В Зегет
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ЛОГИКА

В. Зегет
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА

WOLFGANG SEGETH
ELEMENTARE LOGIK
8.» univeranderte Auflage
VEB DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN
BERLIN 1973

В. Зегет
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА
Перевод И.М. Морозовой
Под редакцией и с предисловием
кандидата философских наук Е.Б, Кузиной
МОСКВА
„ВЫСШАЯ ШКОЛА" 1985

ББК 87.4
3-47
Зегет В.
3-47 Элементарная логика/Пер. с нем. И. М. Морозо¬
вой.— М.: Высш, шк., 1985.— 256 с.
Перевод изд.: Wolfgang Segeth. Elementare Logik. Berlin,
1973.
90 к.
Книга В. Зегета «Элементарная логика» выдержала восемь изданий
в ГДР. По содержанию, структуре и организации материала является
оригинальным учебным пособием, в котором проблемы традиционной
и современной формальной логики органично переплетены и связаны,
что делает книгу интересной с методическо-дидактической точки зрения.
Она состоит из четырех глав: «Логика, мышление, язык»; «Логика выска¬
зываний»; «Логика предикатов»; «Основные понятия теории определения
и теории редуктивных умозаключений».
Для студентов философских факультетов университетов и педагоги¬
ческих институтов.
0302040000—294	ББК 87.4
3 001 (01)—85 7—85	16
Вольфганг Зегет
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА
Заведующий редакцией А. Д. Кашин. Научный редактор Е. Б. Кузина. Редак¬
тор Л. Б. Комиссарова. Младшие редакторы Т. А. Шангина, Г. М. Грищенкова.
Художник Э. Е. Дмитренко. Художественный редактор С. Г. Абелин. Техни¬
ческий редактор Е. И. Герасимова. Корректор Р. К. Косинова
ИБ № 4165
Изд. № ФПН-505. Сдано в набор 16.01.85. Подп. в печать 1 1.05.85.
А-04967. Формат 84X1 Ов1/»»- Бум. тип. № 1. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Объем 13,44 усл. печ. л. 13,65 усл. кр.-отт. 14,07 уч. изд. л. Тираж
40000 экз. Зак. № 743. Цена 90 коп.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4,Неглинная ул., д. 29/14.
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО
«Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книж¬
ной торговли. 1 13054, Москва, Валовая, 28.
© VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,
Berlin, 1973
© Перевод, предисловие
издательство «Высшая школа», 1985

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга В. Зегета «Элементарная логика» представляет
собой введение в современную формальную, или символи¬
ческую, логику. Как говорится в предисловии автора к 8-му
немецкому изданию, она дает представление об основных
понятиях формальной логики, о ее правилах и законах,
исходя из диалектико-материалистической теории позна¬
ния. Автор ставит задачу не только ознакомить читателей
с методами современной логики, но и выработать у них
некоторый навык определенности, последовательности и
строгости мышления и рассуждения. «Элементарная логи¬
ка» ограничивается рассмотрением только той части совре¬
менной формальной логики, которая называется класси¬
ческой, т. е. ассерторической двузначной логики. В основу
книги положена учебная литература, предназначенная в
ГДР для студентов-заочников философских факультетов.
Среди вышедших в нашей стране учебников и учебных
пособий по логике специально для студентов философских
факультетов предназначена только «Формальная логика»,
выпущенная Ленинградским университетом х. Остальные
учебники либо являются общими, либо предназначены для
других специальностей, причем все они рассчитаны на
очень краткий (обычно семестровый) курс лекций. Они зна¬
комят главным образом с такими разделами логики, как
учение о понятии, суждении, традиционная теория умоза¬
ключения, которые анализируются старыми, традиционны¬
ми способами и средствами. Лишь в немногих из них фраг¬
ментарно даются некоторые элементы современной формаль¬
ной логики. Единственный уже упоминавшийся учебник
для студентов-философов построен таким образом, что
традиционная логика рассматривается до и независимо от
современной, которая излагается в другом самостоятельном
разделе почти без обращения к уже известному материалу.
По кругу рассматриваемых вопросов, структуре, орга¬
низации материала предлагаемая книга значительно отли¬
чается от имеющейся у нас учебной литературы по логике.
Она охватывает основные разделы современной логики и
1 См.: Формальная логика. Л., 1977.
многие вопросы традиционной логики, учение о понятии
(основные логические характеристики понятия, отношения
между понятиями, деление понятий, определение), тради¬
ционную теорию дедуктивных умозаключений (непосредст¬
венные умозаключения, силлогистика), учение об индук¬
тивных умозаключениях и методы Милля, умозаключения
по аналогии. При этом, что особенно важно, все разделы
традиционной логики вплетены в ткань современной, сим¬
волической логики и рассматриваются в известном смысле
как приложения последней к решению методологических
или теоретико-познавательных проблем. Правда, проблемы
традиционной логики излагаются весьма кратко.
Книга состоит из четырех глав:
«Логика — мышление — язык»;
«Логика высказываний»;
«Логика предикатов»;
«Основные понятия теории определения и теории редук-
тивных умозаключений».
Первая глава содержит краткое введение в историю пред¬
мета и в методы современной формальной логики. В ней
говорится о месте формальной логики в системе знания,
соотношении ее с другими науками о мышлении и о зна¬
чении логики. Примерами и анализом обыденных употреб¬
лений терминов «логика», «логичный» читатель подводится
к определению формальной логики как науки об общих
структурах правильного мышления в его языковой форме.
Здесь же дается классификация существующих в логике
направлений и разделов и тем самым выделяется и огра¬
ничивается предмет данной книги.
Последний раздел этой главы дает некоторые сведения из
области семиотики. Наряду с такими общефилософскими
вопросами, как соотношение языка и мышления, здесь
рассматриваются специальные проблемы семиотики, есте¬
ственные и искусственные языки, язык-объект и метаязык,
характеризуются основные разделы семиотики. Обсуждая
достоинства и недостатки естественного языка и специаль¬
но-научных языков, являющихся его фрагментами, автор
вводит понятия символического языка, формализации и
формализованного языка. В одном из параграфов этого
раздела вводятся основные семантические категории язы¬
ковых выражений: повествовательные, вопросительные,
побудительные предложения и имена предметов, свойств и
отношений. В целом первую главу можно рассматривать
как вводную и по содержанию, которое не раскрывает соб¬
ственно предмет символической логики, и по способу изло¬
6

жения — очень краткому, имеющему целью лишь предва¬
рительное знакомство читателя с предметом.
Во второй главе, которая называется «Логика высказы¬
ваний», сначала рассматриваются основные понятия и прин¬
ципы двузначной пропозициональной логики, а затем изла¬
гается табличная логика высказываний как определенный
аппарат анализа умозаключений. Исходным понятием
является понятие высказывания, определяемое как
мысленное образование, отражающее объективные отноше¬
ния между предметами и являющееся в зависимости от ха¬
рактера этого отражения либо истинным, либо ложным.
Формой существования высказывания является обычно по¬
вес гвовательное предложение. Понятие «суждение» автор
не использует по той причине, что оно, по егсхмнению, имеет
некоторый дополнительный по сравнению с понятием «вы¬
сказывание» прагматический смысл: оно выражает точку
зрения, позицию говорящего, его отношение к содержанию
высказывания.
Очень подробно, на содержательных примерах, опи¬
сываются логические связки: отрицание, конъюнкция,
дизъюнкция, разделительная (строгая) дизъюнкция, ис¬
ключение (антиконъюнкция), импликация, репликация (об¬
ратная импликация), эквиваленция. Некоторые связки очень
трудно выразить в естественном языке, сравнить и отчет¬
ливо провести их различие. Так, сложно на примерах пока¬
зать различие между дизъюнкцией, антиконъюнкцией и
строгой дизъюнкцией.
11осле обычных определений понятий логического закона,
противоречия и нейтрального выражения логики высказы¬
ваний читатель узнает, в чем состоит проблема разреши¬
мости в логике и как она решается для логики высказыва¬
ний. Наряду с табличным способом разрешения намечается
в общем виде разрешающая процедура путем приведения к
нормальным формам. Собственно нормальные формы: систе¬
матическое описание приведения к ним (в том числе к со¬
вершенным) и способ разрешения с их помощью рассматри¬
ваются в специальном разделе, отмеченном звездочкой,
как выходящем за рамки элементарной логики и не являю¬
щемся необходимым для понимания и усвоения дальнейшего
материала.
Во второй части главы показано применение логики
высказываний для анализа умозаключений. Здесь же дает¬
ся определение умозаключения как формы мышления, вво¬
дится понятие правила умозаключения, излагаются правила
контрапозиции, введения и удаления логических связок и
7

другие, основанные на законах логики высказываний.
При этом также содержательно и достаточно подробно
разъясняется смысл правил логики высказываний. Такое
разъяснение представляется полезным и нужным для
начинающих изучать логику, также полезно и объяснение
принципа табличной проверки правил умозаключений, чему
в «Элементарной логике» посвящен отдельный параграф.
В целом вопросам практического применения методов
и аппарата логики в книге уделяется много места, и в боль¬
шинстве случаев логическая техника вводится лишь после
того, как показана практическая потребность в ней. Такой
способ изложения, на наш взгляд, имеет и достоинства, и
недостатки. С одной стороны, хорошо, что читатель сразу
узнает, для чего и как применяются те или иные логические
приемы и методы. Во многих случаях оправдана и подроб¬
ность, с которой они разъясняются на примерах. Но с
другой стороны, при таком способе изложения подчас *не
проступает достаточно отчетливо сам механизм этих правил,
методов, приемов, так как обилие предшествующих при¬
меров может помешать усвоению логической техники.
Интересен раздел «Сокращенные умозаключения». Здесь
описывается не только энтимема, чем обычно ограничивают¬
ся при рассмотрении этой формы мышления, но и другие
виды сокращенных умозаключений, анализируемых сред¬
ствами логики высказываний. В связи с восстановлением
заключения в них автор задает табличный алгоритм на¬
хождения следствий из данного множества посылок, а в
следующем разделе (отмеченном звездочкой) излагает си¬
стематическую процедуру получения следствий путем при¬
ведения, по сути дела, к сокращенной конъюнктивной нор¬
мальной форме. В заключение раздела «Логика высказы¬
ваний» показано ее приложение в релейно-контактных схе¬
мах и нейронных сетях.
Третья глава представляет собой элементарное введение
в логику предикатов. Начальные разделы этой главы зна¬
комят читателя с некоторыми основными вопросами темы
«Понятие». Все эти вопросы рассматриваются в контексте
логики предикатов. Содержание понятия интерпретируется
как высказывательная функция, или предикат. Здесь же
вводится понятие квантора, свободной и связанной пере¬
менной, описываются способы получения высказываний из
высказывательных функций. Отношения между понятиями
задаются с использованием аппарата логики предикатов.
В качестве положительного момента следует отметить
то, что в книге есть специальный и довольно большой раз¬
8

дел, посвященный переводу высказываний естественного
языка на язык логики предикатов. Вместе с тем попытка
рассмотрения темы «Понятие» только как определенной
пропедевтики к логике предикатов нам представляется не
совсем удачной. Хотя на протяжении всей книги так или
иначе охватываются почти все разделы этой темы, система¬
тического обзора этой основной формы мышления не полу¬
чается, и представления о понятии как особой логической
форме не складывается.
В дальнейших разделах этой главы умозаключения ана¬
лизируют средствами логики предикатов. Опираясь на уже
пзшч шые из логики высказываний правила и законы, ав¬
тор вводит их аналоги для логики предикатов. Здесь же
определяются понятия закона, противоречия и .нейтрального
выражения логики предикатов, а также в общих чертах
намечается процедура сведения выражений логики предика¬
тов к выражениям пропозициональной логики. Из правил
логики предикатов даются: правило исключения квантора
общности, правило введения квантора существования
и правило выражения одного квантора через другой.
Далее излагается традиционное учение о непосредст¬
венных умозаключениях и категорическом силлогизме.
Однако классифицируются непосредственные умозаключе¬
ния не традиционно. Они подразделяются на: умозаключе¬
ния подчинения, противоречия (обычно эти виды относятся
к умозаключениям по логическому квадрату), обращения и
противопоставления (предикату). Силлогистика рассмат¬
ривается довольно кратко, только как частный вид умо¬
заключений, анализируемых в логике предикатов. Тра¬
диционные способы проверки силлогизмов не даются, и
автор выражает несколько скептическое отношение к воз¬
можности обоснования правильности отдельных модусов,
без применения средств современной логики.
Завершается раздел об умозаключениях традиционной
логики краткими сведениями о доказательствах и опровер¬
жениях. При этом не излагается традиционная теория до¬
казательства, а дается лишь определение той и другой опе¬
рации и приводится несколько примеров умозаключений,
интерпретируемых как доказательства. Такого общего рас¬
смотрения, на наш взгляд, совершенно недостаточно для
понимания сути доказательства в отличие его от правиль¬
ного умозаключения, его специфических правил, приемов
и условий состоятельности. Представляется, что для сту¬
дентов-философов раздел «Доказательство» должен быть
дан подробнее, учитывая его практическую значимость для
9

выработки навыков публичного выступления или ведения
дискуссии.
Рассмотрение логики предикатов заканчивается зна¬
комством с ее расширениями посредством введения тож¬
дества, оператора определенной дискрипции, предикатов
второго и более высоких порядков. В связи с второпорядко¬
вой логикой рассматриваются виды понятий, но не те, ко¬
торые приняты в традиционной логике, а скорее виды пре¬
дикатов. Так, понятия (предикаты) делятся по количеству
элементов представляемого класса и по качеству: на преди¬
каты без отрицания и предикаты с отрицанием, причем по¬
следние понимаются только как находящиеся в отношении
противоречия к соответствующим предикатам без отрица¬
ния. Например, понятие «несчастный» не является в этом
смысле отрицательным, если положительным считать по¬
нятие «счастливый». Отрицательным для него будет «не
счастливый». Далее предикаты классифицируются по сте¬
пени (порядку) и по местности. Здесь же определяются
свойства двуместных отношений: рефлексивность, симмет¬
ричность и транзитивность. При таких основаниях класси¬
фикации, нам кажется, утрачивается специфика понятия
как особой формы мышления.
В заключение автор останавливается на таких пробле¬
мах логики предикатов, как пустой класс и квантор су¬
ществования и проблема разрешимости логики предикатов.
Дается общий обзор результатов в решении этой проблемы
и представление о построении аксиоматической системы ло¬
гики предикатов. Это единственное упоминание о современ¬
ном аппарате логики для осуществления выводов. Описа¬
ния логических исчислений нет ни в разделе о логике вы¬
сказываний, ни здесь, что кажется несколько странным,
поскольку книга предназначена для знакомства с совре¬
менной символической логикой, существующей главным
образом в форме исчислений.
Последняя глава, по мнению автора, не имеет прямого
отношения к современной формальной логике и является
скорее приложением к основному содержанию книги. В ней
рассматриваются две частные проблемы общей методологии,
тесно связанные с логикой: теория определения и редуктив-
ные умозаключения. После нескольких вводных замечаний
относительно методологии и ее связи с мировоззрением
автор говорит о методологическом значении определения,
останавливается на операциях, сходных с определением, и
затем рассматривает форму и структуру определения.
По сравнению с имеющимися у нас учебниками книга
10

В. Эстета отличается значительно более широкими сведе¬
ниями относительно определений. Так, в большинстве на¬
ших учебников приемы, сходные с определением, совер¬
шенно не рассматриваются, а из видов определений дают¬
ся только некоторые явные (атрибутивные и генетические).
В предлагаемой книге описываются такие виды явных
определений, как родовидовые, перечислительные, опреде¬
ления через отношение, а также некоторые виды неявных
определений — аксиоматические и как их частный случай
индуктивные, или рекурсивные. Различаются, как обычно,
реальные и номинальные определения. Первые делятся на
определения сущности, определения посредством указания
составных частей, определения посредством установления
причины (в частности, генетические), определения через
указание цели, операциональные и др. Номинальные опре¬
деления подразделяются на синтаксические и семантичес¬
кие, а последние, в свою очередь, на аналитические и син¬
тетические. Перечисляются и разъясняются требования,
предъявляемые к определениям. Последний параграф этого
раздела посвящен операции деления понятий и классифика¬
ции, излагаемой в традиционной форме.
Редуктивные умозаключения, рассмотрением которых
заканчивается книга, трактуются просто как недемонстра-
тивпые. Таким образом, все умозаключения делятся на де¬
дуктивные (демонстративные) и редуктивные (недемонстра-
тнвпые), к которым с оговорками относится и полная ин¬
дукция. Основанием такого деления являются два типа
связи посылок с заключением, выражаемой в первом случае
материальной импликацией, а во втором — обратной им-
плнктацией (репликацией). Деление умозаключений по на¬
правленности вывода (от общего к частному и т. д.) автор
считает устаревшим и нецелесообразным, поскольку оно,
по его мнению, не охватывает многие важные типы умозак¬
лючений и сам признак направленности вывода несущест¬
вен
Редуктивные умозаключения, считает В. Зегет, отли¬
чаются от дедуктивных тем, что не могут быть получены
исключительно по формальным правилам умозаключения —
в них должно учитываться также содержание посылок и за¬
ключения. Они делятся на индуктивные и неиндуктивные,
с одной стороны, и на регрессивные и прогрессивные —
с другой. Раздел об индуктивных умозаключениях излагает¬
ся обычным образом: энумеративная, в том числе полная,
и элиминативная индукция; к ней относятся миллевские
методы установления причинных связей. Неиндуктивные
11

умозаключения — это умозаключения по аналогии. Ре¬
грессивная и прогрессивная редукции различаются по на¬
правлению мысли: от известных фактов — к их объясне¬
нию в первом случае и от предположительного объяснения
(гипотезы) — к высказываниям о фактах, истинность кото¬
рых можно непосредственно установить, во втором. Здесь
речь идет, по существу, о подтверждении гипотез. В зак¬
лючение обсуждается проблема убедительности умозаклю¬
чений. При этом подчеркивается неразрывная связь дедук¬
тивных и редуктивных умозаключений в процессе познания
и тот факт, что только в такой связи недемонстративные умо¬
заключения могут быть убедительными. Рассматривается
также зависимость степени уверенности в истинности зак¬
лючения от степени уверенности в истинности посылок при
дедуктивном умозаключении.
Как видно из обзора содержания, предлагаемая книга
является весьма необычным для советского читателя вве¬
дением в символическую логику. В то же время ее нельзя
считать введением только в символическую логику, так как
в ней достаточно подробно представлены многие разделы
традиционной логики и некоторые логико-методологические
проблемы. На наш взгляд, несомненным достоинством книги
является предпринятая в ней попытка органического соеди¬
нения современной формальной логики с отдельными раз¬
делами традиционной логики. Такое соединение, в принци¬
пе, полезно тем, что представляет современную логику не
только как формализованные системы, чем часто ограничи¬
ваются учебники и изложения современной логики в учеб¬
ных курсах, а как целостное учение о формах мышления,
способах, законах и правилах рассуждения. Хотя, думает¬
ся, что в данном случае опыт такого синтеза не всегда был
удачен х.
Как уже отмечалось, почти все разделы темы «Понятие»
так или иначе вошли в книгу, но целостного представления
о понятии не складывается. Полезно было бы раздел «Логи¬
ка высказываний» предварить общими сведениями о выска¬
зываниях, их структуре и видах. Хотя категорические вы¬
сказывания рассматриваются в этом плане в параграфе о
непосредственных умозаключениях, все же был бы целе¬
сообразен общий разбор высказывания как формы мышле-
1 Оговоримся: возможно, автор и не ставил своей задачей объе¬
динить символическую логику с традиционной, и вошедшие сюда раз¬
делы традиционной логики, может быть, были включены по каким-то
иным соображениям.
12

нпя. ’Го же самое относится и к анализу процедуры до¬
казательства.
С другой стороны, собственно символическую часть мож¬
но было бы дополнить и усилить построением некоторых ти¬
пов исчислении, что дало бы возможность показать аппарат
современной формальной логики. Часть примеров на про¬
верку правильности умозаключений и разрешение выраже¬
ний, напротив, следовало бы исключить, заменив их в не¬
которых местах четким описанием алгоритма. Конечно,
алгоритмы тех или иных процедур в книге каждый раз да-
юн я, но, как нам кажется, иногда оказываются в тени, за-
нмннюгся множеством примеров. Может быть, не всегда
оправдан принятый, так сказать, «индуктивный» метод из¬
ложения, когда читатель подводится к принятию того или
иного правила или определения примерами, хотя в целом
такой метод имеет свои положительные стороны и иногда
предпочтителен по сравнению с «дедуктивным».
Ьесснорной заслугой книги В. Зегета является простота,
общедоступность изложения, ее ориентированность на вы¬
работку практических навыков и тб, что при ее чтении сра¬
зу ГН1НОВИТСЯ ясным, где и как можно использовать полу¬
ченные знания. Этим определяется ее методико-дидактичес¬
кая ценность. Хотя программа курсов логики для нефило-
софскнх специальностей имеет другую структуру и пред¬
полагает иную организацию материала, книга может быть
с успехом использована в качестве дополнительной литера¬
туры дли углубления и систематизации тех сведений по со¬
временной логике, которые студенты получают из обяза¬
тельного курса. Что же касается университетских курсов
логики для философов, то «Элементарная логика» может
служить одним из наиболее простых и доступных для на¬
чинающих учебным пособием по некоторым разделам сим¬
волической логики.
Кандидат философских наук
Е. Б. Кузина

1.	ЛОГИКА, МЫШЛЕНИЕ, ЯЗЫК
Характеристика места формальной логики в системе
наук. Ее предмет и структура. Значение логики для чело¬
веческого познания. Логика и язык.
1.1.	ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА В СИСТЕМЕ НАУК
Европейская формальная логика по истории своего воз¬
никновения и развития особенно тесно связана с двумя нау¬
ками — философией и математикой. Ее создателем счи¬
тается великий греческий философ Аристотель, живший
в 384—322 гг. до нашей эры. В последующие столетия фило¬
софы также занимались формальной логикой и сделали ряд
новых открытий в области этой науки, но структура логики
как науки, выработанная Аристотелем, по существу, не
изменилась. Эту форму логики называют также «традицион¬
ной логикой». Отдельные значительные вклады в даль¬
нейшее развитие формальной логики, сделанные, например,
в XVII столетии Готтфридом Вильгельмом Лейбницем,
практически не оказали влияния на ее традиционную фор¬
му. Лишь в середине прошлого столетия началось бурное
развитие этой науки и продолжается до сих пор.
Логические трудности в математике, а точнее, логические
противоречия в ее основаниях, обусловили необходимость
того, что сами математики стали заниматься логикой, а это
привело к стремлению четко отделить математику от ло¬
гики. В этом отношении важнейшую роль сыграл Готтлоб
Фреге, которого считают создателем современной логики,
а его труды сравнивают с трудами Аристотеля. В течение
последних ста лет развитие формальной логики определя¬
лось преимущественно потребностями математики. Именно
математики сделали логику тем, что теперь называют «ма¬
тематической логикой», «логистикой» и «символической ло¬
гикой».
Предложения об использовании в формальной логике
символов и формул имелись еще у Аристотеля. В дальней¬
шем эта сторона формальной логики последовательно раз-
14

внвалась, ив настоящее время употребление формул приня¬
ло такие размеры, что современный учебник по формальной
логике больше похож на математический труд, чем на фило¬
софский. Математическая логика играет решающую роль
в современных исследованиях по основаниям математики,
она пронизывает всю систему математических наук, на ее
базе математика может строиться строго логически, т. е.
прежде всего непротиворечиво. В этом смысле математи¬
ческая логика может рассматриваться по-разному; с одной
стороны, как математическая дисциплина, часть математи¬
ки, своего рода метаматематика, а другой — как традици¬
онная теория, усовершенствованная с помощью введения в
нее современных средств. В настоящее время логикой
также больше занимаются математики, чем философы, и
применяется она больше в математике, 'чем в других
науках.
Хотя современная формальная логика называется «ма¬
тематической», она является не только логикой математики.
Ее правила и законы пригодны для любой науки, для лю¬
бой области человеческого мышления. Вот почему логика
до сих пор считается философской наукой.
Дискуссия о месте формальной логики в системе наук
сегодня еще ни в коей мере не закончена. Тесная связь
формальной логики с философией и математикой общепри-
знана. Но о характере и степени глубины этой связи мне¬
ния в значительной степени расходятся. Наряду с уже упо¬
мянутыми взглядами все более широко распространяется
представление, согласно которому в настоящее время фор¬
мальная логика превратилась, по крайней мере, в относи¬
тельно самостоятельную науку.
Чтобы точнее понять связь между формальной логикой
и философией, лучше всего исходить из определения марк¬
систско-ленинской философии и краткой характеристики ее
составных частей. Марксистско-ленинская философия яв¬
ляется наукой об общих законах движения и структуры
природы, общества и мышления (познания), а также поло¬
жения человека в мире. Она является, иными словами, тео¬
рией объективной и субъективной диалектики. Объективная
диалектика — это способ проявления общих законов дви¬
жения материи и ее структуры вне человеческого сознания
и независимо от него. Субъективная диалектика зиждется
на объективной. Ее можно охарактеризовать как способ от¬
ражения человеком объективной диалектики в своем созна¬
нии. Диалектический материализм исследует законы, об¬
щие для объективной и субъективной диалектики. Задачей
15

теории познания является изучение отражения объективной
диалектики субъективной диалектикой. Субъективная диа¬
лектика, в частности закономерности мышления, образуют
предмет исследования формальной и диалектической ло¬
гики.
Таким образом, в общем виде вырисовывается связь
между формальной логикой и марксистско-ленинской фило¬
софией по предмету. Однако есть еще два аспекта этой свя¬
зи, о которых нельзя не упомянуть. Это, во-первых, основ¬
ные понятия формальной логики и интерпретация ее фор¬
мул и знаковой системы и, во-вторых, применение формаль¬
ной логики.
Формальная логика должна заимствовать свои основные
понятия непосредственно из философии. Это понятия «ис¬
тина», «суждение», «понятие». Благодаря им каждая систе¬
ма логики получает философскую интерпретацию. Многие
логики пытаются теперь избегать мировоззренческих воп¬
росов в области своей науки, заменяя, например, термины
«суждение» и «понятие» нейтральными на вид терминами
«предложение» и «терм». Можно разработать системы зна¬
ков, которые будут подчиняться произвольно выбранным
правилам, но неизбежно возникает вопрос, отражают ли
эти системы знаков — непосредственно или косвенно —
объективные связи?
Как уже говорилось, правила и законы формальной ло¬
гики пригодны для любого человеческого мышления. В этом
выражается ее обусловленность объективной реальностью.
Но формальная логика охватывает только один определен¬
ный аспект мышления и абстрагируется от других сущест¬
венных аспектов. Таким образом, чтобы избежать односто¬
роннего и искаженного отражения действительности, ее
нельзя делать абсолютной и единственной мерой. Формаль¬
ную логику нельзя применять произвольно, поскольку она
может использоваться диалектически и метафизически. Ме¬
тафизическое применение формальной логики — это аб¬
солютизация определенных абстракций, расчленение еди¬
ного без учета переходных состояний, рассмотрение пред¬
мета без учета его истории и будущего. Диалектическое
применение формальной логики — это классификация аб¬
стракций по существенным связям, понимание объективно
существующих диалектических противоречий, переходных
состояний и развития, причем понимание их в движении
от абстракций к воспроизведению реально конкретного в
мысленно конкретном, к пониманию его предназначения
для объединения различного.
10

1.2.	ПРЕДМЕТ И СИСТЕМА ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ
Слово «логика» происходит от греческого слова «логос»
и в переводе означает: слово, понятие, мысль (идея), разум,
логика. Но не в каждом словосочетании, в котором встре¬
чается слово «логика», оно имеет отношение к мышлению.
Под выражениями «логика вещей» и «логика истории» под¬
разумевают объективные закономерности, прежде всего
законы развития природы и общества, т. е. закономерности,
не относящиеся к предмету формальной логики. Несколько
иначе дело обстоит со словосочетаниями «логика научного
исследования» и «логика науки». Здесь имеют место пере¬
сечения разделов с предметной и проблемной областью
формальной логики. Однако логика науки и логика науч¬
ного исследования не занимаются мышлением-вообще и его
закономерностями, а исследуют логическую структуру на¬
учных теорий, закономерности процессов научного иссле¬
дования и др. Их область более узкая и более специальная,
чем область формальной логики. С другой стороны, они не
могут ограничиваться закономерностями формальной ло¬
гики, поэтому их область исследования шире, чем область
исследования формальной логики.
Объектом изучения формальной логики является мыш¬
ление, но сказать, что формальная логика — это наука о
мышлении, недостаточно. Имеется целый ряд других наук
или отраслей знания, в задачу которых входит также и ис¬
следование мышления. Среди них наряду с диалектической
логикой прежде всего следует назвать теорию познания и
психологию. Психология изучает мышление в изменении
его конкретных взаимоотношений с. другими сторонами че¬
ловеческого сознания, она занимается изучением влияния
мышления на чувства и, наоборот, она понимает мышление
как волевой акт и т. д. Формальная логика, напротив, аб¬
страгируется от всех этих связей и изучает мышление преж¬
де всего с точки зрения его логической непротиворечивости
и последовательности. Дальнейшее различие между этими
двумя науками надо видеть в том, что психология в проти¬
воположность формальной логике при изучении мышления
исходит из эмпирических, экспериментальных исследова¬
ний. Можно было бы, как это и бывает, определить формаль¬
ную логику как учение о правильном мышлении. Таким об¬
разом, ее можно было бы отделить от психологии, но не от
диалектической логики и теории познания.
Теория познания занимается мышлением как формой
человеческого сознания. Теория познания диалектического
17

материализма учит нас, какое мышление является правиль¬
ным и при каких условиях. Исходя из материалистического
ответа на основной вопрос философии, теория познания до¬
казывает, что наше мышление истинно, если оно утверждает
что между предметами имеется связь и эта связь фактически
существует в объективной реальности, если оно присваивает
предмету какое-то свойство, действительно присущее этому
предмету, и т. д. Короче, человеческое мышление правильно,
если оно согласуется с объективной реальностью, если оно
адекватно отражает объективную реальность. Основным
критерием правильности мышления является практика.
Формальная логика также занимается вопросами правиль¬
ности мышления: но на вопрос, в каком случае мышление
является правильным, отвечает главным образом марксист¬
ская теория познания.
Пойдем по другому пути определения предмета формаль¬
ной логики. В повседневной жизни для подтверждения,
сделанного вывода часто говорят: «Логично!» Таким
образом, это выражение совершенно правильно упо¬
требляется многими людьми, которые никогда в жизни не
читали учебника по логике. Логика занимается фактически
тем, как правильно делать умозаключения, независимо от
того, идет ли речь о выводах в повседневной жизни или о
выводах в области какой-либо науки. Поясним это на при¬
мере. Сначала вывод из области зоологии:
если все млекопитающие животные суть теплокровные
и все люди — млекопитающие животные,
то все люди суть теплокровные.
Сравним его с выводом из области политики:
если все марксисты суть борцы за мир
и все члены СЕПГ суть марксисты,
то все члены СЕПГ суть борцы за мир.
В формулировках обоих выводов фигурируют слова:
«если — то», «и», «все», «суть», («есть»). Термины, употреб¬
ляющиеся в них,— различны. Попробуем заменить их бук¬
вами так, чтобы внутри одного вывода для разных терминов
использовались разные буквы, а для повторяющихся тер¬
минов — одни и те же, структура обоих выводов будет вы¬
глядеть так:
если все М суть Р
и все S суть уи,
то все S суть Р.
Буквы S, М, Р можно заменить любыми терминами, и
всегда будет видно, что вывод, сформулированный в тре¬
тьей строке, истинен в том случае, если истинны суждения,
18

сформулированные в двух первых строках. Таким образом,
мы получили структуру правильного рассуждения, струк¬
туру, с помощью которой действительность может адекватно
отражаться в человеческом мышлении. Эта структура яв¬
ляется общей для многих различных по содержанию рас-
суждений.
Исходя из этого, мы определяем формальную логику
таким образом:
формальная логика — это наука об общих структурах
правильного мышления в его языковой форме.
Это определение содержит ссылку на особую роль языка,
п котором находят свое выражение структуры мышления.
Снизь между языком и мышлением не раз будет (после изло¬
женного в разделе 1.4) явно или неявно рассматриваться на
протяжении всей книги.
Если можно считать, что формальная логика занимается
структурой мышления, то к проблемам диалектической ло¬
гики можно было бы отнести изучение мышления со сторо¬
ны его содержания и предмета. Но поскольку еще не су¬
ществует удовлетворительного изложения диалектической
логики, а среди философов-марксистов еще нет единого
мнения о ее предмете и ее отношении к другим философ¬
ским дисциплинам, мы можем при ее характеристике опе¬
реться на указание Ленина. Диалектическая логика должна
исследовать закономерности, по которым развиваются суж¬
дения и понятия в их диалектической противоречивости,
переходя друг в друга \ Они ориентируют мышление на то,
чтобы по возможности всесторонне изучать исследуемый
предмет в его связях и опосредованиях, в его развитии.
Диалектическая логика рассматривает мышление в его
конкретности и в его связи с общественной практикой 1 2.
Диалектическая логика является содержательной, интен¬
сиональной логикой, формальная логика — экстенсио¬
нальной. Хотя предметом этой книги является формальная
логика, мы еще не раз вернемся в той или иной связи к
проблемам и постановке задач логики диалектической.
Предмет формальной логики, как он характеризуется в
нашем определении, несмотря на более чем двухтысячелет¬
нюю работу ее создателей и на необъятное количество лите¬
ратуры, охвачен далеко не полностью. О некоторых ее раз¬
делах вообще не существует никакого представления. Мыс¬
ленные отношения, в которых встречаются нормы (например,
1	См.: Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 190—191,
2	См.: Ленин В. И. Поли, собр, соч., т. 42, с. 290,
19

правовые или моральные) или вопросы, хотя и изучаются,
но до сих пор нет ни разработанной общепринятой логики
норм, ни разработанной общепринятой логики вопросов.
В наибольшей степени развита логика высказываний, на
которой только и сконцентрировали свое внимание логики.
Внутри логики высказываний различают двузначную ло¬
гику и многозначную. Двузначная логика различает только
истинные и ложные высказывания, т. е. она оперирует толь¬
ко значениями «истина» и «ложь».
Если приводимые до сих пор различия между разными
отраслями логики складывались на основе различия в от¬
ношении предмета, то по использованию принципов и ме¬
тодов возникает следующее разделение. Различают класси¬
ческую логику, которую нельзя путать с традиционной, и
неклассическую логику. Последняя отвергает, например,
в форме интуиционистской логики использование косвен¬
ного доказательства для бесконечных предметных обла-^
стей. Поэтому в ее рамках доказуемо меньше высказываний,
чем в классической логике. Далее делают различие между
логикой законов, или логикой предложений, и логикой
правил в зависимости от того, излагается ли структура
самого мышления или правила, которым они подчиняются.
Исходя из упомянутых различий, мы можем охарактери¬
зовать цель этой книги как введение в современную дву¬
значную классическую формальную логику высказываний.
Эта область логики будет всегда иметься в виду, когда мы
в дальнейшем будем говорить о формальной логике без ка¬
ких-либо дополнений. Эта область формальной логики раз¬
работана более всего и лучше всего изучена. Она распола¬
гает таким количеством выработанных понятий, охватывает
и доказывает такое большое количество логических законов
и частично достигла такой высокой степени абстракции,
что в первом разделе может быть дан только исходный базис
для дальнейшего овладения логикой в зависимости от пре¬
следуемой цели.
Формальная логика, как мы ее здесь рассматриваем,
подразделяется на логику высказываний и логику предика¬
тов. Логика высказываний образует основу, на которой
строится логика предикатов. Логика высказываний изу¬
чает, в какой степени правильность связей между высказы¬
ваниями зависит от истинности отдельных составляющих
высказываний. При этом совершенно не учитывают струк¬
туру этих высказываний. Таким образом, речь здесь идет
только о структуре связей между высказываниями. Струк¬
тура высказываний рассматривается лишь в логике пре-
20

дикатов. Здесь исследуется, в какой связи друг с другом
могут находиться понятия, составляющие высказывания.
В одноместной логике предикатов имеются только такие
предикаты, которые представляют свойства; предикаты,
представляющие отношения, относятся к предмету изуче¬
ния многоместной логики предикатов, или логики отноше¬
ний. Наконец, различают логику предикатов первой сту¬
пени (порядка) и логику предикатов более высокой ступени
в зависимости от того, отражают ли обсуждаемые понятия
свойства предметов или свойства свойств, отражают ли они
отношение между предметами или отношение между свой¬
ствами и отношениями.
В основном построение этой книги соответствует систе¬
матизации самой формальной логики. В соответствии с на¬
шими принципами отбора материала разные разделы фор¬
мальной логики будут излагаться в дальнейшем с разной
степенью подробности. Большое место занимают при этом
логика высказываний и логика предикатов первой ступени,
которые вместе образуют элементарную логику.
1.3.	ЗНАЧЕНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ
В общем и целом люди мыслят логически правильно,
хотя большинство из них никогда сознательно не задумы¬
вались над этим, не говоря уже об изучении логики как
науки. Логическое мышление возникло в процессе челове¬
ческого развития. Человек всегда должен был думать ло¬
гически правильно, чтобы направлять свою деятельность
на достижение своих целей. Для человека жизненно необ¬
ходимо думать логически правильно, потому что иначе он
не смог бы познать самые элементарные закономерности
природы и общества и не смог бы целесообразно направлять
свои действия.
Мышление не является независимым от материи, как
утверждает идеализм. Более того, законы мышления осно¬
вываются на законах объективной реальности, которые не
зависят от человека. Человеческое мышление правильно,
если оно в мысли соединяет то, что соединено в действи¬
тельности, мышление будет неправильным, если оно в
мысли соединяет то, что не соединено в действительности.
Это не значит, что логические законы являются непосред¬
ственными отражениями законов объективной реально¬
сти. Более того, логика абстрагируется от конкретных свя¬
зей, законов, отношений и т. д. Так как логические законы
пригодны для всех форм человеческого мышления — как
21

в науке, так и в повседневной жизни,— то их рассматри¬
вают вне зависимости от конкретных понятий и связей меж¬
ду ними, от конкретных высказываний и их связей и т. д.
Несколько иначе, чем в логическом мышлении, обстоит
дело с наукой логики. Марксизм доказал, что в истории
науки всегда имела место борьба между материализмом и
идеализмом и что эта борьба всегда была выражением про¬
тивостоящих друг другу интересов общественных сил.
Поэтому в науке логики с момента ее возникновения также
имеет место постоянная борьба между материализмом и
идеализмом. При этом речь идет прежде всего о таких об¬
щих философских вопросах, как: на чем основываются ло¬
гические законы? что является основой для образования по¬
нятий? от чего зависит правильность логических выводов?
и т. д.
Стоит ли вообще изучать науку логику, если человек
уже от природы мыслит логически правильно? Этого, как
мы его называем, спонтанного логического мышления доста¬
точно, как правило, для повседневного пользования. Но его
подчас уже недостаточно для передачи кому-либо некоторой
совокупности знаний, например в политической агитацион¬
ной работе.
Спонтанное логическое мышление становится созна¬
тельным логическим мышлением, если известны правила
логики и эти знания применяются. Здесь уместно сравнение
с грамматикой. Человек, никогда не занимаясь грамматикой,
может выучиться от других разговаривать, не нарушая ее
основных правил. Но без изучения грамматики он не станет
знатоком языка, потому что он не знает правил и закономер¬
ностей образования предложений и т. д. То же относится
и к логике. Сознательно использовать правила логики —
значит мыслить более точно, лучше овладеть методами мыш¬
ления и применять их. Пропагандист будет работать с
большим успехом, если он будет доказывать свои утверж¬
дения, т. е. в нужном порядке приводить для них доводы,
или если он помимо необходимых знаний фактов владеет
еще и логическими средствами опровержения ложных ут¬
верждений. Учитель вообще лишь тогда сможет выполнить
свою задачу и научить своих учеников мышлению на кон¬
кретном материале, если он сам умеет правильно мыслить.
Ученики легче и лучше будут понимать его, если он смо¬
жет создать ясную логическую структуру преподаваемого
им материала.
Изучение логики приводит к превращению спонтанного
логического мышления в сознательное, во-первых, в ре-
22

зультате получения знаний о структуре правильного мыш¬
ления и, во-вторых, в результате непосредственной трени¬
ровки мышления, подобно тому, как это бывает при изу¬
чении математики. Несмотря на это, нельзя от изучения ло¬
гики ожидать чуда. Само по себе знакомство с правилами
логики не научит их сознательному применению, и это
применение может на первых порах вызывать значитель¬
ные затруднения. Для научной работы формальная логика
имеет, разумеется, еще большее значение. Она дает науке
средства для решения проблем, с которыми не может спра¬
виться спонтанное логическое мышление даже опытного
ученого. Такие проблемы возникают, например, при жела¬
нии создать наилучшую систематизацию какой-либо науки
или при выявлении присущих данной научной.теории внут¬
ренних логических противоречий.
Проблемы, сформулированные на языке формальной
логики, могут обрабатываться на электронных вычисли¬
тельных машинах с программным управлением. Если же
необходимая степень точности формулировки не достигну¬
та, то машинная обработка невозможна.
1.4.	ЯЗЫК И НАУКА
Формальная логика, по нашему определению, должна
изучать структуры мышления в их языковой форме. По¬
этому после общих замечаний о связи языка и мышления
следует остановиться на роли языка в науке. Тем самым мы
переходим к теме, которой будем заниматься прямо или
косвенно на протяжении всей книги, а именно образованием
понятий формальной логики для уточнения способа выра¬
жения.
1.4.1.	ЯЗЫК И МЫШЛЕНИЕ
«Язык есть непосредственная действительность мысли»,—
говорится в «Немецкой идеологии» Маркса и Энгельса \
Об этом же говорит советский психолог С. Л. Рубинштейн,
называя языковую действительность, звучащее и беззвуч¬
ное говорение «формой существования сознания». В соот¬
ветствии с результатами исследования частных наук марк¬
систская философия рассматривает мышление как нечто
1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 3, с. 448.
23

нераздельно связанное с языком, считает мышление и язык
диалектическим единством.
Люди могут обмениваться друг с другом мыслями не
иначе, как с помощью языковых средств, будь то произно¬
симые или написанные слова и предложения, будь то сиг¬
нализация флагами или другие знаки, основанные на сог¬
лашении. Мысли могут сохраняться, накапливаться только
с помощью языковых средств, таких, как книга или маг¬
нитофонная пленка и т. д. Сам процесс мышления происхо¬
дит частично в виде беззвучного говорения, частично в виде
звучащего. Однако все это не означает такой связи мыслей
и языковых средств, когда каждой мысли соответствует со¬
вершенно определенная формулировка и наоборот. Свои
мысли можно формулировать более или менее точно. С дру¬
гой стороны, языковые формы оказывают определенное
влияние на мышление: они могут прояснять мышление, на¬
пример, при логическом выводе, но они могут и тормозить
его или вводить в заблуждение. По этим причинам нельзя
недооценивать анализ языка в науке. Однако его нельзя и
переоценивать, как это было, например, у Людвига Вит¬
генштейна, а после него у многих неопозитивистов, посколь¬
ку единственную задачу философии Витгенштейн видел в
критике языка.
Правда, в результате анализа языка можно косвенно
узнать кое-что об объективной реальности и о мышлении,
но никакой анализ языка не может заменить изучение дей¬
ствительности. Только совокупность исследования дейст¬
вительности, мышления и языка составляет аналитическую
деятельность в науке. При этом отдельные аспекты аналити¬
ческой деятельности в различных областях науки имеют
различное значение.
В соответствии со значением анализа языка в рамках
диалектико-материалистической теории познания разви¬
вается новая дисциплина — семиотика. По определению
Георга Клауса, семиотика является общей теорией языко¬
вых знаков и их связей друг с другом, с мышлением, объек¬
тивной реальностью и человеком. При этом семиотика не
изучает конкретные языки, как, например, немецкий, анг¬
лийский и т. д., это задача отдельных языковых наук. Се¬
миотика занимается тем, что является общим для всех
языков независимо от их словарного состава, их граммати¬
ческой структуры, от того, возникли они естественным пу¬
тем или были созданы для определенных целей. Своим по¬
нятием знака семиотика охватывает не только слова таких
языков, как русский или немецкий, но и все материальные
24

образования, которые что-либо значат или что-либо обо
значают. Сюда относятся различные вещи, как, например,
символы математики, знаки регулирования уличного дви¬
жения и знаки различия на мундирах.
Из определения семиотики следует, что она должна учи¬
тывать четыре фактора:
1)	Z — знак (в только что указанном смысле),
2)	А — мысленные образы, отражения,
3)	О — объекты отражения,
4)	М — людей или их сознание.
Разнообразные взаимосвязи этих факторов являются
предметом различных разделов семиотики:
(1)	Синтактика абстрагируется от всех факторов, за
исключением знаков. Она исследует связи между, знаками
некоторого языка. Синтактика устанавливает правила по¬
строения составных знаков, т. е. для ряда знаков (например,
предложений) из более простых знаков (например, отдель¬
ных слов). Она создает критерий определения принадлеж¬
ности данного ряда знаков к определенному языку и являет¬
ся своего рода общей грамматикой. В последующих главах
синтактика будет играть разную роль в отношении языка
формальной логики.
(2)	Семантика исследует отношения между Z и Л, связи
между словами и соответствующими им понятиями. Знаки
Z являются формой существования мысленных образов Л,
последиие являются значением знаков Z. Семантика, таким
образом, рассматривает отношения между знаками языка
н их значениями. Кроме того, она изучает отношение между
значениями простых знаков и значениями сложных знаков,
составленных из простых. Например, отношения между
значением слов и значением предложений, построенных из
этих слов.
(3)	Сигматика изучает отношения между Z и О. Языковые
значения Z — это имена, обозначения объектов О, послед¬
ние являются десигнатами знаков Z. Семантика и сигматика
служат предпосылкой синтактики, все три они служат
предпосылкой прагматики.
(4)	Прагматика исследует связи между знаками и людь¬
ми, которые создают или воспринимают их. Знаки могут
служить для передачи знаний, могут давать выражение
чувствам и вызывать чувства, они могут вызвать у человека
определенное поведение. Все эти свойства языковых знаков
относятся к предмету прагматики. Очевидно, что этот раз¬
дел семиотики имеет тесную связь с поэзией, а также с про¬
пагандой. В области формальной логики она, напротив,
25

не играет почти никакой роли, что будет видно в различных
местах книги. В последующих главах будут рассматривать¬
ся преимущественно области семантики и сигматики.
1.4.2.	ЕСТЕСТВЕННЫЙ ЯЗЫК И ЯЗЫК НАУКИ
Каждая наука для формулировки своих суждений и по¬
нятий, своих законов и правил, своей теории и своего ме¬
тода располагает естественным языком. Естественный язык,
язык звуков, в данном случае русский, которым мы поль¬
зуемся в повседневной жизни для формулировки своих
мыслей и для обмена мыслями с другими людьми, возник
вместе с мышлением под влиянием общественного труда и
вместе с мышлением продолжает развиваться дальше.
На основании того факта, что естественный язык сложился
не сознательно, а в какой-то мере спонтанно, в нем возникли
различные недостатки, не позволяющие наукам ограничи¬
ваться только этим языком. Тем не менее все науки поль¬
зуются естественным языком. Литература как наука ис¬
пользует естественный язык гораздо шире, чем такие науки,
как математика, язык которой наряду с языком формаль¬
ной логики значительно отличается от естественного. Но и
она не может обойтись без естественного языка, по крайней
мере, пользуется им для введения своих основных понятий.
Основными недостатками естественного языка являются
следующие:
1.	Слова естественного языка со временем постепенно и
почти незаметно меняют свое значение.
2.	В естественном языке часто бывает, что одно слово
одновременно имеет два или более различных значений
и одновременно обозначает различные предметы, но бывает
также, что различные слова имеют одно и то же значение,
обозначают один и тот же предмет. Слово «церковь» обозна¬
чает, например, и здание церкви, и вид религии. Различные
слова, например, «превосходство» и «перевес» или «ката¬
строфа» и «катаклизм» имеют одно и то же значение1.
3.	Значение слов естественного языка часто бывает рас¬
плывчатым, неопределенным, т. е. не всегда можно сказать
об определенном предмете, что слово обозначает именно его.
Часто, например, нельзя сказать о человеке, здоров он или
нет. В таком случае помогают себе неопределенной форму¬
лировкой: он не совсем здоров.
1 В оригинале в качестве примера даны немецкие слова: die Kirche—
церковь, die Geige, die Violine — скрипка,
26

4.	Наконец, употребляемые грамматические правила
построения выражений естественного языка в логическом
смысле также несовершенны, не в любом случае можно
определить, имеет данное предложение смысл или нет.
Науки должны и они пытаются искоренять эти недо¬
статки в своих областях. Это делается в первую очередь с
помощью специально-научной терминологии.
Научная терминология — это запас специальных слов,
совокупность специальных выражений из области данной
науки. Они возникают вследствие того, что в науках ис¬
пользуются жесткие выражения, дефиниции, сложившиеся
в результате строго определенного употребления некоторых
выражений. Слова, входящие в такие выражения, стано¬
вятся терминами. Таким образом, можно искусственно вос¬
препятствовать изменению значений слов с течением вре¬
мени, если этого не требует дальнейшее развитие науки.
Однако термины со строго фиксированным значением, разу¬
меется, имеют жесткие границы употребления. С достиже¬
нием нового уровня понимания явления старые термины на¬
полняются новым содержанием, кроме того, должны воз¬
никать новые термины. Можно избежать употребления си¬
нонимов, жестко ограничиваясь одним из них.
Многозначность слов можно устранять различным спо¬
собом. Одна из возможностей заключается в применении
многозначных слов только в тех контекстах, из которых
становится ясно, какое значение слова подразумевается в
каждом случае. Это совсем нетрудно с такими словами, как
«церковь»х. Предложение «Церковь была воздвигнута в
XI столетии» не оставляет никакого сомнения в том, в ка¬
ком значении употребляется слово «церковь». Для таких
слов, как «сознание», различные значения которого очень
близки друг к другу или даже частично совпадают, этот
способ может оказаться очень затруднительным или совсем
невозможным, особенно если в одном и том же контексте
фигурирует несколько значений такого слова. В таком слу¬
чае надо решить, какой из двух следующих методов следует
применить: или нужно употреблять слово только в таких
сочетаниях, которые делают его однозначным, или для каж¬
дого значения исходного слова надо вводить особое новое
слово. Такие слова часто заимствуются из живога иност¬
ранного языка или, например, в медицине образуются из
древнегреческих или латинских слов.
х Пример из оригинала die Kirche,
27

Неопределенность слов лучше всего устранять путем
ясных дефиниций. Основная трудность возникает в том
случае, когда неуверенность в значении проистекает не из
недостатка знаний, а обусловлена объективно, т. е. если
подразумеваемая область значения слова неопределена,
если она не ограничивается строго, а переходит в другие
области значений. Так обстоит дело со словами «больной»
и «здоровый». В таком случае должно быть принято реше¬
ние, которое четко отделит одну область от другой. Для
этого абстрагируются от переходной области и для предме¬
тов, относящихся к ней, принимают специальное решение,
однозначно относя или не относя их к области значений
данного слова. То, что получается в результате таких или
подобных действий и практически часто применяется в нау¬
ке, и есть научный язык, или специальный язык определен¬
ной науки. Во всяком случае такие научные языки не яв¬
ляются языком в прямом смысле, потому что они не сущест¬
вуют самостоятельно и независимо от естественного языка.
Научный язык такого вида возникает из естественного языка
и специальной терминологии. Он отличается от естествен¬
ного языка запасом слов, а не правилами построения языка.
Связь между научными языками и естественным языком
осуществляется непрерывно, так как научные языки вклю¬
чают в свою терминологию все новые слова естественного
языка. С другой стороны, в словарный запас естественного
языка постоянно переходят специальные термины различ¬
ных наук (через школу, прессу, радио, научно-популяр¬
ную литературу).
Преимущества научного языка такого вида заключаются
в следующем: во-первых, по сравнению с естественным язы¬
ком он обладает большей точностью, во-вторых, благодаря
использованию специальных терминов его способ выраже¬
ния более краток и более нагляден, чем способ выражения
естественного языка.
Требования, предъявляемые к научному языку, направ¬
лены на устранение неконтролируемых моментов естест¬
венного языка при его использовании в науке. Недостаточ¬
ное внимание к языковым средствам может привести к не¬
доразумениям и даже к неправильной ориентации в иссле¬
довании. В интересах науки естественная неопределенность
и изменчивость должны быть взяты под контроль и устра¬
нены с помощью определений, связанных с неизбежными
здесь абстракциями. Устранение неопределенности приводит
к некоторому консерватизму, но при формировании выра¬
зительных средств языка является необходимой ступенью,
28

поскольку, будучи элементом абстрактного мышления, оно
неразрывно связано с последним.
Абстракции никогда не охватывают всего богатства дей¬
ствительности, но «все научные (правильные, серьезные, не
вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее,
полнее» 1
Предмет этой книги не позволяет нам выходить за преде¬
лы этой ступени формирования языка и мышления (иначе
нам пришлось бы дать введение в диалектическую логику
или в материалистическую диалектику). Но это еще не го¬
ворит о том, что посредством абстракций, посредством за¬
крепления значений слов достигнут наивысший уровень
познания. Если в результате закрепления значений слов
происходит отвлечение от объективной диалектики мышле¬
ния и высказывания мыслей, то должны быть найдены мыс¬
ленные и языковые средства для адекватного понимания
движения и развития объективной действительности.
В. И. Ленин писал: «Всесторонняя, универсальная гибкость
понятий, гибкость, доходящая до тождества противополож¬
ностей,— вот в чем суть. Эта гибкость, примененная субъ¬
ективно, = эклектике и софистике. Гибкость, примененная
объективно, то есть отражающая всесторонность материаль¬
ного процесса и единственно его, есть диалектика, есть пра¬
вильное отражение вечного развития мира» 1 2.
Эти замечания необходимы для правильного понимания
той тесной взаимосвязи освещаемых здесь проблем и зна¬
чения требований, предъявляемых здесь к образованию на¬
учных языков, для процесса человеческого познания. Ряд
наук использует в своих специальных языках символичес¬
кий язык. К ним принадлежат математика, химия и фор¬
мальная логика. Формула ЙН+О->Н2О относится к симво¬
лическому языку химии и Говорит о том, что при соедине¬
нии двух атомов водорода с одним атомом кислорода обра¬
зуется одна молекула воды. В символическом языке вместо
слов используют знаки, искусственно созданные (+, ->)
или получившие определенное новое значение (Н2О). Пре¬
имущество символического языка в первую очередь заклю¬
чается в том, что его выражения еще более точны и кратки,
чем их перевод на естественный язык даже с помощью науч¬
ной терминологии. Это видно уже на нашем примере из хи¬
мии. Конечно, перевод в данном случае в принципе возмо¬
1	Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 152.
2	Там же, с. 99.
29

жен. Создать же символический язык без помощи естест¬
венного нельзя.
Из уже названных преимуществ вытекает самое важное:
без помощи символических языков такие науки, как фор¬
мальная логика, математика и теоретическая физика, не
смогли бы достичь сегодняшнего уровня, потому что человек
не в состоянии понять сложные связи этих наук на естест¬
венном или специально-научном не символическом языке.
Уже перевод относительно простых формул на естественный
язык создает иногда такие сложные образования, что они
почти непонятны. Поясним это на примере из математики.
Для области рациональных чисел действителен так назы¬
ваемый закон коммутативности сложения, выраженный в
формуле а+&=6+а. Словами это было бы выражено так:
«Если любое число прибавить ко второму, то сумма будет
равна сумме этих же чисел, если бы второе число прибавили
к первому». Хотя речь идет об очень простом законе, .ста¬
новится ясно, что с помощью формулы его можно выразить
короче, яснее и точнее. Важно еще и то, что символический
язык логики приводит к максимальной точности понятий,
высказываний и умозаключений и создает тем самым пред¬
посылку для применения электронно-вычислительных ма¬
шин и машинного перевода.
Символический язык формальной логики был создан
специально для совершенно точного и ясного воспроизве¬
дения общих структур человеческого мышления. Некоторый
символ обозначает, например, определенное отношение
между двумя понятиями, в то время как соответствующее
слово естественного языка может иногда обозначать раз¬
личные отношения и лишь из контекста можно заключить,
какое из этих отношений имеется в виду. Между общими
структурами мышления и структурами языкового выраже¬
ния логики существует, как говорят, взаимнооднозначное
отношение, т. е. каждой мысленной структуре точно соот¬
ветствует определенная языковая структура и наоборот.
Это приводит к тому, что внутри формальной логики опера¬
ции с мыслями можно заменить действием со знаками. Та¬
ким образом, формальная логика располагает формализо¬
ванным языком, или формализмом. Формализм в этом
смысле не имеет ничего общего с метафизической абсолюти¬
зацией формы по отношению к содержанию, речь идет лишь
о временном абстрагировании от содержания, что служит
облегчению и уточнению умственной деятельности.
Формализованный язык должен удовлетворять следую¬
щим условиям:
30

(1)	Все основные знаки представлены в явном виде.
Основные знаки — это простые, несоставные слова языка
или простые, несоставные символы (если речь идет о сим¬
волическом языке).
(2)	Заданы все правила определения. Это правила введе
ния новых, обычно более кратких знаков с помощью уже
имеющихся.
(3)	Заданы все правила построения формул. Это правила
образования составных знаков из простых, например пра¬
вила образования предложений из слов.
(4)	Заданы все правила преобразования или правила
умозаключения. Они относятся только к графическому
изображению применяемых знаков (слова, предложения,
символы).
(5)	Заданы все правила интерпретации. Они дают све¬
дения о том, как образуется значение сложных знаков (на¬
пример, предложений) из значений простых знаков (напри¬
мер, слов). Они однозначно определяют связь между зна¬
ками языка и их значениями.
К необходимым условиям формализованного языка не
относится его обязательная символизация. Его основными
знаками могут быть слова, а сложными знаками — предло¬
жения естественного языка. Однако при создании формали¬
зованного языка одновременно используют, как правило,
преимущества символического языка. На примере из хи¬
мии видно, что символический язык не должен быть одно¬
временно и формализованным.
Так как формальная логика располагает формализо¬
ванным языком, то с помощью его средств из формул, соот¬
ветствующих истинным высказываниям, можно получать
формулы, соответствующие другим истинным высказыва¬
ниям, не принимая во внимание в процессе преобразования
само высказывание. Еще одно преимущество формализо¬
ванного языка заключается в том, что в логическом умозак¬
лючении не могут проскользнуть никакие неявно допус¬
каемые дополнительные предпосылки. Многие проблемы
логики и математики вообще могут быть разрешены только
такими средствами. Наконец, выявилось еще одно интерес¬
ное и полезное свойство формализованных языков: форма¬
лизованные языки, полученные для какой-то определенной
области, часто можно использовать в совершенно иных об¬
ластях, дав их знакам соответствующую интерпретацию.
Несколько позже мы увидим, что при использовании фор¬
мализма логики высказываний могут решаться теорети¬
ческие проблемы электрических и других контактных схем.
31

Существенным недостатком формализованных языков по
сравнению с другими языками является то, что они маловы¬
разительны. Совокупность имеющихся до сих пор формали¬
зованных языков может воспроизводить лишь относительно
небольшие области действительности. Трудно предсказать,
для каких областей науки могут быть созданы формализо¬
ванные языки, а для каких нет. Эмпирические исследова¬
ния, конечно, не могут быть заменены ими. Совокупность
научных языков никогда не будет совокупностью формали¬
зованных языков.
Построение формализованного языка для определенной
области науки создает условия для полного прояснения
логической структуры системы высказываний о данной об¬
ласти. Любая попытка создать такой язык, даже неудачная,
является полезной, потому что она неизбежно приводит к
мысленному и языковому уточнению наших знаний о соот¬
ветствующей области. Для различных областей науки (на¬
пример, этики, юриспруденции), помимо формальной ло¬
гики и математики, уже найдены возможности для форма¬
лизации, а для других, возможно, еще будут найдены.
Уже теперь в каждой науке формализованные языки могут
служить примером целенаправленной разработки специ¬
ального языка и тем самым косвенно способствовать уточ¬
нению понятий и высказываний.
1.4.3.	КАТЕГОРИИ СЕМАНТИКИ
В терминологии семиотики виды знаков называются
«категориями», в данном случае это слово обозначает не
основные понятия, как, например, категории в философии,
а виды, которые определены значением относящихся к ним
знаков. Такие выражения, как «Ленинизм — это марксизм
нашей эпохи» и «Марксизм-ленинизм есть теоретическая
основа политики СЕПГ», относятся к одной и той же семан¬
тической категории, к категории предложений. Такие вы¬
ражения, как «математик» и «логик», принадлежат также
к одной и той же семантической категории, к категории
«имен». Таким образом уже названы две важнейшие для
научных языков семантические категории. Их следует более
точно определить и провести дальнейшие разграничения.
Оба приведенных в качестве примера предложения яв¬
ляются повествовательными. Они доминируют в научных
языках. Но в естественных языках используются и другие
виды предложений: побудительные, вопросительные, вос¬
клицательные и т. д. Побудительные и вопросительные
32

предложения имеют особое значение для научных языков.
Различие между повествовательным, побудительным и воп¬
росительным предложениями основывается на том, что им
соответствуют различные формы мышления- высказыва¬
ние, требование и вопрос. Высказывания, требования и воп¬
росы являются отражением объективных связей вещей или
явлений.
Повествовательное
предложение
Побудительное
предложение
Вопросительное
предложение
высказывание
требование
вопрос
объективные связи
между предметами
объективные связи
между предметами
объективные связи
между предметами
Буквы справа от таблицы указывают на принадлежность
к определенной категории знаков (Z), мысленных образов
(Л) и объектов отражения (О) в смысле раздела 1.4.1. При¬
веденная здесь связь между видами предложений и их зна¬
чениями в какой-то степени является идеализацией. По¬
вествовательное, побудительное и вопросительное предло¬
жения отличаются друг от друга как по своему значению,
так и по своей функции. Повествовательные предложения
носят информативный, описательный, десигнативный ха¬
рактер. Они дают сведения о прошлом (например, свидетель¬
ские показания в суде), о настоящем (например, сведения
о магнитном поле Земли) или о будущем (например, в про¬
гнозе погоды). В науке они служат для формулировки за¬
конов и теорий.
Побудительные предложения носят направляющий, ука¬
зывающий, предписывающий, определяющий характер. Они
побуждают кого-либо к действию или к его прекращению.
В форме этих предложений можно сформулировать планы,
юридические законы и нравственные нормы. В науке их
можно использовать для формулировки методических пра¬
вил и методов, в том числе и алгоритмизированных про¬
грамм, они применяются и как средства общения при руко¬
водстве научной работой и ее организации.
Вопросительные предложения выражают желание что-
либо узнать. В зависимости от того, хотят ли узнать о том,
что есть или было или что надо делать, ответ последует в ви¬
де повествовательного или побудительного предложения.
2 № 743
33

