С.В. ВЕРШИНСКИЙ В. Н. ДАНИЛОВ В.Д. ХУСИДОВ
Динамика загона
Под редакцией заслуженного деятеля науки и техники РСФСР, д-ра техн, наук проф. С. В. Вершинского
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Утверждено
Главным управлением кадров и учебных заведений МПС в качестве учебника для студентов вузов по специальностям железнодорожного транспорта
Библиотека ТашИИТа
Москва “Транспорт" 1991
УДК 629.451.46.015
Вершинский С. В., Данилов В. Н., Хусидов В. Д. Динамика вагона: Учебник для вузов ж.-д. трансп. / Под. ред. С. 3. Вершинского.—3-е изд., перераб. и доп.—-М.: Транспорт, 1991^ — 360 с.
Изложены основы теоретических и экспериментальных методов исследования динамики вагона. Освещены вопросы безопасного и плавного движения вагона, определения динамических сил взаимодействия пути и ходовых частей, вагонов и локомотивов в поезде, а также установления критериев для отыскания оптимальных динамических и конструктивных параметров вагонов и пути для современных и перспективных условий эксплуатации.
По сравнению со 2-м изданием, вышедшим в 1978 г., 3-е издание дополнено разделом об уравнениях аналитической динамики и математических методах их исследования и др.
Предназначен для высших учебных заведений железнодорожного транспорта, а также может быть полезен научным и инженерно-техническим работникам, связанным с проектированием, расчетом, испытаниями и эксплуатацией железнодорожного подвижного состава.
Ил. 152, табл. 17, библиогр. 18 назв.
Книгу написали: Заслуженный деятель науки и техники РСФСР д-р техн, наук проф. С. В. Вершинский — от авторов, п. 3.4, главы 1, 5, 7, 9—12; д-р техн, наук проф. В. Н. Данилов—пп. 3.1—3.3, пп. 3,5, 3.6; главу 4; д-р техн, наук проф. В. Д. Хусидов — главы 2, 6, 8.
Рецензент д-р техн, наук проф. Ю. П. Вороненко Заведующий редакцией В. К. Тихонычева Редактор В. В. Глебова-Авилова
„ 3202030000-242
В 049(01)-91	67‘91
ISBN 5-277-00917-5
© Издательство «Транспорт», 1978
© С. В. Вершинский, В. Н. Данилов,
В. Д. Хусндов, 199!, с изменениями н дополнениями
ОТ АВТОРОВ
Железнодорожный транспорт, являясь основным видом транспортной системы СССР, имеет важнейшее значение для нашей страны. Для нормальной деятельности железнодорожного транспорта необходимо соответствующее развитие и взаимная слаженность всех его звеньев.
Современные виды тяги позволяют формировать тяжеловесные и 'длинносоставные поезда, развивать большие скорости движения и осуществлять безостановочные пробеги на большие расстояния. Это определяет высокие требования к обеспечению надежности конструкций вагонов и состоянию пути.
При движении вагон и его отдельные части подвергаются действию различных переменных во времени динамических сил (силы взаимодействия между вагонами и локомотивом; силы, обусловленные ускорениями при трогании с места, разгоне, торможении; силы взаимодействия с верхним строением пути и др.).
Специалисты, занимающиеся созданием новых и модернизацией существующих вагонов, пригодных для интенсивной эксплуатации на дорогах с высокой грузонапряженностью, должны обладать глубокими знаниями динамики вагона и взаимодействия его с путем.
Подготовке таких специалистов и служит дисциплина «Динамика вагона», в которой излагаются основы теоретических и экспериментальных методов определения условий безопасного и плавного движения вагона по железнодорожным путям, величин динамических сил взаимодействия, необходимых для расчета вагонов и элементов пути на прочность, устойчивость и надежность, установления критериев оценки динамических качеств вагонов.
Учение о динамике вагона создано на основе обобщения теоретических и экспериментальных исследований отечественных ученых и научно-исследовательских учреждений железнодорожного транспорта Советского Союза, а также ряда работ, опубликованных в иностранной литературе.
Еще в конце прошлого и начале настоящего столетия известными русскими специалистами Н.П. Петровым, К. Ю. Цеглинским, А.А. Хо-лодецким, А. М. Годыцким-Цвирко, А.Н. Крыловым, С.П. Тимошенко, выдающимся русским ученым Н.Е. Жуковским решен ряд фундаментальных задач транспортной механики. Развитию исследований динамики вагона посвятили свои труды акад. АН УССР В. А. Лазарян, профессора А. А. Попов, М. В. Винокуров, М. А. Короткевич, И. А. Ко
3
валев, Л. Н. Никольский, М. Ф. Вериго, И. И. Челноков, В. Н. Коту-ранов, Л. О. Грачева, А. А. Львов, Е. П. Блохин, Л. А. Манашкин, В. Д. Данович, В. Ф. Ушкалов, Б. Г. Кеглин, М. М. Соколов, М. Л. Коротенко, авторы настоящего учебника и многие другие ученые. Большой вклад в теорию и опытные исследования внесли научные коллективы ВНИИЖТа, ВНИИ вагоностроения, МИИТа, ДИИТа, ЛИИЖТа, исследовательских лабораторий вагоностроительных заводов. В указанных исследованиях широко применяются ЭВМ, новое лабораторное оборудование и испытательская аппаратура, позволяющие углубить познания о сложных динамических процессах, протекающих в вагоне и поезде при движении.
Вагоны совместно с железнодорожным путем образуют сложные динамические системы с большим числом степеней свободы. Для расчета колебаний таких систем составляются дифференциальные уравнения, являющиеся следствием общих вариационных принципов аналитической механики. Изложение теоретических вопросов в настоящем учебнике ориентировано на знание высшей математики (в особенности теории линейных дифференциальных уравнений), теоретической и прикладной механики, сопромата и других дисциплин в пределах обязательной части учебных программ вузов. Предполагается также, что читатель достаточно знаком с конструкцией, теорией и расчетами вагонов в пределах дисциплины «Вагоны», а также в некоторой степени с «Нормами» для расчета и проектирования вагонов, являющимися руководящим документом.
В отличие от предыдущего в настоящем издании более подробно даны уравнения аналитической механики и математические методы их исследования, методы анализа устойчивости вагонов, основанные на технической теории, вариационных принципах и методах А. М. Ляпунова, методы расчета упругих вибраций конструкции вагонов, ориентированные на использование ЭВ Ч.
Как и в предыдущих изданиях, в учебнике приведен список литературы, который адресует учащегося к источникам, где более полно изложены рассматриваемые вопросы. Указаны также учебные пособия и другая литература, содержащие примеры расчетов, справочные данные.
Глава 1
ВАГОН И ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫЙ ПУТЬ КАК ЕДИНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
1.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ	~
Динамика вагона — это физический процесс возникновения сил, моментов (упругих, трения и инерционных), перемещений составных элементов вагона вследствие взаимодействия его ходовых частей и рельсового пути, а также локомотивов и вагонов в движущемся поезде. Раздел науки, занимающийся изучением этих процессов в вагоне, также носит название «динамика вагона».
Безопасность следования поездов, бесперебойность и рентабельность работы железнодорожного транспорта существенно зависят от конструкции подвижного состава и состояния пути.
Железнодорожный путь и подвижной состав представляют единую механическую систему, в которой они взаимодействуют, находясь в зависимости друг от друга. Назначение пути и ходовых частей— направлять движение подвижного состава, обеспечивать для него непрерывную устойчивую опору с минимальным сопротивлением движению.
В реальных условиях рельсы и колеса имеют неровности на поверхностях катания, а также некоторые другие технические особенности (кривизна пути, конусность поверхностей катания колес и др.), в результате чего в элементах подвижного состава и пути возникают различные колебания, а между ними — динамические силы взаимодействия. Энергия локомотива затрачивается не только на поступательное полезное перемещение вагонов, но и на преодоление сил трения, возбуждение колебаний, вызывающих процесс износа и разрушения вагонов и пути. Снижение сил динамического взаимодействия может быть достигнуто совершенствованием ходовых частей и пути, а также улучшением технического содержания их в эксплуатации.
Основная задача исследования динамических процессов в системе «вагон — путь» заключается в том, чтобы определить оптимальные значения параметров этой системы (габаритные размеры, масса, жесткость и т. п.), при которых снижаются колебания и динамические силы, отрицательно влияющие на конструкции подвижного состава и пути.
Этому должны предшествовать решения задач по исследованию колебательных процессов вагона и его отдельных частей, установление критериев для оценки плавности его хода, устойчивости против схода с рельсов, опрокидывания и выжимания из состава поезда, анализ способов подавления извилистого движения вагонов, и вибраций их элементов, возникающих вследствие взаимодействия ходовых частей ва-
5
гона и пути, а также вагонов между собой и с локомотивами в составе поезда.
Совокупность методов решения перечисленных задач и представляет собой содержание науки «динамика вагона» на современном этапе ее развития
1.2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАГОНА
/
С точки зрения механики вагон представляет собой систему из физических тел и связей между ними. Части вагона, отделенные от ходовых частей рессорами (кузов, рамы тележек с буксовым подвешиванием, надрессорные балки), называют обрессоренными (или подрессоренными), а находящиеся ниже рессор (колесные пары, буксы и др.) — необрессоренными (или неподрессоренными).
Неподрессоренные части вагона упругие, но ввиду их относительно большой жесткости в расчетах они часто считаются абсолютно твердыми.
Свободное твердое тело в пространстве, на которое не наложены связи, имеет шесть степеней свободы. Поэтому наряду с поступательным движением вагона вдоль пути нужно рассматривать перемещение его кузова и тележек вследствие колебаний. Система осей координат, которая обычно принимается при изучении динамики вагона и используется при составлении уравнений движения; во всех главах книги, показана на рис.Л.1. >
Здесь обозначено:
±х — подергивание; 1 поступательное (линейное)
±у—боковой относ; I перемещение вдоль осей
±z — подпрыгивание; J Ох, Оу, Oz;
±6 — боковая (поперечная) качка;	| вращательные
±<р — галопирование (продольная) качка; } (угловые) пере-±1)? — виляние;	J мещения отно-
сительно осей Ох, Оу, Oz. Индексы у координат означают, какой части системы они принадлежат: кузову, тележке, той или иной колесной паре;
2с, 26 — соответственно жесткость и коэффициент вязкого сопротивления двух рессорных комплектов тележки;
ni—— неровности рельсов соответственно для каждой колесной пары;
I —база соответственно вагона и тележки;
х/т	)
26 — поперечная база, или расстояние между осями рессорных комплектов вагона.
Груз в вагоне может быть монолитным (твердым), перемещения ко-торого за счет его собственных деформаций малы по сравнению с перемещением вследствие деформаций рессор, или упругим (сыпучим, или жидким). Твердые тела характеризуются массой, координатами центра инерции или центра тяжести (для монолитных тел эти понятия совпа-’дают), осевыми и центробежными моментами инерции.
6
Осевые и центробежные моменты инерции сложного тела, например кузова вагона, относительно принятой системы координат с началом О в центре тяжести и осями Ох, Оу, Oz определяются по формулам:
Jx = 2 I f (£/2+z2) dm+mj (у* + z§) ];
/=1 V-
п
Jxy = У ( f xy dm-}- mjXoyo),
7 = 1 Ъ	)
где tnj, Vj — соответственно масса и объем /-и части рассчитываемого тела; Xq, Уо, z0 — координаты центров тяжести составной массы mf,
п — число жестко связанных между собой составных частей в системе.
Формулы моментов инерции относительно остальных осей получаются круговой перестановкой букв х, у, г, а также х0, у0, z0. Если кузов получает значительные перемещения вследствие упругости, а груз подвижный или упругий, изучение динамики вагона осложняется. В одних случаях в целях упрощения вводят коэффициент уменьшения инертной массы, участвующей в движении, в других рассматривают дополнительные виды движения — колебания кузова и груза, колебания жидкого груза.
Конструктивные связи между отдельными частями вагона направляют их движение, ограничивают или исключают вообще их относительную подвижность. Жесткие связи подразделяют на геометрические
7
Рис. 1.2. Силсвые характеристики упругих связей:
/— линейных; 2 — кусочно-линейных; 3 — нелинейных «жестких»; 4—нелинейных «мягких»; Per — статическая нагрузка; 5—перемещение связи за счет деформации; f — прогиб под действием статической нагрузки (полный и статический)
(конечные) и кинематические (дифференциальные). Первые из них накладывают условия на координаты точек тела и в свою очередь делятся на стационарные (склерономные), не зависящие от времени, и нестационарные (реономные), зависящие от времени; вторые накладывают условия на скорости точек тела и делятся на интегрируемые (голо-номные) и неинтегрируемые (неголономные). Возможность интегрирования позволяет представить кинематическую связь как геометрическую.
Число степеней свободы всей системы равно сумме степеней свободы отдельных составных частей за вычетом числа наложенных жестких связей.
Упругие, упруго-вязкие, упруго-фрикционные и подобные им связи, передавая силовые воздействия между отдельными массами, стесняют их относительные перемещения, не изменяя общего числа степеней свободы. В вагонах такими связями являются рессоры, амортизаторы, виброизолирующие прокладки и т. д.
По форме силовой характеристики «сила—перемещение» упругие связи бывают: линейные (рис. 1.2, а), кусочно-линейные с уменьшающейся и возрастающей жесткостью и нелинейные (рис. 1.2, б), «жесткие» и «мягкие». Жесткость упругой связи может быть выражена первой производной 1 от воспринимаемой рессорной силы Р по перемещению £:
При линейной характеристике она постоянна, при «жесткой» — возрастающая, а при «мягкой» — убывающая.
1 Здесь и ниже производная по пути (перемещению) обозначается штрихом
’dy	(ty	
— — у I, а производная по времени —точкой — = у /	\at
8
Жесткость с связи, составленной из двух или более последовательно соединенных элементов, имеющих линейные характеристики жесткости б\, с2 (или clt с2 и с3) и статический прогиб ее /ст от действия силы Рст, вычисляется по формулам
С] 6?2	С 1 с2 С3	Р	РСТ
с—---------или с—------'--------; fcr=-------•
С[Ч-С2	ct с2 сз4“сз С1	с
Статический прогиб связи,имеющей нелинейную характеристику, выражается величиной подкасательной этой характеристики в точке, где Р = Рст,
Р________Р СТ____
ст“ / 1Р
\ d £ /Р~ f*CT
Часто в вагонах применяют рессоры с сухим трением. Это системы, в которых упругость обеспечивается винтовыми пружинами и упругой составляющей деформации листовых рессор, а неупругое сопротивление создается за счет трения в специальной клиновой системе или листовых рессорах. Силовая характеристика такой упругсфрикционной связи (рис. 1.3) имеет вид
P(&=c(fCT+l) (! + <psgni),
где с — жесткость пружин рессорного комплекта;
£ — дополнительный прогиб, отсчитываемый от статического;
<р — коэффициент относительного трения комплекта (<р = Дтр/Рст;
FTp — сила трения; Рст — статическая нагрузка на комплект);
sgn | — знак силы, соответствующий знаку скорости деформации комплекта.
При колебании такого комплекта относительно положения равновесия в сжатом состоянии под действием силы Рст за каждый период необходимо затрачивать работу Т, численно равную площади петли гистерезиса,
-47 = 2FTp2Bc = 4FTp
где £0 — наибольшее перемещение (амплитуда) при колебании.
При деформации q связи, диаграмма которой представлена на рис. 1.3 (междувагонные связи с пружинно-фрикционными поглощающими аппаратами), силовая характеристика имеет вид
Р (a) —cq (1 + ф sgn??), где q — перемещение вагона за счет деформации междувагон-ной связи;
sgn qq — знак силы, соответствующий знаку произведения скорости деформации на эту деформацию (qq).
Рис. 1.3. Силовая характеристика упругофрикционной связи
9
Рис. 1.4. Силовые характеристики гасителей:
1 — постоянное (кулоново) трение; 2 — сухое трение; 3 — вязкое (линейное) трение; 4 - - гидравлическое (квадратичное) сопротивление
В этом случае затрачиваемая работа на одинаковые отклонения в обе стороны от нулевого положения W = 2 cq2q>.
Упруговязкие связи обычно составляются из упругих элементов, которые дополнены гидравлическими гасителями, обладающими неупругим сопротивлением (вязкостным или гидродинамическим), пропорциональным скорости перемещения связи в п-й степени,
P(Li) = (fcT + ^4-P(t)'2-
Обычно 1 < п <Z 2.
Силовые характеристики неуп-
ругого сопротивления комплектов в случае колебаний, близких к гармоническим (£ = с.о sin <о/), а также затрачиваемая работа будут выражаться формулами:
при п—1 (вязкостные гасители):
рНуVi- (ё/ёо)2;
при п = 2 (гидродинамические гасители)
^нут=М£о®)2[1-(£/£о)2];	.
Силовые характеристики гасителей (рис. 1.4) представлены соответствующими эллиптическими кривыми 3 и 4, а для сравнения графиками / и 2 изображены характеристики фрикционных связей соответственно с постоянным (кулоновым) и физическим сухим трением.
Применяются связи и с более сложными нелинейными характеристиками в конструкциях гасителей, обеспечивающих лучшие динамические качества вагона при высоких скоростях движения.
1.3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ
0 Железнодорожный путь как часть механической системы «вагон —путь» описывается совокупностью характеристик, которые можно разделить на две группы: характеристики, определяющие реакцию пути на динамическое воздействие колеса, и характеристики, определяемые остаточными деформациями, накопившимися в пути под воздействием подвижного состава.
В пути, в первую очередь в верхнем строении, под воздействием колес вагонов возникают силы упругости, инерции и трения. Упругая составляющая динамической реакции пути нелинейно зависит от просадки рельса. С увеличением просадки путь становится более жестким. 10
Однако в большинстве случаев для приближенных расчетов принимается, что просадка рельса прямо пропорциональна динамическому дав^ лению колеса. Пусть является неравноупругим и по длине, особенно в зоне стыков/
Силы трения в конструкции пути подчиняются сложным закономерностям. Приближенно их можно расчленить на две составляющие: силу сухого трения, пропорциональную просадке рельса, и силу вязкого трения, пропорциональную скорость изменения просадки. Силы инерции, возникающие в верхнем строении пути при безударном движении и ударах колес о рельсы на стыках, из-за наличия ползунов на колесах и в других аналогичных случаях, связаны с волнами деформации, проходящими в верхнем строении пути. Поэтому при ударном и безударном взаимодействии колес и рельсов силы инерции в верхнем строении пути будут различны.
Все составляющие реакции пути на динамическое воздействие колес в значительной степени зависят от конструкции верхнего строения пути.
Под воздействием колес проходящих поездов в верхнем строении пути непрерывно накапливаются остаточные деформации. Интенсивность их накопления различна в разных точках пути. Поэтому постепенно головки рельсов отклоняются от нормального положения, возникают различного рода неровности на пути, двигаясь по которым, колеса начинают колебаться. В результате и давление рессор на кузов вагона становится переменным, что в свою очередь вызывает колебания кузова.
Следовательно, неровности рельсов как следствие непостоянной по длине жесткости верхнего строения пути и неравномерного по длине накопления в нем остаточных деформаций — одна из основных причин колебаний вагона и связанного с ним в единую механическую систему верхнего строения пути.
Глава 2
ОБЩИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ДИНАМИКИ ВАГОНА
2.1. УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Общие методы динамики вагона базируются на принципах аналитической механики. Методологической основой аналитической механики являются вариационные принципы, которые применительно к движению механической1 системы могут быть сформулированы следующим образом: если действительное движение системы описывается координатами х (t), то работа сил, действующих на систему при вариации этих координат дх, должна равняться нулю.
В данном случае вариации координат
6х=х—х',	(2.0
где х' — координаты любого бесконечно близкого движения.
Указанный вариационный принцип в аналитической механике формулируется в виде основных уравнений динамики—уравнений Германа Эйлера — Даламбера (уравнения Даламбера — Лагранжа).
Уравнения Даламбера — Лагранжа в декартовых координатах (принцип Даламбера). Рассмотрим движение абсолютно твердого тела в пространстве, заданном декартовыми координатами. Положение тела в любой момент времени определяется шестью координатами (тремя линейными х, у, z и тремя угловыми 6, <р иф). Если тело соединено с неподвижными (или подвижными) точками пространства упругими или упруговязкими элементами 1—4 и на него действуют внешние силы Р а (рис. 2.1), то вариационный принцип механики для движения его в направлении любой из шести координат, например для движения вдоль координаты х, запишется следующим образом:
(лГх + 2 Pxi+ 2 Rxj ) 6х = 0,	(2.2)
\	i = 1	/ = 1	/
где т — масса тела;
х — ускорение тела вдоль оси х;
Pxi — проекция внешней силы с номером i на ось Rxj — проекция реакции упруговязкого элемента с п — количество внешних сил, приложенных к k — количество упругих или упруговязких элементов, присоединенных к телу. *
номером / на ось к; телу:
1 Под механической системой понимается система, состояние которой в любой момент времени определяется координатами, скоростями и ускорениями.
12
Рис. 2.2. Силовая расчетная схема динамического равновесия твердого тела в заданном пространстве
Рис. 2.1. Расчетная схема и система координат для описания движения твердого тела
Для описания движения тела в направлении остальных координат будем иметь уравнения, подобные уравнению (2.2). Эти уравнения носят название принцип Даламбера.. Разберем более подробно указанный пример. Для этого отбросим элементы, соединяющие тело с точками пространства, заменив их действие реакциями 7?1? /?2> #з> •••• и приложим к телу силы инерции, действующие вдоль осей х, у и г,. и моменты сил инерции, действующие на тело при вращении его относительно этих осей (рис. 2.2).
При поступательном движении на тело действуют силы инерции, а при вращательном — моменты сил инерции. Следовательно, уравнения движения тела в декартовых координатах примут следующий вид:
п	k	1
т X 4~ 2 р xi 4“ 2 Rx3 ~ О’
i —I	/=1
ту+ 2 pyi + 2
i=i	/=1
т"г+ 2 pzi + 2
i=i	/ —1
п	k	(
JXQ + 2 Mxpi+ 2 MxR~0-, 1 = 1	j = 1
2 W 2
i = i	j=i
2 MZpi + 2
j=i	j
(2-3}
где	Pxi, Pyi, Pzi — проекции силы с номером i на оси х, у и z соот-
ветственно;
/?xj, Ryi-> Rzi — проекции реакций упругих (или упруговязких) ' элементов с номером / на оси х, у и z соответственно;
13
Mxpi, My pi, MzPi — моменты сил Рг относительно осей х, у и z;
Мх%-, Му#;, MzR]. — моменты реакций Rj относительно осей х, у и Z; Jx, Jy, Jz — моменты инерции твердого тела относительно осей х, у и z;
х, у, z — ускорения тела вдоль осей х, у и z;
0, Ф, ф — угловые ускорения тела при вращении его вокруг осей х, у и z.^
LB уравнениях (2.3) суммирование no i и / производится алгебраически с учетом знака силы и момента. Для определения знака силы и момента удобно пользоваться следующим правилом: если направление силы или момента совпадают с направлением сил инерции или момента сил инерции, то^при суммировании они берутся с «плюсом», если нет— то с «минусом».21
Силы инерции по второму закону Ньютона равны массе, умноженной на ускорение, и направлены в сторону, противоположную ускорению. В нашем примере вследствие произвольного выбора положительного направления координат положительное ускорение направлено вправо, а сила инерции тх — влево. То же самое можно сказать о направлении сил инерции ту, mz и моментов сил инерции J_vq, Jyq>,
Реакции Rj на расчетной схеме направляются так, как бы они действовали при положительной деформации упругих или упруговязких элементов. За положительную деформацию можно принимать по своему усмотрению либо растяжение, либо сжатие. На схеме реакции направлены так, как будто названные элементы испытывают деформации сжатия.
^Уравнения (2.3) представляют собой дифференциальные уравнения равновесия тела при движении его в пространстве, заданном шестью координатами. Внешние силы Р = Р (t) являются, как правило, функциями времени t, а реакции R — функциями времени, координат и их производных, т. ej^
R = R (t, х, у, z, 0, <р, ф, х, у, г, 0, <р, ф).
Эти уравнения записаны для любого малого промежутка времени, в течение которого можно предположить, что силы инерции, внешние силы Pi и реакции Rj, являются постоянными величинами. Чтобы определить траекторию тела в заданном пространстве под действием внешних сил, необходимо найти интеграл системы уравнений (2.3), т. е. найти функции х = х (0; у — у (0; z — z (0; 0 — 0 (0; ф = ф (0; ф = ф (0, которые при заданных начальных условиях обращали бы систему дифференциальных уравнений в тождество. Наряду с уравнениями Деламбера — Лагранжа, записанными в декартовой системе координат, часто в механике используют другую форму записи — в так называемой обобщенной системе координат. В этом случае вариационные уравнения аналитической механики носят название уравнения Лагранжа второго рода.
14
/Уравнения Даламбера—Лагранжа в Обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода). Вариационный принцип для движения тела в обобщенных координатах запишется следующим образом:
-/ d д Т dt
Qij8qi=O>
(2-4)
где Т — кинетическая энергия движущегося тела, или конечного числа тел в заданной системе обобщенных координат </г-;
qi — соответственно обобщенные координаты и обобщенные скорости; — вариация i-й обобщенной координаты [по типу выражения (2.1)];
Qi — обобщенная сила, действующая при^ вариации координаты <7г-; г — количество обобщенных координат."*
Обобщенные координаты qt могут иметь размерность как линейного, так и углового перемещения. Они выбираются так, что при вариации одной из них остальные сохраняют постоянное значение. Переходя к обобщенным координатам, будем иметь х — q2; y — q2',z — q3; 0 — q4; <p = q5\ -ф = qr> (индексация обобщенных координат может быть произвольная).
В силу независимости вариаций из выражения (2.4) получаем уравнение Лагранжа второго рода
d дТ	дТ
dt дсц	д qi
где i — 1, 2, 3, ..., г — количество обобщенных координат.
В выражениях (2.4) и (2.5) кинетическая энергия (для простейшего случая) примет вид
В выражении (2.6) первый член дает кинетическую энергию поступательного движения, а второй — вращательного. В данном случае / — количество линейных координат, (г — /) — угловых, аг — общее количество координат. В рассматриваемом примере (см. рис. 2.1) г = 6; I = 3; г — I = 3.
Если кинетическая энергия не зависит от обобщенных координат qt, а зависит только от обобщенных скоростей qt, как это имеет место в выражении (2.6), то = 0, и уравнение Лагранжа второго рода будет иметь вид
d	дТ
dt	д q\
(2 7)
15
Если на тело или систему тел действуют внешние силы и наложены неудерживающие связи, которые могут быть упругими или упруго-•диссипативными, то значения Qi в уравнении (2.7) являются внешними силами и реакциями связей, действующими при вариации обобщенных координат qi и обобщенных скоростей qt.
’ (В этом случае можно предположить, что обобщенные силы дП	дФ
Qi —	-)	Р •	»
д 4i	д qi
где П — потенциальная энергия системы;
ф — функция рассеивания, равная мощности, развиваемой силами неупругого сопротивления.
(2-8)
Подставив уравнение (2.8) в выражение (2.7), получим уравнение Лагранжа второго рода в наиболее часто употребляемом виде
d	дТ , дП , дП	(/'
—_ = о.	(2.9)
М dqt dqi dq-t
Таким образом, дифференциальные уравнения (2.3) и (2.9) являются основными уравнениями аналитической механики. Они получены на основе одного и того же вариационного принципа, заключающегося в том, что работа внешних, внутренних и инерционных сил, действующих на движущееся тело при вариации координат его траектории, должна равняться нулюЧ/
В декартовой системе координат первые члены уравнений (2.3) представляют инерционные силы, вторые — внешние силы и третьи— реакции связей, спроектированные на соответствующие оси координат. При описании вращательного движения тела первые члены уравнений (2.3) представляют инерционные моменты, вторые и третьи — соответственно моменты активных и реактивных сил относительно соответствующих осей. Точно так же в обобщенной системе координат первый член уравнения (2.9) представляет инерционные силы или моменты, а второй и третий — активные силы плюс реакции связей и моменты активных сил и моменты реакций связей, действующие в направлении любой обобщенной координаты при ее вариации.
Если декартова и обобщенная системы координат совпадают (как на рис. 2.1), то дифференциальные уравнения движения тела, полученные на основе уравнений (2.3) и (2.9), будут одинаковы. и^Уравнения Даламбера — Лагранжа являются дифференциальными уравнениями, связывающими ускорения, скорости и перемещения тела в заданной системе координат. Как уже упоминалось, они выражают условия динамического равновесия тела (или системы тел) для малого промежутка времени. Чтобы определить траекторию тела для большого промежутка времени, необходимо найти интеграл этих дифференциальных уравнений?/
Для анализа и решения дифференциальных уравнений в простых случаях используют аналитические методы, в более сложных— методы, основанные на применении вычислительных машин.
16
2.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим основные положения теории линейных дифференциальных уравнений. Заметим, что линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит искомую функцию' и ее производные в первой степени, т. е. имеет вид
г(”)zV1-1). f-an z=r (t),	(2.10)
где a0, аг,..., 1 _заданные функции от t или постоянные числа, причем
ап, f (0 J «о =/ >
п — порядок старшей производной.
Если f (0 #= 0, то уравнение (2.10) называется неоднородным, при f (t) — 0 — однородным.
Так как порядок старшей производной в уравнениях Даламбера— Лагранжа (2.3) и (2.9) равен двум (инерционная сила содержит вторую производную по времени), то рассмотрим только линейные дифференциальные уравнения второго порядка (п = 2), т. е. уравнение зида
z+az+bz=f (t).	(2.11)
Выражение (2.11) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Если в уравнении (2.11) положить / (/) = 0, то получим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
г + а z-\-bz = 0.	(2.12)
Функция z (0, которая обращает уравнение (2.12) в тождество, называется решением однородного дифференциального уравнения. Функция z (0, которая обращает уравнение (2.11) в тождество, называется решением неоднородного дифференциального уравнения.
Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (2.11) является сумма решений однородного уравнения (2.12) и неоднородного уравнения (2.11)
z= Z -j-Z.	(2.13)
Рассмотрим правило нахождения решения однородного уравнения (2.12).
Будем искать его в виде
'z=AePt.	(2.14)
Тогда
2=АреР‘	(2.15)
и
2=Ар2е₽г.	--	.	(2-16)
(библиотека |	п
Таш И И Та I
Подставляя значения выражений (2.14)—(2.16) в уравнение (2.12), будем иметь
А р2еР1-\-А ареР*~\-АЬеР* =р.	(2.17)
Так как Aept #= 0, то, разделив на него все члены уравнения (2.17), получим характеристическое уравнение
р2 + ар+Ь = 0.	(2.18)
Следовательно, чтобы функция (2.14) являлась решением однород ного дифференциального уравнения, необходимо параметр р определять из характеристического уравнения (2.18).
Найдем корни характеристического уравнения (2.18)
Р1.2= ~«/2 ± V а2/4—Ь .	(2.19)
В общем случае, когда подкоренное выражение в уравнении (2.19) отрицательно, имеем пару комплексных корней характеристического уравнения
Pi,2 = a±l’v»	(2.20)
где	а =—а/2— действительная часть;
v = Д/| а2/4—b | —мнимая часть.
Каждому значению корня р будет соответствовать одно решение:
=	z2 = A2ePit.
Тогда решение однородного уравнения (2.12) будет иметь вид
?= Аг e(a+i v) ‘ + А2 e(a~iv)	(2.21)
Используя известную формулу Эйлера, можно перейти от показательной к тригонометрической форме записи комплексной функции:
Zi=A£a/(cosv/ + isinv/); )
(	vz.ziaj
z2 = А2 eat (cos vt—isinv/). J
Выражения (2.21a) состоят из действительной и мнимой частей: z1 = Aleatcosvt-\~A1eatisinvt-A	(2 216'
z2 — А2 eat cos v t—A2 eat i sin v t J
Из теории линейных диффренциальных уравнений известно, что каждое слагаемое выражений (2.21, б) также будет являться решением однородного уравнения (2.12). Поэтому если ограничиться только действительной частью выражений (2.216), то уравнение будет иметь вид
'z = A1 ea*cos v/4- А2 eat cosv t= A eatcosvL	(2.21b)
Так как cos vt и sin vt — две линейно независимые функции, то можно показать, что функция
T=Bea*sinv/	(2.21г)
18
также будет являться решением однородного дифференциального уравнения (2.12).
Следовательно,
г ==еа*(A cos v/-)-В sin v t),	(2.22)
где Л, В — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. Может быть несколько случаев значений корней характеристического уравнения.
Общий случай при а 0 и v #= 0 мы уже рассмотрели. Он дает решение (2.22).
Рассмотрим другие случаи.
1.	Корни действительные и различные pt =# р2.
Общее решение (тримет вид
2=Л ePlt+B£Pit.	(2.23)
2.	Корни характеристического уравнения действительные и рав» ные рх = р2 — р.	_______
Это может быть, если в уравнении (2.19) У аЧА—b — 0.
Общее решение однородного уравнения (2.12) примет вид
(2.24)
3.	Корни характеристического уравнения чисто мнимые а = 0, v^=0
z = A cos v (-j-B sin v t.	(2.25)
Определим постоянные А и В. Для этого надо знать начальные условия интегрирования.
Пусть в момент времени (=0.
г = ^	(2.26)
и
Z=ZO.	(2.27)
Определим А и В для общего решения (2 22).
Подставив в уравнение (2.22) t = 0 и приравняв это выражение zo, как это следует из условия (2.26), получим
^ = 1 (Л-1+В.0), откуда
Л = 70.	(2.28)
Чтобы определить В, надо продифференцировать выражение (2.22) подставив в результат t = 0 и приравнять его zo:
z=aeat (Л cos v t-\-B sin v t) (— A v sin v Z-f-B vcos v t);	(2.29)
Zo = a-1 (Л=1 + В*0) + 1 ( — A vO4-B v-1),
19
откуда
В = .г°~аго .	(2.30)
v
Тогда выражение (2.22) примет вид
z = eat(z^ cos v/ + - Z° a 2° sinv t .	(2.31)
\	v	'
Аналогичным образом определяются произвольные постоянные и в выражениях (2.23) — (2.25).
Рассмотрим методы отыскания решения неоднородного дифференциального уравнения (2.11). В качестве общего метода в теории дифференциальных уравнений используется метод вариации произвольных постоянных. По этому методу решение уравнения (2.11) ищется в виде
2-Сг(0^+С2(0^	(2.32)
где C^tX, C2(t) — некоторые функции, подлежащие определению;
z[ и z2 — решения однородного уравнения (2.12), определяемые выражениями (2.22)—(2.25) в зависимости от значения корней характеристического уравнения.
Например, для случая общего решения однородного уравнения в виде выражения (2.22):
21 = Л eat cos v t; z2 — В eat sin v t;
для выражения (2.23):
Zj = AeP**; z2 = BePit и т. д.
Продифференцируем равенство (2.32)
Z — CiZi -J- С2 Z2-|- 01 Z1 ^2 г2’	(2.33)
В выражении (2.33) для простоты записи принято (/) = и С2 (I) = С2, однако надо помнить, что и С2 функции, а не константы.
Подберем Сг и С2 так, чтобы выполнялось равенство
Ci^ + C2^ = 0.	(2.34)
Тогда первая производная z по выражению (2.33) примет вид z=Clz1-j-C2z2«	(2.35)
Дифференцируя выражение (2.35) еще раз, найдем
z = Zj-j- С2 z2 "Т Cj Zi Ч-С2 z2.	(2.36)
20
Подставив выражения (2.32), (2.35) и (2.36) в неоднородное уравнение (2.11), получим
Cj С2 z2 ~F Cj ~F С2 z2+ с (Ci Zi_ ~F С2	~F
-f-Z> (Cj zr-j~ C2 z2) =f (0
ИЛИ
Ci (2i“FaZi + 2i) 4~ C2 (z2-}-a z2-|-6 2г) “F^i zi H C2z2—f (!).
(2.37)
Выражения, стоящие в первых двух скобках формулы (2.37), обращаются в нуль, так как zt и z2 являются решениями однородного уравнения (2.12). Тогда выражение (2.37) примет вид
Ci?i + c2^=f(0.	(2.38)
Следовательно, выражение (2.32) будет решением неоднородного уравнения (2.11) в том случае, если функции Сг и С2 будут удовлетворять выражениям (2.34) и (2.38), т. е.
Cf ?i ~F С2 z2 = 0; 1
2	2	}	(2.39)
Ci 2i ~F с2 z2 =f(/).J
Из условия (2.39) находим:
а	а __
01	а. а- ~ > с2 ~	>
21 22 21 22	21 22 21 22
откуда
'J	'
Ct=-	——— +с,;
;; 2j22—2i 2г
,	~	(2.40)
с2=	—------nz--rC2;
zlz2—zlz2
где Ci, С2 — произвольные постоянные интегрирования.
Найдя Ci и С2 из уравнений (2.40) и подставив их в выражение (2.32), найдем общее решение неоднородного уравнения (2.11). Если положить Cj = С2 = 0, то выражение (2.32) будет представлять частное решение z неоднородного дифференциального уравнения (2.11).
Формулы (2.32) и (2.40) дают общий метод нахождения решения неоднородного дифференциального уравнения, когда правая часть его f (t) является функцией произвольного вида. В конкретных случаях частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2.11)
возможно найти проще, не прибегая к интегрированию по формулам (2.40). Например, пусть правая часть уравнения (2.11) имеет вид
f (Z) —Р (Z) ekt cos to Z-j-Q (Z) ekt sin to t,	(2.41)
где P(t), Q(Z) —многочлены от t;
k, co — вещественные числа.
Тогда форма частного решения уравнения (2.11) определяется следующим образом:
если число k + гео не является корнем характеристического уравнения (2.18), то частное решение можно найти в виде
z = U (t) ekt cos ад t-f- V (t) ekt sin co t,	(2.42)
где U (t), V (Z) —многочлены от t, степень которых равна наивысшей степени многочленов Р (f) и Q (Z);
если число k -г йо является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде
z=t\U (Z) efe<cosco/ + V (Z) e^sinco/].	(2.43)
Коэффициенты полиномов U (/) и V (/) в уравнениях (2.42) и (2.43) определяются подстановкой z и их первой и второй производными z игв уравнение (2.11). При этом получают систему алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. Указанные формы частных решений уравнений (2.42) и (2.43) сохраняются и в том случае, если в правой части уравнения (2.41) един из многочленов тождественно равен нулю, т. е. когда правая часть имеет вид Р (t)ekt cos со/ или Q (/) ekt sin со/.
В прикладной теориц колебаний важное значение имеет случай, когда в уравнении (2.41)
Р [t} = ax — const; Q (Z) =b1— const; k = 0,
т. e. дифференциальное уравнение (2.11) примет вид
z-^-zz	cos ад Z-J-bj sin ад Z.	(2.44)
Тогда, если йо не является корнем характеристического уравнения (2.18), можно получить частное решение уравнения (2.44)
z = M cos to Z-j-Af sin to t	(2.45)
или
z = £>cos(wZ—6),	(2.46)
где M, N, D, 6 — константы, которые определяются подстановкой уравнения (2.45) или (2.46) в уравнение (2.44).
Например, если в качестве частного решения принять выражение (2.46), то
z =—£>wsin(toZ—6);	(2.47)
z=—D ад2 cos (и Z—6).	(2.48)
22
Подставим выражения (2.46), (2.47) и (2.48) в уравнение (2.44)
— D со2 cos (со t—6) —a D со sin (со t—6) 4~
-\-b D cos (co t—6) =аг cos co /-{-^j sin co t,	(2.49)
откуда
D [(b—co2) cos (co t—6) —a co sin (co t—6)] = ar cos co /-J-^i sin co t. (2.50)
Представляя в выражении (2.50) sin (at — 6 ) и cos (со/ — 6) известными формулами из тригонометрии, получим
D [(6 — со2) (cos со t cos 6-}-sin со t sin 6) —a co (sin co t cos 6—cos co t sin 6)] — = ax cos co t-j- bt sinco t,	(2.51)
ИЛИ
D [(fe—co2) cos co/ cos	(b—co2) sin co/ sin 6 — aco sin со/x
X cos 6-}-aco cos co/ sin 6)] = ax cos co/4-&i sin co/.	(2.52)
Приведем подобные члены при cos со/ и sin со/
D[(b—со2) cos 6 + aco sin 6] cos co/4~jD [(6—co2) sin 6— — aco cos 6] sin mt —ay cos co/-}-sin co/.	(2.53)
Приравнивая коэффициенты при cos со/ и sin со/ в левой и правой частях выражения (2.53), получим:
D [(6 — со2) cos бф асо sin 6] = cz1;	(2-54)
D [(b—co2) sin 6—am cos 6] = bt.	(2.55)
Теперь из выражений (2.54) и (2.55) определим D и 6. Возведем левые и правые части выражений (2.54) и (2.55) в квадрат и сложим их
Г>2 [ (6—со2)2 + а2со2]=af 4- bl.
откуда
П = Ъ qi+fci	(2.56)
Г (£> —С02)2 + а2С02
Для определения 6 разделим выражение (2.54) на выражение (2.55)
(Ь — со2) cos 6 + am sin 6	а^
(Ь — со2) sin 6—am cos 6	6Х
ИЛИ
(b— со2) 4-aco tg 6 = ах	2
(Ь—со2) tg 6—ат	Ь1
Тогда из выражения (2.57) имеем
aaxco — br (b—со2)
6 = arc tg-—--------------•	(2 • oo)
a1 (b — co2)—oxaco
Подставив уравнения (2.56) и (2.58) в выражение (2.46), найдем частное решение дифференциального уравнения (2.44). При нахождении частного решения дифференциального уравнения (2.44) может
23
иметь место случай, когда tco является корнем характеристического уравнения (2.18). При этом частное решение будет иметь зид
z = t (Л4 cos mt-\-N sin ait)	(2.59)
ИЛИ
z = tD cos (mt—6).
(2.60)
Этот случай в теории колебаний описывает состояние резонанса, т. е. процесс развития колебаний при совпадении собственной частоты с частотой внешнего возмущения. Определение величин D и 6 в уравнении (2.60) осуществляется таким же способом, как уже было изложено для выражения (2.46).
При постановке задач динамики подвижного состава часто приходится решать или исследовать системы дифференциальных уравнений второго порядка. Одно уравнение второго порядка всегда можно заменить системой двух дифференциальных уравнений первого порядка. Например, если имеем дифференциальное уравнение z 4- az + -\-bz = f (/), то ему эквивалентна система:
г =«;
u-\-au-\-bz=f (t).
Эти дифференциальные уравнения приводят к удвоенной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Чаще же в задачах динамики исследуют системы дифференциальных уравнений, в которых старшая производная имеет второй порядок. Такой порядок старших производных в уравнениях механики определяется структурой уравнений Даламбера — Лагранжа в форме уравнения (2.3) или (2.9).
Так, при описании движения тела в пространстве, заданном шестью координатами (см. рис. 2.1), имеем шесть дифференциальных уравнений второго порядка, представляющих систему. Применение уравнений Даламбера — Лагранжа к цепочке связанных между собой и движущихся в направлении одной из координатных осей тел так же приводит к системе дифференциальных уравнений, в которых старшая производная равна двум.
По аналогии с одним дифференциальным уравнением система их может быть однородной и неоднородной. Система линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка имеет вид:
2 4"G11 214"G12 Z2~\~ • • • 4" а1П 2П + &1121 + 4- bl2z2 Ч- • • • 4* binzn — 0;
22 4- °21 214- а22 22 4~ • • • 4~ °2П2П 4" ^21Z1 4* 4* ^2222 4" • - • 4- Ь2П2П = °;
2з 4“ °3i zi 4* °з222 4~   • 4~ °зп гп 4- ^3izi 4-4- ^з2224* •  • 4- b3nzn = 0;
(2.61)
24
Zn 4“ Я/ll Z1 4“ Я712 Z2 4~ • • • 4~ йпп zn 4~ 4" ^niZl 4~ ^712Z2 4“ - • • +^nnzn— C,
где a, b — функции от t либо постоянные величины; п — максимальное количество переменных.
Если а и b постоянные, то система уравнений (2.61) называется системой с постоянными коэффициентами.
Система уравнений (2.61) часто записывается в векторно-матричной форме
7+[а]7+[6] z =0,	(2.62)
где [a], [fe] — квадратные матрицы размером пХп, элементами которых являются aij и Ь^;
z = l, 2, 3, ..., п — номер столбца;
/ = 1, 2, 3, ., п — номер строки;
г, г, г — векторы переменных и их первой и второй производных.
Компонентами этих векторов служат п переменных в дифференциальных уравнениях (2.61).
В нашем случае под г понимается столбец, содержащий все перемен-
ные, т. е. гт — {гг, z2, г3, .... zn}, где т — операция транспонирования.
Аналогично zT = {zlf z2, z3, ..., zn} и zT = {zt, z2, z3, ..., zn}.
Матрицы [о] и (Ы имеют вид:
	a12 °13’ •••	j °in			Ьц,	^12,	&13, ••	• , bin
	a21» a22 > a23 у 	• , а2П			^21’	^22»	62з, • •	• i b2n
[a] =	Q31 ’ °32 > a33 > • -	 » азп	>	[6] =	^31»	Ьз2,	633, . •	• , b3n
	an\i аП2> an3i •	•  , G-nn			bnl »	Ьп2’	Ьпз, •	•  J bnn
Эквивалентность системы дифференциальных уравнений (2.61) и ее сокращенной записи (2.62) определяется правилом умножения матрицы на вектор.
—>
Так, например, произведение матрицы [а] на вектор z будет иметь следующее выражение:
' [a]z =
°Ц, °12, °13> • •  » а1П
a2ii	°23> • • • > °2п
Gnj, ^П2> °ПЗ, ••• аПП
Аналогично
[617=
Ьц t ^12 ’ ^13 ’ • • • » bin b2i, b22, b23, ..., b2n
bnii bm, bn3, ..., bnn
zi г2 гз
zn
Z1
Z2
Z3
Zn
aUZl 4~ а12 Z2 4“ a13Z3 + • • • + а1ПгП a21 Z1 + a22Z2 4“ °23Z3 4"• • • 4" °2П 2П
GniZl T ^П2г2"Т аПЗ 2з + - • • + Gnn^n
b1iZ1-j-b]2Z2-i-b13z3-l- ... -j-binzn ^21Z1 + b22z2 + b23Z3 4- • • • 4- b2nZn
bniZi-\-bn2z2-\-bn3z3~]- ... -{-bnnZn
25
Решение системы (2.61) будем искать в виде:
21 = Л1ер/; z2 = A2ept\ 23=Л3е₽*; ...; zn = Anept,	(2.63)
где Ап — постоянные величины;
р — корни характеристического уравнения.
Из выражений (2.63) найдем производные z и z:
21 = Л1ре₽<; г2 = Л2рер/; г3 = Л3рер<; ... ; zn = Anpept\ (2.64)
z1 = A1p2ept; z2 = A2pzePt; z3=A3p2ept; ..zn=Anp2ept. (2.65)
Подставим выражения (2.63)—(2.65) в систему дифференциальных уравнений (2.61). Сократив каждую строчку на ept и приведя подобные члены, получим систему алгебраических уравнений:
(Р2 + «11Р + ^п) ^14“ (°12Р4"^12) ^2~i~ (а1зР 4“ ^13 )	•• +
4"	Ап — 0;
(а21Р4"^21) ^l4" (Р2А~°22рА~ ^22) А2А~ (а2зР~1~ ^23 ) А3 + . . . -г 4~(а2пр-]~Ь2п) Ап = 0;
(°3tP + ^3i) ^14" (°32Р + ^зг) А2-]- (р2 + аззР4"^зз) -^з + • • • 4~ 4~ (озпР4_^зп) Лп = 0;
(2.66)
(amP~b^ni) Ai~J- (аП2р~1-^пг) ^*2 4~ (°п?Р 4~ ^пз) А3 4- . . . 4“
Ч- (p2+cnnp + ^nn) Ап = 0.	j
Это система однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных Ап. Для того чтобы система (2.66) имела нетривиальные (отличные от нуля) решения, необходимо, чтобы определитель, составленный из ее коэффициентов, был равен нулю
det (р) =
Р2 4~ °пР 4“ ^и» а'12Р4_^12» • • • » amP-\-bin а21Р 4- ^21’ Р2 4“ °22Р4" ^22’ • • • > а2ПрА~^2П
аП1РА~Ьп1г аП2Р~}~^П2^ • • • > Р2~\~аПпР~\~ЬпП
(2.67)
Определитель (2.67) является полиномом степени 2л относительно р. Он представляет собой характеристическое уравнение для системы дифференциальных уравнений (2.61). Его корни являются корнями характеристического уравнения. Найдя корни характеристического уравнения (для определителя, порядок которого больше двух, корни находятся приближенными методами на цифровых вычислительных ма-26
шинах) Pi, р2, р3, р2п, подставляют их по очереди в систему уравнений (2.66) и для каждого рг определяют вектор значений Лф, т. е. Лф, Лф, Л(^| ..., Лф. Из теории линейной алгебры одна из величин Л(/) может быть произвольным числом.
В частности, любую из величин Л<£) удобно положить равной единице. Корни характеристического уравнения (2.67) могут быть действительные, комплексные или чисто мнимые. Рассмотрим эти случаи.
Корни характеристического уравнения (2.67) действительные и различные: обозначим через ръ р2, р3, ..., рп корни характеристического уравнения (2.67). Для каждого корня pz напишем систему уравнений (2.66) и определим Лф, Лф, Лф, ..., Лф. Тогда для корня решение системы (2.6G) даст
г*11) = Л<1>е₽ф z^ = A^ePlt-, ...,	(2.68)
для корня р2 решение системы (2.65) будет:
z(j2)_ Л'?:е₽2#; z(2, = А{2п)ер2*; ..., z^2, = А(п2)еРг*;	(2.69)
для корня рп решение системы (2.66) будет:
2(«) = Л(«)	= А™ ерп*.	(2.70)
Таким образом, общее решение системы однородных дифференциальных уравнений (2.61) будет равно сумме решений (2.68) —(2.70):
21 = CM i1 >ePlt+С2Л*2> ер** + ... + СпЛ \п} ?р^;
г2=с1лр>ер-'+М2>^'+... +c„4<,"W;
(2.71)
гп = СМ */ > ePlt + CMi21 eP2t + ... +	ерп\
где Ci, С2,..., Сп—постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий:
t=0; Zi^zw- z2 = z20; ...; zn = zno.	(2.72)
Рассмотрим случаи, когда корни характеристического уравнения (2.67) различные, но среди них есть комплексные.
Пусть среди п корней характеристического уравнения (2.67) имеются k комплексных сопряженных корня
Pi = al-±vji,	(2.73)
27
Общее решение системы дифференциальных уравнений (2.61) в этом случае будет иметь вид:
zi= У CjA\f} epj* + У д(/)еа;/ (в\/} cos Vjt + / =п — k	j — I
+£>iy) sinvjf);
z2 =	2	ePjt + У А^веа^ [Ety) cos vjt
j—n — k	j=i
4-Z)!/1 sinvj/j;
(2-74)
zn = У, CjA(t{} e₽/ + 2 Д,(гу) eaJZ cos vj/ + j=n—k	j=i
+ D(B sin vjf).
где	—произвольные постоянные интегрирования, определяе-
мые начальными условиями;
Д(/\ А^, A\i— коэффициенты, определяемые из системы уравнений (2.66) при подстановке туда найденных корней характеристического уравнения р.
Если все корни характеристического уравнения мнимые вида р,-= = ivj, то общее решение имеет вид:
Zi= 2 Л1/! (-^V C0SVJf + ^1У) sinvj-r);
z2= 2 Л2У) (B2Z1 cosvp+ £>'/'sin V^);	(2 75.
2n = 2 Лп7) (Bn} cosVjt + D{nB sinVjt\, /=1
Таким образом, в зависимости от значений корней характеристического уравнения (2.67) общее решение системы однородных дифференциальных уравнений (2.61) можно получить в виде выражений (2.71), (2.74), (2.75) или их комбинаций. При нахождении решения систем однородных дифференциальных уравнений высокого порядка необходимо решать системы алгебраических уравнений типа (2.66) и (2.67), порядок которых равен числу дифференциальных уравнений, поэтому для этих целей применяют цифровые вычислительные машины.
Система неоднородных дифференциальных уравнений в матричновекторной форме имеет вид
г +[a]7 + [6]2 = F(Z),	(2.76)
где F (/) — вектор правой части (в теории колебаний играет роль внешнего возмущения, действующего на систему связанных тел).
28
Решение системы уравнений (2.76) представляет в векторном понимании сумму общего решения системы однородных уравнений (2.61) и частного решения системы неоднородных уравнений (2.76).
В теории линейных дифференциальных уравнений существует прр-цедура нахождения частных решений неоднородных систем, однако для систем высокого порядка (практически при п > 2) она становится настолько громоздкой, что практическое применение ее становится затруднительным. Поэтому в настоящее время для решения систем неоднородных дифференциальных уравнений применяют численные методы интегрирования, которые очень удобно реализуются на цифровых вычислительных машинах.
В теории колебаний однородные системы описывают процессы собственных колебаний, а неоднородные — вынужденных. Качество решения систем однородных дифференциальных уравнений (2.71), (2.74), (2.75) (или свойства колебательных систем) определяется значениями корней характеристического уравнения (2.67). Действительные части корней входят в показатели степени экспоненты [см. выражения (2.74)], а мнимые части v7- — в периодические составляющие общих решений, т. е. являются аргументами синуса и косинуса. Если исследуемые системы дифференциальных уравнений описывают колебательный процесс механической системы, то действительные части определяют декременты, а мнимые vf — частоты собственных колебаний [см. выражения (2.74) и (2.75)].
2.3.	АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ ПО ПЕРВОМУ МЕТОДУ А. М. ЛЯПУНОВА
Теория устойчивости движения основывается на анализе устойчивости решений дифференциальных уравнений при малом изменении начальных условий интегрирования. Устойчивыми решениями называются решения, которые мало отличаются друг от друга в любой момент времени t > 0 при достаточно малых изменениях начальных условий.
Если дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений описывают некоторое движение, то в случае устойчивых решений движение также будет устойчиво. Другими словами, при начальных отклонениях механической системы, мало отличающихся друг от друга, траектории ее движения также будут мало отличаться.
Критерий оценки устойчивости решений дифференциальных уравнений (или применительно к механическим системам критерий устойчивости движения) был сформулирован А. М. Ляпуновым: если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещест-венные части (а7 С 0), то решения (движения) будут асимптотически устойчивы по показательному закону.
Практически может иметь место пять случаев значений корней характеристического уравнения:
29
1)	а;-< 0, v #=0 — движение асимптотически устойчиво;
2)	а7- < О, v — С — движение асимптотически устойчиво;
3)	а,- = О, v #= О — движение на границе устойчивости (предельный цикл);
4)	а7- > 0, v О — движение неустойчивое;
5)	а7- > G, v = 0 — движение неустойчивое.
Первый случай соответствует комплексным корням с отрицательной вещественной частью, второй — действительным отрицательным корням, третий — мнимым корням, четвертый — комплексным корням с положительной вещественной частью и пятый — действительным положительным корням. Заключение об устойчи-йости или неустойчивости движения по первому методу А. М. Ляпунова дается на основании того, будут ли отрицательны или положительны вещественные части корней характеристического уравнения.
Чтобы сделать заключение об устойчивости движения, необходимо найти все корни характеристических уравнений '2.67) и проанализировать их вещественные части. Уравнение (2.67) в левой своей части является полиномом /г-й степени относительно корней р, т. е. имеет вид
aoPn~\~alPn 1~}~а2РП 24~ • • •	+	—О»
где а0 > 0, а0, alt..., ап — действительные числа.
(2.77)
Для определения корней этсго полинома обычно применяют цифровые вычислительные машины.
Из уравнений (2.67) следует, что корней должно быть 2/г, но считаем, что их п, так как в общем случае они являются комплексными сопряженными вида а ± iv. Существуют приемы, используя которые, можно сделать заключение о значениях вещественных частей корней полинома, не решая его. Одним из таких приемов является критерий Гурвица, основанный на следующей теореме.
Необходимым и достаточным условием отрицательности вещественных частей всех корней многочлена вида \2.77) является положительность определителей всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица, которая имеет вид
at а0 О О
О;,	°2	а1	&0
г = а5 а4 а3 а2 О-Ч ав а5 at
О 0 0 0	... ап
О О О О
(2.78)
где главные диагональные миноры имеют вид:
— аг;
а0
аг а0
а3 ^2
Об «4 Рз
а4 а0 Э
Яд ^2 Щ
^5	^3
а7 ° в
О
«С
а4
(2.79)
И Т.Д.
30
Рис. 2.3. Фазовые траектории изображающей точки для различных значений вещественной и мнимой частей корня характеристического уравнения:
а — при а<0, v=#0; б—при с.<0, v=0; в —при с=0, v#=0; г — при а>0, v*0; д — при а>0, v=0
Следовательно, чтобы выполнялось условие отрицательности всех вещественных частей характеристического многочлена (2.77), необходимо иметь
Л; =Я1 > С; Д2 = а:1О2--°ос3 >	^3— а1а2аЗ~1~а0а1аа~1~
4-а3а40—0с3о5-а0а3а3 — а^а^! > 0.
(2.80)
Иногда об устойчивости движения судят по форме фазовых траекторий, изображенных в фазовых координатах. Так, если в обычном представлении перемещение записывается как функция времени, т. е. z — f (/), то фазовая траектория имеет вид z = f (z) т. е. перемещение выражается в функции скорости перемещения (время здесь явно не присутствует).
Примеры фазовых траекторий изображающей точки A (Az, Az) для пяти рассмотренных случаев корней характеристического уравнения, показаны на рис. 2.3. Следует заметить, что аналитические выражения фазовых траекторий можно получить в редких случаях для ограниченного класса дифференциальных уравнений. В настоящее время изучение устойчивости движения по фазовым траекториям осуществляется в основном тогда, когда в исследованиях дифференциальных уравнений используются аналоговые вычислительные машины. Рассмотрим способ построения фазовой траектории для простейшего дифференциального уравнения (и, следовательно, простейшего случая движения).
31
Пусть имеем дифференциальное уравнение вида
г+г2г = 0,	(2.81)
Характеристическое уравнение для него будет р2 + v2 =0 и, следовательно, ± iv — корни чисто мнимые.
Решением этого уравнения будет
Z—cos v Л-|-С2 sin v/ = Д sin (v/-]-6),	(2.82)
._______ С.
где А = j/Cf Ч- С| ’ arctg
Сп С2 — произвольные постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями.
Тогда
г —A vcos (vZ+6).	(2.83)
Возведем обе части выражений (2.82) и (2.83) в квадрат: z2 = — /l2sin2(v/ + 6); z2 = ,42v2cos2(v7 -|-6), и почленно сложим их. Тогда
г2/Д2 + г2/В2=1,	(2.84)
где В2 = А2 v2.
Таким образом, выражение (2.84) является уравнением фазовой траектории в координатах гиг (фазовых координатах). Мы видим, что в фазовых координатах это уравнение эллипса (рис. 2.3, в), т. е. фазовая траектория движения на границе устойчивости представляет собой замкнутую эллиптическую траекторию. Фазовые траектории асимптотически устойчивого движения приводят точку А в начало координат (рис. 2.3, а, б). Траектории неустойчивого движения уходят в бесконечность (рис. 2.3, г, д).
2.4.	ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ ПОМОЩИ АНАЛОГОВЫХ
И ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Аналоговые вычислительные машины (АВМ). Они представляют собой набор электронных устройств (блоков), каждое из которых может производить заданные математические операции над электрическими сигналами, поступающими в эти устройства. Электрические сигналы, которые поступают в блоки АВМ имеют смысл переменных в ди4х|)еренциальных уравнениях движения, т. е. при помощи электрических сигналов изображаются (моделируются) перемещения, скорости, ускорения и т.п. Стандартные блоки АВМ предназначены для выполнения арифметических операций над электрическими сигналами, логических операций, операций интегрирования, дифференцирования и функционального преобразования. Базовым элементом любого 32
из перечисленных счетно-решающих блоков АВМ является усилитель постоянного тока с отрицательной обратной связью. В зависимости от того, какое сопротивление стоит в цепи обратной связи усилителя (активное или емкостное), он может выполнять различные математические или арифметические операции над сигналами, подаваемыми на его входы.
Для интегрирования дифференциальных уравнений решающие блоки АВМ коммутируются в определенной последовательности в общую схему (электронную модель). При пуске АВМ в схеме, собранной из счетно-решающих блоков, протекают электрические процессы, которые в определенном масштабе изображают физические Процессы, описываемые дифференциальными уравнениями. Электрические сигналы, полученные в счетно-решающих блоках АВМ, подаются на осциллографы, графопостроители, в различные анализирующие устройства. Они могут быть также преобразованы в дискретную цифровую информацию для обработки на цифровых вычислительных машинах.
Процесс решения дифференциального уравнения на АВМ называют электронным моделированием.
Электронное моделирование физических процессов, которые описываются дифференциальными уравнениями, дает решение в наглядной форме (в виде осциллограмм), отличается простотой набора решающих схем, состоящих из операционных усилителей, позволяет быстро менять исходные данные задачи (коэффициенты дифференциальных уравнений, или, что то же самое, коэффициенты усиления входов усилителей). Время решения задачи на АВМ сравнительно невелико (несколько секунд или десятков секунд).
Вместе с тем АВМ имеют и недостатки, заключающиеся в том, что с увеличением числа операционных усилителей погрешность решения возрастает, особенно при интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений. Кроме того, число операционных усилителей в АВМ ограничено, поэтому каждый тип АВМ может интегрировать дифференциальные уравнения, порядок которых не превосходит число интегрирующих усилителей.
Цифровые вычислительные машины (ЦВМ). Их применяют в задачах динамики для вычисления собственных значений и собственных векторов матриц дифференциальных уравнений высокого порядка, а также для автоматизации громоздких вычислений, например при решении систем алгебраических уравнений, вычислении определителей матриц и т.п.
При использовании в задачах динамики ЦВМ интегрирование дифференциальных уравнений осуществляется численными методами. Процесс интегрирования дифференциальных уравнений динамики на ЦВМ стали называть цифровым моделированием.
Численные методы интегрирования представляют собой алгоритмы (совокупность арифметических и логических операций), при помощи которых вычисляются приближенные значения функций, явля-2 Зак. 557	33
Рис. 2.4. Схемы численного интегрирования дифференциальных уравнений: а — обыкновенных; б — в частных производных; 1 — точное решение; 2, 3 — кривые, ограничивающие область д„.чустимых погрешностей численного решения
ющихся решениями дифференциальных уравнений, для некоторых фиксированных значений аргументов, которые часто называют узлами. Если решение дифференциального уравнения z (f) является функцией одного переменного, то узлы располагаются вдоль прямой линии, например, оси абсцисс (рис. 2.4). на которой графически изображается изменение аргумента t. Расстояние между двумя соседними узлами называется шагом интегрирования h: ti+1 — tt = h.
Если кривая 1 изображает точное решение z (t), которое необходимо вычислить, то приближенные численные решения г-, а2, ..., zn должны располагаться внутри области, заключенной между кривыми 2 и 3, определяющими допустимую погрешность вычислений т. е. для всех узлов, расположенных на отрезке /п1, должно выполняться неравенство
I z (ti)-zt |< L	(2-85)
Если для какогс-то узла неравенство (2.85) не выполняется, что означает превышение допустимой погрешности вычислений, то обычно следует уменьшать шаг интегрирования h, т. е. увеличивать количество узлов на расчетном интервале [4, /п].
В задачах динамики часто встречаются процессы, которые формально могут быть описаны функциями двух и более переменных, например это колебания стержней (балок), пластин или оболочек. В этих задачах перемещения различных точек конструкций зависят от пространственных координат и от времени, поэтому уравнения динамики представляются в этих случаях дифференциальными уравнениями в частных производных. В связи с этим алгоритмы численного интегрирования различаются по типам дифференциальных уравнений. Существуют методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и алгоритмы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Так, при интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных, решение которых может быть найдено в виде функций двух переменных (рис.2.4, 5) рас-34
четная область [£ъ tn], [хь хт]разбивается сеткой, в узлах которой определяются приближенные значения решения; zu, z12, z2i, z22,
zv, znl.
В данном случае l и п — количество шагов сетки по координатам х и t. Следовательно, при двухмерной задаче имеем две величины шагов сетки или шагов интегрирования; h = ti+1 — rf; k = Xj+1 — Xj.
На рис. 2.4, б условно показаны ординаты численного решения Ztj, которые должны лежать на поверхности, определяемой точным решением z(x, t) или вблизи нее, т. е. должно выполняться условие
|2(х;,	(2.86)
которое обеспечивает заданную £ точность вычислений при численном интегрировании.
Дифференциальные уравнения динамики могут представлять три основные задачи: с начальными условиями (задачи Коши), с граничными условиями (граничные задачи) и сочетания первых двух задач (смешанные задачи). Примером задачи с начальными условиями может быть задача определения траектории материальной точки при заданных начальных значениях ее координат и скоростей. Примером граничной задачи может быть задача определения упругой линии балки под действием статической нагрузки. При этом из множества решений надо выбрать такое, которое удовлетворяло бы условиям закрепления балки на опорах (границах). Примером смешанной задачи может быть расчет колебаний балки под действием меняющейся во времени нагрузки. В этом случае надо найти решение, удовлетворяющее начальным условиям, граничным и внешней нагрузке. При этом под начальными условиями понимается функция прогибов в начальный момент времени, определяемая начальным значением внешней нагрузки. Граничные условия должны выражать условия закрепления балки на опорах.
2.5.	ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
Метод Рунге-Кутта. Большинство формул этого метода предназначено для интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка вида
z=f(z, t)	(2.87)
с начальными условиями:
t = tf, z=z{tiY, z^fizi, ti).	(2.88)
Существуют формулы Рунге-Кутта, предназначенные для интегрирования дифференциального уравнения второго и третьего порядков, но они очень громоздки и на практике используются редко. Рассмотрим формулы Рунге-Кутта четвертого порядка, которые имеют наиболее широкое распространение в практике расчетов.
2*	35
Если имеем дифференциальное уравнение (2.87) с начальными условиями (2.88), то значение функции в следующем узле (при значении аргумента ti+1 = ti -|- h) определяются формулами:
^i+i^Zf + Az;	(2.89)
Дг = 1/6 (^+2^4-2^+^),	(2.90)
где k^hfizi, ti);
k^hftZi + k^, ti + h/2;
k3=ht(Zi + kz/2, ti+h/2;	<2-91)
k^-hf(Zi + k3, ti-Vh),
где h — шаг интегрирования.
Затем, считая вычисленное значение zi+1 за начальное, повторяют эту же процедуру столько раз, сколько значений функции необходимо знать для анализа задачи (2.87) и (2.88).
Как уже упоминалось, задачи динамики в основном описываются дифференциальными уравнениями второго порядка вида
z = f(z, г, t)	(2.92)
с начальными условиями:
t^ti\ z=zi\ z^Zi.	(2.93)
Чтобы воспользоваться при интегрировании дифференциального уравнения (2.92) формулами (2.89) — (2.91), необходимо перейти к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:
	(2.94)
и= / (и, г, /) I
с начальными условиями:
t — ti\ z — Zi; u — ui — Zi.	(2.95)
Тогда значения zf+1 и uf+1 в следующем (i + 1)-м узле определяются формулами:
гг-+1=г£--|-Дг;	(2.96)
«г+1=«г+Д«;	(2.97)
Д z = 1 /6 (klz+2 k2Z + 2k3Z + kiZ);	(2.98)
Д u= Г/6 (klu-]-2 k2U-[-2 ^3u4~^«i);	(2.99)
^1и== f ’ zi' ^i)» k2u = hf (ui + ^iw/2« Zi-\-klz/2, ti-^-h/2); k2Z=h (Uj4~Z?lu/2);
k3U = hf (Ui + kzu/2, Zi-]-k2Z/2, ti-Vh/2), k3Z = h(Ui + k2u/2);	<2J00)
^4u —h f (Щ-\~кзи, Zi + &3z. tj-j-h); kiz — h{ui~\-k3u).
Далее, полагая найденные значения zi+1 и ui+1 за начальные повторяют вычисления для стольких узлов, сколько необходимо для анализа задачи (2.92) и (2.93). 36
Итерационные методы Эйлера-Коши. Эти методы применимы для интегрирования дифференциальных уравнений любого порядка.
Если имеем дифференциальное уравнение (2.87) с начальными условиями (2.88), то формула для интегрирования получается из следующих соображений.
Находят значение функции zi+1 в виде трех членов разложения ряда Тейлора
.	..Я2
Zi+1 — 2i~|-2f^ + zi 2	•  •	•	(2.101)
Затем вторая производная zr- представляется в виде разностного выражения
1 . .
zi— . (zi+l zi)‘	(2.102)
n
Подставив выражение (2.102) в уравнение (2.101), получим h ,.	. .
zi+l=zi~i~ \zi~i~zi+l)'	(2.103)
В выражении (2.103) значение zl+1 = f (zi+1,	+ h) неизвестно,
поэтому, чтобы воспользоваться формулой (2.103), строится итерационный процесс
h ..	-	.
2i+l = 2i + о (2i + 2i+l)>	(2.104)
т	2.	т—1
где т — номер итерации (целое число).
Условием окончания итерационного процесса является неравенство
lzi+i~zi+i	(2.105)
т	т—1
где | — точность итераций.
Таким образом, циклическая процедура вычислений по формуле (2.104) с проверкой неравенства (2.105) представляет итерационный метод Эйлера-Коши для дифференциального уравнения первого порядка типа (2.87). Если необходимо интегрировать уравнение второго порядка и выше, например уравнение (2.92), то имеются два пути. Можно уравнение (2.92) представить в виде системы (2.94) и применить к ней процедуру (2.104) и (2.105) либо построить итерационный процесс для непосредственного интегрирования уравнения (2.92). Это производится следующим образом. Находится значение функции zi+1 уже в виде четырех членов разложения ряда Тейлора
.. Л2 ... /г3
2г+1~2i + 2i h-Vzi ~ +2г g +••• »	(2.106)
затем дифференцируется ряд (2.106) по h
... /г2
2г+1=2г + 2г ^+2г	- •	(2.107)
37
Третья производная z?- в рядах (2.106) и (2.107) представляется в виде разностного выражения
zt= —	(2-108)
л
Подставив выражение (2.108) в ряды (2.106) и (2.107) и, как и в предыдущем случае, подразумевая итерационный процесс вычисления, получим следующие формулы интегрирования:
.. h2	..	h2
zi+i=zi-i~zi h+zi~T~+ 2i+i — ; m	о	ni— 1 v
h .. h-
2i+l = 2t+ "7-2i + ~T~ Zi+1 • m	£	Z m— 1
(2.109)
Вычисления по формулам (2.109) производятся до тех пор, пока не будет выполнено условие (2.105). После выполнения этого условия производится переход на следующий шаг интегрирования, т. е. найденные значения zf+1, z/+i и zi+1 считаются начальными и итерационная процедура (2.109) и (2.105) повторяется. При этом следует иметь в виду, что
z'i =f (zit zit ti), a
zi+l~f (zi+l> zi+l > ^i + ^). m— 1	m— 1 m— 1
Из приведенного способа построения формул (2.104) и (2.109) можно заключить, что для того,чтобы получить формулы для интегрирования дифференциального уравнения, в котором порядок старшей производной равен п, т. е. вида
zW=f (z(n~v, z(n~2),... . z, t)	(2.110)
с начальными условиями:
/ =	з=гг; г—г,;...; г(п-1) = гг-(п-1)
(2.1Н)
нужно значение функций Zt+1 представить разложением ряда "'ейло-ра с п + 2 членами:
А2 йЗ	Мп+1)
+... +г<»+‘> —— +....	(2.112)
Z1	О!	V * 1 1) 
затем продифференцировать выражение (2.112) п— 1 раз, чтобы получить выражения для zi+1, zt-+1, ..., zf+i*0. Затем в полученных выражениях производную z(n+1) представить разностным выражением вида
г<"+» =	-г'"1),	(2.113)
h т—1
38
Таким образом получатся формулы для интегрирования дифференциального уравнения вида (2.110) с начальными условиями (2.111).
Приведенные формулы интегрирования (2.104) и (2.109) являются итерационными. Окончание итерационного процесса и переход на следующий шаг интегрирования производятся при выполнении неравенства (2.105), которое показывает, что значения функций zi+1 и zi+1, т—1	т
вычисленные в двух соседних итерациях, совпадают в соответствующих десятичных знаках, заданных точностью |. Может возникнуть в процессе вычислений ситуация, когда неравенство (2.105) не будет выполняться при любом большом значении т. В таких случаях говорят, что задача «зацикливается» на ЭВМ. Чтобы такой ситуации не произошло, в программе для ЭВМ предусматривают следующие логические переходы. Задают максимально возможное число итераций ^тах- Обычно штах — З-т-5. Если за заданное максимальное количество итераций ттах условие (2.105) не выполнилось (говорят, что итерационный процесс не сходится при заданных hn £), то шаг интегрирования делится пополам и вычисления с этого момента расчета производятся с уменьшенным шагом hi = Л/2. При значительно завышенном шаге интегрирования его деление может произойти в процессе вычислений несколько раз. Применение в программе для ЭВМ таких, логических переходов позволяет вести вычисления с автоматическим выбором шага интегрирования h в зависимости от заданной точности итераций %. В этом состоит одно из главных преимуществ итерационных методов Эйлера-Коши. Другим важным преимуществом этих методов является возможность интегрирования дифференциальных уравнений, в которых старшая производная имеет второй или более высокий порядок. При этом они не требуют преобразования исходных уравне^ ний динамики к системам, в которых порядок старшей производной равен единице, как, например, при применении методов Рунге-Кутта и других.
Разностные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти методы основаны на замене производных в дифференциальных уравнениях их приближенными разностными выра -жениями. Так, например, для дифференциального уравнения первого порядка (2.87) с начальными условиями (2.88) для любого произвольного узла с номером i (см. рис. 2.4, а) можно построить его разностный аналог
—	tt).	(2.114)
Левая часть выражения (2.114) является приближенным значением производной Zi в точке i. Чем меньше шаг интегрирования h, тем точнее будет представлена производная. Разрешая выражение (2.114) относительно z£+1, получим разностную формулу Эйлера для интегриро-3S
вания дифференциального уравнения (2.87) с начальными условиями (2.88) в следующем виде:
zi+^Zi+hf h).	(2.115)
Если необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка типа (2.92) с начальными условиями (2. 93), то можно свести его к системе (2.94) и применить для решения формулу (2.115) либо построить процедуру интегрирования, основанную на разностном представлении первой и второй производных. Разностное выражение для второй производной в точке i (см. рис. 2.4, а) будет иметь вид
-ТГ (2Z-!—2zf+zZ+1).	(2.116)
Заменяя дифференциальное уравнение (2.92) в любой произвольной точке с номером i его разностным аналогом с учетом выражения (2.116), будем иметь
(гг-1—2zf + г/+1) = / — (zf+1—zf), zit d .	(2.117)
n~	n	J
Начальные условия (2.93) примут вид:
	t = ti\ z=Zi; zf = ~ (Zf—Zj-i).	(2.118)
Из выражения (2.117) видно, что искомое значение zi+1 входит и в левую и в правую часть. Разрешая выражение (2.117) относительно zi+l, получим
zi+i = fi(h’ zi-i- Zi, ti).	(2.119)
Выражения (2.117), (2.118) или (2.119) называются явной разностной схемой для дифференциальной задачи (2.92) и (2.93).
Вид функции h (h, Zi-!, zi, ti) в выражении (2.119) определяется типом исходного дифференциального уравнения. Так, если рассмотреть дифференциальное уравнение (2.11), у которого правую часть примем в виде f (t) = A sin со/, то дифференциальная задача будет иметь вид:
z =—аг—6z+4sincoZ;	(2.120)
t — t-p, z = Zi, z = Zi =v.	(2.121)
Представив в выражения (2.120) и (2.121) производные в точке I разностными выражениями, получим:
7Г(гг-1—2zf+zi+1)=—7" (zi+l— z^— bZi+A sin (otf,	(2.122)
t^tp, z=Zi, -^(zf— Zf_j) = v.	(2.123)
h
Разрешая уравнение (2.122) относительно zi+1 и уравнение (2.123) относительно аг-_г, получим:
zi+i = r~.' ", [(2+ah—bh2) z~z£_i4-/i2 Д sin w/J;	(2.124)
1 -p CL fl
Zi-!=Zi—vh.	(2.125)
40
Начальное условие (2.125) используется всего лишь на первом шаге интегрирования для определения значения z^. После нахождения zi+l по формуле (2.124; в ЭВМ производится пересылка (t + 1) значений в i-тые, at — х— в (i — 1)-е и вычисления повторяются по формуле (2.124) столько раз, сколько необходимо знать значений функции z для анализа исследуемого процесса.
Дифференциальная задача (2.120) и (2.121) может быть представлена и другой разностной схемой, если первую производную представить не боковой, а центральной разностью.
Так, если
— q, (zi+i zi— i)»	(2. 126)
то разностная схема для выражений (2.120) и (2.121) будет иметь вид
2zf + zj+1)= —a/2ft(zz+1—Zj-i) —sin atb
ИЛИ
[{2-bh^Zt + — ^1 Zi^+^sin^-]; (2.127)
(2.128)
В математике существует весьма большое количество численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений — это различные модификации методов Адамса, Штермера, Милна и других. Эти методы основаны на разложении решения в ряды Тейлора, на разностном представлении производных и комбинации этих двух подходов.
Обыкновенные дифференциальные уравнения не охватывают все задачи динамики. В динамике существует обширный класс задач, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями в частных производных. К таким задачам относятся задачи о колебаниях балок, пластин, оболочек и комбинированных систем, представляющих собой непрерывные упругие среды.
2.6.	ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Метод сеток. Для интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных наиболее часто применяются разностные методы. Разностные методы (часто их называют методы сеток) основаны на представлении производных разностными выражениями. В этом случае исходная дифференциальная задача заменяется алгебраическими уравнениями относительно значений функций, расположенных в узлах
41
сетки. При интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных узлы сетки могут располагаться либо на плоскости (см. рис. 2.4,6) — для двухмерной задачи, либо в пространстве многих измерений — для многомерных задач. Размерность дифференциальных уравнений определяется количеством независимых переменных, от которых зависят функции. Например, если в дифференциальное уравнение входит функция одного переменного z (/), то имеем дело с обыкновенным дифференциальным уравнением (или с одномерной задачей). Для z — z (t, х) имеем двухмерную задачу, которая будет описываться дифференциальным уравнением в частных производных. При z — z (t, х, у) получается трехмерная задача и т. д.
Рассмотрим применение метода сеток для двухмерного дифференциального уравнения в частных производных
д2и д2и
(2.129)
В этом уравнении и (х, t) есть функция двух переменных, хи/. В динамике упругих сред таким уравнением описываются продольные или крутильные колебания стержней. Здесь и (х, t) — перемещения стержня, а — скорость упругой волны деформаций, зависящая от модуля упругости и плотности материала, р (х, /)— внешняя распределенная нагрузка.
Дифференциальному уравнению (2.129) должны соответствовать начальные и граничные условия следующего вида:
начальные условия:
/ = 0; u = u(x,0);	du —- =<p(x, 0); ot	(2.130)
граничные условия: ЛГ = О; u = 4|?o(O, /);	du — — =ipo(O, 0; dx	(2.131)
x=b; и =tyb(b, t);	du — —- =ipb(&, 0; dx	(2.132)
x-=-xmax = l;	du — 0; “7_=Я’г(/, 0-dx	(2.133)
Как видно из выражений (2.131) — (2.133), в общем случае граничных условий может быть больше двух (в отличие от краевых задач, где условия задаются только на краях прямоугольной области). Таким образом, выражения (2.129) — (2.133) представляют смешанную многоточечную граничную задачу. Начальные условия (2.133) дают значения функции и ее производных по t в начальный момент времени для всех значений координаты х. Граничные условия (2.131) и (2.133) определяют функции и ее производные по х при фиксированных значениях координаты х — 0, Ь, I для всех значений t.
42
Решение и (х, t) лежит в прямоугольной области 0 <
-^шах И	4пах- РЭ'
зобьем прямоугольную область сеткой (рис. 2.5). В этом случае координаты х и t будут меняться дискретно:
x=kj; t — hi,	(2.134)
где k, h — шаг аппроксимации (шаг сетки) по координатам х и t соответственно;
/, i — номера узлов сетки, отсчитываемые вдоль координат х и t соответственно.
Рис. 2.5. Сеточная область, на которой ищется численное решение дифференциальных уравнений в частных производных:
X — узлы с начальными условиями; О — граничные узлы; •—внутренние узлы области
При численном интегрировании уравнения (2.129) ищутся значения функций в узлах сетки при заданных начальных и граничных условиях.
Заменив в выражениях (2.129) — (2.133) производные по х и t разностными выражениями, получим разностную схему, соответствующую исходной дифференциальной задаче. Для любого узла с номером ji, не лежащего на границе, будем иметь
1	л2
i + ui, i + ui, i+i) = -^-(«/-i,i—	i)+p(k j, hi).
(2.135)
Для узлов с координатами (Лг/, 0) — начальных узлов:
t — 0; u = u(kj,O); —(tij, i+1—Uj, i)—0).	(2.136)
Для узлов, лежащих на границах:
1 _
х = 0; и = фо(О, hi); — («j+i, г—и;,г-)=ф0 (0, h i);	(2.137)
1 __
x = b; u = tyb(b, h i); — («j+i, f —uj-i, г) =фь (&, hi); (2.138)
x = l; u = qi(l, h («7+1. i—uj, i)=^l(l> hi)-	(2.139)
ft
Таким образом, выражения (2.135) —(2.139) представляют систему алгебраических уравнений относительно значений функций Uj,i в узлах сетки. Решение указанной системы по существу и представляет процедуру численного интегрирования дифференциального уравнения (2.129) методом сеток при заданных начальных (2.130) и граничных (2.131) — (2.133) условиях.
Метод сеток предполагает замену всех производных в дифференциальных уравнениях разностными выражениями.
43
При интегрировании дифференциальных уравнений часто используют также приемы, при которых не все производные заменяются разностными выражениями. Такой прием разработан для двухмерных дифференциальных уравнений (2.129).
Метод Канторовича (метод прямых). Для дифференциального урав-нения (2.129) метод прямых состоит в следующем. Производная в любом узле с номером / (за исключением граничных) представляется разностным выражением вида д2и	1
л 2 “ ьг	2 Wj4-U;+1),	(2.140)
д х2	k2
а производная по t сохраняется. Тогда для каждого узла с номером / будем иметь обыкновенное дифференциальное уравнение вида
а2
=	t],	(2.141)
описывающее поведение функции и (kj, f) вдоль прямых линий, параллельных оси t. Уравнения этих прямых на плоскости xOt будут: х = k; х = 2к; ...; х = jk; ... . Отсюда этот метод преобразования дифференциальных уравнений в частных производных в обыкновенные получил название метод прямых. Полученные дифференциальные уравнения записаны для узлов, не лежащих на границах, где значения функций и их производных заданы выражениями (2.131) — (2.133). Начальные условия заданы выражениями (2.130). В данном случае граничные точки лежат на прямых х = 0, х = b их- xmax = I.
Для узлов, расположенных на границах, могут быть записаны тоже обыкновенные дифференциальные уравнения вида (2.141). В этом случае значение узловой функции в (2.141) выражается через заданные граничные условия (2.131)—(2.133) в их разностном представлении (2.137) — (2.139). В общем виде дифференциальные уравнения для узлов, расположенных на границах, могут иметь вид
а2
l«n-i-(24-d)izn-Wn+1l+p[(n-l)ft. И-	(2.142)
к2
Величины аг и d в уравнении (2.142) получаются в результате преобразования уравнения (2.141) после подстановки в него выражений (2.137)—(2.139). В уравнении (2.142) п — номер граничного узла. Таким образом, метод прямых позволяет перейти от дифференциального уравнения в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (2.141) и (2.142). Количество дифференциальных уравнений (2.141) определяется количеством узлов / на расчетной области, количество уравнений (2.142) — количеством граничных точек п. В нашем случае имеем три граничные точки (х =0, х = b и х — /), следовательно, будем иметь три дифференциальных уравнения типа (2.142). Дифференциальные уравнения (2.141) и (2.142) представляют 44
систему, так как в каждое уравнение с номером / входят функции в трех соседних узлах w7_i, Uj и Uj+1. Например, для /=2 [см. уравнение (2.141)]:
а2	\
«2= “ТГ («1 — 2 и2-|-^з) +р (^’ О»
k2
а2
для /=3 из~	2 u3-|-u4) -j-p (2 k, t},	143)
.. a2
=	2uj + uj+1)+p \k (j—1), t}.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (2.142) и (2.143) представляет не смешанную граничную задачу, а задачу Коши (с начальными условиями), так как заданные граничные функции содержатся в уравнениях (2.143). Теперь для нахождения решения исходного дифференциального уравнения в частных производных (2.129) достаточно проинтегрировать системы (2.142) и (2.143) любыми численными методами, предназначенными для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, например одним из изложенных в п. 2.5.
Глава 3
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕРХНЕГО СТРОЕНИЯ ПУТИ
3.1.	ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ
Силы взаимодействия пути и подвижного состава, характер колебаний вагонов и локомотивов движущегося поезда связаны с особенностями конструкции и фактическим состоянием пути, в первую очередь его верхнего строения.
Вследствие непрерывно накапливающихся остаточных деформаций и других изменений в материалах конструкции пути, изменения температурного состояния (зимой и летом) геометрическое положение и деформационные свойства пути меняются как в пространстве, так и во времени (являются случайными величинами). Для расчета взаимодействия железнодорожного рельсового пути и подвижного состава часто упрощают задачу, принимая, в частности, в качестве расчетных некоторые осредненные (неслучайные) параметры.
Рельсы. Они создают непосредственную опору для колес и направляют их движение. Поверхность катания головок рельсов 1 (рис. 3.1). должна представлять собой плавную линию, чтобы не было ударов колес по рельсам. Рельсы в стыках соединены накладками 2 в непрерывную рельсовую нить. Но жесткость накладок на изгиб сравнительно мала , поэтому в стыке ось рельсовой нити имеет перелом на некоторый угол фст (рис. 3.2), который пропорционален изгибающему моменту, воспринимаемому рельсовой нитью. Для стыков в хорошем состоянии <рст = 204-30'. Движущееся колесо при проходе через стык со скоростью ип ударяет по принимающему концу рельса со скоростью иуд — — Уп^Рст-
Рельсы опираются на подкладки, подкладки — на шпалы, а шпалы распределяют давление рельсов по поверхности балластного слоя. Напряжения, возникающие в балластном слое, выше предела его упругого сопротивления, вследствие чего в нем постоянно накапливаются остаточные деформации. Чем больше жесткость рельса на изгиб, тем на большее число шпал он распределяет давление от колес, тем медленнее накапливаются в балластном слое остаточные деформации. В СССР используются три основных типа рельсов (Р50, Р65 и Р75), геометрически почти подобных друг друг и различающихся массой, приходящейся на 1 м длины. Чем больше масса рельса, тем он дороже, но при этом требуются меньшие затраты на ликвидацию расстройств пути, вызванных накоплением остаточных деформаций в балластном слое. Поэтому более тяжелые рельсы используются на участках с повышенной грузонапряженностью, -где первоначальные затраты окупаются быстрее.
46
Напряжения в зоне контакта колес и рельсов превосходят предел текучести. Вследствие этого поверхностные слои как колес, так и головок рельсов изнашиваются и сминаются, рельсы получают вертикальный износ hB (рис. 3.3, а). Поверхности катания головсх рельсов быстро прирабатываются к ср ед несетевой форме поверхности катания колес и устойчиво сохраняются такими во времени. В поперечном сечении поверхность катания головок рельсов на прямых участках пути всегда выпуклая с радиусом кривизны около 300 мм.
Головки рельсов па наружных нитях кривых участков пути изнашиваются гребнями колес. В результате образуется боковой износ рельсов k6 (рис. 3.3, б).
Неравномерный по длине рельса вертикальный износ головки создает волнообразную в продольном профиле поверхность катания рельса (рис. 3.3, в) с длиной волны/в и и глубиной Ави. Волнообразные неровности имеются и на поверхности катания колес, являясь следствием их неравномерного проката. Отдельные волнообразные неровности на колесах получаются после закатывания ползунов.
Движущиеся колеса давят на рельсы не только в вертикальном, но и в горизонтальном направлении. Поперечная составляющая динамического давления колеса на
Рис. 3.1. Поперечное сечение рельса и стыковой накладки
Рис. 3.2. Угол удара в стыке:
/	— поверхность катания
рельса в нагруженном состоянии; 2 — статическая траектория колеса
рельс, направленная от оси пути, больше, чем направленная к оси пути Поэтому рельс ставят не вертикально, а с некоторым наклоном внутрь колеи, называемым продуклонкой. На прямых участках железнодорожного пути подуклонка рельсов обычно равна коничности но-
Рис. 3.3. Виды износа рельсов:
а — вертикальный; б — боковой; в — волнообразный
47
Шпалы и промежуточные скрепления. Шпалы поддерживают рельсы и распределяют давление от них на верхнюю часть балластного слоя. Рельс опирается на шпалу через подкладку. Деревянная шпала под действием давления рельса сжимается, в результате чего значительно уменьшаются силы динамического воздействия колес на рельсы, особенно при их соударениях.
Важной характеристикой шпал является их масса. Чем больше масса отдельной шпалы, тем больше масса пути, принимающая участие в динамическом взаимодействии с колесом, и больше силы взаимодействия. Массу непропитанной деревянной шпалы при расчетах сил взаимодействия колес с рельсами рекомендуется принимать 50 кг, а пропитанной креозотовым маслом — 75 кг. Для экономии древесины применяют железобетонные шпалы. Масса их в зависимости от конструкции составляет от 200 до 250 кг. Повышенная жесткость железобетонных шпал компенсируется укладкой упругих прокладок между ними и рельсами.
В пути современной конструкции в зависимости от грузонапряженности линии укладывают 1440—2000 деревянных или железобетонных шпал на 1 км пути.
На ряде дорог испытывали конструкции непрерывного подрельсового основания, изготовляемые из сборных железобетонных блоков (рис. 3.4), которые еще больше увеличивают массу и жесткость пути.
Промежуточные скрепления служат для прикрепления рельсов к деревянным шпалам. В простейшем промежуточном скреплении костыли крепят к шпалам рельса и подкладке одновременно, поэтому такое скрепление называют нераздельным.
Широкое распространение получило раздельное скрепление, когда подкладка прикрепляется к шпале шурупами, а рельс — к подкладке самостоятельным креплением. Раздельное скрепление используется при железобетонных шпалах и блоках. При нераздельном скреплении горизонтальная поперечная динамическая сила нажатия колеса 10 кН отжимает головку рельса на 1—1,5 мм, а при раздельном — в 2—3 раза меньше.
Балластный слой. Для сохранения первоначального расположения шпал в процессе эксплуатации и для снижения напряжений на основ-
Рис. 3.4. Железобетонное подрельсовое основание 48
Рис. 3.5. Повреждения основной площадки земляного полотна
ной площадке земляного полотна и предохранения ее от появления остаточных деформаций предназначен балластный слой.
Динамические нагрузки, передаваемые шпалами на балластный слой, довольно велики, поэтому в нем возникают остаточные деформации. Интенсивность их накопления под различными шпалами неодинакова, вследствие чего между рельсами, шпалами и балластным слоем образуются зазоры, которые изменяются от одной шпалы к другой. Поэтому в разных точках пути при нажатии одного и того же колеса прэсадки рельса будут различными. Их можно рассматривать как неровности на пути, появляющиеся под нагрузкой катящегося колеса. Неровность такого происхождения называется силовой.
Прогиб в стыке есть также силовая неровность, вызванная пониженной жесткостью на изгиб рельсовой нити в стыке.
Если остаточные деформации приблизительно одинаковы и накапливаются под группой смежных шпал, то рельсы прогибаются под действием собственного веса. Тогда неровность по головке рельса появляется и без воздействия движущихся колес. Такая неровность называется геометрической. К неровностям этого вида следует отнести и неровности, вызванные волнообразным износом головок рельсов, их остаточными искривлениями и т.п.
Основная площадка земляного полотна. Земляное полотно делается в большинстве случаев из местного грунта, прочность которого резко снижается при увлажнении. Поэтому основную площадку земляного полотна, на которую укладывается верхнее строение пути, тщательно выравнивают, делают поперечные скаты для облегчения стока воды, просачивающейся сквозь балластный слой.
Если давление балластного слоя на основную площадку велико, например при больших нагрузках от колесной пары на рельс, на ней возникают небольшие углубления, в которых застаивается вода (рис. 3.5). С течением времени эти углубления увеличиваются, что может привести к полному разрушению земляного полотна. Даже небольшие неровности основной площадки способствуют неравномерному распространению влажности грунта земляного полотна вдоль пути. Замерзание грунта зимой вызывает неравномерный подъем рельсов по сравнению с их уровнем летом. Такого типа неровности (пучины) возникают и вследствие неравномерного разного по объему притока грунтовых вод вдоль пути в зону промерзания. Пучины имеют высоту до нескольких десятков миллиметров, а иногда достигают 100—200 мм и более.
49
Устранять образовавшиеся неровности основной площадки земляного полотна очень трудно и дорого, особенно на грузонапряженной линии.
3.2.	ОСОБЕННОСТИ УСТРОЙСТВА ПУТИ НА КРИВЫХ УЧАСТКАХ
Железнодорожный путь состоит из чередующихся прямых и кривых участков. На вагон, движущийся по кривой со скоростью и, действует горизонтальная центробежная сила (рис. 3.6). Она способствует опрокидыванию вагона, вызывает неприятные ощущения у пассажиров и перегружает наружный рельс, может стать причиной смещения перевозимых грузов. Для компенсации действия центробежной силы в кривой радиусом R наружный рельс укладывают выше внутреннего. Величину возвышения h наружного рельса обычно определяют из условия, чтобы вертикальные нагрузки колес ла головки обоих рельсов были одинаковыми. Следовательно,
где Яц — центробежная сила;
т — масса вагона;
g — ускорение свободного падения;
2 s — ширина колеи;
а — угол возвышения рельса.
Ео
Тогда
2 svi 2 h =---- .
gR
Подставив в последнюю формулу значения s и g, получим
V2
Л=12,5—,	(3.2)
где
2 mi
у2 — —-----.
i
Максимально допустимое возвышение наружного рельса на кривом участке составляет 150 мм.
Если вагон движется по кривой с большей скоростью, то возвышение наружного рельса не может полностью компенсировать центро-50
Рис. 3.6. Возвышение наружного рельса на кривом участке пути
Рис. 3.7. Сопряжение прямых участков пути и круговых кривых
бежную силу. На пассажиров (грузы) будет действовать поперечная сила. Часто вместо этой силы вводят понятие непогашенного ускорения
и2	h
a‘n,=~~R~~~2T	(3'3)
В качестве предельно допустимой нормы для пассажиров принимают яну = 0,7 м/с2. Тогда для заданной кривой из формулы (3.3) легко получить значение предельно допустимой скорости движения.
Переход от прямого участка пути 1 (рис. 3.7), на котором центробежная сила равна нулю и головки обоих рельсов лежат в одном уровне, к круговой кривой 3, где центробежная сила может быть достаточно большой, выполняется с помощью так называемой переходной кривой 2 на длине /пк. В пределах переходной кривой кривизна 1/р(х) изменяется от нуля на границе с прямым участком пути до кривизны круговой кривой пропорционально расстоянию от начала переходной кривой (радиоидальная спираль):
Р=	(3.4)
‘X
где С — RIhk — параметр переходной кривой, уложенной по радиальной спирали.
В каждом сечении переходной кривой соотношение между hnK и р выдерживается таким же, как и в круговой кривой.
Вход вагона в переходную кривую из прямого участка или круговой кривой сопровождается появлением вращения относительно продольной оси, что вызывает колебания кузова на рессорах. При большой скорости и короткой переходной кривой возникают значительные боковые колебания вагона. Чем меньше угол отвода возвышения в переходной кривой г, т. е. чем больше /пк, тем меньше этот дополнительный динамический эффект.
51
В вертикальной плоскости в начале и конце переходной кривой образуются углы i. Если i > 3°/00, то для смягчения входа вагонов в переходную кривую и схода с нее рельсы в вертикальной плоскости кладут по кривой радиусом 7?верт = Ю ООО м.
3.3. ОЦЕНКА ФАКТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ПУТИ
Железнодорожный путь устраивается и содержится по следующим нормам.
Ширина колеи — расстояние между внутренними гранями головок рельсов, измеренное в плоскости, перпендикулярной оси пути, на уровне 13 мм от линии, касательной к головкам обоих рельсов,—на прямых участках пути и на кривых радиусом 350 м и более установлена 15201® мм (на кривых радиусом менее указанного она увеличивается).
Интенсивность изменения ширины колеи по длине пути называется отводом ширины колеи. Отвод ширины колеи в пределах установленных допусков должен быть не более 1 мм на каждый метр пути (т. е, в этом случае 1:1000) для скоростей пассажирских поездов до 120 км/ч и грузовых до 90 км/ч. Чем больше скорость движения поездов, тем положе должен быть отвод ширины колеи.
Регламентация ширины колеи важна по следующим соображениям. При зауженной колее часто возникает соприкосновение гребней колес с головками рельсов сразу по обеим рельсовым нитям. Из-за этого увеличивается сопротивление движению поезда, ускоряется износ гребней колесных пар и рельсов.
С увеличением ширины колеи одновременные контакты гребней колес крайних осей в тележке становятся более редкими, но одновременно увеличивается предельно возможная амплитуда горизонтального извилистого движения экипажей в прямых участках пути, что приводит к значительному увеличению поперечных горизонтальных усилий взаимодействия колес и рельсов. Кроме того, возрастает предельно возможный угол набегания передней направляющей колесной пары тележки ла головку рельса, что повышает вероятность вкатывания гребня набегающего колеса на головку рельса с последующим сходом с рельсов.
Так как перечисленные явления оцениваются величиной зазора между гребнем колеса и головкой рельса, а сам зазор определяется шириной колеи и износом гребней, то становится понятной важность регламентации как предельной ширины колеи, которую целесообразно сужать (изменена ширина колеи с 1524 на 1520 мм), так и предельного износа гребней, который для скоростных поездов должен быть существенно ниже, чем для обращающихся с относительно небольшими скоростями.
На прямых участках пути нет возвышения одного рельса над другим. Общая касательная к головкам обоих рельсов линия должна быть горизонтальной. Допускаются местные возвышения одного рель-52
Рис. 3.8. Схема контроля кривизны кривой
са над другим не более чем на 4 мм с отводами не круче 1:1000 при скорости v < 120 км/ч и 1:1500 при скоростях v = 1214-140 км/ч. На длинных прямых участках для уменьшения амплитуды извилистого движения вагонов разрешается устанавливать один рельс выше другого на 4 мм на всей длине этих участков. При этом допускаются дополнительные отклонения возвышения с соблюдением отводов по уровню в ранее указанных пределах.
Отклонения фактического положения кривой в плане от проектного оцениваются разностью между проектной и фактической кривизной наружного рельса. Для определения фактической кривизны замеряют стрелу сегмента f (рис. 3.8). Если длина хорды а мала по сравнению с радиусом R, то стрела сегмента f = а2 /8 R может служить мерой кривизны пути. Длина хорды а принимается равной 20 или 10 м. Замеры выполняют через интервал 0,5 а.
Изменения кривизны вдоль пути приводят к возникновению колебаний подвижного состава, поэтому вводятся соответствующие огра-
ничения. В частности, ограничивается разница между величинами стрел f в смежных точках замеров: она допускается не более 8 мм на прямых и кривых R >> 650 м при скоростях движения 90 и 120 км/ч для грузовых и пассажирских поездов соответственно, с повышением скоростей
эта норма снижается.
Все параметры, характеризующие фактическое положение пути в плане и профиле, определяют с помощью съемных путеизмеритель-
ных тележек или вагонов, движущихся со значительными скоростями. В связи с тем что геометрические характеристики пути не всегда определяют динамику взаимодействия его с подвижным составом, они долж
ны дополняться измерением динамических характеристик, например сил взаимодействия колес с рельсами.
3.4. НЕРОВНОСТИ РЕЛЬСОВОГО ПУТИ
Неровности железнодорожного пути — главная причина колебаний вагонов при движении.
В зависимости от природы и проявления неровностей различают следующие их виды:
по распределению по длине пути — систематические и случайные;
по положению плоскости, в которой они находятся, — вертикальные и горизонтальные;
по зависимости от нажатия колеса на рельс — геометрические, которые по величине, форме и расположению не зависят от силы нажатия колеса и обусловлены в основном неравномерным износом
53
a — схема неровности; б — размер неровности
рельсов по длине пути и их искривлениями, и силовые, проявляющиеся только под воздействием нажатия колеса на рельс и обусловленные неравномерностью упругих характеристик пути по его длине.
Примером силовой неровности может быть неровность, вызванная наличием зазора 6 (рис. 3.9) между подошвой рельса и одной из шпал.
Глубина силовой неровности А по головке рельса, пока не выбран зазор 6, составит
Pk k 1Ш д =----- --------.
2 и 2— k /пт
Здесь и — модуль упругости рельсового основания (для деревянных шпал и = 10 4- 50 МН/м2, для железобетонных и = 20 4-4- 100 МН/м2); /г4 = ~j (EJ — жесткость сечения рельса на изгиб).
Максимально возможная глубина неровности, когда выбран зазор б, составит
С увеличением отклонений деталей пути и подвижного состава от проектного очертания, например вследствие износов контактирующих-ся поверхностей, из-за коррозии, остаточных деформаций и других причин, растут силы взаимодействия колес и рельсов, снижается безопасность движения поездов.
Влияние конкретных неисправностей вагонов на силы взаимодействия с путем можно оценить методами, которые будут изложены ниже, а предельно допустимые значения сил можно установить исходя из целей расчета и требований безопасности движения.
Возможность крушения поезда вследствие технических неисправностей вагона должна быть исключена. Поэтому расчет следует вести в предположении, что все отклонения (во всех элементах конструкции вагона и пути) являются неблагоприятно действующими на силы взаимодействия колес и рельсов и все отклонения в совокупности создают наибольшую угрозу безопасности движения поезда. Но так как все расчеты сил взаимодействия ведутся по математическим моделям вагона, то результаты расчета каждой отдельной составляющей суммарной силы взаимодействия колеса и рельса являются приближенным рас-
54
четом. Поэтому в расчет вводится коэффициент запаса устойчивости и прочности.
Все фактические неровности продольного профиля пути по их повторяемости можно разделить на закономерные и случайные. К закономерным неровностям следует отнести, например, неровность, обусловленную просадкой стыков. Период такой неровности равен стандартной длине рельса, т. е. 12,5 или 25 м, а глубина (амплитуда аппроксимирующей гармоники), определяемая совокупностью геометрических и динамических неровностей, может приниматься в расчетах 5—10 мм для пути, находящегося в хорошем состоянии, и до 10—15 мм для пути в удовлетворительном состоянии.
На большей части рельса головка обычно лежит приблизительнб В одном уровне и только в зоне стыка на расстоянии 2—3 м ст него рельсовая нить получает заметные дополнительные просадки. Эти просадки меньше для более тяжелых рельсов: если для рельса Р50 глубину стыковой неровности принять за 100%, то для рельса Р65 она будет составлять около 75%.
Случайные неровности обусловлены просадкой группы смежных шпал и неровностями на головке рельса, образовавшимися при прокатке и полученными вследствие неравномерного износа.
Смежные неровности различаются по длине и амплитуде. Неровности с близкими значениями длин образуют отдельные, иногда четко выраженные группы. Обычно в группе две-три волны неровностей, реже четыре. Длина волн з группе может различаться на 20—30 %. Отношение амплитуд неровностей одной группы также колеблется з очень широких пределах.
Перекосы, под которыми понимаются разносторонние отклонения по уровню обеих рельсовых нитей в сечениях, расположенных на некотором расстоянии (менее 25 м) вдоль оси пути, допускаются не более 7 мм. Отклонения действительного положения рельсовых нитей в плане от проектного бывают двух разновидностей: периодические и непериодические.
Периодические отклонения рельсов в плане вызваны конструкцией пути и особенностями воздействия подвижного состава. На кривых участках пути рельсовые нити лежат фактически не по проектной круговой кривой, а по некоторому криволинейному многоугольнику. Это происходит вследствие недостаточной жесткости стыковых соединений. В зависимости от радиуса кривой и тщательности содержания пути значения таких отклонений, измеренных от среднего положения рельсов, может колебаться от 1 до 10 мм независимо от типа рельсов.
На прямых участках пути горизонтальные отклонения возникают из-за непрямолинейности концов рельсов. В некоторых случаях на пути из новых рельсов уже имеются горизонтальные неровности размером 1—2 мм в стыках. Форма горизонтальных неровностей, возникающих в пределах стыков, изучена недостаточно подробно. Можно считать, что длина таких неровностей распространяется на 2—3 м в каждую сторону от стыка.
55
В результате извилистого движения подвижного состава на пути постепенно накапливаются волнообразные неровности в горизонтальной плоскости. Эти неровности имеют длину волны, которая связана с длиной волны извилистого движения основной массы экипажей и практически не зависит от длины рельса. Такие неровности наблюдаются как на пути с болтовыми стыками, так и на бесстыковом. Длину их воля можно принимать 10—15 м при амплитуде 1—3 мм.
Непериодические отклонения в положении рельсовых нитей в профиле и в плане обусловлены неравномерным накоплением сстаточных деформаций в каждой шпале и в балласте под каждой шпалой. Эти отклонения имеют волнообразный характер с длиной волны от одного до нескольких метров и с амплитудой от 1 дс 3 мм. Меньшим длинам волн соответствует и меньшая амплитуда.
Вертикальные и горизонтальные неровности пути являются основной причиной, вызывающей большие усилия взаимодействия колес и рельсов.
Таким образом, железнодорожный путь в вертикальной и горизонтальной плоскостях предетавляет собой волнообразную линию с незакономерно (случайно) изменяющимися длинами и амплитудами волн.
Неровности на каждом отрезке пути обусловлены множеством причин, которые невозможно точно учесть. Размеры неровностей заранее нельзя точно предсказать, они являются случайными. Общая неровность рельсовых нитей как функция их длины х или времени t, значение которой при каждом данном значении аргумента (х или t} является случайной величиной, называется случайной функцией. Однократно записанная на некотором пути неровность рельсовых нитей есть реализация случайной функции. Повторные относительно короткие реализации случайной функции для одного и того же участка, однородного по конструкции и состоянию рельсового пути, или его длинных отрезков в общем случае различаются между собой. Но если вычисленные для них статистические характеристики—среднее значение отклонений (математическое ожидание), дисперсия (мера рассеивания отдельных отклонений от средней вличины), средние квадратические отклонения — практически не отличаются от характеристик, вычисленных на основе реализации случайной функции для всего данного участка пути, то такую случайную функцию называют стационарной и эргодической.
Для изучения динамики вагона, движущегося по участку пути большой протяженности, случайные неровности которого характеризуются стационарной и эргодической функцией, достаточно поставить опыт только на представительной части длины этого участка, а при расчетах с помощью вычислительных машин в качестве возмущающей функции ввести в машину соответствующий отрезок реализации случайной функции. Результат исследования позволяет достаточно полно представить поведение вагона на пути такой конструкции и такого технического состояния. Однако этот способ громоздок и для облегчения сопоставления выводов необходимо дополнительно обработать по-56
лученные данные, чтобы получить статистические характеристики изучаемого динамического процесса.
Применив так называемый спектральный метод, можно получить те же харак1еристики и аналитическим методом.Для этого путем соответствующей обработки на математических машинах реализации случайней функции неровностей т] (/) необходимо получить ее корреляционную (автокорреляционную) функцию
k (T) = lim -^-f tj (О т] (* + т) dt, т-°° Т Jo •
где ц (/) — реализация случайной функции;
т — аргумент корреляционной функции, представляющий собой временной сдвиг случайного процесса;
Т — продолжительность реализации случайной функции.
Из этого выражения следует, что корреляционная функция представляет собой математическое ожидание произведения ординат реализации случайной функции, взятых со сдвигом т одна относительно другой.
По найденной величине k (т) с помощью преобразования Фурье определяется спектральная функция s (со) неровностей рельсового пути
1 00 s (со) =— [ к (т) cos (о т d х, л о
где со — частота гармоник вынужденных колебаний.
Полученная спектральная функция случайной неровности используется при вычислении статистических характеристик динамического процесса движения вагона.
Современные методы путеизмерения позволяют получать непрерывные реализации случайных вертикальных и горизонтальных неровностей железнодорожного рельсового пути и соответствующие им корреляционные функции.
3.5. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВЕРХНЕГО СТРОЕНИЯ ПУТИ
Важной расчетной динамической характеристикой верхнего строения пути является его жесткость. Жесткость пути различна в вертикальном и горизонтальном направлениях, неодинакова она в стыке и в середине рельса.
Вертикальная жесткость пути определяется отношением действующей на головку рельса вертикальной нагрузки к вертикальному перемещению точки контакта колеса с рельсом. Это перемещение вызвано прогибом рельса, сжатием упругих прокладок в промежуточных скреплениях, сжатием и изгибом шпал, сжатием балластного слоя и верхней части земляного полотна. Кроме того, на перемещения влияют зазоры
57
Таблица 3.1
Подрельсовое основание		Вертикальная жесткость пути (рельсы Р65), МН/м	
		летом	зимой
Шпалы	деревянные, балласт щебеноч-	40—50	100—120
ный		30—40	80—100
Шпалы	железобетонные, балласт ще-	100—150	150—200
беночный		80—120	140—160
Примечание. В числителе — при хорошем состоянии пути, в знаменателе — при удовлетворительном.
между всеми элементами верхнего строения пути. В зависимости от конструкции верхнего строения пути, его фактического состояния и времени года жесткость пути в вертикальном направлении может изменяться в очень широких пределах (табл. 3.1).
Дополнительное сопротивление деформированию верхнего строения пути создается силами трения, возникающими в его конструкции. Силы трения условно разделяют на две составляющие: пропорциональную просадке рельса под нагрузкой (аналог сухого трения) и пропорциональную скорости изменения просадки (аналог вязкого трения).
Для приближенных расчетов можно принимать, что реакция пути за счет сухого трения составляет при статическом действии нагрузки (только для пути на шпалах) 25% величины упругой реакции. Для оценки величины сил вязкого трения, которые возникают одновременно с силами сухого трения в процессе динамического взаимодействия пути и подвижного состава, коэффициент вязкости определяют опытным путем.
В верхнем строении пути развиваются силы инерции, которые слагаются из сил инерции в рельсах, шпалах, балластном слое и земляном полотне. При этом следует различать два крайних случая: первый— движение вдоль пути постоянной силы с постоянной скоростью, второй—действие на путь неподвижной силы, изменяющейся во времени по некоторому закону.
Второй случай соответствует, в частности, ударному взаимодействию колеса и рельса.
Колеса соударяются с рельсами во время прохождения стыка, при наличии ползуна на колесе, при движении по рельсу с короткими неровностями, образованными вследствие волнообразного износа. Продолжительность удара составляет миллисекунды. За это время волны деформации верхнего строения пути не успевают распространиться далеко. В основном они захватывают только сравнительно небольшие по длине участки рельса.
58
При приближенном расчете сил соударения колеса и рельса колеблющуюся массу пути можно заменить условной массой, сосредоточенной в точке удара, — приведенной массой пути.
Приведенная масса — это условная величина, которая представляет собой коэффициент пропорциональности в расчетных уравнениях, связывающих скорость удара колеса по рельсу с максимальной силой соударения. Коэффициент пропорциональности может быть определен сопоставлением экспериментально определяемых скорости соударения и максимальной силы удара колеса по рельсу в нескольких частных случаях. Найденное значение приведенной массы можно использовать при расчетах сил удара колеса по рельсу для той конструкции пути, которая была принята в эксперименте.
В первом приближении приведенную массу и соответствующую ей длину отрезка рельса можно принимать:
Тип рельса .......................
Масса, кг................................
Длина, м.................................
Р50	Р65	Р75
100	150	200
2	2,5	3
Определить приведенную массу при ударном взаимодействия колес и пельсов в стыке очень сложно. Для ориентировочной оценки можно принять, что она в 1,5 раза меньше, чем в промежуточных сечениях рельса.
Горизонтальная жесткость пути определяется отношением горизонтальной поперечной (боковой) силы, приложенной к головке рельса, к вызванному ею отклонению головки от положения в ненагруженном состоянии. Это отклонение отжатия возникает из-за деформации упругих прокладок между рельсами и шпалами, деформации шпал и смещения подошвы рельса по шпале. Размер отжатия головки существенно зависит от материала шпалы (особенно при деревянных шпалах), времени года и конструкции промежуточных скреплений. Жесткость рельсовых нитей в горизонтальном поперечном направлении для приближенных расчетов приведена в табл. 3.2.
Горизонтальная жесткость рельсовых нитей в стыке, как и вертикальная, 1,25—1,5 раза ниже, чем в промежуточных сечениях.
Таблица 3.2
Материал шпал	Промежуточное скрепление	Горизонтальна я жесткость рельсовых нитей, МН/м
Древесина Железобетон	Нераздельное Раздельное »	10/15 20/25 25/ЗС
Примечание. В числителе — летом, в знаменателе — зимой.
56
3.6. СТРЕЛОЧНЫЕ ПЕРЕВОДЫ
При расчете взаимодействия вагонов со стрелочными переводами (рис. 3.10) наибольший интерес представляют стрелка, переводная кривая (соединительная часть) и крестовина с контррельсами. При движении вагона по переводной кривой возникают большие колебания кузова, которые в неблагоприятных условиях могут привести к сходу вагона с рельсов. Зо время прохода по стрелке и крестовине возникают значительные силы инерции в неподрессоренных массах.
Наиболее неблагоприятными при движении подвижного состава по стрелке будут следующие два случая: движение от стрелки «против шерсти» и движение от крестовины «по шерсти». В первом случае з самом начале накатывания колеса на остряк при наличии подреза гребня (особенно с остроконечным накатом) возможно попадание его в зазор между рамным рельсом и остряком, что неизбежно вызовет сход вагона с рельсов. Для безопасности движения необходимо соблюдать допускаемые нормы по вертикальному подрезу гребней колес.
При движении по стрелке «против шерсти» колесо на некотором расстоянии от начала остряка придет в соприкосновение с его боковой гранью. В результате должно измениться направление движения колесной пары. Произойдет как бы соударение колеса с рельсом в горизонтальной плоскости. Чем меньше угол [3 между рамным рельсом и остряком. тем меньше сила удара при движении поезда (^против шерсти») на боковой путь.
При движении «по шерсти» по стрелке с бокового пути подвижного состава с большим прокатом колес может произойти отжатие рамного рельса вследствие того, что наружная часть поверхности катания колеса с прокатом опустится ниже поверхности катания рамнсго рельса.
Чтобы рассчитать силы взаимодействия колес и стрелки, необходимо знать жесткости рамного рельса и остряка в горизонтальном направлении. Жесткость рамного рельса в горизонтальном направлении можно принять в 1,5 раза больше жесткости рельсовой нити вне
Рис. 3.10. Схема обыкновенного одиночного стрелочного перевода 60
Рис. 3.11. Схема перекатывания колесной пары по крестовине: а — положения колесной пары в плане; б — траектория центра колеса
стрелки. Это обусловлено прежде всего более жесткой конструкцией промежуточного скрепления. Жесткость остряка в горизонтальном направлении за пределами зоны прилегания к рамному рельсу может быть принята для расчетов равной жесткости рельсовой нити.
Перекатывание колесной пары с усовика на сердечник крестовины (рис. 3.11) приводит к искажению траектории центра тяжести колеса вследствие изменения радиусов — г3 фактических кругов катания колеса в процессе качения, а также вследствие неравномерного износа крестовины по длине. Если разные колеса имеют значительный и неодинаковый прокат, то это искажение нельзя устранить ни изменением продольного профиля усовика и крестовины, ни снижением норм их предельного износа. Размеры возникающей неровности т]кр меньше у малоизношенной крестовины, поэтому для участков, на которых поезда движутся со скоростями 140—160 км/ч и более, уменьшают предельно допустимые нормы износа крестовин и усовиков. Допустимый прокат на колесах скоростных поездов также уменьшен с 7 до 5 мм. Однако, движение колес по крестовинам всегда сопровождается ударом.
Жесткость пути в пределах крестовины в 1,5—2 раза больше, чем в середине рельсового звена. Крестовина намного массивнее рельса, поэтому и масса пути, принимающая участие в ударных процессах, в пределах крестовины превышает массу пути типовой конструкции за пределами стрелки.
В расчетах рекомендуется принимать приведенную массу в пределах крестовины с сердечником, отлитым вместе с наиболее изнашиваемыми частями усовиков, в 2 раза больше приведенной массы соответствующего рельса, а для цельнолитой крестовны — в 4 раза больше.
Кроме вертикальных ударов колес при перекатывании их по крестовине, могут появиться удары в горизонтальной плоскости. Колесо ударяет по отведенной части усовика при движении вагона «по шерсти», когда оно входит в желоб между сердечником и усовиком.
Горизонтальная жесткость системы «колесная пара-крестовина» определяется деформацией входящих в нее элементов. В цельнолитой крестовине усовики с сердечником составляют единую деталь. Деформации их в этом случае очень малы. Жесткость колесной пары в большой степени зависит от конструкции колеса и размеров оси. Для приближенных расчетов можно принимать горизонтальную жесткость системы «усовики крестовины — колесная пара» равной 10 МН/м.
61
Глава 4
ДИНАМИКА НЕПОДРЕССОРЕННЫХ МАСС ВАГОНА
4.1. РАСЧЕТ УДАРА КОЛЕСА ПО РЕЛЬСУ
'Силы удара колес по рельсам во время движения подвижного состава при определенных условиях достигают значительных величин и явл.яются важной причиной разрушения непэдрессоренных частей вагонов. а также элементов верхнего строения пути и прежде всего рельсов.
К неподрессоренным массам грузового вагона относятся колеса, оси, буксы и боковые балки тележек, если между ними и буксами нез упругих прокладок.
При ударе по рельсу ускорения перемещения колеса 3 (рис. 4.1, а) существенно больше ускорений колебаний кузова 1 на рессорах 2, поэтому влиянием колебаний кузова на силы ударного взаимодействия колеса и рельса можно пренебречь/
Для определения силы давления колеса на рельс произведем рассечение геометрической схемы по месту контакта колеся с головкой рельса 5. Так как колесо и рельс являются упругими телами, то их упругость нельзя не учитывать. Представим эту упругость в виде фиктивной контактной пэужины 4, расположенной между колесом и рельсом и обладающей жесткостью с. При таком упрощении не понадобится учитывать колебания в колесе и рельсе, т. е. не будет необходимости использовать дифференциальные уравнения в частных производных, необходимые для описания упругих колебаний соударяющихся тел.
Силовая расчетная схема в координатах zH иг? — перемещение соответственно неподрессоренных масс и рельса — показана на рис. 4.1, б. Воздействие кузова представлено силой тяжести QB, масса неподрессоренных частей — тп, силы инерции в неподрессоренных массах — Рин, сила нажатия колеса на рельс — Рк. Из двух тел в силовой расчетной схеме первым рассматриваем колесо. Все силы, направление которых неизвестно, считаем действующими в положительном направлении при принятом правиле знаков.
’ Для рельса в соответствии с расчетной схемой принято: сила нажатия основания — <2Р о, приведенная масса рельса — тр, сила инерции в рельсе — Р„р. На основании этих обозначений легко составить систему расчетных уравнений — математическую модель:
геометрические зависимости в рассматриваемой системе — деформации связей:
»б—'гк — 2н5 £к — 2н гр!
62
физические зависимости:
Рик= /?гн2н;^>ир= --mpZp; Рк = 1вКСКг P() — Zf)C()‘,
условия равновесия (пренебрегая Р5 по малости в сравнении с PJ:
Рин — Рк — 0; РИр+Рк = 0.
Подставляя в условия равновесия геометрические и физические зависимости, получим:
тН21' + Ск(2Н 2n)=0: 1 Л	¥ .	тн + тр	_	..
Ч - ( ОткУда £к + ск --------- £к=0.	(4.1)
тр 2р ск i2h 2р) — 0, J	тнт.р
Общее решение дифференциального уравнения (4.1) примет вид £к=Ci cos X/ + С2 sin kt, „„„ i i f mu + mn
-Де Л = I/ c ——!---E — частота колебании масс системы.
Г « mHmp
Рассмотрим случай движения колеса с ползуном (ряс. 4.2). Постоянные интегрирования находим из начальных условий:
при t = 0:
zH = Zp = 0; гн = и-уд = ип~ (ип — скорость поезда; /п — хорда ползуна; г радиус колеса), откуда = sin kt.
К
Рис. 4.1. Расчетные схемы взаимодействия, колеса с рельсом: а — геометрическая; б — силовая
63
Рис. 4.2. Расчетная схема движения по рельсу колеса с ползуном
Неподрессорснныс части телепни
Рис. 4.3. Детализированная силовая расчетная схема
f
II р * Половина оси с т т uofi буксой
Т7о6
Колесо
Приведенная масса рельса
Приведенная масса рельсового основания

