Предисловие
Введение. Предмет и значение логики
Логические законы как принципы открытия, обоснования и сохранения истины
Часть I. ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА
Содержание и объем понятия. Обобщение и ограничение понятий
Основные требования к определению понятий
Виды понятий
Логические операции с понятиями
Глава 2. Суждение
Простые суждения
Нормальная форма простых суждений
Логические преобразования суждений
Обращение
Совместимые и несовместимые суждения. Логический квадрат
Простые суждения и пустые классы
Коммуникативная природа суждений
Глава 3. Дедуктивные умозаключения
Отношение логического следования
Простые суждения и деревья
Восстановление посылок в простых энтимемах
Восстановление посылок в сложных энтимемах
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение
Дедуктивное доказательство
Дедуктивное опровержение
Главные логические ошибки
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики
Изобретение обращения
Изложение обращения
Словесное выражение обращения
Логика спора
Часть II. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ПРЕДИКАТОВ
Синтаксис логики высказываний
Семантика логики высказываний
Определение конъюнкции
Определение слабой дизъюнкции
Определение импликации
Определение эквивалентности
Определение сильной дизъюнкции
Логически истинные, логически ложные и логически нейтральные формулы
Отношение логического следования в логике высказываний
Основные законы логики высказываний
Деревья в логике высказываний
Поиск нетривиальных следствий и допущений
Логика высказываний как исчисление
Основные модусы правильных умозаключений логики высказываний
Разделительные умозаключения
Условно-разделительные умозаключения
Рассуждение от противного
Приведение к абсурду
Разбор случаев
Глава 7. Логика предикатов
Синтаксис логики предикатов
Семантика логики предикатов
Отношение логического следования в логике предикатов
Деревья в логике предикатов
Логика предикатов как исчисление
Основные законы логики предикатов
Закон введения квантора существования
Закон подчинения кванторов
Закон противоречия
Закон непустоты универсума логического квадрата
Законы взаимоопределимости кванторов
Законы дистрибутивности кванторов относительно знака конъюнкции
Законы дистрибутивности кванторов относительно знака дизъюнкции
Законы дистрибутивности кванторов относительно знака импликации
Законы перестановки кванторов
Часть III. НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Основные теоремы индуктивной логики
Глава 9. Модальная логика
Базисная модальная логика
Модальная силлогистика
Объемы простых модальных суждений
Решение модальных силлогизмов
Глава 10. Парадоксы
Движется ли летящая стрела
Спор Протагора с Еватлом
Парадокс лжеца
Парадокс подтверждения К. Гемпеля
Парадокс индуктивной вероятностной поддержки К. Поппера
Всe ли лебеди белые?
Может ли ученик стать своим собственным учителем?
Text
                    о
о
2
m
>
>
09
п
^
^


В. А. Светлов СОВРЕМЕННАЯ ЛОГИКА Допущено Учебно-методическим объединением по направлениям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 540400 @50400) «Социально-экономическое образование» 300.piter.com Издательская программа 300 лучших учебников для высшей школы в честь 300-летия Санкт-Петербурга осуществляется при поддержке Министерства образования РФ Москва • Санкт-Петербург • Нижний Новгород • Воронеж Ростов-на-Дону • Екатеринбург • Самара • Новосибирск Киев • Харьков • Минск 2006
ББК 87.4я7 УДК 16@75) С24 Рецензенты: Сморгунова В. Ю., доктор философских наук, профессор РГПУ им. А. И. Герцена; Стрельченко В. И., доктор философских наук, профессор, зав. кафедрой философии РГПУ им. А. И. Герцена. Светлов В. А. С24 Современная логика. Учебное пособие. — СПб.: Питер, 2006. — 400 с: ил. — (Серия «Учебное пособие»). ISBN 5-469-00876-2 Цель учебного пособия — дать представление о современной логике, раскрыть ее познавательный и методологический потенциал. В книге представлены традиционная, классическая и неклассическая символическая логика, а также теория и техника логического анализа задач в естественном и формализованном языках. На многочисленных примерах показано использование оригинальной техники решения логических задач. Учебное пособие подготовлено на основе авторских курсов по логике для специалистов самого разного профиля и соответствует требованиям Госстандарта. Адресовано студентам, аспирантам, преподавателям, а также всем, кто самостоятельно изучает логику. ББК 87.4я7 УДК 16@75) Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав. ISBN 5-469-00876-2 © ЗАО Издательский дом «Питер», 2006
Содержание Предисловие 6 Введение. Предмет и значение логики 7 Логика как наука о законах открытия, обоснования и сохранения истины 7 Логические законы как принципы открытия, обоснования и сохранения истины 15 Часть I. ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА 35 Глава 1. Понятие 37 Определение понятия 37 Содержание и объем понятия. Обобщение и ограничение понятий 41 Основные требования к определению понятий 53 Виды понятий 59 Логические операции с понятиями 70 Деление объема понятия (классификация) 74 Глава 2. Суждение 82 Определение суждения 82 Простые суждения 85 Нормальная форма простых суждений 92 Логические преобразования суждений 95 Превращение 95 Обращение 97 Противопоставление (контрапозиция) 99 Совместимые и несовместимые суждения. Логический квадрат 102 Простые суждения и пустые классы....: 109 Коммуникативная природа суждений 111 Глава 3. Дедуктивные умозаключения 114 Определение умозаключения 114 Отношение логического следования 118 Простые суждения и деревья 120 Дедуктивные умозаключения с двумя посылками (простые силлогизмы) 123 Дедуктивные умозаключения с тремя и более посылками (сложные силлогизмы) 137 Восстановление посылок в простых энтимемах 145 Восстановление посылок в сложных энтимемах 152
4 __ Содержание Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 160 Общее представление о дедуктивном доказательстве и опровержении 160 Дедуктивное доказательство 162 Дедуктивное опровержение 164 Главные логические ошибки 176 Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 183 Определение риторики 183 Изобретение обращения 185 Изложение обращения 188 Словесное выражение обращения 193 Логика спора 198 Правила спора : 199 Часть И. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ПРЕДИКАТОВ 207 Глава 6. Логика высказываний 210 Основные определения и допущения логики высказываний 210 Синтаксис логики высказываний 213 Семантика логики высказываний '. 219 Определение логического отрицания 220 Определение конъюнкции 221 Определение слабой дизъюнкции 222 Определение импликации 223 Определение эквивалентности 224 Определение сильной дизъюнкции 225 Логически истинные, логически ложные и логически нейтральные формулы 227 Отношение логического следования в логике высказываний 230 Основные законы логики высказываний 233 Деревья в логике высказываний 237 Правила образования деревьев в логике высказываний 237 Поиск нетривиальных следствий и допущений 241 Логика высказываний как исчисление 247 Основные модусы правильных умозаключений логики высказываний 253 Условные умозаключения 253 Разделительные умозаключения 254 Условно-разделительные умозаключения 254 Правило дедукции (введение импликации) 255 Рассуждение от противного 256 Приведение к абсурду 256 Разбор случаев 257 Глава 7. Логика предикатов 261 Основные понятия и допущения логики предикатов 261
Содержание Синтаксис логики предикатов 266 Семантика логики предикатов 272 Отношение логического следования в логике предикатов 277 Деревья в логике предикатов 280 Логика предикатов как исчисление 283 Основные законы логики предикатов 292 Закон удаления квантора общности 292 Закон введения квантора существования 292 Закон подчинения кванторов 292 Закон противоречия 292 Закон непустоты универсума логического квадрата 293 Законы взаимоопределимости кванторов 293 Законы дистрибутивности кванторов относительно знака конъюнкции 293 Законы дистрибутивности кванторов относительно знака дизъюнкции 293 Законы дистрибутивности кванторов относительно знака импликации 294 Законы перестановки кванторов 295 Часть III. НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 297 Глава 8. Индуктивная логика 299 Основные определения и допущения индуктивной логики 299 Основные теоремы индуктивной логики 305 Глава 9. Модальная логика 331 Основные определения и допущения модальной логики высказываний и предикатов 331 Базисная модальная логика 336 Модальная силлогистика 343 Модальный шестнадцатиугольник 343 Объемы простых модальных суждений 344 Решение модальных силлогизмов 348 Правила вывода (определения модальности заключения) 352 Глава 10. Парадоксы 365 Ахиллес и черепаха 365 Движется ли летящая стрела 368 Спор Протагора с Еватлом 370 Парадокс лжеца 374 Парадокс подтверждения К. Гемпеля 378 Парадокс индуктивной вероятностной поддержки К. Поппера 381 Bde ли лебеди белые? 385 Может ли ученик стать своим собственным учителем? 387
Предисловие Основная цель настоящего учебного пособия состоит в том, чтобы помочь студенту как естественного, так и гуманитарного профиля самостоятельно овладеть методологией, языком и техникой современной логики. В пособии последовательно излагаются основные темы традиционной, классической логики высказываний и предикатов, а также неклассической — индуктивной и модальной логики. Во введении дается определение современной логики, ее предмета, методов и задач. Такое изложение материала позволит получить самое полное представление о специфика данной науки. Главный акцент сделан на раскрытии познавательного потенциала логики. С этой целью теоретическая часть сведена к минимуму, подробно объясняются все основные понятия, рассматривается большое число примеров, позволяющих овладеть техникой логического анализа. В пособие включена также специальная глава, посвященная анализу и решению наиболее известных логических парадоксов.
Введение Предмет и значение логики Логика как наука о законах открытия, обоснования и сохранения истины Мы забываем о законе природы, гласящем, что гибкость ума является наградой за опасности, тревоги и превратности жизни. Существо, которое живет в совершенной гармонии с окружающими условиями, превращается д простую машину. Природа никогда не прибегает к разуму до тех пор, пока ей служит привычка и инстинкт. Там, где нет перемен и необходимости в переменах, разум почивает. Только те существа обладают им, которые сталкиваются со всевозможными нуждами и опасностями. Герберт Уэллс «Машина времени» В учебной и научной литературе долгие годы доминируют две точки зрения на то, что такое логика и в чем ее предназначение. Сторонники первой, распространенной в популярных изданиях, убеждают своих читателей в том, что логика — это наука о законах и формах правильного мышления, стандартам и идеалам которого каждый из нас обязан следовать. Мышление обычного человека, считают они, слишком многозначно, избыточно, непоследовательно, недоказательно и часто противоречиво. Следование правилам логики исправляет отмеченные «недостатки» и делает мышление «правильным» — определенным, последовательным, непротиворечивым и доказательным. Сторонники второй точки зрения, преобладающей в научных изданиях, идут дальше и полагают, что логика — это теория исчислений (формальных дедуктивных системI, настолько превосходящая по своим 1 Исчислением принято называть формальный алгоритм построения новых символических объектов из заданных, автоматический метод решения научных, технических и иных проблем.
8 Введение аналитическим возможностям обычное мышление, что не имеет к нему уже никакого отношения. Свою главную цель они видят в создании методологии решения научных проблем, вообще не требующей обращения к смыслу выражений естественного языка. Достижению этой цели должно помочь, считают сторонники данной интерпретации, создание универсальной единообразной концепции логического вывода1. Несмотря на широкое распространение в популярной, учебной и научной литературе, оба взгляда на природу и назначение логики следует, тем не менее, признать ограниченными по следующим причинам. Представление о логике как идеальной модели мыслительных актов возникло еще в античности в качестве* естественного желания открыть лежащие в основе мышления законы и избавить, наконец, человечество от ошибок, бесплодных споров и ссор. «Эта неправильность ума [неспособность распознавать истину и ложь. — В. С] порождает не только те заблуждения, которые проникают в науки. Она является причиной большей части ошибок, совершаемых нами в повседневной жизни: беспочвенных раздоров, безосновательных тяжб, скоропалительных решений, непродуманных начинаний»2. Однако проблема заключается в том, что даже самое безукоризненное выполнение законов логики не гарантирует избавления человечества ни от ложных выводов, ни от ссор, споров, конфликтов или войн. Более того, само предположение о соответствии законам логики как критерии «правильности» мышления ошибочно. Известно, что правила нашего языка допускают существование грамматически верно построенных утверждений, лишенных фактического смысла. Примером может служить известное утверждение лингвиста Л. В. Щербы: «Глокая куздра штеко будланула бокра и кудрячит бок- ренка». Аналогично правила логики не запрещают существование корректных, т. е. формально правильных, но тем не менее ложных доказательств. В качестве примера приведем следующее логически правильное, однако по сути ложное умозаключение: «Число четыре умное. Умные числа четные. Значит, число четыре четное». Но, если ни правила грамматики, ни правила логики не могут запретить появление бессмысленных и бездоказательных утверждений, значит в принципе неверно предположение о том, что «правильное» мышление есть 1 Логическим выводом называют рассуждение, с помощью которого из посылок (исходных суждений) с помощью определенных правил получают необходимое заключение (новое суждение). 2 Арно А., Николь П. Логика, или искусство мыслить. — М, 1991. С. 9.
Предмет и значение логики мышление, соответствующее законам логики и грамматики. Вместе с ним неверна и идея «исправления» мышления. Можно лишь заметить, со ссылкой на историю науки, что реальное мышление прогрессирует благодаря именно тем «недостаткам», устранение которых предлагается считать основной задачей изучения логики. Историки и методологи науки неоднократно отмечали, что ученые часто не могут объяснить, как именно они совершили то или иное свое , открытие; что предпосылки, из которых исходят творцы нового знания, нередко ошибочны. «Наиболее поразительным примером [реабилитации теории, считавшейся опровергнутой. — В. С] является принцип Карно. Карно установил его, исходя из ложных гипотез [прежде всего неверного предположения, что теплота представляет особую жидкость, теплород. — В. С.]... Теория Карно в ее первоначальном виде выражала рядом с верными отношениями также и другие, которые были неточны, являлись обломками старых идей. Клаузиус просто откинул эти последние, как срезают у дерева засохшие ветви, и в результате появился второй закон термодинамики»1. История науки изобилует подобными примерами открытий, совершенных на основании ложных допущений. Поэтому резонно предположить, что «правильное» мышление, т. е. его соответствие законам логики, не является ни необходимым, ни достаточным критерием достижения истины. Понимание логики как теории исчислений и дедуктивного вывода, лежащее в основе всей современной логики, возникло в начале XX в. в результате интенсивного применения математических методов. Достигнутые успехи оказались столь впечатляющими, что проблемы и аппарат традиционной логики были признаны непригодными для ее нового назначения. Главное назначение логики стали видеть в создании общей теории вывода. «Теория формального вывода... составляет основное содержание формальной [математической. — В. С] логики. В силу этого определение формальной логики как науки о формах и законах правильного мышления является слишком широким... Только проблемы формального вывода составляют собственный предмет формальной логики, который она не делит ни с какой другой наукой»2. Общая теория вывода мыслилась ее создателями как универсальное абстрактное исчисление, пригодное для механического вывода из аксиом чистой логики истин любой прикладной науки. «Все, что можно 1 Пуанкаре Л. О науке. - М., 1983. С. 105. 2 Таванец П. В. Формальная логика и философия // Философские вопросы современной формальной логики. — М., 1962. С. 5.
^10 Введение познать в математике и с помощью математических методов, — утверждал один из создателей современной логики Б. Рассел, — можно вывести из чистой логики»1. Согласно такому исчислению традиционная логика, зависимая от различных неформальных допущений, — всего лишь один из возможных и отнюдь не самых совершенных вариантов. «После того как в математической логике стали изучаться исчисления, выявилась неединственность нашей привычной "классической" логики, возможность и необходимость появления "других логик", других способов правильного рассуждения, других дедуктивных средств. Логические исчисления начали плодиться и размножаться... Теперь оставался один шаг до появления общего понятия дедуктивной системы, в которой правила вывода уже не обязаны иметь что-либо общее с правилами умозаключений, с логикой рассуждений [выделено мною. — В. С.]»2. Однако всем этим надеждам вряд ли суждено когда-либо сбыться. Причина этого заключается как в невозможности построить единое для всех наук исчисление, так и в специфической природе умозаключений, называемых «дедукцией»3. Казалось очевидным, что если найти небольшое число надлежащих аксиом (самоочевидных первых положений какой-либо науки), то по определенным правилам из них можно дедуцировать сколь угодно большое число теорем — истинных утверждений о данной предметной области. Это открывало путь к строгому и, главным образом, чисто формальному решению всех научных проблем. Однако в первой трети XX в. К. Геделем было доказано, что аксиоматизация достаточно содержательных теорий принципиально не может быть1 полной. Какой бы исчерпывающей ни была система аксиом, всякая теория, включающая по крайней мере утверждения о натуральных числах, содержит истинные утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть средствами этой теории. «Даже если мы ограничимся теорией натуральных чисел, невозможно найти систему аксиом и формальных правил, из которых для каждого утверждения А всегда будет выводимо либо само Л, либо его отрицание —А [читается как «неверно, что Л». — В. С]»4. Это означает, что даже самая совершенная аксиоматизация не гарантирует выводимость из принятых постулатов всех необходимых истин (теорем). 1 Russell В. Introduction to mathematical philosophy. — London, 1924. P. 145. 2 Маслов С. Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. — М., 1986. С. 8. 3 Дедукция — правила вывода из данных посылок необходимых следствий. 4 Godel К. The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy // Collected Works III. - Oxford. 1995. P. 381.
Предмет и значение логики 1J_ Неполнота аксиоматизации развеяла также все надежды на возможность формализации научного творчества. К. Гедель признал, что вследствие его теорем о неполноте «программа замещения математической интуиции правилами формального преобразования символов нереализуема»1. «Математическое мышление, — поддержал его Алан Тьюринг, — наряду с дедукцией требует умения сочетать две способности — интуицию и изобретательность»2. Дедукция рассматривалась основателями современной логики как синоним математического мышления. Она всегда ценилась за то, что позволяла из истинных посылок выводить только истинные следствия. Однако мало кто придал значение тому факту, что в дедукции не посылки управляют значением истинности следствий, а следствия — значением истинности посылок3. Истинное заключение может следовать как из истинных, так и из ложных посылок. Истинность заключения не зависит от значения истинности посылок. В то же время ложное заключение необходимо опровергает истинность хотя бы одной из посылок, из которых оно следует. Следовательно, истинность посылок зависит от истинности заключения, но не наоборот. Таким образом, дедукция, на которую обычно возлагается столько надежд, не менее проблематична в качестве метода поиска истин, чем любой недедуктивный метод. Если отвлечься от заведомо нереализуемых задач исправления обычного мышления или замены его универсальным исчислением, возникает вопрос: что же выступает подлинным предметом логики? Очевидно, только то, чем она фактически занимается на протяжении всей своей истории, а именно исследование проблемы истины — ее природы, законов открытия, обоснования и сохранения. Не требует особых доказательств утверждение, что главный регулятивный принцип науки — достижение истины, т. е. познание законов реальности, объяснение сих помощью одних фактов и предсказание других. При этом единственным критерием «правильности» научного мышления на всех уровнях признается только его истинность, и роль последней настолько велика, что вне этого критерия наука просто не существует. 1 Godel К. Is mathematics syntax of language? // Collected Works III. — Oxford. 1995. P. 346. 2 Turing A. M. Systems of logic based on ordinals // The undecidable. — New York. 1965. P. 208-209. 3 Орлов И. Е. Логика естествознания. — M.; Л., 1925. С. 3.
^2 Введение В отличие от естественных или гуманитарных наук, не связанных непосредственно с исследованием истины, для логики это ведущая и объединяющая тема. Нет ни одного раздела логики, который так или иначе не был бы связан с проблемой определения истины, принципами ее открытия, обоснования и сохранения. «В логике, — утверждает Готтлоб Фреге, один из основателей современной логики, — термин "истина" играет роль, подобную той, какую в этике играет термин "благо", а в эстетике — "прекрасное"»1. Одно из самых интригующих свойств истины заключается в том, что она может следовать из любых допущений, т. е. никакие предпосылки однозначно не гарантируют ее достижения. Путь к истине, как правило, тернист, запутан и малопонятен даже для самих авторов. «Правильное» мышление на самом деле возможно лишь как свободно и творчески корректирующее себя «неправильное», ложное мышление, как метод проб и ошибок, лишь асимптотически приводящий к истине: «Когда, совершив ошибку, не исправил ее, это и называется совершить ошибку» {КонфуцийJ. Метод проб и ошибок, перенесенный в область мысленных действий и преобразованный интеллектом в метод изобретения и испытания гипотез, представляет общий способ решения проблем в любой области знания. «Тот, кто сталкивается с необходимостью открыть закон природы, должен сначала изобрести как можно больше предположений, прежде чем он натолкнется на правильное; а среди талантов, способствующих его успеху, следует назвать богатое воображение, которое позволит ему, рано или поздно, придумать гипотезу, соответствующую действительному порядку природы... По этой причине реальные открытия переплетены с бесполезными допущениями; подлинная мудрость соседствует с фантастическим предположением; не изредка, в особых случаях, но повсеместно и большей частью... Испытание ложных догадок становится для большинства ученых единственным способом натолкнуться на правильную»3. В то же время истина безусловно зависит от собственных следствий. Достаточно любому одному из них не получить подтверждения, опровергается и сама истина. Значит всякая истина гипотетична и асимметрична по своей природе: ее трудно открыть, но легко опровергнуть. Истина и ложь — в равной степени необходимые и взаимозависимые противоположности любого полноценного исследования. «Под- 1 Фреге Г. Логика и логическая семантика. Сб. трудов. — М, 2000. С. 307. 2 Древнекитайская философия: В 2 т. - М., 1972. Т. 1. С. 168. 3 Whewell W. Novum Organon Renovatum. - London, 1858. P. 78-79.
Предмет и значение логики 1_3 линная мысль истинна или ложна. Когда мы судим о ней, то познаем ее как истину и отвергаем ее как ложь. Последнее высказывание, однако, может привести к ошибочному заключению, будто отвергнутую мысль как совершенно бесполезную надо как можно скорее предать забвению. Наоборот, установление того, что некая мысль ложна, может быть столь же ценно, что и установление истинности какой-либо мысли. Собственно говоря, никакого различия между этими случаями не существует. Считая некоторую мысль ложной, я признаю некоторую [другую] мысль истинной, и тогда об этой последней мы говорим, что она противоположна первой мысли»1. Главное условие достижения истины — целостность мышления. Мышление является целостным, если и только если оно способно рассматривать любую ситуацию в единстве всех ее противоположных причин, тенденций и следствий. Целостным мышление становится в результате длительного опыта по достижению гармоничного равновесия всех своих противоположных способностей. Умение задавать вопросы уравновешивается умением отвечать на них, умение анализировать — умением синтезировать и т. д. Печальный пример отсутствия целостного мышления продемонстрировал козел из басни Эзопа «Лисица и козел». Лисица, попав в колодец, заманила туда козла, чтобы выбраться с его помощью, и, освободившись, ответила начавшему упрекать ее в вероломстве «товарищу»: «Эх ты! Будь у тебя столько ума в голове, сколько волос в бороде, ты бы, прежде чем войти, подумал, как выйти». Примером же целостного мышления в науке могут служить рассуждения К. Гаусса о необходимой связи положительных и отрицательных чисел. «Положительные и отрицательные числа, — пишет он, — могут найти применение только там, где сосчитанному противостоит нечто противоположное, что в соединении с ним дало бы в результате нуль. Точнее говоря, это условие осуществляется только там, где сосчитанное составляют не субстанции (сами по себе мыслимые предметы), а отношения между двумя предметами. Постулируется при этом, что предметы эти располагаются определенным образом в один ряд, например А, В, С, D..., и что отношение между Аи В может мыслиться равным отношению В к С и т. д. Здесь в понятие противоположности не входит ничего больше, кроме перестановки членов отношения, так что если отношение (или переход) от Л к В есть +1, то отношение В к А должно быть выражено через -1. Так как такой ряд беспределен с обе- 1 Фреге Г. Указ. соч. С. 324.
Ы Введение их сторон, то всякое реальное целое число представляет отношение любого избранного началом члена к определенному члену ряда»1. Указанные свойства истины в одно целое объединяет гипотетико-де- дуктивная модель научного знания (ГДМ), согласно которой научное познание носит циклический характер и включает следующие стадии. 1. Возникновение проблемы, не объясняемой существующими истинами (наличным знанием). 2. Изобретение гипотезы (гипотетической истины), объясняющей возникшую проблему. 3. Обоснование гипотезы. 4. По результатам испытания — либо отклонение гипотезы и возврат ко второй стадии исследования, либо её принятие, возможно, после некоторой модификации с последующей интеграцией в существующее научное знание. 5. Возникновение новой проблемы, не объясняемой интегрированным научным знанием. Первая стадия ГДМ указывает причину появления новых истин — новые проблемы, не решаемые прежним знанием. Вторую стадию, следуя Ч. С. Пирсу, можно назвать абдукцией2. Третью и четвертую стадии — индукцией. Дедукция служит необходимым условием всех стадий ГДМ, так как она отвечает за сохранение истины. Все логическое знание, согласно ГДМ, делится на три исчерпывающие теории — логику открытия истины (абдукцию), логику обоснования истины (индукцию) и логику сохранения истины (дедукцию). Абдукция (теория открытия истины) — изучает необходимые и достаточные условия изобретения объяснительных гипотез. Индукция (теория обоснования истины) — исследует правила подтверждения и опровержения изобретенных гипотез на опыте. Дедукция (теория сохранения истины) — анализирует правила и модусы, с помощью которых из изобретенных гипотез можно выводить необходимые следствия и тем самым рассуждать, сохраняя истину предпосылок. Таким образом, логика — наука не о законах «правильного» мышления или правилах построения исчислений, а о законах открытия, обо- 1 Кунтце Ф. Математика и точное изложение теоретико-познавательных проблем // Новые идеи в философии. — СПб., 1914, № 11. С. 130. 2 «Существуют только три элементарных схемы рассуждения. Первая, которую я называю абдукцией... заключается в том, чтобы предположить теорию, которая объясняет все множество исследуемых фактов». Collected Papers of Charles Sanders Peirce. - Cambridge, 1931-1958. Vol. 8. P. 209.
Предмет и значение логики 1_ снования и сохранения истины. Не правильное, а истинное мышление — подлинный предмет этой науки. Логика всегда будет значима только в той степени, в которой она будет учить методам открытия, обоснования и сохранения истины. «Стало быть, мы можем сказать: логика есть наука о наиболее общих законах бытия истины»1. Логические операции составляют суть человеческого интеллекта. Изучение логики позволяет ему завершить свое формирование как автономной, саморазвивающейся и самокорректирующейся целостности, достигнуть максимальной свободы от случайностей внешнего мира и диктата внутренних авторитетов, свободно и творчески ставить и решать любые проблемы. Изучение логики значительно ускоряет развитие умственных способностей, помогает интеллекту сначала овладеть операциями с классами, что в традиционной логике примерно соответствует операциям с понятиями. Затем приобрести способность к операциям с отношениями, что в традиционной логике приблизительно соответствует умению формировать и преобразовывать суждения. Наконец, оно позволяет достигнуть синтеза операций с классами и отношениями и обрести состояние интеллектуальной целостности, свободы и творчества. В традиционной логике это соответствует способности к умозаключениям, т. е. получению нового знания на основании известного. Логические законы как принципы открытия, обоснования и сохранения истины Всякое знание, независимо от того, является ли оно научным или просто вытекающим из здравого смысла, представляет — явно или скрыто — систему принципов сохранения. Жан Пиаже «Психология интеллекта» Теоретическую основу любой науки составляют принципы (законы) сохранения, которым подчиняются ее объекты. Законы сохранения количества вещества, движения, энергии в физике, веса в химии — самые известные примеры. Существуют законы сохранения и в логике. Все они относятся к истине. Интеллектуальные операции никогда не приводили бы к нужной цели, если бы не подчинялись определенным принципам сохранения истины. Но истина должна не только сохраняться. Она должна также открываться и обосновываться. По этой причине методологически неверны 1 Фреге Г. Указ. соч. С. 307.
16 Введение все решения, основанные на обособлении логики сохранения истины (дедукции), логики обоснования истины (индукции и аналогии) и логики открытия. Возникает вопрос, как совместить все эти логики в одной теории? Возможно ли это в принципе? Традиционная логика дает следующие ответы на данные вопросы. По определению, рассуждения, сохраняющие истину, принято называть дедукцией. Поскольку самих дедуктивных рассуждений существует бесконечное множество, возникает вопрос о существовании некоторых основополагающих принципов или даже одного такого, управляющего разнообразием дедуктивных умозаключений. В качестве кандидатов на роль подобных принципов мы исследуем традиционные «законы правильного мышления» — тождества, противоречия, исключенного третьего и достаточного основания. Этим законам в учебной литературе уделяется, как правило, значительное внимание, так как считается, что их соблюдение обеспечивает ясность и определенность, непротиворечивость и последовательность, доказательность наших рассуждений. Сначала отметим, что первые три закона восходят к Аристотелю, четвертый — к Демокриту и Г. Лейбницу. Аристотель (IV в. до н. э.) называл законы противоречия («невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении»1), тождества («ведь то, что сказывается об одном, должно сказываться и о другом, а о чем сказывается одно, о том должно сказываться и другое»2) и исключенного третьего («не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо, что бы то ни было, одно либо утверждать, либо отрицать»3) первыми недоказуемыми началами не только познания, но и бытия в целом, полагая самым достоверным из них закон противоречия. Аналогично Г. Лейбниц (XVII в.), следуя Демокриту (V-IV вв. до н. э.), рассматривал «необходимость достаточного основания» не только как гносеологический, но и как онтологический закон: «ничего не случается без основания, почему это было бы скорее (предпочтительнее), чем что-либо другое»4. Таким образом, 1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 1. — М., 1976. С. 125. 2 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 2. - М., 1978. С. 497. 3 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 1. — М., 1976. С. 141. 4 Стяжкип Н. И. Формирование математической логики. — М., 1967. С. 227. Ср. с утверждением Демокрита: «Ни одна вещь не возникает беспричинно, но все возникает на каком-нибудь основании и в силу необходимости». — Мако- вельский А. О. Досократики. — Казань, 1914. Ч. 1. С. 208.
Предмет и значение логики 1_7 основоположники логики, в отличие от большинства современных авторов, не ограничивали данные законы одним лишь мышлением. Для более полного анализа принципов сохранения истины сформулируем базисное множество утверждений, исчерпывающих в различных комбинациях возможные отношения между истиной и ложью. Пусть Г обозначает истину, F— ложь, «->» — символ «следует» (см. табл. 1). Истина и ложь справа и слева от знака «->» могут различаться по содержанию. Пусть символ «-i» обозначает логическое отрицание (читается как «неверно, что...»). Сделаем допущение, что отрицание истины эквивалентно лжи, а отрицание лжи — истине. Таблица 1 2. T->F 4.F-+F Любое утверждение, приведенное в табл. 1, сохраняет истину, если и только если ложно его отрицание. Значит, для сохранения истины необходимо и достаточно, чтобы отрицание рассматриваемого суждения из табл. 1 было ложно. Построим простую интерпретацию утверждений, указанных в табл. 1, для иллюстрации сказанного. Примем в качестве истины Г утверждение, что сегодня понедельник: Т= «Сегодня понедельник». Пусть А = «Сегодня понедельник», В = «Завтра не среда». Тогда первое утверждение (табл. 1) (А —> В) = «Если сегодня понедельник, то завтра не среда» истинно, потому что его отрицание «Сегодня понедельник, но завтра среда» ложно. Пусть А = «Сегодня понедельник», С = «Завтра среда». Тогда второе утверждение (А -> С) = «Если сегодня понедельник, то завтра среда» -(T-+F) = F ложно, потому что его логическое отрицание «сегодня понедельник и завтра не среда» истинно. Пусть D = «Сегодня вторник», Б = «Завтра не среда». Тогда третье утверждение
. __ Введение (D —> В) = «Если сегодня вторник, то завтра не среда» истинно, потому что его отрицание «Сегодня вторник, но завтра не среда» ложно. Пусть D = «Сегодня вторник», С = «Завтра среда». Тогда четвертое утверждение (D —> С) = «Если сегодня вторник, то завтра среда» истинно, потому что его отрицание «Сегодня вторник и завтра: среда» в понедельник ложно. Из четырех исследованных утверждений (табл. 1) при условии, что сегодня — понедельник, только второе необходимо ложно, и следовательно, только оно не сохраняет истину. Значит, рассуждение необходимо сохраняет истину, если и только если оно в своем развитии — выведении необходимых следствий — исключает возможность собственного опровержения. Поскольку сохранение истины — отличительная черта дедукции, то утверждение невозможности истинности второго утверждения в табл. 1 можно назвать законом дедукции. Закон дедукции. Истина рассуждения сохраняется тогда и только тогда, когда его развитие исключает возможность своего опровержения, т. е. появления лжи в качестве одного из необходимых следствий, -.G->F)- Как будет показано, остальные принципы сохранения истины представляют необходимые следствия данного закона. Закон тождества в учебной литературе обычно определяется так: «Содержание любого высказывания должно быть определенным и неизменным относительно контекста, в котором оно используется»1. Более формальна следующая дефиниция: «Всякое высказывание влечет (имплицирует) само себя... если высказывание истинно, то оно истинно... каждое высказывание является необходимым и достаточным условием своей собственной истинности»2. 1 Логика: Учебник для юридических вузов. — СПб., 2001. С. 182. 2 Ивин А А, Никифоров А Л. Словарь по логике. — М, 1998. С. 340.
Предмет и значение логики Полагают, что наши рассуждения должны выполнять данный закон, потому что в противном случае их предмет перестает быть определенным и устойчивым, может быть произвольно или непроизвольно искажен или подменен. Распространенное в развитых языках явление омонимии (наличие у одного слова нескольких, часто несовместимых, значений) данным законом решительно исключается. Однако при всей видимой убедительности подобного толкования закона тождества вряд ли его можно принять без определенных оговорок. Целью многих повседневных рассуждений, учебных занятий, научных дискуссий как раз и оказывается уточнение и тем самым изменение первоначального содержания определенных терминов. Юмор в принципе становится невозможным, если нет смешения и толкования мыслей с разным содержанием в одном и том же значении. Если же потребовать безусловного выполнения закона тождества, как на том настаивают некоторые авторы, мышление сразу же перестает быть творческим. Размышляя о природе тождества, Аристотель признавал его толкование в виде простого повторения одного и того же термина в одном и том же значении малоэффективным и утверждал, что «выяснять... почему вещь есть то, что она есть, значит, ничего не выяснять»1. Ведь «искомое... остается более всего незамеченным в тех случаях, когда одно не сказывается о другом»2. Как при сравнении то, чем измеряют, должно отличаться от того, что измеряют, и все же оставаться тождественным ему, так и подлинное тождество есть равенство различного, а не одинакового по содержанию мыслей. Допустим, каждая мысль либо истинна, либо ложна. Две (и более) мысли тождественны, если и только если из истинности (ложности) любой одной из них необходимо следует истинность (ложность) другой. Одно и то же значение истинности мыслей необходимо и достаточно для их тождества в пределах одного и того же рассуждения. Однако содержание мыслей не является необходимым условием их тождества в пределах даже одного рассуждения. Достаточно вспомнить мучения полицейского надзирателя Очумелова из рассказа А. П. Чехова «Хамелеон», который ради «сохранения лица», т. е. личной тождественности, должен был четыре раза менять собственную оценку конфликтной ситуации на противоположную. Одновременное выполнение первого (Г—> Т) и четвертого утверждений (F-> F) из табл. 1 объясняет смысл тождества. Первое утвержде- 1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 1. - М., 1976. С. 220. 2 Аристотель. Указ. соч. С. 221.
20 Введение ние гарантирует, что правильное действие (истина) всегда приводит к верному результату (истине), а четвертое — что неверный результат может следовать только из ошибочного действия (лжи). Оба утверждения необходимо истинны. Тождество как принцип сохранения истины. Истина сохраняется, если и только если в процессе развития истина выводится только из истины (Г—» Г), а ложь — только из лжи (F—> F). Допустим, А = «Сегодня понедельник», В = «Завтра вторник», С = = «Завтра не среда». Из истинности (ложности) А следует истинность (ложность) В, а из истинности (ложности) В следует истинность (ложность) А. Значит, высказывания Аи В тождественны, а рассуждение, утверждающее этот факт, необходимо истинно. Тождество высказываний АиВ необходимо истинно, потому что его отрицание необходимо ложно: сегодняшний понедельник становится незавтрашним вторником, а сегодняшний непонедельник — завтрашним вторником. Но А не тождественно С. Ибо хотя и верно, что из истинности А следует истинность С, но из ложности А не следует ложность С; хотя и верно, что из ложности С следует ложность Л, но при этом из истинности С не следует истинность А. Тождество становится полноценной интеллектуальной операцией тогда, когда мышление достигает полной обратимости, когда для каждой операции интеллект приобретает возможность выполнять ей обратную и тем самым возвращаться в случае необходимости к причине ошибки и исправлять ее. Установление тождества основано на способности интеллекта к рефлексии. Чем более она развита, тем на более отдаленных уровнях интеллект умеет достигать и сохранять тождество между поставленной целью и условиями ее достижения. Закон противоречия определяется в учебной литературе большей частью так: «В процессе рассуждения о чем-либо нельзя одновременно утверждать и отрицать что-либо в одном и том же смысле, поскольку образующиеся в этом случае суждения не могут быть вместе истинными»1; «высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными... никакое высказывание не является одновременно истинным и ложным»2. Отметим, что подобные определения не совсем корректны с формальной точки зрения, потому что противоречащие мысли не могут быть вместе не только истинны, но и ложны. Если последнее условие — 1 Логика: Учебник для юридических вузов. — СПб., 2001. С. 184. 2 Ивин А. А.} Никифоров А. Л. Словарь по логике. — М., 1998. С. 220.
Предмет и значение логики запрет на одновременную ложность — не выполняется, то противоречие совпадает с противоположностью или соподчинением, что неверно, так как все они представляют разные виды несовместимости. Противоречие возникает тогда, когда из истинности (ложности) одной мысли следует ложность (истинность) другой. Несовместимы не только сами противоречащие мысли, но и все их следствия. Стало быть, класс объектов, удовлетворяющих противоречащим друг другу мыслям, всегда пуст (логически невозможен). Две мысли противоречат друг другу, если и только если из истинности {ложности) любой одной из них необходимо следует ложность (истинность) другой. Запрет на противоречия в наших рассуждениях обычно обосновывается тем, что из противоречащих друг другу посылок можно вывести любое заключение, и тем, что противоречие — признак путаного, непоследовательного мышления. Противоречивое мышление часто называют нелогичным, ошибочным и приписывают низшим или ранним стадиям интеллектуального развития человека. Однако это не совсем верно. С точки зрения европейцев, мышление аборигенов противоречиво, но оно, тем не менее, по-своему очень последовательно и эффективно1. Для умственной деятельности противоречивость функционально так же необходима, как и непротиворечивость. Выражаемые нами мысли связаны с реальностью настолько опосредованно, что их прямое толкование часто бывает бесполезным из-за неизбежно возникающих противоречий. Так, например, противоречиво буквальное понимание сказок, мифов, басен, притч, анекдотов, риторических тропов (скажем, оксюморона — сочетания слов с противоположным значением в одном стилистическом обороте). Однако мы с удовольствием читаем и слушаем их, без труда понимаем суть. Эта доступность понимания обусловлена интегральной непротиворечивостью подобных текстов, доказывающих вполне очевидную истину — необходимость противодействия всему, что нарушает порядок в природе (наказания порока). Абсолютная непротиворечивость мышления была бы несовместима с его творческой природой, способностью учиться на собственных ошибках. Некоторые математики теперь не считают формальную непротиворечивость теории абсолютным достоинством, а ее доказательство — своей приоритетной задачей. «Взгляд на математику как на формальную систему очень плодотворен, если осознавать его ограни- 1 Леви-Брюль Л. Первобытный менталитет. — СПб., 2002.
22 Введение ченность... Непротиворечивость формальной системы, плодотворность которой проверена экспериментально, перестает быть первостепенной задачей. Выбор конкретно порождаемых текстов в такой системе... все равно производится по неформализуемым правилам, которые важнее формальной непротиворечивости, описываемой в терминах всех поддающихся порождению текстов»1. Противоречие — единственный достоверный симптом ошибочного мышления и, соответственно, сигнал о необходимости ревизии всех шагов рассуждения, которые привели к противоречию, и о надобности выявить его причины, отыскать и исправить ошибки. Отсюда следует позитивная роль противоречия. Только тогда, когда из допущения следует противоречие, у нас есть все основания отказаться от него как от необходимо ложного. В противном случае мы вынуждены считать его истинным даже при отсутствии прямых доказательств. Как известно, отрицание пятого постулата геометрии Евклида — «через точку вне прямой на плоскости проходит лишь одна прямая, не пересекающая эту прямую» — не привело к противоречию с остальными аксиомами. Это позволило Я. Больяи, К. Гауссу, Н. И. Лобачевскому и Г. Риману обосновать возможность существования неевклидовых геометрий. И хотя ни одна из них не находит непосредственного подтверждения в повседневном зрительном опыте человека, отсутствие противоречия в системах аксиом позволяет считать их все истинными. Без допущения противоречия невозможны косвенные доказательства, т. е. обоснования того, что если тезис истинный, то несовместимый с ним антитезис должен противоречить исходным допущениям. Например, доказать тезис «сегодня понедельник» можно прямо, спросив кого-либо, какой сегодня день недели, и косвенно — опровергнув сначала антитезис, что сегодня не понедельник. Любые две мысли противоречат друг другу, если и только если второе (Г—> F) и третье (F—> Т) утверждения из табл. 1 выполняются вместе. Второе утверждение означает, что правильное действие (истина) всегда порождает неверный результат (ложь), а третье утверждение — что ошибочное действие (ложь) всегда приводит к верному результату (истине). Вместе оба утверждения не могут быть ни истинны, ни ложны, т. е. образуют противоречие. Непротиворечивость как принцип сохранения истины. Истина сохраняется, если и только если в процессе ее развития исключается возможность следования как истины из лжи (F—> Г), так и лжи из истины (T-+F). 1 Мании Ю. И. Доказуемое и недоказуемое. — М., 1979. С. 160.
Предмет и значение логики 23 Допустим, А = «Сегодня понедельник», В = «Завтра не вторник», С = = «Завтра среда». Аи В противоречат друг другу, потому что из истинности (ложности) А следует ложность (истинность В). Обратное также верно: из истинности (ложности) В следует ложность (истинность) А. Значит, выполняется второе (Г—> F) и третье (F-+T) утверждения из табл. 1. Если бы высказывания АиВ были вместе истинны, это означало бы, что существуют дни, которые сегодня — понедельники, а завтра — не вторники. Но таких дней нет. Значит, первое (Г—> 7) утверждение, приведенное в табл. 1, не выполняется. Если бы высказывания А и В были вместе ложны, это означало бы, что существуют дни, которые сегодня — не понедельники, а завтра — вторники. Однако и таких дней нет. Значит, четвертое (F —> F) утверждение в табл. 1 также не выполняется. Из сказанного следует, что противоречащие и тождественные друг другу мысли взаимно несовместимы: если между данными мыслями есть тождество, между ними не может быть противоречия; если есть противоречие, не может быть тождества. Отрицание противоречия вводит тождество, а отрицание тождества — противоречие. Если неверно, что сегодня понедельник, но завтра не вторник, то верно, что сегодня понедельник, и верно тогда и только тогда, когда завтра вторник. Значит, законы тождества и противоречия — эквивалентные принципы сохранения истины. Высказывания Л и С не образуют противоречия. Хотя из истинности А и следует ложность С, но из ложности А не следует истинность С. Аналогичным образом из истинности С следует ложность А, но из ложности С не следует истинность А. Значит Аи С могут быть ложными одновременно, например когда истинно, что сегодня среда. Очевидно, что закон противоречия необходимо следует из базисного принципа сохранения истины. Если истина совместима только с самой собой, то она не может противоречить себе. Если бы это было так, истинным бы оказалось второе условие (Г—> F) из табл. 1. Но это невозможно. Закон исключенного третьего определяется большинством авторов однотипно: «истинно или само высказывание, или его отрицание — третьего не дано»1; «истинно или само высказывание, или его отрицание»2. 1 Логика: Учебник для юридических вузов. — СПб., 2001. С. 186. 2 Ивин А. А., Никифоров Л. Л. Словарь по логике. — М, 1998. С. 104.
24 Введение Подобные определения неточны, поскольку закон исключенного третьего справедлив только для противоречащих друг другу мыслей. Утверждая, что «сегодня понедельник или сегодня не понедельник», мы гарантируем, что одно из них необходимо истинно. Но утверждая, что «сегодня понедельник или вторник», мы этого не гарантируем. Скажем, если сегодня среда (или любой другой день, кроме понедельника или вторника), то обе альтернативы последнего утверждения ложные. Если одно из противоречащих высказываний с непреложностью истинно, как того требует закон исключенного третьего, то поиск истины может осуществляться лишь двумя путями: либо прямым ее доказательством из ранее доказанных или самоочевидных истин (определений, аксиом), либо опровержением всех несовместимых с истинным высказыванием.утверждений. Если истина не доказывается прямо из ранее доказанных положений, то единственный способ ее достижения — начать опровергать несовместимые с ней положения, т. е. начать искать и исправлять ошибочные решения. Это означает, что рано или поздно исправление ошибочных действий, основанное на обратимости всех операций мышления, гарантирует достижение поставленной цели. Некоторые авторы подвергают сомнению универсальность закона исключенного третьего. Однако приводимые аргументы не выдерживают критики. Остановимся лишь на одном из них — невозможности применять закон исключенного третьего к утверждениям о будущих событиях. При формулировке рассматриваемого аргумента ссылаются на следующий отрывок из работы Аристотеля «Об истолковании»: То же следует сказать о противоречии: все необходимо есть или не есть, а также будет или не будет; но нельзя утверждать раздельно, что то необходимо или другое необходимо. Я имею в виду, например, что завтра морское сражение необходимо будет или не будет, но это не значит, что завтра морское сражение необходимо будет или что оно необходимо не произойдет; необходимо только то, что оно произойдет или не произойдет1. На основании приведенного, самого по себе справедливого, рассуждения Аристотеля обычно делается вывод, что закон исключенного третьего к будущим событиям не применим2. 1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 2. - М., 1978. С. 102. 2 Фатиев Н. И. Логика. - СПб., 2002. С. 79. Ивип А. А., Никифоров А. Л. Словарь по логике. - М., 1998. С. 105-106.
