3 ’ 4 * 4 ’ 5 ’•••
4.	хп = 2п + 1.	5. a:„==sinre.
9.26.	Докажите, что если последовательность (®п)
сходится к числу а и последовательность (уп) получена
перестановкой членов последовательности (жп), то и после-
довательность (уп) сходится к числу а.
9.27.	Докажите, что если монотонная последователь-
ность (хп) не ограничена, то последовательность
I---I сходится к нулю.
\хп )
9.28.	Действия над сходящимися последователъностя-
ми. Если (жп), (уп) — сходящиеся последовательности, то
последовательности (хп + уп), (хп — уп), {хпуп) сходятся и
lim (хп + yn) = lim хп + lim
П—»оо	п->*оо	п—*оо
lim (хп — yj = lim хп — lim у„,
п—*оо	п—*оо	П-*оо
lim хпуп = lim хп. lim у„.
71—*оо	71—»оо 71—*оо
90
Если все члены последовательности (уп) отличны от нуля
и lim уп =/= 0, то последовательность (—	сходится
П->ОО	\ Уп J
х	lim хп
и lim ~ ~	Если все члены последовательности
п->оо п	п~*со п
(хп) неотрицательны, то при любом натуральном к после-
довательность (]/яп) сходится и lim ^хп~ т/*1im хп*
П->оо	f п~^°°
Вычислите пределы следующих последовательностей:			
1.	Л , 1	1 хп 1 + п	2п *	2. хп —	ттт *
3.	3ге2 + гг + 7		2га —1
	П	5 _ п _ П2 -	Ч:.	Зга2 га -j- 2
5.		 2л2 + п + 1 । 4л2 + Зп — 1 Хп	п — 2	1	1 — 2п,	‘		
6.		 1 -|- 2 хп	п2	•		
7.	3n-i	ft <у»	——	2п4-Зп|~1 + 5п~1
	п Зп —2 ‘	°. хп —	3« + 5п+1
9.	х = -I	L.	10. хп =	_ у^Зга3 + 1
	п	п		У 2га2— 1
11	 xn = Y'n -|- 1 — У п. 	О —	12. хп~	= п (У п2 + 1 — п).
13*. хп = у п2 + 1 — у		п3 + 1.	
, = ]Л/г + 2-/п-1
п	у Зл + 4 - /Зл + 1
9.29.	Если последовательность (хп) ограничена, а по-
следовательность (уп) сходится к нулю, то последователь-
ность (хпуп) сходится к нулю. Вычислите пределы после-
довательностей:
4	_ W
хп——^
3. хп
sin3 п
п2 + п
,	_ [лга]
п п
м   2п~1 + arctg п
ХП
9.30.	Сумма членов геометрической прогрессии. Если
(яп) — геометрическая прогрессия со знаменателем q
п
таким, что j q ] < 1г то последовательность Sn— 2j хк
к=1
91
сходится и lim Sn =	. Число Jim Sn называется
П—>ОО	Я. П-»ОО
суммой членов геометрической прогрессии (хп). Вычисли-
те пределы следующих последовательностей:
4-	2- 4* =я-1 3,S. = £^.	4. fc==l	га	ь- a	14-3 4-324----+34 n~Zj	5fe+a
5.	О, с±с2с§ — десятичная запись числа а. Докажите,
что последовательность (хп), заданная формулой хп ®
= 0, c±c2. , ,сп, сходится к а.
6.	Десятичная запись числа а — периодическая дробь
О,	• • • bt). Выразите число а через целые
числа а = a110fe~1 + а210^2 + . . . + ^ и 6 =	+
4* 6а10м + • • • + bt (если дробь чисто периодическая,
то а = 0).
9.31.	Принцип сжатой последовательности. Если по-
следовательности (хп) и (zn) сходятся к числу а, а последо-
вательность (уп) такова, что при всех п выполняются не-
равенства хп уп гп, то последовательность (уп) схо-
дится к числу а. Докажите сходимость и найдите пределы
последовательностей, удовлетворяющих следующим усло-
виям:
1.	Для любого п справедливы неравенства v' гт
Z71- *т“ 1
га + 1
га \	2
9	~	1	।	1	।	।	1
Хп~ «2 4-1 + «24-2 +•••’"	(«4-1)2 •
О	_	1	.	1	,	,	1
Хп	/п2+ 1	/П2+ 2 +	+	у п^п
4. хп —	S} 4- S2	4- •  • + Sn,	где	Sk (к =	1, 2, . . .
.,п) — площадь прямоугольника, основанием которого
Г к — 1 к 1	~
является отрезок —-—; — оси абсцисс, а высота
равна одному из значений функции у = ж2 на этом от-
резке.
9.32. Последовательность положительных чисел (жЛ)
------] сходится к некото-
х I
п 1
рому числу, меньшему 1. Докажите, что последователь-
92
ность (хп) сходится к нулю Установите сходимость
к нулю следующих последовательностей:
п
2 7 _____ а
•	" ~ п! •
,	4-7.10...(Зп + 1)
' п 2-6-10...(4га + 2) *
1- ^п = Аг(а>1)-
а
3. а:я = -^(а>1).
а
9.33.	Если пх < п2 < п3 < . . . — возрастающая по-
следовательность натуральных чисел, то последователь-
ность xnt, хП2, хпз, ... называется подпоследовательностью
последовательности (яп).
1.	(хп) — числовая последовательность, сходящаяся
к числу а. Докажите, что всякая подпоследовательность
последовательности (хп) сходится к числу а.
2.	Последовательность (хп) такова, что последователь-
ности (я2п) и (^2п~1) сходятся к одному и тому же числу.
Докажите, что последовательность (х^ сходится к тому
же числу.
9.34.	Монотонные ограниченные последовательности.
Предлагаем решить несколько задач, основанных на тео-
реме: если последовательность монотонна и ограничена,
то она сходится.
1.	/ — возрастающая функция. Последовательность
(хп) такова, что для любого натурального п выполняется
равенство хп = f (rrn-i). Докажите, что если хг х2, то
(хп) — возрастающая последовательность, а если хг > ж2,
то (хп) — убывающая последовательность. Докажите, что,
если f — ограниченная функция, то последовательность
(хп) сходится. Установите сходимость и вычислите пределы
последовательностей (хп), удовлетворяющих условиям:-
2.	хп = fan-! + 2 (п > 2, а?! > — 2).
3.	хп =  j/~l 1	2,	!)•
4.	хп = Xn-i — xl-i (n > 2, xt e [0; 1]).
5.	xn (хп-! 4- ——	(n > 2, a > 0, xi > 0).
й \	Xn-1 )
6.	xn — -4- f 2xn-i 4—(n>2, a^> 0, X!^> 0).
V	жп-1 /
Выясните, при каких значениях xi сходятся последо-
вательности (о:п), удовлетворяющие следующим условиям!
7*. Хп = Хп-1 4- ЗХд-! 4-1 (п > 2).
8*. хп = Хп-! 4- 4“	(ге > 2).
93
9.35.	Монотонные ограниченные последовательности
(продолжение).
1.	/ — убывающая функция. Последовательность (хп)
такова, что для любого натурального п > 2 выполняется
равенство хп = / (хп_^. Докажите, что последовательно-
сти (xgn-i) и (ж2п) монотонны, причем одна из них возра-
стает, а другая — убывает. Докажите, что, если число
хг не расположено между числами х2 и х3, то последова-
тельности и (^2п) сходятся. Установите сходимость
последовательностей (хп), удовлетворяющих условиям:
2.	хп *= cosx^i (п > 2, xt s= 1).
3.	ж„ = (1 — Хп-1)2 (п > 2, Xi = -i-j .
4-	хп = '1+гп г > 2>	= *)•
5,^ = $L±TT («>2, а>0, »i>0).
жп-1 "Г 1
§ 4.	Предел функции
Число Ь называется пределом функции /
в точке а, если для всякой последовательности (яп), схо-
дящейся к а, все члены которой принадлежат области оп-
ределения функции f и отличны от а, последователь-
ность (/ (хп)) сходится к Ъ. В этом определении предпола-
гается, что точка а такова, что последовательности (жп)
с перечисленными свойствами существуют. Предел функ-
ции / в точке а обозначается Ит / (х).
9.36.	Выясните, существует ли предел функции / в
точке а\
1.	/(#) = # — 2, а — 1.	2. f(x) = —— , а = 2.
3. / (х) — ]Л1 + х. а =-----.
it. f (ж) = sgn х, а = — 3.	5. / (х) = sgn х, а = 0.
' — 2х, если — 1,
9- /(s) = {44, « = 0.	Ю.	а==0-
I О/ J	\ " J
94
11.	=	— 1 <2 = 0.	12. / (я) = tg£, <2 = -^-.
L ж j	&
13. у (x) = sin , a = 0.	14. y(^) = ^sin~, a=0.
9.37. Если функции f и g с одинаковой областью опре-
деления имеют в точке а пределы, то функции f 4" g,
f — g1 f*g имеют в точке а пределы и lim (/ (х) + g (ж)) ==
= lim	У	(х)	+	lim	g	(х),	lim	(У (х)	—	g	(я))	==	lim f (х)	—
х-»а	х—>а	х—>а	х-*а
— lim	g	(х),	lim	f	(х)	g	(х) —	lim	f (ж)	- lim	g	(x).	Если,
x-*a	x-*a	x—»a	x—
кроме того, функция g не обращается в нуль и lim g (х) ф 0,
х-*а
lim / (ж)
то функция //g имеет в точке а предел, равный
х->а
Вычислите пределы:			4 — х
1.	lim (2л;2 + Зл; — 7). X—>2	2.	
3.	Ит4±^. х-»о —3®	4.	,. ж2 4- х — 2 lim-TTv2	г- 2х2-х-1
5.	т. ж3 4“ Зж — 4 2х3 — х2 — 1 ’	6.	,./1	12 \ ..-а)’
7.		8.	, . у/ 1 + X — 1 lim-—!	.
	х->2	Х		х->0	Х
9.	lim/. + 3-:V2. + 3 . х->о	х + х	10.	, .	Ж3 — 1 нт —7==	г — . х->1 ж2 4~ ж — у ж 4“ i
9.38*. Приведите пример		таких	функций / ng, задан-
ных на всей числовой оси, что функция У имеет в некото*
рой точке а предел, равный &, функция g имеет предел
в точке &, функция g © f имеет предел в точке а, но
lim g (f(x)) Ф lim g (x).
x-*a	x-*b
9.39. Функция У называется непрерывной в точке а,
если она определена в этой точке и имеет в ней предел,
равный У (а). Выясните, в каких точках а непрерывны
следующие функции:
1. У (#) = х, если | х |	1 и У (х) == х2, если 1 х |	!•
2. У (х) = sgn х. 3. У (х) = Ы.
4. Цх) = {х}.	5. /(«) = «	.
95
6.	/(x) = sin~ при л^--0 n /(0) = 0.
7.	f (х) — х sin -i- при x=£0 и /(0) = 0.
8.	/ (x) — lim ——.	9. / (x) = 1 irn sin” x.
П—>CO 1	&	51—>00
10.	f (x) =• 1, если x рационально и / (x) = 0, если х
иррационально.
11.	/ (х) = х, если х рационально и / (х) = — ж, если
х иррационально.
12*. / (ж) = 1/тг, если х = т/п (mEEZ, wEN, дробь
т/п несократима) и / (х) = 0, если х иррационально.
13*. Область определения функции / — промежуток
[0; 1), и / (х) = 0, О^О^Ойз..,, если х = 0, аАа2а^... (для
чисел х вида m/10n из двух десятичных записей выбирает-
ся та, которая содержит 0 в периоде).
9.40. При вычислении следующих пределов полезно
т sin ж	л
воспользоваться равенством lim----= 1, а также непре-
X—>0 Х
рывностью синуса и косинуса. Вычислите пределы:
1.
4.
7.
lim
х->0
lim
Х->Э
sin 7х
х
1 — cos х
х*
lim s*n %х &*п $х
Х-ФО sins —sin Зх
2.
5.
8.
sin 5х
sin Зя
,. cos х
lim  .
Х-.Л/2 Sin4a:
3. limAs.
X-»0 X
z> л.	14 cos X
. 6. lim—-----<
Х-.Я smi!a:
X-*0
9.
Ит(-Д—
х->о \sin *
лп i- V4 + sin я — 1/”1—sin я
10. lim-----------г----------—.
x—>3	tgx
§ 5. Свойства непрерывных функций
9.41. Сохранение знака. Если функция а
непрерывна в точке а и /(а)^>0, то все значения этой
функции в точках области определения, принадлежащих
некоторому промежутку, содержащему внутри себя точку
а, также положительны. Если / (а) < 0, имеет место
аналогичное утверждение.
1.	Уравнение х3 + ах + 1 = 0 имеет три веществен-
ных корня. Докажите, что существует такое положитель-
ное число е, что для любого числа бив промежутка (а — в;
а + в) уравнение х3 + Ъх + 1 = 0 имеет три веществен-
ных корня.
88
2.	Множество решений неравенства j/”2 — х — я2 <
< 2х + 1 — отрезок [а;, &L Найдите а и Ь.
3.	Множество решений неравенства In (1 — х2) х +
+ 1/а — промежуток (а; Ь). Найдите а и Ъ.
9.	42. Теорема о промежуточном значении. Если функ-
ция f непрерывна в каждой точке отрезка [а; Ы, то любое
число, лежащее между / (а) и / (6), является значением
функции / в некоторой точке отрезка [а; 6]. Докажите,
что следующие уравнения имеют корни:
1. 2х2~х = 3 sin х. 2. Ъх 1g tg х = 5 — х.
3.	ж4 + л3 + 1 — /х* + х2 -р х.
4.	arctg3я = 2 tgx— 1.
5.	а0 + агх + а.2х2 + . . . + ап^хп~} + апхп == 0, где
а0,	Лд-и ап — вещественные числа, ап#= О,
п — нечетное число.
9.43. Теорема о промежуточном значении в геометри-
ческих задачах.
1. Mhoi оугольник М и прямая I лежат в одной плос-
кости. Докажите, что существует прямая V || Z, разбиваю-
щая М на два равновеликих многоугольника.
2. Многоугольник М и точка А лежат в одной плоско-
сти. Докажите, что существует прямая, проходящая через
точку А и разбивающая М на два равновеликих много-
угольника.
3*.М — выпуклый многоугольник. Докажите, что су-
ществуют две взаимно перпендикулярные прямые, разби-
вающие М на четыре равновеликих многоугольника.
4*. Попарно различные лучи ОА,ОВ,ОС и много-
угольник М лежат в одной плоскости. Докажите, что су-
ществует такой параллельный перенос Т, что лучи ОА,
О В и ОС разбивают многоугольник Т (М) на три равно-
великих многоугольника.
9.44. Решите еще несколько задач на применение тео-
ремы о промежуточном значении.
1. / — непрерывная функция, заданная на промежут-
ке (0; 1], все значения которой содержатся в промежутке
[0; 1]. Докажите, что уравнение / (х) = х имеет корень.
2. Непрерывная функция / определена на множестве
всех вещественных чисел. Докажите, что если уравнение
/ (х) = х не имеет корней, то уравнение f (/(#)) = х не
имеет корней.
4 М, И. Башмаков и др.
97
3*. Непрерывная функция / определена на отрезке
[а; &]. Докажите, что, если / (а) = / (&) и для любого
х G= (a; b) f (х)^ / (а), то для любого положительного 8,
меньшего Ъ — а, график функции / имеет хорду длины 8,
параллельную оси абсцисс.
4.	Непрерывная функция / определена на промежутке.
Докажите, что функция / обратима в том и только в том
случае, если / — строго монотонная функция.
5.	Непрерывная функция / определена на отрезке
{а; 6]. Докажите, что если функция / не является строго
монотонной, то для любого положительного числа 8 гра-
фик функции / имеет хорду, параллельную оси абсцисс,
длина которой меньше 8.
6.	Непрерывная функция / определена на всей число-
вой оси и принимает все вещественные значения. Дока-
жите, что если для любого числа а уравнение / (х) = а
имеет не более двух корней, то / — строго монотонная
функция.
7*. Непрерывные функции / и g определены на всей
числовой оси. Число 1 является периодом этих функций.
Докажите, что существуют такие различные числа х^ х%
из промежутка [0; 1), что / (жх) g (х2) = f (х2) g (xt).
9.45*. Периоды непрерывной функции. Докажите, что
если периодическая функция / имеет точку непрерывно-
сти, то либо / — постоянная функция, либо среди поло-
жительных периодов функции / есть наименьший.
Глава 10
КОМБИНАТОРИКА
§ 1.	Комбинаторные рассуждения
10	.1. Сравнение конечных множеств.
1.	В множестве X — п элементов. Докажите, что для
любого целого числа к (0 к п) число А-элементных
подмножеств множества X равно числу (п — ^-элемент-
ных подмножеств множества X.
2.	X — конечное множество, а — элемент множества X.
Каких подмножеств множества X больше, содержащих
элемент а или не содержащих элемент а?
3.	X — конечное множество, А — подмножество мно-
жества X. Каких подмножеств множества X больше,
содержащих множество А или не пересекающихся с мно-
жеством Л?
98
4.	X — конечное множество, А — подмножество мно-
жества X. Каких подмножеств множества X больше,
содержащих множество А или не содержащих множе-
ство Л?
5.	На окружности отмечено несколько точек, А — одна
из них. Каких многоугольников с вершинами в этих
точках больше, содержащих точку А или не содержащих
точку Л?
6.	Докажите, что в любом непустом конечном мно-
жестве подмножеств с четным числом элементов столь-
ко же, сколько подмножеств с нечетным числом эле-
ментов.
10	.2. Разбиение числа на слагаемые. Докажите, что
для любых натуральных чисел п и к справедливы следую-
щие утверждения:
1.	Число целочисленных решений уравнения х± +
+ х2 + ... + хк = п, удовлетворяющих условию х± 0,
#2 > О,. • .»	> 0, равно числу целочисленных реше-
ний уравнения хг + х2 + ... + хк = п + к, удовлетво-
ряющих УСЛОВИЮ #х > О, Х2 > 0,. . Хк 0.
2.	Число целочисленных решений уравнения х± +
+ х2 +...+ хк = п, удовлетворяющих условию 0 < хг X
равно числу целочисленных решений
।	. к(к — 1)
уравнения хг +	+ • •• +	удовлетво-
ряющих условию 0 < хг < х2 < ... < хк.
3*. Число целочисленных решений уравнения #х +
+ х2 + ...+ хк s= п, удовлетворяющих условию 0 < xt X
х2 ... X хк, равно числу целочисленных решений
уравнения#! + х2 +...+ хп = п, удовлетворяющих усло-
вию	= к.
10	.3. Формула включения и исключения.
1.	В множестве А 5 элементов, в множестве В 7 эле-
ментов, в множестве A f) В 3 элемента. Сколько элемен-
тов в множестве A (J В?
2.	51 — сумма чисел элементов конечных множеств
А, В, С; S2 —- сумма чисел элементов множеств А П В,
А П	С, В fl С;	83 — число	элементов множества	A П
П В	П С* Сколько элементов в множестве A (J 13	(J С?
3.	5Х — сумма чисел элементов конечных Множеств
4, В, С, D; S2 —	сумма чисел	элементов множеств A	Q В,
А fl	С, А П D,	В Г} С, В	Q D, С П D; S3 — сумма
чисел элементов множеств А П В П С, 4 П В П Z>,
4 П с П 5 П С П В; S4 — число элементов мно-
4*	$9
жества А Г) В П С П D- Сколько элементов в множе-
стве A и В и С и Я?
4	*. А19 А29 . . ., Ап — конечные множества, 8г —
сумма чисел элементов этих множеств; Sn — чцсло эле-
ментов множества ("] Л2 Г) ... Г1^п>и осли натураль-
ное число к таково, что	— 1, то 8к — сумма
чисел элементов всех множеств, являющихся пересече-
ниями каких-либо & из множеств А19 Л2, . . .,Ап. Сколько
элементов в множестве Ат (J А2 (J ... (J Лп?
5.	Сколько есть четырехзначных чисел, не делящихся
ни на 3, ни на 5, ни на 7?
6*. р19 р29 . . ., ps — все различные простые делители
натурального числа п (п 2), ср (п) — число натураль-
ных чисел, меньших п и взаимно простых с п Докажите,
что
Ф (п) = п (1 -	(1
10	.4. Две задачи о конечных множествах. А19 А29 . . .
. . Ап — подмножества конечного множества X. До-
кажите следующие утверждения:
1*. Если пересечение любых двух из множеств А19
А29 . . Ап непусто и п меньше половины числа всех под-
множеств множества X, то найдется подмножество мно-
жества Х9 отличное от множеств А19 А29 . . ., Ап и имею-
щее с каждым из этих множеств непустое пересечение.
2*. Если пересечение любых трех из множеств А19
А29 . . ., Ап непусто и п равно половине числа всех под-
множеств множества X, то пересечение всех множеств
А19 А2, . . ., Ап непусто.
10	.5. Принцип ящиков. При любом распределении
«4-1 или более предметов по п ящикам в каком-нибудь
ящике окажется не менее двух предметов. В более об-
щей форме принцип ящиков состоит в следую-
щем: при любом распределении nk -f- 1 или более предме-
тов по п ящикам в каком-нибудь ящике окажется не менее
чем к 4- 1 предмет.
1.	Докажите, что среди любых одиннадцати нату-
ральных чисел есть два числа, разность которых делится
на 10.
2.	Некоторые точки из данного конечного множества
точек соединены отрезками. Докажите, что найдутся две
точки, из которых выходит поровну отрезков.
100
3.	Докажите, что среди любых п + 2 натуральных чи-
сел есть два числа, сумма либо разность которых делится
на 2п.
4.	Докажите, что среди любых п + 1 натуральных чи-
сел, меньших 2п, есть два числа, отношение которых —
степень числа 2.
5.	Докажите, что среди п + 1 различных натуральных
чисел, меньших 2м, есть три числа, одно из которых рав-
но сумме двух других.
6*. Докажите, что среди любых п натуральных чисел,
не делящихся на м, есть несколько чисел, сумма которых
делится на п.
7*. Докажите, что в последовательности, состоящей
из 2П натуральных чисел, произведение которых имеет
не более чем п различных простых делителей, либо один
из членов, либо произведение двух членов является квад-
ратом натурального числа.
8*. Сумма натуральных чисел х19 х2, . . ., гг3о равна 48.
Докажите, что из этих чисел можно выбрать одно или
несколько последовательных, сумма которых равна 12.
При каких значениях Л, кроме 12, из любых натуральных
чисел xv х2, . . ., £3о, сумма которых равна 48, можно
выбрать одно или несколько последовательных, сумма
которых равна к?
9 *. Докажите, что любая последовательность, со-
стоящая из пт + 1 вещественных чисел, содержит воз-
растающую подпоследовательность из т + 1 чисел или
убывающею подпоследовательность из п + 1 чисел.
10*. Дана прямоугольная таблица, в каждой клетке
которой написано вещественное число, причем в каждой
строке таблицы числа расположены в порядке возраста-
ния. Докажите, что если расположить числа в каждом
столбце таблицы в порядке возрастания, то в строках по-
лученной таблицы числа по-прежнему будут распола-
гаться в порядке возрастания.
И *. Дано N точек, никакие три из которых не лежат на
одной прямой. Каждые две из этих точек соединены от-
резком, и каждый отрезок окрашен в один из данных к
цветов. Докажите, что, если N > [&!<?!, то среди данных
зечек можно выбрать такие три, что все стороны образо-
ванного ими треугольника будут окрашены в один цвет.
10.6. «Непрерывный» принцип ящиков. Если фигуры
FA. F21 , . , Fn с площадями S2, . . ., Sn содержатся
в фигуре F с площадью S и Sr + S2 + . . . + kS,
101
то некоторые Л? + 1 из фигур F1? F2, . . ., Fn имеют общую
точку.
1. В квадрате со стороной 1 отмечено 64 точки. Дока*
жите, что некоторые три из них можно покрыть одним
кругом радиуса 1/8.
2. В круге радиуса 16 отмечено 650 точек. Докажите,
что некоторые десять из них можно покрыть кольцом,
внутренний радиус которого равен 2, а внешний радиус
равен 3.
3**.В квадрате со стороной 1 расположена фигура,
расстояние между любыми двумя точками которой не рав-
но 0,001. Докажите, что площадь этой фигуры меньше,
чем 0,34. Докажите, что площадь этой фигуры меньше,
чем 0,29.
10.7. Инвариант. В каждой из предлагаемых задач
задан некоторый объект и описаны преобразования, кото-
рые разрешено производить над этим объектом. При этом
требуется доказать, что в результате этих преобразований
объект нельзя привести к некоторому определенному
виду. Это можно сделать, подобрав такую характеристи-
ку объекта, которая не меняется при указанных преобразо-
ваниях. Такую характеристику называют инвариантом
преобразований.
1.	Каждое из чисел от 1 до 1 000 000 заменили суммой
его цифр. С полученным набором чисел проделали то же
самое и так далее до тех пор, пока не получился набор,
состоящий из миллиона однозначных чисел. Каких
чисел в получившемся наборе больше: единиц или двоек?
2.	На доске написано несколько плюсов и минусов.
Разрешается стереть любые два знака и написать вместо
них плюс, если они одинаковы, и минус — в противном
случае. Докажите, что последний оставшийся на доске
знак не зависит от порядка, в котором производились
стирания.
3*. В каждой клетке таблицы 8x8 написано целое
число. Разрешается выбирать в таблице любой квадрат
размерами 3x3 или 4 X 4 и увеличивать на 1 каждое
из чисел, стоящих в клетках выбранного квадрата. Вся-
кую ли таблицу можно с помощью таких операций преоб-
разовать в таблицу, в которой все числа делятся на 3?
4.	Круг разбит на десять секторов, в каждом из кото-
рых стоит по фишке. Одним ходом разрешается любые две
фишки передвинуть в соседние секторы. Докажите, что
не удастся собрать все фишки в одном секторе.
102
5*. На пересечении первой строки и второго столбца
таблицы 4x4 стоит минус, а в остальных клетках этой
таблицы стоят плюсы. Разрешается изменять знак на
противоположный одновременно во всех клетках, распо-
ложенных в одной строке в одном столбце или вдоль пря-
мой, параллельной какой-нибудь из диагоналей таблицы
(в частности, в любой угловой клетке). Докажите, что,
сколько бы раз мы ни производили такие операции, в таб-
лице останется хотя бы один минус.
6*. Числа 1, 2, ..., п расположены в некотором поряд-
ке. Разрешается менять местами любые два рядом стоя-
щих числа. Докажите, что, если проделать нечетное чис-
ло таких операций, то полученное расположение чисел
1, 2, . . ., п будет отлично от первоначального.
7.	Докажите, что утверждение п. 6 останется справед-*
ливым, если разрешить менять местами любые два числа
в перестановке.
.8 ♦. В различных пунктах кольцевого автодрома в одно
и то же время в одном направлении стартовали 25 автолю-
бителей. По правилам гонки автолюбители могут обгонять
Друг друга, но при этом запрещен двойной обгон. Авто-
любители финишировали одновременно в тех же пунктах,
что и стартовали. Докажите, что во время гонки было чет-
ное число обгонов.
9*. Числа 1, 2, . . ., п записаны по порядку. Разре-
шается выбрать любые четыре числа и поменять местами
самое левое из них с самым правым, а второе слева — со
вторым справа. Докажите, что, если п (п — 1)/2 — чет-
ное число, то с помощью описанных операций можно
прийти к расположению п, п — 1, . . ., 3, 2, 1; если же
п (п — 1)/2 — нечетное число, то к такому расположе-
нию прийти нельзя.
10.8. В этих задачах, как и в предыдущих, задан не-
который объект и описаны преобразования, которые раз-
решено над ним производить. При этом либо требуется
доказать, что, как бы мы ни производили эти преобразо-
вания, через конечное число шагов обязательно получится
объект вполне определенного вида, либо доказать, что мы
можем прийти к объекту требуемого вида, специальным
образом выбрав последовательность, в которой эти преоб-
разования производятся. Инструментом доказательства
служит такая числовая характеристика объекта, которая
монотонно изменяется при заданной последовательности
103
преобразований и может принимать лишь конечное число
различных значений.
1.	Непустые конечные множества А19 А2, А3, ♦
состоят из целых чисел, причем при п > 2 каждый эле-
мент множества Ап является средним арифметическим
двух или более элементов множества Лп_х. Докажите,
что в этой последовательности конечное число множеств.
2.	В строчке подряд написано 1000 чисел. Под ней
пишется вторая строчка чисел по следующему правилу:
под каждым числом а первой строчки выписывается
натуральное число, указывающее, сколько раз а встреча-
ется в первой строчке. Из второй строчки таким же обра-
зом получается третья: под каждым чис л ом Ъ второй строч-
ки выписывается натуральное число, указывающее, сколь-
ко раз b встречается во второй строчке. Затем из третьей
строчки так же строится четвертая, из четвертой —
пятая и так далее. Докажите, что некоторая строчка сов-
падает со следующей.
3.	В каждой клетке прямоугольной таблицы написано
натуральное число. За один ход разрешается удвоить
все числа какой-нибудь строки или же вычесть единицу
из всех чисел какого-нибудь столбца. Докажите, что за
несколько ходов можно получить таблицу, в которой
все числа равны 0.
4*. Задано несколько красных и несколько синих
точек, некоторые из которых соединены между собой.
Точка называется особой, если более половины из со-
единенных с ней точек имеют цвет, отличный от ее цвета.
За один шаг выбирается произвольная особая точка
и перекрашивается в другой цвет. Докажите, что через
конечное число шагов не останется ни одной особой точки.
5*. На плоскости заданы п красных и п синих точек,
никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каж-
дая красная точка соединена отрезком с одной из синих
точек, причем разные красные точки соединены с разными
синими. Если [АС] и [ЯР] пересекаются, причем точки
А и В —• красные, а С и D — синие, то разрешается за-
менить эти отрезки отрезками L4D] и [ЯС]. Докажите,
что через конечное число шагов никакие два отрезка
не будут иметь общих точек.
