Рюденберг-Переходные процессы в электроэнергетических системах

Similar

Режимы нейтрали и перенапряжения

Упрощение электрических систем при моделировании

Михаил Полиевктович Костенко

Короткие замыкания в электроустановках постоянного тока

Text

Р. РЮДЕНБЕРГ

ПЕРЕХОДНЫЕ
ПРОЦЕССЫ

В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ

Перевод с первого
американского издания

Под редакцией

В. Ю. ЛОМОНОСОВА

и * л

ИЗДАТЕЛЬСТВО

ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Москва, 1955
TRANSIENT PERFORMANCE

OF ELECTRIC POWER SYSTEMS

REINHOLD RUDENBERG

First Edition

NEW YORK — TORONTO — LONDON

19 5 0
ОТ РЕДАКЦИИ

Книга Р. Рюденберга посвящена теории переходных процессов, которые
за последнее время приобретают все большее значение как при рассмотрении
вопросов, связанных с техникой получения и распределения электрической
энергии, так и при проектировании и эксплуатации электрических систем.

1 еория переходных процессов за последние десятилетия получила в связи
с запросами практики значительное развитие. Были усовершенствованы
ака пнические методы исследования переходных процессов, описываемые
. пшенными дифференциальными уравнениями (операционное исчисление,
матричные методы и др.), а также разработаны специальные приемы иссле-
дования нелинейных дифференциальных уравнении, дающие возможность
решать многие важные технические задачи, в частности, методами последо-
вательного приближения и чистенною интегрирования.

Появление математических машин, в особенности быстродействующих
цифровых вычислительных машин, ознаменовало новый этап в изучении
сложных процессов, в том числе и в электроэнергетических системах.

Пе&ледованию переходных процессов в электрических системах посвя-
щена обширная литература, однако монография Рюденберга остается одной
из лучших книг, в котороп с полной ясностью изложена физическая сущность
этих важных явление!.

В этой книге охвачен весьма широкий круг вопросов, связанных с тео-
рией переходных процессов. Процессам в системах с распределенными пара-
метрами, которые в книге не рассматриваются, автор предполагает посвя-
тите. другхю монографию.

Рюденберг в своей книге показывает, как при помощи сравнительнс
простых средств можно объясните, весьма сложные явления и оценить коли-
чественно решение той сели иной рассматриваемой задачи, что для ряда прак-
тических вопросов является вполне достаточным.

Следует отметить, что, поставив перед собой цель дать отчетливую физи-
ческую картину рассматриваемых явлений, Рюденберг не пользуется неко-
торыми математическими методами, вшроко применяющимися в современ-
ней электротехнике. Так, например, автор не использует метод симметрич-
ных составляющих и совершенно ее применяет операционного исчисления
Переходные процессы в синхронных машинах рассматриваются без исполь-
зования возможностей, которые представляет метод преобразования коор-
динат. При анализе нелинейных цепей автор не пользуется современной
теорией нелинейных колебаний, оставаясь в рамках почти описательного
изложения. Особенно эго относится к неподвижным цепям с магнитным
насыщением

Кинга Рюденберга выдержала ряд изданий. Первое издание вышло в
свет в Германии в 1923 г. Спустя три года вышло второе издание, с которого
был сделан первый перевод на русские язык («Явления неустановившегося
режима в электрических установках», М.—Л., 1931). 13 1933 г. появи-
лось третье немецкое издание, значительно дополненное и переработанное.

Перевод, предлагаемый читателю, сделан с первого американского из
дания, вышедшего в 195(1 г. Это издание значительно отличается от r.ces

От редакции

предыдущих: автор расширил почти вдвое разделы, посвященные переход-
ным процессам в цепях с сосредоточенными параметрами, и изъял главы,
относящиеся к волновым процессам.

Во время подготовки рукописи настоящего перевода к печати было
получено вышедшее в Западной Германии четвертое немецкое издание 1953 г.
Сравнение его с американским изданием показало, что эти издания тождест-
венны по содержанию. В отдельных местах немецкого издания лишь несколь-
ко улучшено изложение. Важнейшие из этих улучшении были учтены при
корректуре настоящего издания.

В целом книга Р. Рюденберга, отражающая опыт многолетней инже-
нерной и педагогической деятельности автора, принесет большую пользу
практическим работникам и начинающим исследователям, интересующимся
сложными явлениями, происходящими в электрических системах.

При переводе книги численные примеры пересчитывались с 60 гц на
нашу стандартную частоту 50 гц.

Перевод книги выполнен Зубковым П. И. (Введение, гл. 1—27, 54, 55),
Лпбкипдом М. С. (гл. 33—50) п Соболевым Л. В. (гл. 28—32, 51—53).
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

Теория переходных электрических явлений за последние десятилетия
сильно развилась и стала одним из основных разделов электротехники.
Для проектирования и эксплуатации электроэнергетических систем переход-
ные процессы, вообще говоря, приобрели такое же значение, как и устано-
вившиеся процессы в нормальных режимах. Более того, некоторые переход-
ные процессы случайного происхождения, возникающие, например, при
коротких замыканиях в сети, при нарушении устойчивости параллельной
работы генераторов и вследствие атмосферных воздействий на линии электро-
передачи, имеют настолько важное значение, что оказывают определяющее
влияние на проектирование современных энергетических систем.

Переходными мы называем такие режимы электрических сетей и под-
ключенных к пим машин и аппаратов, которые возникают в результате
каких-либо нестационарных возмущений. В принципе не имеет значения,
является ли это возмущение преднамеренным пли случайным, а также и то,
придет ли система после переходного процесса в какое-то повое нормальное
состояние или наступит ненормальный режим, часто характеризуемый пере-
напряжениями или сверхтоками.

В этой книге рассматриваются переходные явления в цепях с сосредото-
ченными параметрами. Волновые процессы в линиях с распределенными
параметрами предполагается рассмотреть в отдельной книге. Мы не занима-
лись вопросами, специфическими для техники связи. Однако некоторые из
полученных здесь результатов могут быть использованы и в этой области.
Материал книги, рассмотренные примеры и методы исследования выбраны
на основе моего личного опыта инженерной и педагогической деятель-
ности.

Содержание глав соответствует отдельным частям тех курсов по электри-
ческим машинам и аппаратам, передаче и распределению электрической
энергии, а также по переходным процессам, которые я читал на протяжении
последних двенадцати лет в Гарвардском университете.

Материал книги расположен в порядке постепенного перехода от более
простых вопросов к более сложным, как это требуется для учебного руковод-
ства. Главы, в которых рассматриваются разные явления, составлены
по возможности независимо одна от другой, с минимальным количеством
ссылок на предшествующее изложение. Это сделано для того, чтобы книгу
можно было использовать также и для справок.

Пз своего более чем трпдцатилетнего опыта работы в качестве инженера
и еще более длительного опыта педагогической работы я вынес убеждение,
что лучше всего сохраняются в памяти те методы решения сложных задач,
которые отличаются наибольшей возможной простотой. Утонченные и слож-
ные методы более подходят для лиц, занимающихся прикладной математи-
кой, и для исследователей-теоретиков, чем для инженеров-практиков, даже
в том случае, если последние строят свою работу на научной основе. Для
инженеров важнее понимание физической сущности исследуемого явления и
легкость обсуждения полученных результатов, чем математическая строгость
и общность метода исследования.
Поэтому математический анализ используется в этой книге как вспомо-
гательное средство. Решение каждой задачи выполняется наиболее подхо-
дящим для нее методом, который может оказаться аналитическим для
линейных задач или графическим—-для нелинейных. Таким образом, рассмо-
трение разных переходных процессов производится разными методами.
Попутно читатель знакомится с совокупностью улучшенных или новых
методов исследования, необходимых для инженерной практики.

При выбранном способе изложения теория переходных процессов теряет
характер специальной дисциплины, доступной только для немногих, и
становится достоянием каждого инженера. Читатель может разобраться без
специальной математической подготовки почти в любой задаче, рассматривае-
мой в этой книге, и непосредственно вникнуть в ее техническую сущность.

Существует много учебников но операторному исчислению н его приме-
нению к расчету переходных процессов. Некоторые из них указаны и библио-
графическом списке в конце книги; интересующиеся могут воспользоваться
этими пособиями для ознакомления с методами точного математического
исследования сложных переходных явлений В настоящее время эти опера-
торные методы непосредственно применимы только к линейным задачам.
В нашей книге мы старались дать общий обзор разнообразных переходных
процессов в электроэнергетических системах и в большей степени обратить
внимание на физическую сущность явлений, чем на их математическое
описание.

В электроэнергетике имеется ряд специальных разделов, тесно связан-
ных с теорией переходных процессов или даже основанных на ней. Приведем
несколько наиболее .характерных примеров: коммутация во вращающихся
машинах, выпрямление и инвертирование при помощи ионных приборов,
короткие замыкания в электрических сетях (симметричные составляющие),
автоматическое регулирование и управление, релейная защита, устойчивость
параллельной работы. Так как по всем этим вопросам опубликовано большое
число специальных книг, то в настоящем руководстве излагается только
основное содержание затронутых вопросов в частя, относящейся к переход-
ным процессам.

В текст включено много численных примеров, заменяющих упражнения
и задачи. Большинство примеров взято из практики: они помогают перейти
от явления. в принципе к явлениям, характерным для реальных систем, п
дают возможность читателю немедленно представить себе в числах резуль-
таты произведенного анализа.

Многочисленные осциллограммы п данные измерений, приведенные в
тексте, в большей своей части получены во время моей работы в промышлен-
ности. Эти материалы также способствуют установлению связи между тео-
рией и практикой переходных процессов.

В тексте нет ссылок па литературные ш точники. Однако после каждой
главы приводится список ряда важных опубликованных работ. Эти списки,
конечно, не являются исчерпывающими, так как в технических журналах
многих стран опубликовано огромное число статей по переходным процес-
сам. Опп могут служить лишь для ориентировки читателя, желающего более
детально изучить какой-либо частный вопрос

В некоторой части эта книга совпадает с предыдущим руководством
автора по переходным процессам, третье немецкое издание которого вышло
в 1933 г. Настоящее (первое) издание па английском языке значительно рас-
ширено с целью охвата новых результатов, относящихся к тематике книги.

Рюденберг.

Бе.и,мчит, Мастачу зетс

Январь, I960 г.
У С Л О В II Ы Е О В о 3 II V ч Е IIII Я

Л амплитуда;

I 4 начальное повышение темпера-
I туры;

А, а

—линейная плотность тока:
площадь, поперечное сечение;
размер, расстояние, длина;

а —ускорение:

В амплитуда:

{.магнитная индукция;
размер, радиус:

b ширина

Г интеграл квадрата плотности тока
по времени;

Г, с - емкость;

{расстояние;
скорость;

D вращающим момент:
D, d -диаметр, расстояние;

(амплитуда напряжения;

- напряжение. электродвижущая
сила;

£ электрическая напряженность
ноля;

{мгновенное напряжение;
основание натуральных логариф-
мов (2,718);

р | отклонение частоты:
«ила;

I -частота;

’ .-электродвижущая сила катушки;
G удвоенное значение кинетической
энергии.

( -взаимная электростатическая ин-
i( J пкция;

правляющее напряжение;
ускорение силы тяжести;

{-напряженность магнитного поля;
—тепловая интенсивность;

—функция Бесселя:

, ( -высота, толщина;

« I

I скрытая теплота плавления;

/ амплитуда тока:

<7 - плотность тока;

i - мгновенное значение тока

/— j/" ( мнимая единица:

(момент инерции;

тепло Ленца -Джоуля:
постоянная интегрирования;

71, к коэффициент пропорциональности;

высота, расстояние;

коэффициент (’iiHxpoini.iiipi тощей
мощности;

. -отношение критических моментов;

L, I -собственная iiruj кпшши-ть:

I -длина, расстояние:

А[ противодейстичТонин! момент:

,, I взаимная пи.п кгнвиость:

Л/, in s

I -инерционная масса:

{коэффициент трансформации.

- порядковый номер-
число;

{механическая мощность;

- ускоряющий момент;

функция Бессе ш

' коэффициент трансформации,
порядковый помер;

—число:

число оборотов в минуту;

о поверхность:

В мощность:

•давление:

сопротивление изоляции;

? -периметр:

иотепцпал-

{- поперечная составляющая реак-
ции якоря:

э.т ектри чес к и й заряд:

q - электростатическая собственная
пидукти вность;

{-омическое сопротивление’

радиус

г расстояние:

(индуктивность рассеяния обмоток;

—подкасательная;

—ускоряющее напряжение;

—ширина шага;

—поднормаль;

—расстояние, длина;

' —расстояние между проводниками;

—удельное сопротивление или со-
противление;

Т —постояппая времени;

t —время;

и —число витков;

V —приложенные напряжения;

(—объем;

— отношение напряжений;

— скорость;

— скорость света;

W —работа, энергия;

W —момент инерции;

— работа;

— число витков;

—опасная зона;

х —реактивное сопротивление;

х f

у < —координаты;

z I

Z, z —расстояние;

— показатель;

— тсмпсратурпый коэффициент со-
противления;

— угол;

’—коэффициент распределения;

—показатель;

В .

1 —проницаемость:

—угол,

{ —постоянная Эйлера;

— теплоемкость па единицу объема;

— фазный угол;

{—диаметр, расстояние, длина;

— избыточный момент;

— конечная разность;

f—воздушный зазор;

I —диаметр;

! —относительный момент;

В ч

। —показатель затухания;

| —расстояние между проводами;

[—угол;

—отношение приложенных [напря-
жений;

—защитное действие;

—вспомогательная переменная;

— экранирующее действие;

С —коэффициент теплопроводности;
б) —угловая амплитуда;

J—температура;

| —угол;

’—коэффициент распределения;

—кратность тока короткого замы-

< каиия;

—отношение потоков;

— проводимость;

J —внешняя индуктивность;

|—угловая амплитуда;

Л, К —длина;

Г—декремент затухания;

I —проводимость;

J —расстояние между проводами;

Л — собственная частота регуляторов;

| -—теплопроводность;

I— угловая частота вращения;

| —магнитная проницаемость;

** |—собственная угловая частота;

(—отношение скоростей;

| —собственная угловая частота;

$ —вспомогательная переменная;

— коэффициент затухания;

— отношение сопротивлений;

— радиус, расстояние;

— радиус кривизны;

— фактор ослабления;

’—коэффициент рассеяпня;

— отклонение частоты;

— отношение токов;

— скольжение;

г—период колебаний;

т < —постоянная времепп;

V —продолжительность, период;

Ф —магнитный поток;

<Р

—фазный угол;

—поток сцепления;

—фазный угол;

—угловая скорость;

—угловая частота.
ВВЕДЕНИЕ

В прежние годы энергетические системы проектировались и строились
в соответствии с требованиями нормального установившегося режима. Тща-
тельное изучение свойств применяемых материалов, а также исследо-
вание машин, аппаратов и сетей в установившемся режиме позволило достичь
замечательных успехов в отношении величины мощности, уровня напряжения
п дальности передачи электрической энергии. Однако опыт эксплуатации
показал, что коммутационные операции и некоторые другие обстоятель-
ства, преднамеренно создаваемые пли случайные, сопровождаются свое-
образными явлениями, которые могут явиться причиной серьезных нару-
шений нормальной работы системы. В связи с этим проводились многочислен
ные исследовав ня с целью научно объяснить эти явления и изыскать
способы предотвращения их вредных последствий. •

Следовательно, рассматривая работу любой электрической системы,
мы должны отличать явления установившегося режима от явлений переход-
ного режима, которые возникают в результате разнообразных коммута-
ционных операций и других сходных с теми изменении состояния системы.
Все эти изменения представляют собой в основном возмущения, обуслов-
ленные увеличением или уменьшением количества энергии той пли иной
части системы. Неуклонный рост количества и плотности энергии во всех
частях современных электроэнергетлческнх систем является причиной ш пре-
рывного повышения роли электрических и механических переходных про-
цессов. В настоящее время управление переходными процессами в электри-
ческих системах представляется столь же важной задачей, как и управление
различными явлениями установившегося режима.

Наряду с процессами, которые сопровождают коммутационные опера-
ции, выпол няс мые при помощи соответствующей аппаратуры, нередко, в осо-
бенности в высоковольтных протяженных системах, возникают нежелатель-
ные переходные явления, связанные с замыканиями па землю, короткими
замыканиями и обрывами проводов, грозами, а также неправильной
работой сетевых выключателей и другими трудно устранимыми причинами.
Почти всегда подобные происшествия приводят к серьезным нарушениям
нормальной работы электрической системы, выражающимся в появлении
больших аварийных токов и неренапряжаиий. Иногда при этом возникают
токи ненормальной частоты или с сильно искаженной формой кривой. Эти
явления аналогичны тем нарушениям установившегося состояния, которые
вызываются высшими гармониками и резонансными явлениями, порождаю-
щими паразитные колебания в некоторых частях системы

Каждая коммутационная операция сопровождается изменением напря-
жении и токов в сети пли скорости вращения присоединенных к пей
машин. Прч этом происходит также изменение количества энергии, связан-
ной с даншл цепью. Если эта энергия сосредоточена в определенном месте,
например в магнитном поле генератора, в электрпче, ком поле koiщеш аго-
ра или в маховой массе ротора двигателя, то изменение запаса эти ргип по-
сле коммутации происходит одновременно во всех частях системы. Пере-
ходные процессы, связанные с этими изменениями запаса энергии, затухают
сравнительно медленно в течение времени, которое в общем еду чае достигает
и иногда даже превышает 1 сек. Такие процессы называют медленными
пли почти установившимися, так как в этих случаях par пределепис* напря-
жений и токов в сети весьма сходно с их распределением в устано-
вившем! я режиме

Однако хорошо известно, что в действительности электромагнитные
явления распространяют! я с конечной, хотя и очень большой, скоростью,
а именно со скоростью света, равной 300 000 км/сек. Скорость распростра-
нения электрических токов по металлическим проводам также пе может превы-
шать этой величины. Поэтому изменение величины тока и напряжения после
выполнения коммутацпоппон операции не может произойти одновременно
во всех час тях сети. В действительности эти изменения напряжения и тока рас-
пространяются из места, где произошла коммутация, по всей сети с громадной
скоростью. Поэтому изменение электрических и магнитных полей в любой
точке сети наступает чрезвычайно быстро. По большей части эти явления
усшвают полностью затухнуть к тому времени, когда фактически возникают
те медленные переходные процессы, о которых говорилось выше. Тем не
менее, волнообразное распределение напряжений и токов может явиться
причиной очень серьезных нарушений режима. Происходящие при этом явле-
ния, со щаваемые бегущими по проводам волнами, на гываю" быстрыми пе
реходными пропессамп

Во многих частях цепи существует пропорциональность как’ между
напряжением и током, так и между их тиснениями во времени. Такая про-
иорцпопальнпсть сущесивует, например, в активном сопротпиленнн и в емко
сгн линии, а также в той части индуктивноеги линии, которая обусловлена
ее магнитным полем в воздухе. Однако на практике чат го применяются такие
элементы, для которых указанная простая пропорциональность отсутствует.
'Гаконы, например, искровые и дуговые промежутки, сопротивление которых
отнюдь нк остается постоянным и которые поэтому не подчиняются закону
Ома. Таковы и стальные сердечники, в которых происходит магнитное насы-
щение и магнитным поток которых, следовательно не пропорционален намаг-
ничивающему току. В пенях, где зависимость между напряжением и током
н гн их прои (водными оказывается нелинейной, т. е. изображается ire прямо-
линейны гиг. а криволинейными характеристиками, могут иметь место
весьма г воеобразные явления. Они возникают главным образом в резуль-
тате коммутационных операций; иногда они уг рожают даже нормальному
ус гановишпем* с я режим, системы.

В предлагаемой книге описываются переходные процссе.ы, обычно про
исходящие в электроэнергетических системах Мы постарались отобрать
наиболее* существепиыо и важные явления и изложить их физическое Содер-
жание, исходя из сравнительно просты* и четких предпосылок. Однако мы пе
пытались охватить вес* случаи, объяспепг.е которых известно; равным обра-
зом, нс представлялось возможным рассмотреть все второстепенные детали
подчас- весьма сложных явлении иногда встречающихся в практике эксплуа-
тации электрических систем. Применяя надлежащим образом отобранные
приближенные методы исследования, мы будем но пчать сравнительно
простые выводы. Эти выводы будут подкрепляты я мши очис лепными осцилло-
граммами и числе иными примерами, освещающими их практическое зна-
чение*. Диаграммы, помещенные* в конце книги, могут оказаться полезными
при выполнении практических расчетов.

Из основных законов, вывец'нных дтя переходных процессов, можно
получить многочисл иные указания п общие правила, касающиеся проекти-
рования и эксплуатации электроэнергетических гнетом и их различных эле-
ментов. Однако мы пе будем рассматривать чисто коистру ктивных вопросов
проектирования машин, аппаратов, приборов и сетей.
При рассмотрении сущности различных переходных процессов мы выну-
ждены применять математический метод исследования, так как только при
помощи него можно дать ясное и сжатое описание сложных взаимосвязей между
многочисленными величинами. Для решения той или иной задачи мы стара-
лись использовать наиболее простые математические средства, не выходящие
за пределы элементов дифференциального и интегрального исчислений, при-
менения которых не удается избежать. Это объясняется тем, что переходные
процессы охватывают явления, меняющиеся во времени, а эти изменения
можно точно исследовать только методами анализа бесконечно малых.
В некоторых главах, где рассматриваются более сложные явления, мы были
вынуждены применять элементы теории дифференциальных уравнений и част-
ных производных и уравнений в конечных разностях. Для исследования
явлений неустановпвшегося режима, с которыми приходится встречаться
в практике проектирования и эксплуатации электроэнергетических систем,
применение более сложных математических методов не обязательно

Многие аналитические методы оказываются несостоятельными, если,
как это часто встречается в реальных задачах, отсутствует линейность. В по-
добных случаях вполне пригодными оказываются графические методы.
Эти методы широко применяются для решения таких задач, в которых нали-
чие нелинейной характеристики является основной особенностью как неуста
повившегося, таки установившегося режимов. Кроме того, графические мето
ды часто дают наглядное представление о характере решения и о тех его изме-
нениях, которые вызываются изменениями параметров. Когда Основные
исходные данные задачи установлены экспериментально, например когда
задана магнитная характерце гика или зависимость сопротивления от темпе-
ратуры. го точность графического решения оказывается, по крайней мерс,
ие ниже сочности любого аналитического расчета.

Приступая к исследован и ю переходных процессов в какой-либо системе
постоянного пли переменного тока, мы будем опираться па ее свойства в уста-
новившемся режиме, которые будем считать хорошо известными. . hiuib
в редких случаях явления установившегося режима оказываются в столь тес-
ной связи с явлениями неустановпвшегося режима, что представляется целе-
сообразным охватить их общим исследованием. Так, например, токи в земле
весьма тесно связаны с переходными токами короткого замыкания. Далее,
пространственное распределение токов в земле, даже в условиях установив-
шегося режима, подчиняется законам, в большей степени сходным с законами
пеустановившегося режима, чем с законами для установившихся токов
и проводах. .

Трудоемкость формальных расчетов, связанных с исследованием коле-
баний, описываемых синусоидальными и косинусоидальными функциями,
намного уменьшается в случае применения алгебры комплексных чисел.
В частности, будет широко применяться известное математическое соотно-
шение

piuil _ cos _|_ у h jn ( J )

где

/=1/Т71 (2)

мнимая единица, а

р = 2,718 (3)

—основание натуральных логарифмов.

Двффсренцтцювапис н интегрирование показательной функции, стоящей
в левой части тождества (1), выполняется значительно проще, чем те же
операции па i функциями, стоящими и его правой части, гак как показа-
тельная функция при этом сохраняет свой вид. Следовательно, целесо-
образно записывать выражения для переменного тока, меняющегося с часто-
той <i> по косинусоидальной или синусоидальной функции времени t не
в виде

i = I cos<uZ или i = 1 sin <dZ, (4)

а в виде

i = Ieiut. (5)

Так как в выражении (5) объединены оба выражения (4) [см. тожде-
ство (1)], то все формальные расчеты настолько упрощаются, что нередко
они сводятся буквально к нескольким строчкам. Показательные функции,
вошедшие в окончательный результат, можно легко разложить на веще-
ственную и мнимую части. При этом вещественная часть даст косинусо-
идальную, а мнимая — синусоидальную составляющие общего решения.
Мы называем эти показательные функции так же, как и их косинусо-
идальную и синусоидальную составляющие, гармоническими функциями.

Хотя комплексные выражения весьма удобны и при исследовании явле-
ний установившегося режима, например резонансных явлений, все же их
преимущества проявляются наиболее полно лишь при анализе более слож-
ных явлений, например затухающих колебаний и, в особенности, свобод-
ных вращающихся полей в многофазных машинах.

В книге применяются две системы единиц: метр — килограмм — секунда
MKS и сантиметр — грамм — секунда CGS (электростатическая или электро-
магнитная в зависимости от конкретных обстоятельств). Этим путем дости-
гается наибольшее упрощение всех численных расчетов.
ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В СОСРЕДОТОЧЕННЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

I. ПРОСТЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Г л а в а 1

ВКЛЮЧЕНИЕ И ОТКЛЮЧЕНИЕ ИНДУКТИВНЫХ ЦЕНЕН

Рассмотрим в первую очередь изменения тока во времени, происходя-
щие в простейшей электрической цепи после ее включения и отключения.
Подобная цепь, состоящая только из постоянного активного сопротивле-
ния В и постоянной индуктивности L, показана на
фиг. 1. Электродвижущая сила е в этой цени счн ________. ''OWP

тается заданной для любого момента времени /. | L

Предполагаются известными также значения тока i хЕ. 1 1

как в момент времени, непо< родственно предшест \ J /
вующий коммутации, обозначим его 1 = 0,- так и I I g

через продолжительный промежуток времени после I-----*—-----—

комму гании, т. е. при 1 = со. Оба зги значения мо- (() ।

жно найти по хорошо известным правилам расчета
установившихся токов.

Во время перехода от одного установившегося состояния к другому
приложенное извне напряжение е уравновешивает падение напряжения
в цепи, равное сумме напряжений на активном сопротивлении Ri и па
индуктивности L(di,'dty Таким образом, переходный ток, возникающий
в цепи (см. фиг. 1) в розу плате любой коммутационной операции, должен

удовлетворять уравнен ню

(1.1)

описывающему его изменения во времени. Здесь мы имеем .ищейное диф-
ференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
решение которого общеизвестно. В это решение входит одна постоянная
интегрирования, которую всегда можно найти из начальных условии, соот-
ветствующих конкретной задаче.

§ 1. Отключение цепи от источника путем короткого замыкания.
Зависимость переходного тока от времени получается наиболее пропой
в случае замыкания цени накоротко при помощи выключателя (см. фиг. I).
При этом цепь электрически отделяется от внешнего источника, который
можно одновременно отключить.

В момент замыкания контактов выключателя по цепи RL продолжает
течь прежний ток /, т. с. в момент t =0

(1.2)

Напряжение, приложенное к этой цепи, после замыкания контактов
выключателя обращается в пуль. Поэтому дифференциальное уравнение (I I)
принимает вид

L^ + Ri = O, (1.3)
ИЛИ

di , Л .
т+т1

(1.4)

Для интегрирования этого уравнения разделяем переменные, что дает

С di . R С j

\ + -г \ at = О,

J i L j

(1.5)

откуда

in i -j- -у- I = К = In I.

(1 С)

Для того чтобы было удовлетворено начальное условие (1.2), соответ-
ствующее моменту времени / = 0, постоянная интегрирования А должна
быть равна In7. Соотношение (1.6) можно записать также в следующем
виде;

ln-j-=—£/. (1.7)

Отсюда получаем

i = /е-(Д/ь)« = le-чт. (1.8)

Здесь е- основание натуральных логарифмов, а отношение, обозначен-
ное для краткости через Т,

± = Т (1.9)

называется постоянное! времени контура и измеряется в секундах. График
зависимости тока от времени, построенный по формуде (1-8), приводен

на фиг. 2. Более подробный график показатель-
ной функции дан в конце книги.

113 формулы (1.8) следует, что в каждом
простом короткозамкнутом контуре ток убывает по
показательному закону, причем скорость сто убы-
вания определяется исключительно величиной по-
стоянной времени Т. Начальное значение этого
убывающего тока совпадает со значением тока I,
существовавшего непосредственно перед замыка-
нием контура накоротко. При этом безразлично,

был ли ток, протекавший по цепи до ее замыкания накоротко, постоянным
или переменным. Значение г0 всегда равно мгновенному значению того тока,
которы! протекал в цепи в момент, непосредственно предшествовавший

комму тацпи.

Установившееся значение переходного тока,
t = со в формуле (1.8), равно

соответствующее значению

1'оо --- 6).

(1.10)

За время, равное постоянной времени Т, переходный ток успевает
уменьшиться до величины

i=Iel = -, ‘ л/ = 0,368 I,

т. е. до 36,8% от iBOcro начального значения. За время, вдвое илч втрое
большее постоянной времени, он успевает уменьшиться в е~2 или соответ-
ственно в е’3 раз, т. е. до 13,5% или до 5,6% от начального значения.
Эти соотношения могут оказаться полезными, если потребуется опред(лнть
постоянную времени подобной цепи по осциллограмме затухающего тока.

г
Подкасательная показательной кривой постоянна. В нашем примере,
как это видно из фиг. 2, она равна

= —------йт=7’- (1Л1)

— di/dt (I/T)c~t!T '

Построение па фиг. 2 выполнено для начального момента времени.
Такой геометрический прием, заключающийся в построении подкасатель-
ной, также можно применить для определения постоянной времени по осцил-
лограмме.

Из формулы (1.8) видно, что в рассматриваемой цепи ток затухает тем
быстрее, чем больше ее активное сопротивление, и тем медленнее, чем
больше ее индуктивность. Встречающиеся на практике цепи постоянного
тока, например обмотки возбуждения электрических машин, часто обладают
столь большой индуктивностью, что затухание тока продолжается в тече-
ние многих секунд.

Индуктивность обмотки возбуждения, имеющей w =2000 витков и со-
здающей магнитный поток Ф = 0,06<?-сек при токе 7 = 10 а, равна

Г шФ 2000-0,06

L = — ^-----щ—= 12 гн.

Если ее активное сопротивление R =11 ом, то постоянная времени

7 = ||=1,09 сек.

Следовательно, для затухания тока возбуждения в такой обмотке
требуется более 3 сек.

В конце книги помещена диаграмма, при помощи которой можно опре-
делить индуктивность катушки без сердечника по ее длине, внутреннему
и внешнему диаметрам.

§ 2. Подключение цепи к источнику с постоянным напряжением.
Закон изменения тока во времени приобретает несколько более слож-
ную форму, если к контуру, который состоит из активного сопротивле-
ния 77 и индуктивности £ и в котором прежде

ток отсутствовал, внезапно прикладывается по-
стоянное напряжение

е = 7?, (1.12)

например при подключении батареи, как пока-
зано на фпг. 3. Начальное значение переходного
тока в момент t = 0 равно

го — 0, (1.13) Фиг. 3.

а дифференциальное уравнение (1.1) принимает
ством (1.12) следующий вид: В

в соответствии

с равен-

(1.14)

В правой части этого уравнения стоит постоянная величина Е, явля-
ющаяся возмущающей силой.

Это уравнение решается искусственным приемом, заключающимся
в представлении тока i в виде суммы двух составляющих

i = i' + i", (1.15)

причем первая составляющая V должна быть частным решением дифферен-
циального уравнения (1.14).

2 Р. Рюденберг
Таким образом, уравнение (1.14) распадается на два самостоятельных
дифференциальных уравнения вида

L^-+Ei' = E,

сумма их дает исходное уравнение.

Первое из уравнении (1.16) решается без труда, если приписать I
настолько большое значение, что ток можно считать установившимся. Так
как приложенное напряжение Е постоянно, то

;~ = 0 <1Л7>

и в силу первого из уравнений (1.16)

т=4=7- <1Л8)

Таким образом, составляющая тока ¥ представляет собой предельное или
установившееся значение тока, которое можно найти прп помощи обычных
правил расчета цепей постоянного тока.

Остается еще вторая составляющая тока i", закон изменения которой
описывается вторым из уравнений (1.16). Но это уравнение полностью
совпадает с уравнением (1.3), составленным для переходного тока в коротко-
замкнутом контуре, не содержащем внешнего источника напряжения.
Поэтому его решение имеет вид, аналогичный формуле (1.8), т. е.

1" = Ке-^1. (1.19)

Однако постоянная интегрирования К еще неизвестна, так как опа должна
быть определена из начального условия, составленного для настоящей
задачи.

В момент включения, т. е. прп / = 0, переходный ток должен быть
равен нулю [см. (1.13)]. На основании соотношений (1.15), (1.18) и (1.19)
это условие записывается так:

= |-А-1=0. (1.20)

Отсюда следует, что

Па основании соотношений (1.15), (1.18), (1.19) и (1.21) полный пере-
ходный ток равен

i = -ЕИ (1 - r№1) = I (1 -е-'/т). (1.22)

Здесь, как и раньше, постоянная времени Т определяется соотноше-
нием (1.9).

Закон нарастания тока, согласно формуле (1.22), иллюстрируется
графиком фиг. 4. Ток возрастает от начального нулевого значения до пре-
дельного значения I не скачком, а плавно и тем медленней, чем больше
постоянная времени, т. е. чем больше отношение индуктивности к актив-
ному сопротивлению контура.

Для определения постоянной времени из осциллограммы следует либо
провести касательную из начала координат до пересечения с асимптотой,
как показано на фиг. 4, либо подсчитать мгновенное значение тока, насту-
пающее через промежуток времени, равный постоянной времени контура,
при помощи соотношения

у = 1 - е-1 = 0,632 = 63,2%.

По прошествии времени, равного двум пли трем постоянным времени, ток
достигает 86,5% п соответственно 95,0% от установившегося значения.
Следовательно, по прошествии времени, равного 37', ток можно рассматри-
вать как почти установившийся.

Если желательно, чтобы постоянный ток как можно быстрее достиг
своего установившегося значения, следует искусственно увеличить актив-
ное сопротивление цепп, так как это вызовет соответствующее уменьшение

Ф и г. 4.

Фиг 5.

постоянной времени. Для того чтобы сохранить при этом прежнее значе-
ние установившегося тока, необходимо, как видно из формулы (1.22),
увеличить э. д. с. источника во столько же раз, во сколько раз было
увеличено активное сопротивление цепи.

§ 3. Подключение цепи к источнику с переменным напряжением.
К цепп, содержащей активное сопротивление и индуктивность (фпг. 5),
внезапно прикладывается переменное напряжение

е = Е cos (wZ + Ф), (1.23)

где/? — амплптуда, ш = 2тз/ — угловая частота, ар- начальная фаза. Началь-
ное значение переходного тока в такой цепи попрежнему равно

io = 0. (124)

Дальнепшее изменение тока во времени определяется тем же диф-
ференциальным уравнением (1.1), которое теперь принимает вид

/?^+/?i= Z? cos (wZ4-<р). (1-25)

В правую часть этого уравнения входит возмущающая косинусоидаль-
ная функция времени.

Это дифференциальное уравнение можно решить при помощи применен-
ного ранее искусственного приема, заключающегося в представлении тока i
в виде суммы двух составляющих

i = i'+i". (1.26)

Первая составляющая V попрежнему означает ток, устанавливающийся
в этой цепи по прошествии достаточно большого промежутка времени.
Следовательно, уравнение (1.25) распадается на два самостоятельных урав-
нения

Ri' = Е cos (u>Z ~ ф),
Первое из этих уравнений определяет установившийся ток. Его хорошо
известным решением явля' тся

V = I cos (<uZ -|— ср).

(1.28)

Амплитуда переменного тока равна

//?2 + (о>£)2 ’

(1.29)

а сдвиг фазы тока по отношению к фазе напряжения определяется из соот-
ношения

tg (? - Ф) = —

(1.30)

Второе из дифференциальных уравнений (1.27) совпадает с уравне-
ниями (1.3) и (1.16), составленными для рассмотренных ранен примеров.
Его решением попрежнему будет

i"=Ae-WL)(,

(1-31)

причем постоянная интегрирования К должна быть определена из началь-
ных условий для данной задачи. Приняв во внимание равенство (1.24),

относящееся к моменту включения,
токов пз соотношений (1.26), (1.28) и

в подставив в пего выражения для
(1.31), получаем для t = 0

ojL

1Г ‘

i0 = I cos ср 4- К • 1 = 0,

(1-32)

откуда

К =—/cos ср. (1.33)

Из соотношений (1.26), (1.28), (1.31) п только что полученного соот-
ношения (1.33) находим, что полный переходный ток, возникающий в такой
цепи после приложения к ней переменного напряжения, равен

1—1 [cos (cnZ + ср) — cos cpe~,/TJ. (1-34)

Изменение во времени этого тока и егообеих составляющих показано
на фиг. 6.

Таким образом, переходный процесс в цепи BL, включенной на пере-
менное напряжение, не сводится к постепенному нарастанию амплитуды
переменного тока; такая «аналогия» с цепью постоянного тока была бы
поверхностной. В действительности на установившийся переменный ток V
накладывается свободный ток i" неизменного направления, затухающий
по показательному закону с постоянно i времени Т и сильно искажающий
установившийся ток во время переходного процесса. Степень искажения
зависит от фазного угла ср установившегося тока в момент включения.
Если этот угол равен 0 или 180", т. е. если установившийся ток проходит
в момент включения через свое амплитудное значение, то начальное значе-
ние свободной составляющей тока равно, согласно (1.33), амплитуде уста-
новившейся составляющей. Этот случай представлен на фиг. 6. Если же
фазный угол равен + 90°, т. е. если установившийся ток проходит в мо-
мент включения через нуль, то, как следует из выражения (1.33), никакой
свободной составляющей I" не возникает, и в цепи сразу устанавливается
нормальный режим. Этот случаи представлен на фиг. 7.

Начальное значение свободного тока г", т. е. постоянная интегрирова-
ния К в формуле (1.31), равно, как это видно из выражения (1.33), значе-
нию установившегося тока Г в момент включения, взятому с обратным

знаком. Таким образом, переходный ток г в момент включения всегда
равен пулю. В неблагоприятном случае, изображенном на фиг. 6, наложе-
ние двух токов, установившегося и свободного, вызывает сильное одно-
стороннее увеличение переходного тока. Если постоянная времени значи-
тельно больше, чем период установившегося тока, т. е. при медленном
затухании свободной составляющей, переходный ток может достигнуть
почти двукратного амплитудного значения установившегося тока.

На фиг. 8 приведена осциллограмма тока в реакторе прп коротком
замыкании в начале линии высокого напряжения за реактором. Рабочее
напряжение оказалось внезапно приложенным к реактору, п свободная
составляющая переходного тока затухла только по прошествии большого
числа периодов.

Наибольший возможный свободный ток возникает, как это следует
из формулы (1.34), при — 0 и переходный ток оказывается равным

i = I (cos u>t — (1.35)

Максимальное значение этого переходного тока наступает прп t, равном
приблизительно половине периода переменного тока, т. е. прп t = u/w; оно
равно

г = _/(1+е-^'Ь). (1.36)

Следовательно, если отношение Bfu>L равно 0,02, 0,05 или 0,10, то мак-
симальное значение переходного тока превышает амплитуду установив-
шегося переменного тока соответственно в 1,94, 1,85 и 1,73 раза.

Если же постоянная времени цепи мала по сравнению с периодом
установившегося переменного тока, то свободная составляющая успевает
затухнуть уже в течение первого полупериода и значительного увеличения
переходного тока не получается.

На фиг. 9 показаны три кривые переходных токов, возникающих при
подключении к переменному напряжению цепей с постоянными времени.
равными соответственно 1/2, J/4 и х/8 периода установившегося тока.
Нетрудно видеть, что заметное искажение кривой переменного тока имеет
место только в течение первого полупериода. По мере уменьшения постоян-
ной времени цепи процесс установления тока все более и более прибли-
жается к процессу установления тока в такой же цепи при включении
постоянного напряжения, т. е. сводится к плавному нарастанию тока до его
установпвшегося значения.

В цепях с относительно большой индуктивностью фаза напряжения ф
отличается от фазы тока 9 почти на 90е [см. формулу (L.30)]. Таким обра-
зом, неблагоприятным случай, изображенный на фпг. 6, соответствует слу-
чаю включения переменного напряжения в момент его прохождения через
нулевое значение. С другом стороны, благоприятным случаи, изображен-
ным на фпг. 7, имеет место при включении переменного напряжения
в момент его прохождения через максимум.

В выключателях высокого напряжения процесс включения часто иачи
нается с искрового разряда между его контактами, сближающимися срав-
нительно медленно (по сравнению с частотой переменного тока), т. е. фак-
тически сеть включается в момент максимума напряжения. Поэтому сво-
бодные токи, возникающие в включаемых цепях, сравнительно малы.

Сказанное относится к однофазным цепям. При включении же трех-
фазпых цепей всегда следует ожидать появления больших свободных токов
в одной из фаз.

§ 4. Отключение цепи от источника при наличии шунтирующего
сопротивления. Если цепь, содержащая активное сопротивление и индук-
тивность, отключается от питающего ее ’источника постоянного тока путем
быстрого размыкания контактов выключателя, то между ними возникает
очень высокое напряжение, часто вызывающее пробой изоляции. Особен-
ность этого явления заключается в следующем.

Вследствие размыкания контактов ток в цепи уменьшается от перво-
начального значения

= / = (137)

до нового установпвшегося значения

г'=0. (1.38)

При этом возникает свободный ток с начальным значением

= = (1.39)

Сопротивление цени одновременно возрастает до величины

Л = со (1.40)

н будет теперь целиком сосредоточено в самом выключателе. Согласно соот-
ношению (1.9), постоянная времени цепи Т становится бесконечно малой,
вследствие чего свободный ток затухает чрезвычайно быстро. С другой сто-
роны, напряжение между контактами выключателя, согласно соотноше-
ниям (1.39) и (1.40), должно достигнуть в момент размыкания наибольшей
величины

e"=ivR=co. (1.41)

В действительности напряжение между контактами не достигает беско-
нечно большого значения, так как при помощи обычных выключателей
невозможно мгновенно увеличить сопротивление цепи от некоторой конечной
величины до бесконечности. Тем не мене.е при внезапном отключении индук-
Фиг. 10.

тпвных цепей в них возникают очень высокие напряжения. Это явление
давно попользуется в так называемых индукционных катушках и других
аналогичных им устройствах, служащих для получения импульсов высокого
напряжения.

Перенапряжения такого рода часто вызывают аварии в электрических
сетях, и поэтому их надо предотвращать. Для этого можно шунтировать актив-
ным сопротивлением г соответствующей величины или контакты выключа-
теля, или, что еще лучше, отключаемую индуктивную цепь, как показано
на фиг. 10. В последнем случае активное сопротивление отключенной цепи
не обращается в.бесконечность, а принимает конечное значение В-|-г. Свобод-
ный ток в образованном таким образом контуре, остающемся замкну-
тым и после отключения источника, равен, согласно соотношениям (1.8)
и (1.39),

(1.42)

Следовательно, падение напряжения па защитном
сопротивлении г равно

е" = Г'г=-^Ее-^+^1ь'{. (1.43)

Начальное значение этого напряжения так относится
к напряжению сети, как защитное сопротивление г

относится к сопротивлению В отключенной цепи. Напряжение между кон-
тактами выключателя превышает напряжение, указанное в формуле (1.43),
на величину, равную Е.

Поскольку в нормальном режиме через защитное сопротивление г также
протекает ток, величина этого сопротивления во избежание чрезмерных
потерь должна быть не елмшком малой пли же защитное сопротивление должно
подключаться только на время. Если, например, защитное сопротивление г
в 5 раз больше сопротивления В защищаемой цепи, то между контактами
выключателя всо же возникает напряжение, в 6 раз превосходящее номи-
нальное.

Следует отметить, что формула (1.43) дает правильное зпачеппе для
начального напряжения и в том случае, когда катушка имеет насыщенный
стальной сердечник, т. е. когда ее индуктивность не является постоянной.
При любых условиях начальное зпачеппе тока в сопротивлении г равно току,
протекавшему в цепп BL до ее отключения, чем и вызывается то падение
напряжения, о котором говорилось выше.

Индуктивность катушки, имеющей w витков, обтекаемых током /,
возбуждающим магнитный поток Ф, равна, как известно,

Постоянная времени, определяющая скорость затухания свободного тока
в ц< ни, содержащей такую катушку, равна

j=-Tb-b-’

где Е—электродвижущая сила источника, приключенного к катушке. Следо-
вательно, постоянная времени катушки с заданным магнитным потоком Ф
прямо пропорциональна числу витков w, обратно пропорциональна э.д.с. Е
питающего ее источника и не зависит от прочих параметров цепи.

Напряжение размыкания можно уменьшить, если отключать цепь
от источника не сразу, а постепенно, путем ступенчатого увеличения ее
сопротивления. Окончательное размыкание цепп происходит только после
того, как ток снизится до малой величины в результате включения последней
ступени с большим сопротивлением. Такое ступенчатое уменьшение тока
показано на фиг. 11. Скорость уменьшения тока на последних ступенях отклю-
чения больше, чем на первых, так как постоянная времени цепи уменьшается
по мере увеличения сопротивления и по мере уменьшения магнитного потока.

Осциллограммы подтверждают, что при отключении обмоток воз-
буждения машин возникают большие перенапряжения. На фиг. 12 пока-

зано напряжение размыкания на зажимах
обмотки возбуждения двигателя постоянного
— тока мощностью 400 кет с рабочим папря

-------------------- женпем 220 в. Сопротивление цепи возбуж-
---------------------------------------- 1 < деппя было равно 4,5 ом, сердечники полю-
Фиг. И.-------------сов двигателя были слоеными, а ярмо было

сделано из литого чугуна. Размыкание цепи
возбуждения ускорялось магнитным дутьем при помощи поля, перпен-

дикулярного к направлению движения контактов выключателя.

Три левые осциллограммы в каждом ряду представляют собой кривые
напряжения при уменьшении тока, а три правые осциллограммы — кривые

получены при отсутствии шунтирующего сопротивления, а осциллограммы
нижнего ряда — прп шунтирующем сопротивлении величиной 45 ом.

Правые осциллограммы снимались при уменьшенном начальном токе
для того, чтобы не повредить обмотки возбуждения прп их внезапном отклю-
чении. Из фиг. 12 можно установить, что в случае применения защитных
сопротивлений получаются перенапряжения, близкие к тем, которые можно
рассчитать ио формуле (1.43), а в случае отсутствия защитных сопротивле-
ний при отключении возникают весьма большие перенапряжения, даже при
малых токах п напряжениях.

ЛИТЕРАТУРА

Adler L_, Die Feldschwachung bei Bahnmotoren, Berlin, 1919.
Foelsch K., Arch. Elektrotechn., 30, 139 (1930).

Magnetfeld und Induktivitat einer zylindrischen Spulc.

H artel W., Arch. Elektrotechn., 33, 545(1939).

Ausglcichsstrome in Stromrichterantrieben.
Литература 2а

Helmholtz Н., Ann. d. Phys., 83, 505 (1851); W'iss. AbhandL, 1, 429.

liber die Dauer und den Verlauf der durch Stromschwankungen induzierten elek-
trischen Strome.

Kurtz E. B., Corcoran G. F , Introduction to Electric Transients, New York, 1935
Leonhard A., Elektrotechn. Zs., 65, 253 (1944).

Schaltungen zum Ausgleich grosser elektromagnetischer Zeitkonstanten.

Linke W., Dissertation, Hannover, 1912.

Uber Schaltvorgangc bei clektrischen Maschinen und Apparaten.

Lohrmann G., Wiss. Veroffcntl. Siemens-Konzern, 7, No 2, 163 (1929).

Zur Beurteilung von Eisenkernen in der Schwachstromtechnik.

Mayer R., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 53, 495 (1935).

Erhohnng der Zeitkonstante von induktiven Kreisen.

Skilling H. H., Transient Electric Currents, New York, 1937.
Глава 2

ПРОЦЕССЫ ЗАРЯДКИ И РАЗРЯДА В ЕМКОСТНЫХ ЦЕПЯХ

Заряд Q, накопившимся в конденсаторе, представляет собой все коли-
чество электричества, доставленное к конденсатору током, и поэтому,
с одной стороны, он равен интегралу тока по времени, с другой — произ-
ведению емкости С и напряжения ес конденсатора. Следовательно,

Q = i dt = Сес- (2.1)

Продифференцировав обе части уравненпя (2 1), получим ток, протекающий
в цепп конденсатора:

Если конденсатор присоединен через сопротивление R к внешнему
источнику с напряжением е (фпг. 13), то это напряжение уравновешивает сумму
внутренних падений напряжения в цепп, а именно: паденио напряжения 7?'

Фиг. 14.

на «опротивлеипи R и падение напряжения ес на конденсаторе. Следова-
тельно, ток в такой цепп можно найти из уравнения

7?i-|-ec = e, (2-3)

которое после подстановки выражения для ес из формулы (2.1) приводится
к виду

~^idt = e. (2.4)

Если же в уравнении (2.3) выразить ток через напряжение конден-
сатора при помощи уравненпя (2.2), то получим уравнение для этого
напряжения

der

RClir + ec^e- (2-5)

Оно пред» тавляет собой линейное дифференциальное уравнение первого
порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать его решения для
различных частные случаев. После этого легко определить значение тока
по формуле (2.2).

§ 1. Разряд конденсатора. Если заряженный конденсатор внезапно
замыкается па сопротивление R (фиг. 14), то образуется контур, не содер-
жащип внешнего источника. Следовательно,
е = О,

и дифференциальное уравнение (2.5) принимает вид
der ег

— 4- — — О
dt ' ВС

(2.6)

(2.7)

Это уравнение отличается от уравнения (1.4) лишь коэффициентом во втором
члене. Поэтому его решением в соответствии с выражением (1.8) будет

ec = Xe-t/(B0. (2.8)

Постоянная интегрирования К должна быть определена из начального
условия. В момент 7 = 0 напряжение конденсатора не может измениться

скачкообразно. Если напряжение, до которого конденсатор был перво-
начально заряжен, обозначить через Е, то

Ссо — К=Е. (2-9)

Таким образом, напряжение конденсатора после замыкания начинает
изменяться по закону

ес = 7?е-«/т (2.10)

Это означает, что во время разряда конденсатора через сопротивление
его напряжение убывает, как показано на фпг. 15, по показательному
закону с постоянной времени

Т = ВС. (2.11)

Разрядный ток определяется путем дифференцирования выражения (2.10)
и подстановки полученного результата в уравнение (2.2)

г=-^е“"Г <2Л2)

Таким образом, после замыкания контактов выключателя ток мгновенно
достигает величины, определяемой по закону Ома отношением напряжения
на конденсаторе к сопротивлению цепи, а затем уменьшается по тому же
показательному закону, что и напряжение (см. фиг. 15).

В то время как в индуктивной цепи постоянная времени равна отно-
шению L/R, в емкостной цепи она равна произведению ВС. Если сопро-
тивление велико, то в индуктивной цепи свободный ток затухает быстро,
а в емкостной цепи — медленно.

Подземный кабель длиной 10 км с емкостью между жилами 2 мкф
разряжается через сопротивление его собственной изоляции, равное 50 мгом,
с постоянной времени

Т = 2- Игс• 50-10° = 100 сек.

Следовательно, напряжение между жилами кабеля падает за 5 мин. до 5°6
от своего начального значения.
§ 2. Зарядка конденсатора от источника с постоянным напряжением.
Если цепь, состоящая из. сопротивления R и емкости С (фпг. 16), внезапно
подключается к источнику с постоянным напряжением

е = Е, (2.13)

то напряжение на конденсаторе будет изменяться согласно уравнению (2 5)
d.ir.

ПС,-^^ес = Е, ' (2.14)

причем возмущающей силой является стоящая в правой части постоянная
величина Е.

Как и раньше [см. § 2 гл. 1], для решения этого уравнения предста-
вляем искомое напряжение конденсатора вс, а также ток I в виде суммы
двух слагаемых

сс = ес- е'с,
i = i' - i".

(2.15)

Первые слагаемые представляют собой установившиеся, а вторые — свобод-
ные составляющие переходных напряжения п тока.

Уравнение (2.14) распадается теперь па два самостоятельных дифферен-
циальных уравнения

ИСЕГ^е'с = Е’
deZ

RC-^ + ec = Q.

(2.16)

Чтобы найти частное решение первого из уравнений (2.16), принимаем
значения времени настолько большими, что напряжение конденсатора более
пе меняется; тогда

е’с = Е. (2.17)

Решением второго из уравнений (2.16) [ср. с уравнением (2.7) и его реше-
нием (2.8)] будет

₽с = Ке-ШЖ'. (2.18)

В момент замыканпя, т. е. при t = 0, напряжение конденсатора равно
нулю, и, следовательно, согласно соотношению (2.15),

есо = ^ + АЛ-1 = 0, (2.19)

откуда постоянная интегрирования

К=-Е. (2.20)

Сложив почленно выражения (2.17) п (2.18), найдем, что полное напряже-
ние конденсатора

ес = Е(1-е-ЧТ), (2.21)

а зарядный ток, согласно уравнению (2.2),

1 = ^е~ЧТ. (2.22)

В оба последних выражения входит постоянная времени, определяемая по
формуло (2.11). Изменение напряжения конденсатора и зарядного тока
показано на фпг. 17. Напряжение на конденсаторе возрастает по показа-
тельному закону от нуля до своего предельного, копенного значения. Заряд-
ный ток имеет начальное значение, соответствующее как бы отсутствию
конденсатора в этой цепи или его короткому замыканию, и в дальнейшем
плавно убывает до пуля. Если сопротивление, включенное последовательно
с конденсатором, мало, то начальный толчок

тока имеет тот же характер, что и при корот-
ком замыкании

Сопротивление жил кабеля емкостью 2 мкф,
упоминавшегося в предыдущем примере, рав-
но приблизительно 1 ом. Постоянная времени
процесса зарядки этого кабеля, равная

Т = 2- НГ6-1 = 2- НГ6 сек.,
весьма мала. Если кабель заряжается от ис-
точника с постоянным напряжением 500 в, то

кратковременный толчок зарядного тока достигает значения

I =

500

= 500 а,

а мгновенная нагрузка источника составляет 250 кет.

§ 3. Зарядка конденсатора от источника с переменным напряжением.
Если цепь, содержащая сопротивление и конденсатор (фиг. 18), внезапно
подключается к источнику с переменным напряжением

е = Е cos (<oZ + ф), (2.23)

то в этой цепи устанавливается
женпем

ток,

где

Фиг. 18.

-— амплиту да

определяемый, как известно, выра-

i' = I cos («й-|- ср), (2.24)

J _ (9

V IP + (1/шС)3
тока. Разность фаз между током

и напряжением определяется из соотношения

f,g (со — -р) =

(2.26)

Этот ток создает установившееся напряжение между обкладками конден-
сатора, равное, согласно уравнению (2.1),

е'с = -i- i' dt = ~ sin (wz -f- <р) = Ес sin (<dZ 4 ?)> (2.27)

где Ес — амплитуда установившегося напряжения на конденсаторе.

Полное напряжение па конденсаторе можно представить попрежнему
в виде суммы двух составляющих: установившейся и свободно!. Свободная
составляющая, как и в предыдущем примере, равна

ес = А'е-'/г. (2.28

В момент включения источника полное напряжение конденсатора равно
Нулю. Следовательно, при t = 0

eC0=jEcsincp + 7M = O, (2.29)

откуда для постоянной интегрирования получаем

К = -£csin<p. (2-30)
Принимая во внимание соотношения (2.27), (2.28) и (2.30), находим полное
напряжение на конденсаторе

ес = Ес [sin (wt ср) — sin ср е~ЧТ]. (2.31)

Свободнып ток получается путем дифференцирования выражения (2.28)
для свободного напряжения и подстановки полученного результата в фор-
мулу (2.2), что в связи е соотношениями (2.11) и (2.27) дает

i" sin сре~(/г = sin ае~‘1т.
/( ‘ coCli 1

(2.32)

Таким образом, полный переходный ток, слагающийся пз установив-
шегося и свободного токов [см. соотношения (2.24) и (2.32)], равен

1 = /Геов(ы/ + ср)-}Ще-^1 (2.33)

[ JA _J

Из формулы (2.33) видно, что свободная составляющая переходного
(зарядного) тока равна нулю в том случае, если нулю равна начальная

Ф п г. 19. Ф и г. 20.

фаза ср установившегося тока, т. с. если последний проходит через свое
максимальное значение в момент подключения цепи к источнику [см. фор-
мулу (2.24)]. Пз выражения (2.31) видно, что то же относится и к свобод-
ной составляющей напряжения на конденсаторе. Иными словами, в цепи
сразу устанавливается нормальный режим. Если активное сопротивле-
ние цени Н мало, этот благоприятный случай наступает при замыкании
цепи в момент времени, когда напряжение е источника близко к нулю.

Напротив, если начальная фаза ср установившегося тока равна 90°,
т е. если в момент замыкания цепи установившийся ток проходит через
нулевое значение, то возникает большой свободный ток, который, вообще
говоря, во много раз больше установившегося переменного тока. Этот сво-
бодный ток представляет собой затухающий ток постоянного направления.
Его максимальное начальное значение, согласно выражению (2.32), равно
/" = ^ = 1^/. (2.34)

Таким образом, это значение так относится к амплитуде установившегося
тока, как емкостное реактивное сопротивление цепи относится к ее актив-
ному сопротивлению. Так как в цепях переменного тока активное сопро-
тивление, как правило, мало, свободный ток может быть значительно
больше установившегося переменного тока. На фиг. 19 показан график
изменения во времени полного тока, соответствующего включению в неблаго-
приятный момент времени,

В упоминавшемся выше кабеле емкостью 2 мкф и сопротивлением жил
1 ом прп подключении его к источнику перемепного напряжения с частотой
50 гц возникает толчок свободного тока, превышающий амплитуду устано-
вившегося переменного тока в число раз, равное

1"
/

1
2тг50-2-10~в-1

=1600.

Если заданной величиной является амплитуда установившегося пере-
менного напряжения на конденсаторе Ес, то начальное значение свобод-
ного тока находится делением Ес на сопротивление R [см. формулу (2.34)],
т. е. совершенно так же, как и при зарядке от источника с постоянным
напряжением. Подобные толчки тока могут достигать большой величины
не только в подземпых кабелях или длинных воздушных линиях передачи,
имеющих большую емкость, но и в других элементах сети (соедините.явных
линиях, сборных полосах, проходных втулках и т. п.), обладающих срав-
нительно малой емкостью. Однако из соотношения (2.11) следует, что при

малых значениях емкости и сопротивления постоянная времени и вместе
с ней длительность существования свободных токов столь малы, что они
нс играют сколько-нибудь заметной роли.

В момент включения емкостной цепи всегда возникает такая свободная
составляющая напряжения, которая в сумме с установившейся составля-
ющей дает напряжение на конденсаторе, равное пулю. Установившееся
напряжение на конденсаторе максимально, когда установившийся ток равен
нулю. В момент времени t = 0 ток i' равен нулю, если его начальная фаза
?=±90° [см. формулу (2.24)]. В этом случае свободная составляющая
напряжения на конденсаторе достигает своего наибольшего значения, рав-
ного амплитуде его установившейся составляющей. Изменение напряжения
в этом неблагоприятном случае изображено на фпг. 20. Из уравнения (2.31)
следует, что если постоянная времени цепи достаточно велика, то по про-
шествии одного полупериода с момента замыкания на конденсаторе может
возникнуть напряжение, доходящее до двукратного значения ампли-

туды установившегося напряжения.

Чтобы выразить максимальное напряжение на конденсаторе через
амплитуду переменного напряжения источника Е, полагаем в выраже-
нии (2.31) ср = — те/2 при = и в связи с соотношениями (2.25) и (2.27)

получаем

„ 1 J7

ес ~ —/- .—— Ь,

У1 + (ыТГ

(2.35)

Ио мере роста частоты и постоянной времени эта величина убывает от своего
наибольшего значения Е до нуля. Так, например, если <« = 2тг-50 сек."1
и если T = сек., то

ес = ^=” £ = 0,738 Е.
/14-1“

Если сопротивление цепи мало, а ее емкость велика, то показанный
на фиг. 19 и 20 неблагоприятный случай, соответствующий большим значе-
ниям зарядного тока или напряжения на конденсаторе, имеет место при
замыкании цепи в тот момент, когда установившийся ток равен нулю, т. е.
когда напряжение источника близко к максимуму. Такое положение обычно
имеет место в сетях высокого напряжения, в которых замыкание проис-
ходит через искру, проскакивающую между контактами выключателя.
Итак, в то время как в индуктивных цепях замыкание через искру спо-
собствует уменьшению свободных токов, в емкостных цепях оно, наоборот,
способствует развитию максимальных свободных токов.
ЛИТЕРАТУРА

Bauch R., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 57, 25 (1939).

Verluste und Wirkungsgrad bei der Ladung von Kondensatoren.

Bauer F., Der Kondensator in der Starkstromtechnik, Berlin, 1934.

Berg E. J., Gen. Electr. Rev., 156 (1912).

Advanced course in electrical engineering.

В о e h n e E. W., S c h г о e d e r T. W., В u 11 e r J. W., Trans. AIEE, 61,821 (1942).
Tests and analysis of circuit-breaker performance when switching large capacitor
banks.

Dietz T. W , Stein G. M., Trans. AIEE, 65, 154 (1946).

Design and measurements of capacitor discharge welding transformers.

G r ii и e w a 1 d II., VDE-Fachberichte, 25 (1935).

Das Schalten von Hochspannungs-Phasenschieber-Kondensatoren grosser Leistung
nach Netzversuchen.

Hohmc G., Arch. Elektrotechn., 34, 425 (1940).

Untersuchung des Kondensator-Schweissverfahrens zur Erreichung hoher Zugfes-
tigkeit der Schweissverbindung bei hartgezogenen Aluminium-Drahten.

Siemens W., Ann. d. Phys., 102, 66 (1857); Wiss. u. tech. Arb., 1, 82.

Uber die elektrostatische Induktion und die Verzogerung des Stroms in Flaschen-
drahten.
Глава 3

ОБЩИЕ ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ

Рассмотренные в предыдущих главах дифференциальные уравнения, опи-
сывающие изменение тока во времени после коммутации, можно было решить
путем представления тока в виде суммы двух составляющих. Первая соста-
вляющая удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и предста-
вляет собой установившийся (вынужденный) ток, возникающий в цепи пол
воздействием приложенного к ней извне постоянного пли переменного
напряжения. Вторая составляющая переходного тока определяется из того
же дифференциального уравнения, во в предположении, что напряжение
источника равно нулю. Таким образом, эта составляющая тока изменяется
во времени так, как если бы зажимы, к которым присоединяется источник,
были замкнуты накоротко; вынуждающая сила не действует, и она посте-
пенно затухает.

Эта составляющая представляет собой свободный ток, существующий
в течение сравнительно короткого времени и восполняющий разницу между
током, существовавшим в цепи до коммутации, и током, устанавливающимся
в этой цепи после коммутации. Свободные напряжения, возникающие
в различных частях цепи и обусловленные свободными токами, также
не зависят от приложенного напряжения и затухают с той же скоростью,
что и свободные токи.

§ 1. Внезапное включение. Выше были найдены полные решения
уравнений, описывающих процессы в простых цепях, состоящих только из
сопротивления и индуктивности или только из сопротивления и емкости,

Фиг. 21.

при внезапном включении источников с постоянным или переменным напря-
жением. Изменение токов во времени в сложных цепях, составленных произ-
вольным образом из сопротивлений /?, индуктивностей L, взаимных индук-
тивностей М и емкостей С (см., например, фиг. 21), к которым присоединяются
в любых точках источники с постоянным пли переменным напряжением е,
определяются из системы дифференциальных уравнений вида

2(£5+"я+^+М‘й=е)- (ЗЛ>

Знак суммы 2 означает, что такие уравнения должны быть составлены
для всех контуров цепи па основании хорошо известных законов Кирхгофа,
• Р. Рюденберг
Если параметры цени L, М, В и С постоянны, то эти уравнения можно ре-
шить, представляя каждый неизвестный ток в виде суммы двух составляющих1’

i = i' 4- i".

(3.2)

Это приводит к двум системам дифференциальных уравнений:

3 (^4

(3.3)

сумма которых дает систему уравнений (3.1). Здесь I' означает вынужден
ный ток, устанавливающийся под воздействием внешних напряжений е
спустя большое время после завершения всех коммутационных опера
ций, Г — свободный ток, не зависящий от приложенных к цепи внешних
напряжений и, следовательно, затухающий через некоторое время. Про-
интегрировав эти дифференциальные уравнения, число которых равно
числу независимых контуров, всегда можно найти изменение токов
во времени.

Величина свободных токов определяется из того условия, что вызван-
ный коммутацией переход цепи от одного электромагнитного состояния
к другому должен совершаться без физически невозможных явлений.
Напряжение па любом индуктивном элементе равно

= (3.4)

Отсюда следует, что скачкообразное изменение тока вызвало бы появление
бесконечно большого напряжения. Поэтому ток в индуктивности может
меняться лишь непрерывно. В момент коммутации, т. е. прп < = 0, ток
в любом индуктивном элементе сохраняет то же значение

= (3-5)

которое он имел непосредственно перед коммутацией.

Ток в любом емкостном элементе равен

= . (3.6)

Так как он должен оставаться конечным, то напряжение на емкостном
элементе должно изменяться непрерывно, без скачков. В момент коммута-
ции, т. е. при t — 0, напряжение на любом емкостном элементе имеет то ясе
значение

ес = еси, (3-7)

что и перед коммутацией.

Напряжение на емкости, подобно тому как был представлен ток [см.
соотношение (3.2)], можно представить в виде суммы двух составляющих
ес = Рс4 f'c- (3-8)

Обе составляющие—установившаяся и свободная (затухающая)- связаны
с соответствующими составляющими тока уравнением (3.6).

По истечении достаточно большого времени свободные токи и напряже-
ния затухнут и останутся только установившиеся токи и напряжения. По-
следние* определяются из первой системы уравнений (3.3) при помощи

х) Указанный прием пригоден нс только при постоянных параметрах, но и в более
общем случае, когда параметры цепи являются заданными функциями времени,—
Прим. ред.
известных правил для цепей постоянного или переменного тока, т. е, могут
считаться известными. Значения этих установившихся токов и напряжений
в момент коммутации обозначим через г£о и е'со- Таким образом, если в какой-
либо ветви имеются и индуктивность и емкость, то начальные значения сво-
бодного тока в этой ветви д£о и свободного напряжения на емкости есо должны
быть выбраны так, чтобы при сложении с установившимися значениями i£o
и е£о получались токи и напряжения г'ьо и есо, существовавшие непосредст
вонпо перед коммутацией. Из соотношений (3.2), (3.5), (3.7) и (3.8) следует

г£о = гьо —i£o, есо = есо — £со- (3.9)

Если в цепи отсутствует индуктивность L пли емкость С, то одно из
начальных условий отпадает. В ветвях, содержащих только сопротивления
/?, в момент коммутации могут происходить скачкообразные изменения токов
и напряжений, пе сопровождающиеся появлением свободных токов.

Свободные токи, естественно, создают в соответствующих элементах цепи
свободные заряды и магнитные потоки, затухающие с топ же скоростью,
что и вызвавшие их токи, и определяемые непосредственно различными чле-
нами уравнений (3.3).

Итогом всех этих рассуждений является:

Обгцая теорема коммутации. В цепях, содержащих индуктивности
и емкости, ток г, напряжение е, магнитный поток Ф и электрический заряд Q
не могут в момент коммутации мгновенно принять новые значения f, е', Ф' и Q'.
В таких цепях возникают свободный ток I", свободное напряжение е",
свободный магнитный поток Ф" и свободный электрический заряд Q",
убывающие с течением времени до нуля и обеспечивающие непрерывный пе-
реходит исходного состояния цени к новому ее состоянию. Сказанное не отно-
сится к тем частям цепи, которые непосредственно подвергаются коммутации.

Начальные значения свободных величин определяются изменениями
установившихся токов во всех индуктивностях и напряжений на всех
емкостях в результате коммутации. Начальные значения этих свободных ве-
личин равны разностям между значениями соответствующих величин непо-
средственно до коммутации и установившихся после нее. Свободные вели-
чины г", е",Ф" и Q" затухают так, как если бы только они и существовали
в цепи, образовавшейся после коммутации и лишенной внешних источников

В ценях, содержащих только сопротивление и индуктивность или только
сопротивление и емкость, свободные токи, как было показано выше, зату-
хают, сохраняя неизменным свое направление. В цепях, содержащих одно-
временно сопротивление, индуктивность и емкость, затухающие токи могут
менять направление. В первых двух случаях энергия переходного процесса
быстро рассеивается в сопротивлении цепи. В последнем случае энергия
переходного процесса, прежде чем она будет окончательно рассеяна в сопро-
тивлении, может колебаться между индуктивностью и емкостью. Во всех
случаях могут появляться сверхтоки и перенапряжения.

Если сопротивление R, индуктивность L, взаимная индуктивность М
и емкость С не остаются постоянными1), то уравнения (3.1), описывающие
изменение токов во времени, не являются линейными, и применить разбиение
токов па вынужденные и свободные составляющие для получения урав-

1) Утверждение автора справедливо лишь для тех случаев, когда значения И, L, М
или С зависят от величины протекающего по ним тока или приложенного к ним напряже-
ния. Если же параметры цепи являются заданными функциями времени, то переходные
процессы описываются линейными уравнениями, и токи или напряжения могут быть пред-
ставлены в виде сумм вынужденных и свободных составляющих.—Г1рим. ред.
непий (3.3) уже невозможно. Следовательно, сформулированная выше общая
теорема коммутации, строго говоря, перестает быть справедливой. В цепи
могут возникать дополнительные возмущения, сопровождаемые значитель-
ными сверхтоками и перенапряжениями. Для исследования таких цепей с не-
линейными электрическими или магнитными характеристиками требуются
иные методы математического анализа.

Свободные токи и связанные с ними магнитные потоки, напряжения и
электрические заряды могут возникать не только в результате внезапных
включений, отключений, коротких замыканий и прочих быстрых измене-
ний распределения тока, но также при всяких других изменениях, про-
исходящих в электрической системе. Любое изменение состояния цепи вле-
чет за собой отклонение от нормального установившегося режима, опреде-
ляемого по обычным правилам для цепей постоянного или переменного токов.

Так, например, ток электрического двигателя возрастает при внезапном
увеличении его механической нагрузки. Разность между установившимися
токами до и после увеличения нагрузки проявляется в виде свободного тока,
распространяющегося по всей сети, питающей двигатель, и плавно убываю-
щего с течением времени. Если изменение нагрузки было велико и произошло
внезапно, то переходный процесс может оказаться ощутительным. Медлен-
ное изменение нагрузки можно представить в виде ряда следующих одно за
другим малых скачков. Свободные токи, вызванные первыми малыми скач-
ками нагрузки, успевают затухнуть задолго до возникновения последних
скачков. Опираясь на такого рода рассуждения, можно оценить интенсив-
ность переходного процесса, вызванного теми или иными изменениями
в системе.

Правила расчета установившихся токов применимы здесь только в тех
случаях, когда изменения режима происходят весьма медленно по сравнению
с постоянными времени всей цепи. Во всех случаях, когда изменение режима
происходит за время, малое по сравнению с постоянными времени цепи,
возникают свободные токи, напряжения и т. д. значительной величины.

§ 2. Плавное изменение приложенного напряжения. В некоторых слу-
чаях плавного изменения напряжения можно получить полное решение при
помощи применявшихся ранее методов. На фиг. 22 изображена схема цепи
обмотки электромагнита с постоянными сопротивлением и индуктивностью.
К этой цепп приложено извне напряжение, возрастающее пропорционально
времени. Дифференциальное уравнение для нее имеет вид

L~ + Ri = e = ± Е. (3.10)

Здесь т означает время, в течение которого приложенное напряжение возра-
стает от нуля до значения Е, как показано на фиг. 23, а. Обозначив постоян-
ную времени цепи через

можно переписать уравнение (3.10) в виде

7^ + i = /(0, (3.11)

где

означает «приложенный» ток, т. е. ток, который протекал бы по этой цепи
по г действием приложенного напряжения, если бы в цепи отсутствовала
индуктивность. Зависимость этого тока от времени показана пунктиром
на фиг. 23,6.

Решение уравнения (3.11) можно представить в виде суммы вынуж-
денной и свободной составляющих. Предположим, что вынужденная

составляющая искомого тока представлена линейном функцией времени вида

i'=K± + Kj. (3.13)

Подстановка этой функции в уравнение (3.11) дает

TK^K± + Kj = ^I. (3.14)

Сравнив между собой члены, зависящие п не зависящие от времени, найдем
постоянные интегрирования

Я2=4, К^-^1. (3.15)

Таким образом, вынужденный ток

Р = ^/. (3.16)

Этот ток, показанный на фиг. 23,6 сплошной тонкой прямой, также
растет с течением времени по линейному закону и с той же скоростью,
что и «приложенный,) ток I. Однако он запаздывает относительно тока i
на время, равное постоянной времени цепи Т.

Свободный ток попрежнему равен

i” = К„е~Чт. (3.17)

Начальное условие, заключающееся в том, что в момент t = 0 полный ток
i = 0, дает

-^Л-Я3.1 = 0, (3.18)

откуда

^3=4/. (3.19)

Следовательно, полный переходный ток в данной цепи равен
г==/[т-т(1-е-'/т)] • (3-2°)
На фиг. 23,6 показано, как убывающий по показательному закону
свободный ток г" способствует плавному переходу от начального тока I = О
к запаздывающему вынужденному току Г [см. (3.16)].

Найденное решение остается справедливым, пока приложенное напря-
жение продолжает расти, стремясь к значению Е. В течение всего этого
времени существует постоянная разность между «приложенным» и вынуж-
денным токами, равная

л • - t Т t — T т Т j /О

△г = 1 — i' = — 1 ---1=—1. (3.21)

т т т ' '

Опа обусловлена наличием индуктивности в рассматриваемой цепи.

По истечении времени т приложенное напряжение становится постоян-
ным и равным Е. Теперь «приложенный» ток равен установившемуся,
△i = 0, и переходный ток i изменяется по закону

i = I

(3.22)

Если приложенное напряжение е начнет (после достижения током уста-
новившегося значения J) убывать по линейному закону, то переходный

Фиг. 24.

ток в цепи будет определяться выражением того же типа, что и (3.20).
Надо лишь учесть перемену знака изменения приложенного напряжения 2>.
Убывающий переходный ток изображен на той же фиг. 23,6.

Явления, подобные описанным выше, имеют место во многих электриче-
ских машинах и аппаратах, возбуждаемых путем плавного изменения при-
ложенного к ним напряжения или тока, как, например, в измерительных
приборах, обмотках добавочных полюсов машин постоянного тока, регулято-
рах напряжения, системах управления, а также в следящих системах.
Иногда подобные цепи включаются каскадом. Примером может служить
приведенная на фиг. 24 цепь возбуждения трехфазного генератора пере-
менного тока 3, состоящая из его обмотки возбуждения, возбудителя 2
и подвозбудителя 1. Для повышения напряжения Е генератора переменного
тока увеличивают напряжение е0, приложенное к обмотке возбуждения
подвозбудителя. При этом его ток возбуждения, магнитный поток и, следо-
вательно, э.д.с. е± его якорной обмотки возрастают с некоторым запаздывани-
ем ТЛ, как показано на фиг. 25. Точно так же э.д.с. якорной обмотки
возбудителя запаздывает дополнительно на время 7'2, а э.д.с. Е якорной
обмотки генератора — сверх того на время Т3. Здесь 1\, Т2 и Т3 — постоян-

х) Формула (3.22) приближенная. Точная формула имеет следующий вид:

i = I £ 1— .

—Прим. ред.

2) Кроме того, надо учесть изменившиеся начальные условия. Укажем еще, что
после того, как напряжение е достигнет нулевого значения, цепь окажется замкнутой
накоротко, и ток будет изменяться по уравнению (1 3). При этом постоянная интегри-
рования должна быть выбрана так, чтобы обеспечить непрерывное изменение тока
во времени. — Прим. ред.
ные времени цепей возбуждения соответственно трех машин: подвозбудителя,
возбудителя и генератора. На фиг. 25 показаны кривые нарастания э.д.с.
всех трех машин, сглаженные соответствующим образом, причем здесь
сглаживание происходит ио несколько более сложным законам. Мы видим,

что времена запаздывания, определяемые параметрами элементов, соединен-
ных в каскад, просто суммируются.

Если напряжение, возрастающее с течением времени по линейному
закону, приложено к цепи, состоящей из активного сопротивления и кон-
денсатора, соединенных последовательно (фиг. 26), то дифференциальное
уравнение имеет вид

RC ^- + ес = е^1-Е. (3.23)

Постоянная времени цепи

Tc = RC.

Следовательно, уравнение (3.23) можно записать в форме

dec* —

71c-^- + ec = e(i), (3.24)

где е — возрастающее приложенное напряжение. Уравнение (3.24) сходно
с уравнением (3.11), а его решение подобно выражению (3.20). На фпг. 27

показана кривая изменения напряжения конденсатора ес, когда приложен-
ное напряжение е медленно возрастает, а затем быстро убывает. Напряже-
ние ес отстает от напряжения е на время Тс, причем изломам на кривой
напряжения е соответствуют на кривой напряжения ед плавные переходы
по показательным кривым с одной и той же постоянной времени Тс.

Часто приходится решать обратную задачу, когда для каких-либо
практических целей требуется получить определенный ток в индуктивной
цепи или определенное напряжение на конденсаторе. В этом случае уравне-
ния (3.11) илп (3.24) позволяют определить необходимый «приложенный»
ток г или приложенное напряжение е путем сложения заданной величины i
плп е с ее производной, умноженной на постоянную времени. Для примера
на фиг. 28 показана форма кривой управляющего напряжения е, которое,
как выяснилось при расчете привода, состоящего из двигателя и питающего
его генератора, должно быть приложено к обмотке возбуждения генератора,
чтобы получилось заданное изменение скорости вращения п двигателя.

