DYNAMICS OF RAILWAY
VEHICLE SYSTEMS
Vijay K. Garg
DEPARTMENT OF MECHANICAL ENGINEERING UNIVERSITY OF MAINE AT ORONO ORONO, MAINE
Rao V. Dukkipati
RAILWAY LABORATORY
DIVISION OF MECHANICAL ENGINEERING NATIONAL RESEARCH COUNCIL CANADA OTTAWA, ONTARIO, CANADA
ACADEMIC PRESS
(Harcourt Brace Jovanovich, Publishers)
Toronto Orlando San Diego New York
London Montreal Sydney Tokyo
ДИНАМИКА ПОДВИЖНОГО СОСТАВА
В.К.ГАРГ, Р. В.ДУККИПАТИ

ДИНАМИКА ПОДВИЖНОГО СОСТАВА
Перевод с английского канд. техн, наук К. Г. Бомштейна
Под редакцией д-ра техн, наук проф. Н. А. Панькина
МОСКВА "ТРАНСПОРТ" 1988
I
БИБЛИОТЕКА
| МИИТа
УДК 629.4.015
Гарг В. К., Дуккипати Р. В. Динамика подвижного состава: Пер. с англ. / Под ред. Н. А. Панькина. — М.: Транспорт, 1988, 391 с.
Рассмотрены на современном уровне вопросы математического моделирования динамики подвижного состава во взаимодействии его с путем и искусственными сооружениями. Описаны современные аналитические и численные методы определения динамических характеристик линейных и нелинейных систем применительно к задачам динамики железнодорожных экипажей н поезда в целом с использованием детерминированного и вероятностного подходов. Отображены вопросы моделирования колебаний экипажа и его частей при движении как на прямолинейном, так и на криволинейном участках пути, а также задачи, связанные с продольными, поперечными и вертикальными колебаниями железнодорожного состава.
Для инжеиеров-коиструкторов и научных работников железнодорожного транспорта, специализирующихся в области проектирования, расчета и эксплуатации железнодорожного подвижного состава.
Ил. 191, табл. 43, библиогр. 179 иазв.
Рецензенты: механики ДИИТа
д-р техн, наук А. Я. Коган, кафедра
строительной
Заведующий редакцией В. К. Терехов
Редактор М. П. Сазонова
г 3602030000-425
049 (01)-88	18-88
ISBN 5—277—00226—X (рус.)
ISBN 0—12—275950—8 (анг.)
АР Academic PRESS (Harcourt BraceJova-novich, Publishers) Toronto Orlando San Diego New York London Montreal Sydney Tokyo, 1984
© Перевод на русский язык, предисловие и примечания. Издательство «Транспорт», 1988
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНОГО РЕДАКТОРА
Предлагаемая советскому читателю книга является первой в зарубежной литературе попыткой обобщения современных методов математического моделирования динамики взаимодействия подвижного состава и железнодорожного пути. Однако следует оговорить, что обобщение достижений в этой актуальной области делается авторами лишь в пределах главным образом англоязычной западной технической литературы. Общеизвестны достижения отечественных ученых, а также ученых других стран (Болгарии, ГДР, Венгрии, Франции, ФРГ, Японии и др.) в области научно-технических разработок вопросов динамики подвижного состава и его взаимодействия с железнодорожным путем. В частности, о полученных за последнее десятилетие результатах в области разработки математических моделей применительно к рассматриваемому классу задач можно судить по приложенному к предисловию далеко не полному списку литературы, где представлены отечественные работы, в которых на основании глубоких исследований удалось установить влияние многих существенных факторов, которые должны учитываться в задачах динамики подвижного состава и его взаимодействия с железнодорожным путем.
Необходимо сделать несколько замечаний к переводу книги на русский язык. На наш взгляд, вряд ли методически оправдано введение некоторых общих понятий механики и математики в книгу, которая носит специальный прикладной характер, тем более что некоторые понятия вводятся авторами не вполне корректно. Изложение материала книги проводится не всегда логически последовательно; это замечание относится к нспользованню ряда понятий и терминов, смысл которых разъясняется значительно позднее.
С нашей точки зрения вписывание как двухосных, так и трехосных тележек, основанное на ис
пользовании центра трения, не является достаточно обоснованным. По моему убеждению силы крипа не являются неконсервативными силами, как описано авторами в главе 4.
К сожалению, в книге не рассмотрены параметрические колебания экипажей, вызванные неравно-упругостью пути. В работе имеются спорные положения, относящиеся к теории взаимодействия колес с рельсами. Касательные силы реакции рельса на колеса в точках их контакта лишь в предельных случаях могут быть определены с помощью формул (8.64) и (8.65).
Коэффициент трения, к понятию которого мы приходим на основании известного закона Кулона о силе трения, не может быть определен по графику на рис. 8.10. Этот график может быть использован лишь для определения сил крипа в зависимости от величины крипа.
С моей точки зрения сомнительно определение момента сил тяги по приведенной авторами формуле (8.81).
Несмотря на отмеченные недостатки, книга будет полезной как для инженеров-конструкторов, так и для научных работников железнодорожного транспорта. Кроме того, может быть использована студентами транспортных вузов.
Доктор технических наук
профессор	Н. А. Панькин
6
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ АВТОРОВ
1.	Блохин Е. П., Маи аш кии Л. А. Динамика поезда. М.: Транспорт, 1982. 222 с.
2.	Вер иг о М. Ф., Коган А. Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Транспорт, 1986. 560 с.
3.	Вершинский С. В., Данилов В. Н., Челноков И. И. Динамика вагона. М.: Транспорт, 1972. 304 с.
4.	Демин Ю. В., Длугач Л. А., Коротен-к о М. Л., Маркова О. М. Автоколебания и устойчивость движения рельсовых экипажей. Киев: Наукова думка. 1984. 160 с.
5.	Камаев В. А. Оптимизация параметров ходовых частей железнодорожного подвижного состава. М.: Машиностроение, 1980. 215 с.
6.	Л а з а р я и В. А. Некоторые современные проблемы динамики транспортных средств. — В кн.: Нагруженность. прочность, устойчивость движения механических систем. Киев: Наукова думка, 1980, с. 3—43.
7.	Л а з а р я и В. А. Колебания железнодорожного состава—В кн.: Вибрации в технике. М.: Машиностроение, 1980, т. 3, с. 398—433.
8.	Поперечные горизонтальные силы, действующие на железнодорожный путь в прямых участках; под ред. А. Я. Кога на // Тр. ВНИИЖТ. 1979. Вып. 619. 88 с.
9.	Соколов М. М., Хусидов В. Д., Минкин Ю. Г. Динамическая нагруженность вагона. М.: Транспорт, 1981. 207 с.
10.	Ушкалов В. Ф., Резников Л. М., Редько С. Ф. Статистическая динамика рельсовых экипажей. Киев: Наукова думка, 1982. 360 с.
7
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ СЛОВО
«Непрерывный грохот при движении... происходит в основном из-за того, что почти невозможно удержать все время в одной плоскости четыре точки контакта с рельсами, на которые опираются колеса локомотива». Эта выдержка из исследования по эксплуатации железной дороги 1829 г., написанного в ту пору, когда прошло не более 5 лет со времени постройки самых первых в мире железных дорог, отражает самую суть явления. Хотя «грохот при движении», может быть, и уменьшился, но проблемы динамики системы «рельсы — экипаж», возникающие вследствие наличия перемещающихся точек контакта между колесами и рельсами, продолжают находиться в центре внимания в наши дни так же, как и 150 лет назад, когда были построены первые железные дороги.
Значение железных дорог для экономики и мирового экономического развития очевидно. Своим существованием как государства, простирающегося от Атлантического до Тихого океана, Канада обязана принятому решению строить железные дороги. Железные дороги все еще являются наиболее эффективными в энергетическом отношении сухопутными средствами транспортировки тяжелых грузов. Сети железных дорог проникают в самые удаленные уголки земного шара, а строительство железных дорог выдвигается в число первоочередных задач, стоящих перед страной, ставшей на путь обновления.
Тем не менее существует ряд проблем эксплуатации и текущего содержания железных дорог, которые восходят к времени возникновения последних. Использование стальных колес с ребордами, катящихся по стальным рельсам, которые одновременно служат опорой и обеспечивают направление и передачу силы тяги, было блестящей идеей. Однако за простотой этой идеи скрывались проблемы динамики, вызванные колебаниями. Дело в том, что колебания железнодорожных колес и экипажей определяются сложным взаимодействием контактных сил. геометрическими параметрами, системами рессорного подвешивания, массой экипажа и, наконец, коэффициентами жесткости и демпфирования — все это делает задачу исследования колебаний чрезвычайно интересной. К тому же понимание динамики подвижного состава является основой управления процессом износа системы «колесо — рельс» и обеспечения устойчивости и надежности экипажа.
Железнодорожный транспорт по своей природе консервативен, и лишь в последние годы нашли применение современные научные 8
методы исследования задачи динамики системы «рельс — колесо — экипаж». Трудности здесь возникают исключительные, однако требования по увеличению скоростей и грузоподъемности, которые в свою очередь ставят новые проблемы износа и устойчивости, вынуждают эксплуатационников и работников транспортного машиностроения заняться более систематическим и фундаментальным рассмотрением этих задач. Данная книга1 — первая такого рода публикация, посвященная современному полному аналитическому исследованию задачи о взаимодействии колеса и рельса и влиянии этого взаимодействия на динамику экипажа. С одной стороны, книга является источником обширной информации о последних теоретических и практических результатах исследований в области динамики железнодорожного транспорта, а с другой — в книге приводится ясный вывод соответствующих уравнений и четко указаны границы их применимости. Таким образом, данная работа послужит руководством будущим исследователям и научным сотрудникам, которые стремятся глубже разобраться в вопросах динамики системы «колесо — рельс», а глубокое понимание этих вопросов является существенным для дальнейшего успешного развития железнодорожного транспорта.
Хотя первые 150 лет технического развития железных дорог были отмечены многими интересными решениями и открытиями инженеров и исследователей, но и во втором столетии эпохи железных дорог немало предстоит сделать для более полного понимания явлений и процессов, присущих данной отрасли. Данная книга является ценным вкладом' в научно-исследовательскую работу в рассматриваемой области.
1 См. предисловие титульного редактора.
Канадский Государственный научно-исследовательский Совет. Канада, Оттава, пр. Онтарио	Э. Г. Даджэн
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Хотя предмет — динамика железнодорожного экипажа — приобретает постоянно все большее значение во всех аспектах современной техники железнодорожного транспорта, в настоящее время отсутствует книга1, в которой рассматривались бы вопросы этой бурно развивающейся научной дисциплины. Данной книгой охвачены вопросы разработки математических моделей и их применения к исследованию динамики и задачам проектирования железнодорожных экипажей. Книга должна способствовать тому, чтобы роль аналитических методов в различных областях проектирования железнодорожных экипажей предстала перед читателем в истинной перспективе.
В книге содержится исчерпывающая информация2, необходимая обычно при постановке общих задач динамики и при проведении подробного расчета и исследования систем железнодорожных экипажей общего вида. Особое внимание уделено ясному выводу соответствующих уравнений и изложению методов их решения. В конце каждой главы приведен список соответствующей литературы, что послужит читателю руководством при более глубоком изучении данной области.
Авторы построили изложение материала таким образом, что книгу можно использовать при чтении курса лекций по динамике железнодорожных экипажей. Инженеры-проектировщики и научные сотрудники смогут почерпнуть в книге методический материал по построению математических моделей применительно к теоретическим проблемам и задачам проектирования.
Основное содержание и структура книги охватывают следующие аспекты. Главы 1—4 содержат вспомогательный теоретический материал, необходимый для исследования динамики железнодорожных экипажей. В главе 1 приведен обзор аналитических методов, используемых при определении динамических характеристик систем с одной и многими степенями свободы на основе детерминированного и вероятностного подходов. Методы численного решения задач, относящихся к линейным и нелинейным динамическим системам, в сжатой форме представлены в главе 2. Здесь же приведены явные и неявные схемы численного интегрирования соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В главе 3 в общих чертах рассмотрены раз
1 См. предисловие титульного редактора.
2 Книга содержит достаточно обширную, но далеко не исчерпывающую информацию. — Прнм. ред.
10
личные задачи, связанные с динамикой железнодорожных экипажей и железнодорожного состава в целом. Применительно к этим задачам представлено несколько математических моделей. Для учета различных неровностей пути используются как детерминированные, так и вероятностные подходы. В главе 4 применительно к задачам динамики железнодорожных экипажей рассматриваются теории взаимодействия колеса и рельса. Приведено краткое изложение этих теорий, указаны области их применения и границы применимости.
Главы 5—8 посвящены вопросам моделирования экипажа и его составных частей при движении как на прямолинейном, так и на криволинейном участках пути. В главе 5 содержится полный вывод уравнений колебаний для отдельной колесной пары при движении по прямолинейному и криволинейному участкам пути. Глава 6 посвящена разработке аналитических моделей при определении динамических характеристик железнодорожных экипажей при движении по криволинейному участку пути. На основе использования детерминированных и случайных данных о возмущениях железнодорожного пути выводятся уравнения колебаний грузового вагона, локомотива и пассажирского вагона. Поперечная устойчивость этих экипажей при движении на прямолинейном участке пути обсуждается в главе 7. В главе 8 изложены вопросы математического моделирования применительно к определению динамических характеристик экипажа при движении на криволинейном участке пути.
В главе 9 рассмотрены вопросы динамики железнодорожного состава. В общих чертах изложены задачи, связанные с продольными, поперечными и вертикальными колебаниями железнодорожного состава, приведены квазистатические и квазидинамические подходы. Изложены основы составления аналитических моделей применительно к продольным, поперечным и вертикальным колебаниям поезда.
В главе 10 представлены модели взаимодействия экипажа и моста, в то время как глава 11 знакомит читателя с вопросами обоснования динамических моделей железнодорожных экипажей.
В книге широко использованы векторные и матричные обозначения, что предполагает наличие у читателя элементарных сведений по вычислительной математике, по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, по векторной алгебре и алгебре матриц, а также по теоретической механике.
1
Глава
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
1.1.	ВВЕДЕНИЕ
В этой главе кратко обсуждаются аналитические методы, которые используются при исследовании динамических систем. Первая часть главы посвящена исследованию линейной системы с одной степенью свободы. Рассматриваются как свободные, так и вынужденные колебания этой системы. В следующих разделах данной главы представлены аналитические методы исследования применительно к системе с многими степенями свободы. Рассматриваются динамические системы с демпфированием и без него. Для этих систем формулируются задачи о собственных значениях. Представлен также метод суперпозиции для расчета колебаний системы с многими степенями свободы. В конце главы в сжатом виде изложена теория случайных колебаний. Кратко обсуждается метод расчета колебаний линейной системы, подвергаемой воздействию стационарных случайных возмущений.
1.2.	СВЯЗИ, ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ И СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
Положение системы материальных точек называют ее конфигурацией. Так как на систему накладывают связи, то обычно действительные координаты не обязательно должны быть отнесены к каждой материальной точке.
В динамической системе связи могут быть наложены на граничные или внутренние точки системы. По своему характеру связи могут быть либо статическими, либо кинематическими. Статические связи являются следствием соотношений сил, в то время как кинематические связи — следствием соотношений между перемещениями. При выборе координат для описания динамической системы необходимо учитывать соответствующие статические и кинематические связи. Соотношения между координатами, которые имеют место в силу наложенных на систему связей, называют уравнениями связей. Исходя из представленных зыше рассуждений можно говорить о существовании систем несвязанных или независимых координат. Вообще говоря, это справедливо и для динамических систем, но такая система может быть описана системой связанных координат. В качестве примера можно рассмотреть динамическую систему, которая описывается с помощью М координат. Если в системе есть R связей, то R координат будут связанными, а ос-12
Рис. 1.1. Движение жесткого тела (с пятью степенями свободы):
1 наложена связь, ограничивающая движение по направлению осн у
Рис. 1.2. Движение жесткого тела в плоскости (с двумя степенями свободы)
тальные (М — 7?) будут независимыми координатами. Таким образом, если обозначить
N = М — R,	(1.1)
то N — число независимых координат. С помощью этих 7V координат могут быть полностью определены силы и перемещения. Независимые координаты, которые необходимы для полного описания конфигурации динамической системы, называются обобщенными координатами1. Принимается, что обобщенные координаты могут произвольно и независимо изменяться без нарушения наложенных связей. Динамическая система, описываемая такими обобщенными координатами, называется голономной системой2. Число обобщенных координат называется числом степеней свободы динамической системы3 4.
Для иллюстрации динамической системы со связью можно рассмотреть жесткое тело, показанное на рис. 1.1 и которое закреплено в точке, ограничивающей перемещение тела в направлении оси у. Движение жесткого тела в трехмерном пространстве можно описать с помощью пяти координат: двух перемещений, одного по оси х и другого по оси z, а также трех поворотов вокруг осей х, у и z соответственно.
В рассматриваемом случае число степеней свободы данной системы равно пяти. Предположим, что на жесткое тело наложены дополнительные связи и что тело может совершать движение только в плоскости х— у1, как показано на рис. 1.2.
1 Понятие обобщенных координат в отечественной научной литературе более
широкое, чем приведенное авторами книги. — Прим. ред.
3 Не называется, а является, так как понятие голономной системы более широкое, чем приведенное авторами книги. — Прим. ред.
3 В отечественной литературе под числом степеней свободы понимается числосвободных обобщенных координат. — Прим. ред.
4 В отечественной научной литературе принято обозначение х, у. — Прим, ред.
13
Для описания движения жесткого тела, конфигурация которого соответствует движению в плоскости, потребовались бы две степени свободы. Эти степени свободы соответствуют перемещению вдоль оси х и повороту вокруг оси г*.
1.3.	ЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Как было показано, число степеней свободы динамической системы равно числу независимых координат, необходимых для полного описания движения системы. Дискретная модель динамической системы* 1 обладает конечным числом степеней свободы, в то время как континуальная модель имеет бесконечное число степеней свободы. Среди дискретных математических моделей простейшей является линейная модель с одной степенью свободы. Линейные модели обладают следующими преимуществами: 1) реакция системы пропорциональна возмущению; 2) применим принцип суперпозиции; 3) с их помощью можно с достаточной точностью описать поведение многих динамических систем; 4) амплитудно-частотные характеристики таких систем могут быть получены исходя из вида системы уравнений, при этом отпадает необходимость подробного решения системы; 5) нередко можно получить решение в замкнутом виде; 6) для таких систем хорошо развиты методы численного анализа и 7) они служат основой для понимания поведения более сложных нелинейных систем2.
Необходимо, однако, отметить, что для большинства нелинейных задач невозможно получить аналитическое решение уравнений движения в замкнутом виде. В связи с этим для исследования колебаний таких систем часто используется моделирование с помощью ЭВМ. В следующей главе обсуждаются методы численного анализа, которые применяются при моделировании с помощью ЭВМ.
1.4.	КЛАССИФИКАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ
Колебания можно классифицировать по трем категориям: свободные, вынужденные и самовозбуждающиеся. Свободные колебания системы -— это такие ее колебания, которые происходят при отсутствии вынужденных колебаний3, при наличии или отсутствии демпфирования. При отсутствии демпфирования полная механическая энергия, соответствующая начальным условиям, сохраняется, и система может
* По-видимому, в плоскости х, у. Одиако в этом случае тело обладает тремя степенями свободы: перемещениями вдоль оси х и оси у, а также поворотом вокруг оси z. — Прим. ред.
1 Имеется в виду реальная динамическая система. — Прим. ред.
2 В случае малых колебаний. — Прим. ред.
3 Точнее: при отсутствии постоянно действующих вынуждающих факторов,— Прим. ред.
14
колебаться бесконечно долго благодаря непрерывному переходу потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Несмотря на то что почти всем механическим системам в той или иной форме присуще демпфирование, тем не менее теория свободных колебаний реализуется в различных областях, связанных с задачами небесной механики, космической динамики и динамики конструкций; значение демпфирования в системах, соответствующих этим задачам, столь незначительно, что эти системы можно рассматривать как системы без демпфирования.
Вынужденные колебания вызываются внешней силой, которая воздействует на систему. В этом случае возмущающая сила непрерывно подводит к системе энергию для компенсации энергии, рассеиваемой при демпфировании. Вынужденные колебания могут носить либо детерминированный, либо случайный характер. В данной книге рассматриваются дифференциальные уравнения колебаний динамических систем, имеющих целиком детерминированный характер, т. е. параметры этих уравнений изменяются по времени не по случайному закону. Тем не менее возмущающая сила может быть либо детерминированной, либо случайной функцией времени. Если колебания носят детерминированный характер, то для любого наперед заданного момента времени можно полностью рассчитать амплитуду и частоту на основе данных о предшествующих колебаниях, тогда как случайные вынужденные колебания определяются статистическими параметрами и рассчитать можно лишь вероятность появления наперед заданных значений амплитуд и частот.
Самовозбуждающиеся колебания — это колебания, которые носят периодический и детерминированный характер. При определенных условиях состояние равновесия в такой колебательной системе становится неустойчивым, и любое возмущение приводит к нарастанию колебаний до тех пор, пока всякое дальнейшее нарастание колебаний будет ограничено некоторым фактором. Энергия, необходимая для поддержания этих колебаний, поступает от непрерывного источника энергии. В самовозбуждающихся колебаниях периодическая сила, которая вызывает возбуждение колебаний, создается самими колебаниями. Если систему удержать от колебаний, возбуждающая сила пропадет. В противоположность этому в случае вынужденных колебаний возмущающая сила не зависит от самих колебаний и может продолжать действовать, даже если система будет удерживаться от колебаний.
1.5.	ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Рассмотрим модель с одной степенью свободы для линейной динамической системы, показанной на рис. 1.3.
На основе второго закона Ньютона можно написать
F(t) — Fx(t) — Fd(t) —(1.2)
15
Рис. 1.3. Линейная система с одной степенью свободы
F(t)

где F (/), Fs (/) и Fd (/) — возмущающая, восстанавливающая и демпфирующая силы соответственно; т — масса тела, х (7) — его ускорение.
Так как Fs (/) =-- kx (t) и Fd (t) ~ ex (t), то уравнение (1.2) приводится к виду
тх (/) 4- с х (/) -г kx(t) ~F (t).	(1.3)
Здесь с и k — коэффициенты демпфирования и жесткости соответственно.
Уравнение (1.3) является уравнением колебаний линейной системы с одной степенью свободы. Оно является дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
1.5.1 Свободные колебания системы с одной степенью свободы. В случае свободных колебаний системы с одной степенью свободы возмущающая сила F (0 — 0* и уравнение колебаний имеет вид
mx(t) = с x(t) +kx (t) = 0.	(1.4)
Если обозначить = k/m и £ = с/2т<ап, то уравнение (1.4) можно переписать в виде:
x(t) + 2Его,, x(t) + х (t) = 0.	(1.5)
Для решения уравнения (1.5) положим, что
x(t)=Aest.	(1.6)
Здесь А — константа, а параметр s подлежит определению.
При подстановке выражения (1.6) в (1.5) получим
(s2+2^со„ s+ffl^) Aest — 0.	(1.7)
Так как Aest 0, то
s2-p 2£toIl s-f- tt>n = 0.	(1-8)
Уравнение (1.8) известно как характеристическое уравнение системы. Оно имеет два следующих корня:
-Si. S3 = (-g±FF^T)<0„.	(1.9)
* Имеется в виду F(i)s 0 (тождественно, т. е. при любом /). — Прим. ред.
16
Решение а. £ < I (слабое демпфирование):
Si, S2=(—£ ± iV 1 — g2)wn;
x(t) --= A exp ( —iw„ t) cos (о),, !'' 1 — E2 / —ср);	(MO)
x (t) = A exp ( ;ч)„ t) cos (tod t — <p).	(1.11)
Здесь a>n — собственная круговая частота: g — приведенный коэффициент демпфирования:	= ып~У1 —с2— частота системы с учетом демпфирования.
Постоянные А и <р определяются из начальных условий.
Решение б. £ > 1 (сильное демпфирование):
х (t) ---- Aj exp (— g H-17^2 — 1) l"n (0 +
+ 4ехр(-|-Г^=Л')юп(0-	(М2)
Колебания носят апериодический характер и затухают по времени по экспоненциальному закону. Постоянные и А2 определяются из начальных условий.
Решение в. I — 1 (условие критического демпфирования):
Si = ss^ — <оге;
х(0 = Л14-42(/)ехр( —о)„0-	(М3)
Формулой (1.13) определяются колебания, затухающие по экспоненциальному закону. Постоянные А1 и А2 зависят от начальных условий.
В данном случае коэффициент вязкого демпфирования
сс — 2ти>п -= 2 У km.
Следовательно,
Е==сМс.	(М4)
Годограф корней Sj и s2 может быть представлен в комплексной плоскости, как это показано на рис. 1.4. С помощью годографа корней можно сразу оценить влияние параметра £ на поведение системы. Для системы без демпфирования £ = О, мнимые корни равны +rton. Для системы, у которой 0< £ < 1, корни Sj и s2 являются комплексно-сопряженными, они расположены симметрично относительно действительной оси на окружности радиуса со,,. При g = 1 sr = я2 = — со„и при ► оо Sj —0, a s2 —— оо.
Рассмотрим далее условие слабого демпфирования для двух моментов времени tx и t2, соответствующих двум отклонениям xt и х2. Отклонение х2 следует за отклонением хг через один период, как показано на рис. 1.5.	_______________
БИБЛИОТЕКА
М И И Т а
17
Рис. 1.4. Годограф корней Si и s2 в комплексной плоскости
Рис. 1.5. График реакции системы при слабом демпфировании (закон движения)
Пользуясь формулой (1.11), можно написать
Xj	A exp ( —tcore /х) cos (o>d /д —q>)	q
х2	А ехр (— ib)n t2) cos (<od — q>)
Так как t2 — ti -f- T — Zx+ 2n/cod, Tocos(®d^— <p) = cos (tod t2—<p).
Соотношение (1.15), следовательно, сводится к виду
x1/x2=-exp(go)nT).	(1.16)
Если положить
6 = 1п(х1/х2)=^„7’ = 2^/КГ=ГР’)	(117)
то 6 называют логарифмические декрементом. Таким образом, чтобы определить степень демпфирования системы, достаточно измерить два последовательных отклонения хх и х2 и найти £ из соотношения:
^==6//(2л)г+бг.	(1.18)
При слабом демпфировании 6 — малая величина и соотношение (1.18) приобретает вид:
£«6/2л.	(1.19)
1.5.2. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы. Рассмотрим теперь реакцию системы с одной степенью свободы на гармоническое возмущение. Уравнение колебаний в таком случае записывается в следующем виде:
тх (t) + ex (t) + kx (t) = Fo cos (ot	(1.20)
Здесь Fo — амплитуда; co — круговая частота возмущения.
После упрощения уравнение (1.20) может быть записано в виде
х (/) + 2Ь>П х (1) + х (!) = (Folk) о* cos со/. (1-21)
18
Решение уравнения (1.21) состоит из двух частей: первая часть является общим решением однородного уравнения (функция, описывающая свободные колебания), а вторая часть является частным решением неоднородного уравнения (функция, описывающая вынужденные колебания). При £ > 0 функция, описывающая свободные колебания, со временем убывает; в этом случае решение уравнения (1.21) часто называют переходным решением, тогда как функция, описывающая вынужденные колебания при больших значениях t, не обращается в нуль; такого рода решение называют стационарным решением по отношению к гармоническому возмущению. Принимаем, что решение имеет вид х (/) = X cos (со/— ф),	(1-22)
где X и ср являются амплитудой и начальной фазой колебаний, соответственно подлежащими определению.
Подставляя выражение (1.22) в уравнение (1.21), получим
X [(со2—со2) cos (со/— ср) — 2Econ со sin (со/—ср)] = (F0/k) co* cos co/, (1.23)
HO
cos(co/— cp) — cosco/cos epi sinco/sincp;
sin (co/—cp) -- sin co/ cos cp — sincp cos co/.
Подставляя эти выражения в соотношение (1.23) и приравнивания коэффициенты при cos со/ и sin со/ в обеих частях соотношения (1.23), приходим к следующим уравнениям:
Х[(со2 — со2) cos ср +2£соп со sin ср] = (F0/&) со,2,;	(1-24)
X [(со2 — со2) sin ср — 2£con cocos ср] = 0.
Решая систему уравнений (1.24), находим:
X/(F0/^) = {[1—(со/со„)2]2-]-[2^ (со/соп)]2]^1/2 и (1.25) cp = arctg{[2E (со/со„)]/[1 —(<о/<оп)2]}.	(1.26)
Судя по выражениям (1.25) и (1.26), безразмерная амплитуда X/(F0/k) и начальная фаза ср являются функциями отношения со/соп и приведенного коэффициента демпфирования |.
При со/со„ <£ 1 обе силы — инерционная и демпфирующая — незначительны, и это приводит к малому значению начальной фазы при X/ (F0/k) « 1. Но при co/con > 1 начальная фаза ср -> л и X/(F0/ 0. При co/con = 1 начальная фаза ср = л/2 и X/(F0/k) = 1/2
В итоге полное решение уравнения (1.21) задается в виде
х (/) = А! ехр (— /со,, /) cos (соо / ср,) +
| /"о COS (со/ -ср)	( I 27)
k V[l-(C0/C0„)2p 442g (СО/СО„)Р
где постоянные Aj и срг определяются с помощью начальных условий.
19
Рассмотрим уравнение (1.21) и представим возмущение в комплексной форме
(F0/k) =Xs<On е~ м,	(1-28)
где -- Folk — статическая реакция (например, статический прогиб).
Ищем решение в виде
х(0 = Хг-‘“'.	(1.29)
При постановке выражения (1.29) в уравнение (1.21) получим:
[со,2, — со2 — 21с,<оп со] Хе-iat ---* Xs со2 е~ 1Ш'	(1.30)
или
A'/A?s = [I — (со/со,,)2 — 2iZ(u/w„)\-1 = Н (со),	(1.31)
где Н (со) известна как комплексная амплитудно-частотная характеристика. Модуль этой комплексной функции \Н (<о)| называется коэффициентом усиления, он задается в виде
| И (со) I = {[ 1 — (со/со,,)2]2 + ]2£ (0)/<0„)]2} -1 /2.	(1,32)
Начальная фаза
cp = arctg[;2^^”H.	(1.33)
[1— (<о/соге)2]
Возмущение, рассмотренное до сих пор. представляет элементарную гармоническую силу. Этот результат можно обобщить на случай, когда возмущающая сила является периодической, так как периодическая сила может быть выражена в рядах Фурье1 в следующем виде:
F (() — sin (4 4- bt cos (4 4- a, sin 2<4 -~
4- b2 cos 2 co/ '- ...~ an sin nmt 4- b„ cos m»t ...,	(1.34)
где an и bn — коэффициенты разложения в ряд Фурье, причем принимается, что Ьо — 0.
Так как
ап sin neat bn cos пы1 — fn sin (ntut '-«„),	(1.35)
где fn = [an -I- Ьч]1/2 и an = arctg (bn/an), отсюда следует, что
F (t) =fj sin (co/4 tXj)4- As sin (2co£ --cu)4-...fn sin (nat :-an)4~.... (1.36)
В силу принципа суперпозиции можно рассматривать каждый член в правой части выражения (1.36) как отдельную силовую функцию и получить стационарную реакцию путем сложения отдельных реакций,
1 Имеется в виду то, что периодическая сила является функцией, удовлетворяющей условиям разложимости в ряд Фурье (теореме Дернхле). — Прим. ред. 20
возникающих в результате воздействия каждой силовой функции, действующей отдельно. Следовательно, можно записать
х (t) = X, cos (a>t 4- «1 — cpi) + Х2 cos (2a>t а2— Фг) + ...
... +Хпcos (nut -г«п — фп) +	(1-37)
где
X _________________Л.М________________
{[1-(П<О/Шп)2]2 + [2В	* 1 /2
Таким образом стационарная реакция также является периодической функцией, имеющей тот же период, что и силовая функция, но другую амплитуду и связанный сдвиг по фазе.
Теперь обсудим альтернативный метод исследования вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы с демпфированием. При этом подходе используется анализ в частотной области; метод основан на концепции операционного исчисления.
Применив к уравнению (1.3) преобразование Лапласа1, получим
m[s2 * *x(s)— x(0)s—х (о)| : с [sx (s) — x (0)1-4 kx (s) = F (s),	(1.38)
откуда следует
x (t) =	F('s'> I ' (;)x<0)	wx!°)	/ J 39)
ms1 Tcs + k	ms2 -- cs -4 k
Соотношение (1.39) можно переписать в виде
x(s) = .4(s)/B(s),	(1.40)
где A (s) и В (s) являются многочленами, причем В (s) имеет более высокий порядок.
Реакция x(t) находится с помощью обратного преобразования Лапласа функции (1.40). Если рассматривается только решение в случае вынужденных колебаний, можно записать импедансное преобразование в виде
Z (s) = [Е (s)/x (s)] — ms2 4- cs k.	(1.41)
Передаточная функция Н (s) определяется следующим образом:
Н (s) = 1/Z(s) = (ms2 + cs-;- k)-1	(1.42)
4- 00
1 Имеется в виду интегральное преобразование sc (s) = J e~st x (/) dt, где •
о
x (t)\ < Mest при 0 t < 00, a M ks — постоянные положительные числа;
функции х (/) и х (s) являются различными. — Прим. ред.
21
Ffs)----* H(s) -------^x(s)
Рис. 1.6. Схема преобразования входного сигнала в выходной сигнал с помощью передаточной функции:
1 — вход; 2 — передаточная функция; 3 — выход
и связывает воздействие с реакцией системы в следующем виде (рис. 1.6):
х (s) = Н (s) F (s).	(1-43)
1
С помощью обратного преобразования Лапласа, примененного к х (з) в выражении (1.43), можно получить:
t
x(t) — —-— fF(r)exp[—	— т)| sin <od (t— r) dx. (1.44)
J
6
1.6. ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
С МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Уравнения колебаний дискретной системы с многими степенями свободы в самом общем виде при числе степеней свободы, равном п, могут быть записаны в матричном виде:
[ml {х} 4- [с| {х} 4- [*| (х) = {F (t)},	(1.45)
где {F (Z)} — вектор внешних сил, приложенных к системе;
[m], [с], [fe] — квадратные матрицы соответственно масс, демпфирования и жесткости размером (гахга).
Для линейных систем элементы этих матриц имеют постоянное значение, а для нелинейных систем элементы этих матриц являются заданными функциями обобщенных перемещений и скоростей.
Динамическая реакция {х (/)} системы (1.45) состоит из двух частей: из динамической характеристики переходных колебаний {хн (/)} и динамической характеристики стационарных (установившихся) колебаний или динамической характеристики вынужденных колебаний {хр (/)}, причем {хя (/)} является решением однородных уравнений колебаний, а {хр (/)} — частным решением неоднородного уравнения колебаний.
1.6.1. Собственные значения и собственные векторы для систем без демпфирования. Уравнения движения, описывающие свободные колебания дискретной системы с многими степенями свободы без демпфирования, можно получить, если положить в уравнении (1.45) [Д и {F (0} нулевыми матрицами.
Тогда уравнение придет к виду
[т] {х}+ [Л]{х} = {0}.	(1.46)
22
Применим линейное преобразование, заменив {х} выражением
{х} = [ф]{у},	(1.47)
где [<р] — невырожденная квадратная матрица, называемая матрицей преобразования, и
{Х)=[ф1{у}.	(1.48)
Подставляя выражение (1.47) и (1.48) в уравнение (1.46), получим
lml1Ф1 {У} + [Л] [ф] {у} = {0}.	(1.49)
Умножая слева обе части уравнения (1.49) на 1ф]г, получим: [ф]7'[т][ф]{у}-|-[фГ[й] [ф]{у} = {0}.	(1.50)
Из уравнения (1.50) следует, что
{у} + ГЛ*.] {у} = {0},	(1.51)
где [* и [' ХЛ1 — диагональные матрицы1, известные как обобщенные мат* рицы масс и жесткостей соответственно.
Уравнения (1.51) называют несопряженными однородными уравнениями колебаний системы.
Из этого следует, что несопряженное уравнение колебаний для i-й степени свободы запишется следующим образом:
Уг+^У1=0,	(1-52)
где <ог- — частота, соответствующая i-й форме колебаний.
Решение уравнения (1.52) дается в виде
yi(t) = A sin<oz/ + /4*cosa> t,	(1.53)
где и А* — произвольные постоянные, которые находятся с помощью началь* иых значений xt (0) и (0), заданных начальными условиями.
Если теперь умножить слева обе части уравнения (1.46) на можно получить:
[m]-1 [т] {х} + [т]-1 [й] {х} = {0}.	(1.54)
Уравнение (1.54) можно переписать в виде
[/] {x} + [D]{x) = {0},	(1.55)
где [/] — единичная матрица и [£>] = [/п]~1 [fe] известна как динамическая матрица.
Если принять, что колебания являются гармоническими, то
{х} = {А}У^.	(1.56)
1 Для произвольной матрицы (<р] эти матрицы ие являются диагональными. Здесь [<р] — матрица, столбцы которой составлены из собственных векторов системы.
23
Из выражения (1.56) получим
{х} = —со2 {.4} eia>t =—Мх)>	(1-57)
где Л = о>2.
Подставляя выражение (1.57) в уравнение (1.55), получим
[ID]-М/]]{х} = {0}.	(1.58)
Если приравнять нулю определитель этого уравнения, получим характеристическое уравнение системы, т. е.
| [D]—X [/] | = 0.	(1.59)
Корни характеристического уравнения (1.59) называют собственными значениями.
Собственные частоты системы определяются из соотношения
(1.60)
Подставим Zj в матричное уравнение (1.58), получим соответствующие формы колебаний, называемые собственными векторами. Таким образом у системы с п степенями свободы будет п собственных значений и п собственных векторов.
Рассмотрим два отдельных решения задачи о собственных значениях, соответствующих r-й и s-й формам соответственно, со2, {ф^} и
Так как эти решения удовлетворяют уравнению (1.46), тогда:
[/гЦф<г)} = и>? [т]{ф<г>};	(1.61)
и
[й]{<р<”} = (о|['п]{ф(5)}-	(1.62)
Умножая слева обе части уравнения (1.61) на {ф7^ }7' и обе части уравнения (1.62) на {<f(r) }Т, получим:
[*] (ф(Н) = и2 )}т [т] {<р(Н};	(1.63)
= {ф(Н}Т [т] {ф<%	(1.64)
Если транспонировать обе части выражения (1.64), получим
{<P(S)}Т [/г] {ф<Г>} = (о? { {<p(s)}7 \т\ {<р<г)}.	(1.65)
Вычитая уравнение (1.65) из (1.63), приходим к выражению вида (®2 —со2) {ф^*}7 [т] {ф<Л)} = 0.	(1.66)
Так как сь,. ®s, заключаем, что
{ф(5)}г [т] {ф(л)} = 0, г =# s.	(1.67)
Уравнение (1.67) представляет собой условие ортогональности векторов форм колебаний. Можно показать также, что
{ф(5)}г[^{Ч>(И} = 0, г#=з.	(1.681
24
Если каждый столбец матрицы форм [ср) разделить на корень квадратный из обобщенной массы Л)*, то полученную в результате матрицу [<р] называют взвешенной матрицей форм. Легко видеть, что:
1ф)г[т]кр] - |/|	(1.69)
и
[Л] Ltp] - |m| [<р] Г и?].	(1.70)
При умножении слева выражения (1.70) на [фИ получим:
[ф)7	1ф] = |ф]Г [т| [ф] |'o)2J - I'w-I-	0-71)
1.6.2. Собственные значения и собственные векторы для системы с демпфированием. Уравнения движения, описывающие свободные колебания дискретной системы с многими степенями свободы с демпфированием, даются в виде
[/П] {х} 4- [с] {Х} + [/г] {х} =={0}.	(1.72)
Определим вектор
и применим тождество (|т| {%} — |т| {%} = 0), тогда получим
[0] : |«Г		-[«] : [01	-^Ц-Ч-гМ <173)
|т]: [с]	1 {х} \	[0] : Р1	(X) I 1. (О) /
2/гХ2л	2пХ 1	2п Х2п	2п X 1.
Уравнение (1.73) можно переписать в виде 01 {у} НВ|{уЬ W, где матрицы Ы1 и [В| определяются следующим образом:
(1-74)
И) -
101 : [ml
[ml : [г]
[0] ; [ft]
Если умножить слева обе части уравнения (1.74) на [Л|-1, можно получить уравнение
{у}~[#]{у} {0},	(1.75)
где |/У| = — [Л]-1 [В].
25
Принимаем решение уравнения (1.75) в виде
{у} = {Т} е*	(1.76)
где у — комплексное число; {'Р} — вектор форм с комплексными элементами. Подставив выражение (1.76) в (1.75), получим
[Т[/]-[Н1]{У} = {0}(	(1.77)
где [/] — единичная матрица.
Следовательно, характеристическое уравнение системы можно записать в виде
|у[/] — [Я|| = 0.	(1.78)
Комплексно-сопряженные корни у; характеристического уравнения представляют собой 2п собственных значений1. При подстановке у,- в уравнение (1.77) можно получить соответствующие собственные векторы, которые также являются комплексно-сопряженными. Матрица форм [гр] задается в виде
[4r] = [{4r}i{4r}2.. ,{У}2П].	(1.79)
Применив элементарные матричные преобразования, можно прийти к условию ортогональности собственных векторов и далее можно показать, что справедливы следующие соотношения;
W [.41 {T}s = 0, г	s-	(1.80а)
Wrr[B|{Y}s-0, r^s.	(1.806)
Из соотношений (1.80а) и (1.806) следует, что:
[Ф1гИ][ф|-ГЛ.];	(1.81а)
[ф|г[В|[ф] = ГВ.1,	(1.816)
где ['Л,] и I'B.] — диагональные матрицы.
1.6.3. Решение задачи о вынужденных колебаниях системы с многими степенями свободы. Рассмотрим уравнение (1.45) и решим сначала задачу о свободных колебаниях системы без демпфирования для нахождения собственных значений и собственных векторов, с помощью которых описываются нормальные формы колебаний системы и взвешенная матрица форм [ср]. Пусть
{х} = [ф]{у}.	(1.82)
Подставляя выражение (1.82) в уравнение (1.45), получим
[ф1 { у} + [с] [ф] { у} 1- [*] [ф] {у> = {F (0).	(1.83)
1 Для вычисления собственных векторов системы, описываемой уравнением (1.78), применяются численные методы, реализованные в виде программ на ЭВМ [2].
26
Умножая обе части уравнения (1.83) на [ср]г слева, можно прийти к уравнению:
[<р]т [т] [ср] {у} -|- [ср]Т [с] [ср] {у} Н- [ср]т [&] [ср] {у} = [ср]г {F (t)}. (1.84)
Заметим, что матрицы [ср]т 1m] [ср] и [ср]г [&] [ср] в левой части уравнения (1.84) являются диагональными матрицами, аналогичными единичной матрице [/] и ['со2] соответственно, но матрица [ср]г [с] [ср] не является диагональной матрицей. Если [<?] пропорциональна [ml или [fe] или и той, и другой, тогда [epF [с] [ср] становится диагональной матрицей. В таком случае говорят, что система линейно демпфирована. Тогда система уравнений колебаний распадается и Ее уравнение будет иметь вид:
У1 4- 2gf со, + y- = ~f (t), i= 1, 2, .... n, (1.85)
где	Л(П = {Ф(°}Г{Р (01-
Таким образом вместо системы п уравнений получим п несвязанных уравнений.
Пусть [cl = а [т] + р [А], где а и f — постоянные коэффициенты пропорциональности. Тогда
(ср]г [с] |ср] = [ср]г (а [т] 4-р [&]) [ср] = а [/] +р ['со2,].	(1.86)
Отсюда можно получить несвязанное Ее уравнение колебаний в виде
У, + (а + Рос) У1 + yt ~-= ft (t),	(1.87)
а условие демпфирования форм колебаний может быть записано в виде
2£гсо4=а + Ра><2.	(1.88)
Выражение (1.88) представляет собой демпфирование по Рэлею.
Решение уравнения (1.85) может быть получено с помощью выражения (1.44) с использованием начальных условий для //; (0)и уг (0). Это решение имеет вид
t
У. (t) ----I tt (т) exp [ — со; (t — т)] sin cod. (t — т) dx 4*
Wd; J	’
о
, у-, (0) exp (— E; CO;/)	,	,	...
+	---1/9 1 ' COS (cod. / —Ф;1 4-
(J £•) /2	v * T /
4- y' (°) exp (—CO;/) sincod. t,	(1.89)
®d;	1
где cod. =(1-L?)1/2CO;;	= arctg[g;/(l-У)1'2].
27
Для того чтобы получить все динамические характеристики системы, можно аналогичным образом подсчитать вклад каждой нормальной формы и подставить полученные результаты в выражение (1.82). Такой подход называют методом суммирования нормальных форм.
Отметим, что влияние высших гармоник на динамические характеристики системы зачастую бывает весьма незначительным и для всех практических приложений этим влиянием можно пренебречь при реализации процедуры суммирования, учитывая меньшее число гармоник.
1.7. СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Если в записи колебаний отсутствует какая бы то ни была закономерность, то такие колебания называются случайными колебаниями. К этому понятию можно подойти иначе. Если идентичный эксперимент проводить несколько раз и полученные записи всегда аналогичны, тогда процесс называют детерминированным. И наоборот, если все условия в эксперименте остаются неизменными, а записи все время меняются, то такой процесс может считаться случайным, или недетерминированным. В данном случае одна запись недостаточна для получения статистического описания всей совокупности возможных записей.
Как показано на рис. 1.7, для представления случайного процесса
вместо одного графика дается целое семейство или ансамбль возможных
Рис. 1.7. Ансамбль выборочных графиков функций (реализаций), описывающих случайный процесс
графиков. Произвольно взятый отдельный график, принадлежащий ансамблю, называется выборочной записью.
Пусть х* (tt) — значение случайной переменной х (t) в момент времени взятое из k-й записи. Тогда математическое ожидание (среднее) £ lx (ZJI значения х',! (^) для фиксированного момента времени 1, получается на основе всей совокупности записей, т. е. для k --- 1, 2, 3. п,	и
E[(x(/i)l
lirn — V хк (ti).
П-^-оо Я k - I
(1.90)
Если £ [х (/])1 не зависит от /. т. е. £[х(/])1 -- £ [х (/] Т /)1 для
всех t, то случайный процесс называется стационарным. Если, кроме этого свойства, имеет место стати-
28
стическая эквивалентность каждой записи всякой другой записи так. что Е [х (^)1 в выражении (1.90) можно заменить средним значением представительной выборочной записи х (t):
т
x(t) = E (х)= lim J- [x(/)d/,	(1-91)
Т J о
то такой стационарный процесс является эргодическим. Для многих приложений это допущение достаточно обосновано. Дисперсия а? величины х (t) в этом случае определяется по формуле:
1 Г
Е |(х— Е (х)]2 = lim — I [х— Е (х)J2 dx.	(1.92)
Т J о
Для частного случая при Е (х)	0 дисперсия а} от х превращает-
ся в среднеквадратическое значение и определяется как х2 (/), где т
х2 (t) = Е [х2(/)| = lim — fx2(/)dx.	(1.93)
Т-Х» Т »!
о
1.7.1. Функция плотности вероятности. Функцией плотности вероятности случайной величины применительно к случайным данным называют вероятность того, что данные в любой мгновенный момент времени будут принимать значения, заключенные внутри некоторого интервала.
Рассмотрим некоторый выборочный график, приведенный на рис. 1.8. Вероятность того, что х (t) будет принимать значения внутри-интервала (х, х + Дх), может быть получена из отношения ТХТ.
где Т х означает сумму интервалов времени, для которых х (/) принимает чна-k
чение внутри интервала (х, х + Ах), т. е. Тх = 2 а Т— время наблюдений.
Z—1
Определим
Р |х < х(/) < х ( Ах| Р (x) liin (TJT).	(1-94)
Для малого приращения Дх плотность распределения р (х) может быть определена из выражения:
Р [х < х (Z) х 4- Дх| = Р (х) = р (х) Дх.	(1.95)
Точнее
р (х) lim Р = lim ——[lim-^-l.	(1.96)
Дх-->0 Ах Дх-сО Ах [г-*», Т J
Из выражения (1.96) очевидно, что р (х) характеризуется наклоном касательной к интегральной кривой вероятности распределения Р (х).
29
х+лх
&ti dt? № zltj Ah,
Рис. 1.8. Измерение вероятностей
x О I Х+ЛХ
Рис. 1.9. Кривая плотности распределения вероятности
Площадь под кривой плотности вероятности между двумя значениями х представляет собой вероятность того, что значение переменной находится внутри этого интервала. Кроме того, вероятность того, что функция х (t) принимает значения внутри интервала (—оо, -|-оо), записывается как
+ »
Р(оо)= j p(x)dx=l.
(1-97)
Как показано на рис. 1.9, среднее значение х (I) совпадает с абсциссой центра тяжести площади под кривой плотности распределения р (х). Поэтому среднее значение можно записать с помощью плотности распределения р (х) следующим образом:
_ -г ~
х(^)= J xp(x)dx.	П.98)
-- 00
Аналогичным образом среднеквадратическое значение х2 (/) определяется через центральный момент второго порядка
___
(х2 (/)) = | х2 р (х) dx.
(1.99)
30
Дисперсия Ох, определенная ранее как среднеквадратическое отклонение относительно среднего значения,
-4-00	-|~ оо
(х—х)2 р (x)dx - j x2p(x)dx—
— оо	— оо
-j- оо	оо
— 2х J хр (х) dx + (*)2 J Р (х) dx - - оо	— оо
х2 — 2 (х)2 i (х)2 = (х9-)—(х)2.	(1.100)
Стандартное отклонение ох является положительным значением квадратного корня дисперсии о2.
1.7.2.	Автокорреляционная функция. Автокорреляционная функция стационарного случайного процесса определяется как среднее значение произведения х (/) и х (t + т). Как показано на рис. 1.10, выборка сделана в момент времени t и еще раз в момент времени t 4- т:
т
Rx (т) -lim f х (t) х (t 4- r) dr.	(1.101)
о
Величина Rx (т) является всегда действительной четкой функцией, достигающей максимума при т == 0, т. е.
т
/?r(O)^lim — fx2(/)d^- F(/).	(1.102)
о
Для очень больших интервалов времени при т -► оо случайный процесс будет некоррелированным и в этом случае
Rv(oo) = [x (г)]2,
т. е.
х</) = V Rx(°o).
(1.103)
Среднее значение х (t) равно положительному квадратному корню из автокорреляционной функции при неограниченном возрастании временного интервала.
1.7.3.	Плотность силового спектра. Плотность силового спектра случайного процесса определяется частотным составом данных, выраженным через спектральную плотность распределения его среднеквадратического значения.
Рис. 1.10. Измерения для построении автокорреляционной функции
31
Если пропустить выборочную запись через полосовой фильгр, обеспечивающий срез острых всплесков (пиков), и подсчитать среднее квадратов выходных значений фильтра, можно получить среднеквадратическое значение ординат графика выборочной записи в частотном диапазоне от о до о - Aw.
Среднеквадратическое значение будет сходиться к точному среднеквадратическому значению при Т -> оо, т. е.
г
TJ(w, Aw) -lim — i х2 (/, w, Aw) dZ, (1.104) Т J о
гдех(/, ы, Лео) — частьх(/), находящаяся в частотном диапазоне от ы до <п Лю.
Для малых значений Aw плотность силового спектра определяется следующим образом:
^(ю, Aw)« Sx(w) Aw.	(1.105)
Отсюда
'Е (ш. Л<о)	j	ip
S¥(w)-— lim —----------lim ------ lim—l xl (t, w, Aw)dt (1.106)
\<,i— о Лео	Ao)-+0 At» T J
о
Величина (w) — всегда действительная функция, принимающая неотрицательные значения.
В экспериментальной работе часто используется иное измерение плотности силового спектра. Экспериментальная спектральная плотность определяется функцией W (/), где f обозначает число циклов в единицу времени. Соотношение между S(w) и W (/) записывается в виде:
lV’(/) = 4nS(w)	(1.107)
(w — 2 л/).
Для стационарного случайного процесса автокорреляционная функция и плотность силового спектра следующим образом связаны с помощью преобразования Фурье:
/? (т) = J S (w) е1<ЛХ da;	(1.108)
--Св
4- оо
S(w) = J— f /? (т) а ‘шт dx.	(1.109)
2л J
В предельном случае, когда т -= 0,
-F- °°
/?(0)=£)x2(Z)]= jj S(w)dw,	(1.110)
32
Рис. 1.11. Графики плотности распределения, автокоррелиционной функции и плотности силового спектра для четырех выборочных графиков функции (реализаций) :
/ — выборочные графики функций (реализаций); 2 — графики плотности распределения; 3 — графики автокорреляционных функций; 4 — графики плотности силового спектра: 5 — узкополосные; 6 — широкополосные
т. е. среднеквадратическое значение равно интегральной сумме S (ш) X Xdco по всему частотному спектру. Поэтому S (ш) может быть интерпретирована как среднеквадратическая спектральная плотность. Плотности распределения, автокорреляционные функции и плотности силорого спектра для четырех графиков выборочных записей представлены на рис. 1.11.
1.7.4. Совместная плотность распределения. Совместная плотность распределения р (х, у) двух случайных переменных величин определяется на основе вероятности того, что обе переменные величины принимают в любой момент времени значения внутри некоторой определенной пары интервалов. При рассмотрении двух случайных переменных х (t) и у (t) укажем на следующее свойство совместной плотности распределения; элементарная вероятность того, что случайная переменная, такая, как х (t), примет значение в интервале (х, х + dx), и у (t) при этом примет значение в интервале (у, у + dz/), определяется произведением р (х, у) dxdz/.
Совместные плотности распределения являются положительными функциями. Вероятности взаимоисключающих друг друга событий являются аддитивными функциями.
2 Зак. 1073	33
Кроме того,
J J р (х, у) dxdy =- 1.
(1.1Н)
Если две переменные являются статистически независимыми, совместная плотность распределения может быть представлена в виде
р(х, у)=р(х)р(у).	(1.П2)
1.7.5. Функция взаимной корреляции. Взаимная корреляция двух случайных переменных величин означает наличие общей зависимости одной переменной от другой.
Взаимная корреляция двух случайных функций х (t) и у (t) задается в следующем виде (рис. 1.12):
т
/?х!Дт) = Ит f x(Z)r/(/4-r)dE	(1.113)
Т->ао Т J
О
Функция Rxy (т) является всегда действительной функцией и может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Кроме того, Rxv (т) не обязательно имеет максимум при т = 0; RXy (т) не является четной функцией. Тем не менее она является симметричной функцией, т. е.
/?хг,(-т) = ях!,(т),	(1.114)
если RXy (т) = 0; в таком случае говорят, что функции х (t) и у (t) не коррелируют.
1.7.6. Приложение плотности силового спектра к динамике железнодорожных экипажей. Плотность силового спектра входной информации о состоянии верхнего строения пути описывает спектральный состав неровностей рельсового пути. Так как амплитуда неровностей рельсового пути Z (х) является функцией координаты х, измеряемой вдоль рельсового пути; определим следующие пространственные характеристики: X — длина волны; F = (1/Х) — пространственная частота и И = 2nF— волновое число (круговая частота). Среднеквадратиче-
Рис. 1.12. Измерения для определения взаимной корреляции
34
ское значение амплитуды может быть найдено по пространственной плотности силового спектра следующим образом:
-j- ОО	00
Z2= f Sx(F)dF = JSx(Q)dQ,	(1.115)
о	о
где Sx (F) — односторонняя пространственная частотная плотность силового спектра; Sx (Й) — односторонняя плотность силового спектра волнового числа; Sx (F) = 2л5х (Й).
Если поезд движется со скоростью V, то:
со — oQ = 2ло/X;	(1.116)
Sx (со) = и -1 Sx (Й) - (2по)-1Sx (F).	(1.117)
Таким образом из основного спектра неровностей железнодорожного пути формируется плотность силового спектра Sx (F), полученного с использованием входных данных измерений. На основе серии измерений железнодорожного пути показано, что Sx (F) имеет вид:
SX(F)--C/FN или Sx(X) = CXA',	(1.118)
где С — относительная неровность рельсового пути; W — показатель степени, который для многих измерений рельсового пути принимает значения, лежащие в диапазоне от 1,5 до 4, и часто во многих теоретических исследованиях принимается равным 2.
В предыдущих разделах была определена комплексная амплитудно-частотная характеристика Н (со), модуль которой равен относительной амплитуде, а отношение коэффициента при мнимой части к действительной части равно тангенсу угла начальной фазы ср. Преобразования Фурье реакции Х(со) и возбуждения Е(со) связываются с помощью амплитудно-частотной характеристики следующим образом:
X (со) — Н (со) F (со).	(1.119)
Это соотношение выполняется для любого произвольного возмущения f (t). Если возмущение является стационарным случайным процессом, тогда и реакция системы будет являться стационарным случайным процессом. С помощью математических преобразований можно показать, что для линейных систем среднеквадратическое значение спектральной плотности динамической характеристики Sx (со) и среднеквадратическое значение спектральной плотности Sy (со) возмущения связаны соотношением вида:
Sx (со) = |(со) |2 Sy (со).	(1.120)
Среднеквадратическое значение динамической характеристики может быть получено следующим образом:
Rx (0) = Е к2 (01 = — С | Н (со) |2 Sy (со) dco. (1.121)
2л J
2*
35
0)
Рис. 1.13. Система с одной степенью свободы, моделирующая систему «путь — экипаж» (а); плотность силового спектра возбуждения со стороны железнодорожного пути (б); плотность силового спектра амплитудно-частотной характеристики экипажа (в), выраженная в форме зависимости среднеквадратической спектральной плотности Sv (Q) от волнового числа Q
Из соотношений (1.119) — (1-121) очевидно, что в случае линейных систем среднеквадратическое значение спектральной плотности динамической характеристики и среднеквадратическое значение R(x) могут быть вычислены по среднеквадратическому значению спектральной плотности возмущения и по модулю комплексной амплитудно-частотной характеристики /7(оэ) соответственно.
Если возмущение имеет гауссово распределение вероятности и система является линейной, то и реакция системы на это возмущение будет также гауссовой. Это значит, что в случае стационарного процесса распределение вероятности реакции системы полностью определяется средним и среднеквадратическим значениями динамической характеристики.
1.7.7. Реакция системы с одной степенью свободы на случайное возмущение. В качестве примера можно рассмотреть экипаж, движущийся с постоянной скоростью V. Вычислим реакцию экипажа на различные неровности верхнего строения пути. Экипаж моделируется системой с одной степенью в виде массы, опирающейся на пружину и демпфер с линейными характеристиками, как показано на рис. 1.13. Уравнения движения экипажа записываются в виде:
ту ~ с (у—z) -4- k (у — г) = 0;
ту— су  ky — сг 4- /гг;	(1.122)
у+ 2&}п у 4- con у = f (t),
где f(t) = (2l/<an)z±z и t = x/v.
Плотность силового спектра реакции экипажа определяется в виде
S!Z(o)) = |//(w)|2S2(«),	(1-123)
где
| Н (со) |2 = {11 - (о)/о>,4212 4- |2В (<о/ш„)I2}1.	(1.124)
36
Если Sz (со) = So (постоянная), которая представляет собой входные данные, соответствующие белому шуму, тогда из соотношений (1.123) и (1.124) можно получить:
У '	[l-(W/wn)-p+[2UW/on)p-
Плотность силового спектра реакции S^(co) воспроизведена на рис. 1.13. Среднеквадратическое значение динамической характеристики
+ 00
£[уг(П] = — f ----------------—-------------•	(1.126)
* 7 2л J	[1- (®/®п)2Р+[2& (<о/«п)]2	'
-- 00
Интегрирование в правой части выражения (1.126) может быть проведено с помощью теоремы вычетов теории функций комплексного переменного, что приводит к следующему результату:
^LV2(/)l = 50«n/4g.	(1.127)
Так как случайный процесс является гауссовым с нулевым средним значением, для определения вида функции плотности распределения реакции достаточно воспользоваться выражением (1.127) для среднеквадратического значения. Это позволит оценить вероятность того, что амплитуда у (() может превысить заданное значение перемещения.
1.7.8. Реакция систем с многими степенями свободы на случайные возмущения. Выше было показано [см. уравнение (1.85)1, что несвязанное уравнение колебаний динамической системы с линейным демпфированием по г-й гармонике задается в виде:
Уг + 2?г о)г уг Ч- уг = fr (/) = {?<г,}г {F (0},	(1.128)
где (<р<г*} представляет собой взвешенный вектор r-й гармоники системы без демпфирования.
Введем преобразования Фурье для ут (() и fr (t) соответственно в следующем виде:
Уг(о))-- J yr(t)e-iM dt;	(1.129)
-- 00
Л-(«) = f 7r(t)e~iat d( = 2 ФЛО f Fj(t) e~tat dt. "	/= 1 v
—• oo	!	— oo
Далее проведем преобразования Фурье обеих частей уравнения (1.128)
Er(o))|--o)24 (2S,	г = 1, 2, ..., п. (1.130)
37
Решая уравнение (1.130) относительно Yr (со), находим:
Yr (со) = Нг (со) Fr (со);	(1.131)
r = 1, 2, ..., п, где
Нг (со) = [ 1 - (co/cor)2 4- i2lr Ko/cor)] -1;	(1.132)
г = 1, 2, ..., п.
Корреляционная матрица динамической характеристики [7?ж (т)1 дается в виде:
+ Т/2
1Рх(т)]= lim J- С {х(0}{х«+т)Гdt (1.133)
Т—* J — Т
Так как вектор {х (/)} = [ср] {у (t)}, выражение (1.133) можно записать в виде: j нТ/2
Ohlimy f [ф! {у (() } {у (t + т))г [ф]г d( = Т -* оо J
--Т/2
= [ф] [Ry (т)][ф]Г,	(1.134)
где
+ Т/2
[PjT)l = lini^ f {у (t)}{y(t + Т)}^	(1.135)
Т-»оо Т J
— Т[2 является корреляционной матрицей динамической характеристики, связанной с обобщенными координатами yr (t) (г = 1, 2,.п).
Если ['//(co)J является диагональной матрицей для амплитудно-частотной характеристики и [' Н* (со)] является самосопряженной матрицей, тогда корреляционная матрица
+ ”
^001 =~J r//*(«)JlS/M]r^((0)Je'“td(0,	(1.136)
— оо
где [S/ (со)] является матрицей возмущения размером пхп, которая связана с обобщенными силами fr (/).
Теперь [Sy (со)] можно выразить с помощью преобразований Фурье корреляционной матрицы возмущения [Rt (т)1, связанной с f (t) следующим образом:
+ °°
[Sy(co)]= J [fy(co)J e~ib,r dr	(1.137)
38
и [Rf (т)] имеет вид:
-ЬТ/г
= f {f(t)}{f(t+T)\Tdt,	(1.138)
1 J
— Г/2
где {/(/)} — вектор обобщенных сил fr (/), т. е.
{f(O}=[<p]{F(O}	(1.139)
и
{f(/+T)}r={Fa+x)f [ф]г.
После подстановки выражения (1.139) в выражение (1.138) получим
1^(т)1 =[T][/?f(t)1№]7’,	(1.140)
где
+ Т/2
[7?я(т)] = Вш i f {F(t)}{f(t + x)}r<it. (1.141)
Г —► оо 1
-Г/2
Подставляем выражение (1.140) в выражение (1.137), получим j фф
[5/(со)] = 1ф] [ [/?л(т)е ‘“тс1т|ф|7 -= [ф|[5дМ] [ф|г, (1.142) — оо
где
+ ”
[SF(w)] = J [7?F(w)!e-‘“T dr	(1.143)
является спектральной матрицей возмущения, связанной с силами Fi (() (i = 1, 2,..., п).
Корреляционную матрицу амплитудно-частотной характеристики можно получить, если подставить выражения (1.136) и (1.142) в выражение (1.134), т. е.
J Г#«НФ] [Sf («)]1Ф1Г ГН (®)JX
—оо
Xe!6)Td(o [ф]г.	(1.144)
Автокорреляционная функция, связанная со случайным процессом, описываемым с помощью динамической характеристики хг((), записывается в виде:
= "IT J Г М[Sf И] 1фГ Г Н (“) -1 X — оо
X e'WTd co [фг]г,	(1.145)
где [<р,1 — г-я строка матрицы, т. е.
[ф;]= [фР’ф?.....ф;”’]-
39
При т = 0 автокорреляционная функция принимает среднеквадратическое значение:
I	+°о
<°)~ S1'н* и ’1 м и) (фГ х —оо
X ['И (со) Jd Ы[<рг]г.
(1.146)
Эту процедуру можно применить для получения амплитудно-частотной характеристики системы с многими степенями свободы, хотя при интегрировании по формуле (1.146) потребуется применить теорему вычетов, как было показано на примере, приведенном в работе [1].
1.8. РЕЗЮМЕ
В этой главе дан обзор аналитических методов определения амплитудно-частотных характеристик динамических систем.
На основе применения детерминированного подхода рассмотрены свободные и вынужденные колебания системы с одной и многими степенями свободы. Кратко обсуждены вопросы случайных колебаний и применения теории случайных функций к динамическим системам с одной и многими степенями свободы.
Список литературы
1. S т i t h В. Т., В о у 1 е J. М., Garbow В. S., Ikebe Y., К 1 е т а V. С., Мр 1 е г С. В. — Matrix Eigen System Routines: EISPACK Guide. — New York, Springer-Verlag, 1974.
2. MeirovichL. Elements of Vibration Analysis. — New York, MoGraw--Hill, 1975.
Список дополнительной литературы
В en d a t J. S., P i er so 1 A. G. Random Data: Analysis and Measurement Procedures. — New York, Wiley (Interscience), 1971.
CrandallS. H., M a r k W. D. Random Vibrations in Mechanical Systems. — New York, Academic Press, 1963.
Hurley W. C., Rubinstein M. F. Dynamics of Structures. — Englewood Cliffs, New York, Prentice-Hall, 1964.
Newland D. E. Random Vibrations and Spectral Analysis. —London, Longman Group Limited, 1975.
Thomson W. T. Theory of Vibrations with Applications. — Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1981.
Г лава
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
2.1.	ВВЕДЕНИЕ
Уравнение движения системы с многими степенями свободы можно записать в виде
И1{Х} 4-[с] {Х} + [k] {Х}== {F(Z)},
(2.1)
где (mJ, [с] и (£] — матрицы масс, демпфирования и жесткости системы; {X), {X), {X) — векторы ускорения, скорости и перемещения соответствеиио.
Для получения приближенного решения уравнений движения или системы таких уравнений применяются несколько схем численного интегрирования. Подробное обсуждение схем численного интегрирования выходит за рамки данной монографии; читатель может обратиться к многим доступным учебным пособиям по данному предмету [1, 2]. В данной главе обсуждаются только избранные схемы численного интегрирования, которые широко используются при проведении исследования линейных и нелинейных динамических систем.
Представлено краткое описание этих схем и проиллюстрировано их применение. Точность, устойчивость и эффективность этих схем исследуются путем сравнения результатов для типичных задач.
Матрицы [т], Id и [&] линейных динамических систем не зависят от времени и остаются неизменяемыми при проведении процедуры численного интегрирования. Те же матрицы нелинейных динамических систем меняются по времени и должны подвергаться преобразованию во время интегрирования уравнений движения.
Для решения уравнений движения линейной системы можно использовать либо обычный метод суперпозиции динамического анализа, либо методы непосредственного численного интегрирования. Однако применение последнего подхода для решения нелинейных уравнений движения, вообще говоря, является обязательным.
При использовании метода непосредственного интегрирования уравнения движения интегрируются последовательно на основе применения процедуры численного интегрирования по шагам.
Этот метод ие требует предварительного преобразования уравнений движения до проведения интегрирования. При использовании метода непосредственного интегрирования производные по времени в большинстве случаев аппроксимируются с помощью конечно-разностных выражений, что требует одного или более шагов по времени. Существуют две основные схемы, реализуемые в методе непосредственного интегрирования: явная и неявная. При использовании явной схемы дина
мические характеристики выражаются через найденные на предыдущем шаге значения перемещения, скорости и ускорения. При использовании неявной схемы конечно-разиостные уравнения рассматриваются совместно с уравнениями движения, и перемещения вычисляются непосредственно путем решения уравнений.
Большое внимание было уделено изучению свойств различных схем интегрирования. Однако большинство исследований было направлено на решение линейных динамических систем с целью описания пределов устойчивости данной схемы, затухания амплитуды, фазового сдвига, а также псевдодемпфирования в динамических характеристиках [3—6]. Принято считать, что данные о свойствах различных схем, полученные в результате этих исследований, могут быть непосредственно перенесены на анализ нелинейных динамических систем, но это следует рассматривать как предположение. В связи со сложностью решения нелинейных систем различные схемы интегрирования могут быть проанализированы лишь численно. В этом направлении проделана некоторая работа [7, 8], причем в эти исследования включены лишь некоторые схемы численного интегрирования.
В настоящей главе анализируются три явные и четыре неявные схемы численного интегрирования. В разобранные явные схемы входят схема предиктор с использованием центральных конечных разностей, схема двойной итерации с использованием правила трапеций и схема Руиге-Кутта четвертого порядка. В число неявных схем включены схема Губольта, 0-схема Вильсона, 0-схема Ньюмарка и схема Парка, обладающая высокой устойчивостью.
2.2.	ЯВНЫЕ СХЕМЫ
2.2.1.	Схема-предиктор с использованием центральных конечных разностей1. Конечио-разностные формулы расчета по схеме-предиктор с использованием центральных конечных разностей для вычисления скорости и ускорения записываются через перемещения следующим образом:
{XJ = (2А0-1	(2.2)
{X} . Д/--2({Х<+д,}-2{XJ + {Xt_AJ).	(2.3)
Подставляя выражения (2.2) и (2.3) в уравнение (2.1), можно прийти к уравнению
[т]{Х/+д/} = {Ё),	(2.4)
где [т] — матрица эффективных масс; {Ft} — вектор эффективных сил.
1 См. работу [9].
42
Последние величины задаются в виде:
Ь]	И;	(2-5)
!	2	\
{FJ - <F(}~(W-[m] ){Xf} —
(2.5а>
Перемещения {Х(+Лг} в момент времени / Ч- А/ можно вычислить, решив уравнение (2.4), а подставляя {Х/+д(} в выражения (2.2) и (2.3), можно получить значения скоростей и ускорений в момент времени t. Заметим, что в схеме-предиктор с использованием центральных конечных разностей вычисление {Xt±&t} требует знания {Xt} и {XZ_A/}. Таким образом, для получения решения, соответствующего моменту времени t — А/, требуется специальная начальная процедура.
Допущена локальная ошибка округления при использовании конечно-разностной формулы данной схемы порядка А/2. При исследовании линейных динамических систем шаг по времени ограничивается самой высокой частотой дискретной системы «тах, где
2/(0тах.	(2.6)
Если А/ не удовлетворяет неравенству (2.6), то решение становится неустойчивым [9].
Условие (2.6) является необходимым и достаточным условием устойчивости метода схема-предиктор с использованием центральных конечных разностей при исследовании линейных динамических систем. Однако доказательство того, что это условие в равной мере пригодно в качестве условия устойчивости метода при исследовании нелинейных динамических систем, носит весьма эмпирический характер при условии того, что при вычислениях А/ выбирается с учетом самой высокой частоты.
2.2.2.	Схема двойной итерации с применением способа трапеций1. Уравнения движения в любой момент времени t можно выразить в конечных приращениях следующим образом:
ри] {AXJ — {AFJ — [£]{AXJ—[d{AXJ.	(2.7)
На первом цикле итераций приращения скоростей и перемещений подсчитываются с использованием следующих формул для первого шага по времени:
(AXJ-Ai{X,_A().	(2.8)
1 См. работу [10].
43
Для последующих шагов по времени
{AXJ-2А/{Х(. Д(} —{АХ(_Д(};	(2.8а)
{Х(ЬДХ,_Д(}+{АХ/};	(2.86)
{AXJ = -1- А/({ХМ(}+{Х(}).	(2.8в)
Приращения ускорений вычисляются путем подстановки з уравнение (2.7) выражений для {АХД и {АХ(}, взятых из соотношений (2.8) или (2.8а) и (2.8в) соответственно. Эти ускорения затем используют-
ся для вычисления ускорений в момент времени t по формулам: {АХ,} — [т]-1 ({AF() - -[Л] {AXJ-[с] {AXJ;	(2.9)
{XJ = {VaJ + {AXJ.	(2.9a)
На втором цикле итераций приращения скорости и ускорения определяются заново следующим образом:
= + (210)
{xj = {x(_aj+{axj;	(210а)
{AXJ К*'-4'}+ {*<>)•	(210б)
Окончательно для вычисления новых приращений ускорений выражения (2.10) и (2.10а) для {AXJ и {АХ(} соответственно подставляются в соотношение (2.9). Эти новые приращения используются затем в соотношении (2.9а) для вычисления ускорений в момент времени t.
2.2.3.	Схема Рунге-Кутта четвертого порядка1. В схеме Рунге-Кутта уравнения движения динамической системы записываются через переменные состояния, т. е. уравнения относительно неизвестного {у}, связанного с перемещением и скоростями следующим образом:
<уН-$Т	(2|1>
Приближенное значение {у<+Д(} находится на основе {у(} таким образом, что результат разложения в степенной ряд этого приближения совпадает вплоть до членов определенного порядка (\t)N для временного интервала А/ с действительным разложением в ряд Тэйлора приближения (t + А/) по степеням АС Преимущество этой схемы заключается в том, что не требуются никакие начальные значения, кроме указанных выше. Общие алгоритмы четвертого порядка основываются на формуле следующего вида:
{у/4д/} {у} +M{akl-[-bki +ck3 + dk4).	(2.12)
1 См. работу [ 11].
44
Здесь а, b, с и d — константы, и ku k2, k> и являются приближенными значениями производных, вычисленных в интервале th t th+&f Применяются несколько алгоритмов четвертого порядка. Следующая формула была предложена Куттом:
{У(+л4 = {у;}+ ^[M-2M^H.I.	(2.13)
где kt - {f (/, у.)};
f / M	M \]
Ш + у,
[ I М	М
= |f (^ + 2 ’ У* +	2 /) ’
^4 =“ {1 (t + У{ + ^3^0-
Достоинство схемы Рунге-Кутта заключается в том, что применение ее на каждом этапе последующих вычислений не требует знания информации, относящейся к предыдущим шагам по времени. Метод является полностью самовозобновляющимся и практически годится для тех случаев, когда необходимо считаться с ограничениями машинной памяти.
Ошибка округления для схемы Рунге-Кутта четвертого порядка записывается в виде
et - -£(W,	(2.14)
где k зависит от f (t, у) и ее частных производных высокого порядка.
Так как схема Рунге-Кутта является явной схемой, то максимальный шаг по времени обычно выбирается из соображений устойчивости. Данную схему можно считать по своему существу устойчивой, так как корректировку шага по времени можно легко выполнить на любом этапе вычислений. Однако при реализации данной схемы возникает искусственное демпфирование, которое приводит к излишнему уменьшению амплитуды динамических характеристик.
Главный недостаток рассматриваемой схемы сводится к тому, что каждый шаг вперед требует ряда вычислений производных. Это приводит к значительному увеличению вычислений. К этому следует добавить, что достаточно простое выражение для точного вычисления ошибки округления для схемы Рунге-Кутта отсутствует.
2.3.	НЕЯВНЫЕ СХЕМЫ
2.3.1.	Схема Губольта*. Схема Губольта основана на интерполяционной формуле перемещений третьего порядка. В схеме численного интегрирования Губольта записываются многошаговые неявные фор-
1 См. работу 112].
45
мулы для скорости и ускорения через перемещение. В этих формулах используются формулы для левых односторонних конечных разностей.
Конечно-разностные формулы для алгоритмов Губольта имеют следующий вид:
{Хчд,} -(А/)-2 [2 {Х(+Д;} —5{Хг} + 4 {Х/_Д(}—{Х/__2Д<}1;	(2.15)
{Х(+Д()=(6А/)-1[11{Х(+д/}-
-- 18{Х(} + 9{Х(„Д(}- 2{Х(_2Д/}].	(2.16)
Подставляя выражения для {Х/+дД и {Х(+Д/} из выражений (2.15) и (2.16) соответственно в уравнение (2.1), получим
1т]{Х/+д/} {Ё/+д/},	(2.17)
где матрица эффективных масс [ml и вектор эффективных сил {Е(+Д/} имеют вид:
lml ++	(2.18)
{Ё/+д/} {р/+д/} +	[т] +	[с] ) {XJ—
( др  (т1 + 2Д/ |С|){Х/_Д(} +
+ (^р-|«] + ^дГм){х/-2Д4.	(2.18а)
Перемещения {Xi+Af} на (t + Д^) временном шаге можно вычислить, решая уравнение (2.17), тогда как скорости и ускорения в момент времени (/ + А/) могут быть получены при подстановке {Х(+Д/} в (2.15) и (2.16) соответственно. Данная схема не является самовозобновляющейся и требует хранения большого массива информации в памяти ЭВМ.
2.3.2.	0-схема Вильсона*. В схеме Вильсона принимается, что ускорение изменяется линейно на отрезке времени 0А/ при 0 > 1 и что свойства динамической системы остаются в течение этого интервала времени неизменными.
Конечно-разностные формулы алгоритма Вильсона задаются в виде:
{Хжш} ({Х(+еД,}-{XJ)-------------^r{XJ-2{XJ;	(2.19)
{X(mJ =^г({Х,нед/}-{Хг})^2{Хг}--^{Х(}.	(2.20)
1 См. работу [13|.
46
Для вычисления значений перемещения, скорости и ускорения в момент времени (/ + Ai) воспользуемся уравнением (2.1). Так как ускорение меняется линейно, то можно записать выражение для линейного расчетного вектора сил, для которого справедливо равенство
[т] {Х.;-|-ед/} +	-р[й] {Х/4.0Д/} =-{Р/4-0д(),	(2.21)
где {Fz+eAJ = {FJ + 0 ({F/+a/}-{FJ).
Подставляя выражения (2.19) и (2.20) для {Х/+ад(} и {Хг+ад(}
соответственно в равенство (2.21), получим:
[т] {Х/+0д/}	{Р/+0дг},	(2.22)
__ где матрица эффективных масс [ml и вектор эффективных сил {Р/4-0д,} задаются следующими выражениями:
1™, = 1Ь’('П,+"^ГМ + [Н (2-23)
{Р/+0Д(} —- {Р/+0Д/} 4~ 02Д(2 1^1 Н 0Д( [П j {X;} Т
+ (“ЙГ {т] + 2 W) (XJ + (21^1 +	[с]) {XJ- (2.23а)
Подставляя полученное из решения уравнения (2.22) значение {Х(+0дД в эти выражения, получим:
(Х„л,) -	(X,)) -
~-^-<Х,) + Г1—|-)<к'*:	,2'24>
{Х/+дг} - {Х(} + ~ ({Х,+д J + {X,});	(2.24а)
{Хм д4 -{Х() + A 7{Х J	({Х<+ДJ-2 {XJ)	(2.246)
для вычисления ускорений, скоростей и перемещений соответственно в момент времени (t + AZ).
Вся схема является безусловно устойчивой для линейных динамических систем при 0 > 1,37, нечасто при 0= 1,5 эта схема используется и для расчета нелинейных систем. К сожалению, с помощью данной схемы никогда нельзя выполнить условие равновесия в момент времени (t + А/).
2.3.3.	p-схема Ньюмарка. Схему интегрирования Ньюмарка можно рассматривать как обобщение схемы линейного интегрирования. В этой схеме используются два параметра а и Р, которые можно изме
47
нять в соответствии с требованиями конкретной задачи. Выражения для скорости и перемещений задаются в виде:
Xt+M - Xt + [(1 - a) Xt 4- а Х/+Д(] Л/;	(2.25)
Х1+ы Xt 4- XtM+ [(-у -р) Xt 4-РХ/+Д/] A/2-	(2.25a)
Значения параметров аир подбираются с целью обеспечить точность и устойчивость численного интегрирования. Влияние этих параметров в чистом виде сводится к видоизменению вариаций ускорения в течение интервала Д (. Если положить а = ^, а Р = О, ускорение будет постоянным и равным Xt в течение каждого интервала времени д/. Если а = 1/2, ар 1/8, ускорение в начале будет постоянным и равным Xt, а затем изменится до значения Xt+m г середине интервала времени А/. При а — 1/2 и р •= 1/6 в соответствии с равенствами (2.25) и (2.25а) ускорение меняется линейно от Xt до Xt+\t, тогда как значения а = 1/2 и Р = 1/4 соответствуют допущению о том, что ускорение остается постоянным, равным среднему значению (Л) 4~ 4- Х(+ы)/2- Конечно-разностиые формулы для реализации алгоритма P-схемы Ньюмарка выглядят следующим образом:
(x,+AJ = 1b-({X<+A/}-{XJ)—{XJ-(-L- - 1 ){XJ; (2.26)
(Х;+д() ,=	({Х(+д4-{XJ) ~(у - 1) {XJ -
- А ((-- 1){Х(}.	(2.27)
Воспользуемся уравнением (2.1) для момента времени (/ 4- А/) для нахождения перемещений, скоростей и ускорений. Подставляя выражения (2.26) и (2.27) для {Х/+Д(} и {Х/+Д(} соответственно в уравнение (2.1), получим:
[т.1{Х(+д,} ={Ё;+Д/},	(2.28)
где матрица эффективных масс (ml и вектор эффективных сил (Е/+Д/) равны:
Ьи]- [га] 4-И-Н&];	(2-29)
{Ен-Д(} {Р(.НД(} 4- 2р — 1 j [т] 4-А^ 2р — 1) [с] {XJ 4-
+ ['рЬ~1'п1 + (']Г — 1)[с]]{\}4-[-^Г(т]	(2.29а)
48
Для получения скоростей и перемещений в момент времени t + А/ необходимо решение уравнения (2.28) относительно {Хг+д(} подставить в формулы (2.26) и (2.27).
Одним из больших достоинств данной схемы является то обстоятельство, что для линейных систем амплитуда является ограниченной, а схема является безусловно устойчивой при условии, что 1/2 и Р > 1/4 (а + 1/2)2. Однако при значениях а — 1/2 и р = 1/4 имеют место наибольшие ошибки округления частоты колебаний в противоположность ошибкам округления частоты при других значениях р.
Для системы с одной степенью свободы пиковые значения амплитуд могут оказаться некорректными.
2.3.4.	Схема Парка*, обладающая высокой устойчивостью. Двухшаговая и трехшаговая схемы Гира [16] основаны на интерполяционной формуле перемещений второго и третьего порядка, выведенных с помощью формул для левых односторонних конечных разностей. Формула скорости е момент времени (/ + А/) в двухшаговой схеме Гира имеет вид:
Хлл-ы = (2А/)-1 (2Х+дt —4Х( -f- Xt м).	(2.30)
Конечно-разностная формула для скорости в момент времени (/ + А/) дается выражением (2.16). Двухшаговая схема Гира вносит в решение сильное численное демпфирование, тогда как трехшаговая схема Гира является неустойчивой для многих представляющих интерес диапазонов частот, например, при <оА/ С 2. Высокоустойчивая схема Парка получена на основе сочетания двухшаговой и трехшаговой схем Гира. Цель такой комбинации — создание схемы, которая была бы точной и устойчивой для диапазонов низких частот и устойчивой для всех высокочастотных составляющих. Формула для скорости в схеме Парка высокой устойчивости выводится с помощью линейной комбинации равенств (2.16) и (2.30)
Xt+ы = (6А/Г1 (1 dXi+M -15Xt4- 6X(__M-X(_W).	(2.31)
Аналогично
Х/+д( =(6А/)-100Х(+д/-15Х(+bXt^t-Xt._2Д().	(2.32)
Таким образом, конечно-разностная формула в алгоритме Парка задается в виде:
!Х(+д4 = (6Д/)-1 [Ю {Х/+Д(| -15 |Xt} 4- 6 {Xt-4J- {Ж- 2Д(|];	(2.33)
{Х(4.дЯ - (6A/)-i [10 {Х/+д/}—15{Xt} 4-6 {Х_дJ—{Л^2д(}].	(2.34)
Решая уравнение (2.1) для времени (t 4-Д0, получим значения перемещений, скорости и ускорения.
1 См. работу [15].
49
Подставляя выражения (2.33) и (2.34) для {Х/+д(} и {Х/+д,} соответственно в уравнение (2.1), находим:
[™]{Х/+Д/}	(2-35)
где матрица эффективных масс [ml и вектор эффективности сил {Ff-j-A,} задаются в виде:
Im] -	---6Xrlcl + l*J;	(2-36)
{F'W =-бхН™1 (XJ------+ -£ЛГlmi <*'" 24'> +
I (-тггг- 1»ч + и) -(тйг и +	(х' ~4')+
+ ( збЬ- tffll+-^r[d){Xf_2AJ.	(2.36а)
Для получения скоростей решение уравнения (2.35) относительно {Х/+дД подставляется в выражение (2.34). При подстановке найденного значения {Х(+д(} в (2.33) получим значение {X(+aJ.
Заметим, что в схеме Парка высокой устойчивости вычисление {Х(+д(} требует знания перемещений и скоростей в моменты времени t, (t— kt) и (t — 2&t). Таким образом для получения решений для моментов времени kt и 2Д/ требуется специальная процедура в начале вычислительного процесса. Это обстоятельство делает данную вычислительную схему несамовозобновляющейся. Кроме этого, данный метод требует большой памяти ЭВМ для хранения значений скорости и перемещения, полученных на двух предыдущих шагах по времени.
2.4.	ХАРАКТЕРНЫЕ ПРИМЕРЫ
2.4.1.	Линейная динамическая система. Чтобы сравнить показатели различных численных схем интегрирования, такие, как затраты машинного времени, эффективность, устойчивость и точность, в качестве примера выбрана линейная динамическая система с двумя степенями свободы, показанная на рис. 2.1. Матрица эффективности массы, жесткости и демпфирования для этой системы записываются соответственно:
Г 0,2 —0,1
[ — 1
Результаты, полученные с помощью различных схем интегрирования, показаны на рис. 2.2, а, б. В данном исследовании использовались значения 0 = 1,5 для 0-схемы Вильсона и параметров а=1/2 и 50
р = 1/6 для P-схемы Ньюмарка. Во всех случаях был выбран шаг по времени, равный 0,01 с. Для этого конкретного шага по времени все схемы интегрирования были устойчивыми и приводили к точным результатам. Точность этих результатов с очевидностью следует из сопоставления их с результатами аналитического решения 117], которые иллюстрируются на рис. 2.3, а, б.
Когда шаг интегрирования был увеличен до 0,05 с, первой обнаружила неустойчивость P-схема Ньюмарка. Как видно на рис. 2.4, неестественное возрастание Xt можно наблюдать после двух циклов, тогда как неестественное возрастание Х2
наступает после семи циклов, как рис 2д. Линейная динамическая си-показано на рис. 2.5. Для данно- стема с двумя степенями свободы го конкретного шага по времени
остальные схемы остаются устойчивыми. При дальнейшем увеличении шага по времени уже проявлявшаяся неустойчивость P-схемы Ньюмарка наступает после малого числа шагов по времени. Остальные схе-
Рнс. 2.2. Характеристики линейной динамической системы, полученные с помощью схем численного интегрирования:
а — перемещение б — перемещение Х2; t — время, с
Рис. 2.3. Характеристики линейной динамической системы, полученные на основе аналитического решения: а — перемещение б — перемещение Х2; t — время, с
51
Рис. 2.4. Перемещение Х|, полученное с помощью 0-схемы Ньюмарка при шаге по времени /=0,05 с
Рис. 2.5. Перемещение Х2, полученное с помощью 0-схемы Ньюмарка при шаге по времени /= = 0,05 с
Рис. 2.6. Перемещение Х3, полученное с помощью метода Рунге-Кутта при шаге по времени / = 0,2 с
мы продолжают демонстрировать устойчивые решения. Исключение составляет схема Рунге-Кутта: как показано на рис. 2.6, амплитуда, вычисленная по этой схеме, сильно задемпфирована.
Когда шаг по времени увеличился до 0,5 с, P-схема Ньюмарка, схема-предиктор с использованием центральных конечных разностей, схема двойной итерации с применением правила трапеций, а также схема Рунге-Кутта — все обнаружили неустойчивые решения, тогда как схема Парка показала высокую устойчивость. Схемы Губольта и 9-схема Вильсона оставались устойчивыми.
В табл. 2.1 приводится сравнение затрат процессорного времени на ЭВМ DEC-2050 при шаге по времени 0,05 с, числе шагов 5500 и суммарном времени 275 с.
Таблица 2.1. Сравнение затрат машинного времени для различных численных схем нсследовання линейных динамических систем
Схемы интегрирования	Затраты процессорного времени, с
Схема-преднктор с использованием центральных конечных разностей	26,32
0-схема Ньюмарка (а=1/2, 0=1/6)	27,95
0-схема Вильсона (0=1,5)	27,21
Схема Губольта	26,04
Схема Парка высокой устойчивости	26,69
Схема Рунге-Кутта	27,41
Схема двойной итерации с применением правила трапеций	25,20
52
Можно видеть, что наименьшие затраты процессорного времени требуются при использовании схемы двойной итерации с применением правила трапеций, но при больших шагах по времени эта схема может стать неустойчивой. Далее в порядке увеличения затрат процессорного времени следует схема Губольта, схема-предиктор с использованием центральных конечных разностей, схема Парка высокой устойчивости, 9-схема Вильсона, схема Рунге-Кутта и P-схема Ньюмарка.
У схемы Губольта два преимущества по сравнению с другими схемами: относительно небольшие затраты процессорного времени и безусловная устойчивость.
2.4.2.	Нелинейная динамическая система. Для иллюстрации характеристик различных схем численного интегрирования взята колесная пара, показанная на рис. 2.7. Уравнения движения этой системы нелинейны. Эти уравнения, которые будут выведены в главе 5, описывают систему с двумя степенями свободы. Колебания бокового относа и виляния имеют следующий вид:
т у + -------(У—mp) + ф — -^2- Д2 (у) +
V	V	Г Q
^WAAL(y)+kvy + cyy=Fy(t);	(2.37)
/Л +	(—1 + -V5- * “	-
V	/ q	\	£>	U	и
2^а	__&фф Ч-Сфф — Кф (/),	(2.38)
г о
где т 536 кгс2/м — масса системы «ось — колесная пара»; /<* = *865 Н-мс2 — момент инерции колесной пары относительно оси г; а - 762 мм — расстояние точки контакта колеса с рельсом до оси z; гв — 508 мм — радиус колеса; = 1,6 • 10’ Н — коэффициент продольного крипа рельса; /12 = — 0,52-105 Н-м— коэффициент сочетания поперечного и поворотного кри-пов; 189 Н-м2 — коэффициент поворотного крипа; /33 = 1,7-10’Н— коэффициент поперечного крипа; WА = 293700 Н — нагрузка на ось; ky ~ 875984 Н/м — коэффициент поперечной жесткости; су - 17520 Н-с/м — коэффициент поперечного демпфирования; 21,14-106 Н-м/рад — коэффициент жесткости при колебаниях виляния; = 3527 Н мс/рад — коэффициент демпфирования при колебаниях виляиия; v = 382 м/с — скорость движения оси колесной пары; 60 = 0,05° — первоначальный угол комичности; Fy (/) — возмущающая поперечная сила в правой (асти уравнения (2.37), изображенная на рис. 2.8; Гф (/) — возмущающий момент, вызывающий виляние.
Рис. 2.7. Схема колесной лары:
/ - колесо; 2 — ось
53
Изменения разности радиусов качения левого и правого колес Aj (у) н Д2 (у), а также боковое смещение приведены на рис. 2.9 и 2.10.
Уравнения (2.37) и (2.38) решались численно с помощью следующих схем: Р-схемы Ньюмарка; 9-схемы Вильсона; схемы Губольта; схемы Парка высокой устойчивости; схемы-предиктор с использованием центральных конечных разностей; схемы Рунге-Кутта; схемы двойной итерации с применением правила трапеций. Затем на печать выводились графики параметров у иф, а результаты сравнивались по затратам на вычисления и по устойчивости решения.
Данные уравнения колебаний, записанные в матричной форме, имеют следующий вид
т 0
0 /м_
2/11	2/12
~+С«	V	[»)
1 . (+
2/12	,	2П*	2/22	(ф|
V	V
ku —Zfu 1 \У\ 0 (2f12—а^д60 + Ц)] |ф]
F4 (0 +—— Д2(.0	<У)
го
*	'О	'0	Z
(2.39)
Вначале прогонялись все схемы с использованием временных шагов в 0,001 с при суммарной длительности в 1 с, для которой колебания бокового относа и виляния колесной пары достигали устойчивых
УЧ, 5кН
0	0,01	t,C
Рис. 2.8
Рис. 2.8. Зависимость боковой ударной силы от времени
Рис. 2.9. Изменение полуразностн радиусов (мм) катании левого и правого колес для колесной пары, показанной на рис. 2.7 (ci = 0,127 мм, с2=254 мм, 6= = 8,89 мм; rL и гк— мгновенные радиусы катания левого и правого колес соответственно, не в масштабе) в зависимости от бокового перемещения
54