В науке вопросительные предложения могут употреблять¬
ся для формулировки проблем. Вопросительные предложе¬
ния можно понимать как особый вид побудительных пред¬
ложений, соединяющих вопросы с требованием. При этом
вопрос рассматривается как относящееся к кому-то требо¬
вание передачи информации.
Правила образования повествовательных, побудитель¬
ных и вопросительных предложений, действующие в естест¬
венном языке, применимы также и в научных языках.
В символических языках для отражения различия между
повествовательным, побудительными и вопросительными
предложениями в большинстве случаев пользуются воскли¬
цательными и вопросительными знаками:
«р» — повествовательное предложение,
«р!» или «!р» — побудительное предложение,
«р?» или «?р» — вопросительное предложение.
В большинстве книг по логике обсуждается только ло¬
гика высказываний. Причина этого заключается прежде
всего в том, что логика побуждений, или, как ее называют,
логика норм, и логика вопросов все еще находятся в стадии
обсуждения их основ. Правда, в этих областях есть уже мно¬
го работ (при этом применяются обозначения «логика импе¬
ративов», «логика норм», «логика вопросов»), но до сегод¬
няшнего дня их авторы еще не добились результатов, кото¬
рые были бы, по крайней мере, приблизительно сравнимы
с результатами, полученными в логике высказываний. Су¬
ществует даже мнение, что никакой особой логики норм и
логики вопросов нет вообще или что их можно свести к ло¬
гике высказываний. В этой книге тоже, как уже сказано,
рассматривается только логика высказываний. Проблема
императивов будет затрагиваться лишь постольку, посколь¬
ку методические правила и правила умозаключения яв¬
ляются императивами. Но при этом речь пойдет о теоретико¬
познавательных, а не о логических проблемах.
Если и не обязательно формулировать высказывание
в повествовательном предложении, побуждение в побуди¬
тельном, а вопрос в вопросительном предложениях, то все
же при формулировке своих мыслей надо в такой степени
учитывать различия между формами мышления, чтобы слу¬
шателю или читателю было ясно, хотят ли выразить выска¬
зывание, побуждение или вопрос. Неожиданные реакции
собеседников нередко являются признаком недостаточно
ясного выражения мыслей.
При анализе предложений рассматривают имена, сою¬
34

зы, неопределенные числительные и местоимения. На сою¬
зах мы более подробно остановимся в логике высказываний;
на именах, неопределенных числительных и местоимениях—
в логике предикатов. Но о семантической категории имен
уже здесь уместно сделать некоторые принципиальные за¬
мечания.
«Имя», как термин логики и семиотики, имеет более ши¬
рокое значение, чем в разговорной речи. Не только выра¬
жения «Владимир Ильич Ленин» и «Аллея Карла Маркса»
являются именами, но и все знаки, которые могут быть ис¬
пользованы для обозначения какого-либо предмета. При
этом под предметом можно понимать тела или мысли, свой¬
ства или связи. Имена обозначают понятия. Бывает, что
имя имеет значение, но ничего не обозначает, не имеет де¬
сигната, например имя бога «Юпитер».
Различают имена собственные и общие. Собственные име¬
на — это имена с одним-единственным десигнатом, обозна¬
чающие один-единственный предмет. Примерами таких
имен являются «Фридрих Энгельс», «Берлинская телеви¬
зионная башня», «велосипед Камиллы» и «человечество».
Значение собственного имени — это единичное понятие.
Общие имена или имена классов — это имена с более чем
одним десигнатом, обозначающим более одного предмета.
Примерами этого вида имен являются: «марксист», «теле¬
башня», «велосипед», «человек». Есть также общие имена,
которые, хотя и имеют значение, но ничего не обозначают,
например «нимфы». Значением общего имени является общее
понятие. К общим именам относятся существительные, если
они не являются именами собственными (например, «Все¬
ленная»), а также некоторые прилагательные и глаголы.
имя
собственное имя
общее имя
понятие
единичное понятие
общее понятие
десигнат
индивид
класс индивидов
Здесь следует дать обзор важнейших семантических ка¬
тегорий, чтобы последующие уточнения могли быть в боль¬
шей степени взаимосвязаны.
2*
35

1.4.4.	ЯЗЫКИ РАЗЛИЧНЫХ СТУПЕНЕЙ
К требованиям, предъявляемым к языковым выраже¬
ниям — прежде всего в науке,— относится и следующее:
следует ясно различать, идет ли речь о вещах, о содержании
сознания или о знаках языка.
Основой любого человеческого познания являются ве¬
щи, свойства, связи и т. д., короче, предметы, которые объ¬
ективно, реально существуют и сами не являются знаками
языка. Они находят отражение в объектных теориях, сфор¬
мулированных на объектных языках. Например, инфекцион¬
ные болезни являются предметом теории инфекционных бо¬
лезней, а соответствующий научный язык является сред¬
ством изложения этой теории.
В науке такие объектные теории и их языки в свою оче¬
редь становятся предметом исследования. Так можно про¬
верить, истинны ли высказывания этой теории, совместимы
ли они друг с другом, не содержит ли теория противореча¬
щих друг другу высказываний. Бывает нужным исследо¬
вать, однозначно ли сформулированы теоретические выска¬
зывания и т. д. Все это не может быть осуществлено внутри
самой теории и посредством ее языка. Для этого необходима
метатеория или теория второй ступени и ее язык, назы¬
ваемый метаязыком. Теория и ее язык не обязательно долж¬
ны принадлежать к одной и той же ступени. Может быть
и так, что теория первой ступени формулируется на языке
второй ступени. Однако это не устраняет различия между
языком, на котором формулируются утверждения теории,
и языком, на котором о ней говорится.
Метаязык имеет следующие свойства:
1.	С помощью его языковых средств можно выразить
все, что выразимо средствами объектного языка.
2.	С его помощью можно обозначить все знаки, выраже¬
ния и т. д. объектного языка, для всех них имеются имена.
3.	На метаязыке можно говорить о свойствах выражений
объектного языка и отношениях между ними.
4.	На нем можно сформулировать определения, обозна¬
чения, правила образования и преобразования для выра¬
жений объектного языка. Связь между объектным языком
и метаязыком можно разъяснить на примере. На занятиях
по русскому языку в политехнической средней школе ГДР
изучаемый фрагмент русского языка выступает как объект¬
ный язык, а немецкий язык как метаязык.
Так как слова и предложения русского языка можно пе¬
ревести на немецкий язык, то первое требование кметаязы-
36

ку уже выполнено. Если учительница предлагает ученику
перевести определенное предложение, то она в соответст¬
вии с п. 2 использует для этого предложения обозначение,
имя. В соответствии с п. 3 можно, например, констати¬
ровать многозначность определенного слова этого предло¬
жения. Требование п. 4 выполняется формулировкой на
немецком языке правил склонения, спряжения, образования
предложений и т. д. русского языка.
Особенно ясно различие между объектным языком и ме¬
таязыком, если рассматриваемый объектный язык является
символическим, а метаязык, как средство исследования,
является несимволическим научным языком, что имеет ме¬
сто в математике и формальной логике. При работе в пре¬
делах одного и того же естественного языка сделать разли¬
чие между объектным языком и метаязыком гораздо труд¬
нее. Чтобы сказать что-либо на немецком языке о части
этого языка, редко удается подобрать метаязыковые имена,
обозначения для слов или предложений объектного языка.
Для предложения «Пролетарии всех стран, соединяйтесь!»
можно найти название в метаязыке — его можно однознач¬
но назвать завершающим предложением из «Манифеста
Коммунистической партии» К. Маркса и Ф. Энгельса. Бо¬
лее простым способом образования метаязыковых имен для
слов и предложений объектного языка является применение
кавычек. Слово, стоящее в кавычках, служит в данном слу¬
чае метаязыковым именем для того же слова, написанного
без кавычек, а если поставить в кавычки предложение объ¬
ектного языка, то получится имя этого предложения. В язы¬
ковой научной литературе выражения, напечатанные кур¬
сивом, служат метаязыковыми именами для выражений
объектного языка.
слово
предложение
объектный язык
пролетарии
Пролетарии, соединяйтесь!
метаязык
«пролетарии»
«Пролетарии, соединяйтесь!»
Следующие примеры делают различие между формули¬
ровками объектного и метаязыка более понятным:
(1)	Пролетариат есть рабочий класс в капиталистическом
обществе.
37

(2)	«Пролетариат» означает то же, что и «рабочий класс
в капиталистическом обществе».
(3)	Пролетариат означает то же, что и «рабочий класс в
капиталистическом обществе».
Предложение (1) является предложением объектного
языка, оно сообщает нечто о социальной действительности.
Предложение (2) относится к метаязыку, оно сообщает
нечто о языковых выражениях и их значениях.
Оба предложения сформулированы правильно. Предло¬
жение (3) образовано неправильно, так как в нем смешан
объектный язык с метаязыком. Начиная со слова «озна¬
чает», оно является метаязыковым именем, в то время как
перед этим вместо имени метаязыка для выражения объект¬
ного языка стоит само это выражение.
В литературе кавычки используются прежде всего для
выделения цитаты из всего текста, что точно соответствует
приведенному здесь правилу применения кавычек. Иногда
посредством кавычек указывается на то, что определенная
формулировка имеет иронический оттенок; если, например,
застали кого-либо спящим на работе, то говорят, что он
снова был «прилежен». Это, конечно, не имеет ничего общего
с различием между объектным и метаязыком.
Выше ничего еще не говорилось о том, что в построении
языков имеется более двух ступеней, тем не менее мы сфор¬
мулировали свои предыдущие замечания на языке третьей
ступени. Чтобы говорить только об объектном языке, было
бы достаточно языка второй ступени. Но мы говорили о
свойствах метаязыка, о правилах образования, действую¬
щих в нем, и т. д. Для этого мы пользуемся языком, нахо¬
дящимся с ним в таком же отношении, как он сам с объект¬
ным языком, т. е. мета-метаязыком, или языком третьей
ступени. Такое построение можно продолжать сколько
угодно. Однако в общем достаточно различия между двумя
языками: между языком, являющимся предметом исследо¬
вания, и языком, являющимся средством для исследования.
Среди формализованных языков различие между языками
разных ступеней неизбежно. Иначе было бы невозможно
заменить операции с мыслями операциями со знаками. Дру¬
гая причина такого различения, касающаяся также и не¬
формализованных языков, заключается в том, что смеше¬
ние языков разных ступеней может привести к логическим
противоречиям.
Вне формализованных языков часто не делают четкого
различия между языками разных ступеней, или, как их
еще называют, семантическими ступенями. В частности,
38

редко употребляются кавычки. Конечно, нельзя заставить
всех применять их точно в соответствии с приведенными
правилами. Но от научной литературы надо требовать, что¬
бы, по крайней мере, из контекста однозначно следовало,
о чем идет речь. Разумеется, этого требования надо бы при¬
держиваться повсюду, где люди должны объясняться друг
с другом.
2.	ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Основные понятия логики высказываний. Их примене¬
ние в логических умозаключениях, а также в электрических
и других контактных схемах.
2.1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Высказывание. Операции с высказываниями (отрицание
и объединение высказываний). Многозначность ряда сою¬
зов естественного языка.
2.1.1.	ВЫСКАЗЫВАНИЕ
Понятие «высказывание» относится к основным понятиям
формальной логики, которые не могут быть определены
средствами самой этой науки. Исследование и определение
того, что такое высказывание, относится к задачам теории
познания, результатами которой пользуется формальная
логика.
Высказывание — это мысленное образование. Оно яв¬
ляется формой отражения объективной реальности в чело¬
веческом сознании. Другими формами отражения являются
восприятие, ощущение и понятие. Восприятие и ощущение
принадлежат к чувственной ступени, а понятие и высказы¬
вание—к рациональной ступени познания.
Высказывание отражает объективную связь между пред¬
метами, этим оно отличается от понятия, которое отражает
класс предметов. Рассмотрим сначала некоторые примеры,
касающиеся объективных связей между предметами. То, что
листы этой книги из белой бумаги,— это объективное по¬
ложение дел, которое отражается в высказывании «Листы
этой книги сделаны из белой бумаги». То, что люди — об¬
щественные существа,— это объективное отношение; то,
что Земля вращается вокруг Солнца,— объективное отно¬
шение между предметами; то, что телевизор дороже радио¬
приемника,— также объективное положение дел. Во всех
39

этих случаях определенным предметам (листы книги, люди)
присущи определенные качества (быть сделанным из белой
бумаги, быть общественными существами) или определен¬
ные предметы (Земля, Солнце, телевизоры, радиоприемни¬
ки) находятся в определенной связи друг с другом (вращать¬
ся вокруг, быть дороже, чем...).
В дальнейшем мы чаще будем пользоваться термином
«признак» вместо выражения «свойство или отношение», т. е.
вместо «Определенные индивиды обладают определенными
свойствами или находятся в определенном отношении друг
с другом» мы будем говорить короче: «Определенным инди¬
видам присущи определенные признаки».
Как уже видно из примеров, слово «индивид» служит не
только для обозначения человеческой личности. Оно упо¬
требляется для обозначения вещей в самом широком смысле
слова независимо от того, существуют ли они реально или
только в человеческом сознании. Атомы, молекулы, живот¬
ные, люди, дома, города, числа, мысли являются индивида¬
ми в этом смысле. В обычном разговоре или в науке речь
всегда идет (явно или косвенно) о совершенно определен¬
ной области индивидов, т. е. о совершенно определенных
индивидах и их признаках.
Совокупность людей с их разнообразными общественны¬
ми отношениями образует предметную область обществен¬
ных наук. Для зоолога предметной областью является со¬
вокупность животных. Для физика элементарные частицы,
атомы, молекулы, твердые тела являются индивидами
предметной области, о которой он говорит.
Но логические законы ни в коей мере не раскрывают
специальных предметных областей, они, как мы уже гово¬
рили, применимы к любым предметным областям. Поэтому
в формальной логике говорится не о какой-либо определен¬
ной предметной области, а о любых предметных областях
и используется такое общее понятие индивида, как мы его
здесь охарактеризовали.
Согласно этим предварительным замечаниям мы можем
в общем констатировать, что мы говорим об объективной
связи между предметами:
(1)	если определенным индивидам присущи определен¬
ные признаки, или
(2)	если определенным признакам свойственны опре¬
деленные признаки.
На этом втором случае мы остановимся в разделе 3.3.
Объективные связи между предметами могут существовать
реально, как приведенные в предыдущих примерах, но они
40

могут существовать и в сознании, например, когда опреде¬
ленное высказывание является отражением определенного
объективного положения дел. Конечно, реально существую¬
щие объективные связи между предметами являются пер¬
вичными по отношению к существующим в сознании. По¬
этому если высказывание и не является прямым, непосред¬
ственным отражением реально существующей объективной
овязи, а отражает мысленную объективную связь, то по¬
следняя, по крайней мере, косвенно, опосредованно зависит
от объективной реальности.
Высказывание бывает истинным или ложным в зависи¬
мости от того, является ли оно адекватным, правильным
отражением соответствующей ему объективной связи между
предметами или нет. Аристотель, чье представление об исти¬
не лежит в основе ее диалектико-материалистического по¬
нимания, выражал это таким образом: «Истину говорит тот,
кто считает разъединенное разъединенным и связанное —
связанным, а ложное — тот, кто думает обратно тому, как
дело обстоит с вещами» х. Так как истинность высказыва¬
ния — прямо или косвенно — всегда зависит от объектив¬
ных отношений между предметами, то она является объек¬
тивной истиной.
Если мы сказали, что каждое высказывание бывает
либо истинным, либо ложным, то это не означает, что каж¬
дое высказывание абсолютно истинно или абсолютно лож¬
но, т. е. что оно точно и совершенно адекватно отражает со¬
ответствующую ему объективную реальность, или отражает
ее совершенно ошибочно. Познание действительности, по¬
лучение истинных высказываний скорее есть процесс, кото¬
рый ведет от относительно истинных к абсолютно истинным
высказываниям. Относительно истинное высказывание более
или менее точно или более или менее адекватно отражает
соответствующую ему объективную связь. Оно содержит
относительную истину, которая может исправляться,
совершенствоваться, пополняться прогрессирующим позна¬
нием. Но поскольку это высказывание охватывает, по край¬
ней мере, частично объективную связь между предметами,
оно содержит что-то от абсолютной истины и поэтому яв¬
ляется предварительным этапом совершенного и окончатель¬
ного познания 1 2.
Высказывание формулируется (в общем) в форме повест¬
вовательного предложения. Оговорка, поставленная в
1	Аристотель. Сочинения. М., 1975, т. 1, с. 250.
2	Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 18, с. 137,
41

скобки, возникает из-за того, что па символических языках
формулировки высказываний можно считать повествова¬
тельными предложениями только в переносном смысле.
В естественных языках высказывания иногда выражаются
не повествовательными предложениями, а другими языко¬
выми формами. Такое вопросительное предложение, как
«Эта картина — шедевр?» нередко употребляется и пони¬
мается, как повествовательное. Возглас «Ой!» при опреде¬
ленных условиях обозначает высказывание, судя по кото¬
рому, говорящий ощущает боль.
Несмотря на неразделимую связь между высказыванием
и языковыми формами его существования, их нельзя пу¬
тать друг с другом. При правильном переводе с одного языка
на другой высказывание остается неизменным, а форма его
существования меняется. Высказывание может передавать¬
ся различными предложениями и в рамках одного языка.
Предложение «Все существует в пространстве и во времени»
означает то же высказывание, что и «Нет ничего, что не су¬
ществовало бы в пространстве и во времени». Если значе¬
ния истинности приписывают не высказываниям, а (как
это часто делают гносеологи — идеалисты и ученые-ло¬
гики) повествовательным предложениям, то понятие ис¬
тины релятивизируется. Однако истинность высказывания
есть объективная истинность, т. е. она зависит не от языка,
на котором сформулировано высказывание, а от объектив¬
ной связи между предметами, которую она отражает.
Итак, дадим определение:
Высказывание есть мысленное отражение объективной
связи между предметами. Оно истинно, если оно адекватно
отражает эту связь, в противном случае онй ложно. Вы¬
сказывание существует (в общем) в форме повествователь¬
ного предложения.
2.1.2.	ВЫСКАЗЫВАНИЕ И СУЖДЕНИЕ
В традиционной логике вместо термина «высказывание»
был принят термин «суждение». Различение этих терминов
целесообразно.
В настоящее время термин «суждение» используется
в теории познания и в психологии. Суждение — это выска¬
зывание, но ему наряду с признаками высказывания при¬
сущи еще и другие. Суждение — это волевой акт, оно выра¬
жает точку зрения, утверждение, эмоционально окрашено.
Эти признаки возникают потому, что суждения и высказы¬
вания существуют только в человеческом сознании и по¬
42

стоянно связываются с другими его формами. Формальная
логика абстрагируется от этих дополнительных признаков.
Например, отношение человека к высказыванию для фор¬
мальной логики не имеет никакого значения. Эта наука
исследует отношения между истинными и ложными выска¬
зываниями, но истинны или ложны эти высказывания, за¬
висит только от отражаемой в них объективной связи между
предметами.
Поясним это на примере: предположим, г-н А просит
г-на В одолжить ему 10 марок. Г-ну В не хотелось бы этого
делать, и он говорит: «У меня нет с собой столько денег».
При этом он знает, что в бумажнике у него есть еще 50 ма¬
рок. Если он выдает за истинное высказывание, в ложности
которого он убежден, то про такого человека говорят, что
он лжет. Следовательно, г-н В солгал. Но если он на самом
деле, не заметив, потерял бумажник, то его высказывание
об отсутствии у него суммы, нужной г-ну А, правдиво и его
уверенность в ложности этого высказывания ничего не ме¬
няет в объективной истинности последнего. Высказывание
истинно, поскольку оно объективно истинно. Аристотель
говорил: «Не потому ты бледен, что мы правильно считаем
тебя бледным, а, наоборот, именно потому, что ты бледен,
мы, утверждающие это, говорим правду» х.
В юриспруденции также употребляют термины «выска¬
зывание» и «суждение». От свидетельского показания суд
ждет по возможности адекватного описания объективного
положения дел, т. е. истинного высказывания в подразу¬
меваемом здесь смысле слова. Приговор суда, наоборот,
не является высказыванием, а по своей сути является по¬
буждением к определенному действию или поведению, ко¬
торое должны выполнять соответствующие государственные
органы, подсудимый или конфликтующие друг с другом
стороны. Решение суда нельзя путать, например, с обосно¬
ванием решения, которое, разумеется, носит характер вы¬
сказывания.
Собственно в человеческом сознании высказываний нет,
а есть только суждения. Но формальная логика в своих
целях абстрагируется от таких свойств суждений, которые
не оказывают никакого влияния на те отношения, которые
она изучает и которые только затруднили бы ее исследова¬
ния. Такой результат абстрации и называется «высказы¬
ванием».
1 Аристотель, Сочинения, т. 1, с, 250,
1т4Э

2.1.3.	ВЫСКАЗЫВАНИЕ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Законы формальной логики действительны для любого
содержания мышления, безразлично, являются ли его
предметом проблемы науки или политики, вопросы искусст¬
ва или повседневной жизни. Поэтому в формальной логике
абстрагируются от конкретного содержания высказываний
и говорят только о высказываниях вообще; конкретные
высказывания служат лишь примерами. В логике выска¬
зываний абстрагируются, кроме того, от составных частей
и структуры высказываний, их принимают во внимание
только в логике предикатов.
В соответствии с этими двумя процессами абстрагирова¬
ния избирается символика логики высказываний. Сначала
вводятся переменные для высказываний, называемые пропо¬
зициональными переменными р, р, г,. . . Эти переменные
стоят вместо каких-либо повествовательных предложений
и их значениями являются высказывания.
Пропозициональными переменными пользуются так же,
как в математике числовыми переменными. Там говорят,
например, о натуральных целых или рациональных числах
а, Ь, с,... и их отношениях и составляют формулы с помощью
этих символов. В логике высказываний говорят о высказы¬
ваниях р, р, г,. . . и их отношениях и также с помощью этих
символов составляют формулы. Как в математических
формулах вместо числовых переменных а, Ь, с,. . . можно
использовать определенные цифры (1, 6, 7), так и в логичес¬
ких формулах вместо пропозициональных переменных мож¬
но использовать конкретные повествовательные предложе¬
ния. Если такая формула пригодна для любого высказыва¬
ния р, р, г,. . ., то она, естественно, должна быть пригодной
для любого конкретного применения.
Для более точного определения предмета нашего изло¬
жения мы принимаем принцип двузначности высказыва¬
ний:
Каждое высказывание бывает либо истинным, либо
ложным, т. е. каждое высказывание имеет фактически
одно и только одно из этих двух свойств.
Другими словами: среди рассматриваемых нами выска¬
зываний не должно быть ни одного, которое не было бы ни
истинным, ни ложным. Но высказывание не должно быть
истинным и ложным одновременно. Вместо «высказывание р
истинно» мы говорим также «высказывание р имеет истин¬
ное значение истинности», вместо «высказывание р ложно»
44

мы говорим «высказывание р имеет ложное значение истин¬
ности». Формальную логику, в которой каждое высказыва¬
ние принимает только одно из двух значений истинности,
называют «двузначной логикой». Таким образом, наше
изложение ведется в рамках двузначной логики, из чего
следует, что рассмотренные здесь законы и правила неогра¬
ниченно пригодны только для абсолютно истинных или абсо¬
лютно ложных высказываний, а также для таких высказы¬
ваний, которые, по крайней мере, в данном отношении
можно рассматривать как абсолютно истинные или абсолют¬
но ложные.
Так как относительно истинные высказывания являются
одновременно относительно ложными, то они не соответст¬
вуют требованиям принципа двузначности. Для примене¬
ния к ним законов и правил двузначной логики требуется
соблюдать определенные меры предосторожности. Сущест¬
вует мнение, что относительно истинные и относительно лож¬
ные высказывания и их отношения следует рассматривать
в многозначной логике. Уже имеются такие логики, в ко¬
торых высказывание может принимать одно из трех или
более значений, а также попытки применить их в физике
и технике. Однако эксперименты по использованию в них
наряду с обоими абсолютными значениями истинности так¬
же и относительных значений истинности пока не привели
к удовлетворительным результатам.
Принцип двузначности дает возможность более точно
определить пропозициональные переменные: пропозици¬
ональная переменная используется вместо какого-либо по¬
вествовательного предложения, ее значением является вы¬
сказывание, которое либо истинно, либо ложно. В случае
необходимости можно установить, какое из значений ис¬
тинности соответствует данному высказыванию. На специ¬
альном языке формальной логики это называется приданием
пропозициональным переменным различных значений ис¬
тинности. Для значения истинности «истина» мы исполь¬
зуем в качестве символа букву «/», для значения истинности
«ложь» — букву «/».
Рассмотрим операции, которые можно производить
с высказываниями с помощью связок логики высказываний.
Сначала мы займемся отрицанием высказываний, а затем
различными возможностями их соединений. В языке сое¬
динению высказываний соответствует соединение повество¬
вательных предложений с помощью союзов «и», «или» и т. д.
в сложносочиненные предложения. При этом имеет место
соответствие:
45

в языке
повествовательные
предложения
союзы
сложносочиненные
предложения
в мышлении
высказывания
логические
связки
сложные высказы¬
вания
Сложные высказывания, образованные с помощью свя¬
зок из отдельных высказываний, являются истинными или
ложными, как и сами элементарные высказывания, т. е.
сложные высказывания сами являются высказываниями..
Рассмотрим, каким образом значение истинности сложных
высказываний зависит от значения истинности элементар¬
ных высказываний. Формальная логика ограничивается
при этом исследованием экстенсиональных связей выска-.
зываний. Экстенсиональными связями высказываний явля¬
ются такие, при которых значение истинности сложного
высказывания зависит только от значений истинности эле-,
ментарных высказываний, но не от конкретного содержания
последних.
В последующих разделах речь часто будет идти о выра¬
жениях. Под этим термином подразумеваются формулы ло¬
гики. Некоторые выражения состоят только из переменных,
другие из переменных и постоянных. Постоянные — это
языковые знаки, имеющие определенное, твердое значение,
это, главным образом, логические связки. Переменные же,
наоборот,— это языковые знаки, которые не имеют опреде¬
ленного конкретного значения, а употребляются вместо
каких-либо постоянных.
В пределах логики высказываний мы будем использо¬
вать только один вид переменных — пропозициональные
переменные, позже остановимся на других. Под выражением
мы понимаем последовательность знаков, состоящую из
символов логики и правильно образованную согласно ее
синтаксическим правилам. Такое выражение является ос¬
мысленной последовательностью знаков, которая обознача¬
ет, например, сложное высказывание в противополож¬
ность бессмысленной последовательности, которая ничего
не обозначает и не может обозначать. Как правильно образо¬
вывать выражения, мы подробно покажем в последующих
разделах. Для наших целей эти замечания достаточно точно
определяют, что является выражением.
Различие между мысленными образованиями и их язы¬
ковыми формами существования, о котором мы уже неодно¬
46

кратно говорили, в дальнейшем будет играть важную роль
в теоретико-познавательных рассуждениях. Но точное вза¬
имное соответствие мысленных и языковых структур в фор¬
мальной логике позволяет абстрагироваться от этого раз¬
личия в рамках логических рассуждений, а это дает возмож¬
ность упростить способы выражения. Например, можно
сказать, что определенное выражение при определенном
распределении значений встречающихся в нем пропозици¬
ональных переменных является истинным, хотя, строго
говоря, надо было бы сказать, что значение этого выражения
является истинным высказыванием.
2.1.4.	ОТРИЦАНИЕ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Высказывание р отрицается, если хотят сказать, что су¬
ществует объективная связь между предметами, не соот¬
ветствующая р, а обратная ему, исключающая его. Отри¬
цая высказывание р, получают другое высказывание, а
именно: логическое противоречие р, отрицание р, символи¬
чески изображаемое «~р». Это выражение читается как
«не-p» или лучше «ложно, что р».
В результате логического отрицания высказывания
«ГДР представляет интересы немецкого народа» получают
отрицание этого высказывания «Неверно, что ГДР представ¬
ляет интересы немецкого народа». Вследствие этой операции
мы превратили истинное высказывание в ложное. В резуль¬
тате же отрицания ложного высказывания получается ис¬
тинное. Из ложного высказывания «Боннское правительство
проводит политику мирного сосуществования» с помощью
логического отрицания получают истинное высказывание
«Неверно, что боннское правительство проводит политику
мирного сосуществования». Таким образом, если высказы¬
вание р истинно, то его отрицание ~р ложно, и, наоборот,
если р ложно, то истинно. Эту связь можно наглядно
изобразить на таблице значений истинности отрицания:
Р	~ Р
t	f
f	t
На основании этого формулируется следующее определе¬
ние:
47