Если приложенное напряжение изменяется по некоторому произволь-
ному закону, для которого нет аналитического выражения, то в двух пре-
дельных случаях можно найти приближенное решение для переходного тока.

Дифференциальное уравнение для тока в индуктивной цепи имеет вид

(3.25)

где / (Z) может быть функцией t, заданной графически. Если постоянная
времени Т относительно велика, то в левой части уравнения (3.25) пре-
обладает первые член. Пренебрегая вторым членом, приходим к приближен-
ному выражению

1 с

i = ^\)f(t)dt, (3.26)

которое легко поддается вычислению. Из уравненпя (3.24) можно получить
аналогичное выражение для напряжения на конденсаторе, включенном
в цепь с большой постоянной времени,

1 Г -
ес= ,,, ~ \ e(f)dt.
1с J

(3.27)

Любое из этих двух выражении пригодно для расчета вычислительных
устройств, применяемых для интегрирования электрическим путем заданного
изменения напряжения.

Если постоянная времени Т в уравнении (3.25) сравнительно мала,
то можно разложить неизвестный ток i для момента t + Т в ряд

Z(Z + 73 = i(Z) + T^ ++

(3.28)

Так как первые два члена в правой части уравнения (3 28) совпадают
с двумя членамп в левой части уравнения (3.25), то для искомого тока
получим следующее функциональное соотношение:

*(И П =

Т2 dzi (£)

2 dt2

(3.29)
Здесь мы пренебрегли членами, представляющими собой произведения
третьей п более высоких производных тока на третью и более высокие
степени постоянной времени, что допустимо, когда постоянная времени Т
сравнительно мала.

Из уравнения (3.29) следует, что при произвольном приложенном на-
пряжении, изменение во времени которого определяется функцией j (Г),
ток i изменяется в основном по закону, сходному с законом изменения
приложенного напряжения, но запаздывает по отношению к напряжению

-I---------------------------1

t t+т

Ф и г. 29.

на время, равное постоянной времени Т, и отличается от функции / (/)
на величину, равную половине произведения квадрата постоянной времени
и второй производной самого тока, вычисленной для момента Z.

Это правило, обобщающее результаты, полученные выше для случая
изменения напряжения по лпнейпому закону, можно использовать прп
изменении напряжения по произвольному закону. Ла фиг. 29 сплошная
топкая кривая / (Z) означает приложенное напряжение, деленное на
сопротивление Л. Та же кривая, сдвинутая в сторону запаздывания на
время Т, показана пунктиром. Истинные значения тока i в моменты I + 7’
представлены на фиг. 29 сплошной жирной кривой, которая получена пз
пунктирной кривой путем сложения ее ординат с небольшими поправочными
членами, отнесенными к предыдущим моментам времени t. Так как эти
поправочные члены пропорциональны второй производной, то они положи-
тельны, если кривая приложенного напряжения обращена выпуклостью
вниз, например, если приложенное напряжение возрастает по показатель-
ному закону. Напротив, эти поправочные члены отрицательны, если кривая
приложенного напряжения обращена выпуклостью вверх, например, если
напряжение синусоидально.

Радиус кривизны кривой г (/) дается выражением

. d2i
cosd а -
dt2

(3.30)

где а —угол наклона касательной в рассматриваемой точке1). Следовательно,

*) Все последующие рассуждения автора относятся к частному случаю выбранного
им ла данном графике масштаба тока и времени. Формулу для общего случая можно
получить, воспользовавшись известным выражением для радиуса кривизны

d2y
d.r2
второй член в правой части выражения (3.29) можно записать в виде

Т~

2 dt- 2р cos3 а ' (o.oi;

J аким образом, ток в индуктивной цепи определяется выражением

ЧИ 7) = /(0 + ^“1\ (3.32)

Второ., член в правой части выражения (3.32) можно найти графически
при помощи построения, показанного на фпг. 30, если известны значение Г,
величина и направление радпуса кривизны кривой тока в момент времени t.

Если, наконец, постоянная времени Т - величина того же порядка,
что и время, в течение которого происходит значительное изменение при-
ложенного напряжения, то пренебрежение как вторым членом в левой
части уравнения (3.25), так и высшими производными в выражении (3.28)
может привести к существенной ошибке. В этом случае необходимо восполь-
зоваться точным решением уравнения (3.25). Как известно, это решение
имеет следующий вид:

i = е-«/т [ io + eV? / (/) d . (3.33)

Здесь г0 означает начальное значение тока, т. с. его значение в тот момент,
с которого применяется дифференциальное уравнение (3.25). Интегрирование
можно выполнить аналитическим или графическим способами при любой форме
кривой приложенного напряжения [кривом /(()]. Это решение является
точным для всех случаев. Однако оно менее наглядно и более трудоемко,
чем изложенные выше приближенные методы.

ЛИТЕРАТУРА

Carson J. В., Ргос. МЕЕ, 38, 407 (1919).

Theory of he transient oscillations of electrical networks and transmission systems.
Lyon W. V., Eleclr. Eng., 62, 198 (1943).

A comparison of the transform and classical methods.

P о t i e r A., Eclair, elec., 40, 1904 (1904).

sur les phenomenes de surtension dans les reseaux a courants alternatifs.

Полагая ymi = i ir :cmt = t, где m,—чис io ампер, соответствующее 1 r.u диаграммы,
a mt — число секунд. опять-таки отнесенное к 1 см, имеем

1 __m-i 1

„ dzy mi , d°i

cos3 a —s t со«3 a —

dx~ fit2

T2 d*i(t) (Ту n4
2 dl2 у 2pcos3a’

i(t + T)=f (JUTOi “I2

2p COS a

(3.30)

(3.31)

(3.32)
— Прим. ped.
Глава 4

РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

В большинстве электрических липин, аппаратов и машин наряду
с соп[ отпадением и индуктивностью контуров тока имеется заметная электро-
статическая емкость проводников с различными потенциалами. Гак, напри-
мер, воздушные и кабельные линии высокого напряжения, а иногда обмотки
машин и трансформаторов имеют такую емкость, что сю нельзя пренебречь.

Фпг. 31.

Прежде чем исследовать коммутационные процессы в таких цепях, следует
вкратце рассмотреть их установившийся режим, в котором также могут
возникать сверхтоки и перенапряжния.

На фпг. 31 показана схема цепи, состоящей из генератора переменного
тока, питающего через повышающий трансформатор длинную воздушную
или кабельную линию передачи. Линия характеризуется в основном
емкостью, а обмотки генератора и трансформатора — индуктивностью. Не
будем рассматривать подробно распределение тока и напряжения вдоль
линии, а ограничимся выявлением взаимодействия ее емкости с индуктив-
ностью трансформатора и генератора. Поэтому предположим, что вся емкость
линпи С сосредоточена в некотором эквивалентном конденсаторе, включен-
ном в середине линии. Индуктивность линии Lt будем считать сосредоточен-
ной в начале липин. Через нее будет проходить полный зарядным ток
линии1). Суммарная индуктивность цепи составится из индуктивности
линии Ll и индуктивностей рассеяния трансформатора St и генератора 8т.
Отнесенная к стороне высшего напряжения трансформатора с коэффициен-
том трансформации п она равна

L = Smns-rSt ^-L,. (4.1)

Точно так же суммарное активное сопротивление цепи составится из
сопротивлений генератора, трансформатора и линии. Оно равно

R~Rmn2 + Bt i-Rt. (4.2)

Напряжение и ток липни изменяются прпблпзвтелыю так же, как
в ее схеме замещения, изображенной па фпг. 32. В ней мы не учитываем
небольшого намагничивающего тока трансформатора, несущественного

Среднее значение емкостного тока по длине линии составляет приблизительно
нолонииу величины тока в начале линии. Чтобы получить правильную величину паде-
ния напряжения, в формуле (4.1) введен при 1Ч множитель */2- -Прии. рсд.
для решаемой здесь задачи. К цепи (фиг. 32), состоящей из сосредоточен-
ных последовательно соединенных индуктивности L, емкости С и сопротив-
ления R, приложена э.д.с. генератора, возбуждаемая в его статорной об-
мотке вращающимся магнитным полем. Будем считать амплитуду этой
переменной э.д.с. неизменной; для этого может оказаться необходимым
регулировать ток возбуждения генератора так, чтобы его магнитный поток
не изменялся.

Э.д.с. генератора состоит в общем случае пз основного синусоидального
колебания и ряда высших гармоник. Каждую составляющую можно пред-
ставить в форме1)

е = Eej (“'+-) = Е [cos (iot 4~ ?) + / sin (wt + ср)], (4.3)

соответствующей переменной э.д.с. с амплитудой Е и угловой частотой <и.
При исследовании основного колебания будем обозначать амплитуду при-
ложенного напряжения Е через Ео, а нормальную частоту генератора <о
через <1>0. Прп исследовании колебания, соответствующего какой-либо пз
высших гармоник напряжения, Е будет обозна-
чать амплитуду этой гармоники, определенную пз
осциллограммы э.д.с. генератора, а ы — ее угло-
вую частоту, обычно находящуюся в целом крат-
ном отношении с основной частотой <оо.

§ 1. Резонанс напряжений. Каждая си-
нусоидальная составляющая приложенного на-
пряжения (как основная, так и любая высшая

гармоники) создает в цепи переменный ток

г =

(Ш)

зависящий только от этой составляющей напряжения и изменяющийся
с Toil же частотой ю. Каждая гармоника приложенного напряжения, опре-
деляемая выражением (4.3), уравновешивает сумму падений напряжения
той же частоты на последовательно соединенных индуктивности, сопротив-
лении и емкости. Следовательно,

ев + ек -|- ее = L 4- Ri 4 ( idt — Ее’ ('о,+т). (4.5)

ис С- J

Производная тока, определяемого выраженном (4.4), равна

(4.6)

а его интеграл равен

\ i dt = ~ е>"“. (4.7)

J /СО ' '

Подставив эти выражения в уравнение (4.5) п сократив на общий мно-
житель e’wi, получим

jusLI 4~ RI 4~ ~~—-— = Ee’t (4.8)

О /со х '

1) Вследствие того, что формулы (4.3) и (4.4) в том виде, в каком они даны авто-
ром, противоречат друг другу, было сочтено целесообразным исправить их [соответст-
венно (4.8) и (4.9)], т. е. в формуле (4.3) заменить wt на wt-f-ip, и, таким образом, при-
вести в соответствие с векторной диаграммой (см. фиг. 33). — Прим. ред.
или

+ 0-9)

Это соотношение можно представить графически (фиг. 33). При этом
следует иметь в виду, что в комплексной плоскости вектор, соответствующий
мнимой величине, перпендикулярен к вектору, соответствующему вещест-
венной величине. Между током I, совпадающим по фазе с падением напря-
жения 77? на активном сопротивлении 7?, и приложенным напряжением Е,
представленным гипотенузой треугольника, имеет
место сдвиг фаз, определяемый соотношением

tg?=—л— (4ли)

гндохя
и г'/•Длин получения амплитуды тока вычислим,
«ишнспш фпг. 33, при помощи теоремы Пифагора
^йддйфтиос значение (модуль) величины, стоящей
и квадратных скобках в левой части уравнения (4.9).
В /результате получим

7-= (4.11)

Л 7 т//?2 + (<п7, —1/<пС)2

Зависимость амплитуды тока 7 от угловой частоты ш
при заданных величинах 7?, L и С показана на

фиг. 34. По мере увеличения частоты амплитуда возрастает сначала медлен-
но, затем быстрее, и достигает максимума при определенной частоте, равной

Прп этой частоте под корнем в знаменателе выражения (4.11) взаимно
уничтожаются члены, содержащие L и С, и максимальная амплитуда тока

Л—§ (4.13)

равна амплитуде того тока, который установился бы в цепи, если бы она со-
стояла только из активного сопротивления 7? и не содержала ни индуктив-
ности, ни емкости. Для уменьшения потерь энергии цепи переменного тока

обычно выполняются с очень малым активным сопротивлением. Если
амплитуда Е какой нибудь гармоники приложенного напряжения, частота
которой удовлетворяет условию резонанса (4.12), будет достаточно велика,
то резонансный ток может достигнуть весьма большой величины.
Особое значение частоты у, определяемое выражением (4.12), называется
.обствснпои частотой контура, поскольку во всяком контуре, содержащем
L и С, но пе содержащем R, свободные колебания могут иметь только эту
частоту. Если с собственно!! частотой цепи v совпадает основная частота <о
приложенного напряжения Е, то в цепп имеет место резонансное состояние
с большой амплитудой тока.

Резонансные токи обусловливают появление больших напряжений.
Согласно соотношениям (4.5), (4.7) и (4.11), амплитуда напряжения на
конденсаторе равна

Ес = 4 = 1------ . (4.14).

"С y/(/i<nC)s + [(<D/v)s —I]2 ' '

Во второй член выражения, стоящего под корнем в знаменателе, входит
собственная частота, определяемая формулой (4.12). Зависимость амввцптуды
этого напряжения Ес от частоты и приложенного напряжения Е чшлкшч»
на фпг. 35. В случае резонанса, когда с> = у [см. также формул*
эта амплитуда достигает значения ^ММ|дьиЯ|)Н

___ .гагуТбР Д

-1Й)

которое при малых значениях R и С может быть весьма большим.

Величину L/C называют волновым сопротивлением контура, посколь-
ку она имеет размерность сопротивления и во многих отношениях выполняет
его роль. При резонансе отношение амплитуд напряжения на конденсаторе
и напряжения источника равно отношению волнового п активного сопротивЛе
ний контура. При количественной оценке возможных перенапряжении следует
иметь в виду, что малой емкости соответствует большая собственная частота
цепи [см. формулу (4 12)] и, следовательно, резонанс может иметь место
только для высших гармоник э.д.с. генератора, амплитуды которых, как
правило, достаточно малы.

Если активное сопротивление R, входящее в формулу (4.15), выразить,
через постоянную времени T = L/R и затем воспользоваться выражением
(4.12) для резонансной частоты у, то получим новое выражение для ампли-
туды напряжения на конденсаторе

ЕСг = -4= Е = LTE. (4.16)'

У LC

Таким образом, амплитуда резонансного напряжения па конденсаторе про-
порциональна резонансной частоте и индуктивной постоянной времени
При частоте 500 гц и постоянной времени Т = 0,01 сек. относительная
величина напряжения на конденсаторе равна

-^ = 2^.500-0.01=31,4.

При отклонении частоты приложенного напряжения и» от собственной
частоты цепи у на величину Лш в ту или иную сторону амплитуды тока 1
и напряжения на конденсаторе Ес быстро убывают (см. фиг. 34 и 35).
В то время как при точном совпадении частоты приложенного напряжения
с собственной частотой цепи второй! член под корнем в знаменателе выра-
жения (4.11) обращается в нуль и величина Ес определяется только пер-
вым членом под тем же корнем, уже при небольшом расхождении этих
частот этот первый член начинает играть самую незначительную роль
и, следовательно, с достаточным приближением1)

£с=(т+оЪ-*г^' (517)

Из этого соотношения можно определить ширину резонансном полосы, гра-
ницы которой отстоят от собственной частоты цепи на

Д«о=±т^-. (4.18)

Ширина этой полосы зависит только от допустимого отношения напряже-
ния на конденсаторе Ес к приложенному напряжению Е. Так, например,

па границах резонансной полосы, отстоящих от собственной частоты цепи
па ± 10%, на конденсаторе возникает напряжение, в 5 раз превышающее
приложенное напряжение. -

Резонансные нарушения режима показаны на осциллограмме фиг. 36,
изображающей э.д.с. генератора и ток в начале длинной кабельной
линии. Емкость кабеля оказалась в резонансе с индуктивностью машин
прп частоте, в 7 раз превышающей основную частоту генератора. Вслед
ствие большой ширины пазОЬ статора генератора кривая его э.д.с. содер-
жала отчетливо выраженную седьмую гармонику (см. фиг. 36). Следова-
тельно, по кабелю протекал, помимо тока основной частоты, значительный
гок семикратной частоты, который создавал большое напряжение той же
частоты на кабеле.

Резонанс легко может возникнуть в распределительных сетях, на-
пример, когда разветвленная кабельная сеть с преобладанием емкости
питается через трансформаторы и длинные воздушные линии с преоб-
ладанием индуктивности (фиг. 37). Собственная частота может здесь
оказаться величиной того же порядка, что и частота какой-либо гармони-
ки невысокого порядка в э.д.с. генератора, и во всей сети появятся перенапря-
жения. Явления резонанса могут иметь место в кабельных линиях с боль
пюй емкостью, защищенных от токов короткого замыкания последова-
тельно включенными реакторами, обладающими большой индуктивностью.
Статические конденсаторы, часто применяемые для улучшения коэффициента

Максимальному напряжению па конденсаторе соответствует частота «.»' =
= ч 1— i (\ЯС)2 , откуда точное значение

v Ч

JJC мане — ' --=------•

ВчС у l-^-(v/?C)2

— Прим. ред.
мощности сетей, вместе с трансформаторами, питающими эти сети, также
могут образовывать резонирующие цепи, в особенности в режиме холо-
стого хода, когда отсутствуют нагрузки, гасящие резонанс.

Для практических расчетов удобно выражать индуктивность цепи через
обусловленное ею падение напряжения при номинальном токе 70 и основ-
ной частоте и>(), а емкость цени —через зарядный ток при номинальном
напряжении Ео и основной частоте <w0. Так как падение напряжения
на индуктивном сопротивлении

El = u0LI0, (4.19)

а емкостный ток

1с = и0СЕ0, (4.20)

то, определив отсюда L и С и подставив их выражения в формулу 0.12),
получим отношение собственной частоты цепи к частоте основной гармо-
ники приложенного напряжения в виде

' t-o Е

Это отношение должно как можно больше отличаться от целого числа.
В противном случае произойдет резонанс на гармонике v/o>0 приложенного
напряжения.

Если, например, отношение Ер/Ео = 0,20, а отношение Zc//o = O,lO,
то отношение частот

"о /0,2-0,1

Следовательно, частота седьмой гармоники приложенного напряжения
весьма близка к собственной частоте цепи. Есди бы отношение 1с/10 также
равнялось 0,2, а не 0,1, то имел бы место точный резонанс цепи на
частоте, соответствующей пятой гармонике приложенного напряжения.

В симметричных трехфазных цепях отсутствуют все высшие гармоники,
порядковый номер которых делится на 2 или на 3* *>. Следовательно, наи-
большее значение имеют пятая в седьмая гармоники; иногда становятся
заметными также одиннадцатая и тринадцатая гармоники.

§ 2. Резонанс токов. Некоторые элементы силовых сетей трудно пред-
ставить схемой замещения, изображенной па фиг. 32, но их можно легко
представить схемой, изображенной на фпг. 38, в которой источник тока
питает параллельно включенные индуктивность L, емкость С и сопротив-
ление В. В такой цепи ток источника

~1 i = г'ь I- ic + ip- (4.22)

R < Выра шв токи в ветвях через общее для них
< напряжение е, получим

'=T$"*<ca--x <4-23>

Следовательно, амплитуды соответствующих друг другу гармоник тока
и напряжения [см. выражения (4.3) н (4.4)] связаны между собой соотно-
шением 2)

/=(7И7:-/«С+ф)-ВЛ (4.24)

*) В симметричных трехфазпых линиях передачи большой длины возможно появ-
ление высших гармоник четного порядка в некоторых особых режимах.—Прим. ред.

k 2) Множитель elf введен в связи с соображениями, изложенными в примечании
па стр. 44. — Прим. ред.
Часто оказывается заданной амплитуда гармоники тока, а не напряже-
ния. 13 таком случае последняя равна

(4.25)

При резонансе, т. е. при to = l/| LC, второй член под корнем в зна-
менателе обращается в нуль и напряжение определяется простым законом Ома

ЕГ^=В1. (4.26)

Величину этого напряжения можно ограничить путем уменьшения сопро-
тивления В. Однако, как видно из фпг. 38, при этом возрастут потерн
мощности. Резонансный ток в ветви, содержащей конденсатор, в этом слу-
чае равен

Icr = uCRI = I. (4.27)

/L/C

Он может оказаться весьма большим, в особенности если индуктивность L
невелика.

В энергетических системах L представляет собой сумму всех парал-
лельно включенных индуктивностей, подсчитанных по реактивным нагруз-
кам сети; В представляет собой эквивалентное активное сопротивление
всей сети, замещенной схемой фиг. 38; наконец, С является суммой емко
стен всех линий и емкостей конденсаторов, присоединенных к сети. Таким
образом, почти для каждой реальной сети можно построить эквивалентную
схему замещения, вроде изображенной на фиг. 38. 13 такой сети могут
возникать резонансные перенапряжения, если присоединить к ней источник
переменного тока с подходящей частотой. Роль такого источника тока,
способного вызвать перенапряжение, могут сыграть выпрямители и насы-
щенные трансформаторы, при работе которых возникают высшие гармоники
тока.

Рассмотрим для примера двухцепную 100-кнловольтную линию пере-
шли длиной 32 к.к, питающую выпрямительную подстанцию током 1 = 170 а
н обладающую емкостью С = 0,44 миф. Результирующая индуктивность
генераторов и трансформаторов, включенных по обоим концам линии,
равна L= 135мгн. Резонанс возникает на частоте

1 = 4,11-ПР,

у 135-10~3-0,44-10~6

чго соответствует 654 гц, т. е. почти в 13 раз превышает частоту сети (50 гц).
Эквивалентное параллельное сопротивление R равно при этой частоте при-
близительно 1200 ом. Следовательно, тринадцатая гармоника тока, имеющая
в большинстве выпрямительных установок амплитуду, в 13 раз меньшую
амплитуды основной гармоники, вызовет резонансное напряжение [см. вы-
ражение (4.26)].

Е,= 1200 -зу = 15 700 в.

Эго напряжение составляет значительную часть от напряжения питающей
сети (100 кв), и кривая напряжения будет сильно искажена. Из осциллограм-
мы, изображенной па фиг. ЗУ, видно, что кривая напряжения содержит зна-
чительные одиннадцатую и тринадцатую гармоники, между которыми про-
исходят биения.

Р. Рюденберг
Может оказаться, что схему замещения реальной сети нельзя составить
только из последовательных или только из параллельных элементов R,L,C.
При любом сочетании этих двух основных схем замещения условия резо-
нанса создаются для одной или даже для нескольких определенных частот.
Вследствие этого сильно увеличиваются те гармоники напряжений и токов
источников или нагрузок сети, частоты которых оказываются близкими к
ее собственным частотам.

Емкости и индуктивности реальной сети существенно изменяются
при каждом изменении ее схемы и подключенных к ней нагрузок. Практи
кой установлено, что в энергетических сетях резонансные явления возникают
лишь при вполне определенных схемах включения се элементов п вновь исче-
зают при перераспределении нагрузок пли при изменении схемы. Это—счаст-
ливое обстоятельство, иначе потребовалось бы немало труда для предвари-
тельного расчета возможных собственных частот всех мыслимых вариантов
схем включения разветвленных Энергетп-
ДЛ четких сетей. Все же наиболее надежным

/V V1 Г- способом устранения всех возможных резо-

/ И / папсов напряжений и токов в сетях яв

J \ ) ляется питание их от генераторов с спнусо-

I L ] пдальпой э.д.с., по возможности свобод -

-----т -т------------1----------- поп от каких бы то ни было высших гар-
г---------------------------\ I-моник как в режиме холостого хода, так

.1 Д . и при нагрузке. Потребители также не

'V \ должны генерировать значительных выс-

'лЛ/ тих гармоник. Тем самым устраняется

основная причина возникновения резо-

<г> 11 r- иапса. В сильно нагруженных сетях ре-

зонансные явления протекают слабее, чем
в слабо нагруженных и тем более в ненагруженных сетях, так как на-
грузка действует обычно как успокоительное сопротивление.

Разветвленные сети, в особенности сети высокого напряжения, часто
имеют столь большие емкости и индуктивпостй (липни, трансформаторов и
машин), что их собственные частоты близки к рабочей частоте. В част-
ности, это может иметь место в трехфазной системе с незаземленнон ней-
тралью в режиме однополюсного короткого замыкания на землю, в ре-
зультате которого сильно возрастают емкостные токи. Подобные нару-
шения могут явиться причиной резонанса и появления больших перенапря-
жений на основной частоте, и их следует устранять. Резонанс на основной
частоте сети влечет за собой появление столь больших емкостных токов в ге-
нераторах, что наше предположение о постоянстве вращающегося мах нитного
потока и возбуждаемой им э.д.с. теряет свою силу. Емкостный ток возбуж-
дает поле реакции якоря, изменяющее магнитный поток генератора. Этот
вопрос будет рассмотрен более подробно в гл. 52.

Резонансные явления нередко оказываются сильной помехой при прове-
дении высоковольтных испытаний машин, кабелей, изоляторов п других
устройств. G одной стороны, такие испытания проводятся обычно без актив-
ной нагрузки и, следовательно, при очень слабом успокоении колебаний.
С другой стороны, сравнительно маломощные испытательные трансформато-
ры, применяемые для получения высоких напряжений, отличаются как
большой индуктивностью, так и заметной внутренней емкостью их обмоток.
В результате, собственная частота испытательной цепи, зависящая также от
емкости испытуемого объекта, оказывается близкой или равной одной из
гармоник напряжения питающего генератора, и вторичное напряжение транс-
форматора может содержать гармоники, амплитуда которых превышает
амплитуду основной гармоники. В подобных случаях величина вторичного
напряжения и форма его кривой пе могут быть определены, исходя из первич-
ного напряжения, путем простого пересчета по коэффициенту трансформации
трансформатора, а должны быть специально измерены.

ЛИТЕРАТУРА

Biermanns J, Elektrotechn. Zs., 609 (1915).

Die Spannungskurven grosser Hochspannungsnetze.

Fallon J., Rev. gen. elec., 28, 292 (1925)

Surtensions par resonance d’harmoniques.

Feldmann C., Elektrotechn. Zs., 605 (1908).

Ursache, Wirkung und Bekampfung von Uberspannungen.

II ok G., Journ. Appl. Phys., 19, 242 (1948).

Response of linear resonant systems to excitation of a frequency varying linearly
with time.

Schutz H., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 53, 174 (1935).

Entzerrung von Schleifenoszillographen.
Глава b

СВОБОДНЫЕ ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
КОНТУРАХ

Для полного описания переходных процессов в цепях, содержащих

индуктивности, емкости п сопротивления, необходимо определить пе только
свободные токи и напряжения. Такие цепи часто

уч тановпвшпеся, по и

Ф в г. 40.

можно представить в виде изображенной па фиг.
40 одноконтурной схемы, содержащей последователь-
но соединенные элементы L, С и R. Иа схеме
не показана электродвижущая сила источника, так
как ни полржепие источника в схеме, пи его мощ-
ность пе оказывают непосредственного влияния па
рассматриваемые в этой главе свободные токи и
напряжения, которые накладываются на токи и на-
пряжения установившегося режима после всякой
коммутационной операции -

§ 1. Частота и затухание. На основании изложенной выше общей
теоремы < умма свободных напряжений па отдельных элементах замкнутого
контура равна пулю, т. е.

еьл ед ' ес = 0. (5-1)

Выразив напряжения на индуктивности и емкости через свободный ток Г',
который здесь может быть обозначен просто через i (так как во всей главе
будет говориться только о свободных токах), получим следующее урав-
нение:

Ri±\idt = O. (5.2)

UI Ly J

Для того чтобы освободиться от интеграла, дифференцируем обе части
уравненпя по времени. После почленного деления результата на L полу-
чаем для тока линейное дифференциальное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициента мп

-ir=°- (М

Попытаемся пайти решение в виде

i = (5.4)

Первая производная равна

J = (5.5)

а вторая —

•# = <№'. (5.6)

ft tz ' •

Подставив выражения (э:4)— (5.6) в уравнение (5.3) и сократив все его

члены на общий множитель /е®', получим алгебраическое уравнение второй
степени

°2 ' ' -lc=°- <5-7>

Оно должно удовлетворяться теми же значениями а, при которых
функция (5,4) удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.3). Решив
уравнение (5.7), найдем

а= ~ 2F±^’ (5’8)

Для подкоренного выражения такая форма выбрана потому, что в боль-
шинстве случаев 1'LC больше, чем (7?Z2L)2. Для сокращения записи вновь
введено обозначение индуктивной постоянной времени

7=4- (5-9)

С этой же целью введено обозначение v для квадратного корпя во втором
члене выражения (5.8).

Если сопротивление мало по сравнению с волновым сопротивлением
1/Г/С, что обычно имеет место в цепях переменного тока, то v — веще-
ственная величина, п, следовательно, для а получаются два комплексно-
сопряженных значения. Поэтому показательную функцию eat, входящую
в выражение (5.4), можно записать в виде

eat __ g-t/2Tgl;\t __ g-t/2T (cos j. j sju (5. 10)

Здесь использовано то обстоятельство, что функция

gijvt _ cos j sjn (5.11)

т. e. одновременно содержит две тригонометрические функции — косинус
и синус.

Двум корням уравнения (5.7) соответствуют два частных решения уравне-
ния (5.3) для свободного тока, одно пз которых содержит косинусоидальную,
а другое — синусоидальную функции времени. Пх начальные амплитуды
пока еще неизвестны, так как они определяются двумя произвольными
постоянными интегрирования. В эти постоянные интегрирования можно
включить как мнимую единицу /, так и оба алгебраических знака, ука-
занные в выражении (5.10). Таким образом, полное решение уравнения
(5.3) относительно свободного тока имеет вид

i = е~‘12Т [7, cos 'it ' /2 sin v/] = Ze—й2Т cos (vZ7)- (5-12)

Второе выражение (5.12) получено путем объединения косинусоидальной
и синусоидальной функций (с различными амплитудами) в одну косину-
соидальную функцию с измененной начальной фазой. При этой форме
записи свободного тока амплитуда I и начальная фаза 7 играют роль двух
постоянных интегрирования, которые должны быть определены впоследствии
из начальных условий для конкретной задачи.

Для общей оценки характера функциональной зависимости свободном»
тока от времени предположим сначала, что начальная фаза 7 = 0. При
таком произвольном выборе величины 7 свободный ток

i = 1е~Ч2т cos Nt. (5.13)

Следовательно, свободный ток в контуре с индуктивностью и емкостью
уже не будет током постоянного направления с величиной, уменьшающейся
по показательному закону, а будет представлять собой гармоническое коле-
бание, амплитуда которого убывает по показательному закону. Свободный
54

I. Простые электрические цепи

ток является здесь затухающим переменным током, кривая которого при-
ведена па фпг. 41. Как видно из пунктирных кривых на фиг. 41, ампли-
туды этого переменного тока убывают медленнее, чем ток постоянного
направления в такой же цепи, но не содержащей емкости. Ато объясняется
тем, что средние потерн энергии прп переменном токе с амплитудой 1
вдвое меньше потерь энергии прп постоянном токе той же величины.

Угловая частота т убывающего свободного тока, определяемого фор-
мулами (5.12) или (5.13), равна [см. выражение (5.8)]

(5.14)

Ата собственная частота не зависит от величины тока и определяется
исключительно параметрами L, С и В контура. Если активное сопротивле-

т. е. колебания свободного

нпе мало по сравнению с волновым сопро-
тивлением контура, то с достаточной точ-
ностью

/Тс ‘

(5.15)

В этом случае собственная частота зависит
только от индуктивности и емкости контура
и совпадает с резонансной частотой, опре-
деленной выражением (4.12).

По мере увеличения активного сопро-
тивления возрастает относительное значение,
второго члена под корнем в выражении
(5.14) и собственная частота уменьшается,
тока становятся более медленными. Когда

активное сопротивление достигает значения

Я-2/А.

(5.16)

собственная частота обращается в пуль, колебания прекращаются и сво-
бодный ток убывает по апериодическому закону. Наконец, при еще боль-
ших значениях активного сопротивления величина, стоящая под корнем
в выражении (5.14), становится отрицательной, а сам корень — мнимой
величиной. Таким образом, коэффициент а, определяемый выражением (5.8),
становится чисто вещественным, но попрежнему имеет два значения. Со-
гласно выражению (5.4), свободный ток определяется теперь двумя слагае-
мыми, каждое из которых представляет собой показательную функцию
временп. Этот вид решения исходного дифференциального уравнения будет
подробно рассмотрен в дальнейшем.

В электроэнергетических цепях активное сопротивление обычно меньше
того критического значения, которое было определено выше выражением
(5.16), так что коммутационные операции сопровождаются заметными коле-
баниями. Чаще всего активное сопротивление настолько мало, что его
влияние па собственную частоту оказывается незначительным, и ее можно
определять по упрощенной формуле (5.15).

§ 2. Ток и напряжение. Периодический свободный ток может вызывать
большие падения напряжения иа индуктивности и емкости.

Рассмотрим следующий практически]! пример. Для облегчения размы-
кания индуктивной цепи и для устранения искрения между контактами
выключателя в цепь включается конденсатор, как показано на фиг. 42.
дои тока по времени,
(5.13) равна

11 'll — -pje COS 'it

A/VW-J

<T> п г 42

После внезапного отключения батареи образуется колебательный контур,
но которому будет протекать лишь свободный ток, изменяющийся от перво-
начального" значения I до нуля. В этой главе мы принимаем, что до отклю-
чения паиряжонпе на коп тепсаторе 7? было мало, а это позволяет считать
начальную фазу тока у [см. выражение (6.12)] равной пулю.

Свободная составляющая падения паиряжепня па индуктивности,
и ропорцпон а льна я про из вс
па основании выражеши
Заменяя спнусопдал ьную
функции времени одной
пиен, сдвинутой по фазе,

eL= — Lfj/\2~ p-'/2Tsin (я! ' о). (5.18)

n коспиусопдащэпую
синус ОПДМ.1Ы1ОП фуНК-
иолучаем

Начальная фаза о определяется из соотношения

t S' о = —

2-iL ’

(5.19)

Квадратный корень в выражении (5.18) можно упростить. Действительно
пз формулы (5.14) следует, что он равен 1 \7 LC. Следовательно, напряже-
ние на индуктивности окончательно равно

eL = -/]/-^-e_,/2rsin(vi( ь). (5.20)

В силу соотношения (5.1), напряжение на конденсаторе равно сумме
напряжений на индуктивности и па активном сопротивлении, взятой
с обратным знаком. Из выражений (5.17) п (5.13) получается

ес = -eL — Bi = Ые~Ч2Т Гм sin 'it +

, R

COS W — -^-COS

(5.21)

Воспользовавшись соотношением (5.9), объединим внутри скобок косинусо-
идальные члены и получим

ес= sinvZ—“CosmZ^ . (5.22)

Синусоидальный и косинусоидальный члены снова можно объединить в один
синусоидальный член с начальной фазой S, определяемой также из соот-
ношения (5.19). Таким образом, напряжение на емкое ти окончательно
равно

<*с = ' 7 —о). (5.23)

Выражения (5.20) и (5.23) для напряжений на индуктивности и на
емкости очень сходны между собой и отличаются лишь общим знаком
в знаком перед начальной фазой о. Последняя мала, если мало активное
сопротивленце [см. соотношение (5.19)]. Оба эти напряжения изменяются
ио ситеондалыюму закону, в то время как ток изменяется по косину-
соида 1ьному закону [см. выражение (о. 13)]. Если пренебречь углом о,
то можно сказать, что оба паиряжепня сдвинуты по отношению к току
па четверть периода и убывают но одинаковому с ним показательному
.акону. Величины этих напряжений можно получить умножением тока
па р L (’ — важный параметр, названный нами выше волновым сопро-
тивлением контура. Нафиг. 43 показано изменение во времени напряжения
на конденсаторе, соответствующего току, кривая которого пзооражена
па фиг. 41. На фпг. 44 представлена осциллограмма постепенно затуха-
ющих свободных колебаний, возбужденных в колебательном контуре внеш-
ним воздействием.

Угол о, равный половине угла сдвига фаз
между напряжениями ер и ес, можно определить
аналитически при помощи соотношения (5.19).
Кроме того, его можно найти и простым геоме-
трическим построением, представляющим с ис-
ключительной наглядностью соотношения меж-
ду напряжениями в рассматриваемой цепи. На
фиг. 45 построен равнобедренный треугольник,
основание которого равно активному сопроти-
влению Н, а высота — индуктивному сопроти-
влению '/L при собственной частоте контура v.
Из соотношения (5.19) вытекает, что угол о

равен половине угла у вершины этого тре-
угольника. Боковые стороны треугольника, на основании теоремы Пифа-
гора и соотношения (5.14), равны |/ L/C. Таким образом, построив равно-
бедренный треугольник с основанием, равным активном} сопротивлению

Фиг. 44.

контура, и боковыми сторонами, равньтмп его волновому сопротивлению
легко определить фазовый угол 8. Величины этих сопротивлений
бывают известны. В большинстве случаев волновое сопротивление
тельно больше активного и, следовательно.

Воспользовавшись формулой (5.15), мы получим
ствии с фиг. 45 аналитическое соотношение

всегда
значи-
ма лым .

8
в

г, чЬ

cos 6 = ——-

'о

оказывается
соответ-

Ф и г. 45.

в котором выражение для v взято из формулы (5.11).

Умножив все стороны треугольника на I, полу чим”тре-
угольпнк, основание которого равно амплитуде напряжения
на активном сопротивлении III, одна боковая сторона равна
амплитуде напряжения на индуктивности, а другая — ампли-
туде напряжения па конденсаторе [см. формулы (5.20) н (5.23)].
Как видно из фпг. 46, в новом треугольнике сохраняются

правильные соотношения не только между величинами, но и между фазами
трех напряжений Ек, Ер и Ес [<р. формулы (5.13), (5.20) и (5.23)],
а именно: напряжение Ер опережает напряжение ER на угол, немного
больший 90 , а напряжение Ес отстает от него на такой же угол. Этим
режим свободных колебаний отличается от вынужденного режима, при кото-
ром, как известно, вектор напряжения на индуктивности и вектор напря-
жения па емкости составляют с вектором тока углы, точно ранные 90 \
Причина этого различия заключается в том, что свободные токи и напря-
жения затухают по показательному закону, вследствие чего три упомя
нутых иышс вектора образуют замкнутый треугольник без лектора внеш-
него приложенного напряжения.

В реальных цепях активное сопротивление не всегда сосредоточено
вне конденсатора и в особенности вне индуктивной катушки. Внутри
этих элементов находится, по крайней мере, часть активного сопро-
тивления контура. Векторная диаграмма, изображенная па фиг. 4G, позво-
ляет определить напряжение между любыми двумя точ-
ками колебательного контура, если известно, как рас-
пределяется активное сопротивление между его элемен-
тами. Искомое напряжение равно расстоянию от вершины
треугольника до некоторой точки его основания, соот-
ветствующей распределению активных сопротивлений меж-
ду элементами контура.

Свободные напряжения и токи в колебательном
контуре изменяются не только периодически по законам
синуса и косинуса, как это показано на векторной диа-
грамме фпг. 46, но и затухают по показательному закону.
Оба вида изменения этих величин можно представить
спиральной диаграммой (фпг. 47). В соответствии с перио-

дическим изменением тока или напряжения происходит вращение их век-
торов. В то же время их амплитуды уменьшаются по показательному
закону, так что конец вектора описывает логарифмическую спираль.

Представив в прямоугольных координатах зависимость проекции соответ-
ствующего вектора на вертикальную ось от его полярного угла, получим
кривые изменения тока и напряжения во времени. Такие кривые для тока i
п напряжения на конденсаторе ес., построенные в некоторых произвольных
масштабах, изображены на фиг. 47, причем ес отстает от i па 90° 1 3.
Соответствующие мгновенные значения тока и напряжения па полярной
и прямоугольной диаграммах обозначены одинаково.

Из диаграммы видно, что максимумы п минимумы ес всегда насту-
пают в тот момент, когда i обращается в нуль. Обратное соотношение
не имеет места, гак как ес обращается в нуль, спустя время 2o/v после
того, как величина i прошла через свой максимум. Кривые на фиг. 47
построены по упрощенному выражению для тока (5.13). Если бы мы поже-
лали учесть начальную фазу тока у в соответствии с более общим выра-
жением (5.12), то для этого было бы достаточно сместить шкалу времени
вправо на величину 7, как показано на фпг. 47.

Прп определении максимального напряжения на конденсаторе (см. схему
на фиг. 42) следует иметь в виду, что максимум наступает, спустя
четверть периода после момента отключения источника, т. с. при

W = (5.25)

При относительно малом активном сопротивлении можно пренебречь углом о
по сравнению с тг/2 и воспользоваться упрошенным выражением (5.15)
для определения собственной частоты контура ч. В таком случае, под-
ставив в выражение (5.23) значение t из формулы (5.25), получим

Ямакс. = I /4 е^'1}

Следовательно, если волновое сопротивление значительно больше актив-
ного сопротивления отключаемой цепи, то максимальное напряжение, появ-
ляющееся на конденсаторе после отключения, превышает напряжение
источника н число раз, равное отношению волнового сопротпвеппя к актив-
ному. Напряжение при отключении останется в приемлемых пределах
только при большой емкости конденсатора. Как видно из соотношения
(5.26), активное сопротивление может существенно уменьшить напряжение
па конденсаторе лпшь в тех случаях, когда его величина приближается
к величине волнового сопротивления. При равенстве этих сопротивлений
напряжение на конденсаторе снижается приблизительно на 45%.

§ 3. Параметры цепи. Если включить параллельно обмотке возбужде-
ния с индуктивностью L= 12 ей (см. гл. 1) конденсатор емкостью С = 20' мкф,
то получится контур с собственной частотой

'> = —г- = — 65 сек. 1, пли /=Ю,3 гц,

и волновым сопротивлением

= 20-10-6 = 775 °'*’

Если принять активное сопротивление этого контура Л = 11 ом, то выклю-
чение тока I = 10 а вызовет напряжение на конденсаторе

^макс. =Ю-775.е-«4) (”/775) 7750в.

Таким образом, несмотря на то, что был выбран конденсатор немалой
емкости, все же амплитуда напряжения па ном во много раз превысила
рабочее напряжение, равное RI — 11-10=110 в. Затухание оказалось здесь
весьма малым.

В то время как в цепях постоянного тока нередко встречаются индук-
тивности от 1 до 100ей, в цепях переменного тока их обычно берут очень
малыми во избежание больших падений напряжения при прохождении
рабочего тока. Так, например, в контуре, состоящем пз кабеля емкостью
2мкф и защищающей его реактивном катушки с индуктивностью L = 5«йен,
мечут возникать свободные колебания с частотой

ч = __=— 10000 сек.-1, пли /=1600 гц,

1сг3-2-10-в

которая во много раз превышает нормальную рабочую частоту 50 пли 60 гц.
Соответствующее этим параметрам волновое сопротивление контура равно

Наконец, если очень малые катушки (например отключающие катушки
выключателей) с ипдуктпвносгыо L = 0,1 мгн взаимодеш твуют с малыми
емкостями (например, проходных изоляторов этих выключателей), имеющими
величину С = 10-4 миф, то получаются собственные частоты порядка

v = 1 — = 107 сек.-1, пли / = 1,0 • 106 гц,

/0,1-10-3-10-4-10-с

а волновое сопротивление достигает величины

0,1-10-3

Ю-4. ю-e

1000 о. и.

Таким образом, встречающиеся в электроэнергетпческпх системах зна-
чения индуктивностей и емкостен таковы, что волновые сопротивления и
в особенности собственные частоты контуров могут изменяться в очень
широких пределах.

Мощно установить связь между затуханием свободных колебании
и интеш ивпо< тыо резонансных колебании, возникающпх в данном контуре
под воздействием извне приложенного напряжения. Затухание часто опре-
деляют по отношению двух последовательных амплитуд колеблющейся
величины. Г> соответствии с фиг. 47 и выражением (5.13) это отношение
равно

e-(2«/v)/2T = е— (-7C/V) (К/L) _ (5.27)

Показатель

>. = -£ (5.28)

называется логарифмическим декрементом, так как он равен натураль-
ном, логарифму отношения предыдущей амплитуды к последующей.

Если в формулу (4.15) подставить выражение для активного сопро-
тивления из (5.28), то для резонансного напряжения на конденсаторе,
включенном последовательно с индуктивной катушкой и активным сопро-
тивлением, можно получить выражение

1:сг _ VlJC _ к VT/C _ (5 9q)

Е R Ь ’ '

С другой стороны, пз выражения (5.24) следует, чго квадрат отношения
частот

отк j да

22 = 1 — (5.31)

’о р^1 + (Х/2тг)2

Следовательно, отношение наибольшего возможного резонансного
напряжения па конденсаторе к приложенному напряжению на о< новации
формул (5.29) и (5.31) равно

= .1. (5.32)

Оказывается, это отношение зависит только от логарифмического декре-
мента А. Иначе говоря, затухание свободных колебаний определяет также
интенсивность резонансных явлений в случае вынужденных колебаний.

Отношение двух соседних амплитуд для колебательного процесса,
осциллограмма которого изображена на фпг. 44, равно 0,82. Следовательно,
в (пответствип с формулой' (5.27) логарифмический декремент >. = 0,20,
а от ношение
Воспользовавшись формулой (5.28), можно записать отношение (5.32)

в виде = Т- <5-33>
где безразмерная величина <?=¥=г <5-34>

называется добротностью колебательного контура. Чем больше добротность 0,
тем сильнее и резче проявляются резонансные явления в этом контуре
п тем дольше сохраняются в нем свободные колебания.

Л II Т Е Р А Т У Р А

Dory I., Elcktrotecha. Zs., 686 (1908).

PrakUschc Oberspannungsanalogien.

Feldmann C., Herzog J., Elcktrotechn. Zs., 897 (1906).

Uber Schwingungen mit holier Spanining und Frequenz in Glcichstromnetzen
Pung a F., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 386 (1915).

Das Vektordiagranim fur transients eleklrische Erschcinungen.

Robertson D., Journ. Inst. Electr. Eng., 54. 24 (1915.)

A mode of studying damped oscillations by the aid of shrinking vectors.
Глава G

ВКЛЮЧЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ КОНТУРОВ

При изучении переходных токов и напряжений, возникающих в коле-
бательных контурах после их подключения к внешнему источнику, следует
воспользоваться наиболее общим выражением (5.12) для свободных токов.
Это выражение содержит две постоянные интегрирования, значения кото-
рых определяются из начальных условий. Итак, свободный ток

i" = т cos (v/ | - 7) (G • 1)

и свободное напряжение на конденсаторе [см. формулу (5.23)]

ее = Р'1/"тг e~'-'2Tsin (vt 1-7 — 5). (С.2)

Г О

Постоянные интегрирования, т. е. амплитуда Г' и начальная фаза 7
свободного тока, определяются из общей теоремы о коммутации. В момент
времени I = 0 полный переходный ток, равный сумме свободного и вынуж-
денного токов, должен совпадать с тем током, который протекал непосред-
ственно перед коммутацией. Равным образом, полное переходное напряже-
нно на конденсаторе, также состоящее из свободной п вынужденной состав-
ляющих, должно совпадать в момент времени t = 0 со значением этого
напряжения непосредственно перед коммутацией.

В настоящей главе рассматривается включение лишь таких цепей,
где токи и напряжения до включения были равны нулю, и поэтому
из соотношений (3.9) получаем

7" cos 7 = — i'

°’ (6.3)

i" у (J Sin (7 — 8) = — e'co.

Левые части этих равенств представляют собой значения i" и е'с в момент
времени 7 = 0 [см. выражения (6.1) и (6.2)], а их правые части — значения
вынужденных тока и напряжения также в момент времени t = 0, взятые
с обратным знаком.

§ 1. Подключение к источнику с постоянным напряжением. Рассмот-
рим сначала подключение цепи, изображенной на фиг. 48, к источнику
с постоянным напряжением Е. По окончании переходных процессов в цепи
конденсатора не должно быть тока, т. е. установившийся ток

V = 0.

(6.4)

В установившемся режиме напряжение па конденсаторе является постоян-
ной величиной, равной напряжению источника, т. е.

е'с=Е. (6.5)

Первое равенство (6.3) дает
и выражение (6.1) для переходного тока принимает следующий вид:

i" = — 7"e~'/2Tsin vZ. (6-7)

Свободный ток оказывается синусоидальной функцией времени, амплитуда
которой убывает по показательному закону, как показано на фиг. 49.

Фиг. 48.

Ф и г. 49.

Подставив значение е'с и у из формул (6.5) и (6.6) во второе равенство
(6.3), найдем амплитуду свободного тока

(С-8)

cos с Т L ' '

Из выражения (5.24) следует, что прп малых значениях активного сопро-
тивления coso «а 1; в этом случае начальная амплитуда свободного тока

равна частному от деления напряжения источника на волновое сопротив-
ление контура. Так как установившийся ток равен нулю, то свободный
ток является одновременно полным током переходного режима.

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе дана выраже-
нием (6.2), куда необходимо лишь подставить значения у и Г из формул
(6.6) и (6.8).

Полное переходное напряжение на конденсаторе является суммоп при-
ложенного и свободного напряженп i п, следовательно, равно

ес = Е

-е~Ч-Т

cos (yt — Б)
cos Б

(6-9)

его изменение во времени показано на фиг. 50.

Мы видим, что если зарядка конденсатора от источника постоянного
напряжения сопровождается колебаниями, то переходное напряжение
на конденсаторе может превзойти его установившееся значение почти
в 2 раза, а затухание этих колебании определяется удвоенной индуктивной
постоянной времени. Если затухание не слишком велико, то наибольшее
напряжение на конденсаторе получается через полуперпод свободного
колебания, т. е. при

it = it.

(G.10)

Согласно выражению (G 9), это наибольшее напряжение равно

Ес = Е{\. rVcil^

(6.11)

Его можно значительно уменьшить, введя в цепь достаточно большое
активное сопротивление.

При испытании конденсаторов постоянным напряжением предписанной
кратности существует опасность повредить конденсатор темп перенапряже-
ниями, о которых говорилось выше и которые могут возникнуть вслед-
ствие неизбежного наличия индуктивности в испытательной цепи и ее

малого активного сопротивле-
ния.

Колебания описанного типа
могут возникать во вращающихся
якорных обмотках машшг постони
ного тока вследствие несовершен-
ства коммутации. На фиг. 51
показана вращающаяся якорная
обмотка, состоящая пз отдельных
секции с активным сопротивле-
нием Н и индуктивностью L каж-
дая. Коммутируемая секция зам-
кнута через пластины вращаю-
щегося коллектора к и неподвижную щетку Ь. Ток i в этом секции изме-
няется от прежнего значения—I до нового значения +1. В случае идеальной

коммутации ток измени яя бы по линейному закону, как показано пунк-
тирной прямой на фпг. 52. Однако в действительности этот ток г может
нс успеть принять новое значение . I в течение периода коммутации т,

что зависит от индуктивности секции, сопротивления щеток и влияния
добавочных магнитных полюсов.

Следовательно, в тот момент, когда пластина к выходит из-под-
щеткп Ъ, ток i будет меньше своего установившегося значения на вели-
чину At Если бы в цепи не было емкости, то ток в секции должен был бы
при безискровоп коммутации измениться скачком до конечного значения
-р/. Однако в действительности секции обмоткп, заложенные в пазы
якоря, обладают заметной емкостью. Кроме того, известная емкость
имеется и между соседними пластинами коллектора. Поэтому ток Дг, вне-
запно появляющийся в колебательной цепи, содержащей указанные емкости
и индуктивность секций L, вызывает колебания, быстро затухающие под
влиянием активного сопротивления R. Такие колебания тока, возникаю-
щие прп замедленной коммутации, показаны па фиг. 52. Колеблющийся
свободные! ток г" существует во время перехода от значения тока г, соот-
ветствующего концу периода коммутации, к значению тока 1 устано-
вившегося впоследствии в этой секции. Как видно из соотношения (G.2),
в коммутируемой секции может возникнуть большое напряжение е'с, вели-
чина которого зависит от параметров L и С.

Индуктивность и емкость секции якорной обмотки очень малы, и ее
собственная частота обычно бывает порядка v= 105— 107 гц. Такие зату-
хающие высокочастотные колебания возникают после каждого прохода
очередной секции обмоткп под щеткой, что обычно случается 500—2000 раз
в 1 сек. Итак, в секциях якорной обмотки, выходящих из-под щеток,
возникают радиочастотные колебания, повторяющиеся со звуковой часто-
той. Так как эти секции одним концом всегда присоединены к щеткам,
то возникающие модулированные колебания распространяются по сети
и создают серьезные помехи для расположенных вблизи радиоприемников.

Эти помехи устраняются двумя способами: 1) можно присоединить
конденсатор параллельно якорной цепи, благодаря чему понижается
частота и уменьшается амплитуда свободных колебаний, проникающих
в сеть, или же 2) можно включить активное сопротивление параллельно
паразитной емкости каждой секции, превращая тем самым колебания
в апериодические. Для полного подавления колебаний достаточно зашун-
тировать все пластины коллектора большими сопротивлениями.

§ 2. Подключение к источнику с переменным напряжением. Если коле-
бательный контур, изображенный на фиг. 48, подключается к источнику
с заданным переменным напряжением

е = Еcos (иц 4- <р), (6.12)

то после переходного процесса в нем устанавливается переменный ток
i' = 1’ cos (<«/ Д <р) (6.13)

с амплитудой

(6.14)

/ Л2 + (<о1 —1/<оС)«
а на конденсаторе устанавливается переменное напряжение

ec = ^sin(o>H -<р), ‘ (6.15)

причем фазный сдвиг между током и приложенным напряжением опреде-
ляется соотношением

tg (?-?)-- (6.16)

Чтобы найти свободные составляющие тока и напряжения, надо сопо-
ставить их начальные значения [см. равенства (6.3)] с установившимся
при 7 = 0 [см. выражения (6.13) и (6.15)], что даст

1" COS If = — Г cos ср,

Отсюда можно определить постоянные Г и 7 для свободной составляющей
переходного тока.

Определим эти постоянные в предположении, что активное сопроти-
вление цепп мало (как это обычно бывает в цепях переменного тока).
В следующей главе тот же расчет будет дан для общего случая. Итак,
счптая угол 8 достаточно малым [см. выражение (5.10)], получаем из вто-
рого соотношения (6.17)

Г sin 7=----, == sin ф = — ~ Z'sincp. (6.18)

Здесь мы воспользовались приближенной формулой (5.15) для собствен-
ной частоты v. Разделив обе части равенства (6.18) на первое из равенств
(6.17), найдем

tg-f^tg?, (6.19)
откуда можно определить угол 7. Из того же первого соотношения (6.17)
определяем начальную амплитуду свободного тока

1" = -/'cos'f’ 1 l + tg27 =

=-/'coscpjA + QJtgScp, (6.20)

или, внеся cos ср под знак корня, получаем наглядное выражение

/"= — /' j/”cos2 ср + sin2 ср. (6.21)

Начальную амплитуду свободной составляющей напряжения на кон-
денсаторе Е'с можно получить из соотношения (6.2), введя туда выраже-
ние для собственной частоты v по формуле (5.15),

Г /£ =£ = ~гу+ (6.22)

Так как, согласно выражению (6.15), Z'/wC равно амплитуде установпв-
шегося напряжения на конденсаторе Е'с, то соотношение (6.22) можно
переписать в виде

Е'с = - Е'с У Y cos2 ср -|- sin2cp. (6.23)

Из формул (6.19), (6.21) и (6.23) видно, что фазы и в особенности
амплитуды свободных составляющих тока и напряжения зависят от двух
параметров, а именно: от момента включения, определяемого начальной
фазой ср установившегося тока [см. выражение (6.13)], и отношения соб-
ственной частоты контура v к частоте со установившегося переменного
тока.

В случае резонанса, т. е. при со = ';, соотношения упрощаются. Фор-
мула (6.19) дает

Т = ?> (6.24)

т. е. фазы свободного и установившегося токов совпадают. Далее, формулы
(6.21) и (6.23) дают

/"-= - Г,
Е"с= -Е'с,

(6.25)

т. е. начальные амплитуды свободного тока и свободного напряжения
на конденсаторе равны по величине и противоположны по знаку соответ-
ствующим амплитудам установившихся тока и напряжения, независимо
от значения угла ср, при котором происходит включение.

Так как при резонансе частоты v и со равны между собой, то можно
объединить гармонические функции, выражающие соответствующие свобод-
ные и установившиеся величины. На основании соотношений (6.1) и (6.13),
а также (6.2) и (6.15) полные ток и напряжение на конденсаторе в пере-
ходном режиме оказываются равными

г = Z'(1 — е-*/2Г) cos (wf-bq»),
ес = Е'с (1 — е~и2Т) sin (ой-|-ср). ' '

Следовательно, ток и напряжение на конденсаторе не только изменяются
по гармоническим законам, но и возрастают с течением времени по пока-
зательному закону, как показано на фшг. 53.

Мы видим, что при резонансе ток и напряжение не сразу достигают
своих больших значений Г и Е'с', они возрастают от нуля по показатель-
5 Р. Рюденберг
ному закону, т. е. почти линейно в начале переходного процесса и более
медленно в конце его. Только по истечении времени, превышающего
в несколько раз удвоенную индуктивную постоянную времени цепи, эти
величины достигают своих предельных значений. По большей части это
происходит после многих периодов. Сама по себе операция включения не
вызывает в цепях, настроенных в резо-
нанс, ни сверхтоков, ни перенапряжений.
При мало отличающихся друг от
друга собственных и вынужденных ча-
стотах соотношения (С.24) и (С.25)
остаются приблизительно правильными.
Однако теперь нельзя объединить две
гармонические функции тока или на-
пряжения. В этом случае

i = Г [cos (ю/ [ ср) —

Фиг. 53.

Так как частота затухающего
от частоты вынужденного тока,

-e-'/2Tcos(vZ + T)],
cc = E'c [sin (wZ 4- cp) — v •“ /

— e~42T sin (yt 4 cp)]
свободного тока несколько отличается
то вскоре после включения фазы свобод-

пых и вынужденных колебаний начинают расходиться. Поэтому мгновен-
ные значения токов не могут все время вычитаться одно из другого, как
это имело место выше [см. выражение (6.2(i)]. Постепенно разность фаз обоих

Ф и г 54.

колебаний достигает такой величины, что они начинают даже складываться.
Описываемому случаю соответствуют осциллограммы на фиг. 54, из кото-
рых видно, что вычитание и сложение обеих составляющих происходят
периодически, так что появляются биения переходных тока и напряжения
на конденсаторе. Так как свободные составляющие затухают с постоян-
ной времени 2Т, то эти биения постепенно уменьшаются и полностью
исчезают, спустя достаточно большое время.

Следует отметить, что в случаях, близких к резонансу (см. фиг. 54),
ток п напряжение на конденсаторе вскоре после включения превосходят
почти в 2 раза свои, и без того большие, установившиеся значения. При
точном же резонансе (см. фиг. 53) такого повышения тока и напряжения
не происходит. Следовательно, прп кратковременном включении колеба-
тельного контура близость к резонансу гораздо опаснее точного резонанса,
особенно при слабом затухании свободных колебаний.

Для определения периода пли частоты биений (см. фиг. 54) можно
опустить в соотношениях (6.27) множитель затухания е~ ^2Т и фазный
угол ср. Воспользовавшись хорошо известными тригонометрическими фор-
мулами, получим

п тг • <*> — • и 4- v

I = — 21 sin —~— t sin —-— Z,

, (6.28)

П 0> — \ O)4-V ' '

ec= ЛЕс sin —g— t cos —— t-

Эти соотношения справедливы только для значений времени, близких
к моменту включения, пока влияние затухания еще мало. Рассматрива-
емый процесс можно представить себе в виде быстрых гармонических коле-
баний с частотой, равной среднему арифметическому из значений ш и м;
одновременно их амплитуды медленно изменяются по синусоидальному
закону с частотой биения

а = |ю —v|. (6.29)

За период биения принимается интервал времени между двумя соседними
пучностями или узлами.

При сильно отличающихся друг от друга собственной и вынужденной
частотах переходные процессы протекают различно в зависимости от фазы ср
в момент включения. Особый интерес представляют два крайних значения
угла ср.

Если в момент включения вынужденный ток |см. выражение (6.13)]
имеет максимальное значение, а вынужденное напряжение на конденса-
торе [см выражение (6.15)] равно нулю, т. е. если ср = 0, то, согласно фор-
муле (6.19),

7 = 0. (6.30)

Начальные амплитуды свободных составляющих тока и напряжения
на конденсаторе, согласно выражениям (6.21) и (6.23), равны

Г= - Г,

Отсюда полные значения переходных тока и напряжения равны

I = Г (cos <s>t — e~,l2T cos W),

1 17' f - , b> \ (6.32)

ec = Ec (sin <»/—-e“'/2Tsin^). '

На фиг. 55 показано изменение во времени тока и напряжения
на конденсаторе в наиболее часто встречающемся случае, когда собствен-
ная частота v значительно больше вынужденной частоты со. В течение
первого полупериода свободного колебания ток растет, достигая почти
двойного значения установившейся амплитуды. Некоторое перенапряжение
появляется и на конденсаторе; однако оно сравнительно мало вследствие
большой величины собственной частоты цепи v. Лишь при малой собствен-
ной частоте, т. е. когда v значительно меньше со, перенапряжение на кон-
денсаторе может оказаться сравнительно большим. Однако в этом случае
потребуется столь большая емкость, что установившееся напряжение
на конденсаторе, определяемое выражением (6.15), будет малым.

Если в момент включения вынужденный ток равен нулю, а вынуж-
денное напряжение на конденсаторе максимально, т. с. если ср = 90°, то из
формулы (6.19) следует, что

7 = 90°, (6.33)

и, согласно выражениям (6.21) и (6.23), амплитуды

Г’ = ——Г,

“ (6.34)

Е'с — — Е'с.

Выражения для переходных тока и напряжения на конденсаторе прини-
мают теперь следующий вид:

i = Г ( — sin ut — е~^2Т sin vZ ,

V “ > (6.35)

ес = Е'с (cos <oZ — е~Ч2Т cos vZ).

Этим формулам соответствуют кривые на фиг. 56, относящиеся, как и
кривые на фиг. 55, к случаю, когда собственная частота сравнительно
велика. В выражениях (6.32) и (6.35) ток и напряжение как бы меняются
местами. Напряжение на конденсаторе почти удваивается за полупериод
собственного колебания. Однако переходный ток достигает теперь огромных

Фпг. 55.

вначений, и в первое время после включения установившаяся составляющая
переходного тока играет незначительную роль.

При очень малых собственных частотах, встречающихся иногда в цепях
измерительных устройств, картина процесса включения сильно отличается
от описанной выше. На фиг. 57 показаны кривые напряжения на конденса-
торе, соответствующие выражениям (6.32) и (6.35) (т. е. при<р=0 и приср=90°),
в случае, когда собственная частота в 7 раз меньше вынужденной. Вынуж-
денные колебания напряжения на конденсаторе накладываются на медлен-
ные, постепенно затухающие колебания собственной частоты.

На фиг. 58 приведена осциллограмма первичных тока и напряжения
высоковольтного трансформатора, снятая при внезапном подключении его
вторичной обмотки к длинной линии передачи. Емкость этой линии вместе
с индуктивностью трансформатора образовали контур, собственная частота
которого во много раз больше рабочей частоты. Поэтому после включения
возникли быстрые колебания тока со значительной амплитудой. Напряжение
исказилось незначительно.

В электроэнергетических системах редко встречаются чисто индуктив-
ные цепи без емкости или с одной лишь емкостью без индуктивности. В одних
звеньях цепи, например в обмотках машин или трансформаторов, преоб-
ладает индуктивность, в других, например в подземных кабелях и воздуш-
ных линиях высокого напряжения,—емкость. Следовательно, при включе-
нии таких цепей всегда возникают явления, описанные в настоящей главе.

Фпг. 56.

Ф п г. 58.

Так как нельзя предугадать момент включения и так как в трехфазных си-
стемах момент включения, благоприятный для одной фазы, будет неблаго-
приятным для другой, то всегда надо считаться с тем, что вовремя переход-
ного процесса емкость может оказаться заряженной до напряжения, вдвое
превышающего установившееся, и что могут появиться большие скачки тока,
величины которых зависят от собственных частот цепей, образовавшихся по-
сле включения. Чрезмерное увеличение токов и напряжений можно устра-
нить путем плавного или ступенчатого повышения приложенного напряже-
ния. Первый способ заключается в медленном повышении напряжения источ-
ника (генератора или трансформатора) от нуля, а второй—в применении
защитного сопротивления, встроенного в выключатель.

На фпг. 59 схематически показано включение цепи сначала через за-
щитное сопротивление, а затем непосредственно па полное приложенное
напряжение, конечно, без промежуточного разрыва цепи. Если, например,
защитное сопротивление равно половине волнового сопротивления включае-
мой цепи, то, согласно выражению (6.11), свободные составляющие тока
и напряжения на конденсаторе через полупериод собственных колебаний
уменьшатся до

е-(-п/2)вКс7ь = е-п/4 _ 0,45.

от их начальных значений. Если же защитное сопротивление будет
выбрано равным волновому, то произойдет уменьшение в 5 раз и тем; самым

Фиг. 59.

устранится опасность появления чрезмерны^ токов
и напряжений. Защитное сопротивление не должно
быть слишком большим во избежание возникновения
С —__второй серии сильных колебаний тока и напряжения

в момент закорачивания защитного сопротивления,
т. е. переключения цепи на полное напряжение пи-
тания. В случае необходимости в выключатель
можно встроить несколько ступеней защитного со-

противления.

Исключительно большие переходные токи возникают при замыкании
между собой зажимов конденсаторных батарей, находящихся под полным
напряжением, например батарей, применяющихся для улучшения коэффи-
циента мощности. Индуктивность образующегося при этом контура ничтожна
и, следовательно, его собственная частота исключительно велика. Из вы-
ражения (6.35) и фиг. 56 видно, что при этом возникают столь большие пере-
ходные токи, что контакты выключателя могут обгореть. В таких случаях
рекомендуется защищать контакты выключателей при помощи активных
сопротивлений или индуктивных катушек.

ЛИТЕРАТУРА

Вег tele Н., Wasserrab Th., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 60, 332 (1942)
Umschaltschwingungen in Stromrichteranlagen.

Debenham W. R., Journ. Inst. Electr. Eng., 80, 329 (1937).

The performance of coil ignition systems with particular reference to double
contact-breakers and the effects of variation of the period of open circuit.

Faccioli G., Proc. AIEE, 10, 1621 (1911).

Electric line oscillations.

F о i t z i k R., Elektrotechn. Zs., 60, 89, 128 (1939).

Versuche mit grossen StoBstromen.

Koch W., Elektrotechn. Zs., 57, 329, 385 (1936).

Untersuchung iiber Beeinflussung von Erdschlussrelais beim Einschalten von Erd-
schliissen.

Kuhlmann K, Elektrotechn. Zs., 1095 (1908).

Gesichtspunkte hinsichtlich Schutz und Sicherheit gegen Oberspannungen.

M otter D. P., Trans. AIEE, 68, 491 (1949).

Commutation of d-c machines and its effects on radio influence voltage generation.

Steinmetz C. P., Tram,. AIEE, 705 (1901).

Theoretical investigation of some oscillations of extremely high potential in alter-
nating high-potential transmissions.

Zeller W, Koch H W., Zs. Ver. deut Ing., 1509 (1931).

g.^Kritik der Aufzeichnung von Sclrwingungsmessern.
Глава 7

КОЛЕБАНИЯ ВЫСОКОЙ ЧАСТОТЫ ПОСЛЕ ВНЕЗАПНОГО
РАЗМЫКАНИЯ

В гл. 1 было показано, что при внезапном размыкании цепей могут
возникать весьма высокие напряжения. Но при этом заряжаются присущие
всем электрическим проводникам емкости и действительные значения на-
пряжений оказываются ограниченными и зависящими от них. Иногда
намеренно включают конденсаторы параллельно индуктивным катушкам
(фиг. 60), чтобы ток в индуктивной цепи, продолжался некоторое время
после размыкания контактов выключателя и напряжение после отключения
уменьшилось бы до допустимых пределов.

Напряжение, возникающее при размыкании цепи с очень малым
активным сопротивлением, молото найти по величине энергии, запасенной
в цепи к моменту размыкания. В цепи, которая
имеет индуктивность L и по которой течет ток I,
магнитная энергия равпа

Wm = ^LI2. (7.1)

Фиг. 60.

После внезапного размыкания контактов вы-
ключателя ток проходит через конденсатор, заряжая его постепенно до
напряжения Е. Если емкость конденсатора равна С, то в нем накопится
электрическая энергия

We = ~CE2. (7.2)

В предельном случае, когда полностью отсутствуют потери энергии в каких
бы то ни было активных сопротивлениях, величины И7ГП и We будут равны
между собой. В дальнейшем возникают колебания энергии между индук-
тивностью и емкостью, причем магнитная энергия периодически переходит
в электростатическую, и наоборот.

При равенстве энергий,

^CE2=~LE, (7.3)

наибольшее напряжение, появляющееся на конденсаторе после отключения
источника, равно

£ = 7|/% (7.4)

Так, например, на конденсаторе емкостью С = 10 мкф, шунтирующем
катушку с индуктивностью L = 0,l гн, при внезапном размыкании цепи,
по которой протекал ток /=10п, возникает напряжение

£ = 10/та^=1000 е-

Отсюда видно, что для получения умеренных напряжений при размыкании
цепи требуются конденсаторы значительной емкости.
Если же в цепи имеются только собственные емкости проводников,
то напряжения могут достигать опасных значений. Определим их более
точно с учетом активного сопротивления. Распределение этих емкостей по
отношению к выключателю, индуктивности и источнику питания зависит
от конфигурации цепи. На фиг. 61 показана схема, соответствующая часто
встречающемуся случаю отключения удаленного короткого Jзамыкания
между двумя проводами линии при помощи выключателя, расположенного
где-либо в линии. После отключения линия распадается на две части 1 и 2,
по каждой из которых ранее протекал ток короткого замыкания I. Токи
в образовавшихся контурах с индуктивностями и L2 и емкостями Сг и
С2 начинают убывать, совершая затухающие колебания и не оказывая
никакого влияния друг па друга. Поэтому их можно рассматривать порознь.

Фиг. 61.

§ 1. Амплитуда и начальная фаза. В каждом из упомянутых контуров
возникает свободный ток, равный, согласно выражению (5.12),

j" = Z"e-i/2Tcos(w + 7)i (7.5)

а на каждом конденсаторе возникает свободное напряжение, которое
с учетом начальной фазы равно [см. выражение (5.23)]

ес = Е^е~Ч2Т sin (yt ф- 7 — В). (7.6)

Амплитуды свободных напряжения и тока связаны соотношением

Ес^У^Г'. (1Л)

В соответствии с общей теоремой коммутации [см. соотношения (3.9)]
начальное значение свободного тока в индуктивной цепи равно разности
мгновенного тока, который протекал непосредственно перед коммутацией,
и начального (при / = 0) значения установившегося тока. Назовем эту
разность

7 = г'ьо —г£о (7.8)

«током коммутации». Далее, начальное значение свободного напряжения на
конденсаторе также равно разности мгновенного напряжения, которое было
на конденсаторе непосредственно перед коммутацией, и начального
(при t — 0) значения установившегося напряжения. Назовем эту разность

Е = еСо — еЬо (7-9)

«напряжением коммутации».

Надо отметить, что ток I является мерой того изменения тока в ин-
дуктивности, а напряжение Е — мерой того изменения напряжения
на емкости, которые происходят в результате коммутации. Однако
величины 1 и Е не являются током или напряжением в каком-либо
элементе цепп (разве только в выключателе). Эти величины мы считаем
известными для любого коммутационного процесса, так как значения До
и есо представляют собой начальные условия задачи и должны быть заданы,
а установившиеся значения этих величин можно найти по обычным
правилам.
Сравнивая ток и напряжение коммутации с начальными значениями
свободных тока и напряжения, определяемыми выражениями (7.5) и (7.6)
при t = 0, находим, что

Г' cos 7 =1, (7 10)

Ес sin (7— 8) = Е.

Разделив эти равенства почленно друг на друга и учтя соотношение
(7.7), получим

sin (7 — 8) = cos 7 j/^--у . (7.И)

Согласно фиг. 45 или формуле (5.27),

sin8 = -^L. (7.12)

/ L/C

Развернув левую часть формулы (7.11) и подставив в ее правую часть
значение ]/ С/L, найденное из формулы (7.12), получим

2 7?

sin 7 cos 8 — cos 7 sin 8 = cos 7 sin 8 у , (7.13)

откуда

tg7 = tg8(l+ . (7.14)

Подставив затем вместо tg8 его выражение, найденное по формулам (5.19)
и ^5.14), получим для начальной фазы свободного тока окончательную
формулу

Эта формула упрощается,- если, как это обычно бывает в энергетических
цепях, активное сопротивление R мало по сравнению с волновым сопро-
тивлением |' L/C, и в особенности если в цепи содержатся только неболь-
шие паразитные емкости. Она еще более упрощается, если активное сопро-
тивление R пренебрежимо мало по сравнению с отношением Е/I. Таким
образом,

tg 7

(7.16)

Обычно для реальных энергетических цепей вполне допустимой является
первая приближенная формула, но и вторая приводит зачастую к хорошим
результатам. Однако для цепей постоянного тока никогда не следует поль-
зоваться второй приближенной формулой, так как в этих цепях отношение
между напряжением и током определяется как раз их активным сопро-
тивлением. Формулы (7.15) и (7.16) показывают, что начальная фаза 7
свободного тока зависит не только от активного и волнового сопротивлений
цепи, но также и от отношения напряжения коммутации к току коммутации.

Выразив cos 7 через tg7 и использовав для последнего формулу (7.15),
получим на основании соотношения (7.10) амплитуду свободного тока
в виде

/ , _ J -\2

______ / _ ( Е + )

/" = Z ]/1-р tg2 7 = 1/ (7.17)

Г С “Ч 2 )
Для умеренно^малых и очень малых значений активного сопротивления
получаем соответственно две приближенные формулы

(7.18)

Теперь на основании соотношения (7.7) можно получить выражение для
амплитуды свободной составляющей напряжения ьа конденсаторе

(7-19)

и два приближенных выражения для цепей с малым активным сопротив-
лением

(7.20)

Фиг. 62.

Формулы (7.17) (7.20) определяют амплитуды свободных колебании
в общем случае, причем формулы (7.17) и (7.19) являются точ-
ными, а упрощенные формулы (7.18) и (7.20)
приближенными. Эти формулы справедливы
как для постоянного, так и для переменного
тока любой формы для случаев включения или
отключения цепи в любой момент времени и
при любом местоположении выключателя в цепи.

Амплитуды свободных тока и напряжения
определяются в основном током коммутации I
в индуктивности, напряжением коммутации Е на емкости и волновым со-
противлением L/C. Так как даже в цепях переменного тока, по крайней
мере, одна из двух величин у? или / пе равна нулю, то при включении
или отключении цепи всегда должны появляться свободные колебания.
Из формул (7.17) — (7.20) видно также, что активное сопротивление несколько
увеличивает их начальные амплитуды.

§ 2. Размыкание цепи постоянного тока. Если отключить источник
постоянного тока от цепи, показанной на фиг. 62, то ток, протекавший
через индуктивность L, уменьшится от начального значения I до нуля.
Таким образом, ток коммутации равен [см. соотношение (7.8)]

1 = 1- 0 = 7.

(7.21)

Так как одновременно напряжение на емкости уменьшится от начального
значения Е до нуля, то напряжение коммутации равно [см. соотноше-
ние (7.9)]

E = E-Q = E=-RI (7.22)

и, следовательно, определяется падением напряжения на активном сопро-
тивлении цени. В выражении (7.22) знак минус подставлен в соответствии
с действительным направлением тока разряда конденсатора.
На основании формулы (7.14) получаем следующее выражение для
начальной фазы свободного тока:

tg7=-tg8; (7.23)

из этого выражения видно, что углы 7 и 8 всегда равны по величине
н противоположны по знаку.

Прп относительно большом волновом сопротивлении угол 8 довольно
мал и, следовательно, на основании формулы (7.12)

tg7^-lfl}A . (7.24)

Во< пользовавшись формулами (7.17) и (7.18), получим соответственно
точное и приближенные выражения для начальной амплитуды свободного
тока

Г = — (7-25)

По формулам (7.19) и (7.20) получаем соответственно точное и прибли-
женные выражения для начальной амплитуды свободного напряжения
на емкости

Е'с= — _g./L,C __ Е Yle |_1 . (7.26)

V 4 R

Приближенные формулы справедливы лишь при малых сопротивлениях.

После отключения источника по цепи, изображенной на фпг. 62,
протекает только свободный ток. Следовательно, при малых значениях R
полный переходны ток, согласно выражению (7.5), равен

i = i" — 1е~Ч2Т cos (vZ — 8). (7.27)

Для полного переходного напряжения на емкости формула (7.6) дает,
с учетом знака,

ес = е'с = - £е-'/2Т sin (yt - 28). (7.28)

В последних двух выражениях была произведена замена малого угла 7
на —8 в соответствии с соотношением (7.23). Благодаря наличию этого
угла ток через индуктивность и напряжение на емкости, существовавшие
до отключения источника, не испытывают скачка при его отключении.

После отключения источника на контактах выключателя появляется
напряжение, равное разности между напряжением источника и напряже-
нием на конденсаторе, т. е.

е& = Е - ес = Е [ 1 Д- е~Ч^ sin (yt - 28) ] . (7.29)

Кривая изменения этого напряжения во времени показана на фиг. 63.
Таким образом, благодаря присутствию емкости напряжение между контак-
тами выключателя возрастает до конечного значения Е не скачком, а
плавно, с конечной скоростью. Для относительно малого активного сопро-
тивления или большой постоянной времени скорость роста напряжения
на контактах выключателя равна

^ = ^e-'/2TC0sW. (7.30)
Эта формула получена путем дифферецпрования выражения (7.29) и после-
дующей подстановки в него приближенного выражения для собственной
частоты. Таким образом, начальная скорость роста напряжения опреде-
ляется не только напряжением источника Е, по и емкостной постоянной
времени цепи RC, или, иначе говоря, отношением I/C.