Предмет и значение логики 25 С таким заключением, однако, трудно согласиться. Рассмотрим простую интерпретацию. Пусть Л = «Завтра морское сражение состоится», В в «Завтра морское сражение не состоится», Р — вероятностная мера. Примем соглашение, что если абсолютная вероятность какого-либо события равна 1, то оно необходимо; если его абсолютная вероятность равна 0, то оно невозможно; если его абсолютная вероятность больше О и меньше 1, то оно не необходимо и не невозможно. Так как необходимо истинно, что случится А или В, справедливо Р{Л или В} = Р{Л + В) = 1. Равенство Р{А + В) = 1 представляет вероятностный аналог закона исключенного третьего. При этом возможны следующие три принципиально различных варианта выполнения данного закона. 1. Р{Л + В) - {Р(Л) = 1 + Р(В) = 0} = 1. 2. Р{Л + Я} = {Р(Л) = 0 + Р(Я)=1} = 1. 3. Р{Л + В} - {0< Р(Л) < 1 + Р(В) = 1 - Р(Л)} - 1. Согласно первому варианту, завтрашнее морское сражение необходимо состоится; согласно второму варианту — оно необходимо не состоится (т. е. оно невозможно); согласно третьему варианту — оно состоится или не состоится, но без необходимости каждой из альтернатив (если Р(А) = Р(В) = 1/2, то завтрашнее морское сражение превращается в абсо-, лютно случайное событие). Аристотель справедливо утверждает, что из необходимости сложного события {А или В}, т. е. из равенства Р{А + В} = 1, не следует ни необходимость события Л, т. е. истинность равенства Р(А) = 1, ни необходимость события В, т. е. истинность равенства Р(В) = 1 (хотя обратное следование справедливо). Причина в том, что возможности Р{А) = = 1 и Р(В) = 1 не противоречат друг другу и тем самым не исчерпывают все альтернативы осуществления завтрашнего морского сражения. Обе возможности одновременно ложны, если истинна третья альтернатива — события Аи В оба не являются необходимыми: 0 < Р(А) < 1 и 0 < Р(В) < 1, так как Р(В) = 1 - Р(А). Но если возможности Р(А) = 1 и Р(В) = 1 не противоречат друг другу, к ним не применим и закон исключенного третьего. Для выполнения этого закона необходимо построить исчерпывающую классификацию всех трех возможностей. Учитывая, что здесь даны два основания — завтрашнее морское сражение «состоится» или «не состоится», «с необходимостью» или «без необходимости», клас-
26 Введение сификация получится двухступенчатой, а ее основные альтернативы — сложными, состоящими из двух простых. Завтра морское сражение с необходимостью или без необходимости либо состоится — {Р(А) = 1 или 0 < Р(Л) < 1}, либо не состоится — {Р(В) = 1 или 0 < Р(Л) < 1}. Возможна эквивалентная формулировка приведенного суждения о завтрашнем морском сражении, в которой только первая альтернатива будет сложной. Завтра морское сражение состоится или не состоится либо с необходимостью — {Р(Л) = 1 или Р(В) =1}, либо без необходимости — {0 < Р(А )< 1}. Так как события Аи В взаимно исключают друг друга, а их вероятность в сумме всегда равна 1, Р{А + В} = 1, то одно и только одно из них обязательно осуществится (не осуществится) в будущем с необходимостью или без необходимости. Значит, нет никаких оснований считать, что закон исключенного третьего не применим к будущим событиям, т. е. что он не выступает универсальным принципом сохранения истины. Важнейшее методологическое значение закона исключенного третьего заключается в следующем: его правильное применение всегда порождает множество взаимоисключающих и совместно исчерпывающих базисное знание альтернатив, одна и только одна из которых истинна. Подобное множество альтернатив принято называть полным, так как оно всегда содержит среди них истинное решение. Требование полноты. Множество взаимоисключающих и совместно исчерпывающих базисное знание альтернатив называется полным, если и только если одна из них истинна. Каждый следователь стремится составить полный список подозреваемых; каждый ученый — полный список гипотез исследуемого явления; каждый врач — полный список возможных причин заболевания. Ведь только в случае исчерпывающего перечня любой из них может надеяться на решение своей специфической проблемы. Подвергая альтернативные гипотезы проверке, отбрасывая или исправляя ложные, рано или поздно истинное допущение будет обязательно обнаружено. Например, полным будет следующее множество гипотез — «сегодня понедельник, или вторник, или среда... или воскресенье». Опровергнув ложность шести из них, мы получим доказательство ис-
Предмет и значение логики 27 тинности оставшейся, седьмой, т. е. получим ответ на вопрос, какой сегодня день недели. Полное множество с любым числом альтернатив всегда может быть переформулировано в виде двух противоречащих альтернатив. Обратное также верно. Например, вместо того, чтобы перечислять все возможности «Сегодня понедельник, или вторник, или среда... или воскресенье», допустимо сказать «Сегодня понедельник или не понедельник, сегодня вторник или не вторник... сегодня воскресенье или не воскресенье». Таким образом, закон противоречия и требование полноты представляют эквивалентные и тем самым взаимозаменяемые условия. Если невозможно, чтобы истина и ложь были вместе истинны, тогда истинно, что они образуют полное множество. Это эквивалентно требованию, чтобы из истины следовала только истина, а из лжи — только ложь. Требование полноты как принцип сохранения истины. Истина сохраняется, если и только если она вместе со всеми своими альтернативами образует полное множество. Допустим, Л = «Сегодня понедельник», В = «Завтра не вторник», С = «Завтра четверг». Высказывания Л и В образуют полное множество. Значит необходимо истинно либо Л, либо В. Если истинно Л, то ложна альтернатива «Завтра не вторник». Если истинно В, то истинна альтернатива «Завтра не вторник». Если бы существовала какая-либо третья альтернатива, тогда высказывания Л и В были бы одновременно ложны. Но это невозможно, так как Л истинно, если сегодня понедельники, а В истинно — если все остальные дни недели. Значит данные высказывания образуют полное множество альтернатив. Высказывания Л и С не образуют противоречия, хотя и не могут быть вместе истинны. Поэтому неверно, что необходимо истинно либо Л, либо С. Если истинно Л, то С ложно. Но если Л ложно, то С будет неопределенным (может быть истинным, если сегодня среда, и ложным, если сегодня, допустим, четверг). Так как Л и С взаимно не исключают друг друга и совместно не исчерпывают все дни недели, то принцип исключенного третьего для них не выполняется. Иными словами, высказывания Л и С не образуют полного множества альтернатив. Будучи эквивалентными принципами сохранения истины, законы тождества и противоречия оба демонстрируют, что противоречащим друг другу высказываниям ничего не соответствует в качестве удовлетворяющего их вместе референта (объекта). Значит, чтобы мысли имели некоторый общий референт, они должны быть непротиворечивы. Если мысль непротиворечива, то она или истинна, т. е. соответ-
28 Введение ствует своему референту, или ложна, т. е. не соответствует своему референту. Поскольку закон исключенного третьего утверждает, что ничего третьего между истиной и ложью нет и быть не может, его нужно считать следствием законов тождества и противоречия. Однако верно и то, что оба данных закона — следствия закона исключенного третьего. Если необходимо, что мысль или истинна, или ложна, не бывает так, чтобы она одновременно оказывалась истинной и ложной, и необходимо истинно, чтобы из истины следовала только истина, а из лжи — только ложь. Следовательно, законы тождества, противоречия и исключенного третьего — равнозначные принципы сохранения истины. Все три закона представляют эквивалентные формулировки закона дедукции. Если ложен закон тождества, закон противоречия или закон исключенного третьего, тогда верно, что истина и ее отрицание могут быть одновременно истинны или из истины следует ложь. Верно и обратное. Значит, закон дедукции — это общий принцип сохранения истины. Сохранение истины — важнейшая, но не единственная цель научного исследования: сначала истину надо открыть и обосновать. Следовательно, одкого только закона дедукции недостаточно, чтобы объяснить полный цикл существования истины: «открытие—обоснование—сохранение—открытие». Гипотетико-дедуктивный метод познания предлагает принципиальное решение данной проблемы. Истина открывается как гипотеза, дающая лучшее объяснение факту, не объясняемому другим знанием; обосновывается в решающих предсказаниях; сохраняется на всех этапах открытия и обоснования посредством вывода необходимых следствий, необходимых как для объяснения, так и для предсказания. Значит, ГДМ объединяет вместе логику открытия истины (абдукцию), логику обоснования истины (индукцию и аналогию) и логику сохранения истины (дедукцию). Закон дедукции известен. Сформулируем законы абдукции и индукции, учитывая, что аналогия выступает частным случаем индукции. Процессы открытия и обоснования истины необходимо связаны друг с другом. Новая истина всегда открывается в попытке найти лучшее объяснение уже существующих фактов. Поэтому открытие совершается как поиск для данного факта лучшей объясняющей гипотезы, как восхождение от следствия к гипотезе, а не наоборот. Стало быть, не только обоснование, но и открытие новых истин происходят в процессе анализа известных из опыта следствий и поиска для них лучших объяснительных гипотез.
Предмет и значение логики !_? Открытие истины не принято относить к фундаментальным целям и разделам логики. Старая позитивистская догма о том, что «логика открытия» не имеет прямого отношения к общей логике и может быть интересна только психологам и историкам науки, молчаливо разделяется подавляющим числом авторов учебников по логике. Открытие истины признается творческим актом, не имеющим эффективного (однозначно определяющего каждый шаг открытия) алгоритма. Тем не менее представители традиционной логики косвенно соглашаются с существованием проблемы открытия и обоснования истины, считая одним из своих основных принципов так называемый закон достаточного основания. Отношение их к обоснованию истины более лояльно. Индукция (вместе с аналогией) полагается частью общей логики, а обоснование истины — ее фундаментальной целью, хотя изложение данной темы ограничивается, как правило, адаптированными сведениями о методах причинного анализа Дж. С. Милля1 и защитой закона достаточного основания. Одни авторы признают его: «В процессе рассуждения достоверными следует считать лишь те высказывания, относительно истинности которых могут быть приведены достаточные доводы (основания)»2. Другие отвергают его в качестве закона логики3. Подобная амбивалентность оценок объясняется тем, что отклоняющие его справедливо полагают: закон достаточного основания нельзя считать принципом сохранения истины. Признающие же фактически соглашаются, что этот закон — принцип открытия и обоснования истины. Однако подобный логический статус закона в той редакции, в которой обычно он предстает, чрезвычайно сомнителен. Закон достаточного основания защищают, как правило, потому, что истина должна не просто декларироваться, а быть обоснованной. И под обоснованием преимущественно понимается поиск для исследуемой истины убедительных доводов, из которых она следовала бы с необходимостью. 1 МилльДж. С. Система логики силлогической и индуктивной. Изложение принципов доказательства в связи с методами научного исследования. — М., 1914. 2 Логика: Учебник для юридических вузов. — СПб., 2001. С. 189. 3 «Отнесение закона достаточного основания к числу логических законов лишено оснований». Ивин А. А., Никифоров А. Л. Словарь по логике. — М., 1998. С. 96.
30 Введение Допустим, необходимо обосновать высказывание В = «Завтра не среда». Пусть обосновывающей посылкой будет утверждение А = «Сегодня понедельник». Очевидно, что из истинности А следует истинность В и, согласно закону достаточного основания, высказывание В должно считаться доказанным. Обычно на этом обоснование заканчивается и дальнейший анализ прекращается. Проблема, однако, состоит в том, что любое высказывание обосновывается не только истинными, но и ложными доводами. Продолжим наш пример. Допустим, в качестве дополнительного довода приводится утверждение С = «Сегодня воскресенье», которое ложно, потому что Аи С несовместимы, но А истинно. Так как высказывание В следует из С, то, согласно закону достаточного основания, оно и в этом случае получает достаточное доказательство. Обосновывающие доводы Аи С несовместимы друг с другом. Какой же из них следует считать наиболее убедительным? Закон достаточного основания рекомендует выбрать утверждение Л, так как только оно истинно. Но этот ответ с логической точки зрения не имеет никаких преимуществ перед выбором утверждения С в качестве убедительного довода. Проблема заключается не в том, существуют ли доводы, достаточные для обоснования истины, ибо ложь также достаточна для ее обоснования, а необходима ли сама истина. Правило «из лжи следует все, что угодно» не только делает поиск достаточности обоснования тривиальной, если не бессмысленной, процедурой, но и доказывает, что истина вообще не зависит от своих дедуктивных предпосылок (доводов). Выполнение первого и третьего утверждения, указанных в табл. 1, объясняет логический смысл независимости истины от дедуктивных предпосылок. Истина не зависит от своих дедуктивных предпосылок, если и только если ее развитие удовлетворяет условиям (Г—> Т) и (F —> Т) одно- временно. Будучи независимой от своих предпосылок, всякая истина тем не менее полностью зависит от своих необходимых следствий. Если хотя бы одно из них оказывается ложным, опровергается вся истина в целом. Второе утверждение из табл. 1 соответствует данному свойству истины. Для опровержения истины необходимо и достаточно доказательства ложности по крайней мере одного ее необходимого следствия, т. е. выполнимости (T-^F). Не поиск достаточных аргументов, ибо оправдать можно все что угодно, а вывод и проверка следствий — вот принципиальное решение
¦ Предмет и значение логики проблемы обоснования любой истины. Такое решение обеспечивает гипотетико-дедуктивный метод (ГДМ), который, как объяснялось, объединяет открытие^ дедуктивное развитие и обоснование истины в одну общую модель познания. Если истина не зависит от своих дедуктивных предпосылок, то последние могут быть только относительно истинными, или, как принято говорить, правдоподобными высказываниями. Произвольное высказывание S правдоподобно, если и только если оно логически не истинно и не ложно, т. е. его вероятность лежит в интервале 0 < P(S) < I. Важное свойство правдоподобных высказываний — их способность изменять свою вероятность в зависимости от изменения фактических условий. Логически истинные и ложные высказывания таким свойством не обладают, так как представляют логические константы, не изменяемые опытом. Предпосылки истины должны быть не только правдоподобными, но они также обязаны предлагать возможное решение проблемы, задачи и т. д., т. е. быть гипотезами. Гипотеза — правдоподобное высказывание, содержащее возможное решение рассматриваемой проблемы, обобщающее анализируемые факты или объясняющее их причину. Вероятность гипотезы должна быть по определению мерой ее истинности. Пусть Я обозначает гипотезу, -.Я — дополнение Я (логическую сумму всех альтернатив Я); Р(Н) — вероятность гипотезы Я, Р(-*Н) — вероятность всех альтернатив (дополнения) Я; Е — факт, требующий объяснения. Как и гипотеза Я, факт ? не может быть логически истинным или логически ложным событием (в первом случае факт Е не требовал бы объяснения, во втором он был бы невозможным событием). Объяснить какой-либо факт означает указать его предполагаемую причину или закон, которому он подчиняется. Для этого стремятся представить утверждение о причине или законе в качестве одной из посылок определенного дедуктивного умозаключения, а заключение об исследуемом факте — как его необходимое следствие. Объяснение, иными словами, представляет дедукцию необходимых следствий рассматриваемой гипотезы. Гипотеза Я объясняет факт Е, если и только если истинность следствия, объясняющего Е, представляет необходимое условие истинности Я. Пусть фактом, требующим объяснения, будет Е= «Сократ смертен». Если в качестве гипотезы выбрать предположение Я = «Все люди
32 Введение смертны» и начальное условие /= «Сократ — человек», то объяснение строится как следующее дедуктивное умозаключение (горизонтальная черта, отделяющая посылки от заключения, читается «следовательно»): Н = «Все люди смертны». / = «Сократ — человек». Е = «Сократ смертен». Если предположить, что объяснение ? ложно, тогда истинно заключение «Сократ бессмертен». Из этого заключения и посылки «Все люди смертны» следует «Сократ — не человек», что противоречит начальному условию «Сократ — человек». Значит, заключение необходимо, а объяснение логически корректно. Стадия открытия новой истины не преследует цель формулировки достоверного объяснения. Ее цель — изобретение новой истины, т. е. нового объяснения причины исследуемого факта Е. Необходимые требования к открытию новой истины указывает закон абдукции. Закон абдукции. Гипотеза Н представляет новое объяснение факта Е, если и только если: 1) без гипотезы Н факт Е не объясняется наличным базисный знанием Б; 2) гипотеза Н логически совместима с фактом Е, Р(НЕ) > 0; 3) факт Е более правдоподобен относительно базисного знания Б в случае принятия Н, чем в случае принятия любой из ее альтернатив -,Н, Р(Е/НВ) > Р(Е/-,НВ). Закон абдукции объясняет творческий (интуитивный) характер большинства научных открытий. Истина открывается не в результате постепенного накопления знаний или механической дедукции из принятых аксиом, а в результате неожиданного «прозрения», наступающего при попытке найти для рассматриваемого факта лучшую объясняющую гипотезу. Известный «метод дедукции» Шерлока Холмса представляет литературную интерпретацию закона абдукции. «Сколько раз я говорил вам [обращение Шерлока Холмса к доктору Ватсону. — В. С], отбросьте все невозможное, то, что останется, и будет ответом, каким бы невероятным он ни казался»1. Конраду Лоренцу, известному австрийскому этологу, однажды потребовалось объяснить факт неожиданной агрессивности глухих со дня 1 Копан Дойль А. Знак четырех// Собр. соч.: В 10 т. — Волгоград. 1994. Т. 8. С. 38.
Предмет и значение логики 33 рождения индюшек по отношению к своим только что вылупившимся птенцам: Глухие индюшки совершенно нормально высиживали птенцов, как и до того их социальное и половое поведение вполне отвечали норме. Но когда стали появляться на свет их индюшата, оказалось, что материнское поведение подопытных животных нарушено самым драматическим образом: все глухие индюшки тотчас забивали насмерть своих цыплят, как только те появлялись из своих яиц!1 Общепринятое предположение, что «индюшка, пока она сидит на гнезде, должна быть постоянно готова с максимальной энергией нападать не только на мышей, крыс, хорьков, ворон, сорок и т. д., но и на своих сородичей... потому что онитак же опасны для ее выводка, как и хищники»2, не объясняет указанного факта, так*как очевидно, что дети индюшек не могут быть объектами агрессии своих матерей. Сотрудники Конрада Лоренца были вынуждены разработать новую, более правдоподобную гипотезу: Если не предполагать, что у индюшки повреждено что-то еще, кроме слуха, то такое поведение [агрессия глухих индюшек по отношению к своим детенышам — В. С] можно объяснить одним: у нее нет ни малейшей врожденной информации о том, как должны выглядеть ее малыши. Она клюет все, что движется около ее гнезда, если оно не настолько велико, чтобы реакция бегства у нее пересилила агрессию. Только писк индюшонка — и ничто больше — посредством врожденного механизма включает материнское поведение, одновременно затормаживая агрессию3. Абдукция не обладает свойством открывать необходимые истины. Посылки абдуктивного рассуждения могут быть истинны, а заключение, тем не менее, ложно. Плодотворность абдукции заключается в том, чтобы изобрести новую истину. Но насколько обоснованной предстает новая истина, решается с помощью индукции. Хотя объясняемый факт Е и подтверждает гипотезу Я, этого подтверждения, как правило, недостаточно для уверенности в эмпирической надежности гипотезы. Исследователь может оказаться, как это нередко бывает, предвзятым в отношении своей гипотезы. С целью повышения объективности оценки открытия из проверяемой гипотезы дедуцируют одно или несколько предсказаний и проводят наблюде- 1 Лоренц К. Агрессия (так называемое «зло»). — СПб., 2001. С. 154. 2 Лоренц К. Указ. соч. С. 153. 3 Лоренц К. Указ. соч. С. 154. 2-1742
34 Введение ния или эксперименты. Если все сделанные предсказания подтвердились на опыте, гипотеза считается подтвержденной в достаточной степени. Если же хотя бы одно из предсказаний не подтвердилось, гипотеза или отбрасывается, или модифицируется для проведения дальнейших испытаний. Пусть Fобозначает дополнительное решающее предсказание, дедуцируемое из проверяемой гипотезы Я. Тогда справедливо следующее определение. Закон индукции. Гипотеза И принимается в качестве новой истины, а все ее альтернативы -.Н получают опровержение, если и только если: 1) решающее предсказание Гпредставляет необходимое совместное следствие базисного знания Б, гипотезы Н и факта Е; 2) независимо от результата предсказания Fфакт Е подтверждает гипотезу И относительно Б; 3) факт Е вместе с предсказанием F подтверждают гипотезу И относительно В. Продолжим анализ примера с глухими индюшками К. Лоренца. Для обоснования новой гипотезы (объясняющей причину агрессии глухих индюшек по отношению к своим детенышам) был проведен эксперимент: Если к индюшке, сидящей на гнезде, подтягивать на нитке, как марионетку, натурально сделанное чучело индюшонка, то она клюет его точно так же, как и глухая. Но стоит включить встроенный в эту куклу маленький динамик, из которого раздается магнитофонная запись «плача» индюшонка, нападение резко обрывается вмешательством торможения, явно очень сильного, так же внезапно, как это описано выше на примере цихлид и ланей. Индюшка начинает издавать типичные призывные звуки, соответствующие квохтанью домашних кур1. Эксперимент полностью подтвердил выдвинутую гипотезу о причине агрессивного поведения глухих индюшек и превратил ее в элемент достоверного научного знания. При этом следует учитывать, что в науке любая истина, даже если она получила статус аксиомы, закона или принципа, представляет лишь временно и условно принимаемое допущение. Это не свидетельствует о ее ущербности. Наоборот, благодаря своей относительности и гипотетичности она способна к исправлениям, обобщениям и опровержению при обнаружении новых фактов. В этом и заключается сущность научного прогресса. 1 Лоренц К. Указ. соч. С. 155.
Часть I ТРАДИЦИОННАЯ ЛОГИКА
Что же касается учения об умозаключениях, то мы не нашли ничего такого, что было бы сказано до пас, а должны были сами создать его с большой затратой времени и сил. Аристотель «О софистических опровержениях» Традиционной логикой принято называть теорию силлогизмов, созданную Аристотелем C84-322 до н. э.). В средние века она была систематизирована схоластами и примерно в таком виде дошла до наших дней. В большей части отечественных учебников традиционная логика до сих пор излагается именно в той форме, которую ей придали средневековые логики. Силлогистика — исторически первая теория дедуктивного вывода. Кроме силлогизмов к предмету традиционной логики принято также относить суждения, из которых строятся силлогизмы, понятия, из которых образуются суждения, доказательство и опровержение как важнейшие функции силлогистических рассуждений. Силлогистика не исчерпывает всех видов дедуктивных умозаключений. У нее имеются и другие ограничения. Вместе с тем силлогистика остается одной из самых точных и совершенных логических теорий. Последние исследования в области развития интеллекта доказывают, что она, кроме логических, имеет также определенные когнитивные основания. Доказано, что между темами традиционной логики, формами и целями мышления, основными ступенями и целями развития интеллекта существует необходимая связь (табл. 2). Таблица 2 Когнитивные основания традиционной логики 1 2 3 4 Темы традиционной логики Понятие Суждение Умозаключение Доказательство и опровержение Формы и цели мышления Логические атомы умозаключений Логические молекулы умозаключений Логическая форма получения нового знания Открытие, обоснование и сохранение истины Основные ступени и цели развития интеллекта Умение оперировать классами Умение оперировать отношениями Умение синтезировать операции с классами и отношениями Преодоление эгоцентризма и зависимости в получении нового знания от внешней среды С учетом сказанного, традиционная логика по-прежнему остается современной логической теорией, а ее знание — важным элементом общей культуры.
Глава 1 Понятие Так как мы способны познавать внешние предметы только через посредство имеющихся у нас идей {понятий. — В. С], размышления над ними составляют, быть может, самое важное в логике, ибо на этом зиждется все остальное. А. Арно, П. Николь «Логика, или Искусство мыслить» Определение понятия В логике «вещью» принято называть все, что может иметь имя (все, что может быть обозначено тем или иным образом). При этом не имеет значения, существует ли обсуждаемая вещь реально или только в чьем-либо воображении, является ли она материальным или идеальным объектом. Мы понимаем какую-либо вещь исчерпывающим образом, если и только если можем определить ее понятие. Одно и то же событие, интерпретированное в разных системах понятий (обвинителя и защитника на суде, например), превращается в различные, а иногда и противоречащие друг другу факты. Понятия — логические атомы нашей интеллектуальной деятельности, опорные пункты здравого и научного смысла. Умственное развитие ничто иное, в сущности, и не представляет, как способность переосмысливать старые и конструировать новые понятия в соответствии с изменяющимися условиями жизни. Понятия придают нашим словам адекватное значение, а речь превращают в осмысленное рассуждение. Понятие — мысль, обозначающая свойства вещи, каждое из которых необходимо, а все вместе они достаточны для ее однозначного определения (обозначения, указания) в рассматриваемом отношении (качестве). Из приведенного определения следует: чтобы сформировать понятие о некоторой вещи, нужно знать ее свойства, но не всякие, а только необходимые и вместе достаточные.
38 Часть 1. Традиционная логика Необходимое свойство — такое свойство вещи, без которого ее существование в рассматриваемом отношении (качестве) невозможно. Свойство «быть сладкой вещью» необходимо для того, чтобы кондитерское изделие могло называться конфетой. Несладкое изделие оценивается как брак и исключается из класса конфет. Вместе с тем «быть шоколадной конфетой» не относится к разряду необходимых свойств кбнфет. Каждый знает, что есть конфеты, сделанные не из шоколада. Необходимое условие нельзя не только исключить, но и ослабить, усилить или модифицировать каким-либо иным образом без появления противоречия в существовании рассматриваемой вещи. «Необходимо то, что иначе быть не может» (Аристотель). Свойства бывают не только необходимыми или ненеобходимыми, но и достаточными и недостаточными. Достаточное свойство — такое свойство вещи, из наличия которого всегда следует ее существование в рассматриваемом отношении (качестве). Так, свойство «быть конфетой» достаточно для того, чтобы некий объект был сладкой вещью. Отрицание достаточного условия в отличие от отрицания необходимого не противоречит существованию данной вещи. Например, свойство «быть пирожным», несовместимое со свойством «быть конфетой», достаточно для того, чтобы предмет относился к классу «сладких вещей». Не каждое необходимое условие бывает достаточным и не всякое достаточное условие — необходимым. Дождь — достаточное условие для мокрых улиц, но его нельзя считать необходимым (возможны и другие причины, кроме дождя). Быть сладкой вещью есть необходимое, но не достаточное условие для того, чтобы считаться шоколадной конфетой. Однако делимость на 2 необходима и одновременно достаточна для существования класса четных чисел. Для определения понятий особое значение имеет случай, когда достаточность представляет функцию нескольких необходимых свойств. Все вместе они выражают в этом случае сущность исследуемой вещи. Сущность вещи — свойства вещи, каждое из которых необходимо, а все вместе они достаточны для ее существования в определенном отношении (качестве). Поясним сказанное. Допустим, требуется дать определение квадрата. Основной вопрос при определении любого понятия следующий — что такое данная вещь? В нашем случае — что такое квадрат? Отве-
[лава 1. Понятие чая на него, мы последовательно выдвигаем и проверяем на необходимость и достаточность предположения (гипотезы). Первое предположение. Квадрат — это плоская четырехугольная геометрическая фигура. Проверка необходимости. Спрашиваем: существует ли хотя бы один квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической фигурой? Ответ отрицательный. Значит, рассматриваемый признак необходим. Проверка достаточности. Спрашиваем: всякая ли плоская четырехугольная геометрическая фигура — квадрат? Ответ отрицательный. (Например, трапеция — плоская четырехугольная геометрическая фигура, но не квадрат). Значит, хотя свойство «быть плоской четырехугольной фигурой» необходимо, но оно недостаточно для обозначения квадратов и только этих фигур. Недостаточность первого предположения требует выявить по крайней мере еще один необходимый признак. Второе предположение. Квадрат — это плоская четырехугольная геометрическая фигура, имеющая равные стороны. Проверка необходимости. Спрашиваем: существует ли хотя бы один квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической фигурой с равными сторонами? Ответ отрицательный. Значит, рассматриваемые признаки оба необходимы. Проверка достаточности. Спрашиваем: всякая ли плоская четырехугольная геометрическая фигура с равными сторонами — квадрат? Ответ отрицательный. (Например ромб — плоская четырехугольная геометрическая фигура с равными сторонами, но не квадрат.) Значит, хотя оба свойства «быть плоской четырехугольной фигурой» и «иметь равные стороны» и необходимы, но они недостаточны для обозначения квадратов и только этих фигур. Недостаточность второго предположения вынуждает искать дополнительный необходимый признак и тем самым выдвигать новое предположение. Третье предположение. Квадрат — это плоская четырехугольная геометрическая фигура, имеющая равные стороны и углы. Проверка необходимости. Спрашиваем: существует ли хотя бы один квадрат, не являющийся плоской четырехугольной геометрической фигурой с равными сторонами и углами? Ответ отрицательный. Значит, все рассматриваемые признаки необходимы. Проверка достаточности. Спрашиваем: всякая ли плоская четырехугольная геометрическая фигура с равными сторонами и углами — квадрат? Ответ утвердительный. Значит, свойств «быть плоской че-
40 Часть 1. Традиционная логика тырехугольной фигурой», «иметь равные стороны» и «равные углы» вместе достаточно для обозначения квадратов и только этих фигур. В итоге мы достигли знания, называемого понятием квадрата, т. е. знания, выражающего суть этой вещи. Квадрат — плоская четырехугольная геометрическая фигура с равными сторонами и углами. Ни одно понятие не существует автономно, не будучи включенным в какое-либо более общее понятие и не оказываясь противопоставленным в его рамках своему дополнению (противоречащему понятию). Например, класс конфет включен в класс сладких изделий и противостоит всем сладким изделиям, не относящимся к конфетам. В свою очередь, класс сладких изделий противостоит классу несладких изделий, образуя еще более общий класс продуктов. Следовательно, каждое понятие включено в определенную иерархию упорядоченных понятий. Движение по ней «вверх» приводит к обобщению рассматриваемого понятия, а движение «вниз» — к его ограничению. Например, ближайшим обобщением понятия «четное число» служит понятие «целое число», а одним из его возможных ограничений — «четное число, делящееся на 5». Чтобы определять понятия, необходимо умение их обобщать и ограничивать, складывать и вычитать классы, т. е. строить классификации. Поскольку каждое из понятий представляет сумму каких-либо необходимых признаков, все они имеют нормативный характер. Стало быть, в той реальности, в которой живет и действует человек, не только понятия должны соответствовать вещам, но и'наоборот: вещи — своим понятиям. Что бы ни изготовил человек, на всем лежит отпечаток того понятия, которым он руководствовался в процессе создания вещи. Именно по соответствию рассматриваемого предмета, события, поступка системе определенных понятий различают «красивое» и «безобразное», «дорогое» и «дешевое», «умное» и «глупое», «законное» и «незаконное». Подобная относительность оценок, особенно заметная при сравнении различных культур или разных форм, периодов одной культуры, показывает: понятия — это вовсе не простые слепки вещей, в них человек не только отражает мир, но и выражает свое отношение к нему. Нормативный характер понятий означает также, что среди них могут существовать такие, для которых еще не открыты или не созданы искусственно соответствующие им вещи. Подобная ситуация нередко встречается в науке, когда сначала выдвигаются гипотезы и только затем совершаются открытия.
Глава 1. Понятие Благодаря свойству обозначать классы вещей, а не отдельные вещи, понятия не следует считать чувственно наглядными конструктами. Их наличие до известной меры не зависит от существования внешней реальности. Данное свойство отличает понятия от чувственных образов и представлений, которые, к тому же, не могут не зависеть от реальных вещей как своих внешних причин. Содержание и объем понятия. Обобщение и ограничение понятий Традиционно под логическими элементами понятия как мыслительной структуры имеют в виду его содержание и объем. Содержанием понятия обычно называют множество существенных свойств мыслимой вещи, разделенных на родовые и видовые признаки. К родовым относятся все свойства, отвечающие на вопрос « Что это за вещъ?>>1, к видовым — все свойства, отвечающие на вопрос «Какая это вещь?». Объемом понятия обычно называют класс вещей, удовлетворяющих всем признакам содержания. Вернемся к понятию «квадрат». Пусть признак «четырехугольник, изображенный на плоскости» относится к родовым свойствам, а признак «геометрическая фигура с равными сторонами и равными углами» — к видовым. Тогда содержание понятия «квадрат» представляет пересечение множеств признаков: {«четырехугольник, изображенный на плоскости»} п {«геометрическая фигура с равными сторонами, геометрическая фигура с равными углами»}. Объем же этого понятия — класс всех четырехугольников, удовлетворяющих требованиям содержания и относящихся поэтому к квадратам. Несмотря на всю свою очевидность, традиционный подход был подвергнут критике по двум основаниям. Во-первых, его сторонники определяют содержание понятия как «совокупность существенных признаков», упуская из виду возможность их различной логической взаимосвязи. Это означает, что возможны лонятия с одним и тем же числом признаков, но с разными логическими свойствами. 1 «Я называю родом то, благодаря чему различающиеся между собой вещи называются тождественными по сущности». — Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 1.-М., 1976. С. 259.
42 Часть I. Традиционная логика Сравним для примера следующие два понятия: А = «вкусное и спелое яблоко», В = «вкусное или спелое яблоко». Хотя их содержание выражается с помощью одних и тех же признаков — «вкусный» и «спелый», по своей логической структуре и свойствам понятия Аи В значительно отличаются друг от друга. Например, понятие А исключает все ситуации, когда яблоко может быть вкусным и неспелым, или невкусным и спелым, или невкусным и неспелым. Понятие В исключает только те случаи, когда яблоко невкусное и неспелое одновременно. Следовательно, с логической точки зрения, понятие Л сообщает больше информации, т. е. более определенно, чем понятие В; объем А полностью включен в объем В, но ему не равен; из истинности А следует истинность В, но обратное в общем неверно. Во-вторых, приверженцы традиционной точки зрения придерживаются некритически заимствованного из аристотелевской онтологии и наивной теории множеств положения о том, что элементами объема понятия выступают единичные вещи. Понятия действительно определяют вещи. Но это определение всегда осуществляется в терминах (необходимых и достаточных) свойств. И поскольку логическим аналогом свойств выступают классы соответствующих вещей, то подлинными элементами объема и становятся не сами вещи, а именно их классы. Мы будем называть классом любое множество объектов, включая и пустое, по отношению к которым субъект познания реагирует идентичным образом, т. е. для него они все в заданном отношении качественно эквивалентные элементы. С этой точки зрения не существует никаких последних сущностей (родов) вещей, выполняющих функцию последнего «носителя» свойств. Любая подобная сущность может быть определена как свойство более общей сущности. Если кроме допущения, что элементами объема выступают единичные вещи, основываться на требовании их реального существования, из понятийного анализа придется исключить все мифологические, сказочные и тому подобные существа, а также все вещи, строгое доказательство бытия которых на момент обсуждения отсутствует или представляется неубедительным. Невозможным становится выдвижение гипотез, постановка и решение научных проблем, существование науки в целом. Ведь получение знания о новых, еще неизвестных объектах и есть ее главная задача. Чтобы избежать указанных ограничений и достигнуть максимальной целостности и всеобщности анализа, примем следующие три соглашения.
Глава 1. Понятие 43 С. 1. С логической точки зрения существует только то, что не содержит в себе противоречия. С. 2. Классы вещей, а не единичные вещи, — исходные элементы логического существования и, соответственно, анализа. С. 3. Класс существует (задан), если и только если задан он сам со всеми классами, обозначающими его разновидности, а также его дополнение и объединяющий их оба более общий класс. Согласно С. 1, принцип противоречия определяет границы логического существования. Все, что противоречиво, логически невозможно и поэтому не существует; наоборот, все, что непротиворечиво, логически допустимо в качестве возможного положения дел и поэтому существует1. В соответствии с С. 2 понятия обозначают единичные вещи, но определяют их всегда в терминах свойств. Поэтому не вещи, а классы — логические корреляты свойств — служат элементами логического существования и анализа. Например, логическое обсуждение достоинств какого-нибудь кулинарного блюда означает исследование его свойств, а значит — и класса всех блюд, обладающих ими. Несуществующие вещи обладают логически невыполнимыми свойствами и принадлежат пустому классу. Как следует из С. 3, исходное в логике — отношение включения класса в класс, а не принадлежности вещи классу. Класс существует только в том случае, если задана вся иерархия включающих его и включаемых им классов. Принятые соглашения позволяют ввести необходимую коррекцию в определения содержания и объема понятия. Из С. 3 следует, что каждое понятие существует только как часть более общей классификационной системы — классов вещей, обозначаемых понятием, его дополнением и объединяющим их оба универсальным классом, который ради краткости будем называть универсумом (от лат. universum — вселенная, универсальный класс). Фрейм такой системы изображен на рис. 1.1. Например, если необходимо мыслить понятие «четные числа», то это нельзя сделать иначе, как противопоставляя его своему дополне- 1 «Что мы понимаем под "возможным миром"? Просто мир, который может описываться без противоречия. Сюда входят сказочные миры и вымышленные миры самого фантастического рода при условии, что они описываются в логически непротиворечивых терминах». — Карнап Р. Философские основания физики. - М, 1971. С. 49.
44 Часть I. Традиционная логика Понятие Дополнение понятия Универсум = Рис. 1.1. Фрейм понятия как системы нию — противоречащему понятию «нечетные числа» в пределах объединяющего их оба понятия «целые числа». Нельзя уяснить, что такое справедливость, не противопоставляя ее несправедливости в пределах всех возможных отношений между людьми и, следовательно, не зная ни того ни другого1. Значит, распространенное представление о том, что можно мыслить какое-либо одно понятие как нечто единичное и независимое, неверно. С психологической точки зрения, универсум — это аналог антиципирующей схемы, в терминах которой человек объясняет и предсказывает интересующие его события. Когда малышу, который, кроме кошек и собак, не видел ни одного крупного животного, показывают корову, тот уверенно называет ее собакой, потому что в его антиципирующей схеме собака максимально соответствует по формальным признакам новому для него животному2. С логической точки зрения, универсум — это объем родового (включающего, обобщающего, подчиняющего) понятия, позволяющего определить рассматриваемое понятие. При правильно построенной классификации универсум представляет полное множество альтернативных решений рассматриваемой проблемы. Следовательно, его определение и разбиение —необходимое условие решения любых логических задач. Универсум (объем родового понятия) — ближайший обобщающий класс, образованный в результате сложения объемов рассматриваемого понятия и его дополнения. Универсум любого понятия состоит как минимум из двух взаимно исключающих и совместно исчерпывающих его классов. Число их может быть сколь угодно большим. Как мы увидим, оно зависит только от количества оснований, делящих универсум на такие классы. Если 1 «Как же может быть, что тебе ведомы справедливость и несправедливость, если ты блуждаешь в этом вопросе вокруг да около и, как это очевидно, ни у кого этому не обучался и сам не пришел к такому открытию? [вопрос Сократа Алкивиаду. - В. С.]». — Платон. Собр. соч.: В 4 т. Т. 1. - М., 1990. С. 232. 2 Wadsworth B.J. Piaget's theory of Cognitive and Affective Development. — New York. 1989. P. 13.
Глава 1. Понятие имеется п оснований, то общее число классов, из которых состоит универсум, равно 2". Как и всякая мысль, понятие нечто утверждает в качестве истинного положения и нечто исключает как ложное. В качестве утверждаемых и исключаемых понятием положений выступают определенные (возможно пустые) классы его универсума, называемые соответственно его объемом и содержанием. Объем понятия — все классы универсума, с которыми оно совместимо (в которых оно истинно). Содержание понятия — все классы универсума, с которыми оно несовместимо (в которых оно ложно). Содержание и объем понятия принято считать его самыми главными логическими характеристиками. Действительно, определить понятие — значит задать его содержание и объем, преобразовать — значит изменить их. Содержание понятия характеризует меру логической ложности последнего. Чем больше понятие исключает классов универсума как несовместимых с ним, тем более оно ложно, тем богаче его содержание. Понятие обладает нулевым содержанием, если оно не исключает ни одного класса универсума, и бесконечным — если исключает все классы универсума. Понятие «вкусное или невкусное яблоко» имеет нулевое содержание, так как совместимо со всеми классами универсума «яблоки». Наоборот, понятие «вкусное и невкусное яблоко» несовместимо ни с одним классом универсума «яблоки» и, следовательно, обладает бесконечным логическим содержанием. Действительно, данное понятие исключает все классы, в которых имеются вкусные или невкусные яблоки. Тем самым оно исключает все классы универсума «яблоки». Содержание понятия выражает его логическую (семантическую) информацию. Чем больше классов универсума понятие исключает, тем более оно информативно, тем в большей степени оно устраняет неопределенность. Но с увеличением информативности понятий уменьшается степень их истинности. Каждый знает: чем информативнее сообщение, тем оно интереснее, но тем и менее достоверно. Объем представляет противоположную содержанию характеристику, так как связан с мерой логической истинности понятия. Чем с большим классов универсума оно совместимо, тем более истинно, тем больше объем понятия. Если же оно не исключает ни одного класса универсума, то обладает максимальным относительно этого универсума объе-
46 Часть I. Традиционная логика мом и максимальной степенью истинности. Наоборот, если понятие исключает все классы универсума, значит, обладает нулевым объемом относительно данного универсума и минимальной степенью истинности. Как следует из сказанного, изменение объема и содержания одного понятия имеет обратно пропорциональный характер: увеличение объема приводит к уменьшению содержания; увеличение содержания понятия ведет к уменьшению его объема. Понятие с максимальным содержанием имеет нулевой объем и представляет логическую ложь. В качестве примера можно назвать понятие «вкусные и невкусные яблоки». Понятие с максимальным объемом имеет нулевое содержание и представляет логическую истину. Таковым будет понятие «вкусные или невкусные яблоки». Закон, фиксирующий такие обратно пропорциональные отношения, получил название закона обратного отношения между содержанием и объемом понятия. Он соблюдается только для тех понятий, которые имеют общий универсум. Закон обратного отношения между содержанием и объемом понятия. Относительно одного и того же универсума: 1) увеличение содержания понятия уменьшает его объем, уменьшение объема понятия увеличивает его содержание; 2) уменьшение содержание понятия увеличивает его объем, увеличение объема понятия уменьшает его содержание. Из этого закона можно сделать важный вывод. Допустим, даны два понятия, объем одного из которых включен в объем другого. При этом объемы понятий могут совпадать или не совпадать. Если объемы обоих понятий совпадают, каждое из них есть необходимое следствие другого; если объемы понятий не совпадают, то понятие с большим объемом выступает необходимым следствием понятия Уменьшим объемом, но не наоборот. Понятия «мужчина» и «сын» соответствуют первому случаю, понятия «мужчина» и «высокий мужчина» — второму. Всякий мужчина — чей-то сын, и каждый сын — мужчина. Поэтому, если истинно одно, истинно и другое. Обратное также верно. Всякий высокий мужчина есть просто мужчина, но не каждый мужчина обладает высоким ростом. Из истинности понятия «высокий мужчина» следует истинность понятия «мужчина», но обратное в общем неверно. Сказанное означает, что закон обратного отношения объема и содержания представляет одну из частных формулировок логического следования — базиса всей дедуктивной логики. • В учебной литературе под содержанием понятия обычно понимается «совокупность существенных признаков», что нельзя признать точным.
Глава 1. Понятие 47 Во-первых, это — повторение определения понятия. Вместе с тем «понятие» и «содержание понятия» — различные логические конструкты, второе — структурная часть первого. Во-вторых, как уже отмечалось, не учитывается и то, что не число признаков, а сообщаемая понятием логическая информация есть важнейший признак содержания. Знать содержание понятия означает знать его объем. Под последним традиционно подразумевается «совокупность предметов, на которые распространяется данное понятие». Но в этом случае объем не может быть логической характеристикой понятия, так как предметы, на которые оно распространяется, — часть реального мира tf существуют независимо от данного понятия. Чтобы объем приобрел указанный статус, его необходимо определить как все те классы универсума, с которыми данное понятие совместимо. Для аналитического выражения отношения между содержанием и объемом произвольного понятия Я в универсуме [/будет использоваться следующее уравнение: понятие Я = содержание Я / объем Я. (* ) Члены уравнения (*) вычисляются согласно следующим равенствам (знаки е и в обозначают соответственно операции сложения и вычитания классов): U = содержание Я ф объем Я; Содержание Я' = U е объем Я; Объем Я = U 0 содержание Я. Пусть даны три понятия Л, В и С, причем U= «яблоки», Л = «спелые и вкусные яблоки»; В = «спелые яблоки»; С = «спелые или вкусные яблоки». Разделим универсум (построим классификацию), чтобы вычислить содержание и объемы сравниваемых понятий (рис. 1.2). В первый класс попали спелые и вкусные яблоки; во второй — спелые и невкусные; в третий — неспелые и вкусные; в четвертый — неспелые и невкусные яблоки одновременно. Следует обратить внимание, что эта классификация исчерпывающая, а все классы попарно U = «яблоки» «спелые» «неспелые» «вкусные» «невкусные» «вкусные» «невкусные» A) B) C) D) Рис. 1.2. Пример вычисления объема и содержания понятий
48 Часть I. Традиционная логика несовместимы. Значит, она правильная, т. е. универсум представляет полное множество. Универсум задачи равен сумме всех четырех классов: [/=A+2 + 3 + + 4). Понятие А несовместимо со всеми классами универсума, в которых имеются неспелые и/или невкусные яблоки. Значит А несовместимо со вторым, третьим и четвертым классами и совместимо только с первым классом: А = B + 3 + 4)/A). Понятие В несовместимо со всеми классами универсума, в которых имеются неспелые яблоки, и совместимо со всеми остальными: В = C + 4)/A + 2). Понятие С несовместимо только с тем классом, в котором существуют как неспелые, так и невкусные яблоки, т. е. с четвертым классом, и совместимо со всеми остальными: С= D)/A + 2 + 3). Сравнивая содержания и объемы понятий Л, В и С, убеждаемся, что их изменение обратно пропорционально: уменьшение (увеличение) содержания понятия увеличивает (уменьшает) его объем. Аналогичный эффект демонстрирует и изменение объема. Понятие А имеет наибольшее содержание, равное сумме классов B + 3 + 4), и наименьший объем, равный A). Содержание понятия В, равное сумме C + 4), — часть содержания понятия А. Поэтому объем Л, равный A), — это часть объема понятия В, равного сумме A + 2). Наконец, содержание понятия Су равное D), представляет часть содержания понятий как Л, так и В. По этой причине С имеет наибольший объем, равный сумме A + 2 + + 3), и включает объемы понятий А и В. При этом сумма классов, образующих содержание и объем одного и того же понятия, всегда постоянна и равна числу классов универсума в целом. Примем соглашение изображать содержания, объемы и универсумы понятий замкнутыми прямоугольными фигурами. Тогда обратно пропорциональные включения содержаний и объемов понятий Л, ВиС из анализируемого примера можно представить следующим образом (рисПЗ). Обобщение и ограничение понятий — простейшие преобразования объема и содержания понятий. Включения по содержанию Включения по объему А В С С В А Рис. 1.3. Примеры обратного включения объема и содержания
Глава 1. Понятие 49 Обобщением ронятия называется конструирование нового понятия с большим объемом (меньшим содержанием), чем исходное. Ограничением понятия называется конструирование нового понятия с меньшим объемом (большим содержанием); чем исходное. Из рассмотренного выше примера следует, что понятие В обобщает понятие Л, а понятие С обобщает как понятие Л, так и понятие В. Если прослеживать в обратном порядке, понятие В ограничивает понятие С, а понятие А ограничивает понятие В и тем самым также понятие С. Рассмотрим несколько примеров на определение обобщающих (ограничивающих) понятий. Пример 1 Выяснить, связана ли отношением обобщения (ограничения) следующая пара понятий: А = «Люди, знающие все европейские языки»; В = = «Люди, знающие все живые европейские языки». Пусть U = «люди» (рис. 1.4). U = «люди» «знающие все живые европейские языки» «не знающие всех живых европейских языков» «знающие все мертвые языки» A) «не знающие всех мертвых языков» B) «знающие все мертвые языки» C) «не знающие всех мертвых языков» D) Рис. 1.4 Получаем: [/=A + 2 + 3 + 4), где A) = «Люди, знающие все живые и все мертвые европейские языки», B) = «Люди, знающие все живые европейские языки и не знающие всех мертвых языков», C) = «Люди, не знающие всех живых европейских языков, но знающие все мертвые языки», D) = «Люди, не знающие ни всех живых, ни всех мертвых европейских языков». Понятие А несовместимо с людьми, не знающими всех живых или всех мертвых европейских языков, или не знающими всех живых и всех мертвых европейских языков одновременно. Следовательно, оно исключает второй, третий и четвертый классы. Значит, А = B + 3 + 4)/A). Понятие В несовместимо с людьми, не знающими всех живых европейских языков. Следовательно, оно исключает третий и четвертый классы. Значит, В = C + 4)/A + 2).
50 Часть I. Традиционная логика Содержание понятия В — часть содержания понятия А. Следовательно, понятие А ограничивает В, а понятие В обобщает Л, будучи для него родовым (рис. 1.5). Включения по содержанию Включения по объему А В В А Рис. 1.5 Данный пример интересен тем, что опровергает периодически высказываемые сомнения в универсальности закона обратного отношения объема и содержания. Грамматически содержание понятия В отличается от содержания понятия А тем, что содержит дополнительный признак «живые». Но это грамматическое добавление не означает увеличения логического содержания понятия В. Значит, нет никаких оснований для утверждения, будто объем понятия увеличивается одновременно с увеличением его содержания. Пример 2 Решить указанную в предыдущем примере задачу для следующих трех понятий: А = «Все солдаты храбрые», В = «Некоторые (не все) солдаты храбрые». Пусть U= «солдаты» (рис. 1.6). U = «солдаты» «все» «храбрые» «нехрабрые» (D B) «не все» «храбрые» «нехрабрые» C) D) Рис. 1.6 Получаем: [/=A + 2 + 3 + 4), где A) = «Все солдаты храбрые», B) = «Все солдаты нехрабрые», C) = «Не все солдаты храбрые» = «Некоторые солдаты храбрые, а некоторые нехрабрые», D) = «Не все солдаты нехрабрые» = «Некоторые солдаты нехрабрые, а некоторые храбрые». Понятие А несовместимо со всеми классами, в которых имеются нехрабрые солдаты. Значит, оно исключает классы B), C) и D). Следовательно, А = B + 3 + 4)/A).
Глава 1. Понятие 51 Понятие В несовместимо только с существованием всех нехрабрых солдат. Поэтому оно исключает класс B). Следовательно, В = B)/A + + 3 + 4). Содержание понятия В — часть содержания А. Значит, А ограничивает В, а В обобщает Л, будучи для него родовым (рис. 1.7). Включения по содержанию Включения по объему А В В А Рис. 1.7 Пример 3 Решить указанную в первом примере задачу для следующей пары понятий: А = «Завтра морской бой действительно состоится»; В = «Возможно, что завтра морской бой состоится»; С = «Завтра морской бой необходимо состоится». Пусть U = «завтрашний морской бой» (рис. 1.8). U = «завтрашний морской бой» «действительно состоится» «возможно состоится» «действительно не состоится» «возможно не состоится» «необходимо состоится» A) «возможно не состоится» B) «необходимо не состоится» C) «возможно состоится» D) . Рис. 1.8 Получаем: U = A + 2 + 3 + 4), где A) = «Морской бой, который завтра обязательно состоится и тем самым действительно состоится, и тем самым возможно, что состоится»; B) = «Морской бой, который завтра действительно состоится, но без необходимости, т. е. возможно, что состоится, но возможно, что и не состоится»; C) = «Морской бой, который завтра не состоится с необходимостью и тем самым не состоится в действительности и в возможности»; D) = «Морской бой, который завтра действительно не состоится, но без необходимости, т. е. возможно, что не состоится, но возможно, что и состоится».