Наибольшая сила удара колеса по рельсу будет
Рк max==^cK=vy„
/Лц/И Р тн+пгр
1 .--------------------------------
. . ,т иуд Исктр-1 -t~ttZp/fnH
(4.2)
Для уменьшения силы удара колеса по рельсу целесообразно, как это следует из полученного решения, уменьшать массу колеса и контактную жесткость.
Для уменьшения контактной жесткости, кроме утонения диска при изготовлении колеса из более прочных сталей и изменения его формы, можно использовать упругие диски со встроенными резиновыми вставками и т. п.
Для уточнения расчета систему «колесо—рельс» можно разделить на несколько частей (рис. 4.3).
Аналогично для каждой из остальных элементарных частей расчетной схемы (букса, ось, колесо, рельс и т. п.) следует составить подобные системы уравнений. Решение объединенной системы выполняется на ЭВМ.
64
4.2. СИЛЫ БЕЗУДАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОЛЕСА С РЕЛЬСОМ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО КОРОТКИМ НЕРОВНОСТЯМ И СТРЕЛОЧНЫМ ПЕРЕВОДАМ
Рассмотрим расчет сил взаимодействия при движении колеса по неровности т]р (рис. 4.4) на рельсе или при наличии неровности т]к на колесе. Движение колеса будем считать безотрывным, а размеры неровностей — достигающими нескольких миллиметров, т. е. большими, чем контактные деформации колеса и рельса при соударении.
Прогиб рельса zp в процессе движения колеса по короткой неровности вызывает значительные изменения реакции рельсового основания. Следовательно, в расчетную схему следует ввести, кроме фиктивной контактной пружины, еще пружину, моделирующую жёсткость рельсового основания сро. Жесткость буксовых рессор мала по сравнению с жесткостью основания рельса, поэтому изменениями давления Рб этих рессор можно пренебречь.
Во всех сечениях пути zp отсчитывается от ненагруженного положения рельса при нелинейной характеристике связи и от равновесного положения при линейной.
Математическая модель для системы (см. рис. 4.4) получена аналогично предыдущему:
геометрические зависимости:
гн = гр4"тЕ 'Пк + 'Пр — 'П^ £o = zp; ?б = гн;
физические зависимости:
Рир — Р б ~ сб ъ5« Рин = тнгн'г Ppo = c0^oi Pwp= m-pZ-p',
условия равновесия:
Рк = ^ин— ^б^к——-Рир + ^ро или ^ин + -'ир — ?б —Л) = °-
Рис. 4.4. Расчетная схема безударного взаимодействия колеса с рельсом
3 Зак. 557	65
Подставляя в условия равновесия из геометрических и физических зависимостей, получим:
тнгн + mpZp + сбгн + cozp = О
или
(4.3)
(тн + mp) zp + (сб 4- с0) zp = — тк т) — сб т);
(Я1н4-/Пр) гн4-(сд-{-Го) гн = тр т] + с0 т].
Оценку силы взаимодействия колеса с рельсом удобней производить по первому из дифференциальных уравнений (4.3) при каком-либо виде неровности. В частности, при движении по непрерывной периодической неровности вида т] = 6 sin со/ будем искать zp (при Со ~ О и тр « О, Хн = ]/c0/znn) из дифференциального уравнения
, (<»А)3 .
^HZp+coZp=—/пня» откуда гр = б   ——- sin со t
1—(<0/Л)2
при установившемся движении (свободные колебания затухли). Движение колеса по изолированной неровности вида т] = - (1 —
— cos cor); со — — v происходит по дифференциальному уравнению /nHzp4-c0zp = —znH-|-£2cos (о/, решение которого в переходном процессе будет
6	(to/k)2
zD=---------(cosl/—cos tot).	(4.4)
p 2 1-(®/M2
Наибольшая деформация zp max — 1,47 6 при скорости икр = 2 I	____
=2 2яУсоответственно <о/Х = 1,5.
Частным случаем взаимодействия колес и рельсов является проход колеса по рельсовому стыку. Статическая траектория колеса при этом схематически изображена на рис. 3.2. Сила соударения колеса и принимающего конца рельса вычисляется по формуле
Экспериментально определяемый угол удара <руд с ростом скорости поезда цп уменьшается, так как колесо не успевает полностью опуститься в стыковую неровность. Силы взаимодействия колес и рельсов при движении через стык могут достигать значительных размеров (0,5—0,7 МН и более). Время действия таких сил — малые доли секунды.
Крестовины следует рассматривать как геометрическую неровность, форма которой зависит от проката колес. Для расчета сил их соударения целесообразно использовать вычислительные машины.
При одинаковых скоростях соударения силы удара колеса по крестовине в 3—5 раз больше, чем по рельсу. 66
Удар колеса о рельс в горизонтальной плоскости возникает, когда вагон входит в крутые кривые и на стрелочные переводы. Формула для определения максимальной силы ваимодействия гребня колеса с рельсом Рг тах может быть записана, как и в случае вертикального удара, в виде
Рг max ~ Ууд г ~|/сг^кп =	сг ^кп>
где сг — жесткость системы «колесо—рельс» в горизонтальном направлении', поперечном к оси пути;
ткп — масса колесной пары и жестко связанных с ней частей;
ф — угол набегания кслеса на рельс.
Жесткость сг определяется в основном деформацией изгиба рельса в горизонтальной плоскости. Местные деформации головки рельса и дефоомации колесной пары значительно меньше, чем деформации изгиба рельса в горизонтальной плоскости, поэтому они в расчет не принимаются.
Если тележка вагона является жесткой конструкцией, а продольные и поперечные разбеги колесных пар равны нулю, то в процессе удара гребня набегающей колесной пары под действием горизонтальной реакции рельса тележка как единое целое поворачивается относительно шкворня. Рассматривая условия ее динамического равновесия, получим для силы удара выражение
Рг max ~ V	Ср тт>
*т
где р — радиус инерции массы тележки относительно шкворня;
/т — половина базы тележки;
/пт — масса тележки.
При движении вагона по крестовине может иметь место горизонтальный удар гребня в усовик. Так как масса крестовины /икр значительно (в 5—10 раз) больше приведенной массы рельса и мало отличается ог массы колесной пары (/пкр « ггкп), то силу горизонтального удара гребня в усовик следует определять по формуле
Рктах~Ф	~\/сг^кр/2-
Жесткость сг в этом случае определяется в основном изгибом элементов колесной пары.
Для современных стрелочных переводов при скорости у« « 30 м/с Ргтах ~ 300 кН. Несмотря на то что эта сила приложена к колесной паре эксцентрично и действует в течение короткого времени, однако при неблагоприятном сочетании повторных ударов она может способствовать ослаблению прессового соединения колес с осью.
Как правило, центр тяжести колесной пары не совпадает с ее геометрическим центром. Для упрощения задачи будем считать, что неуравновешенность колесной лары одинакова для обоих колес. Тогда геометрическая расчетная схема будет иметь вид, показанный на рис. 4.5, а, а силовая схема — на рис. 4.5, б. Здесь эффект несовпаде-3*	67
ния массы колеса с его геометрическим центром заменен действием приведенной к ободу несбалансирсванной массы — массы дисбаланса /идб, которая создает центробежную силу
V2
г —Шд^о~г,
где со = vtr — угловая скорость колеса.
Центробежная сила по отношению к системе «колесо—рельс» является возмущающей периодической силой
Р (£) = Рн.Лб cosot.
Дифференциальное уравнение движения (колебания) системы неподрессоренных частей и рельса массой шн в случае пренебрежения силами неупругого сопротивления (т. е. затуханием колебаний) будет иметь вид
zH + (с0 -Ь сб) zH = Ри.дС cos w t или
zh+v2 zH—----- г о2 cosot.
тн
Установившиеся вынужденные колебания колеса будут:
или
ЯХдб *	.
гн —----' Д cos со t,
тн
где
со2
Д =-------.
V2—со2
Рис. 4.5. Расчетные схемы движения несбалансированного колеса: а — геометрическая; б — силовая 68
Значения коэффициента Д в зависимости от соотношения частот без учета (кривая /) и с учетом (кривая 2) сил трения, характерных для системы «колесо—путь», показаны на рис. 4.6.
Максимальная сила нажатия рельса на шпалы (сила нажатия колеса на рельс) составляет
Рис. 4.6. Изменение коэффициента Д в зависимости от соотношения частот
тдб
-Рдб Й1?1Х== гС&. тк
Фактическая неуравновешенность вагонных колес достигает /пДб = = 1-4-6 кг. Развиваемые ею силы взаимодействия при обычных скоростях движения невелики по сравнению с силами, возникающими при проходе колес по коротким неровностям пути. Но при высоких скоростях из-за неуравновешенности создается разгрузка колес, которая уменьшает запас устойчивости колеса против схода с рельса. Поэтому размер предельно допустимого дисбаланса нормируют. Так, на дорогах стран Европы принято /пдб < 0,25 кг, на дорогах США /пдб= = 0,44-0,8 кг (соответственно для пассажирских и грузовых поездов), на дорогах СССР тдв - 0,3-4-0,25 кг.
4.3. ИЗВИЛИСТОЕ ДВИЖЕНИЕ ОДИНОЧНОЙ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ
Двигаясь пс прямым участкам пути, вагоны в действительности описывают не прямолинейную, а сложную волнообразную траекторию. Наряду с движением вдоль пути они перемещаются поперек пути и совершают вращательные перемещения около вертикальной оси. Такое сложное движение называется извилистым. В процессе извилистого движения в вагонах возникают большие силы инерции, создающие значительное боковое нажатие колес на рельсы и причиняющие неудобства пассажирам, что вызывает иногда необходимость ограничения скорости движения поезда.
Изучение извилистого движения вагона начнем с рассмотрения движения одиночной колесной пары. Выбираем два случая: движение одиночной колесной пары без проскальзывания и с непрерывным скольжением. В действительности, вероятно, одиночная колесная пара движется попеременно то без скольжения, то со скольжением.
Рассмотрим сначала движение колесной пары с одинаковыми колесами без проскальзывания по головкам рельсов (рис. 4.7). Оба колеса колесной пары жестко насажены на одну ось и угловая скорость вращения, их (о одинакова. В общем случае вследствие неравенства фактических диаметров по кругу катания левого и правого колес гл =/= ги линейные скорости их центров неодинаковы. Следовательно, ось колес-
69
ной пары в плане будет двигаться не только поступательно, но и все время поворачиваясь вокруг вертикальной оси 0Z, проходящей через мгновенный центр вращения О, с некоторой переменной угловой скоростью ф.
Если обозначить ф угол в плане между направлением оси пути и перпендикуляром к оси колесной пары, то изменение этого угла будет
.	-гл~Н’гп
=---------- a)dt,
* 2s
но
Л —rc; rc(x) dt = dx; г-а—гл = Аг,
тогда
Дг
—=,--------= 1/р,
dx 2src
где р — радиус кривизны траектории геометрического центра колесной пары.
Учитывая, что угол ф мал, получим
_1_____d?y
р	dx~'
Следовательно,
Дг
—— -к------— о.
dx2 2src
70
(4.5)
Но Аг = / {у), т. е. зависит от величины смещения колес относительно головок рельсов. Тогда
&У , f (у) dx2 2src
В этом выражении у под знаком производной есть ордината траектории геометрического центра колесной пары — точки Ц, расположенной посередине между колесами, а у, входящий во второй член уравнения, — смещение геометрического центра колесной пары относительно середины рельсовой колеи. Для идеального прямого участка пути оба значения у совпадают, а для прямых участков с неправильной рихтовкой они неодинаковы. Зависимость Аг = f (у) для колес с прокатом по кругу катания сложная.
Для качения колес с коническими поверхностями катания задача становится линейной, так как А оказывается прямо пропорциональной у : .\г — 2 пу, где п — коничность обода колеса. Для стандартных колес п — 0,05.
Тогда уравнение (4.5) примет вид
d2y	п
dx2	src
Интеграл этого линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид
у —A sin(ox4~£cosх»
где
Полагая при х = 0, что у = у(, и = 0, получим у = уй cos <ох, где уй — наибольшее отклонение центра колесной пары от оси пути..
Следовательно, колесная пара с коническими ободами колес на идеально прямом участке пути катится по синусоидальной траектории. Длину волны L легко определить из соотношения
co = 2n/L, т. е. L —
п
Подставив в последнее выражение численные значения параметров для колесной пары с колесами диаметром D = 0,95 м и коничностью п — 0,05, получим
£ = 2л 1/ 0>-8_°’?5 « 17,3 м Г 2-0,05
71
В процессе извилистого движения колесной пары в ней возникают силы инерции, которые создают дополнительное поперечное воздействие на головки рельсов. Поперечная составляющая силы инерции при извилистом движении равна центробежной силе:
Так как р = то для уменьшения сил целесообразно уменьшить коничность колее.
Другой путь снижения интенсивности извилистого движения состоит в уменьшении его амплитуды (максимальная амплитуда траектории извилистого движения равна половине суммарного зазора между гэлсвками рельсов и рабочими поверхностями гребней) за счет уменьшения ширины колеи. Например, когда в порядке опыта зазор был уменьшен на 6 мм, т. е. на 40 % по сравнению с номинальным, то на эту же величину уменьшились и максимальные силы инерции, обусловленные извилистым движением.
Вышеизложенное относится к случаю движения идеальной колесной пары по идеальному прямому участку пути. Но на характер движения влияют также и различные отклонения от чертежных размеров в элементах пути и подвижного состава.
Фактическая ось пути на прямых участках никогда не бывает идеально прямой. Отклонения от прямолинейного направления, называемые нарушениями рихтовки, вызывают дополнительную составляющую извилистого движения колесной пары, которую можно определить из дифференциального уравнения движения
d2w	п п
, 2 + У— Чг.
ах2	src	src
(4.6)
где у — ордината траектории геометрического центра колесной пары, которая измеряется от прямой линии, являющейся средней осью пути;
т]г — горизонтальная неровность, измеренная от оси пути.
Решение данного уравнения состоит из двух частей: собственных колебаний, которые имели бы место в идеальной прямой, и вынужденных колебаний, вызванных возмущающим фактором — горизонтальной неровностью пуфи. Вид второй части решения определяется формой горизонтальной неровности. Изучение фактического положения рельсов в плане показывает, что в первом приближении можно представить неровности т)г как синусоидальные кривые. Тогда уравнение (4.6) будет иметь вид
d2y	п	п
	+	у—	a sinton t, ах2--------------src-src
•где а, соп — параметры фактического положения рельсов в плане.
Правая часть этого уравнения, содержащая горизонтальную неровность пути, является фактором возмущения колебания виляния.
72
При неблагоприятном соотношении длины неровности и фактической длины волны извилистого движения колесной пары может возникнуть явление, напоминающее резонанс, с резким возрастанием амплитуд и со значительным ухудшением плавности хода.
Уравнение (4.6) используется и при исследовании движения одиночной колесной пары по пологим круговым кривым, у которых радиус кривой больше радиуса кривизны траектории одиночной колесной пары при ее максимальном отклонении от оси пути.
Если принять, что максимальное отклонение у равно половине суммарного зазора между головками рельсов и гребнями колес, т. е. 0,8 см, то получим
src 1	0,8-0,5
Pmin=---------= -------- = 1 000 М.
п у0	0,05-0,08
Следовательно, кривые с радиусом кривизны больше 1000 м следует считать пологими.
Круговую кривую радиусом R на небольшой протяженности можно заменить квадратной параболой
t]r = x2/2/?.
Подставив значение т]г в правую часть уравнения (4.6), получим уравнение движения одиночной колесной пары с коническими колесами по идеальной круговой кривой
d2y	п п х2
dx2	src “ src 2R
Решение этого уравнения будет
х2 src
у —A sin со х-\-В cos со х4--—-.	(4.7)
2R Rn	v ’
Таким образом, одиночная колесная пара движется в пределах пологой кривой по сложной траектории, представляющей собой круговую кривую с синусоидальными отклонениями. Ввиду того что последний член в выражении (4.7) меньше нуля, круговая составляющая траектории геометрического центра колесной пары сдвинута от центра пологой кривой к наружному рельсу на значение, которое определено величиной последнего члена выражения (4.7). Если провести на пути линию, смещенную от его круговой оси на указанный сдвиг, получим круговую кривую, которую назовем кинематической осью круговой кривой. Центр одиночной колесной пары движется относительно этой оси по синусоидальной траектории так же, как и на прямом пути относительно его оси.
Так как кинематическая ось сдвинута к наружной нити кривой, то возможная максимальная амплитуда извилистого движения будет меньше, чем на прямом участке пути, на сдвиг б = Таким образом, динамика вагонов в части извилистого движения на пологих круговых 73
Рис. 4.8. Схема колесной пары с колесами разных диаметров: 1 — линия геометрического центра;
2 — линия кинематического центра
Рис. 4.9. Прокат неправильной формы на поверхности катания колеса
кривых будет соответственно благоприятнее, чем на прямых участках пути.
Как видно из приведенных выше выражений, пологость кривой зависит от коничности колес. При п — 0,05 к пологим следует относить кривые радиусом R 1000 м, а при п — 0,025 — кривые радиусом R 2000 м. С уменьшением коничности одиночные колесные пары будут находиться в непрерывном контакте с наружным рельсом при все больших радиусах кривых. Для колес с прокатом граница пологих кривых находится ниЯсе (радиусы меньше), чем для новых.
Неправильная рихтовка в пределах круговых кривых учитывается так же, как и для прямых участков. Только следует помнить, что траектория центра колесной пары на прямом участке располагается симметрично относительно оси пути, а в круговой кривой — симметрично относительно ее кинематической оси.
Движение одиночной колесное пары
без проскальзывания при неравенстве диаметров средних кругов катания колес (рис. 4.8) совершается таким образом, что фактические диаметры кругов катания обоих
колес стремятся выравняться, поэтому вместо движения геометрического центра И колесной пары следует рассматривать движение кинематического центра К, лежащего в плоскости пересечения конических поверхностей колес (коничность /г). У идеально сформированной колесной пары с колесами одинакового диаметра кинематический центр совпадает с геометрическим центром. Неравенство кругов катания левого и правого колес Ол =^Dn приводит к сдвигу траектории колесной пары на величину б по направлению к рельсу, по которому катится колесо
меньшего диаметра,
4л
Из этого выражения следует, что при достаточно большой разнице в радиусах катания колес колесная пара будет прижиматься к одному из рельсов как на кривых, так и на прямых участках пути. Вследствие этого на одном колесе будет интенсивно изнашиваться гребень, а на другом образуются прокат неправильной формы 1 (рис. 4.9) и ложный гребень 2.
74
Уменьшение коничности колес, рекомендуемое для скоростных экипажей .сопровождается повышением чувствительности колесных пар к неравенству диаметров колес. Следовательно, допуски на неравенство диаметров колес в колесной паре по кругу катания в этом случае должны быть уменьшены.
4.4. ДВИЖЕНИЕ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ И ТЕЛЕЖКИ ВАГОНА СО СКОЛЬЖЕНИЕМ КОЛЕС ПО РЕЛЬСАМ
Извилистое движение одиночной колесной пары сопровождается возникновением сил инерции и моментов сил инерции, действующих в горизонтальной плоскости. Горизонтальные усилия возникают и при взаимодействии оси колесной пары с рамой тележки. Касательные усилия в точках опор катящейся колесной пары неизбежно, как показывают эксперименты, вызывают проскальзывание колес по головкам рельсов. Учет проскальзывания переводит задачу о движении колесных пар из области задач кинематических в область динамических.
Многочисленными опытами доказано, что между касательными силами F в точке контакта колеса и рельса и скоростью и проскальзывания колеса по рельсу (при скорости поезда и) существует зависимость, показанная на рис. 4.10. Наибольшее значение силы Fmax равно силе сухого трения: FTp = цЛ7 где р. — коэффициент сухого трения; N — сила нормального давления в точке контакта колеса с рельсом.
При F < Г.гр относительное скольжение колеса по рельсу в процессе качения предполагают происходящим за счет упругих деформаций материалов колеса и рельса и называют упругим скольжением, или крипом,
Г=к— ,	(4.8)
V
где к — коэффициент пропорциональности (коэффициент крипа).
Коэффициент крипа k зависит от формы взаимодействующих поверхностей колеса и рельса, упругих свойств материалов, нормального давления в месте контакта. Для стальных колес с радиусом г и нагрузкой N этот коэффициент рекомендуется определять по формуле
/с = (60 — 80) Уд7.
В приближенных расчетах значение к принимают одинаковым для всех колес вагона независимо от направления скольжения.
Рис. 4.10. Зависимость силы трения колеса по рельсу от относительной скорости скольжения
75
Таким образом, в точке опоры колеса на головку рельса возникают продольные и поперечные силы трения, являющиеся составляющими реакции рельса.
Нецилиндричность колес можно ввести в расчет следующим образом. Силы трения (в том числе и поперечная составляющая) определены формулой (4.8), т. е. фрикционные свойства поверхности катания головки рельса учтены при расчетах, поэтому поверхности катания рельса и колеса можно считать гладкими. Тогда реакцию рельса, приложенную к каждому колесу колесной пары, можно разложить в перпендикулярной к оси пути плоскости на составляющие — вертикальную М (рис. 4.11, а), и горизонтальную поперечную. Последняя зависит от нажатия колеса и угла наклона 0 поверхности катания голсвки рельса в точке опоры колеса. Вертикальное нажатие колеса на головку рельса определяется при динамическом расчете колебаний вагона, a tg 0 зависит от положения точки контакта колеса и рельса, т. е. от расстояния ук между средним А и фактическим В кругами катания колеса (рис. 4.11, б).
Поперечные составляющие реакций каждого рельса направлены к оси пути. Для новой колесной пары с коническими колесами они приближенно уравновешиваются при всех отклонениях ее от среднего положения, пока точка контакта не попадает на радиальную поверхность, соединяющую поверхность катания колеса с гребнем.
Для колесной пары с большим прокатом, когда образующая поверхности катания колеса криволинейна, поперечные составляющие реакции рельсов не уравновешиваются даже при небольшом отклонении колесной пары от среднего положения в колее пути. Эти усилия играют роль своеобразного возвращающего устройства.
При составлении расчетной системы уравнений для одиночной колесной пары (рис. 4.12) для упрощения будем полагать, что прогибы рельсов под воздействием вертикальной нагрузки невелики и ими можно пренебречь, а скорость ип вдоль оси хх постоянна. Тогда не будем
Рис. 4.11. Схема контакта колеса с рельсом (а) и зависимость угла 0 от положения точки контакта колеса и рельса (б):
I — для нового колеса; 2 — для колеса с прокатом
76
рассматривать перемещения х и z и вращения вокруг осей хх и уу. В результате колесная пара будет иметь не шесть степеней свободы, а только две: перемещение у и вращение вокруг оси zz. Расчетная система уравнений будет состоять из двух групп уравнений: уравнения движения, составляемые по методу Даламбера; уравнения связей, определяющие зависимость сил взаимодействия колесной пары с рельсами от скорости скольжения. Первая группа уравнений будет:
^*рл у+ ^рп у + ^ин y + ^ntg Рл 4“^/ntg
(^рлх-- Jpnx) SH_-MHHZ=0;
’tj ~ —ткпУ> Л1ИН2=—
гдеРрЛХ, Ррпх, —горизонтальная проекция сил в точках контакта колес Ррлу, Р~г>пу с левым и правым рельсами на осях хх и уу,
Мл, — вертикальные реакции левого и правого рельсов;
Ринг/, Л1НХ’ —силы инерции и моменты сил инерции неподрессоренных Л4ИН у и Мин z масс колесной пары и жестко связанных с ней частей в направлениях соответствующих осей;
ткг, Jz — соответственно масса и момент инерции колесной пары.
Величины ЛИ tg рл и N п tg р п для колес с криволинейной образующей поверхности катания (например, колес с прокатом) являются сложными функциями от перемещения по оси у (см. рис. 4.11). Для конических колес углы рл и рп (см. рис. 4.12) постоянные, и если принять, что вертикальные нагрузки на колеса в процессе движения изменяются незначительно, то два последних члена первого уравнения бу-, дут представлять собой постоянные величины, которые можно перенести в правую часть уравнения. Если же учитывать изменение во -времени вертикальных нагрузок на колеса, то АП, и Nn будут функциями координат кузова вагона. Коэффициент к также зависит от давления колес на рельсы. Таким образом, определяется связь извилистого движения колесных пар с колебаниями кузова ваТона.
77
Вторую группу уравнений — уравнения связей — напишем как выражения сил трения в точках контакта колес и рельсов:
^рл x~K/vn (—vn—Фs	гл);
Ррп X — K/Vn( + Ф s + co гп)>
^рл у —	(—//4-yn Я));
PVuy = K/Vn (— У + °п 4)-
Для конических колес:
Гл = Гс—Аг/2 = гс —пу,
г и = г с + Дг/2 = г с 4- пу.
Таким образом получена полная система уравнений, описывающая движение одиночной колесной пары с проскальзыванием по головкам рельсов при условии, что силы трения имеют характер вязкого трения. Исключив из полученной системы неизвестные силы, получим:
к
ткп 1/4-2 -- у —2кгр = п (/vr—A4i);
KS2	KSn	(4*9)
^г'Ф4-2	^4-2	У—^-
vn	г
Для жесткой тележки (без учета действия возвращающих устройств) и конических колес, нагруженных одинаково, эта система уравнений имеет вид:
.. к
ттУ + ^---- У—4кч|? = 0;
,2 (4-10)
*С •	KSn
/Т21Ь4-4к—— 11? 4~4 — z/ = 0. t’n	г
где	/с — расстояние от центра тяжести (ЦТ) тележки до точки контакта
колеса с рельсом;
mT, JTZ — соответственно масса тележки и половины кузова и момент инерции массы тележки.
В этих уравнениях коэффициент k, зависящий через N от координат кузова, умножается на переменные значения координат колесной пары, поэтому задача о совместном анализе колебаний кузова и извилистого движения тележки становится нелинейной. Решать ее можно только на вычислительных машинах.
Если по какой-либо причине, например вследствие неравномерной загрузки вагона, одно колесо окажется перегруженным по сравнению с другим, то это означает [см. правую часть первого уравнения системы (4.9)], что на колесную пару будет действовать постоянная поперечная сила. Для линейных дифференциальных уравнений постоянный член в правой части эквивалентен соответствующему сдвигу начала отсчета 78
той или иной координаты, т. е. изменению положения точки равновесия. Следовательно, вагон под действием постоянной поперечной силы во время движения несколько сдвигается к одному из рельсов. В результате средний зазор между рабочей гранью гребня колеса и боковой гранью головки рельса оказывается неодинаковым для обоих колес. Но так как амплитуда извилистого движения вагона определяется меньшим значением этого зазора, то при неравномерной загрузке колес несколько уменьшается интенсивность такого движения, в частности его максимальная амплитуда.
Неправильность рихтовки пути на прямых участках учитывается следующим образом. Положим, что вследствие непрямолинейности рельсов отклонения фактической середины пути от прямой линии равны f (х). Эти отклонения будут сказываться только на положении точки контакта колеса с рельсом, т. е. на фактические радиусы по кругу катания колес. Следовательно, они должны будут учитываться только во втором уравнении (4.9) в первом его члене, который определяет момент, вращающий колесную пару вокруг вертикальной оси и вызванный проскальзыванием колес вследствие неравенства их фактических радиусов по кругу катания. Имея это в виду, перепишем второе уравнение (4.9) в виде
Jz 4?4-2 — Ф4-2— у = 2 — f (х). vn r r
Таким образом, неправильности рихтовки пути входят в правую часть уравнения и играют, следовательно, роль возмущающей силы. Это сходно с влиянием неправильностей рихтовки пути на характер движения одиночной колесной пары, движущейся по рельсам без проскальзывания.
Заменив пологую кривую параболой второго порядка, можно, как и ранее, рассматривать ее в качестве неровности на пути.
При неблагоприятном сочетании скорости движения вагона с неровностями волнообразной формы в плане и периода собственных колебаний извилистого движения колесной пары даже при небольших неправильностях в содержании пути могут возникнуть явления резонанса.
Следовательно, чувствительность колесной пары к неправильностям рихтовки пути зависит от длины волны собственных колебаний извилистого движения колесной пары на идеально прямом участке пути и от скорости нарастания амплитуд колебаний. Для исследования особенностей движения вагона, вызванных вилянием колесных пар, найдем решение системы уравнений:
к .
тКпУ + —У— 2М? = 0;
г'п
KS .. Ksn
J2 4> 4" 2	4)4-2 у =0.
ип г
79
Исключив из этой системы одну из переменных величин, например ф, получим
ткп z
KS3	к
ткп 2	+ Z 2
i'll
№s2 ..
у+4-Ti- J/ + 4 п
K2sn
— у=®, г
(4.11)

ИЛИ
«4 У + М H-O2i/+ao!/=0.
где коэффициент а4 = mKnJz и т. д.
Известно, что общее решение уравнения четвертого порядка имеет вид
У-= У С^,
1
где pi — корни соответствующего характеристического уравнения.
Наличие корней с положительной вещественной частью свидетельствует о том, что колебания с течением времени постепенно нарастают. Такое движение называется неустойчивым.
В случае качения одиночной колесной пары, когда отсутствует связь с экипажем, т. е. нет возвращающихся устройств, коэффициент ах при у в уравнении (4.11) равен нулю. Можно показать, например, по Гурвицу, что в таком случае хотя бы один из корней характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть. Следовательно, движение такой колесной пары будет неустойчивым.
Таким образом, одиночная колесная пара или тележка с жесткой рамой, не связанная с кузовом, движется по прямому участку пути с постоянной или возрастающей амплитудой извилистого движения, что схематически в координатах «перемещение — скорость перемещения» показано на рис. 4.13. Это так называемая фазовая траектория колебательной системы — колесной пары, движущейся по прямому участку пути.- Гребни колес ограничивают амплитуду колебаний, поэтому она не может быть больше половины суммарного зазора между головками рельсов и гребнями. Это положение называется предельным циклом.
Вследствие извилистого движения в вагонах возникают силы инерции, которые могут послужить причиной ограничения скоростей движения поездов. Следовательно, извилистое движение вагонов вредно. Однако оно приводит к тому, что гребни колес контактируют с боковыми поверхностями головок рельсов только при наибольшем отклонении колесной пары от оси пути, т. е. на участках небольшой протяженности. Это способствует уменьшению износа
80
Рис. 4.13. Фазовая траектория извилистого движения колесной папы
гребня, поэтому полностью устранять извилистое движение нецелесообразно. Следует только ограничивать его амплитуду и увеличивать длину волны. Для этого нужно уменьшать зазоры между гребнями колес и головками рельсов (путем сокращения ширины колеи и ограничения допускаемого износа гребней), уменьшать коничность колес и создавать упруго-фрикционные сзязи между осями з плане, препятствующие их относительным поворотом в процессе извилистого движения.
4.5. ВЛИЯНИЕ СБОРКИ ТЕЛЕЖЕК НА ПРОЦЕСС ДВИЖЕНИЯ
Детали реальных тележек всегда имеют отклонения от номинальных размеров, вследствие чего в собранной тележке появляются непа-раллельность осей колесных пар, их относительный сдвиг и неравенство диаметров колес. Это влияет на скорости проскальзывания колес по рельсам и силы трения между колесами и рельсами, т. е. е конечном счете сказывается на характере движения тележки по прямому участ
ку пути.
Рассмотрим движение тележки с новыми коническими колесами,
причем для упрощения допустим, что в тележке нет поперечных перемещений колесных пар (разбегов) и не предусмотрены возвращающие, устройства. Расчетная схема показана на рис. 4.14. На ней не показаны силы, действующие на колесные пары со стороны рельсов. Они приложены так же, как на схеме для одиночной колесной пары (см. рис. 4.12).
Введем следующие определения. Средним положением колесной пары в колее назовем такое положение, когда кинематический центр (точка К, см. рис. 4.8) колесной пары проектируется на ось пути. Средняя линия 2 (см. рис. 4.14) тележки—это линия, проходящая через кинематические центры колесных пар (крайних для многоосных тележек). Средним положением тележки обозначим такое, когда средняя линия ее проектируется на ось пути 1. Расстояние между кинематиче-
скими центрами колесных пар называется базой тележки 2/т.
Если колеса одной оси имеют разные диаметры, то очевидно, что кинематический центр колесной пары не совпадает с ее геометрическим центром.
Сдвиг одной оси относительно другой, их непараллельность и неравенство диаметров колес приводят к тому, что средняя линия тележки в общем случае оказывается неперпендикулярной к осям колесных пар, а образующиеся при этом углы ф01 и ф02 между осями
Рис. 4.14. Расчетная схема реальной тележки
81
колесных пар и перпендикулярными к средней линии тележки неодинаковы. Эти углы называют углами перекоса.
Расчетные уравнения могут быть записаны так же, как и в случае идеально собранной тележки:
к .
"М/+4 —у — 4«ф=2к (фО1 + Фог);
"’п n (4J2)
/тгФ4*4	(s2-j—/2) ip-р4	у = 2/dT (гр01 — фог)-
V	Г
Если углы перекоса 4>01 и г|>02 равны нулю (тележка собрана без отклонений от проектных размеров), то правые части уравнений обращаются в нуль. Тогда получаем систему уравнений (4.10), описывающих процесс извилистого движения идеальной тележки по прямому участку пути, так как 11 = s2 + /|.
Представим систему (4.12) в виде двух уравнений относительно каждой из переменных:
у"+ [4т7 - — (s24-/2) + 4—— JT2] у + 16—(s2-J-Z®) у + vn т г’п
K2sn
• Ь 16	у = 8к2 17 (тр01—трог);
г с
к	к •	—	„ к2 „ ..
m7J7Z ф +[4тт-------- (s2 + /2) + 4 ——J.f2] -ф 16-— (s2-J-Z2) ф-|-
£'п	vn	vn
K2 sn	K2 sn
-j- 16 ip——8 (’’Pol + Фог)-— rc	rc
Неравенство нулю правых частей обоих уравнений показывает, что в их решениях будут присутствовать постоянные слагаемые:
Ф=2^ 1- — (фох+Фог)-
Последние слагаемые в каждом равенстве — это значения координат, относительно которых тележка совершает колебания при движении по прямому участку пути.
Таким образом, тележка, собранная с допусками на размеры, при движении по прямым участкам сдвигается к той или другой рельсовой нити. Сдвиг тем больше, чем меньше коничность колес п и больше углы перекоса. Отсюда следует, что тележки вагонов для скоростных поездов с коничностью колес 0,25 или 0,01 надо собирать тщательнее, чем тележки со стандартной коничностью 0,05. При достаточно больших углах перекоса гребень одного из колес будет на прямых участках периодически прижиматься к головке рельса. В результате неизбежно возникает подрез гребня.
82
4.6. ДВИЖЕНИЕ ЭКИПАЖЕЙ ПО КРИВЫМ УЧАСТКАМ ПУТИ
На пологих кривых участках (радиус кривизны более 1000—1200 м) тележки вагона совершают извилистое движение с небольшой амплитудой и с небольшим проскальзыванием колес по рельсам. На крутых кривых одно или два колеса каждой тележки прижимаются гребнями к рельсу; скорости скольжения колес по головкам рельсов значительные. Следовательно, при изучении движения по пологим кривым касательные силы в точках контакта колес с рельсами следует принимать пропорциональными относительной скорости скольжения (вязкое трение), а по крутым кривым — пропорциональными силам трения, не зависящим от скорости скольжения (сухое трение). Для остальных кривых расчет следует вести по обоим видам сил трения, действующих в точках контакта колес с рельсами, и выбирать решение, соответствующее большим силам взаимодействия колес с рельсами.
Рассмотрим движение тележки по кривой среднего радиуса, где тележка прижимается гребнем набегающего колеса к наружному рельсу (рис. 4.15), а касательные силы в точках контакта колес с рельсами (внутренним Flc, F2B и наружным F1H, F2H) будем считать пропорциональным скорости скольжения колес. Тележку рассматриваем без учета допусков на сборочные размеры и упругих деформаций, учитываем сопротивление вращению колесных пар со стороны подшипников и тормозных устройств. Неправильность рихтовки пути в расчет не принимаем, а само движение тележки будем считать протекающим без дополнительного виляния, т. е. когда тележка движется как твердое тело, вращаясь вокруг центра кривизны пути.
Движение тележки складывается из вращения колесных пар в подшипниках и перемещений ее в плоскости пути. Колесные пары вращаются независимо одна от другой, поэтому частота их вращения, а также скорости скольжения колес в общем случае неодинаковы.
Перемещение тележки в плоскости пути можно представить как вращение ее относительно центра кривой с угловой скоростью Q = = vn/R или как поступательное движение со скоростью некоторой ее точки О п — полюса поворота, лежащего в основании перпендикуляра, проведенного из центра кривизны пути на продольную ось тележки, и одновременное вращение тележки вокруг этого полюса с той же угловой скоростью Q.
В уравнения равновесия тележки в плоскости пути входят: касательные силы FjB, К1н, Г2В, Г2Н, направляющее усилие Y от действия рельса на гребень набегающего колеса, а также центробежная сила
6*	83
Рис. 4.15. Расчетная схема движения тележки в кривой среднего радиуса
/7Ц, возникающая при движении вагона но кривой и приложенная к подпятнику тележки. При вычислении /7Ц учитывается масса тележки и приходящаяся на нее масса кузова, а также вычитается поперечная составляющая, обусловленная возвышением наружного рельса.
Движение каждой отдельно взятой колесной пары происходит таким образом, что количество рассеиваемой механической энергии на единицу длины пройденного пути является минимальным.
Рассмотрим последовательность вывода расчетных формул. Сам вывод из-за громоздкости не приводится.
Установившееся движение тележки рассматривается как вращение вокруг центра кривой с постоянной угловой скоростью. Движение колесной пары есть результат сложения вращений вокруг центра кривой с угловой скоростью Q и вокруг собственной вертикальной оси с угловой скоростью со, которая определяется из условия минимума энергии, рассеиваемой за счет трения колес о головки рельсов. Сила трения гребня о головку рельса принимается не зависящей от скорости (сухое трение).
Выводят выражения для составляющих скольжения по осям хх и уу для обоих колес каждой колесной пары и для рассеиваемой мощности (с учетом сил трения тормозных колодок) в зависимости от Q, со и угла набегания фпер, фзадн между осью передней или задней колесной пары и радиусом R, проведенным из центра кривой через центр тяжести колесной пары до наружного рельса. Из условия минимума рассеиваемой мощности определяют со для каждой колесной пары в отдельности; эти угловые скорости не равны, так как набегающая колесная пара дополнительно трется гребнем о рельс. При этом в полученных формулах неизвестными остаются угол набегания ф и сила нажатия Y гребня набегающего колеса на головку рельса. Параметры Y и ф находят из условия равновесия тележки под действием всех приложенных к ней сил.
При проведении всех преобразований считается, что тележка идеальная, т. е. собрана без перекосов и разбегов, с новыми колесными парами. Это допущение может быть компенсировано введением поправочных коэффициентов, численное значение которых устанавливается экспериментальным путем.
В результате можно определить силу нажатия гребня колеса на головку рельса