6*. В каждой клетке прямоугольной таблицы написа-
но вещественное число. За один ход разрешается заменить
ид противоположные все числа некоторой строки или
некоторого столбца. Докажите, что за несколько шагов
104
можно добиться того, чтобы сумма чисел в каждой стро-
ке и сумма чисел в каждом столбце стали неотрицатель-
ными.
7*. п точек на плоскости таковы, что круг радиуса
1 с центром в любой из этих точек содержит не менее,
чем (п + 2)/2 данных точек. Докажите, что эти точки
можно обозначить через А2,- • Ап таким образом,
что каждое из расстояний | 4Х421, | 4243 |, . . ., | 4П4Х |
не больше 1.
§ 2. Перебор вариантов
10.9. Правило произведения. Предположим, что
нам нужно подсчитать количество предметов, удовлетво-
ряющих некоторым условиям. Предположим, что построе-
ние произвольного такого предмета мы разбили на п
последовательных шагов, причем на первом шаге у пас
есть выбор из at возможностей; независимо от результата
первого шага, у нас есть а2 различных возможностей на
втором шаге; независимо от результатов первых двух
шагов, есть а3 способов осуществления третьего шага
и т. д.; наконец, независимо от решений, принятых на
предыдущих шагах, у нас есть ап возможностей осуще-
ствления последнего шага. Тогда общее количество пе-
ресчитываемых предметов равно произведению а1-а2...ап.
1.	В русском алфавите 20 согласных и 10 гласных букв.
Сколько можно составить различных слогов из двух букв,
первая из которых согласная, а вторая гласная?
2.	Из города А в город Б ведут 5 дорог, а из города
Б в город В — 7 дорог. Сколько есть различных маршру-
тов поездки из города А в город В через город Б?
3.	Сколько есть различных двузначных чисел, в де-
сятичной записи которых не встречается ни одна из цифр
0, 2, 5?
4.	Сколько есть различных двузначных чисел, в де-
сятичной записи которых не встречается ни одна из цифр
1, 3, 7?
5.	В меню столовой имеется 7 первых, 9 вторых и 4 тре-
тьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед
из трех блюд (первое, второе и третье)?
6.	Номер автомашины состоит из трех букв русского
алфавита (содержащего 33 буквы) и четырех цифр. Сколь-
ко можно составить различных номеров автомашин?
105
7.	У рояля 88 клавиш. Сколькими способами можно
извлечь последовательно 6 звуков?
8.	Сколько различных натуральных делителей имеет
число п = 27-З10-715-11»?
9.	На координатной плоскости рисуются всевозможные
несамопересекающиеся ломаные, все вершины которых
имеют целые координаты, а звенья параллельны коорди-
натным осям; Ln — число таких ломаных, выходящих
из начала координат и имеющих длину п. Докажите,
что 4.2n“1<Ln<4.3n"1.
10.	Сколько есть пятизначных чисел, оканчивающихся
двумя семерками?
11.	Сколько есть шестизначных чисел, начинающихся
с двух одинаковых цифр?
12.	Сколько есть четырехзначных чисел, в каждом
из которых нет одинаковых цифр?
13.	Сколько есть пятизначных чисел, в каждом из
которых соседние цифры различны?
14.	Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на
4, в записи которых не используются цифры 0, 4, 6, 8?
15.	Сколько есть шестизначных чисел, в каждом из
которых нет одинаковых цифр, а вторая и четвертая
цифры нечетны?
16.	Сколько есть шестизначных чисел, в записи кото-
рых две цифры 1 и по одной цифре 2, 3, 4, 5?
17.	Сколько есть семизначных чисел, в записи которых
четыре цифры 5 и по одной цифре 0, 7, 8?
10.10.	Число подмножеств.
1.	Сколько есть подмножеств в множестве из т эле-
ментов?
2.	Сколькими способами в множестве из т элементов
можно выбрать два непересекающихся подмножества?
3.	Сколько есть натуральных чисел, в десятичной
записи которых каждая цифра равна 0 или 1, причем
число единиц равно иг, и никакие два нуля не стоят рядом?
10.11.	Число перестановок. Расположение элементов
множества в некотором порядке называют перестановкой
этого множества. Число перестановок множества из
п элементов равно п\ » l-2-З...п.
1.	Сколькими способами можно выписать в колонку
фамилии 30 учеников?
2.	Сколькими способами можно расставить на шахмат-
ной доске 8 одинаковых ладей так, чтобы никакие две
из них не били друг друга?
406
3.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2,. .	9,
в которых цифра 3 занимает третье место, а цифра 5 —
пятое?
4.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2, . .	9,
в которых цифра 1 следует непосредственно за цифрой О?
5.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2, . . ., 9,
в которых цифра 0 занимает одно из первых трех мест,
а цифра 1 — одно из последних четырех мест?
6.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2, . .	9,
в которых цифра 0 занимает одно из первых пяти мест,
а цифра 1 — одно из первых трех мест?
7.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2, . . ., 9,
в которых между цифрами 0 и 1 стоят ровно три цифры?
8.	На полке нужно расставить три пятитомных со-
брания сочинений так, чтобы все тома каждого из собра-
ний сочинений стояли подряд, хотя и необязательно
в порядке следования номеров томов. Сколькими спо-
собами это можно сделать?
9.	Сколькими способами можно рассадить за пятнад-
цатью партами 15 мальчиков и 15 девочек так, чтобы за
каждой партой мальчик сидел слева, а девочка — справа?
10.	Сколькими способами можно рассадить за пятнад-
цатью партами 15 мальчиков и 15 девочек так, чтобы каж-
дый мальчик сидел за одной партой с девочкой?
11.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2, . . ., 9,
в которых цифра 0 расположена левее цифры 1?
12.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2, . . ., 9,
в которых цифра 1 расположена между цифрами 0 и 2?
13.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2, . . ., 9,
в которых цифра 0 расположена левее цифр 1, 2, 3 а ци-
фра 1 — левее цифры 2?
10.12.	В некоторых случаях для того, чтобы найти
число элементов конечного множества, обладающих тре-
буемым свойством, удобно найти сначала число элементов,
не обладающих этим свойством, и затем вычесть это число
из числа элементов множества.
1.	Сколько есть пятизначных чисел, в десятичной
записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
2.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2,. . ., 9,
в которых хотя бы одна из первых трех цифр делится на 3?
3.	Сколько есть пятизначных чисел, в десятичной за-
писи которых есть одинаковые цифры?
10.13.	В некоторых случаях при подсчете числа пред-
метов, обладающих требуемыми свойствами, не удается
107
непосредственно применить правило произведения (см.
задачу 10.9), однако удается разбить множество пере-
считываемых предметов на несколько частей таким обра-
зом, что для подсчета числа элементов в каждой из этих
частей уже можно применить правило произведения.
После этого остается сложить получившиеся числа.
1.	Сколько есть натуральных чисел, меньших 105,
в десятичной записи которых соседние цифры различны?
2.	Алфавит состоит из 10 букв. «Словом» называется
любая последовательность букв этого алфавита, в кото-
рой никакая буква не встречается три раза подряд.Сколько
есть слов, состоящих не более, чем из четырех букв?
3.	Сколько есть четных пятизначных чисел, в каж; о л
из которых нет одинаковых цифр?
4.	Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на
25, в каждом из которых соседние цифры различны?
5.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2, . . ., 9,
в которых цифра 0 занимает одно из первых шести мест,
а цифра 1 — одно из шести последних мест?
6.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2,...» 9,
в которых цифры 0 и 1 стоят рядом, а цифры 1 и 2 не стоят
рядом?
7.	Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2,. . ., 9,
в которых между цифрами 0 и 1 стоят ровно 3 цифры,
а между цифрами 1 и 2 — ровно две цифры?
10.14.	Число «счастливых билетов».
1.	п — натуральное число. Сколько решений в не-
отрицательных целых числах имеет уравнение х + у = п?
2.	п — натуральное число. Сколько решений в не-
отрицательных целых числах имеет система уравнений
x + y = z + t = ni
3.	Каждая из 10 000 карточек занумерована последо-
вательностью из четырех цифр (от 0000 до 9999). Сколько
есть карточек с такими номерами, у которых сумма первых
двух цифр равна сумме двух последних цифр?
4.	п — натуральное число. Сколько решений в не-
отрицательных целых числах имеет уравнение х 4- у +
+ z = п?
5.	Каждая из миллиона карточек занумерована по-
следовательностью из шести цифр (от 000 000 до 999 999).
Сколько есть карточек с такими номерами, у которых сум-
ма первых трех цифр равна сумме трех последних цифр?
10.15.	Разбиение на группы. В каждой из предЛагар^
мых задач имеется правило, в соответствии с которым
108
некоторые перестановки данного конечного множества
отождествляются. При этом все перестановки данного
множества разбиваются на группы таким образом, что
перестановки из одной группы считаются одинаковыми,
а перестановки из разных групп — разными. Если при
этом во всех группах одно и то же число элементов,
то для того, чтобы найти число разных перестановок,
нужно число всех перестановок данного множества раз-
делить на число перестановок, попавших в одну группу.
В некоторых случаях правило отождествления пе-
рестановок задается явно, в других случаях его нужно
разумным образом ввести, решая задачу.
1. Сколькими способами можно рассадить 12 человек
за круглым столом, если при этом: а) для каждого че-
ловека важно не место, которое он занимает за столом,
а лишь то, кто является его соседом справа и кто являет-
ся его соседом слева; б) для каждого человека важно лишь
то, кто является его соседями (и не важно, кто из этих
соседей сидит справа, а кто — слева); в) для каждого
человека важно лишь то, кто сидит напротив него.
2. ABCD — квадрат. Каждый из отрезков [Л5],
LBC], [CZH, [AD], [АС] требуется окрасить в один из
данных пяти цветов, причем все цвета должны быть
использованы. Две раскраски считаются одинаковыми,
если одну из другой можно получить некоторым переме-
щением. Сколько есть различных раскрасок?
3*. Сколько различных фигур можно построить из дан-
ного правильного n-угольника и п кругов попарно раз-
личных радиусов, если каждая сторона п-угольника
должна касаться в своей середине одного и только од-
ного из данных кругов? Две фигуры считаются одинако-
выми, если одну из другой можно получить некоторым
перемещением.
4*. Для банкета на 100 человек приготовлено три
восьмиместных, четыре десятиместных и два восемнад-
цатиместных круглых стола. Два варианта расположения
людей за этими столами считаются одинаковыми, если
у каждого человека в обоих вариантах один и тот же со-
сед слева и один и тот же сосед справа. Сколько есть раз-
личных вариантов расположений ста человек за этими
столами?
5.	Сколько есть пятизначных чисел, в записи которых
цифра 1 встречается два раза, а цифры 2, 3 и 4 — по
одному разу?
109
6.	Сколько разных последовательностей букв можно
получить, переставляя буквы елова «косогор»?
7.	Сколько есть шестизначных чисед, в записи ко-
торых цифры 1 и 2 встречаются по два раза, а цифры
3 и 4 — по одному разу?
8.	Сколько есть семизначных чисел, в записи который
цифра 1 встречается трижды, а цифра 5 — дважды^
9.	Сколько" разных последовательностей букв можно
получить, переставляя буквы слова «колокольчик»^
10*. т различных шаров распределяют по п различ-
ным ящикам таким образом, чтобы в каждом ящике ока-
зался хотя бы один шар. Докажите, что число таких
распределений делится на п\.
11. Сколько различных последовательностей длины п
можно получить из к единиц и (п — к) нулей?
12. Сколько различных последовательностей длины п
можно получить из кг букв к2 букв а2, . . ., к3 букв а3
(kt + к2 + ... + кд « п)?
§ 3. Биномиальные коэффициенты
10.16. Число ft-элементных подмножеств
n-элементного множества обозначается Сп и при
^°ЁГ(п-&)Г (СМ* “• Н За’
вычисляется по формуле
дачи 10.25).
1. Вычислите: С?, С20» Сю, С35, С|,
2. Решите уравнения: Сп ~ 28, С%"3 == 20, Сз0 == 435.
Выясните, сколько есть подмножеств X множества
{0; 1; 2; . . .; 9}, удовлетворяющих условиям:
3.	Множество X состоит из трех элементов.
4.	Множество X состоит из пяти элементов и 1 ЕЕ X»
5.	Множество X состоит из шести элементов и 2 X.
6.	Множество X состоит из семи элементов, 0 Е X,
1 ЕХ и 2 (£Х.
7.	Множество X состоит из двух четных и трех не-
четных чисел.
8. В множестве X не менее семи элементов.
10.17. На окружности последовательно отмечены точки
Alt Л 2, . . м Л12. Вычислите:
1.	Число хорд с концами в отмеченных точках.
2.	Число треугольников с вершинами в отмеченных
точках.
110
3.	Число выпуклых четырехугольников с вершинами
в отмеченных точках.
4.	Число треугольников с вершинами в отмеченных
точках, не имеющих общих точек с прямой (Л2Л8).
5.	Число выпуклых четырехугольников с вершинами
в отмеченных точках, имеющих общие точки с прямой
GM6).
10.18.	Z, тп — параллельные прямые, I =# т. На пря-
мой I отмечено 8 точек, а на прямой т — 11 точек. Вы-
числите:
1.	Число треугольников с вершинами в отмеченных
точках.
2.	Число выпуклых четырехугольников с вершинами
в отмеченных точках (три вершины четырехугольника
не должны лежать на одной прямой).
3.	Число несамопересекающихся шестнадцатизвенных
ломаных с вершинами в отмеченных точках, звенья ко-
торых не лежат на прямых I и т.
4.	Число несамопересекающихся десятизвенных ло-
маных с вершинами в отмеченных точках, звенья которых
не лежат на прямых I и тп.
10.19.	Шары в ящиках.
1.	Имеется шесть различных ящиков, четыре нераз-
личимых белых шара и три неразличимых черных шара.
Сколькими способами можно разложить все.шары по
ящикам так, чтобы в каждом был хотя бы один шар?
2*. Имеется десять различных ящиков, шесть нераз-
личимых белых шаров и шесть неразличимых черных
шаров. Сколькими способами можно разложить все шары
по ящикам так, чтобы в каждом ящике оказался хотя
бы один шар?
10.20.	Разбиение числа на слагаемые.
1.	Докажите, что число различных последовательно-
стей из т нулей и п единиц равно
2*. Докажите, что число различных решений уравнения
+ х2 + ••• +	в неотрицательных целых числах
равно Crn+n-i*
3.	Докажите, что число различных решений уравнения
+ • •• +	— п в натуральных числах равно
Ст-1
п-1 <
4.	Сколькими способами можно разложить 15 одина-
ковых шаров по 5 различным ящикам так, чтобы оказа-
лось не более двух пустых ящиков?
Ш
5.	Сколькими способами можно разложить 20 одина-
ковых шаров по 5 различным ящикам так, чтобы в каждом
ящике оказалось не менее двух шаров?
6.	Сколькими способами можно разложить 20 одина-
ковых шаров по 6 различным ящикам так, чтобы в каж-
дом ящике оказалось не более 5 шаров?
10.21	. Формула включения и исключения (продолжение
задачи 10.3).
1*. Докажите, что число таких перестановок
а2;. . .; ап) чисел (1; 2;. . .; м), которые удовлетворяют
п к
условию ф к при всех к, равно п\ —	.
fc=o
2*. Сколькими способами можно раскрасить клетки
шахматной доски 8 X 8 в восемь цветов так, чтобы клетки,
имеющие общую сторону, были бы окрашены в разные
цвета и чтобы в каждом горизонтальном ряду встречались
все восемь цветов?
3*. т различных шаров распределяют по п различным
ящикам таким образом, чтобы в каждом ящике оказался
хотя бы один шар. Докажите, что при т п число таких
распределений равно
S (- l)fe (П - kf> Ct
4. Докажите тождество:
V (-if (n-fcf _
z_j k\(n — k)l
к ==o
10.22. Треугольник Паскаля. Числовым треугольником
будем называть таблицу, в верхней строке которой на-
писано одно число, а в каждой следующей строке — на
одно число больше, чем в предыдущей. Строки такой та-
блицы будем нумеровать последовательными целыми
числами, начиная с 0, так что n-я строка будет состоять
из п + 1 чисел. Числа в каждой строке также будем ну-
меровать, начиная с 0, и обозначать Тп, где п — номер
строки, к — номер числа в строке. Числовой треугольник,
удовлетворяющий условиям
Т°„ ~ Т” = 1, Т*п = rtl + Tti (1 < А< п - 1)
называется треугольником Паскаля.
112
1.	Найдите сумму членов n-й строки треугольника
Паскаля.
2.	Найдите сумму членов n-й строки треугольника
Паскаля, стоящих на четных местах.
3.	Найдите сумму членов n-й строки треугольника
Паскаля, стоящих на нечетных местах.
4*. Докажите, что в n-й строке треугольника Паскаля
нет четных чисел в том и только в том случае, если
п + 1 — целая степень числа 2.
5*. Натуральные числа п и к таковы, что п 2\
Докажите, что в строке треугольника Паскаля с номером
п + 2fe нечетных чисел вдвое больше, чем в строке с но-
мером п.
6. Докажите, что число нечетных чисел в любой строке
треугольника Паскаля есть целая степень числа 2.
10.23.	Треугольник Паскаля (продолжение).
1.	Докажите, что С\ =	+ Cn-i (1 < к < и — 1).
2.	Докажите, что Ткп — Сп (0 к п).
Упростите:
m	m
3.	S	4. S(-l)S 6^(w<R).
к—о	k—l
m	m
5. SC, 6. S^U(ra>p).
7f==>0	k=Q
10.24. Полиномиальная теорема.
1. Докажите, что полином (ах + а2 + . . . + as)n
равен сумме всевозможных одночленов вида
71!	ki kz	к	7	7	7
"fcj k2l. :~кТ а2 • • • as » гДе ки kv -1 к$ — неотрица-
тельные целые числа, сумма которых равна п. Найдите
разложения следующих полиномов:
2. (2х - у)\	3.	2б)5.
4. (х2 + х + I)2.	5. (х — а + I)2.
6. (а — b — с)3.	7. (1 —. х + ху)\
Найдите коэффициент при хк в разложении полиномов:
8. (х + 2)10, к == 3.	9. (1 - 2,г)7 8 *, к = 4.
10. [ух - Ау , Л = _ 5.
11. (3 )/Т2 — 7 /af, А= 11.
ИЗ
42. (ж2 — х -4-1)8, к = 7.
13. (]f х -f-	4- т^ж)®» к = 2.
10.25. Числа Сп являются коэффициентами формулы
бинома:
(1+ж)«=2^Л
Докажите тождества]
1. 3^ = 2”.	2.
&=0
з. 2 (-4)”"*2*C* = f.	4.
fc=D
6. S kC^riST1.	б.
fc=l
7. ^(-l)”"* к#‘Ч% — п.	8.
A'=l
ItssO
3 9*e*=ion.
fc=0
2 (-d^ac* =o.
fr=l
n ^k
VI Cn _2n+1—1 4
2j &4-1 ~ w + 1 •
VI (— 1) ^2n-l2 __л
2j *+<	’
n
У1 _______cn
/ !	-- V2n«
и
13. s (- it (C^)2=(-
k=o
211—1	p
14. 3 (—4)ft (Can-i)2=o.	15. 2<4cr*«=cu.
Л«=0	/f=0
Глава 11
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Действия над комплексными числами
11 Л. Множество вещественных чисел можно
расширить до большего множества, в котором по-преж-
нему выполнимы четыре арифметических действия, под-
чиняющиеся обычным законам, а кроме того, разрешимы
все квадратные уравнения. Элементы этого множества
114
называют комплексными числами. Обозначив через i
один из корней уравнения х2 — —1, каждое комплексное
число можно единственным образом записать в виде
а + Ы, где а и Ъ — вещественные числа. Комплексные
числа складываются и перемножаются по следующим
правилам:	(а + Ы) + (с + di) — (а + с) + (Ь + d)i\
(а + bi)(c + di) ==± (ас — bd) + (ad + bc)i. Вычислите:
1. (3 - 2i) + (5 + 30- 2. (1 + 20 - (3 - О- 3. 3 (2 - 0-
4. i (i — 1). 5. (1 + 30(—7 + 20- 6. (2 — 02.
7. (1 + 203. 8. i\ 9. i31. 10.(1 + 020.
11.2. Нахождение обратного числа z"1 к комплекс-
ному числу z = а +	0 производится по формуле
z~x =	----I’ Делеыие числа z± на комплексное
число z2 0 производится как умножение числа zx на
число, обратное z2, т. е. — = zi.zj\ Вычислите:
Z2
л 1	q 5	q 2i — 3
’ 1 + 2i •	t + i •
4. 2+3£. 5. г5.	6. (1+ 0"10.
11.3. Комплексные числа z± = а + bi и z2 = с + di
равны тогда и только тогда, когда я = с и 6 = Л Най-
дите вещественные решения уравнений:
1.	(1 + i)x + (2 + i)y = 5 + 3i.
2.	2х + (1 + i)(x + у) = 7 + i.
11.4	. Комплексно сопряженным с числом z — а + bi
называется число z ~ а — Ы.
Докажите следующие свойства операции комплекс-
ного сопряжения:
!• “F ^2 Ч" z2* 2. ZjZ2 в ^1г24
3.	2- = й-..	4. (i) = f. 5. ? =
11.5. Функция ф определена на множестве всех ком-
плексных чисел и принимает комплексные значения.
Докажите, что если для любых комплексных чисел z^
z2 выполнены равенства
<Р (zi + z2) = ф (zx) + ф (z2), ф (zxz2) = ф (гх)ф (z2)
и ф (а) « а для любого вещественного а, то либо ф (z) s
s=s z при всех z, либо ф (z) == z при всех z.
11.6.	Число z является вещественным в том и только
в том случае, если z = z. Докажите, что следующие
115
числа вещественны:
1. z + z. 2. z>z.
z2-±z __ z + z2
z3 — z z — z3 *
3. -^(z-z).
5- 4+4) ’если z’2=<-
11.7.	Извлечение квадратного корня из комплексного
числа z = а 4- bi производится решением уравнения
(я + УО2 — а + bi. Найдите квадратные корни из сле-
дующих комплексных чисел z:
1. z = —4. 2. z = i. 3. z = 3 + 4г.
§ 2. Комплексная плоскость
Рассмотрим на плоскости декартову систему
координат у). Каждому комплексному числу z « х +
+ yi можно сопоставить точку плоскости с координатами
(х; у). При таком сопоставлении получается взаимно од-
нозначное соответствие между комплексными числами
и точками плоскости. Часто отождествляют комплексные
числа и соответствующие точки плоскости (так же, как
отождествляют вещественные числа и точки числовой
оси). При этом плоскость называют комплексной плоско-
стью.
11.8. Изобразите на комплексной плоскости следующие
комплексные числа z:
1. z — 1. 2. z = i. 3. z = —2.
4. 2 = 1 — г. 5. z = г — 2. 6. 2 = 3 — 5г.
11.9. Если число 2 изображено точкой Р, то модулем
числа 2 называется расстояние от точки Р до начала ко-
ординат О, а аргументом числа z называется угол, обра-
зованный осью абсцисс и лучом ОР. Модуль числа z
обозначается | z |, а аргумент — arg 2. Следует заметить,
что при определении аргумента комплексного числа нужно
соблюдать некоторые предосторожности. Если число z
равно нулю (а тогда точка Р совпадает с точкой О), аргу-
мент не определен. При z =/= О аргумент числа Z определен
не однозначно, а с точностью до кратного полного угла
2л. Запись arg z следует понимать как запись одного из
возможных значений аргумента. Найдите модуль и ар-
гумент следующих чисел z:
1.2 = 2.	2.	2 = —3.	3.	2 =	— г.
4. 2 = 1 4- I.	5.	z = |/3 — I.	6.	з =	1 —	i/з.
7. г = г/2.	8.	2 = 2 — Зг.
116
Изобразите на комплексной плоскости точки z, за-
даваемые условиями:
9. | z | = 1.	10.	|z| =± 5.	11.	|z|<2.
12. | z | > 3.	13.	1	| z |	2. 14.	arg z = 0.
15. arg z = л/4.	16.	л < arg z	< Зл/2.
11.10. Полезно помнить, что модуль разности комп-
лексных чисел есть расстояние между их изображениями
на комплексной плоскости. Изобразите на комплексной
плоскости точки z, задаваемые условиями:
1.	1 2 _ 1 |	= 1. 2. | z	-	2 + i| = 2.
3.	I 2z _ 3	+ 2$ | = 5.	4.	| z + i - 3 |	< 2.
5.	| z - i\	== 1 z + 1 |.	6. | z - 2i | <	| z +	i -	1	|.
7.	|z - l| + |z + 1 | =	2.	8. |z + i| - |z - i|=	2.
11.11. Тождества и неравенства для модулей комплекс-
ных чисел часто являются алгебраической формой записи
геометрических задач. Докажите:
1.	I ZX + Z2 |2 + I Zj — z2 I2 = 2 (I Zx I2 + I z2 I2).
2.	3 (| zx |2 + | z2 |2 + | z3 |2) = |zx-z2|24-
+ I z2 — z312 + I z3 _ zx I2 + I Zx + Z2 + z3|2.
3.	ij |z —zs|2 = n(|z|2+1), если |zx| = |z2|= ...
£==1
... = | zn I = 1 n Zfc == 0.
/f=l
4.	| z3 — zx| — | z3 z2 |	| zx — z2 |	| z3 — zx | 4*
4* I z3 — z2|.
5.	| zL — z2 | + ] z2 — z31 + | z3 — zx К
< 2 (|z — zx | + |z — z2 | + |z — z3 I).
6**. | Zj + Z2 I 4- I z2 + Z3 I + | Z3 4- zx |< I ZX I +
4- I z2| 4- I zs I 4- I zi 4- z2 4- z8 |.
11.12. Если комплексное число z записано в виде
z = а 4- bi, то
где а — одно из значений аргумента z (z #= 0). Обозначим
| z | =	4- через г. Преобразуем' запись а:
z = а 4- bi =
= Иа*4-^2 {	= r (cos а +{sin?<I)•
\ V a2 -j- Ь1 У а2 4-	)
Последняя запись называется тригонометрической фор-
117,
мой комплексного числа г. Запишите в тригонометрической
форме числа z из п. п. 1—8 задачи 11.9.
11.13. Тригонометрическая форма записи комплексного
числа удобна для умножения и деления чисел, возведения
их в степень. Основные формулы приведены в н.п. 1—3.
Докажите:
1.	Если =± rx (cos ax + i sinax), z2 = r2 (cos a2 +
+ £sina2), то zxz2 =* rxr2 (cos (ax + a2) + i sin (ax + a2)),
т. e. при умножении комплексных чисел их модули умно-
жаются, а аргументы складываются.
2	. П (003.01.^8^). в _lL(Cos (	) + i sin (	))t
r2 (cos a2 +1 sm a2)	r2 v x 1 v 1
3.	(r (cos a + i sin a))n rn (cos na + i sin na), где n —
произвольное целое число {формула Муавра). Упростите:
4.	(cos a + i sm a) (cos a -1 sin a).	5.	.
6 /1 +1 tg a \n 7 /__________1____________\n
\ 1 — i tg a / *	* \ 1 + cos a + i sin a / *
Вычислите:
8. (cos 4- i sin (cos	4- i sin	X
X (cos ~ 4- i sin .
9. (14-il<3)3(l-i)’.	10. (J^=ZL)2°.
11.14. Комплексные числа zt и z2, записанные в три-
гонометрической форме zx ss rx (cosax + isin^ax), z2 =s
s=s r2 (cosa2 + i sin a2), равны тогда и только тогда, когда
rx S г2 и ах — а2 — 2пк при некотором целом к. Это можно
использовать для извлечения корня n-й степени из комп-
лексного числа, рассматривая уравнение tn =s z, где
z — данное комплексное число, а t неизвестно. Извлечь
корни n-й степени из чисел z:
1.	п = 3, z = 8.
2.	п = 3, z = 1 + г.
3.	п — 4, z « —1.
4.	п = 4, z = —4.
11.15. Корни из единицы. Корни тг-й степени из едини-
цы — это комплексные числа, удовлетворяющие уравне-
нию zn =2 1. Число корней тг-й степени из единицы равно
118
п и их можно находить по формуле
2зхк  * • 2лк у г\ а	а
zk = cos*---h I sin--, fc = O, 1,...» n — 1.
П	П
1.	Постройте на комплексной плоскости изображения
корней n-й степени из единицы при п = 3, 4, 5,6.
2.	Докажите, что корни n-й степени из единицы на комп-
лексной плоскости являются вершинами правильного
п-угольника.
3.	Пусть zr и z2 — корни n-й степени из единицы.
Докажите, что тогда z^z2 и z^z2 также являются корнями
n-й степени из единицы.
4.	Пусть со — фиксированный корень n-й степени из
числа z, а 8 - корень n-й степени из единицы. Докажите,
что е *(о также является корнем n-й степени из числа z
и что каждый корень n-й степени из числа z может быть
записан в виде е*со при некотором е, являющемся корнем
n-й степени из единицы.
11	.16. Кубические корни из единицы. Кубические корни
из единицы удовлетворяют уравнению z3 = 1. Один из
них равен 1. Два других удовлетворяют уравнению
z2 + z + 1 = 0. Их можно записать в алгебраической
v	— 1 4-1/" 3i	« 2л .  • 2л
форме----==л---и в тригонометрической cos -5- +1 sin -5-,
cos + * sin • Обозначим один из невеществен-
ных корней через о. Тогда другой можно записать как
со, или со2, или со'1.
1.	Вычислите со6, со'10, со36.
2.	Вычислите со100 + со200 + со300.
3.	Докажите, что (а + &со + ссо2)п + (а + Ьсо2 + ссо)п
является вещественным числом при любых вещественных
а, &, с и натуральном п.
4.	Докажите тождество а3 + Ь3 = (а + Ъ)(а + &со)(а +
+ Ьсо2).
5.	Докажите тождество а3 + &3 + с3 — За&с а=г (а +
+ Ъ + с)(а + Ьсо + ссо2)(а + &со2 + ссо).