Д2(уМ
Рис. 2.10. Изменение:
а — Д( (у); б — Д2 (у); в — Дь (у) в зависимости от бокового перемещения колесной пары
значений. Печатались графики у (t) и ф (I), приведенные на рис. 2.11 — 2.17. Результаты вычислений сведены в табл. 2.2.
__ Затем шаг интегрирования был уменьшен с 0,001 до 0,0005 с. пига В табл. 2.3 приведены итоговые результаты при использовании шага по времени, равного 0,0005 с.
Сравнение результатов указывает на то, что имеется небольшая разница (если вообще таковая имеется) при использовании шагов по времени 0,001 и 0,0005 с. Значения бокового перемещения и угла поворота при вилянии в обоих случаях одинаковы. Было установлено, что из трех явных и четырех неявных исследованных схем две явные (схема-предиктор с использованием центральных конечных разностей и схема Рунге-Кутта) и две неявные схемы [P-схема Ньюмарка (а = 1/2; р=1/6) н схема Парка высокой устойчивости] являются устойчивыми.
Схема Рунге-Кутта и схема-предиктор с использованием центральных конечных разностей вносят определенную долю демпфирования.
Таблица 2.2. Сравнение результатов расчета по семи схемам интегрирования при шаге по времени 0,001 с, при боковом начальном импульсе прямоугольной формы н скорости колесной пары 97 км/ч
Схема интегрирования	 Устойчивость	Процессорное время, с	Замечания
Схема-предиктор с использо-	Устойчива	19,35	Вносит демпфи-
ванием центральных конечных			роваиие
разностей			
p-схема Ньюмарка (а=1/2;	Устойчива	19,35	
₽=1/6)			
0-схема Вильсона (0=1,5)	Неустойчива	19,24	Неустойчива
Схема Губольта	Неустойчива	19,10	Неустойчива
Схема Парка высокой устой-	Устойчива	19,60	—
чивостн			
Схема Рунге-Кутта	Устойчива	20,41	Вносит демпфи-
			роваиие
Схема двойной итерации с	Неустойчива	25,01	Неустойчива
применением правила трапеций			
55
у,мкрад
Рис. 2.11. Зависимости бокового перемещения у и угла поворота ф от времени при вилянии, полученные с помощью схемы-предиктор с использованием центральных конечных разностей (скорость 96 км/ч, шаг по времени 0,001 с; нагружение импульсом прямоугрль-ной формы)
Рис. 2.12. Зависимости бокового перемещения у и угла поворота ф от времени при вилянии, полученные с помощью P-схемы Ньюмарка (скорость 96 км/ч, шаг по времени 0,001 с; нагружение импульсом прямоугольной формы)
Рис. 2.13. Зависимости бокового перемещении у и угла поворота ф от времени при вилянии колесной пары, вычисленные с помощью 0-схемы Вильсона (скорость 96 км/ч; шаг по времени 0,001 с; нагружение импульсом прямоугольной формы)
56
Рис. 2.14. Зависимости бокового перемещении у и угла поворота ф от времени при вилянии колесной пары, полученные с помощью схемы Губольта (скорость 96 км/ч; шаг по времени 0,001 с; нагружение импульсом прямоугольной формы)
Рис. 2.15. Зависимости бокового перемещения у и угла поворота ф от времени при вилянии колесной пары, полученные с помощью схемы Парка высокой устойчивости (скорость 96 км/ч; шаг по времени 0,001 с; нагружение импульсом прямоугольной формы)
Рис. 2.16. Зависимости бокового перемещения у н угла поворота ф от времени при вилянии колесной пары, вычисленные с помощью схемы иитегрироваиия Рунге-Кутта (скорость 96 км/ч; шаг по времени 0,001 с; нагружение импульсом прямоугольной формы)
Рис. 2.17. Зависимости бокового перемещения у и угла поворота ф от времени при вилянии колесной пары, вычисленные с помощью схемы двойной итерации с применением правила трапеций (скорость 96 км/ч; шаг по времени 0,001 с, нагружение импульсом прямоугольной формы)
57
Таблица 2.3. Сравнение результатов расчета по семи схемам ннтегрировання при шаге по времени 0,0005 с, при боковом начальном импульсе прямоугольной формы н скорости колесной пары 97 км/ч
Схема интегрирования	Устойчивость	Процессорное время, с	Замечания
Схема-предиктор с использованием центральных конечных разностей	Устойчива	19,32	Вносит демпфирование
Р-схема Ньюмарка (а=1/2; ₽ = 1/6)	Устойчива	19,86	—
0-схема Вильсона (0 = 1,5)	Неустойчива	19,22	Неустойчива
Схема Губольта	Неустойчива	19,13	Неустойчива
Схема Парка высокой устойчивости	Устойчива	19,55	—
Схема Рунге-Кутта	Устойчива	20,38	Вносит демпфирование
Схема двойной итерации с применением правила трапеций	Неустойчива	25,04	Неустойчива
Схема Рунге-Кутта требует максимальных затрат машинного времени, тогда как все остальные схемы требуют приблизительно одинаковых затрат машинного времени.
Судя по рис. 2.11 при воздействии начального бокового импульса нагрузки прямоугольной формы система «ось — колесная пара» не вибрирует и амплитуда быстро затухает. Максимальная амплитуда составляет всего 4 мм, что меньше значения 60. Таким образом, динамические характеристики системы остаются в линейной области. Для дальнейшего исследования поведения различных схем в нелинейной
Рнс. 2.19
Рис. 2.18. Зависимость бокового перемещения у колесной пары от времени, вычисленная с помощью P-схемы интегрирования Ньюмарка при начальном боковом перемещении 9 мм (а= 1/2; р= 1/6).
Рис. 2.19. Зависимость бокового перемещения у колесной пары от времени, вычисленная с помощью схемы Парка высокой устойчивости при начальном боковом перемещении 9 мм
58
Рис. 2.20. Зависимость бокового перемещения у колесной пары от времени, вычисленная с помощью схемы иитегрирования-предиктор с использованием центральных конечных разностей при начальном боковом перемещении 9 мм.
Рис. 2.22
Рис. 2.21. Зависимость бокового перемещения у колесной пары от времени, вычисленная с помощью 9-схемы Вильсона при начальном боковом перемещении 9 мм (0=1,5)
Рис. 2.22. Зависимость бокового перемещения у колесной пары от времени, вычисленная с помощью схемы интегрирования Руиге-Кутта при начальном боковом перемещении 9 мм
Рис. 2.23. Зависимость бокового перемещения у колесной пары от времени, вычисленная с помощью схемы двойной итерации при боковом перемещении 9 мм
области динамических характеристик изменяются начальные условия системы «ось — колесная пара». Вместо первоначальной боковой силы вводится начальное боковое перемещение, равное 9 мм. Уравнения колебаний решались с помощью 0-схемы Ньюмарка, схемы Парка высокой устойчивости, схемы-предиктор с использованием центральных конечных разностей, 0-схемы Вильсона, схемы Рунге-Кутта и схемы двойной итерации с применением правила трапеций. 9-схема Вильсона и схема двойной итерации обнаружили неустойчивость решения, тогда как схема Рунге-Кутта привела к значительному демпфированию динамических характеристик. Поведение динамических характеристик, полученных с использованием остальных схем, было идентично. Результаты расчетов представлены на рис. 2.18—2.23.
59
Следует подчеркнуть, что невозможно определить устойчивость отдельно взятой схемы численного интегрирования для всех возможных случаев применения. Применение конкретной схемы в большой мере зависит от физической сущности задачи, подлежащей рассмотрению, и часто диктуется требованиями к точности решения, учетом нелинейных характеристик системы, точностью ЭВМ и соответствующими затратами. В настоящей главе была сделана попытка проиллюстрировать сопоставимые характеристики нескольких схем численного интегрирования.
Сделанные выводы ни в коей мере не должны истолковываться как обобщение на случай решения всех типов задач динамического исследования. Выбор подходящего шага интегрирования по времени часто основывается на опыте решения динамических задач конкретного типа.
2.5.	РЕЗЮМЕ
Существует несколько схем численного интегрирования дифференциальных уравнений колебаний. В данной главе подробно изучены три явные и четыре неявные схемы интегрирования. Каждая схема была использована для расчета характеристик динамической системы с двумя степенями свободы для двух различных шагов по времени. Для определения, является ли та или иная из проанализированных схем устойчивой и не вносит ли она нежелательное демпфирование, а также для установления требуемых затрат процессорного времени при численном интегрировании, было реализовано достаточно большое число шагов по времени. Было установлено, что для исследованной линейной системы схема Губольта и схема Парка высокой устойчивости устойчивы. 9-схема Вильсона устойчива при значениях 9 > 1,3, тогда как P-схема Ньюмарка устойчива при а > 1/2 и Р > 1/6. Наименьшее требуемое процессорное время достигнуто для схемы двойной итерации с применением правила трапеций, но схема становится неустойчивой по мере увеличения шага по времени. Схема Губольта требует немного большего процессорного времени, чем требует схема двойной итерации; однако преимущество первой схемы заключается в ее безусловной устойчивости.
При использовании этих схем интегрирования для расчета характеристик нелинейной динамической системы было установлено, что все те схемы, которые были устойчивыми при решении линейной задачи, не оставались устойчивыми при решении нелинейной задачи. Р-схема Ньюмарка и 9-схема Вильсона были неустойчивыми даже при относительно малом шаге по времени, тогда как динамические характеристики, полученные с помощью схемы Рунге-Кутта четвертого порядка, и схема двойной итерации были сильно задемпфированы. Схема Губольта была устойчивой и требовала наименьших затрат процессорного времени.
60
Список литературы
1.	Bathe К., Wilson Е. L. Numerical Methods in Finite Element Analysis. — Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1976.
2.	Hilderbrand F. B. Introduction to Numerical Analysis. — New York, Mc-Graw — Hill, 1956.
3.	N i c k e 1 1 R. E. Direct integration methods in structural dynamics.— Proceedings of the American Society of civil engineers. Journal of The Engineering mechanics division, 1973, v. 99, ЁМ2, pp. 303—317.
4.	Dunham R. S., Nickell R. E., S t i c k 1 e r D. C. Integration operators for transit structural response. — Journal of Computer and Structures, 1972, v. 2, pp. 1 —15.
5.	К г i e g R. D., К e v S. W. Transient shell response by numerical time integration. — In Advances in Computational Methods in Structural Mechanics and Design (J. T. Oden, R. W. Clough, and Y. Yamamoto, eds.), pp. 237—258, Huntsville, Alabama, University of Alabama Press, 1972.
6.	Bathe K. J.. Wilson E. L. Stability and accuracy analysis of direct integration methods. — International Journal of Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1973, v. 1, N. 3, pp. 283—291.
7.	StricklinJ.A.,MartinezJ.E.,TillerscnJ.R., HongJ.H., H a i s 1 e r W. E. Nonlinear Dynamic Analysis of Shells of Revolution by the Matrix Displacement Method. — Report 67—77, Department of Aerospace Engineering. College Station, Texas, Texas A. M. University, 1970, February.
8.	Belytschko T., Holmes N., Mullen R. Explicit Integration Stability, Solution Properties, Costs. — Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. Applied Mechanics Division, 1975, v. 14.
9.	L e e c h J. W., HsuP. T., Macks E. W. Stability of a finite difference method for solving matrix equations. —Journal of American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1965, v. 3, N. 11, pp. 2172—2173.
10.	A d e 1 i H., GereJ.M., Weaver W. Algorithms for nonlinear structural dynamics. — Proceedings of the American Society of civil engineers.— Journal of the Structural division, 1978, v. 104, N. 2, pp. 263—280.
11.	Carnahan С. B., Luther H. A., WilkesJ.O. Applied Numerical Methods. — New York, Wiley, 1969.
12.	Houbolt J.C. A recurrence matrix solution for the dynamic response of ellastic aircraft. —Journal of aerospace sciences, 1950, v. 17, N. 9, pp. 540—550.
13.	Wilson E. L. A Computer Program for the Dynamic Stress Analysis of Underground Structures. — Report 68—1. Berkely, California, University of California, 1968.
14.	N e w m a r k N. M. A method of computation for structural dynamics.— Proceedings of the American Society of civil engineers. Journal of the structural division, 1959, v. 85, N. 3. pp. 67—94.
15.	Park К. C. An improved stiffly stable method for direct integration of nonlinear structural dynamic equations. — Journal of Applied mechanics, 1975, v. 42, N. 2, pp. 464—470.
16.	G e a r C. W. Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations. — Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1971.
17.	D’ S о u z a A. F., G a r g V. K. Advanced Dynamics. — Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice-Hall, 1983.
Г лава
КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ, ПЛАВНОСТИ, КОМФОРТАБЕЛЬНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЭКИПАЖЕЙ И ГЕОМЕТРИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ
3.1.	ВВЕДЕНИЕ
Изучение динамики экипажа является сложной задачей. Даже при движении по прямому пути, когда движение осуществляется с малой скоростью, возникают проблемы, связанные с колебаниями виляния. При больших скоростях могут возникнуть значительные вертикальные колебания или извилистое движение.
Во время движения по криволинейному участку путей при накате колес на наружный рельс могут возникнуть значительные поперечные силы, что может привести к опрокидыванию рельса. Груз может быть поврежден из-за дополнительных колебаний, происходящих в результате погрузки и разгрузки вагонов. Кроме этого, железнодорожный состав может выпучиться в боковом или вертикальном направлении. Силы, которые возникают в ударно-тяговых приборах при различных условиях эксплуатации, могут вызвать разрыв железнодорожного состава.
В настоящей главе рассматриваются различные математические модели и методы решения задач, возникающих при исследовании динамики железнодорожного экипажа и поезда. Далее кратко отражены вопросы выбора эксплуатационных характеристик железнодорожных экипажей. В данную главу включено описание неровностей геометрических характеристик верхнего строения пути, а также нормы безопасности движения Федерального Управления железных дорог США.
3.2.	ТИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Для понимания динамики взаимодействия между поездом и железнодорожным путем широко используется метод математического моделирования поезда и пути. Характер динамического взаимодействия изменяется в зависимости от условий эксплуатации, от характера основной площадки земляного полотна, от неровностей колеса и рельсового пути, а также от климатических условий. Построение универсальной математической модели, в которой всесторонне учитывались бы все аспекты взаимодействий поезда с железнодорожным путем, было бы невыполнимой задачей. Однако с помощью различных упрощенных математических моделей можно изучить сложные динамические явления, возникающие вследствие этих взаимодействий. Каждая модель предназначена для конкретной области исследования.
62
В общем случае при построении математической модели для изучения динамического поведения экипажа или железнодорожного состава принимается, что части динамической системы являются твердыми телами. Твердое тело имеет шесть степеней свободы, которые соответствуют трем перемещениям (продольному, поперечному и вертикальному) и трем поворотам (вокруг вертикальной оси). Так как каждая степень свободы приводит, как правило, к дифференциальному уравнению второго порядка, то для математического описания системы требуется 6,V дифференциальных уравнений, где W означает число компонент динамической системы. Решение совокупности этих дифференциальных уравнений является не только трудоемким, но во многих случаях не является необходимым. Поэтому следует уделять большое внимание построению упрощенных математических моделей.
Как показывают наблюдения, между колебаниями подпрыгивания и бокового относа экипажа существует относительно слабая связь. Поэтому, вероятно, нет необходимости при изучении вынужденных колебаний бокового относа экипажа учитывать степени вертикальной свободы, а в равной мере не следует учитывать степени поперечной свободы при изучении вынужденных колебаний подпрыгивания. При исследовании вынужденных колебаний подпрыгивания правомерным был бы учет тех степеней свободы частей динамической системы, которые соответствуют колебаниям подпрыгивания, галопирования и боковой качки.
Соответственно для исследования поперечной динамики можно учитывать степени свободы частей динамической системы, которые соответствуют колебаниям бокового относа, виляния и боковой качки.
Рис. 3.1. Схема направлений изучения динамического поведения железнодорож-ного подвижного состава н поезда:
/ — динамическое поведение: 2 — подвижной состав; 3 — поезд; 4 —- определение реакции подвижного состава; 5 — изучение устойчивости; 6 — прямолинейный участок пути; 7— криволинейный участок; 8 — устойчивость при колебаниях подергивания; 9— устойчивость при колебаниях бокового относа; 10 — устойчивость при колебаниях галопирования; 11—колебания виляния; 12 — подпрыгивание; 13 — поперечная устойчивость при вилянии; 14 — опрокидывание рельса; 15 — всползание колеса
63
При исследованиях продольной динамики в модели могут учитываться степени свободы, соответствующие колебаниям подергивания, галопирования и боковой качки1.
Таким образом суммарное число динамических степеней свободы системы можно значительно уменьшить в зависимости от целей моделирования. Такого рода построение упрощенной модели не только уменьшает затраты машинного времени, но также упрощает интерпретацию результатов.
Изучение динамического поведения железнодорожного подвижного состава и поезда можно разбить на две основные группы: изучение динамических характеристик и изучение динамической устойчивости (рис. 3.1). Изучение динамических характеристик связано с расчетом динамической реакции системы на внешние воздействия. С другой стороны, изучение устойчивости нацелено на исследование устойчивости системы при различных эксплуатационных условиях.
3.3.	МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Исследование иа модели системы железнодорожного экипажа сводится к решению задачи о вынужденных колебаниях либо к задаче о динамической устойчивости. Исследование вынужденных колебаний может быть связано с рассмотрением решения во временной области. В таком случае уравнения колебаний решаются с помощью численного интегрирования по времени.
Преимущество такого подхода заключается в том, что при этом легко могут быть учтены нелинейные характеристики системы. Необходимой предпосылкой составления программ по расчету графиков временной зависимости является представление уравнений системы в виде уравнений, записанных через переменные состояния, т. е. перемещения и скорости, которые представляются-в виде неизвестного вектора состояния {г/}. Последовательность решения во временной области описывается в виде:
(з.1)
!{х}1
\т] {х} - [fc] {х} + [с] {х} = {F (/)}.	(3.2)
Уравнение (3.2) представляет собой систему N сопряженных уравнений движения системы. В уравнении (3.2) [ли], \k\ и [с] представляют собой матрицу масс, матрицу жесткости и демпфирующую матрицу системы соответственно {F(/)}— вектор внешних сил; {х}, {х} и {х} соответствуют вектора1м ускорения, скорости и перемещения сис-
1 По нашему мнению, на продольную динамику оказывают влияние колебания виляния; колебания боковой качки на продольную динамику поезда почти не влияют. — Прим. ред.
64
темы. Эту систему уравнений можно решить с помощью любого из численных методов, рассмотренных в главе 2.
При решении в частотной области уравнения колебаний системы записываются через частоту и интегрируются в частотной области для получения амплитуды в виде функции частоты. Последовательность решения в частотной области заключается в следующем. С помощью быстрого преобразования Фурье или с помощью другого метода вектор {F(/){ преобразуется в вектор {F (со)}. Этим вектором описываются силы, возникающие при внешних воздействиях определенной частоты о>.
Решение уравнения (3.2) принимает вид
{х} {х} ei,ut.	(3.3)
Тогда
{х}	{х}	(3.4)
{х}	— {х} (о1 2 3	.	(3.4а)
Подставляя в уравнение (3.2) равенства (3.3), (3.4) и (3.4а), получим
{х} е‘м1 (F(<o)} (	|rn|(o2	|fe|).	(3.5)
Заметим, что во всех А уравнениях (3.5) входят комплексные коэффициенты.
Эти коэффициенты представляют собой силы или моменты, которые синфазны (находятся в одной фазе с колебаниями) или несинфазны (не находятся в одной фазе с колебаниями) с колебаниями. Аналогично этому внешние тяговые силы при любой конкретной частоте имеют амплитуду и фазу, причем фаза силы для каждого колеса экипажа своя. Изменение фазы от колеса к колесу на данной частоте зависит от расположения колеса и скорости поступательного движения экипажа.
Статическая система может быть устойчивой и неустойчивой; аналогичным свойством обладает и динамическая система. Критерий устойчивости статической системы состоит в том, что после небольшого возмущения система возвращается в свое первоначальное положение.
Тот же критерий остается справедливым и для динамических систем. Если, например, динамическую систему в виде массы, подкрепленной пружиной и демпфером, подвергнуть небольшому возмущению, то она будет колебаться с затухающей амплитудой до тех пор, пока не вернется к своему исходному состоянию покоя. Такую систему называют устойчивой1. С другой стороны, колебания системы, состоящей из массы и пружины, без демпфирования в смысле устойчивости эквивалентны состоянию шара на гладкой плоскости2.
Устойчивость такого рода называют устойчивостью безразличного нейтрального равновесного состояния, так как система находится в со-
1 Причем асимптотически. — Прим. ред.
2 Не на плоской, а на криволинейной вогнутой поверхности. — Прнм. ред.
3 Зак. 1073	65
стоянии нейтральной устойчивости1. Неустойчивая колебательная система усиливает любое бесконечно малое перемещение. Если такую колебательную систему подвергнуть малому возмущению, амплитуда колебаний внезапно увеличивается. Обычно существует некоторый максимальный предел этих внезапных колебаний.
При отсутствии вектора внешних сил {F (/)} уравнение (3.2) сводится к виду
{У} = [£1{У}-	(3.6)
Пользуясь предположением о линейности, динамическую устойчивость системы можно оценить с помощью решения задачи о собственных значениях
ЦЕ]~М/11 {Ф} - {0},	(3.7)
где [/] — единичная матрица; Xj — j-e собственное значение вида
Ху —. ос у- -4- фу-.	(3.8)
Колебания, соответствующие этому собственному значению, описываются следующим образом:
х} = е "г Z|C* sin фу) - <Ру)|,	(3.9)
где С* — константа; — коэффициент затухания, связанный с /-й формой и задаваемый выражением
sy-rv-	(з.Ю)
Здесь Ну — коэффициент демпфирования формы: — частота формы; <(7- — начальная фаза.
Заметим, что из равенства (3.9) следует при а7 > 0 (т. е. при коэффициенте демпфирования > 0) амплитуда Xj уменьшается со временем. С другой стороны, при оСу <2 0 или при £7- <; 0 амплитуда увеличивается со временем и колебания характеризуются как неустойчивые.
3.4.	ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Для изучения динамического поведения железнодорожного подвижного состава и поездов научно-исследовательским и опытно-конструкторским отделом Ассоциации американских железных дорог в рамках Программы динамики системы «путь — поезд» было разработано много математических моделей. Эти модели можно разделить на восемь групп. На рис. 3.2 представлена классификация различных моделей для исследования динамики железнодорожного экипажа и поезда, разработанные в рамках Программы динамики системы «путь — поезд».
1 Указанный авторами пример не отвечает состоянию нейтральной устойчивости. — Прим. ред.
66
13
20
Рис. 3.2. Математические модели для изучения динамики взаимодействия пути и поезда:
1 — математическая модель динамики системы «путь — поезд» ;	2—динамика железнидо
рожного экипажа: 3 — динамика поезда: 4 — динамика груза; 5 — модели вертикальной и поперечной динамики; 6 — модели поперечной устойчивости; 7 — модели экипажа на криволинейном участке; 8—-модели продольной динамики поезда; 9 — модели вертикальной устойчивости; 10 — модели поперечной устойчивости; 11—модели ударного воздействия на грузы; 12—модели для оценки повреждения грузов; 13--модель вынужденных колебаний грузового вагона; 14 — динамическая модель вынужденных колебаний локомотива и пассажирских вагонов; /5 — модель локомотива при извилистом движении; 16 - модель грузового вагона при извилистом движении: 17 — стационарная модель с жесткой рамой при движении на криволинейном участке-. 18 — динамическая модель вынужденных колебаний грузового вагона при движении на криволинейном участке; 19 — динамическая модель локомотива при движении на криволинейном участке; 20 — стационарная модель тележки с учетом ее деформируемости при движении на криволинейном участке; 21 — модель, имитирующая движение поезда; 22 детальная модель продольной динамики поезда; 23 — детальная модель вертикальной устойчивости; 24 — квазистатнческая модель поперечной устойчивости; 25—детальная модель поперечной устойчивости; 26—модель ударного нагружения; 27 — модель колебаний груза, вызванных поочередной погрузкой и разгрузкой
вагона
3.4.1.	Динамика экипажа. 1. Модели вертикальной и поперечной динамики. Эти модели составлены для изучения динамической реакции экипажа на неровности железнодорожного пути.
2.	Модели поперечной устойчивости. Эти модели применяются для расчета критической скорости, сил взаимодействия колеса и рельса, сил и перемещений рессорных комплектов и кузовов вагонов.
3.	Модели экипажа при движении на криволинейном участке. Эти модели применяются для расчета динамических или квазистати-ческих сил экипажа, которые вводятся при рассмотрении случая движения экипажа по криволинейному участку пути.
3.4.2.	Динамика поезда. 1. Модели продольной динамики поезда. Эти модели принимаются главным образом при изучении сил, возникающих при взаимодействии смежных экипажей, с учетом характеристик экипажа и практики проведения маневровых работ.
2.	Модели поперечной устойчивости. Эти модели направлены иа исследование влияний регулирования соосности ударно-тяговых при-3*	67
боров, длины ударно-тяговых приборов, а также геометрии вагона на устойчивость поезда в поперечной плоскости.
3.	Модели вертикальной устойчивости. Эти модели используются главным образом для изучения разъединения вагонов при разрывах ударно-тяговых приборов под действием ударных сил.
3.4.3.	Динамика груза. 1. Модели ударного воздействия на грузы. Эти модели часто применяются для изучения повреждений, наносимых грузу ударными воздействиями на стрелочных переводах.
2. Модели для оценки повреждения грузов. Эти модели направлены на исследование повреждений грузов, вызванных динамическими воздействиями, которые возникают при перегрузочных железнодорожных операциях.
3.5.	ДИНАМИЧЕСКИЕ КАЧЕСТВА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЭКИПАЖЕЙ
Возможно проявление нескольких видов неустойчивости железнодорожных вагонов. Виляние является самовозбуждающимися поперечными колебаниями, которые вызываются скоростью поступательного движения экипажа и силами взаимодействия колеса и рельса. Эти силы в свою очередь возникают вследствие коничности поверхности катания колес, наличия трения и крипа на контактной поверхности колеса и рельса. Силы взаимодействия существенно влияют на изменение демпфирующих характеристик систем железнодорожных экипажей. Вообще есть две критические скорости, связанные с извилистым движением. Один вид извилистого движения наблюдается при относительно малой критической скорости примерно от 40 до 80 км/ч. Этот вид извилистого движения был обнаружен у железнодорожных экипажей с небольшим демпфированием рессорного комплекта. Извилистое движение такого рода вызвано главным образом большими поперечными колебаниями (включая боковую качку и виляние) кузова вагона. Характер этих колебаний аналогичен состоянию резонанса, которым можно управлять с помощью введения необходимого числа гасителей колебаний между кузовом вагона и рамами тележек. При больших скоростях извилистое движение проявляется в виде вынужденных поперечных колебаний всей системы колесных пар и элементов тележки. Проявление такого рода состояния присуще всем железнодорожным экипажам и от него нельзя избавиться полностью. Эффективность сил, передающихся гребнем колес, как регулятора процесса колебаний виляния в большей мере зависит от осевых нагрузок, от сил взаимодействия колеса и рельса, а также от геометрических характеристик контакта колеса и рельса. В критерии качества извилистого движения необходимо включить характеристическую скорость и коэффициенты действительного гашения различных форм колебаний при данной скорости и нормальной эксплуатационной скорости. Надлежит также проводить циклические исследования предельных режимов, направленные на определение ве-68
роятиости форсированного перехода устойчивой системы в область неустойчивого режима.
При применении в железнодорожных экипажах рессорных амортизаторов, в которых используется сила сухого трения, надо считаться с возможным проявлением нежелательных явлений, вызванных резонансным состоянием. Это особенно четко проявляется при колебаниях подпрыгивания грузового вагона. Колебания такого рода связаны с воздействием забега стыков одной рельсовой нити относительно другой. На пути с перемежающимися забегами одной рельсовой нити относительно другой вагон стремится повернуться то в одну, то в другую сторону относительно своей продольной оси по мере того, как правое и левое колеса попеременно ударяют по стыкам рельсов. С другой стороны, вагон может подпрыгивать или галопировать из-за ударов на стыках рельсов на пути с симметрично расположенными стыками рельсовых нитей. Нелинейные эффекты, вызванные отделением кузова вагона от боковин и шкворневой балки, а также случайные отрывы колеса от головки рельса приводят к ослаблению подрессор и вания, что в свою очередь еще более усложняет решение задачи извилистого движения. Как правило, задача о колебаниях виляния возникает для вагонов-хопперов и вагонов-контейнеров с высоко расположенным центром тяжести при движении на малых скоростях в диапазоне от 16 до 40 км/ч на пути с несимметричным расположением стыков. В число критериев безопасности движения при решении задач о колебаниях виляния должны быть включены допустимые отрыв колеса от головки рельса и максимальная боковая качка кузова вагона. Для оценки потенциальных повреждений пути и оборудования в расчет должны быть включены силы, действующие со стороны боковых опор, силы взаимодействия колеса и рельса, а также реакции в шкворневой балке тележки.
При движении на криволинейном участке сумма сил крипа и сил взаимодействия гребня колеса с рельсом уравновешивает боковые силы, действующие на экипаж. Колесо может приподняться над головкой рельса, если равнодействующая сила взаимодействия гребня колеса и головки рельса превысит определенную величину.
Существует некоторая «золотая середина» между большой жесткостью на кручение вагонной тележки и большим трением в шкворневой балке тележки для управления устойчивостью при вилянии, с одной стороны, и гибкостью тележки и обеспечением смазки в шкворневой балке для облегчения движения по кривой, с другой стороны. Собственная жесткость вагонной тележки, а также жесткое соединение тележки с кузовом вагона способствуют увеличению сил взаимодействия колеса с рельсом и делают подъем колеса еще более вероятным. В число показателей динамического качества следует включить путевые поправки, связанные с движением на криволинейных участках пути вагонных тележек и систем «вагон — вагонная тележка». При расчете запаса устойчивости необходимо к силам, возникающим за счет неуравновешенных нагрузок и продольных сил, возникающих
69
в составе поезда, добавлять силы сопротивления при движении на криволинейном участке, обусловленные крипом колеса. Критериями возможного подъема колеса и опрокидывания рельса являются отношения боковой силы к вертикальной силе L V для каждого колеса и для каждого типа соединения вагонной тележки с кузовом и длительности приложения импульса боковой силы.
Продольные сжимающие силы, возникающие в составе поезда на прямолинейном участке пути, могут привести к появлению боковых сил на контакте колеса и рельса. Эти силы возникают за счет выпучивания поезда. Боковое перемещение, создаваемое за счет зазоров между рамой вагонной тележки и шкворневой балкой, в сочетании с ударными силами, действующими на сцепку, приводят к потенциальной возможности появления формы потери устойчивости в плане. Противодействие выпучиванию оказывают возвращающие устройства, регулирующие нормальное положение элементов поезда в плане. При отсутствии возвращающих устройств боковые силы, направленные на поддержание равновесия, создаются самой вагонной тележкой. Возвращающие устройства создают дополнительные силы при движении на криволинейном участке в зависимости от их конкретных характеристик. В состав критериев оценки действия этих продольных сжимающих сил. возникающих в составе поезда, должны быть.включены: эксплуатационное отношение L/V; безопасные силы поглощения ударов и тяговое усилие для тех значений отношения L/V, которые ограничивают возможность подъема колеса или ограничивают боковые силы, и отношения L V, которые ограничивают опрокидывание рельсов.
3.6.	КРИТЕРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО КАЧЕСТВА
Динамические качества железнодорожных экипажей часто связывают с запасом устойчивости и рентабельностью. Запас устойчивости, относящийся к системе «экипаж — путь», определяется главным образом как запас устойчивости от схода с рельсов. Сходы с рельсов происходят по различным причинам. Сюда относятся поломка оборудования или отдельных частей, низкое качество верхнего строения пути, неправильный порядок пропуска и составления поездов, а также нарушение нормальных динамических условий, которое возникает из-за извилистого движения и неблагоприятных условий движения на криволинейном участке пути. Во избежание сходов с рельсов и обеспечения запаса устойчивости устанавливаются границы, выраженные с помощью определенных показателей. Эти показатели определяют условия подъема колеса над головкой рельса, опрокидывания рельса и расширения железнодорожной колеи. Одним из наиболее широко применяемых ограничений является ограничение, выраженное через отношение действующей на колесо боковой силы к вертикальной силе L/V.
Рентабельность железнодорожного экипажа измеряется с помощью эксплуатационных расходов и расходов по текущему содержанию и 70
ремонту. На эти расходы влияют эксплуатационная скорость и силы взаимодействия колеса и рельса. Указанные факторы вызывают изиос составных частей экипажа, а также ухудшение конструкции пути.
Динамические качества железнодорожного экипажа, связанные с запасом устойчивости от схода с рельсов, оцениваются с помощью точных показателей динамического качества, в состав которых входят количественные измерения показателей плавности хода, устойчивости экипажа, а также способности экипажа по прохождению но криволинейному участку пути.
Под плавностью хода обычно понимают способность системы рессорного подвешивания экипажа поддерживать колебания в диапазоне, соответствующем условиям человеческого комфорта и в диапазоне, необходимом для обеспечения условий, при которых грузу не будет причинен ущерб. Плавность хода экипажа зависит от перемещения, ускорения, скорости изменения ускорения и других факторов, таких, как шум, запыленность, влажность и температура. Вообще для оценки плавности хода экипажа применяются два подхода: метод оценки времени утомления и метод показателя хода.
Опыт показывает, что средний человек, совершающий поездку в железнодорожном экипаже, начинает ощущать легкое чувство утомления в конце определенного отрезка времени, который называют временем утомления. Такая концепция была первоначально разработана для оценки динамического качества западногерманских и французских железных дорог (SNCF) (11. Было проведено много экспериментов по установлению времени утомления. Боковые и вертикальные ускорения были измерены на уровне пола экипажей. Эти ускорения были обработаны с помощью полосового фильтра в диапазоне частот от 0,5 до 5 Гц.
Комфортные условия были ограничены этим частотным диапазоном. Была построена гистограмма пиковых значений, при этом учитывались амплитуды отклонений от среднего значения. Различные амплитуды были сгруппированы по классам с шириной 0,033g, число отсчетов в каждой группе связывалось с центральным значением. Принимается, что частота — постоянная величина. Среднее значение частоты рассчитывается на основе общего числа отсчетов и измеренного интервала времени. Принималось, что полное время утомления составлено из вкладов различных значений времени утомления в каждой категории, с весом, определенным относительным числом отсчетов. Пусть п, равно числу циклов среднего ускорения а; и 7\- — соответствующее время утомления, тогда для полного времени утомления Т справедливо равенство:
(п/Т)~ (пу/Ту)д- (пг/Т2)^ (n3/T9)4- ... 4- (п,- Т,);
J _________п1 +	' ni_______ ... ^ni	(3 11)
(щ/7',)4-(п,/7'2)-)- ... + (п;/Тд ZlnilTd '	'	'
71
При подсчете каждого времени утомления Т ио экспериментальным данным использовалась следующая формула, связывающая пиковое ускорение а [см с2], частоту колебаний f с некоторой константой kt
(/ —5,2)2 + 24,8
На рис. 3.3 показаны кривые зависимости показателя комфорта (времени утомления) от ускорения для частоты 1,4 Гц. Эта зависимость представляется следующей формулой:
Т = [280/(0! л — 8) | — 0,71.	(3.13)
Принимается, что уровень вертикальных ускорений, который выше уровня боковых ускорений в У 2 раз, обеспечивает тот же комфорт.
Формула (3.12) используется для вычисления эквивалентного ускорения а1Л, которое подставляется в равенство (3.13). Таким образом подсчитывается
частный вклад 7\ в полное время утомления. После того как определены частные вклады 7\, пользуясь равенством (3.11), можно определить показатель комфорта. При определении показателя комфорта при вертикальной перегрузке в формуле (3.13) заменяется на (1//2) ai.4-
Можно указать на порядок значений рассматриваемых показателей: условия комфорта удовлетворительны, если расчетное значение полного времени утомления Т равно 10 ч при боковых ускорениях и 20 ч при вертикальных ускорениях.
3.6.1.	Показатель плавности хода Шперлинга. Для оценки плавности хода и комфорта железнодорожного экипажа нередко пользуются коэффициентом Wz, который был введен Шперлингом (рассмотрен в сообщении [1]). Для оценки плавности хода рассматривается сам экипаж. Оценку комфортности поездки в железнодорожном экипаже проводят с учетом влияния механических колебаний на пассажиров.
Первоначально равенства по определению коэффициента записывались следующим образом:
W'z = 0,896(c3//)1''10 (плавность хода);	(3.14)
VZz 0,896 [(a3//) F (/)]’/10 (комфорт),	(3.15)
где а — пиковое ускорение [см/с2]; / — частота, Гц; F (/) — зависящий от частоты коэффициент, выражающий чувствительность человека к вибрациям. 72
Таблица 3.1. Шкала показателей для оценки плавности хода и комфортности
Показатель плавности хода
Качественная оценка плавности хода
1 2 3 4 4,5 5	Очень хорошая Хорошая Удовлетворительная Приемлемая для эксплуатации Неприемлемая для эксплуатации Опасная
Показатель плавности хода 1	Оценка комфортности (оценка ощутимых вибраций) Едва заметные
2 2,5 3 3,25 3,5	Четко различаемые Явно ощутимые, но не являются неприятными Сильные, нерегулярные, но еще переносимые Весьма нерегулярные Очень нерегулярные, неприятные, раздражающие при длительном воздействии (экспозиции)
4	Очень неприятные, длительное воздействие (экспозиция) вредно для здоровья
Заметим, что функции F (/) для вертикальных и горизонтальных составляющих колебаний различны. В табл. 3.1 приведена шкала показателей, применяемых для оценки плавности хода. Применительно к использованию электронно-измерительной аппаратуры для оценки плавности хода и комфорта формулы показателей плавности хода и комфорта без изменения функциональной зависимости преобразуются к следующему виду:
М7г = (и«В3)'/'0;	(3.16)
«''г-йсй2)1/^''7,	(3.16а)
где а — амплитуда ускорения; В — параметр спектрального содержания ускорения частот.
Параметр спектрального состава определяется следующим образом. Для оценки плавности хода экипажа
[(1 — 0.056/2)2 + (0.645/)2 (3,55/2) |_]' / 2
(3.18>
S=l,14	,	.
L [(1— 0,252/2)2 t (1 ,547/ — Э,00444/3)2 (1 Ь 3,55/2)] |
Для оценки комфорта при горизонтальных колебаниях — боковых
„	n7Q7[	1,911/2 +((),25/2)2	!/->
В,., =~- О,/о.-------------------------------
[(1— 0,277/2)2-+-(! ,563/ — 0.0368/3}2 ]
Для оценки комфорта при вертикальных колебаниях
1 ,911/2 4-(0,25/2)2	р/й
== 0,588 .
4	[(1—0,277/2)2 4 (1,563/ —0.0368/3)2
(3.18а)
73
Следовательно,
Вц:= 1,25В,.
(3.19)
Ускорения, измеренные на кузове вагона, обладают не одной для всех частотой, а целым спектром частот, в котором собственные частоты экипажа весьма четко выражены. Поэтому при оценке возникает необходимость установления спектрального состава измеренного ускорения. С помощью равенства (3.16) или (3.16а) определяется показатель плавности хода Wz для каждой отдельной частоты, а суммарный коэффициент плавности хода Wz вычисляется с помощью двух следующих равенств:
U4yM= (^° +	+ •• + W'Z,1,")1 .'10	(3.20)
или
lTzcyM= (U?'z7-“7 Ч- Wz^1 +...+ Wz**')'"' .	(3.20а)
Здесь Wz, в равенстве (3.20) вычисляется по формуле (3.16), а в равенстве (3.20а) вычисляется по формуле (3.16а). Так как спектр колебаний носит не дискретный характер, а является непрерывной функцией частоты, то и коэффициент Wz также является непрерывной функцией частоты. Поэтому суммарный коэффициент плавности хода вычисляется с помощью интегрирования по всему заданному частотному интервале, г. е.
(3.21)
13.21а)
(3.22)
(3.22а)
Здесь интегрирование проводится в частотной области, т. е. а --- а (/). Интегрирование можно проводить и во временном интервале:
(3.23)
(3.23а)
74
I a |:i B:', d/
(3.24)
(3.24a)
В этом случае ускорение а зависит от времени, т. е. а a (t).
Равенства (3.23), (3.23а), (3.24) и (3.24а) позволяют определять коэффициент Wz с помощью относительно простых электронных вычислительных устройств. Спектральный анализ отдельных компонент делается с помощью активного фильтра, имеющего ту же полосу характеристик, что и соответствующая кривая параметра спектрального состава, приведенная на рис. 3.4.
3.6.2.	Нормы Международной организации по стандартизации (ISO). Согласно нормам Международной организации по стандартизации (ISO) 121 влияние вибрации на тело человека выражается с помощью времени утомления Т. Существуют три уровня времени утомления Т: снижение профессионализма, вызванное усталостью; экспозиции воздействия: граница пониженного комфорта.
Когда люди подвергаются непрерывному воздействию механических вибраций, то спустя некоторое время их работоспособность уменьшается вследствие утомления. Степень, до которой фактически ухудшается работоспособность, зависит от многих факторов и отличается от случая к случаю. Показанные на рис. 3.5 и 3.6 амплитуды ускорения являются функциями частоты, а время утомления Т выступает в качестве параметра семейства кривых. Рис. 3.5 дается применительно к горизонтальным вибрациям, а рис. 3.6 — к вертикальным вибрациям. Семейства кривых, приведенные на рис. 3.5 и рис. 3.6. были получены на основе обследования, которым были подвержены летчики и водители автомашин. При очень низких частотах чувствительность к горизонтальным вибрациям выше, чем к вертикальным. Однако при больших частотах такая тенденция изменяется на противоположную.
Семейства кривых зависимости пределов экспозиции воздействия от частоты ио параметру Т времени утомления имеют ту же общую форму, что и семейства кривых, приведенные на рис. 3.5 и 3.6. Отличие
Рис. 3.4. Кривые зависимости параметра В спектрального состава для оценки плавности хода от частоты f, принятые в нормах ФРГ:
/ - для оценки комфорта при боковых горизонтальных вибрациях; 2 — для оценки ком форта при вертикальных вибрациях; для оценки плавности хода экипажа
75
Рнс. 3.5. Кривые Международной организации по стандартизации для оценки времени утомления в функции от горизонтального ускорения а в долях g н частоты горизонтальных вибраций для различных времен экспозиции:
1 — 1 ми»; 2	16 ми и; 3 — 25 мин; 4 — 1 ч; 5 --25 ч; 6 — 4ч; 7 — 8 ч. Для получения пре-
дельных экспозиций необходимо умножить зиачеиие ординат соответствующей кривой зави симости cpiдисквадратичсских горизонт'1 тьиых ускорений ах, ау в долях g от частоты f на 2 (на 6 дБ выше), а для получения границы пониженного комфорта необходимо разделить значение ординат соответствующей гривой н« 3,15 (на 10 дБ ниже)
Рис. 3.6. Кривые Международной организации то стандартизации для оценки времени утомления в функции от вертикального ускорения а2 в долях g ОТ частоты вертикальных вибраций для различных времен экспозиции:
7 — 1 мни: 2-16 мин; 3 — 25 мин; 4-I ч; 5 — 2,5 ч; 6 — 4 ч; 7 — 8 ч. Для получения пре-дельных экспозиций необходимо умножить значение ординат соответствующей кривой зависимости средиеквадратическнх вертикальных ускорений az от центральной частоты в полосе третьей октавы вяртикальпых вибраций f иа 2 (на 6 дБ выше), а для получения границы пониженного комфорта п 'обходимо разделить зиачеиие ординат соответствующей кривой на 3,15 ^на 10 дБ ниже)
76
Рис. 3.7. Кривые зависимости параметра В спектрального состава от частоты f для оценки комфорта по методу Международной организации по стандартизации:
1 — для оценки комфорта при вер тикальиых вибрациях: 2 - то же при горизонтальных вибрациях
будет заключаться только в том, что значения ускорений необходимо удвоить. Превышение пределов экспозиции воздействия без принятия специальных мер предосторожности не рекомендуется, даже если человек не занят выполнением какой-либо работы.
Границы пониженного комфорта были выработаны на основе большого числа обследований, сделанных для различных транспортных предприятий. Семейства соответствующих кривых имеют ту же общую форму, что и семейства кривых, представленные на рис. 3.5 и 3.6 Среднеквадратические значения ускорений arms должны быть разделены на 3.15.
Предложение Международной организации по стандартизации предполагает два метода измерения для установления времени утомления По первому методу суммарный частотный диапазон делится на интервалы размером в одну треть октавы. С помощью анализатора с уровнем в одну треть октавы определяется интеграл от квадрата амплитуд ускорений по всему диапазону интервалов в одну треть октавы. Если принимается предположение, что влияние ускорений на человека различно при различных частотах, тогда отдельно оцениваются индивидуальные интервалы. Время утомления определяется для каждого из интервалов в одну треть октавы. Самое короткое время утомления, найденное таким образом, используется в качестве критерия оценки реакции стресса у человека.
По второму методу с помощью полосовых фильтров проводится ранжирование частот в диапазоне от 1 до 80 Гц в соответствии с кривыми спектрального состава, приведенными на рис. 3.7. Среднеквадратическое значение сигнала измеряется на выходе фильтра, а время утомления находится с помощью данных рис. 3.8 и 3.9. Времена утомления, определенные по второму методу, меньше соответствующих значений, полученных по первому методу. Данных, содержащихся в предложении Международной организации по стандартизации, недостаточно для построения фильтра, так как взвешенные по частоте кривые определены только для интервала частот 1—80 Гц. Необходимо также определить кривые спектрального состава ниже уровня 1 Гц и выше уровня S0 Гц. Кроме этого, необходимо было бы решить такой вопрос: что должно быть принято в качестве главного критерия при оценке динамических характеристик железнодорожного экипажа каждого вида —
77
Рис. 3.8. Кривые утомления для оценки времени экспозиции t в функции среднеквадратического взвешенного по частоте вертикального ускорения а2:
а — при ускорении <7z—(1.04-2,8 м/с2; б — при ускорении az = (0.2-? 1.8) м/с2
Рис. 3.9. Кривые утомления для оценки времени экспозиции t в функции среднеквадратического взвешенного по частоте горизонтального ускорения а:
а — при ускорении а= (0.8 4-2) м/с2; б — при ускорении (а = 04-0,8) м/с2
работоспособность или комфорт. В последнее время показатели спектрального состава, определенные Международной организацией по стандартизации, были расширены для охвата всего диапазона частот от 0,1 до 80 Гц.
Сравнение методов Шперлинга и метода, предложенного Международной организацией по стандартизации, указывает на их сходство. Отличие их, однако, заключается в том, что в этих методах используются различные спектральные кривые оценки показателей динамического качества.
Для диапазона частот от 1 до 20 Гц в случае вертикальных ускорений применение спектральных кривых оценки показателей динамического качества по Шперлингу приводит к более высоким допустимым значениям ускорений, чем при использовании кривых Международной организации по стандартизации. Однако можно утверждать обратное для диапазона частот от 3 до 20 Гц в случае горизонтальных ускорений. Приведенные сопоставления указывают, что отличие критериев оценки динамических качеств зависит от того, какие используются спектральные кривые оценки показателей динамического качества. Особенно четко отличия проявляются в диапазоне высоких частот. Следует учитывать, что приведенные замечания представляют собой результат далеко не полного сравнения спектральных кривых.
Сравнение метода, используемого на французских железных дорогах, с методом Международной организации по стандартизации показывает, что для вертикальных ускорений кривые равной утомляемости этих методов очень близки в диапазоне частот от 1 до 7 Гц.
Однако эти методы приводят к совершенно разным результатам, когда речь идет о горизонтальных боковых ускорениях. Исключение представляют ускорения в непосредственной окрестности частоты 2 Гц. Кривые равной утомляемости для вертикального и бокового направлений, полученные на основе метода, используемого на французских железных дорогах, идентичны, но для последнего из указанных 78
направлений вводится множитель ]/2. Рассматриваемые кривые метода Международной организации по стандартизации, однако, значительно отличаются друг от друга.
3.6.3.	Показатель плавности хода английских железных дорог1. Показатель плавности хода вычисляется на основе ускорений полосы шириной в одну октаву для соответствующих значений центральных частот следующим образом
Показатель вертикальной плавности хода
у = |7,5 (arms)03 (fe/5,9)1^ при /с < 5,9 Гц;
r |7,5(агт8)0 3 (5,9/Д.) при /Р>5,9Гц.
Показатель горизонтальной плавности хода
у = (8,1 (a,.ms)0’3 (/с/5,4)|/3 при А. <5,4 Гц;
|8,1 (<ms)0'3 (5,4/Д.) при /,.>5,4 Гц,
где arms — среднеквадратическое ускорение полосы в одну октаву, выраженное в g (ускорение свободного падения); [с — центральная частота полосы в одну октаву, т. е.
Полный показатель плавности хода получается на основе показателей плавности хода для каждого частотного диапазона и вычисляется по следующей формуле;
vr = (I7/" + v;2° +... +	1 /1 °.	(з. 27)
Субъективную оценку плавности хода для английских железных дорог можно связать с показателями плавности хода, что и сделано в табл. 3.2.
Таблица 3.2. Оценка плавности хода железнодорожных экипажей
Показатель плавности хода	Субъективная оценка плавности хода	Показатель плавности хода	Субъективная оценка плавности хода
1 1.5 2 2.5 3	Отличная Почти отличная Хорошая Почти хорошая Удовлетворительная	3,5 4 4.5 5	Слабо удовлетворительная Переносимая Непереносимая Опасная
1 См. работу |3|.
* how — низкая частота. — Прим. пер.
79
На железных дорогах других стран мира используются несколько другие методы оценки плавности хода. Тем не менее следует отметить, что очень популярным и широко распространенным является метод, применяемый Международной организацией по стандартизации и основанный на среднеквадратических значениях уровней ускорения и распределении среднеквадратических ускорений в полосах частот в одну треть октавы.
3.6	4. Критерии устойчивости движения железнодорожного экипажа на прямолинейных прямых и криволинейных участках пути. В качестве меры динамического качества, каким является устойчивость железнодорожного экипажа, нередко используется разность между эксплуатационной и критической скоростями. У экипажа может быть большой запас устойчивости, измеряемый разностью между эксплуатационной и критической скоростями, однако после возбуждающего воздействия экипаж может придти в колебательное состояние с медленным затуханием.
Для получения данных о присущем экипажу затухании колебаний необходимо вычислить коэффициенты демпфирования главных форм колебаний для диапазона изменения эксплуатационной скорости экипажа. Значение частоты наименее затухающей формы колебаний должно быть использовано как показатель динамического качества для оценки мер по обеспечению устойчивости и достаточного демпфирования колебаний. Желательно, чтобы значение демпфирования составляло от 10 до 20 % критического.
Как указывалось ранее, стремление колеса приподняться над головкой рельса оценивается с помощью отношения LiV и связано с длительностью импульса боковой силы. Значение отношения L V для изолированного колеса, которое может привести к сходу с рельсов, зависит от нескольких факторов. В число этих факторов входят угол набегания, угол наклона поверхности гребня колеса в точке контакта колеса с рельсом, коэффициент трения, неподрессоренная масса колесной пары, вертикальная нагрузка на ось, а также жесткость железнодорожного пути. Для установления критического значения отношения LiV, с помощью.которого определяется жесткое ограничение на отрыв колеса от головки рельса, используется формула Надаля, которая задается в следующем виде:
L tg а—р
К 1 -р u tg а ’
13.28)
где а — угол наклона поверхности гребня колесив гонке контакта с рельсом (рис. 3,10); р — коэффициент трения.
Согласно исследованиям 141, проведенным объединением Японских государственных железных дорог, критическое значение L V изменяется в широких пределах от очень больших значений для отрицательных углов набегания до значения 0,8, если угол набегания приближается к одному градусу. На основе результатов испытаний [51 объ-80
Рис. 3.10. Зависимости отношения L/Р от угла наклона а гребня колеса в точке контакта с рельсом, построенные для различных ц по формуле (3.28):
а—1—ц = 0,1; 2 — ц = 0,15; 3—ц = = 0,2; 4 — ц = 0,4; б — типичный угол а наклона гребня колеса в точке контакта с рельсом
единение Японских государственных железных дорог приняло в качестве критического отношения L/V = 0,8 при длительности импульса боковой силы, равной 50 мс и более. В работе [61 предлагается более жесткая оценка для отношения L/V изолированного колеса, а именно, L/V - 1 при а > 65° и длительности импульса боковой силы более 50 мс. В последнее время для оценки динамических качеств пассажирских вагонов б США применялось значение L/V — 0,9.
Критерии оценки условий опрокидывания основываются на критических значениях отношения L/V для вагонной тележки, которое равно отношению суммарной боковой нагрузки к вертикальной нагрузке, передаваемой вагонной тележкой на изолированный рельс. Сопротивление опрокидыванию рельсу обеспечивается геометрией поперечного сечения, жесткостью рельса на кручение, а также промежуточными скреплениями. Относительно большим сопротивлением обладают промежуточные скрепления, применяемые на железобетонных шпалах. Однако сопротивление промежуточных скреплений, связанных с деревянными шпалами, сильно меняется с длительностью эксплуатации шпалы и условиями крепления костылей. В работе [8] предложены следующие критические значения отношений L/V = 0,5 для деревянных шпал при учете сопротивления за счет геометрии поперечного сечения рельса: (0,5	0,52/Pw) при учете геометрии поперечного сече-
ния рельса и жесткости рельса на кручение и без учета сопротивления костылей: (0,5 + 0,81/Рю) с учетом геометрии поперечного сечения и новых костылей и без учета жесткости рельса на кручение; (0,5 + + 4,63/Р[(.) с учетом геометрии и поперечного сечения жесткости рельса на кручение и новых костылей, где Pw — номинальная вертикальная нагрузка, передаваемая на рельс одним колесом.
Дополнительный вклад в сопротивление опрокидыванию рельса вносит жесткость рельса на кручение и сопротивление промежуточных скреплений на отрыв. Условия закрепления промежуточных скреплений могут существенно изменить максимальное значение отношения L/V вагонной тележки, обеспечивающее запас устойчивости рельса против опрокидывания.
81
3.6.5.	Показатели износа гребня колеса и дефекты верхнего строения пути, вызванные вертикальными и поперечными нагрузками. Рентабельность железнодорожного экипажа вычисляется исходя из эксплуатационных расходов, которыми учитываются наряду с другими факторами также износ гребня колес и дефекты верхнего строения пути, вызванные вертикальными и поперечными нагрузками. Предлагалось использовать несколько показателей износа гребня колеса wf; на территории североамериканского континента общепринятыми являются два показателя: показатель, основанный на использовании понятия центра трения [9], и показатель, основанный на гипотезе о наличии двух точек контакта: обода колеса с головкой рельса и гребня колеса с головкой рельса [9]. Эти показатели соответственно записывают следующим образом:
wf = ру Ff Р;	(3.29)
wf = }ifFf[(a/R)2~\- (ptga)2]1/2.	(3.29а)
Здесь ру — коэффициент треиия гребня бандажа; Ff — нормальная сила, действующая на гребень; Р—угол набегания колеса; а — расстояние по вертикали от точки контакта гребня колеса с рельсом до точки контакта обода колеса с рельсом; R — радиус колеса; a — угол наклона поверхности реборды к горизонтали.
В работе [10] был предложен коэффициент износа применительно к транзитным грузовым вагонам
W'n = (1 /А) (р/0,6) [ГДу + Тх U.	(3.30)
Здесь Тх, Tt/ — силы продольного и поперечного скольжения или крипа на контактном пятне соответственно; и — продольный и поперечный крипы; А — площадь контактного пятна; р — коэффициент трения.
Ударные нагрузки возникают при разных движениях железнодорожного экипажа. Существуют два самых важных источника ударных нагрузок: ползуны на колесах и недостаточно плотные рельсовые стыки. Первая сила, названная силой Ръ возникает вследствие удара колеса по принимающему концу рельса. Сила Рх появляется через 0,25— 0,5 мс после того, как колесо пройдет пролет между концами рельса. Вторая ударная нагрузка, названная силой Р2, появляется спустя 5—40 мс. Сила Рх содержит высокочастотные составляющие, соответствующие частотам 1—2 кГц, ив основном возникает благодаря контактной (по Герцу) жесткости системы «колесо — рельс» и колеблющейся массе рельса. Сила Р2 содержит низкочастотные составляющие в диапазоне от 20 до 100 Гц и передается на шпалы и балластный слой. В работе [111 для расчета максимальных значений сил Рх и Р2 используются следующие аналитические выражения:
Л== P0^2av[(KhMR)/(\ + MrI/MJ]'/2;	(3.31)
Р2 = Ро+ Г1 —	У|(2аи)(ЛЛМи)>/2 Л-^_у/2, (3.32)
L	\MUA-Mt l\	\MU + Mt /
82
где Pq — статическая нагрузка колеса; а — угол перелома оси рельсовой нити в стыке; v — скорость поступательного движения экипажа; Ki, = контактная (по Герцу) жесткость системы «колесо — рельс»; М R — эффективная масса рельса и шпалы; Ми — неподрессоренная масса; £ — эффективная жесткость рельсового пути; М — эффективная масса рельсового пути.
В табл. 3.3 приведены критерии для оценки сил Рх и Рг и контактного напряжения, которые применяются на английских железных дорогах [12].
Поперечная устойчивость рельсового пути зависит от нескольких факторов. В их число входят тип балласта, расстояние между промежуточными скреплениями, их размер и тип, тип рельса и т. д. В качестве критерия поперечной устойчивости используется отношение боковой нагрузки на колесную пару (Fe) к вертикальной нагрузке на колесную пару Р, кН.
В работе [81 предложены следующие значения этих отношений на основе данных, полученных при измерениях в работе [14], для расстояния между шпалами 0,508 м:
(FJ Р) -- 0,4+ (0,6/Р) — для нового или недавно вступившего в строй рельсового пути на деревянных шпалах; (Fc/P) = 0,7 + (1,5'+) —для рельсового пути на деревянных шпалах н уплотненном основании.
Эти выражения применимы к состыкованным рельсам. На французских железных дорогах введена поправка К в следующем виде [141; F'c KFC, причем К обычно меняется в диапазоне от 0,8 до 0,9. В работах [14, 15] также был предложен критерий устойчивости для железнодорожного пути.
Для предупреждения деформации железнодорожного пути боковая сила Fc, которая передается на железнодорожный путь колесной парой,
Таблица 3.3. Критерии для оценки сил Р; и Р2 и контактного напряжения
Ударная нагрузка колеса	Значение ударной нагрузки для профиля обода колеса, кН	
	конического	изношенного
pt	400	425
Р2	250	250
Pl + P’l	600	625
	Значение контактного напряжения,	
Контактное напряжение	кН/мм2	
Статическое	1,5	1
Динамическое	2,3	1.6
83
должна оставаться ниже определенного предела сопротивления железнодорожного пути L. Следовательно,
F.^L.	(3.33)
Для рельсов, уложенных на двухблочных железобетонных шпалах, т, е. шпалах, представляющих собой два железобетонных блока, соединенных металлическим стержнем, минимальную L силу бокового сопротивления железнодорожного пути (сразу после уплотнения основания под шпалами) можно выразить следующим образом:
L = 15 -(Р/3).	(3.34)
Для обычного железнодорожного пути минимальная сила бокового сопротивления железнодорожного пути
L- 10 + (Р/3),	(3.35)
где Р — номинальная нагрузка на колесную пару, кН.
3.7.	ГЕОМЕТРИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ И НОРМЫ БЕЗОПАСНОСТИ ДВИЖЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЖЕЛЕЗНЫХ ДОРОГ США
Геометрия железнодорожного пути определяется неровностями, которые связаны с четырьмя геометрическими характеристиками пути: это ширина колеи, возвышение одного рельса над другим, положение оси пути или рельсовых нитей в плане, а также вертикальный профиль пути. Ширина колеи определяется как расстояние по горизонтали между двумя рельсами, измеренное между внутренними гранями головок рельсов в плоскости, перпендикулярной к оси пути и расположенной на 16 мм ниже верха головки рельса. Возвышение одного рельса над другим есть разность возвышений двух рельсовых нитей. Положение оси пути определяется осредненным значением поперечных горизонтальных положений двух рельсовых нитей (часто эту линию называют осевой линией). Вертикальный профиль пути является осредненным значением возвышений двух рельсов. Схематическое изображение этих параметров приведено на рис. 3.11. Их номинальное математическое значение определяется по следующим формулам соответственно:
ширина колеи равна (?д — zr)'2', возвышение одного рельса над другим равно
(«Л. -№)/2;	(3.36)
положение оси пути равно (zL + гк)/2;
вертикальный профиль пути равен (yL + г/«)/2.
Главными источниками возбуждения боковых колебаний железнодорожных экипажей являются изменения положения оси пути в плане' и возвышения одного рельса над другим.
1 Изменение положения оси пути в плане в отечественной литературе называют неправильностью рихтовки пути. — Прим. пер.
84
Вертикальный профиль слабо влияет на поперечную динамику железнодорожного экипажа. Однако ширина колеи существенно сказывается на поперечной устойчивости железнодорожных экипажей.
Номинально введенные понятия о неровностях железнодорожного пути могут быть использованы при рассмотрении вопросов схемы расположения путей и их эксплуатации. На практике удобнее определять неровности железнодорожного пути по отношению к идеальному пути несколько иным способом.
Неровностью рельсового профиля называется отклонение левого или правого рельса от номинального профиля. Эта неровность возникает главным образом из-за наличия просадки стыков или из-за изменения температурного состояния железнодорожного пути.
Если известны неровности профиля для обоих рельсов, можно определить взаимное возвышение рельсовых нитей.
Нарушение параллельности рельсовых нитей в плане имеет место в поперечной плоскости железнодорожного пути и обычно возникает из-за начальной искривленности рельса и особенностей конструкции верхнего строения пути.
Недостаточная тщательность проведения операций по текущему содержанию и ремонту пути, боковые смещения железнодорожного
Рис. 3.11. Иллюстрация основных неровностей железнодорожного пути:
а — типичный железнодорожный путь; б-- ширина колеи и положение оси пути; в — возвышение одного рельса над другим и номинальный вертикальный профиль железнодорожного пути; /— левая рельсовая нить; 2 — правая рельсовая нить; 3 — номинальное горизонталь ное положение оси пути; 4 — ширина колеи; 5 — горизонтальная плоскость; 6 — возвышение одного рельса над другим; / — номинальный профиль железнодорожного пути; 8 — база для отметки уровня
85
пути, накопленные в результате воздействия подвижного состава, также могут вызывать нарушение параллельности рельсовых нитей.
Отклонение ширины колеи имеет место в поперечной плоскости железнодорожного пути и вызывается главным образом состоянием верхнего строения пути, недостаточной тщательностью текущего содержания и ремонта пути, а также относительными боковыми перемещениями рельсов под действием нагрузок подвижного состава. Отклонения ширины колеи всегда сопровождаются нарушением параллельности рельсовых нитей.
Искривление (перекос) определяется как быстрота изменения возвышения одного рельса над другим на заданной длине железнодорожного пути. Это отклонение возникает из-за температурных перепадов, действующих на путь, из-за различных просадок вдоль шпал, а также просадок вдоль пути под действием нагрузок. Нередко из-за искривления в сочетании с неровностями рельсового профиля происходит подъем колеса над головкой рельса.
В зависимости от характера неровностей путей железные дороги делятся на шесть классов, причем лучшим считается шестой класс, а худшим — первый. На рис. 3.12 показано, как распределяются по классам железные дороги в США [16].
В табл. 3.4 содержится сводка допустимых значений неровностей пути на прямолинейном участке Норм безопасности движения Федерального Управления железных дорог США.
Эти требования применимы к конкретным неровностям пути, если таковые проявляются изолированно. Поэтому при наличии сочетания нескольких неровностей пути, каждое из которых укладывается в допускаемые значения требований Норм безопасности движения для обеспечения безопасной эксплуатации на данном железнодорожном пути, могут потребоваться компенсирующие мероприятия.
Для заданного класса железнодорожного пути Нормами безопасности движения Федерального Управления железных дорог США предписан предел технической скорости (см. позицию А, табл. 3.4). Следует подчеркнуть, что критические условия, например боковая качка кузова вагона, могут наступить при некоторой скорости выше или ниже предельной скорости, указанной в таблице. Исходя из стандартной ширины колеи (1435 мм) Нормами безопасности движения Федерального Управления железных дорог США допускается сужение ширины колеи на 13 мм и увели-
86
Рис. 3.12. Распределение протяженности железных дорог США по классам (при суммарной протяженности железных дорог 513 381 км):
/ — первый класс 35.7 %;	2 — вто-
рой класс 25.8 %: 3 — третий класс 21,9 %; 4 — четвертый класс 10 %;
5 — пятый класс 6,0 %; 6 — шестой класс 0,6 %
Таблица 3.4. Сводка допустимых значений неровностей пути на прямолинейном участке
X	Параметр	Значение параметра по классам железнодорожного пути						
		1	2	3	4	5	6	Позиция
	Пределы эксплуатационной скорости, км/ч:							
	для грузового поезда	16	40	64	97	127	127	А
	для пассажирского поезда Ширина колеи, мм:	24	48	97	129	145	177	
	минимальная	1422	1422	1422	1422	1422	1422	
	максимальная Положение оси пути:	1467	1461	1461	1454	1448	1441	
	отклонение, измеренное от среднего положения рельсовых нитей, длиной 19 м не более, мм Профиль пути:	127	76	46	32	19	13	
	отклонение,	изме- ренное от среднего профиля пути или головки рельсовой нити, длиной 19 м не более, мм	76	70	57	51	32	13	D
	отклонение от нулевого	возвышения одного рельса над другим в любой точке прямолинейного участка пути не более, мм	76	51	46	32	25	13	Е
	перепад возвышения одного рельса над другим между двумя точками, расстояние между которыми ие превышает 19 м, исключая прямолинейные участки пути, ие более, мм	76	51	46	32	25	16	F
87
Таблица 3.5. Нормы безопасности движения по криволинейному участку пути
Параметр	Значение параметра по классам железнодорожного пути					
	1	2	3	4	5	6
Пределы эксплуатационной скорости, км/ч:				97	129	
для грузового поезда	16	40	64			177
для пассажирского поезда Ширина колеи, мм:	24	48	97	129	145	177
минимальная	1422	1422	1422	1422	1422	1422
максимальная Положение оси пути:	1467	1467	1467	1461	1461	1448
отклонение, измеренное от осредиеииой оси пути по нормали в центре хорды, стягивающей дугу длиной 19 м, не более, мм Профиль пути:	127	76	46	38	16	10
переход с горизонтальных рельсов на рельсы с возвышением на любой рельсовой нити длиной 9 м в конце участка подъема не более, мм отклонение от проектного	89	76	51	38	25	13
возвышение на переходных кривых не более, мм	44	38	32	25	19	13
изменение возвышения одного рельса под другим на любой рельсовой нити длиной 9 м не более, мм	51	44	32	25	19	13
отклонение от нулевого возвышения одного рельса над другим в любой точке (вне участка, иа котором проектом предусмотрено возвышение) на кривых, расположенных между переходными кривыми, не более, мм	76	51	44	32	25	13
перепад возвышения одного рельса иад другим между двумя точками, расстояние между которыми не превышает 19 м, исключая криволинейные участки между переходными кривыми, не более, мм	76	51	44	32	25	16
88
чение ширины колеи от 6 до 32 мм для пути шестого класса и пути первого класса соответственно. Отклонения оси пути в плане (часто называемой осевой линией) от проектного положения определяются согласно Нормам безопасности движения Федерального Управления железных дорог США как отклонения, измеренные jt среднего положения рельсовых нитей длиной 19 м. Длина 19 м взята из соображений удобства выражения отклонения оси пути в плане через кривизну (стрела сегмента, равная отклонению, измеренному от среднего положения рельсовых нитей длиной 19 м, может служить приблизительно мерой кривизны пути в плане). Аналогично неровность рельсового профиля также определяется отклонением, измеренным от среднего положения верха головки рельса длиной 19 м. С целью ограничения искривления железнодорожного пути (как местного, так и общего характера) Нормами безопасности движения Федерального Управления железных дорог США наложены ограничения на возвышение одного рельса над другим и на отвод этого возвышения. Нормы безопасности движения Федерального Управления железных дорог США применительно к криволинейному участку пути приведены в табл. 3.5.
3.8.	АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ
Изменения геометрии железнодорожного пути являются главными источниками возникновения динамических воздействий на железнодорожные экипажи. Для того чтобы изучать взаимодействие экипажа и пути и рассчитывать динамические характеристики экипажа, требуется провести определенное аналитическое описание геометрии пути и его неровностей. Такие описания также нужны для оценки: качества пути, характеристик экипажа, удобства проезда пассажиров, а также возможности повреждения груза. Так как исчерпывающее аналитическое описание всего пути дать невозможно, приходится ограничиваться статистическим его описанием. Такое описание должно содержать данные о длине волн неровностей, а также об их амплитуде. Типичный железнодорожный путь состоит как из состыкованных, так и из бысстыковых рельсовых нитей. Для состыкованного пути, содержащего неровности с длиной волны 12 м, простейший метод представления геометрии пути сводится к его описанию с помощью волны вытянутой синусоиды. В случае несимметричного расположения стыков рельсов такой подход применительно к описанию неровности вертикального профиля пути приводит к следующему его представлению в рядах Фурье:
у = (2А/л) ГI - cos (4nx/L)---cos (8nx/L) — ... 1, (3.37)
89
а для отклонения возвышения одного рельса над другим
у= (2Д/л) (— cos (2nx/L) У —cos(6nx/L) 7 ... I. (3.38) ( 3	35	I
Более полное описание геометрии пути можно дать с помощью плотности силового спектра измеренных неровностей пути. Для получения аналитических представлений типичных изменений параметров геометрии пути применяются методы разложения во временные ряды.
3.8.1.	Статистическое представление геометрии пути1. Было установлено, что представительной адекватной закономерностью типичных изменений геометрических параметров пути является периодически модулированный случайный процесс. Этот процесс состоит из двух процессов: из стационарного случайного процесса, которым описываются случайные неровности рельса, и периодического процесса, с помощью которого описываются регулярно расположенные стыки рельсов, имеющие отличную от нуля среднюю амплитуду отклонений. Амплитуда отклонения стыков рельсов меняется по случайному закону, в то время как положение стыка остается неизменным.
Плотность силового спектра является полезным инструментом для исследования периодически модулированного случайного процесса. Реализация такого подхода с использованием плотностей силового спектра применительно к неровностям железнодорожного пути связана со стационарным случайным процессом, порождающим гладкую функцию, и с периодическим процессом, порождающим отличную от нуля среднюю амплитуду отклонения стыков, приводящую к пику плотности силового спектра.
Плотности силового спектра можно изобразить в виде функции пространственной частоты (единица, деленная на длину волны). На рис. 3.13 показан график типичной плотности силового спектра неровностей профиля железнодорожного пути, состоящего из состыкованных рельсов. Как можно видеть на рисунке, при относительно гладкой функции наблюдаются заметные пики плотности силового спектра. Эти пики появляются при длине волны, которая соответствует длине рельса (примерно 12 м) и элементарным гармоникам; это указывает на присутствие периодической составляющей процесса. На рис. 3.14 показаны графики типичных плотностей силового спектра для изменений: вертикального профиля пути, возвышения одного рельса над другим, а также положения оси пути.
Анализ изменений геометрии пути с помощью моделей с использованием плотности силового спектра является весьма конструктивным методом при определении динамических характеристик экипажа при наличии связей. Плотности силового спектра могут быть использованы для расчета: среднеквадратических значений неровностей рельса, кривизны рельса, уровня колебаний экипажа, силовых взаимодей-
1 См. работу (171. 90
Рис. 3.13. Плотность силового спектра отклонений осн стыкового железнодорожного пути	►
Рис. ЗЛ4. Квадратичные плотности силового спектра различных изменений параметров железнодорожного пути: а - вертикального профиля |S(f)|2; б возвышения одного рельса над другим |C(f)|2; в — горизонтального положения оси пути | A (f) |2
ствий колеса и рельса, а также относительных перемещений между различными элементами экипажа.
Однако аналитические возможности метода использования плотности силового спектра ограничены. По среднеквадратическим значениям нельзя рассчитать пиковые значения. Для этого необходимо знать плотности вероятности теоретического распределения, определяющего каждый вид возбуждения и отклика. Идентичные плотности силового спектра могут порождаться широким многообразием зависимостей от времени. Индивидуальные качества изолированных изменений геометрии пути размазываются из-за осреднения, характерного для метода плотности силового спектра. Изолированные изменения представляют собой особые величины, проявление которых хотя и носит случайный характер, ио сама картина этого проявления типична для каждого вида изолированного изменения. Такого рода изменения часто являются причиной нежелательных динамических явлений.
Железнодорожный путь можно представить в виде составных частей. Конструкция каждой такой части и условия ее эксплуатации одинаковы. У этих частей пути возникают аналогичные изменения геометрии пути, которые сводятся к образованию случайных волн с относительно большими амплитудами в стыках и местах сварных соединений. Такие изменения называются типичными.
Изменения геометрии пути, которые не охвачены типичными изменениями, называются изолированными изменениями геометрии пути.
91
Эти изменения часто случаются при эксплуатации специальных сооружений и устройств железнодорожного пути, таких, как стрелочные переводы, разъезды, пересечение путей, а также мосты. Хотя эти изменения проявляются случайно, но сама картина таких изменений носит типичный характер.
Для аналитической характеристики изменений геометрии пути создана база геометрических данных, которая представляет собой представительную выборку геометрических данных железнодорожных путей США. В базу данных входят сведения о геометрии пути длиной около 805 км, которые были взяты из данных, собранных при измерениях, проведенных с помощью путеизмерительных вагонов Федеральным Управлением железных дорог США в течение 1980—1981 гг. Длина путей, на которых проводились измерения, составляет около 112 654 км. База данных состоит из 5	10 разделов, содержащих све-
дения о геометрии пути в каждом из классов путей, предусмотренных действующими Нормами Федерального Управления железных дорог США. Каждый раздел охватывает длину пути от 8 до 16 км. Характер данных этих разделов указывает на широкое распространение соответствующих геометрических характеристик на железных дорогах США, отражая особенности условий эксплуатации и практики текущего содержания и ремонта различных железных дорог.
Континуум плотности силового спектра, который представляет стационарный случайный процесс, можно моделировать с помощью функций с равномерной плотностью силового спектра. Каждая такая функция зависит от частот перепада характеристики и параметра, определяющего неровность. Например, на длине волны, меняющейся в диапазоне от 1,5 до 304, 8 м, плотность силового спектра изменения профиля и положения оси пути можно моделировать следующим образом:
S (ф) -•= /4ср| (<р2 4- Ф2)/Ф4 (Ф24- ф|),	(3.39)
где 5 (<р) — плотность силового спектра, ср — пространственная частота; А — постоянный параметр неровности; <рх и <р2— частоты перепада характеристик.
Частоты перепада характеристик зависят от типичного для геометрии данного пути параметра и для различных классов пути меняются незначительно. Например, в случае профиля пути ф! = 0,0234 цикл/м и ф2 = 0,132 цикл/м для всех классов железнодорожного пути параметр неровности сильно зависит от класса пути. На рис. 3.15 показан параметр неровности среднего профиля для различных классов железнодорожного пути.
Модели, основанные на применении плотности силового спектра, разработаны для изменений всех параметров геометрии пути, т. е. для ширины колеи, положения оси пути, возвышения одного рельса над другим, а также вертикального профиля пути. Описание этих моделей с помощью плотности силового спектра наряду с параметрами неровностей и частот перепада для всех классов железнодорожных пу-92
тей, учрежденных Федеральным Управлением железных дорог США, сведено в табл. 3.6.
3.8.2.	Периодические процессы. На стыках железнодорожного пути в изменении геометрии пути наблюдается резкое нарастание амплитуд. Как показали исследования данных геометрии пути, изменения профиля рельса или положения оси в стыке могут быть неадекватно представлены с помощью пикообразной кривой вида
у (х) =- Ае - к 1 х ’,	(3.40)
где х — координата, отсчитываемая вдоль рельса от стыка; у (х) — профиль рельса или положение оси пути; А —амплитуда пика в месте стыка; k — коэффициент затухания неровности по длине рельса.
Следовательно, форма геометрии пути в стыке определяется его амплитудой и коэффициентом затухания неровности. Длина затухания пика неровности в месте стыка (величина, обратная коэффициенту затухания) составляет около 0,6—3 м, а амплитуда пика для большинства случаев меняется от нуля до 76 мм. Как длина
14
12
10
8
6
ч
2
Рис. 3.15. Диаграмма изменения параметра Д неровностей железнодорожного пути в зависимости от его класса
затухания, так и амплитуда увеличиваются с увеличением расстройства пути, которое происходит вследствие недостаточной жесткости конструкции стыковых соединений и усиливается при незатянутых болтовых стыковых скреплениях.
Оценка средних значений пиковых амплитуд и коэффициентов затухания проводится на основе рассмотрения пиков спектральной функции. Для всех классов железнодорожных путей, введенных Федеральным Управлением железных дорог США, эти оценки также приведены в табл. 3.6.
3.8.3.	Изолированные геометрические неровности железнодорожного пути. 3.8.3.1. Основные характеристические кривые, представляющие неровности. Для описания изолированных неровностей геометрии пути вводятся семь основных характеристических кривых следующего типа: пик, горб, скругленный скачок, плато, корыто, синусоида, затухающая косинусоида. В табл. 3.7 приведены формы указанных выше кривых и функции, с помощью которых можно описать эти кривые. Аналитические формулы основных характеристических кривых зависят от двух параметров: амплитуды А и параметра k, связанного с длиной затухания неровности.
93
Таблица 3.6. Аналитическое представление изменений геометрических параметров для типичного пути
Характер			Значения параметра по			классам пути			
процесса, используемого для статистического описания									
	Параметр геометрии пути	Математическая модель							
параметра геометрии			Обозначение	6	5	4	3	о	1
пути									
Стационарный случайный	Ширина ко-	Аф?	А • 10е мм3, цикл  м	0.6	1,0	1.8	3,2	5,5	9,9
	леи	(ф2 + ф?)(ф2 + Ф?)	ф| •104 цикл, м	2.9	2,9	2,9	2,9	2,9	2.9
			ф3 • Ю3 ЦИКЛ/М	2,3	2,3	2,3	2,3	2,3	2.3
	Возвышение	Та же, что и для ши-	А • 10е мм2/цикл м	0.6	1,0	1 .4	2,2	3,2	4,5
	одного рельса над другим	рины колеи	фг 10‘ цикл, м	2.3	2.3	2,3	2,3	2,3	2,3
			фа • 10я цикл м	1.3	1,3	1 .3	1,3	1,3	1,3
	Профиль пу-	, . ЛфгО^+ф?)	А -10е мм2/цикл/м	1,0	1,6	2,8	4,9	8,9	15,6
	ти	8(ф) — Ф‘(Ф24-Ф2)	фг 10‘ цикл/м	2,3	2,3	2.3	2,3	2,3	2,3
			ф2- 10я цикл м	1,3	1 ,3	1 ,3	1,3	1,3	1,3
Стационар-	Положение	Та же, что и для	А  10е мм2/цикл м	0.6	1 ,0	1 ,8	3.2	5.5	9,9
ный случайный	оси пути в плане	профиля пути	ф1 •104 цикл/м	3.3	3,3	3,3	3,3	3,3	3,3
			ф2-10я цикл/м	1,8	1 ,8	1,8	1,8	1,8	1,8
Периодичес-	Профиль пу-	у{х) = Ае~к 1 х 1	А-10 мм	0,29	0,36	0,48	0,64	0,84	1,14
кий	ти		k, ,м~’	0,82	0,66	0,49	0,46	0,43	0,43
	Положение	Та же, что и для	А, 10 мм	0,20	0,28	0,38	0,51	0,69	0,89
	оси пути в плане	профиля пути	k, м—1	1 ,87	1,51	1,15	0,66	0,49	0,39
Таблица 3.7. Основные характеристические кривые пути
Наименование неправильности пути
Форма кривой
Формула, чадающая кривую
Пик
Горб
Скругленный скачок
Плато
Корыто
Синусоида
Затухающая косннусонда
у- Ае
У il
I /V
у А 1	(*д)я
у - Л/г|(1 /г)2 •-X
у  A sin л kx
у -- Ае кх cos л kx
95
Таблица 3.8* Значение амплитуды А для изолированных неровностей пути
Характеристическая кривая	Диапазон изменении иараме i р'*в							
	Ширина колеи		Положение оси нуги в плане		Возвышение одною рельса над другим		Профиль нуги	
	А, мм	к ID'-’/M	А, мм	к 1 0 ’ 1 ,'м	1. мм	ЫОЛи	.4, мм	к  1 «~,/м
Пик	20—36	0.52—2,00	13-76	0,36- 3,38	23-76	1.02-3.11	23—76	0,52-3, 12
Горб	20-36	1,02—1 ,31	13—71	0,29—2,72	25-76	0,56—2.73	13-102	0,43—2,13
Скругленный скачок	*	*	13—84	0,20—0,82	41—71	0,66—1.64	13-127	0,26-1 ,48
Плато	20—33	0,95—2,62	30—41	0,82—0.89	15—25	0,85—1,31	20-76	0,30-1,08
Корыто	*	*	36-56	0,43-0,95	*	*	18—51	0,66—0,82
Синусоида	*	*	20—30	0,66—1.08	*	*	25—38	0,66—0,82
Затухающая косинусоида	13-25	*	25-56	0,42—0.49	23—30	1.67—2,00	*	*
обнаружено проявление тех или иных харак-
* Звездочкой помечены те случаи, когда в базе данных о геометрии пути не было герметических кривых.