Отрицание в логике высказываний есть операция, по¬
средством которой из данного высказывания р получают
его отрицание ~р, т. е. высказывание, значение истин¬
ности которого обратно значению истинности р.
Это определение пригодно не только для простых вы¬
сказываний, рассматривавшихся нами до сих пор, но и
для любых сложных высказываний. Истинное сложное вы¬
сказывание становится ложным и наоборот, если оно це¬
ликом отрицается.
Высказывания, отрицающиеся несколько раз, могут
вызвать трудности в понимании. Что, например, подразу¬
мевается под высказыванием: «Неверно, что неверно, что
неверно, что неверно, что идет дождь»? С помощью уже опи¬
санных средств можно совершенно точно ответить на этот
вопрос. Сначала высказывание «идет дождь» выражается
символом «р». Затем устанавливают, сколько раз отрицает¬
ся р, и для каждого отрицания пишут по одному символу
отрицания. Так возникает более наглядное выражение:
~ ~ ~ ~ р, Это выражение является, очевидно, отрица¬
нием ~ ~ ~ р и, тем самым, имеет значение истинности,
обратное ~ ~ ~р. Далее ~ ~ ~р является отрицанием
~ ~р, ~ ~р — отрицанием ~ р и, наконец, ~ р есть
отрицание р. Отношения между этими пятью высказыва¬
ниями можно наглядно изобразить на таблице истинности:
р
~ р
— р
~~~ р
—~ р
t
f
f
t
t
f
f
t
t
f
Как видно, ~ ~ ~ ~р имеет то же значение истиннос¬
ти, что и р. В соответствии с этим исходное высказывание
может быть просто заменено понятным высказыванием
«идет дождь».
Далее, из таблицы видно, что дважды или четырежды
отрицавшееся высказывание имеет то же значение истин¬
ности, что и соответствующее не отрицавшееся, и что триж¬
ды отрицавшееся высказывание имеет то же значение ис¬
тинности, что и отрицавшееся один раз.
В результате этого мы получаем правило для упроще¬
ния логических выражений:
Если перед логическим выражением или внутри него
48

непосредственно друг за другом следует несколько отри¬
цаний, то их можно попарно вычеркивать до тех пор,
пока не останется одно или ни одного.
Если же между двумя знаками отрицания стоят, на¬
пример, скобки, то для этих знаков отрицания указанное
правило применять нельзя, поскольку они не следуют не¬
посредственно друг за другом. Переход от многократно от¬
рицавшихся высказываний к отрицавшимся один раз или
совсем не отрицавшимся является, хотя и элементарным,
примером того, как в формальной логике оперирование с
мыслями можно заменить оперированием со знаками.
Формулировку отрицания высказываний с помощью
выражения «Неверно, что ...» в естественном языке исполь¬
зуют редко, так как она звучит несколько искусственно.
Обычно ее употребляют тогда, когда хотят подчеркнуть, что
определенное высказывание ложно. Однако, как указыва¬
лось выше, мнение человека не оказывает никакого влияния
на значение истинности высказывания, и высказывание с
отрицанием может быть как истинным, так и ложным.
В специальном языке формальной логики речевой оборот
«Неверно, что ...» укоренился как языковое выражение для
отрицания высказывания, и здесь его всегда следует пони¬
мать именно так. Вместо выражения «Неверно, что бумага
этой книги белая» в естественном языке в большинстве слу¬
чаев употребляется выражение «Бумага этой книги не бе¬
лая». Оба повествовательных предложения фактически
равнозначны, оба высказывания имеют одно и то же значе¬
ние истинности. Во второй формулировке в первую очередь
отрицается не высказывание, а только понятие внутри вы¬
сказывания. Но отрицать понятия можно лишь с помощью
средств логики предикатов, в логике же высказываний
можно отрицать высказывания только целиком, без учета
структуры и составных частей высказываний.
Здесь нужно указать на ошибки, возможные при отри¬
цании высказываний. Если мы отрицаем высказывание
«Бумага всех книг белая» по образцу предыдущего примера,
то получаем высказывание «Бумага всех книг не белая».
Первое высказывание ложно, так как имеются книги, напе¬
чатанные на желтой, розовой и другой бумаге. Если бы вто¬
рое высказывание было отрицанием первого, то оно было бы
истинным. Но оно также ложно, так как говорит, что вооб¬
ще нет книг на белой бумаге. Правильное отрицание пер¬
вого высказывания должно бы гласить «Бумага не всех
книг белая» или «Имеются книги, бумага которых не бе¬
лая».
49

В заключение следует еще указать на то, что нельзя
путать логическое отрицание с диалектическим отрица¬
нием. Различие между ними особенно ясно видно в случае
с двукратным отрицанием. Высказывание, дважды отри¬
цавшееся в логике высказываний, имеет то же значение
истинности, что и соответствующее не отрицавшееся выска¬
зывание, и может быть заменено им. Двукратное диалекти¬
ческое отрицание, отрицание отрицания, как форма разви¬
тия, приводит к тому, что первоначальное качество
в какой-то степени повторяется, но уже на более высоком
уровне.
2.1.5.	КОНЪЮНКЦИЯ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Рассматривавшиеся выше отрицательные и неотрица¬
тельные высказывания отражают объективную связь меж¬
ду предметами природы, общества или мышления. Но дей¬
ствительность есть структура, система объективных связей,
т. е. эти объективные связи существуют не изолированно
друг от друга, а в свою очередь находятся в самых раз¬
нообразных связях друг с другом. Если одна объективная
связь находится в определенной связи с другой, то это об¬
стоятельство находит свое отражение в человеческом соз¬
нании в сложных высказываниях. Формой существования
этих сложных высказываний являются сложносочиненные
повествовательные предложения.
Займемся некоторыми важнейшими видами сложных
высказываний и формами их образования. В рамках логики
высказываний из всех свойств высказываний принимаются
во внимание лишь их значения истинности. Поэтому здесь
нас будет интересовать прежде всего вопрос о том, какая
связь существует между значением истинности сложного
высказывания и значениями истинности тех высказываний,
из которых оно состоит.
Первое из таких сложных высказываний называется
конъюнкцией. Если хотят сказать о сосуществовании двух
определенных объективных связей между предметами, не
давая более точного определения этому сосуществованию,
то делают это с помощью сложносочиненного предложения,
например «р и д», «как р, так и q», «р, но (также) q» и т. д.
Часто отказываются от этих союзов и тогда повествователь¬
ные предложения просто ставят рядом. Сложное высказыва¬
ние, которое говорит о сосуществовании двух объективных
связей между предметами, является, очевидно, истинным,
если фактически существуют объективные связи между
50

предметами, соответствующие обоим простым высказы¬
ваниям. Если же хотя бы одна из них объективно не сущест¬
вует, то они не существуют вместе, и тогда сложное высказы¬
вание, говорящее об их сосуществовании, является лож¬
ным. Например, мы объединяем два высказывания «Социа¬
лизм победит во всем мире» и «Капитализм прекратит свое
существование» в конъюнкцию «Социализм победит во всем
мире, и капитализм прекратит свое существование». Эта
конъюнкция истинна, так как оба высказывания истинны.
Конъюнкция была бы ложной, если бы, по крайней мере,
одно из них было ложным.
Сложное высказывание такого типа обозначается сим¬
волами «рД4»; это выражение читают как «р и р». Мы также
можем изобразить на таблице истинности связь между зна¬
чением истинности конъюнкции p/\q и значениями истин¬
ности р и q. В таблице для конъюнкции нужно учитывать
четыре различные возможности, т. е. четыре различных
распределения значений пропозициональных переменных:
1.	р и q — оба истинны,
2.	р — истинно, q — ложно,
3.	р — ложно, q — истинно,
4.	р и q — оба ложны.
Таблица значений истинности конъюнкции имеет соот¬
ветственно следующий вид:
р
Q
PM
t
t
f
f
t
f
t
f
t
f
f
f
На основании этой таблицы получаем определение конъ¬
юнкции:
Конъюнкция p/\q есть сложное высказывание, которое
истинно тогда и только тогда, когда истинны как р, так и q.
Речевой оборот «тогда и только тогда, когда...» в опреде¬
лении равнозначен обороту «точно тогда, когда...». Оба эти
оборота будут не раз встречаться в дальнейшем. Иначе
говоря, p f\q ложно, если хотя бы одно из двух высказыва¬
ний р, q — ложно.
Часто конъюнктивно соединяются не только два, но три
высказывания и более. Как же устанавливают значение ис¬
51

тинности такого сложного высказывания? Соединительная
связка «конъюнкция» является двухместной, т. е. она всег¬
да соединяет друг с другом только два высказывания. Что¬
бы соединить конъюнктивно три высказывания, мы долж¬
ны, как в математике, использовать скобки и тогда полу¬
чим:
(р Л <7) Л г или р /\ (q Д г).
Сначала мы должны определить, какое значение имеет
конъюнкция, стоящая в скобках. На основе этого значения
истинности и значения истинности переменной третьего
высказывания определяется значение истинности всего вы¬
ражения. Установление значений истинности лучше всего
проводить с помощью таблицы истинности. При этом сле¬
дует принимать во внимание, что каждая из трех перемен¬
ных, имеющихся в конъюнкции, может быть истинной или
ложной. Отсюда возникает восемь различных распределе¬
ний значений переменных:
1.	Все три переменные имеют значение «истинно» (1 на¬
бор значений).
2.	Одна переменная истинна, две другие соответствен¬
но — ложны (3 набора значений).
3.	Две переменные имеют значение «истина», третья
соответственно — «ложь» (3 набора значений).
4.	Все три переменные имеют значение «ложь» (1 набор
значений).
На основании этого записываются значения истинности
в первых трех столбцах таблицы. Значения истинности в ос¬
тальных столбцах получают исходя из определения конъ¬
юнкции. В том случае, если оба высказывания, стоящие в
заглавной строке, истинны, то в соответствующих строках
пишут «/», в противном случае — «/». Из нижеследующей
таблицы истинности можно увидеть, что конъюнкция, сос¬
тоящая из трех высказываний, является истинной тогда и
только тогда, когда все три соединенных высказывания ис¬
тинны. Расположение скобок, очевидно, не играет никакой
роли. Поэтому в конъюнкциях, состоящих более чем из
двух высказываний, скобки можно опускать.
Приведенных примеров таблиц истинности достаточно
для более точного понимания, что такое таблица истиннос¬
ти. Таблица истинности выражения — это таблица, которая
содержит все возможные распределения значений перемен¬
ных, встречающихся в выражении, а также значения истин¬
ности, которые принимает выражение в целом в зависимос¬
ти от распределений значений его переменных. Порядок
52

r
PM
(pM)t\r
qAr
/»Z\ (■
t
t
t
t
t
t
t
t
f
t
f
f
t
f
t
f
f
f
t
f
f
f
f
f
f
t
t
f
f
t
f
t
f
f
f
f
f
f
t
f
f
f
f
f
f
f
f
f
t
f
f
f
значений переменных во входных столбцах таблицы опре¬
деляет значение истинности всего выражения. Поэтому ус¬
ловием сохранения одним и тем же выражением в различ¬
ных таблицах одного и того же порядка значений истин¬
ности по строкам является единая последовательность на¬
боров значений во входных столбцах.
Для определения порядка значения истинности по стро¬
кам таблицы сложного выражения сначала надо, как в
последнем примере, выяснить порядок значения истинности
по строкам таблицы его составных частей. Например, поря¬
док значения истинности выражения (рЛ~?)Л (~ГЛ$)
зависит от порядка значения истинности (p/\~q) и от (~г Д
s). Порядок значения истинности по строкам таблицы (рД
~q) снова зависит от порядка значения истинности р и
Использованной до сих пор символики уже достаточно
для изображения одного важного закона логики высказы¬
ваний, мы имеем в виду предложение о недопустимости про¬
тиворечия:
~ (р Л ~ Р).
Это предложение говорит о том, что конъюнкция выска-
зывания с его отрицанием всегда ложна. Составим таблицу
истинности этого предложения:
p
1 ~ p
p/\~p
t
f
f
t
f
t
f
t
Два первых столбца таблицы истинности уже известны
из раздела об отрицании. Третий столбец строится в соот-
63

ветствии с определением конъюнкции; если из двух конъ-
юнктивно соединенных высказываний одно ложное, то все
сложное высказывание ложно. То, что было сказано об от¬
рицании, справедливо для любого сложного высказывания,
если оно отрицается в целом, как это имеет место в начале
заглавной строки четвертого столбца.
Невозможно, как говорил Аристотель, «чтобы одно и то
же в одно и то же время было и не было присуще одному и
тому же в одном и том же отношении» х, поэтому не могут
быть вместе истинными два логически противоречащих
друг другу высказывания.
Предложение о недопустимости противоречия служит
косвенным критерием истинности. На основании этого пред¬
ложения о сложных высказываниях, в которых конъюнк-
тивно соединены высказывание и его отрицание, сразу мож¬
но сказать, что они ложны, не проверяя их непосредствен¬
но на практике. Такие противоречия часто трудно распоз¬
нать, потому что высказывание р выступает в языковой
формулировке, отличной от формулировки его отрица¬
ния ~ р. Таким образом, чтобы суметь обнаружить такие
логические противоречия, надо овладеть определенными
правилами преобразования, с которыми мы познакомимся
в логике предикатов, и, кроме того, надо располагать до¬
статочными знаниями в соответствующей области науки.
И здесь практика — главный критерий истинности, так как
само предложение о недопустимости противоречия было по¬
лучено только на основе данных об объективной реальности
и в практике человечества оно миллиарды раз доказало
свою истинность.
Как и в случае отрицания, нельзя путать логическое
противоречие между высказыванием р и его отрицанием
~р с диалектическим противоречием. В то время как логи¬
ческое противоречие вообще не существует в объективной
реальности, диалектическое противоречие является движу¬
щей силой развитие, играет в нем решающую роль. Если
стороны диалектического противоречия обусловливают
друг друга, то стороны логического противоречия исклю¬
чают друг друга.
В третьем столбце таблицы истинности предложения о
недопустимости противоречия стоит только значение «ложь»,
в четвертом столбце — только значение «истина». Это значит:
сложное высказывание типа ложно независимо от
1 Аристотель» Сочинения, т, 1, с, 250.
54

того, означает р истинное или ложное высказывание; <vi<
ное высказывание типа ~ (р/\~р) истинно независимо <и
того, означает р истинное или ложное высказывание. Bi.ip.i
жение первого вида является противоречием (контраднкцп
ей), высказывание второго вида — законом. Точное онреде
ление этого и других видов выражений логики высказыва¬
ний приводится в разделе 2.1.8.
2.1.6. ДИЗЪЮНКЦИЯ, РАЗДЕЛИТЕЛЬНАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ
И ИСКЛЮЧЕНИЕ
Если во вводной главе было сказано, что многие слова
естественного языка многозначны, то это касалось не только
существительных, но и союзов. К ним относится рассматри¬
ваемое здесь слово «или». Формальная логика раскрывает
подобные многозначности и создает средства, с помощью ко¬
торых их можно избежать.
Сложные высказывания, сформулированные с помощью
союза «или», отражают существование различных возмож¬
ностей. Сложное высказывание «Производительность труда
на нашем предприятии повышается за счет улучшения тру¬
довой дисциплины или за счет лучшей организации труда»
отражает наличие разных возможностей повышения произ¬
водительности труда. Это сложное высказывание истинно,
если одна из двух указанных возможностей осуществляет^
ся в действительности. Но оно будет истинным и тогда, ког¬
да производительность труда повышается и за счет улучше¬
ния трудовой дисциплины, и за счет лучшей организации
труда, т. е. если реализуются обе возможности. Сложное
высказывание будет ложным, если не реализуется ни одна
из них.
Таким образом, сложные высказывания, полученные с
помощью союза «или», могут свидетельствовать о том, что
из указанных возможностей реализуется, по крайней мере,
одна. Они называются «дизъюнктивными». Дизъюнкция,
состоящая из высказываний р и q, выражается в символи¬
ческой форме «p\fq» и читается как «р или q». В научной ли¬
тературе иногда встречается формулировка «р или/и
или «р или (также) р». Это означает, что это сложное выска¬
зывание будет истинным и тогда, когда оба элементарных
высказывания вместе являются истинными.
На основе наших примеров составим таблицу истин¬
ности дизъюнкции:
55

pvq
t
t
t
t
t
А теперь дадим определение: дизъюнкция ру q— это
сложное высказывание, которое истинно тогда и только
тогда, когда, по крайней мере, одно из высказываний р, q
является истинным.
Это определение дизъюнкции не является единственно
возможным. Дизъюнкцию можно определить еще и так:
Дизъюнкция p\/q — это сложное высказывание, кото¬
рое является ложным тогда и только тогда, когда как р,
так и q ложны.
Дизъюнкция строится, чтобы показать, что из различных
возможностей реализуется, по крайней мере, одна. Но
иногда нужно показать, что из двух различных возможнос¬
тей только одна реализуется в действительности и что осу¬
ществление одной из возможностей исключает осуществле¬
ние другой. В данном случае часто употребляют формули¬
ровку «либо «р, либо р». Примером может служить сложное
высказывание «Государства с различным общественным стро¬
ем либо мирно сосуществуют, либо находятся в состоянии
войны». Такое сложное высказывание является строгой,
разделительной дизъюнкцией. Строгая дизъюнкция явля¬
ется истинной, если высказывания, из которых она состо¬
ит, имеют противоположные значения истинности, т. е.
одно высказывание истинно, другое ложно. Высказывание
о том, что из двух определенных возможностей реализует¬
ся одна и только одна, конечно, ложно в случае, если реа¬
лизуются они обе или если не реализуется ни та, ни дру¬
гая. Введя символическое обозначение для строгой дизъюнк¬
ции, состоящей из высказываний р nq, «р^/q» (читается, как
«либо р, либо q»)t можно построить таблицу истинности:
t
t
t
t
56

В соответствии с этим дадим определение:
Разделительная дизъюнкция p'tyq — это сложное вы¬
сказывание истинное тогда и только тогда, когда выска¬
зывания р, q имеют различные значения истинности.
Разделительная дизъюнкция может быть использована
и в том случае, когда известно, что из двух исключающих
друг друга положений дел существует одно, но неизвестно
какое.
В разделительной дизъюнкции «или» называют также
«исключающим или», в простой же дизъюнкции «или» яв¬
ляется соединительным. В дизъюнкции истинность одного
простого высказывания не исключает истинности другого,
а в разделительной дизъюнкции — исключает. Однако это¬
го различия еще недостаточно, так как союз «или» в естест¬
венном языке, хотя и редко, употребляется и в третьем,
тоже исключающем значении.
Возьмем, например, вместо неточного утверждения, что
кто-то является сыном рабочего или крестьянина, сложное
высказывание «Он — сын рабочего, или он — сын крестья¬
нина». Тем самым мы хотим сказать, что он ни в коем слу¬
чае не является и тем и другим, но, по крайней мере, толь¬
ко одним из них. Словами «по крайней мере» мы выражаем
то обстоятельство, что он может не быть ни тем, ни другим.
В отличие от разделительной дизъюнкции наше сложное
высказывание и в этом случае истинно.
Такое сложное высказывание называют исключением
или анти конъюнкцией. Исключение, состоящее из высказы¬
ваний р, q, символически изображается «р|р» и читается
как «р несовместимо eq» или «р и q исключают друг друга».
Таблица истинности p\q имеет такой вид:
р
Q
p\q
t
t
f
f
t
f
t
f
f
t
t
t
Определение гласит:
Исключение (антиконъюнкция) p\q — это сложное вы¬
сказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда,
по крайней мере, одно из высказываний р и q — ложно.
Союз «или» в естественном языке, как и во многих науч¬
ных языках, служит для построения дизъюнкции, раздели¬
57

тельной дизъюнкции и исключения. Нужно различать эти
три вида сложных высказываний, так как это имеет сущест¬
венное значение для ответа на вопрос, реализуется ли
здесь, по крайней мерс, одна из двух различных возмож¬
ностей и только ли одна.
Как можно провести четкое различие? В формальной
логике нужно договориться о подходящем символе или
имени. Но это не решение для несимволических научных
языков и в первую очередь для естественного языка. О по¬
пытках выделить союз «или» как связку дизъюнкции из
числа других уже говорилось. Средства и результаты фор¬
мальной логики здесь могут служить для разделения раз¬
ных значений слова, причем не нужно изобретать новые
слова и речевые обороты. В формальной логике часто поль¬
зуются только связкой дизъюнкции и с помощью других
связок сводят к ней разделительную дизъюнкцию и исклю¬
чение.
Разделительная дизъюнкция p^/q может быть выраже¬
на с помощью связок дизъюнкции, конъюнкции и отрица¬
ния следующим образом:
(р V q) Л ~ (р Л <?)•
Это выражение можно было бы перевести как «р или q
и не (р и q)»r скобки должны пояснить, что отрицание от¬
носится к конъюнкции, а не к одному р; несколько более
свободный перевод гласил бы «р или р, но не оба вместе».
Что (pV?)A~ (рЛ?) означает то же самое, что и p^q,
сразу становится ясным из таблицы истинности:
р
Я
pvq
PM
~(PM>
(pyq)/\~(p/\q)
Р^Я
i
t
t
t
f
f
f
t
f
t
f
t
t
t
f
t
t
f
t
t
t
f
f
f
f
t
f
f
Как видно, значения истинности (pV?)A~ (РА?) и
p^/q совпадают, если совпадают значения истинности р
и q в обоих выражениях. Такие выражения называют выра¬
жениями «с одинаковыми распределениями значений» или
«семантически адекватными». В логических связях, напри¬
мер в умозаключениях, они могут заменять друг друга.
Одинаковые распределения значений имеют также pV
q и (pA~<7)V (~РЛ<7)’ Это становится ясным, если второе
58

<
выражение переводят как «р и не —q, или не —р и р»;
более свободный перевод: «р и не —р, или не —р, но р».
Доказательством их семантической адекватности также
служит таблица истинности.
Исключение p\q имеет одинаковое распределение значе¬
ний с дизъюнкцией ~p\/~q. И это мы докажем с помощью
таблицы:
р
Q
~p
~pv~q
p\q
t
t
f
f
f
f
t
f
f
t
t
t
f
t
t
f
t
t
f
f
t
t
i
t
Знание различий между тремя значениями «или» очень
важно для уточнения смысла сложного высказывания, так
как тому, kjo знает три значения «или», не достаточно мно¬
гозначной формулировки «р или р», необходимо также знать,
исключает ли осуществление одной из возможностей (р)
осуществление другой (р) или нет, должна ли одна из двух
обязательно осуществиться, или может случиться, что не
реализуется ни одна из них.
В заключение рассмотрим еще один важный закон:
р\/ ~Р>
В логике высказываний он называется законом исклю¬
ченного третьего и тоже был установлен Аристотелем.
p
~p
PV~P
t
t
f
t
t
t
Это значит, что из двух противоречащих высказываний
оба не могут быть ложными.
Предложение об исключенном третьем следует также из
данных об объективной реальности, оно отражает тот факт,
что некоторая объективная связь между явлениями дей¬
ствительности либо существует, либо нет. Закон исклю¬
ченного третьего сохраняет силу только для абсолютно ис¬
тинных и абсолютно ложных высказываний или когда со¬
ответствующие высказывания можно рассматривать, по
59

крайней мере, в данном отношении как абсолютно истинные
или абсолютно ложные. Так как относительно истинные
высказывания одновременно являются и относительно лож¬
ными, то закон исключенного третьего к ним не применим.
Кроме них имеются абсолютно истинное и абсолютно лож¬
ное высказывания о рассмотренном объективном отношении
между предметами.
2.1.7. ИМПЛИКАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ИМПЛИКАЦИЯ,
ЭКВИВАЛЕНЦИЯ
К многозначным союзам естественного языка наряду с
«или» относится также союз «если, то». В грамматике он
причисляется к условным союзам. С помощью этого союза
часто выражают то, что одно явление является условием
для другого. Существует три вида условий: 1) достаточные
2) необходимые и 3) достаточные и необходимые.
Чтобы правильно применять их в науке, важно на¬
учиться их точно различать. Из сложноподчиненных пред¬
ложений, образованных с помощью союза «если, то», часто
нельзя понять однозначно, какой вид условия здесь имеется
в виду. Проблема еще более усложняется тем, что с помощью
союза «если, то» не всегда передаются условные связи. Рас¬
смотрим логическую структуру трех видов условной свя¬
зи и соответственно три разных вида сложных высказыва¬
ний, которые могут быть сформулированы с помощью «ес¬
ли, то».
Первый вид такого сложного высказывания называет¬
ся «импликацией». Символическим изображением импли¬
кации, состоящей из р, q, будет «р-*- р»; на языке формаль¬
ной логики говорят: «р включает р», «всегда, если р, то q»
или просто «если р, то q». То, что в импликации стоит слева
от стрелки, называют «антецедентом», а то, что стоит спра¬
ва,— «консеквентом» импликации. Антецедентом импли¬
кации р -> q является р, а консеквентом q.
Импликация p-+q говорит об определенной связи днух
объективных явлений, а именно: если имеет место явление,
выраженное р, то имеет место и явление, выраженное q.
Но это еще ничего не говорит о том, существует ли хотя бы
одно из этих явлений. Сложному высказыванию p-+q про¬
тиворечит только тот случай, когда существует явление дей¬
ствительности р, а явления q не существует. В этом и толь¬
ко в этом случае p-+q ложно. На основе этих рассуждений
строится таблица истинности:
60

р
Q
p—+q
t
1
f
f
t
f
i
i
t
f
t
t
Определение гласит:
Импликация p-+q — это сложное высказывание, ко¬
торое ложно тогда и только тогда, когда его антецедент р
истинен, а его консеквент q ложен.
Из таблицы истинности и из определения импликации
вытекает, что перестановка ее членов может привести к из¬
менению таблицы истинности сложного высказывания. При
конъюнкциях, дизъюнкциях, разделительных дизъюнкци¬
ях и исключениях такой опасности нет. Для них, так же
как для сложения и умножения, имеет место закон коммута¬
тивности, а для импликации, как для вычитания и деле¬
ния, закон коммутативности теряет силу.
Следующий пример может помочь лучше понять смысл
импликации. Перед экзаменом экзаменатор составляет
сложное высказывание: «Если экзаменуемый подготовился
добросовестно, то он сдаст экзамен». Если экзаменуемый
хорошо подготовлен и сдаст экзамен, то сложное высказы¬
вание истинно. Если же экзаменуемый не сдаст экзамен,
хотя он хорошо подготовлен, то сложное высказывание,
очевидно, ложно. В противоположность мнению экзамена¬
тора добросовестной подготовки для сдачи экзамена недо¬
статочно. В данном случае экзаменатор не учел каких-
либо других условий, необходимых для сдачи экзамена.
Если же экзаменуемый сдаст свой экзамен, не подготавли¬
ваясь основательно, то это сложное высказывание будет
снова истинным. Если экзаменуемый не подготовился до¬
бросовестно и не сдал экзамен, то это сложное высказывание
также истинно. Антецедент нашего сложного высказывания
(р) отражает объективное положение дел, наличие которого
является достаточным условием для существования явле¬
ния, выраженного в консеквенте (д). Всегда, когда имеет
место явление, соответствующее р, имеет место и явле¬
ние, соответствующее q. Иными словами: не может быть,
чтобы существовало явление, соответствующее р, а явле¬
ния, соответствующего q, не существовало. Все другие слу¬
чаи возможны.
Последняя формулировка свидетельствует о том, что
61

p~+q утверждает то же, чтои~(рД~^), и что порядок зна¬
чений истинности обоих выражений одинаков, что можно
показать на таблице:
р
Я
~Я
pA~q
~(pA~q)
Р—+Я
t
t
f
/
t
t
1
f
t
t
f
f
f
t
f
f
t
t
f
f
t
f
t
t
Наш пример импликации отражает связь между достаточ¬
ным условием и его следствием, но импликация не всегда
отражает именно эту связь.
Например, сложное высказывание «Если идет дождь, то
на улице сыро» отражает причинную связь, т. е. связь
между причиной и действием. Однако по своей логической
структуре эта связь является импликацией, как и первая.
Дружеский упрек «Всегда, когда я хочу тебя навестить, те¬
бя нет дома» тоже имеет структуру импликации, хотя пер¬
вое высказывание не является условием для второго, не
говоря уже о причине. В связи с этим мы хотим еще раз
напомнить, что формальная логика занимается только об¬
щими структурами правильного мышления. В формальной
логике сложные высказывания различаются только тогда,
когда они различны по своим логическим структурам, чего
нет в наших трех примерах. Затем мы хотим еще раз на¬
помнить, что в логике высказываний, которой мы сейчас
занимаемся, из всех свойств высказываний мы принимаем
во внимание только их значения истинности и что мы иссле¬
дуем связи между простыми высказываниями и состоящими
из них сложными высказываниями только в отношении
связей между их истинностными значениями. Значения,
в которых используются союзы в логике высказываний,
представлены таблицами истинности. Разумеется, ло этой
причине иногда возникают некоторые отклонения от при¬
менения этих союзов в естественном языке, особенно, если
в естественном языке они употребляются многозначно.
В формальной логике импликация, как она здесь опре¬
деляется, имеет особое значение для логического умозаклю¬
чения. В таблицах истинности в скрытой форме содержит¬
ся множество импликаций, каждая таблица истинности
неявно содержит множество сложных высказываний вида:
«Если р имеет значение «истина» и q — значение «истина»,
62

<
то pf\~q имеет значение «ложь». Эти сложные виска.iumi
ния являются импликациями вида (pf\q)-+r, антецедент
которых представляет собой конъюнкцию двух buck азы
ваний. Применяемые в математике высказывания вида
«если р, то ?», «если р, тогда q* и «р есть достаточное условие
для q* также имеют структуру импликации.
Второй вид сложных высказываний, которые, как и
импликации, могут быть сформулированы с помощью «ес¬
ли, то», называется «репликацией» или обратной имплика¬
цией.
Репликация, состоящая из высказываний р, q, читается
как «р реплицирует ср или на естественном языке «только
если р, то </». Символически это изображается как «р+чр.
Обратная импликация также говорит об определенной связи
между двумя явлениями объективной реальности, а именно:
только если существует явление, соответствующее р, то су¬
ществует и явление, соответствующее q. Но это опять ничего
не говорит о том, существует ли хотя бы одно из них. Про¬
тиворечащим такому высказыванию будет высказывание,
что существует явление, соответствующее р, но не сущест¬
вует соответствующего р. Таким образом, таблица истинно¬
сти репликации имеет вид:
р
q
Р*~Ч
t
i
f
f
t
f
t
f
t
t
f
t
Определение таково:
Репликация p+-q — это сложное высказывание, которое
ложно тогда и только тогда, когда его антецедент ложен,
а его консеквент истинен.
В качестве примера репликации рассмотрим сложное
высказывание: «Только если замкнут контакт, лампочка
горит». Если контакт действительно замкнут, а лампочка
горит, то сложное высказывание истинно. Если контакт
замкнут, а лампочка не горит, то сложное высказывание
также истинно. Не было сказано, что лампочка при назван¬
ных условиях обязательно горит. Поэтому нет причины
рассматривать данное сложное высказывание как ложное.
Наоборот, высказывание будет ложным, если лампочка
63

горит, а контакт разомкнут. Если контакт разомкнут и
лампочка не горит, это опять-таки не противоречит выска¬
зыванию. Оно и в этом случае также истинно. В этом при¬
мере речь идет о связи между необходимым условием и его
следствием. Необходимое условие отличается тем, что его
отсутствие делает невозможным его следствие, т. е. лампоч¬
ка не может гореть, если предварительно был разомкнут
контакт. Но наличия одного лишь необходимого условия
недостаточно, чтобы наступило его следствие. Чтобы лам¬
почка действительно зажглась после замыкания контакта,
должны быть выполнены еще и другие условия: лампочка
должна быть присоединена к источнику тока, подача тока
не должна прерываться. Здесь так же, как и в случае с им¬
пликацией, следует напомнить о том, что формальная ло¬
гика абстрагируется от многих аспектов реальных отноше¬
ний. Связь между необходимым условием и его следствием
всегда отражается в форме репликации. Но не каждая реп¬
ликация отражает такую связь. Употребляемые в матема¬
тике высказывания, как «только если р, roq» и «р является
необходимым условием для q», также имеют структуру реп¬
ликации.
Третий вид рассматриваемых здесь сложных высказы¬
ваний называется «эквиваленцией». Эквиваленция, состоя¬
щая из высказываний р, q, символически изображается
«p<-+qy> и читается как «р только тогда, когда <?» или «р тогда
и только тогда, когда р». Эквиваленция отражает тот факт,
что два определенных явления либо существуют оба, либо
оба не существуют. Так же, как и в конъюнкции, здесь ни¬
чего не говорится о виде и способе совместного существова¬
ния. Употребленную здесь формулировку «вместе (оба) не
существуют» нельзя путать с формулировкой «не вместе»
(не оба) существуют». Первую можно изобразить символи¬
чески ~p/\~q, а вторую~(рД<?); различие между этими
двумя формулировками можно разъяснить посредством
таблицы истинности.
Приводим таблицу истинности и определение эквива-
ленции:
р
я
p^q
t
t
t
t
f
f
f
t
f
f
f
t
64

<
Эквиваленция p^q — это сложное высказывание, ко¬
торое истинно тогда и только тогда, когда высказывания
р, q оба имеют одинаковые значения истинности.
Для разъяснения приведем пример, который мы уже один
раз приводили. Предположим, что экзаменатор говорит:
«Экзаменуемый сдаст экзамен тогда и только тогда, когда
он добросовестно подготовится». Это сложное высказывание
истинно, если оба высказывания сбываются или оба не сбы¬
ваются. Если же экзаменуемый сдаст экзамен без основа¬
тельной подготовки, то сложное высказывание ложно.
Оно и тогда будет ложным, если экзаменуемый подготовил¬
ся хорошо, а на экзамене провалился. Экзаменатор мог бы
сформулировать свои мысли и таким образом: «(Экзаменуе¬
мый сдаст экзамен, и он добросовестно подготовился) или
(неверно, что он сдаст экзамен, и неверно, что он добросо¬
вестно подготовился)». Чтобы пояснить логическую струк¬
туру этого сложного высказывания, мы вопреки всем тра¬
дициям поставили здесь в разговорном тексте скобки. То,
что оба сложных высказывания экзаменатора говорят об
одном и том же, можно доказать с помощью таблицы истин¬
ности.
Если мы до сих пор отдельно рассматривали имплика¬
цию, репликацию и эквиваленцию, то теперь займемся их
связью. Сначала обратимся только к импликации и репли¬
кации и посмотрим, что получится; если мы поменяем мес¬
тами антецедент и консеквент.
р
<1
P
q—^p
P^—Q
P
t
t
f
f
t
f
t
t
i
f
i
t
t
t
f
t
t
t
f
t
t
f
t
t
Мы можем констатировать:
p-+q и q+-р имеют одинаковый порядок значений
истинности;
p-w? и q~+p имеют одинаковый порядок значений истин¬
ности.
Таким образом, импликацию можно превратить в реп¬
ликацию с таким же порядком значений истинности, меняя
местами ее члены и поворачивая стрелку в противополож¬
ном направлении. Это еще один пример того, как при ис¬
пользовании законов и правил формальной логики мыслен¬
3 № 743
65

ные операции можно заменить операциями со знаками. Этот
способ можно применять и для сложных высказываний,
сформулированных на естественном языке, конечно, при
условии достаточной точности и однозначности формули¬
ровок. Например, можно заменить формулировку такого
вида: «всегда если /?, то д» формулировкой «только если q,
то р». В естественном языке иногда встречаются репликации
и импликации в сокращенной форме. Принцип марксистс¬
ко-ленинских партий «Без революционной теории нет ре¬
волюционной практики!» является такой репликацией в
сокращенной форме. В более развернутой форме это звучит
так: «Только овладев революционной теорией, можно до¬
биться успеха в революционной практике!». В виде сокра¬
щенной импликации этот принцип гласил бы: «Никакой
революционной практики без революционной теории!».
Как символические обозначения импликации и репли¬
кации указывают на способ их связи между собой, так и
двойная стрелка указывает на связь эквиваленции с импли¬
кацией и репликацией. Эту двойную стрелку можно предста¬
вить как состоящую из двух стрелок, показывающих раз¬
личные направления. В самом деле, p<r->q и (/?-> q)/\(p +-q)
имеют одинаковый порядок значений истинности:
р
Q
1 p—+q
p+—q
(p—*q)/\ (p+— q)
p^q
t
l
t
t
t
t
t
f
f
t
i
f
f
t
t
f
f
f
f
f
t
t
t
t
Мы уже говорили, что импликация может выражать
связь между достаточным условием и его следствием, а реп¬
ликация — связь между необходимым условием и его след¬
ствием. Если р отражает достаточное условие некоторого
явления, соответствующего т. е. если р -+q истинно, и
если р одновременно отражает необходимое условие явле¬
ния, соответствующего т. е. если p+-q также истинно,
тогда явление, соответствующее р, является достаточным и
необходимым условием явления, соответствующего q. На¬
пример, прохождение тока (определенного вида и силы) по
раскаленной проволоке лампы накаливания является до¬
статочным и необходимым условием для свечения этой лам¬
пы. Поскольку лампочка горит всегда, когда проходит
ток,— это условие достаточное. Поскольку лампочка горит
66

<
lojibKo тогда, когда проходит ток,— это условие необхо¬
димое.
Из высказывания вида «если р, то <?», сформулирован¬
ного на естественном языке, часто нельзя понять, является
ли оно по своей структуре импликацией, репликацией или
’■жвиваленцией. Иногда этот вопрос можно решить на ос¬
новании контекста. Но если это и не удастся, все равно по¬
пытка такого уточнения полезна. Как и в случае с тремя
значениями союза «или», здесь надо стремиться к однознач¬
ной формулировке своих мыслей.
2.1.8. ЗАКОНЫ И ПРАВИЛА ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Из рассмотренных выше выражений логики высказы¬
ваний некоторые мы назвали законами. По сравнению с
другими выражениями они обладают особым значением для
человеческого мышления. Как же можно отличить законы
логики высказываний от остальных выражений? Какие дру¬
гие виды выражений логики высказываний существуют?
Имеется три принципиально различных вида выраже¬
ний логики высказываний, для которых мы приведем сле¬
дующие примеры:
(р V ~<7) V (~р А <?),
(р V ~ q) А Р Л q),
(pV~q)—>(~pAq).
Чем они отличаются друг от друга, увидим из таблицы)
р
~p
pv~q
~pAq
(pV~q)V
\/(~PAq)
(pV~q)A
M~PM)
(py~q)-+
—> (~pAq)
1
1
f
f
i
f
t
t
f
t
f
1
I
i
f
i
f
1
/
t
t
f
f
i
t
f
t
1
f
t
t
i
1
t
f
f
Выражение (pV~?)V(~рЛ<7) при любом распределе- .
нни значений встречающихся в нем пропозициональных
переменных принимает значение «истина». В этом оно сов¬
падает, например, с предложением о недопустимости про-
1нворечия и с предложением об исключенном третьем, т. е.
< законами логики высказываний. Выражение (p\/~q)/\
Л (^PAQ) всегда принимает значение «ложь». В качестве
другого выражения такого вида мы уже познакомились с
pf\~p, с логическим противоречием. Выражение (pV~<7)->
G7

-+(~p/\q) и большинство других выражений рассмотренных
выше не является при всех наборах значений истинности
ни истинным, ни ложным. Для этих выражений, называе¬
мых нейтральными, общим является то, что они, по крайней
мере, при одном наборе значений, но не при всех, принима¬
ют значение «истина».
Таким образом, в логике высказываний есть три вида
выражений:
1.	Законы логики высказываний или общезначимые
выражения — это выражения логики высказываний, ко¬
торые при каждом наборе значений встречающихся в них
пропозициональных переменных принимают значение «ис¬
тина» .
2.	Противоречия — это выражения логики высказы¬
ваний, которые при любом наборе значений своих пропози¬
циональных переменных принимают значение «ложь».
3.	Нейтральные высказывания — это выражения, ло¬
гики высказываний, которые, по крайней мере, при одном
наборе значений встречающихся в них пропозициональных
переменных принимают значение «истина» и, по крайней
мере, при одном таком наборе — значение «ложь».
Каждое выражение логики высказываний принадлежит
к одному и только к одному из этих трех видов. Все выраже¬
ния логики высказываний, не являющиеся противоречия¬
ми,— это выполнимые выражения.
Таким образом, выполнимыми выражениями являются
такие, которые, по крайней мере, при одном распределении
значений истинности встречающихся в них пропозицио¬
нальных переменных принимают значение «истина».
Соотношение между этими видами выражений можно
наглядно пояснить на схеме:
законы
нейтральные
выражения
противоречия
выполнимые выражения
Стоит подумать над тем, почему законы имеют большее
значение для мышления, чем другие выражения. Если мы
о каком-то определенном выражении скажем, что оно при
каждом наборе значений принимает значение «истина»,
то это будет лишь сокращенный способ выражения того, что
каждое сложное высказывание, соответствующее этому
выражению, истинно независимо от того, какие конкретные
высказывания соединены в нем и какое значение истинности
68

они имеют. Иначе^говоря: каждое сложное высказывание,
логическая структура которого передается общезначимым
выражением, истинно. Речь идет пе о том, какие высказыва¬
ния соединены, а о том, как они соединены. Отсюда выте¬
кают два следствия.
Во-первых, из каждого закона логики высказываний
можно получить истинные высказывания. Для этого про¬
позициональные переменные заменяют конкретными по¬
вествовательными предложениями, а связки соответствую¬
щими союзами. Встречающиеся несколько раз пропозици¬
ональные переменные следует заменять одними и теми же
предложениями с одними и теми же значениями. Тогда
значение получившегося таким образом сложного предло¬
жения будет истинным сложным высказыванием. Из pV
\J ~р получают, например, истинное сложное высказывание
«Идет дождь или неверно, что идет дождь». Выражение pV
V~p общезначимо, каждое сложное высказывание такой
структуры истинно независимо от того, означает ли взятое
вместо р повествовательное предложение истинное или
ложное высказывание, а также независимо от того, какое
из них истинно, а какое ложно.
Во-вторых, многие сложные высказывания можно иссле¬
довать с помощью исключительно логических средств и
установить, истинны ли они. С этой целью нужно выразить
подлежащие исследованию сложные высказывания в сим¬
волической форме, т. е. заменить повествовательные пред¬
ложения с одними и теми же значениями одинаковыми про¬
позициональными переменными, повествовательные пред¬
ложения с различными значениями заменить разными про¬
позициональными переменными, а союзы — соответствую¬
щими логическими связками. Если по таблице истинности
установлено, что получившееся таким образом выражение
общезначимо, то можно сделать вывод, что исходное слож¬
ное высказывание, а также и любое другое, имеющее ту же
логическую структуру, истинно.
Если же выражение является противоречивым, то все
сложные высказывания, структуру которых оно передает,
ложны. Примером такого выражения является рЛ~Р-
(ложные высказывания, структура которых передается ней¬
тральными высказываниями, могут быть истинными, а могут
быть и ложными. Это значит, что их значение истинности не
может быть определено таким способом. По таблице это мож¬
но определить только в том случае, если известны значения
истинности простых высказываний, из которых состоит это
сложное высказывание. Если же они неизвестны, то можно
69

попытаться сделать вывод об этом сложном высказывл-
ним на основании других уже известных истинных вы¬
сказываний. К этим вопросам мы еще вернемся в разде¬
ле 2.2.1.
С помощью таблиц истинности относительно любого вы¬
ражения логики высказываний можно установить, являет¬
ся ли оно законом, нейтральным выражением или противо¬
речием. Чем больше различных пропозициональных пере¬
менных в выражений, тем больше наборов значений истин¬
ности надо проверить, но этот способ в конце концов всегда
приводит к цели. Способ, с помощью которого относитель¬
но любого выражения можно решить, к какому виду
выражений оно относится, называют «разрешающей про¬
цедурой». Проблема разрешения состоит в том, чтобы
указать такой способ. Для области логики высказываний
этот способ состоит в построении таблиц истинности. Дру¬
гая «разрешающая процедура» для выражений логики вы¬
сказываний состоит в том, что выражение, относительно
которого нужно решить, к какому типу оно принадлежит,
преобразуется в одну из его так называемых нормальных
форм, по которой можно непосредственно установить, яв¬
ляется ли выражение общезначимым или не общезначи¬
мым, выполнимо оно или не выполнимо. Этот способ мы опи¬
шем в разделе 2.1.8*, но уже здесь кратко упомянем о
правилах, по которым выражения приводятся к нормаль¬
ным формам. Выражение в нормальной форме может содер¬
жать только отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию, т. е.
все остальные константы должны быть сведены к назван¬
ным трем.
Сначала рассмотрим преобразование импликации в
дизъюнкцию. Импликация р-^q может быть преобразова¬
на в дизъюнкцию ~p\/qt так как обе имеют одинаковый
порядок значений истинности, что видно из таблицы:
р
Q
~p
P—Q
t
t
t
t
t
t
f
f
f
f
f
I
i
i
t
f
f
t
t
t
Имеется целый ряд различных импликаций, например
и т. д. Надо ли запоми¬
нать для каждой из них в отдельности, какая дизъюнкция
70

rh равнозначна? Нет, достаточно знать общее правило, ко¬
нчин* можно получить на основе наших примеров. По это¬
му нрнннлу любую импликацию можно превратить в ди-
H.MIIIKIUIIO.
Оба выражения нашего примера поместим друг под
кругом и чисто формально опишем, как можно получить
торос выражение из первого:
P — Q
I
~pV q
1.	p — антецедент импликации заменяется своим отри-
нднием.
2.	Константа -> импликации заменяется константой V
дли дизъюнкции.
3.	q — консеквент импликации берется без изменения.
Решающим для тождества значений истинности обоих
выражений является то, что первый член дизъюнкции име-
14 значения истинности, обратные значениям истинности
первого члена импликации, и что значения истинности вто¬
рых членов этих выражений совпадают. Конкретная фор¬
ма членов выражений не играет никакой роли, безразлич¬
но, состоят ли они из одной пропозициональной переменной
нлн ее отрицания, из конъюнкции двух пропозициональ¬
ных переменных и т. д. В результате обобщения мы полу¬
чаем правило преобразования:
Импликация преобразуется в дизъюнкцию с таким же
порядком значений истинности, если ее антецедент отри¬
цается, константа импликации заменяется константой
дизъюнкции, а консеквент берется без изменения.
В соответствии с этим допустимы, например, следующие
преобразования:
р ~q
~р-+ ~q
~(.p — q)
(PM)
i —► r
1
~pV~q
~~p\f~q
1
~(~PV<7)
~(рм
l)vr
Мы не будем приводить таблицы истинности для каждой
икры выражений, но читателю в виде упражнения реко¬
мендуем сделать это.
71

Если при таких преобразованиях возникают выражения
отрицающиеся несколько раз, то их можно упростить в со¬
ответствии с правилами (в 2.1.4). Тогда ~~p\f ~q упроща¬
ется до p\/~q. В ~(~p\/q) знаки отрицания не должны
опускаться, так как они относятся к различным высказы¬
ваниям, а именно первый знак отрицания относится ко все¬
му выражению в скобках, а второй — только к р.
Преобразовать любую дизъюнкцию в импликацию с та¬
ким же порядком значений истинности так же просто, как
и выполнить обратное преобразование. Для этого можно
использовать следующее правило:
Дизъюнкция преобразуется в импликацию с таким же
порядком значений истинности, если ее первый член от¬
рицается, константа дизъюнкции заменяется константой
импликации, а ее второй член берется без изменения.
В соответствии с этим допустимы, например, следующие
преобразования:
Р'
Vq
p\f-q
^)vr
~р
—*q
~p—~q
? —* q)
~~(p/
~(p-
~*q)
(рлд}
1 —
Правда, это правило применяется реже, чем предыду¬
щее, но его используют для некоторых преобразований в
логике предикатов.
Согласно сказанному в разделе 2.1.7 обратную импли¬
кацию (репликацию) можно преобразовать в импликацию
с таким же порядком значений истинности, поменяв местами
антецедент и консеквент и заменив стрелку репликации
стрелкой импликации. Таким образом, каждая репликация
через импликацию может быть преобразована в дизъюнк¬
цию.
О возможности сведения эквиваленции к импликации
уже говорилось в разделе 2.1.7, указания по преобразова¬
нию разделительной дизъюнкции и исключения находятся
в разделе 2.1.6.
Без дальнейших обоснований мы приводим еще два пра¬
вила для преобразования конъюнкции в дизъюнкцию с та¬
ким же порядком значений истинности и наоборот:
72

t
Конъюнкция преобразует-
i н и дизъюнкцию с таким
же порядком значений
нс Iинности, если:
I)	оба члена заменяются
их отрицаниями.
У) Л заменяется V и
,1) отрицается все выраже¬
ние.
(^ответственно
Р /\~q
преобразуется в
~(~Р V ~~<7)
и в конечном итоге упро¬
щается в
~ (~ р v q)
Дизъюнкция преобразует¬
ся в конъюнкцию с таким
же порядком значений
истинности, если:
1)	оба члена заменяются
их отрицаниями,
2)	V заменяется Л и
3)	отрицается все выраже¬
ние.
~ (~р V~q)
р /\q
По своей природе эти правила — чисто синтаксические,
они касаются исключительно знаков, но не их значения.
Рассмотренные здесь правила служат для преобразования
приведенных выражений логики высказываний в другие,
имеющие такой же порядок значений истинности, иными
словами, в семантически эквивалентные выражения. До
сих пор мы не использовали этот термин, чтобы не спутать
его с термином «эквиваленция», что привело бы к смешению
различных ступеней языка. Эквиваленции — это выражения
объектного языка, с помощью которых можно высказать
нечто об объективной реальности. Термины «одинаковый
порядок значений истинности» и «семантически эквива¬
лентный» являются выражениями метаязыка и исполь¬
зуются для обозначения отношений между выражениями.
Однако здесь существует не только различие, но и связь,
которая может быть полезной, например, для умозаключе¬
ния. На основании примера сформулируем эту связь в об¬
щем виде:
р
q
~p
p—+q
~РЧЯ
(P ~* q)<r+(~p\/q)
t
t
f
t
t
t
t
f
f
f
f
t
f
t
t
t
t
t
f
f
t
t
t
t
73

Из таблицы истинности видно следующее:
1.	Выражения p-+q и ~p\/q семантически эквивалент¬
ны.
2.	Эквиваленция (р-*ч?)4-»(~р\/<7) общезначима.
Эквиваленция истинна только тогда, когда значения
истинности ее членов совпадают. Если значения истинности
членов эквивалента совпадают при любом наборе значений
переменных, т. е. если они семантически эквивалентны,
то эквиваленция будет истинной также при любом наборе
значений, т. е. будет общезначимой. Если эквиваленция
общезначима, то ее члены должны совпадать в своих значе¬
ниях истинности при любом наборе значений, т. е. должны
быть семантически эквивалентны. Таким образом:
Два выражения семантически эквивалентны только
тогда, когда образованная из них эквиваленция общезна¬
чима.
В завершение сформулируем важное правило логики
высказываний, которое мы неявно уже использовали при
введении и обосновании различных правил преобразо¬
вания, правило подстановки. Оно гласит:
В общезначимом выражении логики высказываний вме¬
сто любой пропозициональной переменной можно подста¬
вить любое выражение при условии, что это осуществля¬
ется для всех вхождений этой переменной.
Каждое выражение, полученное из общезначимого вы¬
ражения в результате правильного применения правила
подстановки, является общезначимым. Если в общезначи¬
мом выражении q)<-+	p\/q) вместо переменной р под¬
ставляют выражение (p/\q), то получают общезначимое
выражение ((рЛ~ (PA^)V?)- Если же подстанов¬
ку производят не во всех местах, то нет гарантии, что по¬
лучится общезначимое выражение. Выражение (ip/\q)-+
-+q)<-> pV q), получающееся в результате такой непра¬
вильной подстановки, не является общезначимым. Среди
различных видов логических выражений общезначимые
выражения занимают особое место. Поэтому всегда ищут
но возможности легкие способы, по которым можно устано¬
вить, принадлежит ли данное выражение к этому виду или
нет. Легко определить, является ли обозначимой импли¬
кация. При этом пользуются методом от противного.
Предполагают, что подлежащая исследованию имплика¬
ция не общезначима. Тогда можно найти, по крайней мере,
один набор значений ее пропозициональных переменных,
при которых эта импликация ложна. Такой набор значений
может быть найден при предположении, что антецедент им-
74

>
пликации истинен, а ее консеквент ложен. Если можно
найти такой набор значений, то импликация не будет обще¬
значимой. Если же такого набора значений не существует,
то импликация общезначима.
Пусть мы исследуем импликацию
Р -* (7	Р)-
Набор значений истинности, при котором она ложна,
можно найти, предположив, что ее антецедент р истинен, а
ее консеквент (q-+p) ложен. Консеквент сам является им¬
пликацией, которая будет ложной только тогда, когда ее
антецедент q — истинен, а консеквент р — ложен. Одна
и та же пропозициональная переменная, а именно р, в
одном и том же выражении, при одном и том же наборе зна¬
чений не может быть в одном месте истинной, а в другом
ложной. Таким образом, не существует такого набора зна¬
чений истинности, при котором исследуемая импликация
является ложной, следовательно, она — общезначима.
Другой результат получается для выражения
(р -> q) -+р.
Оно ложно, если (p-+q) истинно, а р ложно. Предполо¬
жим, что консеквент р ложен, тогда для р в антецеденте мы
должны сделать такое же предположение. Тем самым задаг-
ется истинность антецедента q)> так как он представля¬
ет собой импликацию с ложным антецедентом (р) и, следо¬
вательно, является истинным независимо от значения ис¬
тинности ее консеквента (q). Следовательно, выражение
(р -> q) р не является общезначимым.
Этот способ можно использовать и для исследования
выражения, не являющегося импликацией, например:
(р Л q) V q V ~ PY
Сначала преобразуем это выражение в импликацию:
~ (р Д q) (~ q V ~ р)
~ {р л q) — (q —~ р)
~ ~(~ р v - q) — (q — - Р)
(р-+ ~q)-+ (q-+~ р).
Предположим, что консеквент всей импликации ложен,
т. е. q истинно, а ~ /7 ложно. Тогда в антецеденте р должно
быть истинным, а ~ g ложным. Таким образом, сам антеце¬
дент ~ q) ложен. Следовательно, не существует набора
значений истинности, при котором все выражение ложно.
75

Если надо исследовать эквивалентно, то ее преобразуют
в две импликации, которые проверяют отдельно. Исследу¬
ем эквивалентно
(р Л <?)<-►(Р — <?)•
Сначала исследуем импликацию
(р Л <?) — (р — ?)•
Допустим, что консеквент	ложен, поэтому р
истинно, a q ложно. Из-за ложности q антецедент ложен.
Следовательно, это выражение общезначимо. Рассмотрим
импликацию
(р — Я) — (р л я)-
Здесь имеется три набора значений истинности, при кото¬
рых консеквент ложен. Среди них есть один набор значений,
когда антецедент также ложен (если р истинно, a q ложно).
Однако это еще не говорит о том, что выражение общезна¬
чимо, потому что существуют два других набора значений,
при которых все выражение ложно: 1) когда р ложно, a q
истинно, 2) когда р и q оба ложны. Исследованная эквива¬
ленция была бы общезначимой, если бы обе импликации
были общезначимы. Фактически же только первая имплика¬
ция является общезначимой.
В заключение рассмотрим еще одно выражение:
[(Р — Я) Л (Г -* S)] — Г(р л г) — (q Л «)].
Это выражение будет ложным только тогда, когда [(/?-><?) А
Д(г->-$)1 будет истинно, a [(pAr)->(<?As)l ложно. Последнее
выражение будет ложным только тогда, когда (р/\г) ис¬
тинно, a (q/\s) ложно. Предположим, что (р/\г) истинно, и
тем самым истинны риг. Эти же значения они имеют в ан¬
тецеденте импликации. Затем допустим, что (q/\s) ложно;
таким образом, по крайней мере одна из двух переменных
ложна. Тогда возможны три случая:
1.	q — истинно, s — ложно. Тогда в антецеденте (p-+q)
истинно, но ложно. Конъюнкция, по крайней мере, с
одним ложным членом сама является ложной. Таким обра¬
зом, антецедент ложен, а все выражение истинно.
76

[(Р —■ <7) A (r -» s)] — [(p A r) (7 Д s)]
t<	1
I <	1
t +	1
h	■.	f
f	t
f	f
Схема еще раз показывает, как на основании распределе¬
ния значений в консеквенте эти значения переносятся на
антецедент и все выражение становится истинным.
2.	q— ложно, $—истинно. Тогда в антецеденте (р-> 7)
ложно, a (r->s) истинно» Таким образом сам антецедент
ложен.
3.	q — ложно, s — ложно. Тогда оба члена антецедента
и сам антецедент ложны.
Среди трех возможных распределений значений истин¬
ности нет ни одного, при котором все исследуемое выраже¬
ние было бы ложным. Следовательно, оно общезначимо.
Последний приведенный пример довольно сложен, зато
преимущество, которое имеет описанный здесь способ, ста¬
новится особенно наглядным. Если бы мы составили табли¬
цу истинности, то нам пришлось бы использовать 32 стро¬
ки, т. е. учесть 32 различных возможных набора значений
истинности. Но из них достаточно принять во внимание
только три, чтобы установить общезначимость выражения.
2.1.8*. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗРЕШЕНИЯ
С ПОМОЩЬЮ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ
В этом разделе будет описано, как можно преобразовы¬
вать выражения логики высказываний, как уже по их
структуре можно узнать, являются ли они общезначимыми
и являются ли они противоречиями. При изучении этот
раздел можно пропустить, сведения, содержащиеся в нем,
являются условием для понимания разделов 2.2.1.4* и
3.2.6*.
Для решения некоторого выражения логики высказыва¬
ний (т. е. для установления, к какому классу выражений
оно принадлежит) его сначала приводят к нормальной фор¬
ме. Последняя должна удовлетворять следующим условиям:
77

1.	Нормальная форма должна быть семантически эк¬
вивалентной исходному выражению.
2.	Из связок логики высказываний в ней должны содер¬
жаться только знаки отрицания, конъюнкции и дизъюнк¬
ции.
3.	Встречающиеся знаки отрицания должны относиться
только к пропозициональным переменным, ноне к сложным
выражениям.
Приведем к нормальной форме выражение ~ (p\/~q)-+
-> ~ (~p/\q). Прежде всего нужно позаботиться о выпол¬
нении условия 2, а уже потом провести преобразования,
необходимые для выполнения условия 3. Для этого снача¬
ла нужно устранить знаки импликации. Из ~ (pV~fl)->
~ ~ p/\q) получится — — (pV~ fl) V~( ~ P/\q). Пре¬
образование импликации в дизъюнкцию привело к тому,
что левый член отрицается дважды. Согласно правилу,
приведенному в разделе 2.1.4, выражение может быть упро¬
щено до (pV~ fl)V~ pAfl)- Теперь правый член* надо
преобразовать так, чтобы было выполнено условие 3. Для
этого он превращается в дизъюнкцию (pV~fl) V ~ ~
~pV~fl).
После сокращения двойных знаков отрицания получается
(pV ~ fl)V (pV ~ fl)* являющееся нормальной формой, выра¬
жения ~ (р\/ ~	P/\q\ Здесь уже видно, что целе¬
сообразно сначала не принимать во внимание знаки отрица¬
ния, потому что они нередко сокращаются в процессе пре¬
образования. Подтвердим это вторым, несколько более
сложным примером.
Приведем к нормальной форме выражение: ~ (p-+q)<->
«-> (г-4- ~ $). Для этого с помощью эквивалентных преобразо¬
ваний надо устранить в сложном выражении один, знак эк-
внваленции, два знака импликации и один знак отрица¬
ния. Мы начнем с устранения знака эквиваленции, преоб¬
разуя эквивалентно в конъюнкцию двух импликаций. По¬
лучается
[~ (р -» q) — (г ~ s)J Д [<r	~ s) —* ~ (р —► р)].
Если теперь мы заменим знак импликации в квадратных
скобках на знак дизъюнкции, то получим
~ (р fl) V ~ А
(г —> — s) V ~ (р fl)]»
а после сокращения двойных знаков отрицания получим
[(P~*fl) V (<-> ~s)] A [~(r-> ~s) V —А)]-
78

Обратимся к знакам импликации в круглых скобках и
заменим их знаками дизъюнкции:
[<~Р V <7) V(~'V ~s)]A
Л (~ г V ~ s) V ~ (~ Р V <7)]-
Остается устранить знаки отрицания, стоящие в правой
части выражения перед круглыми скобками. Это происхо¬
дит в результате преобразования дизъюнкций в конъюнк¬
ции:
[(~Р V	V ~S)]A
д	у	Д~ <?)].
Нормальная форма имеет в конечном итоге такой вид:
р у q) v (~ г v ~S)] А [(' Л S) V (р Л
Такая нормальная форма в общем еще не является топ
нормальной формой, по которой можно решить выраже¬
ние, а лишь промежуточной ступенью для этого. В боль¬
шинстве случаев необходимы еще преобразования, при
использовании следующих правил дистрибутивности:
I.	От р V (4 Л г) можно 2. От р Д (tf V г) можно
перейти к (р V *7) Л перейти к (р Д q) V
Д (р V г) и наоборот. V (Р Л г) и наоборот.
Выражение вида pV (q/\r) имеет то же распределение
значений истинности, что и выражение вида (pV?)A (pV<h
т. е. правила дистрибутивности гарантируют то, что выраже¬
ние, полученное с их помощью, семантически эквивалент¬
но исходному. По первому правилу дистрибутивности мож¬
но от (pV	перейти к (p\/~p}A(pV?)- Здесь также
можно применить правило подстановки, т. е. можно вместо
пропозициональных переменных использовать сложные вы¬
ражения.
Тогда по первому правилу дистрибутивности из (pAQ)V
V(^AS) получится
((Р /\q)V г) Д ((р hq)V $).
Так как в конъюнкциях и дизъюнкциях можно менять
местами члены, не изменяя значения истинности, то от пре¬
дыдущего выражения можно перейти к (rV (рЛ<7))Л($\/
V(pA0) и снова применить первое правило дистрибутив¬
ности:
(С V Р) А (Г V <?)) Л ((S v р) A (s V д)).
79

Если опустить лишние скобки и переставить члены выраже¬
ния, то получится
(р V Г) л (р V S) Д (q V Г) л (q V s).
При двукратном применении второго правила дистрибу¬
тивности к выражению (р\/q)/\(г\/s) получается аналогич¬
ный результат. Поэтому можно сформулировать произ¬
водные правила дистрибутивности, в которых объединено
двукратное применение первоначальных правил:
1.1.	От (р л q) V (Г Л S)
можно перейти к
(Р V г) Л {р V s) Д
Л (Р V г) Л (? V s)
и наоборот.
2.1.0т (р V q) Л (.г у s)
можно перейти к
(Р Л г) V (р Л s) V
V (q А г) V (q Л s)
и наоборот.
С помощью правил дистрибутивности из любого выраже¬
ния логики высказываний, после приведения его к нормаль¬
ной форме, можно получить его конъюнктивную и дизъюн¬
ктивную нормальные формы.
Конъюнктивная нормальная форма выражения — это
конъюнкция дизъюнкций. Она выполняет все условия
нормальной формы. Члены этих дизъюнкций (с отрица¬
ниями или без них) являются пропозициональными пере¬
менными. Конъюнктивная нормальная форма выражения
позволяет узнать, является оно общезначимым или нет.
Начнем с простого примера. Надо .исследовать выражение
(Р Л q) -* (р Aq)-
Сначала составляется нормальная форма:
~ (Р A q) V (Р Л q)
~ ~(~PV ~q) V (р Aq)
(~Р V ~ р) V (р A q)-
Это выражение является дизъюнкцией, которая состоит
из дизъюнкции и конъюнкции. Но нам нужна конъюнкция
дизъюнкций. Применим первое правило дистрибутивности,
причем введем (~pV ~ q) вместо р, р вместо q, q вместо
г и получим тогда
((~ р V ~ р) V р) Л (( ~ Р V ~q) V q).
Так как выражения (pV (pW), ((pVp)VH и (pVpVf)
семантически эквивалентны друг другу, то мы можем напи¬
сать: (~р V ~pVp) Л (~pV~pVp). Это эквивалентная пер¬
воначальному выражению конъюнкция дизъюнкций, члены
которых являются пропозициональными переменными, и,
80

таким образом, конъюнктивная нормальная форма перво¬
начального выражения.
Каждая из этих двух дизъюнкций содержит пропозици¬
ональную переменную, которая один раз стоит под отрица¬
нием, а другой — без отрицания. Левая дизъюнкция со¬
держит р и т. е. ее часть имеет вид (pV~p); правая
дизъюнкция содержит q и ~q и ее часть имеет вид (q\/~q).
Выражения такого вида общезначимы, о чем мы уже зна¬
ем из раздела.2.1.6. В этом отношении ничего не меняется,
если такая дизъюнкция содержит другие пропозициональ¬
ные переменные. Дизъюнкция истинна тогда, когда истинен
один из ее членов независимо оттого, какие значения ис¬
тинности имеют остальные члены. Так как оба члена
конъюнктивной нормальной формы общезначимы, то она
тоже является общезначимой и первоначальное выражение
также общезначимо.
В заключение можем сказать: выражение логики выска¬
зываний является общезначимым, если в каждой дизъюнк¬
ции его конъюнктивной формы любая пропозициональная
переменная один раз встречается с отрицанием, а другой
раз — без отрицания. Если же этого нет хотя бы в одной
дизъюнкции, то выражение не будет общезначимым,
т. е. будет нейтральным выражёнием или противоречием.
В следующем примере мы сразу получаем решение:
Р — (р V Я)
~рУ (рУ Я)
~рУ РУ я-
Здесь конъюнктивная нормальная форма состоит из
одной-единственной дизъюнкции. В ней пропозициональ¬
ная переменная р один раз встречается с отрицанием, а
другой раз — без него. Следовательно, p->(pV<7) общезна¬
чимо.
Третий пример, хотя число необходимых преобразова¬
ний в нем больше, будет понятен без дальнейших поясне¬
ний:
(Р —• Я) —■	Р V Я)
~(р — Я) У РУ Я)
~ (~ Р V р) V (~ р V Я)
(р A ~ <7) V (~ р V Я)
(~ Р V Я) У (Р А ~ Я)
Р V Я) V Р) A ((~ Р V Я) V - Я)
py дУ Р) А (~ рУ Я У ~ Я)-
81

Первоначальное выражение общезначимо, так как все
дизъюнкции его конъюнктивной нормальной формы обще’
значимы.
Если из конъюнктивной нормальной формы выражения
можно узнать, является ли оно общезначимым, то его
дизъюнктивная нормальная форма позволяет определить,
является ли выражение противоречием. Дизъюнктивная
нормальная форма выражения является дизъюнкцией
конъюнкций. Она выполняет все условия нормальной фор¬
мы. Члены этих конъюнкций являются пропозициональ¬
ными переменными (с отрицанием или без него). Приведем
выражение
Р/\ [(~ РЛ q) V (<?Л ~ <?)]
к дизъюнктивной нормальной форме. Для этого нужно
применить второе правило дистрибутивности, причем р
остается неизменным, (~p/\q) подставляется вместо q,
a (q /\ ~ q) вместо г.
Это дает
(Р Л (~ Р Л q)> V (Р Л (q Л — ?))
(р Л — Р Л q) (р /\ q /\ ~ q)-
Обе конъюнкции содержат выражения вида р/\~р,
о которых мы уже знаем из раздела 2.1.5, что они при любом
наборе значений переменных ложны, т. е. что они являются
противоречиями. Так как конъюнкция, которая содержит
ложный член, целиком ложна, то в нашей нормальной фор¬
ме третья пропозициональная переменная не существенна
для значения истинности конъюнкций. Оба члена дизъюнк¬
ции являются противоречиями, таким образом, и она сама
является противоречием. Следовательно, и первоначальное
выражение также противоречиво.
Таким образом, выражение логики высказываний явля¬
ется противоречием, если в каждой конъюнкции, состав¬
ляющей его дизъюнктивную нормальную форму, некоторая
пропозициональная переменная входит один раз с отрица¬
нием, а другой раз без него. Если же этого нет, хотя бы в
одной конъюнкции, то выражение не является противоре¬
чием, т. е. оно общезначимо или нейтрально.
Еще один пример:
~(~7— ~ р) Л (р -* q)
~(q\J ~ р) Л (~ р V q)
q /\ Р) /\(~ pV q)
q Л Р) Л ~ Р) V ((~ q Л Р) Л q)
q Л Р Л ~ Р) V (~ q Л Р Л q)-
82

Это выражение также является противоречием.
Во всех этих примерах было достаточно составить одну
из двух нормальных форм. Одпако бывает, как в следующем
примере, что необходимо привести выражение последова-
1€ЛЬНО в к конъюнктивной, и к дизъюнктивной нормаль¬
ным формам:
(Р — Я) — - (~ q — ~ Р)
~ (Р-^ ?) V ~ (~ q—> — р)
~(~PV q) V ~<q V ~ р)
А ~ ?) V (~ <7 А р).
Таким образом, мы получили дизъюнктивную нормаль¬
ную форму, с помощью которой выявляется, что выраже¬
ние не противоречиво. Но является ли оно общезначимым,
можно определить только по конъюнктивной нормальной
форме. Мы приводим к ней, применяя к последнему полу¬
ченному выражению правило (1.1), выведенное из первого
правила дистрибутивности. Из (pA~<7)V(~?Ap) получит¬
ся (pV~p)A(pVp)A(~W~?)A(~?VP)- Из полученной
таким способом конъюнктивной нормальной формы можно
узнать, что выражение (p~>q)-> ~(~q-+ ~р) не общезна¬
чимо. Но поскольку оно, как мы уже установили, не яв¬
ляется противоречием, оно нейтрально.
Сложные выражения нередко требуют многократного
применения правил дистрибутивности, что приводит к гро¬
моздким нормальным формам. Например:
(р — q) Д (р — г)] —* [р —>• (<? А г)]
(Р — Я) Л (р--> г)] V [р—> (<7 Л г)!
,(~ р v Я) Л (~ Р V Г)] V Г~ Р V (Я Л Г)]
~ (~ Р V ?) V ~ (~ Р V /)] V [~ Р V {я Л Г)]
(Р Л ~ я) V (р Л ~ Г)] V [~ р V (Я Аг)]
(Р Л ~ я) V (Р А ~ г) V — Р V (Я А г).
Дизъюнктивная нормальная форма получается здесь
без применения правила дистрибутивности. Так как данное
выражение, очевидно, не является противоречием, то его
следует привести к конъюнктивной нормальной форме.
Для этого возьмем последнее полученное выражение, поста¬
вим первую и вторую конъюнкции в квадратные скобки и
применим правило дистрибутивности к обоим выражениям:
[(/? Л ~ q) V (р Л — А] V ~ Р V (q Л г)
[(р V Р) Л (р V ~ Г) /\ q V р) Л (~ q V ~ г)] V
Следующий этап заключается в применении правила
дистрибутивности к выражению, стоящему в квадратных
83

скобках, и к ~р, Эта дистрибутивность аналогична умно¬
жению в алгебре. Поэтому здесь излишне более подробно
приводить это правило. Результат:
[(р V Р V — Р) Л (р V — г V — р) Л q V Р V ~ р) Л
/\ (~ q V ~ г V ~ р)] V (q Л г).
Повторное применение правила дистрибутивности при¬
водит к конъюнктивной нормальной форме:
(pVpV~pV<7)A(pV~rV~pV<7)
Л (~ q\J p\J ~ рУ q) /\(~ 4 V V ~P V ?)
A(pVpV~pV')A(pV~''V ~ P V r)
Л (~ ? V P V ~P V О Л H V ~r V ~P V 0.
Каждая из восьми дизъюнкций содержит, по крайней
мере, одну пропозициональную переменную вместе со сво¬
им отрицанием, следовательно, данное выражение являет¬
ся общезначимым.
Решение выражений логики высказываний с помощью
нормальных форм может показаться слишком сложным,
особенно в последнем примере. Но при известном навыке
возможны упрощения. В нашем примере совсем не нужно
было бы составлять нормальную форму, состоящую из вось¬
ми членов. Дизъюнкции (pVpV~p), (pV^/'V^P) и (~pV
VpV ~р) — общезначимы. Применение правила дистрибу¬