11.17. Приложения к суммированию. Разложение
двучленов (а + Ъ)п по формуле бинома Ньютона позво-
ляет получить интересные формулы, подставляя вместо
а и & различные комплексные числа и вычисляя n-ю сте-
пень по формуле Муавра. С помощью разложения (cos а +
+ i sin а)п =» cos па + i sin па найдите:
1. Разложение cos За и sin За в виде многочленов от
cos а и sin а;
119
2. Аналогичное разложение для cos 5а, sin 5а.
Используя разложение (1 4- г)п, найдите следующие
суммы:
о /'О	I	f । zilOO
4100 — G100 t bioo T ••• i ^100*
4. C«9 — CL + C™----— С™.
Докажите тождества:
5*. C“ + C3n + C’+... = 4-(2n+2cos-!r)-
6*. Cn g- Cn + — Cn — Cn +...= sm .
7*. Cn cos a 4- Cn cos 2a 4- • • • 4- £n cos (n 4- i)« =
— 2” pos — cos <” + 2)”
иод 2 ооь 2	•
(1 \w
z + — 1 при z = cos a 4-
+ i sin a, выведите формулы, выражающие cosn a через
cos a, cos 2a, cos 3a,. . ., cos na.
§ 3. Корни многочленов
Каждый многочлен с комплексными коэф-
фициентами (отличный от постоянной) имеет хотя бы один
комплексный корень. Это утверждение носит название
основной теоремы алгебры. Оно было впервые доказано
Гауссом в конце XVIII века. С тех пор придумано много
доказательств теоремы Гаусса, но все они используют
какие-то свойства функций комплексной переменной.
Принимая эту теорему без доказательства, можно вы-
вести ряд утверждений о разложении многочленов на
множители, распределении их корней.
11.18. Разложение многочлена на линейные множители
с комплексными коэффициентами. Используя теорему
Безу (см. задачу 3.30), докажите, что многочлен / (х) ==
— апхп 4- а^х™"1 +...+ агх 4- а0 с комплексными коэф-
фициентами можно представить в виде f (х) = ап (х —
— xj (х— х2)..\х — хп).
11.19. Разложите на линейные множители следующие
многочлены:
1. х2 4- 1. 2. х2 — 2х 4- 5.
3. х3 4- 1. 4. х3 + х — 2. 5. х* + 1.
6. х* + х2 4- 1. 7. хп — 1.
120
11.20. Кратность корня. Если число а является корнем
многочлена / (л), то / (х) делится на х — а. Пусть к —
наивысшая степень бинома х — а, на которую делится
многочлен / (х). Это означает, что / (х) делится на (х — а)\
но не делится на (х — a)ft+1. Такое число к называется
кратностью корня а.
1.	Докажите, что многочлен / (х) со старшим коэф-
фициентом ап может быть представлен в виде
/ (х) = ап(х — Xj) fc*(x — х2)^. ..(х — xsfs,
где Xi, ж2,. . ., х$ — все его различные корни, a fe2, . . .
..ks _ их кратности.
2.	Докажите, что многочлен степени п имеет ровно п
комплексных корней, если каждый из них учитывать
столько раз, какова его кратность.
3.	Пусть / (х) — многочлен с вещественными коэф-
фициентами, а — его вещественный корень кратности
/с > 1. Докажите, что а является корнем производной
/' (х) кратности к — 1.
Замечание. В последней задаче требование веществен-
ности коэффициентов и корня несущественно. Можно оп-
ределить производную многочлена с комплексными коэф-
фициентами, и тогда утверждение задачи останется верным.
4.	Найдите кратность корня х = 1 для многочлена
я2П — nxn+1 + пхп~1 — 1.
5.	Найдите коэффициенты а и b так, чтобы многочлен
ах* + Ьх* + 1 делился на (х — I)2.
6.	Корень многочлена называется кратным, если его
кратность больше единицы. Докажите, что многочлен
«')=^ + -(й>г + '--+т + 1
не имеет кратных корней.
11.21. Многочлен с вещественными коэффициентами.
Пусть / (х) — многочлен с .вещественными коэффициен-
тами.
1.	Пусть а — комплексный корень многочлена / (х).
Докажите, что комплексно сопряженное число а также
является корнем многочлена / (х).
2.	Пусть а — комплексный корень многочлена / (х)
кратности к. Докажите, что кратность а тоже равна к.
3.	Докажите, что / (х) можно разложить на линейные
и квадратные множители с вещественными коэффициен-
тами.
121
11.22	. Разложите на линейные и квадратные множи-
тели с вещественными коэффициентами следующие мно-
гочлены:
4.	ж« + 27. 2. ж4 4- 4ж® + 4жа + 4.
3. ж2П - 4. 4. ж2П+1 + 4.
11.23. Теорема Виета. Раскладывая многочлен / (ж) «
*= хп 4- ап_1жп^1 4- ... 4- ai® 4- «о на линейные множи-
тели / (ж) == (ж — жг)(ж — ж2)... (ж — ж„) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях ж, получим со-
отношения, известные учащимся для квадратного трех-
члена:
4- ®2 4- ...4- жп в — вп-и
Ж1Ж2 4“	4“...4- Жп—=	2»
Ж}Ж2... жп ~ (~"1) а0.
Эти соотношения позволяют вычислять симметриче-
ские выражения от корней многочлена, не находя сами
корни.
Пусть жх, ж2, ж8— корни многочлена ж8 4- 2жа — ж — 5.
Вычислите: Si = жх 4- ®2 4- ж3, S2 в» Ж1Ж2 4- жхж3 + xixs,
S3 = Ж1Ж2ж3, Si = xf 4- ж2 4- ж|, S6 = -А- 4-	4- —,
5в == ж® 4-	4" ®з — Зжхж2ж3.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
Глава 1
1.1. 4. Воспользуйтесь тем, что существует лишь
конечное число различных остатков от деления на данное натураль-
ное число.
6. Докажите, что среди чисел 10,102,103,. . ., 10^ есть два, даю-
щие одинаковый остаток при делении на q, и рассмотрите их раз-
ность.
8.	Докажите сначала утверждение задачи для дробей вида
0, (00...01).
1.2.	Пусть О<а<0<1,а = О, cLc2... и пусть — первая
цифра числа а, меньшая соответствующей цифры числа 0. Тогда
рациональное число г = 0,	(с^ + 1) 00... находится
между а и 0. Если s — рациональное число между a/Y2 и 0/1^2?
то s/2 — иррациональное число между аир.
1.3.	В каждой из задач покажите, что данная десятичная дробь
содержит сколь угодно длинные отрезки, состоящие только из
нулей.
1.4.	1. Так как 2,30114 <а< 2,30115 и 0,23761 < 0 <
< 0,23762, то 2,53875 < а + р < 2,53877. Следовательно, а +
+ ₽ =i 2,5387...
1.5.1. Если 0 < х < 1, то х < У» < 1.
г—	1
2. 1<26 —5=—т=-
V	/26 + 5
3. (5 + V26)20 + (5 — /26) 20 — целое число.
1.6. 1. /2 + /З" > /Й -Н 2 + 2/6 + 3 > 11	2 /б>
6 4Ф 6	9. Следовательно, /2 + /3 •< 11.	_
1.7. 1. Пусть а = /2"+/3. Тогда а2 = 5 + 2/б, /б =
_ д2~	, Если а — рациональное число, то У6 — рациональное
_	2
число.
1.8. 2.
1_____Уз Уз
Уз - Уз-Уз “ з
123
2£з_+£б_	(2/з +/б)(/5 + /3) я
• /5-/3	(/5-/3)(/5 +/3)	_
6 + 3/24-2/15 + /30
_	2
1.9.1, Можно считать, что х у. Тогда
/7-2/10 = /7-/7 Ф>7-2/1б = я + у-2/^.
Так как 1^10 — иррациональное число, то последнее равенство воз^
можно лишь при х + у = 7, ху = 10, откуда х = 5, у ® 2.
1.11. 1. Пусть ср (0) == а. Тогда ср (1) =» а + 1 или ср (1) »
= а — 1. Докажите, что, если (р (1) = а + 1, то ср (х) == а + х при
всех ж, а если ср (1) = а — 1, то ср (х) = а —• х при всех х. Вос-
пользуйтесь тем, что | ср (х) — а | = | х |ли | ср (х) — ср (1) | = | х — 1|,
2. Такое перемещение должно задаваться формулой вида
ф (х) = а — х, где а — рациональное число. Тогда ср (У 2) =
» а — 1^2 =/= У 2. Пусть г — рациональное число между а — }/~2
и К 2? Покажите, что как предположение ср (г) > К2, так и пред-
положение ср (г) < У 2 приводят к противоречию.
3. Возьмите в качестве А± множество всех рациональных чисел
из промежутков [—1^2; У2], [ — 3 — У 2; —3 + ]42j, [—- 6 —
—У2; —6 + У 2],. . ., а в качестве множество всех рациональных
чисел из промежутков [3 — У 2; 3 + ]Л2], [6 — 142; 6+1^2],
[9-/2; 9 + 142],. . ,
,	1 с а Iе т \ , / т а \
1Л2- 2‘ ] +	—
1	1	±±±
,	nd + nb nbd ’
откуда Ь + d п. Так как дробь т!п не входит в последователь-
,	с т 1
ность г п-1, то Ъ + d == п, и потому -у- —	==	’ ^ТСК)Да
легко получить, что т ~ а + с.
Глава 2
2.3. — 2.6. Разбивайте числовую ось на промо-
жутки, на каждом из которых все участвующие в задаче кусочно-
линейные функции линейны, и исследуйте задачу на каждом из этих
промежутков,
2.7, 5, Если у < 0, то | х | == — 1, что невозможно: если у ® О,
то х = 0; если у > 0, то | х | — 1, откуда х =	1.
2.8. 5. Прямые х у + 1 = 0 иж — 2i/ = 0 разбивают плос-
кость на чешре области (см. рис. 3). Так как в области I выполнены
124
1
неравенства у — х — 1	х, то неравенство принимает
вид: я + у + 1 + 2у — х < 4 44 у < 1, так что в искомую фигуру
входят те точки области I, которые лежат на прямой у — 1 или
ниже нее. Аналогично рассматриваются области /Z, III, IV.
2.9. 1. Откладывая на оси абсцисс значения х, а на оси орди-
нат — значения а, найдем на координатной плоскости фигуру,
задаваемую уравнением (см. рис. 4). Решения уравнения при за-
данном значении а — это абсциссы тех точек этой фигуры, ордина-
та которых равна а. Мы видим, что при а < 1 уравнение не имеет
решений, при а = 1 у него один корень х = 2, а при а > 1 уравне-
ние имеет два корня, которые находятся из уравнений а = х — 1 и
а =---g— ; х — а 1 и х — За — 1.
3. Задачу можно переформулировать так: при каких значениях а
неравенство 2 ) х + а — 1 | — |2ж — а | < 2 выполняется при
всех х. Изобразив фигуру, задаваемую этим неравенством, нетруд-
но выяснить, при каких значениях а прямая, перпендикулярная
оси ординат и проходящая через точку с ординатой а, целиком по-
мещается в полученной фигуре.
5
2.10 8. 	= —
Заг -Ь 2
5
1
= ~ “3
1 — х
и поэтому график функции у = получается параллельным пе-
.	5	*	( 2 ц
реносом гиперболы у = на вектор с координатами (— -у; — -g-).
2.14.1. | У (x-y2)2+(i/-/2)a - K(x+/2)«+(j/+/2)21 =
= 2/2 <=>(* - /2)2 + (у - /2)2 + (х + /2)2 + {у + /2)2 -
-2У>+/ + 4 - 2 /2 (г+ у) /я2 + у2 + 4+2/2(ж + у) =
= 8 (хг + /)2 = (х2 + у2 + 4)2 - 8 (х + у)*&ху = 1.
125
2. Гипербола ху = 1 переходит в гиперболу ху = где к > 0f
при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом Yк*
При к < 0 нужно произвести гомотетию о коэффициентом У—к,
а затем — симметрию относительно оси абсцисс.
Глава 3
3.3. 2. Произведем параллельный перенос коорди-
натных осей так, чтобы точка С стала началом координат. Тогда,
если (arx; у±), (х2; у2) — координаты точек А и В, то коэффициенты а
и Ъ искомой квадратной функции у = ах2 + Ъх задаются системой
уравнений:
а.х* + Ъх± = уи
ах* + Ьх2 = у2.
3.5.	4. Положив t = х2 — х и учтя, что область значений этой
квадратной функции — промежуток [— 1/4; + оо), мы придем
к задаче нахождения области значений квадратной функции у
= (t — 3)? — 2t + 1 при t — 1/4.
3.7.	Корни уравнения х2 + рх + q = 0 — это абсциссы точек
пересечения параболы у « х2 и прямой у = — рх — q. На рис. 5
изображена фигура, образованная всеми прямыми у = рх qt
где — 1 < р < 1,	1 < q < 1.
3.8.	См. 2,8.
3.9.	2. х2 + лл? у2 Ъу =
/ а \2	/ b \2 а2 Ь2
= + +\^ + ~) =с + “ + “ •
3.11.	3. (См. решение 2.9.) Построим на плоскости (х\ а) пара-
болы а = х2 + х иа = -	+ 2я + 1 (см. рис. 6). Данной систе-
128
ме удовлетворяют координаты точек заштрихованной части плоско-
сти. Теперь легко убедиться, что при а < — 1/4 и при а > 2 си-
стема не имеет решении. Если - 1/4 < а < 2, то решения системы
образуют отрезок [ж1? ж2], где х± — меньший корень уравнения
ж2 + х — а — 0, а х2 — больший корень уравнения ж2 — 2х +
— 1 — 1<1 4 4а	___
+ (а — 1) = 0, т. е. жг =------= 1 + ]/2 — а.
3.12.	1. Сложите уравнения парабол.
3.14.	3. а + Ъ + с = / (1). 4. а — b+ с = f (—1).
5.	Выясните знак левой части при х = а, х = Ь, х = с,
3.15.	2. Абсциссы точек А и В — это корни уравнения вида
ж2 = кх + Ь, где Ъ — ордината точки С.
3.16.	Если в каждой из задач 1—3 обозначить через / (х) левую
часть уравнения или неравенства, то условия на параметр запишутся
следующим образом:
1.	af (0) <0. 2. af (1) <0.
3.	/ (1) <0 и / (2) < 0.
3.17.	(См. 3.16). Если / (х) — левая часть, аР —• ее дискрими-
нант, то условия на а здесь записываются так:
1.	D > 0, / (3) > 0, 3 > — а/2.
3.	а > 0, / (—1) «СО, / (1) С 0; или а = 0; или а < 0, D С 0;
а 4-1
или а < 0, D > 0, / (—1) С ~ 1	~— 5 или а <С 0, D *> 0,
а -I- 1
/ (1) < О, 1<_—.
ж2 — Юж 4" 7
3.18.	3.	2ж2	1	= а <=>
(2а — 1) ж2 + Юж — (а + 7) = 0
2a:2—1^=0	(2а —1) as210a: — (а-|-7) = 0.
Последнее уравнение имеет вещественные корни, если 2а — 1 = 0
или 25 + (2а — 1) (а + 7) > 0.
3.19.	2. Обратите внимание на то, что система уравнений
х + у = а — 1, ху — а2 — 1а + 14 имеет вещественные решения
не при всех значениях а.
3.20.	Докажите сначала следующее утверждение: если — 2 <
< а < 6 < 2, то отрезок [—2; 2] содержит два отрезка, на каждом
из которых функция / (ж) = ж2 — 2 принимает по одному разу
все значения от а до Ь. Выведите отсюда последовательно, что отре-
зок [— 2; 2] разбивается на два отрезка, на каждом из которых
функция / (ж) принимает все значения от —2 до 2, на четыре отрез-
ка, на каждом из которых функция / (/ (ж)) принимает все значения
от —2 до 2, и, наконец, на восемь отрезков, на каждом из которых
функция / (/ (/ (ж))) принимает все значения от —2 до 2.
127
3.21.	Используя тождество ах1 2 + Ьх + с = х2 у с + b — + а у
покажите, что утверждение задачи сводится к доказательству нера-
венства | аяа + Ьх + с | < 2х2 при | х |	1. Предположив для
определенности, что а 0, и сравнив параболы у == ах2 + Ьх + о
и у = 2х2 — 1 при | х | < 1, покажите, что вне этого отрезка
ах2 + Ьх + с < -2яа — 1.
3.22.	Дуга, высекаемая на параболе у = х2 — 1/2 полосой
| х |	1, лежит в полосе | у | < 1/2. Воспользуйтесь тем, что любая
другая парабола у == х2 + рх + q пересекает параболу у ®
= х2 — 1/2 не более, чем в одной точке.
3.23.	Покажите, что значения функции у = х2 + рх + q
в двух соседних целых точках, лежащих по одну сторону от прямой
х = —- р/2, различаются не менее, чем на 1.
3.24.	Если среди данных п чисел с суммой а не все равны между
собой, то среди них есть число, меньшее, чем а/n, и число, большее,
чем а/п. Сблизьте эти числа таким образом, чтобы одно из них стало
равным а/п.
3.25.	3. Сложите неравенства а2 + Ъ2 2abt Ь2 + с2 2&с,
с2 + а2 2ас,	ч
4.	Воспользуйтесь предыдущим неравенством.
5.	Несколько раз примените неравенство п. 3.
7.	Раскройте скобки и воспользуйтесь неравенством 2а,а;
< «1 + «р
9. Примените неравенство п. 8 к числам х » а + Ь — с,
у = Ь + с — a, z — с + а — Ь.
11.	Возведите обе части неравенства в квадрат.
12.	Возведите обе части неравенства в куб.
»____ 1
13.	Перемножьте неравенства а Ь 3 \/аЬс и — -|-
1	1 > з
у аос
14.	Раскройте скобки и воспользуйтесь неравенством п. 13.
1 1
17.	Приведите неравенство к виду -g..
1	п2
• • • + ~8~^~а—п ~ 1 и пРимените неравенство п. 16 к числам
п
S — afa S — а2,« • ., S — ап.
19. Для удобства положим an+i = oj. Можно считать, что
а$ -** наибольшее из данных чисел. Пусть большее из чисел
а2, а8; ais — большее из чисел	— большее из чисел
128
aiz> ah+i & т‘ Д* Некоторое ai окажется равным av Тогда
___Д1 , Д2 .	, ап
-|- йз *4“ а4	а1 4“ а2
> fll J °h 1	I	.
2а.(	2а й 2ajs ’ ‘ ‘ 2at ’
причем в правой сумме по крайней мере п/2 слагаемых. Из неравен-
ства п. 18 следует, что эта сумма не менее п/4.
20.	Примените неравенство для среднего арифметического и
среднего геометрического к числам 1, 2, . . ., и.
21.	Примените неравенство для среднего арифметического и
среднего геометрического сначала к числам
• • » »	а2’ • • » » д2,
ai чисел a2 чисел
а чисел
а затем к обратным числам.
22.	При т < п примените неравенство для среднего арифмети-
ческого и среднего геометрического к числам
1 a, 1 + а,.. . , 1 + а, 1,1,.. 1,
т чисел	п—т чисел
а при т > п возведите обе части доказываемого неравенства в сте-
пень п/т и воспользуйтесь предыдущим неравенством. Неравенства
п. 22' являются частными случаями неравенства Бернулли (см. за-
дачу 7.19).
3.26.	В уравнениях п.п. 3, 4 воспользуйтесь разложением квад-
ратной функции на множители: ах2 + Ъх + с = а (х — х±) (х — х2),
где xlt х2 — корни уравнения ах2 + Ьх + с =* 0.
3.27.	Все эти уравнения решаются, если сделать удачную за-
мену переменной. Укажем возможные замены:
3
6. у = х + —
1.	у » х2, 2. у = я8. 3. у — 2я? + х,
х2 — х — 1'	2яа — Зх -|- 5
4-	у “ Зж —5	 v =	3x4-5
15 ,
7.	у = х-\- (разделите на а; числитель и знамена гель каждой
из дробей).
8.	у = 6х? — 1х (перемножьте первую скобку с третьей а кю-
руто — с четвертой).
9.	Приведите уравнение к виду х2
.2
| я= 1, вычтите из
х	х2
обеих частей 2х и положите у =
5 М, И. Башмаков и др,
129
3.28.	2. Уравнение однородно относительно и = (х — 2) (х ±
*г 1) и v = х — 1.
х 1 х — 2
3.	Уравнение однородно относительно и =	% и у = х__.
3.29.	3. Разделим обе части уравнения на х2 (х = 0 не явля-
ется корнем уравнения): 2 (9х3 ±	) — (Зх — — 1 — 25 = 0.
' 2	4
Положим у = Зх —	. Тогда у* ~ 9х2 ±	— 12, откуда 9х3 ±
4
± -^2“ = у2 + 12, и уравнение сводится к квадратному относитель
НО у.
3.30.	2. Вычтите из левой части уравнения выражение ап ±
+ «n-i0671”1 + . . . + а + а0 и разложите разность на множи-
тели, воспользовавшись тождеством п. 1.
3.31.	4. Если несократимая дробь p/q является корнем данного
уравнения, то р — делитель числа —2, q — делитесь числа 4,
откуда следует, что все возможные значения p/q, — это ±1, ±2,
±1/2, ±1/4. Подстановкой убеждаемся, что х = 1/2 — корень урав-
нения. Зная, что 2 х — 1 является делителем левой части уравне-
ния, преобразуем ее к виду: 4х3 — 2х2 ± 2х2 — х + 4х — 2 =
= (2х — 1) (2х? ± х ± 2).
3.32.	1. Левая часть уравнения представляется в виде (2х +
+ 3)5 ± 6J
2.	Положив и = х2 — х — 2, и = 2х + 1, исследуйте урав-
нение u4 ± v4 = (и ± р) 4.
3.	Если / (х) = х2 ± 2х — 5, то уравнение можно записать
в виде / (/ (ж)) = х. Корнями этого уравнения являются оба корня
х2 уравнения / (х) = х. В силу теоремы Безу (см. задачу 3.30),
многочлен / (/ (х)) — х имеет делителями х — х± и х — х2, а следо-
вательно, и (х — xt) (х — х2) = х2 ± х — 5. Зная это, раскроем
скобки и, приведя уравнение к виду х4 ± 4х3 — 4х2 — 17х ± 10 =
= 0, разложим левую часть на множители: (х4 ± х3 — 5х2) ±
+ (3x5 + Зх^ _ 15х) — (2x5 ± 2х — 10) == 0 <=> (х2 ± х — 5) (х2 ±
± Зх - 2) = 0.
3.33.	Рассмотрите это уравнение как квадратное относитель-
но а.
3.36.	В системах 1 — 3 одно из уравнений позволяет выразить
одно неизвестное через другое. В системах 6 — 8 либо есть однород-
ное уравнение (см. задачу 3.28), либо можно получить однородное
уравнение из уравнений системы. Так, в системе 7 можно получить
однородное уравнение, умножив первое уравнение на 5, второе —
на «3 и сложив получившиеся уравнения. Системы 9 — 11 реша-
ются с помощью замены переменной и == х ± у, v = ху.
130
12.	Сложите уравнения.
13.	Система линейна относительно ху, xz, yz.
14.	Перемножьте уравнения (при такой операции могут поя-
виться лишние решения и потому требуется проверка).
15.	Из первого уравнения следует, что ж5 < ж2, уъ у3.
16.	Выведите из первого уравнения, что | ж | = | у |.
17.	Докажите, что ж2 = у2 = 1.
18.	Покажите, что ж = у = z.
19.	Из ж + у + z = 3 следует, что (ж — I)2 + (у — I)2 +
+ (z — I)2 = ж2 + у2 + z2 — 3.
3.3	7. Решая иррациональные уравнения, следует иметь в виду,
что возведение обеих частей уравнения в квадрат часто приводит
к появлению; лишних корней. Если обе части уравнения / (ж) =
= g (ж) неотрицательны, то оно равносильно уравнению /2 (ж) =
= g2 (ж). Часто встречаются уравнения/ (ж) = g (ж), в которых одна
из частей, скажем, / (ж) неотрицательна, в то время как о знаке дру-
гой части ничего определенного сказать нельзя. Такое уравнение
равносильно системе
f t2 (*) = g2 (я)>
[g(a:)>0.
Кроме того, при возведении в квадрат обычно исчезает знак ради-
кала, и потому к получающемуся уравнению (или системе) следует
добавить условие неотрицательности выражения, стоявшего под
знаком радикала, хотя часто это условие вытекает из других огра-
ничений. Покажем, как некоторые из данных уравнений сводятся
к системе уравнений и неравенств первой ^второй степени.
2. fx2 — 5 = /ж + 1<4
а:2 — 5 = х + 1, ФФ (х2 — 5 = х 1»
я2 —5>0, tz + l>0.
ж + 1 ^0
3.	Ух-\-2 = х&{х + 2 = х2>& Г ® + 2 = х2,
| ж^О,	[ж^0.
(ж-|-2>0
8. Решая это уравнение, следует иметь в виду, что равенство
УаЬ = УаУь верно лишь при неотрицательных а и Ъ, Если же
а <0 и Ь <0, то = У — &У— Ъ.
3.38. 2. Положите у = Ух — 2. Тогда ж = у2 + 2.
Л „	12 у—
3.	Положите у = уж.
4.	Положите у = ]/ж + 1.
5.	Равенство аУъ = ]^а2Ь верно лишь при а 0. Если
а < 0, то a Vrb = — У а2Ъ.
6.	Это уравнение однородно относительно и = ж, и =
₽= Ух + 5 (см. задачу 3.28).
5*
131
7.	Воспользуйтесь равенством я2 + 2 ® (я-Н) + (я2—«+!)•
3*39. 2. См. задачу 3.25 п. 3.
5.	Так как равенство х — 1 =	+ * не выполняется ни при
каком о?, то в силу п. 2 данное уравнение равносильно уравнению
(х 4-1)4-(я 4-1)4-3,6: —	-х^2 ==2х».
3.40. В уравнениях 1 — 4 левая часть строго возрастает,
а правая постоянна или убывает (в уравнении 2). В уравнении 5
покажите, что левая часть меньше 7 — наименьшего значения пра-
вой части.
3.41. Если обе части неравенства f (х) < g (х) неотрицательны,
то оно равносильно неравенству f2 (х) g2 (я). Если левая часть
f (х) неотрицательна, то неравенство /(#)<£ (х) равносильно си-
стеме
/а (a)<g2(*),
g (®) > о.
Если правая часть неравенства f (х) < g (х) неотрицательна,
а левая часть может менять знак, то те значения х, при которые
/ (х) < 0, удовлетворяют неравенству, и его можно заменить сле-
f*(x)^g*(x),
/(я)<0.
дующим условием:
Знак [, соединяющий нера-
венства, означает, что множества их решений следует объединить
(в то время, как знак { требует искать общие решения уравнений
или неравенств). Так же, как при решении иррациональных урав-
нений, не забывайте о неотрицательности подкоренных выражений.
4. YЗж3 — 2х — 1	2х — 2 фф
ГЗж2 — 2ж — 1>(2ж — 2)2,
[2ж — 2<0,	ФФ
3z3 —2z —1>0
Гя2 —6я + 5<0, (1)
Ь<1>	- (2)
Зя2 — 2х — 1 > 0. (3)
Объединяя промежутки [1; 5] — множество решений неравенства
(1) и (— оо; 1) — множество решений неравенства (2), получим про-
межуток (— оо; 5]. Решения неравенства (3) образуют множество
/ 1 1
(— оо; — "j” U [1; + оо). Поэтому множество решений исходного
/ 1 1
неравенства равно (— оо; —- -g- U [1; 5]. Возможен и другой под-
ход к решению иррациональных неравенств. Продемонстрируем его
на примере неравенства 6. Решим уравнение х |^10 — хг = ж2 — 6.
132
Это уравнение равносильно системе
Ж2 (Ю _ Х2) = (Ж2 _ 6)2,
х (х2 — 6) О,
решая которую, находим два корня х — —- У 2, х «= 3. Эти точки
разбивают отрезок [У—10, У10] — область определения данного
неравенства — на промежутки [—"У 10; —У2), (—У2; 3), (3;
У10], на каждом из которых разность х У10 — х2 — (х2 — 6)
сохраняет знак (в точках — У2 и 3 эта разность равна нулю).
Подставляя в неравенство по одной точке из каждого промежутка
(например-, х = — У 10, х = 0 и х = У10), убеждаемся в том,
что все точки промежутка (— У 2;_3) удовлетворяют неравенству
х 1/10 — х2 > х2 — 6, в то время как точки двух других промежут-
ков удовлетворяют неравенству х У 10 — я2 < я2 — 6.
8. При х > 0 выполнено неравенство Ух -fc- 3 > УЗ» а при
х < 0 — неравенство 9 — х > У 3 .
Глава 4
4.6. Покажите сначала, что на числовой окружно-
сти бесконечно много точек вида Р (п), где п — целое число. Чтобы
доказать, что на произвольной дуге АВ есть точка такого вида (от-
сюда легко следует утверждение задачи), выберем дугу А'В' той же
длины, что и АВ, содержащую, по крайней мере, две точки Р (nJ
и Р (п2), где п1 и п2 — целые числа. Поворот с центром в начале ко-
ординат, переводящий одну из этих точек в другую, переводит каж-
дую точку вида Р (п), где п — целое число, в другую точку такого
же вида. Повторив такой поворот доста-
точное число раз, мы найдем точку тре-
буемого вида на дуге АВ.
п 7
4.7. 8. Так как -g- <“3“ <л, то
7
tg-r<0.
10. Так как — 1 sin 2	1, то
л	л
—	< sin 2 <	, откуда следует, что
cos (sin 2) > 0.
4.9* Отметьте на числовой окруж-
ности точки Р (1), Р (2), . . ,, Р(8)
(см. рис. 7). Чтобы изобразить tg t, проведем прямую х = 1,
называемую линией тангенсов; tg t равен ординате точки пере-
сечения линии тангенсов с прямой OP (J. Аналогично, ctg t pa-
133
вен абсциссе точки пересечения прямой OP (t) с прямой у « 1 —•>
линией котангенсов (см. рис. 8).