Как впдно из фиг. 63, максимальное напряжение между контактами
выключателя значительно превышает свое конечное значение Е. Макси-
мальное значение напряжения, вычисляемое при помощи формулы (7.29),
при малом активном сопротивлении определяется отношением волнового
сопротивления цепи к ее активному сопротивлению. При значительном
активном сопротивлении оно становится меньше вследствие затухания

Ф и г. 63. Фиг. 64.

колебаний по показательному закону. По прошествии времени, несколько
большего х/4 периода и равного 28^/v [см. формулу (7.28)], напря-

жение между контактами выключателя достигает максимума, приблизи-
тельно равного [см. формулу (7.26)]

Емакс.=Е]/ + е (7.31)

Сравнив это выражение с грубо приближенным выражением (7.4), видим,
что активное сопротивление цепи значительно уменьшает максимум напря-
жения между контактами, нередко снижая его до 50%.

Если изменение напряжения между контактами происходит по кривой,
показанной на фиг. 63, то условия для надежного отключения цепи
являются весьма благоприятными. Вследствие наличия шунтирующей
емкости возникают свободные колебания, причем напряжение между контак-
тами возрастает от нуля и достигает наибольшего значения только через г/4
периода свободного колебания. За это время контакты выключателя
должны успеть разойтись на достаточно большое расстояние во избежание
искрового или дугового разряда. Таким образом, скорость движения
контактов, необходимая для безискрового размыкания, определяется дли-
тельностью периода свободных колебаний.

При размыкании цепи постоянного тока, изображенной на фпг. 64
и сходной со схемой левой части фиг. 61, ток в индуктивной ветви убывает
от значения 1 до нуля. Следовательно, ток коммутации равен

7=7 —0=7. (7.32)

Напряжение на конденсаторе возрастает от значения, почти равного нулю
во время короткого замыкания, до значения, равного напряжению источ-
ника Е. Следовательно, напряжение коммутации равно

Е = 0 Е= — Е = -RI. (7.33)

Таким образом, характер изменения свободного тока и напряжения
здесь тот же, что и в схеме, изображенной на фиг. 62 [см. соотношения
(7.21) и (7.22)], но после размыкания продолжает действовать напряжение
Ф и г. 65.

источника Е. Следовательно, переходное напряжение на конденсаторе,
с учетом знака его свободной составляющей, определяемой, как и раньше,
выражением (7.28), равно

ес = Е + е'с = Е [Ц- е~',2Т sin (vZ - 28) ] . (7.34)

Напряжение между контактами выключателя в точности равно напря-
жению на конденсаторе, и так как выражение (7.34) тождественно выра-
жению (7.29), то графически оно представляется
кривой, показанной на фиг. 63.

Итак, при размыкании постоянного тока нет
существенного различия между процессами, про-
исходящими в обеих частях (цепи) фиг. 61), т. е.
во внешнем короткозамкнутом контуре и в контуре
генератора.

Весьма своеобразно протекают процессы при
включении цепи, изображенной на фиг. 65. Эта

цепь состоит из обмотки электромагнита с индуктивностью L и активным
сопротивлением Ег, шунтированной конденсатором емкостью С, последова-
тельно с которым включено активное сопротивление /?2, причем последние
две величины выбраны так, чтобы

В этом случае контур, составленный из L, Rlt Н2 и С, оказывается
настроенным критически, т. е. является апериодическим [см. формулу
(5.16)], п после размыкания цепи в нем не могут возникнуть колебания.

С другой стороны, постоянные времени обеих ветвей [см. формулы (1.9)
и (2.11)] равны друг другу. Следовательно, свободные токи Г{ и в обеих
ветвях всегда равны по величине и противоположны по знаку, каково бы
ни было изменение во времени общего тока г. Поэтому в ветви, содержащей
источник, совершенно отсутствуют свободные токи при любом, в том числе
и при скачкообразном изменении его тока. Влияния емкости и индуктив-
ности на ток этой ветви взаимно уравновешиваются. Такая настройка
схемы оказывается весьма целесообразной для обеспечения безискровой
работы контактов выключателей. На фиг. 66 приведены осциллограммы
токов при замыкании и размыкании цепи, схема которой изображена
на фиг. 65.

§ 3. Размыкание цепи переменного тока. Напряжение коммутации
на емкости и ток коммутации в индуктивности являются синусоидальными
функциями момента размыкания цепи, в общем случае сдвинутыми по фазе
относительно друг друга. На фиг. 67 показано несколько характерных
случаев: при размыкании в момент времени 1 обе величины имеют одинаковые
знаки, в момент 2 — противоположные, в момент 3 напряжение коммутации
равно нулю, а в момент 4 ток коммутации равен нулю.

Установившийся ток и приложенное напряжении соответственно равны
i— I cos (wt ср) ,
е = Е cos (<oZ ф). (7.35)

Сдвиг фаз между этими величинами, равный

Х = Ф (7-3,i)

показан на векторной диаграмме фпг. 68. Отношение амплитуд равно

А - V + ^/7 = . (7.37)

I r sin у ' '

Значения тока коммутации в индуктивной ветви и напряжения ком-
мутации на емкости (см. фиг. 62) при размыкании выключателя в момент
t — 0 равны

7=/cos ср,

Е = Е cos ф,
так как установившиеся значения этих величии в отключенной цепи равны
нулю.

Формулы (7.38) (с заменой знака напряжения коммутации на обрат-
ный) будут приблизительно верны и в случае размыкания выключателя
У в цепи, изображенной на фиг. 64. В отличие от цепи
£ постоянного тока (см. § 2) напряжение на конденсаторе
. / теперь не будет в точности равно приложенному на-

/§>/ пряжению, так как при разомкнутом выключателе через

емкость С протекает некоторый переменный ток. Разность
nil между напряжением на конденсаторе и приложенным
А напряжением уменьшается по мере уменьшения ем

А / кости.

Ф п г pg. Начальную фазу свободного тока можно найти ио при

блпженпой формуле (7.16), если подставить в нее выражения
(7.38) для / и Е, а затем воспользовался соотношениями (7.36) и (7.37),
тогда получим

(’-39)

Следовательно, начальная фаза свободного тока зависит не только от
отношения рабочей и собственной частот отключаемой цепи, по также от
сдвига фаз между установившимися током и напряжением до размыкания
и от фазы ср тока в момент размыкания (см. фиг. 67). Если индуктивность
цепи мала и можно принять х = 6, то, в силу соотношения (7.39),

tgT=oo; т = У0°. (7.40)

Если же индуктивность цепи очень велика, т. е. / = У0', то

tgT-vtg?- <7-41)

Рассмотрим сначала процессы в цепи, индуктивность которой очень велика,
с тем, чтобы получить соответствующие приближенные выражения.
Воспользовавшись равенствами (7.37) и (7.38), найдем по формуле (7.18)
величину свободного тока

/" = I J/^cos2 <р -р cos2 ф st: 7 |/cos2 срsin2 ср . (7.42)
Приближенное выражение для I" получено в предположении, что у = 90°.
Под корнем стоит сумма квадратов, if, следовательно, свободный ток
не может быть равен нулю ни при каком значении ср. Если собственная
частота v больше вынужденной частоты со, то свободный ток минимален
при ср = 90°, т. е, при размыкании цепи в тот момент времени, когда
установившийся ток проходит через нулевое значение. Ято минимальное
значение свободного тока равно

(7.43)

Свободный ток имеет наибольшую величину при ср = 0, т. с. при размы-
кании цепи в момент прохождения установившегося тока через свое макси-
мальное значение. Максима, ibiioe значение свободного тока равно

Г = 1. (ЧЛЬ)

Как и в цепи постоянного тока, свободный ток, поддерживаемый индук-
тивностью цепи, протекает через емкость, заряжая се до значительного
напряжения.

Подставив выражения (7.37) и (7.38) в формулу (7 20), найдем сво-
бодное напряжение на конденсаторе

Ес — Е^/'1 cos2 'М cos2 Ф В cos2<?’' Т • (7

Приближенное выражение для Е'с получено для цеп», индуктивность кото-
рой очень велика, в предположении, что / — 90°. Из формул (7.42) и
(7 45) следует, что в самом общем случае относительные значения на-
чальных амплитуд свободного тока и свободного напряжения на конден-
саторе, получающиеся после размыкания цепи переменного тока, зависят
только от сдвига фаз у между приложенным напряжением и током в цепи
до се размыкания (т. е. от се коэффициента мощности), от отношения
собственной частоты цепи v к вынужденной частоте со, а также от фазы ср
установившегося тока в момент размыкания цепи.

Свободное напряжение па конденсаторе максимально, если ср = 0, т. е.
при размыкании цепи в тот момент, когда установившийся ток проходит
через свое максимальное значение. Максимальное значение напряжения
равно

(7.46)

Так как в энергетических цепях собственная частота обычно больше
рабочей частоты, то, как следует из формулы (7.46), начальная амплитуда
свободного напряжения на конденсаторе может быть во много раз больше
рабочего напряжения. Подобные случаи наблюдались в подземных кабель-
ных сетях с реакторами при коротком замыкании, отключаемом по схеме
фиг. 62. Чем меньше емкость кабеля, тем выше собственная частота
отключаемой цепи и тем опаснее перенапряжение [см. формулу (7.46)].
Если собственная частота v очень велика, то первый пик напряжения
наступает через столь короткий промежуток времени после размыкания
контактов, что последние будут перекрыты искрой. В самом деле, из соот-
ношения (7.41) следует, что при большом т начальная фаза

Т ~ 0, (7.47)

так что свободное напряжение на конденсаторе изменяется по закону
синуса [см. выражение (7.6)] и достигает максимума в течение очень
малого времени.
Если размыкание происходит в момент прохождения установившегося
тока через нулевое значение, т. е. при = 90°, то, как видно из фор-
мулы (7.45), перенапряжение оказывается значительно меньше, так как
его начальная амплитуда теперь равна

Е'Ь = Е, (7.48)

т. е. равна амплитуде напряжения, приложенного к цепи до ее отключения.
Теперь [см. соотношение (7.41)] начальная фаза

Т = 90°, (7.49)

и поэтому напряжение на емкости после размыкания изменяется по закону
[см. выражение (7.6)]

е"с = Ее-Ч2Т cos vt. (7.50)

Свободные колебания высокой частоты
ходное напряжение между контактами

сильно влияют на полное пере-
выключателя. Если учесть, что
в сильноиндуктивных цепях на-
чальная фаза напряжения ф близ-
ка к нулю, то из выражения (7.36)
следует, что ср и / близки к 90°,
и переходное напряжение между
контактами выключателя равно
es = е — е"с = Е (cos е~Ч2Т cos vZ).

(7-51)

Кривые изменения этого напряже-
ния, а также тока приведены на
фпг. 69. Напряжение между кон-
тактами до их размыкания равно
нулю. Как только контакты начи-
нают расходиться, оно возрастает
сначала медленно, а затем быстро

и переходит в высокочастотные колебания, накладывающиеся на при-
ложенное напряжение. Его максимум при малом затухании равен уд-
военной амплитуде приложенного напряжения. Колебания напряжения
значительно облегчают отключение, так как напряжение на контактах

выключателя возникает пе сразу, а нарастает сначала медленно и лишь
затем быстро. Таким образом, имеется некоторый промежуток времени,
в течение которого контакты должны быть разведены на достаточно боль-

шое расстояние.

Если в выражении (7.51) принимать во внимание лишь быстро изме-
няющиеся величины, то скорость роста напряжения на контактах выклю-
чателя можно принять равной

=^e~‘l2Tsinyt- (7.52)

Отсюда видно, что как само напряжение между контактами, так и ско-
рость его роста вначале очень малы. Напряжение достигает максимума
по прошествии половины периода свободных колебаний, т. е. через время

т = Е- = к У LC.

(7.53)

Следовательно, чем больше индуктивность и емкость цепи, тем больше
допустимое время расхождения контактов.
Если размыкание цепи переменного тока происходит по схеме фиг. 61,
то колебания описанного выше типа возникают в контурах по обе стороны
от выключателя. В этом случае напряжение между его контактами ока-
зывается равным разности напряжений на обеих емкостях; частоты этих
напряжений могут сильно отличаться дру/’ от друга. Изменение напря-
жения между контактами происходит теперь по более сложному закону.
Однако его наибольшее значение не может превысить

ES=--2E, (7.54)

так как оно складывается пз двух свободных колебании, каждое из ко-
торых порождается только частью приложенного напряжения. Подобные
явления нередко наблюдались при исследовании работы выключателей
в электроэнергетических системах.

Если собственная частота к отключенной цепи в точности равна рабочей
частоте о> или близка к ней, то значение квадратного корня в выра-
жении (7.45) для амплитуды свободной составляющей напряжения на ем-
кости равно или почти равно единице и не зависит от значения <р, т. е.
от фазы установпвшегося тока в момент размыкания цепи. В отключенном
от источника колебательном контуре, изображенном на фиг. 62, продол-
жаются колебания напряжения на емкости с частотой и фазой напряжения
источника. Однако в то время как амплитуда напряжения источника
неизменна, амплитуды напряжения и тока в отключенном контуре LC убы-
вают в соответствии с его постоянной времени.

Напряжение между контактами выключателя теперь равно [см. вы-
ражение (7.51)]

es = Е (1 — е~Ч2Т) cos со/. (7.55)

Его амплитуда медленно возрастает, начиная с момента размыкания.
Изменение этого напряжения во времени показано на фпг. 53. Скорость
изменения амплитуды равна

^ = ^Ее~ч2Т. (7.56)

&L L.L,

Следовательно, время, в течение которого контакты выключателя должны
разойтись на дос таточно большое расстояние, равно, по меньшей мере,
удвоенной индуктивной постоянной времени контура. При малом сопро-
тивлении и значительной индуктивности это время сравнительно велико.
Следовательно, условия размыкания цепей, настроенных в резонанс, весьма
благоприятны.

Если собственная частота лишь приблизительно совпадает с вынуж-
денной, то, как следует из выражения (7.51), возникают биения двух
напряжений, показанные на фиг. 54. По прошествии времени, равного
полуперподу биения, амплитуда напряжения между контактами выключа-
теля достигает удвоенного значения по сравнению с амплитудой рабочего
напряжения Все же условия отключения и в этом случае остаются бла-
гоприятными, хотя и не в такой мере, как при точном резонансе.

ЛИТЕРАТУРА

Freiberger Н._ К DE-Fachberichte, 32 (1935).

Uberschlage in Schaltanlager beim Abschalten von Transformatoren.

G u b 1 e г H., V DE-Fachberichte, 48 (1931).

Errechnung der Eigenfrequenz der wiederkehrenden Spannung und ihre Bedeutung
fiir die Abschaltleistung.

Kennelly A. E., Eleclr. World and Eng., 38, 847 (1901).

Surges in Transmission Circuits.

6 p. Рюденберг
Levi G., Elektrotcchn. Zs., 1181 (1929).

Betriebserfahrungen mit. Drosselspulcn zur Strombegrenzung.

Petersen W., Elektrotechn. Zs., 1203 (1922).

Die Transformatorenschaden in Golpa.

P о i r s о n E., Rev. gen. elec., 14, 493 (1923).

Note sur les interrupteurs d’excitation.

Rogowski W., Arch. Elektrotechn., 4, 345 (1916).

Kondensatoren als Schutz gegen Ansschaltspannimgen hei Gleichstrommaschinen
hoher Spannung und bei Drosselspulen.

S 1 e p i a n J., Trans. AIEE, 47, 1398 (1928).

-.Extinction of an a-c arc.

Taylor J. R-, Randall С. E., Joum. Inst. Electr. Eng., 90, P. II, 90 (1943).

Voltage surges caused by contactor coils.
II. МАГНИТНО-СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ

Г л а в а 8

ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ В НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕПЯХ

Во многих электрических установках коммутационные процессы про-
исходят в контурах, связанных между собой не только электрически, но
и магнитно. Типичным примером является схема, показанная на фиг. 70.
Напряжение е, приложенное к цепи I, воздействует на цепь нагрузки II
через трансформатор со взаимной индуктивностью М между его обмотками.
Рассматривая процессы в таких неподвижных магнитно-связанных цепях,
сделаем простейшее предположение, что стальной сердечник трансформатора

Ф и г. 70.

Фиг. 71.

не насыщается. Предположим также, что отношение активного сопротивления
цепи к собственной индуктивности обмоткп, приведенное к одному и тому же
числу витков, одинаково для обеих цепей (т. с. цепи семметричны). Последнее
предположение справедливо в тех случаях, когда количество меди в пер-
вичной и вторичной обмотках примерно одинаково. Эти предположения по-
зволяют получить достаточно полное представление о характере процессов,
происходящих в таких цепях, и значительно упрощают выкладки. Кроме то-
го, будем считать, что ни в одной пз цепей не имеется сколько-нибудь за-
метной емкости. Более общий случай двух магнитно-связанных ценен с не-
одинаковым отношением активного сопротивления к собственной индуктив-
ности, рассматривается ниже. Исследуем сначала только свободные токи,
протекающие в обеих цепях в отсутствие внешней электродвижущей силы.
Начальные значения этих свободных составляющих переходных токов и пол-
ные переходные токи будут определены памп позже на конкретных примерах

§ 1. Свободные токи в симметричных контурах. Несмотря па то, что
оба контура, изображенные на фиг. 71, симметричны, протекающие по ним
свободные токи i'[ и могут оказаться различными. Чтобы определить их изме-
нение во времени, приравняем нулю сумму падений напряжения в каждом кон-
туре. Обозначив через L, R и М соответственно собственную индуктивность,
активное сопротивление и взаимную индуктивность каждого контура, по-
лучим систему двух дифференциальных уравнений

Lf=0,

= 0,

(8.1)
из которых определяются оба тока и 1'2. Для решения этих уравнений
умножим первое из них на L, второе на М и вычтем второе из первого.
Таким путем получим

(Л2 - Л/2) 4-LRi'i -MHi’2 = 0. (8.2)

Продифференцировав уравнение (8.2), найдем

МЛ d-$- = (L2 - М2) ф LR $ .
dt ' ' dt2 dt

(8.3)

Это выражение подставляем в первое из уравнений (8.1) и получаем урав-
нение для первого свободного тока в окончательном виде

(£2 _ М2) + 2LRd-± + Л2П = 0. (8.4)

CL L

Так как первое и второе уравнения (8.1) построены симметрично относи-
тельно i"i и 1'2, то для 1'2 получаем такое же дифференциальное уравнение
путем простой замены на 1'2.

Уравнение (8.4) представляет собой линейное дифференциальное уравне-
ние второго порядка. Его решение [см. выражение (5.4)] имеет вид

it=Ke^‘.

(8.5)

Подставив это выражение и его производные в уравнение (8.4) и сократив
па общий множитель, получим характеристическое уравнение

(£2 _ а2 2££а _ф £2 = 0>

(8-6)

которое можно записать в виде

[(L -ф М) а -ф 7?] [(£ - М) а -ф Z?] = 0.
Отсюда

=____R _ _ 1

ai— L+M~ Th

R R _ 1

а2“ L — M^ S~ Ts '

(8.7)

(8.8)

(8.9)

Таким образом, возможны два частных решения для свободного тока
и, следовательно, полное решение (8.5) должно состоять из двух членов

it = Кге~ ‘ -ф К2е s‘. (81 °)

Так как показатели степени отрицательны, то оба члена в решении
(8.10) постепенно убывают, но с различными постоянными времени, кото-
рые, согласно (8.8) и (8.9), соответственно равны Th и Ts. Большая посто-
янная времени ТЛ при сильной магнитной связи между обмотками почти
равна удвоенной постоянной времени отдельно взятой первичной или вто-
ричной цепи. Она равна отношению суммы взаимной и собственной индук-
тивностей к активному сопротивлению одного из контуров и представляет
собой постоянную времени главного магнитного потока, сцепленного с обеими
обмотками. Меньшая постоянная времени Ts зависит от разности собствен-
ной и взаимной индуктивностей и определяется, следовательно, отношением
индуктивности рассеяния S к активному сопротивлению одного контура.
Она представляет собой постоянную времени магнитного потока рассеяния
и обычно сравнительно мала.

Ток в цепи II (см. фиг. 70), удовлетворяющий тому же дифференци-
альному уравнению (8.4), что и ток в цепи Z, выражается суммой двух
таких же членов с темп же показателями п а2. Что же касается посто-
янных интегрирования и Кг, равных начальным значениям соответству-
ющих составляющих свободного тока i'z, то эти постоянные выражаются
через постоянные Кг и К2, входящие в выражение (8.10) для тока ij. Связь
между ними устанавливается проще всего подстановкой выражений для
обоих токов в уравнение (8.1). Таким путем находим, что

12 = Кхе~_К*е~t ‘. (8.И)

Итак, каковы бы ни были значения параметров исследуемой цепи, входя-
щих в уравнение (8.4), свободные токи представляют собой токи неизмен-
ного направления, убывающие апериодически.

Главный магнитный поток создается намагничивающим током, пред-
ставляющим собой сумму токов в обеих обмотках. Таким образом, свобод-
ный намагничивающий ток равен, согласно выражениям (8.10) и (8.11),

= + = ь+м\ (8Л2)

Две другие составляющие свободных токов уравновешивают друг друга.
Постоянную интегрирования Кг можно определить из выражения (8.12), по-
ложив в нем t = 0; опа равна

= (8.13)

где 7(1 означает свободный намагничивающий ток, необходимый для созда-
ния полного магнитного потока в момент коммутации. Следовательно, сво-

бодный намагничивающий ток электромагнита или
трансформатора, обмотки которого образуют два
симметричных контура, распределяется поровну меж-
ду этими обмотками и убывает с такой постоянной
времени, как если бы обе обмотки были соединены
параллельно. Главный магнитный поток в соответствии
с этой большой постоянной времени может убывать

Фиг. 72.

лишь медленно. Свободные токи коммутации в обмотках трансформатора

с замкнутой вторичной цепью оказываются вдвое меньше, а их длительность
вдвое больше, чем при разомкнутой вторичной цепи.

Из выражений (8.10) и (8.11) следует, что в то время, как первые состав-
ляющие свободных токов (с начальным значением Kt) имеют одинаковые
направления, их вторые составляющие (с начальным ‘значением Кг) имеют
противоположные направления. Эти составляющие не участвуют в создании
главного магнитного потока, а образуют, как показано на фиг. 72, свободные
составляющие нагрузочных токов в обмотках трансформатора.

Из сказанного вытекает, что свободная составляющая нагрузочного
тока определяется только магнитным полем рассеяния, как если бы этот ток
протекал но индуктивной катушке с постоянной времени, соответствующей

потоку рассеяния.

Описанные явления могут стать причиной дополнительных погрешностей
измерительных трансформаторов при экспериментальном исследовании про-
цессов включения или изменения нагрузки. В качестве примера рассмотрим
цепь, состоящую из источника питания, трансформатора и присоединенного
к трансформатору кабеля (фиг/73). Эта цепь может включаться и отклю-
чаться па стороне низшего напряжения, а также замыкаться накоротко
п размыкаться па стороне высшего напряжения. Для осциллографирования
тока и напряжения в цепь включены измерительные трансформаторы. В каж-
дом случае осциллографы О будут регистрировать не только токи, соответ-
ствующие коммутационным процессам в кабеле и силовом трансформаторе,
но п свободные токи, возникающие вследствие, изменения главных потоков
и потоков рассеяния в измерительных трансформаторах. Свободные токи в из-
мерительных трансформаторах особенно велики прп внезапных изменениях
токов и напряжений основной цепи Выделить эти дополнительные явления
довольно трудно, и поэтому осциллограмма оказывается искаженной в большей
или меньшей степени. Чтобы измерения были точными, необходимо сделать
постоянные времени измерительных трансформаторов и относящихся к ним
измерительных цепей малыми по сравнению с продолжительностью наиболее
быстрых переходных процессов, подлежащих оецпллографпрованию.

L.Обычно это требование выполняется по отношению к постоянной времени
потока рассеяния, по нс по отношению к постоянной времени главного потока.

Фиг. 73.

Поэтому рекомендуется присоединять осциллограф непосредственно к иссле
дуемой пспи, применяя шунты и добавочные сопротивления. Но и в этом
случае необходимо позаботиться о том, чтобы собственные и взаимные индук-
тивности измерительных цепей были по возможнрети малы, так как только
прп этом условии можно осуществить безупречное осциллографирование
переходных токов.

§ 2. Электромагниты постоянного токае успокоительными обмотками1).
Электромагниты постоянного тока иногда снабжаются вторичными (успо-
коительными) обмотками. Этим предотвращаются слишком резкие изменения

магнитного потока и обусловленные пмп перена-
пряжения. Наводимый но вторичной обмотке ток
стремится сохранить неизменной величину потока
в течение некоторого времени. Примем, что значения
параметров 7? п L, приведенные к одному числу вит-
ков, одинаковы у обеих обмоток. Это ъЗответствуе^
предположению, что вторичная обмотка содержит та-
кое же количество меди, что и первичная (обмотка
возбуждения),—в противном случае влияние вторич-
ной обмотки было бы весьма слабым. Обмотки

электромагнита образуют два связанных контура, так что протекающие
в них свободные токи описываются выражениями (8.10) и (8.11).

Рассмотрим процесс возбуждения электромагнита по схеме, изображен-
ной на фпг. 74. Вплоть до момента включения (/ = 0) токи в обмотках
равны нулю. После затухания свободных токов, возникших при включении
электромагнита, постоянный ток I будет протекать только в обмотке воз-
буждения. Так как все токи непрерывны, то сумма в момент включения
установившегося тока 1 и свободного тока ij, определяемого выражением
(8.10), должна быть равна нулю. По топ же причине нулю равно и на-
чальное значение, свободного тока во вторичной обмотке 1'2, определяемого
выражением (8,11). Следовательно, в момент времени Z = 0

1'10 = Кг -} К2 = — 1,
i'20 = Tfj — К2 - U,

(8-14)

*) В настоящем параграфе речь идет не об электромагнитах п собственном смысле
этого слова, а о полюсах электрических машин. IIрим. ред.
откуда

(8.15)

^ = ^=-1/.

Итак, переходные токи в обмотках равны

Ч = / [ 1 - 4 (е~'/Т'’ 4 e'"Ti) ] ’
i.2 = - 41 (е~*'Т“ - e'z/Ts)

(8.16)

Кривые этих токов и их составляющих показаны на фиг. 75.

При небольшом рассеянии обмоток (что необходимо для надлежа-
щего действия вторичной обмотки) постоянная времени 71, [см. формулу
(8.9)], связанная с потоком рассеяния, также весьма мала и, следовательно,

соответствующие составляющие токов
быстро затухают. Ток в обмотке воз-
буждения возрастает после включе-
ния почти скачком до половины свое-
го установпвшегося значения. Одно-
временно во вторичной обмотке появ-
ляется ток такой же величины, но
противоположного направления. За-
тем ток во вторичной обмотке посте-
пенно спадает до нуля, с постоянной
времени главного магнитного потока,
а ток в обмотке возбуждения медлен-
но нарастает до своего установпвше-
гося значения.

Главный магнитный поток неслс-

Ф и г. 75.

дует за быстрым ростом токов в об-

мотках; его значение в любое! момент времени определяется намагничива-
ющим током, равным сумме токов в обеих обмотках. Согласно выраже-
ниям (8.16), намагничивающий ток

(|1 = «1 + 1, = 7(1-е-'/т‘).

(8.17)

Таким образом, благодаря совместному действию первичного и вторич-
ного токов магнитный поток возрастает в соответствии с большей посто-
янной времени Th. Потоки рассеяния обмоток возрастают с большое! ско-
ростью; главный же поток медленно увеличивается до своего нового
установившегося значения.

Еслее выключить ток в обмотке возбуждения электромагнита, замыкая
накоротко ее концы, то в течение некоторого времени в обеих обмотках
будут протекать свободные токи, определяемые выражениями (8.10) и (8.11).
Начальные значения этих токов находятся теперь из следующих условий:
в начальный момент, т. с. в момент отключения обмотки возбуждения,
ток в ней еще равен I, а ток во вторичной обмотке равен нулю. Следователь-
но, в момент t = О

iw = /<1 + 7T2 = 7,
1?о = ^1-ТС2 = О.

(8.18)

Эти соотношения отличаются от соотношений (8.14) только знаком перед 7.
Так как установившиеся токи в обеих обмотках теперь равны нулю, то
переходные токи равны соответственно

^^Це-ЧТъ-е-чт^

(8.19

Изменение этих токов во времени показано па фиг. 76.

Ток в обмотке возбуждения быстро спадает до половины своего
начального значения, а ток во вторичной обмотке одновременно возрастает

от нуля до такого же значения.
Таким образом, под влиянием взаим-
ной индукции половина первичного
тока как бы переносится из обмотки
возбуждения во вторичную обмотку.
Этот перенос совершается за время
порядка постоянной времени ма-
гнитного потока рассеяния — обычно
очень малое. Затем оба тока убывают
одновременно и с одинаковыми ско-

ростями.

Главный магнитный поток, создаваемый намагничивающим током,
равным сумме обоих токов, т. е.

»п = 44 1г^1е~чт,,г

(8.20)

убывает в соответствии с большей постоянной времени Тн, т. с. так, как
если бы имелась только одна обмотка с постояннои времени 1\. Магнитная
связь между катушками способствует быстрому «переносу» токов из одной
обмотки в другую, причем скорость этого переноса определяется исклю-
чительно постоянной времени магнитного потока рассеяния Ts.

§ 3. Свободные токи в несимметричных контурах. Рассмотрим теперь
два магнитно-связанных контура, отличающихся друг от друга нс только
протекающими в них токами, но и величинами активных сопротивлений R
и индуктивностей L (на фиг. 71 это различие отмечено соответствующими
индексами 1 и 2). Вместо дифференциальных уравнений (8.1) мы имеем
теперь

(8.21)
А ^4/^2 4 М §- = 0.

Будем искать решения этих функций с общей постоянной уравнений в виде двух экспоненциальных времени Т и начальными значениями Ц и Za: ij = Це-ЧТ t 1'2 = Це-ЧТ <8-22)

Подстановка этих выражений в уравнения (8.21) дает

+ /?Л -Ал//2 = 0,
i 4 (8.23)
чтобы определить постоянную времени Т, находим из обоих уравнений
отношение токов

£2 _ TRj — Li _ М oz\ 7i М TR2—L2 ’ '
откуда (Lx L2 - М2} - Т (R,L2 + /?2LJ -l. T*R, R2 = 0. (8.25)

Обозначим через а коэффициент рассеяния магнитно-связанных обмоток, т. е.

а через Т1 и Т2— собственные постоянные времени обмоток, т. е.

Л = ^. = (8-27>

Пользуясь этими обозначениями, получаем характеристическое уравнение
для общей постоянной времени Т:

Tz-T (7\ -1 Т2) аТ1Т2 = 0. (8.28)

♦

Один из корней втого квадратного уравнения всегда больше другого.
Мы ограничимся рассмотрением того практически важного случая, когда
коэффициент рассеяния а очень мал. Чтобы получить больший корень,
достаточно пренебречь в уравнении (8.28) третьим членом; тогда

Т’/1 = Л + 7’2- (8-29)

Очевидно, это постоянная времени главного потока. Чтобы найти мень-
ший корень, достаточно опустить в уравнении (8.28) первый член. Это дает

гр _ ,У2 _________о_____ /о чпх

8 Тг + Т2 (1/Л) + (1/Т2) ’ >

т. е. постоянную времени потока рассеяния.

Итак, общая постоянная времени главного потока равна сумме посто-
янных времени первичной и вторичной обмоток, а общая постоянная вре-
мени потока рассеяния равна частному от деления коэффициента рассеяния
на сумму обратных значений постоянных времени обмоток. Следовательно,
первая постоянная времени всегда больше, а вторая — всегда значительно
меньше, чем любая из двух собственных постоянных времени обмоток.

Так, если постоянная времени обмотки возбуждения мощного генера-
тора 7\ = 8 сек., а постоянная времени успокоительной обмотки Т2 = 2 сек.,
то общая постоянная времени главного потока равна

Th = 8 + 2 = 10 сек.,

а общая постоянная времени потока рассеяния (при коэффициенте рассе-
яния с = 10%) равна

Ts = 0,1 = 0,16 сек.

Возвращаясь к уравнению (8.28) и замечая, что его третий член,
согласно выражению (8.30), равен находим второе приближение для

Применительно к рассмотренному примеру разница составляет всего 1,6%.
В соответствии с двумя различными значениями общей постоянной
мременв Т представляем свободные токи ц п двухчленными выражениями

1'[ = К^Чт^ + Кге~Чт‘,
1'г = Kse~4T’- + К^-Чт‘.

(8.31)

Гак как начальные значения этих токов должны удовлетворять соотноше-
нию (8.24), то постоянные интегрирования К оказываются взаимносвязан-
ными Из выражений (8.27) и (8.29) находим отношение постоянных
интегрирования для составляющих свободных токов, убывающих с посто-
янной времени главного потока,

Л’3 _ ThR.-L. ~ 1R r _ L. Т2
К! М ~ М 2 М 7\

(8.32)

Отношение двух других постоянных интегрирования д.чя составляющих

•свободных токов, убывающих с постоянной времени потока рассеяния, равно

<8-33>

Здесь было принято во внимание, что постоянная времени потока
рассеяния мала по сравнению с соб-
ственной постоянной временп первичной
обмотки и что при малом коэфф irniicn-
те рассеяния а коэффициент взаимной
индуктивности М, согласно формуле
(8.26), почти равен среднему геометри-
ческому из коэффициентов самопндук-
t ции L± и £2. Квадратный корень
в правой части формулы (8.33) пред
ставляет собой отношение чисел витков
обеих обмоток. Таким образом, свободные токи, определенные выражениями
-(8.31), соответственно равны

ii=Kie-4T’‘-i К2е~Чт°,

1'2 = Kie~4Th _ к2е~4т^ . (8’34)

Определим токи в обмотках после короткого замыкания первичной
обмотки, по которой до замыкания протекал постоянный ток /. В мо-
мент t = О

i'^ = K^K2 = I,

Отсюда найдем, сложив и вычтя почленно оба уравнения,

= -^-7
тх + т

г- _ ,_ Т2 ,

2 Tt+T2 ~ т^-

Подставив найденные выражения для К1 и К2 в выражения
найдем переходные токи

i2=4iST-2e~tlTh-T^tiTs')-

(8.35)

(8.36)

(8-34),

(8.37)
Таким образом, полные токи (ампервитки), убывающие с постоянной
времени основного потока, относятся как собственные постоянные времени
соответствующих обмоток, а полные токи, убывающие с постоянной вре-
мени потока рассеяния, численно равны между собой, но противоположны
по знаку. Кривые изменения токов, определяемых выражениями (8.37),
показаны на фиг. 77. При небольшой постоянной времени потока рассе
янпя токи в обмотках после короткого замыкания уже не изменяются
скачком до половины начального значения тока, как это было при симме-
тричных обмотках. Величина скачка каждого тока определяется теперь
отношением собственной постоянной времени вторичной обмотки Т2 к об-
щей постоянной времени главного потока Th.

Полученные соотношения позволяют найти экспермеитальным путем
постоянные времени вторичных цепей сложной конфигурации, не подда-
ющихся расчету. На фпг. 78 приведена осциллограмма, полученная при
включении обмотки возбуждения полюса, имевшего несколько коротко-
замкнутых вторичных контуров, образованных металлическими каркасами
катушек, успокоительными обмотками и заклепками, скрепляющими
стальные лпсты сердечника. Тотчас после включения ток возрос почти

Ф и г. 78. ср и г. 79.

скачком примерно до 10% своего установившегося значения. Постоянная
времени главного потока, определенная по скорости дальнейшего роста
тока, оказалась равной Th — 2,0 сек. Собственные постоянные времени
обмоток находятся путем подразделения 7\ на соответствующие части.
Они равны

7\ = 1,8 сек. и 7’2 = 0,2 сек.

В соответствии с выражениями (8.37) и с учетом различных чисел
витков обмоток полный намагничивающий ток равен

'в = Ч + У% Ч = = 1е-чт... (8.38)

Следовательно, как п в предыдущих случаях, главный магнитный поток
возрастает так, как если бы весь намагничивающий ток протекал по одной
обмотке с соответствующим активным сопротивлением пли поперечным
сечением. Таким образом, влияние, оказываемое любым вторичным током
па главный магнитный поток, в основном заключается в увеличении ре-
зультирующей постоянной времени на величину, равную собственной посто-
янной врэменп вторичной цепи. Прочие явления, обусловленные взаимным
влиянием двух цепей, не оказывают влияния па главный магнитный поток.

Вторичные токй могут оказывать весьма вредное влияние на работу
электромагнитов, в которых необходимо создавать быстрые изменения маг-
нитных потоков, как, например, в цепях управления пли регулирования.
Если магнитная цепь добавочных полюсов в машине постоянного тока, или
вольтдобавочпой машины с последовательным возбуждением, пли какого-
либо иного устр< иства, служащего для управления или регулирования,
содержит массивные стальные сердечники, или ярма, или катушки с зам-
кнутыми металлическими каркасами, то в ней возбуждаются вторичные
токи, как это видно из фиг. 79. Вторичные токи препятствуют магнитному
потоку изменяться столь же быстро, как меняется первичный ток. Следо-
вательно, э.д.с., наводимая в якорной обмотке машины, будет изменяться
медленнее, чем это было бы желательно. На фиг. 80 приведены кривые
изменения токов и результирующего магнитного потока (т. е. э.д.с.
в якорной обмотке) при указанных условиях. Для устранения запаздывания

в изменении магнитного потока необходимо выполнять магнитную цепь
из тонких изолированных листов стали и тщательно устранять замкнутые
вторичные контуры.

§ 4. Влияние успокоительной обмотки па процессы при размыкании
обмотки возбуждения. Для ограничения больших перенапряжений, воз-
никающих прп размыкании обмоток возбуждения полюсов машин постоян-
ного тока, часто применяют успокоительные обмотки. Успокоительная
короткозамкнутая обмотка должна иметь очень сильную магнитную связь
с обмоткой возбуждения. На фиг. 81 показана (в разрезе) обмотка возбуж-
дения, надетая на медную толстостенную гильзу, внутри которой нахо-
дится сердечник. После внезапного выключения тока в обмотке возбужде-
ния магнитный поток в сердечнике не исчезает мгновенно, а убывает
постепенно в соответствии с постоянной времени Т2 успокоительной обмотки,
т. е. по закону

Ф = Ф0е-Ёг2 (8.39)

При уменьшении потока в обмотке возбуждения наводится э д.с.

<7Ф юФ0

(8.40)

Вводя сюда постоянную времени Т\ обмотки возбуждения по формуле
(1.45) и имея в виду, что полный поток Ф обмоткп возбуждения лишь
незначительно превышает поток Фо в сердечнике, получаем достаточно
точное выражение для э.д.с.

е1 = ^Ее~^. (8.41)

1 2

Итак, начальное значение экспоненциально убывающего перенапряже-
ния, возникающего в обмотке возбуждения после ее размыкания, опреде-
ляется в основном отношением постоянных времени обеих обмоток. Этот
результат совпадает с результатом, полученным в гл. 1 для случая шун-
тирования индуктивной цепи активным сопротивлением [см. формулу (1.43)],
так как отношение активных сопротивлений равно отношению постоянных
времени обмотки с защитным сопротивлением и без него. Итак, можно
замедлить спад магнитного потока и предотвратить появление опасного пере-
напряжения при помощи обмотки достаточно большого поперечного сечения,
имеющей малое активное сопротивление и большую постоянную времени.
Чтобы при размыкании обмотки возбуждения магнитный поток убывал
так же медленно, как при замыкании ее накоротко, постоянная времени
вторичной обмотки должна быть равна постоянной времени обмотки воз-
буждения. Это означает, что количества меди в обеих обмотках должны
быть примерно равными. В этом случае, как следует пз формулы (8.41),
перенапряжения в размыкаемой обмотке возбуждения не будет. Такая
вторичная обмотка должна иметь поперечное сечение, сравнимое с попереч-
ным сечением обмотки возбуждения. Однако суммарная площадь попереч-
ного сечения обмоток обычно бывает ограничена. Поэтому вторичная
обмотка выполняется с меньшей постоянной времени, и при размыкании
обмотки возбуждения получается некоторое перенапряжение. Число витков
вторичной обмотки само по себе не оказывает никакого влияния на посто-
янную времени, которая определяется исключительно суммарным попереч-
ным сечением меди и конструкцией полюса и обмоток.

В действительности вторичная обмотка никогда не бывает сцеплена с
полным магнитным потоком первичной обмотки (обмотки возбуждения),
определяющим ее самоиндукцию Lt. Поток, пронизывающий вторичную
обмотку, меньше потока первичной обмотки на величину потока рассеяния
и равен потоку в сердечнике, определяющему взаимную индуктивность М.
Поэтому после размыкания обмотки возбуждения вторичный ток не в со-
стоянии полностью поддержать существовавший ранее магнитный поток.
Для вторичной цепи справедливо уравнение

L2^-|-R2i2-]М § = 0. (8.42)

В течение малого времени dt, пока происходит размыкание обмотки воз-
буждения, средний член в левой части уравнения (8.42) пренебрежимо мал и

(8.43)

Следовательно, размыкание обмотки возбуждения вызывает скачок тока во
вторичной обмотке от нуля до значения Далее ток убывает по

закону

i2 = ^7ie-(«2(b2)r (8.44)

Этот ток как раз достаточен для создания в сердечнике магнитного потока,
определяемого выражением (8.39).

Большая часть энергии магнитного поля обмотки возбуждения превра-
щается в тепло в активном сопротивлении вторичной обмотки. Определим
оставшуюся часть этой энергии, которая может стать причиной поврежде-
ния выключателя.

Начальное значение энергии магнитною поля обмотки^возбуждепия
равно

1^ = 4 (8.45)

Часть этой энергии

W2 = (8.46)

обусловливает протекание тока во вторичной обмотке и постепенно превра-
щается в тепло. Подставив сюда выражение (8.44) для вторичного тока и
проинтегрировав по времени, получим

И72 = $ e-(2^/L2) t dt = 4I*. (8.47)

Разность этих двух энергий, равная

IVs = W1 - W2 = 4 (1 - Il = '4 L^Il = 1 LJt (8.48).

выделяется в выключателе и может вызвать появление искры или дуги,
которым всегда сопутствуют значительные перенапряжения.

При отсутствии вторичной обмотки в выключателе выделяется пол-
ностью вся магнитная энергия обмотки возбуждения, определенная фор-
мулой (8.45). Отношение энергий Ws и Wlt определенных соответственно-
формулами (8.48) и (8.45), равно отношению индуктивности рассеяния L.
между первичной и вторичной обмотками к полной индуктивности L± об-
мотки возбуждения. Отсюда видно, что количество энергии, выделяющейся
в выключателе при размыкании обмотки возбуждения, может быть зна-
чительно уменьшено при помощи вторичной обмотки, поскольку оно прямо-
пропорцпонатьно коэффициенту рассеяния а. Таким путем удается значи-
тельно ослабить искренне или дугообразован не между контактами выклю-
чателя.

Начальное значение напряжения, возникающего при размыкании об-
мотки возбуждения, зависит не от полного магнитного потока, а только от
потока рассеяния. Дальнейшее изменение этого напряжения с течением
времени определяется в основном отношением собственных постоянных вре-
ICH1I обмотки возбуждения и вторичной обмотки [см. формулу (8.41)]. Чтобы
перенапряжение стало малым, необходимо для вторичной обмотки взять ни
только достаточное (по весу) количество меди, но и расположить обмотки
так, чтобы пх рассеяние было наименьшим.

Л II Т Е Р А Т у Р А

А 1 I) е г t I Е., Elektrotechn. Zs., 58, 121 (1937).

Betrachtungen zur oszillographischen Kurvenaufnahnic und Vorschlage zu Hirer
Verbesserung.

К u у s e r J. V, Journ. Inst. Electr. Eng., 60, 761 (1922).

Protective apparatus for turbo-generators.

Marshall D. E. , Langgut h P. O., Trans. AIEE, 48, 1464 (1929).

Current transformer excitation under transient conditions.

Schurig O. R., Gen. Electr. Rev., 56(1 (1918).

Short circuit windings in direct-current solenoids.

W a g и e r K. W., Elektrotechn. u Maschinenbau, 804 (1909).

Cher die Wirkungsweise von Dampferwieklrmgen auf Gleiehstroinniagneten.
Глава 9

ПЕРЕХОДНЫЕ ТОКИ В ТРАНСФОРМАТОРАХ

Первичная и вторичная обмотки трансформатора связаны между собой
взаимной индукцией. Поэтому любая коммутационная операция, в том числи
внезапное изменение нагрузки, приводят к появлению свободных токов,
определяемых выражениями (8.10) и (8.11),

Г' = К2е~Чт\

г; = К1е~Чт>' - К2е~'^. (9.1)-

Эти затухающие апериодические токи накладываются как на стороне
высшего, так и на стороне низшего напряжения на переменные токи нормаль-
ного режима п искажают их прп любом изменении режима. В дальней
шем расчет ведется для одинакового числа витков в обеих обмотках, при
чем отношеппя индуктивностей к активному сопротивлению принимаются
равными. Для трансформаторов последнее условие обычно выполняется. Если
принять значение тока па стороне низшего напряжения за исходное, то
действительная величина тока на стороне высшего напряжения будет
меньше в соответствии с коэффициентом трансформации. Однако если от
нести значения свободных токов каждой из обмоток к соответствующим
значениям рабочего тока, то правильная величина получится непосред-
ственно без дополнительного пересчета.

§ 1. Включение первичной обмотки нагруженного трансформатора.
Нагруженный трансформатор внезапно подключается к источнику пере-
менного напряжения неизменной амплитуды (фш. 82). Вынужденный ток
и первичной цепи трансформатора равен

г;=7;еА0', (9.2)

а во вторичной цепи — Л

г'=-7^“‘. (9.3)

Оба тока представляют собой гармонические
функции времени. Через 7' и 7' обозначены
комплексные амплитуды первичного и вто-
ричного токов, которые можно найти по пра-
вилам расчета установившихся токов. Отрицательный знак перед правой
частью выражения (9.3) поставлен потому, что токп г' и i'3 считаются по-
ложительными, если они протекают по обмоткам трансформатора в одном
направлении.

Рассмотрим включение трансформатора в наиболее неблагоприятный
момент, когда оба вынужденных тока принимают свои максимальные зна-
чения. При этом прсдиолр1кеннп гармоническая функция в момент
должна равняться единице. Свободные токи, возникающие в цепи, долж
вы дополнять установившиеся токи в соответствии с соотношением (3.9)
таким образом, чтобы в момент включения полные переходные токи в об-
мотках были равны нулю. Соотношения (9.1)—(9.3), дают следующие
начальные значения свободных токов:

/" = К — К — Г
^20 — 1 2»

Отсюда можно определить постоянные интегрирования и К2. Сложив
оба выражения (9.4), получим

Ai=-^ + j2= (9 5)

Здесь принято во внимание, что сумма вынужденных токов обеих обмо-
ток, определяемых соотношениями (9.2) и (9.3), всегда дает намагничи-
вающий ток трансформатора.

Вычтя одно выражение (9.4) из другого, получим

К2 = -Г1~Ц= -Г. (9.6)

Среднее арифметическое двух токов /' и 7' мало отличается от каждого
из них. Мы обозначим его через Г и будем попросту называть нагрузоч-
ным током.

Подставив в соотношение (9.1) значения Кг и К2, найденные по форму-
лам (9.5) и (9.6), получим для мгновенных значений свободных токов
•следующие выражения:

i" =

i (9.7)

г;= _±7'c-^ + re-r/TS.

Мы видим, что в данном случае свободные токи создаются как на-
магничивающим, так и нагрузочным токами трансформатора. Составляю-
щие свободных токов, пропорциональные намагничивающему току, убы-
вают медленно с постоянной времени Th главного потока. Эти составляю-
щие в обеих обмотках равны между собой. Величина тока определяется
но характеристике намагничивания трансформатора и может оказаться
весьма большой, если сердечник насыщен. Эти токи текут по обеим обмоткам
в одинаковых направлениях относительно сердечника и, следовательно,
имеют противоположные направления во внешних цепях.

Составляющие свободных токов, пропорциональные нагрузочному то-
ку Г, текут в обмотках в противоположных направлениях, так что их
направления во внешних цепях одинаковы. Они убывают с постоянной
времени Ts потока рассеяния трансформатора и, следовательно, исчезают
значительно раньше, чем составляющие, пропорциональные намагничиваю-
щему току. Постоянная времени Ts потока рассеяния обычно бывает все
ясс значительно больше полупериода переменного тока, т. е. больше 1/100
или 1/120 сек. Следовательно, приблизительно через полупсриод после вклю-
чения нагрузочный ток трансформатора возрастет за счет свободного
тока почти до двукратного значения нормального тока. Таким образом,
трансформатор реагирует на внезапное появление нагрузочного тока так
ясе, как индуктивная катушка с постоянной времени потока рассеяния
трансформатора (см. фиг. 6).

При чисто индуктивной нагрузке, фаза нагрузочного тока Г совпа-
дает с фазой намагничивающего тока 7^. В этом случае обе составляю-
щие свободных токов в первичной цепи складываются арифметически [см.
-выражения (9.7)].
Однако при чисто активной нагрузке нагрузочный ток Г принимает
пулевое значение в тот момент, когда намагничивающий ток 1'^ максима-
лен, и наоборот. Следовательно, в случае чисто активной нагрузки наи-
большее возможное значение свободного тока определяется либо нагрузоч-
ным, либо намагничивающим током. Так как невозможно предвидеть за-
ранее, в какой момент времени произойдет включение трансформатора
и каков будет характер его нагрузки, то на практике необходимо учиты-
вать оба возможных случая.

§ 2. Внезапное короткое замыкание вторичной обмотки. В нена-
f ружейном трансформаторе, первичная обмотка которого присоединена

к сети переменного тока с неизмен-
ной амплитудой напряжения Е, вне
запное короткое замыкание может
произойти или непосредственно на зажи-
мах вторичной обмоткп или вблизи них
(фиг. 83). Причинами таких коротких
замыканий могут быть неправильные
коммутационные операции, случайные
нробоп или повреждения изоляции, и,

Фиг. 83.

как показывает опыт, в крупных энергосистемах их невозможно пол-
ностью избежать.

Анализ переходного процесса начнем с определения установившихся
токов короткого замыкания. При этом мы пренебрежем активным сопро-
тивлением — влияние его невелико — и рассеяние обмоток будем считать
малым. В большинстве практических случаев оба предположения выпол-
няются с достаточной точностью.

Если к первичной обмотке симметричного трансформатора 1> прило-
жено переменное напряжение с амплитудой Е, а на вторичной обмотке

напряжение равно нулю,

то можно написать следующие два уравнения:

L % + М = Ее^,
dt dt

dt dt

(9-8)

Установившиеся токи будут гармоническими функциями времени,
т. е. могут быть представлены в форме Ie’"1. Подставив в первое уравне-
ние (9.8) производную тока i'2, определенную из второго уравнения, полу-
чим

(9-9)

Отсюда находим выражение для амплитуды первичного тока

7, Е .Е

(ssL

(9.10)

Здесь, как и раньше, разность между собственной и взаимной индуктив-
ностями обмоток называется индуктивностью рассеяния «S'. Воспользовав-
шись вторым уравнением (9.8), определим амплитуду вторичного тока

_ м
£

— Е

<o*S*

(9.11)

При малом рассеянии можно пренебречь в знаменателях выражений
(9.10) и (9.11) различием между собственной и взаимной индуктивностями.

9 Автор называет здесь симметричным такой трансформатор, обмоткп которого
имеют одинаковые приведенные собственные индуктивности.—IIрим. ред.

7 Р, Риденберг
Таким образом, амплитуды токов короткого замыкания в обеих обмот-
ках приближенно равны

rh = Д = - = Д- . (9.12)

Отсюда следует, что установившееся значение тока короткою замы-
кания трансформатора равно отношению напряжения сети к удвоенному
значению индуктивного сопротивления рассеяния каждой обмотки в отдель-
ности или к индуктивному сопротивлению рассеяния всего трансфор-
матора в целом. Величина wSt представляет собой сумму индуктивных
сопротивлений рассеяния обеих обмоток. Последнее из соотношений (9.12)
справедливо и для несимметричного трансформатора. Таким образом,
отношение установившегося тока короткого замыкания Ц к номинальному
току 1п равно

h = .. Е— =JL (9.13)

I п e>StIn Es

где означает суммарное напряжение рассеяния трансформатора при
номинальном токе.

Если, например, для трансформатора небольшой мощности напряжение
рассеяния составляет 3% от напряжения сети, то при коротком замыкании
такого трансформатора и его обмотках возникает установившийся ток

п = 33,37
з "

т. с. в 33,3 раза превышающий ток нормального режима.

При составлении уравненпя баланса токов в момент короткого замы-
кания следует учесть, что до этого момента в первичной обмотке трансфор-
матора протекал намагничивающий ток. Его амплитуду можно найти из
первого уравнения (9.8), положив вторичный ток равным нулю, а первич-
ный ток изменяющимся по гармоническому закону. Таким путем находим

(9.0)

Рассмотрим самый неблагоприятный случай, когда короткое замыка-
ние происходит в момент, соответствующий максимуму установившегося
первичного тока i[. Тогда при Z = 0 сумма этого тока и свободного тока
в первичной обмотке i'[ должна уравновешиваться намагничивающим то-
ком 1. , который в этот момент также имеет максимальное значение, опре-
деляемое выражением (9.14). Оба тока — короткого замыкания и намагни-
чивающий — можно считать чисто индуктивными, т. е. совпадающими
по фазе. Вторичный свободный ток i2 в момент / = О должен дополнять
до нуля вторичный установившийся ток короткого замыкания.

Таким образом, если Кг и К2 — начальные значения двух состав-
ляющих свободных токов, определяемых соотношениями (9.1), то

г "0 = 2^14-/^2= — 7(-|-7|х,

М (9.1 о)

£' /' J •

*20 — 1 2“ 7 2 £ 1 V

Во втором из уравнений (9.15) вместо 7' подставлено его значение по фор-
муле (9.11). Сложив оба уравнения (9.15), найдем первую постоянную

___+h ^1/

2о) (£ +Л/)^ 2 ,х 4 11 ’

(9.1G)
Вычтя одно уравнение из другого, получим вторую постоянную

«.- —<917)

Ври выводе соотношении (9.16) и (9.17) было использовано выражение
(9.10) для тока 1[. Чтобы придать уравнению (9.16) наиболее пропой вид,
разница между собственной и взаимной индуктивностями оставлена без
внимания и для намагничивающего тока использовано выражение (9.14).
кроме того, при выводе соотношения (9.17) была использована прибли-
женная формула (9.12) для установившегося тока короткого замыкания

1 г

и отброшена малая по сравнению с ним величина 9 1^.

Подставив значения постоянных /\\ и Л2 в соотношения (9 1), полу-
чим следующие выражения для свободных токов:

(9.18)

Таким образом, при коротком замыкании вторичной обмотки транс-
форматора намагничивающий ток экспоненциально уменьшается с боль-
шой постоянной времени от начального значения, равного для каждой
оомотки нормального намагничивающего тока. Однако основным явле-
нием следует здесь считать возникновение токов короткого замыкания
представляющих собой начальные значения тех составляющих свободных
токов, которые убывают с малой постоянной времени Т.. Так как рас-
сеяние в обычных трансформаторах мало и составляет от 3 до 10%, то
установившиеся токи короткого замыкания Ц, могут быть исключительно
большими. Спустя полуперпод после внезапного короткого замыкания,
свободные* токи, убывающие в дальнейшем с постоянной времени потока
рассеяния, накладываясь на установившиеся токи, почти удваивают их.

Рассмотрим трансформатор, напряжение рассеяния которого состав-
ляет 3% и которьп имеет ничтожно малое активное сопротивление обмоток
по сравнению с сопротивлением рассеяния. Если такой трансформатор пи-
тается от достаточно мощной сети, то при коротком замыкании на зажимах
вторичной обмотки возникает ударный ток короткого замыкания, дости-
гающий 66 кратного значения номинального тока. Па фиг, 84 показана
кривая изменения тока короткого замыкания во времени.

Электродинамические силы пропорциональны квадрату тока и могут
превысить более чем в 4000 раз соответствующие нормальные значения.
Таким образом, при внезапном коротком замыкании развиваются значитель-
йые силы, могущие разрушить обмотки трансформатора.
Па фиг. 85 приведены фотографии двух трансформаторных катушек,
разрушенных в результате нескольких повторных коротких замыканий.

Если в выражении (9.18) пренебречь свободными намагничивающими
токами и сохранить допущения, сделанные прп выводе соотношений (9.16)
и (9.17), то можно прийти к следующему выводу: процессы прп коротком
замыкании вторичной обмотки трансформатора развиваются так, как если бы
к сети была внезапно подключена катушка без сердечника, собственная
индуктивность которой равна полной индуктивности рассеяния трансфор
матора, а активное сопротивление—сумме активных сопротивлений обеих
обмоток, приведенных, конечно, к одному и тому же числу витков. И устано-
вившиеся, и свободные токи, а следовательно, п весь переходный процесс
включения совпадают с достаточной степенью точности с процессом подклю-
чения индуктивности к питающей сети, рассмотренным в гл. 1.

Ф и г. 85.

Из сказанного следует, что для анализа явлений короткого замыка-
ния в любой сложной сети можно заменить каждый трансформатор экви-
валентной индуктивной катушкой. Собственная индуктивность катушки
должна быть равна полной индуктивности рассеяния, а ее активное сопротив-
ление—сумме активных сопротивлении обмоток трансформатора, приведен-
ных к одному и тому же числу витков (безразлично, какой обмотки). Этот
прием дает возможность сравнительно просто исследовать явление короткого
замыкания в разветвленных сетях, а также в сетях с различными рабочими
напряжениями.

ЛИТЕРАТУРА

Kuhlmann К., Arch. Elektrotechn., 1, 527 (1913).

Die Riickwirkung des Einschaltstromes von Transformatoren auf das Netz.

Linke W., Arch. Elektrotechn., 1, 69 (1912).

Cher Schaltvorgange bei elektrischen Maschinen und Apparaten.

Rude n berg R., Elektrotechn. Zs., 169 (1915).

Oberspannungen beim Abschalten von Asynchronmoloren.
Глава 10

ВИХРЕВЫЕ ТОКИ В МАССИВНЫХ СТАЛЬНЫХ
СЕРДЕЧНИКАХ

Ф и г. 86.

При включении или отключении электромагнита постоянного тока с мас-
сивным стальным сердечником достаточно большого поперечного сечения
в сердечнике при любом изменении магнитного потока наводятся вторичные
токи, текущие по замкнутым путям, охватывающим магнитный поток. Эти
вихревые токи оказывают на переходные
процессы такое же влияние, как и токи
во вторичных обмотках. Однако в отличие
от токов в обмотках вихревые токи текут
не в каких-либо определенных контурах,
а распределяются с неодинаковой плот-
ностью по различным направлениям во всем
объеме массивного стального сердечника.
Поэтому для контуров вихревых токов нель-
зя заранее указать определенные значения
активного сопротивления или собственной
индуктивности. Для того чтобы определить
распределение вихревых токов в простран-
стве и их изменение во времени, необходи-
мо найти потокосцепление каждой элемен-
тарной нити тока и выразить в дифферен-
циальной форме закон данного явления.

На фиг. 86 показана магнитная цепь
электромагнита. Вихревые токи могут воз-
никать в двух сплошных стальных сердеч-
никах на участках длиной А каждый.
Следующий участок магнитной цепи состоит из двух воздушных зазо-
ров, каждый длиной 8, а третью часть составляют два ярма, собранные
из изолированных листов стали, в которых сколько-нибудь значительные
вихревые токи возникнуть не могут. Пусть ось z направлена вдоль магнит-
ных силовых линий в сплошном сердечнике, а оси хну перпендикулярно
к ним, как показано на фиг. 86. В сплошном сердечнике магнитная индукция
имеет единственную составляющую В2. Плотность тока Д, создающего маг-
нитный поток, и напряженность электрического поля g, индуцированного
магнитным потоком, будут иметь только составляющие вдоль осей х и у.
Все эти величины будем измерять в абсолютных электромагнитных единицах.

§ 1. Дифференциальное уравнение и его решение. Рассмотрим эле-
ментарную площадку, пронизываемую магнитным потоком

Ф = Bzdxdy.

(10.1)

Изменяющийся во времени магнитный поток создает электрическое поле
вдоль осей х и у, причем, согласно закону Фарадея, интеграл от напря-
женности электрического поля вдоль любого замкнутого контура s равен

Контурный интеграл, взятый вдоль периметра элементарного прямоутоль
ника (фиг. 87), равен

^S.df)dy-

- + (10.3)

Подставив в обе части уравнения (10.2) соответствующие выражения, да-
ваемые формулами (10.1) и (10.3), получим

‘>&у_= (104)

с)х ду 3t ' ' ’ '

Это уравнение выражает закон электромагнитно!) индукции в дифферен-
циальной форме; оно определяет соотношение между магнитной индукциеи
и напряженностью электрического поля.

Рассмотрим теперь элементарную площад-
ку, показанную на фиг. 86 штриховкой и огра-
ниченную двумя соседними магнитными линия-
ми, отстоящими на расстоянии dx одна от дру-
гой. Сквозь эту площадку проходит вихревой ток
]v = Jv^dx, (10.5)

создающий свое магнитное поле. Согласно за-
кону Ампера, интеграл от напряженности этого
магнитного поля, взятый по контуру, равен

&Hds = 4#7. (10.б)

Если магнитное сопротивление сердечника очень мало, то слагаемое,-
обусловленное воздушным зазором длиной 3, составляет существенную
долю в величине интеграла (10.6):

= + . (10.7)

Если магнитным сопротивлением сердечника нельзя пренебречь, то
уравнение (10.7) видоизменяется: к длине о воздушного зазора надо при-
бавить величину А/р, где р. — магнитная проницаемость стали. Если к то-
му же поперечное сечение воздушного зазора не равно поперечному сече-
нию сердечника, то можно привести зазор к площади сердечника, умно-
жив истинную длину зазора 80 на отношение площадей поперечного сече-
ния сердечника и воздушного зазора. Таким образом, в правой части
выражения (10 7) под о следует поппмать

а. л

3 = 8„-+—. (1(1.8)

0 as Р-

Отношение площадей в выражении (10.8) можно заменить отношением
обратных значений магнитной индукции, а магнитную проницаемость сер-
дечника р — отношением В/Н, и тогда для отношения эффективной длины
воздушного зазора к
выражение:

длине сплошного сердечника получается следующее

8о «г + Д «7

(10.9)

_1
д

Это отношение всегда можно определить по известным геометрическим
размерам сердечника и статической магнитной характеристике.

Подстщювка выражений (10.5) и (10.7) в уравнение (10.6) дает

1 5 дВ,
4" Д дх

(10.1<>)
Это уравнение выражает в дифференциальной форме связь между плот-
ностью вихревых токов и магнитной индукцией. Составляющая плотности
тока по осп у пропорциональна уменьшению магнитной индукции вдоль
оси х. Коэффициент пропорциональности содержит, помимо множителя
отношение длин участков магнитных линий в воздухе и в стали, опреде-
ляемое по выведенной выше формуле (10.9).

Для составляющей плотности тока по осп х можно получить аиа.то-
1пчпое уравнение, а именно:

vx 4п Д ду '

Знак плюс перед правой частью означает, что вихревой ток в первом
квадранте (фиг. 88) течет в положительном направлении оси жив отри-
цательном направлении оси у. \

Плотность тока J и напряженность электриче-
ского поля f связаны между собой законом Ома

= = (10Л2)
где s —удельное электрическое сопротивление материа-
ла сердечника. Подставив выражения (10.12) в урав-
нения (10.10) л (10.11) и продифференцировав обе части
соответственно по х и по у, получим

д&у__ s Ъ d2I3z

дх Д дх2 ’

« * Л2Р (10.13)

ду 4тс Л ду2

Подставив полученные выражения в уравнение (10.1),
нательному дифференциальному уравнению задачи
d*Bz д*В, _ dBz
дх2, дуг s 8 dt

приходим к окон-

(10.14)

Это уравнение устанавливает связь между изменениями в простран-
стве и во времени магнитной индукции в массивном стальном сердечнике.
Для того чтобы получить достаточно простое решение этого дифферен-
циального уравнения второго порядка в частных производных, ограничим-
ся рассмотрением стального сердечника с прямоугольным поперечным се-
чением, а начало координат поместим в центре сечения, как показано
на фиг. 88.

По аналогии с результатами предыдущего исследования цепей постоян-
ного тока можно предположить, что магнитное поле также будет убывать
со временем по показательному закопу. Для описания закона изменения
магнитного поля по осям хну применим тригонометрические функции,
повторяющиеся после двукратного дифференцирования. Так как магнит-
ное поле должно быть симметричным по отношению к началу координат,
то в решение могут входить только косинусоидальные функции. Итак, мы
ищем решение в форме

В^ — В cos аж cos ^уе~^,

(10.15)

где В — постоянная интегрирования, которая дает начальное значение
магнитной индукции и центре сердечника и которую нам предстоит опре-
делить.
Производные от Вг, входящие в уравнение (10.15), равны

C*2Bz 2Z? О

= — аг В cos ах cos руе~м,

Q2 7? Р г t

~ Р " C0S аХ C0S РУе ~1’>

— — p/j cos а.т cos pye 'f-'.

(10.16)

Подставив выражения (10.16) в дифференциальное уравнение (10.14), убе-
димся в том, что все функции, зависящие от х, у и /, сокращаются. Сле-
довательно, выражение (10.15) является решением уравнения (10.141 пои
условии, что

*4 ₽2 = т4р- (10.17)

Это соотношение связывает входящие в решение величины а, 8 и р.

Теперь предположим, что происходит внезапное отключение электро-
магнита. Тогда значения параметров а и р можно найти при помощи сле-
дующих рассуждений. В поверхностных слоях массивного стального сер-
дечника магнитный поток полностью исчезает вскоре после размыкания
обмотки, так как эти слои уже не охватываются возбуждающим током.
Магнитный поток сохраняется только внутри сердечника, где он поддер-
живается охватывающими его вихревыми токами. Следовательно, для лю-
бого момента времени после размыкания обмотки возбуждения имеем

йг = 0приж=±| иу = ±4- (10.18)

Здесь а и b означают стороны прямоугольного сечения сердечника (см.
фиг. 88).

Используя условия (10.18) в соотношении (10.15), находим, что

(, # Л a tz Зти пп

± а у ) ~ 0 для а v = у ,

z , х 7 о ~ (10.19)

/ । Q о Л о а тс.ж тп 4 '

cos( ±₽TJ = 0 для р_ = _, ,

где п и т — любые нечетные числа. Следовательно, уравнение (10.14) до-
пускает не одно, а множество решений. Чтобы получить все решения,
надо взять все сочетания нечетных чисел п и т и подставить соответст-
вующие им значения а и р в выражение (10.15).

Из соотношения (10.19) следует, что для данных значении п и т

ап = «7> = '«-£• (10.20)

и выражение (10.17) дает для этого частного решения коэффициент зату-
хания, равный

= (10.21)

Полное решение уравнения (10.14), описывающее распределение магнитно-
го потока в сердечнике прямоугольного сечения, представляет собой сумму
всех частных решений, соответствующих различным значениям т и п, и
имеет вид

^п. m COS (^ПГ. COS (jn-rz—- С~Рп, т‘ • (10.22)

п, т

При этом каждая составляющая магнитной индукции имеет свою собствен-
ную амплитуду ВП1 т.
§ 2. Постоянная времени и распределение магнитного поля. После
размыкания цепи возбуждения магнитный поток в массивном стальном
сердечнике можно представить в виде суммы частичных потоков, рас-
пределение каждого из которых по поперечному сечению дается косину-
соидальной функцией как от х, так и от у. Длины волн, соответствующие
этим косинусоидальным функциям, уменьшаются по мере увеличения п и
т. Магнитный поток убывает со временем в зависимости от коэффициента
затухания и тем быстрее, чем больше п и т. Так как п и т входят в
выражение (10.21) во второй степени, то высшие гармонические составля-
ющие потока затухают весьма быстро, в то время как основная волна,
соответствующая числам п = т — 1, существует относительно долго.

Согласно формуле (10.21), коэффициент затухания основной волны
равен

f 'Ч' 4 (?+<,') <10-23>

а ее постоянная времени представляет собой величину, обратную коэф-
фициенту затухания,

1\ . (10.24)

1,1 us о а]Ь + Ь/а ' '

Таким образом, постоянная времени геометрически подобных массивных
стальных сердечников пропорциональна площади поперечного сечения
сердечника.

Для литого стального сердечника явнополюсного синхронного генера-
тора с боковыми сторонами а = 30 см и 6 = 60 см, длиной сердечника
А = 40 см, эффективной длиной воздушного зазора 8 = 0,6 см и удельным
электрическим сопротивлением х = 2 104 см2/сек основная постоянная
времени равна

Т _ 4 40 30-60 о .

1 111 - тг-2-104 0,6 30/60 + 60/30“ СеК”

т. е. представляет собой большую величину. Она уменьшается вместе-
с размерами сердечника и для тонких сердечников падает до долей секунды.

Постоянную времени сердечников круглого сечения диаметром d можно
найти аналогичным путем. Она оказывается равной

^•‘=2^4^ <10-25)

Число 2,405 представляет собой первый корень функции Бесселя.

Основное магнитное поле максимально на оси сердечника и убывает
по косинусоидальному закону до пуля в направлении к его поверхности.
Для определения амплитуд Вп< т основной и различных высших гармони-
ческих составляющих магнитной индукции необходимо рассмотреть началь-
ные условия в момент коммутации. Сумма ряда (10.22), вычисленная для
момента Z = 0, должна представлять собой начальное распределение маг-
нитного потока (до коммутации), когда магнитная индукция по всему по-
перечному сечению сердечника имела постоянное значение Во. Такое поле,
постоянное по двум направлениям, можно представить в виде произведе-
ния двух рядов косинусоидальных членов, причем сумма членов каждого
ряда равна единице,

В = 7?о

cos к — —4 cos Зи — + 4" cos 5тс — — ... 41 X
а о а о а у J

x[4(cos’'f-4cos3l'f + TC°s5K|-...)] . (10.26)

*> То есть 2- 10 е ом см.—Прим. ред.
106

11. Магнитно-связанные цепи

Перемножив эти ряды почленно, получим сумму всевозможных произведе-
нии косинусоидальных функций, содержащих в аргументах различные не-
четные числа п и т. Но из таких же произведений состоит ряд (10.22),
представляющий собой полное решение дифференциального уравнения
(10.14). Приравняв соответствующие члены, найдем амплитуды частных
решений

B^ = ±G)’S-

В частности, амплитуда основной волны магнитной индукции, определяе-
мая путем сравнения первых членов рядов (10.22) и (10.26), равна

(10.28)

Она оказалась на 62% больше начального значения магнитной индукции
Во. Амплитуды высших гармонических составляющих тем меньше, чем
•больше числа п и т.

Итак, в массивном стальном сердечнике после размыкания обмотки
возбуждения происходят следующие явления.

Магнитное поле, которое до размыкания обмотки возбуждения было
постоянным в пространстве и во времени, в момент размыкания распа-
дается на ряд пространственных волновых составляющих, амплитуды ко-
торых имеют начальные значения, определяемые формулой (10.27), и
убывают со временем по показательному закону с различными коэффи-
циентами затухания, определяемыми выраженном (10.21). Высшие гармо-
ники имеют малые амплитуды и убывают быстрее. Поэтому через неболь-
шой промежуток времени после размыкания остаются только низшие гар-
моники, а еще немного спустя наблюдается лишь основная гармоника.

На фиг. 89 показано распределение магнитной индукции В. по попе-
речному сечению сердечника в различные моменты времени, начиная
с момента размыкания обмоткп возбуждения (кривая О). Вначале маг-
нитное поле исчезает в поверхностных слоях сердечника в соответствии
с затуханием высших гармоник. В средних частях сердечника магнитное
поле сохраняется в течение наиболее длительного времени, так как здесь
оно убывает в соответствии с большой постоянной времени основной волны.
К тому времени, когда амплитуда основной волны уменьшится лишь не-
значительно по сравнению с начальной величиной магнитной индукции
(кривая 3), амплитуды всех высших гармоник успеют уменьшиться на-
столько, что составят всего лишь несколько процентов или даже долей
процента от первоначальных значений.

Таким образом, через некоторое время после размыкания обмоткп
возбуждения магнитное поле в стальном сердечнике определяется главным
образом основной полной магнитной индукции, и, следовательно, поток
магнитной индукции равен

+а/2 +0/2

'1>г = Вг cos а1.т cos уе~Ч'г1 dx dy =

—a/2 -b/2

= (4У ( к У Boabe~tlTl =S фое-//Г1 = О,66Фое- /г1;

(10.29)

где Фо = B„ab начальное значение магнитного потока. Следовательно,
магнитный поток, соответствующий основной волне магнитной индукции,
равен лишь 2/3 начального значения, а остальная 1/3 приходится па долю
высших гармоник. На фиг. 90 дана кривая изменения магнитного потока
в сердечнике.

Электродвижущая сила, наводимая в размыкаемой обмотке умет,
шающимся магнитным потоком, достигает в первый момент большой вели-
чины, что объясняется быстрым затуханием высших гармоник. Амплитуды
этих гармоник были вычислены в предположении, что ток прекратился
мгновенно и, следовательно, освобождение магнитного потока произошло
внезапно. В действительности же быстро убывающие гармоники магнитного
потока наводят в обмотке возбуждения столь значительные э. д. с., что
в выключателе некоторое время поддерживается дуга, препятствующая
мгновенному исчезновению тока. Конечно, это обстоятельство влияет на
характер изменения во времени высших гармоник магнитного потока.
Однако на основную волну магнитного потока кратковременное искрение
в выключателе оказывает незначительное влияние.

Основная волна магнитного потока наводит в каждом витке э.д.с.

Эта э.д.с. составляет опять таки лишь 2,3 той э.д.с., которая могла
бы быть наведена магнитным потоком Фо, убывающим с той же постоян-
ной времени, но равномерно распределенным в пространстве. Воспользо-
вавшись выражением (10.24), мы можем представить начальное значение
э.д.с., наводимой основной волной, в виде

Эта э.д.с, зависит только от относительных, а не от абсолютных раз-
меров магнитной цепи. Она минимальна, если поперечное сечение сердеч-
ника имеет квадратную форму.

Начальное значение э.д.с. в катушке, содержащей 100 витков, при
магнитной индукции Во = 15000 гаусс и размерах стального сердечника,
указанных в ранее рассмотренном примере, составляет

2 • 104 (4т ( S + жУ 15000 100 - IO-8 = 5,7 в,
т. е. очень малую величину.

Отсюда следует, что перенапряжения, возникающие при отключении
катушки с массивным стальным сердечником, почти полностью обуслов-
лены быстрым затуханием высших пространственных гармоник магнит-
ного потока. Энергия этих гармоник невелика, и с нею легче управиться,
чем с полной энергией слоеного сердечника. Па фиг. 91 показана
осциллограмма процесса размыкания цепи возбуждения турбогенератора.
Кроме кривой напряжения на зажимах обмотки возбуждения, па осцилло-
грамме приведена кривая напряжения на зажимах разомкнутой обмотки
статора, дающая непосредственное представление о величине убывающего
магнитного потока. Из осциллограммы видно, что п момент прекращения
дуги в выключателе возникает большое, быстро затухающее перенапряже-
ние. В дальнейшем напряжение в обмотке возбуждения медленно убывает
по показательному закону в соответствии с изменением основной волны
магнитного потока.

Плотность вихревых токов в стальном сердечнике можно найти из
выражения (10.10), подставив в него производную dBJdx, определенную
из выражения (10.22). Таким путем получаем при учете только основной
составляющей потока [см. выражение (10.28)]

<7И = SS siu cos ^уе‘Г1' (10.32)

Если а — длина меньшей стороны прямоугольника в поперечном сечении
сердечника (см. фпг. 88), то наибольшая плотность тока получается в

j 2сек._______

Фиг. 91.

точках х = ± а/2, г/ = 0 в момент времени Z = 0. Эта плотность равна посто-
янному множителю в выражении (10.32). Прп значениях параметров, ука-
занных в приведенном выше примере,

Эу = ^-4О-'3(Г'10 = 013 а^’/ЛГ’

Гораздо большие плотности тока получаются при меныпих размерах
сердечников и для высших гармоник магнитного потока. Однако длитель-
ность этих вихревых токов так мала, что даже при большой их плот-
ности не получается сколько-нибудь заметного нагревания сердечника, если
только размыкание обмотки не повторяется очень часто.

Весьма действенным средством для уменьшения перенапряжений при
размыкании обмотки возбуждения, надетой на массивный стальной сердеч-
ник, является шунтирование ее активным сопротивлением, так как оно умень-
шает лишь напряжение, создаваемое высшими гармониками магнитного
потока. Па фиг. 92 показана осциллограмма процесса размыкания цепи воз-
буждения того же турбогенератора, что и на фпг. 91, но в этом случае цепь
возбуждения была шунтирована активным сопротивлением, в 8 раз большим,
чем сопротивление самой цепи возбуждения. Перенапряжение снизилось
при этом с 10- до 4 -кратного значения нормального напряжения возбуждения.

Теперь можно проанализировать процессы в массивном стальном
сердечнике при включении обмоток возбуждения. Если бы ток воз-
буждения мог измениться скачком от пуля до своей полной величины,
то гармонические составляющие свободного магнитного потока появлялись
и исчезали бы так, как и при внезапном отключении цепи возбуждения, и
отличались бы только знаком. Эти составляющие свободного потока накла-
дывались бы на равномерно распределенный поток установпвшегося режима.
По мере их затухания происходило бы постепенное установление полного
магнитного потока в пространстве и во времени. В первый момент после вклю-
чения высшие гармоники вызывают появление магнитного потока в поверх-
ностных слоях сердечника, после чего магнитный поток начинает постепенно

Ф и г. 92.

проникать внутрь сердечника, как показано на фпг. 93. Наконец, начинает
возрастать и поле на оси сердечника в соответствии с медленным убыванием
«сковной составляющей свободного магнитного потока.