тивности к ним и (q/\r) ничего в этом не меняет. В послед¬
нем преобразовании нам вообще не нужно было принимать
их во внимание. Следует отметить также, что применение
правила дистрибутивности к (~pV~^V~p) и (q/\r) дает
только общезначимые дизъюнкции х.
Для решения выражений логики высказываний приме¬
нение этого способа не обязательно, достаточно способов,
приведенных в разделе 2.1.8. Однако для систематического
обзора следствий из имеющихся посылок надо уметь сос¬
тавлять конъюнктивную нормальную форму выражений
логики высказываний и способом, описанным в разделе
2.2.1.4.
2.1.9. ЭКСТЕНСИОНАЛЬНЫЕ И ИНТЕНСИОНАЛЬНЫЕ
СЛОЖНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Как уже говорилось в разделе 2.1.3, формальная логика
исследует только экстенсиональные сложные высказыва¬
ния, значения истинности которых однозначно определя-
1 Поскольку в первой скобке содержатся пропозициональные
переменные с отрицаниями, а во второй — те же переменные без от¬
рицаний (Прим.— £./<.).
84

ются значениями истинности тех простых высказываний,
из которых они состоят. Отсюда следует, что для установле¬
ния значения истинности экстенсионального сложного вы¬
сказывания нужно знать только значения истинности его
составных частей. Далее, в экстенсиональном сложном
высказывании любое простое высказывание может быть за¬
менено любым другим высказыванием с тем же значением
истинности без изменения значения истинности сложного
высказывания. Таким образом, можно, например, получить
из истинного сложного высказывания «Социализм победит
во всем мире, а капитализм прекратит свое существование»
истинное сложное высказывание «Социализм победит во
всем мире, а войны прекратятся».
Логики единодушно придерживаются мнения, что име¬
ются не только экстенсиональные сложные высказывания,
но и интенсиональные, которые называются неэкстенсио¬
нальными сложными высказываниями. Однако не сущест¬
вует единого мнения о том, можно ли интенсиональные
сложные высказывания сводить к экстенсиональным. Есть
логики, например, Рудольф Карнап, которые предполага¬
ют, что такое редуцирование возможно. Но есть основания
считать, что интенсиональные высказывания — это предмет
не формальной логики, а диалектической. Значение истин¬
ности интенсионального сложного высказывания зависит
не только от значений истинности составляющих его вы¬
сказываний, поэтому для определения его значения истин¬
ности недостаточно знать лишь значения его составных
частей. Если в нем заменить одно высказывание другим с
тем же значением, то его значение истинности может изме¬
ниться.
Если, например, в считающемся истинным интенсиональ¬
ном сложном высказывании «Камень нагревается, потому
что на него светит солнце» заменяют второе высказывание
на: «он лежит на земле», то получают сложное высказывание
«Камень нагревается, потому что он лежит на земле». Оно
ложно, потому что описанные в его частях явления дейст¬
вительности не находятся в отношении причины и следст¬
вия, выраженном в словах «потому что». Интенсиональные
сложные высказывания могут быть образованы также с
помощью выражений «в то время, как» (в смысле одновре¬
менности) и «после того, как».
Может возникнуть вопрос, охватывает ли формальная
логика, по крайней мере, все экстенсиональные сложные
высказывания, если уж она не рассматривает интенсио¬
нальные? Существует 16 различных связок логики выска¬
85

зываний, с помощью которых можно соединять высказы¬
вания попарно. /Цы описали семь из них: изучать остальные
не обязательно, так как все они могут быть сведены к этим
семи. Можно, например, свести «ни р, ни q» к ~p/\~q. Это
сведение может, как мы видели, продолжаться и дальше.
Достаточно располагать отрицанием и конъюнкцией или
отрицанием и дизъюнкцией. Можно даже свести все экс¬
тенсиональные сложные высказывания к анти конъюнкции.
Но этой возможностью практически не пользуются, потому
что она приводит к чрезвычайно неясным выражениям.
Однако это еще не дает ответа на вопрос, можно ли все
обилие союзов естественного языка охватить шестнадцатью
логическими связками. Выражения «р и «как р, так и р»,
«хотя р, но также qy> и т. д. все имеют логическую структуру
конъюнкции. Различия между ними, имеющие значение
прежде всего с точки зрения прагматики, например особое
ударение на какой-то составной части и т. д., не оказывают
никакого влияния на значение истинности высказывания и
поэтому в формальной логике не принимаются во внимание.
С другой стороны, как мы уже видели, имеется целый
ряд многозначных союзов естественного языка. Поэтому
при символической записи сложных высказываний всегда
нужно исходить из содержания. До тех пор, пока не опре
делена логическая структура сложного высказывания, его
записывать в символической форме нельзя. В этом заклю¬
чается одна из сложнейших проблем машинного перевода
текста с одного языка на другой. Машины при переводе
не могут учитывать смысл переводимого текста, они вос¬
принимают исключительно вид и последовательность зна¬
ков, с помощью которых записан текст, т. е. работают,
учитывая только синтаксис.
2.2.	ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Теперь мы прервем систематическое изложение формаль¬
ной логики, к которому снова вернемся в следующем разде¬
ле, и рассмотрим различные возможности применения ло¬
гики высказываний.
2.2.1. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Умозаключение в логике высказываний — это умозак¬
лючение, которое основывается только на законах логики
высказываний. Этим определением мы отделили его от умо¬
88

заключения логики предикатов, не объяснив, однако, по¬
нятия самого умозаключения.
Умозаключение — это получение высказываний. В та¬
ких науках, как формальная логика и математика, с помо¬
щью умозаключения могут быть получены и такие формы
мысли, которые не являются высказываниями. Однако для
нашей цели мы можем ограничиться лишь получением вы¬
сказываний. Существуют две принципиально различных
возможности получения высказываний: первой и основ¬
ной является непосредственное исследование объекта и фор¬
мулировка его результата в высказывании. Вторая возмож¬
ность заключается в том, чтобы, исходя из уже имеющихся
высказываний (например, встречающихся в книгах), полу¬
чать другие, отличные от них высказывания. Умозаключе¬
ние в собственном смысле слова — это получение высказы¬
ваний последним способом.
Высказывания, на основании которых делают умозаклю¬
чения, называют «посылками». Высказывание, полученное
из посылок, называется «заключением» или «выводом».
Во избежание недоразумений мы, как правило, будем поль¬
зоваться только этими двумя терминами.
. Между посылками и заключением существует опреде¬
ленная связь: заключение должно следовать из посылок.
Нельзя ставить друг за другом любые высказывания и вы¬
давать возникшее таким способом образование за умозаклю¬
чение. Более того, при составлении умозаключений нужно
придерживаться определенных правил, называемых пра¬
вилами умозаключения.
2.2.1.1.	Определение умозаключения
Логическое умозаключение состоит в том, что из одного
или нескольких данных высказываний (посылок), приме¬
няя к ним правила умозаключения, получают новое вы¬
сказывание (заключение).
Конечно, из каждого высказывания можно сделать за¬
ключение о самом этом высказывании. При этом заключение
умозаключения не будет отличаться от посылок. Однако
этот случай неинтересен, потому что таким образом нельзя
получить новых знаний. Наше определение умозаключения
охватывает оба основных вида умозаключений — дедук¬
тивное и редуктивное умозаключения. Как в логике вы¬
сказываний, так и в логике предикатов мы будем заниматься
исключительно дедуктивными умозаключениями. Поэтому
здесь достаточно более подробно определить только этот
87

вид умозаключений, задав соответствующие правила. В со¬
ответствии с правилами дедуктивных умозаключений, если
истинны посылки, то и заключение истинно. Эти правила
касаются не конкретных высказываний и их содержания, а
только высказываний в целом и построения сложных вы¬
сказываний из простых.
Принимая во внимание взаимное соответствие языковой
и мысленной структур, можно сказать, что правила умо¬
заключения являются правилами преобразования, касаю¬
щимися только знаков языка.
Рассмотрим пример. В качестве посылки возьмем истин¬
ное сложное высказывание «Если изучают логику, то учат¬
ся мыслить более строго»	Из этой посылки можно
получить два следующих высказывания:
1.	«Если не изучают логику, то не учатся мыслить более
строго» (~p-*~q).
2.	«Если не учатся мыслить более строго, то не изучают
логику» (~q-+~p).
Первое из них было бы дополнительным аргументом
для изучения логики, но оно не истинно, а потому и не вы¬
текает из нашей посылки. Свое мышление можно, по край¬
ней мере, до определенной степени сделать более строгим и
не изучая логику непосредственно. К сожалению, заключе¬
ния такого вида формулируются довольно часто. Второе
высказывание истинно, так как тот, кто не учится мыслить
более строго, не пользуется никаким подходящим для этого
средством, в том числе и изучением логики.
Правило, согласно которому из посылки получено это
заключение, является правилом контрапозиции и может
быть сформулировано следующим образом: «Из истинности
сложного высказывания вида (p-^q) можно сделать заклю¬
чение об истинности сложного высказывания вида
или короче «Из (p-+q) следует (~q-+~p)». Это пра¬
вило обладает таким свойством, что при чисто формальном
применении к истинному высказыванию оно всегда дает
другое истинное высказывание. Такую форму умозаключе¬
ния мы называем приемлемой или правильной, а полученное
по ней заключение — необходимо истинным или достовер¬
ным.
2.2.1.2.	Правила умозаключения логики высказываний
В этом разделе мы перечислим,ряд важных правил умо¬
заключения, записывая их для наглядности в форме схем
умозаключений.
88

Правило контрапозиции получает при этом такой вид:
Р — Я
~Я — ~р-
По этому образцу мы будем давать схематически и все
остальные правила умозаключения. Над чертой стоит по¬
сылка или посылки. Если посылок две или более, то мы
пишем их друг под другом. Под чертой находится заклю¬
чение.
Первые правила умозаключения мы можем составить по
уже известной нам таблице истинности констант логики вы¬
сказываний.
(1.1)	р (1.2) р
q	~д
РЛЧ	Р /\~q '
Эта схема вывода и другие, которые можно было бы сос¬
тавить в результате отрицания р, не требуют дальнейшего
пояснения. Их можно понять по таблице истинности конъ¬
юнкции.
(2.1)	р /\д	(2.2) р /\д
Р	Я
По этим правилам, исходя из истинности конъюнкции,
можно судить об истинности как одного, так и другого ее
члена. Правила эти представляют интерес, поскольку по¬
стоянно используются, например, при цитировании книг
или статей, т. е. когда из мысленной связи высвобождают
одну из конъюнктивно связанных частей и рассматривают
самостоятельно. В традиционной логике для сложных вы¬
сказываний с «или» были известны два правила умозаключе¬
ния: «Modus tollendo poiiens» и «Modus ponendo tollens».
При соблюдении последовательности приведенных назва¬
ний можно изобразить их схематически следующим обра¬
зом:
р или q и р или q
	 Р

Я	-Я
Однако эти правила умозаключения не всегда сохраняют
силу. Можно привести случаи, в которых эти правила ведут
от истинной посылки к ложному заключению. Определить,
для каких случаев эти правила пригодны, а для каких нет,
можно только различая три указанных выше значения союза
89

«или». Для дизъюнкции пригодны следующие правила
умозаключения:
(3.1)	pV <7	(3.2) pV <7
~Р	~Я
Ч	Р
Если сложное высказывание «Подача тока прервана, или
лампочка накаливания перегорела» истинно и высказыва¬
ние «Подача тока не прервана» тоже истинно, то согласно
(3.1)	можно сделать заключение: «Лампочка накаливания
перегорела».
Если из дизъюнкции и отрицания одного из соединенных
в ней высказываний можно сделать заключение, что второе
из этих высказываний истинно, соответствующее заключе¬
ние из антиконъюнкции не является необходимым. Вместо
этого для заключения из антиконъюнкции существуют сле¬
дующие правила:
(4.1)	р | q (4.2) р | q
Р	Я
~Я	~ р '
Из сложного высказывания «Студент X сдал экзамен на
«отлично», или он сдал его на «хорошо» и высказывания «Он
сдал экзамен на хорошо» можно согласно (4.2) сделать за¬
ключение: «Студент X сдал экзамен не на «отлично».
Для дизъюнкции эти правила не пригодны. Для заклю¬
чения же из разделительной дизъюнкции имеют место все
четыре правила умозаключения:
(5.1)	p^q
Р

~ Я
(5.3) р у q
~Р
Я
(5.2)	p^q
Я

~Р
(5.4) р V q
~Я
Р
Сравнение правил умозаключений для заключений из
дизъюнкции, антиконъюнкции и разделительной дизъюнк¬
ции показывает, как важно делать различие между тремя
значениями союза «или». Далее, как выяснилось, каждому
из правил традиционной логики соответствует по два
правила умозаключения: правилу «Modus tollendo ponens»
соответствуют правила (3.1) и (5.3), а правилу «Modusропеп-
do fallens» — правила (4.1) и (5.1).
90

Следующие схемы показывают, как из конъюнкции мож¬
но сделать заключение о дизъюнкции или наоборот:
(6.1)	~ (р Л <?)	(6.2) ~ (р V р)
~ р V	~ Р Л ~ ‘
Из «неверно, что Гегель одновременно материалист и
идеалист» согласно правилу (6.1) следует с необходимостью
«Гегель — не материалист или Гегель — не идеалист».
Для умозаключения из импликации применимы правила:
(7.1)	р—р (7.2) р—+q
Р	~ Ч
q	~Р ‘
Правило (7.1) одно из важнейших. Оно называется пра¬
вилом силлогизма. Из традиционной логики оно известно
как «Modus ponens» или «Modus ponendo ponens». Правило
заключения (7.2) называлось «Modus tollens» или «Modus
tollendo tollens».
Для умозаключения из обратной импликации имеются
правила:
(8.1) р-<—g	(8.2) р<—
Ч	~Р
Р	~<7
Связь этих двух правил с правилами (7.1) и (7.2) стано¬
вится ясной, если обратные импликации в них преобразовать
в прямые в соответствии с правилами 2.1.7.
Для умозаключения из эквиваленции существуют пра¬
вила:
(9.1)	p<r+q	(9.1) p<?-+q
Р	<7
Я	Р
(9.3)	p<-+q	(9.4) p<r+q
~р	~д
~q	~р '
Правило транзитивности импликации, или правило
цепного умозаключения, имеет такой вид:
(10) р — q
q—r
p-^r'
Из посылок: «Тот, кто изучает марксистскую филосо¬
фию, лучше познает закономерности общественного разви¬
91

тия» (p-+q) и «Познание закономерностей общественного
развития дает возможность более эффективно способство¬
вать общественному прогрессу» следует: «Тот, кто
изучает марксистскую философию, может более эффективно
способствовать общественному прогрессу» (р->г).
(11)	г
г /\q) — ~ р‘
Согласно правилу сложной контрапозиции из «Если
политическое значение социалистического соревнования
принципиально ясно (р) и всех трудящихся призывают к
участию в нем (q), то в социалистическом соревновании уча¬
ствуют все трудящиеся (г)» можно сделать заключение «Если
неверно, что все трудящиеся принимают участие в социа¬
листическом соревновании, хотя всех призывали к участию
в нем, неверно, что его политическое значение принципиаль¬
но ясно». При формулировке нашего заключения исполь¬
зовался тот факт, что различные союзы имеют одинаковую
логическую структуру, и в целях лучшего понимания
союз «и» переведен посредством «хотя». Такие вольности при
переводе логических выражений на естественный язык до¬
пускаются. Но они не должны приводить к изменению смыс¬
ла выражения, так как это влияет на значение истинности
высказывания.
(12.1)	р —> г	(12.2) р—+г
q s	q —> s
р\/ q	~г\/
г V s	~ p\J ~q'
В традиционной логике такое умозаключение называ¬
лось «дилеммой».
2.2.1.3.	Проверка правил умозаключения
Рассмотрим вопрос о том, как можно проверить спра¬
ведливость правила умозаключения. Смысл изучения логики
заключается совсем не в заучивании наизусть некоторых
правил умозаключения, гораздо важнее усвоить необходи¬
мые знания и навыки, чтобы уметь сознательно использо¬
вать логические умозаключения, делать умозаключения бо¬
лее уверенно и более эффективно опровергать своего против¬
ника.
Для каждого правила умозаключения существует имп-
92

лпкация, которая общезначима тогда и только тогда, когда
соответствующее правило умозаключения верно. Это ут¬
верждение надо еще доказать. Если оно истинно, то о любом
правиле умозаключения можно сказать верно оно или нет
исходя из рассмотрения таблицы истинности, следуя соот¬
ветствующей ему импликации. Предположим, что какое-то
правило умозаключения верно. В соответствии с изложен¬
ным в 2.2.1.1 это значит, что вывод любого сделанного по
этому правилу умозаключения истинен, если его посылки
истинны. Если все посылки умозаключения истинны, то,
естественно, истинна и их конъюнкция. Поэтому мы можем
говорить не о посылках, а о посылке умозаключения и по¬
нимать под этим простое или сложное, в частности, конъюн¬
ктивное высказывание.
В качестве антецедента импликации берется посылка, а
в качестве консеквента — заключение. Для составления
таблицы истинности этой импликации нужно принимать во
внимание две возможности:
1.	Посылка, или антецедент, истинна. В таком случае
истинно и заключение, т. е. консеквент, это следует из на¬
шего предположения, что правило умозаключения верно.
Значит, и сама импликация истинна, как каждая имплика¬
ция с истинными антецедентом и консеквентом.
2.	Посылка, т. е. антецедент, ложна. Этот случай надо
непременно рассмотреть, так как правило умозаключения
говорит не о том, что посылка истинна, а о том, что если она
истинна, то... При таких условиях строить таблицу истин¬
ности заключения, или консеквента, не имеет смысла, так
как импликация с ложным антецедентом в любом случае
истинна (см. 2.1.7). Таким образом, рассмотренная импли¬
кация общезначима. Тем самым доказано, что если правило
умозаключения верно, то соответствующая ему импликация
общезначима. Теперь нужно доказать обратное утвержде¬
ние.
На этот раз мы берем общезначимую импликацию в ка¬
честве посылки. Но она может быть таковой, по определе¬
нию импликации, только тогда, когда при истинности ее
антецедента истинен и ее консеквент. Импликация, анте¬
цедент которой истинен, а консеквент ложен, сама была бы
ложной, а это противоречило бы нашей посылке. Поэтому
правило умозаключения, говорящее, что из истинности
посылки, т. е. антецедента данной импликации, следует
истинность заключения, т. е. консеквента, правильно, оно
удовлетворяет уже не раз названным условиям. Тем самым
исходное утверждение полностью доказано.
93

На примере правила умозаключения (3.2) продемонстри¬
руем проверку правил умозаключений путем построения
соответствующих им импликаций и их исследования.
Рассматриваемое правило умозаключения выглядит так:
(3.2) р V q
~q

р
Для умозаключения имеет значение только то, что по¬
сылки являются истинными высказываниями. Поэтому мы
можем обе посылки p\/q и ~q конъюнктивно объединить
в выражение (pVq)A~q- Поскольку каждое дедуктивное
умозаключение носит характер импликации: если посылки
истинны, то истинно и заключение,— последнее импли-
кативно присоединяется к конъюнкции посылок: [(pVfl)A
Возникшее таким образом сложное высказывание ис¬
следуется на его общезначимость. Для этого составляем
табл и цу исти и ности :
р
1 -Q
pvq
(p ViJ)A~<7
[(PV<?)A~?J—
1
t
/
t
1
t
1
f
t
t
t
t
.1
t
f
i
/
t
f
1
1 t
f
f
i
Таблица истинности показывает, что сложное вы¬
сказывание, соответствующее правилу (3.2), является за¬
коном логики. Таким образом, верность правила доказана,
так как в каждом случае, где конъюнкция посылок истин¬
на, заключение так же истинно.
В качестве разъяснения рассмотрим другой пример.
Предположим, что кто-то сделал заключение согласно сле¬
дующему правилу:
p—q
~ q
Это заключение не кажется нам необходимо истинным,
т. е. у нас сложилось впечатление, что из истинных посы¬
лок не получается истинного заключения. Поэтому мы со-
94

ставим сначала соответствующее сложное высказывание
— 0 Л ~ pl — ~q
и проверим его по таблице истинности:
р
я
~p
-я
(p — q)
(p ~~-q) A ~p
[(p —* q) A ~
~P|
t
t
f
f
t
f
t
t
f
f
t
f
f
t
f
t
t
f
t
t
f
f
f
t
t
t
t
t
z Здесь нас опять-таки интересует только то, что конъюнк¬
ция посылок истинна. Предпоследний столбец таблицы ис¬
тинности показывает нам, что мы должны обратить внимание
на две последние строки. В последней строке получается,
что заключение ~q при истинных посылках само является
истинным. Из предпоследней строки мы получаем, что за¬
ключение также может быть и ложным. Итак, мы показали,
что по предложенному правилу умозаключения выводы не
являются необходимо истинными. Но это ничего не гово¬
рит о значении истинности заключения. Установить это
значение в каждом конкретном случае только средствами
логики невозможно.
Таким образом, правила умозаключения, основывающие¬
ся на общезначимой импликации, верны. Заключения, по¬
лученные по этим правилам, необходимо истинны. Правила
умозаключения, основывающиеся на выполнимой импли¬
кации, неверны. Полученные согласно им заключения не
являются необходимо истинными. Подытожим здесь еще
раз то, что полезно знать о свойствах дедуктивных правил
умозаключения.
Правило умозаключения ничего не говорит о значении
истинности посылок умозаключения и ничего не говорит о
значении истинности вывода как такового, т. е. оно неза¬
висимо от значения истинности посылок. Оно лишь дает
уверенность в том, что вывод всегда будет истинен, если
истинна конъюнкция посылок. Правило не говорит о том,
что вывод только тогда истинен, когда истинны посылки.
Поэтому возможное доказательство ложности одной или
нескольких посылок не играет роли для значения истинно¬
сти заключения. Неверно думать, будто доказана ложность
вывода дедуктивного умозаключения, если показана лож¬
ность посылки или посылок.
95

Из вышеизложенного можно понять, как получают пра¬
вила умозаключения из общезначимых импликаций. Но для
получения правил умозаключения можно использовать и
общезначимые эквиваленции. Исходя из эквиваленции,
можно получить даже два правила умозаключения. В ка¬
честве примера возьмем эквивалентно ~ (р /\q)<r+(~p\/ ~q).
Ей соответствуют правила умозаключения
~ (Р А 0 и ~ Р V ~ <7
~p\J ~ q ~(р Д ?)
Два правила получаются потому, что эквиваленция яв¬
ляется законом только тогда, когда оба объединенных в ней
выражения имеют одинаковые значения истинности. Тем
самым выполняется условие правильности умозаключения
(вывод должен быть истинным, если истинны посылки)
независимо от того, какое выражение избирают в качестве
посылки, а какое в качестве заключения.
При такой связи между общезначимыми импликациями
или же эквиваленциями, с одной стороны, и верными пра¬
вилами умозаключений — с другой, нельзя заблуждаться в
отношении их различий, так как понимание их различий
способствуют более глубокому пониманию их связи. Пра¬
вила умозаключения и обычные выражения логики выска¬
зываний отличаются друг от друга в двух отношениях:
во-первых, они относятся к различным формам мышления,
во-вторых, к различным семантическим категориям. Пра¬
вила умозаключения имеют нормативный характер, по отно¬
шению к умозаключению как акту мышления они выполняют
нормативную функцию. Из них непосредственно можно
понять, что надо делать, чтобы из истинного высказыва¬
ния определенной структуры получить также истинное
высказывание. Обычные же выражения имеют дескриптив¬
ный характер. Они выполняют описательную функцию, от¬
ражают объективно существующие положения дел. Они
являются составной частью человеческого знания. Правило
умозаключения принадлежит к более высокой семантиче¬
ской категории, чем, например, импликация, на которой оно
основано. Импликация говорит об определенных явлениях
действительности, что-то сообщает о них. Правило же умо¬
заключения говорит о высказываниях и операциях с ними.
Основой правила умозаключения является импликация,
например, l(p-+q)/\р]-><?. Если эта импликация общезна¬
чима, то можно получить высказывание о составных частях
этой импликации и о связи между их значениями истиннос¬
ти, например: «Если p-+q и р является истинными выска-
96

зываниями, то q также является истинным высказыванием».
Это высказывание относится к более высокой семантической
категории, чем импликация, но к той же семантической ка¬
тегории, что и получаемое из нее правило умозаключения.
Если высказывание об импликации истинно, то из него
можно получить верное правило умозаключения, например:
«Из истинности p-+q и р можно заключить об истинности д».
Переход от общезначимой импликации к верному правилу
умозаключения требует описанного здесь промежуточного
шага. Одновременно становится ясным, что правила умоза¬
ключения не являются продуктом соглашения или произ¬
вола, но что их правильность, опосредствованная объектив¬
ной истинностью определенных высказываний, сама явля¬
ется объективно обусловленной.
2.2.1.4.	Сокращенные умозаключения
Часто умозаключения произносятся или записываются
не полностью, а в сокращенной форме. В некоторых случаях
пропускают одну или несколько посылок, в других — за¬
ключение.
Примером сокращенного умозаключения является сле¬
дующее: «В строительстве внедряются современные методы
планирования и руководства. Следовательно, в будущем
стройки будут расти быстрее, а стоимость строительства
будет снижаться». Второе из этих двух высказываний долж¬
но быть выводом, на что указывает слово «следовательно»,
а первое является посылкой. Но из этой посылки вывод не
следует, так как правила, по которому можно было бы сде¬
лать такое умозаключение, нет. Правильное умозаключение
по правилу «Modus ponens» может получиться только при
соответствующем дополнении: «Если в строительстве внед¬
ряются современные методы планирования и руководства,
то в будущем стройки будут расти быстрее, а стоимость
строительства будет снижаться. В строительстве внедря¬
ются современные методы планирования и руководства.
Следовательно, в будущем стройки будут расти быстрее, а
стоимость строительства будет снижаться». Это умозаклю¬
чение сформулировано сравнительно сложно. Поэтому для
газетной статьи предпочитают сокращенную форму. Однако
уго можно делать только тогда, когда читатель в состоянии
самостоятельно дополнить сокращенное умозаключение,
когда отсутствующая посылка для читателя понятна или
Н Ли 743
97

когда ее можно понять из контекста. Наше сокращенное
умозаключение приемлемо, если читателю ясно, в чем за¬
ключаются подразумеваемые современные методы и как они
влияют на производительность труда и рентабельность в
строительстве.
В пользу применения сокращенных форм умозаключений
говорят не только языковые, но и психологические причины.
Полные умозаключения во многих случаях содержат обще¬
известное, что для читателя или слушателя скучно. Сокра¬
щенные же умозаключения заставляют читателя или слу¬
шателя думать и повышают его заинтересованность. Но в
любом случае при использовании сокращенных умозаклю¬
чений необходимо соблюдать определенные логические и
психологические условия.
Автор или оратор, который приводит только вывод из
своего умозаключения, должен сознавать, что заключение от
следствия к причине, от вывода к посылке неоднозначно.
В качестве иллюстрации приведем два правила дедуктив¬
ного умозаключения, на основании которых из различных
посылок делается один и тот же вывод:
PV<7	P — q
~Р и Р
я	я
Если же кроме заключения дается одна посылка, то
вторая посылка может быть восстановлена путем обратного
умозаключения от следствия к причине. Но такой вывод, по¬
лученный только средствами логики, не однозначен. Лишь
при достаточных знаниях в обсуждаемой области среди ло¬
гически возможных посылок будут выделены и отобраны те,
о которых реально не может идти речь.
Автор или оратор, опускающий посылку, должен, раз¬
умеется, ее знать. Он должен также убедиться в том, что его
читатели или слушатели тоже знают эту посылку или в
состоянии ее найти. Если автор опускает заключение, то
он должен быть уверен в том, что публика способна полу¬
чить его. Он должен уметь оценить уровень ее знаний и
способности к логическому мышлению! Кроме того, заклю¬
чение действительно должно следовать из данных посылок.
В связи с этим следует указать, что во многих случаях нель¬
зя сделать дедуктивное умозаключение, а следует сделать
редуктивное и что в редуктивном умозаключении сущест¬
вует иная связь между посылками и заключением, чем в
98

дедуктивном. Этими проблемами мы займемся в разде¬
ле 4.2.
Покажем на примере, как для нахождения высказываний
с необходимостью следующих из приведенных посылок
можно использовать таблицы истинности.
Учитель отвечает на вопрос относительно своего буду¬
щего занятия следующими сложными высказываниями:
«(1) Я буду преподавать немецкий язык или/и я буду чи¬
тать рассказы.
(2)	Или я буду читать рассказы, или я буду преподавать
математику (но только одно из двух, а возможно ни то,
ни другое).
(3)	Или я буду преподавать немецкий язык, или я буду
преподавать математику (и только одно из двух)».
Выяснить, будет ли он преподавать немецкий язык или
математику, будет ли он читать рассказы или нет, значит
выяснить, какой вывод или какие выводы можно сделать
методом дедукции из посылок (1) — (3). Для этого нужно
сначала установить, о каких видах сложных высказываний
идет речь в посылках, т. е. в каком значении употреблено
«или». Посылка (1) является, очевидно, дизъюнкцией. Оба
высказывания вместе могут быть истинными, преподавание
немецкого языка можно вести, используя подходящий
рассказ. Современное преподавание математики же не¬
совместимо с чтением рассказов. Этот факт и помещенное в
скобки дополнение показывают, что посылка (2) является
антиконъюнкцией. То, что посылка (3) должна быть разде¬
лительной дизъюнкцией, видно из дополнения.
Таким образом, мы сделали все уточнения, которые нуж¬
ны нам для перевода умозаключения на символический
язык логики высказываний. Нужно только договориться,
Какими пропозициональными переменными будут символи¬
зированы эти высказывания.
Пусть «р» означает «Я буду преподавать немецкий язык»,
«q» означает «Я буду читать рассказы»,
«г» означает «Я буду преподавать математику».
Составим, схему умозаключения (пока еще не полную):
Р V q
Я I г
рЧг
?
Затем составим для наших трех посылок общую таблицу
истинности:
4*
.89

р
q
r
pvq
q\r
p^r
(pVq)/\
A(<?|r)
(руд)л
K(pW')
t
t
i
t
f
f
f
f
t
t
f
t
t
t
t
t
t
f
t
i
i
f
t
f
t
f
f
t
t
t
t
t
f
t
t
t
f
t
f
f
f
t
f
t
t
f
t
f
f
f
t
f
t
t
f
f
f
f
i
f
t
f
f
f
Эту таблицу можно было бы и продолжить, вписав в нее
столбцы значений для выражений, в которых к конъюнкции
посылок импликативно присоединено предполагаемое за¬
ключение. Тогда, как сказано в 2.2.3.1, следовало бы про¬
верить, является ли выражение общезначимым, и т. д. Од¬
нако этого делать не нужно, так как результат уже можно
прочитать по таблице истинности. Рассмотрим те строки
таблицы, в которых все три посылки истинны и, следова¬
тельно, истинна их конъюнкция, другие случаи для умо¬
заключения нас не интересуют. Мы видим, что в обеих стро¬
ках, где все посылки истинны (строки 2 и 4), высказывание р
истинно. Иначе говоря: если посылки истинны, то и р
«Я буду преподавать немецкий язык» должно быть истинно.
При тех же условиях г — ложно, следовательно, ~г —
истинно. Из посылок (1) — (3) следует вывод: «Неверно,
что я буду преподавать математику». Является ли q истин¬
ным или ложным высказыванием, только на основании име¬
ющихся посылок заключить нельзя.
В своих рассуждениях мы совершенно отвлеклись от
содержания посылок (1) — (3) и рассматривали только их
значения истинности. В результате мы не только установили,
что следует из наших конкретных посылок, но, кроме того,
получили еще правила умозаключения, пригодные для лю¬
бых высказываний, а именно:
РVq	РУ	q
Я \ r	q I	г
р^г	РЧ/г
Р	~г
и тем самым также
Р У Я
Я I г
рУг
Р л~г‘
100

Этот же результат можно получить без таблицы истиннос¬
ти следующим образом.
Целесообразно исходить из посылки (3). Чтобы она была
истинной (а она должна быть таковой), одно из двух выска¬
зываний, из которых она состоит, должно быть истинно, а
другое — ложно.
Сначала предположим, что «Я буду преподавать мате¬
матику» — истинно. Тогда «Я буду преподавать немецкий
язык» должно быть ложным. Перейдем к посылке (2). В
соответствии с нашим предположением «Я буду преподавать
математику» истинно. Тогда «Я буду читать рассказы»
должно быть ложным, так как посылка (2) является анти¬
конъюнкцией, которая будет истинной только тогда, когда,
по крайней мере, одно из двух высказываний, из которых
она состоит, ложно. В соответствии с этим «Я буду читать
рассказы» в посылке (1) также ложно. Чтобы посылка (1)
— дизъюнкция — была истинной, по крайней мере, одно
из высказываний, из которых она состоит, должно быть
истинным. Остается только высказывание «Я буду препода¬
вать немецкий язык». Но эта последовательность противо¬
речит нашему исходному предположению. Поэтому мы долж¬
ны ее оставить и перейти к другой.
Снова начиная с посылки (3), предположим, что «Я буду
преподавать немецкий язык» истинно, тогда «Я буду препо¬
давать математику» ложно. Тогда тем самым гарантирована
истинность посылок (1) и (2). Посылка (1) истинна, так как
истинно высказывание «Я буду преподавать немецкий язык»,
и ее истинность уже не зависит от того, какое значение ис¬
тинности имеет «Я буду читать рассказы». Значение истин¬
ности этого высказывания не играет никакой роли и для
посылки (2). Так как согласно предположению высказыва¬
ние «Я буду преподавать математику» ложно, то посылка
(2) истинна.
Это рассуждение также привело нас к тому выводу, что
учитель на следующем занятии будет преподавать немецкий
язык, а не математику. Проведет ли он занятие, читая
рассказы, мы не знаем.
2.2.1.4*. Систематический обзор следствий
В предыдущих разделах мы уже занимались вопросом
о том, какие заключения могут быть сделаны из данных вы¬
сказываний, являющихся посылками умозаключения. Там
мы не могли дать никакого метода, по которому можно было
бы получить все следствия из данных посылок. Однако в ло¬
гике высказываний имеется такой способ. Он заключается
101

в конъюнктивном объединении данных посылок и приведе¬
нии конъюнкции к совершенной конъюнктивной нормаль¬
ной форме. Совершенная конъюнктивная нормальная форма
выражения логики высказываний удовлетворяет всем ус¬
ловиям конъюнктивной нормальной формы, которые были
изложены в 2.1.8 *. Кроме того, она должна удовлетворять
еще одному условию: каждая пропозициональная перемен¬
ная, имеющаяся в выражении, должна содержаться (с от¬
рицанием или без него) в каждом члене совершенной конъ¬
юнктивной нормальной формы.
Выражение (p-+q)/\p в своей конъюнктивной нормаль¬
ной форме (~р\/?)Лрне удовлетворяет этому условию, так
как во втором члене нет пропозициональной переменной q.
Этот член должен быть дополнен. Для этого пользуются
следующим правилом:
От выражения р можно перейти к выражению рV (?Л~?)
и наоборот.
Это правило можно обосновать следующим образом.
Дизъюнкция является истинной, если один из ее членов ис¬
тинен, она будет ложной, если все ее члены ложны. Выра¬
жение вида (q/\~q) является противоречием, т. е. при лю¬
бом наборе значений истинности оно ложно. Если р истинно,]
то дизъюнкция pV	истинна, если же р ложно, то
дизъюнкция ложна. Значение истинности этой дизъюнкции
зависит только от р. Таким образом, правило обосновано.
Если его применить к (~pV?)AP, то получается
(~ Р v q) Л [р V (q Л ~ <7)]-
В результате применения закона дистрибутивности мь
получаем
(~ р V <7) Л (р V q) Л (р V ~ <?)•
Если рассматривать выражения p-+q и р как посылки
умозаключения, то нужно предположить, что оба выражении
истинны. Тогда их конъюнкция тоже истинна, так же кай
и любое выражение, получающееся из нее в результате эк
Бивалентных преобразований. Предположим, что (~pV?)A
A(pV<7)A(pV~<?) истинно. Так как каждый член истин
ной конъюнкции должен быть истинным, то можно любые е<
члены или любые их конъюнкции рассматривать как истин
ные высказывания, например: (~p\/q) или в преобразован
ном виде (р-><?). Из р->р и р следует среди прочего p-+q
Этот результат является подтверждением того, что сред!
следствий, которые можно получить из каких-либо посылок,
всегда имеются сами эти посылки. В данном случае это от
102

носится и к р. Из p-+q получается, например, конъюнкция
(~pV?)A(pV<?)‘ Если применить к ней первое правило
дистрибутивности, но в направлении, обратном тому, в ко¬
тором это правило применялось до сих пор, то получим
(~ Р Л Р) V q.
Если к высказыванию дизъюнктивно присоединить лож¬
ное высказывание, то из дизъюнкции можно вычеркнуть
ложный член, не изменяя при этом значения выражения.
Если мы зачеркнем (~рЛр)> то останется следствие q,
В итоге можно сказать: из p-+q и р следует q. Соответ¬
ствующее правило уже известно нам как «Modas ponens».
Чтобы получить следствие из данных посылок по опи¬
санному здесь способу, нужно после символизации посылок
предпринять следующие шаги:
1.	Посылки следует соединить в конъюнкцию.
2.	Привести ее к совершенной конъюнктивной нормаль¬
ной форме.
3.	Из этой нормальной формы могут быть взяты как
следствие любые члены и их конъюнкции и преобразованы
по правилам логики высказываний.
Пусть даны следующие высказывания как посылки умо-
ваключения:
р\/ ~q>
~рУ <7.
Р-
Сначала приводим к совершенной конъюнктивной нор-
мальной форме конъюнкцию этих посылок:
(р v ~ q) Л Р V q) Л Р
(р V ~ q) Л (~ Р V q) Л [р V (q Л ~ q)]
(pV ~q) Л (~PV q) Л (pV q) Л (pV ~q).
Для упрощения можно вычеркнуть все повторяющиеся
члены, кроме одного. В. нашем примере это касается (pV-~?)-
Остается
(Р V ~ q) А Р V q) Л (р V q)-
Из (p\/~q)/\(p\/q) получается pV (<?Л~р) и затем р.
Этот результат явно содержится в посылках, чего нельзя
сказать о следующем. Из (~pVp)A(p V<?) получается
(~pAp)V<7 и затем q.
Даны посылки
р (q г)
p — q-
103

Так как в них встречаются три различные переменные,
то каждый член совершенной конъюнктивной нормальной
формы должен содержать три переменные.
[р (<7	г)] Л (р — <7)
[~ р V q V г)] Л р V q)
(~ р v ~ qv г) л (~ p\f q)
р v ~ <7 V А) Л [(~ р V <7) V (/• Л ~ Г)]
(~ Р V ~ q V Г) л [(~ Р V q V г) Л Р V q V ~ г)]
(~р V ~ q V г) Л (~ Р V q V г) Д (~р V q V - г).
Из этой нормальной формы возьмем два первых члена и
объединим их в конъюнкцию:
(~ р v ~ q V г) Л (~ р V q V г).
Это выражение эквивалентно следующему:
(~ Р V Г) v (~ q Л q);
его можно упростить в (~р\Л) и преобразовать в р-+г.
Для упражнения было бы полезно еще раз рассмотреть
последний пример предыдущего раздела.
«(1) Я буду преподавать немецкий язык или/и я буду
читать рассказы.
(2)	Или я буду читать рассказы, или я буду препода¬
вать математику (но только одно из двух или ни то и ни
другое).
(3)	Либо я буду преподавать немецкий язык, либо я
буду преподавать математику (и только одно из двух)».
В символической форме их конъюнкция имеет вид:
(Р V q) A (q | г) Д (р V г).
Теперь уже не нужно принимать во внимание значения
переменных. Достаточно точно выполнить требуемые логи¬
ческие операции и результаты снова перевести на естест¬
венный язык.
Для перехода к нормальной форме нужно сначала так
преобразовать выражения (2) и (3), чтобы они кроме пропо¬
зициональных переменных содержали только знаки конъюн¬
кции, дизъюнкции и отрицания перед пропозициональными
переменными. По 2.1.6 (q | г) может быть заменено (~q\/~r).
Для (pVr) имеются на выбор два тождественных выраже¬
ния, а именно (pA~r) V(~PAH и (р\/г)/\~ (р/\г). По¬
следнее из них более пригодно для перехода к конъюнктив¬
ной нормальной форме. Берем его и получаем
(Р V q) Л (~ q V ~ г) Д [(/> V Г) Д ~ (р Д г)].
104

После опускания квадратных скобок и преобразования
четвертого члена в дизъюнкцию уже получена конъюнктив¬
ная нормальная форма
(р V <7) Л (~ <7 V ~ г) Д (р V г) Д (~ р\г ~ г).
Для получения совершенной конъюнктивной нормаль¬
ной формы каждая из четырех дизъюнкций должна быть
расширена:
[(Р V q) V (г Л ~ г)] Д[(~ q V ~ г) V (р Л ~ р)]
А [(Р V А V (<7 Л ~ ?)] Л [(~ Р V ~ А V (<7 Л ~ </)].
В результате применения законов дистрибутивности мы
получаем:
[(р V Я V г) Д (р V q V ~ г)] Л [(р V — q V ~ г)
Л (~ Р V ~ <7 V ~ А] Л [(р V <7 V А Л (р V ~ <7 V О]
A[(~pV<7V~AA(~pV~<7V~ г)].
Квадратные скобки мы сохранили только для нагляд¬
ности. Кроме того, также для наглядности мы так переста¬
вили пропозициональные переменные в дизъюнкции, чтобы
они стояли в алфавитном порядке. Это допустимо, потому
что в дизъюнкциях перестановка членов не влияет на зна¬
чение истинности. В полученной конъюнктивной нормаль¬
ной форме две дизъюнкции встречаются дважды. Одно из
двух вхождений этих дважды встречающихся дизъюнкций
может быть вычеркнуто, так что совершенная конъюнктив¬
ная нормальная форма окончательно имеет следующий вид:
(р V q V г) /\(р v q V ~ г) /\(р v ~q V ~ г)
M~p\/~qV~r)/\(p\/~q\/ г)
Л (~ Р V q V ~ Г).
Каждая из 6 дизъюнкций может рассматриваться как
следствие наших посылок. Каждая в отдельности мало что
говорит. Первая, например, говорит о том, что учитель
будет заниматься, по крайней мере, одним из трех видов
деятельности, а четвертая говорит о том, что, по крайней
мере, одна из них не будет выполняться.
Объединим в конъюнкцию подходящие пары дизъюнк¬
ций и затем упростим их. Возьмем, например, первую и пя¬
тую дизъюнкции:
(Р V q V г) Л (р V ~ q V г).
Эту конъюнкцию можно преобразовать в (р у г) V(<?A~?)
и упростить в (р\/г).
105

Вторая и третья дизъюнкции дают:
(р V </ V - Г) Л (р V - ? V - о
(Р V — Г) v (q Л ~ <7)
(рУ~г).
Полученные промежуточные результаты соединим в
(р V г) Л (р Л — г),
получим p\J(r/\~r) и тем самым р.
Соединим четвертую и шестую дизъюнкции:
(~р V ~<7 V ~г)Л(~Р V<7 V ~г).
Получаем (~pV ~r)V (qA~q) и затем (~pV~r).
Это выражение соединяем с уже полученным промежуто¬
чным результатом:
(~Р V ~ г) Л (Р V — г).
Отсюда мы можем получить ~r\j(р/\~р) и затем ~г.
По этому способу мы получили уже известные выводы:
«Я буду преподавать немецкий язык» и «Неверно, что я буду
преподавать математику».
По какому же признаку следует отбирать пары дизъюнк¬
ций, которые потом соединяют в конъюнкции, а затем уп¬
рощают? Каждую дизъюнкцию совершенной конъюнктив¬
ной нормальной формы систематически сравнивают с каж¬
дой другой. Две дизъюнкции, отличающиеся друг от друга
только тем, что одна и та же пропозициональная перемен¬
ная в одном случае встречается без отрицания, а в другом
с отрицанием, могут быть объединены, в результате полу¬
чается выражение, содержащее только те переменные, ко¬
торые встречаются в обеих дизъюнкциях, и не содержащее
переменных, встречающихся с отрицанием и без него. Сис¬
тематический обзор всех возможных следствий нашего по¬
следнего примера с указанием, из каких выражений они
получаются, дается на следующей странице.
2.2.2. ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
В РЕЛЕЙ НО-КОНТАКТНЫХ СХЕМАХ
в недалеком прошлом — примерно с начала нашего
столетия, но особенно в последние годы — были обнаруже¬
ны возможности применения формальной логики, поначалу
казавшиеся удивительными, так как они были слишком
далеки от проблемных областей, традиционных для логи¬
ки; к ним относится применение логики высказываний в
106

(pVqVr) A(pAqV^r) A (p V~qV~r) A (~p V~qV~r) A (pV~qVr) Д (~pVqV~r)

контактных системах. Из логики высказываний в резуль¬
тате соответствующей интерпретации ее символов, опера¬
ций и т. д. получается алгебра релейно-контактных схем,
задачей которой является анализ и синтез электромехани¬
ческих, электронных, пневматических и других контакт¬
ных систем. Алгебра контактных схем исследует при этом
только связь между входными и выходными сигналами та¬
ких систем.
Объясним применение логики высказываний на приме¬
рах контактных систем. Различия между видами контакт¬
ных систем часто носят технический характер и возникают,
например, из-за разнообразия материалов и т. д. Но они
не имеют принципиального значения в отношении возмож¬
ности применения логики высказываний. Рассматриваемые
нами контактные системы состоят из проводов, концы ко¬
торых соединены с полюсами источника тока. Релейные
контакты являются составными частями этих проводов.
С помощью реле они включаются или отключаются, при этом
соответственно ток проходит по проводу или прохождение
тока прекращается. Надо различать два вида контактов:
рабочие контакты (или замыкающие) и размыкающие кон¬
такты. На наших чертежах показано:
А
рабочий контакт
~А* размыкающий
*	контакт
Рабочие и размыкающие контакты различаются следу¬
ющим образом: если реле находится под током, то рабочий
контакт замыкается и образует проводящее ток соединение,
размыкающий же контакт открывается и размыкает соеди¬
нение. Если же реле не находится под током, то рабочий
контакт не проводит ток, а размыкающий контакт ток про¬
водит. На чертеже показано такое состояние контактов,
когда присоединенное к ним реле не находится подтоком.
Одно и то же реле может приводить в действие одновре¬
менно несколько контактов. На чертеже это изображено так,
что замыкающий и размыкающий контакты обозначены
одними и теми же буквами. Размыкающие контакты обоз¬
начены буквой со звездочкой или точкой. «Л» обозначает
рабочий контакт, «А » обозначает размыкающий контакт;
оба они приводятся в действие одним и тем же реле. Поэто¬
108

му можно отказаться от изображения нескольких реле на
схеме электрических соединений.
Самое простое, когда провода одного-единственного кон¬
такта подключены к источнику тока. Если же два или более
контактов соединены друг с другом, как это показано на
следующем чертеже, то возникает последовательное вклю¬
чение:
1+)
(’)
Очевидно, что при таком включении ток может прохо¬
дить лишь тогда, когда оба контакта проводят ток, т. е.
замкнуты. В этом случае оба реле находятся под током. Не¬
трудно понять, что такое соединение соответствует логиче¬
ской конъюнкции p/\q, которая истинна только тогда, когда
истинны обе пропозициональные переменные.
Следующий чертеж показывает простейший случай па¬
раллельного соединения:
Это соединение будет токопроводящим уже тогда, когда
один из контактов проводит ток. Для этого необходимо, что¬
бы реле, относящееся к 4, было под током, или реле, от¬
носящееся к В, не было под током. Очевидно, такое соеди¬
нение соответствует дизъюнкции p\f~q, которая истинна
уже тогда, когда истинно р или ложно q.
Соответствия между соединением проводников и слож¬
ными высказываниями не ограничиваются, конечно, таки¬
ми простыми случаями. Каждому последовательно-парал¬
лельному соединению, т. е. соединению, состоящему из
последовательного или параллельного включения или из
обоих, соответствует сложное высказывание. Мы уже оп¬
ределили важнейшие соответствия, и прежде чем перейти
к решению задач контактной техники средствами логики
высказываний, хотели бы показать их на таблице.
По таблице соответствий можно описать и проанализи¬
ровать любое последовательно-параллельное соединение
средствами логики высказываний. Это значит, что можно
установить, при каких условиях соединение проводит
109

Контактная техника
Логика высказываний
Контакт
Рабочий контакт
Размыкающий контакт
Соединение
Последовательное соединение
Параллельное соединение
Состояние тока
Прохождение тока
Отключение тока
Пропозициональная переменная
Пропозициональная переменная
без отрицания
Пропозициональная переменная
с отрицанием
Сложное высказывание
Конъюнкция
Дизъюнкция
Значение истинности
Истина
Ложь
ток, а при каких нет. Продемонстрируем это на более слож¬
ном примере:
В целом наше соединение параллельное и может быть
выражено дизъюнкцией. Его верхняя часть также является
параллельным соединением (дизъюнкцией), которое состо¬
ит из одного-единственного контакта (переменной) и после¬
довательного соединения (конъюнкции) размыкающего кон¬
такта (переменной с отрицанием) и рабочего контакта (пе¬
ременной без отрицания). Поставим в соответствие контакту
А переменную р и контакту В переменную q\ получим вы¬
ражение lpV(~pA?)JV- •• Нижняя часть соединения —
последовательное соединение (конъюнкция) размыкающего
контакта (~q) и параллельного соединения двух рабочих
контактов (p\/q). В целом получается выражение
[р V Р Л 9)] V [~ q Л (р V <?)]•
. Таблица истинности этого выражения дает нам разъяс¬
нение о проводимости тока данным соединением:
110

р
q
~p
~q
~pAq
A 7)
pvq
-q/\
(pvq)
(PV(~PA
A<7)]V(~4A
A(PV</)|
t
t
f
f
f
t
t
1
t
i
f
f
t
f
t
t
t
t
f
t
i
f
t
t
t
f
i
f
f
t
t
f
f
f
f
f
Из таблицы истинности мы узнаем, что выражение вы¬
полнимо, т. е. соединение при определенных условиях про¬
водит ток. Если результаты таблицы истинности перевести
по таблице соответствия, то мы узнаем: схема проводит ток,
если оба реле находятся под током (строка 1), если реле,
относящееся к А (строка 2), или реле, относящееся к В,
находится под током (строка 3). Соединение не проводит
ток только тогда, когда оба реле не находятся под током
(строка 4). Таким образом, дан анализ схемы. По аналогии
с этим мы можем проанализировать отдельные части нашей
схемы по различным столбцам таблицы истинности.
Примером всегда проводящей схемы является:
Ей соответствует общезначимое выражение pV~p.
Никогда не проводит ток схема:
Ей соответствует контрадикция (противоречие) р/\~р.
Теперь займемся вопросом, можно ли овладеть синтезом
схем (соединений) средствами логики высказываний, т. е.
всегда ли можно создать последовательно-параллельное
соединение, которое отвечает определенным условиям в
отношении его проводимости. Для логики это значит найти
сложное высказывание с определенной таблицей истиннос¬
ти, в котором из логических констант имеются только от¬
рицание, конъюнкция и дизъюнкции. Эта задача разреши¬
ма, так как все константы логики высказываний можно
свести к названным.
Приведем пример синтеза схемы. Задача заключается
в том, чтобы найти схему, которая проводила бы ток при
111

тех же условиях, что и рассмотренная нами, но имела бы
минимальное количество контактов. Для решения задачи
мы можем снова использовать таблицу истинности. Нам
нужно сначала подыскать выражение, которое имеет те же
истинностные значения, что и первоначальное, но содержит
как можно меньше пропозициональных переменных, потом
сконструировать схему, соответствующую этому выраже¬
нию. Выражения pV(~pA<?) и p\/q имеют те же значения
истинности, что и первоначальное выражение. Таким
образом, обе следующие схемы проводят ток при тех же
условиях, что и первая:
Ясно, что из этих двух схем вторая больше соответству¬
ет названным требованиям, так как имеет минимум контак¬
тов.
В заключение можно сказать, что проблемы анализа и
синтеза электрических схем в принципе решены средства¬
ми логики высказываний.
Возможность применения логики высказываний в тех¬
нике имеет большое значение как для логики, так и для тех¬
ники. Для техники это значение прежде всего заключается
в том, что здесь операции с материальными предметами
(проводами, контактами, переключателями и т. д.) можно
заменить операциями с логическими символами. Для фор¬
мальной логики такая возможность применения имеет
двоякое значение: 1) она подтверждает правильность ма¬
териалистического понимания формальной логики, подтвер¬
ждает то, что формальная логика является отражением оп¬
ределенных аспектов объективной реальности; 2) можно
конструировать схемы, которые решают логические задачи
и тем самым освобождают человека от части его умствен¬
ного труда. Например, электронные установки по обработ¬
ке данных уже зарекомендовали себя на практике и приоб¬
ретают все большее значение как вспомогательное средство
в составлении прогнозов, планировании, руководстве и
организации промышленных предприятий и производствен
ных процессов. Их значение заключается не только в том,
что они во много раз превосходят человека в скорости и
точности при обработке данных, но прежде г сего в том, что
они автоматически обрабатывают формализованные про¬
112

цессы мышления, могут освобождать человека от трудоем¬
кого схематического умственного труда и тем самым расши¬
рять возможности его творческой деятельности.
2.2.3. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И НЕЙРОННЫЕ СЕТИ
Чрезвычайно трудно исследовать принцип действия го¬
ловного мозга человека. До сих пор нет никакой возможнос¬
ти непосредственно проследить, что происходит в головном
мозге человека, когда он думает.
В тех случаях, когда по каким-либо причинам нельзя
экспериментировать с исследуемым объектом или когда это
нецелесообразно, конструируют модель объекта, исследуя
ее и затем пытаются сделать заключение в отношении самого
объекта. Такая модель может быть материальной, как, на¬
пример, модель самолета, по которой в аэродинамической
трубе изучают аэродинамические свойства самолета, но она
может быть и абстрактной, мысленной моделью.
Американские ученые Уоррен С. Мак-Куллох и Уолтер
Питтс в сороковых годах нашего столетия, исходя из извест¬
ных в то время анатомических и нейрофизиологических
данных о головном мозге, а также из результатов исследо¬
вания поведения, сконструировали абстрактную модель
деятельности головного мозга — нервную или нейронную
сеть. Теория этой модели в рамках этой книги представляет
интерес, поскольку она исследует и описывает нейронные
сети средствами современной формальной логики.
Нейронная сеть — это схема, сеть нейронов. Нейроны —
это нервные клетки, точнее модели нервных клеток, состо¬
ящие из тела клетки и его отростков. Связь между нейрона¬
ми осуществляется аксонами, которые могут передавать им¬
пульсы от одного нейрона к другому. На конце аксонов
находятся тормозящие концевые узлы. Местом соединения
нейрона с концевым узлом аксона является синапс. Синап¬
сы всегда оказывают определенное сопротивление передаче
импульсов. Чтобы преодолеть сопротивление синапсов,
одновременно должно исходить определенное минимальное
количество импульсов.
В отношении функции нейронных сетей исходят из сле¬
дующих предположений:
1.	Каждый нейрон находится только в одном из двух
возможных состояний: в возбужденном состоянии, которое
является результатом ранее полученного импульса, или в
спокойном состоянии. Возбужденный нейрон немедленно
передает импульс нейронам, связанным с ним, он, как го-
113

ворят, «выстреливает». Нейрон, находящийся в спокойном
состоянии, «не выстреливает».
2.	Сила сопротивления синапсов и сила импульсов при¬
нимаются как целочисленные. Например, один нейрон имеет
сопротивление синапсов силой равной 3. Этот нейтрон мо¬
жет быть приведен в возбужденное состояние тогда, когда
через проводящие концевые узлы одновременно поступают
несколько импульсов, которые вместе достигают, по край¬
ней мере, силы 3.
3.	Вся нейронная сеть работает в определенном едином
ритме, который разделен на такты. Импульсы подаются всег¬
да через определенные интервалы. Если достаточное число
движущих концевых узлов, прилегающих к нейрону, воз¬
буждено во время такта t, то нейрон возбуждается в после¬
дующем такте /+1. Возбужденный нейрон в последующем
такте переходит в невозбужденное состояние, если он не
возбуждается снова.
4.	Если возбужден тормозящий концевой узел, прилегав
ющий к нейрону, то нейрон в следующем такте не возбуж¬
дается.
5.	Структура нейронной сети неизменна.
Некоторые примеры могут пояснить, как может приме¬
няться логика высказываний в описании нейронных сетей.
На рисунках нейронных сетей нейроны изображаются
следующим образом:
движущий	тормозящий
концевой узел л.	} концевой узел
| 'аксон
Летело клетки
Следующий рисунок изображает соединение нейронов,
соответствующее конъюнкции логики высказываний:
Сила импульса нейронов А и В принимается за 1, со¬
противление синапсов нейрона X за 2. При таких условиях
U4

X возбуждается во время такта /-Ы только тогда, когда /1
и В были возбуждены во время такта t.
При описании такой нейронной сети константы логики
высказываний будут использоваться в значениях, прине
денных в 2.1. Дополнительно договоримся:
«Л(» обозначает: «нейрон А возбужден во время такта /».
«~Л4» обозначает: «нейрон А не возбужден во время так¬
та /».
Нашу сеть конъюнкции можно описать выражением
Xt+i (Л4 Д Bt).
На следующем рисунке изображена дизъюнкция!
Нейрон X с сопротивлением синапсов 1 возбуждается
уже тогда, когда один из двух нейронов А, В был возбуж¬
ден во время предыдущего такта. Эта сеть описывается как
Mt V Bt).
Для описания следующей сети используется также от¬
рицание!
Возбужденное состояние N оказывает такое действие,
что X в последующем такте не возбуждается. X возбуждает¬
ся только тогда, когда в предыдущем такте А возбуждается,
а N не возбуждается:
Х1+1 <-* (Л( Д ~ Nt).
В качестве последнего примера мы приводим несколько
более сложную сеты
.115

Она описывается посредством
^t+i {[(А Л Bt) V Л Cf) V (Bt Д С|)] Д ~ ATJ.
Это значит: нейрон X возбуждается в такте ^4-1 только
тогда, когда в такте t были возбуждены, по крайней мере,
два из нейронов Л, В, С, а нейрон N не был возбужден.
К нейронной сети относятся еще рецепторные нейроны,
которые получают импульсы не от других нейронов, а
из окружающей эту сеть среды, а также относятся выводные
нейроны, импульсы которых оставляют нервную сеть и,
например, передаются дальше волокнам мышц. При более
сложных нейронных сетях наряду с большим числом ней¬
ронов надо учитывать тот факт, что нейроны передают им¬
пульсы не только одному нейрону, как в наших примерах,
но многим. Но это ничего не изменяет в том, что все эти
нейронные сети могут быть описаны и изучены логически¬
ми и математическими средствами.
В настоящее время теория нейронных сетей уже доста¬
точно разработана. Она дает не только модели для относи¬
тельно простых логических схем описанного типа, но и
позволяет моделировать условные рефлексы. Это очень
важно, так как условные рефлексы играют важную роль в
высшей нервной деятельности, особенно с связи с процесса¬
ми обучения,
3.	ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
3.1.	Основные понятия и символы логики предикатов.
3.2.	Их применение в умозаключениях логики предикатов.
3.3.	Другие понятия логики предикатов.
3.1.	понятия и связи МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ
Понятие с точки зрения теории познания. Формально¬
логическая характеристика понятия.
116

3.1.1. ПОНЯТИЕ
Понятие, как и высказывание, является формой мыс¬
ленного отражения объекта. Оно является составной час¬
тью высказывания. Как уже говорилось, высказывание от¬
ражает некоторый факт объективной реальности, а именно
тот факт, что определенному индивиду присущ определен¬
ный признак. Исследование положения дел в объективной
реальности приводит нас к тому, что отражено в понятии.
Объективная реальность бесконечно разнообразна. Су¬
ществующие в ней предметы более или менее отличаются
друг от друга. Например, каждый человек отличается от
других’ людей и тем более от других живых существ. Одна¬
ко это не значит, что объективная реальность состоит
сплошь из отдельных, изолированных друг от друга ин¬
дивидов. Индивиды имеют некоторые общие свойства. Каж¬
дый человек имеет свойство, общее с другими людьми —
свойство обладать сознанием. У людей вообще есть свойст¬
во, общее со всеми млекопитающими,— свойство иметь
теплую кровь. Так же обстоит дело с индивидами. Неко¬
торые люди состоят в родственных отношениях друг с
другом, а иные нет. Поскольку один индивид имеет общий
признак с другими индивидами, он вместе с ними образу¬
ет класс. Класс индивидов — это множество индивидов,
имеющих, по крайней мере, один общий признак. Мы поль¬
зуемся здесь термином «индивид» в значении, данном в раз¬
деле 2.1.1. Все предметы объективной реальности имеют
общий признак — быть материальными. Общеобразова¬
тельные средние школы составляют класс в том отношении,
что в них обучаются и воспитываются дети и подростки по
учебному плану Министерства просвещения. Класс обра¬
зуют так же супружеские пары, братья и сестры. Для них
общими являются определенные отношения. Каждый инди¬
вид может принадлежать к бесконечно многим классам,
так как он обладает самыми разнообразными признаками.
Один человек одновременно может принадлежать и к клас¬
су учителей, и к классу филателистов, и к классу членов
СЕПГ, и к классу холостяков, и т. д. Принадлежность к
классу не требует сосуществования во времени и в прост¬
ранстве. Например, все сторонники мира образуют один
класс, хотя они живут в разных странах. Гиппократ и Ро¬
берт Кох принадлежат к классу знаменитых врачей, хотя
они и жили в разное время.
Признаки класса присущи всем его индивидам и оста¬
ются неизменными при переходе от одного индивида к дру-
117

тому. Но эти признаки неизменны только в одном строго
определенном отношении. В остальном каждый индивид,
а тем самым и его признаки изменчивы, и их изменение оп¬
ределяет переход индивида из одного класса в другой. Не¬
кто, научившийся читать и писать, принадлежит уже не к
классу неграмотных, как прежде, а к классу умеющих
читать и писать. У него больше нет признаков, общих для
неграмотных, а есть другие, на основании которых он при¬
надлежит к другому классу. Кроме общих, инвариантных
признаков существуют еще и такие, которые изменяются
при переходах от одного индивида к другому внутри од¬
ного класса, это индивидуальные признаки, то, чем один
данный индивид отличается от других в пределах своего
класса. Таким образом, нет смысла говорить просто об
инвариантных и индивидуальных признаках индивида;
нужно указать, в отношении какого класса признаки явля¬
ются общими или индивидуальными. Один и тот же приз¬
нак одного и того же индивида в пределах одного класса
может быть общим, а в пределах другого класса индиви¬
дуальным.
Как между индивидами, так и между классами индиви¬
дов существуют сходства и различия. Классы с общими
признаками снова образуют класс — класс классов, или
класс более высокого порядка. Люди, живущие вместе и
связанные родственными отношениями, образуют семью.
Каждая семья является поэтому классом индивидов. Се¬
мьи, состоящие, например, из пяти человек, образуют класс
классов, а именно класс семей из пяти человек. Наряду с
этим общим признаком состоять из пяти человек эти семьи
имеют, конечно, и индивидуальные признаки (количество
детей, уровень общего дохода и т. д.) которыми они от¬
личаются друг от друга.
Предыдущее рассмотрение служит для подготовки опре¬
деления понятия.
Понятие — это мысленное отражение класса индивидов
или класса классов на основании общих признаков.
Например, общими признаками, на основе которых да¬
ется определение понятия «социалистическое государство»,
являются: наличие общественной собственности на средст¬
ва производства при планомерном развитии всего народно¬
го хозяйства, отсутствие эксплуататорских классов к
эксплуатации человека человеком, принадлежность поли¬
тической власти трудящимся при руководящей роли рабо<
чего класса, руководящая деятельность марксистско-ле¬
нинских коммунистических партий.
118

В задачи этой книги не входит подробное раскрытие
понятия отражения диалектико-материалистической тео¬
рии познания. Тем не менее, необходимо отметить, что с
точки зрения теории познания диалектического материализ¬
ма отражение не является пассивным отображением дейст¬
вительности в человеческом сознании. У человека есть
способность к абстрагированию, и с помощью своих абст¬
ракций, если они верны, он может достигать все более глу¬
бокого познания действительности. В геометрии, например,
точку рассматривают как образование, не подлежащее ни¬
какому измерению. В этом смысле точка является продуктом
абстракции, мысленной конструкцией, которая помогает
человеку в познании основных отношений действительности,
хотя таких мысленных точек объективно не существует.
Наше определение понятия не претендует на разъяснение
всех связанных с ним теоретико-познавательных проблем.
В отношении утверждения, что индивиды образуют
классы, нужно сделать одно философское замечание. Инди¬
виды объединяются в классы на основании общих призна¬
ков, присущих им объективно. Эти общие признаки не су¬
ществуют отдельно от индивидов. Конкретное или специфи¬
чески общее, как общность всех индивидов некоторого
класса в их отношениях с другими индивидами, другими
классами, являющееся одновременно сущностью этих
индивидов, не схватывается средствами формальной логики
и поэтому здесь не рассматривается.
Формой существования понятия в человеческом сознании
является слово. При этом безразлично, будет ли понятие
существовать в форме одного слова («рабочий») или несколь¬
ких слов (например, «мировоззрение рабочего класса»).
Часто понятия выражаются придаточными предложения¬
ми. В высказывании «Трудящиеся, которые принимают
участие в социалистическом соревновании, приносят
пользу своему государству и самим себе» с помощью при¬
даточного предложения из понятия «трудящиеся» образуется
понятие, которое отражает не весь класс трудящихся, но
только часть класса с его дополнительным общим призна¬
ком. Вместо первоначальной формулировки можно было бы
сказать «Трудящиеся, принимающие участие в социалисти¬
ческом соревновании...», отсюда совершенно ясно, что при¬
даточное предложение не имеет здесь значения высказыва¬
ния, а является языковой формой существования понятия.
По аналогии с уже сказанным по поводу высказывания
1десь снова надо заметить, что формальная логика зани¬
мается не определенными, конкретными понятиями, а ис¬
119

следует понятие как таковое и отношение между поня¬
тиями. Вопросы возникновения и изменения понятий от¬
носятся не к области формальной логики, а к области тео¬
рии познания или же диалектической логики. Формаль¬
ная логика дает лишь правила, которые следует принимать
во внимание при образовании понятий.
3.1.2. СОДЕРЖАНИЕ и объем понятий
Согласно определению 3.1.1 понятия отражают общие
признаки, присущие всем индивидам некоторого класса,
и сами классы. Исходя из этого, различают содержание и
объем понятия. Их более подробное рассмотрение приве¬
дет к более глубокому пониманию общего определения по¬
нятия и даст возможность точнее выделить тот аспект иссле¬
дования понятия, которым занимается формальная логика.
Содержание понятия является мысленным отраже¬
нием инвариантных признаков определенного класса ин¬
дивидов или класса классов. Содержание понятия «чело¬
век» является отражением общих для всех людей свойств,
например, таких, как обладание сознанием, владение язы¬
ком и т. д.
Объем понятия — это мысленное отражение определен¬
ного класса индивидов или класса классов. Объем понятия
«человек» является отражением класса людей.
Чтобы точно определить понятие «содержание понятия»,
надо также указать, инвариантные признаки какого клыка
отражены в содержании понятия. Соответствующим обра¬
зом уточняется определение понятия «объем понятия».
Содержание понятия — это мысленное отражение при¬
знаков, которые являются инвариантными внутри класса
индивидов или классов, составляющих объем этого понятия.
Объем понятия — это мысленное отражение того класса
индивидов или класса классов, инвариантные признаки
которых отражены в содержании этого понятия.
Более точное определение содержания и объема понятия
одновременно делает более понятной их связь. Кроме того,
общее определение понятия становится конкретнее, если
учесть, что каждое понятие есть диалектическое единство
его содержания и объема, т. е. неразрывное единство раз¬
личного.
Для каждого понятия имеется класс объектов, которо¬
му оно соответствует. Человеческое мышление — это не
пассивное зеркало, отражающее лучи света, попадающие
на его поверхность; при всей своей принципиальной за¬
120

висимости от объективной реальности, мышление обладает
и относительной самостоятельностью. Оно может образо¬
вывать абстракции, внутренне противоречивые или про¬
тиворечащие законам природы. Оно может, например, об¬
разовывать такие понятия, как «бог», «кентавр» и т. д.,
которые отражают не существующие в действительности
классы индивидов. Чтобы и в таких случаях можно было
оперировать объемами понятий, вводят понятие нулевого
или пустого класса. Нулевой класс — это класс, не имею¬
щий ни одного индивида. В таком случае говорят, что
объем таких понятий, как «бог», «кентавр» и т. д., является
отражением нулевого класса, т. е. что в объективной ре¬
альности не существует индивида с признаками, отражен¬
ными в этих понятиях. Принимая это расширение, можно
сказать, что для каждого понятия имеется класс, которо¬
му оно соответствует.
С другой стороны, конечно, далеко не для каждого
класса имеется понятие, так как в объективной реальности
существует бесконечно много классов, тогда как множест¬
во понятий, существующих в человеческом сознании, ог¬
раничено. Понятие можно определить, как раскрыв его
содержание, так и определив его объем. Но отсюда не сле¬
дует, что каждому содержанию точно соответствует опре¬
деленный объем и наоборот, так как есть понятия, имеющие
одинаковые объемы, но различные содержания.
Понятия «обладающий сознанием» и «способный произ¬
водить орудия труда» по содержанию очень тесно связаны
друг с другом, но не могут быть приравнены друг к другу.
Оба они относятся к классу людей. И поскольку логика
предикатов ограничивается рассмотрением экстенсиональ¬
ных связей, она не делает различия между такими поня¬
тиями. В ее рамках понятия с различным содержанием, но