Чтобы сравнить, к примеру, ctg 4 и tg 7, нужно сравнить дли-
ны дуг Р (л) Р (4) и Р (7) Р (л/2). Первая дуга имеет длину 4 — л,
вторая имеет длину —+2л — 7. Неравенство 4 —л>—у —7
22
следует из неравенства л <-у-== 3,142 ... Следовательно, точка
пересечения прямой ОР (4)” с линией котангенсов ближе к оси
ординат, чем точка пересечения прямой ОР (7) с линией тангенсов
к оси абсцисс. Так как ctg 4 > 0 и tg 7 > 0, то ctg4 < tg 7.
4.10. 8. Точка Р (£), сумма координат которой равна 1, лежит
на пересечении числовой окружности^ с прямой у + х = 1 (см.
рис. 9). Таких точек две: Р (0) и Р (уY так что решениями уравнения
являются числа вида 2лА и -у + 2л/с, где к — целое число.
17. Неравенству > 144	> 0 удовлетворяют точки
у — я у —
из области, заштрихованной на рис. 10.
Рис. 10.
Рис. 11.
4.11. 1. Используя равенство длин отрезков ВВ^ В±В^ BJB3
(см. рис. 11), докажите, что |	| > | Л2В2 ] > I Л3Р3 ] .
134
4.12. 3. Замените cos 36° на — cos 144°.
4. Используйте равенства cos 20° = — cos 160°, cos 120° = —1/2.
4.13. 2. Так как ctg а < 0 и sin а > cos а, то точка Р (aj
лежит во второй четверти.
, m	.л
4. Так как sin-^-
5. tg a — ctg a = 3 => tg2a — 2 + ctg2a = 9.
V2 5	Гл 1
2 > 13 , T0 a <= I 2 ’ nJ *
8. Разделите числитель и знаменатель дроби на cos a.
4.18. 4. sin 64° sin 34° — sin 56° cos 116° = sin 64° cos 56° 4*
+ sin 56° cos 64° = sin 120° = /3/2.
15. Преобразуйте произведение в сумму.
16. См. п. 3 задачи 4.12.
ЗТ	I л \
4.19.	5. Положите 0 = -у 4- а и найдите sin (Р — -у}, зная
sin р.
8.	(sin a + sin P)2 + (cos a + cos P)2 = 2 4* 2 cos (a — P).
4.20.	6. cos2 (a + P) + cos2 (a — p) — cos 2a cos 2p =
1
cs -y (1 + cos (2a + 2P) 4-1 4- cos (2a — 2p) — cos (2a — 2p) —
— cos (2a 4- 2P)) = 1*
4.21.	3. Используйте тождество п. 2.
1	1
-у (sin 3a — sin a) 4- “ sm a
“1	1
-y (cos 3a 4- cos a) — cos a
= tg 3a.
a
11—12. Умножьте обе части тождества на 2 sin — ипреобразуй-
те произведения в суммы.
sin (a — Р)
13.	Воспользуйтесь формулой tga — tgP = cosacos"f“*
4.22.	1. Воспользуйтесь равенствами 2Р 4* a « (a + Р) + Р,
a = (а 4- Р) - P.J
3.	Покажите, что доказываемое равенство равносильно равен-
п	7 sin a — sin 3a
ству tgP « —т-ДГ7-- JL выведите^ последнее равенство из
vw UUv -J* < vU3 \Л
условия.
135
4—8. Выразите у через а и ₽ и перейдите к безусловному тож-
деству относительно а, 0.
3
4.23.	5. cos А + cos В + cos С — -у = cos А + cos В —
— cos (Л + В) —	= — 2 cos2 - + 2 cos -” cos - — у*
Рассмотрите последнее выражение как значение квадратной функ-
п 2 , о А —В 1	А + В
ции у = — 2х2 + 2 cos —g— х — -у- в точке х = cos —g— •
4.27.	1. Воспользуйтесь равенством arcsin х + arccos х — л/2.
4.28,	Уравнения 6, 7 — однородные относительно и = sin xt
v = cos х (см. задачу 3.28), уравнения 8, 9 станут однородными,
если умножить правую часть на sin2s + cos2 х9 уравнение 10 реша-
х
ется заменой у = tg , уравнения 12—14 — заменой у = sin х +
+ cos х или у = sin х — cos х (в обоих случаях sin х cos х легко
выражается через у2).
4.29.	Пусть
Ъ
а = arctg — . Тогда a sin х + Ь cos х = a (sin х + tg a cos х) =
а
cos а
sin {х + а).
Так как cos а > 0 и а > 0, го
1	.г-.--п— -1А Ъ* Уа? + Ъ*
cos а —	+ *8 “ — р 1 +	~ а
о х	sin 2х
4.30.	3. Уравнение приводится к виду —-5—-г- = 0.
Чтобы выяснить, какие корни уравнения sin 2х — 0 удовлетворяют
условию cos Зх cos Ъх =/= 0, заметим, что из cos х 0 следует
cos Зх = 0 (и cos Ъх — 0), а из sin х = 0 следует | cos Зх | —
= | cos Ъх | = 1.
(л \
“2" —lOasj.
6.	Воспользуйтесь формулой 2 cos2 а — 1 + cos 2а.
8—10. Преобразуйте произведения в суммы.
cos 9jc
11.	Уравнение приводится к виду --оу „пв7„ = 0. Найдите все
решения на промежутке [0; л) и выясните, какие из этих решений
удовлетворяют условию cos 2х cos 1х =f= 0.
14—15. Воспользуйтесь формулой из задачи 4.29.
4.31.	4. Так как | cos 2х — cos 4х | < 2, то (cos 2х — cos 4я)3<
< 4, в то время, как 4 + cos2 Зх 4. Поэтому равенство (cos 2х —-1
—cos 4я)2 — 4 + cos2 Зх возможно в том и только в том случае, если
136
cos 2x = 1, cos 4x 5= —-1» cos 3^ = 0 или cos 2x = —1, cos 4x «= 1,
cos 3x — 0.
/	1 \2	/	1 \2
7.	Приведите уравнение к виду I tg x — уj + (tg 3x — у) = 0.
4.32.	2. sin (n cos x) == cos (л sin x} 4=>
<=> sin (л cos x) = sin-( -у- — л sin xj <=>
л cos x — -y- — л sin x + 2л&
л cos x = -y- -j- л sin x + 2л/с
sin х + cos х — 2к-\—%-
I 1 '
sin x — cos x = — 12k + ~
(к — целое число) <=>
(А —целое число) <4
(к — целое число).
Остается заметить, что каждое из этих уравнений разрешимо лишь
при к = 0.
3.	tg (л tg х) = ctg (л ctg х) <=>
tg х + ctg х = к + -у- (к — целое число)
ctg х не является целым числом
2 tg х не является нечетным числом.
‘Уравнение tg х + ctg х^= к + -у- сводится к квадратному уравне-
нию с целыми коэффициентами относительно t — tg х: 2t2 — (2/с +
+ 1) t + 2 = 0. Условие неотрицательности дискриминанта этого
уравнения исключает значения к, равные —2, —1, 0, 1. Так
как все запрещенные значения tg ж и ctg х — рациональные числа,
то выясним, какие рациональные корни может иметь полученное
квадратное уравнение. В силу утверждения задачи 3.31, это могут
быть числа 1, — 1, 2, —2,	Подставив каждое из них
в уравнение, мы обнаружим, что запрещенные корни могут появить-
ся лишь при к == —3 и при к = 2, и поэтому для этих значений к
уравнение следует решать отдельно.
137
4.33. 1.
sinxcosy= —, pin(x + y) = 1?
1 ^[sin (rc — y)==0
sin у cos x ~ —
(k, I — целые числа) «=>
{зх
х + у= — + 2лк,
X— у = Til,
л	nZ
x = —+ nfc+-2~
(k, I — целые числа),
зх	зх/
У=~ + лй ——
4.	Воспользуйтесь тем, что sin2 х sin4 х, sin2 у > sin4 у
4.34.	4. Запишите неравенство в виде cos2 t — sin2 t > cos t —•
— sin t и, положив x ~ cos z, у = sin z, найдите пересечение число-
вой окружности с фигурой, задаваемой неравенством х2 — у2 >
— у.
5.	Решите неравенство на промежутке [0; 2л) и воспользуй-
тесь периодичностью.
4.35.	2—3. Воспользуйтесь формулой из задачи 4.29.
4.37.	Функции 1—3 получены пз синуса, тангенса, косинуса
линейной заменой переменной. Для нахождения периодов функций
4, 5 можно воспользоваться следующим соображением: если а —
одно из значений периодический функции у = / (х), то каждый ее
период является разностью некоторых двух корней уравнения
/(«) = «.
4.38.	5. Представьте у в виде a sin 2х + Ъ cos 2х и восполь-
зуйтесь формулой из задачи 4.29,
4.40.	5. Перепишите неравенство в виде
(х sin (х + у))8 + cos8 (х + у) < 0.
4,41.	Докажите более сильное неравенство
| sin Of | • | sin ag | + | cos aj | • | cos a2 |< 1.
4.42.	См, задачу 1.12 (n, 1).
Глава 5
5,4,	1. Положим / (x) = я8, x0 = 2, Да? = 0,01
Тогда f (xQ) ® 12. Следовательно, 2,01s = f (s0 +	/ (жо) +
+ f (xQ) Дя = 8,12,
2.	/ (x) » x8, x0 = 10, bx = -0,002.
3.	/ (x) = Xq = 1, Дж = 0,04.
138
2
4.	/ (х) ="^з’ 1 хо = 1» Дж = 0,002»
5» / (ж) = sin ж, ж0 = л/6, Дж = зт/180.
5.5. 4. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны
между собой. Произведение угловых коэффициентов взаимно пер-
пендикулярных прямых равно —1. Если ос, Р — углы наклона
двух прямых к оси абсцисс, у — угол между этими прямыми,
у =/= л/2, то tg у = [ tg (а — р) |.
6. Если ?/ = / (ж) —- данная функция, то / (—1) = 0, f (—1) =
« 4, / (2) = 10.
5.6, 3—4. Воспользуйтесь пунктами 1—2.
6, 8, 9, 10. См. указание к п. 4 задачи 5.5.
11. См. задачу 3.1.
п 2	2	2-(Зж2 + Зж + 1)
5.8.	6.	(ж + 1)3 = хЗ(ж+1)з • Уравнение
/ = 0 корней не имеет. Выясняя знак у' на каждом из промежут-
ков (— оо; — 1) (—Г, 0), (0; + оо), находим промежутки возраста-
ния (— оо; —1) и (0; + оо) и промежуток убывания (—1; 0).
5,9.	Если дискриминант квадратного уравнения у* = 0 по-
ложителен, то а и р — корни этого уравнения. В противном
случае аир выбираются произвольно.
5.10,	1. уа = Зж2 — 12ж. у" = 0 при ж = 0, ж = 4. На про-
межутке [—1; 0] у возрастает, на промежутке [0; 2] убывает.
Поэтому наименьшим является значение этой функции при ж = — 1
или при ж = 2. Остается сравнить эти’два значения.
5.	Найдите сначала наименьшее значение функции у =
== 6жб — 15ж4 — Юж8 + 1 при —1 < ж 3.
14. Рассмотрим функцию у = ж4 — бж3 — Зж2 при ж 1. Эта
.	Г 15 + /32ТА
функция убывает на промежутке 1; -----g----I и возрастает на
( 15 +/321	\
промежутке I-----g----; + оо I , и потому ее наименьшее значение
в натуральных точках достигается в одной из точек, ближайших
15+/ЗП	.	, „
к ----g---- , т. е. при п = 4 или п = 5. Сравните эти значения.
16, Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
у = х9 + 2ж + 1 при -1 < ж < 0 и проверьте, что первое не
меньше —2, а второе не больше 2.
5,11. 1. Пусть А — точка с координатами (—1; 2). Проведем
через точку А произвольную прямую с положительным угловым
коэффициентом и обозначим через М точку пересечения этой пря-
мой с осью абсцисс, а через N — точку пересечения этой прямой
139
с осью ординат (см. рис. 12). Задача состоит в нахождении миниму-
ма | ОМ | + | ON |. Пусть t — угловой коэффициент прямрй MN.
Переменная t может принимать любое положительное значение,
и,' задав значение' z, мы однозначно определяем положение то-
чек М и N и, следовательно, величину / (z) = | ОМ | + | ON |.
Так как t — тангенс угла наклона прямой MN к оси абсцисс, то
2 4-1	2 +1	2
| ON | = 2 + t,\OM | ==—~~ ,/W=—7—+2+^H- — + 3. Так
2
как /' (Z) = 1 — — , то /' (z) < 0 при 0 < z < У 2, /* (z) > О при
l > /2, так, что /(/2) = 3+ 2/2- наименьшее значение
суммы | ОМ | + | ON |.
4. Пусть (я0; у0) — координаты точки A,~t — абсцисса произ-
вольной точки М графика функций у = /(ж), z0 — абсцисса точ-
ки В. Тогда, если <p (t) =» | А М |2 = (t — я0)2 + (/ (z) — i/0)2, то
фА Uo) "== °* Так как ф'' W = 2'^ — *о) + 2 (/ М — Уо)/' (0, то
приходим к равенству /' (t0) == ~	~ . Заметим теперь,
/ Ио/ — Уо
что --------— — это угловой коэффициент прямой АВ, и восполь-
*0 — ^0
зуемся тем, что произведение угловых коэффициентов взаимно пер-
пендикулярных прямых равно —1.
6. Пусть t — абсцисса точки А. Можно считать, что t > 0.
Так как угловой коэффициент касательной ас параболе у = х2
ь точке А равен 2z, то угловой коэффициент прямой А В равен
1
l/2z. Уравнение прямой АВ имеет вид: у = — (х — t) 4-t2.
Найдем теперь абсциссу и точки В из уравнения —~2f(u —0 +
4-t2 = а затем найдем наименьшее значение функции / (z) =
= (Z — u)2 + (Z2 — и2)2 при t > 0.
9. Пусть А В CD — произвольный прямоугольник, вписанный
в данный сектор (рис, 13)> Обозначим через х длину стороны АВ,
Рис. 12.	Рис. 13.
140
параллельной оси симметрии сектора. Переменная х может прини-
мать любоо значение из промежутка (0; 7?), и, задав это значение,
мы однозначно определяем прямоугольник ABCD и его площадь
/ (х). Выразите длину стороны ВС через В, а, х, найдите функцию
/ (х) и исследуйте ее на промежутке (0; R),
5.12, 1. Так как при х = 0 все три функции принимают одно
и то же значение, то достаточно доказать, что при х >> 0 спра-
1 х	1	1
ведливо неравенство -у- —	< --у:—• Неравенство
1 1
—л -- ~ < -у очевидно, а для доказательства второго неравен-
2 у 1 + ?
ства заметим, что при х = 0 оно превращается в равенство, а при
л 1 1
х > 0 справедливо неравенство— -у- < — ^р====.
6. Докажем, что при а < я < л/2 справедливо неравенство
a sin х < х sin а. Так как при х = а оно превращается в равенст-
во, то достаточно доказать, что при а < х < л/2 справедливо не-
равенство a cos х < sin а, которое является следствием неравенств
а < tg а и cos х < cos а,
5.13. 1. у' — 2х2 — 2х — 4 = 2 (х + 1) (х — 2). Следова-
тельно, у возрастает на промежутках (—• оо; —1] и [2; + оо) и
убывает на промежутке [—1; 2]. Всю эту информацию отобразите на
графике.
5.14. 3. Если у = 12х4— 12я3 — Зя2 — 5, то уравнение у' =
з±УтГ
= 0 имеет корни х = 0 и х =----------. Так как при х — 0, оче-
видно, у < 0, на промежутке I -g-:—; 0 ?/ возрастает, а на про-
Г 3+/ТП
межутке 0; ----g---- у уоывает, то уравнение не имеет корней
на этих промежутках. Так как при х = 1000 и ж — —1000, очевид-
но, у > 0, то уравнение имеет по одному корню на промежутках
(	3 — /17 1 Г 3+ /17 А
I — оо; --g---- и J-----g---; + оо I .
_10« Если у = 2я4 + 2ах3 — а2х2 +1, то у' — 8z3 + бя#2 —
*— 2а?х = 8х (х + а) (х — а/к). Значения у при х = —а, х = 0,
За4
х = а/4 равны соответственно 1 — а4, 1, 1 —• Поэтому число
За4
корней зависит от знака а и от знака чисел 1 — а4, 1 —	.
5.16. у" = Зя2 — а. Если а < 0, то у" > 0 при всех я, так что
наименьшее значение у на отрезке [0; 1] равно 0, а наибольшее зна-
чение равно 1«аи1«а»2 при а = —1. Пусть а> 0. Тогда у
141
убывает на отрезке
и возрастает на отрезке
1, т. е. а 3, то у принимает на
отрезке [0; 1] свое наибольшее значение при я = 0, а наименьшее —
при я 1. Решая уравнение^) — (1 — а) = 2, находим а= 3. Если
j/"< 1, т. е. а <3, то наименьшее значение у на отрезке [0; 1]
а V - /~ а 2 а
равно у j — а у "з~ ~ ~ -3- а -д-, а наибольшим зна-
чением является большее из чисел 0, 1 — а , т, е. 0 при 1 < а <
<3, 1 — а при 0 < а < 1. Остается решить уравнение 1 — а +
2
+ ?а
на промежутке (0; 1). Последнее уравнение кор-
2
ней не имеет, так как 1 — а < 1 и у о
2а
5,17, уй = Зя2 + 2ах = я (Зя + 2а). Если а >. 0, то — —у <
<0, и на отрезках [0; 1], [1; 3] функция у строго возрастает, так
что эти значения а не удовлетворяют условию задачи. Если а < 0,
Л 2а	2а
то рассмотрите случаи 0 < —	< 1, — “у 1.
5,18. Положив t = sin я, решите ту же задачу для функции
у = t (2г2 + а — 1), определенной на отрезке [—1; 1J,
Глава 6
6,1* 7, Представьте подынтегральную функцию
в виде 2я~2 + Зя“4 —• 2я~в.
я3 + я +1	1	я 1	1
9- —Ж2 + Г" = «: + ^4П- Ю. cos*-£- = -5- +-g-соз».
12- *8^ = ^-
1	О	1/2
13. J (|2»-1|-|а:|)М»=	(l-»)ad»+	(l-3z)Mx-f-
-1	-1	й
1
+ ( (я —1)8Л^
1/2
142
6.2. 4. Преобразуйте произведение sin 2х cos 5х в сумму.
1 11
5. cos3 х =s -у (1 + cos 2ж) cos х = гу cos х + у (cos х + cos Зх) =
3	1
= *4“ COS Ж + у COS Зж.
«х \2	\
+1;-
9. /2-х* = /2 у	•
------- | . X	Ж |
12. У1 + sin х — I sin -у + cos — .
6.3. 1. /(x)dx = ^/(»)d® + ^/(x)dx = — f(—x)dx +
—а	а	о	— а
а	0	а
+ / (ж) dx = / (х) dx + / (ж) dx = 0.
0	а * о
а4-Г	Ъ	Ъ-УТ	а4-Г
3.	/ (ж) dx = f (ж) dx +	/ (ж) dx +	/ (ж) dx =
а	а	Ь	b-f-Г
Н-Т
= / (х) &х*
Ъ
6Л. 1. Если положить t = ф (ж) = ж8 4- 1, то ф'' (ж) = Зж2,
2
1 р
так что данный интеграл равен -у \ |/Тdt.
1
1 _________________ 1
2.	t == Ж8, / (t) = |	^2 • 3. t = ж /ж, ' / (t) =s= |	•
1
4. « = созж, /(^) = —. 5. t = arctg ж, f(t) = t2.
6. <g‘«=tg’a:(-l + ^7) = l-7^7 + tg2x.
6.5. 5. Найдите наименьшее и наибольшее значения подынтег-
ральной функции на отрезке [1,5; 3,5].
6. Найдите наименьшее и наибольшее значения подынтеграль-
ной функции на каждом из отрезков [1,5; 2], [2; 3], [3; 3,5] и пред-
ставьте данный интеграл в виде
2	3	3,5
С	ж2	Р	ж2	г	ж2
)	Т=Л<г*+)ТГТ</*+ J
1,5	2	3
143
6.	6» Проинтегрируйте данную функцию на отрезке [0; 2я].
С t	С t
6.	7. 2. F (х) = J 1 _|_ gjjj21 dt— j 1 -f- ? n^сли Ф
о	о
t
= l+'sin2* ’ T0 F' (^) = Ф — <P (•*)•
3.- Если ф (t) =	+ i4, to F' (x) — ф (x2 + l)2.r,
Л/2
6.	8. 5. Искомая площадь равна ^*sinydy.
о
i
С /	1 \	1
9.	Искомая площадь равна \ ( 2 ~ -jy) dx + Ее можно
Vi
2
2
также представить в виде (у — dy.
i
2
10.	Искомая площадь равна 2 ((1 +	— ж2) — (х — 1)) dx.
1
12.	Найдите уравнения касательных.
13.	Достаточно провести доказательство для параболы у = х2
(см. задачу 3.1).
6.9	. 1. См. рис. 14. Пусть t — абсцисса точки параболы, t > 0.
Прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касатель-
д?	1
ной	к	параболе,	задается уравнением у = —	“
(см.	решение задачи	5.11. 6). Абциссы точек пересечения	этой	пря-
мой	с	параболой	у	= х2 — это корни уравнения	х2	+	—
— {t2 +	=0. Так как одна из этих абсцисс равна г, то другую
1
можно найти из теоремы Виета; она равна —t— ~2t ' ^аким °б-
разом, требуется найти наименьшее значение функции S (t) =
С	1
= \ ((а + |3) я — оф — х2} dx, где а = — t —	(3 — г. Вычислим
а
интеграл:
тш (« + tw-aa) „ft.R .
*у (/) —	2	— оф (р — а) —	—
1 L 1 Л3
~ 6 (2t+ 2t) *
144
1 /	1X2/	1 \
Следовательно, S'(t) = — (2t 4- -gf I (2 — l. Так как t > 0,
то S' (/) == 0 при t = */2* Легко видеть, что
S (V2) искомое
наименьшее значение площади.
3. См. рис. 15. Пусть а, Р — корни квадратного уравнения
х2 — а (х — ж0) + у0 (а < Р), D дискриминант этого уравнения.
Тогда а + 0 = а, ар ® ах0 *- у0, Z) = а2 — 4axQ 4- 4у0, Р —•
Р
— а.= ]Az>. S (а) == (ах—ар — х’} dx. Вычислив интеграл,
а
1 г-
получим*. S (а) = -g- DyD. Площадь S (а) принимает наименьшее
значение в той же точке, что и функция / (а).= D9 = (а2 — 4ая0 +
+ 4у0)3- Так как f (а) ® 3D2 .(2а — 4х0) и D > 0, то f (а) == 0 при
а0 = 2х0) откуда следует, что
при а =« а0 справедливо равенство
а 4“ Р
я0=—2—, равносильное утверж-
дению задачи.
6.10.2, Если у ® / (х) — перво-
образная функции у = )^1 — я2, то
/ (t) (при t > 0) — площадь фигуры,
заштрихованной на рис. 16.
Рис. 16.
л
1	2
Sn	С
arcsin х dx ~ -j-— \ sinydy (см. рис. 17).
о	'о
145
5в См, рис» 18.
6. Примените предыдущее неравенство к функции / (х) ==
1 1
6.11. 1. 7 = л (1 — z2ydx, 2. Е=л^(1 — y)dy.
-1	о
3. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси
абсцисс и проходящей через точку х на этой оси (—3<0 < 2),—»
кольцо с внешним радиусом 10 и внутренним радиусом 10 — (6 —
2
« х — я2), так что V = л /бОО —	(4 + х + я2)2 dx\»
4 —з	'
л
4. V = л sin2 х dx.
о
5. F = л ((Я + /г2 — я2)2 — (R — /гз-«3.2)2) dXt
—г
6Л2, 1. Сечение данного тела в точке у оси ординат плоско-
стью, перпендикулярной оси ординат,— квадрат с диагональю
1
2 'Ку, V =^2у dy.
о
2,	Сечение данного тела в точке х оси абсцисс, перпендикуляр*
1
ное оси абсцисс,— круг радиуса V1 — х2, V =	1 —• я2 dx ==
—1
(см. задачу 6.10).
4.	Примите точку пересечения прямых и 4 за начальную
точку оси /, перпендикулярной этим прямым. Сечение данного тела
плоскостью, перпендикулярной оси I и проходящей через точку я
146
этой оси,— квадрат, сторона которого равна хорде круга радиуса
R, отстоящей на расстояние | х | от центра круга.
5.	Примите центр нижнего основания цилиндра за начальную
точку оси Z, лежащей в плоскости нижнего основания и перпенди-
кулярной диаметру АВ (си. рис. 19).
Сечение заштрихованного на рисунке
тела плоскостью, перпендикулярной
этой оси,— прямоугольник. Если его
нижнее основание находится на рас-
стоянии х от диаметра Л В, то площадь
прямоугольника S (х) = 2х)Лй2 — ха.
R	Ra
Sr______ с	г.	2
2х VR? — х2 dx = \ Vt dt	==—Я3
о	о
(здесь t = Л2 — ха, см. задачу 6.4).
6.	См. рис. 20. Общую точку нижних оснований примите за на-
чальную точку оси, направленной по общей касательной нижних
оснований. Тогда 5* (х) — площадь равнобедренного треугольни-
ка, полученного при пересечении двух одинаковых параллелограм-
мов (см. рис. 21), общее основание которых имеет длину
2 w ВЫСоТа равна Л, тангенс острого угла равен Л/Я.
Рис. 21.
6.13. 1. Абсцисса точки в момент времени равна — 1 +
$0
+ v (0 dt. В задачах 2—9 искомая величина выражается интег-
___ л
4
ралом от некоторой функции, первообразную которой нужно найти»
Покажем, как это делается на примере задачи 3. Пусть точка с мас-
сой т — начальная точка некоторой оси, стержень лежит на этой
оси и концы его имеют координаты с и с + I. Для произвольного
® е [с; с + 11 обозначим через F (х) величину силы гравитацион-
14Т
ного взаимодействия между точечной массой ти отрезком [с; я]
стержня. Тогда F (х + h) — F (х) — сила гравитационного взаимо-
действия между массой т и отрезком [я; х + h], Так как масса
этого отрезка равна Ml th и любая его точка отстоит от массы т на
расстоянии, заключенном между х и х + h t то имеют место неравен-
ства: Fi F (х + h) — F (х) < F2, где^ — величина сиды взаимо-
действия точечных масс т и Mlfh, расстояние между которыми
равно х + /г, a F2 — величина силы взаимодействия тех же масс,
mMh
расположенных на расстоянии я, так что Л = Т	9
mMh
F2 — y——(коэффициент у зависит от выбора системы единиц).
Деля все члены получающихся неравенств на h и переводя к преде-
утМ
лу при h —> 0, получим: Ff (х) = —— » откуда искомая сила равна
с+/
SymM
G
Глава 7
7.1.	2. log3 .4 = log 22 = 6.
i/" 2	_L
F	2 8
13.	Перейдите во всех логарифмах к основанию 2 и сведите
log2 18, log2 36, log2 72 к log2 9-
10g3 7	1
14.	310ge7 = 3 10ga 5 = 7 10ga 6 = 710g6 3 .
15.	Воспользуйтесь равенствами (J^2 + р^З)'1 = ]ЛЗ — ]Л2,
(/2 + /З)2 = 2 /6 + 5, (Кб + I)2 = 2 /6 + 7.
7.2.	1, Оба логарифма сводятся к log2 3.
2.	Все три логарифма выражаются через log2 3 и log2 5.
7.3.	7. log9 80 < 2, log7 50 > 2,
8.	Сравните 3 logf2 5 и 3 log f8 7.
9.	См. неравенство 1 задачи 3.25.
10-	кlogioo 99-log10o 101 <(logioo 99 + log100101) < 1.
И. Сравните log3 5 с корнями уравнения я3 ® = 1.
12. Воспользуйтесь цунктом 11 задачи 7,1.
7.4.5. Зх.72“х2 = 21 &ах + 2 —	'= 1 + а, яде а =»
== log7 3. Дискриминант квадратного уравнения г3 •- ах + (а
1) = 0 равен (а 2)?.
7.5. 7. Полагая у = (3 —2	2)*, приходим к уравнению у +
1	г-
4- — = 34, корнями которого являются числа 17«»12 у 2 и 17 +
148
+ 12 К 2. Остается заметить, что *(3 — 2 V 2)а = 17 — 12 ]Л2,
(3 — 2 |/*2)~2 =17+12 /2.
8 — 12, Каждое из этих уравнений станет однородным (см.
задачу 3.28), если в качестве u, v взять некоторые показательные
функции.
7 ЛЬ
XX 24Ф
X = (6 — я)2
х >> О,
6 — л>0,	44s=4,
u 6 — х + 1.
7.7. Во всех уравнениях следует сделать замену переменной
1. у^ 1g х. 2. у = log2 я-
~ 3 у = iogx 3. Г.у = log2 (2х + 3).
5. у = log3s (предварительно прологарифмируйте уравнение
по основанию 3).
6. и ~ 2lg х, и = 5lg х — уравнение становится -однородным
(см. задачу 3.28).
7.8.. Во всех уравнениях следует привести логарифмы к од-
ному основанию.
7.9. 1. Левая часть уравнения строго возрастает, а правая —
постоянна.
2. Разделите обе части уравнения на 7х.
4. Прологарифмируйте уравнения, по основанию 3 и рассмот-
рите его при х > 1 и при 0 < х 1.
6 2*’+*-а _ г1*-4 = 2ж’“4<2гс+2 — 1). Эта функция строго
возрастает при х 0, отрицательна при х < — 2 и ограничена
сверху числом, меньшим, чем 992, при — 2 х < 0.
9. Левая часть уравнения строго возрастает, а правая — стро-
го убывает.
7.10. При решении показательных и; логарифмических не-
равенств используются те же приемы, что и при решении уравнений.
Следует лишь иметь в виду, что при логарифмировании или потен-
цировании неравенств по основанию, меньшему 1, знак неравенства
меняется на противоположный.
/ 1 \з-х
2. j <9<фЗ — x
5. logs, (* — 1) > 1 *► ®
6. log t (1 — 2x) > — 1 <
2х+3
1ов.-ЗЙГ 1
9.2	«	> л
2s+ 3
< 2 '
.2xj-3
х —2
2ж + 3
х — 2 >0
-4") U (31 + oo).