Однако в действительности процессы при включении обмотки возбужде-
ния протекают несколько иначе, так как возрастающий магнитный поток

наводит в обмотке противоэлсктродвижущую силу,
ослабляющую ток возбуждения. Следовательно, тот-
час после включения, когда еще существуют большие
размагничивающие поверхностные токи, вызываемые
высшими гармоническими составляющими, ток возбуж-
дения быстро возрастает до некоторого конечного зна-
чения. Это происходит благодаря тому, что обмотка
создает вначале лишь поток рассеяния вне и внутри

поверхности стального сердечника, поэтому параста- Фиг. 93.

ние тока определяется малыми постоянными времени
этих потоков рассеяния. После этого ток возбуждения
продолжает расти уже со значительно меньшей скоростью и приближается
к своему предельному значению по показательному закону с постоянной
времени, равной сумме постоянной времени магнитного потока, обу-
словленного основной составляющей вихревых токов в стальном сердечнике
и собственной постоянной времени самой обмотки возбуждения.

Явления, происходящие при включении и отключении электромагнитов

•с массивными сердечниками, очень сходны с явлениями при включении и
отключении электромагнитов постоянного тока со вторичными обмотками.
Вихревые токи, связанные с основным магнитным потоком, играют здесь ту
же роль, что и токи во вторичных обмотках, а быстро затухающие высшие
гармоники магнитного потока—роль, отчасти аналогичную потоку рассея-
ния. Следует отметить, что вторичная обмотка выполняется обычно из меди
с большой электропроводностью, в то время как массивный сердечник из-
готовляется пз литой или катаной стали и обладает очень малой электропро-
водностью. Для количественной оценки и сравнения успокоительного дей-
ствия обмотки и массивного стального сердечника необходимо сопоставить

их постоянные времени.

Численное значение постоянной времени массивного стального сердеч-
ника является также критерием целесообразности замены его слоеным сер-
дечником для получения желательной скорости изменения магнитного пото-
ка. Главные и добавочные полюса машин постоянного тока, а также сердеч-
ники и ярма электромагнитов, в которых необходимо быстро изменять маг-
нитные потоки, часто приходится расслаивать.

Л И Т Е I’ V Т У Р А

II а b е г 1 a n d F., Arch. Elektrotechn., 28 234, 246 (1934).

Theoric und experimentelle Ontersuchiing des magnetise hen We< tiselfeldes irn
I uftspalt von massivem Eisen.

Hess 11., \ DE-Fachberichte, 88 (1929).

Dampfung und Schnellentregung grosser Generatoreu.

Hill N. B., Electrician, 42, 511 (1924).

The damping effect of solid rotors.

Pohl К., V DE-Fachberichte, 108 (1927).

Sehin llentregnng von Generatoreu.

Rayleigh J. W Sci. Papers, 2, 128 (1900); 4, 563 (1903).

On the duration of free electric currents in an infinite conducting evlinder.

Wagner C. F., Trans. AIEE, 53, 418 (1934)

Transients in magnetic systems.

W agner K. W.. Arch. Elektrotechn., 4, 159 (1916).

Ober eine Formel von Heaviside zur Berechnung von Einschall vorgiingen.

W e b e r E., Trans. AIEE, 50, 1234 (1931).

Field transients in magnetic systems partially laminated, partially solid.

Wolman W., K. a d e n H., Zs. techn. Physik, 330 (1932).

Ober die Wirbelstroinverzogerung magretischer Schaltvorgiinge.
Глава И

КОММУТАЦИОННЫЙ магнитный поток
ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ МАШИНАХ

Если проводники обмотки якоря нагруженной коллекторной машины по-
стоянного или переменного тока заложены в глубокие пазы слоеного сердеч-
ника, то протекающие по ним токи создают в пазах значительные попереч-
ные магнитные поля. Когда пластины коллектора проходят под щетками
и ток в соответствующем проводнике внезапно меняет свое направление на
обратное, магнитный поток в пазу якоря также стремится изменить свое
направление на обратное. Однако такое изменение потока не может быть

мгновенным, так как ему препятствуют
вихревые токи, наводимые в массивных
проводниках якоря. Поэтому изменение
направления потока происходит постепен-
но от верхней части паза вглубь его.

§ 1. Вихревые токи в массивных
проводниках. На фиг. 94 слова показан
изолированный массивный проводник, за-
ложенный и паз якоря. Справа показано
распределение поперечного магнитного
поля В в момент времени, предшествую-
щий началу процесса коммутации тока
в этом проводнике. Магнитные линии пе-
ресекают паз и замыкаются в слоеном
сердечнике якоря. У нижнего основания

Ф л г. 94.

прямоугольного проводника их плотность

равна нулю, затем она линейно возрастает вдоль высоты /г и, наконец,
достигает максимума у верхнего основания. Применяя закон Ампера к зам-
кнутой магнитной линии, дважды пересекающей паз шириной Ъ на рас-

стоянии dx, получаем

ВЬ - (В + dB) Ь = 4тг Jadx,

(П-1)

где J —плотность тока в проводнике, а — ширина проводника. Раснреде-
гение поля неизменно по длине проводника I. Из соотношения (И 1) по-
лучается дифференциальное уравнение

-g = 44j. (11.2)

Далее, применяя закон Фарадея к другому контуру длиной I и высотой
dx, расположенному вдоль проводника, получаем

ф if </* = (£4 d£)l-£l = -d^t = -^(Bldx), (П.З)

откуда
(И-6)

Ф и г. 95.

Наконец, записываем закон Ома
g = (И.5)

где s — удельное сопротивление медного проводника. Исключив из урав-
нений (11.2); (11.4) и (11.5) величину g, а затем J и В, получим диф-
ференциальные уравнения для магнитной индукции и для плотности тока
д2В а дВ
дх2 s b dt ’

d-J in a dj

дх2 s b dt

Замечая, что а представляет собой ширину проводника, по которому про-
текает ток, а b - длину магнитной линии в воздухе, убеждаемся в сходстве
уравнений (11.6) с уравнением (10.14). Отличие заключается в том, что
здесь решается одномерная задача.

Изменение во времени тока нагрузки, протекающего по любому провод-
нику якорной обмотки, показано на фиг. 95. Этот ток периодически под-
вергается коммутации, в процессе ко-
торой его величина изменяется от -j I
до — I и снова от —I до +1. Ис-
следуем один полный цикл изменения
тока, причем для простоты предполо-
жим, что коммутация происходит
мгновенно. Сместим нулевую линию
и вместо истинного изменения тока

будем рассматривать изменение его от значения 21 до 0

Вплоть до момента t = 0 магнитная индукция В изменяется по высоте
паза линейно, как показано на фиг. 94. Но в момент t = 0 магнитная
индукция В у верхнего основания проводника становится равной нулю
одновременно с током I У нижнего основания проводника индукция В
всегда равна нулю. Таким образом, для магнитной индукции имеют место
следующие граничные условия:

В —0 при х = 0 и при x=h. (11-7)

Этим условиям можно удовлетворить, положив

В = Вп sin ахе~^, (11.8)

т. е. приняв, что магнитная индукция является показательной функцией
времени и гармонической функцией пространственной координаты. Вели-
чина Вп представляет собой постоянную интегрирования, а коэффициенты
аир связаны между собой соотношением

а2 = ^“ (Ц.9)

S о ‘

получающимся в результате подстановки выражения (11.8) в первое из урав-
нении (11.6).

Первое граничное условие (11.7) всегда можно удовлетворить реше-
нием вида (11.8). Второе условие для x = h дает
sin (ah) = 0,
и, следовательно,

ah=it, 2ir, 3ir, ..., тгк, (11.10)

где и - - любое целое число. Итак,

а„ = п-£, (11.11)

т. е. имеется целый ряд решений вида (11.8).
В каждом из полученных решений коэффициент ап зависит от высоты
проводника Л. Поэтому постоянная времени в соответствии с соотношением
(11.9) определится следующим образом:

7’п = - = -^С-У. (11.12)

Рп Its b \ п J ' '

Из изложенного следует, что поперечный магнитный поток в пазу не
может полностью исчезнуть за время, меньшее утроенной постоянной
времени Тп. Это объясняется намагничивающим действием вихревых токов,
возникающих в массивном проводнике при уменьшении магнитного потока.
Время исчезновения потока определяется удельным сопротивлением меди
и отношением толщины проводника к ширине паза.

Если принять удельное сопротивление нагретой медп s = 105/50 см^/сек,
а в качестве средних размеров взять а = 0,5 см, b=i см и h — 3 см, то
основная постоянная времени (соответствующая п = 1) будет равна

З2 = 2,88-НГ3 сек.

1 п-Ю3 1

Это — наибольшее возможное значение постоянной времени. Следующее
значение, соответствующее п = 2 и равное

Л = ^-Л = °-72-10г3 сек.,

значительно меньше Тг. Таким образом, если медный проводник, лежащий
в пазу, имеет высоту порядка нескольких сантиметров, то поперечный маг-
нитный поток не может исчезнуть за время, меньшее нескольких милли-
секунд, даже при условии мгновенной коммутации тока. Так обстоит дело
во всех вращающихся коллекторных машинах средней и большой мощности.

Для того чтобы найти постоянные интегрирования Вп, входящие в
выражения (11.8), вспомним, что в момент коммутации и до нее магнит-
ная индукция В изменяется по высоте паза линейно (см. фиг. 94). Такой
закон изменения можно представить при помощи известного ряда Фурье

£ = 7?0-^sin^ -^sin2K ^- + 2-sin3K ...у (11.13)

Амплитуда магнитной индукции, создаваемой начальным током 27 у
верхнего основания проводника, равна

Во = ^~. (11.14)

При вычислении величины Во мы пренебрегли незначительным магнитным
сопротивлением стали якоря. Сравнивая коэффициенты при отдельных
членах ряда (11.13) и постоянные в выражении (11.8) при Z = 0, находим
амплитуды гармонических составляющих

^п=±|4°- (11-15)

Вблизи нижнего основания проводника, где х 0, члены ряда (11.13)
противоположны по знаку и поэтому компенсируются. Наоборот, вблизи верх-
него основания, где х =& А, все гармонические составляющие имеют один и
тот же знак и поэтому складываются друг с другом. Для любого момента
I р- 0 полный ряд, содержащий все члены вида (11.8) при целочислен-
ных п, можно записать в виде

со

^4Pe~n,,/Tisin(^l)- (11-16)

8 Р. Г'шденберг
Это решение удовлетворяет всем условиям задачи. Мы видим, что высшие
гармоники очень быстро убывают, так как в показатель степени входит вели-
чина и2. Это приводит к такому распределению магнитной индукции в по-
следовательные моменты времени, какое показано па фиг. 96, а. В конце
концов остается только основное магнитное поле, убывающее с постоян-
ной времени 7\.

Согласно уравнению (11.2), плотность тока

(И-17)
4т а дх ' '

Продифференцировав общий член ряда (11.16) и воспользовавшись соот-
ношением (11.14), получим

Так как средняя плотность тока в проводнике равна

(И-19)

ю плотность тока в каждой точке выражается рядом

J = 4t702(-l)ne-"2'/’’icos^nr^). (11.20)

Распределение плотности тока в различные моменты времени показано
на фпг. 96,6.

Интересно отметить, что при t — Q ряд (11.20) расходится, что соот-
ветствует бесконечно большой плотности тока в этот момент времени у

Фиг. 96.

верхнего основания проводника. Однако это продолжается лишь в течение
бесконечно короткого промежутка времени, после чего плотность тока быстро
уменьшается. В конечном итоге ток затухает, имея косинусоидальное рас-
пределение по высоте проводника. В верхних частях проводника ток про-
текает в отрицательном направлении и, постепенно проникая вглубь про-
водника, гасит положительный ток в его нижних частях. Пунктирные
линии на фиг. 96, а и б соответствуют начальным значениям магнитной ин-
дукции и плотности тока для случая, когда ток изменяется от -ф I до —I
(а не от 27 до 0, как мы предположили выше).

Частота тока в коллекторных машинах средней и большой мощности
равна примерно 50 гц. Таким образом, длительность промежутка вре-
мени та между двумя последовательными переменами направления тока в
средпем равна 1/100 сек. (см. фиг. 95). За это время проводник якор-
ной обмотки перемещается между двумя щетками противоположных
полярностей (фиг. 97). Указанный промежуток времени длительностью около
10 мсек, в 3 — 4 раза больше основной постоянной времени, найденной
выше. Следовательно, переходный поперечный поток в пазу успевает почти
полностью исчезнуть к моменту следующей коммутации тока. Таким обра-
зом, переходные процессы, обусловленные периодическим изменением на-
правления тока, обычно не перекрываются. Однако в очень быстроходных
машинах с глубокими пазами эти процессы могут перекрываться и

накладываться друг на друга.

В действительности изменение направления тока в машинах не может
происходить мгновенно из-за конечной ширины щеток (см. фиг. 97). Продол-
жительность коммутации обычно не превосходит тс=1(Га сек. Она значи-
тельно меньше основной постоянной времени Tlt найденной выше, и, следова-

тельно, не оказывает существенного влияния
на изменение во времени основной составляю-
щей магнитного потока. Однако постоян-
ная времени второй гармоники, и в осо-
бенности постоянные времени высших гар-
моник, значительно меньше. Следовательно,
за то время, в течение которого происходит
коммутация, высшие гармоники вихревых
токов затухают, благодаря чему изменение
их магнитных полей почти совпадает с изме-
нением тока. Энергия основной составляющей
магнитного потока в пазу превращается за

Ф и г. 97.

время коммутации тс и после него в тепловую энергию вихревых токов, кото-
рая выделяется главным образом в проводниках обмотки якоря. Значи-
тельно меньшая энергия высших гармонических составляющих магнитного
потока полностью расходуется уже в течение времени коммутации. Сле-
довательно, только небольшая часть энергии высших гармоник, изменя-
ющейся вместе с током проводника, превращается в тепло внутри самих
проводников; большая же ее часть выделяется на поверхности контакта
между пластинами коллектора и щетками.

Общее количество энергии, теряемой при каждом изменении направ-
ления тока, определяется начальным значением энергии магнитного поля
в пазу. При линейном изменении индукции по высоте проводника (см,
фиг. 94) это начальное значение энергии равно

IV =

8л

1 J?2
B*dv =1 bhl.

ij О7С

(11.21)

Подставляя сюда значение для Ва, найденное по формуле (11.14), получаем

W = J (2Z)2 ~

(11.22)

Такое количество энергии теряется в якорной обмотке дважды в течение
каждого периода тока. Если частота тока в якорной обмотке равна /, то
мощность тепловых потерь равна

J= 2/И7= (11.23)

При мгновенной коммутации тока эта энергия целиком рассеивается в про-
водниках якорной обмотки; при плавной коммутации небольшая часть ее
выделяется под щетками коллектора.

Нормальные тепловые потери в одном проводнике якорной обмотки равны

(11.24)
Таким образом, отношение коммутационных потерь к нормальным потерям
(при постоянном токе) равно

J 16л / а , о 4л2

т = • — -г-hr

Jo 3 s о 3 ' 1

(11.25)

Для простоты записи в последнюю формулу введена основная постоянная
времени Т\, определяемая выражением (11.12). Как видно из формулы

(11.25), отношение потерь зависит в основном от частоты / тока в'якор-
высоты h проводников. Коммутационные по-

ной обмотке и от квадрата

тери часто называют потерями рассеяния
при нагрузке.

В нашем примере отношение потерь
при частоте / = 50 гц равно

16л 50-50 0,5 09 л оо
10Г- — - 32 = 1>88.

о 3

Таким образом, мощность коммутационных
потерь J представляет собой значительную
величину, добавляющуюся к нормальным
потерям (при постоянном токе). Если в па-
зу расположены один над другим два или

, то h означает
проводников, за-
если в паз зало-
высотой по 3 ом
коммутационных
постоянном токе

несколько проводников,
суммарную высоту всех
ложенных в паз. Так,
жены два проводника
каждый, то отношение
потерь к потерям при

возрастает до величины 4-1,88 = 7,52.

На фиг. 98 приведены результаты из-
мерения потерь в обмотке якоря машины
постоянного тока (якорь свободно вращается в воздухе). Потери опреде-
лялись по току в якорной обмотке и по напряжению между пластинами
коллектора, благодаря чему исключались потери на щетках от внешнего
тока. Схема измерений показана на той же фиг. 98. Кривая на этой
фигуре дает величину потерь в зависимости от скорости вращения якоря.
При неподвижном якоре имеют место только обычные тепловые потери.
По мере увеличения скорости вращения якоря возникают добавочные
коммутационные потери, которые в конце концов растут почти пропорцио-
нально скорости вращения якоря или частоте тока в проводниках его
обмоткп.

Если коммутация происходит относительно медленно или если провод-
ники якорном обмотки выполнены из транспонированных изолированных
друг от друга полос (это делается для ослабления вихревых токов), то
Энергия магнитного потока в пазу рассеивается не в проводниках, а иод
щетками коллектора. Если же для компенсации э. д. с., возникающей: при
изменении направления тока в якоре, применяются добавочные полюса,
то энергия магнитного потока в пазу превращается не в тепло, а в меха-
ническую энергию, т. е. не теряется.

Если в паз заложены два массивных проводника так, как показано
на фиг. 99 (наиболее часто встречающееся расположение проводников
якорных обмоток), то нижний проводник образует магнитное поле, рас-
пределенное по высоте паза, как и раньше (см. фиг. 94). Верхний же про-
водник окружен магнитным полем, распределение которого показано
в верхней части фиг. 99. Такое распределение поля обусловливается сов-
местным действием токов в обоих проводниках. Распределение индукции В'
у нижнего проводника дается попрежнему рядом (11.13). Этот же ряд ха-
рактеризует распределение индукции В" у верхнего проводника, если от-
считывать абсциссу х от его нижнего основания. Таким образом,

(11.26)

Магнитной индукции В"’ соответствует ряд

B,,'=4£o(sin^+4sin3zT+lsin5*T+ •••)• <п-27>

Так как в реальных машинах коммутация не может происходить

мгновенно, и время коммутации конечно, то
ники магнитных потоков в пазах действуют
в основном как потоки самоиндукции и создают
индуктивные напряжения в секциях якорной
обмотки. Вихревые токи, возникающие в про-
водниках, заложенных в паз, поддерживают
основной магнитный поток, при этом провод-
ники играют роль первичной и вторичной
цепи Поэтому медленно затухающие основ-
ные магнитные потоки верхнего и нижнего
проводников не создают заметных индуктивных
напряжений в секциях якорной обмотки.

Основная составляющая магнитного пото-
ка нижнего проводника на основании форму-
лы (11.26) равна

быстро затухающие гармо-

Ф и г. 99.

Ф' = / V А Я Sin ГС ~dx = — 1В0 — , (11.28)

1 ) тс 0 Л п u п ' '

а полный магнитный поток в соответствии с фиг. 99 равен
4

<b’=±-lhB0.

(11.29)

То же справедливо и в отношении треугольной части диаграммы магнит-
ной индукции у верхнего проводника. Поэтому отношение основной со-
ставляющей магнитного потока к полному магнитному потоку равно

Ф{_Ф£_^

(11.30)

Поток, соответствующий прямоугольной части^ диаграммы магнитной
индукции у верхнего проводника, равен

Ф”' = UiB0,

(11.31)

а его основная составляющая в соответствии с рядом (11.27) равна

(11.32)

Следовательно, отношение этих потоков также равно

Ф"' 8

фо” ~ ’

(11.33)

Итак, основная составляющая магнитного потока равна примерно 81% от
полного магнитного потока. Постоянная времени основной составляющей

л и п
потока 7\ обычно больше времени коммутации, тогда как постоянные
времени высших гармоник, равные 1/47’1, 1/9Т1 и т. д., обычно меньше него.
Следовательно, только 19% потока внутри проводника можно рассматривать
как свободный магнитный поток, индуцирующий э. д. с. в секции якор-
ной обмотки во время изменения направления тока. Остальная же часть
потока (81%) не участвует в наведении э. д. с., что обусловлено дейст-
вием заложенных в паз проводников.

Потери от вихревых токов в верхнем проводнике в 3 раза больше,
чем в нижнем проводнике, что непосредственно видно из фиг. 99. Таким
образом, суммарные потери в 4 раза больше, чем потери в одном только

Фиг. 100.

нижнем проводнике (так как потери
определяются квадратом общей высо-
ты проводников в пазу).

При малых значениях t ряд Фурье
(11.20) сходится очень медленно для зна-
чений х, близких к h (у верхнего осно-
вания проводника). Однако существует
замкнутое решение основного дифферен-
циального уравнения (11.6) для плот-
ности тока, справедливое при указан-
ных выше условиях, а именно:

J = (11.34)

где К — постоянная интегрирования, а
Е величина, входящая в уравнение
(11.6).

(11.35)

Правильность этого решения можно проверить путем дифференциро-
вания его по х и t. При малых значениях t плотность тока быстро убы-
вает по мере роста х. Поэтому целесообразно положить х = 0 у верхнего
основания проводника. Так сделано на фиг. 100, где показано в соответствии
с выражением (11.34) распределение плотности тока J по высоте провод-
ника в различные, следующие друг за другом моменты времени. Инте-
грируя выражение (11.34) по х от 0 до сю, находим полное изменение
тока в проводнике, равное 21,

©О ОО ОО

21 = \tJadx = K J e-^l‘dx^K^ $ = , (11.36)

0 0 о

где

71 = ]/^ (11.37)

—вспомогательная переменная.

Следовательно, постоянная интегрирования

K = = I. (11.38)

а Г к У sab

Если не принимать во внимание множитель l/|z t в выражении (11.34), то,
исходя из вида показателя, можно утверждать, что определенная плот-
ность тока распространяется с течением времени вглубь стержня так, что
x2/Z = const. Следовательно, ни амплитуда, ни скорость распростране-
ния этой волны не остаются постоянными (амплитуда уменьшается по
закону 1/V^Z). Расстояния, проходимые волной за последовательные про-
межутки времени, относятся между собой, как квадратные корни из этих
промежутков времени

= (11.39)

Когда волна дойдет до нижнего основания проводника, она отразится.
Подобные отражения будут повторяться поочередно у обоих оснований про-
водника. В результате этих многократных отражений неустановившееся рас-
пределение тока в конце концов перейдет в установившееся, как пока-
зано на фиг. 96,6. Выражение (11.34) дает, таким образом, правильное
решение нашей задачи либо для сравнительно малых значений времени t,
либо для проводников со сравнительно большой высотой Л.

В соответствии с уравнением (11-2) магнитная индукция поперечного
поля в пазу

Jrfz. (11-40)

Воспользовавшись выражениями (11.34) и (11.38), преобразуем интеграл

\ $ dx = -^={ е~Е®2dx = ~= ( е~^ dr:. (11.41)

,) V t .) V 5 J

0 0 о

Последний интеграл представляет собой известную функцию вероятности.
График значений этого интеграла приведен на фиг. 101. Таким образом,
из соотношения (11.40) и выражений (11.35) и (11.38) получаем следу-
ющее значение магнитной индукции в пазу;

£=-1б/^у (11.42)

Это выражение также остается справедливым лишь до тех пор, пока
свободная волна не дойдет до нижнего основания проводника.

Изложенный способ дает возможность представить изменение величин
J и В в начале периода коммутации тока с большей наглядностью, чем
при применении бесконечного ряда Фурье.

Можно получить еще одно решение основного дифференциального
уравнения (11.6). Это решение имеет вид

3 = 1пе~^х sin (11-43)

Оно выражает изменение плотности тока во времени в виде ряда гармо-
нических колебаний. Решение такого вида позволяет сравнительно просто
анализировать процессы, связанные с изменением направления тока в те-
чение конечного промежутка времени тс (фиг. 102), так как разложение
трапецеидальных периодических функции в гармонический ряд хорошо
известно. Однако высшие гармоники имеют здесь существенное значение,
и суммирование бесконечного ряда становится довольно сложным. Оче-
видно, что коммутационные потери в проводниках будут значительно
больше, чем потери от вихревых токов при чисто синусоидальном токе,
так как коммутационный процесс обусловливает появление высших гар-
моник токов.

§ 2. Успокоительные стержни (успокоители) в пазах. В машинах с глу-
боким пазом вихревые токи значительно облегчают условия коммутации, так
как они почти полностью компенсируют изменение магнитного потока в пазу
и, следовательно, снижают э.д.с. коммутации, наводимую в проводниках

якорной обмотки. Дополнительные потери можно перенести из внутрен-
ней частп проводников в специальный успокоитель, который передает тепло,
выделяющееся от вихревых токов, непосредственно стальным стенкам паза.
Таким путем изолированные проводники предохраняются от перегревания.
На фиг. 103, а показано поперечное сечение паза, в котором уложены под-
разделенные и транспонированные активные проводники и успокоитель. Такое
размещение меди в пазу уменьшает до минимума выделение тепла внутри
изоляционной гильзы.

Направление вихревых токов в вертикальной части успокоителя совпа-
дает с направлением рабочего тока и, следовательно, одинаково по всей
высоте. Поэтому обратные токи целесообразно направить по горизонтальной
части успокоителя, для чего последнему придается Г-образная форма (см
фиг. 103, а). Условимся обозначать индексом 1 рабочие токи в проводниках
и их пути, индексом 2—токи в вертикальной части успокоителя и индексом
3—обратные токи в горизонтальной части успокоителя.

На фиг. 103, б показано распределение токов и их поперечного маг-
нитного потока Ф1 по высоте паза. Если токи i, исчезают мгновенно или в те-
чение малого промежутка времени, то поперечное магнитное поле будет
некоторое время поддерживаться вихревыми токами, которые наводятся
в массивном успокоителе (см. кривую i2 на фиг. 103, в).

Распределение токов i2 по высоте вертикальной части успокоителя почти
совпадает с распределением рабочих токов в проводниках. Токи i2 переходят
в обратные токи z3, протекающие в горизонтальной части успокоителя.
Вихревые токи i2 и i3 создают магнитный поток Ф2 (см. фиг. 103, в). Таким
образом, при исчезновении рабочих токов благодаря наличию успокоителя
сохраняется большая часть магнитного потока в пазу. Только относительно
небольшая часть магнитного потока в пазу Фг (см. фпг. 103, г), сосредото-
ченная выше рабочих проводников и успокоителя и равная разности потоков
<₽! и Ф2, исчезает вместе с рабочими токами.

Кривые изменения токов ц и г2 во времени для случая мгновенной ком-
мутации показаны на фпг. 104. В тот момент, когда токи iT в проводниках
исчезают, ток г2 в успокоителе возрастает скачком от нуля до значения,
соответствующего такому же количеству ампервитков. Таким образом, по-
перечный поток в пазу создается уже не токами в проводниках якорной
обмотки, а токами в успокоителе. В момент коммутации рабочие проводники
охватываются значительно меньшим остаточным потоком рассеяния Фг,
сосредоточенным в верхней части паза. Благодаря этому э.д.с. коммутации
в секциях якорной обмотки также снижается до небольшой величины, со-
ответствующей остаточному потоку рассеяния, который не поддерживается
токами в успокоителе и исчезает вместе с токами в рабочих проводниках. Ток
в успокоителе и возбуждаемый им магнитный поток спадают постепенно-

Ф и г. 104. Ф и г. 105

(см. фиг. 104) с постоянной времени Т, зависящей только от индуктивности
и активного сопротивления самого успокоителя.

Если на протяжении времени коммутации т рабочие токи убывают
постепенно, например по линейному закону, как показано на фиг. 105, то
в течение этого времени токи в успокоителе г2 нарастают, а затем после
завершения коммутации убывают. Убывание происходит также по показа-
тельному закону, как изображено на фиг. 105. В процессе уменьшения рабо-
лих токов наводится э.д.с. коммутации, обусловленная потоком рассея-
ния Ф,, исчезающим за время т, и, следовательно, равная

Здесь был принят линейный закон коммутации, приблизительно соответ-
ствующий нормальным условиям работы машины. Составляющая э.д.с.
ег почти не зависит от размеров успокоителя.

Остающийся магнитный поток Ф2 изменяется на протяжении всего вре-
мени коммутации. Его изменение во времени показано пунктирной кривой
нафиг. 105. Уменьшение этого потока начинается в течение периода коммута-
ции т, так как постоянная времени успокоителя имеет конечное значение.
К моменту окончания коммутации поток Ф2 успег чет значительно умень-
шиться. Поэтому в секциях якорной обмотки, кроме напряжения ет, опреде-
ляемого выражением (11.44), наводится еще одна составляющая напряжения.

Если бы поперечный магнитный поток Ф возбуждался только токами,
протекающими по рабочим проводникам, то, его уменьшение во времени про-
исходило бы по линейному закону

Ф=ф/1-1). (11.45)

Однако вследствие действия вихревых токов в успокоителе, имеющих постоян-
ную времени Т, происходит запаздывание и действительный магнитный поток
Ф отличается от потока Ф. Поток Ф определяется из дифференциального-
уравнения

7’^_1_ф = ф> (11.46)
апалогйчиого уравнению (3.11). Здесь учитывается только одна постоян-
ная времени успокоителя, которая при наличии высших гармоник соот-
ветствовала бы основной составляющей.

Полное решение дифференциального уравнения (11.46) для случая,
когда начальный поток определяется выражением (11.45), имеет вид

Ф = Ф2[(1-±)+-1(1. е-йТ)] , (11.47)

аналогичный выражению (3.22). Это решение справедливо до момента
коммутации. К этому моменту вре-
мени магнптнын поток успевает
уменьшиться до значения

Ф = Ф2^-(1-е-т/Т). (Ц.48)

Начиная с момента времени Z = t,
остающийся магнитный поток свя-
зан только с токами в успокоителе
и убывает вместе с ними по пока-
зательному закону. Соответствую-
щая кривая приведена на фиг. 105.

Относительное уменьшение по-
перечного магнитного потока, выра-
жающееся отношением ДФ/Ф2, зави-
сит только от отношения постоянной
времени Т успокоителя ко времени
коммутации т. График этой зависи-

0 02 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 /.5 2 3 45 10<х> мости дап на фиг. 106. По мере уве-

Vt личения постоянной времени Т успе-

Ф и г. 106. коителя индуктивное действие попе-

речного магнитного потока в пазу
становится все меньше и меньше, и, следовательно, процесс коммутации
значительно улучшается. Если постоянная времен нГ равна времени коммута-
ции т, то этот поток уменьшается на 37%, а не на 100%, как это имело бы
место при отсутствии успокоителя. Если постоянная времени Т вдвое
больше времени коммутации т, то поток уменьшается только на 20%. По
истечении периода коммутации уменьшение остающегося магнитного потока
не оказывает никакого влияния на процесс коммутации. Замедление спада
магнитного потока (см. фиг. 105) имеет еще и то преимущество, что пара-
зитные вихревые токи, наводимые в рабочих проводниках, оказываются
значительно меньшими, чем без успокоителя.

Дополнительная э.д.с. коммутации, возникающая при изменении попе-
речного магнитного потока Ф, создаваемого успокоителем, определяется сле-
дующим образом [см. выражение (11.47)]:

ed=-f = <п-49)

Это напряжение возрастает в течение периода коммутации по простому
показательному закону. Наиболее опасным моментом в отношении искре-
ния под щетками является момент окончания коммутации т. К этому
моменту напряжение, обусловленное изменением магнитного потока успо-
коителя, достигает значения

ed=^(l-e-^r). (11.50)

Отношение Ф2? т, стоящее перед скобко) , представляет собой полную э.д.с.
коммутации, которая наводилась бы поперечным потоком при отсутствии
успокоителя. Таким образом, множитель в скобках указывает, во сколько

раз уменьшается величина э. д. с., которая первоначально составляла ос-
новную часть э.д.с. коммутации. Численные значения этого множителя

приведены на фиг. 106.

Уменьшение э. д. с. коммутации зависит только от отношения постоян-
ной времени Т успокоителя к времени коммутации т. При Т— х э.д.с.
коммутации снижается до 63%, при Т = 2т— до 40% и при Т = 4 -ь- 5т — даже
до 20%, благодаря чему условия коммутации существенно облегчаются.

Постоянную времени успокоителя нетрудно определить для случая,

когда токи в обеих частях Г-обрэзного успокоителя распределяются рав-

номерно, как показано на фиг. 107.
Такое предположение является доста-
точно хорошим приближением. Сопро-
тивление успокоителя при указанных
па фиг. 107 размерах равно

= + = ’ С11-51)

<'/'з d2h2 V «3 J

1де o2 и a3 площади поперечного се-
чения каждой из его частей, а I длина
якоря. Наибольшая магнитная индук-
ция, связанная с током г2 в верти-

Ф и г. 107.

калькой части успокоителя, определяется выражением

7? = 4л 4 ,
О

(11.52)

Таким образом, полный магнитный поток в зоне успокоителя равен

ф = у(М-л3) bi.

(11.53)

Линейному распределению потока соответствует коэффициент сцепле-
ния 2/3, и индуктивность успокоителя, образующего единственный виток,
равна

О i2 ОС/

Следовательно, постоянная времени успокоительного стержня определяется
выражением

гр L 4л ЛI d% 1 + halha

К 3 s b 1 + a.,/a3 ‘ '

Интересно сопоставить это выражение с выражением (11.12) для постоян-
ной времени сплошного активного проводника якорной обмотки.

Если принять, например, что высота горизонтальной части успокоителя
Л3=1 см, высота вертикальной части /г2—3 см, а толщина ее rfa=0,2&,
где Ь — ширина паза, и что площади поперечных сечений а2 и о3 обеих
частей равны друг другу, то для постоянной времени Т получим следую-
щее значение:

4л 32-50 п о 1,33 „ - .л-з

Т = ~^' —= 2,5-1° сек.

Успокоитель с такой постоянной времени, заложенный в паз якоря быстро-
ходной машины с продолжительностью коммутации, меньшей т=1 мсек.,
окажет весьма эффективное действие: он снизит основную часть э.д.с. ком-
мутации в пазу до величины, мепыпсй 35% ее первоначального значения.
Однако в тихоходных машинах со временем коммутации порядка т = 5 мсек,
и более это уменьшение не превысит 13%, т. е. будет относительно неве-
лико. Так как постоянная времени Т, согласно выражению (11.55), про-
порпиональна квадрату высоты активного проводника, то успокоители наи-
более эффективны в якорях, имеющих глубокие пазы и вращающихся с
большой окружной скоростью, т. е. в тех случаях, когда обычно создаются
тяжелые условия для коммутации.

ЛИТЕРАТУРА

Baldwin М. J., Trans. AIEE, 68, 100 (1949).

Oscillographing commutation.

Dreyfus L., Elektrotechn. u. Maschincnbau, 32, 281 (1914).

Zusatzliche Kommutierungsverluste bei Gleichstrommaschinen.

Dreyfus L., Arch. Elektrotechn., 3, 273 (1915).

J e Theorie der zusatzlichcn Kommutierungsverluste von Gleichstrommaschinen
Dreyfus L., Arch. Elektrotechn., 26, 330 (1932).

Uber die Verminderung der Stromwendespannung grosser Kommutatormaschinerr
durch Kurzschlusswicklungen neuer Bauart.

Koos ‘., Arch. Elektrotechn., 30, 502 (1936).

Nutcnquerfeld und Stromvcrdrangung wahrend der Stromwendung bei Gleichstrom-
maschinen.

Koos A., Wiss. \ eroffentl. Siemens-Konzern, 17, No 3, 19 (1938).

Die Ausgleichsvorgiinge beim Einschalten einer Tiefnutwicklung.

Koos A., W'iss. Verolfcntl. Siemen-s-Konzern, 19, No 1, 89 (1940); 20 No 1, 207 (1941)

Uber die Dampfung des Nuteiiquerfeldes bei Gleichstrommaschinen.

Lyon W V., Wayne E., Henderson M. L., Trans. AIEE, 47, 589 (1928)

Heat losses in d-c armature conductors.

Miller К W., Trans AIEE, 66 1496 (1947).

Diffu ion of electric current into rods, tubes, and flat surfaces.

Stix R., Elektrotechn. u Maschinenbau, 57, 171 (1939)

Verminderung der Slroniwendespannung bei Kollektormaschinen durch die Wirbeb-
strome in massivcn Ankerleilern.

Tret tin C., Wiss. Veroffenll. Siemens-Konzern, 12, No 2, 34, (1933).

Stromwendung und Diimpfung hei Gleichstrommaschinen.

Tret tin C., Wiss. Veroffenll. Siemens-Konzern, 15, No 1, 7 (1936).

Wirbelstromdampfung des Nutenfeldes in Dynamoankern.
Глава 12

СВОБОДНЫЕ ВРАЩАЮЩИЕСЯ МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
МНОГОФАЗНЫХ ОБМОТОК

Многолетний опыт показывает, что включение и отключение синхронных
или асинхронных машин может сопровождаться наиболее опасными явле-
ниями, известными в электротехнике, В зависимости от конструкции машины
и характера коммутационной операции в обмотках могут возникать большие
токи, доходящие до 50-кратного значения номинального тока. При большой

мощности современных генераторов количество энергии,
освобождающейся в таких случаях, может достигать
громадной величины.

§ 1. Связь между магнитными полями статора и
ротора. В обычных генераторах и двигателях перемен-
ного тока магнитное поле возбуждается либо вращаю-
щейся обмоткой постоянного тока, действующей индук-
тивно на неподвижную обмотку переменного тока, либо
неподвижной обмоткой переменного тока, действующей
индуктивно на вращающуюся обмотку переменного тока;
в том и другом случаях обмотки переменного тока обычно
являются трехфазными. В обоих упомянутых случаях
неподвижная статорная и вращающаяся роторная обмотки
машины связаны между собой магнитным полем и, следо-
вательно, индуктивно взаимодействуют друг с другом.
Предположим, что статорная и роторная обмотки представ-

ляют собой симметричные многофазные обмотки, в част-

ности трехфазные, как показано на фиг. 108. Такое предположение значи-

тельно упрощает исследование. К этому упрощенному представлению можно

в первом приближении привести большинство случаев, встречающихся на

практике.

Если бы обмотка ротора была неподвижна относительно обмотки статора,
то свободные токи, возникающие в этих обмотках при коммутации, можно было
бы определить по способу, описанному в гл. 8. При вращении роторной
-обмотки также возникают свободные токи и свободные магнитные поля,
постепенно затухающие с течением времени. Однако в этом случае магнитные
поля уже не занимают фиксированного положения относительно статора
я ротора, а перемещаются относительно них. Эти поля наводят в обмотках,
по отношению к которым они движутся, значительные э.д.с., в свою очередь,
являющиеся причиной появления больших свободных токов.

Для исследования переходного процесса необходимо составить диффе-
ренциальные уравнения, связывающие между собой напряжения в цепях
статора и ротора многофазной машины. Следует отметить, однако, что вслед-
ствие вращения ротора связь между различными фазами статорной и ротор-
иой обмоток изменяется во времени. Коэффициенты взаимной индукции
становятся переменными величинами, что сильно усложняет расчеты.
Исследование можно значительно упростить при помощи искусственного
приема. Мы не будем относить токи к определенным фазным обмоткам ста-
тора или ротора, взаимное положение которых непрерывно изменяется,
а будем рассматривать полные системы многофазных токов в статоре и рото
ре. Эги две системы токов действуют друг на друга путем взаимной ин-
дукции, кроме того, они могут перемещаться относительно соответствующих
обмоток с некоторыми, пока еще неизвестными, скоростями и затухать с
течением времени

На фиг. 109 схематически представлены системы токов в статорной и
роторной обмотках двухполюсной машины. Эти токи связаны между собой
магнитным полем. В обычных многофазных обмотках пространственное рас-
пределение как статорных, так и роторных токов по окружности машины
можно считать с достаточной точностью синусоидальным. Обе системы токов
совместно вращаются внутри машины. Как и в любых трансформаторных
обмотках, положительные токи в статорной обмотке расположены против
отрицательных токов роторной обмотки, и наоборот. Скорость вращения
обеих систем токов по отношению к статору, т. е. их абсолютная угловая
скорость, будет обозначаться через а, а угловая скорость механического
вращения ротора—через <о. Следовательно, угловая
скорость вращения обеих систем токов относительно
ротора, обозначаемая через р, равна

ходимо считать, что

Р = а — <л.

(12.1)

Для того чтобы получаемые соотношения не зависе-
ли от числа полюсов машины, будем рассматривать
величины а, р и и, связанные между собой выраже-
нием (12.1), как соответствующие угловые частоты,
т. е. как число периодов за 2к сек.

Чтобы получить уравнения, описывающие из-
менение свободных токов в обмотках машины, необ
эти обмотки замкнуты во внешней цепи и что элек

тродвижущие силы источников равны нулю. Падение напряжения на собст-
венной и взаимной индуктивностях и падение напряжения на активном со
противлении в каждой обмотке должны уравновешиваться. Следовательно.

О,

L2-^- + R2i2 + M^i-

2 dl 221 di

О.

(12.2)

Первое уравнение составлено для неподвижной статорной обмотки и ее
внешней цепи, а второе — для вращающейся роторной обмотки. Через г\
и г2 здесь обозначены мгновенные значения токов статорной и роторной
систем (в данной точке). Собственная и взаимная индуктивности и активное
сопротивление цепей обозначены соответственно через L, М к R. В каждой
из этпх двух цепей собственное время обозначено через Z; время же,
отсчитываемое в одной цепи относительно другой, -—через Две системы
отсчета времени можно рассматривать так, как будто один наблюдатель
связан со статором, а другой - с ротором. Эти системы отсчета непосред-
ственно соответствуют частотам а и р, входящим в выражение (12.1). На
фиг. ПО схематически показаны обе цепи и относящиеся к ним обозначения.

Попытаемся найти решение дифференциальных уравненш (12.2) в виде
гармонических функций

г2 = 12е^

(12.3)

Частоты аир токов г\ и t2 связаны между собой выражением (12.1);

<р — произвольный пространственный фазный угол, который для статора
можно принять равным нулю. Аналогичным образом, угол ф можно при-
нять равным нулю дли ротора, если его система токов рассматривается
с точки зрения наблюдателя, вращающегося вместе с ротором. Если
же система токов в роторной обмотке рассматривается наблюдателем, свя-

занным со статором или с неподвижным пространством, то угол ф должен

быть приравнен угловому перемещению ротора ш[. Оба тока г\ и г2 пред-
ставляют собой, как видно из соотношений (12.3), синусоидальные функции
времени и пространственной координаты. Таким образом, соотношения (12.3)

описывают вращающиеся системы многофазных гармо-
нических токов.

Производные токов по времени, определяющие
напряжение самоиндукции в уравнении (12.2), в со-
ответствии с выражениями (12.3) равны

di, .

di 2 «п •
dt

(12.4)

При вычислении производных, определяющих напря-
жения взаимной индукции, нужно иметь в виду, что
величина М (di2/dt') относится к системе токов в ро-
торной обмотке, изменяющихся во времени с точки зре-
ния наблюдателя, связанного со статором. Следова-

ли и г. 110.

тельно, необходимо учитывать скорость вращения ротора относительно
статора; таким образом, для полной производной получаем

dia ___ di2 .

dt' ~~ dt

di s

cty. dt

/₽i2- /ю(2 = /аг2.

(12-5)

Во второй член этого выражения вместо dty/dt подставлена угловая ско-
рость <£>, а затем использовано соотношение (12.1). Аналогичным путем
получаем выражение для напряжения взаимной индукции в роторе, по
отношению к которому статор вращается с угловой скоростью — ок

dix
dt'

di, , di, d<f . . . .„.

ч------д- = ]O-1, — = 1 .

dt ' dtp dt J 1 1 7 ‘ 1

(12.6)

Таким образом, индуктивная связь между двумя системами токов
заключается в том, что система токов в роторной обмотке действует на
токи в статорное обмотке с частотой последних а, а система токов
в статорной обмотке действует на токи в роторной обмотке с частотой
последних р. Это простое правило, очевидно, справедливо для любого
вращающегося гармонического поля. Таким путем удается тор по и пол-
ностью учесть влияние вращения роторной обмотки, не применяя для
этой цели непрерывно изменяющихся во времени коэффициентов взаимной
индукции между цепями статора и ротора.

Подставив в (12.3) выражения (12.4) — (12.6), получим два соотноше-
ния, связывающие амплитуды и частоты свободных токов

yaZ/jZj - - ]а.М12 — 0,
ypL2Z2 4-7?2Z2 + ]^М1г = 0.

(12-7)

Чтобы составить полное представление об изменении, токов во времени,
определим сначала частоты свободных токов. Найдем из каждого соотно-
шения (12.7) отношение амплитуд токов Zj/Z2:

1, _ __/О1И ____ Z?2 + /p/.2

^2 ^l+7aZ>l ------------1^1 '

(12.8)
откуда получим

«₽ + / (=^A + ₽ЛЛ)- (12.9)

Разделим все члены введем обозначение выражения (12.9) на и для сокращения записи = 1 _ Ж2 = с> ^1-^2 -^1^2

где с—полный коэффициент рассеяния машины. Далее обозначим

5r=f'. (121i>

Из соотношений (12.11) видно, что р' и р" представляют собой величины,
обратные постоянным времени потоков рассеяния. Выражение (12.9) при-
нимает теперь простой вид

а₽-/(ар" + Рр') = р'р"а. (12.12)

Это комплексное уравнение вместе с соотношением (12.1) позволяет найти
частоты аир свободных токов.

Для симметричных обмоток статора и ротора с одинаковыми посто-
янными времени (что часто с достаточной точностью осуществляется
в асинхронных машинах) величины р' и р" равны между собой. Уравне-
ние (12.12) в этом случае принимает следующий вид:

аЗ — /р (а -|- Р) = р2с. (12.13)

Исключив отсюда р при помощи соотношения (12.1), получим уравнение
для определения а

а2 — а (□> 4 2/р) = ср2 — /<пр. (12.14)

Это квадратное уравнение имеет решения

“ = (зг + /р) ± ““4 + ср2 — /0,р- (12.15)

В подкоренном выражении мнимые члены сокращаются и в результате
получаем

«=/₽-1<»[4±/(4)’-(4)'(1-<>)|. (12.16)

Подставляя полученное выражение в соотношение (12.1), находим

f=;р+» [-4 ±/(4 )’-(^ )'(!->)]• (12.17)

Из этих решений видно, что частоты аир свободных токов в статорной
и роторной обмотках являются комплексными величинами. Если активное
сопротивление, а следовательно, и р не слишком велико, то квадратные
корни в выражениях (12.16) и (12.17)—действительные числа.

Введем следующие обозначения для действительных частей этих выра-
жений, каждая из которых, очевидно, имеет два значения:

для статора

v.-»[4±K(4j’-(.v)’(i-‘’)]=| ф <12-18)

для ротора

[ -4 ± /(4)‘-(-Pj‘(>-’)] ={ (*2Л(|)
Подставив выражения (12.16) — (12.19) в соотношения
произвольные фазные углы, получим

i2 = 12е~^е^‘.

(12.3) п отбросив

(12.20)

Таким образом, в симметричных многофазных машинах возникают
свободные токи, затухающие по показательному закону с показателем
затухания р, одинаковым для статора и ротора и равным, согласно соот-
ношениям (12.11), отношению активного сопротивления к индуктивности
рассеяния. В каждой обмотке возникают две системы свободных токов,

вращающихся с различными скоростями или
частотами / и м", величины которых для
статора определяются выражением (12.18),
а для ротора выражением (12.19). Сумма
двух частот для статора, определяемых вы-
ражением (12.18), дает частоту вращения ро-
тора о), а сумма двух частот для ротора,
определяемых выражением (12.19), — частоту
вращения со, т. е. частоту вращения ста-
тора с точки зрения наблюдателя, связан-
ного с ротором.

Обычно одна из двух свободных частот
велпка, а другая мала. Поскольку, как это
видно из выражений (12.16) — (12.19), боль-
шая частота ротора \ получается при малой

частоте статора *', а малая частота ротора v" - при большой частоте ста-
тора ч", то и системы токов в статоре и роторе, отмоченные одинаковым

числом штрихов, связаны друг с другом и вращаются в машине с одина-
ковыми абсолютными скоростями.

Па фпг. Ill приведена зависимость относительных частот v u> от p/w
при коэффициенте рассеяния с = 10%. По мере увеличения активного со-
противления большая п меньшая частоты отличаются друг от друга все
меньше, и, наконец, когда квадратные корни в выражениях (12.16) и
(12.17) становятся мнимыми, частоты достигают общего значения, равного
<в/2. 13 этом случае образуются два вращающихся поля, характеризую-
щихся равными частотами, по различными коэффициентами затухания.

При малых сопротивлениях, т. е. при малых р, выражение (12.18)
для статора можно заменить приближенными выражениями

(12.21)

а выражение (12.19) для ротора — приближенными выражениями

(12.22)

Две системы токов, вращающиеся в пространстве с частотами v' и v",
создают два гармонических магнитных потока Ф' и Ф", вращающихся
с теми же частотами. Как видно из выражений (12.21) и (12.22), величина
пространственной скорости системы токов в статорной п роторной обмот-
ках н связанного с ней магнитного потока Ф' определяется величиной р2.
Эта скорость ничтожно мала, так как активное сопротивление обмо-

9 Р Рюдепберг
ток незначительно. Поэтому поток Ф' почти неподвижен относительно
статора и пересекается ротором со скоростью, близкой к полной скорости
ротора. Второй магнитный поток Ф", вращающийся с очень малым сколь-
жением, почти неподвижен относительно ротора и пересекает статорную
обмотку с почти полной скоростью.

§ 2. Несимметричные цепи статора и ротора. Если статорные и ро-
торные обмоткп неодинаковы, то постоянные времени, определяемые выра-
жениями (12.11), имеют разные значения. В этом случае точное решение
уравнения (12.12) оказывается более сложным. Исключив р при помощи
соотношения (12.1), получим квадратное уравнение с комплексными коэф-
фициентами

а2 — а[ш-|-/(р' |-р")] = ср'р"- /(,’р'- (12.23)

Поскольку почти у всех встречающихся на практике синхронных генера-
торов цени статора и ротора выполнены различно, попытаемся найти для
этого случая приближенное решение. Заметим при этом, что активное
сопротивление цепи ротора очень мало по сравнению с ее реактивным
сопротивлением, тогда как активное сопротивление цепи статора может
быть относительно большим, например в том случае, когда короткое замы-
кание произошло вдали от генератора. Отсюда на основании соотношений
(12.11) следует, что р" всегда мало по сравнению с о>.

Имея в виду это обстоятельство, находим сначала решение уравне-
ния (12.23)

а = С0 + ИР' + Р") ± j/^ + /(P^+.Pg)la + p> (ср"_ . (12.24)

После некоторой перегруппировки мнимых членов в подкоренном выраже-
нии получаем

а = Г±Др'+Z1 ± У 4-р"(ср' + /ш). (12.25)

Благодаря тому, что р" всегда меньше <о, второй член под корнем
в выражении (12.25) меньше первого члена. Таким образом, квадратный
корень можно представить в виде степенного ряда. Отбрасывая все члены
более высокого порядка, получаем для малых р"

„ “ + /(р' + р") , “ —/(р' + р") , р'(°Р' + /<«) ‘№\

а =-----2----± ------2----- ± о,-/ (Р'Т?Г ’ ( )

Освободимся в последнем члене этого выражения от комплексного знаме-
нателя. Если пренебречь р" по сравнению с «>, то этот член примет вид

р"(ар' + /ш) Шр'р" (1—с) + /р" (ш2 + ср'2) ,. г;

“-/(р'+р")~ “2+р'2 (

Отделяя теперь в выражении (12.26) действительные члены от мнимых
и принимая во внимание разные знаки, получаем при малом сопротивле-
нии цепи ротора два приближенных решения уравнения (12.23):

_ <ор'р»(1-с) ь Г ( . _ Р"0>2 + °р'2) 1 ’

ш2 + р'2 1 / L Р <о2 + р'2 J ’ (12.28)

_ Г,, “Р'Р" I1—°) 1 ; Р" (ы2 + °р'2)

м2 + р'2 J > <о2 + р'2 ’

Таким образом, мы снова получили комплексное решение вида
a = v + /P. * (12.29)
Однако теперь частота v и коэффициент затухания р имеют по два значения
Частоты свободных токов в цепп ротора отличаются, естественно, от ча-
стот токов в цепп статора на угловую частоту вращения ротора и (см. вы-
ражение (12.1)].

Относительные частоты токов в цепи статора определяются выражениями
|-°),

(1-0).

(12.30)

Их сумма попрежнему равна w. Преобразуя далее мнимые части выражений
(12.28), получаем значения коэффициентов затухания

р = р*_р*

р2 1 Р 0>2 4- р'2

(12.31)

Их сумма также равна простой величине, именно р'+р".

Выражения (12.30) показывают, что даже при большом активном сопро-
тивлении цепи статора обе системы свободных токов вращаются лишь с не-
большим скольжением относительно статорной или роторной обмоток. При
малом активном сопротивлении р' цепи статора, порядка р", значения отно-
сительных частот в выражении (12.30) прпближа*отся к соответствующим зна-
чениям, полученным выше в выражении (12.21). По мере роста активного
сопротивления цепи статора частоты скольжения сначала растут, достигают
максимума при р' = ш, т. е. когда активное и реактивное сопротивления рав-
ны друг другу, а затем уменьшаются. Однако даже максимальная частота
скольжения имеет сравнительно небольшую величину, так как активное
сопротивление ротора, характеризуемое величиной р", мало. Если пренеб-
речь коэффициентом рассеяния о по сравнению с единицей, то максимальная
частота окажется равной р"/2 со, т. е. будет равна половине отношения актив-
ного сопротивления ротора к его индуктивному сопротивлению рассеяния.
Ввиду малой частоты этих токов их часто рассматривают как постоянные.

Затухания двух систем токов при различных активных сопротивлениях
цепей статора и ротора будут отличаться друг от друга. При коротком
замыкании на зажимах машины активное сопротивление цепи статора
мало. Поэтому вторые члены в выражениях (12.31) становятся ничтожно
малыми В этом случае коэффициент затухания системы токов, связанной
со статором,1) равен просто р', т. е. соответствующему значению для ста-
тора, а коэффициент затухания системы токов, связанной с ротором, равен
р", т. е. соответствующему значению для ротора. Однако при больших
активных сопротивлениях цепи статора значения коэффициентов затухания,
определяемых выражениями (12.31), будут существенно отличаться от соот-
ветствующих значений для каждой из обмоток [см. выражения (12.11)].

Подобные свободные вращающиеся поля возникают во всех многофаз-
ных машинах при любых коммутационных операциях или при изменениях
нагрузки. Одно из полей связано со статорной, а другое—с роторной обмот-
ками, причем скорости скольжения так же, как и коэффициенты затухания,
определяются в основном отношением активного сопротивления к индуктив-
ному сопротивлению рассеяния соответствующих цепей. Так как у мощных
машин переменного тока активные сопротивления, как правило, малы по
сравнению с индуктивными сопротивлениями рассеяния, то свободные токи

*’ Т. е. почти неподвижной относительно статора (соответственно ротора).—Прим,
ред.
в них затухают очень медленно и поэтому могут в течение многих секунд
оказывать очень сильное влияние на процессы в сети. Характерно, что
в цепях статора и ротора всегда одновременно появляются свободные пере-
менные токи двух частот: высокой (почти нормальной) и очень низкой (почти
постоянный ток), которые накладываются друг на друга. Эти токи, а так-
же токи установившегося режима полностью определяют переходный
процесс.

Как видно из нашего анализа, показатели а и р, входящие в выражение
(12.3), имеют два значения [см. выражение (12.28)]. Поэтому выражение
для каждого тока должно содержать две постоянные, которые представляют
собой соответствующие амплитуды токов. Таким образом, полные выражения
для свободных токов в статорной и роторной обмотках имеют следующий вид:

(12.32)

= К^'1-| А2е^"« = A’1e-Pi'e,vi< + К2е~^^1‘,
L = К^'‘ -|- К.е^’ч = К.е-^е1^1 -ф К.е-^е’^.
и t) 1 О 1 Л

Однако четыре постоянные интегрирования Ат, К2, К3 и Ki не являются
независимыми; можно найти соотношения, при помощи которых токи в ро-
торной обмотке выражаются через токи в статорной обмотке.

Соотношения (12.8) справедливы как для системы токов, связанной со
статором, так и для системы токов, связанной с ротором. Для системы, свя-
занной со статором и определяемой в выражениях (12.32) амплитудами Кг и
А3, частота и, следовательно, величина а' очень малы, в то время как ча-
стота v'2 и, следовательно, р' велики и почти равны угловой скорости вращения
ротора и. Поэтому в соответствии с принятыми ранее допущениями в соотно-
шении (12.8) можно пренебречь величиной Л2 по сравнению с jfi’L2. Тогда
для амплитуд токов получается следующее отношение:

Aj_ __ Т2

К3~ - /VM ~ ~М ‘

(12.33)

Аналогично для системы токов, связанной с ротором и характеризующейся
амплитудами К2 и Kt, частота х" и, следовательно, частота Р" очень малы,
в то время как частота v" и, следовательно, частота а" велики. Таким
образом, в соотношении (12.8) можно пренебречь величиной по сравне-
нию с Таким путем получается второе отношение

А"2 _ —]'а"М _ М

4 /и L\ I- \

(12.34)

Правда, это отношение справедливо лишь для умеренных значений сопро-
тивления /ф цепи статора, но только этот случай и представляет интерес
с практической точки зрения.

Теперь систему токов в роторной обмотке можно полностью свести
к системе токов в статорной обмотке. Эти токи равны

?, = -!-К2е^‘ = К,е-'^е^^ -' К2е~^е^'<

1 Ж ' <2 J л j

t2^ ~ - Ь-А'ас^ = (

Эти решения для свободных токов в статорной и роторной обмотках содер-
жат только две постоянные интегрирования А', и К2, значения которых
должны быть найдены из начальных условий конкретной задачи.

Найдем сначала некоторые численные значения для частот и коэффп
ипеитов затухания. Пусть активное сопротивление цепи статора трехфазной
машины (включая внешнюю часть цени) составляет 10% от ее индуктив-
ного сопротивления рассеяния, а активное сопротивление цепи ротора
1% от ее индуктивного сопротивления рассеяния. Тогда в соответствии
с соотношениями (12.11) получаем

£ = —}- = 10%;
СО СОО-С]

р!=_К2 =1О/о_
со юаЛ2

Если коэффициент рассеяния машины (вместе с внешней частью цепп)
о = 10%, то относительная частота скольжения свободных полей относи-
тельно статора пли ротора на основании соотношений (12.30) равна
^=100 -°’1> = 0’и9%-

[В знаменателе соотношения (12.30) мы пренебрегли величиной р'2 по срав-
нению с и2.] Найденная относительная частота скольжения настолько
мала, что системы свободных токов п магнитных потоков часто можно
считать неподвижными относительно статора (или ротора). Если частота сети
равна 50 гц, то из тех же соотношений (12.11) находим постоянные времени,

с которыми происходит затухание,

~ р'

Т”

10
2зг-50

до сек"

1 Ю° ~ 1

р" — 2п-50 3

_L ±2

<0 [-/

Следовательно, система токов, связанная со статором, исчезает по исте-
чении нескольких периодов нормального тока, в то время как система
токов, связанная с ротором, имеет еще заметную величину по истечении
1 сек. Первой системе соответствует почти постоянный ток в статорной
обмотке и переменный ток почти нормальной частоты в роторной обмотке;
второй системе переменный ток в статорной обмотке и почти постоянный
ток в роторной обмотке. В реальных машинах времена затухания часто
оказываются значительно большими, чем в приведенном примере.

Если активное сопротивление внешней цепп статора велико, то вторые
члены в выражениях (12.31) играют существенную роль. Их действие выра-
жается в увеличении затухания системы постоянных токов в цепи статора
и в уменьшении затухания системы переменных токов в этой же цепи.
Величина изменения коэффициента затухания одинакова для обеих сн
стем токов. Это изменение коэффициента затухания играет относительно
небольшую роль по сравнению с большой величиной р' и имеет очень
большое значение по сравнению с малой величиной р". Следовательно,
но мере увеличения активного сопротивления цепи статора почти посто-
япнып ток в ней затухает быстрее, а переменный ток существует в течение
более длительного времени. В конечном счете коэффициент затухания
переменного тока, уменьшаясь, достигает своего предельного значения,
которое, как это видно из второго выражения (12.31), при больших зна-
чениях р' равно ор" или в соответствии с выражением (12.11) /?2/В2. По-
стоянная времени Т" свободных переменных токов обратно пропорциональна
коэффициенту затухания. При малом активном сопротивлении цепи статора
она в соответствии с выражением (12.11) равна постоянной времени потока
рассеяния, затем по мере роста сопротивления она увеличивается и при
большом сопротивлении цепи статора становится равной полному значению
постоянной времени цепи ротора L2/B2. Последняя величина представляет
собой не что иное, как постоянную времени цепи ротора при разомкнутой
цепи статора. Для нашего численного примера она равна

rrirf ____ -I

0 —

10-100 _ „ „

314

сек.

Чтобы установить характер изменения полных магнитных потоков,
выразим весь магнитный поток, сцепленный со статором, через намаг-
ничивающий ток. Намагничивающие ток — это сумма токов в статор-
ной и роторной обмотках, определяемых выражениями (12.32). Однако
суммирование этих токов происходит с учетом множителя М/Lv как это
видно из первого уравнения (12.2). Следовательно,

= ^^-К3у-^е^ + ^К2 + ^К^е^е^‘. (12.36)

Магнитный поток, создаваемый этим током, является суммой внутреннего
главного потока машины, ее потока рассеяния и потока самоиндукции
внешней цепи. Если ограничиться рассмотрением цепей с небольшим актив-
ным сопротивлением, то вместо постоянных К3 и Ki можно подставить их
значения, определяемые соотношениями (12.33) и (12.34). Последний член
в выражении (12.36) при этом обращается в нуль. Используя значение
коэффициента рассеяния всей цепи [см. соотношение (12.10)], получаем сле-
дующее выражение для магнитного потока, сцепленного с цепью статора:

(12.37)

Аналогично намагничивающий ток, создающий полный магнитный
поток, сцепленный с цепью ротора, равен

1иа = Ч\ --= (кз ) е~Ш ei^t 4 (g К,) е^. (12.38)

Для цепей с малым активным сопротивлением это выражение упрощается
и в соответствии с соотношениями (12.33) и (12.34) приводится к виду

£и2 = аК4е-^' e’v®f.

(12.39)

Итак, со всей цепью статора сцеплен только быстро убывающий маг-
нитный поток, создаваемый почти постоянным намагничивающим током, тогда

как со всей цепью ротора сцеплен только
медленно затухающий вращающийся поток,
создаваемый системой переменных намагни-
чивающих токов. Отсюда ясно видно, каким
путем осуществляется электромагнитная
связь между указанными магнитными поля-
ми и соответствующими цепями машины.
В главный магнитный поток машины, сцеп-

ленный только с активной частью статорной
и роторной обмоток, частично входят обе составляющие магнитного пото-
ка. Доли их определяются полем рассеяния машины и магнитным полем
внешней цепи. Это расчленение поля показано схематически на фиг. 112.

Из выражений (12.37) и (12.39) видно, что намагничивающие токи гИ1
и ги2 составляют только небольшую часть тока в статорной обмотке
Кх и соответственно тока в роторной обмотке А4; величина этой части
определяется коэффициентом рассеяния а. Согласно общей теореме комму-

тации, магнитные потоки в отличие от токов никогда не изменяются
скачком. Поэтому целесообразно исходить не из зависимости магнитных
потоков от токов, а из обратной зависимости.

Каждая коммутационная операция вызывает во вращающейся много-
фазной машине изменение установившихся магнитных потоков на величину
АФ и, следовательно, изменение намагничивающих токов на величину
Д/и. Свободные токи 1и, определяемые выражениями (12.37) и (12.39),
дополняют это мгновенное изменение таким образом, что в результате
получается непрерывное изменение. Поэтому начальные значения ампли-
туд свободных токов для статора и ротора определятся следующим образом:

= = (12.40)

Итак, начальные значения свободных магнитных потоков опреде-
ляются непосредственно разностью установившихся потоков до и после
коммутационной операции, а затем убывают с соответствующими постоян-
ными времени и частотами. Начальные значения соответствующих им сво-
бодных токов увеличиваются во много раз, а именно: обратно пропор-
ционально коэффициенту рассеяния. Это объясняется тем, что при движе-
нии роторной обмотки относительно статорной, каждая из них стремится
скомпенсировать магнитное .поле, создаваемое другой обмоткой. Указан-
ный эффект и является причиной возникновения больших токов, величина
которых тем больше, чем меньше рассеяние обмоток.

ЛИТЕРАТУРА

Bek k u S., Gen. Electr. Rev., 472 (1925).

Calculation of short-circuit ground currents on three-phase power networks, using
the method of symmetrical coordinates.

Boucherot P., Congr. intern, elec,, Turin (1911).

Les phenom ones electromagnetiques qui resultent de la mise en court-circuit
brusque d’un alternateur.

Dreyfus L., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 891 (1911).

Freie magnetische Energie zwischen verketteten Mehrphasensystemen.

Dreyfus L., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 25 (1912).

Ausgleichvorgange in der symmetrischen Mehrphasenmaschine.

Dreyfus L., Arch. Elektrotechn., 5, 103 (1916).

Ausgleichvorgange beim plotzlichen Kurzschluss von Synchrongeneratoren.

Fleischmann L., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 45 (1908).

Uber Stromstosse beim Einschalten von Induktionsmotoren bei synchron laufendem
Rotor.

Ikeda Y., Mori M., Zs. angew. Math. Meeh., 274 (1931).

Einpbasiger Kurzschluss der Synchronmascbine.

Jacottet P., Arch. Elektrotechn., 26, 679 (1932).

Diimpfung und Warmewirkung des StoBstromes bei einfach gespeislem Netzkurz-
schluss.

Lyon W. V., Journ. AIEE, 22, 388 (1923).

Transient conditions in electric machinery.

Mandi A., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 609 (1923).

Der KurzschluBstrom eines Wechselstromgenerators.

M ass ar E., Arch. Elektrotechn., 36, 265 (1942).

Ausgleichsvorgange bei Mehrphasen-Induktionsniaschinen und ihre Drehmomente.

Rogowski W., Arch. Elektrotechn., 11, 147 (1922).

Der KurzschluBstrom eines Wechselstromgenerators.
Глава 13

ВНЕЗАПНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ
ТРЕХФАЗНЫХ МАШИН

Свободные тонн в цепях статора и ротора многофазных вращающихся
машин с тремя или более равномерно нагруженными фазными обмотками
определяются выражениями (12.35), а именно:

Ч = А'1е_р1< е>^‘ -|- К2е~^ ,

i2 = — -J Кле~п* е>^‘ — (1 е’^‘.

Aj2 -t’-t

Если цепи статора и ротора замкнуты, то переход от одного устано-
вившегося состояния к другому всегда сопровождается появлением таких
свободных токов. При медленном изменении состояния, например при по-
степенном увеличении нагрузки машины, свободные токи малы, если время,
в течение которого происходит изменение состояния, велико по сравнению
с постоянными времени 1/р свободных токов. Однако быстрые изменения
состояния, например толчки нагрузки, форсировка возбуждения, колеба-
ния ротора при параллельном работе и т. п., вызывают появление зату-
хающих свободных токов, которые накладываются па нормальные рабочие
токи в цепях статора и ротора н искажают их во время переходного про-
цесса, а иногда даже полностью подавляют.

Особенно большие свободные токи получаются при внезапном измене-
нии напряжения на зажимах статорной обмотки на значительную вели-
чину. Такое изменение напряжения может возникнуть в результате оши-
бочных коммутационных операций, а также и во время нормальной работы
машины. В качестве примеров можно указать: аварийное короткое замы-
кание в обмотках машины или в сети, включение на параллельную работу
прп неправильном положении полюсов, а также включение вращающейся
машины толчком па полное напряжение. Во всех этих случаях свободные
токи могут оказаться во много раз больше нормальных рабочих токов ма-
шины. Чтобы оценить величины свободных токов, определим, исходя из
начальных условии в момент коммутации, значения постоянных KL и /\.2,
входящих в выражения (13.1) для нескольких наиболее интересных слу-
чаев.

Поскольку мы рассматриваем полную систему многофазных токов
н обмотках, пет надобности точно устанавливать значение фазы в момент
коммутации. В момент коммутации свободный ток имеет максимальное зна-
чение в том месте машины, в котором произошло наибольшее изменение
установившегося тока. Свободный ток в проводниках, расположенных
в этом месте, п во всей фазной обмотке, в которую входят эти провод-
ники, сразу приобретает максимальное значение и далее изменяется
во времени по закону косинуса. Это изменение описывается веществен-
ной частью гармонических функций, входящих в выражения (13.1). Наобо-
рот, в проводниках, расположенных в тех местах машины, в которых
изменение установившегося тока в момент коммутации равно нулю, а также
в соответствующих фазных обмотках, содержащих эти проводники, возни-
кают свободные токи, изменяющиеся во времени по закону синуса; это
изменение описывается мнимой частью тех же гармонических функций.
Амплитуды быстро изменяющихся токов, характеризующихся высо-
кими частотами и •/,, в обоих указанных местах многофазной обмотки
почти равны между собой, а фазы этих токов сдвинуты на 90°. У мед-
ленно изменяющихся токов, характеризующихся низкими частотами \ и ч",
существенную роль играют только вещественные, т. е. косинусоидаль-
ные составляющие. Синусоидальные же составляющие этих токов успевают
затухнуть почти до нуля к тому моменту, когда они должны были бы
достигнуть максимального значения. Поэтому рассмотрим в первую оче-
редь косинусоидальные свободные токи, так как они производят наиболь-
ший эффект в результате наложения друг на друга. На основании урав-
нений (13.1) эти токи равны

cos cos v'7,

M r L

i., = - - A'.e-fJ' cos v’t - ~ cos v'7.

* L2 1 z M * 1

(13.2)

§ 1. Короткое замыкание асинхронных двигателей. В режиме холо-
стого хода асинхронный двигатель потребляет из сети только намагничи-
вающий ток /р (потерями пренебрегаем). '1 аким образом, ток в его ротор-
ной обмотке равен пулю. Если в сети вблизи места присоединения дви-
гателя происходит трехполюсное короткое замыкание (фиг. ИЗ), то

дальнейшее питание двигателя из сети прекращается. Магнитное поле
двигателя, имевшее в момент короткого замыкания полную величину,
начинает постепенно спадать. Ротор может иметь такую инерцию, при
которой он будет продолжать вращаться с почти неизменной скоростью.
При коротком замыкании зажимов статорной обмотки установившиеся
токи как в статорной, так и в роторной обмотках будут равны нулю.

Таким образом, согласно общей теореме о коммутации (см. гл. 3),
в момент / = 0 (момент короткого замыкания) свободный ток в роторной
обмотке равен нулю, а свободный ток в статорной обмотке равен намаг-
ничивающему току. Следовательно, выражения (13.2) дают

Чо = 1 ^2 = >

i — __Л1 к - К —0 (13.3)

20' L2 1 Л7 2 —V-

Отсюда определяем амплитуды токов

К =______________

1 ~ а > {13 м

к - 1~а г

где а — коэффициент рассеяния, определяемый выражением (12.10).
Итак, как в статорной, так и в роторной обмотках двигателя возни-
кают две системы свободных затухающих токов, пространственное распре-
деление которых описано выше. Их начальные амплитуды во много
раз превышают намагничивающий ток, так как коэффициент рассеяния а
обычно весьма мал. Составляющая тока в статорной обмотке, имеющая
амплитуду К2 и создающая свободный магнитный поток, связанный с ро-
тором, представляет собой затухающий переменный ток высокой частоты
Напротив, составляющая тока в статорной обмотке, имеющая амплитуду Кг,
представляет собой затухающий переменный ток очень низкой частоты v'.
Эта частота настолько мала, что ток с амплитудой Кх трудно отличить
от затухающего постоянного тока- На фиг. 114 показано, как происходит

Фиг. 115. Ф,и г. 116.

убывание с течением времени обеих составляющих свободного тока в ста-
торной обмотке. Для тока в роторной обмотке имеет место обратное поло-
жение: быстро уменьшается составляющая свободного тока с амплиту-
дой, пропорциональной Кл, и очень медленно убывает составляющая сво-
бодного тока, амплитуда которой пропорциональна К2.

Если активные сопротивления обмоток машины и, следовательно,
соответствующие коэффициенты затухания малы, то амплитуды токов, имею-
щие противоположные знаки в момент / = 0 [см. соотношения (13.3)
и (13.4)], по истечении полупериода после короткого замыкания склады-
ваются так, что свободный ток достигает большой величины. Происходит
эго потому, что быстро изменяющиеся составляющие свободных токов
в выражениях (13.2) через полупериод изменяют свой знак на обратный,
в то время как медленно меняющиеся составляющие успевают лишь
немного уменьшиться. Пренебрегая затуханием в статорной и роторной
цепях, находим следующие максимальные значения свободных токов:

/^ = ^-^ = (-1-1)4,
/ М I- L\ j,. М 2 т
S2— Lz М 2“ L2 а Iх’

На фиг. 115 приведены осциллограммы токов в статорной и роторной
обмотках 75-кнловаттного асинхронного двигателя до и после трехполюс-
ного короткого замыкания в сети вблизи его зажимов. Ток холостого
хода этого дат ателя составлял 40% от номинального тока. Как видно
из осциллограммы, ток в статорной обмотке возрос при коротком замыка-
нии до 17-кратного значения намагничивающего тока, т. е. до 7-кратного
значения номинального тока. Особенно хорошо видно на осциллограмме

(13.5)
тока в статорной обмотке наложение быстрых и медленных колебаний
затухающих токов.

Рассеяние в асинхронных машинах часто Характеризуют не коэффициен-
том рассеяния а, а напряжением рассеяния Es, создаваемым номинальным
током в обмотках машины. Воспользовавшись этим определением, найдем,
что отношение основного члена в выражениях (13.5) для тока при корот-
ком замыкании к номинальному току равно

Л = Чл = 2ь>£1/н = 2 —
In QIn H'S

(13.6)

т. e. равняется удвоенному отношению напряжения сети к напряжению
рассеяния.

Так как напряжение рассеяния асинхронных двигателей составляет
обычно 1/i—1/6 напряжения сети, то при коротком замыкании в сети, питаю-
щей мощные асинхронные двигатели с относительно малыми активными со-
противлениями обмоток, нужно ожидать появления свободных токов, кото-
рые превышают номинальный ток двигателя в 8—10 раз.

На фиг. 116 приведены осциллограммы токов того же двигателя при
двухполюсном, т. е. одноконтурном коротком замыкании сети (неповрежденные
фазы продолжают питать двигатель). Так как в этом случае в нуль обращается
только напряжение между двумя замкнутыми накоротко проводами сети,
то по обмоткам двигателя, помимо свободных токов короткого замыкания,
протекают также вынужденные токи. Если мощность двигателя мала по
сравнению с мощностью сети, то между неповрежденным и двумя повреж-
денными проводами сети устанавливается напряжение, равное (]ЕЗ/2)Е.
Хотя это напряженно действует только в одной оси, однако и в другой,
перпендикулярной оси статорной обмотки продолжающего вращаться дви-
гателя, возникает установившийся ток короткого замыкания, протекающий
через место повреждения сети. Магнитное поле, определяемое напряжением
сети, действует, в первую очередь, на обмотку вращающегося ротора, ак-
тивное сопротивление которой мало. Это действие ограничено рассеянием
обмоток. Во вторую очередь, вращающийся ротор действует на коротко-
замкнутую ось статора, причем это действие также ограничено рассеянием
обмоток. Ток, возникающий в короткозамкнутой оси, определяется, таким
образом, удвоенной величиной рассеяния двигателя. При данном напряже-
нии сети величина этого тока составляет только половину так называемого
установившегося тока короткого замыкания двигателя. Следовательно, при
двухполюсном коротком замыкании в сети значение установившегося тока
короткого замыкания асинхронного двигателя равно

Е- — 1 &_____ о 433 .£ (13 71

In 2 2 Es 4 Es Es

Таким образом, установившийся ток короткого замыкания в этом случае
меньше половивы тока, который возникает в двигателе с неподвижным
ротором при полном напряжении.

§ 2. Подключение к сети вращающихся асинхронных двигателей. Если
ротору асинхронного двигателя < короткозамкнутой обмоткой (типа бели-
чьей клетки) сообщить механическим путем полную скорость, а затем вне-
запно подключить статорную обмотку этого двигателя к сети, то установив-
шийся магнитный поток, для создания которого требуется намагничивающий
ток 1 [1, не может возникнуть мгновенно. Появляются такие свободные маг-
нитные потоки и такие свободные токи, что результирующий магнитный
поток в момент включения равняется нулю'. Поэтому сумма установпвшегося
намагвичиваюхцего тока и начального свободного тока в статорной обмотке,
определяемого выражением (13.2), равняется нулю. Следовательно, сумма
величин Кг и К2 равна установившемуся намагничивающему току, взятому
с обратным знаком. Сравнивая этот результат с первым нз соотношении
(13.3), замечаем, что в данном случае получаются свободные токи той же ве-
личины, что и в предыдущем примере, но противоположного направления
[см. выраженпя (13.4)—(13.6)]. Рассматриваемый процесс включения двига-
теля также характеризуется значительными толчка-
ми тока, превосходящими в 8 —10 раз его номиналь-
ное значение.

Эти толчки тока можно уменьшить, подклю-
чая двигатель к сети не непосредственно, а через за-
щитные сопротивления, как показано на фит. 117.

Ф н г. 117. Ф иг. 118.

Таким путем можно довести коэффициент затухания р± [см. выражение
(12.31)] до (толь значительной величины.что система токов, характеризуемая
амплитудой и связанная со статором, успеет почти полностью затухнуть
за иолуиериод, т. е. к тому моменту, когда должно произойти сложение двух
составляющих свободного тока. Так как коэффициент затухания р2 сравни-
тельно мал, то система свободных токов, связанная с ротором, будет играть
теперь основную роль. Частота токов этой системы лишь немного меньше
частоты установившихся токов, и, следовательно, они интерферируют между
собой. Па фиг. 118 приведены осциллограммы токов такого двигателя, вклю-
ченного через защитные сопротивления. Па осциллограмме видны биения,
возникающие после включения.