52 Часть I. Традиционная логика Понятие Л исключает классы C + 4), т. е. любую возможность того, что завтрашний морской бой действительно не состоится. Значит Л = Понятие В исключает класс C), т. е. возможность, что завтрашний морской бой необходимо не состоится. Следовательно В = C)/A + 2 + 4). Понятие С исключает классы B + 3 + 4), т. е. все варианты, согласно которым завтрашний морской бой, возможно не состоится. Следовательно С = B + 3 + 4)/A). Содержание понятия В — часть содержания понятий А и С. Значит понятие В обобщает оба эти понятия (Л и С оба ограничивают В). Содержание понятия А — часть содержания понятия С. Следовательно понятие Л обобщает С, а С ограничивает Л (рис. 1.9). Включения по содержанию Включения по объему С А В В А С Рис. 1.9 Закономерен вопрос: существуют ли пределы обобщения и ограничения понятий? Относительно данного универсума и заданного числа оснований его деления существует предел как обобщения, так и ограничения рассматриваемых понятий. Пределом обобщения выступает родовое понятие, а ограничения — любой отдельный класс, представляющий конечный результат деления универсума. При снятии указанного условия никаких логических границ обобщению и ограничению понятий, по всей видимости, нет. С информационной точки зрения обобщить какое-либо понятие означает найти его логическое следствие, потому что только содержание следствий будет частью содержания посылок. Поскольку процесс познания протекает как процесс обобщения существующих знаний, то вряд ли следует ожидать, будто мы получим далее необобщаемые пределы естественного и гуманитарного знания. Также нет никаких логических препятствий для ограничения, т. е. конкретизации, понятий. Для этого достаточно присоединить к существующему содержанию понятия какое-либо новое условие. Например, добавляя к содержанию понятия
Глава 1. Понятие 53 «Льюис Кэрролл» последовательно условия «человек с псевдонимом», «преподаватель математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде», «автор всемирно известных сказок об Алисе», «автор оригинальной логической теории», «застенчивый и заикающийся человек», мы будем получать понятия, все более ограничивающие объем исходного понятия. При этом следует учитывать, что ничто не мешает увеличивать число условий, а вместе с ней и степень конкретизации до любого желаемого предела. Основные требования к определению понятий И я предоставляю тебе распорядиться любым названием как тебе угодно: разъясни лишь, к чему именно относишь ты то имя, которое произносишь. Платон «Хармид» Понятия нельзя считать ни врожденными, ни автоматически приобретаемыми в опыте. Они — продукт специальной умственной деятельности, которую мы будем называть определением (конструированием). Определить понятие в общем случае означает задать (выяснить) его универсум, содержание и объем. Определяя понятия, мы, с одной стороны, приписываем словам нужное значение (указываем класс вещей, к которым они относятся), а с другой — познаем суть вещей (разъясняем их сущность). «Определение, — отмечал Аристотель, — имеет целью назвать сущность каждого предмета и говорит, что предмет хорош, плох или еще какой-нибудь»1. Понятие, которое требуется определить, часто называют дефиниенду- мом (от лат. definiendum), сокращенно dfd. Понятие, с помощью которого конструируется дефиниендум, соответственно называют дефи- ниенсом (от лат. definiens), сокращенно dfn. Дефиниенс состоит из родового понятия и ограничивающих его видовых понятий. Формула определения: определяемое понятие = родовое понятие + видовые признаки (ограничивающие родовое понятие до требуемого объема). Процесс определения понятий удобно представить в виде следующего алгоритма. 1. Сравниваем вещь, понятие о которой необходимо сконструировать, с другими вещами подобного рода и определяем родовое по- 1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. - М., 1983. Т. 4. С. 298.
54 Часть I. Традиционная логика нятие, а также множество необходимых признаков, ограничивающих его. 2. Находим соответствующий родовому понятию универсум. 3. Строим дерево определения по следующим правилам: 1) каждый видовой признак разбивает универсум на два класса — выполняющий его свойства и выполняющий свойства его дополнения; 2) новый шаг в классификации всегда начинается с класса, удовлетворяющего предыдущему видовому признаку. Классы, вы-. ступающие дополнениями, в разбиении универсума более не участвуют. Число шагов должно быть равным числу видовых признаков. Общее количество результатов равняется 2W, где п — число видовых признаков. Фактически полученных классов будет?? + 1. 4. Устанавливаем достаточность видовых признаков. Критерием достаточности служит равенство dfd = dfn, согласно которому dfd и dfn необходимы и достаточны друг для друга. Достаточность проверяется перестановкой местами dfd и dfn. Если при этом не возникает искажений смысла, дефиниендум и дефини- енс считаются эквивалентными, а определение корректным. В противном случае имеет место либо dfd > dfn, либо dfd < dfn. Если истинно dfd > dfn, тогда отмечается слишком узкое определение. Это означает, что dfn содержит только достаточные признаки, как, например, в определении «сладости — это конфеты», ибо ясно, что продукт может быть сладким, но не быть при этом конфетой. Если истинно dfd < dfn, это слишком широкое определение. Стало быть, dfn содержит только необходимые признаки, как, например, в определении «конфеты — это сладости», так как очевидно, что кроме конфет есть и другие сладости. Рассмотрим несколько примеров конструирования понятий согласно указанному алгоритму. Пример 1 Допустим, необходимо определить понятие «себялюбец». Если обратиться к авторитету Аристотеля, то необходимые признаки себялюбца таковы: «быть человеком», «делать все ради самого себя», «иметь выгоду». Первый из них родовой, поэтому в качестве универсума выбираем класс людей. Дерево определения понятия «себялюбец» приведено на рис. 1.10.
Глава 1. Понятие 55 U = «люди, делающие» все ради не все ради самих себя самих себя с выгодой без (себялюбцы) выгоды Рис. 1.10 Полное определение Аристотеля звучит так: «Себялюбец — это тот, кто все делает ради самого себя в том, что приносит выгоду»1. Нетрудно убедиться, что оно сконструировано правильно, т. е. истинно равенство dfd = dfn. Пример 2 Допустим, мы хотим сконструировать понятие «естественное право». Согласно авторитету в этой области Т. Гоббсу, необходимыми признаками будут «решения, принимаемые людьми», «свободно», «по использованию своих сил», «по своему усмотрению», «для сохранения собственной жизни». Первый из указанных признаков — родовой. Дерево определения естественного права приведено на рис. 1.11. U= решения, принимаемые людьми свободно не свободно по использованию не по использованию своих сил своих сил по своему не по своему усмотрению усмотрению для сохранения не для сохранения собственной жизни собственной жизни (естественное право) Рис. 1.11 Полное определение: «Естественное право... есть свобода всякого человека использовать собственные силы по своему усмотрению для сохранения собственной жизни»2. Легко убедиться, что оно правильно — по крайней мере с точки зрения идеалов XVII в. 1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. — М, 1983. С. 371. 2 Гоббс Т. Сочинения: В 2 т. - М, 1991. Т. 2. С. 98.
56 Часть I. Традиционная логика Пример 3 Сравним рассматриваемый метод конструирования понятий с «диалектическим» методом определения понятий Сократа. Разберем для этого показательный сократовский диалог1. Некто Евтидем готовился к государственной деятельности и был уверен, что способен отличить справедливое от несправедливого. Сократ выразил желание убедиться в наличии такой способности у Евтидема и предложил ему все действия, которые он посчитает справедливыми, заносить в графу «дельта» (начальная буква греческого слова «справедливость»), а несправедливые — в графу «альфа» (начальная буква греческого слова «несправедливость»). На вопрос Сократа, куда занести ложь, обман, воровство, похищение людей для продажи в рабство, Евтидем уверенно ответил, что все эти поступки следует занести в графу «альфа» и что ни один из них не может принадлежать графе «дельта». Первым определением несправедливости можно считать, следовательно, такое: «Несправедливость — это ложь, обман, воровство и похищение людей с целью продажи в рабство». Тогда Сократ задал другой вопрос: будет ли несправедливым обращение в рабство и продажа жителей неприятельского города. Евтидем отвечал отрицательно, признавая тем самым такое действие справедливым. Аналогично он отвечал на вопросы Сократа о том, можно ли обманывать неприятеля, с которым находишься в состоянии войны, а также красть у него. В итоге все указанные поступки были перенесены из графы «альфа» в графу «дельта», если они совершались в отношении врагов. Соответственно, последовало новое определение, уточняющее первое: «Несправедливость — это ложь, обман, воровство и похищение людей с целью их продажи в рабство, совершаемые в отношении друзей, и эти же поступки являются справедливыми, если они совершаются по отношению к врагам». Когда Сократ спросил, всегда ли нужно быть правдивым со своими друзьями, Евтидем поначалу ответил утвердительно. Но Сократ быстро его переубедил. Ибо, по мнению Сократа, военачальник имеет право солгать своим солдатам о приближающемся подкреплении, чтобы поднять их дух; отец может с помощью обмана заставить больного сына принять необходимое лекарство; любой может предотвратить самоубийство своего друга, украв у него меч или другое оружие. 1 Ксенофонт Афинский. Сократические сочинения. — М.; Л., 1935. С. 139- 145.
Глава 1, Понятие 5Z Наконец, Сократ задал последний вопрос: «Кто несправедливее: обманывающий друзей добровольно или невольно?». Евтидем ответил, что добровольный лжец несправедливее невольного. Интерпретируя добровольный обман как намерение навредить, получаем окончательное определение несправедливости: «Несправедливость — это ложь, обман, воровство и похищение людей с целью их продажи в рабство, совершенные в отношении друзей с целью им навредить». Для реконструкции сократовского определения несправедливости выберем в качестве универсума «поступки людей». Видовыми условиями будут «представлять обман, ложь, воровство, похищение людей с целью их продажи в рабство», «совершенные в отношении друзей», «с целью им навредить». Дерево определения понятия «несправедливость» приведено на рис. 1.12. U = поступки людей представляющие обман, ложь, не представляющие обмана, лжи, воровство и похищение людей воровства и похищения людей с целью продажи их в рабство с целью продажи их в рабство совершенные совершенные в отношении в отнршении друзей с целью врагов с целью помочь навредить помочь навредить A) B) C) D) Рис. 1.12. Дерево сократовского определения понятия «несправедливость» Из указанных на рис. 1.12 четырех исходов первый и четвертый представляют собой случаи справедливости, второй и третий — несправедливости. То определение несправедливости, к которому подвел своего собеседника Сократ, соответствует лишь второму случаю. Значит, с помощью дерева определить понятие удается более-полным образом, позволяющим учитывать все возможные случаи. В остальном оба метода идентичны. Знаменитые сократовские вопросы следует рассматривать как эвристические приемы поиска необходимых признаков определяемого понятия. Рассмотренные примеры показывают, что конструирование понятий — это однотипный процесс, не зависящий от их специфики: мы ищем универсум и необходимые признаки, которые были бы вместе достаточны для однозначного обозначения объема конструируемого понятия. Поскольку выбор универсума и видовых признаков неоднозначен,
58 Часть I. Традиционная логика то к ним предъявляются требования необходимости и совместной достаточности. Только они отделяют понятия от описаний, характеристик, пояснений и тому подобных операций, для которых необходимость и достаточность условий не будет обязательной. В логической литературе определения принято классифицировать по разным основаниям. Мы не будем рассматривать эту достаточно специальную тему: читатель может ознакомиться с ней в соответствующей литературе1. Сделаем лишь несколько замечаний относительно деления определений на реальные и номинальные — с одной стороны, явные и неявные — с другой. Реальные и номинальные определения различаются на том основании, что первые определяют вещь, а вторые — ее имя. Учитывая, что между вещью и ее именем нет необходимой связи2, такое различие в принципе правомерно. Вместе с тем стоит отметить, что разделение определений на реальные и номинальные представляется достаточно условным, зависящим только от того, в каком направлении мы движемся по периметру треугольника, указанного на рис. 1.13. Имя как дефиниендум Номинальное определение Вещь как Реальное Дефиниенс дефиниендум определение Рис. 1.13. Связь реального и номинального определения Определяя имя, т. е. устанавливая то значение, в котором мы будем его использовать, мы так или иначе определяем вещь, которую оно обозначает. И наоборот, определяя вещь, мы так или иначе определяем обозначающее ее имя. Взаимосвязь реальных и номинальных определений обусловлена тем, что их дефиниенсы совпадают. Приводившееся утверждение Конфуция: «Когда, совершив ошибку, не исправил ее, это и называется совершить ошибку» — следует считать номинальным 1 См.: Горский Д. П. Определение. — М, 1974; Попа К. Теория определения. — М., 1976. 2 «Никогда нельзя с определенностью заключать ни от наличия знака к наличию обозначаемой вещи... ни от наличия знака к отсутствию обозначаемой вещи...». — Лрно А:, Николь П. Логика, или искусство мыслить. — М, 1991. С. 47.
Глава 1. Понятие 59 определением (определением имени «совершенная ошибка»). Утверждение же «совершенная ошибка — это неисправленная ошибка» — реальное определение (определение такого феномена (поступка), как «совершенная ошибка»). У обоих определений один и тот же дефиниенс — «неисправленная ошибка». Неявные определения противопоставляются явным либо на том основании, что дефиниенс и дефиниендум вообще не выделены в качестве самостоятельных частей, либо на том основании, что в качестве дефиниенса выбран или список аксиом, или описание алгоритма построения дефиниендума, или просто некоторый контекст. Говорить о первом условии не представляется возможным, поскольку оно самопротиворечиво: если нет дефиниендума, или дефиниенса, или того и другого, то вряд ли имеет смысл говорить об определении. Второе условие возникновения неявных определений предполагает, что дефиниенс не определяет однозначно дефиниендум. Именно в этом состоит смысл определений с помощью аксиом, контекстов или алгоритмов построения дефиниендума. Но это означаем, что неявные определения — слишком широкие. Любое неявное определение можно, следовательно, превратить в явное, добавив соответствующее число необходимых понятий. Итак, сконструировать, или определить, понятие — значит найти подходящий универсум и с помощью видовых понятий ограничить его до класса, содержащего только определяемую вещь. Приведенный в начале параграфа алгоритм позволяет сделать это достаточно эффективно. Виды понятий Понятия принято делить на виды по трем основаниям — количеству, типу и признакам обобщаемых вещей. По количеству выделяются понятия пустые и непустые, среди непустых — общие и единичные; по типу обобщаемых вещей — собирательные и несобирательные, конкретные и абстрактные, по характеру признаков — положительные и отрицательные, относительные и безотносительные. Однако эта классификация небезупречна. Учитывая, что анализ объема и содержания любого понятия можно свести к выявлению отношений между определенными классами универсума, указанная классификация, кроме подразделения на пустые и непустые понятия, теряет всякий смысл. Во-первых, как уже объяснялось, понятие можно считать пустым только тогда, когда его содержание логически противоречиво, но не в том случае, если оно обозначает нечто не существующее в реально-
60 Часть I. Традиционная логика сти. Например, понятие «Баба-яга» нельзя считать пустым, хотя в действительности подобных существ нет, так как определение этой мифологической фигуры логически непротиворечиво и многие русские сказки без нее теряют свой смысл. Во-вторых, следует отметить, что нет и так называемых единичных понятий, ибо все они общие, потому что у любого из них содержание всегда касается всех элементов (классов) объема независимо от того, пустое это понятие или непустое. В-третьих, нет никакого смысла классифицировать понятия на регистрирующие и нерегистрирующие, абстрактные и конкретные, положительные и отрицательные, собирательные и несобирательные, безотносительные и относительные. Понятия обозначают вещи, но элементами их объемов выступают классы. С этой точки зрения всякое понятие — нерегистрирующее (имеет неопределенное число элементов объема), абстрактное (обозначает свойства определенного класса вещей); положительное и отрицательное («красное» есть «не синее», «синее» есть «не красное»); несобирательное (относится к каждому элементу объема) и относительное (имеет смысл только по отношению к своему дополнению). Учитывая сказанное, понятия лучше классифицировать по следующим двум основаниям: • абсолютному (вне зависимости от отношения понятий друг к другу); • относительному (в зависимости от отношения понятий другу к другу). В абсолютном смысле понятия делятся на три вида: • логически истинные; • логически ложные (пустые понятия); • логические нейтральные (логически не истинные и не ложные понятия). Понятие логически истинно, если его объем равен сумме всех классов универсума, а содержание — пустому классу. Такие понятия совместимы со всеми классами универсума и тем самым истинны во всех его альтернативах, что и оправдывает их название. Их разрешающая сила максимальна, потому что их объемы совпадают с универсумом. Соответственно, их исключающая сила минимальна, так как они ничего не исключают и их содержание равно пустому классу. Логически истинные понятия удовлетворяют требованию полноты, т. е. содержат все альтернативы решения исходной
Глава 1. Понятие [ 61[ задачи. Например, понятия «сладкая или несладкая вещь», «солнечный или несолнечный день», «сегодня вторник или не вторник» выполняются во всех универсумах. Понятие логически ложно, если его объем равен пустому классу, а содержание — сумме всех классов универсума. Такие понятия самопротиворечивы, несовместимы со всеми классами универсума и тем самым ложны во всех его альтернативах, что и оправдывает их название. Их разрешающая сила равна нулю, так как их объем равен пустому классу, а исключающая сила максимальна, потому что они исключают все классы универсума. Соответственно их содержание равно сумме всех классов универсума. Например, понятия «сладкая и несладкая вещь», «солнечный и несолнечный день», «сегодня вторник и не вторник» не выполняются ни в одном универсуме. Понятие логически нейтрально, если оно логически не истинно и логически не ложно. Такие понятия истинны в одних альтернативах универсума и ложны во всех остальных. Понятие «понедельник или вторник» истинно только по понедельникам и вторникам и ложно во все остальные дни недели. Значит, оно логически нейтральное понятие. В отличие от логически истинных и логически ложных понятий, которые представляют собой константы, не способные изменять свое содержание и объем, у логически нейтральных понятий содержание и объем могут изменяться. В относительном смысле понятия подразделяются на виды в зависимости от отношения их объемов и содержаний друг к другу. Для более точных характеристик введем критерии совместимости понятий согласно следующим определениям. Понятия совместимы по истине, если и только если пересечение их объемов не пусто (существует по крайней мере один класс универсума, в котором они вместе истинны). Понятия совместимы по лжи, если и только если пересечение их содержаний не пусто (существует по крайней мере один класс универсума, в котором они вместе ложны). Понятия полностью совместимы, если и только если они совместимы как по истине, так и по лжи. Различают следующие виды совместимых понятий. Эквивалентные понятия. Они имеют равные объемы и содержания, которые полностью совпадают. По этой причине их часто называют также равнообъемными, равнозначными, тождественными, равносиль-
62 Часть I. Традиционная логика ными. Такие понятия вместе либо истинны, либо ложны (либо все неопределенные, если хотя бы одно из них неопределенное). Из истинности (ложности, неопределенности) одного эквивалентного понятия непременно следует истинность (ложность, неопределенность) всех других. Эквивалентны, например, понятия «похвала» и «способ изъяснять величие добродетели какого-нибудь человека» {Аристотель), «скупость» и «неумеренное желание и любовь к богатствам» (Б. Спиноза). Эквивалентные понятия могут быть вместе истинны и ложны, поэтому они полностью совместимы. Все синонимы выражают эквивалентные понятия. Каждое из них подчиняет другое, служит необходимым следствием другого. Дефиниендум и дефиниенс правильно построенного определения, как мы видели, всегда состоят из эквивалентных понятий. Независимые понятия. Их объемы и содержания частично пересекаются. Данные понятия обычно называют частично пересекающимися. Однако точнее их именовать независимыми, потому что из истинности (ложности) какого-либо одного из них не следует с необходимостью ни истинность, ни ложность всех остальных. Понятия «богатый» и «плачущий» — частично пересекающиеся, или независимые1. Из того, что некто богат, не следует с непреложностью, что он плачущий человек, как не следует и то, что он неплачущий человек. Есть богатые, которые плачут, и есть богатые, которые не плачут. Обратное так же верно. Среди плачущих есть как богатые, так и небогатые люди. Независимые понятия могут быть вместе как истинны, так и ложны, поэтому они полностью совместимы. Независимые понятия играют чрезвычайно важную роль во всех разделах научного знания, и особенно в теории вероятностей. Требование независимости понятий обязательно при их классификации и определении. Понятия, находящиеся в родо-видовом (однонаправленном) подчинении. Объем родового (подчиняющего) понятия включает в себя объем видового (подчиненного), но ему не равен. Вместе с тем содержание видового понятия, наоборот, включает содержание родового, хотя ему и не равно. В отличие от эквивалентных понятий (отношение подчинения двунаправленное) бывают такие, когда только одно из понятий подчиняет другое(ие). Понятие, объем которого включает объем какого-либо 1 От названия получившего известность в начале 1990-х гг. телевизионного сериала «Богатые тоже плачут».
Глава 1. Понятие 63 иного, принято называть родовым (подчиняющим). Понятие, объем которого полностью включен в объем родового понятия, принято называть видовым (подчиняемым). Каждое видовое понятие представляет разновидность родового. Например: «австриец», «англичанин», «испанец», «итальянец», «немец», «француз», «швейцарец» — неполный перечень видовых понятий по отношению к родовому «западный европеец». Асимметрия включений объемов и содержаний порождает асимметрию рассматриваемых понятий по их истинности. Истина переносится от видового понятия к родовому, но не обратно. Наоборот, ложь переносится от родового понятия к видовому, но не обратно. Если истинно, что некто — англичанин, тогда истинно, что он западный европеец, но обратное следование неверно. Если же ложно, что некто — западный европеец, тогда ложно, что он англичанин, но не наоборот. Подобная асимметрия объясняется тем, что только родовое понятие, согласно закону обратного отношения объема и содержания, будет необходимым следствием видового. Понятия, связанные отношениями родо-видового подчинения, могут быть вместе истинны и ложны, поэтому они полностью совместимы. Родо-видовое подчинение необходимо отличать от отношения между целым и частями. Если каждый вид обладает всеми свойствами рода, то ни одна часть не обладает свойствами всего целого. Например, каждому автомобилю присущи все необходимые свойства механического средства передвижения, но ни одно автомобильное колесо не обладает свойствами всего автомобиля. Все рассмотренные случаи совместимости объединяет то, что речь в них идет о полностью совместимых понятиях. Эквивалентные, независимые и находящиеся в отношении родо-видового подчинения понятия полностью совместимы, поскольку могут быть как истинными, так и ложными. Пусть А и В — полностью совместимые понятия. Возможные отношения между ними графически изображены на рис. 1.14. Проанализируем теперь случаи, когда объемы сравниваемых понятий не пересекаются. Такие понятия принято называть несовместимыми. Как и совместимость, несовместимость может быть как по истине, так и по лжи. Если два понятия несовместимы по истине, значит, они никогда не могут быть вместе истинными. Если два понятия не-, совместимы по лжи, следовательно, они никогда не могут быть вместе ложными. Кроме того, несовместимость бывает полной и частичной. Дадим точные определения несовместимости.
64 Часть I. Традиционная логика А В А\лВ- эквивалентные понятия (А\лВ взаимно подчиняют друг друга) АиВ- независимые понятия(ни А не подчиняет В, ни В не подчиняет А) А — родовое понятие, В — видовое понятие (толькоА подчиняет В) Рис. 1.14. Случаи совместимости двух сравниваемых понятий Понятия несовместимы по истине, если и только если не существует ни одного класса универсума, в котором они были бы вместе истинны. Понятия несовместимы по лжи, если и только если не существует ни одного класса универсума, в котором они были бы вместе ложны. Понятия несовместимы полностью, если и только если они несовместимы ни по истине, ни по лжи. Противоречащими называются понятия, чьи объемы и содержания не пересекаются друг с другом, но вместе они исчерпывают универсум. Каждое из противоречащих понятий представляет дополнение (логическое отрицание) другого до ближайшего универсума. То, что служит объемом для одного противоречащего понятия, для другого представляет содержание, и наоборот. По этой причине противоречащие понятия не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одно из них истинно (ложно), то другое обязательно ложно (истинно). Значит, противоречащие понятия несовместимы полностью, т. е. несовместимы ни по истине, ни по лжи. В русском языке такие понятия образуются, как правило, посредством частицы «не», присоединяемой к определенному понятию: «высокий человек» и «невысокий человек» — применительно к «человеку»; «синий» и «несиний» — к «цвету»; «радость» и «не радость» — к «чувству»; «деньги» и «не деньги» — к «средству платежа». Одно из отрицающих понятий, как правило, не имеет конкретного содержания. Например, отрицание утверждения «сегодня понедельник» вводит неопределенность — «сегодня вторник, или среда... или воскресенье». Какой именно сегодня день, на основании приведенного отрицания сказать нельзя. Но существуют понятия, отрицания которых столь же определенны, как и они сами. Например, «муж» и «жена» образуют противоречащую пару относительно универсума «супруг».
Глава 1. Понятие Противоположными называются понятия, чьи объемы, но не содержания, не пересекаются и чьи признаки обозначают максимальные степени различия анализируемого свойства. «Противоположность — это наибольшее различие» (Аристотель). Объемы противоположных понятий не пересекаются, зато пересекаются содержания; вместе они не исчерпывают объем ближайшего родового понятия, а выражаемые ими свойства одинаково удалены в противоположных направлениях от средней, или нейтральной, точки на некоторой шкале свойств. В русском языке противоположные понятия вместе с противоречащими обычно объединяются в общий класс антонимов. С логической точки зрения это не совсем правомерно, потому что противоречащие и противоположные понятия обладают разными свойствами и, кроме того, не исчерпывают вместе весь класс несовместимых понятий. Выражаемые противоположными понятиями признаки часто называют полярными, имея в виду, что они одинаково удалены в противоположных направлениях от средней, или нейтральной, точки на некоторой шкале свойств. Противоположными будут понятия «консерватор» и «радикал» при нейтральной точке «центрист»; таковы же «северный полюс» и «южный полюс» относительно другой нейтральной точки — понятия «экватор». Не всегда эту нейтральную точку можно выразить словесно, но она непременно есть. Интересно отметить, что этические концепции Аристотеля и Конфуция построены на допущении наличия нейтральной, или средней, точки для всех нравственных качеств. Так, у Аристотеля читаем: «Благородство — это середина между кичливостью и приниженностью», «щедрость — среднее между расточительностью и скупостью», «негодование— середина между завистью и злорадством»1. Аналогично у Конфуция: «Такой принцип, как "золотая середина", представляет собой высший принцип»2. Поскольку объемы противоположных понятий не пересекаются, они не могут быть вместе истинны. Но так как пересекаются их содержания, они могут быть вместе ложны. Последнее условие отличает противоположные понятия от противоречащих. Из истинности одного противоположного понятия всегда следует ложность другого, но обратное неверно. Из ложности одного из противоположных понятий следует только неопределенность в истинности другого. Противопо- 1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. Т. 4. - М., 1983. С. 320-322. 2 Древнекитайская философия: В 2 т. Т. 1. - М, 1972. С. 153. 3-1742
66 Часть I. Традиционная логика ложные понятия несовместимы только по истине. Например, если некий человек высокий, он не может быть среднего или низкого роста. Но если неверно, что этот человек высокого роста, отсюда вовсе не следует, будто он низкорослый. Он может оказаться и человеком среднего роста. Для противоположных понятий всегда существует какая-то альтернатива, из истинности которой следует совместная ложность этих понятий. Например, человек может быть и не высокого, и не низкого, а среднего роста. Соподчиненными называются несовместимые понятия, которые не противоречат и не противоположны друг другу (чьи объемы, но не содержания, не пересекаются и чьи признаки не обозначают максимальных степеней различия анализируемого свойства). Их примерами служат понятия «стол» и «стул» — относительно понятия «мебель»; «лейтенант» и «капитан» — относительно понятия «офицер»; «фиолетовый» и «синий» — относительно понятия «цвет». Как и противоположные, соподчиненные понятия не бывают вместе истинными, но могут быть вместе ложными, так как их содержания пересекаются. Из истинности одного соподчиненного понятия всегда следует ложность другого, но обратное неверно. Из ложности одного из соподчиненных понятий следует только неопределенность другого. Соподчиненные понятия также несовместимы только по истине. Если некая вещь синего цвета, то она не может быть красного цвета; но если неверно, что она синяя, то отсюда не следует, будто она обязательно красная. Соподчиненные понятия, только если они вместе не исчерпывают универсум, могут быть вместе ложны. Например, вещь может быть и не синего, и не красного, а желтого цвета. Рассмотренные случаи несовместимости для двух сравниваемых понятий графически представлены на рис. 1.15. Итак, существует шесть различных видов отношений между понятиями. Из них первые три представляют случаи полной совместимости, последние три — случаи полной и частичной несовместимости. А\лВ — противоречащие понятия А В Лив — противоположные понятия А в\ А\лВ — соподчиненные понятия Рис. 1.15. Случаи несовместимости двух сравниваемых понятий
Глава 1. Понятие 67 Данная схема деления понятий общепринята в литературе по логике. Но исчерпывает ли она все явления? В ней не учтены частично совместимые понятия, т. е. совместимые по истине и несовместимые по лжи. То, что они есть, доказывает следующее рассуждение. Рассмотрим два противоположных понятия — «умный» и «глупый». Сформулируем дополнение (логическое отрицание) каждого из них. Получаем «неумный» и «неглупый». Последние два понятия — частично совместимые. Они одновременно истинны, если некий человек «среднего» ума. Но они не могут быть все ложными, так как в противном случае были бы все истинны противоречащие им понятия — «умный» и «глупый». Но, как мы знаем, противоположные понятия не могут быть вместе истинными. То же можно сказать и о соподчиненных понятиях. Например, отрицанием понятий «белый» и «синий» будут соответственно понятия «не белый» и «не синий». Последняя пара понятий одновременно истинна, если вещь, допустим, оранжевого цвета. Но она не может быть одновременно ложной, так как в противном случае были бы истинны и противоречащие им понятия «белый» и «синий». Но поскольку последние соподчиненные и тем самым несовместимые по истине, это невозможно. Итак, все понятия, служащие отрицаниями противоположных и соподчиненных: понятий, частично совместимы по истине. Рассмотрим несколько примеров. Пример 1 Определить логические отношения между следующими понятиями: А = «логик», В = «предприниматель», С= «логик, занимающийся предпринимательством», D = «предприниматель, занимающийся логикой»1. Пусть U= «люди». (/=«люди» «логики» «предприниматели» A) «непредприниматели» B) «нелогики» «предприниматели» C) «непредприниматели» D) 1 МигуновА. И. Визуальные метафоры и природа понятия //Логико-философские иттудии-2. - СПб., 2003. С. 57-71.
68 Часть I, Традиционная логика ?/ = A + 2 + 3 + 4); С=B + 3 ?>=B + 3 Отношение объемов анализируемых понятий показано на рис. 1.16. А C,D В = и Рис. 1.16 Из вычислений следует, что содержание понятия А — часть содержания понятий С и Д а объемы С и D входят в объем А. Значит данные понятия находятся в отношении родо-видового подчинения (А — родовое, С и D — видовые понятия). Содержание же понятия В — часть содержания понятия С и Д а объемы CwD — составляющие объема В. Значит данные понятия находятся в отношении родо-видового подчинения (В — родовое, Си D — видовые понятия). Понятия Аи В независимы друг от друга, поскольку их объемы частично пересекаются. Область пересечения объемов Аи В равна объему понятий Си D. Очевидно, что понятия С и D эквивалентные. Главный вывод состоит в том, что если истинны понятия С и Д то одновременно истинны понятия А и В. Если ложно хотя бы одно из понятий А и В, то ложны СиВ. Обратные подчинения неверны. Данный пример интересен тем, что его автор (А. И. Мигунов) убежден в том, что такое видовое понятие, как С (или D), не может иметь двух не подчиненных друг другу родовых понятий (А и В). Основной аргумент состоит в том, что понятие «логик, занимающийся предпринимательством» не может быть видовым по отношению к понятию «предприниматель». Согласно закону обратного отношения содержание родового понятия должно полностью включаться в содержание видового. Но, по мнению А. И. Мигунова, содержание понятия «предприниматель» не является частью содержания понятия «логик, занимающийся предпринимательством», и поэтому первое понятие не может быть родовым. Однако это неверно. Допустим, понятия В и С совместимы по истине и между ними существует или отношение эквивалентности, или отношение независи-
Глава 1. Понятие 69 мости. Но и то и другое невозможно. Из истинности С следует истинность Ву что доказывает их зависимость, но из истинности В не следует обязательно истинность С, что опровергает их эквивалентность. Значит ВиС связаны родо-видовым подчинением или они несовместимы. Но они не могут быть несовместимыми: из истинности В не следует непременно ложность С, а из истинности С — ложность В. Следовательно, остается только одна возможность: понятия В и С связаны отношениями родо-видового подчинения. Так как понятия CnD эквивалентные, то все сказанное распространяется и на взаимосвязь понятий А и D. Пример 2 Определить логические отношения между следующими понятиями: А = «вещи, которые если приятны, то и полезны», В = «вещи, которые не приятны и не полезны», С = «вещи, которые если не полезны, то приятны». Пусть U= «вещи». ?/=«вещи» «приятные» «полезные» A) «неполезные» B) «неприятные» «полезные» C) «неполезные» D) ?/= A + 2 + 3 + 4); С=D)/A + 2 + 3). Отношение объемов анализируемых понятий представлено на рис. 1.17. В А С ^> Рис. 1.17 Из вычислений следует, что понятия ВиС противоречат друг другу (содержание одного равно объему другого), понятие В представляет разновидность Л, так как содержание А — часть содержания В.
70 Часть I. Традиционная логика Пример 3 Определить логические отношения между следующими понятиями: А = «число, делящееся на 3», В = «число, делящееся на 5», С = «число, делящееся на 15». Пусть U = = «числа». «делится на 3» «делится на 5» «делится на . (О 15» «не делится «не делится B) U- «числа» на 5» на 15» «не делится на 3» «делится на 5» «делится на 15» C) «не делится «не делится D) на на 5» 15» 5 С ( B B Отношение объемов анализируемых понятий дано на рис. 1.18. Рис. 1.18 Из вычислений следует, что понятия А и В — независимые понятия (их содержания и объемы частично пересекаются). Понятие С— видовое по отношению как к Л, так и к В (содержание С включает содержание как Д так и В и, следовательно, их обобщает). Логические операции с понятиями Когда в наших рассуждениях мы используем союзы «и», «или» и частицу «не» (или их разнообразные эквиваленты), то осознанно или бессознательно мы выполняем соответственно операции умножения, сложения и вычитания. Если я утверждаю, что «сегодня пасмурно и холодно», то я «умножаю» случившиеся пасмурные дни на холодные и тем самым желаю сказать, что сегодня пасмурно и холодно одновременно.
Глава 1. Понятие Если настаиваю, что «сегодня пасмурно или холодно», то «складываю» пасмурные дни с холодными, имея в виду одну из следующих альтернатив: сегодня или только пасмурно, или только холодно, или пасмурно и холодно одновременно. Если я убежден, что «невозможно, чтобы сегодня было пасмурно и холодно», значит, отрицаю такую альтернативу и утверждаю истинность ее дополнения: «сегодня либо не пасмурно, либо не холодно, либо не пасмурно и не холодно одновременно». Таким образом, базисных логических операций всего три — умножение, сложение и отрицание. Производной следует считать операцию деления (классификации, разбиения универсума на совместно исчерпывающие и взаимно исключающие классы). Для ясности определение базисных операций дано для двух понятий, обозначенных символами Л и В. Пусть знак «+» обозначает операцию сложения понятий, знак «х» — их умножение, знак «е» — вычитания, знак «-i» — логического отрицания (читается как «неверно,.что»). Допустим, для двух произвольных понятий А и В последовательность символов (АВ) обозначает класс вещей, обладающих свойствами А и В одновременно; (Л-iB) — класс вещей, обладающих свойствами Л, но не обладающих свойствами В; (-АВ) — класс вещей, не обладающих свойствами Л, но обладающих свойствами В; (—Л-^В) — класс вещей, не обладающих свойствами ни А, ни В. Поскольку понятия могут быть совместимыми и несовместимыми, рассмотрим результаты сложения, умножения и вычитания для каждого вида последовательно. Сложить понятие А с понятием В означает сконструировать новое понятие, объем которого состоит из всех (без повторения) классов объемов как Л, так и В. 1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда Л + В = Л = В, т. е. результат сложения таких понятии равен объему любого одного из них. «Мужчина» + «сын» = «мужчина» = «сын». Как частный случай получаем: А + А = А. Если 1 + 1 = 2, то «о^на вещь» + «одна вещь» = «одна вещь». Сложение двух эквивалентных понятий не приводит к удвоенной сумме, как это происходит при сложении равных натуральных чисел. 2. А и В — независимые понятия. Тогда Л + В = (АВ) + (Л-.В) + (-АВ) + (-А-^В).
22 Часть I. Традиционная логика «Вкусные вещи» + «полезные вещи» = «вкусные и полезные вещи», или «вкусные, но не полезные вещи», или «невкусные, но полезные вещи», или «невкусные ji неполезные вещи». 3. А — родовое, В — видовое понятие. Тогда А + В = А. . «Утро» + «пасмурное утро» = «утро». 4. А и В — противоречащие понятия. Тогда А + В = U. «Дорогая вещь» + «недорогая вещь» = «вещь». 5. А и В — противоположные понятия. Тогда А + В = (Л-iB) + (-АВ) (А или В, но не оба вместе). «Вещь слева» + «вещь справа» = «вещь слева или справа». 6. А и В — соподчиненные понятия. Тогда Л + В = (Л-iB) + (-АВ) = (А или В, но не оба вместе). «Вещь желтого цвета» + «вещь синего цвета» = = «вещь желтого или синего цвета». 7. А и В — частично совместимые понятия. Тогда Л +B = U. «Неумные люди» + «неглупые люди» = «люди». Умножить понятие А на В означает сконструировать такое понятие, объем которого состоит только из тех классов, которые оказываются общими для объемов А и В. 1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда А х В = А = В, т. е. результат умножения таких понятий равен объему любого одного из них. «Мужчина» х «сын» = «мужчина» = «сын». . Как частный случай рассматривается: А х А = А. Если 2 х 2 = 22 = 4, то «две вещи» х «две вещи» = «две вещи». Умножение двух эквивалентных понятий не приводит к увеличению их степени, как в случае с умножением равных натуральных чисел. 2. А и В — независимые понятия. Тогда А хВ = (АВ). «Вкусные вещи» х «полезные вещи» = «вкусные и полезные вещи». 3. А —родовое, В — видовое понятие.
Глава 1. Понятие 73 Тогда А х В = В, т. е. областью пересечения выступает объем видового понятия. «Утро» х «пасмурное утро» = «пасмурное утро». 4. А и В — несовместимые (противоречащие, противоположные или соподчиненные) понятия. Пусть е обозначает пустое множество, тогда А х В = е, ибо область пересечения всех несовместимых по истине понятий пуста. «Добрые люди» х «недобрые люди» = «добрые люди» х «злые люди» = «добрые люди» х «равнодушные люди» = е. 5. А и В — частично совместимые понятия. Тогда А х В = (АВ). «Неумные люди» х «неглупые люди» = «люди среднего ума». Вычесть понятие В из понятия А означает сконструировать новое понятие, объем которого состоит из всех классов объема А, не обладающих свойством Л. 1. А и В — эквивалентные понятия. Тогда AgB = BqA = q. «Мужчина» е «сын» = «сын» е «мужчина» = е. В качестве частного случая укажем А е А = е. «Печаль» е «печаль» = е. 2. А й В — независимые понятия. Тогда А е В = (Л-.В), В е А = (-АВ). «Полезные вещи» е «вкусные вещи» = «полезные, но невкусные вещи». «Вкусные вещи» е «полезные вещи» = «вкусные, по бесполезные вещи». 3. А — родовое, В — видовое понятие. Тогда А е В = (Л-.В), В е А = е. «Утро» е «пасмурное утро» = «непасмурное утро». «Пасмурное утро» е «утро» = е. 4. А и В — несовместимые (противоречащие, противоположные, соподчиненные) понятия. Тогда AgB = A,BqA = B. «Белая вещь» е «небелая вещь» = «белая вещь». «Небелая вещь» е «белая вещь» = «небелая вещь».
74 Часть I. Традиционная логика «Белая вещь» е «черная вещь» = «белая вещь». «Черная вещь» е «белая вещь» = «черная вещь».' «Желтая вещь» е «синяя вещь» = «желтая вещь». «Синяя вещь» е «желтая вещь» = «синяя вещь». 5. А и В — частично совместимые понятия. Тогда А е В = -Д В е А = -лА. «Неумные люди» е «неглупые люди» = «глупые люди». «Неглупые люди» е «неумные люди» = «умные люди». Деление объема понятия (классификация) Существует операция, синтезирующая сложение, умножение и вычитание понятий. Она называется делением объема понятия, или его классификацией. Целью классификации является определение всех разновидностей делимого понятия. Формально деление — это разбиение объема понятия на множество совместно исчерпывающих и взаимно исключающих классов согласно некоторому множеству оснований. Результатом данной операции оказывается родо-видовая иерархия понятий, раскрывающая объем классифицируемого понятия. Делением объема понятия, или классификацией, называется определение всех его разновидностей согласно какому-либо множеству оснований (видообразующих признаков). Цель всякой классификации — установление всех видовых понятий какого-либо одного понятия, выполняющего функцию родового. Врачи делят людей на здоровых и больных, а последних — на определенные классы по характеру и тяжести заболевания. Психологи делят людей по типу психологической реакции, состояния, конституции. Социологи разделяют людей по доходам, расходам, профессии, отношению к некоему общественно значимому событию. Нет ни одного человеческого действия, которое не было бы связано с классификацией его итогов на полезные и бесполезные, целей — на значимые и незначимые, трудностей — на преодолимые и непреодолимые. Классификацию нельзя путать с делением какой-либо вещи на части, поскольку видовые понятия обладают всеми признаками родового, а части никогда не отмечены признаками целого. Лист — часть дерева, но он не имеет свойств всего дерева. Рассмотрим несколько примеров, а затем сформулируем основные требования к делению понятий.
Глава 1. Понятие 75 Если основанием деления понятия «благо» выбрать, согласно Аристотелю, условие «находиться в», то благо имеет следующие виды (рис. 1.19). Благо находящееся находящееся находящееся в душе ' в теле вне души и тела (добродетели) (здоровье) (богатство) Рис. 1.19. Классификация понятия «благо» согласно условию «находиться в» Если выбрать в качестве основания условие «смысл блага», то, согласно Аристотелю, получится следующая классификация (рис. 1.20). Благо ценимое хвалимое как возможность сохраняющее (ум) (добродетели) (богатство) или создающее другое благо (гимнастика) Рис. 1.20. Классификация понятия «благо» согласно условию «смысл блага» Рассмотренные классификации построены на изменении условия, выступающего их основанием. Здесь каждый их член — соподчиненное понятие. Подобные деления принято называть классификациями по изменяющемуся основанию. Возможны также классификации, члены которых представляют противоречащие понятия. Это дихотомические (делящие надвое) классификации. Пример их также можно найти у Аристотеля (рис. 1.21). Благо всегда заслуживающее не всегда заслуживающее избрания избрания (справедливость) (богатство) Рис. 1.21. Пример дихотомической классификации Основанием дихотомических классификаций служит принцип логического отрицания (дополнения, противоречия) их членов. Возможны также классификации, в которых используются несколько оснований деления. Их называют последовательными классификациями. Пример таковой, также принадлежащей Аристотелю, приведен на рис. 1.22.
76 Часть I. Традиционная логика Благо являющееся целью не являющееся (здоровье) целью совершенной несовершенной (счастье) (справедливый нрав) Рис. 1.22. Пример последовательной классификации Возможны также классификации, в которых основания деления представляют сложные признаки — соединенные союзами «и» и «или», обозначающими операции умножения и сложения соответственно. В таких случаях сложные признаки разделяются до образования простых. С помощью последних строится классификация по обычным правилам. Например, сложное основание «сегодня вторник или среда» разделяется на два простых — «сегодня вторник» и «сегодня среда». Рассмотренные примеры позволяют сформулировать три основных требования к классификации. 1. Члены классификации должны представлять несовместимые по истине {непересекающиеся) классы, и их логическая сумма на каждом шаге разбиения должна быть равна объему классифицируемого понятия {универсуму). Иначе либо будет пропущено какое-то видовое понятие, либо будет присутствовать избыточное видовое понятие. В первом случае отмечается неполная классификация, во втором — классификация с лишними членами. Пример первой — деление всех людей только на добрых и жестоких (пропущен класс тех, кто и не первые, и не вторые). Классификация с лишними членами деления возможна в двух значениях. Во-первых, некоторые ее члены могут поглощать других («нежестокие», например, поглощают «добрых»). Во-вторых, некоторые члены классификации не соответствуют единому основанию деления (как при делении дней на «солнечные», «пасмурные» и «счастливые»). 2. Каждый шаг классификации должен проводиться только по одному основанию. В противном случае члены классификации не будут исключать друг друга, а их сумма не окажется равной универсуму. Например, деление людей на богатых и плачущих проведено по двум основаниям сразу. Члены данной классификации, будучи независимыми понятиями, не исключают друг друга, так как могут существовать богатые, которые плачут. Правильной будет классификация, осуществляемая в два шага (рис. 1.23).
Глава 1. Понятие 77 U = «люди» «богатые» «небогатые» «плачущие» «неплачущие» «плачущие» «неплачущие» Рис. 1.23. Классификация людей на богатых и плачущих 3. Классификация считается законченной, если и только если при ее построении использованы все основания и все ветви, которые оказались противоречивыми, вычеркнуты. Если все условия классификации необходимы, тогда данная операция тождественна конструированию (определению) понятий. Пределом классификации в этом случае выступает требование достаточности оснований (условий) классификации. Классификация позволяет сделать наглядными операции сложения, умножения и вычитания произвольных величин и доказать их взаимосвязь. Например, каждому из школьного курса алгебры известно, чему равен квадрат суммы двух величин. Следующее дерево делает доказательство этого утверждения до тривиальности очевидным. i U = «результаты возведения в квадрат суммы (а + 6)» «Движение вниз» по любой из ветвей приведенного «дерева» равносильно выполнению умножения соответствующих классов, признаков, величин. В рассматриваемом примере подобное движение по первой ветви дает аа, по второй — ab, по третьей — ba, по четвертой ветви — ЬЬ. После очевидных преобразований получаем величины a1, lab и Ь2. «Движение по горизонтали» равносильно выполнению сложения соответствующих классов, признаков и величин, полученных в результате операции умножения. Если такое сложение произвести, получим окончательный результат — {а2 + lab + b2). Операция вычитания равнозначна исключению из структуры «дерева» одной или более ветвей. Пусть дано следующее «дерево»: U= яблоки А = сладкие -Л = несладкие
78 Часть I. Традиционная логика Вычесть из универсума «яблоки» сладкие яблоки означает исключить из приведенного «дерева» левую ветвь и оставить в универсуме класс несладких яблок. Вычесть из данного универсума несладкие яблоки означает исключить правую ветвь указанного «дерева» и оставить в универсуме только сладкие яблоки. К отмеченным особенностям классификации следует добавить еще одну, играющую существенную роль в логическом анализе. Классификация позволяет представить универсум в виде логической суммы некоторого множества альтернативных возможностей (развития событий, действий, описаний и т. д.). Каждая ветвь классификации символизирует одну такую возможность. Знания и преобразования этих возможностей необходимо и достаточно для решения всех логических, комбинаторных, вероятностных, информационных задач и задач по принятию решений. Пример 1 Решить следующую задачу. У двух приятелей А и В денег поровну. Сколько денег должен А отдать В, чтобы у В было на 10 рублей больше? Эту задачу обычно решают алгебраическим способом, составляя соответствующее уравнение и получая в качестве решения 5 руб. Более простым и понятным оказывается, однако, следующее решение (рис. 1.24). 10 руб. Юруб. => Рис. 1.24 ч Начинаем выполнение задания с конца. При равном количестве денег требуется, чтобы В имел на 10 рублей больше, чем А Допустим, что у В 10 руб., у А — 0 руб. (рис. 1.24, а). Следовательно, А должен для этого отдать В 5 руб. (рис. 1.24, б). Данное решение, как и алгебраическое, не зависит от стартового количества денег, имеющихся у приятелей. Пример 2 Решить следующую задачу1. Из 100 студентов английский язык изучают 28, немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий одновременно — 8, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка вместе — 3. 1 Мельников В. Н. Логические задачи. — Киев; Одесса, 1989. С. 27.
Глава 1. Понятие 79 1. Сколько студентов не изучают ни одного языка? 2. Сколько студентов изучают только английский язык? 3. Сколько студентов изучают только немецкий язык? 4. Сколько студентов изучают только французский язык? 5. Сколько студентов изучают английский язык в том и только в том случае, если они изучают немецкий язык? 6. Сколько студентов изучают английский язык в том и только в том случае, если они изучают французский язык? 7. Сколько студентов изучают немецкий язык в том и только в том случае, если они изучают французский язык? Для ответов на вопросы построим классификацию (рис. 1.25). Пусть А = 28 обозначает число изучающих английский язык, Я = 30 — немецкий язык, Ф = 42 — французский язык. Соответственно символы -А = 72, -i#= 70, -лФ = 58 обозначают число студентов, не изучающих английский, немецкий и французский язык. Комбинации данных букв или их отрицаний указывают на количество студентов, изучающих или не изучающих соответствующие языки. АН = АНФ= А 3 A) 8 **—.. НчФ 5 B) А =28 -—--—— = А-,ИФ = 10 C) G = У = 20 —^ А-.Н-.Ф 10 D) 100 студентов —^ 5 E) Рис. 1.25 / —~-~. 22"^ АН^Ф 17 F) -,Л = 72 -—~—-^ -А-*Н = 24 G) 50 1-.Н- 26 (8) По условию А = 28, Я = 30, Ф = 42. Значит -Л = 100 - 28 = 72, -itf = = 100 - 30 = 70, -,Ф = 100 - 42 - 58. По условию АН = 8, АФ = 10, АНФ = 3. Значит Л#-,Ф = 8-3 = 5, Л-iH = 28 - 8 = 20, А-^НФ = АФ = 10, А-^Н-*Ф = 20 - 10 = 10. По условию Я = 30, -ЛНФ = 5. Значит -АН = 30 - 8 = 22, -^АН-*Ф = = 22 - 5 = 17, -А-тН = 72 - 22 = 50. По условию Ф = 42. Значит -А-ЛФ = 42 - 3 - 10 - 5 = 24, -А-Л-пФ = = 50 - 24 = 26. Произведенные вычисления позволяют ответить на поставленные вопросы (в круглых скобках указаны классы, удовлетворяющие данному решению).