где Л, В, С — экспериментально определяемые поправочные коэффициенты, учитывающие влияние введенных в расчет допущений.
Эта формула пригодна для расчетов движения тележек по кривым достаточно большого радиуса (800—1000 м и более) при условии, что тележка все время набегает на наружный рельс передней колесной парой. 84
Из полученной формулы следует, что сила нажатия гребня колеса на головку рельса в значительной степени зависит от коэффициента крипа k, а следовательно, от вертикальной нагрузки от колес на рельсы и кроме того, от тормозного усилия. При экстренном торможении сила нажатия гребня на головку рельса намного увеличивается. С ростом скорости поезда сила Y растет пропорционально доле влияния центробежной силы, т. е. в функции от квадрата скорости.
Во избежание ошибок при практических расчетах необходимо проверить, что результирующие касательные силы между колесами и рельсами не превосходят величины сухого трения pAf. Если это условие не выполняется, как бывает на крутых кривых, то вычисление направляющего усилия Y нужно вести методом, основанным на предположении, что силы в местах контакта колес с рельсами равны силам сухого трения.
Рассмотрим движущуюся с постоянной скоростью двухосную тележку (рис. 4.16), у которой колеса одинаково нагружены, имеют цилиндрические поверхности катания (и — 0) и оси колесных пар в плане не имеют перекосов (ф01 = ф02 = 0). Силы сухого трения F приложены в точках на поверхностях катания колес и каждая из них равна произведению реакции рельса Р, одинаковой для всех колес, на коэффициент трения р. К подпятнику дележки приложена поперечная сила Н, которая слагается из центробежной силы /7Ц половины массы вагона, силы Рв давления ветра и составляющей силы тяжести вагона, вызванной возвышением наружного рельса кривой.
Так как колеса цилиндрические, то извилистого движения тележки нет. Движение ее представляет собой вращение в плане относительно центра круговой кривой. Представим это движение состоящим из поступательного движения по касательной к оси пути и вращения вокруг полюса поворота 0п. При таком выборе полюса поворота скольжение колес по головкам рельсов возникает только вследствие вращения тележки.
Из сил, действующих на тележку, неизвестно направляющее усилие Y, а кроме того, расстояние а между полюсом поворота и центром (подпятником) тележки. Чтобы определить эти две величины, составим два уравнения равновесия тележки в плане:
2У = 0; 2F(cos₽—cosa)—/7 + У = 0;
2Л1==0; 2F [2 /т cos ₽ + s (sin P-{-sin a)] — HlT = 0,
где
F — p,P; cos p =---------------- .
ys2 + (/T_fl?
Zip —J— ci cos a = —	——
ys2 + (Zlr4_a)2
h \	1
— 2s 2 Pe’
s	s
sin P = —	------; sin a = —------------------ .
Vs2+ (ZT—a)2	ys2_[_(/T_]_o)2
85
Рис. 4.16. Расчетная схема движения тележки в кривой малого радиуса
Рис. 4.17. График для определения полюсного расстояния а и направляющего усилия Y(4F)~l при движении двухосной тележки по кривой (случай сухого трения):
1—5 — для тележек с базами соответственно 1,8; 2,1; 2,4; 2,7; 3,0 м
Третье уравнение равновесия SX = 0 справедливо при любых значениях а и Y. Таким образом, получены два трансцендентных уравнения. решение которых обычно находят путем подбора или графоаналитически.
На практике часто пользуются графиком (рис. 4.17), с помощью которого по заданному значению Н (4F)"1 определяют величину а и соответствующую ей величину Y (4F)-1. Например, для Н (4F)“ = 0,4 (что соответствует при р = 0,25 поперечной силе Н = р 4Р « Р, где Р — нагрузка колеса на рельс) находим точку I на кривой 1, построенной для тележки с базой 2 /т — 1,8 м. Абсцисса этой точки даст величину а = 1,1 м. Затем по значению а находим точку II на кривой 1 верхнего квадрата графика, ордината которой есть величина Y (4F)-1 = = 0,96. Следовательно, в нашем случае направляющее усилие составит У — 0,96 р 4Р = 0,96 Р.
По усилию Y судят о безопасности движения вагона (условие устойчивости против вкатывания гребня колеса на головку рельса). Из графика видно, что направляющее усилие У #= 0 в случае Н = 0. Величина Y обращается в нуль лишь в случае, когда Н (4F)"1 « = 0,8; а « « 1,7 м (для 2/т = 1,8 м), что соответствует движению по кривой с малой скоростью и при направлении ветра к центру кривой.
Величиной действующих сил определяется положение полюса поворота тележки. В соответствии с этим различают ее положения в кри-86
вой: хордовое (а = 0), наибольшего перекоса (а = где е — суммарный зазор между гребнями колесной пары и рельсами) и промежуточное.
Аналогично могут быть составлены уравнения и расчетные графики для жесткой тележки с тремя и более осями.
4.7. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ КОЛЕСНЫХ ПАР ТЕЛЕЖКИ НА ЭЛЕМЕНТЫ ВЕРХНЕГО СТРОЕНИЯ ПУТИ
Расстояние между колесными парами тележки существенно влияет на работу элементов пути. Для оценки этого влияния рассмотрим деформации и напряжения, возникающие в верхнем строении пути от совместного действия колесных пар тележки.
Рельсы рассчитываются на изгиб как балки, лежащие на сплошном упругом основании. Дифференциальное уравнение изогнутой оси такой балки имеет вид
zIV + 4^42=о,
IV	.	л
где z = — — четвертая производная от функции прогиба рельса по его длине, dx4
k — коэффициент относительной жесткости рельса и рельсового основания
где и — модуль упругости рельсового основания;
EJ — жесткость сечения рельса на изгиб.
Интеграл этого уравнения для бесконечно длинного рельса имеет вид
z = e~~kx (Сг sin kx-\-C2 cos kx), где x — координата, отсчитываемая вдоль оси рельса (без учета знака).
Рис. 4.18. Эпюры прогибов и изгибающих моментов в рельсе железнодорожного пути
Рис. 4.19. Прогибы рельсов под воздействием двух-, трех- и четырехосных тележек
87
Если к рельсу приложена одиночная сила Р, то постоянные интегрирования Сг и С2 легко определяются и прогиб рельса и изгибающие моменты в рельсе могут быть вычислены (для х > 0) по формулам:
Pk —Ьг	Pk
z=—e (cos fcx-f-sin kx) ——ti(rx);
2u	2u
P	P
M = —-e~kx (cos kx—sin kx) = —— p, (kx).
4k	4k
Изгиб рельса симметричен относительно загруженного сечения.
Функции т) (kx) и р (kx) сведены в таблицы, с помощью которых построены графики (рис. 4.18) для случая, когда Р^2и и Р/4& равны единице.
При сравнении четырех-, шести- и восьмиосных грузовых вагонов по их воздействию на путь и при выборе оптимальных параметров вагонных тележек важно определить напряжения на основной площадке земляного полотна, так как чрезмерно большие напряжения могут вызвать его разрушение.
Напряжения на основной площадке тесно связаны с давлением рельса на шпалы, которое прямо пропорционально просадкам рельса. Зависимость просадки рельсов от числа равнонагруженных осей в тележке грузового вагона показана на рис. 4.1S, где т)! — т]4 — просадки от действия отдельных сил Рх — Р^, т]п, т]ш,' q1Y — просадки от одновременно действующих сил соответственно под двух-, трех- и четырехосными тележками; т]таХ2» 'Птахе» "Чтахл — наибольшие значения этих просадок. У трехосной тележки наибольшая просадка наблюдается под средней осью, и она больше, чем под двух и четырехосной тележками.
Поэтому максимальное напряжение в шпалах, балласте и на основной площадке земляного полотна от четырехосной тележки будет меньше, чем от трехоской. Это свидетельствует о важности рационального проектирования вагона, имеющего большие нагрузки на оси колесных пар.
Глава 5
КОЛЕБАНИЯ ВАГОНА С ОДИНАРНЫМ
РЕССОРНЫМ ПОДВЕШИВАНИЕМ
5.1.	СИСТЕМЫ ОДИНАРНОГО РЕССОРНОГО ПОДВЕШИВАНИЯ
Плавное движение вагонов по пути с реальными неровностями обеспечивается благодаря системе рессорного подвешивания, состоящей из упругих элементов и гасителей колебаний. Рессоры обычно размещают между кузовом и колесными парами, причем в многоосных экипажах, где колесные пары с помощью рам объединены в отдельные группы (поворотные тележки), рессорную систему составляют либо две последовательно работающие группы рессор, расположенные между кузовом и рамой тележки (верхний ярус) и между рамой тележки и колесными парами (нижний ярус), либо одна группа параллельно работающих рессор верхнего или нижнего яруса.
В первом случае рессорное подвешивание называют двойным, во втором — одинарным.
Одинарное подвешивание применяется главным образом в тележках грузовых вагонов.
Имеются две основные разновидности рессорных систем одинарного подвешивания: буксовое и центральное (последнее наиболее распространено). Буксовым называют подвешивание, в котором рессоры размещены между буксами колесной пары и рамой тележки; рессоры центрального подвешивания расположены между надрессорной балкой и рамой тележки, обычно их размещают в середине между колесными парами.
Тележки грузовых вагонов выполнены из стальных литых боковых рам, соединяющих буксы смежных колесных пар, надрессорных балок, входящих своими концами в средние проемы боковых рам и рессорных комплектов. Рессорные комплекты, которые состоят из цилиндрических пружин и фрикционных гасителей колебаний, размещены в центральных проемах боковых рам и, кроме вертикальных прогибов, испытывают горизонтальные поперечные к оси пути деформации сдвига. Сила трения фрикционных гасителей, предназначенных для гашения вертикальных и горизонтальных поперечных колебаний кузова, зависит от величины прогиба рессор. Статический прогиб рессор под полностью загруженным грузсвым вагоном составляет 40—50 мм, под рефрижераторным — 75—90 мм, а величина силы трения — соответственно 8—10 и 5—6 % полной нагрузки на рессорные комплекты. По своим динамическим характеристикам тележки грузовых вагонов предназначены для эксплуатации при скоростях движения до 120 км/ч, рефрижераторного подвижного состава при скоростях движения до 140 км/ч.
89
5.2.	ЦЕЛЬ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ВАГОНА
Возникающие при движении вагона в составе поезда динамические силы, отклонения от положения равновесия, инерционные перегрузки, которые действуют на пассажиров и грузы, являются следствием колебательных процессов и других видов неравномерного движения инерционных масс, составляющих рассматриваемую механическую систему. Величины и частоты колебаний в первую очередь определяют динамические качества вагона: габаритную безопасность, плавность хода, устойчивость в движении, а также величины сил, от которых зависит прочность элементов вагона и железнодорожного пути.
Целью изучения колебаний вагона являются выяснение физической природы и причин, их вызывающих, установление допустимого уровня порождаемых ими динамических воздействий, а также разработка рекомендаций по выбору конструктивных параметров вагона, которые обеспечивают высокие динамические качества его при эксплуатации.
Обычно колебания изучаются в инерциальной системе координат, приведенной на рис. 1.1, а основные виды колебаний каждого узла вагона (кузов, тележка и др.) называют:
для поступательных колебаний ±х — подергиванием, ±у — боковым относом, ± z — подпрыгиванием — перемещением вдоль осей соответственно Ох, Оу, 0z‘,
для вращательных колебаний ±6 — боковой (поперечной) качкой, ± <р — галопированием (продольной качкой), — вилянием — вращение соответственно относительно осей Ох, Оу, Oz.
Колебания каждого из указанных видов в определенных условиях могут возникнуть независимо от других или вместе с ними. Аналогично обозначаются основные виды колебаний неподрессоренных частей вагона и элементов верхнего строения пути, однако им указанные выше наименования не присваивают.
Колебания упругих тел, сопровождающиеся их деформацией под действием сил инерции непрерывно распределенных в них масс, называются упругими вибрациями.
Как принято в теоретической механике, различают колебания вагона собственные и вынужденные. Первые возникают в системе, выведенной из состояния равновесия какой-либо причиной и мгновенно освобожденной или выведенной из состояния покоя толчком. Такие колебания постепенно затухают. Вторые возникают и непрерывно поддерживаются под действием какого-либо источника возмущения в течение рассматриваемого промежутка времени.
Для изучения колебаний вагона принимают теоретико-экспериментальный метод: теоретически устанавливают общие зависимости между колебаниями, силами и напряжениями, возникающими в системе «вагон — путь» с учетом конструктивных параметров и условий движения, а экспериментально определяют конкретные значения этих параметров, устанавливают законы статистической повторяемости 90
результатов, имеющих вероятностную природу, а также уточняют методику расчета.
Для выбранной расчетной схемы и принятой системы координат дифференциальные уравнения колебаний по методу Лагранжа второго рода или Германа—Даламбера рекомендуется составлять в соответствии с геометрофизикостатическим правилом:
из геометрических соотношений составить зависимости перемещений (деформаций) связей от заданных возможных (или виртуальных) приращений координат системы;
исходя из физических законов выразить реакции связей и действующие на рассматриваемые тела системы силы инерции и моменты сил инерции через деформации, приращения координат, их скорости и ускорения;
заменить физическую модель (расчетную схему) силовой схемой, в которой отброшенные связи заменены их реакциями и в центрах масс приложены силы инерции и моменты сил инерции, написать для каждого тела системы уравнения статического равновесия, учитывая инерционные силовые факторы как реально действующие.
Дифференциальные уравнения движения получают подстановкой в уравнения равновесия вместо символов сил их значения из геометрических соотношений и физических законов через основные независимые координаты системы.
Обычно расчетная схема «вагон — путь» даже после упрощений имеет много (10—40) степеней свободы и при сложных характеристиках связей система дифференциальных уравнений оказывается нелинейной. Интегрирование таких сложных систем возможно только с применением вычислительных машин.
Однако многие частные задачи желательно разрешать в аналитической форме, которая дает более ясное представление о связах искомого результата с параметрами системы. К таким задачам относятся колебания подрессоренного кузова вагона и зависимость их от параметров рессор, рассмотренные выше процессы силового взаимодействия колес с рельсами на неровностях пути и др. В этих случаях предварительные исследования ведут на упрощенных расчетных схемах, обоснование которых дается ниже, а полученные результаты обычно уточняют более сложными расчетами и экспериментами.
5.3.	ВЫБОР РАСЧЕТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
КОЛЕБАНИЙ ВАГОНА
Механическая система (рис.5.1), состоящая из четырехосного вагона с жестким кузовом на рессорах одинарного центрального подвешивания и части верхнего строения пути, обладающей приведенной массой на упругом основании, при обычных связях (пятники, направляющие устройства) между ее элементами имеет 15 степеней свободы и в общем случае может иметь соответствующее количество видов коле-
91
Рис. 5.1. Расчетная схема вагона с одинарным рессорным псдвешизанпем
баний: подпрыгивание, боковой относ, боковую качку, галопирование и виляние кузова (пять степеней свободы); подпрыгивание, боковую качку и галопирование тележек совместно с приведенной массой части верхнего строения пути (шесть степеней свободы): боковой относ и виляние тележек (четыре степени свободы).
Ввиду того что на пути имеются неровности, то во время движения такая система будет испытывать вынужденные колебания нескольких видов, которые будут оказывать взаимное влияние. На стоянке эта система, выведенная из состояния покоя совокупностью каких-либо импульсов, получит такое же количество разновидностей собственных колебаний с присущими им частотами и периодами. При этом получат перемещения (деформации) во всех возможных направлениях рессорные комплекты, рельсы и подрельсовое упругое основание. Когда вагон рассматривается в составе поезда, то дополнительно нужно учитывать возможные в такой системе продольные колебания (подергивание).
Вначале составим систему дифференциальных уравнений для четырехосного вагона, кузов которого имеет пять степеней свободы (шестая степень свободы — поступательное движение вдоль рельсового пути, соответствующее циклической координате х, которая здесь может не рассматриваться), а каждая тележка вместе с присоединенной частью массы пути — только по две степени свободы, обусловливающие колебания подпрыгивания и галопирования.
Примем, что вагон движется по рельсовому пути с непрерывными вертикальными неровностями т), одинаковыми для обеих рельсовых нитей (Т)х =	= Т]2 И т. д.).
92
Для составления дифференциальных уравнений колебаний напишем следующие зависимости:
1)	деформации связей:
сжатие £ и сдвиг у рессорных комплектов:
Sl=2K	j Tj ~Ук Л0к —{—	— */ть
£ц ==2К~|_ ^2фк +	2Т2^ Тц = Ук  ‘зфк Ут2>
Sj = ZK -L-Pk &2®к 2ТЬ ТI = Ук ^6К 4~	-Ут1 J
S|j ~ 2К Ч~ --^2®К--2Т2» Тц — Ук-h6K-'г'фк-Ут2г
сжатие условных пружин упругого осповация пути: £ш=£п1 =ZTL----------------------MPtJ--“Ль
&П2 = £п2 ~ 2т1 + Фт1 — Лг! £пЗ = £п3 = "Т2 ^тфт2 —Лз; Sh4 — £пч ~ ZT2 “Мт фтг-Л4;
2)	силы, действующие на элементы системы: силы реакций связей в рессорных комплектах:
^1= С2 PzSp 7*1 = Суу1—Ру тр Рц = cz^>y_ Pz £ip —суТц —Py Tip
= cz — PzSf; T{ = —cvy[ — Py Ti;
^n— cz^n Pz Sip ^ii= cyTii PyTii;
то же в основании пути:
^1 = ^1=  Cnz Snl Pnz £пь
^П2 — П2 = Cnz Sn2--Pnz Sn2 :
^ПЗ = ^пЗ= —cnz £пз	’nz SnsJ
Pm = Pn4 ~	cnz —Pnz Sn4‘»
силы и моменты сил инерции, приложенные к кузову: Рику~  ткУк'г PilKZ=  WK2K» ^ИКХ—	Мику=  -^куфк;
МИкг— —Ркг^к’, то же к тележкам:
Pnilz— ^Tl 2Т15 PliT^Z— -^Т2 2Т2*
^ИТ! у— --JТ1у Фт1> Л1ит2 у = — ^Т2 у Фт2«
Здесь знак минус означает, что реакции Рг соответствуют сжатию рессор, реакции Tif приложенные к кузову, направлены в сторону, противоположную оси 0ук кузова, а силы и моменты сил инерции направлены в сторону, противоположную ускорению.
93
Точками над координатами и деформациями указаны производные / • dy .. d2y	\
по времени ~ ; у = ~ и т. д.у;
3)	уравнения равновесия:
для кузова:
2У = 0; /’ику “bTj-l-7’ц-|-7’|-J-Tji = 0;
2Z = 0;	+
2Л4х = 0;	+	“Ь^11)^2 — (Ti + 7’n+^ } + Т1'1)Л = 0;
2Л4у = 0; Мнку-^+Рр/^Рн+РнУ^О;
2MZ = 0; МИК2 + (Л + TWj - (Л I + Т\ 0^2 = 0;
для первой тележки:
S2 = 0; Риц z4~ 9nj.+ Dni ~\гРпг4" Рп2~~Р1 — Р1~®>
liMy—O" MWT1y (Р ni+^nl ---^П2	°п2)^Т = 0;
для второй тележки:
2Z=0; PHT2Z + Рпз+Р'п3 + Ли+^4 - р 11 ~рп = °’
S44y = 0; Л4ит2у (ЛтзН-^пз Рпа ^Л14^т = 0'
Подставив в уравнения равновесия (п. 3) значения сил и моментов из п. 2, которые надо выразить через выбранные координаты из п.1, получим систему дифференциальных уравнений колебаний вагона.
Эта система в обычной (скалярной) записи является громоздкой, поэтому дифференциальные уравнения часто записывают в матричновекторной форме. Для того чтобы это сделать, все координаты принятой расчетной схемы объединяют в один обобщенный вектор z. В нашем случае этот вектор будет иметь девять компонент, определяемых координатами принятой расчетной схемы,
2’T={zK, ук, 6К, (рк, фк, ZTj, фТ1 , ZT2> <Pt2j •	(5-1)
В этой формуле индекс т у zT означает операцию транспонирования, т. е. когда строка заменяется столбцом.
Вектор zT в механике часто называют вектором состояния системы.
Тогда с учетом выражения (5.1) система дифференциальных уравнений, которой описываются колебания вагона, изображенного на схеме (см. рис. 5.1), будет иметь вид
[а]Т +	[с] г = (&п) т) -Нся]ть	(5.2)
где	[а] — инерционная матрица;
[&] — матрица демпфирования;
[с| — матрица жесткости;
[^п], [с11] — матрицы преобразования вектора внешнего возмущения;
т]Т = {т]1; i]2; т]3; т]4; 0; 0; 0; 0; 0} — вектор внешнего возмущения;
t]T = {ii1; т)2; т]3; т]’4; 0; 0; 0; 0; 0} — производная от вектора внешнего возмущения.
94
Матрица [а] в уравнении (5.2) имеет диагональный вид
	аи»	0,	о,	о,	0, 0, 0, 0, 0
	0,	^22»	о,	о,	0, 0, 0, 0, 0
[«] =	0, о,	0, 0,	азз> 0,	0, а44>	0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0
	о,	о,	о,	о,	0, 0, 0, 0, а89
где
а11~ а22~тК1 а33~ КХ> °44 = Kyi fl65 = 'Kzi
a66“mTl’ aT^ = ^Tlyi й.88 — тт2’ а99~^Т2у’
Матрицы [ft] и [с] в уравнении (5.2) также имеют размер 9x9 и по структуре совершенно одинаковы. Так, матрица [ft] имеет вид
	ftll»	0,	^13 >	&14- 0,		о,	Ьуъ» 0
	0,	bZ2i	Ь-23г	0, Ь2Ъ,	0	0,	0, 0
	bsi >	Ьз2>	Ьзз’	Ьз4» Ь33,	^36>	о,	Ьзв, -
	^41»	о,	^43 »	*44, 0,	^46>	0,	^48 J 0
[Ы=	0,	b*>2 »	Ь$з,	с,	&55»	о,	0,	0,	0
	ftel>	0,	Ьвз>	Ь64, 0,	^66,	0,	о, о
	0,	0,	0,	0, 0,	0,	Ьтз,	0, 0
	^81,	0,	^83»	bg4, 0,	0,	0,	^88» 0
	0,	0,	0,	0, 0,	о,	о,	0, Ь09
S де
fejj =4pz;	bjz = Q‘ bJ3 = —23z\ (b2—ftj);
Ьц — 2Pz Gi — Z2); ^15 —0; bl6= 2RZ;
fti7 = 0; &j,8— —23z;	^21~0;
Ьгг — ^Ру; bZ3= —4f}yh; Ь2Л=0; &25 = 2PJ/(/1 — Z2);
^2б = 0; ft27 = 0; b28 = 0; Z>2g = O; b3i = 2fiz(bi— b2);
bsz = ~^yh- 633 = 2[₽z(ft124-&i)+2pj/ft2];
^34 = Pz(^i— bz) (/2 lj); Ьзъ— 2$yh(J.! lz);
Ьзб~^г(Ь2 — fti); ft37 = 0; b3g=fiz(b2—bj)‘ b39 — 0;
&4i= —2pz (l2 — biZ = 0; bi3——Pz Gi — M (^1—b2);
^ = 2PZ (/J + /2); &i5 = 0; ft46=-2p*/i;
ft47 = 0; biB— —2pz l2; 649 = 0; &ы==0;
fts2==2py(/i — /2); &63 = 2pj/ (/j	Z2)A;
&54~0; b65 —2Py (If Z|); b56 = 0; b3-; = 0;
Ьзв — ^', b39 = 0‘ b61 — —2fz; 6e2 = 0; b63=	^z(.bi —bz)’,
fte4=2pzZi; &65 —0; &бб = 2(2рпг_ЬРг); ^67 = 0;
^бв = 0; &69~0> &71 = 0; blz = 0; &73 = 0; &74 = 0»	—
95
^76 = 0; 677 = Pnz (2/T)2J ^78 = 0; ^78 — 0; bgi = —2PZ;
^82 = 0; &8з= —Pz(bi—Ьц— —2^z l2; Ьвз = 0;
^«e = 0; &87 = 0; ^88 = 2(2Pn24-pz); fe88 = 0;
&8i= 0; &82 — 0; &83 = 0; Ьд$ = 0; &85 ~ 0; Ь96 = 0;
^»7 —С; b9S = 0- &в9 = Jnz (2/т)2;
Матрицы преобразования входных возмущений [£?п] и [сп] имеют одинаковую структуру и размер 9x9. Так. матрица [Ьп] имеет вид
	0	0	0	0	0 0 0 0	0
	0	0	0	0	0 0 0 0	0
	0	0	0	0	0 0 0 0	0
	0	0	0	0	0 0 0 0	0
	0	0	0	0	0 0 0 0	0
	bei >	^62	0	0	0 0 0 0	0
		Ьц,	&72	0	0	0 0 0 0	0
	0	0	^83’	^84	0 0 0 0	0
	0	0 -	~ЬВЗ,	Ьщ	0 0 0 0	0
bgi — b6z — Ьъз — b3i— 2f}nz;
&71 = &72 = Ьаз - bSi — 2/т Рп2.
где
Значения коэффициентов сц в матрице [с] могут быть получены из выражений для путем замены в них величины 0 на с с теми же цифровыми индексами.
Полученная система содержит девять дифференциальных уравнений второго порядка, причем первые семь из них взаимно связаны и только два уравнения (седьмое и девятое), выражающие галопирование тележек, содержат только по одной неизвестной функции и, следовательно, могут быть решены независимо от остальных.
Решение такой системы достаточно громоздко и практически может быть получено лишь с помощью ЭВМ. Проанализировать полученные результаты трудно из-за взаимного влияния семи видов колебаний с различными частотами и фазами. Особенно трудны для расшифровки результатов решения уравнений, в правой части которых введенная неровность ц рельсовых нитей близка к реальной и имеет многие виды составляющих гармоник различных длин волн и амплитуд. Тем не менее решение полученной системы позволяет составить приближенное представление о динамических качествах проектируемого вагона еще до его постройки. Такие решения обычно в несколько усложненной системе путем введения извилистого движения и боковых относов тележек относительно пути (т. е. дополнительно четырех степеней свободы) выполняются в практике проектирования с применением ЭВМ.
На осциллограмме (рис. 5.2) колебаний рессор zpl и zp2 первой и второй тележек вагона, полученной в результате решения задачи с ис-96
пользованием сложных расчетных схем по типу рассмотренной, видны признаки наложений на колебания с низкой частотой и большими амплитудами гармоник с высокой частотой и малыми амплитудами; раз-г личаются эти амплитуды и частоты на порядок и более. Здесь показаны также перемещения подпрыгивания I, галопирования II и боковой качки III кузова на рессорах.
Анализ показывает, что высокочастотные гармоники, называемые по аналогии с акустикой обертонами (период Т об), являются следствием наложения колебаний
Рис. 5.2. Осциллограмма колебаний рессор вагона
неподрессоренных масс на рельсо-
вом основании на колебания основного тона (период ТосН), которыми являются колебания кузова на рессорах.
Для более подробного аналитического изучения возникающих колебаний сложную систему дополнительно несколько упрощают. В ча-
стности, учитывая симметричность конструкции и размещения груза в расчетной схеме вагона следует принять 4 = /2 = /, Ьх = Ь2 = Ь, а содержащие разности этих величин коэффициенты bJ3, bu, Ь25, Ь31, b3^ b35, b36, ba, Ь41, Ь43, Ь52, Ь53, Ь63, Ь83, а также коэффициенты Cjj с этими же индексами, равными нулю. Тогда матрицы [£?] и [с] в системе дифференциальных уравнений (5.2) будут иметь следующую
структуру:
	frjj >	0,	0,	0,	о,		о,	Ь18,	0
	о,	^22»	&23’	0,	0,	о,	о,	о,	0
	о,	^32 >	^33»	0,	0,	0,	о,	о,	0
	0,	0,	0,	^44 >	0,	^46 >	о,	^48 ’	0
[&]=	о,	о,	0,	о,	^55,	о,	о,	о,	0
	^61»	0,	0,	^64’	о,	Ьвв,	о,	о,	0
	0,	0,	0,	о,	0,	о,	^77 >	0.	0
	^81»	0,	0,	^84>	о,	о,	о,	&88»	0
	о,	о,	о,	о,	о,	о,	о,	о,	bgs
Из структур матриц [а] и [Ь] видно, что в этом случае система уравнений (5.2) распадается на несколько более простых групп, которые в скалярной форме записи будут иметь вид:
ап 2 К 4“ ^112К 4" ^162Т1 4“ ^182Т2 4- C11Z К 4- С162Т1 4- С1Я2Т2 =
аа фк 4“ ^4дфк 4- ^462т1 4“ 6482Т2 4_С44Ч5к4~С462т14_с482Т2 = 0;
а662т14~^612к 4-^64фк4-6662Т1 4- С612К 4- С64Фк 4- С662Т1 =
= ^61414- ^62 Чг 4- св1Ч1 4- СбгЧг;
4 Зак. 557	97
ЛЯ8 ZT2	^81ZK 4~ ^WPk + ^88ZT2 + С81гК + с8«фк 4" C8gZT2 —
~ бязНз4“+ Овз'Пз + С841Ъ;
амУк + *^22 У К 4~ 6236к 4“ с22Ук -|” С23®К — 0; |
....	(	(5.4)
о330к 4- 632 У к 4- 633 ик 4- сзг!/к 4~ сзз ®к = Э; ,
а5&Фк 4~ б^фк 4“ С55 Ф = Ф	(5.5)
а77фтх 4-&7?фт14" с77фт1= —£>71'414" ^72'Пг c7i Hi 4* с72т12 I	I	(5 6)
й9офт2 4" ^»»Фт2 4" С98фт2 =  683Т]3 4“ ^»4Т14 С93^3 4" с94 П4- '
При учете боковых относов #т1,2 и виляний фт1,2 тележек вагона модель будет состоять из 13 дифференциальных уравнений, причем уравнения (5.4) и (5.5) будут иметь несколько измененный вид:
°22^К 4" ^22 Ук 4“ ^23®К 4" ^2 4 (#Т14“ f/тг) 4* С22 Ук 4" С23	4" С4 2 (Ут1 +
4_Ут2)==0;
°зз 4~b3ZyK4-b33QK4-6' 8 (ут1 -j-yTZ) -|-c3ZyK4-с336к4~	(5-0
4- С3 8 (Ут14"!Лг2)=0;
°55 Фк 4“ 655фк 4- в (Ут1— !/тг) 4- с5вФк 4- с5 в (Ут1 Утз) = ' ’
и добавляется четыре дифференциальных уравнения боковых колебаний тележек:
°!о1Ут1 4~ &1о1Ут14“ ciojZ/tj 4~ ^101Фт14‘ бюгУк 4" Q02 Ук 4- 6103 ®к 4"
4* С103 ®К 4- ^104Фк 4“ сЮ4Фк = 0;
°1П#Т2 4- &111Ут2 4" с111!/т2 + ^111фт2 4~ ^1 пУк 4~ Сцг!/к 4- &из6к 4-	(5 g)
4' Гц36к--(’114'фк-С114фк = 0;
а121Фт14* ^121Фт14- С121 Фт1 =
а131Фт2 4" ^131Фт2 4- С131Фт2 = 0>	j
где коэффициенты Z?24 = — 20у;	= 2/гру; b'se 2/0у; ctj, как и вы-
ше, получают из выражений для Ьц заменой 0 на с, а коэффициенты дифференциальных уравнений (5.8) получают из исследования извилистого движения тележек:
^101 === ^111 — ^Т1 — ^Т2 —
61о1=^п1=2 (2 — 4- Ру); V
С1о1 = с1и=с1о2 = с112 = 2су; rfioi =	=	4/с;	(5 9)
с1оз = спз = 2cyh\ 6i04 — ЬиЛ = 2/ру;
СЮ4= cii4 = 2fcy; Gm = qi31 = £-tz;
к	ns
6121 = 6131 — 4*~(/®4~S-)> c121 = 0131 = 4/t
V	rC
98
Решение полученных групп уравнений для симметричного вагона проще, чем для несимметричного. Сложной остается задача и в этом случае, если учитывается извилистое движение тележек. Полученная дополнительная система из четырех дифференциальных уравнений (5.8) боковых колебаний тележек совместно с тремя изменившимися уравнениями (5.7) боковых колебаний кузова предыдущей системы составляет теперь группу из семи совместных дифференциальных уравнений. Решение этой группы уравнений достаточно сложно, особенно если учесть, что коэффициенты Ьц и в них, которые содержат зависящий от самих координат коэффициент крипа k, обращают дифференциальные уравнения в нелинейные.
Интерес представляет изучение группы дифференциальных уравнений (5.3), описывающих вертикальные колебания кузова вагона и тележек в продольной вертикальной плоскости симметрии. Нетрудно видеть, что эти плоские колебания состоят из вертикальных симметричных и антисимметричных колебаний. Обозначим симметричные и антисимметричные колебания пары тележек соответственно:
гТ14"2Т2	гт1--ZT2	/г
zT—	;	фт—	•	(5.10)
Затем, подставив в систему уравнений (5.3) вместо zT1 и zT2 их выражения zT1 = zT 4- Z<pT и zT2=zT — Z<pT, получим новую систему уравнений:
4“ ^Pz^k4~ ^z^k—^Ру^т—4czZT = 0;
mTzT4~4(P2 4- 2pnz)zT 4- 4(cz 4~2cnz)2T—43zzK—4czzK *=
= 8fJnzT]c + 8cnzT]c;
(5. Il) <pft4-4cz/2<pK—4pz/zT 4cz/z-r —0;
2шт /2<pT 4* 4/2(Pz	2PnZ)(pT4~4/2(cz4~2cnz) Фк 4"^Рг^2Фк 4“
4~ 4cz/2<pK = 8Pnz/2<pnc4- 8спг^2фпс>
где 2 mT — масса двух тележек вместе с приведенной массой части пути;
т]с — среднее вертикальное перемещение колесных пар аагона на неровности пути или средняя ордината неровности рельсовой нити в местах контакта с колесами вагона;
Пс=~ (П14-*12+11з4-П4);
фпс — угол наклона кузова, вызванный неровностью пути:
1
Фпс =~^1 (П14-П2—Пз—TU) -
Из полученного следует, что симметричным колебаниям кузова с тележками соответствуют первых два дифференциальных уравнения системы (5.11), а антисимметричным —два вторых. Следовательно, колебания подпрыгивания кузова zK при движении вагона по пути с 4*	.	99
неровностями можно изучать отдельно от колебаний галопирования <рк и наоборот.
Необходимо иметь в виду, что при расчете колебаний шести- или восьмиосного вагона значение т]с содержит соответственно шесть или восемь слагаемых: rji — т]6 или rji —
Рассмотрим симметричные колебания вагона более подробно. Для сокращения записей будем пренебрегать влиянием сопротивления гасителей, полагая, что 0Z = |3Г1г — 0- Соответствующие дифференциальные уравнения запишем в виде:
zK—v? гт = о;
?тЧ- Zt — ZK = UT]C, где
2 4cz	2 (cz4-2cnz.
v2 =; v -------------------
(5.12)

Величины и v2 называют в механике парциальными частотами системы.
Выделив из общего процесса симметричные колебания, для которых получена система дифференциальных уравнений (5.12),
заменим сложную расчетную схему вагона (см. рис.5.1) более простой (рис. 5.3, а), по которой можно составить представление о колебаниях вагона.
Рассмотрим собственные колебания этой системы, для чего обратим дифференциальные уравнения (5.12) в однородные, приравняв правые части (т. е. т]с) нулю.
Рис. 5.3. Схема для расчета симметричных колебаний вагона (а) графики собственных колебаний масс кузова и тележек (б)
100
Решение однородной системы будем искать в виде:
2к = Л cos (pZ-4-ajq
гт= В cos (pz— а), f
Здесь А, В, р и а неизвестные величины.
Подставив выражения (5.14) в уравнения (5.12), получим:
X(p2-vf)4-Bvl=0;	1
A v|4-B (р2— v2) = 0. J 4
Рис. 5.4. Круг Мора для определений частот рх и р2
Так как А =Д В =/± 0, то должен быть равен нулю определитель, составленный из коэффициентов этих уравнений,
D (Р2) =
P2_V2; V2
vf; Р2—vi
-0,
откуда
(р2 —v|) (р2 —v2) —v2 v| = 0
или
p4 — (v‘iH-v2) p2H-v| v| — vf v| = 0.	(5.16)
Уравнение (5.16) называют частотным уравнением, а корни его — частотами собственных колебаний рассматриваемой системы
Pi.2 = _^~(vi+'v2 ± У(^-4-у2)2—4 (v| v2 — v| v|)], или
Р1,2 = —V(v2-vf)2+4v2 v|J.	(5.17)
Выражение (5.17) позволяет вычислять главные частоты рх и р2 с Помощью круга Мора (рис. 5.4), где видно, что они являются экстремальными, а следовательно, в случае v2 > (для вагонов это обычно, так как тк > 2/пт и сп > с), рг < гу и р2 > v2.
Рассматриваемая система имеет две зависящие только от ее параметров собственные частоты, а однородные уравнения (5.12) допускают два частных, линейно независимых решения для каждой функции:
z; = Дх cos (рх t + aj); z" == Д2 cos (р2 t + a2);
zj = Bx cos (рП+«1); z" = B2cos (p2/-|-a2).
Колебания, совершаемые системой с одной из собственных частот рг или р2, в теоретической механике принято называть главными колебаниями, а соответствующие им формы (виды) колебаний — нормаль-
но
ными формами (видами). Следовательно, полученные частные решения являются составляющими главных колебаний.
Формы (или виды) главных колебаний определяются величиной и знаком отношения амплитуд составляющих колебаний для каждой из двух частот. Учитывая уравнения (5.15), получим:
г;	v2 — pf	pl
;— = 1-—-Т1>0;
гк	A	vf	v2
г; _ В2	vf-pl	pl	(5Л8>
z"	А ~~ v2 ~~ ' v2 ~
ZK	Л2	V1	V1
Отсюда следует, что в первом главном виде колебания системы (р = рг) перемещения всегда совпадают по знаку, т. е. обе массы совершают колебание в одной фазе, а во втором главном виде (р = р2)— в противофазах (навстречу друг Другу).
В общем случае собственные колебания кузова и тележек вагона определяются зависимостями:
гк = Л1СО5 (pi/4-cCi) +А2 cos (p2t + aA',
zT =	ух cos (px t + «i) 4- A2 y2 cos (p21 + a2),
(5.19)
где амплитуды Alf A2 и начальные фазы a1? a2 определяются из начальных условий. Периоды (в секундах) колебаний основного (с наименьшей частотой Рх) тона Тги наложенного Т2 определяются из выражений:
Частоты колебаний п выражены числом колебаний в секунду (Гц) в отличие от угловых частот р (рад/с):
1	Pi	*	_ Рг
---=------:	п2=-------------.
7\	2л	Т2 2л
(5-21)
Для современного груженого четырехосного вагона и пути с деревянными шпалами имеем: пгк = 80 т; 2/лт = 14 т; 4 cz = — 16 МН/м; 8 сП2 = 400 МН/м. Парциальные частоты = 14,1, 1/с, v2 = 172 1/с; главные частоты рг = 13,8 1/с (2,2 Гц), р2 = 172 1/с (27 Гц). Следовательно, частота р2 второго вида колебаний более чем на порядок выше частоты рг первого вида, о чем указывалось выше.
Собственные колебания масс кузова и тележки (см. рис. 5.3, б), представляющие собой сумму двух гармонических колебаний, являются незатухающими, так как при решении задачи мы пренебрегли действием неупругих сил сопротивления гасителей, которые служат для гашения собственных колебаний.
Вынужденные колебания масс рассматриваемой системы характеризует система дифференциальных уравнений (5.12) при условии, что *1 ¥= 0.
102
Для упрощения вычислений положим, что неровность рельсовых нитей может быть выражена как
r]=T]osin <о	(5.22)
2л
где со=~г v частота чередования неровностей пути с длиной волны L при “ движении вагона со скоростью v.
Такое допущение целесообразно хотя бы потому, что любая сложная непрерывная вертикальная неровность пути может быть представлена рядом, состоящим из суммы гармонических функций с различными амплитудами и периодами. Так как исследование системы часто сводится к линейным дифференциальным уравнениям, то решение их для сложной функции возмущения (неровности) можно получить как сумму решений для ее гармонических составляющих.
Частное решение системы дифференциальных уравнений (5.12) следует искать в виде гармонических функций, сходных с функциями возмущения того же периода:
zK=Csin со/; )
к	(5.23)
zT = D sin со t. J
Подставив выражения (5.23) в уравнения (5.12) и сократив все члены на sin со/, получим:
C(co2-v2)+£v2=O;	1	ч
Cv2 + D(w2-v2) = —«т)0-1	1	'
Решив уравнения (5.24) относительно С и D, найдем;
_______________________
(со2—v|) (со2—-vf)—V2 VI
«Т]о (vj —со2)_____
(со2—vf) (со2—vj)—vf v|
(5.25)
Следовательно, частные решения уравнений (5.23) получат вид:
U T)o'vl	1
ZK =--------7---7---7---7—“ sin СО t = Ч]0 Дк sin со t',
(со2—v|) (со2—v|)—V2 v| I
j	(5.26)
Ml)0(v?—co2)
zT =------------------------- sin CO t — T]o Дт Sin co t,
(co2—v|) (co2—V2)—V?	|
где Дк, Дт — коэффициенты нарастания Амплитуд или динамичности системы.
Полное решение системы уравнений (5.12) с правой частью получим суммированием общих решений (5.19) для однородной системы с полученным частным решением (5.26) для неоднородной системы.
Учитывая, что собственные колебания исследуемой системы затухнут при условии, когда движение по пути с непрерывной неровностью будет длительным, практический интерес представляет изучение
103
только вынужденных колебаний системы, характеризуемых выражениями (5.26). Амплитуды этих колебаний т]0Ак и т]0Дт изменяются по закону изменения коэффициентов нарастания Ак, Ат в зависимости от частоты со или от скорости v (рис. 5.5).
При весьма малых скоростях и больших длинах волн неровностей величина со мала по сравнению с vx и v2. Тогда из уравнения (5.25) с учетом выражения (5.13) получим
U Ла
2 L =Ч-	<5-27>
V1 -V3
Следовательно, обе массы колеблются с амплитудой неровности пути без деформации связей (рессор и подрельсового основания).
Сравнивая знаменатели выражений (5.25) с частотным уравнением (5.16), нетрудно видеть, что значения С и D будут весьма большими при со —>- р± и со —р2. Значит, существуют две резонансные частоты <ох и со2 и соответственно две критические скорости их и v2, при которых амплитуды вынужденных колебаний масс тк и тт неограничено увеличиваются.
Отношение амплитуд колебаний тележек и кузова вагона будет
Из выражения (5.28) видно, что при скоростях движения, для которых со —>- D/С -> 0, т. е. величина/? мала по сравнению с величиной С.
Для грузовых вагонов в груженом состоянии это будет иметь место при движении с эксплуатационными скоростями v = 204-25 м/с по пути с длиной волн неровностей
2л	2л
----v =-----(20 4- 25) =9 4- 11 м.
Vi	14,1
Такие неровности относятся к разряду длинных. Если неровности будут короткими (в 5—10 раз короче указанных), то при тех же скоростях движения величина D по абсолютному значению будет во много раз превосходить величину С и перемещения будут иметь обратные знаки. Следовательно, при изучении колебаний кузова (например, для оценки плавности хода загруженного вагона) необходимо рассматривать движение по пути с длинными неровностями, пренебрегая влиянием относительно коротких. При этом в расчетной схеме допускается не учитывать наличие неподрессоренных масс тележек и приведенных масс верхнего строения пути, а ограничиться рассмотрением колебаний кузова на рессорах. И, наоборот, при исследовании динамики неподрессоренных масс вагона необходимо рассматривать его движение по коротким неровностям, а колебания подрессоренной массы кузова в расчетной схеме не учитывать, так как они практически не влияют на процесс колебаний неподрессоренных частей.
104
Рис. 5.5. График амплитудно-частотной характеристики системы кузова Дк и тележек Дт при кинематическом возмущении с частотой со
Рис. 5.6. Расчетные схемы для изучения колебаний кузова вагона на рессорах (а) и неподрессоренных частей (б)
Такое условное разделение расчетной схемы на две более простые существенно облегчает решение многих задач динамики вагона, причем точность получаемых результатов практически не снижается. Схема, представленная на рис. 5.6, а, широко применяется при теоретическом обосновании характеристик рессор вагона, оценке плавности его хода, а схема на рис. 5.6, б — при изучении сил динамического взаимодействия пути и ходовых частей вагона и решении других задач. При определении наибольшей нагрузки в месте контакта колеса и рельса необходимо суммировать динамические силы, полученные при рассмотрении обеих схем, с соответствующими статическими нагрузками.
Подобное упрощение расчетных схем целесообразно не только в задачах о вертикальных колебаниях подпрыгивания вагона, но и о галопировании, боковом относе и боковой качке. Однако в некоторых случаях, например при изучении движения порожнего вагона, когда масса кузова относительно мала, возможность упрощенной расчетной схемы должна проверяться с учетом отношения (5.28). По более полной расчетной схеме (см. рис. 5.3, а) задачу решают в более ответственных случаях, применяя при необходимости ЭВМ.
Обычно в расчетах кузов вагона с грузом принято считать твердым телом. В ряде случаев (например, при расчете пассажирских и грузовых вагонов, имеющих большую базу) оказывается необходимым учитывать и упругие колебания кузова как симметричные (при изучении колебаний подпрыгивания), так и антисимметричные (при колебаниях га/гопирования).
5.4.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
КУЗОВА НА РЕССОРАХ
Изучать колебания кузова вагона, представляемого как твердое тело на рессорах, в целях оценки плавности его хода и теоретического обоснования выбора характеристик вертикального подрессоривания с
105
Рис. 5.7. Расчетная схема колебаний кузова четырехосного вагона при движении по пути с неровностью т]
(5.29)
достаточной для практики точностью можно по упрощенной расчетной схеме без учета упругих колебаний пути и неподрессоренных частей вагона.
Рассмотрим процесс колебаний на примере четырехосного вагона (рис. 5.7), симметричного по конструкции и расположению груза, с рессорами и демпферами, имеющими одинаковые характеристики в обеих тележках. В этом случае дифференциальные уравнения (5.11) можно упростить, полагая, что сЛ2 — оо, и найдя, что zT = т)с:
ткгк 4~4pzzK-|- 4cz гк —4pzT]c 4~4cz т]с;
Ц у фк4~ 46г Z2 фк~|~ 4cz /2 <рк = 46z /2фпс~Н 4сг/2фпс, ткук~1-4$уук-[~4суук—4РУ h 0К—4c^/i0K — —-Фу (^т1 + */т2) + 2сг/ (!/ti+!/t2);
X ёк+4 (Зг &2н- Рг, /г2) ёк+4 (cz b^cy h2) 0К-
—4Ру h ук—4су hyK = —2h (t/Ti+fAre)
—2hcy (t/Ti—1/тя)»
г Фк + 4f}// /2фк + 4су I2 фк — 0.
(5.30)
(5.31)
Из этих уравнений только два уравнения (5.30) — для бокового относа и боковой качки — являются связанными между собой, остальные три — для подпрыгивания, галопирования и виляния — раздельные. В механике принято колебания, описываемые одним отдельным дифференциальным уравнением, называть главными колебаниями, а соответствующие координаты — главными координатами. Следовательно, для симметричного по конструкции и нагрузке вагона колебания подпрыгивания, галопирования и виляния являются главными.
Колебания боковой качки и бокового относа главными не являются и обращаются в главные только при h = 0. Если центр тяжести кузова (ЦТ) смещен относительно геометрической середины (например, /i=#Z2), колебания галопирования и подпрыгивания также не будут главными и соответствующие дифференциальные уравнения будут связанными 106
между собой уравнением (5.2). Ниже будет показано на примере этих двух колебаний, что путем преобразований двух совместных дифференциальных уравнений можно получить два раздельных уравнения, соответствующих главным видам колебаний.
Рассмотрим более подробно колебания подпрыгивания и галопирования симметричного кузова на рессорах с вязкостными демпферами линейного сопротивления (линейные демпферы), для чего перепишем уравнения (5.29) в виде:
2к4~29п Zk+vh ZK — 2qn TJc + 'Vn Чс<	1	fe-
••	"2	*2	n	i /
Ч>кН~2<7г «РкН-^г <Рк = 2<?г фгс + ^г фпс» J
где Vn, vr — квадраты круговых частот свободных колебаний подпрыгивания и галопирования кузова;
4 сг	4 cz
; vr =
у2 __
Р2 ”ку дп, ?г — коэффициенты затухания колебаний вания;
тк
’«К
/2	/2
— V2 —~— 
П о2 ’ ”ку
подпрыгивания и галопиро-
4 Рг _	4 рг
-----; 2<7г=-------
I2
2 <7п —	; zt/r —	п2 ’
/тгк	тк Рку
Z, ркг/ — половина базы и радиус инерции кузова относительно оси Оу.
Дифференциальные уравнения колебаний подпрыгивания и галопирования имеют один и тот же вид и различаются лишь размерностями функций и выражениями коэффициентов. Следовательно, чтобы установить общие математические закономерности для обоих видов колебаний, достаточно воспользоваться одним из дифференциальных уравнений (5.32).
Общий случай нелинейной характеристики демпфера рассмотрим на примере колебаний подпрыгивания, дифференциальное уравнение которых имеет вид
I+——НН)+*2£=-Пс.	(5-33)
тк
где F(££) — нелинейная функция силы сопротивления демпферов, зависящая от деформации и скорости деформации рессор.
5.5.	СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КУЗОВА НА РЕССОРАХ
На рессорах с линейными упругими элементами и гасителями собственные колебания подпрыгивания кузова подчиняются первому уравнению системы (5.32), взятому без правой части,
гк4-vn = 0.	(5.34)
Блок-схема решения этого уравнения на аналоговой вычислительной машине приведена на рис. 5.8.
107
Полагая, что коэффициенты qn и vn постоянные, воспользуемся обычным методом решения линейных дифференциальных уравнений и будем решение (5.34) искать в форме
zK = Clpi.
где С, р — постоянные, которые определяются из условия, что решение удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.34) и начальным условиям задачи;
е — основание натуральных логарифмов;
t — время.
Подставляя это решение в уравнение (5.34), получим характеристическое уравнение
Р2 + 2<7пР + ^ =0,
откуда
Р=—<7п ±	vn =—<7п i l vn •
Из теории колебаний известно, что решение линейного уравнения будет содержать члены, соответствующие колебательному процессу, лишь при наличии мнимой части корней р, т. е. при комплексных корнях р1г 2 == — q ± tv, которым соответствует случай слабого демпфирования, когда
•\ч 2	2	2 л
"п1 —- Vn—</п > 0.
В этом случае решением уравнения (5.34) будет
zK = e Qa * (C1cosvnlI-|-C2sinvD10= Се Vn * sin (vn 1-|-а),	(5.35)
где Vm — круговая частота собственных колебаний подпрыгивания кузова:
vni = ]/ vn~=^п1/ 1— ^--=vnVl— Т2 (Т — Qn - — показа-г	у	vn
тель (степень) демпфирования).
Из уравнения (5.35) следует, что собственные колебания имеют затухающий характер (рис. 5.9); темп затуханий зависит от коэффициента (уп; частота определяется частотой vn свободных (без демпфирова-
ние. 5.8. Блок-схема решения задачи о собственных колебаниях кузова при линейном демпфировании (К1=2^п, ^2=v2):
1,	2 — интегрирующие усилители; 3 — инвертор; 4 — сумматор
108
Рис. 5.9. График собственных затухающих колебаний подпрыгивания кузова на рессорах с линейным демпфированием (у=0,1; 1—4 — точки касания)
ния) колебаний кузова на упругих рессорах, а также в некоторой степени показателя демпфирования у. При малых показателях демпфирования (у < 0,25) частота собственных колебаний кузова отличается от частоты свободных колебаний не более чем на 3 % и при практических расчетах этой разницей обычно пренебрегают.
Постоянные интегрирования Сх, С2 или С определяются из начальных условий задачи.
Пусть в общем случае при t — 0, zK = z0 и zK = z0 — соответственно начальное отклонение и скорость перемещения кузова. Подставив эти значения в формулу (5.35), получим:
Ci — Zq, C2 —
zc+ <?п zo Vnl
или
c=
<zo4~ Cn zo) .
vnl
, vni Z0 а = arctg —;-------.
zo+ <7п г0
Введя значение С в формулу (5.35), получим
z
<К — с
(5.36)
I2
— sin (Vni^-4-сс).
(5.37)
С П+2 И П,
= е ^П1
Темп затухания определим как отношение амплитуд взятых на расстоянии одного периода, ^п+2 ___________________ е_______
On	g *
т. е. амплитуда убывает по закону геометрической прогрессии. Натуральный логарифм отношения Сп+2/Сп, называемый логарифмическим декрементом 6, будет
с , б-п+2	2л  2л qu п у
Сп	vnl vn Vi—у2	/1 — У2
В случае сильного демпфирования, когда	— <7п < 0,
из-за большой вязкости в системе колебаний не будет, так как корни характеристического уравнения будут действительными и решение не содержит гармонических функций.
109
В переходном (критическом) случае, когда =Vn — q‘n = О, корни характеристического уравнения будут кратными, т. е. plt 2 = — — Яп, и решением дифференциального уравнения (5.34) будет
Подставив в это выражение значения С\ = z0 и С2 = z0 + qaz0, определенные при тех же начальных условиях, что и выше, этому решению можно придать вид
гк = е п I^o ?п го) И*	(5.38)
График этого решения представлен на рис. 5.10 в зависимости от величин z0 и z0.
В критическом случае, когда система становится вязкой (как говорят, передемпфированной), возникает лимитационное движение без колебаний. Показатель демпфирования в этом случае называется критическим и величина его может быть найдена из условия
4cz	4r2
Так как = -------- и	, то и критическая величина
znK	тк
коэффициента сопротивления демпфера 0Z кр, отнесенная к одному рессорному комплекту вагона, а также показатель демпфирования соответственно будут:
о /----------. Яп _______ Pz ___ ftz
PzBp— / czmK » Y—	-1/	—»
vn Pz кр V cz
или, обозначив 4cz = с и 4fiz = 0, где с и 0 — соответственно суммарная жесткость и коэффициент сопротивления всех рессорных комплектов вагона, получим:
.___ р
Ркр=2
Величина у является одним из основных технических параметров рессорного подвешивания и выбирается исходя из требований плавности хода вагона в соответствии с нормами расчета и проектирования вагонов.
В случае отсутствия демпфирования в системе (qn = 0 и у = 0) собственные колебания ее не затухают, так как е~= 1, а период и частота колебаний подпрыгивания кузова будут выражаться формулами:
где /ст -------статический прогиб рессор, м.
с
ПО
Рис. 5.10. График затухающих лимита-ционных движений в передемпфирован-ной (у=1) колеблющейся системе
Рис 5.11. График сложных колебаний рессор при подпрыгивании и галопировании кузова
Характеристики собственных колебаний галопирования кузова получим по формулам для колебаний подпрыгивания путем замены в них vn и оп соответственно на vr и qr:
2л-^- 1/^Г = Д*- Тп;
vr	Ire I
11//
Лг-	-0,5 f--	- Мц'г
'Г	V /ст Рк У Рк У
^>p — Qp Тг—	Ргкр — 2 ' ~\/ стк ,
Рк у	1
В качестве примера в табл. 5.1 даны вычисленные по вышеприведенным формулам значения Т, п и ркр для колебаний подпрыгивания и галопирования кузова грузового четырехосного и пассажирского (массой брутто 54 т) вагонов.
Значения периода Тг, частоты пг и показателя 0гкр критического демпфирования нетрудно вычислить по приведенным формулам, если -знать для вагона отношение рку//. Расчеты показывают, что это отношение для грузового вагона составляет примерно 0,6 в груженом и 1,07 в порожнем состоянии и около 0,95 для пассажирского вагона. Поскольку периоды колебаний подпрыгивания и галопирования кузова мало различаются, собственные колебания точек кузова над рессорными комплектами обычно имеют вид биений (рис. 5.11) с периодами:
,с  2ТП Тр
гт,	1 П
6 = -^
где Tg, Тс — периоды соответственно биения и сложного колебания.
Дифференциальное уравнение (5.31) собственных колебаний виляния кузова на рессорах имеет вид, сходный с дифференциальным уравнением для галопирования,поэтому все формулы характеристик колебательного процесса для виляния получим путем замены cz, 0Z, ркр
ш
Таблица 5.1
Вагон	Масса кузова, т	Прогиб рессор О м	Жесткость рессор с, МН/м	Период колебаний Гп(*г), с	Частота колебаний пп (пг), Гц	Сопротивление гасителя ^гкр (₽гкр), МН-м 1-с
Грузовой: груженый	76	0,050	14,9	0,45	2,2 (2,4)	2,12
порежний	14	0,009	’ 14,9	(0,41) 0,19	5,3(5)	(1,9!) 0,91
Пассажирский	40	0,200	2,0	(0,2) 0,89	1,1 (1,15)	(0,97) 0,57
				(0,85)		(0,54)
(5.39)
в формулах, относящихся к галопированию, соответственно на су, Ру и Pkz- Для кузова вагона обычно pKZ ~ рку. Чтобы определить характеристики собственных колебаний бокового относа и боковой качки кузова на рессорах, дифференциальные уравнения (5.30) без правой части и при 0=0 перепишем в виде:
Рк4~ 612 Ун — 613 0К —0; 0« 4~ 622  623 Ун = 0 , где
. ^СУ . ^СУ 6 .	. _ I _______
°12—	, °13—	> °22—	т п2
тк	тк	тк ркх
4су 'г 23	"‘к Ркх ’
Решение системы (5.39) ищем в виде:
Ук = /.cos (рН~а);
0к = В cos (p/-j-a) 
Подставив это решение в выражения (5.39), получим уравнения:
(&12—р2) Л—bis В — 0;
-623Л + (&22-р2) В = о,
решения которых для А и 3, отличающихся от нуля, будут только в случае равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов системы
D (р2) =
^12—р2; —би "22 ’>	622 — Р2
Раскрыв этот определитель, получим частотнее уравнение
Р4 ( 612 4“ 622) р2 -|- Ь12 Ь22---613 &23 — о,
112
корни которого (круговые частоты собственных боковых колебаний) будут
_ - / 1 , ,____________________________
Pi,2 ~ |/	2 I^12~t~^22^ / (^12-^2г)2 4~ 4^13/>23 ]•
Коэффициенты распределения амплитуд получим из выражения
_ &___ ^12 Р1,2
Т1,2~ А ~	Ь13
Тогда решения получат вид:
1/к= cos (pi/H-aj) Ч-Л2 cos (р2/4-02);	|
6К = У1 А1 cos (pi 14- о-) 4~Тг А2 cos (р2 t-\- а2) - J
Из выражений (5.40) следует, что собственные боковые колебания кузова будут сложными, состоящими из двух разночастотных гармонических движений, качественно сходных с показанными на графиках рис. 5.3, б.
Рассмотрим влияние продольного смещения центра тяжести груза на вертикальные колебания вагона zK и <рк. При /х =# Z2 и 0Z = О дифференциальные уравнения этих колебаний получим из первого и четвертого уравнений системы (5.2):
2к+а12гк--Я13<Рк = 0; I	,е
(5.41)
(Рк4-а221Рк-а23гК“ О’ I
где
4cz	2cz /t
°i2=	» Gi3 ~	(-i ^2) j
mK
2cz	2cz
«г8=^-(4-м.
Эта система имеет вид рассмотренной выше системы (5.39). Следовательно, решение ее аналогично (5.40) можно записать в виде:
zK= ^!COS (р!/4-ах)4-Acos (р2/4-а2);	1
}	(5.42)
Фк = A Ti cos (р2 /4- ах) 4- AT2cos (p2 /4- а2) J где
Pi.2— 1/ -п-[а124-а22± У(а12 —а22)24-4с13а23	Ti,2—	’	•
F z	“13
Соответствующим выбором координат всегда можно сложную задачу, подобную рассматриваемой и описываемую системой связанных между собой дифференциальных уравнений, свести к группе более простых задач, каждой из которых будет соответствовать одно дифференциальное уравнение относительно одной (главной) координаты.
113
Рис. 5.12. Главные формы колебаний кузова в вертикально-прсдольной плоскости симметрии
В нашем случае система, для которой получены два связанных дифференциальных уравнения относительно координат zK и <рк, может быть сведена к двум простейшим системам. Каждой из них будет соответствовать одно дифференциальное уравнение. Примем за новые координаты qr и q2 такие, когда qr = zK и qi\\ = <Рк — форма колебаний с низшей частотой (из двух сравниваемых частот), q2 = z'i и q2y2 = <Рк — то же с высшей частотой. Подставив новые координаты в одно из дифференциальных уравнений (5.41), получим
91 +«12 Qi—«1з Vi 91=0» или
91 + («12— «13 Т) 91 = 0.
Учитывая, что а12 — а13	2 = с12 — (сг2 — pi,2) = р?,2, полу-
чим:
<7i + Pi ?i = 0; 1
i }	(5.43)
9г+Р1 92 = 0. J
Дифференциальные уравнения (5.43) описывают главные колебания рассматриваемой системы. Эти колебания по форме являются угловыми колебаниями относительно осей О-у и О2у, отнесенных вправо (рис. 5.12, а) и влево (рис. 5.12, б) от центра тяжести кузова Оу соответственно на расстояние ООХ = at и 002 = а2. Произведение ага2 = = р£. Это можно установить, рассмотрев положения продольной оси кузова в совместных движениях (zi и фк; 2к и <pjj.
Решениями дифференциальных уравнений (5.43) будут выражения:
91— 91о sin (Pi ^ + ai);l	g .
92 = a20sin (p2/ + a2).J
которые представляют собой две гармоники с частотами р± и р2 и амплитудами <?10 и q20.
114
Таким же путем из системы (5.39) могут быть найдены главные виды боковых колебаний кузова, которые принято называть боковой качкой первого (с низшей частотой) и второго (с высшей частотой) родов.
Для рессор с нелинейной упругой характеристикой при отсутствии сил трения дифференциальное уравнение свободных колебаний подпрыгивания кузова имеет вид
^kz+F(z)=0',	(5.45)
где F (z) — восстанавливающая сила рессор.
Движение кузова будет периодическим, но не гармоническим, а псевдогармоническим. Частоту р свободных колебаний при симметричной упругой характеристике рессор определяют по формуле
Частота р, как правило, зависит от амплитуды а колебаний. Некоторые частные случаи приведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Характеристика восстанавливающей силы
Частота собственных колебаний
Вид связи между частотой и амплитудой
где
л—2arcsin а
F (z)=cz-^F0 при z>0
F (z)==cz—Fn при z<0
115
Для вычисления частот при других (отличных от приведенных в таблице) формах симметричных, а также несимметричных упругих характеристик восстанавливающих сил рессор обычно пользуются приближенными формулами Бубнова — Галеркина и Крылова — Боголюбова.
В случае несимметричной упругой характеристики рессор отклонения кузова в обе стороны от положения равновесия будут различными. Модули указанных отклонений AL и — Л2 (рис. 5.13) связаны между собой соотношением
J F(z)dz = 0,
-А2
из которого можно выразить одно отклонение через другое.
Среднее положение системы (центр колебаний) смещено влево от начала координат на отрезок
Д - - 2 (Л2 — Д1) •
При этом полуразмах колебаний составит Ло=-2- (Я2Ч-Д1).
Приближенное значение частоты свободных колебаний в таком случае может быть определено по формуле, выведенной по способу прямой линеаризации,
5	^,0
р2—--------- р <z—Mz3dz.
2/пк	J	'
--ПО
Характеристика рессор вагона может быть нелинейной за счет нелинейности сил трения. К наиболее распространенным из них относятся рессоры с сухим трением, постоянным (кулоновым) или пропорциональным прогибу рессор.
Дифференциальное уравнение подпрыгивания кузова на рессорах с постоянным сухим трением имеет вид
_^tp_ + v22 = 0,	(5.47)
Здесь FTp — сила кулонова трения; v — частота колебаний системы v = ~\Ас1тк.
Более удобно рассмотреть дифференциальное уравнение (5.47) в виде
z‘+v2(z±fTp) = 0,	(5.48)
t ___ ^ТР —
где /тр	——
г", — стрела трения (прогиб рессор, который соответствует ткХ силе FTp).
Знак «+» или «—» в уравнении соответствует восходящему или нисходящему движению кузова при колебаниях. Это уравнение решают интервалами (метод «припассвывания»).
116
Рис. 5.13. Нелинейная характеристика рессор вагона
Рис. 5.14. График затухающих собственных колебаний кузова на рессорах с сухим трением
График колебаний кузова в этом случае состоит из отрезков синусоид (рис. 5.14) между точками 1, 2\ 2, 3\ 3, 4 и т. д., имеющих одинаковый период Т = 2л]/тк/с, но различные амплитуды. Последовательность амплитуд образует арифметическую прогрессию вида
flf = (_l)i (z0-4fTp	(5.49)
где i—1,2,3,... — номера точек касания графика колебаний огибающими прямыми;
ti — время от начала координат до рассматриваемой амплитуды, выраженное в периодах Т.
Как только отклонение at станет меньше /тр, колебательное движение кузова прекращается. Полоса ±/тр на графике (заштрихована) называется областью застоя, или порогом чувствительности рессорного комплекта.
В случае когда сила трения пропорциональна прогибу рессор (рис. 5.15, а), собственные колебания протекают несколько иначе. Жесткость рессор за счет изменения силы трения в них при сжатии
Рис. 5.15. Система с сухим трением, пропорциональным прогибу рессор (а), и график ее затухающих колебаний (б)
117
ct = с (1 + ср) будет больше, чем при разжатии с2 = с (1 — ср), а силы сопротивления рессор при нисходящем и восходящем движениях кузова соответственно будут:
Рх~ Сг (/ст+ z) ! Pz~C2 (/ст4~2) ,
где /ст — статический прогиб рессор.
Дифференциальное уравнение колебаний подпрыгивания кузова на таких рессорах будет иметь вид
+ <Р sgn z) + c (1 +<jp sgn z) z = 0,	(5.50)
где	Fo = <pcfCT = фРст (Pct — сила тяжести кузова);
ср — коэффициент относительного трения в рессорах; sgn z — знак скорости перемещения кузова при колебаниях.
Точное аналитическое решение этого дифференциального уравнения громоздко, поэтому оно дается в виде графика колебаний (рис. 5.15,6), который представляет собой затухающую функцию, состоящую из отрезков синусоид различного периода:	= лУ тк1с-х— для движе-
ния вниз и Т2 — тсУтк/с2 — для движения вверх.
Полный период колебаний будет
При малых значениях ср период Т = 2л У тк1 с. Последовательность амплитуд щ имеет тот же вид, что и для случая демпфирования постоянными силами кулонова трения.
Собственные колебания подпрыгивания кузова на рессорах с нелинейной характеристикой гасителей в общем случае описываются дифференциальным уравнением
тк z-f- F(z )-}-cz = 0.	(5.51)
Решение этого уравнения для случая выражения силы
F(z )= сс j z |п sgn z,	(5.52)
а > 0 — постоянная;
п 0 — показатель степени модуля скорости колебания, может быть получено в виде
z=z0 е~~cos pt,	(5.53)
X, р подлежат определению.
Пользуясь методом Крылова —Боголюбова для решения нелинейного уравнения вида (5.51), заключающимся в замене сложного действительного процесса колебаний простейшим гармоническим (гармони-118
ческая линеаризация), максимально приближающимся к действительному получим
/ п^-2 \
X, — аг’2\ 2	/ ctvn~1 Zp~1
nvzomK /л+3\ ~ m
Г I —!—— I	тк V л
\ 2 /
p2«v2; aKD = -3^/nKv2-'Izi-H.	(5.54)
X	0
В частных случаях, соответствующих выше рассмотренным, получим:
при п = О, F (z) = a sgn z, как в случае гасителя сухого трения:
- >—	. 2а 2а
Х=2/У^Г;	——т==— =------------;
л / тк с z0 nmKvz0
при п = 1, F (z) = az sgn z = az, как в случае вязкостных демпферов:
’ акр=2У7^Г.
5.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ КУЗОВА НА РЕССОРАХ
z Вынужденные колебания кузова вагона с симметричными конструкцией и загрузкой, с рессорами и вязкостными гасителями линейного сопротивления при движении его по пути с неровностями описываются системой дифференциальных уравнений (5.29) и (5.30).
В первую очередь рассмотрим вынужденные колебания подпрыгивания, которым соответствует дифференциальное уравнение (5.32)
z'k+2<7п zK 4- Vn zK = 2<7п Т)С+Vn TJC.	(5.55)
Из теории линейных уравнений известно, что полным решением неоднородного уравнения является сумма общего решения zKC соответствующего однородного уравнения (собственные колебания) и частного решения zKB неоднородного уравнения (вынужденные колебания). Следовательно, полным решением (5.55) будет
гк = 2кс4-2'кв-
Решение zKC получено выше [см. выражение (5.35)], поэтому остается найти частное решение zKB, которое в общем случае для правой части уравнений Р (1)/тк при нулевых начальных условиях (при t = 0, z0 = z0 = 0) имеет вид
1 е _ _
zKp =-------Р (т) е 911	’ sin Vm (t—т) du,	(5.5С)
тк vni
11»
где
____"|/" v2 — о2 гП1 — V п чп •
В частном случае движения вагона по пути с неровностями гармонического вида г = 1% sin со/ решение уравнения (5.55) проще искать в форме его правой части
2КВ = A cos со /+ В sin со t = D sin (со t—cq).	(5.57)
Подставив решение (5.57) в уравнение (5.55) и приравняв выражения коэффициентов перед одноименными тригонометрическими функциями, получим после соответствующих преобразований:
Следовательно, общее решение уравнения (5.55) будет
zK=Ce * sin (vnl t—а) +т]0 Дхsin (coi—ax).	(5.59)
При входе вагона на участок пути с неровностью возникают как собственные постепенно затухающие, так и вынужденные колебания. Такой случай, называемый переходным процессом, представляет большой интерес при изучении колебаний вагона на участке с изолированной неровностью. Во время длительного движения с постоянной скоростью по участку, имеющему периодические неровности постоянной амплитуды, собственные колебания вагона затухнут, и он будет испытывать только вынужденные колебания. Такой процесс движения называют установившимся, или стационарным.
Амплитуда вынужденных колебаний, соответствующая стационарной части решения (5.59), зависит от амплитуды т]0 неровности пути и коэффициента нарастания амплитуд Ах (коэффициента динамичности). Иногда Ах называют коэффициентом чувствительности системы к смещению при кинематическом возмущении.
На рис. 5.16 представлены графики Ах и ах в зависимости от отношения частот co/v и показателя демпфирования у.
Графики Ar (co/v) показывают, во сколько раз амплитуда колебаний подпрыгивания кузова больше или меньше амплитуды неровнссти т] (х) рельсового пути, а графики ax (co/v) — отставание по фазе функции колебаний от функции неровности. Так, из графика Дх (со/v) в диапазоне 0<С co/v < ]/2, соответствующем скорости движе-120
Рис. 5.16. Коэффициенты динамичности (а) и фазовые отклонения [б) при колебаниях подпрыгивания кузова (сплошные линии — перемещения, штриховые — ускорения)
L л/~
ния вагона 0 < v < ~ I/ — (здесь L — длина волны неровности), следует, нт© колебания кузова, возникающие за счет упругости рессор, всегда имеют амплитуду большую, чем амплитуды неровности пути. Причем это нарастание амплитуд тем больше, чем меньше показатель демпфирования у. При длинных неровностях пути с волной, близкой длине рельсового звена, в указанном диапазоне находятся эксплуатационные скорости современных грузовых вагонов.
При co/v > ]/2, наоборот, упругость рессор создает эффект снижения амплитуд колебаний кузова по сравнению с амплитудами неровности пути (Дх < 1), а действие сии демпфирования несколько снижает этот эффект. В этом диапазоне находятся эксплуатационные скорости пассажирских вагонов.
Наибольшие колебания кузова на рессорах возникают при co/v«l (зона резонанса). Соответствующая им критическая скорость определяется из условия со = V.
L	L ---------- 1
акр = —й— v = — V =» °’5L	г~~~~
2л	2л	/ст
В случае длинных неровностей L — Lp, где Lp — длина рельсового звена (12,5 или 25 м), критические скорости составят
1 и«р = 0/—------- .	(5.60)
V /ст
Для грузовых груженых вагонов критические скорости находятся в диапазоне эксплуатационных (табл. 5.3), а для пассажирских — значительно ниже эксплуатационных.
Так как на пути имеются и более короткие неровности (в том числе очень короткие изолированные типа стыковых впадин, горла кресто-
121
Таблица 5.3
Вагон	Тип тележки	Статический прогиб /ст, М	Критическая скорость окр, м/с, при длине рельсового звена	
			12,5 м '	25 м
Грузовой: груженый	ЦНИИ-ХЗ-0	0,05	28	56
порожний	ЦНИИ-ХЗ-0	0,01	62,5	125
груженый	МТ-50	0,02	44,2	88,4
Пассажирский	КВЗ-ЦНИИ	0,2	14	28
вин и др.), для снижения сил динамического взаимодействия колес с рельсами вагоны необходимо оборудовать рессорами. Чтобы при высоких эксплуатационных скоростях и на длинных неровностях коэффициент динамичности вагона был возможно меньшим, нужно иметь максимально гибкие рессоры. Это удается выполнить в пассажирских скоростных вагонах, у которых прогибы рессор составляют 0,2—0,3 м. В грузовых вагонах возможность увеличения статического прогиба рессор ограничена условиями сцепления груженых вагонов с порожними. Его величина обычно не превосходит 0,05 м в тележках новой конструкции и 0,02 м в старотипных.
Следовательно, для повышения динамических качеств грузовых вагонов необходимо уделять большое внимание системе демпфирования. Из графика, представленного на рис. 5.16, а, следует, что при движении со скоростями, соответствующими зоне критических или близких к ним, наименьшие амплитуды колебаний кузова наблюдаются при высокой степени демпфирования (у > 1). Однако чтобы выбрать оптимальное значение у, необходимо рассмотреть его влияние на ускорение и инерционные перегрузки при колебаниях и в зарезонансной зоне, которую вагон проходит во время движения по пути со средними и короткими неровностями. Ускорения при колебаниях кузова получим как вторую производную от zKB:
гКв = —"По A] <о2 sin (о> t—с^) == — Ду sin (о> t—04),
где Ду — амплитуда ускорений.
После преобразования можно записать
Ду = т]0 Дх w2 = r)0v2 Дг (co/v)2 = uc Ду,	(5.61)
где ис = T]0v2 — собственная (конструкционная) амплитуда ускорений, возникающих при колебаниях кузова с собственной частотой и амплитудой, равной амплитуде неровности пути;
Ду — коэффициент нарастания ускорений, зависимость которого от (щ/v) для различных у представлена на рис. 5.16, а штриховыми линиями.
122
Из графиков Ду (co/v) следует, что в большом диапазоне скоростей вагона 0<и<(3-г4)икр уровень ускорений будет умеренным (заштрихованная область на рис. 5.16, а), если в системе показатель демпфирования у = 0,24-0,3. Следовательно, вязкостные гасители, установленные для гашения вертикальных колебаний кузова на рессорах, должны иметь суммарный коэффициент сопротивления
Pz= (0,2 4- 0,3) р2Кр = (0Л->0,6)	(5.62)
Эта величина не зависит от амплитуды неровности пути и рекомендуется как оптимальная в нормах расчета и проектирования современных пассажирских вагонов. Для грузовых вагонов, имеющих относительно более жесткое рессорное подвешивание, чем у пассажирских, величину ис в 5—10 раз большую и эксплуатируемых в зоне критических скоростей, указанный уровень коэффициентов динамичности недопустим и вязкостные демпферы обычного типа не могут быть рекомендованы.
Наибольшая сила инерции кузова, передающаяся на рессорные комплекты в момент их максимального сжатия при колебаниях, будет
Ри щах =. тк 2max l = T]o v'2	(co/v)2 тк.	(5.63)
Также интересно рассматривать колебания кузова не абсолютные в пространстве, а относительно рельсозого пути, т. е. прогибы (деформации) рессор. В этом случае дифференциальное уравнение (5.55) приводят к виду
2к+2^п(гк— i]) + vn (zK—т])=0.
Введя обозначение zK — т] = £ — прогиб (деформация) рессор, перепишем это уравнение относительно |,
£+2<7пВ+*^ = -Ч-	(5.64)
Пусть т] = т]0 sin со/. Тогда уравнение (5.64) будет
t'+2<7n"^ + vn S = T]o<L>2sin О)/.	(5.65)
Частное решение его по вышеизложенному методу найдем в виде
(co/v)2
В—По /	4	sin (cd t—а2);
V (1— <d2/v2)2+4y2cd2/v2	v 27
£ = j]0A2sin (oH—a2),	(5.66)
где Д2 — коэффициент нарастания амплитуд прогибов (деформации) рессорных комплектов.
Зависимость Д2 от co/v для различных показателей демпфирования представлена на рис. 5.17, из которого видно, что прогибы рессор по своей величине нередко превосходят амплитуду неровности пути, особенно в случаях демпфирования с показателями у < 0,7, а при увели-
123
Рис. 5.17. Изменение амплитуд колебаний рессор вагона с линейным демпфированием в зависимости от отношения частот
чении скорости эта амплитуда стремится к амплитуде неровности пути независимо от степени демпфирования. Умножив величину деформации рессор на их жесткость, можно определить силу их упругой реакции. Полную силу в рессорных комплектах получим, если к величине упругой составляющей прибавим неупругую составляющую силу сопротивления демпферов:
Pp = PJ7+PHy=^+pt (5-67)
Подставив сюда функцию (5.66) и ее производную, получим
Рг — ст]0 Д2 sin (со t—а2) + Р Л6 ю ^2 cos (со t—а2) =
= ст]0Д2 у ! со2
sin (со t—а2) =
=	1+4т2^-
sin (со t — а2) — с т)0 Ду sin (со t — сс2).
Следовательно,
4р max — I с т]0 Ду | = T]q V2 тк Ау — тк zK тах-
(5.68)
Отсюда можно сделать вывод, что наибольшее значение силы реакции рессор при колебаниях подпрыгивания кузова численно равно амплитуде его силы инерции, а графики для (см. рис. 5.16, а} являются графиками изменений амплитуды силы реакции рессор.
Переходный процесс колебаний кузова, как указывалось выше, возникает только в начальный момент входа вагона на участок пути с периодической неровностью. Исследование этого процесса представляет особенно большой интерес при движении вагона по короткой изолированной неровности, обычно характеризующейся большими местными отклонениями рельсовых нитей от нормального положения. Общее решение уравнения (5.55) в этом случае такое же, как выражения (5.59). Решение, описывающее переходный процесс колебаний, получим, если произвольные постоянные С и а (или и С2) по заданным начальным данным гк (0) = z0 и 2К (0) = 20 будем определять с учетом вынужденных колебаний
zK = e~qt z0 cos vnl t-\- г«+9го sin vnl/ +
\	vnl	/
_ ,	/	^sino^—«COSC^	A
4- e q Дг cos cos vnl 14-----------------s’n vnlZ I -f-
\	vni	J
-J-1]0 Aj sin (co t—(Zj).
(5.69)
124
Первый член этого выражения представляет собой собственные затухающие колебания, зависящие от начальных условий. При начальных условиях г0 = z„ = 0 этот член равен нулю. Второй член представляет собой тоже собственные затухающие колебания, но не зависящие от начальных условий. Эги колебания возникают в момент действия возмущения от пути и называются сопровождающими собственными колебаниями. Они постепенно затухают и остаются только вынужденные колебания, определяемые третьим членом.
Проследим процесс установления вынужденных колебаний на примере системы с небольшим затуханием (величина q близка к нулю), приняв нулевые начальные условия. Тогда
1___(rt2/v2 (sin со/ ё q sinvn/
' П	1	*П	4
(5.70)
Если со и vц значительно отличаются друг от друга, то процесс установления имеет вид, представленный на рис. 5.18, а при со vn и на рис. 5.18, б при со vn. Если со и va близки по значению, то процесс
Рис. 5.18. Колебания кузова в переходном процессе:
а, б и в — соответственно при большой и малой разнице между собственными и вынужденными частотами; г — при равенстве этих частот
125
Рис. 5.19. Колебания вагона при движении по изолированной неровности: а — расчетная схема вагона и эпюра прогибов рессор по длине неровности при движении с критической скоростью окр, соответствующей <o/v=3/2; б — график прогиба рессор при различных соотношениях co/v
установления имеет вид биений (рис. 5.18, в), а при со —> vп в выражении (5.69) нельзя пренебрегать величиной q. Тогда оно будет иметь вид
2к = По(Уа/29)(1 — с-cos со/. (5.71)
Процесс устанавливается без биений (рис. 5.18, г), и амплитуда возрастает тем быстрее, чем меньше q.
Для примера вычислим наибольшую вертикальную динамическую нагрузку на рессоры при движении вагона по длинной изолированной впадине. Двусторонняя просадка пути длиной L и глубиной Т]о (рис. 5.19, а) может быть выражена формулой
Т]	(1 — cos со /),
где
Для случая L 2/ (2 I — база вагона или тележки) расчетную схему вагона примем по рис. 5.6, а и дифференциальное уравнение прогибов рессор £ — по уравнению (5.64).
Подставим в уравнение (5.64) выражение для т], получим
t + 2</п | + vn £ = — ~~ со2 cos со t.
Решение этого уравнения будет
£=£с+£в = е 9п 1 (Сг cos vnl/-J-C2 sin vni/) —
По	(to/vn)2
— о ‘ ,___________________________- cos (со t —а).
2 V (l-co2M)2 + (29nco/v^)2
Учитывая, что за короткое время движения в пределах неровности возникшие собственные колебания не только не затухнут, но практически и не уменьшатся, влиянием демпфирования можно пренебречь (<?п = 0).
Тогда
По (®/vn)2
5 = С, cos vn /+ Q sin vn t-—	‘OS Ш t.
125
Отсюда определим постоянные G и С2, как для переходного процесса, с учетом вынужденных колебаний для кулевых начальных условий (при t = 0; | = 0; ( = 0):
Jb. «0/V.F с=ю 2	1 — (<o/vn)2
Окончательно будем иметь
t По (tt/vn)2 ,	.	..
£	i / ;т <cos vn t—cos о t).
2	1 — (<o/vn)2
Графики прогибов £ рессор в долях глубины неровности т]0 для различных скоростей движения вагона показаны на рис. 5.19, б. Из графиков следует, что наибольший прогиб £тах = 1,47т]0 будет при <o/vn — 3/2, соответствующем критической скорости
икр==Т Ус//Пк-
Изображая полученную кривую наибольших прогибов рессор £ в масштабе т] (неровности рельсового пути) и алгебраически суммируя их ординаты, получим траекторию 1 перемещений центра кузова при движении вагона по неровности 2. На заштрихованной эпюре деформаций рессор знаки «+» и «—» соответствуют разгрузке и дополнительному сжатию рессоры.
Так, в случае движения по неровности длиной L = 10 м и глубиной г]0 — = 10 мм груженого четырехосного вагона с кузовом массой тк — 75 т, рессорами жесткостью с = 15 МН/м (тележка ЦНИИ-ХЗ) со скоростью
3	10	/"15. |лб
укр= ~ • — у =33,8 м/с (120 км/ч)
динамический прогиб £ = 1,47-10= 14,7 мм, что составляет 30 % статическо-mKg 75-103-9,81
го прогиба /\т = ---- = —	= 0,05 м.
с 15-106
В случае движения того же вагона, но имеющего более жесткие рессоры с = 40 МН//м (тележка типа МТ-50), та же скорость v = 120 км/ч соответствует отношению o)/vn 1 и наибольший прогиб £max ~ l»2tjo = 12 мм, -что со-ставляет 63 % статического.
Следовательно, увеличение жесткости рессор ухудшает динамические качества вагона. Однако при мягком рессорном подвешивании (статическом прогибе 55—60 мм) и больших глубинах просадок пути (30—40 мм) динамический прогиб достигает весьма больших значений (45—60 мм), что приводит к полному смыканию витков пружин и возникновению жестких ударов надрессорных балок о рамы тележек. Для обеспечения безопасности движения вагонов необходимо устранять такие просадки на пути.
Применение рессорных комплектов, в которых Гасители последовательно соединены с дополнительным упругим элементом (рис. 5.20) жесткостью (упругоизолированный гаситель), вносит в рас-'	127
Рис. 5.20 Расчетная схема с рессорным комплектом, имеющим упругоизолированный гаситель
Рис. 5.21. Амплитудно-частотная характеристика Ai2=f(fi)/v}
четную систему известные усложнения. При составлении дифференциальных уравнений колебаний такой системы необходимо наряду с рассмотрением перемещений центра массы кузова zK и его динамического равновесия (по Герману — Даламберу) рассматривать перемещение и силовое равновесие в точке соединения гасителя с дополнительным упругим элементом.
В результате получаем следующую систему:
mKz-\-c {z—T]) + Q (z — zx)=0; |	g
₽(*i~ n) — ci (z~zJ=0. I
Решения этой системы для вынужденных колебаний в случае т] = = т]0 cos со/ ищем в виде:
z= A cos to tA-B sin со t‘,	]
,	„ .	}	(5.73)
Zj = Аг cos со t-\- Bj sin co t. )
Подставив решения в систему и решив относительно А, В, Аг и Вг, после необходимых преобразований найдем: для колебаний массы
z = l/ А2-\-В2 sin (со/—«12) = yi_|_4V2(w2/v2)(l + e)2 =  '• ----------------- --------- х
У (1 —<b2/v2)2-|-4y2 (co2/v2) [1 -|-з (Т — co2/v2)]
X sin (со/—ац) = 1Ь Д12 sin (со/—а12);	(5.74)
для ускорений
z = t]0v2 Д12 (co/v)2sin (со t—а12—n)=T]0v2 Д12у sin (<*>*—а12—л)’	(5.75)
12$
где
Р	с	-» / ~с
7 = о -----=~; е =	; v — I/ ------; Д12, Л12у —
2 |/ С tTl\^	Cj	т tTlR
коэффициенты нарастания амплитуд соответственно перемещений и ускорений.
Графики изменения Д12 в функции co/v для случая демпфирования у — 0,25 представлены на рис. 5.21. Из этих графиков и расчетов по формулам следует, что с увеличением е, что соответствует уменьшению жесткости упругого элемента, амплитуды колебаний и ускорений увеличиваются в зоне резонанса (со « v) и уменьшаются в зарезонансной области (со > 2v). Следовательно, упругая изоляция гасителей не может служить средством улучшения динамических качеств вагона. В случае применения такой конструкции в каких-либо иных целях рекомендуется применять возможно более жесткие пружины (е < 0,5-т-0,3).
Нелинейное сопротивление гасителей в рессорах обычно применяется в грузовых вагонах, где оно осуществляется за счет работы сил сухого трения в клиновой системе. Исследование колебаний системы с гасителями сухого трения сложнее, чем с гасителями вязкого трения, так как в этом случае приходится иметь дело с нелинейными дифференциальными уравнениями. Дифференциальное уравнение для прогибов рессор во время вынужденных колебаний подпрыгивания кузова вагона может быть записано в виде.
тк |-f-FTpSgn t + c g = — mK4>	(5.76)
где FTp — сила сухого трения, изменяющаяся по какому-либо известному закону и меняющая свой знак в зависимости от знака скорости деформации рессор.
Точное решение такого нелинейного уравнения для различных видов функции Гтр сложно и громоздко, так как при некоторых условиях система может терять свойства подвижности (например, из-за «закрытия» гасителя), и задача становится разрывной. Однако если учесть, что в случае нелинейности в системе из-за особенностей затухания колебаний амплитуда не влияет на собственную частоту, которая остается приблизительно постоянной, то изучению подлежат быстрота убывания амплитуд собственных колебаний и нарастание амплитуд вынужденных колебаний в зоне резонанса. Такие задачи обычно решают приближенно методом припасовывания (см. выше собственные колебания систем с сухим трением) или линеаризации системы.
В последнем случае систему с сухим трением заменяют системой с вязким сопротивлением, величину которого выбирают исходя из равенства энергий, рассеиваемых этими системами за один период колебания. При этом приближенно полагают вид колебаний известным, например близким к синусоидальному (изменение £0 за период Г мало). Рассмотрим это на примере. Пусть система колеблется по закону:
£.= g0 sin со t\ | = ft)£0 cos to t.
5 Зак. 557
129
Сила неупругэго сопротивления, определяемая функцией F=F(£) совершит за один цикл работу
Т	2Л
A = ^F(i)dl=^F(i)ldt=Z0 f F(t)cosW/d(W0. о	о
В случае вязкого сопротивления по закону Рау — соответствующая работа была бы
Лв = г6со£§.
Приравняв Лв = А, получим для демпфера, эквивалентного по рассеиванию энергии рассматриваемому, коэффициент вязкого сопротивления
(5.77)
1 2л
Рэ=-----Г- f F(t)costo/d (w/).
лсос0 Q
Интеграл в этой формуле представляет собой площадь петли гистерезиса за цикл деформации рессорного подвешивания. Поэтому для наиболее часто встречающихся гасителей с трением, постоянным или пропорциональным прогибу рессор, этот интеграл легко вычисляется как площадь трапеции А = 4Fo£o = 4ф/стс|0, и коэффициент сопротивления эквивалентного гасителя будет
4Д0
Л СС feo
Коэффициент 0э отличается от 0 тем, что он зависит от амплитуды £0 колебаний, которая в свою очередь зависит ст величины 0Э. Это должно учитываться при последующем решении, которое ведется в предположении, что £0 мало изменяется, так как рассматривается установившийся процесс. Тогда дифференциальное уравнение (5.76) можно записать в виде
(5.78)
^к1 + 0эЧ+с£=—	т’].	(5.79)
Приняв т] — т]0 sin со?, решение для вынужденных колебаний получим в виде
Нв = -, /	Шк ЛоtJ  —_ . (	sjn	)	(5.80)
B У(с_/ИкО2)2+(РэЮ)2
Подставив в выражение амплитуды |0 вместо 0Э его значение (5.78) и решив затем относительно £0, получим
7
(co/Vn)2
тк т)о со2
6в
1о=По
(5.81)
|2 = no дз’
где у=<р/фкр — степень демпфирования или относительное демпфирование (	л Т]о
силами сухого трения (фкр = -— —критическое значение \	4 /ст
коэффициента относительного трения в рессорном подвешивании);
Д3 — коэффициент динамичности или нарастания прогибов рессор при колебаниях подпрыгивания кузова.
130
Рис. 5.22. Графики коэффициента нарастания амплитуд колебаний кузова на рессорах с сухим трением
Рис. 5.23. Расчетная схема кузова для случая, когда радиус инерции масс рку = 1
Смысл критического значения коэффициента относительного трения <ркр заключается в том, что амплитуда Во по выражению (5.81) при <р< < <ркр в зоне скоростей движения, когда <o/vn—> 1, резко нарастает и становится неограниченной (резонанс), а при y^to/vn)2 > 1 прогибы рессор ограничены или совсем отсутствуют. Это наглядно показано на графиках (рис. 5.22), построенных по выражению (5.81). Из графиков следует, что ограничение прогибов рессор в условиях резонанса достигается при относительном демпфировании у = <р/<ркр > 1, а величина коэффициента относительно трения <р для подвешивания должна выбираться в зависимости от отношения амплитуды неровности пути к статическому прогибу рессор. При этом должно соблюдаться условие
По	/г 0П\
ф>фкР; фкр—	.,	•	(5.ozJ
Vct
При линейном (вязкостном) демпфировании оптимальное значение показателя у не зависит от амплитуды неровности, поэтому при определении его не уделялось внимания тому, насколько отличается т]с (амплитуда средней неровности под всеми колесами вагона) от т]0 (амплитуда фактической неровности рельсовых нитей). В общем случае т]с всегда меньше т]0. Это является следствием так называемого эффекта «сглаживания» неровностей пути сбалансированной системой колесных пар вагона и особенно ощутимо проявляется в многоосных вагонах.
В приближенных расчетах коэффициента относительного трения <рКр в формулу (5.82) вместо т]0 также рекомендуется подставлять т)с, но как амплитуду средней неровности под колесами тележки одного конца вагона. Такая замена означает, что при расчете колебаний вместо кузова с распределенной массой тк рассматривается система (рис. 5.23), состоящая из двух сосредоточенных над центрами тележек масс, соединенных невесомым стержнем. Каждая из этих масс равна половине массы кузова.
5*	131
Так как в полученной системе радиус инерции масс рку равен половине базы кузова /, процессы вертикальных колебаний этих масс протекают независимо друг от друга и соответствуют колебаниям массы кузова над пятниками. Это допущение, благодаря которому учитывается влияние на выбор параметров рессор не только подпрыгивания кузова, но и его галопирования, правомерно, так как для типовых вагонов рку — (0,94-1,1) I. Однако при окончательном выборе рессорного подвешивания проектируемого вагона его параметры корректируют на основе контрольного расчета по полной расчетной схеме с помощью ЭВМ. Неровность т]с рельсовых нитей пути как среднее смещение по вертикали точек контакта с колесами вагона вычисляется с учетом фазовых сдвигов, соответствующих расстояниям между колесами вдоль оси пути. В случае гармонической неровности указанная средняя неровность будет также гармонической того же периода, но с уменьшенной амплитудой. Так, для четырехосного экипажа (вагон или тележка) при движении его по рельсам с неровностью т]~ Ло* Xsin х — т]0 sin со/ средняя ее величина будет
Пс =— (Ч1-Н2+Ч3+Ч4) lsin (<° ^—aJU-sin (со/—а2) + 4	4
4-sin (со t—a3)-|-sin (со t—a4) = ~^~а sin (со / —ac),	(5.83)
где
. т	I	I —. 1»
аг = 0; a2=4jr—~; а3 = 4л—; а4 = 4л—  .
Угол <pIlc наклона кузова на неровности пути вычисляется аналогично
Фпс=~~ (Пс + Пг—Чз—П4) = -^6sin (со/—а2С).	(5.84)
4/	4Z
Входящие в эти выражения коэффициенты а и Ь, а также суммарные сдвиги фаз ас и а2с могут быть вычислены по известным формулам сложения гармонических функций или по векторным диаграммам, на которых принято tjc = 1, длина окружности соответствует длине волны неровности L в принятом масштабе, положения колесных пар 1, 2, 3 и 4 четырехосного вагона определяются длинами дуг, соответствующими базе тележки 2/т и базе вагона 2 I и отсчитанными от радиуса 0—1. Порядок получения средней неровности — величины а в формуле (5.83) для случая колебаний подпрыгивания и величины b для галопирования четырехосного вагона — показан на рис. 5.24, а и б соответственно.
Для современных магистральных линий в хорошем состоянии амплитуда гармонической неровности составляет 0,005—0,006 м при дли-132
Рис. 5.24. Векторные диаграммы для определения осредненных амплитуд неровностей под колесами четырехосного загона в случае подпрыгивания (а) и галопирования (б)
Z-Ht
= O,897iio = O,OO45 4- 0,0054 м.
не рельса Lp = 12,5 м. Средняя амплитуда траектории, описываемой двухосной тележкой с базой 2/т = 1,8 м, будет
т]с 0= т]0 cos л — = 0,975т]0 — 0,0049 4- 0,0059 м,
а для четырехосной тележки с базой 2 ZT = 3,2 м
1	/	Z—zT
Лс о = Ло '~Г cos л —--J-cos л
2	\	Lp
Найдем выражение для коэффициента динамики вагона /<д, который определяется обычно как отношение полной реакции рессорных комплектов (включая упругую и неупругую составляющие) к статической нагрузке от кузова на рессоры,
/Сд=. cE+*rpSgnt =	.	(5.85)
РСТ	Р ст
Подставив в это выражение значение | из уравнения (5.80) и выполнив необходимые преобразования, получим
Кл =	(— I2 V 1 + Af [2 (o/vn)-2-if	д4’	(5.86)
I ста \ V /	ICT
где Д2 — коэффициент нарастания прогибов рессор.
Графики значений коэффициента нарастания коэффициента динамики Л4 (рис. 5.25) показывают, что Кл для случая у < 1 неограниченно возрастает при скоростях движения вагона, близких к критиче-
133
Рис. 5.25. Графики нарастания коэффициента динамики по силам в рессорах с сухим трением
ским. Наименьшие значения в указанной зоне имеет сильно за-демпфированная система, для которой у >> 1. Однако при более высоких скоростях (co/vn >>Т/2) увеличение (более 1,5—1,6) значения показателя демпфирования у ведет к росту коэффициентов динамики. Следовательно, оптимальное значение коэффициента относительного трения в системе вертикального подрессоривания вагона находится в пределах
31 Т]о
Фо=(1,1 - 1,5) —(5.87) 4/ст
Значения этого коэффициента для четырехосного (<р4) и восьмиосного (<р8) вагонов в груженом состоянии (fCT=0,05 м) при выше найденных амплитудах осредненных неровностей будут:
ф4=(1,1 4-1,5) —
4
0,975-0,005
0,05
= 0,08 4- 0,11;
ф8=(1,14-1,5)-^-4
0,897-0,005
0,05
= 0,07 4-0,10.
Такие значения ср имеют выпускаемые грузовые вагоны в соответствии с рекомендациями норм МПС для расчета и проектирования вагонов.
Чтобы уточнить сделанный вывод о выборе оптимального коэффициента относительного трения, целесообразно рассмотреть колебания кузова на рессорах при движении вагона по стыковому пути с неровностями, близкими к реальным. Так как такую задачу ввиду сложности функции неровности необходимо решать с применением ЭВМ, то нет необходимости упрощать и расчетную схему вагона.
Для удобства расчетов дифференциальные уравнения записывают для колебаний пятниковых сечений и z2 кузова. Пользуясь соотношениями:
г1 = 2к+(Рк^; z2 = zk—фк^
дифференциальные уравнения (5.32) приводят к виду, удобному для машинных расчетов:
/	/2	\	/ р.	\
21 = — g  ”72	+ 1 ) ^Д1+ g “Хг — 1, ^Д2’
\	Нк//	/	\	г’ку	/
/	/2	\	/	/2	\
Z2= +.< "Х2	--- *^Д1-----g I О2 + 1 1 ^Д2’
\	/	\	гКу	/
(5.88)
134
Здесь
1 .* 1
Кц1 = — Z?4-(pSgnZl Кд2-=—--------Z|-H
I СТ	I ст
•* 1 1 ,
+ <psgEZ2; Z?=z2—— (T]1 + T]2); Z*=z2---— (Пз+1^);
где T]j — неровность вида функции (3.8) со сдвигом фазы для каждого колеса вагона (г = 1 4- 4).
Дифференциальные уравнения для восьмиосного вагона имеют тот же вид, за исключением числа ординат неровности пути под колесами (восемь вместо четырех). Для упрощения ввода в машину вместо сложной неровности вида (3.8) используют ее разложение в ряд Фурье, которое в данных случаях приводит к формулам:
л sin ~L~X
fl	2л	1	4л
1 —2 — cos------х -j---—- cos —-— x 4-
\ 3	L	15 L
т]— а
(5.89)
I 31	, 3л 2 ]
т] — a sin— x-]- b sin—-—x =—( L	L л I
2л	( a . 3b \	4л
X cos— x-H —"—Г — cos— x+, L	\ 15	7 /	ь
I
Такая замена вносит особенности в результаты решения, в частности, число критических скоростей вагона возрастает пропорционально числу удерживаемых ил его в ряда разложения.
Для удобства анализа результатов расчета колебаний получают значения коэффициентов динамики Кл = Р^/Рст для каждого рессорного комплекта и представляют их графически в зависимости от скорости движения (рис. 5.26), а
также от величины <р.
Графики наибольших значений Кд (<р) для четырех-и восьмиосного вагонов приведены на рис. 5.27. Из этих графиков следует, что минимальные значения из наибольших Кд соответствуют вагонам с наибольшим статическим прогибом рессор, а величина их составляет Кдт1г 2ф0.
Оптимальные значения <р0, при которых Кд является минимальным, когда глубина
Рис. 5.26. Зависимость коэффициента динамики четырехосного вагона от скорости движения пои различных значениях коэффициента относительного трения:
а — для /ст=1 см; б — для /ст=5 см; 1, 2, 3, 4, 5, 6 — для ф соответственно 0,02; 0,04; 0,08; 0,12; 0,16; 0,‘SO
135
Рис. 5.27. Графики наибольших расчетных коэффициентов динамики вагона:
а — четырехосного; б — восьмносного; 1, 2, 3 — при неровностях с=1 см и статическом прогибе fieccop /ст соответственно 1, 2 и 5 см; 4, 5 — при ст=1 см и неровности соответствено 1 и 2 см; 6, 7 _ ПрИ fCT=5 см н неровности соответственно 1 и 2 см
неровности а — 0,01 м и статический прогиб /ст = 0,05 м, составляют 0,08 для четырехосного и 0,07 для восьмиосного вагонов. При увеличении глубины неровности пропорционально возрастают Кп min, а также значение <р0. Необходимо учитывать, что при изменениях в обе стороны от ср0 значение Кд увеличивается, причем более резко при уменьшении <р и менее резко при его увеличении. Поэтому во время проектирования вагона необходимо особенно опасаться уменьшения значений ср по
сравнению с <р0, так как незначительные ошибки в сторону их завышения практически не снижают динамических качеств вагона. Приведенный пример также подтверждает, что при теоретических обоснованиях характеристик вертикального подрессоривания вагона можно пользоваться упрощенной одномассовой расчетной системой.
Решение нелинейного дифференциального уравнения (5.76) с силой трения в более общем виде FTp = a \z\n и неровностью л = Ло sin может быть найдено методом медленно изменяющегося параметра в ви
де
z — acos (о / + 0),	(5.90)
где а, 0 — медленно изменяющиеся функции времени так, что daldt х 0 и dG/dt « 0.
Выполняя вычисления, аналогичные для случая собственных колебаний, получим следующее соотношение:
4д,2П а2 Ю2П у2	а2 (v2.— 0)2\2
-----2 2 4	+	2 4	(5.91) 3tmKT]zCd4	T]g со4
Из этого соотношения можно получить выражения амплитуды для рассмотренных выше случаев:
при п — 0, % = 2/Ул[
_	(to/v)2	 Г	[ба2 _л
°- — Ло . , , , । ' 1 ——g----------т- — Ло^з»
|1 — (co/v)2| Г	Я2ткТ]0й)4
где Д3 — как и в выражении (5.81) при а = F^y при п = 1; % = ~]/л/2; _______________________________(о/v)2_____________Л а По У (1—a2/y2)2 + (a/mv)2(02/V2_________________110 2’
где Д2 — как и в выражении (5.66), если учесть, что при п = 1, F (z) = az = fJz. 136
Найти а для других значений /? ввиду трансцендентности выражения (5.91) трудно и при построении амплитудно-частотных характеристик в этих случаях применяют ЭВМ.
5.7.	ДИНАМИЧЕСКИЕ ГАСИТЕЛИ
Одним из возможных эффективных путей гашения колебаний механических систем и, в частности, кузова вагона на рессорах является применение дополнительного устройства, не входящего в основную конструктивную цепь. В настоящее время многие промышленные конструкции создаются с использованием таких присоединенных динамических систем, как динамические гасители, которые могут быть использованы при колебаниях любых видов: продольных, крутильных, поперечных, прецессионных движений и др.
Динамический гаситель вертикальных колебаний представляет собой массу /пг, присоединенную к основной тк механической системе — кузову при помощи упругого элемента сг с гасителем |3Г.
Система дифференциальных уравнений расчетной модели (рис. 5.28) имеет вид:
ткгк4~ (Рк“Ь’ Рг) 2к+ (ск ”ГСг) 2 К Рг 2"г СГ 2Г — Рк л + Ск Ч» /71г	рг (гГ—Z1;)-|-Cr (zr ZK) =0.
(5.92)
Приняв неровность вида т] — т)0 sin со = у и, (31; — 0, получим выражение для Д — динамического коэффициента колебаний кузова как отношения максимального динамического перемещения связи (рессор) к статическому ее прогибу в следующем виде:
__________(1-^)2-Ь(2укРЬ)2________
[(1-У) (1-£2)+(2Ткр £) [1-^(1+с;)Р
где
= со/р* = со/V сг1тг ;
£ = со/р==со/Д/ск/тк ;
ткр = 2 V сг тг ; а = тг/тк.
График Д при а = 0,05 и при £ = £* показан на рис. 5.29, где штриховыми линиями 1 показаны зависимости, соответствующие значениям
Рис. 5.28. Схема для расчета колебаний подпрыгивания кузова с динамическим поглотителем и кинематическим возбуждением
(5.93)
137
Рис. 5.29. Динамический коэффициент колебаний вагона с динамическими поглотителями
Д, при отсутствии гасителей колебаний присоединенной массы. Эта масса при резонансе (со = р) развивает столь значительную кинетическую энергию колебаний в противофазе (антирезонанс) с главной массой, что полностью поглощает кинетическую энергию и колебания последней. Присоединенная масса, колеблясь в антирезонансе, развивает значительные размахи, и для управления динамическим процессом этой системы ее снабжают гасителем колебаний (рг). Так, при незначительной степени гашения 0,1укр резонансные колебания малой массы резко уменьшаются (кривая 4) и появляются умеренные колебания главной массы. При увеличении у до значительных размеров (0,3 укр и более) амплитуда главной массы в условиях резонанса увеличивается (кривая 3), а при у = оо растет безгранично Д (кривая 2).
Расчет системы применительно к рефрижераторным вагонам на тележках, имеющих в рессорном подвешивании фрикционные гасители (₽«>0,1) и динамические гасители (размещенные на торцовых стенках) суммарной массой тг = 0,01 тк и натурные опыты с ними на магистральных линиях, показали положительные результаты.
Прежде всего выявлено, что коэффициент динамичности кузова вагона при действии динамических гасителей при скоростях движения, когда со = р (условия резонанса), также снижается. Как расчеты на ЭВМ, так и опыты показали, что это снижение (кривая 6} достигает 30—40 % по сравнению с вагоном без динамических гасителей (кривая 5). Этот эффект проявлялся у полностью загруженных вагонов, на собственную частоту которых и были настроены гасители колебаний, У того же вагона, но с меньшей загрузкой, положительный эффект также проявлялся, но в меньшей степени. У вагонов, в которых система автоматически настраивается на постоянный статический прогиб рессорного подвешивания при разных загрузках, динамические гасители будут более эффективны.
138
5.8.	СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАГОНА
Выше указывалось, что представление неровности пути детерминированной функцией^ основанное на аппроксимации результатов измерения фактической неровности, является приемом упрощения при теоретическом расчете динамики вагона. В действительности неровность пути является случайной функцией, обусловливающей появление случайных колебаний вагона. Теоретический анализ таких колебаний достаточно сложен. Рассмотрим принципиальные основы применения теории случайных процессов к исследованиям колебаний вагонов, имеющих близкие к линейным характеристики рессор.
Известно, что преобразованием Лапласа, заключающимся в замене функций действительного переменного t искомой z (/) и возмущения т| (f) их изображающими функциями z (р) и И (р) комплексного переменного р, дифференциальное уравнение процесса колебаний можно представить в виде
Dr (р) Z (р) =D2 (р) Н (р),	(5.94)
где Dl(p) , D2(p) —полиномы переменной р степени п с коэффициентами, за->	висящими от параметров системы.
Соотношение изображений функций z (р) и Н (р), называемое передаточной функцией, будет
г(р)	, , D2 (р)
	= w л) — 	. н (Р)-----------D1 (Р)
Отсюда следует, что изображение искомой функции равно изображению функции возмущения, умноженной на передаточную функцию. Обратным переходом от найденного изображения можно перейти к искомой функции. Для этого существуют специальные математические таблицы.
В линейной системе при возмущении по закону синуса 1] = т] sin х X mt решение дифференциального уравнения таким способом может быть получено в виде
z (Z) — (г со)] ijosin (со/-|-а),	(5.95)
где (Йо)] — модуль передаточной функции, вычисленный после подстановки в нее вместо комплексного аргумента р его мнимой части tco.
Неровность пути, имеющая случайный характер, при помощи соотношений Хинчина-Винера, аналогичных разложению Фурье периодической функции, как бы обращается в бесконечную систему элементарных гармонических возмущений, воздействующих на экипаж одновременно и создающих суммарный эффект вынужденных колебаний. Если, следовательно, вместо неровности т] (0 рассмотреть действие (подать на «вход» системы) энергетического, амплитудного спектра (со) реализации случайной неровности пути, обладающей свойства-си стационарности и эргодичности, то в качестве решения дифферен-
139
циального уравнения получим (на «выходе» системы) также энергетический спектр Sz (со) колебаний вагона из основного соотношения (формула Хинчина-Винера)
S2(o)=[u>(i(d)}2S71((04>	(5.96)
Полученный энергетический спектр S2(co) представляет собой плотность распределгния квадратов амплитуд вынужденных колебаний вагона по частотам спектра случайных неровностей пути. Амплитуда колебаний может быть получена путем интегрирования функции спектральной плотности в заданном интервале часто'". Квадратный корень из полученного значения определенного интеграла и представляет собой среднюю амплитуду колебаний в заданном интервале частот возмущений от неровности.
Практически важнее бывает знать статические характеристики всего комплекса амплитуд колебаний — их средние значения и дисперсии, по которым в последующем оценивают прочность и устойчивость вагонных конструкций. Из теории случайных функций известно, чтс определенный интеграл спектральной плотности процесса во всем диапазоне частот (от 0 до оо ) равен дисперсии о2 этой случайной величины
or2 = J S (со) d и.	(5.97)
о
В случае графического представления функции спектральной плотности интеграл (5.97) может быть получен планиметрированием площади, заключенной между графиком и осью абсцисс. По полученному среднему квадратическому отклонению о и среднему отклонению системы z от рассматриваемого уровня отсчетов (в случае отсчетов отклонений вагона от положения равновесия, а неровностей —от некоторой сродней линии т] = 0, z = 0) могут быть определены отклонения с учетом необходимой вероятности ее появления по формуле
z — z-1-aG,	(5.98)
где а = 2ч-3 — число принимаемых интервалов на кривой распределения случайных амплитуд, соответствующее заданной вероятности.
Если случайные амплитуды распределены по нормальному закону Гаусса, то вероятности появления значений амплитуд, больших найденной по принятому значению а, будут:
а.............. С 1	1,5	2,0	2,5	3,0
Вероятность . . . 0,5000 0,1587 0,0668 0,0223 0,0062 0,0013
Рассмотрим порядок расчета случайных колебаний на примере решения дифференциального уравнения (5.55) для колебаний подпрыгивания кузова на пути со случайной неровностью, представленной графиком (рис. 5.30, а) спектральной плотности (to), соответствующей движению вагона со скоростью 25 м/с по стыковому пути с рельсовыми звеньями длиной 12,5 м.
140
Рис. 5.30. Графики к расчету колебаний кузова вагона на рессорах с вязким и сухим трением в случае движения его по пути со случайными неровностями
Преобразование Лапласа, примененное к уравнению (5.55), приводит к следующему выражению:
(Р2 + 2<7П p+vg)2 (р) = (2рпр + ^) И (р).	(5.99)
Отсюда получим передаточную функцию
г(р)  2pnp+-vn
И (р)	Р2+РпР-!-^п
(5.100)
подставив в которую р = гы и произведя необходимые преобразования, найдем передаточную функцию
2рп/©4-у2	_ y24-t2pnto
— w2+2pnf (o+-v2	у2—w24t2pnto
(v2 -Р ,2 рп to) [(у 2 — 0)2) _ / 2рп to] _
[(у2 — со2)+t 2рп о] [(у2 — to2) — i 2qn to]
у2 (у2—to2) + 4p2 to2	2pn to (у2 —co2)—2pn toy2
—---------------------4- i	— A -J- IB.
(y2 — to2)2 + 4p2 to2	(у2 — w2)2 4- 4p2 to2
Модуль передаточной функции будет
| w (i to) 1 = 1/ -/42-f-B2 =
= _ / [V2 (у2-to2) + 4p2 to2]24- [2pnto(у2 —to2)—2pn toy2]2 _
V	[(y2-to2)2-p4p2to2]2
./	l-4(^/v2) (to2/y2)	__ /	1 + 4y2 to2/y2	,
\/ (l+<o2/v2)24-4(p2n/-v2)(to2/y2)	|/	(l-to2/y2)2+4?2to2/y2
. 141
Аргументом ее является
, В , 2у (ю/тп)3 а = arctp —= arctg---------------.
А * 1+(4V2-1) (to/vn)2
Из полученного выражения следует, что модуль передаточной функции линейной колебательной системы представляет собой амплитудно-частотную характеристику А, которую можно получить, как и уравнение (5.58), без применений преобразования Лапласа. Спектральную функцию Sz (со) случайных колебаний получим из соотношения.
Sz(co)=A2ST](tD).	(5.102)
В данном случае (со) задана графиком, поэтому целесообразно остальной расчет вести в графоаналитической форме. Приняв из графика Aj (см. рис. 5.16) кривую, соответствующую определенным величинам показателя демпфирования (например, у = 0,3) и собственной частоты vn (например. vn = 14 1/с), и возведя в квадрат соответствующие ординаты этой кривой, изобразим ее под кривой Sn (со) в том же масштабе, совместив при этом значения частот со (рис. 5.30, б).
По имеющимся двум графикам путем перемножения соответствующих ординат получим график спектральной функции колебаний кузова вагона (рис. 5.30, в). Планиметрируя полученный график S2 (со), находим его площадь, которая составляет около 58 мм2. Следовательно, среднее квадратическое отклонение ст = 1/58 = 7,6 мм. Для расчета вагонов на прочность и устойчивость соответственно принимают амплитуды, имеющие вероятности при а = 2иа = 3. В данном примере исходя из закона нормального распределения этому требованию соответствует значение
гд тах= (2 4- 3) ст= (2 4- 3) 7,6 — 15,2 4- 22,8 мм.
Приняв, что амплитуда колебаний кузова 2Д тах мало отличается от амплитуды колебаний рессор, получим приближенное значение коэффициента динамики вагона
zn max 15,24-22,8
К —Д	=—i--------= 0,304-0,46.
Д fCT	50
В случае гасителей сухого трения принимаем амплитудно-частотную характеристику колебаний кузова по графику А3 (см. рис. 5.22) для y — 1,2 (ср = 0,10-4-0,12). График и соответствующая спектральная плотность колебаний кузова приведены на рис. 5.30, б, в штриховыми линиями. Планиметрируя область под кривой спектральной плотности, получаем сг2 = 7 мм2 и о = 2,65 мм, а наибольшие амплитуды колебаний для а = 2,5 и а = 3 соответственно будут 6,6 и 8 мм. По найденным амплитудам деформаций рессор находим коэффициенты динамики по формуле
= **ma- (1 + ф) + <р--^-^-(1+0,12)+0,12 = 0,27 4-0,30. ст	51)
142
При равных условиях (одинаковая скорость движения, одна и та же случайная неровность) гасители сухого трения обеспечивают лучшую динамику вагона по сравнению с вязкостными. Эта особенность характерна для движения со скоростью, близкой к критической (грузовые вагоны). При движении в закритической зоне (пассажирские вагоны) соотношение коэффициентов для этих двух систем демпфирования будет обратны^.
Аналогично могут быть рассмотрены и другие виды колебаний, для которых выше даны дифференциальные уравнения. При этом может быть принята расчетная схема вагона и без упрощений (не приведенная к одномассной системе), но в этом случае передаточную функцию нужно определять с учетом фазовых смещений колесных пар по реализации случайной неровности. Эти вычисления весьма громоздки и используют их в редких случаях. Практически необходимая точность может быть достигнута и при упрощенной расчетной схеме и функции спектральной плотности, полученной на основе регистрации неровности пути одновременно под всеми колесами тележки и ее осреднения.
Если неровности пути нестационарные или система вагона нелинейная, задача анализа существенно осложняется, так как методы ее решения еще недостаточно разнообразны.
5.9.	ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ БОКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ ВАГОНА
ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО ПРЯМОМУ ПУТИ
Известно, что даже идеально собранная (без зазоров, разбегов и перекосов) тележка с коническими поверхностями катания колес во время движения по прямому пути совершает колебания виляния. При отсутствии каких-либо специальных устройств связи тележки с кузовом колебания виляния являются неустойчивыми (амплитуда колебаний непрерывно нарастает до момента соприкосновения гребней колес с рельсами) и пятники тележек описывают в плане траекторию:
ут = у0 еа sin (со t—6),	(5.103) ’
где у0 — начальное отклонение пятника от оси пути;
а — инкремент (при а >> 0) или декремент (при а < 0) колебаний;
со — частота извилистого движения тележки;
6 — начальная фаза.
Частота со извилистого движения может быть найдена из решения характеристического уравнения системы дифференциальных уравнений (4.7). Пренебрегая для упрощения вычислений инерционными (содержащими вторую производную) членами, получим:
Извилистое движение пятников тележек вызывает боковые колебания кузова вагона на рессорах, создавая повышенное динамическое 143
Рис. 5.31. Схема к расчету горизонтальных колебаний вагона
где £в —длина волны виляния; г, п — радиус и коничность обода колеса;
s — половина расстояния между кругами катания колесной пары;
£ — поправка, учитывающая действие моментов связи между боковыми рамами тележки (для двухосной тележки без поперечной связи £ = 0,01,с поперечной связью — 0,5).
воздействие на конструкцию вагона и пути, а также на перевозимые грузы. Чтобы уменьшить это воздействие, необходимо учитывать боковые колебания при выборе характеристик поперечного подрессоривания вагона.
В практических расчетах длину волны извилистого движения двухосной тележки под груженым вагоном, имеющей г = 0,475 м; п — = 0,05; /т == 0,92 м, и связи в виде упругого сопротивления рессорных комплектов и сил трения в кДиновых гасителях принимают равной 21 м (что соответствует | = 0,36), а амплитуду колебаний у0 постоянной (а = 0), равной половине поперечного разбега колесной пары в рельсовой колее.
Колебания в горизонтальной плоскости, при высоте центра тяжести h 0 (рис. 5.31), кузова вагона как симметричной системы (без учета боковой качки) описываются несвязанными дифференциальными уравнениями (5.8) вида:
/?гкХзк + 4р1/ук4-4суук = 2Ру (ут1 +Уто^ +2cy (Утг + Утг);	105)
^к z ’Фк"4_4pj/ Z2 V’k + 4с,/ Z2 Арк — 2Z Py (<Vto — уТ1) + 2/Су (}т2 Уи)- J
Воздействие виляний тележек на колебания кузова существенно зависит от фазового соотношения этих виляний, которое в эксплуатации может быть самым разнообразным. Опыт показывает, что часто оба пятника движутся по одной горизонтальной траектории с отставанием по фазе, равным б = 2n2Z/LB. Это можно объяснить прижатием каждой тележки к внешнему рельсу в одной и той же точке пути на выходе из кривой.
Однако наибольшее воздействие на боковой относ кузова оказывает виДяние тележек в одной фазе ут1 = ут2 = ут, а на виляние кузова — движение тележек в противофазах ут1 — —уТ2 = ут. Эти случаи и следует считать расчетными.
Правые части дифференциальных уравнений (5.105) для расчетного случая можно записать в виде:
4р!/Ут + 4с(/ут = 4рг/у0й)со.5 (со Z—б)-|-4С(/yosin (со/ — 6t) = 1
= Уо V(4Ру со)2+ (4с,/)2sin (со/—6*);	’	(5.106)
4Z Ру Ут+4/су ут = I у0 V (4ру со)24-(4су)2 sin (со t — 62).	J
144
Подставив выражения (5.106) в уравнения (5.105), после деления их на тк и JKZ получим:
Ук + 2<7ук + ^2ук = у0 У(2<7(0)2+^4 sin (ю/—6Х);
/2	/2	I ______________
+	-ТГ-йк-И’2—2~ 1рк = У0-7^- У (2<7€0)2 + v4 sin (coZ—62),
”kz	”kz	^KZ
(5.107)
где v -г собственная частота колебаний бокового относа.
Виляние тележек может быть длительным, поэтому следует рассмотреть установившиеся вынужденные колебания укв и фкв кузова на рессорах, которые на основании изложенного выше получим в виде:
У 1 + 4 (q/V)2 to2/V2	. , ,
Укв = Уо —.	- -	------Sin (to t — 63);
У (1—to2/v2)2 + 4 (<?/v)2 to2/v2
, yo
фкв------
1
63=arctg
— p^)2+4f-g-
V2 /2	/	\ V
2 "Ю2 sin (toZ—64)
2(ff/v)(to/v)3
1 + (4<72/v2—1) (to/v)2
2(<?/v) (to/v)3(pKZ/Z)2
64 = arctg-----— ---------------
/ <72	/2
1 + 4—-------72——I
\	V2	Ph
Pkz
V I
(5.108)
(5.109)
2