Таблица 3.9. Данные о расположении основных характеристических кривых пути
Характеристическая кривая
Пик
Горб
Скругленный скачок
Плато
Корыто
Синусоида
Затухающая косинусоида
Места, где обнаруживаются характеристические кривые
Стыки; стрелочные переводы; участки централизации; горловины расходящихся веером путей; буферные рельсы, изолированные стыки в непрерывном сварном рельсе; стыковочные соединения с накладками на непрерывном сварном рельсе; на мостовых устоях
Пучинные места пути; илистые участки пути; участки с загрязненным балластом; стыки; переходные кривые; пересечение железнодорожных путей в одном уровне; мосты, мостовые переходы над автотрассами нли железнодорожными путями; места незатянутых болтов; стрелочные переводы; участки централизации
Переходные кривые, мосты, пересечение путей, участки централизации; переходы в выемкн в глинистых грунтах
Мосты, пересечения железнодорожных путей в одном уровне; зоны одиночной подбивки шпал
Пучинные места; участки пучинного и неустойчивого земляного полотна; переходные кривые
Переходные кривые; пучинные места пути; мосты
Переходные кривые; стрелочные переводы; местные пучинные места пути
Длина затухания основной характеристической функции пропорциональна 1/6.
В табл. 3.8 приведены диапазоны изменения параметров А, которые найдены на основе данных о геометрии пути для случаев проявления изолированных изменений параметров геометрии пути.
Параметры А и k зависят от класса пути, от геометрии пути, а также от свойств самой характеристической функции. Вообще говоря, значения А и k уменьшаются по мере повышения класса пути. Одиако диапазоны применения этих величин для путей различных классов в значительной части взаимно перекрываются.
3.8.2.3.	Характерные случаи проявления изолированных неровностей. Изолированные неровности геометрии пути имеют место на переходных кривых, при эксплуатации специальных сооружений и устройств железнодорожного пути, а также на участках слабого земляного полотна или на слабо дренированных участках.
Изолированные изменения проявляются также на таких специальных участках пути, как пересечения железнодорожных путей, разъездов, устройства блокировки, а также мосты. Частота их появления зависит от числа кривых и специальных участков пути.
В табл. 3.9 приводятся данные о том, где, как правило, наблюдается расположение тех или иных основных характеристических кривых.
Эти основные характеристические кривые появляются изолированно в осочетании с другими характеристическими кривыми, а также пе-4 Зак. 1073	97
риодически. Кроме этого, изолированные неровности железнодорожного пути могут обнаружиться одновременно в нескольких параметрах геометрии пути.
Отдельные проявления основных характеристических кривых приводят к возбуждению переходного импульсного воздействия на экипаж, что в свою очередь может привести к серьезному динамическому взаимодействию экипажа и пути.
При изолированном расположении основных характеристических кривых могут иметь место отдельные отклонения любого параметра геометрии пути с большой амплитудой.
Если основные характеристические кривые следуют друг за другом, то их определяют как периодические изменения геометрии пути. Хотя амплитуда этих основных характеристических кривых может изменяться, длина волны остается более или менее постоянной в течение нескольких циклов.
Периодические неровности могут вызвать серьезные динамические взаимодействия экипажа и пути. Если частота этих неровностей совпадает с собственной частотой экипажей, может произойти резонансное нарастание амплитуды колебаний экипажа. Периодические неровности наблюдаются только в виде основных характеристических кривых типа пика, горба, скругленного скачка и синусоиды. Периодичности неровностей геометрии пути, которые проявлялись бы в виде других основных характеристических кривых, не наблюдается.
Вероятно, наиболее хорошо знакомым примером динамической реакции экипажа на периодические возбуждения являются колебания виляния, возникающие из-за последовательной просадки стыков. На кривой записи изменений возвышения одного рельса над другим последовательные просадки стыков появляются в виде периодических пиков. Резкие просадки стыков могут порождать пилообразную кривую записи изменений возвышения одного рельса над другим. На мостах и переходных кривых обычно появляются изменения осредненного положения оси пути в виде периодических горбов и синусоид. На криволинейных участках пути на графиках, соответствующих изменению ширины колеи и положению оси рельсовой нити в плане, также наблюдается появление периодических пиков.
Средний вертикальный профиль может также испытывать квазипе-риодический характер изменения с горбами на участках пути в районе илистых грунтов. На криволинейных участках пути в поведении среднего вертикального профиля могут появиться периодические скругленные скачки.
Комбинированные неровности геометрии пути определяются как такие изменения, которые появляются одновременно в нескольких параметрах геометрии пути. Некоторые из параметров геометрии пути довольно тесно связаны друг с другом. К ним относятся такие параметры, как ширина колеи и положения оси пути; возвышение одного рельса над другим и вертикальный профиль пути. Однако изолированные изменения параметров с большими амплитудами могут также сущест-98
вовать одновременно в парах с другими параметрами геометрии пути. Такие сочетания изменений параметров геометрии пути могут также привести к серьезному динамическому взаимодействию экипажа и пути.
3.8.4.	Соотношения изменений различных параметров геометрии железнодорожного пути. Железнодорожный экипаж находится под одновременным воздействием отклонения ширины колеи, изменения положения оси пути, а также неровностей вертикального профиля. Для того чтобы провести приемлемое экспериментальное и аналитическое моделирование реальных условий эксплуатации железнодорожного пути, необходимо изучить соотношения между изменениями различных параметров геометрии пути.
С целью установления линейных соотношений между изменениями различных параметров геометрии были проанализированы данные о геометрии пути, которые являются типичными для железных дорог США [18].
Эти исследования проведены в частотной области с помощью построения автокорреляционных спектральных плотностей, взаимных спектральных плотностей, функций когерентности, а также передаточных функций.
3.8.4.1.	Изменения ширины колеи и положения оси пути. Были проведены исследования с целью установления соотношений между изменениями ширины колеи и среднего положения оси пути, а также между изменениями ширины колеи и положения одной рельсовой нити (изменение положения левой нити или правой нити). Статистически значимой корреляции между изменениями ширины колеи и среднего положения оси пути не было обнаружено. Тем не менее было установлено, что между изменениями ширины колеи и положения одной рельсовой нити существует статистически значимая линейная связь.
На рис. 3.16 приведен пример когерентности между изменениями ширины колеи и положения рельсовой нити. В данном случае когерентность
Т2(/) | S.vf, [/')|25х(/) Sy (f),	(3.41)
где у2 (/) — функция когерентности; SX!) (f) — средняя взаимная спектральная плотность изменений ширины колеи и изменений положения рельсовой нити;
(/) — средняя автокорреляционная спектральная плотность изменений ширины колеи; S/f (/)— средняя автокорреляционная спектральная плотность изменений положения рельсовой нити.
Значения у2 (/) находятся в диапазоне от 0 до 1. Если у2 (/) О, это означает, что между изменениями ширины колеи и изменениями положения рельсовой нити отсутствует линейная связь. С другой стороны, если у2 (/) — 1, то это означает, что между указанными величинами существует идеальное линейное соотношение.
Для промежуточных значений, например при у2 (/)	0,75, это
означает, что для 75 % изменений ширины колеи можно установить линейное соотношение между изменениями ширины колеи и изменением положения одной рельсовой нити.
4*	99
Рнс. 3.16. Когерентность у2 между изменениями ширины колеи и горизонтального положения отдельной рельсовой нити; здесь и далее Л — длина волны
и, аоз u,oi6 о, оз
0,1о	0,33	1,Ь«
Рнс. 3.17. Когерентность у2 между изменениями горизонтального положения левой и правой рельсовых нитей
100
Данные рис. 3.16 указывают на сильную когерентность ( х 0,71) для длин волн короче 30,5 м.
На рис. 3.17 показана типичная когерентность между изменениями горизонтального положения левой и правой рельсовых нитей, причем значение квадратичной когерентности для длин волн более 30,5 м для большинства случаев близко к единице. С другой стороны, для длин волн короче 30,5 м наблюдается уменьшение когерентности. Это указывает на то, что изменения положения левой и правой рельсовых нитей для длин волн, больших 30,5 м, идентичны. Однако по мере уменьшения длины волны изменения положения обеих рельсовых нитей становятся более или менее взаимно независимыми.
3.8.4.2.	Изменения вертикального профиля пути и возвышения одного рельса над другим. Между изменениями возвышения одного рельса над другим и изменениями среднего профиля почти отсутствует когерентность. На рис. 3.18 показана типичная функция когерентности изменений возвышения одного рельса над другим и изменений профиля левой рельсовой нити при болтовых стыковых соединениях рельсов. Когерентность статистически мало значима за исключением некоторых дискретных значений длин волн. Наиболее яркий пик приходится на длину волны 11,9 м (равную длине рельса). Это можно отнести за счет наличия серьезных изменений профиля рельсовой нити в стыковых соединениях.
На рис. 3.19 показан пример характерной когерентности изменений вертикальных профилей левой и правой рельсовых нитей. Значительная когерентность наблюдается для длин волн, больших 6 м. Следует, однако, отметить уменьшение когерентности для длины волны 11,9 м.
3.8.4.3.	Изменения положения рельсовых нитей и возвышения одного рельса над другим. В общем случае изменение возвышения одного рельса над другим слабо коррелирует с изменениями положения рельсовых нитей. Однако есть исключения для некоторых участков пути.
Как видно на рис. 3.20, пик когерентности приходится на длину волны 16,5. Это особенно характерно для некоторых участков железнодорожных путей на сварных стыках для четвертого класса и выше.
Во многих случаях наиболее значительные пики когерентности около 0,7—1,0 приходятся на длину волны 23,8 м. Точная причина этого явления не установлена. Возможно, это можно отнести за счет комбинированного воздействия изменений возвышения одного рельса над другим и изменений положения рельсовых нитей, вызванных определенными местными особенностями верхнего строения пути, движения, а также условиями текущего содержания и ремонта пути.
3.8.4.4.	Изменения других параметров геометрии пути. Типичным является отсутствие корреляции между изменениями ширины колеи и изменениями возвышения одного рельса над другим. Вообще это утверждение также справедливо в отношении изменений ширины колеи и вертикального профиля пути, а также и в отношении изменений вертикального профиля и положения оси пути. Однако одновременное ухудшение параметров геометрии может привести к статистически
101
0,003	0,016	0,03
0,16	0,33	164
f, цинл/м
Рис. 3.18. Когерентность у2 между изменениями возвышения одного рельса над другим и профиля левой рельсовой нити
1.64
0.003	0,016	0.03
0.16	0,33
Рис. 3.19. Когерентность у2 между изменениями вертикального профиля левой рельсовой нити и вертикального профиля правой рельсовой нити
102
Рис. 3.20. Когерентность у2 между изменениями возвышения одного рельса над другим и горизонтального положения правой рельсовой нити
Рис. 3.21. Когерентность у2 между изменениями ширины колеи пути и осредиеиного вертикального профиля пути
103
значимой когерентности при определенных длинах волн. Исследованные участки пути, имеющие болтовые стыковые скрепления, обнаруживают сильную когерентность между изменениями ширины колеи и изменениями вертикального профиля, а также между изменениями вертикального профиля и изменениями положения оси пути при длине волны, равной половине длины рельса.
На рис. 3.21 показан пример когерентности между изменениями ширины колеи и среднего вертикального профиля. Нарастание когерентности наблюдается для длин волн, расположенных в диапазоне от 3,7 до 11,9 м, при пиковом значении когерентности на длине волны 5,9 м. Представляется, что это происходит из-за одновременного ухудшения параметров геометрии пути з стыках. Ухудшение параметров геометрии пути, связанное со стыковым соединением, появляются на каждой половине длины рельса на пути с полусимметричным расположением болтовых стыковых соединений.
Это приводит к статистически значимой корреляции между изменениями вертикального профиля и изменениями положения оси пути на длине волны, равной половине длины рельса.
3.9.	РЕЗЮМЕ
В данной главе обсуждены различные проблемы, связанные с динамикой железнодорожных экипажей и железнодорожных составов. Для изучения этих проблем предложено несколько математических моделей. При построении математических моделей указаны наиболее распространенные методы решения соответствующих задач. Обсуждены различные характеристики, используемые для оценки динамического качества железнодорожных экипажей. Представлены Нормы безопасности движения, которые предложены Федеральным Управлением железных дорог США. Обсуждены также детерминированный и статистический подходы, которые используются для описания различных неровностей пути.
Представлены функции спектральной плотности мощности спектра, отклонений от номинальных значений для ширины колеи, положения оси пути, возвышения одного рельса над другим, а также продольного профиля пути для различных классов железных дорог США.
Список литературы
1.	Method of Assessing Riding Quality of Vehicle. — Report Cl 16, RP 8, Office for Research and Experiments, Utrecht, Netherlands, 1977, April.
2.	Guide for the Evaluation of Human Exposure to Whole Body Vibrations. — Revision of Documents ISO/TC 108 (Secretariat-31) 100 E, 1969, June and ISO/TC 10 W67 (Secretariat — 19) 36, 1970, June, International Standards Organization, 1969, 1970.
104
3.	С о х о п Н. Е., Me N a u g h t о п L. D. Bogie design for Australian conditions.— Railway Engineering Journal, 1973, v. 2, N. 2, pp. 16—31.
4.	Yokose K. Experiment of hunting derailment with a one-fifth model wheelset. —Tokyo Railway Technical Research Institute Qurterly Report, 1970, v. 2, N. 4, pp. 228—231.
5.	MatsudariaT. Dynamics of High-Speed Rolling Stock. — Japanese National Railways Special Issue: Research for Super High-Speed Railway, pp. 21—25, Tokyo, Japan, Railway Technical Research Institute, 1964.
6.	A h 1 b e с к D. R., PrauseR. H., Meacham H. C. An application of computer modeling techniques to predict the effects of railroad track geometry.— Proceedings of Intersociety Conference on Transportation, 1973, September 24—27, Denver, Colorado.
7.	Murray W., BaumW., Hedrick J. K., Worm ley D. N.. К a r A. K, Performance Limits of Rail Passenger Vehicles: Evaluation and Optimization.— Report DOT RSPA DPB — 50/7S/32: U. S. Department of Transportation. Research and Special Programs Administration, Officec of University Research. Washington. 1979.
8.	D e a n F. E., Ahl bee к D. R. Criteria for high-speed curving of rail vehicles. — American Society of Mechanical Engineers, 1979, Paper 79 — WA/RT—12.
9.	M a г с о t t e P., С a 1 d w e 1 1 W. N., L i s t H. A. Performance analysis and testing of a conventional 3 piece freight truck retrofitted to provide axle steering. — American Society of Mechanical Engineers, 1978, Paper 78—WA/RT—4.
10.	L у о n D., W e e к s R. J. The design of bogies for low wear of wheel and rail in rapid transit applications. — Proceedings of the International Symposium on Contact Mechanics and Wear of Rail and Wheel System. 1969, July, Vancouver, British Columbia, Canada.
11.	Jenkins H. H., StephensonJ. E., Clayton G. A., Morland C. W., L у о n D. The effect of track and vehicle parameters on wheel/rail vertical dynamics forces. — Railway Engineering Journal, 1974, v. 3, N. I, pp. 2—26.
12.	В о t w r i g h t N. Interaction of vehicle and track. — Railway Engineering Journal, 1979, v. 8.
13.	S о n n e v i 1 1 e R.. В e n t о 1 A. Elastic and lateral strength of the permanent way. — Bulletin of the International Railway Congress Association, 1969. v.. N. pp. 685—716, Brussels.
14.	P г о d’h о m m e A. La Resistance de la Voie aux Efforts Transversaux exerces par le Material Roulant. — Revue generale des chemins de fer, 1967, January, v. 96, pp. 1—23.
15.	P г о d ’ h о m m e A. Forces and behaviour of railroad tracks at very high speeds: Standards adopted by SNCF for its future high speed lines (250 to 300 km/h). — Proceedings of Symposium on Railroad Track Mechanics and Technology, 1975, April 21—23, Princeton University, Princeton, New Jersy: Oxford: Pergamon Press, 1978.
16.	Federal Railway Administration. Track Safety Standards. U. S. Department of Transportation, Office of Safety Research, Washington. 1975, March.
17.	H a m i d A., Y a n g T. L. Analytical descriptions of track geometry variations. — ENSCO, Transportation Technology Engineering Division, Springfield, Virginia, 1981, October.
18.	Hamid A., Rasmussen К., В a 1 u j a M.. Y a n g T. - L. Analytic Description of Dynamics Service Track Geometry Variations. — ENSCO Report RTE-80-10, U. S. Department of Transportation, Washington D. C., Office of Rail Safety Research, 1979, October.
105
Список дополнительной литературы
Agarwal М.М. Indian Railway Track. — New Dehli, India, Prabha, 1973.
Corbin .1. C. Statistical characterization of railway track behavior. — Proceedings of ASME/IEEE Joint Railway Conference. 1974, April, Pittsburgh, Pensylvania, IEEE Paper C74903—3IA,
Corbin J. C. Statistical representation of track geometry. — Report FRA ORD-80 22. March, 1980, Springfield, Virginia, National Technical Information Service.
G a г g V. K. Computer models for railway vehicle operation. — Rail International. 1978, v. 9, N. 6, pp. 381—395.
Hedrick J. K. Simulation and analysis of rail vehicle dynamics. — Proceedings of the Miniconference on Transportation, 1977, April 20—22, University of Michigan. Ann Arbor Michigan.
L a w E. H., С о о p e r r i d e r N. K. A survey of railway vehicle dynamics research.— Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Ser. G.— Journal of dynamic systems, measurement and control, 1974, v. 98, N. 2, pp. pp. 132 — 146.
Nathanson W. Parametric Study Bibliography: Literature Survey for Rail System Dynamics Parametric Study. — Report TSC, 612-0368-GF, 1976, July, Massachusetts: Transportation Systems Center, Cambridge.
Newland D. E., Cassidy R. J, Suspension and structure: Some fundamental design considerations for railway vehicles. — Railway Engineering Journal, 1975, v. 2, pp. 4—34.
О g a w a r a S. Study of riding quality with new concepts. —Japan Railway Engineering, 1981, v. 21, N. I, pp. 16—20.
PlatinB. F., BeaunauJ. J., HedrickJ. K., Worm! e у D. N. Computational Methods to Predict Railcar Response to Track Cross Level Variations.-Report FRA-ORD and 76-293, Washington D. C., September, 1976: U. S. Department of Transportation,, Federal Railway Administration.
Sa у ers M. S., HedrickJ. K. Track maintenance/railcar suspension trade-offs to obtain acceptable ride quality. — Proceedings of the 1977 ASME Vibration Conference, 1977, September.
Weinstock H. Dynamic performance criteria for rail vehicles. Lecture presented at TTD short course. U. S. Department of transportation, Transportation Systems Center, 1978, Massachusetts, Cambridge.
4
Г лава
ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОЛЕСА И РЕЛЬСА ПРИ КАЧЕНИИ
4.1.	ВВЕДЕНИЕ
В этой главе приводится краткий обзор различных теорий взаимодействия колеса и рельса при качении. В начале главы рассмотрено явление крипа. Рассматриваются силы крипа, которые возникают в области контакта двух тел, участвующих в качении. Даны необходимые расчетные формулы для определения формы и размеров области контакта двух упругих тел при статическом взаимодействии на основе теории Герца. Задача взаимодействия колеса и рельса при качении исследуется аналитически. Дается обзор и обсуждение ряда теорий взаимодействия колеса и рельса при качении, которые были разработаны за последние 20 лет и которые получили широкое распространение применительно к решению задач динамики железнодорожных экипажей.
Приводится краткое изложение этих теорий и соответствуюйдих математических программ.
В сжатой форме обсуждены приложения и пределы применимости различных теорий.
4.2.	КРИП
На динамическое поведение железнодорожного экипажа значительное влияние оказывают силы взаимодействия колеса и рельса. Эти силы зависят от характеристик сцепления колес с рельсами, упругого скольжения или крипа, а также износа колеса и рельса. На перечисленные характеристики влияет геометрия колеса и профилей рельса, а также динамическое поведение самого экипажа, так как силы крипа существенно зависят от площади контакта и контактных напряжений между колесами и рельсом.
На указанные характеристики влияют также такие факторы, как шероховатость поверхностей, условия окружающей среды, такие, как загрязнения, вызванные водой, маслом, грязью, снегом и другими причинами. Важную роль в этом отношении играют материалы, из которых изготовлены колеса и рельсы.
Явление крипа возникает при условии, когда два твердых тела при качении друг по другу вызывают значительное взаимное давление.
В точке их взаимного касания образуется область контакта, как показано на рис. 4.1.
107
Согласно статической теории Герца [1] область контакта имеет эллиптическую форму, причем отношение полуосей (alb) может быть вычислено на основе знания главных радиусов кривизны тел, участвующих в качении. Для того чтобы подсчитать действительные размеры полуосей эллипса а и Ь, должна быть известна сила нормального давления в точке контакта. Если оба тела имеют сферическую форму или если одно тело имеет сферическую форму, а второе тело образует плоскую поверхность, то область контакта будет иметь форму круга.
Вообще говоря, значения окружных скоростей двух катящихся друг по другу тел неравны. Безразмерный коэффициент упругого скольжения одного тела по другому, или крип, как раз и используется для определения этих отклонений от условий чистого качения двух тел. Понятие крипа вводится для продольного и поперечного направлений. Впервые на значение крипа применительно к динамике железнодорожных экипажей было указано в работе Картера [21. Картер определил продольный крип и поперечный крип в виде следующих отношений:
/ скорость действительного	\  f поступательная скорость
\ поступательного движения J	' чистого качения
поступательная скорость, вызванная качением
скорость действительного \ __ / поперечная ско-поперечного движения / I рость чистого качания
поступательная скорость, вызванная качением
Другой вид крипа —	— поворотный крип, определяемый фак-
тором поворота двух контактирующих тел вокруг оси, перпендикулярной плоскости области контакта, что иллюстрируется рис. 4.2. Поворотный крип определяется отношением
[' угловая скорость \	/ угловая скорость \
(вращения верхнего тела / [вращения нижиего тела )
ssp =	-	(4.3)
номинальная скорость качения
Продольный и поперечный крипы — величины безразмерные, в то время как поворотный крип имеет размерность, обратную размерности длины.
Нередко применительно к местной скорости тел при движении друг относительно друга в особой точке внутри области контакта используется термин буксование. Термин проскальзывание применяется для обозначения условия полной физической пробуксовки.
108
Рис. 4.1. Взаимодействие двух тел при качении:
/ первое голо; 2 направление качения; ,i область конгама: 7 второе тело
Рис. 4.2. Деформационные и силовые факторы крипа:
/ - сила нормального давления; 2 область контакта: 8 момент сил поворотного крипа; 4— упру юс проскальлывание в продольном направлении -продольный крип; 5 — сила про дольного крипа; 6 - направление движения; 7 — сила поперечного крипа; 8- упругое проскальзывание в поперечном направлении поперечный крип
Общеизвестно, что механическая система, подверженная действию неконсервативных сил, может стать динамически неустойчивой. В железнодорожных экипажах неконсервативные силы возникают из-за явления крипа.
4.3.	СИЛЫ КРИПА
Силы крипа развиваются благодаря перепаду скоростей деформаций двух тел в области контакта, как показано на рис. 4.2. Для того чтобы вычислить силы продольного и поперечного крипов, а также момент силы поворотного крипа в области взаимодействия колеса с рельсом, существенным является обоснованное определение области контакта, на основе которого можно было бы установить необходимые соотношения между продольным, поперечным, а также поворотным кри-пами. В следующих разделах данной главы будут кратко рассмотрены различные подходы к данному вопросу. Прекрасные обзоры исследований в области упругого проскальзывания и сил крипа содержатся в работах [3], [4].
4.3.1.	Эллиптическая область контакта колеса и рельса. Когда два жестких тела давят друг на друга с силой нормального давления, в точке их взаимного контакта образуется область контакта. Форма и размеры области контакта двух упругих тел при статическом взаимодействии получаются на основе статического решения задачи Герца
109
Рис. 4.3. Главный радиус кри визны колеса (а) и главный радиус кривизны рельса (б): } колесо: 2 рельс
Если колесо и рельс сделаны из двух различных материалов, то в соответствии с решением задачи Герца форма области контакта — эллиптическая1. Значения полуосей о и b этого эллипса контакта в продольном и поперечном направлениях задаются соответственно следующими формулами:
а щ|ЗлЛЧК! : OW'/1;	(4.4)
b -= п |ЗлД? (tft -н Л'.,)/4Л3|’	(4.5)
где N сила полного нормального давления и
. к '~°Д
л£у;/	пЕ Ц
Ч— .-h. .Л.. Л 
2 I	я; я.2	я; ]
(4.6)
главный радиус качения колеса; R’ — главный радиус поперечной кривизны профиля колеса в точке контакта; /?2 главный радиус катания рельса в точке контакта (для рельса R2 оо); R-2 главный радиус поперечной кривизны профиля рельса в точке контакта; о«, or — коэффициенты Пауссона для материалов колеса и рельса соответственно; Ew, Er — модули упругости Юнга для материалов колеса и рельса соответственно.
Радиус кривизны тела считается положительным, если соответствующий центр кривизны расположен внутри тела, как это показано на рис. 4.3.
1 Эллиптичность области контакта объясняется ие только разнородностью материалов, но и различными радиусами кривизны колеса и рельса. — Прим. ред. ПО
Та блица 4.1*. Значения коэффициентов п, и m в зависимости от Н
0. град	т	п	9. I рад	VI	п	В. ( Р <Д	III	
0,5	61.4	0,1018	10	6.604	0,3112	60	1 .486	0.717
1,0	36,89	0,1314	20	.3,813	1,4123	65	1 .378	0,759
1,5	27,48	0,1522	30	2,731	0,493	70	1 284	0.802
2	22,26	0.1691	35	2,397	0.530	75	1 .202	0.846
3	16.5	0.1964	40	2,136	0.567	80	1 . 128	0.893
4	13,31	0,2188	45	1 ,926	0,604	85	1 .061	0.944
6	9.79	0,2552	50	1,754	0,641	90	1 ,000	1 .000
8	7,36	0,285	55	1 ,61 1	0,678	- •	-	
* Данные заимствованы из работы Герца |1]
Коэффициенты т и п в формулах (4.4) и (4.5) зависят от отношения Kt'Кя, где Ki определяется по формуле
1
2
--
I
Я,
(4.7)
здесь ф — угол между нормальными плоскостями главных кривизн 1 Rt и
Коэффициенты тип приведены в табл. 4.1 в виде функций от 0, где 6 определяется соотношением:
0 = arccos (КККК
(4.8)
4.4.	ЗАДАЧА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОЛЕСА И РЕЛЬСА ПРИ КАЧЕНИИ
Рассмотрим колесо, которое катится по рельсу, как показано на рис. 4.4. Введем систему декартовых координат х', у', г’, привязанную к рельсу, в которой ось х' направлена вдоль рельса, ось у' вправо,
Рис. 4.4. Системы координат, вводимые при изучении качения колеса по рельсу: /—колесо; 2 — рельс (рисунок взят из работы 15])
111
Рис. 4.5. Схемы: u - продольного крипа-. б поперечного крипа; в поворо! кого крипа при качении колеса по рельсу: / колесо; 2 рельс
а ось z вертикально вниз. Колесо катится но рельсу в положительном направлении оси х’, а и - вектор скорости качения колеса. Скорость качения v • |v|.
Вводится вторая система координат х, у, z, которая движется вместе с точкой контакта. Круговая скорость колеса равна с. В точке контакта скорости с и v направлены почти в противоположные стороны. Сумму s - v 4- с определяют как жесткое проскальзывание колеса по рельсу. Вообще говоря, |s| С v, скажем, |s| ~ С;,001 v. Жесткое проскальзывание - это скорость колеса как жесткого тела в плоскости контакта х, у; она состоит из переносной скорости в плоскости х, у и вращательной скорости вокруг оси Z'.
s	v : с	£„,,//) I 	• gs/,Л) j|,	(4.9)
где /. j — единичные векторы в направлении х и у соответственно, а
L H|v| - |с|)/щ
£,/ -а;
lsp R sin т>/| с I у т R sin y/vy.
Здесь у — комичность колеса (рис. 4.5).
Таким образом, продольный крип 2jv связан с разностью модулей |с| и |v|, поперечный крип численно оказался равным углу между колесом и плоскостью контакта с рельсом в точке у ---О, а поворотный крип связан с коничностью колеса, что проиллюстрировано рис. 4.5.
Форма области контакта, в которой имеет место касание при движении колеса и рельса, согласно теории Герца является эллиптической. Нормальное давление, оказываемое на рельс и колесо, задается пофор-муле
Z (х, у) --- (3/У/2ла6) Р '1 —(х/а)2- (W,	(4.10)
где М — суммарная сила нормального давления; а, b — полуоси эллипса контакта. Для определения полуосей и и b можно воспользоваться формулами (4.4) и (4.5).
112
Наличие сжимающих и касательных сил в области взаимодействия приводит к появлению деформаций в колесе и рельсе. Эти деформации отнесем к системе отсчета, связанной с подвижной системой координат х, у, г. Материал как колеса, так и рельса движется относительно этой системы координат, причем скорость материала колеса с, а скорость материала рельса — v. В окрестности контакта компоненты этих скоростей равны ( — v, 0). Обозначим ида — вектор перемещения материала колеса; ur-- вектор перемещения материала рельса в плоскости х, у; тогда разность этих векторов составит и иа, — иг. Истинное проскальзывание w, а именно скорость частицы материала колеса относительно контактирующей с ней частицы материала рельса, задается жестким скольжением s и производной по времени и от вектора и, в том числе, где скорость движения материала составляет — V, 0.
Таким образом, истинное проскальзывание задается следующим уравнением [5]:
w (х, W) = v |(1Х — Es;i у) i + Lp х) j j —
— u(x, у, t)=--v [(Er — gs/) у) i (I,J +	X) jj —	(4-11)
Необходимо отметить, что в условиях стационарного движения du/dt - 0, тогда как в условиях нестационарного взаимодействия при du . „ качении -- =А 0.
т
Для установления связи сил трения и нормальных сил используется закон Кулона.
Пусть р (X, Y) — вектор силы тяги с компонентами вдоль осей х и у, приложенный к колесу в точке контакта; / — коэффициент трения, тогда:
i Р I - I (X, У)! и р=—/Zw/|w|*.	(4.12)
Следовательно, задачу о взаимодействии колеса и рельса при качении можно сформулировать следующим образом:
определить вектор р — (X, У) и, в частности,
(FT, Fy) — ff (X, Y)dxdy	(4.13)
по области взаимодействия так, чтобы условие (4.12) выполнялось совместно с условием
w = v[(gx — lspy)i+(£v — lspx) j]	(4-14)
где £.r, gsp — известные параметры, a u и p — векторы, связанные определенными основными соотношениями; Fx и Fy — продольная и поперечная силы крипа соответственно.
* При w 0. — Прим. ред.
ИЗ
Соотношения продольного и поперечного крипов и соотношения поворотного крипа с продольной и поперечной силами крипа, а также моментом сил поворотного крипа определяются законом изменения сил крипа.
4.5.	КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕОРИЙ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
КОЛЕСА И РЕЛЬСА ПРИ КАЧЕНИИ 1
Теории взаимодействия колеса и рельса при качении можно классифицировать следующим образом.
Упрощенная теория. Если для основных соотношений (4.13) и (4.14) имеет место равенство
u = uu>~ ur = (ExAj+Z.,,yj),	(4.15)
где Lx и Ly — основные параметры, которые зависят от поверхности контакта двух тел, и такой вариант теории называется упрощенной теорией.
Точная теория. Точная теория основана на допущении о полупространствах. Согласно этому допущению как колесо, так и рельс в окрестности области контакта рассматриваются как упругие среды в полупространстве Z > 0 для рельса и Z <0 для колеса. Основные соотношения этой теории выводятся с помощью теории упругости.
Динамическая теория. Если при постановке задачи о взаимодействии колеса и рельса при качении учитываются инерционные члены, то в этом случае теория крипа называется динамической.
Квазистатическая теория. Если при постановке задачи пренебречь инерционными силами, то теория называется квазистатической. Заметим, что влияние инерционных сил при взаимодействии колеса и рельса при качении обычно значительно при скорости поезда, превышающей 483 км/ч [61; поэтому применительно к задачам динамики железнодорожного экипажа, по-видимому, отпадает необходимость использования динамической теории взаимодействия колеса и рельсов. Теории, которые рассматриваются в данной главе, включая упрощенную, являются согласно данной классификации квазистатическими теориями.
Пространственная теория. Теория получает название пространственной теории крипа, если принять, что векторы и и р зависят от всех трех координат х, у, г.
Плоская теория. Если принимается, что векторы и и р не зависят от координаты у, то в этом случае теория называется плоской. Заметим, что из условия о независимости решения от координаты у для истинного проскальзывания w следует, что в плоской теории поворотный крип вообще ие рассматривается. Следовательно, применительно к задачам динамики железнодорожного экипажа плоская теория имеет лишь ограниченное использование.
1 См. работу [5].
114
Если в уравнении (4.14) положить-^- --- 0, получим условиеапацио-т' du . п
парного качения. Если 0, то реализуется режим нестационарного взаимодействия при качении. Применительно к задачам динамики экипажа задачи, связанные с нестационарным режимом взаимодействия при качении, представляют незначительный интерес.
4.6.	ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОЛЕСА И РЕЛЬСА ПРИ КАЧЕНИИ
В данном разделе обсуждаются различные теории взаимодействия при качении, которые могут иметь практическое приложение к задаче о взаимодействии колеса и рельса при качении, и делаются выводы относительно возможностей и практической реализации этих теорий. Прекрасный обзор теорий взаимодействия колеса и рельса при качении дан в работах [5, 6]. Хотя некоторые из этих теорий, может быть, уже и устарели или их применение ограничено, тем не менее их сопоставление позволяет оценить их относительные достоинства.
4.6.1.	Теория Картера. Применительно к задачам динамики железнодорожного экипажа Картером в 1926 г. была разработана теория взаимодействия при качении с учетом трения [7].
Картер получил точное решение задачи в замкнутой форме, которым определялось соотношение между продольным крипом и касательной силой. Как следует из параграфа 4.3.1, область контакта между колесом и рельсом в большей мере зависит от износа колеса и профиля головки рельсов. Для новых колесных пар и профилей головки рельса полуось а эллиптической области контакта в продольном направлении или в направлении качения больше полуоси b этой области контакта в поперечном направлении. Однако по мере износа колес и профилей головки рельса форма области контакта может быть приближенно описана плоской прямоугольной полосой, расположенной поперек рельсовой нити. Картер принимал, что колесо — цилиндр, а рельс — толстая пластина. Кроме того, он полагал, что радиус колеса намного больше по сравнению с длиной контура области контакта. Затем ставилась задача о полубесконечной упругой среде, ограниченной плоскостью. На участке этой плоскости прикладывалось распределенное давление касательного тягового усилия. Принималось допущение о полупространстве и рассматривался только продольный крип |ж. Типичное локальное распределение тягового усилия показано на рис. 4.6, а. На рис. 4.6, б приведен график функции, описывающей закон силы продольного крипа. Участок А’О А описывает поверхность контакта во время обычного качения колеса по рельсу в продольном направлении. Точка А является точкой начала контакта, а точка А' является точкой, где контакт прекращается. Дуга АВА' представляет собой кривую предельного касательного усилия, в то время как ADCA' является
115
Рис. 4.6. Локальное распределение тягового усилия в соответствии с теорией Картера (а); функция, описывающая закон силы продольного крипа (б):
/—направление качения; 2—область проскальзывания; 3—область сцепления колеса с рельсом; 4 — точка полного скольжения
действительной кривой распределения касательного тягового усилия Заметим, что кривая ADCA' начинается в точке А, но нигде не выходит за область, очерченную кривой предельного касательного усилия АВА'.
Поверхности контакта связаны друг с другом и соответствуют части кривой ADC или области, определяемой контуром ADCE.
Любое изменение деформированного состояния в рельсе требует равного и противоположного изменения деформированного состояния в колесе, а это не может произойти из-за отсутствия относительного движения границ в области контакта. Поэтому деформированное состояние поверхности остается неизменным. За точкой С кривой ADC давление между поверхностями в области контакта недостаточно для сохранения деформированного состояния, поэтому поверхности будут проскальзывать с предельным значением касательного усилия. На рис. 4.6, а область под кривой ADC представляет собой область сцепления колеса с рельсом, в то время как область под кривой С А' представляет собой область проскальзывания.
Для получения решения Картера в замкнутой форме для соотношения между продольным крипом и касательной силой введем следующие обозначения:
F — суммарное тяговое усилие колеса; Fx — касательная сила в продольном направлении; q — F/Fx; а — полуось эллипса контакта в продольном направлении; b — полуось эллипса контакта в поперечном направлении; /?, - радиус колеса; / — коэффициент трения; /33 — сила тяги, приходящаяся на единицу крипа в продольном направлении; I — эквивалентная протяженность поперечной к рельсу области контакта (46/3) (Картер дает характерное значение I —  25 мм); N —суммарная сила нормального давления; G — модуль упругости второго рода или модуль сдвига; о — коэффициент Пуассона; X = 2Go'(l —2о) — коэффициент Ляме.
Тогда
ГлО(И6) Wll/2/'------------4--	\	(4.16)
1ЯЯ [ 2(X I-2G) I ' 1-(1-</)|/- )	’
1 16
Рис. 4.7. Область контакта, принятая Джонсоном и Вер-мюлеиом: (а/Ь—а'/Ь'), рисунок построен на основе работы [5]:
/ — направление качения; 2 — область сцепления; 3 — область проскальзывания (по данным рабо-ТЫ [5])
Из равенства (4.16) следует, что /33 зависит от тягового усилия F колеса. В случае чистого продольного крипа получим F — Fх или q --- 1. Для этого частного случая Картер предложил простую формулу для вычисления приближенного значения /33 в случае стальных колес и рельсов:
/33 = 0,291 [/?х(4.17)
где /33 и N выражаются в ньютонах, a Ri и I — в метрах.
В 1927 г. Фромм получил то же решение в замкнутом виде [8]. В 1967 г. Колкер получил простое приближенное решение с учетом продольного и поперечного крипов, но без учета поворотного крипа. Это решение было подобно решению Картера. Та же задача в 1967 г. была решена Хайнрихом и Дезоуэром. Хотя решение задачи было точным, но оно носило усложненный характер [10].
4.6.2.	Теория Джонсона и Вермюлена. В 1958 г. Джонсон обобщил плоскую теорию Картера на трехмерный случай качения двух сфер с учетом продольного и поперечного крипов, но без учета поворотного крипа [11]. Теория для произвольных гладких1 полупространств была в 1964 г. обобщена Джонсоном и Вермюленом на случай чистого крипа без учета поворотного крипа. В соответствии с этой теорией поверхность контакта двух катящихся тел, через которую передается касательная сила, делится на две различные несимметричные области: область проскальзывания и область сцепления, называемая иначе областью прилипания или областью отсутствия проскальзывания. Принимается, что область сцепления имеет форму эллипса, который передней вершиной касается эллипса контакта.
На рис. 4.7 показана область контакта, разделенная на области проскальзывания и сцепления. Касательное усилие, развивающееся в эллиптической области контакта, передается через каждую эллиптическую область контакта; суммарное значение касательного усилия может быть получено по разности усилий, передаваемых через каждую область. Заметим, что направления проскальзывания и усилия тяги не совпадают в заштрихованной области проскальзывания. Как показывают экспериментальные результаты, полученные Джонсоном и Вермюленом, ошибка значения результирующей силы крипа не превышает
1 Но обладающих свойством сцепления и трения. — Прим. ред.
117
25 %, что можно отнести за счет принятия гипотезы об эллиптической форме области сцепления.
Результирующую касательную силу можно получить на основе следующих соотношений. Пусть а — полуось эллипса контакта в направлении качения; b — полуось эллипса контакта в поперечном направлении в плоскости контакта. С учетом значения полных эллиптических интегралов:
л/2	__________
В j (cos2 0) (yz'l—/e3sin26|“ d0;
О
D-=	(sin20) I p 1 — k2 sin20)'“' d0;
о
л/2	___________
C (cos2 0 sin2 0) (J/1—£3sin20 j1 dO при k < 1	(4.18)
b
и
Ф В о (D —С)
Ф, В — о (a2/b2) С
(для a^.b,k -J/(l	a2/b2)',
==[D—о (D—C)](b/a)
ф, -|D—oC](b/d)	(4.19)
(для a b, k = У' 1 — b2/a2),
Если F (Fx, Fv) — суммарная результирующая касательная сила, тогда
F/fN =
T|j) при I т I < 3
(4.20)
где Е, = (ла&бЕд.) Ifh'ty— приведенное значение продольного крипа; И — (лаЬй^у)! AoIj — приведенное значение поперечного крипа; N — суммарная нормальная сила; G — модуль сдвига; — продольный крип; Е,; — поперечный крип; о — коэффициент Пуассоиа; / — коэффициент трения.
Так как о у= 0 и в общем случае <р у= то направление суммарной силы никогда точно не совпадает с направлением крипа. Таким образом теория Джонсона и Вермюлена, которая является обобщением теории Картера, ограничивается рассмотрением случая чистого продольного и поперечного крипов, т. е. случая отсутствия поворотного крипа.
4.6.3.	Теория полос Холдинга, Хайнеса и Олдертона. В 1963 г. Холдинг [13], а также Хайнес и Олдертон выдвинули приближенную 118
Рис. 4.8. Схематическое представление теории полос, предложенной Холдингом, лайнесом и Оллертоном (по данным работы [5])
теорию для случая чистого продольного крипа с эллиптической областью контакта. Область контакта делилась на ряд полос, параллельных направлению качения, и каждая полоса исследовалась с помощью обобщения плоской теории Картера. При этом полностью игнорировалась взаимосвязь между отдельными полосами. Вследствие этого на каждом разрезе, соответствующем постоянному значению у, должно иметь место решение Картера, не подверженное влиянию решения, соответствующего иному значению у (рис. 4.8). Рассмотренная теория была подтверждена экспериментальным исследованием, в котором использовался метод фотоупругих напряжений. Было показано, что форма области сцепления близка к принятой в теории форме. Эта теория была названа теорией полос и ограничивается чистым продольным крипом £х. В 1967 г. Колкер обобщил теорию на общий случай качения с учетом продольного крипа £х, поперечного крипа и незначительного поворотного крипа £sp [91. Зоны сцепления и проскальзывания, определяемые в соответствии с теорией полос, показаны на рис. 4.9. Теория полос ограничивается рассмотрением случаев вытянутых в поперечном направлении эллиптических областей контакта при достаточно малых поворотных кринах. Вот почему теория полос нашла ограниченное применение в динамике железнодорожного экипажа. Тем не менее теория полос продемонстрировала совпадение экспериментальных и теоретических форм проскальзывания и сцепления.
4.6.4.	Линейная теория Колкера. В 1967 г. Колкер разработал линейную теорию взаимодействия при качении [15], основанную на идее, выдвинутой Депате [16], согласно которой при малых значениях
Рис. 4.9. Области проскальзывания и сцепления:
а — чистый крип:	б — чистый поворотный крип: ^х-^у=0\ в — поперечный крип
с поворотным крипом: £х=0; г—продольный крип с поворотным крипом: £у = 0: д — общий случай; е — чистый значительный поворотный крип [обозначения. S — проскальзывание, А — сцепление; —► — направление качения (по данным работы [5])]
119
крипа и gsp площадь проскальзывания столь мала, что ее влиянием можно пренебречь. Поэтому можно принять, что зоной сцепления охвачена вся область контакта.
Вследствие этого допущения упрощаются граничные условия при соблюдении стационарности качения. Внутри области контакта
w = v [(gx--£spz/)i-H£y IspX) j] — v-^r = °-	(4-21)
Вне области взаимодействия
р = 0.	(4.22)
После интегрирования уравнения (4.21) по х получим:
g(i/)= — VU 4-	1хх—Цр xy)i + (ly х+4-	j]> <4-23)
где g (w) — произвольная функция, определяемая на основе допущения о непрерывности силы тяги на переднем крае области контакта. Согласно этой теории по мере того, как частицы материала попадают в область контакта, они вступают во взаимодействие на переднем крае области контакта. В этот момент они не испытывают тяги. Затем частицы проникают в область контакта вдоль линии, параллельной направлению качения, и как следствие отсутствия проскальзывания или наличия сцепления начинает развиваться усилие тяги.
Частицы в конце концов покидают область контакта и усилие тяги падает до нуля. Линейные соотношения между крипом и силой крипа теории Колкера задаются следующими формулами. Сила продольного крипа:
^ = -/33L;	(4-24)
сила поперечного крипа
F	(4.25)
момент сил поворотного крипа
Mz^hav-f^sp-	(4.26)
Заметим, что в формулах (4.24), (4.25), (4.26) /и, f 12» /22 и fзз являются коэффициентами крипа, определенными Колкером в работе [5] следующим образом:
/и — (fl5) GC2z\ f 12= (я5)3 /- GC23;	(4 27)
f22 = (a/b)2 GC33; f^tabjGC^,
где	Z,sp —продольный, поперечный и поворотный крипы соответственно;
а — полуось эллипса контакта, расположенная по направлению качения; b — полуось эллипса контакта, расположенная в направлении, поперечном относительно направления качения; G — модуль сдвига; — параметры для коэффициентов крипа и поворотного крипа [15], которые зависят только от коэффициента Пуассона а и от отношения полуосей а/b эллипса контакта (табл. 4.2).
120
Таблица 4.2*. Параметры Сц для коэффициентов крипа и поворотного крипа
(и/Ь)	/	С.,			^22			С	,1 ' - ’ С,(2		с„		
/ а	0	0.25	0.5	0	0.25	0.5	0	0.25	0.5	0	0.25	0.5
(« Ь)												
0. 1	2,51	3,31	4,85	2,51	2,52	2,53	0,334	0,473	0,731	6,42	8,28	1 1 ,7
0,2	2.59	3.37	4,81	2,59	2,63	2.66	0,483	0,603	0,809	3,46	4,27	5,66
0,3	2,68	3.44	4,80	2,68	2,75	2,81	0.607	0,715	0,889	2,49	2,96	3,72
0.4	2,78	3,53	4,82	2,78	2,88	2,98	0,720	0,823	0,977	2,02	2,32	2,77
0,5	2,88	3.62	4.83	2,88	3,01	3.14	0,827	0,929	1,07	1,74	1,93	2,22
0,6	2,98	3,72	4.91	2,98	3,14	3,31	0,930	1,03	1,18	1,56	1,68	1 ,86
0,7	3,09	3,81	4,97	3,09	3,28	3,48	1 ,03	1,14	1.29	1,43	1,50	1,60
0.8	3,19	3,91	5,05	3,19	3,41	3,65	1 .13	1 ,25	1 ,40	1,34	1 .37	1 ,42
0.9	3,29	4,01	5,12	3,29	3,54	3.82	1 .23	1 ,36	1,51	1,27	1,27	1,27
</)												
1,0	3,40	4, 12	5,20	3.40	3,67	3,98	1 ,33	1,47	1 .63	1 ,21	1,19	1 .16
0,9	3,51	4.22	5,30	3,51	3,81	4.16	1 ,44	1,59	1 ,77	1,16	1,11	1 .06
0,8	3,65	4,36	5,42	3,65	3,99	4,39	1 ,58	1 ,75	1 ,94	1,10	1,04	0.954
0,7	3,82	4,54	5,58	3.82	4,21	4,67	1 .76	1 ,95	2,18	1,05	0,965	0,852
(<С&)												
0.6	4,06	4,78	5,80	4,06	4,50	5,04	2,01	2,23	2,50	1 ,01	0,892	0,751
0,5	4,37	5,10	6.И	4,37	4,90	5,56	2,35	2,62	2,96	0,958	0.819	0,650
0,4	4,84	5,57	6,57	4,84	5,48	6,31	2,88	3,24	3,70	0,912	0,747	0,549
0,3	5,57	6,34	6,34	5,57	6,40	7,51	3,79	4,32	5,01	0,868	0,674	0,446
0,2	6,96	7,78	8,82	6,96	8,14	9,79	5,72	6,63	7,89	0,828	0,601	0,341
0.1	10,7	11 .7	12,9	10,7	12,3	16.0	12,2	14,6	18,00	0,795	0,526	0,228
* Данные о коэффициентах крипа взяты из работы (6}. а для g = 0
С'и = л2 '4(1— а); С22 = л2/4; С23 -= — С.!2 = л V g/З; С-„ --= л2/16(1 — a)g.
Заметим, что F х не зависит от и 5sp, в то время как F у не зависит от в силу симметрии. Линейная теория крипа Колкера широко применяется в динамике железнодорожного экипажа при определении поперечной устойчивости и при установлении границ проскальзывания для стационарных сил на кривых.
Колкер предложил следующие выражения для констант, отражающих сочетание упругих свойств материалов колеса и рельса. Эти константы могут быть использованы при определении коэффициентов крипа и коэффициента поворотного крипа в качестве приближенных величин для случая качения двух тел с различными упругими характеристиками. Коэффициенты С1} приведены в табл. 4.2.
Положим: Gw — модуль сдвига материала колеса; G;? — модуль сдвига материала рельса; G — комбинированный модуль сдвига материала колеса и рельса; о — комбинированный коэффициент Пуассона материалов колеса и рельса.
121
Тогда Guo можно выразить через Gw, Gr, ац. Qr следующим образом:
(l/G)--l-pl/Gtt)  (1/G«)|;	(4.28}
(o/G) = — |(ouz/Gu ) - (or/Gr)].	(4.29)
Если переписать равенства (4.28) и (4.29), можно получить:
G (2G'u G«)/(G\r 4Gr);	(4-30)
o |G (Giv Op Gr Ow)|/(2Gw Gr).	(4.31)
4.6.5.	Теория крипа в точной постановке и ее численная реализация. С помощью методов, изложенных в предыдущих разделах, получить решение пространственной задачи о взаимодействии двух тел при качении невозможно. Например, теория Джонсона и Вермюлена ограничивается рассмотрением только случая, когда нет поворотного крипа, теория полос применима только в случае вытянутых областей контакта и малого поворотного крипа; линейная теория Колкера применима в случае малых значений продольного, поперечного и поворотного крипов.
Колкер в работах 15] и 161 представил три варианта теории о взаимодействии двух тел в точной постановке, которые свободны от тех ограничений, о которых говорилось выше. Однако точная постановка задачи требует получения численных решений с помощью ЭВМ, что связано с большими затратами машинного времени. Варианты теории о взаимодействии двух тел в точной постановке могут быть кратко описаны следующим образом.
Все нелинейные пространственные теории взаимодействия при качении в точной постановке задачи о продольном крипе, о поперечном крипе, а также о поворотном крипе основаны на принципе минимума, который гласит, что истинное касательное усилие тяги р должно удовлетворять неравенству Кулона |р| < fZ. Первый вариационный подход, приписываемый Колкеру, формулируется следующим образом: определить
min ff |/Zw г I w | р |2 dxdy,	(4-32)
P: 1 ₽ ' fzno области
взаимодействия
где w и p связаны основными соотношениями. Следует заметить, что подынтегральная функция является неотрицательной и обращается в нуль при w 0 или р = — fZvil |w | при совместном выполнении дополнительного условия |р| < fZ, которым постулируется закон Кулона. Если нулевое значение не может быть достигнуто, в таком случае подходящее приближение к истинному значению р может быть получено с помощью минимизации р. Колкер установил, что с помощью 122
метода минимизации нельзя найти решение, если b •< а, т. е. когда область контакта уже в поперечном направлении, чем в направлении качения.
Второй вариационный принцип сводится к нахождению
min Ц (pw-|- fZ) w I) dxdy	(4.33)
p; ( p I,, У
'По области взаимодействия
(для плоской контактной задачи), где р и w связаны основными соотношениями. Подынтегральная функция неотрицательна, так как |р|=^ С/Z и обращается в нуль только тогда, когда w 0 или когда р = — fZw/ |w|.
Принцип минимума обладает необходимым для численной реализации свойством выпуклости, а именно: любая стационарная точка является в то же время точкой абсолютного минимума и поэтому всякая стационарная точка, найденная численно, является приемлемым решением. Однако такому подходу присущ следующий недостаток: при w - 0, что имеет место в области сцепления, подынтегральная функция становится недифференцируемой по усилию р. В случае плоской задачи при |sp- 0 задача неустановившегося режима решалась с помощью метода линейного программирования. В пространственном случае при сочетании продольного, поперечного и поворотного крипов это сделать невозможно. Эта трудность была преодолена в работе [ 17|, авторы которой заменили |w | =	+ иу; на Ум* +- wy + в, где
е > 0 (метод регуляризации); определяется минимум, после чего е уменьшается до тех пор, пока решение не перестанет изменяться. Такой подход известен как метод последовательного приближения. В 1978 г. Гори перевел программу Колкера и Гёдингса в программу, написанную на языке Фортран-IV [18].
Самый последний вариант программы, составленный в 1978 г. и получивший название DUVOROL, основан на вариационном подходе, разработанном в работе [19] и получившем дальнейшее развитие в работе 1201. Использовался принцип минимума дополнительной энергии. В силу того, что этот принцип по своему характеру связан с пошаговым приращением, стационарное решение достигается как предел переходного режима взаимодействия при качении, при котором жесткое проскальзывание s принимается постоянным. Таким образом программа является по своему характеру реализацией метода последовательных приближений, но если требуемая точность не очень высокая, около 10 %, то процесс быстро сходится. Судя по публикациям процессорное время на ЭВМ IBM 370/150, требующееся на один вариант, достигает примерно 3 с при — 0 или, если = £sp = 0, а также 10 с в других случаях. Программа DUVOROL составлена в двух версиях: на Алголе и Фортране и может быть получена у Колкера.
123
В теориях, рассмотренных в настоящем разделе, принималось, что оба взаимодействующих тела (два полупространства) обладают одинаковыми упругими характеристиками.
Однако, если тела не являются симметричными, т. е. если их упругие характеристики различны, тогда нормальное давление Z будет влиять на компоненты их и уи приращения перемещения и [см. равенство (4.15)1. Это обстоятельство не имеет место в случае симметричных тел.
Было проведено много экспериментальных исследований как для установления закона изменения силы крипа и проверки теоретических моделей, так и для того и другого в отдельности (см. работу [4|). Результаты этих исследований для чистого продольного крипа приведены на рис. 4.10, а результаты для поперечного крипа — на рис. 4.11. Судя по этим рисункам, результаты различных авторов по своему строю укладываются в закономерности, носящие общий характер, однако значение крипа и максимальная нагрузка fN различны у различных авторов. Автор работы 125] показал, что расхождение продольного, поперечного и поворотного кринов различных авторов объясняются наличием тонкого слоя загрязнения на поверхностях контакта, который можно устранить только абразивными материалами. Экспериментальные результаты, полученные во время испытаний на английских железных дорогах при отсутствии загрязнения, согласуются с результатами расчета по программе DUVOROL [4], 126].
Колкер высказал предложение о том, что загрязнение между взаимодействующими поверхностями может быть учтено аналитически, если принять, что загрязняющий слой создает дополнительное к упругому приращению перемещение ие такое, что суммарное перемещение:
исум = ие + ис,	<4-34)
где и,, задается формулой (4.15), а ие имеет вид:
uc = (Lcx X) i 4- (L,.p y)j(
где LKX и LCII являются параметрами, учитывающими загрязнение-Заметим, что в упрощенной теории о взаимодействии тел при качении суммарные параметры Lx и Ly заданы формулами
Lx = Lex Lcx', Lu — L,,y + Lcv,	(4.35)
где константы Lex и Ley соответствуют незагрязненным поверхностям. Этим обстоятельством подчеркивается тот факт, что вид закона изменения силы крипа остается тем же самым, в то время как начальный наклон кривой, соответствующей этому закону, уменьшается (Lcx > 0; Lcy > 0), на что указывают экспериментальные данные, показанные на рис. 4.10 и 4.11.
4.6.6.	Эмпирическая теория Колкера. Для установления соотношений между продольным и поперечным крипами и суммарной силой 124
Рис. 4.10. Сравнение измеренных экспериментальных данных продольного крипа с результатами расчета по теории Колкера: ------------ теоретическая кривая безразмерного продольного усилия тягн /-j'/.V Кол кера [15]; О -|Н); V - 1121: •	1211: w - |6): А -16): У —122): + -123] (по данным
работы (4)1
Безразмерный поперечный прим, Еаб/з-fV
Рис. 4.11. Сравнение измеренных экспериментальных данных поперечного крипа с результатами расчета по теории Колкера:
------------теоретическая кривая безразмерного поперечною усилия тяги Обозначен!,! те же, что на рис. 4.10 (по данным работы [4[)
125
крипа в области взаимодействия Колкер предложил эмпирическую теорию |28|. Эмпирическая формула Колкера записывается следующим образом:
.. 1/1 (т)е, : f2 (т)е, при т < 1
|е2	при т 1
(4.36)
, / з
11 (т)" - ~ т arccos т;
где т = Г ?2+ П2;
ei =-= (|i л T]j)/T; е2 = (£л. i у j)/]' £ +
| -= па/?С£л./3/Л\р; >) = nabGil//3fN^>l и
F — суммарная сила крипа; в], е2 — единичные векторы, соответствующие продольному н поперечному направлениям соответственно; £Л.,	— продольный
и поперечный крипы; ср, ф] — приведенные коэффициенты для продольного и поперечного крипов, которые зависят от параметров В. С, D (а'Ь) и о (табл. 4.3); f — коэффициент трения; В, С. D — полные эллиптические интегралы (| k | I) определяются по формулам (4.18) и (4.19); о — комбинированный коэффициент Пуассона материалов колеса и рельса; а, Ь — полуоси эллипса контакта; Л’— суммарная нормальная сила, действующая в области взаимодействия колеса и рельса.
Таблица 4.3*. Приведенные коэффициенты фиф! для продольного и поперечного крипов
Отношение полуосей эллипса контакта	Ф = Ф,	ф		Ф,	
	а=0	а = 	 4	1 а 		 4	4	I о =. — 4
(а Ь)					
0,2	0,9686	0,7377	0,5068	0,9574	0,9461
0,4	0,9205	0,7151	0,5096	0,8958	0,8711
0,6	0,8719	0,6893	0,5066	0,8366	0,8012
0,8	0,8267	0,6633	0,5000	0,7834	0,7401
1,0	0,7854	0,6381	0,4908	0,7363	0,6872
(б/а)	0,4095	0,3633	0,3171	0,3533	0,2971
0,2	0,5755	0,4933	0,4112	0,5138	0,4521
0,4	0,6740	0,5645	0,4549	0,6151	0,5562
0,6	0,7393	0,6086	0,4779	0,6852	0,6301
1.0	я. 4	(4—За)эт/16 1		(4 — а)л 16 1	
• ф и ф, являются линейными функциями о (заимствовано из работы [28)).
126
Рис. 4.12. Сравнение кривой эмпирической зависимости Колкера с экспериментальными данными Джонсона [ПК Джонсона и Вермюлена [12] (ф— [11] при £„ = (), а/6=1; X— [11] при £х = 0 а/6=1) (данные основаны на работе [23|): 1 -но теории Джонсона и Вермюлена; 2 — но эмпирической теории Колкера (по данным работы [28])
Рис. 4.13. Сравнение кривой, построенной по эмпирической формуле Колкера (4.36), с кривой, построенной по формуле Джонсона и Вермюлена (4.37) (ф -а/6 = 0,2; X — а/6 = 5; Н-а/6=1):
I - по теории Джонсона и Вермюлена; 2 — по эмпирической теории Колкера
Рис. 1.13
На рис. 4.12 приведены кривая, построенная по эмпирической формуле (4.36), а также кривые /2 и Л + ft- Как видно на рис. 4.12, эта последняя кривая довольно близко подходит к кривой зависимости суммарной касательной силы отт. Джонсон и Вермюлен также предложили формулу, которая менее точна по сравнению с эмпирической формулой Колкера, но имеет преимущество по сравнению с последней: она проще [121
|F|///V = [l-(1-T)3|e1.	(4.37)
На рис. 4.12 показаны экспериментальные результаты Джонсона, которые соответствуют круговой области контакта и коэффициенту Пуассона о — 0,28. Как видно на рис. 4.12, экспериментальные данные согласуются с эмпирической кривой вплоть до значения т - 0,4. Однако при т > 0,4 экспериментальные результаты расположены ниже эмпирической кривой.
На рис. 4.13 представлена кривая + /2, построенная по формуле (4.36), и кривая, соответствующая формуле Джонсона и Вермюлена.
Точки соответствуют трем значениям а/Ь: 0,2; 1; 5. Во всех случаях принималось, что коэффициент Пуассона равен 0,28. Точки для а/b -= 0,2 располагаются на эмпирической кривой. Другие точки ложатся
127
на кривую при т< 0,2 и т > 0,5. В интервале 0,2 < т < 0,5 точки располагаются выше кривой, аз средней части интервала они размещаются вблизи кривой Джонсона и Вермюлена. Поэтому кажется, что результаты вычислений по эмпирической формуле Колкера достаточно близки к данным экспериментов. Сам Колкер утверждал, что самый значительный разрыв между численными результатами и результатами, полученными по эмпирической теооии, имеет место в диапазоне 0,3 < т < 0,9.
Кроме этого, Колкер предложил построить эмпирическую формулу целиком исходя из коэффициентов крипа, представленных в табл. 4.2, изменив при этом определение т в формуле (4.36) таким образом, чтобы S н q определялись по формулам:
Е --- (AGabCn/3nfN) Jv;
г] - {\GabC.yj3nfN)
Недостаток этой формулы состоит в том, что параметры и С22 уже не задаются с помощью аналитических выражений. Эмпирическая (|юрмула (4.36) Колкера справедлива для всех эксцентриситетов эллипса контакта и для всех значений упругих постоянных материалов тел, участвующих в качении. Эта формула может быть также использована в качестве приближенной формулы для случая, когда упругие постоянные материала колеса и рельса различны.
Комбинированные упругие постоянные G и о, которые используются в формуле (4.36), вычисляются с помощью соотношений (4.30) и (4.31).
4.6.7.	Дедуктивная нелинейная модель. Как показали последние исследования сил взаимодействия колеса и рельса, необходимо построить более сложные модели этого взаимодействия 1291. В частности, необходимо учесть следующие нелинейные факторы: нелинейные геометрические функции колеса и рельса, связанные профилями колеса и рельса, а также ограничения на область сцепления, которые накладываются на соотношение между силой крипа и крипом, иллюстриров-шееся на рис. 4.6, б.
Хотя теория Джонсона и Вермюлена была подтверждена лабораторными экспериментами, она не учитывает поворотного крипа. Известно, что влияние поворотного крипа велико, особенно в области гребня колеса. Колкер сформулировал два нелинейных закона крипа с целью учета влияния поворотного крипа. Эти формулировки известны как упрощенная теория взаимодействия при качении и точная теория взаимодействия при качении. Различие этих теорий состоит в принятии двух допущений о соотношении между касательными напряжениями и перемещениями, а также о распределении нормальных напряжений на поверхности контакта. Эти допущения уменьшают потребные затраты машинного времени почти в 100 раз.
Следует, однако, учитывать, что при обращении к математической программе, основанной на упрощенной теории, придется иметь дело 128
с вычислением результирующей нормальной нагрузки в области взаимодействия. Практически поэтому вся совокупность вычислений, связанная с крипом и реализуемая в математических программах динамики железнодорожного экипажа, должна выполняться на каждом шаге по времени. Таким образом, эта вычислительная процедура может потребовать значительных затрат машинного времени.
Линейная теория Колкера ограничивается рассмотрением случая малых кринов. Упрощению можно подвергнуть и нелинейную теорию Колкера, если отбросить влияние поворотного крипа. Упрощенная приближенная модель, в которой использована линейная теория Колкера, применяется для вычисления сил крипа [29]. Затем на эти силы при необходимости накладывают ограничения с помощью приближенного подхода, основанного на нелинейной теории Джонсона, для случая, когда влиянием поворотного крипа пренебрегают.
В этой модели сначала вычисляют силы крипа с помощью линейной теории Колкера [см. формулы (4.24) — (4.26)]. Учет нелинейного эффекта, связанного с ограничением сцепления, проводится с помощью формулы
F„ = (F^-F»>/2,	(4.39)
где Fx — сила продольного крипа без наложения ограничений (линейное значение); Fg — сила поперечного крипа без наложения ограничений (линейное значение). Следуя далее подходу Джонсона при расчете крипа без учета поворотного крипа, находят результирующую силу F;, с наложением нелинейных ограничений:
[(F^/fM)-- ±(К;?/Ж + J-(^//^j при FR^3fN
JN	при F'R>3jN.
(4.40)
Заметим, что в вычисления по формуле (4.40) включен вклад поворотного крипа за счет его учета при вычислении сил поперечного крипа Ff/ и при нахождении результирующей силы крипа F'R (без наложения ограничений). Для того чтобы вычислить компоненты результирующей силы крипа, необходимо определить направление результирующей силы крипа относительно результирующего вектора крипа. Известны два крайних случая.
Случай I. При малых крипах, когда справедлива линейная теория, направление может быть определено из линейной теории, т. е.:
F,,v = (F;i/Fr) Fr; Fx.v - (FX/F'R) Fr,	(4.41)
или
FVb = Fr cos 0t; FXA=FRsin0i,	(4.42)
где 0!=- arctg (FV/F,,).
5 Зак. 1073	,	129
Случай 2. При полном проскальзывании, если /•« > 3fN, результирующая сила должна совпадать по направлению с результирующим вектором крипа, т. е.:
^-(Ву/т)Ж FXjV = (L./t)/.V, или
= fN cos 0,; FxV = fN sin 02,
где f — коэффициент трения; 02 = arctg	т = У Ex J gy.
Если принять линейную аппроксимацию 0, т. е.
0= |6i+ (0-2—01) (^да, fr 3fN
102,
(4.43)
(4.44)
(4.45)
тогда в соответствии с приближенной моделью сила крипа рассчитывается следующим образом:
F„A = FRcosesgn(Fj,); F.V;V = Fr sin 0 sgn (Fx).	(4.46)
Реализуемая на ЭВМ модель требует в качестве исходных данных отношение а/b и приведенные значения крипов; а/Ь — отношение полуосей эллипса контакта, которое зависит от главных радиусов кривизн двух упругих тел, находящихся во взаимодействии. Вычисление отношения alb в общем случае связано с применением статической теории Герца. Приведенные значения крипов зависят от нормальной силы в области контакта и определяются как приведенные значения продольного крипа gxA,-, поперечного крипа %yN и поворотного крипа gs;>:
lXN=lxP/fC-, lyN^lypIfC;
(4.47)

где C — ]/ab — функция нормальной силы.
£________1_
p	R.

4- — /?lt/?{, T?2>	—главные радиусы кривизны двух упругих тел; Е,у,
° 2
?sp — фактические значения крипов.
Линейные коэффициенты крипа Сп, С22, С23 и С33 определяются по табл. 4.2. Приведенные силы продольного и поперечного крипов и момент сил поворотного крипа вычисляются следующим образом:
FxN = Fx/fN;
FyN = Fy/fN-, MJifW С).
(4.48)
На рис. 4.14 и 4.15 приведено сравнение результатов, полученных на основании дедуктивной нелинейной модели, с результатами, вычисленными по упрощенной нелинейной теории Колкера. На рис. 4.14 показана зависимость приведенных сил крипа от приведенного продольного крипа при отсутствии поворотного крипа и малом значении попе-130
FyH

F\H, 0,1 0,4 D,Z 0
-0,1 -0,4 -0,6 -o,e -to
-1,2 -0,8 -0,4	0	0,4 Fyfj
Рис. 4.15
Рис. 4.14. Зависимость приведенных сил крипа Fxn, FyK от приведенного продольного крипа g при отсутствии поворотного крипа:
• — по упрошенной теории Колкера; А — по эвристической модели крипа; £(/.№0,4; |spw=0 (по данным работы [29])
Рис. 4.15. Зависимость приведенных сил крипа FxN, Fvn от приведенного поперечного крипа при постоянном значении поворотного крипа и продольного крипа (ф— по упрощенной теории Колкера; А — по эвристической модели крипа £хл- = — 0,2; gspjv = 0,8) (по данным работы (29])
речного крипа; на рис. 4.15 — зависимость приведенных сил крипа от приведенного поперечного крипа при постоянном значении поворотного и продольного крипов. Данные этих рисунков показывают, что дедуктивная модель точно описывает нелинейные соотношения крипа, если два из трех компонент крипа равны нулю. В общем случае сочетания различных компонент крипа результаты, полученные на основе дедуктивной модели, достаточно близки результатам, вычисленным по упрощенной теории Колкера.
4.6.8. Математические программы, основанные на упрощенной теории крипа. В последнее время поступили в эксплуатацию три математические программы для расчета сил крипа и момента сил поворотного крипа для случая качения двух тел. Они были разработаны на основе упрощенной теории Колкера о взаимодействии тел при качении. Эти программы получили названия SIMROL, ROLCON и FASTSIM. Упрощенная теория довольно популярна, так как она проста и требует относительно небольших затрат машинного времени. В математических программах используются следующие формулы.
Основное соотношение
IРI < g
U
В зоне сцепления
w = v |(L - У)' +	+ I,,, х) j] — v = 0.
(4.49)
(4.50)
5*
131
В зоне проскальзывания
w#=0;	(4.51)
Р = — gw/| w |.
Параметры Lx н £;/ определяются таким образом, чтобы коэффициенты крипа, включая коэффициент поворотного крипа, численно совпадали с параметрами Сц всех видов крипа на основе работы Колкера 161, которые приведены в табл. 4.2.
Программа SIMROL была в первоначальном варианте составлена Колкером на машинном языке Алгол-60, а затем переведена Гори на машинный язык Фортран-IV [181.
Расчет одного варианта с помощью версии программы на Алголе занимал на ЭВМ IBM 370/158 около 2,5 с. Расчет одного варианта с помощью версии программы на микропроцессоре, разработанной в работе 1301, занимает около 100 мс, а расчет по аналого-гибридной версии программы, разработанной в работе 1311, требует для одного варианта 2 мс.
Программа ROLCON была составлена Кнотом и др. 1321 в 1978 г. На машинном языке Фортран-IV; сообщалось, что расчет по этой программе проходит в 5 раз быстрее, чем по программе SIMROL.
Программа FASTSIM была написана Колкером в 1980 г. Это весьма компактная и исключительно быстрая программа: по сообщениям расчет с помощью этой программы осуществляется в 25 раз быстрее, чем с помощью программы SIMROL.
4.6.9. Теории аппроксимации закона зависимости сил от крипа. Предпринималось несколько попыток численным путем подобрать кривые для описания зависимости сил крипа от крипа по экспериментальным и аналитическим данным. Самая давняя из этих попыток была проделана в работе 1331, а позднее результаты этой работы были модернизированы в работе 1341. Последняя версия закона для сил крипа, основанная на методике аппроксимации, была предложена Колкером в следующем виде:
I 77 I " I 177 I ~ I abGCItl~ I '	52
,v I»	I н |"	| N	Г	" 7
77!	1177 I	I	abGC.!2l,t	I '
где V Й & N — суммарная нормальная сила; G — модуль сдвига; — продольный крип; — поперечный крип; а — полуось эллипса контакта в продольном направлении; b — полуось эллипса контакта в поперечном направлении; f — коэффициент трения; Си, С22 — коэффициенты крипа и поворотного крипа (по Колкеру) (см. табл. 4.2).
В работе 133] значение п принималось равным 1, а в работе 134] п = 2. Этим методом можно рассчитывать только чистый продольный и поперечный крипы; таким образом, учет поворотного крипа не проводится.
132
Заметим, что для того, чтобы воспользоваться формулами (4.52), должны быть известны коэффициенты крипа и поворотного крипа.
Совсем недавно в работе [351 было показано, что можно найти математические функции, которые приближенно описывают нелинейные законы Колкера для силы крипа применительно к продольным силам крипа на основе упрощенной теории Колкера о взаимодействии тел при качении. По аналогии можно распространить такой подход для аппроксимации поперечных сил крипа. Хотя приведенные в работе 1351 функции довольно сложны, но затраты машинного времени на их реализацию на ЭВМ значительно меньше затрат машинного времени при использовании быстрых программ Гори [361. При проведении аппроксимации погрешность приближения по сравнению с упрощенной теорией оценивалась в процентах от максимальной приведенной силы, Эта погрешность не превышала 5 %.
4.7. РЕЗЮМЕ
В табл. 4.4—4.6, основанных на работе [5], указаны различные теории взаимодействия колеса и рельса при качении и соответствующие программы, составленные на их основе.
В табл. 4.4 сведены данные по теориям типа Картера взаимодействия колеса и рельса при качении, по которым получены аналитические решения в замкнутом виде; в табл. 4.5 представлены данные точных теорий, реализуемых с помощью численных методов; в табл. 4.6 представлены сведения о математических программах, основанных на реализации упрощенных подходов к задаче о взаимодействии тел при качении.
Таблица 4.4. Данные по теориям Картера взаимодействия колеса н рельса при качении
№	Источник	Наименование	Ограничение	Характеристика теории
1	|7|. [81	Плоская теория	Определяется только продольный крип	Точная
2	|И|, [12]	Пространственная теория	Поворотный крип ие определяется	Точная
5	|14|	Теория полос	Определяются данные в узкой полосе взаимодействия в направлении качения	Точная
4	[13]. ]15]	Теория полос	То же	Точная
5	|28|	Эмпирическая теория	Поворотный крип не определяется	Упрощенная
6	[171	Линейная теория	При незначительных значениях продольного, поперечного, а также поворотного крипов	Точная
133
Таблица 4.5. Данные точных теорий взаимодействия колеса и рельса, реализуемых с помощью численных методов
№	Источник	Наименование программы	Надежность результатов, о/ .0	Затраты машинного времени на ЭВМ IBM 370/158, с
1	[15]. [38]	XCTROL	60	3,5
2	[17], [18]	Программа численной реализации теории	85	105
3	[5], [20|, [38]	DUVOROL	95	5,25
Экспериментальные работы [4], [12], [6] убедительно подтвердили теории Колкера по взаимодействию тел при качении. Результаты, представленные в работе [3], и методика, использованная в работах [41 и [261, показывают, что закон для силы крипа сильно подвержен влиянию загрязнения поверхности, что сказывается на соответствующих характеристиках.
Нужны дальнейшие экспериментальные исследования для установления того, сохраняет ли фактор загрязнения упругими условия взаимодействия тел при качении. В таком случае станет возможным дать статистическую оценку основных параметров Lcx и Lc,f в формуле 14.35).
По утверждению Колкера [61, сильная дисперсия параметров /,сх, £с», а также коэффициента f означает, что на проектировании железнодорожного экипажа не должно сказываться изменение этих параметров. Отсюда отпадает необходимость большой точности в определе-
Таблица 4.6. Сведения о математических программах, основанных на реализации упрощенных подходов к задаче о взаимодействии тел при качении
№	Автор программы	Наименование программы	Надежность результатов, %	Тип ЭВМ	1 Затраты । машннно-। го времени, с
1	Колкер [5]	S1MROL	95	Цифровая1	2,50
2	Колкер [15], Гори и Ло [36]	»	95	Цифровая’	2,45
3	Деммермейер и Вейсц	»	95	Микропроцессор	0,10
4	L'5U1 Банзаги [31]	»	95	Аналого-гибридная	0,002
5	Киот [32]	ROLCON	100	Цифровая1	0,49
6	Колкер [39]	FASTSIM	100	Цифровая’	0,098
1 Данные цифровой ЭВМ соответствуют IBM 370/158.
134
нии силы взаимодействия, следовательно, программы, основанные на упрощенной теории Колкера, вполне пригодны при решении практических задач динамики железнодорожных экипажей.
Список литературы
1.	HertzH. Gesammelte Werke, v. 1, Leipzig, 1895. p. 155.
2.	Carter F. W. On the action of locomotive driving wheel. -- Proceeding.-, of Royal Society of London, Ser. A, 1926, v. 112, pp. 151—157.
3.	H о b b s A. E. W. A Survey of Creep. — DYN 52, British Rail Research Department. Derby, England, 1967, April.
4.	В r i c k 1 e В. V. The Steady State Forces and Moments on a Railway Wheelset Including Flange Contact Conditions. — Ph. D. dissertation, Loughborough University, Loughborough, 1973.
5.	К a 1 k e r J. J. Review of Wheel-Rail Rolling Contact Theories. In The General Problem of Rolling Contact (A.L. Browne and N.T. Tsai, eds.). — Transactions of American Society of Mechanical Engineers, Applied Mechanics Division. 1980, v. 40, N., pp. 77—92.
6.	К a 1 k er J. J. Survey of wheel-rail rolling contact theory. — Vehicle System Dynamics, 1979, v. 8, N., pp. 317—379.
7.	C a r t e r F. Railway Electric Traction. — London, Arnold. 1922.
8.	Fromm H. Calculation of the slipping in the case of rolling deformable bars.— Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1927. B. 7. N. 1.
9.	KalkerJ.J. A strip theory for rolling with slip and spin. — Proceedings. Koninklijke nederlandse akademie van wetenschappen. Serie В — Physical Sciences, 1967, v. 70, pp. 10—62.
10.	Heinrich G., Desoyer K. Rollreibung mit axialem Schub. — Ingenieur-Archiv, 1967, B. 36, N. 1, SS. 48—72.
11.	Johnson K. L. The effect of a tangential force upon the rolling motion of an elastic sphere upon a plane. —Journal of applied mechanics, 1958, v. 25. N., pp. 339—346.
12.	Johnson K. L., Vermeulen P. J. Contact of non-spheirical bodies transmitting tangential forces. —Journal of applied mechanics, 1964, v. 31, N. 2, pp. 339—340.
13.	H a 1 1 i n g J. Microslip between a rolling element and its track arising from geometric conformity. — Journal of mechanical engineering science, 1964, v. 6. N. 1, pp. 64—73.
14.	H a i n e s D. J., О 1 1 e r t о n E. Contact stress distributions on elliptical contact surfaces subjected to radial and tangential forces. — Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1963, v. 177, N. 4, pp. 95—144.
15.	К a 1 k e r J. J. On the Rolling Contact of Two Plastic Bodies in the Presence of Dry Friction. — Ph. D. dissertation, Delft University of Technology, Delft, Netherlands. 1967.
16.	De P a t e r A. D. On the reciprocal pressure between two bodies. — Proceedings of a Symposium on rolling contact phenomena (Bidwell J. B., ed.), pp. 29—75. Amsterdam: Elsevier. 1962.
17.	KalkerJ. J., GoedingsH. A Program for Three-Dimensional Steady-State Rolling. — Internal Report, Delft, Netherlands, Delft University of Technology, 1972.
18.	G о r e e J. G. User’s Manual for Kalker’s Exact Nonlinear Creep Theory.— Report FRA/ORD-78, 50, Springfield, Virginia, National Technical Information Service, 1978.
19.	D u v a u t G., L i о n s J. L. Les Inequations en Mecanique et en Physique. Paris, Dunod, 1972.
20.	Tjoeng A. S., Kalker J. J. User’s Manual for the Program DU-VORAL in ALGOL-60 and FORTRAN for the Computation of Three-Dimen
135
sional Contact with Dry Friction — Delft, Netherlands, Delft University of Technology, 1980.
21.	Matsui N., Yokose K. On the Creep Phenomenon between Wheel and Rail., 1966, v. 3, Railway Technical Research Institute, Japanese National Railways.
22.	В a r w e 1 1 F. T., W о о 1 а с о t t R. G. The N.E.L. contribution to adhesion studies. —Proceedings Institution of Mechanical Engineers, 1963, v.177. N. 4, pp. 145—160.
23.	1 t a m i G. S. The Study of Friction-Creep Phenomenon of Adhesion between Steel Wheels and Rail. — B. S. Thesis, Flint. Michigan, General Motors Institute, 1968, July.
24.	M ii 1 1 e г С. T. Dynamics of railway vehicles on curved track. — Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers 1965—1966, v. 180, part 3F, pp. 45—47.
25.	Gilchrist A., The Effect of Surface Conditions in Rolling Contac Behavior. —Technical Report, Derby, England, British Railway Research Department, 1978.
26.	Illingworth R. The Mechanism of Railway Vehicle Excitation by Track Irregularities. — Ph. D. dissertation, Oxford, University of Oxford, 1975.
27.	N а у а к P. R., P a u 1 I. L. A new theory of rolling contact. — Report DSR—76109-7, Cambridge, Massachusetts, MIT, 1968.
28.	К a 1 к er J. J. The tangential force transmitted by two elastic rolling over each other with pure creepage. —Wear, 1968, v. 11, N. 6, pp. 421—340.
29.	White R. C., Limbert D. A., Hedrick J. K., Cooperrider N. K. Guideway-Suspension Tradeoffs in Rail Vehicle Systems. — Report DOT-OS—50107, Washington, D.C., U.S. Department of Transportation, 1978, January.
30.	D e m m e r m e i e r F., W e i s z R. A Bipolar Microprogrammable Parallel Microcomputer System for On-Line Simulation. —Munchen, Lehrstuhl Prozessrecher TU, 1979.
31.	Bansagi L. Ein analoges Modell und die Simulationsergebnisse zur Nachbildung des rollenden Kontaktes nach der Theorie von Kalker. — MAN K.096 556-EDS-008 5.000.01. Augsburg, BRD.MAN, 1979.
32.	К n о t h e K., Mo el 1 e D., S t e i n b or n H. ROLSON. Ein Schnelles vielseitiges Digitprogramm zum rollenden Kontakt. — 1LR Mitt. 55, TU, Berlin, 1978.
33.	L e v i R. Etude Relative au Contact des Roues sur le Rail. — Revue generale des chemins de fer, 1935, v. 54, pp. 81 —109.
34.	C h a r t e t A. La Theorie Statique de Derailment d’un Essieu. — Revue generale les chemins de fer, 1950, v. 69, pp. 57—63.
35.	J a s c i n s к i A. Ermittlung von Niiherungsfunktionen zur Beschreibung der Vereinlachten Kraftsschub-theorie nach Kalker, Teil 1, Lagnskrafte.— DEVLR — Interner Bericht 552 — 80/21, 1980.
36.	G or e e J. G., L a w E. H. User’s Manual for Kalker’s Simplified Nonlinear creep theory. — Interim Report FRA ORD-78/06, Springfield, Virginia, National Technical Information Service, 1977, December.
37.	M u f t i I. H., DukkipatiR.V. The Creepages and Spin Quantities for NRC Curved Track Simulator. —Laboratory Technical Report LTR-AN-41. Division of Mechanical Engineering, Canada, Ottawa, Ontario, National Research Council, 1980, September.
38.	Kalker J. J. The computation of three-dimensional rolling contact with drv friction. — International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1979, v.' 14, N. 9, pp. 1293—1307.
39.	К a 1 к er J. J. A Fast Algorithm for the Simplified Theory of Rolling Contact. — Internal Report, Delft University of Technology, Department of Mathematics, Delft, Netherlands, 1980.
5
Г лава
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТАВНЫХ ЧАСТЕЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ЭКИПАЖА
5.1.	ВВЕДЕНИЕ
Главная цель этой главы — обсудить методику разработки моделей составных частей экипажа, которые далее можно будет применить при изучении его динамики. Сначала описываются различные системы грузовых железнодорожных вагонов и типы рессорного подвешивания. Затем проводится подробный вывод уравнений колебаний для колесной пары. Колесная пара является важной составной динамической частью железнодорожного экипажа, так как ею во многом определяются силы взаимодействия колес и рельсов. Уравнения колебаний колесной пары затем используются при составлении математической модели грузового вагона.
При построении моделей динамических систем желательно разрабатывать достаточно простые модели, которые адекватно учитывали бы динамические свойства системы, подлежащей исследованию. Простота модели определяется в большей мере числом степеней свободы, а также линейным или нелинейным характером динамических характеристик составных частей. При разработке математических моделей делаются различные допущения. Применимость модели зависит от этих допущений. При интерпретации результатов, полученных с помощью моделей, важным является четкое понимание смысла этих допущений.
5.2.	КОНСТРУКЦИИ ВАГОННЫХ ТЕЛЕЖЕК И СИСТЕМ РЕССОРНОГО ПОДВЕШИВАНИЯ КУЗОВА
Вес кузова вагона передается на рельсы составными частями вагона, получившими название вагонных платформ или иначе тележек.
В общем случае для каждого экипажа используются две тележки. В пассажирских и грузовых вагонах каждая тележка конструктивно выполнена в виде двух колесных пар, объединенных посредством надбуксовой ступени системы рессорного подвешивания с рамой тележки.
Вес кузова вагона передается на раму вагонной тележки с помощью центральной ступени рессорного подвешивания, которая располагается между кузовом вагона и рамой тележки. В локомотивных тележках обычно используются две или три колесные пары. Встречаются различные конструкции тележек в зависимости от вида железнодорожного экипажа: локомотив, пассажирский или грузовой вагон.
137
5.2.1.	Тележки пассажирских вагонов. Тележки пассажирских вагонов, рассмотренные в работе 111, выполнены в виде жестких конструкций1. Система двойного рессорного подвешивания пассажирского вагона конструируется для достижения плавности хода, для обеспечения габаритной безопасности при движении на криволинейном участке пути, а также для обеспечения устойчивости движения на прямолинейном участке пути.
Колесные пары соединяются с рамой тележки с помощью надбуксовой ступени подвешивания, состоящей из упругих элементов подвешивания и гасителей колебаний. В состав этих элементов могут входить цилиндрические рессоры, пневмобаллоны или эластомерные блоки. Надбуксовая ступень подвешивания обеспечивает колесным парам подвижность относительно рамы вагонной тележки и способствует уменьшению передачи вибраций кузову вагона.
Кузов вагона опирается на рамы тележки с помощью элементов центральной ступени подвешивания или непосредственно с помощью шкворневых балок. Встречается много других типов центральной ступени подвешивания в пассажирских вагонах. В одной широко распространенной конструкции шкворневые балки опираются на рамы вагонных тележек с помощью комплекта вертикальных рессор и параллельно действующих гидравлических гасителей колебаний. Кузов вагона опирается с помощью шкворневых балок на подпятники. В других конструкциях шкворневые балки жестко связаны с рамами тележек, а кузов вагона опирается на шкворневые балки с помощью пневмобаллонов.
В некоторых конструкциях уравновешивания тележки добиваются с помощью равномерного распределения вертикальной нагрузки на каждое колесо. Уравновешивание нагрузки, передаваемой на колесо, достигается с помощью балансирной балки, которая жестко соединяет колесные пары; рессоры располагаются между балансирной балкой и рамой вагонной тележки. Сводка основных данных об элементах системы двойного рессорного подвешивания, применяемой в пассажирских вагонах на железных дорогах различных государств, приведена в табл. 5.1 [2].
5.2.2.	Тележки грузовых вагонов. Тележка грузового вагона отличается от тележки пассажирского вагона. Эти отличия состоят в следующем: рама тележки грузового вагона является относительно более податливой; отсутствует надбуксовая ступень подвешивания между колесными парами и рамами тележки; в центральной ступени рессорного подвешивания сделан акцент на устройства, использующие сухое трение. В некоторых тележках европейских грузовых вагонов тем не менее применяется надбуксовая ступень рессорного подвешивания, но такая система подвешивания не получила широкого распространения.
На рис. 5.1 изображен типичный грузовой вагон, используемый в Северной Америке. Кузов вагона опирается на две поворотные тележки,
Имеется в виду в горизонтальной плоскости. — Прим. ред.
138
Таблица 5.1. Данные об элементах системы двойного рессорного подвешивания пассажирских вагонов
Страна	Тип системы	Вид подрессоривання					
		Надбуксовая ступень			Центральная ступень		
		Вертикальное	! Поперечное	Продольное	Вертикальное	Поперечное	Продольное
Англия	ВТ-10	CS. HD	RB	RB	AS, HD	SL. HD	RRB
Канада	LRC	ChS, HD	ChS	ChS	AS	RP, HD	ARB
Франция	Y-28	CS, RB	RB	RB	CS, HD	SL, HD	RC
	Y-32	CS, HD	RC	RS	CS. HD	CS. HD	ARB
	Y-224	CS, HD	RBL	RBL	CS, R, HD	CS, R. HD	RBR, HD
	Y-225	CS, R, HD	RBL	RBL	SAS	MRS. HD	RRB
	Y-226	CS, HD	SRR	SRR	CS, HD	CS, RC. HD	CS, RC, HD
ФРГ	ЕТ-403	CS, HD	EL	EL	AS, HD	RB, HD	RRB
	MINDEN DEUTZ	CS, HD	RB	RBg	CS, HD	SL, RS	RRB
Италия	Z-1040	CS, RA	CS, RA 1	CS, RA	CS, HD |	SL, HD	RRB
	FIAT EUROPA	CS, RA	RC	RC	CS, HD	CS, RB, HD	CS, RB
Япония	DT-200	CS, HD	RB	RBg	AS. OD	AS. HD	ARB
СССР	ER-200	CS, FC, HD	CS, FC	CS, FC	AS, HD	AS, HD	ARB
США	PHI	RR	RR	RR	AS. CS, HD	AS, CS, SRS, HD	ARB, AS, CS, DF
	GS1	CS	CS	CS	AS, CS, HD	AS, CS. HD	ARB. DF
Аббревиатуры, принятые в табл. 5.1
ARB	Анкерные стержневые втулки	RBg	Резиновые втулки
AS	Пневмобаллои	RBL	Соединения с помощью резиновой втулки
ChS	Листовая рессора	RBR	Запрессованные резиновые вкладыши
CS	Цилиндрическая рессора	RC	Соединение посредством резинового элемента
DF	Сухое трение	RP	Резиновые прокладки
EL	Упругие связи	RR	Резиновые кольца
FC	Гибкое соединение	RFB	Резиновые стержневые втулки
HD	Гидравлический гаситель колебаний	RS	Резиновый стопор
MRS	Слоистая пластина из резины и металла	SAS	Гидрогазовые амортизаторы
OD	Сотовый гаситель колебаний	SL	Люлечное подвешивание с маятниковыми подвесками
R	Резина	SRR	Резиновые металлические диафрагмы
RA	Резиновые металлические диафрагмы	SRS	Стабилизирующие резиновые шайбы
RA	Резиновые блоки		
Рис. 5.1. Типичный грузовой вагон, применяемый на железных дорогах Северной Америки:
/ - задняя тележка; 2 передняя тележка
состоящие из трех конструктивных элементов. Каждая колесная пара образована двумя жестко соединенными с осью колесами.
Обычная трехэлементная тележка, показанная на рис. 5.2, состоит из двух боковин и шкворневой балки. Колесные пары соединяются с боковинами с помощью подшипников скольжения или роликовых подшипников. Колебания бокового относа и виляния колесных пар относительно боковин вообще ограничены, так как между подшипниками и боковинами нет прокладок из упругого материала. Шкворневая балка присоединяется к боковинам с помощью вертикальных рессорных комплектов, которые совместно с фрикционными пластинами-гасителями образуют центральную ступень рессорного подвешивания. Спиральные рессоры препятствуют колебаниям бокового относа, а также боковой качке шкворневых балок относительно боковин. Возможность колебаний подергивания в пространстве между шкворневой балкой и боковинами весьма ограничена.
Колебания виляния шкворневых балок относительно боковин приводят к повороту боковин относительно оси тележки и вызывают образование параллелограммной конфигурации. Такой вид деформации, называемый депланацией, или короблением, ограничен трением между шкворневой балкой и боковинами, а также силами взаимодействия опорных участков шкворневой балки с боковыми рамами.
Рис. 5.2. Трехэлементная тележка: / — боковой скользун илн опора тележки; 2 — шкворневая балка; 3 — шкворневая плита; 4 — боковая рама; 5 — башмаки-глушнтели колебаний, работающие иа сухом трении и расположенные между боковой рамой тележки н шкворневой балкой; 6 — роликовый подшипник; 7 — держатель роли нового подшипника
141
В трехэлементной тележке с роликовыми подшипниками для колесной пары допускается некоторая свобода колебаний бокового относа и виляния по отношению к боковинам в силу наличия зазора между подшипниками и боковыми рамами. В тележках, оснащенных скользящими подшипниками, относительные колебания виляния колесной пары фактически ограничены, но колесная пара может перемещаться в поперечном направлении до тех пор, пока зазор не будет выбран, а ось колесной пары не упрется в боковые упоры.
В трехэлементных тележках грузовых вагонов возможность движения по криволинейному участку пути достигается за счет образования боковинами палаллелограммной конфигурации. В последние годы было предложено несколько новых конструкций саморегулирующихся или радиальных вагонных тележек. Радиальная вагонная тележка является обычно вагонной тележкой, оснащенной дополнительным непосредственным соединением между колесными парами с помощью рессор или радиальных рычагов. Взаимное соединение колесных
Рис. 5.3. Радиальная тележка, предложенная Скейлом [3]:
/ •- регулирующий тяж; 2 — растяжка; 3 — Н-образная рама тележки; 4 — резиновые амортизаторы; 5 — букса
Рис. 5.4, Радиальная тележка, предложенная Шеффелем [4]:
/ — держатель буксы; 2 — шпннтон; 3 — поперечина; 4 — колесная пара; 5 — анкерные раскосы; 6 — резиновые слоистые прокладки; 7 — боковая рама; в —шкворневая балка; 9 -рессоры шкворневой балки
142
Рис. 5.5. Радиальная тележка, предложенная Листом [5]:
I -схема применения регулирующего рычага; 2 регулируемые рычаги; 3 pei улируемый рычаг для связи с держателем подшипника; 4 -оси колесных пар. принявшие радиальное положение; 5 -радиальная связь внутри шкворневой балки; 6 -• эластомерные прокладки нар вызывает крутящий момент относительно вертикальной оси или боковую силу. Благодаря взаимному соединению эти силовые факторы распределяются между колесными парами. Когда вагонная тележка движется по криволинейному участку, колесные пары стремятся расположиться по отношению к кривой в радиальном направлении, снижая тем самым проскальзывание колес и уменьшая силы взаимодействия реборды колеса с головкой рельса. На рис. 5.3, 5.4 и 5.5 приведены три различные конструкции тележек для грузовых вагонов, предложенных в работах [31, [41 и 151 соответственно.
Утверждают, что в конструкциях радиальных тележек достигается значительное улучшение динамических характеристик и износоустойчивости.
5.3.	ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ РЕССОРНОГО ПОДВЕШИВАНИЯ
Элементы системы рессорного подвешивания, соединяющие различные части экипажа, состоят из упругих элементов, обусловливающих восстанавливающую силу, и гасителей колебаний, обеспечивающих жесткость и демпфирование системы. Для построения динамических моделей экипажей необходимо представить основные соотношения, которые описывают характеристики различных частей экипажа; сюда относится зависимость между силой и перемещением и между силой и
143
скоростью (или между моментом и углом поворота, моментом и угловой скоростью поворота).
Моделирование систем рессорного подвешивания экипажа затрудняется сложностью этих систем и нелинейностью характеристик.
В большинстве случаев характеристики рессорного подвешивания нелинейны; тем не менее для ряда диапазонов деформации элементов подвешивания эти характеристики для упрощения задачи линеаризуются.
Большинство нелинейных характеристик в системе рессорного подвешивания могут быть описаны с помощью сочетания трех видов элементов с нелинейными характеристиками восстанавливающей силы: пружина или демпфер с упругой характеристикой, содержащей участок зазора или задержки, пружина или демпфер, упругая характеристика которых может быть мягкой или жесткой, пружина с сухим постоянным (кулоновым) трением.
На рис. 5.6 на длине db представлена половина участка задержки, где k, — коэффициент жесткости для пружины или коэффициент вязкого демпфирования для демпфера; у — относительное перемещение или скорость; — восстанавливающая сила или восстанавливающий момент.
На рис. 5.7 приведены характеристики восстанавливающей силы для двух видов элементов: для элемента с мягкой характеристикой и для элемента с жесткой характеристикой. Жесткости на рисунке указаны для линеаризованных участков восходящей ветви характеристики и &2; у} — протяженность первого линеаризованного участка с коэффициентом жесткости F (у) -- восстанавливающая сила или восстанавливающий момент.
144
Рис 5.8 Характеристика восстанавливающей силы при сухом (кулоновом) трении
Рис. 5.9. Модель кусочно-линейной аппроксимации линейного сухого (кулоново-го) трения
На рис. 5.8 приведена характеристика элемента с идеальным сухим (кулоновым) трением.
Аналитическое описание закона изменения характеристики элемента сводится к следующему:
F (,V) " У > 0;
- F 0 < F (у) < Fo, у 0:
F (у) - - Fo; у < 0.
Для того чтобы начать расчет сухого трения, в окрестности начала координат вводится участок малой скорости, для которого сила трения или момент сил трения принимает значение, меньшее пороговых значений. На рис. 5.9 представлена модель кусочно-линейной аппроксимации характеристики сухого трения. С ее помощью можно приближенно описывать характеристику сухого трения для уровня восстанавливающего силового фактора ниже пороговых значений при фиксированных условиях.
Аналитическое описание кусочно-линейной аппроксимации сводится к следующему:
F(y)-F,;, у>а;
F{y)^~y\ 1 у | < а;
а
F{ 'y)	-F<,\ у < —а.
145
Рис. 5.10. Характеристика системы, полученной путем последовательного соединения пружины с линейной характеристикой и элемента с характеристикой сухое (кулоново) трение
честве примера на рис. 5.10 при
Важным моментом является выбор длины линейного участка изменения вязкости. Если эта длина слишком большая, то это может привести к результатам, содержащим вязкое демпфирование, в то же время при слишком коротком линейном участке метод кусочного интегрирования может привести к проскоку фиксированного порогового условия.
Нелинейное поведение, вызванное гистерезисом, можно моделировать, если последовательно соединить элемент с характеристикой сухого трения с элементами типа показанных на рис. 5.6 и 5.7. В ка-;дена гистерезисная характеристика
системы, полученная путем последовательного соединения пружин с линейной характеристикой и элемента с характеристикой — сухое трение, где т0 — пороговое значение момента сил трения; — жесткость при повороте вокруг вертикальной оси; Аф—относительное угловое перемещение при повороте вокруг вертикальной оси.
5.4.	УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ
ПРИ ДВИЖЕНИИ НА ПРЯМОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ПУТИ
Как уже упоминалось ранее, колесная пара является важной динамической составной частью железнодорожного экипажа. В данном разделе приводится подробный вывод уравнений колебаний колесной пары. Далее эти уравнения будут использованы при составлении математических моделей тележек.
В дальнейшем изложение следует работам [6], [7]. При исследовании поперечной и вертикальной динамики обычно принимается, что изолированный железнодорожный экипаж движется с постоянной скоростью. Переменная по времени скорость, вызванная торможением или переключением контроллера в отдельности или одновременно, рассматривается при обсуждении продольной динамики поезда в главе 9. Итак, ниже принимается, что колесная пара движется с постоянной скоростью v по прямолинейному участку пути.
5.4.1.	Кинематика. На рис. 5.11 показаны три системы декартовых координат /, 11, III. Начало координат системы х", у'", z'" расположено на оси пути, эта система движется с постоянной скоростью v по отношению к фиксированной инерциальной системе отсчета. Система координат х", у", z" является промежуточной системой, которая поворачивается на угол ф относительно оси z". Система коорди-146
Рис. 5.11. Системы координат:
/ — равновесная система координат; 2 - система координат, связанная с колесной парой; 3 - левый рельс; 4 — ось пути; 5 - правый рельс
Рис. 5.12. Системы координат в областях взаимодействия колес с рельсами: f. 2 правое и левое колеса
нат х', у’, г образует систему координат, связанную с колесной парой, начало системы совпадает с центром масс колесной пары. Кроме этого, используются также две координатные системы e1L, e2L, e3L и e1R, й2/?> е3«, закрепленные в точках мгновенного контакта колес с левым и правым рельсами соответственно, как показано на рис. 5.12; эти системы координат используются для представления направления сил взаимодействия колес с рельсами.
Ниже даны уравнения взаимной связи систем координат:
(5.1)
147
Г j' k'
Г j" Л"
cosip	sin ip	0	i"'
sinip	cos ip	0	j'"	•
0	0	1	Ik'"
COS Ip
—cos q> sin ip sin cp sin ip
sin ip
cos ф cos ip - sin <p cos ip
0 ~ sintp cos ф
(5.2)
(5.3)
При малых значениях ф и ip уравнения (5.3) преобразуются к виду
j к
(5.3а)
где i', j', к', i", j", к", i'", j'", к'" —единичные векторы, соответствующие трем системам координат.
На рис. 5.12 6^ и 8l относятся к углам правой и левой плоскостей взаимодействия колес с рельсами, a rR и rL — радиусы кругов катания правого и левого колес. Уравнения связи осей плоскостей взаимодействия колес с рельсами и основных осей колесной пары записываются в виде:
Ст/?			1	0	0		i'	
C2R		—	0	cos	—sin		Г	•;	(5.4)
,е3/?			.0	sin	cos		К	
e)L			1	0	0 *		г	
e2L	, —		0	cos 6	sin 6/.		j'	(5.5)
е.з/.			0	- sin	cos		,k'	
5.4.2.	Степени свободы и уравнения связи. Ниже при выводе используются следующие параметры, связанные с системами координат:
х — продольное перемещение центра масс колесной пары;
у — поперечное перемещение центра масс колесной пары:
z — вертикальное перемещение центра масс колесной пары;
<р — угол поворота вокруг оси х", ф — угол поворота вокруг оси z'"; )) — возмущающее (угловое) изменение номинального значения угловой ско-оостн Q вращения колесной пары относительно у', где Q = о/г0; г0 — номинальный радиус круга катания колесной пары.
Принимается, что отсутствует подъем колеса над головкой рельса и что колеса постоянно находятся во взаимодействии с рельсами.
При этих допущениях вертикальное перемещение z и угол поворота Ф вокруг оси х колесной пары связаны с ее поперечным перемещением у и углом поворота ф вокруг оси z'". Обычно принимается, что зависимость вертикального перемещения z и угла поворота ф вокруг оси х" от угла поворота ф вокруг оси z'" описывается с помощью величин 148
второго порядка малости, и поэтому их рассматривают в качестве функций только поперечного перемещения у [81. Следовательно, два уравнения связей и их производных по времени можно выразить для вертикального перемещения z и угла поворота ср вокруг оси х" соответственно следующим образом:
z z (у); z -- z' у', z = z" уг -г z' у,	(5.6)
и
ф==ф(1/); ф==ф' у‘, ф== ф" уг < у,	(5.7)
где точкой обозначены производные по времени, а штрихом — частная производная по у.
5.4.3.	Общие уравнения колебаний колесной пары. Общие уравнения колебаний колесной пары выводятся через систему координат у”', z'", которые образуют систему координат устойчивого равновесия. Связь системы координат устойчивого равновесия с основной системой координат колесной пары задается уравнением (5.3). Угловая скорость <о колесной пары задается в виде:
<о epi" -+- (й -Ц p)j' -j- фк".	(5.8)
С помощью формулы (5.1) и выражается через основные координаты следующим образом:
to = <р/' -ф (Й -- р — ф sin ф) Г Ф cos фк' =
= и, Г -г j' 4- м, к',	(5.9)
где =- ср. о>;/ — S2 Р + ф sin ср; ф2 = Ф cos ср.
Момент импульса колесной пары в основной системе координат колесной пары записывается в виде
Н 1,,:Х сох i -(- /1(.у <0^ j -j- 7 ,,z g)2 k ,	(5.10)
где /и.х, Iu.y и Iuz — главные моменты инерции масс колесной пары, причем в силу симметрии Iwx — 1,г2.
Угловая скорость основных координат
®axi.s— ф> +фк' =ф|' нФ sin cpj' + фСО80к'. (5.1 1)
Производная момента импульса по времени записывается следующим образом:
d/7/d£—/ic,(ovi I у у j 4" 7 wz (£>z к x H. (5.12)
Если подставить выражения (5.10) и (5.11) в выражение (5.12) и записать выражение (5.12) в системе координат устойчивого равновесия с помощью уравнения (5.3а), можно прийти к следующему выражению:
dH/d/ -- (1„.х ф — Йф4 Г 4- РГ 4- ЙФ 4 lwxф) к'". (5.13)
149
Рис. 5.13. Схема возможных перемещений колесной пары: / правое колесо; 2 — левое колесо
На основе второго закона Ньютона уравнения колебаний в системе координат устойчивого равновесия записываются в виде:
mr .SF;	(5.14)
d.H/dr = SM,	(5.15)
где т — масса колесной пары; г — производная по времени вектора положения.
На рис. 5.13 показана схема возможных перемещений колесной пары, где введены следующие обозначения для силовых факторов:
Fl, Fr — силы крипа в левой и правой точках взаимодействия колес с рельсами; ЛТд, MR — моменты сил крипа в левой и правой точках взаимодействия колес с рельсами; Fs — восстанавливающие силы системы рессорного подвешивания; Ms — моменты восстанавливающих енл системы рессорного подвешивания; W?1 — вес колесной пары; NL, NR — нормальные силы в левой и правой точках контакта колес с рельсами соответственно.
Пусть А/, и Дд> обозначают поперечные перемещения точек контакта от своего равновесного состояния; 2а — ширина колеи; rR и rL — радиусы окружностей катания правого и левого колес соответственно, тогда векторы положения правой и левой точек контакта записываются в системе основных координат следующим образом:
R/?~= -- (a-i-Afl)j' — rRk';	(5.16)
Rl = (a —A/.)j'—rL k'.	(5.17)
Компоненты векторов положения с помощью формулы (5.3) могут быть записаны в системе координат устойчивого равновесия:
Rrx ^ (« + Ад) cos ф sin ф— rR sin фвт ф;
Rru = — (а 4- А^) cos ф cos ф ~Ь rR sin ф cos ф;
Rrz~ — (а-Ь Ак)81Пф—гcos ф	(5.18)
150
или
Ri.x = — (а - St) cos ф sin ф - Г/. sin ф sin ф;
Ri.y (a — Az.) cos ф cos ф +rz. sin ф созф;
RLz (a— Ajsinip — Л/.сО5ф.	(5.18a)
Результат суммирования сил и моментов, обусловленных весом колесной пары, силами крипа, нормальными силами, восстанавливающими силами системы рессорного подвешивания, приведенных на рис. 5.13, записывается следующим образом:
SF=Ft + F^ + N£4-N« + Fs4 WAk’",	(5.19)
SM = R«(Fr+Nr)+Rz. X(Ft4-Nt)4 ML + MR - Ms. (5.19a)
С помощью компонент сил и векторов положения, указанных выше в системе координат устойчивого равновесия, уравнения (5.14) и (5.15) могут быть записаны в виде следующих шести уравнений:
уравнение продольных колебаний (подергивание)
mx = FLx-~ FRx--Лях-4 Nlx-v F„x;	(5.20)
уравнение поперечных колебаний (боковой относ)
ту = FLy + FRy + .VR;/ - у NLy - Fs„;	(5.21)
уравнение вертикальных колебаний (подпрыгивание)
mz = FLz6- FR2-F WRz + Wi2 J- WA;	(5.22)
уравнение колебаний вращения вокруг продольной оси (боковая качка)
Iwx Ф = Iwu (v/rb) Ф4- Я^ (FRz -У jVR2) - RRz (FRy + NKy) +
+ Rby (Fez 4- Rkz)-Rlz (FLy -I- NCy) + MLx+ MRx~- Msx; (5.23) уравнение возмущающего углового изменения номинального значения угловой скорости Q
Ящ FRx—RRx (FRz-{- N Rz) 4 /?£г FLx — Rlz(FLx4- NLz) +
4-	4~A4R{,4- Msy',	(5-24)
уравнение колебаний вокруг оси z" (виляние)
1 wx Ф =	I wy	о) Ф + Як.х (FRy+ NRy) ЯК.У FRx 4" Rlx(FLy~f~ NLy) '
~RLyFLx+MLz+MRz + Msz.	(5.25)
Нормальные силы в левой и правой точках контакта выражаются через их компоненты в системе координат устойчивого равновесия. Для левого колеса
Rl = Nl е3£ = Nl ( — sin 6£ j' + cos	k') =
= Nl [sin (бд.4- ф) sin фГ" — sin (бд.4- ф) cos фр4- cos (6д,-г Ф) kw[. (5.26)
151
Аналогично этому для правого колеса
NR = NR[ —sin (bR— <p)sin ip/ r
-f- sin (&r — <p) cos ф/'" -H cos (6R— ф) k'".	(5.27,)
Проекции нормальных сил с помощью уравнений (5.22) и (5.23) можно записать следующим образом:
Nr cos (6R—ф)
=	(^4-^г^(6д + ф) cosi|>] __________
RLy ~RRy + lR Lz tg (б Д H- ЧР) -H RRz tg (6R - ЧР) cos Ф] ’
Nl cos (бд4-0) =
=	[-RRy+RRzle (6r~?) cosip|f* + /w;
RLy~RRy+lRLz fg (6д +- ‘g (6R-<₽l cos ’fl ’ где
F* = mz-\~ WA-FRz—FLz-Fsz,
Мф = Iwx(f— Iwy	\Rrz FRy RRy FRZ ;Rlz F Ly —
— Rl.y FLz—MLx— MRx— Msx.
Формулы (5.28) и (5.29) можно упростить, если принять, что конусность поверхности катания колес достаточно мала и если пренебречь инерционными силами, вызванными колебаниями подпрыгивания и боковой качки, по сравнению с нагрузкой колесной пары и силами поперечного крипа:
Nl cos (бд + <р) х -1- WA—^—Fsz—(2а)-1 (rR F Ку-'г rL FLy); (5.30)
Nr cos(6r —ф) & -Lwa — -yFsz+ (2a)-l(rRFRy + rLFLy). (5.31)
5.4.4.	Силы крипа и моменты сил крипа. Силы крипа вообще определяются по отношению к плоскости взаимодействия колес с рельсами. Но после преобразования координат силы крипа и моменты сил крипа приводятся к системе координат устойчивого равновесия. В этой системе координат силовые факторы записываются следующим образом.
На левом колесе
FLx = Flxcos^—F’L!/cos (бд-j- ф) sintp;
FLy = P’lx sin ф + F'Ly cos (бд + ф) cos ф;
Flz = /?z.ysin (бд + ф);	(5.32)
Л4да - :/WLzSin (6д -' ф)51’пф;
NlLy= —NllzSin (бдА-ф)созф;
MLz^M'Lzcos (бд+ф).
152
На правом колесе
Frx- F/?Acos ф —Fr„cos(6/? —(р) sin vp;
Frv F'^xsin^ F'Ri)cos(6k- ф) cos ф;
Frz - Fi„sin (fiR - ф);	(5.32a)
.И/гд	— M'Rz sin (dK—- <p) sin ф;
— MRj.sin(6R — ф)ссжф;
Mfc- Л4«гСОЯ(6Л - <p),
где FR.. p's . - компоненты силы крипа на правосторонней плоскости взаимодействия колеса с рельсом и на левосторонней плоскости взаимодействия колеса с рельсом соответственно; M'Rj и Mj •—i-e компоненты моментов сил крипа на правосторонней плоскости взаимодействия колеса с рельсом и на левосторонней плоскости взаимодействия соответственно.
Силы крипа и моменты сил крипа в представленных выше формулах являются функциями крипа. Каждое колесо испытывает поперечный и продольный крины, а также поворотный крип, которые определяются как относительные линейные и угловые перемещения между колесом и рельсом. Продольный крип поперечный крип и поворотный крип задаются следующими соотношениями в точке контакта колеса с рельсом: равен отношению разности продольной скорости точки контакта колеса и продольной скорости точки контакта рельса к номинальной скорости; равен отношению разности поперечной скорости точки контакта колеса и поперечной скорости точки контакта рельса к номинальной скорости; ^'S]l равен отношению разности угловой скорости колеса и разности угловой скорости рельса в области контакта к номинальной скорости.
Пусть R1 и К)? будут векторами положения левой и правой точек контакта колеса с рельсами в системе координат устойчивого равновесия. Тогда на левом колесе
R, xi" J- у'}"’ у zk'" (- (а—Ад) j' - rL k' -
[х — (а — Ад)cos ф sin ф — rL sin sin ф| Г" ;
\y (a — Ад) cos Фcos ф 1 rL sin ф cos ф| j'" +
T [z + (a — &F) sin ф--Гд cosy?) k'".	(5.33)
Тогда
I'xl = [Ri-eiz. — v(rz./r(l)cosip|/v;
1'„l 4Rbe2Z.)/v;	(5.34)
?;рд -(о>-е3д)/р,
153
где точкой обозначено векторное произведение двух векторов1 и е! : cos if>it- sin -фj;
e2L — cos (bL 4- <p) sin ificos (bL -J-<p) cos 4’j"' -) sin (6t j- ф) k'"; e.iL - sin j' cos f>L k';
о» - <pi (Q J- p ; ф sin ф) j' +4’cos<pk'.
На правом колесе
Rfl-xi'" у'}"' i zk"'-(zi-(-A/^j — ^k'= • |x ' (flL Ar) cos <p sin 41 - r/? sin *p sin ф1 i"' ~u J |y--(a - Ar)cos <pcos 41 ? r/?sinq>cosA|?]j"' •-r-\z —(a-r- Ar) sin (p — Tr cos 4’| k'".	(5.35)
T огда
I,/? -= (Rw-eiK у (rw,rH)cos ^R-e>K)iv;	(5.36)
£s',)L (w e.3R)/v,
где точкой обозначено векторное произведение двух векторов и
ejR - cos sin 4’j";
e2R -- - cos (6r— (p) sin ipi"' 3- cos (6r — <p) cos ifj'" — sin (6r—cp) k" e3R = sin6Rj' cos 6r k';	(5.37)
w ---<pi' 1 (Q-i f l-i|i sin ф) j' + 4cos фк'.
Если пренебречь членами высокого порядка малости и провести ряд алгебраических преобразований, можно получить следующие выражения для различных видов крипа.
На левом колесе
1x1. =- (1 /V) [у — (г/./г»)] — 1(й— Az.) cos ф cos ф] 4’1 cos 45;
?VZ. " (l/P)|I/C0s4l Г rL COS Ф COS2 Арф —
—-V sin 4>] cos 0z. + ф)4- (1/v) I г-1- (a — AJcos фф] sin (bL н ф); (5.38) I'spL =(1/у) [4?cos(At+ ф) — Qsin 6J.
1 В отечественной литературе чаще векторное произведение обозначается с помощью символа (х). — Прим. ред.
154
На правом колесе
IxR =- 1 /v | о 11 — (л«i | (а 4- Aw) cos <р cos if]if) cos ф;
li/R--= (l/v)|У cos if rwcosq cos2 ifip - v sin if] cos (6/? -ip)
— (1/v) [z — (a - A/?) cos <pq>] sin (6/? — q>);	(5.39)
£s'p« - (1/v) [1|’COS(6R - ip)-t- Q sin 6/?|,
где Й — v/r0 — номинальная угловая скорость.
При малых углах поворота вокруг осей х" и г'" выражения (5.38) и (5.39) сводятся к следующим выражениям.
На левом колесе
I'xl = (1 /V) {v11 — (г£/г0| — aifl;
lyL = (1 / V) [у A-rLq — vif I cos (6L + Ф);
^spL = (1 / v) [if cos (6/. H-<₽) — и sin 6J.	(5.40)
На правом колесе
I'xR (1 V’) {v [1 —(/-«/>0)14 <nfl ;
- (l/v)[y i r«<p—vif ]cos(6r — <p);	(5.41)
L'p/г- (1 v)[ if cos (6/? —<p) — Qsin 6R|.
Если, кроме этого, принять, что углы взаимодействия малы, то выражения для крипов записываются следующим образом.
На левом колесе
Ixi. (I. v) ] v [1 — (rz,/r0)] — «lf| I
ZyL (1/v) [г/ г гЛф —vif ];	(5.42)
b'pz."=(l/v) |if— Q6z,|.
На правом колесе
I'xr — (i/v) Ivii -(r«,л0)] 1 tnf!;
----- (1 /v) [y 4- ric Ф — vif];	(5.43)
I'spR ^ (1/V) [if - Q6/?|.
В главе 4 обсуждались различные теории, которые были предложены для определения сил крипа как функций крипа. Для установления соотношений между силами крипа, моментом сил крипа и крипами здесь используется линейная теория крипа Колкера. Эти соотношения задаются в следующем виде.
Сила продольного крипа
F'x= ЧкЛ'х-	(5-44)
155
Сила поперечного крипа
F у ~ Ai ^у /12 Isp-	(5.45)
Момент сил поворотного крипа
Mz~fn%>y /гг^р,	(5.46)
где in- in- izz — коэффициенты крипа, вывод которых приведен в главе 4.
Подставляя выражения для различных видов крипа в формулах (5.42) и (5.43) в выражения для силовых факторов формул (5.44) --(5.46), можно записать выражения для сил крипа и моментов сил крипа в следующем виде.
На левом колесе
FL - — {(/зз/У)^и--(г/./г,>)| — аф|;
FLy — {fii'v)\y  г£ф—уф|-(/|2,у)|ф—Н6Л|;
ML? (Л>. V) ly'-i rL ф — уф|- Ди/у)|ф-йб£].	(5.47)
На правом колесе
F'rx -= — (fan/v) | v 11 — (rA>/r0)J — аф!;
Fru-‘ Г«ф — Уф)- (Лг'У)|ф ; Q6/?J:
M^z	• г/гф -Уф|-(М/У)|ф -	(5.47а)
Далее для получения компонент силовых факторов в системе координат устойчивого равновесия подставим выражения (5.47) и (5.47а) в формулы (5.32) и (5.32а); тогда получим следующие выражения.
На левом колесе
Flx — (А,3/у) {у 1(1 — rur0)| —аф}со8ф ;
г(Л1/у) l'/H-''гф — Уф]cos(6£  ф) sin ф !
+ (Ла/У) 1Ф — П6Д cos (6£ф) sin ф;
Flu — (^3/У) |У |1 - (г^/г,,)) — аф| вшф -
- - (/п/у) \У + rL ф — уф] cos (6£ ф ф) cos ф —
— (Л-з/у) |ф —П6£|cos(6£ + ф)созф;
= (/12/У)	+ Ггф —Уф|сОБ (бд + ф) —
—-(/-22/У) [ф— cos (6t -J-ф).	(5.48)
На правом колесе
Frx = -- (Лз/у) (у 11 — (/'/?/''<>))+ ay I cos ф
+ (/и/у) IУ + гц ф — уф] cos (6R — ф) sin ф d
+ (/гг/У) )Ф + HSrIcos (6W — ф) 51’пф;
156
Frv - — (f33/0 (v 11 - (rR/r0)] - аф | sin гр—
— (fl 1/0 \y + rR Ч>—cos (6« — <(; cos Ij- -
— (fn/v)\ip . йб/d cos(6«—<fi)cosip;
Mm = (f12/v) ii/+ гл cp — vip] cos (6W — <p) —
— (/22/0 1'Ф 4 Q6/?]cos(6w — ([).	(5.48a)
5.4.5. Жесткость при колебаниях бокового относа и колебаниях виляния, обусловленная силой тяжести. Если подставить выражения N l„ и NRy формул (5.26) и (5.27) в уравнения (5.21) и (5.25), можно написать уравнения колебаний бокового относа и колебаний виляния колесной пары в следующем виде.
Уравнение колебаний бокового относа
my = FLy-\-RRy \-F iVwsin(6« —<р)- Л /sin (6, • ф). (5.49)
Уравнение колебаний виляния
Fex 4* ~ Fey (0Л1)ф~Е (RRx Ff(y R/<i, FRx) ' (RlxFLy — Rty Fix) -1- RRx Nr sin (6/2— ф)—
— RlxNl sin (6/. + ф) • MLz+ Mm М,г,	(5.50)
где выражения нормальных сил задаются формулами (5.28) и (5.29)' или в упрощенном виде формулами (5.30) и (5.31). Определим поперечную жесткость при колебаниях бокового относа, обусловленную силой тяжести
Fg ~- — Nr sin (6Л-ф) Nl sin (6t + ф).	(5.51)
Такое определение жесткости связано с тем, что при перенесении членов в левую часть выражения (5.49) они составят в совокупности восстанавливающую силу, вызванную силой тяжести. Жесткость, обусловленную силой тяжести, можно получить из формул (5.28) и (5.29). При этом выражение можно значительно упростить, если отбросить члены высокого порядка малости.
Если принять, что углы поворота при колебаниях виляния и боковой качки в выражениях (5.28) и (5.29) достаточно малы, тогда приходим к следующему результату:
F . е; Г tg ^-МУ?)	+
2-a-i|rttg(6t - <p)4-^tg(6/;- ф)1]
+ FJ	(0-^)<е(^ rq>)tg(^-»P;	+
2[ 2a-|rLtg(^ Ф) 4 r/?tg(6w-q>)|
+ м; [------------------------------1.	(5.52)
L 2а~|0^(бС  ф) :-f7?tg(6R-q,)l
157
Иначе выражение (5.52) можно написать в виде
Fs F* Д£ (у) + (F*ia\ Дс (у)  (М*/а) Д,г {у),	(5.52а)
где
F* тг г W'A— Fs: — jF^sin (6£+<р) — F^sin^ — cp)|;
M* = <p — IW!I Qi)'—ip [rR F'Kx г rL F'Lx] — — (r/? F'Ky cos (6R — <p) rL F'Lu cos (6£ + <p)] ' t|’\M'Lz sin (6£ + cp) — M'R, sin (6W — <p)) - /Mst;
Дл (y)	tg^-yj-tg^-y)
L 2-"'|лл 'е(61 ф) rL (6«-<P)f
А (У) (rz.~rtf)tg(6£ y)tg(6/?-y)
2-	(r£ *g(6£ - <₽) '•Rtg(6A,-<p)f
A , (y) tg(6L J ф) tg(6R-T)
11	2 «-Ии. tg(6£ Ф) tg^-V)!
В равновесии FS1 - 0 и Л4,.д	0.
Если принять, что имеет место равновесие относительно оси поворота. тогда ЛЦ 0. Пренебрегая вертикальной инерционной силой и вертикальными компонентами сил крипа, можно получить
F
tg(6£ : чу -tg^-tp)
2 lrL tg(6z. Ч-) rL 1К (6«-<P)l
-W/,1A£(y), (5.53)
где — вес колесной пары в состоянии равновесия.
Если далее сделать предположение о малости углов, тогда тангенсы углов в числителе дробного выражения (5.53) можно заменить углами, а знаменатель заменить двойкой. Тогда можно придти к следующему упрощенному выражению:
F, - lEJ-±-(6£^6/?)--r<p|.	(5.54)
Теперь определим аналогичным путем жесткость при колебаниях виляния, обусловленную силой тяжести в уравнении (5.50), следующим образом:
34,,= ~RRx NR sin (Ьк~ (р) + RLx NL sin(6£ 4-<p);
Mg = |FJ Ач. (y) -i- (Л4;/а) Д£ (у)] -!-
, Г (^ -^)tg(6£^T)tg(6j;-<P)
2п-[г£ tg(6£  <p)- ^tg(6R-<p)] ]’
(5.55)
(5.56)
где у — поперечное перемещение колесной пары по отношению к рельсу.
158
Это выражение также упрощается, если пренебречь силами крипа и принять, что имеет место равновесие относительно оси х". Упрощенное выражение для жесткости при колебаниях виляния, обусловленной силой тяжести, приобретает следующий вид:

tg(6L	Ф)
2- н-1[г£ tg(d£ ! ф) rR tg (6„-ф)|
(5.57)
Если принять, что углы достаточно малы, тогда тангенсы в числителе выражения (5.57) заменяются углами, а знаменатель заменяется на двойку. Тогда в упрощенном виде выражение записывается следующим образом:
^..__аф117лГА(б£ i й«)
(5.58)
5.4.6. Упрощенные уравнения колебаний колесной пары. Упрощенные уравнения для колебаний бокового относа и виляния колесной пары можно получить на основе уравнений (5.49) и (5.50) с помощью выражений для сил крипа и момента сил крипа (5.48) н (5.48а), выражений (5.54) и (5.58) для жесткостей, обусловленных силой тяжести, а также выражений (5.18) и (5.18а) для компонент векторов положения в виде:
ту -\ 2 -^4. V
 , rL rR 	.
У 4---------------<Р -- Уф
(5.59)
г I г v ' I /чч / rL ~rR 2/12 /  , rL rК	, \
hex Ф+ /,гу -Ф (-~ -------------- У \---~-- «Р-- С’ф
r0 r0 \ 2a J V \	2	I
-	~aWA^A ф 2/22JL ..= M (5.60)
2	2r0	2	у
Эти уравнения колебаний являются нелинейными. В общем случае радиусы кругов катания rL левого колеса и rR правого колеса, угол взаимодействия 8L левого колеса с рельсом и угол взаимодействия правого колеса с рельсом и угол поворота q> являются нелинейными функциями поперечного перемещения у. Эти параметры зависят от профилей колеса и рельса, а также от положения точки контакта колес с рельсами. Кроме этого, нелинейными функциями переменных параметров могут быть силы системы рессорного подвешивания F,v и момент сил подвешивания Л1„.
Эти функции связей были получены с помощью аналитических и экспериментальных исследований в работе [81 для различных профилей колеса и рельса. В аналитическую часть этих исследований входят подбор полиномов для описания профилей колеса и рельса, составле-
на
В)
Рис. 5.14. Экспериментальные результаты и данные аналитического исследования для новых колес и новых рельсов при номинальной ширине колеса: и положение колеса относительно точки контакта колеса и рельса (у — поперечное перемещение колесной пары, мм; х— положение точек взаимодействия колеса с рельсом, мм); б -положение рельса относительно точки контакта колеса и рельса (у — поперечное перемещение рельса, мм; х — положение точек взаимодействия колеса с рельсом, мм); в — поворот колесной пары (у относительно оси х", х — поперечное перемещение колесной пары, мм)-, г- приведенная разность радиусов кругов катания колес (у — разность радиусов кру-। он катания левого и правого колес, отнесенная к ширине колеи; х — поперечное перемещение колесной лары, м.м); д- радиусы кругов катания (уУ в зависимости от поперечного перемещения колесной пары (х), мм: е полуразиость углов контакта левого и правого колес с рельсами, рад (у). в зависимости от поперечного перемещения колесной пары, мм (х); ле - угол контакта колеса с рельсом, рад (у), в зависимости от поперечного перемещения колесной пары, мм (х)
160
ние математической программы для определения положения точки контакта колеса и рельса при движении колесной пары поперек рельса, а также расчет функций связи. В экспериментальной части исследований были проверены некоторые аналитические результаты. Функции связи, полученные в работе 181 для новых колес и новых рельсов, представлены на рис. 5.14.
Функции связи становятся линейными при конической форме профиля колеса и призматической форме профиля рельсов. Если принять, что угол коничности равен X, то в этом случае получим:
~ lrL — rR) ly; -L- (rL Е ГЛ) гг- г0;
-1-(йд_уб/?) = х	(5.61)
и <р == (Л/а) у. Уравнения колебаний колесной пары приводятся к виду.
ту- -^-\у + г„ — у — иф!+-W61— y--F \ (5.62) v |	a	J v	а
Т ,i.’	1 v ।	2/r> ( ' 1 л '	| \ ,
' u-x т т 1 icy-У -У-----У т г0— у — цф Н-
a	r0	v \	a	J
4- 2аг [33-i-----aWл Хф-у 2Д,,= М.	(5.63)
V	V
Кроме того, если восстанавливающая сила системы рессорного подвешивания Fsy и момент восстанавливающих сил рессорного подвешивания Msz являются линейными функциями, тогда выражения (5.62) и (5.63) превращаются в линейные уравнения колебаний.
5.5.	УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
ПРИ ДВИЖЕНИИ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ
НА КРИВОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К КРИВОЙ ПРОИЗВОЛЬНО МЕНЯЮЩЕГОСЯ РАДИУСА 1
В данном разделе выводятся уравнения колебаний изолированной колесной пары при движении по кривой произвольно меняющегося радиуса. Колесная пара связана посредством системы рессорного подвешивания с подвижной системой отсчета, которая движется с постоянной поступательной скоростью v вдоль пути. Внешний рельс железнодорожного пути приподнят по отношению внутреннего рельса. Допускается, что колесная пара обладает двумя степенями свободы, которые соответствуют колебаниям виляния и боковому относу. Кроме того, допускается, что колесная пара может испытывать дополнительное состояние, вызванное возмущением номинальной угловой скорости вра-
1 См. работу |9|.
6 Зак. 1073	1 61
Рис. 5.15. Схема подвижных систем координат:
1 — система координат колесной пары; 2—путевая система отсчета: 3 — ось пути; 4 — направление к центру кривизны (а тексте единичные векторы выделены жирным шрифюм. а на схеме над обозначениями единичных векторов стоят горизонтальные стрелки)
щения Q вокруг оси у', где Q — v/r0\ г0 — номинальный радиус круга катания колесной пары. Наконец, принимается, что колесная пара является жестким телом, колеса которой не поднимаются над рельсо
вым путем.
На рис. 5.15 показаны две подвижные системы координат. Путевая система координат iy, jy, ky движется вдоль оси пути. Ось 1т направлена по касательной к оси пути. Ось ky направлена по нормали к плоскости пути. Система координат iw, jI(J и k,c закреплена в центре тяжести колесной пары. Ось iw направлена параллельно касательной к оси пути. Ось ju, расположена в плоскости, параллельной плоскости пути и направлена по нормали к оси пути. Ось к,с нормальна к плоскости j„, и направлена вверх от этой плоскости. Система координат колесной пары движется вдоль линии, параллельной оси пути, поворачивается относительно осей к,(, и 1ш, но не поворачивается относительно оси jw. Если принять, что углы поворота относительно осей к„ и i„. достаточно малые, тогда связь между двумя системами координат может быть записана следующим образом [см. формулу (5.3а)]:
Абсолютное ускорение центра колесной пары определяется выражением
3W = ау + (°у х R^, -{- <оу X (<оу х Rw) -г 2<оу х R,o RJ>, (5.65)
где
®г = <pse >т +(v.!R) <pse jy — (u/R) ky; ay = — (y2/R) jy + [a<pse4- (v2/R) <pj ky;
Ru. xiy y]T + (г E r0) ky,
162
в которых шг — угловая скорость путевой системы координат, ср,р — угол возвышения одного рельса над другим; R •— радиус кривизны; а — ширина колеи; г0 — номинальный радиус окружности катания колесной пары; ат — вектор ускорения путевой системы координат; — вектор перемещения центра тяжести колесной пары; х, у, z — перемещения центра тяжести колесной пары.
Подставляя <Лт, ат и R,r в выражение (5.65), получим
a^xir— \у-\ (у2//?)—j/ ft (и2,7?) <pSP| кт-. (5.66)
Угловая скорость колесной пары определяется следующим образом:
=- фда i» — (v/R)kn. - <pi,r4 (Q 4-Р) j„, -! фкц,- (5.67)
Если принять допущение о малости соответствующих углов, формула (5.67) сведется к следующему выражению:
-- iw -( (о1(,у j)r	io,,,2 к,,,,	(5.68)
где
=-фк(. I <р; <о„.„	(.2 . f>; w„,2	— (v/R) :гф. (5.68а)
Вектор момента количества движения колесной пары в основной системе координат запишется в виде
В  7,СЛ. (Оц,д. 1ц, 1 Wy	Jw	7,С2 ^u-z к,,-,	(5.69)
где 1,,-у и 1,12 — главные моменты инерции масс колесной пары, причем ч силу симметрии Iwx -- 1W2.
Угловая скорость основной системы координат <oaxls задается формулой;
Waxis= К)„.д. i,,.-’- со„.2 к,„.	(5.70)
Тогда производная по времени
j -- 7ц-.v Иц.д. iu> -г-IWl1 щ,- jи- т- 7,гг w,,., кц, Ь ®axis У Н- (5*71)
Подставляя выражения (5.68) — (5.70) в выражение (5.71) и пренебрегая малыми членами, получим
(dH/Л) = {/„.Л. (<pse+ ф) —(S-!- ₽) [ф— (и//?)]) i„. т
: <Л, к г {1,. г 1ф--и (d/d() (I//?}] + Iu.y (Q fj) (<pse у Ф;) к„.. (5.72)
На рис. 5.16 приведена схема возможных движений колесной пары.
Моменты внешних сил: веса, сил крипа, нормальной силы и восстанавливающих сил системы рессорного подвешивания определяются следующим образом:
(dH/d/) = Rr х (F« 4- Nw) + Rl x (F£+ N/_) -j Мд-н x Ms -l-Mext, (5.73) 6*	163
где
R/e ^o^ir—ojj - г«кт.
R/ == — oipij-i- ajr—Г/. к ,-:
MP.V<- — liWexl(wd — cp)v,
в которых <p(i — угол перекоса за счет дополнительного наклона наружного рельса; h — высота подъема внешней нагрузки над центром тяжести колесной пары; Wext — внешняя нагрузка, действующая на ось колесной пары.
Выражение для сил записывается в виде
maw=-F/?+FL-' Г.-у N/.-  L .i,	(5.74)
где
Ьд - 1-^bL	- ( \УЛ т Wexl) Ф 1 j 7- —
L 8 R	J
- [(Г Д + Г „,) +	<Р J кг.
L	8	*	J
Применяя второй закон Ньютона, можно получить следующие шесть уравнений.
Уравнение продольных колебаний (подергивания)
тх--- FRx + FLx- Fxx+ Nrx~F Nlx-	(5.75)
Уравнение поперечных колебаний (бокового относа)
т(у- roif-se) — (WА+ Wexl) tfd (FR!/^ ^7</) + Лч!/4-Л//?</ + Л/ьг/. (5.76J
164
Уравнение вертикальных колебаний (подпрыгивания)
т (z +aq?s„) + (WA + Wext) f 1 4-	qSPj
= F Rz + P LzA ~ УRz ' NI г Fs,.	(5.77)
Уравнение колебаний боковой качки
Iwx (ф + ф8г) —Л(>?/ (й + Р)	-у)—hWext (фа—ф) =
= Гц (F Ru-'r Ntty)гl (F Ly ' - У еу) -1- М Lx MRx + М sx 4-
a(FLz~FRzy-NLz~NRz).	(5.78)
Уравнение колебаний виляния
Iwz Г'Ф—v —гг [4'|)~	-!-р)(ф + ф.,е):=
\	ш Я J/
= a (FRx— FДх) -4 ai|) (FRy — F lyr NRy— N Ly) -\-
+ MLz-\-MRzyMsz.	(5.79)
Уравнение вращательных колебаний (связанное с изменением номинального значения угловой скорости Q вращения колесной пары относительно оси у')
—cRFRx—гi_ FLxy Мсу MRy— Msy. (5.80)
Нормальные силы в левой и правой точках контакта колес с рельсами:
Nl — JVLsin(6L —ф)]г-|-^£со8(6д4-ф)кт;	(5.81)
NR = A(Rsin(6R—ф) jr 4- (VRcos(6R —ф)кг, (5.82) где (Vz. = |NL| и yR |NR|.
Проекции нормальных сил могут быть получены на основе уравнения колебаний подпрыгивания и уравнения колебаний боковой качки Совместное решение уравнений (5.77) и (5.78) приводит к следующим выражениям для вертикальных проекций нормальных сил:
	8*1"	rl tg(6,“ ф) 1 Nr cos (6R—Ф)2		 2<z — rR tg(6K~<₽)—,rL tg(dL : Ф) /М* F* la — Totgf'fir, — <p)| N L COS (6д 4- ф) =					 -		 2a — rK tg (bR - <₽) - rL tg (6L 4 <p)	(5.83) (5.84)
где
Мф = F.z (Ф с фда) — F„y (Й -0) 14’—— a (FLz— FRz) — —rR FRy—rL FLy-\- /г^.хДфа—ф) —(MLx4- MRx-4 M„.); F*z — m[z 4аф.,,,4- (tA'fl) ф5Р] — FRz - FLz 4- (U? i- Ц/^) 4
+ (^x-(^) (и2//?)ф.в-Лг-
165
Поперечная жесткость и жесткость при колебаниях виляния, обусловленные силой тяжести, определяются с помощью формул (5.51) и (5.55).
5.5.1.	Силы крипа и моменты сил крипа. Обратимся теперь к рис. 5.13 и применим формулы (5.4) и (5.5) перехода от системы координат, связанной с силами взаимодействия колеса с рельсом, к основной системе координат. После преобразования координат можно на основе формул (5.32) и (5.32а) получить выражения для сил крипа и моментов сил крипа в путевой системе координат в упрощенном виде (за счет малости углов поворота вокруг вертикальной оси).
На левом колесе
Flx F'lx-F Lycos (бд-рф)ф; A/tx--A'lhsin(6I Ф)ф;
Flu =- ^£Лф4F£#cos(6I-i-ср); MLy== — M’Lz sin (6Д 4-ф);
FLz F'Ly sin (8L И <P); /WIz = Af£2cos(6L+ ф).	(5.85)
На правом колесе
FRx = FRx—FRi,cos(6R —ф)ф; MRx= —-/WR^sin(6R — q>);
Fp,f- F'r,.ф-l- F£4,cos(6R—ф); MRy=-- M£2sin(6R — ф);	(5.85a)
FKz-- — F^sin (6R — ф); MRz = ,U£zcos (ftp - ф),
где Fri и Fli — компоненты сил крипа в плоскости взаимодействия колес с рельсами; MRt и Мы — компоненты моментов сил крипа в плоскости взаимодействия колес с рельсами.
Выражения для крипов могут быть получены с помощью процедуры, приведенной ранее в разделе 5.4.4. Окончательные результаты можно записать следующим образом.
На левом колесе
Zxl = (1/v) (у[1 -\-(a/R)—(rr/r0)J—аф — гд₽|;
1’vl = (1 /у) [cos бд (у—уф -[-rL ф) -t-sin бд (z-+- аф)[;
sk = (l/yH— sin6L(y—уф+ гд ф) + cos 6д (гф Цф)1;
IspL -= (1 /у) { — sin 6д (Q + ₽)+ cos 6д [ф—(у//?)]}.	(5.86)
На правом колесе
1(/? = (1.у) (у|1—(а//?)—('•л/г0)1 + аф—/•/?₽[:
= (1 /у) [cos dR (у— уфф rR <р) + sin 6R (z—а<р)[;
(I/у) I — sin 6R (у— уф + rRq>)-i- cos 6R (z—аф)[;
Bs'pR = (l/y)[sin6R(Q г P) +cos6R][ф—(v/R)]}.	(5.86a)
(<56
Если принять гипотезу об отсутствии подъема колеса над головкой рельса, тогда крип при вертикальном движении обратится в нуль. Это приведет к следующим соотношениям:
z 4- оф = tg 6/ (y—vty Г[. ф);
z — аф=И§6я(г/ — 1гф4-гкф).	(5.87)
Подставляя выражения (5.87) в выражения поперечного крипа, получим:
= sec 6L(y— иф4- rL ф):
== sec (у— иф4/кФ).	<5-88'
Для получения сил крипа и моментов сил крипа можно применить линейную теорию крипа Колкера. Найденные таким образом силовые факторы можно подставить в уравнения (5.75), (5.76), (5.79) и (5.80) для получения необходимых уравнений колебаний колесной пары.
5.6.	МОДЕЛИ ВАГОННОЙ ТЕЛЕЖКИ
Для того чтобы провести моделирование динамического поведения вагонной тележки, будем исходить из требования, которое заключается в том, чтобы модель вагонной тележки обладала динамическими характеристиками реальной вагонной тележки. Системы рессорного подвешивания также должны быть смоделированы с помощью эквивалентных элементов подвеса. Так как точность результатов расчета с помощью модели зависит от представления элементов системы вертикального, поперечного и продольного рессорного подвешивания вагонной тележки, следует смоделировать эти элементы для отражения их истинного вклада в динамическую систему вагонной тележки.
Для большинства вариантов тележек пассажирских вагонов и локомотивов характеристики систем их рессорного подвешивания могут быть описаны с помощью элементов подвешивания с линейными характеристиками. Но в определенных ситуациях этого недостаточно, и существенным для корректного моделирования системы рессорного подвешивания становится включение элементов подвешивания с нелинейными характеристиками.
В работе [2] была предложена общая модель тележки, с помощью которой могут быть описаны различные системы тележек пассажирских вагонов, применяемых на железных дорогах Северной Америки.
Формирование этой модели проводится путем соединения колесных пар с помощью балки, обладающей в пролете между колесными парами жесткостью на изгиб и жесткостью на сдвиг. Эта модель показана на рис. 5.17. Исходя из общей модели можно образовать несколько моделей тележек пассажирских вагонов, распространенных на железных дорогах Северной Америки, приняв соответствующие значения
167
жесткостей на изгиб и сдвиг, которые могут меняться от нуля до бесконечности. С помощью общей модели можно также описать радиальные тележки
Для иллюстрации процедуры моделирования системы тележки рассмотрим трехэлементную жесткую тележку, которую часто используют для локомотивов. В связи с тем что наша цель — изучить поперечную и вертикальную динамики тележки, принимаем, что каждая колесная пара обладает четырьмя степенями свободы, соответствующими колебаниям бокового относа, колебаниям подпрыгивания, а также двум вращательным колебаниям боковой качки и колебаниям виляния. Допускается, что у рамы тележки пять степеней свободы, которые соответствуют колебаниям бокового относа и колебаниям подпрыгивания, а также трем вращательным колебаниям: колебаниям боковой качки, колебаниям галопирования и колебаниям виляния. Колесные пары соединяются с рамой тележки с помощью элементов надбуксовой ступени рессорного подвешивания. Связь рамы тележки с элементами центральной ступени системы рессорного подвешивания показана на рис. 5.18. Общее число степеней свободы модели равно 17. При выводе уравнений колебаний для модели тележки делаются следующие допущения.
1. Принимается, что рама тележки является жесткой конструкцией, а ее гибкость учитывается в гибкости элементов подвешивания.
2. Принимается, что оси ко-
лесных пар свободно поворачиваются в буксовом подшипнике без трения в опоре.
3.	Пренебрегается поперечным зазором между колесными парами и рамой тележки.
4.	Все перемещения считаются малыми.
5.	Характеристики всех элементов подвешивания принимаются линейными.
6.	Пренебрегается нелинейными эффектами, вызванными ограничителями хода рессор, взаимодействием колеса с головкой рельса, сухим трением в элементах рессорного подвешивания и ограничениями сцепления между колесом и рельсом.
Кроме введения этих допущений, ниже будет использована упрощенная геометрия области взаимодействия колеса и рельса.
Рис. 5.17. Общая модель тележки пассажирского вагона:
1 — моделирование жесткости на изгиб на стыке составных элементов соединительной балки; 2 — моделирование жесткости на сдвиг на стыке составных элементов соединительной балки
168
Рис. 5.18. Модель тележки:
/ шкворневая плита; 2 -- центр тяжести тележки; 3—план; 4 — кузов; 5 - вид с торца тележки; 6 левый рельс; 7—правый рельс
а также линейная теория крипа, которая рассматривалась в раз-деле 5.4.6.
Для системы координат, приведенной на рис. 5.19, обобщенные перемещения трехэлементной тележки задаются в следующей матричной форме для рамы тележки и колесных пар соответственно:
{U7'}==[z/i'zz ср'ф'б']7';	(5.89)
(5.9о) k 1,2,3,
где буквой Т обозначена операция транспортирования матрицы.
Относительные перемещения поперек центральной ступени системы рессорного подвешивания записываются следующим образом:
{U} - |Г|{1Г},	(5.91)
где {U} — вектор, который представляет относительные перемещения по направлению осей х, у, z элементов центральной ступени системы рессорного подвешивания. Этот вектор задается в виде
{U} = \UXR UyR UZR U1 UyL UZL\T.	(5.92)
169
Рис. 5.19. Система декартовы* координат для определения пе ремещений шестиосной системы локомотива (<р — угол боковой качки; ip — угол виля
1У ния; 0 — угол галопирования): / левая сторона: 2 - правая сторона
В формуле (5.91) |Т(| — матрица переноса, которая в развернутом виде может быть представлена следующим образом:
	“0	0	0	b2	- -hi		
	1	0	ь*	0	Z		
	0 0	1 0	hi 0	-L ^2	0 A		(5.93)
	1	0	b^	0	L		
	_ 0	1	hi	~L	0 _		
Аналогично вектор относительных				перемещений		между	рамой те-
лежки и й-й осью записывается в виде:
_ {UJ -|ГЧ|1Л}-~|71| {U'l.	(5.94>
Вектором {£4 } задаются относительные перемещения в направлении осей х, у и z элементов надбуксовой ступени системы рессорного подвешивания на левой и правой сторонах рамы тележки. Этот вектор может задаваться в виде
'bAJ ’ \UkK UkR UXkL UkL UIl\T\ k- 1, 2, 3.
Матрицы перехода записываются следующим образом: ~0	0	0	Ьх~
1	О	Ь1	О
| уа | . _. 0	1	0	0
0	0	о - ьг
1	о	ь,	о
_0	1	о	о
"0 0	0	bt	h,~
1 0	-bi	0	ah
гуа-i_	0	1	Ну	—0
1	*’	0	0	0	—bi	hi ’
10	bi	0	ak
О 1 — hi —ah 0
(5.95)
(5.95a)
170
в них ah принимает положительное значение, если k-я ось расположена в положительном направлении относительно центра тяжести рамы вагонной тележки, и принимает отрицательное значение в противном случае (см. рис. 5.18).
Вектор относительных перемещений между /г-й осью и рельсами задается в виде
k 1, 2, 3,
(5.96)
где {U'} задаются относительные перемещения в вертикальном направлении (у) и в поперечном направлении (г) для рессор правого и левого колес и рельсов в виде:
! Ш) ~ WkyR TJrkzL}T\	(5.97)
Л - 1, 2, 3.
В формуле (5.96) [/] — единичная матрица размером (4 X 4), а (Тг\ записывается в соответствии с системой координат, определенной на рис. 5.19 следующим образом:
]Г|
1	0	-а	О
О	1	—г„	О
10 а 0
0	1	—г0	0
(5.97а)
Вектором [U'l задаются возмущающие перемещения рельсов в направлении осей у и г под левым и правым колесами /г-й колесной пары в виде:
W^WrkyMuWk\\ k ----- 1, 2, 3.
(5.98)
Кинетическая энергия Ек системы определяется выражением:
Ек = -L 1 и'Г[Л1'] I0T+ 4 У №ГИ| {Щ},	(5.99)
k - 1
где |Мt] и [Л4£1 — матрицы масс для рамы тележки и для k-й колесной пары соответственно и
(5.99а)
17J
(5.996)
Потенциальная энергия системы Ер задается в виде:
kr-_ 1
!</;!'|Яг11(Я1-
2 -k
(5.100)
где IATS], IXpl и |КГ1 — матрицы жесткости центральной ступени системы рессорного подвешивания. наДбуксовой ступени системы рессорного подвешивания и конструкции пути соответственно:
~кх1
!*.,!-
|^р]
кк о у»
'za
Kkxa
0
(5.100а)
(5.1006)
(5.100b)
Диссипативная энергия ЕГ) системы в целом записывается в виде:
Ео	|U| -у 2
/г- 1
(5.101)
172
где [CJ, |Ср] и |СГ| — матрицы демпфирования центральной ступени системы рессорного подвешивания, надбуксовой ступени системы рессорного подвешивания и конструкции пути соответственно.
Если выразить потенциальную энергию и диссипативную энергию системы через обобщенные координаты, получим
ер=-L {ипг г 1KJI Г| {U7} + -j-
2 {{U*}7 [Е3]7 |^] [7'а| {L*} —
I
-- {Uzf [ЛП^Ц^ци;;}- {иак}г[Т^{Ер] \П]{UOJ-
-i {и'ИПГЮ |П] {UZ}1
И 2 {{^}Жни}-
- W irr [^] {u;>—{iKf [kj tri {ux>+
4 {UX)r |TTI^] |T'] {Ш}}
(5.102)
173
Ed -= J- {U)717V |C„117'4 {U7} + -1-
2	[c‘| [7a] {u:}
I
-{U7} [rk\T [С*} [ТЧ {Ua0-{UaOr[Talr [С*] [71] {I?} -r
1 {(//infill |ni{u7}}
V {ufcy[Cr]{ul}--z i
- {и:/ [tt id	{irj icri [Г] {ua4
+ {uZ}7'[TqqcriiT4{LJZ}
(5.103»
Если обозначить вектор обобщенных перемещений системы
{q} = |{U}4Ui}4UHr{U.a}'Tr
и записать уравнение Лагранжа для каждой системы обобщенных координат в виде
__£^_ к	= Qm>	(5.104»
dq \ dq dq
где Qm — обобщенная сида для т-го обобщенного перемещения, тогда уравнения колебаний для системы тележки могут быть записаны в виде
|7И] {q} + [О'] {q}~r [Г1 {q} = {Qr}+{QeP}.	(5.105)
где [Af], IC'J и |X'] являются квадратными матрицами размером 17x17 и представляют собой матрицы масс, демпфирования и жесткости системы соответственно. Блоки этих матриц приведены в работе [10].
Векторы {Qr} и {Q,,,} представляют собой обобщенные силы, возникающие благодаря возмущающим перемещениям рельса и взаимодействию колес и рельса соответственно.
Динамическая реакция вагонной тележки зависит от контуров профиля рельса в вертикальном и поперечном направлениях.Вертикальная геометрия рельсов, стенкн которых расположены в полушахматном порядке, представляется в виде вытянутой волны синусоиды приведенной на рис. 5.20:
Ury= 401 sin at [.	(5.106)
Период этой функции равен двойной длине рельса 27г, а амплитуда равна Ао. Угловая скорость появления неровности о> задается в виде:
<в = 2лп/27г.	(5.Ю7)
где и — скорость тележки.
174
Рис. 5.20. Возмущения, вносимые вертикальным профилем рельсов:
левый рельс;
правый рельс
Эквивалентное разложение срезанной волны в ряд Фурье задается в виде
вытянутой синусоидальной
U^-A0Г_2__А(_Е£12ш£_	_00>6<Щ_ . _ yi !
I л л 1-3	3-5	5-7 /I
Для стационарного решения постоянный член игнорируется.
Таким образом вертикальное возмущение на колеса каждой колесной пары задается в виде: на правом колесе
~ ।
UrkR ~-----— V——— cos/1(3 ((^ /,();	(5.109)
л (4Н--1)
k -- 1, 2, 3;
на левом колесе
„ 4Дп 2L (__________п«
UkL -=-----—У -b_L_ cos/ф (( ' Д),	(5.109а)
л (4я2—1)
k--1,2,3,
гдеД^— амплитуда неровности вертикального профиля правого рельса; Д» — амплитуда неровности вертикального профиля левого рельса; 0 = 2ы - 2ли/Lr при 0 - 0; 62 = xjv, t3 x3/v; х2 - щ — а2; х3 — и, — ая, где х.г и х3 приведены на рис. 5.18.
Представим неровности пути в поперечном направлении в виде непрерывной синусоиды. Частота и амплитуда для левого и правого рельсов рассматриваются в качестве независимых возмущений (рис. 5.21):
UrkR ~ Ло Sin |(D# (th - - tsn) ! 6/?]; k---= 1, 2, 3.
Urkt Ло sin Io,. (tn —tsL) + 0Д |; 6-1,2, 3,
(5.110)
(5.110a.)
175
Рис. 5.21. Возмущения, вносимые поперечным профилем рельсового пути:
/ правый рельс; 2 -- левый рельс
где А$ — амплитуда неровности профиля правого рельса в поперечном направлении; А « — то же для левого рельса; — угловая скорость появления неровности профиля левого рельса в поперечном направлении; <и; — то же для левого рельса; 6К,	— фазовые углы появления неровностей профиля в попереч-
ном направлении на правом и левом рельсах соответственно; и tsl — время начала отсчета появления неровностей профиля в поперечном направлении на правом и левом рельсах соответственно.
Обобщенные силы на каждой колесной паре, вызванные вертикальными и поперечными возмущениями рельсов, передающимися на колесо, вычисляются по формуле
{Q*} ГТЮ{1Л};	<5.111)
6= 1, 2, з.
Суммарные обобщенные силы
(QJ	(5.112)
где {0} — нулевой одностолбцовый вектор размером 5x1.
С помощью линейной теории и принимая профиль колес коническим можно получить выражения для обобщенных сил, действующих между колесом и рельсом. Эти выражения имеют вид
{QcP}  Ю |7>г 1Щ1 + !с«| I0J =
|с*| Ш (5.113)
где [и |С&] —матрицы, в которых учтены силы веса и силы крипа. Они определяются формулами:
IKJ1-	~ о । о ! о । _д	 0 1 — WkA к/a 1 0 I . .1	. „1 .1	0	;	(5.113а)
		2А,	
	01	0	! 01 ।	 I _ ।	0	
	0 1 2а/33	0 I -	-2fI2 ’ aWkAK _	
176
|0|
| о’ О
о — lwy (v/r№) к/а • (2f12/u) (1 + гп Х/а) { О j — 2a2f33/v—2f22v~' _
(5.1136)
Вектор суммарной обобщенной силы, возникающей в результате взаимодействия колеса и рельса, записывается в виде

(5.114)
где {С} — нулевой одностолбцовый вектор размером 5x1.
Подставляя (5.113) в (5.105), можно переписать уравнения колеба-
ний е виде
iCl{q} + {QJ =	(5.115)
где {Qwr} = [{0} {Qi,) {Q;,} {Q’JH,
Б КОТОРОМ
{Qt}-
k = 1, 2, 3. Систему уравнений (5.115) можно решить с помощью схем пошагового численного интегрирования, рассмотренных в главе 2.
5.7.	РЕЗЮМЕ
В этой главе обсуждены методы моделирования составных частей железнодорожных экипажей. В первой части главы описаны различные варианты компоновки вагонных тележек для локомотивов, пассажирских и грузовых вагонов. Составлено полное уравнение колебаний изолированной колесной пары при движении по прямолинейному и криволинейному участкам пути. Вслед за этим были выведены уравнения колебаний для жесткой тележки. В главе 6 будут представлены модели для оценки колебаний железнодорожных экипажей при движении по прямолинейному участку пути.
Список литературы
1.	L a w Е. Н., С о о р е г г i d е г N. К. Asurvey of railway vehicle dynamics research. — Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, ser. G, Journal of dynamic systems, measurement and control 1974, v. 98, N. 2, pp. 132— 146.
177
2.	Murray W.. Baum W., Hedrick J. K., Wormley D.
К a r A. K. Performance Limits of Rail Passenger Vehicles: Evaluation and Opti mizatiori. Report DOT RSPA'DPB—50 79/32, U. S. Department of Transportation, Research and Special Programs Administration, Washington, D. C., Office of University Research, 1979.
3.	S с a 1 e s В. T. Behavior of bogies on curves. — Railway Engineering Journal, 1973, v. 1, N., p. 12.
4.	Scheffel H. A new design approach for railway vehicle suspension. — Rai) International, 1974, v. 5, N. 9, p. 638.
5.	L i s t H. A. Means for improving the steering behavior of railway vehicles.— Proceedings of the Annual Meeting of the Transportation Research Board, Washington, D. C., 1976, January 22.
6.	Hedrick J. K., Wormley D. N., A r s 1 a n A. V., C a s t e 1 a-z о 1., Chin R., J a f f e r i a n D. Nonlinear Analysis and Design Tools for Rail Vehicles — Phase I, Report R —381, Chicago, Association of American Railroads. 1979, June.
7.	Law E. H., В r a n d R. S. Analysis of nonlinear dynamics of a railway wheelset. — Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, Ser. G., Journal of dynamic, systems, measurement and control, 1973, v. 97. N. 1. pp. 28—33.
8.	Coo p er r i d er N. K., L a w E. H. Data .Book, Wheel Rail Geometry for Five Wheel Profiles and Three Rail Profiles — Report ERC-R-T5015. Arizona, 1975, October.
9.	KrolewskiS. M. Model Development for Freight Car Dynamic Curving Simulation. — M.S. thesis, M. 1. T., Cambridge, Massachusetts, 1982.
10.	C h a n g E. H., G a r g V. K., Hartmann P. W. Technical Documentation. Locomotive Response Model. — Report R—295, Association of American Railroads, Chicago, 1978, February
6 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЭКИПАЖЕЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ
 НА ПРЯМОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ПУТИ
6.1.	ВВЕДЕНИЕ
Исследования вынужденных колебаний на прямолинейном участке пути можно разделить на две части, первая из которых связана с решением задачи о свободных колебаниях системы. У всех железнодорожных экипажей существует некоторая предельная критическая скорость, существование которой обусловлено взаимодействиями колес с рельсами и при-которой не происходит демпфирование основных колебаний экипажа.
При превышении критической скорости амплитуда колебаний начинает расти по экспоненциальному закону. Нарушается плавность хода, и сход с рельсов становится весьма вероятным. Вторая часть исследований связана с вынужденными колебаниями. Железнодорожный экипаж движется по некоторой направляющей (рельсам), у которой имеются неизбежные неровности. Колебания железнодорожного экипажа, вызванные неровностями, могут оказаться нежелательными в зависимости от частоты проявления этих неровностей по длине пути и от скорости экипажа. Указанные колебания могут доходить до опасного уровня или просто достигать уровня, вызывающего дискомфорт проезда в вагоне, когда не исключаются такие явления, как полное сжатие рессоры, подъем колеса над головкой рельса и сход с рельсов. Цель настоящей главы состоит в том, чтобы представить три математические модели, связанные с второй частью исследований: исследование вынужденных колебаний железнодорожных экипажей при движении, вызванных неровностями пути, в эксплуатационных условиях. Допущения, которые были сделаны в разделе 5.4 при выводе уравнений колебаний, остаются в силе на протяжении всей данной главы. Кроме того, допущение о линейности характеристик симметричного экипажа позволяет рассматривать вертикальные колебания отдельно от горизонтальных поперечных колебаний. Учитывая нелинейный характер, присущий взаимодействию колеса и рельса, линейная постановка задачи о вынужденных колебаниях распространяется только на колебания с малыми амплитудами. Выше этого порога колебания линейной системы можно рассматривать лишь как некоторое приближение колебаний нелинейной системы. Таким образом линейные модели дают, собственно говоря, лишь качественную, а не количественную картину вынужденных колебаний системы.
Первой из трех представленных моделей является модель грузового вагона с деформируемым кузовом, обладающая 22 степенями свободы.
179
В модели учитываются следующие нелинейные факторы системы рессорного подвешивания: свободные зазоры, жесткие упоры и сухое трение. С помощью данной модели делается попытка исследовать вынужденные колебания подпрыгивания и боковой качки грузового вагона, эксплуатируемого на железных дорогах Северной Америки, которые вызваны детерминированными вертикальными неровностями железнодорожного пути.
Представлены уравнения колебаний и результаты практического приложения данной модели.
Рассмотрена также вторая модель. Это линейная модель шестиосного локомотива с 39 степенями свободы. С помощью этой модели исследуются вынужденные колебания, вызванные одновременным действием детерминированных вертикальных и поперечных неровностей пути. Описано практическое использование такой модели в качестве расчетного аппарата при проектировании системы рессорного подвешивания. Далее модель локомотива с помощью методов спектрального анализа обобщается на случай исследования вынужденных колебаний, вызванных случайными неровностями пути. Представлена также методика построения нелинейной модели локомотива с 29 степенями свободы.
Последней из представленных моделей является модель поперечной динамики пассажирского вагона с 15 степенями свободы. Описываются уравнения колебаний экипажа, проводится исследование вынужденных колебаний, вызванных случайными неровностями профиля пути в поперечном направлении, а также случайными неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой.
6.2.	МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ПОДПРЫГИВАНИЯ И БОКОВОЙ КАЧКИ ГРУЗОВОГО ВАГОНА
В течение многих лет одной из главных проблем, возникавших на железнодорожном транспорте Северной Америки, была проблема гармонического виляния грузовых вагонов при движении по железнодорожному пути при полушахматном расположении рельсовых стыков. Колебания боковой качки с большими амплитудами могут наступить при движении вагона по железнодорожному пути с периодически расположенными неровностями профиля, т.е. с просадками на стыках, которые создают возмущения, частота которых совпадает с собственной частотой колебаний боковой качки вагона. Колебания резонансной боковой качки приводят к выходу из строя оборудования и к повреждению грузов, что вызывается периодическим выключением системы рессорного подвешивания из-за полного сжатия рессор. В аварийных ситуациях не исключается возможность подъема колеса над головкой рельса с последующим сходом с рельсов. В данном разделе рассмотрена модель колебаний подпрыгивания и боковой качки (разработанная в работе [II), в которой учтены конструктивные особенности нежесткого кузова вагона.
180
Грузовой вагон моделируется с помощью совокупности кузова, двух шкворневых балок, а также двух групп, объединяющих боковины — вагонной тележки с колесными парами. Модель представлена на рис. 6.1. Гибкость кузова вагона является распределенным параметром. В данной модели гибкость конструкции экипажа представлена дискретно; кузов заменен на два балочных элемента, каждый из которых упруго опирается на шкворневые балки. Балочные половины кузова соединены системой параллельных пружин, с помощью которых воспроизводится жесткость при поперечном и вертикальном изгибах, жесткость на кручение в продольном направлении, а также жесткость при поперечном и вертикальном сдвигах. Таким образом в модели сохраняется возможность совершать изгибные колебания в виде первой и второй гармоник и крутильные колебания в виде первой гармоники. Жесткость системы «шкворневая балка — кузов вагона» моделируется с помощью пружины с линейной характеристикой; это приводит к созданию жесткого упора на контакте каждой из двух шкворневых балок и боковых опор. У боковой пружины имеется первоначальный вертикальный свободный зазор, который выбирается полностью, когда кузов вагона превышает заданные границы боковой качки или подпрыгивания. При крайнем уровне боковой качки может произойти потеря точек контакта на одной или двух шкворневых балках. Когда это имеет место, восстанавливающая сила пружины равна нулю. Система подрессорива-ния шкворневой балки к группе «боковины — колесные пары» моделируется с помощью поперечной и вертикальной пружин. Демпфирование колебаний бокового относа и подпрыгивания для регулирования колебаний боковой качки и подпрыгивания шкворневой балки обеспечивается сухим (кулоновым) трением у стойки боковины в зоне между башмаками шкворневой балки с трением и прокладками трения боковины. Если поперечный зазор между клином шкворневой балки и стойкой боковины полностью выбран, тем самым создается дополнительная вертикальная демпфирующая сила, пропорциональная боковой силе подвешивания. Моделируется также вертикальная и поперечная жесткость рельса. Так как боковины тележки и колесные пары объединены в единый комплекс, гибкость рельса соответствует паре колес. У элемента, воспроизводящего поперечную жесткость рельса, имеется свободный зазор, равный боковому зазору между ребордой колеса и головкой рельса. Предполагается, что величины виляния и галопирования шкворневых балок и групп, объединяющих боковины и колесные пары, пренебрежимо малы, а коэффициент сухого (кулонова) трения в элементах подвешивания остается постоянным. Силы, вызываемые взаимодействием между колесом и рельсом, которые связаны с геометрией контактирующих поверхностей, а также с крипом, в данной модели не учитываются.
6.2.1.	Обозначения. При составлении уравнений колебаний вводятся следующие обозначения (см. рис. 6.1, 6.2, 6.4):
А — амплитуда неровностей вертикального профиля; 2а — ширина колеи; В — база тележки вагона; bj — расстояние от /-й точки крепления системы вер-
181
^X Ju ’TZ • Jy ! Tzx
Ни,
R4
подпрыгивания и боковой качки грузового
Рис. 6.1. Модель вагона:
ну wy
kwf tw!/
kwy
С/ц,
kw dw
1.2- задняя и передняя части кузова вагона*. 3 — задняя шкворневая балка; 4 — задняя группа, объединяющая боковую раму вагонной тележкн с колесной парой; 5 — передняя шкворневая балка; б — передняя группа, объединяющая боковую раму вагонной гележкн с колесной парой
УЧ

wy
dufs

kyi
rfy;
тнкального рессорного подвешивания до нейтральной линии шкворневой балки. D — расстояние между осями передней и задней тележек: d„j~- коэффициент вязкого демпфирования боковой опоры в /-й точке; dw— коэффициент вязкого демпфирования пути; d,tj—коэффициент поперечного демпфирования системы рессорного подвешивания в точке /; dZj — коэффициент вертикального демпфирования системы рессорного подвешивания в точке j; hx — расстояние по вертикали между центром тяжести переднего элемента кузова вагона и центром тяжести передней шкворневой балки; — то же для заднего элемента кузова и задней шкворневой балкн; hyj — расстояние по вертикали от точки j крепления элемента системы рессорного подвешивания до центра тяжести шкворневой балки; lxh - момент инерции массы k относительно оси х; l,llt — момент инерции массы k относительно оси у\ I zh — момент инерции массы k относительно оси г; kcj — вертикаль ная жесткость шкворневой балки в точке /; ksj—жесткость боковой опоры в точке j; кшц — поперечная жесткость пути; ku. — вертикальная жесткость пути; k,lfl — боковая жесткость системы рессорного подвешивания в точке /; k,f, — вертикальная жесткость системы рессорного подвешивания в точке j: /, — расстояние в продольном направлении между центром тяжести передней составной части кузова и центром тяжести передней шкворневой балки; /2 — то же для задней составной части кузова и задней шкворневой балки; L, — длина рельса: mh — масса жесткого тела k; г0 — номинальный радиус колеса: Rj — возмущение со стороны рельсового профиля в точке /; Тх—жесткость на кручение относительно продольной оси связи между передней и задней составными частями кузова ваго на; Ту —жесткость на изгиб относительно горизонтальной оси между передней и задней составными частями кузова вагона; Tz — жесткость на изгиб относительно вертикальной оси связи между передней и задней составными частями ку зова вагона; Тху — жесткость на сдвиг в поперечном направлении связи между передней и задней составными частями кузова вагона; Tzx — жесткость на сдвиг в вертикальном направлении связи между передней и задней составными частями кузова вагона; I — время; ук—перемещение бокового относа k-й массы; zh — перемещение подпрыгивания k-n массы; 0(| — угол поворота при галопировании k-н массы; <£/, — угол поворота при боковой качке k-н массы; i|> — угол поворота при вилянии /г-й массы.
6.2.2.	Уравнения колебаний. Движения жесткого тела определяются относительно правой декартовой системы координат, закрепленной в центре тяжести каждой основной массы. Составляются выражения для потенциальной, кинетической энергий, а также для диссипативной энергии системы. Далее для вывода уравнений движения применяется метод Лагранжа. Как указано в табл. 6.1, принимается, что система, соответствующая модели, предназначенной для исследования подпрыгивания и боковой качки грузового вагона, обладает 22 степенями свободы.
В силу наложения поперечной связи между шкворневой балкой и соответствующей составной частью кузова рассматриваются 20 обобщенных перемещений.
Принимается, что .массы и моменты инерции каждого жесткого тела остаются постоянными, причем вес каждой основной составной части модели рассматривается в качестве внешней силы. До проведения моделирования динамики вагона ставятся начальные условия относитель но статического равновесного состояния.
Для определения компонента угловой скорости смещенного кузова вагона, т. е. и w2, относительно продольной, поперечной и вертикальной осей соответственно проводится ряд преобразований поворота координат кузова вагона.
183
Таблица 6.1. Функции степеней свободы, описывающие модель подпрыгивания и боковой качки
Составные части модели	Виды колебаний				
	Боковой отиос	Подпрыгивание	Боковая качка	Г алопи-рованне	Виляние
Передняя половина кузова		Z,	Ф1	61	41
Задняя половна кузова	Уз	?2	ф‘2	62	ф2
Передняя шкворневая балка	Уз		фа	—	—
Задняя шкворневая балка	У4	?4	ф4	—	—
Передняя группа, объединяющая боковины и колесные пары	Уг>	Zj	грв		
Задняя группа, объединяющая боковины тележки и колесные пары	Уч	Ze	грв		
Если принять, что углы виляния малы, тогда для передней части кузова имеют место следующие соотношения:
<ох] = ф] cos гр, — 0] cos ф, sin гр];
wv, = 81 cos 4i cos ф] -р ф] sin гр,;
(ог, = 0] sin ф, 4 гр,.	(6.1)
Кинетическая энергия передней части кузова определяется выражением
Ею	+/,/1«^1 41«>г1 J "г,(^4 г,)]-	<6-2*
Угловые скорости для задней части кузова:
со v2 = ф2 cos гр2— 02 cos ф2 sinip2;
w,/2 = 9г cos ip2 cos ф2 4 ф2зтгр2;
ю,2= 02 sin ф..-j-гр2	(6.3}
и кинетическая энергия
Ек2==-^-[/л2«х2 г/У2“у-2 1 Л2°<22 j. тг z’i }].	(6.4)
При заданной поперечной связи между передней составной частью кузова и шкворневой балкой перемещение и скорость шкворневой балки
У а ~У1 — Л, sin ф| —/] sin гр,;
У а "= Уг —hi Ф1 cos ф, — /, гр, cos гр,.	(6.5)
184
Кинетическая энергия передней шкворневой балки
-у |тя /i, (fjcostp,— К Ah cos th)2 i z2| ( /х3ф^.	(6.6)
Аналогично для задней шкворневой балки:
t/4; У2— h2 sin q>2 < /2 sin \|)2;
У\ - Уг — Л-2 «Ра cos <р2 4 1г ip2 cos ф2	(6.7)
и кинетическая энергия
Ек4 --у \тх {(t/2—/i2<p2cos<p2 - (2<p2cos ф2)Л4 Л i +Лг4»р2|- (6.8) Для передней группы, объединяющей переднюю боковую раму тележки и колесную пару, кинетическая энергия
Ек5 ^-у |''щ(у? I zl„ ) + Z.rtI •	(6.9)
To же для задней группы
Екь \т^У'\ 4 z«)Д /хвф2|-	(6.10)
Таким образом суммарная кинетическая энергия системы задается выражением
ЕК---^ЕК1.	(6.11)
i -.= 1
Для потенциальной энергии относительно уровня шкворневых балок:
= -j- kci lzi — z3 -I- Pi (sin fP1 -sin ф3) | /, sin B4|2;
Ep2 -y Z?,.2lz!— zs— p2 (sin ф4— 5тф3)4-/] sinBJ2;
£p3 = -y Лг3 |г2—г4 Д p3 (sin ф2 — sin ф4)— /2sin 02|2;
£/)4 “ -y kc, |z2 —	'Pi (sin ф2— sin ф4) - -/2 sin B2]2.	(6.12)
Относительно уровня боковых опор:
£P5 = -y£silzi—z:j4А^Пф! —sin<p3) т li sinBjI2;
£pe = -y (zi — z3—s2 (sin ф) —sin ф3) 4 /, sin 0,|2;
fp, -у кяЯ [z2 — г4 + s3 (sin ф2—sin ф4) 4- sin B2|2;	(6.13)
£pg ~=-^-ksi [г2—г4—s4(sin ф2—sin ф4) Д /2sin B2|2.
185
Относительно уровня связи между составными частями кузова: Е-- Ту (ф, - ф.2)2; Epv, --- TX!I (ух - у.2)г;
Еуи> --	Epl3 ~T2x(zx z2)2.
£ри - y 7'ЛФ1 ~Ф2,2;	(6.14)
Относительно уровня системы бокового рессорного подвешивания между шкворневой балкой и боковиной тележки
£ рн “	' hi sin *<’i	/, Sin l|7j	(-£,/! sin ф5 — i/,]2;
£/15	I//5 : Z)1 sin ф, 1	/, sin ф,	! h,r, к1Пф5 —t/J2;
£/-,«	•y^v.-ilVo i Л2 sirup.	/, sin t|:2	• hll3 sin <pe - i/,|2;
£ /.17	t Minrp.,	/2 sin t|-2 >	>h,i sin <p„- y2\l.	(6.15)
Относительно уровня системы		вертикального рессорного подве-	
шпвания
p pin	— Лг, |z3 -г5 |-й,(81Пфч- sin<p5)|2;
£/.ls	'Y \z.t	63(siTi <p3 - sirup5)|2;
£/211	-|-£г.ч|2'4-гй 1 Msinrp, -8!пф(.)|2;
£/21r	zf! /)4(sin<p4- .siru|;,i)|2.	(6.16)
Относительно уровня системы взаимодействия колеса с рельсом £>22 --= -j- ku u I £</5 I- rn sin ф5|2;
ЕР2з y k,r.n \Уь - r0 sin ф5|2;
E,,u -у-kutu I -Fr0sin ф„|2;
£,,25	lf/e— r0sin<pe|2;
£ /,2в "	k,,-1?s -f- a s i n ф5 — /?! j«;
186
ЕР>------ — klL Iz5- «sin ф5 - R.,Г;	(6 j 7(
^'p2S - -y k„. |z„ -l a sin фв — R.,|2;
Epill- Yk" K —fl-sin^- RJ2.
Суммарная потенциальная энергия системы таким образом
29
Е,,	2 ЕР'-	(618>
i - 1
Выражения для диссипативных энергий имеют следующий вид: Edi—~~	5ч(ф| cos ф,— (p3cos<p3) !-/t Oj cosQjl2;
Ed2 = -у- ds2 — z3—s2 (ф, cos ф] — ф3 cos ф3) 4 /, 6i cos 0,12;
Eda = ds3 [z, — z4 4- s3 (ф2 cos ф2 — ф4 cos ф4) —12 02 cos 02]2;
£D4 = -|- dsi\z2—z4—s4(ф2совф2 —ф4 cos ф4) - С 02cos02l2;
£d5 - - -у- dvl |уъ - hr Ф1 cos Ф! + /, ф, cos ipi4- hyX Ф5 cos ф5--yx |2;
Edu = -y du2 \уъ 4. ht ф, cos ф, + /, ф, cos ф, 4 /zy2 ф5 cos ф5- z/,]2;
Em = dy3 [ye 4- h2 ф2 cos ф2 —12 ф2 cos ф2 + hy3 фв cos ф6—y2]\
Ed» -= -j-dyi\y34- h2 ф2 cos ф2 — /2ф2 cos ф2+ hyi фв cos ф„ — у2\2;
ED^ = -^-d2i[z3~z5 i br (ф3cosф3 — ф5со5ф5)]2;
Edio = dz2 \z3~ z5 - b2 (фя со5ф3 — ф5 cos ф5)]2;
Edu =~d23 fz4—гв4-^3 (<p4 c°s ф4— Фв сО5фв)|2;
Eon -- -i- d2i [zl ~ze- b,r (<p4 cos ф4—<pe cos фв)]2;
Edva=~- -^-dw[z5 4 йф5со5ф5- R,|2;
Edi 4 -i- dw [z5 — «ф5 cos ф5 — R2|2;
187
-^-du, [z6 4 <z<pe cos <pe — ЯзР;
A'o । <, - d,v[zK -- a<pe cos <p6 — /?412.
(6.19)
Таким образом суммарная диссипативная энергия для всей системы
16
v Epi.
i - I
С помощью уравнения Лагранжа второго рода
d d7
дЕк з£
—~ —:— +
<?</; deli де/.
dED dqi
0;
относительно обобщенных координат
{q} = I//1, ?i, Фо 91, Фб 1/2, *2, Фг, е2, ф2; гя, ф3, г4, <р4, Уь< 4, Фа, Ув> 4, Фе!7
(6.20)
(6.21)
(6.22)
можно записать 20 дифференциальных уравнений второго порядка в матричной форме следующим образом:
| М] {х} 4 [С] {х} 4 1М <Х} = {F},	(6.23)
в которых [All, ICI и [Д’] — матрицы масс, демпфирования и жесткости системы соответственно; {F} — силовой вектор. Подробно выражения этих матриц представлены в работе [1].
Уравнения движения могут быть решены численно, что было показано в главе 2. Для заданного возмущения вертикального профиля на основе этого решения строятся графики зависимостей от времени перемещений, скоростей и ускорений системы, сил и перемещений системы рессорного подвешивания, а также сил взаимодействия колеса и рельса.
В следующем разделе представлены практические приложения модели.
6.2.3. Возмущающие факторы и метод решения. Как указывалось ранее, профиль пути сильно влияет на динамическое поведение железнодорожного экипажа. При рассмотрении динамической модели грузового вагона, предназначенной для исследования подпрыгивания и боковой качки вагона, вертикальные неровности принимаются в виде детерминированного периодического возмущения. Геометрия состыкованной рельсовой нити представляется набором удлиненных полуволн синусоиды, как это показано на рис. 6.2: п = A [sin (ю£)1- Функция, описывающая геометрию пути, носит периодический характер с амплитудой А и периодом, равным удвоенной длине рельса.
Угловая скорость появления неровностей А задается формулой (5.10). В составленной модели два колеса, расположенные по одну сторону вагонной тележки, рассматриваются как одно; таким образом 188
Рнс. 6.2. Геометрия вертикальных смещений пути при полушахматном расгюло женин стыков рельсов:
/ - правый рельс; 2 — левый рельс; 3 —линия отсчета
эквивалентное возмущение является усредненным значением возму-щений, передаваемых на каждое колесо. Изолированные возмущения, как показано на рис. 6.2, описываются следующими выражениями:
нп -- Л | sin (ш1) |; n12 = А | sin (wt — ф4) |;
и21 = sin (ю<— <р,) \ ; n22 = А | sin (u>t — ф4— ф4) |;
п31= А | sin (wt—ф2) |; п32 = А | sin (wt—ф2— ф4) |;
м41	А | si n (ut — фя) |п42 = А | s i n (wf — ф3—ф4) |,	<'6.24)
где ф4 -=л/г; ф2 = {nD/Lry, Ф3~ Ф, н ф2; ф4 --(лВ/Ьг),	(6.25)
Поэтому эквивалентные возмущения задаются в виде
/?,-= (n,i+п/2)/2;
i = 1,4.	(6.26)
В работе [1] для нескольких случаев были построены модели 70-тонного крытого товарного вагона. Данные реального грузового вагона, для которого была составлена модель, отражены в работе 121. В первом случае, который приведен в работе [11, проверялась достоверность данных модели для изучения динамики подпрыгивания и боковой качки в сравнении с ранее построенной обоснованной моделью на гибридной аналого-цифровой вычислительной машине 121. Было установлено, что обе модели приводят во всей области решения к весьма близким результатам. Наибольшее расхождение результатов имеет место для времени, необходимого для достижения максимального размаха колебаний боковой качки. Возможным объяснением этого расхождения может быть то, что в модели работы [2] возмущение описывалось с помощью сглаженной волны синусоиды в отличие от более грубого пред
18ч
поперечное ускорение а кузова вагона и на размах максимального угла поворота при боковой качке:
/ поперечное ускорение; 2 - максимальный угол поворота при боковой качке
ставления в виде набора удлиненных полуволн синусоиды, используемого для нахождения решения с помощью рассматриваемой модели. В работе 111 были приведены параметрические исследования с целью определения влияния высоты расположения центра тяжести кузова вагона на критическую скорость, при которой происходит максимальная боковая качка кузова вагона, а также влияние скорости вагона на амплитуду максимальной боковой качки. Как следует из результатов этого исследования, высота расположения центра тяжести кузова вагона оказывает существенное влияние на критическую скорость кузова вагона. Увеличение высоты положения центра тяжести сопровождается уменьшением критической скорости. Как и следовало ожидать, увеличение высоты положения центра
тяжести кузова соответственно уменьшало собственную частоту боковой качки вагона. Тем не менее высота положения центра тяжести кузова вагона довольно слабо влия
ла на максимальные силы в элементах системы рессорного подвешивания, а также на величину имевших место углов поворота при боковой качке. Во всех случаях расчета имел место отрыв колеса от головки рельса и тем не менее происходило полное сжатие рессор лишь при высоте положения центра тяжести 3200 и 3507 мм (выше уровня головки рельса). Это происходит за счет большого поперечного ускорения кузова вагона, обусловленного высотой расположения центра тяжести кузова. Момент вертикальных сил в элементах системы рессорного подвешивания недостаточен для соответствующей компенсации момента опрокидывающей силы, создаваемого при ускорении кузова вагона.
На рис. 6.3 показано влияние изменения скорости вагона на максимальный угол поворота при боковой качке и на поперечное ускорение передней составной части кузова вагона. Как видно на рисунке, максимальный угол поворота при боковой качке и максимальное поперечное ускорение имеют место при критической скорости 24,14 км/ч. При достижении критической скорости, т. е. скорости, при которой имеет место максимальный угол поворота при боковой качке, происходит интенсивное раскачивание вагона. При критической скорости вагоны, у которых расстояние между осями передней и задней тележек примерно равно длине одного рельса, стремятся раскачиваться более интенсивно по сравнению с вагонами, у которых расстояние между осями передней и задней тележек ие равно длине рельса.
14(1
6.3. МОДЕЛЬ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ШЕСТИОСНОГО ЛОКОМОТИВА
В этом разделе строится аналитическая модель для исследования динамической реакции шестиосного локомотива при движении по детерминированной неровности поперечного и вертикального профилей на прямолинейном участке пути. Затем дается обобщение модели, что позволяет применить эту модель к вынужденным колебаниям, вызванным случайными возмущениями профиля пути.
В конце приводится описание нелинейной модели шестиосного локомотива. На рис. 6.4 показано схематическое представление системы шестиосного локомотива. Модель состоит из кузова локомотива, двух рам вагонных тележек и шести колесных пар. Колесные пары и рамы тележек соединены с помощью надбуксовой ступени рессорного подвешивания, которая состоит из рессор с линейными характеристиками и гасителей колебаний. Другая система, также состоящая из рессор с линейными характеристиками и гасителей колебаний и называемая центральной ступенью рессорного подвешивания, располагается между рамами тележки и кузовом локомотива. При рассмотрении взаимодействия колеса и рельса в модели учитываются геометрические эффекты области взаимодействия и силы крипа. Принимается, что кузов локо-
Рлс. 6.4. Модель колебаний шестиоеного локомотива'.
а план; б вид сбоку; в нид сзади; / задняя тележка; правый рельс; 4- - левый рельс
передняя гглежка; 1-
191
Таблица 6.2. Функции степеней сзободы, описывающие модель шестиосиого локомотива
Составные части модели	Виды колебаний				
	Боковой относ	Подпрыгивание	Боковая качка	Галопирование	Виляиие
Кузов локомотива	г1’	уь	ф"		Ч"’’
Передняя тележка	А	у{	ф$		ф'1
Задняя тележка	4	у‘1	Ф2	«2	1-2
Первая ось	7^	У‘1	ф"	-	Ч-)'
Вторая ось		У‘‘1	ф"		4’2
Третья ось		У'\	Фз		ч<;
Четвертая ось		У‘\	Ф“		Ч-4
Пятая ось	Л	1Л	Фа		
Шестая ось	л	Ув	Ф«	—	ч-‘б
мотива и каждая рама тележки обладают пятью степенями свободы, соответствующими боковому относу, подпрыгиванию, боковой качке, вилянию и галопированию. Каждая колесная пара обладает четырьмя степенями свободы при колебаниях бокового относа, подпрыгивания, боковой качки и виляния. Таким образом суммарное число степеней свободы модели шестиосиого локомотива, как показано в табл. 6.2, равно 39.
Уравнения колебаний модели выводятся с помощью уравнения Лагранжа, записанного в обобщенных координатах.
6.3.1. Обозначение. При выводе уравнений колебаний модели шестиосного локомотива используются следующие обозначения (см. рис. 6.4):
4, г- амплитуда вертикальной неровности левого рельса; 4^ — амплитуда поперечной неровности левого рельса; — амплитуда вертикальной неровности правого рельса; <4^ — амплитуда поперечной неровности правого рельса; 2а — расстояние между точками контакта бандажей колес с головками рельсов в поперечном направлении; аг — расстояние между первой осью и центром тяжести первой тележки; а2 — расстояние между второй осью и центром тяжести второй тележки; а3 — расстояние между третьей осью и центром тяжести первой тележки; at — расстояние между четвертой осью н центром тяжести второй тележки; аь — расстояние между пятой осью и центром тяжести второй тележки; ag — расстояние между шестой осью и центром тяжести второй тележки; 2bt — расстояние между надбуксовыми ступенями рессорного подвешивания в поперечном направлении; 2Ь2 — расстояние в поперечном направлении между центральными ступенями рессорного подвешивания; С* — жесткость, обусловленная
192
силой тяжести fe-й колесной пары при колебаниях виляния1 *; Сха — коэффициент демпфирования колебаний подергивания надбуксовой ступени рессорного подвешивания одной стороны оси колесной пары; Cxt — коэффициент демпфирования колебаний подергивания центральной ступени рессорного подвешивания одной боковины тележки; Суа — коэффициент демпфирования колебаний подпрыгивания надбуксовой ступени рессорного подвешивания одной стороны оси колесной пары; Суг — коэффициент демпфирования вертикальных колебаний рельса; Cyt— коэффициент демпфирования колебаний подпрыгивания центральной ступени рессорного подвешивания одной боковины тележки; Сга — коэффициент демпфирования колебания бокового относа надбуксовой ступени рессорного подвешивания одной стороны оси колесной пары; С2Г — коэффициент демпфирования поперечных колебаний рельса; C2t — коэффициент демпфирования колебания бокового относа центральной ступени рессорного подвешивания одной боковины тележки; [/7] — комплексная амплитудно-частотная функция; —расстояние по вертикали от центра тяжести рамы тележки до центральной ступени рессорного подвешивания; h2 — то же для центра тяжести кузова локомотива; ht — высота центра тяжести рамы тележки над центром тяжести колесной пары; /0 — момент инерции колесной пары при колебаниях вилянчя; 1ъ~ момент инерции кузова локомотива при колебаниях виляния; /( — момент инерции рамы тележки при колебаниях виляния; Ja — момент инерции колесной пары при колебаниях боковой качки; Jt, — момент инерции кузова локомотива при колебаниях галопирования; Jf, — момент инерции кузова локомотива при колебаниях боковой качки; Jt — момент инерции рамы тележки при колебаниях боковой качки; — момент инерции рамы тележки при колебаниях галопирования; А\.о — жесткость надбуксовой ступени подвешивания при колебаниях подергивания одной стороны оси колесной пары; Кxt — жесткость центральной ступени подвешивания при колебаниях подергивания одной боковины тележки; Куа — жесткость надбуксовой ступени подвешивания при колебаниях подпрыгивания одной стороны оси колесной пары; Куг — жесткость рельса при вертикальных колебаниях; — жесткость центральной ступени подвешивания при колебаниях подпрыгивания одной боковины тележки; Kir — жесткость рельса при поперечных колебаниях; К2/ — жесткость центральной ступени подвешивания при колебаниях бокового относа одной боковины тележки; — жесткость надбуксовой ступени подвешивания при колебаниях бокового относа одной стороны оси колесной пары; L — расстояние между центром тяжести тележки и точкой крепления центральной ступени подвешивания; Lj — расстояние между центром тяжести первой тележки и центром тяжести кузова; L2 — расстояние между центром тяжести второй тележки и центром тяжести кузова; Lr — длина рельса; та — масса колесной пары; — масса кузова локомотива; т, — масса рамы тележки; {Qr;,} — обобщенная сила, возникающая при взаимодействии колеса с рельсом; {} — обобщенная сила, возникающая при возмущении от неровностей рельса, а также из-за наличия жесткости, обусловленной силой тяжести; (/?]—матрица взаимодействия колеса н рельса; г0 — радиус обода колеса; 5 (<о) — функция спектральной плотности; [Sz] — спектральная матрица возмущений; [$?[ — вектор спектра выходного сигнала; { IK) — вектор возмущений от неровностей рельса; v — скорость локомотива;
— нагрузка на ось колесной пары; уа — вертикальное перемещение колесной пары; уа — вертикальное перемещение кузова локомотива; у — вертикальное перемещение рамы тележки; га — поперечное перемещение колесной пары; гь — поперечное перемещение кузова локомотива; z* — поперечное перемещение рамы тележки; 0* — угол поворота кузова локомотива при галопировании; 01 — угол поворота рамы тележки при галопировании; — угол поворота колесной пэры при боковой качке; <р& — угол поворота кузова локомотива при
1 По-виднмому, имеется в виду матрица Cs коэффициентов демпфирования. —
— Прим. ред.
7 Зак. 1073	1 93
боковой качке; q/ — угол поворота рамы тележки при боковой качке; ip0 — угол поворота колесной пары при виляиии; if6 — угол поворота кузова локомотива при вилянии; — угол поворота рамы тележки при вилянии.
6.3.2. Уравнения колебаний. Методика составления уравнений колебаний шестиосной динамической модели, представленной в настоящем разделе, является обобщением одной из моделей, рассмотренных в разделе 5.6 для трехосной тележки. Обобщенные перемещения системы шестиосного локомотива задаются в матричных обозначениях для кузова локомотива, для рам тележек н колесных пар соответственно, в системе координат, определенной на рис. 6.4, при числе степеней свободы, данные для которых представлены в табл. 6.2. Указанные матричные обозначения имеют следующий вид:
{Ufc} = \уь zb <р6 ф6 06]г;	(6.27)
	(6.28)
/=1,2.	
	(6.29)
k = 1, 6,	
где [arg]r — означает транспонирование матрицы.
Перемещения кузова относительно двух тележек задаются формулой
= [ГЛ {U'} - [ТЛ {1?};	(6.30)
1 = 1, 2,
где индекс (Ь — tj) означает перемещение кузова относительно /-й рамы тележки. Векторы {U^ и {U2} представляют собой относительные деформации в направлении осей х, у и z рессор между кузовом локомотива и первой (ведущей) тележкой, а также между кузовом локомотива и второй (замыкающей) тележкой. Эти векторы записываются следующим образом:
{Ц} = [UxiRUuiRU]RlJxiLlJyiLlJziL}T}	(6.31)
/ = 1,2.
Матрицы переноса [7'^1 и [77] в формуле (6.30) для ведущей и замы-
кающей тележек имеют	следующий вид:
	“ООО У2 л2
	10 — Ь2	0	± Lj
[7-*] =	0	1	— h2	Т L} 0	(g 32) 0	0	0	— b2	h2
	10 b2 0	-I- 7.J
	_0 1 — h2 т Lj 0 _
	/=1,2.
194
0	0	0	b2	— th
1	0	— Ьг	0	± Lj
0	1	/г,	ТА./	0
0	0	0	—ь2	— ht
1	0	Ь2	0	± Lj
0	1	hi	т Li	0
i = 1,2.
(6.33)
В формулах (6.32) и (6.33) верхний индекс используется для обозначения ведущей тележки (/ = 1), в то время как нижний индекс соответствует замыкающей тележке (/ = 2). Аналогично перемещение рамы тележки отосительно fe-й колесной пары задается в виде:
при / — 1 А = 1, 2, 3;
при / = 2 fe = 4, 5, 6.	(6.34)
Вектор {Uft} представляет относительное перемещение в направлении осей х, у, z элементов надбуксовой ступени системы рессорного подвешивания для правой и левой боковин тележек и для одной рамы задается равенством (5.95). Матрицы переноса [7'а] и [7'“] в равенстве (6.34) определяются по формуле (5.95а). Расстояния ah (k = 1,6) в формуле (5.95а) обозначены на рис. 6.6. Векторы относительно смещения {U£}, матрица переноса [7VJ, а также вектор {UJ}, представляющий собой возмущающее перемещение рельса для k-й колесной пары, определяются по формулам (5.96), (5.97а) и (5.98).
Кинетическая энергия системы задается в виде
(6.35)
где [АР], [Л4р и [М^] являются диагональными матрицами кузова вагона, рам тележек и колесных пар соответственно. Оии имеют вид
|Л4Ь] =
Мь О
О 1Ь
(6.36)
7*
195
и 1Л4<] (для /-Й тележки) и [Л1£1 определяются по формулам (5.99а) и (5.996) соответственно. Потенциальная энергия Ер системы в целом определяется выражением вида:
" 2	6	_	_
2	v {Uh}r[^]{UJ +
_/=1	* = 1
2 <^}члг] {U}
(6.37)
где IKJ, [/С*] и [^rl являются диагональными матрицами жесткости для центральной ступени системы рессорного подвешивания, надбуксовой ступени рессорного подвешивания, а также для конструкции пути соответственно. Эти выражения определяются по формулам (5.100а) — (5.100в) в разделе 5.6.
Аналогично диссипативная энергия ED системы в целом записывается в виде:
р __ 1
 2	6	_	_
2 {Ц}Г[С81 {и;}+ 2 {14}	{Uh} т
./=1	4=1
(6.38)
где [Cs], [С*1 и [Сг] являются диагональными демпфирующими матрицами центральной ступени системы рессорного подвешивания, надбуксовой ступени рессорного подвешивания, а также конструкции пути соответственно. Эти матрицы определяются по формулам (5.101а) — (5.101b).
Потенциальную энергию Ер для всей системы в целом через обобщенные перемещения можно записать следующим образом:
ер = [{ЦГ1ЛГ [A'j [ТП {Ц)—{и6}7' [7^ [Aj [Tj {ио-
- {Ц и [Т‘Г ikj [T?i {и6}+ ( и<у [TY 1Л1 {и&}]+ + -у [{UH [ПИ Ш in j {U'}-{uy ЩИ [aj [T'j {Ц}-
3
-(Ц}ЧЛИ[^[П1{и61 + i г 3
+ {iPnWJiW)! 2 1№!7’[TY[<][T‘ii(u;0-Lfc-1
-{UY [7l]r [tf*] [T’-I {U£} - {UY [7Y [Ар] [П] {U{} +
+ {UY [П] {UY
2 M7W[4][7’oi№J-
_й = 4
2
196
- {ЦН {П}'1^1 [Hl {U}-{U£}T [TO]7' | Kp 11 Tak\(Щ}+ +{UY 1ПГ Ю [ПШ'}} +
V {{uYiQ{u'4~
2
{U Y [TT [tfr] {UJ}-{UY [*r] [ТИ { Y) +{и£}Чткжгки*}} 
(6.39)
Аналогично для всей системы через обобщенные перемещения можно записать выражение для диссипативной энергии ED:
fD=Y'{(J‘}r[r*r[Cs,[7'*K(j’}“{,jb}[7'‘f
—{СЛ}т [?пг [Q Щ] {I?}+{й Y [?•»]icj[Г,| {и6}| 4
-ь 4" i^Y (ПК IQ [T'J {14}-{UT [ПИ [CJ [T'l {i4}-
-{i/2f [ПИ [Cj mi {ub} -r {CY mv [CJ [Tn {u6}] 4-
2 «й*}г [7T KI [T“] {U}-{uY [ПГ kb| [T«] {0^}-
[TV |с*| [П] {I/,}+ {(Д}т[ПГIc*| |П| {u',}}1 +
2
_1_ 2
2 {№)TГ°1Г IcpI lT“]{Ug}—{UYYY[C‘] [T«|{U^} _{uY[TaH [c‘| [n[{uh+{i4f [ПГ [с,] In] {i^)}l 4
2
2 {{uY [Q {U}-{UYl^r [Q {U}-
J- 1
-(uY(Q[Tq{u:}4-{u“Y[TYicr][n]{u^}} .	(6.40)
С помощью вектора обобщенных перемещений
{q} = [{UV {Ц)чи7}ЧЦИ	{ЦИ {UY {uy {Ц}TI;
для системы в целом с использованием уравнения Лагранжа
JE4 дЕп ^Еп
+	+	=	(6.41)
dq dq
d dZ
dq
197
для всех обобщенных координат можно записать уравнение колебаний системы в виде
[All {q} + [С'[ {q} + K'l {q} = {Qr} + {QCP}, (6.42)
где [Ml, [/<'] и [О'] являются квадратными матрицами размером 39 X 39 и представляют собой матрицы масс, жесткости и демпфирования системы соответственно. Ненулевые элементы (или подматрицы) в матрице жесткости приведены в табл. 6.3.
Таблица 6.3. Матрицы жесткости
Подматрицы	Размер подматриц	Элементы
[к;..]	5x5	[Т?]7’ [Ks] [Т?1 + [т$]г [К,] [т£]
	5x5	— [т*Г [К,] [т?1
	5X5	— [Tj]r[K,][Tj]
[к;, .1	5x5	[к;.2]г
	5x5	3 [Т']г [К.,] [Т’Ц + l^l^lKp] [П] А=1
	5x4	— [т?]г [KAJ га1
[Kj. б]	5x4	—[тшк;] [та]
[Ki , el	5x4	—[T?]7’[KpJ[T°)
[Кз,.1	5x5	[^;.зГ
[K3..I	5x5	[T^riKsi [т']+е га’хлп] *=4
[Кз,?)	5X4	—[т?1г[я$ [та]
[Кз.и!	5x4	—[П][Кр1[та]
198
Окончание табл. 6.3
Подматрицы	Размер подматриц	Элементы
1*3.И	5X4 ♦	— [7“|г[Кр1 [7а]
[к;,з]	4x5	[к;.41г
	4x4	fY [кЖа1+[ПГ [Krir'i
[*М1	4x5	К/
[Kj . б]	4X4	[Тв)г [Кр1 [Т“1 + [ТУ [Д>| [7'г]
гк;,2]	4x5	[Ki,elr
1^в, «1	4X4	(Пг	[Т'Ч+ГТ']7' [Кг] [Г]
(К; , з]	4x5	
1^,7]	4x4	[TYtKp] (Т“] + [Г-|Г [Кг] [Г]
(К8,з1	4x5	[Ki.ef
(Ki ,з1	4x4	(TY iKphn + lT'-]7’[Кг] (Г]
к;.з]	4X5	[КЫГ
(Ki. ,1	4x4	(Га]г[Кр1 [7’al + !7’Y(^] [Г-]
Ненулевые элементы демпфирующей матрицы [С ] подобны ненулевым элементам матрицы жесткости [/<'], которые приведены в табл. 6.3. Векторы {Qr} и {Qcp} представляют собой обобщенные силы, возникающие из-за возмущений, вносимых неровностями рельсов, а также силы, связанные с поперечной жесткостью, обусловленной силой тяжести и взаимодействия колеса с рельсом соответственно. В следующем разде-
199
Рис. 6.5. Возмущения, вносимые вертикальным профилем рельсов: -----— левый рельс:------правый рельс
Рис. 6.6. Взаимное положение колесных пар:
/, 2 — вторая и первая тележки
ле будет показано, что с помощью преобразования вектора {Qcp} и переноса его в левую часть уравнения (6.42) уравнение колебаний можно будет записать в следующем матричном виде:
(q) +[С1 (q) -НЯ1 {q} {R>.	(6-43)
6.3.3. Возмущающие факторы и метод решения. Динамическая реакция локомотива сильно зависит от профилей рельсов как в вертикальном, так и в поперечном направлениях. Возбуждение колебаний происходит в основном из-за периодически повторяющихся неровностей пути, таких, как просадка стыков рельсов.
Геометрия вертикального профиля рельсов при расположении стыков в полушахматном порядке представляется набором положительных ветвей волн синусоид, приведенных на рис. 6.5, которые были введены в разделе 5.6. Принимается, что этим семейством описываются возмущения, вносимые вертикальным профилем рельса. Неровности пути в поперечном направлении моделируются с помощью непрерывной синусоиды.
Вертикальное возмущение на правом и левом колесах k-й колесной пары вычисляется с помощью формул (5.108) и (5.1096) соответственно, причем в этих формулах параметры и xt определяются следующим образом:
h = 0;
ti = Xi/v;	i = 2, 3,..., 6;
xi = al~аь	i = 2,3;	(6.44)
x, = Lj4-L2+ai—aj. / = 4,5,6,
200
где геометрический смысл х2, х3,..., хе следует из рис. 6.6. Аналогично поперечное возмущение на правом и левом колесах fe-й колесной пары дается формулами (5.110) и (5.110а) соответственно (рис. 6.7). Обобщенные силы, действующие на /г-ю ось и обусловленные возмущениями, вносимыми вертикальным и поперечным профилями рельса, и воспринимаемые колесами, рассчитываются с помощью формулы (5.111).
Вектор полной обобщенной силы определяется по следующей формуле:
{QJ=[{0}, {0}, (0), да, да, да, {Q*}, да, даг, (6.45) в которой {0} является вектором размером 5x1.
С помощью линейной теории крипа при условии коничности колес были получены выражения для обобщенных сил, действующих между колесом и рельсом. Эти выражения даются формулами (5.113) — (5.1136).
В итоге вектор полной обобщенной силы, вызванной взаимодействием колеса и рельса, определяется выражением
{<Ы= 1{0}. {0}, {0}, {Qc1P}{Qc2P}{Qc3P}{QcP}{Qcp}{QcP}l7', (6.46)
в котором {0} является вектором размером 5x1.
Подставляя выражение (5.113) в уравнение (6.42), можно следующим образом переписать уравнения колебаний в обобщенной системе перемещений:
IМ1 {q}4 [C]{q} + 1А]{q}-{Qr}+ {QU- W, (6.47)
где
{QWr} = [{0},{0},{0}, {QU{QU{QU{QLr}{QU{QUH; (6.48)
{Q*U - ~{KgItTYfU} 1,2,..., 6.	(6.49)
Решение уравнения (6.47) реализовано в математической программе на ЭВМ [31.
Для построения графика динамической реакции локомотива на заданное возмущение профиля рельса применяется 9-схема численного интегрирования Вильсона. Вычисляются перемещения, скорости и ускорения отдельных масс локомотива, а также силы, возникающие
Рис. 6.7. Возмущения, вносимые поперечным профилем рельсов:
{ -- правый рельс; 2 - левый рельс
201
в элементах системы рессорного подвешивания при относительном перемещении рессор и демпферов.
Для изучения влияния параметра системы рессорного подвешивания на динамические характеристики локомотива выбирается типичный шестиосный локомотив. Параметр жесткости т] определяется отношением вертикальной жесткости симметричной центральной ступени рессорного подвешивания, приходящейся на одну группу (правую или левую) вагонных тележек, к вертикальной жесткости симметричной надбуксовой ступени рессорного подвешивания, приходящейся на одну (левую или правую) группу вагонных тележек. Параметры локомотива приведены в работе [31. Жесткость надбуксовой ступени рессорного подвешивания фиксировалась, а жесткость центральной ступени рессорного подвешивания менялась для получения приведенной реакции локомотива сообразно с характеристиками, подлежащими исследованию. Проводилось моделирование при малых и больших эксплуатационных скоростях, т. е. для скорости 29 и 129 км/ч как для вертикальных, так и поперечных возмущений, вносимых неровностями пути. Рассматривались три типа профилей колес, имеющих значения коничности 1/40; 1/20 и 1/10.
В качестве факторов возмущения взяты функции, соответствующие второму и пятому классам пути Федерального Управления железных дорог США, описанным в главе 3. На рис. 6.8 показано, как влияют изменения параметра жесткости на значение приведенного поворота кузова локомотива, вызванного неровностью 25,4 мм вертикального профиля рельса. Виляние, а также галопирование кузова локомотива, вызванные совместными или раздельными вертикальными и поперечными неровностями пути при больших скоростях, значительно увеличиваются. Вследствие этого при малом значении параметра жесткости переход от участка пути с вертикальными неровностями малой амплитуды к участку с неровностями большой амплитуды может вызвать значительные изменения в боковой качке, галопировании и вилянии. Можно также пронаблюдать параллельно за характером поведения кузова локомотива при галопировании и вилянии. Динамическая модель колебаний локомотива может служить в качестве полезного средства для оценки характеристик системы рессорного подвешивания и их влияния на динамические характеристики локомотива. Как показывают результаты параметрического исследования, приведенные в работе 13], для обеспечения удовлетворительных значений динамических характеристик можно получить оптимальное значение параметра жесткости.
6.3.4. Реакция на случайные возмущения, вызванные неровностями пути. В этом разделе рассматривается математическая модель для исследования динамической реакции шестиосного локомотива, движущегося по прямолинейному участку пути, с помощью метода спектрального анализа [4]. Снова будет рассмотрена модель локомотива с 39 степенями свободы, данные о которых приведены в табл. 6.2. Возбуждение колебаний создается с помощью случайных возмущений, 202
вызванных неровностями вертикального и поперечного профилей. Уравнения колебаний, описывающие динамическое поведение модели, заданы. Для исследования вертикальной и поперечной динамики локомотива применяются методы спектрального анализа.
Уравнения колебаний в обобщенной системе (6.47) могут быть записаны в виде
[М] {q}+ [С| {q} Н-[Л] {q} = [₽] {Ur},	(6.50)
где {Ur} представляет собой возмущение, вносимое неровностями рельса, [/?] — матрица размером 39 X 39, представляющая силы взаимодействия колеса и рельса. Матрица выражается в следующем виде:

[0] [0] 1 .[0] [/?„]]’
г,s= 1,2,..., 24.
(6.5!)
Относительно неровностей пути здесь сделан ряд допущений, основанных на проведенных ранее экспериментальных работах. Сюда относятся следующие допущения.
Рис. 6.8. Семейство кривых по параметру Л зависимости приведенных углов поворота ф при различных колебаниях кузова локомотива от параметра жесткости г) при скорости 29 км/ч и возмущении, вызванном неровностью с амплитудой 25,4 мм вертикального профиля рельса:
 —боковая качка кузова локомотива; А —виляиие кузова локомотива; ф — галопирование кузова локомотива; X — эффективная коничность
203
1.	Считается, что все рассматриваемые неровности носят характер стационарных случайных процессов с нулевой средней.
2.	Принимается, что амплитуда плотности вероятности неровностей является гауссовой.
3.	Спектральные плотности определяются на диапазоне длин волн от 3 до 30 м.
4.	Взаимные корреляции между любыми парами вертикальных и поперечных неровностей равны нулю.
Поскольку вертикальные и поперечные перемещения железнодорожного пути в модели рассматриваются в качестве возмущений системы, спектральные плотности, а также взаимные спектральные плотности должны быть вычислены для всех возмущений. Вектор
	0		
	0 Ur и 16	; г=1,2,...,24	(6.52)
является обобщенным вектором возмущений, его компоненты Ur2k и ^2*+i представляют собой вертикальные и поперечные возмущения соответственно. Спектральная временная плотность может быть выражена в частотно-временной области с помощью спектра вертикального и поперечного профилей.
Спектральная матрица возмущений определяется как [S' (со)], где элемент ST (со) обозначает взаимную спектральную плотность между возмущениями UT. и Wj при / =/= i и спектральную плотность для возмущений Ur( и LK при i = /. Поэтому
S//(co) = O при I, j — 1,2,..., 15.	(6.53)
Так как между вертикальными и поперечными возмущениями отсутствует какая-либо корреляция, то
S'2k,2k+i(u) = 0.	(6.54)
Спектральные характеристики вертикальных и поперечных возмущений можно выразить следующим образом:
Sih, 2k (®) — Srl (ю) = SC2 (ю);
<$2*+ 1,2*-+-1 (®) = S/.1 (со) = SL2 (со).	(6.55)
Применительно к вертикальным возмущениям из двух возмущений и Ur., относящихся к одному и тому же рельсу, возмущение Ur. отстает по времени от возмущения Urt на (xj — Xt)/v, где хг — продольное расстояние от r-й оси до ведущей оси (рис. 6.9).
204
Для взаимного спектра вертикальных возмущений, относящихся к одному и тому же рельсу, существует элементарное соотношение вида
S’j (со) = Sri e~ie> (Xj—Xt)lv. (6.56)
Аналогично для вертикальных возмущений LK и (7<, соответствующих различным рельсам, существует зависимость вида:
S'tj (со) = 5г12 (ху—х;)/у, (6.57)
Рис. 6.9. Возмущения, вносимые
где Зс]2 - означает взаимную спект- неровностями железнодорожно-ТТ n^TOOCTL пттгг nnv V DnriTTiiznnt	ГО Пути
ральиую плотность для двух вертикаль-
ных профилей рельсов.
Аналогичные соотношения имеют место и для поперечных возмущений железнодорожного пути, а именно:
„/ . _ f Sli е-i's> (Xj— хг)/и для i, j на одном и том же рельсе (6.58) ^t/	— <
I Sz.12 е~‘и (х,- — Xj)/y для i, / на различных рельсах. (6.59)
Таким образом [ЗЛ имеет вид:
[3'] =
(6.60)
и является эрмитовой матрицей, вычисленной при угловой частоте появления возмущений со.
Пусть Нц (со) определяется как комплексная амплитудно-частотная функция для выходного сигнала с/г. Сигнал qt возникает при возмущении системы с помощью перемещения, которое меняется по периодическому закону с единичной амплитудой. Указанное перемещение соответствует возмущению Ur. при всех остальных фиксированных возмущениях. Тогда можно записать следующее равенство относительно амплитудно-частотной функции.
[Н(со)] = [[0]: [tfift]]; i=l,2,...,39, &=16, 17,..., 39.	(6.61)
[Н (со)] является комплексной матрицей размером 39 X 39, вычисленной при угловой частоте появления неровностей со, такой, что Hir (со) = 0 при г = 1, 2,..., 15.
• Характеристика спектральной плотности для qt может быть выражена через спектральные плотности входного сигнала, обусловленного перемещением колеса, в виде
39 39 _____
S? (со) = У Н" И (“)	(“)>
(6.62)
где H(j означает комплексно-сопряженную функцию, a Srs = Sr.
205
Равенство (6.62) можно переписать следующим образом:
3? = {ёг}[Я][3'][/7Г {ёг)г,	(6.63)
где {ег} — единичный вектор — строка, a [S7] определяется по формуле (6.60). Если переписать равенство (6.63) в виде
где [Q] = [77][S'][//r,
то можно заметить, что спектральный вектор {S’} для выходного сигнала является диагональю матрицы [Q], т. е.
{Sn = {Qu} = diag[Q],
(6.64)
Для вычисления 39 комплексных амплитудно-частотных функций, обусловленных /-входным сигналом, введем вектор {НСД для обозначения /-го столбца матрицы [Я] в следующем виде:
	{№/} =	^ ... Ы	Ю 1— S.	*-*-**•	= [Я][е/Г.	(6.65)
Подставляя				
	{1?} = е		£и({ё/}7’,	
	{Ч>	= е<ис{н<7},		
{q} и {q} в уравнение (6.50), получим
([К] — ш2 [MJ+ (со [С]) {№>} == [«]
или
{Ж/} = ([Л]—CD2 [М] + (со [С])-1 [К] {ё/}Д	(6.66)
Теперь с помощью формулы (6.65) получим:
[Я] - ([/<]—со2 [Л4] 4- (со [С])-1 [/?];
Hi} — 0 при / — 1, 2,..., 15.	(6.67)
Спектральные плотности процессов получаются с помощью дифференцирования qt с использованием автокорреляционной функции. Можно показать, что
Sqt (со) = со2 Sqt (со),	(6.68)
а для спектральной плотности ускорения имеет место
Sqt (со)со4 Sqt (со).	(6.69)
206
В работе [41 приводится алгоритм расчета на ЭВМ реакции системы на случайное возмущение наряду с конкретными параметрами локомотива.
Математическое моделирование было проведено для частотного диапазона 0,1—35 Гц при эксплуатационной скорости 129 км/ч. При моделировании для описания большей части деталей амплитудно-частотного спектра был использован шаг по частоте Aw = 0,4 рад/с.
С помощью графиков плотности силового спектра, построенных в логарифмическом масштабе по двум координатам, было получено среднеквадратическое значение сигнала, распределенного по диапазону положительных частот.
В работе [41 были получены плотности силового спектра для перемещений, скоростей и ускорений, соответствующих нескольким степеням свободы.
Для рассматриваемой степени свободы главные пики спектра перемещений приходились на собственную частоту. Например, главный пик спектра вертикальных перемещений кузова локомотива, показанный на рис. 6.10, приходится на частоту 1,58 Гц. Это означает, что для данной степени свободы собственная частота равна 1,58 Гц. При испытаниях кузова на подпрыгивание собственная частота находилась в диапазоне от 1,5 до 1,6 Гц. Анализ графика показывает, что в окрестности частотного диапазона ниже 4 Гц происходит сгущение спектра, поэтому основной вклад в среднеквадратическое значение подпрыгивания кузова обусловлен этими низкими частотами. Такой вывод согла-
Рис. 6.10. Зависимость спектральной плотности 3 от частоты f:
------ — для колебаний бокового относа второй тележки; --------— для ко-
лебаний бокового относа первой оси;--------— для
колебаний подпрыгивания первой оси; — — ------для
колебаний подпрыгивания кузова локомотива
207
Таблица 6.4. Сравнение результатов расчета частоты, полученных с помощью линейной модели, с частотой, полученной при испытаниях
Собственная частота, Гц
Виды степеней свободы	Модель	Испытания
Боковой относ кузова локомотива	0,5	0,5
Подпрыгивание кузова локомотива	1,58	1,5—1,6
Боковая качка кузова локомотива	0,6	0,9
Галопирование кузова локомотива	1,2	1,62—1,7
суется с результатами испытаний, представленными г- работе [5]. Эти испытания показали, что вертикальные колебания кузова весьма чувствительны к возбуждению на низких частотах. В табл. 6.4 [41 проводится сравнение результатов расчета частоты с помощью линейной модели с частотами, полученными при испытаниях.
С помощью интегрирования спектра по диапазону положительных частот можно получить оценку общего среднеквадратического отклонения для случайного процесса. В работе [41 приведены также среднеквадратические значения перемещений, скоростей и ускорений для различных степеней свободы.
6.3.5. Нелинейная модель шестиосного локомотива1. В данном разделе рассматривается нелинейная модель вынужденных колебаний шестиосного локомотива при движении по прямолинейному участку пути с 29 степенями свободы. Модель состоит из кузова локомотива, двух шкворневых балок, двух тележек, шести колесных пар и соответствующих элементов системы рессорного подвешивания, показанных на рис. 6.4. Принимается, что система обладает 29 степенями свободы. Кузов локомотива и каждая тележка имеют по пять степеней свободы: боковой относ, подпрыгивание, виляние, боковая качка и галопирование. Принимается, что шкворневая балка движется с кузовом локомотива в каждом направлении и совершает соответствующие колебания, кроме виляния. Каждая ось имеет две степени свободы: виляние и боковой отиос. Поскольку оси отслеживают форму пути, подпрыгивание и боковую качку каждой оси можно определить на основе геометрических связей системы «колесо — рельс», а также исходя из различных неровностей пути.
При моделировании вынужденных колебаний локомотива рассмотрены следующие виды нелинейных факторов:
1) геометрические нелинейности контактирующих поверхностей колеса и рельса; 2) нелинейности системы рессорного подвешивания; 3) силы взаимодействия колеса и рельса; 4) гибкость рельса.
1 См. работу [6].
208
6.3.5.1.	Геометрические нелинейности контактирующих поверхностей колеса и рельса. Многими исследователями было показано, что при изучении динамики железнодорожных экипажей геометрические нелинейности системы «колесо — рельс» имеют весьма важное значение. Как показывают нелинейные уравнения колесной пары, выведенные в разделе 5.4.6, с системой «колесо — рельс» связаны следующие параметры: радиусы качения левого и правого колес rL, углы наклона поверхности катания головки рельса в точках опоры левого и правого колес 6/., Ьщ угол боковой качки ср; вертикальное перемещение центра тяжести колесной пары г. Судя по рис. 5.14, эти параметры являются существенно нелинейными функциями отклонений колесной пары. Они учитываются при составлении уравнений колебаний.
6.3.5.2.	Нелинейности системы рессорного /юдвешивания. В состав модели локомотива входят нелинейные элементы как надбуксовой ступени рессорного подвешивания, так и центральной ступени рессорного подвешивания. В продольном направлении надбуксовая ступень рессорного подвешивания моделируется частично с помощью пружины с жесткой линейной характеристикой восстанавливающей силы при наличии параллельно действующего линейного вязкого демпфера на концах каждой оси, образуя в совокупности 12 комплектов рессорного подвешивания. В поперечном направлении надбуксовая ступень рессорного подвешивания моделируется частично пружиной с жесткой линейной характеристикой восстанавливающей силы при наличии параллельно действующего линейного вязкого демпфера по одному на каждую ось, образуя в совокупности шесть комплектов рессорного подвешивания. В вертикальном направлении надбуксовая ступень рессорного подвешивания моделируется с помощью пружины с линейной упругой характеристикой при параллельно действующем линейном вязком демпфере на концах каждой оси, образуя в совокупности 12 комплектов рессорного подвешивания. В модели между шкворневыми балками и рамой тележки имеются резиновые прокладки, поэтому шкворневые балки могут двигаться в каждом направлении по отношению рамы тележки. В продольном и поперечном направлениях система рессорного подвешивания между шкворневой балкой и рамой тележки моделируется пружинами с линейными упругими характеристиками с упорами при наличии параллельно действующих линейных демпферов, образуя в совокупности два комплекта на одну тележку. В вертикальном направлении система рессорного подвешивания моделируется пружиной с линейной упругой характеристикой при параллельно действующем линейном демпфере, образуя в совокупности четыре комплекта на одну тележку.
Поведение системы подрессоривания шкворневой балки и кузова локомотива при колебаниях виляния моделируется с помощью ограничителя с характеристикой зависимости силы от перемещения, показанной на рис. 5.9. Линейный участок зависимости включен для того, чтобы моделировать вязкие эффекты взаимодействия кузова локомотива и шкворневой балки.
209
6.3.5.3.	Сила взаимодействия колеса и рельса. Для вычисления сил взаимодействия колеса и рельса используются дедуктивная нелинейная модель, описанная в разделе 4.6.7, и величины крипов, представленные формулами (5.42) и (5.43).
Коэффициенты крипа fxl, f12, fi2 и f 33 являются функциями нормальных нагрузок на контактной поверхности колеса и рельса. В связи с наличием эффектов нагружения и разгрузки, обусловленных неровностями рельса, коэффициенты крипа меняются. Этот эффект был учтен в расчете по определению сил крипа с помощью вычисления нормальных сил на контактной поверхности колеса и рельса и соответствующей корректировки коэффициентов крипа в следующем виде:
fii = fii [N/Af0)2/3; f12 = f°\2[N/N0 ];
f22=\°22[N/Nn]^b f33 = ^3[AWol2/3,	(6-70)
где — коэффициенты крипа, соответствующие номинальной нагрузке /Уо; N — нагрузка, действующая в данный момент.
6.3.5.4.	Гибкость рельса. В случае взаимодействия гребня колеса с головкой рельса поперечные нагрузки, действующие на рельс, вызывают поперечный прогиб рельса. В данном исследовании для учета прогиба рельса в поперечном направлении используется элементарная модель прогиба рельса. Рельс моделируется пружиной с линейной характеристикой при значении коэффициента жесткости пружины в поперечном направлении, равном Влияние этой пружины учитывается при составлении уравнения вынужденных колебаний бокового относа колесной пары.
Геометрические параметры системы «колесо — рельс», входящие в уравнение колебаний, зависят от отклонения колесной пары. Эта зависимость видоизменяется для различных значений параметра Кг
Рис. 6.11. Влияние жесткости рельса в поперечном направлении на зависимость приведенной разности фактических радиусов Лл по кругу катания новых левого и правого колес по новым рельсам от поперечного перемещения' колесной пары б:
1 — Кг- 10.5 МН/м; 2- Кг--17,5 МН/м; 3 — Кг-=21 МН/м; 4 — Кг-2» МН/м;
5 - Кг-» [6]
210
жесткости рельса. В частности, на рис. 6.11 показан характер этих видоизменений для зависимости приведенной разности радиусов по кругу катания новых левого и правого колес по новым рельсам от отклонения колесной пары. Судя по рисунку, как и следовало ожидать, из-за гибкости рельса колесная ось может сильно смещаться в поперечном направлении, стремясь занять положение, соответствующее одной и той же коничности эффективной контактной поверхности.
В вертикальном направлении каждый рельс моделируется двумя пружинами с линейными характеристиками. Характер колебаний подпрыгивания оси колесной пары также видоизменяется в зависимости от вертикального прогиба рельсов.
Уравнения колебаний были получены с помощью закона Ньютона. Полученные на этой основе 29 нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка записываются в следующей матричной форме:
|M]{x} = /[{x},{x},{u},{u}],	(6.71)
где [Л4]—матрица масс размером 29x29; {х}— вектор перемещений размером 29x1, {и} — вектор возмущений; {х} и {и} — первые производные от векторов х и и соответственно.
Если положить
{у}г=[{х} {х}Г,	(6.72)
то уравнения (6.71) преобразуются в 58 нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, т. е.
{У) = £[{У} {У}{и}{и}1-	(6.73)
Полученные уравнения решаются численно с помощью метода Рунге-Кутта на ЭВМ [6].
Моделирование динамики типичных локомотивов приведено в работах [61 и [7].
6.4.	МОДЕЛЬ ВЫНУЖДЕННЫХ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПАССАЖИРСКОГО ВАГОНА
В данном разделе будет рассмотрена линейная модель пассажирского вагона, обладающая 15 степенями свободы. Эта модель, показанная на рис. 6.12, используется для исследования вынужденных поперечных колебаний на прямолинейном участке, возбужденных случайными поперечными неровностями пути, а также неровностями, связанными с взаимным возвышением одной рельсовой нити по отношению к другой.
Степени свободы данной модели приведены в табл. 6.5.
211
Таблица 6.5. Функции степеней свободы, описывающей модель пассажирского вагона при вынужденных поперечных колебаниях
Составные части пассажирского вагона	Виды колебаний		
	Боковой относ	Боковая качка	Виляние
Ведущая колесная пара передней те-	Ую1	—	Фш1
лежки Ведомая колесная пара передней те-		—	'Г UJ2
лежки Ведущая колесная пара задней те-	УюЗ	—	Фшз
лежки Ведомая колесная пара задней тележ-	У Uli	—	Фш4
ки Рама передней тележки	Ун	—	Ф(1
Рама задней тележки	У12	—	Ф(2
Кузов вагона	Ус	фс	Фс
Представленная здесь процедура одинаково применима как к об-моторенным пассажирским вагонам, так и к обычным пассажирским вагонам.
Принимается, что колесные пдры экипажа идеально отслеживают рельсовый путь в вертикальном направлении; угол поворота при коле-
Рис. 6.12. Модель пассажирского железнодорожного вагона с 15 степенями свободы:
а — план; б\— вид сбоку; в — вид сзади [8] 212
баниях боковой качки задается с помощью возмущения, вносимого взаимным возвышением одного рельса над другим. Боковой качкой тележки в качестве степени свободы пренебрегают. Угол поворота при боковой качке вместо этого вычисляют как среднее значение мгновенных углов поворота колесных пар при боковой качке. Силы крипа, возникающие при взаимодействии колеса и рельса, вычисляются с помощью линейной теории крипа Колкера (см. раздел 4.6.4). Методикой исследования предусмотрен учет гироскопических сил, а также влияние поворотного крипа. Представлены уравнения колебаний экипажа, содержащие в правой части члены, которыми описываются возмущения, вызванные неровностями пути. Далее исследуются вынужденные поперечные колебания вагона, вызванные характерными неправильностями рихтовки пути и неровностями пути, обусловленными взаимным возвышением рельсовых нитей. Предложенная модель полезна для расчета ускорений купе пассажирского вагона, деформаций элементов системы рессорного подвешивания, а также отклонений колесных пар, обусловленных возмущениями, которые вызваны неровностями пути в поперечном направлении и нарушениями взаимного возвышения рельсовых нитей.
6.4.1.	Обозначения. При составлении модели пассажирского вагона с 15 степенями свободы использовались приводимые ниже обозначения (см. рис. 6.12).
2а — расстояние между точками контакта левого и правого колес колесной пары с рельсами; аи — коэффициенты боковой качки колесной пары; 2Ь—база тележки; Срь — коэффициент демпфирования взаимных колебаний виляния демпфера иадбуксовой ступени подвешивания колесных пар; Cps — коэффициент демпфирования взаимных колебаний бокового относа демпфера надбуксовой ступени подвешивания колесных пар; Срх — коэффициент демпфирования колебаний подергивания надбуксовой ступени подвешивания (четыре демпфера на одну тележку); СР11 — коэффициент демпфирования колебаний бокового относа надбуксовой ступени подвешивания (четыре демпфера на одну тележку); Cpz — коэффициент демпфирования колебаний подпрыгивания надбуксовой ступени подвешивания (четыре демпфера на одну тележку); — коэффициент демпфирования колебаний виляния иадбуксовой ступени подвешивания (два демпфера на одну тележку); Csy — коэффициент демпфирования колебаний бокового относа центральной ступени подвешивания (два демпфера на тележку); Csz — коэффициент демпфирования колебаний подпрыгивания центральной ступени подвешивания (два демпфера на тележку); Csq) — коэффициент демпфирования колебаний боковой качки центральной ступени подвешивания (один демпфер на тележку); Cs0 — коэффициент демпфирования колебаний галопирования центральной ступени подвешивания (один демпфер на тележку); — коэффициент демпфирования колебаний виляния центральной ступени подвешивания (один демпфер на тележку); 2dp — пролет между элементами надбуксовой ступени подвешивания (в поперечном направлении); 2ds — пролет между элементами центральной ступени подвешивания (в поперечном направлении); — коэффициент поперечного крипа; fl2—тоже поперечного поворотного крипа; /22—тоже поворотного крипа; fss — тоже продольного крипа; hc;i — расстояние по вертикали от центра тяжести кузова вагона до точки крепления горизонтальных рессор центральной ступени подвешивания; htp — расстояние по вертикали от центра тяжести тележки до точки крепления горизонтальных рессор иадбуксовой ступени подвешивания; hts — расстояние по вертикали от центра тяжести тележки до точки
213
крепления горизонтальных рессор центральной ступени подвешивания; /сж — момент инерции кузова вагона при колебаниях боковой качки; 1су — момент инерции кузова вагона при колебаниях галопирования; 1сг—момент инерции кузова вагона при колебаниях виляния; Itx—момент инерции тележки при колебаниях боковой качки; Ity — момент инерции тележки при колебаниях галопирования; Iwx — момент инерции колесной пары при колебаниях боковой качки; Iwy—момент инерции колесной пары при колебаниях галопирования; — момент инерции колесной пары при колебаниях виляния; КРь — жесткость горизонтальной рессоры надбуксовой ступени подвешивания, расположенной между колесными парами одной тележки при колебаниях виляния; Крх — жесткость горизонтальной рессоры надбуксовой ступени подвешивания при колебаниях подергивания (четыре рессоры на тележку); Кру — жесткость горизонтальной рессоры иадбуксовой ступени подвешивания при колебаниях бокового относа (четыре рессоры на тележку); Kpz — жесткость вертикальной рессоры иадбуксовой ступени подвешивания при колебаниях подпрыгивания тележки (четыре рессоры на тележку); Кру — жесткость рессоры надбуксовой ступени подвешивания при колебаниях виляния (две рессоры на тележку); Ksv — жесткость рессоры центральной ступени подвешивания при колебаниях бокового относа (две рессоры на тележку); Ksz — жесткость рессоры центральной ступени подвешивания при колебаниях подпрыгивания (две рессоры на тележку); Кф — жесткость рессоры центральной ступени подвешивания при колебаниях боковой качки (одна рессора на тележку); Ks$ — жесткость рессоры центральной ступени подвешивания при колебаниях галопирования (одна рессора на тележку);
— жесткость рессоры центральной ступени подвешивания при колебаниях виляния (одна рессора на тележку); /с— общая длина кузова вагона; ls — расстояние между центральными поперечными осями тележек; тс — масса кузова вагона; mt — масса тележки; mw — масса колесной пары; г0 — радиус круга катания колеса; 1ГС — масса кузова вагона; 60 — угол наклона поверхности катания головки рельса в точке опоры колеса при соосном положении колесной пары и пути; А — коэффициент разности углов наклона поверхностей катания головок левого и правого рельсов в точке опоры левого и правого колес колесной пары; А — эффективная коничиость обода колеса.
6.4.2.	Уравнения колебаний и возмущения, облусловленные неровностями пути1. Уравнения колебаний линейной модели пассажирского вагона с 15 степенями свободы при наличии возмущений, которые вызваны неровностями пути в поперечном направлении и нарушениями взаимного возвышения рельсовых нитей, были составлены в работе [8J. Эти уравнения колебаний были выведены с помощью законов Ньютона, причем перемещения определялись в правосторонней системе декартовых координат.
Уравнения колебаний записываются следующим образом.
1.	Уравнение бокового относа ywj, колесной пары (I = 1, / = 1 или 2; i = 2, / = 3 или 4; при / = 1, 2, 3 и 4k = 2, 1, 4 и 3 соответственно)
mwywj = 2[Cpy (yti ±Мрн) + КРу(ун ±Н«)1—
о I /и । /"• 1 CPW Л(Раи ] •
— 2 i „	------------\Уи>;—
о Г 1г 1 1 Д/12 । ЛЧяц + А)	Кру /1(Рац'|
ГР”~ а \~УГ+	2-----------2-----
1 См. работу [8].
214
 v/wgau..-| + 2fii . +
V	ar0 J
1P 11 [Cpy Uwk + Кру Уи>ъ\ r uj-a
(6-74}
2.	Уравнение виляния колесной пары (i = 1, j = 1 или 2;
i = 2, / -- 3 или 4)
j	[ 2^12 vlwy Дц ]	। 2 [ Д^22 „if ]„ .
‘ wz фи? J —	Ум] "т	ПК/зз yWJ
L	о J	I	J
— 2 [— {/22+ °2 fas} 4-Срх dp \ ф,г;—[2 (КРх dp +/12) — aNb0] j 4-
L и	j
4* 2dp [Срж ф//4~ TCpx Ф</] "г U/+4-	(6.75}
3.	Уравнение бокового относа ytj рамы тележки (1 = 1, / = 1, i = 3, j = 2)
mt У1з ~ 2 (2Cpy 4-	У11 2 (2/Cpj, 4- Ksy) Уи dz
± 2/s [Cs7 фе 4~ Ksy фс] 4- 2 (Csy yc + Ksy yc) +
+ 2ftcs (Cay <pe + Ksy <pe) +
^2Cpy — (2Cpy /i(p-|- Csy Л/8)] lywi "j-i/u?(i+i)] +
+ 2/Cpp — — (2Kpyh1p+ Ksy hts)] [ywi + «/„(/+!)] + uj+6. (6.76}
4.	У равнение виляния 4>/7- рамы тележки (i = 1; j = 1; i = 3, j = 2)
7/z ‘Ф/? z~ (^2 Cpx dp) + Cstf]
— [4 (ft2 Kpy 4' d'p Kpx) 4- TCsMj] ЯЛ/ + £"s4>	4- 7Csi|j Tfe +
4~ 2ft [Cpp (ywi f/u>(i+l>) 4“ Кру (Уи>1	Уiv (i+1) }1 +
4~2</p[Cpx^wu+i)}4-7Ср.х{Фи>1 ^w(i+i)}]“г ^;+io-	(6.77}
5.	Уравнение бокового относа yc кузова вагона
тсУ0 =
«и ht, а
(~'sy Ую1 KSy ywi
+ 2CSp (yt2 4- уп—ЪУс — 2ftcs Фс) 4-
+ 2/С5р (1/(2 4- У и — 2i/c — 2Ле« Фс) 4- «13-	(6.78)
215
6.	Уравнение виляния фс кузова вагона
Лг Фе =' —[С (уш1 +yw2 — yw3 — ywi) Д а
4 Ksy (Уин г У w-г Уtvs	(/им)! "Ь 2/s |Cgj, (|/ji yt%)-I' Ksy (Ун (/<2)! +
+ csloi>n-4)(2) i-	4/* ics!Zipe+/c8l,4>c]—
— 2 [Cs-^ фс + /Сфс1 t Нц.	(6.79)
7.	Уравнение боковой качки <pc кузова вагона
Г	/	4	\
(ds CS2~hcshtsCsy)	I	У	ywi I	+
a	I	J
Jcy4>c = -a
/ 4
+ (ds Ksz ^cs hts Ksy) ( Уи>1
+ 2/ics [Csy (ya + 1/12— 2yc) +
“I- K,y (Уп “Ь У)2 2z/c)l 4 [/ics (Csu tpc -j- KSy фс) ~F
+ d2s (Csz <pc + Ksz Фс)1 + hcs Wc <pc + u15.	(6.80)
Уравнения колебаний рам передней и задней тележек и четырех колесных пар идентичны, кроме перемены знака в уравнениях (6.74) и (6.76). Как видно из структуры этих уравнений, в них имеются члены, перед которыми стоят два знака. В уравнении (6.74) верхние знаки перед такими членами используются в уравнении колебаний для передних колесных пар каждой тележки, в то время как нижние знаки применяются для задней колесной пары каждой тележки. В уравнении (6.76) верхний знак используется в уравнении колебаний для рамы передней тележки, в то время как нижний знак соответствует раме задней тележки. В уравнениях (6.74) и (6.75) индекса)/ относится к колесным парам (/ = 1 и 2 для передней и задней колесных пар передней тележки, j =3 и 4 для передней и задней колесных пар задней тележки). В уравнениях (6.76) и (6.77) индекс tj относится к раме передней тележки (/ = 1) или раме задней тележки (/ — 2). Линейные уравнения (6.74) и (6.80) для вынужденных колебаний модели, вызванных возмущениями, которые обусловлены неправильностями рихтовки пути и неровностями пути, связанными с взаимным возвышением рельсовых нитей, можно обобщить в следующем матричном виде:
[М]{у} + [С1{у} + [К1{у} = [Я1 {«}. -	(6-81)
где 1у) — вектор положения размером 15х 1; {и}—вектор возмущений, обусловленных неправильностями рихтовки и неровностями пути, связанными с взаимным возвышением рельсовых нитей (размером 15x1); [М], [С] и [К]—квадратная инерционная матрица, матрица демпфирования и матрица жесткости размером 15x15; [В] — квадратная матрица распределения возмущений размером 15x15.
Обобщение этой модели с учетом конфигураций радиальных тележек достигается с помощью включения членов, учитывающих изгиб-ную жесткость и жесткость на сдвиг связи между колесными парами. 216
Обобщенная модель пассажирского вагона с радиальными тележками подробно рассмотрена в работе [81.
6.4.2.1. Возмущения, обусловленные неровностями пути. К неровностям пути, которые возбуждают колебания бокового относа, относятся неправильности рихтовки пути и неровности взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой. В уравнения колебаний входят следующие члены, учитывающие геометрические характеристики области взаимодействия колеса и рельса: радиус круга катания, угол наклона поверхности катания головки рельса в точке опоры колеса. Кроме этого, в уравнения колебаний входит также угол поворота оси колесной пары при боковой качке. Эти геометрические параметры зависят от разности между поперечным положением колесной пары и поперечным положением рельса. Таким образом неправильности рихтовки иа (/) входят в уравнения колебаний через геометрические характеристики области взаимодействия колеса и рельса.
В вертикальной плоскости принимается допущение, что колесо идеально отслеживает рельсовую нить. Нетрудно показать, что поперечное перемещение центра тяжести колесной пары, обусловленное неровностью взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой (при допущении о малости соответствующих углов), yw = rouc (/)/2а. Это ограниченное движение центра тяжести колесной пары, обусловленное неровностью взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой, связано с необходимостью преодоления как инерционной силы [т,v rouc (t)/2a], так и силы сопротивления, возникающей в элементах надбуксовой ступени рессорного подвешивания, где ис (t) — вторая производная по времени функции ис (/) возмущения, обусловленной неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой.
Неровности пути также учитываются в уравнениях колебаний посредством аппроксимации боковой качки тележки. Вместо включения боковой качки тележки в качестве степени свободы принимается, что угол поворота тележки при боковой качке равен мгновенному среднему значению углов поворота при боковой качке колесных пар, находящихся под тележкой, т. е.
1г
==-—[<₽«! + ф(г21-
Угол поворота при боковой качке любой колесной пары можно представить следующим образом:
Ф«, = (ап/а) [уц; — иа (/)] + [ис (t)/2a].
Следовательно, угол поворота при боковой качке любой тележки зависит от возмущений, обусловленных неправильностью рихтовки пути и неровностью взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой. Угол поворота при боковой качке тележки влияет на прогибы упругих элементов как надбуксовой ступени, так и центральной ступени рессорного подвешивания. Возмущения, обусловленные неправиль
217
ностью рихтовки пути — и15 в уравнениях (6.74) — (6.80), задаются в следующем виде:
z Uj — Аиа (/) + Виа (Zj) Сиа (t) + Dua (ti)', u2 = Aua (/j) + Bua (t) + Cua (Q + Dua (t); u3 = Aua (t2) + Bua (t3) + Cua (t2) + Dua (t3); Ui = Au (t3) -\-Bua (t2) + Cua (t3) + Dua (t2);
u3 = Eua (t) + Fua (0;
ue = Eua (^ + Fua (ZJ; u7 = £ua (t2) + Fua (/2); us = Eua (t3) + Ftia (t3);
Щ> =-' G [ua (t) + ua (/,)] + H [ua (t) + ua (/,)]; «io = G [ua (t2) + ua (/3)] + H [u„ (t2) + ua (Z3)l; Z/ц = Uj2 — o,
(6.82)
[(	3	)	/	3
C*y 4a (0 + 2 “« Vi) +	J “°	+ 2 “a
I	i = t	j ( i = t
+ Ksy
3
«а(0 + “а(Л) —2 “a^ i =2
+ <dl Ksz—hts hes Ksy) {uu (0 4- 2 ua (^i)j .
где Л =	Cp„/i(pl; В --------.
a L v	J	a
P___2 Г N (йц -!- A) __ /12 A____Epy hip atl _ jj______ Kpy hip an
a [	2	r„	2	a
g _ 2au Г f12ro ц Iwrv 1. p ______________2 Г f22	1
a [ v rB J’	r0 ( a	]’
218
G = ^~ [2Cpy htP + Csy hj; H =	124^ htl> + Ksy ht,];
V	V	V
ua (t) — функция неправильностей рихтовки пути, зависящая от времени. Аналогично могут быть заданы и возмущения иг — и15, вызванные неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над Другой.
«1 = Аис (/) + Вис (t) + Сйс (4) + Duc (t) -- Еис (4);
«2 = -4«с (4) + Вис (tt) + Сис (/) + Duc (4) + Еис (t);
и3 Лис (/2) + Вис (Q + Сйс (t3) + Duc (t2) + Еис (/3);
«4 = Лис (t9) + Buc (t9) + Cuc (t2) + Duc (Z3) 4- £uc (/2);
“s = Fuc(t);
ue = Fuc (4);
u2 = Fuc (Z2);
«8 = Fuc (t3)\
«e = G [uc (t) + uc (4)] + H [uc (t) + uc (4)];
«io = G [uc (i2) 4- uc </3)J + H [uc (t2) + uc (Z3)J;
un = 1 [uc (t) — uc (4)] + J [uc (t)~uc (/J];
«12 = / [«c (^2) — «.: О + J l«c (t2)—uc O;
hts
«13 =-------~
13 2a
(6.83)
3
S “c
3
У uc (G)
Csy

U]4 —
his I, c2a
c
^sy
3
1 = 2
3

«с (0 + “e(O — 2 U=^ ;
U15-----
2a
i = 2 J_
(. 3.1
(dl Csz—Csy hC3 hts) Juc (t) + 2 «с (4)
3
+ (^sAsz — Ksy hcs hti) uc (t) + uc tit) ,
где uc (/) — возмущающая функция времени, обусловленная неровностью взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой, и t, (i= 1,3) определяются по формулам (6.62).
219
Остальные коэффициенты, входящие в уравнение (6.83), задаются формулами:
д_ гат.
2а
Q __ бру htP . £) 2а
 R — Гг С I hip ]
, О- 'о	-
a L	2	J
1 I г V I Мр
7[ °Apw +	—
£__F'Pv ^tp  Р_______ ^w« v .
2а ’	2ar0
6	~ Сру Н — (2Сру Utp-p Csy ;
К - -	~ |^о КРи Ч — (2КРу htp Ч- Ksy hts) j;
j__ hraCpy J__________ _ hr<> Кру
2a ’	2a
6.4.2.2. Комфортабельность при движении в пассажирском вагоне. Понятие комфортабельности при движении в пассажирском вагоне складывается на основе субъективной оценки многих факторов, в том числе вибраций, шума, температуры и характеристик пассажирского купе.
В данном исследовании рассматриваются главным образом условия, связанные с колебаниями и особенно с колебаниями, обусловленными тряской пассажирского вагона, вызванной неровностями пути. Приняты два критерия оценки уровня колебаний: по среднеквадратическому уровню ускорений и по распределению среднеквадратических значений ускорений в частотных диапазонах шириной в одну треть октавы, как это описано в Руководстве Международной организации по стандартизации (см. раздел 3.6.2). Вообще говоря, плавность хода улучшается при смягчении характеристик жесткости системы рессорного подвешивания и если допускаются большие деформации упругих элементов системы рессорного подвешивания.
Значение деформации упругих элементов должно быть ограничено в соответствии с требованиями по обеспечению зазора при динамическом прогибе рессор на перегонах. Деформации сжатия упругих элементов рессорного подвешивания применительно к пассажирскому вагону, который эксплуатируется на прямолинейном участке пути со случайными неровностями, вычисляются через среднеквадратическое значение деформаций.
6.4.2.3. Контрольные точки для оценки плавности хода пассажирского вагона по ускорениям. Для оценки плавности хода в пассажирском купе были выбраны две контрольные точки. Обе точки расположены на высоте Zd над центром тяжести купе. Первая точка расположена на расстоянии Xd впереди от центра тяжести вагона, другая — на расстоянии Xd позади от центра тяжести вагона.
220
Избранные таким образом точки могут располагаться на произвольных расстояниях х и z от центра тяжести вагона. Ускорения в этих контрольных точках для оценки плавности хода пассажирского вагона задаются в следующем виде:
У! (xd, zd) ус 4- Xd 4>с 4- zd <рс;
Уг(хл, zd) = ya--Xd'ic + Zdqc.	(6.84)
Б.4.2.4. Величины деформации сжатия упругих элементов центральной ступени рессорного подвешивания. Для того чтобы исключить удар по ограничителю хода рессоры, проводится расчет деформаций упругих элементов центральной ступени рессорного подвешивания, которые определяются как относительные поперечные перемещения рам тележек и кузова вагона, измеренные в точках крепления упругих элементов центральной ступени рессорного подвешивания. Расчетные формулы имеют следующий вид:
деформация рессоры центральной ступени у передней тележки
'/е+^Лс + ЛсвФс — У id	(6.85)
деформация рессоры центральной ступени у задней тележки
Ус—/Лс + ЛсзФс—У^-	(6.85)
6.4.2.5.	Деформация упругих элементов надбуксовой ступени рессорного подвешивания. Для исключения ударного взаимодействия колесных пар с рамами тележки проводится расчет деформаций сжатия рессор надбуксовой ступени рессорного подвешивания первой и четвертой колесных пар по следующим формулам:
деформация рессоры надбуксовой ступени у первой колесной пары
Уп + Но—Уюб
деформация рессоры надбуксовой ступени у четвертой колесной пары
У(2 Л/2 Уин-
(6.86)
6.4.2.6.	Отклонения колесных пар. Чтобы избежать ударного взаимодействия реборды колеса с рельсом, необходимо рассчитывать отклонения первой и четвертой колесных пар по следующим формулам:
отклонение первой колесной пары Ум—“а (0;
отклонение четвертой колесной пары ywi—ua {t—[2 (ls 4- b)/v]}.
(6.87)
221
Реакция на неровности пути определяется с помощью вектора возмущений {и}, в состав которого входят неправильности рихтовки и неровности взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой, которые описываются с помощью своих спектральных плотностей. Возмущения модели состоят из спектральных плотностей и средне-Квадратических значений ускорений пассажирских купе, ходов упругих элементов системы рессорного подвешивания и отклонений колесных пар 18].
6.4.3. Практическое приложение модели. Чувствительность обычного пассажирского железнодорожного вагона к случайным неправильностям рихтовки пути и неровностям взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой применительно к вагону, курсирующему с постоянной скоростью 177 км/ч по железнодорожному пути шестого класса согласно классификации Федерального Управления железных дорог США, была исследована в работе [8]. В этой работе приведены характеристики экипажа и данные о значениях соответствующих возмущений. Совокупности этих данных присвоено кодовое название U. S. AMTRAK, этими данными описывается некоторый условный пассажирский вагон, эксплуатируемый на железных дорогах США. Вагон оснащен тележками Budd Pioneer III, элементы надбуксовой ступени системы рессорного подвешивания выполнены из эластомерных материалов, а элементы центральной ступени рессорного подвешивания содержат комплекты параллельно включенных пневмобаллонов и спиральных рессор.
Поперечная жесткость центральной ступени рессорного подвешивания обеспечивается с помощью спиральных рессор и стабилизирующих в поперечном направлении шпинтонов. Продольные силы передаются с помощью спиральных рессор и продольного анкерного стержня. Плавность хода экипажа оценивается с помощью ускорений в двух контрольных точках пассажирского купе. Для того чтобы убедиться в отсутствии ударного взаимодействия упругих элементов системы рессорного подвешивания с жесткими ограничителями хода, рассчитываются относительные перемещения упругих элементов надбуксовой и центральной ступеней и сравниваются с допустимыми уровнями.
Путем сравнения поперечных отклонений колесной пары с имеющимся фактическим зазором бандажа проверяется возможность ударного взаимодействия колеса с рельсом. Графики спектральной плотности поперечных ускорений в передней и задней контрольных точках купе пассажирского вагона при наличии возмущений, обусловленных неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой, а также неправильностями рихтовки пути, приведены на рис. 6.13 и 6.14. Как показывают графики спектральной плотности ускорений, приведенные на этих рисунках, на низких частотах имеет место нарастание спектральной плотности ускорений, вызванных возмущением, обусловленным неправильностями рихтовки пути. При частоте возмущения, превышающей 3 Гц, доминирующую роль начинает играть возмущение, обусловленное неровностями взаимного возвышения одной 222
Рис. 6.14. Спектральная плотность S поперечного ускорения в задней контрольной точке купе пассажирского вагона [8] в зависимости от частоты f:
I — при совместном возмущении; 2 — при возмущении, обусловленном неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой; 3 — при возмущении, обусловленном неправильностями рихтовки пути
Рис. 6.13. Спектральная плотность S поперечного ускорения в передней контрольной точке купе пассажирского вагона в зависимости от частоты f [8]:
I — при совместном возмущении; 2 — при возмущении, обусловленном неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой; 3 — при возмущении, обусловленном неправильностями рихтовки пути
рельсовой нити над другой. Низкочастотные составляющие колебания от 0 до 2 Гц входят, однако, почти во все среднеквадратические ускорения при совместном действии возмущений.
Из сравнения рис. 6.13 и 6.14 становится очевидным, что спектральная плотность ускорений в задней контрольной точке купе пассажирского вагона имеет более высокие значения, чем в передней контрольной точке, что свидетельствует о меньшей плавности хода в хвостовой части экипажа. Эти результаты указывают на то, что плавность хода определяется резонансной формой колебаний кузова вагона в окрестности частоты 1 Гц при преобладании возмущений, обусловленных неправильностями рихтовки пути.
При снижении уровня демпфирования высокочастотных колебаний может увеличиться значимость возмущения, обусловленного неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой.
Влияние возмущений, обусловленных неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой, а также неправильностями рихтовки пути, на спектральные плотности ходов рессор надбуксовой и центральной ступеней рессорного подвешивания иллюстрируется рис. 6.15 и 6.16.
Наибольшую чувствительность к возмущению, обусловленному неправильностями рихтовки пути, надбуксовая ступень системы рес-
223
сорного подвешивания проявляет в узкой полосе частот от 0,8 до 1,5 Гц, в то время как повышенная чувствительность к возмущению, обусловленному неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой, охватывая более широкий диапазон частот, проявляется на частотах от 1 до 10 Гц. Наибольший вклад возмущения, обусловленного неправильностями рихтовки пути, наблюдается при частоте возмущения ниже 1,5 Гц. Выше этого порога чувствительность определяется возмущением, зависимым от неровностей взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой. Что касается наибольшей чувствительности центральной ступени системы рессорного подвешивания к возмущению, обусловленному неправильностями рихтовки пути, то она проявляется в еще более узком диапазоне: от 0,7 до 1,1 Гц. Характеристики чувствительности центральной ступени рессорного подвешивания к возмущению, обусловленному неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой, в этом случае подобны тем, которые проявляются при возмущении, характерном неправильностям рихтовки пути. Это происходит потому, что большинство высокочастотных составляющих возмущения усиливаются надбуксовой ступенью системы рессорного подвешивания. Почти во все среднеквадратические значения ускорения вносят свой вклад возмущения, обусловленные неправильностями рихтовки пути, однако для частот, больших 4,5 Гц, наибольший вклад вносится возмущениями, вызванными неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой.
Рис. 6.15. Спектральная плотность S хода рессор системы рессорного подвешивания при наличии возмущения, обусловленного неправильностями рихтовки пути в зависимости от частоты f: /—для центральной ступени; 2 — для надбуксовой ступени
Рис. 6.16. Спектральная плотность S хода рессор при наличии возмущения, обусловленного неровностями взанм-кого возвышения одной рельсовой нити над другой в зависимости от частоты f:
I для центральной ступени; 2 - для надбуксовой ступени
224
Рис. 6.17. Спектральная плотность S поперечного отклонения колесной пары при наличии возмущения, обусловленного неправильностями рихтовки пути [8] в зависимости от частоты f
Рис. 6.18. Спектральная плотность S поперечного отклонения колесной пары при наличии возмущения, обусловленного неровностями взаимного возвышения рельсовой нити над другой в зависимости от частоты f
Как показывают графики спектральной плотности поперечного смещения колесной пары, основной вклад вносится возмущением, обусловленным неправильностями рихтовки пути. Наибольшую чувствительность к возмущениям колесная пара проявляет, как показано на рис. 6.17 и 6.18, в диапазоне частот, соответствующих формам колебаний кузова вагона и тележки с частотами в окрестности 1 и 2,5 Гц соответственно. Таким образом, факторы, которые влияют на эти формы колебаний, будут непосредственно сказываться на поперечных отклонениях колесной пары.
Результаты параметрического исследования поперечной чувствительности можно сформулировать следующим образом [81„
1.	Увеличение поперечной жесткости центральной ступени рессорного подвешивания приводит к уменьшению деформации рессор этой ступени и к увеличению поперечного ускорения кузова вагона.
2.	Увеличение параметра поперечного демпфирования центральной ступени рессорного подвешивания приводит к уменьшению поперечного ускорения кузова вагона до момента достижения минимума. После достижения минимума начинается нарастание ускорения кузова вагона; деформация рессор центральной ступени системы рессорного подвешивания уменьшается с увеличением параметра демпфирования.
3.	Износ колес приводит к уменьшению поперечного ускорения кузова вагона, отклонения колесной пары и де^юрмации рессоры центральной ступени рессорного подвешивания.
8 Зак. 1073	2 25
4.	Изменения характеристик упругих элементов центральной ступени рессорного подвешивания слабо или вовсе не сказываются на деформации рессор надбуксовой ступени рессорного подвешивания.
6.5.	РЕЗЮМЕ
В этой главе рассмотрена модель грузового вагона с деформируемым кузовом, обладающая 22 степенями свободы. Модель предназначена для исследования вынужденных колебаний подпрыгивания и боковой качки на прямолинейном участке пути. Вынужденные колебания возбуждены детерминированными вертикальными неровностями пути. С помощью метода Лагранжа для данной динамической системы выведены уравнения колебаний. Рассмотрены результаты приложения данной модели. Кроме этого, описана модель шестиосного локомотива с 39 степенями свободы для исследования динамических характеристик при движении по прямолинейному участку пути. Для этой модели анализируются вынужденные колебания, обусловленные одновременными детерминированными возмущениями, вызванными вертикальными и поперечными неровностями пути. Данная модель локомотива обобщается далее с помощью метода спектрального анализа на случай исследования вынужденных колебаний, возникающих вследствие случайных вертикальных и поперечных возмущений. Представлена также нелинейная модель шестиосного локомотива с 29 степенями свободы. При составлении уравнений колебаний этой системы учитываются геометрические характеристики области взаимодействия колеса и рельса, нелинейные характеристики рессорного подвешивания, переменный характер коэффициентов крипа при вычислении сил крипа, а также гибкость рельсов. Рассмотрена линейная модель пассажирского вагона с 15 степенями свободы для исследования вынужденных колебаний экипажа на прямолинейном участке пути. Приведены уравнения вынужденных колебаний.
Подробно исследованы вынужденные колебания, возникающие вследствие возмущений, обусловленных случайными поперечными неровностями пути, а также неровностями взаимного возвышения одной рельсовой нити над другой.
Эти модели могут быть использованы в качестве эффективных средств при проектировании и выборе оптимальных систем рессорного подвешивания железнодорожных экипажей.
Список литературы
1.	Т s е Y. Н., Martin G. С. Flexible Body Railroad Freight Car Model Technical Documentation. — Research Report R-199. Association of American Railroads. Chicago, 1978.
2.	Computer Simulation of the Response of 70-Ton Box Cars. — A. Stuck; Company, Pittsburgh, 1974.
226
3.	C h a n g L. C., G a r g V. К., H a r t m a n n P. W. Locomotive Response Mode ITechnical Documentation. —Research Report R-295, Association of American Railroads, Chicago, 1978, February.
4.	G a r i v a I t i s D. S., G a r g V. K. The Response of a Six-Axle Locomotive to Random Track Input. — Research Report R-312. Association of American Railroads, Chicago, 1978, June.
5.	Hedrick J. K. Rail System Inputs. — M.l.T. Department of Mechanical Engineering, Cambridge, Massachusetts, 1980.
6.	A r s 1 a n A. V. Nonlinear Mathematical Model of a Six-Axle Locomotive on Tangent Track. — Research Report R-498, Association of American Railroads, Chicago, 1981, November.
7.	A r s 1 a n A. V. The Application of Statistical Linearization to Nonlinear Rail Vehicle Dynamics.— Ph. D. dissertation to Nonlinear Rail Vehicle Dynamics. M. I. T. Cambridge, Massachusetts, 1980, May.
8.	HedrickJ. K., WormleyD. N., Kar A. K-, Murr a у W., В a-u m W. Performance Limits of Rail Passenger Vehicles: Evaluation and Optimization — Report DOT-RSPA-DPB-50-79-32, U. S. Department of Transportation, Washington, D. C., 1979, December.
Список дополнительной литературы
Ahibeck D. R., PrauseR. H., DayJ. B., Meacham H. C. Comparative Analysis of Dynamics of Freight and Passenger Vehicles.-Report FRA-OR D-74-39. U. S. Department of Transportation, Washington, D. C., 1974, March.
Greenwood D. T. Principles of Dynamics. — Englewood Cliffs., New Jersy, Prentice-Hall, 1965.
HedrickJ. K-, WormleyD. N., A r s 1 a n A. V., C h n i n R. Nonlinear Analysis and Design. Tools for Rail Vehicles: Nonlinear Locomoive Dynamics. — Research Report R-163, Association of American Railroads, Chicago, 1980, December.
Hedrick J. K., W о r m I e у D. N., К i m R. R., К a г А. К., В a u m W. Performance Limits of Rail Passenger Vehicles: Conventional, Radial end Innovative Trucks. — Report DOT/RSPA/DPB-50/81/28. U. S. Department of Transportation, Washington, D. C., 1982, March.
H о r a k D., W о r m 1 e у D. N. A Rail Passenger Truck Design Methodology.— Report 80-11-25, Vehicle Dynamics Laboratory. M.l.T, Cambridge, Massachusetts, 1980, November. L i e p i n s A. C. Digital Computer simulation of railroad freight car rocking. — Transactions of American society of Mechanical Engineers. Journal of engineering for industry, 1968, v. 90, N. 4, pp. 701—707.
Manos, W. P., S h a n g J. C. Dynamic analysis of rolling freight cars. — American Society of Mechanical engineers. Paper 65-WA, RR-8, 1965.
Meacham H.C., Ahibeck D. R. A computer study of dynamic loads caused by vehicle — track interaction. — Transactions of American Society of mechanical engineers. Journal of engineering for industry, 1969, v. 91, N. 3, pp. 808—816.
Pata diaS., Craft W. J. The investigation lo locomotive dynamics via a large degree of freedom modelling. — American Society of Mechanical engineers. Paper 79-RT-l, 1979.
Rinehart R. E. Locomotive response to random track surface irregularities. — American Society of Mechanical Engineers. Paper 78-WA/RT-12, 1978.
S i d d a 1 1 J. N., D о k a i n i s h M. A., ElmarghyW. On the effect of track irregularities on the dynamic response of railway vehicles. — American Society of mechanical engineers. Paper 73-WA'RT-l, 1973.
8*
227
7 ПОПЕРЕЧНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЭКИПАЖЕЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ
 НА ПРЯМОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ПУТИ
7.1.	ВВЕДЕНИЕ
Как было указано в разделе 6.1, характеристики железнодорожного экипажа на прямолинейном участке пути лимитируются главным образом двумя факторами: 1) неустойчивостью, которая вызывается внешними воздействиями, обусловленными неровностями железнодорожного пути, и 2) неустойчивостью, возникающей за счет собственного возбуждения, обусловленного конструкцией самого экипажа. Содержание настоящей главы ограничено рассмотрением второго фактора. Сначала будет представлен анализ поперечной устойчивости (извилистое движение), затем рассмотрены модели поперечной устойчивости грузового вагона, четырех- и шестиосного локомотива и пассажирского вагона. Будут обсуждены результаты расчета на ЭВМ каждой из указанных моделей. Большая часть моделей носит линейный характер, эти модели основаны на допущениях, принятых в разделе 5.6. Для достаточно подробного исследования поперечной устойчивости экипажа более подходящими являются нелинейные модели, которые и следует рассмотреть.
•	7.2. ПОНЯТИЕ О ПОПЕРЕЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ЭКИПАЖА
Устойчивость движущегося железнодорожного экипажа и явление виляния тележек в колее связаны с коничностью или, иными словами, с профилем колес, движущихся по стальным рельсам; в свою очередь назначение профиля — создание условий плавного движения по криволинейному участку пути без скольжения. При сильном отклонении колесной пары от осевого положения в колее на прямом участке пути или, если радиус кривой слишком мал, в области взаимодействия колес с рельсами возникают значительные горизонтальные силы, которые называют силами крипа. Этими горизонтальными силами определяются не только управляемость и сохранение осевого положения в колее, но также, к сожалению, интенсивный износ и значительная потеря энергии, что в свою очередь требует увеличения тягового усилия на криволинейных участках пути. Восстанавливающая сила, обусловленная коничностью или профилем колес, может привести к синусоидальному движению тележки экипажа на прямолинейном участке пути. Это явление, обычно называемое вилянием тележки в колее, сначала проявляется в виде слабо демпфированных колебаний, вызванных не-228
ровностями пути. Затем начинается резкое нарастание колебаний при некотором пороговом значении скорости. Эта скорость известна как критическая. В указанный момент реализуется предельный цикл процесса контакта гребней колес и головок рельсов. Условия возникновения критической скорости сказываются на износе и усталости элементов конструкции железнодорожного экипажа, хотя эти условия могут соответствовать таким незначительным скоростям, как 48 км/ч, при порожних или слабозагруженных вагонах. Критическая скорость зависит от таких факторов, как характеристики рессорного подвешивания железнодорожного экипажа, распределение масс, загрязнение поверхности рельсов, эффективная коничность колесных пар и тяговое или тормозное усилие в точке контакта колеса и рельса. Критическая скорость нередко является фактором, ограничивающим эксплуатацию при больших скоростях.
Во избежание виляния тележки в колее необходимо, чтобы критическая скорость корректно спроектированного экипажа превышала в достаточных пределах эксплуатационную скорость. Часто наблюдаются два различных вида извилистого движения: виляние кузова и виляние тележки в колее. Виляние кузова, или главное виляние, характеризуется резкими колебаниями бокового относа и виляния кузова. Этот вид виляния происходит в ограниченном диапазоне скоростей при наличии верхней и нижней границ. Обычно эти виляния начинаются, если частота колебаний бокового относа или виляния тележки совпадает с одной из собственных частот кузова вагона. Таким образом главное виляние можно рассматривать как резонансное явление, проявление которого можно регулировать соответствующим демпфированием системы рессорного подвешивания тележки. При значительном уровне демпфирования колебаний кузова можно устранить его виляние.
Виляние тележки (второстепенное виляние) определяется самой конструкцией железнодорожного экипажа. Этот тип виляния характеризуется резкими колебаниями тележки или колесной пары относительно кузова вагона. Виляние тележки, раз начавшись, по мере увеличения скорости железнодорожного экипажа продолжает угрожающе нарастать. С помощью правильного выбора профиля обода колеса, характеристик подрессоривания, а также геометрии тележки можно, однако, увеличить критическую скорость (при которой появляется виляние тележки) таким образом, чтобы она была вне диапазона эксплуатационных скоростей железнодорожного экипажа.
7.3. МОДЕЛЬ ПОПЕРЕЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГРУЗОВОГО ВАГОНА
Модель четырехосного грузового вагона состоит из 11 основных масс. К ним относятся: кузов вагона при полной нагрузке, две шкворневые балки тележки, четыре боковины и четыре колесные пары. В табл. 7.1 приведены степени свободы элементов модели.
229
Таблица 7.1. Степени свободы элементов модели поперечной устойчивости грузового вагона
Элемент	Подергивание	Тип колебаний		Виляние
		Боковой относ	Боковая качка	
Передняя колесная пара передней те-	—	У1	—	4ч
лежки Задняя колесная пара передней те-	—	Уг	—	4'2
лежки Передняя колесная пара задней те-	—	Уз	—	4’э
лежкн Задняя колесная пара задней тележки	—	Уг	—	4ч
Левая боковина передней тележки	Xsl	Уз1	—	—
Левая боковина задней тележки	*32	Узг	——	—
Правая боковина передней тележки	*33	Узз	—	—
Правая боковина задней тележки	*84	У«г	—	—
Шкворневая балка передней тележки	—	УЫ	<РЪ1	4’ы
Шкворневая балка задней тележки	—	УЬг	ФЬ2	4’Ьг
Кузов вагона	—	УЬ	ФЬз	4’Ъз
Обычный североамериканский трехсекционный грузовой вагон (рис. 7.1 и 10.1) обладает по преимуществу малой параллелограммной жесткостью, т. е. сопротивлением продольному перемещению боковин тележек друг относительно друга, но большой межосевой жесткостью при повороте вокруг вертикальной оси. Таким образом главные колебания виляния синфазны с вилянием передней и задней колесных пар.
Это свойство учитывается при моделировании: принимается, что боковины тележки могут совершать колебания подергивания вместо колебаний виляния.
Каждый элемент модели соединяется системой линейных рессор и демпферов. Кузов вагона и шкворневые балки соединяются с помощью рессор и демпферов боковых опор в продольном, поперечном и вертикальном направлениях. Рессоры и демпферы центральной ступени подвешивания регулируют колебания шкворневой балки относительно боковин в продольном, поперечном и вертикальном направлениях, а также вращательные колебания шкворневой балки (виляние шкворневой балки). Надбуксовая ступень подвешивания реагирует на продольные и поперечные перемещения, на повороты (виляние колесной пары), а также на скорости взаимных перемещений боковой рамы и колесной пары.
Во взаимодействии колеса и рельса участвуют силы и моменты сил, обусловленные как геометрией области контакта колеса и рельса, так и продольным, поперечным, а также поворотным крипами. В данной главе используются выражения для эффективной коничности, для жесткостей при колебаниях бокового относа и колебаниях виляния, обусловленных силами тяжести, выведенные в главе 5 на основе линей-230
Рнс. 7.1. Модель четырехосного грузового вагона:
/ — ось, проходящая через центр тяжести кузова вагона; 2 — кузов; 3 — вторая боковина; 4 — первая боковина; 5 — вторая шкворневая балка; 6 — колебания кузова вагона; 7 — первая шкворневая балка; 8 — четвертая ось; 9 — третья ось; 10— вторая ось; // — первая ось; /2 —четвертая боковина; 13—третья боковина
ной теории геометрии области контакта колеса и рельса. Строятся выражения для кинетической, потенциальной и диссипативной энергий системы; при выводе уравнений колебаний грузового вагона применяется метод Лагранжа. Рельсовый путь при этом принимается абсолютно жестким и при постановке задачи его характеристики не учитываются.
7.3.1. Обозначение. При описании модели поперечной устойчивости используются следующие обозначения:
2а — поперечное расстояние между точками контакта колес и рельсов; Сру— коэффициент демпфирования колебаний подергивания иадбуксовой ступени рессорного подвешивания; Cpi — то же бокового относа надбуксовой ступени рессорного подвешивания; Cpt — коэффициент демпфирования крутильных колебаний надбуксовой ступени рессорного подвешивания; Ср„ — коэффициент демпфирования колебаний подпрыгивания иадбуксовой ступени рессорного подвешивания; Csbf — то же подергивания боковой опоры; Csbt — то же бокового относа боковой опоры; Csbv — то же подпрыгивания боковой опоры; Csy — то же подергивания центральной ступени подвешивания; Csi — то же бокового относа центральной ступени подвешивания; Cst — коэффициент демпфирования крутильных колебаний центральной ступени подвешивания; Csv — коэффициент демпфирования колебаний подпрыгивания центральной ступени подвешивания; Dbb — высота расположения центра тяжести шкворневой балки над центром тяжести колесной пары; Dhc — высота расположения центра тяжести кузова вагона над центром тяжести колесной пары; Dbs — расстояние по вертикали между центром тяжести боковины н осью надбуксовой ступени подвешивания; Djb — то же в поперечном направлении от центра тяжести боковины до оси иадбуксовой ступени подвешивания; Dps — то же по вертикали от центра тяжести колесной пары до оси надбуксовой ступени подвешивания; — то же в поперечном иаправленнн от центра тяжести боковой опоры до оси центральной ступени подвешивания; Dss—то же по вертикали от центра тяжести колесной пары до оси центральной ступени подвешивания; Dts — то же до оси рессоры боковой опоры; F, — сила крипа и сила тяжести; — коэффициент поперечного крипа; f12 — коэффициент комбинации поперечного крипа и поворотного крипа; f22 — коэффициент поворотного крипа; fss — то же продольного крипа; Ibr — момент инерции шкворневой балки при колебаниях боковой качки; 1Ьу — то же при колебаниях виляния; 1СГ — момент инерции кузова вагона при колебаниях боковой качки; /Су — момент инерции кузова вагона при колебаниях виляния; Iwp — момент инерции колесной пары при колебаниях галопирования; Iwy — то же при колебаниях 'виляния; Kpf — жесткость надбуксовой ступени подвешивания при колебаниях подергивания; Kpi — тоже при колебаниях бокового относа; Kpt — то же при крутильных колебаниях; Кр„ —то же при колебаниях подпрыгивания; Ksbf — жесткость боковойопоры при колебаниях подергивания; Ksbi— то же при колебаниях бокового относа; Ksbv — то же подпрыгивания; Ksf — жесткость центральной ступени подвешивания при колебаниях подергивания; Ksi — то же при колебаниях бокового относа; Kst — то же при крутильных колебаниях; Ksv — то же при колебаниях подпрыгивания; М, — момент сил крипа и сил тяжести; ть — масса шкворневой балки; тс — масса кузова вагона; msf — масса боковины; mw — масса колесной пары; 2р — расстояние в поперечном направлении между точками крепления надбуксовой ступени подвешивания; R — радиус вогнутости поперечного сечеиия обода колеса; Рр — радиус выпуклости головки рельса; г0 — номинальный радиус колеса; 2s — расстояние в поперечном направлении между боковинами; 2sj,—то же между боковыми опорами; 2ТС — расстояние в продольном направлении между осями тележек вагона; v — скорость грузового вагона; W — нагрузка на ось.
7.3.2. Уравнения колебаний. Положение твердых тел, представляющих собой составные части системы четырехосного грузового ва-232
гона, описывается с помощью правосторонней системы декартовых координат, закрепленной в центре масс системы. Для вывода уравнений колебаний системы с многими степенями свободы применяется уравнение Лагранжа. Уравнение движения в форме Лагранжа записывается в виде
d
d/
_ дЕр
d4i	dqi
(7.1)
где Ер- — кинетическая энергия системы; Ер — потенциальная энергия системы; Ed — функция Рэлея, описывающая диссипативную энергию системы; Qi — обобщенные силы; </,- — обобщенные координаты; </( — производная по времени.
Выражение суммарной кинетической энергии Ек системы записывается в виде:
{m„, y'i msf (Xsi +- yh) +	ф2} +
2
~Ь	Ч~ Д, Фьг “I- Ihu фьг) H- Уь 4“ I ст ф'ь	фь
/ = i
(7.2)
Выражение суммарной потенциальной энергии системы записывается в виде
(--7Г- У {(y,j + Wi)2+(-^0-+2)— P'l’i)2} +KSI,(s —
Ksl 2
’ 2
X 2 Ф« -+
-1=1 Г 2
4
{Уы~y*t — (Dhh
--(S—£>5Ь)фь;}2 + 2	— (S~ Dsb) W2 +
- 1	i=3
f2	1	Г 2
2 ’I’m +sfeT(sb!, (Фь—Фщ)2
i — 1	_	_ f = 1
“ 2
V {Уы Уь^~ Т’сФь + Флс—Dts)qb-\-
+ (£\s—7)ль)<рь,}2 -\-f(sbfSb
2 (tft—tbi)2 • i= i
(7.3)

4

DJ

4
233
В выражении (7.3) индекс j принимает следующие значения: у первых двух членов при i = 1 или 2 j = 1; при i = 3 или 4 / = 2. Для членов, содержащих коэффициент Ksl при i = 1 или 3 / = Г, при i = 2 или 4 j 2.
Для членов, содержащих Ksf, при I = 1 или 3 / = 1; при i 2 или 4 j = 2.
Аналогичное выражение получено для суммарной диссипативной энергии Ed системы. Вид членов этого выражения, с помощью которых учитывается демпфирование, сходен с видом соответствующих членов выражения (7.3) для потенциальной энергии.
На систему действуют две главные внешние силы — составляющие силы тяжести и крипа. Как было показано в главе 5, составляющие силы тяжести возникают из-за изменений геометрических соотношений между колесом и связанным с ним рельсом. При малых перемещениях как профили колеса, так и рельса могут быть представлены в виде круговых контуров. Когда колесная пара перемещается в поперечном направлении, нормальные силы реакции между колесами и рельсами изменяют свое направление. Эти силы аппроксимируются с помощью трех линейных параметров: 1) эффективной коничности колесной пары; 2) поперечной жесткости, обусловленной силой тяжести; 3) жесткости при колебаниях виляния, обусловленной силой тяжести. Эти параметры описаны в главе 5. Силы крипа обусловлены явлением упругого скольжения, которое имеет место в точках взаимодействия колес с рельсами при движении колесной пары вдоль рельсов, когда колесная пара перемещается под действием колебаний бокового относа и виляния. Перемещение колес относительно рельсов вызывает упругие деформации как колеса, так и рельса в области их контакта, а разность в скоростях деформаций колеса и рельса приводит к возникновению сил крипа и моментов сил крипа. В данной главе используется линейная теория крипа Колкера, описанная в разделе 4.6.4. С учетом сил, обусловленных продольным, поперечным, а также поворотным крипами, можно получить следующие выражения для сил и моментов, куда входит совокупность сил крипа и сил тяжести [Ц:
Fi = - 2 pu ----------------------—'ll -
|	\ v ]	\ v ar0 ] |
_ Wgt f j	2a(/? + r0) ] va/wl> g,
(R—Rp)[	a ) ar0 '
Mt= — 2Г —	+ faX/33 — -^-1 qt Д-
I. У r0 (	a J
+ —	4- a2 /зз) q, + Аз J + Waaq, + ^£1
V	J	ar0
(7.4)
(7.5)
где t = 1,2, 3, 4; / = 16, 17, 18, 19.
234
Величина в, определяемая как скорость изменения угла наклона плоскости контакта по отношению к поперечному смещению колесной пары, задается формулой:
где а — угол коничности колеса.
Эффективная коничность колеса X, определяемая как скорость изменения радиуса катания относительно поперечного смещения колесной пары, вычисляется следующим образом:
Ra—.	(7.56)
R—RP
Используя уравнение движения в форме Лагранжа, можно получить уравнения колебаний для составных частей передней и задней тележек, а также кузова вагона. При этом в выражениях для кинетической, потенциальной и диссипативной энергий системы, а также внешних силовых факторов используются 25 обобщенных координат, имеющих следующий вид:
{Ч}~ If/l» Уг> Уз< У1< Уы> Уъ2’ Уь< У$1< Ув2> УвЗ’ У sit -*sl> -'-S2, Xs3< -'-84»
Ф1» Ф2, Фз» Ф4» Фы» ФЬ2, фы» ФЬ2, Фа» ФоГ
25 дифференциальных уравнений второго порядка, которые описывают поперечную устойчивость грузового вагона, даются в следующем виде.
1. Колебания бокового относа колесной пары yt (t = 1 или 2, j = 1; /	3 или 4, / = 2)
mw У1 Н~ У( + К1 Уг + Pl Ф; — 2/и ф;	С pl {ysj + ys(j+2)}
— К pi {У si + f/s o'+2)} — 0,	(7.6)
/	IT f 2a	1
где Cr = 2 (Cpl + —j,	Л1 = 2(1 -|—— (R 4- 6))j
2b /12 p 2fu Iwp v a	(7 7)
ar0 1 ~~v ar0 '
2. Колебания виляния колесной пары фг (i = 1 или 2, j = 1, i = 3 или 4, j = 2)
Iwy Фг + Т’гФ; + ^гФ! ф- С2 yi 4- K2yt 4- Cpj{xsj—*su+2)} P +
+ Kpf{xsj — xsU+2i} p = 0, 	(7.8)
’ где
q    (2 fu 1 vA./ц,р ~1
2	L v ar0 J’ .
K2 = ^-\akf33—^-]-.
Го L	a 1
235
Р2 = 2 (Cpf р2 + Cpt) + (fi2 + а2 /83);
52 = 2(^р2 + ^)( + А2)-^аа.	(7.9)
3.	Колебания подергивания боковины xsi (j = п — 1 при I 1 или 3; j = 2, п = 3 при i = 2 или 4)
™s/ % si Ч- (2 Ар/ Ч" К sj) %si i K.pj P (Ч’п + ipn+1) ± Ksf (s~Dsh) 1|?6> +
+ (2Cpf + Cst) xsi ± Cpf p (грп + ip„+i) ± Csf (,s- D„b) 4^ = 0. (7.10)
4.	Колебания бокового относа боковины ysi (i = 1 или 2; j = n = 1; ( - 3 или 4, / = 3 и n = 2)
ms/f/si + (2Cp; + Csi) уSi + (2Kpl + Ksi) ysi — Cpi {yj -I- yj+1} —
Kpi {У} Ч- Уа+1)} Ч- Cst (Dhb D„)	4- As/ (Dbb A\s) ФЬ(1
CsiPbri Ksiybn=0-	(741)
5.	Колебания бокового относа шкворневой балки уы (i = 1, 2):
Уы Ч~ 2 {Сsi -) ^.sb/) Уы 4" 2 (Ksl + А^ы) Уы ~ (Dsbi Уъ 4 Asb; Уь)
— Csl{y.si 4-*/s(i 4-2)}—Ksl{ysi + //ч(1 + 2)}4-
+ 2 (Dhr — Dts) (Csbl <pb 4- Ksbt фь) 4- 2 [Csbi (Dts — Dhb) —
— Csi (D^b 7>ss)l Фьг + 2 [ KSbt (Dts Dhb) К st (Dhb  Dss)\ cpbi -+-
T2Tc(Csb;%+^blipb)-0.	(7.12)
6.	Колебания боковой качки шкворневой балки Фь, (/ = 1, 2)
Ibr фь/ + s5 фь; Ч- Se фь, Ч- •$, уti Ч- Sg ybt + Csl (Dhb— Dss){ysi + ys(i+2)} r
+ As/ (Dhb—Dss) {ysi 4-ys(i+2)} 2(Dts Dhb) (Csbt yb 4- Ksbi Уь) +
4~ Se фь S10 фь + 2Tc (Dls Dhb) (Csbi 4- Ksbi 41*) = 0» (7.13) где
$5 = 2 [C„, (s—Dsb)2~[- Csi (Dhb — Dss)24- Csbv s2b +
4~ Csbl (Dts — Dbb)2];
S6 = 2 [Ksv (s—Dsb)2 + Кsl (Dhb - DSs)2 + Kshv si +
+ KSbt(Dts-Dhb)2]-,
Si~2 [Csbl (Dls — Dhb) Cst (Dllb — ^ss)h
Sg = 2 [Asb/ (Dts — Dhb) — Ksi (D;<b — A>ss)I;
S9 = 2 [Csbl (Dts—Dnb) (Dhc Dts) Csbv s2];
Sio = 2 [Ksbi (Dts Dllb) (Dhc — Dts) Ksbv sfrl- (7 14)
236
7.	Колебания виляния шкворневой балки 4bi (i = 1, 2)
Iby 4bi + S3 4b i + ^4 4bi + ^sf (s — ^sb) {xsi — xs(i+2)} +
+ Ksf(s— Dsb){xsi — xg(i+2)}—2sb [Csb/%+ Ksb/^bl = 0, (7.15) где
S3 = 2 [Cs/ (s- Dsb)2 + Cst + C,bf sg];
S4 - 2[Ksf(s-Dsb)2 + Ksl+ KsbfSl].	(7.16)
8.	Колебания бокового относа кузова вагона уь
те Уъ + ^ (С.чы Уь + Ksbi Уь) — 2 {С8б1 (Уы + уЬ1) + Ksbl (yh2 + t/м) I —
— 2 (Dts - Dhb) [Csbl (cpbi + фы) + Ksbl (<Pb2 + Фи)] —
— 4 (DAc-Dzs) (Csbl <pb + K,bl Ф) = 0.	(7.17)
9.	Колебания боковой качки кузова вагона фь
^сгфь г 4 [Csb[,sb + Csbl (Dbc— Dts\2] Фь +
+ 4 [/Csbp Sb + Ksbi (Dhc— Dts)2] <pb 4-2 [Csbl (Dbr—D(s) (D(s — Dbb) —
— Csbvs*] (фЬ2 + Фы) + 2 |Ksb; (Dhc:— Dis) (Dts— Dhb) — Kstw s*J X
x (Фб2 + Фы) 4- 2Cgb; (Dhc — Dts) (yb.z 4- ybl) +
+ 2^bi (Dbc—Dts) (</b2 + Уы)~4 (Dhc—Dls) (Csbt yb + KSbi Уь) = 0- (7-18)
10.	Колебания виляния кузова вагона 4ь:
Iсу 4ь + 4C,b; (T2 + sb) фь + 47<sb( (Тс + sb) 4ь +
+ 2Te (Dls— Dllb) [Csb! (фЬ2 — Фы) + f^sbi (фьг—Фы)] +
^Tc[Csbi (уb^ i/bi)^r" Ksbi (Уь2 1/ы)1 2C*sby5ь (4b2 r 4bi) -2tfsb;s|(4b2 + 4M)==0.	(7.19)
Уравнения колебаний для боковин передней и задней тележек идентичны, За исключением перемены знака в уравнении (7.10). В уравнении (7.10) верхний знак в уравнении колебаний используется для левых боковин передней и задней тележек, а нижний — для правых боковин передней и задней тележек. В уравнениях (7.12) и (7.13) верхний знак используется в уравнениях колебаний для шкворневой балки передней тележки, в то время как нижний знак соответствует колебаниям шкворневой балки задней тележки. Уравнения колебаний (7.6), (7.8), (7.10) — (7.13), (7.15) и (7.17) — (7.19) можно представить в матричном виде
[М] {х}4- [С] {х} + [К' 1 {х} = {F},	(7.20)
где {х} — обобщенный вектор, представляющий перемещения, соответствующие каждой степени свободы; {х} и {х} — векторы, представляющие скорости и ускорения соответственно; {F} — вектор, пред-237
ставляющий обобщенные силы, обусловленные взаимодействиями колеса и рельса, которые являются функциями {х} и {х}. Матрица [М] является диагональной матрицей размером 25 X 25. Элементы этой матрицы представляют массы и моменты инерции каждой составной части грузового вагона. Матрицы (С'] и [/<"] симметричны размером 25 X 25 и представляют собой демпфирующую матрицу и матрицу жесткости. Уравнение (7.20) можно привести к виду
[М]{х}+[С]{х} + [А]{х} = {0},	(7.21)
так как {F} является функцией перемещений и скоростей.
Уравнение (7.21) представляет собой матричную запись системы однородных дифференциальных уравнений второго порядка без правых частей, содержащих функции, описывающие внешнее воздействие. Матрицы [С] и [/<], входящие в уравнение (7.21), уже несимметричные. Эти дифференциальные уравнения второго порядка преобразуются в систему 50 дифференциальных уравнений первого порядка, после чего с помощью численных методов, описанных в первой главе, определяются собственные значения и собственные векторы. Далее составляется характеристическое уравнение, которое основано на указанных выше линейных уравнениях колебаний и зависит от скорости экипажа. Для вычисления комплексных корней (собственных значений) и соответствующих нормальных форм колебаний (собственных векторов) характеристического уравнения составлена математическая программа для ЭВМ [1]. С помощью этой программы определяется критическая скорость, при которой колебания становятся неустойчивыми и рассчитываются данные о форме колебаний и их частотах.
Устойчивость системы зависит от знака коэффициента показателя степени демпфирующей экспоненты. Если хотя бы одно из собственных значений имеет положительную действительную часть, система будет неустойчивой. Важным обстоятельством является обеспечение достаточного уровня демпфирования. Может оказаться, что хотя критическая скорость находится за пределами диапазона эксплуатационных скоростей, уровень демпфирования в главных формах колебаний недостаточен, что приводит к неудовлетворительному динамическому поведению экипажа иа плохих участках железной дороги..
7.3.3. Сравнение результатов расчета на основе теоретической модели с результатами натурных испытаний. Теоретические результаты сравниваются с результатами натурных испытаний, проведенных на 80-тонном открытом вагоне-хоппере, оборудованном тележками типа А-3 с регулировкой устройств упругого подвешивания. Подробности этих натурных испытаний, состав измеренных параметров, а также сведения о том, как эти данные обрабатывались, можно найти в работах [21, [3] и [4]. Данные о входных параметрах вагона и тележек, которые использовались при моделировании, приведены в работе [1].
Так как грузовой вагон представляет собой сложную нелинейную систему, то с помощью линейного исследования можно разо-238
Рнс. 7.2. Сравнение результатов расчета на модели и результатов испытаний грузового вагона, оснащенного колесами нового профиля Американской ассоциации железных дорог при номинальном смазывании:
«-•зависимость степени демпфирования ц от скорости и; б — зависимость частоты f от скорости (О — результаты испытаний: А —результаты расчета с использованием линейной модели виляния). (По данным работы |4]).
браться лишь в качественной стороне 1 явления извилистого движения.
Моделирование проводилось при различных скоростях, которые изменялись в диапазоне от 48 до 128 км/ч с шагом 8 км/ч. Результаты расчета приведены на рис. 7.2, причем при каждом значении скорости приводятся данные о степени демпфирования в процентах наименее демпфированной формы колебаний и о соответствующих частотах для модели и для вагона при натурных испытаниях. Например, при скорости 56 км/ч расчетная степень демпфирования равна 12 %, а степень демпфирования, измеренная на вагоне при натурных испытаниях, составляет 8%. Соответствующие частоты, полученные на модели и измеренные на вагоне при натурных испытаниях, составляют 0,97 и 1,0 Гц соответственно. Если принять линейную зависимость между степенью демпфирования и скоростью и провести экстраполяцию результатов натурных испытаний, можно получить скорость виляния, равную 121 км/ч, в то время как скорость, полученная при расчете на модели, равна 129 км/ч. Вагон, использованный при натурных испытаниях, был оборудован новыми колесами стандартного профиля Американской ассоциации железных дорог (с эффективной коничностью 1/20).
Аналогичные испытания были проведены на вагоне, оборудованном колесами профиля типа А Канадских государственных железных дорог. В профиле колеса был проведен плавный переход от контура обода к контуру гребня колеса. Тем самым аппроксимируются характеристики изношенного профиля колеса. Как показано на рис. 7.3, степени демпфирования, рассчитанные с использованием модели, для скоростей 40 и 56 км/ч составляют 5,2 и 2,1 % соответственно, в то время как по данным натурных испытаний соответствующие степени демпфирования
1 Это справедливо лишь при определенных условиях. — Прим. ред.
239
Рис. 7.3. Сравнение результатов расчета на модели и результатов испытаний грузового вагона, оборудованного колесами профиля типа А Канадских государственных железных дорог при номинальном смазывании:
а -• .зависимость степени демпфирования ц. от скорости и; б— зависимость частоты f от скорости (О, ©—результаты испытаний; А — результаты расчета с использованием линейной модели виляиия). (По данным работы [4]).
равны 6,5 и 4 % соответственно. Если принять линейное соотношение между степенью демпфирования и скоростью, то по данным натурных испытаний критическая скорость составляет 77 км/ч, в то время как по результатам расчета на моделях эта скорость равна 72 км/ч.
Как подтверждено сравнением теоретических результатов с результатами натурных испытаний, линейная модель не может дать количественную оценку скорости виляния с большой точностью, но тем не меиее может служить в качестве весьма полезного качественного инструмента на стадии проектирования. При использовании модели можно проследить, как влияют на критическую скорость железнодорожного экипажа различные параметры экипажа, такие, как жесткость и демпфирование системы рессорного подвешивания, моменты инерции, массы кузова вагона и рамы тележки, коэффициенты крипа, а также эффективная коничность обода колес.
7.4. МОДЕЛЬ ПОПЕРЕЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛОКОМОТИВА
В данном разделе составляются уравнения колебаний для модели виляния четырех- и шестиосного локомотивов. Принимается, что кузов локомотива является твердым телом, которое обладает степенями свободы, соответствующими перемещению при боковом относе уь и поворотам при боковой качке <рь и вилянии фь. Допускается, что компоненты тележки имеют следующие степени свободы: рама тележки может совершать колебания бокового относа yti, боковой качки и виляния фе/, колесные пары могут совершать колебания бокового относа yt и виляния ф;. Система рессорного подвешивания локомотива подобна той, что была описана в разделе 6.3 при рассмотрении модели колебаний 240
шестиосного локомотива. В центральной и надбуксовой ступенях системы подвешивания сочетаются линейные рессоры и демпферы.В состав четырехосного локомотива входят две двухосные тележки. Принимается, что модель четырехосного локомотива обладает 17 степенями свободы (рис. 7.4); так как у шестиосного локомотива две трехосные тележки, то модель такого локомотива обладает 21 степенью свободы. Приводятся данные о влиянии изменения параметра рессорного подвешивания на критическую скорость локомотива. Этим иллюстрируется применение модели колебаний виляния локомотива в качестве инструмента при инженерном проектировании.
7.4.1. Обозначения. При описании модели поперечной устойчивости локомотива используются следующие обозначения:
2а — поперечное расстояние между точками контакта колес с рельсами; 2Ь — база тележки; 2Ьг — расстояние между точками крепления надбуксовой ступени рессорного подвешивания в поперечном направлении; 2Ьг — расстояние между точками крепления центральной ступени рессорного подвешивания в поперечном направлении; Cj, — коэффициент демпфирования колебаний подпрыгивания центральной ступени рессорного подвешивания с одной стороны тележки; Cj то же для подпрыгивания иадбуксовой ступени рессорного подвешивания с одной стороны тележки; Cxw — для подергивания иадбуксовой ступени рессорного подвешивания одной оси; Cyt — то же для бокового относа центральной ступени рессорного подвешивания одной тележки; Суи! — то же для бокового относа надбуксовой ступени рессорного подвешивания одной тележки; С0, — то же для боковой качки центральной ступени рессорного подвешивания одной тележки; С0а, — то же для боковой качки иадбуксовой ступени рессорного подвешивания одной тележки; — то же для виляния центральной ступени рессорного подвешивания одной тележки; — тоже для виляния иадбуксовой ступени рессор-
Рис. 7.4. Модель поперечной устойчивости четырехосного локомотива:
а — вид в плане; б — вид сбоку; в — внд с торца; I — задняя тележка; 2 — передняя тележка
241
ного подвешивания; Fg — жесткость колесной пары при колебаниях бокового относа, обусловленная силой тяжести; /п — коэффициент поперечного крипа; /12 — коэффициент сочетания поперечного крипа и поворотного крипа; /22 — коэффициент поворотного крнпа; /33 — коэффициент продольного крипа; hj, — высота расположения центра тяжести кузова вагона над осью колесной пары; hf — высота расположения центра тяжести рамы тележки над осью колесной пары:
— расстояние по вертикали от центра тяжести рамы тележки до оси центральной ступени рессорного подвешивания; Л2 — то же для кузова вагона до оси центральной ступени рессорного подвешивания; 1Ь — момент инерции кузова вагона при колебаниях виляния; /( — то же для рамы тележки при колебаниях виляния; 1и. — то же для колесной пары при колебаниях виляния; — то же для кузова вагона при колебаниях боковой качки; Jt—то же для рамы тележки прн колебаниях боковой качки; — жесткость центральной ступени рессорного подвешивания при колебаниях подпрыгивания с одной стороны тележки; Kj — жесткость надбуксовой ступени рессорного подвешивания при колебаниях подпрыгивания с одной стороны тележки; Кхи. — то же прн колебаниях подергивания одной оси колесной пары; Ку1 — то же при колебаниях бокового относа одной тележки; Куи- — то же при колебаниях бокового относа одной оси колесной пары; Kqi — тоже при колебаниях боковой качки одной тележки; Kqw — тоже при колебаниях боковой качки одной тележки; — тоже при колебаниях виляния одной колесной пары; L — расстояние между осями шкворневых балок; ть—масса кузова вагона; tnt — масса рамы тележки; tnw— масса колесной пары; гс — номинальный радиус колеса; и — скорость локомотива; W — нагрузка на ось; а — угол контакта колеса с рельсом прн центральном расположении колесной пары в колее; е — геометрический параметр области контакта колеса с рельсом; К — эффективная коничность обода колеса.
7.4.2. Уравнения колебаний четырехосного локомотива. Уравнения колебаний выводятся для двух моделей локомотива: для модели с 17 степенями свободы четырехосного локомотива и для модели с 21 степенью свободы шестиосного локомотива. Будет вкратце изложен вывод уравнений колебаний, после чего будут приведены фактические уравнения колебаний для обеих систем. По своему характеру
Таблица 7.2. Степени свободы модели поперечной устойчивости четырехосного локомотива
Элемент	Тип колебаний		
	Боковой относ	Боковая качка	Виляние
Передняя колесная пара передней те-	У1	—	Ф1
лежки Задняя колесная пара передней те-	Уз	—	Фг
лежки Передняя колесная пара задней те-	Уз	—	Фг
лежки Задняя колесная пара задней тележ-	Уз	—	Фг
кн Передняя тележка	УЧ	Ф(1	Ф(1
Задняя тележка	УЧ	Ф/г	Ф|г
Кузов локомотива	УЬ	Фь	Фь
242
модели локомотивов линейны и основаны на упрощающих допущениях, изложенных ранее в разделе 5.6. Обозначения, которые здесь используются для двух моделей, представлены в разделе 7.4.1. В отличие от модели, представленной в разделе 6.3, колебаниями подпрыгивания и галопирования тележек и кузова локомотива в предлагаемых моделях пренебрегают. Принимают, что колесные пары идеально следуют профилю пути в вертикальном направлении; этим допущением колесная пара лишается двух степеней свободы: колебаний подпрыгивания и боковой качки.
Не учитываются также нелинейные эффекты, обусловленные рессорным стопором, взаимодействием гребня колеса с рельсом, сухим трением в элементах рессорного подвешивания, а также ограничением по сцеплению между колесом и рельсом. 17 степеней свободы рассматриваемой модели представлены в табл. 7.2.
Схематическое представление четырехосного локомотива приведено на рис. 7.4. Векторы перемещений {Ub}, и {Ut2}, определяемые относительно фиксированной системы координат, кузова локомотива, передней и задней тележек, выражаются в виде:
{иь} = [уьфьфь]г;	(7.22)
{ипНи/(1<р(ЛнГ;	(7.23)
{U(2} == [уa <Pt2 ФггИ-	(7-24)
Относительные перемещения центральной ступени подвешивания между кузовом и двумя тележками в поперечном и вертикальном направлениях задаются векторами {Uj} и {U2}:
{U>}=[7’(]{U(J-[7’w|{Ub}.	(7.25)
Матрицы переноса [Т(1 и [Ть] имеют вид:
	1		0 '	
[Tf] =	0 1	—ь2 ^1	0 0	(7.26)
	_0		0 ..	
	"1	/l2	L~	
Гм!	0 1		^2 	^2	0 L	;	(7.27)
	_0	^2	0 _	
	"1	/I2	— L	
[ТЬ21 =	0 1	— /l2	0 — L	(7.28)
	Q	^2	0.	
243
(7.30)
(7.31)
Вектор перемещения для {Uh} колесной пары имеет вид:
{<Л} = [^1Г,	(7.29)
а перемещения {Uft} рамы тележки относительно k-тл оси записываются с помощью следующего выражения, справедливого для передней тележкн:
{Uft} = [7’a]{0ft}-(7\]{U(1);
k= 1,2.
Аналогично для задней тележки можно записать
ОМ= [TjfDj-[Tft]{u12};
k = 3,4.
Матрицы перехода имеют вид:
"1 0 '
Т’   0 0 “	1 о ’
„о 0.
"1 ht
[7\] = 0 ЬГ	0	;
о ht
.0 bt	0
k = 1,2...4.
(7.32)
(7.33)
Если известны векторы перемещений для элементов иадбуксовой и центральной ступеней рессорного подвешивания, то можно составить выражение для кинетической, потенциальной и диссипативной энергий системы.
Кинетическая энергия Ец для системы четырехосного локомотива записывается следующим образом:
Ек = —
К 2
< = 1
+	(7.34)
k=\	J
где [Mb], [AfJ и [Mw] — диагональные матрицы кузова локомотива, тележек и колесных пар соответственно.
244
Аналогично можно записать выражение для потенциальной энергии всей системы
(7.35)
где [Ksl и [Кр] — диагональные матрицы жесткости центральной и надбуксовой ступеней рессорного подвешивания для жесткости системы подрессо-ривання в поперечном и вертикальном направлениях.
Диссипативная энергия ED системы записывается в виде:
(7.36)
где [£>s] н [Dpi — диагональные демпфирующие матрицы центральной и надбуксовой ступеней рессорного подвешивания для демпфирования системы под-рессоривания в поперечном и вертикальном направлениях.
Вектор обобщенных перемещений системы записывается в виде
{q} = [Уъ Уг, Ул, У*, Фь Ф2, Фз» Ф4, Уа, Уп, Фн, Ф/г, Фп, Ф<2, Уь, Фь, ФьГ-
Применяя уравнение Лагранжа к каждой обобщенной координате (см. рис. 7.1), можно с помощью вектора обобщенных перемещений записать уравнения колебаний системы четырехосного локомотива. Эти уравнения в матричном виде
[М] {х) +[С'] {х}+ [К'| {х) =	,	(7.37)
где [Л4], [С'| н [К'1—квадратные матрицы размером 17 X 17, которые представляют собой матрицы масс, демпфирующую матрицу, матрицу жесткости системы соответственно; {QJ — вектор, состоящий из восьми элементов, является вектором обобщенных снл, действующих между колесами и рельсами.
Выражения для этих сил имеют вид
{Q) = -{Uft}—lCg|{Uft},	<7.38)
где IKgl и [Cg] —диагональные матрицы жесткости н демпфирующая матрица соответственно взаимодействия колеса и рельса.
Элементы этих матриц содержат вклад как сил тяжести, так сил крипа, обусловленных разницей скоростей деформации колеса и рельса в области их взаимодействия:
(7.39)
245
Для изолированной колесной пары можно записать матрицы [&gl и [Cgl в виде (см. работу 15]:
— fn
— Mg
(7.40>
где Fg и Mg — жесткости, обусловленные силой тяжести при колебаниях бокового отиоса и вилянии, которые зависят главным образом от формы обода колеса и профиля рельса.
Упрощенные выражения для Fg и М„ даются с помощью формул (5.54) и (5.58) соответственно в разделе 5.4. Параметры взаимодействия колеса и рельса е и X определяются с помощью формул (7.5а) и (7.56) соответственно.
Аналогично определяется матрица
{Cg] = _2_f
v L—/12 (я2/зз +/22) J
(7.41)
где /и, f14, fi2 и f33 — коэффициенты крипа, указанные в обозначениях.
Подставляя выражение (7.38) в формулу (7.37), после преобразований можно получить
lM]{x} + [C|{x) + IW} = {0).
(7.42)
где {0} — 17-компоиентный вектор, у которого все компоненты равны нулю.
7.4.2.1. Уравнения колебаний. В данном разделе представлены дифференциальные уравнения колебаний четырехосного локомотива. Для сокращения записи этих уравнений в них не приводятся члены, которыми описывается вклад элементов вязкого демпфирования надбуксовой и центральной ступеней рессорного подвешивания. Вид демпфирующих членов аналогичен виду жесткостных членов, входящих в данные уравнения колебаний.
Полностью приведены члены, представляющие силы крипа и силы тяжести. Уравнения колебаний колесных пар, рам тележек и кузова локомотива записываются следующим образом:
1.	Колебания бокового относа колесной пары у, (j = 1, i = 1 или 2; / = 2, i = 3 или 4)
Ми, Hi + Кум (Ui— Уи^- btytj —	<pf;)-|- kgyt +
+ 2/и