80 Часть I. Традиционная логика 1. 26 студентов не изучают ни одного языка (8). 2. 10 студентов изучают только английский язык D). 3. 17 студентов изучают только немецкий язык F). 4. 24 студента изучают только французский язык G). 5. 58 студентов изучают английский язык тогда и только тогда, когда они изучают немецкий язык A+2 + 7 + 8). 6. 56 студентов изучают английский язык тогда и только тогда, когда они изучают французский язык A+3 + 6 + 8). 7. 44 студента изучают немецкий язык тогда и только тогда, когда они изучают французский язык A+4 + 5 + 8). Пример 3 Кто и какое место занял в чемпионате университета по шахматам, если только одна часть каждого следующего ответа истинна: А занял первое место, а В — второе; С занял второе место, a D — четвертое; А занял второе место, a D — третье. Пусть буква с нижним индексом, скажем Av обозначает место, которое занял по предположению тот или иной претендент. Отрицание подобной буквы свидетельствует, что данный претендент не занял указанного места. Пусть знак ¦ обозначает противоречивую ветвь классификации (когда один и тот же претендент занимает разные места или когда разные претенденты занимают одинаковые места) (рис. 1.26). Рис. 1.26 Поскольку неизвестно, какая часть каждого ответа неверна, сначала предполагаем, что первая верна, а вторая неверна, затем, что первая неверна, а вторая верна. И так для каждого ответа. Вычеркивая последовательно противоречивые ветви классификации, получаем, что А занял первое место, В — четвертое, С — второе и D — третье. Значит в первом и втором ответах верны первые части, в третьем — вторая часть.
Глава 1. Понятие 81_ Упражнения 1. Укажите необходимые и достаточные условия следующих явлений, свойств, предметов: а) зимнее утро; б) нечетное число; в) справедливость; г) равные величины; д) образованный человек. 2. Выражают ли следующие слова одни и те же понятия: а) педагог, преподаватель, учитель; б) неконечное, бесконечное, безмерное; в) несвобода, рабство, неволя; г) бедный, неимущий, не имеющий; д) не война, мир, перемирие. 3. Изменится ли содержание понятия «Марс» после того, как на нем побывают люди? 4. Изменится ли объем понятия «завтрак» после того, как он будет съеден? 5. Какие из перечисленных понятий связаны отношениями рода и вида? а) час, сутки; б) кислород, газ; в) прямая, отрезок прямой; г) город, центр города; д) тысяча рублей, сто рублей. 6. Изобразите графически, как соотносятся объемы следующих понятий: а) геометрия Евклида, неевклидова геометрия, геометрия Лобачевского, геометрия Римана; б) мысль, слово, дело; в) вежливый, приятный, обходительный; г) дед, отец, сын, внук; д) забежал, вошел, вбежал, ввалился. 7. Корректны ли следующие толкования слов в качестве определений: а) наследовать — получить в наследство от кого-либо что-либо; б) лучший — самый хороший; в) отличный — очень хороший, превосходный; г) хороший — имеющий положительные свойства; д) дарить — давать что-либо в качестве подарка, безвозмездно. 8. Для каждой пары следующих понятий выполните операции сложения, умножения и вычитания: а) натуральное число, четное число; б) море, озеро; в) звезда, планета; г) не радость, не печаль; д) здоровье, болезнь.
Глава 2 Суждение Помыслив вещи посредством идей, мы сопоставляем эти идеи; обнаруживая, что одни из них соответствуют друг другу, а другие нет, мы связываем их либо разделяем. Это называется утверждать или отрицать, а в общем — выносить суждение. А. Арно, П. Николь «Логика, или искусство мыслить» Определение суждения Если понятия — атомы интеллектуальной деятельности, то, продолжая эту аналогию, можно сказать, что суждения — ее молекулы. Подобно тому, как молекулы представляют мельчайшие частицы вещества, так и суждения, связывая понятия, оказываются элементарными формами мыслительной деятельности. Любое понятие определяется в виде некоторого суждения. Да и рассуждение в целом — это процесс порождения одних суждений из других. С помощью понятий мы раскрываем значение естественных или искусственных знаков, указываем классы, к которым принадлежат или не принадлежат мыслимые нами вещи. С помощью суждений мы выражаем разнообразные отношения между мыслимыми вещами. Ни одна вещь не существует, не вступая в отвечающие ее природе отношения с другими вещами. Свойства вещей могут проявляться только в их отношениях друг к другу. Узнать, является ли данное белое кристаллическое вещество кислым, сладким, соленым, горьким или безвкусным, можно, лишь попробовав его на язык, т. е. установив соответствующее отношение между этим веществом и вкусовыми рецепторами. Соответственно, знание какой-либо вещи предполагает знание ее отношений с другими вещами. Конструирование понятий о вещах невозможно без выражения в терминах суждений отношений этих вещей друг к другу. Как вещи не существуют вне своих отношений друг к другу, так и понятия не существуют вне выражающих эти отношения суждений.
Глава 2. Суждение Суждение — мысль, обозначающая отношение вещи к какой-либо другой вещи и к самой себе. Задать некоторое отношение из множества элементов некоторого класса означает упорядочить их согласно условию, выражаемому этим отношением. Вне зависимости от содержания данного отношения упорядоченность элементов предполагает различение мест, ими занимаемых. Если 1 меньше 2, то 2 не может быть меньше или равно 1. Если А — отец В, то В не может быть отцом А. Если С тяжелее Д то D не может быть тяжелее С. Во всех этих примерах места, занимаемые первым и вторым элементами, различаются своим порядком, т. е. упорядочены. Пониманию отношения как упорядочивания не противоречит существование разнообразных отношений тождества (равенства). Последние определяются как результат композиции (умножения) обратно упорядоченных отношений. Например, сказать, что А равно В, — то же самое, если сказать, что А больше (меньше) В и В больше (меньше) А одновременно. Из сказанного следуют два принципиальных отличия суждений от понятий. Для понятий исходным служит допущение тождества, неразличимости элементов их объемов. Порядок, в котором рассматриваются эти элементы, не имеет никакого значения. Для суждений исходным будет допущение различия, упорядоченности вещей, рассматриваемых в качестве их субъектов. Изменение порядка вещей измененяет смысл суждения. В этом состоит первое отличие суждений от понятий. Второе отличие вытекает из первого. Для понятий логическое отрицание равносильно образованию дополнения. Для суждений мы имеем два вида логического отрицания — дополнение и уничтожение различия, которое достигается построением симметричного исходному отношению. Дополнение дает суждение, противоречащее исходному. Уничтожение различия приводит к образованию суждения эквивалентности. Суждение «А умнее В» в первом смысле отрицается суждением «Неверно, что А умнее В» или суждением «А не умнее В». Во втором смысле суждение «А умнее В» отрицается суждением «В умнее Л», и оба вместе делают истинным суждение «А и В оба умны в одинаковой степени». Отличие суждений от понятий обусловлено, таким образом, различием уровней отражения реальности. С помощью понятий мы отражаем реальность как включение и исключение классов. С помощью суждений учимся отражать не только эти, но и все другие отношения между мыслимыми вещами.
84 . Часть I. Традиционная логика Как и понятия, суждения не совпадают с выражающими их грамматическими конструкциями. Основная языковая форма выражения суждений — повествовательное предложение. Считается, что всякое суждение выражается в том или ином предложении, но обратное верно только для предложений повествовательных. Мы не будем столь категоричны, поскольку, на наш взгляд, любое законченное предложение явно или неявно выражает некоторое суждение. Ничто не мешает полагать, что вопросу «Кто здесь?» соответствует суждение «Я не знаю, кто здесь находится, но хочу это узнать». Аналогично приказу «Следуйте за мной!» соответствует суждение «Я хочу, чтобы вы тотчас же последовали за мной». В зависимости от того, имеет ли место выражаемое суждением отношение, можно говорить об истинности, ложности или неопределенности данного суждения. Так, «А любит 5» истинно, если и только если между А и В существует указанное отношение; ложно в противном случае; неопределенно, если нет ни первого, ни второго. Каждое суждение отражает, кроме того, определенное коммуникативное отношение между старым, известным (предикат суждения) и новым, неизвестным (субъект суждения) знаниями. Известное знание служит своеобразным фильтром, через который происходит оценка нового знания. Предикат определяет логические границы субъекта суждения, отвечает на вопросы что? где? как? и почему? оно обозначает, служит аргументом за и против включения в состав старого знания. Связывая или разъединяя новое и старое знание, суждения, таким образом, обеспечивают преемственность в развитии представлений и наше понимание всякого неизвестного сообщения. Мы можем поэтому сказать, что суждения отражают упорядоченность не только реально существующих вещей, но и наших знаний о них. Итак, когда мы говорим о суждениях, то имеем в виду знание, которое: • обозначает как некоторое отношение между мыслимыми вещами, так и упорядоченность самих знаний по шкале «новое, требующее доказательства — старое, доказанное»; • в зависимости от того, выполняется или нет обозначаемое отношение, бывает истинным, ложным или неопределенным; выражается каким-либо предложением, не обязательно повествовательным; • конструктивно, так как не совпадает со своей грамматической формой и для своего выявления требует специальной умственной деятельности.
Глава 2. Суждение 85 Простые суждения В традиционной логике суждения принято делить на простые и сложные. Суждение называется простым, если ни одна его правильная часть сама не является суждением. В противном случае оно сложное. Сложные суждения состоят из нескольких простых, соединенных различными логическими союзами: «и», «или», «если, то», «если и только если», «или, или». Предложение «Сегодня тихо и пасмурно» выражает сложное суждение, состоящее из двух простых «Сегодня тихо», «Сегодня пасмурно», соединенных союзом «и». Сложным суждением считается также отрицание любого простого суждения, вводимое оборотом «неверно, что» и его различными эквивалентами. Всякое сложное суждение может быть выражено в форме простого, но обратное, конечно, неверно. В данной главе рассматриваются только простые суждения. Сложные анализируются в главах, посвященных логике высказываний и предикатов. Простые суждения можно оценивать как истинные, ложные или неопределенные. Любое простое суждение состоит из четырех функционально различающихся частей: 1) субъекта суждения — класса вещей, о котором нечто утверждается или отрицается; 2) предиката суждения — класса вещей, принадлежность субъекта к которому утверждается или отрицается; 3) утвердительной или отрицательной связки — «есть» или «не есть», соединяющей или разъединяющей субъект и предикат суждения в некотором отношении; 4) знака количества — слов «все», «некоторые», «ни один», стоящих, как правило, перед субъектом суждения и указывающих на то, какая часть объема субъекта принадлежит или не принадлежит объему предиката. Субъект и предикат суждения называются его терминами и выступают отологическим подлежащим и логическим сказуемым соответственно. Их нельзя путать с грамматическим подлежащим и сказуемым. В суждении «Люди же, воздающие равным за равное, не оскорбляют, а мстят» {Аристотель) субъектом будет понятие «люди, воздающие равным за равное», а предикатом — понятие «люди, не оскорбляющие, а мстящие». Грамматическим же подлежащим выступает слово «люди», а сказуемым — «не оскорбляют, а мстят».
86 Часть I. Традиционная логика Связка «есть» или «не есть» выражает качественный аспект суждения — его утвердительную или отрицательную форму. Ее синонимами служат «суть» и «не суть», «присуще» и «не присуще», «обладает» и «не обладает», «является» и «не является». Слова «все», «некоторые», «ни один» характеризуют количественный аспект суждения — соотношение объемов субъекта и предиката. Синонимы слова «все» — «всякий», «каждый». Слово «некоторые», как будет показано, не имеет однозначной интерпретации и его синонимами могут быть такие обороты: «по крайней мере один или все», «существует», «по крайней мере один, но не все», «только некоторые». Синонимами слова «ни один (одна, одно)» служат «никто», «ничто», «ни за что», «нигде», «никогда». Суждение считается общим, если оно начинается со слов «все» или «ни один». Суждение принадлежит к частным, если оно начинается со слова «некоторые». В общих суждениях по крайней мере субъект рассматривается во всем объеме. В частных суждениях объем субъекта может определяться и полностью, и частично. Пусть 5 обозначает субъект суждения, Р — его предикат. Комбинация качественных и количественных возможностей дает следующую классификацию простых суждений (рис. 2.1). Простые суждения Качество суждения Утвердительные (S есть Р) Отрицательные (S не есть Р) Количество Общие Частные Общие Частные суждения (все S есть Р) (некоторые (ни одно (некоторые S есть Р) S не есть Р) S не есть Р) Рис. 2.1. Виды простых суждений Если суждение общее и утвердительное, его называют общеутвердительным. Формула общеутвердительных суждений: «Все 5 есть Р>>. Если суждение общее и отрицательное, его называют общеотрицательным. Формула общеотрицательных суждений: «Ни одно 5 не есть Р>>. Если суждение частное и утвердительное, его называют частноут- вердительным. Формула частноутвердительных суждений: «Некоторые 5 есть Р». Если суждение частное и отрицательное, его называют частноот- рицательным. Формула частноотрицательных суждений: «Некоторые 5 не есть Р».
Глава 2. Суждение 87 Дадим определение каждого вида простого суждения, приведем примеры и пояснения. Суждение называется общеутвердительным, если и только если утверждается, что его предикат совместим с каждым элементом объема субъекта, независимо от того, состоит ли этот объем из бесконечного числа элементов, одного-единственного элемента или вообще пуст. Примерами общеутвердительного суждения «Все 5 есть Р» служат высказывания «Все люди хотят быть счастливыми», «Каждое время года хорошо по-своему», «Все треугольники — квадраты». Высказывание «Я люблю читать детективы» также следует считать общеутвердительным, так как его субъект рассматривается во всем объеме. Все так называемые единичные суждения, субъект которых грамматически выражается единственным числом, с логической точки зрения общеутвердительные. Это свидетельствует об отсутствии однозначного соответствия категорий грамматики и логики. Объемы субъекта и предиката в общеутвердительном суждении «Все 5 есть Р» могут соотноситься друг с другом двумя различными способами (рис. 2.2). Все S есть Р S,P Рис. 2.2. Возможные отношения субъекта и предиката в общеутвердительном суждении Согласно первому способу (левая диаграмма на рис. 2.2), объемы субъекта и предиката полностью совпадают. Это происходит в двух случаях. Во-первых, когда суждение «Все S есть Р» представляет корректное определение субъекта 5. Например, согласно Аристотелю, изобретательность «состоит в способности делать то, что направлено к предложенной цели, и достигать ее»1. Поскольку это корректное определение, объемы субъекта «способность, называемая изобретательностью» и предиката «способность делать то, что направлено к предложенной цели, и достигать ее» полностью совпадают. Во-вторых, объемы субъекта и предиката могут совпадать полностью, если предикат общеутвердительного суждения относится только к его субъекту. 1 Аристотель. Сочинения: В 4 т. - М., 1983. Т. 4. С. 189.
88 Часть I. Традиционная логика В этом случае подразумевается или присутствует явно частица «только» или ее грамматические эквиваленты. Например, если мы хотим приписать предикат «быть способным отличать добро от зла» человеку и только ему, то должны выразить эту мысль следующим образом: «Только человек способен отличать добро от зла». Структура подобных суждений, которые принято называть утвердительными общевыделительными, такова: «Только (все) 5 есть Р». Они представляют сложные суждения. Рассматриваемое выделительное суждение эквивалентно следующим двум простым: «Все S есть Р» и «Все Р есть 5» и истинно только тогда, когда они оба вместе истинны (соответственно ложно, если ложно хотя бы одно из них). Добавим, что суждение «Только 5 есть Р» эквивалентно также суждению «Только -|5есть -.Р», которое эквивалентно, в свою очередь, суждениям «Все -.5 есть -iP» и «Все -.Ресть -.5» одновременно. Отметим, что частица «только» всегда делает тот термин, к которому она относится, необходимым условием истинности другого термина этого же суждения. Если данное слово стоит перед субъектом общеутвердительного суждения, он становится необходимым условием истинности предиката этого суждения, а поскольку предикат фактически или необходимо таков по условию, то в результате объемы субъекта и предиката полностью совпадают1. Если же «только» относится лишь к предикату, суждение «Все 5 есть только Р» можно считать эквивалентным суждению «Все 5 есть Р», если и только если никаких иных терминов, кроме 5 и Р, в рассматриваемом универсуме не присутствует. В противном случае данные суждения могут оказаться неэквивалентными друг другу. Согласно второму способу (правая диаграмма на рис. 2.2), объем субъекта полностью включен в объем предиката, но неравен ему. Этот вариант представления предпочтителен в тех случаях, когда нет специального доказательства равных объемов субъекта и предиката или когда очевидно, что объем субъекта составляет лишь часть объема предиката. Вот, например, такое суждение: «Дети любят мороженое». Это не определение, в нем не утверждается и не подразумевается, что только дети любят мороженое. Следовательно, объем предиката «люди, любящие мороженое» включает объем субъекта «люди, являющиеся детьми», но не равен ему. Следовательно, кроме детей, существуют люди других возрастных категорий, также любящие мороженое. 1 Более точное различие между выражениями «возможно присуще», «действительно присуще» и «необходимо присуще» требует введения модальных операторов. См. гл. 9.
Глава 2. Суждение 89 Суждение называется общеотрицательным, если и только если утверждается, что его предикат не совместим ни с одним элементом объема субъекта. Примерами общеотрицательного суждения «Ни одно 5 не есть Р» служат высказывания «Никто по своей воле не хочет быть несчастливым», «Никогда не поздно начать все сначала», «Ни один треугольник не квадрат». Высказывание «Я не люблю читать детективы» следует считать общеотрицательным, так как его предикат несовместим со всеми элементами объема субъекта. В общеотрицательных суждениях термины несовместимы друг с другом. Поэтому их объемы не пересекаются. Однако общеотрицательные суждения можно различать по характеру несовместимости. Так, когда мы говорим, что «Ни одно 5 не есть Р», это может означать или то, что 5 и Р— противоречащие понятия, как в суждении «Ни один добрый человек не является недобрым», или то, что 5 и Р — противоположные понятия, как в суждении «Ни один добрый человек не является злым», или то, что 5 и Р — соподчиненные понятия, как в суждении «Ни один добрый человек не является равнодушным». Случай, когда S и Р — противоречащие понятия, соответствует отрицательному общевыделительному суждению «Только 5 не есть Р» (или суждению «Только -i5 не есть -iP>>). Все эти случаи отражены на рис. 2.3. Ни одно S не есть Р S р S р Рис. 2.3. Возможные отношения субъекта и предиката в общеотрицательном суждении В отличие от общих суждений, интерпретация частных более неопределенна и требует разбора большего числа случаев. Суждение называется частноутвердительным, если и только если утверждается, что его предикат совместим по крайней мере с одним из элементов объема субъекта. Из приведенного определения следует, что «некоторые» в утвердительных суждениях можно понимать либо как «некоторые или все», либо как «некоторые, но не все», либо как «только некоторые». Все три варианта отражены на рис. 2.4. Мысля «некоторые» как «некоторые или все», мы подразумеваем равную допустимость всех четырех случаев, указанных на рис. 2.4.
90 Часть I. Традиционная логика Некоторые (или все) S есть Р Все S есть Р Некоторые, но не все S есть Р S,P p He только S есть Р P Только S есть Р S а) б) в) г) Рис. 2.4. Возможные отношения субъекта и предиката в частноутвердительном суждении Интерпретируя «некоторые» как «некоторые, но не все», мы полагаем равную допустимость только случаев 2Лв или 2.4г. Лишь случай 2.4г имеет однозначное представление: частновыделительное суждение «Только некоторые 5 есть Р» эквивалентно суждению «Все Р есть 5». Суждение «Некоторые из вас могут решить эту задачу» может пониматься или как «некоторые или все», если задачи подобного типа уже решались и техника их решения усвоена, или как «некоторые, но не все», если задачи подобного типа еще не решались и техника их решения неизвестна, или как «только некоторые», если все, способные решить данную задачу, находятся среди тех, кому предстоит это сделать. Суждение называется частноотрицательным, если и только если утверждается, что его предикат несовместим по крайней мере с одним из элементов объема субъекта. Из данного определения следует, что в отрицательных суждениях слово «некоторые» также может пониматься тройственным образом: либо как «некоторые или ни один», либо как «некоторые, но не ни один», либо как «только некоторые». Эти варианты приведены на рис. 2.5. Некоторые (или ни одно) S не есть Р Ни одно S не есть Р Некоторые, но не ни одно S не есть Р S р S р [s\ [р\ Не только некоторые Sесть Р Только некоторые Sесть Р S р а) б) в) Д) Рис. 2.5. Возможные отношения субъекта и предиката в частноотрицательном суждении
Глава 2. Суждение Из рис. 2.5 следует, что только случай 2.5г имеет однозначное представление: суждение «Только некоторые 5 не есть Р» эквивалентно суждению «Все —iP есть 5». Выбор среди этих вариантов диктуется контекстом или специальным анализом, как и для утвердительных суждений. Суждение «Некоторым из вас не решить эту задачу» может быть понято либо как «некоторые или ни один», если задача новая и трудная, либо как «некоторые, но не ни один», если задача простая или известная, либо как «только некоторые», если все, кто не способен решить эту задачу, находятся среди тех, кому она адресуется. Для придания выражаемой мысли необходимой точности очень часто в устной и письменной речи используются обороты' «Все, за исключением...» и их всевозможные эквиваленты. Возникает вопрос: можно ли подобные исключающие мысли выразить простыми суждениями? Несложный анализ показывает, что возможно. Для этого достаточно, сохранив качественный и количественный параметры суждения, заменить субъект суждения на противоречащее (противоположное, соподчиненное) ему понятие, а предикат оставить без изменений. Ниже приведены образцы переводов исключающих суждений на язык простых (над чертой — исключающее суждение, под чертой — результат перевода). Формулы перевода исключающих суждений в простые Все, за исключением 5, есть Р Все -,? есть Р Ни один, кроме S, не есть Р Ни один -i5 не есть Р Некоторые, помимо 5, есть Р Некоторые -i5 есть Р Некоторые, кроме S, не есть Р Некоторые -i5 не есть Р Выделительные суждения можно трансформировать в исключающие. Следующие формулы перевода показывают, как это можно сделать (суждение над чертой эквивалентно обоим суждениям под чертой). Формулы перевода выделительных суждений в исключающие Только S есть Р Ни один, кроме 5, не есть Р Ни один, кроме Р, не есть S
92 Часть I. Традиционная логика Только Sне есть Р Ни один, кроме S, есть Р Ни один, кроме ОР> не есть S Только некоторые S есть Р Ни один, кроме 5, не есть Р Ни один, кроме Р, не есть S Только некоторые S не есть Р Все, кроме 5, есть Р Некоторые, кроме ОР, не есть S Из сказанного ясно, что всякое выделительное суждение можно преобразовать в исключающее. Но обратное в общем неверно. Поэтому ложным будет распространенное толкование, например, суждения «Ни один, кроме 5, не есть Р» как «Только 5 есть Р». Первое из этих суждений может быть истинно, а второе ложно (например когда ложно частное суждение «Некоторые Р не есть 5»). Нормальная форма простых суждений Как и понятия, суждения часто не совпадают со своим языковым выражением, потому для их формулировкой требуется дополнительный анализ. Чтобы сформулировать суждение, его надо, по выражению Л. Кэрролла, привести к нормальной форме, т. е. указать в явном виде все его основные характеристики. Привести суждение к нормальной форме означает: 1. Установить, какое понятие выступает субъектом суждения. 2. Выявить, какое понятие служит предикатом суждения. 3. Определить универсум суждения — класс вещей, разновидностями которого являются субъект и предикат. 4. Заменить глагол, относящийся к субъекту суждения, там, где это необходимо, сочетанием слов, начинающихся с таких глагольных связок — «есть» или «не есть». 5. Определить знак количества суждений, т. е. установить, с какого из слов «все», «ни один», «некоторые» оно должно начинаться. 6. Расположить полученные сведения в порядке, в котором формулируются все простые суждения: знак количества — субъект — связка — предикат. Рассмотрим несколько примеров приведения суждений к нормальной форме.
Глава 2. Суждение , 93 1. Повинную голову и меч не сечет. 1. Субъект — «раскаявшийся». 2. Предикат — «подлежащий наказанию». 3. Универсум — «люди». 4. Связка — «не есть». 5. Знак количества — «ни один». 6. Нормальная форма: «Ни один раскаявшийся человек не есть человек, подлежащий наказанию». 2. «Только там, где в составе населения средние [слои] имеют перевес либо над обеими крайностями, либо над одной из них, государственный строй может рассчитывать на устойчивость» (Аристотель), 1. Субъект — «государственный строй, при котором средние слои не имеют перевеса либо над обеими крайностями, либо над одной из них». 2. Предикат — «государственный строй, могущий рассчитывать на устойчивость». 3. Универсум — «государственный строй». 4. Связка — «не есть». 5. Знак количества — «ни один». 6. Нормальная форма: «Ни один государственный строй, при котором средние слои не имеют перевеса либо над обеими крайностями, либо над одной из них, не есть государственный строй, могущий рассчитывать на устойчивость». 3. Есть люди, которыелюбят только себя. 1. Субъект— «люди». 2. Предикат — «любящие себя и никого другого». 3. Универсум — «живые существа». 4. Связка — «есть». 5. Знак количества — «некоторые». 6. Нормальная форма: «Некоторые живые существа, являющиеся людьми, есть живые существа, любящие себя и никого другого». 4. 5 больше 4, но меньше 6. 1. Субъект — «равные 5». 2. Предикат — «больше 4, но меньше 6». 3. Универсум — «натуральные числа». 4. Связка — «есть».
94 Часть I. Традиционная логика 5. Знак количества — «все». 6. Нормальная форма: «Все натуральные числа, равные 5, есть числа, которые больше 4, но меньше 6». 5. Люблю грозу в начале мая. 1. Субъект — «называющий себя "я"». 2. Предикат — «любящие грозу в начале мая». 3. Универсум — «люди». 4. Связка — «есть». 5. Знак количества — «все». 6. Нормальная форма: «Все люди, называющие себя "я", есть люди, любящие грозу в начале мая». 6. Лишь несколько дней стояла этой осенью теплая и солнечная погода. 1. Субъект — «дни этой осени». 2. Предикат — «теплые и солнечные дни». 3. Универсум — «дни». 4. Связка — «есть». 5. Знак количества — «некоторые». 6. Нормальная форма: «Только некоторые дни этой осени есть дни, которые были теплыми и солнечными». 7. Никогда не говори «никогда». 1. Субъект — «житейская ситуация». 2. Предикат — «ситуация, в которой следует говорить "никогда"». 3. Универсум — «ситуация». 4. Связка — «не есть». , 5. Знак количества — «ни один». 6. Нормальная форма: «Ни одна житейская ситуация не есть ситуация, в которой следует говорить "никогда"». 8. «Лишь самые умные и самые глупые не могут измениться» (Конфуций). 1. Субъект — «самые умные и самые глупые». 2. Предикат — «которые не могут измениться». 3. Универсум — «люди». 4. Связка — «есть». 5. Знак количества — «все». 6. Нормальная форма: «Только самые умные и самые глупые есть люди, которые не могут измениться».
Глава 2. Суждение 95 9. Все люди, кроме праведников, относятся к категории временно живущих. 1. Субъект — «праведник». 2. Предикат — «относящиеся к категории временно живущих». 3. Универсум — «люди». 4. Связка — «есть». 5. Знак количества — «все». 6. Нормальная форма: «Все люди, не являющиеся праведниками, есть люди, относящиеся к категории временно живущих». Рассмотренные примеры показывают, что к нормальной форме приводимы не только простые, но и сложные суждения, имеющие несколько субъектов или предикатов (примеры 2, 4, 6). Осуществлять подобное необходимо не только для прояснения логической структуры суждений, но также для их правильных логических преобразований и, в конечном счете, для построения правильных умозаключений. Логические преобразования суждений Логические преобразования суждения позволяют понять его как целостную мысль, порождаемую определенным множеством обратимых трансформаций его субъекта и предиката. Основу логических преобразований суждений составляет умение находить дополнение (отрицание) субъекта и предиката, прямое и обратное отношение между ними. Различают три преобразования простых суждений, позволяющие понять исчерпывающим образом их логическое содержание: превращение, обращение и противопоставление. Превращение Всякое отношение субъекта суждения к предикату уравновешивается определенным отношением субъекта к дополнению этого же предиката. Если я знаю, что интересующая меня книга лежит на моем письменном столе, то я должен согласиться с тем, что этой книги нет во всех местах, которые не мой письменный стол. Наоборот, если я знаю, что нужная книга находится в комнате, но ее нет во всех местах, которые не являются моим письменным столом, то я должен согласиться, что она находится на моем письменном столе. Иными словами, если некоторый предикат совместим с субъектом, то должно быть истинно, что дополнение этого предиката не совместимо с данным субъектом полностью или частично.
96 Часть I. Традиционная логика Превращение — логическое преобразование, позволяющее: 1) по данному отношению субъекта к предикату находить отношение субъекта к дополнению предиката] 2) по данному отношению предиката к субъекту находить отношение предиката к дополнению субъекта. Превращение представляет преобразование, позволяющее по известному отношению субъекта к предикату определять отношение субъекта к дополнению этого предиката (и наоборот). Это требуется, чтобы одну и ту же мысль можно было выразить как в утвердительной, так и в отрицательной форме. Чтобы совершить превращение, необходимо и достаточно заменить связку и предикат данного суждения на противоречащие им, оставив его количественную характеристику без изменения. Все общеутвердительные (частноутвердительные) суждения превращаются в общеотрицательные (частноотрицательные), и наоборот. Приведем основные формулы и примеры (горизонтальная черта отделяет суждения, находящиеся в отношении превращения). Все S есть Р Все конфеты сладкие Ни одно S не есть -iP Ни одна конфета не есть несладкая Только S есть Р Только четные числа делятся на 2 Только S не есть -iP Только четные числа не есть числа, не делящиеся на 2 Некоторые S есть Р Некоторые птицы летают Некоторые S не есть ~лР Некоторые птицы не являются пелетающими ' Только некоторые S есть Р Только некоторые счастливы Только некоторые S не есть -.Р Только некоторые не являются несчастливыми Из приведенных примеров следует, что превращение — это симметричное преобразование. Причина подобной симметрии кроется в том, что замена связки на противоречащую ей равносильна замене предиката на несовместимый (противоречащий, противоположный или соподчиненный) с ним. Следовательно, если осуществить обе замены, то мы снова получим исходное суждение по принципу «отрицание отрицания дает утверждение». Превращение позволяет любое утвердительное суждение выразить в отрицательной форме, и наоборот. Знание данного преобразования усиливает выразительные возможности нашего языка и стирает, как отмечалось, жесткое различие между утверждением и отрицанием.
Глава 2. Суждение __ ?Z Обращение Каждое отношение имеет не всегда совпадающее с ним и не всегда следующее из него с необходимостью обратное отношение. Если 3 больше 2, значит 2 меньше 3. Но из того факта, что я люблю кого-то, не обязательно следует, что этот кто-то также любит меня. В первом примере прямое и обратное отношения не совпадают, но обусловливают значение истинности друг друга. Если одно из них истинно (ложно), то и другое обязательно истинно (ложно). Во втором примере прямое отношение никак не определяет значение истинности обратного отношения (последнее может быть как истинным, так и ложным). Анализ логического содержания суждения не может считаться поэтому полным, если неизвестно прямое отношение субъекта к предикату и обратное отношение предиката с субъекту. В определенном смысле только синтез прямых и обратных отношений обеспечивает устойчивость существования всего, в том числе и человека. Обращение — логическое преобразование, позволяющее: 1) по данному отношению субъекта к предикату находить обратное отношение предиката к субъекту, 2) по данному отношению предиката к субъекту находить обратное отношение субъекта к предикату. Обращение представляет преобразование, позволяющее по известному отношению субъекта к предикату находить ему обратное. Чтобы совершить обращение, необходимо и достаточно поменять субъект и предикат местами и там, где это необходимо, изменить знак количества суждения. Обращение общеутвердительных суждений имеет два варианта. Если объемы субъекта и предиката совпадают полностью, то обратное отношение предиката к субъекту совпадает с исходным отношением субъекта к предикату. Если же объем предиката больше объема субъекта, то обратное отношение предиката к субъекту формулируется в виде част- ноутвердительного суждения. Только S есть Р Только лягушки квакают Только Р есть S Только квакающие — лягушки Все S есть Р Все ножи острые Некоторые Р есть S Некоторые острые вещи — ножи Некоторые S есть Р Некоторые дети — вундеркинды Некоторые Р есть S Некоторые вундеркинды — дети Ни один S не есть Р Ни один рак — не рыба Некоторые Р не есть S Ни одна рыба - не рак 4-1742
98 Часть I. Традиционная логика Обращение частноутвердительных суждений осуществляется тремя способами в соответствии с интерпретацией слова «некоторые»: • некоторые или все; • некоторые, но не все; • только некоторые. В первом случае обратное отношение совпадает с исходным, во втором и третьем — нет. Приведем примеры. Некоторые (или все) , Некоторые молодые люди S есть Р любят веселиться Некоторые или все Некоторые из любящих Р есть S веселиться — молодые люди Некоторые (но не все) Некоторые молодые люди S есть Р любят органную музыку Некоторые (или все) Некоторые любители органной Р есть S музыки — молодые люди Только некоторые S есть Р Только некоторым из нас везет Все Р есть S Все, кому везет, — люди Частноотрицательные суждения не принято подвергать процедуре обращения, поскольку обычная перестановка местами субъекта и предиката искажает смысл исходного суждения. Например^ ложно такое обращение. Некоторые разумные существа — не мошенники Некоторые мошенники — не разумные существа Преодолеть данное затруднение можно, если частноотрицательное суждение сначала превратить в частноутвердительное, перенеся отрицание со связки на предикат, и только затем совершить обращение и новое превращение для приведения к соответствию результата обращения исходному суждению. 1. Некоторые разумные существа — не мошенники (допущение). 2. Некоторые разумные существа есть не мошенники A, превращение). 3. Некоторые не мошенники есть разумные существа B, обращение). 4. Некоторые не мошенники не есть неразумные существа C, превращение = обращение яервого суждения). Первое и четвертое суждения связаны обращением, а также, как будет показано ниже, противопоставлением.
Глава 2. Суждение ш 99 Рассмотренные примеры убеждают, что полное понимание смысла простого суждения требует его обязательного обращения. Причина этого в асимметричной природе большинства простых суждений, требующих как прямого, так и обратного «прочтения» их содержания. , Отношение субъекта к предикату уравновешивается, таким образом, не только определенным отношением субъекта к дополнению предиката, но также обратным отношением предиката к субъекту. Существует логическое преобразование, объединяющее превращение и обращение в одну трансформацию и синтезирующее тем самым все указанные отношения субъекта и предиката. Оно называется противопоставлением, или контрапозицией. Противопоставление (контрапозиция) Каждое отношение субъекта к предикату порождает определенное отношение дополнения предиката к субъекту. Данное преобразование — основная логическая схема рассуждения ученых, медиков и сыщиков: если истинно предположение Я, то должны быть истинны следствия (симптомы, улики, факты) Е; но, как оказалось или было доказано, следствия ? ложны; значит, сделанное предположение # также ложно. Но и обычные люди рассуждают аналогичным образом: например, если вчера был вторник, значит сегодня должна быть среда; но сегодня не среда. Следовательно, вчера был не вторник. Противопоставление (контрапозиция) —логическое преобразование, позволяющее: 1) по данному отношению субъекта к предикату находить отношение дополнения предиката к дополнению субъекта] 2) по данному отношению предиката к субъекУу находить отношение дополнения субъекта к дополнению, предиката. Чтобы противопоставить суждение, необходимо сначала совершить его превращение и только затем обращение результата превращения. К этому следует добавить еще одно превращение, дабы получить суждение, противостоящее исходному, но совпадающее с ним своим качеством. Полная формула противопоставления, следовательно, такова: Противопоставление = превращение исходного суждения + + обращение результата превращения + + превращение результата обращения. Порядок, в котором должны совершаться преобразования, отмеченные справа от знака равенства, существенен. Все другие комбинации не приводят к противопоставлению. Сравним в этой связи следующие две последовательности преобразований.
100 Часть I. Традиционная логика 1. Все храбрые люди пользуются уважением (допущение). 2. Ни один храбрый человек не есть человек, не пользующийся уважением (превращение 1). 3. Ни один человек, не пользующийся уважением, не есть храбрый (обращение 2). 4. Все не пользующиеся уважением — нехрабрые люди (превращение 3 = противопоставление 1). В приведенной последовательности первый и четвертый члены (суждения) оказываются противопоставлеными. Но этого нельзя сказать о другой последовательности преобразований. 1. Все храбрые люди пользуются уважением (допущение). 2. Некоторые из пользующихся уважением — храбрые люди (обращение 1). 3. Некоторые из пользующихся уважением не являются нехрабрыми людьми (превращение 2). 4. Некоторые из пользующихся уважением — храбрые люди (превращение 3, не совпадающее с противопоставлением первого суждения). Причиной отсутствия противопоставления во второй последовательности служит некоммутативность превращения и обращения, т. е. их «чувствительность» к порядку выполнения. Противопоставление общеутвердительных суждений совершается по следующим формулам. Только S есть Р Только лягушки квакают Только -iP есть -.5 Все 5 есть Р Только те, кто не квакает, — не лягушки Все кошки грациозны Все -iP есть -iS Все, кто не грациозен, — не кошка Противопоставление общеутвердительных суждений выявляет следующую закономерность. Если истинно, что субъект обладает некоторым признаком, обозначаемым предикатом, тогда должно быть истинно, что противоречащий ему признак присущ только дополнению субъекта. Частноутвердительные суждения противопоставлению не подвергаются. Но использование общей формулы противопоставления, которая приводилась выше, позволяет применять данное преобразование и к частноутвердительным суждениям. Результат противопоставления в этом случае совпадает с результатом обращения. Например, из суждения «Некоторые 5 есть Р» можно получить только суждение «Некоторые Ресть 5». Для выделительных частноутвердительных суждений сказанное также истинно.
Глава 2. Суждение 101 Следовательно, для частных суждений любого вида обращение и противопоставление представляют тождественные преобразования. Противопоставление общеотрицательных суждений совершается по схеме. 1. Ни одно S не есть Р (допущение). 2. Все S есть ->Р {превращение 1). 3. Некоторые -iP есть S (обращение 2). 4. Некоторые -.Р не есть -.5 (превращение 3 = противопоставление с ограничением первого суждения). Противопоставление, совершаемое по данной схеме, называется противопоставлением с ограничением, так как в этом преобразовании посылка (допущение) общая, а заключение частное. Ни одно S не есть Р Ни один стул не есть стол Некоторые -iP не есть -iS Некоторые не столы не есть не стулья Противопоставление частноотрицательных суждений не имеет исключений. Некоторые S не есть Р Некоторые мудрые счастливы Некоторые -iP не есть -i5 Некоторые несчастливые не есть немудрые люди В качестве заключения попробуем конкретизировать высказанный ранее тезис о необходимости рассмотренных преобразований для понимания суждения как целостной мысли. Асимметричная природа простых суждений — та причина, которая вынуждает нас искать для данного отношения субъекта к предикату целый ряд уравновешивающих его и тем самым создающих целостную картину отношений. Как нельзя понимать полностью сложение без вычитания или наоборот, так нельзя понимать суждение без превращения, обращения и противопоставления его терминов. Смысл данных преобразований и состоит в том, чтобы посредством перегруппировки частей суждения составить мнение о его содержании в целом. Следует, однако, указать на формальную недостаточность данных преобразований в достижении указанной цели. Как уже отмечалось, превращение и обращение — некоммутативные преобразования. Противопоставление суждений также неоднозначно, так как определяется превращением и обращением. Эти и другие ограничения свидетельствуют, что изученные преобразования еще не составляют группу симметричных преобразований содержания суждения и поэтому допускают его частичную утрату или искажение. Необходима, по-видимому, более полная теория простых суждений.
102 Часть I. Традиционная логика Совместимые и несовместимые суждения. Логический квадрат Допустим, сравниваемые суждения имеют общий универсум и состоят из одинаковых терминов 5 и Р. Какие из них можно считать совместимыми, а какие несовместимыми? Суждения совместимы полностью, если они могут быть вместе как истинны, так и ложны; совместимы частично, если они могут быть вместе только истинны. Суждения несовместимы полностью, если они не могут быть вместе истинны или ложны; несовместимы частично, если они не могут быть вместе истинны. Требованию полной совместимости удовлетворяют несколько видов отношений между простыми суждениями. Любые два суждения совместимы полностью, если они: • эквивалентны; или • находятся в отношении одностороннего подчинения; или • независимы друг от друга. Объемы и содержания эквивалентных суждений полностью совпадают. Поэтому все эти суждения вместе либо истинны, либо ложны, либо неопределенны. При равенстве терминов для эквивалентности необходимо совпадение связок и знаков количества. Если у сравниваемых суждений субъекты и предикаты стоят на разных местах и отличаются знаками отрицания, необходимо попытаться поставить одинаковые термины на одно-и то же место. Допустим, даны два суждения: «Ни одно 5 не есть Р» и «Все Р есть -i5». Эквивалентны ли они? Из превращения первого суждения следует «Все 5 есть -»Р», а противопоставления результата превращения — суждение «Все Р есть -i5», которое эквивалентно второму суждению. Аналогично, из противопоставления второго суждения следует «Все 5есть -iP», превращение которого эквивалентно первому суждению «Ни одно 5 не есть Р». Эквивалентные суждения взаимно подчиняют друг друга. Но бывают и такие суждения, между которыми существуют отношения одностороннего подчинения. Тогда объем подчиняющего суждения полностью включен в объем подчиненного, и наоборот: содержание подчиняющего полностью включает содержание подчиненного. По этой причине истинность всегда переносится от подчиняющего к подчиненному, но не в обратном порядке, а ложность — от подчиненного к подчиняющему, и не иначе. Все общие суждения подчиняют частные. Например, суждение «Все 5есть Р» подчиняет суждение «Некоторые 5есть Р», сужде-
Глава 2. Суждение 103 ние «Ни одно 5 не есть Р» — суждение «Некоторые 5 не есть Р». Из истинности общего суждения всегда следует истинность подчиненного ему частного, но не наоборот. Из ложности частного суждения всегда следует ложность подчиняющего его общего суждения, и только так. Если , истинно, что все в студенческой группе знают английский язык, верно, что его знают и некоторые. Но из того, что некто из группы знает также французский язык, не следует с необходимостью, что его знают все члены группы. Аналогичным образом, если ложно, что все в группе знают французский язык, непреложно не следует, что его не знает никто из членов группы. Однако достаточно не знать французского языка хотя бы одному члену группы, чтобы было ложно, что его знают все. Объемы и содержания независимых понятий частично пересекаются. По этой причине эти суждения могут быть истинны и ложны в любой комбинации. Из истинности или ложности какого-либо одного из независимых суждений не следует обязательно ни истинность, ни ложность всех остальных. Частичное пересечение содержаний независимых суждений показывает, что они могут быть вместе ложны, а частичное пересечение их объемов — что они могут быть вместе истинны. Независимыми оказываются все суждения одинакового качества и количества с противоречащими или только субъектами, или субъектами и предикатами одновременно. Например, следующие пары суждений независимы: «Некоторые S есть Р» и «Некоторые -i5 есть Р»; «Некоторые 5 есть Р» и «Некоторые -.5 есть -iP»; «Все S есть Р» и «Все -.5 есть Р»; «Все S есть Р» и «Все -i5 есть -iP». Требованию частичной совместимости удовлетворяет одно отношение между простыми суждениями. Любые два суждения совместимы частично, если они могут быть вместе истинны, но не могут быть вместе ложны (т. е. они совместимы только по истине). Объемы частично совместимых суждений частично пересекаются, а содержания — нет. Данный вид совместимости характерен для частных суждений, отличающихся друг от друга лишь качеством: «Некоторые S есть Р>> и «Некоторые 5 не есть Р». Например, вместе истинны суждения «Некоторые напитки утоляют жажду» и «Некоторые напитки не утоляют жажду». Но они не могут быть вместе ложными, потому что для этого должны быть истинны противоречащие им общие суждения «Ни один напиток не утоляет жажду» и «Все напитки утоляют жажду», что невозможно. Следовательно, указанная пара суждений совместима только частично. Требованию полной несовместимости удовлетворяет только один вид отношений между простыми суждениями. '
104 Часть I. Традиционная логика Любые два суждения несовместимы полностью, если они находятся в отношении противоречия друг с другом. Объемы и содержания противоречащих суждений не пересекаются, а вместе они исчерпывают универсум. По этой причине объем и содержание каждого из таких суждений образуют содержание и объем противоречащего ему суждения соответственно. Противоречащие суждения должны состоять из одинаковых терминов, иметь противоположные связки и знаки количества. Например, отношение противоречия связывает следующие пары суждений «Все 5есть Р» и «Некоторые S не есть Р». «Ни одно 5 не есть Р» и «Некоторые 5 есть Р». Примеры противоречащих друг другу суждений: «Все рыболовы любят преувеличивать свои достижения» и «Некоторые рыболовы не любят преувеличивать свои достижения» «Ни одно путешествие не обходится без приключений» и «Некоторые путешествия обходятся без приключений» «Все задачи, кроме логических, мне скучны» и «Некоторые задачи, кроме логических, мне не скучны» «Ни один ребенок, кроме моих собственных, не пристает ко мне с вопросами» и «Некоторые дети, кроме моих собственных, пристают ко мне с вопросами». Требованию полной несовместимости удовлетворяет также только один вид отношений между простыми суждениями. Любые два суждения несовместимы частично, если они находятся в отношении противоположности. Объемы противоположных суждений не пересекаются, а содержания пересекаются, что и объясняет их свойства. Противоположные суждения не могут быть вместе истинны, но могут быть вместе ложны. Противоположными суждениями бывают только общие суждения с одинаковыми терминами и противоречащими связками. Например, такова следующая пара суждений «Все S есть Р» и «Ни одно 5 не есть Р». Примеры противоположных суждений: «Всякое страдание есть зло» и «Ни одно страдание не есть зло» «Все люди, за исключением мудрецов, стремятся к славе» и «Все люди, за исключением мудрецов, не стремятся к славе». Если оба противоположных суждения ложны, тогда истинны вместе противоречащие им частные суждения. Например, очевидно ложной будет первая пара противоположных суждений. Соответственно одновременно истинны следующие частные суждения, противоречащие общим:
Глава 2. Суждение 105 «Некоторое страдание есть зло» и «Некоторое страдание не есть зло». Допустим, сравниваемые суждения состоят из одинаковых терминов и имеют общий универсум. Существует простая методическая схема, позволяющая определять совместимые (кроме независимых) и несовместимые суждения, названная логическим квадратом (рис. 2.6). противоположность Все S есть Р к 71 Ни °ДН0 S не есть Р подчинение противоречие подчинение Некоторые S есть Р *- •—* Некоторые S не есть Р частичная совместимость Рис. 2.6. Логический квадрат Каждый угол логического квадрата соответствует определенному виду простого суждения. Поскольку существуют только четыре вида простого суждения, то для символизации отношений между ними был выбран квадрат. Если бы этих видов было больше или меньше, то потребовалась бы иная фигура. Левая и правая диагонали логического квадрата соединяют противоречащие, т. е. полностью несовместимые, суждения. Верхняя горизонтальная линия соединяет противоположные, т. е. частично несовместимые, суждения. Левая и правая вертикальные линии соединяют суждения, находящиеся в отношении одностороннего подчинения (верхнее суждение подчиняет нижнее). Такие отношения полностью совместимы. Нижняя горизонтальная линия соединяет частично совместимые суждения. Независимые суждения, как следует из их определения, с помощью логического квадрата не сравниваются. Логический квадрат вместе с превращением, обращением и противопоставлением позволяет решать и более общую задачу — вычислять значения истинности произвольного множества суждений, если известна истинность или ложность какого-либо из сравниваемых. Для этого с помощью указанных преобразований все сравниваемые суждения сначала приводятся к виду, эквивалентному исходным суждениям, но удобному для использования логического квадрата (субъекты и предикаты суждений стоят на одинаковых местах). Затем методом
106 Часть I. Традиционная логика попарного сравнения определяется, какие суждения эквивалентны, частично совместимы, противоречат, противоположны или соподчинены и независимы друг от друга. Наконец, на основании установленных отношений между суждениями вычисляются значения истинности самих суждений (по правилам логического квадрата). В том случае, когда суждение нельзя квалифицировать ни как истинное, ни как ложное, оно считается неопределенным. Пример 1 Необходимо вычислить значение истинности второго, третьего, четвертого и пятого суждения, если по условию задано, что первое суждение из следующего списка истинно (ложно). 1. «Честность — лучшая политика» (Л. Кэрролл). 2. Не всякая честность — лучшая политика. 3. Не существует лучшей и честной политики. 4. Никакая нечестная политику не является нелучшей. 5. Единственная худшая политика — нечестная. Сначала приводим первое суждение к нормальной форме: все S есть Р, где S = «честная», Р = «лучшая» и U = «политика». Формализуем остальные суждения из списка, используя обозначения терминов первого суждения. Строим таблицу значений истинности всех суждений в зависимости от значений истинности первого суждения (табл. 2.1). Таблица 2.1 1 2 3 4 5 Все S есть Р Некоторые S есть -J3 Ни одно Р не есть S Ни одно —S не есть -ьР Только -тР есть -? Т F F F ? F Т ? 7 F Объяснение: Суждения 1 и 2 противоречат друг другу и совместно исчерпывают универсум U = «политика». Следовательно, если одно из них истинно (ложно), другое ложно (истинно). Суждения 1 и 3 (что становится очевидным после обращения последнего) противоположны друг другу. Значит, если одно из них истинно, другое ложно, но обратное неверно. Кроме того, они оба могут быть одновременно ложны.