J
1
Из выражений (5.108) следует, что имеются две критические скорости, при которых амплитуды колебаний бокового относа и виляния кузова на рессорах наибольшие. Значения этих скоростей получим из I
выражении икр1 при со = v и икр2 при со = v-, откуда
Полученные формулы позволяют определить характеристики горизонтального подрессоривания су и Коэффициент горизонтальной жесткости рессорного комплекта выбирается из условия несовпадения критической скорости вагона икрЬ2 с эксплуатационной. Для грузовых вагонов, не имеющих в тележках люлечных подвесок, эксплуатационная скорость иэ должна быть ниже критической, поэтому (в случае pKZ/Z > 1)
(0,5 ч- 0,75) и2
СУ >	---------------р* z/l2.
-y(1 + ^VZ2)
(5.111)
145
Для пассажирских вагонов, наоборот, критическая скорость должна находиться значительно ниже наибольшей эксплуатационной скорости и горизонтальная жесткость рессорного комплекта должна быть (при pKZ/Z < 1)
V2	р2
Су <------------------------mK —— .	(5.112)
rs [	„ /2 \ Р
(15-20) — 1+В-^-
п \	S2 /
Значение коэффициентов сопротивления гасителей в системе горизонтального подрессоривания, как и выше, выбирают из следующих соотношений:
для случая линейного демпфирования
Ру = (0,2 - 0,3) кр = (0,2 - 0,3) 21/^7= (0,4-0,6)	(5.113)
для случая сухого трения согласно формуле (5.81)
фу	(ttmax/v)2 фкр — (1,1 4- 1,5) — ,
Ат
После подстановки в это выражение значения условного прогиба , Су по формулам (5.111) и преобразований получим р2 э фу > —--------------------------------------
4g rs — (l-|-gZ2/s2) п 1
(5.114)
Следовательно, в отличие от рассмотренного случая определения характеристик линейного гасителя в системе вертикального подрессб* ривания вагона фу зависит от квадрата наибольшей допускаемой скорости движения вагона.
Теоретическое исследование динамики вновь спроектированного вагона выполняют более точными методами без упрощений функции извилистого движения тележки и самой механической системы вагона в условиях движения по прямым и кривым участкам пути с учетом возможных нарушений правильного положения рельсовых нитей железнодорожного пути. Такие задачи решают с помощью ЭВМ.
В вагонах для высоких скоростей движения не ограничиваются выбором характеристик рессор и гасителей, а дополнительно применяют специальные средства подавления извилистого движения, в частности, снабжают вагоны упругими или фрикционными связями, препятствующими свободному взаимному повороту кузова и тележек в плане.
Угловую жесткость упругой связи тележки с кузовом выбирают из условия обеспечения устойчивости извилистого движения вагона (по первому приближению А. М. Ляпунова). С этой целью возникаю-146
щий в связи момент ?ЛТ, пропорциональный углу поворота ф тележки относительно кузова,
Мт= — к^ф	(5.115)
н¥жно ввести во второе дифференциальное уравнение системы (4.7). Далее путем подстановки в эту систему решений
y=C1ept- ф —C2epi	(5.116)
получаем характеристическое уравнение системы в виде
O#+а3Р3 + «2 Р2 +	+ ас = 0,	(5.117)
где ns	к	Afgn	№
а0 = 16№ —; 01=4укф; а2 = ——	16 — /2;
a3=4-‘jT + ^c^\ a4=Jr	,	(5.118)
v \	2 ]	2
-где Aigp — масса вагона брутто; остальные обозначения, как и в системе (4.7).
Обусловленная устойчивость колебаний достигается в случае отрицательной вещественной части корней характеристического уравнения (5.117), поэтому согласно теореме Гурвица должно быть:
D1 = a1> 0;
D2--=
«1
а3
а0
о2
— OiCl2 O()G3	0.
После подстановки в эти выражения значений коэффициентов at и преобразований в предположении JT = l2zm^ получим уравнение
32 №	ns ( 2тт
:2 4-----/2 к. —16№ — /2 1 4---
МбЕ с	г ск Мбр
решая которое, найдем (для положительного kq)
16 к2 ,о Г , Г	,1пч
к,.,	------Г li / 14- --------------„--------—---- —1 . (5.119)
* Л4бр V2 с у 1 +	16 /2 к2	'
или, учитывая, что дробь под корнем много меньше единицы, согласно правилу приближенного вычисления корней получим
Кф > Мбр 1У2/2(лгт/Л1бр) ns/r.	(5.120)
Момент 7ИТ, возвращающий тележку из отклоненного на угол ф положения в центральное, будет
Мт = Кфф = (Л1брО2)/2(1+2лгт/7Ибр) ----ф.
(5.121)
Пример устройства упругой угловой связи показан на рис. 5.32,а. Причем упругие элементы расположены так, чтобы они не препятствовали перемещениям бокового относа.
147
фик величины (б) угловой связи тележки
с кузовом
В практике вагоностроения широко применяются фрикционные связи тележки с кузовом, осуществляемое путем передачи веса кузова на тележки через боковые скользуны (вагоны на тележках КВЗ-ЦНИИ-М, ТСК-1, опытные конструкции тележек восьмиосных вагонов).
Момент силы трения 7Итр в скользунах следует принимать равной половине максимального расчетного значения Мг, при котором поглощенная работа колебаний виляния тележки, пропорциональная заштрихованной площади силовой диаграммы связи (рис. 5.32, б), в обоих случаях одинаковая
Мтр = (МбрУ2)/2(1+2/7гт/Мбр) фтах,	(5-122)
где D = 2г — диаметр круга катания колес.
5.10. ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКИХ КАЧЕСТВ ГРУЗОВОГО ВАГОНА
Безопасность движения, плавность хода, габаритная безопасность, прочность, надежность и другие эксплуатационные качества вагона в значительной мере определяются динамическими силами, действующими на вагон вследствие возникающих колебательных процессов и ударного взаимодействия между составляющими вагон массами, а также между ходовыми частями и рельсовым путем.
Правильно сконструированный грузовой вагон должен обладать высокими динамическими качествами, которые оцениваются по следующим показателям:
по коэффициентам вертикальной и горизонтальной динамики ^дв» ^дб"
клв = Рцв/Рст',	кдб — ^дб/Pen*	(5.123)
где РДв, Рдб — динамические вертикальные и горизонтальные боковые силы, передающиеся от кузова на ходовые части;
РСт — статическая нагрузка, передаваемая от кузова к ходовым частям.
148
Таблица- 5.4
Оценка хода вагона	Коэффициент динамики		Ускорение кузова, м/с2		Показатель плавности хода в вертикальном и горизонтальном направлениях W	Коэффициент запаса устойчивости колеса против входа ку
	вертикальный КДв	К ’Я й « Й	м о Л rv*» « х St S Л £3,0 о « о « е 5 t_ Ё-> —*' Е	вертикальное в	горизонтальное Л’		
Отличный Хороший Удовлетворительный Допустимый Непригодный для регулярного движения	0,20 0,35 0,45 0,65 >0,70	0,08 0,15 0,25 0,35 >0,40	0,20 0,35 0,45 0,65 >0,70	0,10 0,15 0,30 0,45 >0,50	1,2 2,5 4,0 5,0 >6,0	ала"
по амплитудам ускорений колебательного процесса кузова z0<j)z,
по показателям плавности хода, вычисленным по величинам ускорений и частот колебаний, обычно применяемым при оценке пассажирских вагонов IFz, Wy.
Средние наибольшие значения коэффициентов динамики, ускорений, а также показатели плавности хода для кузова грузового загона приведены в табл. 5.4.
Значения коэффициентов динамики могут быть вычислены как по величинам динамических сил Рп, найденным по теоретическим формулам или замеренным в связях при опытах, так и по величинам прогибов (деформаций) /д связи. В последнем случае динамические силы будут зависеть от силовой характеристики связи и значения кл определяются по следующим формулам:
для упругой линейной связи:
fn/fcr’, Кдб —	;	(5.124;
/ст cz
для упругофрикционной связи (типа рессор с клиновыми гасителями):
кдв — г- (1+ф)+ф; кдб= г ~+ф;	(5.125)
/СТ	/СТ Cz
для линейной связи с вязкостными гасителями:
где Су, cz\ — коэффициенты жесткости и неупругого сопротивления связей в Рг/» PzJ случаях вертикального и бокового деформирования;
ip — коэффициент относительного трения;
g>z, (Ну — круговые частоты вертикальных и горизонтальных вынужденных колебаний.
149
Глава 6
КОЛЕБАНИЯ ВАГОНА С ДВОЙНЫМ РЕССОРНЫМ ПОДВЕШИВАНИЕМ
6.1.	СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОДРЕССОРЕННЫХ ЧАСТЕЙ ВАГОНА
Двойное рессорное подвешивание, применяемое в современных пассажирских вагонах, обладает значительно меньшей жесткостью упругих элементов по сравнению с рессорным подвешиванием грузовых вагонов. Поэтому при исследовании собственных колебаний вагонов с таким подвешиванием можно пренебрегать упругостью пути (погрешность не превышает 3 %). Принимаем также, что конструкция кузова исследуемого вагона и расположение груза в нем симметричны относительно главных центральных осей инерции.
Для исследования собственных колебаний вагонов с двойным рессорным подвешиванием принимаем расчетную схему (рис. 6.1), согласно которой без учета подергивания кузов имеет пять степеней свободы, определяемых следующими независимыми координатами:
б к, <Рю Ч’к — угловые перемещения кузова соответственно относительно осей 0хк, 0ук и 0zK, проходящих через его центр тяжести ЦТ;
zK, Ук — соответственно вертикальное и горизонтальное перемещение центра тяжести кузова относительно его статического равновесного положения.
При учете только колебаний подпрыгивания и галопирования подрессоренные* части тележек имеют по две степени свободы:
zT1, ?Т2 — вертикальные перемещения центра тяжести подрессоренных частей соответственно первой и второй тележек относительно их статического равновесного положения;
<рт1, <Рт2 — угловые перемещения подрессоренных частей соответст--венно первой и второй тележек относительно центральных осей.
Обозначим:
JKX, Jkv, Jkz — моменты инерции кузова вагона относительно осей 0хк, 0ук и 0zK;
JT1, JT2 — моменты инерции подрессоренных частей тележек относительно осей 0тхт, О^у^, 0TzT;
/ик (Рк) — масса (вес) кузова вагона;
/пт1 и щт2 — массы подрессоренных частей тележек вагона;
c2z, с2у — жесткости упругих элементов надбуксового подвешивания, расположенных у одной буксы, соответственно в вертикальном и горизонтальном направлении;
clz, с\у — жесткости одного комплекта элементов центрального подвешивания пассажирского вагона соответственно в вертикальном и горизонтальном направлении;
150
2blf 2b2 — поперечные расстояния между центрами упругих элементов соответственно центрального и надбуксового подвешивания;
2/, 2/т — база вагона, тележки соответственно.
Расчетная схема вагона двойного подвешивания в предположении абсолютно жесткого пути совершенно идентична схеме вагона одинарного рессорного подвешивания, учитывающей конечную жесткость пути (см. рис. 5.1). Следовательно, колебания этих расчетных схем могут быть описаны одними и теми же координатами (векторами состояний). Вводя, как и в предыдущей главе обобщенный вектор состояния
ZТ == (2К> Ук» би» фкэ Ч*к» гт1> фТ1> гТ2> фтг) >	(6-1)
Получим систему дифференциальных уравнений типа (5.2). При изучении собственных колебаний такой расчетной схемы в системе уравнений (5.2) необходимо вектор внешнего возмущения положить равным нулю, т. е. т] = 0 и tj = 0. Если не учитывать демпфирование в обеих ступенях подвешивания, то всё элементы матрицы [Ь] необходимо также положить равными нулю. Тогда применительно к поставленной задаче система уравнений (5.2) примет вид
[a]Z+[c]Zz=0,	(6.2)
где [а] — матрица инерционных коэффициентов, имеет диагональный вид; [с] — матрица жесткости.
Система дифференциальных уравнений (6.2) часто записывается в виде
2+ [v2]z=o,	(б.з)
где [v2] = [а]-1 [с] — матрица парциальных частот;
[а]-1 — матрица, обратная [а].
Рис. 6.1. Расчетная схема вагона с двойным рессорным подвешиванием
151
Матрица парциальных частот при учете симметрии расчетной схемы вагона имеет следующий вид:
		0,	o,	0,	0,		v2 V16 »	o,		v2 V18 »	0	
	0,	V2 2 ’	•м2 V2 3 ’	o,	o,	0,	0,	o,	0	
	0,	2 V32’	V33 9	o,	0,	o,	o,	o,	0	
	о,	o,	0,	v2 • V44>	0;		»,2 . V46,	0;	V4 8>	0	
[V2] =	0,	o,	o,	0,	V525 ,	0,	0,	0,	0	(6-4)
	_	,<м2 V61 »	0,	o,		-,2 v64 >	9,	-V2 v66 >	0,	o,	0	
	о,	0,	o,	o,		0,	V77 »	o,	0	
		v2 V8 1'	o,	o,	2 V84 »	o,	o,	0,	V88 >	0	
	о,	o,	o,	0,	o,	o,	o,	o,	a 9	
4giz znK
2ciz „ 2с1г
= — ; vf8 = — zpK	тк
4hCy	n 4hcy
5 V3 2 =	i
/Ид	J KX
где
« *\?2
» V16
<23 =
2 _ 4сУ .
V22 —	’
Z7lK
„	4(Z?| clz+h?Cy) o 4/2 c12
^зз= --------;------; v4 4= —T ;
•	J kx	JKy
2Z Cj2
(6.5)
2ciz znTi
2 (ciZ + 2c2z)	„	4/2 c2z 2 2clz
------- -------- ; v|7 = —-— ; vfi = —— ;
Z7Zrp^	J rjj	77irp2
2/clz	2 (с124-2с22)
	; v|s =	 /ПТ2-------------------^T2
4/2
JT2
Из структуры матрицы [v2] [см. матрицу (6.4)] видно, что при принятых предположениях о симметрии расчетной схемы вагона двойного подвешивания система дифференциальных уравнений (6.3) распадется, на группы и отдельные уравнения. Так образуют систему первое zK, четвертое (рк, шестое zT1 и восьмое zT2 дифференциальные уравнения, записанные относительно координат zK, <рк, zT1, и zT2.
Второе и третье уравнения также образуют самостоятельную подсистему, описывающую колебания бокового относа кузова ук и боковой качки 0К. Пятое, седьмое и девятое дифференциальные уравнения являются самостоятельными, не связанными с остальными, это виляние кузова фк и галопирования тележек <рт1 и срт2.
152
(6.6)
(6.7)
(6.8)
(6-9)
(6.10)
В скалярной форме эти дифференциальные уравнения будут иметь следующий вид:
+	'v182rT2~^j
ф К + vl 4<Рк — ^4 62Т1 + V4 82Т2 = ^5 2т1—vI^k—ч|4фк-|-^вгт1 = 0; гТ2—vgi гк+v| 4фк+vj 8гт2 = 0;
{/« + ^22 !/к + ^23^К = “;
~F v3 2#к H-v|30K = 0; J
фк-Н|51рк = 0; ф Т1 + v7 7фт1 — фт2	фТ2 = 0.
Из выражений (6.8)—(6.10) видно, что собственные круговые частоты виляния кузова и галопирования тележек будут в соответствии с выражениями (6.5)	______
для фк V55 = 21 У Су/J К2,
ДЛЯ фт1 *V77 — 2/^ ИС22/ц,
ДЛЯ фт2 V99 — 21т~\/С22/Jт2‘
Чтобы найти линейную частоту колебаний (в Гц) необходимо круговую частоту разделить на 2л:
^55 = ^55/2 л; v?7=v77/2*jt; v;9 = v99/2n.
Найдем частоты собственных колебаний, определяемых системой (6.6). Решения этих уравнений будем искать в виде:
гк — /IjSinXi; фк = Д25шЛ/;
2ti — Аз sin   t\ <?Т2 — Д4 sin .
Подставив выражения (6.11) в уравнения (6.6) и произведя преобразования, получим:
^ii ^i + 'Vie Л34- vi8 Л4 =
^44Я2— ^46 ^s + V48 Л4 = Д2^2;	,6 12}
V61 ^1-V64 ^2~ЬV66	^2»
—'Vfl А1-1-^84 ^2 + ^8 А4 = А4 ^2-
Преобразовав уравнения (6.12) к стандартному виду системы алгебраических уравнений, получим:
V11	+ O ^2_b'v16 -4зН“,'718 А4~	^1»
Л3-рV^3 Л4= Л2 Д2>	g Q
vh Л1—v|4 Д2+^бб Д3+0 Л4 = Х2 дз;
—vfi Л14-v|4 Д2+0 Д34-vg8 Д4=Х2 Д4.
(6.11)
153
Уравнения (6.13) в матрично-векторном виде
[^«]Л==Х2Л,	(6.14)
где [v2]—матрица коэффициентов левой части уравнений (6.13), ЛТ={Л1, ^2’ ^з>
Задача, сформулированная уравнением (6.14), в алгебре носит название задачи о собственных числах X и векторах А. Применительно к теории колебаний собственное число X дает значение круговых частот [см. выражения (6.11)], а собственный вектор А —форму колебаний, соответствующую какой-либо собственной частоте. Иногда уравнение (6.14) записывают в виде
([v2l —ИХ2) Д=0,	(6.15)
где [е] — единичная матрица такого же размера, как и [v2].
Если порядок системы (6.14) больше двух, то для нахождения собственных частот и форм колебаний применяют ЭВМ. Математическое обеспечение ЭВМ содержит стандартные процедуры вычисления собственных значений и векторов (собственных частот и форм колебаний). Для того чтобы это сделать, в память ЭВМ вводят элементы матрицы [v2] и, используя стандартные операторы (команды), организуют вычисления. В результате получают следующую информацию:
Собственные числа (частоты)
Х4	Х2	Х3	Х4
Собственные векторы (формы колебаний)
Л*1*	Л<2>	л<3)	Л<4>
Л2Х>	Л(>2)	л<3>	Л(24>
Л<3!>	Л<2)	Л(33)	л<*>
л<1)	Л<2>	Л<3>	л</>
Эти результаты показывают, в каком соотношении находятся амплитуды А{ _4 на каждой из собственных частот Хг.
При вычислении собственных векторов они нормируются так, чтобы сумма квадратов компанент каждого вектора равнялась единице;
(Л(/))2+ (Л(П24-(Л(О)2+(Л(О)2=1.
Иногда (при отсутствии ЭВМ) частоты собственных колебаний в первом приближении заменяют парциальными частотами, располагающимися на главной диагонали матрицы [v2] 1(см. уравнения (6.13) и (6.14)]. Так, частота подпрыгивания кузова может быть приближенно представлена как Х4 « vu, частота галопирования Х4 « v44, частоты подпрыгивания тележек Х6 « v66 и Х8л v88 [см. формулы (6.5)].
154
Рассмотрим уравнения (6.7) боковых колебаний кузова ук и 0К. Решение этих уравнений может быть представлено в виде выражений (6.11):
ук = В1 sin kt; 0K = i32sin kt. (6.16)
Подставив эти выражения в уравнения (6.7), получим систему:
v22 Bl+v23B2=l2B1;	1
vi2 б1+^зз в2=л,2в2. j
Из этой системы уже описанным
способом найдем два собственных Рис 6 2 Главные формы 3окОвыХ ко-числа (частоты и два собственных лебаний кузова на рессорах: вектора (формы колебаний), т. е.	а —при х, и ук/о<о; б —при /.2 и
собственной частоте будет соот- ^к/е>0 ветствовать собственная фоума ко-
лебаний с амплитудами В\1} и а собственной частоте Х2 — собственная форма с амплитудами В\~} и Вг2).
Согласно выражениям (6.16) характеризует амплитуду бокового относа кузова ук, а В2 — боковую качку 6К. Могут иметь месте два характерных случая, когда Вг и В2 имеют разные знаки и когда одинаковые. В первом случае у! = ВГ1В2 < 0, а во втором у2 = B-JB2Z>^.
Этим двум случаям соответствуют различные положения осей колебаний (рис. 6.2, а, б). Пусть, например, для частоты отношение амплитуд = В\1У/В£У = Ук1]/6^1] < 0. Тогда согласно принятому положительному направлению координат (см. рис. 6.1) для выполнения этого условия ось колебаний должна находиться ниже центра тяжести кузова на величину h3 (см. рис. 6.2, а). Этот вид колебаний, когда ось колебаний лежит ниже центра тяжести кузова, иногда называют боковой качкой первого рода.
Если на частоте к2 отношение амплитуд у2 = B(i2)/B(22) = Ук2)/0к2>>* > 0, то исходя из высказанных предпосылок ось колебаний должна находиться выше центра тяжести кузеза на величину /г4 (см. рис. 6.2, б). Этот вид колебаний называют боковой качкой второго рода.
Расстояния h3 и Л4 приближенно (при условии, что tg 0к « 0к) могут быть получены из следующих выражений:

(6.17)
Однако в частных случаях может иметь место <Z 0 и у2 <Z 0 или Ух >» 0 и у2 > 0, т. е. кузов будет совершать какой-то один из видое боковой качки (первого или второго рода).
155
6.2.	ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОДРЕССОРЕННЫХ ЧАСТЕЙ ВАГОНА
Рассмотрим вынужденные колебания четырехосного вагона, имею-" щего двойное рессорное подвешивание. В расчетной схеме (рис. 6.3). для исследования вынужденных колебаний подрессоренных частей вагона в вертикальной продольной плоскости, когда вагон движется по пути с периодически повторяющимися неровностями, приняты обозначения:
Лъ Ла» 1 — вертикальные перемещения колесных пар;
Пз> Л4 J
Lp — длина волны неровности; v — скорость движения вагона.
Остальные обозначения имеют те же значения, что и выше.
Дифференциальные уравнения колебаний расчетной схемы вагона получим на основе уравнений Даламбера — Лагранжа. Без учета трения в рессорах (£ = 0) дифференциальные уравнения в матричной форме будут иметь следующий вид:
Z -|_ [V2] г = [Ц]т),
(6.18)
где zT = {zK, фк, zT1, zT2} —вектор состояния системы;
т)2, т]3,	—вектор внешнего возмущения;
[v2] — матрица парциальных частот;
[vS] — матрица преобразования вектора внешнего возмущения.
Рис. 6.3. Расчетная схема колебаний вагона с двойным рессорным подвешиванием е продольной вертикальной плоскости
156
Для принятой расчетной схемы матрица парциальных частот имеет вид
vh; 0;	—v|e; — vis
|V2,=	°; vb;
—v?i; —*1.; о
—'vlr,	v|4;	0; vj8
где Vtj вычисляются по формулам (6.5).
Матрица преобразования [v^] в данном случае имеет вид
	0;	0;	0;	0
	0;	0;	0;	0
	2 c2Z	Л С22	0;	0
		/7?Т1		
	0;	0;	2 с22	2 c2z
			Г«Т2	
				