149
х — 2
Если потенцирование или логарифмирование проводится по пере-
менному основанию, следует разбить решение на два случая, в од-
ном из которых основание больше 1, а в другом — меньше 1.
10. log3_^< —
ГО < х < 2,
[2 < х 3,
!og»-x« < ~1
0<х<2,
1о?з-
2<x<3,
1°g3-x;r<-1-
(1)
(2)
(2)^>
2<x<3,
1
---
— X
Осталось объединить решения систем (1) и (2).
1
7,11,	1. Из первого уравнения —= ?/ —• 2. Прологарифмируй-
fl'
те второе уравнение.
2.	Прологарифмируйте первое уравнение.
3.	Введите новые переменные z = log2 xt t = log2 (у — 1).
4.	Введите новые переменные z = log6 к, t ~ у,
5.	Докажите, что а?10^81/ = y10geX.
7,12.	2, См. рис. 22,
1
3.	Примените предыдущие неравенства к а = 1, & = 1 + — .
4.	См. рис. 23.
5.	In п = In 2 + In -у- + In -g- + ... + In •
Примените к каждому слагаемому неравенства п. 2,
6. Используйте неравенство п. 4.
7, 8. Используйте неравенства п. 3.
150
7.13.	См. задачу 5.2.
7?14. 2.	у' =	“ (cosх Inх +
qJn V /	,	. sin X \
= Я8Ш Х ( GOS X 1П X + ---I •
7.16.	См. задачу 5.14.
4.	Покажите, что при а > 1 из неравенства loga х > х следует
неравенство ах < х, а из неравенства loga х < х следует неравен-
ство ах >х, и потому данное уравнение равносильно уравнению
loga х = Пусть 0 < a < 1, / (х) = loga х — аХ> Тогда /' (х) =
а-х — х In2 а
=------, так что знак функции /" (х) совпадает со знаком
ха In я
функции g (х) = а~х — х In2 а. Покажите, что g* (х) = 0 ири
/ 1 \
x = xQ= — loga (lo“)» и выведите отсюда, что при а 1/е урав-
нение loga я = имеет один корень. Покажите, что неравенство
g ОМ 0 равносильно неравенству а 1/ев. Если а < 1/ев, то
уравнение /* (х) == 0 имеет два корня а и р (а<р). Тогда / (х)
убывает при х е (0; а], возрастает при х е [а; р] и убывает при
х е [Р; + оо). Так как при достаточно малых х выполняется не-
равенство / (я) > 0, а при достаточно больших х — неравенство
/ («) < 0» то из неравенств / (а) <0, / (Р) > 0 будет следовать,
что уравнение / (х) = 0 имеет три корня. Чтобы установить эти не-
равенства, проверьте, что если х^ — корень уравнения loga х =
== х, то / (#i) = 0, а g (xf) > 0, так что х е (а; р).
7.17.	1, 2, 4, 5. См. задачу 5.12.
3. Положите х = 1 в неравенстве п. 2 и подберите такое п,
3
(п + 1)! <0,02-
для которого
6.	Исследуйта функцию у ==
1п х
х
7.	Исследуйте функцию у = loga+x (& + я).
8.	Исследуйте функцию у = е 1п х — х.
7,	18. 1. Умножьте неравенства на п\
п
f 1 \ П+1
7.1	9. 4. Примените неравенство и. 2 к (1 +	)
5. Примените неравенство п. 2 к (1-4-
п+1
1	\ п+2
7.2	0. 1. Функция, удовлетворяющая уравнению f (х) = х2,
1
имеет вид f(x) = — я3 4-С. Найдите С из условия / (2) = 1.
151
5. Искомая функция задается равенством / (я) = In х +
при х > 0 и равенством / (х) = In (—х)-[-С2 при ж<0. Найдите Сг и
С2 из условий / (е2) = 1, / (—е8) ® 2.
7.21,	1. / (х) = С<?2Х. Найдите С из условия / (1) ® 2.
7.22,	2. Пусть / (х) — число бактерий через х секунд. Тогда
f (х) = кх, / (х) = Cekx. Коэффициенты С и к определяются из
условий / (0) = 7V0, / (1) = Л\. Остается решить уравнение СеКх =
= 10 Ло.
Глава 8
8.1. 3. Если . п = 1, то 22П-! + Зп + 4 = 9 де-
лится на 9. Пусть 22ft~1 + 3fc + 4 делится на 9. Нужно доказать, что
22/c+i з j) 4 делится на 9. Для этого достаточно показать,
что 2^ + 3 (Л + 1) + 4 — 4 (22^ + ЗЛ + 4> делится на 9.
8.2. 2. При п = 1 получаем ^верное равенство = а2. Пусть
«1 + аз + • • • +	=» а2Л- Тогда а2к+2 = a2fe+1 + a2fc —
® «1 + а3 + . . . + a2fc_i + a2fc+1, что и требовалось доказать.
7. Если п = 1, то аЬп = аь = 5. Пусть аьк делится на 5. Тог-
да «5&+5 =	+ Лб/с+з == a5fc+3 + 2a6fc+2 + л6^+1 = а5^+2 -|- 45^+1 +
+ 2a6fc = 5a6fc+1 + Заб^ делится на 5,
8.3, 5. Если ап — левая часть, а Ьп — правая часть доказы-
11,1
ваемого тождества, то = 1 — -tj- =	%	= ~2~ , ак+1 — ак =
1	1	1 t 1 1
_ 2*4-1 “ 2*4-2 ’ Ьк+1 — ьц— 2*4-1 + 2*4-2 ” *4-1 =
1	1
~ 2* 4- 1 ~ 2* 4- 2 •
8.4.	1. Если ап левая часть, а Ьп — правая часть доказы-
ваемого неравенства, то
1 . 1 . 1 3 1.1
аз-4 + 5 + 6>5?	ak+i — ak — 2к+1 + 2к + 2 ~
11	1 л
~ 2/с + 1 ~ 2к + 2 >0’
в то время как Ь^+1	= 0.
8.5.	10. Пусть ап левая часть, а Ьп **- правая часть доказы-
ваемого неравенства, Тогда а3 = 2!4|б!, Ь3 == (4!)3 и неравенство
«3 > равносильно верному неравенству 2161 > (41)2;-------
ак
/о,	. «V.	/т . пч. /, . п.А	.	ак+1 Ьк+1
= (2/с + 2)1, -т— = (& + 2)! (& + 2) и неравенство——>”Т—
°н	ак
(2к + 2)\	к
следует из неравенства	' > (& + 2) •
152
11.	См. п. 7 задачи 7.12.
12.	См. п. 3 задачи 7.12.
13.	Замените в предыдущем неравенстве п на п\.
1
8.6.	1. Замените правую часть неравенства на	•
2.	Докажите одновременно с предложенным равенством равен-
ство а®_! + а„ = а2п-1-
8.7.	Воспользуйтесь тождеством
2 cos (п — 1) а cos а = cos па + cos (п — 2) а.
8.8.	1 — 2. См. указание к задаче 8.7.
3.	Пусть cos лх = p/q — несократимая дробь, х — рациональ-
ное число. Тогда для некоторого натурального п справедливо равен-
ство cos лпх == 1, откуда следует, что 2 делится на q.
к — 5. Если sin лх или tg лх — рациональное число, то
cos 2лх — рациональное число.
8.9.	Докажите сначала, что мудрец, задумавший больДтее число,
но сможет решить поставленную перед ним задачу раньше, чем его
партнер. После этого докажем индукцией по п следующее утвержде-
ние: если л, п + d задуманные числа (d — известная мудрецам
разность), то не позднее чем после п отрицательных ответов своего
партнера мудрец, задумавший число п, поймет, что его партнер
задумал число п + d, Если п — 1, то мудрец, задумавший это
число, сразу же поймет, что его партнер задумал d + 1. Предполо-
жим, что утверждение справедливо для всех п к и докажем его
для п = к + 1. Мудрец, задумавший число к + 1, знает, что его
партнер задумал (к + 1) — d или (к + 1) + d. Но если бы тот за-
думал число (к + 1) — d,rro,B силу индукционного предположения,
не позднее чем через к -J- 1 — d отрицательных ответов первого
мудреца он угадал бы его число. Поскольку этого не произошло, то
первому мудрецу становится ясно, что у его партнера не может
быть задумано число к + 1 — d, и следовательно, задумано число
к + 1 + d.
8.10.	В этой задаче проводится необычная индукция. Предпо-
ложив, что утверждение задачи справедливо при п = к и п = /,
докажите его для п = kl. После этого остается доказать утвержде-
ние для простых значений п. Оказывается, это и есть самая трудная
часть задачи. Докажите индукцией по т следующее утверждение:
если 1 < т < р — 1, то из т целых чисел, не делящихся на р9
можно составить по крайней мере т сумм, дающих различные нену-
левые остатки при делении на р (при этом разрешается брать сумму
из одного слагаемого, равную этому слагаемому, из двух, трех, ....
...,всех т слагаемых). Если теперь данные 2р — 1 целых чисел
а2, . . ., a2p-i занумерованы в порядке возрастания их остатков
от деления нар, то рассмотримр — 1 чисел аР+1 — а2, аР+2 — а3,...
153
. . ., л2р-1 — aV‘ Если какое-нибудь из этих чисел, скажем ар+% *•
— ak+i (1 < & < Р — 1) делится на р, то числа а^+1, а^+2, . . .
. . а^+Р дают одинаковые остатки при делении на />,и, следова-
тельно, их сумма делится на р. Если же ни одно из чисел ар+к —
— aic+1 (1 к р 1) не делится на р, то либо а^ + а2 + . ..
. . . + «р делится на р, либо из чисел аР+% — а^+1 можно выбрать
одно или несколько, сумма которых, сложенная с аг + а2 + . . .
. • • + «р, делится на р.
8.13. 1. а± = 1020 — первое из этих чисел, ап = 9990 — по-
а — ал	ал 4- а
следнее, п = —i------1- 1, 5* =----2 п.
30	2
2. Если число не делится ни на 2, ни на 3, то оно имеет вид
1 + 6d или 5 + 6d.
ai + а15
о. а8 —	2	•
4. / (х) = dx + (aj — d), где d — разность прогрессии.
d / d \
6.	f (#) == я2 + (ai—~2~ ) х.
7.	Если f (х) = ах2 + Ьх, то положите d = 2а, а^ = а + Ъ»
10.	Примените утверждение п. 9,
12.	ап + с = q (an~i + с) 44 qan-i + d + с = gan_j + Qc* Это
d
равенство выполняется, если положить с = q — 1 •
8.1	4. 2. Предположим, что прогрессии (ап), (&п), (сп) с раз-
личными целыми, не равными единице разностями d, е, / покрыва-
ют натуральный ряд. Можно считать, что = 1,’	= 2, Если
а$ = 3, то d = 2, и потому = 4, а3 = 5, &g ® 6, е = 4, а± = 7»
Число 8 не может теперь попасть ни в одну из прогрессий. Если
Оз =/= 3, то cj = 3. Если а2 = 4, то d = 3, с2 == 5, / = 2, ftg = 6,
е = 4, «4 = 7. Число 8 опять не попадет ни в одну из прогрессий.
Если, наконец, = 131 = 2, cj = 3, dg « 4, то е = 2, а2 = 5,
d = 4, &з = 6 и уже число 7 не попадает ни в одну ив прогрессий.
4.	ап = 2га, Ьп = 4га — 3, сп = Зга, dn = 6га + 1, еп ==
« 12га — 1. Проверьте, что в эти последовательности попадают все
натуральные числа от 1 до 24, Это не единственный пример.
8.1	5. 1. Положите Ъп = 1/ап.
2.	Положите Ъп = а^.
3.	Путем догадок найдите формулу общего члена и докажите
ее по индукции.
8.1	6. 1. Пусть числа cj и с2 таковы, что aj = CiXi + c2x2f =
=»	+ с2х*. Докажите по индукции, что ап ==
8.	Положите bn = log2 an.
1
9.	Положите 6 = —.
п
154
6. 2 k(k+l)(k + 2)= 2 /c3 + 3S & + 2 S h.
fc=l	M /c=l fr==l
e in	4	k(k+l)
О.1У. o. a/f =-----2——•
о 9n	,	4fc+l___________(2fc+l) + 2fc
O,4U* 4- к (к + 1) (4ft2 — 1) “ k(k+i)(i№— 1) ~
_ 1	2
~ к (к + 1) (2k — 1) + (к + 1) (4k2 — 1) “
(ft 4-1) — к (2fc+l) — (2k — 1)	1
~ k(k + l)(2k— 1) + (*4-l)(4ft2—1) "" k(2k — 1) ~
1 1 1
“ (ft 4-1) (2ft-f-1) + (k + i)(2k — 1) — (fc4-l) (2fc4-l) —
1 • 1
“ к (2k — 1) — (k 4- 1) (2k + 1) *
Следовательно,
°	n	n
уч 4*4-1 V 1 V 1
2j * (* 4-1) (4*2 — 1)— 2-1 к (2k— 1) — 2-J (fc 4-1) (2* 4-1) “
k=i	»=i	k=i
n	4-1
уч 1 уч 1	1
2j к (2k — 1) — 2.J к (21c — 1) = 1 — (n4-l)(2n4-l) =
M	fr=2
n (2n -]- 3)
= (B4-l)(2n4-l)
n	n	n
6. 3 *•*!= 2 (*4-l)*l-3 *1.
Л=1	fc=l	fc=l
8.21. См. n. 1. 3. См. п. 1 задачи 8.20,
4. См. n. 11 задачи 4.21.
Глава 9
9.5. 4. Считая все три прямых числовыми осями,
разобьем их на промежутки вида [к; к + 1), где к целое число.
(Установим взаимно однозначное соответствие между промежутками
[2А; 2к + 1) прямой Х.и промежутками [к*, к + 1) одной из двух
параллельных прямых, а также между промежутками \2к — 1; 2к)
прямой X и промежутками [/с; к + 1) второй из параллельных
прямых.
155
5. Считая все три прямые числовыми осями с общим началом,
разбейте их на промежутки (к, к + 1], где к — целое неотрицатель-
ное число и \к, к + 1), где к — целое отрицательное число.
6. Можно считать, что а = 0, 6=1. Разбейте отрезок [0; 1]
на промежутки (0; 1/2), [1/2,1/3),{1/3, х/4), ... и точку 1, а промежуток
[0; 1) — на промежутки (0; Vg], С/2; х/3], (г/3\ х/4], . . . цточку 0г
8. См. рис. 24.
(Рпс. 24.
9.6.	5. Представим каждое рациональное число в виде несо-
кратимой дроби и обозначим через Ап множесхво всех дробей p/q,
у которых | р | + | q | = п. Тогда Л2, Л3, . . . — конечные
множества, объединение которых равно Q. Нумеруя последователь-
но элементы этих множеств, получим нумерацию Q.
9.	Пусть А Г) В = ф, В = {Ьп | п е IN}. Пусть С = {сп | п е
е N) — счетное подмножество множества А, Установим взаимно
однозначное соответствие между A (J В и А следующим образом:
Ьп с2т сп *”* с2п-1 и а а» если а <= 4\С. Сведите случай
А р| В =/= ф к разобранному.
10.	Покажите, что множество таких уравнений счетно и вос-
пользуйтесь тем, что каждое уравнение имеет конечное число
корней.
11.	Поставьте в соответствие каждому кругу какую-нибудь
содержащуюся в нем рациональную точку, т. е. точку с рациональ-
ными координатами.
12.	Поставьте в соответствие каждой «восьмерке» пару рацио-
нальных точек.
9.7.	4. Воспользуйтесь п. 3 задачи 9.7 и п. 9 задачи 9.5.
5. В силу п. 3 можно считать, что объединение данных мно-
жеств — квадрат ABCD. Воспользуйтесь тем, что либо одно из
данных множеств содержит пересечение квадрата АВ CD с некото-
рой прямой, параллельной прямой АВ, либо проекция другого
множества на сторону AD совпадает с этой стороной.	-
9.9.	В каждом примере требуется либо указать искомую
функцию, либо найти два решения с одинаковыми значениями у.
9.11.	Постройте график функции /. Чтобы найти множество
/ (А), изобразите множество А на оси абсцисс, восставьте перпен-
156
дикуляр к оси абсцисс из каждой точки множества А и спроекти-
руйте точки пересечения этих перпендикуляров с графиком на ось
ординат. Чтобы найти множество У”1 (В), изобразите множество В
на оси ординат, восставьте перпендикуляр к оси ординат из каждой
точки множества В и спроектируйте точки пересечения эти? перпен-
дикуляров с графиком на ось абсцисс.
9.12.	1. См. рис. 25.
3.	См. рис. 26.
9.13.	3. Функция Дирихле, задаваемая условием / (х) <= 1,
если х — рациональное число, и / (х) = 0, если х — иррациональ-
ное число.
5.	Покажите, что коэффициенты а и Ъ можно подобрать так,
что число а будет периодом функции g (х) = / (х) — ах — Ь.
9.14.	7. Пусть х = а — ось симметрии графика функции /.
Выберем число с так, чтобы центр симметрии графика функции
g (х) = / (х) + с оказался на оси абсцисс в некоторой точке Ь.
Тогда для любого числа t справедливы равенства g (t) = g (2а —
g (2a — t) = —g (t + 2b — 2a)r откуда g (t + 4b —'4a) = g (/),
т. e. 45 — 4a — период функции g и, следовательно, функции f.
Покажите, что при Ъ = а функция / постоянна.
8.	См. п. 5 задачи 9.13.
9.	Пусть g — четная функция, h — нечетная функция. Тогда
f = g + h фф f (х) — g (х) + h (х) и / (—х) = g (х) — h (х) при
f(x)+f(-x)	f(x)-f(-x)
всех х, откуда g (х) = —---%-----, 7г (я) =--—т,----- .
10.	Искомые функции# иТг будем подбирать так, чтобы график#
был симметричен относительно начала координат, а график h —*
относительно точки (1; 0). Заметим, что, задав в точке х одно из
значений g (я), h (х)> мы однозначно определяем другое. Зададим
157
функцию g на отрезке [0; 1] так, чтобы выполнялись равенства
g (0) = 0, g (1) = / (1), так что h (1)= 0. Этим мы однозначно опре-
делили функцию g на отрезке [—1; 0] и, следовательно, функции g
и h на отрезке [—1; 1]. Но тогда h и g однозначно определены на
[1; 3], g и h однозначно определены на [ — 3; — 1], Л и g однозначно
определены на [3; 5] и т. д.
9.15.	Чтобы найти обратную функцию <р, решите уравнение
f (а) = b относительно а.
•	Ъ — 3	х — <5
1. 2а + 3 = &44а = —2— • Следовательно* ф(х) = —%— •
5.	—а2 = Ъ (а < 0) 44 а = —У—Ь, так что ф (х) = — V—х»
9.16. 4. Если функция ф обратна /, то
g (/ (ж)) = h (ж) 44 g (/ (ф (х))) = h (ф (ж)) 44 g (х) = h (ф (я)).
5.	/ (х) — In ж, если х > 0. При] х < 0 функцию / можно опре-
делить произвольно.
6.	g (х) = h (/jV|).
7.	Если] | х | < 1, то g (x) = h (arccos x). При | x | > 1
функцию g можно определить произвольно.
8.	Если g — такая функция, то g (sin (л — х)) = cos (л — х)
при всех х.
9.1	8. 1. f (х) = х, если х — рациональное число, и / (х) =
= —я, если х — иррациональное число.
2.	Между двумя рациональными числами бесконечно много
рациональных чисел, в то время как между двумя целыми числа-
ми конечное число целых чисел.
9.1	9. 1. Подставьте в данное равенство значение х, найденное
х
из уравнения х = /.
2.	Замените в данном равенстве х на 1/я.
_ _	х + 1
3.	Получите еще два равенства, заменив х на у— %х’ и на
х — 1
Зж + 1 •
9.20.	5. Если f (1) = 0, то / (х) = 0 при всех х в силу п.п. 2 — 4
и монотонности. Пусть / (1) =/= 0, и для какого-нибудь х числа]]/ (х)
и xf (1) различны. Пусть рациональное число г заключено между
/(я)
у и х. Тогда число f (г) = rf (1) заключено между числами
/ (х) и xf (1). Покажите, что каждое из предположений г < х9 г >
> х приводит к противоречию с монотонностью функции
9.21.	1. Если ж > 0, то f(x) = f (/5/7) = (/ (/ж))« > 0.
3.	См. задачу 9.20.
9.22.	6. Примените к функции g (х) = In f (ж) задачу 9.20в
158
К 2 \n|
— "б/ < 8 n > 1°$=2/58, Поэтому можно взять
N = [log2/e е] + 1 (при 8 < 1). Если 8	1, то N == 1.
I	Л I	Л	Л
6. arctg п — -у < 8 4Ф — —' arctg п < 8 <=> arctg п > — — 8.
При 8 < л последнее неравенство следует из неравенства
/л \
п > tg ( — — 8) . Если 8 > л, то неравенство выполнено при всех п.
9. N = 7.
9.28. 3.
1	7
3+ — + —г
~ п * п2
Xn=z'~b	1	"
п2	п
1
Хп~ У^+1+Yn ‘
13. г„ = (/»2 + 1-п)-(^п3
9.29.	О	„ <яге>	,	1	, arctgn 2. а:п — Л	п '	хп — 2 + 2П ’
9.30.	1 + 3 + 324-.  . + 3*	1 // 3 ?+1	/ 1 \'с+1\ 4’	5ft+2	“ 10 \\ 5 )	~ \ 5 ) J ’
9.31.	2п 4“ 1	2п 4- 1 2- (п4-1)2	И2 + 1 ♦
9.32.	. ®„+1 (п + <)р	1 л 1V р - хп'~ ~апр - a +	' СлеД°вательно’
1
.. хп+1
hm Т~ ~а
п-><х> П
9.34. 2. Если х1 > 2, то х^ > х2 и последовательньсть (хп)
убывает и ограничена числами 0 и х^. Если xt 2, то х± х2 и по-
следовательность (хп) возрастает и ограничена числами х^ и 2.
Пусть lim хп = Тогда а = У а + 2 и а О, откуда а = 2.
П->оо
1 / а \	'
5. Функция / (х) = -у I х -J- у) убывает на промежутке (0; у а]
и возрастает на промежутке [У а; +оо). Кроме того, на проме-
жутке (0; У а] выполняется неравенство / (х) х, а на промежут-
ке [/а;+оо)—неравенство f (х) х.| Поэтому, независимо от
#i, z2 > V# и *з < x2i так что, начиная со второго члена, после-
довательность (хп) убывает.
7. Так как х2 + Зх + 1 > х при всех х, то последовательность
(хп) возрастает. Остается выяснить, при каких значениях х± эта
последовательность ограничена. Если а = lim хп, то а =	+
,	П-*ОО
159
+ За + 1, откуда а = — 1. Поэтому, если_последовательность (хп)
ограничена, то при всех п выполняется неравенство хп < —1.
Неравенство х2 + Зх + 1 «С —1 выполняется при х е [—2; —1].
Поэтому если г [—2; —1], то хп е [—2; —1] при всех и, и
последовательность (яп) сходится. Если же х± >> —1 или xt <_ -—2
(тогда х2 > —1), то последовательность (хп) расходится.
9.36, 3. Если lim хп = —1/2i то lim У 1 + хп — 1^2/2. Сле-
довательпо, lim У1 + х. = У2/2.
х—*— l/i
5. Пусть хп = 1/n, z/n = — 1/п. Тогда lim / (хп) = 1,
П-> Ю
lim / (yn) = —1.
П-*ос
12.	Если lim хп — л/2, то последовательность (1g хп) не огра-
п—>ОО
нпчепа и, следовательно, расходится.
о Q7 /	д3 + д — 2 _ (д — 1) (д + 2) _ д + 2
v.s/. 4. 2д3 —д-1 “ (д-1)(2д+1) “2д+1 '
/Зд —2—2________Зд — 6____ 3
д_—2	= (д —2) (/зТ^Г+2)^ /Зд — 2 + 2 ’
9.3	8. / (х) = 0 при всех х', g (х) = 1, если х ==• 0, и g (л) ~ О,
если х 0.
9.3	9. 8. / (х) = 0; если | х | > 1; / (х) = 1, если J х | < 1}
/ (1) = х/а; в точке х = — 1 функция / не определена.
9.	/ (х) = 0, если | sin х | < 1; / (х) — 1, если sin 1?
л
в точках х = — -у 4- 2л/с (к е £) функция f не определена.
а
12.	Пусть а — иррациональное число, lim хп = а. Пусть
п-+с©
е > 0. Так как есть лишь конечное число рациональных чисел,
1
модуль знаменателя которых меньше —, и так как никакое рацио-
нальное число не встречается в последовательности (хп) бесконечно
много раз, то, начиная с некоторого номера N, выполняется нера-
венство | / (хп} | < е, т. е. lim / (хп) = 0, lim / (х} — 0.
п—*оо	х—+0.
13.	Пусть а = 0, аха2 , . . as «— конечная десятичная дробь и
1
пусть хп — конечная десятичная дробь, получающаяся из а — -JqF
приписыванием справа п девяток. Покажите, что lim хп == а,
Ит / (дп) + / (а).
П—>00
9.40. 4.
1 — COS х
X2
X
2 sin2 —
х2
160
СОЗ г
sin 4л
sin
л
Т
— X
л
2 ~х
9.41. 2. Область определения функции / (х) = 2х + 1 —
«— 1^2 — х — х% отрезок [—2; 1]. Предположим, что а > —2.
Так как / (а) > 0, то, в силу непрерывности /, при некотором 8 > О
выполняется неравенство / (а — в) > 0, что противоречит условию.
Следовательно, а = —2. Аналогично доказывается, что 6=1.
9.42. 1. Пусть / (х) = 2х2 х — 3 sin х. Покажите, что / (0) >
>0, / (1) < 0.
5. Пусть ап > 0, / (х) = а0 + а±х + . . . + an-\xn~l + апх\
п / #0	#1	\
Тогда f(x) — x I “ + —+. . . + —— + а I . Если|х|>1,то
\ X X	л	“ /
I ао
I хп
х
| Др I + | Дх | + « . . + I Дп-11 Поэто-
|х|
| «О I + I Д11 + • • • + I an-i I
му, если х>-----------------------------, то /(х)>0, а если
I До I + I а11 + * • • + I an-i I
х <----------—~, то / (х) <0. Случай ап < 0 сво-
дится к разобранному случаю.
9.43. 1. Выберем систему координат так, чтобы прямая I
была параллельна оси ординат и для.каждого числа х обозначим
через / (х) площадь фигуры, состоящей из всех точек многоуголь-
ника М, абсцисса которых не меньше х. Чтобы доказать, что функ-
ция / непрерывна, рассмотрим квадрат со сторонами, параллельны-
ми осям координат, содержащий многоугольник М. Если р —
сторона этого квадрата, то для любых чисел «их справедливо
неравенство | / (х) — / (д) | < р | х — я |, откуда легко следует,
что lim /(х) = /(«). Если S — площадь многоугольника М, то су-
х->а
ществуют такие числа аир, что / (а) = S, f (р) = 0. Но тогда для
некоторого числа у выполняется равенство / (у) = 1/25.
•2. Примем точку А за начало координат. Для каждого числа а
обозначим через Ра точку с координатами (cos a; sin а), а через
/ (а) — площадь фигуры, состоящей из всех точек многоугольника М
лежащих на лучах АР&, где р е [а; а 4- л]. Функция / непре-
рывна и для любого а сумма / (а) 4" / (а + л) равна S — площа-
ди многоугольника М. Поэтому, если / (а) < 1/25, то / (а + л) >
1/2 S, а если / (а) > х/25, то / (а 4- л) < 1/2S, и в любом случае
существует число у, для которого / (у) =
3. Выберем произвольную систему координат и для каждого
числа а проведем прямую 1а || (ОРа ), разбивающую многоуголь-
6 М. И. Башмаков и др.
161
ник М на две равновеликие фигуры, и прямую та [| (ОРа+л/2), раз-
бивающую М на две равновеликие фигуры. Пусть А — точка пере-
сечения 1а и та. Обозначим через f (а) площадь фигуры, состоящей
из всех точек многоугольника М, лежащих на лучах с вершиной
в точке Л, одинаково направленных с лучами ОР^ где Р е [а;
а + л/2]. Из определения прямых 1а и та следует, что / (а) +
+ / (а + л/2) = где 8 — площадь многоугольника М,
f (а + л/2) + / (а + л) = V25, / (а + л) + / (а + Зл/2) =
откуда / (а) = / (а + л), / (а + л/2) = / (а + Зл/2)*. Число Т/^8
лежит между / (а) и / (а + л/2), и поэтому найдется такое у,
что / (у) = Прямые Z?,	— искомые.
9.	44. 1. Если / (х) > х при всех хч то / (1) > 1, а если
/ (х) < х при всех х,	то	/ (0) < 0.
2.	Если / (х) > х при	всех х, то	/ (/ (х)) > / (z) > я, а	если
/ (я) <?ж при всех ж, то / (/ (х)) </(#)< я.
3.	Пусть 8 е (0; Ъ	—- а) и функция g определена на отрезке
[а; b — е] формулой g	(х)	= / (х + 8)	— / (х). Так как g (а)	0,
g (Ъ — 8)	0, то существует, число у, для которого g (у) = 0.
4.	Если обратимая функция / не является строго монотонной,
то найдутся такие числа а < Ъ < с из области определения /, что
либо f (b) <Zf (а) и / (Ь) < / (с), либо /(&)>/ (а) и / (&) >> / (с).
Пусть,'например, / (а) < f (с) < / (Ъ) и d е (/ (с); / (&)). Тогда суще-
ствуют а е (а; Ъ) и р е (Ь; с) такие, что f (а) = / (Р) = d, что
противоречит обратимости функции /.
5.	Воспользуйтесь п.п. 3 и 4.
7. Покажите, что функция h (х) = / (х + х/2) g (х) —
— / (я) g (я + х/2) имеет корень.