(7.43)
Верхний знак в уравнениях колебаний относится к передним колесным парам (I = 1 или 3) передней тележки (/ = 1) и задней тележки (/ = 2), в то время как нижний знак соответствует задним колесным парам (i — 2 или 4) передней и задней тележек.
246
2.	Колебания виляния колесной пары Ч,- (/ = 1, i - 1 или 2, j =• 2. г = 3 или 4)
/«.• Ч. +	(Ч;—Чо) — cg Ч/ + Мзз I — +	~
[ Г0	v
— У™ "L -j, 2/аа Г-^----^-1 = 0.	(7.44)
и	и аг0
3.	Колебания бокового относа тележки у и (i — 1, j — 1, i — 2, / = 3)
mt Уа — Kyw [у}А- Уа+i) — 2 (yti + ht <p/;)] +
+ Kvt \Уи— Ф,« "F 7-Чь— ^2 Фь—Уь\ ~ 0-	(7-45)
В представленных ниже уравнениях (7.46), а также в уравнении (7.45) верхний знак используется для передней тележки (i = 1), а нижний знак соответствует задней тележке (i = 2).
4.	Колебания боковой качки тележки tpti (i = 1; j — 1; i = 2, j = 3)
Jttyti + Kflw ф/i + Ket) (ф</— Фь) Kyt (Уо ф(* ”F 7-4b ^2 Фь ~~Уъ) ~ — ht Kyu: \У] + ytj+v—2 (yti+ ht фп)) = o.	(7.46)
5.	Колебания виляния тележки Ч/i (/ = 1» । = 1, « = 2, j = 3);
Л4f,—K^w |(Ч/ +Ч<7+1)) — 24\i) — bKyw [(уj — Уа+i)) — 2bif(i 1 +
+ Л\н(Чн— Чь) = 0-	(7-47)
6.	Колебания бокового относа кузова локомотива уь
тЬ Уъ — Kyt КУа-г Уtzf — fh (q>(1+ <р(2) — 2 (Л2 <рь + //ь)]	0. (7.48)
7.	Колебания боковой качки кузова локомотива <рь
Jb Фь— -Ко, [Фп + Фе2—2q>b] — Kyt h2 [уЛ + yt2—(<р(1 + <р(2) — -2(62Фь + */ь)1 = 0.	(7.49)
8.	Колебания виляния кузова локомотива Чь
7ь Чь —	|Чн + 4t2— 2Чь1 LKyl [уп — yi2—
— МФ/i —Фег) —2£Чь1 = 0-	(7-50)
7.4.3. Уравнения колебаний шестиосного локомотива. В данном разделе выводятся уравнения колебаний для модели колебаний виляния шестиосного локомотива. Шестиосиый локомотив схематически изображен на рис. 7.5. Как было указано выше в данном разделе, предполагается, что шестиосный локомотив обладает 21 степенью свободы (табл. 7.3).
247
Таблица 7.3. Степени свободы модели поперечной устойчивости шестиосного локомотива
Элемент	Тип колебаний		
	Боковой отиос	Боковая качка	Виляние
Первая ось передней тележки	У1	—	Ф1
Вторая ось передней тележки	Уг	—	Фа
Третья ось передней тележки	Уз	—	Фз
Четвертая ось задней тележки	У»	—	Ф«
Пятая ось задней тележки	Уз	—	Ф',
Шестая ось задней тележки	Уз	—	Фе
Передняя тележка	Уп	ф/1	Фн
Задняя тележка	Ун	ф<2	Ф«2
Кузов локомотива	УЬ	фь	Фь
Ниже будет представлен краткий вывод уравнений колебаний, затем будут приведены фактические уравнения колебаний.
Поперечные перемещения, перемещения при боковой качке и перемещения при вилянии кузова локомотива относительно двух тележек можно записать следующим образом (при i = 1 или 2) (см. рис. 7.5) ии —Ун—Фн— (Уь ±	+ <рь);
6ii = <₽(i —Фг>; =	— Фь-	(7-51)
Рис. 7.5. Модель поперечной устойчивости шестиосного локомотива:
а — вид в плане; б — внд сбоку; в — вид сзади; 1 — задняя тележка; 2 — передняя тележка 248
Верхний знак используется для передней тележки (i = 1), в то время как нижний знак соответствует задней тележке (i = 2). Аналогично можно записать выражения для перемещения при боковом относе и при вилянии тележек относительно колесных пар
-(уп ±aI-4’(i + /i;<pn);	(7.52)
t = 1,2,3;
и, --Vt — <У(7.53) i = 4, 5, 6;
Юг=М’<~ 4’//	(7-54)
1 = 1,2.6.
В выражениях (7.52) и (7.53) верхний знак используется для первых двух осей передней и задней тележек (г 1, 2, 4 или 5), а нижний знак соответствует задним осям (г = 3 или 6). В выражении (7.54) j = 1 при i = l, 2, 3, а / = 2 при 1 = 4, 5, 6,
Выражение для кинетической энергии Ед системы дается в виде:
Ед
У {y'i + /4т2} + j {tntyl +If 4’u 1 Jt 4>l} +
i 1
+ (mb y‘b + h>4’b f-A<Pfc) •	(7.55)
Потенциальная энергия всей системы Ер записывается следующим образом:
Е
V	V {Л.Х/ +
i - 1	i 1
+	w?,- i- Лег 0,/+ ЛошФ?/} •	(7.56)
Аналогично можно получить выражение для диссипативной энергии Ео для системы в целом. Вид членов выражения диссипативной энергии аналогичен виду членов выражения потенциальной энергии Ер (7.56).
Выражения для обобщенных сил и моментов, действующих между рельсами и колесами, аналогичны выражениям, которые были приведены в разделе 7.4.2. Вот их вид:
2/„Г-^---4’i	(7-57)
V	I	V
249
(7.58)
здесь i ----=- 1,2, .... 6, а параметры Fg, Мк, X и е определены в разделе 7.4.2.
Применяя уравнение Лагранжа (см. рис. 7.5) к каждой из обобщенных координат с помощью вектора обобщенных перемещений системы вида
{Ч<}= 1У1, Уг, У:„ У*, Уб, Уч,
Фг, Фг, Фз, Фг, Фь, Фе,
Уц, У/2, Ч’#1» Фег, Фн>
Ф(г, Уь, Фь, ФьГ,
можно получить21 уравнение колебаний шестиосной локомотивной системы. Эти уравнения можно выразить в следующем матричном виде: |M|{x} + )C'|{x}	' !-£Ч,	(7-59)
I I Г i I '
где [All, (C'J и |К'1 — квадратные матрицы размером 21x21, представляющие собой матрицу масс, демпфирующую матрицу и матрицу жесткости системы соответственно; {F;} — 12-элементный вектор, представляющий обобщенные силы, содержащие вклад жесткости, обусловленный силами тяжести прн колебаниях (бокового относа и внлянии) и крипа (см. раздел 7.4.2). Поэтому уравнение (7.59) может быть преобразовано к виду
[М]{х} + [С]{х} + [^{х}=|0],
(7.60)
где {0) — 21-компонентный вектор, у которого все компоненты равны нулю.
7.4.3.1. Уравнения колебаний. В данном разделе представлены фактические дифференциальные уравнения колебаний шестиосного локомотива. Для сокращения записи этих уравнений колебаний в них не показаны члены, учитывающие элементы вязкого демпфирования надбуксовой и центральной ступеней системы рессорного подвешивания.
Вид этих демпфирующих членов аналогичен виду членов, учитывающих жесткость в уравнениях колебаний. Члены, обусловленные крипом или силой тяжести, приведены полностью. Уравнения колебаний колесных пар, рам тележек, а также кузова локомотива записываются следующим образом.
1.	Колебания бокового относа колесной пары yt (j — 1, i ----- 1, 2, или 3; j =- 2, i 4, 5 или 6):
mu- yt + Kyw (yt — уц + at Фи) +
+ 2/n
V	V
(7.61)
250
Верхний знак используется при i - 1,2,4, 5, в то время как нижний знак соответствует i = 3 или 6.
2.	Колебания виляния колесной пары\\ч (/= 1, i =- 1,2 или 3; j ----- 2, i = 4, 5 или 6):
1 ш	1" Kqw (47i	Ф/ j) И- 2d/зз
ra v
— 2/22 [----------I - .И, О-
v	агй v
(7.62)
3.	Колебания бокового относа тележки yti (/ = 1, k = 1, i ~- 2, k = 4):
fnt УU —
-fr+2
Ух —3(у,г
— (fli + a2 — a9)
k
— Kyt \Уи — Уь — hi Фи —^2 Фь "F М’ь1 = 0.
(7.63)
Верхний и нижний знаки в уравнении (7.63) используются для передней (i - 1) и задней (i = 2) тележек соответственно.
4.	Колебания боковой качки тележки <fti (i = 1, j = 1, i = 2, / = 4):
J t Ф/i +	ф(; 4- Ket (Ф(2 — фь)—^Kyttyp — Уь /ь фь-t-7л|’ь ^1Ф;/)
hf Куй-
+ 2
2 У1 — 3(Уй T-ht	— ip(i (di +аг—a3)] = 0. (7.64)
i
Верхний знак используется для передней тележки (t = 1), в то время как нижний знак соответствует задней тележке (г-~ 2).
5.	Колебания виляния тележки ф(г (/ = 1, j = 1, i = 2, j 4):
7,%- —£ t, — 3ip(, j + Kw (Ф,,- — ipb) —
—ai Kyw(yt—yti~ai ^ti~hf a2 Kyw (yi+i —yti~a2ipti-ht qti) +
-T- аЛ Kvu- (yj+2—ytt + a3 4>ti) = °-	<7-65)
Уравнения колебаний бокового относа, боковой качки и виляния кузова шестиосного локомотива имеют тот же вид, что соответствующие уравнения колебаний четырехосного локомотива, заданных уравнениями (7.48) — (7.50), соответственно. Таким образом, эти три уравнения колебаний кузова локомотива сохраняют силу как для четырехосного, так и для шестиосного локомотива.
В работах (5] и (61 было получено характеристическое уравнение, основанное на уравнениях колебаний как для модели четырехосного, так и для модели шестиосного локомотива. Это уравнение зависит от скорости локомотива.
Для определения собственных значений и соответствующих собственных векторов характеристического уравнения с помощью методов, 251
Рис. 7.6. Изменение степени демпфирования Ц форм вынужденных колебаний шестиосного локомотива:
/ — степень демпфирования колебаний бокового относа тележки; 2 — то же боковой качки тележки; 3 — то же бокового относа колесной пары; 4—то же бокового относа кузова; 5 — критическая скорость; 6 — область устойчивости; 7 — область неустойчивости
Рис. 7.7. Изменение частот •0' форм вынужденных колебаний шестиосного локомотива:
I — изменение частоты колебаний бокового отиоса колесной пары; 2 — то же бокового относа тележки; 3— то же бокового относа кузова
Рис. 7.8. Зависимость критической скорости »кр от эффективной конич-ности X колесной пары
описанных во главе 2, была составлена на языке Фортран математическая программа. С помощью этой математической программы можно определить критическую скорость, являющуюся скоростью, совпадающей с началом неустойчивости.
7.4.4. Параметрическое исследование извилистого движения локомотива. Представлены результаты варьирования параметра предполагаемой конструкции шестиосного локомотива с целью показать эффективность применения модели извилистого движения локомотива в качестве расчетного инструмента. Данные для основной конфигурации локомотива взяты из работы [5]. Особое внимание уделено поперечной устойчивости локомотивов, это вызвано тем, что повышенные нагрузки на ось локомотивов современных конструкций приводят к возрастанию сил взаимодействия колеса с рельсом и, таким образом, увеличивается возможность повреждения экипажа и конструкции пути во время извилистого движения.
Определяется характер динамической реакции основной конструкции, затем проводится варьирование параметров системы рессорного подвешивания и масс экипажа для установления путей улучшения поперечной устойчивости.
На рис. 7.6 и 7.7 приведены данные об изменении степени демпфирования и частот соответственно в зависимости от скорости локомотива для основного локомотива. Неустойчивость наступает при скорости 195 км/ч при наименее за-демпфированной (неустойчивой) форме колебаний, которой является колебание бокового относа колесной пары. Собственная частота неустой
252
чивой формы колебаний была равной 1,4 Гц при наибольших колебаниях бокового относа, происходивших на набегающей оси.
Как показано на рис. 7.8, критическая скорость обратно пропорциональна эффективной коничности колесной пары. С увеличением эффективной коничности от 1/2й До 1/J0 происходит уменьшение критической скорости до 138 км/ч. Износ колеса приводит к увеличению коничности, а следовательно, характеристики нового локомотива должны быть скорректированы с помощью изменения профиля колес. Как показали экспериментальные исследования [7] и [8], изнашивание будет приводить к тому, что профиль начнет приобретать форму однородного износа независимо от характеристик исходного профиля нового колеса. Кроме того, как показали наблюдения, профиль колеса с ко-ничностью Vjo будет при износе приближаться к профилю колеса, имеющего коничность, лежащую в диапазоне от V10 до Ve.
Как показано на рис. 7.9, увеличение жесткости надбуксовой ступени рессорного подвешивания при колебаниях бокового относа приводит к улучшению устойчивости. 40%-ное увеличение жесткости при колебаниях бокового относа до значения 1,23 МН/м приводит к увеличению критической скорости до 223 км/ч. Повышенная связанность колесной пары и рамы тележки усиливает колебания бокового относа и увеличивает критическую скорость. Судя по рис. 7.10, увеличение коэффициента демпфирования колебаний бокового относа надбуксовой ступени рессорного подвеши вания также вызывает улучшение устойчивости.
Рис. 7.9. Зависимость критической скорости цкр от жесткости Kyw над-буксовой ступени рессорного подвешивания при колебаниях бокового относа
Рис. 7.10. Зависимость критической скорости пкр от коэффициента демпфирования С иадбуксовой и центральной ступеней рессорного подвешивания при колебаниях бокового относа:
1 — Cyw — надбуксовая ступень; 2 — Cyt — центральная ступень
Отношение изменяемого параметра н параметру основного Варианта , °/°
Рис. 7.11. Зависимость критической скорости цКр от относительных инерционных параметров:
/ — отношение массы кузова к массе ку-зова основного варианта; 2 — отношение момента инерции кузова к моменту инерции основного варианта кузова при колебаниях боковой качки: 3 — то же при колебаниях виляния
253
Отношение изменяемого параметра н пара-	Нрип одного нолеса мн
метру основного варианта °/°	f
Рис. 7.12
Рис. 7.13
Рис. 7.12, Зависимость критической скорости vKp от относительных инерционных параметров:
I — отношение массы рамы тележки к массе тележки основного варианта; 2 — отношение момента инерции рамы тележки к моменту инерции рамы тележки основного варианта при колебаниях виляния; 3 — то же колесной пары к моменту инерции колесной пары основного варианта при колебаниях виляния; 4—то же тележки к моменту инерции тележки основного варианта при колебаниях боковой качкн
Рис. 7.13. Зависимость критической скорости иКР от:
I — поперечного крипа; 2 — продольного крипа
Изменение коэффициента демпфирования колебаний бокового относа от 30 до 90 кНс/м приводит к увеличению критической скорости от 182 до 206 км/ч. Однако колебания бокового относа, по-видимому, нечувствительны к изменениям коэффициента демпфирования колебаний бокового относа центральной ступени рессорного подвешивания. Как следует из данных рис. 7.11, изменение параметров массы кузова локомотива и момента инерции не оказывает влияния на устойчивость локомотива. 100 %-ное увеличение момента инерции кузова при колебаниях виляния уменьшает критическую скорость всего на 2 %. Судя по рис. 7.12, критическая скорость локомотива проявляет большую чувствительность к изменению инерционных параметров тележки. Увеличение момента инерции при колебаниях виляния на 50 % снижает критическую скорость от 195 до 170 км/ч.
Изменение массы и моментов инерции при колебаниях боковой качки тележки слабо влияет на критическую скорость. 50 %-ное увеличение момента инерции колесной пары при колебаниях виляния уменьшает критическую скорость от 195 до 186 км/ч.
На рис. 7.13 показано влияние изменений параметров продольного и поперечного крипов на критическую скорость. Увеличение поперечного крипа с 8,9 до 26,7 МН приводит к соответствующему увеличению критической скорости от 175 до 195 км/ч. Аналогичное изменение продольного крипа приводит к уменьшению критической скорости от 243 до 177 км/ч.
Можно придти к заключению, что эффективная коничность и жесткость системы рессорного подвешивания колесной пары при боковом 254
относе являются важнейшими параметрами, определяющими устойчивость локомотива. Оба эти параметра также существенно сказываются и на характеристиках локомотива при движении по кривой. Следует отметить, что оба требования по удовлетворительным условиям движения по кривой — обеспечение достаточно большого увеличения радиуса круга катания обода и наличие малой жесткости рессорного подвешивания колесной пары при боковом относе — противоречат требованиям по обеспечению поперечной устойчивости. Легче поддаются модификации инерционные параметры тележки и колесной пары. При проектировании высокоскоростных локомотивов находит применение подвешивание электродвигателя на рамах тележки в противовес традиционному подвешиванию электродвигателя на оси с целью уменьшения момента инерции колесной пары при колебаниях виляния.
Преимуществом обладает также расположение элементов системы подвешивания электродвигателя как можно ближе к центру вращения тележки. В последнее время некоторые локомотивостроители делают тележки с отдельным центрально подвешенным электродвигателем. Предлагаются конструкции локомотивов с подвешиванием электродвигателя в кузове локомотива для дальнейшего уменьшения момента инерции тележки.
7.5. МОДЕЛЬ ПОПЕРЕЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПАССАЖИРСКОГО ВАГОНА 1
Для того чтобы исследовать поперечную устойчивость пассажирского вагона, в данном разделе применяется модель поперечной динамики с 15 степенями свободы пассажирского вагона, которая была составлена в разделе 6.4. Для определения поперечной устойчивости решается задача о свободных колебаниях, которая соответствует уравнению колебаний (6.81) предыдущей главы. Для сокращения изложения уравнение колебаний снова здесь не повторяется. Решение задачи о свободных колебаниях получается с помощью метода решения задачи о собственных значениях, которая описана в разделе 1.6.
Приводятся результаты параметрического исследования критической скорости пассажирского вагона для той же конструкции вагона, которая рассматривалась при исследовании динамики поперечных вынужденных колебаний в разделе 6.4.3.
7.5.1. Параметрическое исследование устойчивости пассажирского вагона. В данном разделе изложены результаты изменения параметров, используемых для исследования влияния параметров системы рессорного подвешивания на критическую скорость извилистого движения. Для оценки характеристик конструкции пассажирского вагона AMTRAK применяется модель пассажирского вагона с 15 степенями свободы. Параметры основного варианта приведены в работе [9].
1 См. работу [9].
255
Так как интересно проследить, как влияет износ колеса на характеристики вагона, приводятся параметры взаимодействия колеса и рельса как для нового профиля колеса, так и для профиля колеса с небольшим износом. Принимается, что американский пассажирский вагон оборудован обычными неуправляемыми тележками.
Для определения устойчивости железнодорожного экипажа в зависимости от скорости вычисляют степени демпфирования главных форм колебаний железнодорожного экипажа, как показано на рис. 7.14. Степень демпфирования обращается в нуль для связанных колебаний бокового относа тележки и колесной пары при скорости 630 км/ч, которая является критической скоростью железнодорожного экипажа. Столь большая критическая скорость является следствием жесткой надбуксовой ступени рессорного подвешивания и малой коничности профиля нового колеса. Судя по собственному вектору, который соответствует неустойчивой форме колебаний, тележки и колесные пары совершают колебания в одной фазе, в то время как колебания бокового относа кузова имеют сдвиг по фазе, равный 135°. Колебания виляния железнодорожного экипажа пренебрежимо малы. Собственная частота неустойчивой формы колебаний при скорости движения 630 км/ч равна 5,7 Гц.
Вследствие жесткой надбуксовой ступени рессорного подвешивания частота колебания бокового относа является близким приближением частоты кинематических колебаний жесткой тележки. Выражение для частоты кинематических колебаний записывается в виде
_ V Г X 11 / 2 2л I аг0 [ 1 + Л2/а2] ]
(7.66)
Частота кинематических колебаний при расчете по этой формуле для скорости 630 км/ч составляет 5,26 Гц. Частоты низких собственных форм колебаний кузова вагона указывают на то, что жесткость и коэффициент демпфирования центральной ступени рессорного подвешивания существенно усиливают высокочастотные колебания бокового относа тележки. Как уже указывалось ранее, достижение большой критической скорости является частично следствием жесткой надбуксовой ступени рессорного подвешивания. С целью исследования влияния жесткости над-
Рис. 7.14. Степень демпфирования ц форм вынужденных поперечных колебаний пассажирского вагона (взято из работы [9]) в зависимости от скорости V.
1 — боковой относ и виляние колесной пары; 2 -- боковой относ тележки и колесной пары; 3 — боковая качка вагона; 4 - боковой относ вагона
256
Рис. 7.15. Зависимость критической скорости Опр от жесткости Л™ надбуксовой ступени рессорного подвешивания при колебаниях подергивания:
I жесткость для основного варианта вагона (взято из работы (91 >
буксовой ступени рессорного подвешивания при колебаниях подергивания и бокового относа было проведено варьирование соответствующих параметров. Жесткость надбуксовой ступени рессорного подвешивания при колебаниях подергивания ограничивает колебания виляния колесной пары, в то время как жесткость надбуксовой ступени рессорного подвешивания при колебаниях бокового относа ограничивает поперечное смещение.
Как показано на рис. 7.15, жесткость, соответствующая колебаниям подергивания, является главным фактором, влияющим на критическую скорость. Критическая скорость уменьшается в 2 раза при 25%-ном уменьшении жесткости основного варианта, соответствующей колебаниям подергивания. При небольших значениях этой жесткости критическая скорость приближается к диапазону эксплуатационных скоростей. При малых значениях жесткости колесная пара ведет себя как колесная пара без связей, что приводит к нулевой критической скорости. При большой жесткости, соответствующей колебаниям подергивания, тележка становится жесткой, и критическая скорость определяется стабилизирующим фактором центральной ступени подвешивания. Оптимальное значение было найдено при жесткости, равной примерно 14,6 МН/м. Это значение, однако, может оказаться недопустимо большим, так как оно может помешать колесной паре занять положение в радиальном направлении при движении на криволинейном участке пути.
Влияние жесткости надбуксовой ступени рессорного подвешивания, соответствующей колебаниям бокового относа, показано на рис. 7.16. Увеличение жесткости, соответствующей колебаниям бокового относа за пределами 146 кН/м, первоначально приводит к постепенному возрастанию критической скорости. Однако при значениях свыше 1,46 МН/м система становится относительно нечувствительной к этому параметру. Как можно видеть из рис.7.16, жесткость основного варианта, соответствующая колебаниям бокового относа, уже выходит за оптимальное значение. При малых значениях жесткости, соответствующих колебаниям бокового относа, неустойчивые колебания бокового относа колесной пары меняют свою форму. Колебания бокового относа колесной пары и тележки распадаются по мере уменьшения жесткости. При 9 Зак. 1073	257
больших значениях жесткости, соответствующих колебаниям бокового относа, поперечная связанность колесной пары и тележки увеличивается. В этом случае снова достигается жесткая конфигурация тележки, и колебания виляния будут определяться характеристиками центральной ступени рессорного подвешивания.
Для исследования влияния колебаний виляния тележки на колебания кузова вагона варьировался другой параметр, с помощью которого отслеживался вклад жесткости и демпфирования центральной ступени подвешивания при колебаниях виляния. Зависимость жесткости центральной ступени подвешивания соответствующей колебаниям виляния, от критической скорости приведена на рис. 7.17. После жесткости, равной 13,6 МНм/рад, критическая скорость постоянно возрастает. При малых значениях жесткости, соответствующей колебаниям виляния, колебания виляния тележки и кузова вагона распадаются, и жесткость, соответствующая колебаниям виляния, слабо сказывается на устойчивости.
Когда жесткость, соответствующая колебаниям виляния, составляет 136 кНм/рад, критическая скорость достигает 465 км/ч, при этом кузов вагона и тележки совершают колебания виляния в различных фазах по отношению друг к другу. Более высокая жесткость приводит к синфазности колебаний виляния. Колебания бокового относа кузова вагона еще больше усиливаются за счет центральной ступени рессорного подвешивания по мере того, как более высокая жесткость при колебаниях виляния увеличивает собственную частоту колебаний тележки. При весьма значительных жесткостях, соответствующих колебаниям виляния, тележка становится жестко связанной с кузовом вагона, а благодаря массе кузова вагона происходит ограничение извилистого движения. Однако придание большей жесткости, соответствующей колебаниям виляния, практически неприемлемо из-за требований к ус-
Рис. 7.17
Рис. 7.16
Рис. 7.16. Зависимость критической скорости vKp от жесткости K.Vw иадбуксовой ступени рессорного подвешивания при колебаниях бокового относа:
1 — жесткость для основного варианта вагона (взято из работы [9))
Рис. 7.17. Зависимость критической скорости окр от жесткости K^t центральной ступени рессорного подвешивания при колебаниях виляиия:
1 — жесткость для основного варианта (взято из работы [9])
258
Рис, 7.18. Зависимость критической скорости с'кр от коэффициента демпфирования центральной ступени рессорного подвешивания при колебаниях виляния:
800 
/ — коэффициент демпфирования основного варианта (взято из работы [9])
2-Юг510г 2-10!5-10! l-W25-W'> 2-W5 5-Щ!
ловиям движения на криволинейном участке. Влияние коэффициента демпфирования колебаний виляния центральной ступени рессорного подвешивания показано на рис. 7.18. По-видимому, критическая скорость обладает относительно слабой чувствительностью по отношению к коэффициенту демпфирования при небольших значениях последнего. Аналогичное увеличение, которое имело место при изменениях параметра жесткости, наблюдается для критической скорости по мере увеличения коэффициента демпфирования.
В заключение рассматривается вариация параметра, представляющего особое значение, а именно, анализируется влияние изношенного профиля колеса на критическую скорость.
Хотя вагон, поступающий в эксплуатацию с новыми профилями колес, может первоначально обнаруживать удовлетворительные эксплуатационные характеристики, износ колеса может в конце концов привести к резкому снижению критической скорости, при которой вагон становится неустойчивым при эксплуатационных скоростях.
Небольшой износ профиля колес у основного железнодорожного экипажа приводит к снижению скорости до 304 км/ч. При незначительной жесткости надбуксовой ступени рессорного подвешивания износ колеса может привести к тому, что критическая скорость попадает в диапазон эксплуатационных скоростей.
Колебания извилистого движения при наличии износа колесной пары переходят в связанные колебания бокового относа и виляния колесной пары. Увеличение коничности с 1/20 до 1/5 приводит к возрастанию связанности форм колебаний бокового относа и виляния. Собственная частота колебаний тележки увеличивается до 6,9 Гц, в то время как расчетная частота кинематических колебаний равна 5,09 Гц.
7.6.	РЕЗЮМЕ
В данной главе были представлены математические модели для определения поперечной устойчивости железнодорожных экипажей на прямолинейном участке пути. Для исследования извилистого движения грузового вагона на прямолинейном участке пути была разработана линейная модель с 25 степенями свободы. Были представлены уравнения колебаний системы грузового вагона; для установления критиче-9*	259
ской скорости извилистого движения и соответствующих форм колебаний виляния применяется метод решения задачи иа собственные значения и собственные векторы.
Кроме этого, приведены модель с 17 степенями свободы для четырехосного локомотива, модель с 21 степенью свободы для шестиосного локомотива и уравнения колебаний для каждой из указанных моделей.
Рассмотрены результаты исследований влияния различных параметров извилистого движения шестиосного локомотива. Для исследования поперечной устойчивости пассажирского вагона на прямолинейном участке пути рассмотрена линейная модель с 15 степенями свободы. Представлены также исследования влияния различных параметров и соответствующие результаты по поперечной устойчивости пассажирского вагона такого типа. Применяли модели, носившие в основном линейный характер; таким образом, с их помощью можно получить качественные результаты. Для проведения подробного исследования поперечной устойчивости экипажа более подходящими оказались бы нелинейные модели.
Список литературы
1.	Н u s s a i п S. М. A., SinghS. Р., G а г g V. К. Technical Documentation for the Freight Car Linear Hunting Model. — Research Report R-160. Association of American Railroads, Chicago. 1980, December.
2.	D a r t e n N. J. Field Test for Truck Hunting Model Validation. — Research Report R-378, Association of American Railroads, Chicago, 1980, January.
3.	Darien N. R. Measurement Methodology ad Instrumentation for Freight Car Dynamic Model Validation Field Test. — Research Report. Association of American Railroads, Chicago, 1976.
4.	T s e Y. H., G a г g V. K., L о A. Validation of the Freight Car Hunting (Nonlinear/Linear) Model.— Research Report R-324, Association of American Railroads, Chicago, 1979, May.
5.	G a r g V. К., M a r t i n G. С., H a r t m a n n P. W., T о 1 о m e i J.G. Technical Documentation for the Locomotive Truck Hunting Model. — Research Report R-219, Association of American Railroads. Chicago, 1976.
6.	Hartmann P. W., G a r g V. K. Programming Manual for Locomotive Truck Hunting. — Research Report R-278, Association of American Railroads, Chicago, 1977, September.
7.	К i n g B. L. An Assessment to the Contact Conditions between Worn Tyres and New Rails in Straight Track. — Research Report DYN 42, British Railways, Derby, England. 1966, December.
8.	К i n g B. L. An Evaluation of the Contact Conditions between a Pair of Worn Rails in Straight Track. — Research Report DYN'37, British Railways, Derby, England, 1966, September.
9.	HedrickJ. K., Wormley D. N., Kar A. K., Murray W., В a-u m W. Performance Limits of Rail Passenger Vehicles: Evaluation and Optimization. — Report DOT-SPA-DPB-50-79-32. U. S. Department of Transportation, Washington, D. C., 1979, December.
260
Список дополнительной литературы
D о у 1 е G. R., Р г a u s е R. Н. Hunting stability of rail vehicles with torsionally flexible wheelsets. — Transactions of American Society of Mechanical Engineers. Journal of engineers for industry, 1977, v. 99, N. 1, pp. 10—17.
Lind E. F. Truck and Car Body Characterizarion. — Research Report R-186, Association of American Railroads, Chicago, 1976, March.
Matsudaira T. Hunting problem of high-speed railway vehicle with special reference to bogie design for the new’ Takaido line. — Proceedings of he Institution of Mechanical Engineers, 1965—1966, v. 180, part 3F.
Matsudaira T., M a t s u i N., A r a i S., Y о k о s e K. Problems of hunting of railway vehicle on test stand. — Transactions of American Society of mechanical engineers. Journal of engineers gor industry, 1969, v. 91, N. 3, pp. 879—890.
W i c k e n s A. H. The dynamics of railway vehicles on straight tracks: fundamental considerations of lateral stability. — Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, 1965—1966, v. 180, part 3F.
8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЭКИПАЖЕЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ
 НА КРИВОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ПУТИ
8.1.	ВВЕДЕНИЕ
При движении железнодорожного экипажа по кривой между колесами и рельсами развиваются значительные поперечные силы. Существуют два источника возникновения этих сил. К первому источнику относятся силы воздействия поезда, которые вызывают усилия в упряжных приборах. Вторым источником возникновения сил является динамическое взаимодействие экипажа и железнодорожного пути. Силы взаимодействия возникают благодаря кинематическим характеристикам профилированных колес и отсутствию равновесия между составляющими силами тяжести и центробежными силами. Правильное понимание механики движения на криволинейном участке и возникающих при этом сил взаимодействия важно как при проектировании систем рессорного подвешивания, так и при использовании эксплуатационных параметров, которые вызывают изменения поперечных сил, возникающих между колесами и рельсами. Эти поперечные силы являются главными факторами, вызывающими износ колес и рельсов. Кроме того, большие поперечные нагрузки в сочетании с небольшими вертикальными нагрузками могут вызвать накатывание гребня колеса на головку рельса или опрокидывание рельса при движении по кривой. Условия, приводящие к накатыванию гребня колеса на головку рельса и к опрокидыванию рельса, являются причиной многих случаев схода поезда с рельсов. Таким образом изучение механики движения железнодорожного экипажа на криволинейном участке необходимо не только для проектирования системы рессорного подвешивания, но также для обеспечения безопасности и эффективности движения поездов.
В настоящей главе будет рассмотрено построение и применение стационарных и динамических моделей грузовых вагонов, локомотивов и пассажирских вагонов. Сначала будут описаны стационарные и динамические модели типового грузового вагона при движении на криволинейном участке. Затем подробно рассмотрены две стационарные и динамические модели, применяемые к железнодорожным экипажам, имеющим жесткие конструкции тележек, таким, как локомотивы и пассажирские вагоны.
8.2.	КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ЭКИПАЖЕЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ НА КРИВОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ПУТИ
При составлении модели, предназначенной для изучения поведения железнодорожного экипажа на криволинейном участке, используются различные подходы исходя из конкретной ситуации.
Разработаны три следующих главных класса моделей, данные о которых приведены в различных публикациях.
1.	Модели, основанные на стационарном подходе. В этих моделях принимается, что движение по кривой продолжается достаточно долго, причем радиус Кривой и скорость движения постоянны, а все составные части экипажа перемещаются по идеальным круговым траекториям.
2.	Модели, основанные на кваэистационарном подходе. В данном случае экипаж движется по кривой произвольного радиуса, ио при этом ускорение движения экипажа не учитывается *. Динамические характеристики экипажа определяются в отдельных точках вдоль криволинейного участка пути с помощью наложения кинематических связей.
3.	Модели, основанные на динамическом подходе во временной области. В этом случае составляются уравнения, полностью описывающие движение системы железнодорожного экипажа, в которых учитываются произвольные кривизна железнодорожного пути, скорость и воздействия со стороны железнодорожного пути.
С целью определения перемещений, скоростей, ускорений различных частей экипажа и действующих на них сил, зависящих от времени, система этих уравнений решается с помощью методов численного интегрирования (рассмотренных в главе 2).
8.3.	ЭЛЕМЕНТЫ МОДЕЛЕЙ ЭКИПАЖЕЙ ПРИ ДВИЖЕНИИ НА КРИВОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ПУТИ
Ранее указывалось, что большинство железнодорожных экипажей обладают нелинейными элементами системы рессорного подвешивания и геометрические связи колеса и рельса также являются нелинейными.
Поэтому всякий аналитический метод исследования поведения железнодорожного экипажа на криволинейном участке свелся бы к построению нелинейной модели. При отсутствии неровностей пути и при стационарных условиях легко можно получить выражения моментов и сил взаимодействия экипажа и пути. Этот подход приводит к стационарным моделям движения экипажа на криволинейном участке пути. Такие модели весьма ценны на этапе проектирования для установления диапазонов изменения проектных параметров. Но во время входа на криволинейный участок пути и схода с него 1 2 и при наличии неровностей пути стационарные условия уже не соблюдаются. В таком случае для нссле-
1 Имеется в виду тангенциальное ускорение. — Прим. пер.
2 Имеется в виду движение по переходным кривым. — Прим. ред.
263
дования сил взаимодействия колеса и рельса нужна полная динамическая модель.
Таким образом выбор степеней свободы, нелинейных характеристик и характеристик неровностей железнодорожного пути при составлении модели зависят от назначения модели.
Выбор степеней свободы в модели экипажа при движении на криволинейном участке пути зависит от типа экипажа. Фактически при всех подходах к исследованию движения на криволинейном участке применяется гипотеза о твердом кузове железнодорожного экипажа. Обычно для характеристики движения экипажа требуется введение степеней свободы, связанных с боковым относом и вилянием кузова. Если возникает необходимость изучения неуравновешенного движения (при слишком большом или недостаточном возвышении наружного рельса), при построении модели следует также учитывать боковую качку кузова экипажа.
Тележки локомотивов и пассажирских вагонов обычно являются жесткими конструкциями и поэтому для представления их движений учет бокового относа и виляния был бы достаточным. Однако для тележек грузовых вагонов необходимо введение дополнительной степени свободы, соответствующей перекосу. Если в модели необходимо учесть неровности пути, тогда следует также допустить, что колесные пары обладают степенями свободы, которые соответствуют боковому относу и вилянию.
Как указывалось в предыдущих главах, нелинейность характеристик железнодорожных экипажей связана главным образом стремя следующими факторами: 1) с нелинейными характеристиками системы рессорного подвешивания, которые обусловлены свойствами рессор с жесткой и мягкой характеристиками восстанавливающей силы, наличием зазоров и сухим трением; 2) с соотношениями сил крипа; 3) с геометрическими характеристиками области взаимодействия колеса и рельса.
При построении большинства моделей, предназначенных для исследования движения на криволинейном участке, учитываются все эти нелинейные характеристики.
При построении стационарных моделей по крайней мере необходимо учитывать радиус кривизны и возвышение наружного рельса. При построении динамических моделей необходимо также учитывать неровности пути, обусловленные неправильностью рихтовки, поперечного уклона пути, а также неточностью разбивки элементов оси криволинейного участка. В большинстве стационарных моделей экипажей при движении на криволинейном участке пути рельсы принимаются твердыми; это допущение приводит, однако, в результате расчетов к нереально большим поперечным нагрузкам в условиях динамики во время входа на криволинейный участок или схода с него при наличии неровностей пути.
В таких случаях необходимо при построении модели учитывать упругие характеристики конструкции пути в вертикальном и поперечном 264
направлениях, а также проводить корректировку соотношений связей, накладываемых геометрическими условиями взаимодействия колеса и рельса, которая отражала бы эти упругие свойства.
8.4.	МОДЕЛЬ ГРУЗОВОГО ВАГОНА
ПРИ ДВИЖЕНИИ НА КРИВОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ПУТИ
8.4.1.	Стационарная модель1 2. При построении стационарной модели грузового вагона при движении на криволинейном участке пути для получения данных о поведении вагона на этом участке используются данные лишь о половине кузова вагона наряду с данными соответствующей вагонной тележки. В настоящем разделе рассматривается модель, при построении которой учитываются кривизна пути, недостаточный поперечный уклон профиля пути (приводящий к неуравновешенному движению экипажа), внешние поперечные силы, а также моменты, обусловленные вилянием и боковой качкой.
При построении модели учитываются следующие нелинейные эффекты: эффект, обусловленный взаимодействием колеса и рельса, наличием зазоров в элементах надбуксовой ступени рессорного подвешивания — насыщенностью силами крипа г, а также эффект, обусловленный предельным моментом, который возникает в центральной ступени подвешивания из-за виляния. Неровности пути в модели, однако, не учитываются.
8.4.1.1. Модель тележки. Тележка типового грузового вагона состоит из двух колесных пар, двух боковин и шкворневой балки. Между колесными парами и боковинами отсутствуют элементы рессорного подвешивания, соединительные элементы между ними выполнены в виде металлических контактных элементов. Но в некоторых конструкциях современных вагонных тележек с помощью эластомерных вкладышей устраивается некоторое подобие рессорного подвешивания между колесными парами и боковинами в вертикальном, поперечном и продольном направлениях. На рис. 8.1, а показана схема такой вагонной тележки в нормальном положении. На рис. 8.1, б изображена конфигурация вагонной тележки в смещенном положении. В модели принимается, что каждая из двух колесных пар обладает двумя степенями свободы: боковым относом и вилянием. Боковины и шкворневая балка моделируются твердыми телами, которые имеют также две степени свободы: боковой относ и виляние. Принимается, что кузов одной половины вагона обладает только одной степенью свободы — боковым относом, а его движение определяется условием взаимодействия тележки и кузова.
8.4.1.2. Обозначения, принятые в стационарной и динамической моделях. При построении моделей используются следующие обозначения:
1 См. работу [1].
2 Имеется в виду нелинейная зависимость силы крипа от крипа в окрестности перехода на плато. — Прим. пер.
265
2а — ширина колен; ав — ускорение шкворневой балки; ас — то же кузова вагона; а,—то же боковины; ат — то же относительной путевой системы координат; aw — то же колесной пары; 2Ь — база тележки; Сср — коэффициент эффективного демпфирования шкворневой балки; Срх — коэффициент демпфирования колебаний подергивания иадбуксовой ступени подвешивания; Сру — то же бокового относа надбуксовой ступени подвешивания; С,у — то же бокового относа центральной ступени подвешивания; Csz — то же подпрыгивания центральной ступени подвешивания; Ст—то же колебаний рельса; Cw—коэффициент эффективного демпфирования движения перекоса; 2d — расстояние между боковинами в поперечном направлении; d, — то же между вертикальными элементами центральной ступени подвешивания в поперечном направлении; Fgrav — силы упругости рессор, обусловленные силой тяжести; FL — вектор сил крипа на левом колесе; Fp — то же на правом колесе; FSIUp — сила в элементах подвешивания, действующая на колесную пару; Fy0 — сила трения в поперечном направлении, возникающая в момент контакта боковин со шкворневой балкой; Fz9— то же в вертикальном направлении, возникающая в момент контакта боковин со шкворневой балкой; [и — коэффициент поперечного крипа; flt — коэффициент сочетания поперечного крнпа с поворотным крипом; /аа — коэффициент поворотного крипа; /аа — коэффициент продольного крипа; g — ускорение свободного падения; Нв — вектор количества движения при вращении шкворневой балки вокруг своего центра тяжести; Нс — то же кузова вагона вокруг точки шарнирного закрепления; Hs — то же боковин вокруг нх центров тяжести; — то же колесной пары вокруг своего центра тяжести; Н9 — то же кузова вагона вокруг своего центра тяжести; Л — высота внешнего груза над осью колесной пары;
Рис. 8.1. Схема вагонной тележки грузового вагоиа:
а — в нормальной положении; б — в смещенном положении; / — ось железнодорожного пути; 2 —боковины вагонной тележки; 3 — колесная кара; 4 — прикрепление к кузову вагона;
5 — шкворневая балка
266
hB — высота центра тяжести шкворневой балки над осью колесной пары; hc — то же вагона над шкворневой балкой; hs — то же боковины над осью колесной пары; hT — высота точки шарнирного прикрепления кузова вагона над шкворневой балкой; Iв — момент инерции шкворневой балки; /с — то же кузова вагона; Is — то же боковин; — то же колесной пары; Кь — изгибная жесткость тележки между осями колесных пар; КСР — эффективная жесткость шкворневой балки; Крх — жесткость надбуксовой ступени подвешивания при колебаниях подергивания; Кру — то же при колебаниях бокового относа; Ка — жесткость тележки на сдвиг между осями колесных пар; Кзу — то же центральной ступени подвешивания при колебаниях бокового относа; Ка1 — то же при колебаниях подпрыгивания; К.т — жесткость рельса; — эффективная жесткость при движении перекоса; L — расстояние между подпятниками тележки; Mgrav — момент упругих сил, возникающих под действием сил тяжести; ML — момент сил крипа на левом колесе; Мр — момент сил крипа колесной пары; A4SUSp — момент сил в элементах подвешивания колесной пары; тв — масса шкворневой балки; тс — масса кузова вагона; т$ — масса боковины; т^, — масса колесной пары; Nl — вектор нормальной силы на левом колесе; Np — то же на правом колесе; Nt — вектор номинальной нормальной силы; R — радиус кривизны; Я в — перемещение центра тяжести шкворневой балкн; Яс —перемещение центра тяжести кузова вагона; RL — вектор ориентации точки взаимодействия левого колеса с рельсом; — то же для правого колеса; Rs — перемещение центра тяжести боковины; Rw — то же колесной пары; Я» — перемещение точки шарнирного прикрепления кузова вагона; rL — радиус круга катания левого колеса; Гд — то же для правого колеса; г» — номинальный радиус круга катания колеса; Т’сро — предельный момент сил трения в шкворневой балке; Т^о — то же при перекосе; t — время; V — скорость поступательного движения; IFext — внешний груз, действующий на колесную пару; — вес колесной пары; yL — поперечное перемещение левого рельса; yR — то же правого рельса; б^ — угол контакта левого колеса с рельсом; б^ — то же правого колеса с рельсом; б» — номинальный угол контакта колеса и рельса; е — нелинейный коэффициент насыщения силами крипа; р — коэффициент трения между колесом и рельсом; — поворотный крип; — продольный крип; — поперечный крип; £z — вертикальный крип; фа — недостаточность угла возвышения наружного рельса; <pge — угол возвышения наружного рельса; Q — номинальная скорость поворота колесной пары; <>>axis — угловаи скорость осевой системы колесной пары; <ов — то же шкворневой балки; <ос — то же кузова вагона; — то же боковины; <0j. — то же путевой системы координат; oty — тоже колесной пары.
8.1.1.3. Уравнение колебаний. Уравнение колебаний модели, основанной иа стационарном подходе, записывается в следующем матричном виде:
И){х} = {В},	(8.1)
где 14] — матрица жесткости размером 7x7; {х} — вектор размером 7x1, содержащий обобщенные координаты, соответствующие степеням свободы, показанным в табл. 8.1.
Размер вектора {В} также 7 х 1, и составлен он из сил и моментов, действующих в направлении обобщенных колебаний. Выражения для ненулевых элементов матрицы [Л] и вектора {В} составлены в работе [11.
267
Таблица 8.1. Степени свободы стационарной модели грузового вагона при движении на криволинейном участке пути
Элемент	Степени	свободы
	Боковой относ	Вилявве
Передняя колесная пара	Упч	1
Задняя колесная пара	У\С2	
Вагонная тележка (шкворневая бал-	Ут	Ч’т
ка н боковины) Половина кузова вагона	Ус	—
Элементы матриц определяются через геометрические и жесткостиые параметры следующим образом.
При колебаниях бокового относа передней колесной пары элементы1 матрицы [Л]:
А (1,l) = 2^v + Ks;
A(i,2)=—bKs;
Л (1,3)=-*,;
д (1,4) = —
А (1,5) = -2Кру;
А (1,6)= — 2ЬКру.
При колебаниях виляния передней колесной пары
Л(2,1) = -&*,;
Л(2,2)-=/С6 + 2^К„х^Ь8 К*;
А (2,3) = ЬК3;
А (2,4) = 52*5-*ь;
Л (2,6) = — 2d2 Крх.
При колебаниях бокового относа задней колесной пары
Л (3,1)=-*,;
Л(3,2) = &*,;
Л (3,3) = 2/СР1, + /св;
Л (3,4) = **,;
Л(3,5)=-2*м;
Л(3,6) = 2Ь*Р„.
1 В отечественной литературе элементы матрицы [Д] принято обозначать ац. — Прим. ред.
268
При колебаниях виляния задней колесной пары
А (4,1)= -Ы<8;
Д(4,2) = Ь2 К-Кь;
A(4,3)^=bKs-,
A(W)^Kh + M2Kpx + b2Ks-,
А (4,6) = — 2d2 Крх.
При колебаниях бокового относа тележки
Л(5,1) = -2/Срв;
Л(5,3)=-2КР„;
Л(5,5) = 4КР,, + 2К8(,;
Л(5,7)=-2К8У.
При колебаниях виляния тележки
Л(6,1)=-2ЬКРУ;
Л (6,2)= -2d2Kpx,
А(б,3) = 2bKpy;
Л (6,4)=-2^^;
А (6,6) = 4d* Крх + 2Ь2 Кру.
При колебаниях бокового относа кузова вагона
Л (7,5)= -2КЗУ;
А (7,7) = 2K8jr
Компоненты вектора {В} определяются через внешние силы, которые возникают из-за наличия кривизны и условия разложения вектора скорости (при недостаточном возвышении наружного рельса), тяговых усилий (момента тяговых сил), сил и моментов взаимодействия колеса и рельса. Далее рассматривается процедура получения сил и моментов взаимодействия колеса и рельса.
Для вычисления сил и моментов взаимодействия колеса и рельса необходимо найти вертикальные составляющие Fzr и FzL, действующие на правый и левый рельсы исходя из равновесия колесной пары при колебаниях боковой качки, как показано на рис. 8.2. Для определения AFZ (перепад вертикальной нагрузки колеса) рассматриваются силы и моменты, показанные на рис. 8.3. Силы и моменты в элементах поперечного подвешивания для передней и задней колесной пар можно записать с помощью следующих выражений.
На передней колесной паре
Fsuspl~ %Крр (Уу Уу/1 b^>y) —УуР2 ^('I’uzi	(®'2)
269
На задней колесной паре
Fsuspi — 2Кру (ут — ywz — btyr) +
+ К» li/w i—&W2 — b (ifvzi +4’W'2)1-	(8.3)
Момент в элементах подвешивания каждой колесной пары
Мзизр—— ^c^d(hcs-i-hrs]-{- hrp) Н—— WtфаЬтР +
+ ~ ?Ъи11 fie ro) H---— F sec (Ьтр + hrs) +
+ ~ №т{ут — 0,5(z/«zi +^2)) +— Wc\yc—4>chcs —
— 0,5(ywi +^2)].	(8.4)
где q>c — угол поворота при колебаниях боковой качки кузова вагона, который вычисляется с учетом маятникового эффекта и задается следующей формулой:
[(^c/2) fdbes^^buff (bc—hTs —hTp— re)]
Фс-------------‘ ’
270
В соотношениях (8.4) и (8.5) Wc — вес кузова вагона; Wr вес рамы тележки; Fbuff — поперечная составляющая усилия упряжного прибора, действующая на тележку; Fsee — поперечная сила в центральной ступени подвешивания, обусловленная произвольной внешней нагрузкой. Остальные члены в выражениях (8.2) — (8.5) определены в табл. 8.1 и на рис. 8.3.
С учетом моментов, действующих относительно точки О на рис. 8.2, можно получить выражение для приращения нормальной силы AF2, действующей на колесо передней или задней колесной пары:
&FZ — ^a\Msugp + Fsuspz0 +	r0],	(8.6)
здесь F,iUSp относится либо к Fsugpl, либо к Fsusp2;	— вес колесной пары.
Теперь можно найти вертикальные силы F Lz и Fr2:
FLz=-(±Wc + ^-Wt+— Ww\ + bFz;	(8.7)
\ 8	4	2	/
+	(8.8)
Для определения сил взаимодействия колеса и рельса, обусловленных силами крипа и моментами поворотного крипа, на основе геометрических характеристик области контакта колеса и рельса вычисляются силы поперечного и продольного крипов, а также силы поворотного крипа. Сначала в уравнении (8.1) используется неизвестный вектор {х}, причем углы набегания для двух колесных пар вычисляются следующим образом:
«1==^1 + b/R;	(8.9)
==^/2 — b/R.	(8.10)
Исходя из оценки поперечных отклонений колесных пар определяются по таблицам геометрических характеристик области взаимодействия колеса и рельса, значения радиусов кругов катания колес, углов контакта колеса и рельса, а также угла поворота колесной пары при колебаниях боковой качки. Далее эти углы используются для вычисления нормальной и поперечной составляющих вертикальной нагрузки.
действующей иа колеса следующим образом:
Nlz = FLzi cos (&L + qv);	(8.11)
NRz = FRz/cos(SR—ф^);	(8.12)
Ntg “ F[ Z/sin (§l + фде);	(8.13)
NRg=FRz/sin(8R —	(8.14)
где и 6^ — углы контакта колес с рельсами; qty — угол поворота колесной пары при колебаниях боковой качки, найденный исходя из поперечных перемещений.
271
С помощью методов Вермюлена и Джонсона, изложенных в главе 4, находятся коэффициенты крипа по значениям N Lz и NRz. Значения продольного, поперечного, а также поворотного крипов находятся с помощью соотношений (5.86) и (5.86а).
По полученным значениям крипов и коэффициентам крипа можно с помощью соотношений (5.85) и (5.85а) получить силы крипа и моменты крипа г-й колесной пары. Поперечные составляющие сил крипа FLyi и FR уь продольные составляющие сил крипа FLxi и FRxi, моменты поворотного крипа MLzi и NRzi наряду с поперечными составляющими нормальных сил NRyi и Ntyt используются далее для определения поперечной силы и момента виляния, действующего на колесную пару, следующим образом (см. рис. 8.2):
Вtati = FLyi + NLyi + ВRyi -f- ARyi;	(8.15)
Myawi = Mlzi + MRzi -f- (FRxl — Ftxi) a.	(8.16)
Аналогичные выражения можно составить для задней колесной пары.
Таким образом можно записать элементы вектора {В) в следующем виде:
B(l)^Wwifd + Fiati, B(2) — Myalvl;
B(3)=W/r<pd + F(ae2; В(4)~Муаи.г;	(8.17)
В(5) = U^r<pd; В(6) = Тсро’,
В (7) = — Wc <pd + В buff + Bsec.
Так как элементы матрицы [А] и вектора {В} полностью найдены, можно получить решение относительно вектора {х}. Для этого применяется процедура итераций до получения сходящегося решения.
Стационарная модель тележки грузового вагона при движении на криволинейном участке может быть использована для оценки влияния жесткости рессорного подвешивания и геометрических параметров, описывающих область контакта колеса и рельса, а также недостаточности возвышения наружного рельса. Кроме этого, модель может быть использована для изучения влияния заужения и расширения колеи железнодорожного пути и вычисления показателей износа колеса и рельса.
8.4.2. Динамическая модель грузового вагона при движении на криволинейном участке*. Динамическая модель грузового вагона при движении на криволинейном участке играет важную роль при изучении входа иа криволинейный участок и схода с него, а также при исследовании возмущений железнодорожного пути, обусловленных низким уровнем текущего содержания пути и износом колеса и рельса. Модель грузового вагона, приводимая в данном разделе, была разработана в работе [2]. Можно указать на другие динамические модели грузового вагона
1 См. работу 12].
272
Таблица 8.2. Степени свободы динамической модели грузового вагона при движеиии на криволинейном участке
Элемент	Боковой откос	Виляние	Боковая качка	Перекос	Скорость возмущения, вносимого поворотным крипом*
Первая колесная пара	Vuzi	’I’W'l	—	—	01
Вторая колесная пара	</UZ2	Ф«"2	—	—	02
Третья колесная пара			—	—	0э
Четвертая колесная пара	У\ХЧ		—	—	04
Передняя тележка	Ут i	Фп	—		—
Задняя тележка	УТ2	Ф'Г2	—		—
Кузов вагона	Ус	tc	Фс	—	—
Эти параметры не являются
независимыми обобщенными координатами.
при движении на криволинейном участке, такие, как модели работ [31, [4] и [5].
Выбор модели работы [2] продиктован тем, что модель сопровождается полным комплектом математических программ, а также тем, что при построении данной модели сделана попытка учесть влияние поперечной гибкости рельса.
8.4.2.1. Описание модели. В состав модели входит кузов вагона, опирающийся на две вагонные тележки, оснащенные двумя колесными парами каждая. Принимается, что кузов вагона обладает тремя степенями свободы: боковым относом, вилянием и боковой качкой. Далее принимается, что у каждой тележки три степени свободы: боковой относ, виляние и перекос. Перекос тележки определяется как виляние шкворневой балки относительно боковин. Это движение допускает поворот боковин вокруг оси тележки и принятие тележкой формы параллелограмма. У каждой колесной пары две степени свободы: боковой относ н виляние. Кроме этого, принимается еще одно переменное для обозначения скорости возмущения, вносимого поворотным крипом. Колебания боковой качки колесной пары определяются на основе рассмотрения геометрии области контакта колеса и рельса, а также колебаний бокового относа. Колебания бокового относа и боковой качки шкворневой балки ограничены шкворневой плитой, относительно которой принимается допущение о том, что она движется вместе с кузовом вагона. Таким образом модель грузового вагона обладает 17 степенями свободы, сведенными в табл. 8.2.
273
Схема грузового вагона, используемого при построении модели, показана на рис. 8.4.
Переменные параметры,используемые при расчете динамических характеристик грузового вагона с помощью данной модели, представлены в разделе 8.4.1.2.
8А.2.2. Система осей координат. Как показано на рис. 8.5, для полного определения колебаний грузового вагона используются четыре системы осей координат. Ранее при выводе уравнений колебаний колесной пары при движении на криволинейном участке (в главе 5) использовалась путевая система осей координат для описания ускорений составных частей экипажа. Системы осей координат, помеченные индексами Т, S, В и С, относятся к пути, боковинам, шкворневой балке и кузову вагона соответственно. Соотношения между системой осей координат составной части вагона и путевой системой осей координат
Рис. 8.4. Схема типового грузового вагона:
/ — колесная пара; 2 — боковина; 3 — шкворневая балка; 4 - ось колен
Рис. 8.5. Системы осей координат, используемые в модели:
/ — ось колеи; 2 — путевая система осей координат; 3 — то же боковины; 4 — то же шкворневой балки; 5 — система осей координат кузова; 6 — к центру кривизны
274
(при допущении о малости перемещений) задаются следующими формулами:
is j$ ks
1
— Фт О
h
Лв
фу	О
1
~0,5(фГ1 + фГ2)
0.5(фй.ч + фЦ72)
1
iy jr ky
(8.18)
1
= — (фг 4- бцх) О
|’с 1	1
jc = — фс
kJ L О
фу + Ф'Г/
1
О
фс О
1 Фс
— фс 1
О iy О jy 1 ку iy j jy г kyj
(8-19)
(8.20)
В соотношениях (8.18) система осей is, Js, ks закрепляется в центре тяжести боковин. Принимается, что угол поворота боковины при колебаниях боковой качки является средним углом поворота колесных пар тележки при их колебаниях боковой качки. В соотношении (8.17а) система осей iB, j'b и кв закрепляется в центре тяжести шкворневой балки. Система осей координат участвует в перекосе и вилянии,но не должна участвовать в боковой качке шкворневой балки, так как шкворневая балка поворачивается вокруг точки шарнирного крепления кузова вагона. В соотношении (8.19) система осей ic, jc и kc закрепляется в точке шарнирного крепления кузова вагона, она является точкой, относительно которой вращается кузов вагона. Не обязательно, чтобы эта точка совпадала с центром тяжести кузова вагона. Система осей координат кузова участвует в поступательном движении, в колебаниях виляния, боковой качке вместе с кузовом вагона.
Ускорения составных частей вагона, необходимые для определения количества движения этих частей, находят следующим выражением:
э- ; 3у4 о)у R-4-<i)y (<i)y R)2<i)y R ф-R,	(8.21)
где ау и ®у определяются по формуле (5.65), a R является перемещением центра тяжести относительно путевой системы осей координат. С помощью выражения (8.21) и матриц преобразования осей координат можно получить выражения для ускорений боковин, шкворневой балки и кузова вагона [2].
8.4.2.3.	Выражения для ускорений составных частей вагона.
Для боковины (правой и левой)
asu. sl - |±^(фу| г 0и1)1 'у + [yr~-(v2/R)~ (r„ ф Л5)ф,е| jy-ф
-у-[-уб/(фи! у фи? )ф пф.,(, ф (v2/R) ф8е1 ку.	(8.22)
275
Для шкворневой балки
aB = \yc + hT <Vc—(v2/R) — (г,, + Лл) jr +
+ [a<Pse + (v2/R) <psJ kT.	(8.23)
Для кузова вагона
ac = [ Ус + (hT—hc) <рс — (v2/R) — (r0 +hc+ hB) <p J jr +
+ l«<P.e + (&IR) Ф,,.] kr-	(8.24)
8.4.2.4.	Векторы момента количества движения. Боковина. Угловая скорость боковин передней тележки определяется по формуле
®s = q>seh — (v//?)k/+0,5(<pwi + q’w'zlis + trks. (8.25)
С учетом гипотезы о малости углов после преобразований можно придти к выражению
= ®s* is + ®s» js + ®sz k$,	(8.26)
где
ios* = <pse + 0,5 (<pw i + ф1Г2);
<osfz= — 4>se(v/R); msz ^t—(v/R).
Производная вектора количества движения по времени центра тяжести боковины
где
Hs = 1 Sx <OS* is + /Sy 4>Sy js + I Sz ®Sz ks.
Подставляя соответствующие значения величин, входящих в правую часть выражения (8.27), можно получить следующие выражения:
DHs г 
	= Isx [Фее + 0,5 (ф1П + фи з)] is +
+ /szpi>ri-v-^-(l//?)lks.	(8.28)
1.	ш J
Шкворневая балка. Так как принимаетсся, что шкорневая балка участвует в колебаниях виляния с тележкой и колебаниях боковой качки вместе с кузовом вагона, то ее угловая скорость может быть записана в виде
®в = <»вх ic + lOjBfzje + ®Bz кв,	(8.29)
где
= Фге + фс; ыВу = — (V/R) ф,е;
®вг ~ фп + 0иу । — (v/R).
276
Составляющая, связанная с колебаниями виляния, входящая в выражение, которое описывает вращение вокруг центра тяжести шкворневой балки, определяется следующим образом:
~D~ ’ кв - !bz ОЬ + 9^1 )•	(8.30)
Составляющая, связанная с колебаниями боковой качки, входящая в выражение, которое описывает вращение вокруг точки шарнирного закрепления кузова вагона, определяется как
DHB .	..	г..
—• ic = 1 вх (ф«е + фс) + тв hr | Ус + hT <рс—
-~(и2//?) + (г0 + йв)ф8е].	(8.31)
Кузов вагона. Угловая скорость кузова вагона описывается выражением
®с=ф«Л — (v//?) к/+ фс ic 4- 4>скс.	(8.32)
В системе осей координат кузова вагона выражение (8.32) сведется к виду
®с = <осх ic 4 Wcz kc,	(8.33)
где
чкх ф.«. 4- Фс! tt>Cz= — (v//?)-}-фс-
Производная по времени вектора момента количества вращательного движения кузова вокруг точки шарнирного крепления задается выражением
рн„
—^ + /Пс/?оХас,	(8.34)
Ul	UI
где
—/Сх vCx ic + (^Сх 4iCx вУСг — IСг «>Сх ®сг ) jc 4 I Сг шСг kc!
R<> - (he—hy-) kei
a0 = [ 'yc + (h7—hc) фс— (v2//?)] jc.
После подстановки в правую часть соотношения (8.34) соответствующих выражений можно придти к следующему результату:
/)Н,.
—— {Iсх (ф5₽ + фс) + me (hr — he) | ус 4 (hr— he) фс— (v2/R)— ut
— (r0 4 hB + he) ф8£.]} ic 4 Ucz сх) (ф.,е + фс) (v/R) jc +
+ /czpc- v-±- (1//?)| kc.	(8.35)
277
Уравнения колебаний составных частей получены с помощью формул (5.14) и (5.15). Дальнейшие подробности опущены, поскольку в работе [2] можно найти полный вывод соответствующих уравнений. Окончательные уравнения колебаний модели выражены через инерционные силы, жесткости, коэффициенты демпфирования, обобщенные координаты, геометрические параметры, а также внешние силы, действующие иа составные части.
8.4.2.5.	Уравнения колебаний. Уравнения колебаний модели записаны здесь таким образом, что инерционные члены собраны в левой части уравнений, а силы в элементах рессорного подвешивания и внешние силы—в правой части. Силы в элементах рессорного подвешивания выражены через жесткости, геометрические параметры и обобщенные перемещения. Ниже приведены эти уравнения.
Уравнение колебаний бокового относа i-й колесной пары передней тележки (t = 1,2):
mWi {yvii— r0 <pSP) = g (<pd — фгг) (mw + 0,5mB + ms + 0,25mc)—
—	2ЛРИ [i/uz/ — Ут\ + (— 1)~* 6фг1 — As<Puz(] —
—	2CPV [ ywt— ут i + (— 1/ b фп — hs <pw>] +
+ (—1/ Ks[ywi — btywi — У^2 — йфи21 J
FRyi~\~ FLyi + NLyi~\- ^Ryi-	(8.36)
У равнение колебания виляния i-й колесной пары передней тележки (i = - 1,2):
Ik'z [ф|Г1— V (1/R) ] = Iwy(& + Pl ) (фИ"Г + ф.,Р )-4
L о» 1
^~a(F Rxi— FLxi)4- a^i(Fp.yi — F Lyi^N Ryi—N Lyi) м Lzi + M Rzi —
— Kb Hw~Фи*) (— iy + bKs (ywI — Афг I — yw2 — &Ф1Г2) —
— 2d2 КрХ(фг/ — фп — 0w'i) — 2(P Cpx(^i — фтч— 0«zi). (8.37)
Уравнение колебаний бокового относа i-й колесной пары задней тележки (i = 3, 4).
mWi (ywi — г0 фда) g (<pd —	(mw 4- 0,5mB 4- ms + 0,25mc) —
—	^Kpy [i/lTi — УТ2 + (— 1У Йфтг— Азфи^-] —
—	2CPy [ yWi — yT2 4 (— 1У b фгг — hs Фиг,] -f-
(-- 1)' ^S [Уи/З-Йфю'З-yw4---АфГ4] + FRyi +
+ Fту, + NLpi~i- NRvi;	(8.38)
278
Уравнение колебания виляния i-й колесной пары задней тележки (I = 3,4).
/rzltin — V —(!//?)] = Iwy(& + Pi )(<pWi + Фве)“Г
L	ш J
+ a (FRxi—F Lxi) 4- a^uzz (FRyi — FLyi 4- WRyi 4- NLyi) 4-
+ Mlzi + MRzi — Kb (4^3— Ф^) (— 1)‘ + bKs (умз —3 — УЖ4 —
—b^i) — 2d2 Kpx bhn—фт-2 — er2) —
— 2d2 Cpx($wt—фта—Ouf a )•	(8.39)
Выражения для FRx, FRy, FL y, NRy, Nlv, MRz и MLz были выведены в главе 5 при составлении уравнений колебаний колесной пары при движении на криволинейном участке.
Рама вагонной тележки состоит из двух боковин и шкворневой балки. Сначала составляются уравнения колебаний боковин и шкворневой балки независимо друг от друга, а затем для получения окончательного уравнения колебаний всей рамы вагонной тележки накладываются соответствующие кинематические связи. Детали вывода этого уравнения здесь опускаются, читатель может найти интересующие его подробности в работе [2L Окончательные выражения уравнений колебаний тележек приведены ниже.
Уравнение колебаний бокового относа рамы передней тележки
2ms !gn — g[<₽d +0,5 (<pw l 4- Ф^г)] — (г0 + Л^Ф»^
= 2^p^ (f/uzi +yw2 — 2yri—2Ьфп) —
— 2Кву1Ут\ — Ус—йтфс4-0,5 (фип +фя,2)] + д~2Сру (ywt +</<F2 — 2ут\ — 2Ьфп)—
— 2Fj,osgn [yri— Ус — /гтфс + 0,5(ф«71 + ф^)].	(840)
Уравнение колебаний виляния рамы передней тележки
(21 sz + 2т.$ d2 1Bz) |1i5ri	и —— (l/R) 1 4~
I.	df J
+ (2ms d2 + Ijbz) Ouzi = 2bKpy (yw\ —1/1172)4-
+ 2bCpy (yw 1 —Уус‘1) + 2d2 Kpx (ipnz 1 4-	—2фп — 20«zi)4-
4- 2d2 CpX (^uzi + Ч’ит'2—2фп— 20ци)—Tcpo sgn^ri 4- Оц/i )- (8.41) Уравнение колебаний перекоса рамы передней тележки
(2msd2 4-/bz)(4’ti + Ouzi)— I bz v—-— (1//?) = at
= 2d2 Kpx (if^i +i|?u72 — 2зрт-{—20iri) +
+ 2d2 Cpx (lpn7i 4*	------ 21|n  2O«71)—/Cu7 0ц71 —Тц70 Sgn (fiuzi)-—
— Tcpo sgn (0«7i 4* Фп)*	(8.42)
279
Уравнение колебаний бокового относа рамы задней тележки
2ms {ут2—g[<pd + 0.5(<pr3 г Фим)] — (r0 + hs) <fse} =
= 2Кру (gW3 + gWi— 2уТ2 — 26"ф7-2) +
-\-2Cpu{yw3 + ywi — 2уп— 26^12)—
— 2Кву[Ут2—Ус—hr<fc + 0,5 (фи/з 4-фич)]—
— 2/7{/0 sgn [уГ2—Ус—hj фс+ 0,5(фцгз + Фкч)]- (8.43)
Уравнение колебаний виляния рамы задней тележки
(2fsz + 2msd2 + IBz Г ’фтг — v
(1//?)] + (2/nSd2 + /Bz)0W'2 =
— 2ЬКру (yws—ywi) + 2bCpy(yw3— {Ari)-]- 2d2 Kpx (Ч’ге'з + Фим —
— 2фг2 — 20u/2) + 2d2 С px (фц?з + Фим — 2фгг — 20«7г) —
— 7’cro sgn (фтг + 0uz2)-	(8.44)
Уравнение колебаний перекоса рамы задней тележки
(2ms d2 +1вг) (фгг + ви'г)— IBz v —(\/R) =
= 2d2 Kpx (4>u?3 I- фи? 4 — 2'ф/'2 — 26uz2) +
4- 2d2 Cpx (фгз + фим— 2фгг — 20^/2) —
— Kw ®W2— Two Sgn(0«/2) — TcPO Sgn(0u?'2 + фг2)•	(8.45)
Кузов вагона. В модели принято, что шкворневые балки участвуют совместно с кузовом вагона в колебаниях бокового относа и боковой качки.
Суммирование сил и моментов проводится с помощью схемы сил и моментов, действующих на составные части модели, показанных на рис. 8.6 и 8.7, для шкворневой балки, боковин и кузова вагона соответственно. Независимые уравнения первоначально записываются в следующей форме.
Уравнение колебаний бокового относа средней шкворневой балки тв [yc +^T4c—WlR)+Lyc--(r(! 4-Ав)ф8е] =
= 2Fyi + Fye — mBg(<fc 4- Фяе).	(8.46)
Уравнение колебаний боковой качки передней шкворневой балки
IВх(фзе + Фс) + тВ hr \ус -\-hr<Pc — (v2/R) 4 (г0 + Ав) Фзе ] =
= 2d/72i +МХ1 — mBghT(<pse + <f>c).	(8.47)
Уравнение колебаний бокового относа задней шкворневой балки
mBVyc~hT<fc — (v2/R)] — [фс — (го + Ав) Фяе I = 2FyS 4- Fy7. (8.48)
280
Рис. 8.6
Рис. 8.7
Рис. 8.6. Схема силовых факторов, действующих на составные элементы модели вагонной тележкн: шкворневую балку и боковины
Рис. 8.7. Схема силовых факторов, действующих на составной элемент модели: кузов вагона
Уравнение колебаний боковой качки задней шкворневой балки
IвДф«₽ + Фс) + rnR hr [ус + hT фс — (u2/R) + (r0 + hB) <p8C ] =
= 2dFzt +	- - znB ghT (<pse + Фс).	(8.49)
Уравнение колебаний бокового относа кузова вагона
тс life + {hT—hc) 4c—(v*/R) — (r0 + йв + йс) <ps₽]
= — F„t—— mcg (<p8e + Фс) •	(8.50)
Уравнение колебаний боковой качки кузова вагона
1сЛчс + ф8₽)+ mc(Ar—hc) \yc+(hT—hc)4>c—(^/R)—
— (r0+ hB + he) Ф8е] = — Л4Х1 — Mxt + mc ghc(<f’l,e + Чс). (8.51)
28 j
Уравнение колебаний виляния кузова вагона
/cz[*c-v-^- (1//?)]= -Mza-Mzi + LFV1~LFW. (8.52)
Поперечные силы Fvt, Fy7 и моменты МХ1 и Мх2, вызывающие боковую качку, приложенные со стороны шкворневой балки на кузов вагона, определяются с помощью уравнений (8.46) — (8.49).
Эти факторы можно исключить из уравнений колебаний кузова вагона. Окончательные уравнения колебаний кузова вагона приобретают следующий вид.
Уравнение колебаний бокового относа кузова вагона
(тс + 2тв) lyc — g ((fa ~ фс)] + [2тв hT 4- тс (hT — hc)] фс—
— f me (r0 + йв + hc) 4- 2mB (r0 + Лв)1 Фж =-
[4	I
Уп+Ут‘2 — 2ус—2/iy<pc—0,5(йв — hs) У фю'м+ с= ।	•
4-2Fj,osgn
+ 2Fyo sgn
2	. 1
Ут\ — Ус—Ltyc—h-ryc—0,5(hB—hs) У Vi| + /= i j
4 .
Ут2—Ус+ L^c~hT<fc — 0,5(hB—hs) У v,-*= з
(8.53)
Уравнения колебаний боковой качки кузова вагона
[1сх + 21 вх + 2mв hr 4- mc (hr—Лс)г1 фс +
~\-[lcx^-2lBx^-2mBhr(r0-(- Л в) 4- me (hr — he) (ra-\-hB-\- he)] Ф,е4*
4- [2mB hr 4- mc (hT—ftc)l [yc—(v*lR) ] 4-
4- [2mB ghT—mc gftcl (фс 4- Фее) = hT X
X |#ti4-#7-2—2yc—2hT4c—0,5(hB — hs) 2 Фю^4-
[2	. j
Ут\~Ус— Ltyc—йуфс— 0,5(ftB — hs) У фшч +
2 J
Г •			4 - 1
4-2ft7-/i’90sgn ут2—Ус+ L^c—hT<fc—O,5(hB—hs) 2 Фш ~ ‘ = з J
2
— 2<PKsx 2<pc —0,5 2 Фг<J—2dFzltsgpd ,<pc—0,5 2 Фг* —
*= i J	•
[4	. T
q>c—0,5 2 W* • i = 3 J
4
(8.54)
282
Рис. 8.8. Схема модели упругого рельса
Уравнения колебаний виляния кузова вагона
(ЬСг + 2Ь2	—	(1//?)] =TCpoSgnkc + L	фп —
L ш J	L	d*
— 0ц? । ] + Тсро sgn I фс + L —— (I /R) — фгг — Йи/г] г
J	L	о/	j
[4
Ут\—Ут2 — 2/,фс — 0,5 (hB—hs) V <= ।
+
+ LFwsgn
+ LFy0 sgn
2
Ут\ —Ус — Ltyc —hT(fc—0,5(hB — hs) У »= I
4	.	*1
Утч — усЛ-Ltyc—hr<f>c—0,5(hB— hs) фи/» I- (8.55) » = 3 J
8.4.2.6. Упругая модель рельса. Во время движения на криволинейном участке движение в колее колесных пар определяется коничностью колеса и силами трения в области взаимодействия колеса и рельса. Но когда скорость железнодорожного экипажа превышает равновесную скорость (ф<1 = 0), реборда колеса взаимодействует с головкой рельса и создает значительные поперечные силы, существенно влияющие на движение экипажа. В определенных ситуациях эти силы достаточно велики, чтобы вызвать прогибы рельсов. Это обстоятельство заставляет пересматривать гипотезу о жестком рельсе и правомерность применения таблиц параметров области контакта колеса и рельса. Эти таблицы с учетом прогиба рельса должны быть скорректированы.
В действительности железнодорожный путь действует как последнее звено системы рессорного подвешивания железнодорожного экипажа.
В этой модели принимается, что прогибу рельса у каждого из четырех колес тележки препятствует вязкоупругий элемент, состоящий из упругой пружины с линейной характеристикой и вязкого демпфера; такая модель упругого рельса показана на рис. 8.8. Если пренебречь массами рельсов, уравнения колебаний левого и правого рельсов будут определяться следующими выражениями:
CTyL+KryL = FLy + NLy.	(8.56)
Ст Ук + КтУк FRy-\-N(8.57)
283
Вычисленный таким образом прогиб рельса используется для определения эффективного поперечного отклонения колесной пары путем вычитания этого прогиба из отклонений колесной пары. После этого определяются геометрические соотношения области контакта колеса и рельса. В этой модели пренебрегается влиянием инерции рельса и скорости перемещения рельса на крип.
8.4.27. Применение модели. Динамическая модель грузового вагона при движении на криволинейном участке может быть использована для изучения влияния проектных параметров на динамические характеристики грузового вагона. Следует учесть, что модели для рассмотрения динамики вагона во временной области требуют больших затрат машинного времени. Поэтому их применение обычно ограничивается нахождением нагрузок, возникающих при взаимодействии колеса и рельса, и тех эксплуатационных показателей, которые могут быть использованы для расчета таких случаев, как подъем колеса, накатывание гребня колеса на головку рельса, а также опрокидывание рельса. С помощью данной модели можно разобраться в подробностях динамики грузового вагона при движении на криволинейном участке. Применение модели может способствовать тому, чтобы исключить условия, потенциально опасные для движения грузовых поездов.
8.5. МОДЕЛИ СИСТЕМЫ «ЛОКОМОТИВ — ПАССАЖИРСКИЙ ВАГОН» ПРИ ДВИЖЕНИИ НА КРИВОЛИНЕЙНОМ УЧАСТКЕ ПУТИ
8.5.1. Стационарные модели. При построении стационарных моделей локомотива при движении на криволинейном участке пути в большинстве случаев используются два метода: 1) метод, в котором используется понятие о центре трения; 2) метод непосредственного моделирования.
Первый метод применяется для исследования поведения жестких тележек при движении по кривым малого радиуса, причем на этих участках направляющая роль рельсов достигается главным образом за счет взаимодействия гребня с головкой рельса. При использовании второго метода для отдельных частей локомотива составляются уравнения равновесия сил и моментов. Эти уравнения решаются с помощью метода последовательных приближений. Процесс итераций продолжается, пока решение не начнет сходиться.
8.5.1.1. Метод, в котором используется понятие о центре трения. При движении экипажа по кривой в области контакта колеса и рельса возникают два вида сил: сила крипа при наличии трения и сила взаимодействия гребня колеса с головкой рельса. Сила крипа при наличии трения возникает из-за крипа, обусловленного разностью длин траекторий, проходимых внешними и внутренними колесами при движении колесной пары по кривой. Силы взаимодействия гребня с головкой рельса способствуют реализации направляющей роли рельсов по отношению к 284
Рис. 8.9. Обозначения, принятые прн описании модели жесткой тележки прн движении на криволинейном участке, основанном на методе, использующем понятие центр трення:
I— внешний рельс: 2— угол набегания; 3 — ось тележки; 4 — центр трения; 5 — внутренний рельс; 6 — центр кривизны; 7 — условный уровень отсчета
колесной паре при наличии сил, обусловленных усилием тягового прибора или неравновесной скоростью движения; силы крипа при наличии трения н силы взаимодействия гребня колеса с головкой рельса приводят к появлению момента, приложенного к колесной паре. Этот момент должен быть уравновешен внешними нагрузками и силами реакции, обусловленной взаимодействием колес и рельсов. Так как принято, что тележка является твердым телом, все оси в пределах одной тележки остаются параллельными друг другу. Тогда существует точка в пределах контура тележки, относительно которой чистый момент, обусловленный силами взаимодействия колеса и рельса, уравновешивается системой внешних сил. Эта точка называется центром трения.
В следующем разделе будет рассмотрена стационарная модель, разработанная в работе [61 применительно к движению жесткой тележки на криволинейном участке. Модель основана на методе с использованием понятия центра трения. При обсуждении этой модели внимание будет сосредоточено на наиболее существенных деталях.
Полное описание этой модели применительно к двух-, трех- и четырехосным тележкам можно найти в доступных публикациях, и заинтересованный читатель должен обратиться к работам [61 — [81.
8.5.1.2. Скорости скольжения. В данном исследовании не учитывается влияние коничности обода колеса. Принимается, что крип происходит главным образом за счет разницы между радиусами кругов катания двух колес, образующих колесную пару, при движении на криволинейном участке. Ниже рассматривается твердая тележка, которая движется по кривой радиуса R со скоростью о, как показано на рис. 8.9. Начало системы координат расположено в точке О, а центр трения тележки расположен в точке Р на расстоянии D от точек контакта колес передней колесной пары и на расстоянии S от оси тележки в сторону внеш
285
него рельса. Круги качения колесной пары образуют с осью пути угол а. Угловое положение точек контакта внутреннего и внешнего колес описывается углами и р2, которые отсчитываются против часовой стрелки по отношению к прямой условного уровня отсчета, параллельной оси пути. Векторы, соединяющие центр трения с точками контакта, образуют углы 0j и 02 с прямой х во внешней и внутренней полуплоскостях соответственно.
В данный момент времени точки контакта Ц70 и Wt колеса и рельса могут располагаться с некоторыми смещениями по оси хну относительно центра кривизны О. Путем дифференцирования соответствующих выражений по времени можно найти продольную и поперечную скорости точек контакта колеса и рельса. Далее по скоростям движения колеса относительно рельса можно определить скорости скольжения 8Х и Su.
В работе (61 были выведены следующие выражения для внешнего и внутреннего колес одной колесной пары.
Для внешнего колеса
S.v = v|(S -G)/(/?+S)]; Sy = vD/(R + S).	(8.58)
Для внутреннего колеса
S; = ul(S^ G)/(/? + S)]; S; = vD/(/?+S).	(8.59)
В обоих выражениях (8.57) и (8.58) G — ширина колеи железнодорожного пути.
Далее с помощью введенных в главе 4 определений продольного £х и поперечного крипов могут быть получены следующие выражения для крипов.
На внешнем колесе
L - (и (S-G)/(/?+ S)l/V = (S—G)/(R + 5);
ly = [vD/(R +- S)J/v = D/(R 4- S).	(8.60)
На внутреннем колесе
g; - |v (5 Ф G)/(R + S)|/y = (S 4- G)/(R 4- S);
^ = [vD/(R + S)]/v^D/(R + S).	(8.61)
Как указывалось в главе 4, соотношения между силой трения1 и крипом для продольного и поперечного крипов отличаются друг от друга. Поэтому удобно ввести понятие результирующего крипа в тех случаях, для которых выведены аналитические или экспериментальные соотношения между силой трения и крипом как функции чистого или результирующего крипа.
Введение такого понятия удобно с той точки зрения, что направление результирующего крипа колеса будет перпендикулярным к вектору, который образуется при соединении точки контакта колеса с рельсом и центра трения. Это легко можно показать, если вспомнить, что
1 Точнее между силой крипа и крипом. — Прим. ред.
286
Рис. 8.10. График зависимости коэффициента эффективного трения от результирующего крипа
Рис. 8.11
Рис. 8.11. Схема сил, действующих на жесткую трехосную тележку в стационарном состоянии при движении по криволинейному участку пути:
/ — центр трения; £— поперечная нагрузка на шкворневую балку; 3 — продольная нагрузка на шкворневую балку; 4 — третья ось; 5 — вторая ось; 6—первая ось; 7 — направление движения
результирующая скорость скольжения на каждом колесе направлена в ту же сторону, что и результирующая крипа и что была принята гипотеза о жесткости тележки; результирующая скорость скольжения в произвольной точке должна быть перпендикулярна к прямой, проведенной через эту произвольную точку и мгновенный центр вращения, расположенный в центре трения. Результирующие крипы определяются сочетанием продольных и поперечных крипов. Выражения для результирующего крипа на внешнем и внутреннем колесах приводятся ниже.
На внешнем колесе
lo = [^+^]1/2 = P2+(S-G)2]'/2/(/? + S).	(8.62)
На внутреннем колесе
= II? + I?]1 /2 - [D2 4- (S + G)21 ’ /2/(/? + S).	(8.63)
При известных значениях результирующего крипа на каждом колесе по кривым зависимости эффективного коэффициента трения от крипа, приведенной на рис. 8.10, определяются эффективные коэффициенты трения. Результирующие силы трения на внешнем и внутреннем колесах вычисляются после этого с помощью следующих выражений:
о—л/о/о(1о);
(8.64)