Глава 2. Суждение 107 Следовательно, если одно из них ложно, значение истинности другого неопределенно. Суждения 1 и 4 независимые, т. е. ни одно из них не определяет значение истинности другого. Но суждение 4 подчиняет суждение 2 (что становится очевидным после обращения обоих и последующего превращения суждения 4), значение истинности которого известно. Из ложности суждения 2 однозначно следует ложность суждения 4, а из истинности суждения 2 следует только неопределенность суждения 4. Суждение 1 подчиняется суждению 5 (что становится очевидным после противопоставления суждения 5). Значит, если суждение 1 истинно, суждение 5 неопределенно; а если оно ложно, то ложно и суждение 5. Пример 2 Решить указанную в примере 1 задачу для следующего списка суждений. 1. <<Век невежества — век любви к церемониям» {Конфуций). 2. Не всякое время любви к церемониям есть время знания. 3. Не существует времени презрения к церемониям, которое одновременно было бы временем невежества. 4. Никакое время знания не есть время презрения к церемониям. 5. Существует время знания, которое не является временем презрения к церемониям. Приводим первое суждение к нормальной форме: все S есть Р, где S = «время невежества», Р- «время любви к церемониям» и U= «время». Вычисляем значения истинности всех суждений в зависимости от значений истинности первого суждения (табл. 2.2). Таблица 2.2 1 2 3 4 5 Все S есть Р Некоторые Р есть S Ни одно -тР не есть S Ни одно —uS не есть -тР Некоторые —S не есть -лР Т т т F 7 F 7 F 7 7 Объяснение: Суждение 1 подчиняет суждение 2. Значит, если оно истинно, суждение 2 также истинно. Но если суждение 1 ложно, то суждение 2 неопределенно. Суждения 1 и 3 эквивалентны друг другу.
108 Часть I. Традиционная логика Следовательно, у них должны быть одинаковые значения истинности. Суждения 1 и 4 независимые и не определяют значения истинности друг друга. Но суждение 4 (что выявляется после его обращения и превращения) противоположно суждению 3 и тем самым суждению 1. Следовательно, из истинности суждений 1 и 3 должна следовать ложность суждения 4. Из ложности суждений 1 и 3 следует только неопределенность суждения 4. Суждения 1 и 3, с одной стороны, и суждение 5, с другой, независимые. Но суждение 5 подчиняется суждению 4. Значит, если суждение 4 ложно или неопределенно, суждение 5 может быть только неопределенным. Пример 3 Решить указанную в примере 1 задачу для следующего списка суждений. 1. «Не быть богатым не всегда дурно» (М. Зощенко). 2. Быть богатым всегда дурно. 3. Всегда дурно, когда ты богат. 4. Когда ты не богат, всегда дурно. 5. Иногда недурно быть богатым. Приводим первое суждение к нормальной форме: некоторые -iS есть Р, где S = «ты богат», Р = «дурные (плохие)» и U =* «периоды твоей жизни». Вычисляем значения истинности всех суждений в зависимости от значений истинности первого суждения (табл. 2.3). Таблица 2.3 1 2 3 4 5 Некоторые -iS есть Р Все S есть Р Все S есть Р Все -bS есть Р Некоторые S есть -iP Т ? ? ? ? F ? 7 F 7 Объяснение: Суждение 1, с одной стороны, и суждения 2 и 3, с другой, независимые. Значит, они не определяют значения истинности друг друга. Суждение 4 подчиняет суждение 1. Значит, если суждение 1 истинно, то суждение 4 неопределенно, а если суждение 1 ложно, то ложно и суждение 4. Суждения 1 и 5 независимые и не определяют значений истинности друг друга.
Глава 2. Суждение 109 Простые суждения и пустые классы Выражая некоторое отношение между субъектом и предикатом, простое суждение негласно связано с допущением, что объемы субъекта и предиката не представляют собой пустые классы. Напомним, что объем какого-либо термина эквивалентен пустому классу, если и только если этот термин самопротиворечив или противоречит каким-то истинным положениям. Как изменятся свойства простых суждений, связанные с их истинностью, если не требовать, чтобы объемы их терминов не были пусты? Пусть субъектом выступает класс «эти стулья», предикатом — класс «виды мебели, пригодные для сидения». Сформулируем суждение «На всех этих стульях можно сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение истинно, хотя в действительности нет ни одного из «этих стульев», просто потому, что ложно противоречащее ему суждение «На некоторых из этих стульев нельзя сидеть». В общем случае для истинности общеутвердительного суждения достаточно выполнения любой одной из следующих возможностей: • субъект и предикат истинные; • только предикат истинный; • субъект и предикат оба ложные. Следовательно, данное суждение истинно не только тогда, когда нет одного из «этих стульев», но и тогда, когда вообще нет ни одного вида мебели, годного для сидения. Рассмотрим суждение «Ни на одном из этих стульев нельзя сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение истинно, так как ложно противоречащее ему суждение «На некоторых из этих стульев можно сидеть». В общем случае для истинности общеотрицательного суждения достаточно выполнения одной из следующих возможностей: • только субъект истинный; • только предикат истинный; • субъект и предикат оба ложные. Следовательно, рассматриваемое суждение истинно не только тогда, когда нет ни одного из «этих стульев», но и тогда, когда имеются какие-то виды мебели, пригодные для сидения. Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев можно сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение ложно, потому что для его истинности необходимо, чтобы субъект
110 Часть I. Традиционная логика и предикат были оба истинны хотя бы для одного из элементов класса «эти стулья». Но так как этот класс пуст, то рассматриваемое суждение ложно. Данное суждение также ложно, когда только предикат ложный или когда субъект и предикат оба ложные. Рассмотрим суждение «На некоторых из этих стульев нельзя сидеть». Допустим, объем субъекта «эти стулья» пуст. Тогда данное суждение ложно, так как для его истинности требуется одновременная истинность субъекта и дополнения предиката хотя бы для одного из элементов класса «эти стулья». При всех остальных комбинациях это суждение также ложно. Сопоставляя полученные результаты, получаем следующие выводы. Общеутвердительные и общеотрицательные суждения при допущении пустых классов более не будут противоположными, так как могут быть вместе истинны. Частноутвердительные и частноотрицательные суждения при допущении пустых классов не будут более частично совместимыми, так как могут быть вместе ложными. Общеутвердительные суждения при допущении пустых классов более не подчиняют частноутвердительные, а общеотрицательные суждения более не подчиняют частноотрицательные, поскольку общие суждения могут быть истинны, а частные — ложными в одно и то же время. Становится незаконным обращение с ограничением общеутвердительных суждений и контрапозиция с ограничением общеотрицательных суждений. Отношение противоречия между соответствующими параметрами общих и частных суждений сохраняет свою силу. Законными остаются и все логические преобразования, не ведущие к ограничению своих результатов. Логический квадрат редуцируется к следующей системе отношений, на которой отсутствие линии между какими-либо точками означает отсутствие логических отношений между ними (рис. 2.7). Все S есть Р Некоторые S есть Р Ни одно S не есть Р Некоторые S не есть Р Рис. 2.7. Логический квадрат для суждений с пустыми терминами
Глава 2. Суждение __ 111 Коммуникативная природа суждений Суждения выражают отношения не только между мыслимыми вещами, но и между индивидами, адресующими эти суждения друг другу. В последнем случае проявляется коммуникативная природа суждений — их назначение для сообщения и получения новой информации. Характерная черта всякой коммуникации — изначальное познавательное неравенство тех, кто сообщает информацию, и тех, кто ее получает. Именно оно дает стимул для объединения источника информации и ее потребителя в одно коммуникативное целое. Книга прочитывается до конца только в том случае, если она несет новое как уму, так и сердцу. В противном случае никакого диалога писателя с читателем быть не может. В процессе коммуникации, т. е. передачи информации, происходит выравнивание информационного потенциала участвующих сторон. И как только это происходит, коммуникация лишается своего основного стимула, теряя информационный смысл. Отмеченные особенности коммуникации находят отражение и в структуре суждений — в особом коммуникативном статусе субъекта и предиката суждения, в их информационном различии. Коммуникативное назначение субъекта суждения состоит в том, чтобы обозначать новое знание, истинность которого еще требует своего доказательства. Коммуникативное назначение предиката суждения, наоборот, состоит в том, чтобы обозначать старое, известное знание, истинность которого уже доказана. Коммуникативный смысл суждения в целом выражается в связи со старым, в синтезе того, что известно, исследовано, с тем, что еще не известно, не исследовано. Стало быть, высказывать суждение означает определять, доказывать, объяснять, истолковывать нечто новое, проблематичное на основании известного, непроблематичного, разделяемого всеми участниками коммуникативного процесса. Чтобы суждение выполнило свою коммуникативную задачу, оно должно удовлетворять следующим требованиям. Во-первых, субъект суждения должен обозначать либо ранее неизвестное знание, либо известное, но по каким-то причинам требующее нового истолкования, объяснения, доказательства. Он должен представлять познавательную или эмоциональную проблему, трудность, загадку, а предикат суждения соответственно — решение проблемы, трудности, отгадку. Иначе нет причины для коммуникации и для появления ее главного результата, который состоит в получении новой информации. В утверждении «Любовь есть сон» (Ф. И. Тютчев) субъект
112 Часть I. Традиционная логика «любовь» обозначает именно загадку, тогда как предикат «сон» — ее (очередную) отгадку. Ученый, десятки раз ставивший какой-либо опыт и получавший одинаковые результаты, не может не заинтересоваться исходом, ранее не имевшим места. Именно открытие становится предметом дальнейшего анализа ученого, направляет его интерес к природе. Во-вторых, чтобы объяснение, понимание, истолкование и тому подобные формы коммуникации состоялись, необходимо, чтобы предикат суждения был более известен, чем его субъект. Мать, объясняющая маленькому сыну, что «Тигр — это большая полосатая кошка», предполагает, что последнему известно, что такое кошка, что такое полосы, что такое большое животное (большой предмет). В противном случае коммуникация невозможна, как, например, в рассказе А.П. Чехова «Экзамен на чин», когда на вопрос экзаменатора: «Какое правление в Турции?» был дан ответ: «Известно какое... турецкое». В-третьих, предикат суждения должен быть менее проблематичным, чем субъект, т. е. иметь больше оснований считаться истинным знанием. В противном случае предикат не может выполнить функцию аргумента, обосновывающего истинность субъекта суждения. Так, по мнению героя рассказа А. П. Чехова «Письмо к ученому соседу», жизнь людей на Луне невозможна, в частности, потому, что последняя «существует только ночью, а днем исчезает». Этот аргумент соответствует показаниям наших органов чувств, но он ложный с позиции разума. В-четвертых, предикат суждения должен признаваться истинным всеми участниками коммуникации. Иначе одни и те же факты, положения могут оцениваться одновременно как истинные и как ложные. На вопрос Джульетты, как Ромео попал в ее сад, последний отвечает: Я перенесся на крыльях любви: Ей не преграда — каменные стены, Любовь на все дерзает, что возможно, И не помеха мне твои родные. Любовь выступает в глазах Ромео и Джульетты тем единственным аргументом, которым только и можно объяснить их неожиданную и опасную встречу. Любое наказание достигает своей цели только тогда, когда его справедливость признается не только теми, кто наказывает, но и тем, кого наказывают. Выполнение указанных требований гарантирует эффективность коммуникации — то, что новое знание, сообщаемое субъектом, будет включено или не включено в известное, обозначаемое предикатом.
Глава 2. Суждение 113 Упражнения I. Приведите к нормальной форме следующие суждения. 1. Вверх по лестнице, ведущей вниз. 2. Круглый стол с острыми углами. 3. Один ум хорошо, а два лучше. 4. С глаз долой — из сердца вон. 5. С милым рай и в шалаше. II. Постройте превращение, обращение и контрапозицию для каждого суждения из предыдущего упражнения. III. Найдите противоречащее, противоположное и подчиненное суждения для каждого из следующих суждений: 1. Все, что можешь отдать, и есть твое богатство. 2: Человек, и только человек, по природе своей самолюбив и эгоистичен. 3. «Ни один человек не принимается за что бы то ни было, не опираясь на то или другое мнение, которое служит для него мотивом его действия» (Дж. Локк). 4. «Человек свободный, живущий среди невежд, старается, насколько возможно, отклонять от себя их благодеяния» (Б. Спиноза). 5. «Благоразумный человек считает себя ответственным только за то, что налагается на него обязанностями» (А. Смит). IV. Что можно сказать о значении истинности предложений в следующих множествах при допущении, что первое предложение в каждом множестве истинно и ложно? 1. Человек от природы не склонен мыслить. 2. Некоторые люди от природы не склонны к мышлению. 3. Ни один человек от природы не есть человек, несклонный к мышлению. 4. Некоторые, несклонные к мышлению, есть люди. 5. Все, склонные к мышлению, есть не люди. 1. Ни одно доброе дело не забывается. 2. Некоторые забываемые дела не являются добрыми. 3. Ни одно забываемое дело не является недобрым. 4. Все добрые дела забываются. 5. Некоторые добрые дела забываются. V. Сохраняется ли отношение подчинения между общим и частным суждениями с одними и теми же терминами, если слово «некоторые» интерпретировать как «некоторые, но не все» для утвердительных суждений и «некоторые, но не один» для отрицательных суждений? Аргументируйте свой ответ.
Глава 3 Дедуктивные умозаключения Мы еще не поняли многих вещей, которые можно постичь только разумом. Посредством умозаключений можно решить такие задачи, которые ставили в тупик всех, кто искал их решение с помощью своих чувств. А. Конан Дойль «Пять апельсиновых зернышек» (Из разговора Шерлока Холмса с доктором Ватсоном) Определение умозаключения Если понятия — атомы, а суждения — молекулы нашей умственной деятельности, то можно сказать, что умозаключения — это и есть ее основная форма. Рассуждать, задавать вопросы, искать ответы, объяснять, предсказывать, доказывать, опровергать, убеждать, подвергать сомнению, просить, требовать, разрешать, запрещать — все облекается в определенные умозаключения. Поэтому мы вправе утверждать, что умозаключать и мыслить — одно и то же. Умозаключение — способность мышления получать новое знание на основании известного знания. Возможность в процессе умозаключения выявлять новое знание обусловлена синтезом логики классов, или понятий, и логики отношений, или суждений. В этом синтезе обе логики сохраняют свои особенности, но они еще и взаимно дополняют друг друга до более универсальной логики умозаключений. Синтез, в частности, состоит в том, что достигается равновесие между отрицанием как дополнением, характерным для логики классов, и отрицанием как снятием различия, присущим логике отношений. Оба вида отрицания образуют единую систему обратимых преобразований, обладающую свойством самодостаточности1. Наше мышление на уровне умозаключений приобретает возможность осуществлять без каких-либо принципиальных огра- 1 Пиаже Ж. Избранные психологические труды. — М., 1969. С. 567-612.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 115 ничений все преобразования с классами и отношениями и тем самым строить максимально общие модели исследуемой реальности. Мышление, достигнув способности конструировать умозаключения, становится формальным, или символическим, в полном смысле этого слова. Непосредственный анализ действительности, свойственный, например, детям в раннем возрасте, заменяется анализом понятий и суждений о реальности. Мы не проверяем лично, да и большей частью не способны осуществить это физически, все, что нам сообщается. Но мы можем установить истинность или ложность требуемых суждений в процессе умозаключений. Вряд ли когда-либо удастся измерить температуру внутри Солнца непосредственно. Однако с определенной погрешностью это осуществляется благодаря умозаключениям, причем не надо покидать Землю. Благодаря способности к умозаключениям человек преодолевает свою привязанность к наблюдению как самому достоверному источнику знания. Формальный характер умозаключений открывает возможность узнать ненаблюдаемую, но не менее реальную сферу бытия — законы природы и общества. Процесс познания, как свидетельствует история, возможен лишь при совершенствовании формальной стороны мышления человека. Благодаря умению делать умозаключения мышление человека (это и означает развитие его формальной способности) приобретает гипотетический характер. Каждая вещь мыслится не только как она «есть», но № какой она «могла быть» и «может быть» — в единстве со всеми возможностями своего прошлого, настоящего и будущего бытия. Возможное, гипотетическое играет в мышлении не меньшую роль, чем действительное, достоверное. Реальность всегда открывается мыслящему уму в виде комбинаций каких-то возможностей, которые он формулирует на языке гипотез, предположений и из которых стремится выбрать наиболее правдоподобную. Умение мыслить реальность как принципиально гипотетическую систему событий связано с комбинаторной природой нашего мышления, с его способностью строить классификации классификаций и тем самым учитывать все возможные альтернативы развития. Пусть А обозначает суждение «Подул сильный ветер», В — суждение «Тучи заволокли небо». Обычная дихотомическая классификация этих суждений приводит к следующим выводам: 1) Л и В оба истинны; 2) Л истинно и В ложно; 3) Л ложно и В истинно; А) Аи В оба ложны.
116 Часть I. Традиционная логика Если полученные результаты подвергнуть новой классификации по основанию «существует», то получим 24 = 16 возможностей реализации событий, обозначаемых суждениями Л и В. В число этих возможностей попадает как та альтернатива, согласно которой происходят оба события, так и та, согласно которой нет ни одного из них. Следовательно, мы получаем не только 16 гипотез о вероятном развитии событий, но и (самое главное) исчерпывающий перечень логических связей суждений А и В друг с другом. Это означает, что сформулировать какое-либо суждение о связи А и В — то же самое, что выбрать из множества всех альтернатив некоторое подмножество. Иными словами, умозаключать — значит выбирать, решать определенную комбинаторную задачу. В каждом умозаключении можно выделить: • суждения, обозначающие исходное знание и называемые посылками; • суждения (суждение), обозначающие новое знание и называемые заключениями] • подразумеваемые или явно сформулированные правила получения нового знания из данного (заключения из посылок). В повседневных рассуждениях такие правила обычно только подразумеваются. При логическом анализе они тщательно обсуждаются и четко формулируются. Исходное знание может быть знанием либо причин, законов, либо их следствий. Соответственно и новое знание бывает двояким. Если нам известны причины, то новым знанием будет знание их следствий. Если же нам известны следствия, то новым знанием будет знание их причин. В зависимости от того, ищем ли мы по известным причинам следствия или, наоборот, по известным следствиям — их возможные причины, принято различать два вида умозаключений — дедуктивные и недедуктивные. Дедуктивное умозаключение — вывод необходимых следствий из известных причин. Умозаключать дедуктивно (от лат. deductio — «выведение») не означает ничего другого, как умение находить (выводить) необходимые следствия из данных суждений. По этой причине дедукцию иногда определяют как обоснование необходимых условий истинности данного знания. Наоборот, с помощью недедуктивных умозаключений на основании „известных следствий ищут вероятные причины.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 117 Недедуктивное умозаключение — вывод возможной причины на основании известных следствий. Подробный анализ недедуктивных умозаключений дан в гл. 7. Здесь укажем лишь их особенности. Среди недедуктивных умозаключений важнейшими считаются индуктивные умозаключения и умозаключения по аналогии. Типичным примером индуктивного умозаключения, или индукции (от лат. inductio — «наведение»), служит поиск для наблюдаемых фактов объясняющих их причин и законов. Поскольку никакого однозначного пути от фактов к их причинам или законам нет, то процесс индукции представляет, в сущности, выдвижение догадок, гипотез, их последующее испытание и выбор наиболее правдоподобной. Если некоторое событие объясняется или предсказывается на основании структурного, функционального или какого-то другого сходства с другим, уже известным событием, это умозаключение по аналогии, или просто аналогия (от греч. analogia — «соответствие, сходство, подобие»). Делать недедуктивные умозаключения означает или искать возможные причины, или предсказывать что-либо на основании вероятных причин. Как бы то ни было, отличительный признак недедуктивных умозаключений — поиск достаточных условий истинности исходного или предсказываемого знания. Таким образом, выделяются две обратно направленные стратегии познания. Одна из них сводится к обоснованию необходимых условий нашего знания и осуществляется посредством дедуктивных умозаключений. С помощью дедукции из принятых аксиом мы выводим теоремы, из установленных законов или причин — их необходимые следствия. Если посылки и правила выводы истинны, то и дедуктивные заключения будут обязательно истинными. Обратная стратегия состоит в открытии достаточных условий нашего знания. Двигаться в этом направлении означает делать догадки, выдвигать гипотезы, испытывать их и отбирать наиболее правдоподобные. Здесь не может быть, как правило, достоверных заключений, но только вероятные. С помощью индукции и аналогии мы совершаем открытие новых законов и причин и тем самым качественно расширяем сферу нашего знания. Указанные стратегии исчерпывающи: для любого данного события они дают ответы на такие вопросы, как «Почему оно произошло?» и «Что следует ожидать от его осуществления?». Эти вопросы, как и ответы на них, характеризуют самые существенные элементы нашего пони-
118 Часть I. Традиционная логика мания любой вещи. Ибо понимать — не означает ничего иного, как знать причины и их следствия. Отношение логического следования Сущность всех дедуктивных умозаключений составляет отношение логического следования, выражаемое в простейшем виде утверждением «суждение /3 есть необходимое следствие суждения а». Именно это отношение делает суждения необходимыми следствиями других суждений (и себя самих также). Благодаря ему дедуктивные умозаключения в случае истинности своих посылок способны гарантировать истинные следствия. Если нет логического следования одних суждений из других, не может быть и дедуктивного умозаключения. Если умозаключение дедуктивно, задано отношение логического следования, есть посылки и заключения. Отношение логического следования упорядочивает все суждения таким образом, что некоторые из них выполняют функцию посылок, а остальные — их необходимых заключений. Заключение называется дедуктивным, если и только если оно — необходимое следствие всех посылок. Следствие называется необходимым, если и только если его дополнение (логическое отрицание) несовместимо с посылками. Принимая во внимание проблему сохранения истины (см. «Введение»), возможно определять отношение логического следования просто как способность умозаключений сохранять истинность. Поскольку этот признак не единственный, ниже даются несколько равнозначных определений данного отношения. Пусть а и /3 обозначают произвольные множества суждений (в простейшем случае аи /3 обозначают суждения). Справедливо следующее определение, в котором все три условия взаимозаменяемые: Р логически следует из аф—дедуктивное заключение посылок а), если и только если: 1) р — необходимое следствие а; 2) если а истинно, то /Зтакже истинно; 3) объем а полностью включен в объем ft (содержание /3 полностью включено в содержание а). Допустим, а= «Сегодня понедельник», /?= «Сегодня понедельник или вторник». Докажем, используя введенное определение, что между
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 119 суждениями а и /3 существует отношение одностороннего логического следования: /3 — дедуктивное следствие а, но не наоборот. Логическим отрицанием /3 будет суждение -./3 = «Неверно, что сегодня понедельник или вторник», которое эквивалентно суждению «Сегодня или среда, или четверг... или воскресенье». Но -i/З очевидно несовместимо с посылкой а. Значит, суждение /3 — необходимое, т. е. дедуктивное следствие а. В то же время логическое отрицание а, суждение -i« = «Неверно, что сегодня понедельник», совместимо с Д когда сегодня означает вторник. Следовательно, а не может быть дедуктивным следствием Д Допустим, суждение а истинно. Тогда и суждение /3 также истинно, потому что его отрицание -»/3 несовместимо с истинностью а. Значит, /3 — необходимое и тем самым дедуктивное следствие а. Допустим теперь, что /3 истинно, а «ложно. Ложность суждения а не опровергает истинность Д Стало быть, а не может быть дедуктивным следствием Д Объем суждения а равен классу «Сегодня первый день недели». Содержание а — сумме всех остальных альтернатив: «Сегодня второй день недели»... «Сегодня седьмой день недели». Объем суждения /3равен сумме классов «Сегодня первый день недели» и «Сегодня второй день недели». Содержание /3— сумме остальных возможностей: «Сегодня третий день недели»... «Сегодня седьмой день недели». Из сказанного следует, что объем суждения а включен в объем Д а содержание последнего суждения есть часть содержания а. Значит, /3 — необходимое и тем самым дедуктивное следствие суждения а. Из этого также следует, что объем /3 не является частью объема а и содержание а не есть часть Д Следовательно, суждение а не может быть дедуктивным следствием суждения Д Введенное определение отношения логического следования распространяется как на понятия, так и на суждения и умозаключения. Оно образует фундамент всей логики (классической и неклассической). Различаются только способы вывода заключений, удовлетворяющие этому отношению, но само оно принадлежит к незыблемым основаниям логики как науки об открытии, обосновании и сохранении истины. Отношение логического следования при истинности посылок гарантирует истинность заключения. На этом основании многие рационалисты считали, что при выборе надлежащих посылок одних только дедуктивных рассуждений достаточно, чтобы познать всю природу. Но оправданны ли эти надежды? Дедуктивные умозаключения действительно гарантируют перенос истинности с посылок на заключение, но при этом происходит неизбежная потеря логической информации. При
120 Часть I. Традиционная логика последовательном выведении каждое новое следствие не может исключать больше, чем ему предшествующее. Поэтому чем длиннее цепь дедуктивных следствий, тем тривиальнее последнее из них. Рассмотрим простой пример. Напомним, что логическая информация суждения пропорциональна числу исключаемых им классов универсума. Допустим, универсум состоит из восьми классов, образующих объем суждения «Некоторые 5 есть Р». Тогда логическая информация суждения «Только 5 есть Р» равна 6/8, суждения «Все 5 есть Р» — 4/8, суждения «Некоторые 5 есть Р» — 0. И все три суждения связаны отношением логического следования: «Некоторые S есть Р» следует из суждения «Все 5 есть Р», а последнее представляет необходимое следствие суждения «Только 5есть Р». Таким образом, если истинно «Только S есть Р», то с необходимостью истинны «Все S есть Р» и «Некоторые 5 есть Р». Будучи все истинными, каждое из них имеет разное информационное содержание, убывающее по мере увеличения длины цепи следствий. Это означает, что вывод одних только истинных следствий нельзя считать исчерпывающим критерием дедуктивного рассуждения. Необходимо также учитывать информативность выводимых следствий. Из рассмотренного примера следует также, что своеобразным пределом дедуктивного рассуждения выступает логически истинное суждение, каковым в нашем примере служит «Некоторые 5 есть Р». Информативность таких суждений равна нулю. Следовательно, все попытки получить знание о мире с помощью одной только дедукции обречены, по крайней мере, на информационное бесплодие. Приведенное определение логического следования общее, но оно еще неконструктивно, так как не указывает, как именно следует искать дедуктивные следствия из посылок. В.следующем параграфе этот недостаток устраняется. Предлагается простой алгоритм вывода всех необходимых следствий из посылок, представляющих простые суждения. Простые суждения и деревья Существует большое число методов вывода необходимых следствий из посылок. Среди них наиболее известны следующие. 1. Традиционный — сведение дедуктивных умозаключений к правильным фигурам и модусам. Он восходит к Аристотелю, позже был усовершенствован средневековыми логиками и до сих пор доминирует в учебной литературе. 2. Метод кругов Л. Эйлера.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 3. Метод диаграмм Дж. Венна. 4. Метод диаграмм и метод индексов Л. Кэрролла. 5. Метод семантических таблиц. Традиционный метод требует механического запоминания большого числа правил, фигур и модусов. Кроме того, он применим к ограниченному виду суждений (с терминами без знаков отрицания). Методы кругов Л. Эйлера, диаграмм Дж. Венна и Л. Кэрролла более эффективны, но требуют при решении задач использования большого числа рисунков. Метод индексов Л. Кэрролла представляет аналитический вариант его же метода диаграмм и при большом числе посылок становится плохо контролируемым. Использование метода семантических таблиц невозможно без предварительного знания определенных разделов символической логики, что в значительной степени лишает традиционную логику самодостаточности. Учитывая отмеченные ограничения, ниже предлагается простой, но чрезвычайно эффективный метод поиска дедуктивных следствий. Он возник при усовершенствовании метода диаграмм Л. Кэрролла и основан на следующем фундаментальном свойстве логического квадрата: Истинность любого общего суждения эквивалентна истинности подчиненного ему частного суждения и ложности противоречащего ему частного суждения. Из истинности общеутвердительного суждения «Все 5 есть Р» следует истинность подчиненного ему частного суждения «Некоторые 5 есть Р», что доказывает существование по крайней мере одной вещи, обладающей свойствами 5 и Р, и ложность противоречащего ему частного суждения «Некоторые 5 не есть Р», что доказывает невозможность существования ни одной вещи, обладающей свойствами 5 и -«Р. Из истинности общеотрицательного суждения «Ни один S не есть Р» следует истинность подчиненного ему частного суждения «Некоторые 5 не есть Р», что доказывает наличие по крайней мере одной вещи, обладающей свойствами 5 и -iP, и ложность противоречащего ему суждения «Некоторые 5есть Р», а это подтверждает невозможность существования вещей, обладающих свойствами 5 и Р. Из истинности частного суждения «Некоторые 5 есть Р» следует существование по меньшей мере одной вещи со свойствами 5 и Р, но не следует никакой информации относительно существования вещей со свойствами S и -iP. Из истинности частного суждения «Некоторые 5 не есть Р» следует существование по меньшей мере одной вещи со свойствами 5 и -iP, но
122 Часть I. Традиционная логика не следует никакой информации относительно существования вещей со свойствами 5 и Р. Указанное свойство логического квадрата фактически означает редукцию истинности общих суждений к определенному распределению значений истинности частных суждений. Основываясь на этом свойстве, каждое простое суждение можно символизировать в качестве определенной структуры, которую мы будем называть деревом означенных частных суждений. В качестве базиса символизации выберем частные суждения «Некоторые 5 есть Р» и «Некоторые 5 не есть Р». Они отличаются друг от друга только типом связки. Если суждение «Некоторые 5 не есть Р» превратить, то отрицание со связки перейдет на предикат и мы получим эквивалентное ему суждение «Некоторые S есть -iP». Суждения «Некоторые 5 есть Р» и «Некоторые S есть -iP» имеют общий субъект 5 и противоречащие предикаты — Р и -iP. Их объединение в общую структуру называется деревом (рис. 3.1). S Р -,Р Рис. 3.1. Дерево простого суждения Термин 5 — общий субъект для обоих суждений, поэтому он обозначает вершину дерева. Предикаты Р и -чР несовместимы друг с другом, но оба связаны с термином S. Эта часть информации символизируется как расхождение ветвей дерева из общей вершины 5. Однако дерево, изображенное на рис. 3.1, еще ничего не говорит о логических свойствах самих частных суждений и свойствах результирующего суждения. Для этого ветви дерева следует обозначить определенными знаками истинности. Пусть знак «+» обозначает истинность частного суждения, знак «о» — его ложность, знак «?» — его неопределенность. Существуют четыре вида простых суждений. Каждый из них может быть представлен посредством определенной комбинации знаков «+», «о» и «?». Результаты символизации простых суждений (вместе с итогами их превращения) представлены ниже. На рис. 3.2 приведены рисунки деревьев простых суждений. Одно из преимуществ изображения простых суждений в форме дерева — возможность их одновременного чтения как утвердительных, так и отрицательных.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 123 Все S есть Р Ни одно S не есть ->Р S Ни одно S не есть Р Все S есть ->Р S Существует хотя бы одна вещь со свойствами S и Р (левая ветвь). Не существует ни одной вещи со свойствами S и -Р (правая ветвь). Некоторые S есть Р Некоторые S не есть ->Р Существует хотя бы одна вещь со свойствами S и -лР (правая ветвь). Не существует ни одной вещи со свойствами S и Р (левая ветвь). Некоторые S не есть Р Некоторые S есть -.Р Существует хотя бы одна вещь со свойствами S и Р (левая ветвь). Информация о существовании вещей со свойствами S и -Р отсутствует (правая ветвь). Существует хотя бы одна вещь со свойствами S и ->Р (правая ветвь). Информация о существовании вещей со свойствами S и Р отсутствует (левая ветвь). Рис. 3.2. Деревья простых суждений Дедуктивные умозаключения с двумя посылками (простые силлогизмы) Дедуктивные умозаключения вида: Эта водоплавающая птица не крякает. Все утки крякают. Эта водоплавающая птица — не утка, в котором ровно две посылки, принято называть простыми силлогизмами (от греч. syllogismos — «сосчитывание», «выведение»). Посылки отделяются от заключения, как правило, горизонтальной чертой — графическим символом отношения логического следования (заключение записывается под чертой). Силлогизм в целом читается следующим образом: если истинны посылки «Эта водоплавающая птица не крякает» и «Все утки крякают», то с необходимостью истинно и заключение «Эта водоплавающая птица — не утка». Создал теории силлогизмов Аристотель. Позже средневековые схоласты придали ей совершенный по тем временам вид учебной дисциплины, и с тех пор решение силлогизмов составляет важнейшую часть любого курса традиционной логики.
124 Часть I. Традиционная логика Формальное определение простого силлогизма таково: Три суждения образуют простой силлогизм, если 1) три различных термина силлогизма {А, В и С), возможно, со знаками отрицания, есть независимые понятия с одним общим универсумом U\ 2) одна из посылок содержит субъект заключения (А) и исключаемый термин (Б), другая — предикатзаключения (С) и исключаемый термин (В); 3) исключаемый термин (В) в заключении отсутствует; 4) все суждения связаны отношением логического следования так, что одно из них (заключение) выступает необходимым условием истинности двух других (посылок). При решении силлогизмов существенное значение имеет выполнение пункта 1 из определения силлогизма, т. е. нахождение ближайшего общего универсума для всех трех терминов. Если его определить нельзя, силлогизм решения не имеет. Например, подавляющее большинство начинающих изучать логику пытается найти необходимое заключение из посылок следующего силлогизма Л. Кэрролла: Сахар сладкий. Все дети любят сладкое. ? При этом не обращается внимание на то, что посылки не являются разновидностями (ближайшего) общего универсума. В первой говорится о продуктах, во второй — о людях. Напомним, что универсум понятия должен представлять объем ближайшего родового понятия; универсум суждения — ближайший класс вещей, обобщающий оба его термина; универсум простого силлогизма — ближайший класс вещей, обобщающий все три его термина. Продолжим анализ силлогизма о птицах. Согласно приведенному выше определению, А обозначает субъект заключения, В — исключаемый (средний) термин, С — предикат заключения. Функция исключаемого термина В заключается в том, чтобы связать субъект и предикат заключения в одно смысловое целое в соответствии со следующей аксиомой силлогизма: Из Л следует В и из В следует С. Из Л следует С. ^ ' Аксиома силлогизма гласит, что после того, как термины Л и С связаны термином В, последний может быть исключен из дальнейшего анализа. Порядок посылок в силлогизме несущественен, впрочем несущественно и то, каким термином — А или С — обозначается субъект за-
Глава 3, Дедуктивные умозаключения 125 ключения. Для любого силлогизма важно правильное определение исключаемого термина В. Чтобы это было корректным, необходимо найти понятие, входящее в обе посылки — возможно, со знаком отрицания или без него. Других таких понятий в силлогизме не должно быть. В приведенном примере: А = «птицы, принадлежащие к классу "этих водоплавающих"», В = «птицы, которые крякают», С = «птицы, являющиеся утками», U = «птицы». В символической записи силлогизм выглядит следующим образом: Ни одно Л не есть В. Все С есть В. Ни одно Л не есть С. Чтобы решать силлогизмы, надо знать соответствующие правила. Прежде чем их сформулировать, закончим анализ примера с птицами. Допустим, мы не знаем, что следует из посылок в качестве дедуктивного заключения. Как можно это выяснить, исходя только из информации, сообщаемой посылками? Так как буква А обозначает субъект заключения, то ищем посылку, в которую она входит, и строим соответствующее ей дерево согласно табл. 3.1 (см. далее). Получаем: А оА+ В -& Отмечаем, что буква Л связана разрешающим знаком «+» с буквой -ъВ. Значит, чтобы продолжить дерево, необходимо преобразовать оставшуюся посылку таким образом, чтобы на месте ее субъекта также появилась буква -ъВ. Только в этом случае будет выполнена аксиома силлогизма (*). Вторая посылка имеет вид «Все С есть 5». Значит, достаточно ее противопоставить, чтобы выполнить требование аксиомы (*). Результат противопоставления таков: «Все -ьВ есть -iC». Создаем дерево этой посылки и присоединяем его к уже построенному дереву первой посылки. В итоге получается: А 4+ в -.я оА+
126 Часть I. Традиционная логика О чем свидетельствует полученное дерево силлогизма? Оно показывает, что все птицы, обладающие свойством Л, также обладают свойством -iB, а все птицы, обладающие свойствами Л и -J3, обладают и свойством -iC Отбрасывая в соответствии с требованием аксиомы силлогизма (*) промежуточный термин -Д получаем, что все птицы, обладающие свойством Л, необходимо обладают свойством -iC, т. е. выводится заключение «Все Л есть -.С» или, после превращения, «Ни одно Л не есть С». Формально процесс вывода заключения строится так. Знак «о» выполняет функцию нуля, так обозначает нулевую вероятность существования обозначаемой им ветви дерева. Его умножение на любой другой знак снова дает «о». Значит, вероятности продолжения ветвей ABC и ЛВ-iC равны нулю. По этой причине все ветви, отмеченные знаком «о», не имеют продолжений. Аналогичным образом и вероятность ветви Л-тВСбыть продолженной нулевая, так как умножение «+» на «о» дает «о». Поскольку сумма вероятностей для всех ветвей дерева всегда равна 1, то следует, что вероятность для ветви Л-iB-iC максимальна, т. е. составляет 1. В результате силлогистическое дерево принимает еледу- . ющйй вид: А оА+ что и доказывает необходимость заключения «Все Л есть -.С» или, что то же, «Ни одно Л не есть С>>. Изменим первую посылку в нашем силлогизме: Некоторые А не есть В. Все С есть В. Что следует? Дерево первой посылки принимает следующий вид: А В -тЯ Дерево второй посылки остается без изменения. Объединив оба дерева в одно, получаем:
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 127 В Как это можно понять? Знак неопределенности «?», которым отмечено суждение «Некоторые А есть В», означает, что у нас нет однозначной информации о том, связан ли термин А с В знаком «+» или знаком «о». По этой причине нельзя исключить возможность связи А с В и Сзнаком «+». И поскольку такой альтернативы исключить нельзя, то независимо от знака «о», маркирующего суждение «Некоторые -лВ есть С», необходимым может быть только заключение «Некоторые А не есть С». Все заключения делятся на несколько видов согласно следующему определению. Заключение называется прямым, если оно начинается с 4; противоположным, если оно начинается с отрицания А, т. е. с -v4; обратным, если начинается с С; обратнопротивоположным, если оно начинается с отрицания С, т. е. с ->С. Обратное заключение представляет результат обращения, противоположное — результат отрицания субъекта прямого заключения, обратно-противоположное — итог противопоставления прямого заключения. Прямое, обратное, обратнопротивоположное (или противоположное) заключения вместе исчерпывают все возможные виды решений силлогизма. Правила решения силлогизмов можно разделить на правила построения силлогистического дерева (табл. 3.1) и правила вывода заключения (табл. 3.2). Рассмотрим несколько примеров решения силлогизмов, посылки которых не интерпретированы в естественном языке. Пример 1 Доказать выводимость прямого заключения из следующих посылок: Ни одно А не есть -J3. Ни одно В не есть С. Ни одно А не есть С.
128 Часть I. Традиционная логика Таблица 3.1 Правила построения силлогистического дерева 1. Если опыт или интуиция сразу не подсказывают решение силлогизма, последовательно строятся его деревья для вывода заключения произвольного вида и в любом порядке. 2. Дерево силлогизма считается законченным, если и только если при его построении использованы все посылки. 3. Дерево силлогизма строится из деревьев посылок согласно шаблонам рис. 3.2, с использованием формул превращения, обращения и противопоставления. Дерево частной посылки всегда выбирается в качестве вершины дерева силлогизма. 4. Продолжается только та ветвь, которая отмечена знаком «+». Ни одна из ветвей, отмеченных знаками «о» или «?», далее не используется. 5. Вершиной и конечными узлами силлогистического дерева могут быть только Л, -лАу С или -«С (и никогда В или —&). \ Таблица 3.2 Правила вывода заключения 1. Если в верхней и нижней частях силлогистического дерева — только знаки «+» и «о», то заключение может быть как общим, так и частным. 2. Если в верхней части дерева — знаки «+» и «?», а в нижней — «+>>, «о», то заключение может быть только частным. 3. Ничего не следует из данной формы дерева силлогизма в качестве необходимого заключения, если: а) оно не может быть закончено из-за появления в верхней части двух знаков «?»; б) в его нижней части имеется хотя бы один знак «?». 4. Силлогизм в целом не имеет решения, если и только если нет прямого, обратного и обратнопротивоположного (или противоположного) заключения. Доказательство: ¦д. оЛ + с -.с
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 129 Пример 2 Доказать выводимость противоположного заключения из следующих посылок: Все В есть -А. Все С есть —&. Некоторые -Л не есть С. Доказательство (после обращения первой и противопоставления второй посылок): Пример 3 Доказать выводимость обратного заключения из следующих посылок: Все В есть -А. Некоторые С не есть -J3. Некоторые С не есть А. Доказательство (после превращения второй посылки): С В -,В о/\+ Л -Л Пример 4 Доказать выводимость обратно-противоположного заключения из следующих посылок: Ни одно А не есть В. Ни один С не есть В. Некоторые -.С не есть А. 5-1742
130 Часть I. Традиционная логика Доказательство (после противопоставления и обращения второй посылки, обращения первой посылки): +А? В -.Я оЛ+ А -А Пример 5 Доказать, что следующий силлогизм не имеет решения: Все А есть Я. Некоторые Я есть С. / Доказательство. Невозможность прямого, обратного, противоположного, обратнопротивоположного заключений доказывают следующие деревья: А С в s в +А? +А? С -iC А -Л прямое заключение невозможно . обратное заключение невозможно °/ Я —\В В —>Я противоположное заключение обратнопротивоположное невозможно заключение невозможно Прямое, обратное и противоположное заключения не следуют с необходимостью из приведенных посылок, потому что в нижней части деревьев силлогизма стоят знаки «?». Обратнопротивоположное заключение не следует, потому что дерево силлогизма не было закончено из-за двух знаков «?», появившихся в верхней его части. Так как ни прямое, ни обратное, ни обратнопротивоположное (или противополож-
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 131 ное) заключение из данных посылок невозможны, силлогизм в принципе не имеет дедуктивного решения. Это и требовалось доказать. Допустим, посылки силлогизма сформулированы в естественном языке. В этом случае сначала приводим их к нормальной форме. Определяем универсум силлогизма и находим исключаемый термин. Следующий алгоритм позволяет быстро и надежно привести любой силлогизм к виду, удобному для формального решения. Таблица 3.3 Алгоритм решения простого силлогизма 1. Формулируем посылки силлогизма. 2. Приводим обе посылки к нормальной форме. Если невозможно определить ближайший общий универсум силлогизма, значит, данный силлогизм решения не имеет. 3. Формализуем посылки. Ищем понятие, которое входит в обе посылки в утвердительной и/или отрицательной форме. Если такое понятие есть и оно единственное, то это исключаемый термин. Обозначаем его буквой В. Если такого понятия нет или оно не единственное, то данный силлогизм решения не имеет. Рассматриваем первую посылку. То понятие, которое не является исключаемым термином, определяем как субъект заключения и обозначаем буквой А. Рассматриваем вторую посылку. То понятие, которое не является исключаемым термином, определяем как предикат заключения и обозначаем буквой С. А. Создаем дерево силлогизма и решаем силлогизм. 5. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с символического языка на естественный. Рассмотрим несколько примеров решения силлогизмов согласно указанному алгоритму.1 Пример 1 Посылки Боль подтачивает силы человека. Никакая боль не желательна. Нормальная форма Все ощущения, называемые болью, есть посылок ощущения, подтачивающие силы человека. Ни одно ощущение, называемое болью, не есть ощущение, которое желательно. Формализация посылок U - «ощущения», В - «болезненные», Л = «подтачивающие силы человека», С - «желательные». 1 Кэрролл JI. Логическая игра. - М., 1991. С. 57-62.
132 Часть I. Традиционная логика Дерево силлогизма Решение силлогизма Интерпретация силлогизма Пример 2 Посылки Нормальная форма посылок Формализация посылок Дерево силлогизма Все Б есть Л. Ни одно В не есть С. А + А ? / \ В S Все В есть А. Ни одно В не есть С. Некоторые А не есть С. Боль подтачивает силы человека. Никакая боль не желательна. Некоторые ощущения, которые подтачивают силы человека, нежелательны. Тем, кто лыс, расческа не нужна. Ни одна ящерица не имеет волос. Ни одно лысое существо не есть существо, которому нужна расческа. Ни одно живое существо, являющееся ящерицей, не есть существо, имеющее волосы. U = «живое существо», В = «лысое», А = «нуждающееся в расческе», С = «являющееся ящерицей». Ни одно В не есть А. Ни одно С не есть -*В. В Решение силлогизма Интерпретация силлогизма Ни одно В не есть А. Ни одно С не есть -.J5. Некоторые А не есть С. Тем, кто лыс, расческа не нужна. Ни одна ящерица не имеет волос. Тот, кто нуждается в расческе, — не ящерица.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 133 Пример 3 Посылки Нормальная форма посылок Формализация посылок Дерево силлогизма Решение силлогизма Интерпретация силлогизма Пример 4 Посылки Нормальная форма посылок Формализация посылок Все невнимательные люди совершают оплошности. Ни один внимательный человек не забывает своих обещаний. Все невнимательные люди есть люди, совершающие оплошности. Ни один внимательный человек не есть человек, забывающий свои обещания. U— «люди», В = «внимательные», А - «совершающие оплошности», С = «забывающие свои обещания». Все -.J5 есть А Ни одно В не есть С. -Л В С -.С Все —iB есть А. Ни одно В не есть С. Все —Л есть -iC. Все невнимательные люди совершают оплошности. Ни один внимательный человек не забывает своих обещаний. Тот, кто не совершает оплошностей, не забывает о своих обещаниях. Картошка — не ананас. Все ананасы приятны на вкус. Ни один плод, называемый картошкой, не есть плод, называемый ананасом. Все плоды, называемые ананасами, есть плоды, приятные на вкус. U= «плоды», В = «называемые ананасами», А - «называемые картошкой», С = «приятные на вкус». Ни одно Л не есть В. Все В есть С.
134 Часть I. Традиционная логика Дерево силлогизма С +А ? Решение силлогизма Интерпретация силлогизма Пример 5 Посылки Нормальная форма посылок Формализация посылок Дерево силлогизма Решение силлогизма Интерпретация силлогизма В S А -А Ни одно А не есть В. Все В есть С. Некоторые С не есть А. Картошка — не ананас. Все ананасы приятны на вкус. Существуют плоды, приятные на вкус и не являющиеся картошкой. Ни одна булавка не имеет честолюбивых намерений. Ни одна иголка — не булавка. Ни одна вещь, называемая булавкой, не является вещью с честолюбивыми намерениями. Ни одна вещь, называемая иголкой, не является вещью, называемой булавкой. U - «вещи», В = «называемые булавками», А = «имеющие честолюбивые намерения», С = «называемые иголками». Ни одно В не есть А. Ни одно С не есть В. В о А + А -Л Ни одно В не есть А. Ни одно С не есть В. Некоторые -.С есть -А. Ни одна булавка не имеет честолюбивых намерений. Ни одна иголка — не булавка. Существуют вещи, не являющиеся иголками и не имеющие честолюбивых намерений.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 135 Пример 6 Посылки Нормальная форма посылок Формализация посылок Дерево силлогизма Решение силлогизма Интерпретация силлогизма Все разумные люди ходят на ногах. Все неразумные люди ходят на руках. Все разумные люди есть люди, ходящие на ногах. Все неразумные люди есть люди, ходящие на руках. U- «люди», В = «разумные, Л - «ходящие на ногах», С = «ходящие на руках». Все В есть Л. Все -.J3 есть С. +/\ о В iJ5 А° / \ Л -и4 Все В есть Л. Все -iJ5 есть С. Все-.Сесть Л. Все разумные люди есть люди, ходящие на ногах. Все неразумные люди есть люди, ходящие на руках. Пример 7 Посылки Нормальная форма посылок Формализация посылок Все, кто не ходит на руках, ходит на ногах. Занимайтесь своим делом. Эта ссора — не ваше дело. Все ваши дела есть дела, которыми немедленно следует заняться. Ни одно дело, называемое «этой ссорой», — не есть ваше дело. U= «дела», В = «ваши», Л = «которыми следует немедленно заняться», С = «эта ссора». Все В есть Л. Ни одно С не есть В.