с одинаковым объемом взаимозаменимы. Таким образом,
между содержанием и объемом понятия устанавливается
соответствие.
3.1.3. ПОНЯТИЕ В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ
Понятия могут быть составными частями высказываний,
норм и вопросов. Здесь речь идет только об отношении по¬
нятия и высказывания; определение отношений между по¬
нятиями и нормами или понятиями и вопросами не входит
в задачи логики высказываний.
Когда говорят, что понятия являются составными час¬
тями высказываний или содержатся в высказываниях, ха-
121

растеризуют связь между понятием и высказыванием лишь
внешне. Кроме того, не каждая составная часть высказыва¬
ния является понятием.
Ту сторону отношения между понятием и высказыва¬
нием, которая существенна для формальной логики, лучше
всего можно понять, рассматривая понятие как высказы-
вательную функцию или форму высказывания. Высказы-
вательной функцией является, например, «х— студент-
заочник» и «х — отец р>.
Как видно, высказывательные функции имеют языковую
форму повествовательных предложений, не будучи, од¬
нако, высказываниями. Относительно обеих высказыва-
тельных функций, приведенных в качестве примера (как и
относительно любых других высказывательных функций),
нельзя сказать, истинны они или ложны. Но этим свойст¬
вом, как известно, обладает каждое высказывание.
То, что высказывательная функция ни истинна, ни
ложна, связано с тем, что она ничего не утверждает и не
отрицает, а является незаконченным, незавершенным вы¬
сказыванием и имеет, по крайней мере, одну переменную
величину, обозначаемую в языке так называемой свободной
переменной. В высказывании же, точнее в его языковом вы¬
ражении, нет никакой свободной переменной. Первая вы¬
сказывательная функция нашего примера в своей языковой
форме содержит свободную переменную «х», наша вторая
высказывательная функция содержит свободные переменные
«х» и «г/». Здесь мы еще не можем дать определения понятия
«свободная переменная». Пока мы можем только сказать:
свободная переменная — это переменная, которая еще не
имеет значения.
Таким образом, высказывательная функция есть мыс¬
ленное образование, имеющее форму повествовательного
предложения. В противоположность высказыванию она
содержит, по крайней мере, одну переменную величину,
обозначаемую свободной переменной, и вследствие этого
не является ни истинной, ни ложной.
Выше речь шла о том, что мы будем рассматривать по¬
нятия как высказывательные функции. В повседневной
жизни и в научной работе нам, как правило, встречаются
понятия не в виде высказывательных функций. Мы говорим
о понятии «студент-заочник», а не о высказывательной
функции «х — студент-заочник» или «х обладает свойством
быть студентом-заочником». Мы говорим о понятии «отец»,
а не о высказывательной функции «х — отец у». Однако
правильнее рассматривать понятие как высказывательную
122

функцию, так как свойства и отношения cymerniyioг не
сами по себе, но всегда только как свойства индивидов, кпк
отношения между индивидами.
Этот факт определенно и очевидно принимается во вни¬
мание при рассмотрении понятия как высказывательной
функции. Но его нужно учитывать и при рассмотрении дру¬
гих форм понятий. Отрыв свойства от его субъекта ведет к
абсолютизации свойств и отношений и искажению объек¬
тивной реальности.
Возьмем какую-либо область индивидов. Рассмотрен¬
ные высказывания и высказывательные функции можно
тогда понимать как высказывания или высказывательные
функции об этой области индивидов, т. е. о содержащихся
в ней индивидах и их признаках. Существуют два способа
перехода от понятия как высказывательной функции к
высказыванию. Первый заключается в завершении высказы¬
вательной функции до высказывания путем замены пере¬
менных величин подходящими понятиями. В языке это
происходит в результате замены свободных переменных
подходящими именами. Так из «х — студент-заочник»,
заменяя свободную переменную х собственным именем
«Фриц Мюллер», получают повествовательное предложение
«Фриц Мюллер — студент-заочник». Его значением явля¬
ется высказывание, которое либо истинно, либо ложно,
смотря по тому, является ли подразумеваемый Фриц Мюл¬
лер студентом-заочником или нет. Из «х — отец у» повест¬
вовательное предложение получается лишь тогда, когда
обе свободные переменные заменены собственными именами,
например, «Степан Павлович Титов — отец Германа Сте¬
пановича Титова».
В теоретико-познавательных исследованиях различие
между мысленным и языковым аспектами рассмотрения не¬
обходимо. Но такое различие может привести к очень слож¬
ным формулировкам, как это уже видно из предыдущего
абзаца. Точное взаимное соответствие высказываний и за¬
конченных повествовательных предложений, высказыва¬
тельных функций и повествовательных предложений со
свободными переменными, переменных величин и свобод¬
ных переменных позволяет несколько упростить наш спо¬
соб выражения. В соответствии с этим мы в дальнейшем бу¬
дем говорить, что высказывательная функция содержит
свободные переменные, хотя она, строго говоря, содержит
только переменные величины, которым в языковом аспекте
соответствуют свободные переменные.
Приведенные выше в качестве примеров переменные —
123

это индивидные переменные. Они представляют собой как
бы пустые места для собственных имен, т. е. для языковых
выражений, которые однозначно именуют конкретные ин¬
дивиды. Примерами таких языковых выражений явля¬
ются «Фриц Мюллер» (в случае необходимости для уточ¬
нения указывают дату и место рождения) и «Последнее пред¬
ложение Коммунистического манифеста Маркса и Эн¬
гельса».
Таким образом, первая возможность получить повество¬
вательное предложение из высказывательной функции,
содержащей свободные индивидные переменные, заключа¬
ется в том, что все свободные индивидные переменные заме¬
няются именами собственными. В результате применения
этого способа из высказывательной функции получается
единичное высказывание.
Второй способ получения высказывания из высказы¬
вательной функции заключается в связывании свободных
переменных. Это происходит с помощью операторов или
кванторов. Из высказывательной функции «х — студент-
заочник» с помощью квантора существования получают
высказывание о существовании:
3 (х) [х—студент-заочник].
Это значит: «Существует, по крайней мере, один индивид,
для которого верно, что: х — студент-заочник». Если сим¬
вол квантора существования Э(х)» стоит перед высказы¬
вательной функцией, которая содержит переменную х, то
под этим подразумевается, что существует, по крайней ме¬
ре, один индивид с признаками, отраженными в высказы¬
вательной функции, но возможно, что таких индивидов
несколько. Из высказывательной функции «х — отец р>
с помощью двух кванторов существования получают вы¬
сказывание
□ (х) 3 (z/) [х—отец у].
Это значит: «Существуют, по крайней мере, один х и один у,
для которых верно: х — отец у». Можно также получить
высказывание 3(у) [С. П. Титов — отец #1, используя обе
названные возможности. Важно только учесть все свобод¬
ные переменные.
Можно дать определение:
Экзистенциальное высказывание (высказывание о су¬
ществовании) — это высказывание, которое устанавлива¬
ет, что существует, по крайней мере, один индивид, об¬
ладающий определенным признаком* Оно истинно только
124

тогда, когда имеется, по крайней мере, один набор зна¬
чений свободных переменных, при котором из содержа¬
щейся в нем высказывательной функции получается ис¬
тинное высказывание.
Для разъяснения последнего предложения приведем
пример: в результате замены свободных индивидных пере¬
менных из высказывательной функции «х — отец у» мы
получили истинное высказывание: «Степан Павлович Ти¬
тов — отец Германа Степановича Титова». Таким образом,
имеется, по крайней мере, один набор значений (фактиче¬
ски намного больше, но здесь это неважно), при которо^м
из высказывательной функции получается истинное вы¬
сказывание. Итак, 3 (х) 3 (у) [х — отец у] является истин¬
ным высказыванием.
Из высказывательной функции «х — студент-заочник» с
помощью квантора общности получают высказывание обо
всех индивидах:
V (х) [х—студент-заочник],
то есть для каждого индивида х верно: «х — студент-
заочник». С помощью квантора общности выражают, что
каждому отдельному индивиду определенной области при¬
надлежит данный признак. Вместо «для каждого х верно...»
говорят также «для всех х верно: ...». Но этот способ выра¬
жения не должен приводить к смешиванию высказываний
обо всех индивидах с высказываниями типа «Для класса
индивидов х верно: ...», так как признак, относящийся к
классу индивидов, не является признаком индивидов этого
класса, и наоборот. Для каждого отдельного человека
верно, например, что он умрет. Но нет никаких оснований
для предположения, что это свойство относится к классу
всех людей, т. е. к человечеству.
Из нашей второй высказывательной функции, применяя
два квантора общности, можно получить следующее ложное
высказывание:
V(x) У (у) [х—отец у].
Это значит: «Для каждого х и для каждого у верно: х —
отец £/», иными словами: «Каждый является отцом каждого».
В результате комбинированного применения квантора общ¬
ности и использования собственных имен также получает¬
ся высказывание обо всех индивидах.
Дадим определение:
Высказывание обо всех индивидах, общее высказыва¬
ние — это высказывание, которое констатирует, что каж¬
125

дый отдельный индивид данной индивидной области об¬
ладает определенным признаком. Оно истинно только
тогда, когда при любом наборе значений его свободных
переменных из содержащейся в нем высказывательной
функции получается истинное высказывание.
Наряду с уже названными тремя видами высказываний
имеется еще и четвертый. Мы имеем в виду высказывание,
в котором встречаются оба типа кванторов, например:
У (у) 3 (х) [х—отец у].
Если индивидная область — область людей, то эта
запись выражает высказывание «Каждый человек имеет
отца».
Итак, высказывательные функции превращаются в вы¬
сказывания путем замены содержащихся в них свободных
переменных именами собственными или путем связывания
их кванторами. Квантор связывает все находящиеся в об¬
ласти его действия переменные. В область действия кван¬
тора всегда входит, по крайней мере, последующая выска¬
зывательная функция. В нее может одновременно входить и
несколько высказывательных функций, соединенных ло¬
гическими связками. В этом случае все высказывательные
функции, находящиеся в области действия квантора, объе¬
диняются скобками.
Два вида переменных, о которых здесь шла речь, мож¬
но определить следующим образом:
Переменная высказывательной функции является сво¬
бодной переменной, если она не находится в области дей¬
ствия квантора.
Переменная является связанной переменной, если она
находится в области действия квантора.
Символический язык логики предикатов имеет здесь то
преимущество, что о каждом выражении логики предикатов,
не учитывая его значения, можно сказать, является ли оно
высказыванием или высказывательной функцией. Для этого
нужно только проверить, находится ли каждая встречающа¬
яся в высказывательной функции переменная в области
действия квантора с соответствующей подкванторной (стоя¬
щей непосредственно за ним в круглых скобках) перемен¬
ной. Если это так, то мы имеем высказывание, в противном
случае — высказывательную функцию.
Ни в одном из примеров этой главы еще не встречалось
отрицание. Поэтому нужно сделать еще некоторые замеча¬
ния об отрицании в выражениях логики предикатов. Если
отрицается высказывание «Существует, по крайней мере,
126

один х, для которого верно: х — студент i.'kpiiiiiк», то но
лучают высказывание «Неверно, что существует к, для ко¬
торого верно: к — студент-заочник». Иными словами, «Не
существует никакого х, для которого верно: х — студент-
заочник». В символическом изображении это будет
~ Э (х) [х—студент-заочник].
Если мы отрицаем общее высказывание, то получаем
«Неверно, что для каждого х верно: х — студент-заочник».
Иными словами, «Не для каждого х верно: х — студент-
заочник». В символическом изображении
~V(x) [х—студент-заочник].
Наряду с этим можно отрицать и высказывательные
функции, как в
Э(х) [х—не студент-заочник],
т. е. «Имеется, по крайней мере, один индивид х, для кото¬
рого верно: х — не студент-заочник». Отрицанием закон¬
ченных высказываний и высказывательных функций, а
также их связью мы подробнее займемся в разделе 3.2.3.
Может удивить, что в главе о логике предикатов не бы¬
ло еще и речи о предикатах. Теперь их введение подготов¬
лено, так что уже несколькими фразами можно объяснить,
что такое предикаты.
Предикаты — это высказывательные функции типа «х —
студент-заочник», «х больше, чем у», «х говорит с у о г»
и т. д., т. е. содержание понятий в их правильной логиче¬
ской форме, по которой можно установить, отражается ли
в нем свойство или отношение и между сколькими индиви¬
дами существует такое отношение. Все, что до сих пор гово¬
рилось о высказывательных функциях, относится также и
к предикатам, так как каждый предикат является высказы¬
вательной функцией.
По числу мест предикаты делятся на:
(1)	одноместные предикаты — это отражения свойств,
высказывательные функции с одной переменной,
(2)	многоместные предикаты — это отражения отноше¬
ний, высказывательные функции более чем с одной перемен¬
ной.
Многоместные предикаты более строго подразделяются
на двухместные, трехместные и т. д. предикаты или отноше¬
ния. Так как логика предикатов занимается не отдельны¬
ми предикатами, а предикатами вообще, будет целесообраз¬
но ввести для них символы. В качестве предикатных пере¬
127

менных мы используем заглавные латинские буквы Л, В,
... F, G, ... /?, S, ...; индивидные переменные, стоящие в
скобках справа от этих букв, позволяют определить мест¬
ность предикатов. Для наглядности составим таблицу при¬
меров символов, которые потребуются в дальнейшем.
Символ
Значение
Имя
Р(х)
~Р(Х)
х—Р\ х имеет свойство Р
х—не Р; х не имеет свойст¬
ва Р
Одноместный преди¬
кат, свойство
R (*. у)
(X, у)
х находится в отношении R
С У
х нс находится в отношении
R с у
Многоместный пре¬
дикат, отношение
v W
~V(x)
Для каждого индивида х
верно
Не для каждого х верно (воз¬
можно верно для некоторых х,
возможно ни для одного)
Квантор общности
э (*)
~Э(Х)
Существует, по крайней мере,
один х, для которого верно (воз¬
можно, верно для каждого х)
Не существует х, для которого
верно
Квантор существо¬
вания
3.1.4. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ
В разделе 3.1.3 мы рассматривали только такие выска¬
зывания, в которых имелось одно понятие. Гораздо чаще
встречаются высказывания, в которых содержится, по
крайней мере, два понятия, находящихся в определенном
отношении друг с другом. Эти отношения являются отра¬
жением отношений, существующих между соответствующи¬
ми классами индивидов. Высказывание будет истинным
лишь тогда, когда отношение между его понятиями будет
адекватным отражением того отношения, которое существует
между классами, отраженными в понятиях. В соответствии
с этим мы, говоря о возможных отношениях между понятия¬
ми, будем исходить из того, какие отношения возможны
128

между двумя классами индивидов. Это значит, что мы будем
рассматривать отношения между понятиями как отношении
между предикатами, т. е. содержаниями понятий, но ни
основе их объемов. Иначе говоря, как экстенсиональные
отношения между содержаниями понятий.
Основой отношений между классами является отношс*
цие элементов; поэтому сначала нам нужно заняться нм.
Индивиды, образующие на основе своих общих свойств
некоторый класс, являются элементами этого класса.
Каждый индивид, являющийся человеком, иными сло¬
вами, обладающий свойствами человека, является элемен¬
том класса людей. Высказывательной функции «х — чело¬
век» соответствует высказывательная функция «х — эле¬
мент класса людей».
Пары индивидов, образующие класс на основе общего
двухместного отношения, являются элементами этого
класса.
Каждая пара людей, состоящая в браке друг с другом,
является элементом класса супругов. Высказывательной
функции «х состоит в браке с у» соответствует высказы¬
вательная функция «Пара индивидов [х, у] является эле¬
ментом класса супругов, или класса людей, состоящих в
браке друг с другом». Аналогичным образом определяют
элементы классов, в которых общими являются трехместные
или многоместные отношения. В дальнейшем мы будем за¬
ниматься исключительно одноместными и двухместными пре¬
дикатами.
Приведенные примеры элементов классов, конечно,
ясны. Но на практике при попытке указать элементы дан¬
ного класса часто ошибаются. Первая возможная ошибка
состоит в том, что вместо элемента класса снова указывают
на класс. Рассматривают, например, жилые дома как эле¬
мент класса домов, не учитывая при этом, что элементами
класса домов должны быть индивиды, а не классы. В качест¬
ве элемента класса домов можно назвать один дом, распо¬
ложенный по определенному адресу.
Вторая, чаще встречающаяся ошибка заключается в том,
что вместо элемента класса называют часть предмета. На¬
зывают, например, артиллерию или отдельного солдата
элементом класса армий. Здесь правильнее было бы на¬
звать, например, Национальную Народную Армию ГДР.
Этих ошибок можно легко избежать, образуя высказыва¬
ние следующего вида: «Национальная Народная Армия ГДР
есть армия», т. е. соединяя имя индивида с именем соот¬
ветствующего класса посредством связки «есть». Если же
5 Д? 743
129

вместо ННА ГДР ставят слово «солдат», то возникает лож¬
ное высказывание, определенно свидетельствующее о том,
что указан не элемент класса, а что-то другое. Если же полу¬
чается истинное высказывание, то это еще не говорит о том,
что действительно указан элемент класса. Здесь может быть
допущена первая ошибка. Из-за многозначности слова
«есть» наряду с отношением принадлежности элемента к
классу оно может обозначать отношение содержаний и от¬
ношение идентичности объемов.
Начнем систематическое изложение отношений между
понятиями. В целях наглядности класс индивидов изобра¬
зим в виде прямоугольника. Точки, составляющие площадь
прямоугольника, могут представлять элементы класса.
Прежде всего следует принять во внимание, что сущест¬
вует две возможности:
1.	Есть классы, которые не имеют общего элемента.
2.	Есть классы, которые имеют, по крайней мере, один
общий элемент.
Сначала займемся первой возможностью. В графиче¬
ском изображении это будет
А
В
|~Н~|
Здесь А и В или R и S являются классами, которые не име¬
ют ни одного общего элемента. Иными словами: общие при¬
знаки А (х) и В (х) не могут относиться к одному и тому же
элементу. Или: не существует индивида, к которому отно¬
сятся оба признака. Нет ни одного философа, который од¬
новременно и в одном и том же отношении был бы материа¬
листом и идеалистом. Если речь идет о классах R и S,
классах пар, то не существует ни одной пары индивидов,
между которыми существовало бы одновременно отношение
R и отношение S. Нет, например, ни одного случая, когда
х одновременно и в одном и том же отношении является и
причиной и следствием у. Этот пример показывает, что в
отношении R(x, у) нельзя путать х и у. Если х является
причиной у, то у, естественно, является следствием х; но
пара [х, у] совсем иная, чем пара [у, х]. В высказываниях
об отношениях пары индивидов всегда упорядочены.
Понятия, объемы которых не имеют ни одного общего
элемента, являются дизъюнктивными понятиями.
Понятия А (х) и В (х) являются дизъюнктивными тогда
и только тогда, когда
~ 3 (х) [Л (х) л в (х)].
130

Понятия /?(х, у) и S(x, у) являются дизъюнктивными
тогда и только тогда, когда
~ 3 (х) 3 (у) [# (х, у) л $ (х, г/)].
Вследствие этого два понятия А (х) и В(х) являются
дизъюнктивными только в том случае, если ни при каком
наборе значений индивидных переменных из высказыватель¬
ной функции Л(х)дВ(х) не получится истинное высказы¬
вание. Это же справедливо и для дизъюнктивных понятий
/?(х, у) и S(x, у).
Понятие А (х) или R (х, у) и его отрицание ~А (х) или
~/?(х, у) также являются дизъюнктивными, поскольку не
существует ни одного индивида, который имел бы опреде¬
ленное свойство и не имел его одновременно и в одном и том
же отношении; нет ни одной пары индивидов, между которы¬
ми существовало бы определенное отношение и оно же не су¬
ществовало бы одновременно и в одном и том же смысле.
Обратимся к понятиям, объемы которых имеют хотя бы
по одному общему элементу.
я! s
Рисунки показывают, что все элементы А или R одно¬
временно являются элементами В или S. Первый назван¬
ный класс содержится во втором. Для каждого индивида
х верно: если он имеет свойство А (х), то он имеет и свойство
В(х). Каждый человек, являющийся рабочим, является
также и трудящимся. Для каждой пары людей х, у верно:
если х — брат у. то х — родственник у.
Это отношение понятий называется подчинением. А (х)
или /?(х, у) подчиненное, или видовое, понятие; В(х) или
S(x, у) подчиняющее, или родовое, понятие.
Понятия А (х) и В (х) находятся в родо-видовом отноше¬
нии тогда и только тогда, когда
V (х) [Л (х) -► В (х)].
Понятия R(x, у) и S(x, у) находятся в родо-видовом
отношении тогда и только тогда, когда
v (х) v (у) [Я (х, y)—+S (х, г/)].
Из определения ясно, что для одного понятия можно
найти различные как родовые, так и видовые понятия и
что одно и то же понятие в отношении одного понятия может
5*
131

быть видовым, а в отношении другого — родовым. Понятие
«рабочий» будет видовым понятием по отношению к родо¬
вому понятию «трудящийся», но родовым понятием по отно¬
шению к видовому понятию «рабочий-металлист». Если
рассматривать понятие «трудящийся» как родовое понятие,
то понятия «рабочий» и «рабочий-металлист» будут по от¬
ношению к нему двумя видовыми понятиями. Если рассмат¬
ривать понятие «рабочий-металлист» как видовое понятие,
то «рабочий» и «трудящийся» будут по отношению к нему
двумя родовыми понятиями. В каждом из этих случаев
выполнено условие, что каждый индивид, подпадающий
под видовое понятие, должен подпасть и под родовое. Та¬
кие же отношения существуют, например, между понятия-;
ми «родственник», «брат» и «братья-близнецы».
Следующее отношение между понятиями, имеющими
общие элементы объемов, можно увидеть на рисунках
А В
R S
В этом случае каждый элемент А или R является так¬
же элементом В или S и наоборот. Для каждого индивида
верно: он имеет признак А (х) только тогда, когда он имеет
признак В(х).
Иначе говоря: или он имеет оба указанных признака,
или ни одного из них. Например, треугольники будут рав¬
носторонними только тогда, когда они имеют равные углы.
Неразделимое единство мышления и языка позволяет ска¬
зать: х и у устно обмениваются мыслями только тогда, ког¬
да они говорят друг с другом. Имеющееся здесь отношение
между понятиями является совпадением объемов. Это зна«
чит, что понятия «равносторонний треугольник» и «треуголь
ник с равными углами» или же «устно обмениваться мысля
ми» и «разговаривать друг с другом» являются идентичным!
(совпадающими) по их объему. Но по своему содержании
они не идентичны. Если же два понятия идентичны по свое
му содержанию, то они идентичны и по своему объе^иу
Понятия А (х) и В (х) равнообъемны тогда и только тог
да, когда
V (х) [Л (x)wB(x)].
Понятия R (х, у) и S (х, у) равнообъемны тогда и толыа
тогда, когда
v (х) V (у) [7? (х, у) <-> S (х, г/)].
132

Формулы, с помощью которых мы определили идснтич
ность объемов, можно получить следующим образом: все
элементы А являются элементами 5, т. е. А содержится и /Г
Это формула, выражающая подчинение. И наоборот, Л
содержится в А. Поэтому верна и обратная формула.
Из логики высказываний мы знаем, что p<-tq и (p-*q)/\
/\(q-+p) имеют одинаковые значения истинности и поэтому
взаимозаменимы. Используя эту взаимозаменимость, по¬
лучаем определение идентичности объемов.
На трех следующих примерах еще раз покажем много¬
значность слова «есть». «Фриц Мюллер есть студент-заоч¬
ник» выражает отношение принадлежности элемента к клас¬
су; «Каждый рабочий есть трудящийся» — отношние между
содержаниями понятий; «Каждый равносторонний тре¬
угольник есть треугольник с равными углами» — идентич¬
ность объемов.
Следующие рисунки показывают третье отношение меж¬
ду понятиями, классы которых имеют хотя бы по одному
общему элементу:
Некоторые индивиды или пары индивидов являются эле¬
ментами обоих классов, но есть и такие, которые являются
элементами только одного из классов. Такое отношение
существует между рабочими и писателями. Есть писатели-
рабочие, но есть также рабочие, которые не занимаются
писательской деятельностью, и есть писатели, которые не
являются рабочими. Такое же отношение, как между поня¬
тиями «рабочий» и «писатель», существует между «х помога¬
ет у» и «х — товарищ у по работе».
Это отношение понятий называется отношением пере¬
крещивания.
Чтобы получить определение этого отношения, нужно
только выразить на символическом языке логики предика¬
тов тот факт, что имеются индивиды или пары индивидов,
которые обладают обоими признаками, и такие, которые
обладают только одним из этих признаков.
Понятия А (х) и В (х) будут находиться в отношении
перекрещивания тогда и только тогда, когда
3 (х) [Л (х) л в (х)] л з (х) [А (х) /\~В (х)] Л
Л э (х) [В (х) л ~ л (х)].
133

Понятия 7? (х, у) и S (х, у) будут находиться в отношении
перекрещивания тогда и только тогда, когда
Э (х) Э (у) [7? (х, у) Л S (х, z/)] Л
Л э (х) 3 (у) [/? (X, у) л ~ S (х, у)]
A3(x)3(z/)[S(x, г/)Л-/?(х, <
Если несколько понятий имеют общее родовое понятие,
то их называют соподчиненными понятиями. Соподчинен¬
ными понятиями являются, например, «рабочий», «крестья¬
нин»; родовым понятием для них является «трудящийся».
Также соподчиненными понятиями являются «слышать»,
«видеть», «чувствовать», так как они имеют общее родовое
понятие «воспринимать». К соподчиненным понятиям от¬
носятся также противоположные (контрарные) понятия.
Их определяют как те видовые понятия одного и того же
родового понятия, которые в наибольшей степени отличают¬
ся друг от друга. Примерами противоположных понятий
являются «красивый» и «безобразный», «большой» и «ма¬
ленький». Это отношение между понятиями нельзя изобра¬
зить средствами формальной логики. Кроме того, почти
всегда возникают большие трудности при определении того,
какие понятия являются противоположными друг другу,
так как при этом предполагается, что понятия распределяют¬
ся по степени их различия.
Отношением между понятиями, которое можно точно
отразить с помощью средств логики предикатов, является
отношение между конверсивными понятиями. В этом отно¬
шении могут находиться только такие понятия, которые
сами отражают отношения. В случае двухместных отноше¬
ний, которыми мы и ограничимся, одно понятие отражает
отношение обратное тому, которое отражено в другом поня¬
тии. Конверсивными понятиями являются, например:
«х есть причина у» и «у есть действие х», «х есть родитель у»
и «у есть ребенок х», «х есть родственник у» и «у есть родст¬
венник х». Как видно из примеров, конверсивными по от¬
ношению друг к другу могут быть различные понятия, но
есть понятия конверсивные сами себе. Конверсивное поня¬
тие для понятия 7?(х, у) имеет особый символ, который оз¬
начает его отношение к первому- $(у, х).
Понятия /? (х, у) и Й (у, х) будут конверсивными тогда
и только тогда, когда
v (*)v (z/) [R (*» y)*+R *)]•
134	I

Вышеизложенное описание отношений между понятиями
является пропедевтикой к умозаключениям логики преди¬
катов в следующем разделе, но оно полезно и само по себе.
Во многих случаях, когда оперируют понятиями, необходи¬
мо знать, в каких отношениях друг с другом они могут
находиться и как можно точно выразить эти отношения.
Поэтому изучение отношений между понятиями полезно
всем, кто занимается учебной или публицистической дея¬
тельностью, и не только им. Проникновение науки во все
области нашей социалистической действительности (будь
то политика, экономика или техника) предъявляет людям
все более высокие требования, в частности это касается
способа выражения и понимания ими своей деятельности.
Тем, что здесь было сказано об отношениях между поня¬
тиями, далеко не исчерпывается диалектика этих отноше¬
ний. Так, мы умолчали о том, что в объективной реальности
классы индивидов не строго разграничиваются между собой,
а всегда содержат индивиды, находящиеся в стадии перехо¬
да. Поэтому мы не касались вытекающей отсюда неопреде¬
ленности многих понятий. Однако с помощью средств логики
предикатов можно понять существенные отношения между
понятиями, исследовать диалектику этих отношений.
3.1.5. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ФОРМА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Прежде всего возникают определенные трудности при
переводе на язык логики предикатов высказываний, сфор¬
мулированных в предложениях естественного языка, и на¬
оборот, так как ни в логике высказываний, ни в логике пре¬
дикатов для этого нет общего правила. Перевод следует
делать после анализа содержания. Поэтому мы попытаемся
привести здесь ряд примеров, показывающих, какие мо¬
менты нужно при этом учитывать.
До сих пор в качестве символов мы пользовались констан¬
тами логики высказываний и логики предикатов, т. е. сим¬
волами логики высказываний для отрицания, конъюнкции
и т. д., кванторами общности и существования, а также
индивидными переменными. Кроме того, по договоренно¬
сти мы будем вводить индивидные константы и предикатные
константы, т. е. символы логики предикатов с определенным
значением. В качестве индивидных констант используем
маленькие латинские буквы, например «ш> вместо «Алек¬
сандр», а в качестве предикатных констант заглавные ла¬
тинские буквы, например, «7И» вместо «человек».
Например, выражение «Александр прилежен» в симво-
135

лической форме будет выглядеть как F(a). Это единичное
высказывание отражает тот факт, что Александр является
элементом класса прилежных или что Александр обладает
свойством быть прилежным — F(a). Таким же единичным
высказыванием является «Александр женат (У(х, у)) на
Еве (е)». Здесь символизация тоже проста; в V (х, у) инди¬
видные переменные нужно заменить индивидными констан¬
тами — V (а, е).
Часто говорят просто: «Александр женат». Символиза¬
ция по образцу предыдущего примера дала бы V(at у).
Но это не высказывание, а высказывательная функция, так
как у свободная переменная. Можно истолковать семейное
положение как свойство; тогда у можно было бы опустить,
и V (а) было бы безупречной символизацией первоначаль¬
ного предложения. Но это связано с уменьшением числа
мест предиката. Поэтому лучше более точно выразить то,
что подразумевается под «Александр женат». Если Алек¬
сандр женат, то должен существовать еще кто-то, на ком
он женат. Результатом этого рассуждения является:
B(y)V(a, У)* т- е. «Существует, по крайней мере, один
индивид у, для которого верно: Александр женат на //».
Этот обратный перевод символизированного выражения на
несимволический язык может звучать непривычно. В ло¬
гике предикатов замена операций с мыслями операциями
со знаками создает предпосылку для четкого выражения
того, что в естественном языке могло быть опущено как
само собой разумеющееся.
Символизации «Александр встретил (В(х, у)) друга
(F(y, %))» предшествует анализ, подобный анализу в преды¬
дущем примере: Э(х) [F(x, а)/\В(а, х)]. Есть кто-то, кто
является другом Александра и с кем Александр встретился.
«Александр встретился со своим другом Клеменсом (с)»
символизируется таким образом: F(с, а)/\В(а, с).
Предложение «Кошка есть хищное животное (/? (х)»
многозначно. Если это предложение относится к определен¬
ной ксшке (k), то мы имеем единичное высказывание: R (/?),
Если же это предложение взято из учебника зоологии, то
здесь, очевидно, подразумевается «Все кошки есть хищные
животные», или — это будет уже формулировка, которую!
можно перевести на символический язык: «Каждый ин-(
дивид, являющийся кошкой, есть хищное животное», а!
именно: У(х) [К(х)->А? (х)].
В этих формулировках не касаются стилистических тон¬
костей, а по возможности точно воспроизводят содержание
в том смысле, что класс кошек входит в класс хищных жи-
136	I

вотных. В таких случаях следует смотреть, имеет ли место
отношение включения в обратном направлении. Если да,
то эти понятия идентичны по объему и знак импликации
можно заменить знаком эквиваленции. Но здесь этого нет,
так как существуют и другие виды хищных животных. Если
невозможно решить, являются данные понятия равнообъ¬
емными или они находятся лишь в отношении подчинения,
то связь между ними на символическом языке выражается
импликацией.
Экзистенциальные высказывания на естественном язы¬
ке часто формулируются с помощью прилагательных:
«отдельные», «некоторые», «иные», «различные», «немногие»
и «многие».1
При символизации таких высказываний не учитывают
количественные различия, например между «немногие» и
«многие», а принимают во внимание только то, что является
общим для всех них, а именно, что имеется, по крайней ме¬
ре, один индивид с определенным признаком. И наоборот,
из символизированного экзистенциального высказывания
нельзя узнать ничего о количестве индивидов с определен¬
ным признаком, кроме того, что, по крайней мере, один
такой индивид существует и что, возможно, все индивиды
обладают этим признаком. Можно ввести кванторы, кото¬
рые точно передадут количественные различия, но вообще-
то этого делать не нужно.
Предложение «Многие локомотивы (Z (х)) приводятся
в движение электродвигателем (Е(х))» говорит о том, что
есть, по крайней мере, один индивид, являющийся локомо¬
тивом и приводящийся в движение электродвигателем:
Э (х) [L (х) л Е (*)]•
С помощью тех же средств можно выразить «Многие локо¬
мотивы приводятся в движение не электродвигателем»:
а (х) [L (х) л ~ Е (х)].
Не совсем простой является символизация предложе¬
ния «Большинство людей (М (х)) стремятся к миру (F(x))».
Неверно было бы символизировать его так: 3(х) [Л1(х)Д
дЕ(х)]. Эта запись говорит о том, что существуют люди,
стремящиеся к миру. Но известно, что не все люди стремят¬
ся к миру, что есть люди, которые навязывают войну или,
по крайней мере, пытаются ее навязать. Однако это никак
1 В немецком языке эти слова являются неопределенными числи¬
тельными (Прим.— И. Л1.).
137

не отражено нашим переводом. Такие выражения, как «мно¬
гие», «большинство» и т. д., подразумевают, что не всем
индивидам присущ определенный признак. Можно было бы
предложить такую символическую запись:
~ V (х) [М (х) — F (х)].
Это выражение также обозначает истинное высказывание.
Но оно еще менее удовлетворительно, чем первое, так как
оставляет открытым вопрос о том, есть ли вообще люди, ко¬
торые стремятся к миру. Поэтому наиболее адекватная сим¬
волизация получается при соединении в конъюнкцию обоих
выражений:
3 (х) [Л4 (х) л F (*)] л ~ v (х) ри (х) -► F (х)].
Может возникнуть вопрос, почему при символизации об¬
щих высказываний отдается предпочтение знаку имплика¬
ции, а при символизации экзистенциальных высказыва¬
ний — знаку конъюнкции и нельзя ли в обоих случаях
использовать один и тот же знак. Сначала рассмотрим раз¬
личие между
3 (х) [S (х) Д Р (х)] и 3 (х) [S (х) —► Р (х)].
Оба экзистенциальные высказывания истинны, если су¬
ществует хотя бы один набор значений х, при котором слож¬
ные высказывательные функции, находящиеся в области
действия кванторов существования, истинны.
Конъюнкция S(x)/\P(x) истинна только тогда, когда
имеется, по крайней мере, один индивид с обоими свойства¬
ми. Импликация S(x)-+P(x) в этом случае также истинна,
но она истинна и еще в двух случаях: 1) если имеется ин¬
дивид, который не обладает свойством S, но обладает
свойством Р\ 2) если есть индивид, у которого нет ни того,
ни другого из этих свойств. Один из этих трех случаев
почти всегда имеет место, так что высказывание этого типа
почти ничего не говорит. Таким образом, значение высказы¬
вания типа «Некоторые индивиды со свойством S имеют
свойство Р» передается более адекватно, если его символи¬
зировать как
3 (х) [S (х) л р (x)J.
Рассмотрим различие между
V (х) [S (х) —>• Р (х)] и V (х) [S (х) л р (*)]•
138

Первое выражение говорит о том, что каждый ипдиппд,
если он имеет свойство S, то имеет и свойство Р. или ч к>
каждый индивид, обладающий свойством S, обладает и
свойством Р. Таким образом, высказывание сделано не о
любых индивидах, а только о тех, которые обладают опре¬
деленным свойством, принадлежат к определенному клас¬
су. Второе же выражение говорит о том, что любой индивид
обладает обоими свойствами. Однако этого не утверждало
ни одно из приведенных выше высказываний, все они подра¬
зумевали только то, что выражается в V(x) [S(x)->P(x)L
Это станет яснее, когда мы займемся преобразованием об¬
щих высказываний в экзистенциальные и наоборот.
Покажем на примере, что при символизации нельзя
переводить буквально, а нужно тщательно проанализиро¬
вать содержание. Если мы символизируем высказывание
«Все девушки и юноши прилежны» посредством
V (х) {[М (х) Д J (х)] — F (х)},
то обратный перевод будет: «Для каждого индивида верно:
если он есть девушка и юноша, то он прилежен». В дейст¬
вительности же наше утверждение относится к каждому ин¬
дивиду, который является девушкой или юношей.
Перевод выражений логики предикатов на естественный
язык в большинстве случаев проще, чем обратный перевод.
Трудности могут возникнуть, если выражение логики
предикатов содержит два или более кванторов. В заключе¬
ние мы хотим заняться еще несколькими примерами.
Введем обычный в математике знак «меньше»: «х<у»,
который читается как «х меньше у», чтобы с его помощью
формулировать высказывания о натуральных, т. е. целых
положительных числах 1, 2, 3, 4, ... Из «х<у» в результате
подстановки цифр вместо свободных переменных получа¬
ется, например, истинное высказывание «3<7» и ложное
высказывание «6<2». Если использовать только кванторы,
то из этих высказывательных функций можно получить
шесть различный высказываний:
(1)	V (х) V (у) [х < у],
(2)	V (х) 3 (у) [х < у},
(3)	Э (z/) V (х) [х < «/],
(4)	3 (х) V (#) [х < #],
(5)	V (у) 3 (х) [х < у],
(6)	3 (х) 3 (у) [х < у].
139

Высказывание (6) истинно, если существует хотя бы
один набор значений индивидных переменных, при котором
из высказывательной функции получается истинное выска¬
зывание. Такой набор значений мы уже давали. Высказы¬
вание гласит: «Имеется, по крайней мере, одно натураль¬
ное число х и, по крайней мере, одно натуральное число у.
для которых верно: х меньше у» или «Имеется, по крайней
мере, пара натуральных чисел, из которых одно меньше
другого».
Высказывание (1) утверждает, что «Для каждой пары
натуральных чисел верно, что первое из них меньше, чем
второе». Однако это неверно (мы уже приводили контрпри¬
мер), и, следовательно, это высказывание ложно.
Высказывание (5) говорит о том, что «Для каждого на¬
турального числа у существует, по крайней мере, одно на¬
туральное число х, для которого верно: х меньше у», или
проще: «Для каждого натурального числа существует мень¬
шее». Это высказывание ложно, так как для натурального
числа 1 меньшего не существует; 1 есть наименьшее нату¬
ральное число. Иногда 0 рассматривают как наименьшее
натуральное число, тогда все сказанное относится к нему,
и высказывание истинно.
Высказывание (4) утверждает, что «Существует, по край¬
ней мере, одно натуральное число х, такое, что для каждого
натурального числа у верно: х меньше, чем у», или проще:
«Существует наименьшее натуральное число». Высказы¬
вание истинно, если мы предполагаем, что х и у различны.
Высказывания (4) и (5) совпадают с точностью до последо¬
вательности кванторов. Однако они говорят о разных ве¬
щах и даже имеют различные значения истинности. Этот
пример показывает, что в выражениях логики предикатов
нельзя просто переставлять кванторы. Если встречаются
только кванторы общности или только кванторы существо¬
вания, то их можно менять местами, не изменяя значения
выражения. Поэтому для высказываний (1) и (6) мы не да¬
вали выражений, в которых кванторы стоят в иной последо¬
вательности.
Высказывание (3) гласит: «Существует, по крайней ме¬
ре, одно натуральное число у, такое, что для каждого на¬
турального числа х верно: х меньше у» или проще: «Сущест¬
вует наибольшее натуральное число». Это высказывание
ложно, так как для каждого натурального числа можно най¬
ти большее, поскольку ряд натуральных чисел бесконе¬
чен.
140

Высказывание (2) утверждает, что «Для каждого на¬
турального числа х имеется, по крайней мере, одно натураль¬
ное число у, такое, что верно: х меньше у» или с помощью
отношения t/>x, конверсного х<г/, получаем: «Для каж¬
дого натурального числа найдется большее число». Это
высказывание истинно.
Эти примеры показывают, что при переводе выражений
логики предикатов сначала нужно найти формулировку,;
точно соответствующую выражению, чтобы потом без из¬
менения смысла перейти к формулировке, принятой в ес¬
тественном языке.
3.2.	УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Теперь займемся традиционной и современной теориями
умозаключений логики предикатов. Но сначала установим
связь с умозаключениями логики высказываний и введем
некоторые законы и правила, которые нужны нам для ис¬
следования умозаключений.
3.2.1. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ЛОГИКИ
ПРЕДИКАТОВ
Умозаключения логики предикатов основываются на
законах логики высказываний и логики предикатов. Вслед¬
ствие этого возможности умозаключений логики предикатов
по сравнению с умозаключениями логики высказываний
значительно расширяются. Насколько умозаключения ло¬
гики предикатов выходят за пределы умозаключений ло¬
гики высказываний, становится яснее из такого примера.
Проанализируем следующее умозаключение:
Все марксисты — атеисты.
Многие борцы за мир не являются атеистами.
Следовательно, многие борцы за мир не являются марк¬
систами.
Обе посылки умозаключения — истинные высказыва¬
ния. Заключение также является истинным высказыванием.
Но нужно посмотреть, следует ли оно с достоверностью из
посылок. Для этого мы заменим все три высказывания про¬
позициональными переменными р, q, г\ соединим их по спо¬
собу (2.2.1.3) в выражение (рДр)->г и по таблице истин¬
ности проверим, является ли оно общезначимым:
141

р
Q
T
PM
(PA<?) -* r
t
t
t
i
t
t
t
f
t
f
t
f
t
f
t
t
f
f
f
t
f
t
t
t
f
t
f
f
t
f
f
t
f
t
f
f
f
f
t
По второй строке мы видим, что (p/\q)-*r является
не общезначимым выражением, а только выполнимым. Тем
не менее наше умозаключение достоверно, так как соответ¬
ствующее выражение логики предикатов общезначимо и
является законом. Доказательство этого утверждения мы
приведем позже. Здесь же нас интересует, каким образом
умозаключение, которое в логике высказываний не явля¬
ется достоверным, в рамках логики предикатов имеет это
свойство. Для общезначимости выражения логики предика¬
тов существенна определенная структурная связь, в кото¬
рой находятся имеющиеся в нем понятия и о которой ниче¬
го не говорится в выражении (рД^)->г логики высказыва¬
ний и в логике высказываний вообще. Из трех высказыва¬
ний нашего умозаключения каждые два соединены общим
понятием, в то время как из выражения логики высказы¬
ваний совсем не видно, имеют ли содержащиеся здесь вы¬
сказывания общие понятия.
Допустим, что заключение гласило бы «Все борцы за
мир—марксисты», тогда нам следовало бы символизировать
его в логике высказываний в такой же форме. С точки зре¬
ния логики высказываний оба заключения невозможно раз¬
личить. Таким образом, наше умозаключение в логике вы¬
сказываний не может быть общезначимым. Оно общезна¬
чимо только при определенной дополнительной предпосыл¬
ке. Но эту предпосылку невозможно выразить средствами
логики высказываний. Поэтому логика предикатов более
пригодна для анализа умозаключений, чем логика выска¬
зываний. Однако это не означает, что логика высказываний
является излишней, поскольку нельзя создать логику пре¬
дикатов, не предпосылая ей хотя бы имплицитно логику
высказываний. Ее законы значимы и для логики предика¬
тов. Однако, как мы уже подчеркивали, в последней добав¬
ляется много новых законов.
142

3.2.2. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Сначала нужно объяснить, что такое закон логики пре¬
дикатов вообще. Закон логики высказываний — это выраже¬
ние, которое при любом распределении значений истин¬
ности своих пропозициональных переменных принимает
значение «истинно», т. е. выражение, которому всегда соот¬
ветствует истинное высказывание, какие бы повествова¬
тельные предложения ни использовались вместо перемен¬
ных (см. 2.1.8).
Следует ожидать, что закон логики предикатов также
является выражением, из которого при любой подстановке
значений свободных переменных получается истинное вы¬
сказывание. Но здесь речь идет о других наборах значений,
нежели в логике высказываний.
Получится ли из высказывательной функции «х обладает
сознанием» истинное высказывание, зависит от значения
индивидной переменной х. Если вместо х поставить имя
человека, то получится истинное высказывание. Так как
имеется, по крайней мере, одно значение высказывательной
функции, которое превращает ее в истинное высказывание,
то и 3 (х) [х обладает сознанием] является выражением, зна¬
чение которого есть истинное высказывание. Является ли
V(x) [х обладает сознанием] истинным высказыванием, за¬
висит от того, становится ли высказывательная функция
истинным высказыванием при любом значении х. Это не¬
посредственно подводит к вопросу, какие же имена индиви¬
дов должны подставляться вместо х, иными словами, о ка¬
кой области индивидов идет речь. Если в качестве области
индивидов взять класс людей, то общее высказывание ис¬
тинно; если же взять класс млекопитающих или еще более
широкий класс, то высказывание будет ложно.
Превратится ли высказывательная функция в истинное
высказывание, зависит прежде всего от выбранной инди¬
видной области.
Законы логики предикатов следует искать в таких вы¬
ражениях, которые не зависят от специальной области ин¬
дивидов, но значимы для любых непустых индивидных об¬
ластей. В противном случае, нельзя было бы отличить за¬
коны конкретных наук, которые всегда значимы лишь для
определенной области индивидов, от логических законов.
Рассмотренная выше высказывательная функция наря¬
ду с индивидными переменными содержит предикатную
константу, «обладает сознанием». Но в логике предикатов
такие константы используют только как примеры; логика
143

предикатов занимается предикатами вообще, в ней так же
мало говорится о конкретных высказываниях, как и в ло¬
гике высказываний. Ее главным образом интересуют струк¬
туры высказываний независимо от их конкретного содер¬
жания. Поэтому в ней оперируют с предикатными пере¬
менными. Ясно, что в высказывательной функции «Гегель
есть Р» от значения Р зависит, будет ли она истинным вы¬
сказыванием. Если Р заменяется предикатом «философ»,
то получается истинное высказывание, а если Р заменяется
предикатом «математик», то высказывание будет ложным.
Станет ли высказывательная функция истинным выска¬
зыванием, зависит от значений, или, как говорят, от ин¬
терпретации предикатных переменных.
Поэтому законы логики предикатов следует искать в
таких выражениях, которые не зависят от конкретных
значений предикатных переменных, а верны для любых
их значений.
Таким выражением, не зависящим ни от конкретных
индивидных областей, ни от частных значений предикатных
переменных, является, например,
V(x)[F(x) V~F(x)].
Здесь при любом значении индивидной переменной х и при
любом значении предикатной переменной F получается
истинное высказывание, так как для любого индивида вер¬
но, что он или обладает каким-то (любым) свойством, или
не имеет его. В данном случае мы имеем предложение об
исключенном третьем, уже встречавшееся в логике выска¬
зываний, выраженное теперь в логике предикатов и явля¬
ющееся первым примером закона логики предикатов. Как
и в логике высказываний, закон исключенного третьего в
логике предикатов справедлив лишь при предпосылке, что
индивиды строго разделены на два класса: на класс инди¬
видов, имеющих определенное свойство, и на класс инди¬
видов, не имеющих этого свойства. Но такого четкого раз¬
деления в действительности нет. Если говорят: «Для каж¬
дого индивида верно, что он живой или не живой», то это
верно лишь относительно. Это высказывание не охватывает
индивиды, находящиеся в переходных состояниях от не¬
живого к живому. Формальная логика рассматривает лишь
строго разграниченные классы индивидов. Исследование
переходов из одного класса в другой относится к сфере ди¬
алектической логики.
При соответствующей оговорке можно сформулировать
предложение об исключенном третьем, касающееся отно¬
144

шений между индивидами: для любой tuipi.i и и /ш ин /к щ и» рни,
что между ними существует некоторое onioiiieiiiie или пн
не существует:
V W v (у) [Я U, у) V ~ R (*, у) |.
В этом случае каждая пара значений индивидных перемен
них и предикатной переменной приводит к истинному мы
сказыванию.
Исходя из этих примеров, мы непосредственно приходим
к общему определению закона логики предикатов.
Закон логики предикатов есть выражение логики пре¬
дикатов, которое при любом наборе значений его перемен¬
ных принимает значение «истина».
Как и в случае с законами логики высказываний, в ло¬
гике предикатов приписывание значений переменным при¬
водит к повествовательному предложению, значением кото¬
рого является истинное высказывание. Для конкретизации
этого определения следует добавить, что допустима любая
непустая область индивидов и их признаков. Если же ин¬
дивидная область пуста, то не все законы логики предика¬
тов действительны, хотя существуют законы, которые спра¬
ведливы и для пустых областей. К проблемам, возникающим
вследствие принятия пустых областей, мы еще вернемся
в разделе 3.3.5.
В логике предикатов, как и в логике высказываний, раз¬
личают законы, или общезначимые выражения, выполни¬
мые выражениями, нейтральные выражения и противоречия.
Нейтральное выражение логики предикатов есть вы¬
ражение логики предикатов, которое, по крайней мере,
при одном наборе значений его переменных принимает
значение «истина» и, по крайней мере, при одном наборе
значений принимает значение «ложь».
Противоречие логики предикатов есть выражение ло¬
гики предикатов, которое при каждом наборе значений
его переменных принимает значение «ложь».
Все выражения логики предикатов, не являющиеся
противоречиями, суть выполнимые выражения.
Примером нейтрального и, таким образом, выполнимого
выражения будет V(x) [F (%)->G(x)]. Если в качестве об¬
ласти индивидов берут класс граждан СССР и F (х) придают
значение «7—17-летние», a G(x) придают значение «дети
школьного возраста», то получают истинное высказывание.
Ложное высказывание получают в том случае, если область
индивидов расширяют до класса людей. Но ложное выска¬
зывание можно также получить в результате изменения зна¬
145

чений предикатных переменных, например, если G(x) при¬
дать значение «обязаны учиться в МВТУ им. Баумана».
Выражение 3(х) [F(x) Д ~F(x)I является примером
противоречия логики предикатов; так как нет ни одного
индивида, который одновременно и в одном и том же смысле
обладал бы каким-либо свойством и не обладал бы им, а
значит, не существует ни одного набора значений х и F, при
котором это выражение будет истинным высказыванием.
В логике предикатов, как и в логике высказываний,
нас главным образом интересуют законы. Определив законы
логики предикатов, мы займемся способом их получения.
Можно получать новые законы, преобразуя уже существую¬
щие. На этом мы остановимся позже. Кроме того, можно по¬
лучать законы логики предикатов из законов логики выска¬
зываний путем подстановки.
Если в законе логики высказываний вместо имеющихся
в нем пропозициональных переменных подставить предика¬
ты так, чтобы вместо одной и той же пропозициональной
переменной стоял один и тот же предикат, то получится
закон логики предикатов.
Выражение	является законом логики
высказываний (2.1.8). Если в нем вместо р подставить
F(x) и G(x) вместо q, то получится закон логики предикатов
[F (х) —► G (х)] <-> [~ F (х) V G (х)];
если вместо р подставить R (х, у) и S (х, у) вместо q> то полу¬
чится
[/? (х, у) — S (х, Z/)] <-* [~ Я (х, у) v 5 (х, «/)].
То, что оба выражения представляют собой законы, можно
доказать простым рассуждением. Из каждой высказыватель¬
ной функции F(x), G(x), ~F(x) и т. д. подстановкой конк¬
ретных значений свободных переменных получаются вы¬
сказывания и, тем самымж из сложных выражений — слож¬
ные высказывания, которые истинны независимо от зна¬
чений истинности составляющих их высказываний. То, что
эти сложные высказывания истинны, видно именно из того,
что	является законом.
Из того же закона логики высказываний можно получить
и другие законы логики предикатов, пользуясь кванторами
общности. Если в законе логики высказываний вместо име¬
ющихся в нем пропозициональных переменных подставить
предикаты так, чтобы вместо каждого вхождения одной и той
же пропозициональной переменной стоял один и тот же
предикат, и если свободные индивидные переменные свя¬
146

зать кванторами общности, то получится закон лоннл ирг
дикатов. Таким образом, при тех же подстановках, чю и вы
ше, из (p->#)<-»(~pV<7) получается закон логики предикатов
V (X) {[F (х) -> G (х)]	[~ F (х) v G (X)]};
а также закон
V (х) ? (&) {[я {X, y)—>S (х,	[~ R (х, у) v 5 (х, г/)]}.
В разделе 3.1.3 мы сказали, что V(x) F (х) будет истин¬
ным высказыванием только тогда, когда F (х) при любом
значении х превратится в истинное высказывание. Выраже¬
ния, стоящие в фигурных скобках, при каждом наборе зна¬
чений свободных переменных превращаются в истинные
высказывания. Но тогда должны получаться истинные вы¬
сказывания и при связывании свободных индивидных пере¬
менных кванторами, а свободные предикатные переменные
замещаются кон кр етными пр еди катами.
Обобщая предыдущее, приходим к общему выводу: каж¬
дое выражение логики предикатов, общезначимое в логике
высказываний, общезначимо и в логике предикатов.
Исходя из этого, можно облегчить разрешение выраже¬
ний логики предикатов, сводя их к выражениям логики
высказываний. Если последние общезначимы, то общезна¬
чимы и выражения логики предикатов. Но не каждое
общезначимое выражение логики предикатов будет обще¬
значимым выражением логики высказываний, иначе пробле¬
му разрешения в логике предикатов вообще можно было бы
свести к методам разрешения в логике высказываний.
Что касается выполнимости, то установление такого от¬
ношения между выражениями логики высказываний и логи¬
ки предикатов, как в отношении общезначимости, невоз¬
можно. В результате подстановки из выполнимого, но не
общезначимого выражения логики высказываний может
получиться противоречие логики предикатов. Возьмем в
качестве примера выражение логики высказываний p/\q\
если вместо р подставить 3(х) [F (x)/\~F (х), а вместо
q — V (х) G(x), то получится противоречие логики предика¬
тов
3(x)[F(x) A-F(x)]AV(x)G(x).
То, что это выражение при любом наборе значений лож¬
но, зависит от выражения, подставленного вместо р. Но та
же самая подстановка в закон логики высказываний снова
приводит к закону. Если, например, в pV~p вместо р
147

подставить Э(х) [F(x) Д ~F(x)], то получится
3 (х) [F (х) Л ~ Р (х)] V ~ 3 (х) [F (х) Л ~ F (х)].
Общезначимость этого выражения определяется уже
общезначимостью ~ 3 (х) [F (х) Д (х) ].
Вообще говоря, что касается выполнимости, то сущест¬
вует следующее соотношение: каждое выражение логики
предикатов, невыполнимое в логике высказываний, в ло¬
гике предикатов тоже не выполнимо. Но невыполнимые
выражения являются противоречиями. Поэтому как в слу¬
чае с общезначимыми выражениями, так и в случае с про¬
тиворечиями можно попытаться осуществить их разрешение
средствами логики высказываний. Хотя путем подстановок
из законов логики высказываний можно получить много
законов логики предикатов, но все-таки не большинство
из них.
В завершение этого раздела приведем некоторые важные
законы последнего типа без дальнейшего обоснования:
(1)	V(x)F(x) — F (у).
Этот закон утверждает, что если каждый индивид х
обладает определенным свойством F, то и определенный
индивид у обладает этим свойством.
(2)	F(y)->- 3(x)F(x).
Согласно этому закону, если некоторый индивид у об¬
ладает определенным свойством F, то существует, по край¬
ней мере, один индивид с таким свойством.
Если взять оба эти закона как посылки умозаключения,
то получается третий закон. По правилу транзитивности
импликации (см. 2.2.1.2) построим умозаключение
V(x)F(x)^F(y)
f (у)-*э (x)F (х)
y(x)F(x)-^3 (x)F(x).
Так как посылки общезначимы, т. е. истинны при каж¬
дом наборе значений, то это верно и для заключения
(3)	V (х) F (х) —> 3 (х) F (х).
Нужно добавить, что (1) и (3) верны только тогда, когда
рассматриваемая область индивидов не является пустым
классом.
Из законов (1) — (3) получают простые, но важные
правила умозаключения, о чем будет говориться в следую¬
щем разделе. Из следующих законов также можно получить
148

правила умозаключения, которые применяются в разреша¬
ющих процедурах, изложенных в 3.2.6:
(4)	V (х) [F (х) Л G (x)J <-» [V (х) F (х) Л V (х) 6 (х) |.
Этот закон интуитивно ясен. Он говорит, что каждый
индивид тогда и только тогда обладает определенным свой¬
ством F (х) и определенным свойством G(x), когда каждый
индивид имеет свойство F (х) и каждый индивид имеет свой¬
ство G(x). Примером для (4) будет: «Каждый человек обла¬
дает сознанием и языком тогда и только тогда, когда каж¬
дый человек обладает сознанием и каждый человек владеет
языком».
(5)	3 (х) [F (х) л G (х)] -* [3 (х) F (х) л а (х) G (х)].
Отсюда получается: если существуют объекты, которые
изменяются и находятся на высшей ступени развития, то
существуют объекты, которые изменяются, и объекты, кото¬
рые находятся на высшей ступени развития. Если же в (5)
поменять местами члены импликации, то получится выра¬
жение, которое не будет общезначимым, как это можно ви¬
деть на следующем примере.
Есть, например, государства с капиталистической систе¬
мой экономики и есть государства с социалистической систе¬
мой экономики. Но нет ни одного государства, которое со¬
четало бы обе системы экономики. Уже из этого примера
следует, что (5) не может быть эквиваленцией, как (4).
(6)	[V (х) F (х) v v (X) G (х)] —► V (х) [F (х) V G (х)].
Если все индивиды имеют определенное свойство F (х)
или все индивиды имеют определенное свойство G(x), то
все индивиды имеют свойство F (х) или свойство G(x). И для
этого закона обратимость также не является общей. Верно,
что каждый философ либо материалист, либо идеалист. Но
будет не верно ни то, что каждый философ материалист, ни
то, что каждый философ идеалист. Для экзистенциальных
высказываний имеет место эквиваленция:
(7)	3 (х) [F (х) V G (х)] <-> [3 (х) F (х) V 3 (х) G (х)].
Отсюда следует: индивиды со свойством F (х) или свойст¬
вом G(x) существуют тогда и только тогда, когда существуют
индивиды со свойством F (х) или индивиды со свойством G(x).
Так как дизъюнкция истинна, когда один из ее членов ис¬
тинен, то для истинности 3(х) [F(x)VG(x)] никакой роли
не играет, будет ли истинно только 3 (х) F (х) или только
3(x)G(x), или оба они будут истинны. 3(х) [Е(х) G(x)J
149

будет ложным только тогда, когда как 3(x)F(x), так и
3(x)G(x) ложны.
(8)	V (х) [F (х) -> G (х)] -> [V (х) F (х) —> V (х) G (х) ].
Если для каждого, кто обладает научным ’Мировоззре¬
нием, верно, что он может лучше выполнять свои общест¬
венные функции, то верно, что если каждый обладает науч¬
ным мировоззрением, то каждый может лучше выполнять
свои общественные функции.
В законах (1) — (8) встречаются только одноместные
предикаты. Но так же, как путем подстановок из законов
логики высказываний получаются законы одноместной и
многоместной логики предикатов, из законов одноместной
логики предикатов можно получить законы многоместной
логики предикатов. Для этого нужно подставить многомест¬
ные предикаты вместо одноместных, и там, где стоит один
квантор, поставить столько кванторов, чтобы все свободные
индивидные переменные были связаны. Таким образом, Ъз
(8) получают
(8') V (х) V (у) [7? (х, у) -> S (х, у)]
[V (х) V (у) Я (х, у) — V (х) V (у) S (х, у)].
Из (5) аналогичным образом получают
(5') 3 (х) 3 (у) [Я (х, у) Л 5 (х, у)]
—► [Э (х) 3 (у) 7? (х, у) Л Э (х) 3 (у) S (х, у)].
3.2.3. ПРАВИЛА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Как из общезначимых импликаций и эквиваленций ло¬
гики высказываний, так и из общезначимых импликаций и
эквиваленций логики предикатов можно получить правила
умозаключения.
Из общезначимой импликации получается правило умо¬
заключения, по которому на основании истинности анте¬
цедента можно сделать достоверное заключение о консеквен-
те. Так, из закона логики предикатов V(x) F (x)->F (у)
получается правило умозаключения
/ь V (*) F (х)
F(y) ’
По этому правилу из высказывания «Все движется» мож¬
но, например, получить высказывание «Земля движется»,
т. е. заключение о том, что признак, относящийся ко всем
индивидам, относится и к некоторому определенному инди¬
виду.
150

Из F(z/)—>Э(х) F (х) получается правило у mi мп к лн puiiihi
Согласно этому правилу, если определенный индивид
обладает каким-либо признаком, то можно заключить, что
имеется, по крайней мере, один индивид, обладающий этим
признаком.
Оба эти правила, хотя и бессознательно, чаще всего пра¬
вильно применяются в логических умозаключениях. В при¬
менении же правил, в которые входит отрицание, ошибки
допускают значительно чаще.
Следующие правила основываются на общезначимых
эквиваленциях. Эквиваленция логики предикатов, как и в
логике высказываний (см. 2.1.8), только тогда будет обще¬
значимой, когда значения истинности ее обоих членов при
одинаковых значениях их переменных совпадают. Поэтому
по каждому из ее обоих членов можно сделать достоверное
заключение о втором, т. е. из каждой общезначимой экви¬
валенции получаются два правила.
Следующие законы (обозначенные (1), ...), воспроизво¬
дят отношения между общими и экзистенциальными выска¬
зываниями; соответствующие им правила ((1.1),...) позволя¬
ют преобразовывать общие высказывания в экзистенциаль¬
ные и наоборот:
(1)	V(x)f(x)	~B(x)~F(x)
(1.1)	V(x).F(x)
v 1 ~ a W ~ F (х) v 1 у (х) F (х)
Если для этих и последующих выражений мы возьмем
в качестве индивидной области класс людей, то по правилу
(1.1) из «Каждый человек обладает сознанием» можно за¬
ключить, что «Нет ни одного человека, который не обладал
бы сознанием».
(2)	~ V (х) F (х)	3 (х) ~ F (х)
(2.1)	~д(х)£!*!	<2-2) 3(х)г£!х!-
v } Э W ~ F W	' ~v(xF) (х)
Согласно (2.1) из «Не все люди миролюбивы» получает¬
ся «Существуют люди, которые не миролюбивы», точнее
«Существует, по крайней мере, один не миролюбивый че¬
ловек».
(3)	3(x)F(x)	<-> ~V(x)~F(x)
(3.1)	3(*)/(<	(3.2) —
'	'	’	3(x)F(x)
151

Из «Есть люди, использующие войну для обогащения»
согласно (3.1) заключают «Не для каждого человека верно,
что он не использует войну для обогащения».
(4)	~3(x)F(x)	<-> V(x)~F(x)
/л 1Ч	(х)	м 9 V (х) - Г (х)
V(x)~F(x)	^g(x)F(x)’
Согласно (4.1) из «Нет ни одного человека, который все
знает» заключают «Для каждого человека верно, что он не
все знает».
Преобразования общих высказываний в экзистенциаль¬
ные и наоборот используются довольно часто (как, напри¬
мер, в разрешающей процедуре в 3.2.6). Часто такие пре¬
образования могут облегчить понимание сложных выска¬
зываний или просто делают его возможным. Поэтому целе¬
сообразно сформулировать общее правило для преобразо¬
вания любых общих высказываний в экзистенциальные и
наоборот.
Общее высказывание (экзистенциальное высказыва¬
ние) преобразуется в семантически эквивалентное экзистен¬
циальное высказывание (общее высказывание), если:
1)	квантор общности (квантор существования) заменя¬
ется квантором существования (квантором общности),
2)	перед новым квантором ставится отрицание и
3)	отрицается вся подкванторная формула.
Вследствие этого получают, например, из ~V(x) F (х)
выражение ~~3 (х) ~F (х), и так как два знака отрицания,
относящиеся к одному и тому же выражению, взаимно уни¬
чтожаются, его можно упростить до 3(x)~F(x).
Таким образом с помощью общего правила мы получили
правило (2.1); если его применить к 3(x)~F(x), то полу¬
чим правило (2.2).
Из выражения 3(x)~F(x) получается сначала ~V (х)~
~F(x) и затем в результате упрощения ~V(x) F(x).
Из этих примеров ясно, что при преобразовании знаки
отрицания, имеющиеся в исходном выражении, должны
быть перенесены в новое выражение.
На двух последующих примерах мы хотим показать, что
при преобразовании важно правильно совершить третий
шаг, т. е. определить область действия квантора и отрицать
точно подкванторную формулу.
Из выражения V (х) F (x)->F (у) получается ~3(х)~
F(x)-+F(y), так как в области действия квантора общ¬
ности находится только F(x), a F (у) к его области действия
не относится, и поэтому преобразование на него не распро¬
152

страняется. Если перевести оба символизированных нырл
жения, то можно убедиться, что они семантически зкиниа
лентны. Первое гласит: «Если каждый индивид х обладает
свойством F, то и некоторый индивиду имеет это свойство»;
второе гласит: «Если не существует индивида х, который
не имеет свойства F, то некоторый индивиду имеет это свой¬
ство».
Применим правило преобразования к выражению
V(x) [M(x)V^WJ. В качестве области индивидов возьмем
класс философов. Тогда выражение означает: «Каждый фи¬
лософ — материалист или идеалист».
Преобразование выражения
V(xj[M (x)V/(x)]
согласно правилу дает ~3(х)~[Л4 (x)V/(*)!, т. е. «Нет ни
одного философа, для которого было бы неверно, что он ма¬
териалист или идеалист». Так как законы и правила логики
высказываний сохраняют свою пригодность и для логики
предикатов, то с их помощью это высказывание можно пре¬
образовывать и дальше. Согласно правилу преобразования
дизъюнкции в конъюнкцию (дано в 2.1.8) можно ~(pVy)
преобразовать в ~~(~р /\~q) и упростить до (~рД~у).
Если вместо р подставить М (х), а вместо q— /(х), то из
~[Л1(х)\//(*)] получают эквивалентное ему выражение
[~М (х) Д ~/(х)]. Таким образом, исходному выражению
семантически эквивалентно следующее выражение:
~Э(х)[~ М(х) Д ~ I (х)],
т. е. «Нет ни одного философа, который не был бы материа¬
листом и не был бы идеалистом», или «Нет ни одного фило¬
софа, который не был бы ни материалистом, ни идеалистом».
По аналогии с только что использованным правилом ло¬
гики высказываний для преобразования выражений логики
предикатов применяются и остальные правила логики вы¬
сказываний, изложенные в 2.1 и 2.2.1. С их помощью пре¬
образуются как сложные высказывания логики предикатов,
так и сложные предикаты (как в предыдущих примерах).
Как и рассмотренные правила преобразования общих вы¬
сказываний в экзистенциональные и наоборот, они являют¬
ся полезными в двух отношениях: они необходимы для раз¬
решения выражений логики предикатов и могут служить
для преобразования трудно понимаемых выражений в более
доступные пониманию.
Преобразование выражений, в которых один за другим
стоят несколько кванторов, требует договоренности о том,
153

что в данном случае понимать под «областью действия».
Условимся, что если непосредственно справа от квантора
стоит другой квантор, то последний относится к области
действия первого квантора. Поэтому наше правило можно
многократно применять к выражению с несколькими кван¬
торами.
В 3.1.5 мы установили, что выражение «Для каждого
натурального числа существует меньшее» V (у) Э(х) [x<z/]—
ложно. Следовательно, его отрицание должно быть истин¬
ным: —'V (г/) 3 (х) [х<г/1, т. е. «Не верно, что для каждого
натурального числа у имеется натуральное число х, мень¬
шее, чем у». Первое применение правила преобразования
приводит к 3 (у)~3 (х) 1х<у], т. е. «Существует натураль¬
ное число у, такое, что не существует никакого натурального
числа х, меньшего, чем у» или «Существует натуральное
число, для которого пет меньшего числа».
Второе применение правила дает: 3(x)V(x)~[x<z/],
т. е. «Существует натуральное число у, такое, что для каж¬
дого натурального числа х справедливо: не верно, что х
меньше, чем у».
Мы уже не раз говорили о том, что при отрицании слож¬
ных высказываний легко допустить ошибку, если исходить
лишь из соображений, касающихся содержания. Изложен¬
ные здесь методы позволяют правильно выполнять такие
отрицания совершенно формальными средствами.
При отрицании общих высказываний в разговорном
языке часто переставляют «не» и «все». Так на вопрос, все
ли локомотивы топятся углем, часто слышим ответ: «Нет,
все локомотивы не топятся углем». С помощью ударения в
приведенном предложении в какой-то степени становится
ясно, хотя и не всегда, что подразумевается «Не все локомо¬
тивы топятся углем». В рукописном или печатном тексте
в таких случаях нередки недоразумения. Чтобы уяснить
различие между этими формулировками, запишем их в сим¬