9.45. Если среди положительных периодов функции / нет на-
именьшего, то функция имеет бесконечно много положительных
периодов, меньших 1. Так как разность периодов и число, кратное
периоду функции/, также являются ее периодами (см. задачу 9.13),
то для любого числа а можно найти последовательность периодов
функции /, сходящуюся к а. Пусть а — точка непрерывности функ-
ции /, Ь — произвольное^вещественное число. Пусть (Тп) — после-
довательность периодов функции /, сходящаяся к а — Ь. Тогда
lim (Тп 4- Ъ) = а и, следовательно, lim / (Тп + 5) = f (а). Так
71—>ОО	71—»ОО
как / (Тп + &) — /(&), то / (Ь) = / (а), т. е. функция / постоянна.
Глава 10
10.1. Для того чтобы доказать, что в двУх множе-
ствах поровну элементов, достаточно установить между элементами
этих множеств взаимно однозначное соответствие. Если удается
162
установить взаимно однозначное соответствие между конечным
множеством X и частью множества Y (отличной от У), то в множе-
стве X меньше элементов, чем в множестве У.
1. Поставьте в соответствие каждому Zc-элементному подмноже-
ству А множества X множество X \ А, состоящее из п — к эле-
ментов.
2. Добавляя элемент а к каждому подмножеству множества X,
не содержащему а, мы получим все подмножества, содержащие а.
к. Вычитая множество А из каждого подмножества множе-
ства X, содержащего Л, мы получим не все подмножества множе-
ства X, не содержащие А.
6. Если в данном множестве нечетное число элементов, утверж-
дение очевидно. Если же в нем четное число элементов, то зафикси-
руйте один из них и рассмотрите подмножества с четным и с нечет-
ным числом элементов, содержащие и не содержащие зафиксирован-
ный элемент.
10	.2. Задача решается теми же приемами, что и предыдущая.
1.	Каждому решению (^x, х2, . . ., х^) первого уравнения по-
ставьте в соответствие решение + 1, х2 + 1, . . ., х^ + 1)
второго уравнения.
3.	Каждому решению (^, х21 . . ., xjt) первого уравнения по-
ставьте в соответствие решение (ylt у21 . . ., уп) второго уравнения,
где yi — количество чисел Xj, удовлетворяющих неравенству
X} п — t + 1.
10	.3. 4. Покажите, что число элементов N множества At U
U Л 2 U • • -U вычисляется по формуле N =	— S2 + S3 —
+ . . . + (—l)n+*Sn (это и есть формула включения и исклю-
чения). Если элемент х множества Лг U Л2 U • • • U Ап принад-
лежит к множествам из последовательности Л1? Л2, . . ., Ап и не
принадлежит остальным п — к множествам, то он подсчитан со зна-
ком « 4- » в правой части формулы включения и исключения столь-
ко раз, сколько есть в множестве из к элементов подмножеств с не-
четным числом элементов, а со знаком «—» — столько раз, сколько
есть в множестве из к элементов непустых подмножеств с четным
числом элементов. Остается воспользоваться п. 6 задачи 10.1.
6.	Пусть для I = 1, 2, . . ., $ множество Ai состоит из всех
целых чисел, не превосходящих п и делящихся на pi. Тогда
ф (п) == п — N, N — число элементов множества А± (J А2 U • • •
* • • LMS, которое находится с помощью формулы включения и
исключения.
10	.4. 1. Пусть подмножество В множества X таково, что ни
В, ни X \ В не равны ни одному из множеств А& AZt , . Ап. По-
кажите, что одно из этих множеств — искомое.
5*
163
2.	Покажите, что для любых г, / (1 i < j п) множество
Х\(Л,. A Aj) не равно ни одному из множеств Л19 А2, . . Ап,
и выведите отсюда, что множество A A j равно одному г? множеств
Лх, Л 2, . . ,, Ап, Это верно и для множества Лt П Л2 П • • • А
10	.5. 1, Распределите числа по ящикам 0, 1, 2,. .	9 в соот.
ветствии с последней цифрой,
2.	Распределите точки по ящикам 0, 1, 2,. . п — 1 в соответ-
ствии с числом выходящих отрезков. Покажите, что один из ящи-
ков 0, 1, 2,. . е, п — 1 пуст,
3.	Поместите число а в ящик номер к (где 0 к < и), если
а + к или а — к делится на 2п.
4.	Представьте каждое число а в виде 2к»а19 где а± нечетно, и
поместите его в ящик номер ах.
5.	Вместе с данными числами ах < а2 < . . . < ап+1 рассмот-
рите числа Aft-f-l fl7l4-l Л2? • • м аП+1
6.	Ерли ах, а2,. . ., ап— данные числа, то распределите числа
aii ai 4* a2t ai 4* а2 4~	ai 4* а,2 4* • • • 4“ ап но ящикам
0, 1, 2,,,., и — 1 в соответствии с остатком от деления на п.
7.	Пусть рх, р2,. , ps — все различные простые делители про-
изведения данных чисел (s С п). Поставьте в соответствие каждому
из данных чисел последовательность из нулей и единиц, i-й член
которой равен 1, если в разложение данного числа на простые мно-
жители число pt входит в не четной степени, и 0 — в противном слу-
чае. Воспользуйтесь тем, что число таких последовательностей рав-
но 2s.
8.	Вот пример, показывающий, что А — 16, & — 17, к — 18
не удовлетворяют условию задачи: xi = 1, если i =/= 16, х16 = 19.
Значения к от 31 до 47 исключаются следующим примером: Xi =» 1,
если i 1 и i =£= к — 17, хг = 49 —; к, х^^ = к — 29. Если к 12,
то пусть pi — Xi 4”	4- . . . 4* qi~ pi 4* к* Тогда px <
< Pi < • • • < Pso ~ 48, 91 < «2 < • - • < </30 = 48 + к. Мы no-
лучили 60 натуральных чисел, наибольшее из которых д80	60,
Если ни одно из этих чисел не равно к, то имеется равенство вида
pi = qj9 откуда р< — р; « к. Пусть 19 < к < 24 и пусть I — число
чисел pt, принадлежащих отрезку [1; к — 1]. Тогда в отрезке
[Л + 1; 2к —»1] окажется I чисел qj и, если предположить, что ра-
венство pi == qj ни для каких г, / не выполняется, то в этом отрезке
не более чем А? —- 1 —« Z чисел р|. Следовательно, в отрезке [2к, 48]
должно быть по крайней мере 31 — к чисел рх, что невозможно, так
как 48 — 2к + 1 < 31 — к.~
9.	С каждым членом последовательности свяжем пару чисел
(ж; у)9 где х — длина самой длинной возрастающей подпоследова-
тельности, начинающейся с данного члена, az/ — длина самой длин*
164
<_____________>
Рис. 27.
ной убывающей подпоследовательности, начинающейся с данного
члена. Предположив, что все значения х не больше тп, а все значе-
ния у не больше и, покажите, что некоторым двум членам последо-
вательности соответствует одна и та же пара (ж; у). Покажите, что
это невозможно.
10.	Пусть а, b — два числа из одной строки новой таблицы.
Пусть а левее Ь. Рассмотрев числа, меньшие или равные а и лежащие
в одном столбце с а, и числа, большие или равные b и лежащие в од-
ном столбце с 5, покажите, что некоторые два из этих чисел находи-
лись в одной строке первоначальной таблицы.
11.	Проведите индукцию по к. Если А — одна из данных точек»
то покажите, что среди выходящих из нее отрезков есть больше,
чем [(& — 1)!е], окрашенных в один цвет.
10	.6. 1. Если круг радиуса г содержит точку А, то центр этого
круга содержится в круге радиуса г с центром в
точке Л. Поэтому достаточно показать, что из 64
кругов радиуса 1/8 с центрами в отмеченных точ-
ках некоторые три имеют общую точку. Все эти
круги содержатся в фигуре, состоящей из точек,
удаленных не более чем на х/8 от данного квад-
рата (см. рис. 27). Сравните площадь этой фи-
гуры ия- сумму площадей кругов.
3.	Пусть F — данная фигура, Ft и F2 — фигуры, полученные
из фигуры F параллельными переносами на 0,001 в направлениях,
угол между которыми равен 60°. Покажите, что фигуры F и
F и F2, Ft и F2 пе имеют общих точек и содержатся в квадрате со сто-
роной 1,001. Получите отсюда первую оценку площади фигуры F,
Пусть фигуры и^ получены из фигуры F параллельными пере-
носами на 0,001 #3 в направлениях, угол между которыми равен
по величине углу при вершине равнобедренного треугольника с боко-
вой стороной 0,001 -/3 и основанием 0,001. Так как фигуры F3
и F& не пересекаются, то пересечение одной из них с F имеет площадь,
не большую половины площади F, Пусть это фигура F3 и пусть фи-
гуры F5 и Fg получены из F параллельными переносами на 0,001
в направлениях, образующих угол в 30° с направлением переноса,
переводящего F в Покажите, что общая площадь, занимаемая
7
фигурами F, F3, Fb, FQ не менее, чем S, где S - площадь фигуры,
и получите отсюда вторую оценку площади фигуры F,
10	.7. 1. Инвариантом указанных преобразований является
остаток от деления числа на 9. Так как 1 000 000 дает при делении
на 9 в остатке 1, то в получившемся наборе число единиц на 1 боль-
ше числа двоек.
165
2.	Инвариантом является произведение знаков (нужно заменить j
плюсы на 1, а минусы — на 1).
3.	Инвариантом является остаток от деления на 2 суммы всех/
чисел таблицы, кроме чисел, расположенных в третьей и шестой
строках. Если в исходной таблице такая сумма не делится на 2,
то в любой получающейся из нее таблице есть числа, не делящиеся
на 2.	'
4.	Занумеруйте секторы последовательно числами 1, 2, 3,. . .
« .	10 и присвойте каждой фишке номер сектора, в котором она
расположена. Покажите, что сумма этих номеров
все время остается нечетной.
5.	Инвариантом является произведение вось-
ми знаков, расположенных в клетках, заштри-
хованных на рис. 28.
6.	Пусть числа 1, 2,..., п выписаны в строч-
ку в некотором порядке. Будем говорить, что
числа к и I образуют беспорядок, если большее
из них расположено левее меньшего. Покажите,
что при перестановке соседних чисел число бес-
порядков меняет четность.
7,	Покажите, что перестановку любых двух чисел можно заме-
нить нечетным числом перестановок соседних чисел.
8.	Занумеруйте автомобили числами 1, 2, 3,. .	25. Чтобы
описать взаимное положение автомобилей после каждого обгона, бу-
дем выписывать их номера в порядке следования автомобилей, на-
чиная всегда о автомобиля номер 1. Покажите, что при любом об-
гоне изменится четность числа беспорядков в последовательно-
сти номеров.
9.	Проверьте, что число беспорядков в перестановке те, п — 1,...
п (п — 1)	_
. , м 3, 2, 1 равно---g---• Покажите, что при указанных пре-
те (п — 1)
образованиях четность числа беспорядков меняется. Если------
« четное число, то разбейте данные те чисел на пары соседних чи-
сел (оставляя при нечетном те среднее число без пары), а затем обра-
зуйте четверки из первой и последней пары, второй и предпоследней
и т. д.
10.	8$ 1. Покажите, что при переходе от каждого множества
к следующему уменьшается разность между наибольшим и наимень-
шим элементом множества.
2,	Покажите, что в каждом столбце получившейся таблицы все
числа, начиная со второго, образуют возрастающую ограниченную
последовательность натуральных чисел.
16£
3.	Если в первом столбце есть числа, равные 1, то удвоим стро-
ки, содержащие эти числа, а затем вычтем 1 из всех чисел первого
столбца. Покажите, что сумма чисел первого столбца будет при этом
уменьшаться до тех пор, пока мы не придем к столбцу, состоящему
только из единиц. Из этого столбца получаем столбец из нулей, а за-
тем переходим ко второму столбцу и т. д.
4.	Покажите, что число пар соединенных точек разного цвета
уменьшается.
5.	Покажите, что уменьшается сумма -дайн отрезков.
6.	Будем менять знаки только в строках и столбцах с отрица-
тельной суммой. При этом сумма всех чисел таблицы будет увели-
чиваться.
7.	Занумеруем точки в произвольном порядке. Предположим,
что нашлись соседние точки, расстояние между которыми больше 1.
Пусть, например, | AtA2 | > 1. Покажите, что найдется такое к,
что | AjAft [ < 1 и |	1. Поменяйте номерами точки
А2 и А&, А3 и А^+1 и т. д. Покажите, что число пар соседних точек,
расстояние между которыми больше 1, при этом преобразовании
уменьшается.
10.	9. 1. Построение любого слога разбиваем на два шага' вы-
бор согласной, выбор гласной,
3,	4. Построение произвольного двузначного числа разбиваем
на два шага: выбор первой цифры, выбор второй цифры.
8.	Построение произвольного делителя числа п, имеющего вид
2а.Зь «7е-lld, где а, b, с, d — целые числа, 0 < а < 7, 0 < Ъ < 10,
О с 15, 0 < < 9, разбиваем на четыре шага: выбор а, выбор &,
выбор с, выбор d.
9.	На каждом шаге строим очередное звено ломаной. При этом
у нас 4 возможности на первом шаге и не более трех — на каждом
следующем шаге, откуда Л^4>37г'1. Неравенство ЛП^4-2П"1
получится, если ограничиться ломаными, у которых каждая вер-
шина, начиная со второй, дальше от начала координат, чем преды-
дущая.
14.	Построение числа разбивается на четыре шага: выбор пер-
вой цифры, второй, третьей, четвертой.
15.	Построение числа разбивается на шесть шагов: выбор вто-
рой цифры, четвертой, первой, третьей, пятой, шестой.
16.	Построение числа разбивается на четыре шага: выбор места
для двойки, тройки, четверки, пятерки.
10.	10. 1. Пусть х±, х2,. . ., хт — элементы данного множества.
Разбейте построение произвольного подмножества на т шагов, ре-
шая на ?-м шаге, включать ли элемент Х{ в это подмножество.
3.	Выбрать такое число значит, выбрать места для нулей.
167,
10.	11. 4. Построение такой перестановки разбивается на два
шага: выбор места для нуля (после чего положение единицы опреде-
лено однозначно), выбор перестановки цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
6. Построение такой перестановки разбивается на три шага:
выбор месте для единицы, выбор места для нуля, выбор перестанов-
ки остальных цифр.
8.	Построение произвольной расстановки разбивается на че-
тыре шага: выбор-перестановки первого, второго, третьего собрания
сочинений, выбор перестановки тройки собраний сочинений,
10.	На первом шаге 15 мальчиков рассаживаются по одному
за каждой партой с левой стороны, на втором шаге рассаживаются
15 девочек, на третьем шаге выбирается множество парт, на которых
мальчик и девочка меняются местами.
11.	Таких перестановок столько же, сколько и тех, в которых
нуль расположен правее единицы.
13.	Цифры 0, 1, 2, 3 могут иметь 4! разных расположений друг
относительно друга. Все эти расположения одинаково часто встре-
чаются в перестановках цифр 0, 1, 2,. . ., 9. Нас устраивают три
из этих расположений: 0123, 0132, 0312.
10,	12. 1. Найдите количество пятизначных чисел, в записи
которых все цифры нечетны.
2.	Найдите количество перестановок, в которых ни одна из пер-
вых трех цифр не равна 0, 3, 6, 9.
3.	Найдите количество пятизначных чисел, в записи которых
нет одинаковых цифр.
10.13.	1. Разбейте множество всех таких чисел на множества
пяти-,^четырех-, трех-, дву- и однозначных чисел.
3.	Разбейте все такие числа на две части, в зависимости от того,
равна ли нулю последняя цифра. Выбирайте сначала последнюю
цифру* затем первую, вторую, третью, четвертую.
4.	Выберем две последние цифры (25, 50 или 75), а затем разо-
бьем все шестизначный числа на пять частей, задаваемых условиями
— i-я цифра числа): среди цифр а3, аб нет равных; а3 = а5,
но aL =/= аб; ах = аб, но а3 =£ a5; а± == а8, но а3 =/= a5; at — а3 = а5.
Выбираем первую цифру, затем третью, вторую, четвертую.
5.	Разбейте все перестановки на две части, в зависимости от
того, занимает ли нуль одно из первых четырех мест или одно иэ
двух следующих.
6.	Разбейте все перестановки на две части, в зависимости от
того, располагается ли единица па краю или нет.
7.	Разбейте все перестановки на две части, в зависимости от
того, занимает ли нуль одно из двух средних мест или нет,
468
10.14.	3. Покажите, что число карточек, у которых сумма пер-
вых двух цифр и сумма двух последних цифр равны и, равно числу
карточек, у которых эти суммы равны 18 —- п.
п
к. 2 (»-fc + l) = (» + 1)(в + 2)/2.
k=Q
21
5. Нужно вычислить где а* ~ число карточек, у кото-
/i'=o
рых сумма первых трех цифр равна сумме трех последних цифр и
равна к. Покажите, что сц = а21_к, так что достаточно вычислить
при к 13. Если, к < 9, то = (к + 1) (к + 2)/2 (см. п. 4).
При 10 < к < 13 нужно из (к + 1) (к + 2)12 вычесть утроен-
ное число тех решений уравнения х + у + z = к, в которых
х ^10.
10.15. 1. Разобьем все 121 перестановок 12 человек па группы,
помещая две перестановки в одну группу в том и только в том слу-
чае, если в этих перестановках у любого человека одни и те же со-
седи. Чтобы задать произвольную перестановку из некоторой груп-
пы, нужно выбрать место для какого-нибудь человека, после чего
положейие остальных людей определяется однозначно. Таким об-
разом, каждая группа состоит из 12 перестановок и число групп
равно 121/12 «И!
5. Если бы у нас было две разных единицы, то мы бы получили
5! разных чисел. Соединяя в одну группу два числа, получающие-
ся одно из другого перестановкой двух единиц, мы получим, что ко-
личество разных пятизначных чисел равно 51/2.
10. Отождествите распределения, получающиеся одно из дру-
гого некоторой перестановкой ящиков.
10.19. 1. На первом шаге нужно выбрать ящик, в котором ока-
жется два шара, а затем разбить все распределения шаров по ящи-
кам на три части, в зависимости от цвета двух шаров, попавших
в один ящик.
2. Разбейте все распределения на шесть групп, определяемых
условиями: есть ящик с тремя шарами одного цвета; есть ящик с тре-
мя .шарами, среди которых два одного цвета и один другого; есть
два ящика с четырьмя шарами одного цвета, распределенными по-
ровну между ними; есть два ящика с двумя шарами, среди которых
три шара — одного цвета и один — другого; есть два ящика с дву-
мя шарами, в одном— два белых шара, в другом — два черных;
есть два ящика, в каждом из которых один белый и один черный шар.
В каждом случае решение разбивается на три шага: выбор ящиков,
содержащих более одного шара, распределение шаров по этим ящи-
кам, распределение шаров по остальным ящикам.
169
10.20. 2, Поставьте в соответствие каждому решению (^,
> > ., жт) последовательность из нулей и единиц,построенную сле-
дующим образом: сначала единиц, затем 0, гг2 единиц, 0,. . •
• »xm-i единиц, 0, хт единиц.
3. См. п. 1 задачи 10.2.
5. Введите в уравнение х± + х2 + х$ + Х1 + хь = 20 новые
переменные по формулам щ = xi — 1.
6. Введите в уравнение xi + х2 + х$ + х± + х5 + х6 = 20
новые переменные по формулам yi = 6 — х^ .
10	.21. 1. Пусть Ajc — множество всех перестановок (щ; а2;. . .
• * 4 ап) чисел 1; 2,. . м п, удовлетворяющих условию а% к.
Докажите, что пересечение I множеств состоит из (п — 1)! пе-
рестановок, а число таких’ пересечений равно Сгп. Искомое число
равно п\ «— N, где N — число элементов множества Л (J А2 U * • •
. .. U Ап.
2.	Разбейте построение произвольной раскраски на восемь
шагов: раскраска первой, второй,. . восьмой горизонтали. На
первом шаге есть 8! возможностей,’ а число возможностей на каждом
из следующих шагов задается формулой предыдущей задачи при
п = 8.
3.	Число всевозможных распределений т различных шаров
по п различным ящикам равно Обозначим через А% множество
таких респределений, при которых fc-й ящик остается пустым. Чис-
ло элементов в пересечении I множеств А^ равно (п — i)m, а число
таких пересечений равно Сг. Искомое число равно пт — N, где N —
число элементов множества AiLM2U***U4n.
4.	Примените предыдущую задачу к случаю т = п.
10.22	. 1. Обозначая искомую сумму через докажите, что
Sn = 25n„i.
2—3. Докажите, что эта сумма равна сумме всех членов
(п — 1)-й строки.
4—5. В этих задачах удобно представить себе треугольник
Паскаля как геометрическую фигуру, заменив числа Г* точками
и расположив эти точки в соответствии о рис. 29, так что точки, соот-
ветствующие членам	образуют правильный тре-
угольник ео стороной 1. Около каждой точки поставим число 0
или 1 в зависимости от того, четен или нечетен соответствующий член
треугольника Паскаля. Пусть А — вершина треугольника Паска-
ля, а В и С — крайние точки строки, в которой все числа, кроме
двух крайних, равны 0. Пусть D кЕ — крайние точки строки, номер
которой вдвое больше номера строки ВС, F — средняя точка
этой строки (см. рис, 30). Покажите, что в треугольниках BDF
170
и CEF нули и единицы расположены точно так же, как в тре-
угольнике А В С.
Рис. 30.
Рис. 29.
10.23	. 5. Воспользуйтесь тождествами = С^+1 —
т	т+п—р	п—-1—р
^п+к = 3 Ср+к 3 Ср+к*
к=0	М	fc=>0
10.24	. 1. См. п. 12 задачи 10.15.
6!
13. Общий член разложения имеет вид "цт\ х1^2хт^3хп^,
где I, т, п — неотрицательные целые числа, I + т + п — 6. Если
I т п
-тр + ~2~ + “4~ = 2, то п = 21, т = 3 (2 — Z). Следовательно,
Z=0, иг = 6, п — 0 или I = 1, т = 3, п — 2 или I — 2, т = 0,
6!
п = 4. Складывая соответствующие значения уу^у^у? получаем
искомый коэффициент.
10.25. 1—4. Положите в формуле бинома х = 1, х = «И,
х = — 2, ж — 9.
5—7. Дифференцируя формулу бинома, получаем:
кС^х^1 — п (1 +
/г=1
8—10. Интегрируя формулу бинома, получаем:
V Сп	(1+х)п+1-1
2j fc+iх ~	«+1
к^=о
11. Примените индукцию по пи воспользуйтесь тождеством 9.
15. Приравняйте коэффициенты при хр в левой и правой час-
тях равенства (1 + х)т (1 4* х)п = (1 + х)т+п.
171
Глава 11
11,1. 4. i (i — 1) = i2 — i = — 1 — i,
9. jSi = (j2) ib.j = _ it 10. (1 + f)20 = ((! + Z)2)10 = _210.
11? ч 2*~3	(2i — 3) (1 — i) 1 A.
11,4. o.	+	2 + 2 l-
11,3. 1. (1+0« + {2 + 0£/ = 5 + Зг<=>
[ x 4- 2y == 5,
^(® + 2j/) + (» + j/)j = 5 + 3i44 I x+y;==S'
11.5. Так как i2 = —1, то (ф (i))2 = ф (—1) = —1, поэтому
либо ф (i) — i и тогда ф (а + bi) = ф (а) + ф (&) Ф (г) = а + ЪЪ
либо ф (i) = — i и тогда ф (а + bi) = а — Ы.
11.6. 4. Обозначим данное число через со. Тогда ш =
Z2 4~ Zr	Z 4~
g3 — 2	z — Z3
Z — 1	_ Z — 1	Z
5. Если и>=Т(7Т1Г, то - = -^TJ)=_.^i_ + iy =
1 — Z
= _Ц1+г) =®.
[ж2 — у2 = 3
Н.7. - 3. (^ + i/02-3 + 4i^[ 2гД4
я2 — у2 == 3,
ху >U
х2 = р2 + 3,
+ 3t/2 — 4 = 0, 4Ф
। х2 = 4,
♦J У» = 1, 44 Р = 2’
Ui/>o b = 1
11	.11. 1. Это тождество утверждает, что сумма квадратов длин
диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сто-
рон. Вот комплексное доказательство тождества;
| «1 + Ч Is + I Ч ~ 2а 1а =*
— («1 + «я) (21 +	+ U1 — «я) (*1 — 2я) ==
= 2 (VI + яага) = 2 (I Z1 |а 4- I я, I2).
3’ 2 I* —г&1а= 3 (2-М(^-Ч)= .
fcsal	^=1
«П«+ 2 гЛ“г 2 гк~*2 2 ?к==п|2|я+п==п(|«|а+ !)•
Ьиз!	fc=«i	Лх^1
4,	Э1в неравенства утверждают, что в треугольнике с верши-
нами zlt z8, z3 сторона Zj22 меньше суммы и больше разности дву^
других сторон.
172
5.	Сложите неравенства \,z — zt | + | z — z2 | > | zt — za ],
I Z Z2 I + I Z Zg I I Z2 z3 [, I Z	z3 I + [ Z Zi I | z3 — Z-L |.
6.	Положим z4 = — (zx + z2 + J33). Тогда zt + z2 + z3 + z4—
*= 0, и неравенство можно переписать так: | zx + z2 | + | z2 -И z3 | +
+ I гз + zx | < | zi | z2 | + | z3 | + | z4 h причем в этом неравенстве,
несмотря на его кажущуюся несимметричность, числа zlt z2, z3, z4
можно (произвольным образом переставлять (например, заменяя
| Zi + z2 | на | z3 + z4 I, a | z8 +	| на | z2 + z4 |, мы получим в ле-
вой части | z2 + zg | + |z3 + z4 | + | z4 + z2 ]). Так KaK'Zj + z2 +
+ zg + z4 = 0, то можно выбрать в комплексной плоскости такие
точки Wi, W21 JVFg, Wi, что Ж2 — W± = zlt W3 — W2 = z2, W4 —
— W^g = z3, JFX — PT4 = z4. Покажем, что можно выбрать порядок
следования/шсел zt, z2, z3, z4 так, чтобы ломаная W1W2W3W4 оказа-
лась само пересекающейся. Если, например, точка Ж4 лежит в тре-
угольнике WiW2W3f то нужно числа zx, z2, z3, z4 расположить так:
z2, z3, zx, Z4. Если же точки Wlf W2, W3, ^ образуют выпуклый че-
тырехугольник, то, меняя местами числа zxhz2, мы придем либо к са-
мопересекающейся ломаний, либо к ломаной, одна из вершин ко-
торой лежит в треугольнике, образованном тремя другими верши-
нами. Итак, пусть отрезки WtW2 и РИдИ^ имеют общую точку W.
Тогда | W2 - W4 I + f Wi - W3 I < I W2 - W, | + | W3 - W4 |,
t. e. I z2 + z3 I + I zx + z21 < I zx I + I z3 |. Остается сложить это не-
равенство с неравенством | z3 4* zx| < | z2 | +J z4 J, следующим из
равенства | z3 + zx | = | z2 + z4 | и неравенства треугольника.
11	.13.	1. zxz2 = rxr2 ((cos ax-cos a2 sin ax sin a2) 4*
+ fcos (Zj sin a2 + cosa2 sin ax) i).
t__________1_________у
\ 1 -Hcos a + i sin a /
1
о a / a .
2 cos -J- I cos -у -J- i sin
cos —-/sin —
'	2 соэ -у.
/143 — i \20 /cos 6 -/sin 6
10.	; .. a J = 210- ---------------
\ 14”1 2 /	I it	it
у COS-^- + i sin —
/ л я \м
= 210(cos 12 -Zs,n'i27
11.	14. 2. Пусть t = r (cos a -f- i sin a). Тогда r3 = | г | = Y2\
it	6/-x и 2jtk
3a = — 4- 2лЛ, откуда г = j/ 2, a =	~ • Полагая к = 0,
1, 2 и вычисляя косинус и синус л/12, Зл/4 и17л/12, получим три
различных кубических корня из 1 4- /.
173
11.16. 1, to& « СО? «СО? = (О? = to.
3. Числа (а + Ьа> + ссо2)п и (а + baft 4» cti)n *-* комплексно
сопряженные.
И .17. 1. (cos а + I sin а)? = (cos? а о<$ а sin? а) 4*
•h (I COS? bt sin а sin?a)i,
3. (1 + i)io« = (cito _ C2oo +	-... 4- ф +
G другой стороны, (1 + i)?- = ((1 + i)3)6? 380	60*
5. Используйте разложение (1 + to)n, где to »• невещественный
кубический корень из 1 и равенство 1 + со = •» to (см, задачу
11.16).
(1	\ п
-р-=- + м ,
п	п
7.	Пусть S = 2 Сп cos (к + *) а> т = Si cnsin(ft + 1)a>
fc»o	fc==o
п
z= cos a + i sin a. Тогда 5 + Tl ₽	— z (1 + *)П.
?r=o
1	1 /	1 \n
8.	Так как z + — = 2 cos a, to cosn a — -gr (z + j =
n
= Cjjz2fe~n. Воспользуйтесь равенством C^2/f”n +	==
fc=0
c=2C^ cos (n — 2k) a.
xn
11	.20% 6. Обратите внимание на то, что / (я) =/'(ж) + “ •
ОТВЕТЫ
Глава 1
1.1» 5. 0,28; 0(3); 0,(142857); 1,1(6); 0,7(3); 1,2(3).
1.4. 1. а+ р = 2,5387...; а—8 = 2,0635...; ав = 0,5467...; а/В =
= 9,684... 2. а + р = 4,151...; а —0 = 2,0959...; а0 = 3,2107...;
<х/0 = 3,0391... 1.5. 1. 20^ девяток. 2. 20 _нулей._3. 20 девяток.
4. 20 нулей. 1.6. 1. /11. 2. 2/5. 3. /10 + /21. 4. /Й. 1.8.
1. /2. 2. -Хр-. 3. 2 —/3. 4. 3-J-/6. 5. —.
6 + 3/24-2/I5 + /30	„	2/3 + 3/2-/30
6.	2	•	7-	--------12------- •;
1 4-2 /2-з/2 + /8	1-/74-^49	3/5-1 :
8. ---------j	. 9. -----§------. 10. -------.