136 Часть I. Традиционная логика Дерево силлогизма Решение силлогизма Интерпретация силлогизма А В -лВ о/\+ С -iC Все В есть А. Ни одно С не есть В. Некоторые Л есть -«С. Занимайтесь своим делом. Эта ссора — не ваше дело. Пример 8 Посылки Нормальная форма посылок Формализация посылок Дерево вывода прямого заключения Существуют дела, которыми следует немедленно заняться и которые не имеют отношения к этой ссоре. Некоторые сорта герани красного цвета. Все эти цветы красные. Некоторые сорта герани — цветы красного цвета. Все эти цветы красного цвета. U= «цветы», В = «красного цвета», А = «сорта герани», С= «эти». Некоторые А есть В. Все С есть В. Дерево вывода обратного заключения Дерево вывода противоположного заключения у -л в Л в с Л ч' А -А "\ V \ S
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 137 Нет решения Некоторые А есть В. Все С есть В. ? Интерпретация Некоторые сорта герани есть цветы силлогизма красного цвета. Все эти цветы красного цвета. Дедуктивные умозаключения с тремя и более посылками (сложные силлогизмы) Силлогизм называется сложным, если в нем более двух посылок. Последние формулируются, как правило, в виде общих суждений. Возможен также вывод и с одной частной посылкой, если она образует вершину дерева силлогизма. Сложные силлогизмы принято делить на разные виды. Однако подобное деление излишне, поскольку способ решения сложных силлогизмов любого вида един. Рассмотрим сначала пример, а потом укажем общий алгоритм решения сложных силлогизмов. Допустим, дано: 1. Ни одно С не есть D. 2. Все А есть D. 3. Все В есть С. Все А есть —iJ5. В каждом правильно построенном сложном силлогизме должно быть два различных термина, входящих в посылки только один раз и образующих соответственно субъект и предикат заключения. В нашем примере это А и В. Все остальные термины — Си D — исключаемые, поскольку их единственная функция состоит в том, чтобы логически связать субъект и предикат заключения. Таким образом, в сложных силлогизмах имеется более одного исключаемого термина. Найдя два термина, входящие в посылки один раз, выбираем любой из них в качестве вершины силлогистического дерева, например А: А У\° D -J) в
138 Часть I. Традиционная логика Двигаясь от вершины А по путям, отмеченным знаком «+», и принимая во внимание, что все противоположные им пути отмечены знаком «о», приходим к окончательному ответу: «Все Л есть -iB». Если выбрать в качестве вершины силлогистического дерева термин В, то мы получим противопоставление первого заключения, суждение «Все В есть -тЛ»: В D -¦?> о А -Л Оба заключения эквивалентны друг другу. Следовательно, достаточно получить какой-либо один из них. Кроме основного заключения, деревья сложных силлогизмов позволяют выводить и промежуточные, если они интересны по тем или иным причинам. Например, в рассматриваемом примере промежуточными будут заключения «Ни одно А не есть С» и «Ни одно D не есть В». Рассмотренный пример позволяет сформулировать алгоритм решения сложных силлогизмов. Таблица 3.4 Алгоритм решения сложного силлогизма 1. Формулируем посылки сложного силлогизма. 2. Приводим посылки к нормальной форме. 3. Определяем универсум силлогизма и обозначаем термины в алфавитном порядке латинскими буквами. 4. Записываем все посылки в символической форме и решаем силлогизм. 5. Если силлогизм имеет решение, переводим заключение с символического языка на естественный. Поскольку сложный силлогизм — это умноженный простой, то правила вывода заключения в данном случае принципиально не отличаются от соответствующих правил, принятых для простых силлогизмов. Но есть и некоторые особенности. Во-первых, для сложных силлогизмов обратная и обратнопротивоположная формы дерева совпадают. Во-
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 139 вторых, частные посылки в таком силлогизме, как правило, отсутствуют. Если же частная посылка входит, то она должна быть единственной и, кроме того, она должна быть вершиной дерева, В противном случае силлогизм не будет иметь решения. Рассмотрим несколько примеров решения сложных силлогизмов1. Пример 1 Посылки Нормальная форма посылок Формализация посылок Дерево силлогизма Решение силлогизма Интерпретация 1. Малые дети неразумны. 2. Тот, кто способен укрощать крокодилов, заслуживает уважения. 3. Неразумные люди не заслуживают уважения. 1. Люди, называемые малыми детьми, есть неразумные люди. 2. Все люди, способные укрощать крокодилов, есть люди, заслуживающие уважения. 3. Все неразумные люди есть люди, не заслуживающие уважения. U = «люди», А = «малые дети», В = «неразумные», С = «способные укрощать крокодилов», D = «заслуживающие уважения». 1. Все Л есть Б. 2. Все С есть D. 3. Все В есть -.?>. А В D -.D С -.С 1. Все Л есть В. 2. Все С есть D. 3. Все В есть -iD. Все А есть -iC 1. Люди, называемые малыми детьми, есть неразумные люди. 1 Кэрролл Л. История с узелками. - М., 1973. С. 291-304.
140 Часть I. Традиционная логика Пример 2 Посылки Нормальная форма посылок Формализация посылок Дерево силлогизма Решение силлогизма 2. Все люди, способные укрощать крокодилов, есть люди, заслуживающие уважения. 3. Все неразумные люди есть люди, не заслуживающие уважения. Малые дети не способны укрощать крокодилов. 1. Мои кастрюли — единственные из принадлежащих мне вещей, которые сделаны из олова. 2. Все ваши подарки чрезвычайно полезны. 3. Ни от одной из моих кастрюль нет никакой пользы. 1. Только некоторые из моих вещей, именно кастрюли, есть вещи, которые сделаны из олова. 2. Все мои вещи, являющиеся вашими подарками, есть чрезвычайно полезные вещи. 3. Ни одна моя вещь, являющаяся кастрюлей, не есть вещь, которая полезна. и= «мои вещи», Л = «кастрюли», В = «сделанные из олова», С= «ваши подарки», D = «чрезвычайно полезные». 1. Все Весть Л. 2. Все Сесть D. 3. Ни одно Л не есть D. С ¦А. D -i?) оА+ Л -А о В -,В 1. Все Лесть А 2. Все Сесть Ь. 3. Ни одно А не есть D. Все С есть
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 141 Интерпретация силлогизма Пример 3 Посылки Нормальная форма посылок Формализация посылок Дерево силлогизма 1. Мои кастрюли — единственные из принадлежащих мне вещей, которые сделаны из олова. 2. Все ваши подарки чрезвычайно полезны. 3. Ни от одной из моих кастрюль нет никакой пользы. Ваши подарки сделаны не из олова. 1. Ни один из товаров, который был куплен и оплачен, не находится более в продаже в этом магазине. 2. Ни один из этих товаров нельзя вынести из магазина, если на нем нет ярлычка с надписью «Продано». 3. Ни на одном из этих товаров нет ярлычка с надписью «Продано», если он не куплен и не оплачен. 1. Ни один из товаров в этом магазине, который был куплен и оплачен, не есть товар, который находится в продаже в этом магазине. 2. Ни один из этих товаров, если на нем нет ярлычка с надписью «Продано», не есть товар, который можно вынести из этого магазина. 3. Ни один из товаров в этом магазине, если он не куплен и не оплачен, не есть товар, на котором имеется ярлычок с надписью «Продано». U= «товары в этом магазине», Л = «купленные и оплаченные», В = «находящиеся в продаже», С = «с ярлычком с надписью "Продано"», D = «которые можно вынести из этого магазина». 1. Ни одно Л не есть В. 2. Ни одно -iC не есть D. 3. Ни одно -v4 не есть С. В о/\+ (см. след. с.)
142 Часть I. Традиционная логика Интерпретация силлогизма Решение силлогизма 1. Ни одно А не есть В. 2. Ни одно -лС не есть D. 3. Ни одно —Л не есть С. Ни одно В не есть D. 1. Ни один из товаров, который был куплен и оплачен, не находится более в продаже в этом магазине. 2. Ни один из этих товаров нельзя вынести из магазина, если на нем нет ярлычка с надписью «Продано». 3. Ни на одном из этих товаров нет ярлычка с надписью «Продано», если он не куплен и не оплачен. Ни один из товаров, еще продающихся в этом магазине, нельзя вынести. В следующих примерах пункт, связанный с приведением посылок к нормальной форме, опускается. Пример 4 Посылки 1. Ни одна интересная поэма не останется непризнанной людьми с тонким вкусом. 2. Ни одна современная поэма не свободна от аффектации. 3. Все ваши поэмы написаны о мыльных пузырях. 4. Ни одна аффектированная поэма не находит признания у людей с тонким вкусом. 5. Ни одна древняя поэма не написана о мыльных пузырях. Формализация посылок U - «поэмы», А = «интересные», В = «получившие признание у людей с тонким вкусом», С= «современные», D = «аффектированные», Е = «ваши», Я = «написанные о мыльных пузырях». 1. Ни одно А не есть -J3. 2. Ни одно С не есть -uD. 3. Все ? есть Я. 4. Ни одно D не есть В. 5. Ни одно -.С не есть Я.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 143 Дерево силлогизма Решение силлогизма Интерпретация силлогизма Пример 5 Посылки 7 / в у / с А° / \ D -,. \+ \ -,В Е А» я -л/ \° \ -уС D А -А 1. Ни одно Л не есть -J3. 2. Ни одно С не есть —iD. 3. Все ? есть Я. 4. Ни одно В не есть ?). 5. Ни одно -iC не есть Я. Ни один ? не есть А. 1. Ни одна интересная поэма не останется непризнанной людьми с тонким вкусом. 2. Ни одна современная поэма не свободна от аффектации. 3. Все ваши поэмы написаны о мыльных пузырях. 4. Ни одна аффектированная поэма не находит признания у людей с тонким вкусом. 5. Ни одна древняя поэма не написана о мыльных пузырях. Ни одна ваша поэма не интересна. 1. Ни один муж, дарящий жене новые платья, не может быть несговорчивым. 2. Аккуратный муж всегда возвращается домой к чаю. 3. Жене нелегко приводить в порядок одежду мужа, если он имеет обыкновение вешать свою шляпу на газовый рожок. 4. Хороший муж всегда дарит жене новые платья. 5. Ни один муж не может не быть несговорчивым, если жена не следит за его одеждой.
144 Часть I. Традиционная логика Формализация посылок Дерево силлогизма Решение силлогизма Интерпретация силлогизма 6. Неаккуратный муж всегда вешает свою шляпу на газовый рожок. U - «мужья», А = «дарящие жене новые платья», В = «несговорчивые», С = «аккуратные», D = «всегда возвращающиеся домой к чаю», Е = «вешающие свою шляпу на газовый рожок», Я = «за одеждой которых жена следит», К= «хорошие». 1. Ни одно Л не есть В. 2. Все С есть D. 3. Все Е есть -,Я. 4. Все К есть Л. 5. Ни одно -i# не есть -J3. 6. Все-.Сесть ? К о А -А оЛ + iJ5 +Ло Я D -.D 1. Ни одно Л не есть J5., 2. Все С есть ?>. 3. Все Е есть -i#. 4. Все К есть Л. 5. Ни одно -гЯ не есть -.J5. 6. Все-1С есть ?. Все К есть ?>. 1. Ни один муж, дарящий жене новые платья, не может быть несговорчивым. 2. Аккуратный муж всегда возвращается домой к чаю. 3. Жене нелегко приводить в порядок одежду мужа, если он имеет обыкновение вешать свою шляпу на газовый рожок.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 145 4. Хороший муж всегда дарит жене новые платья. 5. Ни один муж не может не быть несговорчивым, если жена не следит за его одеждой. 6. Неаккуратный муж всегда вешает свою шляпу на газовый рожок. Хорошие мужья всегда возвращаются домой к чаю. Восстановление посылок в простых энтимемах Выведение заключений или необходимых следствий из данных посылок составляет непосредственную, основную, но не единственную задачу дедуктивного умозаключения. Другой служит нахождение всех или некоторых посылок, из которых следует данное заключение. Необходимость ее решения возникает из того, что большинство наших рассуждений имеет сокращенный характер. Многие посылки опускаются из-за их очевидности. Подобные рассуждения принято называть энтимемами. Энтимема — умозаключение с пропущенными посылками. Если требуется найти все посылки для данного заключения, мы сталкиваемся с задачей его доказательства, о чем речь пойдет в следующем параграфе. Если только некоторые, то речь идет о восстановлении посылок как таковых. Отмечаются простые и сложные случаи восстановления посылок. К простым отнесены те, в которых субъект заключения совпадает с субъектом одной из имеющихся посылок, вследствие чего она становится вершиной дерева доказательства и/или заключение ослабляет посылки силлогизма. Соответственно сложными случаями считаются такие, когда не выполняется хотя бы одно из указанных свойств. Допустим, дано умозаключение «Раб есть человек, а потому не следует держать его в неволе»1. Приведем его к нормальной форме: U = «существа», В = «люди», А = «рабы», С = «которых следует держать в неволе»: Все рабы есть люди. Все Л есть В. Ни один раб не есть существо, Ни одно Л не есть С. которое следует держать в неволе. 1 Все примеры, рассматриваемые в данном параграфе, заимствованы из Мин- то В. Дедуктивная и индуктивная логика. — СПб., 1995. С. 411-421.
146 Часть I. Традиционная логика Очевидно, что из указанной посылки «Все А есть В» заключение «Ни одно А не есть С» не может следовать с необходимостью и требуется по крайней мере еще одна посылка для его вывода. Как восстановить недостающую(ие) посылку(и)? Сначала исследуем заключение «Ни одно А не есть С». Оно представляет общее суждение. Следовательно, все посылки также должны быть общими суждениями. Посылка «Все Л есть В» удовлетворяет этому условию. Обращаем также внимание на то, что субъекты посылки и заключения совпадают. Это означает, что дерево посылки должно быть верхней частью, а дерево заключения после замены субъекта А субъектом В (так как истинно, что все А есть В) — нижней частью объединенного дерева: Дерево заключения о, LC А +До S Дерево посылки Чтение нижней части объединенного дерева дает нам требуемую посылку — «Ни одно В не есть С», или «Ни одного человека не следует держать в неволе». Восстановленный силлогизм выглядит следующим образом: Все рабы есть люди. . Все А есть В. Ни одного человека не следует Ни одно В не есть С. держать в неволе. Ни один раб не есть существо, Ни одно А не есть С. которое следует держать в неволе. Таким образом, восстановление пропущенной посылки и тем самым силлогизма было сведено к построению объединенного дерева на основании информации, содержащейся в заключении и посылке. Двух посылок оказалось достаточно, чтобы получить заключение «Ни одно А не есть С». Но ничто не мешает получить это же заключение из большего числа посылок, построив соответствующий сложный силлогизм. Допустим, нас не удовлетворяет выявленная посылка «Ни одного человека не следует держать в неволе» отсутствием основания такого суждения. Мыслим так. Необходимый признак каждого раба — то, что он человек. Связь обоих признаков зафиксирована первой посылкой. Спрашивается: какой признак человека несовместим с его жизнью в не-
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 147 воле? Возможным ответом будет следующий: право на свободу, если оно не создает угрозу для общества. Поскольку все посылки должны быть общими, получаем сложный силлогизм (термин D обозначает указанный выше признак): Все рабы есть люди. Все Л есть В. Все люди есть существа, обладающие Все В есть D. правом на свободу при отсутствии правонарушений, за которые изолируют от общества. Ни одно существо, обладающее правом Ни одно D не есть С. на свободу, если оно не создает угрозу для общества, не есть существо, которое следует держать в неволе. Ни один раб не есть существо, которое Ни одно А не есть С. следует держать в неволе. Создав соответствующее дерево, нетрудно убедиться в правильности полученного силлогизма. Рассмотрим несколько примеров на восстановление посылок. Пример 1 Дано умозаключение «Истинный философ не зависит от прихотей судьбы, так как он находит свое главное счастье в умственном и нравственном совершенствовании». Приводим его к нормальной форме: U = = «философы», В = «находящие свое главное счастье в умственном и нравственном совершенствовании», А = «истинные», С = «зависящие от прихотей судьбы». Философ находит свое главное счастье Все А есть В. в умственном и нравственном совершенствовании. Истинный философ не зависит Ни одно А не есть С. от прихотей судьбы. Строим объединенное дерево: А В S Как следует из нижней части, недостающей посылкой должно быть суждение «Ни один В не есть С», или «Ни один философ, находящий
148 Часть I. Традиционная логика свое главное счастье в умственном и нравственном совершенствовании, не зависит от прихотей судьбы». Философ находит свое главное Все А есть В. счастье в умственном и нравственном совершенствовании. Ни один философ, находящий свое Ни один В не есть С. главное счастье в умственном и нравственном совершенствовании, не зависит от прихотей судьбы. Истинный философ не зависит Ни одно А не есть С. от прихотей судьбы. Пример 2 Дано умозаключение «Солона следует считать мудрым законодателем ввиду того, что он приспособил свои законы к характеру афинян». Приводим его к нормальной форме: U = «люди», В = «приспособившие свои законы к характеру афинян», А = «Солон», С = «мудрые законодатели». Солон приспособил свои законы Все А есть В. к характеру афинян. Солона следует считать мудрым Все А есть С. законодателем. Создаем объединенное дерево: А В ->В Из нижней части следует, что недостающей посылкой должно быть суждение «Все В есть С», или «Всех людей, приспособивших свои законы к характеру афинян, следует считать мудрыми законодателями». Солон приспособил свои законы Все А есть В. к характеру афинян. Всех людей, приспособивших свои Все В есть С. законы к характеру афинян, следует считать мудрыми законодателями. Солона следует считать мудрым Все А есть С. законодателем.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 149 Пример 3 Дано умозаключение «Не всякий совет благоразумен, так как многие советы нехороши». Приводим его к нормальной форме: U = «пожелания», В = «хорошие», А = «советы», С = «благоразумные». Многие советы нехороши. Некоторые А не есть В. Не всякий совет благоразумен. ' Некоторые А не есть С. Если заключение частное, то только одна посылка может быть частной. Кроме того, она должна находиться на вершине объединенного дерева. Посылка «Некоторые А не есть 5» удовлетворяет этим условиям. Следовательно, восстанавливаемая посылка должна быть общей. Строим объединенное дерево: А ? Из нижней части следует, что второй посылкой должно быть суждение «Ни одно -iB не есть С», или «Ни одно плохое пожелание не является благоразумным». Многие советы нехороши. Некоторые А не есть В. Ни одно плохое пожелание Ни одно -.J3 не есть С. не является благоразумным. Не всякий совет благоразумен. Некоторые А не есть С. Пример 4 Дано умозаключение: «Многие оспариваемые положения заслуживают, тем не менее, внимания, потому что многие из таких утверждений могут оказаться верными». Приводим его к нормальной форме: U = = «положения», В = «могущие оказаться верными», А = «оспариваемые», С = «заслуживающие, тем не менее, внимания». Многие оспариваемые положения Некоторые А есть В. могут оказаться верными. Многие оспариваемые положения Некоторые А есть С. заслуживают, тем не менее, внимания.
150 Часть I. Традиционная логика Строим объединенное дерево: А В -& Как следует из нижней части, второй посылкой должно быть суждение «Все В есть С», или «Все положения, могущие оказаться верными, заслуживают, тем не менее, внимания». Многие оспариваемые положения Некоторые А есть В. могут оказаться верными. Все положения, могущие оказаться Все В есть С. верными, заслуживают, тем не менее, внимания. Многие оспариваемые положения Некоторые А есть С. заслуживают, тем не менее, внимания. Пример 5 Дано умозаключение: «Государству необходимо увеличить подоходный налог, так как оно должно быть готово к войне». Приводим его к нормальной форме: U = «государства», В = «которые должны быть готовы к войне», С= «которым необходимо увеличить подоходный налог». Государство должно быть готово Все А есть В. к войне. Государству необходимо увеличить Все А есть С. подоходный налог. Учитывая, что связь признаков «быть готовым к войне» и «необходимо увеличить подоходный налог» неочевидна, мы должны объяснить ее, введя более ясные промежуточные между В и С переменные, т. е. должны построить сложный силлогизм. Будем рассуждать следующим образом. Готовность к войне требует много денег. Чтобы иметь много денег, государству необходимо увеличить налоги, но таким образом, дабы не подорвать ресурсы страны. По этой причине из всех налогов предпочтительным будет подоходный, так как его увеличение затрагивает лишь состоятельную часть населения. Вводим дополнительные термины: D = «которым требуется много денег», Е = «увели-
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 151 чивающие налоги», Я = «стремящиеся подорвать ресурсы своей страны», К = «увеличивающие налог на состоятельную часть населения». Получаем объединенное дерево: А В -? +Ао Ло я -,я +/\о К -JC +Ао Из нижней части следует, что дополнительными посылками должны быть следующие суждения: «Все В есть D», «Все D есть ?», «Ни одно Е не есть Я», «Все -1#есть А» и «Все А*есть С». Читателю в качестве самостоятельного упражнения предлагается перевести все эти посылки на естественный язык. Кроме формальных требований к поиску посылок, начиная с Аристотеля, предъявляется и одно содержательное: исключаемый термин (исключаемые термины) должен обозначать истинную причину связи субъекта и предиката заключения. Иначе заключение, будучи правильным формально, остается недоказанным по существу. Сравним следующие два простых силлогизма. Каждый брошенный вверх камень Каждый брошенный вверх испытывает воздействие силы камень отклоняется от тяжести Земли. своего естественного места (поверхности Земли). Каждое тело, испытывающее Каждое тело, отклоняющееся воздействие силы тяжести Земли, от своего естественного места, стремится упасть на ее поверхность. стремится вернуться к нему. Каждый брошенный вверх камень Каждый брошенный вверх стремится упасть на ее поверхность. камень стремится упасть на ее поверхность.
152 Часть I. Традиционная логика Оба силлогизма имеют одинаковое заключение, но только левый сегодня считается истинным объяснением. Причина в том, что в физической картине мира Галилея—Ньютона, сменившей физику Аристотеля и его последователей, истинной причиной падения тел на Землю признается не их стремление вернуться к естественному месту, а сила земного притяжения. Итак, нельзя смешивать формальную выводимость заключения с его доказательством, которое в традиционной логике кроме выводимости требует выполнения дополнительных условий. О них будет сказано, когда будут рассматриваться правила доказательства и опровержение. Восстановление посылок в сложных энтимемах Напомним, что к сложным случаям восстановления посылок были отнесены те, в которых субъект заключения не совпадает с субъектом ни одной из имеющихся посылок и/или заключение не ослабляет посылок силлогизма. Рассмотрим несколько примеров, показывающих, как можно использовать технику деревьев для решения подобных задач. Пример 1 Восстановить пропущенные посылки в следующем умозаключении. Ни один человек с нечистой совестью не спит спокойно. Уверенные в себе люди спят спокойно. Алгоритм решения подобных задач следующий. 1. Приводим к нормальной форме и формализуем имеющуюся посылку и заключение. Получаем: U= «люди», А = «уверенные в себе», В = = «с нечистой совестью», С = «спящие спокойно». Ни одно В не есть С. Все А есть С. 2. Создаем дерево доказательства, связывающее субъект заключения А с предикатом С как через термин В, так и через термин -iB: А В -пЯ С -пС С -пС 3. Маркировку ветвей построенного дерева начинаем с информации, содержащейся в посылке. Получаем:
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 153 Из частично маркированного дерева следует, что его вершина (А) не может быть связана знаком «+» с С посредством В, как того требует заключение, так как В и С несовместимы. Однако Аи С можно связать знаком «+» посредством -«В. Учитывая, что заключение рассматриваемого силлогизма общее, ветвь, связывающая А с -iB, должна быть отмечена знаком «+», а ветвь, связывающая А с В, — «о». В результате получаем (ветви, исходящие из В, для большей ясности оставляем): А о/\+ R R о/\+ Последней проблемой, которую нужно разрешить, остается вопрос, как быть со знаком «?» в правой нижней части дерева, запрещающим делать заключения с использованием В. Заменив «?» на «о», решаем и эту проблему. Полностью маркированное дерево доказательства имеет следующий вид: А о/\+ с -.с с -.с 4. Переводим информацию, содержащуюся в дереве доказательства, на язык суждений. Верхняя часть показывает, что первой недостающей посылкой должно быть суждение «Ни одно А не есть В». Нижняя часть сообщает, что независимо от информации, содержащейся в верхней части дерева, одновременно истинны следующие два суждения — «Ни одно В не есть С» и «Ни одно -iB не есть -iC». Первое из них совпадает с имеющейся посылкой. Следовательно, второй недостающей посылкой должно быть суждение «Ни одно ->В не есть -iC». Но суждения «Ни одно В не есть С» и «Ни одно -iB не есть -iC» вместе эквивалентны суждению «Только В не есть С». Если это выделительное сужде-
154 Часть I. Традиционная логика ние истинно, то обязательно истинно и суждение «Ни одно В не есть С» (обратное в общем неверно). Поэтому полный (восстановленный) силлогизм таков: Ни одно В не есть С. Только В не есть С. Все А есть С. 5. Формулируем посылки и заключение восстановленного силлогизма на естественном языке. Ни один уверенный в себе человек не является человеком с нечистой совестью. Только люди с нечистой совестью спят спокойно. Уверенные в себе люди спят спокойно. Пример 2 Решить указанную в предыдущем примере задачу для следующего умозаключения. Все безупречное вызывает восторг. Все гениальное безупречно. 1. [/= «творения», А = «безупречные», В = «вызывающие восторг», С = «гениальные». Все Л есть В. Все Сесть Л. 2-3. 4. С +Ао в л -л Все С есть В. Только В есть Л. Все С есть А.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 155 5. Все гениальное вызывает восторг. Лишь вызывающее восторг безупречно. Все гениальное безупречно. Пример 3 Решить указанную в первом примере задачу для следующего умозаключения. Тем, кого любят, делают подарки. Только некоторым из тех, кого не любят, не делают замечаний. 1. U = «люди», А = «кого любят», В = «кому делают подарки», С = = «кому делают замечания». Все А есть В. 2-3. 4. Только некоторые -Л < «^ В есть ( С ? o/V / \ / А -ЛА В Все С есть —iB Все А есть J5. с У / л \ \ \ Только некоторые -Л есть С. 5. Тем, кому делают замечания, не делают подарки. Тем, кого любят, делают подарки. Только некоторым из тех, кого не любят, не делают замечаний. Пример 4 Решить указанную в первом примере задачу для следующего умозаключения.
156 Часть I. Традиционная логика Суеверные люди недооценивают себя. Многие из несуеверных людей добиваются своего. 1. U = «люди», А = «несуеверные», В = «достойно ценящие себя», С = «добивающиеся своего». Все —Л есть -J3. Некоторые А есть С. 2-3. А +/ В ,С —\С С —\С 4. А +/V? +/\о Все -v4 есть -.Б. Все В есть С. Некоторые А есть С 5. Суеверные люди недооценивают себя. Те, кто достойно оценивают себя, добиваются своего. Многие из несуеверных людей добиваются своего. Пример 5 Решить указанную в первом примере задачу для следующего умозаключения. Некоторые мужественные люди вызывают уважение. Всем мужественным людям хочется подражать. 1. 17= «люди», А = «мужественные», В = «вызывающие уважение», С = «которым хочется подражать». Некоторые (или все) А есть В. Все А есть С.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения 157 2-3. U +А+ А -и4 +/\о В -.Я В S С iC 4. U л А -Л В +/\о Некоторые (или все) А есть J5 = Все А есть Б или некоторые, но не все А есть Б. Неверно, что некоторые, но не все А есть В. Все J5 есть С. Все А есть С. 5. Некоторые мужественные люди вызывают уважение. Неверно, что некоторые, но не все мужественные люди вызывают уважение, Всем мужественным людям хочется подражать. Упражнения I. Решите следующие простые силлогизмы Л. Кэрролла. 1. Он дал мне пять фунтов стерлингов. Я был в восторге. 2. Он всегда поет меньше часа. Слушать пение в течение часа утомительно. 3. Ни один лентяй не достоин славы. Некоторые художники — не лентяи. 4. Все бледные люди флегматичны. Только те, кто бледен, имеют поэтическую внешность. 5. Ричард вне себя от гнева. Никто, кроме Ричарда, не может ездить верхом на этой лошади.
158 Часть I. Традиционная логика 6. Предусмотрительные путешественники имеют при себе деньги на мелкие расходы. Непредусмотрительные путешественники теряют свой багаж. 7. Золото тяжелое. Ничто, кроме золота, не заставит его замолчать. 8. Скучные люди наводят тоску. Когда скучный человек собирается уходить из гостей, его никогда не просят остаться. 9. Все совы приятны. Некоторые извинения неприятны. 10. Некоторые барашки распускаются на вербе. Все барашки кудрявые. 11. Некоторые лысые люди носят парики. У всех людей свои волосы. 12. Ласки иногда спят. Все животные иногда спят. П. Решите следующие сложные силлогизмы Л. Кэрролла. 1) 1. Всякий, кто находится в здравом уме, может заниматься логикой. 2. Ни один лунатик не может быть присяжным заседателем. 3. Ни один из ваших сыновей не может заниматься логикой. 2) 1. Йикто не станет выписывать газету «Тайме», если он не получил хорошего образования. 2. Ни один дикобраз не умеет читать. 3. Те, кто не умеет читать, не получили хорошего образования. 3) 1. Яркие цветы всегда благоухают. 2. Я не люблю цветов, выросших на открытом воздухе. 3. Ни один цветок, выросший на открытом воздухе, не имеет бледной окраски. 4) 1. Мой доктор разрешает мне есть лишь не очень калорийные блюда. 2. То, что я могу есть, вполне подходит для ужина. 3. Свадебные пироги всегда очень калорийны. 4. Мой доктор разрешает мне есть все, что подходит для ужина. 5) 1. Ни у одной продаваемой здесь книги, кроме тех книг, которые выставлены на витрине, нет золоченого обреза. 2. Все авторские издания снабжены красным ярлычком. 3. Все книги с красными ярлычками продаются по цене от 5 шиллингов и выше. 4. Лишь авторские издания выставляются на витрине. 6) 1. Те, кто нарушает свои обещания, не заслуживают доверия.
Глава 3. Дедуктивные умозаключения [ 159 2. Любители выпить очень общительны. 3. Человек, выполняющий свои обещания, честен. 4. Ни один трезвенник — не ростовщик. 5. Тому, кто общителен, всегда можно верить. 7) 1. Все авторы литературных произведений, постигшие природу человека, — умные люди. 2. Ни одного автора нельзя считать истинным поэтом, если он не способен волновать сердца людей. 3. Шекспир написал «Гамлета». 4. Ни один автор, не постигший природу человека, не способен волновать сердца людей. 5. Только истинный поэт мог написать «Гамлета». 8) 1. Любая моя мысль, которую нельзя выразить в виде силлогизма, поистине смешна. 2. Моя мечта о сдобных булочках не стоит того, чтобы ее записывать на бумаге. 3. Ни одну мою несбыточную мечту нельзя выразить в виде силлогизма. 4. Мне не приходило в голову ни одной действительно смешной мысли, о которой бы я не сообщил своему поверенному. 5. Я только и мечтаю, что о сдобных булочках. 6. Я никогда не высказывал своему поверенному ни одной мысли, если она не стоила того, чтобы ее записать на бумаге. 9) 1. Животные, которые не брыкаются, всегда невозмутимы. 2. У осла нет рогов. 3. Буйвол всегда может перебросить вас через ограду. 4. Животных, которые брыкаются, не легко проглотить. 5. Животное, у которого нет рогов, не может перебросить вас через ограду. 6. Все животные, кроме буйвола, легко приходят в ярость. III. Восстановите пропущенные посылки в следующих умозаключениях: 1. Слово не воробей, вылетит — не поймаешь. 2. Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. 3. Сколько веревку не вить, а концу быть. 4. Любишь кататься, — люби и саночки возить. 5. Красна птица перьем, а человек ученьем.
Глава 4 Дедуктивное доказательство и опровержение Тот, кто хочет что-то обосновать, должен рассмотреть, при существовании чего будет существовать обсуждаемый предмет (ибо если доказано, что то налицо, будет доказано и существование обсуждаемого предмета). Тот же, кто хочет что-то опровергнуть, должен рассмотреть, что же существует, если существует обсуждаемый предмет, ибо если мы докажем, что то, что следует из обсуждаемого предмета, не существует, то мы опровергнем и обсуждаемый предмет. Аристотель «Топика» Общее представление о дедуктивном доказательстве и опровержении По типу используемого умозаключения доказательства и опровержения делятся на Дедуктивные и недедуктивные. Недедуктивные подробно анализируются в гл. 7. Здесь же будут рассмотрены дедуктивные доказательства и опровержения силлогистического типа (о других видах дедуктивных доказательств см. гл. 5, 6 и 8). Если умозаключение — основная форма умственной деятельности, то доказательство и опровержение представляют ее важнейшие цели. Доказывая, мы ищем истину; опровергая — разоблачаем ложь. Именно поиски истины и разоблачение лжи превращают умозаключение в доказательство или опровержение соответственно. Дедуктивное доказательство — умозаключение, из истинных посылок которого с необходимостью следует истинность обосновываемого суждения. Дедуктивное опровержение — умозаключение, из истинных посылок которого с необходимостью следует ложность обосновываемого суждения.
Глава 4, Дедуктивное доказательство и опровержение 161^ Между доказательством и опровержением существует определенная симметрия. Если мы доказываем истину, то одновременно опровергаем все несовместимые с ней ложные суждения. Наоборот, опровергая какую-нибудь ложь, мы тем самым доказываем противоречащую ей истину. Эта симметрия показывает, что между доказательством и опровержением нет жесткой границы. Различие между ними чисто функциональное. Существуют три канонических вопроса, на которые необходимо дать ответ, прежде чем начинать доказательство или опровержение. 1. Что именно следует доказывать или опровергать? 2. На основании чего следует доказывать или опровергать? 3. Как именно следует доказывать или опровергать? Отвечая на первый вопрос, мы определяем тезис (от греч. thesis — утверждение) доказательства или опровержения, т. е. суждение, истинность или ложность которого должна обосновываться. Отвечая на второй вопрос, мы находим аргументы (от лат. argu- mentum — довод, основание) доказательства или опровержения, т. е. суждения, с помощью которых обосновывается истинность или ложность тезиса. Отвечая на третий вопрос, мы выбираем демонстрацию (от лат. demonstrate — показывание) доказательства или опровержения, т. е. то умозаключение, с помощью которого логически связываются тезис и аргументы. Доказательство и опровержение невозможны, если нет хотя бы одной из указанных частей. Так, если отсутствует тезис, неизвестно, что надо доказывать или опровергать; если нет аргументов, непонятно, с помощью каких суждений нужно доказывать или опровергать тезис; если нет демонстрации, мы не знаем, как построить процесс доказательства или опровержения тезиса, чтобы он был логически убедительным. Тезисом может быть любое суждение, истинность или ложность которого нуждается в обосновании. В качестве тезиса выдвигаются теоремы, гипотезы, судебные версии, предсказания, истинность или ложность которых предстоит установить. Суждение, противоречащее тезису, называется антитезисом. Из истинности тезиса следует ложность антитезиса, а из ложности первого — истинность второго. Следовательно, в некоторых случаях вместо того, чтобы доказывать истинность тезиса, возможно опровергнуть ложность антитезиса, или заменить опровержение ложности тезиса доказательством истинности антитезиса. 6-1742
162 Часть I. Традиционная логика В качестве аргументов могут выступать любые суждения, если они, во-первых, истинны и, во-вторых, имеют отношение к обосновываемому тезису. Например, при доказательстве какого-либо морального суждения вряд ли будет уместным приведение в качестве аргумента закона всемирного тяготения Ньютона. Истинность аргументов доказывается всегда независимо от тезиса. Их подбор требует глубокого проникновения в суть решаемой проблемы, богатого воображения и тонкой интуиции. Следует помнить, что всякая демонстрация — это нечто большее, чем используемое в ней умозаключение. Как отмечал В. Ф. Асмус, демонстрация — это умозаключение обумозаключений, ибо она утверждает не только то, что тезис следует из аргументов, но и то, что аргументы истинны. Доказательства или опровержения не будет, если тезис следует из аргументов, а некоторые аргументы ложные, или аргументы истинные, а тезис формально не следует из них. Выделим в дедуктивной демонстрации дедуктивное доказательство и дедуктивное опровержение и рассмотрим их. Дедуктивное доказательство Пусть Р обозначает тезис, -i/З — антитезис, а — множество аргументов. Тезис и антитезис противоречат друг другу. Значит, при обосновании истинности тезиса возможны две стратегии. 1. Доказательство, что тезис необходимо следует из общепризнанных аргументов. Это называется прямым доказательством. 2. Доказательство, что из общепризнанных аргументов необходимо следует ложность антитезиса. Тогда, согласно закону исключенного третьего, устанавливают истинность тезиса. Это называется косвенным доказательством. Прокомментируем оба вида доказательства. Прямое доказательство — демонстрация, целью которой служит обоснование необходимого следования тезиса из ранее и независимо доказанных аргументов. Прямое доказательство представлено следующим умозаключением. Из множества аргументов а выводим тезис Д. Множество аргументов а истинно. / j \ Тезис Р истинный. 1 Асмус В. Ф. Логика. - М., 1947. С. 345-346.
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 163 Простейший пример прямого доказательства — силлогизм, посылки которого необходимо истинны. В этом случае они выступают аргументами, а заключение силлогизма — тезисом. Например: а{ - Все А есть В (доказано ранее). а2 = Все В есть С (доказано ранее). Р = Все Л есть С (доказывается сейчас). Демонстрация строится с помощью силлогистического дерева или каким-нибудь иным образом. В тех случаях, когда прямое доказательство невозможно или затруднительно, используют косвенное. Косвенное доказательство — умозаключение, целью которого служит доказательство ложности антитезиса. Ложность антитезиса может быть обоснована двумя способами. Согласно первому, из антитезиса -i/J с помощью истинных аргументов а выводится противоречие. Если это осуществимо, есть основания сделать вывод о ложности антитезиса -i/З и истинности тезиса Д Косвенное доказательство первым способом имеет вид следующего умозаключения. Из антитезиса -iK и а выводимо противоречие. Множество аргументов а истинно. /2) Тезис Р истинный. В силлогистике косвенное доказательство первым способом строится следующим образом. Допустим, дан силлогизм: а{ = Все А есть В. а2 = Все В есть С. Р = Все Л есть С. Сформулируем антитезис-i/?= «Некоторые Л не есть С». Построим следующий сложный силлогизм: а{ - Все А есть В (доказано ранее). а2 - Все В есть С (доказано ранее). -iP - Некоторые А не есть С (временное допущение). Противоречие. Из антитезиса -i/J = «Некоторые А не есть С», принятого в качестве временного допущения, и аргумента с^ = «Все В есть С» выводим след-
164 Часть I. Традиционная логика ствие «Некоторые Л не есть В». Но это следствие противоречит первому аргументу а{ = «Все А есть В». Значит, рассматриваемые аргументы несовместимы с отрицанием тезиса. Так как аргументы а{ и а2 истинны, то антитезис -i/З = «Некоторые А не есть С» ложен. Из ложности антитезиса заключаем, что тезис /3 = «Все А есть С» истинный. Для косвенного доказательства вторым способом антитезис -i/З делится на множество альтернатив (частных случаев антитезиса -i/3): -ipv -i/?2... -ij8n, обладающее следующими свойствами. Во-первых, логическая сумма всех альтернатив -ij3j, -i/?2... -i/?w должна исчерпывать объем антитезиса -|Д Во-вторых, все альтернативы должны взаимно исключать друг друга. В-третьих, тезис /3 и все его альтернативы -i/?p -i/?2... -|/?и должны вместе обозначать все возможные решения рассматриваемой проблемы (соответствовать требованию полноты). Косвенное доказательство строится как последовательный процесс исключения с помощью истинных аргументов всех альтернатив тезиса Д Рассматриваемое доказательство имеет вид следующего умозаключения: Истинно одно и только одно из следующих предположений: Д или -i/Jj, или -i/32... или -,рп. Множество а несовместимо ни с -i/3r.. ни с ->/Зл. Множество аргументов а истинно. C) Тезис Р истинный. Допустим, неизвестно, какой сегодня день недели. Выдвигаем семь альтернативных гипотез, одна и только одна из которых истинная: «Сегодня понедельник», или «Сегодня вторник»... или «Сегодня воскресенье». Если с помощью различных аргументов удастся опровергнуть первые шесть альтернатив, тогда доказывается, что сегодня воскресенье. Считается, что прямое доказательство убедительнее косвенного. С этим необходимо согласиться. При прямом доказательстве мы конструируем тезис из данных посылок, а при косвенном лишь доказываем невозможность существования антитезиса. Из прямого доказательства всегда следует косвенное, но обратное в общем неверно. Дедуктивное опровержение Дедуктивное опровержение различают в зависимости от того, что опровергается — тезис, аргументы или демонстрация. При опровержении тезиса доказывается его ложность.
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 165 При опровержении аргументов или демонстрации обосновывается только недоказанность тезиса, которую нельзя путать с его ложностью. Тезис может быть истинным, даже если аргументы ложные. Опровержение имеет вид следующего умозаключения: Из тезиса Р выводимо следствие, несовместимое с а, . или противоречие. ... Множество аргументов а истинно. ^ ' Тезис K ложный. Опровержение аргументов и демонстрации обосновывает не ложность тезиса, а только его недоказанность. Оно принимает вид такого умозаключения: Из аргументов а выводим тезис р. Множество а ложно (противоречиво). Тезис Р не доказан. Недоказанность тезиса означает, что мы не можем приписать ему ни значение «истинно», ни значение «ложно». Доказывая ложность аргументов нашего оппонента, мы лишаем его возможности категорически утверждать истинность обсуждаемого тезиса. Умозаключение E) показывает, что отношения «следовать с необходимостью» и «доказывать» не являются в общем эквивалентными: не все, что непременно следует, доказывается; но обратное всегда верно. Опровержение демонстрации строится как умозаключение: Из аргументов а не выводим ни тезис Д ни антитезис -*fi. Множество аргументов а истинно. Тезис Р не доказан. F) Эффект опровержения демонстрации тот же, что и опровержения аргументов, — обосновывается лишь недоказанность тезиса. Итак, для дедуктивной демонстрации принципиальное значение имеет истинность аргументов. Она важна как для доказательства, так и для опровержения. Кроме того, необходимо, чтобы или тезис, или антитезис был логическим следствием аргументов. Эти две особенности определяют специфику дедуктивного доказательства и опровержения. При построении доказательств и опровержений следует также учитывать ряд особенностей. 1. Для доказательства общего тезиса необходимо и достаточно опровержение частного антитезиса.
166 Часть I. Традиционная логика 2. Для опровержения общего тезиса необходимо и достаточно доказательства частного антитезиса. 3. Для доказательства общего тезиса необходимы только общие аргументы (относящиеся ко всем предметам универсума). 4. Для доказательства частного тезиса необходимо и достаточно установить существование хотя бы одного объекта предмета универсума, обладающего свойствами субъекта и предиката (для частно- утвердительных суждений), и обладающего свойствами субъекта и отрицания предиката (для частноотрицательных суждений). Остальные рекомендации приводятся далее по ходу анализа конкретных примеров. Пример 1 Допустим, требуется доказать прямым способом тезис /3 = «Мы хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе» {Франсуа деЛарошфуко). Приводим тезис к нормальной форме: U= «люди», А = = «люди, которые хотят услышать похвалу себе», С = «люди, которые хвалят других», /3 = «Все А есть С». Построить прямое доказательство указанного тезиса, представляющего общеутвердительное суждение, означает обосновать, что каждая вещь, обладающая признаком Л, также обладает и признаком С. Но поскольку связь Аи С неочевидна, требуется доказательство. С чего же его начинать? С поиска аргументов, проясняющих связь между признаками А и С. Если логический переход от субъекта тезиса А к его предикату С неочевиден, его разбивают на несколько коротких, но зато более выраженных переходов от А к X, от X к У... от Z к С (где X... Z — признаки, отличающиеся как друг от друга, так и от Л и С), каждый из которых формулируется в виде отдельного аргумента. Иными словами, каждый аргумент — это некоторый ранее доказанный или очевидный в силу каких-то других причин переход от одного признака к другому. Минимальное доказательство требует всего двух аргументов — для обоснования переходов от А к X и от X к С. В общем случае число аргументов прямо пропорционально требованию очевидности, т. е. чем более хотят прояснить доказательство, тем больше приводят аргументов, очевидных для аудитории. Общее направление их поиска задается следующим вопросом: «Какое свойство X связывает Аи С, чтобы: • свойство X было необходимо для А; • свойство С было необходимо для X?».
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 167 Если признака X оказалось недостаточно для построения очевидного доказательства, отыскивается новый признак Y: «Какое свойство Усвязывает Хи С таким образом, что 1) свойство ^необходимо для X; 2) свойство С необходимо для У?». Поиск аргументов продолжается до тех пор, пока переход от Л к С не будет представлен в виде цепочки более коротких и очевидных переходов согласно известной аксиоме силлогизма: А —>X—> Y—>... —>Z—> С .„сч А->С В анализируемом примере признаком, промежуточным между Л и С и удовлетворяющим указанным требованиям, будет X = «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств». Так как промежуточный признак один, появляются два аргумента: • а{ = «Все люди, которые хотят услышать похвалу себе, есть люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств»; • а2 = «Все люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мцимых достоинств, есть люди, которые хвалят других». Строим и проверяем силлогизм: ах = «Все А есть X». а2 = «Все X есть С». Р = «Все А есть С». Так как аргументы истинны (очевидны) и тезис следует из них с необходимостью, то его, согласно умозаключению A), следует считать доказанным прямым способом. Пример 2 Доказать первым косвенным способом тезис /?= «Мы хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе». Чтобы доказать таким способом тезис, необходимо опровергнуть антитезис -./? = «Существует человек, который хочет услышать похвалу себе, но при этом не хвалит других людей». Приведенный к нормальной форме (см. предыдущий пример), антитезис символизируется следующим образом: «Некоторые А не есть С». Для опровержения антитезиса необходимо доказать, что подобных людей существовать не может, т. е. что ни одному А не присуще свойство -iC = «люди, которые не хвалят других». Это равносильно доказа-
168 Часть I. Традиционная логика тельству, что А и -iC несовместимы. Несовместимость в косвенных доказательствах становится критерием их успешности. Для проверки несовместимости А и -«С допускаем, что антитезис истинный: предположим, что существует хотя бы один человек, который хочет услышать похвалу себе, но при этом не хвалит других людей, — и присоединяем его к уже известным аргументам (см. первый пример) а{ и а2 Строим сложный силлогизм, где X = «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств»: -./3 = «Некоторые А не есть С». а{ = «Все А есть X». а2 = «Все X есть С». Противоречие. Следовательно, антитезис -./3 ложен, а тезис Р истинный. Из аргументов а{ и сс2следует суждение «Все Л есть С», которое противоречит временно принятому антитезису «Некоторые Л не есть С». Так как аргументы истинны, то ложным считается антитезис, из чего согласно умозаключению B) следует косвенное доказательство тезиса /3 = «Все А есть С». Пример 3 Доказать вторым косвенным способом тезис /3 = «Мы хвалим обычно лишь для того, чтобы услышать похвалу себе». При косвенном доказательстве вторым способом антитезис формулируется в виде множества взаимоисключающих альтернатив, которые вместе с тезисом исчерпывают все решения поставленной проблемы. Если тезис утверждает, что все люди, которые хотят услышать похвалу себе, хвалят других людей, то его альтернативы таковы: • -i/Jj = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, порицают других людей»; • -i/?2 - «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, не хвалят и не порицают других людей». Логическая сумма -ip{ и -i/?2 исчерпывает все возможные случаи общего антитезиса ->/? = «Некоторые люди, которые хотят услышать похвалу себе, не хвалят других людей». Таким образом, при косвенном доказательстве вторым способом задача сводится к опровержению не общего антитезиса, как при косвенном доказательстве первым способом, а всех его частных случаев. Приводим ->/?! и ->/?2 к нормальной форме: -пС{ = «люди, которые порицают других»; -iC2 = «люди, которые не хвалят и не порицают
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 169 других», -i/Jj = «Некоторые Л есть-.6^», -ij82 = «Некоторые Л есть-|С2». Для опровержения -i/Jj и -i/?2 необходимо доказать, что Л несовместимо как с -iCj, так и с -iC2, а значит и с -iC. Напомним, что промежуточным признаком выступает X = «Люди, которые отличаются тщеславием и нуждаются в публичном признании своих реальных или мнимых достоинств». Имеем следующие аргументы: а{ = «Все Л есть X» и а2 = = «Все Xесть С». Строим и проверяем два силлогизма (для -i/Jj и -;/32 последовательно): -i/3j = «Некоторые Л есть -iCx». ах = «Все Л есть X». а2 = «Все Xесть С». Противоречие. Антитезис -./^ опровергается. ->/32 = «Некоторые Л есть -»С2». at = «Все Л естьХ». а2 = «Все Xесть С». Противоречие. Антитезис -i/32 опровергается. Из трех взаимно исключающих и совместно исчерпывающих альтернатив Д -i/?j и -i/?2 последние две оказались опровергнутыми (исключенными). Следовательно, тезис $ согласно умозаключению C) можно считать косвенно доказанным. Пример 4 Построить опровержение тезиса /?= «Число 4 простое». Приводим его к нормальной форме: U = «натуральные числа», Л = «равные 4», С = = «простые», /3 = «Все Л есть С». Опровергнуть прямым способом тезис /3 означает обосновать противоречивость (несовместимость) связи признаков Л и С. Ищем признаки, необходимым образом связанные с Л и С: Х= «делиться только на себя и на 1», У = «делиться на себя, на 1 и 2». Так как промежуточных признаков два, то получаем три аргумента: а{ = «Только Сесть X», а2 = «Все Л есть У», а3 = «Ни один У не есть X». Строим и проверяем сложный силлогизм: /Н «Все Л есть С». а, = «Только СестьX». а2 = «ВсеЛ есть У». «з = «Ни один Уне есть X». Противоречие. Тезис Р опровергается. Из аргументов av cc2 и а3следует истинность общего суждения: «Ни одно Л не есть С». Из его истинности следует истинность частного суж-
170 Часть I. Традиционная логика дения: «Некоторые Л не есть С», которое противоречит тезису /3 и опровергает его. Пример 5 «Вы изволили сочинить, что человек произошел от обезьянских племен мартышек, орангуташек и т. п. Простите меня, старичка, но я с Вами касательно этого пункта не согласен и могу Вам запятую поставить. Ибо, если человек, властитель мира, умнейшее из дыхательных существ, произошел от глупой и невежественной обезьяны, то у него был бы хвост и дикий голос» (А. Я. Чехов «Письмо к ученому соседу»). Рассуждение чеховского героя содержит опровержение, в котором U = «живые существа», А = «люди», В = «произошедшие от обезьян», С = «имеющие хвост и дикий голос». Опровергаемым тезисом будет суждение «Все люди произошли от обезьян», т. е. /3 = «Все А есть В». Первым аргументом становится суждение «Все живые существа, произошедшие от обезьян, обязаны иметь хвост и дикий голос», т. е. ах = = «Все В есть С». Вторым аргументом следует считать суждение «Люди не имеют хвоста и дикого голоса», т. е. а2 = «Ни одно А не есть С». Второй аргумент в явном виде не присутствует в рассуждении, но подразумевается как самоочевидный факт. Опровержение строится как доказательство несовместимости тезиса с аргументами а{ и av т. е. по схеме D). Для проверки образуем следующее сложное умозаключение: Р = «Все А есть J5». а{ = «Все Лесть С». а2 = «Ни одно А не есть С». Несовместимость. Тезис /3 опровергается. Из аргументов а{ и с^ следует истинность общего суждения «Ни одно А не есть В» и тем самым истинность частного суждения «Некоторые А не есть В». Из истинности последнего следует опровержение тезиса Д В отличие от чеховского героя мы посчитали бы первый аргумент ложным. В этом случае опровержение теряет свою силу, т. е. ложность тезиса остается недоказанной. Пример 6 Все, что требует желудок, тело или ум, — все человеку представляет ГУМ (В. В. Маяковский). Приведенный рекламный текст содержит прямое доказательство, в котором U = «магазины», А = «с товарами для желудка, тела и ума», В =
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение ^171 = «которые стоит посещать», С = «называемые ГУМом». Мы не ошибемся, если в качестве тезиса определим суждение «ГУМ — универмаг, который стоит посетить», т. е. /3 = «Все С есть В». Первым аргументом выступает суждение «Магазины, в которых есть товары для желудка, тела и ума, стоит посещать», т. е. а{ = «Все А есть В». Вторым аргументом, учитывая цель рекламы, будет суждение «Только в ГУМе имеются товары для желудка, тела и ума», т. е. а2 = «Только С есть Л». Прямое доказательство предполагает логическое следование тезиса из истинных аргументов. Для проверки этого построим следующий простой силлогизм: а{ = «Вре Л есть J3». а2 = «Только С есть Л». /3= «Все Сесть J3». Силлогизм правильный. Следовательно, тезис /3 согласно умозаключению A) доказан прямым способом. Пример 7 «Снова завладеть однажды потерянным благом лучше, чем никогда не утрачивать его. Ибо мы лучше ценим его благодаря воспоминанию о том времени, когда были лишены его. Поэтому лучше выздороветь, чем не быть больным».1 Приведенное рассуждение содержит прямое доказательство, в котором U= «люди», Л = «снова завладевшие однажды потерянным благом», В = «ценящие вернувшееся благо выше, чем благо никогда не терявшееся, благодаря воспоминанию о том Времени, когда были лишены его», С = «выздоровевшие», D = «ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье, никогда не терявшееся». Тезис — это суждение: «Все выздоровевшие люди, ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье, никогда не терявшееся», т. е. /3 = «Все Сесть D». Суждение «Все люди, снова завладевшие однажды потерянным благом, есть люди, ценящие вернувшееся благо выше, чем благо, никогда не терявшееся, вследствие воспоминаний о том времени, когда были лишены его» — первый аргумент, т. е. а{ = «Все А есть В». Суждение «Все выздоровевшие есть люди, снова завладевшие однажды потерянным благом» представляет собой второй аргумент, т. е. а2 = «Все С есть Л». Суждение «Все ценящие вернувшееся благо выше, чем никогда не терявшееся, благодаря воспоминанию о том времени, когда были лишены его, есть люди, ценящие вернувшееся здоровье выше, чем здоровье никогда не терявшееся», представляет третий аргумент, т. е. а3 = «Все 1 Гоббс Т. Сочинения: В 2 т. - М., 1989. Т. 1. С. 246.