Пуск асинхронных двигателей с короткозамкнутой роторной обмоткой
(типа беличьей клетки) часто производится путем подачи на статорные обмот-
ки пониженного напряжения; полное напряжение подводится лишь после

1,<ЛЧ*****

215а

Фит 119.

разгона ротора до полной скорости. Такой пуск двигателя осуществляется либо
переключением со звезды на треугольник, либо включением через автотранс-
форматор. Магнитный поток во время пуска двигателя меньше, чем в рабо-
чем режиме, и благодаря этому пусковой ток оказывается значительно умень-
шенным. Однако если во время переключения с более низкого па более вы-
сокое напряжение происходит хотя бы кратковременное отключение статор-
ной обмотки от сети, то магнитное поле пускового режима исчезает, и двига-
тель с вращающимся ротором, не имеющий сколько-нибудь значительного
поля, оказывается включенным на полное напряжение сети. Тогда толчки
тока, устраненные в начале пуска, появятся в момент переключения и
притом .значительно усиленные. Осциллограмма для такого случая приведена
на фпг. 119; она относится к двигателю мощностью 7,5 кет. Для ограниче-
ния таких толчков тока в двигателе необходим переключатель с защит-
ным сопротивлением.
§ 3. Короткое замыкание синхронных машин. Выше были получены
выражения для свободных токов в предположении, что статорные и роторные
обмотки являются многофазными. Этими выражениями можно воспользо-
ваться для анализа переходных процессов в синхронных машинах, имеющих
на статоре двух- или трехфазную обмотку, а на роторе—успокоительную
обмотку в поперечной осп или, тем более, полную успокоительную обмотку
(типа беличьей клетки), наличие которых обеспечивает образование вра-

щающихся систем токов.

В турбогенераторах с цилиндрическим ротором (фпг. 120), который
обычно изготовляется сплошным, клинья, удерживающие обмотку в пазах,
делаются из металла с большой электропроводностью. Благодаря этому

в таких машинах могут возникать многофазные системы токов, замкнутых
ио всевозможным направлениям. Свободные токи, вызванные любым изме-
нением магнитного потока машины, могут течь не только в обмотках возбуж-
дения, замкнутых вокруг продольной осп ротора, но и в любом месте внутри
него, а также и в клиньях. Эти токи встречают на своем пути сравнительно
небольшое активное сопротивление и могут создать полную многофазную
систему, вращающуюся с любой скоростью и, следовательно, вполне соответ-
ствующую нашему предположению.

Успокоительные обмотки, помещающиеся в полюсных башмаках явно-
полюсной синхронной машины (фиг. 121), в сочетании с обмоткой возбужде-
ния также образуют полную многофазную систему. В межполюсном простран-
стве, где отсутствуют стержни успокоительной обмотки, их действие заменяет-
ся действием самих катушек возбуждения. Магнитное сопротивление между
ротором и статором изменяется вдоль окружности машины (оно мало
па осп полюсов и велико в промежутках между ними). Однако это обстоя-
тельство оказывает лишь незначительное влияние на возникновение свобод-
ных токов. Явления прп коротком замыкании определяются в основном отно-
шением напряжения рассеяния к электродвижущей силе, тогда Kai; величина
магнитного сопротивления главного магнитного потока играет лишь второ-
степенную роль. Поэтому наши выводы справедливы с достаточной степенью
точности и для машин такого типа.

В явнополюспых машинах без успокоительных обмоток свободные
токи в роторе могут возникать только в полюсных катушках. Эти токи влияют
па магнитное ноле лишь вдоль оси полюсов, уменьшая его колебания. В меж-
иолюсном пространстве колебания магнитного ноля могут стать значитель-
ными и привести к некоторым дополнительным явлениям.

Рассмотрим трехфазную синхронную машину (с полной успокоительной
системой), возбуждаемую со стороны ротора прп разомкнутой цепи статора.
Пусть на зажимах статора этой машины происходит полное короткое
замыкание. Возникшие при этом свободные токи изменяются в соответствии
с выражениями (13.1) или (13.2). До момента короткого замыкания и
спустя длительное время после него по роторной обмотке течет намагничи-
вающий постоянный ток 1 р. После затухания всех переходных процессов по
статорной обмотке протекает установившийся ток короткого замыкания lh,
который часто превосходит в несколько раз номинальный ток. Свободный
ток в момент короткого замыкания (£=0) равен разности токов до короткого
замыкания и спустя длительное время после него. Следовательно, в соответ-
ствии с соотношениями (13.2) имеем

гю = " -^2 = h >

/ - К L' К -I I — О (13-8)

г20 — £2 Л2 — /р. —/р. — U.

'1 аким образом, начальные амплитуды составляющих свободных токов равны

^i= ,

, ° (13.9)

Полный переходный ток в статорной обмотке после короткого замыкания
складывается из установившегося тока короткого замыкания lk, изменяю-
щегося с угловой частотой о>, и свободного тока, соответствующего наиболее

неблагоприятному соотношению между фазами токов [см. первое из выра-
жений (13.2)]. Таким образом, имеем

i1 = Zfc|co.swZ—— [e_pi'cos (1 з) е~Р2* cos v[7] j . (13.10)

На фиг. 122 дана кривая изменения во времени этого максимально возмож-
ного тока. Благодаря наличию составляющей с очень низкой частотой v'lr
которую можно рассматривать как постоянный ток, кривая тока в начале
переходного процесса расположена по одну сторону от оси времени.

Итак, внезапное короткое замыкание сопровождается появлением пере-
ходных токов, которые вследствие малости коэффициента рассеяния синхрон-
ных машин во много раз больше и без того значительных установившихся токов
короткого замыкания. Эти переходные токи убывают до величины установив-
шихся токов короткого замыкания, лишь спустя некоторое достаточно
большое число периодов. Максимальное мгновенное значение переходного
тока наступает примерно через полупериод после короткого замыкания.
По истечении этого времени знак первого члена в выражении (13.10), опре-
деляющего установившийся ток короткого замыкания, изменяется на обрат-
ный. Второй член этого выражения, относящийся к системе токов, связан
вых со статором, вследствие малости v,' сохраняет свой знак, поскольку
значение косинуса изменяется мало. Третий член, изменяющийся с частотой
ч"г, равной примерно угловой частоте машины [см. выражение (12.30)],
меняет свой знак. Поэтому максимальное значение полного тока короткого
замыкания в статоре (ударный ток) равно

7S1 = -/ft [(l-e-f2')+i(e-Pif4 е-₽2‘)] . (13.11)

При очень малом затухании все экспоненциальные члены данного выра-
жения приблизительно равны единице. Следовательно, максимальное воз-
можное значение ударного тока короткого замыкания равно

761=-|д. (13.12)

Так как для каждой синхронной машины всегда известны установившийся
ток короткого замыкания Ik и коэффициент рассеяния а, то легко под-
считать максимальное возможное значение ударного тока короткого замы-
кания.

В выражение для свободного тока в роторной обмотке (13.2) входят
отношения собственных индуктивностей к взаимной индуктивности цепей
машины. Однако этими величинами редко пользуются на практике. Мы
выразим их через значения токов в статорной и роторной обмотках в ре-
жиме установпвшегося короткого замыкания. Для этой цели восполь-
зуемся дифференциальными уравнениями (12.2), преобразовав их примени-
тельно к нормальному режиму, когда напряжения на зажимах статорной
и роторной обмоток соответственно равны Е1 и Е2. По статорной обмотке
течет переменный ток нормальной частоты <», а по роторной —постоянный
ток, не изменяющийся со временем. Тогда получаем следующие соотношения:

iidL.T. RjE -Т = Е.,
J 11 1 1 / 1 '

В212 — ^2-

(13.13)

В режиме холостого хода ток в статорной обмотке равен нулю, а ток
в роторной обмотке — намагничивающему току 7И. Таким образом, абсо-
лютное значение напряжения холостого хода, согласно первому из соотно-
шений (13.13), равно

£ = Д = о>М72 = о>Л77ц.

(13.14)

В режиме установившегося короткого замыкания напряжение на зажимах
статорной обмотки равно нулю, а ток в роторной обмотке попрежнему
равен 7И. Пренебрегая незначительным активным сопротивлением статор-
ной обмотки, находим из первого соотношения (13.13 ) установивши йен
ток короткого замыкания

(13.15)

Эта формула связывает намагничивающий ток 7И в роторной обмотке
с установившимся током короткого замыкания 7Ь в статорной обмотке.

На основании второго из выражений (13.2) и соотношений (12.9)
и (12.10) начальные амплитуды составляющих свободного тока в роторной
обмотке равны

М г к _1 — °

L2 М LtL2 а

I"1 17
л f 9

м 2

1=±7
а
Таким образом, полный ток в роторной обмотке, включая намагничиваю-
щий ток, после короткого замыкания равен

i2 = ^ii [ 1 — —у--(е_р1< cos v'/ е-Р2* cosм"/) j . (13.17)

Кривая изменения этого тока во времени приведена па фиг. 123.

Спустя полупернод после короткого замыкания, этот ток достигает
максимума К этому моменту времени знак второго члена в выражении
(13.17), соответствующего системе токов, связанной со статором, изме-
няется па обратный. Знак третьего члена сохраняется, так как этот член

Фпг. 123.

соответствует системе токов, чрезвычайно медленно перемещающейся отно-
сите, и.по ротора. Поэтому ударный ток в роторной обмотке равен

Л2 = /ц[1 '7° (с-»'- e-P2t)] . (13.18)

При очень малом затухании это значение приближается к величине

^ = /,(4-1). (13.19)

Это максимальное значение тока в роторной обмотке также можно легко
определить по величине коэффициента рассеяния.

Так как /1Л истинный намагничивающий ток в роторной обмотке, а
Ih установившийся ток короткого замыкания в статорной обмотке, обычно
значительно превышающий номинальный ток, то отношение ударного тока
короткого замыкания к номинальному току для статорной обмотки значи-
тельно больше, чем для роторной.

В практических расчетах вместо коэффициента рассеяния а удобнее
пользоваться напряжением рассеяния Es. Из соотношении (13.14) и (13.15)
можно получить абсолютное значение напряжения на зажимах статорной
обмотки в режиме холостого хода

£ = (13.20)

Под напряжением рассеяния машины Eg понимают напряжение, возни-
кающее на индуктивности рассеяния cLt при прохождении через статор-
ную обмотку поминального тока 1п, т. е.

(1.3.21)

Разделив соотношение (13.21) па соотношение (13.20), получим

° = (13.22)
Таким образом, коэффициент рассеяния можно легко определить по хорошо
известным параметрам синхронной машпны: напряжению рассеяния, уста-
новившемуся току коррткого замыкания и номинальной мощности. Отсюда
в связи с выражением (13.12) следует, что отношение максимального
ударного тока короткого замыкания к номинальному току машины равно

IS1 Г)

In ~ Bs "

(13.23)

Соотношение такого же вида было получено выше [см. выражение (13.6)]
для короткого замыкания или включения асинхронного двигателя. Однако
поскольку синхронные машины обладают, как правило, меньшим напря-
жением рассеяния, чем асинхронные машины, ударные токи короткого

Фиг. 124.

замыкания в них значительно больше. Если, например, напряжение рас-
сеяния составляет только 10% от номинального напряжения, то ударный
ток короткого замыкания в 20 раз превосходит номинальный ток.

До сих пор мы рассматривали только те свободные токи в статорной
и роторной обмотках, которые являются косинусоидальными функциями
времени. Так как системы свободных токов вращаются в пространстве
и распределены по окружности машины по гармоническому закону, то
токи в различных фазных обмотках достигают своих максимальных зна-
чений не одновременно. Максимальное значение тока получается только
в той фазной обмотке, в которой мгновенное значение установившегося
тока короткого замыкания в момент коммутации (короткого замыкания)
было максимальным. В других фазных обмотках возникают меньшие началь-
ные токи; они вместе с максимальным током образуют полную многофазную
систему.

В той фазной обмотке, в которой в момент коммутации установившийся
гок короткого замыкания равен нулю, возникают свободные токи, явля-
ющиеся синусоидальными функциями времени. Выше было показано,
что полностью развиваются только те составляющие свободных токов,
которые характеризуются высокими частотами м" и v'; составляющие же
токов с низкими частотами и v2, представляющие собой почти постоян-
ные токи, быстро исчезают вследствие затухания. Следовательно, мы
можем пренебречь этими составляющими, и получить для синусоидальных
полных токов в статорной и роторной обмотках следующие выражения
[аналогичные соотношениям (13.10) и (13.17)]:

• 1 -О Л . (

sin —J*—— e_fat sin у

1—а „ . . ,, Л

— о — e~Pi‘ sin v2Z \.

(13.24)

На фиг. 124 показана кривая зависимости тока i± от времени, симметричная
относительно оси абсцисс. Ни на этой кривой, ни на кривой для косину-
10 р. Рюденберг
сопдальных токов (см. фиг. 122) не видно биений при сложении установившихся
и свободных токов. Это объясняется тем, что частоты о> и v'' так близки друг
к другу, что первое биение могло бы появиться только спустя значительное
время после того, как затухнут свободные токи.

В какой из фазных обмоток статора возникнет несимметричный ток, со-
держащий составляющую с очень низкой частотой [см. соотношение (13.10)
и фиг. 122], зависит от простой случайности. Поэтому для надежности необ-
ходимо рассчитывать на максимальный ток все фазные обмотки машины
и все три фазы внешней цепи. По обмотке возбуждения ротора в момент
короткого замыкания протекает максимальный ток, тогда как в успокоитель-
ных обмотках токи еще отсутствуют. Следовательно, в обмотке возбуждения
всегда возникают несимметричные косинусоидальные токи, соответствую-
щие выражению (13.17) и фиг. 123, а в успокоительных обмотках—симметрич-
ные токи, определяемые соотношениями (13.24). Характер изменения сим-
метричных токов соответствует кривой на фиг. 124.

Амплитуды свободных токов определяются в основном рассеянием ма-
шины. Изменение их во времени, однако, определяется затуханием двух
составляющих тока, зависящим в сильной степени от активных сопротивле-
ний цепей, что непосредственно видно из выражений (12.11) и (12.31). В слу-
чае малых активных сопротивлений амплитуды затухающих токов умень-
шаются за каждый полупериод (?=и/о>) в число раз, равное

_ е-кЛ/(шэГ.) _ (13.25)

Здесь Es иопрсжнему означает напряжение рассеяния, создаваемое поминаль-
ным током [см. формулу (13.21)], а ЕТ—падение напряжения на активном
сопротивлении, также создаваемое номинальным током в цепи статора или
ротора в зависимости от того, о какой системе токов идет речь. В случае боль-
шого активного сопротивления цепи статора необходимо дополнить коэффи-
циент затухания в выражении (13.25) в соответствии с дополнительным
членом выражения (12.31).

Если, например, напряжение рассеяния синхронного генератора состав-
ляет 10% от напряжения сети, а падение напряжения на активном сопротив-
лении цепи статора составляет 1% от напряжения сети, т. е. 1Осо от напря-
жения рассеяния, то ударный ток при коротком замыкании будет, согласно
соотношению (13.23), лишь немного меньше 20-кратного значения амплитуды
номинального тока. За каждый полупериод амплитуды системы свободных
токов в статорной обмотке уменьшаются на величину, которая в соответствии
с выражением (13.25) равна

е-«/ю= о,73

от предшествовавшего значения. Через !/10 сек., т. е. ио прошествии 10 полу-
периодов 50-периодного тока, амплитуда уменьшится до величины

е-« = 0,043 = 4,3%

от ее первоначального значения. Активное сопротивление цепей статора
часто имеет величину такого же порядка, как в этом примере, вследствие
чего система токов, связанных со статором, затухает очень быстро.

Активное сопротивление цепей ротора имеет обычно значительно мень-
шую величину, в особенности в турбогенераторах, вследствие того, что по-
перечные сечения путей токов в меди и в стали велики. Поэтому система
свободных токов, связанных с ротором, затухает значительно медленнее.
Если, например, активное сопротивление цепи ротора составляет 1 % от ее
индуктивного сопротивления рассеяния, то, согласно выражению (13.25),
токи в роторной обмотке уменьшаются до 4,3% от их первоначального значе-
ния только спустя 100 полупериодов, т. е. через 1 сек.
Коэффициент затухания огибающей полного тока короткого замыкания
определяется с достаточной точностью показательными функциями в послед-
них членах выражений (13.11) и (13.18), которые в основном характеризуют
затухание. Воспользовавшись уравнением (13.25), получим

х = с-’'Еп/^14 e-^2,'ES2_ (13.26)

Подставляя числовые значения параметров из последнего примера, получаем
х; = е-*/ю 4(>-*/100 = 0,73 0,97= 1,70.

Мощные синхронные машины обладают обычно меньшими показателями
затухания, вследствие чего х еще больше приближается к предельному значе-
нию 2,0, что следует из выражения (13.23). На практике, как показывают

Ф и г. 125.

результаты многочисленных осциллографических исследований, суммарное
успокоительное действие статора и ротора уменьшает наибольшее возможное
значение ударного тока, наступающее спустя полупериод после момента
короткого замыкания (в среднем до 90°о), вследствие чего среднее значение
коэффициента х=1,8.

На фиг. 125 приведены осциллограммы токов короткого замыкания
в обмотке возбуждения и в статорной обмотке трехфазного турбогенератора
мощностью 3000 кеа при скорости вращения 3000 об/мин. Система свободных
токов, связанных со статором, образует в цепп ротора переменный ток, а в цепи
статора—убывающий постоянный ток: оба тока исчезают через некоторое не-
большое число периодов. Однако в начале процесса эта система смещает
кривую тока короткого замыкания в статорной обмотке по одну сторону от
оси абсцисс. Система свободных токов, связанных с ротором, создает в цепи
ротора медленно убывающий дополнительный постоянный ток, а в цепи ста-
тора—переменный ток нормальной частоты и со столь малым затуханием, что
он уменьшается до установившегося тока короткого замыкания только по
истечении значительного времени. Спустя 1 сек. токи этой системы умень-
шаются только до 27% от их начальных значений.

Если на зажимах статора синхронного генератора произойдет не трех-
полюсное, а двухполюсное короткое замыкание, то явления в машине можно
рассматривать как результат сочетания двух систем свободных токов, вра-
щающихся в противоположных направлениях относительно обмоток статора
и ротора. Поле, вращающееся в обратном направлении, возбуждает в успо-
коительной обмотке свободные токи, частота которых равна удвоенной часто-
те сети. Если на роторе имеются как продольная, так и поперечная успокои-
тельные обмотки, то эти токи в значительной степени подавляют обратновра-
щающееся поле. Максимальные токи короткого замыкания и в этом случае
можно найти при помощи коэффициента ударного тока х, определенного
выражением (13.26). Однако вследствие малых активных потерь затухание
при двухполюсном коротком замыкании будет примерно вдвое меньше, чем
прп трехполюсном коротком замыкании. На фиг 126 приведены осцилло-
граммы токов короткого замыкания в обмотке возбуждения и в статорной
обмотке в случае двухполюсного короткого замыкания вышеуказанного

Фиг. 126.

турбогенератора На осциллограмме ясно видна составляющая тока в ротор-
ной обмотке, обладающая удвоенной частотой. Токи, связанные с ротором,
убывают за 1 сек. только до 40% от их начальных значений, образуя столь
же медленно затухающий переменный ток в цепи статора.

-15

VVWV

Фиг. 127.

На фиг. 127 приведена кривая, на которой указаны относительные значе-
ния номинального тока in, переходного тока is и установившегося тока
короткого замыкания ikB синхронном генераторе обычной конструкции. Значе-
ния токов отнесены к номинальному току машины in, принятому за единицу.

ЛИТЕРАТУРА

[Hermanns J., Arch. Elektrotechn., 3, 354 (1915).

Der plotzliche einphasige Kurzschluss der Drehstrom-Synchronmaschine.

Biermanns J., Elektrotechn. Zs., 579 (1916).

Der plotzliche Kurzschluss der Drehstrom-Synchronmaschine.

Biermanns J., Uberstrome in Hochspannungsanlagen, Berlin, 1926 (см. перевод.

Бирмане И , Сверхтоки в установках высокого напряжения, М., 1932).

Davis С. М., Gen. Electr. Rev., 805 (1914).

Alternator short-circu'ts.

Dia ma nt N. S., Proc. AIEE, 2043 (1915).

Calculation of sudden short-circuit phenomena of alternators.

Doherty R. E., Williamson E. T., Journ. AIEE, 1 (t921).

Short-circuit currents of induction motors and generators.

Doherty R. E., Williamson E. T., Journ. AIEE, 1021 (1923).

A simplified method of analyzing short-circuii problems.

Durgin W. A., Whitehead 'R. H , Proc. AIEE, 897 (1912).

The transient reactions of alternators.

Fallon J., Bull. soc. franc;. elec., 969 (1926).

Calcul des courants de courtcircuit dans les reseaux tri phases.

Field A. B., Proc. AIEE, 968 (1912).

Operating characteristics of large turbo-generators.

Frank-in R E., Journ. AIEE, 563 Ц925).

Short-circuit, currents of synchronous machines.
Наппа W. М., Travers Н. A., Wagner С. F., Woodrow С. А.,
S к eats W. F., Trans. AIEE, 60, 877 (1941).

System short-circuit currents.

H a b e r 1 i F., BBC-Mittlg., Baden, 3 (1924).

Das generatorische Verbal ten von Einankerumformern bei Kurzschliissen.

Henningsen E. S., Gen. Electr. Rev., 214 (1920).

Short-circuit tests on a 10 000-kva. turbine alternator.

Karapetoff V., Journ. AIEE, 855 (1925).

Initial and sustained short-circuits in synchronous machines.

К uy p er W. W., Trans. AIEE, 60, 151 (1941).

Analysis of short-circuit oscillograms.

Laffoon С. M., Journ. AIEE, 736 (1924)

Short-circuits of alternating-current generators.

VI a n d 1 A., Journ. Inst. Electr. Eng., 94, P. II, 102 (1947).

Short-circuit characteristics and load performance of inductor-type alternators.

N iethammer F., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 509 (1916).

Mechanische Wcllenschwingungen elektrischer Maschinen, besonders von Synchron-
maschinen, bei plotzlichem Kurzschluss.

Pohl R , Elektrotechn. Zs., 54, 127 (1933).

Vorgange beim Kurzschluss eines Synchrongenerators.

Pung a F., Elektrotechn. Zs., 827 (1906).

Der plotzliche Kurzschluss von Drehstromdynamos.

Pung a F., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 56, 273, 533 (1938).

Zur Geschichte des Stosskur. schluBstromes.

Rikli H., Schweiz Bull., 217 (1925).

Experimentelle Untersuchung fiber den plotzlichen Kurzschluss von Wechselstrom-
generatoren.

S c h e i b A., Arch. Elektrotechn., 33, 71 (1939).

Kurzschlussvorgange in mehrfach gespeisten, vermaschten Netzen.

Schuchardt R F., Schweitzer О. E., Proc AIEE, 1669 (1911).

The use of power-limiting reactances with large turbo-alternators.

Shirley О. E., Gen. Electr. Rev., 121 (1917).

Analysis of short-circuit oscillograms.

Walker M., Journ. Inst. Electr. Eng., 45, 295 (1910).

Short-circuiting of large electric generators and the resulting forces on armature
windings.

Weaver S. H., Gen. Electr. Rev., 1066 (1915).

Mechanical effects of electrical short-circuits.
Глава 14

ТОКИ КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ

В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Токи короткого замыкания могут достигать очень большой величины
и потому представляют собой серьезную угрозу для электрических систем.
Ниже будет показано, что они создают опасные перегрузки, которые могут
стать причиной электрического, механического или теплового разрушения
как генераторов, в которых эти токи возникают, так и элементов сети, линий
передачи и аппаратов, по которым они протекают.

В настоящей главе в дополнение к произведенному выше теоретическому
анализу излагаются практические соображения и опытные факты, получен-
ные при экспериментальных исследованиях и при эксплуатации мощных
электроэнергетических систем.

§ 1. Токи короткого замыкания в машинах. В генераторах с полной
успокоительной обмоткой на роторе существенную роль играют только маг-
нитные потоки рассеяния статорной и успокоительной обмоток. В явнопо-
люсных машинах, не снабженных успокоительными обмотками, образуется

Фиг. 128.

еще одно поле рассеяния, а именно в пространстве между полюсами. Это
обстоятельство влечет за собой уменьшение свободных токов. Свободное
магнитное поле, связанное со статором, будет сильно изменяться по величине
вследствие того, что на него периодически накладывается большой магнитный
поток рассеяния, направленный вдоль поперечной оси (в пространстве между
полюсами). В результате происходит сильное искажение формы кривой
свободных токов, а в случае двухполюсного короткого замыкания в непо-
врежденных фазовых обмотках трехфазной машины возникают большие пере-
напряжения. На фиг. 128 приведена осциллограмма напряжения на зажимах
неповрежденной фазовой обмотки мощного явнополюсного генератора со
сравнительно слабым магнитным насыщением и тока в короткозамкнутой
обмотке. Сильное магнитное насыщение и большое рассеяние способствуют
уменьшению перенапряжений. Их действие в этом отношении аналогично дей-
ствию успокоительной клетки и заключается в выравнивании свободных
магнитных потоков по продольной и поперечной осям машины.

Если сеть имеет значительную емкость, топики напряжения (см. фиг. 128)
могут возбудить колебания, частота которых равна собственной частоте
сети, что приведет к дальнейшему повышению напряжения. Подобные
случаи наблюдались в явнополюсных генераторах, у которых или совсем
не было или были неполные успокоительные обмотки, охватывающие только
полюса и оставляющие свободными межполюсные пространства.

Механические усилия, обусловленные пиками тока при коротком замы-
кании, пропорциональны квадрату тока. Таким образом, если ток короткого
замыкания превышает номинальный ток, например в 50 раз, то возникают

Ф и г. 129.

усилия, которые в 2500 раз больше усилий при нормальном режиме. Чтобы
обмотка генератора могла выдержать механические силы, возникающие при
коротком замыкании, необходимо обращать особое внимание на ее механиче-»
скую конструкцию, а также на размещение и укрепление ее лобовых соеди-
нений. На фиг. 129 показана статорная обмотка с усиленным креплением
лобовых частей.

Наилучшим и единственно эффективным средством для уменьшения токов
короткого замыкания и ослабления их вредных действий является увели-
чение относительного напряжения рассеяния генераторов EJE. Последнее
достигается при достаточно большом числе витков в статорной обмотке
и сравнительно малом основном магнитном потоке машины. Только таким
путем можно значительно уменьшить пики токов короткого замыкания,
хотя продолжительность переходных процессов при этом несколько воз-
растает.

Ввиду того что действие ударных токов короткого замыкания может быть
весьма опасным, надежное определение их величины очень важно для прак-
тики. Может возникнуть вопрос: какие потоки рассеяния генератора должны
быть приняты во внимание при расчете пиковых значений свободных токов?
В частности, неясно, имеет ли существенное значение только поток рассея-
ния статора или следует учитывать также поток рассеяния ротора, будет ли
поток рассеяния в пазах действовать полностью или он будет уменьшен за
счет насыщения зубцов, будет ли успокоительная обмотка оказывать влияние
на поток рассеяния между полюсами и т. д. Ответы на эти вопросы мы дадим,
исходя из данных опытов, произведенных с реальными машинами.
Отношение ударного тока короткого замыкания к номинальному току
на основании соотношений (13.23) и (13.26) равно

Zs . Е

1п '' Es ’

(14.1)

Величина, стоящая в левой части этого равенства, может быть измерена для
любого генератора путем осциллографирования тока короткого замыкания.
В правой части выражения стоит величина, обратная относительному напря
жению рассеяния машины. Напряжение рассеяния можно легко измерить,
удалив ротор из отверстия статора и питая статорную обмотку трехфазным
током нормальной частоты. В этом случае магнитный поток, проходящий

-29%'1,92 +297°

Явнополюсные машины без успокоительной обмотки

-35% 1,64 +35%

Явнополюсные машины с успокоительной обмоткой

Ф и г. 130.

через отверстие статора, в известной степени подобен потоку рассеяния
ротора. Поток в отверстии можно вычислить для любого случая с достаточ-
ной точностью. Вычитая из приложенного напряжения напряжение, соответ-
ствующее потоку в отверстии, находим напряжение, соответствующее рассея
нию в пазах и в лобовых частях статорной обмотки.

Отношения, входящие в выражение (14.1), были определены для боль-
шого числа синхронных генераторов, испытанных на внезапное короткое
замыкание при полном напряжении, и из них было найдено эмпирическое
значение коэффициента ударного тока х. Известно, что вследствие успокоитель-
ного эффекта этот коэффициент должен быть несколько меньше 2; таким путем
можно определить влияние различных потоков рассеяния на свободные токи.

На фпг. 130 приведены шесть экспериментальных кривых, дающих
распределение значений х, которые были определены указанным путем.
Кривые даны отдельно для машин с массивным цилиндрическим ротором и
для явнополюсных машин с успокоительной обмоткой и без нее, причем
в каждом из трех указанных случаев распределение значений х взято с уче-
том потока в отверстии и без учета (после вычитания). Наиболее вероятные
значения х тесно группируются около среднего значения, немного меныпего
двух, только в следующих случаях: для машин с цилиндрическим ротором
без учета потока в отверстии, для явнополюсных машин без успокоитель
ной обмотки с 1 четом потока в отверстии, для явпополюсных машин с успо-
коительной обмоткой без учета потока в отверстии. В трех других случаях
получаются совсем иные средние значения этого коэффициента. Общее сред-
нее значение для первых трех указанных случаев составляет

х = 1,80 (14.2)

и хорошо согласуется с нашими предыдущими вычислениями.

Из приведенных данных следует, что в турбогенераторах с цилиндриче-
ским ротором и в явнополюсных машинах с успокоительной обмоткой на
величину ударного тока короткого замыкания влияет рассеяние в пазах
и в лобовых частях статорной обмотки, тогда как в явнополюсных генерато-
рах без успокоительной обмотки необходимо учитывать рассеяние в отвер-
стии, заменяющее в данном случае рассеяние в роторе.

Причиной этого различия является, очевидно, следующее обстоятель-
ство. В сплошном сердечнике и в пазовых клиньях цилиндрического
ротора турбогенератора, а также в успокоительной обмотке (типа беличьей
клетки) ротора явнополюсного генератора возникают многофазные си-
стемы токов, которые создают свободное магнитное поле, связанное с
ротором. Эти токи, протекающие внутри ротора, дают только небольшие
магнитные потоки рассеяния, играющие весьма малую роль по сравнению
с магнитным потоком рассеяния статора. В противоположность этому, в яв-
нополюсных генераторах, не имеющих успокоительных обмоток, подобные
многофазные системы токов возникать не могут. В этом случае система сво-
бодных токов короткого замыкания может взаимодействовать только с одно-
осной обмоткой возбуждения, причем ее значительный межполюсной поток
рассеяния способствует уменьшению значений ударного тока.

В результате этих экспериментальных исследований было найдено сред-
нее значение коэффициента ударного тока х, равное 1,80. Большой разброс
значений х на каждой из кривых фиг. 130 объясняется главным образом тем,
что измерения выполнялись на машинах большой, средней и малой мощности.
Действительно, для разных машин коэффициенты х должны несколько отли-
чаться друг от друга, так как отношение активного сопротивления к индук-
тивному сопротивлению рассеяния у них различно [см. соотношение (13.26)].
Другой причиной разброса значений х является неточность осциллографиро-
вания и связанных с ним численных расчетов. Отклонения от средних зна-
чений могут быть найдены на основании кривых распределения фиг. 130 по
правилам теории вероятности; они лежат в пределах от ± 30 до ±35%.

Если короткое замыкание происходит на зажимах генератора при на-
пряжении, меньшем номинального, то, как видно из фиг. 131, коэффициент
ударного тока короткого замыкания, приведенный к постоянной величине от-
носительного напряжения рассеяния, несколько уменьшается. Это объяс-
няется тем, что в действительности относительное напряжение рассеяния
увеличивается по мере уменьшения насыщения на путях потоков рассеяния.

Установившиеся токи двухполюсного и однополюсного короткого замы
кания генераторов больше установившихся токов трехполюсного корот-
кого замыкапия потому, что реакция якоря при однополюсном и при двух-
полюсном коротких замыканиях меньше, чем при трехполюсном. Однако
ударные токи при различных видах короткого замыкания лишь незначитель
но отличаются друг от друга. На фиг. 132 даны значения отношения ударного
тока однополюсного или двухполюсного короткого замыкания к ударному
току трехполюсного короткого замыкания. Среднее значение этого отноше-
ния приближается к единице, а разброс составляет попрежнему приблизи-
тельно ±30%. Следовательно, при двухполюсном, а также при однополюсном
коротких замыканиях в сетях с заземленной нейтралью возникают примерно
такие же ударные токи, как и при трехполюсном коротком замыкании. Это
означает, что относительное напряжение рассеяния во всех трех случаях
примерно одинаково.

Ударный ток внутреннего короткого замыкания в обмотке генератора,
обусловленного либо перенапряжениями, либо дефектами изоляции, не

Напряжение до короткого замыкания, %

Фиг. 131. ,

превышает величину ударного тока
при коротком замыкании на зажимах.
Однако установившийся ток короткого
замыкания сильно возрастает при умень-
шении числа замкнутых накоротко вит-
ков обмотки. Когда число замкнутых

° -Цилиндрический
ротор

+ -Явнополюсные
машины

0 0,2 0.4 0,6 0.8 /,0; 12'1,4 ' 1,6 1,8 20
—

Фиг. 132.

накоротко витков обмоткп достаточно мало, установившийся ток короткого
замыкания может стать больше, чем переходный ток. Таким образом, в этом
случае ток короткого замыкания не имеет пиков, а постепенно нарастает
до своего конечного значения.

Большое практическое значение имеет не только величина первого
пика тока короткого замыкания, но и дальнейшее изменение тока во времени.
Поэтому мы не будем целиком полагаться на результаты расчетов по вели-
чинам активного сопротивления и индуктивного сопротивления рассеяния
и определим наиболее существенную периодическую составляющую переход-
ного тока короткого замыкания путем непосредственных измерений на
мощных машинах. На фиг. 133 и 134 даны кривые затухания во времени
периодических составляющих переходных токов (в логарифмическом мас-
штабе). Эти кривые получены в результате обработки большого числа
осциллограмм. Точки кривых для явнополюсных генераторов (см. фиг. 133)
дают значительно больший разброс, чем точки кривых для турбогенераторов,
см. фиг. 134). Кривые на фиг. 134 образуют только два раздельных пучка,
несмотря на то, что измерения производились на машинах различной мощности.
Из кривых для машин обоих типов (фиг. 133 и 134) видно, что затухание
токов при двухполюсном коротком замыкании вдвое меньше, чем затухание
при трехполюсном коротком замыкании, что объясняется меньшими поте-
рями энергии в первом случае.

Если бы затухание происходило по показательному закону, то кривые
на фш. 133 и 134, вычерченные в логарифмическом масштабе, представляли
бы собой прямые линии. Однако начальные участки этих кривых значитель-
но отличаются от прямых линий. Вначале, на протяжении примерно 0,1 сек.,
гоки убывают чрезвычайно быстро; только в дальнейшем закон их убывания
постепенно приближается к показательному закону. Это явление отчасти
объясняется магнитным насыщением, всегда имеющимся в реальных маши-
нах, а отчасти тем, что ротор характеризуется двумя пли большим числом

t, сек.

Ф и г. 134.

постоянных времени. Последнее является следствием взаимодействия между
катушками обмотки возбуждения и отдельными успокоительными обмотками
или контурами вихревых токов (см. гл. 8 и 10). Подробный анализ зтих сложных
явлений дается в одной ив следующих глав. Вторичные постоянные времени
очень малы и обычно меньше 1/10сек. Из фиг. 133 и 134 можно установить, что
среднее значение основной постоянной времени для синхронных машин средней
мощности составляет около 1 сек. при трехполюсном и около 2 сек. при двух-
полюсном коротком замыкании. Таким образом, полное время затухания
переходных токов короткого замыкания составляет от 3 до 6 сек.

Вихревые токи в сплошных стальных частях роторов турбогенераторов
и в металлических клиньях, закладываемых в пазы роторов, участвующие
в образовании роторной системы свободных то-
ков, частично замыкаются через бандажные
кольца, крепящие лобовую часть обмотки. Если
электрический контакт между этими кольцами
и корпусом ротора недостаточно надежен, то
может иметь место их перегрев и даже обгора-
ние. Повреждения такого рода заметны в не-
скольких местах на поверхности бандажного
кольца, показанного на фиг. 135. Этих повре-
ждений можно избежать только при очень хоро-
шем электрическом контакте или при полной
изоляции между бандажными кольцами и сер-
дечником.

При коротким замыкании возникают ме-
ханические силы, действующие не только на
лобовые части обмоток, но и между стато-
ром и ротором. Последние создают допол-
нительныи тормозящий момент. Поскольку магнитный поток в воздуш-
ном зазоре машины вначале сохраняет свою полную величину, то отноше-
ние максимального тормозящего момента, обусловленного коротким замыка-
нием, к нормальному моменту машины равно отношению ударного тока
короткого замыкания к ее нормальному току. Таким образом, тормозящий
момент при коротком замыкании
примерно в 15 раз превышает нор-
мальный момент машины и, следо-
вательно, действует как сильный
удар по валу, муфте и по первич
ному двигателю, а также по фунда-
менту генератора. На фиг. 136 по-
казано изменение во времени тока
короткого замыкания в jобмотке
статора мощного турбогенератора
и одновременное уменьшение ско-

рости врахцения его ротора (эта скорость измерялась при помощи специаль-
ного тахометра и регистрировалась осциллографическим путем). Чтобы
уменьшение скорости было более заметным, осциллограмма была снята при
пониженной скорости машины, что позволило вычислить величину момента,
возникающего при коротком замыкании, цо значениям торможения и мо-
мента инерции ротора. Нужно сказать, что при уменьшении скорости ма-
шины величина ударного тока и момент почти не меняются, так как они
определяются в основном отношением напряжений [см. соотношение (14.1)],
которое не зависит от скорости вращения ротора.

Как видно из фиг. 136, максимальное торможение и, следовательно,
максимальный тормозящий момент развиваются в течение первого полупе-
риода после короткого замыкания, т. е. в течение приблизительно 1/100 сек.
Вычисления, выполненные на основании осциллограммы, показывают, что
относительное значение момента численно согласуется с относительным зна-
чением тока. Колебания момента, возникающие после первого удара, играют
сравнительно малую роль, так как они очень быстро затухают. Эти колебания
момента обусловлены изменениями магнитной и механической энергий
машины. Следует отметить, что если во время эксперимента начальная
скорость очень мала, то эти колебания могут вызвать изменение направления
вращения ротора.

Если к моменту короткого замыкания генератор был нагружен, то ток ирм
этом не может измениться мгновенно. В противном случае магнитный поток
машины изменился бы вследствие реакции якоря мгновенно, что невозможно.
Следовательно, через место короткого замыкания вместе со свободным током
протекает прежний ток нормального режима, причем сохраняется его фаза

Фиг. 137.
/

Наиболее неблагоприятный случай наступает при чисто индуктивной на-
грузке; тогда ток нагрузки арифметически складывается с током короткого
замыкания и ударное значение тока достигает примерно 15—16-кратного
значения нормального тока. При меньшем значении сдвига фаз или при
чисто активной нагрузке увеличение ударного тока короткого замыкания
почти незаметно. При коротком замыкании нагруженных синхронных двига-
телей происходит уменьшение ударного тока короткого замыкания на соответ-
ствующую величину. На фиг. 137 приведена осциллограмма, снятая при
коротком замыкании синхронного двигателя, работавшего при уменьшенном
токе возбуждения. Этим путем было искусственно увеличено влияние на-
чального тока нагрузки.

В общем случае начальный ток нагрузки так мал по сравнению с удар
ным током короткого замыкания, что неучет его лежит в пределах прочих
погрешностей наших расчетов. В опытах по исследованию короткого замы-
кания ненагруженного генератора ни в коем случае не следует пытаться ими-
тировать нагрузку путем увеличения тока возбуждения от его значения,
соответствующего холостому ходу, до значения, соответствующего полной
нагрузке генератора. Это привело бы к тому, что напряжение Е на зажимах
статора до короткого замыкания и, следовательно, в соответствии с соотно-
шением (14.1) ударный ток возросли до значений, которые никогда не были
бы получены в действительных условиях.

Если отключение короткого замыкания происходит через непродолжи-
тельное время после его возникновения, то напряжение генератора не может
сразу восстановиться до своей полной величины, так как магнитный поток
генератора значительно уменьшился вследствие размагничивающего действия
токов короткого замыкания. В момент отключения короткого замыкания
напряжение повышается скачком до небольшой величины, определяемой
остаточным магнитным потоком машины. Затем напряжение постепенно
возрастает до полной величины в соответствии с постоянной времени основ-
ного потока ненагруженного генератора. Этот процесс может длиться не-
сколько секунд, как это видно из фиг. 138, на‘которой приведена осцилло-
грамма восстановления напряжения на зажимах турбогенератора небольшой
мощности. Одновременно с отключением короткого замыканпя ток возбуж-
дения генератора скачкообразно уменьшается до величины, определяемой
значением намагничивающего тока, соответствующего остаточному потоку.
Вслед за этим ток возбуждения возрастает вместе с напряжением до своей
прежней величины.

Ф и г. 138.

Если продолжительность короткого замыкания мала—опа устанавли-
вается регулировкой механизма выключателя,—то свободный ток не может
полностью затухнуть. Следовательно, магнитный поток генератора также
не может уменьшиться до нового установившегося значения. Таким образом,
в момент отключения короткого замыкания напряжение генератора повы-
шается скачком до более высокого значения и соответственно сильнее воздей-
ствует на выключатель в течение времени отключения. Это обстоятельство

иллюстрируется кривой на фиг. 139, которая показывает уменьшение магнит-
ного потока ротора, а вместе с ним и э.д.с. Е генератора. Эта э.д.с. умень-
шается по показательному закону с постоянной времени рассеяния Т2 от
начального значения Ео до конечного значения Ев-\-Е^, определяемого индук-
тивными сопротивлениями рассеяния генератора и внешней сети. На той же
фиг. 139 показаны скачки напряжения на зажимах статора, соответ-
ствующие пяти различным моментам tk отключения короткого замыкания.
Отсюда легко определить величину восстанавливающегося напряжения.
В момент tk короткое замыкание отключается и напряжение начинает
расти по показательному закону в соответствии с постоянной времени То
основного потока, стремясь к своему предельному значению Ео. Это пре-
дельное значение может быть равно напряжению до короткого замыкания,
но может оказаться и выше прежнего напряжения, если в момент короткого
замыкания генератор был нагружен и во время короткого замыкания про-
изошло отключение нагрузки или если после короткого замыкания произошло
увеличение тока возбуждения генератора.

Если короткое замыкание произошло вблизи генератора, то задержка
его отключения уменьшает количество освобождающейся энергии. Так,
например, если постоянная времени при двухполюсном коротком замыкании
в цепи Т2=2 сек., а время задержки tk—i сек., то скачок эффективного вос-
станавливающегося напряжения в момент отключения составит около 30%
от напряжения сети. Одновременно значительно уменьшается величина от-
ключаемого тока. При удаленных от генератора коротких замыканиях маг-
нитный поток и напряжение уменьшаются значительно слабее. Поэтому боль-
шое время задержки отключения не дает здесь существенных преимуществ.

§ 2. Токи короткого замыкания в сетях. В электрических сетях большой
протяженности короткие замыкания могут происходить по различным при-
чинам. Так, например, перенапряжения могут вызывать перекрытия между
находящимися под различными потенциалами токоведущими частями машин,
трансформаторов и распределительных устройств, а также между проводами
линий передачи. Провисающие провода могут коснуться друг друга или
земли вследствие обледенения или под действием сильного ветра, вызыва-
ющего их раскачивание. Причиной перекрытия могут быть также ветви
деревьев, птицы и другие посторонние предметы, случайно попавшие между
проводами. При земляных работах возможно повреждение подземных кабе-
лей. Неправильное включение может привести к полному короткому замы-
канию вблизи зажимов. При перегрузке одноякорных преобразователей и
ртутных выпрялштелей может возникнуть круговой огонь на коллекторе,
или обратное зажигание, что приведет к короткому замыканию на стороне
трехфазного переменного тока. Наконец, короткое замыкание может явиться
следствием какого-либо дефекта изоляции в любой части электриче-
ской сети.

Во всех перечисленных случаях контакт между проводами возникает
гак быстро, что генераторы создают в поврежденной линии большие ударные
токи короткого замыкания, величина которых во много раз превосходит
нормальный ток сети. Для количественной оценки можно считать, что совре-
менные генераторы при внезапном коротком замыкании вблизи их зажимов
дают ударные токи, величина которых в 10—20 раз больше амплитуды
нормального тока. Затем в зависимости от мощности и типа генератора
ток короткого замыкания убывает в течение 1—5 сек. от указанной началь-
ной величины до своего установившегося значения, которое при полном воз-
буждении генератора обычно превышает нормальный ток в 2—3 раза.

Последствия таких коротких замыканий, обусловленные действием
возникающих при этом свободных токов, становятся особенно тяжелыми по
мере увеличения мощности электростанций. В то время как токи нагрузки
в сети полностью зависят от потребителей электрической энергии, токи
короткого замыкания совершенно не зависят от мощности потребителей, и
их величина определяется исключительно параметрами генераторов и самих
сетей. В результате, если не принимаются специальные меры ограничения,
разрушительное действие токов короткого замыкания усиливается по мере,
роста мощности станций и при объединении отдельных сетей и станций
в крупные энергетические системы.

Величина токов короткого замыкания в сильной степени зависит от
места аварии. На фиг. 140 отмечены различные места, в которых произошли
короткие замыкания. В точке к1 отмечено короткое замыкание, происшед-
шее на главных генераторных шинах В мощной электрической станции. К это-
му месту притекают токи короткого замыкания от трех мощных генераторов
С. Если же короткое замыкание происходит в точке Л2, т. е. на главных высо-
ковольтных шинах В', то в цепь короткого замыкания последовательно
включается реактивное сопротивление соединенных параллельно трансфор-
маторов Т, благодаря чему мощность короткого замыкания значительно
уменьшается. При этом в цепи высокого напряжения уменьшаются как
абсолютная величина тока короткого замыкания, так и его кратность, т. е.
отношение тока короткого замыкания к соответствующему номинальному
току. Уменьшение абсолютной величины тока происходит в соответствии
с коэффициентом трансформации, относительная величина тока уменьшается
за счет индуктивного сопротивления трансформаторов.

Короткое замыкание в точке к3 в одной из цепей передачи высокого на-
пряжения Н создаст почти такой же ток, как и в предыдущем случае. Однако
поскольку по каждой из трех цепей передачи протекает лишь 1/3 нормаль-
ного тока высоковольтных шин, кратность тока короткого замыкания, т. е.
отношение тока короткого замыкания к нормальному току одной цепи,
оказывается теперь в 3 раза большей, чем в предыдущем случае. Если к уда-
ленному концу линии передачи присоеди-
нена разветвленная сеть, то аварийные то-
ки, возникающие вследствие короткого
замыкания в одной из ветвей этой сети,
уменьшаются по абсолютной величине по
мере увеличения индуктивности в цепи
короткого замыкания. Однако отношение
тока короткого замыкания к нормально-
му току в какой-либо маломощной ветви
может значительно возрасти, что пред-
ставляет большую опасность для прово-
дов такой ветви, имеющих малое попереч-
ное сечение.

Особенно тяжелые повреждения могут
иметь место в маломощных питающих ли-
ниях, присоединенных непосредственно к
шинам большой мощности. Авария в такой
эту слабую линию попадает полный ток

короткого замыкания всей станции. Слабая линия не м&жет выдер-
жать столь большой ток и сразу же сгорает. Следовательно, необхо-
димо увеличивать индуктивность такой линии, что достигается путем вклю-
чения реакторов на ее отправном конце. Таким путем можно уменьшить
ток короткого замыкания до величины, допустимой при данном попереч-
ном сечении проводов, которое определяется нормальным рабочим током.
На фиг. 140 показан такой реактор х, защищающий вспомогательные шины,
от которых питаются «собственные нужды» станции. Благодаря этому корот-
кое замыкание в точке к- или в какой-либо более удаленной точке не
может вызвать чрезмерно больших токов в сравнительно слабой сети соб-
ственных нужд h. На фиг. 140 справа показана старая часть электрической
станции со сравнительно маломощными генераторами g. Сеть в этой части
станции не была рассчитана на большие токи короткого замыкания,
обусловленные дополнительным присоединением новых мощных генерато-
ров G. По указанным выше причинам целесообразно разделить генера-
торные шины на две секции при помощи промежуточного реактора X В
случае короткого замыкания в точке /с4 наличие этого реактора устраняет
возможность притекания слишком большого тока короткого замыкания
от новых мощных генераторов к старой системе шин.

Если мощность генераторов, сосредоточенных на одной станции, велика,
то для ограничения токов короткого замыкания в любой точке вблизи гене-
раторов весьма целесообразно разделить шины при помощи упомянутых
выше реакторов на ряд с’екций, как это показано на фиг. 141 для станции
с пятью генераторами. Шины электрических станций, мощность которых
превышает 50 000—100 000 ква, обязательно должны быть подразделены на
секции. Как видно из фиг. 142, активный ток 1х может беспрепятственно
проходить через такие шинные реакторы из одной секции в другую, так
как вектор создаваемого им индуктивного падения напряжения Ех почти
перпендикулярен к векторам напряжения Е л EG на смежных шинах. Это
вызывает лишь небольшой сдвиг фаз межд^ напряжениями на шинах
Ед и ЕСт, но не изменяет их абсолютной величины.

Из сказанного следует, что токи короткого замыкания распределяются
в разветвленной сети электроэнергетической системы иначе, чем токи

Ф и г. 141.

Фиг. 142.

нормальной нагрузки. В нормальном режиме токи в отдельных ветвях
определяются нагрузками в точках присоединения потребителей При
коротком замыкании величина тока определяется номинальной мощностью
всех работающих генераторов, питающих сеть, индуктивным сопротив-
лением всего пути тока, начиная от генераторов и кончая точкой короткого
замыкания, а также, правда в небольшой степени, и активным сопротив-
лением. Следовательно, станции, линии передачи и распределительные
сети мощных электрических систем ни в коем случае не должны рассчиты-
ваться только на номинальные токи нагрузки. Расчет должен произво-
диться на те токи, которые могут возникать в различных частях сети при
внезапном коротком замыкании в любой ее точке.

В соответствии с соотношением (14.1) ударный ток короткого замыкания
определяется следующим образом:

F Т

Ц = (14.3)

Величину Е1п можно рассматривать как полную номинальную мощность
всех генераторов, питающих короткое замыкание, а величину Es—как
падение напряжения на индуктивности, создаваемое суммарным номиналь-
ным током вплоть до места короткого замыкания. Величину Е1п можно
рассматривать также, как номинальную мощность линии, в которой про-
изошло короткое замыкание, a Es—как падение напряжения на индуктив-
ности, создаваемое нормальным током этой линии, между местом короткого
замыкания и генераторами. Наконец, EJIn можно рассматривать как экви-
валентное реактивное сопротивление всей цепи от обмотки генератора до
места короткого замыкания. Ударный ток короткого замыкания определяет-
ся как частное от деления напряжения цепи на это эквивалентное реактивное
сопротивление.

На фиг. 143 представлены результаты расчета токов короткого замыка-
ния, выполненного для сравнительно простой сети. Реактивные сопротивле-
ния основных элементов сети указаны в процентах и лишь некоторых эле-
ментов—в омах. По этим данным и по полной суммарной мощности генерато-
И Р. Рюденберг
ров определены ударные (/„) и установившиеся (Ik) значения токов короткого
замыкания для всех точек системы.

В некоторых точках сети токи короткого замыкания могут быть
настолько велики, что автоматические выключатели, выбранные по токо-
распределению нормального режима, не смогут произвести необходимое

ГБа

6 кв

675а I—

ЛЙЯГ>—I—

5% I-

I. 8000а,1.‘27000а

35 км 3x352Cu

5000кла

Ik=3390a. Is=9400a

Ц^ПЗООа '
к/ I.-122000а
6 50кв

10000 ква —

1К 4255a WomIuiA)
^l.=7300a , '

—а— •- 951а

Is=4080a

175а
57.

50кв

1^2305а

5000ква^

15 кв

Фиг. 143.

отключение. В подобных случаях необходимо либо сменить выключатели
на другие—большей мощности, которые смогут отключать токи короткого
замыкания, либо включить в соответствующие ветви сети реакторы без сср-

Ф и г. 144.

дечпика, как показано в некоторых
точках на фиг. 143. Напряжение рассея-
ния малых трансформаторов составляет
лишь 2—3 %, что соответствует 60—90-
кратному пику тока короткого замыка-
ния. Поэтому в тех случаях, когда
такие трансформаторы или питающие
их линии присоединены непосредствен-
но к шинам большой мощности, не-
обходимо последовательно с ними вклю-
чать защитные реакторы. Генераторы
же всегда имеют столь большое bhj
треннее реактивное сопротивление рас-
сеяния, что для защиты их от чрезмер-
ных токов короткого замыкания ника
ких внешних реакторов не требуется.

На фиг. 144 показано, что дает

включение реакторов в сеть, питаемую
несколькими мощными станциями. Реакторы установлены по обоим концам
каждой линии передачи и в каждой линии распределительной сети. Если паде-
ние напряжения на индуктивности каждого реактора составляет около 3%,
то ударные токи короткого замыкания в любой точке сложной цепи (например,
в точках kt, к2 или к3) всегда будут оставаться в допустимых пределах. Кро-
ме того, влияние короткого замыкания, происшедшего в какой-либо линии,
на остальные части сети будет столь малым, что в них нс возникнет никакого
опасного понижения напряжения, и, следовательно, нормальная работа этих
частей сети нс будет нарушена. В такой сети авария и сс последствия лока-
лизуются в поврежденной ветви, не вызывая значительного нарушения режи-
ма во всей остальной сети.
Расчет токов короткого замыкания для всех важнейших узлов системы,
в которых установлены выключатели, предназначенные для отключения этих
токов, представляет собой весьма трудоемкую задачу. В особенности это
относится к современным электроэнергетическим системам, сети которых
отличаются большой протяженностью и разветвленностью, наличием значи-
тельного числа связей между отдельными частями, кольцевых линий и сеток
Аналитические расчеты токов короткого замыкания целесообразно заменить
измерениями в эквивалентной цепи, отображающей в сильно уменьшенном
масштабе действительную систему. Такая модель содержит столько сопро-
тивлений, индуктивных катушек и, возможно, конденсаторов, сколько
отдельных линий и аппаратов имеется в исследуемой системе. Эквивалентная

Ф и г. 145

цепь, собираемая на так называемом «расчетвом столе», питается в точках,
соответствующих местам включения генераторов, от источников с пропорцио-
нально уменьшенными электродвижущими силами и в большинстве случаев
более высокой частоты. По очереди замыкая накоротко различные точки
эквивалентной цепи, соответствующие местам установки выключателей,
можно легко измерить но только токи короткого замыкания и их распреде-
ление, но и напряжения в неповрежденных частях системы. Таким путем
можно определить как установившиеся, так и переходные токи короткого
замыкания при умеренной затрате времени и труда.

В энергосистемах обычно предпочитают пользоваться расчетными сто-
лами с фиксированными схемами, которые в точности соответствуют
действительной сети. Такие схемы позволяют быстро исследовать влия-
ние любого изменения или предполагаемого расширения сети на величин)
и распределение токов короткого замыкания. Существую! также универ
сальные расчетные столы, содержащие комплекты различных элементов
с регулируемыми параметрами. Соединяя элементы такого стола при помощи
соединительных шнуров, можно воспроизвести сеть любой конфигурации
На фиг. 145 показан общий вид такого универсального стола, а на фиг. 146 —
один из элементов другого стола такого же типа (вид сзади); этот элемент
содержит несколько декадных индуктивных катушек.

Наиболее эффективным средством ограничения токов короткого за
мыкания является увеличение относительного напряжения рассеяния EJE
трансформаторов и в особенности синхронных машин. Это радикальное
мероприятие позволяет эксплуатировать сети средней мощности, не при-
бегая к каким-либо дополнительным искусственным средствам ограничения
гоков короткого замыкания. Допустимое минимальное значение напряжг
ния рассеяния составляет 12% для крупных синхронных машин и 5%-—
для трансформаторов. При указанных значениях напряжения рассеяния
ударный ток короткого замыкания вблизи зажимов машины не превышает
1э-кратной величины нормального тока (с учетом успокоительного действия
активных сопротивлений).

Если индуктивность сети искусственно увеличена, то изменения на-
пряжения, вызываемые изменениями нагрузки, будут значительно больше,
чем в сети с обычной малой индуктивностью. Следовательно, в современных
мощных электрических системах на генераторах должны быть установлены

Ф и 1 146.

быстродействующие регуляторы напряжения, поддерживающие напряжение
на зажимах генераторов почти постоянным даже при значительных изме-
нениях нагрузки. Кроме того, в таких системах необходимо эффективное
регулирование коэффициентов трансформации трансформаторов вдоль всей
цепи от генератора до потребителя. Пользуясь только указанными средства-
ми, можно компенсировать падение напряжения в сети и его колебания
при изменениях нагрузки. Падение напряжения сильно увеличивается
при .включении защитных реакторов в различных точках сети. Применяя
трансформаторы с регулируемым коэффициентом трансформации, можно
обеспечить почти полное постоянство напряжения ио всей сети.

Поврежденную линию, в которой произошло короткое замыкание,
нужно отключить по возможности в кратчайшее время. При быстром отклю-
чении уменьшается нагревание проводов токами короткого замыкания
Однако вряд ли возможно предотвратить первые толчки этих токов и связан-
ные с ними разрушительные механические силы. Условия работы выклю-
чателя, естественно, получаются тем тяжелее, чем быстрее производится
отключение. Поэтому быстрое отключение производится обычно только при
помощи мощных автоматических выключателей. Отключение токов корот-
кого замыкания при помощи маломощных выключателей разумнее произво-
дить с выдержкой в несколько секунд, т. е. после того, как затухнут свобод
ные токи, так что выключатель должен будет отключить только установив-
шийся ток короткого замыкания. Для того чтобы уменьшить также и этот
ток, можно уменьшить возбуждение генератора при коротком замыкании.
Во всяком случае, автоматические регуляторы, реагирующие на сниже
ние напряжения, не должны повышать возбуждение генераторов до макси
мума1).

В мощных системах желательно иметь автоматические выключатели,
способные отключать наибольшие возможные протекающие через них токи
короткого замыкания в течение J/lo сек. или даже за более короткое время.
При таком быстром отключении многочисленные генераторы и двигатели,
присоединенные к сети, будут продолжать работать синхронно, даже если во
время короткого замыкания произойдет значительное снижение напряжения
во многих частях сети, сопровождаемое уменьшением синхронизирующей мощ
ности машин. Действительно, за такой небольшой промежуток времени
магнитный поток генераторов уменьшится лишь на несколько процентов
(см. фиг. 139). Следовательно, в неповрежденных частях сети после отключения
аварийного участка напряжение будет иметь почти полную величину. При
этих условиях синхронные генераторы будут продолжать работать синхронно,
а синхронные двигатели по остановятся. Через очень небольшой промежуток
времени после короткого замыкания целесообразно попытаться снова вклю
чить аварийную линию, так как причина короткого замыкания часто исче-
зает, а образовавшаяся дуга гаснет вследствие снижения напряжения. В этом
случае даже те двигатели, которые присоединены к аварийному участку
сети, будут продолжать работать за счет инерции; другие же приемники
в этой части сети, как лампы, печи и т. п., испытают лишь кратковременный
перерыв питания. Если окажется, что причина короткого замыкания не устра-
нена к моменту первого повторного включения выключателя, то можно попы
таться повторить эту операцию во второй и даже в третий раз. Так как
короткие замыкания, а следовательно, срабатывание выключателей происхо
дят сравнительно редко и так как время до повторного включения должно
быть небольшим, то действие выключателей необходимо полностью автома-
тизировать.

ЛИТЕРАТУРА

AIEE Switchgear Committee, Trans. AIEE, 67, 1433 (1948).

Simplified calculation of fault currents.

Bier m a n n s J., Elektrotechn. Zs., 593 (1919).

Ober den Schutz elektrischer Verteilungsanlagen gegen Oberstrome.
Biermanns J., Elektrotechn. Zs., 25 (1921).

Technische Probleme der elektrischen Grosswirtschaft.

Blake D. K., Gen. Electr. Rev., 361 (1924).

Improving central station service by the application of current-limiting reactors
to distribution feeders.

Clarke E., Peterson H. A., Light P. H., Trans. AIEE, 60, 329 (1941)
Abnormal voltage conditions in three-phase systems produced by single-phase
switching.

Clarke E., Weygandt C. N., Concordia C., Trans. AIEE, 57, 453 (1938)
Overvoltages caused by unbalanced short-circuits, effect of amortisseur windings
Dann W. M., Journ. AIEE, 1050 (1924).

Current-limiting reactors.

Bak J , Eisenlose Drosselspulen, Leipzig, 1937 (содержит библиографию).
H ameister G., Elektrotechn. Zs., 56, 669 (1935).

Die Berechnung des Kurzschlusstromes in Hochspannugsnetzcn.

Это требование противоречит другому требованию, предъявляемому к регулиро
ванию возбуждения генераторов современных мощных систем,—повышать возбуждение
в случае короткого замыкания с пелью поддержания устойчивости параллельной
работы.—Прим. ред.
Наппа W. М., Gen. Electr. Rev., 40, 383 (1937).

Calculation of short-circuit currents in a-c networks.

Lyman J., Rossman A. M., Perry L. L, Proc. AIEE, 141 (1914).

Protective reactances in large power stations.

Matthias A., Mitt. Ver. Elektr. Werk, 397 (1923).

Kurzschlusswirkungen in grossen Netzen.

Merrick E. G., Gen. Electr. Rev., 935 (1919).

Effects of short-ci fruits on power house equipment.

Neumann H., Arch. Elektrotechn. 32, 88 (1938).

Dor verbundgespeiste Dauerkurzschluss in verwickelten Netzen unter Berfick-
sichtigung der Vorlast.

Nolen H G.. Elektrotechn. Zs., 54, 858 (1933).

Die Folgen der gegenseitigen Induktion bei Dreiphasen-Luftdrosselspulen.

Panzei bieter Th., Siemens Zs., 436 (1922).

KurzschluBstrome in Drehstromnetzen und ihr Einfluss auf das Schaltbild, die
Apparate und Leitungen.

Petersen W., Mitt.Vei. Elektr. Werk, 275 (1920).

Oberstrom- und Oberspannungsschutz.

Rachel A., Mitt. Ver. Elektr. Work, 305 (1923).

Oberstrom- und Oberspannungsschutz, insbesondere bei verkuppelten Netzen
Riihle E., Elektrizitatswirtschaft, 26 (1926).

Die Verteilung elektrischer Energie in Absatzgebieten grosser Konsumdichte mil
besonderer Beriicksichtigung von Gross-Berlin. (Специальный выпуск, посвящен-
ный заседанию в Дюссельдорфе.)

Rfidenberg R., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 77 (1925).

KurzschluBstrome beim Betrieb grosser Kraftwerke.

Rfidenberg R., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 609 (1930).

StosskurzschluBstrome von Schenkelpolgeneratoren mit Dampferwicklung.

S c h i 1 1 i n g W., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 58, 229 (1940).

Der StosskurzschluBstrom in Gleichrichterschaltungen.

Scoumanne E., Rev. gen. elec., 2, 215 (1917).

Note surla protection des centrales de grande puissance contre les effets destructifs
des court-circuits.

T i m a s c h e f f A. V., Elektrotechn. Zs., 57, 1083 (1936).

Zur Berechnung der DauerkurzschluBstrome in vorbelasteten einfach und mehr-
fach gespeisten Netzen.

Vedovelli E., Rev. gen. elec., 13, 7 (1923).

La selection. Protection des reseaux contre les surintensites.

Wagner C. F., Trans. AIEE, 56, 1385 (1937).

Unsymmetrical short circuits on waterwheel generators under capacitive loading.
Глава 15

МЕХАНИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ ДЕЙСТВИЯ ТОКОВ
КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ

Разрушения, вызываемые токами короткого замыкания, определяются
в основном механическими силами притяжения или отталкивания, разви-
вающимися между проводниками, по которым протекают эти токи, и нагре-
ванием самих проводников. Оба указанных действия проявляются внезапно

Ф и г. 147

и с исключительной интенсивностью, иногда в весьма своеобразной форме.
На фиг. 147 показан трехполюсный выключатель, разрушенный сильным
коротким замыканием, вызванным дуговым перекрытием его изоляторов.
Причиной подобных перекрытий может явиться недостаточная площадь кон-
тактной поверхности пли ослабление крепления контактов, вызывающие
сильное искрение при протекании по таким контактам тока короткого
замыкания.

На фиг. 148 изображена катушка трансформатора, полностью деформи-
рованная вследствие взаимодействия протекавшего по ней тока короткого
замыкания с магнитным полем рассеяния трансформатора. На фиг. 149
показан измерительный трансформатор, изолятор которого разрушен током
короткого замыкания. Наконец, на фиг. 150 показаны последствия тяжелой
аварии, происшедшей в результате повторного дистанционного включения
линии, в которой имелось металлическое короткое замыкание. Как видно
из фотографии, наряду с масляным выключателем было разрушено здание
подстанции.

§ 1. Механические силы. Хотя токи короткого замыкания могут про-
изводить большие разрушения и в мощных сетях постоянного тока, мы
ограничимся рассмотрением установок переменного тока, так как именно они
играют во всех странах основную роль в распределении электрической энергии.

Ф и г. 148.

Ф и г. 149.

Согласно соотношению (13.10), ток* короткого замыкания в системе
переменного тока равен

г = |coso)Z — у [е-Г'Кcosd'z (1 с)е~^1 cosv"/] J- . (15.1)

Механические силы, приложенные к проводникам, возникают в резуль-
тате взаимодействия между токами и их магнитными полями. Сила (в кг),

Ф и г. 150.

приложенная к проводнику длиной I (в см), по которому течет ток i (в а).

равна

10~в

9,81

ВИ,

(15-2)

F
где В означает составляющую магнитной индукции (в гауссах), перпенди-
кулярную к проводнику. Согласно закону Био и Савара, ток г, протека-
ющий по прямолинейному цилиндрическому Проводнику, создает в окру-
жающей ого воздушной среде магнитную индукцию, которая на расстоя-
нии а (в см) от проводника равна

в=тЛ- <15-3>

Каждый проводник двухпроводной линии (фиг. 151) расположен перпен
дикулярно к силовым линиям магнитного поля другого проводника. Сила
взаимодействия этих проводников на основании формул (15.2) и (15.3)
равна

Эта сила пропорциональна квадрату тока и, следовательно, может достигнуть
во время внезапного короткого замыкания исключительно большой величины.

Ф и г. 151. Ф и г. 152.

Так, например, на каждый метр шин распределительного устройства
(фиг. 152), находящихся на расстоянии а = 50 еле друг от друга, при про-
текании по ним тока i — 100 000 я (вполне возможное значение ударного тока
короткого замыкания на электрической станции) действует сила

„ 2-10-’. 100-100 0002

* =-----С8Г50------~ 400 кг-

Следовательно, для того чтобы токоведущие части установки могли
противостоять токам короткого замыкания, необходимо обеспечить их
тщательный монтаж и хорошее крепление. Это требование относится к шинам
распределительных устройств и отводам от них к выключателям, к трансфор-
маторам и машинам, ко всевозможным изолирующим втулкам, к различным
внутренним соединительным проводникам аппаратов и машин, а также
к кабельным муфтам.

Особенно большой опасности подвергаются шины распределительных
устройств, так как по ним часто протекают чрезвычайно большие токи.
Для того чтобы шины могли выдерживать большие токи короткого замы-
кания, опи должны монтироваться на прочных изоляторах, расположен-
ных на небольших расстояниях друг от друга, как показано схематиче-
ски на фиг. 152. Как сами шины, так и изоляторы вместе с их опорной
конструкцией обладают значительной инертной массой и некоторой упру-
гостью, вследствие чего они могут совершать механические колебания.
Благодаря большой жесткости конструкции частота механических колеба-
ний велика.
Квадрат тока короткого замыкания, входящий в выражение для
силы (15.4), равен

i2 = /2 ^costoi — — cos v'i-p Ц^е-^2* cos . (15.5)

Частота v' весьма мала, и поэтому можно считать со8^(г = 1. Частота v"
близка к частоте сети ю и может быть заменена последней.

Коэффициент затухания р2 настолько мал, что можно пренебречь его
влиянием на протяжении первых периодов переменного тока. Таким обра-
зом, в начало процесса короткого замыкания сила пропорциональна
величине

г2 = ~~ (cos ш1 — e_Pi')2 = 4 -j- е-2?*' — 2e~Pi' cos cos - (15.6)

В эту формулу, как и в соотношение (13.12), вместо установившегося
тока короткого замыкания подставлено максимальное значение ударного
тока, а затем развернут квадрат косинусоидальной функции.

Ф и г. 153.

Итак, при коротком замыкании на шипы распределительного устрой-
ства действует не только сила, изменяющаяся с частотой системы о>,
но и сила, изменяющаяся с удвоенной частотой системы, а также
постоянная сила. Под действием этих сил могут возникнуть колебания
всей конструкции. Целесообразно выбирать поперечное сечение шпн
и жесткость опор так, чтобы собственная частота механических колеба-
ний всей конструкции отличалась от обеих вынужденных частот со и 2о>.
Тогда размахи колебаний не смогут возрасти вследствие резонанса.
В противном случае возможно разрушение шин и их опор.

Оба ввода трансформаторов тока (см. фиг. 149) пропущены сквозь об-
щую высоковольтную изолирующую втулку. Так как по ним протекают
токи противоположного направления, то возникают силы взаимного
отталкивания, растягивающие изолятор и способные его разрушить. Эти
силы полностью отсутствуют в одновитковых трансформаторах тока,
предназначенных для очень больших токов. Одновитковый трансфор-
матор состоит из прямолинейного первичного проводника и окружаю-
щего его кольцевого сердечника. Силы, действующие на траверсы
выключателей, при неблагоприятном расположении проводников могут
достигать значительной величины; при коротком замыкании они могут
вызвать даже размыкание контактов. Как показано на фиг. 153,
ток, протекающий по петле, всегда стремится увеличить ее площадь.
Следовательно, разъединители целесообразно располагать по осп проводов
или даже так, чтобы их размыкание происходило в направлении, проти-
воположном направлению действия электродинамических сил. Для даль-
нейшего повышения надежности разъединителей применяют механические
запоры, полностью предотвращающие их размыкание под действием токов
короткого замыкания, даже текущих по соседним частям распределительного
устройства.

Если токоподводы к траверсе выключателя выполнены в виде двух
длинных параллельных проводников, то силы, действующие на эту траверсу,
могут быть рассчитаны аналитически. Рассмотрим сначала петлю а, рас-
стояние между двумя параллельными проводниками которой равно а и по
которой течет ток i (фиг. 154, а). В этом случае магнитная индукция
в любой точке между параллельными проводниками на расстоянии х от
одного из них на основании формулы (15.3) равна

(15.7)

Сравним теперь схему фиг. 154, б со схемой фиг. 154, а. Схема
фиг. 154, б отличается тем, что в ней имеется петля р, по которой также
течет ток i. Токи и магнитные поля петли р и нижней половины петли
а полностью компенсируют друг друга. Поэтому схема фиг. 154, б может
быть заменена схемой фиг. 154, в, на которой изображена только одна
петля у. Петли Р и j создают равные по величине, но противоположно
направленные магнитные поля. Таким образом, магнитные поля петель
связаны следующим соотношением:

7 = а — р, (15.8)

а так как р и 7 численно равны, то магнитное поле, действующее
на траверсу, равно

Р = 7 = |. (15.9)

Следовательно, магнитная индукция на оси траверсы выключателя, на-
ходящейся в нижней части длинной петли, в точности равна половине
магнитной индукции между проводами длинной двухпроводной линии
[см. выражение (15.7)].

Воспользовавшись выражениями (15.2), (15.7) и (15.9), находим
результирующую силу, приложенную к траверсе выключателя, для чего
берем интеграл вдоль ее длины от точки х = г до точки х = а — г (где
г — радиус проводника)

Выполнив интегрирование, получим

2-10-’

9,81

1п(у-1)г2.

(15.11)

Следовательно, результирующая сила лишь в небольшой степени зависит
от отношения размеров токоведущих частей выключателя и попрежнему
пропорциональна квадрату тока.

В масляных выключателях с двумя разрывами на полюс радиус г
токоведущих проводников может быть равен 1 см, а расстояние между
ними а = 30 см. Когда через выключатель течет ударный ток короткого
замыкания £ = 100 000 а, то на его траверсу действует сила
F = ^22 In (29) • 1010 = 687 кг.

Такая большая сила может вызвать размыкание контактов выключателя,
хотя этот выключатель и не должен был бы отключать данное короткое
замыкание.

Силы, возникающие при коротком замыкании, достигают значительной
величины в обмотках машин всех типов. Проводники в катушках и обмотках

Ф и г. 155.

машин расположены очень близко друг
к другу. Когда по ним текут боль-
шие токи короткого замыкания, то
возникают сильные магнитные поля
рассеяния, перпендикулярные к тем
проводникам, токи которых их возбуж-
дают. На фпг. 155 показана группа
таких проводников, совместно создаю-
щих магнитное поле. На всю совокуп-

ность этих проводников, находящихся
в магнитном поле В, действуют электромагнитные силы F. Определим
линейную плотность тока А (измеряемую в а/см), понимая под пей сумму
всех токов, текущих через единицу длины главного направления х данной
группы проводников. Эта величина, равная

(15.12)

характеризует электрическую нагрузку обмотки.

Результирующая сила, действующая на группу проводников, находя-
щихся в магнитном поле с индукцией В, равна

„ 10“в „ 10-е

F=4,8rBZS (15ЛЗ)

а удельное давление на единицу площади 1х группы проводников равно

Р = -~-ВА. (15.14)

Это простой, но вместе с тем вполне общий закон. Если магнитный поток
перпендикулярен к плоскости, в которой лежат проводники данной группы,
то давление р действует вдоль главного направления х. Если же магнит-
ный поток параллелен главному направлению х данной группы, то давле-
ние перпендикулярно к плоскости группы. Оба случая показаны на фиг. 155.

Рассмотрим поле в канале между первичной и вторичной цилиндриче-
скими обмотками трансформатора, показанными в разрезе на фиг. 156, а.
Применим закон Ампера к элементарному контуру, окружающему ток A dx.
В результате получаем

Н ds = В dx = A dx. (15.15)

При вычислении этого контурного интеграла мы пренебрегли слагаемыми,
относящимися к трем другим сторонам элементарного замкнутого контура,
ввиду их малости. Следовательно, магнитную индукцию поля рассеяния
в середине канала можно принять с достаточной точностью, равной

Л>НъЛ‘ (15.16)

Распределение магнитной индукции по толщине обмоток показано на
фиг. 156, а (внизу); индукция линейно спадает до нуля. Магнитный поток,
пересекающий проводники в осевом направлении, создает механические силы,
действующие в противоположных направлениях на первичную и вторичную
обмотки, так как по ним текут токи противоположных знаков. Внешняя об-
мотка испытывает давление изнутри, а внутренняя—снаружи так, как если бы
на них действовало сильное распирающее давление, развивающееся в канале
между ними. Имея в виду, что А — амплитуда и А — действующее значе-
ние линейной плотности тока и что среднее значение радиального давле-
ния на обмотки в силу трапецеидального распределения магнитной индук-
ции (см. фиг. 156)-равно В0'2, находим, согласно формуле (15.14), ра-
диальное давление на каждую катушку в середине обмотки,

<15л7>

Осевая составляющая индукции Ва поля рассеяния убывает по направле-
нию к торцам обмоток, находящимся вне влияния стального ярма

Фиг. 156.

(см. фиг. 156, а и б). Следовательно, радиальное давление заметно падает
по направлению к торцам обмоток.

Если нормальная линейная плотность тока мощного силового транс-
форматора равна, папример, Л = 750 а/см, а ток короткого замыкания
превышает нормальный ток в 20 раз, то радиальное давление на катушки
равно

рг = • 4? (750 - 20)2 = 28,8 кг/см2.

Если просуммировать это давление по всей цилиндрической поверх-
ности обмотки, то для мощных трансформаторов получим результирующую
радиальную силу, которая исчисляется сотнями тонн и которую должна
выдерживать обмотка. Очевидно, что цилиндрические катушки имеют боль-
шое преимущество перед прямоугольными, которые часто полностью дефор-
мируются под действием таких сил, как было показано на фиг. 148.

Магнитные линии потока рассеяния расходятся по мере приближения
к торцам обмоток (см. фпг. 156). По мере уменьшения осевой состав-
ляющей увеличивается радиальная составляющая магнитной индукции
в канале между обмотками, причем она всегда направлена наружу.
Определим эту радиальную составляющую магнитной индукции ВЛ, под-
ставив в выражение закона Био и Савара (15.3) значение элемента тока,
равного в соответствии с формулой (15.12)

di — A dx.

(15.18)

Цля упрощения задачи будем считать обмотку не цилиндрической, а плоской
и толщину обмотки — малой по сравнению с ее осевым размером. Магнитная
индукция В в любой точке вблизи обмотки (фиг. 157, а) создается токами i
всех ее витков. Радиальная составляющая индукции dBr, создаваемая
элементом тока di в некоторой точке, находящейся от него на расстоя-
нии г, меньше dB и равнаdB(x'r). Воспользовавшись соотношениями (15.3)

Фиг. 157.

и (15.18) и выполнив интегрирование по всей обмотке, найдем радиальную
составляющую магнитно1, индукции

D f 2 С X(ll 2 . С xdx Г л Г" t О.