Как и ранее, при принятых предпосылках дифференциальные уравнения угловых колебаний рам тележек (галопирование) не входят в систему (6.18). Они описываются самостоятельными дифференциальными уравнениями следующего вида:
qpTi + v|7 q)T1 = v|7 ( — Tji + Ч2);	(6.19)
фтг + ^ээ Фтг —v9 9 (—Лз+'Пг)-	(6.20)
Дифференциальные уравнения (6.18)—(6.20) описывают вынужденные колебания кузова и цодрессоренных частей тележек в продольной вертикальной плоскости симметрии вагона без учета сил сопротивления гасителей колебаний.
Обычно вертикальные перемещения колесных пар (на неровностях) в простых случаях описывают периодическими функциями
COS (СО t—6Z),
где т]0 — амплитуда неровности;
2л	.	.
<0 = —v—частота внешнего возмущения (круговая);
Ар — длина рельса;
v — скорость движения вагона;
— фазовый сдвиг возмущений, действующих на колеса по отношению к первому колесу.
Если принять, что на первое колесо возмущение передается с нулевым фазовым сдвигом
тц = r|0 cos со t; ^—0, то
Tj2 = Tj0cos (со/—62); Лз = т1ос05 (©/ —б3);
Т)4 = Г|о COS (со t — б4), где
62=-|^-2/т;	2/; 64=	(2Z-f-2 /т),
Ср	Ср	Ср
157
Решение дифференциальных уравнений (6.18) — (6.20) находятся методами, изложенными в главе 2. Эти решения состоят из суммы двух решений: однородных и неоднородных уравнений. Однородными уравнениями (6.3) или (6.6)—(6.10) описываются собственные колебания вагона, а неоднородными (6.18)—(6.20) — вынужденные.
Вид решений однородных уравнений определяется значениями корней характеристических уравнений, а неоднородных — видом функции внешнего возмущения (видом правой части дифференциальных уравнений). При отсутствии трения в рессорах [(для дифференциальных уравнений (6.3) — (6.10)] корни характеристических уравнений будут чисто мнимые, что даст в качестве решений однородных уравнений Сумму синуса и косинуса. Решение неоднородного уравнения удобно искать в форме его правой части, т. е. решение системы (6.18) будет иметь вид
п	п
zj= 2 BjcosZj Т+ У) Cj sin Xj t-\-Dj cos (co t—6j),	(6.21)
/=1	/=<
где zj — компонента вектора состояния системы (6.18);
к/ — собственная частота (корень характеристического уравнения);
Bj и Cj — постоянная интегрирования, определяемое начальными условиями;
Dj — амплитуда вынужденных колебаний (для координаты с номером /);
7==т, 2, ...,п— количество связанных форм колебаний (порядок системы дифференциальных уравнений);
со — частота внешнего возмущения.
Амплитуда вынужденных колебаний Dj определяется подстановкой ^ретьегс слагаемого выражения (6.21) в систему дифференциальных уравнений (6.18).
Выражением (6.21) описываются колебания вагона двойного подвешивания при движении его по периодическим неровностям железнодорожного пути, когда собственные частоты не совпадают с частотой внешнего возмущения со.
В случае совпадения одной из собственных частот Z; с частотой внешнего возмущения со решение дифференциальных уравнений будет иметь вид
л	. п
Zj= BjCoskj Z-j- У, Cjsinkjt-}-Djtcos (со/—6;).	(6.22)
/=1 ; = 1
Третий член уравнения (6.22) будет неограниченно возрастать с увеличением /, т. е. при	оо, с7-~> оо. Это случай резонанса в систе-
ме пои отсутствии трения в рессорах. В резонансном состоянии амплитуды колебаний неограниченно возрастают. Чтобы ограничить рост амплитуд в условиях резонанса, необходимо применять гасители.
В пассажирских вагонах в качестве гасителей чаще всего применяют гидравлические (в центральной ступени подвешивания) и фрикционные (в буксовой ступени). Выбор параметра сопротивления гасителей 158
является сложной задачей, которая решается на основе моделирования на ЭВМ пространственных колебаний вагонов,. Оптимальными считаются такие параметры сопротивления гасителей, которые дают, наилучшую плавность хода вагона при движении его по-неровностям железнодорожного пути в диапазоне эксплуатационных скоростей. В качестве первого приближения при проектировании тележек коэффициент сопротивления гидравлического гасителя принимают равным 20—30 % критического значения.
При распределении жесткостей упругих элементов в центральном и буксовом подвешивании пассажирских вагонов исходят из того, чтобы частоты колебаний рам тележек были по крайней мере в 5—7 раз выше частот колебаний кузова на рессорах. Частоты колебаний зависят от жесткостей, масс, моментов инерции и линейных размеров колеблющихся элементов, поэтому в общем случае задача оптимального распределения жесткостей по ступеням должна решаться на основе изучения модели собственных колебаний вагона, описываемой системой (6.3).
В ориентировочных расчетах приближенно принимают следующее распределение статических прогибов по ступеням:
если
=	(6.23)
где — суммарный статический прогиб;
— статический прогиб рессор центрального подвешивания;
/б — статический прогиб рессор буксового подвешивания, то
/б= (0,2—0,25)	(6.24)
При анализе вынужденных колебаний вагона, обусловленных извилистым движением колесных пар, можно применять два метода:
1) колебания вагона рассматриваются как автоколебания, источником возмущения которых являются конусность поверхности катания колес и процессы упругого скольжения их по рельсам, вызывающие извилистое движение колесных пар и влияние на это движение самого процесса колебания кузова вагона;
2) приближенный, когда источником возмущений колебаний вагона считается независимое извилистое движение колесных пар.
Рассмотрим вынужденные колебания кузова вагона, вызванные независимым извилистым движением колесных пар (без учета влияния колебаний кузова и рам тележек на движение колесных пар).
Колесная пара вагона во время движения совершает вследствие коничности колес колебания виляния в плане с амплитудой боковых отклонений у0 и частотой сои. Эти колебания вызывают изменения положений нижних опор рессор надбуксового подвешивания как в горизонтальной плоскости у и, так и в вертикальной ?и:
Уи—Уио5*пщи^ 2и— гио51псои/,
159
где 1/ио — амплитуда боковых отклонений буксы;
сои — частота колебаний виляния; =	— (здесь п, г—соответствен-
/ rs
но коничность круга катания и радиус колеса; s — половина расстояния между кругами катания колес колесной пары);
„ х	s + S1
?ио — амплитуда вертикальных отклонении буксы: ги0 =  -— пУио
(здесь Si — расстояние от оси рессорного надбуксового комплекта до круга катания колеса).
С учетом расположения колесных пар под вагоном значения уп и зи для каждой буксы вагона определяются следующими уравнениями:
Уш — Уио sin (®и^—тИ1); Уи2==Уио5!П (gW—тИ2);
2и1л = 2ио sin (®i4'—£и1)> 2и гл — 2ио sin (сои/ — £иг)» 2и зл — 2ио sin (С0и^— £из) > 2и 4л—2ио sin (<oHZ — £114)»
Уиз^Уио sin (<ви* ТИз);
Уи4=Уио sin (сои/—тИ4); ги in~zHo sin (®H/-j- I'm)"> • ^игп — ^ио sin (ии^ — £иг): 2и зп== гио sin --?из)>
гИ 4П—гИ0 sin (<ои/ ^И4):
(6.25)
ГДе ти1, тИ2. тиз, — начальные фазы смещения колесных пар в вертикальной ти4> £ип £и2. и горизонтальной плоскостях первой, второй, третьей £из» 1и4	и четвертой колесных пар по отношению к первой из них
по направлению движения вагона (ти1 = |И1 = 0);
уи1, •••» Уи4 — горизонтальные перемещения опорных поверхностей элементов надбуксового подвешивания первой, второй, третьей и четвертой колесных пар;
2вдл> •••> 2и1л — вертикальные перемещения опорных поверхностей элемен-2и1п> •••> 2и4п тов надбуксового подвешивания соответственно левой и правой сторон колесных пар.
Воспользовавшись правилом составления дифференциальных уравнений в форме Германа — Даламбера, для боковых колебаний кузова г/н, ифк получим:
• •	Су
У к 4“ Vg 2f/K + vf 30к =	(yni + Уиг + Уиз 4~ Ут)
«к
6k4~'V3 20k4''V3 3#K = ~ Г~ К2И1Л 4~2И2Л + 2ИЗЛ 4~2И4Л) — 2/кх^2
СуЛ
--(2И1п4~ 2и2п 4“ 2ИЗП 4“ 2И4п) 3 4“ “7	(Уш 4“ Уи2 4“ Уиз 4" Уи4) 5 J кх
.. \
1|>k4_'V5 54’K = г [(Уи14~Уи2)-------(Уиз4'Уи4)1-
•I КХ	}
(6.26)
Так как правые части дифференциальных уравнений содержат периодические функции [см. выражения (6.25)], то согласно теории линейных дифференциальных уравнений решение для уравнений (6.26) будут описываться выражением (6.21) при сои и выражением (6.22) при « сои. Из этих выражений видно, что при резонансе амп-160
литуда любого вида колебаний возрастает по линейному закону с ростом t.
Эти колебания вызывают перемещения кузова (точек ак на рис. 6.4): в поперечной плоскости перемещения, вызванные боковым относом и боковой качкой (рис. 6.4, а), уок = y3t4 + ^63,4;
в вертикальной плоскости перемещения, вызванные боковой качкой, ^бК ~ ^1®3.4’
в горизонтальной плоскости перемещения, вызванные вилянием (рис. 6.4, б), ув = Zip5.
Ограничение амплитуд рассматриваемых видов колебаний при сои= = X; может быть обеспечено, если в каждой точке кузова установить по два гасителя колебаний, расположенных один горизонтально, другой верикально (рис. 6.5). Вторые шарниры этих гасителей (точки av) располагаются на раме тележки. Ввиду относительно большой жестко-
Рис. 6.5. Схема к расчету гасителей колебаний для случаев боковой качки первого (а) и второго (б) рода
6 Зак. 557
161
Рис. 6.6. Схемы наклонной установки гасителей колебаний
сти буксовых рессор в приближенных расчетах допустимо считать точки неподвижными.
Таким образом, на каждой тележке необходимо установить два гасителя, расположенных вертикально, и два — горизонтально (система раздельного гашения колебаний), т. е. для ограничения колебаний кузова вагона при различных критических скоростях движения нужно иметь восемь гасителей колебаний. В тележках скоростных вагонов применяют систему раздельного гашения колебаний.
Уменьшение числа гасителей колебаний на практике достигается заменой каждой пары гасителей (вертикального и горизонтального) одним, расположенным наклонно под рационально выбранным углом и имеющим соответственно измененные расчетные параметры, установленные по наибольшей потребной работе гасителей.
Колебания галопирования и подпрыгивания вагона вызывают только вертикальные перемещения шарниров (точек ак) крепления гасителей к кузову вагона через надрессорную балку тележки, а при вилянии — горизонтальные перемещения этих шарниров. Гасители устанавливают в плоскости, перпендикулярной продольной оси вагона, с наклоном в сторону вертикальной его оси (рис. 6.6, а) или от нее (рис. 6.6, б). При этом с горизонталью гасители образуют угол агас.
Угол выбирают из условия, чтобы при колебаниях вагона во время движения работа сил сопротивления одного гасителя, расположенного наклонно, была равна суммарной работе сил сопротивления двух гасителей, расположенных вертикально и горизонтально.
При вынужденных вертикальных и горизонтальных колебаниях, рассматриваемых раздельно, работа гасителей с линейной характеристикой типа Pxz, расположенных вертикально и горизонтально, за один период составляет соответственно:
162
wz— лР12?тах (Ов’>	(6 27)
W у = Л Pi у t/max ©г> ।
где	Р12, р1У — соответственно расчетные значения коэффициентов сопро-
тивления гасителей, расположенных вертикально и горизонтально;
zmax, Утах — наибольшие допускаемые амплитуды соответственно вертикальных и горизонтальных колебаний кузова вагона, устанавливаемые по заданному значению показателя плавности хода вагона;
G>r = vr — частоты резонансных соответственно вертикальных и горизонтальных колебаний, с учетом которых вычислялась работа гасителей колебаний.
Работа наклонного гасителя (рис. 6.7) составляет: при вертикальных колебаниях кузова
1ГН2^л₽1н/^в;	(6.28)
при горизонтальных колебаниях кузова
=	(6.29)
где р1н — коэффициент сопротивления наклонного гасителя колебаний;
lz, 1Ъ —перемещение поршня относительно цилиндра гасителя колебаний при перемещениях шарнира пк соответственно вертикально на величину zmax и горизонтально на величину утах.
Из треугольников a^O-giy и акО2^2 имеем:
•-Z — zmax si*1 «гас, ly — Утах COS «гас-
Подставив эти значения lz и 1У в выражения (6.28) и (6.29), получим:
^Н2 = лр1н Zmax VB sin2 ссгас; 1
2	о ’	(6.30)
^ну = лР1н f/max Vp cos- «гас • >
Приравняв работу наклонного гасителя колебаний работе соответствующих гасителей, расположенных вертикально и горизонтально,
получим:
Piz = Р1н sin2 «гас»
Pi?/ = Р1н COS3 «гэс» откуда будем иметь:
Pin = Piz+Pi??; | tg «гас = "HPiz/Pi?/ • J
Проведя аналогичные решения для гасителя с нелинейной характеристикой типа fl2z2 получим
___________Ргг+Ргу______ Р2И=sin3 arac+cos3 агас * tg «гас—l/Psz/Ргг/’
(6.31)
Рис. 6.7. Схема к расчету оптимального угла наклона гасителя колебаний
(6.32)
6=
163
где Ргг> — соответственно параметры вертикального и горизонтального гасителя колебаний типа
Колебания боковой качки первого и второго рода вызывают одновременные вертикальные и горизонтальные перемещения нижних шарниров гасителей колебаний. Для ограничения амплитуд этих видов колебаний при резонансе необходимо, чтобы одновременно работали как вертикальный, так и горизонтальный гаситель. В этом случае правильность выбора угла агас имеет большое значение. При боковой качке первого рода шарниры ак (рис. 6.8, а) гасителей движутся по дуге окружности с центром в точке 03. Положение этой точки определяется формой главных колебаний, соответствующей частоте Х3. Расстояние hs от точки 03 до центра тяжести ЦТ кузова вагона определяется по формуле (6.17). Наибольшую работу при заданной амплитуде колебаний гаситель будет развивать в случае, если его продольная ось каса-тельна к указанной окружности в точке ак. Этим условием и определяется угол осгас при боковой качке первого рода. Величина этого угла определяется уравнением
etgaraci=---:--->	(Ь.ЗЗ)
«16
где h — расстояние от оси 0г0х, проходящей через нижние шарниры ак гасителей, до центра тяжести кузова ?агона;
— половина расстояния между нижними шарнирами гасителей (для случая боковой качки первого рода).
При боковой качке второго рода шарниры ак движутся по дуге окружности с центром 04, расположенным выше центра тяжести кузова вагона на расстоянии й4, которое определяется по формуле (6.17).
Рис. 6.8. Схемы к расчету рационального размещения гасителей колебаний боковой качки первого (а) и второго (б) рода
164
Угол наклона гасителя в этом случае следует выбирать исходя из уравнения
л4-|~л ctgarac2= 7	>	(6.34)
Чб
где &2б — половина расстояния между нпжними шарнирами гасителей (для случая боковой качки второго рода).
Из этих уравнений следует, что для гашения колебаний боковой качки кузова первого и второго рода требуется устанавливать по две пары различно ориентированных наклонных гасителей с каждого конца вагона (с обеих сторон), тогда как гашение двух видов колебаний кузова (подпрыгивания, галопирования и виляния) можно обеспечить, установив гасители по схеме рис. 6.6, а или б.
Установить на вагоне 16 гасителей трудно, поэтому для сокращения их числа вдвое необходимо выполнить дополнительные расчеты по корректировке параметров и расположению гасителей на вагоне. В частности, следует учитывать, что у вагонов с двойным рессорным подвешиванием собственная частота боковой качки первого рода относительно низка и нарастание амплитуд ее нужно ожидать при низких эксплуатационных скоростях (во время разгона поезда). Боковая качка второго рода будет особенно интенсивной при более высоких скоростях. Такой вывод подтверждается опытами с натурными пассажирскими вагонами. Поэтому условия выбора углов наклона гасителей колебаний можно ограничить необходимостью гашения колебаний боковой качки второго рсда наряду с вертикальными (подпрыгивание и галопирование) и горизонтальными (боковой относ и виляние) колебаниями кузова. В первом приближении эти условия удовлетворяются при установке двух вертикальных и двух горизонтальных гасителей с каждого конца кузова вагона. Гасители должны устанавливаться также и для уменьшения амплитуд колебаний рам тележек.
6.3. ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКИХ КАЧЕСТВ ПАССАЖИРСКОГО ВАГОНА
Вагон при движении по рельсовому пути совершает сложные вертикальные и горизонтальные колебания с различными амплитудами и частотами. Интенсивность этих колебаний обусловливается взаимодействием пути и движущегося по нему вагона. Показателями динамических качеств пассажирского вагона являются коэффициенты вертикальной и горизонтальной динамики, вертикальные и горизонтальные ускорения кузова вагона, показатель плавности хода.
Средние из наибольших значений коэффициентов динамики, ускорений, а также показатели плавности хода, по которым на железных дорогах СССР оцениваются динамические качества вагона, приведены в табл. 6.1.
165
Таблица 6.1
Оценка хода вагона	Коэффициент динамики кузова		Ускорение кузова, м/с2		Показатель плавности хода в вертикальном и горизонтальном (поперечном) направлении	Коэффициент запаса устойчивости колеса против схода с рельсов
	вертикальный	1 о сх СО X ф X л Е — CXEJ С гз С ~	вертикальное	• Я X Ф ф о О сх s л £Х^ © о о а с о U Ь X		
Отличный	0,10	0,05	0,10	0,05	<1,0	2,0
Хороший	0,15	0,10	0,15	0,10	<2,0	2,0
Удовлетворительный	0,20	0,15	0,20	0,15	<3,25	2,0
Допустимый	0,35	0,25	0,35	0,30	<4,0	2,0
Непригодный для регулярного движения	0,70	0,40	0,70	0,50	<5,0	1,2
Для пассажирских вагонов особенно большое значение имеет показатель плавности хода, которым оцениваются динамические качества вагона исходя из условий физиологического воздействия ускорений и частот колебаний на организм человека.
На основании экспериментальных работ, проведенных рядом исследовательских лабораторий в СССР и за границей, установлено, что организм человека по-разному воспринимает колебания с различными частотами и реакции на эти колебания проявляются в виде утомления нервной системы и различных болевых ощущений. Особенно неблагоприятны для человека колебания с частотами в пределах 4—6 Гц, которые оказываются резонансными для человека как механической системы. Организм человека чувствителен и к ускорениям и к скорости их изменения, так как она характеризует изменение сил инерции во времени, т. е. является показателем меры интенсивности толчка.
Известны три метода оценки плавности хода вагона: по частотам и ускорениям колебаний кузова, времени утомляемости пассажиров и преобладающим и максимальным ускорениям.
Согласно закону Вебера — Фехнера об интенсивности раздражителя ощущений органов чувств человека и результатам опытов Шпер-линга (Грюнвальдская лаборатория) для оценки плавности хода вагона в ряде стран Европы и, в частности, в странах, входящих в Организацию сотрудничества железных дорог (ОСЖД), принято значение Zo X Х(2зтп)5, представляющее собой произведение наибольшего значения показателя меры интенсивности толчка на величину энергии процесса колебаний.
Если принять, что кузов вагона совершает вертикальные гармонические колебания, то амплитуда третьей производной перемещения по времени составляет
I z | =z0 w3 = z0 (2лп)3,
166
где zo — амплитуда колебаний кузова вагона, см;
со — круговая частота колебаний, рад/с;
п — число колебаний в секунду, Гц.
Энергия колебательного процесса пропорциональна произведению амплитуды z0 на амплитуду ускорения zm;
(2лп)3,
где z,n — z0 (2лп)2 — наибольшее значение вертикальных ускорений кузова вагона, записанное *с помощью ускорениемера.
Показатель плавности хода в горизонтальном направлении определяется аналогично по ускорениям и частотам, возникающим при горизонтальных колебаниях.
Связь между интенсивностью раздражителя Zq	и силой
вызванного им ощущения оценивается величиной параметра W:
W = 2,7kV^, или	(6.34)
где k — коэффициент, учитывающий влияние частоты и направления (вертикальные и горизонтальные) колебаний на утомляемость пассажиров (рис. 6.9).
Параметр W, зависящий от частоты и ускорений колеса, называют показателем плавности хода вагона.
Колебания вагона при движении имеют различные амплитуды и частоты, однако показатель плавности хода обычно вычисляют для процесса с одной преобладающей частотой, но с различными амплитудами. В этом случае показатель определяют по формуле
W = FPiWl° + p2Wl0 + ...	(6.35)
где Wx, W2,...,,Wn — показатели, вычисленные по формулам (6.34) и соответствующие амплитудам ускорений разрядов 1, 2, ..., п, имеющим относительные повторяемости рп .р2, ..., рп, причем Pl + р2 + ••• + Рп = 1-
Научно обоснованных физиологами формул для определения показателя плавности хода в случае сложного процесса колебаний пока нет.
Для приближенной оценки,
в частности, может быть использована формула
W= 1p/'(^i10/3+^1n/3+...+^/3)3.
(6.36)
где
W то, (—показатели плав-П’ — > дг, ности хода, вычисленные по формуле (6.35) для выделенных из сложного процесса колебаний гармоник с частотами (Oj, <Ojj,..., и соответствующими амплитудами.
Рис. 6.9. Графики значений коэффициента k для вертикальных (кривая 1) и горизонтальных (кривая 2) колебаний
167
Плавность хода вагона тем лучше, чем меньше величина показателя W. Допустимый предел величины параметра плавности хода пассажирских вагонов установлен W = 3-т-3,25.
Как показывают экспериментальные исследования, утомляемость пассажиров зависит не только от режима колебания вагона (ускорения, частоты), но и от времени пребывания в пути. Учет этого фактора позволяет наиболее правильно оценить плавность хода вагона для поездов дальнего, местного и пригородного пассажирского сообщения. Наиболее простым методом оценки плавности хода вагона с учетом времени утомляемости пассажиров является метод Д. Лоуча. По этому методу время утомления пассажиров определяют следующим путем:
записывают на осциллографической ленте ускорения колебаний кузова вагона на участке пути длиной L при скорости движения и;
записанные ускорения разделяют на группы с примерно одинаковыми численными значениями;
подсчитывают количества та1, та2, .... mai амплитуд для каждой -группы ускорений;
находят среднее'арифметическое значение частоты колебания кузова вагона при движении его на участке L по формуле
Ь>Ср= Ю1 Р1+ W2 Р2+	Pj,
где рх,	pj—повторяемости амплитуд колебаний с частотами Wj, а>2, .... соц
рассчитывают длину пути для соответствующего интервала ускорений по формулам
у та1	ута2	ymai
L~ 2л ; 2~ 2п	2л ’
л=—— —;	... 4-/f = L;
2л
определяют время утомления пассажиров по формуле у____________________________о п______________
тах 1	I /т24-... -\~maj 1 !%i
где T^ — L/v — время движения вагона со скоростью v на участке L;
l/Tj, 1/т2, . ., 1/Т/—функции, определяющие время наступления утомляемости пассажиров в процессе колебаний вагона для соответствующих интервалов ускорений и средней частоты <оср.
Значение этих функций приведено в табл. 6.2.
Время утомления пассажиров составляет Т > 6 ч, если они находятся в пути до 10—12 ч, и Т > 104-12 ч, если поездка продолжается более суток.
Ходовые качества вагона в первом приближении могут быть оценены по значениям ускорения колебаний вагона, а также по величине коэффициентов динамики.
168
Таблица 6.2
Средняя частота колебаний, Гц	Значение функции 1/т- для интервала ускорений, м/с2						
	0—0,3	0,3—0,6	0,6—0,9	0, 9—1,2	0,2—1,5	1,5—1,8	1.8—2, 1
		Вертикальные колебания					
1,0	0,007	0,083	0,167	0,261	0,368	0,488	0,627
1,5	0,011	0,095	0,190	0,298	0,422	0,564	0,731
2,0	0,015	0,108	0,215	0,339	0,482	0,651	0,854
2,5	0,019	0,122	0,242	0,382	0,549	0,749	0,995
3,0	0,023	0,136	0,269	0,428	0,618	0,854	1,150
Горизонтальные колебания
1,0	0,022	0,134	0,-265	0,420	0,608	0,837	1,130
1,5	0,027	0,153	0,302	0,483	0,707	0,991	1,360
2,0	0,033	0,173	0,343	0,555	0,824	1,280	1,670
2,5	0,040	0,195	0,388	0,634	0,959	1,410	2,060
3,0	0,050	0,216	0,434	0,719	1,110	1,670	2,560
Из формул (6.34) следует, что для улучшения плавности хода вагона необходимо в первую очередь уменьшать частоты и ограничивать амплитуды колебаний вагона; частота основного тона вынужденных колебаний кузова пассажирского вагона не должна превышать 1—1,1 Гц, так как в этом случае коэффициент k согласно графику рис. 6.9 имеет меньшие значения.
При расчете параметров гасителей колебаний можно выбирать амплитуду установившихся колебаний (в см) по заданному значению показателю плавности хода W вагона. Согласно первой из формул (6.34) эта амплитуда составляет
Й7Ю
(2,7)1° к10 Л5*
(6-37)
169
Глава 7
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ВАГОНА НА ПРЯМЫХ И КРИВЫХ УЧАСТКАХ ПУТИ
7.1. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕС ПРОТИВ СХОДА С РЕЛЬСОВ
Передние колеса тележек вагонов при движении по кривым, а часто и на прямых участках пути набегают гребнями на боковые грани головок рельсов. Угол набегания а (рис. 7.1, а) может доходить до 0,01 рад и даже несколько больше (в крутых кривых). Место контакта гребня с головкой рельса находится впереди от вертикального радиуса колеса (рис. 7.1, б) на величину е = rK tg a tg 0 (предварение касания).
Если горизонтальная сила динамического давления колеса на головку рельса Pg велика, а вертикальная Рв мала (например, вследствие разгрузки при колебаниях кузова вагона), то гребень колеса не будет скользить по головке рельса. Мгновенный центр вращения переместится в точку контакта К, при дальнейшем движении гребень накатится на головку рельса и произойдет сход колеса. Этому способствует и увеличение коэффициента трения р.
Выражение для критического состояния получим из условия равновесия сил (рис. 7.1,в) 5т = 0, которое после преобразований примет вид
(Р в/^б)крит
1 + н tg р tgp—р. 
Чтобы гребень скользил вниз по головке рельса, т. е. колесо не вкатилось на головку рельса, необходимо соблюдать условия
Ку — (Рв/Р&)дейст : ( °в/Рб)Крит —
tgP~Р-l+ptg₽
(Рв/Рб) > 1 ’
яде ky — коэффициент запаса устойчивости колеса против схода с рельса.
Вкатывание колеса на головку рельса не является мгновенным процессом. Оно происходит в течение некоторого времени ttx, за которое колесо пройдет вполне определенный путь 1СХ. Если в это время коэффициент запаса устойчивости ку за счет колебаний кузова или неподрессоренных масс станет больше единицы, тогда колесо скользнет вниз, процесс вкатывания его на головку рельса прервется и безопасность движения не нарушится.
В начале схода (вкатывания) колеса мгновенный центр вращения перемещается в точку /< на расстояние г (см. рис. 7.1, а, б). Точка контакта поверхности катания колеса с головкой рельса получит перемещение с вертикальной скоростью
vz = o8 = — rKtgatg₽.
170
Будем считать эту скорость постоянной и предположим, что колесо поднимется над головкой на высоту hz, равную вертикальной проекции прямолинейной образующей h рабочей части гребня hz=h sin 0 за время h	hr	cos 0
tCx =---sin p =-----------,
vz	vrK	tg a
после чего оно получит свободу поперечного перемещения по головке рельса, т. е. процесс вкатывания колеса на головку закончится. Путь
схода составит hx=ixv= h
Например, при h = 0,013 м; = 30 м/с; 0 - 60°; tg а = 0,01;
0,013-0,475
!х=	0,485
0,013-0,475 tcx== 0,435-30
Г COS Р
Гк tg а 
г = 0,475 м; гк = 0,485 м; т =
0,5
-----=0,637 м;
0,01
0,5 -----= 0,021 с.
0,01
При точном расчете время и путь схода будут несколько больше полученных приближенным способом за счет времени, дополнительно затрачиваемого на вкатывание колеса на рельс криволинейной частью поверхности гребня.
Рис. 7.1. Схема расчета устойчивости колес против схода с рельсов
171
Рис. 7.2. Графики определения коэффициента запаса устойчивости колеса против схода с рельсов
Таким образом, вкатывание колеса на головку редьса (сход колеса с рельса) зависит от уровня силового взаимодействия колеса с рельсом и геометрии колеса, точнее — его гребня.
При испытаниях вагона обычно определяют динамические силы фш1 и Qni2 (вертикальные силы, действующие на шейку оси) и силу Fp, действующую от рамы. Через эти силы могут быть вычислены силы давления колес на рельсы:
Д1,2
/
^в(1,2) — 2'QinCT
b	г	b—аг 2
(1—кдв) ± -у- Кдбк ± -рр ~ + ?кп ~
•Рб — Рр Ч- рРг»
где Qhict — статическая нагрузка на шейку;
7кп — вес колесной пары (?кп = mKng);
/Сдв — коэффициент динамики за счет вертикальных колебаний кузова ОпппН- ЧдП12 вагона; = ------------------=—;
ДВ 2QmCT
£дбк — коэффициент динамики за счет боковой качки кузова; кДбк = ?ДШ1-----------£дШ2
2 QmcT
Остальные обозначения указаны на рис. 7.1, а, б. Для вагона с нагрузкой от оси колесной пары на рельс Ро = 250 кН; qKa — 18 кН; 2 г = 0,95 м; р = 0,25; 6 = 604-65°; а = 0,264 м; I = 1,555 м
121,2—112,5кдв— 151,9кдбк + 0,305.Гр
J	30,3—28,1кДв + 38,0кдбк + 0,924Рр
Зависимость коэффициента ку от коэффициентов динамики нажатия на колесную пару показана на рис. 7.2.
172
7.2. ПОПЕРЕЧНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВАГОНА НА РЕССОРАХ
Устойчивость экипажа против бокового опрокидывания следует оценивать с трех точек зрения: со статической — устойчивости его равновесия; с энергетической — по минимуму потенциальной энергии системы (d2II/da2 >> 0 — теорема Лагранжа — Дирихле); с динамической — по частоте собственных колебаний систем, которая должна быть больше нуля.
Выбор параметров рессор при проектировании вагона, как указывалось при изучении его вертикальных колебаний, производится исходя из обеспечения необходимой плавности хода в процессе движения с заданной скоростью по рельсовому пути с реальными неровностями.
Для пассажирских вагонов обеспечение указанного требования достигается применением рессор возможно большей гибкости (большой статический прогиб) и соответствующих гасителей. Однако возможность увеличения статического прогиба ограничена конструктивными особенностями и особенно необходимостью обеспечить поперечную устойчивость кузова на рессорах.
Рассмотрим боковые поперечные колебания кузова изолированно от других видов колебаний. Вводимая такой постановкой задачи некоторая погрешность полностью компенсируется достигаемой ясностью решения и логичностью вытекающих из него практических рекомендаций. Уточнение результатов может быть сделано при решении задачи по полной расчетной схеме с применением ЭВМ.
Источниками боковых колебаний кузова (рис. 7.3) являются: различные по величине и характеру вертикальные неровности двух рельсовых нитей; извилистое движение тележек в колее, приводящее в общем случае к боковому относу кузова; горизонтальные неровности рельсовых нитей и др. Перечисленные неровности пути могут быть приведены к двум обобщенным: т]г — горизонтальному поперечному смещения оси колесной пары и 60 — углу поворота ее в поперечной вертикальной плоскости.
Выведем аналогично тому, как это делалось в гл. 6, дифференциальные уравнения боковых колебаний кузова пассажирского вагона с двойным рессорным подвешиванием. Кузов вагона в вертикальной поперечной плоскости имеет две степени свободы, обусловливающие горизонтальное смещение у ^го центра тяжести ЦТ и поворот относительно продольной
tz
Рис. 7.3. Схема боковых колебаний кузова на рессорах
173
оси кузова вагона на угол 6. Указанные перемещения, отсчитанные от положения статического равновесия, если пренебречь силами инерции масс рам тележек, связаны соотношениями:
у= Уг+^e+i]r;l	р j.
6=буПр ео,	}
где уг — горизонтальное смещение кузова за счет деформации люлечного устройства или упругого поперечного сдвига рессор при безлю-лечном подвешивании;
h — расстояние ЦТ кузова от оси колесной пары;
вуПр — угол поворота кузова за счет упругой деформации рессор.
Г _ и • Й — Р I Р — Р •
Уг— 'И/Ч', °упр —'	~	А2 г’ ’
bfcn	Ь1 Cq	°2 Сб
Яи= —щку; Ми=— Л? 6;
(7.2)
где Ни, Ми — сила инерции и момент сил инерции кузова;
сг, сп, cq — коэффициенты жесткости всех рессор системы горизонтального подрессоривания, центрального и буксового подвешивания;
/Ир — момент реакций упругих деформаций рессор;
bt, b2 — половина поперечного расстояния соответственно между рессорами центрального и буксового подвешивания;
св — жесткость двойного подвешивания, приведенная к одинарному ’	СцСб
буксовому, « = - + (ЬЛ)2 Сб;
тк — масса кузова;
JK — момент инерции кузова.
Исходя из условия равновесия отклоненной системы приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось Оу и сумму моментов всех сил в плоскости zOy: 5У = 0; 5Л4 = 0.
Подставив в эти уравнения значения инерционных силовых факторов и реакций рессор (силами сопротивления гасителей колебаний здесь допустимо пренебрегать) из выражений (7.2) с учетом соотношений (7.1), получим дифференциальные уравнения плоских перемещений кузова вагона:
л*к у+сг Уг = О;	|	(7 3)
jKe—mKg (у—11г)+^куЛ+б|сб(е—е0)=о.	\
После преобразований с учетом зависимостей (7.3) получим:
тк у + сг у— сг h 9 = сг г]г;
JK 0 + (bl сб + h2 сг) 0 — (тк g+hcr) у = — (тк g+hcr) т]г + с'б b2 0О.
ИЛИ
у + ахУ—а20=ЩТ]г;	'	(
0 Н- Лз 0—а&У — — а4 Г]г аъ Эо • J
Следовательно, в процессе движения вагона по пути с неровностями кузов получает вынужденные колебания двух связанных между собой видов: горизонтальный боковой относ и поперечную качку.
174
Будем полагать, что собственными колебаниями кузова при отсутствии неровностей рельсов и виляния тележек в колее будут гармонические колебания вида:
у = cos (pZ-J-ос); "j
?	(7.о)
0 — В cos (р/-]-а), J
где А, В,а — постоянные интегрирования.
Подставив выражения (7.5) в дифференциальные уравнения (7.4) без правой части, получим:
(Qi—р2) A— a2B = 0;	j
—5Ц-(а3—р2) Б = 0. J	'
Составленный из коэффициентов при неизвестных А и В в уравнениях (7.6) определитель должен быть равен нулю:
П(р2)=|О1“р2’ “°2 1=0.
—а4 , а3—р2|
Раскрыв определитель, получим частотное уравнение
Р4— (щ + ^з) Р2 + «1а3 — а2с4 = 0,	(7.7)
где
сг	crh	&|cg4-ft2cr
а1 —	5 с2 —	’ аз=--------г--->
/пк	тк	JK
cch+mK g
Из частотного уравнения (7.7) получаем формулу для вычисления частот
plti=Ub\ax-\-a9±V (о^ + пз)2—4 (аха3—а2а4) ],	(7.8)
ИЛИ
Pi, 2 — 1/2 [«1+ Оз ± ~\/ (°i—о3)24-4а2а4 ].	(/.8а)
Кузов на рессорах только тогда будет находиться в состоянии устойчивого равновесия (будут иметь место малые боковые колебания около положения равновесия), когда оба корня рх и р2, найденные по формуле (7.8) или (7.8 а), будут действительными.
В этом случае собственные колебания кузова будут описываться выражениями:
y=41cos(p1/+a1)+A,cos (р2^+а2); | e = B1cos(p1^ + a1)+B2cos(p^+a2), J
т. е. одновременно имеют место два вида гармонических колебаний с различной частотой. Эти колебания могут быть путем соответствующих преобразований сведены к двум колебаниям, каждое из которых
175
имеет одну частоту рх или р2. Такие колебания называются главными и их называют боковой качкой соответственно первого и второго рода.
При наличии указанных выше возмущений от неровностей пути, кроме собственных, будут иметь место и вынужденные колебания боковой качки кузова ув и 0В.
Если принять возмущение от неровностей пути в виде: т)г — т]Г0Х Xsin wrt; eo=0oosin (соо/-|-а3), гДе Лго, ©оо и “г, <оо—амплитуды и частоты соответственно горизонтальных и угловых колебаний оси колесной пары, определяемые неровностями рельсовых нитей, то решения, выражающие вынужденные колебания, будут иметь вид:
U5U0
Ув = еоо —------------------------ sin («о +	+
(С1--“о) (G3--юо) а2рл
а,а->—ал,—а, со 2
+ Пг о ------~--------7-------sin «г t\
(«1— ©2) (а3— со®)—а2а4
(7-10)
„	„	«5 (Я1 —со|)
6в = 6оо ------Г--------7--------sin (йо/т«з) +
(°1--®0 ) ( °3-°0 )	а2°4
а4 0)2
+ Чго /	2\ /	2\	51ПС0гЛ
(Щ— “г) (°з— “г)—а2а4
Если хотя бы один из корней рх или р2 из формулы (7.8) получается мнимым, что будет при
О2«4>О1О3’	(7.11)
то формулы (7.9) не будут выражать колебательного процесса (в соответствии с формулами Эйлера тригонометрические функции синус и косинус мнимого аргумента обращаются в гиперболические, которые не выражают колебательного процесса). Физический смысл полученного в данном случае вывода заключается в том, что кузов вагона, наклоненный вбок на небольшой угол, из-за недостаточного восстанавливающего момента рессор не возвращается в свое среднее положение, а продолжает крениться за счет деформации рессор до полного выбора имеющихся в системе зазоров. Так как этот процесс может привести к нарушению безопасности движения из-за выхода вагона из габарита и опасной разгрузки колес с одной стороны вагона, явление боковой неустойчивости кузова следует считать недопустимым.
Следовательно, для устойчивости кузова необходимо, чтобы выполнялось условие
а2«4<а1а3.	(7.12)
Подставив в него значения из уравнения (7.7) и преобразовав, получим
176
Из полученного выражения вытекает, что для обеспечения устойчивости кузова при боковых колебаниях необходимо выбирать приведенную жесткость рессорного подвешивания, которая должна быть тем больше, чем выше расположен центр тяжести кузова, больше его масса и меньше расстояние между надбуксовыми рессорами в поперечном сечении.
Если приведенную жесткость рессор с& принять мало отличающейся от hmKg/b2, то частота рх по выражению (7.8) будет весьма малой. В этом случае отклоненный от положения равновесия кузов будет очень медленно возвращаться в среднее положение, а в пределе, когда левая часть выражения (7.13) равна правой, кузов будет находиться в состоянии безразличного равновесия. В практике такое свойство вагона называется валкостью.
Все изложенное выше основано на предположении, что кузов представляет собой твердое тело с несмещающимся грузом внутри. Задача существенно осложняется, если груз внутри кузова под действием инерционных сил перемещается. Движение цистерны с жидкостью, свободная поверхность которой совершает безвихревые волнообразные коле--бания, описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных относительно обобщенных координат: 0 — угол поворота; У — горизонтальное смещение котла; уп — поперечные смещения центра тяжести жидкости для п различных форм волн, причем рассматриваются только нечетные из них, влияющие на изменение координаты центра тяжести жидкости.
Полученные решения показывают, что при боковых колебаниях частично заполненной цистерны все частицы жидкости колеблются по-разному.
Верхний небольшой слой совершает волновые колебания и имеет скорость относительно стенок котла, отличающуюся от скорости в остальной части. Большая же основная часть жидкости совершает движения, близкие к маятниковым.
Эту сложную задачу можно рещить приближенно, заменяя жидкость ее механическим аналогом. В этом случае основную массу жидкого груза как бы закрепляют скользящей по стенкам котла крышкой, так что она может совершать относительно стенок котла маятниковые движения, и дополняют системой «твердых» грузов, массы которых тп равны эффективным массам соответствующих волн жидкости, связанных условными пружинами и гасителями.
Рассмотрим поперечные колебания неполно налитой цистерны с учетом упрощающих предположений. Предположим, что котел цистерны, жестко связанный с рамой (общий вес Рг = mtg приложен в точке 02), опирающейся на рессоры одинарного подвешивания жесткостью с и только частично заполненный жидким грузом весом Р2 = подвергается горизонтальным и угловым поперечным возмущениям (т]г, 0О), вызванным неровностями рельсового пути. Пренебрегая влиянием вертикальных колебаний, будем рассматривать только угловые колеба-
177
(7.14)
(7-15)
(7-16)
ния котла 6j и груза 02, т. е. сводим движение системы к двум степеням свободы.
Для малых колебаний системы с учетом принятых на схеме обозначений можно написать следующие геометрические и физические зависимости:
61= 1М1 (У1—Пг); \
62 = 1/Л2 (Уг—Пг—61 Л);
Л4и1= -*161’ ^И2~ ---А 62’
Мулр — Рг Ь = сЬ2 (01 0О);
= —m-i yi; Н-^2 = —	1'2 •
Условия равновесия по Даламберу будут:
2 МЛ1 = 0; Л 61—J2 62— pi (У1—'Пг) Ч-mi У1 А Ч-
+ ^2У2 (h—h2)—P2 (у2—Пг) Ч-со2 (0!—0о) = о;
5 М= 0; — J2 02—т2 у2 h2 Р2 h2 02 = 0,
где т1, т2, J2 — массы и моменты инерции масс соответственно котла и жидкого груза в нем;
у1; у2 — поперечные перемещения точек 0х и 02.
Подставив в уравнения (7.16) значения из выражений (7.14) и (7.15), выполнив упрощающие преобразования и введя дополнительные обозначения, получим дифференциальные уравнения:
711 б"14- Аг 62 + cii6i = Mq Mj,
J 1г б"1 Ч- Аг 62 Ч- с22 02 = Л4 2, где
Ai = Ji~\-mj hf-{-m2 h2-, J12 — m2h2h\ 1
Аг~ А+тг ^2:
cu = cb2—Pj.hr— P2h; c22=P2h2,
MQ=--cb2&0; Л41 = (пгЛЧ-пг2Л) rjr;	<7 18>
/И2 —m2 h2 t]r;
(a2—b2)2
J^(m2/4)---——-—a=^d-\-h2;
a2-\-b2
r2—h2 .
Рассмотрим собственные колебания цистерны с грузом, которым соответствуют дифференциальные уравнения (7.17) без правой части. Положив 0 = т]г — 0, а затем подставив в них искомые решения в виде гармонических функций 01>2 = Clt2 sin pt, как и выше, получим после сокращения на sin pt следующие алгебраические уравнения относительно постоянных С15 С2 и частоты р:
(Ai р2—си) ^i Ч- ^i2 р2 С2=
Аг р2 А Ч- (А2р2—С22) С2=о.
(7.17)
(7-19)
178
Исключив из этих уравнений постоянные Ci и С2, получим частотное уравнение
(Ju Р2 сп) (Аг Р2—сгг) —«722р4=0,	(7.20)
ИЛИ
(А1 -^22— ^12)Р4— (Al c22"F^22 С11) Р2 С22 = 0.	(7.2! )
Для упрощения дальнейших записей введем дополнительные обозначения:
Сц/Д1—	с2г/^22 — v2>
-----------
J11 J 22
Тогда частотное уравнение (7.20) примет вид
(I_V2)P4_(V2 + V2)P2 + V2 V2=(k
(7.22)
(7.23)
Величины Vi и v2 являются парциальными частотами системы: V! — угловая частота цистерны, если жидкий груз сосредоточен в геометрическом центре сечения котла; v2 — угловая частота груза при неподвижном котле.
Корни уравнения (7.23), представляющие частоты двух главных видов колебаний цистерны с грузом, можно записать в виде
Р1.2 = [ 9П 1 2~~ М+vf ± V (v2 — v|)2+4v| v| v|]l.	(7.24)
Анализ этих корней показывает, что малые боковые колебания цистерны практически всегда будут происходить около положения устойчивого равновесия. Теоретически устойчивость таких колебаний цистерны будет обеспечена в случае vf >> 0 (cu > 0), т. е. при условии .	/ h \
&2/ИКт/(1 + Кт)Г-Р1+'-^— >0,	(7.25)
где	f — статический прогиб рессор загруженной цистерны;
К<ГГ = Р11Р2 — коэффициент тары кузова (без учета массы тележек).
Для современной четырехосной цистерны (/ = 0,05 м; hY = 1,25 м; h = 2,25 м; Кт = 0,2) условие (7.25) удовлетворяется, так как первый член неравенства во много раз больше второго.
Влияние поперечных колебаний цистерны с жидким грузом на устойчивость против схода колес с рельсов необходимо проверять путем анализа ее вынужденных колебаний, т. е. решения системы уравнений (7.17) с правой частью. В результате решения такой задачи для угла 6 боковой качки четырехосной цистерны при различном ее заполнении и движении с разными скоростями на путях с волнообразными неровностями следует, что полная цистерна с «затвердевшей» жидкостью имеет более плохие динамические показатели. Наличие свободной поверхности создает качественно иную картину при колебаниях цистерны,
179
однако количественно заметно влияние только первой формы колебаний жидкости. Эти расчеты и натурные опыты с неполно налитыми цистернами (рис. 7.4) не выявили значительных боковых колебаний их на рессорах, существенно отличающихся от колебаний полностью налитой цистерны.
Как известно, валкость кузова и потеря устойчивости равновесия его на рессорах — явления нежелательные, а иногда и небезопасные. Исключить их можно правильным выбором характеристик рессорного подвешивания. Устойчивость вагона при проектировании проверяют по специальному критерию, установленному на основе следующих рассуждений.
Приведем условие (7.13) к виду
b22/f'T-h>0,
(7.26)
где /ст = Pjc'b — приведенный статический прогиб рессор.
Первый член выражения (7.26) представляет собой расстояние между осью колесной пары и точкой М (см. рис. 7.3) пересечения линии действия вертикальной равнодействующей j? реакций всех рессор
при наклонном положении кузова с осью симметрии его поперечного сечения. По аналогии с теорией устойчивости судов точка М называется метацентром, а высота ее над осью колесной пары (основанием рессор) Лм — метацентриче-
Рис. 7.4. Схема боковых колебаний неполно
налитой цистерны
ской высотой
(7.27)
Из схемы видно, что устойчивому положению кузова должно соответствовать действие пары сил Рк = mKg и R = Рк, стремящейся вернуть кузов из отклоненного положения в среднее. Величина момента этой пары сил, а следовательно, и интенсивность возвращения кузова в среднее положение (в судостроении это свойство называется остойчивостью судна} определяются разностью высот метацентра М и центра тяжести ЦТ кузова; по крайней мере должно соблюдаться условие /iM — h ~> 0.
Принимать указанное пре
вышение для пассажирских
180
вагонов рекомендуется не менее 2 м, т. е. неравенство (7.26) должно принимать вид Лм — h > 2.
Это условие, являясь критерием устойчивости, ограничивает возможность применения чрезмерно гибких рессор. Для большего удобства пользования этим критерием при расчетах выполним следующие преобразования:
г,	Рк	Р К	Tj . ___^2	Сб
ZcT=;	с'б	= Сб	[ +	bl	сц	]'
(7.28)
Подставив в полученное выражение статические прогибы буксового и центрального подвешиваний:
$()=Рк1 С&, и /ц — Рк/Сц, получим:
/ Ь2 \2	bl
= + -Г-, fa = - -,,2 	' 	(7.29)
\ ох ]	/б + (О2/О1) /ц
Если затем ввести величину х = f 6/fcr — отношение статического прогиба буксового подвешивания к полному (суммарному) прогибу всего подвешивания /ст = /б + /ц, то, подставив в неравенство hM — — h > 2, значения из выражений (7.26), (7.27) и (7.29), получим формулу для вычисления допускаемого полного статического прогиба подвешивания
/ст" (М-2) [x+(&f/6|) (1-х)Г
Из полученного выражения видно, что допускаемый прогиб рессор вагона зависит от высоты h центра тяжести вагона, расстояний между рессорами в поперечном направлении 2ЬХ и 262, а также от соотношения прогибов надбуксовой и центральной ступеней подвешивания.
Повышение плавности хода вагона вызывает необходимость увеличения статического прогиба рессор, поэтому ведутся исследования по изысканию возможности повышения гибкости рессор путем изменения принятого превышения метацентра над центром тяжести кузова (допускается принимать указанное превышение в пределах 1,5—2 м) и путем применения рессор с «жесткими» нелинейными характеристиками (пневматическое подвешивание и др.).
Пример. Вычислим по формуле (7.30) величины допускаемых прогибов рессор для пассажирских вагонов на тележках типов ЦМЗ и КВЗ-ЦНИИ.
Для тележек ЦМВ:
£62 = 2,036 м; 2 61 = 1,552 м;
х = 0,25;	/г=1,6; Дм—Л=1,5м;
4 (1,6+ 1,5) [0,25+ (2,036/1,552)2 (1—0,25)]
181
Для тележек КВЗ-ЦНИИ:
2 Ь2 — 2 61 = 2,036 м;
х=0,25; 6=1,6 м;
2,0362 fс т =-----------=0,334 м.
-	4(1,64-1,5)
Из полученного следует, что по условиям устойчивости и отсутствия валкости кузова у вагона на тележках ЦМВ величина допускаемого статического прогиба рессор на 35 % меньше, чем у такого же вагона на тележках КВЗ-ЦНИИ (приблизительно на столько же отличаются фактические значения их прогибов). Это объясняется относительно меньшим поперечным расстоянием между рессорами центрального подвешивания в тележках ЦМВ. Фактические значения статических прогибов рессор рассматриваемых вагонов на 15—20 % меньше приведенных здесь.
Чтобы вычислить прогибы рессор, соответствующие безразличному равновесию вагона (или началу потери устойчивости), достаточно в знаменателе формулы (7.30) исключить второе слагаемое в первой скобке. Вычисления показывают, что прогибы составляют 0,42 и 0,65 м для тележек соответственно ЦМВ и КВЗ-ЦНИИ, что почти в 2 раза превышает фактические значения.
7.3. РАСЧЕТ ДОПУСКАЕМЫХ СКОРОСТЕЙ ДВИЖЕНИЯ
ВАГОНА ПО СТРЕЛОЧНЫМ ПЕРЕВОДАМ
Особенностями переводных кривых стрелочных переводов наиболее распространенных марок являются их малый радиус (180—300 м), отсутствие переходных вставок и возвышения наружного рельса. Эти особенности обусловливают необходимость резкого снижения скорости движения поездов, принимаемых на боковой путь, которая рассчитывается исходя из следующих данных: допустимое удар но-динамическое воздействие гребней колес на остряк при наезде на него; допустимое непогашенное центростремительное ускорение экипажа при следовании по переводной кривой; скорость нарастания этого ускорения при входе экипажа в переводную кривую. Кроме того, при расчете допускаемой скорости v рассматриваются силы взаимодействия пути с ходовыми частями при ударном входе экипажа в переводную кривую (рис. 7.5).
Рассмотрим поочередно, как необходимо учитывать перечисленные выше данные.
Сила удара гребня в направляющий остряк пропорциональна кинетической энергии (0,5 mv2) набегающей массы т, жестко связанной с колесной парой. Скорость удара (сближения) гребня о кромку наружного рельса переводной кривой составляет
Uy=zsin Ру,
где Ру — "угол удара.
182
Угол удара зависит от радиуса R кривой, угла рн между рамным рельсом и остряком в его начале, расстояния 2 е между точкой контакта гребня колеса с рельсом и кромкой рамного рельса и может быть найден по формуле
ру =Vsin2pH+4e//?.	(7.31)
Сила удара гребня колеса тележки о рельс при равных массах т и прочих одинаковых условиях пропорциональна величине
W = V2 sin2 Ру » V2 Ру.
Если принять значения w для переводных кривых такими же, как для пологих круговых кривых (w — 0,045 4-4- 0,061 м2/с2 установлено многолетней может быть определена по формуле
0,0454-0,061 У sin2 рн4-4 е//?
Для современных стрелок (Рн — 304-40'; R = 200-5-300 м; 2е = = 40-5-50 мм) скорость v, найденная по указанному критерию, не должна превышать 40 км/ч.
Норма поперечного непогашенного ускорения аку устанавливается как по физиологическим соображениям (исходя из воздействия на человека), так и по условиям прочности и устойчивости пути.
Непогашенное ускорение в кривой при возвышении /гр наружного рельса составит
%у =—“---------<7-33)
A	-iS
где 2s — расстояние между кругами катания колес колесной пары.
Допускаемая скорость движения определится по формуле
Рис. 7.5. Схема к расчету скорости сближения гребня колеса с остряком стрелки
практикой), то скорость v
где Кбк — коэффициент динамики вагона, соответствующий колебаниям боковой качки (Л^; = 0,2 4- 0,3).
При наибольшем по норме возвышении наружного рельса hp = = 150 мм и аау = (1+/(бк) 0,7 = 0,85-5-0,9, что принято на дорогах, формула (7.34) получает вид
р=1,зУ^.	(7.35)
183
В случае движения по переводной кривой (h = 0)
v = 0,83'/"ft'.	(7.36)
Скорость нарастания непогашенного центростремительного ускорения при входе вагона в кривую допускается в пределах
v6
г^-Х-С (0,64-0,8),	(7.3Т-)
к io
где Zc — база экипажа (по опорам кузова).
Допускаемая скорость движения на боковой путь с учетом нормы гр будет
Z6 ~ °’9	•	(7.38)
Для пассажирского вагона (Z6 = 17 м, R = 200 м) эта скорость будет
vq = 0,9 у/' 200-17 — 11 м/с (40 км/ч).
Вход вагона в кривую без переходной вставки может сопровождаться горизонтальным ударом гребня о головку рельса и резким поворотом вагона в плане. Такое движение принято называть ударным входом вагона в кривую. Возникающие при этом силы взаимодействия необходимо учитывать при расчете вагона на прочность и устойчивость против схода с рельсов и опрокидывания.
Процесс ударного входа вагона со скоростью v в кривую будем рассматривать для двух предполагаемых случаев:
1) гребни колес передней тележки одновременно касаются наружного рельса с самого начала кривой и тележка вместе с пятниксвым сечением кузова приобретает центростремительное ускорение — происходит поворот кузова в поперечной вертикальной плоскости (рис. 7.6, с) и в плане (рис. 7.6, б) за счет зазоров между боковыми скользунами и деформации рессор;
2) гребни передней тележки в начале кривой отстоят от кромки наружного рельса на величину зазора е — происходит ударное взаимодействие гребня переднего колеса с внешним рельсом, сопровождающееся поворотом рамы тележки относительно вертикальной оси (пятника) А' в плане до соприкосновения гребня заднего колеса, после чего передняя тележка и пятник кузова приобретают центростремительное ускорение. Крен вагона в поперечной вертикальной плоскости, как и в первом случае, происходит за счет зазоров между боковыми скользунами, а затем после смыкания скользунов и вследствие вертикальной деформации рессор.
В первом случае ударного входа пятник А над передней тележкой мгновенно приобретает центростремительное ускорение
184
Рис. 7.6. Схемы к расчету сил при ударном входе вагона в кривую в случаях:
а — вращения кузова с вертикальной поперечной плоскости при мгновенном поперечном смещении тележки; б — перемещения оси вагона в плане при прижатых гребнях колес к левому рельсу и отстоящих от него на величину е
Под действием сил инерции и горизонтальных реакций рельсов ось передней тележки А при поперечном отклонении ее на величину уг поворачивается в плане на угол аг, а продольная ось кузова при этом отклонении и поперечном скольжении задней тележки В поворачивается в плане на угол а.
В вертикальной поперечной плоскости кузов вследствие мгновенного поперечного перемещения передней тележки А на величину уг поворачивается (получает крен) на угол р. Если пренебречь деформациями рессор, то суммарную боковую силу Yб взаимодействия колес передней набегающей тележки с наружным рельсом можно найти из условий равновесия вагона по Герману—Даламберу:
2У = 0; Гб + #1 + #2 + #к-4 FTp = 0;
S7Hc = 0; Yq Xi -f- Ну Xj -j-i1% x2 Ч- ' (-^i -/A~^hz 2 ip (XiH-Xg) =0,
^^4ox = 0; НкИц—Mnx — 0,
(7.40)
185
где Hlt Н2, Нк — горизонтальные силы инерции масс тт первой и второй тележек и массы тк кузова;
Я1>а = — тт (d2yli2/dt2); Нк = —тк (d2yK/dt2);
А1И2, Мих — моменты сил инерции кузова относительно осей Oz и Ох:
= -mKr2 (d2a/dt2); МКх = —mKr2 (d2$/dt2)-
rx, rz — радиусы инерции массы кузова относительно центральных осей Ох и Oz;
FTp — сила трения колес одной колесной пары при поперечном скольжении по рельсам;
*i, х2 — расстояния тележек от мгновенного центра вращения продольной оси вагона в плане;
Лц — высота центра тяжести кузова над пятником.
Рассматривая повороты кузова вагона в плане и вертикальной поперечной плоскости, получим геометрические зависимости:
/у1 = ах1; у2 = ссх2; Ук=Уос—Р Лц; t/oc=(1/2) (f/i+#2)>	(7.41)
где уг, у2 v — поперечные перемещения соответственно пятников А и В, сред-^ос, Ук)' ней точки 0с между ними и центра тяжести ЦТ кузова.
Подставив в уравнения (7.40) зависимости (7.41), будем иметь:
Уб—(2/nT/mK-|- 1) f 1 — 'j Т/цК-|-7Пк Лц Р—4 FTp — 0;
\ xi J
(7-42)
где
(*i—0 Р — 2 FТр (XiH-x2) —0;
(1 -l/xj hn ЯЦК-/72К (Yx -h hl) р=О,
d2 У!	V2
Н^тк-^-^тк —
(7-43)
Решив систему уравнений (7.42) относительно Y $ и хъ получим:
Уб = [2 тх/Шк-h2/(h2 + 4) +1] (1 - Z/xJ Яцк+4 FTp;	(7.44)
1+4щт//»к+г|//2 _^/(^+^)
X1~l l+2/nT/mK—А2/(Л2_|_ г2) + 4Гтр/ЯцК
Формулы (7.44) и (7.45) позволяют определить значение силы горизонтального взаимодействия колес набегающей тележки при ударном входе вагона в кривую. При расчете сначала необходимо вычислить значение Яцк по формуле (7.43) и силу трения FTp, затем подставить данные в формулу (7.45) и, подставив хг в (7.44), определить Yg.
Далее может быть выполнен расчет сил взаимодействия с учетом деформаций рессор.
Пример. Полувагон грузоподъемностью 65 т имеет следующие основные данные: 2/ = 8,65 м; йц = 1,25 м; тк — 75 000 кг; тт = 5000 кг; 1Х = 9,25 X X 104 кгс-м2; Jz = 1,1-106 кг-м2; 4FTp = р, (тк + 2/пт) g = 0,2-8500-10 = = 170 кН. Определить величину боковой силы Уб, действующей на колеса пе-186
редней тележки вагона при ударном входе в стрелочную кривую 7? = 200 м со скоростью и= 10 м/с.
По формуле (7.43) получим
102
Яцк = 75000——=37,5 кН.
ц	200
Квадраты радиусов инерции:
1 100 000	о 92 500 t
г* =---------=14,7 м2; r2 =— = 1,23 м2.
2	75 000	х 75 000
По формулам (7.44) и (7.45) получим:
1-4-5/75 +14,72/4,3252—1,252/(1,252+ 1,232)
Х1==/	1 +2-5/75 —1,252/(1,252 + 1,232) + 170/37,5	“ ’
Уб = [2-5/75—1,252/(1,252+ 1,232) + 1] (1—1/0,26) 37,5+170 = 100 кН.
Если пренебречь силами трения между колесами и рельсами, что может иметь место в действительности при ударном входе, то значения и Уб для данного полувагона будут
Xi = 2,58 /; Уб = 73,5 кН.
Боковая сила взаимодействия тележки полувагона с наружным рельсом, имеющей нежесткую в плане раму, при установившемся режиме движения в переводной кривой будет
Уб = [(/тгк+2/пт)/2]и2//? = (85 000/2) 102/200 = 21,25 кН.
В случае жесткой рамы, когда силы трения между колесами и рельсами препятствуют свободному повороту тележки при вписывании в кривую, боковая сила, действующая от рельса на переднее набегающее колесо, будет существенно больше, чем на второе, и составит Уб — 44 кН. Горизонтальная сила от набегающей колесной пары на раму тележки будет Ур = 24 кН.
Во втором случае входа вагона в кривую без переходной вставки, когда гребни колес набегающей тележки отстоят от кромки наружного рельса на величину зазора е, процесс удара протекает интенсивнее.
Для упрощения выкладок условно будем рассматривать лишь половину вагона на одной передней тележке. После удара гребней обоих колес тележки в рельс средняя точка А', перемещаясь по дуге А'А”, отклонится от первоначального направления II—II на некоторую величину у ~ Ry sin (сс0 + у/2), а скорость поперечного относа иу — = v sin (а0 + у). Учитывая, что а0 и у — малые величины, из подобия треугольников A"DO и A"EF следует, что
<7-46>
где ~\/2/R (е+у) — полухорда A"D.
При допускаемой скорости движения по кривой, представляемой формулой v = A J^R, аналогичной формуле (7.35), выражение для vy получит вид
иУ = А V 2 («+#)»
(7.47)
187
Кузов вагона вследствие мгновенного поперечного движения тележки вправо кренится влево так, что некоторая точка на его вертикальной оси симметрии, называемая центром удара ЦУ, не меняет своего положения в пространстве. Этот процесс протекает до тех пор, пока зазор 6 между боковыми скользунами не станет равным нулю. К этому моменту угловая скорость кузова относительно центра удара и линейная скорость иуц центра тяжести кузова достигают следующих значений:
ю = Л 1 V 2(е+^/);
-,/-2ТГ+Ту,
пУ
(7-48)
Где h =	(1 -f- Гх/Лц) — расстояние от плоскости пятника до центра удара
кузова.
к этому моменту кузов вагона в процессе поперечного движения приобретает кинетическую энергию
При ударе кузова о скользун надрессорная балка тележки нагружается динамической парой сил PCKd. Потенциальная энергия деформации двух комплектов рессор тележки составляет
IL=(P*K/c)(d/2b)\
(7.50)
где с — жесткость одного комплекта рессор тележки;
b, d — расстояния, показанные на рис. 7.6.
На основании закона сохранения энергии полагаем, что кинетическая энергия поперечного движения кузова полностью переходит в потенциальную энергию деформации рессор тележки. Тогда, приравняв выражения (7.49) и (7.50) и решив полученное уравнение относительно Рск, получим
PcK==A~dh^ V2c (e+(6/d)^) [тк (hy-h^+J*]-
(7-51)
Если учесть, чтс после смыкания скользунов начинает действовать центробежная сила, достигающая к моменту сжатия, рессор наибольшего значения, к выражению (7.51) следует добавить значение Рок =
л 2
К 2d '
Тогда
Ь___________________________тк hj,
Рск~А ~~~	(e+(Wy)^K (^-M2+Ad+	<7-52)
188
По найденному значению Рск можно найти динамическое усилие, действующее от колеса на рельс,
Рек d
Рд = -^-,	(7.53)
4s
которое может быть использовано при оценке устойчивости против опрокидывания вагона в процессе ударного входа в кривую.
7.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ВАГОНА ПРОТИВ ОПРОКИДЫВАНИЯ
ПРИ ДВИЖЕНИИ по кривым
Когда вагон движется по кривому участку пути, на него действует центробежная сила, которая при неблагоприятном сочетании с ветровой нагрузкой и поперечными инерционными силами от боковых колебаний кузова на рессорах создает момент, опрокидывающий вагон наружу кривой и разгружающий колеса с внутренней стороны кривой.
Устойчивость вагона против опрокидывания оценивают при его проектировании расчетным путем по условному критерию исходя из соотношения сил взаимодействия колес с рельсами.
В качестве меры поперечной устойчивости вагона против опрокидывания примем отношение т|, называемое коэффициентом поперечной устойчивости,
т) = Рп/РСт = Рцр+—,	(7.54)
* ст
где Рд — дополнительная нагрузка колеса на рельс от действия центробежной силы Рц и результирующей бокового давления ветра на вагон Рв, определенная с учетом перераспределения статической нагрузки между колесами вследствие деформации рессор и перемещения кинематических систем тележек;
Рст — статическая нагрузка колеса на рельс.
Величина т[ выражает собой степень разгрузки колес с одной стороны вагона под действием приложенных к нему боковых сил.
Если опрокидывающие (боковые) силы отсутствуют, то т) = 0, а при т| > 1 они приводят к опрокидыванию вагона.
На разгрузку колес вагона большое влияние оказывают также колебания кузова на рессорах, обычно учитываемые коэффициентом динамики. Так как коэффициент динамики у грузовых вагонов больше, чем у пассажирских, допускаемое значение т| для грузовых вагонов соответственно меньше. Достаточному запасу устойчивости против опрокидывания ’соответствуют следующие величины коэффициента т): для пассажирских вагонов 0,7; для почтовых, багажных, изотермических 0,6; для грузовых (груженых и порожних) 0,5.
Полная динамическая нагрузка Рл (рис. 7.7) от колес на наружный рельс кривого участка пути при действии расчетных боковых сил с учетом перераспределения статической нац?узки Рк между колесами
189
из-за перемещения центра тяжести кузова, вызванного деформацией рессор, составит
Рд — #цк "7	+ Н вк 7	+ (#цт+ #вт) •+ Рк ~ ,	(7.55)
где /7ЦК, 7/цт — равнодействующие центробежных сил соответственно кузова и тележки вагона;
ЯвК, ЯвТ — результирующие силы бокового давления ветра соответственно на кузов вагона и тележку;
Д — горизонтальное поперечное перемещение центра тяжести кузова от действия боковых сил;
Ац, ^в — высоты сил Яцк и /Увк над осью колесной пары; г — радиус колеса;
2s — расстояние между кругами катания колес колесной пары.
Для практических расчетов принимают боковые силы в соответствии с нормами: центробежные силы Нцк, в зависимости от допускаемого непогашенного ускорения равными 10 и 7,5 % веса кузова Рк и тележки Рт соответственно для пассажирского и грузового вагонов; ветровая нагрузка из расчета, что давление рв ветра, приходящееся на боковую проекцию кузова и тележки, равно 500 Н/м2.
Чтобы получить для расчета формулу, более удобную, чем формула (7.55), введем обозначения:
Рцк Лц + Нвк hB = у Рк А;
/7цкН-Т^вт = Т Рт> ^Рт/Рк = 5>
(7.56)
Рис. 7.7. Силы, действующие на вагон при движении по кривому участку пути 190
где h — высота точки приложения равнодействующей боковых сил Н = уРк над осью симметрии колесной пары:
, Рцк Ац-}- Рви Ав Л  --------------—;
Рцк+ Н вК
2РТ — вес тележек вагона;
у — отношение суммы боковых сил, приложенных к кузову (тележке), к его (ее) весу
7/цк4~ 7/вк РцтЧ-Т/вт
V”	“ Рт ’
(7.57)
Подставив выражения (7.55)— (7.57) в формулу (7.54), получим
у [/гН-г (1-|-б)]-j-Д т] =-------------------. ( 7.58 )
s(l + 6)
Величину Л для вагонов, у которых нет шарнирно-маятниковой люльки и все рессоры под действием боковых сил не
имеют горизонтальных перемещений (деформаций), определяют по формуле
Д = рЛц,	(7.59)
где Р — угол наклона кузова, обусловленный вертикальной деформацией рессор под действием вертикальной и боковой нагрузок.
Угол р определяется из условия равновесия кузова, наклоненного боковыми силами:
2 М = 0;
^7цкЛц-|- //вклв + РК Лц₽-Сб ^2 Р = 0,
(7.60)
где се — жесткость рессор двойного (или тройного) подвешивания, приведенная к одинарному буксовому;
2 Ь2 — поперечное расстояние между буксовыми рессорами.
Приняв Ав = Лц; PJc6 = /ст, из уравнения (7.60) получим
77цк hjx Н hB____________У h____
62сб—~ bl/f'CT— h ’
(7.61)
где /ст = /б +	— приведенный статический прогиб рессор
двойного подвешивания. Тогда формула (7.59) будет иметь вид
(7-62>
Если в системе рессорного подвешивания имеется шарнирно-маятниковая люлька с наклонными подвесками, то горизонтальное отклонение (рис. 7.8) центра тяжести ЦТ кузова слагается из горизонтального перемещения подрессорной (нижней люлечной) балки, отклонения кузова вследствие вертикальных деформаций рессор и обратного его отклонения вследствие поворота подрессорной балки в сторону, противоположную крену кузова на рессорах:
(Зц + Рб—е) Ад,	(7.63)
где Ул — горизонтальное перемещение подрессорной люлечной балки;
— угол между надрессорной и подрессорной балками из-за прогиба рессор центрального подвешивания;
Рб — угол между плоскостью рамы тележки и осью колесной пары из-за прогиба рессор;
е — угол поворота подрессорной балки за счет отклонения наклонных подвесок.
191
Для определения величин уп, Рд, Рб и е составляют уравнения равновесия кузова, полагая, что опоры рессор центрального подвешивания и буксовых находятся в плоскости, проходящей через сси симметрии колесных пар. Приравняв моменты внешних сил, приложенных к кузову, моментам реакций рессор, получим:
^к(Рц + Рб—е)йц+уРкЛ=сц^ рц;	1
Рк (Рц + 35—8) Лц+т Рк h-[-PK Ул = С^ Ь* Рб, I
где £ц, со — жесткости рессор вагона соответственно центрального подвешивания и надбукссвых.
Чтобы получить третье уравнение равновесия шарнирно-маятниковой люльки с наклонными подвесками, применим принцип возможных перемещений. Принимая за бесконечно малые изменения возможных перемещений подрессорной балки dyn, dzn и de, найдем сумму работ всех сил на этих перемещениях и приравняем ее нулю:
Рк (т + ?б) dy.i — Рк dz — Рк [Яц (Рц+Зб — 8) + Яу] de = 0.	(7.65)
Руководствуясь геометрической схемой люльки, можно записать:
Ял tg а	Я’л
8=—-----; гл= —---------->	(7.66)
21 cos а	v ’
где /, а — соответственно длина люлечной подвески и угол наклона ее к вертикали.
Продифференцировав полученные зависимости, будем иметь:
de = ~~Лул; dzj! = ——— dy^.	(7.87}
0]	/cos a
Подставив зависимости (7.66) и (7.67) в уравнение (7.65) и произведя некоторые преобразования, получим систему уравнений с неизвестными рц, рб и#л:
бц Рц+612р б+^1з//л=A i;
^21 Рц ^22?б	52s у Л = А2;
^31 Рц + -згРб	~зз У г. — Аз»
(7.68)
где
6ц — Я1//ц—Яд; 6х2— 62i— Яц;
^13 = ^31= i J ^22 =	If б ^ц»
«а
62з — 632 — Яцtgа/Я1 1; 633—/ cos а £2 ’
Д1=Д2 = уЯ; Да = у|
192
Решив систему уравнений (7.68} относительно 6Ц, 0 g и ул и учитывая также зависимость (7.66) между е и ул, подставим полученные результаты в формулу (7.63) и определим А. Зная А, найдем коэффициент поперечной устойчивости вагона т] по формуле (7.58).
Обратный крен е кузова за счет применения люлек с наклонными подвесками или наклонно поставленных пружин подвешивания позволяет повысить устойчивость вагона при движении с высокой скоростью по кривым участкам пути.
В случае применения в центральном подвешивании вместо шарнирно-маятниковой люльки рессор, допускающих поперечные перемещения надрессорной балки за счет деформации их сдвига (так называемая упругая люлька), величина е = 0, а у находят по формуле
у=уРк/сг,
(7.69)
где сг — жесткость центральных рессор при поперечном (горизонтальном) деформировании.
В этом случае имеем:
А — # + (Рц + Рб) Лц;
(^1//ц —^ц)Рц—-^цРб — yh', ^цРц+ (^2 //б------^ц)Рб = y(h-±-Pк/сг)-
(7.70)
(7.71)
Подобный вид имеют формулы в случае, когда у шарнирно-маятниковой люльки имеются вертикальные подвески длиной I, соединенные снизу подрессорной балкой. Тогда для случаев малых отклонений применяют формулу
Ул = у1-	(7.72)
Если в шарнирно-маятниковой люльке сочлененные вертикальные подвески не соединены снизу подрессорной балкой, можно также воспользоваться зависимостями, приведенными выше. Однако в этом случае в формуле (7.72) принимается не вся конструктивная длина подвески, а некоторая приведенная длина /пр, соответствующая длине приведенного маятника, имеющего такой же период собственных колебаний бокового относа, как и реальная система кузова вагона на люлеч-ных подвесках. Эта длина определяется по формуле
^пр = 1с + --------
1 +
_____
X
РК Gn---^п)
(7.73)
где /с — длина серьги;
tn — длина сочлененной подвески;
йп — высота пружины под статической нагрузкой;
х — угловая жесткость пружин при относительном повороте их торцов.
7 Зак. 557	1 93
3 приближенных расчетах люльку с наклонными подвесками длиной / также заменяют приведенным маятником, длина которого /пр вычисляется по формуле
.	(1—(Лц/бх) tga)2 /cosa
'пр= йй	' ’
1---rrtga sina
б2
Вычисленные по уравнениям (7.64), (7.68), (7.71) координаты рц, рб, е и ул кузова, определяющие его поперечные угловые перемещения и смещение А центра тяжести [см. формулы (7.63) и (7.70)1, позволяют найти значение коэффициента поперечной устойчивости t] вагона против опрокидывания по формуле (7.58).
В случае оценки устойчивости от бокового опрокидывания грузового вагона, имеющую несущую раму большой длины (длиннобаз-ная платформа, транспортер), нагруженную сосредоточенным грузом большой массы и габаритных размеров, решающим часто может оказаться влияние крена груза за счет суммарной деформации рессор и кручения рамы.
Коэффициент запаса квазистатической устойчивости вагона опре деляется соотношениями
/Илп g S
КВ = МЙ/МОПР=^^Г>1,5+2,0,	(7.75)
где Му, Afonp — моменты сил, соответственно удерживающих вагон от опрокидывания и стремящихся его опрокинуть;
mgp, ,пк — масса вагона брутто и его кузова с грузом;
Н = mcp (v4R — ghp/2s) ± qF — горизонтальная боковая сила (инерционная, гравитационная и от давления ветра);
h, hp — высота центра массы и возвышение наружного рельса;
Д — боковое смещение центра массы при крене кузова с грузом вследствие деформации упругих опор, кручения рамы, зазоров между скользунами и др.;
v — скорость вагона;
R — радиус кривой.
Вычисляя углы крена и значение смещения А, получим mepg s
к =-----------------ZLJi---------------- (7.76)
। । тк & Нк-)~тк £(6о + оскР) Ац Я h	mKghn
Hhz	1
ОСKD —	9	)
Р 2GJK t mrpghz	'
2GJK
где г — база грузовой рамы;
GJK — жесткость рамы на кручение;
тГр — масса груза.
194
Следует иметь в виду, что Н имеет наибольшее значение при скорости v = 0, когда кривой путь имеет большое возвышение, поэтому и на этот случай должна производиться проверка устойчивости.
7.5. УСТОЙЧИВОСТЬ ВАГОНОВ В ПОЕЗДЕ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ
Действие продольных растягивающих сил. Значительные по величине продольные растягивающие силы, возникающие в составе тяжеловесного поезда, влияют как на прочность упряжных приборов и рам вагонов, так ина устойчивость против схода вагона с рельсов. На кривом участке пути вагоны в плане располагаются под углом друг к другу и возникающие горизонтальные составляющие продольных растягивающих сил N (рис. 7.9, а, б), направленные к центру кривой радиусом R, приводят к перегрузке внутреннего рельса и разгрузке наружного.
За критерий устойчивости вагона в этом случае следует принимать вертикальную реакцию /?д наружного рельса на колеса вагона, причем необходимо, чтобы соблюдалось условие
RA > 0.	(7.78)
Из условия равновесия вагона, находящегося на кривом участке пути, определим реакцию Rа наружного рельса
PA=(l/2s) [<2(5-йце) + РцЛц + Рвйв-Рг/1а1,	(7.79)
где	Q — вес вагона;
2s — расстояние между кругами катания колес колесной пары; Ап, Ав» fia — высота над уровнем головок рельсоз точек приложения сил соответственно Рц, Рв и Рг;
0 — крен вагона;
Рц» Рв — центробежная сила вагона и сила давления ветра;
Рг = 1радг— горизонтальная поперечная составляющая силы N в связи (% = LclR — угол в плане между продольными осями кузова вагона и автосцепки на кривом участке пути радиусом Р);
2LC — длина вагона по осям сцепления автосцепок.
Подставив в выражение (7.76) значения действующих сил и угла крена (без учета деформаций рессор), получим условие устойчивости в виде
«А=«/2)[1 + —±PBF	(7.80)
sg \R 2s / J	2s sP
где hp — возвышение наружного рельса над внутренним;
рв — давление ветра;
F — площадь боковой проекции вагона.
Из формулы (7.80) следует, что вагон обладает меньшей устойчивостью, когда отсутствует центробежная сила (v = 0), а сила давления ветра направлена внутрь кривой.
7*	195
Рис. 7.9. Схемы к расчету устойчивости вагона на кривом участке пути при действии в поезде продольных растягивающих сил
Если согласно критерию (7.78) оценить устойчивость полностью загруженного четырехосного полувагона, то оказывается, что при расчетных по нормам силах (Л7 < 2,5 МН) на кривой с максимальным возвышением рельса устойчивость обеспечивается полностью. Для порожнего четырехосного полувагона на той же кривой при давлении ветра ръ = 0,5 кПа устойчивость оказывается обеспеченной при 0,8 МН, а восьмиосного — при 1,8 МН; при отсутствии ветра — при /V 2,25 МН. На кривых участках без возвышения наружного рельса условия устойчивости обеспечиваются при значительно больших растягивающих продольных силах.
Проверка устойчивости колеса вагона против вкатывания на головку внутреннего рельса показывает, что опасность схода при нагружении вагона продольными растягивающими силами в случае исправных колес и рельсов практически отсутствует.
Действие продольных сжимающих сил. При движении по пути ломаного профиля, особенно во время торможения поезда с головного локомотива, в составе возникают значительные сжимающие усилия, достигающие 1—2,5 МН. Как показывают практика и расчеты, условия для обеспечения устойчивости вагонов в сжатом поезде значительно менее благоприятные.
Состав из вагонов с автосцепками представляет собой многозвенный шарнирно-стержневой механизм. Звенья такого механизма — вагоны и автосцепки — при действии растягивающих сил располагаются на одной прямой линии. Под действием сжимающих сил звенья стремятся перекоситься и для удержания их в соосном положении необходимы
196
поперечные связи, роль которых играют вагонные тележки с рессорами и колесными парами, взаимодействующими с рельсовой колеей.
Поскольку эти связи не жесткие, а упругие, то перекос звеньев наступает лишь тогда, когда сжимающие силы N достигнут некоторой критической величины NKp.
Эту величину можно вычислить из условия равновесия системы (вагонов в составе поезда на прямом пути) в состоянии перекоса под действием продольных сил /Укр и реакций поперечных упругих связей. Уравнение равновесия для перекошенного вагона, как показано на рис. 7.10, а, имеет вид:
2L2
SM = 0; 7VKpa2Li|31 + WKpa — ij>i—2Z2ci|)1 = 0	(7.81)
где ipj — угол поворота продольной оси вагона в плане;
2Z, 2L — соответственно база вагона и длина рамы между упорными плитами автосцепок;
с — жесткость упругих связей (рессор тележки);	j
а — длинз корпуса автосцепки.
Решив уравнение (7.81) относительно NKPa, получим
Л„ра = ------ — ~ •	<7-82)
Аналогично из условия равновесия вагона при перекосе под действием сил NКрб и получены выражения:
Z2
ZVKp б = о с; Акр в = с	,83)
Потеря устойчивости равновесия прямолинейной формы системы поезда как многозвенного механизма (аналогично задаче Эйлера для продольного изгиба упругих стержней) может происходить как в го-
22
Рис. 7.10. Расчетная схема состава поезда и перекосы ее элементов в плане при действии продольных сжимающих сил
197
Рис. 7.11. Схема перекоса вагонов в сжатом составе
ризонтальной, так и в вертикальной плоскости (рис. 7.11). Формулы (7.82) и (7.83) справедливы в обоих случаях, если в них вместо с подставлять сг для горизонтальной деформации рессор тележек или св для вертикальной.
Вычислив критические силы для грузовых вагонов, можно видеть, что они будут наименьшими при перекосе по схеме рис. 7.10, а, а при перекосе по схемам рис. 7.10, б, в соответственно в 2 и 7 раз больше. Следовательно, при расчете устойчивости вагонов необходимо в первую очередь рассматривать перекосы, соответствующие схеме рис. 7.10, а.
Критическая сила Мкра для четырехосного вагона на тележках ЦНИИ-ХЗ (сг = 9 МН/м, съ = 8 МН/м) составляет 3,6—4 МН, для восьмиосного вагона — 6,4—7 МН, т. е. значительно превосходит реально возникающие в эксплуатации силы. Следовательно, соосно расположенные на прямом участке пути вагоны не должны были бы перекашиваться под действием сжимающих сил величиной 1—2 МН. В действительности из-за наличия извилистого движения, зазоров в рессорных, буксовых и пятниковых узлах и по другим причинам вагоны на прямых и особенно на кривых участках пути движутся с некоторыми начальными перекосами. Начальные перекосы из-за свободных перемещений 26 шкворневых сечений вагона за счет зазоров в рельсовой колее, буксах и пятниках, достигающих 80 мм при среднеизношенных гребнях колес и подшипниках скольжения и 50 мм при подшипниках качения, на прямом участке пути приводят к отклонениям осей автосцепок от оси вагона на угол
1рао=(8/О(1 + Ш.	(7-84)
На кривом участке пути радиусом R (рис. 7.12) углы отклонения автосцепок с обоих концов вагона будут неодинаковыми:
'Фа1==4,ао4_7.с//?; Ч’а2=='Фао Lc/R.	(7.85)
При действии продольных сжимающих сил N перекосы будут увеличиваться за счет деформаций связей.
Из условия равновесия вагона в перекошенном состоянии под действием продольных сжимающих сил N при наличии также начальных перекосов в горизонтальной плоскости получим следующие рыражения для углов перекоса осей;
198
для прямого участка пути
£	1 Ч-L/a
7 1-^Кра
(7.86)
для кривого участка пути
I
фат,2= ~
Г 6
7	а
— A7^KPa . I
где
1 — М/Мкр а
1-Л'ЛУКрб 
Аналогично мсгут быть получены углы перекоса автосцепок и в вертикальной плоскости.
Перекосы вагонов и осей автосцепок приводят к появлению поперечных составляющих продольной сжимающей силы. Эти поперечные силы, приложенные к подпятникам тележек, создают в горизонтальном направлении боковые силы взаимодействия между колесами и рельсами, уменьшают нагрузку от кузова на тележку в вертикальном направлении и в результате приводят к снижению запаса устойчивости колес вагона против схода с рельсов.
Горизонтальные силы, приложенные к пятникам первой и второй тележек,, можно определить из выражения
N
Н^= 7----777----НбЬД2) (1_|_£/а) ± aLc/R].	(7.87)
1 —^/^тлр а
Если предположим, что в этой формуле R — оо, то получим силы Н для случая взаимодействия вагонов на прямом участке пути.
В случае когда разность Д/i высот осей автосцепок вагона и автосцепок соседних вагонов одинаковая с обоих его концов, сила ДРП, на ко-
Рис. 7.12. Схема установки вагона на кривом участке пути при действии сжимающих сил
199
торую уменьшается вертикальная нагрузка на подпятник тележки от . кузова, определится по формуле
ДЛ = 4*_____£1___
2а l-N/N^6
а при наличии разности АЛ только с одного конца вагона — по фор-
муле
(7.88)
ДА L
, N
Z7Vkh б
l+//L + 2TV/(2V;pB-2V) £2
1 \
К 1-^рв )
(7.89)
где Л7' б, Л7'—критические силы, соответствующие перекосам вагона по схемам рис. 7.10, б, в в вертикальной плоскости.
Действующие на вагон на прямом участке пути горизонтальные силы Нг и Н2 равны и противоположно направлены, поэтому при взаимодействии с тележками кузоз не получает бокового крена. При движении вагонов по кривым участкам пути горизонтальные силы взаимодействия всегда различны, причем сила Hlt соответствующая случаю, когда передняя тележка набегает на наружный рельс (установка /), всегда больше силы Н2. На рис. 7.12 положение вагона на кривом участке пути соответствует установке / при движении вправо и установке II при движении влево.
Разность сил Нг—Н2 кренит вагон наружу кривой, нагружая набегающие на наружный рельс колеса первой тележки к разгружая колеса второй тележки, набегающие на внутренний рельс. Таким образом, помимо вертикальных и горизонтальных сил, приложенных к подпятникам тележки, на надрессорную балку действует момент Мт в вертикальной поперечной к оси пути плоскости:
N Lc
----------а — (Аа-Ап), (7.90) * — 'ч^кр а Л
где Аа, Ап — высота над головкой рельса соответственно продольных осей автосцепок и плоскости пятника.
Зная приложенные к тележкам вертикальные Рп, горизонтальные НЪ2 силы и поперечные моменты Л1Т, определяют силы вертикального Рв (см. рис. 7.9, б) и бокового Рб воздействия набегающего колеса на наружный и внутренний рельсы. Действие этих сил в неблагоприятном случае может привести к вкатыванию колеса гребнем на головку рельса и сходу вагона. Это явление принято называть выжиманием.
Коэффициент запаса устойчивости ку вагона против выжимания можно вычислить по формуле
где Р — угол между образующей гребня колеса и горизонталью; р — коэффициент трения между колесом и рельсом.
200
В общем случае значения сил Рв и Pq должны определяться с учетом сил инерции, обусловленных колебаниями подрессоренных и неподрессоренных масс вагона. При низких скоростях движения (в этом случае только и имеет смысл проверять устойчивость вагонов против выжимания, так как продольные силы сжатия достигают наибольших значений) силами инерции ввиду их малости следует пренебречь.
Для случая движения вагона по кривому участку пути силы Рв и Р б следует вычислять для обеих установок вагона, так как трудно предвидеть, какая из них в конкретном случае окажется опасной. Известно только, что при установке I набегающее колесо вкатывается на наружный рельс, а при установке II — на внутренний, а сами эти установки в эксплуатации одинаково вероятны.
Для современных грузовых вагонов, в тележках которых нет жесткой поперечной связи между боковыми рамами в плане и приложенная к подпятнику горизонтальная сила практически распределяется на все колесные пары поровну, выражение коэффициента запаса устойчивости принимает вид
_ tg р—р Ку1-П 1+gtgP
N
X Рт+ 77--------7 К6 L//2) (1+L/q) Ап/Лц ± a Lc//?] Лц/s
________U —А / ^кра)________________________________
2N	(Г/	\/	L\	1 /	\
т -}- —	———- < I 6Z-/ /2 I 1 4-	1 ± аДс//? II —р, йц/2$ 1 Т
(1 — N/NKpa)	(,L\	Д	а 1	J \	/
ьс Йц —йп )
Та — ------------? ,
R 2s )
(7.92)
где Prt — Ртст — ДРП — вертикальная нагрузка от тележки на рельсы за вычетом ДРП.
В формуле (7.92) верхние знаки соответствуют ку1, а нижние — ку11. Остальные обозначения такие же, как выше при выводах.
Формулой (7.92) можно пользоваться при расчетах устойчивости от выжимания вагонов с любым числом осей, если рамы их тележек в плане нежесткие. Для тележек с жесткими рамами формула несколько изменяется.
При расчете вагона, у которого поперечная деформация рессор ограничена направляющими устройствами, формулу (7.92) также можно использовать, но в ней к величине свободного перемещения 5 нужно прибавить предельную величину поперечной упругой деформации рессор бу, а значение NKpa принять равным бесконечности. Значения коэффициентов запаса устойчивости ку существующих грузовых вагонов, вычисленные по формуле (7.92), представлены на графиках рис. 7.13 в функции силы сжатия N. Расчеты и опыты показывают, что безопасность движения вагонов в сжатом поезде можно считать обеспеченной, если значение ку, вычисленное по формуле (7.92), не менее 1,15—1,2.
201
Рис. 7.13. Зависимости коэффициента запаса устойчивости грузовых вагонов от величины сжимающих сил в поезде:
1,3 — для четырехосных вагонов; 2, 4 — для восьмиосных вагонов; 5, 6 — для двухосных вагонов соответственно в порожнем и груженом состоянии при разности уровней автосцепок Дй= =0,1 м; Г, 5' — соответственно для четырех- и двухосных порожних вагонов прн ДЛ=0
Согласно расчетам порожние четырехосные грузовые вагоны при силах сжатия 0,6—0,8 МН в кривых радиусом R С 250 м не имеют достаточного запаса устойчивости против схода с рельсов (к.. <Z 1,15), а полностью загруженные устойчивы даже при силах до 1,5 МН. Запас устойчивости восьмиосного вагона в порожнем и груженом состояниях обеспечивается и при вдвое больших по сравнению с четырехосным вагоном сжимающих силах.
При пользовании формулой (7.92) необходимо производить проверку на отсутствие защемления автосцепки
(стержень АВ на рис. 7.14) в окне передней розетки рамы вагона при повороте в плане.
Если защемление наступает при силе N, меньшей расчетной, то устойчивость по формуле (7.92) можно рассчитывать на действие силы, соответствующей началу защемления. При этом целесообразно проверить прочность хвостовика автосцепки на изгиб в горизонтальной плоскости. Поскольку при взаимодействии вагонов на кривом участке (Фа1 > Фаг) защемление наступает со стороны конца вагона, выступа
Рис. 7.14. Схема нагружения автосцепок при защемлении их вследствие перекоса вагонов в сжатом поезде
202
ющего на наружную сторону кривой, изгибающий момент Мп в сечении С будет
/Ии = Л^а2 (2а —Ь).
Соответственно напряжение в этом сечении хвостовика составит
Ntyasfta— Ь)
о- =	---- СИ,	(7.93)
где W — момент сопротивления изгибу хвостовика автосцепки.
В момент защемления фа1 — Фапред (где фаПр.зд—наибольший допускаемый конструкцией розетки предельный угол поворота), а фа2= = Фа пред — 2 L/R. Поэтому формула (7.93) может быть представлена в виде
р=У(Фапрел-^ад> (2а-6) <[(г]	(7 94)
Теоретические основы оценки устойчивости вагонов против выжимания проверялись опытами в поездах и неоднократно подтверждались в эксплуатации.
Учитывая, что процесс схода вагона с рельсов вследствие выжимания является относительно длительным, в расчет следует принимать только длительно действующие сжимающие силы. Такие силы возникают обычно при установившемся процессе торможения, особенно рекуперативного, когда замедление поезда создает головной локомотив. Эти силы практически в 1,5—2 раза меньше сжимающих сил, действующих при переходных режимах, когда силы реакций между вагонами носят характер ударных, кратковременных.
При проектировании необходимо проверять устойчивость вагонов против выжимания, принимая сжимающие силы равными 0,5 МН для порожних четырехосных вагонов и 1 МН для полностью загруженных четырехосных, а также порожних восьми -и шестиосных вагонов.
Поскольку в поездах массой 8—10 тыс. т при установившемся режиме торможения длительно действующие силы сжатия достигают 0,9—1 МН, безопасность движения возможна при использовании восьми- и шестиосных вагонов с любой степенью загрузки и четырехосных вагонов только полностью загруженных. Порожние и частично загруженные четырехосные вагоны должны эксплуатироваться в поездах практически вдвое меньшей массы и при ограничении суммарной силы рекуперации головных локомотивов до 0,5 МН.
При рассмотрении условий устойчивости вагона против выжимания полагалось, что поверхности хвостовика автосцепки и упорной плиты взаимодействуют как в идеальном шарнире, что обусловлено их конструкцией. Если торец хвостовика и упорную поверхность плиты выполнить, например, плоскими, то при их относительном повороте точка контакта перемещается на край площадки и возникающая ре
203
акция будет действовать на вагон эксцентрично. Появляющийся при этом момент сил реакции будет препятствовать перекосу вагона в плане, т. е. оказывать стабилизирующее действие.
Так, если поперечный размер стабилизирующей площадки 2&с принять из соотношения
2bc = 2L6//,
(7.95)
то теоретически исключается установка вагона с перекосом на прямом участке пути, а на кривом при действии сжимающей силы в поезде вагон будет занимать только хордовое положение.
Коэффициент запаса устойчивости будет одинаковым для обеих тележек и приближенно может быть получен из выражения
у 1 + н tg ₽
PTR Иц
NLC + s
2+g
PTR
NLC
(7.96)
Расчеты показывают, что применение в автосцепном устройстве стабилизирующего шарнира существенно повышает значение коэффициента запаса устойчивости вагона против выжимания. В перспективе вагоны будут оборудоваться автосцепками со стабилизирующими шарнирами.
Глава 8
ВИБРАЦИЯ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ ВАГОНА.
ШУМ В ПАССАЖИРСКИХ ВАГОНАХ. ВИБРОЗАЩИТА
И ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ
8.1.	ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОК
Продольные колебания происходят при деформациях растяжения-сжатия. Для вывода дифференциального уравнения продольных колебаний стержня воспользуемся схемой рис. 8.1, а. Пусть имеем стержень переменного сечения, на который действует продольная распределенная нагрузка qu (х, t). На расчетной схеме ось х направлена вдоль оси стержня. Перемещения любой точки стержня и (х, t) будем отсчитывать вдоль оси х. Стержень характеризуется следующими параметрами: F (х) — площадь поперечного сечения; Е — модуль упругости материала при растяжении; р — плотность материала. Мысленно вырежем из стержня малый элемент размером dx и запишем условия его равновесия, воспользовавшись принципом Даламбера. Согласно этому принципу отброшенные от элемента части необходимо заменить реакциями N и N + dN (рис. 8.1, б), приложить к нему силу инерции и внешнюю нагрузку, а затем записать уравнение равновесия элемента под действием указанных сил, т. е. сумму всех сил, спроектированных на ось х, необходимо приравнять нулю. Так как сила инерции будет равняться массе элемента pF (х) dx, умноженной на ус-корение а внешняя нагрузка будет равна qa (х, г), то уравнение Даламбера для выделенного элемента запишется в следующем виде:
, д*и
-\-N— N—dN + p F (х) dx — —qu (х, t) dx = Q,
ИЛИ
д2 и р F <X)~ZT dx = dN+яи (х, /) dx,	(8.1)
где dN — приращение продольной силы по длине элемента, равном dx.
Продольная сила может быть выражена через нормальные напряжения о следующим образом:
N = cF(x).	(8.2)
Согласно закону Гука нормальные напряжения при растяжении-сжатии с учетом упругого и неупругого сопротивления материала выражаются следующим образом:
205
где — _ — относительное удлинение материала;
d2u
---— скорость относительного удлинения;
dxdt
р,ы — коэффициент неупругого сопротивления материала при продольных колебаниях.
Подставляя выражение (8.3) в формулу (8.2), будем иметь
N=E F (х)
ди	d2u \
~ + Pw ,  I ex	dxdt ]
(8.4)
Дифференцируя выражение (8.4) по х, получим
ЛУ	д
—•— = Е---
ах	дх
F (х)
du
Эх
d2 и
+gw dxdt
ИЛИ
d Г	(du
dN = E — F (x) —— + gM dx [	\ dx
(8-5}
Далее, подставляя выражение (8.5) в уравнение (8.1) и сокращая все члены на dx, получим дифференциальное уравнение продольных колебаний неоднородного стержня в следующем виде:
д2 и Е d _ (du	d2 и \1	1
“772“ =----------7“ f	я — И--------77 . Яи (X, /). (8.6)
dt2 р F (х) dx L \ dx dx dt /J p F (x)
Произведя над выражением в квадратных скобках в уравнении (8.6) операцию дифференцирования по х, окончательно получим
d2u  Е d F (х) / du d2 и \
dt2 р F (х) dx \ dx dx dt /
_ z , ( д2 и	д3 и \1 ,	1
+f(х) ~^г+ни •	Н—(8-7)
\ dx2	d::2 dt ] J p F (x)
Дифференциальные уравнения (8.6) и (8.7) описывают процесс продольных колебаний в стержне переменного поперечного сечения F (х). Внутреннее неупругое сопротивление материала при колебаниях здесь принято пропорциональным скорости относительной деформации [см. формулу (8.3)] с коэффициентом пропорциональности (сопротивления) Ии-

Рис. 8.1. Расчетная схема для вывода дифференциального уравнения продольных колебаний балки (стержня)
206

Общее уравнение (8.7) приводится к более простому виду для случая стержня с постоянной площадью поперечного сечения. Если в уравнении (8.7) положить F (х) = F = const, то т—= 0, и уравнение (8.7) будет иметь вид
d2u dt2
Е ( д2 и	д3 и \ .	1
I д 9 4“ Л 9 Д/ i	(•*• > 0 »
р \ йх2	dx2 dt / р F
(8.8)
или в сокращенной операторной записи
д2 и Г д \ д2 и .	1	,
-——-=.а2 i +	— ——Ч--------~qu(x,t),	(8.9)
dt2.	\ dt J dx2 p F
где au — ~[/E/p — скорость упругой волны в материале стержня (скорость звука).
В математической физике часто встречается более простой вид уравнения (8.9). Если в нем положить qu (х, t) — 0 и ри = 0 (внутреннее трение не учитывается), то будем иметь классическое волновое уравнение (в математике оно носит название уравнения гиперболического типа).
d2 и	d2 и
-------— а2 ---------- dt2 и dx2
(8.10)
Дифференциальным уравнениям (8.7), (8.8) и (8.10) должны соответствовать граничные и начальные условия, определяющие единственное решение из множества возможных.
Рассмотрим процедуры нахождения этих решений. Для интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных используют методы сеток или методы прямых. При помощи метода сеток дифференциальные уравнения (8.7), (8.8) или (8.10) преобразуются в системы алгебраических уравнений относительно неизвестных иц в узлах сетки.
По методу прямых (8.7), (8.8) или (8.10) преобразуются в системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных Uj (t).
Рассмотрим преобразование дифференциального уравнения (8.7) по методу прямых в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого стержень разбивается на п точек (рис. 8.2, а). Расстояние между точками называется шагом сетки к. Затем в каждой точке с произвольным номером / частные производные представим в виде разностных выражений следующим образом:
	d Uj	1 —J_. = —(ц;+1_и;),	(8.11) dx	к
или	du j	1 & - 2k	<8 l2> ddF-'K^-F^	(813>
207
или
-^-=0,5k(Fj-+1-Fj_1).	(8.14)
дх
Выражения (8.11) и (8.13) носят название боковые разности, а (8.12) и (8.14) — центральные. В данных преобразованиях допустимо пользоваться и боковыми и центральными разностями. В теории разностного исчисления считается, что центральные разности дают более точные значения производных, чем боковые, однако в некоторых случаях мы будем ими пользоваться.
Представляем далее остальные производные по х разностными выражениями:
———— —---- (и j+i — U/-1)(8.15)
dxdt 2к 7+1	3 17
= ~^~ (uj-i—2ui+ui+iy^	(8-16>
(8.17) дх2 dt к? 3	3	3
В уравнениях (8.15) и (8.17) и, = Так как производные по х в данном случае заменены выражениями (8.11) — (8.17), то производная по t имеет смысл не частной, а производной от функции одной переменной. Подставив центральные разности из уравнений (8.12), (8.14)—(8.17) в исходное дифференциальное уравнение (8.7), получим для каждой точки с номером j обыкновенное дифференциальное уравнение
uj = ~ г	t(uj+i—к/-1) + Pu(«j+1 —«/-i)]} 4“
4p г j к2
+ А- (и;_г —2u7+uJ+1)+-^-	(ilj-i — 2й; + й;+1) +
К**	I*
+	(8.18)
pF;
где Fj — площадь поперечного сечения стержня для координаты х = k (j — 1).
Если имеем стержень постоянного поперечного сечения F (х) = == F—const, то = 0, и дифференциальное уравнение (8.7) принимает вид (8.8). Преобразование производных в нем по формулам (8.16) и (8.17) дает систему дифференциальных уравнений
—	(uj-i—2uj+uj+i) + Ци	(uj-i 2uj + uj+i)"b
pF
208
При отсутствии внутреннего трения в материале и распределенной нагрузки, т. е. при ри = 0 и qu (х, t) = 0, имеем дифференциальное уравнение (8.10) или аппроксимирующую систему следующего вида:
а2
“j =	(8.20)
Следовательно, при преобразовании дифференциальных уравнений в частных производных в системы обыкновенных дифференциальных уравнений исходная задача (8.7), преобразуется в уравнения (8.18), (8.8) — в выражения (8.19) и (8.10) — (8.20).
Рассмотрим граничные и начальные условия интегрирования. В данном случае граничные условия должны формироваться из условий динамического равновесия малого элемента стержня, расположенного на границе области. Под границей области подразумеваем сече-
j	X=K(j~l}^
I	2 ... j-f
Nn=O x,u(x,t)


2 ... J-/
(m+pFn')ul
N(t)+flun+cun.
N+dN
----(т+рЕк)й} +jiLij + CUj
Рис. 8.2. Расчетные схемы для вывода дифференциальных уравнений граничных узлов балки при продольных колебаниях:
а — балка со свободными концами; б — балка с одним неподвижным и другим подкрепленным концами; в — балка с одним неподвижным, другим свободным концами и подкреплением и массой пролете; г — расчетная схема равновесия подкрепленного узла
209
ния стержня (включая концевые), в которых происходят закрепления или приложены сосредоточенные силы. Сосредоточенные силы могут вызываться различными причинами. Это могут быть реакции упругого закрепления, инерционные силы от сосредоточенной массы, внешние, заданные нагрузки и т.п.
Рассмотрим граничные условия для стержня (F = const) со свободными концами, на котором отсутствуют закрепления, сосредоточенные массы и силы. Движения всех узловых сечений такого стержня, за исключением концевых, будут описываться системой дифференциальных уравнений (8.19) при qu = 0. Граничные условия должны быть записаны для концевых сечений с № 1 (левый конец) и п (правый конец). Рассмотрим уравнения равновесия узлов, расположенных в концевых сечениях. В статическом состоянии на свободном конце балки сила должна равняться нулю:
£FJLffi_=0	(8.21)
д х
ЕР-^-=0.	(8.22)
дх
При колебаниях на свободный конец будет передаваться инерционная нагрузка, равная рРки. Кроме того, внутренние силы будут зависеть как от относительного удлинения материала, так и от скорости относительного удлинения, т. е. будут равны
С учетом сказанного уравнения равновесия концевых узлов балки запишутся следующим образом:
р F к иг-\- (EF/к) [(«г — Щ)+М-и (4—«1)1 = 0;	(8.23)
р F кип — (ЕР/к) [(«п-i—“п)+рм («п-i— ип)]=0.	(8.24)
Преобразовав уравнения (8.23) и (8.24), получим два дифференциальных уравнения, описывающих движение свободных концевых узлов с № 1 и л.
«1 = (а«/к2)[(—^ + «2) "FHu (	(8.25)
ип = (аи/к2) [(ып-1—ип) + Pw (un-i —wn)j-	(8.26)
210
Полная система дифференциальных уравнений, описывающая колебания однородного незакрепленного стержня балки будет иметь вид:
Ui = (uw/к2) [(—«1+ u2) Н— Цы. (	«1 + и2) ,
и2 = (аи/к2) [ (иг— 2u2 + u3) + Ни (“1— 24 + «з)В
U3 — (°и/К2) [(и2 — 2u3 4~U4) -J- |1и (и2—2rz3—U4)J,
Uy =(йи//с2) l(Uj-i—2uj-}-Uj+1)-}-p,u (uj-i — 2uj-j-Uj+i)], un_1 = (a«/K2) [(«п-2—2«п-1+«п) + |Ак (un_2—2rzn-i+ «n)h Un — iflu!№) [(Un-l-Un) 4“ Hw (Un-1 -Wn)b
(8.27)
J
Начальные условия интегрирования системы (8.26) определяются начальными перемещениями и скоростями и (х, 0) и и (х, 0) в начальный момент времени t = 0. Эти векторы в каждом конкретном случае могут иметь различные значения. Например, балка в начальный момент времени была сдеформирована какой-то нагрузкой N (0) = Мо, а затем нагрузка была снята и балка совершала свободные затухающие колебания. Или балка могла двигаться (как твердое тело) с какой-то скоростью, а в начальный момент t = 0 эта скорость изменилась, и т.п.
Систему дифференциальных уравнений (8.27) можно записать в матрично-операторной форме.

(8.28)
где ц — вектор, компонентами которого являются ускорения расчетных уз-лов балки с № 1,2, 3, ..., /, .... п — 1, п;
и — вектор перемещении этих же узлов;
[Л] — квадратная матрица размером п X п следующего вида:
[Л] =
(8.29)
0,	0...........0,	1,	—2,	1,	0
0,	0,........  0,	0,	1,	—2,	1
0,	0,..........0,	0,	0,	1,-1
U = {ит, и2, U3,... , Un}T.
(8.30)
Рассмотрим другой случай граничных условий на концах балки. Пусть левый конец неподвижен (точка /, рис. 8.2, б), а на правом конце (точка п) закреплена масса т, действует внешняя продольная сила
211
N (/) и имеется упруго диссипативная связь с жесткостью с и коэффициентом неупругого сопротивления 0.
Граничные условия на закрепленном (левом) конце:
4г=0; Ui = 0; 4г = 0.	(8.30а)
Граничное условие на правом конце, как и в предыдущем случае, будет представлять дифференциальное уравнение равновесия узла с № и, при заданной нагрузке N (t), наложенной связи и закрепленной массе.
Для вывода дифференциального уравнения движения концевого узла запишем условие равновесия его под действием инерционных, внутренних и внешних сил и реакций
к (m+pFK) un-t-EF[ —— \ дх
Pu 'j-J- Р Ип~\~ сипN (t)—0. дх dt ]
Преобразовав уравнение (8.31), получим
ЕР (Г Л , ск V. , ип —	р \	)	- * + rr , Un +
(m-|-p F к) к	\ EF ]
Г. [ P к \ • ] N (t) к 1
+ )«» ]- EP )•
(8.31)
(8.32)
Следовательно, продольные колебания балки, изображенной на рис. 8.2, б, будут описываться следующей системой дифференциальных уравнений:
4j=0; 4i = 0; 4i = 0;
42 = (йи/к2) [( —2424-43) [-	(—242-|-4з)],
43= (Оы/к2) 1(42— 243-|-44) + |Ли (42 — 24-|-44)И
4П-1 = Ои//<2 1(4п_2—24п_1~}-4п)
4-ры (4П_2 —24п_1+ 4П)];
ЕЕ	if	/,	СК	А	1	I
ип —,	. с , Л I un-l —Р — гг 'Unl~
(zn-|-p F /с) к	Ц	\	EF	/	J
/ Р к \ • М (О к 1 + Ны ип-1 + 1 1 ~	рр	)ип	Fp	р
\	FE Pw	/	EF	J	J
(8.33)
Если балка имеет подкрепление не на конце, а в пролете (точка /) и в этой же точке закреплена масса т и действует внешняя продольная нагрузка N (/), то дифференциальное уравнение движения этого узла можно получить, как и в предыдущем случае, рассмотрев равновесие его под действием инерционных, внешних и внутренних сил и реакций подкрепления (рис. 8.2, г);
(m+pFK) Uj—EF\ -^~—Ьрц~д"2д. ] + Puj+c4j4-2V (/) =0.	(8.34)
\	О л (J I у
212
Преобразовав выражение (8.34), получим дифференциальное урав нение для узла балки с номером / (рис. 8.2, в) в следующем виде:
(Т /	с к \	.
“j = 7 ; 1 Ui~1~ 2 + се Ui +	+
(m-]-p F к) к	\	EF ]
( кВ	\ .	. 1	Л’ (/) к I
+ рм^-1-,2+-— Uj-uj+i--------------—  •	(8.35)
\ Ег |лм ]	J Er J
Таким образом, дифференциальные уравнения (математическая модель) продольных колебаний балки, расчетная схема которой дана на рис. 8.2, в, будет иметь следующий вид:
п1 = и1 = ц1 = 0;
и2~ (як/я2) [(— 2и2-{-и3Ци (—2и2-|-из)]> tz3= (flu/к2) [(u2—2u3 + u4) + |lim (й2—2п3Н-й4)];
EF (Г
IZ( и i-i }	(т-\-р F к) к ([
Г.	/ Р к
+ “j-i — I 2+
L	\	сг Ни
-24
с к
~ЁЁ
N (/) к EF
(8.36)
Un-1~ (Ом/к2) [(иП-2 2ип_!-|-ип) +	(иП-2 — 2,иП-1-\~иП )1>
ип — (ciulК2) [(ип------Un-1) (иП------------Wn-1)]-
Системы дифференциальных уравнений (8.33) и (8.36) могут быть записаны в матрично-операторной форме по типу (8.28).
Начальные условия интегрирования для систем (8.27), (8.33) и (8.36) определяются начальными перемещениями и скоростями расчетных узлов балки в момент времени t = 0. Начальные условия можно трактовать по-разному. Например, ненагруженная балка могла двигаться как твердое тело с одинаковой скоростью всех расчетных узлов и в момент времени t — Q скорость каких-то ее узлов изменилась. Это пример ударного взаимодействия балки с внешними преградами.
Другой, наиболее типичный, пример начальных условий можно предположить в следующем рассуждении: в начальный момент t =0 балка нагружена силой N (0) и находится в состоянии статического равновесия. Колебания происходят вследствие дальнейшего изменения этой силы N (/) во времени. Тогда начальными условиями задачи будут статические перемещения расчетных узлов балки под действием начальной силы N (0). При этом скорости и ускорения расчетных узлов надо положить равными нулю:
й=0; й = 0.	(8.37)
213
Так, для системы дифференциальных уравнений (8.33), описывающей колебания балки, изображенной на рис. 8.2, б, начальные условия с учетом (8.37) определяются из системы алгебраических уравнений следующего вида:
«х = 0;	)
— 2u2 -j-u3 = 0;
«2—2«3 + «4 = 0;
u3 — 2«4-{-«6 = 0;
Un—2—2un—i~hun — 0;
«n—i—(1 -|-c к/EF) uTl — N (0) k/EF.
(8.38)
Для системы дифференциальных уравнений (8.36), описывающей колебания балки, изображенной на рис. 8.2, в, начальные условия интегрирования с учетом выражений (8.37) определятся из уравнения следующего вида:
«1 = 0;
— 2«2 ’  «3 = 0;
«2—2tz3-J-«4 = 0;
uy_j — (2-}-сk/EF) Uj-\-Ujjrl = N (0) k/EF\
«n-г — 2« n_i -J- un =0;
«п-i—=0.
(8.39)
Начальные условия могут быть сформулированы и в более общем виде, когда скорости и ускорения расчетных узлов не равны нулю в начальный момент интегрирования t = 0. Например, можно предположить, что при t — 0
« = «;(0) и u = «j(0).	(8.40)
В этом случае выражения (8.40) надо подставить в системы дифференциальных уравнений (8.33) или (8.36) и из них определить (алгебраически) векторы начальных условий по перемещениям и; (0).
8.2. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Дифференциальные уравнения крутильных колебаний балок получаются так же, как и для продольных колебаний. Вводится система координат х, 0 (рис. 8.3, а). Рассматривается балка с параметрами J, Jр, G, р. Здесь J — момент инерции балки при повороте относительно оси х, отнесенный к ее длине; Jp—полярный момент инерции сечения балки; G — модуль упругости материала при сдвиге (модуль 214
Рис. 8.3. Расчетная схема для вывода дифференциального уравнения крутильных колебаний балки
упругости второго рода); р — плотность материала; 0 — угол поворота сечения относительно оси х.
Запишем условие динамического равновесия малого элемента стержня (рис. 8.3, б) под действием инерционного момента и крутящих моментов, компенсирующих действие отброшенных при вырезании частей. Слева будет действовать на элемент крутящий момент Л4е, справа Me + dMe. Исходя из принципа Даламбера к вырезанному элементу — 52й
необходимо приложить инерционный момент J ~ dx. Тогда уравнение Даламбера для рассмотренного элемента при его повороте относительно оси х будет иметь вид
J dx -----—dMn	(8.41)
5/2	6
В общем случае можно предположить, что инерционные и геометрические параметры балки зависят от координаты х, т. е. меняются по длине и, следовательно, J — J (х) и Jp = Jp (х).
Рассмотрим балку переменного поперечного сечения. Известно, что крутящий момент Л4е пропорционален относительному углу закручивания сечений:
Л2 А \
’ (8-42)
дх а дх dt /
где — коэффициент неупругого сопротивления материала при крутильных колебаниях.
Тогда
5МЙ d Mr. ==-— dx,
6 дх
или
5 Г	/56
d Mq = G Jp (x) f —- -}-° dx [	\ dx
d28
(8.43)
Подставляя выражение (8.43) в уравнение (8.41), получим дифференциальное уравнение крутильных колебаний балки с переменными по длине инерционными J(x) и жесткостными GJр (х) параметрами
526	1 д Г /56	526 V
5/2 ~ J (х) дх [С7р(ХЦ5х+Ие dxdt J.
(8.44)
215
На балку или какую-то его часть может действовать внешний распределенный крутящий момент qe (х, t). Тогда в правую часть дифференциального уравнения (8.44) добавляется член у-,— qQ (х, f).
J \х,
Сравнивая дифференциальные уравнения (8.6) и (8.44), описывающие продольные и крутильные колебания балок, видно, что они представляют один и тот же тип. Если в уравнении (8.44) положить J (х)= = J — const и Jp (х) = Jp — const, то получим дифференциальное уравнение крутильных колебаний однородной балки в следующем виде:
или
02 0 GJp / 02 0	03 0 \
0/2 J \ 0Х2	dX^dt )
02 0	/	0 \ 02 0
— ^А I 1 М'Н	»
0/2	0	‘ 0 dt J 0X2
(8.45)
(8.46)
где ае == Д/GJpU — скорость упругой волны при крутильных колебаниях.
Если рассматривать крутильные колебания круглых валов постоянного поперечного сечения, то для них можно считать, что
J — Jp р •
(8-47)
Следовательно, их колебания также будут описываться дифференциальными уравнениями (8.45) и (8.46). При этом скорость упругой волны с учетом выражения (8.47) будет
«е=у 4^-=ус/р-
Г Jp р
(8.48)
Решением дифференциального уравнения (8.46) будет функция 6 (х, £), которая должна удовлетворять начальным и граничным условиям
^0
/ = 0; 0 (х,/) =6 (х, 0); ------= ф(х, 0)	(8.49)
0/
х=0; 0 (х,/)=ф0 (0,/);—- =ф0 (0,/);
0Х
06	-
х=Ь; 0(х,/)=фв (&,/); — =фь(0,/);
00
х = 1; 0 (х,/)=ф1 (/,/)	= tyi (I, t),
(8.50)
где I — длина балки;
ф, ф — функции, выражающие значения перемещений и их производных в граничных точках х = 0, ..., х = Ь, ..., х — I.
216
F--er
O(x,t)
Рис. 8.4. Расчетная схема крутильных колебаний балки с подкреплением и массой в пролете
Граничные функции (8.50) определяются способом закрепления балки или наличием на границе сосредоточенных силовых факторов (моментов, вызванных упругими связями, инерционных или внешних моментов).
Начальные условия (8.49) определяются начальными деформациями или скоростями балки в момент времени t = 0. Как и в предыдущем случае, для анализа дифференциального уравнения (8.45) можно применить метод сеток либо метод прямых. Преобразование (8.46) по методу прямых даст следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
6?- =—[0;-1—26; + 6/+1 + Ре (0j-i—2 0?- + 0j+1)],	(8.51)
или в матричной форме
(l-l-jl 4г) [Л]?,	(8.52)
к2 \ dt ]
где к — шаг сетки по координате х;
[Л] — квадратная матрица, определяемая выражением (8.29) для стержня со свободными концами.
Системой дифференциальных уравнений (8.51) описываются крутильные колебания балки в узлах с произвольным номером /, в которых отсутствуют сосредоточенные моменты. Если в каком-то узле балки действует сосредоточенный момент, то дифференциальное уравнение для этого узла составляется с учетом действия этого момента. Например, если в каком-то узле с № /, действует внешний момент Л4е (t), закреплена масса, имеющая момент инерции J относительно оси х и узел связан упруго-диссипативным элементом с неподвижной точкой пространства (рис. 8.4), то дифференциальное уравнение равновесия этого узла на основе принципа Даламбера запишется так
— д2 0
(J /с-J- J) + 00 0j+ Cq 0j — d	(/) =0,	(8.53)
где J — распределенный момент инерции балки относительно оси х;
J — момент инерции сосредоточенной массы, закрепленной в узле, относительно оси х;
ре — коэффициент неупругого сопротивления связи;
се— угловая жесткость упругой связи;
7Ие(/) — внешний крутящий момент, приложенный в узле с № j.
217
Если балка имеет постоянные геометрические характеристики сечений по ее длине, то dM$ в уравнении (8.53) будет представлено соотношением (8.43) в следующем виде: если GJP = const, то
/ д20 d Mg = G Jp I
\ d x2
\
pfl------------- к.
d x2 dt )
(8.54)
Представляя производные по x в (8.54) разностными выражениями и подставляя его в уравнение (8.53), получим
(8.55)
Сравнивая полученное дифференциальное уравнение (8.55), описывающее движение (угловое) граничного узла при крутильных колебаниях стержня, с дифференциальным уравнением (8.35), которым описывается движение граничного узла при продольных колебаниях, видим, что по структуре они совершенно идентичны. Опуская промежуточные выкладки, запишем по аналогии с уравнением (8.32) дифференциальное уравнение движения граничного узла с j для случая, когда он расположен на конце стержня и на него действуют упомянутые силовые факторы, в следующем виде:
Ре к
GJp Pg
0;
M(t)
J K“-J— J
+ Ме
(8.56)
Таким образом, при крутильных колебаниях балки динамические перемещения ее узлов могут быть описаны дифференциальными уравнениями (8.51), (8.55) или (8.56). Для случая более простых граничных условий по аналогии с рассмотренными продольными колебаниями можно записать следующее: если балка на конце имеет жесткую заделку, то 0П = 0 и 0П — 0; если балка имеет свободный конец, то
 • -
6?; = 	• [(6/L-1----6n) + Р-0 (бп-1-------6п )]•
(8.56а)
Начальные условия интегрирования 0 (х, 0) определяются также —>	—>
из уравнений динамики (8.51), (8.55) и (8.56), которые при 6 = 0 и 0 превращаются в уравнения статического равновесия. Уравнения статического равновесия узлов стержня могут быть получены в виде (8.38) или (8.39), где надо заменить переменные и на 0, а также EF на GJр, N (х, 0) на Mq (х, 0).
218
8.3. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОК
При выводе дифференциального уравнения поперечных колебаний балок будем полагать, что все точки балки перемещаются только в поперечном направлении w (рис. 8.5, а). Балка в этом направлении нагружена распределенной нагрузкой от собственного веса pgF и внешней распределенной нагрузкой q (х, f).
Рассмотрим равновесие вырезанного из балки малого элемента размером dx, воспользовавшись принципом Даламбера (рис. 8.5,6). На вырезанный элемент действуют реактивные моменты М и М + dM, силы Q и Q + dQ, сила инерции pF (х) dx сила веса pgF (х) dx и сила от распределенной нагрузки, равная q (х, t) dx.
В данном случае F (х) или F — это переменная по длине или постоянная (или осредненная) площадь поперечного сечения балки. Проектируя силы, действующие на элемент, на ось w, получим
д- w
р F (х) dx----\-dQ—pgF (x) dx — q (x, t) dx = 0.	(8.57)
d t2
Зная, что поперечная сила Q равна производной по х от изгибающего момента, т. е.
находим
Подставляя выражение (8.59) в уравнение (8.57), получим уравнение поперечных колебаний балки при изгибе в следующем виде:


^M+d/i
J
Q+dQ
[pgFfal+q/x.tjJdk
Рис. 8.5. Расчетная схема для вывода дифференциального уравнения изгибных колебаний балки
219
Изгибающий момент М в уравнении (8.60) можно выразить через перемещения следующим образом:
/ д2 w	д3 w \
M = EJ (х) ------Ч-gw------- ' ,	(8.61)
7 \ дх2	dx2dt )	’
где Е — модуль упругости первого рода;
j (х) — момент инерции сечения балки (в общем случае он может зависеть от координаты х);
ц. — коэффициент неупругого сопротивления материала при изгибных колебаниях.
Таким образом, система уравнений (8.60) и (8.61) есть математическая модель изгибных колебаний балки переменного сечения. Эту систему иногда приводят к одному дифференциальному уравнению подстановкой уравнения (8.61) в (8.60):
д2 w	Е	д2 Г	( d2vu	д3 w XT	.
dt2	pF(x)	дх2 L	\ дх2	dx2dt /]
4---?(х,/).	(8.62)
pF(x)
Если в уравнениях (8.60) и (8.61) положить F (х) = F = const и j (х) = J = const, т. е. если рассмотреть изгибные колебания балки постоянного поперечного сечения, то имеем:
д2 w	1	д2 М
dt2	pF	дх2
/ d2w
M = EJ (	Ч- Pw
\ дх2
т----у- Я(*> t);
pF
д3 w \
дх2 dt
(8.63)
(8.64)
В этом случае дифференциальное уравнение (8.62) преобразуется к виду
д2 w	/	d5(o	\	,	1	,
	= £ —	Ч- Piv	 4-Я (х> 0 »	(8.65) д'2---------------------------------------------------ё w\	дх*-dx*dt	) pF
/~ЁТ
--- — фазовая скорость упругой волны при изгибных колеба-РР
НИЯХ.
Дифференциальное уравнение (8.65) может быть записано в сокращенном операторном виде
Л2 m	[	д \ W ,	1
+	+	(8.66)
При изучении изгибных колебаний балок могут быть использованы оба способа представления дифференциальных уравнений равновесия, т. е. в форме (8.60), (8.61) или в частном случае (8.63), (8.64) либо в виде (8.62) или (8.65). В первом случае решениями являются две функции w (х, t) и М (х, t), во втором — одна w (х, /).
220
Так как задача об изгибных колебаниях балки рассматривается для заданных начальных и граничных условий, то получаемые решения w (х, t) и М (х, t) должны удовлетворять этим условиям. Для решения дифференциальных уравнений изгибных колебаний балок обычно применяют либо методы сеток, либо метод прямых. В первом случае дифференциальные уравнения в частных производных, преобразуются в системы алгебраических уравнений относительно перемещений и изгибающих моментов в узлах сеток, во-втором случае приходим к системам обыкновенных дифференциальных уравнений относительно этих же неизвестных.
Например, преобразование систем (8.63) и (8.64) по методу прямых даст для произвольного узла сетки с № / следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
1	р
wi = S----7Г—	(8-67)
р Г К*1	л
Mj= (EJ/к2) [(да;-!—2wj4-wJ+1) 4-|Xlo	+^j+i)L	(8.68)
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (8.67) и (8.68) описывает движение расчетных узлов, в которых нет закреплений и отсутствуют сосредоточенные силы и моменты. Узлы, в которых имеются закрепления и сосредоточенные силовые факторы, будем называть граничными.
Дифференциальные уравнения движения граничных узлов можно получить, рассмотрев равновесие малого элемента балки длиной к. Пусть в некотором узле балки с № / закреплена масса т, имеется упруговязкая опора с жесткостью с и коэффициентом неупругого сопротивления р, а также приложены внешняя сила R (t) и изгибающий момент М (t) (рис. 8.6, а).
Балка нагружена также внешней распределенной нагрузкой q (х, t) и распределенной нагрузкой от собственного pgF. Заменим действие сосредоточенного момента М (t) парой сил RM = M(t)/K, действующих на плече к в узлах с № j и j + 1 (рис. 8.6, б).
На основе принципа Даламбера уравнение динамического равновесия вырезанной части балки размером к, прилегающей к граничному узлу / (рис. 8.6, в), будет иметь вид
(ш4р F к) Wj-\-d Q4- Р Wj-\-cWj — R(t)—mg—pgFK—кд(х, t)—/?м — 0,	(8-69)
где
(8.70)
(8.71)
221
,	/ д2 w
M = EJ	—— 4- Цы
\ дх2
д3и> \
дх2 dt /
Преобразовывая уравнение (8.69) с учетом выражений (8.70), получим систему дифференциальных уравнений для перемещений w и изгибающих моментов М в граничном узле в следующем виде:
wj= ~ 7—. 1 р"\ < Iм j-*—2Л1>+ж>+11 + м (*) + Р KWi+ (/n-J-p F к) к
-У-CKWj — kR (/)—к mg—р g F № — к2 q (х, f)};	(8.72)
EJ
Mj= —— [(^j-i—2^j+^j+i) + Pw (wj-i—2wj+wj+1)].	(8.73)
Если граничный узел расположен на левом или правом конце балки, то для него можно получить аналогичную (8.72) и (8.73) систему дифференциальных уравнений, рассмотрев равновесие концевого узла, к которому прилегает часть балки длиной к/2. Так, если на левом конце балки (узел /) имеется опора и действуют упомянутые силовые
ГП7ТТПШГГГП1ТТтШШГх'г;
I R(t)	9
—1 ~ -U-------.	ё2—•-------•-----• г-
2 ...	. J-I
С -г J3	7 у
 f? ^ft) I	к ♦ /?
j-1	J J+f