(8.65)
где Nn и N( — нормальные нагрузки; и — функции, определяющие соотношение между крипом и силой крипа при наличии трения для внешнего н внутреннего колес соответственно.
287
8.5.1.3. Система сил в модели жесткой тележки при движении на криволинейном участке. При движении на криволинейном участке, помимо сил трения в области взаимодействия колеса и рельса, существуют другие силы. К ним относятся центробежная сила, сила реакции гребня колеса, тормозная сила, сила на упряжном приборе (сила смягчения ударной нагрузки или усилие тяги). В стационарной модели все силы, кроме силы реакции гребня колеса, равномерно распределены между колесами тележки. Общий случай нагружения тележки силами трения и другими внешними силами показан на рис. 8.11. Возникновение продольной силы в шкворневой балке обусловлено усилием на упряжном приборе. Поперечная сила в шкворневой балке возникает при движении экипажа с неотрегулированной скоростью (т. е. скорость больше или меньше, чем равновесная скорость, определяемая сочетанием кривизны и дополнительным возвышением наружного рельса).
Реакции гребня (/?п, и т. д.) могут возникать или не возникать на всех колесах в зависимости от кривизны, скорости и сил в шкворневой балке. Наличие этих сил зависит от формы движения тележки по кривой, что в свою очередь определяется кинематическими связями, на-
Рис. 8.12. Виды кинематических связей, накладываемых иа двух-, трех- и четырехосные тележки, с указанием реакции гребней колес прн движении тележки на криволинейном участке (стрелками указаны места взаимодействия гребней колес с рельсами):
/ направление движения; 2 —свободное движение по кривой; 3 — ограничение первой степени; -/ — конечная фаза ограничения первой степени; 5 — ограничение второй степени; 6 — конечное ограничение-. 7 — ограничение отсутствует
288
кладываемыми на тележку. Возможные связи для двух-, трех- и четырехосных тележек показаны на рис. 8.12. На этом рисунке стрелками указаны места взаимодействия гребней колес с головками рельсов. Значение кинематических связей необходимо при реализации процедуры решения задачи с помощью модели.
8.5.1.4. Модель тележки. Тележка моделируется жесткой рамой, в которую входит набор колесных пар. Не допускается перекос боковин с образованием параллелограмма, а также их поворот. Прикрепление осей осуществляется таким образом, что они могут двигаться в поперечном по отношению к боковинам направлении, но виляние осей друг относительно друга не допускается. В буксах имеется поперечный зазор, который выбирается рессорой, как показано на рис. 8.13. В поперечном направлении есть еще один зазор, обеспечивающий подвижность оси и обусловленный геометрией гребня и головки рельса. Этот зазор зависит от неправильности рихтовки пути и износа колеса и рельса. В данной модели принимается, что граничный контур рельсов зафиксирован; всякого рода податливость рельсов не учитывается.
Для моделирования локомотива в целом принимается, что каждая тележка воспринимает половину тягового или тормозного усилия. Помимо предельного момента в шкворневой балке, другие элементы жесткостного сопротивления вращению тележки в области
Рис. 8.13. Модель трехосной тележки, на которой показаны зазоры в поперечном направлении:
1 -прогиб амортизатора; 2 —рама тележки; 3—шкворневая балка; 4 — резиновый амортизатор; 5 — зазор между шейкой оси колесной пары и рамой тележки в поперечном направлении: б - номинальный зазор между головкой рельса и ребордой колеса
соединения кузова локомотива с тележкой не моделируются.
8.5.1.5. Метод решения. Если обратиться к рис. 8.11, можно заме-
тить, что в трехосной тележке на контакте колес и рельсов могут возникнуть 12 реакций. Однако с учетом видов связей, накладываемых на тележку при движении по криволинейному участку, число неизвест-
0 Зак. 1073
289
них может быть уменьшено. Согласно условиям, накладываемым этими связями, при нормальных условиях только одно колесо одной колесной пары будет своим гребнем взаимодействовать в данный момент времени с рельсом. Таким образом число неизвестных уменьшится до девяти ’. В силу того что тележка моделируется твердым телом, силы трения, приложенные к каждому колесу, будут связаны между собой таким образом, что знание одной из них или знание положения соответствующего центра трения приведет к решению задачи. Поэтому в качестве неизвестных остаются только три силы, приложенные к гребням, и положение центра трения. Можно составить три уравнения равновесия:
ZFX 0;
E.lf. 0.
(8.66)
(8.67)
(8.68)
Для получения решения необходимо получить еще одно соотношение. Из-за наличия свободных зазоров между колесом и рельсом и между колесом и боковиной, а также прогиба боковой рессоры явное соотношение составить нельзя, требуется применить процедуру последовательных приближений.
В качестве начального шага необходимо определить, какой вид кинематической связи при движении тележки по кривой необходимо наложить применительно к заданной кривой для реализации полного сжатия поперечной рессоры (амортизатора) шейкой оси колесной пары. Это достигается с помощью расчета момента перехода (как функции кривизны) от условий, накладываемых свободным движением по кривой, к ограничению первой степени.
Если радиус кривизны больше радиуса входа набегающей колесной пары при входе в кривую, то принимаются условия свободного движения по кривой. Если радиус заданной кривой меньше радиуса входа набегающей колесной пары при входе в кривую, то принимаются условия ограничения первой степени.
Для того чтобы установить радиусы входа набегающей колесной пары при входе в кривую, вводится геометрическое соотношение, позволяющее вычислить местоположение центра трения в продольном направлении в зависимости от кривизны. Это может быть сделано, если принять гипотезу о полном сжатии амортизатора и учесть то обстоятельство, что вначале при реализации условий ограничения первой степени внутреннее катящееся по кривой колесо должно накатываться своей ребордой на рельс. Однако реакция (/?31) должна быть равна нулю. На рис. 8.14 показано положение тележки и переменные X, Y и Z. Из опыта известно, что реакции, возникающие между шейками осей колесных пар и боковиной при наложении ограничения первой степени, приложены для передней и задней осей колесных пар у внутренних точек, а для сред-
1 По-видимому, не девять, а семь. — Прим. ред.
290
ней оси колесной пары — у внешней точки по отношению железнодорожной колеи. При этой ситуации положение колес относительно рельсов и осей относительно рамы тележки, становится известным, и местоположение центра трения в продольном направлении также устанавливается. Известно, что при равномерном распределении нагрузки на колеса и при отсутствии продольной силы в шкворневой балке центр трения располагается на оси пути, так как скорость центра трения должна соответствовать скорости экипажа.
Теперь может быть вычислено положение оси рамы тележки (X, Y или Z) у каждой оси колесной пары по отношению центра кривизны для всех видов кинематических связей. При свободном движении по кривой геометрическое положение передней осн колесной пары
Рис. 8.14. Геометрические связи, накладываемые на тележку при движении на криволинейном участке: / — третья ось; 2--вторая ось;	пер
вая ось; 4 центр кривизны
+ +	(8.69)
где R — радиус кривой; к, — зазор между, колесом и рельсом первой оси колесной пары; с, — свободный зазор между шейкой первой оси колесной пары и рамой тележки; 6, — прогиб резинового амортизатора у шейки первой оси колесной пары.
При ограничении первой степени положение оси тележки как на передней, так и на задней осях определяется следующими формулами:
X = /? + e1-R14-6,;	(8.70}
Г = /?-е34-е3-63.	(8.71)
Расстояние D от передней оси до центра трения определяется (при допущении о максимальном прогибе амортизатора) следующим образом:
Х2-Р2 = Р2 = Г2-(Гв--D)2,	(8.72)
т. е.
О = (Х2--Г2+ Г»/2Гв,	(8.73)
где W 1} — расстояние между осями крайних колесных пар.
Это позволяет вычислить силы трения на каждом колесе. Сила на гребне колеса передней колесной пары может быть получена с помощью уравнений равновесия сил и моментов. На этом этапе итерационная процедура начинается с последовательного изменения радиуса, пока 10*	291
значение R31 не станет близким к нулю. В этот момент можно перейти от условия свободного движения по кривой к ограничению первой степени. При известных последовательных положениях тележки (свободное движение по кривой, ограничение первой степени и т. д.) можно теперь рассчитать систему при точном значении радиуса и заданной системе условий.
В условиях свободного движения по кривой местоположение центра трения устанавливается путем последовательных итераций, пока не будет достигнуто равновесие и не будут удовлетворены условия геометрической совместности при отсутствии контакта реборды колеса передней оси с рельсом. При связи, накладываемой при движении тележки на кривой в виде ограничения первой степени, местоположение центра трения вычисляется на основе формулы (8.72) с использованием прогиба амортизатора, обусловленного нагрузками, взятыми с предыдущей итерации. Это продолжается до тех пор, пока результаты расчета координат центра трения не начнут сходиться к постоянному значению, при котором устанавливается равновесие системы. В конце концов вычисленный прогиб амортизатора сравнивается с принятым значением, которое использовалось во время перехода от конечных условий свободного движения по кривой к расчетным условиям ограничения первой степени. Если эти значения различны, вновь вычисленное значение используется в качестве исходного, и весь процесс повторяется до тех пор, пока вычисленный результат не станет близким к первоначально принятому. В этот момент обеспечивается как равновесие сил в системе, так и геометрическая совместность. Эта ситуация означает, что эффект моделирования достигнут.
8.5.1.6.	Расчет сил для промежуточной оси колесной пары применительно к трех- и четырехосным тележкам. Расчет реакции взаимодействия реборды колеса и рельса для промежуточной оси колесной пары при свободном движении тележки по кривой, при движении по кривой в условиях наличия ограничения первой степени или другого вида силовой связи проводится независимо от суммирования сил и моментов, проводимого для вычисления сил взаимодействия реборд колес передней и задней осей колесных пар. В случае четырехосной тележки имеются две промежуточные оси колесных пар, колеса которых могут своими ребордами контактировать с рельсом. Сила трения, действующая на колесную пару, приводит к ее поперечному перемещению. Это перемещение происходит до тех пор, пока не возникнет ограничение со стороны рельса, рамы тележки или со стороны этих двух элементов одновременно. Если свободный зазор вдоль шейки оси колесной пары и рамы тележки достаточно велик, реборда колеса начнет надвигаться на головку рельса, что вызовет реакцию взаимодействия колеса с рельсом, величина которой определяется следующим образом:
А’1Лх = f!ti 4- f;/2,	(8-74)
где /и — поперечные составляющие силы трения, которые возникают на каждом колесе данной конкретной колесной пары.
292
При таком условии колесную пару обычно называют внешне направляемой колесной парой. Когда зазор недостаточно велик, шейка оси колесной пары упрется в резиновый амортизатор и начнет его сжимать. При такой ситуации может произойти усиление дополнительных поперечных колебаний и колесо пододвинется к рельсу, вызвав реакцию реборды, определяемую в этом случае следующим образом:
+ Kb,	(8.75)
где К — жесткость резинового амортизатора; 6 — прогиб амортизатора.
Если максимальное сжатие амортизатора имеет место, но без взаимодействия реборды колеса с рельсом, тогда сила трения воспринимается целиком рамой тележки. В таком случае говорят, что колесная пара является внутренне направляемой. Сила трения, переданная на тележку, будет восприниматься каким-либо другим колесом.
8.5.1.7.	Применение модели жесткой тележки при движении на криволинейном участке. Модель, составленную на основе метода с использованием понятия центра трения, можно применить к исследованию многих условий, которые складываются при движении на криволинейном участке. Сюда относится оценка поперечных сил, вызванных трением, поперечных сил, действующих на гребни колес отдельных колесных пар. С помощью данной модели можно изучить влияние таких проектных параметров, как жесткость надбуксовой ступени подвешивания, зазор в системе рессорного подвешивания, а также зазор между ребордой и рельсом. Помимо этого, можно оценить влияние на поперечные силы таких факторов движения, как скорость, уровень которой превышает уровень равновесной скорости, силы амортизации и усилия в тяговом приборе, а также торможения при движении на криволинейном участке.
На рис. 8.15—8.18 показаны результаты применения данной модели, взятые из [6). На рис. 8.15 поперечные силы, действующие на колеса передней и средней колесных пар тележки у приподнятого рельса, приведены для трех различных зазоров между осью и буксой. На рис. 8.16 показано влияние жесткости надбуксовой ступени в поперечном направлении на поперечные силы для двух одних и тех же осей колесных пар. На рис. 8.17 показано влияние поперечной силы в шкворневой балке на силы, действующие на две оси колесных пар. Поперечная сила в шкворневой плите может возникнуть из-за того, что скорости движения могут превысить равновесную скорость при движении на кривой. Другой причиной появления этой нагрузки могут быть амортизационные нагрузки при сцепке локомотива.
На рис. 8.18 для двух тележек различной конструкции проводится сравнение чисто поперечной силы, рассчитанной с помощью модели, при нагружении колеса у приподнятого рельса с результатами натурных испытаний.
Можно заметить, что для относительно больших кривых (малых радиусов кривизны) результаты расчета на модели достаточно надежны при стационарных условиях для тележки конструкции А, в то время как 293
пар равны 9,5 мм при зазоре шейки оси средней колесной
Рис. 8,15. Влияние поперечных зазоров шейки оси средней колесной пары на чисто поперечные нагрузки, приложенные к колесам передней и средней колесных пар трехосной тележки у приподнятого рельса: / -внешнее колесо средней колесной пары; 2 ---внешнее колесо передней колесной пары (------- поперечные
зазоры шейки оси колесной пары равны 9,5 мм у всех колесных лар; —	- по-
перечные зазоры шеек осей передней и задней колесных пары 15,9 мм, —---- попереч-
ные зазоры шейки оси колесной пары равны 9,5 мм у передней и задней осей колесных пар при зазоре у шейки средней оси колесной пары 22,2 мм)
для тележки конструкции В результаты расчета на модели находятся в более приемлемом диапазоне по сравнению с результатами натурных испытаний.
8.5.1.8.	Метод непосредственного моделирования. В предыдущем разделе была рассмотрена стационарная модель твердой тележки локомотива, основанная на методе, в котором используется понятие центра трения. Однако в модели этого типа нельзя учесть многие важные параметры конструкции и параметры движения. Для учета элементов подвешивания между тележками и осями колесных пар, между тележками и шкворневыми балками, а также между тележками и кузовом нужна более детальная модель. Кроме того, для учета зазоров в элементах подвешивания, а также профилей колеса и рельса модель должна быть более усложненной. В данном разделе будет рассмотрена модель шестиос-иого локомотива при движении по кривой, разработанная в работе 191. Модель обладает 21 степенью свободы и состоит из девяти твердых масс. Степени свободы данной модели и соответствующие массы приведены в табл. 8.3.
Рис. 8.16. Влияние жест-
кости резинового амортизатора на чисто поперечные силы, действующие на колеса передней и средней колесных пар у приподнятого рельса: / - внешнее колесо средней колесной пары; 2 внешнее колесо передней колесной пары (	— - жесткость
2.L МН/м; -------— — жесткость 3,5 MH/М; ---------
жесткость 6,3 МН/м; во всех случаях свободные поперечные зазоры у всех шеек осей были равны 9,5 мм, а Зазоры между ребордами колес и головками рельсов составляли 8.5 мм)
294
Рис. 8.17. Семейство кривых зависимости чисто поперечной нагрузки (направленной во внешнюю сторону от кривой), действующей иа колеса передней и средней ко лесных пар у приподнятого рельса от центрального угла криволинейного участка и радиуса кривой по параметру, равному поперечной нагрузке на шкворневую плиту:
на внешнее колесо передней колесной
/ на внешнее колесо средней колесной пары; 2
пары нагрузки не действует; 3 — при нагрузке 44,5 кН; 4 — при нагрузке 68,5 кН; 5—при нагрузке 89 кН (свободный поперечный зазор у шеек всех осей равен 9,5 мм. Зазор между
ребордами колес и головками рельсов для всех колес равен 8,6 мм)
С помощью кусочно-линейной аппроксимации в модели учитываются нелинейные эффекты. Эти нелинейные эффекты обусловлены предельным моментом шкворневой плиты, поперечными зазорами между шейкой оси и тележкой в элементах надбуксовой ступени подвешивания, а также насыщением силами крипа. Для нелинейных геометрических соотношений области контакта колеса и рельса записываются уравнения колебаний модели с учетом малости углов контакта. Входными параметрами математической программы являются центральный угол криволинейного участка пути, недостаточность подъема наружного рельса, моменты тяги на каждой оси. В качестве выходных параметров выступают обобщенные перемещения при колебаниях и силы взаимодействия колеса п рельса.
8.5.1.9.	Описание модели. Принципиальная схема шестиосного локомотива показана на рис. 8.19. Модель состоит из кузова, двух рам тележек и шести колесных пар. Допускается перемещение каждой колесной пары как в направлении бокового относа, так и в направлении виляния. Для учета колебаний боковой качки принимается, что угол
Рис. 8.18. Сравнение результатов, полученных при расчете на модели (-------) и при натурных испытаниях (------)
для двух различных ио конструкции тележек: / — тележка Л; 2, 3 — внеш нее колесо передней колесной пары; 4 — тележка В (зазор между ребордами колес и головками рельсов для всех колес равен 8 мм)
295
Таблица 8.3, Степени свободы и соответствующие твердые тела стационарной модели шестиосного локомотива лрн движении на криволинейном участке
Твердые тела	Степени свободы		
	Боковой относ	Виляние	Боковая качка1
Первая колесная пара	i'lT’l	'Ф|Г1	Twt
Вторая колесная пара	У W 2		Фи 2
Третья колесная пара	'Лг-'З	4>IT3	Фаз
Четвертая колесная пара		Ч>1Г4	Фи'4
Пятая колесная пара	-'ЛГ5	4>IT5	Фи 5
Шестая колесная пара		М’ц/б	Фи-в
Первая передняя тележка	Ут/		’Vt/
Вторая задняя тележка	Уп	Фп	Фп
Кузов	Ус	tc	Фс
' Колебания боковой качки определяются на основе геометрического соотношения системы «колесо — рельс» и колебаний бокового относа колесной пары.
поворота при боковой качке является функцией поперечного перемещения колесной пары.
Каждая колесная пара присоединяется к соответствующей раме тележки с помощью надбуксовой ступени подвешивания, состоящей из рессор, установленных в поперечном, вертикальном и продольном на-
Рис. 8.19. Общая схема типового шестиосиого локомотива:
/ — центр тяжести кузова; 2 — задняя шкворневая балка; J - центр тяжести тележки; — передняя шкворневая балка
296
правлениях. Поперечный зазор представляет собой область, в которой колесная пара свободна от всякой поперечной силы со стороны рессорного подвешивания.
Принимается, что каждая рама тележки — твердое тело, обладающее тремя степенями свободы: тележка может совершать колебания бокового относа, виляния и боковой качки. Рама тележки присоединяется к кузову с помощью центральной ступени подвешивания.
Жесткость центральной ступени подвешивания обеспечивается за счет момента сил трения в шкворневой балке, известного как предельный момент, обусловленный вилянием. У кузова, который крепится к двум тележкам, также три степени свободы: кузов может совершать колебания бокового относа, виляния и боковой качки.
8.5.1.10.	Обозначения, используемые при моделировании. При составлении стационарной и динамической моделей локомотива при движении на криволинейном участке используются следующие обозначения:
2а — расстояние между точками контакта колес с рельсами в поперечном направлении; — коэффициент боковой качки колесной пары; — расстояние между центральными ступенями рессорного подвешивания в поперечном направлении; й2 — то же между центральными ступенями рессорного подвешивания в продольном направлении; 63— то же между надбуксовыми ступенями рессорного подвешивания в поперечном направлении; Срх — коэффициент демпфирования колебаний подергивания надбуксовой ступени рессорного подвешивания; — то же бокового относа подбуксовой ступени рессорного подвешивания; Cpz — то же подпрыгивания надбуксовой ступени рессорного подвешивания; С}>1( — то же боковой качки надбуксовой ступени рессорного подвешивания; —то же виляния надбуксовой ступени рессорного подвешивания; Csx— то же подергивания центральной ступени рессорного подвешивания; Ciy — то же бокового относа центральной ступени рессорного подвешивания; С — то же боковой качки центральной ступени рессорного подвешивания; С,.^ — то же внляния центральной ступени рессорного подвешивания; dp— расстояние от центра тяжести тележки до надбуксовой ступени рессорного подвешивания; ds — то же до центральной ступени рессорного подвешивания; — коэффициент поперечного крипа; f12 — коэффициент сочетания поперечного и поворотного крипов; /22 — коэффициент поворотного крипа; f33 — коэффициент продольного крипа; Н — внешняя поперечная нагрузка; /iCs — высота центра тяжести кузова над центром рессоры шкворневой балки; hPp — высота центра тяжести тележки над осью колесной пары; hTs — высота рессоры шкворневой балки над центром тяжести тележки; hy,p — расстояние центра тяжести колесной пары до надбуксовой ступени рессорного подвешивания; /Вг — момент инерции шкворневой балки при колебаниях виляния; /Сх — момент инерции кузова при колебаниях боковой качки; 1Су — то же галопирования; lCz—то же виляния; !Гх — то же боковой качки; 1Ту—то же галопирования; lTz —то же виляния; lWy — момент инерции колесной пары при Повороте; I^z — момент инерции колесной пары при колебаниях виляния; Крх — жесткость надбуксовой ступени рессорного подвешивания, соответствующая колебаниям подергивания; Кру — жесткость надбуксовой ступени рессорного подвешивания, соответствующая колебаниям бокового относа; Kpz — то же подпрыгивания; Кр(() — то же боковой качки; Кр,^ — то же виляиия; Кзх — то же подергивания; Ksy — то же бокового относа; Ksz — то же подпрыгивания; Ksf(> — то же боковой качки; Ks^ — то же виляния; КТр, Кгт — жесткость элементов,
297
расположенных между тележками, соответствующая колебаниям бокового относа; 21 — расстояние между центрами тяжести тележек; 1ср — расстояние между центром тяжести кузова и центром тяжести передней тележки; 1СТ — расстояние между центром тяжести кузова и центром тяжести задней тележки; 1Р — расстояние от центра тяжести экипажа до центра тяжести передней тележки в продольном направлении; 1Т — расстояние от центра тяжести экипажа до центра тяжести задней тележки в продольном направлении; 1тр — расстояние от центра тяжести передней тележки до шкворневой балки в продольном направлении; ^ТГ — то же задней—до шкворневой балки в продольном направлении; Zj — расстояние между осью передней тележки и осью передней колесной пары; /2 — то же и осью средней колесной пары; 13 — то же и осью задней колесной пары; Z4 — то же между осью задней тележки и осью передней колесной пары; Z5 — то же и осью средней колесной пары; 1в — то же и осью задней колесной пары; Mt — вращающий момент, приложенный к оси колесной пары; Л1ф — внешний момент, вызывающий боковую качку; — внешний момент, вызывающий виляние; шв — масса шкворневой балки; шс — масса кузова; тг — масса рамы тележки; — масса колесной пары; R — радиус кривизны; Rc — радиус кривизны, соответствующий расположению центра тяжести кузова; Ri — радиус кривизны, соответствующий расположению Z-й колесной пары; RT — радиус кривизны, соответствующий расположению центра тяжести тележки; гр — радиус круга катания левого колеса; гр — то же правого колеса; г0 — то же для центрированной колесной пары; Тср—предельный момент сил трения в шкворневой плите, обусловленный вилянием; v — скорость поступательного движения экипажа; Wc — вес кузова; WT — вес рамы тележки; — нагрузка на колесную пару; ус — поперечное перемещение кузова; yTF — то же передней тележки; угг — то же задней тележки; ук- — то же колесной пары; yj — поперечные зазоры шейки оси колесной пары; А — скорость изменения угла контакта колеса и рельса; 6L — угол контакта левого колеса с рельсом; — угол контакта правого колеса с рельсом; б0 — угол контакта колес с рельсами при центрированном положении колесной пары в колее; eL — масштабный коэффициент крипа левого колеса; eR — масштабный коэффициент крипа правого колеса; X — эффективная коничность; <рс — угол боковой качки кузова; грд — недостаточное возвышение наружного рельса; <frp — угол боковой качки передней тележки; <ргг — то же задней тележки; <р№ — то же колесной пары; фс — угол виляния кузова; ф^., — то же колесной пары; ф^ — то же передней тележки; ф^ — то же задней тележки.
8.5.1.11.	Взаимодействие колеса и рельса. Геометрия области контакта: линейный профиль, малые углы контакта. В качестве первого приближения принимается, что профиль колес носит линейный характер, т. е. параметры в местах контакта колеса и рельса являются линейными функциями поперечных перемещений колесной пары. Эти параметры можно связать с точками контакта колеса и рельса следующими формулами:
rR) = kyw-,	(8.76)
+	(8.77)
298
-^(dL--dR)^(A/a)yw-,	(8.78)
-у(^ + 6Л) = 6о;	(8-79)
Фи-/ = (ап/а/ yw,	(8.80)
где yw — поперечное перемещение колесной пары.
Так как каждая колесная пара не обладает степенью свободы, соответствующей колебаниям боковой качки, то для определения угла боковой качки колесной пары через поперечное перемещение используется формула (8.79).
Геометрия области контакта колеса и рельса: нелинейный профиль, большие углы взаимодействия. Если поперечное перемещение колесной пары не является малой величиной, т. е. если движение не ограничено линейной частью профиля обода колеса, в таком случае требуется учет нелинейных геометрических характеристик профиля колеса и рельса, а также больших углов контакта колеса и рельса.
Геометрические параметры, описывающие поверхность контакта, не могут быть выражены в виде линейных функций поперечного перемещения колесной пары. В этом случае rL, rR, и фи? определяются в табличной форме: таблицы содержат двухмерные массивы упорядоченных данных, соответствующих перемещениям колесной пары в общем случае в диапазоне от —25,4 до + 25,4 мм с шагом 0,25 мм. Некоторые характерные данные для указанных функций приведены в главе 5.
Большие перемещения колесной пары в поперечном направлении диктуют необходимость рассмотрения больших углов взаимодействия колеса с рельсом, следовательно, замены приближений тригонометрических функций малых углов углами на истинные тригонометрические функции больших углов.
Уравнения колебаний, составленные для колесной пары с большими перемещениями и углами контакта, являются нелинейными и требуют для решения их методы, применяемые для решения нелинейных задач.
Силы и моменты сил взаимодействия колеса и рельса. Для описания геометрии линейной области контакта колеса и рельса значения сил крипа, действующих на колесо, при отсутствии ограничений получаются на основе линейной теории крипа Колкера [10].
Значения сил крипа на левом и правом колесах в общем случае различны, так как коэффициенты крипа являются функциями нормальных нагрузок на колесные пары. Эти нагрузки становятся неодинаковыми из-за перераспределения сил, которое происходит при движении на криволинейном участке. Кроме того, и значения поворотного крипа различны, что также приводит к неравным значениям сил крипа на левом и правом колесах. Результирующая сила крипа на колесе физически ограничена допустимой силой трения в области контакта колеса и рельса. Для учета насыщения силами крипа используется формула насыщения Вермюлена и Джонсона [II] (рассмотренная в разделе 4.6.7). Хотя
299
влиянием поворотного крипа при составлении уравнений колебаний пренебрегается, вклад этого фактора в силу поперечного крипа учитывается при эвристическом подходе вычисления результирующей силы крипа при отсутствии ограничений. Влияние фактора насыщения силами крипа должно учитываться при масштабировании коэффициентов крипа с целью выделения доли их номинального значения.
В модели принимается также допущение о том, что на локомотив действует момент сил тяги Mt, определяемый следующим образом:
Mt = ец1Гц7Г0,	(8.81)
где е — постоянный коэффициент, который меняется в диапазоне от 0 до 1; р — коэффициент трения.
При наличии момента сил тяги его выражение вводится в соответствующие выражения для сил крипа применительно к различным видам крипа. Таким образом сила крипа будет зависеть как от перемещения колесной пары, так и от момента сил тяги. Если этот момент достаточно велик, то в найденных результирующих силах крипа без ограничений всегда будет присутствовать насыщение для данного диапазона кривых.
8.2.1.12. Нелинейные характеристики рессорного подвешивания. Поперечные зазоры надбуксовой ступени рессорного подвешивания. На рис. 8.20 приводится график зависимости силы в элементе надбуксовой ступени поперечного рессорного подвешивания от взаимного перемещения колеса и рамы тележки. Следует заметить, что при малых относительных поперечных перемещениях колесная пара попадает в область, характеризующуюся свободным зазором, в которой на колесную пару не действуют силы надбуксовой ступени поперечного рессорного подвешивания. Вне таких областей на колесную пару действует сила поперечной рессоры с линейными характеристиками.
Положение каждой колесной пары относительно рамы тележки будет сказываться на равновесии экипажа в целом из-за возможного изменения числа сил, действующих на тележку со стороны элементов надбуксовой ступени рессорного подвешивания. Предельный момент сил трения, обусловленный вилянием. На рис. 8.21 приведен график зависимости момента, возникающего в центральной ступени подвешивания, обусловленного вилянием, от угла виляния кузова относительно рамы тележки. При малых относительных перемещениях шкворневая балка работает как линейный элемент. Однако, как только достигается максимальный момент сил взаимодействия кузова и рамы тележки, он продолжает сохраняться независимо от любого дальнейшего взаимного смещения двух этих составных частей. Если относительное перемещение соответствует моменту, который находится в области, ограниченной максимальным его значением, то уравнения равновесия должны быть скорректированы. Цель корректировки состоит в том, чтобы отразить тот факт, что момент не может после определенного значения возрастать линейно. В этом случае линейный член уравнения равновесия, описывающий момент, возникающий в центральной ступени рессорного подвешивания 300
Рис. 8.20. Характеристика жесткости иадбуксовой ступени поперечного рессорного подвешивания, представляющая связь силы и перемещения: 1 — участок задержки
Рис. 8.21. Характеристика жесткости центральной ступени рессорного подвешивания, представляющая связь момента и угла виляния кузова относительно рамы тележки
и обусловленный вилянием, должен быть заменен постоянным значением момента.
8.5.1.13. Допущения и ограничения, используемые при построении модели. При построении модели были сделаны следующие допущения: 1) неровности пути можно не учитывать; 2) рессоры обладают линейными характеристиками до момента времени, когда достигается предельный момент, обусловленный вилянием; 3) рельсы — твердые тела; 4) гироскопические эффекты не учитываются.
Обычно для уменьшения или уравновешивания центробежной силы внешний рельс на криволинейных участках пути ставят с возвышением (т. е. внешний рельс приподнят по отношению к внутреннему рельсу). Если возвышение внешнего рельса больше или меньше значения, которое необходимо при заданной кривизне и при заданных сочетаниях скоростей, в таком случае вертикальные нагрузки на два колеса колесной пары будут различными. Это приводит к перераспределению веса и учитывается в модели с помощью параметра <pd:
<₽d==(f2/gfl)—<pse,	(8.82)
называемого параметром недостаточного возвышения наружного рельса. Этим параметром оценивается чисто поперечный эффект, обусловленный взаимодействием центробежной силы и составляющей силы тяжести.
8.5.1.14. Уравнения равновесия. Для того чтобы написать уравнения равновесия различных составных частей модели, составляются расчетные схемы и системы сил и моментов, действующих на колесную пару, тележку и кузов. Эти схемы и системы сил и моментов показаны на рис. 8.22—8.24. Сначала записываются уравнения равновесия с помощью выражения сил и моментов. Затем уравнения будут записаны с
301
помощью геометрических параметров рессорного подвешивания и других характеристик экипажа. Это достигается с помощью выражения сил и моментов через обобщенные перемещения, представленные в табл. 8.3.
Исходя из системы сил и моментов, показанных на рис. 8.22, можно записать уравнения равновесия для i-й колесной пары.
Боковой относ
XF,t FLyi + FRvl-NLtf>Li + NRlbRI + W<pd + F,yi^0. (8.83)
Виляние
(F— FRxi) а (FxiR— Рхц) dt, -( (Уц 6/., NRx &Ri) оф» -|-
+ MLi + Л4/о = 0.	(8.84)
Боковая качка
2М,Р--- —N ц 2а 4- W' w. а 4- W'w rlt	-| (F2iR— F2u_)a~F
-+Fyl{r^. hWp)=0.	(8.85)
Галопирование
S'Ale =-- —FRxi rRs -i- FLxi rц + Mt = 0.	(8.86)
Аналогичные уравнения можно записать для остальных осей колесных пар. Уравнения (8.84) и (8.85) образуют систему зависимых уравнений, так как колебания боковой качки оси получены на основе рассмотрения колебаний бокового относа, а колебания галопирования получены из условий равновесия сил крипа и внешнего момента сил тяги, действующих на ось колесной пары со стороны двигателей, развивающих тягу.
Уравнения равновесия тележки можно записать, пользуясь расчетной схемой, показанной на рис. 8.23.
Уравнения для передней тележки записываются следующим образом.
Боковой относ
XFV =. WT Фс/ У FyF - V Fyl = 0.	(8.87)
i-l
Виляние
3	3
(FxiL-FxiR)dp+M^+ 2 Fyili — Fyll1 = 0. (8.88) i=l	i = 1
Боковая качка
3	Г 3
5Л4Ф= M,fF— 2 Mn>i -)- hrpq>TF 2 (F2iR-{- F
— FVFhTs-\-(F2FL 4- F2FR) hrs^TF —hrP
(8.89)
302
Рис. 8.22. Система сил
и моментов, действующих на
набегающую колесную пару
Fill
Рис. 8.23. Система сил и моментов, действующих иа раму тележки (со стороны первой, второй и третьей осей колесных пар, а также кузова, взаимодействующих с тележкой)
303
Рис. 8.24. Система сил и моментов, действующих на кузов (обусловленных силой тяжести, кривизной и взаимодействием с двумя тележками)
Аналогично можно записать уравнения для задней тележки следующим образом.
Боковой относ
+FyT- 2 FHi — 0.	(8.90)
i 4
Виляние
6	5
2/V^ V (FxiL — FxiR) dp -h M^7-+ Y Fyili
i 4	i 4
F„e/e-0. (8.91)
Боковая качка
6
£Л4(п ”/И(р7—	+ li fp фт'7'
i — 4
2 (FziR + FziL) i 4
— FyT hTs~\-(FzTL F2rR) hrs фтт—ЬтР
i — 4
=- 0. (8.92)
Рассматривая расчетную схему, показанную на рис. 8.24, можно записать уравнения колебаний кузова. Эти уравнения записываются следующим образом.
Боковой относ
SFy = Wc <pd + Н - FuF~ FxT = 0.
(8.93)
304
Виляние
SAf	Al^— Fур Ice 4 Fут 1ст — M$f— A4,f ? = 0.	(8.94)
Боковая качка
SMfe~ M<i-j[(FzER-F Fzel'i -i (Fziu 4 FzTi)]hcs<fc—
— ’ Fут	FyFj hcs — Myr~- ИфГ--0.	(8.95)
Эти уравнения равновесия выражены через силы и моменты, действующие на различные части системы. Силы и моменты, входящие в эти уравнения, зависят от обобщенных перемещений и углов поворота составных частей системы, соответствующих стационарному состоянию. Поэтому необходимо выразить все силы и моменты, входящие в уравнения (8.83)—(8.95), через параметры рессорного подвешивания, геометрии и масс локомотива. Эти уравнения, взятые из работы [91, можно записать следующим образом.
Боковой относ колесной пары y^t (t ~ ' -4- 6):
Vwi Г _	+ с, КРу(Са - с3)	(С2-Q-
f	G*	о	ЛК
_ А (Ц7Г + Fzi) н- А*. (Сг + Са) 1 + с5- С, Кр„ уТРТТ +
с	</гс	J
+ ^тк.тт (± Кру ЦСц г F TT l Kpxv—5----Cj Кру hrPj 4~
+Jj _ (C24-c3) + C, ------------(c2 _ c3) +
К	2.	3r0
4- ce r w q>d 4- G —°- (C2- C3) + Kpy Cx sgn, z/o - 0,	(8.96)
ro
где
Ci = —-(<o +	— 1; Ct = /i2i в/.» (1 4-^<pd);
a
C^-fv2R ещ (1 - A<pd); C4 1 + ---------
I3M ro (eLi^eRi)
C5= 1 4-A/i<pd; Ce=l— r060/o;
3
ro4 ~ T (hT 4 hw + r0) + -r- IFC (hTр4-Л|рр4- г«4 ЛГ54 лс?)
h=----------А--------------------*--------------------------------
L	о	о |
305
Виляние колесной пары ф^г (i --- 1 -? 6):
(etr + Er.) (1--/1г <prfj х ~ fit» X
А 16 U л), 2АС4/22„] . -------------<pd °о т------------1'
Р 9	/()	/	ar 0	J
Ф^ i	(М7ц7-Н F2i) -—С2 — С3| + фтт.г/ /<Р4- —
-1-Л2<р^-6р 'о
Ущ
R 16 9

/•220 №	?— 2/220] 4- —• /220
ru J 3 2/220 ^0
u
%ro /ззо'о(клГ! e/?()
(8.97)
— M
Боковой относ рамы тележки y.lF, уТТ:
з
Кру) Утр.тт IAsy KtF 3/<^pv]
+ Фгг I — Ksu Itf.tt ± If Ktf— li Kpy ±l2 KPy + l3 KPy\-{-
+ Фт-р.тт 1А,И hrs hrp (y>Kpy)\ 4~ Утт.ТР KpF ^TT.TF (KTFlp) 4-
+ Ус K„y ± фс KSy Icf 4" <₽C Ksy hcs-—
к
—^Кг„1Ь.
—(Jf.t — It,f) + — (3/C,,w) /; + Wr <Pd 4
+ У*0 2 Kpy SgH* °-
(8.98)
Виляние рамы тележки фтт, фг? :
з
У^[ ^vu У'х 2 Кру Ууез Кру Арф 2 Ф^- +
i = 1
“К У'ГР,ТТ I	F ^TF,ТТ	^РУ ”1“ ^РУ ^з! “Ь
+ Фу-Г, тт
— ЗАрф— А5ф—KtfIf.t— Ksy Itf.tt —
з
— S KPy If + <prF T1 {KSy Itf.tt hrs ± hrP(± KPv ly -)-i = i	J
4- KPy It zt Kpy /3)] 4" yTT,tt(± KtfIf.t) — ^tt.tfKtfIfIt ±
zt y^ K&y IpptPT tc 1А«ф 4- Kty ^pp'-р-р ^cf,ct^	ФсАзу Itf.tt h-sc
306
R I.
— (^p.v I* ±
2 — M ± К„ы (Icf.ст—Itf.tt) ±
(8.99)
- К11и1з)—Уо\ — Кр„11 Sgn, ± KPJ,/2sgn2-|-+ KP»/3sgn3l]=0.
Боковая качка Цтр, фгт-:
Ууп{^fu ^tp ~ Ap<p j Ч- Урр j-j-\Ksy I^Ts hip (3/fpV)J -|*
i=i '	a 7
4“ ^TF,TT I Agy ^Ts ^тр'Т'г ^Tp (.Кру ^1 zt Кру 12 Кру Ч~
Фгг ГД -Ksif~-KSyhh -к—- - 'CT-CF----- WchTs-teTp (3Kpy) i-
L	( lCT,CF ~r lCF,C'n
+-^1-3^
( lCT.CF №c
) \ — ' l-CT.CF Ь IcF.CT
± Ч’с Ksy ^Ts IcF.CT + Фс I A’Sep— Ksv hTs he si —
РФ — Ус KSy ^Ts ±
3
±ЬтРУо V KpySgni =0.
(8.100)
Боковой относ кузова ус:
Kgy ^yTF~F Утт— 2l/c + 4’7T ItF— 4’7'7' ItT — hrs (<Pt-f + фру) + + tc (Jer — (cp) — 2фс hes—~~ (Icf~\- ^<?r)jj + Фс! We + H ~ 0.
Виляние кузова 4>c:
Kty ^Утр IcF — Утт 1ст~(- ^tf IcfItf + ^>tt Ict Itt + 4-/lrs (фуу ter— yTF 1ср)-\-Ус (IcT — Icf) +1I,c ((cF^~ (ct) +
+ фc hes Нет—Icf) — ~-y (Icf — /ст)1 + 2K	J
+ Ksy ^TF + Ч’ГГ — 2lfc----- (Icf — Iff— Ict +1tt) j +	— 0.
(8.101)
(8.102)
307
Боковая качка кузова Фс:
KSyhcs \утк + Утт	— фтт hr— hrs(sfTF + <Prr) —
— 2yc + фс Уст — Icf) — 2hcs <pc
— (Ir.T г/cf)]+
4- Ksq> (q>rF4- <₽rr—• 2tpc) + <pc Wc hCs + Ац = 0.	(8.103)
Индексы TF и TT в уравнениях (8.96) и (8.97) относятся к передней и задней тележкам соответственно. Индекс i меняется от 1 до 6, причем при изменении i от 1 до 3 используется индекс TF, в то время как при изменении i от 4 до 6 используется индекс ТТ. Уравнения колесных пар передней и задней тележки идентичны, за исключением перемены знака в уравнениях (8.96) и (8.97). Перед некоторыми членами этих уравнений стоят два знака. Верхний знак используется для записи уравнений применительно к колесным парам передней тележки, в то время как нижний знак должен использоваться при записи уравнений применительно к колесным парам задней тележки. Уравнения для рам передней и задней тележек также аналогичны, за исключением перемен знака в уравнениях: верхние знаки применяются к раме передней тележки, а нижние — к раме задней тележки. Для рамы задней тележки члены КРи1 и lt (i --= 14-3) должны быть заменены членами и (i = 4ч-6) соответственно.
В уравнениях равновесия (8.96) и (8.97) при колебаниях бокового относа и виляния колесной пары поперечные зазоры осей колесных пар описываются членом KPvt у*, где KPvt — жесткость t-й надбуксовой ступени рессорного подвешивания при колебаниях бокового относа. Этот член обращается в нуль, если колесная пара находится в мертвой зоне. Параметр у* означает положительный или отрицательный зазор в зависимости с какой стороны осуществляется контакт между тележкой и колесной парой.
Насыщение силами крипа учитывается с помощью параметров е£; и еЛг, которые являются масштабными коэффициентами крипа левого и правого колес, определяемыми с помощью нелинейной эвристической модели. Таким образом моделью допускается, чтобы каждое колесо независимо от других колес испытывало насыщение силами крипа.
Сила Fу1, возникающая в надбуксовой ступени поперечного рессорного подвешивания тележки и действующая на t-ю колесную пару, определяется следующим образом:
Fyt^= КРу(.Ут1—ywi),	(8.104)
где yTi—поперечное перемещение точки тележки, соответствующей i-й колесной паре.
С учетом поперечных зазоров шейки оси колесной пары формула будет иметь вид
Fyi — Кру Куп----ywi) ± Уо],	(8.105)
где yj — поперечный зазор на каждой стороне.
308
Постановка знака «плюс» или «минус» определяется тем, какой стороной оси осуществляется контакт шейки оси колесной пары.
Если разность (yTi — ywt) положительная и превышает у*а, тогда контакт шейки оси осуществляется с правой стороны и из двух знаков перед уо ставится знак «минус» для получения чистого относительного перемещения. Аналогичное утверждение может быть при осуществлении контакта с левой стороны.
Если у* записать в виде:
у* ±Уь,	(8.106)
тогда соотношение (8.105) можно переписать в виде
= KPu\(yTi — yWi) + У*\-	(8.107)
При использовании выражения (8.106) могут возникнуть три различные ситуации:
I Ут1 У\Ф1 I У<> ' Кру 0’
(yTi—> У*° КРИ °- у* У*0'
(УтГ-У^<~ Уь-КриФЬ, y*—yt. (8.108)
При известных относительных перемещениях можно определить, какая из указанных ситуаций складывается для данной колесной нары.
8.5.1.15. Метод решения. Уравнения равновесия (8.96)	(8.103)
можно переписать в матричном виде, если определить вектор обобщенных перемещений следующим образом:
{У}г= lyw 1 Hwi Учез yw\ ywb У'л<>
Ф«71	'I’W/.T фи/4 ф\1/5 Ф«76
Уте Утт Ус Фтт фтг фс
фут фтт Фс].	(8.109)
Тогда уравнение равновесия будет иметь следующий вид:
И|{у} = {В},	(8.110)
где [Д] — матрица коэффициентов размером 21x21, которая содержит такие параметры, как жесткости системы рессорного подвешивания и геометрические размеры локомотива; {В} — вектор внешних воздействий, куда входят значение центрального угла криволинейного участка железнодорожного пути, характеристика недостаточности возвышения наружного рельса, момент сил тяги и внешние нагрузки.
Уравнением (8.110) описывается система линейных алгебраических уравнений, которые решаются относительно неизвестных обобщенных координат {у}. Эти обобщенные координаты используются для определения сил крипа, зазоров реборды колес относительно головки рельсов, соотношения поперечной и вертикальной нагрузок Liv, относительных перемещений, усилий и моментов в системе рессорного подвешивания и показателей износа колеса и рельса.
309
Если перемещения, найденные на начальном этапе решения, приводят к росту момента, обусловленного вилянием, абсолютное значение которого превышает максимально допустимый момент, то в таком случае принимается, что в шкворневой балке возникает предельный момент, соответствующий разрыву связи тележки с кузовом локомотива.
В случае разрыва связи тележки с кузовом локомотива в соответствующих уравнениях равновесия член, описывающий линейное поведение центральной ступени рессорного подвешивания при вилянии, заменяется членом, соответствующим максимальному моменту. После проведения указанного преобразования уравнения проводится его решение. Следует заметить, что связи ни одной из двух тележек с кузовом или обеих тележек с кузовом не могут быть разорваны.
При определенных сочетаниях радиуса кривизны, центрального угла криволинейного участка железнодорожного пути и недостаточности возвышения наружного рельса при поперечном перемещении колесной пары будет полностью выбран зазор между ребордой колеса и головкой рельса.
Такой момент времени считается моментом контакта реборды колеса с головкой рельса. Последовательностью таких моментов определяются временийе границы, внутри интервалов которых взаимодействие реборды колеса с головкой рельса не происходит. Следовательно, с помощью расчета можно установить диапазон условий, при которых движение колесной пары происходит без взаимодействия реборды колеса с головкой рельса.
При заданных радиусе кривизны и центральном угле криволинейного участка железнодорожного пути, недостаточности возвышения наружного рельса можно судить о последовательных поперечных перемещениях колесной пары по разности зазоров в исходном состоянии и в последующие моменты времени между головками рельсов и ребордами колесной пары. Для набегающей колесной пары эта разность является отрицательной величиной. Реборда колеса, у которого модуль указанной разности достигает наибольшего значения, либо взаимодействует с головкой наружного рельса, либо близка к этому состоянию.
Считается, что реборда приближается к состоянию взаимодействия с головкой рельса, если модуль указанной разности находится внутри допустимых границ. Если это условие нарушено, применяется итерационная схема, в которой используются линейные интерполяции до момента времени, пока не будут выполнены условия взаимодействия реборды с головкой рельса.
Кроме этого, существуют определенные сочетания центрального угла криволинейного участка железнодорожного пути, радиуса кривизны и недостаточности возвышения наружного рельса, при которых требуется нарастающая результирующая сила крипа для удержания железнодорожного экипажа в равновесии, стремящаяся к максимально возможной силе трения. В данном случае угрожающим фактором является скольжение, границы которого определяются аналогично тому, как определялись границы взаимодействия реборды колеса с головкой 310
рельса. При насыщении силами крипа определение границ скольжения является не совсем корректным, но если ограничить рассмотрение данной задачи рамками чисто линейной теории, модель можно легко преобразовать с учетом наличия этого фактора.
8.5.1.16. Применение модели. С целью демонстрации применения стационарной модели локомотива при движении на криволинейном участке в качестве расчетного инструмента ниже представлены результаты параметрического исследования шестиосного локомотива.
В модели были учтены следующие нелинейные факторы: насыщение силами крипа, поперечные зазоры элементов надбуксовой ступени рессорного подвешивания, а также предельный момент центральной ступени рессорного подвешивания при вилянии. Исходные данные локомотива приведены в работе [12].
Модель использовалась для того, чтобы решить вопрос: будет ли данная комбинация центрального угла криволинейного участка пути, радиуса кривизны, недостаточности возвышения наружного рельса и скорости приводить к взаимодействию реборды колеса с головкой рельса или будет ли сила трения достаточна для удержания экипажа в равновесии.
Окончательное поперечное перемещение колесной пары можно сравнить с зазором между ребордой колеса и головкой рельса при заданной недостаточности возвышения наружного рельса и центральном угле криволинейного участка пути. Колесная пара с минимальной разностью между перемещением и зазором либо близка к состоянию взаимодействия реборды с головкой рельсов, либо уже находится в этом состоянии. Таким образом модель можно использовать для устаиовлеиия границ условий скольжения и взаимодействия реборды колеса с головкой рельса железнодорожного пути.
При заданных центральном угле кривой, радиусе кривизны и недостаточности возвышения наружного рельса для шестиосного локомотива были найдены границы скольжения и взаимодействия реборды колеса с головкой рельса. Результаты расчета показаны на рис. 8.25. Область, расположенная слева от границы взаимодействия реборды колеса с рельсом, соответствует условиям, при которых локомотив движется без взаимодействия реборд колес с головками рельсов, в то время как область, расположенная справа от границы взаимодействия реборды колеса с рельсом, соответствует условиям, при которых происходит взаимодействие реборд одного или более колес с головками рельсов в зависимости от недостаточности возвышения наружного рельса.
Взаимодействие реборды колеса может происходить с головкой либо приподнятого, либо опущенного рельса в зависимости от недостаточности возвышения наружного рельса. Областью, заключенной между границами взаимодействия реборды колеса с головкой рельса, определены условия движения, прн которых силы трения достаточны для удержания локомотива в состоянии равновесия.
На рис. 8.26 иллюстрируется влияние жесткости надбуксовой ступени рессорного подвешивания при вилянии на границы скольжения и
311
взаимодействия реборды колеса с рельсом. Кривые на этом рисунке построены в координатах «центральный угол кривой — жесткость надбуксовой ступени рессорного подвешивания при вилянии» при достаточном возвышении наружного рельса. На рисунке видно, что граница скольжения весьма чувствительна к изменению жесткости надбуксовой ступени рессорного подвешивания при вилянии. С увеличением жесткости при вилянии значение центрального угла кривой, при которой появляется скольжение, уменьшается, но при больших значениях жесткости при вилянии проявляется поведение тележки как жесткого тела, и скольжение становится почти нечувствительным к жесткости при вилянии.
Аналогичное заключение можно сделать относительно границы взаимодействия реборды колеса с головкой рельса, но эта граница попадает в область нечувствительности к жесткости надбуксовой ступени рессорного подвешивания при гораздо меньших значениях, чем это имеет место для границы скольжения.
На рис. 8.27 показано, что увеличение поперечного зазора приводит лишь к слабому увеличению центрального угла криволинейного участка пути, по которому может двигаться с равновесной скоростью локомотив без взаимодействия реборд колес с рельсами.
Когда зазор достигает примерно 11 мм, нельзя добиться улучшения условий движения на кривой, так как колесо, взаимодействующее своей ребордой с головкой рельса, попадает в мертвую зону и не подверга-
Рис. 8.25
Рис, 8.25. Границы скольжения и взаимодействия реборды колеса с головкой рельса для различных сочетаний недостаточности возвышения наружного рельса н центрального угла кривой:
/ — граница области взаимодействия реборды колеса с головкой рельса; 2 — граница обла-сти скольжения
Рис. 8.26. Влияние жесткости иадбуксовой ступени подвешивания на скольжение и взаимодейстнне реборды колеса с голонкой рельса при движении с равновесной скоростью:
1 — граница области скольжения; 2—граница области взаимодействия реборды колеса с головкой рельса
312
Рис. 8.27. Влияние поперечных зазоров надбуксовой ступени рессорного подвешивания на взаимодействия реборды колеса с рельсом при движении на криволинейном участке пути с равновесной скоростью
Рис. 8.28. Влияние момента сил тяги на взаимодействие реборды колеса с головкой рельса при движении на криволинейном участке пути с равновесной скоростью
ется действию сил поперечного рессорного подвешивания. Любое увеличение поперечного зазора за этой точкой не может повлиять на движение на криволинейном участке пути без взаимодействия реборд колесе головкой рельса.
Как показано на рис. 8.28, увеличение момента сил тяги вызывает небольшое убывание центрального угла криволинейного участка пути. Большие моменты сил тяги вызывают появление больших крипов и, следовательно, приводят к резкому возрастанию сил крипа, что приводит в свою очередь к необходимости дальнейшего уменьшения масштаба коэффициентов крипа, обусловленного насыщением силами крипа. Кроме того, колесная пара будет стремиться переместиться в радиальном направлении от центра кривой для того, чтобы компенсировать уменьшение коэффициентов крипа.
На рис. 8.29 представлено влияние поперечных зазоров на показатель износа при центральном угле 0,47° криволинейного участка пути. Как можно видеть на рисунке, нормальный показатель износа уменьшается при увеличении поперечных зазоров. Поскольку увеличение показателя износа означает, что нормальная нагрузка на внешнее набегающее колесо увеличивается, то уменьшение должно быть обусловлено уменьшением суммарного крипа. Приемлемость такого объяснения следует из того, что увеличение поперечного зазора приводит к оттягиванию момента, когда начнет сказываться сила поперечного воздействия надбуксовой ступени рессорного подвешивания; при отсутствии момента сил тяги крип колесной пары, свободной от воздействия сил или моментов, обусловленных системой подвешивания, ничтожно мал.
313
Рис. 8.29. Влияние поперечных зазо ров иадбуксовой ступени рессорного подвешивания на нормальный показатель износа при движении на криволинейном участке пути с равновесной скоростью
Рис. 8.30. Влияние момента сил тяги на нормальный показатель износа при движении на криволинейном участке с равновесной скоростью
К этому следует добавить выравнивание показателя износа, что является следствием попадания набегающего внешнего колеса в мертвую зону.
Как видно па рис. 8.30, с увеличением момента силы тяги увеличивается износ, что и следовало ожидать, как так возрастание момента силы тяги приводит к увеличению крипа.
8.5.2. Динамическая модель локомотива при движении на криволинейном участке пути1. В тех случаях, когда требуется определить детальное распределение сил взаимодействия колеса и рельса при наличии неровностей пути или при входе на кривую и выходе из кривой, стационарные модели железнодорожных экипажей, описанные ранее, уже не могут быть использованы. В таких случаях необходима полная динамическая модель экипажа при движении на криволинейном участке. При построении такой модели должно проводиться корректное моделирование всех нелинейных геометрических параметров области взаимодействия колеса и рельса, нелинейных эффектов, обусловленных насыщением силами крипа, поперечной и вертикальной гибкостями конструкции пути, а также неровностями пути,
так как для такого исследования проработка деталей взаимодействий колеса и рельса имеет важное значение. Геометрические параметры области контакта колеса и
рельса, а также количественные показатели явления насыщения силами крипа, которые учтены при построении модели, были рассмотрены в разделе 6.3. В главе 6 применительно к определению характеристик вынужденных колебаний шестиосного локомотива при движении на прямолинейном участке пути были рассмотрены степени свободы, элементы системы рессорного подвешивания, геометрия области контакта колеса и рельса, насыщение силами крипа, а также эффект поперечной
1 См. работу 113|.
314
жесткости железнодорожного пути. Кроме этого, была описана (см. рис. 6.11) модель, учитывающая поперечную гибкость железнодорожного пути, а также ее влияние на геометрические параметры области контакта колеса и рельса. Однако в этой модели пренебрегалось инерционными силами и характеристиками демпфирования пути. Важную роль при исследовании высокочастотных составляющих поперечных нагрузок, которые возникают при наличии неровностей пути, играет модель, учитывающая гибкость рельсов.
В данном разделе модель, рассмотренная г главе 6, будет обобщена с учетом динамики локомотива при движении на криволинейном участке пути. Будут использованы уравнения колебаний колесной пары при движении на криволинейном участке произвольного радиуса, рассмотренные в главе 5. Ниже будет представлена модель, обладающая 29 степенями свободы. В главе 11 будет проведено сравнение результатов, полученных с помощью модели, с результатами натурных испытаний, полученных во время экспериментов на специально построенном участке железной дороги, содержащем неровности.
8.5.2.1. Описание модели. Общая схема модели шестиосного локомотива показана на рис. 8.19. Модель состоит из 11 твердых масс, суммарное число степеней свободы которых согласно табл. 8.4 равно 29.
Колебания подпрыгивания и боковой качки колесной пары определяются исходя из геометрии области контакта колеса и рельса, а также из колебаний бокового относа колесной пары. Типичное соотношение между углом поворота при боковой качке и перемещением при боковом относе колесной пары показано на рис. 5.14. Что касается характерис-
Таблица 8.4. Степени свободы динамической модели шестиосного локомотива при движении на криволинейном участке
Элемент	Боковой относ	Виляние	Боковая качка	Подпрыгивание	Галопирование
Первая колесная пара	У\х 1	tin	—	—	—
Вторая колесная пара	У» 2	4мг 2	—	—	—
Третья колесная пара	Ук'з	%'-3	—	—	—
Четвертая колесная пара	У VI'4	4w 4	—		—
Пятая колесная пара	У\С5	4«Г5		—	—
Шестая колесная пара	Уи/6	4w'6	—	—	—
Первая (набегающая) те-	Ут\	4п	Фг 1	гТ\	0П
лежка					
Вторая (задняя) тележка	Ут^	4/2		ZT2	0r2
Кузов	Ус	4с	Фс	гс	«с
Первая шкворневая балка	—	4bi	—	—	—
Вторая шкворневая балка	—	4В2	—	—	—
315
тик системы рессорного подвешивания локомотива, то они были освещены в главе 6. Используемые при составлении уравнений колебаний обозначения приведены в разделе 8.5.1.10.
8.5.2.2. Уравнения колебаний. Колебания бокового относа колесной пары i/w j (i	1—: 3):
1ПК P\Vi ' FLi/i ' ‘ Кi^bi К Lbi -1 Л	Fpyi j
+ ww |r0(pw, ! (vKR ) — g<pse/|.	(8.111)
Колебания виляния колесной пары (z - 1-уЗ):
/« гфц-, - МNiK-Mc.i ~ -М p4i ' /ll'-z	( 1//?, ) -1
—	(v/r,) q ц	(8.112)
где выражения для
F Lun FCui ' NKvt, N Lyi
были составлены в главе 5 для колесной пары, а Мд/; и Ма относятся к моментам при вилянии, которые создаются нормальной силой и силой крипа. Соответствующие выражения для этих членов даны в главе 5. Здесь FP!/i и Mpyi — поперечная сила и момент при вилянии, действующие на i-ю колесную пару, обусловленные усилиями в элементах рессорного подвешивания, которые возникают между осью колесной пары и рамой тележки. Выражения для этих членов записываются в виде
FpUi —К[.у\Ут\—yvii F i ЛгрСртч 4-hyppttci +г0(ucz/2a)|—
— С.,,1\уТ[ — yVi.У I, ф7.| 1 Л/рфп . hWpaci+rlKucd2a')\, (8.113)
где ис- и uci — члены, обусловленные возмущениями, вносимыми поперечным уклоном пути.
Здесь больше нуля для тех колесных пар, которые расположены впереди центра тяжести рамы тележки, знак «минус» перед lt должен ставиться, если колесная пара располагается позади центра тяжести рамы вагонной тележки. Угол поворота aCi колесной пары при боковой качке вызван возмущением, вносимым поперечным уклоном пути, и выражение для момента при колебаниях виляния записывается следующим образом:
Мру1= — Ья КрХ [2М1’Г1— ^>)|— &3Ср.г|263(1р7-1 — ш)1- (8.114)
В уравнениях (8.111) и (8.112) обозначен радиус кривизны железнодорожного пути, соответствущий положению i-й колесной пары, и Фяег — угол возвышения наружного рельса в этом месте.
Аналогично уравнениям (8.111) — (8.114) могут быть записаны уравнения колебаний для колесных пар задней тележки.
316
Боковой относ передней тележки
3	3
тТуТ} =- V Fvui— 2	+	: ////;) <(., 1
t-1	L - - 1
-|-Wr ф-Ш	(8.115j
Виляние передней тележки
1гг фп = - (Ь., -г bf) F,!l2 4- (b2 — bi) FS!/J + b2 (F,xl — Fsx2) 4- /, F pyi —
~ 1-1 Fi>ii2 — I.., Fpi/:, 4 1Тг I v (1 iRrt) 4- spse ] -4 I <1/	j
/6	3
M 2 F,IX>- 2 j-
\i ^4	i- i	1
Боковая качка передней тележки
(8.116)
+ An ' Kll2) ф bl (F^ H- F„2i — F„] — Fsz2).
(8.117)
Подпрыгивание передней тележки
mTzr^- V F,,., - V H2,.	(8.118)
l — I " i I
Галопирование передней тележки
ItvQt\ =- — hTp 2 Fpxi-[ h(Fpn-\-Fl.z№)F-l2(F1>2i 4FJ)25) —
- - li (Fpz3 + Fl^~hTs (Fsxl + FSVJ) + (b., + th) (Fni + Fm) —
— (b2 — bi)(Fszi J-Fsz3).	(8.1191
В этих уравнениях:
Fsyi	Кчу с Ут\ — Ь'2 (Фвi Я 7 |) H“ bfy^ Я4 4
+ hrs <Pn —bj фг|| — Csy [yc — ут\ + Лфс ± b2 (ipBi —фл i ) 4
+ /ics<Pc4-ftrs<Pn — ^Фт-Л	(8.120)
Fsxi = - Ksx I ± МФв I — Фт-1) + b-Cs 9c -T- hrs -T -Or 1 ] bl —
— C,.r I ± br (фв]—фп) hc.s 0c hrs On I bi, (8.121) FszT- — Ksz[zc-~zT\—lQc ±62 (Ос 0Г|) + 61(<рс — (pn) 4- b4 Onl— — Gsz\zc — Zt\ —IQc ±(’г(Ос — 0п)Ф(’1(фс — фГ|)+^4On], (8.122)
В уравнениях (8.120) — (8.122) i = 1 или 2.
317
Верхний знак относится к i = 1, а нижний — к i = 2.
Fszi	— K.sz [ZC— ZT\ — 1&с ± b2 (0С — 0Г1) — bi (фс — фГ1) + bi 0Г1] —
— Csz lzc —Zt\ — /0С ± Ь2 (0с— 0гi) — Ьх (фс — фп) ; bt 0тd- (8.123)
В этом выражении i = 3 или 4.
Верхний знак относится к i = 3, а нижний — к i = 4.
Fpzi = — Kpz [Zti	b3 (фп — «;) — /( 0T1J —
— Срг1гГ1—uLi 4 bs (фп —«;) — /г0г<].	(8.124)
В этом выражении (/= 1,2 или 3); /, больше нуля, если 1-я колесная пара находится впереди центра тяжести рамы тележки, в противном случае берется знак «минус»
Fpit - K;,z 1гГ1 —URi — Ь3 (фп — СС;) — lj 0n I 
4 Срг[гп — Uni - Мфп — °б) — /;0riJ-	(8.125)
В этом выражении i = 4, 5 или 6, / = 1, 2 или 3; больше нуля, если i-я колесная пара находится впереди центра тяжести рамы тележки, в противоположном случае берется знак «минус». Здесь U/; и uRi обозначают возмущение, вносимое вертикальным профилем рельсов под левым и правым колесами i-й колесной пары, а аг обозначает угол поворота оси колесной пары при боковой качке, которая обусловлена вертикальным возмущением железнодорожного пути.
Fpxi~ — Kpxihrpdrx ±b3(^>Tt—Фц/,)] —
-- Срх \hTp 0п ±Ь3(ф71—Фц?;)!-	(8.126)
В этом выражении /	1 4-6, верхний знак ставится при/=1,2 или
3, в то время как знак «минус» должен использоваться при i =4, 5 или 6.
Аналогично можно записать уравнения колебаний для задней тележки, так же как это было сделано для передней тележки при составлении уравнений (8.115) — (8.119).
Виляние шкворневой балки передней тележки
Iвг фВ| = —То^-Ь1 (FSxz — PSxi) ~ b2 (Fsy2 Fsyl), (8.127) где 7'0 — предельный момент в шкворневой балке при вилянии.
Боковой относ кузова
(тс + 2тв) ус2 FsUi~r- (тс 4 2тв) l(v2/Rc) — gqse +
i = 1
т (r0 4 hpp ~г hcs 4 hrs) ф8е].	(8.128)
Виляние кузова
Ic^c=-2T0 + l[ ^Fsyi~^ Fgyl\.	(8.129)
\ i = 3	i = 1	/
318
Боковая качка кузова
IСх фс
b
(8.130)
Подпрыгивание кузова
8
(тс + 2тв) ус — V Fszi.
i -= 1
(8.131)
Галопирование кузова
/су 9с — (I 4~ b2} (FS21 -i- Fsi2 —Fsz4 — Pszs)-\-
+ (l~b2)(Fsz2+Fsz6 — Ffz3—F8z7)—hCs 2 Fsx(. (8.132)
i - 1
В этих уравнениях члены F sx3, Fsxi, Fsy3, Fsyi, Fsz5, FSzU, Fsz7, Fszs относятся к задней тележке и легко могут быть получены тем же путем, что и выражения (8.120) — (8.123).
Таким образом для модели получены 29 уравнений колебаний. Эти уравнения решаются с помощью метода численного интегрирования Рунге-Кутта четвертого порядка, который был рассмотрен в главе 2.
8.5.2.3. Оценка модели. Для оценки качества модели, рассмотренной в данной главе, было проведено сравнение результатов численного расчета с результатами, полученными при натурных испытаниях на криволинейном участке пути с центральным углом 1,5° при наличии искусственно созданных поперечных и вертикальных возмущений железнодорожного пути. В главе 11, где будет также рассматриваться общая методология оценки моделей, представлены для нескольких отобранных случаев графики вертикальных и поперечных нагрузок на колесо, полученные с помощью модели и построенные по результатам натурных испытаний.
8.6.	РЕЗЮМЕ
В данной главе рассмотрен вопрос о важности динамики железнодорожных экипажей при движении на криволинейном участке пути при эксплуатации подвижного состава. Были представлены различные подходы к исследованию динамики экипажа при движении на криволинейном участке пути. Обсуждены как стационарные, так и динамические модели экипажа при движении на криволинейном участке пути. В каждой из указанных категорий моделей были рассмотрены некоторые выбранные модели для грузового вагона, для системы «локомотив — пассажирский вагон». Описаны потенциальные области применения этих моделей.
319
Список литературы
1.	Nagurka N. L., В е 1 1 С. F., Н е d г i с k J. К., Wormley D. N. Computational Methods for Rail Vehicle Steady — State Curving Analysis. Сотри, tational Methods in Ground Transportation Vehicles.-Transactions of American Society of mechanical engineers. Applied Mechanics Division, 1982, v. 50.
2.	Hedrick J. К. К г о lewski S. M. Freight Car Dynamic Curving Model. Vol. 1. Technical Documentation. — Research Report R-557, prepared for the Association of American Railroads, Chicago, Mechanical Engineering Department, M. I. T., Cambridge, Massachusetts, 1983, July.
3.	S m i t h K. R. Curve Entry and Curve Negotiation Characteristics of Two-Axle Truck. — M. S. thesis, Illinois Institute of Technology, Chicago, 1975.
4.	Law E. H., С о о p e r r i d e r N. K. Nonlinear dynamic and steadystate curving of rail vehicles. — Proceedings of the 1980 American Society of Mechanical Engineers Winter Annual Meeting, San Francisco, California, 1981, December.
5.	C 1 a r k R. A.. E 1 k h о f f B. N., H и n t G. A. Prediction of the dynamic response of vehicles to lateral track irregularities. — Proceedings of the 7th IAVSD IUTAM Symposium on the Dynamics of Vehicles on Road and Track, Cambridge, United Kingdom, 1981, September 7—11.
6.	S m i t h K- R-, M a с M i 1 1 a n R. D., M a r t i n G. C. 2. 3, and 4 Axle Rigid Truck Curve Negotiation Model. Technical Manual. — Research Report R-206 Association of American Railroads, Chicago, 1976, April.
7.	S m i t h K. R-, M a с M i 1 1 a n R. D., M a r t i n G. C. 2, 3, and 4 Axle Rigid Truck Curve Negotiation Model. User's Manual. — Research Report R-204, Association of American Railroads, Chicago, 1976, March.
8.	Smith K. R., MacMillanR. D., M a r t i n G. C. 2. 3 and 4 Axle Rigid Truck Curve Negotiation Model. Programmer’s Manual. — Research Report R-205, Association of American Railroads, Chicago, 1976, March.
9.	HedrickJ. K., Wormley D. N., A r s I a n A. V., C h i n R. Nonlinear Analysis and Design Tools for Rail Vehicles: Nonlinear Locomotive Dynamics. — Research Report R-463, prepared for the Association of American Railroads, Chicago, by the Mechanical Engineering Department, M.I.T., Cambridge, Massachusetts, 1980, December.
10.	К a I k er J. J. The tangential force transmitted by two elastic bodies rolling over each other with pure creepage. — Wear, 1968, v. 11, N 6, pp. 421—430.
11.	JohnsonK. L., Vermeulen P.J. Contact of non-spherical elastic bodies transmitting tangential forces. — Transactions of the American Society of Mechanical Engineers. Ser. E. Journal of Applied Mechanics, 1964, v. 31, N. 2, pp. 338—340.
12.	C h a ti g E. H., G a r g V. К., H a r t m a n n P. W. Technical Documentation — Locomotive Response Model. — Research Report R-295, Association of American Railroads, Chicago, 1978, February.
13.	S i n g h S. P., G a r g V.K. Nonlinear dynamic curving model of a six-axle locomotive. — Proceedings of the 8th IAVSD Symposium on the Dynamics of Vehicles on Roads and Tracks. M.I.T., Cambridge, Massachusetts, 1983, August 15 — 19.
14.	С о I I m a n M., BrantmanR., TongP. A Description of the Tests Conducted and Data Obtained during the Perturbed Track Test. — Report FRA/ ORD-8015, U. S. Department of Transportation, Transportation System Center. Cambridge, Massachusetts, 1980, January.
9
Г лава
ДИНАМИКА ПОЕЗДА
9.1. ВВЕДЕНИЕ
Движение поезда от момента трогания с места до момента остановки требует проведения ряда операций, в число которых входят разгон, торможение, а также операции по остановке поезда с учетом различного профиля пути при разнообразных климатических условиях. Эти операции вызывают динамические взаимодействия между отдельными экипажами и между экипажами и системой верхнего строения пути. Созданные этими взаимодействиями продольные ударные силы, действующие на сцепки, играют важную роль с точки зрения безопасности и стабильности движения поездов. Исследования по продольной динамике поезда имеют дело главным образом с изучением развития продольных ударных сил, действующих на вагонные сцепки, и их последующим воздействием в вертикальном, поперечном и продольном направлениях поезда. В данной главе вначале определяются несколько основных терминов, которые обычно используются при изучении динамики поезда. Далее дается классификация задач динамики поезда и обсуждаются аналитические модели, которые можно использовать для расчета ударных сил в сцепках экипажей, возникающих при движении поезда. Кроме дого, кратко рассмотрена область применения этих моделей для иссле-тования динамики поезда.
9.?. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ
Поезд состоит из цепочки железнодорожных экипажей (например, вагонов), которые либо следуют за транспортным средством, оснащенным двигателем (локомотивом), или средствами, оснащенными двигателями (локомотивами), либо последние толкают находящиеся перед ними вагоны. Соединения между вагонами и между вагонами и локомо тивом (локомотивами) осуществляется сцепками и комплектами рессор, поглощающих аппаратов и амортизирующих устройств или с помощью только последних устройств, которые являются главными демпфирующими элементами поезда, поглощающими энергию продольного движения.
Такт м образом поезд можно рассматривать как систему с многими степенями свободы, в которой экипажи представлены сосредоточенными массами, сцепки — пружинами, а поглощающие аппараты и амортизирующие устройства — демпферами.
И Зак. 1073	321
Машинист локомотива включает тормозную систему каждого отдельного экипажа для того, чтобы остановить весь поезд. При торможении кинетическая энергия поезда рассеивается в виде тепла в колесах и рельсах. Для замедления поезда применяют также реостатное торможение. В такой ситуации тяговые электродвигатели локомотивов, которые обычно обеспечивают тягу поезда, действуют в качестве электрических генераторов, рассеивающих кинетическую энергию в форме тепла в бортовых реостатах.
9.3.	ОСНОВЫ ПРОДОЛЬНОЙ ДИНАМИКИ ПОЕЗДА
Поезд может находиться в состоянии сжатия или растяжения. В состоянии сжатия все вагоны поезда подвергаются действию сжимающих сил, в то время как в состоянии растяжения все вагоны подвергаются действию растягивающих сил.
В зависимости от состава поезда и профиля пути (подъем и т. д., рис. 9.1) одна часть поезда может быть в состоянии сжатия, в то время как другая — в состоянии растяжения. Пусть в качестве примера рассматривается длинный поезд при движении на подъеме. В таких усло виях поезд растягивался бы. Как только поезд преодолел подъем. <>, начал бы двигаться на спуск, и вагоны начнут двигаться вперед в сю рону локомотива (или локомотивов). Когда весь поезд будет находиться на участке спуска, он может оказаться в состоянии сжатия. Продольная сила, возникающая при движении, может резко возрасти во время такого переходного режима движения. Здесь проявляется действие упряжных приборов и поглощающих аппаратов или только последних, зазоров в упряжных элементах ударно-тяговых приборов (провисание сцепок). В качестве другого примера рассматривается случай, при котором длинный поезд движется на прямолинейном участке пути и применяется экстренное торможение поезда. Вагоны стремятся набегать друг на друга из-за последовательного приложения тормозных усилий-
Рис. 9.1. Схемы движения поезда на:
/ — участке подъема; 2--при ежа тии поезда; 3 — при растяжении;
4 - на горизонтальном участке;
5 — на участке спуска
322
Может оказаться, что в некотором сечении поезда на вагон могут действовать значительные продольные силы. Это в свою очередь приводит к галопированию вагонов, так как центр тяжести вагонов расположен выше уровня сцепки.
Значение этих сил может быть достаточным, чтобы вызвать отрыв кузова вагона от рамы тележки и, как следствие, несрабатывание сцепок из-за их несоосности. Такое явление было документально подтверждено [1].
9.3.1.	Проблемы, вызванные продольными силами. В число неприятностей, которые вызываются значительными продольными силами, входят разрывы ударно-тяговых приборов, выжимание вагонов на кривых. Кроме того, возможны отрывы кузова вагона от рамы тележки и несрабатывание сцепок из-за их несоосности. К этому следует добавить, что уровни износа и усталости, приводящие к разрушению элементов ударно-тяговых приборов, могут быть обусловлены определенными уровнями продольных сил.
Продольные силы могут значительно влиять на движение поездов. Интересно отметить, что задача устранения на железных дорогах США проблем, связанных с разрывом сцепок, со сходами вагонов с рельсов, вызванных сильным износом, с недостаточной приспособленностью вагонов к движению на криволинейных участках, с износом и усталостью отдельных составных частей железнодорожных экипажей, выдвинута на первый план в Программе динамики взаимодействия поезда и пути [2]. Главной целью этой программы было проведение систематического исследования указанных продольных сил с тем, чтобы на основе этого исследования могли быть выработаны более обоснованные с точки зрения динамической устойчивости и надежности системы поезда, рекомендации по составлению поездов и их эксплуатации.
9.3.2.	Области исследования продольных сил, возникающих в поезде. Основными факторами, влияющими на продольные силы поезда, являются следующие: 1) число локомотивов и вагонов, их относительные веса, размеры и расположение; 2) профиль пути или наличие кривизны на участках эксплуатации поезда; 3) характеристики используемой тормозной системы; 4) типы применяемых ударно-тяговых приборов; 5) скорость поезда и способы включения контроллера и крана машиниста, используемого машинистом для управления поездом с помощью торможения.
С эксплуатационной точки зрения единственными факторами, которые легко могут быть изменены, являются следующие: схема формирования поезда (т. е. расположение груженых и порожних вагонов), физическая длина поезда, мощность локомотива (локомотивов) и операции по управлению, используемые машинистом.
Выделяемые среди этих факторов понятия называют областями эксплуатации поезда и его формирования. В качестве примера того, как можно изменить схему формирования поезда, рассмотрим схему, при которой несколько легко нагруженных вагонов располагаются позади локомотива (локомотивов), за этими легко нагруженными вагонами Ч *	323
следует группа тяжело нагруженных вагонов. Когда так составленный поезд переходит с участка спуска на участок подъема, группа тяжело нагруженных вагонов, двигаясь по инерции, быстро надвинется на головную часть состава, что приведет к возникновению больших продольных сил и может вызвать разрыв поезда на две части. Если поменять расположение группы тяжело нагруженных вагонов и легко нагруженных вагонов на противоположное, это может уменьшить продольные силы.
Управление поездом связано с распределением режимов: включение контроллера, независимое или реостатное торможение и включение поездной тормозной системы. Например, в некоторых ситуациях для остановки поезда более подходящим может оказаться решение удерживать поезд в растянутом состоянии, т. е. проводить плавное включение поездной системы торможения при условии, что локомотивы работают в режиме включения контроллеров. В других случаях целесообразнее может оказаться применение так называемого группового торможения, при котором сначала включается тормозная система самого локомотива для плавного устранения зазоров связей между вагонами в составе. Таким образом области управления поездом и формирования поезда являются фактически предметами изучения продольной динамики поезда. Поэтому, когда говорят об управлении поездом, его формировании, исследовании геометрии железнодорожного пути и конструкции ударнотяговых приборов, то зачастую имеют в виду области продольной динамики поезда.
9.4.	СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ ПОЕЗДА И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
9.4.1.	Сцепка1. Сцепка является продольным элементом, который соединяет два смежных экипажа. Сцепки делятся на несколько видов: Е, Н и F [31. Типичная сцепка показана на рис. 9.2. При соединении двух вагонов с помощью сцепок не образуется твердое соединение. Соединенные сцепки действуют как замертвленная пружина, в которой ширина сцепки определяется ее слабиной. Слабина сцепки требуется для того, чтобы локомотив (локомотивы) легко могли стронуть состав с места. Во время торможения выбор слабины сцепки приводит к возникновению инерционных сил, величина которых может быть достаточно большой, чтобы вызвать сход поезда с рельсов.
9.4.2.	Упруго-фрикционные междувагонные связи2. Упруго-фрикционная упряжь служит для гашения продольных ударов, возникающих во время движения поезда.
Эти приборы предназначены для передачи ударных сил, действующих на сцепку, и располагаются на каждом экипаже последовательно с рамой экипажа.
1 См. работу |3].
2 См. работу [1].
324
Рис. 9.2. Типичная сцепка
Рис. 9.3. Схема ударно-тяговых приборов:
/ — сцепкн; 2 — поглощающие аппараты; 3, 5 — поверхности трения; 4 — вагон; 6 — пружины; 7 — пружины, имитирующие упругость рамы вагона
Ударные силы сжимают упряжное устройство и изменяют его общую длину (т. е. суммарная длина экипажа над концами сцепок изменяется). Максимальное перемещение, которое может обеспечиваться прибором, называется ходом упруго-фрикционного аппарата. Когда максимальный ход реализован, упруго-фрикционный аппарат превращается в жесткую связь, и ударные силы, действовавшие на сцепку, непосредственно передаются кузову вагона. Схема упруго-фрикционного аппарата приведена на рис. 9.3.
На железнодорожном транспорте США применяется несколько видов упруго-фрикционных аппаратов. В большинстве конструкций этих аппаратов используется сухое трение в качестве механизма поглощения кинетической энергии.
9.4.3.	Поглощающие аппараты’. Поглощающие аппараты так же, как и упруго-фрикционные, служат для гашения продольных ударов, возникающих при движении поезда. Эти устройства в роли упряжи заме няют в экипажах упруго-фрикционные. Вообще существуют два типа упряжи, оснащенной поглощающими аппаратами: разрезная и смешанного типа.
В упряжи того и другого типа, оснащенной поглощающими аппаратами, используются гидравлические принципы гашения ударов, т. е. в основу механизма поглощения энергии положено вязкое демпфирование. Кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию сжатия и тепловую энергию путем вытеснения жидкости через кольцевые и концевые отверстия в цилиндрической камере во время передачи продольных ударных сжимающих сил. На рис. 9.4 приведена схема типичного поглощающего аппарата.
9.4.4.	Математическая модель упруго-фрикционных и поглощающих аппаратов. Правильное понимание работы упруго-фрикционных и поглощающих аппаратов имеет важное значение для изучения продоль-
1 См. работу [ I].
Ив Зак. 1073	325
Рис. 9.4. Схематическое представление разрезной упряжи, оснащенной поглощающим аппаратом, н сцеики:
/—пружина возвращающего механизма; 2 —- вагон; 3 — амортизатор; 4— пружины, имитирующие упругость рамы вагона
ной динамики поезда. В моделях ударно-тяговых приборов сцепка рассматривается как часть системы. Система, состоящая из сцепки и упруго-фрикционного аппарата, представляется в виде конструкции, состоящей из упругих элементов и элементов, работающих на сухом трении.
Как правило, усилия упруго-фрикционных аппаратов не зависят от скорости и имеют адекватные силовые характеристики, используемые при моделировании.
Соответствующая силовая характеристика для идеальной модели комплекта, состоящего из упруго-фрикционного аппарата и сцепки, аналогичная тем, что показана на рис. 9.3, приведена на рис. 9.5. Силовая характеристика представлена наборами линейных участков. В некоторых случаях заданному перемещению может соответствовать не одна сила. Это происходит из-за того, что упруго-фрикционный аппарат обладает различными характеристиками во время нагружения и разгрузки, что обусловлено гистерезисом. Верхний и нижний конечные участки силовой характеристики, приведенной на рис. 9.5, означают условие, при котором система «упруго-фрикционный аппарат — сцепка» исчерпала свою возможность поглощать энергию удара, и происходит взаимодействие рам экипажей при контакте металла с металлом. Судя по среднему участку силовой характеристики, деформация может происходить при отсутствии результирующей силы. Это представляет собой случай, при котором ни тянущий, ни толкающий элементы сцепок не контактируют друг с другом и результирующая сила обращается в нуль.
Комплект, показанный на рис. 9.4 и состоящий из двух разрезных упряжей, оснащенных поглощающими аппаратами, и соответствующих сцепок, чувствителен к скорости нагружения из-за наличия амортизатора. Указанный комплект можно также описать с помощью силовой характеристики, изображенной на рис. 9.6. Верхний и нижний конечные участки, а также средний участок графика силовой характеристики, представленный на рис. 9.6, имеет тот же смысл, что и соответствующие участки на графике, представленном на рис. 9.5.
326
9.4.5.	Тормозная система. Для того чтобы замедлить движение гю езда или остановить поезд, требуется некоторый механизм, предназна ценный для рассеивания кинетической энергии.
Все поезда оборудованы системой пневматических тормозов. На рис. 9.7 показаны основные части тормозной системы и иллюстрируется основной принцип, определяющий включение тормозов. Компрессорная установка на локомотиве (локомотивах) обеспечивает сжатым воздухом тормозные устройства на всех вагонах с помощью отводной магистрали, которая проходит вдоль всей длины поезда. При нормальных условиях движения поезда в отводной магистрали, во вспомогательном и резервном (предназначенном для экстренного торможения) резервуарах (см. рис. 9.7) поддерживается одинаковое давление. В такой ситуации каждый поршень в тормозном цилиндре, находящийся под действием упругой силы пружины, удерживает тормоза в нерабочем состоянии. При включенных тормозах давление в отводной магистрали уменьшается по мере того, как машинист локомотива открывает кран отводной магистрали в атмосферу.
При уменьшении давления в отводной магистрали распределительный кран каждого вагона обеспечивает поступление определенного ко-
Рис. 9.5. Силовая характеристика комплекта упруго-фрикционного аппарата и сцепки:
1 — взаимодействие рам вагонов при контакте металла с металлом, 2— область растяже ния; 3 — нагружение: 4 — разгрузка; 5 — область сжатия
Рис. 9.6. Силовая характеристика комплекта разрезной упряжи, оснащенной поглощающим аппаратом, и сцепки:
/ — взаимодействие рам вагонов при контакте металла с металлом: 2— область растяжения; 3 — область сжатия
11 В*	327
личества сжатого воздуха из вспомогательного резервуара в тормозной цилиндр.
Под действием сжатого воздуха поршень тормозного цилиндра перемещается и включает рычажный механизм, который давит на обод каждого колеса с помощью тормозной колодки. Для сброса тормозов необходимо: во-первых, чтобы отводная магистраль и вспомогательный резервуар на каждом вагоне снова были заполнены сжатым воздухом, поступающим из локомотива (локомотивов), а во-вторых, чтобы воздух из тормозного цилиндра был одновременно выпущен в атмосферу, это приведет к обратному перемещению поршня тормозного цилиндра в положение, соответствующее отключенному тормозу.
Сила торможения, действующая на каждое колесо, зависит от работы тормозной рычажной передачи, уменьшения давления в отводной магистрали, а также от длительности торможения. При экстренном торможении за короткое время происходит резкое уменьшение давления в отводной магистрали. Это вызывает максимальное давление в тормозном цилиндре и большие результирующие тормозные силы. Важным фактором, который следует учитывать при использовании тормозной системы вагона, является общая длина поезда и расстояние данного вагона от экипажа (как правило, локомотива), в котором происходит первоначально уменьшение давления. Так как волна давления, создаваемая
Рис. 9.7. Схема типичной системы пневматического торможения, применяемой в поездах:
1 - комбинированный вспомогательный резервуар и резервуар, используемый при экстренном торможении; 2 —магистраль подачи воздуха при экстренном торможении; 5 —магистраль подачи воздуха нз вспомогательного резервуара; 4 — кран машиниста; 5—магистраль крана машиниста; 6 — комбинированное устройство грязеулавливающего коллектора и отсечного крана отводной магистрали; 7 — магистраль тормозного цилиндра; 8 — тормозной цилиндр; 9— отводная магистраль; 10 — тормозная магистраль; 11 — тормозной пневматический рукав; 12 — тройник отводной магистрали; 13 — концевой кран; 14 -- соединительная магистральная муфта; 15 прямое соединение
328
1Г,КП/Ч

Рис. 9.8. Типичные тяговые характеристики локомотива при различных положениях ручки контроллера (а):
/ — 8 - номера позиций ручки контроллера; б — типичные характеристики реостатного тор-можения локомотива для положения ручки контроллера, соответствующего максимальной мощности (растянутым дна па зон)
при соединении напорной отводной магистрали с атмосферой, движется с конечной скоростью, включение тормозов каждого вагона происходит в разные моменты времени. Время перемещения волны давления зависит от расстояния данного вагона от экипажа, в котором был первоначально включен тормоз. Таким образом для изучения продольной динамики поезда необходимо знать устройство тормозных систем и их эксплуатацию. Для определения времени включения тормозов и результирующей силы, необходимой для торможения данного вагона, необходимо знать местоположение вагона в поезде, давление в отводной магистрали, уровень понижения давления, а также ряд дополнительных данных о работе тормозной системы.
9.4.6.	Локомотивы. Необходимая для движения поезда сила тяги обеспечивается локомотивом (локомотивами). В некоторых частях мира до сих пор применяют главным образом паровозы. В США для грузовых и пассажирских поездов используют либо тепловозы, либо электровозы. В тепловозах дизельная машина приводит в действие генератор переменного тока. Переменный электрический ток выпрямляется в постоянный ток, который обеспечивает электропитание тяговых электродвигателей, установленных на оси колесной пары и на раме тележки. Каждый тяговый электродвигатель приводит в движение колесную пару с помощью привода.
Хотя основное назначение локомотива состоит в обеспечении силой тяги поезда, тяговые электродвигатели также используются для замедления движения поезда. Это достигается посредством реостатного торможения. Так как тяговые электродвигатели получают электропитание от системы, в которой проводится генерирование и выпрямление переменного тока для обеспечения вращения колесных пар, то возможен и противоположный режим работы указанной выше системы. При необходимости торможения при движении поезда можно использовать вра-
329
щательное движение каждой колесной пары для запуска связанного с этой парой тягового электродвигателя, коммутация которого позволяет работать ему в качестве генератора. Генерируемая электрическая энергия может быть рассеяна в виде тепловой энергии в больших поглотительных реостатах. Таким образом локомотив используется по двум назначениям: осуществляет тягу поезда и его торможение.
Для изучения динамики поезда нужны данные о тяговых характеристиках и характеристиках реостатного торможения локомотива при различных скоростях. Для тепловозов эти характеристики строятся в виде графиков для каждого положения контроллера. Необходимость получения таких графиков связана с тем, что для заданного положения контроллера (которым определяется количество топлива, подаваемого в двигатель) известно значение максимальной мощности, а также с тем, что развиваемое двигателем тяговое усилие на головке рельса, соответствующее этой мощности, зависит от скорости. Аналогичные графики можно построить для режима реостатного торможения. Типичные тяговые характеристики и характеристики реостатного торможения для локомотива приведены на рис. 9.8, а, б соответственно.
9.5.	МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ПОЕЗДА
Модели динамики поезда обычно делятся на модели продольной, поперечной и вертикальной динамики. Хотя возможны сочетания трех моделей, но сложности, возникающие при этом, удерживают исследователей от такого подхода. В результате обычно каждый из трех видов динамики поезда моделируется отдельно. Деление моделей на три вида также диктуется соображениями экономии затрат машинного времени, отсюда стремление разработать модель с минимальной детализацией для получения адекватных результатов расчета динамических характеристик поезда. В большинстве случаев справедливо утверждение, что чем выше уровень детализации при построении модели, тем выше требования к затратам машинного времени. Вот почему для получения практически пригодных данных о динамических характеристиках стремятся к минимальной детализации.
Модели продольной динамики предназначены для расчета ударных сил, действующих на сцепку, а также соотношений, связанных со скоростью, расстоянием и временем. Эти модели используются для изучения вопросов формирования поезда, пропуска поездов, проектирования тормозной системы, а также для исследования работы поглощающих аппаратов и их конструкций.
Модели поперечной динамики имеют дело с комбинацией сил взаимодействия колеса и рельса, центробежных сил, действующих на различные составные части железнодорожного экипажа, сил, возникающих вследствие возвышения наружного рельса (это делается с учетом скорости; радиуса и длины кривой), а также поперечной составляющей продольных ударных сил сцепки, действующих на экипажи. Назначе-330
ние этих моделей — изучение устойчивости поезда в поперечной плоскости во время движения поезда. Эти модели позволяют получить также данные, касающиеся расширения колеи, опрокидывания рельса (вращения рельса), а также случаев всползания колеса на головку рельса (что может произойти при малых вертикальных нагрузках на колесо вследствие подпрыгивания, галопирования и боковой качки экипажа).
Модели вертикальной динамики поезда используются для изучения устойчивости поезда в вертикальной плоскости при движении поезда. Эти модели предназначены для исследования условий, при которых происходит расцеп сцепок и отделение кузова вагона от тележки или только отделение кузова от тележки.
Следует объяснить термины динамическая, квазидинамическая, ква-зистатическая и статическая модели, которые использовались время от времени при изложении методики построения моделей, перед тем как будут рассмотрены сами модели динамики поезда. В динамической модели проводится точный учет пружин, масс и инерционных характеристик, поведение модели должно соответствовать корректному описанию физической системы. В статической модели учитываются статические силы. Например, при построении статической модели поезда, идущего под уклон, продольные силы создаются лишь за счет веса отдельных вагонов без учета динамики колебаний. В данном случае можно считать, что вагоны обладают лишь весом (но не имеют инерционных характеристик), будучи связанными друг с другом жесткими невесомыми стержнями. При построении квазистатической модели используется оценка динамических продольных сил, более или менее похожая на то, как это делается при подходе, в котором используется коэффициент перегрузки. При исследованиях с помощью квазидинамических моделей делается попытка учета некоторых явлений, имеющих место при движении поезда, например, эффектов, связанных с бегущей волной. В квазидииамической модели стремятся обычно эмпирическим способом дать некоторую оценку динамическим силам.
9.5.1.	Модель продольной динамики. 9.5.1.1. Квазидинамическая модель поезда, используемая для изучения продольной динамики поезда, представляет большую ценность при исследовании аварий, вызванных неправильным формированием и управлением поездов, при расчете тормозных путей, размещении сигнальных знаков, расчете тяговых характеристик локомотива, а также при обследовании существующих схем развязки путей с целью установления отсутствия дополнительных сил, которые могут возникнуть при движении поезда. В этой модели не требуются данные, связанные с поглощающими аппаратами; эти параметры не включаются в состав входных данных. При построении такой модели делается ряд упрощающихся допущений. Примеры такого рода допущений: 1) тележки каждого экипажа являются твердыми (влияние системы подвешивания не учитывается) телами; 2) не учитывается влияние устройств подавления извилистого движения; 3) два смежных вагона соединяются жесткими сцепками (не допускается никакого люфтования головки автосцепки в горизонтальной плоско-
331
с
F.0
О^л