1.9.1. 24-/5; /5-/2; /7-/5. 1.10. 1. х = -1, х = 3.
2. я = —1, х = 4. 3. решений нет. 4. — 1^я<2. 5. х = 2.
6. х >2. 7. а? = 3, х = 1. 8. 1<ж<5. 9. я< —2, ж>0.
10. — 3<з< —2, 2<ж<3. 41. я<3. 12. — 4<ж<2. 13. х —
любое вещественное число. 1.12. 5. 3; 13/4; 16/5; 19/6; 22/7.
Глава 2
2.1. 1. х + j/ = 2. 2. х == 2. 3. у = 2х. 4. 5г/ — За? =
= 13. 5. # + */=4. 2.5. 1. х = 1. 2. х = — 4, х = 2/3. 3^ х = 3/2.
4. х^Л. 2.6, 1. х <^2/3. 2. 4/3 < х «<8. 3. х <2. 2.9. 1. Решений
нет, если а<1; я = а + 1, х = За — 1, если а^1. 2. Решений
нет, если а< —3 или а>3; 2а —5<^я<1, если 2^а^3;
— 1<я<2а + 5, если — 3<а<^ — 2; — l^rc^l, если—2<
<а<2. 3. —4/3<а<0.
Глава 3
5	1
3.3. 1.у =^х2 — — х. 3.5. 1. г/>0. 2. — 1/4<
1	— 1 —#5
<У<2. 3. у>-5. 4. у>-6. 5. -l<y<-g-.3.7.------<
1. Решений нет, если а ^ — 5/4 или а^5;
175
3 — V 4а ± 5	3±/4а±5
-----2---<ZX <L----2~—i если — 5/4 < а <1; а — 1 <
3 + / 4 а 4- 5
<я<------2-----» если 1<«<5. 2. Решений нет, если а<
< — /2/2 или а>/2/2; — V 1 — а2 < х < а, — а<;г</ГЗ"^, .
если —/2/2 < а <0;	—/1 — а2<#< —а, а<#</1—а2,
если 0<а</2/2. 3. Решений нет, если а < — 1/4 или а >2;
— 1 - /Т*+4а	г_____
-----~!-----<х<14-/2 —а, если — 1/4<а<2. 3.13. 1.
а>9/16. 2. а = —1. 3. а< — 6, а>2. 3.15.-1. —5/7; 67/9; 440/27.
1
4.	я3 — 4x4- 1 = 0. 3.16. 1. а<0. 2. 0<а<—. 3. а<0. 4. а<
< — 3, а>3. 3.17. 1. а> — 8/3. 2. а<—1 или а >8. 3. а <1/2.
3.	18. 1. у < — 2, у >2. 2. у — любое вещественное число. 3. у <
< — 9/2, ^>-2. 4. — 3/5<^<1. 3.19. 2. а = 5. 3.22. у = я2-1/2.
3.	24. 1. (—оо; а/2]— промежуток возрастания, [а/2; 4~ °0) —про-
межуток убывания. 3.25. 2. 2 УаЬ, 3.26. 1. х = — 1,	.
3-5/3	34-5/3
2.	х 5. 3. х =-’ х = —~12------’ х 2‘ 3-27* L
___t	х-12х--1/^	х-2 3 х -3±ГЙ7
х — — 1, л — 1. л — —	2 ’	—	' х —	12	?
'	-	*7 4- /13
х =— 3/2, я = 1. 4. х~ — 14;/7,-х =—----------’• 5. х = — 1/2;
5 4-/13	л_
х = 0, х = 3, х = 5. 6. х = 1, х = 3, х ~~-=9-. 7. х ~ 74з/34.
_	.	7 ±/601	’	J/2-1 ±/2/2-1 z
8.	х = 1/6, х = 1, х =-. 9. х =--------g------.
3.28. 1. х = ±1. 2. х = 0, х = ±/3, х=’3. 3. х = 4/5, х = 3.
3.29. 1. х = 1, х = —:57-- 2. х =— 1, х =— 1/3, х = —2—.
3 Х--2.3.	-< .-ЦС.и,!.
— 1 jf 1^17
х = 1, х =--g. 3. г = 2. 4. х — 1/2. 5. х — 1/3, х = 3/2.
* — 3 —V 6
3.32. 1. х=-‘ 2- > = —1, х = —1/2, х = 2. 3. х =
-1±/21	-3±/17
=----—2-----’ х =-----2--* З.оЗ. х = а — 1, х =
1 + а ± /а2 4- 2а — 7
=-------—2--------» если а < — 1 — |/ 2 и ли а > — 1 4-/2;
х = а — 1, если — 1 — /2<я<— 1±/2. 3.34. 1. х< — 5,
х> 1/2. 2. - 1 <х <0, 0<х<2. 3. — 6<х< — 1/2. 4. х < — 1,
0<х<2/3, 2/3<х<1. 5. х<—3, х = 1/2, 1<х<2. 3.35.1
176
x< — 2, —	x>2. 2. — 2 — /3 < x < — 2, -y2— <
r-	-14-/7
<a;< —1, —2 + /3<s<0, --y-1 * * *—<x<l. 3. x< —2,
3-/13	3 + /13
----<x<2, x> —. 4. x<-l, 1 —/3<x<2,
1-}-/3. 3.36. 1. x = 6, у = 4; x — — 6, у =—4. 2. x = 3,
4; x = —3/5, у = —16/5. 3. x = 3, у =— 2; x = — 2; у = 3;
— 14- /29	— 1 + /29 V — 1 — /29
2	, У —	2	; x— 2 I У —
-1 — /29
---2--- •	= 1» У — 2; x — — 3, у = — 2. 5. x = 2, j/=l;
И II w
x — — 2, у = — 1. 6. x = 0, у — 0; х — 3/2, у = 3/2, ж = 5/3,
у = 5/6. Т-.х = 2, у = 1; X = - 2, у = — 1; х = 4//7, у =- 1//7;
х — —4//7, ^ = 1//7. 8. х = 1, i/ = l; х — 1, у = — 1; х = — 1,
у = 1; х — — 1, у — — 1. 9. х = 3, у = 5; х = 5, у — 3. 10. х——2,
— 3 + 3/5
у— 3\ ж = 3, у = — 2. И. ж = 6, у — 6; х =-%—— » У =
— 3 — 3/5	-3-3/5	-34-3 /5
—	2	,	—	2	» У —	2	* 12- х — 1,
У = 2, z — 4;	х — — 1,	у = — 2,	z — —4. 13. х = 3,	у = 4,	z = 5;
х —— 3, у =	—4,	z —	— 5. 14. х	= 1, у — 1, z = l; х	= 1, у= — 1,
z = — 1; ж —	1.	г/ =	1, z = — 1; х — —~ 1, i/ = — 1,	z = l;	ж = 0,
у — 0, z — 0.	15.	ж=1, ?/— 0;	х — 0, i/ = l. 16.	х = 2,	у = 2;
х = — 2, у = — 2; х = — 2/2, у = 2/2; х = 2/2, у = — 2/2,-
17. ж —1,	1/= Г, х'= 1, у = — 1; х = — 1, у = 1;
х — — 1, у——1. 18. х = 0, ^ = 0. z = 0. 19. я: = 1, у — 1,
z = 1. 3.37. 1. х = — 4, х = 3. 2. х ~ 3. 3. ж — 2. 4. х — 1. 5. ж=3.
7	_ 1 + /5
6. х == 2. 7. ж = ~2~ . 8. л = — 2, х	1.	3.38. 1. ж=-2~—-—•
2. х == 6. 3. ж = 0, ж = )Л1296. 4.	ж з= 3,	ж440. 5.	ж=1 —
— Уl + Х = 1 + /2. 6. х = —4, х= И. 7. х=
3.39. 3. ж — + /5. 4. Решений пет.	5.	ж = 0, ж = +'1, ж =
= ±]/~1 4-—у—.3.4°. 1. х = 2.	2.	<г =	1, 3. х = 2.	4. х = 0.
1 — J/5
5. Решений нет. 3.41. 1. ж < — 4, ж > — 1. 2. — 1 < ж < —,
1 _1_ 1/ 5
—’—^2--<£ я <. 2. 3. — 3/2 ж — 2/3, х '/> 3. 4. ж — 1/3, 1^ж^5.
е	R	7	_ -5-/97	— 5+ V'97
5. 4<ж<+ 6. —V 2<ж<3. 7. ж%——jv---------, ----g---
<ж<2. 8. — 3<ж^9.
177
Глава 4
4.1. (— 1; 0); (0; — 1); (0; — 1); (— 1; 0); (/3/2;
(1/2); (/2/2;/2/2); (1/2; /3/2); (-/2/2; -/2/2); (-/3/2;-1/2);
— 1/2; —/3/2). 4.4. 1. t = *o + 2nfc, к=0, ±1, ±2,... 2. * = *0+
4-n(l + 2fc), к = 0, ±1, ±2,... 3. t = — t0 + 2nfc, к = 0, ±1,±2,...
4, t ss — £0 + л (1 4 /с = 0, ±1, ±2,... 5. £ = £04лй, fc=s=0t
4-1, +2,... 6. £q4 2nkt4л (1 42Zc), /c = 0, *4— 1, 4*2,.».
7Г fo + ^(2fc-l)<*<--fo + n(2fc + l), *=0, ±1, ±2,... 4.5.
я/84 л& < £ < л/2 4 nfc, k = 0, 41, ±2,... 4.8. 1. sinl. 2. sinl.
г 3. sin3. 4. sin 1 +cos 1. 4.9. 1. sin 5, cos 4, cos 2, cos 8, sin3, sin 7,
\ sinl, cos6. 2. ctg6, tg5, ctg2, ctg8, tg3, ctg4, tg 7, tg 1. 4.10. 1.
$=л&, fc = 0, ±1, 42,... 2. t^nl2 + 2nkt * = 0, ±1, ±2,...
3. t = л 4-2nfc, й = 0, 4 1, ±2,... 4. i = л/44-лй, к = 0, 4 1, ±2,.,.
5, f == ji/4 + rcfc/2> fc = 0, ±1, ±2,... 6. t— (— 1/л/6 4 nkt k = 09
4-1, ±2,..'. 7. * = ±Зл/4 + 2лА:, fc = 0, ±1, ±2,... 8. * = 2nfc,
t = л/2 4* 2л/г, к = 0, 4-1, 4 2,.. • 9. t s Зэт/4 -j- 2л/с, к = 0, 41, 42,...
10. — л 4 2л/с < £ < 2л/с, /с = 0, ±1,±2,... 11. -п/2 + 2л/с<К
<л/242л/с, fc = 0, ±1, ±2,... 12. — л/342пк<t<л/342пк9
Л = 0, ±1, ±2,... 13. 2л/342лА;<f <7л/342лА:, А-=0я±1, ±2,...
14. я/442я/с<^<5л/442л/с, к = 0, 41, ±2,... 15. л/2 4~2л/с^
^£<^л42л7с, к = 0, ±1, 42,... 16. —л 42лА;<2л/с, л/64
4 2пк <J< 5л/6 4 2л/с, к = 0, 4 1, 4 2^.. 17. л/4 4 л/с_<£ < л/2 4
+ nfc, fc = 0, ±1, ±2,_... 4.13. 1. —/35/6; /35; 1//35. 2. 15/17;
— 8/17; —15/8. 3. /6/3; /3/3; 1//2. 4. —12/13; —5/12; —12/5.
5. И. 6. 0,22. 7. - 8/3. 8. —12. 9. — 1. 10. 1. 4.14. 1. 1. 2. 2.
3. sin2a. 4. 1. 5. sina. 6. 1. 7. 4. 8. 1. 9. —1. 10. 1. 11. —4. 12.
1
2. 4.16. 1. sina. 2. —sina. 3. cos2a. 4. — 7"--™. 5. —sina —
vvo U
— cos a. 6. tga —ctga. 7. —2tga. 4.17. /2/2; —/3/3; /3/2;
/3/2; /3/2; -1. 2. 4. 3. ^^7. 4.18. 1. 1/2. 2. 1/2. 3. /2/2.
4. /3/2. 5. 1. 6. /3/з/7. 1/2. 8. /3/2Д 9. /2/4. 10. 1/2. 11. 1.
12. 1. 13. 1. 14. 1/8. 15. /3/8. 16. —4.19. 1. - /2/10.
12 4 51/3
2.	—1/3. 3. —1/9. 4. 3/5; — 4/5; —3/4. 5. —r. 6. —33/65.
1/2	1/2
7,	^-1/4. 8. 1/2. 9. 1 ——y; 14“y- WO. 1. sina. 2. cos2a.
1
3.	tg(P —a). 4. cos a —sina. 5. — -y sin 4a. 6. 1. 4.24. л/6; л;
—л/3; л/2; л/4; 5л/6. 4.25.1. л/2. 2.л. 3. — л/2. 4. л/2. 5. л/2. 4.28.
1. х = л/2 4 2лй, х = (— l)fe+1 arcsin -у4^, к = 0, 4 42,...
2 — 1/5
2. х =4 «/3 4 2л7«, к = 0, 41> 4:2>”* х —zt arccos —
й = 0, 41, 42,-’*	«=л/44Й2, х —-4_л/64як, й==0, 4^»dz2,90.
5. х « arctg 2 4	х = arctg (— 44У к = 0, 4 h i 2>..»
3
6. я = — arctg-у 4	4 ±2>—	жг=л/44я7г»
478
х == arctg "2* + nA:, к = 0, *fci, i2,... 8. x =-^ 4- nfc, x =— arctg -j-4*
л
H-nft, ft — 0, dz 1» i2,... 9. х—^+яку к = 0, 4:1, ±2»--
10. x^n!2 + 2nk, ft = O, ±1, ±2,... 11. z = n/124-nft, я = 5л/12 +
к /2 —V10
4-nky ft = О, ±1, +2,... 12. х =— л/4 + (—1) arcsin---------------+nfc,
ft == 0, ±1, ±2,... 13. гс = л/2-J-2nfc, л + 2л&, к = 0, ± 1? dr2»..»
1с 142 — 2
14.	х = л/4 + (—1) arcsin------%----+ Jtfc, к = 0, ±1, ±2,... 15. гс ==
4=,л/4 +л/«/2, ft —О, ±1, ±2,... 16. х'== л/8 + л/с/4, ft = O, ±1,±2,..в
4.29. 1. я = л (2ft 4~ 1), я = — л/2 4~2л/с, к = 0, ± 1, ±2.... 2. х =
=?5л/12 + 2л&, ж = 11л/12 + 2л^ fc = O, ±1, ±2,... 3. ®=(—l)fcn/6—
J^rcsin4/5 + як, к — 0, ± 1» ±2,... 4.30, 1. х = л/с/4, х = л/22 +
лЛ/И, к = 0, ±1, dz2,... 2. я = 5л/24 + л/с, х = — л/48 4* л/с/2,
ft = О, 4* 1. 4~2,... 3. х = л/с, к = 0, ±1» +2,... 4. х = л/264~2л/с/13>
х = л/14 + 2л/с/7, к = 0., dz 1» zb 2,... 5. а: = л/2 4-л/с, я = л/5 +
4-2лЛ/5, ft = 0, d: 1> ±2,... 6. а; = л/8 4~ л/с/4, я = dz л/3 4“ л&?
ft = 0,	1?	4* 2,... 7. х =ь л/6 + л/с/З, а: == л/20-j-ftft/10, ft — 0, dz'l>
dz2,...	8. х = л/с/5, х = л/22 4~ л/с/11, к = 0, dr 1» zb2?.-
9.	я == л/14 + л/с/7, я = dz л/6 + nft/2, ft = 0, dz 1» dz2»...
(— l)fc	1	ft — 0 4-1
10.	я = л/с, x = a ' arcsin -тг- + -у- , K - u* =t b —
Z	о 1 z
11.	x = dzn/l^ + я/с, x = ± л/6 + л/с, x = dz 5л/18 + л ft, z =
==dz 7л/18 + л/с, к = 0, dz 1» ±2,... 12. гс = —л/4 + лй, х = 2л/с
х = — л/2 + 2л/с, к = 0, dz 1» zb2»-*‘	13.	х==л/2-]-яЛ*
х » — л/Ю -|- 2 л/с/5, х = л/14 + 2 л/с/7, ft = 0, dz 1»+2,... 14. х =
л , 1	. 12 , ,	1	. 12 7 л/с т л
= “2" -|- aresm + л/с, х = — arcsin qy 4- -g—, ft = О,
1	44	1	4 л
±1, ±2,... 15. х = — arctg 4- л/с, x = — arctg — 4- -g- 4-
x — — 2 4~143, x =
4“ —. ft = 0, dz 1» zb 2>-.« 16. x = як, x = dz л/64“ 2лй, ft = 0, 4* 1,
dz2,.». 17. x — л/с, ft = 0, dz 1> zb2,-.* 4.31. 1. Решений нет. 2. Ре-
шений нет. 3. а? = л/2 4-2лЛ, ft = 0, dz 1» dz 2>««. 4. ж = л/2 4-л/с,
ft = 0» 44? 4*2,... 5. х == Л/44*2л/с, к = O,dzl> Чт2,... 6. х=—л/24*
5 4- /21
4-2л/с, к 5=s 0, dz 1» dz2»««« 7. Решений нет. 4.32* 1. х =-g->
И±1<21 „	„ . ,
—Jo------. 2. X =— л/4 4- (—1) arcsin—£-4-
4-nft, я == л/44*(—l)ft+1 arcsin—4-nft, ft = O, dzl» dz^»..* 3. ж==
n , T	2Z4-ld:/4Za4-4Z —15 . ,	, л
— zb arctg 2 4- л/с, x = arctg--------------------+ lift? ft = 0,
4-1, ±2,..., I = 3, dz^, d:5»... 4.33. 1. x = л/44-Jtft + п1/29 у =
= л/44" ^ft — л//2, ft = o, dz 1» dz2?..«? l= 0, 4" 1, dz2,... 2. « =
= л/4 4- л/с/2 4- л^/2, у ~ л/44* nZ/2 — Зл/с/2, к = 0, dz 1> dz
Z == 0, 4-1, zb 2»... 3. х = л/2 4- як, у = л/2 + 2л7; х = як, у = 2л7,
к = 0, dz 1» zb 2,...,	0, dz 1» dz 2>* •• 4. x = як/2, у == л/2 4* 2л/;
179
х = як/2, у = л + 2п1, й = 0, ±1, ±2, .... J = 0,+1, ±2,...
4.34.	1.	5л/6 + 2як < х < 13л/6 + 2як, к = 0, ± 1, ±2,..,
2. 2як < х < л/6 + 2як, 5л/6 + 2як < х < л + 2як,' 7л/64-2л/с<
х_<^ 11л/6 4-2лА:, к — О, 4*1. ±2>—	3.	— arctg ~~—У"—4"
/17 - 3
+ як < х < arctg-£----+ як, л/4 + як < х < л/2 + як, к = О,
4;1, ±2,... 4. 2лй < х < л/4 + 2як, л/2 -f- 2як < х < 5 л/4 4-
к = О, ± 1, ±2,... 5. л/6 + 2як < х < л/4 4- 2nfc, л/2 4- 2як < х <
^5л/6 + 2лй, 5л/4 + 2як < х Зл/2 4- 2як, к = О, 4z 1, ^2,...
6. — л/4 + л/г х — л/6 + як, — л/12 х л/12 + як, л/64-
4- як < х л/4 + як, 5л/12 4- як < х < 7л/12 4- як, к = О, ±1,...
г-	г-	1 — /5
4.35. 1. - 1<р<3. 2. -/2<р</2.3. -6<р<4.4.	<
14-/5
--------2---•	— 9/8 "С У С 2- 6.	—1/4. 4.36. Периодичны
функции из п. 2, 4, 5. 4.37. 1. 2лй/3. 2. лй/4. 3. лй. 4. 2л,к. 5. лй
(й=О, ±1, ±2,...).
Глава 5
4.
•5.1. 1. / =— 2.
1
р'= — 25/х6 *. 5. у' = —
о т/ X6
2. у' = 2^ 2х. 3. / = 3(ж + 2)2.
П ,	11	4/—	1
• 6- у ^ — хух3 * *. 1. y' = -j-x
X (8ж х2 + 7ж х + 5 у/~х? + 4	х).
1
8.	у' = —sin х------5—,
*	cos2 х *
9.
+
х cos х — sin х
У =
х (sin 2ж — х)
У sin2 ж ’	* у	ж2
1 л , •	. sin ж
у==- • 12. у = cos ж-arctg ж + —. 13. / =
11.
У'= 1 +
2
1 — sin 2ж’
5.2. 1. у' = 2 cos 2ж. 2. / = 50 (ж + I)49. 3. / = ~
2 Г 1 — Зж
3ж-(3ж — 1)	Ззтж	4
4. / = —4/	-5. у' =	4 г- ” . 6. у =-----—	.
2/ 2х3 — х2	cos х	3 cos2 2ж/1727
6 cos (cos2 (tg3 ж)) «cos (tg3 ж)-sin (tg3 ж)-sin2 ж
7- У' = -	’ 8 *‘ y'^
sin (cos ж)-sin (sin ж)-cos ж — cos (cos ж) cos (sin ж)-sin ж
= ~	cos2 (sin ж)	’ 5,3‘ L
5/4. 2. ЗЯ^~ -. 3. 0; 0; ' 27. 4. -14400. 5. 2. 5.4. 1. 8,12.
2. 99840000. 3. 1,01. 4. 1,988. 5.	0,515.. 6. 0,93.	7.	0,79.. 8. 0,996.
5.5. 1. л/4; 0; Зл/4. 2. г/= 7z — 4.	3. у = 3x + 2.	4.	(2; 4);	(—3/2;
9/4); (—1; 1); (1/4; 1/16). 5. р = 3; д=— 2. 6. а	=	0; b =	1; с=2.
5.6. 3. р = 3; q = 2. 4. у == 2ж — 1;	у— 6ж — 9. 5.8.	1.	(— оо;	+°°) —
промежуток возрастания. 2. (—оо; —1], [1; + оо) — промежутки
убывания, [—1; 1] — промежуток возрастания. 3. [—3/2; —7/18]——
промежуток убывания, (— оо; — 3/2],	- 7 18; + оо) — промежутки
возрастания. 4. [—1; 0), (0; 1] —промежутки убывания, (—оо; —1],
180
[1; + °°) — промежутки возрастания. 5. (— оо; 0), (0; + до) — про-
межутки возрастания. 6. (—1; 0) — промежуток убывания, (—оо;
— 1), (0; + °°) ~ промежутки возрастания. 7. (— оо; + оо) — про-
межуток возрастания. 8. [2л/с; л/4 + 2л/с], [л/2-]-2л/с; л-|-2л/с],
[5л/4 + 2л/г, Зл/2 + 2л/с] (к — целое чцсло) — промежутки убыва-
ния, [л/4 + 2л/с; л/2 + 2л/с], [л + 2л/с; 5л/4 + 2л&], [Зл/2 + 2л&;
2л + 2л/с] (к •— целое число) — промежутки возрастания. 9. [л/4 +
+ л/с; л/2 + як),- (л/2 + л/с; Зл/4 + л/с] (к — целое число) — прома-
жут к т убывания, [— л/4 + л/с; л/4 + л/с] (к — целое число) — про-'
межутки возрастания. 5.10. 1. —15. 2. 1. 3. 325. 4. 34. 5. — 158.
6. 1. 7. 55/13. 8. 3; /3. 9.	; 0. 10. -Д- + -К^; -1-4“.
Ю	1^	&	А
4	4
“Т7Г- 12- 16U-9. 13. 20; -2. 14. -112. 15.
5Л. ,.3 + 2^2.8.3.(^£1;Ц^).
9Ч,9 к 1KL 7 3(Я-Я) + /9№-2Ш? + Я* 2 2/3 „
"3/2!. О. 2	•	~	—	• о. g dH.
5.
4
3 /3	з г___	3 л____
—— а*. 11. 3/2лУ2. 12. у 45л И2. 14. Сектор
2 (УЗ -/2)	_ R
углом -------------л. 15.	у=-;	2л/?2.
9	2т
17. ~2^ а3. 18.	(с)-19-Зч. 44 мии. 5.14.1. один.
9. 2Ptg“. 10.
с центральным
46.
23-/17
---16 R-
2. один. 3. рва. 4. ни одного. 5. два. 6. два. 7. три. 8. 4 корпя,
621	л	621 л
если 0 < а <	корня, если а — 0 пли а =	; 2 корня,
621
если а<0 или < а < 1000; 1 корень, если а 1000; нет
корней, если а > 1000. 9. 3 корня, если —2<а<2; 2 корпя,
если а = — 2 или а = 2; 1 корень, если а< — 2 или а >2. 10.
4 4
4 корня, если а <— или а> ; 3 корня, если а »
/22	/22
4	4	4
—— или а=“7~г; 2 корня, если —-—<а<—1 или 1<а<
4/б	4/б	4/б
4
<*7~—*, 1 корень, если — 1 или а = 1; 0 корней, если —1<
<а<1. И. 3 корня, если а = 0; 2 корня, если ———<а<0
3/3	з j/з	з/з
или 0 < а < -—2~ ; 1 корень, если а = —	— или а == .2 -;
3/3	3 ]/'5
0 корней, если а<— —g— или	—• 5.16. а~ — 1, а ~ 3.
3
5.17. а<-13/4. 5.18. 1—-т—<а<0.
/2
181
Глава 6
6.1. 1. 30. 2. —6. 3. 4. 4. -^gQ. 5. 2/2. 6. 3/8.
113 + 2/2	„ л + 2 л + 2	— ла
7. И5/32. 8. ------ 5	•. 9. —. 10.	. 11. —%—.
4—л	г-	4/2	151845
12. —. 13. 5/2. 14. 2/2. 6.2. 1. 1/3. 2. —. 3. —— .
2	л
4. —~21~ • 5. 2/3. 6. л/4. 7. [л/8. 8.	+ arctg 3. 9. л/4. 10. л/6.
15/5 — 8/4—1	4/2 — 2
И. — ----------------12. 4. 6.4. 1. —J-g------. 2. л/32. 3. л/6.
л* 3 * * * л 2	4	1
4. 1/2. 5. gg-. 6. — — -3-- 6.7. 1. 0; 0; — яа_|_4- 2.1+sin21;
1 — л sin21	4 Ч- л sin2 1 з -----------------
1+sinM" ; 4(1 + cos21) • 3* 2х	+ *)*'41 <-°°; °1 “ n₽°-
межуток убывания; [0; оо) — промежуток возрастания. 5. х =
= —-~ + 2л/с, fc = 0,±l,±2,... 6.8. 1. 6. 2. л/2. 3. 2. 4. 4/3. 5. 1.
7 —4]<2
6. 32/3. 7. 1/3. 8. 2 4-лЗ/6. 9. --—. 10. 7/3. 12. 16/3. 6.9. 1.
1 1 _______________________________________
125/48. 2.1. 3. у. 6.10.1. л/4. 2. у=— (arcsin х + х /1 — ж2) + С.
3.
3.
4.
л — 2	г______	16
*~2—• 4. У = «arcsinх + у 1 — я2 + С, 6.11. 1.	2. л/2.
375	8	2
—2~л. 4. л2/2. 5. 2л2Лг2. 6.12. 1. 1. 2. -g-л. 3. -ул/w2.
16	2	2	8	V 2 — 4
го-/?3. 5. -о-/?3; л/?2Л —-Q-2?3. 6.-о-А/?2. 6.13. 1.	.
£3	о	3	3	2
1
2. —yr pgP, р — плотность воды, g — ускорение свободного падения.
утМ	л/?/д
3. "с (с + if ’ ГДв гРавитационная постоянная. 4. —-— •
Мео2/2 7	1	1
5. —£—. 6.	Л/со2/?2. 7. -^^pg/?2#2, где р — плотность воды,
g— ускорение „свободного падения. 8. 6,53 ЛО2* Дж.
Глава 7
7. 9/5. 8. —1. 9. 2/3.
2(2а —1)
ъ 3(2 —а) *
log г 5. 3. log J
Т	Т
2.
7.1. 1. 3/2. 2. 6. 3. —3/2. 4. — 12. 5. 5. 6. 49<
л ~ ~ 10. 36. И. 3/2. 12. 6. 13. 2. 14. 0. 15. -L
-----	i
7.3. 1. log2 •
2
4. log5 2. 5. log г 3. 6. -у-.
2.
3.
4аЬ + 2а + b + 1
2а (3 — 2Ъ)
7. log? 50.
8. logi87. 9. log65 + log56. 10. logi01100. 11. 1. 12. log45 + log56-|-
+ log6 7 + log?8. 7.4. 1. x«l. 2. z = 31og63. 3. x = 2. 4. x= l.
3
5. aj = log?3 — 1, rr=l. 6. ж = 0,	7.5. 1. #==:1.
8
182
2. x = loga3— 1. 3. x = l. 4. x = l. 5. x = 4— logg5, х = 4.
6. x = — 1, x = 0. 7. x = — 2, x = 2. 8. x = 1. 9. x =
2 (1g о — 1g 2)
10. x = —1, x = 0. 11. x = log25, x = 0. 12. x =—1, x = 0.
IF
7.6* 1. x = 8. 2. x = 2/3. 3. x = 7/2. 4. x = У*3. 5. x = 4. 6. x — 256.
7. x = 2. 8. x = 4. 9. x = 50. 10. x = 13. 11. x = 2. 12. x —— log2 5.
7.7* 1. x = 1/10, x = 1000. 2. x = 1/4. 3. x = l/]<3, x = /3. 4. x=0.
5. x = l/l<3, x = 3. 6. х = 1/10, х=\. 7.8. 1.х = 4. 2. х = 1,
х = 30. 3. х = 1/9, х=1, х = 3. 4. х — 1/4, х — 3. 7.9. 1. х = 1.
2. х = 1. 3. х=1. 4. х = 3. 5. х = 2. 6. х — 3. 7. х = 2. 8. х = 9*
9. х = 3. 7.10. 1. х>—1. 2. х <5. 3. x>log7590. 4. — 1<х<1.
5. х > 3. 6. — 1 < х < 1/2. 7. х > 3. 8. — 1 < х < — 1/2, 1 < х < 2*
3-/5	3 4-V5
9. х < — 3/2, х>3. 10. 0<х<-----------g----> 2<х<---------.