волической форме так, как они есть, и затем преобразуем
-этим символизированные выражения:
«Все локомотивы не
топятся углем»
V (х) [Z (х)-+~ к (х)]
«Не все локомотивы топят¬
ся углем»
~ V (х) [L (х) —К(х)].
Преобразование общих высказываний в экзистенциаль¬
ные дает
~Э(х)~[Л(х)->~Л(х)]
~ — Э (X) ~ [L (х) — к (X)].
154

Согласно правилу преобразования импликации в дизъ¬
юнкцию (см. 2.1.8) выражения в квадратных скобках пре¬
образуются в
~ 3 (х) ~ ~ L (х) V ~ К (х)]
~ ~ 3 (х) ~ [~ L (х) V К (х)].
По правилу преобразования дизъюнкции в конъюнкцию
(см. 2.1.8) далее получается
~ 3 (х) ~ — [~ ~ L (х) Л ~ ~ К (х)]
~ ~ 3 (х) ~ ~ [~ ~ L (х) Д ~ К (х)].
Если убрать двойные отрицания, то в конце концов по¬
лучится:
~3(x)[L (х)ЛК(х)]
«Нет ни одного локомотива,
который топится углем»
3 (x)[L (х) л ~ К (X)]
«Есть локомотивы, которые
не топятся углем».
Правильное отрицание высказываний получается толь¬
ко тогда, когда сначала отрицают все высказывание с по¬
мощью «Не верно, что...» и затем преобразуют его по прави¬
лам логики. Чем чаще проводят эти преобразования по всем
этапам, тем быстрее запоминают более простые и часто встре¬
чающиеся преобразования. Например, очень скоро можно
запомнить, что выражение ~V(x) [F(x)->G(x)] семантиче¬
ски эквивалентно выражению Э(х) [F(x)A ~G(x)J и что
~3(х) (F(x)AG(x)] и V(x) [F(x)->~G(x)] также семанти¬
чески эквивалентны.
Правильное отрицание высказываний часто производят
на основе своих знаний, правильно отражая явления объ¬
ективной реальности. Но это бывает трудно, когда нет до¬
статочных знаний. Покажем это на примере одного несколь¬
ко шуточного выражения: «Неверно, что то, что находится
за моей спиной (/?(%))— это новая (Af(x)) книга (В(х))».
Следует ожидать, что эта формулировка эквивалентна сле¬
дующей: «То, что находится за моей спиной,— это не новая
книга». Но это значит «Это не новая книга»? Нужно ли
понимать так, что этот предмет — не новая книга или —
вообще не книга? Запишем высказывание в символической
форме, а затем преобразуем его:
~ V (х) {R (х) — [W (х) Д В (х)]}.
Сначала получается экзистенциальное высказывание
3 (х) ~	(х) —[AZ (х) Л 5 (х)]}.
155

Двойное отрицание перед квантором существования
уже опущено. Затем должны быть проведены некоторые
преобразования, в результате которых отрицание будет
относиться не ко всему выражению, стоящему в фигурных
скобках, а к более простым составным частям:
3 (х) ~ {~ 7? (х) V [W (х) Л В (х)]}
3 (х) ~	~ R (х) Л ~ [N (х) Л В (х)]}
3 (х) {R (х) Л ~ [W (х) Л В (х)]}.
Выдвинутая в качестве предположения формулировка
«То, что находится за моей спиной, не есть новая книга»
не является эквивалентной первоначальному выражению,
которое должно иметь вид
V (х) {/? (х) -> - [W(x) Д В (х)]’-.
Перевод выражения, получившегося при преобразовании,
таков: «Нечто, находящееся за моей спиной, не является
новой книгой». Наконец, дальнейшее преобразование дает:
3 (х) {7? (х) Л [~ N (х) V ~ В (х)]},
т. е. «Существует нечто, находящееся за моей спиной и не
являющееся новым или книгой». При этом речь идет не
обязательно о предмете, который не является ни новым,
ни книгой (так как отрицаются не оба предиката, а их
конъюнкция), хотя такая возможность и существует.
Для уточнения различия между отрицанием конъюнк¬
ции и отрицанием обоих ее членов составим таблицу ис¬
тинности соответствующих выра- ений логики высказы¬
ваний:
р
q
~p
r^q
PA?
t
t
f
f
t
f
f
t
f
f
i
f
t
f
f
i
t
f
f
t
f
f
f
t
t
f
t
t
Преобразование выражений, содержащих двухместные
предикаты, происходит совершенно так же. Пусть нужно
отрицать выражение «Если кто-нибудь является братом
кого-либо другого, то последний является братом первого».
На символическом языке отрицательное высказывание
156

имеет следующий вид:
~ V (х) V (у) [В (х, у) — В (у, л) |.
Сначала кванторы общности заменяются киан горами
существования и снимаются двойные отрицания:
~ ~ 3 (х) ~ V (у) [В (х, //) —>• В (у, х)|
~ ~ Э (х) ~ ~ 3 (у) ~ [В (х, у) -> В (у, х)|
3 (х) 3 (у) ~ [В (х, у) —> [В (у, х)].
Затем преобразуется выражение в скобках, как в пре¬
дыдущих примерах:
з (X) 3 (у) ~ В (х, у)\/ В (у, х)]
3(x)3(t/)~	~В(х, у)\ ~В(у, х)]
3 (х) 3 (у) [В (х, у) Л ~ В (у, х)].
Следовательно, имеются пары людей (мы взяли в ка¬
честве области индивидов класс людей), в которых одип
является братом другого, но не наоборот; это имеет место
в том случае, когда такая пара состоит из брата и сестры.
В 3.1.5 мы уже указывали на то, что в выражениях
логики предикатов нельзя менять местами кванторы общ¬
ности и кванторы существования. Это допустимо только
согласно следующему правилу:
з (х) у (у) R (х, у)
у(«/) а(х)/? (х, у)*
Если, например, в некотором кругу людей имеется
кто-то, кого все уважают, то отсюда следует, что (в этом
кругу) для каждого имеется кто-то, кого он уважает. Пра¬
вило, обратное этому, неверно, как это можно видеть на
том же самом примере. Если каждый уважает кого-либо,
вряд ли речь идет об одном для всех человеке, которого
все уважают.
3.2.4. ТРАДИЦИОННОЕ УЧЕНИЕ О ЛОГИЧЕСКИХ
УМОЗАКЛЮЧЕНИЯХ
Этот раздел содержит краткий обзор основных частей
традиционного учения о логических умозаключениях: уче¬
ния о непосредственных умозаключениях и учения о ка¬
тегорических силлогизмах. Значительная часть этого уче¬
ния содержится в известном собрании сочинений Аристо¬
теля по формальной логике под названием «Органон».
157

3.2.4.1.	Непосредственные умозаключения
Традиционная логика, следуя за Аристотелем, ограни¬
чивалась исследованиями умозаключений, в которых име¬
лись только высказывания следующих видов:
Все S суть Р, сокращенно: S а Р.
Все S не суть Р, сокращенно: S е Р.
Некоторые S суть Р, сокращенно: S i Р.
Некоторые S не суть Р, сокращенно: S о Р.
Буквы а, е, i и о в сокращениях взяты из слова «affir-
шо» — «утверждаю» — для двух утвердительных выска¬
зываний и из слова «nego» — «отрицаю» — для двух от¬
рицательных высказываний.
Отношение между SaP, SeP, SiP и SoP в традицион¬
ной логике изображали в виде логического квадрата:
С помощью логического квадрата можно установить
(как будет показано в 3.2.5), являются ли некоторые не¬
посредственные умозаключения правильными или нет. Но
сначала нужно сказать, что такое непосредственное умо¬
заключение и какие виды непосредственных умозаключе¬
ний бывают.
Непосредственные умозаключения суть умозаключения
на основании только одного высказывания. В отличие от
силлогизмов непосредственные умозаключения не полу¬
чили систематического описания в произведениях Ари¬
стотеля; они рассматриваются в различных местах «Ор¬
ганона».
Непосредственные умозаключения подразделяются на:
(1)	умозаключения подчинения,
(2)	умозаключения противоречия,
(3)	умозаключения обращения,
(4)	умозаключения противопоставления.
(1)	Умозаключение подчинения есть умозаключение на
основании истинности общего высказывания к истинности
подчиненного ему экзистенциального высказывания или
158

на основании ложности экзистенциального высказывания
к ложности подчиненного ему общего высказывания.
В результате подчинения из высказывания «Все мили¬
таристы должны быть обузданы в интересах сохранения
мира» можно сделать, например, заключение «Некоторые
милитаристы должны быть обузданы в интересах сохра¬
нения мира».
(2)	Умозаключение противоречия есть умозаключение
на основании утвердительного высказывания к отрица¬
тельному или наоборот. При этом всегда на основании
истинности первого высказывания делают заключение о
ложности второго или наоборот.
Таким образом, например, из истинности высказывания
«Все антагонистические классовые общества являются
эксплуататорскими» делают заключение о ложности вы¬
сказывания «Некоторые антагонистические классовые об¬
щества не являются эксплуататорскими обществами».
(3)	Умозаключение обращения есть умозаключение от
истинности одного высказывания к истинности другого,
в котором предикаты первого стоят в обратном порядке
по отношению ко второму.
Посредством обращения, например, из высказывания
«Все люди — живые существа» делают заключение о том,
что «Некоторые живые существа — люди».
(4)	Умозаключение противопоставления есть умоза¬
ключение от истинности одного высказывания к истин¬
ности другого, в котором предикаты первого находятся
в обратной последовательности и отрицаются.
В результате противопоставления из высказывания
«Все люди — живые существа» делают, например, заклю¬
чение «Все индивиды, не являющиеся живыми сущест¬
вами, не являются людьми».
Определение непосредственных умозаключений не дает
еще критерия, по которому можно было бы установить,
какие из них являются правильными. Как это можно
установить, мы покажем лишь в разделе 3.2.5.
После обзора непосредственных умозаключений перей¬
дем к силлогистике.
3.2.4.2.	Силлогистика
Силлогистика — это теория силлогизма, учение о сил¬
логизмах. Она систематически изложена в части «Первая
аналитика» произведения Аристотеля «Органон».
159

Силлогизм есть умозаключение на основании двух вы¬
сказываний в отношении третьего. В посылках силло¬
гизма встречаются только три различных понятия. Одно
из них переносится в заключение как его субъект (S),
второе — как его предикат (Р). Третье понятие, средний
термин (Л4), содержится в обеих посылках, но не содер¬
жится в заключении. Это понятие является посредником
между посылками, устанавливает между ними связь,
которая только и делает возможным умозаключение.
В умозаключении
Все млекопитающие — теплокровны
Все собаки — млекопитающие
Все собаки — теплокровны
«собаки» — субъект заключения, «теплокровны» — его пре¬
дика!', а «млекопитающие» — средний термин. Названия
«предикат» и «субъект» относятся только к грамматической
функции соответствующих понятий. Однако с точки зре¬
ния современной логики все три понятия являются, ко¬
нечно, предикатами.
Если описать общую структуру нашего умозаключения,
принимая во внимание только относительное располо¬
жение трех понятий, то получится следующая фигура
силлогистического умозаключения, называемая первой фи¬
гурой силлогизма:
М-Р
S — M
S-P •
Наряду с этой фигурой силлогизма существуют еще
три, так как средний термин может быть в каждой посылке
как субъектом, так и предикатом:
2-я фигура
силлогизма
Р — М
8—М
8 —Р
3-я фигура
силлогизма
М-Р
M—S
S—P
4-я фигура
силлогизма
Р — М
М — S
S — P •
Если в фигуре силлогизма тире между двумя предика¬
тами заменить буквами а, е, i или о в любой комбинации,
то получится модус этой фигуры. Таким образом, из каж-
160

дой из четырех фигур можно получить по 64 модуса. При¬
мерами модусов 1-й фигуры являются:
(1) Л4 а Р	(2)	М е Р	(3)	М а Р	(4)	М е Р
S а М	S а М	S i М	S i М
S а Р	S е Р	S	i Р	So Р'
В целом из 256 возможных модусов правильными яв¬
ляются только 24. Правильный модус является верным
правилом умозаключения. Если в правильном модусе
<S, Р и Л4 заменить понятиями, предикатами, то получится
конкретное умозаключение, в котором истинность за¬
ключения с достоверностью следует из истинности посылок.
Из 24 правильных модусов приходится по шесть на каж¬
дую из четырех фигур умозаключения. Четыре правильных
модуса первой фигуры мы уже перечислили. В традици¬
онной логике они соответственно называются: Barbara,
Celarent, Darii, Ferio. Эти названия общеприняты. Они
подобраны так, что их гласные совпадают с гласными этих
модусов.
В традиционной логике, как и для самого Аристотеля,
установление правильности модусов представляло извест¬
ную трудность. Однако при отбрасывании отдельных
неточностей правильность тех модусов, которые факти¬
чески являются таковыми, была доказана.
Средства современной логики позволяют не только
вывести все правильные модусы силлогизма, но и дают
разрешающие процедуры, с помощью которых относи¬
тельно каждого модуса можно строго установить, явля¬
ется он правильным или нет. Одним из таких способов
решения мы займемся в разделе 3.2.6.
3.2.4.3.	О связи традиционной и современной теорий
умозаключения
Как известно из истории, Аристотель первым систе¬
матически описал силлогистику, перечислил и доказал
ряд непосредственных умозаключений. Непосредственные
умозаключения — это умозаключения из одной посылки,
силлогизмы же — умозаключения из двух посылок. Но
часто для получения заключения недостаточно одной
или двух посылок. В таких случаях умозаключение более
чем из двух посылок можно разложить на несколько сил¬
логизмов. Тогда заключение первого силлогизма исполь¬
зуется как посылка во втором и т. д. Эта процедура, хотя
и довольно сложная, приводит к цели.
6 № 743
161

Кроме того, традиционная теория умозаключения во¬
обще несостоятельна. В средневековой логике, например,
было доказано правило, согласно которому из двух отри¬
цательных посылок ничего не следует. Это правило при¬
годно лишь в тех случаях, когда ограничиваются выска¬
зываниями вида SaP, SeP, SiP и SoP. Но существуют
высказывания, которые нельзя свести ни к одному из этих
видов.
Умозаключение
Ни один материалист не является объективным идеа¬
листом
Ни один субъективный идеалист не является материа¬
листом
Существуют философы, которые не являются ни субъ¬
ективными, ни объективными идеалистами хотя и имеет
внешнюю форму силлогизма, однако в силлогистике не¬
разрешимо, потому что заключение не относится ни к
одному из приведенных видов высказываний. В логике
предикатов оно может быть представлено выражением
3(x)[~S(x) Д ~0(х)1, а все умозаключение может быть
доказано как правильное по разрешающей процедуре
раздела 3.2.6.
В качестве другого примера умозаключения, которое
не может быть разрешено средствами традиционной ло¬
гики, приведем следующее: при подбрасывании монеты
выигрывает тот (/\), у кого монета выпадет гербом вверх
(Si)—V (x)[Si (х) -> (х)] (где область х — класс игро¬
ков), а у кого монета выпадет вверх цифрой (S2), тот про¬
игрывает (Р2)—V(x)[S2(x) -> Р2(х)]. Далее, для каждого
игрока верно, что монета у него может выпасть либо гер¬
бом, либо цифрой .вверх — V(x)[Si(x)VS2(x)], но ни для
одного не верно* что он может выиграть и проиграть
^3(х)[Р1(х)ДР2(х)] одновременно. Из этих четырех по¬
сылок следует: если игрок выиграл, то подброшенная им
монета выпала гербом вверх — V(х)[Л (х) -> Si (х)], а
если он проиграл, то монета выпала цифрой вверх —
V(x)[P2(x)—>S2(x)l. Символически все умозаключение вы¬
глядит так:
{V (х) [St (X) Р, (X)] Л V (х) [S2 (х) - Р2 (X)]
Л V (х) fS, (х) V S2 (х)] Л ~ 3 (х) [Р, (х) Л Р% (*).]}
(*)	(х) - Sx (х)] Л V (х) [Ра (х>-* S-8(х)]}.
162

Хотя это умозаключение и тривиально и ник го нг стал
бы требовать его доказательства, оно выходи г i.i рамки
силлогистики Аристотеля. Современная же логика дока
зала это умозаключение не только для двух во imomiiijx
случаев, но и для многих. Если имеются возможности
Si, S2, S3 и т. д. и Pi, Р2, Р3 и т. д. и если Si -> Pi, Sa ►
S3-> Рз и т. д., причем Pi, Р2, Р3 и т. д. являются альте-
ративными предикатами, то правильными являются пи¬
воды Pi-> Si, Р2-> S2, Р3-> S3 и т. д.
До сих пор мы говорили только о той области логики
предикатов, в которой встречаются исключительно одно¬
местные предикаты. Как уже было показано, традицион¬
ная теория умозаключения охватывает лишь часть воз¬
можных умозаключений. В частности, многоместные пре¬
дикаты средствами традиционной логики вообще не ох¬
ватываются. Теория непосредственных умозаключений и
теория категорических силлогизмов образуют только от¬
носительно небольшую часть логики одноместных преди¬
катов первой ступени. В традиционной логике наряду с
категорическими силлогизмами рассматривались еще и
условные силлогизмы. Но они относятся не к логике пре¬
дикатов, а к логике высказываний, потому что внутрен¬
няя структура высказываний, входящих в условные сил¬
логизмы, не влияет на правильность этих умозаключений.
Примеры условных силлогизмов приводятся в разделе
2.2.1.2.	Различают гипотетические силлогизмы (сюда от¬
носятся Modus ponendo ponens и Modus tollendo tollens),
разделительные силлогизмы (сюда относятся Modus tol¬
lendo ponens и Modus ponendo tollens) и третью форму ус¬
ловных силлогизмов, называемую «дилеммой».
Замечания об отношении силлогистики к логике пре¬
дикатов не имеют своей целью как-то умалить заслугу
Аристотеля в области логики. Напротив, нельзя забывать,
что такой четкости и точности, как в его трудах по логике
и в трудах Эвклида по геометрии, не достигло пи одно
произведение классической древности. Наши замечания
имеют целью лишь показать, что до середины прошлого
столетия в области формальной логики (за исключением
отдельных результатов) не было достигнуто значительного
прогресса, и тем самым подчеркнуть стремительное раз¬
витие формальной логики, происшедшее за последнее
столетие.

3.2.5. ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ РАЗРЕШЕНИЯ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ
ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Для разрешения умозаключения логики высказываний
нужно:
1.	Перевести умозаключение на символический язык
логики.
2.	Конъюнктивно соединить посылки и посредством
импликации присоединить к ним заключение.
3.	Полученное выражение исследовать на общезначи¬
мость по таблице истинности. Если оно общезначимо,
то соответствующее правило умозаключения верно, а само
умозаключение доказано как правильное (см. 2.1.1.3).
В логике предикатов нет такого простого способа раз¬
решения умозаключений, как таблицы истинности в ло¬
гике высказываний. Способа, который можно было бы
использовать для разрешения любых выражений логики
предикатов, не существует вообще. Два первых шага" в
разрешении выражений логики предикатов таковы же,
как и в разрешении выражений логики высказываний.
Поэтому разрешаемое выражение пытаются преобразовать
так, чтобы можно было непосредственно установить его
общезначимость, или свести его к выражению логики вы¬
сказываний, разрешимому с помощью таблицы истин¬
ности. Рассмотрим этот метод на примере непосредствен¬
ных умозаключений. Другая разрешающая процедура
будет изложена в следующем разделе. Для исследования
непосредственных умозаключений нужно прежде всего
договориться о переводе традиционных высказываний типа
SaP, SeP, SiP и SoP на символический язык логики пре¬
дикатов. «SaP» является сокращением для «Все 5 суть Р».
Из раздела об отношениях между понятиями можно уз¬
нать, что в данном случае предикаты S(x) и Р(х) могут
находиться в отношении подчинения («Все рабочие —
трудящиеся») или в отношении тождества объемов («Все
равносторонние треугольники имеют равные углы»). Для
соединения обеих возможностей в одном выражении ло¬
гики предикатов выбирают запись V(x)[S(x)-> Р(х)],
которая будет правильной и в случае совпадения объемов
5 и Р, хотя это отношение охватывается ею не полностью.
Вместо V(x)[S(x)-> Р(х)1 можно также записать
[S(x)/\~P(x)I; второе выражение получается из первого
по правилу преобразования, приведенному в разделе 3.2.3.
«ХеР» является сокращением для «Все 5 не суть Р».
Этим подразумевается, что Х(х) и Р(х) несовместимы
.164

(«Все материалисты — не идеалисты», или «Ни o inii мл
териалист не является идеалистом»). На нашем симн<»личс
ском языке это можно записать V(AjlS (а) ► - /'(01
или, применяя правило преобразования,	(a)|.S‘(\)Д
АР(х)].
«SiP» — сокращение для «Некоторые S суть /,». Это
значит, что классы, соответствующие S(x) и P(xj, имеют,
по крайней мере, один общий элемент. Так как это ничего
не говорит о том, существуют ли индивиды, являющиеся
элементами только одного из этих классов, мы можем
записать
3 (х) [S (х) А Р (х)] или ~ V (х) [S (х) —> ~ Р (х)].
«SoP» — сокращение для «Некоторые S не суть Р».
Здесь имеется в виду, что существуют индивиды, которые
являются элементами класса, соответствующего S(x), и
элементами класса, соответствующего ~Р(х). Этот класс
включает все индивиды, которые не являются элементами
класса, соответствующего Р(х). Его называют классом
дополнительным к Р(х). Так как ничего не говорится о
том, имеются ли общие элементы классов, соответствующих
S(x) и Р(х), можно записать только 3 (x)[S (х)Д~Р(х)]
или ~V (x)[S (х) -> Р (х)1.
В сводной таблице получается:
Традици¬
онная
запись
S а Р
S е Р
S i Р
SoP
Современная запись
V	(х) [S (х) -+ Р (х)] или ~3 W [S (х).А ~Р (х)]
V	(х) [S (х) —> ~Р (х)] или -а (х) [5 (х)А Р (х)]
3 (х) [S (х)АР (х)] или -у (х) [S (х) —> ~Р (х)]
3 (х) [S (х)А ~Р (х)] или -у (х) [S (х) —> Р (х)]
В логике предикатов эта символизация высказываний
типа SaP и SeP ведет к тому, что некоторые умозаключе¬
ния, которые по правилам традиционной логики счита¬
ются правильными, на самом деле оказываются не тако¬
выми. В разделе 3.3.5 мы подробнее остановимся на раз¬
личных воззрениях на характер общих высказываний в
традиционной и современной логике и их следствиях.
Нужно сделать еще одно предварительное замечание.
Правильные умозаключения отличаются тем, что из ис¬
тинных посылок всегда получают истинное заключение.
И хотя в умозаключениях противоречия делают заклю¬
165

чение о ложности высказывания, такое умозаключение
эквивалентно умозаключению об истинности отрицания
этого высказывания и может быть соответствующим об¬
разом символизировано.
Учитывая это, по правилу умозаключение противоре¬
чия из истинности высказывания «Все классово-антагони¬
стические общества являются эксплуататорскими» мы за¬
ключаем об истинности высказывания «Неверно, что не¬
которые классово-антагонистические общества не явля¬
ются эксплуататорскими». Проверим, является ли это
умозаключение правильным. Для этого сначала запишем
его в символической форме, затем преобразуем его по со¬
ответствующим правилам и, наконец, редуцируем это
выражение логики предикатов к выражению логики вы¬
сказываний:
(1) V (х) [К (х) — А (х)]	~ Э (х)
(2)
~ Э (х) ~
✓ [/((х) —. Л (х)]
~Э(х)
(3)
~ 3 (х) ~
4~Л(х) v л (х)] — z
~Э(х)
(4)
~Э(х)[»
- ~ К (х) /\ ~ А (х) — ,
~Э(х)
(5)
~ Э (х) [Л (х) Д ~ Л (х)]	-
~Э(х)
(6)
~Р— '
Л (X) Л — А (х)'
К (х} f\~ А (х)
К (х) f\~ А (х)'
К (х) /\ ~ А (х)
К (х) Д ~ Л (х)
Проведенная в (6) редукция допустима потому, что в (5)
по обе стороны от знака импликации стоят одинаковые
выражения, и потому, что (5) в любое время может быть
восстановлена из (6) в результате подходящей подстановки.
Р
~Р ~Р
t
f
t
t
t
f
Таблица истинности для ~p-+~p показывает, что это
выражение общезначимо, а тем самым общезначимо и
выражение логики предикатов (1), так как все выражения
(1) — (5) эквивалентны. Этим доказана правильность ис¬
ходного умозаключения и корректность правила умоза¬
ключения. Доказательство несколько усложнилось, так
как нам пришлось воспроизвести его во всех подробно¬
стях, чтобы дать возможность применять этот метод и к
другим умозаключениям.
166

Для разрешения этого умсэзаюпочсчпш можно оыло
бы также воспользоваться логическим квадратом. Можно,
например, решить все умозаключения противоречия по
ходя из следующего:
1.	Из двух контрадикторных высказываний всегда
одно истинно, а другое ложно.
2.	Два контрарных высказывания не могут оба быть
истинными, но они оба могут быть ложными.
3.	Два субконтрарных высказывания не могут быть оба
ложными, но они оба могут быть истинными.
Однако важнее не то, каким методом проще решается
умозаключение, а то, какие методы позволяют разрешить
большую область умозаключений. И с этой точки зрения
логический квадрат ценится не очень высоко, поскольку
он охватывает слишком узкую область умозаключений.
Тем не менее он может быть полезен для проверки умо¬
заключений.
Для целого ряда импликаций логики предикатов можно
установить их общезначимость по разрешающей проце¬
дуре для выражений логики высказываний (2.1.8).
Основная идея здесь та же, что и при разрешении вы¬
ражений логики высказываний: предполагают, что им¬
пликация не общезначима, и пытаются найти такое рас¬
пределение значений истинности или интерпретацию, при
которой импликация будет ложной. Если выясняется, что
такого распределения значений или такой интерпретации
не существует, то импликация общезначима, а основанное
на ней умозаключение правильно.
В отличие от импликаций логики высказываний им¬
пликации логики предикатов должны быть сначала пре¬
образованы, прежде чем их можно будет разрешить. Для
этого прежде всего пользуются законами, приведенными
в разделе 3.2.1, или соответствующими им правилами.
Преобразования такого вида необходимы и для разрешаю¬
щей процедуры, приведенной в разделе 3.2.6, так что по¬
следующие примеры могут рассматриваться одновременно
как упражнения.
Исследуем умозаключение вида
V (х) [М (х) —> ~ Р (х)]
у (х) [S (х) —> м (х)]
V(x)[S (х)->~Р(х)]‘
Оно будет достоверным тогда и только тогда, когда
167

импликация
V (х) [М (х) -> ~ Р (х)] л V (х) [S (х) — М (х)]}
— V(x)[S(x)->~P(x)J
я вл я ется общезначимой.
Согласно закону, приведенному в разделе 3.2.1, верным
является правило
у (х) [F (х) —> G (х)]
V (х) F (X) — V (х) G (х) ’
Если мы применим это правило к трем высказываниям
с импликацией, то получим выражение
{[У(х)М(х)-+У(х)~Р(х)]
Л[У(х)5(х)^У(х)М(х)]}
-* [V (X) S (х) V (х) ~ Р (х)].
Предположим, что эта импликация не общезначима,
т. е. что, по крайней мере, при одном наборе значений
она ложна. Но это возможно только тогда, когда ее анте¬
цедент истинен, а консеквент ложен. Консеквент же ложен
только тогда, когда Y(x)S(x) истинно, a У(х) ~ Р(х)
ложно. Допустим, что это так; тогда мы должны вписать
эти же значения и в антецедент. Для остальных высказы¬
ваний в антецеденте должно быть найдено такое распре¬
деление значений, которое обеспечивало бы его истин¬
ность в целом. Поскольку антецедент является конъюнк¬
цией, оба члена этой конъюнкции должны быть истинны.
Поэтому в первом члене конъюнкции мы должны придать
У(х)Л1(х) значение «ложь», иначе У(х)Л4 (х) -> У(х)~Р(х)
было бы ложным. Во втором члене конъюнкции мы должны
придать У(х)Л1(х) значение «истина», иначе У(х)5(х)->
У (х)Л4 (х) будет ложно. Но одному и тому же выра¬
жению, входящему в состав сложного, нельзя придать
два противоположных значения
Предположение, что импликация не общезначима, при¬
водит к невозможным следствиям. Значит, не существует
168

такого набора значений истинноеiи, при |и»1мрмм «ы
импликация была бы ложной; cjhvm>нлiшю, «ны пони’
значима.
В качестве второго примера возьмем имплпк/ншю
{V (х) [Р (х) —► ~ М (х)] Л а (х) [S (х) л м (л) II
— 3(х)[£(х)Д ~Р(х)].
Преобразуем ее так, чтобы каждое высказывание со¬
держало только один предикат. Для этого кроме правила,
использованного в первом примере, нам нужно следующее:
a (*) [Z7 (*) л G (х)]	.
Э (х) F (х) л а (х) G (х) ’
В результате применения обоих правил получим
{[V (х) Р (х) —► V (х) ~ М (х)] Л 3 (х) S (х) л а (х) М (х)}
— [3 (х) S (х) Д 3 (х) ~ Р (х)].
Квадратные скобки, в которые заключены высказыва¬
ния в антецеденте, можно опустить; и тогда антецедент
станет трехчленной конъюнкцией.
Попытаемся найти интерпретацию, при которой ан¬
тецедент был бы истинен, а консеквент ложен. Консек¬
вент ложен, если, по крайней мере, одно из содержащихся
в нем высказываний ложно. О Э(х) S (х) нельзя предпо¬
ложить, что оно ложно, иначе весь антецедент, в котором
оно также имеется, был бы ложным. Итак, допустим, что
оно истинно, а 3(х)~Р(х) ложно. Рассмотрим импли¬
кацию в антецеденте. По предположению 3(х)~Р(х)
ложно. Оно эквивалентно ~У(х)Р(х). Это высказывание
является отрицанием У(х)Р(х), значит, У(х)Р(х) истин¬
но. V(x) ~ М (х) также должно быть истинно, поскольку
импликация У(х)Р(х) -> V (х) ~ М (х) по предположению
истинна. Но У(х)~М(х) эквивалентно ~3(х)Л4(х) и
является отрицанием 3(х)Л4(х), истинность которого,
как и истинность 3(x)S(x), мы должны предположить.
169

Таким образом, не существует такого набора значе¬
ний истинности, при котором данная импликация ложна;
следовательно, она общезначима.
Однако такой способ не пригоден уже для следующего
примера. Рассмотрим импликацию
{V (х) [М (х) — ~ Р (X)] л з (х) [S (X) Л м (х)]}
-* 3 (х) [S (х) л ~ р (*)]■
В результате преобразования получаем
{[V (х) М (х) — V (х) — Р (х)] Л 3 (х) S (х) Д 3 (х) Л4 (х)}
—> [3 (х) S (х) Д а (х) — Р (х)].
Чтобы найти распределение значений, при котором эта
импликация будет ложной, нужно предположить, что
оба экзистенциальных высказывания в антецеденте, а
тем самым и 3 (x)S (х) в консеквенте истинны и что 3 (х)~
~Р(х) ложно. Из ложности 3(х) ~ Р(х) следует ложность
V(x)~P(x). Из предыдущих предположений ничего не
следует в отношении значения истинности V(x) Л4(х).
С предполагаемой истинностью 3 (х)Л4 (х) совместимы как
истинность, так и ложность этого высказывания. В первом
случае вся импликация будет истинной, а во втором —
ложной.
{[V(x) М(х) —>■ V(x) ~ Р C4J Л 3£х) S (х) Д Э(х) М (х)}
1
-* (а (х) s (х)
t—J
: 4

Л 3 (X) *
—)
■ Р(х>]
..—
И все же с помощью разрешающей процедуры из раз¬
дела 3.2.6 можно легко установить, что эта импликация
фактически общезначима.
Если даже попытка непосредственного доказательства
общезначимости импликации нередко терпит неудачу, то
затраты на его проведение так незначительны, что такое
доказательство все же стоит предпринять.
3.2.6. РАЗРЕШАЮЩАЯ ПРОЦЕДУРА ДЛЯ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Описанная здесь разрешающая процедура позволяет
разрешать не только умозаключения, исследуемые в тра¬
диционной логике; ее применимость гораздо шире.
Чтобы можно было разрешить умозаключение этим спо¬
собом, его сначала нужно записать в символической форме.
170

Получившееся выражение логики прг ди к л i«»и пнгм щн
образуется согласно определенным ирлнилпм II.imh.ih ши
преобразований является приведение вырижгпин и i<ihi"
форму, чтобы его можно было редуцирован, к ni.ip/i/m

логики высказываний и разрешить это выражение ее i рг i
ствами. Таким образом, выражению логики прели на и ш
придается такая форма, что можно себе преде|пин 11.,
будто оно возникло в результате подстановок (описанных
в 3.2.2), сделанных в обратном направлении.
Этот способ ниже представлен рядом указаний, со¬
гласно которым следует производить преобразования. Мы
не будем обосновывать отдельные шаги, потому что эго
вышло бы за рамки введения в формальную логику. С це¬
лью иллюстрации отдельные шаги этого способа показаны
на следующем умозаключении:
Все марксисты — атеисты.
Многие борцы за мир — не атеисты.
Следовательно: Многие борцы за мир — не марксисты.
1.	Запишите в символической форме все высказыва¬
ния, имеющиеся в исследуемом умозаключении. Обра¬
зуйте конъюнкцию посылок и присоедините к ней заклю¬
чение посредством импликации
{V (х) [М (х) А (х)] Л 3 (х) [F (х) Л - А (х)]}
—* 3 (х) [F(х)Л ~М(х)].
2.	Преобразуйте все имеющиеся общие высказывания
в экзистенциальные. Преобразуйте отдельные выражения
так, чтобы в области действия кванторов существования
были только конъюнкция и отрицание, причем отрицание
не должно относиться к сложным выражениям:
{~ 3 (х) ~ [М (х) — А (х)] Л э (х) [F (х) л - А (х)]}
— B(x)[F(x) Л ~М(х)]
3 (х) - [~ М (х) V А (х)]
Л 3 (х) [F (х) Л ~ А (х)]} ->■ 3 (х) [F (х) Л ~ М (х)]
3 (х) ~ ~	~ Л4 (х) Л ~ Л (*)]
Л 3 (х) [F (х) Л ~ А (х)]} — 3 (х) [F/x) А ~ М (х)]
~ {3 (х) [М (х) Л - Л (х)] Л 3 (х) [F (х) Л ~ А (х)]}
-+3(x)[F(x)A~M(x)].
3.	Замените заключение его отрицанием, а стоящий
перед ним знак импликации знаком конъюнкции. Опу¬
171

стите скобки, в которые заключены посылки:
~ а (х) [М (х) л — А (х)] л 3 (х) [F (х) л ~ А (х)]
Л ~ В ( х) [F (X) л ~ М (х)].
4.	Проверьте, не встречается ли среди высказываний
составленной таким образом конъюнкции хотя бы одно
без отрицания и хотя бы одно с отрицанием.
5.	Если имеется хотя бы одно экзистенциальное вы¬
сказывание без отрицания и хотя бы одно с отрицанием,
то действуйте следующим образом:
(1)	Выпишите все имеющиеся высказывания, стоящие
без отрицания.
(2)	Поставьте после них знак импликации.
(3)	Поставьте затем в скобках дизъюнкцию отрицаемых
высказываний, однако без знака отрицания перед кван¬
торами:
В (х) [ F (х) л ~ Л (х)]{Э (х) [Л4 (х) л ~ л (X)]
Л В (x)[F(x) Л — М (х)]}.
6.	Уберите кванторы и индивидные переменные:
[F д ~ д] _ {[М д ~ л] V [F Л - М]}.
7.	Рассмотрите полученное таким образом выражение
как выражение логики высказываний и составьте его
таблицу истинности:
F
A
M
~Л
~M
Fa
л~л
МЛ
Л~Л
РЛ
Л-М
[Мл-Л]
V[Fa~
~M]
[F/\~A]
Vl^A-
'МП
t
t
t
f
f
f
f
f
f
t
i
i
f
f
t
f
f
t
t
t
t
f
t
t
f
t
t
f
t
t
t
f
f
t
t
t
f
t
t
t
f
t
t
f
f
f
f
f
f
t
f
t
f
f
t
f
f
f
f
t
f
f
t
t
f
f
t
f
t
t
f
f
f
t
t
f
f
f
t
8.	Если выражение логики высказываний не общезна¬
чимо и в выражении, полученном по (3), встречается более
чем одно экзистенциальное высказывание без отрицания,
то проделайте то же самое (5—7) с другим высказыванием.
Если хотя бы одно из выражений, исследованных по
таблице истинности, общезначимо, то и исходное выраже¬
ние тоже общезначимо, а соответствующее ему умозаклю¬
172

чение правильно и правило, по которому оно получено,
корректно. Если ни одно из выражений, исследованных
по таблице истинности, не является общезначимым, то
и исходное выражение не общезначимо, а соответствующее
ему умозаключение неверно и правило, по которому оно
получено, некорректно. Рассмотренное здесь в качестве
примера умозаключение правильно (как утверждает 3.2.1),
и правило умозаключения, по которому оно получено
(Modus Вагосо, 2-я фигура силлогизма), корректно.
Этот способ можно пояснить на другом примере.
Рассмотрим умозаключение:
Ни один колониалист — не гуманист.
Существуют колониалисты.
Существуют люди, не являющиеся гуманистами.
Существуют люди, являющиеся колониалистами, но
не гуманистами.
Вопрос не в том, является ли заключение истинным
высказыванием, в чем нет никакого сомнения, но в том,
следует ли заключение с необходимостью из посылок. Из
первой посылки оно не следует. Первая посылка говорит
лишь о том, что колониальная эксплуатация и гуманизм
не совместимы; но она не говорит о том, существуют ли
люди, которые эксплуатируют колонии и не являются
гуманистами. Так же и из конъюнкции второй и третьей
посылок вывод не следует с необходимостью, так как вы¬
ражение [3(x)F(x)A3(x)G(x)]-> a (x)[F(x)aG(*)1 не об¬
щезначимо. Иначе стоило бы только вместо F поставить
«колониалист», а вместо G — «не гуманист», чтобы заклю¬
чение из второй и третьей посылок получалось с досто¬
верностью.
Таким образом, нужно применять разрешающую про¬
цедуру. Номера перед следующими выражениями обозна¬
чают, согласно какому указанию получаются эти выра¬
жения. Чтобы несколько упростить символизацию и пре¬
образования, договоримся, что областью индивидов будет
класс людей и в соответствии с этим в третьей посылке и
заключении слово «человек» не будет приниматься во
внимание.
(1)	{~ 3 (х) Г/С (х) л Н (*)] Л 3 (X) К (х) л 3 (х) ~ Н (х)}
—>3(х)[К(х)Л ~Ж*)]
(3) ~ 3 (х) [Л (X) л я (X)] л 3 (X) К (х) л 3 (X) ~ Н (X)
Л~Э(х)[Я(х) Л-Я(х)].
173

Из двух экзистенциальных высказываний (без отрица¬
ния) этого выражения мы выберем для дальнейших пре¬
образований 3(х)~Я(х), а З(х)/С(х) рассматривать
не будем.
(5) 3 (х) - Н (х) — {3 (х) [Л (х) Л Н (х)]
V3(x) [К (х)Д ~Я(х)]}
(6) ~Н-+{[К/\Н] V[/<A ~Н]}
К
н
KaH
KA~H
[КлН]
у[Кл~Н]
—>■
{[KAff]v
t
t
f
t
f
t
t
1
f
t
f
t
t
t
f
t
f
f
f
f
t
f
f
t
f
f
f
f
Так как выражение (6) не является общезначимым, а
под (3) стоит второе экзистенциальное высказывание без
отрицания, то согласно указанию 8 мы теперь повторим
с ним указанную процедуру.
(5) 3 (х) К (х)	{3 (х) [ЛГ (х) Л Н (х)] V
V3(x)[K(x) Л ~Я(х)]}
(6) К-+{[К /\Н]\/[К Д~Я]}
(7)
К
H
~H
KaH
КЛ-Н
[Клн]
К—>■
V[KA~tf]}
t
t
f
t
f
t
t
t
f
t
f
t
t
t
f
t
f
f
f
f
t
f
f
t
f
f
f
t
Следовательно, данное умозаключение правильно. При
этом выяснилось, что заключение следует уже из первых
двух посылок, поэтому третья — лишняя и может быть
опущена.
А теперь исследуем несколько более сложное умоза¬
ключение, не входящее в область традиционной теории
умозаключений. В качестве индивидной области возьмем
класс философов.
174

Каждый субъективный идеалист — идеалист.
Каждый объективный идеалист — идеалист.
Существуют материалисты.
Ни один идеалист — не материалист.
Существуют философы, которые не являются ни объ¬
ективными, ни субъективными идеалистами.
(1)	{v (х) [S (х) —> / (х)]Ду (х) [О (х) -* / (х)]
ДЭ (х) М (х)Д ~э (х) [/ (х)ДМ (х)]}
_*3(x)[~O(x)A~S(x)]
(2)	{~3(x)~f~S(x)V/(x)]
Л~3 (х)~[~О (x)V/(x)]
Аз (х) М (х)Л~3 (х) [/ (х)ДМ (х)]}
-+3(x)[~0(x)A~S(x)]
(x)~~[~~S (х)Л~/(х)]
Л~3 (X)	[~~ о (х)Л~/ (х)]
Аз (х) М (Х)Л~3 (х) [/ (Х)ДМ (х)]}
_+3(x)[~0(x)A~S(x)]
{~3 (х) [S (х) Л—/ (х)] Л ~3 (х) [О (х)Л ~/(х)]
ДЗ (х) М (х)Д~з (х) [/ (х)ДМ (х)]}
—>■ 3 (х) [~О (х)Л	(х)]
(3)	~3(x)[S(x)A~/(x)]A~3(x)[O(x)A~/ (х)]
л 3 (х) М (х)л ~Э (х) г / (X)ЛМ (х)]
Л~3<х)[~О(х)Л~5(х)]
(5) з(х)М(х)
—> {э (x)[S (х)Д~/ (x)]V3 (х) [О (х)А~7 (х)]
V3 (х) [/ (х)ЛЛ4 (x)]Vs (х) [~о (x)A~S (х)]}
(6) /И—{[Sa~/]V[0A~/]V[/AA4]
V[~OA~S]b
Из таблицы истинности следует, что выражение (6)
является общезначимым, следовательно, общезначимо и
выражение (1). Это доказывает, что умозаключение пра¬
вильно.
По указанию (4) разрешающей процедуры следует про¬
верить, содержит ли выражение, полученное согласно
пп. (1)—(3), хотя бы одно экзистенциальное высказывание
без отрицания и хотя бы одно с отрицанием. Но как нужно
поступать, если выражение содержит экзистенциальные
высказывания только с отрицанием или только без него,
Д75

пока не говорилось. Указания, которых нужно придер¬
живаться в этом случае, должны быть описаны и проил¬
люстрированы примерами.
Возьмем умозаключение:
Все находится в движении.
То, что находится в движении, находится в изменении.
Существует нечто, находящееся в движении и в изме¬
нении.
Первые шаги те же, что и в предыдущих примерах:
(1)	{у(х)В(х)Ду(х)[В(х)-+И(х)]}
—*3(х)[В (х)ДУ(х)]
(2)	(х)~В (х)Д ~з (х)~[~В (x)VV (х)]}
— Э(х)[В(х)ДУ(х)]
{~3(х)~В(х)
A~sU)~~[	B(x)A~V(x)]}
—► з (х) [В (х)Д7 (х)]
{~3 (х) ~В <х)Д ~з (X) [В (х) л	(х)]}
— 3 (*)[£(*) Л И*)]
(3)	~3(x)~B(x)A~3W[S(x)A~V(x)]
Д~з(х)[В(х)ДУ(х)].
С этим выражением нужно поступать согласно следую¬
щим указаниям:
5*. Если имеются экзистенциальные высказывания
только с отрицаниями, преобразуйте их в общие:
~~у(х)~~В (х)
/\~~у(х)~\В (x)A~V (х)]
д	у(х)~[В(х)ЛПх)]
V (х) В (х) Д у (х) -~[В (х) Д ~ V (X)]
AV (х)~[В(х)ДУ (х)].
6 *. Опустите кванторы и индивидные переменные
BA~[BA~I/]A~[BAV].
7 *. Полученное таким образом выражение рассматри¬
вайте как выражение логики высказываний и составьте
для него таблицу истинности
176

В
V
~v
Вл
A~V
~[Ba
Л-И]
BaU
-I/IAV'I
Вл
-|BA
A-И
A — | Л aV'J
t
t
f
f
t
t
f
t
f
t
f
t
t
f
f
t
f
f
f
t
f
f
t
f
t
f
f
f
f
t
f
t
f
t
f
f
Если выражение, исследованное по таблице истинно¬
сти, оказывается противоречием, то исходное выражение
общезначимо, а соответствующее ему умозаключение пра¬
вильно, а правило, по которому оно получено, корректно.
В ином случае выражение не будет общезначимым, а соот¬
ветствующее ему умозаключение правильным, и, следо¬
вательно, правило, по которому оно получено будет не¬
пригодно.
Может показаться несколько странным, что общезна¬
чимость выражений логики предикатов доказывается пу¬
тем сведения их к противоречиям логики высказываний.
Дело в том, что в результате преобразования согласно
указанию 3 получается отрицание исходного выражения,
т. е. из общезначимого выражения получается противо¬
речие. И если после преобразования согласно п. 5 из про¬
тиворечия снова получается общезначимое выражение,
то этого не происходит, если применяются пп. 5 * и 6 *,
а это значит, что не все преобразования этой разрешаю¬
щей процедуры приводят к выражениям, семантически
эквивалентным предыдущим.
Следует рассмотреть еще и тот случай, когда в выраже¬
нии, полученном согласно п. 3, содержатся только экзи¬
стенциальные высказывания без отрицания. Возьмем умо¬
заключение:
Не каждый черноволосый человек будет черноволосым,
если у него голубые глаза.
Каждый черноволосый человек будет черноволосым,
если у него голубые глаза.
(1) ~V (х) {[S (х) лм (х)] — [В (х) — S (х)]}
-» у (X) {[S (х)ДЛ1 (х)] -> [В (х) -> S (х)]}
(2)	~~3 (х)~ {~[S WЛ М (х)]V[~В (х) VS (х)]}
->~3 (х)~{~[5(х)ДМ (x)]V[-5(x)VS (х)]}
3(х)	{~~[S (х)ДЛ1 (х)]
177

A~[~B(x)VS(x)]}
—>~3 (x)~~{~~[S (х)ЛМ (x)]
A~[~B(x)VS(x)]}
3 (x) {[S (х)ЛM (x)] A ~~B (x) A ~S (x)]}
—-~g(x){[S(x)AM (x)]
A~~~B(x)A~S (x)]}
3(x) {S(x)AM(x)A#(x)A~S(x)]}
—*~3 (x) {S (x)/\M (x)/\B (x)/\~S (x)}
(3)	3 (x) {S (x)AM (x)AB (x)A ~S (x)}
AS (x) {S (х)ДМ (x) Л-B (x)A~S (x)].
С этим выражением нужно поступать следующим об¬
разом.
5 **. Если имеются только экзистенциальные выска¬
зывания без отрицания, проверьте, не является ли одно
из них противоречием.
Если хотя бы одно из экзистенциальных высказываний
в. выражении, полученном согласно п. 3, является проти¬
воречием, то исходное выражение будет общезначимым.
Если же ни одно из экзистенциальных высказываний в
выражении, полученном согласно 3, не является проти¬
воречием, то исходное выражение не общезначимо.
В отношении экзистенциальных высказываний без от¬
рицания в выражениях, полученных согласно указаниям
1—3, можно легко установить, являются ли они проти¬
воречиями. Согласно п. 2 они должны быть составлены
так, чтобы в области действия квантора существования
находился только один предикат или только одна конъ¬
юнкция предикатов. Каждый из этих предикатов может
быть с отрицанием или без него. Если хотя бы один из
предикатов встречается в экзистенциальном высказывании
один раз с отрицанием, а другой раз без отрицания (в
нашем примере S(x) и ~S(x)), то это выражение будет
противоречием. В ином случае выражение будет выполнимо.
Выражение (1) в нашем примере будет, таким образом,
общезначимым, так как оба экзистенциальных высказыва¬
ния в (3) являются противоречиями.
Рассмотрим условия, при которых выражение, полу¬
ченное согласно указаниям 1—3, может содержать про¬
тиворечивое экзистенциальное высказывание.
Во-первых, возможно, что экзистенциальное высказы¬
вание, соответствующее заключению, является противо¬
178

речивым. Это экзистенциальное высказывание иг лишил
лентно заключению, а является его отрицанием и ре iyjn.
тате преобразования согласно п. 3. Следовательно, оно
противоречиво только тогда, когда заключение общении
чимо. Но это еще не дает ответа на вопрос, получено ли
заключение из посылок, т. е. истинно ли оно именно вслед
ствие истинности посылок, ведь общезначимое выражение
истинно независимо от них. Во всяком случае, здесь выяс¬
няется, что заключение общезначимо, о чем, возможно,
до преобразования и не знали.
Во-вторых, возможно, что противоречиво экзистенци¬
альное высказывание, соответствующее одной из посылок.
Но такое экзистенциальное высказывание семантически
эквивалентно соответствующей ему посылке. И если оно
противоречиво, то противоречива и соответствующая ему
посылка; а это значит, что посылки умозаключения со¬
держат противоречие. В таком случае конъюнкция посы¬
лок не может быть истинной и из нее нельзя сделать до¬
стоверного заключения.
Ценность исследования умозаключения согласно 5 **
заключается в том, что, во-первых, может быть установ¬
лена общезначимость вывода разрешаемого умозаключения
и, во-вторых, может быть раскрыта логическая противо¬
речивость посылок. Последнее особенно важно. Если ло¬
гическое противоречие сознательно или бессознательно
взять как посылку, то в качестве заключения можно по¬
лучить любое высказывание, поскольку импликация, ан¬
тецедент которой является противоречием, общезначима.
3.2.6*. РАЗРЕШАЮЩИЕ ПРОЦЕДУРЫ И НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Этот раздел является как бы дополнением к разделу
3.2.6 и предполагает знание раздела 2.1.8 *. Здесь мы
покажем, что разрешающая процедура логики предикатов
использует преобразования выражений в их нормальные
формы. Хотя этот способ не может дать общую разрешаю¬
щую процедуру логики предикатов, но он может заменить
хотя бы составление таблиц истинности.
Чтобы легче было следить, продемонстрируем этот
способ на выражениях, для которых уже составлены таб¬
лицы истинности в разделе 3.2.6.
Первое выражение имеет вид
179

Преобразование импликации в дизъюнкцию дает
4^A~4]V{[MA~4]V[FA~M]}.
После устранения знака отрицания перед первой скоб¬
кой получаем
[~FVA|V{[MA~^]V[FA~M]}.
Преобразуем сначала по закону дистрибутивности вы¬
ражения в фигурных скобках:
[~FV4]V{[WF]A[MV~M]
A[-/lVF]A[-/lV-M]b
Теперь преобразовано все выражение, причем выраже¬
ния в квадратных скобках рассматриваются как далее
неразложимые:
{[-FV Л]у[М VF]}A{[~FV^]V[M V-М]}
A{[~FV4]V[~4VF]}
A{[~FV4]V[~W~M]}.
Фигурные скобки должны прояснить связь с предыду¬
щим выражением; теперь их можно опустить:
[~FV4VWF]A[~/?V^VW~M]
A[~F\MV~ A \yF]/\[~F\J А \/~A V~M].
Итак, мы рассматривали исходное выражение как вы¬
ражение логики высказываний, но вместо составления
таблиц истинности привели его к конъюнктивной нормаль¬
ной форме. Каждая дизъюнкция этой нормальной формы
содержит, как и ожидалось, по крайней мере, одну пере¬
менную, встречающуюся один раз с отрицанием, а другой
раз без него. Это свидетельствует об общезначимости вы¬
ражения.
Необходимые преобразования во втором примере можно
провести уже без пояснений:
—{[/<Atf]V|XA~tf]}
н V {[К V/C] А[К V ~Я]Л[Я УК]Л[Я V ~Я]}
[НУКУК]Л[НУКУ~Н]
A[tfVtfVK]A|WtfV~tf].
Это выражение не общезначимо, потому что не все дизъ¬
юнкции общезначимы.
Уже в третьей снизу строке можно видеть, какое вы-
180

ражение должно стоять перед фигурными •	-• щ • »•
все выражение стало общезначимым. 11<»< лг ihhh

ция общезначима и поэтому здесь ее можно иг v'uhi-iimii
В каждой из трех предыдущих скобок /( ш 1р<”нн и н, ш<
крайней мере, один раз. Если бы ~К стояло nrpe/i d»in\p
ной скобкой, то выражение было бы общезначимым |Ь
ствие этого первая строка должна была бы имен, iiii/i
К — {[KA//]V[/<A—
Поэтому надо проверить, нет ли среди экзистепцналь
ных высказываний без отрицания, входящих в исслсду
емое выражение, высказывания вида 3(х) /С(х). Поскольку
такое имеется, выражение является общезначимым, а ис¬
следуемое умозаключение правильным.
Рассуждения такого вида часто облегчают разрешение
умозаключений, и если умозаключение неверно, то ука¬
зывают, как его можно исправить. При этом можно также
установить, не содержит ли умозаключение лишних по¬
сылок. В нашем примере есть лишняя посылка 3(х)~Н (х).
Если в предыдущих примерах нужно было установить
общезначимость выражений, для чего используется конъ¬
юнктивная нормальная форма, то для следующего выра¬
жения нужно определить, является ли оно противоречием,
для чего используется дизъюнктивная нормальная форма:
BA~[5A~HA~[SAV]
ba[~bvHa[~bv~H
BA{[~BA~B]V[~BA~V]V[VA~B]
V[VA~V]}
[BA-SA~B]V[BA~BA~V]
v [BAVA~B]V[BAVA~n
Каждая конъюнкция в этой дизъюнктивной нормальной
форме содержит переменную и ее отрицание и поэтому
все выражение противоречиво.
Посмотрим, правильно ли следующее умозаключение:
Внимательный пешеход не нарушает правил уличного
движения.
Нарушитель правил уличного движения вредит себе
и другим.
Существуют невнимательные пешеходы, которые вре¬
дят себе и другим.
181

Сначала умозаключение нужно записать в символиче¬
ской форме; для этого поставим:
«.F (х)» вместо «х — внимательный пешеход».
«У(х)>> вместо «х — нарушитель правил уличного дви¬
жения»;
«S (х)» вместо «х — тот, кто вредит себе и другим».
Следующие шаги осуществляются согласно предписа¬
ниям разрешающей процедуры:
(1)	{у (х) [Т (х) —-V (х)]Л V (х) [V (х) —> S (х)]}
->3(х)[~Т (x)AS(x)]
(2)	{~3(х)~[Т (x)-+~V (х)\
Л ~Э (х)~|У (х) -> s (х)]} -* 3 W [~т U)AS W]
{~3 (х)~[~Т (x)V~V (х)]Д~Э (x)~[~V (х) VS (х)]}
—►З (*)	(x)AS(x)]
{~3 (х) [Т (x)AV (х)]л ~3 (*) 1У (*)Л ~S (X)]}
— 3^)[~г^)Л5(х)]
(3)	-3 W Г (х)ЛV (х)]Л~Э U) [V(х)Л~8 (х)]
д ~3 (х) [~Т (х)Л5 (х)].
Так как экзистенциальные высказывания встречаются
только с отрицаниями, то все они должны быть преобразо¬
ваны в общие высказывания:
(5*) V(х)~[тWAVW]AVW~[VWA~$(х)]
Лу(х)~1~Т (х)Л<$(х)]
у (х) [ ~Т (х) V ~ v (X)] Л V W [ ~^ w V S (х)]
Av(x)[T(x)V^S(x)]
(6*) [~TV~V]A[~WS]A[rV~S].
Вместо составления таблицы истинности выражения
представим его в дизъюнктивной нормальной форме:
[{-TA~V]V[~TAS]V[-VA~V]
V[^VAS]}AFV-S]
[^TA-VA'TJVt-^A-VA-S]
VHTASAnVt-TASA-S]
V[^VA~VzA7’]V[-VA^A~S]
V[~VASAT]V[~VASA~S]-
Это выражение не является противоречием, следова¬
тельно, умозаключение неверно. Попытаемся теперь наити
дополнительную посылку, благодаря которой оно станет
182

правильным. Предположим, что у пл< и. •	•" и'’“" ♦
в виде экзистенциального высказывании <•» ‘
которую мы обозначим пока вопросительным	i )
и составим теперь требуемую форму согласи»» и *•
(5)	? -> {э (X)[Т (х)ДУ(x)]Va(х) F(*) А - '11
V3(x)[^'7’ (x)AS(x)]}
(6)	?—{[taV]v[va~s]v[~7’aS]}-
He учитывая еще не достающее нам экзистенциальное
высказывание, составим конъюнктивную нормальную фор¬
му выражения в фигурных скобках:
{[TVV]A[TV~S]A[VVV]A[VV~S]}
v[~tas]
[7,\/V\/~T]A[7'VVVS]A[7’V~SV~7’]
A[TV~SvS]A[VVVV-n
A[WWWV~-SV-r]A[VV-Sv5j.
В этом выражении нас интересуют не общезначимые
дизъюнкции. Благодаря какому дополнительному выра¬
жению они станут общезначимыми?
[TVVVS]A[VVVV-7,]A[VVVV‘S]
A[W~SV~n
Очевидно все четыре дизъюнкции станут общезначи¬
мыми, если в каждой из них дополнительно появится
~VV{[7’VVVS]A[VWV~T]
[AVvvvs]A[vv~sv~nr
По закону дистрибутивности мы получаем общезначи-
мое выражение
E~VV7,VVVS]A[-VVVVVV-T]
A[MA/VVVVS]A[~VVVV~SV~7,J-
Теперь мы знаем, какие выражения должны стоять
вместо вопросительного знака в (5) и (6), и запишем их:
(6) V-.{[TAV]V[VA~S]V[~TAS]}
(5) з (х) V (х) —♦ {з (х) [7 (x)AV (х)]
Vа (х) [V7 (х)Л ~S (х)]V3 (х) Е~т {x)/\S (х)]}.
И наконец, переведя наши результаты на естественный
язык, получаем следующее правильное умозаключение
(с одной дополнительной посылкой):
183

Внимательный пешеход не нарушает правил уличного
движения.
Нарушитель правил уличного движения вредит себе
и другим.
Существуют нарушители правил уличного движения.
Существуют невнимательные пешеходы, которые вре¬
дят себе и другим.
3.2.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ОПРОВЕРЖЕНИЕ
СРЕДСТВАМИ ЛОГИКИ
Каждое высказывание имеет значение истинности не¬
зависимо от того, известно ли оно кому-либо. Это значение
истинности объективно, т. е. определяется объективным
положением дел, которое отражено в высказывании. Чтобы
приспособиться к действительности и уметь воздейство¬
вать на нее, человек должен различать истинные и ложные
высказывания. Этому служат доказательство и опровер¬
жение; они дают человеку знания об истинном значении
высказываний, но не создают само это значение и не ока¬
зывают на него никакого влияния.
Доказательство обосновывает уверенность в том, что
доказываемое высказывание истинно. Опровержение обо¬
сновывает уверенность в том, что опровергаемое высказы¬
вание ложно. Для доказательств и опровержений поль¬
зуются одними и теми логическими средствами. По¬
этому мы пока не будем их различать, а поговорим сначала
только о доказательствах.
Каждое дедуктивное доказательство (а здесь речь пой¬
дет только о таких) является дедуктивным умозаключе¬
нием, но не каждое дедуктивное умозаключение будет
дедуктивным доказательством. Умозаключение дает уве¬
ренность в том, что его вывод истинен, если истинны по¬
сылки, но оно говорит не собственно о значении истинно¬
сти заключения, а лишь об условиях, при которых оно
истинно. Доказательство же высказывания говорит о
том, что высказывание истинно.
Особенность доказательства по сравнению с умоза¬
ключением разъясним на примере. Высказывание «Многие
борцы за мир — не марксисты» нужно доказать посред¬
ством умозаключения. С этой целью сначала следует найти
высказывания, из которых оно следует. В разделе 3.2.6
мы уже показали, что оно следует из высказываний «Все
184

марксисты — атеисты» и «Многие борцы за мир не
атеисты». Следовательно, доказываемое высказывание ис¬
тинно, если оба последних высказывания истинны. Но
то, что эти высказывания истинны, нужно еще доказать.
Только после этого наше высказывание будет действи¬
тельно доказано.
Таким образом, доказательство высказывания осуще¬
ствляется по строгой форме посредством следующих шагов
(последовательность которых здесь значения не имеет):
1.	Нужно показать, что доказываемое высказывание
следует из определенных посылок.
2.	Нужно показать, что эти посылки являются истин¬
ными высказываниями. В практике умозаключения вто¬
рой шаг часто опускают, если уже известно, что посылки
истинны; кроме того, посылки являющиеся очевидными,
в явном виде не формулируют.
Для доказательства и опровержения используются
законы и правила как логики высказываний, так и логики
предикатов. Некоторую трудность представляет лишь вы¬
бор необходимых исходных выражений и правил умоза¬
ключения и нахождение пути, ведущего от исходных
выражений к доказываемому или опровергаемому. Прямое
доказательство высказывания состоит в том, что, исходя
из истинных высказываний или общезначимых выражений,
преобразуют их по правилам логики до тех пор, пока не
получится доказываемое высказывание. В простейшем
случае доказываемое высказывание получают уже в ре¬
зультате соответствующих подстановок в закон логики.
Давать особый пример здесь нет необходимости, ибо такие
подстановки будут не раз встречаться в следующем, более
сложном примере.
Следует доказать высказывание: Существуют (по край¬
ней мере один) идеалисты:
3 (*) I (х).
В качестве посылок приводятся следующие законы и
высказывания, принимаемые как истинные:
(1)	V (X) F (х) —> F (у)
(2)	F (у) — з (х) F (х)
(3)	V \х) {Ph (х) —► [М (х) V/ W]}
— каждый философ является материалистом или идеали¬
стом.
(4)	Ph{h)—Гегель—философ.
(5)	~Л4 (й)—Гегель—не материалист.
185

Вследствие подстановки {Ph (х) -> [М (х) V / (*)!} вме¬
сто Е(х) и {Ph(y)[М (у)\/1(у)]} вместо F(y) из (1)
получается:
(6)	у (*) {Ph (х) —> [Л4 (х) V / (*)]}
— {Ph (у) — [M(y)VHy)lh
Эта импликация истинна, так как она получена подста¬
новкой в общезначимое выражение. Антецендент этой им¬
пликации (3) истинен. Применение правила умозаключе¬
ния: из р -> q и р следует q — дает истинное высказывание
(7)	Ph (у) —+[М(у)\/1 (//)].
Если вместо у подставить имя собственное Л, то полу¬
чится
(8)	Ph(h)-+[M(h)Vl(h)].
Антецедент этой импликации также истинен. Приме¬
нение правила к (8) и (4) дает
(9)
К (9) и (5) применяется следующее правило умозаклю¬
чения логики высказываний: из p\/q и ~р следует q (см.
2.2.1.2), в результате чего получается
(Ю) /(й).
Если в (2) вместо у подставить й, а I вместо F, то по¬
лучается
(И) Z (й) —3 (х) / (х).
Применение правила «Modus ponens» к (11) и (10) дает
в конечном итоге доказываемое высказывание
(12) а(х)/(х).
Доказательство выражения (12) можно было бы осу¬
ществить проще. Но мы избрали этот относительно слож¬
ный путь, чтобы сразу доказать несколько высказываний —
с (6) по (12) и продемонстрировать различные способы
доказательства. Это доказательство дает опровержение
высказывания «Не существует ни одного идеалиста». Так
как это высказывание является отрицанием (12), а (12)
доказано, то согласно закону противоречия оно не может
быть истинным. Высказывание вообще опровергается до¬
казательством противоречащего ему высказывания.
Часто прямое доказательство бывает нецелесообразным
или даже невозможным. Тогда истинность высказывания
186

пытаются доказать косвенно. Косвенное доказательство
высказывания заключается в том, чтобы опровергнуть
противоречащее ему высказывание, а затем по закону
исключенного третьего сделать заключение об истинности
доказываемого.
Мы показали, что доказательство и опровержение очень
тесно связаны друг с другом, так что доказательством
высказывания опровергается противоречащее ему, а оп¬
ровержением высказывания доказывается ему противо¬
речащее. Однако неверно думать, что из схемы доказатель¬
ства можно создать схему опровержения, заменяя слово
«истинно» словом «ложно». Можно доказать высказывание,
доказывая его посылки. Но нельзя опровергнуть выска¬
зывание, опровергая его посылки, так как если посылки
умозаключения ложны, то заключение не обязательно
будет ложным. Так, например, из высказывания «Каждый
философ — идеалист» можно сделать заключение о вы¬
сказывании «Гегель — идеалист». Опровержение посылки
ничего не меняет в том, что заключение является истин¬
ным высказыванием. Единственное, чего можно достичь
вследствие опровержения посылок умозаключения, это
заставить доказывающего искать новые посылки. Неверно
также думать, что можно опровергнуть высказывание,
доказывая, что оно не следует с необходимостью из дан¬
ных посылок. В этом случае также можно лишь убедиться
в необходимости искать новые посылки.
3.3.	ПРОБЛЕМЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
В заключение нашего рассмотрения логики предикатов
мы коснемся расширений, которые ведут за пределы эле¬
ментарной логики, применения логики предикатов и,
наконец, расскажем о фундаментальных и философских
проблемах формальной логики.
3.3.1. ТОЖДЕСТВО
В традиционной логике наряду с законом противоречия
и законом исключенного третьего как один из основных
законов рассматривался закон тождества. Он изобра¬
жался в виде «А = А» и понимался как утверждение
тождества каждой вещи себе самой. Метафизические ин¬
терпретации этого закона превратили его в утверждение,
что каждая вещь с течением времени остается идентичной
сама себе. Фактически формальная логика ничего не го¬
137

ворит о том, остаются вещи тождественными сами себе
или изменяются. Формальная логика требует только,
чтобы при выражении мыслей один и тот же знак не упо¬
треблялся в разных значениях и чтобы его значение не¬
заметно не изменялось. Нарушение этого требования
неизбежно приводит к ошибкам, например к неправиль¬
ным умозаключениям следующего вида: «Материя» равно¬
значна с «веществом» и обозначает все, что заполняет про¬
странство. Материя — это то, что существует вне сознания
и независимо от него. Таким образом, все, что существует
вне сознания и независимо от него, является «веществом».
Ошибка возникает вследствие того, что «матер-ия» один раз
используется как физический термин, а в другой — как
термин диалектического материализма. Например, сило¬
вые поля существуют вне сознания и независимо от него,
однако не имеют вещественной природы.
Если метафизическая интерпретация закона тождества
не исключается самой формальной логикой, то она не сов¬
местима с марксистско-ленинской философией и тем самым
с общей системой наук, на которой она основывается.
Употреблявшуюся до сих пор символику логики пре¬
дикатов можно расширить, добавив знак для тождества.
Тождество есть двухместное отношение. Говорят: «х тож¬
дественно у». В качестве символа для этого отношения
можно взять, например, «/(%, у)» или «х=у». Мы примем
второй способ обозначения; в литературе он более рас¬
пространен, чем первый. В результате этого расширения
из элементарной логики предикатов возникает логика
предикатов с тождеством.
Теперь ее средствами можно сформулировать выраже¬
ние, которое соответствует закону тождества в традици¬
онной логике:
у (х) [% = х].
Это выражение говорит о том, что каждый индивид
тождествен самому себе. В диалектическом материализме
эту идентичность индивидов самим себе, это неразличимое
тождество называют «абстрактным тождеством». От него
надо отличать конкретное диалектическое тождество. Под
конкретным тождеством индивидов, классов, любых дру¬
гих объектов понимают то, что они объединяют в себе
различные, даже противоположные признаки и продол¬
жают развиваться. Конкретное тождество является, та¬
ким образом, диалектическим единством тождества и
различия. Конкретное тождество является определенным
188

с точки зрения содержания, и тем самым пни 	 с».	». ♦
абстрактное, но оно не исключает поглг/iiiri и, а п и* • и i
тическом смысле снимает его.
Обычно закон тождества рассматриваем а hih ipiiiiii
альный. Но уже Готтлоб Фреге установил, чк> иги кина
вание о тождестве ни в коем случае не должно bi.in. ipn
виальным. Для его истинности достаточно, mioGi.i пол
символа, соединенные знаком тождества, обозначали один
и тот же индивид. Это условие будет выполнено, если но
обе стороны знака тождества стоит одно и то же имя. Такое
высказывание говорит только о том, что определенный
индивид тождествен самому себе, и фактически тривиально.
Иначе обстоит дело, когда знак тождества объединяет
два различных имени, которые обозначают различные
единичные понятия, и, несмотря на это, служат для обо¬
значения одного и того же индивида. Такое высказывание
не является тривиальным. Если будет установлено, что
два индивида, обозначенные различными именами и отра¬
женные в различных понятиях, тождественны, т. е. яв¬
ляются одним и тем же индивидом, то будет достигнуто
новое знание. Здесь важно тождество различного, т. е.
конкретное тождество. Примером может служить сопро¬
вождавшееся длительной и сложной исследовательской
работой установление того факта, что писатель-романист,
известный под именем «В. Traven», идентичен с человеком,
который в начале нашего столетия именовался «Ret Marut»,
издавал в 1917—1921 гг. журнал «Zigelbrenner» и в Мюн¬
хенской республике был известен как пропагандист. Та¬
ким образом, можно сформулировать высказывание тож¬
дества «В. Traven есть Ret Marut», которое, конечно, не
будет тривиальным. При формулировке высказывания о
тождестве слово «есть» используется для обозначения
отношения тождества. Таким образом, мы получаем еще
одно значение слова «есть».
Из общезначимых выражений элементарной логики
предикатов можно получить общезначимые выражения
логики предикатов с тождеством, заменяя двухместный
предикат символом тождества.
Например, из
V (х) V (У) [/? (х, y)—+S(x, z/)]
—*[V(*)vO/)fl(x, y)-+v(x)y(y)S(x, z/)]
получится
VU)v(f/)U?(x, y)-+(x = y)]
—4v (x) V (y) R (X, y)-+y (x) у (у) (X = z/)].
189

Обосновать допустимость этого преобразования про¬
сто. Верхнее выражение общезначимо, т. е. при любой
интерпретации своих предикатных символов оно будет
истинным высказыванием. Если мы заменим предикат S
знаком тождества, то тем самым мы зададим интерпретацию
для одного из предикатов. Поэтому нижнее выражение
также общезначимо, т. е. при каждой интерпретации /?
оно будет истинным высказыванием. Из
V (х) V (У) [7? (х, у) v (х, #)]
получается
V (х) V (у) [(х = у) V ~ (х = у)].
На примере двух последних выражений мы должны
отметить одну особенность логики предикатов с тождест¬
вом по сравнению с элементарной логикой предикатов.
Вследствие проведенного здесь преобразования из обще¬
значимого выражения получилось истинное высказыва¬
ние. В элементарной логике предикатов, строго говоря,
вообще не существует никаких высказываний, а только
выражения, которые при соответствующей интерпретации
становятся высказываниями. Выражение же логики пре¬
дикатов с тождеством, не содержащее свободных индивид¬
ных переменных и не имеющее иных предикатов, кроме
предиката тождества, уже интерпретировано и является,
таким образом, высказыванием.
Следующее общезначимое выражение не может быть
получено из общезначимого выражения элементарной ло¬
гики предикатов, как предыдущие:
V (X) V (у) {И (х)Л(X = у)] —F (у)}.
Это выражение говорит о том, что для каждого инди¬
вида х и каждого индивида у верно: если х обладает свой¬
ством F и тождествен с у, то у также имеет свойство F.
Конкретным примером такой закономерной связи явля¬
ется: если Ret Marut по происхождению американец и
тождествен с человеком по имени В. Traven, тогда и В. Tra¬
ven является американцем. Общезначимость этого выра¬
жения определяется тождеством; вместо знака тождества
нельзя поставить любой двухместный предикат.
Тождество, подразумеваемое в символических выраже¬
ниях этого раздела, является совершенным соответствием,
тождеством индивидов только самим себе. Если индивиды
тождественны в этом смысле, то речь идет об одном и том
же индивиде. В разговорном языке эту форму соответст¬
190

вия нередко путают с другой, которую ни н.пыь• i р н»»н
ством. Если женщина говорит, что у шт и н< ьпнп фр
платье, как и у другой женщины, то онл, обычни, нм.»»
в виду платье такого же покроя, из такой же iiuiiin. ы
кого же цвета и т. д., т. е. другой экземпляр < грнпннп
продукции. Таким образом, одна имеет такое же пл а и.г.
как и другая. Но две женщины имеют одно и то же план.»'
только тогда, когда оно у них одно на двоих и они imnii
его попеременно.
Через тождество можно определить нетождество в
смысле несоответствия индивидов, по крайней мере, в
одном отношении, по одному признаку:
У) = Dei= У)•
Выражение типа 3(x)F(x) говорит о том, что сущест¬
вует, по крайней мере, один индивид со свойством F. Но
иногда нужно символизировать высказывание о сущест¬
вовании только одного индивида с таким свойством или
высказывание о существовании самое большее двух или
точно двух или трех и т. д. индивидов с этим свойством.
Для таких высказываний применяют особые кванторы
существования. Введения этих дополнительных кванторов
можно избежать, если использовать знаки тождества и
нетождества.
Высказывание «Существует, по крайней мере, два ин¬
дивида со свойством F» может быть символически запи¬
сано так:
a U) а (у) (х) AF (у)Л (х #=«/)].
Выражением «х=£у» исключается возможность того,
что х и у тождественны и что, возможно, существует только
один индивид со свойством F. Если нужно сказать, что
существует, по крайней мере, три индивида со свойством F,
пишут:
3 (х) а (у) а (г) [F (х) Д F (у) л F (?) л (х =/= у)
Д(х^г)Д(г/#=г)].
Используя кванторы общности и кванторы существова¬
ния, можно сказать, что существует точно определенное ко¬
личество индивидов с определенным свойством.
V (X) V (у) {[Г (х) Д Г (£)] — (х = у)}
означает, что- существует максимум один индивид со свой¬
ством F; если какие-либо индивиды обладают свойством F,
то они тождественны друг другу. Высказывание «Сущест-
191

вует максимум два индивида со свойством F» выражается
посредством
V (•*) V О/) У (г) {[F (x)AF (y)/\F (г)]
— [(-v = У) \/ (х = г) V (у = г)]},
т. е. если существует три индивида со свойством F, то, по
крайней мере, два из них тождественны друг другу.
Сказать, что существует точно один индивид со свойст¬
вом F, равнозначно тому, что сказать: существует, по край¬
ней мере, и максимум один индивид с этим свойством или
существует по крайней мере, один индивид с этим свойст¬
вом, а каждый (другой) индивид с этим свойством тождест¬
вен ему:
3 <х) {F (х)ЛУ (у) [F (У) —* (*=«/)]}
или проще
3 (х) V (У) [F (у) «->(% = //)]•
Если нужно указать, что существует точно два индивида
со свойством Г, то следует записать, что существует, по
крайней мере, два отличных друг от друга индивида с этим
свойством, и каждый (новый) индивид, который также имеет
это свойство, идентичен с одним из них:
3 (х) а (у) {F (x)/\F (у)Мх^=у)
Л У (z)[F (г) -ч. ((z = x)V(z = </))]}
или проще
3 (х) з (у) {(*#= у}
Л У (г) [F (г) ((г = х) V {г = г/))]}.
3.3.2. ДЕСКРИПЦИИ
Если нужно обозначить один-единственный индивид, то
обычно это делают с помощью имени собственного, напри¬
мер: «В. И. Ленин», «Москва», «Германская Демократиче¬
ская Республика». Но можно также обозначить индивид
посредством указания на признак, который присущ ему
и только ему. В. И. Ленин может быть назван как автор
работы «Империализм, как высшая стадия капитализма»,
Москва обозначена выражением «столица СССР» или «круп¬
нейший город СССР», а ГДР — выражением «первое соци¬
алистическое государство в немецкой истории».
Чтобы перевести выражения такого вида на язык логи¬
ки предикатов, вводят новый квантор — йота-оператор.
В качестве символа применяют обычно маленькую /, напи-
192

санную, наоборот, (/). При нем, как и при кнлпк»p.iх <><•
щности и существования, пишут индивидную переменную
и затем указывают признак, который присущ н()Д|ниумг
ваемому индивиду. Таким выражением является, например,
/(х) F (х) и читается оно как «Тот индивид х, который оГ>
ладает свойством F». Выражение /(х) /?(х, у) читается как
«Тот индивид х, который находится в отношении R к //».
Такое обозначение индивида называют «дескрипцией», био
состоит из высказывательной функции и /-оператора.
Если с помощью кванторов существования и общности из
высказывательных функций образуют высказывания, то
с помощью /-оператора из общего понятия получается
единичное понятие, а из общего имени — имя собственное.
Как мы уже знаем из раздела 3.1.3, из высказыватель¬
ной функции можно получить высказывания, заменяя сво¬
бодные переменные именами собственными. Например, из
высказывательной функции «х является основателем перво¬
го в истории человечества пролетарского государства»
получается истинное высказывание «В. И. Ленин является
основателем первого в истории человечества пролетарского
государства». Но вместо свободной индивидной переменной
можно поставить не имя собственное в узком смысле, а
дескрипцию и тогда тоже получается истинное высказыва¬
ние «Автор произведения «Империализм, как высшая ста¬
дия капитализма» является основателем первого в истории
пролетарского государства».
Если мы вместо «х является автором у» напишем «V (х, //)»,
а вместо «Империализм, как высшая стадия капитализма»
подставим «/», тогда /(х) V (х, i) будет обозначать «Чело¬
век, который является автором работы «Империализм, как
высшая стадия капитализма». Если мы вместо «х является
основателем первого в истории человечества пролетарского