Рис. 8.6. Расчетная схема изгибных колебаний балки с подкреплением, закрепленной массой, сосредоточенной силой и моментом в пролете и схема динамического равновесия расчетного узла
222
Рис. 8.7. Расчетная схема и схема динамического равновесия концевого сечения балки при изгибных колебаниях
h-?2
факторы (рис. 8.7, а), то система дифференциальных уравнений для перемещений и изгибающих моментов примет вид
Wl= —
—Ml)— М (0 + ркьУх+ски?! —
— —------—
-l-[<7 (х, /)] к2/2—к mg
М^-МЦ).
(8-74)
Так как момент М (t) был заменен парой сил, действующих в точках 1 и 2 (рис. 8.7, б), то сила #м также войдет в дифференциальное уравнение равновесия узла 2 с соответствующим знаком:
w2=  -------[(Ml—2М2+М3) + М(0— pgFK2-(8.75)
р F к2
Анализируя систему (8.72) и (8.73), можно заметить, что если в ней положить т = О, Р = 0, с = О, R (t) = 0 и М (t) = С, то получим систему (8.67) и (8.68), которой описываются движения всех остальных узлов балки, или, как говорят, узлов, не принадлежащих границам. Если то же самое предположить для левой опоры (узел /, 223
см. рис. 8.7), то получим условие для свободного конца колеблющейся балки:
2 г р g F к2	)
Мх=0 и Wl=-------——- М2 —------------+Р7(х,/)]к2/2 .	(8.76)
р F к2 [	2	J
На практике могут встречаться и более простые условия закрепления балок, например жесткая шарнирная опора или жесткая заделка. В этом случае граничные условия выражают равенство нулю перемещения и изгибающего момента на опоре или равенство нулю перемещения и угла поворота сечения:
w-О и Л4 = 0 для шарнирной опоры	(8.77)
И
д w
w~0 и -----= 0 для жесткой заделки.	(8.78)
дх
Часто возникают задачи расчета изгибных колебаний балок под действием как вертикальных, так и продольных нагрузок (возмущений). В этом случае балка испытывает изгиб и растяжение-сжатие. Рассмотрим дифференциальные уравнения таких колебаний. Расчетная схема балки, нагруженной продольной силой N (/) и поперечной q (х, t), распределенной по длине, приведена на рис. 8.8, а. Предположим, что балка имеет постоянное по длине поперечное сечение, т. е. F (х) — F — const и J (х) = J = const. Дифференциальные уравнения изгибных и продольных колебаний получим, рассмотрев
Рис. 8.8. Расчетная схема для вывода дифференциального уравнения продольно-изгибных колебаний балки
224
равновесие малого элемента балки (рис. 8.8, б). Спроектировав все силы на оси w и х, получим:
d2 w
р F-----dx-^-d Q—pg F dx—q (x, t) dx=O;	(8.79)
d t2
д2 и
p F------dx — d ’ N = 0.
H di2
(8.80)
При действии на балку продольной силы TV (t) изгибающий момент в произвольном сечении с координатой х будет определяться, как и ранее, через деформации и, кроме того, через продольную силу, действующую на плече ш. Преобразовав уравнения (8.79) и (8.80) и записав значение изгибающего момента, получим дифференциальные уравнения изгибных и продольных колебаний балки в следующем
виде:	d2 w	1	d2 М	.	1 я ,2	-g	-р , 2	I	р	ty	(8.81) d t2	pF	dx2	pF / d2w	d?w \ M-EJ\	+^(0^;	(8.82) \ dx2	dx2 dt j d2 и	/ d2 и	d2 и \ — a?,	)»	(8.83) dt2	u \ dx2 • dx2 dt )
где Ии — коэффициенты неупругого сопротивления материала при изгибных и продольных колебаниях;
au=~l/E/p — скорость упругой волны при продольных колебаниях балки.
Продольная сила N (t) входит в уравнение (8.82), которым описывается изгибающий момент. Уравнение продольных колебаний (8.83) будет содержать силу N (t) только в граничных узлах, как это было показано ранее в уравнении (8.35).
Разностная аппроксимация производных по координате х в уравнениях (8.81)—(8.83) даст следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
^•-Я--у^^(Л1;-1-2М7+М;+1)+-^г9[к(/-1), /];	(8.84)
# (О к2 \
~ EJ )
Mj=~—	— i 2
к2	\
Wj+Wj+1 — Pto (wj-r—2wj + wj+1);
(8.85)
Uj —	Auj-i—2uj4~Wj+1)-|-pu (uj-i—(8.86)
Дифференциальными уравнениями (8.81)—(8.86) описываются из-гибные и продольные колебания «гладких» участков балки, в которых нет закреплений и сосредоточенных сил. Для сечений балки, в которых имеются закрепления или действуют сосредоточенные силы (для гра-8 Зак. 557	2 25
ничных сечений) могут быть записаны дифференциальные уравнения типа (8.39) для продольных колебаний и (8.73) для изгибных.
Начальные условия интегрирования представляют собой векторы перемещений, скоростей и ускорений всех точек балки в начальный момент времени t = 0.
Если предположить, что в начальный момент времени t = 0 балка находилась в покое (состоянии статического равновесия), то —>	—>
в этом случае очевидно, что векторы скоростей w и ускорений w должны равняться нулю. Тогда, положив в уравнениях (8.67), (8.68) и (8.72), (8.73) w = 0 и w — 0, получим алгебраические уравнения, выражающие условия статического равновесия балки под действием внешних нагрузок q (х, 0), R (0) и М (0) и имеющие заданные закрепления. Из этих уравнений и определятся начальные условия интегрирования: w (х, 0) и М (х, 0).'
Пусть имеется шарнирно опертая балка (рис. 8.9), нагруженная сосредоточенной нагрузкой R (t), моментом М (f) и распределенной нагрузкой q (F, t). В точке действия силы R (0 закреплена масса и находится опора с жесткостью с и коэффициентом неупругого сопротивления р.
Разобьем балку на (п — 1) равных участков длиной к, т. е. представим координату х, изменяющуюся дискретно с шагом к (шагом сетки). Границы участков (узлы сетки) пронумеруем от 1 до п. Для шарнирно опертой балки граничные условия по концам, очевидно, будут выражать равенство нулю перемещений и изгибающих моментов:
к>] = 0; Af! = O и шп = 0; Мп=0.	(8.87)
Запишем дифференциальные уравнения поперечных колебаний балки под действием заданных нагрузок. Для этого воспользуемся полученными ранее дифференциальными уравнениями равновесия (8.67) и (8.68) для гладких участков балки (все узлы, кроме 1, j и п), уравнениями (8.72) и (8.73) для узла /, в котором имеется подкрепление, сосредоточенная масса т, действуют сосредоточенная сила R (f) и
Рис. 8.9. Расчетная схема изгибных колебаний шарнирно опертой балки с подкреплением и массой в пролете под действием силы и момента M(t)
226
изгибающий момент М (t), и краевыми условиями шарнирного опирания (8.87) для узлов 1 и п:
w2=g— --2М2ч м3)4-—(О;
р g F к2	р г
ws=g-—— (м2-2/и3+м4)+—7“ (О;
р g F к2	р F
w.=g-—(М3-2м44-м5)4--^—<?4(0;
р g F к2	р г
й} = -/ , ё С~	+	(П4-₽кш;- +
J (т-/рРк)к
+ ск Wj—кР (t)—Kmg—pgFK2 — K2qj (/)];
^7+i=g~~'ё o' [(Mj—2Af;+1 + Mj-+2)+M (0—K2g;+i (/)]; р rKz
(8.88)
wn-2—g— —— (Мп-ъ — 2Мп-2-^-Мп-1) +	_ 7п-г(^)1
р F к2	р г
-	g	1
Wn-y=g— ё~Т (^п-1—2/Ип)-Ь	~ Qn-i (t)>
р F №	р F	j
где q2(t),..., qn-ift) —значения распределенной нагрузки в узлах (в общем случае эта нагрузка может быть переменной во времени).
Значения изгибающих моментов в расчетных узлах выразится через перемещения. Так, с учетом выражений (8.87) имеем:
Му — 0;	= 0;
M2=(EJ/k.2) [(—2u!24-u>3) +uw(—2sy2+te>g)];
M3 = (EJ/k2) [(oy2 —2ny3 + t04) 4-pl(? (^2 —2™3+^4)];
Mj= (EJ/к2)	2^4-о>/+1)	(k^j-i—2^- + ^+i)];	zg ,
Mj+1 = (EJ/к2) [wj—2wj+1-lrWj+2') (wj—2i£!j+1+ie?;+2)];
ЛТп—2= (-g*^/к2) ((^п-з—2twn_24-tt>n—i) 4" РыХ^п-з—2а>ц_2-Г-14>п_1)],
Мп—у ~ (EJ/k2) [(tWn—2—2к)п_j ) -|- pty (wn-2—2wn-i)]>
Mn = 0; wn = 0.	)
Система связанных дифференциальных уравнений (8.88) и (8.89) с граничными условиями (8.87) описывает поперечные колебания расчетных узлов балки при заданных внешних возмущениях и способе опирания по концам.
Интегрирование системы (8.88) и (8.89) может быть проведено численными методами для обыкновенных дифференциальных уравнений. 8*	227
Для этого надо знать начальные условия интегрирования. Как уже упоминалось, начальные условия представляют векторы узловых перемещений, скоростей и изгибающих моментов при t = 0. Если предположить, что балка в начальный момент времени t = 0 находилась в состоянии статического равновесия, то при этом очевидно, что векторы скоростей и ускорений расчетных узлов должны равняться нулю:
о»=0 и к/ = 0.	(8.90)
Условия (8.90) являются условиями статического равновесия любой конструкции. Подставив (8.90) в (8.88) и (8.89), получим систему алгебраических уравнений относительно М. и w следующего вида:
Л41 = 0;	•	)
— 2M2+M3--=(pgF+g2) к2;
М2—2M3+7W4=(pgF+<73) к2;
M3-2M4+M5 = (pgF-H4) к2;
2Л1; + Л4;+1 = (р£^4-<7;) № 4- к mg + к R (0)—+ М (0);
Mj—(р g F4-7j+i) к2:
Мп-з—2Мп-2 4-Л1п-1 = (Р^ F+<7n-2) к2;
Мп_2—2Мп-г = (р g F-\-qn^) к2-, Мп=0.
С учетом выражений (8.90) система (8.89) примет вид:
М,к2 — 0;
Л1;+1№ ws-2wj+l + wj+i —---—----= 0;
(8.91)
(8.92)
ton = O.
228
В выражении (8.91) R (0) — значение внешней сосредоточенной силы при t = 0, в (8.92) М (0) — значение внешнего сосредоточенного момента при t = 0. Уравнения (8.91) и (8.92) можно представить:
[Л]Х = (2,	(8.92а)
где ~Х — {Л42; Л13; М4; ...; Мп^; w2; w3; w4, ...; a>n-i} — смешанный вектор, компонентами которого являются значения изгибающих моментов и перемещений в расчетных узлах балки;
5= {(PS F + Qi)	(pgP + Яз)^ • • •; [(Pg^+^j) t^^Kmg + R (0)];
Mj (0)№ (PgP^Qj+1)^ •  •; (PgF+Qn-i)*2; 0; 0; 0; . .	; 0; . . .; 0};
q2; q3~, . . .; aj; qj+i,qn-i — значение распределенной нагрузки в узлах при t = 0;
[Л] — квадратная матрица:
И] =
—2	1	0
1	—2	1
0	1	—2
0	0
0	0
0	0	...	0
0	.	,	.	.	0
10.	.00
1—2	1	.	ск 0
О 1—2	1	00
(8.93)
0	1—21.
.	0	1—21
0.01—2
Решая на ЭВМ систему уравнений (8.92 а), получим компоненты вектора X, т. е. ТИ2; М3; М4; ...; Мп-.г; w2; w3; w4; ...; wn-4 для t — 0. Таким образом определяются начальные условия интегрирования. По существу в задачах динамики начальные условия интегрирования являются статическими перемещениями и внутренними усилиями в конструкциях. Статическое напряженно-деформированное состояние является частным случаем динамического состояния, так как описыва-—>	—>
ется уравнениями динамики при w — 0 и w = 0.
Рассмотрим случай колебаний балки под действием вертикальных нагрузок q (х, t), R (t), внешнего изгибающего момента М (t) и продольной силы N (0 (рис. 8.10). Под действием таких нагрузок балка 229
Рис. 8.10. Расчетная схема продольно-изгибных колебаний шарнирно опертой по концам балки с подкреплением и массой в пролете под действием поперечной силы /? (0, момента М (/) и продольной силы N (t)

т	N (о)-const
Рис. 8.11. Расчетная схема определения начальной упругой линии балки (начальных условий интегрирования)
будет совершать изгибные и продольные колебания, которые описываются дифференциальными уравнениями (8.81) — (8.83) или их разностным аналогом — системой обыкновенных дифференциальных уравнений (8.84)—(8.86). Напишем эту систему обыкновенных дифференциальных уравнений для п расчетных узлов балки (рис. 8.11).
Изгибные колебания: граничные условия на левой и правой опорах:
А41 = 0; и>! = 0;	wx = Q;	=	(8.94)
Мп = 0; wn=0;	wn—0;	wn = 0.	(8.95):
Перемещения узлов 2,	(п — 1)	будут	описываться	системой
^2==g~^F^ (-27И2+Л13) + -^?2;
™=g~^F~^ (M2-27W3+^4) + -~r-93;
— 7— (-Mb-!+Mj) + —у
Wj=- / --- [(Mj.r-^Mj+Mj^-M (t) + ^KWj + (m-\-p F к) к
-\-CKWj — K.R(t)—Ktng—p g F к2—к2 qj];
^+i=g—7T [(М,—2MJ+14-Mj+2) +m (014-77- ?;+i;
p F к2	pF
230
1
1
Wn-2 = g—^-T рг К2
1 Wn-l=g— „ „ р F к2
(Л4п-з—2/Hn_24-Aln_i) +	?n-2‘>
р г
1
(Мп_2 — 2/Игг_т)Ц—	Qn-i-
р ?
M2 = (EJ/k2)
—12
M3=(EJ/k2)\ w2
N (Q к2
FJ
N (Q к2
FJ
^•2+^3
l®3 W4 . P W (^2 
Wi-2
N (0 к2
EJ
Wj.
Mj--_ = (EJ /к2)
’j-2 —2^r
M}=(EJ/k2)
Wj-!
N (/) к2 EJ
(8.97)
+ Hw (wj-i—2wj
N (0 к2
EJ
+ l^w (&j — 2u7+14-t0j+2)}:
Mn-i=(EJ/к2) ] wn_2 —
N (/) к2
EJ
+	(wn-2
1
Продольные колебания (граничные условия на левом конце балки) Wi == Ui = и1 = 0.
Дифференциальные уравнения перемещений узлов 2, (п— 1):
и2 —	к2) 1( — 2u2+W3) + Ни (—2«2—&з/1>
и3=(а«/к2) [(u2“2u3+u4)+pM (й2—2«3+и4)]; и4=(а«/к2) [(и3—2u44-u5) +	(u3 — 2Й4—{—fz5)],

Uj-r = (au!K2} I(uj-2—2u7-_1-|-Uj) + !au —2uj--_-\- Uj}}\
UJ= FJ
у F к
и+—
J-2
I (Wj-i — 2uj+Mj+i) + Hu (uj-к
(8.99)
231
Uj+i — (аи/к2) [(Uy—2iZj+1-J-Uj+2) +|Au (uj— 2и7-+1-|-ил-2)];
un-i— (аи/к2) ((un-2—%un-i + un) -Ьр-w (wn-2—2lZn_j-|-Mn)],
ип = (а%/к2) l(un-i—Wn)+|Au (un-i —tin)]-~— N (0-
p F к
Из последнего уравнения системы (8.99) видно, что если в нем положить продольную силу N (/) = 0, то получим граничное условие для свободного конца балки при продольных колебаниях.
Однако Математическая модель продольно-изгибных колебаний балки (8.81) — (8.83) и ее разностный аналог—система обыкновенных дифференциальных уравнений (8.84)—(8.86) — построены при допущении, что при описании продольных колебаний не учитывалось продольное смещение сечений балки, вызванное поперечным изгибом. С учетом поперечного изгиба полное продольное смещение любого сечения с координатой х будет
~	1 р / д w \2
dx' (8Л00) или
~	1 ул
ui « «/+“7" X (^j+i—“’j)2.	(8-101)
ЛК 1
однако такое уточнение модели увеличит ее громоздкость и трудности расчетов, так как при выводе дифференциальных уравнений равновесия необходимо будет учитывать соотношения (8.100) и (8.101).
Таким образом, системы дифференциальных уравнений (8.96) и (8.97) с граничными условиями (8.94) и (8.95) и (8.99) с граничными условиями (8.98) представляют математическую модель продольно-изгибных колебаний балки, изображенной на рис. 8.10. Начальные условия интегрирования определяют перемещения, скорости и ускорения расчетных узлов в поперечном и продольном направлениях в момент времени t = С. Если предположить, что в момент t = 0 балка находилась в состоянии статического равновесия под действием внешних нагрузок q (х, 0), R (0), М (0) и N (0), то условиями статического равновесия должны быть:
и> = 0; й)=0	(8.102)
И
и = 0; й"=0.	(8.103)
Подставив выражения (8.102) в уравнения (8.96) и (8.97) и выражения (8.103) в уравнения (8.99), получим системы алгебраических уравнений относительно начальных перемещений узлов балки в момент времени t = 0. 232
233
[В] =
b	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
1	ь	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
0	1	ь	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
0	0	1	ь	1	0	0	0	0	0	0	СК	0	0	0	0	
0	0	0	1	ь	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	1	ь	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	
0	0	0	0	0	1	ь	1	0	0	0	0	0	0	0	0	
к2 ~ EJ	0	0	0	0	0	0	1	ь	I	0	0	0	0	0	0	
0	к2 ~ EJ	0 .	0	0	0	0	0	1	ь	1	0	0	0	0	0	(8.104)
0	0	—	к2 EJ	0	0	0	0	0	0	1	ь	1	0	0	0	0	
0	0	0	к2 ~~ еГ	0	0	0	0	0	0	1	ь	1	0	0	0	
0	0	0	0	к2 ~~~ЁГ	0	0	0	0	0	0	1	ь	1	0	0	
0	0	0	0	0	к2 ~~ EJ	0	0	0	0	0	0	1	ь	1	0	
0	0	0	0	0	0	к2 “ EJ	0	0	0	0	0	0	1	ь	1	
0	0	0	0	0	0	0	к2 ~~ЁГ	0	0	0	0	0	0	1	ь	
Так система дифференциальных уравнений (8.96) и (8.97) преобразуется в алгебраическую типа (8.92), т. е.
(8.105)
где [В]—матрица, которая будет иметь видаем, с. 233)
г N (0) к2 &=-2-—----------- .	(8.106)
При этом компоненты векторов X и Q будут те же, что и в уравнениях (8.92). Разрешив это уравнение относительно X, т. е. определив
X = [B]-iQ,	(8.107)
—> найдем значения перемещений wj (0) и изгибающих моментов М}- (0) при t — 0. С найденными по уравнению (8.107) начальными условиями производится интегрирование системы дифференциальных уравнений (8.96) и (8.97) на заданном отрезке времени [Zo, £тах1-
Точно так же определяются начальные условия интегрирования для системы дифференциальных уравнений (8.99), описывающей продольные колебания балки.
Подставив выражения (8.103) в уравнения (8.99), получим
[Л]и(0) = ?ЛГ>	(8.108)
—>
где и (0) — вектор начальных перемещений расчетных узлов балки в момент времени t = 0;
[Л] — квадратная матрица, определяемая выражением (8.29);
?№={о, О, О, . . .,-^W(0))T;	(8.109)
N (0) — значение продольной силы в момент t = 0.
8.4.	РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ
Изложенные выше дифференциальные уравнения представляют собой математические модели продольных, крутильных, изгибных и продольно-изгибных колебаний балок при различных способах их закреплений по концам и в пролетах. При действии на балки внешних динамических нагрузок они совершают вынужденные колебания. В случаях совпадения собственных частот колебаний балок с частотами внешних динамических нагрузок наступают резонансные явления, которые характеризуются большими амплитудами перемещений, внутренних усилий и напряжений. При проектировании балочных конструкций нельзя допускать, чтобы они работали в зонах резонансов. Для этого необходимо располагать сведениями о собственных частотах колебаний конструкции и о частотах внешнего динамического воздействия. Как уже упоминалось, процесс расчета вынужденных колебаний балок и балочных конструкций осуществляется на основе интегри-234
рования дифференциальных уравнений модели. При численном интегрировании таких уравнений на ЭВМ для заданных моментов времени, разделенных промежутком, называемом шагом вычислений (интегрирования), определяют перемещения, деформации и внутренние усилия в конструкции.
Зная внутренние усилия и геометрические характеристики поперечных сечений балок, в эти же моменты времени вычисляются динамические напряжения о (х, t) во всех расчетных сечениях. Полученные расчетные напряжения могут подвергаться дальнейшей обработке и анализу в ЭВМ. Например, могут формироваться значения максимальных напряжений по сечениям, полученные за все время счета ЭВМ, вычисляться средние значения напряжений, их средние квадратические отклонения, спектральные плотности и т. д. Однако первым этапом динамического расчета конструкций обычно является определение собственных частот и форм колебаний.
При расчете собственных частот и форм колебаний внешние динамические нагрузки не рассматриваются, так как они определяют процесс вынужденных колебаний. Трением в связях и материале конструкции обычно пренебрегают (т. е. полагают 0 = 0 и р = 0), так как это упрощает вычисления и незначительно сказывается на точности. С учетом сказанного задача о собственных колебаниях стержневой конструкции, преобразованная по методу прямых, описывается системой однородных дифференциальных уравнений следующего вида:
w-j-[L] w = 0.	(8.110)
Задаваясь решением (8.110) в виде
w — w* sin (X/-(-ос)	(8.111)
и подставляя это выражение (8.111) в уравнение (8.110), приходят к системе однородных алгебраических уравнений следующего вида:
(L —Х2е]ги* = 0,	(8.112)
где L — квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения (8.110);
X — собственное число;
е — единичная матрица;
—>
w* — собственный вектор.
В теории колебаний собственные числа X и собственные векторы w* в задаче (8.112) имеют смысл собственных круговых частот и собственных форм колебаний.
В современных ЭВМ есть стандартные процедуры решения задачи (8.112). В результате решения такой задачи на ЭВМ получают п собственных чисел (частот) и п собственных векторов (форм колебаний), где п — порядок матрицы [£]. Тем самым получают информацию о частотном спектре собственных колебаний конструкции и о формах ее колебаний на каждой частоте.
235
8.5.	ШУМ В ПАССАЖИРСКИХ ВАГОНАХ
Звук и звуковые волны — это механические колебания, распространяющиеся в упругих средах.
Звук, который способен вызывать звуковые ощущения, при воздействии на орган слуха человека, называют слышимый (частоты от 16 до 2000 Гц).
Так как воздушная среда является непрерывной, распространение звука в ней носит волновой характер. В вакууме звук не распространяется. По мере удаления от источника шума звуковые волны постепенно затухают (вследствие наличия демпфирования в воздушной среде) и уровень шума снижается.
Источником звуковых волн являются в основном упругие вибрации конструкции при движении вагона в поезде. При высоких скоростях движения возникают аэродинамические шумы, связанные с обтеканием вагона воздушным потоком. Шум вредно действует на организм человека, поэтому его необходимо ограничивать до пределов санитарных норм. Шум в вагоне измеряется специальными приборами и оценивается уровнем звукового давления в децибелах или уровнем громкости в фонах.
Всесоюзным научно-исследовательским институтом железнодорожной гигиены (ВНИИЖГ) разработаны Санитарные нормы по ограничению шума на подвижном составе железнодорожного транспорта. Допустимые уровни шума (дБ) в помещениях пассажирских вагонов, в служебных помещениях вагонов рефрижераторных и электропоездов приведены в табл. 8.1.
Уровень шума замеряют в середине служебных отделений вагонов рефрижераторных поездов, электропоездов, вагонов-электростанций, почтовых и багажных вагонов. В купейных, мягких и межобластных
Таблица 8.1
Среднегеометрические частоты октавных полос, Гц
Место замера уровня шума	63	125	250	500 |	1000	2000	4000	8000
Помещения пассажирских вагонов поездов дальнего	следования, служебные отделения в вагонах рефрижераторных поездов, электропоездов, в вагонах-электростанциях	83	74	68	63	60	57	55	54
Помещения межобластных вагонов и вагонов-ресторанов	87	79	72	68	65	63	61	59
Помещения вагонов пригородных поездов и электросекций	91	83	77	73	70	68	66	64
236
пассажирских вагонах уровень шума проверяют в служебном купе и во втором купе для пассажиров (над тележкой), в некупейных вагонах — над тележкой вагона. Эти замеры производят на высоте 1,5 м от пола при закрытых окнах и дверях. При этом скорость движения вагона должна составлять 2/3 его конструкционной скорости с отклонением + 10 км/ч.
Несмотря на относительно большие значения допускаемых уровней шума внутри вагонов при движении поезда по пути со значительными неровностями, иногда наблюдаются отклонения от указанных норм.
Рис. 8.12. Схема проникновения шума в вагон через одинарное ограждение
Снижение уровня шума в вагонах достигается устранением источников или снижением интенсивности их действия (улучшения состояния рельсов, колес и др.), изоляцией помещений кузова от источников (применением звуко- и виброизолирующих прокладок, изоляционных ограждающих устройств), демпфированием вибраций обшивки кузова вагона, оборудования и других деталей (нанесением противошумных покрытий и т. п.).
Как правило, ограждение кузова вагона снижает уровень громкости шума. Степень снижения зависит от свойств материала ограждения. Звук с интенсивностью (рис. 8.12) попадает на границу АА ограждения, частично (7?j) отражается от нее под углом а3, а остальная его часть Q проникает внутрь ограждения. Способность материалов отражать звуковую энергию характеризуется коэффициентом отражения, который показывает, какое количество звуковой энергии отражает данный материал.
Пока звук проходит ограждение, его интенсивность Q уменьшается за счет тепловых потерь, и к границе ВВ ограждения звук подходит под углом а31. Ударяясь о границу ВВ, звук вновь частично отражается с интенсивностью R2.
Таким образом, на противоположную сторону ограждения внутрь вагона звук попадает с интенсивностью J2, которая меньше, чем Если звук проходит не через одно, а через несколько ограждений, разделенных между собой воздушными прослойками, то интенсивность шума снижается еще больше.	:
Снижения интенсивности шума достигают также путем применения звукопоглощающих материалов, которые значительно уменьшают
отражение звуковых волн.
Если такими материалами покрыть стены, потолок и внутреннее оборудование, а со стороны воздушной прослойки нанести слой противошумной пасты, то уровень шума в вагонах подвижного состава значительно снизится.
237
8.6.	ВИБРОЗАЩИТА СИСТЕМ
Для защиты кузова от вибраций, вызванных работой энергетического и другого оборудования, а также для защиты измерительной аппаратуры от вибрации кузова в вагоне устанавливают упругие элементы—амортизаторы (пружины, рессоры, резиновые и резинометаллические блоки, прокладки из пробки и т. п.). Деформация амортизатора всегда сопровождается некоторым рассеиванием энергии за счет его внутреннего трения. Если постановкой амортизатора не достигается необходимый эффект, то применяют гасители колебаний, которые работают параллельно упругим элементам.
Амортизируемый объект с массой т (рис. 8.13), упругие элементы с жесткостью с, гасители колебаний с силами неупругого сопротивления F и основание (кузов) вагона образуют виброзащитные системы,
условно подразделяемые на две группы:
пассивные (рис. 8.13, а}, в которых динамические взаимодействия вызываются перемещениями (колебаниями) кузова zK (/). Упругие элементы в этом случае защищают амортизируемый объект (например, измерительную аппаратуру) от инерционных сил, возникающих при вынужденных колебаниях;
активные (рис. 8.13, б), в которых возмущающая сила Р непосредственно приложена к амортизируемому объекту (например, электрогенератору). Назначение упругих элементов в этом случае состоит в защите (виброизоляции) основания системы (например, кузова вагона) от действия возмущающих сил.
Задача расчета таких систем состоит в подборе параметров с и F амортизаторов.
Поскольку масса кузова во много раз больше массы расположенных в вагоне амортизируемых объектов, справедливо считать, что процессы их колебаний в пассивной системе не влияют на процессы ко
Рис. 8.13. Расчетные схемы пассивной (а) и активной (б) вибрационных систем
лебания кузова, который сам расположен на упругих элементах — рессорном подвешивании. Поэтому перемещение кузова на рессорном подвешивании в этом случае будет являться для амортизируемого объекта возмущающим фактором.
В простейшем случае такая пассивная система (см. рис. 8.13, а), в которой силы неупругого сопротивления отсутствуют (F = 0), будет иметь z, — перемещение амортизируемого объекта (прибора) с массой т, zK (t) — вертикальные перемещения кузова вагона в месте расположения прибора.
238
Согласно принципу Даламбера процесс колебаний амортизируемого объекта описывается дифференциальным уравнением
/и	(?i —zK) =0.	(8.113)
Полагая, что колебания кузова вагона в точке размещения амортизируемого объекта имеют гармонический характер вида
zK (0 =а sin ® С	(8.114)
решение этого условия для вынужденных колебаний zL можно записать в виде
гг = а V. sin (<d Z Ц- 6),
1 1
где х = ---о = —-----— — коэффициент передачи амплитуд.
Здесь v2 = с/nv, г = co/v.
Полученное выражение для коэффициента передачи позволяет исследовать изменение амплитуды колебаний амортизируемого объекта в зависимости от жесткости с упругого элемента и частоты со колебаний кузова вагона.
Наиболее опасным случаем является колебание объекта в резонансном режиме при совпадении частоты его собственных колебаний с частотой возмущающей силы (со = v; г = 1), когда амплитуда перемещения массы т неограниченно нарастает. В пределах дорезонансной (со < v) и послерезонансной (со >> v) зон амплитуда колебаний массы т имеет конечные значения, увеличиваясь с ростом величины г в первой зоне и уменьшаясь во второй зоне.
Выбор жесткости с упругого элемента определяется допустимой величиной перемещения амортизируемого объекта. Так, для жесткого элемента при с -> оо собственная частота v -> оо , а отношение частот г—> 0. В этом случае коэффициент передачи х—> 1 и колебания массы амортизируемого объекта и кузова будут одинаковыми. Если же г2 -> 2, (co/v-> 1^2), то х-> — 1, что означает равенство отклонений массы амортизируемого объекта и кузова при колебаниях в противоположных направлениях. При других значениях жесткости с, когда 0 С г2 С 2 и /х| > I, амортизируемый объект будет колебаться с амплитудой, большей, чем амплитуда колебаний кузова, и, следовательно, упругость подвески объекта вызывает увеличение воздействий на него динамических сил.
Положительный эффект от упругой подвески объекта достигается только при малой жесткости упругого элемента, которой во время движения вагона с наибольшей эксплуатационной скоростью соответствует процесс колебаний в зарезонансной области г > и ]х| с 1. Однако при меньших скоростях движения, например при разгоне поезда, при малой жесткости упругого элемента будут возникать резонансные колебания амортизируемого объекта. В таком случае для предотвращения чрезмерного нарастания амплитуд в систему под-239
вески наряду с упругостью необходимо вводить демпфирование (неупругое сопротивление).
Иногда упругий элемент делают резиновым, обладающим упругими и вязкими свойствами одновременно.
Считая силы неупругого сопротивления пропорциональными первой степени скорости относительного перемещения, перепишем дифференциальное уравнение (8.113) в виде:
т'^+с (Zj—zK) + p(zi— zK) = 0>
где Р — коэффициент сопротивления гасителя.
Здесь, как и выше, zK принимаем по формуле (8.114). Тогда решением данного дифференциального уравнения будет
z1 = ax1sin (<х> t—0Х).
Коэффициент передачи запишем в виде
-|/	to2	1/(1 — Г2)2_|_4Т2Г2-
|/ (1-co2/v2)2+4t2—
где Y = p/pKp; Ркр = 2 V	.
Согласно выражению (8.115) при наличии гасителей в системе амплитуды колебаний при возмущениях с любой частотой будут ограниченными. Коэффициент передачи х = 1 также при условии г = О и г = ]/2. В промежутке между этими значениями амплитуды колебаний растут. В зарезонансной зоне (г;>)/2) значение х < 1.
В случае когда требование к жесткости упругого элемента подвес-ски (со >> v]/":2) не может быть выполнено вследствие мягкости рессор вагона (со мало), применяют повышенное демпфирование (у л? 0,54- 0,8) или упругую подвеску с большей жесткостью, для которой v 2> со (по нормам v > 2со).
Правильно выбранные параметры элементов амортизации различных приборов, эксплуатируемых в вагонах, способствуют увеличению срока службы и стабильности их работы. В некоторых случаях для надежной работы прибора ограничивают ускорения в соответствии с техническими условиями его эксплуатации. В этом случае ускорения вычисляют по формуле гх = co^lmax — (о2ахх и сравнивают с допускаемыми, в зависимости от которых рассчитываются характеристики амортизаторов: коэффициенты жесткости и показатели демпфирования.
Наряду с защитой различных приборов и устройств в вагонах от колебаний кузова, как уже было сказано, сам кузов должен быть изолирован от вибрационных воздействий установленного на нем различного рода энергетического оборудования. Вращающиеся неуравновешенные массы этого оборудования вызывают как местную, так и общую вибрацию кузова. В таком случае имеем активную систему, расчет которой должен быть направлен на отыскание путей снижения 240
воздействия на кузов со стороны возмущающего объекта. Для изоляции кузова от такого рода воздействий между ним и возмущающим объектом устанавливают упругие и упруговязкие элементы.
Для расчета усилий, которые передаются на кузов со стороны возмущающего объекта, рассмотрим схему, изображенную на рис. 8.13, б. Дифференциальное уравнение колебаний массы т1 будет иметь вид
т1 24 + Pl	zr = P (t) .	(8.116)
Полагая, что в простом случае Р — Ро sin wt, уравнение (8.116) примет вид
?i + 2</ Zj + v2 Zi = Pfj/Шх sin <d t.	(8.117)
Решением неоднородного дифференциального уравнения (8.117) будет
?i = A cos g> Z-j-B sin g> t.	(8.118)
Собственные колебания в этой задаче не рассматриваются (решение однородного уравнения), так как при наличии трения в системе они затухают.
Подставляя уравнение (8.118) в уравнение (8.117), после преобразований получим:
(v2 — №2) Л-|-2<7 о» В = 0;
— 2q ы А (v2—о2) В — Рц/тх,
где
v = V с1/т1; 2q = fii/m!.
Из системы уравнений
А и В:
(8.119) находим неизвестные амплитуды
Ро	2q G)
mi ("V2 — (о2)2 + 4g2 g>2’
Ро	V2—(й2
mi (v2— со2)2-|-4<72 со2
(8.119)
(8.120)
С учетом выражений (8.120) решение (8.118) может быть приведено к следующему виду:
Ро Г v2—G)2 т1 .(У2 — <о2)24-4^2 (о2
2q <£>
—------------------------cos со t
(у2 — GJ2)2 +4(?2 G)2
?0
/Tlj
sin (G)/ — 6), (8.121)
gj2)2+4<72gj2 v	’
где
6 = arctg
2q g>
v2 — G)2
241
Учитывая, что
Cl q = Pl = Pi = Pi
_ /П1 v 2ffli 3/ Cr/tnr 23/ qmi Ркр
(8.121) можно представить в виде
sin ((о t—6).
(8.122)
Из выражения (8.122) видно, что коэффициент передачи по деформациям виброизолирующего элемента составляет
. I г1тах I ___________ '_______________
1 Ро С13/ (1—<o2/v2)2+4y2 w2/v2
Сила, которая передается от изолируемого объекта на кузов, будет
Q = m1z1.	(8.123)
Подставляя из выражения (8.122) в уравнение (8.123), получим
L/ = -Щ-t -- г- -	- —----------- Lv J •
4	Cl 3/ (1— <o2/v2)2+4y2 w2/v2
Тогда коэффициент передачи силы от объекта к кузову составит
= ./Qmaxl =	 ,0>2Л2	(8.124)
ро 3/ (1—w2/v2)24-4y2 w2/v2
Виброизоляция заключается в таком выборе жесткости упругого элемента сл и степени демпфирования у, чтобы коэффициент передачи силы Д2, определяемый формулой (8.124), был меньше единицы, т. е. А2< 1-
Глава 9
СИЛЫ ТЯГИ ЛОКОМОТИВА, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ВАГОНЫ
9.1. СИЛА ТЯГИ ЛОКОМОТИВА
Изучение процессов движения поезда в режиме тяги или торможения ведется в предположении, что поезд представляет собой абсолютно жесткое материальное тело как материальную точку, в которой сосредоточена вся масса и к которой приложены внешние силы, определяющие его поступательное движение в направлении рельсового пути.
Только в отдельных случаях для удобства анализа поезд рассматривают как систему нескольких материальных точек, одни из которых — локомотивы, а другие — части состава, связанные между собой элементарными жесткими двустороними связями в одну нерастяжимую цепочку ограниченной длины.
Все силы, действующие на материальную систему, делятся на внешние и внутренние. Внешними по отношению к рассматриваемой системе называют такие силы, которые являются следствием взаимодействия ее с материальной средой, не входящей в рассматриваемую систему, а внутренними — силы, действующие внутри данной материальной системы вследствие взаимодействия между ее элементами. В поезде внешними по отношению к нему будут: силы притяжения земли (силы тяжести); реакции рельсов, приложенные к колесам; воздействие среды, в которой движется поезд (в данном случае воздуха), и др.
Внутренние силы в любой системе являются парными, взаимно уравновешенными, т. е. равными по величине и противоположно направленными. Поэтому равнодействующая внутренних сил системы и результирующий момент их относительно любой точки всегда равны нулю.
Отсюда следует, что под действием только внутренних сил нельзя изменить количество движения материальной системы, равное произведению массы ее М на скорость v и, следовательно, изменить характер движения центра ее масс. Если главный вектор всех действующих на систему внешних сил равен нулю, то центр масс материальной системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно (по инерции). Это можно отнести и к поезду, движение которого возможно только под действием внешних сил или по инерции.
Из всего многообразия действующих на поезд сил рассмотрим только те внешние силы или их составляющие, которые действуют по направлению его движения, т. е. вдоль оси рельсового пути. Их можно объединить в три группы: силы тяги локомотива Г, силы сопротивления движению подвижного состава W, силы торможения В.
243
о,
Рис. 9.1. Схема передачи усилий от двигателя к ведущему колесу и образования силы тяги на движущем колесе локомотива
Сила тяги — это сила, которая вызывает движение поезда, преодолевая силы сопротивления. Поскольку по законам механики движение вызывают только внешние силы, то для возникновения силы тяги необходимо взаимодействие локомотива с внешней средой.
Различают следующие виды такого взаимодействия: использование реакции тел (рельсов) или среды на воздействие движущих органов (колес) локомотива (электровоза, тепловоза, паровоза, газотур-бовоза); непосредственное восприятие силового воздействия среды на
локомотив (электромагнитного поля линейного двигателя, силы струи сжатого воздуха или вакуумного разрежения в тоннелях и др.); использование реакции газовой струи, вытекающей из сопла в результате сжигания топлива в камере двигателя локомотива.
Последние два вида взаимодействия локомотива с внешней средой еще не нашли широкого распространения на железнодорожном транспорте, хотя заложенная в них независимость силы тяги от сил сцепления колес с рельсами в ряде случаев может иметь решающее положительное значение (реактивная тяга).
В подавляющем большинстве случаев на железных дорогах используется тяга, основанная на первом из перечисленных видов взаимодействия. Построенные на этом принципе локомотивы и моторные вагоны создают необходимую силу тяги при помощи внешней силы, приложенной от рельсов к ведущим колесам. Эта сила представляет собой сумму горизонтальных реакций рельсов, вызываемых крутящими моментами, передаваемыми от двигателей ведущим колесам. Так как колеса прижаты силой тяжести к рельсам, то под действием крутящих моментов в точках контакта возникают силы сцепления, препятствующие их взаимному скольжению, вследствие чего вращение колес двигателя сопровождается их качением по рельсам и поступательным движением локомотива и сцепленного с ним состава в направлении рельсового пути.
Схема процесса образования силы тяги у локомотивов с индивидуальным зубчатым приводом от тяговых электродвигателей (электровозы, тепловозы с электропередачей и моторные вагоны электропоездов) изображена на рис. 9.1. Тяговый электродвигатель подвешен в точке
к раме тележки, а в точке А2 опирается через подшипник на ось колесной пары. При поступлении тока в якоре электродвигателя возникает вращающий момент Mlf который затем с помощью зубчатых колес передается движущей оси локомотива.
244
Момент Mi можно представить в виде пары сил, одна из которых Zx возникает в точке взаимодействия зубьев колес передачи, а другая Z2=ZX приложена в центре вала двигателя. Следовательно, 7ИХ = ZXZX (гх—радиус зубчатого колеса двигателя). Но сила Zx, действующая на зубчатое колесо, передает ему момент М2. С учетом потерь
на трение в местах контакта М2 — Zir2v\z или М2 = /Их — T]z = ri
= Млкт]г (к, t)z — передаточное число и коэффициент полезного действия пары зубчатых колес).
Момент М2 передается ведущему колесу и мсжет быть выражен через силу F2 в месте контакта колеса с рельсом (точка 0х):
М2 = М к = М1 Ь] z = F2 R.
(9.1)
Сила F2 стремится сдвинуть колесо по рельсу влево, создавая по третьему закону Ньютона равную себе противодействующую силу FK, которая является внешней по отношению к колесу и, следовательно, к локомотиву и является его силой тяги, отнесенной к одному ведущему колесу.
7ИхХ
Fk=2—tjz,	(9.2)
где D — диаметр колеса.
Эта сила направлена з сторону движения локомотива. При эксплуатации локомотива желательно реализовать возможно большее значение силы тяги. Однако здесь имеются определенные пределы допускаемых возможностей. Из рассмотренного выше следует, что сила реакции FK физически является тем упором, который препятствует проворачиванию колеса со скольжением по рельсу под действием приложенному к нему крутящего момента Мк, и может называться силой сцепления колеса с рельсом. Эту силу с некоторой степенью приближения иногда отождествляют с силой трения покоя и выражают аналогичным соотношением
Fk Фк Qc Me Qc ’	(9.3)
где фк, Мо — соответственно коэффициенты сцепления и трения покоя; Qc — сила нормального давления колеса на рельс (сцепной вес).
Коэффициент сцепления фк катящегося по рельсу колеса зависит от нагрузки, передаваемой колесом на рельс, от упругих свойств обода колеса и рельса, класса шероховатости их поверхностей, скорости поступательного движения, состояния ходовых частей (точности сборки), конструкции и состояния пути, климатических условий и ряда других обстоятельств.
В связи с этим реактивная касательная сила со стероны рельса (сила сцепления) имеет ограничения и при определенных условиях мсжет достигать некоторого наибольшего значения. До тех пор, пока горизонтальная реакция рельса FK удовлетворяет неравенству (9.3), точка касания 0х в каждое мгновение остается неподвижной, являясь
245
мгновенным центром вращения колеса, т. е. происходит нормальное качение колеса по рельсу.
При увеличении крутящего момента, развиваемого тяговым двигателем, увеличивается и активная сила F2, вызывая соответствующий рост реакции FK. Если FK превзойдет наибольшее значение, соответствующее неравенству (9.3), то начнется скольжение колеса по рельсу, при котором сила сцепления при той же нагрузке от колеса на рельс всегда меньше допускаемого предельного значения, так как коэффициент трения колеса о рельс при скольжении всегда меньше коэффициента трения р.о при качении или покое.
Явление проскальзывания колес при увеличении момента, передаваемого-от тяговых двигателей, называется боксованием. Оно ведет к резкому увеличению частоты вращения колес, при котором могут развиваться опасные для двигателя силы инерции, а также к повышенным неравномерным износам колес и рельсов. Поэтому необходимо, чтобы в каждый момент времени наибольшая касательная сила тяги от двигателя локомотива не превосходила значения силы сцепления движущихся колес с рельсами, т. е. удовлетворяла неравенству (9.3).
Это положение является основным условием получения силы тяги на основе использования касательной силы сцепления колес с гладкими рельсами.
Локомотив любого типа можно рассматривать как преобразователь подводимой к нему энергии (в виде электрического тока или какого-либо топлива) во внешнюю работу силы тяги, затрачиваемую на перемещение поезда. При этом в зависимости от устройства локомотива в нем производится несколько стадий преобразования энергии. Так, в тепловозе скрытая термохимическая энергия топлива в дизеле превращается в механическую работу на его валу, которая затем при помощи передаточного механизма (электрического, гидравлического или механического) трансформируется в работу вращения движущих колес. Движущие же колеса под действием вращающего момента и сцепления их с рельсами превращают механическую работу вращения колес в работу силы тяги, вызывая поступательное движение локомотива и сцепленного с ним состава поезда.
В электровозе электрическая энергия от электростанций и подстанций поступает через контактную сеть и токоприемники в тяговые электродвигатели непосредственно (на электровозах постоянного тока) или через трансформаторы и выпрямители (на электровозах переменного тока), где преобразуется в механическую работу вращения якорей и зубчатых передач движущих колес.
Следовательно, во всех локомотивах имеются различные преобразователи энергии, причем каждый из них может переработать только определенное количество ее. Правильно сконструированный локомотив имеет преобразователи, которые могут трансформировать одинаковое количество энергии. В противном случае меньший по производительности преобразователь энергии будет ограничивать результирующую мощность и силу тяги всего локомотива. В соответствии с этим для раз-246
личных локомотивов устанавливают характеристики тяговой силы и соответственно мощности их по основным преобразователям: для электровозов постоянного тока — по тяговым электродвигателям, по сцеплению движущих колес с рельсами, для электровозов переменного тока — кроме указанного, еще и по выпрямительной установке; для тепловозов — по дизелю, зубчатой передаче и сцеплению.
Помимо этой классификации, вводят следующие понятия о силе тяги (а также о мощности) локомотива, соответствующие точкам ее приложения: индикаторная, касательная (на ободе колеса), полезная (на автосцепке локомотива), динамометрическая.
Индикаторной силой тяги Ft называется условно приложенная к ободу движущих колес и определяемая из условия, что ее работа за один оборот движущих колес равна полной (без потерь) работе газа в цилиндрах дизеля у тепловоза (для электровозов ее заменяют понятием электромагнитной силы тяги Еэм).
Касательная сила тяги FK, приложенная к ободам движущих колес, определяется из условия, что ее работа за оборот движущих колес равна работе индикаторной силы тяги за вычетом потерь на преодоление сил сопротивления в самом двигателе и в передачах от машин к ободам колес, а также затрат на вспомогательные нужды (привод компрессора, холодильника, питание аккумуляторной батареи и пр.):
Лс = -Мм»	(9-4)
где т]м — механический к. п. д. локомотива.
Сила тяги на сцепке локомотива Fn определяется из условия, что ее работа за один оборот движущих колес равна работе касательной силы тяги за вычетом сил сопротивления, возникающих за это время при движении локомотива в его экипажной части:
Fu = FK-^o.	(9.5)
где Wg — сила сопротивления локомотива как повозки.
Если силу сопротивления №6 отнести к весу Мл§ локомотива (к силе тяжести его массы, выраженной в тоннах), то получим его удельное сопротивление как повозки
Тогда выражение (9.5) можно записать в виде
ТЦ = ГК — МоМл£.	(9.6)
В случае движения локомотива по подъему, на котором имеется кривая, появится дополнительное сопротивление. На преодоление этого сопротивления затрачивается часть работы касательной силы тяги. Тогда
Fj\ = FK Мл g (wg -|- iK),	(9-7)
где iK — i—|- wr — дополнительное удельное сопротивление локомотива от подъема и кривой.
247
Действительное усилие на сцепке Fau, которое при испытаниях локомотива обычно измеряют динамометром, называют динамометрической силой тяги, которая при неравномерном движении будет
±-Л4Л а,	(9-8)
где а — ускорение состава, м/с2.
В СССР принято производить тяговые расчеты только по касательной силе тяги с учетом ограничений ее по сцеплению колес с рельсами.
В создании силы тяги локомотива участвуют нагрузки на рельс Qc и коэффициенты сцепления ф всех движущих колес, причем для каждого из них должно соблюдаться неравенство (9.3) по мгновенным ^значениям.
i В связи с трудностями определения этих значений для каждого колеса отдельно в расчетах принимают их средние значения для всех колес за один оборот. В качестве силы нормального нажатия колеса на рельсы, зависящей от сложных колебаний частей локомотива, вызванных неровностями рельсового пути, от перераспределения нагрузок действующих крутящих моментов двигателей через рамы тележек и от других факторов, в расчетах принимают номинальную статическую нагрузку от всех движущих колес, считая ее сцепным весом Рсц локомотива, а влияние перечисленных выше факторов включают в определенное значение коэффициента сцепления фк по следующему выражению:
т	т	„
Ж',	ОСО
Рк = z , Фг Qc I = Фо / , Qci ~Фо	^сц ~Фк Реи. •	(9-9)
1 -4- v
i = l	i=l	1
Отсюда
FK аб
Ф«=-}г-=ФоТТ7 ’	(9Л0)
где фг-,1 — мгновенное, среднее (физическое) и расчетное (среднее для ло-ф0/ комотива) значение коэффициента сцепления;
1 -|— v — коэффициент неравномерности силы тяги за оборот движущего колеса;
, .	max , пг.
1 -]-v==------1,05;
гк
а, 6 — коэффициенты разгрузки колес динамической и под влиянием моментов силы тяги (a < 1; 6 < 1);
т — число движущих колес.
Значение фк зависит от многих физических и эксплуатационных факторов. Большое влияние на его значение оказывают шероховатость поверхностей в местах контакта колес с рельсами, влажность воздуха, температура и другие условия (фк = 0,3 4- 0,4 при благоприятных условиях и фк = 0,10 -г- 0,15 при неблагоприятных условиях и определяется только опытным путем — подсчетом наибольшей силы тяги, которую локомотив реализует при данной скорости по формуле, приведенной выше).
248
Реализация большой силы тяги по сцеплению является одним из основных требований, предъявляемых к локомотиву, так как при прочих равных условиях ее величиной определяется масса состава, который может везти данный локомотив. Для повышения коэффициента сцепления необходимо усовершенствовать механическую часть (систему рессорного подвешивания и тяговых двигателей), повышающую динамические качества локомотива как экипажа и обеспечивающую равномерное распределение нагрузок между движущими колесами; подавать в эксплуатационных условиях песок под колеса; очищать поверхности катания рельсов и колес, а также использование других специальных средств.
9.2. ТЯГЭВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛОКОМОТИВОВ
Б условиях эксплуатации локомотива наряду с его силой тяги 5К важное значение имеет и зависимость ее от скорости движения, при которой она реализуется. Эту зависимость FK = f (v) называют тяговой характеристикой локомотива. Реализуемая локомотивом мощность по касательной тяговой силе А/ф может быть представлена формулой
Nv = FKv.	(9.11)
Если заложенная в локомотиве мощность при всех скоростях движения реализуется полностью, т. е. AfK max = FKv — const, то его тяговая характеристика выразится равнобочной гиперболой, отнесенной к своим асимптотам (линия А Б на рис. S.2). Такая характеристика является близкой к идеальной, так как при этом автоматически под-
держивается нужный режим работы локомотива: как только увеличится сопротивление движению (подъем, кривая), так сразу снизится скорость и соответственно возрастет сила тяги, необходимая для преодоления сопоставления, после чего скорость снова увеличится до прежнего значения.
Ввиду того что касательная сила тяги FK max ограничена силой сцепления колес с рельсами, то в начальный период разгона мощность локомотива используется не полностью. Движение локомотива при максимальной но сцеплению силе тяги и в области более высоких скоростей (линии ДГ) потребовало бы непрерывного увеличения реализуемой мощности (линия ЕЕ'), что практически невозможно для автоном-
Рис. 9.2. Тяговая характеристика локомотива (сплошные линии — сила тяги, штриховые линии — мощность):
А Б — при постоянной реализуемой мощности (теоретическая); ВГ — при постоянной силе тяги; ОЕ — при трогании с места; ЕЖ—при выходе на расчетную тяговую характеристику
249
ных локомотивов, несущих на себе первичный генератор энергии. Однако для локомотивов, получающих энергию извне практически в неограниченном количестве (электровозы), можно иметь и более рациональную тяговую характеристику.
Особенности устройства различного вида локомотивов, а также цели создания условий регулирования процесса тяги и выбора режима движения поезда различной массы в зависимости от условий профиля пути и заданной скорости возможно ближе к оптимальному находят свое отражение в тяговых характеристиках локомотивов конкретных видов и конструкций.
На железных дорогах СССР практически весь грузооборот выполняется электрической и тепловозной тягой, причем на первую из них приходится более 60 % перевозочной работы. Поэтому целесообразно ознакомиться с тяговыми характеристиками именно этих видов локомотивов.
Электровозы приводятся в движение тяговыми электродвигателями. Они за редким исключением (исключение составляют аккумуляторные электровозы, которые применяются пока весьма ограниченно) являются неавтономными локомотивами, зависящими от внешнего источника энергии. Электроэнергия, необходимая для питания тяговых электродвигателей, подводится по проводам от электростанций, мощность которых значительно выше мощности тяговых электродвигателей.
Электрическая энергия от электростанций ЭС (рис. 9.3) по линии электропередачи ЛЭП переменного тока напряжением до 500 кВ поступает на тяговые подстанции ТПС. Здесь с помощью трансформаторов Тр напряжение понижается до 3 кВ, ток преобразуется в выпрямительный установке ПТ в постоянный, после чего поступает в контактную сеть. Далее через токосъемное устройство и пускорегулирующую аппаратуру электрический ток поступает в тяговые электродвигатели.
Рис. 9.3. Схема электроснабжения тяговых двигателей постоянного тока:
ЭС — электростанция; ЛЭП — линия электропередачи; ТПС — тяговая подстанция; Тр —тяговый трансформатор; ПТ — преобразователь (выпрямитель) тока; КП — контактный провод; ТП — токоприемник; ПРА — пускорегулирующая аппаратура; Р— рельс; I—IV—электродвигатели
250
В результате подведенной от внешнего источника практически в неограниченном количестве электрической энергии наибольшая величина силы тяги электровоза определяется только его сцепным весом и мощностью тяговых двигателей.
На электровозах используются двигатели постоянного тока, поскольку они допускают возможность регулирования вращающего момента (а значит, и скорости движения) в более широком диапазоне, чем двигатели переменного тока. Наиболее широкое применение из них нашли электродвигатели последовательного возбуждения (в них обмотки возбуждения соединены последовательно с обмоткой якоря). Такими двигателями оборудуются все колесные пары современных электровозов.
Регулируют силу тяги и скорость движения поезда путем изменения вращающего момента на валах тяговых двигателей. Мощность, отнесенную к ободам колес электровоза с числом тяговых двигателей тэ, в электрических и механических единицах можно определить из выражения
jVK = £/д /д rn& т)д щ — Г-ну v Шд,	(9.12)
где Up — напряжение на коллекторе электродвигателя;
— ток тягового электродвигателя;
т]д — к. п. д. тягового электродвигателя;
qz —'К. п. д. зубчатой передачи;
Дкд — сила тяги на ободах колес, развиваемая электродвигателем.
Следовательно, касательную тяговую силу электровоза можно определить как
(9.13)
V
где т)э — 'Пд'Пг — к. п. д. тягового электродвигателя, отнесенный к ободам движущих колес.
Следовательно, регулирование касательной силы тяги электровоза следует производить изменением напряжения (7Д на зажимах коллекторов электродвигателей и силы тока Jл в их обмотках. Регулировать скорость электровоза в самых широких пределах можно изменением частоты вращения якоря двигателей путем изменения величины тока в их обмотках. Для электродвигателя постоянного тока можно расчетным или опытным путем получить следующие электромеханические характеристики, отнесенные к ободу:
v = fi(IpY, FKn^f2(In); М=4(Ид); Чэ = /4(/д).	(9-14)
Из этих характеристик может быть получена зависимость скорости электровоза от его электрических характеристик. Эта зависимость, отнесенная к одному электродвигателю электровоза, имеет вид
СФ	v
где R, г — сопротивление пусковое и обмоток двигателя;
С — постоянная электродвигателя с учетом диаметра колес локомотива; Ф — магнитный силовой поток главных полюсов.
251
Регулировать скорость электровоза можно путем изменения напряжения ил или изменения магнитного потока СФ главных полкн сов. Напряжение U в контактной сети постоянного тока можно считать величиной постоянной, равной 3000 В. Изменение напряжения С/д достигается двумя способами, введением в цепь пускорегулирующего устройства дополнительного резистора R реостата и изменением схемы включения групп электродвигателей, как показано на рис. 9.4 применительно к восьмиосному электровозу.
Применение первого из этих способов возможно только в ограниченных размерах, так как это сопряжено с потерями энергии в виде рассеиваемого тепла, что снижает общий к. п. д. электровоза. Поэтому езда на реостатных позициях (с подключением дополнительного резистора) допускается лишь кратковременно при разгоне и маневрах, а также для прекращения внезапно возникшего боксования. Применение второго способа — уменьшения напряжения на зажимах тяговых электродвигателей изменением схемы их соединения — не вызывает никаких дополнительных потерь, но он может быть использован только для изменения напряжений ступенями, число которых зависит от числа схем соединения электродвигателей.
Отечественные шести- и восьмиосные электровозы имеют три схемы соединения тяговых электродвигателей: последовательную, последовательно-параллельную и параллельную. Тяговые электродвигатели рассчитаны на нормальную работу при напряжении ид = 1500 В, чему соответствует параллельная схема соединения, при которой двигатели включены в группы, по два последовательно. Таких групп, например, у восьмиосных электровозов (ВЛ8, ВЛ 10) четыре, у шестиосных (ВЛ23) — три, у четыреосных (ЧС2, ЧС4) и моторных вагонов
Рис. 9.4. Схемы включения электродвигателей восьмиосного электровоза ВЛ8: а — последовательное; б — последовательно-параллельное; в — параллельное
252
электросекций — две. При последовательно-параллельном соединении напряжение t/д составляет 750 В у восьмиосных и 1000 В у шестиосных электровозов; скорость движения при этом будет равна "2 нормальной для вссьмиосногс и 2/3 нормальной для шестиосного электровоза. При последовательном соединении (7Д составляет 375, 500 и 750 В соответственно для восьми-, шести- и
Рис. 9.5. Зависимость скорости от тока электродвигателя при полном (/) и ослабленном (2) поле
четырехосного электровоза; скорости при этом будут равны 1/4, г/3 и 1/12 нормальной.
Регулируют скорость движения на электровозах также путем ослабления
магнитного потока на главных полюсах тяговых электродвигателей. Из выражения (9.15) следует, что скорость увеличивается с уменьшением магнитного потока СО или ослаблением поля тяговых двигате-
лей.
Ослабление поля осуществляется путем подключения параллельно обмотке возбуждения реостата (шунтированием), в результате чего уменьшается ток возбуждения и увеличивается ток з сбмотках двигателя. При этом возрастают не только скорость движения и сила тока в двигателях, но и сила тяги электровоза для данной скорости.
Степень ослабления магнитного поля оценивается коэффициентом ослабления поля а:
а /во//в — /во//д ~ -"кд//"КДО’	(9.16)
где /во, /в — тох в обмотке возбуждения соответственно при ослабленном и при полном поле.
Тяговые электродвигатели электровозов ВЛ8, ВЛ23 имеют четыре ступени ослабления магнитного поля при коэффициентах, равных 0,75; 0,55; 0,43 и 0,36. Электродинамические характеристики, отнесенные к ободу движущих колес, при ослаблении поля меняются так, что скорость движения vlf соответствующая току /д, примерно равна скорости движения v при полном поле и токе тягового двигателя /да (рис. 9.5).
Одинаковому току 1Д соответствуют скорость v2 при полном поле и более высокая при ослабленном поле. Изменение силы тяги FKn = fa (/д) происходит так, что соотношение-^кдпри полном поле и Ркдо при ослабленном примерно равно коэффициенту ослабления поля а. В результате получается, что касательная сила тяги электровоза для данной скорости увеличивается пропорционально степени ослабления поля (обратно пропорционально коэффициенту а).
На основании рассмотренного можно получить тяговые характеристики электровоза FK = f (и), учитывающие изменения силы тяги з зависимости от скорости движения с учетом схемы включения элек-253
тродвигателей (С. СП, П), степени ослабления поля (ПП, 0П1—0П4) и ограничений по сцеплению колес с рельсами Сц и по силе тока в обмотках двигателя (рис. 9.6).
По условиям сцепления FK не должна превосходить величины, удовлетворяющей неравенству (9.3), в котором значение коэффициента сцепления фк находится по эмпирическим формулам:
для прямого участка пути
для кривого участка пути при R <С 500 м
250+1,55/?
•фккр — "Фн--------,	(9.18)
ук 500+1,1/?	1
где v — скорость движения электровоза.
Ограничения по величине тока связаны с необходимостью предотвращения нагрева частей двигателя выше допустимого уровня при часовом режиме (часовой ток /ч) работы, а также недопущения искрения щеток и механических повреждений (максимальный ток /тах).
В процессе пуска электровоза и при изменениях режима тяги во время движения производится переключение тяговых двигателей (многоступенчатый пуск).
Реостатный пуск осуществляется только в начальных стадиях переходов по схемам соединения. Такой пуск дает возможность уменьшить потери энергии в реостатах в 2—3 раза. При переходе с полного поля на ослабленное скорость движения и ток в двигателях возрастают, а касательная сила остается практически неизменной.
Ослабление магнитного поля тяговых двигателей является важным средством повышения скоростей движения поездов при электрической тяге; оно дает возможность значительно увеличить силу тяги при больших скоростях и полнее использовать мощность магистральных электровозов.
Использование в системе электрической тяги переменного (однофазного) тока промышленной частоты 50 Гц позволяет повысить напряжение в контактном проводе до 25 000 В (вместо 3000 В при постоянном токе), что дает возможность значительно уменьшить площадь сечения проводов контактной сети, увеличить расстояние между питающими тяговыми подстанциями, упростить их оборудование (не требуется преобразователь тока), а в результате улучшить технико-экономические показатели электрической тяги.
В электровозах переменного тока применяют тяговые электродвигатели постоянного тока с последовательным возбуждением, соединенные параллельно. Для преобразования переменного тока в постоянный на электровозе устанавливают понижающие трансформаторы и выпрямительное устройство полупроводникового типа (рис. 9.7) с вентилями В1 и В2 односторонней проводимости, сглаживающего реакто-254
52000
48000
44000
40000
36000
32000
28000
24000
20000
16000
12000
8000
4000
О
кгс 56000
Рис. 9.6. Тяговая характеристика электровоза ВЛ8
Рис. 9.7. Схема выпрямления однофазного тока
ра СР и постоянного шунтирующего резистора R в обмотке возбуждения, которые уменьшают пульсации тока. По такой схеме работают электровозы В Л 60 и ВЛ80к.
Скорость движения электровоза переменного тока регулируют изменением напряжения на выводах электродвигателей, величина которого зависит от числа витков вторичной обмотки трансформатора, соединенной с цепью электродвигателя. Скорость также можно регулировать путем ослабления поля двигателей, как и у электровозов постоянного тока.
Тяговые характеристики электровоза переменного тока рассчитываются и строятся по электромеханическим характеристикам v — = (Уд) и /’’кд = f2 (/д) с учетом установленных ограничений по сцеплению, по току и напряжению в силовых цепях тяговых двигателей.
Расчетный коэффициент сцепления фк для электровоза переменного тока находят по формулам:
для скоростей v = 0 -4- 11 м/с
7
= 0,228 +---------;
53 + llv
для скоростей v = 11 4- 40 м/с
фк —0,09
95
413+Пи
255
Рис. 9.8. Тяговая характеристика электровоза ВЛ60к
У электровозов переменного тока тяговые двигатели всегда соединены параллельно, что позволяет реализовать несколько повышенные коэффициенты сцепления при малых скоростях движения. Значение коэффициента сцепления для кривого участка пути находят по формуле (9.18). В качестве примера на рис. 9.8 приведены тяговые характеристики электровоза серии ВЛ60к.
Тепловоз является автономным локомотивом, который имеет источник энергии (топливо) и генератор энергии (двигатель внутреннего сгорания). В отличие от электро
воза, у которого в момент трогания с места имеется запас готовой энергии (ток в контактной сети), у тепловоза дизель генерирует энергию только в процессе своей работы при значительной (примерно около х/3 номинальной) частоте вращения коленчатого вала. Поэтому дизель не может быть запущен под нагрузкой, а тепловоз с непосредственной передачей вращения
от вала дизеля на оси колесных пар не может взять состав с места, когда требуется очень большое тяговое усилие.
Мощность дизеля повышается с увеличением частоты вращения
вала; в то же время тепловоз должен развивать максимальную силу тяги уже при трогании с места. Преодоление этого несоответствия достигается применением специального передаточного механизма (передачи), который позволяет: отъединять вал дизеля от движущих колес тепловоза во время пуска, менять передаточное число от вала дизеля к движущим колесам, эксплуатировать дизель при номинальной наивыгоднейшей для него частоте вращения вала с постоянной мощно
стью независимо от скорости движения.
На существующих тепловозах применяются три типа передач: электрическая, получившая наибольшее распространение, гидравлическая и механическая (на тепловозах мощностью до 250—400 кВт).
У тепловозов в соответствии с фазами преобразования энергии имеет место ограничение силы тяги по дизелю, передаче и сцеплению движущих колес с рельсами. Ограничение по сцеплению устанавливается в соответствии с расчетным значением коэффициента сцепления по формуле (9.17), как и для электровозов постоянного тока.
Тепловозы отечественной постройки (ТЭ1, ТЭЗ, ТЭ10, ТЭ10Л, ТЭП10, ТЭП10Л, ТЭП60, ТЭМ1 и др.) в основном имеют электриче
256
скую передачу и обладают значительным сцепным весом, поэтому сила тяги по сцеплению у них, как правило, не является ограничивающим фактором. Наиболее существенное влияние на реализуемую тепловозом силу тяги оказывает мощность его дизельной установки. Из баланса работы силы тяги за один оборот движущих колес диаметром D и работы за тот же период газа в цилиндрах дизеля от сжигания топлива с учетом потерь нетрудно вывести зависимость для силы тяги тепловоза в виде
_ J2 z Лц
---2С~ Pi £ " к ‘Чвсп 'Чпер ’
где т]м, ) — коэффициенты полезного действия соответственно дизеля, т]всп, ilnep I учитывающий затрату энергии вспомогательными механизмами и передачи.
Из этого выражения следует, что сила тяги тепловоза действительно ограничивается характеристикой дизеля: его размерами (dIP пц, I — диаметром и числом цилиндров, ходом поршней); тактностью с, т. е. числом ходов поршня за один рабочий цикл; быстроходностью дизеля, определяемой передаточным числом к, а также средним индикаторным давлением рг в цилиндрах. Количество топлива, которое может сгореть в цилиндрах рационально (полностью), ограничено главным образом недостатком воздуха, всасываемого за цикл цилиндром, и зависит от конструкции и размеров дизеля. Следовательно, ограничение силы тяги тепловоза по дизелю при данной скорости обусловливается невозможностью повышения давления р, сверх определенного значения, и оно в пределах рабочей частоты вращения коленчатого вала практически остается постоянным.
Для увеличения подачи воздуха в цилиндры дизеля применяют наддув, позволяющий соответственно увеличить подачу топлива, а значит, и повысить давление рг. Массовое количество подаваемого в цилиндр воздуха зависит от его плотности, определяемой температурой и барометрическим давлением. Практика и опыты показывают, что понижение барометрического давления с повышением высоты местности над уровнем моря на 100 м вызывает снижение мощности дизельной установки тепловоза примерно на 5 кВт; при повышении температуры наружного воздуха сверх 20° С мощность понижается на 2 кВт на каждый 1°С.
Дизель тепловоза должен работать в пределах установленной для него рабочей частоты вращения вала пд. При повышении пд сверх установленного значения ухудшается процесс сгорания топлива, уменьшается к. п. д. дизеля и повышается износ его деталей. Кроме того, возможно появление резонансных колебаний дизеля.
Из выражения (9.11) следует, что при постоянстве отдаваемой локомотивом мощности сила тяги обратно пропорциональна скорости тепловоза FKv = const, или FK — const/u, т. е. получаем гиперболическую связь между FK и v.
9 Зак. 557	2 57
Иными словами, если в передаче удается осуществить передаточное число к —	= nDtijjJv непрерывно меняющимся, то зави-
симость от скорости силы тяги тепловоза, ограниченной мощностью Дизеля (сила тяги по дизелю), будет приближаться к идеальной гиперболической характеристике (см. рис. 9.2).
В тепловозах с электрической передачей коленчатый вал дизеля соединен с валом генератора, который вырабатывает ток Jz напряжением Uz для питания тяговых электродвигателей, передающих вращающие моменты на движущие колесные пары посредством зубчатых колес. Такая структурная схема тепловоза позволяет отключать цепи питания тяговых электродвигателей от генератора, что делает возможным пуск дизеля без нагрузки, т. е. в этом случае выполняется первое требование, предъявляемое к тепловозной передаче. При работающей дизельной установке и включенных тяговых электродвигателях касательная сила тяги тепловоза будет зависеть от параметров электрической передачи Jr, Ur, (к. п. д. тягового электродвигателя) и r]z (к. п. д. зубчатой передачи):
Эта зависимость аналогична зависимости (9.13) для электровоза.
На тепловозах применяются тяговые электродвигатели, которые по устройству и принципу действия подобны электровозам постоянного тока с последовательным возбуждением. Основное отлйчие их состоит в том, что они рассчитываются на значительно меньшие напряжения (до 700 В вместо 1500 В на электровозах) и соответственно большие токи. Регулирование FB в функции v достигается изменением схемы включения тяговых двигателей и шунтировкой их обмоток возбуждения (ослаблением магнитного поля) при обеспечении постоянства реализуемой мощности дизеля в широком интервале скоростей.
Тяговые характеристики /к — f (v) тепловозов с электрической передачей обычно получают на основании специальных испытаний. Эти характеристики приведены в Правилах тяговых расчетов. Они могут быть получены и расчетным путем по эффективной мощности Ne дизеля и значению к. п. д. электрической передачи при разных скоростях движения или по характеристике главного генератора Ur = f (7Г) и электромеханическим характеристикам -[и, М, т]д = = f (^д)1 электродвигателей.
В качестве примера на рис. 9.9 приведены тяговые характеристики тепловоза ТЭ10. Здесь каждой кривой соответствует определенное положение (позиция) рукоятки контроллера, т. е. определенная частота вращения коленчатого вала дизеля (полная или частичная его нагрузка). Кроме того, кривые силы тяги даны и для различных ослаблений ОП поля тяговых электродвигателей. Поскольку при повороте рукоятки контроллера меняется мощность дизеля и соответственно частота вращения его вала, напряжение на зажимах главного генератора понижается и изменяется скорость движения локомотива. При оп-258
ределенных скоростях происходит автоматический переход с одной схемы соединения тяговых двигателей на другую, увеличивается (уменьшается) в них ток и возрастает (снижается) сила тяги. Но и независимо от схемы соединения тяговых двигателей дизель реагирует на изменение внешней нагрузки: при помощи специального регулятора частоты вращения вала изменяется подача топлива в цилиндры при неизменном положении рукоятки контроллера.
Наибольшее значение силы тяги тепловоза с электрической передачей может ограничиться током электрических машин по их характеристикам нагревания и охлаж
44000 88000 40000 80000 36000 72000
32000 64000 26000 56000 24000
48000 20000 40000 16000 32000 12000 24000
8000 16000
4000 8000
О 10 20 30 40 50 60 70 80 а,км/ч
Рис. 9.9. Тяговые характеристики тепловозов ТЭ10 (цифры в числителе) и 2ТЭ10 (цифры в знаменателе) с тяговыми электродвигателями ЭД-104 А
дения.
Тепловозы с гидравлической передачей отличаются высокими технико-экономическими показателями: масса ее меньше в 2—4 раза массы электрической передачи; расход меди на единицу мощности меньше в 20—25 раз; тяговая характеристика гидропередачи не имеет ограничений при трогании тепловоза с поездом (кроме ограничения по сцеплению), а также при разгоне.
Гидравлические передачи разделяются на гидродинамические и гидростатические, причем на тепловозах для передачи мощности от дизеля к колесным парам применяются гидродинамические. В гидродинамических передачах вращающий момент передается гидроаппаратам только за счет кинетической энергии жидкости при отсутствии жесткой связи вала дизеля с ведомым валом передаточного механизма, и в момент пуска дизеля валы разъединены. Гидроаппараты, не изменяющие вращающий момент, называются гидромуфтами, а изменяющие его гидротрансформаторами.
9.3. СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЮ ПОЕЗДА
Между движущимся поездом и окружающей средой возникают различного рода силовые взаимодействия, порождающие силы сопротивления движению. Эти силы являются внешними по отношению к поезду, неуправляемыми и приложенными в сторону, противоположную на-9*	259
правлению движения. По эксплуатационному признаку силы сопротивления подразделяют на постоянно действующие, которые называют силами основного сопротивления, и действующие временно силы дополнительного сопротивления. За основное принимают сопротивление, которое испытывает поезд при движении по прямому горизонтальному пути с постоянной скоростью при нормальных метеорологических условиях. Дополнительным называют сопротивление, возникающее вследствие движения на подъем, по кривым участкам от изменения метеорологических условий. Сумму основных и дополнительных сил сопротивления называют полным сопротивлением поезда.
Для удобства расчетов принимают, что все силы сопротивления пропорциональны физической массе вагонов или локомотивов. Отношение сил сопротивления к силе тяжести массы поезда называют удельными силами сопротивления и обозначают буквой w.
Полную силу сопротивления поезда обозначают буквой №к, (относящуюся к локомотиву силу Wo, к вагону — Wo, а принадлежность к основному или дополнительному сопротивлению отмечают соответствующим индексом снизу).
Следовательно, если обозначить массу локомотива и вагонов Мл и 7ИВ,	а силы их	основного	сопротивления W" и	Wo,	то	удельные	основные	сопротивления	локомотива и вагонов	соответственно	будут:
,	W'o „ W’i
-----Wn =------,
w0 =  > M^g
где g — ускорение силы тяжести.
Из этих выражений следует:
1Г; = 1000а>;Мл£; W'^ ЮООш" MBg.
Аналогично представляют и другие дополнительные виды сопротивлений: Wi — от подъема, wr — от кривой, wt— от изменения метеорологических условий. Тогда полное сопротивление поезда определяется как сумма полных сопротивлений локомотива и вагонов по формуле
=г;+W" = (w'o+w- + w'r + w't) мл g+(и>2 4-<+< + ^') жв g•
В тяговых расчетах принимается во внимание сопротивление локомотива как повозки на холостом ходу при равномерном движении (без учета сопротивлений его как машины в режиме тяги), следовательно, в этом случае полное сопротивление поезда WK будет равно касательной силе тяти, т. е. №к = Тк.
Полное сопротивление только состава поезда определится из уравнения
Wc = (w'o+w”+w; 4- w") MB g.
При равномерном движении сопротивление состава равняется силе тяги на сцепке локомотива, т. е. IFC = Fn.
260
Основное сопротивление единицы подвижного состава как повозки образуется из следующих составляющих: от трения между шейками осей колесных пар и подшипниками, от сопротивления качению колес по рельсам, от трения скольжения колес по рельсам, от ударов колес на стыках рельсов, от взаимодействия с воздушной средой, окружающей поезд.
Сопротивление от трения между шейками осей и подшипниками. В случае применения букс с подшипниками скольжения при вращении колеса между шейкой оси и подшипником возникает сила трения ср/7, где П — нагрузка от подшипника на шейку, ср — коэффициент трения между ними (рис. 9.10). Эта сила
Рис. 9.10. Схема появления силы сопротивления движению от трения между шейкой оси и подшипником и от сопротивления качению колеса по рельсу
направлена в сторону, противополож-
ную движению центра колеса, и совместно с соответствующей ей горизонтальной реакцией буксы ср/7', проходящей через центр колеса, образует пару сил с моментом Л1П = <p/7d/2, который препятствует вращению колеса. Замедляющее действие момента Мп вызывает появление в точке О' контакта с рельсом реакции №п, величина которой определяется из равенства моментов, действующих на колесо:
у П d/2=WnD/2-, Wn = tpnd/D,
или, относя эту силу сопротивления к единице нагрузки Q от колеса на рельс, получим удельное сопротивление подшипников
wn Wu d
Шп Q ~ П ф D 
Из этого выражения следует, что влияние трения между шейками оси и подшипниками будет тем меньше, чем меньше диаметры шеек по сравнению с диаметрами колес.
В случае применения в буксах подшипников качения (роликовых, шариковых) процесс появления силы сопротивления движению подвижного состава в общем сохраняется таким же. Изменяются только природа и величина ср: в первом случае — это коэффициент трения скольжения, во втором — трения качения роликов (шариков) по кольцам подшипника с трением скольжения о направляющие борты.
Значение коэффициента <р для подшипников трения скольжения нестабильно, зависит от физических и химических свойств смазочного масла, его вязкости, давления подшипника на шейку, температуры, материала подшипника и пр. Особенно сильно коэффициент трения зависит от скорости. Так, в начале движения вагона после длительной стоянки, когда между подшипником и шейкой почти нет масла, имеет
261
место режим сухого и полусухого трения и коэффициент трения в несколько раз больше, чем при дальнейшем увеличении скорости, когда между подшипником и шейкой образуется сплошной слой масла и наступает режим жидкостного трения.
Сопротивление вращению роликовых подшипников также зависит от многих факторов: конструкции буксового узла, размеров и материала деталей, шероховатости поверхности качения, скорости движения, количества и качества смазки. Тем не менее значение приведенного коэффициента трения качения более стабильно и значительно меньше, чем для подшипников скольжения (примерно На 20 % при трогании с места- и на 4—5 % при средних высоких скоростях).
Сопротивление качению колес по рельсам. При качении колеса по рельсу происходит сжатие металла обода колеса и рельса, прогиб рельса, трение скольжения вследствие относительного перемещения прижатых друг к другу частиц обода и рельса, рельса и рельсовых подкладок, подкладок и шпал, шпал и балласта.
Во всех перечисленных местах контакта затрачивается работа на трение и износ материала колеса и элементов верхнего строения пути. Эти затраты и проявляются в сопротивлении качению колеса, которое как бы гонит перед собой волну деформации рельса. Точка приложения суммарной реакции непрерывно перемещается вперед от вертикального диаметра колеса на величину т, называемую плечом трения. Величина т чрезвычайно мала и зависит главным образом от твердости материала колеса и рельса. Для стальных колес и рельсов т 0,05 мм.
Сила сопротивления качению WK определяется из равенства моментов: момента сил вертикальной нагрузки П колеса и реакции рельса Q « П на плече т и момента силы U7K, приложенной горизонтально к центру колеса на плече D/2:
WK = 2tn n/D = qK П, или wK = WK/П = срк, где (рк — условный коэффициент трения качения колеса по рельсу (для средних условий движения вагона <рк= 0,3 4- 0,4 Н/кН).
Сопротивление от трения скольжения колес по рельсам. При движении колес вагона по рельсам, помимо качения, происходит также частичное скольжение их, которое возникает из-за извилистого движения тележек, связанного с коничностью поверхностей катания колес, неравенства диаметра колес одной колесной пары, неправильного формирования колесных пар и их установки в тележках (относительные перекосы).
Удельное сопротивление, вызванное извилистым движением вагона, достигает примерно 0,15 Н/кН. Сопротивления от остальных причин скольжения колес по рельсам трудно заранее учесть расчетом и влияние их оценивается опытами.
Сопротивление от ударов колес по рельсам. Возникающие при движении поезда удары по рельсам на всевозможных коротких неровностях пути (на стыках, выбоинах на рельсах и колесах и пр.) вызывают 262
уменьшение живой силы поезда вследствие затрат ее на механическую работу ударов. На восстановление утерянной при ударах скорости требуется затрата энергии локомотива, поэтому удары колес по рельсам можно рассматривать как сопротивление движению поезда. Сила сопротивления зависит от массы тк колеса, от первой и второй степеней скорости движения, величины коэффициентов а и Ь, связанных с размерами зазоров в стыках рельсов, размерами и формой износа колес и рельсов и упруговязкими свойствами подрельсового основания, а также от расстояния /р между стыками. Удельное сопротивление может быть выражено формулой
S Шк
Wy=	(av~\-bv2),
lvM
где М, SznK—масса соответственно поезда и его колес.
Применение длинномерных рельсов и бесстыкового пути, исправность верхнего строения и стыков способствуют уменьшению этого вида сопротивлений.
Сопротивление от воздействия воздушной среды. Движущийся поезд испытывает силовое воздействие окружающей воздушной среды, которая оказывает сопротивление его движению: лобовая поверхность поезда подвергается аэродинамическому напору воздуха; у тыловой и боковой поверхностей в междувагонных промежутках и прочих впадинах происходят завихрения и разрежение воздуха; между всеми поверхностями поезда и пограничным слоем воздуха возникает трение.
Очень большое влияние на воздушное сопротивление оказывает форма подвижного состава, определяющая условия обтекания воздушным потоком. Наличие на поверхности поезда выступов и впадин с острыми гранями способствует появлению в таких местах искривлений струй воздуха с образованием вихрей (турбулентное движение). Если движущееся тело имеет обтекаемую форму, то струи воздуха как бы плавно расступаются перед ним и снова смыкаются позади него, выравниваются и идут параллельными линиями. Такое обтекание тела называется плавным струйным, ламинарным, а возникающее при этом сопротивление воздуха будет минимальным.
Воздушное сопротивление может быть представлено в виде функции, пропорциональной: аэродинамическому (скоростному) напору воздуха ри2/2 (где р — плотность воздуха); площади поперечного сечения S (принимается миделево сечение поезда — самое широкое в его средней части); коэффициенту Сх, характеризующему обтекаемость поезда:
Коэффициент обтекаемости Сх выражает степень снижения, сопротивления рассматриваемого объекта (поезда) по сравнению с сопротивлением плоского диска той же площади. Коэффициенты обтекаемости подвижного состава определяют путем продувки моделей в аэро-
263
динамической трубе, а также при натурных испытаниях на магистральных линиях. Результаты опытов показывают, что у одиночных локомотивов, не имеющих обтекаемой формы, Сх = 0,9 4- 1, а при наличии обтекаемой формы снижается до 0,45—0,55. Из грузовых вагонов наибольшим воздушным сопротивлением обладают хопперы, крытые вагоны и полувагоны, относительно меньшим — цистерны, порожние платформы.
Опыты с составами высокоскоростных поездов показывают, что значение Сх для них в значительной степени зависит от длины состава и почти не зависит от скорости.
Доля воздушного сопротивления поезда в общем основном сопротивлении резко возрастает с повышением скорости (с 35 % при скорости 25—30 м/с до 60—70 % при скорости 50—60 м/с). Поэтому вагонам высокоскоростных поездов необходимо придавать максимально обтекаемую форму, чтобы уменьшить значение Сх. Особенно важно уменьшить влияние междувагонных промежутков путем сокращения их числа, размеров или применения ограждений защитными кожухами.
Удельное аэродинамическое сопротивление поезда составляет
_r P^2S______________r
2(Mn + 2znB)g	х 2nm0g
гце п — число осей в поезде;
т0 — средняя масса, приходящаяся на ось.
Из этого выражения видно, что удельное воздушное сопротивление поезда обратно пропорционально его массе. Следовательно, с энергетической точки зрения рациональнее использовать составы с наибольшей нагрузкой от оси колесной пары на рельс.
Расчетные формулы основного сопротивления. Основное сопротивление движению представляет собой сумму механического, зависящего от большого числа факторов, и аэродинамического сопротивлений, количественное разделение которых на составные части в общем случае невозможно, поэтому формулы для его учета получают экспериментальным путем. Для этого проводят специальные опыты в условиях эксплуатации с измерением сил сопротивления специальными динамометрами (динамометрические испытания), результаты опытов математически обрабатывают и на основе их анализа составляют эмпирические формулы основного удельного сопротивления.
Формулы, выражающие средние суммарные зависимости основного сопротивления для каждого вида подвижного состава от скорости и средней нагрузки на ось, имеют следующий вид:
b-\-cv + dv2
&о = а 4---------;----
(9.19)
или при известной средней нагрузке на ось
Wj — Д4-В v-|-C v2,
264
где а, b, с, сЦ — эмпирические коэффициенты, зависящие от конструкции по-А, В, С j движного состава и пути (их значения приведены в Правилах тяговых расчетов);
v — скорость движения, м/с.
Например, для грузового четырехосного вагона значения коэффициентов составляют: а = 0,7 Н/кН; b = 80 Н (подшипники скольжения) и b — 30 Н (подшипники роликовые); с — 3,6 Н-с/м; d = = 0,32 Н-с2/м2. При осевой массе, приходящейся на т0 = 22 т (груженый вагон на роликовых буксах), А = 0,836 Н/кН; В = 0,0164. Н-с/(кН-м);С = 0,0015 Н-с2/(кН-м2) и при и - 25м/с^о = 2,2Н/кН.
Основное удельное сопротивление снижается также с увеличением массы вагона. Так, натурными опытами установлено, что основное сопротивление восьмиосных груженых полувагонов и цистерн при и > 10 м/с значительно меньше сопротивления четырехосных, и этот эффект усиливается с ростом скорости (при v = 15 м/с снижение на 5 %, при v = 25 м/с — на 12 %). Для порожних вагонов эта разница еще больше. На основании опытов рекомендовано для определения сопротивления восьмиосных цистерн принимать в формуле (9.19) а = 0,7; fc = 60 Н; с =1,37 Н-с/м; d = 0,272 Н-с2/м2.
Для пассажирского цельнометаллического вагона с роликовыми подшипниками: а = 0,7; b = 80Н; с = 6,5 Н-с/м; d = 0,38Н-с2/м2.
Для локомотивов различных серий ввиду их большого многообразия удельное сопротивление каждого из них представляют в виде графика w'o (f) — движение под током, wx — движение без тока, а в приближенных расчетах пользуются осредненными формулами для всех тележечных локомотивов:
w’o = 1,9 4- 0, ОЗби + 0,0039и2;
= 2,4 + 0, ОЗби 4-0,0045и2.
Учитывая, что масса локомотива по сравнению с общей массой поезда составляет только 5—10 %, при определении удельных сопротивлений по осредненным формулам вместо подсчета их действительных величин в процессе тяговых расчетов поезда получаются весьма малые погрешности.
К дополнительному сопротивлению движению поезда относят сопротивления от уклона пути, от его кривизны, от изменения метеорологических условий, от работы подвагонных генераторов. При расчетах эти виды сопротивлений суммируют с основным сопротивлением.
При следовании единицы подвижного состава по подъему горизонтальная составляющая силы тяжести направлена противоположно движению поезда и создает дополнительное сопротивление (рис. 9.11). Крутизна уклона элемента А Б продольного профиля пути измеряется отношением разности высот h начальной и конечной точек этого элемента к расстоянию Z между ними. Уклон обозначается буквой i и выражается в тысячных долях (°/оо). Численному значению i на подъеме придается знак «+», на спуске — знак «—». Например,
265
Рис. 9.11. Схема возникновения силы сопротивления Wi при движении на подъем i = — 9 обозначает спуск, у которого на каждые 1000 м длины пути высота понижается на 9 м.
В процессе следования поезда по подъему сила тяжести mg единицы подвижного состава, изображенная вектором, образует некоторый угол а с перпендикуляром к плоскости пути, равный углу наклона оси пути к горизонту. Проектируя этот вектор на оси, направленные вдоль пути х и перпендикулярно к нему z, получим две составляющие силы, одна из которых прижимает единицу подвижного состава к пути, а другая направлена против движения и составляет
Wt = mg sin а = mgh 11 =mgi = mgwt, где
W}	mgi
W; =----= -----= i.
mg	mg
Таким образом, удельное сопротивление от подъема пути численно равно уклону.
При следовании поезда по спуску продольная составляющая его веса направлена в сторону движения и по существу является не силой сопротивления, а движущей силой.
При движении поезда по кривым участкам пути появляется дополнительное сопротивление, вызываемое:
прижатием гребней колес набегающей (передней) колесной пары тележки к кромке наружного рельса, в результате чего между ними возникает непрерывное трение скольжения;
прижатием гребня колеса задней колесной пары к кромке внутреннего рельса, что также вызывает трение скольжения и соответствующие силы сопротивления движению;
появлением продольных сил трения скольжения вследствие несогласованного качения колес колесной пары по наружному и внутреннему рельсам, имеющим различные радиусы кривизны. Необходимым условием качения колес с коническими поверхностями без скольжения на кривых участках пути является соблюдение соотношения
r/r1 = R/R1,
где г, г± — радиусы кругов катания правого и левого колес;
R, Ry — радиусы кривизны наружного и внутреннего рельсов.
266
При правильно изготовленных новых колесных парах и рельсах без износов это условие выполняется только для кривой одного определенного радиуса и только для отдельных осей. Поэтому приведенное условие практически никогда не выполняется и при движении экипажа по кривому участку пути всегда возникает проскальзывание колес, вызывающее появление продольных сил трения скольжения;
возникновением сил трения на торцах буксовых подшипников при вписывании экипажа в кривые участки пути и действием в связи с этим боковых сил инерции, сил трения в пятниках и скользунах и др.
В общем случае дополнительное сопротивление на кривых участках пути зависит от радиуса кривой, скорости, расстояния между осями в тележках, зазоров между гребнями колес и головками рельсов, профиля поверхностей катания колес, их износа, величины разбе-гов подшипников вдоль осей и пр. Как правило, дополнительное сопротивление оценивается экспериментальным путем и обычно представляется эмпирическими формулами. В приближенных расчетах согласно Правилам тяговых расчетов удельное сопротивление от кривой для любого вида подвижного состава рекомендуется определять по формуле
wr = 700//?,
где R — радиус кривой, м.
Поскольку это сопротивление имеет такую же размерность, как и при движении по подъему, их обычно суммируют и называют приведенным уклоном:
/к = L wr = i+700/7?.
В пассажирских поездах, вагоны которых оборудованы подвагон-: ными генераторами, существенным оказывается сопротивление движению, обусловленное работой генераторов с приводом от осей колесных пар. Сопротивление от генератора может быть определено из равенства работы силы его сопротивления WT в единицу времени и отдаваемой мощности генератора Nr:
уу ГС —	,
Иг Пп
где Пг> Пп — к- п- Д- генератора и его привода. Следовательно, удельное сопротивление можно определить из выражения
Wr	Nr
ц/г —----- =-----------,
тъ g	mBgv т]г т]п
где пгв — масса вагона, т.
Значение шг, подсчитанное по этой формуле, следует сложить со значением w0, определяемым по формуле (9.19).
На силы дополнительного сопротивления движению влияют также изменения метеорологических условий. Так, снижение температур, 267
Рис. 9.12. Зависимость удельного основного сопротивления от скорости
вызывающее повышение вязкости буксовых смазочных материалов, ведет к повышению сил и коэффициента сопротивления движению. Повышается также сопротивление и при сильном ветре, и при снегопадах.
Сопротивление поезда при трогании
с места. Приведенные выше формулы для определения основного сопротивления действительны только при скорости выше 3 м/с. С момента трогания и = О
и до v — 3 м/с закономерность изменения сопротивления имеет совсем иной характер (рис. 9.12, штриховая часть линии). Это объясняется главным образом тем, что в результате продолжительной стоянки сма- •
зочное масло выдавливается из-под подшипников скольжения и при
трогании поезда возникает полужидкостное или даже полусухое трение. Кроме того, продолжительная стоянка вызывает повышенные остаточные деформации элементов верхнего строения пути под колесами, что увеличивает сопротивление качению колес в момент трогания.
Точных данных для построения аналитической или эмпирической зависимости удельного сопротивления от скорости в зоне 0—3 м/с нет. Поэтому для практических целей условно считают, что удельное основное сопротивление во всем указанном диапазоне одинаковое, как при скорости 3 м/с, а повышение сопротивления в момент трогания оценивают дополнительным удельным сопротивлением штр. Для поезда рекомендуется принимать + шгр — A/(7Q-j-m0g) (Л =280 Н — для вагонов на подшипниках качения и А = 1420 Н — на подшипниках скольжения; mog — нагрузка от оси колесной пары на рельс).
Следовательно, сопротивление троганию состава, оборудованного буксами с роликовыми подшипниками, в 5 раз меньше, чем на подшипниках скольжения.
Следует иметь в виду, что сопротивление, оцениваемое по этим выражениям, соответствует случаю плавного трогания поезда. При неплавном трогании сцепные устройства испытывают действие очень больших сил, что иногда может привести к разрыву поезда.
Общее сопротивление движению поезда. Общее сопротивление поезда определяется как сумма основного и дополнительного сопротивлений вагонов и локомотива. Это сопротивление может быть выражено
как
WK= (w'q ± 0 2 тв (w'o ± 0 2 тл g;
удельное сопротивление поезда
_________Wk__________________ (u>q ± *'к) 2 тв g (w'o ± *к) 2 тл g 2mBg-)-Emng________(2mB4-2mJI)g
. .	± 1н—	± jk>
1 -|-a
268
2тл
где а = ----, 2тв, 2тл — суммарная масса вагонов и локомотивов в поезде.
2/пв
Уменьшение сопротивления позволяет увеличить массу поезда, скорость движения и уменьшить расход топлива и электроэнергии, для чего на железных дорогах проводятся соответствующие мероприятия: увеличение грузоподъемности вагонов и ее полное использование; своевременный переход на зимние, северные и летние сорта осевых масел; содержание пути и ходовых частей подвижного состава в исправности; сокращение количества и продолжительности стоянок поездов на станциях и раздельных пунктах; содержание в исправности всей тормозной системы; уменьшение крутизны уклонов; увеличение радиусов кривых участков пути; укладка тяжелых длинномерных рельсов, бесстыкового (со сварными стыками) пути, применение тяжелых балластов; уменьшение допусков уширения колеи на прямых участках пути; применение устройств для смазывания боковых граней рельсов на кривых участках пути; переход на роликовые подшипники; насыщение парка большегрузными вагонами; придание обтекаемых форм локомотивам и вагонам; уменьшение числа и размеров междувагон-ных промежутков в поезде; устройство ветрозащитных лесных насаждений вдоль железнодорожных линий.
Проведение перечисленных мероприятий особенно эффективно в настоящее время, когда широко внедряется высокоскоростное движение и значительно увеличиваются нормы масс поездов.
9.4. ТОРМОЗНАЯ СИЛА ПОЕЗДА
Тормозными силами называются искусственно создаваемые внешние силы, приложенные к поезду против направления движения для остановки или снижения скорости. Тормозные силы должны быть достаточно большими, чтобы работа их на относительно небольшом расстоянии (тормозном пути) могла погасить всю кинетическую энергию движущегося поезда большой массы. Как правило, тормозные силы существенно превосходят силы тяги локомотива.
Тормозные силы в современных железнодорожных поездах создаются в основном тремя различными способами: прижатием тормозных колодок к ободам колес (колодочный тормоз) или к специальным дискам, жестко насаженным на оси колесных пар (дисковый тормоз); прижатием специальных электромагнитных башмаков к рельсам (магнитно-рельсовый тормоз); путем превращения тяговых электродвигателей в электрогенераторы (рекуперативное и реостатное торможение).
Наиболее распространенным является первый способ создания тормозных сил. Для этой цели вагоны и локомотивы оборудуют пневматической системой с соответствующими устройствами, позволяющими в любой момент краном машиниста на локомотиве, стоп-краном на
269
вагоне или автоматически при обрыве междувагонмых соединений прижать колодки к колесам или дискам колесных пар.
Второй способ торможения применяется на высокоскоростных пассажирских вагонах и только при экстренных остановках поезда.
Третий способ (электрическое торможение) используется для регулирования скорости поезда. Особенно выгоден з эксплуатации рекуперативный вариант торможения на затяжных и крутых спусках, так как при этом значительная доля кинетической энергии поезда обращается в электрическую и возвращается в контактную сеть. Однако для осуществления такого варианта требуется дополнительно устанавливать специальное оборудование на электровозы (необходимы генераторы-возбудители, питающие обметки возбуждения тяговых электродвигателей).
Реостатный вариант торможения конструктивно наиболее прост и может применяться при электрической и тепловозной (с электрической передачей) тяге, но экономически он уступает рекуперативному, так как вырабатываемая при торможении электроэнергия теряется в виде тепла.
Возникновение тормозной силы в результате нажатия одной или нескольких колодок на колесо диаметром D или жестко связанный с ним тормозной диск (или барабан) диаметром d можно понять из рассмотрения схемы действия сил, приложенных к колесу при торможении (рис. 9.13).
Катящееся с угловой скоростью со колесо прижимается к рельсу вертикальной силой Q и воспринимает действие силы К нажатия колодки на диск. Вследствие относительного скольжения между колесом и колодкой возникает сила трения ркК, (рк — коэффициент трения). Зга сила направлена в сторону, противоположную движению течки А диска. Условно перенеся силу трения в центр О колеса и добавив равную ей и противоположно направленную силу (ркК)', действие силы трения на колесо можно заменить действием пары сил pK/<d/2 и силы (ркК)\ приложенной в центре колеса. Поскольку момент пары сил замедляет вращение колеса, угловая скорость которого вследствие сцепления с рельссм связана со скоростью v поступательного движения поезда соотношением со =. 2t/D, в точке контакта О' колеса с рельсом возникает касательная сила Зт реакции рельса.
На колесо действует также горизонтальная сила К и реакции осевых подшипников, противоположно направленная силам Вт и равная их сумме: /Сп = Вт + К. Если к колесу прижи-
Рис. 9.13. Схема действия сил на колесо при торможении
270
маются две тормозные колодки с противоположных сторон, то силы нажатия их взаимно уравновешиваются и горизонтальная реакция подшипников будет равна только тормозной силе Кп — Вт-
Тормозная сила Вт, определяемая из условия равенства приложенных к колесу моментов pK/(d/2 и Bt.D/2, не должна быть больше силы сцепления колеса с рельсом
=	(9.20)
Эта формула справедлива и для дискового тормоза.
В случае когда роль тормозного диска играет обод самого колеса (обычный колодочный тормоз), отношение диаметров в формуле (9.20) обращается в единицу. Следовательно, тормозная сила Вт, внешняя по отношению к поезду, зависит от величины коэффициента трения рк и силы К нажатия колодок на колеса, а наибольшая величина ее определяется коэффициентом фк сцепления колеса с рельсом и силой Q вертикальной реакции рельса на колесо.
Коэффициент трения трущейся пары деталей (колодка с диском или колесом) зависит от материала, из которого они изготовлены, состояния и формы трущихся поверхностей, давления и скорости скольжения. При торможении поезда прижатием колодок к колесам механическая энергия движения превращается в тепловую энергию нагрева, возникающего из-за трения колодок о колеса. При большой скорости движения выделяется большое количество тепла в единицу времени, что приводит к перегреву (накаливанию, размягчению и расплавлению) микрослоя взаимодействующих поверхностей, превращению его в своеобразную смазку. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которыми установлено, что коэффициент трения рк уменьшается с увеличением скорости скольжения и давления. Для стандартных колодок железных дорог СССР рк определяют по эмпирическим формулам:
для чугунных колодок
1,6КЧ-100	3,6^-4-100
и ,. = 0,6------- ----------;
р	8К4-Ю0	18и4-100
для композиционных колодок (типа 6КВ-10)
К 4“200	3,6у4-150
‘ к 4/f4-200 7,2v4-150u
где К — сила нажатия на колодку;
f — скорость скольжения колодки по колесу.
В эксплуатации желательно иметь тормозную силу возможно большей, но при этом недопустимо превосходить силу сцепления колес с рельсами согласно условию (9.20). Нарушение этого условия приводит к заклиниванию колес тормозными колодками и их скольжению по рельсам — юзу. При юзе тормозная сила резко уменьшается, так как коэффициент трения скольжения колеса по рельсу всегда меньше коэффициента сцепления при качении, а главное колеса выходят из
271
строя из-за сильного изнашивания с образованием на поверхности их катания ползунов, трещин и отколов. Из неравенства (9.20) следует, что допускаемое значение нажатия К при dID = 1 определяется следующими соотношениями:
Мк
Правильный выбор коэффициента тормозного нажатия 6 имеет важное значение. Занижение его ведет к снижению тормозной силы, а при завышении может возникнуть заклинивание колес без выигрыша в тормозном эффекте. Значение 6, зависящее от коэффициентов и цк, которое принимают в эксплуатации различные значения, может изменяться в широких пределах
6 =	^_Фп^=0>254.2,0.
P-max Pmin
При проектировании тормозных устройств подвижного состава принимают средние значения 6: при стандартных чугунных колодках для локомотивов—0,5—0,6, для грузовых вагонов — 0,6—0,65, для пассажирских вагонов — 0,7—0,9; при композиционных тормозных колодках — 0,3.
Расчет тормозных вагонных устройств ведут как для груженого, так и для порожнего состояния.
Учитывая также различие соотношений фк и рк для различных скоростей движения, тормоз высокоскоростных вагонов дополняют скоростным регулятором, автоматически устанавливающим силу тормозного нажатия в зависимости от скорости (для v > 50 м/с 6 = 2,0; для v <Z 20 м/с б = 0,8).
Общая тормозная сила поезда определяется суммарной силой нажатия S/C тормозных колодок в нем на локомотиве и вагонах
1000S К = ЮОО^кр S Д,
где Р'кр — расчетное (среднее) значение коэффициента трения, соответствующее средней силе нажатия колодки в поезде Д = 27 кН и определяемое по формуле
1,6-27 + ЮО 3,6 у+100 _0 97 3,6 у> +100 Цкр = 0,6 g 27_р00 igc’-f-lOO “ ’	18^ + 100
В расчетах удобно пользоваться значением удельной тормозной силы &т, т. е. силы, отнесенной к единице массы поезда,
ЪК
Ьт= 1000Икр	-- ~= ЮООркрО,
g (S Л4л + 2/ив)
где Мл, тв — масса соответственно локомотива и вагона, т; 0 — действительный тормозной коэффициент поезда:
е= . 3-К----------=	=ед+б8.
£(2/Ил + 2/пв)	§(2АТл + 2/пв)
272
Рис. 9.14. Тормозные характеристики электровоза ВЛ8 при рекуперативном торможении
Полное удельное сопротивление движению заторможенного поезда состоит из основного wox, дополнительного iK, зависящего от профиля и плана пути, и удельной тормозной силы
&т± 1к — ЮООфкр 6-|- wox ± Вн-
если поезд идет по подъему, то iK имеет знак «+», а если по спуску, то tK будет со знаком «—».
В случае электрического торможения методом рекуперации механическая энергия движущегося поезда переходит в электрическую.
Тяговые двигатели работают в этом случае как генераторы, и вырабатываемый ими ток возвращается в контактную сеть. Возникающие при этом в якорях электродвигателей моменты тормозят вращение колесных пар, создавая в местах контакта их с рельсами тормозную силу Втр электровоза. Эта 'сила зависит от возникающей силы тока /д в обмотках двигателя, магнитного потока СФ, числа тэ электродвигателей на электровозе, силы ДЕ дополнительного сопротивления двигателей в генераторном режиме и определяется по формуле	♦
£тр = (3,оС Ф Iд + Д F) tn$.
Тормозные характеристики электровоза ВЛ8 при рекуперативном торможении показаны на рис. 9.14.
Рекуперативное торможение применяют только для регулирования скорости движения поезда на затяжных спусках, поэтому в тормозных расчетах для определения тормозного пути при остановке поезда оно не учитывается. При реостатном торможении тормозная сила создается аналогичным образом, но возникающая при этом электрическая 273
энергия вызывает лишь нагрев реостатов и обмоток двигателей и не может быть использована. Реостатное торможение также является вспомогательным и используется при регулировании скорости движения.
9.5. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПОЕЗДА И МЕТОДЫ ЕГО РЕШЕНИЯ
Математическая зависимость между действующими на поезд силами и приращениями его скорости и пройденного пути во времени определяется уравнением движения поезда. Если рассматривать поезд как массу М, сконцентрированную в его центре тяжести в одной точке, к которой в направлении движения приложена равнодействующая сила С, состоящая из касательной силы тяги локомотива Тк, силы сопротивления движению поезда и тормозной силы Вт, то согласно основному уравнению динамики (второму закону Ньютона) поезд получит ускорение а, определяемое из выражений:
Ма = С-,
dv = Tk—Wk—Bv
~ dt	М
(9.21)
Поскольку в подвижном составе отдельные элементы (колесные пары, якоря двигателей, зубчатые колеса передаточных механизмов), помимо поступательного движения, получают также и вращательное, ускорение поезда будет несколько меньше, что учитывается делением на соответствующую поправку 1 + у. Эта поправка для вагонов в предположении, что вращение колес происходит без проскальзывания (v = юг), имеет вид
где /пкп, — масса соответственно колесных пар и всего вагона;
р, г— радиусы соответственно инерции и круга катания колеса.
Для локомотива в этой поправке дополнительно должна учитываться также инерция других вращающихся частей с соответствующими передаточными числами. Ориентировочные значения у приведены в табл. 9.1.
Если в уравнение (9.21) внести указанную поправку, а силы сопротивления в числителе заменить их удельными значениями (отнесенными к силе тяжести поезда), то получим
dv __ (TK—WK—Bv)g _	g )
dt 1000Л4 g (1+y) Uk 'Wk ?T lOOO(lH-y)’
или	j	(9.22)
dv	i
,, — (Zk—k’k—bT) £, dt	j
где £ = -----—----— ускорение поезда при удельной ускоряющей силе.
1000 (1 + т)
274
Таблица 9.1
Вид подвижного состава	Значения коэффициентов	
	V	С-103, м/с2
Пассажирский вагон Грузовой четырехосный вагон:	0,042	9,4
груженый	0,028	9,5
порожний	0,084	9,0
Электровоз	0,17—0,19	8,3—8,2
Тепловоз	0,11—0,12	8,8—8,7
Паровоз	0,04—0,06	9,4—9,3
Принимая для грузового поезда среднее значение у ~ 0,06, получим
9,81 £,=----------=0,00925 м/с2.
1000-1,06
В практических расчетах обычно С выражают в км/ч2. Значения С для отдельных видов подвижного состава приведены в табл. 9.1 (в качестве среднего для поезда принимают £ = 120 км/ч2).
Практически все основные задачи в тяговых расчетах (расчет скорости движения времени хода, расчет массы состава), а также в тормозных расчетах решаются при помощи уравнения движения поезда (9.22).
Движение поезда по участку с различным профилем пути характеризуется в основном тремя режимами работы локомотива: тяга, холостой ход (выбег), торможение. Равнодействующая сила С, приложенная к поезду, соответственно определяется выражениями:
С1 = ТК-1ГК; C2=-rK; C3=-WK-BT.
Величина и знак равнодействующей силы определяют характер движения поезда: если равнодействующая равна нулю, значит, поезд движется равномерно (с постоянной скоростью или стоит); если равнодействующая сила положительная (т. е. направлена в сторону движения), то поезд движется ускоренно; если отрицательная, то движение замедленное. Поскольку сила С сообщает поезду ускорение (или замедление), ее называют ускоряющей силой.
Большая группа задач в тяговых расчетах решается в предположении движения поезда с постоянной (иногда упрощенно называемой равномерной, соответствующей равномерному движению) скоростью. К таким задачам относятся: определение массы поезда, Который может вести локомотив данной серии при заданной скорости по участку пути известного профиля; определение постоянной скорости, которую может развить локомотив данной серии при заданной массе поезда на участке пути данного профиля; определение тормозной силы рекупе
275
рации Втр и величины тока, отдаваемого электровозом в контактную сеть в случае движения на спуске с заданной скоростью.
Масса состава Мс при движении поезда по расчетному подъему ip с постоянной заданной скоростью определяется из условия С = = Тк -	= О,
Тк — WK— (^о~Нр) Afcg-|- (tw0 +»p) Л4Л g,
откуда
Т'к-(и’о “Н'р) g
Мс—------------------.
(^+l-p)g
Подставляя в эту формулу значения касательной силы Тк для заданной скорости из тяговой характеристики соответствующего локомотива, его массы, а также значения основного и дополнительного ip сопротивлений, определяют массу состава. Допустимость этой массы затем корректируют исходя из ряда дополнительных условий.
В действительности движение поезда с постоянной скоростью бывает только в редких случаях и на практике часто приходится решать задачи о неравномерном движении с непостоянной скоростью. Сюда относятся задачи, связанные с разгоном и торможением поезда, использованием кинетической энергии для преодоления крутых подъемов, определением скорости и времени хода поезда по перегонам и участкам с разнообразным профилем и планом пути. Задачи этого рода решаются интегрированием дифференциального уравнения движения поезда аналитическим или графическим способом, ЭВМ с отысканием зависимостей между скоростью v, временем t и пройденным путем S.
Воспользовавшись методом разделения переменных, приведем дифференциальное уравнение (9.22) к виду
dv
(9.23)
dt =------------------
С (/к	^т)
и после интегрирования в пределах изменения скорости от vn по vn+1 найдем время
dv
(9.24)
Учитывая, что v — dS/dt и заменяя в уравнении (9.23) dt через dSIv, определим путь AS, пройденный поездом за время изменения скорости от v до vn+1:
vdv	ос. .	1 7’+1
-—	; A S = Sn+1—Sn=	.
£ (/к—	—Ьт)	£ " /к—Ьт
vn
(9.25)
276
Интегралы в уравнениях (9.24) и (9.25) могут быть взяты в случае известного аналитического выражения зависимости удельной ускоряющей силы (знаменателей дробей) от скорости. Если силы основного сопротивления и тормозные задаются в виде эмпирических формул Wo = Л (и), Вт = /2 (и), то зависимость силы тяги локомотива от скорости обычно задается графиком Тк = / (и), и для возможности аналитического интегрирования необходимо аппроксими-
Рис. 9.15. Замена кривой удельных ускоряющих сил АБЗГДЕЖЗ ступенчатой линией абвгдежзиклмно
ровать их соответствующими мате-
матическими выражениями. На практике уравнение движения поезда обычно интегрируют методом конечных разностей малых приращений скорости Ди = vn+1 — vn, в пределах которых равнодействую-
щая сила принимает постоянное значение, соответствующее среднему значению скорости в этом интервале. Следовательно, при способе конечных приращений заданная кривая удельных ускоряющих сил с — f (v) заменяется расчетной ступенчатой (рис. 9.15) для случая тяги поезда. При таких условиях интегралы уравнений (9.24) и (9.25) можно вычислить по формулам:
. , ЛVn+i—Vn д --------= Т77---~;
Ь сп, П + 1	S (/К ®К/ПСр
Д	+	(Vn+1—Vn) =	(^n+l~^n)
2 (/к—vuK)n ср	2^ (/к—и>к)п ср
Из сопоставления этих выражений можно получить А5 --- ^ср
(9.26)
(9.27)
Следовательно, при постоянном значении ускоряющей силы С = — fK — wK = const в пределах каждого интервала скорости Ди движение поезда принимается равноускоренным (С >> 0) или равнозамедленным, т. е. отрезки кривой v = f (S) заменяются прямыми. С уменьшением интервалов Ди точность расчета возрастает. Если С = 0 (движение равномерное), значит, далее на расстоянии SpaB до перелома профиля или до изменения режима работы локомотива поезд движется с постоянной скоростью г?рав и время хода его определяется как
Д *рав — ^*рав/урав-
Скорость урав называют иногда равновесной, так как она соответствует моменту наступления равенства силы тяги локомотива силе сопротивления движению поезда.
Приведенный способ интегрирования дифференциального уравнения движения поезда не единственный. В практике тяговых расче-
277
тов используются метод Эйлера, который сводит задачу к построению некоторой ломаной линии в качестве приближенного представления искомой интегральной линии; решение уравнения при помощи ряда Тейлора; построение диаграммы скорости v — f (S) и t — f (S) способами, рекомендованными МПС, и др.
В практических расчетах при определении пропускной способности железных дорог и составлении графиков движения поездов наибольшее применение наряду с аналитическим методом конечных разностей получил графический способ МПС как наименее трудоемкий. Этим способом строится кривая v = f(S) применительно к расчетному участку со спрямленным профилем пути на основе использования диаграмм ускоряющих и замедляющих сил, построенных для заданной массы состава и определенного типа локомотива при выбранном наиболее рациональном режиме его работы.
Так как расчет скорости необходимо делать для каждого элемента профиля в отдельности, а масса поезда при этом считается сосредоточенной в одной точке, короткие элементы, на которых поезд по длине не размещается, следует объединять в один элемент спрямленного профиля. Замена действительного профиля фиктивным спрямленным основана на предположении, что при движении поезда по спрямленному участку механическая работа сил сопротивления на всей его протяженности равна суммарной механической работе этих сил на действительных элементах профиля, входящих в спрямленный участок.
Построив таким образом кривую скорости по всему участку пути, можно выбрать наиболее рациональный метод эксплуатационной работы. В тех местах, где скорость резко понижается из-за трудного профиля пути, усиливают средства тяги (применяют более мощные локомотивы, кратную тягу, дополнительное подталкивание), на затяжных спусках вводят рекуперативное торможение, выбирают участки, где целесообразно предусмотреть преодоление крутых подъемов путем использования кинетической энергии поезда (предварительный разгон до повышенной скорости). Эта кривая и дополнительно построенная диаграмма (на ней для каждого перегона по расчетному подъему подсчитывают наибольшую массу поезда, который может везти локомотив заданной серии), кривые времени хода поезда, тока и расчеты по ней условий нагрева обмоток электродвигателей и некоторые другие расчеты позволяют решать задачи, связанные с унификацией весовых норм и их дальнейшим повышением, что является главным средством освоения растущего грузооборота железных дорог.
Расчетная масса поезда, определенная по условию движения с равновесной скоростью на расчетном подъеме рассматриваемого участка, дополнительно корректируется с учетом использования предваритель-hq накопленной кинетической энергии, по условиям трогания с места, по допустимому темпу увеличения скорости, по длине приемо-отправочных путей с учетом погонной нагрузки вагонов.
Торможением называется процесс, при котором с помощью тормозных сил снижается скорость движения поезда. Тормозным путем назы-278
зается расстояние, которое проходит поезд от начала торможения (от момента поворота ручки крана машиниста или крана экстренного торможения в тормозное положение) до полной его остановки. Тормозные пути различаются в зависимости от вида торможения (служебное и экстренное). По условиям безопасности движения важное значение имеет тормозной путь при экстренном торможении.
Для грузовых поездов приняты следующие расчетные значения тормозного пути ST: 1000—1300 м — для спусков до 6 °/00, 1200— 1500 м — для спусков круче 6 °/р0, но не более 1О°/оо при скоростях 80 и 90 км/ч соответственно.
Процесс торможения определяется следующими элементами: тормозными средствами, от которых зависит расчетный тормозной коэффициент 6Р, длиной расчетного тормозного пути ST, начальной ун и конечной ук скоростями торможения, профилем пути /к. Математическая связь между этими элементами определяется уравнением движения поезда, которое в этом случае имеет вид
dv d2 S
~	. „ = £	+*к) >	(9.28)
dt at2
ИЛИ
vdv dS=—------------—-.
b (а1ОХ“1А“Н'к)
При решении задач торможения обычно приходится определять тормозной путь при известных начальной скорости, тормозных характеристиках поезда и участках пути или начальную и конечную скорости торможения при снижении скорости. В другой группе задач определяется тормозная сила поезда по заданным расчетному тормозному пути, начальной и конечной скоростям торможения. При расчетах тормозного пути учитывают, что от момента начала воздействия на тормозную систему до момента начала снижения скорости проходит некоторое время tn, называемое периодом подготовки тормозов к действию, в течение которого поезд проходит путь Su, называемый пр едтормозным путем:
Sn ~ ин ’
где ин— начальная скорость, м/с.
Таким образом, от момента начала снижения скорости под действием тормозов до полной остановки поезд проходит путь 5Д, называемый действительным тормозным путем, который составит
5<г = S—5Д.
Период подготовки тормозов к действию определяется временем распространения тормозной волны по воздушной магистрали поезда и временем повышения давления в тормозных цилиндрах. Хотя тормозное нажатие и тормозная сила нарастают постепенно, в расчетах принимают, что они возникают мгновенно по прошествии времени tn.
279
Согласно опытным данным время подготовки тормозов к действию рекомендуется определять по формуле
где а, b — дополнительное время, которое принимают в зависимости от рода и длины поезда: грузовой поезд длиной до 200 осей — а = 7, b — = 10, то же длиной от 200 до 300 осей — а = 10, b = 15, то же длиной более 300 осей — а — 12, b — 18; пассажирский поезд с пневматическим тормозом — а — 4, Ь = 5, то же с электропневмати-ческим — а = 2, 5=3. В случае торможения поезда автостопом, система которого срабатывает с запаздыванием, к величине а прибавляют 12 с;
ic — крутизна приведенного уклона, принимаемая со знаком «+» на подъеме и со знаком «—» на спуске;
5Т — удельная тормозная сила.
В соответствии с выражением (9.27) интеграл дифференциального уравнения (9.23) применительно к расчету действительного тормозного пути может быть записан в виде
s =2 500
Я £ (^т+^ох + ^с)
где vn, vn+1 — начальная и конечная скорость поезда в принятом расчетном интервале от п до п + 1;
£ — замедление поезда под действием замедляющей силы;
5Т -j- wox -j- ic — среднее значение удельного сопротивления движению поезда, соответствующее средней скорости в рассматриваемом интервале 0,5 (vn + vn+i)-
Расчет действительного тормозного пути поезда можно получить и в замкнутой форме. Так как в дифференциальном уравнении движения удельные силы сопротивления являются функциями скорости и переменные разделяются, интеграл его может быть получен с помощью квадратуры
1 рн vdv	пп.
5Д=—	----------.	(9.29)
В g	1С
Если принять основное удельное сопротивление для всего поезда как для состава, то подынтегральную функцию можно представить в виде
v av (и + &)а (и2-|-6и)
Щох + ^т + ^с	D v3-\-C и2-\~В v-{-A D (и—а)
v2/D-\-bv/D	/ L
---------------------- - а ------
(и—а) (v2-\-pv-\~q)	\ v — а
М v-\-N v2 -{- pv -f- q
где А, В, С, \ — постоянные коэффициенты, зависящие от удельного сопро-D, a, b, J тивления поезда, коэффициента трения колодок, величины уклона ic (табл. 9.2);
а, р, q — коэффициенты разложения многочлена знаменателя подынтегрального выражения;
280
L, M, N— коэффициенты разложения подынтегральной дроби
1 а(а+Ь) м = —	+
D ct(cc+p)4-9 ’ D a(a+p) + q
1 «(P—^)+о
D a (a+p)+p
Подставляя полученное выражение под интеграл (9.29) и интегрируя, найдем
V„
a L , Mu-f-tf \ ЮООа
s — I-------------1-----1---- dv = -----х
g J \и — a v2+pv~\-q ) е
v[,f а —	, М ^4-р»н+<7 . 2/V —рМ
X I Lin------1—— In —----------Н— - X
_ а 2	q	у4q—р2
!	2ин4-р	р \1
х	~arctg V» )]•
Задачи на определение тормозного пути поезда могут быть решены и графическим способом. Только в этом случае диаграмма ускоряющих (замедляющих) сил строится с учетом тормозной силы С = Ьт + + ш0, а кривая v = f (S) начинается с высокой начальной скорости, идет горизонтально на длине подготовки Sn= 0,278 uHZn, а затем идет с понижением до v = 0.
Пользуясь изложенными методами, можно решать и обратную задачу, т. е. определять начальную скорость торможения, при которой поезд с заданными тормозными характеристиками будет иметь тормозной путь нормативного значения. Такие задачи решаются подбором (при аналитическом решении) или из анализа графика, построенного для определения тормозного пути в прямой задаче.
Таблица 9.2
Тип	Значения постоянных коэффициентов
тормозных колодок	 А	|	В	| С | D | а | b
• Для пассажирских поездов
Чугунные I 27 000ер+120ф1001с| 270 ep-f-7,2-}-5 ic 10,080 10,0010 I 51 20
Композиционные! 54 000 0р+180+150 ic| 360 0р+4,2+2 хс |0,054 |0,0004] 2; 75
Для грузовых поездов
Чугунные I 27 000 0Р+108+100 icl 270 0р+5,88+5 гс|0,036010,000601 5 I 20
Композиционные! 54 000 0р+162+150 tc| 360 0Р+2,78+2 zc|0,0114|0,00024| 2| 75
Для локомотивов
Чугунные ] 27 000 0р+23О+100 ic | 270 0Р+15+5 ic 10,1950|0,00101 5 | 20
281
Рис. 9.16. Номограммы для определения тормозного пути грузового поезда при экстренном торможении чугунными стандартными колодками на площадке (а) и на спуске 20%0 (б)
При расчетах тормозных путей поездов чаще всего пользуются расчетными номограммами, примеры которых показаны на рис. 9.16, а, б.
На дорогах при тяговых расчетах, необходимых для разработки графиков движения поездов, широко применяются электронные вычислительные машины. В основу программирования решений задач тяговых расчетов на ЭВМ кладут решения дифференциальных уравнений движения поезда. При этом режимы движения поезда выбирают с таким расчетом, чтобы были выполнены следующие условия: время хода поезда по перегонам было минимальным (t — min); обеспечивались максимально допустимые скорости следования поезда соответственно состоянию пути, конструкции локомотивов и вагонов; не превышались максимально допустимые температуры нагрева электрических машин локомотивов.
Рекомендации по выбору режимов движения поезда, исходная информация для выполнения тяговых расчетов и методы составления программ ведения счета на ЭВМ излагаются в специальных справочных руководствах. Известное применение в тяговых расчетах имеют 282
и аналоговые моделирующие машины. В частности, создана серия специализированных электронных машин непрерывного действия, предназначенных для решения дифференциальных уравнений (9.26)— (9.28). Их интегрирование производится с учетом программы профиля пути, а ускоряющая сила поступает в интегратор в виде кусочнолинейной аппроксимации ее характеристики для режимов тяги, холостого хода и торможения. Имеется блок автоматического выбора режима работы локомотива в пределах изменения скорости движения поезда от итах До ит1п, усовершенствованные блоки функциональных преобразователей характеристик удельных ускоряющих сил и программы профиля пути. Получившуюся кривую скорости в функции пути можно наблюдать на экране дисплея или зарегистрировать в виде диаграммы на бумажной ленте.
283
Глава 10
ПРОДОЛЬНЫЕ СИЛЫ В УДАРНО-ТЯГОВЫХ ПРИБОРАХ ПРИ МАНЕВРОВЫХ СОУДАРЕНИЯХ ВАГОНОВ
10.1. ОСОБЕННОСТИ УДАРНО-ТЯГОВЫХ ПРИБОРОВ
Ударно-тяговые приборы предназначены для сцепления вагонов и локомотивов, удержания их на заданном расстоянии друг от друга, передачи продольных усилий, возникающих в поезде при движении.
Приборы, предназначенные для соединения вагонов между собой и с локомотивами, называют сцепкой, а устройство, передающее продольные силы от вагона к вагону, — упряжью.
На железных дорогах применяются три разновидности вагонной упряжи. Упряжь, которая расположена вдоль всего вагона и передает его раме лишь часть тягового усилия N, равную сопротивлению данного вагона движению, называют сквозной (рис. 10.1, а). Такую упряжь с упругими элементами жесткостью су на середине рамы и буферными комплектами жесткостью eg по концам имели отечественные двухосные вагоны до перевода их на автоматическую сцепку.
Если упряжные приборы расположены по концам рамы вагона, которая воспринимает все передаваемое этими приборами тяговое усилие, то такая упряжь называется несквозной, или разрезной (рис. 10.1, б). Ею оборудовано большинство современных вагонов.
Распространение получают вагоны с упряжью смешанного типа (рис. 10.1, в), которая обладает особенностями сквозной и разрезной упряжи. При такой упряжи применяется подвижная хребтовая балка рамы, передающая часть тягового усилия соседнему вагону через ударно-тяговые приборы и поглощающие аппараты, а часть — данному вагону через специальное амортизирующее устройство.
По способу соединения сцепки разделяют на неавтоматические, при которых сцепление вагонов и локомотивов выполняет человек, и автоматические, обеспечивающие сцепление без участия человека. Автоматические сцепки разделяют на нежесткие и жесткие.
У нежестких автосцепок возможны относительные вертикальные перемещения в сцепленном состоянии, а у жестких исключаются относительные перемещения в сцепленном состоянии. Если продольные оси автосцепок сцепляемых вагонов находятся на разной высоте, то после сцепления автосцепки автоматически центрируются и занимают наклонное положение.
Подвижной состав советских железных дорог оборудован автоматической сцепкой нежесткого типа. Одним из элементов автосцепно-го устройства является поглощающий аппарат, который служит для уменьшения продольных усилий между вагонами в процессе их соударения. Усилия уменьшаются в результате преобразования кинетиче-284
тг гп^
Рис. 10.1. Схемы вагонной упряжи:
а — сквозной; б — несквозной (разрезной); в — смешанного типа с подвижной хребтовой балкой
ской энергии масс соударяющихся вагонов в работу сил трения и в потенциальную энергию деформации упругих элементов поглощающих аппаратов.
Конструктивная особенность автосцепного устройства такова, что при возникновении между вагонами как растягивающих, так и сжимающих нагрузок поглощающий аппарат работает только на сжатие. Это позволяет создать в заданных габаритах наиболее энергоемкую конструкцию поглощающего аппарата.
10.2. СИЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГЛОЩАЮЩИХ АППАРАТОВ
Показателем свойств поглощающего аппарата является силовая характеристика, представляющая зависимость между сжимающей аппарат силой и величиной его сжатия. В общем случае силовая характеристика поглощающего аппарата при сжатии имеет вид
N (x)=Cxn+NK,	(Ю.1)
где С —жесткость аппарата (см. рис. 10. ,б);
х — сжатие;
п — показатель степени, зависящий от конструкции аппарата;
NH — усилие начальной затяжки.
285-
vm‘'
Рис. 10.2. Виды силовых характеристик поглощающих аппаратов:
а — линейные Nc и лннейно-фрик-ционные Ncr, Nez', б — «жесткие;» Nel} в — «мягкие> Nci
Для одного и того же аппарата С и п могут зависеть от сжатия и скорости нагружения.
По форме силовые характеристики, соответствующие нагружению аппарата, бывают линейные {п = 1), жесткие (п > 1) и мягкие (п < 1). Различают также силовые характеристики статические и динамические: первые характеризуют силы сопротивления аппарата при медленном его сжатии, вторые отражают работу аппарата при ударах.
Силовые характеристики для различных поглощающих аппаратов даны на рис. 10.2, где Nct, Nct — силы сопротивления аппарата соответственно сжатию и разжатию; хт — наибольшее сжатие (ход) аппарата.
Линейные и линейно-фрикционные силовые характеристики (рис. 10.2, а) имеют пружинные и кольцевые поглощающие аппараты, «жесткие» — пружинно-фрикционные и резиновые аппараты (рис. 10.2, б), «мягкие» — гидравлические и другие специальные аппараты (рис. 10.2, в).
Важным критерием в оценке силовой характеристики аппарата с точки зрения их энергоемкости является так называемый коэффициент полноты силовой характеристики П. Он показывает, во сколько раз площадь данной характеристики при сжатии аппарата отличается от площади прямоугольника со сторонами, равными значениям хода и наибольшей силы сжатия:
к
J N (х) dx
П=Э /Nx= —---------- ,	(10.2)
Nx где Э — энергоемкость аппарата;
N(x) — силовая характеристика;
N — конечное наибольшее усилие сжатия;
х — сжатие.
286
При N (х) по уравнению (10.1) выражение П после интегрирования примет вид (Схп \
Wo+------г— •
п 1 /
Чем больше значение этого коэффициента, тем больше энергии способен поглотить аппарат, а следовательно, тем ниже будут максимальные усилия при равных наибольших энергиях удара и одинаковом заданном ходе.
Наибольшее распространение получили пружинно-фрикционные аппараты. Пружинно-фрикционные аппараты типа Ш-1-ТМ с ходом 70 мм для четырех- и шестиосных вагонов и типа Ш-2-Т с ходом 110 мм для восьмиосных вагонов имеют расчетные силовые характеристики, приведенные на рис. 10.3. Существенным недостатком пружинно-фрикционных аппаратов является невысокое значение коэффициента П = = 0,25 4-3,28.
Применяются аппараты с резинометаллическими элементами, гид-рофрикционные и гидравлические. Аппараты с использованием резины подобно пружинно-фрикционным имеют «жесткие» силовые характеристики, но при относительной деформации резиновых элементов, не превышающей 20 %, эти аппараты могут иметь коэффициент полноты силовой характеристики П = 0,4.
В гидравлических аппаратах сопротивление зависит от скорости приложения нагрузки, т. е. чем выше скорость соударения вагонов и, следовательно, выше кинетическая энергия удара, тем больше сопротивление оказывает поглощающий аппарат и тем выше его энергоемкость. Гидравлические аппараты имеют «мягкую» силсзую характеристику, коэффициент П у них по сравнению с пружинно-фрикционными аппаратами может быть увеличен в 2—3 раза и достигает С,7—0,8.
Силовая характеристика в процессе восстановления аппарата (обратный ход) позволяет оценить величину коэффициента необратимого поглощения энергии т], определяемого выраженным в процентах отношением необратимо поглощенной энергии ДЭ к энергии Э, воспринятой двумя аппаратами при прямом ходе:
L9 т] = —100.	(10.3)
Количество необратимо поглощенной энергии удара влияет на характер развития усилий и относительных колебаний вагонов в поезде главным образом при переходных режимах движения.
Рис. 10.3. Характеристики пружинно-фрикционных аппаратов:
1 _ Щ-1-ТМ; 2 — Ш-2-Т
287
Рис. 10.4. Осциллограмма продольной силы /V при соударении вагонов и импульсов силы, соответствующих нагружению Л и разгрузке Л
Способность поглощающих аппаратов необратимо поглощать энергию удара может оцениваться коэффициентом восстановления Кв, который характеризует количество энергии удара, оставшейся непогашенной (восстановленной) после удара.
На основании теории удара двух тел коэффициент восстановления определится из соотношений скоростей соударяемых вагонов по формулам:
U1K---ао
V0 И1Н
или
(Уом-
Кв = —------(Ю.4)
V0---U2H
где и1н, и1к — начальная и конечная скорости вагона массой ту, v2K, ^2к — т0 же вагона массой т2;
vo — скорость двух вагонов (т1 и т2) в конце периода сближения их при ударе.
Подставив значение ц0, полученное на основе теоремы о сохранении количества движения при соударении вагонов
/П1У1н + т2и2Н v0=-------:-------
Ш1-}-/П2
в эти уравнения, получим
т1 (^1Н-°1k)+^2 (Ц2Н а2к)
А в —	,	ч	’
(^IH-^2н)
ИЛИ
ml (U2K-а1н)~Нт2 (^гК в2Н)
• .в —	,	\
т1 (У1Н ^2н)
Для случая, когда соударяющиеся вагоны имеют равные массы и -скорость одного из них до удара равна нулю, эти формулы получают вид
..	2 с'2К — v1H	2 и1К
К в =---------------V или к в =-------------------
У1Н	^1Н
Коэффициент восстановления можно определить по результатам опытов и как отношение импульса силы J2, соответствующего периоду восстановления, к импульсу силы соответствующему периоду сближения вагонов при ударе,
К в—
Импульсы и J2 удобно определить, вычислив площади осциллограмм изменения во времени продольных сил (рис. 10.4), полученных при соударении вагонов.
288
Потеря кинетической энергии двух соударяющихся вагонов согласно теореме Карно составляет
где Эн, Эк — кинетическая энергия вагонов соответственно до и после удара. Если тх = т2 = т и и2н — 0, то
А5=(1— Kl) —t11 4
Энергия, воспринятая двумя соударяющимися вагонами, определяется уравнением
При тх = т2 = tn
2
/тин
Подставив значения, вычисленные по формулам (10.4) и (10.5), в уравнение (10.3), получим в процентах т] — 100(1—К1).
10.3. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ УПРУГОВЯЗКОЙ ПОДАТЛИВОСТИ
КУЗОВА И ГРУЗА
Продольное усилие, прикладываемое к вагону ударно, вызывает относительные перемещения и деформации элементов вагона и груза. Следовательно, приходящаяся на вагон энергия удара воспринимается не только поглощающими аппаратами, но и всем вагоном и грузом. Участие вагона и груза в процессе восприятия энергии удара сказывается на уменьшении продольных усилий.
Теоретически оценить работу вагона и груза в процессе удара трудно. Приближенно энергию удара, воспринимаемую конструкцией вагона и грузом, можно определить на основании результатов опыта по формуле
ЭВ = №/2СВ,
где N — продольная сила;
Св — динамическая жесткость вагона с грузом.
Для оценки значения Св используются результаты жесткого соударения вагонов (вместо аппаратов на вагон устанавливают жесткие стержни)
где	— сила и скорость при жестком соударении вагонов.
Ю Зак. 557
289
Энергия удара, воспринимаемая аппаратом, составит
р	_ А2
4 (/7Z1-4-/722) 2СВ
Участие вагона и груза в процессе восприятия энергии удара можно характеризовать коэффициентом к, представляющим собой отношение энергоемкости аппарата к приходящейся на вагон энергии удара
8 3а К —-----.
mv2
Чем больше коэффициент к, тем в большей мере аппарат играет роль амортизатора ударов, так как в этом случае доля энергии, поглощаемой конструкцией вагона и грузом, становится меньше. Значение коэффициента к зависит от соотношения жесткости аппарата и динамической жесткости вагона с грузом. Уменьшение жесткости аппарата способствует увеличению коэффициента к. Кроме того, значение коэффициента к зависит также от рода перевозимого груза — при монолитном грузе он близок к единице. Для аппаратов типа Ш-1- ГМ, которые установлены на шестиосных вагонах, загруженных сыпучим грузом, к « 0,64, а для опытных аппаратов, имеющих ход 160 мм, к = 0,8.
10.4. СИЛЫ ПРИ СОУДАРЕНИЯХ ОДИНОЧНЫХ ВАГОНОВ, ОБОРУДОВАННЫХ УПРУГО-ФРИКЦИОННЫМИ ПОГЛОЩАЮЩИМИ АППАРАТАМИ
Энергия двух движущихся со скоростями vt и v2 (рис. 10.5) вагонов при соударении расходуется на сжатие поглощающих аппаратов и рессор и на поддержание их совместного движения после удара со скоростью ц0.
На основании закона сохранения энергии напишем уравнение для соударяющихся вагонов (работой сжатия рессор как относительно малой величиной и кинетической энергией вращающихся масс — колесных пар — пренебрегаем)
+ J^L=2	(х)	+ (mi+Иг> ~ 	<10-6’
О
х/2
где f N(x) dx — энергия, затраченная при сжатии двух поглощающих аппаратов о	на величину хода х =	— х2;
хг, х2— перемещения первого и второго вагонов к моменту прекращения их относительного движения.
Из теоремы сохранения количества движения следует, что
Vx-]-m2 v2 v0=-----;----->
т1~Гт2
290
Рис. 10.5. Схема к расчету силы взаимодействия вагонов при ударе
поэтому на основании уравнения (10.6) энергия удара, воспринимаемая одним поглощающим аппаратом, будет
т-, т9
3a = (vi~v2)2 1	(10.7)
mi + zn2
Если массы соударяющихся вагонов равны — т2 = т) и ско-
рость в момент удара v =	— и2, то
ти2
Так как энергия удара затрачивается не только на сжатие поглощающего аппарата, но и на упруговязкие деформации вагона в целом и на смещение в нем груза, в предыдущую формулу вводится эмпирический коэффициент к, учитывающий это дополнительное поглощение энергии,