11. 0 < х < 1, х>2. 7.11. 1. х = 1, у = 3. 2. х=1, у — — 4;
4	9. 1R /•	7-3V5	7 + 3/5
X = 1, у = 2; X = 16, у = — 4; X =----2----* У.= 1’ х ----2----’
г/ = 1. 3. х = 1/2, у = 5; х = 4, у = 3/2. 4. х = 6, у — — 3; х = 36,
у = — 2. 5. х =1/2, j/ = l/8; х = 8, у = 2- 7.13. 1. у = Зе3*.
1 — х In 2
2.i/ =-----—----3. у = х (2 In х + 1/	4. у — 2 (х — 1) ех ~2,с.
5. у= 1^2	(1 + 1п 2. у = xsm * ^cos х In х +
sin x \	z_ 1 — In x	In 2
+ X /' 3‘ S<-(lna:)	• 4- y = —	5-	=
ctg x In cos x 4- tg x In sin x „ лп л л
=----------InQosa;-----------• 7.16. 1. 2 корпя, если a>e; 1 ко-
рень, если д<0 или а = е; 0 корней, если 0<а<е. 2. 2 корня,
1 1
если 1 < а < е е ; 1 корень, если 0 < а < 1 или а = е е ; нет кор-
1
пей, если а>ее . 3. 2 корня, если а<0; 1 корень, если а = 0;
1
0 корней, если а>0. 4. 3 корня, если 0<а<——; 2корня, если
е
i	1
1 < а < е е ; 1 корень, если — < а < 1 или а = е е ; 0 корней,
1
если а>ее . 7.20. 1. / (а:) = 1/3 (ж3 —5). 2. / (х) = — е~х — 1.
3. f (х) = in х + е — 1. 4. / (х) = In (— х) Ц- 1. 5. / (х) = In | х | — 1.
1 х —11	1
6. / (х) = — In х -j- 1 — — In3, если х <—1; / (х) =“2~ X
X In дТрТ + если 1 <*<*’ f (ж)	х"+~Т +1	3»
если х>1. 7.21. 1. /(х) = 2е2<*“1>. 2. /(х) = <зх“2. 3./(х) = 0.
7.22. 1. 6,5-105-лет. 2. logж 10 с. 3. / (х) = 3.22“* 4. Нет.
!?•
183
Глава 8
8.8. 3. я = &/3, я = 1/2 + &, й; = 0, ±1, ±2,..'.
4. ж =/с/4, х — 1/6 + к, я = 5/6 + &> & = 0, i 1, i2,... 5. х = й,
х = 1/4 + /С/2, к =0, ±1, +2,... 8.11. 1. 1/26; 1/41. 2. 500; 1400.
3. —1/25; 1/40. 4. 5; 6. 5. — 1; 1. 8.12. 1. 10; 29; 74; 173. 2. 10.
3. 4; 8; 8; 2™>. 4. 1; —1. 8.13. 1. 1651500. 2. 164700. 3., 165.
4. а = 2п, t>= 4га —3, с = Зга, d = 6га -1- 1,	= 12га—1.
п 7 п	п ’ п 1	7 п
!• %=1/га. 2. «П = 1/Л2’1 — 1. 3. ап = ——
8.14.
8.15.
8.16.
7. ап = 2П-1 +	1+2( 1)П - 1 (га > 2).
5. ап = (п-1)2п~\
2n+(—Dn+1	1
8. ап = 2	2	• 9- ап= л , оп^Г- 8-18- h П-ш + 1.
1 “Г
2. 2п+1 + Зп-7. 3. IS-gjg’. 4. 2n+1 —2m+4-(« + "»)(™-”*+1)-
га (га 4-1) (4га — 1) А n(n 4-1) (га+ 2) (га 4-3) о ,п
Г.	. О.	,	•	о. IV.	1
+	2.	3. М- + 1)<» + 2) . 8Л
п n (га — 1) (Зтг-J-2) о га (га3)	f п (2п + 3)
7+Т- 2- 4га (га + 1) - * 3- 4 (п + 1) (п + 2) * 4* (п + 1)(2га+1)’
га! — 1	nqn+1 — (га 4- 1) qn 4-1
5. —• 6. (га + 1)!- 1. 8.21. 1. —-------------> если
п(п-[Л) л о ra2gn+2~(2ra2+2ra~l)gn+1+(ra+l)V--g-l
q =/= 1; —2—> еслиg=l. 2.-----------------Й“И7-------------------в
га (га + 1) (2га 4-1)
если g^l; ---------g-------если q = 1.
3 Получаем (п24-Зл4-1)2п+а-(”-Н) (n4~2)2n+1 3 (л + 1) _
4 (п 4- 1)
пх /	га-|-1 л — 1 \
sin-у- (rasm—2~ x-sin—— *)	j rt . t
4. --------1--------------8.22. 2. -------------------. 3. -У
. x	n	2n
зш —
«4-1	2 (re3 -|- re 4-1)	32n+1 — 1
4- 3 (re - 1) • 5‘ Зге (re 4- 1)	' 6-	8	' *
Глава 9
9.1. Справедливы утверждения п.п. 2, 3, 5, 6. 9.2.
1. {2; 3; 4}. 2. Множество всех квадратов. 3. (6га |га е /V}. 4. {24га I га е
e/V}. 5. {24га — 13|rae=2V}. 6. {—1}. 9.3. 1. {—1; 0; 1; 2; 3; 41.
2. {Зга + 4 | га е 7V}. 3. Множество всех чисел, не делящихся на 18.
9.4. 1. {3}. 2. Множество всех правильных га-угольпмков, га ^>4.
3. {12га + 61 га е N}. 4. (1; 4-сю). 9.9. Существуют в п.п. 2, 4, 5, 8.
184
9.11. 1. [0; 1]. 2. [0; 4]. 3. {- 2; 2}. 4. [-1; 1]. 5. [- 3; - 1] Ц
(J [1; 3]. 6. [- 1; + оо). 7. {0}. 8. [-1; 2]. 9. (0; + оо). 10. [0; 2].
11. {- 1; 2; 5}. 12. [6; 1] U {3; 4}. 13. (- 1/2; 3/2) (J (5/2; 3] (J
UIW). 14. [—1; 3] U [4; 5]. 15. (-оо; 0) U (1; 3) U (4; + оо).
9.15. 1. g (х) = -Х 2- S («) =	3* g'	4* g
= — Ух. 5.,g (х) = ~У — х. 6. g (х) — х, если х е [б; 1); g (ж) =
= 3 — х, если л?(=[1;2]. 7. g (х) = л — arcsin х. 8. g \х} =
==1п—, х ^2. 9. g (х) — 2х + 1, a:^log23. 9.16. 1.
(g°/)(£) = 2ж2 + 2х — 1. 2. (go/) (х) — 4я2 — 2х. 3. (go/) (х) = ж, если
ж2
я«<е; fe°/)(a;) — “7”’ если х^е- Не существует. 9.19. 1. / (х) =
/ х \2 л /	1 о	9ж3 + 6я2 — х -|- 2
= \i—x)‘ 2- х^ + х+Г 3- Иа:)=	18а:2- 2	•
9.24. 1. Да. 2. Да. 3. Нет. 4. Нет. 9.28. 1. 1. 2. 1. 3. —3. 4. 0.
3/-Q
5. 5/2. 6. 1/2. 7. 1/3. 8. 1/25. 9. 1. 10.	. 11. 0. 12. 1/2. 13. 0.
1
14. ]/3. 9.29.1. 0. 2. л. 3. 0. 4. 1/2. 9.30. 1. 1. 2.— —. 3. 5/6.
1 t b X
4. 0,085. 6. а = —у а + ~т---------9.31. 1. 1/2. 2. 0. 3. 1. 4. 1/3.
10	10 — 1 J
9.34. 2. 2. 3. -----у-5—. 4- °- 5- У«- 6-	7- — 2<*i< — 1.
8. — 1/2 < хг < 1/2. 9.36. Существует в п.п. 1, 3, 4, 6, 7, 10» И, 14.
9.37. 1. 7. 2. 5/19. 3. —1/3. 4, 1. 5. 3/2. 6. 1/2. 7. 3/4. 8. 1/3.
1
9. —	10- -З/! 9-39* к «е(~оо; +©о). 2. а=£0. 3. а Z.
.. ae£Z. 5. a 0, 1/а Z. 6. а =£ 0. 7. а (= (— оо; + оо). 8. a=^zti.
4. д =/= л/2 + лй, к = 0, ± 1, ±2,... 10. а е Q. 11. а = 0. 12. a^Q.
93. а не представимо в вйде конечной десятичной дроби. 9.40. 1.
* 2. 5/3. 3. 1. 4. 1/2. 5. —1/4. 6. 1/2. 7. -7/2. 8. -1/2. 9. 0. 10.
9.41. 2. а = —2; 6^1. 3. а = —1; 6 = 1.
1
Глава 10
10.1. 2. Поровну. 3. Поровну. 4. Не содержащих
множество А. 5. Содержащих точку Л. 10.3. 1. 9. 2.	— 6*2 + ^з.
п
3.	- Л’а + -sw.. 4. 2 (- i)k+1 Sk. 5. 4114. 10.5. 8. 1 < к < 15,
(c=l
19<fc<30, /ся=48. 10.7. 1. Единиц. 3. Нет. 10.9. 1. 20-10 = 200.
2.5-7 = 35.3. 7-7 = 49. 4. 6-7 = 42. 5. 7-9-4 = 252. 6; ЗЗМО*.
7.88». 8. 8-11-15-10= 14080. 10. 9-102 = 900. 11. 9-10* = 90000.
12. 9-9-8-7 = 4536. 13. 95 = 59049. 14. 5-6’= 1080. 15. 5-4-7-7-6-5=
З”1 4-1
= 29400. 16. 6.5.4-3 = 360. 17.' 6-6-5 = 180. 10.10. 1. -.
2. 2П. 10.11. 1. 301.2.81=40320. 3. 81=40320.4. 9-8!=91. 5. 3-4-81.6.
3.4.81,7. 2-6-81.8. (51)s-31. 9. (15!)2.10. (151Р-2Ч 11. 101/2.12.101/3.
185
13.3.101/4, 10.12. 1. 9-104 — 55 = 86875. 2. 101-6-5.4.71 = 3024000.
3. 9-10* —9-9-8.7-6 = 62784. 10.13. 1. 9s + 9*4-9s + 9a4-9 = 66429.
2.(10* — 10-2.9 —10) + (10s —10) + 102 +10 = 10910.3. 1.9-8-7.6 +
+4.8.8.7.6 = 13776. 4.3 (8*+8.1.8.9+l-9.82 + 8.1.9.8 + l-l-9^ =
= 17715. 5. 4.6.81 + 2.5.81 = 1370880. 6. 2-1.8!+8-2.7-71 = 645120.
7. 2-2.1.71+8.1.2.71 = 100800. 10.14. 1. n + 1. 2. (n + 1)2. 3. 670.
a.	5. 55252. t0.15. И „ «L.
Ci	14<	' Ci
12!	5!	n! 2n
в) -g~= 10395.	2.	— =30.	3.	-^-«(n-l)!^"-1.
. 100!	c	5!	71	61
4- 83.10*.182.3!-41.21‘	5'	2	— 60, 6* 31	~ 840‘. 7’ 21-21	= 18°'
8> 'ЗЬ2Г = 420, 9' ‘31312Г = 55440‘ 1L fcl (n-Л)! - 12, fcjfcj!...Л8Г
10.16. 1. 21; 1; 40; 1; 70; 105. 2. n = 8; n = 6; в = 2; n = 28.
3. C®0 = 120. 4. C* = 126. 5. C« = 84. 6. C3 = 21. 7. C2.C2 = 100.
8. 210 - C®0 - C®0 - = 968. 10.17. 1. C22 = 66. 2. Cf2 = 220.
3. C*2 = 495. 4. С« + С» = 20. 5. C*2 —C* = 460. 10.18. 1. 8C^ +
+ 11C2 = 748. 2. C2.^ = 1540. 3.	= 55. 4. Cf-C^ + Cf-C^ =
= 38808. 10.19. 1. 6 (C| + C| + 5) = 150. 2. 10-2.C|+10.2-C* +
+ C?0-2.C| + C20.4-Cl + Ca0.2.C* + Ca0.l.C*= 26250. 10.20. 4. C*4+
+ 5-C44 + C|-C44 = 3731. 5. C*4=1001. 6. 0^ = 3003. 10.21. 2.
81.14833’. 10.22. 1. 2n. 2. 2”-1. 3. 2я*1. 10.23. 3. (—1)OT 0™r
4. (-irc^-Hiy-^. 5. C+r 6.	10.24.
1	5
2. 16a:* —32x3y + 24a:2j/2 —8x^3 + ^. 3. -gjj-a® +-§-a«6 + 5a362 +
+ 20a2i3 +f40ab* + 32&5. 4. а:4 + 2x3 + За:2 + 2а: + 1. 5. а:2 + a2 + 1 —
— 2ax + 2x — 2a. 6. a3 — b3 — c3 — 3a26 — 3a2c + 3a52 + 3ac2 — 362c —
— 3&c2 + 6abc. 7. a:4//4 + a:4 + 1 — 4afy3 + 4a:3!/3 — 4a:*j/ — 4a^ + ixy —
— 4a: — 12a:3y2 + 12г> — 12z2y + 6a*i/2 + 6a:2j/2+ 6a:2. 8. 2’C®0. 9. 16 X
XC® = 560. 10. 1792. 11. 2268. 12. —1016. 13. 76.
Глава 11
11.1.1.8 + 1. 2. —2 + 31. 3. 6 — 31. 4. —1 — 1.
5, —13—191. 6. 3 — 41. 7. —11 — 21. 8. 1. 9, —1. 10. —1024. 11.2.
1 4- i	— 1 4- 5i
1. —F-. 2. 1—2t 3. ---------. 4. 3 — 2i. 5. — i. 6. — 32u 11.3.
/2	/2
1. X = 1; у = 2. 2. X = 3; у = — 2. 11.7. 1. 21; — 21. 2.	+ -’у 1;
1/2	V2
—	— -4-1. 3. 2 + 1; —2 — 1. 11.9. 1. |z| = 2, argz = 0.
Ct	Ci
2. | z | = 3, arg z = л. 3. | s | = 1, arg z = — n/2. 4. | z | — 1^2, arg z =
= зт/4. 5. |z|s=2, argz = —я/6. 6. |z | = 2, argz== — n/3. 7. |г|==
__	___ з
== }^2, arg z «в л/2. 8. | z | = ]413, arg z = —> arcsin	И.13. 4.1.
186
1
5. cos (a—Р) + sill (a — Р). 6. cos2na 4-isin2na. 7. —----— X
2n cosn-H-
na
/2	/2
Л- + г Л-. 9. 64—64i. 10. 512(1+/3i) -
Zu
11.14. 1. 2; - 1 + /3i; — 1 —/31. 2. - ^ +	(1 -
у Z у 2 Z у Z
/2	/2 .	/2	/2 .	/2	/2 ,t	/2	/2
3- 2	+ 2 г;—	2	“ 2 i; 2	— 21’-	2	+ 2	*•
4. l+г; —1 — i; 1 — i; — 1+1. 11.16. 1. ft)3, Ci)3, 1. 2. 0. 11.17. 1.
4 cos3 a — 3cosa; 3sina — 4 sin3 a. 2. cos5 a—10cos3asin2a-f-
4-5 cos a sin4 a; sin5a — 10sin3acos2a + 5cos4asina. 3. —250. 4. 219.
11.19. 1. (x 4-i) {x — i). 2. (x — 1 — 2i) (x — 1 4- 2i). 3. (x 4- 1) x
(	— l + /3iW l+/3«\ , ,	, l + /7i\
x ^4----7Г----Д1-—§— /•4> <ж —	+ —2—/x
( , !-/7i\ _	(	/2	/2 W /2	/2 \
X ^*+	2 J' 5' v — 2	2 1)	2 + 2 4 x
(	/2	/2 \( , /2	/2 \ „ ( ,1	/3 \
X I x -- 1 ---•’ ~	- 1	” -- ----- -
X
2 f 2
1	/3 .	1
X 2	2 i x 2
n—1
7. J} fx-cos-^-isin-^V 11.20. 4. 3. 5. a = 3, 6 = -4.
-T 2
1
X
2
11.22.1. (a? + 3) (я2- 3^4-3) (я24-3*4-3). 2.
b+
1-/2
z+l-2x
X
n—1
)n—1
. 3. (х-1)(х+1)П (x2 — 2 cos
4. (x + l) ГТ Ле3 - 2 cos -It2- +ж +1 к 11.23. 6\=-2; 5a=-l;
ft=ok	2n+1	'
S3 = 5; S4 = 6; S5 = —1/5; Se = —14.
X-
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
1.	Плюс или'минус? По окружности выпи-
сано 50 чисел, каждое из которых равно «1» или «—1».
Требуется узнать произведение всех этих чисел. За
один вопрос можно узнать произведение трех стоящих
подряд чисел. Какое Наименьшее число вопросов необ-
ходимо задать?
2.	Пять позначных чисел. Из цифр 1 и 2 состави-
ли пять n-значных чисел так, что у каждых двух
чисел совпали цифры ровно в т разрядах, но ни в одном
разряде не совпали все пять чисел. Докажите, что
2	т	3
5	п	5 *
3.	Знакомые и незнакомце. В некоторой компании
каждые двое незнакомых имеют ровно двух общих
знакомых, а каждые двое знакомых не имеют больше об-
щих знакомых. Докажите, что в этой компании у всех
одно и то же число знакомых.	В
4.	Таблица с целыми числами. В каждой клетке
таблицы п X п записано целое неотрицательное число.
Известно, что если в некоторой клетке таблицы за-
писано число 0, то сумма всех чисел, которые стоят с
ним в одном столбце или в одной строке, не меньше п.
Докажите, что сумма всех чисел таблицы не меньше -у.
5.	Задача о гирях. На столе стоят чашечные весы
и п гирь различных масс. Гири по очереди ставятся
на чашки весов (на каждом шаге со стола берется какая-
нибудь гиря и добавляется на ту или иную чашку весов).
Каждой последовательности взвешиваний сопоставляет-
ся последовательность из букв Л и П по следующему
правилу: k-ii член последовательности — буква Л, если
при А-м взвешивании перевесила левая чашкаг и бук-
188
ва П, если при к-м. взвешивании перевесила правая чаш-
ка» Докажите, что для любой последовательности длины
п из букв Л и П можно в таком порядке ставить гири на
чашки весов, чтобы эта последовательность букв соответ-
ствовала последовательности результатов взвешиваний.
6.	Числовой треугольник. Последовательность строк
составляется следующим образом: в первой строке
стоят два числа 1, 1; во второй строке стоят три
числа 1, 2, 1; в третьей строке стоит пять чисел 1, 3, 2,
3, 1, и вообще, тг-ая строка строится по (п — 1)-й строке
так: выписывается (п — 1)-я строка и между каждыми
двумя рядом стоящими числами вписывается их сумма.
Докажите, что для каждого натурального к 1 суще-
ствует такая строка в описанной последовательности
строк, что] количество чисел, равных А, в этой строке и
во всех последующих строках одно и то же. Найдите
количество чисел, равных А, в такой строке, если к —
простое число.
7а Какой маршрут дешевле? В- некоторой стране
из каждого города в любой другой можно проехать,
минуя остальные города. Известна стоимость каждого та-
кого проезда. Составлены два маршрута поездки по го-
родам страны. В каждый из этих маршрутов каждый город
входит ровно по одному разу. При составлении первого
маршрута руководствовались следующим принципом:
начальный пункт маршрута выбирается произвольно,
а на каждом следующем шаге среди городов, через кото-
рые маршрут еще не проходил, выбирается тот, поездка
в который имеет наименьшую стоимость (если таких
городов несколько, то выбирается любой из них); и так
до тех пор, пока не будут пройдены все города. При со-
ставлении второго маршрута начальный город тоже вы-
бирается произвольно, а на каждом .следующем шаге
среди городов, через которые маршрут еще не проходил,
выбирается тот, поездка в который имеет наибольшую
стоимость. Докажите, что общая стоимость проезда по
первому маршруту не больше общей стоимости проезда
по второму маршруту.
Решения дополнительных задач
1.	Занумеруем числа последовательно: aj, д2, язк •
аБ0. Если задано 49 вопросов, то останется одно произведение трех
последовательных чисел, значение которого не выяснялось. Пусть
это будет произведение Изменив знаки у всех чисел, номера
которых не делятся па 3, кроме числа мы не изменим ответы
189
ва заданные 49 вопросов, но изменим произведение всех чисел,
так что 49 вопросов недостаточно. Выяснив значения 50 произве-
дений а±а2а3, а2аза4> • • • > <W*49a60» «4&а&оа, авоа1а2 и перемножив йти
значения, мы найдем искомое произведение.
2.	Найдем двумя способами число пар одинаковых цифр, ока-
завшихся в одном разряде. Так как каждые два числа совпадают
в т разрядах, то число таких пар равно Юпг. С другой стороны,
в каждом разряде число таких пар равно 4 или 6. Следовательно,
2 т 3
4п < Ютп < 6п, откуда у < — < у.
3.	Пусть А и В знакомы. Обозначим через множество
знакомых А, а через Мв— множество знакомых В. Очевидно,
МА П Мв = ф. Докажем, что каждый человек из МА имеет
ровно одного знакомого в Мв. Пусть X е МА. Если|Х есть В9
то он имеет в Мв только одного знакомого — самого А. Если X
не есть В, то X не знаком с В (так как МА р) Мв = ф). Сле-
довательно, X и В должны иметь, кроме Л, еще ровно одного
общего знакомого, т. е. X имеет ровно одного знакомого в Мв,
Точно так же доказывается, что каждый человек из Мв имеет ров-
но одного знакомого в МА, Следовательно, в множествах МА и Мв
поровну элементов. Если А и В не знакомы, то у них есть общий
знакомый С, По доказанному, у А и В поровну знакомых с С.
4.	Если мы поменяем местами любые две строки или лю-
бые два столбца таблицы, то получившаяся при этом табли-
ца по-прежнему будет удовлетворять условию задачи. Выберем
одну из диагоналей таблицы и перестановкой строк и столбцов
добьемся того, чтобы на этой диагонали оказалось максимально
возможное число нулей. Пусть а^, а2, • • •» ап — числа, стоящие
в клетках этой диагонали. Обозначим через ф (1< i < п) сумму
всех чисел, которые расположены в одном «кресте», т. е. в одной
строке или в одном столбце с числом а$, и докажем, что Si п.
Это так, если Oi = 0. Пусть <ц =/= 0. Тогда, если в двух симметрич-
ных относительно выбранной диагонали таблицы клетках «креста»
расположены нули, то, поменяв местами строки, в которых распо-
ложены эти нули, мы увеличим количество нулей на выбранной
диагонали таблицы. Поэтому «крест» содержит не более, чем п —
— 1 нулей и, значит, п. Отсюда + S2 + • • • + £п и2.
Но б1! + S2 + • • • + Sn не превосходит удвоенной суммы всех
чисел таблицы, откуда и следует утверждение задачи.
5.	Пусть А — заданная последовательность букв Л и П. Вы-
пишем члены последовательности А в обратном порядке и
обозначим через А' полученную последовательность букв Л и П.
Мы докажем утверждение задачи, если сперва определенным об-
разом расположим все гири на чашках весов, а затем укажем, как
нужно снимать по одной гире с весов, чтобы левая и правая чашки
весов перевешивали, как указано в последовательности А'. Пока-
жем, как это сделать. Пусть т17 ти2, . . ., тп— массы ,гирь, при-
чем > т2 > . . . > mn. Для определенности предположим,
что первым членом последовательности А' является буква Л
(в противном случае нужно поменять местами левую и правую чаш-
ки весов). Положим на левую чашку весов гири масс mf, m3, m5. . . 9
а на правую чашку весов — гири масс т2, mG, . . .. Оче-
190
видно, что при таком расположении гирь перевесит левая чашка
весов (независимо от того, на какую из чашек попадет самая легкая
гиря). В дальнейшем, если нам нужно очередным снятием гири из-
менить положение чашек, то мы снимаем самую тяжелую из находя-
щихся на весах гирь, если же нужно сохранить положение чашек,
то снимаем самую легкую гирю.
6.	Все числа, которые впервые появились в строке с номером п,
не меньше, чем п, так что количество чисел, равных, к, во всех
строках, начиная с Л-й, одно и тоже. Если два натуральных числа
взаимно просты, то каждое из них взаимно просто с их суммой. Так
как при этом в первой строке числа взаимно просты, то и в каждой
следующей строке соседние числа взаимно просты.
Докажем, что какие бы взаимно простые числа а и Ъ ни взять,
в нашем треугольнике есть одно и только одно место, в котором чи-
сла а и Ъ стоят рядом, причем а левее Ь. Это очевидно, если а +
+ Ъ = 2. Предположим, что это утверждение верно, если а + Ъ
и докажем его при а + Ъ — т + 1. Пара (а; Ъ) может полу-
читься только из пары (а — Ь; 6), если а > Ь, и из пары (а; Ъ —
а), если а < Ъ. Так как по индукционному предположению па-
ра (а — 6; Ъ) или (а; Ъ — а)) встречается один и только один раз,
то и пара (а; Ъ) встречается один и только один раз.
Таким образом, количество чисел в Л-й строке, равных к,
равно числу пар (а; Ь) соседних взаимно простых чисел треуголь-
ника, сумма которых равна к, и, значит, равно ф (к) — количест-
ву натуральных чисел, меньших к и взаимно простых с к. Если
к — простое число, то ф (к) = к — 1. В общем случае формула
для вычисления ф (к) приведена в пункте 6 задачи 6.3.
7.	Пусть S — самая высокая из стоимостей проезда между
двумя городами. Предположим, что в первом маршруте есть один
или несколько участков, стоимость проезда по которым равна S.
Пустьпосдедовательныеторода Ло, А19 . . ., Ап первого маршрута
таковы, что проезд по участкам ЛоЛ^, ЛХЛ2, . . ., Ап_]Ап стоит
S, а проезд по участкам, предшествовавшему Ло и следующему
за Ап (если такие есть), стоит меньше S.
Таким образом, первый путешественник, покупая билеты в
городах Ло, Л1, Л2, . . Лп, п раз уплатит S, а один раз — мень-
ше, чем S. Из способа построения первого маршрута следует, что
стоимость проезда между любыми городами Л{, Л7*, где О <
< п, 0 у п, равна Поэтому второй путешественник, попадая
в города Ло, Л$, Л2, . . Лп, каждый раз, кроме последнего, будет
иметь возможность купить билет стоимостью S и, следовательно,
купит такой билет,.так что из п -f- 1 билетов, купленных им в этих
городах, по крайней мере п будут иметь стоимость S. Это рассужде-
ние показывает, что у второго путешественника окажется на всем
маршруте не меньше билетов стоимости S, чем у первого путе-
шественника. Пусть t — следующая после S по величине стоимость
проезда, которая встречается в стране. Установим на участках,
стоимость проезда по которым равнялась £, новую стоимость t.
Если и bi — старая и новая стоимости проезда по первому мар-
шруту, а а2 и &2 — старая и новая стоимости проезда по второму
маршруту, то — biа2 — Ь2. Продолжая рассуждать подоб-
ным образом, мы придем к ситуации, в которой все стоимости про-
езда между городами станут равными. Если при этом проезд по
первому маршруту будет стоить ь по, второму маршруту —
Ьн, то аА — ajf bi - Ьк и, так как, очевидно, а^ = Ък, то а/ <
Марк Иванович Башмаков,
Борис Михайлович Беккер,
Владимир Михайлович Голъховой
ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ.
АЛГЕБРА И АНАЛИЗ
Серия; Библиотечка «Квант»
Редактор И. М. Овчинникова
Техн, редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор Ел ВА Сидоркина
ИВ № 12 097
Сдано в набор 08.07.82. Подписано к печати 10.11.82, Формат 84xlO8V82.
Бумага тип. К» 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать»
Условн. печ. л. 10,8. Уч.-изд. л. 11,7. Тираж 150000 экз. Заказ № 1916
Цена 35 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука», 121099, Москва, ПТубинский пер., 10.
35 к.
БИБЛИОТЕЧКА «КВАНТ»
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ:
Вып. 1. М. П. Б р о н ш т е й н. Атомы и электроны.
Вып. 2. М. Ф а р а д е й. История свечи.
Вып. 3. О. О р е. Приглашение в теорию чисел.
Вып. 4. Опыты в домашней лаборатории.
Вып. 5. И. Ш. Слободецкий, Л. Г. Асламазов. За-
дачи по физике.
Вып. 6. Л. П. М о ч а л о в. Головоломки.
Вып. 7. П. С. А л е к с а н д р о в. Введение в теорию групп.
Вып. 8. Г. Ш т е й н г а у з. Математический калейдоскоп.
Вып. 9. Замечательные ученые.
Вып. 10. В. М. Г л у ш к о в, В. Я. Валах. Что такое ОГАС!
Вып. 11. Г. И. К о п ы л о в. Всего лишь кинематика.
Вып. 12. Я. А. Смородинский. Температура.
Вып. 13. А. Е. К а р п о в, Е. Я. Г и к. Шахматный калейдоскоп.
Вып. 14. С. Г. Г и н д и к и н. Рассказы о физиках и математиках.
Вып. 15. А. А. Б о р о в о й. Как регистрируют частицы.
Вып. 16. М. И. Каганов, В. М. Ц у к е р н и к. Природа маг-
нетизма.
Вып. 17. И. Ф. Ш а р ы г и н. Задачи по геометрии (плани-
метрия).
Вып. 18. Л. В. Тарасов, А. Н. Тарасова. Беседы о пре-
ломлении света.
Вып. 19. А. Л. Эфрос. Физика и геометрия беспорядка.
Вып. 20. Л. М. Блинов, С. А. Пикин. Жидкие кристаллы.
Вып. 21. В. Г. Б о л т я н с к и й, В. А. Ефремович. Нагляд-
ная топология.
Вып. 22. М. И. Б а ш м а к о в, Б. М. Б е к к е р, В. М. Г оль-
ховой. Задачи по математике (алгебра и анализ).