Br=\ TdB = T0 ^=16 А

Из фиг. 157, а видно, что

r2 = x2+ z2, или rdr = xdx, (15.20;

где z —кратчайшее расстояние от рассматриваемой точки до обмотки.
Следовательно, радиальная составляющая индукции равна

= А y = А1п С^-^) • (15.21)

В этом выражении а и Ъ означают расстояние от точки наблюдения до обоих
торцов обмотки (см. фиг. 157, а),

Полученное простое выражение пригодно для определения радиаль-
ной составляющей магнитной индукции в любой точке как вне, так
и внутри поперечного сечения обмотки. Однако когда эта точка лежит
вблизи одного из торцов обмотки, где а или Ъ стремятся к нулю, то в этом
предельном случае соответствующую величину (а или Ь) необходимо
положить равной половине толщины концевой катушки. Это хорошо известное
правило вытекает пз общей теории полей с логарифмической зависимо-
стью [ср. с выражением (15.11)]. Распределение радиальной составляющеи
индукции Вг показано на фиг. 156, б. Ее значение велико у торцои
обмотки и равно нулю посередине.

При совместном действии первичной и вторичной обмоток трансфор-
матора (см. фпг. 157, б) радиальная составляющая магнитной индук-
ции Вг состоит из двух слагаемых, каждое из которых относится к соот-
ветствующей обмотке. Следовательно, для вычисления Вг достаточно
сложить два выражения вида (15.21), помня при этом, что токи в обмотках
направлены в противоположные стороны и что линейные плотности
токов Л могут оказаться немного разными, если неодинаковы осевые
размеры первичной и вторичной обмоток. Если же А+ и А" равны
по абсолютной величине и отличаются только знаком, то результирующая
радиальная составляющая магнитной индукции равна

В^“Г0Л]“Ст4) • <1522)

Под знаком логарифма стоят только величины четырех расстояний от
точки наблюдения до торцов каждой из обмоток (см. фпг. 157, б).

Радиальное магнитное поле создает в обмотках осевые силы, которые,
в свою очередь, обусловливают осевое давление. Его величина в соответ-
ствии с выражением (15.14) равна

<15-23>

В это выражение снова введено действующее значение линейной плотно-
сти тока А. Пусть, например, для концевой катушки силового трансфор-
матора мощностью 30000 ква а, Ь, с и d имеют следующие значения:
а = 125 см, Ь = б см, с = 130 см, с? = 10 см. Тогда получаем

1п(^) = Ь2.40-0,8’5.

Считая линейную плотность тока и ударный ток короткого замыкания
такими же, как и в предыдущем примере, находим, что осевое давление на
концевые катушки равно

ра = 4 (750 • 20)2 • 0,875 = 8,0 кг/см2.

Таким образом, осевое давление и осевая сила, действующие на каждую
отдельную катушку пли слой обмотки, невелики по сравнению с радиальным
давлением и радиальной силой. Однако осевые силы складываются и возра-
стают от обоих торцов к середине обмотки. Поэтому средние катушки обмотки
подвергаются действию чрезвычайно больших сил. Эти силы, приложенные
к радиальному сечению обмотки, могут достигать в мощных трансформаторах
сотен тонн. Для того чтобы обмотки могли выдержать такие колоссальные
силы, возникающие во время коротких замыканий, их конструкция и креп-
ление должны отличаться большой механической прочностью. В противном
случае может произойти повреждение изоляции отдельных катушек или осе-
вое смещение всей обмотки, которое может привести к отделению ее от креп-
лений и полному разрушению1). X

Пока отношения расстояний alb и dd почти равны друг другу, величина
осевых сил будет лежать в допустимых пределах [см. формулу (15.23)J.
Однако если торцы обмоток выступают относительно друг друга, как пока-
зано на фиг. 157, в, то для соответствующих концевых катушек значение
логарифма может стать весьма большим. Такой случай будет иметь место,
если регулировочные катушки, предназначенные для изменения коэффициента
трансформации, расположены несимметрично по отношению к остальным
катушкам обмотки. Размещение регулировочных катушек представляет собой
одну из важнейших задач при конструировании мощных трансформаторов.

Влияние стального сердечника на осевые силы здесь не рассматривается. Если
ампервитки первичной и вторичной обмоток не равны, как это может иметь место в транс-
форматорах, питающих выпрямительные установки, такое упрощение неприемлемо
даже при грубых расчетах.—Прим. ред.
На фиг. 158 показана обмотка трансформатора с хорошо укрепленными
катушками. Сжатие катушек осуществляется посредством толстых металли-

ческих колец, изолированных от катушек

Фпг. 158.

прокладками из твердого изоля-
ционного материала. Созданное
таким путем осевое давление
превышает давление, возникаю-
щее при -коротком замыка-
нии. Вследствие этого прессовка
катушек не ослабевает ни при
каких условиях; осевые сжи-
мающие силы не могут освобо-
дить катушки, и смещение их под
действием эксцентричных ра-
диальных сил предотвращается.

Лобовые части обмоток вра-
щающихся машин также распо-
лагаются группами или слоями,
сходными с темп, которые изо-
бражены на фиг. 155. На фиг.
159 показана в разрезе лобовая
часть обмотки синхронного ге-
нератора, выступающая за пре-
делы стального сердечника.
Здесь также возникают большие
механические силы, которые
можно определить тем же спо-
собом, что и выше. Вокруг
обмотки образуется интенсив-
ное магнитное поле рассеяния.

распределение которого вдоль лобовых частей показано на фиг. 159. Макси-
мальная магнитная индукция определяется приближенно по формуле (15.16),
и, следовательно, силы можно найти по формулам (15.14) и (15.17). Однако

в машинах в большинстве случаев значительно

линейная плотность тока

меньше, чем в трансформаторах. Кроме того,
вследствие большей индуктивности рассеяния
ударный ток короткого замыкания в машинах
обычно несколько меньше, чем в трансформа-
торах. Следует также иметь в виду, что за
трансформатором могут оказаться включен-
ными все генераторы, питающие сеть.

Так, например, в лобовых частях обмот-
ки генератора при действующем значении
линейной плотности тока А = 400 а!см и

ударном токе короткого замыкания, превы-
шающем номинальный ток в 15 раз, возникает давление, достигающее
в соответствии с формулой (15.17) величины

10-’

р =-y-gj--4ir (400-15)2 = 4,62 кг {см2.

Это максимальное давление убывает по направлению к головке концевой
катушки. Однако поверхность лобовых частей обмотки сравнительно велика,
и, следовательно, суммарные силы, равные произведению давления на пло-
щадь, достигают в мощных генераторах нескольких десятков тонн. Поэтому
короткое замыкание действует как сильнейший удар но лобовым частям
обмотки генератора. Это явление опасно потому, что жесткость лобовых
частей, имеющих неправильную геометрическую форму, и механическая
прочность их изоляции значительно меньше, чем у трансформаторных катушек
правильной геометрической формы.

Под влиянием этих сил, действующих в различных направлениях, про-
исходит нс только сжатие пучков лобовых соединений (фиг. 160), нои изгиб
всех лобовых частей ко направлению к станине. Подобно поперечным распи-
рающим силам в трансформаторах, направленным наружу из канала между

Ф и г. 160.

первичной и вторичной обмотками, основные механические силы возникаю-
щие при коротких замыканиях в генераторах, стремятся отодвинуть статор-
ную обмотку от ротора. В результате может произойти поломка изолирующих
гильз, в которых помещаются проводники, в тех местах, где они выступают
из пазов статора. Эта поломка немедленно вызовет пробой промежутка между
обмоткой и сталью статора; между лобовыми частями обмотки и статором
возникнут мощные электрические дуги, сжигающие изоляцию лобовых
сое дипений обмотки.

§ 2. Тепловое действие. Все токоведущне части установок, по которым
текут большие токи короткого замыкания, очень быстро нагреваются до
высокой температуры, опасной для самих тОковсдущмх частей, для их
изоляции и для окружающих предметов. Тепло, выделяемое в проводнике
текущим но нему током короткого замыкания, расходуется почти исклю-
чительно па нагрев самого проводника. Обозначим удельную теплоемкость
проводника, отнесенную к единице объема, через у, а его удельное со-
противление чероз s и будем считать эти величины в первом прибли-
жении постоянными. 11а основании закона Ленца Джоуля количество
тепла, выделяющегося за время dt в единице объема, равно

= (15.24)

где с/Н — приращение температуры за время dt, а — площадь поперечного
сечения проводника, а 1 — текущий по нему ток.

12 р. рюденберг
Если по проводнику протекает постоянный ток, то можно проинте-
грировать уравнение (15.24) непосредственно и получить для повышения
температуры формулу

•4(4)’1 <1525>

Температура в этом случае растет пропорционально времени. Так как
для горячей меди

7 = 3,5 вт сек Цсмъ-град) и s = ом-мм2/м,
то ток с плотностью I/а = 10) а/мм2 в течение каждых 10 сек. вызывает
повышение температуры проводника на

По мере увеличения температуры проводника увеличивается его
удельное сопротивление что вызывает дальнейшее повышение темпера-
туры, согласно выражению (15.25). Однако повышение температуры до
некоторой степени ограничено тем, что проводник отдает часть тепла
окружающей среде. Будем считать для простоты, что в рассматриваемом
здесь диапазоне температур процессы выделения и отдачи тепла уравновеши-
ваются. Такое предположение допустимо, так как обычно температура
проводов линий передач и обмоток ни в коем случае не должна пре-
вышать 300° С, ибо при более высоких температурах прочность меди
значительно уменьшается.

Точность приближенного расчета можно повысить, если пользоваться
не начальным, а средним значением удельного сопротивления проводника
в течение всего периода нагревания. Так, например, можно принять
следующие средние значения удельного сопротивления меди:

при нагревании до 150°С s~^j ом-мм2/м;

при нагревании до 300°С s = -^ ом-мм2/м.

Од

В случае короткого замыкаппя в самый неблагоприятный момент
времени переходный ток короткого замыкания синхронной машины
меняется во времени в соответствии с выражением (15.1). Кривые изме-
нения тока и температуры приведены на фиг. 161. Интегрируя выраже-
ние (15.24), находим закон повышения температуры проводника, выра-
женый через зпачеппе установившегося тока короткого замыкания Ih
и через функции времени, входящие в выражение (15.1), а именно:

& = --^cos coz—cos v' Z 4- 1 д ° cos dt. (15.26)
1 о

В подпптегральное выражение входят три косинусоидальные функции
времени с различными частотами. Выполнив указанное в выраже-
нии (15.26) возведение в квадрат, получим три квадрата и три произведения
косинусоидальных функций различной частоты. Основной интерес пред-
ставляет окончательное повышение температуры после затухания свобод-
ных токов. Среднее за этот промежуток времени значение произведений,
составленных из косинусоидальных функций с различными частотами,
близко к нулю. Отлично от нуля только среднее значение произведения
первой и последней косинусоидальных функций, так как частота v" столь
мало отличается от частоты сети ш (см. гл. 12), что период их биения зна-
чительно больше времени затухания. Таким образом, интеграл от этого'
произведения не равен нулю.

Интеграл от квадрата первого члена выражения (15.26) равен

cos2 ш/ dt

5 G +|со52Ш/)^=4.

(15.27)

При вычислении этого интеграла мы снова отбросили член с частотой 2<о,
так как его среднее значение за период равно нулю.

Фиг. 161.

Интеграл от квадрата второго члена выражения (15.26) равен

СО СО

e-2fi'cos2v[Z«/i= f e-2Pi,^4+Tcos2viO^ = 4^(1 +V+Ч5")* (15'28>

0 0 11

Мы распространили здесь область интегрирования от / = 0 до /=со, для
того чтобы получить предельное значение интеграла, которое в действи-
тельности будет достигнуто после затухания апериодической составляю-
щей свободного тока короткого замыкания. Так как частота этой состав-
ляющей, относящейся к системе свободных токов, связанных со статором,
весьма мала по сравнению с коэффициентом затухания рх, то второй
член в скобках выражения (15.28) можно считать равным единице и,
следовательно, тогда получаем

(15.29)*

Таким образом, этот интеграл приблизительно равен половине постоян-
ной времени Тзг потока рассеяния статорной обмотки рассматриваемого
генератора.
Аналогично интеграл от квадрата третьего члена выражения (15.26)
равен

с° 1 х ь2 ч 1 Г

\e-2f2/cos2v"Zrfz * Г1+ Л = -^, (15.30)

J 4рА Р» + *1 / 4Р2 4

где 71О2 - постоянная времени потока рассеяния роторной обмоткп. При
вычислении этого интеграла принято во внимание, что частота v" состав-
ляющей тока короткою замыкания, относящейся к системе свободных
токов, связанных с ротором, велика по сравнению с коэффициентом зату-
хания р2. Поэтому второй член в скобках выражения (15.30) почти равен
нулю.

Наконец, интеграл от произведения первого и третьего членов выра-
жения (15.26), частоты которых можно считать одинаковыми, равен

Г 1 х с.2 ч 1 Т

\ e-P2'cos2 u>tdt=~(l + —JVi ) ~ v- =4^- • (15.31)

J 2Ра \ Ра + 4ш2 у 2р2 2

Так как частота ш велика по сравнению с, коэффициентом затухания р2,
то второй член в скобках выражения (15.31) можно считать равным нулю.
Введенные здесь постоянные времени являются величинами, обратными
коэффициентам затухания, определяемым выражением (12.31). В каждом
конкретном случае их можно вычислить или измерить осциллографическим
путем.

Подставив значения интегралов (15.27) — (15.31) в соотношение (15.26),
получим следующее выражение для повышения температуры проводника:

В это выражение входят три члена. Первый член пропорционален времени
и обусловлен установившимся током короткого замыкания 1к. Повышение
температуры проводника зависит от действующего значения плотности
этого тока точно так же, как оно зависело от плотности постоянного
тока [см. выражение (15.25)], а именно:

= (,5-33>

Эта зависимость показана отдельно на фиг. 161.

Два других члена выражения (15.32) обусловлены апериодической
и периодической составляющими свободного тока короткого замыкания.
Они вызывают дополнительное быстрое повышение температуры, возни-
кающее тотчас после появления первого пика переходного тока короткого
замыкания. На фиг. 161 приведено изменение во времени температуры
проводника, обусловленное как переходным, так и установившимся током
короткого замыкания. Кривая изменения температуры асимптотически
приближается к наклонной прямой, пересекающей ось ординат несколько
выше начала координат. Поэтому можно определить температуру в любой
момент времени после затухания свободных токов, добавив к истинному
времени t, прошедшему с момента короткого замыкания, дополнительное
время Д/, равное абсциссе точки пересечения асимптоты с осью времени
(см. фиг. 161).

Подставляя в знаменатели выражения (15.32) значение коэффициента
рассеяния машины а, данное формулой (13.22), т. е.

° = ^77’ <15-34>
получаем выражение для дополнительного времени, позволяющего учесть
тепловое действие свободного тока короткого замыкания,

<1535>

Это время существенно зависит от постоянных времени затухания апериоди-
ческой и периодической составляющих тока короткого замыкания, от
относительных значений установившегося тока короткого замыкания и на
пряжения рассеяния. Для дополнительного времени можно получить
удобную приближенную формулу, если заменить относительное напряжение
рассеяния средним значением ударного тока [см. соотношение (13 26)].
Полученная таким путем формула имеет вид

<153в>

Коэффициент ври втором члене в скобках вычислен в предположении, что
о =0,25. Полученная дробь 21 /32 округлена до ближайшего, несколько большего
значения 2/3, поскольку в реальных ’’операторах возникает небольшая до-
полнительная периодическая составляющая свободного тока (см. кривые
фпг. 133 и 134). Этот дополнительный ток, очень быстро затухающий, на
кладывается на те основные слагаемые, убывающие по показательному за-
кону, которые вошли под знак интеграла (15.26). В выражение (1о.36)
входят малая постоянная времени 7’-, потока рассеяния статорной обмотки
с коэффициентом 1 и большая постоянная времени Та2 потока рассея-
ния роторной обмотки с коэффициентом 2/3. Это объясняется тем, что при
равных амплитудах периодическая составляющая тока короткого замыкания,
создаваемая ротором, менее эффективна, чем апериодическая составляющая,
создаваемая статором.

Так как количество выделяющегося тепла пропорционально квадрату
тока, то кривая роста температуры быстро приближается к своей асимптоте.
Поэтому выведенные выше формулы применимы и для моментов времени,
предшествующих полному затуханию свободных токов короткого замыка-
ния. Анализ многочисленных осциллограмм, в частности и тех, на основании
которых были построены кривые фиг. 133 и 134, показал, что при трехпо-
люсном коротком замыкании на зажимах синхронного генератора постоян-
ная времени апериодической составляющей, создаваемой статором, лежит
в пределах

7'01 = 0,054-0,2 сек.,

а постоянная времени периодической составляющей, создаваемой ротором,
Та2 — 0,5-=-2,0 сек.

Полагая, что в случае короткого замыкания вблизи зажимов генератора
установившийся ток короткого замыкания и ударный ток превосходят
в среднем номинальный ток соответственно в 2,5 и в 15 раз, из формулы
(15.36) получаем следующее значение для дополнительного времени:

А/ = ( У Г о, 1 У1 ,о) = 8,5 сек.

Этот сравнительно большой отрезок времени необходимо добавить к истин-
ному времени, прошедшему с момента короткого замыкания до момента его
отключения при помощи выключателя, для того чтобы найти то время, в те-
чение которого установившийся ток короткого замыкания мог бы вызвать
такое же повышение температуры, какое в действительности было вызвано
переходным током.
Дополнительное время Д< при двухполюсном коротком замыкании лишь
незначительно отличается от найденного выше значения. С одной стороны,
постоянные времени затухания становятся больше, но, с другой стороны,
установившийся ток при двухполюсном коротком замыкании приблизи-
тельно в 1,5 раза больше установившегося тока при трехполюсном коротком
замыкании. Так как в знаменатель выражения (15.36) входит квадрат уста-
новившегося тока короткого замыкания lh, то оба указанных эффекта почти
полностью компенсируют друг друга.

Пусть, например, нормальная плотность тока в обмотке генератора
равна 3 а/мм2, а установившийся ток короткого замыкания в 2,5 раза пре-
вышает номинальный ток. Если короткое замыкание отключается спустя
10 сек., то температура, согласно уравнению (15.32), повышается на величину

» = (Ю+ 8,5) = 6,6°С.

Если короткое замыкание останется неотключениым, то температура обмотки
будет повышаться приблизительно на 3,6° С каждые последующие 10 сек.
Отсюда мы заключаем, что короткие замыкания, даже если они продолжают-
ся в течение многих секунд, не представляют никакой опасности для исправ-
ных генераторных обмоток в отношении их нагрева. Сильный перегрев
обмоток машин может произойти под действием токов короткого замыкания
только в случае значительного местного увеличения плотности тока или
сопротивления, например вследствие ненадежности контактов и других
соединений.

Линин передачи и распределительные сети подвергаются при коротких
замыканиях значительно большей опасности, так как отношение тока корот-
кого замыкания к номинальному току для них очень велико. Так, например,
если по линии, рассчитанной на нормальную плотность тока в 2 а/мм2, будет
проходить ток короткого замыкания, превышающий номинальный ток
в 30 раз, то при отключении короткого замыкания спустя 5 сек. и при
таком же, как и выше, дополнительном времени температура линии повы-
сится на величину

& = (5 + 8,5) = 308° С.

Это весьма большая величина. После нескольких таких повышений темпе-
ратуры прочность меди на разрыв немного уменьшается. Температура
нагрева 350° С часто считается предельно допустимой для воздушных линий.
Для подземных кабелей обычно допустим нагрев только до 150° С, так как
изоляция кабелей крайне чувствительна к повышению температуры.

Таким образом, выбор сечения всех проводов мощной сети должен
производиться не только с учетом падения напряжения и нагревания в нор-
мальном режиме, но и с учетом повышения температуры за время короткого
замыкания. Повышение температуры зависит от распределения токов корот-
кого замыкания по различным участкам сети, от постоянных времени гене-
раторов и от выбранного времени отключения аварийных участков сети.

Постоянные времени свободных токов короткого замыкания опреде-
ляются, в первую очередь, мощностью синхронных генераторов. Однако
они зависят не только от активных и индуктивных сопротивлений самих
генераторов, но и от соответствующих сопротивлений сети. Следовательно,
дополнительное время, определяемое формулой (15.35), не является одним
и тем же для всех участков сети. По мере увеличения расстояния их от гене-
ратора это время сначала несколько возрастает, а затем убывает. При
коротких замыканиях на участках, весьма удаленных от генераторов, оно
очень мало.
Гл. 15. Механические и тепловые действия токов
----------------------------------р------------

Опасность перегрева особенно велика для трансформаторов тока,
катушек реле и других аппаратов, в которых во время короткого
замыкания получается относительно большая плотность тока. Для при-
мера на фпг. 162 показан выключатель, отключающие катушки кото-
рого были повреждены во время
короткого замыкания. В со-
ответствии с формулами (15.32) и
(15.35) повышение температуры
равно

8=т(7Ь)!(г+д,>' <’5'37’

Введя в это соотношение дей-
ствующее значение плотности то-
ка <7п, соответствующее нормаль-
ному току линии 1п, можно най-
ти отношение допустимого уста-
новившегося тока короткого за-
мыкания к нормальному току,
которое оказывается равным

. (15.38)

Для катушки реле с ^п = 2а/мм2
и с допустимой температурой на-
грева 0 =150° С при указанных
выше значениях pis допустимый
установившийся ток короткого за-

мыкания равен

, 150-3,5-43 , _ 75 т

k~ 2^t + M + M П'

Если время отключения / = 5 сек., то при коротком замыкании
зажимов генератора значение этого тока составляет

вблизи

h ^5 + 8,5

In = 20,5Zn.

Если при том же времени отключения катушка должна выдержать больший
ток короткого замыкания, то необходимо либо уменьшить плотность нор-
мального тока, либо повысить термическую устойчивость катушки.

Установившийся ток короткого замыкания Ih должен быть известен
для каждого более или менее важного участка линии передачи или рас-
пределительной сети. Допустимое значение плотности этого установивше-
гося тока в любом проводнике на основании уравнения (15.37) равно

к ‘1
s t -р

(15.40)

Так как у, s и & —постоянные величины, определенные для каждой дан-
ной конструкции, то допустимая плотность тока короткого замыкания
обратно пропорциональна квадратному корню из продолжительности
короткого замыкания. Уменьшение продолжительности замыкания путем
быстрого отключения аварийных участков позволяет уменьшать сечения
проводов и других токоведущих частей. Это обстоятельство является
важным фактором при проектировании катушек и обмоток всех типов.
*

Л ИТЕРАТУРА

Satchel о г J. W., Wbilehead D. L, Williams J. S„ Trans. AIEE 67, 159
(1948).

Transient shaft torques in turbine generators produced by transmission-line
reclosing.

BcwlcyL. V., Two-dimensional Fields in Electrical Engineering, New York, 1948, p.

183 (содержит библиографию).

Bi erm an ns J., Arch. Eleki rotecli., 9, 326 (1920).

Ober die niechaiiischen Wirkungen des plotzlichen KurzschluBstromes von Syn-
chronmaschinen.

Biermanns J., Schweiz. Bull., 212 (1923).

Kurzsclilusskraftc an Transformatoren.

Binder L., Eleklroleehn. Zs., 589 (1916).

Kurzschlusscrwarinung in Kraftwerken und Lberlandnelzeu.

Bruder link R., Arch. Elektrotechn., 30, 819 (1936).

Das Drchinonient beim plotzlichen cinphasigen Kurzschluss von Synchronmasclrnen
niit. Dampferwicklung.

Buchholz II., VDE Fachberichtc, 10 (1927).

Die Kurzsclilusskraftc bei Reaklanzspulen.

Doherty R. E., Kier stead F. II., Journ. AIEE, 832 (1923).

Short-circuit forces on reactor supports.

Dunton W. F., Journ. Sci. Instr. 4, 440 (1927).

Electromagnetic forces on current carrying conductors.

Dwight H. B., Trans. AIEE, 39, 1337 (1920).

Calculation of magnetic force on disconnecting switches.

Estorff W., Elektrotechn. Zs., 40, 658 (1919).

Kriiftc auf Drehstrom-Schaltcrlraversen.

Finckh F., Mitt. Ver. Elektr. Work., 62 (1924).

Innere Kurzschliisse bei Hochspannnngs-Turbodynamos.

Fischer E., Elektrotechn. Zs., 59, 1059 (1938).

Einfluss des Eisenkernes auf die Stromkrafte von Traiisformatorenwicklungen.

Frick C. VV., Gen. Electr. Rev , 36. 232 (1933).

Electromagnetic forces on conductors with bends, short lengths, and cross-overs.

Galbraith R. A., Trans. AIEE, 60, 1024 (1941).

Short circuits in synchronous-machine armatures.

Gross J. W., Proc. AIEE, 26 (1915).

Theoretical investigation of electric transmission systems under short-circuit
conditions.

Gut G., Griinberg L. M., Schweiz. Bull., 205 (1927).

Erwarmung von Leitern bei kurzen Belastungszeiten und bei Kurzschliissen.

Hak J., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 17 (1924).

Zur Bcrcchnung der in Reaklanzspulen auftretenden Beanspruchungen.

Hak J., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 47, 149 (1929).

Einige Bemerkungen zur Berechnung der auf bewegliche Leitcrteile wirkenden
Kraft c.

Hak J., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 55, 505 (1937).

Zur Berechnung der Kurzschlusserwarmung.

Higgins J., Trans"AIEE, 61, 578 (1942).

Formulas for calculating short-circuit stresses for bus supports for rectangular tubu-
lar conductors.

Johannsen K., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 57, 533 (1939).

Die Beriicksichtigung des StosskurzschluGstromes bei der Berechnung der thermi-
schen Kurzschlussfestigkcit.

Jolley L. В. II., Electrician, 85, 646, 676 (1920).

Mathematical analysis of the mechanical forces acting on switches and bus liars.

Kierstead F. H., Gen. Electr. Rev., 560 (1923).

The development of current limiting reactors and their shunting resistors.

Kirsch ha и m H. S., Trans. AIEE, 64, 65 (1945).

Transient electrical torques of turbine generators during short-circuits and
synchronizing.

Knaack W., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 61, 455 (1943).

Bcilrag zur 1 erechnung der Stromkrafte an Transforrnatorenwicklungcn bei
plotzlichem Kurzschluss.

Kopec L., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 658 (1925).

Dynaniischc Krafle bei Hochspannungstrcnnschaltcrn und Olschallern.

Korb A., Bull. asso. sui. elec., 24 , 333 (1933).

Axiale Stromkrafte zwischen koaxialen Rohrenwic.klungen mit \bschaltspnlen..
Korb A., Arch Elektrotechn., 27, 454 (1933).

Radiale Drack- und Sprengkriifte in Rohrenspnlen

Korb V, Arch Elektrotechn., 28, 625 (1934).

Der Einflnss des Eisens auf die radialen Stromkriifle bei Transformator-Rohren-
spulen.

Louis H. C., Sinclair T., Journ. AIEE, 267 (1922).

The effect of high currents on disconnecting switches.

Metz G. L. E., Journ. lust. Electr. Eng., 75, 527 (1934).

Electromagnetic forces set up between current-carrying conductors during short-
circuit .

M ii 1 1 n e r F., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 679 (1924).

Stromkrafte in Transformatorwicklungen.

Penney G. W., Trans. AIEE, 1230 (1929)

Short-circuit torque in synchronous machines without damper windings.

Randall К. C., Electr. Journ . 283 (1917).

Mechanical stresses between elcdriral conductors.

Schurig О. II., Sayre M F., Journ. AIEE, 365 (1925).

Mechanical stresses in bus bar supports during short-circuits.

S t i x R., Wiss. Veroffentl. Siemcns-Konzern, 11, No 1, 24 (1932).

Tlicrmische Wicklungszeitkonstanten von eleklrischen Maschinen untcr Beriick-
sichligung der Temperaturgefiille.

Vidmar M., Elektrotechn. n. Maschinenbau, 56, 305 (1938).

Induktu itiit nnd Stromkraft.

Wall T. F., Engineering, <45, 466 (1938).

Effects of short-circuits in lagrc inter-connected three phase electric supply systems.

Weber E., Wiss. Veroffentl. Siemcns-Konzern, 8, No 3, 166 (1920)

Die inagnetoniechanischc Beanspruchiing der Standerwicklung in Generatorcn bcim
plotzlichen Ktirzschlnss.

Wellings J. G., Wheeler R. V., Journ. Inst. Electr. Eng., 89, P. Il, 473 (1942).

The short-circuit rating and testing of current-limiting reactors.

Whitney E. C., Griner II. E., Trans. Al EE, 59, 885 (1940).

Determination of schorl-circuit torques in turbine generators by test.

Winkelstrater II., VDE-Fachberichte, 90 (1936).

Kurzschlusskrafte und Fundaincntbelastungen.
Глава 16

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЛЕКТОРНЫХ
МАШИНАХ

Свободные колебания в электрических цепях, рассмотренные в преды-
дущих главах, возникали в результате коммутационных операций. В отсут-
ствие приложенных извне напряжений эти колебания постепенно затухают
под влиянием успокоительного действия активного сопротивления цепи.
Однако может случиться, что свободные колебания будут поддерживаться
за счет притока энергии извне. Если при этом потери энергии в активном
сопротивлении компенсируются полностью, то свободные колебания совер-
шенно нс затухают и продолжаются сколь угодно долго, т. е. возникают неза-
тухающие собственные колебания. Такие незатухающие колебания бывают,
в частности, в цепях, содержащих коллекторные машины.

§ 1. Уменьшение затухания и самовозбуждение. Рассмотрим колеба-
тельный контур, изображенный на фиг. 163, содержащий коллекторную
машину с последовательной обмоткой возбуждения и расслоенным магнито-
проводом, которая, следовательно, в состоянии реагировать без запаздыва-
ния на любое изменение тока. При вращении якоря в его обмотке наво-
дится электродвижущая сила

E=Ni,

(16.1)

пропорциональная току i, до тех пор, пока магнитная цепь не насыщена.
Дифференциальное уравнение, связывающее напряжения в такой цепи,
имеет следующий вид:

L -I Ri + 1 t idt = Ni, (16.2)

dt V

где L и R означают соответственно собственную индук-
тивность и активное сопротивление всей цепи, включая
и обмотки машины, С—емкость конденсатора, a N—па-
раметр машины, зависящий только от ее обмоточных
данных, сопротивления магнитной цепи и скорости вра-
эффициент 7V равен э.д.с. коллекторной машины на еди-

ницу тока возбуждения и, следовательно, имеет размерность сопротивления.
Так как зпак перед N противоположен знаку перед сопротивлением R, то
этот параметр машины можно рассматривать как отрицательное сопротив-
ление.

Дифференциальное уравнение (16.2) можно записать в следующем виде:

L^+iR-N^i + ^^idt^O. (16.3)

Это уравнение показывает, что влияние активного сопротивления R про-
водников цепи уменьшается за счет параметра N и может быть даже пол-
ностью уничтожено.

Решением уравнения (16.3) является функция

i = Jeai sin (W -{- ср). (16.4)
Собственная частота \ определяется следующим образом:

(II-7V\2

а коэффициент затухания равен

R — N

(16.5)

(16.6)

а -

В рассматриваемой цепи возможны три различных состояния в зави-

симости от величины отрицательного сопротивления.

Если 7V меньше R, то количество энергии, поступающей в цепь от
источника, недостаточно для покрытия всёх потерь. Коэффициент затуха-

ния а отрицателен, т. е. собственные колебания постепенно затухают.

Однако затухание в этой цепи все же меньше, чем
при отсутствии в ней внутреннего источника напря-
жения.

Отрицательное сопротивление 7V, увеличиваясь (на-
пример, вследствие повышения скорости вращения яко-
ря), может стать равным R. В этом случае коэффициент
затухания а обращается в нуль [см. формулу (16.6)].
Это означает, что возникшие собственные колебания мо-
гут продолжаться без затухания в течение очень дли-
тельного времени. Так как потери энергии полностью

покрываются за счет энергии источника, а коэффициент затухания цени
обращается в пуль, то колебания становятся самовозбуждающимися. Часто-
та собственных колебаний, как видно из выражения (16.5), определяется
теперь только величинами L и С и не зависит от каких бы то ни было иных

свойств источника или цепи. В частности, частота не зависит от скорости
вращения машины, которой определяется величина N. Таким образом,
в этом случае машина работает асинхронно.

Если по мере дальнейшего увеличения скорости вращения якоря N
станет больше R, то количество энергии, поступающей от источника в тече-
ние каждого периода колебания, будет больше, чем количество рассеивающей-
ся энергии. В этом случае коэффициент затухания а становится положитель-
ным. Следовательно, как видно из выражения (16.4), амплитуда свободных
колебаний будет возрастать с течением времени по показательному закону.
Однако в действительности это неустойчивое состояние не может продол-
жаться долго. Рост амплитуды колебаний будет ограничен явлениями, кото-
рые не принимались во внимание при составлении дифференциального урав-
нения (16.2). В частности, отрицательное сопротивление N не является
постоянным. Оно уменьшается по мере увеличения магнитного насыщения кол-
лекторной машины. Следовательно, в цепи установится новое равновесное
состояние, характеризующееся большим током.

Наиболее интересным состоянием цепи является такое, при котором
TV — R, т. е. когда в цепи возникает незатухающий переменный ток.
На фиг. 164 даны зависимости падения напряжения на активном сопро-
тивлении Ri и э.д.с. Л/ от величины тока i. Кривая Ai представляет
собой магнитную характеристику машины с последовательным возбужде-
нием. Нз фпг. 164 видно, что равновесие имеет место лишь в точке пересе-
чения кривой Ni и прямой Ri; вне этой точки будет происходить либо нара-
стание, либо убывание амплитуды колебаний.

Таким образом, условие самовозбуждения переменного тока совпа-
дает с условием самовозбуждения постоянного тока. Включение кон-
денсатора произвольной емкости в цепь генератора с последовательным воз-
буждением немедленно приводит к появлению переменного тока, амплитуда
которого будет равна величине протекавшего ранее постоянного тока при
условии, что активное сопротивление цепи для переменного тока равно
ее омическому сопротивлению для постоянного тока. На фиг. 165 приве-
дена осциллограмма переменного тока, возникшего в такой цени в момент а,
когда был разомкнут шунт конденсатора В момент Ь, когда конденсатор
был вновь замкнут накоротко, возник апериодический ток, величина которого
в этот момент была равна мгновенному значению переменного тока, а затем
достигла прежнего равновесного значения.

Прп уменьшении N путем снижения скорости вращения якоря колеба-
ния в цепи постепенно затухают. Размагничивающее действие затухающего

Ф и г. 165.

переменного тока приводит к такому сильному уменьшению магнитного
потока машины, что обычно уже не удастся вновь ввести машину в режим
самовозбуждения. Однако достаточно кратковременицго импульса тока от
вспомогательного источника, чтобы вновь возбудить незатухающие коле
бания.

§ 2. Связанные цепи. В простых цепях, аналогичных изображенной
на фш . 163, собственные колебания могут возникать только в результате
взаимодействия индуктивности и емкости. В це-
-----------------X, 1|и> состоящей пз нескольких магннтно-свя.зан-
1----------------ных контуров, собственные колебания могут воз-

I пикать, как уже было показано в гл. 12, и в от

Ц V] ’ сутствне емкости. Самовозбуждение такой цепи
происходит тогда, когда падения напряжения па
хйд активных сопротивлениях равны внутренним

э. д. с., создаваемым токами контуров.

г- Процессы в коллекторной машине с двумя

парами щеток и двумя контурами, схема которой!
изображена на фиг. 166, описываются следующими дифференциальными
уравнениями:

-и^1-л\г-2 = о,

Л2Ч = 0. (16.7)

Здесь через и /?2 обозначены соответственно суммы активного и отри
цатсльпого сопротивлений первого п второго контуров, а именно:

а;,
/?, = /?" ,V'2.

(16.8)

Через А', и Аг2 обозначены соответственно для первого и второго контуров
суммы напряжений (на единицу тока), возникающих при вращении якоря
вследствие индуктивного взаимодействия между контурами, т. е.

л ! = л;,

А 2 = П2 N'2,

(16.9)
где 7/j и /?2—сопротивления связи цепей, если таковые имеются. В этой
общей схеме контуры связаны между собой не только обычной взаимной
индуктивностью А/, как в трансформаторах и аналогичных устройствах,
ио и «индуктивностью вращения» Л, дополненной возможными общими
активными сопротивлениями.

Систему двух дифференциальных уравнений (16.7) можно привести
к одному уравнению второго порядка, относящемуся в равной мере как

Фиг. 167.

Фиг. 168.

к току ilt так и к току г2 Это приведение дает (см. гл. 9)

(LA--#2) gd [(L^ + L.RJ 2V2)]^ +

+ (7?17?2 - Л\Лга) i = 0. (16.10)

IJ режиме установившихся колебаний член, характеризующий затухание,
т. е. содержащий производную dijdt, должен обратиться в пуль. Таким
образом, мы получаем следующее условие самовозбуждения переменного
тока:

М (Л\ + ТУ2) ^LxR2 pL87?r (16 11)

Для каждой заданной схемы соединения контуров можно определить зна-
чения Л\ и необходимые для поддержания того пли иного режима
собственных колебании.

При выполнении условия (16.11) в дифференциальном уравнении (16.10)
сохраняются только первый и последний члены, которые и определяют
собственную частоту самовозбуждающегося переменного тока

г ' irJ-

Так как взаимная индуктивность М всегда меньше произведения собствен-
ных индуктивностей L,Z>2, то знаменатель выражения (16.12) является
положительной величиной. Следовательно, возможность существования
колебаний зависит от знака числителя; цго можно легко опре юлить в каж-
дом конкретном случае. Таким образом,\иы видим, что при известных
обстоятельствах в связанных цепях коллекторной машины возникают коле-
бания, причем при определенных условиях эти колебания являются само-
возбуждающимися. Упомянутые обстоятельства н условия зависят глав-
ным образом от величины положительных и отрицательных сопротивле-
ний, определяемых соотношениями (16.8) и (16.9).

Одной из наиболее простых электрических машин, в которой наблю-
дались свободные колебания, является репульсионный двигатель; его схема
дана на фиг. 167. Статорная и роторная обмотки этого двигателя индук-
тивно связаны между собой. При синусоидальном распределении магнит-
ного поля вдоль окружности якоря взаимная индуктивность зависит от
угла поворота щеток а и равна

M = M0cosa. (1« 13)
При вращении роторной обмотки в магнитном поле статора в ней наво-
дится э.д с., пропорциональная синусу угла поворота щеток. Так как
в данном случае связь между статорной и роторной цепями через
общее активное сопротивление отсутствует, то в соответствии с соотноше-
ниями (16.9) имеем

Л\ = 0, /V2=—Asina. (16.14)

Следовательно, собственная частота самовозбудившегося репульсионного
двигателя равна

V = V L^L^Ml cos2a = V Л/2[а/(1 —а) + Sin2 а] ’ (16.15)

В эту формулу введен коэффициент рассеяния машины о. Этот коэффициент
оказывает значительное влияние на собственную частоту колебаний, осо-
бенно при малых значениях угла а, которые обычно встречаются на прак
тике. Так как отношения M0IRr и Mo/R2 представляют собой постоянные
времени обмоток, то собственная частота не зависит от чисел витков в ста-
торной и роторной обмотках и определяется в основном их геометрическими
размерами. Такие самовозбуждающиеся колебания, частота которых отлич-
на от частоты сети, нарушают нормальную работу двигателя. Аналогичные
паразитные колебания наблюдались и в трехфазных коллекторных машинах.

§ 3. Быстрое развозбужденпе. При работе генераторов постоянного и пере-
менного тока, снабженных отдельными возбудителями параллельного возбуж-
дения (фиг. 168), иногда наблюдается изменение полярности возбудителя.
Для объяснения этого явления рассмотрим предельный случай, а именно,
предположим, что щетки возбудителя постоянного тока были внезапно сняты
с коллектора. При этом вследствие большой собственной индуктивности
обмотки возбуждения главного генератора ток в ней будет стремиться со-
хранить неизменными свое направление и величину. Из схемы фиг. 168 видно,
что этот ток пройдет через обмотку возбуждения возбудителя, благодаря
чему полярность возбудителя изменится на обратную. Если теперь возвра-
тить щетки возбудителя в прежнее положение, то вследствие изменившейся
полярности его якоря ток возбуждения главного генератора быстро умень-
шится до пуля, а затем будет возрастать в противоположном направлении.

Изменение полярности возбуждения генератора может произойти не
только в том случае, когда цепь якоря возбудителя полностью разорвана,
но п в том случае, когда в нее вводится достаточно большое активное сопро-
тивление 11. По этому сопротивлению вначале будет течь прежний ток воз-
буждения главного генератора it, создавая падение напряжения
противоположное по знаку напряжению на якоре возбудителя. Таким обра-
зом, напряжение на обмотке возбуждения возбудителя уменьшится или даже-
изменит свой знак на обратный, что приведет к установлению нового режима
для генератора и возбудителя.

Переходной процесс описывается дифференциальным уравнением
(16.10), коэффициенты которого легко определить из схемы фпг. 168. Между
цепью возбуждения главного генератора 1 и цепью возбуждения возбудителя
2 взаимная индукция отсутствует, т. е.

М = (16.16)

Эффективные сопротивления этих цепей равны соответственно [см. соотно-
шения (16.8)1

Rl = R’t + R,
R2 = R”-\ R-N.

(16.17)
В этих выражениях активные сопротивления обеих цепей возбуждения отме-
чены штрихами и индексами. В дальнейшем, для упрощения, штрихи будут
опущены.

Коэффициент N, определяющий напряжение возбудителя, при малом
токе возбуждения является постоянной величиной и зависит в основном от
обмоточных данных возбудителя и скорости вращения его якоря. Из фиг. 164
видно, что в рассматриваемом случае значение N равно наибольшему
значению сопротивления цепи возбуждения возбудителя, при котором еще
возможно его самовозбуждение1).

Взаимные отрицательные сопротивления, входящие в соотношения (16.9),
можно найти из той же схемы фиг. 168, причем они оказываются равными

N1 = R-N,
NZ = R.

(16.18)

Следует отметить, что связь между двумя рассматриваемыми цепями осу-
ществляется через общее сопротивление JR.

При найденных выше значениях коэффициентов уравнения (16.10)
могут, вообще говоря, возникать и возрастающие, и неизменные, и убы-
вающие как постоянные, так и переменные токи. Для нормальной работы
генератора необходим установившийся режим с постоянным током возбужде-
ния. Это требование всегда удовлетворяется при малом значении сопро-
тивления JR. Однако если выполнено условие (16.11), то может произойти
самовозбуждение переменного тока. Подставляя в условие (16.11) выражения
коэффициентов из соотношений (16.16)—(16.18), получаем

N=(R^R) + ^.(R1 + R).

(16.19)

Если нагрузка возбудителя отсутствует, то наклон характеристики на-
магничивания, определяемый коэффициентом N [см. соотношение (16.1) и
фиг. 164], равен только сопротивлению Т?2. При этом колебания не возни-
кают. Если же возбудитель нагружен обмоткой возбуждения главного
генератора, имеющей сопротивление R1, то, для того чтобы напряжение
сохраняло прежнее значение, нужно или увеличить наклон характеристики
намагничивания N или уменьшить сопротивление R2. С одной стороны, бла-
годаря присутствию индуктивностей и Ь2 увеличение N может при вести
к возникновению незатухающих колебаний, если будет выполнено условие
(16.19). С другой стороны, включение сопротивления R в якорную цепь
возбудителя может нарушить условие (16.19), вследствие чего главный
генератор потеряет возбуждение. К тому же результату может привести
увеличение сопротивления R2, однако происходящие в том и другом случаях
явления носят совершенно различный характер.

Это становится очевидным, если рассмотреть, частоту переменных токов,
возникающих под влиянием индуктивностей. Подставляя значение коэффи-
циентов из соотношений (16.16)—(16.18) в выражение (16.12), находим,
что частота

|/~Д2 (Ri + JKj + JRj (Д-А)

LiL2

(16.20)

Если выражение под корнем положительно, то возникают колебания; если
же оно отрицательно, то возникают токи постоянного направления, так
как в этом случае v—мнимая величина. Ограничиваясь рассмотрением
только частоты самовозбуждающихся колебаний, можно подставить
в выражение (16.20) значение N из соотношения (16.19). После подста-

1) Имеется в виду самовозбуждение в режиме холостого хода.—Прим. ред.
новкн получаем

Для упрощения записи введем обозначения для постоянных времени
обмотки возбуждения главного генератора и цени возбуждения возбуди-
теля

и t^=lk2-

Тогда выражение для юб<твенной частоты принимает следующий вид:

.АГ(1(i-23)

Эта форму та показывает, что колебания могут возникать только тогда,
когда постоянная времени 7 х главного генератора больше постоянной време-
ни 7’2 возбудителя. В противном случае возникает только постоянный ток.
Однако условие Т± > Т2 недостаточно для того, чтобы колебания могли воз-
никнуть. Для этого необходимо еще, чтобы значения сопротивления якор-
ной цепи возбудителя и сопротивления обмотки возбуждения главного
генератора находились в определенном отношении, а именно:

(1624>

Следовательно, возбудители с очень малым падением напряжения в цепи
якоря в установившемся режиме возбуждения всегда дают постоянный ток.
Падение напряжения, характеризуемое величиной /?, может быть обуслов-
лено как собственно активным сопротивлением, так и реакцией якоря.
Если сопротивление В в цепи якоря увеличивается, то при известном соот-
ношении между постоянными времени Т\ и Т2 [см. условие (16. 24)] возможен
внезапный переход постоянного тока в переменный. При неблагоприятном
стечении обстоятельств дая:с плохой контакт между коллектором и щетками
может привести к изменению полярности машины. Для нормальной работы
необходимо устранить такую неустойчивость; это достигается путем при-
менения компаундной обмотки па полюсах возбудителя, уменьшающей,
насколько возможно, внутреннее падение напряжения.

Если две постоянные времени и Т2 сильно отличаются друг от друга,
то для возбуждения колебаний достаточно даже малого сопротивления В.
Например, если постоянная времени турбогенератора в режиме холостого
хода 7’1=5 сек., а постоянная времени возбудителя 7’2=0,5 век., то для
возникновения колебаний требуется, по крайней мере, следующее отношение
сопротивлении:

Это отношение будет еще меньше при меньшей постоянной времени возбуди-
теля. Постоянная времени турбогенератора в реяшме коротко! о замыкания
может уменьшиться до 7\=1 сек. В этом случае минимальное значение отно-
шения равно

Т2-б,5 —

Это означает, что для возникновения колебаний сопротивление в цени якоря
возбудителя дол ясно быть того ясе порядка, что и сопротивление обмотки
возбуждения генератора.

Если сопротивление В в цепи якоря возбудителя вдвое больше сопротив-
ления В± обмотки возбуждения генератора, то в соответствии с формулой
(16.23) при указанных выше постоянных времени частота свободных колоба*
ний в режиме холостого хода генератора равна

м = 4-1/"2--5 — 1=0,825 в 2« сек., или 0,13 гц,

5 г 0,5

а при коротком замыкании

v = 4 1/^2• 1 = 1>0 в сек., или 0,16 гц.

1 Г

Эти частоты мало отличаются друг от друга и очень низки вс ледствие того, что
велики постоянные времени. Длительность полупериода приблизительно
равна 3—4 сек.; по мере увеличения сопротивления R она уменьшается.

Ф и г. 169.

При внутреннем коротком замыкании в мощном синхронном генераторе
рекомендуется развозбудпть этот генератор как можно скорее, чтобы пред-
отвратить его разрушение. Для быстрого развозбуждения генератора можно
тотчас после возникновения аварии включить добавочное сопротивление R
в цепь якоря возбудителя, как показано на фиг. 168. Сопротивление R долж-
но быть такой величины, чтобы выполнялось условие возникновения собст-
венных колебаний (16.24), но в то же время, чтобы не выполнялось условие

Фиг. 170.

самовозбуждения (16.19). При таком выборе сопротивления R возникают
колебания токов возбуждения и напряжений, которые через непро-
должительное время полностью затухают. Числовые расчеты показывают,
что два сформулированных выше требования не противоречат друг другу.
Опыт эксплуатации большого числа генераторов показал, что включение
добавочного сопротивления, величина которого примерно равна сопротив-
лению обмотки возбуждения генератора, дает очень хорошие результаты.

Па фиг. 169 показана осциллограмма, соответствующая процессу
обычного медленного развозбуждения турбогенератора мощностью 2500 кеа.
В этом случае для уменьшения потока в цепь возбуждения возбудителя было
включено большое сопротивление. Переменное напряжение генератора
уменьшилось за 10 сек. до половины своей начальной величины. Продолже-
ние этой осциллограммы показало бы, что за 40 сек. переменное напряжение
генератора достигает конечного значения, которое составляет все же 30%
от начальной величины вследствие влияния остаточного магнетизма возбу-
дителя.

На фиг. 170 показана осциллограмма, соответствующая процессу раз-
возбуждения того же генератора; развозбуждение осуществлялось путем
включения в цепь якоря возбудителя добавочного сопротивления, равного
13 р. Рюденберг
сопротивлению обмотки возбуждения генератора. Возбудитель сразу же
меняет свою полярность на обратную, что вскоре приводит к изменению
направления тока возбуждения генератора. Это вызывает быстрый спад маг
нитного потока и переменного напряжения генератора, которое по проше-
ствии 4—5 сек. полностью исчезает. Более медленный спад напряжения
генератора по сравнению со спадом тока возбуждения объясняется задержи-
вающим влиянием вихревых токов в сплошных стальных частях ротора.

Если сопротивление R включается в цепь якоря возбудителя сразу же
после короткого замыкания генератора, то действие его проявляется еще
сильнее, чем при включении в режиме нормальной нагрузки или холо-
стого хода. Как видно из фиг. 125 и 126, внезапное короткое замыкание гене-
ратора сопровождается значительным увеличением его тока возбуждения.

По этой причине время, в течение которого происходит изменение полярно-
сти возбудителя, уменьшается, а напряжение на якоре увеличивается, так
что полное развозбуждепие мощного генератора обычно заканчивается
в течение 1—2 сек. На фиг. 171 приведены осциллограммы такого быстрого
развозбуждения после внезапного короткого замыкания. Ток в статорной
обмотке исчезает уже через 1 сек. При затухании колебаний тока возбуж-
дения остаточный магнетизм генератора и возбудителя обычно падает до
столь малой величины, что машины не могут вновь самостоятельно возбу-
диться. Для возобновления способности к самовозбуждению, необходимому
для нормальной работы, достаточно временно включить небольшую э.д.с.
в цепь возбуждения возбудителя.

ЛИТЕРАТУРА

Alexanderson Е. F. W, Edwards М. A., Bowman К. К., Trans.

AIEE, 59, 937 (19401

Dynamo-electric amplifier for power control.

Bower J. L., Trans. AIEE, 64, 873 (1945).

Fundamentals of the amplidyne generator.

Brunn A., Bull. asso. sui. elec., 26, 137 (1935). .

Die Expedauz als I rsache der Selbstcrregung und der allgemeinen Resonanz.
Cauvenberghe R., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 953 (1910).

Ober einige Eigenschaften der Kominutatorgeneratoren.

Doherty R. E., Journ. AIEE, 731 (1922).

Exciter instability.

Fisher A., Trans. AIEE, 59, 939 (1940).

The design characteristics of amplidyne generators.

Fleischmann L., Arch. Elektrotechn., 9, 403 (1921).

Selbsterregung einer Gleichstromnebenschlussmaschine fur Wechselstromabgabe.

Frost G. E., Trans. AIEE, 65, 304 (1946).

The short-circuit characteristics of d-c generators.

Hess H., Weber E., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 9, No 1, 115 (1930).

Der Schwingungswiderstand zur Schnellentregung elektrischer Maschinen.

Hess H., Arch. Elektrotechn., 27, 467 (1933).

KurzschluBstrom und Schutz grosser Gleichstromgeneratoren.

Kozisek J., Elektrotechn. Zs., 56, 1121(1935).

Cher Selbsterregung und deren Verhiitung bei Drehstrom-Reihenschlussmaschinen.

Laternser A., Bull asso. sui. elec., 28, 193 (1937).

Zur Frage der Selbsterregung der Einphasenwechselstrom-Kollektor-Serie-Motoren.

Ley er er F., Arch. Elektrotech., 9, 95 (1920).

Ober Wechselstromselbsterregung von Gleichstrommaschinen.

Linville T. M., Trans. AIEE, 65, 956 (1946).

Gurrent and torque of d-c machines on short-circuit.

Linville T. M., Ward H. C., Trans. AIEE, 68, 119 (1949).

Solid short-circuit of d-c motors and generators.

Muller P., Elektr. Kraftbetr Bahn. 641, 721 (1911).

Gegenstroin- und Kurzschlussbremsung bei Reihenschhisskominulatormoloren.

Niethammer F., Siegel E., Elektrotechn u. Maschinenbau, 1063 (1911)

Uber elektrische Bremsung mit besonderer Beriicksichtigung der Wechselstrom- .

Kommutatormotoren

Pohl R., Elektrotechn. Zs., 805 (1924).

Der Einfluss des Stromreglers auf das Abklingen des KurzschluBstromes von
Turbogeneratoren.

Rusch F., Elektrotechn. Zs., 778 (1910).

1st eine Nutzbremsung des Repulsionsmotors in normaler Schaltung moglich?
Riidenberg R., Phys. Zs., 668 (1907).

Eine Methode zur Erzeugung von Wechselstromen beliebiger Periodenzahl.

Riidenberg R., Elektrotechn. Zs., 391 (1911).

Selbsterregende Drehstromgeneratoren fiir veranderliche Frequenz
Riidenberg R., Elektrotechn. Zs., 489 (1911).

Der Drehstrom-Kollektorgeneratoren Leerlauf.

Riidenberg R., Arch. Elektrotechn., 1, 34 (1912).

Elektrische Eigensch wing ungen in Dynamomaschincn.

Simons K., Arch. Elektrotechn., 1, 325 (1912).

Elektrische Eigenschw ingungen in Dynamomaschincn.

Waclawik A., Elektrotechn Zs., 55, 71 (1934).

Die Stabilitat des Metall-Gleichstrom-Schweisslichtbogens.
III. ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ

МАСС

Глава 17

РАЗГОН ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДВИГАТЕЛЕЙ

Скорость вращения двигателей как постоянного, так и переменного токов
при подключении их к распределительной сети с неизменным напряжением
достигает своего установившегося значения не сразу, а лишь через некоторый
конечный промежуток времени. Обычно начальное ускорение двигателей
искусственно уменьшают, чтобы ограничить потребляемую ими мощность.

Во время пуска двигателя возникают два накладывающихся друг на
друга переходных процесса. Включение обмоток двигателя служит причиной
электрических переходных процессов, которые сводятся в основном к появ-
лению свободного затухающего постоянного тока. В двигателях посто-
янного тока эти процессы обусловливают появление тока возбуждения
и тока в якорной обмотке, которые возрастают по показательному
закону; в асинхронных и других двигателях переменного тока переходные
процессы создают затухающее неподвижное магнитное поле, накладываю-
щееся на нормальное вращающееся поле.

Одновременно с электрическими переходными процессами происходит
механический процесс разгона якоря (ротора) двигателя. Под действием
пускового момента якорь начинает вращаться и по истечении некоторого
определенного времени достигает установившейся скорости вращения.
Длительность электрического переходного процесса при включении опреде-
ляется электромагнитной постоянной времени, зависящей от индуктивности
и активного сопротивления цепи. Длительность механического переходного
процесса определяется моментом инерции вращающихся масс и вращающим
моментом, приложенным к якорю двигателя.

В этой главе мы будем предполагать, что длительность электрического
переходного процесса столь мала по сравнению со временем разгона
двигателя, что эти два процесса протекают независимо друг от друга.
Это означает, что переходные электрические токи затухают так, как если бы
двигатель был в покое, а механический переходный процесс протекает так,
как будто бы соответствующие электрические величины уже успели уста-
новиться. Далее, для упрощения анализа явлений, возникающих- при пуске
двигателя, предположим, что как вращающий момент, развиваемый двига-
телем, так и момент сопротивления нагрузкй зависят исключительно от
скорости и не зависят от других переменных величин.

§ 1. Плавный пуск. Плавный пуск любого двигателя можно обеспечить,
если включить жидкостный реостат в цепь якоря и постепенно уменьшать его
сопротивление. В двигателях постоянного тока такое пусковое сопро-
тивление включается последовательно с обмоткой якоря (фиг. 172); в асин-
хронных двигателях оно присоединяется к контактным кольцам ротора
(фиг. 173).
Зная характеристику двигателя и закон убывания пускового сопротив-
ления, можно определить величину вращающего момента D, развиваемого
двигателем при данной скорости п об/мин или угловой скорости

<0 = -^. (17.1)

Равным образом, для машин, приводимых в движение, известна зависимость
момента сопротивления М от скорости вращения. Соответствующие харак-
теристики приведены на фиг. 174.

Разность этих двух моментов определяет ускорение якоря и всех инер-
ционных масс присоединенных к нему передаточных и рабочих механизмов.

Фиг. 172.

Скорость вращения двигателя растет до тех пор, пока разность’ А между
этими двумя моментами не обратится в нуль, после чего устанавли-
вается постоянная угловая скорость а>0. Согласно закону Ньютона, ускоряю-
щий момент равен произведению момента
инерции J и углового ускорения якоря,
т. е.

Р-Л7 = Д(ш) = . (17.2)

Здесь J означает сумму моментов инерции
всех вращающихся масс, приведенных к
скорости вращения якоря. Величина А (<в)
представляет собой избыточный момент
двигателя, который зависит от ш, как Ато
видно из фиг. 174.

Уравнение (17.2) позволяет графиче-
ски определить ускорение, а следователь-
но, и скорость вращения двигателя при

любом законе изменения мо-

ментов. Однако эта зависимость обычно дается не как функция времени,
а как функция угловой скорости ш. Поэтому перепишем уравнение (17.2) так,
чтобы скорость <<» играла роль независимой переменной, а время t—зависимо'!
переменной

dt = J^_
△ (“)

(17-3)

Проинтегрировав это выражение, получим зависимость времени I от угловой
скорости о> в виде

(17-4)

Для графического интегрирования удобно преобразовать подинтеграль-
ное выражение так, чтобы его числитель и знаменатель были отвлеченными
числами. С этой целью введем в знаменатель отношение избыточного момента
к нормальному моменту Do, т. е.

A£L = 6(u>), (17.5)
а в числитель—нормальную угловую скорость ш0. В результате выраже-
ние (17.4) принимает вид

7<о0 С d(<»/<o0) _ С d4 /17

' йо)Ч“/“о) “JM4’

где v = id/u)u означает отношение мгновенной угловой скорости к нормаль-
ной.

Интеграл в соотношении (17.6) представляет собой безразмерную вели-
чину, непрерывно увеличивающуюся по мере роста относительной угловой
скорости м. Численное значение его зависит исключительно от закона изме-
нения избыточного момента со скоростью. Назовем этот интеграл относи-
тельным временем разгона, так как в соответствии с выражением (17.6)
он пропорционален времени t. Постоянный множитель перед интегралом

= (17.7)

зависящий только от параметров двигателя и сцепленных с ним механиз-
мов, имеет размерность времени. Назовем этот множитель постоянной времени
разгона, соответствующей нормальному вращающему моменту, или, иначе,
нормальным временем разгона двигателя.

Выразим нормальный вращающий момент двигателя Do (в кгм) через
его нормальную мощность Ро (в вт), для чего воспользуемся соотношением

P0 = g<00P0, (17.8)

где g—ускорение силы тяжести. Далее, вместо момента инерции введем
часто применяемое на практике произведение веса W и квадрата радиуса
инерции R, которое имеет размерность кг -м* 2,

W~R*=gJl\ (17.9)

Воспользовавшись соотношением (17.1), найдем следующее выражение
для нормального времени разгона T2V

Так, например, нормальное время разгона двигателя мощностью
Р0=2£)кет с нормальной скоростью вращения и0= 1500 об/мин, характе-
ризуемого величиной W R2 = 0,9 кг-м2, равно

„ 1 15002-0,9 , ,

Та~~91" 20-103 — 1,1 сек‘

Для большинства двигателей эта величина лежит в пределах от 0,5
до 2 сек. При увеличении момента инерции нагрузки нормальное время
разгона двигателя соответственно увеличивается.

В соотношении (17.6), определяющем действительное время разгона,
в знаменатель подинтегрального выражения входит величина относитель-
ного момента о (v), которая известна для каждого значения относительной
скорости V. Применим это соотношение к частному случаю. Пусть пусковое
сопротивление изменяется так, что в течение всего пуска двигатель раз-
вивает свой нормальный вращающий момент, а момент сопротивления
равен нулю. Тогда, как видно из выражений (17.2) и (17.5), 8=1; следо-

ч Произведение W В2 равно 1/i махового момента, определяемого произведением
веса и квадрата диаметра инерции.—Прим. ред.

2) Ta—Jg^/P0 называют также постоянной инерции машины.—Прим. ред.
вателыю, па основании соотношения (17.6) полное время разгона двига-
теля, т. е. время, необходимое для достижения им нормальной скорости
вращения (v=1), равно

1^Та^ = Та. (17.11)

Таким образом, физический смысл постоянной времени Та заключается
в следующем: она равна полному времени разгона двигателя до нормаль-
ной скорости под действием нормального вращающего момента.

В общем случае функция 8 (v) дается графически. Для вычисления
интеграла в выражении (17.6) определим обратные значения 1/8 (фиг. 175, б),
предварительно повернув характеристики моментов на 90° (фиг. 175, а).

Построив затем интегральную кривую (фпг. 175, в) так, чтобы ее
ординаты были равны заштрихованным площадям на фиг. 175, б, полу-
чим, в соответствии с выражением (17.6), относительное время разгона.
Умножив, наконец, относительное время разгона на постоянную времени Та,
вычисленную по формуле (17.10), найдем действительное время разгона t
в секундах, т. е. то время, которое необходимо для того, чтобы нагружен-
ный двигатель достиг соответствующей скорости вращения. Кривая на
фиг. 175, в асимптотически приближается к прямой v=l, соответствующей
установившейся скорости вращения. Все построение на фиг. 175 выполнено
для двигателя постоянного тока, вращающего центробежный насос при значи-
тельном начальном трении и квадратичной зависимости момента сопротивле-
ния нагрузки от скорости вращения.

Соотношение (17.6) справедливо, очевидно, и в тех случаях, когда
пусковое сопротивление уменьшается только до какой-нибудь величины или,
вообще, остается неизменным. Во всех случаях относительные значения
момента 8, зависящие от относительной скорости вращения v, следует
считать известными. Соотношение (17.6) определяет также время, за которое
произойдет остановка двигателя, отключенного от сети. Если момент тре-
ния и прочие тормозящие моменты заданы как функции скорости, то и в
этом случае можно построить кривую зависимости относительной скорости
от времени.

Приведенные соображения позволяют рассчитать процесс разгона не
только электрических, но и любых других двигателей. Особую опасность
представляет разнос турбогенераторов при внезапном сбросе нагрузки
(который может произойти или вследствие отключения главного вы-
ключателя, илп вследствие полного короткого замыкания вблизи шин
станции), когда по какой-либо случайной причине не подействовали
регуляторы турбин. Вращающий момент такого первичного двигателя
убывает по мере увеличения скорости (фиг. 176, слева) вследствие
увеличения потерь на трение и нарушения режима потока воды или пара
на лопатках турбин. Если принять для простоты, что турбина имеет линей-
ную характеристику момента, то зависимость между относительным избы-
точным моментом о и относительной скоростью v можно выразить следую-
щим образом:

где —предельная относительная скорость первичного двигателя. Для
гидравлических турбин предельная скорость превышает нормальную скорость
в 1,8- 2,0 раза, а для многоступенчатых паровых турбин может быть
в 5—6 раз больше нормальной скорости.

На основании соотношения (17.6) время разноса равно

* = (\t - 1) тА-^ = Td In , (17.13)

J *(! ’ 'а 2

где

Td = ^d-i)Ta = ^=^Ta (17.14)

означает постоянную времени разноса, которую следует отличать от посто-
янной времени разгона Та. Для гидравлических турбин эта величина не-
много меньше постоянной вре-
мени разгона, а для паровых
турбин в несколько раз пре-
вышает ее. На фиг. 176 справа
построена кривая разноса. Ее
уравнение можно получить, если
решить уравнение (17.13) отно-
сительно v и затем перейти к
абсолютных! значениям угловой
скорости

Скорость

ы = ю0 4 (wd - %) (1 _ e-'/Trf).

(17.15)

достигает предельного значения через промежуток времени,
в 3—4 раза превышающий постоянную времени Td.

Закон нарастания угловой скорости тотчас после сброса нагрузки
определяется 1лавным образом постоянной времени разгона. В соответствии
с результатами измерений в действительных условиях значения постоянных
времени разгона Та явнополюсвых генераторов, приводимых в движение
гидравлическими турбинами, заключаются в пределах

от 4 до 10 сек.

Меньшие значения Та относятся к низконапорвым, а большие—к высоко-
напорным турбинам. Для генераторов с цилиндрическим ротором, приво-
димых в движение паровыми турбинами, эта величина лежит в пределах

от 10 до 25 сек.

Меньшие значения Та относятся к высоким скоростям от 3000 до 3600 об/мин,
а большие—к скоростям от 1000 до 1800 об/мин.

Из фиг. 176 видно, что за время, равное \ 10 постоянной времени разгона,
т. е. за 0,5—2 сек., скорость вращения увеличивается на 10%. Если турбины
для предупреждения разноса снабжены быстро закрывающимися предохра-
нительными клапанами или быстро падающими щитовыми затворами, то
механизмы этих устройств должны подействовать за указанные выше малые
промежутки времени.

§ 2. Ступенчатый пуск. Очень часто пуск электрических двигателей про-
изводится путем ступенчатого изменения пускового сопротивления или путем
ступенчатого переключения трансформатора. На фиг. 177 в качестве при-
мера приведена схема двигателя постоянного тока с металлическим пуско-
вым реостатом, подразделенным на большое число секций. Аналогичные

Фиг. 177.

реостаты применяются и для самых разнообразных двигателей переменного
тока. На каждой ступени пуска сопротивление якорной цепи остается
постоянным, а противоэлектродвижущая сила якоря растет с увеличением
скорости вращения. Поэтому ток в якорной обмотке и вращающий момент
при увеличении скорости вращения якоря убывают почти линейно.

На фиг. 178 представлена зависимость вращающего момента двигателя D
от угловой скорости при различных положениях ручки пускового реостата.
Эта зависимость характеризуется семейством наклонных прямых. Все пря-
мые сходятся в одной точке, соответствующей скорости холостого хода.
Чтобы скачки тока при пуске двигателя были по возможности одина-
ковыми, вращающий момент должен лежать в пределах между верхним и
нижним значениями, показанными на фиг. 178. Для этого ручка реостата
должна переставляться на следующий контакт в тот момент времени, когда
вращающий момент двигателя достигает нижнего заданного предела.

С достаточной точностью можно считать, что в пределах каждой ступени
изменение момента сопротивления М в зависимости от скорости вращения
происходит также по линейному закону. В таком случае и избыточный мо-
мент Д изменяется по линейному закону

£>-Л/ = Д = Дх Шх~ы , (17.16)

х “х

где <1>х означает угловую скорость нагруженного двигателя, которую он при-
обрел бы в конце концов, если бы ручка реостата оставалась в некотором
положении х, а Дх означает фиктивный избыточный момент на валу
двигателя при неподвижном якоре и при том же положении ручки пускового
реостата. Величины и Дд. можно определить по диаграмме фиг. 178, которая
известна в каждом конкретном случае.

Подставляя выражение (17.16) в соотношение (17.2), получаем

(17.17)

dt х ' ' '
Введем обозначение

(17.18)

и назовем эту величину постоянной времени, соответствующей положению х
ручки пускового реостата. Эта величина определяется выражением, анало-
гичным выражению (17.7) для величины Та. В результате получаем сле-
дующее дифференциальное уравнение, определяющее увеличение скорости

вращения якоря:

c/со Сх)--------

(17.19)

грирования определяется скоростью <,>'

Решением этого известного дифференциального уравнения будет

— и>х = Ке~Чт^. (17.20)

Таким образом, для каждого положения ручки пускового реостата раз-
ность между мгновенно1 и установившейся скоростями вращенпя якоря
убывает по показательному закону.
Мгновенная скорость асимптотически
стремится к своему установившемуся
значению o>v, как показано на
фиг. 179.

Решение (17.20) справедливо для
всех положении ручки пускового рео-
стата; однако, для каждой ступени
постоянные о)х и Тх, а следовательно
и постоянная интегрирования К раз-
личны. Если для каждой ступени
отсчет времени снова начинать от
значения t ~ 0, то постоянная инте-
, которую имел двигатель к моменту

перестановки ручки пускового реостата,

К = м'-^х. (17.21)

Таким образом, в соответствии. с соотношением (17.20) в пределах
каждой ступени скорость меняется по следующему закону:

i» = (ux — (ibx — <»') е~Чт^. (17.22)

Когда скорость якоря достигает величины ш", ручка реостата пере-
ставляется в следующее положение. Время, в течение которого ручка рео-
стата остается в положении х, определяется из уравнения

17Z~=e~t!Tx’ (17-23)

oiкуда

= (1’24)

Соотношение (17.24) можно было бы получить также из общего выраже-
ния (17.6), если подставить в него формулу (17.16) для избыточного мо-
мента. [Этот прием был пспользован при выводе соотношения (17.13).]
Поскольку значения и Тх в выражении (17.24) известны для каждого
положения ручки реостата, то, для того чтобы найти полное время раз-
гона двигателя, нужно просуммировать все значения tx.

На фиг. 179 даны показательные кривые, соответствующие различным
положениям ручки реостата. Скорость вращения двигателя сначала изме-
няется по сложной кривой, состоящей из вычерченных жирными линиями
участков показательных кривых, а затем асимптотически приближается
к своему установившемуся значению. При большом числе ступеней пуска
(больше 8—10) кривая роста скорости становится почти плавной, так
что ступенчатый пуск перестает существенно отличаться от плавного

пуска двигателя.

При пуске электрических тяговых двигателей ускорение должно быть
сообщено значительным массам, а именно: массе двигателя, редуктора и массе
вагонов. Обычно для тяги применяются двигатели последовательного воз-

буждения с почти гиперболической зависи-
мостью момента от скорости вращения, сходной
с характеристикой, приведенной на фпг. 174.
Однако поскольку работа этих двигателей про-
исходит на различных ступенях, то необхо-
димо рассмотреть полную диаграмму мо-
ментов, которая изображена на фиг. 180. Ра-
бочие участки кривых в этом случае можно
апроксимировать прямолинейными отрезками,
а затем по формуле (17.24) подсчитать время
разгона. Другой метод заключается в опреде-
лении заштрихованном площади на фпг. 180,
что соответствует вычислению интеграла по фор-
муле (17.6) и фиг. 175. Для этого вычисления

Фиг 180.

можно пспользовать либо

отдельные участки характеристик момента, соответствующих заданному
процессу пуска двигателя, лпбо среднее значение вращающего момента Dm,
так как действительные ступени в сильной степени зависят от произвола

водителя.

Постоянную времени разгона тягового двигателя удобнее выра-
зить через массу вагона М и его нормальную скорость г0. Эта скорость
связана с радиусом инерции двигателя R соотношением

г7о=ббД/г°-

(17.25)

Подставив найденное из этого соотношения выражение для радиуса инер-
ции в формулу (17.10), получим постоянную времени разгона

Та = ^. (17.26)

Эта величина определяет полное время разгона двигателей вагона или
поезда. Форма кривой зависимости скорости от времени определяется далее
относительным временем разгона, которое, в свою очередь, зависит от свойств
двигателя и которое можно найти при помощи соотношения (17.6) из диаг-
раммы моментов на фиг. 180.

§ 3. Выделение тепла за время пуска. Прп пуске двигателя по его
обмоткам протекают большие токи, которые значительно превосходят номи-
нальный ток. Это приводит к выделению большого количества тепла;
в результате температура обмоток может сильно повыситься. Полное коли-
чество энергии, превращающейся в тепло в течение всего времени пуска
двигателя, равно

W=^izRdt. (17.27)

Интегрирование производится от момента включения до момента окончания
периода разгона. Дать аналитическое выражение зависимости тока i от вре-
мени очень трудно. Однако этот интеграл нетрудно вычислить, если пред-
варительно преобразовать его из интеграла по времени в интеграл по ско-
рости. Для этого выразим бесконечно малое приращение времени dt через
бесконечно малое приращение скорости ей» при помощи соотношения (17.3)
Тогда формула (17.27) примет вид

W = j[-^du. (17.28)

J Д (со) ' '

Ток г, избыточный момент А и сопротивление цепи R могут быть пере-
менными величинами, как это имеет место, например, в случае регули-
ровки пускового сопротивления при разгоне двигателя.

Последнему выражению можно придать более удобный вид, если
ввести в него нормальную мощность двигателя, определяемую формулой
(17.8). Таким путем получаем

и = Л Ж' <17-29)

Произведение, стоящее перед интегралом, равно удвоенной кинетической
энергии, накапливающейся в двигателе и в связанных с ними механизмах
при полной угловой скорости вращения %. Воспользовавшись соотноше-
ниями (17.1) и (17.9), получим следующее выражение для кинетической
энергии:

= (17.30)

Таким образом, количество тепла, выделяющегося в течение всего времени
пуска двигателя, всегда пропорционально кинетической энергии. Первый
множитель под знаком интеграла в правой части выражения (17.29) пред-
ставляет собой отношение мгновенного значения мощности тепловых потерь
в сопротивлении к нормальной мощности па валу двигателя. Это отношение
меняется во время пуска; часто его можно выразить как функцию скорости.
Второй множитель под знаком интеграла совпадает с подинтегральным
выражением в формуле (17.6), которой мы пользовались для определения
зависимости скорости от времени.

Для двигателей постоянного или переменного тока с последовательным
возбуждением, часто применяющихся для приведения в движение больших
масс, можно составить общее представление о рассматриваемых процессах,
если пренебречь силами трения и не учитывать магнитного насыщения.
Тогда вращающий момент двигателя будет зависеть только от квадрата
тока, т. е.

^^ = D = kiz. (17.31)

Выразив постоянную к через нормальный вращающий момент Do
и нормальный ток 7С, найдем

8W=-2O,) = P- <17’32)

При подстановке этого выражения в соотношение (17.29) величина г2 сокра-
щается и мы получаем следующую формулу, определяющую количество
тепла, выделяющегося при разгоне:

= (17.33)

; о J к “о /

Это соотношение справедливо при постоянном сопротивлении. Проинтегри-
ровав его, получим

W = — , (17.34)

-*О °’о
где <о' и <о* — пределы интегрирования, ограничивающие область изменения
скорости, для которой подсчитано количество выделившегося тепла. Если бы
вычисление производилось для полного времени разгона двигателя, т. е.
от состояния покоя до скорости ю0, причем пусковое сопротивление отсут-
ствовало бы, то последний множитель в выражении (17.34) был бы равен
единице. Таким образом, количество тепла, выделяющегося в двигателе
последовательного возбуждения во время пуска, равно удвоенному значе-
нию его кинетической энергии, умноженной на отношение потерь в сопро-
тивлении к мощности в установившемся режиме.

При пуске двигателя путем ступенчатого изменения приложенного на-
пряжения или добавочного сопротивления количество тепла, выделяюще-
гося в последовательные интервалы изменения скорости [см. (17.34)],
суммируются по линейному закону, если внутреннее сопротивление двига-
теля можно считать неизменным. Поэтому количество тепла, выделяющегося
внутри самого двигателя за время разгона инерционных масс, не зависит от
особенностей пуска. Тепловые потери в пусковом сопротивлении или трансфор-
маторе на каждой ступени пуска также можно подсчитывать по формуле
(17.31), в которую в этом случае следует подставить соответствующие значения
сопротивления R и нормального тока 1В. Если для двигателя последова-
тельного возбуждения при нормальной работе относительные тепловые
потери равны 5%, то при разгоне они, согласно формуле (17.34), составят
10% от энергии инерционных масс, движущихся с нормальной скоростью.
Таким образом, количество тепловой энергии, выделяющейся в двигателе
последовательного возбуждения, который приводит в движение большие
массы, всегда во много раз меньше его кинетической энергии.

ЛИТЕРАТУРА

Attlmayr Р., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 487 (1922).

Das Durchgehen von Turbinen.

Blanc F., Zs. Ver dent. Ing., 289 (1919).

Ober Anlauf- und auslaufverhaltnisse von motorisch angetriebenen Massen unter
Anwendung eines neuen graphischen Auswerlungsverfahrens.

Briiderlink R., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 541 (1930).

Zum Beschleunigungsanlauf von Motoren.

F i s c h tn a n n D., Elek. Kraftbetr. Bahn., 129 (1917).

Schwungmassenausgleich bei Elektromotoren.

Jasse E. Arch. Elektrotechn., 5, 285 (1917).

Der Anlassvorgang beim Gleichstrommotor.

J asse E., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 657 (1912).

Zur Berechnung von Anlasswiderstanden und Motorsicherungen.

Mailloux C. O., Trans. AIEE, 2834 (1915).

Notes on the plotting of speed-time curves.

Melchior P., Rosenthal H., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 712 (1931). Die
Beschleunigungsarbeit von Motoren.

Pensaben e-P e r ez N., Journ. Inst. Electr. Eng., 48, 484 (1911).

An automatic starting device for asynchronous motors.

Sain t-G e r m a i n J., Rev. gen. elec., 2, 3 (1917).

Etude stir la duree des demarrages des moteurs a courant continu et d’induction.

Woodruff E. C., Proc. AIEE, 1689 (1914).

Graphic method for speed-time and distance time curves.
Глава 18

ПУСК ДВИГАТЕЛЕМ ПОСТОЯННОГО ТОКА

В начальный момент, когда якорь еще неподвижен и напряжение
сети не уравновешивается электродвижущей силой, возникающей при
вращении, ток в якорной цепи двигателя постоянного тока ограничивается
пусковым сопротивлением. Включение такого сопротивления в большинстве
случаев оказывается необходимым для предотвращения толчков тока в сети
и для устранения искрения под щетками.