государства» подставим «В (х)», тогда В (; (х) U (х, /)) будет
обозначать уже сформулированное выше высказывание.
Следует подчеркнуть, что дескрипцию / (х) F (х) можно
употреблять только тогда, когда фактически существует и
только один индивид х со свойством F. Если это условие
не соблюдается, можно прийти к ошибочному умозаключе¬
нию. Покажем это на примере. Из высказывания, согласно
которому все индивиды имеют определенное свойство, сле¬
дует, что любой индивид обладает этим свойством. Таким
образом, из у(х) F (х) можно сделать заключение о F(y).
Так как F относится к любому у, то оно должно относиться
и к индивиду, обозначенному /(z)G(z), таким образом
/’(: (?) G(z)) должно быть истинно. Пусть «F (х)» симво¬
7 № 713
193

лизирует свойство всех индивидов изменяться, a G(x) сим¬
волизирует свойство быть творцом Вселенной. Тогда из
истинного высказывания, что все индивида изменяются,
с необходимостью следует, что изменяется и творец Вселен¬
ной. Высказывание «Творец Вселенной изменяется» пред¬
полагает, что существует творец Вселенной. Можно сказать,
что это высказывание тоже ложно. Но это ничего не дает,
поскольку тогда его отрицание: «Творец Вселенной не из¬
меняется» должно быть истинным. Чтобы избежать этих
трудностей, выражения логики предикатов с дескрипциями,
не имеющими ни одного десигната или имеющими более чем
один десигнат, считают не ложными, а бессмысленными.
Дискуссия по поводу использования дескрипций, кото¬
рые обозначают более одного индивида или ни одного инди¬
вида, еще не закончена. Путь для избежания возникающих
здесь трудностей заключается в том, чтобы совсем не ис¬
пользовать дескрипции. Это возможно с помощью знака
тождества. Например, высказывание «В. И. Ленин явля¬
ется основателем первого в истории человечества пролетар¬
ского государства» при применении знака тождества можно
символизировать следующим образом («/» заменяет «В. И. Ле¬
нин»):
у(х)[В(х)<->(х = /)],
т. е. «Для каждого х верно: х является основателем первого
в истории человечества пролетарского государства тогда и
только тогда, когда х тождественно с Лениным».
Если нужно сказать, что у является тем самым объектом,
к которому относится F, то всегда можно записать
y(x)[F(x) -w(x = z/)].
Но это выражение ничего не говорит о том, существует ли
вообще такой индивид. Чтобы указать, что этот у сущест¬
вует, пишут
3(y)vWHWw(x =«/)].
Если этому у приписывают еще одно свойство G, то вы¬
ражают это так:
Э (У)	О/) A V (*) [F (*) *+ (х = г/)]}.
Это выражение говорит, что существует такой у, что лишь
он один имеет свойство F и вместе с тем обладает, свойст¬
вом G.
Таким образом, выражение B(r(x) V (х, 0), в котором
194

имеется дескрипция, можно перевести в выражение
э 0/) {fi G/)AyU) [V{X, i)<->(%=-у)J},
которое не содержит дескрипции. Если при этом перемен¬
ные «В», «V» и «/» интерпретируются так, как указано выше,
то получается истинное высказывание. Напротив, если от
F (1 (г) G (г)) переходят к 3 (y){F (у) Ду (г) [G (г) «-> (z^y) 1},
то получается ложное высказывание: «Существует творец
Вселенной и он изменяется».
Этим способом можно избежать трудностей, которые мо¬
гут возникнуть при применении дескрипций. Но его недос¬
таток состоит в том, что выражения без дескрипций более
сложны и трудны для применения, чем выражения с дескрип¬
циями.
3.3.3. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
Мы уже много занимались переводом высказываний с
естественного или научного языка на символический язык
логики предикатов. Мы, например, знаем, что высказыва¬
ние «Каждый индивид обладает свойством Р» символизируют
посредством у(х) Р(х), высказывание «Некоторые S суть
Р»— посредством д(х) 15(х)ДР(х)] и т. д. При этом мы
часто говорили о свойстве, отношении, т. е. об определен¬
ных признаках, и использовали буквы S, Р и т. д. только
как сокращения вместо определенных слов с определен¬
ным значением.
Но иногда, в частности в философии, речь идет о свой¬
ствах и отношениях вообще. Это делает необходимым рас¬
ширение логики предикатов и ее символики. Оно заключает¬
ся в том, что символы логики предикатов могут использо¬
ваться действительно как переменные и связываться кван¬
торами. В соответствии с этим высказывание «Существуют
свойства, присущие всем индивидам» символизируется, на¬
пример, посредством 3 (Р) V(x) Р(х).
Конечно, в элементарной логике мы уже говорили о
признаках вообще, о любых понятиях и т. д. Мы, например,
определили возможные отношения между понятиями для
любых понятий. В силлогистике также говорилось о любых
понятиях S, М, и Р. Такие выражения, как V(x) Р(х) или
3(у) /?(х, у), которые мы для простоты называли высказы¬
ваниями, строго говоря, обозначают не высказывания, а
высказывательные функции, так как они содержат свобод¬
ные предикатные переменные Р, R и т. д.
7*
195

Для получения высказываний из высказывательных
функций, в которых имеются предикатные переменные, ос¬
тается в силе все то, что мы говорили в разделе 3.1.3 о
получении высказываний из высказывательных функций:
высказывание получается из высказывательной функции
тогда и только тогда, когда все имеющиеся в ней свободные
переменные заменяются именами или связываются кванто¬
рами. Вместо предикатной переменной подставляются, ко¬
нечно, не имена собственные, а общие имена. Это имена,
которые могут служить для обозначения любого элемента
класса, могут отличить этот элемент от элементов других
классов. Такое имя, как «человек», служит для обозначе¬
ния каждого элемента класса людей, но отличает их не друг
от друга, а только от элементов других классов.
Возможность связывания предикатных переменных чрез¬
вычайно повышает выразительность нашего символиче¬
ского языка, Приведем несколько примеров:
3 (?) 3 U) F <*)
обозначает «Существует, по крайней мере, одно свойство,
которое присуще, по крайней мере, одному индивиду» (на¬
пример: четырехугольный, отвага, существование в прост¬
ранстве);
a (F)~y(x)F(x)
обозначает «Существует, по крайней мере, одно свойство,
которое присуще не каждому индивиду» (например, упру¬
гость, жизнь, сознание);
—a (О a WI? (х) д ~f (х)]
обозначает «Не существует свойства, которое (одновременно
и в одном и том же отношении) было бы присуще и не при¬
суще хотя бы одному индивиду». Это опять закон проти¬
воречия;
V (Р) V (х) [F (X) v ~F (х) ]
обозначает «Для каждого свойства и каждого индивида
верно, что это свойство либо присуще индивиду, либо нет».
Это закон исключенного третьего;
з (/?)у (х)у(//)[Я (х, y)—>R (у, х)]
обозначает «Существуют такие отношения, что если они
имеют место между двумя любыми индивидами х и у, то
они имеют место и между у и х» (например, «сходство», «ра¬
венство», «родство»);
196

а (R) V (х) V (//) [Я (*. У) -+~R (у, X)]
обозначает «Существуют такие отношения, что если они
имеют место между любыми двумя индивидами х и у/, то
они не имеют места между у и х» (например, старше, меньше,
отец, причина).
Выражения, в которых не только индивидные перемен
ные, но и предикатные переменные связаны кванторами об¬
щности и существования, относятся уже не к элементарной
логике предикатов, а к логике предикатов второй ступени.
Кроме того, логика предикатов второй ступени отличается
от логики предикатов первой ступени тем, что она содержит
предикаты предикатов. Вследствие введения предикатов
предикатов выразительность логики предикатов увеличи¬
вается. Займемся теперь вопросом о том, что такое преди¬
каты предикатов и почему ими пользуются.
В объективной реальности существуют не только инди¬
виды, которые обладают свойствами и находятся в каких-
либо отношениях с другими индивидами, сами эти признаки
также обладают некоторыми свойствами и находятся в
определенных отношениях друг с другом. Таким образом,
кроме признаков индивидов существуют:
1)	свойства свойств;
2)	свойства отношений;
3)	отношения	между	свойствами;
4)	отношения	между	отношениями;
5)	отношения	между	свойствами и	отношениями.
Все эти виды	признаков можно охватить	расширенной
логикой предикатов, логикой предикатов более высокой
ступени.
Предикаты первой ступени, которыми мы до сих пор
ограничивались, отражают признаки индивидов. Преди¬
каты второй ступени, или предикаты предикатов, отра¬
жают признаки, которые присущи признакам индивидов.
Эту надстройку ступеней можно продолжать сколько угод¬
но. Практически обходятся обычно предикатами первой и
второй ступеней. Но их различие очень важно, так как
признак, присущий признаку индивида, ни в коем случае
не является признаком самого индивида.
Приведем несколько примеров признаков признаков,
которые отражаются предикатами высших ступеней:
(1)	Мышление есть функция, свойство головного мозга;
свойствами мышления, т. е. свойствами свойств, являются,
например, последовательность, глубина.
197

(2)	Для каждого индивида х и для каждого индивида у
верно, как мы уже знаем: если х родственник у, то и у
родственник х. Это свойство отношения родства, заключа¬
ющееся в том, что оно существует в обоих направлениях,
называет «симметричностью». Таким образом, симметрич¬
ность является свойством отношений.
(3)	Мышление и речь, как свойства человека, неразрыв¬
но связаны. Их связь можно представить как отношение
между свойствами.
(4)	Отношения «х говорит с у» и «х устно обменивается
мыслями с у» идентичны по объему. Следовательно, здесь
экстенсиональная идентичность является отношением между
отношениями.
(5)	Свойство быть хорошим гражданином исключает
отношение расхищать народную собственность. Вследствие
этого отношение несовместимости является здесь отноше¬
нием между свойством и отношением.
Предикаты второй ступени часто символизируются готи¬
ческими заглавными буквами, чтобы они по виду отличались
от предикатов первой ступени. Мы, например, символизи¬
руем предикат предикатов «самостоятельность (мышления)»
посредством @(Л), предикат предикатов «экстенсиональная
идентичность (говорения друг с другом и устного обмена
мыслями)» посредством 3(А, S).
В рамках логики предикатов второй ступени можно опре¬
делить тождество индивидов, которое в разделе 3.3.1 было
введено без определения. Определение основывается на сле¬
дующем соображении: два индивида, очевидно, тождест¬
венны (т. е. являются одним и тем же индивидом) тогда и
только тогда, когда каждый признак, присущий первому
индивиду, присущ и второму индивиду, и наоборот. Опре¬
деление имеет следующий вид:
х = у = Def V (Л (*) *-> F Q/)].
Экстенсиональную идентичность, равнообъемность двух
понятий мы уже определяли в разделе 3.1.4. Приводим ее в
символической записи:
А = В = Def V (х) [ А (х) <-> В (х)].
Аналогично g определением тождества индивидов можно
дать также определение интенсиональной идентичности
понятий:
А = В = Def V (<£) [£ (Д) W $ (В)].
198

Интенсионально идентичными являются, 1ынрим«'р, по
нятия «соперничество» и «конкуренция», гак как все с воне г
ва, присущие одному из них, присущи и другому, и наоГю
рот. Кроме того, эти понятия, конечно, и равнообъемны.
Итак: если два понятия А и В интенсионально идентичны,
то они и экстенсионально идентичны. Эту формулировку
следует понимать в смысле импликации, т. е. исключен
только тот случай, когда два понятия интенсионально иден¬
тичны, но экстенсионально не идентичны. То, что говори¬
лось об идентичности одноместных предикатов, справедливо
и для многоместных.
Особое значение логика предикатов второй ступени
имеет для фундаментальных исследований в области мате¬
матики, поскольку позволяет представить натуральные чис¬
ла как предикаты предикатов. Нуль понимается как свой¬
ство свойства, которое не присуще никакому индивиду, на¬
пример как свойство свойства быть творцом Вселенной.
Оно не присуще никакому индивиду, т. е. обладает свойст¬
вом быть присущим 0 индивидов. Предикат предикатов О
можно определить средствами логики следующим образом:
о (F) = Def—3 (x)F (х).
Единица рассматривается как свойство свойства, кото¬
рое присуще только одному индивиду. Например, свойство
быть планетой с именем «Земля» обладает свойством быть
присущим только одному индивиду. Предикат предикатов
1 можно определить:
1 (F) = Def 3 (*)	(х)Л V (у)[Z7 (У) -+(х= У)]}.
В определении прежде всего говорится о том, что сущест¬
вует индивид х, имеющий свойство F, и затем о том, что
каждый индивид, который также имеет свойство F, иден¬
тичен с х. Аналогично можно определить любое другое
натуральное число, а также исключительно средствами
логики можно определить вычислительные операции. Тем
самым становится возможным логически точное обсуждение
фундаментальных вопросов математики.
Мы уже говорили о том, что нужно четко различать при¬
знаки или предикаты различных ступеней. Это требование
вытекает также из самой логики. Если в расширенной ло¬
гике предикатов не делают этого различия и не принимают
никаких других мер предосторожности, то возникают логи¬
ческие антиномии, логические противоречия, которые вы¬
водятся из ясных и недвусмысленных посылок с помощью
верных правил умозаключения.
199

3.3.4. ВИДЫ ПОНЯТИЙ
Здесь, как и в предыдущих разделах, мы будем рассмат¬
ривать понятия как предикаты и, кроме того, займемся их
классификацией. При этом основаниями для классифика¬
ции будут выступать исключительно формально-логические
признаки. Различные виды понятий, например собиратель¬
ные понятия, которые рассматривались в традиционной
логике, относятся к диалектической логике и здесь не при¬
нимаются во внимание.	;
Предикаты могут классифицироваться:	I
(1)	по признаку количества. С этой точки зрения интерес I
представляет прежде всего следующее подразделение:	(
(1.1)	предикаты, класс которых не содержит ни одного
элемента;
(1.2)	предикаты, класс которых содержит только один
элемент;
(1.3)	предикаты, класс которых содержит более одного
элемента.
Большинство предикатов, употребляемых в повседнев¬
ной жизни, в науке и т. д., принадлежит к (1.3); поэтому
приводить примеры здесь излишне. К (1.2) относятся, на¬
пример, «Вселенная», затем такие предикаты, как «марк¬
систско-ленинская философия», являющиеся по своей ло¬
гической структуре конъюнкцией предикатов, из которых
каждый присущ более чем одному индивиду, но которые
вместе присущи только одному индивиду. К (1.1) относятся
предикаты, содержащие логическое противоречие, или та¬
кие, которые хотя и не содержат логического противоречия,
но в которых соединены фактически несовместимые друг с
другом признаки, так что существование индивида, кото¬
рый соответствовал бы им, противоречит физическим за¬
конам. Примерами являются «нетеплое тепло», «бог» и
«вечный двигатель».
(2)	Далее, предикаты можно классифицировать по ка¬
честву:
(2.1)	предикаты без отрицания;
(2.2)	предикаты с отрицанием.
Посредством предикатов без отрицания выражается на¬
личие, а посредством предикатов с отрицанием — отсутст¬
вие определенных признаков. Если они сформулированы
на языке логики предикатов, то различить их легко: для
этого нужно только посмотреть, предшествует ли им непо¬
средственно знак отрицания. В естественном же или спе¬
циально-научном языке часто неясно, имеем ли мы отрица-
200

тельный предикат или предикат, охватывающий лишь часть
элементов, которую охватывает отрицательный предикат.
В естественном языке отрицательные предикаты выражают¬
ся обычно словом с частицей «не», например «некрасиво»,
«немарксист» и т. д. Нередко для этой цели используются
приставки без-, вне-, а- и др. Однако с точки зрения логики
эти слова не всегда обозначают отрицательные предикаты.
Например, «несчастный» не является отрицанием слова
«счастливый», так как не каждый человек либо несчастлив,
либо счастлив, тогда как из двух предикатов, из которых
один является отрицанием другого, один обязательно дол¬
жен быть присущ каждому индивиду.
(3)	Классификация предикатов возможна по ступеням.
Здесь различают:
(3.1)	предикаты, отражающие признаки индивидов;
(3.2)	предикаты, отражающие отношения между инди¬
видами и признаками или отношения между признаками
различной ступени;
(3.3)	предикаты, отражающие признаки признаков.
Различие между предикатами вида (3.1) и (3.3) достаточ¬
но подробно освещено в разделе 3.3.3, так что примеры из¬
лишни. Предикатами вида (3.2) являются: «имеет свойство»
и его отрицание «не имеет свойства». Им соответствуют
элементарное отношение и его отрицание. Аналогичным об¬
разом отражаются отношения между признаками различных
ступеней.
(4)	Четвертой возможной классификацией является клас¬
сификация по числу мест.
Здесь обычно ограничиваются делением на:
(4.1)	одноместные предикаты;
(4.2)	многоместные предикаты или отношения.
Эта классификация также не нуждается ни в каком осо¬
бом пояснении, так как во всех разделах по логике преди¬
катов мы всегда различали одноместные и двухместные
предикаты.
Если комбинировать два или более названных здесь ос¬
нования классификации, то можно составить смешанную
классификацию предикатов и получить, например:
1)	одноместные предикаты без отрицания первой сту¬
пени, которые не присущи ни одному индивиду (например,
«вечный двигатель»);
2)	одноместные предикаты без отрицания первой сту¬
пени, которые присущи только одному индивиду (например,
«Вселенная») и т. д.
Продолжить эту классификацию и при этом подыскать
201

пример для каждого вида предикатов — не только полез¬
ное упражнение на применение понятий, но и упражнение
на классификацию, о чем мы будем говорить в разделе 4.1.8.
Больше мы здесь этим заниматься не будем, а обратимся к
дальнейшему делению двухместных отношений, производи¬
мому по виду отношений, отраженных в этих предикатах.
Существуют такие отношения, что каждый индивид на¬
ходится в них сам с собой. Так каждый индивид идентичен
6 самим собой, например ровесник одинакового роста. Та¬
кие отношения называются рефлексивными отношениями.
Нерефлексивные отношения — это такие отношения, в кото¬
рых находится сам с собой не каждый индивид. Например,
не каждый бреется сам. Среди нерефлексивных отношений
существует особый вид — иррефлексивные отношения. Это
такие отношения, в которых сам с собой не находится ни
один индивид. Например, ни один индивид одновременно и
в одном и том же отношении не отличается от самого себя.
Таким образом:
отношение R рефлексивно тогда и только тогда, когда
верно
у (х) R (х, х) или ~з (х)~/? (х, х);
отношение R нерефлексивно тогда и только тогда, когда
верно
~у (х)/? (х, х) или з(х)~/?(х, х);
отношение R иррефлексивно тогда и только тогда, когда
верно
у (x)~R (х, х) или ~ з (х) R (х, х).
Среди уже рассмотренных отношений встречались та¬
кие, которые, если они существовали между х и у, сущест¬
вовали и между у и х. К ним относятся отношения родства,
сходства, сосуществования и взаимодействия. Эти отноше¬
ния называют симметричными. Несимметричные отноше¬
ния — это такие отношения, которые, если они существу¬
ют между х и у, не всегда существуют между у и х. Если х
является братом у, то у не обязательно должен быть бра¬
том х; у может быть сестрой х. Если х оказывает определен¬
ное влияние на у, то у не всегда оказывает то же самое влия¬
ние на х. Среди несимметричных отношений существует осо¬
бый вид — асимметричные отношения.
Асимметричные отношения существуют между хи//,
но никогда не существуют между у и х. Если х является
начальником у, то //, в то же время и в том же смысле, не
202

является начальником х. Если х является причиной
то у не является причиной х. Итак:
отношение R симметрично тогда и только тогда, когда
верно
VWV(J)[/?U, y) — R(y, х)],
ИЛИ
~3 (х) 3 (y)[R (х, y)/\~R(y, х)];
отношение/? несимметрично тогда и только тогда, когда
верно
~ V (х) у (У) [/? (х, y)—+R (у, х)],
или
Э(*)3 (*/)[/? (х, y)/\~R(y, x)J;
отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда
верно
vU)V(z/)[/?(x, yj-^R^ х)],
или
~э(*)аШ/?(х, г/)А/?й/, х)].
Транзитивными называются такие отношения, которые,
если они существуют между х и у и между у и г, существу¬
ют также между х и г. Если х больше у, а у больше z, то х
больше z. Сюда относятся отношения субординации, зави¬
симости, равенства. Если отношение, существующее между
х и у и между у и z, не всегда имеет место между х и г, оно
является нетранзитивным отношением. Если, например, х
является другом у, а у — другом z, то не всегда х будет
другом z. Здесь также существует особый вид, а именно
интранзитивные отношения, которые существуют между
х и у и между у и z, но никогда не существуют между х и z.
Если, например, х на единицу больше у, а у на единицу боль¬
ше z, то х не на одну единицу больше z. Суммируем:
отношение R транзитивно тогда и только тогда, когда
верно
У(*)У(!/)У(г)ЯЯ(х, y)f\R(y, г)]—>7?(х, г)}
ИЛИ
~3 (*) 3 О) 3 (Z) {[/? (х, y)/\R (у, г)]А ~R (х, г)};
отношение R нетранзитивно тогда и только тогда, когда
верно
~V(*)V(//)V (*){[/? (х, y)A/?(f/, z)]->/?(x, z)}
или
3(^)3(f/)3(2){[/?(x, y)/\R(y, z)]/\~R(x, z)};
203

отношение R интранзитивно тогда и только тогда, когда
верно
V(x)V(f/)V(z){[/?(x, 4/)Д/? (у, г)]->~7?(х, г)}
или
~з(х)зШ(г){[Я(х, z/)A7?(z/, г)]Д7?(х, г)}.
Каждому отношению присущи различные комбинации
названных здесь свойств. Отношение «х является братом г/»
иррефлексивио, не симметрично и не транзитивно; отноше¬
ние «х является отцом у» иррефлексивио, асимметрично и
интранзитивно.
Среди двухместных отношений два имеют особое значе¬
ние: это отношения типа равенства и отношение порядка.
Отношение 7? является отношением типа равенства тогда
и только тогда, когда верно:
(1)	V (х) 7? (х, х),
(2)	V(x)V(i/)[/?(x, у)-+ R(y> х)],
(3)	V (х) V (у) V (г) {[/? (х, y)/\R (у, г)] —* R (х, г)}.
Отношения типа равенства рефлексивны, симметричны и
транзита вны. К ним относятся все виды тождества и сход¬
ства, идет ли речь об интенсиональной или экстенсиональ¬
ной идентичности или говорится о равенстве в отношении
величины, значения, веса или цены.
Отношения типа равенства служат научной абстракции.
Процесс абстрагирования происходит таким образом. Сна¬
чала с помощью установления отношения типа равенства
индивиды области исследования подразделяются на так
называемые классы абстракции, и все индивиды, находя¬
щиеся в этом отношении друг к другу, относят к одному и
тому же классу. От различий между элементами такого клас¬
са абстрагируются, и область исследования предстает более
наглядно, потому что теперь можно ограничиться только
исследованием отношений между представителями различ¬
ных классов и не нужно принимать во внимание многообра¬
зие всех возможных отношений между всеми индивидами.
Такой процесс абстрагирования мы осуществили в рам¬
ках логики высказываний. Отношением типа равенства
служило отношение «х имеет то же значение истинности, что
и у». На основании этого отношения высказывания подраз¬
делялись на классы истинных высказываний и ложных вы¬
сказываний. Мы абстрагировались от различий между вы¬
сказываниями внутри класса абстракции и рассматривали
только отношения между истинными или ложными выска¬
204

зываниями. При этом конкретные высказывания служили
только представителями класса абстракции, к которому
они принадлежат. В логике высказываний получалось толь
ко два класса абстракции, но их может быть и больше, если,
например, для социологических исследований изучаемую
группу населения подразделяют на классы ровесников или
на профессиональные группы.
Отношения порядка служат для того, чтобы указать каж¬
дому индивиду определенной области точно определенное
место, т. е. размещают индивиды этой области в определен¬
ной последовательности. Например, посредством отноше¬
ния «меньше» можно расположить натуральные числа в
зависимости от величины. Отношение будет отношением
порядка, если оно является иррефлексивным, транзитив¬
ным и связным. Такое отношение будет асимметричным, что
следует из его иррефлексивности и транзитивности. Суще¬
ствуют так же рефлексивные отношения порядка, но мы не
будем их рассматривать. Для них имеют место несколько
иные условия. Отношение является связным тогда и только
тогда, когда для каждой пары (х, у) индивидов верно, что
оно существует между х и у или между у и х, если х и у не
являются одним и тем же индивидом. Отношение «меньше»
будет связным для натуральных чисел, т. е. для каждой
пары (х, у) натуральных чисел верно: если х не равно у,
то х меньше у или у меньше х.
Отношение R будет отношением порядка, если верно:
(1)	V(x)~/?(x, х),
(2)	V (х) V (t/) V (г) {[/? (х, y)/\R(y, 2)] —*/? (х, г)},
(3)	Y(x)V(y){~(x = (/)—<-[/?(х, y)VR(y, х)]}.
Условие (3) в символической форме описывает свойство
связности отношения /?; его можно символизировать иначе:
V(x)V(rZ)[(x=y)V/?(x, y)VR(y, х)].
Как правило, отношение «меньше» можно использовать для
упорядочивания людей, если, например, ученики должны
построиться в ряд по росту для определенного гимнастиче¬
ского упражнения. Однако оно не гарантирует однознач¬
ной последовательности, если двое учеников одинакового
роста.
3.3.5.	ПУСТОЙ КЛАСС И КВАНТОР СУЩЕСТВОВАНИЯ
К правильным модусам силлогизма (из которых некото¬
рые были названы в разделе 3.2.4.2) относится также, по
Аристотелю, Modus Darapti 3-й фигуры. Применяя его,
205

можно построить, например, следующее умозаключение:
Все боги бессмертны.
Все боги мыслящие существа.
Некоторые мыслящие существа бессмертны.
Заключение, очевидно, является ложным высказывани¬
ем, хотя правило умозаключения точно соблюдается. Мож¬
но было бы сделать вывод, что и посылки являются ложными
высказываниями. Тогда наш пример был бы неинтересен,
потому что он ничего не говорил бы о пригодности правила
умозаключения. Но фактически обе посылки являются
истинными высказываниями. Поясним это, символизируя
первую посылку: у(х) [G(x)->(/(%)], т. е. для каждого
предмета верно: если он — бог, то он бессмертен. Однако
это не говорит о том, что бог существует. Может быть Modus
Darapti в противоположность мнению Аристотеля и тра¬
диционных логиков не верен?
По Аристотелю, высказывание вида SaP или SeP истин¬
но только тогда, когда действительно существуют индивиды
со свойством S, когда объем предиката S не является пус¬
тым классом. Эта неявная предпосылка традиционной ло¬
гики в современной логике вводится в явной форме. Modus
Darapti будет правильным, если дополнительная посылка
говорит, что объем среднего термина не является пустым
классом. Эта третья (предполагаемая) посылка в нашем при¬
мере ложна; она говорит: «Существуют боги» — 3(x) G(x).
Modus Felapton 3-й фигуры, Modus Bamalip и Modus
Fesapo 4-й фигуры так же верны только при наличии ана¬
логичной дополнительной посылки. То же самое справед¬
ливо и для ряда непосредственных умозаключений, напри¬
мер для умозаключений подчинения и для некоторых умо¬
заключений противопоставления. Выражения логики пре¬
дикатов, соответствующие этим правилам умозаключения,
общезначимы только в непустых областях.
Выше мы употребляли наряду с выражением «Сущест¬
вуют индивиды со свойством S» выражение «Объем предиката
S не является пустым классом», так как они говорят по су¬
ществу об одном и том же. Займемся вопросом о том, в ка¬
ком смысле можно употреблять эти выражения, и в каче¬
стве примеров приведем ряд истинных высказываний, в ко¬
торых есть выражение «существует».
(1)	Существуют живые существа.
(2)	Существуют свойства, присущие всем индивидам.
206

(3)	Существуют мирные отношения между государства¬
ми с различным общественным строем.
(4)	Существуют высказывания, которые адекватно отра¬
жают положение дел объективной реальности.
(5)	Существуют нормы социалистической морали.
(6)	Существует восприятие цвета.
(7)	В сказках существуют волшебники и добрые духи.
(8)	Для каждого натурального числа существует боль¬
шее.
(9)	Для многих проблем, которые сейчас еще не решены,
существует решение.
Мы не хотим останавливаться на всех различиях смыс¬
лов выражения «существует» в наших примерах, н назопем
только самые важные. В высказываниях с (I) по (3) слово
«существует» касается индивидов, свойств и отношений объ¬
ективной реальности и говорит о том, что эти предметы су¬
ществуют в последней. В высказываниях (4) — (7) говорит¬
ся о существовании в сознании. В одних примерах говорится
об адекватном отражении объективной реальности, в дру¬
гих — об образах сознания, которым в объективной реаль¬
ности ничто не соответствует. Примером последнего явля¬
ется тот факт, что именно в сознании, а не вне его существу¬
ют логические противоречия. Особая проблематика свя¬
зана с высказываниями (8) и (9). Здесь не подразумевается
существование в сознании, так как определенно нет нико¬
го, кто перечислил бы все числа и осознал бы, какое из них
больше, а какое меньше. И если бы в сознании какого-
либо человека существовало решение неразрешенной проб¬
лемы, то эта проблема уже была бы решена. В последних
высказываниях «существует» обозначает не что иное, как
логическую непротиворечивость, в таком значении оно
постоянно употребляется в математике, где всегда можно
сказать «существует», если то, что полагается существую¬
щим, не содержит в себе логического противоречия, не
находится в противоречии с уже доказанными высказыва¬
ниями данной области и если из него не вытекает логиче¬
ское противоречие. Поэтому истинность экзистенциального
высказывания первоначально не говорит нам ничего, кроме
того, что здесь отсутствует логическое противоречие. Подра¬
зумевается ли при этом существование в сознании или в
объективной реальности, можно установить лишь из кон¬
текста.

3.3.6.	ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ
В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ
В связи с логикой высказываний уже говорилось о так
называемой проблеме разрешимости. Она заключается в на¬
хождении способа, с помощью которого конечным числом
шагов относительно любого логического выражения можно
решить, является ли оно общезначимым, выполнимым или
противоречивым. С такой разрешающей процедурой, как
таблицы истинности, мы познакомились в логике высказы¬
ваний. Любое выражение логики высказываний можно раз¬
решить, составляя для него таблицу истинности. Кроме
того, каждое логическое выражение можно разрешить с
помощью его нормальной формы. Но для решения пробле¬
мы разрешимости в логике высказываний достаточно и
одного способа — таблиц истинности. Естественно, воз¬
никает вопрос, решается ли проблема разрешимости в логи¬
ке предикатов, т. с. существует ли способ, с помощью кото¬
рого можно разрешить любое выражение логики предика¬
тов. Разрешающей процедуры для всей области логики
предикатов, т. е. для любого выражения логики предикатов,
не существует. Частичной областью логики предикатов,
для которой решена проблема разрешимости, является,
например, одноместная логика предикатов.
Уже для многоместной логики предикатов первой ступе¬
ни в целом не существует общей разрешающей процедуры,
кроме той, которую несколько десятилетий назад доказали
Алонзо Чёрч и другие представители математической
логики.
На этом исследовательские работы в этой области не
прекратились. Как и прежде, ведутся поиски по возможнос¬
ти емких разрешающих процедур для выражений логики
предикатов, точнее, для возможно большего числа классов
выражений логики предикатов. Все выражения логики
предикатов, в которых имеются кванторы, можно преобра¬
зовывать таким образом, что в начале выражения стоят
все кванторы без отрицания, а остальная часть выражения
является их общей областью действия. Таким путем возника¬
ют различные классы выражений логики предикатов. Раз¬
решающую процедуру подбирают для выражений, которые
содержат только кванторы общности или в которых несколь¬
ко кванторов общности стоят перед одним квантором суще¬
ствования. Для целого ряда таких классов выражений
уже существуют разрешающие процедуры, для других они
будут найдены.
208

Если для какой-либо области по существует разрешаю¬
щей процедуры, то обычно пытаются решить, являются ли
данные выражения общезначимыми каким-либо другим
путем. При этом исходят из заведомо общезначимых выра
жений. Последние по правилам умозаключения прообразу
ются в другие. Каждое выражение, полученное из общезна¬
чимого выражения, само является общезначимым. Если
же из общезначимых выражений вследствие преобразований
по правилам умозаключения удается получить разрешаемое
выражение, то найдено индивидуальное доказательство для
данного выражения. Примеры этого находятся во многих
местах раздела 3.2.
Конечно, значительно труднее найти способ индивиду¬
ального доказательства выражения, чем разрешающую про¬
цедуру. В рамках разрешающей процедуры имеются совер¬
шенно точные и подробные указания о том, что нужно де¬
лать, чтобы разрешить выражение. Таким образом, если
дана разрешающая процедура, выражение можно разрешить
совершенно механически, что дает возможность в таких
случаях проделать всю работу с помощью ЭВМ. Но для ме¬
ханического подбора индивидуальных доказательств практи¬
чески применимого способа не существует. Поэтому нельзя
отказываться от подбора индивидуальных доказательств с
помощью классических ЭВМ. Во всяком случае стремятся
сконструировать так называемые эвристические машины,
которые могут в этом помочь. При подборе индивидуального
доказательства можно опираться лишь на опыт и соблюдать
некоторые довольно общие указания. В нахождении наибо¬
лее оптимальных исходных выражений, правил умозаклю¬
чения и способов доказательства помогает тренировка, фан¬
тазия и диалектическое мышление. Здесь особенно важна
возможность точной проверки правильности любого полу¬
ченного доказательства. Для этого нужно, по крайней мере,
задать какой-либо способ механической проверки.
Для проведения индивидуального доказательства како¬
го-либо выражения необходимо иметь другие выражения,
из которых оно может быть получено, и определенные пра¬
вила умозаключения, с помощью которых может быть про¬
ведено доказательство. Это условие выполняется аксио¬
матической системой. Аксиоматической системой для мно¬
жества выражений, например для множества общезначи¬
мых выражений логики высказываний, является множество
выражений, где все выражения доказуемы. Выражения, из
которых состоит аксиоматическая система, называются ак¬
сиомами. Если говорится об относительно небольшом числе
209

аксиом, то приводят их все. В ином случае нужно дать кри¬
терий, в соответствии с которым относительно любого вы¬
ражения можно решить, является ли оно аксиомой этой
системы, или указать способ, по которому можно перечис¬
лить все аксиомы этой системы. Затем для каждой аксио¬
матической системы задаются правила умозаключения, с
помощью которых из аксиом может быть получено некото¬
рое множество других выражений.
Аксиоматические системы существуют для определен¬
ных областей формальной логики, математики, физики. При¬
ведем пример такой системы из области формальной логики:
(1)	(pvp)^p
(2)	р —+(p\/q)
(3)	(pv<7)^(?Vp)
(4)	(р—^)_[(rVp)-*(rV<7)]
(5)	V (х) F (х)—* F (у)
(6)	F (у) — g (х) F (х).
Аксиомы (1) — (4) составляют систему аксиом для об¬
щезначимых выражений логики высказываний, аксиомы
(1) — (6) систему аксиом для общезначимых выражений
логики предикатов 1-й ступени. Эти аксиоматические си¬
стемы, принятые Давидом Гильбертом и Вильгельмом Ак¬
керманом в «Основаниях теоретической логики», конечно,
не единственные для соответствующих областей. Сущест¬
вуют другие системы, которые состоят из меньшего или
большего числа аксиом. Выбор аксиоматической системы
зависит от поставленной цели. Например, если речь идет
об определенных теоретических исследованиях, выбирают
аксиоматическую систему, состоящую из наименьшего
числа аксиом. Если же хотят иметь аксиоматическую си¬
стему, из которой удобно получать другие выражения ак¬
сиоматизированной области, то предпочитают более об¬
ширную систему.
Для аксиоматизации общезначимых выражений логики
высказываний к аксиомам (1) — (4) добавляют правило
отделения (Modus ponens») и правило подстановки для выра¬
жений логики высказываний, согласно которому вместо
пропозициональных переменных общезначимого выражения
можно поставить любые выражения логики высказываний,
причем вместо одних и тех же переменных могут быть под¬
ставлены только одинаковые выражения. Если же хотят
аксиоматизировать общезначимые выражения логики пре¬
дикатов 1-й ступени, то необходимы и некоторые другие
210

правила, в частности правило подстановки в выражения
логики предикатов, а также правила введения и исключе¬
ния кванторов.
Для аксиоматизации внелогической области, например
частной области физики, избирают аксиоматическую систе¬
му формальной логики и в качестве других аксиом прибав¬
ляют к ней соответствующие высказывания из аксиоматизи¬
руемой области. Аналогичным образом поступают, если нуж¬
но доказать какое-либо высказывание с помощью других
высказываний, не аксиоматизируя всю дисциплину. В та¬
ком случае к логическим аксиомам просто прибавляют по¬
сылки доказываемых выражений. В разделе 3.2.7 мы до¬
казали таким способом высказывание «Существуют иде¬
алисты».
Поскольку, как уже говорилось, для логики предикатов
в целом не существует общей разрешающей процедуры,
предпринимались попытки аксиоматизировать логику пре¬
дикатов в целом. Но такая аксиоматическая система най¬
дена не была. А в 1931 г. математик и логик Курт Гедель
доказал, что эти попытки в принципе бесперспективны,
сформулировав свои результаты в так называемой теореме
неполноты. Если аксиоматизируется достаточно богатая
(выразительная) система, например логика предикатов, то
по способу Геделя можно построить выражение, относящее¬
ся именно к этой области, но не доказуемое и не опровер¬
жимое посредством имеющихся аксиом. Если же систему
расширить за счет введения определенных общезначимых
выражений, то полученное по способу Геделя выражение
будет доказуемым или опровержимым; но тогда можно по¬
строить новое выражение, которое так же нельзя будет ни
доказать, ни опровергнуть в рамках имеющейся аксиома¬
тической системы. Этот процесс можно продолжать беско¬
нечно.
С точки зрения философии это приведенное Геделем до¬
казательство имеет огромное значение. Оно опровергает,
в частности, утверждение философов-идеалистов о том, что
каждую проблему мышления можно разрешить исключи¬
тельно средствами формальной логики. Так, Лейбниц счи¬
тал, что можно разработать формальную систему, напри¬
мер математическую логику, где лишь посредством только
преобразований по определенным правилам умозаключения
можно было бы разрешить любое символизированное выска¬
зывание. Известные математики, даже придерживающиеся
идеалистической точки зрения, признали, между прочим,
что попытка чисто формально решить вопрос об истиннос-
211

ти, не связывая его при этом с объективной реальностью,
потерпела крах вследствие доказательства Геделя.
В то время как результаты исследований Геделя вызва¬
ли пессимизм среди идеалистов, для диалектического мате¬
риализма, в частности для его учения об истине, они имеют
положительное значение. Для математики и логики значе¬
ние этих результатов состоит в подтверждении диалектико¬
материалистического тезиса о том, что практика является
основным критерием истинности, хотя перепроверять на
практике каждое высказывание отдельно нет необходи¬
мости.
4.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРИИ РЕДУКТИВНЫХ
УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ
Настоящая глава является приложением к введению в
формальную логику. После обзора основных понятий об¬
щей методологии науки будут рассмотрены две частные об¬
ласти методологии, тесно связанные с проблемами, обсуж¬
давшимися выше. В отношении теории определения эта
связь заключается в использовании знаний из области ло¬
гики предикатов. Редуктивное умозаключение является в
некотором смысле противоположностью дедуктивных умо¬
заключений. Эти виды умозаключений дополняют друг дру¬
га и практически используются вместе.
4.0. К ПОНЯТИЮ ОБЩЕЙ МЕТОДОЛОГИИ
В современной логике редуктивное умозаключение в
общем виде совсем не обсуждается, а теория определения
обсуждается только в той мере, которая необходима внут¬
ри самой формальной логики. В традиционной логике эти
темы рассматривались довольно подробно и освещались с
философской точки зрения. При этом авторы иногда делали
различие между чистой и прикладной логикой и относили
изучаемые ими формы редуктивного умозаключения и тео¬
рии определения к последней.
Разумеется, связь обеих этих областей с формальной
логикой существует, но главные и существенные основы
они берут все же из философии. Их настоящее место — в
общей методологии наук.
Здесь речь идет об общей марксистско-ленинской методо¬
логии науки, созданной на основе диалектического и исто-
212

рического материализма, являющейся (|>пл<н<и|ию»й нц г«*п
о методах, которые, в принципе, могут быть iivihmii.
в каждой науке.
В центре интересов методологии находится созданный
Марксом, а затем разработанный Лениным диалектики-
материалистический метод как основной, общий метод по¬
знания и революционного преобразования природы, обще¬
ства и сознания.
Методом является система методических правил, кото¬
рая определяет классы возможных систем операций, спо¬
собных привести от исходных условий к определенной цели.
Это определение можно проиллюстрировать примерами
разрешающей процедуры логики предикатов раздела 3.2.6.
Разрешающая процедура служит для определения общезна¬
чимости выражений логики предикатов. Это уже указывает
цель, которую преследуют, применяя такую процедуру.
К исходным условиям, которые необходимы для примене¬
ния процедуры, относится, в частности, то, что разрешае¬
мое выражение логики предикатов должно быть выражени¬
ем первой ступени или сводимым к выражению первой ступе¬
ни. Для достижения этой цели необходимо выполнить ряд
операций, а именно операции проверки и преобразова¬
ния. Такая последовательность операций является системой
операций в смысле нашего определения. Отдельные опера¬
ции определяются методическими правилами, а системы опе¬
раций — системами правил, которые можно также назвать
планами или программами. Разрешающая процедура со¬
держит три таких плана. По какому из них действовать,
зависит от того, получились ли после первых преобразова¬
ний экзистенциальные высказывания только с отрицаниями
или только без отрицания, или и те и другие. Но эти планы
не определяют процесс в каждом отдельном случае со всеми
его особенностями, а определяют в каждом случае их при¬
менения только систему операций, где в зависимости от
вида исходного выражения на отдельных шагах или опе¬
рациях могут возникнуть те или иные вариации различия.
Таким образом, разрешающая процедура определяет клас¬
сы систем операций. При этом речь идет о возможных си¬
стемах операций, так как в случае их выполнения цель
достигается, но она может быть достигнута и другим путем,
например индивидуальным доказательством. Слово «опре¬
деляет» понимается здесь в том смысле, что операции не
описываются, а предписываются. Методы не описывают, что
является результатом проделанных операций или какие
операции выполняются, а предписывают, какие операции,
213

при каких условиях и с какой целью должны выпол¬
няться.
Если в качестве примера метода привести разрешающую
процедуру из раздела 3.2.6, то следует добавить, что по
сравнению с другими методами он имеет свои особенности
и, конечно, не является типичным примером метода. В от¬
личие от других методов он касается экстенсиональных
отношений и поэтому значительно проще, чем методы, охва¬
тывающие интенсиональные отношения. Отдельные предпи¬
сания разрешающей процедуры во всех подробностях опре¬
деляют выполняемые операции, а применение других мето¬
дов может вести к обширным и сложным исследованиям
способов выполнения операций.
К тому же далеко не всегда удается достичь цели путем
применения одного-единственного метода. Для получения
новых научных результатов необходима целая система мето¬
дов, методика, включающая методы анализа и синтеза, обоб¬
щения и абстракции, определения, дедуктивного и редук-
тивного умозаключения и т. д. Составные части, структура,
применение и оценка методики определяются различными
факторами. Особое место здесь занимают: предмет исследо¬
вания или воздействия, поставленная цель, уровень раз¬
вития науки в настоящее время и, наконец (но не в послед¬
нюю очередь), мировоззрение, на основе которого осущест¬
вляется исследование. Мировоззрение влияет уже на выбор
применяемых методов. Например, отказ от сущностного
определения предполагает позитивистскую и, в конечном
счете, идеалистическую мировоззренческую ориентацию,
поскольку с точки зрения позитивизма сущность вещей не
проявляется в явлениях; такой сущности либо вообще не
существует, либо она непознаваема. Для теории определе¬
ния в рамках марксистско-ленинской методологии сущност¬
ное определение является одним из важнейших. Это не
исключает возможности применения в некоторых конкрет¬
ных случаях и других форм определения в зависимости от
уровня познания и от поставленной цели.
В отношении методологических вопросов марксистско-
ленинское мировоззрение воплощается прежде всего в
диалектико-материалистическом методе, который превра¬
щает теоретическое богатство марксистско-ленинской фило¬
софии в руководство к действию. Этот метод применим не
только в науках и к наукам в узком смысле слова. В первую
очередь он является руководством к революционному пре¬
образованию общества с целью построения социализма и
коммунизма.
214

Диалектико-материалистический метод определяет не
только выбор используемых методов, но и характер их
применения, оценку полученных результатов, значении oi
дельных методов внутри методики и т. д.
Марксистско-ленинская философия, как теории общих
законов движения и строения природы, общества и мишле
ния, как основа диалектико-материалистического метода,
гарантирует его универсальную применимость. Но диалек¬
тико-материалистический метод не претендует на замену
других научных методов, как марксистско-ленинская фило
София в целом не может заменить остальные науки. Диа¬
лектико-материалистический метод вместе со всеми другими
научными методами образует единую систему. Применение
диалектико-материалистического метода находит выраже¬
ние в способе применения специальных методов. Именно
в этом смысле следует понимать выражение, что диалек¬
тико-материалистический метод находится с другими мето¬
дами в отношении общего к особенному или единичному.
Если им не руководствуются при использовании других
методов, то попадают под влияние метафизического, пози¬
тивистского способа мышления, для которого характерно
рассмотрение единичных вещей вне их связи с другими, ко¬
торому свойствен взгляд на предмет своего исследования
не как на исторически сложившийся, развивающийся, за¬
висящий в своем развитии от объективных закономернос¬
тей. Яркий пример метафизического мышления был при¬
веден в разделе 1.4.1, где указывалось на концепцию Вит-
тгенштейна, с точки зрения которого единственной задачей
философии является критика языка.
Очень часто в научной работе слишком мало или вообще
не задумываются над методологическими проблемами. В про¬
цессе профессионального образования будущим ученым да¬
ются не только знания из их специальной области, но и
навыки работы и мышления, которые сложились и оправда¬
ли себя в этой области. Однако к анализу привычного обра¬
за мышления и работы часто обращаются лишь тогда, когда
достигнутые результаты оказываются, очевидно, ошибоч¬
ными или когда они непригодны для решения новых задач.
Марксистско-ленинская философия, естественные и обще¬
ственные науки все больше проникают друг в друга, но
их настоящее единство может быть осуществлено лишь на
основе марксистско-ленинского мировоззрения и диалекти¬
ко-материалистического метода. От метафизического спо¬
соба мышления нас ограждает не простое решение в пользу
диалектико-материалистического метода, но его сознатель¬
215

ное, постоянное применение. Это проясняет сущность диа¬
лектико-материалистического метода, его функцию и его
отношение к другим методам.
Методы, разработанные в формальной логике, математи¬
ке и кибернетике, применяются повсюду, где они необходимы
и полезны, а результаты их применения находят соответ¬
ствующее место в общей системе знания. Здесь диалекти¬
ко-материалистический метод незаменим. В предыдущих
главах было необходимо постоянно выходить за пределы
формальной логики. В первую очередь это касалось тех
мест, где речь шла о связи формальной логики с другими об¬
ластями действительности, будь то перевод высказываний с
естественного языка на символический язык современной
логики, будь то доказательство или опровержение утверж¬
дений либо связь мысленных структур с объективно реаль¬
ными или языковыми структурами. В этих случаях обраще¬
ние к философским вопросам образования понятий было
необходимо.
Процесс познания исходит из чувственно конкретного
и через абстрактное приводит к мысленно конкретному. Эти¬
ми словами кратко и в общем виде охватывается процесс,
который, ссылаясь на Фридриха Энгельса \ можно в ос¬
новных чертах охарактеризовать следующим образом: в
исходном пункте познания находится общее представление
о его объекте. Объект воспринимается в его развитии и
его взаимосвязях, но отдельные его стороны не познаны.
Пока они не исследованы и не объяснены, объект позна¬
ния как целое не может быть охвачен. Поэтому необходимо
отдельно исследовать единичное, изымая его из его связей.
На этой ступени познания формальная логика может
использоваться как важное средство. Она абстрагируется
от переходов между классами объектов и от их развития,
проводит строгие разграничения, удовлетворяющие прави¬
лам классификации. На этой ступени познания формальная
логика дает сведения, средства и методы, которые еще мало
используются. Здесь машины могут освободить исследова¬
теля от умственной работы, умственные процессы могут быть
формализованы и переданы автоматике. Эта ступень, сту¬
пень абстрактного, была исторически необходима в истории
развития познания. Она необходима и с точки зрения един¬
ства исторического и логического, а также в систематиче¬
ской исследовательской работе. Но останавливаться на ней
нельзя. От познания свойств, которыми обладает объект,
1 См.: Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 21, с. 328.
216

нужно переходить к познанию того, как связаны между со
бой эти свойства, какие из них обусловливают друг друга,
а какие исключают. Необходим переход от экстенсиональ¬
ных к интенсиональным связям, переход, который не может
быть совершен средствами формальной, экстенсиональной
логики. Цель заключается в получении образа предмета
познания, который позволит охватить его отдельные сто¬
роны в их взаимосвязи и взаимодействии с другими пред¬
метами, в получении картины, которая объединяет началь¬
ный, в принципе правильный общий взгляд с абстрактным
отражением его сторон в одну живую картину предмета
познания, взятого в его развитии, диалектическом единст¬
ве и противоречивости.
4.1.	ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ
Классификация определений осуществляется с семиоти¬
ческой точки зрения. При описании определения, как и при
делении понятий и их классификации, используются све¬
дения из области логики предикатов, заимствуются ее
понятия и методы.
4.1.1.	О ЗНАЧЕНИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В дискуссиях, в том числе и научных, нередко бывает,
что после длительной полемики, так и не придя ни к какому
общему результату, партнеры в конце концов признают,
что они говорили о разных вещах. Часто причиной таких
недоразумений бывает то, что они одно и то же слово упот¬
ребляют в различных значениях. В таких случаях реко¬
мендуется заранее сказать, что подразумевается под опре¬
деленным словом, т. е. определить выраженное этим словом
понятие.
«Определение», или «дефиниция», означает то же, что и
«ограничение». Определение должно быть по возможности
не просто «ограничением», отличением, оно должно го¬
ворить не только о том, чем не является предмет. Оно долж¬
но быть также отождествлением, т. е. должно говорить,
чем этот предмет является. Идеальное определение отлича¬
ет, отождествляя, и отождествляет, отличая.
Для однозначности терминов, особенно научного языка,
определения необходимы. Дефиниция основных понятий
теории определяет в основном содержание и предмет этой
теории. Например, определение «экстенсиональных отно¬
шений» влияет на структуру формальной логики. Но это
217

не говорит о том, что успех научной работы зависит только
от дефиниций и что без них вообще нельзя заниматься на¬
укой. Дефиниция всегда дает определенные сведения. Но
в науке часто бывает, что работают, и успешно, с понятия¬
ми, которые пока не определены или, по крайней мере, оп¬
ределены неточно. Разумеется, такие ситуации — это всег¬
да лишь временное состояние.
Если же дефиниция пока невозможна, то пытаются до¬
стичь хоть в какой-то степени однозначного толкования ис¬
пользуемых терминов и понятий посредством операций, схо¬
дных с определениями.
Если в повседневной научной работе на каком-то этапе
можно обойтись без определения, то при составлении специ¬
ально-научных словарей необходимо брать имеющиеся оп¬
ределения и составлять новые. В настоящее время не суще¬
ствует ни одного ученого, знания которого охватывали бы
всю его область. Кроме того, из элементарных основ диа¬
лектики следует, что ученый лишь тогда может достичь
значительных успехов в своей специальной области, если
он рассматривает ее во взаимной связи с другими науками
и в рамках существующих общественных отношений.
Задачи, которые ставит перед наукой социалистическое
общество, требуют коллегиальной работы и, тем самым, от
каждого ученого требуют не только знаний в своей узкой
области, но и, по крайней мере, знакомства с другими нау¬
ками. Образованному человеку наряду с непосредственны¬
ми знаниями из специальной области нужны еще знания из
области политики, экономики, культуры и техники. Прак¬
тически каждому необходимы справочники, которые давали
бы ему краткие и правильные сведения о самых различных
областях общественной жизни. Отсюда возникает необхо¬
димость создавать все новые хранилища знаний в виде спе¬
циально-научных словарей, справочников, энциклопедий
и т. д. Сама работа над словарем какой-либо области науки
имеет большое значение для ее развития. Определение на¬
иболее важных специальных терминов, понятий и предме¬
тов исследования подводит своего рода итог достигнутого
уровня развития науки, заостряется внимание на имеющих¬
ся недостатках, что заставляет стремиться к их как можно
более быстрому преодолению.
4.1.2.	ОПЕРАЦИИ, СХОДНЫЕ С ОПРЕДЕЛЕНИЕМ
Так называемые операции, сходные с определением, мож¬
но рассматривать как предварительную ступень к точному
определению. Ими пользуются тогда, когда для определения
218

знаний еще недостаточно. Их использование может быть
вызвано и другими причинами. Для дискуссии средн пред¬
ставителей одной и той же специальной области такого
предварительного определения используемых терминов мо¬
жет быть и достаточно, тогда как определение в строгом
смысле потребовало бы больших затрат. Наконец, имеют
значение и дидактические соображения. При представлении
некоторой области науки, например, на занятиях в школе
или в университете точное определение этой области обычно
дают лишь тогда, когда уже введены все понятия, необходи¬
мые для его понимания. В начале же, опираясь на предва¬
рительную подготовку, применяют какую-нибудь операцию,
сходную с определением.
К элементарным операциям, сходным с определением,
относятся так называемые остенсивные определения, среди
которых можно выделить обозначение и указание. Первое
из них заключается в том, что в ответ на соответствующий
вопрос дают имя индивида и т. д., второе — в том, что ука¬
зывают на индивид, который подразумевают под словом.
Успех этих определений главным образом зависит от того,
какими знаниями в соответствующей области уже обладает
тот, для кого предназначено обозначение или указание.
Кроме того, оба названных определения предполагают, что
подразумеваемый объект чувственно воспринимаем. Таким
образом, для определения абстрактных понятий они совер¬
шенно непригодны.
Приведение примеров может способствовать и определе¬
нию абстрактных понятий, по крайней мере, до некоторой
степени. Вследствие приведения многих примеров для тер¬
мина или понятия получается перечисление. Оно определяет
термин или понятие посредством приведения ряда индиви¬
дов, которые подпадают под это понятие. Таким образом,
перечисление является предварительной ступенью для опре¬
деления понятия посредством полного указания всех инди¬
видов, подходящих под это понятие.
Описание дает ряд внешних признаков подразумеваемых
объектов. Оно дает возможность составить представление о
предмете. Характеристика является частным случаем опи¬
сания. Она выделяет характерные признаки, связанные с
отдельными сторонами сущности предмета. Она, таким
образом, предполагает определенный процесс абстрак¬
ции.
Посредством сравнения определяют предмет или поня¬
тие, относя их к другому, уже знакомому предмету, которо¬
му он подобен. Здесь говорят также об определении по ана¬
219

логии, хотя сравнение не является определением в строгом
смысле.
Отличение, или дифференциация, определяет предмет
или понятие посредством указания на его отличие от дру¬
гих. Оно, естественно, предполагает, что данные предметы
чувственно сопоставимы, т. е. что они имеют не только раз¬
личия, но и сходства.
Способом, которым часто пользуются в науке, является
контекстуальное определение термина. Оно заключается в
предположении, что определяемый термин применяют в том
значении, которое он всегда имеет в языковом контексте.
Например, говорят, что употребляют термин «класс» в зна¬
чении, которое он имеет в таком сочетании, как «рабочий
класс». Это однозначно определяет, что под «классом» под¬
разумевают общественные классы, хотя их и не определяют.
При этом не может возникнуть никакой путаницы с тем
значением слова «класс», которое оно имеет, например, в
формальной логике. Посредством такого определения можно
с небольшими затратами из многих значений термина выде¬
лить одно, не давая ему точного определения. О самом зна¬
чении и о десигнате определяемого термина это ничего не
говорит тому, кто не знает данного термина. Условием при¬
менимости этой операции является то, что слушатель или
читатель знает, по крайней мере, подразумеваемое значение,
подразумеваемый десигнат термина.
4.1.3.	ФОРМА И СТРУКТУРА ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определения в точном смысле этого слова чаще всего
имеют вид повествовательных предложений. Однако сущест¬
вуют определения, например, устанавливающие определе¬
ния, которые не являются высказываниями, а представляют
собой установки, решения и вследствие этого имеют вид
побудительных предложений.
Определения могут быть даны на естественном или науч¬
ном языках, в том числе и на символическом.
Определения часто имеют вид равенства. Слева в них
записано выражение, которое должно быть определено,
т. е. определяемое (дефиниендум). Справа стоит выражение,
посредством которого первое определяется, т. е. определяю¬
щее (дефиниенс). На символических языках оба выражения
часто соединяются знаком равенства со значком «Def».
Поэтому определение такого вида выглядит так: определяе-
Moe=Def определяющее.
В естественном языке и в несимволизированных научных
220

языках вместо значка «=Def» часто пользуются словами
«называется», «является», «есть». Из-за многозначности
слова «есть» часто бывает трудно установить (если это неясно
из контекста), имеем ли мы дело с определением или нет.
Определяющее выражение дефиниции в большинстве
случаев бывает сложным. Как правило, одно понятие опре¬
деляется посредством двух или более понятий, соединенных
друг с другом. Естественно, среди них не должно быть по¬
нятия, введенного впервые.
Согласно правилу традиционной логики понятие должно
определяться посредством своего родового понятия и видо¬
образующего отличия. По этому правилу субъективный
идеализм можно определить следующим образом: «Субъек¬
тивный идеализм есть философское направление, которое
утверждает, что человеческое сознание первично, а материя
существует лишь в сознании». «Философское направление»
является родовым понятием, а «которое утверждает, что
человеческое сознание первично...» и т. д.— видообразую¬
щим отличием. Оно отделяет определяемое понятие от всех
других, которые координируются с ним и являются видовы¬
ми понятиями того же родового понятия. В нашем примере
субъективный идеализм отделяется от всех других философ¬
ских направлений, а именно от материализма и объективного
идеализма, посредством видообразующего отличия. Но это
правило не всегда применимо. Например, самые общие фи¬
лософские категории нельзя определить таким образом, так
как для них не существует никакого родового понятия.
С этим классическим правилом определения связаны и
другие трудности. Есть много случаев, когда невозможно
определить, какое из двух понятий является родовым и
какое — видообразующим отличием, так как класс индиви¬
дов, который соответствует определяемому понятию, со¬
держится равным образом в обоих классах, соответствующих
определяющим понятиям. Например, оба следующие опре¬
деления можно равноправно поставить рядом друг с другом:
«Квадрат есть прямоугольная фигура с равными сторона¬
ми». «Квадрат есть равносторонняя фигура со сторонами,
находящимися под прямым углом друг к другу»:
Q (х) = Def Я WAG (х) и Q (х) = Def G (х).
Но из этого не следует, что с точки зрения содержания во
всех случаях безразлично, какое понятие является родовым,
а какое видообразующим отличием.
Хотя, пожалуй, большинство употребляемых определе¬
ний создано по классическому образцу, во многих случаях
221

строить родо-видовые определения невозможно или нецеле¬
сообразно. Примером определения с другой логической
структурой является: «Член коллектива университета
им. Гумбольдта является научным работником, рабочим,
служащим или студентом университета им. Гумбольдта»:
А (х) = Def в (х) v С (х) VD (х) vЕ (х).
Понятие «член коллектива университета им. Гумбольд¬
та» относится к индивидам, которые обладают тем или дру¬
гим признаком. При определении посредством родового
понятия и видообразующего различия определяемое поня¬
тие относится к индивидам, которые принадлежат и к одному
и к другому классу, которые обладают и тем и другим при¬
знаком.
Следующий пример показывает, что в определяющем
понятии конъюнкция и дизъюнкция могут встречаться вме¬
сте. В военном уголовном кодексе ГДР (от 24 января 1962 г.)
имеется определение: «Согласно этому закону военнослужа¬
щими являются солдаты, унтерофицеры, офицеры и генера¬
лы, находящиеся на действительной военной службе или
в запасе или призванные на службу из резерва». Для сим¬
волической записи этого определения нужно учитывать,
что «и» не всегда означает конъюнкцию. Нет никого, кто
был бы и солдатом, и унтерофицером, и офицером, и генера¬
лом. Это определение записывается с помощью дизъюнкции:
М W = Def [5 (*) V и (х) v о (х) v G (х)]
A[^(*)V£ (x)VR (х)].
Таким образом, военным является каждый, к которому
относится один из предикатов первой группы и один из пре¬
дикатов второй группы.
Уже было сказано, что категории нельзя определять
через род и видообразующее отличие. Определение катего¬
рии «материя» можно составить с помощью отрицания: «Ма¬
терией является то, что существует вне человеческого созна¬
ния и независимо от него», вместо чего можно было бы ска¬
зать: «Материей является то, что не является сознанием»:
М (х) = Def ~в (х).
Но эта схема определения не должна применяться необ¬
думанно. Прежде всего следует учитывать, что класс инди¬
видов с признаком Л4(х) не меньше класса индивидов, ко¬
торые не имеют признака В(х). Такие определения, как
«Холодное — это то, что нетеплое»,— бессмысленны, так
222

как класс нетеплых предметов слишком широк для того,
чтобы из него можно было вывести определение,
В итоге мы можем сказать, что в определении может
встречаться отрицание, конъюнкция и дизъюнкция и что
для получения определения их достаточно, потому что ос¬
тальные связки можно свести к ним. Обе константы логики
предикатов — квантор общности и квантор существования—
также могут входить в определения.
Рассмотренные здесь определения имеют очень простую
структуру. В них дефиниендум состоит из подлежащего
определению выражения «квадрат», «военнослужащие» и
т. д. А это является признаком непосредственного, явного
определения. Часто такое определение невозможно или
приводит к ненужному усложнению способа выражения.
В таком случае составляют контекстуальное или неявное
определение. Его дефиниендум содержит подлежащее опре¬
делению выражение в контексте других выражений, кото¬
рые уже известны, определены. Так как уже определено,
что является выражением логики высказываний, можно
определить, например, понятие «выполнимое выражение»
посредством следующего неявного определения: «Выраже¬
ние логики высказываний может быть выполнимым только
тогда, когда оно хотя бы при одном распределении значений
истинности имеющихся в нем переменных принимает значе¬
ние «истина».
Рассмотренные выше определения построены очень про¬
сто еще в одном смысле. В языке все они выражены одним-
единственным предложением, посредством которого опре¬
деляемое выражение становится вполне однозначным. Об
^идиоматическом определении говорится в том случае, если
^дефиниендум определяется совокупностью предложений,
каждое из которых только отчасти определяет его. Здесь
необходимым условием является то, что кроме определяе¬
мого выражения другого неизвестного выражения нет. Что
такое высказывание, можно, например, установить посредст¬
вом следующего аксиоматического определения:
(1)	Высказывание является мысленным образованием.
(2)	Высказывание отражает объективное положение дел.
(3)	Высказывание бывает истинным или ложным.
'	(4) В большинстве случаев высказывание имеет вид по¬
вествовательного предложения.
Эта форма определения встречается гораздо чаще, чем
кажется на первый взгляд. Во многих случаях она исполь¬
зуется (например, в учебниках) для подготовки к определе¬
нию, простому по структуре, но трудно понимаемому. Но
223

оно часто и заменяет такое определение прежде всего в тех
случаях, когда уровень знаний ученика или студента еще
недостаточен для понимания сущности подлежащего опре¬
делению предмета.
Приведенное в качестве примера неявное определение
относительно просто преобразуется в явное. Для этого нуж¬
но только поставить «высказывание» на место дефиниендума
и образовать определяющее понятие, составив конъюнкцию
из определяющих частей высказываний (1)—(4). Это пре¬
образование может несколько усложниться, если слово,
обозначающее подлежащий определению предмет, не явля¬
ется или не всегда является в аксиомах грамматическим
подлежащим. Следует заметить, что существуют аксиома¬
тические определения, которые в принципе не могут быть
преобразованы в явные.
Когда в какой-либо области заново вводится определе¬
ние, нужно точно установить, что этим определением подра¬
зумеваемый предмет фактически определен. Например,
нужно доказать — если определяют элементы некоторого
класса,— что признаки, указанные в определении, присущи
всем элементам этого класса и только им. Такое доказатель¬
ство может быть связано с чрезвычайно сложной научной
работой. Но мы здесь подчеркиваем необходимость такого
доказательства, потому что в аксиоматических определениях
ошибиться легче, чем в других формах определения.
Частным случаем аксиоматического определения явля¬
ется индуктивное, или рекурсивное, определение. В совокуп¬
ности всех своих частей оно определяет класс таким образом,
что элементы этого класса можно систематически строить
из определенных исходных элементов. Оно определяет класс
таким образом, что о любом предмете можно однозначно
сказать, является ли он элементом этого класса, сводя его
к определенным исходным элементам.
Правильно построенное индуктивное определение со¬
держит следующие составные части:
(1)	явное указание на исходные элементы, т. е. исходные
элементы полностью перечисляются, или дается критерий,
согласно которому относительно любого знака можно ре¬
шить, является ли он исходным элементом;
(2)	правила, по которым могут быть образованы осталь¬
ные элементы определяемого класса;
(3)	четкое ограничение, показывающее, что кроме эле¬
ментов, приведенных в (1) или образованных в соответствии
с (2), нет никаких других, принадлежащих определяемому
классу.
224

По этому образцу построено следующее индуктивное
определение выражения логики высказываний:
(1) пропозициональные переменные являются выраже¬
ниями;
(2.1)	если последовательность символов А является вы¬
ражением, то последовательность символов ~А также яв¬
ляется выражением;
(2.2)	если последовательности символов и Ла (не
обязательно различных) являются выражениями, то
(АЛЛ). (AvA), (Л^ла (А|А). (Л^л,),
(Лх-<—А 2) и (A t <—> /12)