Рис. 9.9. Расчетная схема экипажа и система сил, действующих на него и используемых в квази-динамической модели продольной динамики поезда
сти); 4) силы тяги и усилия при реостатном торможении в диапазоне скоростей, представляющих практический интерес, задаются графически — набором отрезков, а также кусками квадратных и кубических парабол; 5) принимается, что каждый экипаж обладает лишь одной степенью свободы (т. е. может совершать только продольное движение); 6) внезапно приложенные силы, обусловленные ослаблением сцепки, аппроксимируются с помощью квазистатического подхода; 7) все экипажи, находящиеся между двумя узловыми точками (точки, где
обращаются в нуль усилия в сцепном приборе), вдоль поезда имеют одно и то же ускорение.
9.5.1.2.	Модель экипажа. Для определения суммарных сил, действующих на поезд, необходимо знать отдельные силы, действующие на каждый экипаж. Ниже рассматриваются следующие силы, действующие на каждый экипаж во время движения поезда:
Fa — сила, обусловленная аэродинамическим сопротивлением; F — сила, обусловленная включением тормозов; Fc — сила, обусловленная сопротивлением при движении на криволинейном участке пути; Fa — сила, обусловленная сопротивлением, которое вызывается уклоном продольного профиля; FL — усилие в сцепном приборе, обусловленное силой тяги или силой реостатного торможения; Fr — сила сопротивления при качении, обусловленная трением между колесом и рельсом.
Эти действующие на экипаж силы показаны на рис. 9.9. Методика их определения состоит в следующем. Сила Fr является силой сопротивления, которая действует на экипаж вследствие наличия трения между колесом и рельсом, трения в подшипниках, а также вследствие деформации железнодорожного пути. Вклад сил трения, возникающих между колесом и рельсом и в опорных подшипниках, не зависит от скорости экипажа, но зависит от типа экипажа (т. е. для локомотивов и вагонов используются различные значения этих сил, что определяется различным типом подшипников скольжения или роликовых). Хотя вклад в силу сопротивления Fr, обусловленный прогибом, в принципе зависит от скорости, тем не менее обычно принимается, что эта составляющая постоянна. Сопротивление при качении Fr часто определяется с помощью преобразованного уравнения Дэвиса [51, где учитывается также и сила аэродинамического сопротивления Fa- Сумма силы сопротивления при качении Fr и силы аэродинамического сопротивления задаются следующей зависимостью:
Fr + Fa = (Л 4 Bn + Cv) W Dv",
(9.1)
332
где W — вес экипажа; v — скорость экипажа; А — коэффициент сопротивления при качении; В — коэффициент сопротивления подшипников; С — сопротивление реборды (на криволинейном участке пути); D — коэффициент аэродинамического сопротивления; п — число колесных пар экипажа.
Сила Fa обусловлена уклоном продольного профиля пути в точке расположения экипажа. Эта сила может быть силой сопротивления движению или силой, способствующей движению в зависимости от знака уклона (уклон положителен при расположении путей на подъеме, уклон отрицателен при расположении путей на спуске).
Сила сопротивления, вызванная уклоном продольного профиля пути,
Fa= — WG,	(9.2)
где G — уклон профиля.
Fc — сила сопротивления, возникающая при движении экипажа на криволинейном участке пути. Она создается благодаря действию поперечной силы на каждое колесо во время взаимодействия реборды колеса с рельсом. Как указывалось в главе 8, значение и природа этой силы зависят от нескольких факторов, но при построении модели продольной динамики поезда используется осредненное значение поперечной силы в качестве эквивалентной силы сопротивления при движении на криволинейном участке пути. Эта величина задается в следующем виде:
Fc= — 0,0004U7£>, .	(9.3)
где D — центральный угол кривой.
Сила Fl является усилием в сцепном приборе, которое передается на экипаж вследствие наличия силы тяги или силы реостатного торможения, определяемых на основе зависимостей этих сил от скорости (см. графики тяговых характеристик, представленных на рис. 9.8) и заданной скорости. Для того чтобы убедиться в том, что предел максимальной силы тяги не превышен, необходимо провести расчет предела сцепления. Полное описание расчетов регулировочных характеристик исходя из предела по сцеплению выходит за рамки настоящей монографии и читатель отсылается к работам 14] и [61.
Сила FB действует на экипаж, вызывая его замедление при включении тормозов. Как указывалось в разделе 9.4.5, расчет силы торможения, действующей на экипаж, зависит от уменьшения давления в тормозной магистрали, от расстояния экипажа от места первоначального включения тормозов, а также от вида тормозного механизма (от таких элементов, как рычажный механизм, тормозная рычажная передача и тормозные колодки). Подробная методика, которую можно использовать для расчета силы торможения применительно к данной системе торможения, рассмотрена в работе [61.
9.5.1.3.	Моделирование поезда. Как только станут известны силы, действующие на каждый экипаж, включая силу тяги и силу реостатного торможения, создаваемые локомотивом (или локомотивами), можно вычислить ускорение или замедление всей массы поезда. Этим вычисли-
333
тельным процессом предусмотрены два главных этапа: определение квазистатических и квазидинамических сил. При расчете квазистати-ческих сил влиянием свободных зазоров в ударно-сцепных приборах пренебрегают, и силы распределяются вдоль всего поезда. При расчете квазидинамических сил учитывается свободный зазор в ударно-сцепных приборах при вычислениях внезапно приложенных сил. Эти силы используются для расчета ускорения отдельных вагонов или группы вагонов, которые движутся вместе. Аппроксимация сил в модели обычно проходит по следующей методике: 1) после суммирования различных сил, которые действуют на экипаж, определяется расположение вдоль поезда узловых точек. В зависимости от режима движения, ослабления связей ударно-сцепных приборов, а также рельефа число узлов в поезде может быть равно числу экипажей в составе поезда без одного. Этими узлами поезд делится на группы, где действует либо сила растяжения, либо сила сжатия. Длина такой группы может не превышать длины одного вагона, а может достигать и длины всего поезда; 2) определяется ускорение одной группы экипажей относительно другой и так для каждой пары. Если остающийся свободный зазор в паре ударно-сцепных приборов выбран иа очередном шаге по времени, тогда две смежные группы объединяются, и проводится аппроксимация результирующей ударной силы. С другой стороны, если выбрана лишь часть зазора, то оставшаяся часть зазора и существующая к данному моменту времени скорость одной группы экипажей -относительно другой запоминаются для использования на следующем шаге по времени.
Модель продольной динамики поезда, основанная на таком подходе, была разработана в работе [161. Эффективность этой модели продемонстрирована при исследовании схода поезда с рельсов, при расчетах тормозных путей, а также расположения сигнальных знаков.
9.5.2.	Детальная модель продольной динамики поезда. Для построения полной модели продольной динамики поезда можно воспользоваться подходом, аналогичным тому, который был использован при построении квазидинамической модели. Основное различие между этими двумя моделями состоит в том, что при построении динамической модели каждый экипаж во все моменты времени рассматривается как отдельная масса и не проводится аппроксимация квазистатических сил. Составляется общая система уравнений колебаний, которая используется для расчета колебаний поезда в любой момент времени. Динамическая модель является более подходящим инструментом при исследовании поглощающих аппаратов и их конструктивных модификаций. Хотя динамическую модель можно применять и для исследования аварий, такой подход оказался бы нерентабельным для такого исследования. В таком случае целесообразнее с точки зрения затрат машинного времени использовать более простую квазидинамическую модель, коль скоро главными целями исследования в данном случае являются скорость, путь и временные характеристики поезда
9.5.2.1.	Модель поезда. В этой модели принимается, что каждый экипаж обладает одной продольной степенью свободы. Экипажи, обо-334
Рис. 9.10. Модель продольной динамики поезда, у которого вагоны оборудованы плавающими хребтовыми балками (а); модель продольной динамики поезда, у которого вагоны ие оборудованы плавающими хребтовыми балками (б>: /—смешанная система ударио-тяговых приборов, при которой часть тягового усилия посредством плавающей хребтовой балки передается соседнему вагону через ударно-тяговые приборы и поглощающие аппараты, а часть — данному вагону через специальное амортизирующее устройство; 2 — комплект; 3 — плавающая хребтовая балка; 4 — кузов вагона; 5 — локомотив; 6 — сосредоточенная масса
рудованные плавающей хребтовой балкой, обладают двумя степенями свободы, т. е, одна степень свободы у кузова экипажа, а другая — у плавающей хребтовой балки. На рис. 9.10 показан поезд при наличии вагонов с плавающей хребтовой балкой и поезд, у которого вагоны не оборудованы таким устройством. В данной модели используются модели ударно-тяговых приборов разрезного типа, описанные в данной главе. Что касается прочих внешних сил, которые действуют на экипажи, то они определяются по той же методике, что рассматривалась применительно к квазидинамической модели. Как видно на рис. 9.5 и 9.6, характеристики упруго-фрикционного аппарата и разрезной упряжи, оснащенной поглощающим аппаратом, являются нелинейными и поэтому окончательные уравнения колебаний поезда также являются нелинейными. Эти уравнения решаются численно с помощью методики, рассмотренной в главе 2.
При построении детальной модели продольной динамики были приняты следующие допущения: 1) груз в экипажах рассматривается как одно целое с кузовом вагона; не допускаются скольжение или колебания груза относительно кузова вагона. Масса груза объединяется с массой кузова вагона; 2) рассматриваются только осевые колебания (вдоль продольной оси экипажа); несмотря на наличие кривых и резких переломов профиля, принимается, что вклад в продольные колебания других видов колебаний играет пренебрежимо малую роль; 3) неровности пути, такие, как неправильности рихтовки, неправильности поперечного профиля пути, отклонение ширины колеи, а также отклонения от номинального вертикального профиля не учитываются; 4) принимается, что рамы вагонов остаются упругими, хотя под действием постоянных ударов происходит изменение их упругих свойств; 5) принимается, что центр тяжести экипажа расположен на уровне сцепок; в силу этого провести исследование галопирования нельзя.
335
9.5.2.2.	Силы, действующие на экипаж. Внешние силы, которые действуют на экипаж, аналогичны силам, которые действуют на экипаж в квазидинамической модели. Сюда входят сила F в, возникающая вследствие включения тормозов; сила сопротивления на криволинейном участке Fc, сила сопротивления Fa, вызванная уклоном продольного профиля; сила тяги или сила реостатного торможения FL, а также сила сопротивления качению Fr.
В том случае, когда экипаж оборудован ударно-тяговыми приборами смешанного типа, силы, которые действуют между кузовом вагона и плавающей хребтовой балкой, а также усилия в комплекте разрезной упряжи, состоящей из поглощающего аппарата и сцепки, определяются с помощью силовой характеристики, показанной на рис. 9.6. Пусть л- - изменение длины вагона относительно зева сцепки; хи — изменение длины одной упряжи разрезного типа, оснащенной поглощающим аппаратом; k(: жесткость рамы вагона; Fc — сила, действующая со стороны кузова вагона на упряжь разрезного типа, оснащенную поглощающим аппаратом; Fu — сила, действующая со стороны упряжи разрезного типа, оснащенной поглощающим аппаратом, на кузов вагона; тогда в основном взаимодействие экипажа и упряжи разрезного типа, оснащенной поглощгющ/ м аппаратом, может быть описано следующим соотношением:
х= -хи + хс,	(9.4)
где хс — изменение длины полувагона.
Кроме того, из равновесия сил:
(9.5) и
Fc = kc хс.	(9.6)
9.5.2.3.	Уравнение колебаний экипажа. Рассмотрим /-й экипаж и запишем соотношение сил взаимодействия с соседними (передним и задним) экипажами. Пусть Xi — продольное перемещение /-го экипажа, а х,^ и хг+1 — продольное перемещение переднего и заднего вагонов соответственно. Связь между экипажами устанавливается с помощью соответствующих силовых факторов (рис. 9.11):
FB — сила, обусловленная включением тормозов (xf)l; Fc -сила сопротивления при движении на криволинейном участке (Fc(xf)]; Fca — ударная сила, действующая на заднюю сцепку; [Гел X /(хг, хг+1, |х,- — хг_, |)l; FCf — ударная сила, действующая на переднюю сцепку; [FCf (хг, x,_j,	—Xf+1|)l; FD—сила реостатного
торможения (хг)1; F(, — сила сопротивления при движении по уклону [Fa (0)1; Fl — сила тяги [FL (хг)|; Fr — сила сопротивления ка' чеиию и сила аэродинамического сопротивления [Fr (х;)1.
336
Рис. 9.11. Схема сил, действующих на идеальный экипаж детальной модели продольной динамики поезда: 1 — направление оси
Здесь в представляет собой уклон пути относительно горизонтали, а точкой обозначены производные по времени. Уравнение колебаний для /'-го экипажа записывается в виде
mt xt ^Fcf- Fca—Fr ± Fl Fg — Fc— Fn,	(9.7)
где m; — масса Z-го экипажа.
Уравнение (9.7) является дифференциальным уравнением второго порядка. Аналогичные уравнения можно составить для всех вагонов поезда. Таким образом в целом для системы поезда уравнение колебаний записывается в виде
[M|{x} = {g(x, х)}.	(9.8)
Уравнение (9.8) можно решить с помощью схем численного интегрирования, рассмотренных в главе 2. Модель, основанная иа такой методике, разработана Ассоциацией американских железных дорог [7].
9.5.3.	Модель поперечной динамики. 9.5.3.1. Квазистатическая модель поперечной устойчивости вагона1. Ниже будет описана ква-зистатическая модель поперечной устойчивости применительно к движению поезда на криволинейном участке пути. В модели этого типа влияние торможения, ускорения и неровностей пути не учитывается. Тем не менее эта модель может быть использована для изучения динамики поезда при движении на криволинейном участке. С ее помощью можно изучать влияние переходных кривых (на участках перехода от прямых участков к криволинейным) на поперечные силы взаимодействия колеса и рельса и на углы, образуемые в сцепках на криволинейных участках. Кроме этого, модель позволяет рассчитывать критические сжимающие силы, которые могут привести к достаточно большим значениям отношения поперечной нагрузки на колесо к вертикальной нагрузке на колесо L/Y и выжиманию поезда или только к последнему явлению. В данной модели касательные силы игнорируются, но центробежные силы учитываются. При построении такой модели необходимо аккуратно воспроизводить свойства сцепки и экипажа, а при составлении уравнений равновесия половины экипажа должно учитываться взаимодействие двух вагонов.
1 См. работу [8].
337
Сначала будут рассмотрены модели сцепки и экипажа для получения этих уравнений.
9.5.3.2. Модель сцепки. До проведения расчетов, связанных с составлением уравнения равновесия, необходимо составить выражения для сил и моментов, передаваемых каждой сцепкой связанному с ией кузову вагона, так как отдельные экипажи в поезде взаимодействуют друг с другом посредством сцепок. Хотя сцепки в поверхности соприкосновения двух экипажей могут поворачиваться в горизонтальной плоскости друг относительно друга, этим эффектом в модели пренебрегают для упрощения задачи. Рассмотрим рис. 9.12, на котором показано соединение задней сцепки/-го экипажа с передней сцепкой (/+ 1)-го экипажа. На рис. 9.12 показаны два положения экипажей. Сплошными линиями обозначена нормальная конфигурация, которая соответствует условию установившегося режима движения при малых продольных ударных усилиях в сцепках.
Штриховыми линиями описывается конфигурация поезда, когда шкворневая балка тележки сместилась в поперечном направлении. Это соответствует ситуации, при которой скорость поезда или больше, или меньше скорости, соответствующей установившему режиму движения. При таких условиях продольные ударные силы в сцепке обычно больше, чем значения этих сил при скорости устаиовшегося режима движения. Перед тем как продолжить расчет сил и равновесной конфигурации, необходимо сделать ряд допущений, приводимых ниже: 1) координаты оси железнодорожной колеи известны; 2) две сцепки, соединяющие два экипажа, действуют как прямая жесткая связь и не могут выпучиваться; 3) на углы, образуемые сцепками, не наложены никакие ограничения; 4) расстояние между задним шкворнем /-го экипажа и передним шкворнем (/ 4- 1)-го экипажа остается постоянным безотносительно значения угла сцепки. Это расстояние равно сумме длин двух сцепок и расстояния от оси шкворня до клиньев сцепок на каждом из двух вагонов.
Рис. 9.12. Модель образования угла сцепок:
/ — (*+1)-Й экипаж; 2 — направление движения; 3 — ьй экипаж; 4 — ось железнодорожной колеи f(x, у) —С.
338
Так как координаты оси железнодорожной колеи известны, то передний шкворень i-го экипажа расположен в точке (xn z/J.
На основе данных о расстоянии до оси тележки и расстоянии между задним шкворнем и клином сцепки можно определить координаты клина сцепки (ха, Уа) и заднего шкворня (х2, у2). Координаты (х3, у3) переднего шкворня (i + 1)-го экипажа определятся на основе четвертого допущения. На основе методики, аналогичной той, что была использована по установлению координат z-ro экипажа, можно определить координаты (xci+i, Уа+i) и (х4, Уь) на (z + 1)-м экипаже. Когда экипажи примут положение, соответствующее конфигурации, обозначенной штриховыми линиями, с помощью перемещений шкворня 6, и 62 на t-м экипаже и б3 и б4 на (z + 1)-м экипаже проводится преобразование координат шкворней на каждом из двух экипажей. Сначала определим ориентацию Р, и р/+1 продольных осей z-ro и (z + 1)-го экипажей относительно оси х в следующем виде:
Р< =arctg [(//!—y^iXr—х2)];	(9.9)
Pz+i = arctg [(z/3 — Уь\Кх.л - x4)J.	(9.10)
Новые координаты шкворней для двух экипажей получаются с помощью следующих соотношений.
Передний шкворень i-го экипажа
х{ =Xj + 6,cos(n/2— pf); у\ = z/j — cos (л/2 — р;).	(9.11)
Задний шкворень i-го экипажа
х'2 = х2—6,cos(-|—pij; у’> = z/2-|-62 sin	—р^.	(9.12)
Передний шкворень (i + 1)-го экипажа
хз=---х3 — 63 cos	Уз = Уз~Sjcos^—p;+1j. (9.13)
Задний шкворень (z 4- /)-го экипажа
xi = x4-+ 64cosln/2 — Pz+i); Уь — z/4 + 64sin (л/2— P; . |). (9.14)
Новые координаты затем используются для расчета новых углов ориентации Р) и Р)+1 по следующим формулам:
Pi = arctg [(z/i — z/o)/(xi —Хз)|;	(9.15)
Р/+1 = arctg [(z/з —f/4)/(x3 —xi)l.	(9.16)
Координаты клиньев сцепок определяются с помощью данных о расстояниях между шкворнем и клином сцепки для двух экипажей и ^i + l-i-й экипаж
Ха==Х2 —DjCosPh z/с,-= z/2 — £>i sin р<;	(9.17)
(z -J- /)-й экипаж
Xcz4. i =Хз —D,-+1cosp;+1; z/cz-z 1 = Уз — Di+1 sin p/+ 1.	(9.18)
339
Ориентация линии, представляющей ориентацию двух сцепок относительно оси х, записывается в виде:
0с = arctg 1(//сг ~ У'а +1 )/(хс, — Xci + i)] •	(9.19)
Тогда угол а; с цепки у хвоста i-го экипажа и угол сцепки ai+1 у головы (/ + 1)-го экипажа можно получить с помощью соотношений.
аг=р;-Рс;	(9.20)
<xi+i = рг—р;+1-	(9.21)
9.5.3.3. Модель экипажа. После определения углов сцепки для 1-го и ({ 4- 1)-го экипажей с помощью данных о конфигурации экипажа, показанной на рис. 9.13, можно вычислить силы и моменты в клиньях сцепок. Моменты Mt и Mi+1 могут возникать при наличии люлечно-маят-никового механизма, ответственного за соосность экипажей. Значение этих моментов зависит от углов сцепки. Как видно на рис. 9.13, неизвестными являются лишь параметры RLi и FLi+J, которые определяются следующим образом:
%	BF (Cu4~Cu+1)sina,-
Ll	(С Ll + С Li+1) cosai
М; + М;+1+ BF (CLi-\-CLl+ |) sin a,+1
Fa-i 1 =----------—---—-------------------------,
(QH сы+ i)cosa<+1
где Mt —момент, управляющий соосностью, на i-м экипаже;
мент, управляющий соосностью на (i -Г 1)-м экипаже; BF — усилие в сцепном приборе между i-м и (i + 1)-м экипажами; CLi — длина задней сцепки i-ro эки. пажа; CLi_^_! —длина передней сцепки (i 4- 1)-го экипажа; RLi — поперечная ударная сила, действующая на заднюю сцепку i-го экипажа; Fll+l — поперечная ударная сила, действующая на переднюю сцепку (« 4" 1)-го экипажа.
(9.22)
(9.23)
М,+1 — мо-
Рис. 9.13. Силы и моменты в сцепках:
/--(i-hl)-ft экипаж; 2 — i-й экипаж
Рис. 9.14. Схема для вычисления поперечных нагрузок на шкворни:
/, 2 — клинья задней и передней сцепок
340
vt
Рис. 9.15. Силы, действующие на переднюю половину кузова экипажа—а; б-— разложение центробежной силы и силы тяжести на составляющие; в — вертикальные и поперечные нагрузки на приподнятый (наружный) рельс
Аналогичная процедура проводится для всех соединений вагонов. Как видно на рис. 9.14, коль скоро известны поперечные ударные силы FLt и RLi, действующие на переднюю и заднюю сцепки z-го экипажа соответственно, можно найти поперечные силы, действующие на передний и задний шкворни (см. рис. 9.14) Flb^Rlb соответственно, по следующим формулам:
FLl(TCD+Dl)-RLl(D2)
Flb - —FlbA-Fli -\-Rli-
После того как найдены поперечные силы, действующие на шкворни, могут быть составлены уравнения равновесия для переднего и заднего кузовов экипажа. Силы, действующие на переднюю половину кузова, показаны на рис. 9.15, а. Приведенные на рисунке параметры имеют следующий смысл:
Е — возвышение наружного рельса; G — ширина колен; g — ускорение свободного падения; Н — высота расположения центра тяжести тележки над плоскостью железнодорожного полотна; — вес половины экипажа (IF/2); Р —
341
центробежная сила половины экипажа [(W72g) (ц2//?)]; /? —радиус кривизны железнодорожного пути в точке, соответствующей положению шкворня; VL — вертикальная реакция на опущенном (внутреннем) рельсе; — вертикальная реакция на приподнятом (наружном) рельсе; V — скорость экипажа.
Разложив центробежную силу и силу веса на составляющие Ly и N и (рис. 9.15, б), направленные вдоль и перпендикулярно плоскости пути соответственно, и положив в связи с малостью угла ср, что sin ср ~ ~ ср и cos ср х 1, получим следующие соотношения:
£v = (W/2g) (v2/R) cos ср — (W/2) sin ср;	(9.24)
N„ — (W/2) cos <p 4- (W/2g) (v2/R) sin <p.	(9.25)
Для геометрических характеристик пути:
sin ера; ср « £/G; cos ср «1.	(9.26)
Подставляя выражения (9.26) в формулы (9.24) — (9.25), получим:
L, - (Г/2) [(v2/gR) —(£/G)|;	(9.27)
(Г/2) [ 1 4 (£2/g/?) (£/G)|.	(9.28)
При движении поезда в установившемся режиме Ly — 0, возвышение Е = £*, поэтому:
E* = v2G/gR.	(9.29)
Выражения (9.27) и (9.28) можно с помощью выражения (9.29) переписать в виде:
£,y = (r/2G) [£*--£];	(9.30)
cVf/(Г/2) [1 + (£/G) (£*/G)( « Г/2.	(9.31)
Справедливость формулы (9.31) следует из того, что
(£/G)(£7G) < 1.
С помощью выражений (9.30) и (9.31) можно составить выражения для вертикальных нагрузок на приподнятый и опущенный рельсы (см. рис. 9.15, а):
Уи G-FLB Сн- (Г/2) (G/2) -L„ И = 0;	(9.32)
V// = (r/4) + (/7/G)£, + (C///G)£^;	(9.33)
VL = (Г/4)-(Я/0)£,,-(Ся/С) FLR,	(9.33a)
где CH — высота сцепки над головкой рельса. Собрав поперечные силы, действующие на переднюю половину экипажа, можно получить суммарную поперечную нагрузку Ls в виде:
L$ — FLB-]-Ly.	(9.34)
342
Если принять допущение о равномерном распределении поперечной и вертикальной нагрузок (рис. 9.15, в), тогда	« Ls/2 и «
~У2 « Vh/2, и соотношение (Lj/Ej)^ для колеса, набегающего на приподнятый рельс, может быть записано в виде
(_£1_) =_____________________________ (9.35)
\Vi)wc	(W/8)^(H/2G)Lv + (Ch/2G^Flb'
где (Li/VJtrc — отношение поперечной н вертикальной нагрузок (для колеса, набегающего на приподнятый рельс) для всползания колеса; Fs — стационарная сила, возникающая при движении на криволинейном участке и действующая на набегающее внешнее колесо тележки. Эта сила Fs зависит от радиуса кривизны, скорости движения и конструкции тележки.
Типичный график силыЕ§ можно найти в работе [91. На железнодорожном транспорте США в качестве предельного значения отношения (Lj/EjImc принимается обычно 0,84.
В связи с условием опрокидывания рельса применяется другое соотношение — (£/7)дд. Выражение для этого соотношения можно получить при сборе вертикальной и поперечной нагрузок, действующих на два колеса, набегающих на приподнятый рельс,
I -L=	=_______flb+ lu + Fs_______
\V)rr	(W/4)+(H/G)Lv + (Ch/G)Flb
Обычно это соотношение ограничено значением 0,64.
Выражения для сцепки условий опрокидывания рельса и всползания колеса применительно к внутреннему (спущенному) рельсу аналогичны, за исключением силы Fs, которая действует только на колесо, набегающее на приподнятый рельс. Соответствующие выражения для опущенного рельса записываются следующим образом:
(_£_\	__/	\	..	^-i4~^-2	_________(^св4~^-у)______ .д 37
k V )wc\ v }rr~ V,H-V2 ~ (W/4)-(H/G)Lu-(Ch/G)Flb	'
Таким образом для всего поезда можно составить выражение для углов сцепок а,- иа;+1 [см. выражения (9.20) и (9.21)] и соотношения L/V [см. выражения (9.35) — (9.37)].
В зависимости от предельных значений углов поворота сцепки и значений соотношений L/V легко можно провести обследование условий, определяющих возможности поезда прн движении на криволинейном участке. С помощью рассмотренной в данном разделе модели Ассоциацией американских железных дорог был проведен ряд исследований, связанных с трассировкой железнодорожного пути, динамикой поезда и динамикой железнодорожных экипажей при движении на криволинейных участках пути. Данная модель может быть также использована для исследования выжимания поезда в условиях сжатия.
9.5.4. Модели вертикальной динамики. Для изучения вертикальной динамики поезда квазидинамический подход является неприемлемым, так как силы, действующие в вертикальном направлении, вызываются
343
динамическими перемещениями грузов, составных частей экипажа, а также неровностями железнодорожного пути. При построении модели необходимо рассматривать именно те перемещения, которые происходят в вертикальной плоскости.
Принимаем, что кузов экипажа обладает тремя степенями свободы, т. е. может совершать колебания подергивания, подпрыгивания и галопирования. Применительно к нагруженному вагону допускается также дополнительная степень свободы — перемещение груза в продольном направлении.
Таким образом, поезд, состоящий из и вагонов, включая т нагруженных вагонов, может быть описан с помощью модели, обладающей (Зп+ +т) степенями свободы. При составлении модели были приняты следующие допущения: 1) рассматриваются только силы, которые действуют в вертикальной плоскости, и только колебания, которые происходят в вертикальной плоскости, причем эта плоскость параллельна рельсовым нитям; 2) кузов тележкн принимается твердым телом. Соединения между экипажами осуществляются с помощью пружин. Этими пружинами имитируются жесткость рамы, сцепки, а также упруго-фрнкционные ме-ждувагонные связи; 3) принимается, что груз — твердое тело, которое опирается на сжатые пружины, которыми имитируется жесткость торцовых стенок кузова вагона. Центры тяжести груза и кузова вагона совпадает в вертикальном и горизонтальном направлениях; 4) тележки каждого экипажа — твердые тела, которые прикрепляются к кузову и передают на кузов горизонтальную и вертикальную реакции; 5) силами аэродинамического сопротивления, сопротивления, обусловленного уклоном профиля, кривизной пути и другими источниками, пренебрега-ется; 6) пружинные элементы, которые имитируют сцепки, сопротивляются колебаниям подпрыгивания и галопирования. Сцепки могут проскальзывать друг относительно друга, когда значения вертикальных сил превысят значение силы трения, возникающей при действии продольной нагрузки; 7) все колебания считаются малыми.
На рис. 9.16 показана модель i-го экипажа. На этом рисунке приведены обозначения сил, действующих на экипаж и обусловленных гравитацией, системой подвешивания, сцепными приборами и перемещениями груза. При составлении модели были приняты следующие обозначения:
2Bt — расстояние между центрами тележек; 2Сг — расстояние между головками сцепок; Et — расстояние центра тяжести экипажа от линии действия сцепок; Fc< — вертикальная сила, действующая на переднюю сцепку;	—
то же на заднюю сцепку; FEi — сила, действующая на стенку вагона со стороны груза; FLj — сила трения, возникающая в полу кузова вагона вследствие перемещения груза; FTi — вертикальная реакция передней тележки; Fxi — продольная сила передней и задней тележек; Ht — расстояние между центром тяже, сти экипажа и шкворневой плитой; KL( — жесткость упругого подвеса груза-, KxCi — эффективная жесткость пружины, имитирующей сцепку в продольном направлении (замечание; любые упруго-фрикционные приборы и поглощающие аппараты или только последние учитываются при вычислении KlCl- — жесткость пружины сцепки в вертикальном направлении; KzTi— жесткость рессор-
344
I
Рис. 9.16. Модель вертикальной динамики поезда:
I ~ куюв вагона. 2 груз
ного подвешивания тележки; RTi — вертикальная реакция задней тележки; — продольная сила, действующая в передней сцепке; T'j— то же в задней сцепке; IV) — вес кузова вагона; — вес груза в i-м экипаже; х; — колебания подергивания кузова; xLj — то же груза: г,- — то же экипажа; 0; — колебания галопирования экипажа.
Модель поезда показана на рис. 9.17. Так как силы, действующие на (-й экипаж, известны, можно написать уравнение колебаний с помощью второго закона Ньютона через обобщенные перемещения в следующем виде:
\tn\i {x}, {F};.
(9.38)
В уравнении (9.38) силовой вектор {F}; зависит от обобщенных перемещений и скоростей г-го, (t — 1)-го и (t + 1) -го экипажей; [ml, и {х}; — матрицы масс и вектор перемещений С го экипажа; эти величины
Рис. 9.17. Схема экипажей в составе поезда н действующие иа них силы
345
определяются следующими выражениями:
	trii	0	0	0	
\m]i =	0	1Пц	0	0	;	(9.39)
	0	0	-г mLi	0	
	_0	0	0	lui	
	{*}/	=- [X,-	XLiZi П,ГГ,		(9.40)
где /!/; — момент инерции при галопировании i-го экипажа; — масса кузова i-го экипажа; mLj — масса груза в »-м экипаже.
Силовой вектор {F}, определяется через силы, показанные на рис.9.16. Несколько членов в выражении силового вектора являются нелинейными функциями обобщенных перемещений. Позже будет обсуждена процедура определения этих сил. Вектор {F};:
_____
__21 ____________~__"
FcT+Fa-i-i i FTl-Wt-WLi
'T~i (EC^)"fZ (C~~ £ Д) -—Fc,+i (С, — Ei 0,H FTi + Ht Bi)~-RTi x
x (В, —/7,9,)
x Fxi (Hi —Bi 0,) r Fxi (Hi + Bi 9;)
Уравнения колебаний поезда можно составить путем последовательного составления уравнений колебаний всех экипажей. Полученные уравнения можно решить с помощью методов численного интегрирования, рассмотренных в главе 2. Поскольку некоторые из сил являются нелинейными функциями обобщенных координат, предпочтительней использование явных схем численного интегрирования. Неизвестными силами /-го экипажа являются горизонтальные ударные силы в сцепках Т{, Ti+l, вертикальные силы в сцепках FCi, FCi+1, горизонтальная реакция тележки Fxi, вертикальные реакции тележки Fn, Rn, сила трения груза FLi, сила взаимодействия груза с торцовой стенкой кузова Ft:i.
Выразим далее силы через обобщенные перемещения. При определении ударной силы в сцепке можно отметить, что в данной модели с помощью пружинного элемента сцепки представлены эффективная жесткость сцепки, упруго-фрикционного прибора, а также жесткость конструкции рамы. Такое сочетание различных элементов можно моделировать с помощью пружины с зазором, причем пружина имеет нелинейную характеристику с участком задержки. Таким образом ударная сила 346
в сцепке Tj может быть выражена через обобщенные перемещения х, и л', _, в виде:
Tt Кхсл {Xt— xi_l + Ал.),	(9.42)
где — участок задержки, определяемый зазором сцепки.
Для определения вертикальных сил сцепки необходимо сделать ряд допущений. Принимается, что сцепка жестко прикрепляется к кузову и у нее в вертикальном направлении имеется возможность перемещения за счет зазора ударного элемента сцепки.
Вертикальная ударная сила FCi в сцепке вычисляется следующим образом:
Л>7 <? , С; , 0; , г; — С;6; ±Д2 _£>;),	(9.43)
где е, — вертикальное проскальзывание сцепки; А. — вертикальный зазор сцепки.
Следует отметить, что максимальная вертикальная сила, которую можно передать через сцепку, не может быть больше силы трения, которая определяется как произведение коэффициента трения в сцепке на продольную ударную силу в сцепке Т
Принимается, что горизонтальные реакции тележки равномерно распределены между двумя тележками и определяются в виде
Fxi -= mt (Xj 0г),	(9.44)
где mt — масса тележки; — ускорение кузова в продольном направлении: 0,- — угловое ускорение при колебаниях галопирования кузова вагона.
Для определения вертикальной реакции тележки принимаем, что при подъеме колеса Fri - 0, и учитывается также полное сжатие элемента рессорного подвешивания. Тогда силу Fn можно вычислить с помощью следующего выражения:
0	6 <0
_ 0,5^',--/^. (г, + Bid,) 0<б<60
'г 60-W’,/(2/Gn)|,	6>60,
где 60 — максимальный ход элемента рессорного подвешивания; Кы — жесткость рессорного подвешивания с учетом полного сжатия элемента рессорного подвешивания.
Имеет место следующее соотношение для параметра 6:
6 = 0,5Гг/ДгГ( —0,:-	(9.46)
Аналогичная процедура может быть применена для определения вертикальной реакции задней тележки RTi [в этом случае Вг-0; заменяется выражением — В;0г в соотношениях (9.45) и (9.46)].
В данной модели принимается, что груз является составной частью кузова вагона при условии, что значение ускорения таково, что трение
347
между грузом и кузовом не преодолевается. При таких условиях допу скается, что груз может перемещаться в продольном направлении кузова, при этом в качестве ограничений выступает сила трения FLl и сила реакции торцовой стенки
Выражения для этих сил записываются следующим образом:
FLi - ±Pi W' Li’	(9.47)
FEi Ku (xLi —-Xi).	(9.48)
Таким образом, после определения всех сил можно решить уравнение (9.38) для экипажа поезда.
Модель, полученная на основе процедуры, изложенной в настоящем разделе, может быть эффективно использована, к примеру, при изучении вынужденных колебаний груза, возможности разрыва сцепки в вертикальном направлении, отрыва кузова от шкворневой балки и при определении продольных ударных нагрузок в сцепке.
9.6. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ ПОЕЗДА
Модели динамики поезда, которые рассматривались в настоящей главе, были применены к изучению различных вопросов,связанных с движением поезда. В данном разделе приведены примеры, которые показывают практическое приложение этих моделей.
Для определения углов сцепки и отношений L/V при заданной геометрии пути и скорости движения была использована квазистатическая модель поперечной динамики поезда. Для указанных параметров использовались предельные значения с целью установления условий безопасной эксплуатации. В частности, в работе [10] было проведено параметрическое исследование с целью определения длины переходной кривой. В качестве критерия использовался угол сцепки. Этот параметр для любого вагона в выбранном поезде не должен быть больше предельного угла поворота сцепки. Кроме того, отношение UV должно быть меньше предельных значений, определяемых условием всползания колеса 0,82 и условием опрокидывания рельса 0,64. Длина переходной кривой менялась от нуля до такого значения, дальнейшее увеличение которого не влияло на угол поворота сцепки и отношение L/V.
При расчете с помощью модели было установлено, что для данного поезда, составленного из пар, в которые входит короткий вагон длиной 9,75 м и длинный вагон — 28,96 м при радиусе кривизны пути 175 м и центральном угле 10°, минимальная длина переходной кривой для обеспечения безопасной эксплуатации составляет 22,86 м (рис. 9.18).
Модель вертикальной динамики была применена для расчета перегрузок, которым подвергается груз во время погрузки. Получение таких данных имеет большое значение сточки зрения обеспечения условий, устраняющих опасность повреждения штучного груза в результате 348
ударов и сотрясений, которым он подвергается во время колебаний на железной дороге. Конечно, модель должна использоваться достаточно разумно с учетом реальных условий эксплуатации. Достоверность результатов расчета с помощью модели должна рассматриваться в свете обоснования модели. На рис. 9.19 приведено сравнение результатов расчета с помощью модели с данными натурных испытаний. Как можно
Опрокидывание рельса	од?
0,8-
Всползание колеса
0,64
4
)__________о_________________
-1----------г-----------1------------1----
75	13,5	30	37,5
Длина переходной кривой , м
Рис. 9.18. Требование к минимальной длине переходной кривой для обеспечения безопасного движения поезда, сформированного из пар вагонов (пара составлена из короткою вагона, сцепленного с длинным вагоном) на криволинейном круговом участке с центральным углом 10°:
а —составная пара: длинный и короткий вагоны, б — график зависимости угла сцепки си длины переходной кривой; в — график зависимости отношения L/V от длины переходной кривой; / — предел угла поворота сцепки; 2 — область безопасной эксплуатации: 3 — условие всползания колеса; 4 — условие опрокидывания рельса
349
видеть, результаты расчета на модели удовлетворительно отражают тенденции изменений ударной силы в сцепке, которые имеют место при движении поезда.
Квазидинамическая модель поезда широко использовалась на железнодорожном транспорте для изучения ряда вопросов, связанных с реальным движением поезда [121. Фактически на модели реализовались команды управления, которые отдает машинист локомотива при действительном управлении поездом. Модель использовалась для определения значения ударных сил, действующих на сцепки внутри состава, отношения L'V, а также требования к мощности локомотива. Кроме этого, модель также применялась для определения тормозного пути, начиная с того места, где были включены тормоза. Несколько железных дорог использовали модель для исследования аварий поездов, для ко-
П)
t,c
0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
t ,С
Рис. 9.19. Сравнение результатов расчета с помощью модели вертикальной динамики с данными натурных испытаний:
а — состав; б — график зависимости ударной силы, кН, в сцепке от времени для шестого вагона (------- —испытания;-------—модель); в — график зависимости ударной силы.
кН. в сцепке от времени для седьмого вагона (------испытания;--------— модель)
350
Рис. 9.20. Сравнение результатов расчета с помощью квазидинамической модели продольной динамики поезда с данными натурных испытаний: а — первый вагон; б — второй вагон ( --испытания; —-— модель)
торых были известны действительные графики скоростей локомотивов. Поезда моделировались в соответствии с графиками скоростей, имитировались условия, с помощью которых можно было объяснять эти аварии. Результаты расчетов ударных сил в сцепках, проведенные на модели, сравнивались с данными натурных испытаний, что ил иострирует-ся на рис. 9.20. Как видно на рисунке, данные, полученные на модели вполне удовлетворительны.
Другое практическое приложение этой модели заключалось в разработке требований к энергетике поезда. Так как при расчетах с помощью модели используются параметры, которыми определяется сопротивление движению поезда, то по значению работы, необходимой для преодоления этого сопротивления, можно установить: во-первых, мощность, а во-вторых, потребный запас топлива, который требуется для выработки в течение заданного шага по времени этой мощности. Потребный запас топлива, обеспечивающий движение поезда от одной точки пути до другой, представляет собой расход топлива поездом. В последние годы в свете возрастающих цен на горючее были сделаны попытки, направленные на совершенствование расчетов расхода топлива.
Детальная динамическая модель поезда использовалась для всестороннего расчета продольных ударных сил в сцепках поезда. Эти силы необходимо знать при проектировании упруго-фрикционных между-вагонных связей и поглощающих аппаратов. Однако применение модели для проведения рядовых расчетов ограничено, так как расчеты с помощью модели сопряжены с проведением пошагового интегрирования, что вызывает сильное удорожание расчетов.
351
9.7. РЕЗЮМЕ
В этой главе описана динамика движущегося поезда. Определены основные термины, часто используемые в динамике поезда.
Представлены модели различных составных частей железнодорожного экипажа. Описаны квазистатические, квазидинамические и динамические модели для исследования поперечной, вертикальной и продольной динамики поезда. Представлены некоторые практические приложения этих моделей для изучения различных вопросов, связанных с управлением поездом.
Список литературы
[.Martin G. С., Hay W. W. Method of Analysis for Determining the Coupler Forces and Longitudinal Motion of a Long Freight Train in Over-the-Road Operation. — Railway Research, Department of Civil Engineering. Engineering Experiment Station. University of Illinois, 1967.
2.	Track Train Dynamics to Improve Freight Train Performances. —Research Report R —185, pp. 1 —15, Association of American Railroads. Track Train Dynamics Program, Chicago, 1972.
3.	Car and Locomotive Cyclopedia., centennial ed.. p. 58. — New York. Simmons-Boardman, 1974.
4.	Low E. M., Garg V. K. Train Operation Simulator-Technical Atanual. — Research Report R-269, Association of American Railroads, Chicago. 1977, August.
5.	Davis W. .1. The tractive resistance of electric locomotives and cars. — General electric review. 1926, v. 29, N 10.
6.	L u t t r e 1 N. W., Gupta R. K., Low E. M., M a r t i n G. C. Train Operation Simulator — User's Manual, Research Report R — 198, Association of American Railroads. Chicago, 1976, April.
7.	M a r t i n G. С., T i d e m a n H. Detailed Longitudinal Train Action Model — Technical Documentation. — Research Report R-221, Association of American Railroads, Chicago, 1977. February.
8.	T h о m a s R. L., MacMillan R. D., Martin G. G. Quasi-Sta-tic Lateral Train Stability Model — Technical Manual. — Research Report R-209, Association of American Railroads. Chicago, 1976, April.
9.	C h a n g E. H., S h u m K. L., Abbott R. A., Singh P. Effects of Spiral Length on Reverse Curves with Minimum Tangent Length for Slow Speed Operation. — Research Report R-309, Association of American Railroads. Chicago, 1978, September.
10.	S h u m K. L., SinghS. P., C h a n g E. H. Study of Effects of Spiral Length on Lateral Stability on Simple Curve Negotiation. — Research Report R—355, Association of American Railroads, Chicago 1979, January.
11.	R a i d t J. B., S h u m K. L., M a r t i n G. C., G a r g V. K. Detailed Vertical Train Stability Model — Technical Documentation. Research Report R—267, Association of American Railroads, Chicago, 1977, March.
12.	Low E. M.. G a r g V. K. Train Operation Simulator — Validation Report. Research Report R-335, Association of American Railroads, Chicago. 1978. November.
Глава
10
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЭКИПАЖЕЙ С МОСТАМИ
10.1.	ВВЕДЕНИЕ
Железнодорожные мосты подвергаются динамическим воздействиям, вызванным движущимися экипажами. Задачи, связанные с колебаниями мостов, изучались с середины девятнадцатого столетия [II—[71. В большинстве аналитических исследований рассматривались следующие схемы: сосредоточенная масса, совершающая плавное движение; сосредоточенная подвижная пульсирующая нагрузка; подрессоренная масса или неподрессоренная масса, включая наличие амортизатора. Эти исследования были нацелены на схематическое представление паровоза, находящегося на мосту.
Отношение максимальной динамической силы, динамического момента или динамического прогиба к соответствующему максимальному статическому значению соответствующей величины без единицы частот называют коэффициентом динамики. Алгебраическая разность между максимальным и минимальным напряжениями при циклическом изменении напряжений, обусловленных колебаниями, известна как диапазон напряжений. Число циклов совместно с диапазоном напряжений, который может быть переменным или постоянным, играют важную роль в развитии усталостного разрушения элементов и узлов мостовых конструкций.
В данной главе рассматривается задача построения моделей мостов и экипажей для изучения взаимодействия моста и экипажа и вычисления коэффициентов динамики в элементах моста. Рассмотрены также некоторые параметрические исследования применительно к коэффициентам динамики мостов.
10.2.	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭКИПАЖА С МОСТОМ ФЕРМЕННОГО ТИПА
10.2.1.	Взаимодействие в вертикальном направлении. В этом разделе составляются уравнения колебаний, необходимые для изучения взаимодействия экипажей и металлических ферменных мостов с открытой проезжей частью. Для составления уравнений колебаний требуется построение подходящих моделей экипажа и моста. Рассматривается движущийся поезд, состоящий из однотипных четырехосных экипажей. Принимается, что соединения между этими экипажами обеспечиваются с помощью унивепсалььых ударно-тяговых приборов. Принимается
353
также, что колеса экипажей все время находятся в постоянном контакте с рельсами. Каждый экипаж схематически представляется в виде твердого тела с четырьмя колесными парами, которые обладают тремя степенями свободы, обеспечивающими колебания подпрыгивания, галопирования и боковой качки. Принимается, что две двухосные тележки в действительном экипаже образуют часть кузова вагона. Принимается, что вертикальные рессоры надбуксовой и центральной ступеней рессорного подвешивания обладают линейными характеристиками, которые могут быть заменены эквивалентными пружинами с жесткостью
-i- l/*,ys],
где kyp и ky!, — вертикальная жесткость надбуксовой и центральной ступеней рессорного подвешивания соответственно.
В тех случаях, когда у экипажей нет центральной ступени рессорного подвешивания, kv = kyp. Аналогичным образом может быть учтено демпфирование элементов надбуксовой и центральной ступеней рессорного подвешивания путем введения эквивалентных элементов демпфирования (рис. 10.1).
10.2.2.	Модель моста. Для моста была выбрана модель с сосредоточенными массами в узлах.
Все узловые соединения фермы отнесены к узлам трех видов: шарнирные, полужесткие, жесткие. Принимается, что раскосы присоедини^ ются к узлу с помощью шарниров и что в шарнирной ферме балки проезжей части соединены либо жестко, либо полужестко. Устанавливается, что продольные элементы фермы являются жесткими элементами, опертыми по концам.
Половина массы каждого элемента сосредоточивается в узлах, которые соединяют эти элементы. Половина массы панели, состоящей из ба-354
лок проезжей части и продольных элементов и системы верхнего строения пути, располагается в нагруженных узлах (рис. 10.2 и 10.3).
Размерность всех матриц жесткости элементов и матриц поворота принимается равной 12 X 12. Выражения для матриц жестких соединений, матриц жесткости элементов и матриц поворота приведены в работе [8]. В работах [9] и [10] даны выражения для жескости элементов применительно к полужестким соединениям, для которых в расчет принимается половина высоты сечения вертикального элемента, к которому присоединяется балка проезжей части.
Рис. 10.2. Однопутный клепаный железнодорожный мост ферменного типа:
а • - вид сбоку (изнутри); б — вид сбоку снаружи; в — раскосы нижнего яруса; г раскосы верхнего яруса; / — балки проезжей части; 2 -левый рельс; 3-- правый рельс
355
Рис. 10.3. Левый (а) и правый (б) порталы моста
Рис. 10.4. Глобальная и локальная системы координат типичного члемента конструкции моста
Рис. 10.5. Положительные направления силовых факторов и перемещений в до кальной системе координат
Для типичного элемента на рис. 10.4 приведены глобальная (X, У, Z) и локальная (х, у, z) системы координат. Глобальные силовые факторы (Fx, F7, Fz, Мх, Ми, Mz) и перемещения (Ax, Ау, А2, 0лЛ О,z, 0J связаны с локальными силовыми факторами (fx, f,t, fz, тх, m!t, т2) и перемещениями (6Т, 6;/, 6., 0Ж, 0(/, 0,) следующими соотношениями (рис. 10.5):
[F] = [R| [f|;
12x1 12X12 12X1.
16} - И |А|,
12 X 1 12 х 12 12Х 1,
(Ю.1)
(10.2)
356
где
’I/?]
[£| = 0
11 О |Я]
[Rl
В этой матрице
	ч	0	0 '		сх -Сх Су	с» о	С7 ~CyCz
[/?] =	0	cos а	sin а		Q		Q
	0	— sin а	cos а		-С, Q	0	сх Q
Хт “ %Ь' %а’ Ут Уъ Уа'
где
Zm — Zfj— Za", L — (Хт-\~Ут 1	,
Cx — xml L, Су Ут! L, Cz=zm!L, Q = (CJrCV^2.
Матрица жесткости элементов [£] в локальной системе координат, которая связывает силовые факторы (включая моменты) и перемещения (включая углы поворота), записывается следующим образом:
.357
Пусть А — площадь поперечного сечения; 1у, /2 — моменты инерции относительно осн у и z соответственно; Т — постоянная кручения; Е — модуль упругости; G — модуль сдвига; i|’ — угол поворота, обусловленный единичным моментом; Scj, SCj — крутильные жесткости рессор в точке j относительно осей z и у соответственно (равные н 1/фс/); Sch, Sck — крутильные жесткости рессор в точке k относительно осей гну соответственно (равные и и
£/z	EIZ
ei	;
LScj	LSch
ё* — ё^ -  4 (ёу~{~	1;
e^ej-\-eh ’-1; e2j — 2е7 + 1;
е2)< = 2е/( + 1; e:iJ-= Зе7-+ 1;	---3en Н- i
и тогда
АЕ ,	12Е/.
а —-------; о
L 6£7г с --=----—
A ^EIZ I LA е \ г 4£/г Г , f	ТГ 4
Le* I
g	‘2,-.h . V 3 -
S	Le* \ L
,	4f/2 Г
/i -------- \e4i
Le* 31
Ьяе*
(1* \ e2k 2	г’1
L
\ GJ
V'’ '
. a* XI e2k + -y— ei I :
, Q b*	6a* b* \
e2j + 3 — 2c.,,, 4--------— <?t ;
L	L2 /
Q	(	.6*	VI
з — I e2j -U	J .
Если в написанных выше выражениях заменить /г, SCJ-, Sch на /у, Srj и S'cft, то можно получить выражения для Ь', с , d', g' и h'.
Если а* =--- Ь* = 0 и Scd = Scft = S'CJ- S'ch ~ 0, то [/г] будет матрицей жесткости шарнирно закрепленного элемента. Если а* Ь* О и Scj = Sch ~ S’ej S'hc = оо, тогда [£] станет матрицей жесткости жестко закрепленного элемента.
Рассмотрим в каждом узле лишь вертикальные степени свободы. Тогда матрица жесткости конструкции преобразуется в более компактную эквивалентную матрицу, которая будет приведена ниже. Пусть {qs} — вектор перемещений только в вертикальном направлении и {qs} — остальные перемещения и углы поворота конструкции моста, тогда:
(10.5}
358
в которых [fcu|, [&21]— жесткости, связанные с {qB}; 1/г121 и [fe>2] — жесткости, связанные с {<?в}; {Fb/v} — вектор сил взаимодействия. Тогда уравнение (10.5) сводится к виду
1Кв]{Чв}	(10.6)
в котором
[Хв] =;т [&111	1^12] 1^22 Г 1 [^21 I
является компактной матрицей жесткости системы конструкции моста. Уравнения колебаний моста могут быть записаны в следующем виде
[11]:
[Мв] | цв) + [Сд] { qaj + [Ля] {Чв} ~ {Fb/u (х, /)},	(Ю.7)
где [Мд] — диагональная матрица масс; 1 А'в1 •— компактная матрица жесткости; {qB} — вектор обобщенных перемещений, содержащий вертикальные перемещения в узлах; {qfi} — вектор обобщенных скоростей; {qB} — вектор обобщенных ускорений; {F/jlv(x, /)} —вектор вертикальных сил, приложенных в узлах и обусловленных взаимодействием движущегося экипажа или экипажей с мостом; [Св] — С/, пц [/Ив|; Сь —степень демпфирования, %; вц — основная круговая частота конструкции моста.
10.2.3.	Модель экипажа. Пусть М„, I,,, и Jv — масса, момент инерции при колебаниях галопирования, момент энерции при колебаниях боковой качки экипажа соответственно; С,. и kv — коэффициент демпфирования и эквивалентная жесткость рессоры системы рессорного подвешивания для каждого колеса соответственно; у,, (это значение положительно, если перемещение происходит вниз), ср0 и 0,. (положительное направление этих параметров указано на рис. 10.1) — вертикальное перемещение, угол поворота при галопировании, угол поворота при боковой качке соответственно, отсчитываемые от статического равновесного положения. Уравнения колебаний для каждого отдельного экипажа записываются в следующем виде [111:
8	8
^р(/р + У	У г’ Т' У ^иУгг=-О',
I 1	i = 1
8	8
Л-Фр-г 2 Cv yri (± li) \- У yri (± lL) = 0;
i -- 1	1 = 1
8	8
J,.0„+ V cvyrl(±b)+ kvyri{±b) = Q, (10.8) i.-- 1	i 1
в котором
Ун(х, t)^-y„(x, n±tli^v{x, t)±bd„(x, t)—(v‘b(x, t)—wlb(x)f, (10.9)
где vb — вертикальное перемещение точки контакта колеса и рельса в произвольный момент времени t\ wlb (х) — неровность рельса в точке под i-м колесом (знак «плюс», если неровность развита вверх); Ь — расстояние между точками 359
контакта одной колесной пары (плюс — для нечетных колес, минус — для четных колес) /, — продольное расстояние между поперечной осью экипажа и 1-м колесом (плюс — для одного—четырех колес, минус — для пяти—восьми колес. lj = L — b для трех—шести колес, = L + b для остальных колес, где L — расстояние между осями тележек в продольном направлении; b — база тележки).
Перепишем уравнение (10.8) в следующем виде:
8
2	+
(10.10)
>=ii
Сила взаимодействия F‘B^ между рельсом и t-м колесом экипажа задается в виде:
F'l^r Ми (g—	-г- cv tjri + k,- y,i  Msg, (10.11)
или
fв,,(ML + Ml) g +C,M‘u v‘b- (10.11a)
Здесь g — ускорение свободного падения; /И,' — неподрессоренная масса, которая равна половине массы колесной пары; /И' — подрессоренная масса, рав-1 ная — Л1г.
8
Пусть z-e колесо расположено на отрезке пути, заключенном между й-м (или й'-м) и (k' + 1)-м (или k' + 1)-м, узлами моста. С помощью линейной интерполяции выразим v‘b через vlk, , v‘k,, v‘k, L] в следующем виде (рис. 10.6 и 10.7):
,	, I с — di \	..	,1с —d, \ ,
vb = а‘ vk+ 1 - + 0z v* -- +
\с/	\ с /
(10.12)
360
Рис. 10.6. Схема, иллюстрирующая связь прогиба под колесом с прогибами в соседних узловых точках
ИЛИ
= А (Я; и* +, -L рг v‘k) + X (аг и*,+1 +Pi I’D (10.12а) и
%= А(аг v‘A+l +	+Pi yi- + i)’	(10.126)
u‘ --X(a; ’^ + 1 -P; vj-) +X(az u^+i l-Рг Ч*)’	(Ю.12в)
Для (i + l)-ro колеса значение dr заменяется на значение d'if а параметры от А до А заменяются на £ и £ соответственно. В силу того что нередко на однопутных мостах рельсы расположены симметрично относительно продольных элементов конструкции моста, d\ = с — d{, и вследствие этого £ = А и £ = А.
В формулах (10.12) — (10.12в)
a; x;//p; Р; - 1—a,; k=~-d1/c;
A=l —A; l = d\/c и |=1 — j, '
где x, — расстояние i-го колеса от А-го или k'-ro узла; /р — длина панели проезжей части нагруженного участка; <4 — расстояние первого рельса до оси продольного элемента рядом расположенной фермы; d{ — расстояние второго рельса до оси продольного элемента рядом расположенной фермы; с — расстояние между осями ферм.
Рис. 10.7. Схема расположения колесной нагрузки между узловыми точками конструкции моста в плане:
l—k'-Л узел; 2—(й'+1)-й узел; 3 — ось задней фермы; 4 — (i+D-е колесо; 5-—левый рельс; 6 — 1-е колесо; 7 — правый рельс; 8—ось передней фермы; 9—k-й узел; 10—(й+1)-й узел
12 Зак. 1073	361
Если принять, что продольные элементы являются жесткими стержнями, тогда и узлы на их концах становятся узлами соединения продольных элементов и балок проезжей части. Если и продольные элементы фермы и балки проезжей части считать жесткими, тогда узлы на концах продольного элемента становятся узлами соединения балки проезжей части с фермой.
С помощью ранее описанного метода линейной интерполяции можно получить выражения для сил взаимодействия FlBy и F‘+y\ действующих на t-e и (i + 1)-е колеса, которые приложены в узлах мостовой конструкции. Выражения для узловых сил F*,	F*' и Е*'+1, обус-
ловленных силами взаимодействия z-ro и (i + 1)-го колес, задаются в следующем виде:
(10.13)
С учетом уравнения (10.7) и выражений (10.8) и (10.13) можно записать
[Mr[ (u| + [Cr]{u} ( ^r]{u} = {Fr},
(10.14)
где [A4r], [Cr] и [— матрицы масс, демпфирования и жесткости системы; {Fr} —силовой вектор.
Этим последним вектором учитывается эффект взаимодействия моста и экипажа. Подробные выражения для матриц приведены в работе [11].
В уравнении (10.14) вектор {а} определяется выражением:
{и} =
{Qb} j
yv 
Если на мосту располагается не один, а несколько экипажей, вектор {и} должен быть расширен с целью включения перемещения других экипажей.
Уравнение колебаний (10.14) может быть решено с помощью 0-схе-мы Ньюмарка или с помощью других схем численного интегрирования, которые были описаны в главе 2. Подробности решения этого уравнения с помощью пошагового метода приведены в работе [12].
10.2.4.	Взаимодействие экипажей с мостом в вертикальном и поперечном направлениях. В последнее время задача о взаимодействии экипажа и моста была подробно исследована в работе [13]. В этой работе 362
были изучены силы взаимодействия между мостом и экипажами, действующие в вертикальном и поперечном направлениях.
Для системы грузового вагона была выбрана модель с 21 степенью свободы (рис. 10.8). В модели учтены нелинейные эффекты, относящиеся к системе рессорного подвешивания, к элементам сухого трения, а также к зазорам между составными частями.
Подробный вывод уравнений колебаний приведен в работе [131. Эти уравнения колебаний записываются в виде
+	+	{Fv/Zj},	(10.15)
где [Afv], [Ср], |Кр]—матрицы масс, демпфирования и жесткости экипажа (экипажей); {Fpyв] — динамическое возмущение экипажа (экипажей), которое обусловлено неровностями пути в вертикальном и поперечном направлениях, а также вертикальными и поперечными прогибами конструкции моста под колесами экипажа (или экипажей) или только двумя указанными прогибами.
Мост моделируется пространственной ферменной конструкцией с шарнирными узлами, за исключением опорных стоек портальных рам. Принимается, что опорные стойки являются элементами, работающими на изгиб относительно двух осей, что обеспечивает поперечную устойчивость ферменной конструкции. Принимается, что каждый узел мостовой конструкции обладает тремя степенями свободы, обеспечивающими перемещение в трех направлениях, за исключением узлов, а, b и с, которые обладают пятью степенями свободы, обеспечивающими три перемещения и два поворота (см. рис. 10.3). Матрица жесткости конструкции моста составляется с помощью метода жесткостей.
Принимается, что массы моста сосредоточиваются в узлах конструкции. Масса каждого элемента поровну разнесена по узлам, на которые опирается данный элемент. К нижнему поясу отнесена в виде сосредоточенной массы половина массы панели, состоящей из балок проезжей части, продольных элементов и верхнего строения пути. Все перемещения принимаются малыми. Влиянием инерции вращения и нелинейностью характеристик материала пренебрегается.
В данном исследовании в каждом узле сохраняются лишь вертикальная н поперечная степени свободы. Остальным степеням свободы поставлены в соответствие нулевые массы. Так как взаимодействие между мостом и экипажем (или экипажами) происходит на уровне проезжей части, те степени свободы, которые обеспечивают движение в вертикальном и поперечном направлениях относительно узлов нижнего пояса, называют главными динамическими степенями свободы. Именно с этими степенями свободы связаны возмущения, обусловленные движущимся экипажем (или экипажами), и именно с этими степенями свободы непосредственно связаны колебания моста. Остальные степени свободы моста называют второстепенными. Для того чтобы уменьшить размерность дайной задачи, матрица масс и матрица жесткости кострукции моста были уплотнены за счет отбрасывания части второстепенных степеней свободы и обнуления части масс. Была использована схе-12*	363
ма уплотнения, предложенная в работе [4]. Пусть {qa} является вектором перемещений конструкции моста, который содержит векторы {чв} и {Чвя}, соответствующие главным степеням свободы, а также остальным (степени свободы обнуленных масс и оставшиеся второстепенные степени свободы) степеням свободы.
Уравнение колебаний с использованием матрицы жесткости моста может быть записано в виде
364
Г [^п1 [Л12]
I l^2ll 1^22].
[{Чвв}1 _ ({Fb/41
1(Чв$}1 I {0} )
(10.16)
Рис. 10.8. Модель грузового вагона:
а — вид сбоку; б — вид с торца, где показаны передняя тележка и шкворневая балка; в— схема передней тележки в модели экипажа (показаны лишь степени свободы тележкн); 1 — кузов вагона; 2— задняя шкворневая балка; 3 — передняя Шкворневая балка; 4— задняя тележка; 5 — передняя тележка; 6 — правый рельс; 7 — зазор у боковой опоры: 8— шкворневая балка; Р — колесные пары н рама тележки; 10 — возмущение со стороны левого рельса; //—возмущение со стороны правого рельса; /2 — зазор между ребордой и головкой рельса; 13— размещение группы рессорного подвешивания; 14 — боковая рама; /5 — левый рельс; 16 — ось первой колесной пары; /7 — ось второй колесной пары; 18 — первое колесо
Уравнение (10.16) сводится к записи в компактной форме
(Ю.17)
где приведенная матрица жесткости [Кв] задается в виде:
[Лв] — 1-^ц] —	1	(10.18)
а вектор {fl'ss} в виде:
{qBs} =	[fc21) {qBP}.	(10.19)
Формулой (10.19) выражается статическое взаимоотношение между {авр} и {/Ibs}- Это взаимоотношение записывается в следующем виде:
({qsp}| i{qBs}i
[/]
1 [^2il
{qBp}
(10.20)
или
{qB} = m{qfiP},	(10.20a)
где [T] — матрица преобразования, задаваемая формулой
[Т] = [----Ш------
I -Р22Г1 1*211
(10.21)
365
Аналогично можно записать выражение для матрицы масс моста
в которой [/Ип| является диагональной матрицей масс, соответствующих главным степеням свободы, в то время как [Л423] является диагональной матрицей масс, соответствующей второстепенным степеням свободы и степеням свободы обнуленных масс.
С помощью принципа виртуальной работы приведенная матрица масс [Л4В] моста может быть получена на основе следующего конгруэнтного преобразования:
[Мв] = 17уи^|	(10.23)
I [0] I [М22] 1
Если подставить (10.21) в (10.23), получим
|МВ] =• |МП1 - Ц^Г1 [*211Г [М22] [ffc22|-1 [621]|.	(10.24)
Следует заметить, что уплотненная матрица в уравнении (10.24) уже не является диагональной матрицей. Окончательные уравнения колебаний моста записываются в виде выражения (10.7). Вектор {FB/X X Х(х, t)} является вектором приложенных вертикальных и поперечных узловых нагрузок, обусловленных взаимодействием моста с экипажем (или экипажами).
Вертикальная сила F‘By взаимодействия между рельсом и колесом экипажа выражается в виде [131:
FBy(x, t} — kByi игу1~\" С uryi,	(10.25)
где uryi =- ytj (x, t)±LiQtj(x, t) — (ui,y(x, /) —a^(x));
j = 1,2 для передней и задней тележек экипажа — относительное вертикальное перемещение точки контакта колеса и рельса; w‘by (х) — вертикальная неровность пути под i-м колесом; v‘b (х, t) — вертикальный прогиб моста под 1-м колесом; kByi — вертикальная жесткость проезжей части моста под »-м колесом; СВу1 — коэффициент демпфирования вертикальных колебаний под i-м колесом. Остальные обозначения приведены на рис. 10.8.
Узловые силы F^, F^+l Fy, и Fky +1, обусловленные силами взаимодействия t-го и (i + 1)-го колес получаются с помощью формулы (10.13).
Поперечная сила взаимодействия F‘Bz между рельсом и колесом экипажа задается в виде:
F‘Bi (х, 0 = kBzi urzi + СВг( urzi,	(10.26)
где
и„г- - ztj (х, t) + r<pt; (х, t) ± L2 (х, t) - (и‘г (x, t) + w[z (x)) ± F cL; 366
j = 1,2 для передней и задней тележек экипажа — относительное поперечное перемещение точки контакта колеса и рельса; wbz (х) — поперечная неровность пути под i-м колесом; v‘bz (х, 0 — поперечный прогиб моста под i-м колесом; kBzi — поперечная жесткость проезжей части моста под i-м колесом; CBzi — коэффициент демпфирования пути при поперечных колебаниях под i-м колесом.
Другие обозначения, используемые в формуле (10.26), приведены на рис. 10.8.
Применительно к взаимодействию в вертикальном направлении для выражения v‘bz (х, t) через узловые поперечные перемещения используется линейная интерполяция. Определение узловых сил Fkz, Fkz+X , F*' и обусловленных силами взаимодействия с i-м и (( + 1)-м колесами, проводится следующим образом:
F*
Fz'
+1
(10.27)
Поперечные силы взаимодействия F‘Bz и FlBz', действующие на головку рельса, показаны на рис. 10.9. Этими силами вызывается крутящий момент
MT^F^F^h,	(10.28)
где h — вертикальное расстояние между линией действия сил поперечного взаимодействия колес с рельсами и осью элементов нижнего пояса фермы.
В свою очередь крутящий момент образует пару равных и противоположно направленных вертикальных сил FBy, которые задаются формулой:
FBy=(FlBz + FlB+'}(hlc},
(10.29)
где с — расстояние между осями двух ферм.
Вертикальные узловые силы, которые создаются этими дополнительными вертикальными силами, вычисляются с помощью линейной интерполяции (рис. 10.10) следующим образом:
Fk ГУ
+1
1 У
I pk'
рк'+1
Г ГУ
[FBz + Fb1’1) (h/c).
(10.30)
Суммарная вертикальная сила взаимодействия, которая приложена в четырех узлах k, k + 1, k' и k' + 1 данной панели проезжей части, определяется путем сложения сил, вычисленных по формулам (10.13) и (10.30).
367
Рис. 10.9. Схема поперечного сечения проезжей части моста и части экипажа с указанием дополнительных вертикальных сил, обусловленных поперечным взаимодействием колес с рельсами:
/ — шкворневая балка; 2 — рессора надбуксовой ступени рессорного подвешивания; 3 — колесная пара; 4 - балка проезжей части; 5 — продольный элемент проезжей части
Уравнения колебаний моста (10.7) переписываются в виде
I Чв) = [Mb]-1 {Fb/u (х,	[/Св] {чв}-[МвГ1 [Св1 { Чв1, (10.31)
где векторы сил взаимодействия определяются следующим образом:
{Fb/Их, =
I )Г21 1
(10.32)
Векторы {F,,} и {Fz} являются вертикальными и поперечными узловыми силами, найденными по силам взаимодействия.
Рис. 10.10. Схема проезжей части (в плане), на которой указаны дополнительные вертикальные узловые силы, обусловленные силами поперечного взаимодействия колес с рельсами
368
Уравнение колебаний экипажа (или экипажей) (10.15) переписывается в виде
! qj	{q„}~IM,,]-1 ]С„| j qj, (10.33)
где силовой вектор	составлен из возмущающих вертикальных и по-
перечных прогибов моста, а также из неровностей пути.
Для получения динамических характеристик вынужденных колебаний моста и экипажа (или экипажей) можно решить уравнения (10.31) и (10.33) совместно с уравнениями взаимодействия с помощью схемы Рунге-Кутта четвертого порядка.
10.3.	ДИНАМИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ НА МОСТ, ВЫЗВАННОЕ РАЗЛИЧНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
В работах [11] и [13] для исследования вертикальных взаимодействий и совместных вертикальных и поперечных взаимодействий моста и движущегося поезда использовалась конструкция однопутного стального моста ферменного типа длиной 53,34 м с открытой проезжей частью. В этих исследованиях принималось, что путь на проезжей части моста имеет неровности, которые соответствуют шестому классу железных дорог Федерального управления железных дорог США.
В работе [11] были взяты начальные амплитуды подпрыгивания высотой 6,25 мм и начальные амплитуды углов поворота при боковой качке 0,02 рад.
В исследовании [131 были рассмотрены два варианта въездных и съездных участков пути: шестого и четвертого классов.
Были получены коэффициенты динамики для избранных элементов моста, который был нагружен составом, состоящим из 70-тонных грузовых вагонов и идущим по мосту со скоростью 80 км/ч, для следующих случаев [111: 1) экипажи, оснащенные колесами без ползунов, движутся при отсутствии первоначальных подпрыгиваний и углов поворота при боковой качке; 2) экипаж испытывает колебания подпрыгивания с начальной амплитудой 5,25 мм и колебания боковой качки с начальной амплитудой 0,02 рад; 3) учитывается эффект, связанный с ползуном одного из колес колесной пары, при отсутствии начальных колебаний подпрыгивания и боковой качки экипажа; 4) учитывается влияние осадки устоя моста при отсутствии первоначальных колебаний подпрыгивания и боковой качки экипажа; 5) учитывается влияние прогиба нижнего пояса моста при отсутствии первоначальных колебаний подпрыгивания и боковой качки экипажа; 6) учитываются неровности поверхности железнодорожного пути при отсутствии первоначальных колебаний подпрыгивания и боковой качки экипажа.
Как показало параметрическое исследование, проведенное в работе [11], коэффициенты динамики могут меняться примерно в диапазоне между коэффициентами динамики, определенными при плавном движе-
369
нии поезда, и коэффициентами динамики, определенными Американской инженерной железнодорожной ассоциацией, в зависимости от начальных колебаний подпрыгивания и боковой качки экипажей, неровностей верхнего строения пути, осадки устоя, ошибки, вносимой прогибом нижнего пояса моста, а также от ползунов на колесах. Было установлено что суммарный коэффициент динамики для избранных элементов конструкции моста меняется от 24,9 до 26,0 % при среднем коэффициенте, равном 25,3 %. Этот коэффициент достаточно близок к коэффициенту, равному 25,6 %, который дан Американской инженерной железнодорожной ассоциацией, за исключением стоек ферм, коэффициент динамики для которых согласно Американской инженерной железнодорожной ассоциации равен 44,4 %.
Основной вклад в коэффициент динамики вносят два источника: 1) начальные колебания подпрыгивания и боковой качки экипажа; 2) неровности поверхности пути.
Более 40% суммарного коэффициента динамики составляет вклад начальных колебаний подпрыгивания и боковой качки экипажей. Около 40 % и менее вносится за счет неровности поверхности пути. Плавное движение (т. е. движение экипажа, колеса которого не имеют ползунов) вносит в суммарный коэффициент динамики вклад, примерно составляющий 3—11 %. Остальная доля коэффициента динамики обусловлена ползунами колес, осадкой устоев, а также ошибкой, связанной с прогибом нижнего пояса моста. Вклад ползунов колес весьма ограничен. В среднем значении суммарного коэффициента динамики, равном 25,3 %, вклад за счет ползуна на одном колесе составляет около 1,5 %. Следует, однако, заметить, что влияние двух колес с ползунами на одной и той же стороне поезда увеличивается примерно в 2 раза по сравнению с случаем, когда ползун лишь на одном колесе. Кроме этих результатов, в работе [11] так же показано, что: 1) с увеличением скорости поезда коэффициент динамики увеличивается: 2) демпфирование конструкции моста приводит к уменьшению коэффициента динамики; 3) коэффициенты динамики в выбранных элементах одинаковы.
В работе [13] было исследовано влияние на коэффициент динамики моста неровностей пути путем анализа трех случаев, когда: 1) неровности пути отсутствуют; 2) возмущения вносятся только вертикальными неровностями; 3) возмущения вносятся вертикальными и поперечными неровностями пути. В исследовании принималось, что поезд движется со скоростью 80 км/ч. В расчет на модели вводился путь шестого класса в соответствии с классификацией Федерального управления железных дорог США как на пролетном строении моста, так и на его подходе и съезде. При рассмотрении вертикальных и поперечных неровностей пути было установлено, что коэффициенты динамики увеличиваются при совместном внесении указанных возмущений. Коэффициенты динамики для различных элементов конструкции моста оказались неравными. Коэффициент динамики элементов решетки фермы (т. е. стоек и раскосов) оказался больше, чем коэффициент динамики для элементов поясов (элементы верхнего и нижнего поясов) моста. Коэффициенты дииа-370
мики элементов моста, как правило, оказались меньше значений, определенных Американской инженерной железнодорожной ассоциацей: 44,4 % для стоек и продольных балок проезжей части и 25,6 % для всех остальных элементов. Тем не менее, как показали оба исследования [11] и [13], рекомендации Американской инженерной железнодорожной ассоциации по значению коэффициентов динамики являются вполне обоснованными и полностью отвечают поставленным перед конструкторами задачам.
Кроме этого, в работе [13] установлено также, что коэффициенты динамики значительно возрастают по мере того, как ухудшается качество пути на подъездах и съездах к мосту при переходе от шестого класса к седьмому.
Вообще коэффициенты динамики уменьшаются с введением демпфирования конструкции моста в систему «мост—подвижной состав». Было также замечено, что на коэффициент динамики влияют тип экипажа и связанные с экипажем параметры, такие, как расстояние между колесными парами, жесткость системы рессорного подвешивания, расположение центра тяжести тележки, и др. Было установлено, что вообще коэффициенты динамики возрастают с увеличением скорости поезда, однако возрастание коэффициентов динамики от малых к большим значениям не является равномерным. То же наблюдается и в экспериментальных исследованиях [15].
10.4.	РЕЗЮМЕ
В данной главе были составлены модели для экипажа и моста для изучения их взаимодействия.
При последующем изложении для изучения вертикальных и поперечных взаимодействуй между мостом и экипажем (или экипажами) применяется более детальная модель экипажа, в системе рессорного подвешивания которого учтены несколько нелинейных эффектов. Кратко изложены результаты двух параметрических исследований, проведенных применительно к конструкции однопутного стального моста длиной 53,34 м ферменного типа с открытой проезжей частью.
Список литературы
1.	Wills R. Appendix to the Report of the Commissioners Appointed to Inquire into the Application of Iron to Railway Structures. — HM Stationary Office, London, 1849.
2.	R о b i n s о n S. W. Vibration of bridges.— The American Society of Mechanical Engineers, Papers, 1887, v. 16, N. 351, pp. 67—94.
3.	T u r n e a u x F. E. et. al..Report of committee on impact. — Proceedings of the American railway engineering association, 1911. v. 12, N. 3, p. 13.
4.	TimoshenkoS. P. Vibration of bridges. — Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 1927—1928, v. 49—50, Part 2, N. 113, Paper RR-50-9, pp. 53—61.
371
5.	I n g 1 i s С. E. Mathematical Treatise on Vibration of Railway Bridges. — London, Cambridge University Press, 1932.
6.	H u n 1 e у J. B. Impact in steel railway bridges. — Proceedings of the American railway engineering association, 1936, v. 37, pp. 747—939.
7.	R u b 1 e E. J. Impact on railroad bridges. — Proceedings of the American Society of Civil Engineers, 1955, v. 81, N. 736, pp. 1—36.
8.	Weaver W., Jr. Computer Programs for Structural Analysis. —Van Nostrand, Princeton, New Jersy, 1967.
9.	Johnston B., Mount E. H. Analysis of building frames with semirigid connections. — Proceedings of the American Society of Civil Engineers, 1942, v. 68, N. 8, pp. 993—1019.
10.	LionbergerS. R., Weaver W., J r. Dynamic response of frames with non-rigid connections. — Proceedings of the American Society of Civil Engineers, Journal of Engineering Mechanics Division, 1969, v. 95, N.I, pp. 95—114.
11.	Wiriyachi A. Impact and Fatique in Open Deck Railway Bridge Impact. — Ph. D. dissertation. Illinois Institute of Technology, Chicago, 1980, December.
12.	D h a r C. L., A Method of Computing Railway Bridge Impact. — Ph.D. dissertation. Illinois Institute of Technology, Chicago, 1978, May.
13.	В h a t t i M. H. Vertical and Lateral Dynamic Response of Railway Bridges due to Nonlinear Vehicles and Track Irregularities. — Ph. D. dissertation, Illinois Institute of Technology, Chicago, 1982, December.
14.	P a z M. Structural Dynamics. — New York, Van Nostrand — Reinhold, 1980.
15.	Field Investigation of ’wo ' russ Spans on the Southern Pacific Company.— Research Report ER-52, Association of American Railroads, Chicago, 1968, May.
Глава
11
ОБОСНОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ЭКИПАЖЕЙ
11.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе обсуждаются задачи обоснования математических моделей, которые используются для изучения динамики железнодорожных экипажей и железнодорожных составов. В разделе 11.3 кратко рассматриваются вопросы обоснования модели в сопоставлении с данными о характеристиках, полученными при испытаниях. Проанализированы различные этапы процедуры обоснования применительно к Математическим моделям различного типа и вопросам динамических характеристик, связанных с данной процедурой. С помощью процедуры обоснования оцениваются результаты построения характерной модели во временной области, предназначенной для изучения динамики локомотива при движении на криволинейном участке пути.
11.2. НЕОБХОДИМОСТЬ ОБОСНОВАНИЯ МОДЕЛИ'
Обоснование модели является некоторым процессом, с помощью которого можно убедиться в том, что результаты, полученные с помощью модели, дают действительное представление о реальной системе. Нельзя дать абсолютно стандартные рекомендации по проведению обоснования, которые оказались бы применимыми ко всем моделям при всех обстоятельствах. Является ли данная конкретная модель обоснованной или нет, зависит от того, как и где эта модель должна использоваться. Обоснование модели — вопрос открытый. Например, модель можно считать обоснованной применительно к предварительному расчету, если с ее помощью обнаруживается верная тенденция; тем не менее для окончательного расчета модель может оказаться неподходящей. Подобно этому модель может быть обоснованной при одной системе условий движения, но не быть правомерной при другой системе условий.
Как правило, при обосновании модели делаются попытки скоррелировать результаты расчетов, проведенных с помощью модели, с результатами исытаний. Для практического использования модели требуется, чтобы результаты расчета с помощью модели были близки к результатам испытаний. Процесс обоснования модели сводится в основном к следующим этапам: 1) определение критериев обоснованности; 2) сопоставление результатов расчета с помощью модели и результатов ис-
1 См. работу [1].
373
пытаний; 3) корректировка модели. После завершения процесса обоснования необходимо подвести итоги полученных данных. Подведение итогов сводится в конце концов к утверждению о том, что конкретная модель является обоснованной или не является таковой применительно к: 1) данной задаче; 2) к экипажу (или экипажам) или к целому классу экипажей, находящихся в эксплуатации; 3) к виду рельефа и условиям эксплуатации. Всякого рода качественные и количественные суждения об обоснованности модели, которые не укладываются в рамки указанных трех положений, рассматриваются как непрактичные. Коль скоро модель обоснованна, ее можно использовать для расчета характеристик экипажа при условиях, соответствующих трем указанным положениям, вместо проведения натурных испытаний экипажа. При этом нельзя считать, что модель будет обоснованной и для любых других условий, не оговоренных этими положениями.
Составление программы исследований, проведение испытаний, установление минимального объема и состава необходимых данных, анализ полученных результатов, необходимых для обоснования модели,— все это процесс чрезвычайно кропотливый и трудоемкий, требующий значительных временных, физических и финансовых затрат. «Игра стоит свеч» только при условии, что обоснование модели может принести ощутимую пользу. Оценка обоснованности модели по критерию «стоимость — эффективность» зависит от выбора между усилиями, которые необходимо приложить для обоснования модели, и дополнительными испытаниями, которые пришлось бы провести в противном случае. Если модель предназначена лишь для весьма ограниченной серии условий и для малого числа временных интервалов, то, вероятно, быстрее и дешевле провести дополнительные испытания для получения конкретных данных, непосредственно относящихся к конкретным задачам. Однако, если предполагается многократное использование модели для разнообразных случаев, можно достигнуть значительного сокращения объема дополнительных испытаний, и в таком случае проведение обоснования модели было бы оправданным.
Вообще к наибольшей отдаче приводит обоснование наиболее употребительных моделей.
11.3.	СОПОСТАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССА ОБОСНОВАНИЯ МОДЕЛИ С ПРОВЕДЕНИЕМ
ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ
Затраты по обоснованию модели могут меняться в тех же пределах, что и затраты на проведение серий испытаний. Эти затраты зависят от характера модели, которую необходимо обосновать, от назначения ее, от типа железнодорожного экипажа или состава поезда, модели которых подлежат обоснованию, от условий движения и характера рельефа, которые необходимо учитывать, от возможности соответствующего аппаратурного обеспечения, а также от сложностей, связанных с проведе-374
нием нужных измерений. Вообще наиболее капиталоемкие элементы, связанные с проектом обоснования модели, обычно содержатся также и во всякой хорошо составленной программе эксплуатационных испытаний, направленной на оценку характеристик конкретного экипажа при данных скоростях, безотносительно к соображениям по практическому использованию полученных в результате испытаний данных применительно к другим экипажам или иным эксплуатационным условиям. Эксплуатационные испытания нередко проводятся в волевом порядке при весьма скромном планировании. Хотя такой подход и приводит к желаемым результатам, когда испытания нацелены на получение ответов на очень конкретные вопросы в узком масштабе, но не подходит для проведения обоснования модели. Например, планирование испытаний для обоснования модели может потребовать на 50 % больше усилий, чем планирование только самих эксплуатационных испытаний. Нужно гарантировать, чтобы были полностью рассмотрены все режимы эксплуатации и их сочетания, которые требуются для демонстрации эксплуатационных характеристик экипажа. Обоснование модели нередко требует проведения тщательных измерений геометрии пути, которые не нужны при проведении эксплуатационных испытаний. Требования по аппаратурному обеспечению для проведения обоснования модели намного выше, чем это имеет место при проведении испытаний другого рода. Для того чтобы обосновать большинство моделей, обычно подлежит регистрации более широкий диапазон характеристик, чем тот, что соостав-лял первоначальный замысел испытаний. Это требует дополнительной измерительной и обрабатывающей аппаратуры и дополнительных информационных каналов.
Обоснование модели требует также более тщательного анализа данных, чем это необходимо при эксплуатационных испытаниях. Наиболее важное соображение при анализе данных, полученных при обосновании модели, заключается в установлении корректной корреляции между геометрическими параметрами железнодорожного пути и результатами измерений динамических характеристик железнодорожного экипажа. Участок пути, на котором должны проводиться испытания, необходимо оснащать сигнальными устройствами, которые могут обнаруживаться с помощью автоматических следящих устройств; нх можно устанавливать как на борту испытательных экипажей, так и на самом пути.
Для накопления информации, поступающей с автоматических следящих устройств, необходимо иметь в бортовой измерительно-регистриру-ющей системе один дополнительный информационный канал.
11.4.	ТИПЫ МОДЕЛЕЙ
Модели железнодорожных экипажей столь многочисленны и разнообразны, что их трудно обобщить с целью проведения обоснования.
Сложность и уровень дискретизации меняются в широких пределах от модели к модели в зависимости от назначения и требований, предъ
375
являемых к модели. Тем не менее в силу общности динамических процессов, описываемых с помощью моделей, и аналитических методов, которые применяются при решении соответствующих задач, модели железнодорожных экипажей можно отнести к тому или иному классу сточки зрения методики решения соответствующих динамических задач, определив внутри этого класса место данной модели с точки зрения динамического процесса, описываемого с помощью модели. Модели могут меняться в широких пределах по уровню дискретизации и учету различных аспектов объекта: может меняться число степеней свободы, могут учитываться нелинейные эффекты и т. д.
Как указывалось в предшествующих главах, есть три типа аналитических методов, которые нашли применение при решении задач динамики железнодорожных экипажей с помощью моделей. В их число входят следующие методы.
Квазистатические методы нередко используются при расчете динамических характеристик экипажей в установившемся режиме движения с помощью стационарных моделей. Примером такой модели может быть стационарная модель грузового вагона при движении на криволинейном участке пути. Модели этого типа обосновываются проще всего, так как выходным параметром является одно число, которое можно сравнить с соответствующим числом, полученным при испытаниях.
Методы исследования в частотной области часто основаны на допущениях о линейном поведении модели, тем не менее их можно применить и к нелинейным системам с помощью методов квазилинеаризации. Для определения собственных частот, коэффициентов демпфирования и форм колебаний экипажа используются собственные значения и собственные векторы. Хотя применяется несколько эффективных аналитических методов расчета собственных значений и собственных векторов, их трудно сравнивать с экспериментальными методами, так как с помощью испытаний нельзя получить непосредственное подтверждение той или иной собственной частоты. Собственные значения и собственные векторы можно использовать для расчета критической скорости и демпфирования каждой формы колебаний для установления начала извилистого движения экипажа.
Критическую скорость можно сравнить со скоростью, начиная с которой будет проявляться виляние при испытаниях. При других исследованиях в частной области при вычислении спектра частот и форм колебаний экипажа применяются передаточные функции. Их часто используют в моделях, предназначенных для оценки плавности хода экипажа или реакции груза.
Методы исследования во временной области часто применяются как к линейным, так и к нелинейным динамическим системам. Для моделей во временной области строятся выборочные графики каждой из переменных реакций системы, а также для любого дополнительного переменного, которое может быть выбрано составителем модели. Обоснование этих моделей является наиболее затруднительным.
376
11.5.	ОБСУЖДЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ИЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭКИПАЖЕЙ
Характерными динамическими процессами, которые описываются с помощью динамических моделей железнодорожных экипажей, являются следующие: для отдельного экипажа — извилистое движение, вынужденные вертикальные колебания (галопирование и подпрыгивание), вынужденные поперечные колебания (виляние и боковая качка); с этими процессами связаны ряд таких вопросов, как поперечная устойчивость или извилистое движение, способность экипажа двигаться по криволинейному участку пути в стационарных условиях, а также динамическое поведение экипажа при движении на криволинейном участке; для множества экипажей — сжатие и растяжение в стационарных условиях, продольное взаимодействие элементов поезда и продольные удары.
Следует учитывать, что для каждого динамического процесса различные переменные становятся наиболее существенными показателями в зависимости от того, идет ли речь об эксплуатационных характеристиках экипажа или об обосновании модели.
Для проведения обоснования всякой конкретной модели необходимо выбрать переменное, предназначенное для подтверждения обоснованности модели. Этот выбор должен быть сделан на основе полного понимания как модели, так и действительного экипажа.
Само обоснование модели начинается с определения функционального ее назначения. Определение функционального назначения модели охватывает три аспекта. Первый аспект затрагивает рассмотрение общей роли моделирования в процессе разработки экипажа и оценки его характеристик. Сюда входят предварительная разработка вариантов конструкции, инженерная проработка окончательной конструкции, сравнение альтернативных конструкций, расчет эксплуатационных характеристик при самых общих условиях эксплуатации, планирование испытаний, оценка степени согласованности расчетов с эксплуатационными требованиями, определение пределов безопасной эксплуатации. Следует при этом учитывать, что различным функциональным назначениям моделей соответствуют различные требования по согласованности результатов расчетов с помощью модели с данными испытаний.
Второй аспект определения функционального назначения модели сводится к установлению допустимых границ пользования критерием обоснованности. Это установление состоит в определении уровня, на котором будут использоваться результаты, полученные на модели. Результаты можно использовать для установления тенденций динамических характеристик (качественная оценка), для ранжирования альтернативных проектных решений (относительная количественная оценка), а также для количественной оценки эксплуатационных характеристик (абсолютная количественная оценка).
В первых двух случаях от модели требуется лишь установление действительных тенденций эксплуатационных характеристик, в то время
377
как в третьем случае с помощью модели должны корректно рассчитываться характеристики в абсолютном выражении, что сделать гораздо труднее.
Третий аспект определения функционального назначения модели сводится к описанию условий, при которых модель может быть использована. В эти условия входят диапазон скоростей, неровности пути или другие входные параметры (т. е. данные о геометрии пути, кривизне, шероховатости поверхностей, коэффициентах крипа и т.д.), характеристики экипажа, такие, как тип экипажа (локомотив, грузовой вагон и т. д.), а также значения ряда параметров (массы, жесткости, размеры и т. д.).
11.6.	КРИТЕРИИ ОБОСНОВАННОСТИ МОДЕЛИ
Критериями обоснованности модели являются однозначно сформулированные соображения, которые используются для того, чтобы решить вопрос: можно ли считать достаточно удовлетворительным соотношение между результатами, полученными с помощью модели, и результатами испытаний для обоснованности данной модели. Критерии обоснованности должны быть установлены до развертывания работы по обоснованию.
Выбранные критерии должны быть основаны на функциональном назначении модели и полном понимании динамики экипажа, на котором предстоит провести испытания. Представление конкретных критериев обоснованности применительно ко всем моделям выходит за рамки данной книги. Тем не менее здесь представлены способы, которые следует применить при выборе критериев применительно к каждому обоснованию.
Выбор критериев обоснованности модели сводится к четырем элементам, которые должны выполняться в указанной последовательности. 1. Какие переменные динамической реакции должны сравниваться? 2. Какие измерения (или статистические данные) каждого переменного необходимо исследовать? 3. К какому уровню использования следует отнести каждое выбранное переменное с точки зрения допустимых границ пользования? 4. Какая математическая форма должна быть использована для комбинирования отдельных измерений?
Выбор переменных динамической реакции должен быть основан на функциональном назначении модели и структуре модели (этим аспектом определяются число степеней свободы и другие элементы, используемые при построении модели).
В качестве переменных динамической реакции должны выступать те переменные, которые являются важнейшими с точки зрения конечного применения модели (т. е. главные выходные данные). Кроме этого, в число выбираемых переменных динамической реакции следует включить также некоторые промежуточные выходные данные, по которым можно будет обнаружить недостатки модели. Главные выходные дан-378
ные обычно нетрудно указать. Более тонким делом является, однако, выбор промежуточных выходных данных для включения в число критериев обоснованности модели. Этот выбор зависит в большей мере от понимания как модели, так и физического поведения моделируемого и подлежащего испытанию экипажа.
Проводить выбор необходимо с учетом возможности проверки работоспособности внутренних ветвей модели с тем, чтобы гарантировать корректное моделирование важных форм динамической реакции экипажа, которые непосредственно не составляют выходные данные модели.
Если важные промежуточные выходные данные моделируются не очень аккуратно, тогда модели будет присущ структурный дефект, что, вероятно, может привести к ошибочным результатам расчета главных выходных данных при различных условиях. Следует заметить, что промежуточные выходные данные, важные с точки зрения обоснования одной модели, могут полностью отличаться от выходных данных, которые используются для обоснования другой модели.
В табл. 11.1 приведены примеры главных и промежуточных переменных, которые могут быть использованы в качестве критериев обоснованности моделей различных динамических процессов.
Таблица 11.1. Примеры переменных динамической реакции, взятых в качестве критериев обоснованности моделей
Динамический процесс	Главные переменные динамической реакции	Промежуточные переменные динамической реакции
Извилистое дви-	Угол поворота кузова при	Ускорения кузова, силы
жение	боковой качке; длительность подъема колеса над головкой рельса; прогиб элемента рессорного подвешивания, отношения L/v	взаимодействия колеса и рельса, нагрузка иа шкворневую балку и боковые опоры; собственные частоты, степень демпфирования
Вынужденные	Ускорения кузова’ при коле-	Прогибы элементов рес-
вертикальные ко-	баииях подпрыгивания и гало-	сорного подвешивания, ус-
лебаиия (подпры-	пирования, отношения L/v,	корения тележки, нагрузки
гивание и галопирование)	разгрузка колеса	иа шкворневую балку и боковые опоры, собственные частоты и степень демпфирования
Вынужденные	Перемещения колеса и рель-	Прогибы элементов рес-
поперечные коле-	са в области их контакта, си-	сорного подвешивания, ус-
бания (виляние и	лы взаимодействия колеса и	кореиия тележки, отиоше-
поперечные толч-	рельса, ускорения кузова при	ния L/v, собственные часто-
ки)	колебаниях виляния и бокового отиоса	ты, степень демпфирования
Извилистое дви-	Критическая скорость и кри-	Силы, возникающие в об-
жеиие (поперечная	тические частоты, перемещение	ласти контакта колеса и
устойчивость)	тележки при колебаниях бокового относа и виляния; степени демпфирования различных форм	рельса и соответствующие углы контакта; ускорения кузова; прогибы элементов рессорного подвешивания
379
Окончание табл. 11.1
Динамический процесс	Главные переменные динамической реакции	Промежуточные переменные динамической реакции
Стационарное	Перемещение колеса и рель-	Угол поворота кузова
движение по крн-	са в области их контакта, а	при колебаниях боковой
волииейиому уча-	также соответствующие силы	качки, перемещения тележ-
стку пути	взаимодействия; угол набегания колеса на рельс, показатели износа, прогибы элементов рессорного подвешивания	ки
Стационарное	Перемещнеие колеса и рель-	Угол поворота кузова при
движение по кри-	са в области их: контакта, а	колебаниях боковой качки,
волииейиому уча-	также соответствующие силы	перемещения тележки
стку пути	взаимодействия; угол набегания колеса на рельс, показатели износа, прогибы элементов рессорного подвешивания	
Динамика экипа-	Ускорение кузова, перемеще-	Прогибы элементов рес-
жа при движении	ния тележки при колебаниях	сорного подвешивания, угол
на криволинейном	бокового относа и вилянии,	набегания колеса иа рельс
участке пути	силы взаимодействия колеса и рельса, отношения L/v, интервалы времени	
Сжатие и растя-	Поперечные силы в ударно-	Деформация	упруго-
жение в стацио-	тяговых приборах, углы сце-	фрикционных приборов
нариом состоянии	пок, отношения L/v	
Продольная ди-	Силы сжатия и растяжения,	Ускорения кузова, углы
намика поезда	отношения L/v, длительность переходных режимов при сжатии и растяжении	сцепки
Продольный	Силы сжатия и растяжения,	Ускорения кузова, проги-
удар	деформации в упруго-фрикци-	бы элементов рессорного
	онных приборах	подвешивания
Переменные динамической реакции железнодорожного экипажа можно характеризовать различными способами, которые соответствуют различным статистическим показателям. Выбор этих статистических характеристик применительно к установлению критерия обоснованности по каждому переменному оказывает существенное влияние на значимость обоснования.
Выбранные статистические характеристики должны быть увязаны с аналитическими методами, которые были использованы при построении модели, подлежащей обоснованию. Примеры статистических характеристик, которые могут быть использованы для моделей во временной н частотной областях, приведены в табл. 11.2.
После того как выбраны переменные динамической реакции и их статистические характеристики, необходимо решить вопрос о том, насколько тесно результаты испытания и результаты расчета на модели должны согласовываться друг с другом, чтобы считать модель обосно-380
Таблица 11.2. Примеры статистических характеристик, используемых для моделей во временной и частотной областях
Аналитический метод, использованный при построении модели		Статистическая илн динамическая характеристики	Формула
Квазистатиче-ская модель (матричные методы) Временная область		Стационарная величина Среднеарфиметическое значение	Н 1 II h
		Дисперсия	Ox —	(0— x]2 i—1
		Коэффициент вариации Пиковая амплитуда Превышения Ошибка приближения	e =ox!x Apeak i-95. L Ti0 и T. Д. x‘
Частотная ласть	об-	Автокорреляция Взаимная корреляция Сдвиг во времени между случайными событиями Систематическая ошибка смещения Интуитивная оценка динамической реакции Плотность мощности спектра Плотность взаимного спектра Функция когерентно-	^xx (t-) Rxy (T) tpeak— tpeak в — xsteady state ^steady state Сравнения «на глаз» и приближения $хх (f) $ху (f) 2	1 Sxy (f) I*
		сти Частотная	функция	Sxx(f)Sy(f) U	Sxy (f)
		динамической реакции Собственная частота i-й формы колебаний Степень демпфирования i-й формы колебаний	- s..(n <0; Zi
381
Окончание табл. 11.2
Аналитический метод, использованный прн построении модели	Статистическая или динамическая характеристики	Формула
	Фазовая связь i-й и /-й форм колебаний Отношение амплитуд i-й формы и j-й формы колебаний Среднее значение Средиеквадратическое значение Корень квадратный из средиеквадратического значения Дисперсия Среднеквадратическое значение, взвешенное по частоте	<Pij 4;Mj х Sxx (0) + °° = f Sxx(f)dt — оо 4>х 2	.2	Та Ох = фх Л Г+оо	11/2 J Sxx (f) w (О df L — оо
ванной. Удовлетворить слишком жестким требованиям к близости результатов расчета с помощью модели и результатов испытаний практически было бы затруднительным делом. С другой стороны, требования к близости указанных результатов должны быть достаточно высокими для твердой гарантии того, что модель будет отвечать желаемому функциональному назначению.
При определении требований к близости сравниваемых результатов с использованием статистических характеристик можно пользоваться либо дискретными статистическими характеристиками (среднее, среднеквадратическое, максимальное значения), либо множественными статистическими характеристиками (спектральная плотность, корреляция, частотная функция динамической реакции). В первом случае процесс обоснования является достаточно простым. Во втором случае процесс обоснования может значительно усложниться, причем нередко требования к близости результатов расчетов с помощью модели и результатов испытаний для переменных динамической реакции различного типа различны. Например, требования к близости данных о собственных частотах модели и испытаний должны быть вообще жестче, чем требования к близости результатов расчета степени демпфирования с помощью модели и результатов испытаний.
При определении требований по близости сравниваемых результатов с использованием множественных статистических характеристик необ-382
ходимо принять меры для сохранения статистической пригодности модели. Сравнение статистических характеристик измеренных и расчетных значений может проводиться с использованием одной или нескольких следующих статистических характеристик: разность максимальных амплитуд; ошибка приближения; разность фаз, сдиг по времени, разность частот; взвешенные значения результатов предшествующих сравнений.
Последний аспект определения критериев обоснованности состоит в выборе математической формы, в которой он будет использоваться. Этот аспект связан с процедурой сочетания всех отдельных оценок пригодности модели с целью выработки окончательного вывода о том, является ли модель обоснованной.
Каждая из различных математических форм основывается на различных допущениях относительно важности отдельных оценок пригодности модели. Ниже приведен перечень некоторых математических форм применительно к обоснованию модели; порог взвешенных сумм; порог взвешенных превышений; порог взвешенного произведения абсолютных значений ошибок и, наконец, отсутствие превышений требований по близости расчетных результатов и результатов испытаний.
11.7.	ОБОСНОВАНИЕ МОДЕЛИ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ 1
В данном разделе обсуждается пример проведения обоснования применительно к обоснованию динамической модели шестиосного локомотива при движении на криволинейном участке. Используются некоторые из положений, обсуждавшихся в предшествующих разделах и касающихся обоснования моделей вс временной области. Данные испытаний для проведения обоснования с целью сравнения их с результатами расчетов на модели были получены при испытаниях, проведенных по программе «Испытания пути, имеющего неровности», которая была осуществлена испытательным транспортным центром в Пуэбло, шт. Колорадо, в 1978 г. При обосновании модели были использованы графики во временной области и результаты испытаний, а также ряд статистических характеристик, таких, как пиковые значения, параметр разгрузки колеса, уровень нагрузок, ниже которого нагрузки на колесо встречаются лишь в 5 % от времени эксплуатации, поперечные нагрузки на колесо LTi0 (поперечные нагрузки, длительности действия которых превосходят 40 мс), а также поперечные ускорения на кузов локомотива LTw (ускорения, длительности действия которых превосходят 20 мс).
Модель обладала 29 степенями свободы; они выбраны таким образом, чтобы были учтены все формы колебаний, которые испытывают твердые тела, составляющие систему локомотива. Была разработана нелинейная модель, так как система рессорного подвешивания локомотива
1 См. работу [3].
383
содержала нелинейные элементы, а кроме того, имели место и другие нелинейные эффекты, которые обнаруживались в работе системы рессорного подвешивания; эти эффекты были обусловлены геометрией области контакта колеса и рельса, насыщением силами крипа, взаимодействием гребня колеса с головкой рельса, а также механичаскими стопорами элементов рессорного подвешивания. Модель состояла из следующих частей: кузов локомотива, две шкворневые балки, две тележки, шесть колесных пар и связанная с этими частями система элементов рессорного подвешивания. У кузова локомотива и у каждой тележки был» пять степеней свободы, обеспечивавших колебания бокового относа, подпрыгивания, виляния, боковой качки и галопирования. Принималось, что шкворневая балка следует движениям кузова, за исключением виляния. Каждая колесная пара обладала двумя степенями свободы, которые обеспечивали колебания бокового относа и виляния. Колебания подпрыгивания и боковой качки каждой колесной пары, обусловленные движением колес по рельсовому пути, рассчитывались с учетом геометрических связей, наложенных иа систему «колесо—рельс», включая эффекты, вызванные различными неровностями пути.
При разработке модели были сделаны следующие допущения: !) экипаж движется по рельсовому пути с постоянной поступательной скоростью; 2) все элементы модели — твердые тела, жесткости этих элементов учитываются величинами жесткости элементов рессорного подвешивания; 3) колеса находятся в постоянном контакте с рельсами, т. е. отсутствует подъем колеса.
Испытания по обоснованию были проведены на криволинейном участке с центральным углом 1,5° (при радиусе кривизы 1164 м) и возвышении наружного рельса 76,2 мм. Криволинейный участок состоял из пяти секций, но испытания по обоснованию модели проводились только на четырех секциях из пяти.
Секции криволинейного участка пути, на которых проводились испытания, были сконструированы таким образом, чтобы путь содержал неровности конкретных типов.
Первая секция содержала кусочно-линейные возмущения поперечного профиля с амплитудой 13 мм.
Вторая секция состояла из кусочно-линейных нарушений рихтовки пути с амплитудой 38 мм. В третью секцию были введены возмущения, представляющие нарушение рихтовки при амплитуде 25 мм, но при форме кривой, аппроксимирующей неправильность в виде спрямленной синусоидальной волны. Возмущения на четвертой секции состояли из комбинации возмущений первой и второй секций пути. Все четыре испытательные секции были отделены друг от друга свободными от возмущения участками, длина каждого такого участка была равна 11 длинам рельса. Длина волны возмущения геометрии пути испытательных секций составляла 24 м, за исключением третьей секции, длина волны возмущений на которой составляла 12 м.
Первая, вторая и четвертая секции были выбраны для сравнения графиков зависимости вертикальной и поперечных нагрузок от времени 384
Рис. 11.1. Графики результатов испытаний и результатов расчетов, полученных с помощью модели вертикальной нагрузки иа четвертую ось колесной пары над приподнятым рельсом второй секции при скорости 105 км/ч (а); то же на шестую ось колесной пары над приподнятым рельсом четвертой секции при скорости 69 км/ч (б). Результаты испытаний (верхние графики) приподняты на 4,1 кН
при двух выбранных скоростях. Графики этих нагрузок строились для четвертой, пятой и шестой колесных пар задней тележки (оснащенной регистрирующей и измерительной аппаратурой) при скоростях 69 и 105 км/ч, которые на 16 и 19 км/ч выше скорости в режиме установившегося движения соответственно.
Судя по результатам расчета иа модели вертикальных нагрузок, они, как правило, носят колебательный характер, причем эти данные ниже результатов, полученных при испытаниях на первой секции железнодорожного пути. С точки зрения амплитуд и формы волны изменения вертикальных нагрузок на второй секции была обнаружена большая корреляция. При скорости 105 км/ч результаты расчета, полученные с помощью модели, содержат больше шума и большие нарушения формы волны, чем при скорости 69 км/ч. Для четвертой секции была установлена удовлетворительная корреляция между результатами, полученными на модели, и результатами испытаний для всех трех колесных пар. Некоторые характерные результаты по нагрузкам показаны на рис. 11.1. На этих графиках обозначение «левый» на оси у соответствует приподнятому (наружному) рельсу.
Сравнение графиков поперечных нагрузок на три оси колесных пар показывает, что над приподнятым рельсом расчетные данные модели весьма удовлетворительны при обеих скоростях. Иначе обстоит дело с графиками поперечных нагрузок на оси колесных пар над внутренним рельсом, которые обусловлены главным образом силами трения. В данном случае корреляция расчетных результатов и результатов испытаний не является удовлетворительной. Для первой, второй и четвертой секций при обеих скоростях была установлена удовлетворительная корреляция с точки зрения формы волны, но у результатов расчета, 385
Расстояние Вдоль пути , м	Расстояние Вдоль пути , ri
Рис. 11.2. Графики результатов испытаний и результатов расчетов, полученных с помощью модели поперечной нагрузки на четвертую ось колесной пары над приподнятым рельсом второй секции при скорости 60 км/ч (а); то же на шестую ось колесной пары над приподнятым рельсом четвертой секции при скорости 105 км/ч (б). Результаты испытаний (верхние графики) приподняты иа 4,1 кН
полученных с помощью модели, пиковые значения нагрузок меньше, чем у результатов испытаний. Характерные графики поперечных нагрузок даны на рис. 11.2.
При проведении качественных исследований были использованы четыре статистические характеристики: пиковое значение, параметр разгрузки колеса Les, параметр поперечной нагрузки LTM, а также па-
Рис. 11.3. Графики зависимости вертикальных нагрузок иа ось шестой колесной пары над приподнятым рельсом в четвертой секции от скорости для результатов, полученных в испытаниях, и результатов, полученных с помощью модели (верхняя кривая построена для максимальных значений [X — модель; ф— испытания], нижняя кривая построена для параметра LT& ]□ — модель, * — испытания]) (а); график зависимости параметра поперечного ускорения от скорости на заднем конце кузова локомотива иа четвертой секции испытательного участка пути (кривая построена для параметра LTW: □ — модель, # — испытания) (б) 386
Были построены графики зависимости этих характеристик от скорости как для полученных при расчете с помощью модели, так и для результатов испытаний для всех четырех секций, на которых были проведены испытания.
При этом для параметра разгрузки колеса наблюдалась удовлетворительная корреляция между расчетными результатами, полученными с помощью модели, и результатами испытаний. Для параметра поперечных нагрузок LTW, однако, результаты, полученные с помощью модели, были меньше, чем результаты испытаний, особенно при малых скоростях.
При больших скоростях пиковые поперечные нагрузки оказались близки к результатам испытаний; однако следует учесть, что значения LTi0 были меньше, чем при результатах испытаний вследствие наличия острых пиков на графиках.
Было установлено, что значения LT20 для поперечных ускорений кузова локомотива как на переднем, так и на заднем конце, вычисленные с помощью модели и полученные на основе обработки результатов испытаний, хорошо согласуются.
Некоторые характерные графики вертикальных нагрузок и поперечных ускорений кузова показаны на рис. 11.3.
Исходя из сравнения результатов расчета, полученных с помощью модели, и результатов, полученных при испытании, можно сделать следующие выводы относительно обоснования данной модели:
1)	в большинстве случаев расчетные результаты и результаты испытаний согласуются весьма удовлетворительно;
2)	модель проявляет чувствительность к тем же параметрам, что сказываются на динамической реакции локомотива;
3)	модель может быть эффективно использована в качестве расчетного инструмента при проектировании системы рессорного подвешивания локомотива.
Некоторые результаты обоснованы, и квазистатические модели и модели в частной области приведены в главах 7, 8 и 9.
11.8. РЕЗЮМЕ
В этой главе рассмотрены этапы, необходимые при проведении обоснования математической модели. Были предложены несколько соответствующих переменных динамической реакции и статистических характеристик, применимых к квазистатическим моделям, моделям в частотной и временной областях.
В итоге обсуждены результаты обоснования для динамической модели шестиосного локомотива при движении на криволинейном участке железнодорожного пути.
Была получена оценка динамических характеристик модели с помощью процедуры обоснования.
387
Список литературы
1.	Shal doverS. Е., Н u 1 1 R. L. Rail Vehicle Dynamics Model Validation. — Report FRA/ORD-81/52, Systems Control Technology. Palo Alto, California, РВ82-116922, 1981, August.
2.	SinghS. P., Garg V. K. Nonlinear dynamic curving model of a six-axle locomotive. — Proceedings of the 8th IAVSD Symposium on the Dynamics of Vehicles on Roads and Tracks, M.I.T., Cambridge, Massachusetts, 1983, August 15—19.
Список дополнительной литературы
Bendat S., Piersol G. Random Data: Analysis and Measurement Procedures. — New York, Wiley (Interscience), 1971.
G a г g V. K. Computer models for railway vehicle operation. — Rail International, 1978. V. 9, N 6, pp. 381—396.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие титульного редактора................................... 5
Список литературы отечественных	авторов........... 7
Вступительное слово................................................ 8
Предисловие авторов.................................................10
Глава 1. Исследование динамических характеристик систем .... 12
1.1.	Введение...........................................12
1.2.	Связи, обобщенные	координаты и степени свободы ... 12
1.3.	Линейные динамические системы......................14
1.4.	Классификация колебаний............................14
1.5.	Линейная система с одной степенью свободы......... 15
1.6.	Линейная система с многими степенями свободы .... 22
1.7.	Случайные колебания................................28
1.8.	Резюме.............................................40
Список литературы.......................................40
Список дополнительной литературы ...................... 40
Глава 2. Определение характеристик динамических систем с помощью методов численного интегрирования ................................ 41
2.1.	Введение...........................................41
2.2.	Явные схемы........................................42
2.3.	Неявные схемы......................................45
2.4.	Характерные	примеры................................50
2.5.	Резюме.............................................60
Список литературы.......................................61
Глава 3. Критерии устойчивости, плавности, комфортабельности движения экипажей и геометрия железнодорожного пути ... 62
3.1.	Введение..........................................62
3.2.	Типы математических моделей........................62
3.3.	Методы решения....................................64
3.4.	Динамические модели................................66
3.5.	Динамические качества	железнодорожных экипажей 68
3.6.	Критерии динамического	качества...........70
3.7.	Геометрия железнодорожного пути и Нормы безопасности движения Федерального	Управления железных дорог США 84
3.8.	Аналитическое представление геометрии железнодорожного пути ..............................................89
3.9.	Резюме.............................................104
Список литературы.......................................104
Список дополнительной	литературы........................106
389
Г л а в a 4. Теории взаимодействия колеса и рельса при качении...107
4.1.	Введение..............................................107
4.2.	Крип..................................................107
4.3.	Силы крипа............................................109
4.4.	Задача взаимодействия колеса и рельса при качении . 111
4.5.	Классификация теорий взаимодействия колеса и рельса при качении.........................................114
4.6.	Теории взаимодействия колеса и рельса при качении 115
4.7.	Резюме.........................................133
Список литературы...................................135
Глава 5. Моделирование составных частей	железнодорожного	экипажа	137
5.1.	Введение.......................................137
5.2.	Конструкции вагонных тележек и систем рессорного подвешивания кузова....................................137
5.3.	Характеристики системы рессорного	подвешивания	.	.	143
5.4.	Уравнения колебаний колесной пары при движении иа прямолинейном участке пути..........................146
5.5.	Уравнения колебаний при движении колесной пары иа криволинейном участке применительно к кривой произвольно меняющегося	радиуса...............................161
5.6.	Модели вагонной	тележки..............................167
5.7.	Резюме................................................177
Список литературы..........................................177
Глава 6. Вынужденные колебания железнодорожных экипажей при движении на прямолинейном участке	пути...................179
6.1.	Введение..............................................179
6.2.	Модель колебаний подпрыгивания и боковой качки грузового вагона..............................................180
6.3.	Модель вынужденных колебаний шестиосного локомотива ......................................................191
6.4.	Модель вынужденных поперечных колебаний пассажирского вагона...............................................211
6.5.	Резюме................................................226
Список литературы..........................................226
Список дополнительной литературы ......................... 227
Глава 7. Поперечная устойчивость железнодорожных экипажей при движении на прямолинейном участке пути...........................228
7.1.	Введение.........................................228
7.2.	Понятие о поперечной устойчивости железиодорожиого экипажа...............................................228
7.3.	Модель поперечной устойчивости грузового вагона	.	.	.	229
7.4.	Модель поперечной устойчивости локомотива........240
7.5.	Модель поперечной устойчивости пассажирского	вагона	255
7.6.	Резюме...........................................259
Список литературы.....................................260
Список дополнительной литературы......................261
Г-л а в а 8. Определение динамических характеристик железнодорожных экипажей при движении иа криволинейном участке пути . .	. 262
8.1.	Введение..............................................262
8.2.	Классификация моделей экипажей при движении на криволинейном участке пути................................263
8.3.	Элементы моделей экипажей при движении на криволинейном участке пути....................................263
390
8.4.	Модель грузового вагона при движении иа криволинейном участке пути ..................................... 265
8.5.	Модели системы «локомотив — пассажирский вагон» при движении на криволинейном	участке пути...............284
8.6.	Резюме............................................319
Список литературы...................................... . 320
Глава 9.	Динамика поезда.......................................321
9.1.	Введение..........................................321
9.2.	Определение основных терминов.....................321
9.3.	Основы продольной динамики поезда.................322
9.4.	Составные части поезда и их математические модели 324
9.5.	Модели динамики поезда............................330
9.6.	Практические приложения моделей динамики поезда . . 348
9.7.	Резюме............................................352
Список литературы......................................352
Глава 10: Взаимодействие железнодорожных экипажей с мостами . 353
10.1.	Введение.........................................353
10.2.	Взаимодействие экипажа с мостом ферменного типа . . . 353
10.3.	Динамическое воздействие иа мост, вызванное различными источниками....................................369
10.4.	Резюме...........................................371
Список литературы......................................371
Глава 11. Обоснование моделей системы железнодорожных экипажей 373
11.1.	Введение.........................................373
11.2.	Необходимость обоснования модели.................373
11.3.	Сопоставление процесса обоснования модели с проведением эксплуатационных испытаний......................374
11.4.	Типы моделей.....................................375
11.5	Обсуждение динамических процессов или динамических характеристик экипажей ...........................377
11.6.	Критерии обоснованности модели...................378
11.7	Обоснование модели во временной области...........383
11.8.	Резюме...........................................387
Список литературы . .	   388
Список дополнительной литературы ..................... 388
Производственное издание
Гарг В. К., Дуккипатн Р. В.
ДИНАМИКА ПОДВИЖНОГО СОСТАВА
Переплет художника Ю. А. Ноздрина Технический редактор Т. А. Захарова Корректор-вычитчик Е. А. Котляр
Корректор Н. Е. Рыдзинская
ИБ № 3714
Сдано в набор 26.02.88. Подписано в печать 08.12.88.
Формат 60Х88*/1б. Бум. офсетная № 1. Гарнитура литературная. Офсетная печать.
Усл. печ. л. 24,01. Усл. кр.-отт. 24,01. Уч.-изд. л. 26,68. Тираж 2300 экз. Заказ 1073 Цена 5 р. 80 к. Изд. № 2-4-1/1 № 4080
Ордена «Знак Почета» издательство «ТРАНСПОРТ», 103064, Москва. Басманный туп., 6а
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государствеииом комитете СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли.
129041, Москва, Б. Переяславская ул., 46