Если с двигателем сцеплена лишь небольшая внешняя маховая масса
и если во время пуска он не нагружается значительным моментом сопро-
тивления (трение и т. п.), то можно обойтись и без пускового сопротив-
ления. Цепь якоря такого двигателя можно включать непосредственно на
полное напряжение сети, конечно, после того, как в нем будет возбужден
магнитный поток.

Так как цепь якоря двигателя всегда обладает некоторой индуктив-
ностью, то после внезапного приложения напряжения Постоянный ток
в этой цепи достигает своего предельного значения не скачком, а лишь
через определенный промежуток времени. Следовательно, если время раз-
гона двигателя не намного превышает время установления тока, то скорость
вращения якоря и противоэлектродвижушая сила в его обмотке успевают
значительно увеличиться, прежде чем ток достигнет опасной величины.
В этом случае электрический и механический процессы пуска наклады-
ваются друг на друга, поэтому для исследования возникающих явлений сле-
дует воспользоваться полными уравнениями, учитывающими оба процесса.

§ 1. Пуск без добавочного сопротивления в цепи якоря. На фпг. 181

приведена схема двигателя постоянного тока с независимым возбуждением.

Фиг. 181.

Во время разгона двигателя постоянное напря-
жение сети Е уравновешивается суммой па-
дений напряжения на индуктивности якоря и на
омическом сопротивлении, а также противоэлек-
тродвижущей силой в, наводимой во вращающейся
якорной обмотке,

E = Ljt + m + e. (18.1)

При постоянном магнитном потоке противоэлектродвижушая сила е про-
порциональна угловой скорости якоря, т. е.

е = Асо,

(18.2)

где к — коэффициент пропорциональности, известный для данной машины.

Кинетическая энергия вращающихся масс, имеющих момент инерции J,
равна
В эту формулу введено ускорение силы тяжести g для того, чтобы энергия
была выражена в джоулях. Электрическая мощность, преобразуемая дви-
гателем в механическую, равна ei. Если пуск двигателя происходит в от-
сутствие трения, то механическая мощность расходуется исключительно
на ускорение масс, связанных с якорем, т. е. на изменение их кинетической
энергии. Следовательно, в соответствии с законом сохранения энергии,
имеем

еМг(Р^2)=Мг- (18Л)

(II. у CLL

Разделив это уравнение па выражение (18.2), получим

Таким образом, ток пропорционален ускорению якоря, которое, в свою
очередь, пропорционально вращающему моменту. Подставив выражение (18.5)
и производную от него, а также соотношение (18.2) в уравнение (18,1),
получим

Е = LJ£ + RJ f- 4- к«>. (18.6)

Л- dt2 ‘ к dt '

Когда скорость вращения якоря достигает своего предельного значе-
ния ю0, ускорение и ток обращаются в нуль. Следовательно, противоэлек-
тродвижущая сила е, наводимая в якорной обмотке, становится равной
напряжению сети Е. В этом случае, согласно соотношению (18.2), имеем

£ = Аю0. (18.7)

Подставляя выражение (18.7) в дифференциальное уравнение (18.6), опре
деляющее изменение скорости со временем, приводим последнее к окоп
чателыюму виду

5+^+й(ш-,в«)=0- <18-8>

Аналогичное уравнение можно получить для тока I. Для этого достаточно
проинтегрировать выражение (18.5) по времени и найденное значение а>
подставить в соотношение (18.2). В результате получаем

e = ^^idt. (18.9)

Подстановка этого выражения в уравнение (18.1) дает

E^L^^Ri-^—^idt. (18.10)

Чтобы избавиться от интеграла, продифференцируем все члены этого урав-
нения по t. В результате получим

S+t-£+&1‘=0- (iB.ii)

Упростим выражения для постоянных коэффициентов дифференциаль-
ных уравнений (18.8) и (18.11). Для этого введем, во-первых, электро-
магнитную постоянную времени

?’==4; (18Л2)

во-вторых, величину, обратную коэффициенту при третьем члене, обозначим
следующим образом:

^ = TTk. (18.13)
Определим отсюда Тк
из выражения (18.7)

и в полученную формулу подставим значения А

т _LJg _RJga?,
* к*Т I2

(18.14)

Величину Тк назовем электромеханической постоянной времени двигателя
постоянного тока. Обозначим далее через

(18.15)

мощность короткого замыкания цепи якоря, т. е. мощность при затормо-
женном якоре. Тогда, вводя в выражение (18.14) величину И R , пропорцио-
нальную моменту инерции, и скорость холостого хода л0, определяемые
соотношениями (17.1) и (17.9), получаем

Тк

___2

2 n2 WR.

(18.16)

Таким образом, выражение (18.16) для электромеханической постоянной
времени двигателя постоянного тока, включаемого в сеть непосредственно,
построено почти так же, как и выражение (17.10) для постоянной времени
разгона. Разница состоит лишь в том, что в знаменатель выражения (18.16)
входит мощность короткого замыкания, тогда как в знаменатель выраже-
ния (17.10) —нормальная мощность. При малом активном сопротивлении

цепи якоря мала и электромеханическая постоянная времени.

Подставляя значения постоянных времени, определяемых
ниями (18.12) и (18.13), в дифференциальные уравнения (18.8)
для изменения со временем скорости и тока, получаем

соотноше-
и (18.11)

сРи> 1 1 dw ( ы—ы0
di* + 'TUt + TTk

d*i 1 di i

dB~*T"dt~'T7\:

= 0,

(18.17)

Оба уравнения имеют одинаковую форму и очень напоминают дифферен-
циальные уравнения, выведенные в гл. 5 для свободных токов в колеба-
тельных контурах.

Решения этих уравнений будем искать в виде

ы — ы0 - Keat,

i = K'eat,

(18.18)

где К и К' — постоянные интегрирования, которые должны быть опре-
делены из начальных условий рассматриваемой задачи. Выражения (18.18)
определяют свободные составляющие скорости вращения и тока. Дифферен-
цирование их дает

d^ = a.Ker!l, ~—aK'e',t,
at at

„ ,2- (18.19)

at2 at2

Подставляя эти выражения в уравнения (18.17) и сокращая общие множи-
тели, получаем одинаковое для обоих случаев характеристическое уравнение
а2+“+^_=0. (18.20)

Квадратное уравнение (18.20) имеет следующие решения:
Квадратный корень представляет собой действительную величину, если
учетверенная электромагнитная постоянная времени Т меньше электро-
механической постоянной времени Tk. Рассмотрим в первую очередь этот
часто встречающийся случай.

Из выражения (18.21) видно, что возможны два значения коэффи-
циента а. Следовательно, решения (18.18) нужно записать в расширенном

виде, а именно:

со — соо = Кгеа*1,

i = К[е^‘ + ЛГ'е’г'.

(18.22)

В выражения для свободных составляющих скорости и тока входят по две
постоянных интегрирования. Их можно найти из следующих начальных
условий. В момент включения при / = 0 якорь находится в покое и по его
обмотке еще не протекает ток из сети. Поэтому при t = 0

со = 0 и i = 0.

(18.23)

В силу соотношения (18.5) в момент включения ускорение якоря равно
нулю; точно так же равны нулю второй и третий члены в правой части
уравнения (18.1). Поэтому при t = ()

~ = 0 и (18.24)

dt dt L ' '

Используя условия (18.23) и (18.24) в выражениях (18.22) при t = 0, получаем

четыре уравнения для определения четырех
Для постоянных интегрирования, входящих
получаем

постоянных интегрирования,
в выражения для скорости,

А2 — — (»0,
А £ -, 7-2 А 2 = 0,

а для постоянных интегрирования, входящих

(18.25)

в выражения для тока, имеем

^+а;=о,

<*1А г -f <х2 А2 = у- .

(18.26)

(18.27)

Решая эти уравнения, находим
= --------------------------------------

«1 — “2 А(ах — аг)

г- _ _ о1ы0 . ь-' ______А

2 ах— а2 ’ 2 А («1 — аз)

Первое из решений (18.22) принимает теперь следующий вид:

и — c^q — а1е°2<)- (18.28)

Подставив сюда значения ах и а2, определяемые из соотношения (18.21),
получим следующее выражение для угловой скорости:

«=“»- [ (*+/*^1) - (* - К1-?) '*' ] (18-29>

2 Г 1 —

Таким же путем получаем выражение для тока

г = —7 Е--т- (e°if — е®2') —-Е (е®2( — е®1')- (18.30)

14 Р. Рюденберг
Поскольку оба значения а всегда отрицательны, показательные функ-
ции убывают с течением времени. Поэтому скорость вращения якоря
постепенно приближается к своему установившемуся значению <%, а ток

вначале возрастает, достигает своего максимального значения, а затем
убывает до нуля, как это и должно быть при холостом ходе двигателя.
Изменение этих двух величин во времени показано на фиг. 182.

Несмотря на быстрый рост тока в начале процесса, он никогда
не достигает значения, равного току короткого замыкания Е/R, т. е.

значения, которого он достиг бы в случае

неподвижного якоря или в случае отсут-
ствия индуктивности и которое представ-
ляло бы опасность для двигателя. Дейст-
вительное максимальное значение тока в
якоре можно определить, продифференци-
ровав выражение (18.30),

iMaKc.= -4£(^Y1/(01 °2>. (18-31)
--------СГоЛ К а1 /

Величина гмакс. основном определяется
индуктивностью L. Пуск двигателя в ход

можно производить сколь угодно плавно, если включить в цепь якоря

соответствующую реактивную катушку.

На фиг. 183 приведены осциллограммы пускового тока двигателя
мощностью 250 кет с номинальным током 1120 а. Двигатель сначала был

Ф и г. 183.

непосредственно подключен к напряжению 120 в, а затем — к напряже-
нию 240 в. Момент инерции якоря в этих опытах был удвоен, что было
достигнуто путем присоединения к нему второго якоря такой же мощности.

Если электромагнитная постоянная времени 7’ цепи якоря очень мала
по сравнению с электромеханической постоянной времени 7\ (что имеет
место, например, при включении в цепь якоря добавочного сопротивления),
то квадратный корень в выражении (18.21) можно разложить в ряд
по формуле бинома. Таким образом, приближенно

1 1

<4= а2= (18.32)

В этом случае электрический и механический переходные процессы не зависят
друг от друга. Переходный электрический процесс, характеризующийся
малой постоянной времени, успевает затухнуть, прежде чем якорь двига-
теля приобретает заметную скорость. Скорость вращения якоря прибли-
жается к скорости холостого хода в соответствии с большой электромеха-
нической постоянной времени. Этот случай обычно имеет место тогда, когда
пуск двигателя производится при помощи пускового сопротивления, вклю-
ченного последовательно в цепь якоря (см. гл. 17). Подставив соотно-
шение (18.32) в выражение (18.28), получим для угловой скорости

ш_. The~tlTk — Те~‘1Т

“Э Th-T

(18.33)

Аналогично, подставив выражение (18.32) в соотношение (18.30), получим

для тока

i гр е ЧТк — е 1‘т

E/R h

(18.34)

На фиг. 184, а и б показан простой способ графического построения
кривых скорости и тока по заданным постоянным времени Т и Th.

Максимальное значение тока определяется отношением

макс.

ёТп

(Т/Т*)/(1-Т/ТЛ)

(18.35)

которое получается из выражения (18.31). В большинстве случаев это
отношение лишь немного меньше единицы.

§ 2. Пусковые потери в двигателях с параллельным возбуждением.
Определим тепловые потери за время разгона двигателя с инерционной
нагрузкой. Двигатель включен в сеть с постоянным напряжением; пуск
его производится при помощи пускового сопротивления. Вращающий
момент двигателя с параллельным возбуждением пропорционален току
в якорной обмотке. Его можно записать в виде

Д(ы) = П = §£г, (18.3G)

где Do и Ро — нормальные значения вращающего момента и мощности
двигателя.

Ток в якорной обмотке достигает максимального значения Е/R при
неподвижном якоре; по мере увеличения скорости вращения ток убывает
по линейному закону вследствие роста противоэлектродвижущей силы
(фиг. 185), т. е.

<18-37>

Подстановка этого выражения в общее уравнение (17.29) значительно
упрощает входящий в него интеграл. В результате получаем выражение
для количества тепла, выделяющегося при пуске,

»- = 2И^ (!-£)<;(£). (18.38)
az

Фиг. 185.

Интегрирование в пределах от ш' до <и" дает

• (18.39)

Таким образом, формула, определяющая тепловые потери при пуске дви-
гателя с параллельным возбуждением, совершенно отлична от аналогичной
формулы для двигателя с последовательным возбуждением [см. выраже-
ние (17.34)].

Запишем выражение (18.39) в виде

(18Л0>
и обозначим

= (18.41)

Величина а представляет собой скольжение двигателя с параллельным
возбуждением. Оно определяется как относительное отклонение скорости и>
от скорости холостого хода «>0 (см. фиг. 185). В ре-
зультате получаем простую формулу для тепловых
потерь при пуске

Ж = (18-42)

Таким образом, тепловые потери при пуске этого дви-
гателя с чисто инерционной нагрузкой зависят только
от кинетической энергии вращающихся масс и разно-
сти квадратов величин скольжения в начале и в
конце рассматриваемого интервала времени. Ника-
кие другие параметры двигателя или сети не влияют
на величину потерь. Если при пуске двигателя пу-
сковое сопротивление включается ступенями (см.

фпг. 178), то тепловые потери можно определить для каждой ступени в от-
дельности, так как они распределяются между обмоткой якоря и пусковым
реостатом пропорционально их сопротивлениям.

Тепловые потери за время разгона от состояния покоя (ст = 1) до ско-
рости холостого хода (а2 = 0) равны кинетической энергии, приобретаемой
якором двигателя за то же время. Следовательно, источник должен пере-
дать двигателю энергию, равную удвоенной кинетической энергии. Если
скорость двигателя изменяется от — о>0 до <оо, то начальное скольжение
= 2, а а2 попрежнсму равно нулю. Тепловые потери прп таком измене-
нии скорости превышают кинетическую энергию в 4 раза. Если же якорь,
вращающийся с полной скоростью, затормаживается путем замыкания его
на внешнее сопротивление, то начальное значение скольжепия с, = 0,
а конечное значение а2 = 1. Количество тепла, выделившегося во время
торможения, снова равно кинетической энергии. Так как в этом случае
якорь отсоединен от внешнего источника, то выделение тепла происходит
только за счет кинетической энергии, причем кинетическая энергия пол-
ностью превращается в тепло.

Интересно сравнить электрические потери, подсчитанные выше, с коли-
чеством энергии, преобразующейся в тепло в случае разгона пли тормо-
жения инерционных масс, сцепленных друг с другом фрикционной муфтой
(фиг. 186). Если две массы с моментами инерции и Т2 вращаются
с различными угловыми скоростями Wj и к>2, то их полная кинетическая
энергия равна

W. + W2 = 4 Jlg^ +1 J2g^. (18.43)
Гл. 18. Пуск двигателей постоянного тока

После того как эти массы будут сцеплены между собой фрикционном
муфтой, их скорости станут равными друг другу. Согласно закону сохра-
нения количества движения, их общая угловая скорость будет равна

_ J j<dj -|- J2О|2
Ws— j1+j2 •

Новое значение кинетической энергии равно

(18.44)

(18.45)

Разность между этими двумя значениями кинетической энергии преобразует-
ся в тепло за счет действия сил трения, что приводит к нагреванию рабочей
поверхности муфты.

При помощи формул (18.43) и (18.45) получаем, после простых преобра-
зований, следующее выражение для тепловых потерь при торможении:

△W = W1 + lV2-Hz3 = -f--^^-. (18.46)

7г+7Г

Таким образом, тепловые потерп на трение зависят от квадрата разности
начальных скоростей и от суммы величин, обратных моментам инерции.

Фиг. 186.

Фиг. 187

Отсюда следует, что количество выделяющегося тепла определяется глав-
ным образом меньшим из двух моментов инерции.

Если один из моментов инерции, например J2, бесконечно велик, то
скорость вращения второй массы ю2 остается неизменной [см. соотношение
(18.44)1, а скорость вращения первой массы, момент инерции которой равен
J изменяется от до о>2. Количество тепла, выделяющегося в муфте при
увеличении или при уменьшении скорости, равно в этом случае

(18.47)

Это выражение совершенно не похоже на выражения, определяющие тепло-
вые потери при пуске двигателей с параллельным или последовательным воз-
буждением [см. выражения (18.42) и (17.34)1. Тепловые потери возрастают,
если во время разгона или торможения в двигатель поступает излишняя энер-
гия от внешнего источника, как это имеет место при постоянстве напряже-
ния питания и магнитного потока. Потерп электрической энергии умень-
шаются, если при пуске двигателя производится надлежащее изменение
тока возбуждения, что вызывает соответствующее изменение противоэлектро-
двпжущей силы в якорной обмотке, как это имеет место при пуске двигателя
с последовательным возбуждением. Наконец, потери во время разгона пли
торможения двигателя становятся минимальными, если напряжение источ-
ника изменяется пропорционально желательному изменению скорости
двигателя. Такое изменение напряжения осуществляется, например, в си-
стеме регулирования скорости, показанной на фиг. 187.
Из выражения (18.47) следует, что тепловые потери во фрикционной
муфте (см. фпг. 186) как при разгоне двигателя от состояния покоя до ско-
рости ш2, так и при торможении от той же скорости ш2 до полной
остановки, равны кинетической энергии Ws. Таким образом, в этих слу-
чаях потери в муфте имеют ту же величину, что и в двигателе с параллель-
ным возбуждением. Однако если полное торможение двигателя с параллель-
ным возбуждением производится не путем замыкания накоротко обмотки
якоря, а путем изменения полярности щеток, то тепловые потери становятся
равными утроенному количеству кинетической энергии, как это следует из
уравнения (18.42), в котором теперь а1=2 и а2=1. Такие тепловые потери,
конечно, нежелательны. При частичном увеличении или уменьшении ско-
рости в диапазоне от нуля до полной скорости тепловые потери в электри-
ческом двигателе и во фрикционной муфте будут, вообще говоря, различными.

Изложенные выше соображения могут быть с успехом применены в обла-
сти электрической тяги, движения судов, привода кранов, подъемников,
центрифуг, реверсивных прокатных станов и других приводов, т. е. там,
где процессы пуска и торможения играют не меньшую, а иногда и большую
роль, чем установившийся режим.

§ 3. Емкостный эффект. Постоянные времени, зависящие от параметров
двигателя, не всегда имеют такие значения, при которых квадратный корень
в выражении (18.21) оказывается вещественным числом. Электромагнитная
постоянная времени может быть столь большой, а электромеханическая
постоянная времени—столь малой, что квадратный корень становится мни-
мой величиной, а коэффициент а—комплексной. Так будет в том случае,

если

4Т _ 4£'2£

W >

(18.48)

Это неравенство может иметь место при малой кинетической энергии
малом сопротивлении 7? и большой индуктивности цепи L. В этом случае
в выражение (18.22) вместо показательных функций будут входить затухаю-
щие синусоидальные и косинусоидальные функции. Таким образом, в дви-
гателе постоянного тока возникнет колебательный процесс. При разгоне
такого двигателя его скорость сначала возрастает до значения, превышаю-
щего установившееся значение, а затем приближается к нему после несколь-
ких колебаний. Ток сначала возрастает, затем уменьшается, меняет свой
знак и, в конце концов, после нескольких таких колебаний затухает.

Мы не будем преобразовывать решения дифференциальных уравнений
для этого случая, так как они будут тождественны решениям, полученным
в гл. 5, где рассматривалось взаимодействие индуктивности и емкости,
а ограничимся лишь вычислением собственной частоты свободных колебаний.
Эта частота определяется в выражении (18.21) квадратным корнем, в котором
можно пренебречь слагаемым 1, учитывающим затухание,

v = Л V |Г- = =----^=-. (18.49)

2Т Г Th /TTh Ио / LJg

Последнее выражение получено путем исключения постоянных времени при
помощи соотношений (18.7) и (18.13). Итак, собственная частота колебаний
зависит от напряжения сети, нормальной скорости, электрической и механи-
ческой инерции якоря двигателя.

Весьма замечательно, что связь между' э.д.с. е, возникающей при вра-
щении, п током i в обмотке якоря двигателя постоянного тока с незави-
симым возбуждением, нагруженного инерционными массами, которая дается
формулой (18.9), имеет ту же форму, что и связь между напряжением и
зарядным током конденсатора, выражаемая формулой (2.1). В обоих случаях
напряжение пропорционально интегралу тока по времени, который опре-
деляет количество электричества, протекшего через машину или конденса-
тор. В конденсаторе это количество электричества заряжает диэлектрик,
а в двигателе постоянного тока—«заряжает» инерционную массу якоря.

Таким образом, любую машину постоянного тока с независимым воз-
буждением можно использовать как аккумулятор энергии. Согласно уравне-
нию (18.9), ток в якоре пропорционален производной по времени от напря-
жения между щетками

. _ Jg de
k2 dt'

(18.50)

Следовательно, якорь машины характеризуется некоторой эквивалентной
или динамической емкостью, которая (по аналогии с емкостью конденсатора)
равна

Г Jg Jg“o _(ЭТД2 "«ITT?2 Н8 511

При выводе последнего выражения, удобного для практических расчетов,
были использованы соотношения (17.1), (17.9) и (18.7). В этих соотношениях
Е означает э.д.с., наводимую в обмотке якоря при вращении его со
скоростью п0 об/мин. Емкость такого электродинамического конденсатора
может быть во много раз больше емкости обычного электростатического
конденсатора. Кроме того, величину емкости электродинамического конден-
сатора можно регулировать, изменяя ток возбуждения.

Небольшой двигатель постоянного тока, у которого по=1800 об/мин
и £'=110 6, имеет момент инерции, равный

РУ/?2 = 0,9 кг-м2.

Динамическая емкость этого двигателя

Cflyn —

2 18002-0,9

—ЙО2— = 2’64^’

Эта емкость столь велпка, что ее невозможно получить электростатическим
путем без больших затрат. Динамическую емкость двигателя нетрудно еще
увеличить, присоединяя к двигателю маховик.

Активное сопротивление цепи якоря действует так же, как и активное
сопротивление в контурах, содержащих электростатические конденсаторы
[см. уравнение (18.10)]. Далее, можно показать, что потери в стали якоря
и потери на трение соответствуют потерям в диэлектрике электростатиче-
ского конденсатора.

В целях предотвращения искрения между контактами, при помощи
которых отключаются небольшие электромагниты, часто употребляются
параллельно включенные конденсаторы. Для существенного ограничения
перенапряжений на зажимах обмоток мощных электромагнитов, например
полюсов электрических машин, в которых накапливается большое коли-
чество магнитной энергии, потребовались бы электростатические конденса-
торы колоссальных размеров. В этих случаях вместо конденсаторов с боль-
шим успехом использовались машины постоянного тока с независимым
возбуждением. Схема включения такой машины показана на фиг. 188. На-
пряжение, возникающее при размыкании цепи, дается приближенной форму-
лои (7.4) Подставив в эту формулу выражение (18.51) для динамической
емкости и выражение

j иФ
для индуктивности обмотки возбуждения, найдем, что наибольшее напряже-
ние, возникающее при размыкании, равно

•^макс.

ш/Ф

WR2

(18.53)

Активное сопротивление вызывает, вообще говоря, некоторое уменьшение
действительного значения Емакс..

Применяя в качестве конденсаторов машины с большой скоростью
вращения п0 и с большим моментом инерции W/?8, можно, как это видно

Ф и г. 189.

из выражения (18.53), уменьшить перенапряжение при размыкании до
умеренной величины. После размыкания главных контактов (см. схему
на фиг. 188) и затухания свободных токов по якорной обмотке такого
двигателя-конденсатора продолжает течь небольшой ток, необходимый для
поддержаппя вращения в режиме холостого хода. Этот ток можно отключить
совершенно безопасно. Во время переходного процесса скорость вращения
двигателя временно достигает очень большой величины, определяемой на-
пряжением Емакс_. Конструкция якоря должна быть рассчитана на эту
большую скорость. На фиг. 189 приведены осциллограммы напряжения
статора е1( напряжения возбуждения е2 и тока возбуж-
—♦— дения i2 мощного трехфазного генератора, при размы-

Jk кании цепи возбуждения которого использовался опи-

ф К—) АДА санный выше двигатель-конденсатор.

V V V \ Если двигатель постоянного тока с параллельным
_^о J I возбуждением (фиг. 190), вращающийся без нагрузки,

отключается, то в нем могут возникнуть аналогичные
иг колебания, так как энергия магнитного поля будет

переходить в обмотку якоря. Одпако в данном случае
якорь вращается в переменном магнитном поле. Следовательно, емкостное
действие но остается постоянным п явленпе становится более сложным.
Емкостный эффект якоря двигателя постоянного тока не может быть исполь-
зован для получения колебаний любой частоты. Частота ограничивается ин-
дуктивностью самой якорной обмотки. Емкостный эффект якоря проявляется
только прп частотах, меньших собственной частоты, определяемой выраже-
нием (18.49). При частотах, больших, чем собственная частота, преобладаю-
щее значение имеет индуктивность якорной обмотки. Для оценки этого
предела введем в формулу (18.49) вместо индуктивности L отношение
индуктивного падения напряжения к напряжению сети Е, т. е. величину

еь

V>LIq
Здесь wLIq - индуктивное падение напряжения в обмотке якоря, которое
создавалось бы переменным током номинальной величины Zo и частоты а>.

Тогда выражение (18.49) для собственной частоты принимает следую-
щий вид:

J т/” о>Е7о _
шо г eLJg

(18.55)

В этой формуле момент инерции J выражен через постоянную времени
разгона двигателя Та в соответствии с соотношением (17.10).

Если по обмотке якоря упоминавшегося выше двигателя постоянного
тока с полезной механической мощностью Ро=20 hem протекал бы перемен-
ный ток с частотой 50 гц, то относительное индуктивное падение напряжения
в ней равнялось бы 12,5% от напряжения сети. Таким образом, собственная
частота динамических колебаний равна

2л-50
0,125-1,6

v =

39,6 в 2л сек., или / = 6,3 гц.

Следовательно, емкостный эффект можно использовать только для медлен-
ных колебаний с частотой порядка нескольких герц или меньше. Подобные
токи появляются, например, в роторных цепях асинхронных двигателей.

Интересно отметить, что формула (18.55) для собственной частоты
колебаний якоря двигателя постоянного тока весьма сходна по своему
строению с формулой для частоты механических колебаний ротора двигателя
переменного тока, которая будет выведена в гл. 20. При всем различии
в электрическом устройстве двигателей обоих типов как те, так и другие
колебания возникают вследствие взаимодействия механической и электри-
ческой энергии в переходном процессе. Следовательно, в обоих случаях соб-
ственная частота определяется соответствующими постоянными времени.

ЛИТЕРАТУРА

Bader W., Elektr. Bahnen, 7, 247, 299 (1932).

Theorie der Kurzschlussbremse.

Bethge W., Elektr. Bahnen, 224 (1925).

Wirkungsweise der elektrischen Kurzschlussbremsung.

Crever F. E., Trans. AIEE, 66, 191 (1947).

An extension of impact speed drop analysis

Linke W., Elektrotechn. Zs., 453 (1918).

Das Schalten grosser Gleichstrommotoren ohne Vorschaltwiderstande.

Linville T. M., Umansky L. A., Trans. AIEE, 54, 387 (1935).

Speed transients of d-c rolling mill motors.

Ludwig L. R., Trans. AIEE, 599 (1928).

Effect of transient conditions on application of d-c compound motors.

Mon a th L., Elektrotechn. Zs., 55, 597 (1934).

Kurzschlussbremsung und Nutzbremsung elektrischer Fahrzeuge. Entwicklung
und heutiger Stand

Trittin C., Elektrotechn. Zs., 759 (1912).

Das Schalten grosser Gleichstrommotoren ohne Vorschaltwiderstande.
Глава 19

ПУСК АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

Асинхронные двигатели с роторной обмоткой типа беличьей клетки
имеют небольшой пусковой момент. Обычно они включаются непосредствен-

но, без добавочного сопротивления, на полное напряжение сети или на его

вращающего момента.

часть. При этом они разгоняются до скорости,
близкой к синхронной. Такая схема пуска изо-
бражена на фиг. 191. Напряжение, внезапно
приложенное к статорной обмотке двигателя,
создает в нем, помимо нормального вращаю-
щегося поля, свободный магнитный поток, воз-
буждаемый апериодическими затухающими то-
ками. Свободный магнитный поток неподвижен
относительно статора и дополняет в момент
включения вращающееся магнитное поле дви-
гателя до нуля и, следовательно, имеет направ-
ление, противоположное исходному направле-
нию вращающегося поля. Неподвижный зату-
хающий магнитный поток не создает никакого

Полезный вращающий момент создается только вра-

щающимся вынужденным магнитным потоком—единственным потоком, кото-
рый остается в магнитной цепи двигателя вскоре после его включения.

§ 1. Время разгона двигателя с роторной обмоткой типа беличьей
клетки. Поскольку пуск двш ателей этого типа происходит плавно (не ступе-

нями), можно воспользоваться выводами,

Область нормального

изложенными в гл. 17. Однако вращающий
момент такого двигателя изменяется по весь-
ма своеобразному закону, вследствие чего
процесс разгона приобретает особый характер.
Зависимость вращающего момента D двига-
теля от числа оборотов п или от угловой
скорости вращения <о, полученная при помо-
щи хорошо известной круговой диаграммы,
показана на фиг. 192. Вначале вращающий
момент сравнительно мал; он растет по мере
увеличения скорости вращения и достигает
максимального (критического) значения Dh,
а затем круто падает до нуля при синхрон-

ной скорости вращения ш0.

рабочего режима асинхронного двигателя лежит

между точками, соответствующими синхронной скорости вращения и макси-
мальному вращающему моменту. Относительное отклонение истинной ско-
рости вращения от синхронной

СОП — со . со

С = ——- = 1--------

СО0 СО0

(19.1)
называется скольжением двигателя, а скольжение, соответствующее макси-
мальному вращающему моменту Dh, — критическим скольжением аЛ. Зави-
симость между относительными значениями вращающего момента D/Dh
и скольжения c/aJ( удовлетворительно воспроизводится приближенной
формулой

справедливой для всех значений о. Таким образом, отношение вращающего
момента к его максимальному значению зависит исключительно от отноше-
ния истинного скольжения к его критическому значению. Максимальный
вращающий момент Dh представляет собой один из параметров двигателя.
Критическое скольжение двигателя равно, как известно, отношению падения
напряжения, создаваемого током короткого замыкания Zh2 на активном
сопротивлении цепи ротора Т?2, к электродвижущей силе Е2, наводимой
в неподвижной роторной обмотке, т. е.

= (19.3)

При исследовании пускового режима двигателя предположим, что силы
трения ничтожно малы, как это чаще всего встречается на практике.
Таким образом, вращающий момент ротора расходуется целиком на разгон
инерционных масс, вследствие чего он пропорционален ускорению ротора
(рассматривается случай пуска машины без нагрузки), а именно:

0 = /^. (19.4)

где J — момент инерции ротора и всех присоединенных к нему масс.

Подставляя в уравнение (19.4) выражение для производной скорости
через производную скольжения, полученное при помощи соотношения (19.1),
приходим к следующему выражению для отношения вращающего момента
к его максимальному значению:

D __ d Г to X___ гр d Г со _ Гр de .. q

Dh Dh dt < ш0 7 ll dt < a>0 ) h dt \ • /

Назовем коэффициент Tk критической постоянной времени ротора. Критиче-
ская постоянная времени Th по смыслу аналогична постоянной времени
разгона Та [см. выражение (17.7)] и отличается от Та лишь тем, что в зна-
менатель формулы для нее входит максимальный, а не нормальный враща-
ющий момент. Для удобства дальнейших расчетов выразим максимальный
механический момент через максимальную электрическую мощность (em)

Л = (19.6)

Далее выразим синхронную угловую скорость <в0 через синхронное число
оборотов в минуту п0 и заменим момент инерции J через его значение
WR2 (кг-м2), как это делалось в соотношениях (17.1) и (17.9). Таким путем
получаем для критической постоянной времени ротора следующее выражение:

„ _ Jw0 _ / л X 2 n^WfP __ Do т
h Dk <30) Ph ~ Dh Ta'

Критическая постоянная времени Tlt меньше постоянной времени разгона Та
в число раз, равное отношению нормального вращающего момента к макси-
мальному, которое, в свою очередь, равно обратной величине перегрузочной
способности двигателя.

Приравнивая момент, развиваемый двигателем [см. выражение (19.2)],
и момент, необходимый для ускорения вращающихся масс [см. выражение
(19.5)], получаем дифференциальное уравнение для скольжения ротора
во время разгона. Это уравнение имеет вид

-Т=(19.8)
dt +

Oft °

и может быть сразу проинтегрировано путем разделения переменных

dt = - ( — + -h-do. (19.9)

X. Oft ° у

Интеграл этого уравнения равен

<19ло)

Заметим, что нижний предел интеграла определяется скольжением при
неподвижном роторе, т. е. с=1, а верхний —тем скольжением, которое

соответствует времени разгона t. Подставляя указанные значения пределов
интегрирования, находим время разгона, равное

(19.11)

Из последней формулы снова видно, что время разгона равно произведе-
нию критической постоянной времени Тк, измеряемой в секундах, и относи-
тельного времени, определяемого выражением в скобках и характеризующего
постепенное возрастание времени разгона. Графики зависимости скольжения
или относительной скорости [см. соотношение (19.1)1 от относительного вре-
мени разгона t!Th, исчисляемого с момента включения двигателя, даны на
фиг. 193. Различные кривые относятся к двигателям с различными значе-
ниями критического скольжения afe, зависящими от активного сопротивле-
ния роторной обмотки Т?2 [см. выражение (19.3)]. Из этих кривых видно,
что как очень малые, так и очень большие значения критического скольже-
ния затягивают разгон двигателя. Следовательно, быстрый разгон двигателя
может иметь место только при значениях критического скольжения, лежа-
щих в определенных пределах. На фиг. 194 приведены осциллограммы
скорости п и токов в статорной и короткозамкнутой роторной обмотках дви-
гателя, нагруженного сравнительно большими вращающимися массами.

Из уравнения (19.11) видно, что время разгона нарастает по довольно
сложному закону по мере уменьшения скольжения (т. е. увеличения скоро-
сти). Так как уравнение (19.11) является трансцендентным относительно а,
то его нельзя решить в общем виде, и поэтому невозможно выразить скорость
в виде явной функции от времени. Однако если в какой-либо конкретной зада-
че требуется определить время разгона, то его можно найти при помощи

этого уравнения. Из уравнения (19.11), а также из кривых фиг. 193 видно,
что разгон двигателя до небольших скоростей происходит сравнительно
быстро. Однако разгон двигателя до скорости холостого хода, которой со-
ответствует скольжение а=0, происходит асимптотически по показательному
закону. Следовательно, при практическом определении времени разгона
необходимо считать концом процесса не тот момент, когда скорость двига-
теля достигает своего окончательного, установившегося значения, а тот,
когда она становится достаточно близкой к синхронной, т. е. когда скольже-
ние становится равным, скажем, 2,5, или 5, илп 10%. Относительные вре-
мена разгона для указанных выше конечных величин скольжения и для
различных критических значений скольжения показаны на фиг. 195. Из
кривых фпг. 195 видно, что минимальное время разгона двигателя полу-
чается прп критическом скольжении aft от 40 до 50%.

Если направление вращения работающего двигателя изменяется на
обратное путем изменения направления вращения его магнитного поля,
то соотношение (19.2) остается справедливым и для режима торможения
двигателя, при котором начальное скольжение а больше 1. Таким обра-
зом, время реверсирования определяется из того же дифференциального
уравнения (19.9). Если до реверсирования двигатель вращался с полной
скоростью в отрицательном направлении, т. е. о>/и>0= — 1, то нижним пределом
интегрирования служит число о=2. Тогда время реверсирования получается
равным

или, после подстановки пределов,

z'-r‘[T5T+flnG)]- <19лз>

На фиг. 196 даны кривые зависимости относительного времени реверсирова-
ния двигателя от величины критического скольжения при различных значе-
ниях скольжения в конце процесса реверсирования. Время реверсирования
минимально, если ak лежит в пределах от 60 до 80%.

Критическое скольжение ak большинства двигателей с роторной обмот-
кой типа беличьей клетки лежит в пределах от 10 до 20%. Из кривых на
фиг. 195 и 196 видно, что этим значениям критического скольжения соответ-
ствуют времена разгона и реверсирования, в несколько раз большие их
минимально возможных значений. Интересно отметить, что в оптимальных
случаях относительное время разгона только несколько больше 1, а отно-
сительное время реверсирования лишь немного больше 2. Эти числа можно
рассматривать как предельные, соответствующие случаям, когда в течение
всего времени разгона или реверсирования развивается максимальный вра-
щающий момент (см. пунктирную прямую на фиг. 193).

Сумма времен разгона и торможения должна быть минимальной для
двигателей, которые попеременно пускаются в ход из состояния покоя

и разгоняются до полной скорости, а затем тормозятся до полной остановки
путем изменения направления вращения магнитного поля. В таком режиме
работают, например, двигатели, служащие для привода центрифуг. Так как
процесс реверсирования распадается на два этапа (торможение и разгон
в обратную сторону), то время, затрачиваемое на эти две операции, равно
сумме времен разгона и торможения. Поэтому и в этом случае желательно
иметь большую величину критического скольжения.

Время торможения определяется при помощи уравнения (19.9) путем
его интегрирования в пределах от а=2 до о=1. В результате получаем

<19л4>

Абсолютны!! минимум относительного времени торможения равен 1,02.
Ему соответствует критическое скольжение ah=147%, которое примерно
вдвое больше критического скольжения, соответствующего минимальному
времени реверсирования. Времена разгона и торможения при выполнении
каких-либо иных операций (переключения со звезды на треугольник, изме-
нения числа пар полюсов и т. п.) можно найти при помощи уравнения (19.9)
путем его интегрирования в надлежащих пределах. Значения ак и Тк должны
определяться при помощи формул (19.3) и (19.7) по известным параметрам
двигателя, относящимся к его новому состоянию, которое устанавливается
после переключения.

Из сказанного следует, что асинхронные двигатели, от которых требует-
ся быстрое изменение направления и скорости вращения, применяемые,
например, для привода центрифуг, рольгангов прокатных станов и других
механизмов такого типа, должны иметь роторные обмотки со сравни-
тельно большими активными сопротивлениями для сокращения переход-
ных процессов при переключениях. Для уменьшения количества тепла,
выделяющегося в самом двигателе, часто применяют внешнее активное со-
противление, включаемое последовательно с роторной обмоткой. Для умень-
шения электромеханической постоянной времени до возможного минимума
рекомендуется рассчитывать двигатель на возможно больший критический
момент и на возможно меньшую окружную скорость ротора [см. выраже-
ние (19.7)1. Увеличение максимального вращающего момента приводит
к увеличению знаменателя в правой части формулы (19.7), а уменьшение
окружной скорости—к уменьшению ее числителя, так как окружная скорость
пропорциональна произведению числа оборотов в минуту п0 па радиус
инерции R.

§ 2. Потеря скорости при посадке напряжения сети Если в сети
происходит короткое замыкание вблизи работающего асинхронного двига-
теля (фиг. 197), то напряжение на зажимах двигателя падает от нормаль-
ного значения Ео до неко-

торого, меньшего значения
Е. В результате этого вра-
щающий момент двигателя

Фиг 197.

может уменьшиться настолько, что момент сопротивления нагрузки полностью
затормозит его ротор. На фпг. 198 приведены две характеристики вращающего
момента: кривая D соответствует полному напряжению, а кривая D' — по-
ниженному из-за короткого замыкания в сети. Отношение этих вращающих
моментов равно отношению квадратов соответствующих напряжений, т. е.

Предположим, что момент сопротивления нагрузки Do остается постоянным,
что соответствует наиболее неблагоприятному случаю. Если пониженный
вращающий момент D’ меньше момента сопротивления £>0, то скорость
вращения двигателя начинает спадать в соответствии с разностью величин
этих моментов, показанной штриховкой на фпг. 198. При этом скольжение
двигателя постепенно увеличивается и становится больше своей нормальной
величины а0.

После отключения короткого замыкания напряжение сети поднимается
скачком практически до нормального значения. Появляется полный враща-
ющий момент D и двигатель снова разгоняется, если потеря скорости была
не слишком велика и восстановленное значение вращающего момента больше
момента сопротивления Z)o. Предел допустимой потери скорости определяется
(см. фиг. 198) абсциссой точки пересечения кривой D и прямой Do. Этой
точке соответствует некоторое значение скольжения аи. Определим время,.
необходимое для того, чтобы скольжение двигателя увеличилось от значе-
ния а0 до аи под действием избытка момента сопротивления над вращающим
моментом (избыток показан штриховкой на фиг. 198). Длительность корот-
кого замыкания и, как следствие, падение напряжения в сети не должны
превышать этого промежутка времени. В противном случае двигатель
остановится.

На основании общего уравнения (17.6) искомое предельное время равно

°и %

. _ лр С d (ш/шо) С rfc

° J (Z>0—Z)')/Zv “ .) i-D'/D0

% °0

(19.16)

В этой формуле скорость выражена через скольжение при помощи соотно-
шения (19.1). На основании соотношений (19.2) и (19.15) отношение моментов
в знаменателе подинтегрального выражения равно

У.ЛрУ 2 2

По По \ Ео ) о । Oft °_

°h ° °h 0

В эту формулу входит коэффициент

Л =

Dk( JL"\2
De < Ев J

(19.17)

(19.18)

означающий отношение максимального
женин к нормальному моменту при
выражение (19.17) в (19.16), получаем

момента при пониженном папря-
полном напряжении. Подставляя

1 — °k^a

(a/ah + oft/o) —2Л < ah J

°kTat-

(19.19)

Коэффициент т, равный относительному времени потери скорости, опре-
деляется следующим образом:

J___к

2к\ } -j- arctg —°fe____

J J V l—к2 Vl — к2

(19.20)

Значения нижнего и верхнего пределов интегрирования с0 и аи можно
найти при помощи фиг. 198. Для этого достаточно приравнять вращающий
момент D, соответствующий полному напряжению, моменту сопротивления
нагрузкп Do. При помощи соотношения (19.2) приходим к уравнению

° _|_5L = 2^. (19.21)

Два корня квадратного уравнения (19.21) равны

(16'22)

Если максимальный момент вдвое больше момента сопротивления нагрузки,
т. е. если DljDij = 2, и если критическое скольжение ак = 10%, то предель-
ные значения скольжения равны соответственно

а0 = 2,7%, а„ = 37,3%.

Таким образом, скорость двигателя может значительно уменьшиться
по сравнению со своей первоначальной величиной и затем автоматически
подняться до прежнего значения после восстановления нормального напря-
жения на его зажимах.

Подставив предельные значения скольжения с0 и аи, определенные со-
отношением (19.22), в выражение (19.20) для т, убедимся в том, что относи-
тельное время потери скорости т зависит только от отношения Dk/D0 и от
коэффициента к. Принимая во внимание выражение (19.18) для к, замечаем,
что значение т зависит от двух относительных величин: от относительного

максимального вращающего момен-

та двигателя при полном напря-
жении сети и от относительного
уменьшения напряжения. На фиг.
199 приведена серия кривых, по-
казывающих зависимость наиболь-
шей допустимой относительной дли-
тельности посадки напряжения
от отношения Е/Ео при различ-
ных относительных значениях мак-
симального вращающего момента
/)ft/7>0. Если напряжение Е больше
того предельного напряжения, при
котором коэффициент к=1 [см. вы-
ражение (19.18)], то двигатель не
остановится, ибо максимальный
вращающий момент все еще превы-
шает момент сопротивления наг-
рузки. В этом случае наибольшая
допустимая относительная дли-
тельность посадки напряжения
т=со. При более значительном сни-

Ф и г. 199.

женин напряжения сети наибольшая допустимая относительная длительность
посадки напряжения уменьшается. Она достигает величины порядка 3

в случае уменьшения напряжения на зажимах до нуля.

Пусть, например, относительное значение максимального момента дви-
гателя Dh[Dа относительное значение посадки напряжения Е/E0—5Q%.
Из фпг. 199 видно, что в этом случае ти=5,7. Если критическое скольжение
двигателя сь=10%, а постоянная времени разгона Та=1 сек., то, согласно
уравнению (19.19), наибольшая допустимая длительность посадки напря-
жения равна

/ = ^-1-5,7 = 0,57 сек.

При меньшей продолжительности короткого замыкания в сети двигатель
автоматически разгоняется после восстановления напряжения. Однако при
большей длительности короткого замыкания скорость вращения двигателя
уже не может восстановиться, и он остановится. Если короткое замыкание
произойдет вблизи двигателя, вследствие чего напряжение на его зажимах
упадет до нуля, то наибольшая допустимая длительность короткого замы-
кания уменьшится до /=0,35 сек.

Уменьшение скорости до величины, соответствующей скольжению ои,
которое в нашем примере составляет около 40%, вызовет большой ток по-
вторного пуска, по порядку величины равный току короткого замыкания
двигателя. Кроме того, значительная потеря скорости недопустима для цело-
го ряда производственных механизмов. Поэтому во многих случаях на
практике необходимо ограничить уменьшение скорости до величины, соот-
ветствующей гораздо меньшему скольжению. Если ограничить уменьшение
15 р, Рюденберг
скорости до величины, соответствующей скольжению afe, которое обычно
равно примерно 4а0, то ток повторного пуска будет приблизительно на 30%
меньше, чем указано выше. Относительная длительность посадки напряже-
ния снизится до величины zh, получающейся из выражения (19.20), в ко-
тором верхний предел следует положить равным ак вместо ои. Результаты
вычислений представлены кривыми на фиг. 200. Для рассмотренного выше
примера (Dh/D0=2, Е/ Ео=0,5) наибольшая допустимая длительность по-
садки напряжения теперь составляет Z=0,13 сек. При уменьшении же на-
пряжения до нуля получаем значение 4=0,073 сек.

Из приведенного анализа следует, что автоматическое отключение асин-

хронных двигателей при каждом уменьшении напряжения сети является
нецелесообразным, так как благо-

Фиг. 200.

даря своей инерционности они не
останавливаются при кратковре-
менной посадке напряжения. Бо-
лее целесообразно отключать асин-
хронные двигатели при помоши ре-
ле с выдержкой времени, завися-
щей от глубины посадки напря-
жения, в соответствии с кри-
выми фиг. 199 и 200. Однако, с
другой стороны, необходимо огра-
ничивать длительность посадки
напряжения также путем отклю-
чения поврежденных участков сети
нс позднее, чем через доли се-
кунды с момента короткого замы-
кания. В этом случае в соответ-
£ ствии со значениями параметров
£с асинхронных двигателей, а имен

по: их относительного максималь-
ного момента Dh/D0, критического
скольжения аь и постоянной вре-

мени разгона Та, скорость вращения двигателей восстановится после от-
ключения короткого замыкания, и их работа, таким образом, будет про-
должаться бесперебойно.

§ 3. Тепловые потери в обмотках. В пусковом режиме по статорным
и роторным обмоткам асинхронных двигателей протекают большие токи,
вызывающие повышение температуры меди. Зависимость токов от величины
скольжения выражается сравнительно простой формулой, полученной при
помощи круговой диаграммы, а именно:

7= , 1к

V 1 -Н (afe/c)2

(19.23)

где Ik—ток короткого замыкания той обмотки, для которой определяется
ток I. Для тока в обмотке ротора эта формула является точной, а для тока
в обмотке статора — приближенной, так как в ней не учитывается намаг-
ничивающий ток двигателя. Однако дополнительное тепловое действие
намагничивающего тока весьма мало по сравнению с тепловым действием
больших пусковых токов.

Тепловые потери за время пуска равны

PRdt.

(19.24)
Подставим в эту формулу выражение для элемента времени dt через эле-
ментарное приращение величины скольжения da [см. уравнение (19.9)], т. е.

Подставляя затем соотношения (19.23) и (19.25) под знак интеграла выра-
жения (19.24), получаем (после сокращения множителей в числителе
и знаменателе и вынесения величин, не зависящих от а, за знак интеграла)

da. (19.26)

Для определения полного количества
пуска, необходимо взять интеграл (19.26)

тепла, выделившегося’1 за время
от значения а = 1, что соответ-

ствует моменту включения двигателя, до зна-
чения а, соответствующего концу пускового пе-
риода. Таким образом, получаем

w = - 4 ^da = PhRTk . (19.27)

Следовательно, зависимость И7 от а можно пред-
навить параболой Такая кривая приведена на
фиг 201 (но оси абсцисс отложены значения
относительной скорости). Количество тепла, вы
деляющегося за все время разгона, стремится
к определенному предельному значению, соот-
ветствующему а = 0. Это обстоятельство объ-

ясняется тем, что после установления синхрон-

ной скорости вращения токи, определяемые соотношением (19.23), становят-
ся равными нулю. Итак, количество тепла, выделяющегося за все время

разгона, равно

Wa = JIH .

“ 4afe

(19.28)

В случае реверсирования асинхронного двигателя от полной величины
скорости в одном направлении до той же величины скорости в обр тонм
направлении интеграл в выражении (19.27) должен быть взят в пределах
от а = 2 до а = 0, в результате чего полное количество выделившегося за это
время тепла равно

Wr = HR^. (19.29)

Таким образом, тепловые потери за время реверсирования в 4 раза пре-
вышают тепловые потери за время разгона двигателя. В случае торможения
асинхронного двигателя путем изменения направления вращения его поля
на обратное интегрирование должно быть произведено в пределах от а = 2
до а = 1. Величина тепловых потерь при этом оказывается втрое больше
тепловых потерь при разгоне. Таким образом, не только во время пуска,
но в особенности во время торможения и реверсирования, в обмотках
двигателей выделяются значительные количества тепла. Двигатель должен
быть приспособлен для поглощения этого тепла и для отвода его в окру-
жающую среду.

Формулы (19.28) и (19.29) можно преобразовать к виду более нагляд-
ному и удобному для практических расчетов. Подставим в них выражение
(19.3) для критического скольжения и воспользуемся хорошо известным
выражением для синхронной мощности асинхронного двигателя при макси-
мальном моменте и критическом скольжении, а именно:

(19.30)

В результате вместо (19.28) получим следующее выражение для величины
тепловых потерь в роторной обмотке двигателя за время его разгона:

Wa2 = ^E2Ik2Th = ^PhTh-, (19.31)

индекс 2 означает, что соответствующая величина относится именно к обмотке
ротора. Эта величина не зависит от активного сопротивления обмотки ротора
/?2. Подставляя сюда выражение (19.7) для критической постоянной времени
Tk, получаем окончательно

= <19'32)

Итак, величина тепловых потерь в обмотке ротора за все время разгона асин-
хронного двигателя, нагруженного только инерционными массами, зависит
исключительно от момента инерции этих масс и от установившейся скорости
вращения. Эти потери не зависят от каких-либо иных механических или
электрических параметров двигателя и от способа его пуска.

Сравнивая выражение (19.32) с выражением (17.30), замечаем, что вели-
чина Wa2 равна запасу кинетической энергии в инерционных массах, вра-
щаемых двигателем. Таким образом, закон, установленный ранее для коли-
чества тепла, выделяющегося за время разгона двигателей постоянного
тока с параллельным возбуждением, сохраняет свою силу и для роторных
обмоток асинхронных двигателей. Зависимость W от начального и конеч-
ного значений скольжения [см. выражение (19.27)1 та же, что и для двига-
теля постоянного тока с параллельным возбуждением [см. формулу (18.42)].
Итак, при разгоне асинхронных двигателей, нагруженных только инерцион-
ными массами, половина энергии, сообщаемой ротору, расходуется на уско-
рение этих масс, а другая половина выделяется в виде тепла в обмотке ро-
тора. Это является основным законом тепловых потерь в роторной обмотке.
Такая закономерность сохраняется как при изменении электрических пара-
метров двигателя, так и при ускорении или замедлении процесса его пуска.
Если часть сопротивления цепи ротора выведена наружу (внешний реостат),
то тепловые потери при пуске двигателя распределятся между внутренней
и внешней частями роторной цепи пропорционально их сопротивлениям.

Нетрудно установить связь между тепловыми потерями в статорной
и роторной обмотках при разгоне двигателя. В самом деле, в общем выражении
(19.26) только Ih и 7? различны для цепей статора и ротора, в то время как
все остальные величины относятся ко всему двигателю в целом. Следова-
тельно, отношение тепловых потерь в обмотках статора и ротора равно отно-
шению соответствующих произведений IhR. ’ Отсюда величина тепловых
потерь в статорной обмотке двигателя за все время разгона равна

и,‘-=тКйО'иг-

Б то время как тепловые потери в цепи ротора при пуске, торможении и ре-
версировании двигателя невозможно изменить путем каких-либо изменений
его электрических параметров, тепловые потери в цепи статора можно сни-
зить до небольшой части потерь в цепи ротора путем надлежащего умень-
шения активного сопротивления цепи статора. Выше нами было установлено,
что для быстрого разгона необходимо сравнительно большое активное со-
противление в цепи ротора. Теперь мы видим, что при этом одновременно
вначительно уменьшаются и тепловые потери в цепи статора. Обмотка ста-
тора, являющаяся, вообще говоря, наиболее уязвимой частью асинхронного
двигателя, таким образом защищается от недопустимого перегрева при раз-
гоне или реверсировании.

ЛИТЕРАТУРА

Ager В. W., Trans. AIEE, 60. 416 (1941).

Some acceleration tests on large a synchronous pump motors.

Ager R. W., Trans. AIEE, 60, 1030 (1941).

Transient over-speeding of induction motors.

D ii n n e r E., Bull. asso. sui. elec., 25, 525 (1934).

Anlauf and Betriebsverhaltnisse der Induktionsmotoren bei Verwendung verschie-
dener Rotorarten.

F eind t H., Elektrotechn. Zs., 1193 (1932).

Die Inbetriebhaltung grosserer Asynchronmotoren mit Schleifringlaufer bei Span-
nungsschwankungen.

F i c k e г t W., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 61, 133 (1943).

Der Ausgleichsvorgang beim Einschalten von Asynchronmotoren.

Gilfillan E. S., Kaplan E. L., Trans. AIEE, 60, 1200 (1941).

Transient torques in squirrel-cage induction motors, with special reference to plug-
ging.

[J eiler L., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 53, 519 (1935).

Uber die Berechnung des elektrischen Antriebes mit Schwungmassen.

H ell m und В. E., Proc. AIEE, 205 (1917).

Transient conditions in asynchronous induction machines and their relation to
control problems.

Liwschi tz M., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 4, No 1, 167 (1925).

Der Anlauf- und Bremsvorgang bei Asynchronmotoren mit Wirbelstromlaufer.

M a g i n n i s s F. J., Schultz N. R., Trans. AIEE, 63, 641 (1944).

Transient performance of induction motors.

Moldenhauer F., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 61, 337 (1943).

Das direkte Einschalten von grossen Motoren und die Riickwirkund auf die Netze.

Riidenberg R., Elektrotechn. Zs., 483 (1918).

Asynchronmotoren mit Selbstanlauf durch tertiare Wirbelstrome.

Riidenberg R., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 497 (1919).

Der Anlaufvorgang bei Asynchronmotoren mit Kurzschlussanker.

Riidenberg R., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 194 (1933).

Schnellabschaltung von Netzkurzschliissen fiir stabilen Betrieb von Generatoren
und Motoren.

Schuisky W., Journ. Inst. Electr. Eng., 95, P. II, 325 (1948).

Starting losses in windings of double squirrel-cage motors.

Treat R., Verwoert H. C., Electr. World., 100, 172 (1932).

Service continuity promoted by rapid breaker reclosure.

Wahl A. M., Kilgore L. A., Trans. AIEE, 59, 603 (1940).

Transient starting torques in induction motors.

Weygandt C. N., Charp S., Trans. AIEE, 65, 1000 (1946).

Electromechanical transient performance of induction motors.

Wiekler H., Elektrotechn. Zs., 65, 317 (1944).

Drehmoment und Anlafistufenzahl bei Drehstrommotoren mit Schleifringlaufer.
Глава 20

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАШИН
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Для хорошей параллельной работы трехфазных синхронных генерато-
ров необходимо, чтобы совпадали их частоты и напряжения и чтобы подво-
димые к ним механические мощности и электрические нагруАш были согла-
сованы с их номинальными мощностями, т. е. углы межд\ одноименными
магнитными полюсами различных машин оставались бы в допустимых пре-
делах. Однако коммутационные процессы в электрических цепях генераторов
п изменения приложенных к их валам механических моментов могут нару-
шить равновесие и вывести генераторы из синхронизма.

Значительное влияние на этп явления оказывают магнитные поля в ма-
шинах. Постоянные времени потоков рассеяния обычно столь малы, что эти
потоки меняются почти одновременно с токами. Однако главные магнитные
потоки, особенно в мощных машинах, характеризуются такими большими
постоянными времени, что их изменения, вызываемые изменениями режима
работы, могут происходить лишь весьма медленно. Поэтому во время любых
переходных процессов механического характера, протекающих достаточно
быстро по сравнению с постоянными времени главных магнитных потоков,
последние остаются почти неизменными. Поскольку электромагнитные про-
цессы, связанные с изменениями магнитных потоков, оказываются весьма
простыми, мы сосредоточим здесь внимание на электромеханических пере-
ходных процессах, обусловленных взаимодействием между инерционными
массами, электромагнитными силами генераторов и приложенными к ним
вращающими моментами.

§ 1. Синхронизирующие силы в генераторах переменного тока. Начнем
с определения активной электрической мощности отдельно взятого синхрон-

ного генератора, присоединенного к мощ-
ной электрической сети (фиг. 202), кото-
рая поддерживает на его зажимах задан-
ное неизменное напряжение Е. Исследо-
вать электрические процессы в генера-
торе можно наиболее просто при помощи
векторной диаграммы, приведенной на
фиг. 203. На ней показаны напряжения
и э.д.с., наводимые магнитными потоками

в продольной и поперечной осях машины.
При построении диа1 раммы не учитывалось активное сопротивление обмотки
статора, влиянием которого можно пренебречь.

Сложив вектор напряжения на зажимах машины Е с вектором напряже-
ния рассеяния Es статорной обмотки и с вектором напряжения полной реак-
ция якоря по поперечной осп Eq (векторы Es и Eq перпендикулярны к
вектору тока / машины), получим вектор Eit представляющий условную
внутреннюю электродвижущую силу машины. Таким образом, направле-
ние вектора Eit составляющего угол & с вектором напряжения на зажимах
Е, указывает на положение оси магнитных полюсов машины, Магнитный

поток, пронизывающий статорную обмотку в направлении продольной оси,
Гл. 20. Механические колебания машин переменного тока

наводит в ней э.д.с. Е . Для получения вектора Ер достаточно опустить
перпендикуляр из конца вектора Es на направление вектора Ег. Отклады-
вая по направлению вектора Е* вектор напряжения полной реакции якоря
по продольной осп Еа и опуская затем перпендикуляр из его конца на про-
должение вектора Ei, получаем вектор Ее, представляющий собой фиктивную
э.д.с., которая наводилась бы в обмотке статора магнитным полем тока воз-
буждения, если бы отсутствовало магнитное насыщение

Поперечный поток реакции якоря Q, перпендикулярный к вектору Ер,
проходит в основном по воздуху и, следовательно, пропорционален току ста-
тора. Таким образом, насыщение главной магнитной цепи машины оказы-
вает лишь второстепенное влияние на основную часть диаграммы вплоть до
вектора Е^ Эта часть диаграммы будет использована нами при выводе выра-
жения для синхронизирующих сил, действующих в<> время любых измене-
ний нагрузки. Полученное таким образом выражение
окажется не зависящим от магнитного насыщения.

Если бы ток возбуждения поддерживался посто- -j
явным во время колебаний лгла &, то неизменной
оставалась бы величина вектора Ее. Если во время по-
добных колебаний поддерживать постоянным магнит-
ный поток, пронизывающий обмотку статора, то неиз-
менной оставалась бы величина вектора Ер. В действи-
тельности остаются неизменными полные магнитные
потоки полюсов ротора, включая поток рассеяния, что
объясняется большой постоянной времени этих пото-
ков. Постоянному значению полного потока полюсов
ротора соответствует некоторая определенная точка на
векторной диаграмме напряжений, лежащая между кон-
цами векторов Ер и Ее. Предположим для простоты, что
при любых изменениях нагрузки неизменной остается

машины Ei. Пз диаграммы (см. ф)иг. 203) видно, что такое предположение
строго выполняется лишь для тех машин, в которых увеличенное нагрузкой
значение потока рассеяния полюсов ротора в точности равно поперечному
потоку рассеяния статора. Во многих режимах это предположение выпол-
няется с достаточной точностью.

Электрическая мощность, отдаваемая генератором, равна

<P = £Zcos<p, (20.1)

где ср — сдвиг фаз между напряжением на зажимах Е и током I. Из пунк-
тирного треугольника в верхней части диаграммы фиг. 203 получаем

(Es + Eq) costp = Et sin ft. (20.2)

Подставляя значение cosep из выражения (20.2) в формулу (20.1), получаем

p = Sin&. (20.3)

“г &q

~~4

Ф и г. 203.

э.д.с.

Ч Векторы, показанные на диаграмме фиг. 203, в русской технической литературе
называют обычно следующим образом:

Ea,Eq—падение напряжения соответственно на продольном и поперечном взаимном реак-
тивном сопротивлении;

Es+Erf, Es+Eq—падение напряжения соответственпо на продольном и поперечном син-
хронном реактивном сопротивлении;

Ee,Ei—э.д.с. статора соответственпо за продольным и поперечным синхронным реактив-
ным сопротивлением.—Прим. ред.
Входящие сюда напряжение рассеяния Es и напряжение Eq пропор-
циональны току статора I. Поэтому

ES + EQ Eg + Eq0

(20.4)

I ~ A,

где нулевым индексом обозначены номинальные значения соответствующих
величин. Отсюда получаем

Р = Р

° Egg + Egg

sin ft,

(20.5)

где Po — номинальная мощность машины.

Итак, электрическая мощность синхронной машины пропорциональна
синусу угла смещения ротора & и достигает максимума при й - 90°. Эта

зависимость представлена графиком на фиг. 204. Отношение максимальной

мощности Рт к номинальной

мощности Ро равно отношению внутренней
э.д.с. Ei к сумме напряжения рассеяния Ея0
и напряжения полной реакции якоря по по-
перечной оси Ед0, соответствующих номи-
нальному току статора. Формулу (20.5)
можно записать в более общем виде

P = APosin& = Pmsin&, (20.6)

где к — коэффициент, равный отношению
максимальной мощности к номинальной
мощности машины.

В то время как оба напряжения Es0 и Eq0
имеют фиксированные значения для каждой

машины, внутреннюю э.д.с. Ei можно ме-

нять в широких пределах путем соответствующего изменения тока воз-
буждения. В режиме холостого хода эта э.д.с. равна напряжению на зажи-
мах1). Таким образом, если, например, Es0 — 15% и Еч0 = 45%, то

к —__________=______1_____= 1

£60 + Ев0 0,15 + 0,45 ь

Это означает, что максимальная мощность генератора больше его номи-
нальной мощности на 67% (см. фиг. 204). При увеличении внутренней
э.д.с. Ei, необходимом при росте нагрузки, особенно индуктивной, увеличи-
вается и максимальная мощность Рт. При уменьшении внутренней э.д.с.,
требующемся в случае емкостной нагрузки, предельное значение Рт стано-
вится значительно меньше. При этом уменьшение Рт может оказаться
настолько значительным, что даже небольшой толчок нагрузки повлечет за
собой увеличение мощности сверх Рт и выпадение машины из синхронизма.

Индуктивное падение напряжения в трансформаторах и в линии пере-
дачи, связывающих синхронную машину с шинами неизменного напряжения,
должны быть включены в величину Es0, входящую в выражение (20.5), вслед-
ствие чего уменьшается предел мощности, при котором еще возможна устой-
чивая работа машины. Для предотвращения выпадения синхронной маши-
ны из синхронизма при небольших колебаниях нагрузки на практике пе
допускают увеличения угла смещения сверх значения & = 42°, которому
соответствует значение sin & = 0,67 * 2). Из графика на фиг. 204 и формулы

*) То есть Z?i = Z?i() = £'=const. — Прим. ред.

2) Применяемые в настоящее время автоматические регуляторы возбуждения делают
возможной надежную параллельную работу синхронных генераторов со значительно
бблышши углами смещения ротора. — Прим. ред.
(20.6) видно, что при таком значении угла й предельная мощность на
50% больше номинальной.

Электрическая мощность, отдаваемая синхронным генератором, из-
меняется в соответствии с изменением угла & по синусоидальному закону
(см. фиг. 204). Между тем получаемая генератором механическая мощность,
определяемая поступлением энергии в первичный двигатель, остается по-
стоянной по крайней мере в течение некоторого времени. Если мощности
имеют разные значения, то возникает ускорение ротора генератора — поло-
жительное, если больше механическая, и отрицательное (торможение), если
больше электрическая мощность. Разность этих двух мощностей показана
штриховкой на фиг. 204. Вблизи рабочей точки эта разность равна

АР=^Д& = РА&. (20.7)

Коэффициент Ps называется синхронизирующей мощностью, так как он
характеризует способность ротора возвращаться в исходное, синхронное
положение под действием развивающейся в машине квазиупругой силы.
Однако сказанное справедливо только для устойчивой, восходящей
ветви угловой характеристики мощности (см. фиг. 204). Если же угол
смещения ротора & превысит 90°, то Ps станет отрицательной вели
чиной и ротор будет продолжать отклоняться все дальше и дальше от
своего синхронного положения, причем рабочая точка на графике
фиг. 204 опишет всю неустойчивую ветвь характеристики.

Выражение для синхронизирующей мощности, полученное путем диф-
ференцирования соотношений (20.5) или (20.6) в предположении, что
внутренняя э. д. с. Ei остается постоянной, имеет следующий вид:

Ps = kP0 cos & = Ро Е' cos &. (20.8)

^SO +

Синхронизирующая мощность уменьшается по мере увеличения угла сме-
щения ротора, следуя косинусоидальному закону; ее можно рассматривать
как постоянную величину только при сравнительно малых изменениях
угла Ай.

Преобразуем правую часть выражения (20.8). Из диаграммы фиг. 203
находим, что

£\сойй = E-|-(^s-4-£Q)sin<f>. (20.9)

Подставив это значение в выражение (20.8), получим

Воспользовавшись соотношением (20.4), заменим в выражении (20.10)
отношение напряжений равным ему отношением токов и обозначим реак-
тивный ток машины Zsincp через 1Ь. В результате получим следующее
отношение синхронизирующей мощности к номинальной мощности машины

. __Ps __ Е_________. 1Ь

' Ро Рso Г Г/0

(20.11)

Следовательно, при малом отклонении от положения равновесия относи-
тельное значение синхронизирующей мощности зависит только от отноше-
ния напряжения на зажимах к сумме напряжения рассеяния и напряжения
полной реакции якоря по поперечной оси и от отношения реактивного тока
к номинальному току машины. Это соотношение первостепенной важности
не содержит никаких иных параметров машины или нагрузки. В режиме
холостого хода в правой части выражения (20.11) остается только первый
член. Его численная величина была определена в рассмотренном выше
примере, причем она оказалась равной 1,67. Это означает, что смещение
ротора из положения равновесия, соответствующего холостому ходу, на 10°
сопровождается появлением синхронизирующей мощности, равной

10°

1,67- 5773^ = °’29

о г номинальной
хронпзирующая

мощности машины. Из выражения (20.11) видно, что син-
мощность линейно растет с ростом индуктивной нагрузки
и также линейно убывает до небольшой
величины с ростом емкостной нагрузки.
Это объясняется тем, что по мере изме-
нения реактивной нагрузки необходимо из-
менять надлежащим образом и ток воз-
буждения. На фиг. 205 приведен график
зависимости синхронизирующей мощности
от реактивного тока нагрузки, построенный
для рассмотренного выше численного при-
мера. Из выражения (20.11) видно, что
прямой зависимости синхронизирующем
мощности от активной нагрузки машины
не существует.

Измерения, проведенные на разных
машинах, показали, что относительные
значения напряжения рассеяния практи-
чески лежат между 10 и 20%, а напря-

женил полгной реакции якоря по поперечной оси —между 40 и 60%. Ука-
занные пределы относятся как к явнополюсным, так и к неявнополюсным

машинам.

Если синхронная машина присоединена не к мощной сети с неизмен-
ным напряжением, а к другой синхронной машине1), как показано на
фиг. 206, то напряжение на зажимах уже не остается постоянным. Чтобы
рассмотреть и этот случай, введем в выражение (20.3) вместо напряжения

Ф и г. 206.

Es и Ец соответствующие реактивные сопротивления oj<S’ и u>Q, воспользо-
вавшись для этого следующим соотношением:

Е.*±ЕЧ + (20.12)

Тогда выражение для синхронной мощности примет вид

Р = (20.13)

Это выражение справедливо независимо от того, меняется или не меняется
напряжение Е на зажимах машины. В том случае, когда оно меняется
по величине или по фазе, достаточно умножить фактическое значение
JE'sin& па заданную внутреннюю э.д.с. Ei машины.

Рассматривая фиг. 206 и переходя по линии передачи от первой ма-
шины с внутренней э.д.с. Ец ко второй машине с внутренней э.д.с.

й Соизмеримой мощности.—Прим. ред.
Ei2, находим, что синхронная мощность, которая передается по линии,

равна

/-* =---------10—-------------sin У1

£(o>S’ + <oQ + <,>.L) I2’

(20.14)

Здесь Ец и Ei2 означают определенные величины внутренних э.д.с.
соответствующих машин, а Я12 представляет собой относительный угол
сдвига их роторов; в знаменатель входит сумма всех поперечных реактив-
ностей реакции якорей, реактивных сопротивлений рассеяния машин, а
также реактивных сопротивлений линии передачи. Как видно из выражения
(20.14), вследствие добавления реактивных сопротивлений линии и трансфор-
маторов, а также реактивного сопротивления второй машины, значительно
уменьшается синхронная мощность и, следовательно, снижаются пределы
устойчивой работы всей системы в целом.

ротора относитель-

Ф и г. 207.

§ 2. Собственная частота и затухание свободных колебании. Помимо
рассмотренной выше синхронной мощности в синхронных генераторах раз-
вивается некоторая асинхронная мощность. Движение
но вращающегося магнитного поля статора, т. е.
скольжение ротора, означает перемещение вектора
внутренней э.д.с. Ei относительно вектора напряже-
ния на зажимах Е (см. фиг. 203). При этом в успо-
коительной обмотке и в сплошных металлических
частях ротора наводятся вторичные токи, стремящиеся
уменьшить скольжение. Основное успокоительное дей-
ствие создается токами, которые наводятся попереч-
ным магнитным полем. Зависимость успокаивающего
момента от скольжения в синхронных машинах сход-
на с аналогичной зависимостью в асинхронных двигате-

лях. Мощность успокоения, развивающаяся при скольжении ротора а, равна

^-=Роу, (20-15)

аа

где — скольжение, при котором асинхронная мощность равна номиналь-
ной синхронной мощности машины. Мы рассматриваем здесь малые сколь-
жения, при которых успокаивающий момент и мощность успокоения про-
порциональны скольжению. Так как при наличии обычных успокоительных
обмоток с малым активным сопротивлением номинальный момент разви-
вается уже при сравнительно малом скольжении, то успокоительное дей-
ствие таких обмоток велико. В основном мощность успокоения не рас-
сеивается в виде тепла, а отдается в сеть или отбирается из нее в виде
асинхронной мощности.

Если угол смещения ротора меняется во время переходного процесса,
то, как это следует из фиг. 207, скольжение равно отношению скорости
изменения & во времени к угловой частоте сети, т. е.

(20.16)
/Л fit- ' '

Положительное или отрицательное ускорение ротора равно скорости изме-
нения скольжения во времени, т. е.

dz_ 1 d^_
dt «о dt2

(20.17)

Скольжение и ускорение ротора необходимо рассматривать, как и угол &,
относительно каких-либо двух определенных точек системы. Однако эти
величины можно также относить к какой-либо внутренней точке машины
и к какой-либо точке, внешней по отношению к системе. Эта внешняя
точка может характеризоваться, например, постоянной частотой, прини-
маемой за частоту сравнения.

При всяком изменении скорости вращения ротора синхронная мощность
генератора меняется пропорционально изменению угла смещения ротора,
т. е. угла между векторами Ei и Е (рассматриваются только малые изме-
нения угла).

Воспользовавшись соотношениями (20.7) и (20.11) и отбросив знак △,
получим следующее выражение для приращения синхронной мощности:

Р = я» = (20.18)

Здесь Ро означает номинальную мощность, Ps — синхронизирующую мощ-
ность, а ^ — относительное значение синхронизирующей мощности машины.
Последняя величина соответствует режиму, в котором фактически работает
машина.

На основании соотношений (20.15) и (20.16) асинхронная мощность,
развиваемая успокоительной обмоткой синхронной машины, как и в любом
асинхронном двигателе, включенном в сеть, равна

Скорость изменения кинетической энергии вращающихся масс машины
пропорциональна их ускорению. Поэтому, принимая во внимание соотноше-
ние (20.17), можно записать

ъ = Jg^a = ТаР^ = . (20.20)

Здесь, как и в соотношении (17.10), величина

Jftf0 = TaP0 (20.21)

означает удвоенную энергию вращающихся масс, выраженную в виде
произведения постоянной времени разгона Та и номинальной мощности
машины Ро. Так как ускорение (торможение), определяющее мощность Pj,
отнесено к абсолютному времени, то необходимо всегда измерять угол й,
входящий в уравнение (20.20), по отношению к какому-либо равномерно
вращающемуся вектору напряжения.

При произвольном движении ротора электромагнитная мощность ма-
шины, состоящая из синхронной и асинхронной частей, и инерционная
мощность вращающихся масс уравновешиваются механической мощностью,
подводимой к машине или отдаваемой ею. Воспользовавшись соотношения-
ми (20.18) — (20.20), получим уравнение баланса мощностей синхронной
машины в следующем виде:

— S + ~ ?гЛ-Р£ = Ра. (20.22)

со dt* ott<o dt 5 и

Здесь & и Ра означают соответственно приращения угла и механической
мощности по отношению к средним или установившимся значениям этих
величин, соответствующим рабочему режиму машины. Дифференциальное
уравнение (20.22) — второго порядка; это означает, что в синхронной ма-
шине возможны как вынужденные, так и свободные колебания. Во время
этих колебаний происходит обмен энергиеп между вращающимися масса-
ми синхронных машин, электромагнитными полями всей системы и ее
источниками энергии.
Уравнение свободных колебаний,
нип режима работы, получается из
возмущающую функцию в его правой

возникающих при каждом измене-
уравнении (20.22), если положить
части равной нулю:

Л"
dts

Р^ + ^" = 0-

(20.23)

В этом уравнении для сокращения записи использованы следующие обозна-
чения:

для коэффициента затухания

и для собственной частоты колебаний при затухании, равном нулю (зату-
хание в синхронных генераторах обычно мало),

Решая уравнение (20.23), получаем выражение для свободной составля-
ющей угла смещения ротора

= 0"e-p</2 cos (vZ +-у), (20.26)

где амплитуда колебаний угла и начальная фаза у являются постоян-
ными интегрирования.

Для синхронного генератора с постоянной времени разгона Та — 10 сек.,
частотой 5U гц и относительной синхронизирующей мощностью кв = 2
получаем для собственном частоты колебаний

v = 2- = 7,9 в 2тс сек., или 1,25 гц.

Таким образом, свободные колебания ротора происходят сравнительно
медленно. Во всех реальных системах частота этих колебаний бывает при-
мерно одного и того же порядка, так как для большинства синхронных
машин соответствующие величины под знаком второго квадратного корня
в соотношении (20.25) мало различаются между собой. Так как относи-
тельное значение синхронизирующей мощности ks зависит от величины
реактивной нагрузки генератора [см. выражение (20.11) и фиг. 205], то
частота свободных колебаний ротора возрастает при увеличении тока
возбуждения.

Затухание свободных колебаний определяется постоянной времени за-
тухания 2/р [см. соотношения (20.24) и (20.26)]. Для синхронной машины,
рассмотренной в последнем примере, при скольжении аа= 10% имеем

~ = 2оаТа = 2- ^-10 = 2,0 сек.

Это означает, что свободные колебания ротора практически прекращаются
спустя 6 8 сек., т. е. после 8 10 полных периодов качания.

На фиг. 208 приведена осциллограмма тока в статорной обмотке явно-
полюсного генератора средней мощности, снабженного эффективно дей-
ствующей успокоительной обмоткой. При проведении данного опыта ма-
шина, подключенная к мощном сети, работала в режиме синхронного дви-
гателя, когда внезапно к ней была приложена механическая нагрузка.
В результате возникли колебания около положения равновесия с соб-
ственной частотой 1,78 гц. Колебания затухли сравнительно быстро и
полностью прекратились спустя 3 — 4 сек. На фиг. 209 приведена другая
осциллограмма, на которой записаны колебания тока в обмотке статора I
и электрической мощности Р явнополюсного генератора мощностью
30 000 кет со скоростью вращения 150 об/мин, возникшие как следствие
неточной синхронизации с сетью. Так как данный генератор не имел
успокоительной обмотки, то механиче! кие колебания его ротора, происхо-
дившие с частотой 1,19 гц. продолжались свыше 20 сек., пока не затухли
под влиянием различных паразитных (диссипативных) сил.

Ф и г. 208.

Если ограничиться случаем малого затухания, то скольжение ротора
во время его колебании можно представить в следующем виде:

с" = _2-6"e-F'/2sin(v<4 (20.27)

Здесь использованы соотношения (20.16) и (20.26), причем ввиду мало-
• стп затухания дифференцировался только косинусоидальный множитель

Фиг. 209.

выражения (20.26), что приводит к достаточно точному результату. Ам-
плитуда скольжения, равная максимальному относительному отклонению
частоты от ее нормального значения, вызванному свободными колеба-
ниями, равна

/’"=2.0". (20.28)

Эта величина зависит только от отношения частоты люханических колеба-
ний (частоты качаний) ротора к электрической частоте сети и от ампли-
туды 0" колебаний угла смещения ротора. Прп амплитуде 0" = ЗО° =
= 30/57,3 = 0,525 радиан и при прочих численных значениях, указанных
в рассмотренном выше примере, наибольшее относительное отклонение
частоты (амплитуды скольжения) равно

' /’" = 1^.0,525 = 1,31%.