mv2 8
Конечное усилие, возникающее в процессе восприятия поглощающим аппаратом энергии удара, определяется его силовой характеристикой.
Действительные силовые характеристики пружинно-фрикционных поглощающих аппаратов во многих случаях существенно отличаются от линейной и приближаются к параболической вида (10.1), причем параметр С параболы не является постоянной величиной, а зависит от скорости прг:ложения нагрузки.
Силу при соударении двух вагонов можно определить из уравнения (10.6). Подставив в него значение функции # (х) из уравнения (10.1) и проведя интегрирование в предположении, что С = const, получим
(ZZ-I-1) (г?1—u2)2m1m2
W =-----------------------— п Na.
4х
Выразив х через N по формуле (10.1) и пренебрегая усилием N получим
п +1 с Г («+!)	]п
У L 4 (ОТ14-/П2) J
(10.8)
10*
291
Если учесть коэффициент к и при — v2 = v; mr = т2 = — т, то формула для определения усилия примет вид N = п+ 1 /~ Г(п + 1) кти21п
= v	—J 
Когда силовая характеристика поглощающего аппарата близка к линейной (п « 1), коэффициент С, представляющий собой приведенную жесткость, для пружинно-фрикционных аппаратов определяется по формуле
С == ф i '—ср >
где гЬ — коэффициент передачи при сжатии, который показывает, во сколько раз усилие сжатия аппарата превышает усилие сжатия пружины;
i — коэффициент, учитывающий, какую часть величины сжатия аппарата составляет величина сжатия пружин (для аппаратов типа Ш-1-Т i « 1);
Спр — жесткость пружин аппаратов.
Формула (10.8) для определения усилия сжатия N аппарата в этом случае будет
'	N^A/'	т2^2
Г 2 (тг-]-т2)
и в простейшем случае при соударении однотипных вагонов равной массы
N = v I/ с — 
При учете изменения коэффициента трения в зависимости от скорости приложения нагрузки усилие W составит
ф i Сир к т1 т2 2 (тг-*-т2)

где £ = 1 -J- — — v — коэффициент, учитывающий изменение сил трения от 3 В скорости скольжения (Л и В—расчетные коэффициенты, зависящие от геометрических параметров аппарата).
Рассмотренные выше случаи взаимодействия одиночных вагонов относятся к упругим или неупругим ударам. В обоих случаях часть кинетической энергии набегающего вагона поглощается за счет деформаций поглощающих аппаратов, причем при неупругих ударах значительная ее доля поглощается необратимо.
Соударения тел (в том числе и упругих), не оборудованных специальными амортизаторами, относят к жестким.
При взаимодействии вагонов с повышенной скоростью набегания удар после полного сжатия поглощающих аппаратов также принято называть жестким. Поглощение избытка кинетической энергии на этой стадии происходит за счет деформации элементов вагонов в целом.
292
Рис. 10.6. Силы при соударении вагонов, имеющих связь со ступенчатой (кусочно-линейной) характеристикой жесткости:
а — схема устройства связи; б — графики изменения продольной силы во времени; в — графики изменения продольной силы в зависимости от скорости сближения вагонов перед ударом
Наибольшая сила Nm взаимодействия вагонов в стадии жесткого удара (рис. 10.6) может быть вычислена по формуле ________________________________________________ •
^ = 1/^ + СП 	(v2-v*}.	(Ю.9)
Г	тл-\-т2 4	07
где N9, f0 — соответственно сила и скорость при взаимодействии вагонов к моменту полного сжатия аппарата;
Сп — динамическая жесткость вагонов с закрытыми поглощающими аппаратами при их деформировании продольными силами инерции.
Для получения формулы (10.9), следует энергию Эа [см. выражение (10.7)1 приравнять интегралу от ДО (х), который в данном случае может быть вычислен как площадь заштрихованной фигуры на рис. 10.6, а:
, No N0+Nm
J N (х) dx = —^~x+ ----(х—х0)
Ng
2Cj
N^-Ng
2СП
m2	N^ax—
2 (/Wi-J-wig) 2Cj ' 2Сц
где x0 — суммарный ход двух поглощающих аппаратов.
Решая полученное уравнение относительно Nт в предположении, что жесткость системы па первой стадии удара составляет
ССВ	С
С, =-------2--=------------« S/2,
1	2(С+СВ)	2(С/Св+1)
Юв Зак. 557	293

где С — жесткость поглощающего аппарата; принимая ее малой по сравнению с жесткостью самого вагона Св = 2СП и No = у0"|/ г тУ 'У"2- , г mj+zHa
получим приведенную выше формулу (10.9) для Nm.
Вычисленным по формуле (10.9) силам Nm соответствуют на рис. 10.6, в гиперболические части кривых 2—4, прямолинейные участки которых получены по формулам вида (10.8) при п — 1 и С « Сх. Прямая 1 соответствует случаю абсолютно жестких поглощающих аппаратов (С = оо), когда сила определяется по формуле
mim2
11 т1 -j- т2
Точки перелома на кривых 2—4 соответствуют моментам смыкания поглощающих аппаратов при и02, ио4- Огибающая этих точек (кривая 5) соответствует выражению
т, пи ц?
No=------------Ч
/тг1-[-/7г2 *о
На рис. 10.6, б, в представлены графики Nт в функции t и и, из которых следует, что в стадии жесткого удара (и 2> и0) интенсивность нарастания силы Nm резко увеличивается и величина ее может достигнуть недопустимо больших значений.
Значение жесткости Сп следует определять опытным путем, а для приближенных расчетов можно пользоваться формулой
Сп _ 2гх j 1 Е2 г2
11	= 2	+	’
где F2, Ег Е2 — соответственно площади поперечного сечения и модули упругости хребтовых балок;
/г, 12 — длина вагонов по осям сцепления автосцепок.
В случае соударения однотипных вагонов, когда /х = /2 = I, Fr =
= F2 = F и Ех= Е2 — Е, жесткость будет Сп = —.
10.5.	СОПРОТИВЛЕНИЕ УДАРУ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО
ПОГЛОЩАЮЩЕГО АППАРАТА
Гидравлический поглощающий аппарат любой конструкции, помимо гидравлического устройства, должен иметь упругий элемент. Во время динамического сжатия аппарата в гидравлическом устройстве возникает сила гидравлического сопротивления Рг (рис. 10.7), которая в основном и определяет силу сопротивления аппарата. При статическом сжатии Рг = 0.
Упругий элемент обеспечивает сопротивление аппарата при статическом сжатии и восстановлении его при снижении сжимающего усилия. В качестве упругого элемента обычно используются пружины или газовые камеры.
294
Сила сопротивления аппарата, равная приложенной к нему силе Р от автосцепки, складывается из гидравлического сопротивления Рг и сопротивления упругого элемента Ру:
Р^.Р7+РУ,	(10.10)
Сила гидравлического сопротивления аппарата
= Рд -Рп»
Рис. 10.7. Схема гидропневматическо-го поглощающего аппарата с газовой камерой
где Рд — перепад давления при дросселировании рабочей жидкости; Fn — площадь плунжера.
На основании уравнения Бернулли
Pttl2 Рд— g
где р — плотность рабочей жидкости;
w — скорость идеальной жидкости в минимальном (сжатом) сечении струи.
Скорость V) жидкости может быть определена из уравнения расхода
Fnx=p.fw, где х — скорость сжатия аппарата (скорость плунжера), d х
X —-------= иа'»
dt
(10.11)
р — приведенный коэффициент расхода, учитывающий сжатие сечения струи и уменьшение расхода за счет трения и непараллельности элементарных струй реальной жидкости;
f — площадь дросселирующего отверстия.
Тогда	р
(10.12)
Сила сопротивления упругого элемента, выполненного в виде газовой камеры, будет
Ру=ругп.	(10.13)
где рг — дазление в газовой камере.
Давление в газовой камере на основании уравнения политропного сжатия газа можно определить из выражения
V П )
где р0 — начальное (зарядное) абсолютное давление в газовой камере;
S — площадь разделительного поршня;
% — ход поршня;
v0 — начальный объем газовой камеры;
к — показатель политропы.
Юв*
295
Рис. 10.8. Силовые диаграммы при соударении вагонов, оборудованных гидропневматиче-скими аппаратами
р _ Р FnX2 2ц2 р
Для несжимаемой жидкости
Fnx = S X.
На основании выражений (10.13) и (10.14) можем написать выражение для силы сопротивления упругого элемента
7 у \ v0 J
Сила сопротивления гидравлического аппарата из выражений (10.10), (10.12), и (10.13) будет
PoFn
_ Fnx \* t>a /
(10.16)
Для построения полной силовой характеристики поглощающего аппарата, соответствующей соударению вагонов, необходимо решить нелинейное дифференциальное уравнение относительного движения вагонов с учетом силы сопротивления по формуле (10.16), упругости самих кузовов вагонов и подвижности груза в них. В общем виде аналитическое решение такого уравнения невозможно и его находят численно с помощью ЭВМ.
Результирующая силовая характеристика гидравлического поглощающего аппарата при соударении вагонов имеет вид, показанный на рис. 10.8.
10.6.	СОУДАРЕНИЕ ВАГОНОВ, ИМЕЮЩИХ ПОДВИЖНУЮ
ХРЕБТОВУЮ БАЛКУ
Технико-экономические исследования и практика некоторых зарубежных дорог показывают, что перевозку особо ценных хрупких и других грузов, не выдерживающих значительных динамических и инерционных перегрузок, целесообразно выполнять в вагонах, оборудованных подвижными хребтовыми балками.
Рассмотрим процесс соударения одиночных вагонов, оборудованных подвижными хребтовыми балками (см. рис. 10.1, в), приняв для упрощения, что все связи упругие и линейные. Обозначим:
— жесткость связи кузова с подвижной хребтовой балкой;
С2 — жесткость связи между подвижными хребтовыми балками;
/Л! — масса вагона с грузом за вычетом массы подвижной хребтовой балки;
т2 — масса подвижной хребтовой балки;
Уъ <7г> Яз — деформации упругих связей, представленных на рис.
10.1,	в пружинами.
296
Усилия в упругих связях будут:
Ni = Ciq^, N2 = C2q2; N3 = Ciq3.	(10.17)
Ввиду симметрии системы qr = q3. Тогда относительные перемещения масс будут описываться дифференциальными уравнениями:
.	22	(10.18)
<72-}— 2a2q2—2а3о1 = 0, J
где
°i = C1/z7214-Ci/m2; а2 = С2/гк2; а3 = С1/т2.
Примем начальные условия системы: t = 0; qr — q2 = 0; ft = 0;
<h = у-
Решение системы (10.18) для принятых начальных условий будет:
у а2
у а2	- „2
<71 = ——2---Г” sin pi t— ——----— sin p21;
Pi(Pl-Pi)	p2(p2—pI)
у(91—Ц1) .	,	y(ai — pV, .
Go =-----;---~ sin рг t—-- ------sin о» t,
pApI-pD p p4pI-pI)
где Pi,2 — частоты, определяемые по формуле
Dj-J- 2а2 ± Д/(а1—2с2)2-+- 8а2 а3
(10.19)
Аналогично могут быть получены формулы для вычисления деформаций связей в случае соударения вагона, оборудованного подвижной хребтовой балкой, с вагоном обычной конструкции и массой т3 = = ту + т2. Входящие в формулы (10.19) частоты в этом случае
Р:,2
Q1H~ Да ±	(Qi—Дд)2~Н	аз
2
где
С2 (m2“bm3) ал =------------
т2“3
Результаты расчетов по формулам (10.17) и (10.19) сил взаимо действия при соударении со скоростью v = 15 км/ч одиночных, четы-
рехосных вагонов приведены в табл. 10.1. Случай 1 — оба вагона оборудованы подвижными хребтовыми балками и имеют параметры: mt = 82 т; /п2 = 3 т; Cj = 2 МН/м; С2 = 17 МН/м; случай 2 — один вагон оборудован подвижной хребтовой балкой, как и в случае 1, а другой—обычный массой т3 —
Таблица ЮЛ
Случай соударения	Сила, МН	
	N,	n2
1	0,85	1,4
2	1,15	1,7
3	3,5	3,5
297
= 85 т; случай 3 — оба вагона массами т1 = т2 = 85 т с обычными неподвижными хребтовыми балками рамы кузова.
Из полученных результатов видно, что благодаря подвижной хребтовой балке резко уменьшаются силы взаимодействия вагонов при маневровых соударениях и особенно хорошо защищаются от динамических перегрузок кузова вагона и находящийся в нем груз.
Если подвергнуть соударению с той же скоростью вагоны, не оборудованные подвижными балками (случай 3), то сила в соединении вагонов возрастает до 3,5 МН; она почти целиком должна передаваться кузову и создаст в нем ускорение более 40 м/с2 (более 4g).
10.7.	СОУДАРЕНИЕ ГРУППЫ ВАГОНОВ
ПРИ МАНЕВРОВЫХ РАБОТАХ
В соответствии с изложенными методами можно рассматривать взаимодействие групп вагонов при соударениях, что нередко бывает во время маневровых работ. Для этого необходимо составить систему дифференциальных уравнений, число которых должно быть равно общему числу вагонов, находящихся в обеих взаимно соударяющихся группах.
Пользуясь способом Германа — Даламбера, напишем дифференциальные уравнения для п вагонов с тъ т2, ..., тп массами и Съ С2,... ..., Cn_i жесткостями междувагонных связей:
"h (*i—хг) — 0;
т2 х2 4- С2 (х2 — х'з) — С1 (хг —х2) = 0;
тг xi ~Ьi (xi	1 (,xi—1 xi) ~ 0’
tTT-П ХП-Cn-i (xn-i—xn)—0-
Введем следующие обозначения:
Ql~xl--x2t ^2~ (X2-Qn—l~xn—l xnj
ah—Ct/m^ al2 = C1/m2,
aij = Ci/mf,  • •; an-1,n = Cn--Jmn.
Затем вычтем каждое последующее уравнение из предыдущего и получим систему:
<71 + (flii+а1г) Qi а1,2 4г—0;
(а22~Ьа2з) 4г а12 41 азз 9з = 0;
Qi + (aii~^ai. i-М) qi~~ai — l.i	«Af-l J-f-l
Яп—1 4“ (fln— 1, n— 14~afi—1 an — l,nQn-2—0*
298
Эта система состоит из п — 1 (по числу междувагонных связей) дифференциальных уравнений.
Впервые систему дифференциальных уравнений для исследования продольных сил в поезде с одинаковыми массами т вагонов и жесткостями С связей вывел Н. Е. Жуковский в несколько ином виде. Если учесть, что q/C =	— сила в i-й связи состава, то, умножив все чле-
ны написанной выше системы на С и произведя преобразования, получим систему в виде, предложенном Н. Е. Жуковским:
d2N.	)
—-^-=«2 (^-2^ + Тк);
dt2
d2Nt ar2
d2 Nn-i
.,2	=а2	+ Wn-2),
dt2
где TK — касательная сила тяги локомотива, у которого масса принята равной массе вагона.
Интегрирование полученной системы, когда коэффициент а2 = = С/т — постоянное число, т. е. при линейных упругих междувагонных связях одинаковой жесткости и отсутствии каких-либо зазоров в соединениях, не вызывает принципиальных трудностей.
Такую задачу для поезда с большим числом вагонов в общем виде решил Н. Е. Жуковский, а для групп с малым числом вагонов (до восьми единиц в сумме) — А. И. Михаловский, получивший интересный результат: наибольшая сила взаимодействия при соударениях групп вагонов с равными массами и жесткостями связей определяется массами непосредственно соударяющихся вагонов, жесткостью связи между ними, скоростью набегания одной группы на другую и не зависит от числа вагонов в этих группах.
В качестве примера рассмотрим два случая соударения групп вагонов: удар одного вагона в неподвижный сцеп из двух вагонов (рис. 10.9) и удар сцепа из двух вагонов в другой неподвижный, тоже состоящий из двух вагонов (рис. 10.10).
Первому случаю соответствует система из двух дифференциальных уравнений:
й+оЬл-И.л-о; I	(10.20)
^+622 ^2 — &21 4 = 0, J
где
bh	Су	С1 •	bh-		Z?22 —С2 	т2 + ^3
	Шх	1	, т2		тг		т2 пг3
Ь2 —
О21 —
т2
299
Рис. 10.9. Схема сил, возникающих в автосцепках при соударении одного вагона с двумя
Рис. 10.10. Схема сил, возникающих при соударении одного вагона с тремя (а) и двух вагонов с двумя (б)
300
Решения системы (10.20) ищем в виде:
q-t = Л, sin (v/+а); 1 „	1	(10.21)
</2 = Л2 sin (v/-[-a), J
Подставив выражения (10.21) в систему (10.20) и приравняв ее определитель D (v2) = 0, получим частотное уравнение системы, из которого найдем две частоты:
vli2 = i/-|/T’ И бЬ+^т У(бЬ-б|2)2+4&22&21.
Решение выражений (10.21) для начальных условий задачи при t = 0,	= ^2 = 0,	— v, </2 = 0 получим в виде:
vft|2	/1	1	\
<71 =—------— ----sinVJ/И-------sinv2Z ;
V|—Vf \ Vj	v2	/
v / blx—v?	— v2
<72	------Г ~-------Sin Vi / +---------sin v2 t
v|—vf \ Vi	V2
(10.22)
В частном случае; когда тА = т2 = т3 = т; Сг = С2 = С3 ~ С\ = 6L = 2а2 — 2С/т; bt2 = b2t = а2 = С/т, частоты будутv2 = я; v2 - )ЛЗа.
Решения выражений (10.42) примут вид:
v { 1	.— \
<71= —— sin а/+	/—= sin V 3 at г.
41 2а \ V 3 v J
v [	1	/— \
q2= —--- sin at— _ --sin у 3 at I.
2a \	у 3	/
На рис. 10.9 представлены графики сжимающих сил N1 = q1C W2 = ^2^» из которых следует, что наибольшего значения Wmax сила достигает в соединениях между набегающим вагоном и первым вагоном группы.
В случае набегания двух вагонов на два неподвижных (q2 = v) система состоит из четырех загонов, но в силу симметрии задачи (<7i = ^з) деформации междувагонных связей будут описываться также двумя дифференциальными уравнениями:
91+6Ь<71-612<72 = 0;	|	: (10.23)
<72 + 2612 <7г—2621<д = 0. J
Решения выражений (10.22) справедливы и для уравнений (10.23), но Vi и v2 в этом случае будут определяться по формуле
1/ 6h+26j22TV (6h-2&h)2+86?2622i .
V1.2 V	2
301
В частном случае, когда массы всех вагонов равны, жесткости связей и отношение &т — а2 — постоянные числа, как и выше, будем иметь
v, 2 = а [ _4 + 2 V 2 =0,765 а; 1,848 а.
1.2	[	2
Решения уравнений (10.23) при начальных условиях t = 0,
91=9г = 9з —Яг — Яъ — ® и 9г —v получим в виде:
(1,31 sin 0,77 at—0,542 sin 1,85 at)',
v
q.2— —-	(1,85 sin 6,77 atf-}-0,77 sin 1,85 at).
Значения сжимающих сил = qrC, N2 = q2C и N3 — q3C представлены графиками на рис. 10.10, из которых следует, что наибольшее значение Nmax сила имеет в соединении между непосредственно соударяющимися вагонами, причем для случаев набегания двух вагонов на два неподвижных (2 —> 2) и одного вагона на два (7 -+ 2) значения Nmax по величине одинаковые.
Значения Мтах для случаев удара одного вагона в группу, состоящую из одного (7 -> 7), двух (7 -> 2), трех (7 —> 3) и четырех (7 -> 4) вагонов, сопоставлены на рис. 10.11. Графики, представленные на рис. 10.11, а также на рис. 10.9 и 10.10, иллюстрируют приведенное выше заключение, что силы взаимодействия однородных вагонов не зависят от числа вагонов, принимающих удар в соударяющихся группах.
Несколько иной результат получается, если в соударяющихся группах массы вагонов различные. Результаты расчета продольных сил для указанных случаев соударений вагонов при С = 1,7 МН/м и v = 2 м/с приведены в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Масса вагона, т	Продольные силы	
	Ni, МН	n2, МН
Удар одного вагона массой mi в группу из двух вагонов массой т2 и т3
т1 = т2 = т3 = 85	1,7	1,3
mi —Шъ — 126; т3 = 85	2,1	1,2
m1=m2 = 85; т3—0	1,7	—
т1 = т2 = 126; т3 — 0	2,1	—
Удар двух вагонов массой тх и т2 в два вагона массой т3 и пц
т1 = т2 = т3 =	=85	1,30	1,70
т1=тА= 85; m2 = m3=126	1,40	2,10
m1 = m4=126; m2 = m3=85	1,75	1,75
302
Рис. 10.11. Графики изменения продольной силы в соединении одного набегающего вагона с первым из принимающей удар группы вагонов
Рис. 10.12. Расчетная статическая силовая характеристика упругофрикционной междувагонной связи
Из данных табл. 10.2 видно, что при соударениях групп вагонов с одинаковыми массами или в случае, если массы непосредственно не-соударяющихся вагонов меньше масс соударяющихся вагонов, наибольшее продольное усилие будет между соударяющимися вагонами но оно не превосходит силы, возникающей при соударении одиночных вагонов. Если же массы непосредственно соударяющихся вагонов меньше, чем массы остальных вагонов, то усилие будет несколько больше, чем при соударении одиночных вагонов меньшей массы.
Когда между вагонами имеются неупругие связи (например, упруго-фрикционные, какими являются связи современных вагонов, оборудованных пружинно-фрикционными поглощающими аппаратами), картина несколько изменяется. Если связь имеет характеристику приведенную на рис. 10.12, то жесткость ее Сг при нагружении отличается от жесткости С2 при разгружении, т. е. зависит от знака и скорости деформации
С=Су (1 -J-<psgn/<7),	(10.24)
где	Су — жесткость упругого элемента связи; условно принимается как
средняя между жесткостями при нагружении и разгружении; sgn qq — знак произведения деформации на ее скорость — qq\
ф — Лгр/Л^у — коэффициент относительного трения связи (FTP — сила трения, соответствующая деформации q связи; TVy — упругая сила связи, соответствующая этой деформации).
Коэффициент <р условно вычисляется по формуле
Ci С2
Следовательно, при изучении взаимодействия соударяемых групп вагонов, оборудованных пружинно-фрикционными поглощающими аппаратами, в дифференциальных уравнениях (10.20) необходимо заменить жесткости С на жесткость согласно выражению (10.24).
303
Например, в случае набегания одного вагона на два неподвижных дифференциальные уравнения будут иметь вид:
С	с
91+-^- bh (l + tpisgng!^) qr—^- b'l2 (l+cpasgnft^j) g2 = 0;
Cj	^2
C	• c
9’2 + —*22 (l + <P2Sgn<72?2) q2—-r~ bl, (l+TiSgn^^i) =
C2	Ci
(10.25)
Решение таких нелинейных дифференциальных уравнений точными методами, например методом припасовки, затруднительно из-за большого объема вычислительных операций, поэтому их решают с применением ЭВМ. Так, на осиллограммах рис. 10.13 и в табл. 10.3 приведены результаты вычисления продольных сил взаимодействия вагонов при соударении. Здесь для всех случаев приняты связи с характеристиками Су1>2 = 11 МН/м; <р = 0,55; и = 2 м/с. Из данных табл. 10.3 следует, что сделанный выше общий вывод для соударений вагонов с упругими связями в основном сохраняется. Этот результат подтверждается и испытаниями на соударение натурных вагонов.
Наблюдавшееся при натурных испытаниях вагонов с пружиннофрикционными поглощающими аппаратами увеличение наибольших сил ударного взаимодействия групп вагонов на 10—15 % по сравнению с силами взаимодействия одиночных вагонов можно объяснить тем, что при повторных ударах поглощающие аппараты вагонов, соседних
Рис. 10.13. Осциллограммы продольных сил и деформаций междувагонных связей (упругофрикционные поглощающие аппараты) при соударениях со скоростью у = 2 м/с вагонов одинаковой массы (85 т):
а — одиночных; б — одного с двумя; в — двух с двумя
304
Таблица 10.3
Масса вагона, т	Продольные силы
	МН	|	м2, МН
Удар одного вагона массой в группу из двух вагонов массой и т3
т-_ --- /и2=пг3 — 85	1,7	1,05
т1 — т2 = 85; т3 = 126	1,7	1,30
/п1 = т2=126; пг3=85	2,1	1,10
Ш1 = г?2 = 85; т3 —0	1,7	—
т1~/г2=126; т3 = 0	2,1	—
Удар двух вагонов массой и т2 в два вагона массой т3 и т.
тг = т2 — т3 = *п4 — е5	1,15	1,7
m, = ma = 85; т2 — т3 — 126	1,08	2,1
т1=т4=126; т2 = т3=85	1,35	1,7
т1 = т4=П0; т2 = т3 = 85	1,60	1,7
с соударяющимися, смогут оказаться частично сжатыми вследствие их заклинивания и вызвать соответственно большие реакции действующих сил при последующих соударениях.
10.8. ТРЕБОВАНИЯ К УДАРНО-ТЯГОВЫМ ПРИБОРАМ
Правилами технической эксплуатации железных дорог Союза ССР скорость соударений вагонов при маневрах ограничена 5 км/ч. Это ограничение вызвано несовершенством поглощающих аппаратов на вагонах.
В соответствии с требованиями норм расчета максимально допустимое продольное усилие по условиям прочности конструкции вагона составляет 2,5—3,0 МН. Этими же нормами предписывается, что при расчетной скорости соударения (9 км/ч) грузовых вагонов различных типов продольное усилие не должно превышать 2 МН. Таким образом, при проектировании энергоемкость и силовая характеристика поглощающего аппарата должны определяться с учетом возможного увеличения в перспективе максимально допускаемой скорости соударения вагонов и непревышения наибольшей расчетного значения воспринимаемой аппаратом продольной силы.
Для современных условий эксплуатации подвижного состава железных дорог наряду с увеличением скорости движения, масс поездов и отдельных вагонов (вагонный парк пополняется многоосными вагонами массой брутто более 175—200 т) характерно также повышение темпов переработки вагонов на сортировочных станциях. Чтобы в этих условиях продольные силы взаимодействия вагонов в эксплуатации не превосходили значений, допускаемых по прочности, необходимо совершенствовать поглощающие аппараты автосцепок.
305
Основные научно обоснованные технические требования, предъявляемые к поглощающим аппаратам, приведены ниже.
Энергоемкость аппарата должна определяться главным образом по условиям работы его при маневрах, поскольку в поезде взаимодействие масс подвижного состава происходит со значительно меньшими относительными скоростями и энергоемкость, как правило, используется не полностью. Применительно к перспективным условиям эксплуатации подвижного состава железных дорог СССР энергоемкость, подсчитанная исходя из условий соударения вагонов со скоростью около 3 м/с и с учетом энергии удара, воспринимаемой конструкцией вагона и грузом, должна составлять для четырехосных вагонов массой брутто до 100 т и не менее 100 кН-м, для восьмиосных вагонов массой брутто 176—200 т— 160—200 кН-м. Энергия удара, воспринимаемая конструкцией вагона и грузом за счет их деформаций и перемещений, должна составлять не более 20—30 % общей энергии, приходящейся на один вагон.
Аппараты с указанными энергоемкостями должны удовлетворять требованию норм расчета и проектирования вагонов (при соударениях вагонов во время маневров продольная сила не должна превышать 2 МН).
Большая доля энергии удара должна поглощаться аппаратом необратимо. Эта доля выбирается исходя из минимальных продольных сил и наименьших повреждений элементов вагона и груза, для чего на основе теоретических и экспериментальных исследований устанавливаются закономерности изменения продольных сил в зависимости от значения необратимо поглощенной энергии удара. Рекомендуется необратимо поглощенную энергию принимать в пределах 0,8—0,6 всей поглощаемой аппаратом при ударе энергии.
Сила, соответствующая закрытию аппарата при медленном (ква-зистатическом) нарастании нагрузки, не должна быть менее 1 МН. Это условие обязательно для аппаратов, сила сопротивления которых существенно зависит от скорости приложения нагрузки, например для гидропневматических.
Сила начальной затяжки аппарата должна быть в пределах 50— 200 кН. Этот диапазон усилий рекомендуется с учетом накопленного опыта конструирования и эксплуатации поглощающих аппаратов.
Для повышения энергоемкости аппаратов без увеличения их жесткости рекомендуется увеличивать ход аппарата для четырехосных вагонов до ПО—120 мм при сохранении их существующих габаритных размеров, для восьмиосных вагонов — до 160 мм при большей их длине по сравнению с аппаратами для четырехосных вагонов.
Целесообразно вести дальнейшие работы по совершенствованию и созданию гидрогазовых, кольцегидравлических поглощающих аппаратов, аппаратов с применением резины, по созданию вагона с подвижной хребтовой балкой и др.
Глава 11
ПРОДОЛЬНЫЕ СИЛЫ В ПОЕЗДЕ ПРИ УСТАНОВИВШИХСЯ И ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМАХ ДВИЖЕНИЯ
11.1. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПОЕЗДА НА ПУТИ ОДНОРОДНОГО ПРОФИЛЯ
Во время движения поезда и его формирования (при маневровой работе) в ударнс-тяговых приборах возникают растягивающие или сжимающие продольные силы, величина и знак которых зависят от взаимодействия вагонов при различных режимах движения.
К установившемуся (стационарному) режиму относят равномерное и равноускоренное (или замедленное) движение поезда, на который действуют внешние постоянные или медленно изменяющиеся силы. В этом случае усилия в ударно-тяговых приборах определяют в основном указанными внешними силами (касательными силами установившегося процесса тяги и торможения, силами сопротивления движению, составляющими массы частей поезда на уклонах пути и др.) и силами инерции поезда, возникающими вследствие ускорений его как единого жесткого тела. Относительные перемещения масс вагонов в таком поезде малы и практически не влияют на силовые процессы.
При определении продольных сил в упряжных приборах в случае установившегося режима движения поезд можно рассматривать как гибкий нерастяжимый стержень или как цепочку шарнирно связанных жестких тел (вагонов), относительными перемещениями которых можно пренебречь. Движение такого поезда с локомотивом в головной части на пути однородного (с неизменяющимся в пределах длины поезда уклоном) профиля под действием касательной силы тяги с учетом сопротивлений движению, а также тормозных усилий в случае торможения характеризуется уравнением
п ътк— 2
i = 0
dv dt
n
— 5	+ i)=o,
i = 0
(11.1)
где S TK — касательная сила тяги локомотивов;
п — число вагонов в поезде;
к — коэффициент, который учитывает долю увеличения кинетической энергии поезда за счет вращения колесных пар, к = 1 + ^кпр2/ Imir2 (ткп — масса колесных пар вагона; р, г — соответственно радиус инерции колесной пары и радиус круга катания колес);
тг, Qi — соответственно масса и вес единицы подвижного состава поезда с порядковым номером i, начиная от головы (при i = 0 — головные локомотивы, i~ 1, 2, 3, п — вагоны);
dv/dt — ускорение (замедление) поезда;
wi — удельное сопротивление движению единицы подвижного состава с учетом профиля пути;
BTi — тормозные касательные силы локомотивов и вагонов.
307
Для каждого момента времени ускорение (замедление) поезда можно определить по формуле
STr— У, (Qf + Вт г-)
У ктг 1 = 0
В общем случае касательная сила тяги локомотива, сопротивление движению и тормозные силы локомотива и вагонов зависят от скорости движения, поэтому при определении ускорения по формуле (11.2) входящие в нее величины Тк, Wi и B.ri следует подсчитывать для каждого частного значения скорости. Чтобы получить более общее уравнение движения поезда, нужно выразить указанные величины в виде функций скорости. Можно представить их в виде кусочно-линейных полигональных зависимостей от скорости, при этом для отдельных ограниченных диапазонов скоростей получим:
_ к i == ~|— D v\ gUq = cl d v\
By i — 0.4 j	z'y> wi==z @i~\~	»
В этих формулах A, D, a, d, aif a.ri, dt и dTZ- — коэффициенты, определяемые по экспериментальным данным или справочным тяговым характеристикам, причем величинами аг учитывается также влияние уклона профиля пути. В таком случае движение поезда можно характеризовать дифференциальным уравнением
Л	cfl х	dx п	—
У, к/Щ ——-j- у + dT i)— D —----------------F у (Qi с£-1ат г)—Я=г:0
i=i	[i = o	J at	z = o
ИЛИ
x-j-A x = D, где x — путь, пройденный поездом;
2 (Qidi + dTi)-D
(П-3)
У кгщ i = 0
A— (QzGz4~GTi) •_____n
У Ktrii z = 0
308
Решение уравнения (11.3) х = Cxe~kt + - t + С2.
Для скорости и ускорения получим соответственно:
v=x= —CiAe~At + D/A-,
- „ .	— At
v = x — Ci A2 e
Приняв, что в начале движения (t = 0) х — х0 и х = х0, получим:
(D/А— х0) (е At — l) + ~j-^ + x0;
V — х=— (D/A—х0) e~At-{-D/A;
v — x— A (D/A — x0) e~At.
Положим, что в какой-то момент поезд под действием приложенных к нему сил движется с ускорением v. Продольные усилия Nkt k+1 в упряжных приборах, которые соединяют вагоны, имеющие номера I, равные к, и к + 1, определим, составив уравнение движения группы вагонов с номерами от k + 1 До п как сумму сил (включая силы инерции), приложенных к вагонам части поезда от рассматриваемого сечения до хвостового вагона,
Nk,h+l~v 2 Krrii-r У,	+	(П.4)
i=fe+i	i=ft+i
Здесь первое слагаемое есть сила инерции рассматриваемой части поезда, а второе — ее сопротивление движению. Перед определением усилия по этой формуле необходимо найти ускорение по формуле (11.2), а также сопротивление движению и тормозного усилия с учетом скорости поезда в рассматриваемый момент. Ускорение поезда для приближенных расчетов можно определить по формуле, полученной в результате преобразования формулы (11.2) в предположении к=1,
где Q — сила тяжести (вес) состава;
и»ср> Ьт — соответственно среднее сопротивление и средняя тормозная сила на единицу веса поезда.
Подставив полученное значение v в формулу (11.4), будем иметь
fe+i л-н
Для однородного поезда (с однотипными и одинаково загруженными вагонами) эта формула примет вид
Кт	\
п	~- + и>в —^ср—Qb + ^Tz »
ХО'Т1*	/
где wB, QB, BTi — соответственно удельное сопротивление, вес и тормозная сила для вагона данного типа.
309
Из этой формулы следует, что продольная сила N распределяется вдоль однородного состава по линейному закону.
Наибольшее усилие получится в упряжном приборе, соединяющем локомотив с первым вагоном,
Л7 Г Т«
0,1 L Qo+Q
]п
Q + 2 ^i + BT i). i
Обозначив отношение массы локомотива к массе состава через а и приняв во внимание, что
п
wcp Q— У Qi	<20—wcp Qo= (wQ — OJCP) Qo
i = 0
n
У Вт i — Q =
1
a Bc—Вл
где Bc, Вл — соответственно тормозные силы состава и локомотива,
7К—В л -J- а В с
получим	Мы—-------;-------— (шо—^ср) Qo-	(П-5)
1a
Как видно из формулы (11.5), сопротивление движению на однородном профиле незначительно влияет на величину Л/од. При йУср « w0 имеем
..	Т'к—Вл-\~аВс
М) д =---Г7--------
1 -|-а
Кроме того, из формулы (11.5) следует, что при установившемся движении поезда без торможения продольное растягивающее усилиё в упряжном приборе, соединяющем локомотив с первым вагоном, всегда меньше касательной силы тяги локомотива, а также, что наличие уклона пути, не изменяющегося в пределах длины поезда, не влияет на продольное усилие, если касательная сила тяги локомотива при этом не меняется.
При движении заторможенного поезда, у которого в передней (по ходу) части состава суммарное нажатие тормозных колодок, приходящееся на единицу массы брутто вагонов, больше, чем в хвостовой части, продольные сжимающие усилия могут стать значительными. Наибольшее сжимающее усилие в таком случае возникает в переходном сечении между хвостовой и головной частями состава и определяется по формуле
Nk, k+i——(^ср+^т) У Qi+ У (Qi wi~\-BZl).
310
11.2. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПОЕЗДА ПО ЛОМАНОМУ ПРОФИЛЮ
Характер движения поезда, его скорость и ускорение существенно зависят от профиля пути. Продольные усилия в упряжных приборах различных сечений поезда, как уже указывалось, непосредственно не зависят от профиля пути при условии, что этот профиль не изменяется в пределах длины поезда, а определяются лишь тяговыми силами, распределением масс и тормозных сил по его длине. При движении поезда по ломаному профилю картина существенно меняется.
В эксплуатации наиболее вероятен случай, когда в пределах длины поезда имеется только один перелом профиля, т. е. поезд располагается одновременно на двух прямых участках пути с различными уклонами. Заданный наибольший уклон оказывает наибольшее влияние на продольные усилия в поезде при одном переломе профиля и увеличение числа переломов в пределах длины поезда приводит к уменьшению продольных усилий.
Для случая расположения длинносоставного поезда на нескольких уклонах пути одновременно выведем уравнение движения в предположении, что углы а наклона участков пути к горизонту малы, так что tg а « sin а « а (рис. 11.1).
Анализ продольных усилий проведем на примерах для пути с одним изломом профиля.
Пусть поезд на участке пути с несколькими изломами профиля располагается так, что головная часть его состава длиной х находится на подъеме ilf средняя часть длиной Г—на нескольких промежуточных ук-h h
лонах с приведенным подъемом i' —	(^i и h2 — отметки пере-
ломов профиля пути), остальная (концевая) часть длиной / — V — х располагается на подъеме i2. Рассматриваем поезд в виде непрерывного и нерастяжимого гибкого стержня с сосредоточенными массами (ло-
Рис. 11.1. Схема к выводу уравнения движения поезда по ломаному профилю пути
311
комотивамй) по концам, что соответствует случаю движения поезда с толкачом. Применив теорему о движении центра инерции системы, напишем дифференциальное уравнение движения поезда
(Л1+Л11+Л12)л = 7кЛ7’к2-^1-^,-^2-^01-,й702>	(п-6)
где	М — масса состава;
Mi, М2 — массы локомотивов;
Гщ, ТК2 — касательная сила тяги соответственно головного и хвостового локомотива;
Wlt W, W2 — силы сопротивления движению вагонов соответственно на первом, промежуточном (приведенном) и концевом участках пути;
F01, 1Г02— сила сопротивления движению соответственно головного и хвостового лф<омотивов.
/
Представив действие сил тяги и сопротивления движению кусочнолинейной функцией скорости с учетом соответствующих уклонов, приведем дифференциальное уравнение (11.6) к виду
х=Лх +Г>х-|-С,	(11.7)
где х — расстояние от точки излома профиля пути головной сцепки состава;
Л=-.-	‘ , д, (Mgd+M1gd+M2gd-D1-D2);
М D- —-------------- (и—io);
1	(-	.	/' I, . V
С = ., . лл “Г7 Mi+-^2—- ^ё а-МаЧ- , I'-2 — 2И4-Мх-\-М2 (.	[	1 \ Л
—Мг g(a + ii) — М2 g (а-Нг)} •
где a, d — коэффициенты из эмпирических зависимостей сопротивления движению локомотивов;
I—	длина состава (без локомотивов).
Поскольку решением уравнения (11.6) является x = Cert, соответствующее характеристическое уравнение будет
г24-Лг-|-С = 0.	(11.8)
корни которого получим в виде г1>2 = —А/2 ±)Л(Л/2)2—D.
В случае комплексных корней
Г1.2 = “±,: ₽•
где	а=-Л/2; ₽= V | (Л/2)*-Г>| ,
интеграл уравнения (11.7) будет
х— еС‘1 (Ci cos р /Н-С2 sin (И) + C/D, где Сх, С2— постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий задачи.
312
Скорость и ускорение получим соответственно:
х — а г Z (Ci cos р t-\-C2 sin p /) -f-0 e~ # (C2cos P t—Cr sin P /);
x = e“ t (a2 —p2) (Ci cos p t-\-C2 sin P t) —2 a P ea * (Cx sin P t — C2 cos p t).
Введя начальные условия при t = 0, х = х0 и х — х0, получим:
Ci=x0' —C/D\ С2 = х01^> (сс/Р) (х0 С/D)',	|	10)
х=е“ *{(х0 — C/D) cos р/ + [х0/р—(a/P) (х0—C/D)] sin P t}-{-C/D. j
В случае действительных корней уравнения (11.8), т. е. при (А/2)2—D > 0, интеграл уравнения (11.7) будет:
x=C1erti ~]-C2er2t +C/D-, x = r1C1 el 1 + r2C2 e2 * x = rl Ci e1 f +r% C2 e2 *,
где ri.2 — a ± P — действительные корни характеристического уравнения.
Произвольные постоянные Сг и С2 при введенных выше начальных условиях будут:
Ci— [х0/(гх—r2) ] [1 — ОгМо) (хо — C/D)]‘, С2= [х0/(Г1—r2) ] П—(Г1/х0) (х0 — C/Z?)].
Общее решение уравнения (11.7) в этом случае будет иметь вид
X=fxo/(r1—r2)] [1—(r2/x0) (х0—C/D)] Z1	и
— [х'о/(гт—г2)] [1 -(Гх/х) (Xo-CD)J Z*1 ~ C/D..
Скорость и ускорение поезда получим соответственно:
х = /х[ х0/ (гх—Гг)] В —(ггМо) (*0—C/D)]	~ 1Г2 >о/ (ri~r2) J I1— 1
•	Гг t
— {гг1х0){х0~С[Ь)}е	;
..	.	.	Гл t	\ 1 1 •
x = rl [х0/ (Гх —В —(/iMo) (*о— С/D)] е —
Г 2 t
— rl [х0/(Г1—r2)] [1—(Гх/хо) (х0— С/D)] е	.
Формулы для определения продольного усилия в упряжных приборах в различных частях поезда выведем применительно к наиболее часто встречающемуся случаю, когда поезд располагается на пути с одним переломом. Рассмотрим два характерных случая: первый, когда сечение поезда находится в пределах первого от головы поезда участка х ломаного профиля, т. е. когда Zx< х (рис. 11.2), и второй,
Рис. 11.2. Схема к определению продольных сил в поезде на пути ломаного профиля
когда z2 > х. Уравнение равновесия отсеченной части поезда при < х будет иметь вид
где 1ГВ1 — сила сопротивления вагонов отсеченной части состава.
Решив уравнение (11.13) относительно Nu получим
А = тК1 - W В1 - 1Г01 - (м -у- + Мг) х.
Введя новые обозначения:
-НЛй); £>х = — UWi d + М-у-+Di;
\ I J	\	'"J
gpWi (a + G) 4-ЛГ-у- (fl-Hi) j,
получим	7V1 — Лхх+DxX+Ci,
где х, х — соответственно скорость и ускорение в рассматриваемый момент движения поезда, определяемые по уравнениям (11.9) и (11.10) или (11.11) и (11.12).
Для случая z2 > х уравнение равновесия отсеченной от хвоста части поезда будет
(л1 -^- + M^x=W2 + rK2-FB2-F02-
Введя обозначения:
I—z9	/	- I—z2 \	—
Л2= М—^-+М2- D2=g M2 d + M—'"d2’
I—z<>	—
C2 = d[M2(a+i2) +M-^-(a+i2)l~A2,
314
0,2
N,MH
1,25
0,75
0,5
0,25
100 о
б) X, м/сг 0,2
o,i-
70
О
6j
N1(x = 0,5l)
М^ОЛ^О)
0,2
О.Ч
0,5
0,8
Результаты расчета движения поезда на участке пути ломаного про-
ТЛ
I х, м/с
30
iK
1U00
20- 500Г-
NAx~0,2l)
NAx=0,4l)
N^O)
^X^l ^2 0)
Nf(Z, = X)
N.(x=0,8l)
Рис. 11.3.
филя:
а — схемы расположения состава на участке; б — графики пути, скорости, ускорения; в — графики продольных сил в составе поезда
315
получим
^2 ~-А2 x-f-Z)2 x-f-C2.
В качестве примера на рис: 11.3 приведены в виде графиков результаты расчета по вышеприведенным формулам продольной динамики поезда, двигающегося по участку пути ломаного профиля. В расчете принято: масса поезда 10 000 т (масса, приходящаяся на 1 м пути, 8 т/м); тяга двумя восьмиосными электровозами с массой, приходящейся на ось, 27 т, развивающими суммарную касательную силу до 1,2 МН; движение происходит с подъема = 1О°/оо на спуск с уклоном i2 = 1О°/оо при начальной скорости х0 = 20 м/с в момент, когда головная автосцепка состава достигает вершины подъема.
Кинематика поезда представлена на рис. 11.3, б графиками пути, скорости и ускорений, а на рис. 11.3, з приведены графики продольных сил в составе поезда: в голсвном при = 0, в сечении на переломе профиля zx = х и в остальных сечениях поезда при х = 0,21, ... ..., 0,8 I. Из этих графиков видно, что наибольшего значения, превышающего силу тяги локомотивов, продольная сила достигает в сечении состава на переломе профиля. Превышение продельной силы над силой тяги зависит от крутизны и сочетания уклонов пути, соотношения тягового усилия локомотива и массы состава, значения начальной скорости поезда на переломе и др.
Наибольшее превышение наблюдается при минимальном отношении силы тяги к массе состава. Для иллюстрации этого случая на рис. 11.3, в приведен график продольной силы Nr (zt = х), соответствующий движению поезда на выбеге (Тк = 0) с начальной скоростью х0 = 20 м/с (72 км/ч).
При максимальном значении отношения силы тяги к массе состава для перспективных поездов 0,1—0,2 наибольшая продольная сила при допускаемых переломах пути может быть в 1,1—1,2 раза больше силы тяги головных локомотивов.
Если в голове поезда использоеать двойную тягу восьмиосными локомотивами и тройную тягу шестиосными с массой, приходящейся на ось до 27 т, что при установившемся режиме движения на расчетном подъеме соответствует касательной силе тяги Тк — 1,2 4- 1,3 МН, то наибольшая продольная сила в составе будет составлять 1,3—1,5 МН. Значение силы N = 1,5 МН принято в качестве одного из нормативных (// расчетный режим) для расчетов вагонов на прочность.
Вывод формул и пример расчета продольных сил выполнены для случая тяги поезда. Однако они могут быть использованы и в случае тормежения поезда локомотивным тормозом, если вместо значений 7\- подставлять в них значения тормозной силы Вт0 локомотивов.
Особенно важным с точки зрения устойчивости вагонов против выжимания является случай рекуперативного торможения поезда с головными локомотивами при движении в выемке — со спуска на подъем. График продольных сжимающих сил для этого случая будет иметь вид, аналогичный приведенному на рис. 11.3, в, но в области отрицательных значений силы.
316
11.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЕЗДЕ
ПРИ ТРОГАНИИ С МЕСТА
К переходным режимам движения поезда относят трогание с места, торможение, резкое изменение режима тяги, а также маневровые операции, сопровождающиеся соударениями вагонов.
Продольные силы в поезде при переходных режимах движения могут существенно превосходить силы установившегося режима. Принципиальным отличием условия взаимодействия вагонов в поезде при переходном режиме являются относительные движения вагонов колебательного, а иногда и ударного характера.
Методы определения усилий в упряжных приборах вагонов при переходных режимах движения поезда разработаны достаточно глубоко. Результаты этих исследований и опытов использованы при создании научно обоснованных норм расчетных усилий, технических требований к проектируемому автосцепному и автотормозному оборудованию, рекомендаций по разработке режимов (в том числе автоматических) тяги и торможения поездов и др.
Одной из важных для практики задач является определение продольных усилий в упряжных приборах при трогании поезда с места. Эти усилия в случае быстрого нарастания силы тяги локомотивов могут значительно превышать тяговое усилие. Степень этого превышения зависит как от массы всего поезда и его отдельных единиц, состояния состава перед троганием с места, так и от конструкции ударнотяговых приборов и их физико-механических характеристик. В частности, даже в однородном поезде, сформированном из одинаковых по конструкции и массе вагонов, процесс продольной динамики вагонов с неразрезной и разрезной упряжью существенно различается.
Неразрезная упряжь. Поезд, составленный из вагонов с неразрезной упряжью (рис. 11.4, а), в которой буферные пружины работают только при сжатии состава, а в случае растяжения вагоны оказываются соединенными сплошным (сквозным) стержнем-тягой, можно представить расчетной схемой (рис. 11.4, б).
При отсутствии зазоров з связях между вагонами (состав предварительно растянут) в случае внезапного приложения постоянного по
2)
б)
Рис. 11.4. Поезд с неразрезной упряжью (а) и его эквивалентная схема (б)
317
величине тягового усилия Тк расчетная схема может быть заменена системой двух масс:' Мл — масса локомотива и Мв = пт — масса всего состава (п — число вагонов; т — масса каждого из них). Эти массы соединены между собой пружиной с жесткостью С, равной сумме жесткостей пСу упряжных пружин всех вагонов состава. Воспользовавшись принципом Германа—Даламбера, напишем уравнение продольных относительных перемещений q = хг — х2 системы
d2 а
+^?-7’к/7Ил = 0.
dt2
Умножив все члены на С, получим
d2
--—-N-\-a2N-a2T^Q,	(11.14)
di2
где
N = C'q- а2 = С/Мл; а? = а2 (1 +МЛ/М).
Решение уравнения (11.14) для начальных условий t = О, N = С и q — 0 будет
—TK(!-eos art) в+.-М
Из полученного уравнения следует, что растягивающая сила N в упряжи за локомотивом имеет волновой характер с наибольшим значением
Мпах^Гк/ (1+А4л/Л1в)=27’к/(1 + а).
Если масса состава Мъ велика по сравнению с массой локомотива М л, то Nmax ~ 2Та, т. е- сила в упряжной тяге в 2 раза превосходит тяговое усилие локомотива.
В случае когда перед приложением тягового усилия состав был сжат до провисания стяжек упряжи, то приведение его в движение будет сопровождаться последовательными ударами вагонов между собой из-за наличия зазоров е между ними.
Определить продольную силу при соударении между вагонами с порядковыми номерами (считая от локомотива) k, k + 1 можно по формуле
_	(1+кч)/п ЛГ 2Мл+к/п
Wfe-fe+1~ Мл+(л. , 1)m |/ —-~ —(й + 1)8СуГК’
где кв — коэффициент восстановления при соударении вагонов;
Л4Л, т — соответственно масса локомотива и вагона;
Су — жесткость упряжного аппарата вагона.
При относительно большом k. пренебрегая величиной 2Л4Л по сравнению с km и единицей по сравнению с k, получим
Mi, ь+1== (1ё Гк •
318
Из этой формулы следует, что свободные зазоры 8 приводят к увеличению продольных сил в поезде при трогании.
В более тяжелых условиях работают вагоны, если перед троганием с места передняя часть состава сжата, а остальная растянута так, что может быть принята за единую массу с пружиной, жесткость которой равна сумме жесткостей всех пружин растянутой группы вагонов.
Усилие в связи между указанными группами вагонов определяется по формуле
(n—k) т Мл-\-пт
2Мл-\-кт
т
A'fc, k и =
(А-}- 1) (и — /г) Е Су к,
где п — k — число вагонов в хвостовой растянутой части состава.
При относительно большом числе вагонов в растянутой группе продольное усилие в поезде может возрасти до весьма большого значения.
Положительную роль в этом процессе играет трение в поглощающих аппаратах: при отсутствии трения кв = 1, а при значительной величине его кв 0, что способствует снижению действующей в поезде продольной силы практически вдвое.
Разрезная упряжь. Определение продольных усилий при трогании с места поезда, составленного из вагонов с разрезной упряжью, представляет собой более сложную задачу, чем для поезда с неразрезной упряжью. Резкое нарастание силы тяги, особенно ее внезапное приложение, вызывает в поезде относительные колебания вагонов. Динамические усилия в упряжных приборах при этом будут колебаться около значений, соответствующих установившемуся режиму движения поезда. После затухания колебаний под воздействием различных сопротивлений силовой прбцесс становится стационарным.
Исследовать колебания, возникающие при трогании поезда с места, можно по двум расчетным схемам (предложенным Н. Е. Жуковским), согласно которым поезд из однотипных, одинаково нагруженных вагонов представляется: упругим стержнем (состав) с сосредоточенной массой (локомотив) на конце (континуальная модель); системой твердых тел, последовательно соединенных упругими связями (дискретная модель).
Теория продольной динамики поезда получила развитие в работах В. А. Лазаряна, нашедшего решение для случаев трогания с места поезда с локомотивом как в голове, tan и в хвосте состава при различных законах изменения тягового усилия. Даны также решения для случая поезда с упруговязкими характеристиками связей между вагонами, что способствовало изучению продольных сил в реальном поезде при трогании с места.
Весьма сложна для решения аналитическим путем важная задача продольной динамики поезда, в которой учитываются реальные характеристики пружинно-фрикционных поглощающих аппаратов и свободные зазоры в упряжных приборах, приводящие при переходных
319
Рис. 11.5. Расчетная схема поезда как упругого непрерывного (континуального) стержня
режимах к разрывам поезда. Эта задача решалась только путем эксперимента с натурным поездом или его электродинамической моделью, в последние годы ее решают с применением ЭВМ. Рассмотрим некоторые из наиболее важных перечисленных задач.
Используя первую схему (состав представляется как упругий стержень), можно получить приближенное решение для определения продольного усилия в головном сечении поезда (между головным вагоном и локомотивом) в случае внезапного приложения силы тяги Тк (рис. 11.5).
Внезапно приложенная к локомотиву касательная сила тяги Тк передает упругой нити (составу с массой р, приходящейся на 1 м пути) силу натяжения No, которая по закону передачи волны начинает распространяться по длине состава до конца со скоростью %, после чего волна с нулевым натяжением возвращается к головному сечению поезда.
Элемент массы состава dm = pdx = p'kdt под действием приложенного с одного конца его натяжения N0 приобретает скорость и, которая определится по теореме о количестве движения:
д/
vpKdt — Nodt-, v=--—.	(11.15)
р Л
Сила No и скорость в головной части поезда с локомстивом нарастают постепенно. Дифференциальное уравнение движения массы М локомотива будет
М
dv
dt
— Тк—р Ху,
или
dv
dt
рХ
м
у— — =0.
м
Решением этого
уравнения будет
J К , _д z t у=------k Се 
а2М
где а2 — рММ. 320
т
Приняв в начале движения t — 0, v = О, получим С = — —j- и
Сила N в головном сечении состава с учетом выражений (11.15) будет
2V=yPZ=rK (1—г	м ).
Из полученного выражения следует, что скорость, быстро нарастая вначале, к моменту X/ — 2L достигнет величины
тк - 2 — Тк (1— е Л]) = —- , рл	рл
а сила натяжения, если учесть, что 2Lp М,
Lp (I— е~2 Л1) ^Гк-
Далее на некоторое малое время натяжение состава остается равным нулю. Затем процесс начинает повторяться, скорость v быстро нарастает (возрастает в 3 раза за тот же период t = 2L/v), а сила натяжения снова увеличивается до значения N.
Следовательно, при трогании с места поезда, имеющего разрезную упряжь, усилие в головном сечении состава не превосходит значения касательной силы тяги Тк локомотива.
Пользуясь рассмотренной схемой поезда как упругого стержня, можно получить распределение продольных сил по длине состава при трогании поезда с места.
Введем обозначения:
х — абсцисса рассматриваемого элемента массы состава длиной dx (отсчет от хвоста поезда);
wb и — перемещение рассматриваемого сечения за счет деформации состава, вызванной соответственно статическим и динамическим приложением сил N к части состава длиной х;
ц0 — перемещение поезда как твердого тела;
Сп — приведенная жесткость поезда, равная умноженной на длину вагона жесткости междувагонной связи;
nm	j
р = у---масса состава, приходящаяся на 1 м пути;
п — число вагонов в составе;
т — масса каждого вагона;
w — удельное сопротивление движению состава.
К элементу dx приложено в сечении /—/ усилие Nx как сумма статической и динамической составляющих
^!=СП
\ дх
ди дх
321
а в сечении //—II—усилие Лгп ,	/ du, ди d2u, t д2и
Nll = N1-]~dNj = Cn “ + ~ + ~т~~ dx-\- —— \ дх дх дх2 дх2
Сила инерции массы элемента dx состава будет
dPK=~
p dx.
Пользуясь принципом Германа—Даламбера, получим дифференциальное уравнение движения элемента d2t/ \ dx ------------------------------------ dx +aydx = 0.
dx2 J
p dx —
(11.16)
Поскольку для установившегося движения поезда тяговое усилие уравновешивается силами сопротивления движению локомотива и состава, то для каждого элемента поезда условие равновесия можно записать в виде:
(И.17)
d2Ui	d2u0
Cn----- dx—wdx = 0; —— =0.
n dx2	dt2
Тогда уравнение (11.16) примет вид
д2и	д2и
	 — a2	 = 0. dt2-------dx2
где a2 = Cn/p — квадрат скорости упругой волны.
Полученное дифференциальное уравнение гиперболического типа с частными производными выражает колебания элементов упругого стержня (состава поезда) относительно его положения равновесия, за которое принимается состояние установившегося движения. Примем за начальные условия следующие:
du
/ = 0; u = f (х); —- = (х), dt
где f (х), Д (х) — некоторые функции координаты х.
Граничные условия на концах стержня (состава) таковы: при х = 0 усилие всегда (при любом t) равно нулю, а в головном сечении х — L усилие определяется из уравнения движения локомотива массой М. Следовательно,
при x =
= 0; х= О
[d2u при x = L М
.	=~с.
dt2
(11.18)
Решение дифференциального уравнения (11.17) будет иметь вид u = uxut,	(11.19)
где их, ut — некоторые функции, зависящие соответственно от х или t. 322
Учитывая, что элемент массы, выведенный из состояния равновесия за счет продольной деформации упругого стержня (состава), будет совершать гармонические колебания, за ut принимаем функцию ut = Atcos	sin pt t,
где At, Bt — постоянные интегрирования; pt — частота колебаний.
Функцию их, определяемую только координатой х, будем выбирать такой, чтобы она удовлетворяла граничным условиям (11.18). Для нахождения их подставим функцию и из выражения (11.19) в дифференциальное уравнение (11.17), в результате чего получим
—— + PxUx — О,
ах2
где рх — рЦс?.
Решением этого уравнения является их = Ах cos рхх+ Вх sin рх х,
а учитывая, что при х — 0 у- = 0 и Вх — О,
«Х = ЛХСО8 рхх.
Решение уравнения (11.17) будет иметь вид
Ui = Axcospxi х (Ati cos ptit А-Вц sin ptit).	(11.20)
Учитывая второе граничное условие (11.18), получим
—Mp't cOS Рх В = Сп Рх sin рх В или после преобразования
tgZ=—аХ,	(U.2I)
где
г	М
Tv '=== pv ОС пт
Корни уравнения (11.21) 0,	Х2, ..., позволяют определить соб-
ственные частоты упругих колебаний стержня (состава)
Хг-а
Общее решение уравнения (11.17) получим суммированием колебаний по выражению (11.20) с частотами pti и pxi
00	к *
и — V COS ~4 х
1=1	L
и ।
Д; cos —— t + BjSin —— t I .
Из полученного следует, что колебания вагонов в составе слагаются из множества колебаний с различными частотами и амплитудами, меняющимися по закону cos У^х/Е, и переменной длиной волны (синусоидальные стоячие волны).
323
В случаях внезапно приложенного к локомотиву тягового усилия Тк, меняющегося по какому-либо заданному закону, необходимо рассмотреть вынужденные колебания состава поезда. С этой целью применяют принцип Германа—Даламбера совместно с принципом виртуальных работ и рассматривают: силы инерции, упругие силы и возмущающие силу Тк. За виртуальные перемещения принимают функции перемещений, найденных при рассмотрении свободных колебаний состава поезда. Вычислив полную виртуальную работу перечисленных сил и приравняв ее нулю, получают уравнение, по которому можно определить перемещение любого элемента поезда, вызванное приложенной силой Тк. Не производя указанных рассуждений, приведем решение для случая приложения к поезду тяговой силы Тк, меняющейся по закону