172 Часть I. Традиционная логика В есть D». Для проверки следования тезиса из перечисленных аргументов строим следующий сложный силлогизм: а{ = «Все А есть Б». а2 = «Все С есть А», а^ = «В есть D». Р = «Все Сесть D». Силлогизм правильный. Следовательно, тезис /3 согласно умозаключению A) доказан прямым способом. Пример 8 «То, — говорит он [стоик Зенон Китионский. — В. С], что лишено души и разума, не может породить из себя одушевленное и владеющее разумом. Мир же порождает одушевленное и владеющее разумом. Следовательно, мир должен быть одушевленным и владеющим разумом»1. Приведенное рассуждение содержит прямое доказательство тезиса, в котором U,= «вещи», А = «лишенные души и разума», В = «способные породить из себя нечто одушевленное и владеющее разумом», С = = «представляющее собой мир». Тезисом выступает суждение «Мир есть одушевленная и владеющая разумом вещь», т. е. /3 = «Все С есть -v4». Первый аргумент — суждение «Ни одна вещь, лишенная души и разума, не есть вещь, способная породить из себя нечто одушевленное и владеющее разумом», т. е. а{ = «Ни одно А не есть В». Второй аргумент — суждение «Мир порождает одушевленное и владеющее разумом», т. е. а2 = «Все С есть В». Проверяем следование тезиса из названных аргументов: а{ = «Ни одно А не есть J5». «2= «Все С есть J5». Р = «Все С есть —А». Так как тезис следует из аргументов и последние, согласно Зенону, истинны, этот тезис следует считать доказанным. Но в приведенном доказательстве бесспорен только второй аргумент. Истинность же первого сомнительна с научной точки зрения. Поэтому хотя тезис и следует из аргументов, его доказанность остается под вопросом. Пример 9 «Итак, предположим, что все тела уничтожены. То, что остается, называют абсолютным пространством; при этом все отношения, следующие из расположения тел и расстояний между телами, исчезли вместе 1 Цицерон. Философские трактаты. — М., 1985. С. 107.
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 173 с телами. Кроме того, такое пространство является бесконечным, неподвижным, неделимым, не воспринимаемым чувствами, лишенным связей и различий. Другими словами, все его атрибуты отрицательны, или негативны. Таким образом, оказывается, что это есть просто ничто. Единственное несущественное затруднение состоит в том, что оно протяженно, а протяженность — положительное качество. Но что это за протяженность, я спрашиваю, которая не может быть ни разделена, ни измерена, любая часть которой недоступна ни чувственному восприятию, ни воображению?.. Чистый интеллект также ничего не знает об абсолютном пространстве. Эта способность находится в соотношении только с духовными непротяженными вещами, такими как наши мысли, их модусы, страсти, добродетели и т. п. Уберите из абсолютного пространства само название, и от него ничего не останется ни в чувстве, ни в воображении, ни в интеллекте»1. В приведенном рассуждении опровергается введенное И. Ньютоном понятие абсолютного пространства. Здесь U = «вещи и их отношения друг к другу», А = «существующие», В = «наблюдаемые, измеримые, познаваемые», С = «образующие абсолютное пространство». Тезисом выступает суждение «Абсолютное пространство существует», /3 = «Некоторые Сесть Л». Первый аргумент — суждение «Все существующие вещи есть вещи, наблюдаемые, измеряемые, познаваемые», а{ = «Все А есть В». Второй аргумент — суждение «Абсолютное пространство есть вещь, но непознаваемая, неизмеряемая, ненаблюдаемая», а2 = «Все С есть -iB». Опровержение строится как доказательство несовместимости тезиса с истинными аргументами. Для проверки построим следующий сложный силлогизм: /3= «Некоторые Сесть Л». а{ = «Все А есть Б». «2 = «Все С есть -J3». Противоречие. Тезис /3 опровергается. Таким образом, Дж. Беркли рассуждал в приведенном отрывке согласно умозаключению D). Пример 10 «— Общие рассуждения! — продолжал Пигасов. — Смерть моя — эти общие рассуждения, обозрения, заключения! Все это основано на так называемых убеждениях; всякий толкует о своих убеждениях и еще уважения к ним требует, носится с ними... Эх! 1 Беркли Дж. Сочинения. М, 1978. С. 379.
174 Часть I. Традиционная логика И Пигасов потряс кулаком в воздухе. Пиндалевский рассмеялся. — Прекрасно! — промолвил Рудин. — Стало быть, по-вашему, убеждений нет? — Нет — и не существует. — Это ваше убеждение? -Да. — Как же вы говорите/ что их нет? Вот вам уже одно, на первый случай. Все в комнате улыбнулись и переглянулись» (Я. С. Тургенев «Рудин»). Приведенный диалог интересен тем, что один из его участников, Пигасов, пытаясь обосновать свою точку зрения, приводит противоречивое множество аргументов и тем самым оставляет свой тезис без доказательства. Чтобы увидеть это, формализуем процесс рассуждения. Пусть U= «рассуждения», Л = «общие», В = «пустые», С= «основанные на убеждениях». Тезис, который Пигасов пытается обосновать, представляет суждение «Все общие рассуждения — пустые», /3 = «Все А есть В». Убеждения, согласно Пигасову, составляют необходимое условие истинности общих рассуждений. Первым аргументом поэтому оказывается суждение «Все общие рассуждения есть рассуждения, основанные на убеждениях», а{ = «Все Л есть С». Вторым аргументом — мысль Пигасова о том, что убеждений не существует. Она высказывается так: «Все рассуждения, основанные на убеждениях, есть пустые (т. е. несуществующие) рассуждения», а2= «Все Сесть В». К этим аргументам в пылу полемики Пигасов добавил еще один, разрушивший построенную демонстрацию. Им стала мысль, что некоторые убеждения существуют. Она выражается суждением «Некоторые рассуждения, основанные на убеждениях, есть непустые (т. е. существующие) рассуждения», Оз = «Некоторые Сесть -iB». Чтобы проверить противоречивость выдвинутых аргументов, построим следующий сложный силлогизм: а{ = «Все А есть С». 02= «Все С есть Б». а3 = «Некоторые Л есть -«J3». Множество аргументов а противоречиво. Итак, аргументы Пигасова образуют противоречие. Как мы знаем, любое суждение ?сть логическое следствие противоречивой системы посылок. Следовательно, тезис Пигасова следует из его аргументов, но ими не доказывается. Еще раз убеждаемся, что логическое следование из аргументов не означает доказательство.
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 1_75 Пример 11 «Установив такое начало [что мир есть тело в высшей степени совершенное, упорядоченное. — В. С], мы можем непосредственно из него сделать тот вывод, что если тела, составляющие Вселенную, должны по природе своей обладать движением, то невозможно, чтобы движения их были прямолинейными и вообще какими бы то ни было, кроме как круговыми; основание этого просто и ясно. Ведь то, что движется прямолинейным движением, меняет место, и если движение продолжается, то движущееся тело все больше и больше удаляется от своей исходной точки и от всех тех мест, которые оно последовательно прошло; а если такое движение ему естественно присуще, то оно с самого начала не находилось на своем естественном месте, и значит части вселенной не расположены в совершенном порядке; однако мы предполагаем, что они подчинены совершенному порядку; значит невозможно допустить, чтобы им, как таковым, по природе было свойственно менять места, т. е., следовательно, двигаться прямолинейно»1. В приведенном рассуждении Галилея объединены вместе прямое и косвенное доказательство естественности кругового движения. Пусть U= «движения», А = «естественные», В = «круговые», С= «подчиненные совершенному порядку». Доказываемым тезисом служит суждение «Естественное движение является круговым», т. е. /3 = «Все А есть В». Первый аргумент — суждение «Естественное движение подчиняется совершенному порядку», т. е. а{ = «Все А есть С». Второй аргумент — суждение «Движение, подчиненное совершенному порядку, является круговым», т. е. с^ = «Все С есть В». Прямое доказательство требует, чтобы тезис следовал из аргументов. Проверим это: а{ = «Все Л есть С». а2= «Все С есть 5». /3= «Все Л есть J5». Итак, тезис следует из аргументов, которые истинные. Следовательно, истинность тезиса доказана прямым способом. Косвенное доказательство строится как обоснование невозможности прямолинейного движения, т. е. как обоснование ложности антитезиса. Антитезисом будет суждение «Некоторые естественные движения не являются круговыми», т. е. -i/З = «Некоторые А не есть В». Для косвенного доказательства обязательное требование — несовместимость аргументов с антитезисом. Проверим, выполняется ли это условие: 1 Галилей Г. Избранные труды: В 2 т. - М, 1964. Т. 1. С. 115-116.
176 Часть I. Традиционная логика —ifi = «Некоторые Л не есть В». а{ = «Все А есть С». а2 = «Все Сесть J5». Противоречие. Антитезис -i/З ложный. Тезис f$ истинный. Аргументы несовместимы с антитезисом и истинны. Следовательно, косвенно доказано, что тезис истинный. Косвенное доказательство оказывается избыточным, когда имеется прямое. Но вместе, как свидетельствует рассуждение Галилея, они усиливают психологическое восприятие истинности тезиса. А это иногда не менее важно, чем логически обоснованное доказательство. Главные логические ошибки Логические ошибки принято разделять на умышленные и неумышленные. Умышленные бшибки называются софизмами (от греч. sophisma — «уловка, хитрость»). Их цель — обеспечить беспроигрышную победу, любым способом заставить оппонента признать свое поражение в споре, дискуссии, суде. Неумышленные ошибки совершаются, как правило, из-за незнания логики, вследствие продолжительного обсуждения, сильного эмоционального напряжения, усталости и т. д. Логических ошибок насчитывают несколько сотен, и нет смысла перечислять их все. Чтобы построить понятную классификацию логических ошибок, укажем сначала основные требования к корректному (общезначимому) дедуктивному доказательству (опровержению). В таком, по сути дела, идеальном доказательстве: (I) Тезис остается неизменным на протяжении всего доказательства или опровержения. (II) Тезис понимается всеми участниками однозначно. (III) Каждый аргумент доказывается независимо от других аргументов и тезиса доказательства. (IV) Все аргументы совместимы, уместны, относятся к обсуждаемой проблеме. Тезис необходимо следует из аргументов. Умышленное или неумышленное нарушение какого бы то ни было из перечисленных требований приводит к определенной ошибке. Примером нарушения требования (I) служит потеря или подмена тезиса, т. е. введение в доказательство нового тезиса. Тезис утрачивается чаще всего неосознанно. Его подмена совершается, как правило, умышленно — превращается в уловку, с помощью которой автор стремится увести обсуждение по тем или иным мотивам от насущной проблемы к другой, часто с ней совсем не связанной.
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 177 Таблица 4.1 Ошибка «Потеря или подмена тезиса» 1. Доказывается тезис Р{. 2. Вводится новый тезис Р2. 3. Начинается обсуждение Рт 4. Тезис /3, остается без доказательства. Подмена тезиса часто происходит в политических дискуссиях, когда вместо обсуждения достоинств и недостатков предлагаемых программ переключаются на обсуждение достоинств и недостатков их авторов. Этой уловке способствует многозначность слов и явление омонимии. Другим примером нарушения требования (I) служит такое усиление тезиса, в результате чего он превращается в ложное утверждение. Таблица 4.2 Ошибка «Кто много доказывает, тот ничего не доказывает» 1. Требуется доказать тезис Р{. 2. Вместо Р{ формулируется логически более сильная версия — тезис Р2. 3. Доказывается ложность тезиса Р2. 4. Ложность тезиса Р2 переносится па тезис Pv Если тезис «Некоторые четные числа делятся на 3» усилить до утверждения «Все четные числа делятся на 3», то это означает совершить указанную ошибку. Для последнего утверждения легко привести опровержение (например число 4 не делится на 3). Значит, усиленный тезис доказывает излишне многое и поэтому ложен, из чего, впрочем, не следует ложность тезиса «Некоторые четные числа делятся на 3». Примером нарушения требования (II) будет умышленное или неумышленное введение тезиса, относительно которого участники доказательства не могут достигнуть однозначной интерпретации. Таблица 4.3 Ошибка «Неоднозначный тезис» 1. Доказывается тезис Д 2. Тезис Р может интерпретироваться как 0, или как Р2... или как Рп. 3. Участники доказательства не могут добиться однозначного толкования тезиса Д 4. Тезис Достается недоказанным. Тезис «Культура есть благо» может доказываться только после того, как будет установлен смысл, в котором употребляется термин «культура»: идет ли речь о культуре в целом или о какой-нибудь ее разновидности. Типичным примером нарушения требования (III) служит так называемый круг в доказательстве. То, что предполагается доказать, уже
178 Часть I. Традиционная логика явно или неявно содержится в приведенных аргументах. Это означает, что тезис не получает независимого обоснования. Таблица 4.4 Ошибка «Круг в доказательстве» 1. Обсуждается тезис Д 2. Сначала доказывается, что тезис Р истинный, потому что аргумент a истинный. 3. Затем доказывается, что аргумент а истинный, потому что тезис Р истинный. 4. Тезис Р не получает независимого обоснования. Рассуждение «Душа существует вечно, потому что она не может умереть» содержит указанную ошибку. Аргумент «Душа не может умереть» эквивалентен тезису «Душа существует вечно». Следовательно, в содержании аргумента предполагается то, что должно быть доказано. Если это так, тезис данным аргументом не доказывается. Причиной нарушения требования (IV) служит отсутствие необходимой связи аргументов и заключения. Аргументы должны быть совместимыми друг с другом, уместными, необходимо связанными с доказываемым тезисом. Это означает, что в корректном дедуктивном доказательстве не принимаются во внимание аргументы, несовместимые друг с другом или с тезисом, содержащие ссылки на эмоции, угрозы, выгоду, мнение большинства или популярных артистов, спортсменов и т. п. Также не учитываются аргументы, основанные на незнании оппонентами каких-либо фактов или на пренебрежении их точкой зрения, потому что они придерживаются противоположного мнения. В следующем рассуждении один из аргументов несовместим с тезисом, и по этой причине доказательство некорректно. «Ни одно моральное обязательство не является универсальным, так как условна всякая мораль, основанная на определенном историческом типе культуры. Что признается в одной культуре, то отвергается в другой. Универсальные моральные обязательства — миф. Мы должны быть терпимы друг к другу, мы не можем утверждать, что мы правы, а они нет. Каждый должен уважать ценности других»1. Несовместимы друг с другом аргумент «Ни одно моральное обязательство не является универсальным» и тезис «Каждый должен уважать ценности других». Если истинно любое одно из них, то ложно другое. Более многочисленны причины, по которым аргументы совместимы с тезисом, но все-таки его не доказывают. Рассмотрим в этой связи ряд типичных ошибок. 1 GenslerHJ. Introduction to Logic. - London, 2003. P. 338.
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение 179 Таблица 4.5 Ошибка «Тезис не следует из аргументов» 1. Доказывается тезис Д 2. Приводится аргумент а. 3. Аргумент а иррелевантен для доказательства тезиса Д 4. Аргумент а не доказывает тезис Д Если для доказательства тезиса «В этом году ожидается увеличение военных столкновений» приводится аргумент «Планета Марс заняла такое- то положение по отношению к Земле», то совершается указанная ошибка. В рекламном призыве «Покупайте кофе марки X, потому что по утрам его пьет звезда мирового футбола F» тезис «Покупайте кофе марки X» не оказывается необходимым следствием приведенного аргумента «По утрам кофе этой марки пьет звезда мирового футбола У». В умозаключении «Никто не доказал, что Бог не существует, следовательно, он существует» тезис «Бог существует» также не следует с необходимостью из аргумента «Никто не доказал, что Бог не существует». В утверждении «Мой оппонент верит, что на Марсе имеется жизнь. Значит, ее там нет» тезис «На Марсе жизни нет» также не следует с необходимостью из аргумента «Мой оппонент верит, что на Марсе жизнь существует». Важную разновидность рассматриваемой ошибки образуют рассуждения, построенные по принципу «После того — значит по причине того». В умозаключениях подобного рода не учитывается необходимая связь причины и следствия. Таблица 4.6 Ошибка «После того — значит по причине того» 1. Исследуется причина события Д 2. Другое событие а предшествовало событию Д 3. Событие a — причина события Д Примерами служат умозаключения: «Люди появились после динозавров. Следовательно, люди произошли от динозавров», «Я споткнулся о камень после того, как черная кошка перебежала мне дорогу». Другую важную разновидность анализируемой ошибки образуют ложные дилеммы. Таблица 4.7 Ошибка «Ложная дилемма» 1. По предположению, истинно либо а, либо Д 2. На самом деле альтернативы аи Рмогут быть ложны. 3. Событие а ложно. 4. Заключение, что событие /3 истинно, неправомерно.
180 Часть I. Традиционная логика Например, из следующих двух альтернатив ничего не следует с необходимостью. Допустим, предполагается следующая дилемма: истинно либо 2 + 2 = 3, либо 2 + 2 = 5. Но альтернатива 2 + 2 = 3 ложная. Значит, истинна альтернатива 2 + 2 = 5. Другой разновидностью отсутствия следования тезиса из аргументов будет ошибка, возникающая в результате неправомерного переноса свойств одной части или нескольких частей вещи на саму вещь, и наоборот. Таблица 4.8 Ошибка «Если каждая часть вещи обладает некоторым свойством, значит и вещь в целом обладает этим же свойством» 1. Каждая часть вещи а обладает свойством Д 2. Вещь а обладает свойством Д Примером рассматриваемой ошибки служат умозаключения: «Если каждая деталь этого автомобиля совершенна, значит, совершенен и весь автомобиль в целом»; «Если знаешь все английские слова из словаря В. К. Мюллера, можешь свободно говорить по-английски». Таблица 4.9 Ошибка «Если вещь обладает некоторым свойством, значит и каждая ее часть также обладает этим свойством» 1. Вещь а обладает свойством Д 2. Каждая часть вещи а обладает свойством Д Примером рассматриваемой ошибки служат обратные приведенным выше умозаключения: «Если данный автомобиль совершенен, значит, совершенна и каждая его деталь»; «Если можешь говорить свободно по-английски, значит, знаешь все английские слова из словаря В. К. Мюллера». Упражнения I. Определите в каждом из приведенных ниже отрывков вид доказательства или опровержения. Проверьте правильность заключения. «Количество движения, получаемое, если взять сумму количеств ' движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою. Так как по закону III [третий закон движения Ньютона. — В. С] действие и противодействие между собой равны и противоположны, то по закону II [второй закон движения Ньютона. — В. С] они производят равные изменения количеств движения, направленные в противоположные стороны. Таким образом, если движения двух тел направлены в одну сторону, то что приложится к количеству движения тела, идуще-
Глава 4. Дедуктивное доказательство и опровержение + го впереди, то вычтется из количества движения тела, за ним следующего, и сумма количеств движения обоих тел останется прежняя. Если же тела движутся в противоположные стороны, то вычтется поровну из количеств движения каждого из них, и, следовательно, разность количеств движения, направленных в обратные стороны, останется без перемены»1. «Сальвиати. Если память не изменяет мне, первый аргумент, приведенный синьором Симпличио, таков. Земля не может двигаться кругообразно, так как подобное движение было бы для нее насильственным, а потому не могло бы продолжаться вечно; далее, объяснение, . почему оно было бы насильственным, заключалось в том, что, будь оно естественным, части Земли также естественно вращались бы, что невозможно, так как этим частям по природе присуще прямолинейное движение вниз. На это отвечу так: мне было бы желательно, чтобы Аристотель выразился точнее, утверждая, что части Земли также двигались кругообразно; ведь это кругообразное движение можно понимать двояко: во-первых, так, что всякая частица, отделившаяся от своего целого, двигалась бы кругообразно вокруг естественного центра, описывая свои маленькие кружочки; во-вторых, так, что при вращении всего шара вокруг своего центра в двадцать четыре часа и части также вращались бы вокруг того же центра в двадцать четыре часа. Первое было бы несообразностью не меньшей, чем если бы кто сказал, что всякой части круга надлежит быть кругом... Но если оно понимается во втором смысле, т. е. что части, подражая целому, естественно движутся вокруг центра всего шара в двадцать четыре часа, то я утверждаю, что они это и делают, и вам [собеседникам — В. С] вместо Аристотеля надлежит доказать, что этого нет»2. «В самом деле, если планеты переносятся вокруг Солнца вихрями, то число вихрей, расположенных в смежности с какою-нибудь планетою, должны быть одной с ней плотности, как уже сказано выше. Таким образом, вся материя, расположенная на орбите Земли, должна иметь ту же плотность, как Земля, та же материя, которая лежит между орбитою Земли и орбитою Сатурна, должна иметь или такую же плотность, или большую, ибо для того, чтобы строение вихря могло сохраняться, необходимо, чтобы менее плотные части были ближе к центру, более плотные — дальше от центра... Таким образом, вся, притом значительно большая, часть вихря, расположенная снаружи земной орбиты, будет обладать плотностью, а значит, и силою инерции на каждый объем материи не меньшею, нежели плотность и сила инерции Земли. Следовательно, проходящие через вихрь кометы будут встречать громадное сопротивление, которое и проявилось бы весьма ощутительно, если только оно не оказалось бы достаточным, чтобы поглотить и прекратить движение. 1 Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — М, 1989. С. 45-46. 2 Галилей Г. Избранные труды: В 2 т. - М, 1964. Т. 1. С. 232.
182 Часть I. Традиционная логика Чрезвычайно же правильное движение комет показывает, что они подвержены даже в малейшей степени ощутительному сопротивлению. Отсюда следует, что кометы совершенно не проникают в такую среду, которая обладала бы каким бы то ни было сопротивлением или какою бы то ни было инерцией...»1 «Рассмотрим в первую очередь последствия принятия иррационализма. Иррационализм настаивает на том, что не столько разум, сколько чувства и страсти являются основной движущейся силой человеческих действий... Мое твердое убеждение состоит в том, что это иррациона- листическое выпячивание страстей и эмоций должно в конечном счете приводить к тому, что нельзя определить иначе как преступление. Я считаю так, потому что такое выпячивание страстей представляет собой в лучшем случае одну из форм смирения перед иррациональной природой человеческого бытия. В худшем же случае оно есть выражение презрения к человеческому разуму, из чего следует обращение к принуждению и грубой силе как последним арбитрам в любом споре»2. II. Определите вид логической ошибки в следующих рассуждениях. 1. Библия сообщает нам истину, потому что она — слово Божье. Мы знаем, что Библия — слово Божье, потому что об этом написано в ней самой, а то, что в ней написано, истинно. 2. Мы должны проголосовать за этого кандидата, потому что он — интеллигентный человек и имеет большой политический опыт. 3. Мой доктор советует мне похудеть и бросить курить. Но он сам курит. Значит, я могу проигнорировать его совет. 4. Аристотель утверждает, что более тяжелое тело падает по направлению к поверхности Земли более быстро, чем легкое тело. Раз это говорит Аристотель, значит, данное утверждение истинно. 5. Каждая часть нашего организма имеет свою цель. Следовательно, имеет цель и наш организм в целом. 6. Все знают, что летом тепло, а зимой холодно. Значит, так на самом деле. 7. Атеизм абсурден. Атеисты утверждают, что Бог не существует, потому что его нельзя увидеть. Но видел ли кто-либо электрон? 8. Дилемма фаталиста: «Если мне суждено умереть, то я умру — все равно, позову врача или нет; а если мне суждено поправиться, я также все равно поправлюсь — позову ли врача или нет. Но, конечно, что- нибудь мне суждено — или умереть, или поправиться. Следовательно, я умру или поправлюсь — все равно, вызову ли я врача или нет». 1 Ньютон И. Математические начала натуральной философии. — М., 1989. С. 16-17. 2 Поппер К. Открытое общество и его враги. — М., 1992. Т. 2. С. 270.
Глава 5 Доказательство и опровержение как искусство риторики Итак, определим риторику как способность находить возможные способы убеждения относительно каждого данного ' предмета. Аристотель «Риторика» Таким образом, все построение убедительной речи основывается на трех вещах: доказать правоту того, что мы защищаем; расположить к себе тех, перед кем мы выступаем; направить их мысль в нужную для дела сторону. Марк Туллий Цицерон «Об ораторе» Определение риторики Кроме логических требований демонстрация подчиняется также и различным социально-психологическим и литературным закономерностям. В единстве всех логических и нелогических правил она превращается в умение рассуждать риторически. Мы рассуждаем риторически, когда стремимся устно или письменно привлечь кого-либо на свою сторону или добиться того, чтобы проявилось нужное нам действие, было принято желаемое решение, причем нередко человеку приходится убеждать и самого себя. Как это, сделать наилучшим образом — и составляет смысл риторической речи. Ее задачи и правила в канонической форме были сформулированы Цицероном: Все силы и способности оратора служат выполнению пяти задач: во- первых, он должен приискать содержание для своей речи; во-вторых, расположить найденное по порядку, взвесив и оценив каждый довод; в-третьих, облечь и украсить все это словами; в-четвертых, укрепить речь в памяти; в-пятых, произнести ее с достоинством и приятностью. Далее я узнал и понял, что прежде чем приступить к делу, надо вначале
184 Часть I. Традиционная логика расположить слушателей в свою пользу, далее разъяснить дело, после этого установить предмет спора, затем доказать то, на чем мы настаиваем, потом опровергнуть возражения; а в конце речи все то, что говорит за нас, развернуть и возвеличить, а то, что за противника, поколебать и лишить значения1. В каждой риторической речи можно выделить автора, его аудиторию и обращение. Все вместе они образуют так называемый риторический треугольник (рис. 5.1). Обращение Автор ^ -^ Аудитория Рис. 5.1. Риторический треугольник Автор риторической речи — тот человек (группа людей), который убеждает аудиторию совершить некоторое действие, занять определенную позицию, принять нужное решение. Аудитория риторической речи — тот человек (группа людей), которому автор адресует свое обращение. Один и тот же человек (группа людей) может совмещать функции автора и аудитории. Обращение — те тезисы, которые автор предлагает аудитории, и те аргументы, с помощью которых он убеждает ее в истинности своих тезисов и ложности им противоречащих или противоположных. Когда Моська из известной басни И. А. Крылова отвечает: «Пускай же говорят собаки: "Аи Моська! Знать она сильна, что лает на Слона!"», то она выступает автором, собаки — ее аудиторией, нападки на Слона — аргументом, признание ее силы — тем тезисом, в истинности которого она хочет убедить аудиторию. Когда я уговариваю себя захватить зонт из-за непогоды, то выступаю и автором, и аудиторией одновременно, возможность промокнуть — аргументом, взять зонт — требуемым тезисом (действием). Необходимость убеждения в истинности тезиса называется риторической проблемой. Наличие ее ведет к появлению автора, аудитории и созданию обращения. Формулировка риторической проблемы и ее решение называются риторической деятельностью, а те правила, которым она подчиняется, — риторикой. . Риторика — правила решения риторических проблем. 1 Цицерон Марк Туллий. Об ораторе // Три трактата об ораторском искусстве. - М, 1972. С. 112.
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 1JB5 В соответствии с традицией все риторические правила делятся на: 1) правила, относящиеся к изобретению необходимых мыслей; 2) правила, регулирующие расположение изобретенных мыслей; 3) правила словесного выражения мыслей, позволяющего воздействовать на разум и чувства аудитории. К этим правилам необходимо добавить еще и правила спора, так как последний представляет разновидность риторической речи, в которой автор и аудитория периодически меняются своими ролями. Рассмотрим эти правила. Изобретение обращения Риторическая деятельность начинается с осознания риторической проблемы — кто, кого, в чем должен убедить или подвергнуть сомнению, похвалить или подвергнуть порицанию, защитить или осудить. Ответ на вопрос кто? определяет автора, на вопрос кого? — аудиторию, на вопрос в чем? — обращение. Каждый из вопросов конкретизирует одну из вершин риторического треугольника (рис. 5.2). В чем? Кто? ^ ^ Кого? Рис. 5.2. Основные вопросы риторической проблемы Если вернуться к примеру с Моськой, то ответы на поставленные вопросы окажутся следующими (рис. 5.3). Признать сильной Моська *- х Собаки Рис. 5.3. Басня И. А. Крылова «Слон и Моська» как пример риторической проблемы Данные ответы определяют главное предложение обращения, и после его конструирования риторическая деятельность продолжается распространением этого предложения — уточнением его элементов и присоединением полученных сведений в качестве дополнительных предложений к главному. Главное предложение вместе с уточняющими его дополнительными образует простой период — основную единицу риторической речи. Таким образом, изобретение обращения сводится
186 Часть I. Традиционная логика к построению одного или нескольких связанных друг с другом простых периодов. Первой целью распространения служит формулировка аргументов, убеждающих аудиторию в том или ином риторическом тезисе (действии). Сформулировать аргументы означает ответить на вопрос, почему аудитории следует поддерживать автора. Аргументы присоединяются к главному предложению в качестве причинных придаточных предложений. Вторая цель распространения главного предложения — формулировка различных условий, обстоятельств, места и времени совершения риторического действия. Требуемые мысли рождаются как ответы на вопросы когда? где? при каких условиях? и вводятся в структуру главного предложения в качестве различных определений и уточнений подлежащего. Третьей целью распространения главного предложения следует считать создание положительного образа автора риторической деятельности. Это особенно важно, если обращение представляет собой рекламное действие. Необходимые мысли возникают как ответ на вопрос почему вы {аудитория) должны доверять мне {автору)? Он также вводится в структуру главного предложения в качестве уточняющего обстоятельства. Попробуем реконструировать процесс изобретения обращения на нескольких примерах. Пример 1 1. Печенье не черствеет! 2. Питательнее, выгоднее булки! 3. Продает Моссельпром, 4. Отделения в каждом переулке {В. В. Маяковский). Главное предложение складывается при ответе на указанные первые три вопроса, т. е. при конкретизации вершин риторического треугольника: Покупать печенье Моссельпром ^- -^ Жители и гости Москвы Рис. 5.4. Рекламный текст В. В. Маяковского как пример риторической проблемы Главное предложение: «Моссельпром предлагает жителям и гостям Москвы покупать печенье». Хотя оно и выражает суть риторической
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 187 проблемы, все же недостаточно эффективно, так как не указывает аргументов, почему нужно покупать печенье. Другими словами, главное предложение требует распространения. Аргументы: печенье не черствеет, питательнее и выгоднее булки. Место возможной покупки: отделения в каждом переулке. Присовокупив полученные данные к главному предложению, получаем распространенное предложение: Моссельпром, отделения которого в каждом переулке, предлагает покупать печенье, потому что оно не черствеет, питательнее и выгоднее булки. Можно считать, что на этом процесс выявления и формулирования мыслей оказывается завершенным. Проблемы изложения и словесного выражения мыслей будут рассматриваться в следующих параграфах. Пример 2 1. С разбором выбирай друзей. 2. Когда корысть себя личиной дружбы кроет, — 3. Она тебе лишь яму роет (И. А. Крылов). Конкретизация вершин риторического треугольника дает следующее главное положение: автор (И. А. Крылов) просит читателейраз- борчиво выбирать друзей. Распространение главного предложения состоит в указании аргументов, почему необходимо разборчиво выбирать друзей. Аргументы; в противном случае можно поплатиться жизнью. Распространенное предложение звучит следующим образом: «Автор просит читателей разборчиво выбирать себе друзей, так как в противном случае они рискуют поплатиться жизнью». Пример 3 1. Кто б ни был ты, о мой читатель, 2. Друг, недруг, я хочу с тобой 3. Расстаться нынче как приятель (А. С. Пушкин). В приведенном отрывке А. С. Пушкин обращается к читателю романа «Евгений Онегин». Цель обращения — прощание. Главное предложение: я хочу расстаться с тобой. Вопросы с кем? с каким! каким образом! когда? уточняют предмет расставания: читатель] мой, друг, недруг) как приятель; нынче. Распространенное предложение имеет следующий вид: «Яхочу расстаться с тобой, мой читатель, друг, недруг, нынче как приятель». Итак, искусство изобретения мыслей сводится к умению задавать вопросы и давать на них ответы.
188 Часть I. Традиционная логика Изобрести мысли необходимо, но еще недостаточно для решения риторической проблемы. Их еще необходимо правильно расположить, а также надлежащим образом выразить словесно. Изложение обращения Правильно изложить обращение не менее важно, чем придумать его отдельные части (периоды). Привести их во внутреннее соответствие, найти для каждой части свое место — такова цель данной стадии риторической деятельности. В развернутой форме изложение включает, как правило, следующие части. 1. Введение. Автор стремится вызвать доверие у аудитории к самому себе, своему обращению, готовность выслушать изложение до конца и поддержать свои тезисы. 2. Обозначение темы обращения. В тех случаях, когда тема обращения сложна для восприятия или аудитория настроена неоднозначно, автор кратко формулирует свою тему перед началом изложения. Тем самым он закрепляет ее в сознании аудитории, это помогает более быстрому пониманию всех частей и облегчает достижение , главной цели обращения. 3. Повествование. Основная часть изложения. Представляются факты в их систематической связи друг с другом и темой обращения. Формулируются тезисы. 4. Доказательство и опровержение. Приводятся аргументы, доказывающие изложенные факты, сформулированные тезисы, и опровергаются точки зрения, противоречащие или противоположные авторской. 5. Заключение. Содержит резюме выдвинутых аргументов. Автор стремится возбудить у аудитории необходимый эмоциональный отклик на изложенное обращение. Не каждое обращение содержит указанные части. Их наличие зависит от темы обращения, автора, аудитории, места, времени и других условий риторической речи. Цель введения может быть достигнута разными способами. Во-первых, автор демонстрирует, почему важно для аудитории то, что он собирается сказать или написать. Тем самым он устанавливает положительную связь между собой и аудиторией. При этой стратегии автору следует тщательно продумать ответ на вопрос: почему то, что он хочет сказать, важно и для аудитории!
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 189 Во-вторых, можно исходить из интересов аудитории. Тогда автор апеллирует не к своему опыту, знанию, а к потребностям аудитории. Их удовлетворение он делает своей главной целью. При выборе данной стратегии автору полезно продумать ответ на вопрос: что он, автор, способен предложить для решения проблем аудитории? В-третьих, можно объединить интересы автора и аудитории. Такая стратегия достигает, как правило, наибольшего эффекта. При выборе такой стратегии уместно продумать ответ на вопрос: что автор и аудитория вместе могут сделать для решения их общей проблемы? Иногда аудитория состоит из людей, явно или скрыто настроенных против автора, или темы его обращения, или против того и другого вместе. В такой ситуации необходимо предварительно разобраться в причинах конфронтации, установить степень их объективности и в соответствии с этим решить, что следует сделать для установления дружественных контактов с аудиторией. Дать ли новую информацию или воздействовать на чувства и моральные принципы аудитории? В любом случае рекомендуется начать с вопросов с большим согласием и лишь после их рассмотрения переходить к вопросам с меньшим согласием. Полезно также с самого начала добиться согласия относительно используемых критериев оценок. Примером первой стратегии служит следующее обращение к читателям: Чтобы правильно понять данный труд, его следует рассматривать не как метафизический и тем более не как теологический трактат, а единственно vL исключительно как научную работу1. В этом обращении автор исходит из предположения, что научный характер его работы более важен для читателя, чем все другие. Примером второй стратегии может быть обращение, типичное для рекламных изданий: Вы найдете у нас то, что ищете. Интересы аудитории (покупателей) в данном случае приоритетны для автора (рекламодателя). В качестве примера третьей стратегии приведем следующее обращение к читателям: Плодотворное влияние великих философских систем заключается не в том, что философ становится для нас авторитетом, а в том, что, под- 1 Шардеп П. Т. Феномен человека. - М, 1987. С. 36.
190 Часть I. Традиционная логика няв нас на свои плечи, он открывает нам новые горизонты и заставляет строить новое, более широкое мировоззрение, чем то, какое было возможно в его время1. Использование местоимения «нас» сближает автора и читателей в решении нелегкой задачи — чтении «Критики чистого разума» И. Канта. Повествование, т. е. изложение фактической стороны дела, осуществляется посредством описания, которое всегда следует предмету, событию, явлению, отражает ритм их развития и упадка. Всякое описание, претендующее на полноту, должно иметь начало, середину и конец. Начало описания строится как обращение к предмету описания или как указание времени, места, обстоятельств, имени героя и т. п. Например: «Итак, она звалась Татьяной» (А. С. Пушкин); «Зима!.. Крестьянин, торжествуя, на дровнях обновляет путь.» (А С. Пушкин); «Мужик, на лето в огород наняв Осла, приставил ворон и воробьев гонять нахальный род» (Я. А. Крылов). Середина описания может состоять из нескольких частей и включает все, что хочет сказать автор. Если предмет описания неодушевленный, то последовательно рассматриваются все его части, состояния, изменения во времени. Если одушевленный — также последовательно описываются его действия, состояния, размышления. Единственное правило, которое здесь следует соблюдать, — следовать естественному ритму предмета описания. Например: Кончен пир, умолкли хоры, Опрокинуты амфоры, Опрокинуты корзины, Не допиты в кубках вины, На глазах венки измяты, — Лишь курятся ароматы В опустевшей светлой зале... (Ф. И. Тютчев). Конец описания может представлять авторское обращение к предмету описания, моральную сентенцию, уподобление или противопоставление, повторение начала описания, обобщение. Главное требование к концу описания — краткое выражение главной цели повествования. Например: «Стой же ты, утес могучий!» (Ф. И. Тютчев); «И я скажу — совет хорош, не ложно; да плыть на парусах без ветру невозможно» (И. А. Крылов). 1 Лосский Н. О. Предисловие переводчика // Кант И. Критика чистого разума. - СПб., 1993. С. 7.
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 191 После изложения фактов следуют аргументы, с помощью которых указываются причины описанных явлений, отвергаются противоречащие и противоположные точки зрения. Логические вопросы аргументации рассматривались ранее1. Здесь мы остановимся на риторических аспектах аргументации. Когда истинность одних утверждений доказывается на основании других, ранее установленных, тогда и можно говорить об аргументации (изобретении и применении аргументов). Сказанным определяется главная особенность аргументов. Ими могут быть только те утверждения, которые истинны или правдоподобны и которые признаются таковыми как автором, так и его аудиторией. Все аргументы делятся на аргументы «от лица» и аргументы «от вещей». Первые порождаются вопросами типа кто? какого пола? возраст? какими профессиями владеет? и т. п. Вторые — вопросами типа почему? где? когда? как? посредством чего? что это? из каких частей состоит? какие имеет виды? с чем подобно? от чего отличается? и т. п. В качестве аргументов могут выступать различные примеры и свидетельства. Данная часть изложения также обычно имеет начало, середину и конец. В начале формулируется тезис. Он выставляется либо автором, либо навязывается ему его оппонентами. В середине приводятся аргументы, доказывающие тезис и опровергающие антитезис, — причины, следствия, примеры, свидетельства. В конце или повторяется тезис, или приводится его основное следствие. Рассмотрим несколько примеров2. Пример 1 Начало. Тезис: Наука делает человека благородным. Середина. Причина: Ибо она, образуя ум, имеет сильное влияние на образ мыслей и поступки. Причина причины: А образованный ум не может колебаться в выборе между низким и благородным. Пример: Философ Эзоп, будучи рабом, пользовался уважением своего господина. Конец. Заключение: Итак, учение есть путь к благородству. 1 См.: гл. IV, 7; гл. V, 8. 2 Первые два примера заимствованы из: Кошанский Н. Ф. Общая риторика. — СПб., 1829. С. 83.
192 Часть I. Традиционная логика Пример 2 Начало. Тезис: Должно умерять страсти. Середина Причина: Ибо следствия пылких страстей пагубны. Сравнение: Человек — корабль в море; страсти — ветры; умеренные направляют к желанной цели, бури разбивают корабль. Пример 1: Страсть к завоеваниям губит честолюбцев — Наполеон. Пример 2: Страсть к наслаждениям убивает душу и тело — Сарда- напал. Конец. Заключение: Напротив, тихие и умеренные движения сердца благодетельны для человека. Пример 3 Начало. Тезис: Трудолюбие приносит пользу. Середина. Причина 1: Труд — отец любого богатства. Причина 2. Праздность — мать всех пороков. Конец. Заключение: Начать трудиться никогда не поздно. Заключения, как и аргументы, бывают двоякого рода. Одни относятся «к вещам», другие — «к чувствам». Первые состоят в кратком повторении сути дела, но с большей энергией и пафосом. Вторые — в возбуждении соответствующих чувств у аудитории. В любом случае цель заключения состоит в том, чтобы закрепить и усилить риторический эффект предыдущих частей изложения. В баснях заключение формулируется в виде «морали», в судебных речах — как повторение тезиса или его основного следствия, в лирических стихах — это повторение первых строк. Итак, правильно расположить части обращения означает для его автора вызвать к себе уважение, возбудить интерес к теме обращения, дать исчерпывающее описание и обоснование, суметь кратко выразить в заключении все изложенное ранее, но с еще большим чувством. Мысли изобретены и расположены в нужной последовательности. Риторическая деятельность вступает в новую стадию — словесное выражение. Между мыслью и словом нет однозначной связи. Одна и та же мысль может быть выражена разными словами. Одно и то же слово может возбуждать разные мысли. Словесное выражение, кроме поиска слов, точно передающих ту или иную мысль, предполагает создание определенного настроения, ассоциаций, порождение образов, побуждение, связывание автора и аудитории единым чувством.
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 193 Словесное выражение обращения Когда автор рассматривает слова «обман», «надувательство», «мистификация» в качестве языковых эквивалентов мысли «намеренное или ненамеренное заблуждение», он оказывается на стадии словесного выражения. Она менее всего регулируется правилами. Однако некоторые рекомендации; как лучше выразить в слове мысль, риторика дает. Искусство выражать мысль устно или письменно в общем случае означает умение владеть словом (стилем). Обычно требуется, чтобы слог был ясным (предмет всесторонне осмыслен, значение каждого слова точно установлено), убедительным (все мысли логически связаны друг с другом и с темой обращения), понятным (все слова имеют однозначное толкование, по крайней мере для данной аудитории), воздействующим на чувства и воображение. Первые три требования — логико-грамматического характера. Последнее — чисто риторическое. Для его выполнения следует уметь пользоваться тропами и фигурами. Тропы и фигуры — главные средства украшения языка, возбуждения чувств, разжигания воображения. Рассмотрим их последовательно. Троп (греч. trope — поворот, перемена) — любое изменение логического значения слова, любое использование слова в его непрямом значении. Употребить троп означает придать слову несвойственное ему значение по некоторому критерию — подобию, качеству, количеству и противоположности. Основной троп по подобию — это метафора (буквально «перенос»). Наш язык насыщен метафорами: кисть винограда, ручка двери, ножка стола, природа жаждет, воспламененный страстью, луга смеются, каменное сердце, золотая осень, золотые руки, небо нахмурилось. В основе всякой метафоры лежит сравнение. Если можно сопоставить какие- либо две вещи — значит можно построить и метафору. Например: лев как царь зверей (сравнение); лев — царь зверей (метафора). Употребить метафору означает увидеть подобие между вещами с разными родовыми признаками, соединить вместе то, что, как правило, не соединяется. Глубинная функция метафор связана с потребностью человека объяснять окружающие его вещи, обращаясь к своему личному опыту, и делать тем самым их понятными. Главный троп по критерию качества — метонимия (буквально «переименование»). Если какие-либо две вещи связаны некоторым образом, то имя каждой из них может использоваться вместо названия дру- 7-1742
194 Часть I. Традиционная логика гой. Метонимия также распространена в нашей речи. Примеры: читать Пушкина (т. е. сочинения А. С. Пушкина), обнажить меч (т. е. начать войну), наполнить кубок Вакхом (т. е. вином), соединиться узами Гименея (т. е. вступить в брак), жить трудами (т. е. на деньги, полученные за труд), съесть тарелку супа (т. е. суп, налитый в тарелку). Для метонимии характерно использование: • предыдущего вместо последующего, и наоборот; • действия вместо причины, и наоборот; • создателя вместо созданного, и наоборот; • знака вместо значения, и наоборот; • содержимого вместо содержащего, и наоборот; • владельца вместо собственности, и наоборот; • свойства вместо вещи, и наоборот; • места вместо вещи, и наоборот; • времени вместо вещи, и наоборот. Разновидность метонимии — синекдоха (буквально «подразумевае- мость») — главный троп по количеству. Примеры: иметь хлеб (т. е. изобилие), быть Крезом (т. е. очень богатым), иметь колеса (т. е. автомобиль), иметь крышу (т. е. дом), иметь голову (т. е. ум), человек (= люди). Для синекдохи характерно использование: • рода вместо вида, и наоборот; • целого вместо части, и наоборот; • единственного числа вместо множественного, и наоборот; • абстрактного вместо конкретного, и наоборот; • собственного имени вместо нарицательного, и наоборот. Основной троп по противопоставлению — ирония (буквально «притворство»). Это употребление слова в противоположном значении. «"Отколе, умная, бредешь ты, голова?" — Лисица, встретяся с Ослом, его спросила» (И. А. Крылов). Не менее распространенный троп данного вида — антитеза (буквально «противоположение»), или противопоставление. «Богатый и в будни пирует, а бедный и в праздник горюет» (пословица). Когда противоположные мысли объединяются, тогда возникает оксюморон (буквально «остроумно-глупое») — соединение слов с противоположным значением. Примеры: мудрое безумие, темный свет, горькая радость; дорога вверх, ведущая вниз. Указанные тропы не исчерпывают всего списка. Желающие разобраться более детально должны обратиться к специальной литературе1. 1 Дюбуа Ж. и др. Общая риторика. - М, 1988. С. 168-260.