также являются выражениями.
(3) Никакие другие последовательности символов не
являются выражениями.
Это определение предполагает известным, что последо¬
вательным присоединением друг к другу символов логики
высказываний, а именно пропозициональных переменных
р, q, г. . ., связок логики высказываний А, V, • • • и
скобок ( , ), получают последовательность символов. При
этом единичный символ также рассматривается как после¬
довательность символов.
Приведем пример того, как исходя из этого определения
можно строить выражения логики высказываний. Пропо¬
зициональные переменные р и q согласно (1) являются выра¬
жениями. Они относятся к исходным элементам. Так как
гр является выражением, то и ~р согласно (2.1) тоже явля¬
ется выражением. Так как ~р nq— выражения, то (~p/\q)
^согласно (2.2.)— тоже выражение. Снова по (2.1) ~(~pV4)*
^является выражением и (^(рД?)->^(^рД^)) по (2.2) так¬
же является выражением.
5 Относительно любой последовательности символов мож-
лно установить, является ли она выражением, т. е. является
уш она элементом класса выражений. Посмотрим, например,
•является ли выражением последовательность символов
^(~Р\А) Аг)- По (2.2) она будет выражением, если ~(pV<7)
и г являются выражениями, г является выражением по
*(1). Другая часть, а именно ~(pV<7), согласно (2.1) будет
^выражением, если выражением является (pV?)- Последнее
'является выражением в соответствии с (2.2), так как р и q
являются выражениями согласно (1).
Таким образом, на основании определения точно уста¬
новлено, что (~(р\А)ЛП является выражениехМ логики
высказываний.
8 № 743
225

4.1.4.	ВИДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Относительно того, сколько существует различных видов
определений и как их классифицировать, не существует
единого мнения. Мы хотим сгруппировать определения, взяв
за основание то, что определяется.
1.	Реальные определения — это определения индивидов,
классов индивидов, свойств, отношений и т. д.
2.	Номинальные определения являются определениями
значения слова и касаются языковых знаков или мыслен¬
ных образов, которые существуют в форме этих знаков.
Следующими примерами можно проиллюстрировать это
различие:
(1) Апогей есть самая отдаленная от Земли точка орбиты
движущегося вокруг Земли тела.
(2.1)	Самая отдаленная от Земли точка орбиты движуще¬
гося вокруг Земли тела называется «апогеем».
(2.2)	Слово «апогей» обозначает то же, что и выражение
«самая отдаленная от Земли точка орбиты движущегося
вокруг Земли тела». Определение (1) говорит о чем-то су¬
ществующем в объективной реальности. Определение (2.1)
касается языкового знака, слова «апогей» и говорит о том,
как оно употребляется и что оно обозначает. Определение
(2.2)	есть определение понятия; оно касается значения опре¬
деленных языковых выражений.
Часто различие между реальным и номинальным опре¬
делениями не так отчетливо видно, как в наших примерах.
Точное различение затруднено еще и тем, что мы говорим о
предметах и т. п. только с помощью понятий и можем упо¬
треблять понятия лишь в языковой форме. Из реальных
определений всегда можно получить номинальные опреде¬
ления, переходя от высказывания об определенном предме¬
те к высказыванию о понятиях или о знаках. Примером пе¬
рехода от реального определения (1) к номинальному могут
служить (2.1) и (2.2). При таком определении нельзя допус¬
кать высказывания вида: «Апогей есть понятие...», где
часть реального определения соединена с частью номиналь¬
ного определения. Это предупреждение не лишнее, так как
даже в научной литературе существуют «высказывания»
такого типа, которые являются не высказываниями, а бес¬
смысленными соединениями знаков. Переход от номиналь¬
ных определений к реальным не всегда возможен. Так, но¬
минальные определения, которые регулируют использова¬
ние знаков, иногда нельзя преобразовать в осмысленные
226

реальные определения; таким примером является: «После¬
довательность символов ~(х=у) везде может быть заменена
последовательностью (x=/=z/)».
4.1.5.	РЕАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Как уже было сказано, реальные определения служат
для определения индивидов, классов индивидов, свойств,
отношений и т. д. Существуют различные виды реальных
определений, которые позволяют различными способами
провести эту операцию.
Первым видом реального определения является опреде¬
ление посредством описания. Оно в известной степени явля¬
ется промежуточной ступенью между операцией, сходной с
определением посредством описания и характеристикой, с
одной стороны, и сущностным определением — с другой.
В отличие от первых определение посредством описания
дает не просто ряд внешних или характерных признаков,
но указывает такие признаки определяемого предмета, что
он оказывается совершенно однозначно определенным и
отделенным от других предметов. Такая однозначность при
операциях, сходных с определением, недостижима, и поэто¬
му они в строгом смысле не относятся к определениям. С дру¬
гой стороны, определение посредством описания характерно
для более низкой ступени познания, чем сущностное опре¬
деление. Оно схватывает не сущность определяемого пред¬
мета, а ее проявление. Часто оно содержит сведения о том,
какое имя носит определяемый предмет; в этом случае оно
иногда причисляется к номинальным определениям.
Явление доступно через живое созерцание и непосредст¬
венный опыт. Явление дает возможность получить знания
о предмете вообще и схватывается обычно в первую очередь.
Но явлению присущи элементы случайного, нестабильного,
индивидуального. Ограничиваться явлением всегда чревато
опасностью заблуждения и связанного с ним ошибочного
поведения. Но с другой стороны, явление есть также прояв¬
ление сущности. Вследствие этого оно делает возможным
доступ к сущности, которую нельзя схватить непосредст¬
венно. Сущность предмета есть нечто необходимое, относи¬
тельно стабильное, общее. Поэтому продвижение от позна¬
ния явления к познанию сущности необходимо и возможно
для любой познавательной деятельности.
Дефиниция посредством определения сущности схваты¬
вает необходимое, относительно стабильное, общее в пред¬
мете, особенно присущие ему диалектические противоречия.
8*
227

Примером этого вида определения является следующее:
«Человеческое сознание (по своей сущности) является наибо¬
лее развитой формой отражения материального мира».
В тесной связи с дефиницией посредством определения
сущности находятся два других вида определения. Первым
из них является определение посредством указания основных
признаков. Под выражением «основные признаки» подразу¬
меваются такие признаки предметов, знание которых делает
возможным сделать заключение об остальных признаках
этого предмета. К этому виду определений относится,
например, определение предметной области с помощью
системы аксиом.
Здесь также следует назвать определение посредством
идеализации. Такое определение встречается в геометрии,
когда точка определяется как геометрическое образование,
не имеющее измерений. Строго говоря, в действительности
не существует ни одной точки, которая соответствовала бы
этому определению. Тем не менее определения такого вида
делают возможным построение теории, которая отражает
существенные признаки объективной действительности.
К реальным определениям относятся определения по¬
средством указания составных частей. Примером является:
«Желудочно-кишечный тракт состоит из желудка, тонкого
кишечника, толстой кишки и прямой кишки».
Названные выше виды реальных определений служат
для указания того, чем является определенный предмет,
какими свойствами он обладает или в каких отношениях с
другими предметами он находится. Можно также опреде¬
лить предмет, указывая причины его возникновения, усло¬
вия, при которых он необходимо появляется, или законо¬
мерности, которым он подчиняется, либо определяя его
функцию или его цель.
Определение посредством установления причины опреде¬
ляет предмет, указывая причины или источники его проис¬
хождения или появления. Например, сознание определяют
как продукт деятельности головного мозга.
К этому виду определений относится генетическое опре¬
деление. Оно указывает на то, как возникает предмет или
как его можно создать. Генетическим определением являет¬
ся, например: «Если перемещать точку на плоскости на
одинаковом расстоянии вокруг неподвижной точки, то полу¬
чается круг».
Известна также дефиниция посредством определения за¬
конов, которым подчиняется предмет. Человеческое созна¬
228

ние, например, можно определить, указывая на закономер¬
ности, которым оно подчиняется.
Дефиниция посредством определения функции раскрывает
способ воздействия рассматриваемого предмета на другие
предметы. Пигментацию кожи можно определить, указывая
на то, что она защищает тело от вредного воздействия ульт¬
рафиолетовых лучей.
Близким к этому виду определений, но отличающимся
от него, является дефиниция посредством определения цели.
Она определяет предмет, указывая на то, с какой целью был
создан этот предмет, какой цели он служит. С этим видом
определения, как и с рядом других видов реальных опреде¬
лений, надо быть очень осторожным в отношении однознач¬
ности, необходимой для каждого определения. Например,
для определения телефонного аппарата было бы недостаточ¬
но, если бы его определили как прибор, с помощью которого
люди, находясь на большом расстоянии друг от друга, могут
разговаривать. Такую же функцию выполняет радио.
Наконец, нужно назвать операциональные определения,
которые также относятся к реальным предметам, не указы¬
вая, однако, на их признаки, причины и т. д. Операциональ¬
ным определением являются:
(1)	определение величины посредством указания опера¬
ций, с помощью которых измеряется эта величина, или
(2)	определение признака посредством указания опера¬
ций, с помощью которых устанавливается, обладает ли
предмет этим признаком.
Так, можно, например, операционально определить дли¬
ну, указывая, как она измеряется. Так же можно опреде¬
лить кислоту посредством указания, что она окрашивает
лакмус в красный цвет. Операциональные определения не
могут заменить дефиницию посредством определения сущ¬
ности, но решают задачи, для решения которых последние
совсем не пригодны. Проведение физических, химических и
социальных исследований невозможно, если неизвестно,
как найти нужные величины или признаки, т. е. если не
даны операциональные определения. Какие определения
употребляются в каждом конкретном случае, зависит от
различных факторов. Среди них нужно назвать: уже имею¬
щиеся знания об определяемом предмете, знания тех, для
кого предназначено определение, и знание о том, в связи с
чем дается определение.
Идеалисты пытались свести все определения к номиналь¬
ным определениям, но некоторые из них признают, что по¬
пытка исключить реальные определения потерпела неудачу.
229

Однако, как и прежде, дефиниция посредством определения
сущности подвергается особенно сильным нападкам. На¬
пример, делается ссылка на тот факт, что формальная логика
может различать постоянные и непостоянные признаки, но
что она не имеет критерия для различения существенных и
несущественных признаков. Но ведь границы формальной
логики не являются границами человеческого познания.
Наконец, сущностным определениям ставят в упрек, что
поиски сущности вещей бессмысленны и бесперспективны,
потому что определения сущности должны меняться в за¬
висимости от уровня развития соответствующей науки.
Естественно, что определения — и это верно для всех
видов определения — изменчивы, как и все человеческое
познание. Определение должно, например, измениться, если
изменяется определяемый предмет, иначе оно не будет соот¬
ветствовать ему. Оно должно идти в ногу с развитием чело¬
веческого познания, принимать во внимание вновь открытые
существенные, не известные до сих пор признаки определяе¬
мого предмета.
Таким образом, определения, как форма человеческого
познания, движутся от относительной истины более низкого
порядка к относительной истине все более высокого поряд¬
ка. Наконец, следует помнить, что и на одном и том же уров¬
не познания существует не одно определение предмета.
Ленин указывал, что может быть много определений, так
как предметы имеют много сторон х.
4.1.6.	НОМИНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Нельзя путать «номинальное определение» и «определе¬
ние имени» и думать, что речь идет об объяснении слова,
например слова «определение». В традиционной логике такое
ограниченное толкование действительно существовало. Со¬
временная методология рассматривает каждое нереальное
определение как номинальное.
Номинальные определения делятся на:
(1)	синтаксические определения;
(2)	семантические определения.
Синтаксические определения имеют большое значение
для таких дисциплин, как формальная логика и математика.
Но мы лишь вкратце остановимся на них, так как вне этих
наук они вряд ли применимы.
Синтаксические определения касаются только языковых
1 См.: Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 224.
230

знаков и их соединений; они ничего не говорят о значении
этих знаков или их сочетаний и служат только для сокраще¬
ния. Синтаксические определения указывают, как можно
заменять знаки или их сочетания другими — чаще всего
более краткими,— не принимая во внимание или вообще
не зная их значения. Синтаксическое определение, знаки
которого имеют содержательное значение, автоматически
превращается в семантическое определение. Примером син¬
таксического определения будет
Cpq = Def ANP4-
Допустим, что мы кроме знака определения не знаем ни
одного из встречающихся здесь знаков. Тогда из определе¬
ния узнаем, что ряд знаков вида«ЛМрд» всегда может быть
заменен более кратким рядом знаков вида «Ср<?». Но если
указывается, что «ANpqy> означает «~pV^»> то определение
превращается в семантическое, посредством которого опре¬
деляется импликация «р-кр>.
Другим примером синтаксического определения являет¬
ся определение выражения логики высказываний (раздел
4.1.3). Оно касается исключительно вида выражений, но
ничего не говорит об их значении.
Семантические дефиниции определяют значение знака.
Они в основном такие же, что и те, которые называются
«определениями понятия». Семантические определения слу¬
жат для определения неизвестного еще значения дефиниен-
дума посредством известного значения дефиниенса.
В корректной формулировке семантические определения
имеют такой вид: выражение «. . .» равнозначно выражению
«. . .». Например: «Выражение «дизъюнкция двух высказы¬
ваний р и ?» обозначает то же, что и выражение «Сложное
высказывание истинно только тогда, когда, по крайней
мере, одно из двух высказываний р, q истинно». Конечно,
вместо этой достаточно сложной языковой формулировки
предпочтительна более простая «Дизъюнкция...» Однако
корректное семантическое определение дано лишь в первой
формулировке.
Семантические определения подразделяют на: •
(1)	аналитические определения;
(2)	синтетические определения.
Аналитические определения эксплицитно ставят в соот¬
ветствие языковому выражению значение, которое ему уже
придано. Здесь речь идет о том, чтобы сохранить уже имею¬
щиеся и известные значения слов, например, в словарях
231

или лексике. К аналитическим определениям относятся
также констатирующие определения.
Констатирующее определение указывает, в каком значе¬
нии обычно употребляется термин в определенной области,
например в науке. Оно имеет такой вид: под термином Т
в науке X понимают... Констатирующие определения осо¬
бенно важны тогда, когда один и тот же термин употребляет¬
ся в различных науках в разном значении. Примером явля¬
ется: «Под отрицанием в диалектическом материализме
понимают...» и «Подотрицанием в формальной логике пони¬
мают...». Констатирующие определения нужны, например,
в том случае, если в научной работе сообщается, в каком
значении употребляется определенный термин.
Синтетические определения придают языковому выраже¬
нию новое значение. При этом речь может идти о том, чтобы
придать значение новому слову или превратить слово ес¬
тественного языка в научный термин. К синтетическим опре¬
делениям относятся устанавливающие определения.
Устанавливающее определение указывает, в каком значе¬
нии должен употребляться термин в данной области. Оно
имеет вид: «Под термином Т в области X надо понимать то-то
и то-то». Уже из этой формулировки видно, что устанавлива¬
ющее определение не является высказыванием, вследствие
чего оно ни истинно, ни ложно. Оно имеет вид побудительно¬
го предложения. Оно, как и синтаксическое определение,
является правилом для употребления языковых знаков.
Устанавливающее определение необходимо в том случае,
когда в научной работе хотят избежать обычного употребле¬
ния выражения.
В науке и в повседневной жизни существует ряд выраже¬
ний, которые кажутся знаниями, на самом же деле являются
устанавливающими определениями. Выражение «100°С —
температура, при которой закипает вода при атмосферном
давлении в 760 мм рт. ст.» является специальной формой
устанавливающего определения, а именно соотносящим
определением. То, что здесь говорится о соотнесении поня¬
тия «100°С» с объективным положением дел (кипением),
ясно уже из того, что существуют различные измерительные
шкалы для определения температуры.
Если такое соотнесение было однажды произведено, то
такое высказывание, как «Спирт кипит при 78°С» и т. д.,
является уже знанием. Такие понятия, как «метр», «час»
и т. д., также установлены посредством соотносящего опре¬
деления.
232

Изучив важнейшие виды определения, дадим в конечном
итоге дефиницию ему самому:
Определение является (1) высказыванием, которое кон¬
статирует, чем является предмет, как он возник, чему он
служит или как его обнаруживают, (2) или правилом, кото¬
рое устанавливает, как должен употребляться языковый
знак, (3) высказыванием либо правилом, которое констати¬
рует или устанавливает, что обозначает либо должен обозна¬
чать языковый знак.
4.1.7.	ТРЕБОВАНИЯ К ОПРЕДЕЛЕНИЯМ
Разнообразие определений приводит к тому, что едва ли
найдутся пригодные для всех определений правила, кото¬
рых необходимо всегда придерживаться при формулировке
определения какого-либо вида. Все определения должны
быть элиминируемы. Это означает, что в области, к которой
относится определение, дефиниендум должен быть в любом
контексте заменим дефиниенсом без изменения его смысла.
Затем все определения должны быть непротиворечивы.
Это означает, что они не должны содержать логического
противоречия или вести к логическому противоречию в
области, к которой они относятся.
Рассмотрим некоторые правила, которые необходимо
соблюдать при определении понятий. Эти правила должны
осмысленно применяться при формулировке реальных опре¬
делений.
Важнейшим правилом, которое необходимо соблюдать
при определении понятия, является правило равенства объе¬
мов. Класс, который соответствует определяющему поня¬
тию, должен охватывать те же элементы — не более и не
менее,— что и класс, соответствующий определяемому.
При формулировке определений и прежде всего форму¬
лировке в естественном языке часто сталкиваются с наруше¬
нием правила равенства объемов, когда понятие или предмет
определяется слишком узко или слишком широко. При
слишком узком определении приводят больше признаков,
чем нужно. Например, в определении «Идеализм — это
философия, которая утверждает, что сознание первично, а
материя вторична и что все существует только в человечес¬
ком сознании» идеализм сужается до субъективного идеа¬
лизма. Следовательно, объем определяющего понятия слиш¬
ком мал по сравнению с объемом определяемого.
Противоположная ошибка называется слишком широким
определением. Например, выражение «Капитализм есть
233

общественный строй, который основывается на эксплуата¬
ции человека человеком» является истинным высказывани¬
ем, но ошибочным определением. Понятие «капитализм»
определено здесь слишком широко. Существует еще много
видов эксплуатации. Поэтому объем определяющего поня¬
тия по сравнению с объемом определяемого слишком велик.
На рисунке наглядно изображены обе ошибки в опреде¬
лении:
субъективный | объективный
идеализм
—
субъективный
идеализм
капитализм
рабство
феодализм
капитализм
эксплуататорские общества
Для формулировки определения понятий или предметов
важно в первую очередь знание предмета. Так как можно
допустить ошибку, приняв истинные высказывания за оп¬
ределения, здесь необходимо дать два методических указа¬
ния.
Если написать равенство, выражающее определение,
наоборот и поставить перед ним «только», то станет ясно,
допущена ли ошибка слишком узкого определения. Выска¬
зывание «Только философия, которая утверждает..., яв¬
ляется идеализмом» ложно, поэтому определение ошибочно.
Ошибку слишком широкого определения можно обнару¬
жить, если записать равенство наоборот и поставить перед
ним «все» или «каждый». Так как высказывание «Каждый
общественный строй, который..., есть капитализм» ложно,
то и определение в данном случае не может быть правиль¬
ным.
Следующее правило, которое необходимо соблюдать при
формулировке определения, состоит в том, что в определе¬
нии не должно быть круга. Это значит, что определяемое
понятие не должно встречаться в определяющем ни явно,
ни имплицитно. Такая ошибка, очевидно, содержится в сле¬
дующем определении: «Химия — это учение о химических
соединениях». Это определение не представляет ценности,
так как понятие «химия» само себя поясняет. В определении
«Закон логики высказываний является общезначимым слож¬
ным высказыванием» также содержится круг, на этот раз
234

имплицитно. Выражения «закон логики высказываний» и
«общезначимые сложные высказывания» являются различ¬
ными названиями, обозначениями одного и того же, различ¬
ными формами существования одного и того же понятия.
Определение по возможности не должно быть негатив¬
ным. потому что класс, который соответствует отрицатель¬
ному понятию, чаще всего бывает очень неопределенным.
Однако существуют понятия, например «материя» и целый
ряд понятий в математике, которые нельзя определить ина¬
че, как посредством указания таких свойств, которыми они
не обладают.
С точки зрения формальной логики из этих правил опре¬
делений значение имеют только правила, говорящие о ра¬
венстве объемов, круге и непротиворечивости. Все осталь¬
ные правила являются отчасти чисто методическими, отчас¬
ти сводимыми к ним.
4.1.8.	ДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Деление понятия — это логическая операция, служащая
для нахождения понятий, которые подчинены данному по¬
нятию. Таким образом, родовое понятие делится на видовые
понятия. Деление необходимо проводить по определенному
признаку.
Понятие «искусство» по признаку используемых худо¬
жественных средств можно делить на «изобразительное ис¬
кусство», «исполнительское искусство» и т. д. Это же понятие
. по признаку общественного класса, мировоззрение которого
выражает это искусство, можно делить на «социалистическое
искусство», «буржуазное искусство» и т. д. Понятие «рабо¬
чие» можно делить по национальному признаку: «немецкие
..рабочие», «польские рабочие», «французские рабочие» и
т. д., по признаку профессиональной принадлежности:
«металлисты», «рабочие деревообрабатывающей промышлен¬
ности» и т. д. Признак, лежащий в основе деления понятия,
*; зависит, как правило, от цели предпринимаемого деления.
Но в любом случае необходимо придерживаться определен¬
ных правил.
1.	Объем родового понятия должен совпадать с суммой
объемов видовых понятий. При делении нельзя ограничи¬
ваться лишь частью видовых понятий; но и нельзя давать ни
одного понятия, которое не является видовым понятием для
Делимого.
2.	Видовые понятия должны исключать друг друга. Та-
'ким образом, их объемы не должны пересекаться.
235

3.	Нельзя одновременно проводить деление по различ¬
ным признакам, их следует комбинировать друг с другом
так, чтобы не нарушались правила 1 и 2.
4.	Деление не должно быть скачкообразным. Это значит,
что все перечисленные понятия должны быть такими видо¬
выми понятиями, чтобы ни одно из них не подчинялось дру¬
гому видовому понятию.
Например, нарушением правила 4 было бы деление по¬
нятия «наука» на понятия «естествознание», «история», «фи¬
лософия» и т. д. Два последних понятия подчиняются поня¬
тию «общественная наука». Оно должно было находиться
рядом с понятием «естествознание». Тогда оно само, естест¬
венно, может быть разделено.
В определенных случаях целесообразно предпринять
дихотомическое деление, являющееся частным случаем деле¬
ния понятия. При дихотомическом делении дают лишь видо¬
вое понятие делимого родового понятия и отрицание этого
видового понятия. Понятия «пассажир» и «посетитель ресто¬
ранов», например, делятся на «курящий» и «некурящий»:
Дихотомию можно продолжать, снова разделяя отрица¬
тельное понятие на одно из его видовых понятий и отрицание
последнего. Так, например, понятие «велосипед» можно
делить на понятия «велосипед с электрическим мотором» и
велосипед без электрического мотора». Последнее понятие
можно дальше делить на понятия «с бензиновым мотором» и
«не с бензиновым мотором». Это деление можно продолжать
до тех пор, пока не останется ни одного отрицательного по¬
нятия.
В то время как деление исходит из понятия, классифика¬
ция служит для разделения области предметов на классы
по общему признаку. Так как содержание и объем понятия
тесно связаны друг с другом, между делением понятия и
классификацией не всегда можно точно установить разли¬
чие. Для классификации также действительны правила
деления, но они должны касаться только объема понятия.
Периодическая система элементов является, например, ре¬
зультатом классификации химических элементов по заряду
атомов. Мировоззрения мы классифицируем по их ответу на
основной вопрос философии.
Классификации, как и деление понятия, проводятся по
определенным признакам. Какой признак выбирается в ка¬
честве основания деления или классификации, зависит от
цели деления или классификации. Если речь идет о размеще¬
нии книг в хранилище библиотеки, то их надо классифици¬
ровать по содержанию. Тот, кто хочет взять книгу в библио¬
236

теке, классифицирует их на уже прочитанные им й на еще
не прочитанные. Однако при классификации такую зависи¬
мость от цели нельзя считать произвольной. Признаки клас¬
сификации должны быть объективными признаками, иначе
правильная классификация не получится.
Классификация заключается не в создании порядка,
который до сих пор не существовал. Она заключается в
отыскивании объективно существующих подклассов делимо¬
го класса и признаков, которые являются инвариантными
внутри и только внутри этих подклассов. В процессе класси¬
фикации создается система понятий или терминов, адекват¬
ность или неадекватность которой определяется тем, соот¬
ветствует ли она объективно существующим классам и их
отношениям. Таким образом, классификация книг заклю¬
чается в их мысленном упорядочивании на основании объ¬
ективных признаков, а не в их размещении на полках.
Провести классификацию по определенному признаку —
значит, рассматривая этот признак как изменяющийся,
подыскать такие постоянные значения этого признака, что¬
бы каждое из них было инвариантным в одном из подклас¬
сов, но не встречалось ни в каком другом подклассе и чтобы
в сумме этих подклассов был охвачен весь делимый класс.
Если за основу классификации мы возьмем цвет, т. е. рас¬
смотрим цвет делимого класса предметов как изменяющийся
признак, то в основу деления на подклассы мы положим
отдельные цвета: красный, желтый, зеленый и т. д. как
конкретные значения, как конкретные признаки.
Основание классификации или деления может быть свой¬
ством (например, цвет), но может быть и отношением. Пары
на танцевальной площадке можно, например, классифици¬
ровать исходя из того, состоят ли они в браке друг с другом.
Классификация объектов малоизученной области может
быть значительным научным достижением. В таких случаях
она создается в диалектическом процессе познания, который
никоим образом не исчерпывается применением средств
формальной логики.
На основании определенных знаний о подлежащих клас¬
сификации предметах и их признаках, принимая во внима¬
ние цель классификации, делается первое предположение
относительно возможного основания классификации и его
конкретных значений. Затем это предположение проверя¬
ют, проводя пробную классификацию. Выявляющиеся не¬
достатки исправляются. Затем основание классификации
снова проверяют и т. д. до тех пор, пока не будет получен
признак, соответствующий правилам и пригодный для по¬
237

ставленной цели. Таким образом совершается процесс дви¬
жения от относительно грубой попытки деления ко все
более точным результатам классификации.
Но и при тщательном проведении классификации никог¬
да нельзя думать, что она окончательна. Исключением здесь
могут быть только классы предметов, являющиеся продук¬
том процесса абстрагирования. При классификации реаль¬
но существующих предметов следует всегда учитывать, что
всякая классификация относительна. Это происходит преж¬
де всего потому, что классы материальных предметов почти
никогда строго не разграничиваются и со временем изменя¬
ются. С другой стороны, классификация относительна вслед¬
ствие развития человеческого познания и изменения целей,
для которых она создается. Как и любая научная абстрак¬
ция, классификация, несмотря на ее относительность, имеет
научное значение, потому что ведет к более глубокому по¬
знанию действительности, а каждое углубление познания
образует лучшую основу для деятельности человека.
4.2.	РЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Общая характеристика редуктивных умозаключений и
их классификация дают возможность более подробно опи¬
сать некоторые их виды.
4.2.1.	О РАЗЛИЧИИ МЕЖДУ ДЕДУКТИВНЫМИ
И РЕДУКТИВНЫМИ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯМИ
Формальная логика больше занимается изучением де¬
дуктивных умозаключений, чем редуктивных. Во-первых,
она является непосредственной основой дедуктивных умо¬
заключений, т. е. ее законы можно непосредственно пе¬
реводить в соответствующие правила умозаключения. Во-
вторых, сама формальная логика является дедуктивной
дисциплиной, т. е. приводимые в ней доказательства или по¬
лучаемые умозаключения являются преимущественно дедук
тивными. Для методов же редуктивных умозаключений она
является, хотя и необходимой, но недостаточной основой.
Со своей стороны, редуктивные умозаключения и доказа
тельства не являются необходимыми для построения, на¬
пример, аксиоматизированных областей формальной логи
ки. Во всяком случае, при обосновании своих принципов
она может так же мало опираться на редуктивные умозаклю¬
чения и доказательства, как и любая другая наука.
238

Еще и сейчас дедуктивное умозаключение определяют
как умозаключение от общего к частному или к единичному.
Ему противопоставляется индукция, как умозаключение от
единичного или частного к общему. Такое деление устарело
и нецелесообразно. Во-первых, оно не охватывает многие
важные типы умозаключения. Например, об умозаключе¬
ниях логики высказываний нельзя сказать, что они ведут
ни от общего к частному, ни от частного к общему. Во-
вторых, признак, по которому проводится эта устаревшая
классификация умозаключений, относительно несущест¬
венный.
Определим еще раз дедуктивные умозаключения для
сравнения их с редуктпвными. Дедуктивные умозаключения
обладают следующими признаками:
(1)	Между посылками и заключением существует связь,
выражаемая посредством связки «если — то», логической
основой которой является импликация. Отсюда следует, что
заключение дедуктивного умозаключения никогда не может
быть ложным, если истинны посылки.
(2)	Дедуктивное умозаключение обосновывается исклю¬
чительно применением верных правил умозаключения. Эти
правила умозаключения являются правилами преобразова¬
ния, касающимися только языковых знаков, так что при
дедуктивном умозаключении операции с мыслями можно
заменить операциями со знаками.
(3)	Дедуктивное умозаключение создает абсолютную
уверенность в том, что заключение истинно, если истинны
посылки.
Но посредством одного лишь дедуктивного метода можно
разрешить лишь часть проблем. С его помощью можно, на¬
пример, из общих высказываний получить новые общие вы¬
сказывания, но сформулировать обобщение посредством
этого метода так, чтобы из высказываний об отдельных ин¬
дивидах области получить высказывания обо всех индиви¬
дах этой области, можно только в исключительных случаях.
Из того факта, что в некоторых странах социализм уже
окончательно победил, нельзя дедуктивным путем вывести,
что это произойдет во всех странах. Чтобы прийти к этому
выводу, чрезвычайно важному для борьбы рабочего класса,
необходимо использовать другие, недедуктивные, в том
числе редуктивные, умозаключения.
Различие между дедуктивными и редуктивными умоза¬
ключениями можно показать на простом примере. Предпо¬
ложим, что высказывание «Каждый человек обладает созна¬
839

нием» истинно. На языке логики предикатов высказывание
выглядит таким образом:
V (х) [Л4 (х) —> В (х)]
— «Для каждого индивида х верно, если х — человек, то
х обладает сознанием». Согласно правилу умозаключения
логики предикатов (раздел 3.2.3) дедуктивным путем полу¬
чаем М(у)-+В(у), т. е. утверждаемая связь верна также и
для определенного отдельного индивида. Если в М(у)-+
-+В(у) оба вхождения свободной индивидной переменной
заменить любым именем собственным, то получится множест¬
во истинных единичных высказываний, которые все явля¬
ются следствиями исходного высказывания. И здесь во
всех случаях справедливо все то, что было сказано о дедук¬
тивных умозаключениях в (1)—(3).
Предположим, что мы хотим получить высказывание, что
каждый человек обладает сознанием. Посылками являются
только такие единичные высказывания, как «Если Ганс —
человек, то Ганс обладает сознанием». Какое это умозаклю¬
чение? Если о каждом отдельном человеке имеется такое
высказывание, как только что упомянутое, то высказывание
обо всех индивидах — это лишь сокращение конъюнкции
всех этих единичных высказываний. Тогда конъюнкция
посылок эквивалентна заключению, а умозаключение досто¬
верно, т. е. является дедуктивным умозаключением. Но
практически совершенно невозможно исследовать всех лю¬
дей, которые когда-либо жили, живут или будут жить. Поэ¬
тому конъюнкция посылок не может быть эквивалентной
заключению.
Между общим и единичными высказываниями существу¬
ет отношение следования, логической основой которого
является импликация. Если мы сделаем умозаключение в
противоположном направлении, то и отношение следования
перевернется, т. е. получится отношение, логической осно¬
вой которого является обратная импликация, или реплика¬
ция. Если антецедент истинной репликации также истинен
(в нашем случае конъюнкция посылок), то это не гаранти¬
рует истинность ее консеквента. Вероятность истинности
рассмотренного здесь заключения очень велика. Но аб¬
солютной достоверности на основании приведенных посы¬
лок получить нельзя. При сравнении с дедуктивными умо¬
заключениями интерес представляет также третий признак
нашего умозаключения. С формальной точки зрения оно
240

построено по следующей схеме:
М (а) —► В (а)
М (Ь) —► В (Ь)
М(с)—+В (с)
V (A-)[M (х)->В(х)].
где а, Ь, с, . . .— индивидные константы.
Можно попытаться построить по этой схеме и другие
умозаключения, интерпретируя В, например, как «голубо¬
глазый» или как «теплокровный». В первом случае заключе¬
ние будет ложным, хотя в качестве посылок можно привести
большое число соответствующих единичных высказываний;
во втором случае мы в тон же степени будем уверены в том,
что заключение истинно, как и в исходном умозаключении.
Таким образом, мы видим, что в отличие от дедуктивных
умозаключений здесь совсем не достаточно придерживаться
формальных правил, чтобы из истинных посылок получить
истинное заключение.
Итак, на простом примере мы познакомились с сущест¬
венными признаками редуктивных умозаключений.
Редуктивные умозаключения по сравнению с дедуктив¬
ными умозаключениями обладают следующими признаками:
(1)	Между посылками и заключением редуктивного умо¬
заключения существует связь, выражаемая союзом «если —
то», логической основой которой является репликация. Если
посылки редуктивного умозаключения истинны, то заключе¬
ние может быть истинным, но может быть и ложным.
(2)	Редуктивное умозаключение не может быть получено
исключительно по формальным правилам. Здесь нельзя
абстрагироваться от содержания суждений, составляющих
умозаключение.
(3)	Редуктивное умозаключение приводит лишь к отно¬
сительной уверенности в том, что заключение истинно при
истинности посылок.
4.2.2.	КЛАССИФИКАЦИЯ РЕДУКТИВНЫХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ
В зависимости от того, является ли заключение обобще¬
нием посылок, редуктивные умозаключения делятся на
индуктивные и неиндуктивные. Пока мы не будем касаться
этих двух видов редуктивных умозаключений более подроб¬
но. Примеры индуктивной редукции приводятся в разделе
4.2.3,	а примеры неиндуктивной редукции — в разделе
4.2.5. В этом разделе мы подробно рассмотрим регрессивную
и прогрессивную редукцию, которые получаются при клас¬
241

сификации редуктивных умозаключений в зависимости от
направления процесса мышления.
Регрессивная редукция исходит из известных фактов, вы¬
раженных в форме высказываний, и ведет к объяснению
этих фактов. Например, такой факт, как внезапная поломка
радиоприемника, выражается в высказывании: «Радио пере¬
стало работать». Посредством регрессивной редукции дела¬
ется заключение, объясняющее этот факт, т. е. заключение о
предпосылках, условиях, причинах и т. д. объясняемого
факта. В нашем примере говорится об объяснении единич¬
ного явления. Но, как правило, объяснения подбирают для
всего комплекса однородных явлений, пытаясь выявить от¬
ношения. Поэтому объяснение, полученное посредством
регрессивной редукции, часто бывает не простым высказы¬
ванием, а их совокупностью, часто даже целой теорией.
Высказывание об объясняемом явлении должно следо¬
вать из объяснения дедуктивно, поэтому умозаключение,
дающее объяснение, является редуктивным умозаключени¬
ем, как оно описано в разделе 4.2.1. Из нашего примера
видно, что умозаключение посредством регрессивной редук¬
ции не является достоверным в том смысле, в каком это
справедливо для дедуктивного умозаключения. Если радио
перестало работать, для этого возможен целый ряд причин.
Возможно, имело место повреждение в самом радиоприем¬
нике, мог перегореть предохранитель в квартире или во
всем доме, электростанция могла отключить ток и, возмож¬
но, имели место другие причины. Каждое высказывание об
одной из этих возможных причин является объяснением,
так как из каждого из них следует высказывание о том, что
радио перестало работать.
Умозаключение регрессивной редукции может привести
к высказыванию, из которого следует высказывание об
объясняемом явлении и которое уже известно как истинное.
Во многих случаях наука объясняет новые или вновь от¬
крытые явления с помощью уже имеющихся теорий. В этом
случае достаточно умозаключения посредством регрессив¬
ной редукции. Но иногда среди высказываний, известных как
истинные, не существует такого, которое могло бы быть объ¬
яснением. В таких случаях строят гипотезу, т. е. некоторое
проблематичное высказывание, из которого следует выска¬
зывание об объясняемом явлении. Истинность гипотезы ус¬
танавливают посредством прогрессивной редукции.
При прогрессивной редукции объяснением служит гипо¬
теза, из которой выводятся высказывания, проверяемые
непосредственно. Например, чтобы объяснить, почему не
242

работает радио, построим гипотезу: «Перегорел предохра¬
нитель в квартире». Наряду с высказыванием об объясняе¬
мом явлении из нее можно получить и такое высказывание:
«Торшер не горит». Истинностное значение этого высказы¬
вания можно проверить непосредственно.
Если полученные из гипотезы высказывания все оказы¬
ваются истинными, то гипотеза считается подтвержденной,
т. е. появляется относительная уверенность в том, что ги¬
потеза истинна. Но абсолютная уверенность в истинности
гипотезы, конечно, этим не достигается. Это видно на нашем
примере. Причиной того, что не горит торшер, может быть
перегорание предохранителя в доме или прекращение пода¬
чи тока электростанцией. Но степень уверенности в истин¬
ности гипотезы возрастает, если установить, что в других
квартирах дома подача тока не прекращалась. Чтобы полу¬
чить как можно более высокую степень уверенности в истин¬
ности гипотезы, целесообразно вывести из нее как можно
больше высказываний. При этом лучше, чтобы выведенные
высказывания были различны и конкретны. Что под этим
подразумевается, поясним на следующем примере.
Когда Д. И. Менделеев расположил химические элемен¬
ты, известные в его время, по возрастающему атомному весу,
он установил, что физические и химические свойства эле¬
ментов при таком расположении сначала меняются, но через
определенное число элементов повторяются в той же после¬
довательности. Он высказал гипотезу, что свойства элементов
находятся в периодической зависимости от их атомного веса.
Эта гипотеза дала возможность предсказать, что химических
элементов должно быть больше, чем было известно в то
время. Однако подтверждения лишь этого предсказания бы¬
ло недостаточно для подтверждения гипотезы; следствиями
последней были также довольно конкретные высказывания
о свойствах еще не известных химических элементов. Не¬
сколько лет спустя были найдены многие из предсказанных
элементов с описанными свойствами. Это в значительной
степени подтвердило гипотезу Д. И. Менделеева, так как
совершенно невероятно, чтобы такие точные высказывания,
проверенные в ходе развития науки, могли быть получены
из ложной гипотезы. Гипотеза Д. И. Менделеева с некото¬
рыми поправками (например, теперь элементы располагают
не по атомному весу, а по связанному с ним атомному заря¬
ду) получила широкое подтверждение со стороны атомной
физики XX столетия.
Если же среди высказываний, полученных из гипотезы,
хотя бы одно окажется ложным, то гипотеза будет считаться
243

фальсифицированной, опровергнутой. Таким образом, если
торшер все же горит, то гипотеза о том, что в квартире сгорел
предохранитель, опровергается. Однако это еще не говорит
о том, что гипотеза ложна целиком. Предположим, что ги¬
потеза является конъюнкцией нескольких высказываний.
Если эта конъюнкция ложна, то, по крайней мере, одно из
составляющих ее высказываний ложно. Возможно, что на
самом деле ложно только одно из высказываний. Тогда мо¬
жет быть достаточно лишь модифицировать гипотезу и затем
снова перепроверить ее посредством прогрессивной редук¬
ции.
Философы-идеалисты все снова и снова высказывают
сомнение в отношении применимости редуктивных умоза¬
ключений вообще и индуктивных умозаключений в частно¬
сти. Ссылаясь на то, что редуктивные умозаключения в про¬
тивоположность дедуктивным недостоверны, что заключение
индуктивного умозаключения при истинных посылках не
обязательно истинно, они требуют оправдания редуктивного
умозаключения, которое последнее получает в процессе
практической деятельности человека. Высказывания, полу¬
ченные посредством редукции, оправдали себя в обществен¬
ной, научной, технической и повседневной практике челове¬
ка и продолжают оправдывать себя ежедневно. Но это еще
не решает проблему единичного конкретного умозаключения
такого вида. Многие полученные посредством редукции вы¬
сказывания оказываются ложными. В каждом отдельном
редуктивном умозаключении надо пытаться добиться по воз¬
можности большей достоверности. Это достигается, в част¬
ности, соблюдением определенных условий, которые будут
описаны ниже. Кроме того, редуктивное умозаключение
никогда нельзя рассматривать в отрыве от других знаний
из соответствующей области. Результаты умозаключений
тотчас же проверяются посредством других методов и срав¬
ниваются с высказываниями, уже проверенными на прак¬
тике.
4.2.3.	ИНДУКЦИЯ
Важнейшим видом редуктивного умозаключения явля¬
ются умозаключения по индукции. Эти умозаключения ведут
от частного к общему, от высказываний об отдельных эле¬
ментах класса к высказываниям обо всех элементах этого
класса. Заключение умозаключения по индукции представ¬
ляет собой расширение знания по сравнению с посылками.
Индуктивные умозаключения подразделяются на умо¬
заключения энумеративной индукции, которой мы сначала
244

займемся, и на умозаключения элиминативной индукции,
к которым мы обратимся в разделе 4.2.4. Об энумеративной
индукции говорят в том случае, когда для обоснования вы¬
сказывания обо всех индивидах собирают единичные или
частные высказывания. Элиминативная индукция имеет сво¬
ей целью исключить из числа возможных объяснений те,
о которых не может быть и речи.
Самым элементарным случаем энумеративной индукции
является индукция посредством полного перечисления. На¬
пример, после соответствующих исследований констатиру¬
ют: «В СССР существует союз рабочего класса с другими
слоями населения», «В ГДР существует союз рабочего клас¬
са с другими слоями населения», «В ЧССР...» и т. д. В за¬
вершение проверяют, охвачены ли все социалистические
страны и верно ли для каждой из них соответствующее вы¬
сказывание. Если оба эти фактора имеются, то можно сделать
индуктивное заключение: «Во всех социалистических стра¬
нах существует союз рабочего класса с другими слоями на¬
селения».
Индукция посредством полного перечисления может
быть использована, если исследуемый класс индивидов (К)
состоит из относительно небольшого количества элементов и
если известны все элементы этого класса. Если о каждом
отдельном элементе установлено, что он обладает опреде¬
ленным признаком М, то из этого можно индуктивно сделать
вывод о том, что каждый элемент класса К имеет признак М.
В обратном направлении умозаключение в конечной области
также верно.
Представим схематически такое умозаключение для клас¬
сов точно с тремя элементами:
Класс К состоит из элементов а, Ь, с:
М(а)
М (Ь)
М (с)
у(х)И(х->Л4(х)].
Класс К состоит из элементов [а, &]; [с, d]; [е, /]:
М(а, Ь)
М(с, d)
М (е, f)
V W V (У) [К (х, у)-+М (х, у)].
Точнее говоря, эта форма умозаключения принадлежит
к дедуктивному методу, хотя она и называется индукцией.
Индукция посредством полного перечисления применяется,
245

конечно, очень редко. Чаще всего классы индивидов, иссле¬
дуемые в науке, содержат неограниченно много элементов
или, по крайней мере, столько, что практически невозможно
исследовать их все. Поэтому чаще делают умозаключение
посредством неполной индукции. Посредством неполной
индукции из высказываний о некоторых элементах класса
делают заключение обо всех элементах этого класса. Отли¬
чие такой индукции от индукции через полное перечисление
в первую очередь заключается в том, что неполная индукция
в качестве посылок имеет высказывания об относительно
немногих элементах класса. Значение умозаключения не¬
полной индукции состоит прежде всего в том, что с его по¬
мощью получают обобщение, в то время как полная индук¬
ция является, собственно, лишь резюмированием.
Например, во всех науках, в общественной практике и
т. д. установлено, что все известные формы материи нахо¬
дятся в движении. Конечно, люди далеко не в состоянии
исследовать всю материю, так как материя бесконечна в
пространстве и времени, в своем разнообразии и развитии.
Однако был сделан вывод — именно посредством неполной
индукции,— что все формы материи подвижны, что движе¬
ние есть форма существования материи.
Основным условием состоятельности умозаключения не¬
полной индукции является то, что не обнаружено ни одного
случая, противоречащего тому, о чем она говорит. ■ Часто
для индуктивного умозаключения обо всех элементах клас¬
са бывает необходимо исследовать возможно большее коли¬
чество элементов этого класса. Как правило, индуктивное
умозаключение будет тем более достоверным, чем больше
число его посылок. Но это не всегда является решающим.
В качестве иллюстрации может служить следующий пример:
некто хочет навестить друга, точного адреса его он не знает,
но предполагает, что друг живет на определенной улице.
Он установил, что в 98 домах из 100 его друг не прожива¬
ет. Несмотря на это, он не может сделать заключение о том,
что друг вообще на этой улице не живет. Такого умозаклю¬
чения никто и не делает. Но на этом примере можно пока¬
зать, что все зависит не от числа исследованных случаев, а
от того, насколько существенны признаки, исследование
которых привлекается индукцией. Так, между материей и
движением существует закономерная связь, ибо движение
является существенным признаком материи, и этот факт
оправдывает соответствующее умозаключение. Связь же
между номером дома и проживающими в нем жильцами яв¬
ляется совершенно случайной.
246

4.2.4.	МЕТОДЫ ИНДУКЦИИ ПО ДЖ- СТ. МИЛЛЮ
Методы, разработанные Дж. Ст. Миллем в середине про¬
шлого столетия, относятся, как уже говорилось, к методам
элиминативной индукции. В частности, они служат для
исследования причинных связей. Они являются методами
элиминативной индукции, поскольку служат для исключе¬
ния из множества явлений, которые могут быть причинами
другого явления, всех явлений, кроме одного. Предпосыл¬
кой для применения методов Милля является то, что все
возможные причины известны и полностью перечислены.
Но эти методы не служат для нахождения или открытия
каких-либо новых причин.
Каузальные связи являются, конечно, лишь особым ви¬
дом объективно существующих связей, в частности одной
стороной всеобщего взаимодействия. Вместе с тем не каждая
каузальная связь является одновременно и закономерной,
так как и случайные связи причинно обусловлены. Поэтому
возможности применения методов Милля ограничены. С дру¬
гой стороны, установление причинных связей в природе и
обществе является важной предпосылкой для познания за¬
конов. Раскрытие причинных связей может иметь и непо¬
средственное практическое значение.
(1)	Метод сходства.
Если явление Е выступает как следствие других явле¬
ний, все признаки которых, за исключением одного-единст-
венного признака X, различны, то можно заключить, что X
является причиной Е. Объясним метод сходства на примере:
предположим, что различные промышленные предприятия
отличаются особыми производственными успехами. Мы обо¬
значим это для краткости посредством «Е». В ходе исследо¬
вания выясняется, что предприятия довольно разнообразны.
Первое является химическим предприятием (А) и имеет
относительно мало рабочих и служащих (В). На этом пред¬
приятии есть много хорошо работающих бригад и рабочих
коллективов (X). Второе предприятие — предприятие
электротехнической промышленности (С) с большим коли¬
чеством работающих (D). Здесь также много хорошо рабо¬
тающих бригад и рабочих коллективов (X) и т. д. Выясняет¬
ся, что предприятия имеют множество различных признаков
и сходны лишь в одном, а именно в X. Отсюда можно сделать
индуктивное умозаключение, что на этих предприятиях
социалистический коллективный труд является причиной
или, по крайней мере, частью причины производственных
успехов.
247

В целях наглядности дадим это умозаключение в симво¬
лическом изображении. Знак «-f*» должен обозначать «со¬
путствует», а знак «=^>» должен обозначать «вызван». Тогда
мы получим схему индуктивного умозаключения по методу
сходства:
(Л, В, X) -> Е
(С, D, X) +> Е
В определенном смысле для методов Милля пригодно все
то, что сказано об энумеративной индукции. Нужно иссле¬
довать по возможности большее число случаев. Прежде все¬
го предполагают, что причиной определенного явления не
могут быть несущественные признаки. Так, например, в
отношении производственных успехов было бы несуществен¬
ным, если бы предприятия случайно были схожи в том, что
находились бы в одном городе.
В заключение следует заметить, что одно и то же действие
может быть вызвано различными причинами. Поэтому, если
вывод относительно причины явления получен посредством
индукции, еще нет абсолютной уверенности в том, что уста¬
новлена действительная причина. Причиной возникновения
« теплоты может быть и трение, и огонь, и электрический ток,
и т. д.
(2)	Метод различия.
Если определенное явление возникает в связи с призна¬
ками Л, В, С, X и при этом не возникает там, где имеются
лишь признаки Л, В, С, то можно сделать вывод, что X
является причиной Е.
Предположим, что два предприятия имеют общие при¬
знаки, например у них одинаковое оборудование (А),
одинаковое количество квалифицированных рабочих (В)
и обеспеченность сырьем (С). На предприятии с большими
производственными успехами учитывается материальная
заинтересованность трудящихся (X), а на другое — нет.
Тогда посредством индукции делают умозаключение о том,
что материальная заинтересованность является причиной
более высоких производственных успехов.
Дадим символическое изображение этого умозаключения:
(Л, В, С, X) 4> е
~[(Л, В, С)4>Е]
х=фв
Применяя метод различия, как и метод сходства, обычно
не довольствуются исследованием только двух случаев.
Следует также помнить, что в качестве возможных причин
248

можно принимать во внимание только существенные при¬
знаки.
(3)	Метод остатков.
Пусть известно, что определенное явление G закономер¬
но вызвано Л; тогда, если А выступает вместе с X и действие
известным образом отклоняется от G, то делают заключение,
что X является причиной этого отклонения.
Посредством этого метода в 1846 г. была открыта не
известная до тех пор планета Нептун. В расчете орбиты
помог закон всемирного тяготения Ньютона (A=>G). Не¬
смотря на учет всех известных небесных тел, которые ока¬
зывали влияние па орбиту планеты Уран, его фактическая
орбита (G, Е) не совсем совпадает с расчетной (G). Тогда
был сделан вывод, что эти отклонения (Е) могут быть выз¬
ваны еще не известной планетой (X) и Иоганн Готтфрид
Галле действительно нашел ее по расчетам Леверье.
Метод остатков символически можно изобразить следую¬
щим образом:
А => G
(Л, X) » (G, Е)
X =$> Е
(4)	Метод сопутствующих изменений.
Если явление Е зависит от определенных признаков
Л, В, X, то причину Е устанавливают, выявляя те измене¬
ния в Л, В, X, которые приводят к подобным изменениям Е.
Если Е изменяется как X, но не как Л или В, то делают
заключение, что X является причиной Е.
Этот метод имеет особое значение при проведении экспе¬
риментов, потому что он дает возможность сознательно и
планомерно изменять признаки, которые могут быть при¬
чиной рассматриваемого явления. Применение этого метода
можно объяснить на простом примере. Чтобы определить,
как регулируется громкость на неизвестном мне приемнике,
я одну за другой вращаю все ручки его настройки. Если
громкость изменяется с поворотом одной из ручек, то регу¬
лятор громкости найден.
Метод сопутствующих изменений применим и в таких
областях, где невозможно проводить эксперименты. Соглас¬
но этому методу проводятся и обрабатываются наблюдения.
Так, исследуя факторы общественного развития, классики
марксизма-ленинизма установили, что физические свойства
человека, географическая среда, рост населения и т. д. не
могут рассматриваться как решающие. Напротив, способ
производства материальных благ должен быть признан ре-
249

тающим фактором в развитии человеческого общества, по¬
скольку его изменение соответствует историческому разви¬
тию общества в целом. Изобразим этот метод символически.
Апостроф над буквой означает, что соответствующий фактор
меняется.
(4, в, X) -> е
(А', В, X)
(А, В', X) -н> Е
(Л, В, X') Е'
Х'=$>Е'
При применении индуктивных методов Милля следует
учитывать, что они могут использоваться только для уста¬
новления причин определенных явлений. Следует также
заметить, что они лишь в самых редких случаях могут быть
использованы отдельно, изолированно друг от друга. Эти
методы комбинируют друг с другом по два и более. Особенно
часто сочетают метод сходства и метод различия. Метод ос¬
татков иллюстрирует совместное применение индукции и
дедукции. В нашем примере отправной точкой была гипоте¬
за об орбите Урана, выведенная дедуктивно из закона все¬
мирного тяготения Ньютона. Отклонение от предварительно
рассчитанной орбиты было объяснено путем индуктивного
умозаключения, подтвержденного в дальнейшем открытием
Нептуна.
4.2.5.	УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО АНАЛОГИИ
Другой формой редуктивного умозаключения является
умозаключение по аналогии. Оно состоит в том, что в ре¬
зультате тождества или сходства двух предметов в некоторых
существенных признаках делают умозаключение о тождест¬
ве или сходстве в других признаках.
Например, ФРГ в целом ряде признаков чрезвычайно
сходна с фашистской Германией, разгромленной в 1945 г.
Монополии, приведшие в свое время к власти Гитлера и
поддерживавшие его, в настоящее время в основном конт¬
ролируют деятельность западногерманского правительства.
Антикоммунизм, реваншизм и милитаризм пропагандиру¬
ются в ФРГ едва ли иначе, чем до 1945 г. Коммунистическая
партия Германии, единственная партия, последовательно
представлявшая интересы рабочего класса и нации, была
запрещена и в том и в другом государствах. Руководящие
чиновники нацистского государства занимают ответствен¬
ные посты в Боннском правительстве. Сотни гитлеровских
палачей снова находятся на службе. В западногерманской
250

армии командуют офицеры, которые организовывали напа¬
дение гитлеровской Германии на другие народы. Из всех
этих сходств уже много лет назад можно было сделать вывод
по аналогии о том, что в Западной Германии милитаристские
круги подготавливают агрессивную войну против социалис¬
тического лагеря, хотя они и пытаются обмануть обществен¬
ность, говоря о так называемой необходимой обороне. Да¬
лее можно сделать вывод о том, что после запрета КПГ и
других демократических организаций демократические пра¬
ва и свободы будут ограничиваться во все возрастающей
степени. Оба умозаключения по аналогии, как известно,
подтверждаются и будут снова и снова подтверждаться фак¬
тами.
Умозаключение по аналогии происходит по следующей
схеме, где «а» и «д» символизируют предметы, а «Л!*»,
«Л42», . . .— существенные признаки:
а и b сходны друг с другом в признаках Mit М2, М8.
а обладает также признаком М4.
Таким образом, относительно достоверно, что b также
обладает М4.
Признаки, в которых предметы сходны друг с другом,
часто являются не только свойствами и отношениями, но
также и законами. Последнее является особенно благопри¬
ятной предпосылкой для умозаключения по аналогии. В ес¬
тественных науках основание такого сходства законов часто
заключается в том, что они имеют одинаковую структуру.
Формулы
Y f2 и ле C
полностью сходны друг с другом в своей структуре, хотя
по ним рассчитываются две различные силы. По первой фор¬
муле рассчитывается сила, с которой притягиваются массы
т1 и т2, находясь друг от друга на расстоянии г. «у» симво¬
лизирует гравитационную постоянную. По второй формуле
рассчитывается сила, с которой притягиваются или оттал¬
киваются электрические заряды ег и е2, находящиеся на рас¬
стоянии г. «С» символизирует электрическую постоянную.
Другим примером сходства законов в структурном отноше¬
нии являются некоторые законы алгебры натуральных чисел
и логики высказываний, которые мы хотим сравнить:
(1.1)	(a + b) = {b + a)	(1.2) (pV<?)<-* (<7Vp)
(2.1)	(a-b) = (b a)	(2.2) (рA<?)<-»(<?Ap)
261

(3.1)	а + (b 4- с) — (а + b) + с
(4.1)	a-(b-c)==(ab)-c
(5.1)	a-(b + c) = (a-b) + (a-c)
(6.2) p\/(q/\r)^(p^q)/\(p\/r).
(3.2)	pV(?Vr)H(pV?)W
(4.2)	p/\(q/\r)*-*(p/\q)/\r
(5.2)	pA(7Vr)^(pA?)
V(pA^)
(1) и (2) — законы коммутативности, (3) и (4) — ассо¬
циативности, (5) и (6) — дистрибутивности. Приведенные
законы алгебры натуральных чисел известны. Относительно
выражений логики высказываний с помощью таблицы ис¬
тинности легко установить, что они общезначимы, т. е.
они являются законами.
Структурное сходство законов, стоящих рядом друг с
другом, очевидно. Сложение соответствует дизъюнкции, ум¬
ножение — конъюнкции, равенство — эквиваленции, а чис¬
ловые переменные — пропозициональным переменным. В
соответствии с этим ключом законы одной области можно
перевести в законы другой области. Однако перевод (6.2)
в формулу алгебры уже не является законом. Несмотря на
это, имеющегося сходства уже было достаточно для того,
чтобы в середине прошлого столетия систематизировать
разделы математической логики в тесном контакте с мате¬
матикой. По аналогии и способ построения логики, приме¬
ненный в свое время английским математиком Георгом Бу¬
лем, называется «алгеброй логики».
Чтобы достичь как можно более высокой степени вероят¬
ности вывода умозаключения по аналогии, необходимо со¬
блюдать следующие правила:
1.	Число общих признаков должно быть по возможности
большим.
2.	Признаки, лежащие в основе умозаключения по ана¬
логии, должны быть существенными.
3.	Общие признаки должны относиться к различным ви¬
дам: умозаключение по аналогии будет вероятнее, если сход¬
ство установлено не только, например, в физических призна¬
ках данных предметов, но и в химических, биологических
и др.
4.	О сходстве признаков определенного вида можно сде¬
лать вывод только тогда, когда уже установлено сходство
признаков подобного вида, т. е. нельзя на основании сход¬
ства, например, в физических признаках сделать заключение
о сходстве в биологических признаках.
Умозаключения по аналогии уже не раз в истории науки
приводили к новым знаниям, имеющим важное значение.
252

Например, на основании структурного сходства законов,
которым подчиняются системы планет, и законов, действи¬
тельных для атомов, путем умозаключения по аналогии бы¬
ли получены некоторые важные гипотезы об атоме, впослед¬
ствии получившие подтверждение.
На чем же основана возможность умозаключений по
аналогии, которые так обогащают наши познания об объек¬
тивной реальности? В общем, она основана на том, что, не¬
смотря на бесконечное разнообразие видов объективной ре¬
альности, последняя образует систему. Внутри этой системы
существует много сходств в отношении свойств, связей и
структур. Это относится и к природе, и к обществу, хотя в
социальной сфере такое сходство играет значительно мень¬
шую роль. Как видно из нашего первого примера, несмотря
на различные формы проявления, часто существует более
или менее полное сходство в сущности государств, общест¬
венного строя и т. д.
Если сходство в сущности, в существенных признаках
установлено, то против применения умозаключений по
аналогии и в социальной сфере нет никаких возражений.
Они, правда, не дают абсолютной уверенности в том, что
полученные заключения истинны, но могут способствовать
их обоснованию. Дело обстоит иначе, когда такие умозаклю¬
чения по аналогии основываются на сходстве в несущест¬
венных признаках. Правда, они всегда стимулируют иссле¬
дование сходств и в признаках, которые являются сущест¬
венными. Однако если в существенных признаках имеются
принципиальные различия, то умозаключения по аналогии,
опирающиеся на сходство в несущественных признаках,
следует рассматривать как совершенно ошибочные или как
демагогический прием с целью ввести в заблуждение. Это
относится, например, к империалистическим сторонникам
теории конвергенции. На основании того факта, что между
развитыми социалистическими и капиталистическими госу¬
дарствами существует некоторое сходство в организации
производства и т. д., они делают вывод о том, что различий
между социализмом и капитализмом становится все меньше
и что оба общественных строя сближаются в форме совре¬
менного индустриального общества. Однако тенденции раз¬
вития этих общественных систем на самом деле проистекают
из признака, в котором между ними существует огромное
различие: общественная собственность на средства произ¬
водства при социализме и частная собственность на средства
производства при капитализме, отсюда: целью капитализма
является накопление богатства и власти в руках господст¬
253

вующего меньшинства, а при социализме — приумножение
богатства всех и развитие социалистической демократии.
Вследствие этого конвергенция двух таких общественных
систем исключена.
Неправильное умозаключение сторонников теории кон¬
вергенции не влияет на объективную действительность и в
конечном итоге имеет свои причины в ограниченной буржу¬
азной классовой позиции.
Как уже говорилось, и в природе, и в обществе наряду с
объективным разнообразием существует объективное сход¬
ство. И то и другое находит свое отражение в человеческом
сознании. Это отражение объективной реальности происхо¬
дит так, что мысленные образы, если они правильны, соот¬
ветствуют отображаемым отношениям, законам и т. д. По¬
этому отображения сходных друг с другом реальных отно¬
шений также сходны между собой. Если законы, отражаю¬
щие различные области объективной реальности, сходны
друг с другом по структуре, то можно предположить, что
отражаемые области действительности в определенной сте¬
пени также сходны друг с другом.
ЛИТЕРАТУРА 1
1.	Войшвилло Е. К. Понятие. М., 1967.
2.	Горский Д. П. Определение. М., 1974.
3.	Калужнин Л. А. Что такое математическая логика. М., 1964.
4.	Кари некий М. И. Классификация выводов.— В кн.: Избранные
труды русских логиков XIX в. М., 1956.
5.	Клаус Г. Введение в формальную логику. М., 1960.
6.	Кириллов В. И., Старченко А. А. Логика. М.» 1982.
7.	Мендельсон Е. Введение в математическую логику. М., 1971.
8.	Метаязык.— Философская энциклопедия. Т. 3. М., 1964.
9.	Формализация—Философская энциклопедия. Т, 5. М., 1970.
10.	Формальная логика. Л., 1977,
1 Литература предложена редактором перевода Е, Б, Кузиной.
254

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие

1.	Логика, мышление, язык

1.1.	Формальная логика в системе наук

1.2.	Предмет и система формальной логики .........
1.3.	Значение формальной логики

1.4.	Язык и наука

1.4.1.	Язык и мышление

1.4.2.	Естественный язык и язык науки

1.4.3.	Категории семантики

1.4.4.	Языки различных ступеней

2.	Логика высказываний

2.1.	Основные понятия логики высказываний

2.1.1.	Высказывание

2.1.2.	Высказывание и суждение

2.1.3.	Высказывание в логике высказываний

2.1.4.	Отрицание в логике высказываний

2.1.5.	Конъюнкция в логике высказываний

2.1.6.	Дизъюнкция, разделительная дизъюнкция и исклю¬
чение

2.1.7.	Импликация, обратная импликация, эквиваленция
2.1.8.	Законы и правила логики высказываний

2.1.8*. Решение проблемы разрешения с помощью нормаль¬
ных форм

2.1.9.	Экстенсиональные и интенсиональные сложные выска¬
зывания

2.2.	Применение логики высказываний

2.2.1.	Умозаключение в логике высказываний

2.2.1.1.	Определение умозаключения

2.2.1.2.	Правила умозаключения логики высказывания
2.2.1.3.	Проверка правила умозаключения

2.2.1.4.	Сокращенные умозаключения

2.2.1.4*. Систематический обзор следствий

2.2.2.	Применение логики высказываний в релейно-контакт¬
ных схемах

2.2.3.	Логика высказываний и нейронные сети

3.	Логика предикатов

3.1.	Понятия и связи между понятиями

3.1.1.	Понятие	  .	. .
3.1.2.	Содержание и объем понятий

3.1.3.	Понятие в логике предикатов .

3.1.4.	Отношения между понятиями

3.1.5.	Символическая форма высказываний

3.2.	Умозаключения логики предикатов

3.2.1.	Умозаключения логики высказываний и логики пре¬
дикатов

3.2.2.	Законы логики предикатов

3.2.3.	Правила логики предикатов

5
И
17
21
23
23
26
32
36
39
39
42
42
44
47
50
55
60
67
77
84
86
86
87
88
92
97
101
106
113
116
116
117
120
121
128
135
141
150
256

3.2.4.	Традиционное учение о логических умозаключениях 157
3.2.4.1.	Непосредственные умозаключения	 158
3.2.4.2.	Силлогистика	 159
3.2.4.3.	О связи традиционной и современной теорий умо¬
заключения 	 161
3.2.5.	Процедуры для разрешения умозаключений логики
предикатов	 164
3.2.6.	Разрешающая процедура для логики предикатов . .	170
3.2.6.	* Разрешающие процедуры и нормальные формы . . .	179
3.2.7.	Доказательство и опровержение средствами логики 184
3.3.	Проблемы логики предикатов	 187
3.3.1.	Тождество	 187
3.3.2.	Дескрипции	 192
3.3.3.	Логика предикатов	более	высоких	порядков ....	195
3.3.4.	Виды понятий	 200
3.3.5.	Пустой класс и	квантор	существования	 205
3.3.6.	Проблема разрешимости и аксиоматизация в логике
предикатов	 208
4.	Основные понятия теории определения и теории редуктивных
умозаключений	 212
4.0. К понятию общей	методологии	 212
4.1.	Об определении	 217
4.1.1.	О значении определения	 2Г7
4.1.2.	Операции, сходные с определением	 218
4.1.3.	Форма и структура определения	 220
4.1.4.	Виды определений	 226
4.1.5.	Реальные определения	 227
4.1.6.	Номинальные определения	 230
4.1.7.	Требования к определениям	 233
4.1.8.	Деление понятий и классификация	 235
4.2.	Редуктивные умозаключения	 238
4.2.1.	О различии между дедуктивными и редуктивными
умозаключениями	  238
4.2.2.	Классификация редуктивных	умозаключений ...	241
4.2.3.	Индукция	 244
4.2.4.	Методы индукции по Дж. Ст.	Миллю	 247
4.2.5.	Умозаключение по аналогии	 250
Литература	 254