где у — параметр, характеризующий нарастание или убывание силы тяги.
Перемещения ив, соответствующие вынужденным колебаниям элементов упругого -состава поезда, будут
Гко	sin\
Мв apL	2Х,—sin 2лг 2 у X2 х
sin Xi	Xi Xi
X----------------г/ VY\2--ГГ cos Txcos 7~ at ~
Xi (2Xi—sin 2Xf) +bq L\ a ) J
1	' sin Xi	Xf
7“	2X,-sin 2&, C0S T
к a2 i) -
В случае внезапного приложения тягового личины (у-> оо) перемещения ив будут
усилия постоянной ве-
Гко ~ sin Xj Г /2 _ 4р£2 мв= м2 2Х.—sin 2Xi 2 СПХ? /=о	_	1
и продольное усилие
. г ди  4ТК0 sinXf
дх а	(2л,-— sin2Xj) Xt
hj /
cos x 1 — cos j at
-^-x^l—cos — -at .	(11.22)
Из формулы (11.22) видно, что изменение силы N вдоль поезда и по времени имеет волновой характер, а вычисления приводят к выводу, что наибольшее значение продольной силы в составе, принятом за 324
Рис. 11.6. Расчетная схема поезда как дискретной системы твердых тел с упругими связями
упругий однородный стержень, при внезапном приложении тягового усилия Тк не превосходит его значёния.
Для определения силы в сцепке, соединяющей первый вагон с локомотивом (х = L), формулу (11.22) можно представить в виде
at
N
к-
Наибольшее значение этой силы будет при at = 2L, когда волна деАормации междузагонных связей, отразившись от конца состава, возвратится к его головному сечению
2
N(x=L)	е
Применив вторую расчетную схему, по которой поезд представляется в виде системы из (п + 1) последовательно соединенных упругими связями твердых тел (дискретная модель), можно получить систему дифференциальных уравнений для продольных сил _v i во всех связях состава (рис. 11.6): d2Wi п
!- = X2(M,-22V1 + 7\);
UL^ d2N2
—^- = %2(yV3-2?/2 + /V1); at2
1
(11.23)
d2Nn „
—— = %2 (-2Nn + Nn_-at2
где
Тк — касательная сила тяги локомотива, приложенная к массе с номером нуль;
%2 = С[т — квадрат парциальной частоты (С — жесткость междувагонной связи; т — масса вагона).
Решив полученную систему в предположении, что поезд состоит из п вагонов одинаковой массы (масса локомотива равна массе вагона), соединенных упругими связями, для случая мгновенного приложения Тк можно получить формулу, определяющую искомые усилия,
Тк sinKfx—ut) г~~ л
sin к (х-|-и/) ---------------+ ^с,
к
к
(11.24)
325
и =4 __—__ К — скорость волны:
И 1
jVc — усилия в междувагонных связях при установившемся режиме тяги: Nc — тк п + 1 + f = Тк (1 + х/л).
п + 1
Из формулы (11.24) следует, что в любой момент времени значение Ni слагается из /у с — усилий при установившемся режиме тяги — и из усилий, принесенных в рассматриваемое сечение левой и правок волнами, бегущими влево и вправо от него вдоль состава со скоростью и.
Учитывая, что
~ sin kx	л 1 (	х \
bi k	2 .	л ’
Я=1	'	/
Формулу (11.24)
можно переписать для случая ut <Z х в виде
Т’к (	х—at\	Тк / х4-Щ
^ = Гк(1-^/л)—-S- 1-——) —- 1-—— k	Л л	к	л
=0,
а для utZ> х
Тк (	ut—*'
N = TK(\-xl^+—[\-	-
2 \ Л

Следовательно, при внезапном приложении силы Тк значение усилия N в междувагонных связях колеблется между нулем и Тк.
Изменение продольных сил и скорости Движения вагонов при трсгании с места усилием Тк поезда, состоящего из восьми единиц, показано на рис. 1,1.7.
Для случая, когда масса локомотива М отличается от массы вагона m, Н. Е. Жуковский показал, что выведенные формулы остаются справедливыми, если в формулу (11.24) вместе Nc подставить
а вместо Тк
Тк м
пт
Тогда наибольшее усилие будет
л/ _ _2к_ "+1 _ "ь-yVmi!X	М п 1+а п
1+------
пт
326
Рис. 11.7. Графики изменения продольных сил N и скорости движения v вагонов при трогании с места восьмивагонного состава мгновенно приложенной постоянной тяговой силой Тк
Полученные решения справедливы для поезда с упругими линейными междувагонными связями, для которых система (11.23) состоит из линейных дифференциальных уравнений. В случае же нелинейных упругофрикционных связей, какими являются связи современных вагонов с пружинно-фрикционными поглощающими аппаратами, а также для состава, имеющего вагоны с различными массами (неоднородный поезд), решение задачи существенно усложняется.
Упруго-вязкая связь. Задачу для трогания с места однородного поезда с нелинейными связями удается решить заменой состава поезда стержнем, но не чисто упругим, а упруговязким, сопротивление которого состоит из упругой и неупругой частей, причем сопротивление последней принимается пропорциональным скорости деформации стержня. Силовая характеристика такого стержня выражается формулой
2V = Cne + Cnp-^- =СП (1 + р	(И.25)
dt \ dt j dx
где у, — Hi/'Vm— коэффициент вязкости, соответствующий частоте vm собственных колебаний (щ — коэффициент неупругого сопротивления стержня, обладающего гистерезисной характеристикой, при его растяжении-сжатии).
327
Рассматривая, как и выше, движение элемента стержня (состав) длиной dx и
исходя из условия равновесия, можно написать
д2и	dN
pdx---- =2V+ ----- dx—N,
H dt2	dx
или
д^и	dN
Р dt2	dx
(11.26)
Подставив получим
в уравнение (11.26) выражение N по формуле (11.25),
d2u	[
— = а2 I
dt2	\
что и в уравнении (11.17).
(11.27)
где a2 — то же,
Решение дифференциального уравнения (11.27) для случая переходного режима движения поезда может быть найдено методом обобщенных координат Лагранжа.
Если рассматривать колебания стержня (состав) с массой (локомотив) на конце (х = L) как колебания системы с бесконечно большим числом степеней свободы, то для случая свободного конца (х — 0) стержня (состав) перемещение любого его сечения будет
u(x,t) — Xoqo-{- Xmqm,
т=1
где q0,..., qm — обобщенные координаты; *
Хо,..., Хт— собственные, или фундаментальные, функции задачи:
Хо= 1; %™-COS х,
где “kjn — корни трансцендентного уравнения tg X = —ак (а — отношение массы М локомотива к массе pi состава).
В случае закрепленного конца состава, что возможно для головной части поезда, когда хвостовая его часть заторможена, имеем
iz (х, t) — У Хт qm, т=\
к
так как в этом случае Хо = 0;	— sin х (Хт — корни урав-
нения tg X = Дг).
Составляя далее выражения для кинетической, потенциальной энергии и диссипативную функцию, соответствующую поезду как системе с упруговязкими связями и подставляя их в дифференциальное уравнение Лагранжа, можно получить (промежуточные выкладки не приводятся ввиду их громоздкости) после интегрирования следующие решения: 328
для перемещений сечений стержня (состава)
« TKXm(L}Xm(x)
« = <7о + V] --------------
т = 1
L (дХт n V дх
2
dx
для продольных усилий в
стержне
(cos V +---------sin f\mt)
(составе)
5 ди dt j дх
т=\
р (дхт
дХт (х) dx
2
dx

1 — е
о
cos x\mt ——
>	4m
sin T]m t
В случае свободного конца (х = 0) продольные усилия определятся из выражения
х .
14-а L а
sin Лт sin
т I	,	"гл. .	, ' . '“т
Хе cosr|mZ —-------------sinT]m/ sin —— х,
X	Tlm / L
(11.28)
где
Hi	-
Пт = тт Г 1-(Лт/тт)2; /lm = vm; vm = Zm — .
Графики изменения продольных сил в различных сечениях поезда (рис. 11.8, а) при трогании с внезапным приложением к локомотиву силы Тк и при pi — 0,3, полученные по формуле (11.28), представлены на рис. 11.8, в.
Усилие Тк не изменяется в течение длительного времени (рис. 11.8, б). Продольные силы Nx — (см. рис. 11.8, в) имеют волновой характер, распространяясь вдоль состава со скоростью а. Как показано на рисунке тонкими линиями, которые проведены между точками 0, 1, 2, 3, соответствующими моментам достижения силовой волной конца состава (точка /), затем снова начала состава (точка 2) и т. д., прямая волна, перемещающаяся от головной части поезда к хвостовой, создает в рассматриваемом сечении состава увеличение продольной силы, а обратная волна — ее уменьшение. Сила изменяется около ее среднего значения (штриховые прямые линии), различного для каждого сечения, но соответствующего силам Nlc — Nic (рис. 11.8, а) стационарного (установившегося) режима тяги.
11 Зак. 55«	329
Рис. 11.8. Графики изменения продольных сил в четырех сечениях поезда с упруговязкими связями при трогании с места
При переходном режиме (в начале трогания) поезда с идеальными связями (без сил трения) колебания продольных сил между вагонами имеют незатухающий характер (штриховые кривые, см. рис. 11.8, в), а в случае связей с трением колебания сил затухают.
Подобным образом можно получить формулы для определения продольных усилий в поезде при торможениях. Необходимо иметь в виду, что принятая расчетная схема поезда пригодна только для случаев, когда продольные силы и деформации междувагонных связей имеют одинаковый знак: растягивающая сила в предварительном растянутом составе, сжимающая сила — в сжатом. Изменение знака деформации, которое происходит при резких торможениях поезда, приводит к раскрытию зазоров, имеющихся в современных упряжных приборах; в результате система получается разрывной и для нее изложенный метод решения непригоден.
Поезд, с современными поглощающими аппаратами, в которых за счет работы сил сухого трения необратимо поглощается до 70—80 % энергии деформаций, можно представить в виде упругого стержня с вязким сопротивлением только весьма условно. Относительные колебания снабженных такими связями вагонов затухают, а в случае приложения к вагонам некоторой постоянной силы (тяга или торможение) они из-за широкой области застоя вообще не возникают.
Рассмотрим это на примере колебаний двух соединенных между собой упругофрикционной связью вагонов (рис. 11.9, а). Дифференциальное уравнение относительных колебаний этих вагонов имеет следующий вид:
mq-\-C (1 4-ф sgn q q) <? = 0,
330
где т — масса вагона;
С — средняя жесткость силовой характеристики связи (рис. 11.9,6)
г__
~	2
Сх, С2 — жесткости связи соответственно при сжатии и разжатии (восстановлении);
<рг — коэффициент относительного трения;
Cj—С2	Ci—(?2
°= 2С = CiH-C2 ’
q — относительное перемещение вагонов;
Xi —х2
Решить такое нелинейное уравнение аналитически в общем виде сложно. Обычно его получают графоаналитическим методом (рис. 11.9, в) или методом припасо-вывания, что эквивалентно последовательному рассмотрению движения вагонов по уравнениям:
Vi -т-У1 <71 = 0; q2 + Vi q2 = 0,
ГД< 'Л—	'—кваДРаты собственных
v3 — с2/ J частот относительных колебаний вагонов.
Такие колебания (с уменьшением амплитуды по экспоненте) могут иметь место только при отсутствии предварительного натяжения (сжатия) связи. В случае предварительного сжатия апиара-
С2
тов на величину q > qm — (qm ci
наибольший ход аппарата) колебаний вагонов нет, как при абсолютно вязких (закритических) связях.
На рис. 11.10 показаны графики силы Л’ и относительных перемещений q в пружинно-фрикционной связи между двумя вагонами, когда к одному из них внезапно приложено постоянное усилие Тк, создавшее предварительное натяжение в связи 0,5 Тк, а на рис. 11.11 — аналогичный график 11*
Рис. 11.9. Собственные относительные продольные колебания двух вагонов с связями сухого трения, пропорционального относительным отклонениям:
-•	2
/—движение по уравнению «/t+vi <7i=0;
2 — движение по уравнению q^+v2 tf2=0; q, fl’o — текущее и начальное значение величины сжатия аппарата
331
Рис. 11.10. Осциллограммы деформации междувагонной связи и соответствующей продольной силы при внезапном приложении к одному из вагонов силы тяги Тк
Рис. 11.11. Силы в связях трехвагонного поезда при трогании с места постоянной силой Тк
связи
продольных сил N в связях трех вагонов, когда к первому из них внезапно приложена сила Тк, создавшая натяжение в первом и втором соединениях соответственно 2	1
у Тк и з Тк. Так как принято, что в связях необратимо поглощается около 70 % энергии каких-либо колебаний вагонов при внезапном приложении, постоянного натяжения не наблюдается.
На осциллограммах, получаемых во время опытов при трогании поезда с места, наблюдаются бегущие вдоль поезда волны силы и деформаций. Но эти волны связаны с упругой деформацией рам вагонов, а поглощающие аппараты при этом находятся в заклиненном состоянии и в колебаниях не участвуют. Упругие колебания затухают очень медленно и для теоретического описания их допустимо считать поезд упругим стержнем, сечение которого приблизительно равно сечению хребтовой балки рамы вагона с соответствующей растяжению или сжатию жесткостью, а масса равна массе поезда.
Наибольшее усилие между вагонами и в этом случае не превосходят приложенной к локомотиву силы тяги.
Упруго-фрикционные связи и зазоры в упряжных приборах. Рассмотренные выше расчетные схемы позволяют изучать продольные силы при трогании с места однородного, т. е. сформированного из вагонов одинаковой массы, имеющих упругие или упруговязкие одинаковые связи с сопротивлением, зависящим от скорости деформации. В реальных условиях взаимодействие вагонов в поезде и возникающие в нем динамические силы мо-
332
гут быть иными. Опыт показывает, что относительно большие продольные силы возникают в неоднородных поездах, а также при наличии в связях свободных зазоров. Приведение в движение предварительно сжатого поезда с такими связями, как в случае поезда с провисшими стяжками (см. п. 11.3), сопровождается серией последовательных ударов между вагонами с увеличивающимися скоростями и соответственно силами.
Решение такой задачи очень громоздко и довести его до числовых результатов рассмотренными выше методами практически невозможно. Эту задачу можно решить с помощью ЭВМ без каких-либо упрощений, снижающих точность результатов. Так, решение, в котором используется зависимость между сопротивлением пружинно-фрикционного аппарата и скоростью скольжения его клиньев, представленная в виде
множителя —-—’-г, где а, Ь, с, а — коэффициенты, зависящие от с-}- rf|X|
конструкции аппарата и знака скорости деформации 1 (рис. 11.12), базируется на следующем представлении силовой характеристики междувагонной связи:


d|X|
О, если | X | < 6 или | X | = 6 и —-—— = к < 0; dt
6Z] —f- I X 1
‘-,1;  (I M-6)J sgn X, I X I
если 6<I1 X/<a-4-6 и [ X | > 0;
c-2+^2! I , z . * C, ,
-------—“pV2+K2 (I a J—6)] sgn X,
1 к I
если 6 < | X | <1 a-]-6 и |X|<0;
pV34-K3 (I X| — a—6)1 sgn X,
если | X| или |Х| = с4~6 и | X j >0,
(11.29)-
где Nt, ;V2,	— продольные силы, соответствующие точкам а, Ь, с;
кг, к2’ кз — угловые коэффициенты-отрезков Ьс, ас и cd силовой характеристики.
Используя зависимости (11.29) в дифференциальных уравнениях для вагонов, примыкающих к i-й междувагонной связи,
rf2X-
—— =	(VMi +1 /Mi+l)	-1-
dt*
	 t 2"T j ^тр i 	 Г? И ZTP i+l	t.. Мг-	u •
где Ni . г	— приведенная масса i-го вагона (локомотива); — продольное усилие в i-й связи (счет ведется от головы поезда включая локомотивы);
• FTi — сила тяги i-го вагона;
333
F-rpi — сила сопротивления, а также дополнительные зависимости между силами Nf в междувагонных связях с номерами i = k, k + 1, ... ..., k + s в момент, когда X = 0 и X = О, полученные путем приравнивания нулю правых частей уравнений (11.30) для первых I и остальных s — (k + 1) — I соотношений,
Z-
Мк—f + У ( Гт i —^трг) i = k
s-Ь1	"I I
^s+1 — 2 г - трг) x'j i = l+l J i=k
Mi
s+1
2 Mi i=k
Таблица 11.1
Зазоры 26, мм	Продольная сила /Утах, МН в составе	
	ПОЛНОСТЬЮ сжатом	сжатом до 10-го вагона
10	1,45	1,51
20	1,53	1,80
30	1,54	2,11
40	1,56	—
можно однозначно определить по известным Хг, FTi и FTpi значениям продольных сил Ni и в случае неопределимости их по выражениям (11.29).
Для решения этой задачи на ЭВМ составлена программа, обеспечивающая интегрирование системы дифференциальных уравнений (11.30) применительно к поезду, состоящему из k локомотивов и т вагонов при k + т <Z 125, с возможностью произвольного изменения масс отдельных вагонов, сил FTp и FTpi и начальных условий Х,г (0) и Хг (0), включая свободные зазоры 6 в упряжных приборах. Задачу можно решать как для трогания с места, так и для торможения поезда.
В качестве примера в табл. 11.1 приведены результаты расчетов
для трогания с места тремя электровозами ВЛ22М (общая касательная сила тяги ~ 1,3 МН) поезда из шестиосных полувагонов массой 129 т каждый с поглощающими аппаратами Ш-2-Т и зазорами 26 от 10 до 40 мм. Расчеты показали, что усилия между вагонами превосходят по величине наибольшую касательную силу тяги локомотивов на 12—63 %, причем в случае трогания с места частично сжатого состава продольные силы достигают больших (на 5—35 %) величин, чем в полностью сжатом составе.
11.4. ОПЫТНЫЕ И РАСЧЕТНЫЕ ДАННЫЕ О ВЕЛИЧИНАХ И ПОВТОРЯЕМОСТИ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ
Выпускаемые в настоящее время отечественными заводами вагоны рассчитаны на срок эксплуатации 30—40 лет, следовательно, они должны быть пригодны для работы в условиях далекой перспективы. Анализ изменения этих условий свидетельствует о том, что для освое-334
ния бурно нарастающего грузооборота железных дорог потребуется увеличить весовые нормы грузовых поездов.
Для подготовки подвижного состава и отработки методов вождения тяжеловесных поездов к настоящему времени выполнен комплекс теоретических и экспериментальных исследований продольной динамики поездов массой до 12—15 тыс. т. Этими исследованиями установле-.чо, что при трогании с места современными локомотивами и торможе-нии с малых (5—10 м/с) скоростей неоднородных поездов 6—10 тыс. т наибольшие растягивающие и сжимающие силы достигают 2—3 МН, средние длительно действующие — 0,8—1,2 МН.
Эти наибольшие значения сил для удобства расчета можно представить в виде эмпирической зависимости
= кдп фк Рл,
где кдп — коэффициент продольной динамики, равный отношению наибольшего продольного усилия, возникающего между вагонами в составе, к наибольшей (паспортной) касательной силе тяги фкРл локомотива при трогании поезда с места;
Рл — суммарная сцепная сила тяжести локомотивов поезда;
фк — расчетный коэффициент сцепления колес локомотива с рельсами при трогании с места.
Коэффициент кдп имеет различные значения в зависимости от режима движения поезда. Так, при трогании с места или экстренном торможении (режим I в соответствии с нормами МПС и Минтяжмаша) он изменяется от 1 до 3. Для однородного поезда большой массы при тяге с головы электровозами кдп принимают 1,6, а при движении на расчетный подъем и служебном торможении (режим II по нормам) — 1,0. Коэффициент сцепления фк изменяется в пределах 0,2—0,4 и при определении продольных сил тяги на расчетном подъеме принимается 0,27, а при трогании с места — 0,33.
В качестве перспективных видов тяги, допускающих эксплуатацию в поездах вагонов современных конструкций (в том числе восьми-и четырехосных), приняты трехкратная тяга шестиосными электровозами и двукратная восьмиосными с осевой нагрузкой 0,27 МН, а также трехсекционными тепловозами. Сцепной вес головных локомотивов будет достигать 4,3—4,9 МН, а реализуемое касательное усилие при трогании с места — до 1,4—1,6 МН. При наибольших допускаемых скоростях движения возникающие вследствие регулировочных торможений поезда и изменений режима тяги продольные силы (режим III) достигают 1—1,2 МН.
В соответствии с указанными результатами натурных опытов и выполненными расчетами по нормам МПС и Минтяжмаша предписывается при проектировании вагонов производить расчет их прочности и устойчивости на действие продольных сил, приведенных в табл. 11.2 и 11.3.
Для оценки прочности и долговечности вагона необходимо знать частоту повторяемости приложения продольных сил в поезде, которая подчиняется статистическому закону, близкому к закону Гаусса. Общее 335
Таблица 11.2
Режим нагружения	Величины продольных сил и соответствующих им скоростей при расчете на прочность вагонов			
	пассажирских		грузовых	
	N, МН	V, м/с	N, МН	V, м/с
I	—2,5	0	±2,5	0
II	+ 1,5	15	—	—
III	±1,0	45	±1,0	33* 40
* Числитель — для грузовых вагонов, знаменатель — для рефрижераторных.
Таблица 11.3
Типы вагонов	Величины продольных сил и соответствующих им скоростей для расчета устойчивости вагонов против выжимания в процессе сжатия поезда при торможении	
	N, МН	V, м/с
Пассажирские и грузовые четырехосные порожние Грузовые шести- и восьмиосные порожние и четырехосные груженые	1 1 О СП	5—15 5—15
число приложений продольной силы к грузовому вагону при переходных режимах (троганиях с места, торможениях и при маневровых соударениях) в течение полного срока его службы (пробег исчисляется приблизительно 2,5 млн. км) ориентировочно равно 400— 600 тыс. раз, в том числе силы величиной 0,8—1,2 МН повторяются до 250 тыс. раз, 1,25—2 МН — около 200 тыс. раз и 2—2,5 МН и несколько большие — до 1000—1500 раз^ В большинстве случаев (60—70 %) значительные по величине действующие силы переходных режимов являются силами сжатия, в остальных—силами растяжения. В стационарном режиме тяги поезда действующие на вагон силы (до 1,5 МН), как правило, растягивающие.
Приведенные в табл. 11.3 скорости используются при расчете коэффициентов вертикальной динамики и действующих на вагон боковых сил, которые учитываются при вычислении напряжений в конструкции. Принятие меньших по величине продольных сил при расчете устойчивости четырехосного вагона по сравнению с шести- и восьмиосным вызвано более низкой их сопротивляемостью против выжимания. Это обстоятельство свидетельствует о необходимости ограничения массы поезда, в котором находятся порожние четырехосные вагоны.
336
Глава 12
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ДИНАМИКИ ВАГОНА
12.1.	ЛАБОРАТОРНЫЕ И СТЕНДОВЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Процесс разработки новых и модернизации существующих конструкций вагонов наряду с расчетно-теоретическими исследованиями предусматривает и экспериментальные. Экспериментальные исследования, как правило, являются завершающим этапом в создании вагона (приемочные испытания заказчика, контрольная проверка в условиях движения на линии). В процессе отработки конструкции на стадии выбора основных параметров и характеристик вагона одновременно с расчетами проводят опыты в лабораторных условиях на моделях, натурных узлах или опытных образцах вагонов. Поэтому экспериментальные исследования обычно подразделяют на три условные группы: лабораторные, стендовые и поездные.
Как правило, испытания в процессе отработки конструкции выполняет разработчик, поэтому они называются заводскими. Контрольные и приемочные испытания отработанной конструкции ведет заказчик вместе с разработчиком.
Лабораторные исследования обычно ведут с использованием специальных установок: изучается динамика процесса на малых физических или электрических моделях с использованием принципов моделирования и математических аналогий в отличие от стендовых испытаний, где изучаются опытные натурные узлы или целые вагоны.
Конкретные цели лабораторных исследований многообразны. Чаще всего с помощью лабораторного исследования путем сопоставления расчета и опыта уточняют расчетную схему проектируемого вагона, чтобы она была пригодной для определения численных значений искомых функций. В других случаях с помощью лабораторного опыта уточняют качественные особенности исследуемого динамического процесса, а затем на основе анализа уточненных уравнений оптимизируют параметры рассматриваемой системы.
Оборудование для лабораторных исследований многообразно и зависит от конкретных задач, которые ставятся на этом этапе.
Стендовым испытаниям подвергают отдельные узлы и целые опытные вагоны. В практике отечественного и зарубежного вагоностроения используют следующее стендовое оборудование для испытаний.
1.	Стенды или катковые станции для изучения колебаний вагона в целях отработки типа и параметров рессор и гасителей системы подвешивания.
В одних случаях эти стенды имеют постоянную платформу или кузов со съемными и перемещающимися грузами, позволяющими изме-
337
нять в нужных пределах массу и моменты инерции системы; при этом испытываемым объектом является только тележка с рессорным устройством.
В других случаях на катки устанавливают исследуемый вагон вместе с тележками.
На этих стендах процесс колебаний задается обычно вращением специально профилированных под расчетную неровность катков под колесными парами испытываемого вагона. Более совершенные стенды оборудованы специальными устройствами, с помощью которых можно управлять возбуждением колебаний вагона по заданной программе, в том числе и воспроизводить неровности пути, зарегистрированные на действующей линии.
2.	Подвижной стенд-вагон (опытный вагон) с переменными массой, моментами инерции, положением центра тяжести кузова, а также с тележками, в которых могут быть смонтированы различного вида гасители колебаний. Такой вагон может двигаться с заданной скоростью по магистральным линиям или по путям опытного полигона с реальными неровностями пути. В обоих случаях динамические процессы изучают при помощи датчиков и регистрирующей аппаратуры, только в первом случае эта аппаратура размещается в стационарной лаборатории, а во втором — в специальном вагоне-лаборатории, прицепляемом к опытному поезду.
3.	Стенды для снятия параметров, характеристик и испытаний гасителей колебаний вагона.
4.	Вибрационные платформы для исследования упругих колебаний узлов и деталей вагона, систем виброзащиты.
5.	Стенды-копры для снятия характеристик и ударных испытаний поглощающих аппаратов автосцепки. Эти стенды позволяют наносить одиночные и повторные удары. Измеряется при этом и поглощающая способность аппаратов, снимаются силовые характеристики.
6.	Стенды-горки для испытания натурных вагонов на соударение, С помощью новых конструкций можно автоматически создавать повторные сжимающие и растягивающие удары с заданными скоростями. Результаты измерения сил и напряжений могут быть использованы для уточнения расчетных схем нагружения элементов вагона при их динамическом взаимодействии, а также для отработки характеристик поглощающих аппаратов.
12.2.	МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ВАГОНА
Сложные явления динамики механической системы «вагон—путь» или системы вагонов в составе поезда целесообразно изучать на моделях в лабораторных условиях. При решении задач динамики вагонов применяется физическое и математическое моделирование.
338
Физическое моделирование различных процессов динамики натурной механической системы основано на исследовании модели, содержание и функции которой имеют одинаковую физическую сущность с реальной системой, но отличающиеся параметры.
Математическое моделирование есть такой вид моделирования, при котором исследуемая система и ее модель имеют различную физическую сущность, но уравнения, описывающие протекающие процессы, имеют одинаковый вид и отличаются только значениями коэффициентов и размерностями величин.
Моделирование позволяет в условиях лаборатории еще до разработки проекта и постройки опытного образца вагона изучить его динамические особенности и внести необходимые уточнения в конструкцию на стадии выдачи технического задания на проектирование.
Математическое моделирование имеет два основных направления. Первое — построение моделей с использованием принципа прямой математической аналогии, когда исследуемый процесс реальной системы и его модель при различной физической сущности описываются одинаковыми по виду математическими уравнениями. В этом случае используются аналогии между электрическими, механическими, гидродинамическими, акустическими и другими физическими явлениями.
При исследовании динамики механических систем особенно большое значение приобрели электрические моделирующие устройства, для которых дифференциальные уравнения, составленные по методу Германа—Даламбера и законам Кирхгофа, полностью аналогичны. На этом принципе был построен электроинтегратор, позволяющий моделировать продольные колебания вагонов в составе поезда.
Второе направление математического моделирования — построение вычислительных машин, моделирующих математические уравнения (математические аналоги).
Недостаток математического моделирования состоит в том, что исследуемый процесс воспроизводится только в рамках заданных уравнений, отражающих не реальную механическую систему (например, «вагон—путь»), а ее расчетную схему. Поэтому точность математического моделирования находится в прямой зависимости от степени упрощения изучаемой системы при составлении ее расчетной схемы.
Математическое и физическое моделирование имеет свои недостатки, поэтому в процессе исследований обычно используют оба эти метода как дополняющие друг друга. Это позволяет использовать преимущества обоих методов. При моделировании процессов колебания вагонов необходимо руководствоваться следующими правилами: исследуемые процессы вагона и его модели должны иметь одинаковые функциональные зависимости; начальные и краевые условия вагона и модели должны быть тождественны; одноименные входящие в функциональные зависимости безразмерные параметры исследуемых процессов вагона и модели должны быть соответственно равны.
При выборе параметров модели необходимо стремиться к простому ее исполнению, а также возможности изменения параметров при опытах.
339
Эта задача идентификации, на основе которой сопоставляются структура и параметры объекта и модели, обеспечивая их необходимую адекватность.
На построенной таким образом модели можно исследовать процессы колебания аналогичных натурных вагонов с различными параметрами.
12.3.	ПОЕЗДНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Поездные динамические испытания являются одним из важнейших этапов отработки конструкции вагона и оценки его качеств. В зависимости от целей они подразделяются на общединамические и специальные. К общединамическим поездным испытаниям относятся:
заводские (проводимые заводом-изготовителем) испытания, целью которых является проверка работы отдельных узлов вагона и конструкции его в целом. По результатам этих испытаний завод дорабатывает опытный образец вагона;
приемочные поездные испытания, во время которых проверяют соответствие динамических качеств вагона требованиям заказчика (МПС) и нормам.
В процессе приемочных поездных испытаний определяют: ходовые качества вагона (плавность хода и устойчивость против опрокидывания и схода с рельсов); силы, действующие на элементы конструкции вагона и пути; силы, от которых зависят прочность и надежность вагона, а иногда и пути в длительной эксплуатации.
По результатам приемочных поездных испытаний устанавливают пригодность вагона к эксплуатации на сети железных дорог и условия его обращения. В частности, определяют конструкционную скорость движения вагона, т. е. наибольшую скорость, при которой обеспечиваются прочность, устойчивость и необходимая плавность хода вагона на прямом участке пути современной типовой конструкции, удовлетворяющем установленным нормам текущего обслуживания.
Помимо общединамических, проводят также специальные поездные испытания: тормозные по оценке эффективности системы тормоза; на устойчивость вагонов против выжимания продольными силами в тяжеловесных поездах; длительные, по которым определяют величину и характер распределения во времени динамических сил, действующих на вагон в эксплуатации, и др.
В зависимости от поставленной задачи разрабатывают методику проведения испытаний, которая определяет порядок подготовки объекта к испытаниям, виды и объем измерительной аппаратуры и ее размещение, режимы нагрузок и порядок проведения испытаний, характеристики опытного участка пути, методы обработки опытных данных.
Подготовку вагона к поездным испытаниям начинают с определения конструктивных параметров и характеристик опытного образца 340
и сопоставления их с расчетными по нормам, установленным техническим заданием на проектирование.
Проверяют массу вагона, экспериментально определяют основные параметры: вертикальную и горизонтальную жесткости рессорного подвешивания, характеристики гасителей колебаний, массы, моменты инерции и частоты собственных колебаний подрессоренных частей вагона.
Жесткости рессорного подвешивания обычно определяют при статическом приложении нагрузок. При этом регистрируют приложенные нагрузки и соответствующие им перемещения (прогибы) рессор.
Для определения частот собственных колебаний элементов вагона и моментов инерции подрессоренных масс проводят свободные перекатывания одиночного вагона через подкладываемые под колеса клинья. Эти клинья устанавливают под колесами в определенном порядке для возможно более четкой имитации основных видов колебаний: подпрыгивания, галопирования и боковой качки. В результате падения колес с клиньев на рельсы возникают собственные колебания вагона, анализ записей которых позволяет определить период колебаний (частоту), декремент затухания амплитуд колебаний, момент инерции подрессоренных масс.
Если массы подрессоренных частей и моменты их инерции определены заранее, то по собственным колебаниям могут быть определены характеристики системы рессорного подвешивания—жесткость, вязкость, коэффициент относительного трения.
Для регистрации основных видов колебаний применяются одномерные и многокомпонентные прогибомеры, соединенные в специальные схемы, которые позволяют записывать на осциллографную или магнйтную ленту отдельно выделенный каждый вид колебаний.
Во время испытаний необходимо регистрировать основные перемещения элементов вагона и силы, действующие при этом на элементы и путь. На вагоне, имеющем симметричную конструкцию, обычно одновременно замеряется до 30—40 процессов.
Наиболее часто для измерения механических параметров [перемещений (деформаций), сил и ускорений] применяют электрические методы
•с помощью проволочных датчиков — тензорезисторов (рис. 12.1), включенных по мостовой схеме. При деформации детали, на которую наклеен тензорезистор, меняется его сопротивление и наступает разбалансировка мостовой схемы, на что реагирует измерителоный прибор. Тензорезисторы используют для создания самых различных приборов: датчиков силы (динамометров), датчиков перемещений (проги-бомеров), датчиков ускорений (ускорениемеров) и др.
Для повышения точности результатов в качестве динамометра, как правило, используются элементы вагона. Например, снабженные тензорезисторамп колесные пары позволяют регистрировать вертикальные и боковые силы, действующие на ходовые части; специально подготовленная автосцепка служит для измерения продольных сил, передаваемых на раму вагона; боковые рамы тележки, надрессорная
341
балка используются для измерения сил взаимодействия кузова вагона с колесными парами. Проволочные датчики, наклеиваемые непосредственно на несущее деформируемое тело естественного динамометра, собирают в электрические схемы, которые позволяют измерять -силы заданного направления, исключая влияние действия других сил.
Наиболее типичные схемы показаны на рис. 12.2 и 12.3, на которых датчики 1—8 являются активными, а Д/—К4 — компенсационными. Температурная компенсация необходима для исключения ложных -сигналов, связанных с расширением материала конструкции при изменении ее температуры в процессе опытов.
В симметричных сечениях элементов, работающих на изгиб, например в сечениях А—А, В—В (см. рис. 12.3) соответственно надрее-сорной балки и боковой рамы, температурная компенсация достигается включением активных датчиков на сжатых и растянутых волокнах в разные плечи мостовой схемы.
В несимметричных сечениях элементов, работающих на изгиб (сечение Б—Б), а также в симметричных сечениях элементов, работающих на осевое растяжение и на сжатие (хвостовик автосцепки на рис. 12.2), для температурной компенсации необходимо применять дополнительные (компенсационные) датчики, которые наклеивают рядом с активными, но в поперечном к ним направлении, и включают в противоположное плечо моста.
Все измерительные приборы, установленные на опытном вагоне, перед началом и в процессе испытаний подвергают специальной тарировке для установления масштаба и направления записи регистрируемого процесса на ленте. Прогибомеры тарируют путем отклонения поводка прибора на заданную величину и в заданном направлении. Прогибомеры. изготовленные на основе тензорезисторов, выполняют в виде упругой пластинки-балочки, на верхней и нижней плоскостях которой наклеивают тензорезисторы 1 и 2 (рис. 12.4, а), включаемые в противоположные плечи моста. Пропорциональные прогибу балочки деформации ее верхних и нижних волокон будут одинаковыми по ве-
Рис. 12.1. Проволочный тензорезистор (а) и схема его включения (б):
1 — проволочная решетка датчика R1’, 2 — бумажная основа; 3 — выводы; R3 — рабочий датчик; R2 — датчик температурной компенсации; R3, R4— пассивные датчики балансировки; U — источник питания; Г — измерительный прибор; Rr — резистор
342
Рис. 12.2. Схема динамометрической автосцепки: а — электрическая; б — монтажная
Рис. 12.3. Схемы установки и соединения датчиков для замерз вертикальных динамических нагрузок в сечениях надрессорной балки (а) и горизо;-.талы:ыг сил. действующих на боковые рамы тележки (б)
343
личине, но различивши по знаку. Возникающий при этом эффект разбалансировки схемы вследствие изменения сопротивления каждого датчика удваивается, что повышает чувствительность прибора.
Прогибомеры, установленные по концам перемещающегося элемента (например, надрессорной балки) и соединенные в электрических схемах последовательно и параллельно (рис. 12.4, б, в), позволяют получить осциллограммы колебаний элемента путем разложения перемещений на угловую zy и вертикальную zE составляющие. Так же могут быть получены осциллограммы горизонтальных колебаний бокового относа и виляний кузова по отношению к тележкам.
Для раздельной регистрации отдельных видов колебаний кузова на рессорах (подпрыгивания, галопирования и боковой качки) применяют четырехкомпонентные прогибомеры, которые представляют собой заключенные в одном корпусе четыре прогибомепа с одним общим ва-лом и приводным устройством. Такие четыре прогибомера ставят против четырех рессорных комплектов, их секции соединяют кабелями с центральным коммутационным щитком, где заранее осуществлены нужные соединения.
Запись изменения напряжений в электрической схеме, соответствующих отклонению поводка прогибомера, регистрируют на осцил-
Рис. 12.4. Схемы соединения датчиков балочных прогибомеров для регистрации прогибов рессор и перемещений (а), антисимметричных (б) и симметричных (в) перемещений надрессорной балки относительно боковых рам тележки
344
Рис. 12.5. Ускорениемер УВТ-66 (а) для регистрации низкочастотных ускорений, его принципиальная схема (б) и осциллограмма тарировки (в):
! -- изучаемая деталь вагона; 2 — корпус ускорениемер!; 3 — инерционный элемент; 4, 5 — упругие ленты с тензорезисторами; 6 — упругий шарнир подвески сейсмической массы
лографную или магнитную ленту. Масштаб полученной записи определяют как отношение амплитуды, зафиксированной на ленте, к заданному перемещению поводка. Чтобы установить линейность масштабной характеристики прогибомера, необходимо производить тарировку его для различных по величине отклонений.
Приборы, измеряющие силу, тарируют путем приложения эталонной нагрузки, действующей в заданном направлении.
Для измерения ускорений применяют специальные приборы (рис. 12.5), которые состоят из инерционного элемента (массы), подвешенного к корпусу прибора через упругий элемент. Вследствие большой жесткости элемента подвески масса инерционного элемента имеет то же ускорение, что и колеблющаяся деталь вагона, на которой укреплен ускорениемер. Возникающая пропорциональная ускорению сила инерции деформирует упругие пластинки, вызывая соответствующие изменения сопротивлений R1 и R2 закрепленных на них тензо-
~	345
резисторов, что фиксируется электрическим сигналом гальванометра, включенного в диагональ моста.
Точность показаний ускорениемера повышается с увеличением жесткости его упругих элементов, что приводит к росту частоты собственных колебаний сейсмической массы.
Ускорениемеры тарируются на специальном вибростенде, а также путем медленного поворачивания его вокруг оси на 360°, что соответствует полному периоду изменения ускорения силы тяжести (от —g до +§•). Пример записи при тарировке ускорениемера методом поворачивания и определения масштаба показан на рис. 12.5, в (Лу — амплитуда записанного ускорения, равная g).
Для контроля масштаба записи в процессе поездных испытаний применяют метод разбалансировки моста путем шунтирования датчиков одного плеча схемы резистором с эталонным сопротивлением. Возникающий при этом сигнал ат, соответствующий некоторой определенной величине измеряемого параметра, не должен изменяться во время опытов.
Проволочные электрические датчики (тензометры, тензорезисторы) имеет очень слабый преобразующий сигнал, который необходимо усиливать. Для этого применяют электронную усилительную аппаратуру. Усиленный сигнал от измерительного прибора подается на регистрирующие аппараты — магнитографы, осциллографы, записывающие на светочувствительную бумагу, и счетчики импульсов, представляющие собой многоканальную установку, имеющую амплитудные селекторы на несколько уровней срабатывания.
Основным требованием, предъявляемым к измерительной, усилительной и регистрирующей аппаратуре, является передача измеряемых динамических процессов без искажения во всем диапазоне частот (для вагонов 1—250 Гц и более). Это достигается специальным подбором частотных характеристик и чувствительности указанной аппаратуры. Так, механические части ускорениемеров, шлейфы осциллографов должны иметь частоту собственных колебаний, а соответствующие каналы усилителей — несущую частоту тока, в 10 раз и более превосходящую частоту йзучаемых колебательных процессов.
Усилительную и регистрирующую аппаратуру размещают в специальном вагоне-лаборатории, оборудованном источником электроэнергии для ее питания — аккумуляторными батареями и дизель-электростанцией. Вагон-лабораторию снабжают различной вспомогательной аппаратурой, необходимой при испытаниях: коммутационными и распределительными щитами, отметчиками времени (электронные или механические часы) для синхронизации записей и определения частотных характеристик процессов, скоростемером, отметчиком частоты вращения колеса, радиоустановкой для осуществления связи между вагонами и локомотивами. Современные вагоны-лаборатории оборудуют промышленными телевизионными установками для визуальных наблюдений за опытным вагоном и особенно за его ходовыми частями, видеомагнитофонами или кинокамерами.
346
Динамические ходовые испытания чаще всего проводят методом сравнения, при котором опытный вагон сопоставляют с вагоном серийной постройки, испытываемым одновременно. Это позволяет свести к минимуму влияние различных отклонений в текущем содержании пути. Для такого рода испытаний обычно выбирают участок пути протяженностью 50—100 км, имеющий прямые участки с достаточной для реализации максимальных скоростей длиной, кривые участки различных радиусов, а также стрелочные переводы.
Методы оценки плавности чаще всего базируются на измеренных в вагоне ускорениях выше описанными ускорениемерами и в отдельных случаях на абсолютных перемещениях, полученных с помощью апериодического вибрографа.
Испытания вагона на устойчивость, при которых не исключена возможность схода его с рельсов, или динамические испытания со скоростями. существенно превышающими допускаемые для обычной эксплуатации, производят на специальных полигонах (Экспериментальное кольцо ВНИИЖТа МПС, скоростной полигон Майкоп—Белореченская ВНИИЖТа МПС и др.). При таких испытаниях на участке пути полигона обычно создают искусственные неровности на обоих рельсах. Характер, величину и сочетание этих неровностей выбирают наиболее неблагоприятными для колебаний вагона при заданной скорости, но в пределах допустимых инструкций по текущему содержанию пути, при которых еще не требуется введение ограничений скорости движения поездов.
При проведении поездных испытаний по оценке воздействия вагонов на путь сам участок пути оборудуют измерительными приборами. В этом случае выбирается фиксированный отрезок пути ограниченной длины, на котором, помимо прямых участков, имеются и кривые с радиусами 600—650 и 300—350 м. Конструкция верхнего строения пути опытного участка должна соответствовать осевым нагрузкам подвижного состава, а техническое состояние его по существующей оценке должно быть отличным или хорошим.
О напряженном состоянии пути судят по максимальным изгиб-ным напряжениям, возникающим в кромках подошвы рельса в результате действия суммы вертикальных и боковых сил и крутящих моментов, и по напряжению в основной площадке земляного полотна.
Напряжения в рельсах измеряют при помощи тензодатчиков, устанавливаемых на внутренней и внешней кромках подошвы рельса. Напряжения в балласте и земляном полотне измеряют при помощи мес-сдоз, устанавливаемых под шпалами на различной глубине. Показания тензодатчиков и мессодоз регистрируют на осциллографной ленте. Одновременно измеряют силы, действующие на ходовые части вагона. Все опытные данные по напряженному состоянию пути обрабатывают обычно методами математической статистики.
Полученные характеристики напряженного состояния элементов пути, обусловленного воздействием движущегося вагона, сравнивают с нормативными по условию прочности или устойчивости пути и путем
347
сопоставления с расчетными устанавливают допустимую наибольшую скорость движения испытанного вагона по пути данной конструкции.
Для проведения сравнительных динамических испытаний формируют специальный опытный состав, в который включают локомотив, вагон-лабораторию, испытываемый вагон, вагон-эталон. Чтобы испытываемые вагоны находились в одинаковых условиях, они должны быть отделены от локомотива и вагона-лаборатории вагонами прикрытия. Максимальная скорость движения опытных поездов должна превышать проектную конструкционную скорость вагона, определяемую техническим заданием на его проектирование, не менее чем на 6—7 м/с.
При испытаниях вагона на магистральных линиях большой протяженности показания измерительных приборов регистрируют на случайных отрезках пути при различных скоростях движения, начиная с 12—15 м/с и далее с интервалом 3—4 м/с; продолжительность каждой записи 15—20 с. При регистрации исследуемых процессов на кривых участках пути продолжительность записи зависит от длины кривой. Запись показаний измерительных приборов различными регистраторами синхронизируется единым сигналом отметки от одних часов.
Во время подготовки и проведения испытаний необходимо строго соблюдать правила охраны труда, общие для всех лиц, работающих на железнодорожном транспорте, а также связанные со спецификой проведения испытаний.
Продольные динамические силы в натурном поезде необходимо измерять в нескольких его сечениях, по возможности равномерно распределенных по длине состава. Например, если грузовой поезд имеет длину 1200—1500 м и более, а дистанционная регистрация сигналов приборов вследствие радиопомех ограничена расстоянием 150—200 м, то в такой поезд необходимо ставить несколько (четыре-пять) вагонов-лабораторий, причем все вагоны-лаборатории должны быть оборудованы типовыми для данного вида поезда поглощающими аппаратами.
На вагонах, оборудованных динамометрическими автосцепками (см. рис. 12.2), которые служат основными приборами при этих испытаниях, устанавливают также прогибомеры, регистрирующие относительные (продольные и поперечные) перемещения вагонов и деформации сжатия поглощающих аппаратов, а также приборы для регистрации тормозных процессов — телеманометры, показывающие давление в воздушной магистрали и тормозных цилиндрах. В целях синхронизации регистрируемых процессов сигнал времени для всех осциллографов в поезде подается от одних контактных часов по специальному кабелю, и команда руководителя опытов передается одновременно во все вагоны-лаборатории и локомотивы по поездному радиотелефону.
Опыты выполняют по специальной программе, предусматривающей: трогание поезда с места как головными, так и промежуточными локомотивами с различной скоростью набора позиций контроллера и при различном состоянии зазоров в междувагонных сцеплениях (сжатый или растянутый состав); торможения экстренные с различных точек поезда, служебные и регулировочные; изменения режима тяги (выклю-348
чение тока или включение тяги); движение по ломаному профилю пути и др.
Для всех режимов движения при испытаниях удается определить закономерность распределения сил по длине поезда, их значения, установить соответствие их принятым нормам для расчета вагонов, объяснить полученные результаты в связи с особенностями примененных локомотивов, силовых характеристик поглощающих аппаратов или работы тормозных систем (скорость тормозной волны, время и характеристика наполнения тормозных цилиндров и т. д.).
Относительные поперечные перемещения вагонов в сжатом составе при торможении используют в расчетах устойчивости против схода их с рельсов вследствие выжимания или для оценки прочности автосцепок при поперечном изгибе вследствие защемления в передних розетках.
Сопоставление результатов, полученных опытным путем и при расчетах, служит дальнейшему совершенствованию теоретических методов исследования продольной динамики поезда и уточнению нормативных расчетных сил.
К основным критериям при оценке динамических качеств вагона относятся горизонтальные и вертикальные динамические силы, действующие на колесные пары и влияющие в сочетании с вертикальными силами на устойчивость пути против поперечного сдвига и устойчивость вагона против схода с рельсов; величины и распределения во времени вертикальных динамических сил, действующих на ходовые части и определяющих прочность несущих элементов вагона и его воздействие на путь; вертикальные и горизонтальные ускорения кузова вагона, от которых зависит комфорт в пассажирских вагонах, или инерционные воздействия на перевозимые грузы и пассажиров.
Конструкционную скорость для пассажирских вагонов, как правило, устанавливают исходя из условий комфорта, оцениваемого показателем плавности хода вагона. Для грузовых вагонов определяющими являются запас устойчивости против схода с рельсов, прочность несущих элементов вагона и пути, а также инерционное воздействие на перевозимые грузы. Для ориентировочной оценки динамических качеств вагона пользуются шкалой предельно допустимых показателей (средние из максимальных, замеренных на многих участках пути).
Коэффициенты динамики, ускорения, показатели плавности хода определяют по формулам, приведенным выше в соответствующих главах книги. Исходными данными яепг.ются замеренные при испытании деформации, перемещения, силы и ускорения.
При оценке устойчивости вагонов против схода с рельсов большое значение имеет не только наименьший коэффициент запаса устойчивости, но также его повторяемость и вероятность появления значений, меньших, чем зарегистрированные в данных испытаниях.
Обработку записей вертикальных и горизонтальных сил лроизво-дят статистическими методами. При этом для обработки принимают все замеренные величины или выбираются участки пути, на которых
349
были зарегистрированы наибольшие значения динамических сил. Для определения коэффициента запаса устойчивости путем применения специальных схем включения приборов регистрируют мгновенные значения отношения вертикальных и горизонтальных сил, действующих на набегающее на рельс колесо колесной пары. При раздельной записи вертикальных и горизонтальных сил разделяют осциллограмму большим числом случайных сечений (с интервалом примерно 0,1—0,01с), для которых вычисляют отношения этих сил, а затем по соответствующей формуле определяют коэффициенты запаса устойчивости для каждого сечения отдельно. По полученной совокупности значений коэффициента запаса устойчивости строят графики распределения, определяют закон, которому оно подчиняется, и вычисляют его статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсию и т. п.).
Для получения коэффициента запаса устойчивости и показателя плавности хода применяют автоматические методы экспериментальных исследований, при которых используют записи процессов на магнитную ленту, а затем по специальной программе обрабатывают их на ЭВМ.
Таким образом, методика и программа обработки результатов поездных испытаний зависят от особенностей регистрируемых процессов. Так как большинство измеряемых показателей имеет вероятностную природу, при их обработке преимущественно применяют методы математической статистики.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
к главе 1
1. Что изучает «Динамика вагона»?
2. Какие физические величины определяют динамические параметры вагона?
к главе 2
1.	Что собой представляет принцип Даламбера при описании движения твердого тела в пространстве, заданном прямоугольной системой координатных осей?
2.	Объясните структуру уравнений Лагранжа второго рода и физический смысл его членов.
3.	Что такое однородные и неоднородные дифференциальные уравнения в задачах динамики?
4.	Опишите методы нахождения решений линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравненией второго порядка.
5.	Как формулируется критерий устойчивости движения механических систем, основанный на теореме А. М. Ляпунова?
6.	Что такое электронное моделирование задач динамики вагонов?
7.	Что такое процедура численного интегрирования задач динамики вагонов? Каких вычислительных средств она требует?
к главе 3
1.	Опишите в общих чертах конструкцию железнодорожного пути и специфику его работы при движении подвижного состава.
2.	Какие особенности имеет железнодорожный путь в кривых участках?
3.	Что такое неровности железнодорожного пути, причины их возникновения, классификация неровностей по физической природе и по способу математического описания?
4.	Что входит в понятие «динамические характеристики» верхнего строения пути?
к главе 4
1.	Каковы причины ударного взаимодействия колеса и рельса?
2.	В чем причина извилистого движения колесной пары, катящейся по рельсу без скольжения? Как определяется длина волны извилистого движения колесной пары?
3.	Покажите графическую зависимость силы трения между колесом и рельсом при относительном скольжении колеса. Что такое коэффициент псевдоскольжения (крипа)?
351
4.	Как оценивается устойчивость движения при боковых колебаниях экипажа? Что такое критическая скорость движения по Ляпунову?
к главе 5
1.	Перечислите виды колебаний кузова и тележек вагона в пространстве (для одинарного подвешивания).
2.	Что такое собственные и вынужденные колебания?
3.	Напишите матрично-векторное уравнение пространственных колебаний вагонов и объясните физический смысл матриц и векторов, входящих в уравнение.
4.	Какими количественнымй величинами характеризуются собственные колебания вагона?
5.	Какие физические параметры вагона определяют частоту, период и декремент собственных колебаний?
6.	Что такое критическое значение коэффициента неупругого сопротивления? Что такое степень демпфирования?
7.	Дайте определение коэффициента нарастания амплитуд вынужденных колебаний (амплитудно-частотной характеристики). Что такое критическая скорость движения экипажа?
8.	Какими показателями характеризуются динамические качества грузового вагона?
к главе 6
1.	Изобразите расчетную схему для изучения пространственных колебаний вагона с двойным рессорным подвешиванием.
2.	Как определяются собственные частоты и собственные формы колебаний?
3.	При каких условиях возникают колебания боковой качки первого и второго рода?
4.	Как изменяется во времени амплитуда вынужденных колебаний вагона при совпадении частоты внешнего возмущения с какой-то из собственных частот? Дайте определение резонанса.
5.	Каким способом осуществляется гашение колебаний у вагона двойного рессорного подвешивания?
6.	Какими показателями определяются динамические качества пассажирских вагонов?
к главе 7
I.	Каким показателем характеризуется запас устойчивости колеса против вкатывания на головку рельса (дать формулу с пояснениями).
2.	Какое условие (неравенство) необходимо выполнить, чтобы обеспечить поперечную устойчивость кузова на рессорах против опрокидывания?
3.	Дайте определение критических продольных сжимающих сил в поезде. Из каких предпосылок определяется коэффициент запаса устойчивости ог выжимания вагонов в поезде?
352
к главе 8
1.	Перечислите виды колебаний балок (стержней), из которых состоят конструкции вагонов.
2.	Напишите дифференциальные уравнения продольных, крутильных и изгибных колебаний балок без учета и с учетом внутреннего неупругого сопротивления материала.
3.	Чем определяются начальное и граничные условия для дифференциальных уравнений, описывающих упругие колебания балок?
4.	Как учитываются упругие подкрепления, наличие сосредоточенных усилий и инерционных масс при колебаниях балок?
5.	Какими методами интегрируются дифференциальные уравнения колебаний балок’
6.	Каким способом вычисляются собственные частоты и формы колебаний балок?
7.	Какова физическая природа шума, возникающего при движении поезда? В каких единицах измеряется уровень звукового давления и громкости?
8.	Какие существуют меры по уменьшению шума на железнодорожном транспорте?
9.	Какими способами осуществляется виброзащита оборудования, расположенного в вагоне и виброизоляция кузова от воздействия энергетического оборудования?
к главе 9
1.	Какие силы действуют по направлению движения поезда?
2.	Какая зависимость называется тяговой характеристикой локомотива?
3.	Что такое основное, дополнительное и полное сопротивление движению поезда?
4.	Что такое тормозная сила в поезде? Какие бывают виды торможения?
5.	Напишите дифференциальное уравнение движения поезда в установившемся режиме и дайте пояснение его физического смысла.
к главе 10
1. Объясните назначение и принцип действия поглощающих аппаратов автосцепки. Дайте определение силовой характеристики, коэффициента ее полноты.
2. Поясните методы расчета сил при соударении одиночных вагонов и групп вагонов.
к главе 11
1.	Дайте определение установившемуся и переходным режимам движения поезда. В каких случаях они проявляются?
2.	Поясните две расчетные схемы поезда, предложенные Н. Е. Жуковским, для описания переходных процессов.
3.	Напишите дифференциальные уравнения движения поезда в переходном режиме для случаев представления его однородным упругим стержнем и цепочкой твердых тел, соединенных упругими элементами. Объясните способы решения этих уравнений, и дайте анализ для случая трогания однородных поездов.
к главе 12
1.	Перечислите виды испытаний вагонов.
2.	Поясните принципы измерения перемещений ускорений и сил при испытаниях вагонов.
353
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Гребенюк П. Т., Долганов А. Н., Скворцов аА. И. Справочник. Тяговые расчеты. М.: Транспорт, 1987. 272 с.
2.	Б л ох ин Е. П., Манашкин Л. А. Динамика поезда. М.: Транспорт, 1982. 222 с.
3.	Вагоны. Конструкция, теория и расчет/ Под ред. Л. А. Шадура. М.: Транспорт, 1980. 439 с.
4.	В е р и г о М. Ф., Коган А. Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Транспорт, 1986. 560 с.
5.	Вершинский С. В., Данилов В. И., Челноков И. И. Динамика вагона. М.: Транспорт, 1972. 353 с.
6.	Вибрации в технике. Справочник, т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов/ Под ред. Ф. М. Диментберга, К. С. Колесникова. М.: Машиностроение, 1980. 544 с.
7.	Вибрации в технике. Справочник, т. 5. Измерения и испытания. Под ред. М. Д. Генкина. М.: Машиностроение, 1981. 496 с.
8.	Д у в а л я н С. В. Исследование продольной динамики поезда с применением ЭЦВМ — «Труды ВНИИЖТ», вып. 425. М.: Транспорт, 197С, с. 39—54.
9.	ЖуковскийН. Е. Полное собрание сочинений. Т. VIII. М.—Л., ОНТИ НКТП, 1937. 291 с.
10.	Л а з а р я н В. А. Динамика транспортных средств: Избранные труды. Киев: Наукова думка, 1985. 528 с.
11.	Нагруженносгь элементов конструкции вагона/Под ред. В. Н. Котура-нова. М.: Транспорт, 1991. 300 с.
12.	Никольский Л. Н., Кеглин Б. Г. Амортизаторы удара подвижного состава. М.: Машиностроение, 1986. 144 с.
13.	Расчеты и испытания тяжеловесных поездов/ Блохин Е. П., Манашкин Л. А., Стамблер Е. Л. и дц. М.: Транспорт, 1986. 265 с.
14.	С о к о л о в М. М., 'X у с и д о в В. Д., М и н к и н Ю. Г. Динамическая нагруженность вагона. М.: Транспорт, 1981. 206 с.
15.	Ушкалов В. Ф., Резников Л. М., Редько С. Ф. Статистическая динамика рельсовых экипажей. Киев: Наукова думка, 1982. 355 с.
16.	Ч е л и о к о в И. И. Гидравлические гасители колебаний пассажирских вагонов. М.: Транспорт, 1975. 73 с.
17.	Ч е р к а ш и н Ю. М. Динамика наливного поезда. Труды ВНИИЖТ, вып. 543. М.: Транспорт, 1975. 136 с.	_
18.	Ш а х у н я н ц Г. М. Железнодорожный путь. М.: Транспорт, 1969. 536 с.
354
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автосцепное устройство 284, 285
Активная виброзащитная система 238
Амортизаторы 238
Амплитуда колебаний 140
Амплитуд но -ч астотная характеристи-
ка 105, 128, 142
Аппараты поглощающие
— виды характеристик 286, 303,
304
— гидравлические 287, 294, 296
— пружинно-фрикционные 287
Б
Балластный слой 48, 49
Боковые колебания вагона 143, 173
— качка 161, 164
— относ 161, 165
—	цистерны 180
В
Валкость вагона 177
Верхнее строение пути 46—48, 57
Виброизоляция 242
Виброзащитная система 238
Возвышение рельса на кривом уча-
стке 50, 51
Выжимание вагона 200
Высота метацентрическая 180
Вычислительные машины
—	аналоговые 32, 33
—	цифровые 33
Г
Галопирование кузова 107, 111, 162
Гаситель колебаний 161, 162
Геометрический центр колесной пары 70
Гидравлический поглощающий аппарат 294, 296
Главные координаты колебаний 106
Ж
Жесткость
—	колесной пары 61
— остряка 61
— поглощающего аппарата 285, 293, 294
— пути 57—59, 61
— рессор 117, 127
— рессорного подвешивания 116, 341
— соединения вагонов 293, 303
3
Заводские испытания 340
Зазоры в упряжных приборах 332
Звук 236, 237
Звуковые волны 236, 237
И
Испытания
— вагона на устойчивость 347, 349
— лабораторные 337
— поездные 340, 350
— стендовые 337, 338
Индикаторная сила тяги 247
Итерационные методы Эйлера-Коши 37, 38
К
Касательная сила тяги 247
Колебания вагона
— боковая качка и боковой относ 106, 112, 115
— виляние 90, 111
— вынужденные 119, 120, 124
— галопирование 106, 107, 111
— главные 106
— подпрыгивание 106, 107, 109, 111
— собственные 108,	111—113,
115, 118
355
Конструкционная скорость 349 Коэффициент
—	восстановления поглощающего аппарата
—	динамики вагона 133, 134, 137, 165, 166
—	жесткости рессор 96, 112
—	запаса устойчивости 349, 350
—	затухания колебаний 107
—	крипа 75
—	нарастания амплитуд колебаний 103, 120, 123 	 ускорений 122
—	полноты силовой характеристики 286
—	необратимого поглощения энергии аппарата 287
Кривизна пути 53
Круг Мора 101
М
Масса дисбаланса колеса 68
—	неподрессоренная 62
Моделирование математическое, физическое 339
Метацентрическая высота 180
Метод вариации произвольных постоянных 20
— Канторовича (прямых)
—	Рунге-Кутта 35
—	сеток 41
—	Эйлера—Коши 37
Моделирование процесса колебаний 338
Мощность локомотива 251
Н
Нелинейная характеристика рессор
Непогашенное ускорение
Неровности пути, виды 53
--- вертикальные 53
--- геометрические 53
---горизонтальные 53, 72
---систематические 53
---случайные 53
----- причины возникновения 52
--- силовые 54
Неуравновешенность колесной пары 69
Номограмма тормозного пути 282
О
Одинарное подвешивание 89
Ослабление магнитного поля 253, 254
Основное уравнение аналитической механики 16
356
Отвод ширины колеи 52
Остойчивость судна 180
Осциллограмма колебаний рессор вагона 97
Относительное скольжение колеса 75
П
Парциальные частоты системы 100
Передаточная функция 139
Переходный процесс колебаний 120, 124, 125
Поглощающий аппарат автосцепки
—	силовая характеристика 285— 287
—	типы 284, 285
—	энергия восприятия удара 289, 290
Показатель демпфирования 120
Полюс поворота тележки 83
Приведенный уклон 267
Приемочные поездные испытания 340
Прогибомер 342, 344
Прогиб рессор статический 89, 159, 181
Р
Равновесная скорость движения 277
Радиодальная спираль 51
Расчетная схема
—	боковых колебаний кузова 173, 180
—	вагона с двойным рессорным подвешиванием 150, 151, 191 	с одинарным рессорным подвешиванием 92, 100, 105
—	взаимодействия колеса с рельсом 63—65
—	виброзащитных систем 238
—	движения поезда по ломано-
му профилю 331
—	образования силы тяги 244
— торможения 269
Расчетная схема вывода дифференциальных уравнений
—	граничных узлов балки 209
—	изгибных колебаний балки 219
—	крутильных колебаний балки 219
—	с подкреплением и массой в пролете 217
—	продольных колебаний балки 206
—	продольно-изгибных колебаний балки 224, 230
Резонанс колебаний 121, 158
Расчетная схема определения на-начальной упругой линии балки 230
с
Связи, типы 7—9
— жесткие 8, 9
— упругие, упруго-фрикционные
9, 10
Сила давления (удара) гребня колес на рельс 62, 183
—	инерции при вилянии 72
—	нажатия на колодку 272
—	продольного сжатия в поезде 197—199
—	сжатия упруго-фрикционного аппарата 292
—	сопротивление движению, виды 259—268
—	гидравлического аппарата 294, 295
—	движению колес 261
Сила соударения вагонов
—	трения 76
—	центробежная 50
Сила тяги локомотива
—	динамометрическая 248
—	индикаторная 247
— касательная 247
Силовая характеристика
---поглощающего аппарата
286
--- связи упругой 7, 8
------упруго-фрикционной 10,
9, 10
Статический прогиб рессор 89, 159, 181
Схема проникновения шума в вагон 237
Сход колеса с рельса, причины 170, 171
Сцепка, типы 284
Т
Тензорезистор 432
Теорема Карно 289
Торможение, понятие 278
Тормозной путь 278—282
Тормозные силы 269
Траектории фазовые 31
Трение
—	между шейками осей и подшипниками 261
—	скольжения кслес по рельсам 262
Тяговая характеристика локомотива
249, 255, 256, 259, 273
У
Удар колес по рельсам 262, 263
Ударно-тяговые приборы, назначение 284
Упругое скольжение 75
Упряжь вагонная 284, 285
Уравнения движения поезда 274, 276, 307, 308
Уравнения колебаний вынужденных — галопирования 107 — подпрыгивания 107, 111
Уровень шума 236, 237
Ускоряющая сила 274, 275
Устойчивость вагона
—	колес против схода с рельсов 171, 172
—	кузова 173—175 Устойчивость
—	динамическая 173
	— статическая 173
Ф
Фазовые траектории 31
Формы колебаний кузова главных 101, 114
Формы колебаний рессор 109, 111
Фрикционная связь тележки с кузовом 146
Функция неровности пути
—	корреляционная 57
—	спектральная 57
Ц
Центральное подвешивание 89
Цифровое моделирование 33
Ч
Частота колебаний главная 101
—	грузового вагона 112
—	пассажирского вагона 153
—	парциальная 100
Ш
Шарнирно-маятниковая люлька рессор 191
Ширина колеи 52
Шпалы 48
Шум в вагоне 236
Э
Электронное моделирование 33 Энергия удара 289—291
Энергоемкость поглощающего аппарата 306
ОГЛАВЛЕНИЕ
От авторов.......................................................  3
Глава 1. Вагон и железнодорожный путь как единая механическая система ........................................................... 5
'1.1. Общие положения......................................... 5
1.2.	Динамические характеристики вагона....................... 6
-4-1.3. Динамические характеристики железнодорожного пути ... 10-
Глава 2. Общие методы изучения динамики вагона....................12
2.1.	Уравнения аналитической механики ........................12
2.2.	Аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений.....................................................17
2.3.	Анализ устойчивости движения механических систем по перво-
му методу А. М. Ляпунова......................................29
2.4.	Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи аналоговых и цифровых вычислительных	машин.................32
2.5.	Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений............................................35
2.6.	Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных...................................41
Глава 3. Основные элементы и динамические характеристики верхнего строения пути................................................46
3.1. Основные элементы железнодорожного	пути.............46
3.2. Особенности устройства пути на кривых	участках...........50
13.3.	Оценка фактического состояния пути......................52
J3.4. Неровности рельсового пути...............................53
3.5.	Динамические характеристики верхнего строения пути .... 57
- 3.6. Стрелочные переводы ................................. .	. 60
Глава 4. Динамика нейодрессоренных масс вагона .	. . :..........62
4.1.	Расчет удара колеса по рельсу . /........................62
4.2.	Силы безударного взаимодействия колеса с рельсом при движении по коротким неровностям и стрелочным переводам..........65
-4-4.3. Извилистое движение одиночной колесной пары...............69
4.4.	Движение колесной пары и тележки вагона со скольжением колес по рельсам..............................................75
4-5. Влияние сборки тележек на процесс движения...............81
4.6.	Движение экипажей по кривым участкам пути................83
4.7.	Совместное действие колесных пар тележки на элементы верхнего строения пути............................................87
Глава 5. Колебания вагона с одинарным рессорным подвешиванием 89
-* 5.Г. Системы одинарного рессорного подвешивания . .............89
-4-5.2. Цель и методы исследования колебаний вагона...............90
5.3'	. Выбор расчетных схем для исследования колебаний вагона 91
5.4. Дифференциальные уравнения колебаний кузова на рессорах 105
358
5.5.	Собственные колебания кузова на рессорах................107.-
5.6.	Вынужденные колебания кузова	на	рессорах ..............1'9
5.7.	Динамические гасители...................................137
5.8.	Случайные колебания вагона..............................139
5.9.	Горизонтальные боковые колебания вагона при движении по прямому пути ................................................143
5.10.	Оценка динамических качеств	грузового	вагона...........148
Глава 6. Колебания вагона с двойным рессорным подвешиванием . . .150
6.1.	Собственные колебания подрессоренных частей вагона . . . 150
6.2.	Вынужденные колебания подрессоренных частей вагона . . . 156
6.3.	Оценка динамических качеств пассажирского вагона .... 165
Глава 7. Устойчивость движения вагона на прямых и кривых участках пути.........................................................170
7.1.	Устойчивость колес против схода с рельсов...............170
7.2.	Поперечная устойчивость вагона на рессорах..............173
7.3.	Расчет допускаемых скоростей движения вагона по стрелочным переводам....................................................182
7.4.	Устойчивость вагона против опрокидывания при движении по кривым.......................................................189
7.5.	Устойчивость вагонов в поезде при действии продольных сил 195
Глава 8. Вибрация упругих элементов вагона. Шум в пассажирских вагонах. Виброзащита и виброизоляция .... ...................205
8.1.	Продольные колебания балок..............................205
8.2.	Крутильные колебания....................................214
8.3.	Изгибные колебания балок................................219
8.4.	Расчет собственных частот и форм колебаний..............234
8.5.	Шум в пассажирских вагонах..............................236
8.6.	Виброзащита систем......................................238
Глава 9. Силы тяги локомотива, действующие на вагоны ............243
9.1.	Сила тяги локомотива....................................243
9.2.	Тягозые характеристики локомотивов......................249
9.3.	Силы сопротивления движению поезда......................259
9.4.	Тормозная сила поезда...................................269
9.5.	Уравнение движения поезда и методы его решения..........274
Глава 10. Продольные силы в ударно-тяговых приборах при маневровых соударениях вагонов .................................... 284
10.1.	Особенности ударно-тяговых приборов....................284
10.2.	Силовые характеристики поглощающих	аппаратов.........285
10.3.	Учет влияния упруговязкой податливости кузова и груза 289
10.4.	Силы при соударениях одиночных вагонов, оборудованных упруго-фрикционными поглощающими аппаратами .................290
10.5.	Сопротивление удару гидравлического поглощающего ап-
парата ......................................................294
10.6.	Соударение вагонов, имеющих подвижн} ю хребтовую балку 296
10.7.	Соударение группы вагонов при маневровых работах . . . 298
10.8.	Требования к ударно-тяговым приборам...................305
Глава 11. Продольные силы в поезде при установившихся и переходных режимах движения ............................................307
11.1.	Установившееся движение поезда на пути однородного профиля ........................................................307
11.2.	Установившееся движение поезда по ломаному профилю . . .311
11.3.	Переходные процессы в поезде при	трогании с места......317
359
11.4. Опытные и расчетные данные о величинах и повторяемости
продольных сил..............................................334
Глава 12. Экспериментальные исследования	динамики вагона.........337
12.1. Лабораторные и стендовые испытания.....................337
12.2. Моделирование и принципы построения моделей колебательного процесса вагона..............................................33g
4-12.3. Поездные испытания....................................340
Контрольные вопросы..............................................351
Список литературы ...............................................354
Предметный указатель.............................................355
Учебник
Вершинский Сергей Васильевич, Данилов Владимир Николаевич, Хусндов Владимир Давидович
ДИНАМИКА ВАГОНА
Предметный указатель составила В. В. Глебова-Авилова
Технический редактор Т. А. Захарова Корректор-вычитчик И. М. Лукина Корректор И. А. Попова
ИБ № 4086
Сдано в набор 17.09,90. Подписано в печать 03.09.91.
Формат 60Х88’/|в. Бум. офс. № 4. Гарнитура литературная. Офсетная печать.
Усл. печ. л. 22,05. Усл. кр.-отт. 22,05. Уч.-изд. л. 23,9. Тираж 5000 экз. Заказ 557.
Цена 4 руб. Изд. № 1—1—1/4 Ns 4767
Ордена «Знак Почета» издательство «ТРАНСПОРТ», 103064, Москва, Басманный туп., 6а
Московская типография № 4 Государственной ассоциации предприятий, организаций и объединений полиграфической промышленности «АСПОЛ»
129041, Москва, Б. Переяславская, 46