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 195 Использование тропов предполагает умение преобразовывать понятия. Так, на умножении последних основаны все метафоры. Метонимия и синекдоха предполагают умение образовывать родовые понятия, находить их виды. Ирония, антитеза и оксюморон невозможны без умения конструировать противоположные и противоречащие понятия. Объединяющей все тропы структурой оказывается пропорция. Рассмотрим метафору «золотая осень». Запишем ее в виде пропорции: осень золото время года драгоценный металл Пропорция читается: отношение осени к временам года равно отношению золота к драгоценным металлам. Из пропорции следует: золото осень = время года х = драгоценный металл = время года, обладающее свойствами золота. В полученном определении видовой признак «обладать свойствами золота» не принадлежит родовому понятию «время года», т. е. не свойствен ему по основному смыслу. Следовательно, метафора представляет определение, в котором видовой признак не является собственным для родового. Если метафора требует знания всех членов пропорции, строится посредством умножения ее членов, то при метонимии и синекдохе задан, как правило, только один член пропорции. Отношение его частей и составляет суть данных тропов. Рассмотрим метонимию «съесть тарелку». Она образуется такой пропорцией: суп _ содержимое тарелка содержащее Употребление содержащего вместо содержимого и создает данный троп. Рассмотрим синекдоху «иметь крышу». Она образуется пропорцией: крыша _ часть дом целое Использование части вместо целого и образует данный троп. При иронии один член пропорции должен быть действительным отноше-
196 Часть I. Традиционная логика нием, другой — провозглашаемым. При этом члены, расположенные на одной диагонали, совпадают, а расположенные на другой выступают антонимами. Вернемся к примеру из басни И. А. Крылова «Лисица и Осел». Ирония обращения Лисицы к Ослу «Отколе, умная, бредешь ты, голова?» возникает из следующей пропорции: ум _ Осел Осел глупость' В ней правый член характеризует действительное (подразумеваемое) отношение, а левый — провозглашаемое отношение. Пропорция читается: ум присущ Ослу в той же степени (провозглашается), в какой Ослу присуща в действительности глупость (подразумевается). При антитезе по крайней мере один член пропорции состоит из антонимов. Рассмотрим антитезу «Ты богат, я очень беден» (А. С. Пушкин). Ее порождает пропорция: я ты бедность богатство Примером антитезы, в которой все члены базисной пропорции состоят из антонимов, служит приводившаяся пословица «Богатый и в будни пирует, а бедный и в праздники горюет»: богатый _ в будни пирует бедный в праздники горюет При оксюмороне верхние или нижние члены пропорции состоят из антонимов, а противоположные им совпадают. Рассмотрим оксюморон «горькая радость». Он порождается пропорцией: горечь __ радость состояние души состояние души Если с помощью тропов изменяются значения слов, то с помощью фигур меняется значение словосочетаний и предложений. Риторическая фигура — любое отступление от некоторой общепринятой нормы. Как и в случае с тропами, это делается для воздействия на воображение и чувства аудитории.
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 197 Все фигуры принято подразделять на фигуры мысли и фигуры речи, учитывая разные приемы усиления мыслей и более эффектного их словесного выражения. Среди фигур, усиливающих наши мысли, наиболее часто применяются следующие. Риторический вопрос — вопрос, задаваемый автором не для получения ответа, так как он очевиден для аудитории, а для большего ее убеждения. Уступка — соглашение автора с противоположной позицией, чтобы более эффектно ее опровергнуть. Предварение — автор сам формулирует возможные возражения своих оппонентов и сам на них отвечает. Сомнение — автор спрашивает себя, с чего начать, что сказать, чем закончить и т. д., не потому, что не знает ответов на данные вопросы, а потому, что стремится увеличить степень доверия аудитории к себе и своему обращению. Обращение — автор вопросом что бы вы сделали на моем месте! как бы меняется местами с аудиторией, побуждая ее более активно следить за его мыслью, более энергично поддерживать его. Разделение — указание видов вместо рода, частей вместо целого. Среди фигур, усиливающих эффект словесного выражения мыслей, наиболее часто применяются следующие. Анафора — повторение звуков, слов, оборотов в начале нескольких предложений. «Кто клеветы про нас не сеет / Кто нас заботливо лелеет?» (А. С. Пушкин). Эпифора — повторение звуков, слов, оборотов в конце нескольких предложений. «Милый друг, и в этом тихом доме / лихорадка бьет меня. Не найти мне места в тихом доме / возле мирного огня» (А. А. Блок). Повторение связывающих частей — многократное употребление каких-либо связывающих частиц. «Ив одиночестве жестоком сильнее страсть ее горит, / И об Онегине далеком ей сердце громче говорит» (А. С. Пушкин). Повторение слова подряд или через несколько слов. «Всегда скромна, всегда послушна, всегда как утро весела» (А. С. Пушкин). Повторение слова в разных падежах или употребление слов с общим корнем. «Живя, умей все пережить» (Ф. И. Тютчев). «Ворона каркнула во все воронье горло» (И. А. Крылов). Инверсия — повторение слов, оборотов в обратном порядке. «Не для того живем, чтобы есть; а для того едим, чтобы жить» (пословица).
198 Часть I. Традиционная логика Бессоюзная связь. «Откажут — мигом утешался; изменят — рад был отдохнуть» (А . С. Пушкин). Совпадение последнего слова предыдущей мысли с первым словом последующей. «За сим расстанемся, прости! Прости ж и ты, мой спутник странный...» (А. С. Пушкин). Умолчание — легко восстанавливаемый аудиторией пропуск в авторской речи. «Нет, я хотел... быть может, вы... я думал, что уж барону время умереть» (А. С. Пушкин). Омонимия — употребление одинаково звучащих слов с разными значениями. «И прерывал его меж тем разумный толк без пошлых тем...» (А. С. Пушкин). Синонимия — употребление неодинаково звучащих слов с одним и тем же значением. «О рьяный конь... то смирный, ласково-ручной...» (Ф. И. Тютчев). Рассмотренные тропы и фигуры не исчерпывают всего богатства риторических способов словесного выражения. Лучшим учебником в этом отношении следует считать русскую поэзию и прозу. Подбор тропов и фигур завершает основную часть риторической деятельности. Мысли изобретены, приведены в порядок и выражены. Реакция аудитории даст ответ, насколько успешно в.се это было сделано. Логика спора ...Пусть лучше лира у меня скверно настроена и звучит не в лад, пусть нестройно поет хор, который я [Сократ} снарядил, пусть большинство людей со мной не соглашается и спорит, лишь бы только не вступить в разногласие и в спор с одним человеком — с собою самим. Платон «Горгий» Спор — разновидность риторической речи, такая, что его участники отстаивают несовместимые точки зрения по какой-либо теме и каждый из них устно или письменно стремится убедить другого в истинности своей позиции. Другими словами, автор и аудитория периодически меняются местами (ролями). Можно выделить следующие составляющие спора: 1) тему у относительно которой отстаиваются несовместимые точки зрения, мнения, позиции; 2) участников — лиц, выдвигающих и защищающих несовместимые точки зрения, мнения, позиции; 3) допустимые действия (вопросы и ответы), совершаемые участниками спора;
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 199 4) правила, регулирующие поведение, т. е. определяющие список допустимых действий и условий (критерии) победы в споре. Наиболее важная часть каждого спора — это правила, по которым он ведется, или точнее, которыми он регулируется. Их можно разделить, на правила, определяющие последовательность разрешенных действий, которые в дальнейшем будут называться ходами и контрходами; правила, определяющие формирование банка аргументов каждого участника; правила, определяющие условия выигрыша (проигрыша) в споре. Правила спора А. Список и последовательность разрешаемых ходов и контрходов. Каждый участник спора имеет право. 1. Выдвигать любое суждение, имеющее отношение к теме спора, как тезис или аргумент в форме утверждения (ход «выдвигаю») или в форме вопроса (ход «разве не так, что...?»). 2. Соглашаться с любым суждением, высказанным другим участником (ход «согласен»). 3. Подвергать сомнению любое суждение, высказанное другим участником (ход «приведите аргументы, докажите»). 4. Отвергать любое суждение, высказанное другим участником (ход «не согласен»). 5. Взять назад любое суждение, высказанное ранее (ход «беру назад»). Каждый участник спора обязан. 1. На ход оппонента «выдвигаю», «разве не так, что...?» отвечать контрходами «согласен», «не согласен» или «приведите аргументы». 2. На ход «приведите аргументы» отвечать контрходами «выдвигаю» или «разве не так, что...?». 3. На ход «согласен» отвечать контрходами «выдвигаю» или «разве не так, что...?». 4. На ход «не согласен» отвечать контрходом «выдвигаю», «разве не так, что...?», «приведите аргументы» или «беру назад». 5. На ход «беру назад» отвечать контрходами «согласен», «не согласен» или «приведите аргументы». 6. На ход «разве не так, что...?» отвечать контрходами «согласен» или «не согласен». В. Правила формирования банка аргументов. 1. Участник, сделавший ход «выдвигаю» или «согласен», заносит соответствующее суждение в свой банк аргументов.
200 Часть I. Традиционная логика 2. Участник, сделавший ход «беру назад», вычеркивает соответствующее суждение из своего банка аргументов. 3. Ни одно суждение не может быть взято участником спора назад, если доказано, что оно почерпнуто из его банка аргументов. ^ 4. Если доказано, что некоторое суждение — из банка аргументов какого-либо участника, оно включается в этот банк в качестве новой составляющей. 5. Ход «приведите аргументы», сделанный участником относительно некоторого суждения, означает помещение последнего в банк аргументов оппонента. С. Правила выигрыша (проигрыша). 1. Участники заранее договариваются о времени, которое они могут потратить на спор, в течение которого он считается действительным. 2. Выигравшим считается участник, который первым докажет, что его тезис является логическим следствием банка аргументов его оппонента или что банк аргументов последнего содержит противоречие. 3. Если в отведенное время никто из участников не выигрывает, спор заканчивается ничьей. Приведенные правила неполны, поскольку не охватывают все ситуации спора. Но они достаточны для иллюстрации его техники. Пусть 5 обозначает произвольное суждение. Указанные в правилах ходы можно формализовать следующим образом («-i» читается как «неверно, что», «&» — как «и», «v» — как «или», <о» — как «если, то»): S = выдвигаю, предлагаю, утверждаю суждение S: -i5 = беру назад суждение 5; S! = согласен, что суждение S истинно (имеет место); -uS7 - не согласен, что S истинно (имеет место); S? - приведите аргументы, докажите суждение 5; ?S = разве не так, что суждение S истинно? Рассмотрим несколько примеров спора, заимствованных из известных басен И. А. Крылова. Пример 1 Крестьянин и Змея Мужик с Змеею подружился. Известно, что Змея умна: Так вкралась к Мужику она,
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 201 Что ею только он и клялся, и божился. С тех пор все прежние приятели, родня, Никто к нему ногой не побывает. «Помилуйте, — Мужик пеняет, — За что вы все покинули меня! Иль угостить жена вас не умела? Или хлеб-соль моя вам надоела?» — «Нет, — кум Матвей сказал ему в ответ, — К тебе бы рады мы, сосед, И никогда ты нас (об этом слова нет) Не огорчил ничем, не опечалил: Но что за радость, рассуди, Коль, сидя у тебя, того лишь и гляди, Чтобы твой друг кого, подползши, не ужалил?» Участники спора — Мужик и кум Матвей, представляющий интересы родственников. Тема спора — ходить или не ходить в гости к Мужику, заведшему нового друга — Змею. Мужик отстаивает тезис /3 = = «Ко мне следует продолжать ходить в гости». Кум Матвей защищает антитезис -./? = «К Мужику не следует продолжать ходить в гости». Аргументы участников спора: а{ = «Жена умела вас угостить», а2 = «Нам было чем вас угостить», а3 = «Змея может нас ужалить». Выдвинутый кумом Матвеем решающий аргумент с^ принимается Мужиком и, согласно правилу 51, включается в его банк аргументов. Следовательно, согласно правилу С2, кум Матвей выигрывает данный спор. Последовательность ходов и контрходов в этом споре выглядит следующим образом. 1. Кум Матвей. Выдвигаю антитезис: -чД 2. Мужик. Приведите аргументы: -i/З? Разве а{ или а2 не имело места: ?(at v a2). 3. Кум Матвей. Согласен, что имело место как av так и а2: (а{8с а2)! Но со своей стороны выдвигаю аргумент а3. 4. Мужик. Согласен с твоим аргументом: а^\ 5. Кум Матвей. Если ты согласен с ау тогда ты должен согласиться с тем, что из этого аргумента следует антитезис -чД а3 з -чД Признавая истинность а3и импликации с^ э -чД ты должен признать (по правилу modus ponens) истинность антитезиса -чД Пример 2 Свинья под Дубом Свинья под Дубом вековым Наелась желудей досыта, до отвала;
202 Часть I. Традиционная логика Наевшись, выспалась под ним; Потом, глаза продравши, встала И рылом подрывать у Дуба корни стала. «Ведь это дереву вредит, — Ей с Дубу Ворон говорит, — Коль корни обнажишь, оно засохнуть может». — «Пусть сохнет, — говорит Свинья, — Ничуть меня то не тревожит; В нем проку мало вижу я; Хоть век его не будь, ничуть не пожалею, Лишь были б желуди: ведь я от них жирею». — «Неблагодарная! — промолвил Дуб ей тут, — Когда бы вверх могла поднять ты рыло, Тебе бы видно было, Что эти желуди на мне растут». Участники спора: Свинья — с одной стороны, Дуб и Ворон — с другой. Тема спора — подрывать корни Дуба или не подрывать. Свинья защищает тезис /3 = «Корни Дуба подрывать можно». Ворон и Дуб отстаивают антитезис /} = «Корни Дуба подрывать нельзя». Аргументы спорщиков: а{ = «Дуб может засохнуть», с^ = «Я нуждаюсь только в желудях». Дуб и Ворон выигрывают данный спор, потому что Свинья, соглашаясь с аргументом ах (принимая его в свой банк аргументов), делает тем самым свой банк аргументов противоречивым и ее тезис остается недоказанным. Последовательность ходов и контрходов в этом споре выглядит следующим образом. 1. Свинья. Выдвигаю тезис: Д 2. Ворон и Дуб. Не согласны с тезисом Д. Истинным оказывается антитезис -.Д В его защиту выдвигаем аргумент а{, так как истинна импликация аг з -чД 3. Свинья. Принимаю ваш аргумент: а{\ Добавляю к нему свой аргумент а2. 4. Ворон и Дуб. Согласны с приведенным аргументом: а2! Но твой банк аргументов в этом случае становится противоречивым и не доказывает истинности тезиса Д Ибо из а{ з -i/Зи а2 з /3следует, что аргументы ах и а2 несовместимы: а{ з -ia2. Пример 3 Паук и Пчела Купец на ярмарку привез полотны; Они такой товар, что надобно для всех.
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 203 Купцу на торг пожаловаться грех: Покупщиков отбою нет; у лавки Доходит иногда до давки. Увидя, что товар так ходко идет с рук, Завистливый Паук На барыши купца прельстился; Задумал на продажу ткать, Купца затеял подорвать И лавочку открыть в окошке сам решился. Основу основал, проткал насквозь всю ночь, Поставил свой товар на диво, Засел, надувшися, спесиво, От лавки не отходит прочь И думает: лишь только день настанет, То всех покупщиков к себе он переманит. Вот день настал: но что ж? Проказника метлой Смели и с лавочки долой. Паук мой бесится с досады, «Вот, — говорит, — жди праведной награды!. На весь я свет сошлюсь, чье тонее тканье: Купцово иль мое?» — «Твое: кто в этом спорить смеет? — Пчела'ответствует. — Известно то давно; Да что в нем проку, коль оно Не одевает и не греет?» Участники спора — Паук и Пчела. Тема спора — полезна ли ткань Паука. Паук отстаивает тезис /3 = «Моя ткань полезна». Пчела защищает антитезис -./? = «Твоя ткань бесполезна». Аргументы участников спора: а{ = «Моя ткань тоньше», а2 = «Тонкая ткань не одевает и не согревает». Так как Паук принимает аргумент av Пчела немедленно выигрывает спор. Ибо, хотя ткань Паука и тоньше, но она не одевает -и не греет и, следовательно, бесполезна. Последовательность ходов и контрходов в этом споре выглядит следующим образом. 1. Паук. Выдвигаю антитезис: Д 2. Пчела. Не согласна с твоим тезисом: /3? 3. Паук. Выдвигаю аргумент av 4. Пчела. Принимаю твой аргумент: а{\ Но из его истинности следует истинность моего аргумента а2: ах э а2. Так как истинна также импликация а2 d -чД то истинным будет антитезис -пД
204 Часть I. Традиционная логика Упражнения I. Распространите следующие предложения. Юность — лучшее время жизни. Опыт — наш лучший учитель. Добродетель — путь к счастью. Праздность рождает пороки. II. Проанализируйте расположение частей в басне И. А. Крылова «Фортуна в гостях». Выделите в каждой части простые периоды и образующие их главные предложения. На укоризну мы Фортуне тароваты: Кто не в чинах, кто не богат, За все, про все ее бранят, А поглядишь, так сами виноваты. Слепое счастие, шатаясь меж людей, Не вечно у вельмож гостит и у царей, Оно и в хижине твоей, Быть может, погостить когда-нибудь пристанет: Лишь время не терять умей, Когда оно к тебе заглянет; Минута с ним одна, кто ею дорожит, Терпенья годы наградит. Когда ж ты не умел при счастье поживиться, То не Фортуне ты, себе за то пеняй И знай, Что, может, век она к тебе не возвратится. Домишка старенький край города стоял; Три брата жили в нем и не могли разжиться: Ни в чем им как-то не спорится. Кто что из них ни затевал, Все остается без успеха, Везде потеря иль помеха; По их словам, вина Фортуны в том была. Вот невидимкой к ним Фортуна забрела И, тронувшись их бедностью большою, Им помогать решилась всей душою, Какие бы они ни начали дела, И прогостить у них все лето. Все лето: шутка ль это! Пошли у бедняков дела другой статьей.
Глава 5. Доказательство и опровержение как искусство риторики 205 Один из них хоть был торгаш плохой, А тут, что ни продаст, ни купит, Барыш на всем большой он слупит; Забыл совсем, что есть наклад, И скоро стал, как Крез, богат. Другой в Приказ пошел: иною бы порою Завяз он в писарях с своею головою; Теперь ему со всех сторон Удача: Что даст обед, что сходит на поклон - Иль чин, иль место схватит он; Посмотришь, у него деревня, дом и дача. Теперь вы спросите: что ж третий получил? Ведь, верно, и ему Фортуна помогала? Конечно: с ним она почти не отдыхала. Но третий брат все лето мух ловил, И так счастливо, Что диво! Не знаю, прежде он бывал ли в том горазд: А тут труды его не втуне. Как ни взмахнет рукой, благодаря Фортуне Ни разу промаху не даст. Вот гостья между тем у братьев нагостилась И дале в путь пустилась. Два брата в барышах: один из них богат, Другой еще притом в чинах; а третий брат Клянет судьбу, что он Фортуной злою Оставлен лишь с сумою. Читатель, будь ты сам судьею, Кто ж в этом виноват? III. Определите виды тропов и фигур в следующем лирическом стихотворении Ф. И. Тютчева. Полдень Лениво дышит полдень мглистый; Лениво катится река, И в тверди пламенной и чистой Лениво тают облака. И всю природу, как туман, Дремота жаркая объемлет; И сам теперь великий пан В пещере нимф покойно дремлет.
206 Часть I. Традиционная логика И чувства нет в твоих очах, И правды нет в твоих речах, И нет души в тебе. Мужайся, сердце, до конца: И нет в творении творца! И смысла нет в мольбе! IV. Попробуйте самостоятельно усилить или ослабить правила спора за счет включения или исключения каких-либо вопросов и ответов к ним. V. Проанализируйте структуру спора персонажей из басни И. А. Крылова «Муха и Пчела». В саду, весной, при легком ветерке, На тонком стебельке Качалась Муха, сидя, И, на цветке Пчелу увидя, Спесиво говорит: «Уж как тебе не лень С утра до вечера трудиться целый день! На месте бы твоем я в сутки захирела. Вот, например, мое Так, право, райское житье! За мною только лишь и дела: Летать по балам, по гостям: И молвить, не хвалясь, мне в городе знакомы Вельмож и богачей все домы». «Все это знаю я, — ответствует Пчела. — Но и о том дошли.мне слухи, Что никому ты не мила, Что на пирах лишь морщатся от мухи, Что даже часто, где покажешься ты в дом, Тебя гоняют со стыдом». — «Вот, — Муха говорит, — гоняют! Что ж такое? Коль выгонят в окно, так я влечу в другое».
Часть II КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ПРЕДИКАТОВ
И хотя давно уже некоторые выдающиеся мужи выдвинули идею некоего универсального языка, или универсальной характеристики, никто, однако, не попытался создать язык, или характеристику, в которой одновременно содержалось бы искусство открытия и искусство суждения... Когда же я отдался этому исследованию более усердно, я поневоле натолкнулся на ту замечательную идею, что можно придумать некий алфавит человеческих мыслей и с помощью комбинаций букв этого алфавита и анализа слов, из них составленных, все может быть открыто и разрешено. Г. В. Лейбниц «История идеи универсальной характеристики» То, что может быть познано в математике и математическими средствами, можно дедуцировать из чистой логики. Б. Рассел «Введение в математическую философию» Классическая (стандартная) символическая логика (логика высказываний и предикатов) возникла на рубеже XIX-XX вв. как результат реализации Готтлобом Фреге A848-1925), Бертраном Расселом A872— 1970), Альфредом Уайтхедом A861-1947) программы сведения математики к логике и Давидом Гильбертом A862-1943) и его последователями программы формализации всей математики. В новой логике ее создатели видели главное средство изгнания парадоксов из теории множеств, доказательство непротиворечивости всей классической математики и ее полной независимости от психологических и опытных допущений. Ни одна из поставленных программных целей не была достигнута, и, как позже было доказано, этого нельзя было сделать по принципиальным основаниям. Но новая логика получила право на существование и стала развиваться уже по своим законам. Долгое время логика высказываний и предикатов считалась настолько универсальной и совершенной теорией, что никакие другие логики не принимались во внимание или их рассматривали как курьез. Но в последней трети прошлого столетия в связи с потребностями конструирования искусственного интеллекта и программирования процесс создания новых логик максимально активизировался, так что игнорировать это явление было уже невозможно. Стало ясно: наступил новый, «плюралистический» этап в развитии символической логики. Все ее новые теории в итоге объединили под общим названием «неклассическая логика». О связи классической и неклассической логик будет сказано в третьей части данной книги. Здесь же укажем основные части и разделы стандартной логики высказываний и предикатов.
Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов 209 1. Синтаксис, правила построения формализованного языка. 2. Семантика: правила интерпретации выражений построенного языка как осмысленных. 3. Правила вывода: правила, позволяющие из посылок умозаключений выводить необходимые следствия. Эти части признаны каноническими не только для классической, но и для всех неклассических логик. Два вида логик отличаются друг от друга следующими допущениями. 1. Значение истинности неквалифицированных высказываний однозначно определяется значением истинности образующих их простых (атомарных) высказываний. 2. Высказывания, имеющие одно и то же расширение (один и тот же объем или одно и то же значение истинности), считаются эквивалентными. Если логика выполняет оба допущения, значит она классическая. В противном случае — когда не выполняется хотя бы одно из указанных допущений — ее следует отнести к разряду неклассических.
Глава 6 Логика высказываний Основные определения и допущения логики высказываний Идея создания универсального логического языка, позволяющего избавить человечество от мук творчества, лежит в основе всей современной логики. Заменить операции с мыслями чисто формальными действиями со знаками некоторого базисного языка, сформулировать надежные правила открытия и доказательства новых истин, которые можно было бы применять чисто механически, вывести из небольшого числа достоверных аксиом законы всех остальных наук — эти цели вдохновляли не одно поколение логиков, философов и математиков. Лишь в 1-й трети XX в. К. Геделем была доказана неосуществимость этой идеи в полном объеме. Но как часто бывает в истории, именно попытки воплотить в жизнь недостижимое — заменить творческий поиск рутинными преобразованиями символов — привели к созданию современной логики, которая по существу есть логика символическая. Ее назначение выражает следующее определение: Символическая логика — это теория исчислений. Исчислением принято называть формальный алгоритм построения новых символических объектов из заданных. Знаки и правила оперирования с ними в каждом исчислении тщательно определяются. Каждый введенный знак имеет свой точный смысл. Каждое правило трактуется однозначно. Благодаря такой определенности удается точно выражать логическую структуру рассуждений, логические связи между ними, эффективно преобразовывать одни рассуждения в другие. Именно эти особенности обеспечили широкое использование символической логики в исследованиях по основаниям математики, искусственному интеллекту, информатике, лингвистике и многим другим областям научного знания.
Глава 6. Логика высказываний 211 В настоящее время символическая логика представляет достаточно ^обширную и дифференцированную совокупность теорий и исследований. Тем не менее можно выделить логику высказываний и ее расширение — логику предикатов в качестве общего базиса. В этой главе анализируется логика высказываний (JIB). Она основана на определенных базисных понятиях и допущениях. Рассмотрим их. Исходным в Л В следует признать понятие высказывания. Высказывание Л В — предложение, выражающее простое или сложное суждение. Утверждение «Бессмертная любовь, рождаясь вновь, нам неизбежно кажется другою» (В. Шекспир) обладает субъектом, предикатом, связкой, знаком количества и тем самым выражает (простое) суждение. Следовательно, оно представляет высказывание Л В. Выражение «Бессмертная любовь» не обладает атрибутами суждения и поэтому не является высказыванием ЛВ. В отличие от традиционной логики и логики предикатов субъект- но-предикатная структура высказываний в Л В не принимается во внимание как не имеющая никакого значения для формализации доказательств. Субъектно-предикатная структура высказываний в ЛВ не учитывается. Единственное свойство высказываний ЛВ, которое принимается во внимание, — это их способность быть истинными или ложными суждениями. Истину и ложь принято называть логическими значениями, или значениями истинности высказываний Л В. Высказывание Л В истинно, если и только если истинно выражаемое им суждение. В противном случае высказывание Л В считается ложным. . Предложение «5 больше 3» — истинное высказывание, потому что выражаемое им суждение истинно. Предложение «3 больше 5», наоборот, — ложное высказывание, потому что выражаемое им суждение ложно. Второе по значимости в логике высказываний — понятие логического союза (связки). В естественном языке логические союзы выражаются словами «не», «если... то», «или», «либо... либо», «если и только если», «ни... ни» и их многочисленными аналогами. С помощью логических союзов из простых высказываний образуются сложные высказывания.
212 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов Высказывание Л В считается сложным, если и только если оно со- . держит вхождение хотя бы одного логического союза. В противном случае высказывание простое. - Высказывание «Сегодня среда» — простое, а «Сегодня среда или четверг» — сложное, так как состоит из двух простых высказываний «Сегодня среда», «Сегодня четверг», соединенных союзом «или». Сложным будет высказывание «Неверно, что сегодня среда», так как оно представляет отрицание простого высказывания «Сегодня среда» с помощью логического союза «неверно, что». В логике высказываний по соглашению допускается, что каждое простое высказывания либо истинно, либо ложно. При этом некоторые сложные высказывания — противоречивые — могут быть одновременно истинными и ложными. Ниже объясняется, почему такие высказывания называют логически ложными. Допущение бивалентности. Каждое простое высказывание Л В либо истинно, либо ложно. В логике высказываний также допускается, что логическое значение любого сложного высказывания однозначно определяется значениями истинности образующих его простых высказываний. Следовательно, значение истинности любого сложного высказывания — функция истинности значений истинности образующих его простых высказываний. Значение истинности сложного высказывания Л В представляет функцию истинности значений истинности составляющих его простых высказываний. Функции истинности представляют разновидность функций в обычном понимании — правил, связывающих переменные, называемыми аргументами функции, с другими переменными, называемыми ее значениями. Аргументами и значениями функций истинности служат логические значения — истина и ложь. Например, логическое отрицание есть од- ноаргументная функция истинности. Если высказывание «Сегодня среда» (аргумент функции отрицания) истинно (ложно), то ложно (истинно) высказывание «Неверно, что сегодня среда» (значение функции отрицания). Кроме одноаргументных функций в ЛВ встречаются двух-, трех-... я-аргументные функции истинности. Логику высказываний часто называют теорией подобных функций. Простые высказывания определяют значение истинности сложного высказывания тремя принципиально различными способами. 1. Сложное высказывание может быть истинно независимо от того, все ли простые высказывания истинны, все ли ложны, или некоторые истинны и некоторые ложны. Такие высказывания принято
Глава 6. Логика высказываний 213 именовать логически истинными, а также законами логики, тавтологиями. 2. Сложное высказывание может быть ложным независимо от распределения логических значений простых высказываний. Такие высказывания называются логически ложными, а также логическими противоречиями. 3. Сложное высказывание может быть истинно при одних распределениях логических значений и ложно при других. Такие высказывания принято называть правдоподобными {относительно истинными). Высказывание «Сегодня среда или не среда» — логически истинное, так как оно истинно в любой день недели. Высказывание «Сегодня среда и не среда» — логически ложное, так как оно ложцо в любой день недели. Высказывание «Сегодня среда» правдоподобное, так как оно истинно по средам и ложно во все остальные дни. Как будет показано, все задачи Л В так или иначе связаны с построением алгоритма, позволяющего определить для произвольного высказывания, является ли оно логически истинным, логически ложным или правдоподобным. Синтаксис логики высказываний Как и всякий язык, язык логики высказываний имеет определенный алфавит и правила построения с его помощью последовательностей знаков, называемых (правильно построенными) формулами. Синтаксис ЛВ — алфавит и правила, определяющие: 1) какие знаки входят в множество символов алфавита логики высказываний; 2) какие последовательности знаков представляют (правильно построенные) формулы ЛВ. Правильно построенная формула Л В — последовательность знаков, которая может быть интерпретирована в качестве истинного или ложного высказывания. Для краткости далее термин «формула» везде употребляется в смысле «правильно построенная формула». Полный алфавит Л В, необходимый для построения формул логики высказываний, задается определением, которое приведено в табл. 6.1. Пусть ф, ср, у... обозначают (мета)переменные, пробегающие по всему множеству высказываний ЛВ1. Это означает, что вместо каждой из букв 1 ф читается как «фи», (р — как «пси», у— как «гамма».
214 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов Таблица 6.1 Алфавит логики высказываний 1 2 3 4 5 6 7 Знаки для обозначения простых высказываний (атомарных формул) — прописные начальные буквы латинского алфавита А, В, С... Знаки для обозначения логических союзов: 2.1. Знак логического отрицания: «неверно, что» -, 2.2. Знак конъюнкции: «и» & 2.3. Знак слабой дизъюнкции: «или» v 2.4. Знак импликации: «если... то... » d 2.5. Знак эквивалентности: «если и только если» = 2.6. Знак сильной дизъюнкции: «либо... либо...» * Левая и правая скобки (для указания области действия логических союзов) Запятая (для разделения формул в посылках) Знак для обозначения отношения логического следования: «выводимо, следует» Знак для обозначения логической лжи и замкнутой ветви дерева формулы G) » ¦ Иных знаков, кроме указанных в п. 1-6, в логике высказываний нет греческого алфавита можно подставлять любое простое или сложное высказывание. Например, вместо переменной ф можно подставить высказывание Л, или высказывание -А, или высказывание (Л з В) и т. д. Аналогично для ср, у... Если в выражении -10 переменную ф заменить на высказывание Л, то получится -тЛ, а если на ->Л, то возникнет высказывание с двойным отрицанием -.-Л (эквивалентное Л). Заменяя в -10 переменную ф на (Л = В), получаем высказывание -л(А = В). В терминах заданного алфавита ЛВ конструируются формулы — символические эквиваленты простых и сложных высказываний — согласно правилам табл. 6.2. Для определения того, какие последовательности зкаков считать формулами ЛВ, нужно ввести понятие подформулы. О ней говорят, когда части какой-либо формулы сами являются формулами. Например, формулы Л и В, (Л & В) и (Л v В), ((Л & В) z> (Л v В)) - подформулы формулы ((Л & В) з (Л v В)), так как считается, что каждая формула представляет часть самой себя. Подформула — формула ЛВ, входящая в состав другой формулы ЛВ.
Глава 6. Логика высказываний 215 Таблица 6.2 Правила построения формул логики высказываний Простые высказывания А, В, С... — формулы JIB 2 Если ф— (не обязательно атомарная) формула, то ->0 — тоже формула ЛВ Если ф и (р — (не обязательно атомарные) формулы, то высказывания (ф & (р\ (ф v ср), (ф з ф), (ф=(р),(ф * (р) — тоже формулы ЛВ 4.1. Атомарные формулы ЛВ со знаком отрицания или без него в скобки не заключаются 4.2. В каждой формуле ЛВ со скобками число левых и правых скобок должно быть одинаковым Иных формул, кроме указанных в п. 1-4, в логике высказываний нет Согласно определению формулы ЛВ, последовательность символов ((А & (А з В)) з В) — формула, а последовательности символов (A v & В), (А) и (= В) - нет. В выражении ((А & (А з В)) з В) к числу формул принадлежат, во- первых, все ее атомарные подформулы — А и В, во-вторых, все ее неатомарные подформулы — (А з В), (А & (А з В)), включая и саму формулу ((А & (А з В)) з В), так как она также выступает подформулой самой себя. Число левых скобок соответствует числу правых. В выражении (A z> & В) переменные Л и В соединены подряд идущими логическими союзами v и &, что нарушает пункт 3 определения формулы Л В, согласно которому все указанные там логические союзы бинарные. В выражении (А) атомарная формула Л взята в скобки, что нарушает пункт 4.1 определения формулы Л В. Выражение (= В) не соответствует сразу двум пунктам определения формулы Л В — 3 и 4.1. В каждой неатомарной формуле имеется логический союз, который считается главным. Это просто установить, если он вообще один. Скажем, в формуле -А единственным и поэтому главным логическим союзом служит знак «-.». Соответственно формула А выступает подформулой формулы -А. В формуле же (А з (Av В)) главным логическим союзом будет знак импликации, так как именно он при ее построении вводится последним. Главный логический союз неатомарной формулы ЛВ — тот, который при ее построении вводится последним. Допустим, следует проверить, представляет ли последовательность знаков ((Л & В & -,С) з ((В & -,С) v А)) формулу Л В, а также - какой логический союз в ней главный.
216 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов С этой целью лучше всего построить дерево данной формулы. Оно строится сверху вниз посредством последовательного выписывания всех подформул, начиная с простых высказываний. Подчеркнутая формула означает, что она есть подформула формулы, написанной строчкой ниже. Количество таких «этажей» зависит от числа включенных логических союзов. Если все подформулы исследуемой последовательности знаков удовлетворяют правилам табл. 6.2, она считается формулой ЛВ. Дерево исследуемой формулы имеет следующий вид: А ^АВ Л(-АуВ) АВ , (А & (-Л v В)) (А = В) ((А &(-Лу В)) =з (Л з В)) ((A &(-Av В)) d (^ В)) . Главный логический союз в рассматриваемой формуле — знак импликации. В формуле ((Л & {-Л v В)) d (Л = В)) главный логический союз — также знак импликации: А (В (А&В В &- &- С_ ,С) (В ((В В & & с_ -С) л V Каждый логический союз имеет определенную область действия, в качестве которой выступают все подчиняющиеся ему подформулы. Например, область действия знака отрицания в формуле —А составляет подформула Л, в формуле -\(А & В) — подформула (А & В). В формуле (A d (A v В)) область действия знака нестрогой дизъюнкции образуют формулы А и Ву область действия знака импликации — формулы Л и (Л v В). Очевидно, что область действия главного логического союза составляют все подформулы данной формулы ЛВ. Область действия логического союза образуют все подформулы данной формулы ЛВ, которые он связывает. Если высказывание простое, или содержит только знаки конъюнкции, или только слабой дизъюнкции, проблемы определения области
Глава 6. Логика высказываний 217 действия логических союзов, как правило, не возникает. Во всех иных случаях она возникает. Выражение типа (А & В v С) неопределенно, так как не указано, какие подформулы составляют область действия знака конъюнкции, а какие — знака слабой дизъюнкции. Для устранения указанной неопределенности вводятся скобки, разграничивающие «полномочия» логических союзов: должно быть либо (А & (В v С)), либо ((А & В) v С). Скобки можно также рассматривать в качестве указания на то, какое действие, обозначаемое тем или иным логическим союзом, следует выполнять первым, какое вторым и т. д. Типичная синтаксическая задача — формализация высказываний. Алгоритм ее таков. В анализируемом высказывании сначала находят все простые высказывания. Каждое из них обозначается новым символом, если оно не эквивалентно ни одному из уже обозначенных высказываний. Затем определяют логические союзы, связывающие простые высказывания. Наконец, конструируется формула, каждая атомарная формула которой обозначает некоторое простое высказывание, а сама она выражает логическую структуру формализуемого высказывания. Чтобы сделать процесс формализации более понятным, рассмотрим несколько примеров. Пример 1 «Поскольку всех счастливее в этом мире тот, кто довольствуется малым, то власть имущих и честолюбцев надо считать самыми несчастными людьми, потому что для счастья им нужно несметное множество благ» {Франсуа де Ларошфуко). Простые высказывания: А = «Всех счастливее в этом мире тот, кто умеет довольствоваться малым», В = «Власть имущих надо считать самыми несчастными людьми», С = «Честолюбцев надо считать самыми несчастными людьми», D = «Для счастья им нужно несметное множество благ». Логические союзы: з, &. Формула: (А э (D з (В & С))). Пример 2 «Пока родители живы, не уезжай далеко; а если уехал, обязательно живи в определенном месте» (Конфуций). Простые высказывания: А = «Твои родители живы», В = «Тебе не следует уезжать далеко», С = «Ты уехал», D = «Тебе обязательно следует жить в определенном месте».
218 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов Логические союзы: D, &. Формула: ((А э В) & (Сэ ?>)). Пример 3 «Добродетель, милый мой студент, не делится на части; или она есть, или ее нет» (О. Бальзак «Отец Горио»). Простые высказывания: А = «Добродетель, милый мой студент, не делится на части», В = «Добродетель есть». Логические союзы: &, *, -i. Логическая структура: (А & (В * Пример 4 «Ибо нет другого способа оградить себя от лести, как внушив людям, что если они выскажут тебе всю правду, ты не будешь на них в обиде, но когда каждый сможет говорить тебе правду, тебе перестанут оказывать должное почтение» (Я. Макиавелли «Государь»). Простые высказывания: А = «Ты внушаешь людям», В = «Они выскажут тебе всю правду», С = «Ты не будешь на них в обиде», D = «Ты ограждаешь себя от лести», Е = «Каждый сможет говорить тебе правду», Н = «Люди перестанут оказывать тебе должное почтение». Логические союзы: D, &. Логическая структура: {D => (Л э (В э С)) & (J?z> Я)). Пример 5 «Альтернатива известна: либо мы не свободны и ответ за зло лежит на всемогущем боге, либо мы свободны и ответственны, а бог не всемогущ» (А. Камю «Бунтующий человек»). Простые высказывания: А = «Альтернатива известна»; В = «Мы свободны (делать то, что пожелаем)», С = «Ответ за зло лежит на всемогущем боге», D = «Мы ответственны (за все, что мы делаем)», Е = «Бог всемогущ». Логические союзы: &, *, -i. Логическая структура: (А & ((-,5 & С) * {В & D & Пример 6 «Анна и Денис любили друг друга». Простое высказывание: А = «Анна и Денис любили друг друга». Было бы ошибкой считать, что здесь мы имеем дело со сложным высказыванием: свойство «любили друг друга» не может быть приписано ни Анне, ни Денису в отдельности, а только им обоим вместе.
Глава 6. Логика высказываний ' 219 Логические союзы: нет. Логическая структура: А. Семантика логики высказываний Любая формула остается не более чем последовательностью абстрактных знаков, если нельзя установить, каков ее логический смысл. В логике высказываний формула считается осмысленной, если ей можно приписать в качестве логического значения либо «истину», либо «ложь». Процедуру задания значений истинности атомарных формул и вычисления значения истинности всей формулы принято называть интерпретацией. Интерпретацией формулы ЛВ называется такое приписывание значений истинности всем ее атомарным подформулам, при котором каждая из них получает значение «истина» или «ложь» (но не оба вместе). Анализ понятий «истина», «ложь», «значение», «смысл», обоснование правил интерпретации формул составляет основную задачу семантики как общего раздела логики. В настоящей книге этот анализ ограничен формулировкой и обоснованием правил интерпретации формул. Семантика ЛВ — правила интерпретации формул ЛВ как осмысленных (истинных или ложных) высказываний. Интерпретация произвольной формулы ЛВ совершается в два этапа. На первом выявляются значения истинности всех ее атомарных подформул. Для этого каждая из них сопоставляется с определенным простым высказыванием. На втором этапе вычисляется значение истинности всей формулы по определенным правилам (таблицам истинности). Допустим, даны две формулы @з (р) и (ф * (р). Чтобы вычислить значение их истинности, согласно п. 1 правил интерпретации сначала необходимо сопоставить их с простыми высказываниями. Пусть универсумом интерпретации служит множество натуральных чисел и ф = = «5 больше 2», (р = «3 больше 4». Теперь, согласно п. 2 правил интерпретации, можно вычислить значение истинности атомарных формул ф и ср. Известные правила арифметики вынуждают приписать формуле ф значение «истина», формуле (р — «ложь». Так как формулы @з (р) и (ф * (р) обозначают сложные высказывания, то для вычисления окончательного значения их истинности тре-
220 Часть И. Классическая логика высказываний и предикатов Таблица 6.3 Правила интерпретации формул ЛВ 1. Каждой атомарной формуле интерпретируемой формулы ставится в соответствие определенное простое высказывание из универсума (области) интерпретации. 2. Каждой атомарной формуле приписывается значение «истина» или «ложь» согласно тому, истинны или ложны выражаемые ими простые высказывания. 3. Значение истинности всей интерпретируемой формулы Л В вычисляется как функция значений истинности всех своих атомарных формул (всех своих аргументов). буется применение п. 3 правил интерпретации. Для этого необходимо знать смысл соединяющих их логических союзов. Этот смысл задается следующими определениями (Гобозначает истину, F— ложь). Определение логического отрицания Логическим отрицанием формулы ф называется противоречащая ей формула -лф, которая истинна, если ф ложна, и ложна, если ф истинна. Назовем таблицей истинности формулы ф функцию истинности ф от всех своих атомарных подформул. При этом формула ф может быть как простым, так и сложным высказыванием. Таблица истинности логического отрицания произвольной формулы ф имеет следующий вид (для наглядности указаны аргументы и значение каждой определяемой функции): Аргумент Ф Т F Значение -0 F Т Первый столбец таблицы (аргумент функции логического отрицания) указывает все возможные логические значения формулы ф. Второй столбец содержит соответствующие логические значения формулы -10. Из таблицы следует, что логически отрицающие друг друга формулы не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одна из них истинна, то другая ложна, и наоборот. При этом формула Сможет обозначать как простое, так и сложное высказывание.
Глава 6. Логика высказываний 221 Пусть ф = «Я читаю книгу». Тогда -10 = «Неверно, что я читаю книгу». Одно их этих высказываний необходимо истинно, а другое необходимо ложно. Следующие логические союзы определяются для двух произвольных формул — фи ср, так как все они представляют собой двухаргументные функции истинности. Определение конъюнкции Конъюнкцией формул ф и ср называется формула (ф & (р), которая истинна, если истинны как ф, так и <р, и которая ложна во всех остальных случаях. Таблица истинности конъюнкции двух произвольных формул ф и (р имеет следующий вид: Первый аргумент Ф Т Т F F Второй аргумент (Р Т F Т F Значение функции (ф&ср) Т F F F Каждая формула может быть либо истинной, либо ложной. Следовательно, для двух формул мы имеем четыре возможности: • ф и (р обе истинны; • ф истинна, но (р ложна; • ф ложна, но (р истинна; • фи (робе ложны. В общем, если имеется п формул, то существует 2й возможностей их истинности. Читая третий столбец, мы видим, что формула (ф & (р) получает значение «истина» только в случае совместной истинности формул ф и (р. Во всех остальных случаях она получает значение «ложь». Формулы, соединяемые знаком конъюнкции, принято называть конъюнктами. Пусть ф = «Я читаю книгу», (р = «Я слушаю музыку». Тогда высказывание «Я читаю книгу и слушаю музыку» представляет конъюнкцию указанных двух простых высказываний и истинно тогда и только тогда, когда они оба истинны одновременно. В противном случае, т. е.
222 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов если ложен хотя бы один конъюнкт, то ложно и образованное из них сложное высказывание. Конъюнкция считается самым сильным логическим союзом, так как для ее истинности требуется, чтобы были истинны все ее конъюнкты. В естественном языке конъюнкция кроме союза «и» выражается также союзами «а», «но», «вместе с», «как... так и», «не только... но и», «...хотя и», «а также...», «ни... ни» (в отрицательных суждениях), а также некоторыми другими. В формализованном языке перестановка местами конъюнктов не ведет к изменению логического значения формулы. Иными словами, формулы (ф & (р) и ((р & ф) эквивалентны (имеют одно и то же логическое значение). В естественном языке конъюнктивная связь часто выражает упорядоченную последовательность событий, и перестановка местами ее членов искажает смысл всего высказывания. Высказывания «Я почистил зубы и лег спать» и «Я лег спать и почистил зубы» вряд ли кто-нибудь посчитает эквивалентными. Определение слабой дизъюнкции Слабой дизъюнкцией формул ф и <р называется формула (ф v <р), которая истинна, если истинна хотя бы одна из них, и которая ложна, когда ложны как ф, так и ср. Таблица истинности слабой дизъюнкции двух произвольных формул ф и (р имеет следующий вид: Первый аргумент Ф Т Т F F Второй аргумент <Р Т F Т F Значение функции @V<p) т Т Т F Формулы, соединяемые знаком (слабой и сильной) дизъюнкции, принято называть дизъюнктами. Формула (ф v (р) ложна, если и только если ложны все ее дизъюнкты. Во всех остальных случаях она истинна. Пусть ф = «Я читаю книгу»1, ср = «Я слушаю музыку». Высказывание «Я читаю книгу или слушаю музыку» ложно, если я одновременно не читаю книгу и не слушаю музыку. Во всех остальных случаях оно истинно. Определенная таким
Глава 6. Логика высказываний 223 образом дизъюнкция носит нестрогий характер: могут быть одновре-* менно истинны все ее дизъюнкты. В естественном языке кроме союза «или» слабая дизъюнкция выражается словами «и/или», «или... или оба», «хотя бы один», «по крайней мере». В отличие от конъюнкции дизъюнкты могут переставляться в любом порядке без потери смысла как в формализованном, так и в естественном языках. Определение импликации Импликацией формул ф и ср называется формула @z> ф), которая ложна тогда, когда истинна ф и ложна <р, и которая истинна во всех остальных случаях. Таблица истинности импликации двух произвольных формул ф и (р имеет следующий вид: Первый аргумент Ф Т Т F F Второй Аргумент (Р Т F Т F Значение функции @D<?) Т F Т Т В формуле (ф з (р) подформулу ф принято называть антецедентом (лат. antecedens — «предшествующий»), подформулу (р — консеквен- том (лат. consequens — «следствие»). Из таблицы следует, что импликация безусловно истинна в двух случаях — когда ее антецедент (формула ф) ложен или ее консеквент (формула (р) истинен. Допустим, 0 обозначает причину («я нажал выключатель»), а (р — ее следствие («лампочка зажглась»). Первая строка таблицы показывает, что если наличествуют причина и ее следствие, их необходимая связь истинна. Вторая строка таблицы означает, что причина присутствует, а следствия нет. В этом и только в этом случае принято говорить, что между ними нет необходимой связи (если есть причина, всегда должно быть обусловленное ею следствие). Вторая строка получает значение «ложь».Третья строка утверждает, что если следствие наступило несмотря на отсутствие причины, то, стало быть, существует иная, альтернативная причина (лампочка может загореться, будучи подключенной к другой электрической цепи). Таким образом, данная строка не опровергает необходимую связь следствия со своей
224 Часть II. Классическая логика высказываний и предикатов причиной и получает, соответственно, значение «истина». Четвертая строка показывает, что отсутствие причины и ее следствия также не опровергает их необходимой связи. Ведь если нет следствия, то не должно быть и ее причины. Поэтому и четвертая строка получает значение «истина». Из сказанного ясно, что формула @э <р), где антецедент 0 = «5 больше 2» — истинное простое высказывание, а консеквент ср = «3 больше 4» — ложное высказывание, обозначает сложное высказывание. В естественном языке союз «если... то» кроме причинной связи может выражать временную последовательность событий, связь условия и средства реализации события. В логике высказываний данному союзу придается только то значение, которое зафиксировано таблицей: антецедент есть только достаточное условие истинности консеквен- та, консеквент есть только необходимое условие истинности антецедента. Из-за такой асимметрии перестановка местами членов импликации неправомерна. Чтобы понять это, достаточно сравнить следующие два высказывания: «Если пойдет дождь, то я раскрою зонт» и «Если я раскрою зонт, то пойдет дождь». В естественном языке высказывание «Если 0, то <р» может выражаться такими синонимами, как «0 достаточно для ср», «ср необходимо для 0», «0, только если <р», <«р, если 0»,«% потому что 0», «(р, так как 0», «когда 0, тогда ср»> «0, значит (следовательно) ср». Определение эквивалентности Эквивалентностью формул ф и <р называется формула (ф=ср), которая истинна тогда, когда формулы ф и ср обе истинны или ложны одновременно, и которая ложна во всех остальных случаях. Таблица истинности эквивалентности двух произвольных формул 0 и ср имеет следующий вид: Первый аргумент 0 Т т F F Второй аргумент <Р Т F Т F Значение функции (Ф=<р) Т F F Т Из таблицы следует, что формулы 0и ср эквивалентны, если и только если каждая из них необходима и достаточна для истинности дру-
Глава 6. Логика высказываний 225 гой формулы. Или (то же самое) если истинна как прямая импликация (ф з <р), так и ей обратная ((р з ф). Значит, эквивалентные формулы ЛВ одновременно либо все истинны, либо все ложны. Если истинно (ложно), что сегодня понедельник, значит, истинно (ложно), что завтра будет вторник, послезавтра среда, вчера было воскресенье, позавчера была суббота и т. п. В естественном языке эквивалентность формул ф и ср может выражаться оборотами «ф равносильно ср», «ф необходимо и достаточно для ср», «ср необходимо и достаточно для 0», «ф равносильно ср», «ф, если и только если ср», «0тогда и только тогда, когда ср», «из 0следует сри из ср следует ф>>. Эквивалентные формулы могут переставляться местами без потери смысла высказывания, которое они образуют. Определение сильной дизъюнкции Сильной дизъюнкцией формул ф\лср называется формула (ф * ф), которая истинна тогда, когда либо формула ф истинна и формула (р ложна, либо формула ф ложна и формула ср истинна, и которая ложна во всех остальных