Согласно соотношению (20.18), при амплитуде колебаний ротора
0" = ЗО° и при прочих численных значениях, указанных выше, амплитуда
колебаний синхронной мощности равна

Р"= 1,67-0,525-Ро = 0,88 Ро,
в то время как в соответствии с уравнением (20.19) мощность успо-
коительной обмотки равна

/>; = 1,31-§ =0,131 7>0.

Последняя величина представляет собой асинхронную мощность, которой
обмениваются между собой сеть и машина. Ее колебания сдвинуты по
фазе на четверть периода по отношению к колебаниям синхронной мощности.

Колебания синхронной и асинхронной мощностей машины, соответствующие
колебаниям угла смещения и изменению скольжения ротора, показаны
на фиг. 210.

§ 3. Вынужденные механические колебания. Если механическая
мощность, подводимая к синхронной машине, не остается постоянной, а
периодически меняется, то в первом приближении ее можно записать
в следующем виде:

Ра = Ра + Р'ае^.

(20.29)

Здесь через Ра обозначено среднее значение, а через Р„ амплитуда ко-
лебаний механической мощности, совершающихся с частотой к. При ко-

лебаниях мощности не по гармо-
ническому, а по более сложному
закону в правой части соотноше-
ния (20.29) появится вместо одно-
го члена с частотой X ряд Фурье.
Если в качестве первичных дви-
гателей применяются поршневые
машины (возвратно-поступатель-
ного движения), то колебания мощ-
ности возникают вследствие изме-
нения вращающего момента на
протяжении каждого оборота, как

показано на фиг. 211. Аналогичные колебания мощности могут иногда
вызываться неустойчивой работой регулятора скорости, управляющего
впуском рабочего вещества в первичный двигатель.

Применяя для затухания и собственной частоты те же обозначения,
что и раньше [см. выражения (20.24) и (20.25)], получаем из исходного
уравнения (20.22) следующее уравнение вынужденных колебаний:

tffir , . On, о Л ,1,

(20.30)

В этом уравнении

Ра Р а
TaP0^~Ps

(20.31>
означает амплитуду колебаний угла смещения ротора, которая установи-
лась бы в соответствии с соотношением (20.18) под действием периодиче-
ской составляющей подводимой механической мощности (с амплитудой Ра),
если бы отсутствовали инерционные моменты и успокоение колебаний.
Величина Л может быть названа амплитудой «приложенного» угла смеще-
ния ротора.

Найдем решение дифференциального уравнения (20.30) в предположе-
нии, что

&' = 0'емг. (20.32)

(20.33)

Подставив это выражение для &' в уравнение (20.30), получим
0' ( — ^2Й1 /рХ 4- у?) = v2A,

откуда модуль амплитуды колебаний 0' равняется

0' =

/[1-(Х^)2]г+(рХ, ^2)2

(20.34)

Это —хорошо известная формула резонанса, сходная с формулой (4.14)
для резонанса электрических колебаний. На фиг. 212 приведены кривые
зависимости отношения амплитуды вынужденных колебаний 0' к ампли-
туде «приложенных» колебаний Л от отношения частот X/v, построенные
для различных значений коэффициента затухания.

Если частота X вынужденных колебаний совпадает с собственной
частотой v, то амплитуда вынужденных колебаний угла достигает макси-
мального (резонансного) значенря, равного

г = — Л = — с
р *

а
а р
[В последнем выражении вместо р и Л подставлены их значения из соот-
ношений (20.24) и (20.31).] Максимальная (резонансная) амплитуда вынуж-
денных колебаний угла смещения ротора явнополюсного генератора,
параметры которого были приведены выше, при колебаниях подводимой
мощности в пределах ± 20% равна

е^ё-от-та-57.3-45.8"-

Колебания угла смещения ротора с такой большой амплитудой недопу-
стимы, так как они будут вызывать чрезвычайно большие колебания
электрической мощности в сети. Следовательно, собственная частота коле-
баний должна находиться вне пределов частот вынужденных колебаний.
Так как синхронизирующую мощность генератора можно существенно
изменять лишь в редких случаях, то, согласно соотношению (20.25), при-
ходится мепять падлежащим образом постоянную времени разгона
машины Та путем соответствующего изменения момента инерции J. Сле-
дует отметить, что относительное значение синхронизирующей мощности /с,
заметно меняется в зависимости от реактивной нагрузки машины (см.
фиг. 205). Это обстоятельство можно использовать до некоторой степени
для изменения собственной частоты. Однако с этим сопряжено расширение
резонансной зоны, что повышает опасность раскачивания ротора при слу-
чайных изменениях нагрузки.

Работу генератора в резонансной зоне можно считать допустимой
при малом коэффициенте аа [см. выражение (20.35)], т. е. если мало сколь-
жение. Малым скольжением са характеризуются некоторые турбогенераторы
со сплошным цилиндрическим ротором, в пазах которого помещаются
металлические клинья, обладающие хорошей электропроводностью. В этом
случае развивается достаточно сильный успокоительный асинхронный
момент, препятствующий появлению механических колебаний с большой
амплитудой. Одпако при этом имеют место значительные колебания
мощности, отдаваемой генератором в сеть, происходящие примерно так,
как показано на фиг. 210.

Амплитуда вынужденных колебаний синхронной мощности, которую
можно определить при помощи соотношений (20-18), (20.31) и (20.34), равна

P' = Pft' =

Ра

f[i-(W+(fOT*

(20.36)

Эта величина меняется, как и амплитуда колебаний угла О', в соответ-
ствии с резонансными кривыми, приведенными на фиг. 212. Амплитуду
колебания асинхронной мощности можно определить при помощи уравне-
ний (20 30) и (20.33), в которых вторые члены левых частей соответствуют
асинхронной, а третьи члены — синхронной мощностям. Поэтому отноше-
ние суммы этих двух электрических мощностей к синхронной мощности
равно

|=|да+^

= |/1-Ь(рХЛ2)2.

(20.37)

В правой части этого выражения стоит модуль исходной величины. Таким
образом, на основании соотношений (20.36) и (20.37) периодическая соста-
вляющая полной мощности, которой обмениваются между собой генера-
торы и сеть, равна

Р° + Р'= [1 — (WP + (pKAs)2 Ра' (20.38)

16 р. РюденСерг
Кривые характеризующие зависимость отношения электрической мощ-
ности Р'„-{-Р’ к периодической составляющей подводимой механической
мощности Р'а от относительной частоты вынужденных колебаний X/v,
сходны с кривыми на фиг. 212. Отличие заключается в том, что все кри-
вые, соответствующие различным затуханиям р/2м, проходят теперь через
общую точку с ординатой, равной единице, и абсциссой X/v=j/2.
Следовательно, кривые, соответствующие большим затуханиям, распола-
гаются выше, чем кривые на фиг. 212. Успокоительное действие умень-
шает периодическую составляющую электрической мощности, когда X/v < )/2,
и увеличивает ее, когда X/v > ]/2.

При помощи приведенных выше соотношений можно выяснить осо-
бенности поведения асинхронного двигателя, приводящего в действие
рабочую машину с переменным моментом сопротивления, например пор-
шневой компрессор. Для этого достаточно положить в уравнениях (20.22)
или (20.30) синхронизирующую мощность равной нулю, и тогда на осно-
вании соотношения (20.25) получаем v = 0. При этом в выражении (20.38)
сохраняются только члены, содержащие 1/v4, и поэтому амплитуда перио-
дической составляющей электрической мощности становится равной

Р' _ — ц - - =' —- “ .

/1 + (Х/р)а Г1 + (ХТааа)«

(20.39)

Отсюда видно, что колебания электрической мощности всегда меньше
колебаний механической мощности. Это обстоятельство является резуль-

татом совместного действия инерции вращающихся масс и скольжения

ротора. Действие этих величин в рассматриваемом случае противоположно
их действию в синхронных машинах. Это становится особенно ясным
при сравнении выражений (20.36) и (20.39), в которые 'коэффициент р
входит по-разному. Если частота колебаний нагрузки (компрессора) Х = 2 гц,
постоянная времени разгона махового колеса 7\=10 сек., а скольжение
асинхронного двигателя са—1,5%, то колебания механической мощности
вызывают колебания электрической мощности, уменьшенные до величины,

равной

= Га.

i/, Z 27:2-101,5 V

РЧ too -)

При тяжедом маховике и большом скольжении асинхронного двигателя
значительный запас кинетической энергии получается и при медленных
механических колебаниях; при этом в электрической сети не могут возник-
нуть колебания такой же относительной величины, как и колебания
момента сопротивления.

§ 4. Свободные колебания асинхронных двигателей. Более строгий
анализ переходных процессов в асинхронных двигателях показывает, что
вследствие существования потоков рассеяния их синхронизирующие мощ-
ности не равны нулю. Рассмотрим (фиг. 213) асинхронный двигатель,
подключенный к сети, напряжение которой меняется по фазе; вектор напря-
жения Е составляет переменный угол с некоторым равномерно враща-
ющимся вектором, т. е. вектором установившегося напряжения сети.
Определим, как изменяется мощность, которую двигатель потребляет
из сети. Если ротор асинхронного двигателя вращается с некоторым сколь-
жением относительно его вращающегося магнитного потока, то электриче-
ская мощность определяется по аналогии с формулой (20.19) выражением

Ро rfS,

ал<п dt

Р — Р —
0 „
Здесь Ро— номинальная мощность двигателя, аа—его номинальное сколь-
жение, а а — мгновенное значение скольжения, равное производной по вре-
мени от фазового сдвига между ротором и пронизывающим его враща-

ющимся магнитным потоком.

Заметим, что вследствие существования в двигателе потока рассеяния!
полезный магнитный поток в роторе сдвинут по фазе относительно напря-
жения Е на зажимах статора. Как видно из фиг. 213, когда обусловлен-
ный рассеянием угол мал, он почти равен отношению мгновенпого
напряжения рассеяния EL к напряжению Е на зажимах статора. Так как

напряжение рассеяния пропорцио-
нально току и, следовательно, мощ-
ности, то получаем

= (20-41)

Величина vt = Е10[Е представляет со-
бой относительное напряжение рас-
сеяния всего двигателя при номиналь-
ной нагрузке. Для большинства асин-
хронных двигателей величина ле-
жит в пределах от 20 до 30%, а но-
минальное скольжение аа составляет
от 0,5 до 5—10%.

Согласно закону сохранения энергии, отклонение мощности, которой
обмениваются между собой сеть и двигатель, от постоянной величины
можно найти из уравнения

Р^ТаРо^ = О,

(20,42)

где а -мгновенное значение абсолютного скольжения ротора. Постоянная
времени разгона Та обычно лежит в пределах от 0,5 до 3,0 сек. Из фиг 213
видно, что абсолютное скольжение ротора а пропорционально производно»
по времени от суммы следующих величин: угла скольжения угла
обусловленного рассеянием, и изменения фазы напряжения сети Ьп, т е

5 = —^-(»-}-&. 4-й ).
w dt ' т 1 11 ™

(20.43)

Подставляя выражения (20.40) и (20.41) в (20.43), а это последнее в (20.42),
получаем следующее дифференциальное уравнение для отклонения элек-
трической мощности:

гр dP V(Tа d~P
а “ dt~r со dt*

ТаР0 d^n
ы dt* '

(20.44)

Это уравнение показывает, что в асинхронном двигателе при измене-
нии угла т. е. при изменении фазы напряжения Е, могут возбу
ждаться вынужденные колебания. Кроме того, даже при стабильном
напряжении сети в асинхронном двигателе могут возникать свободны!
колебания, которые находятся из того же уравнения (20.44), если правую
часть приравнять нулю.

Мощность свободных колебаний, которой обмениваются ротор и сеть,
дается выражением

Р" = Ре сов р/,
где Р — амплитуда колебаний мощности. Точное значение собственной ча-
стоты колебаний равно

2 2®i •

(20.46)

а коэффициент затухания равен

(20.47)

Необходимо заметить, что свободные колебания могут возникать вслед-
ствие наличия напряжения рассеяния, на что непосредственно указывает
третий член дифференциального уравнения (20.44). Второй член в левой
части того же уравнения показывает, что успокоительное действие соз-
дается скольжением ротора.

Коэффициент затухания двигателя средней мощности с номинальным
относительным скольжением аа=1%, относительным напряжением рассея-
ния г?; = 25% и постоянной времени разгона Та = 1 сек. равен

р _ 314 0,01
2 “ 2-0,25

6,28 сек. \

а его собственная частота равна

314
0,25-1

6,282 =34,88 в 2~ сек., или 5,55 гц.

Отсюда видно, что для двигателя со средними параметрами собственная
частота велика по сравнению с частотой свободных колебаний синхронных
генераторов и что затухание значительно.

Сопоставляя выражения (20.47) и (20.24), замечаем, что влияние
скольжения аа на затухание колебаний асинхронного двигателя противо-
положно его влиянию на затухание колебаний синхронного генератора
с успокоительной обмоткой. Следовательно, по мере увеличения номинального
значения скольжения аа увеличивается затухание свободных колебаний
асинхронного двигателя. При номинальном скольжении

(20.48)

которое получается, если приравнять нулю подкоренное выражение фор-
мулы (20.46), движение ротора становится апериодическим. Возвращаясь
к последнему примеру, находим, что свободное колебание ротора пере-
стает быть периодическим, когда номинальное значение скольжения дости-
гает величины

°а

Щ^=5.63%.

Свободное движение роторов маломощных асинхронных двигателей
часто бывает апериодическим, а роторов мощных двигателей — периодиче-
ским.

Когда фаза напряжения сети совершает вынужденные колебания, то
роторы двигателей с апериодическим свободным движением следуют
за этими колебаниями с некоторым отставанием, а роторы двигателей
с периодическим свободным движением реагируют на эти колебания в соот-
ветствии с законами колебаний при резонансе. Если фазовый угол напря-
жения сети совершает гармонические колебания с частотой X, то ком-
плексная амплитуда вынужденной периодической составляющей мощности,
которой обмениваются между собой двигатель и сеть, на основании урав-

нения (20.44) равна

___________________Х2И

H-/XaaTa-X2VITa/<0

(20.49)

Если частота вынужденных колебаний значительно меньше собственной
частоты, то знаменатель этого выражения стремится к единице.

Так, например, при частоте Х = 7,9 в 2к сек. (1,25 гц), типичной,
как это было показано в § 2, для свободных колебаний синхронного
генератора, знаменатель выражения (20.49) при указанных в этом при-
мере параметрах двигателя равен

1 -] /7,9 А1 - 7,92 = 1 + /0,079 - 0,049.

На фиг. 214 представлен вектор, изображающий это комплексное число.
Построение показывает, что в случае вынужденных колебаний такой

Инерция

Результирующее действие

ухмыиение

Рассеяние

Ф и г. 214.

частоты успокоительное действие скольжения составляет около 8%, а упру-
гое действие рассеяния — только 5% от инерционного действия ротора.

При малом затухании, свойственном мощным асинхронным двигате-
лям, выражение (20.49) упрощается и принимает следующий вид:

р__ —TaP0/<i> d28n -гл

1 —(Х/[л)2 Л2 ‘ '

Это выражение показывает, что амплитуда вынужденных колебаний обмен-
ной мощности особенно велика в случае резонанса двигателя (X р.)
Однако при низких частотах вынужденных колебаний X, часто возбуж-
даемых поршневыми машинами и другими мехавизмами с переменным мо-
ментом сопротивления, основную роль играет инерционность (см. фиг. 214).
Амплитуда колебаний мощности в таких случаях определяется по
формуле (20.39).

Проведенное выше исследование дополняет также анализ пусковых
процессов, изложенный в гл. 19. Всякое изменение скорости двигателя
сопровождается появлением свободной составляющей скорости. Эта состав-
ляющая меняется по апериодическому закону, если номинальное сколь-
жение велико, и по периодическому, если оно мало. Неоднократно наблю-
далось следующее явление: при быстром пуске асинхронных двигателей
скорость вращения сначала превышает синхронную, затем начинает совер-
шать затухающие колебания и лишь после этого устанавливается вблизи
синхронного значения. Это явление имеет место, когда время разгона
двигателя того же порядка, что и период его собственных колебаний,
или меньше его.

ЛИТЕРАТУРА

Aymanns К., Arch. Elektrotechn., 28, 165 (1934).

Verbesserungen des Parallelbetriebes von Synchronmaschinen mit Kclbenkraftan-
trieb durch federnde Statoren.

Barry J. G., Journ. Frankl. Inst., 229, 491 (1940).

Some effects of variable excitation on synchronous motor oscillation.
Boucherot Р., Lumiere elec., 24, 166 (1913).

Amortissement et amortisseurs des alternateurs.

Boucherot P., Lumiere elec., 45, 201 (1892).

La theorie des alternateurs accouples.

Bohm O., Elektrotechn. Zs., 426 (1922).

Ober das Intrittwerfen asynchron anlaufender Synchronmaschinen.

Doherty R. E., Nickle C. A., Trans. AIEE, 1 (1927).

Torque-angle characteristics under transient conditions.

Drehmann A., Elektrotechn u Maschinenbau, 61, 109 (1943).

Der Intrittfallvorgang bei unter Last anlaufenden Synchronmotoren.

Edgerton H. E.j Fourmarier P., Trans. AIEE, 769 (1931).

The pulling into step of a salient-pole synchronous motor.

E m d e F., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 1073 (1909).

Die Starke der Diimpfung bei parallel gcschalteten Drehstrommaschinen.

Fraenckel A., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 377 (1923).

Der Synchronisierungsvorgang bei unter Last anlaufenden Synchronmotoren.

Gorges H., Elektrotechn. Zs., 188 (1900).

Ober das Verhalten parallel geschaltetcr Wechsclstrommaschinen.

Huldschiner G., Ober das Pendeln parallel geschalteter Drehstromgeneratoren,
Stuttgart, 1906.

Kapp G., Elektrotechn. Zs., 134 (1899).

Das Pendeln parallel geschalteter Maschinen.

Korb A., Arch. Elektrotechn., 37, 1, 105 (1943).

Zur Berechnung des Gleichgangs von Asynchron- oder Synchronmaschinen mit
Kolbenmaschinen. •

L i n s e IL, Electrotechn. u. Maschinenbau, 57, 225 (1939).

Diimpfung und Schwungmoment von Synchronmotoren zum Antrieb von Kolben-
maschinen.

Liwschitz M., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 12, No 2, 15 (1933).

Ober das synchronisierende Moment der Synchronmaschine.

Liwschitz M. Trans. AIEE, 60, 210 (1941).

Positive and negative damping in synchronous maschines.

Marchena M., Rev. gen. elec., 5, 405 (1919).

Etude sur la marche en parallele des alternateurs.

Ollendorff F., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 51, 541, 559 (1933).

Beitrag zur Pendeltheorie der Synchronmaschinen.

Pung a F., Elektrotechn. Zs., 385 (1911).

Vcrsuche fiber das kritische GD2 von Drehstromgeneratoren.

Putman H. V., Journ. AIEE, 1229 (1926).

Synchronizing power in synchronous maschines.

Rosenberg E., Elektrotechn. Zs., 857 (1903).

Die Wirkung des Dampfers bei parallel arbeitenden Wechsclstrommaschinen.

Riidenberg R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 12, No 2, 1 (1933)
Synchronisierleistung und Querfelddampfung beim Parallelbetrieb von Turboge-
nera toren.

S chin utz O., VDE-Fachberichte, 5 (1934).

Ein neues Feinsynchronisiergerat.

Schuler L., Elektrotechn. Zs., 1199 (1911).

Die Praxis des Parailelbetricbes.

Timascheff A. V., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 17, No 3, 1 (1938).

Anfachung von Schwingungen bei Synchronmaschinen durch Labilitat der Erre-
germaschine.

Timascheff A. V., Siemens Zs., 15, 269 (1935).

Eine Erklarung der Schwingungsanfachung bei Synchronmaschinen.

Tit tel J., VDE-Fachberichte, 4 (1931).

Elastische Kupplungsanordnungen bei Gencratoren mit Kolbenmaschinonan-
trieb.

Titte) J., VDE-Fachberichte, 11, 160 (1939).

Schwingungsuntersuchungen bei dieselelektrisehen Schiffsantrieben.

W a n g e r W., Bull. asso. sui. elec., 28, 41 (1937).

Beitrag zur Berechnung der dynamischen Stabilitat von Synchronmaschinen.
Глава 21

КОММУТАЦИОННЫЕ ТОЛЧКИ В СИНХРОННЫХ МАШИНАХ

При внезапном изменении электрической или механической нагрузки
синхронной машины угол смещения ротора изменится от одного установив-
шегося значения до другого. Однако такое изменение не может произойти мгно-
венно вследствие инерции ротора и соединенных с ним вращающихся масс.
Возникают свободные колебания, определением амплитуды которых мы и зай-
мемся. Вначале рассмотрим колебания с небольшой амплитудой, при кото-
рых синхронизирующую мощность можно считать постоянной. В дальней-
шем мы проанализируем общий нелинейный случай. В линейном случае
угол смещения и скольжение ротора, совершающего свободные механи-
ческие колебания, определяются соотношениями (20.26) и (20.27):

& = 0e-p«/2cos(vf + T))

с = —sin (vi-p7). ' ‘ '

Амплитуды 0 и F связаны между собой соотношением

F = -£-0. (21.2)

В этих формулах опущены два штриха, которыми раньше отмечались
свободные величины, так как вся глава посвящена анализу только сво-
бодных процессов.

§ 1. Колебания после неточной синхронизации. Рассмотрим внезап-
ное включение в сеть надлежащим образом возбужденной синхронной
машины, причем частоты и фазные углы ее и сети не являются точно
согласованными: имеется сдвиг фаз & и расхождение частот, т. е. сколь-
жение а. Свободные величины, определяемые соотношениями (21.1), в мо-
мент включения равны разностям между установившимися значениями
этих величин до включения и после него. Таким образом, начальные
условия при I — 0 имеют вид

0 cos 7 = &,

—- 0 sin 7 = а.
СО 1

(21.3)

Разделив одно соотношение (21.3) на другое, получим начальную фазу
свободных колебаний

со ”а

(21.4)

Подставив это выражение в первое из соотношений (21.3), определим
амплитуду колебаний угла

0=V F+( v)2 <21-5)
Затем при помощи соотношения (21.2) определим амплитуду скольжения

= + (21-6)

Мы видим, что амплитуды свободных колебаний, возникающих при неточ-
ной синхронизации, определяются сдвигом фаз и расхождением частот
в момент включения. Так как в полученные соотношения входят квадраты
величин В и о, то соответствующие члены никогда не компенсируют друг
друга, т. е. всегда суммируются независимо от алгебраических знаков
О и а.

Если синхронизация машины производится при надлежащей скорости
вращения или частоте (т. е. если 3=0), а ее фаза, например, отстает
на угол & = 30°, то сеть будет втягивать ротор в синхронное положение.
Достигнув его при скольжении [см. соотношение (21.6)]

F = (21.7)

ротор отклонится от положения равновесия, но уже в противоположном
направлении, так что угол будет равен — &. Амплитуды колебаний будут
уменьшаться в соответствии с коэффшциентом затухания р, что скажется
уже на величине первого отклонения.

Если же синхронизация производится при точном совпадении фаз
(т. е. при & = 0), но при некотором расхождении частот, определяемом
величиной o’, то ротор пройдет через положение равновесия и отклонится
от него на угол [см. соотношение (21.5)]

0 = -^о. (21.8)

Переход к установившемуся состоянию также будет происходить путем
затухающих колебаний.

Соотношения (21.7) и (21.8) указывают на эквивалентность расхожде-
ния фаз и расхождения частот. Так, например, при частоте сети 50 гц
и при частоте механических колебаний ротора 1,25 гц расхождению ско-
ростей на 1% соответствует амплитуда колебаний угла, равная

е=й:®б-5’-3=2у-'

Такому значению угла соответствует значительная часть номинальной
мощности машины. Если в момент включения расхождение фаз состав-
ляет 20°, а расхождение скоростей (частот) равно 1%, то возникнут
колебания ротора, наибольшая амплитуда которых будет равна [см. со-
отношение (21.5)]

0 = / 20а + 232 = 30,5°.

Возникающие колебания будут сопровождаться резкими изменениями
мощности. Рассмотренный пример иллюстрируется кривыми на фиг. 215.
Следовательно, в тех случаях, когда нежелательны значительные качания
ротора и связанные с ними колебания мощности, надо добиваться точного-
согласования частот машины и сети.

Амплитуда колебаний мощности определяется соотношением (20.18)

Р = Л8Ро0. (21.9)
Для нашего примера при относительном значении синхронизирующей
мощности /сч = 2,0 амплитуда

P=2,O.g£.Po = l,lPo,

Для оценки явлений, возникающих при синхронизации, целесо-
образно ввести в расчет период механических колебаний ротора

- = V (21.10)

и сравнить его с периодом биений т синхронизируемых напряжений,
который обратно пропорционален разности частот, т. е.

’-£• (21.11)

Подставляя значения т и т в соотношение (21.5), получаем следующее-
выражение для амплитуды колебаний угла

е = ]А2+(-})“. (21.12)

Из этой формулы видно, что если период биений равен периоду свобод-
ных колебаний ротора, то даже при отсутствии расхождения фаз возни-
кают колебания угла, амплитуда которых равна 1 радиану, или 57,3°.
Во избежание сильных колебаний мощности при синхронизации необхо-
димо тщательно отрегулировать скорость вращения машины, чтобы период
биений синхронизируемых напряжений был во много раз больше периода
собственных колебаний ротора. На практике это требование часто бывает
трудно выполнимо, так как во время синхронизации частота сети может
немного меняться.

§ 2. Устойчивость при толчках нагрузки. Если электрическая мощ-
ность синхронного генератора, включенного в сеть, увеличивается путем
постепенного увеличения поступления энергии в первичный двигатель,
то она может быть доведена до максимальной величины Рт (см. угловую
характеристику мощности на фиг. 216) без нарушения синхронизма.
Однако, если такое же увеличение нагрузки произойдет толчком, то ротор
машины отклонится на угол, значительно превышающий установившееся
значение, которое соответствует плавному увеличению нагрузки. Реальная
машина с нелинейной зависимостью мощности от угла (см. фиг. 216) может
при этом прийти в состояние, которому соответствует падающий участок
характеристики. Синхронную мощность теперь уже нельзя считать пропорцио-
нальной углу смещения ротора, поэтому необходимо расширить наше
исследование. Вначале предположим для простоты, что установившееся
скольжение а как до, так и после толчка нагрузки равно нулю и что
затухание системы незначительно.

Инерционная мощность Pj будет равна разности между механической
мощностью Ра, подводимой к генератору, и синхронной электрической
мощностью Р. Таким образом, уравнение баланса мощностей в синхрон-
ной машине примет следующий вид:

Pj=Pa~P-

(21.13)

Величина Pj показана штриховкой на фиг. 216. Она является функцией
угла смещения ротора 8. Интегрируя уравнение (21.13), получаем сво-
бодную потенциальную энергию

а2

ра,

Wj = \(Pa-P)db=^ (Ра-Ртsin8)db.

(21.14)

В правую часть этого выражения входит
член, отражающий синусоидальный ход ха-
рактеристики, изображенной на фиг. 216.

я t Разность между механической и синхронной

О Д, 1>2 90° 180° электрической энергиями равна заштрихо-

ванной площади на фиг. 216. Ее можно

Ф и г. 216. определить графически при любой форме

угловой характеристики мощности.

Можно установить связь между инерционной мощностью [см. выра-
жение (20.20)] и углом смещения ротора 8. Для этого выражаем при по-
мощи соотношения (20.16) элементарное приращение времени dt через
элементарное приращение угла (Z8

dt = d-

(ОСТ

(21.15)

В результате получаем

Pj = TaP0% = TaP0^. (21.16)

Проинтегрировав (21.16), находим свободную кинетическую энергию

Wj= $ Pjd$ = <»TaP0 ^dc^TaP0^. (21.17)

Таким образом, энергия колебаний прямо пропорциональна квадрату
скольжения. Сравнивая выражения (21.14) и (21.17), находим, что сколь-
жение определяется следующим образом:

° = (21.18)

' а1 О J

Если для различных начальных значений угла определить вели-
чину Н(Лх-л<^ по заштрихованной площади на фпг. 216, то при
помощи соотношения (21.18) можно найти соответствующие значения
скольжения, как указано на фиг. 216. Для синусоидальной угловой
характеристики мощности можно при помощи соотношения (21.14) полу-
чить аналитическое выражение зависимости скольжения от угла

°=V (cos & - c°s
При другой форме угловой характеристики интегрирование целесообразно
производить графическим путем.

Для получения зависимости между углом смещения ротора и време-
нем подставляем выражение (21.18) в соотношение (21.15). Выполняя
интегрирование, получаем

(21.20)

Поскольку этот интеграл всегда можно вычислить аналитически или графиче-

ски, связь между временем и углом смещения ротора можно определить для
любой заданной угловой характеристики мощности. Таким образом, выра-
жение (21.20) представляет собой полное решение задачи.

Толчок нагрузки синхронной машины приводит к тому, что точка,

соответствующая установившемуся состоянию, перемещается по характе-

ристике (см. фиг. 216) из положения 1 в положение 2. В соответствии с выра-

жением (21.14) заштрихованная площадь
приращению энергии ротора. Следовательно,
(21.18) скорость или скольжение ротора уве-
личиваются до некоторого максимума. Ротор
переходит за положение равновесия 2 (пло-
щадь на диаграмме становится отрицатель-
ной) и тормозится. Наконец, в точке 3, соот-
ветствующей углу &3, скольжение становится
равным нулю, после чего начинается дви-
жение ротора в обратную сторону. Таким
образом, положение точки 3 определяется
из условия равенства заштрихованных пло-
щадей, расположенных выше и ниже прямой,
соответствующей новому значению подводи-
мой мощности Р Из диаграммы видно, что

между этими точками равна
в соответствии с соотношением

вследствие кривизны характеристики избыточный угол &3—&2 по мере при-
ближения к пределу мощности Рт становится значительно больше началь-
ного углового отклонения &2—соответствующего толчку нагрузки.

При более сильных толчках нагрузки ротор может отклониться далеко
за положение, соответствующее статическому максимуму мощности Рт
(фиг. 217). Толчок может оказаться настолько сильным, что верхняя пло-
щадка будет слишком мала, скольжение не уменьшится до нуля и, следова-
тельно, движение не изменится на обратное. Тогда ротор перейдет еще раз
через положение равновесия (при & = &3) и вновь начнет ускоряться.
Ускорение будет продолжаться, и, следовательно, машина выпадет из
синхронизма. Таким образом, наибольший допустимый толчок нагрузки
Р2 при заданной первоначальной нагрузке Рг определяется из условия
равенства заштрихованных площадей на фиг. 217. Численное решение
уравнения (21.19) для случая а=0 показывает, что допустимое внезапное
увеличение нагрузки составляет только 70% от допустимого постепенного
увеличения. Если нормальной нагрузке соответствует, например, угол
смещения ротора &=42° (sin 42°=2/3), то возможно постепенное увеличение
мощности на 50% (до се максимума Р^). Если же увеличение подводимой
мощности произойдет толчком, то предел динамической устойчивости
наступит уже при увеличении мощности на 35%.

Если начальное скольжение машины не равно нулю, как это принима-
лось на фиг. 216 и 217, то построение кривой скольжения необходимо начи-
нать с этого исходного значения. Так как энергия пропорциональна квадрату
скольжения [см. выражение (21.17)1, то при наличии начального скольжения
устойчивость всегда понижается.

Если на роторе синхронной машины имеется успокоительная обмотка,
то свободная потенциальная энергия, определяемая заштрихованными пло-
щадями на фиг. 217, будет постепенно рассеиваться, а отклонения ротора от
положения его статического равновесия уменьшатся. Инерционная мощ-
ность, вычислявшаяся ранее по формуле (21.13), уменьшается теперь на
величину Ра, зависящую от характера движения ротора. Воспользовавшись
выражением (21.16), получим следующее уравнение баланса энергии:

р, = р _ р _ р —-Т р daZ
'! l a 1 г i 2 J аО '

(21.21)

Механическая мощность Ра обычно постоянна. Электрическая мощность Р
в идеальном случае пропорциональна синусу угла смещения ротора W; в дей-
ствительности зависимость мощности от угла часто представляется более
сложной кривой. Мощность PQ определяется величиной скольжения а и

обычно пропорциональна ему. Зависимость Ра от а, вроде изображенной
на фиг. 192, встречается редко.

Даже в наиболее простом случае и в отсутствие успокоения аналитиче-
ское решение уравнения (21.21 ) выражается через эллиптические интегралы.
Поэтому на практике решение приходится находить графическим способом.
Интегрирование уравнения (21.21) дает

»=± <21 •22>

Решая последнее уравнение методом последовательных интервалов, можно
получить затухающую кривую скольжения, показанную на фиг. 218, в от-
личие от незатухающих кривых, изображенных на фиг. 216 и 217. Для рас-
чета необходимо каждый раз вычитать из разности Ра—Р мощность успокое-
ния Pz, которая определяется по предшествующему значению о. На фиг. 218
показаны разности между постоянной величиной Ра и полученными указан-
ным способом последовательными значениями Р;. Заштрихованная площадь
соответствует уменьшившемуся значению свободной потенциальной энергии
за первый полупериод качания ротора. При этом положительная площадь
уменьшается, а отрицательная увеличивается, и максимум скольжения не
достигает того значения, которое он имел бы в отсутствие успокоительной
обмотки (пунктирная кривая). Соответственно меньшей оказывается
и амплитуда угла как в первом полупериоде (угол й3), так и в последу-
ющих.
При графическом построении удобнее пользоваться не выражением (21.22),
а исходным уравнением (21.21), представив его в конечных разностях. Введя
всюду безразмерные величины, получим

^-^С^-О49' <2,-23>

причем в соответствии с соотношением (20.15) мощность успокоения принята
пропорциональной скольжению, как это чаще всего имеет место. При помощи
соотношения (21.23) легко построить или протабулировать зависимости,
показанные на фиг. 218.

Фиг. 220.

Если асинхронная мощность успокоения велика (что главным образом
встречается при сплошных цилиндрических роторах), то колебания ротора мо-
гут быть полностью подавлены п его свободное движение станет апериодиче-
ским. На фиг. 219 представлен такой случай апериодического движения, рас-
считанный при помощи уравнения (21.23). Во всяком случае, наличие успо-
коительной обмотки приводит к увеличению допустимых толчков нагрузки
генератора вследствие уменьшения колебаний ротора. В среднем допускается
толчкообразное увеличение нагрузки до 80% от
величины, допускаемой по условиям статической
устойчивости. __ I

Проинтегрировав кривую зависимости |

скольжения от угла (см. фиг. 218) в соответствии Q Q О ©

со средним выражением в соотношении (21.20),

можно при помощи простой квадратуры полу- Фиг. 221.

чить кривую зависимости угла от времени. На

фиг. 220 показаны кривые изменения угла смещения ротора при различ-
ных толчках нагрузки, рассчитанные методом последовательных интерва-
лов для начального угла чг=40°. Для того чтобы после толчка нагрузки
машина продолжала работать синхронно и стабильно, конечное или
установившееся значение угла смещения ротора не должно превышать при-
мерно 70°. При больших толчках нагрузки ротор перейдет за предел
устойчивости и синхронизм будет нарушен.

На фиг. 221 схематически показаны две параллельно работающие элек-
трические станции. На одной из станций произошло внезапное отключение
мощного генератора. В результате отключения уменьшается та предельная
мощность, которая может быть передана с одной станции на другую. Это
видно из фиг. 222, на которой изображены угловые характеристики мощности
(Рх и Р2) для первого?и второгр режимов (т. е. до и после отключения
генератора). Может случиться, что устойчивая передача мощности от
оставшихся в работе генераторов станет невозможной, особенно потому,
что происшедший толчок мог вызвать сильное качание роторов относи-
тельно новых положений равновесия, и условие а=0, необходимое для
изменения знака скольжения ротора, не будет выполнено. В результате
будет нарушена синхронная работа двух станций. Подобный случай показан
на фиг. 222.

Сходные условия могут возникнуть при передаче энергии по двухцепной
линии, а именно при выпадении участка одной из цепей (фиг. 223). Вслед-
ствие увеличения реактивного сопротивления 1см.
выражение (20.14)] происходит скачкообразное
изменение характеристики передаваемой мощности
от Р± к Р2 (см. фпг. 222). В статическом режиме
передача прежней мощности могла бы продолжать-
ся. Однако внезапное изменение нагрузки вызы
вает качания роторов, результатом которых мо-
жет явиться разделение станций. Устойчивость
параллельной работы нарушится, если энергия
ускорения, равная положительной площади на
фиг. 222, окажется больше энергии торможения,
равной отрицательной площади с2. В этом случае
скольжение роторов а, определяемое соотношением

(21.18) или (21.22), не обращается в нуль при угле 3, а начинает вновь воз-
растать и генераторы выпадают из синхронизма. При помощи таких диаграмм,
как на фиг. 222, получаемых из угловых характеристик мощности параллельно
работающих машин, можно исследовать различные виды аварий, встреча-
ющиеся на практике, и выяснить, сохранится ли устойчивость передачи

При различных нарушениях режима и, в первую очередь, при коротких
замыканиях вблизи генераторов напряжение последних резко падает. Мощ-
ность, передаваемая по линии, в случае однотипных машин с одинаковыми

Ф и г. 223.

внутренними электродвижущими силами Eit согласно выражению (20.14),
равна

£2

P = ^sin&, (21.24)

где под <лЬ следует понимать полную величину реактивного сопротивления
(с учетом и внутренних и внешних реактивных сопротивлений). Поэтому
при снижении напряжения синхронизирующая мощность уменьшается по
квадратичному закону. Существует наименьшее значение напряжения Ем„„,т
при достижении которого может нарушиться статическая устойчивость систе-
мы, если только не будет немедленно уменьшена подводимая механическая
мощность. Полагая в формуле (21.24) &=90°, находим

Емт. = V^LP = У^ЁЁГа, (21.25)

где Е1а представляет собой активную составляющую нагрузки. Отношение это-
го минимального напряжения к нормальному напряжению на зажимах равно

—<21-26)
Таким образом, значительное снижение напряжения допустимо лишь
в том случае, когда индуктивное падение напряжения Ер0 и активный ток
нагрузки 1а малы по сравнению с нормальными значениями этих величин.

В случае длительного короткого замыкания напряжение на зажимах
и внутренняя э. д. с. генератора, работающего на мощную электрическую
сеть, снижаются почти в одинаковой мере. Генератор, у которого напряжение
рассеяния составляет 15%, а напряжение полной реакции якоря по попереч-
ной оси—45% и который работает с полной нагрузкой при коэффициенте
мощности (Ia/I0)= cos ср =0,8, находится на пределе статической устойчи-
вости, когда напряжение снижается до относительной величины

= /(0,15 4 0,45)-0,8 = 70%.

Будет ли продолжаться синхронная работа машин при более низком напря-
жении, зависит от ряда конкретных условий. Если генератор отдает свою
мощность синхронному двигателю, то нарушение синхронной работы неиз-
бежно. Если же параллельно работающие однотипные генераторы приво-
дятся во вращение однотипными первичными двигателями, то их параллель-
ная работа может продолжаться в течение некоторого времени и в отсутствие
достаточно большой синхронизирующей мощности.

При глухом (лгеталлическом) трехполюсном коротком замыкании на
одноцепной линии передачи (см. фиг. 221) напряжение падает до нуля,
в результате чего связь между электрическими станциями полностью нару-
шается; обычно при этом сразу же нарушается синхронность работы станций.
Если же короткое замыкание происходит в одной из цепей двухцепной линии
передачи (см. фиг. 223), то связь между станциями сохраняется по второй
цени, но напряжения на станциях сильно снижаются. Устойчивость передачи
может сохраниться лишь в том случае, если место короткого замыкания пе
находится слишком близко от одной из станций.

Если произойдет короткое замыкание между двумя проводами трехфаз-
ной линии, то обмен энергии между станциями не прекратится полностью
даже в случае одноцепной линии передачи, так как между неповрежденной
и двумя поврежденными фазами сохранится некоторое, не очень малое,
напряжение. Поэтому двухполюсное короткое замыкание на линии представ-
ляет меньшую опасность для нарушения устойчивости передачи.

При каждом внезапном коротком замыкании возникает еще одно допол-
нительное явление, а именно: генераторы испытывают вначале кратковремен-
ный толчок нагрузки, обусловленный переходными токами короткого замы-
кания. Величина этого толчка нагрузки определяется реактивным и актив-
ным сопротивлениями цепи, в которой протекают токи короткого замыка-
ния. Поэтому механическая мощность не остается постоянной, как это пока
зано на фиг 222, а меняется в ходе аварии, что может способствовать даль-
нейшему усилению механических колебаний. В частности, подобные толчки
нагрузки происходят при однополюсных дуговых замыканиях на землю
в сетях, нейтрали которых заземлены наглухо или через активные сопротив-
ления. Эти толчки обусловлены рассеиванием энергии в сопротивлении
заземления при прохождении через него ударных токов короткого замыка-
ния. В этом случае напряжение между генераторами снижается меньше, чем
при коротком замыкании между проводами линии. Дуговое замыкание на
землю в системе с изолированной нейтралью мало сказывается на напряже-
нии сети и, следовательно, не вызывает нарушения устойчивости передачи.

На фиг. 224 приведена осциллограмма мощностей двух синхронных гене-
раторов, работающих на общие шины; в момент времени а произошло трех-
полюсное короткое замыкание за некоторым реактивным сопротивлением.
Напряжение упало примерно до 30% от нормальной величины, вследствие
чего машины выпали из синхронизма и работали асинхронно в течение
5—6 сек. После отключения короткого замыкания в момент времени b машины
вновь втянулись в синхронную работу; при этом происходили некоторые

Фиг. 224.

колебания мощности. Так как это были турбогенераторы с мощным успокое-
нием, то ресинхронизация и затухание колебаний произошли исключительно
быстро.

§ 3. Ресинхронизация после короткого замыкания. Общим средством
для предотвращения нарушения устойчивости синхронных машин, уста-
новленных на параллельно работающих электрических станциях, является
уменьшение длительности коротких замыканий и, следовательно, уменьшение
угла, на который могут разойтись за это время роторы машин. Рассмотрим
наиболее тяжелую аварию, а именно, глухое трехполюсное короткое замы-
кание на линии передачи, полностью нарушающее синхронную связь между

электрическими станциями. Когда связь между двумя станциями 1 и 2
(фиг. 225) нарушается из-за короткого замыкания, то снижаются напряже-
ния на станциях, а это влечет за собой уменьшение электрических нагрузок
машин. Таким образом, на обеих станциях создаются избыточные механиче-
ские мощности ДР, вызывающие различные по величине ускорения генерато-

ров, а именно:
а а

1 (ЛАК ’ 2 ~ (Т<Л)2 •

(21.27)

Следовательно, между станциями появляется относительное ускорение

а=а1 — а2,

(21.28)

существующее до тех нор, пока регуляторы первичных двигателей не умень-
шат подводимой мощности.

Если, например, для первой станции эквивалентная постоянная времени
разгона Tai — 7 сек. и при коротком замыкании создается относительный
избыток механической мощности Л1\/Р(п = 50%, а для второй станции
71а2 = 15_сек. и ДР2/Р02 = 30%, то относительное ускорение равно

а = «ь 7 — 2 = 5% в 1 сек.

Следовательно, роторы будут расходиться и спустя некоторое время займут
положения, показанные на фиг. 226.
Наихудшим случаем является короткое замыкание в непосредственной
близости от одной из станций. Эта последняя полностью разгружается,
между тем как на удаленной станции напряжение и электрическая мощ-
ность остаются почти неизменными из-за реактивного сопротивления линии

передачи.

Если генераторы станции, вблизи которой произошло короткое замы-

кание, прежде работали с полной нагрузкой, то избыточные механические

мощности станций и ДР2 окажутся равными

Поэтому относительное ускорение в соответствии с
шениями (21.27) и (21.28) в данном случае равно

Это ускорение определяется исключительно
времени разгона той станции, вблизи которой
авария. Если для всей первой станции среднее

постоянной Ф и г. 226.
произошла

значение Та\ = 10сек., то

__ j

а =10 =10% в 1 сек.

Следовательно, первая станция будет опережать вторую с таким ускоре-
нием, что уже по прошествии 1 сек. ее частота превысит частоту второй
станции на 10%.

Проинтегрировав уравнение (20.17), получим зависимость относитель-
ного скольжения от времени в следующем виде:

о = \ a dt = а

at.

(21.31)

Таким образом, относительное скольжение станций растет пропор-
ционально времени. Начиная с того момента, когда вступят в действие
регуляторы первичных двигателей, интегрирование должно выполняться
при переменном ДР и, следовательно, а.

Согласно уравнению (20.16), угол расхождения между роторами будет
равен

& = <u о dt = aid V t dt = idatP. (21.32)

Следовательно, этот угол растет пропорционально квадрату времени.
В нашем примере по истечении 1 сек. он достигает значения

&= 4^-12 = 5^ = 900°.

При длительности короткого замыкания в 1 сек. роторы генераторов
первой станции успеют опередить роторы генераторов второй станции
на 5 полюсных делений. Значения относительного скольжения и относитель-
ного угла смещения роторов генераторов двух станций в различные момен-
ты времени даны в табл. 1.

После отключения короткого замыкания вновь восстанавливается
электромагнитная связь между аварийной станцией и системой. Однако
теперь имеются начальные расхождения фаз и частот аварийной и осталь-
ных станций, определяемые уравнениями (21.31) и (21.32). Если эти
величины достаточно малы, то под действием других генераторов возникнут
17 р. Рюденберг
Таблица 1

УСТОЙЧИВОСТЬ СИНХРОННЫХ ГЕНЕРАТОРОВ ПОСЛЕ КОРОТКОГО
ЗАМЫКАНИЯ ВБЛИЗИ СТАНЦИИ (ПРИ а= 10% в 1 сек ; у = 1,25 гч)

Длительность короткого замыкания, сек. Во время короткого замыкания После отключения короткого замыкания
скольже- ние а , % угол смещения ротора •&= =(wa/2)i2, град. угол (ю/V)., град. амплитуда колебаний угла W, град.
0,1 1 9 23 26 -
0,2 2 36 46 57
0,3 3 81 69 107
0,4 4 144 92 170
0,5 5 225 115 —
0,7 7 440 160 —
1,0 10 900 230 —

колебания, амплитуду которых можно определить при помощи выражения
(21.5). Следовательно, амплитуда колебаний угла после отключения
короткого замыкания равна

e=/(4^)’+^ay=^/ii+(4y. (21.зз)

В табл. 1 дан ряд значений амплитуды колебаний угла. Так, напри-
мер, при длительности короткого замыкания 0,1 сек. роторы успевают
разойтись только на 9°. Согласно соотношению (21.8), при скольжеции
ротора о = 1% и при собственной частоте v = 1,25 гц начальный угол равен 23°.
В соответствии с соотношениями (21.5) или (21.33), находим амплитуду
колебаний угла, равную 26°. В табл. 1 приведены также соответствующие
данные для других значений длительности короткого замыкания.

Из табл. 1 видно, что в неблагоприятном случае, когда короткое
замыкание происходит вблизи электрической станции, генераторы которой
работают с полной нагрузкой, едва ли можно избежать нарушения
устойчивости, если отключение короткого замыкания не произойдет в тече-
ние примерно 0,1сек. Если длительность короткого замыкания будет
равна 0,2сек., то амплитуда качаний достигнет 57°. Эта величина должна
быть добавлена к начальному углу смещения ротора, равному примерно 40 .
Таким образом, в этом случае почти достигается предел динамической
устойчивости. При большей длительности короткого замыкания устойчи
вость параллельной работы можно сохранить только при условии, если
генераторы данной станции снабжены мощными успокоительными обмот-
ками или если в момент короткого замыкания они работали с неполной
нагрузкой. Если же время отключения равно или больше 0,5 сек., то
короткое замыкание вблизи станции неизбежно приведет к нарушению
устойчивости и к выпадению из синхронизма. Как видно из осциллограммы
на фиг. 224, генераторы могут вновь втянуться в синхронную работу,
если они снабжены эффективно действующими успокоительными обмотками.
Однако ресинхронизация в этом случае произойдет только после много-
кратного прохождения роторов через их положение равновесия, сопро-
вождаемого сильными биениями напряжения и частоты во всей системе.
ЛИТЕРАТУРА

Barbillion L., Rev. gen. elec., 33, 511 (1933).

Le prob]erne des oscillations des groupes electrogenes apres rupture de court-
circuit

Bush V., Booth R. D, Journ AIEE, 229 (1925)

Power system transients.

Butler J W-, Schroeder T. W., Ridgway W., Trans. AIEE, 63, 1130 •
(1944).

Capacitors, condensers and system stability.

Concordia C., Temoshok M., Trans. AIEE, 66, 1512 (1947).

Resynclironizing of generators.

Duval R. H., Eastman L..J., Electr. World, 103, 514, 620 (1934).

System stability calculations reduced to a practical base.

Evans R. D., G u I 1 i к s e n F. II., Myhre С. B., Trans. AIEE, 59, 965 (1940).

Synchronizing transients and synchronizers for large machines.

E v a n s R , Wagner C., Trans AIEE, 51 (1926)

Further studies of transmission stability.

Fortescue C. L., Trans. AIEE, 984 (1925).

Transmission stability.

F г e n s d о r f f E., К ii h n K., Mayer R., Peters W., Elektrotechn. Zs.,
791, 1185, 1349, 1509 (1931).

Versuche fiber Maschinenregelung und Parallelbetrieb in den Grosskraftwerken
Hirschfelde und Bohlen.

G r i s с о m S., Journ. Electr, 230 (1926).

A mechanical analogy to the problem transmission stability.

Heller F., Rev. gen. elec., 41, 67 (1937).

Etude des phenomenes consecutifs aux variations de la charge dans le fonctionne-
ment en paralleles des machines synchrones.

H e и r i e t P , CIGRE, No 335 (1946).

Notes on running out of step.

Herlitz I., CIGRE, No 307 (1946).

Stability limits of long transmission lines.

Keller M. L., Schweiz. Bull., 477 (1929).

Die Obertragung grosser Leistungen.

Longley F. R., Trans. AIEE, 49, 1133 (1930).

The calculation of alternator swing curves.

M a n d 1 A., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 671 (1928)

Das Verhaltcn der Synchronmaschine bei veranderlicher Spannung, Frequenz und
Belastung.

Morse J., CIGRE, No 303 (1946).

Stability problems on interconnected power systems in the province of Que
bee.

Mosebach J., Rev. gen. elec., 49, 297 (1941).

Le reglage de la puissance active des usines electriques interconnectees

Nickle C. A., L a w t о n F. L., Trans. AIEE, 1 (1926).

An investigation of transmission-system power limits.

Ollendorff F., Peters W., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 5, No 1,
7 (1926).

Schwingungsstabilitat parallel arbeitender Synchronmascbinen.

Park R. H., В a n с к e г E. FL, Trans. AIEE, 170 (1929).

System stability as a design problem.

Perrin L., Rev. gen. elec., 54, 17 (1945).

Influence du reenclcnchemenl rapide phase par phase sur la stabilite des grands
reseaux de transport d’energie electrique.

Peters W., Wiss. \eroffentl. Siemens-Konzem, 8, No 3, 109 (1930).

Einfluss von Laststossen auf die Stabilitat gekuppelter Kraftwerke und Kraftwerks-
masebinen.

Riiden berg R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 10, No 3, 41 (1931).

Die synebronisierende Leistung grosser Wechselstrommaschinen.

Steinmetz С. P., Trans. AIEE, 1215 (1920).

Power control and stability of electric generating stations.

Stone E. C., Trans. AIEE, 1651 (1919).

Some problems in the operation of power plants in parallel.

Timascheff A., VDE-Fachberichte, 117 (1931).

Parallelbetriebsversuche von Drehstrommaschinen in Grosskraftwerken.

Timascheff A., Stabilitat elektriseber Drehstrom-Kraftubertragungen, Berlin,
1940.
Глава 22

ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РАБОТА МАШИН
В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

До сих пор рассматривались колебания отдельного генератора относи-
тельно всей системы. Однако в крупных или объединенных системах имеет
место взаимодействие многочисленных генераторов как между собой, так
и с множеством асинхронных двигателей. Если где-либо в системе проис-
ходит толчок нагрузки, то во всех ее генераторах и двигателях одновре-
менно начинается переход к новому состоянию равновесия, который мы
и рассмотрим.

§ 1. Распределение толчков нагрузки. Рассмотрим поведение несколь-
ких синхронных генераторов, работающих на общую сеть, после того, как
произошел толчок нагрузки Р (см. принципиальную схему на фиг. 227).

Пусть реактивная составляющая толчка нагрузки столь мала, что величина
напряжения сети Е остается неизменной. Однако активная составляющая
толчка нагрузки вызовет благодаря индуктивности линии увеличение угла
отставания напряжения Е па ДО. Таким путем толчок нагрузки передается
всем генераторам.

На фиг. 228 показано изменение векторных диаграмм для двух гене-
раторов системы. Прежние углы смещения роторов, которые до толчка
имели значение &0 (разное для разных машин), внезапно увеличиваются
при толчке па величину Д& и принимают новые значения Разумеется,
в момент толчка положение роторов всех машин в пространстве остается
неизменным. Точно так же не меняются магнитные поля роторов. В зави-
симости от параметров данного генератора внезапное увеличение угла
смещения ротора на величину ДО вызовет соответствующий толчок электри-
ческой мощности

ДР = РвДО. (22.1)

Здесь величина Д& одинакова для всех генераторов. Таким образом, уве-
личение мощности каждой отдельной машины определяется в основном
ее синхронизирующей мощностью Ps. Так как толчок нагрузки Р распре-
деляется между всеми машинами, то

Р=ДЛ+ДР2 + ... = Р51д& -1- РЧ2Д& +... =

-(Л11-Л2 н..)А» = 2лд&; (22.2)

индексы 1, 2, Зит. д. относятся к соответствующим машинам. Суммиро-
вание распространяется на все синхронные машины системы. Общее для
всех машин приращение угла вследствие толчка можно записать в виде

Д& = . (22.3)

Таким образом, оно равно отншпению толчка нагрузки к суммарной син-
хронизирующей мощности системы. В соответствии с выражением (22.1)
толчок нагрузки, воспринятый каждым отдельным генератором, равен

= (22.4)

Следовательно, толчок нагрузки в системе распределяется между
отдельными генераторами пропорционально отношению их синхронизиру-
ющих мощностей к полной синхронизирующей мощности системы. «Жесткие»
машины, синхронизирующие мощности которых велики, принимают на себя
большую долю, а «мягкие» машины, синхронизирующие мощности кото-
рых малы, — меньшую долю всего толчка нагрузки. Однако это не создает
опасности для «жестких» машин, так как благодаря своим сравнительно
большим магнитным потокам они могут отдавать большую мощность.

Итак, толчок нагрузки в системе в первый момент распределяется
между многочисленными генераторами наиболее целесообразным образом,
а именно, пропорционально их синхронизирующим мощностям. При опре-
делении синхронизирующих мощностей генераторов, находящихся на боль-
шом расстоянии от места, где произошел толчок нагрузки (см. фиг. 227),
необходимо к их реактивным сопротивлениям рассеяния прибавить реактив-
ные сопротивления соответствующих линий и трансформаторов. Синхрони-
зирующие мощности всегда следует определять по отношению к той точке
сети, в которой произошел толчок нагрузки.

Под действием толчка нагрузки &Р, определяемого по формуле (22.4),
каждый генератор испытывает ускорение или торможение. Согласно урав-
нению (20.20), инерционная мощность в общем случае будет равна

Pj = Jg^ = TaPoa = Ga, (22.5)

где а, как и раньше, означает ускорение или торможение, измеряемое
в процентах в 1 сек., а 7’а — постоянную времени разгона. Произведение Та
и номинальной мощности Ро, обозначенное буквой G, представляет собой
удвоенную кинетическую энергию вращения. Торможение ротора каждого
генератора в момент толчка нагрузки зависит от величины толчка, испы-
тываемого данным генератором. В соответствии с выражением (22.4) оно

равно

ДР Ps Р

\2 Л

— д&.
со

(22.6)

Здесь величина Ps, характеризующая индивидуальные свойства гене-
ратора, выражена через частоту свободных колебаний, определяемую
формулой (20.25):

(22.7)

Величина Р выражена через приращение угла при толчке в соответствии
с соотношением (22.3).

Таким образом, при различных собственных частотах машин будут
различными и начальные значения их торможения, обусловленного при-
ходящимися на них толчками нагрузки.

На фиг. 229 топкими сплошными линиями показано постепенное падение
скорости различных машин после толчка нагрузки. Не будь синхронизирую-

Фиг. 229.

ших сил, возникающих сразу вслед за
расхождением роторов,генераторы ра-
ботали бы в асинхронном режиме. Под
влиянием этих синхронизирующих
сил торможение всех машин стремится
к некоторому среднему общему для
всех машин значению а„. При этом, ко-
нечно, в каждой машине происходят
колебания. Торможение а„ можно
определить по общему толчку нагруз-
ки Р и по суммарной инерционной
массе всей системы

Р Р

(22.8)

Под действием торможения, общего для всей системы, «мягкие» гене-
раторы, с большими инерционными массами, после затухания колебаний
тормозятся сильнее, чем вначале, когда торможение определялось индиви-
дуальными толчками нагрузки. Поэтому в конечном счете они нагружа-
ются сравнительно сильнее. «Жесткие» машины со сравнительно малыми
инерционными массами в дальнейшем тормозятся слабее, чем вначале,
и поэтому отчасти разгружаются. Среднее торможение всей спстемы выну-
ждает каждый отдельный генератор отдавать в сеть определенную допол-
нительную электрическую мощность, которая в соответствии с соотноше-
ниями (22.5) и (22.8) должна быть равна

= (22.9)

Следовательно, мощность, которую вынужден отдавать каждый гене-
ратор под действием среднего торможения всей системы, также опреде-
ляется толчком нагрузки. Однако эта мощность распределяется между
генераторами пропорционально их кинетическим энергиям. Этот закон рас-
пределения существенно отличается от начального распределения толчка
нагрузки, определяемого выражением (22.4).

Той мощности торможения, которую система стремится навязать каж-
дой машине, соответствует дополнительный угол смещения &j, определяе-
мый путем сопоставления соотношений (22.9) и (22.1),

&J= Рр-=~^^- (22.10)

1 s >, G ' i

Вводя в это выражение суммарную синхронизирующую мощность всей

спстемы, получаем

за

(22.11)
Гл. 22. Параллельная работа машин в влектроэнергетической системе

Введем по аналогии с частотой свободных колебаний отдельной машины
фиктивную частоту свободных колебаний всей системы

(22.12)

Воспользовавшись далее соотношениями (22.3) и (22.7), придем к следую-

щему выражению:

(22.13)

Итак, в зависимости от соотношения между собственной частотой гене-
ратора и собственной частотой системы окончательное значение угла сме-

щения ротора данного генератора, получаю-
щееся в результате торможения всей системы
в целом, может оказаться и больше и меньше
начального изменения угла, общего для всех
генераторов. Собственная частота системы пред-
ставляет собой среднее значение собственных
частот всех генераторов. В каждом генераторе
этот окончательный угол достигается в резуль-
тате действия всех синхронизирующих сил. Он
устанавливается после ряда затухающих коле-
баний, как показано на фиг. 230.

Таким образом, общая картина явления
рисуется в следующем виде. В момент толчка
нагрузки угол смещения ротора каждого гене-
ратора возрастает скачком па величину Д& от
прежнего значения &0 до нового значения

Это позволяет каждому генератору сразу же получить свою долю толчка

нагрузки Р. Распределение этой нагрузки между генераторами определяется
их синхронизирующими мощностями. Дополнительная мощность, отдаваемая
генераторами, покрывается за счет кинетической энергии инерционных масс.
Поэтому все роторы в конце концов получают одинаковое торможение,
а это вызывает дальнейшее изменение угла смещения до значения 1>2, отли-
чающегося от прежнего значения й0 на величину &j, определяемую выраже-
ниями (22.10) или (22.13). Окончательное значение угла &3 устанавливается
после ряда затухающих колебаний.

Распределение толчка нагрузки между отдельными генераторами сразу

после толчка и спустя некоторое время после него происходит по совершенно
различным законам. Это обстоятельство и является причиной возникновения
сильных колебаний машин относительно друг друга после толчка нагрузки
в системе. Как видно из фиг. 230, начальная амплитуда колебаний равна
разности двух ранее определенных значений угла смещения ротора

э = = да [(v)2 “"1] •

[(22.14)

Таким образом, амплитуды колебаний велики для тех машин, собствен-
ные частоты которых сильно отличаются от средней собственной частоты
всей системы.

Пусть генератор с большой синхронизирующей мощностью и малой
инерционной массой, представляющий собой «жесткую» машину, имеет соб-
ственную частоту, например вдвое большую, чем средняя частота системы.
Воспользовавшись соотношениями (22.13) и (22.14), получим

0=-#да.

4 4

Это значит, что начальное приращение угла Д& было слишком велико; при
уменьшении нагрузки генератора оно уменьшается до четверти своего перво-
начального значения. Уменьшение угла и нагрузки сопровождается колеба-
ниями с небольшой амплитудой.

Пусть другой генератор с малой синхронизирующей мощностью и боль-
шой инерционной массой имеет собственную частоту, например вдвое мень-

шую, чем средняя частота системы.
Для этой «мягкой» машины находим

&j = 4 Д&, В = ЗД&.

Это значит, что начальное при
ращение угла было слишком мало
для машины такого типа и оно увели-
чивается до четырехкратного значе-
ния первоначальной величины. Одно-
временно увеличивается и мощность
этой машины, причем увеличение уг-
ла и мощности сопровождается коле-
баниями с большой амплитудой. Ве-
личина окончательной нагрузки, а
также размахи колебаний ротора ге-
нератора, в процессе которых угол
смещения достигает значения &3 (см.
фиг. 230), могут вызвать выпадение
этой «мягкой»машины из синхронизма.

На фиг. 231 приведены кривые для трех различных генераторов мощной

системы, существенно различающихся между собой по номинальной мощно-
сти и начальной нагрузке. Собственные частоты генераторов примерно совпа-
дают с принятыми выше числовыми значениями. Толчок нагрузки сперва

вызывает увеличение углов смещения роторов всех трех машин на одну и ту
же величину Д&; вслед за этим возникают колебания с различными для
каждой машины частотами и амплитудами. У генератора большой номиналь-
ной мощности с собственной частотой, близкой к средней, колебания имеют
малую амплитуду, так как разность начального и конечного значений угла
смещения ротора мала. У генератора средней мощности с высокой собствен-
ной частотой разность между начальным и конечным значениями угла сме-
щения ротора очень велика, но так как в процессе колебаний он разгружает-
ся, то никакой опасности для него не возникает. У генератора малой мощ-
ности с низкой собственной частотой торможение столь велико и в
процессе колебаний ротор так сильно отклоняется от своего положения
равновесия, что при каждом более или менее значительном толчке нагрузки
устойчивость работы находится под угрозой. Если мощность генератора
приближается к своему предельвому значению (см. фиг. 231), то при вы-
полнении практических расчетов угол смещения ротора необходимо
определять с учетом нелинейности угловой характеристики, как было
показано в § 2 гл. 21.

Мы приходим, таким образом, к выводу, что толчки нагрузки в системе
наиболее опасны для малых машин со сравнительно большой инерционной
массой и сравнительно малым синхронизирующим моментом. С одной сто-
роны, как это следует из выражения (22.12), эти машины оказывают малое
влияние на среднее значение собственной частоты всей системы. С другой
стороны, амплитуды колебаний их роторов имеют значительную величину,
почти вдвое превышающую амплитуду угла, определяемую соотношением
(22.14) и зависящую от отношения квадратов собственных частот. Из сказан-
ного следует, что собственные частоты всех машин системы должны быть па

возможности одинаковыми по отношению к тем точкам сети, в которых ожи-
даются толчки нагрузки. Особенно опасен тот случай, когда собственная
частота машины значительно меньше средней.

На фиг. 232 представлены результаты обработки двух осциллограмм,,
полученных для двух явнополюсных (синхронных генераторов мощностью

по 30 мгеа, установленных на одной электрической станции и соединенных
между собой на стороне высшего напряжения трансформаторов, реактив-
ность рассеяния каждого из которых составляет 9%. Регуляторы гидротурбин
были установлены так, что к первому генератору подводилась механическая
мощность Ю.игс/и, а ко второму—0,5мгвт. Непосредственно к зажимам
второго генератора была присоединена нагрузка мощностью 10,5 лщс/w.. Эта
нагрузка была внезапно отключена и затем вновь подключена спустя 5 сек.
Из кривых фиг. 232 ясно видно неравномерное распределение толчков нагруз-
ки между генераторами, обусловленное включенным между ними реактивным
сопротивлением рассеяния трансформаторов. Так же отчетливо видны коле-
бания мощности, возникающие после толчков нагрузки.
На осциллограмме фиг. 233 показано распределение внезапного умень-
шения нагрузки между двумя неодинаково возбужденными турбогенерато-
рами с номинальными мощностями по 25жсса. К одному из генераторов
подводилась механическая мощность, а другой вращался вхолостую. Путем
отключения обоих генераторов от сети их общая нагрузка была уменьшена
па 20 мгвт. Несмотря на то, что толчок представляет собой уменьшение нагруз-
ки, произошло полное нарушение синхронной работы генераторов. Угол
смещения одного ротора относительно другого уже через г/2 сек. достиг 90°,
т. е. значения, соответствующего пределу статической устойчивости.

§ 2. Совместные колебания генераторов и асинхронных двигателей.
При исследовании свободных колебаний генераторов, возникающих вслед-
ствие толчка нагрузки в системе, необходимо рассматривать каждую син-
хронную машину в отдельности, так как каждая пз них развивает свою
собственную синхронизирующую мощность. Наоборот, все асинхронные

Фиг. 234.

двигатели можно рассматривать совместно, поскольку их роторы совершают
сравнительно небольшие перемещения относительно вектора напряжения
сети. Это связано с тем, что для асинхронных двигателей основное значение
имеют инерционные силы, а не силы, зависящие от скольжения, и синхро-
низирующие силы.

Таким образом, мы приходим к эквивалентной схеме, приведенной
на фиг. 234. На этой схеме показано g синхронных генераторов, работа-
ющих на шины с напряжением Е,п. От этих шин совместно питаются все
асинхронные двигатели, обладающие суммарной кинетическот энергией
У\Сп- Векторная диаграмма напряжений приведена на фиг. 235. Вектор
напряжения сети Еп колеблется относительно некоторого равномерно вра-
щающегося вектора, составляя с ним угол &п, а векторы внутренних э.д.с.
отдельных генераторов (т. е. продольные оси их роторов) колеблются около
вектора напряжения сети, образуя с ним углы &2 п т- Д-

Будем рассматривать только отклонения от состояния равновесия
и пренебрежем для простоты успокоением всех видов, в том числе и актив-
ноп нагрузкой системы. Тогда в уравнение баланса энергии войдут только
два члена: приращение синхронной мощности и инерционная мощность. Та-
ким образом, д чя 1-го, 2-го и т. д. генераторов получим следующие уравнения:

р a I d2 ffii + М _ Q

•“i i T- ш Л2

р & _ g2 „п (22-15)

“2 2 1 ш Ji2 ’

Приращение суммарной синхронной мощности передается в сеть и вызы-
вает ускорение инерционных масс асинхронных двигателей. Следовательно,
уравнение баланса энергии для двигателей имеет следующий вид:

ЛЛ + ЛЛ+--- <22-16)

Будем искать решение этой системы линейных дифференциальных
уравнений в предположении, что углы &2, ..., г>п являются гармони-
ческими функциями времени вида

H=0cosvZ, (22.17)

где 01, 02, ...,0П—амплитуды. Частоты колебаний v, удовлетворяющие
системам уравнений (22.15) и (22.16), пока неизвестны.

Упростим запись уравнений (22.15) и (22.16), введя в них «жесткие»1) .
частоты

которыми обладали бы различные генераторы, если бы они были при-
соединены к «жесткой» сети, т. е. при &п = 02>. Подставляя затем в уравне-
ния (22.15) и (22.16) выражения (22.17) и их производные, получаем сле-
дующие уравнения для амплитуд:

2 (©, + ©„) = О,

v202-v2(02 + ©n) = O, (22.19)

Следовательно, отношения амплитуд 0^ 02, ... к амплитуде 0„ равны

(н) "о 2 У

й-=-8------>> 4г-=-2-----5 и т. д. (22.20)

Далее, из уравнения (22.16) получаем следующее соотношение для амплитуд:
ЛА + Л2®« +-•- = - Д,— v2©, ,г (22.21)

При подстановке в соотношение (22.21) значении амплитуд генерато-
ров 0г, 02 и т. д., получаемых из выражений (22.20), общий множитель 0П
сократится и мы получим

I Г$з _ _ 2 Gp 99\

Д — - v2_ ?-t - • — ш • (ZZ.ZZJ

Подставляя сюда выражения для синхронизирующих мощностей, най-
денные из соотношений (22.18), представляем уравнение (22.22) в более
простой форме

Л^ + Л^+-.. = -2Л- (22.23)

Это уравнение определяет частоты свободных колебаний всей совокуп-
ности машин.

Характеристическое уравнение (22.23) проще всего решить графически
(фиг. 236). Для этого строим его левую часть, считая ее функцией пере-
менной м2, которую откладываем по оси абсцисс. На том же графике
строим прямую, соответствующую постоянной правой части уравнения. Так
как при \ = 0 все коэффициенты при Glt G„ и т. д. равны единице, то началом

В В немецком нздаппи 1953 г. автор пользуется термином «starren Frequcnzen»,
который был переведен термином «жесткие» частоты.—Прим. ред.

2) В русской технической литературе вместо термина «жесткая сеть» часто
пользуются термином «шины бесконечной мощности».—Прим. ред.
кривой является точка, соответствующая суммарной кинетической энергии
всех генераторов

2 = Gi~|-С2 4-^з + • • (22.24).

Функция, представленная левой частью уравнения (22.23), изменяется ш>
гиперболическому закону и имеет разрывы при » = \1; \2 и т. д., где ее
значения изменяются скачком от + со до —со. Число точек пересечения
кривой с горизонтальной прямой, соответствующей правой части уравне-
ния (22.23), равно числу генераторов системы. Абсциссы этих точек пере-
сечения и т. д. являются решениями уравнения (22.23) и соответствуют
собственным частотам, с которыми могут происходить свободные колебания
машин, связанных между собой общей сетью. Число собственных частот
системы равно числу генераторов g. Собственные частоты системы не-

сколько выше «жестких» частот отдельных генераторов. ,

По мере увеличения суммарной кинетической энергии двигателей сеть
становится более жесткой. При этом горизонтальная прямая, соответству-
ющая величине — 2 Gn,

смешается вниз и разность
между частотами \ и \2 и
м"ит. д. постепенно умень-
шается. Если же инерцион-
ная масса двигателейумень-
шается, то прямая 2 G
поднимается и все собствен-
ные частоты системы уве-
личиваются, оставаясь,
однако, внутри некоторых
довольно узких пределов.
Исключение составляет
только наибольшая собст-
венная частота, которая не-
ограниченно увеличивает-
ся. Если бы инерционные

массы асинхронных двигателей были равны нулю, то число собственных
частот системы, содержащей g генераторов, было бы равно g — 1. Следователь-

но, собственные частоты системы, которые остаются конечными при стремле-
нии инерционной массы двигателей к нулю, характеризуют в основном
колебания синхронных генераторов относительно друг друга. Наибольшая
собственная частота системы, сильно зависящая от величины инерцион-

ных масс двигателей, характеризует колебания всей совокупности генера-
торов относительно всей совокупности двигателей, включенных в сеть.

Если «жесткие» частоты всех или некоторых генераторов совпа-
дают, то соответствующие им отношения частот в уравнении (22.23) ста-
новятся равными. Соответствующие ветви кривых на фиг. 236 сливаются
друг с другом. Некоторые точки пересечения прямой — 2< ’ с кривом
становятся кратными точками. Таким образом, одна и та же собственная

частота системы повторяется несколько раз.

Случай, когда все «жесткие» частоты отдельных генераторов равны
между собой, т. е.

А = =

(22.25)

представлен на фиг. 237. Здесь все восходящие ветви кривой вырожда-
ются в одну вертикальную прямую. Для системы, содержащей g генера-
торов, получаем g—1 собственных частот

м' = v" = ч'"

= vi = v2 = v3 =

(22.26)

Эти значения совпадают со значениями собственных частот генераторов,
включенных в «жесткую» сеть. Однако наибольшая собственная частота
системы отлична от остальных частот. Она определяется из уравнения (22.23),
принимающего теперь вид

(Gx + G2 + G3 + ...) = - 2 Gn, (22.27)

откуда, учитывая выражение (22.24), получаем

(22.28)

Выражение (22.28) определяет частоту колебаний совокупности всех генера-

торов относительно совокупности всех двигателей.

Это же выражение справедливо и для колебаний единственного генера-
тора относительно асинхронного двигателя. В этом случае отсутствуют пер-

вые g—1 частот и остается только послед-
няя частота, равная

’=/»₽.( А- > <22;29>

мы воспользовались здесь соотношением
(22.18). Эта частота определяется, таким
образом, синхронизирующей мощностью
генератора и кинетическими энергиями обе-
их машин.

При большом числе машин, работаю-
щих параллельно в системе, возможно
большое число собственных частот. На-
именьшее возможное число этих частот,
равное двум, соответствует случаю, когда
все генераторы являются однотипными.
Наибольшее возможное число этих частот

синхронных машин.

Собственные частоты системы несколько меняются не только при изме-
нении «жестких» частот отдельных генераторов vx, v2 и т. д. (последнее
может происходить или вследствие изменения токов возбуждения или на-
грузки, или вследствие включения и выключения отдельных генераторов),
нои при изменении кинетической энергии ^Gn инерционных масс, имеющих-
ся в системе. Эта энергия, в свою очередь, зависит от числа одновременно
работающих двигателей. Все эти изменения накладываются друг на друга.
Поэтому крупные энергосистемы обычно имеют целый спектр собственных

частот.

В то время как амплитуды всех колебаний в системе могут иметь
величину одного порядка, для каждого отдельного генератора существует
определенная преобладающая частота. Так, например, амплитуда колебаний
1-го генератора 0Х, которая в соответствии с соотношением (22.20) опреде-
ляется величиной разности, стоящей в знаменателе, имеет значительную вели-
чину только в том случае, если собственная частота системы v' близка к
«жесткой» частоте генератора v1# Как видно из фиг. 238, для любой дру-
гой собственной частоты системы ч", ч'" и т. д. эта разность будет значи-
тельно больше и, следовательно, амплитуда 0Х—значительно меньше. Таким
образом, в 1-м генераторе большую амплитуду 0Х имеют только колебания
270

III. Влияние инерции вращающихся масс

с частотой . При любой другой собственной частоте системы амплитуда
колебаний 1-го генератора незначительна. Соответственпо для 2-го генера
тора разность в знаменателе выражения (22.20) мала только тогда, когда
v^v"; следовательно, этот генератор колеблется в основном с частотой ч".

Таким образом, каждый генератор отзывается главным образом на ту
собственную частоту системы, которая наиболее близка к его «жесткой^
частоте. Этому движению совместно противодействуют инерционные массы

всех остальных синхронных и асинхронных машин, совершая в противо-
фазе малые колебания. В самой сети, характеризующейся углом все эти
колебания с малыми амплитудами 0П накладываются- одно па другое.
Совокупность этих колебаний вызывает нерегулярные колебания частоты
и обменных потоков мощности
между различными частями си-
стемы.

Теперь мы в состоянии рас-
смотреть процесс распределе-
ния толчка нагрузки Р в си-
стеме между многочисленными
синхронными и асинхронными
машинами. Вначале этот толчок
будет воспринят главным об-
разом только синхронными ма-
шинами, в то время как на
асинхронных машинах он почти
не отразится. Это объясняется
тем, что в синхронных ма-
шинах действуют внутренние

синхронизирующие силы, почти отсутствующие в асинхронных машинах.
Таким образом, толчок мощности, приходящийся на каждый синхронный

генератор, равен

(22.30)

В последнем выражении, как и в формуле (22.4), суммирование рас-
пространяется только па синхронные машины.

Затем под действием этой дополнительной электрической нагрузки
начинается торможение синхронных машин. При этом их роторы совершают
колебания около среднего положения с частотами, определенными выше.
Указанные колебания влияют на асинхронные двигатели. После затуха-
ния всех колебаний система в целом получает среднее торможение, кото-
рое, по аналогии с соотношением (22.8), определяется выражением

^71 -- •

X (Go + Gn)

(22.31)

В последнем выражении учитываются также инерционные массы дви-
гателей.

В результате торможения толчок нагрузки распределяется между от-
дельными машинами в соответствии со значениями их кинетической энер-
гии. В результате на каждый синхронный генератор приходится мощность

Go р

X(Gg + Gn)

PJe =

а на каждый асинхронный двигатель—

Gn____р

(Gg + Gn)

(22.32)

(22.33)
На фиг. 239 показано торможение синхронных и асинхронных машин си-
стемы, а также совершаемые ими колебания, в процессе которых началь-
ные значения торможения отдельных машин постепенно переходят в сред-
нее торможение всей системы в целом. Амплитуды колебаний мощности
синхронных машин определяются разностью начального [см. выражение
(22.30)] и конечного значений приращения мощности [см. выражение (22.32)]

(22.34)

колебания, частота которых

Фиг. 239.

Амплитуда

Эти колебания мощности происходят в каждом генераторе с различ-
ными частотами, но среди них преобладают
равна собственной частоте генератора.

колебаний мощности каж- q
дого асинхронного двигателя определяется

разностью начального значения прираще-
ния мощности, равного нулю, и его ко-
нечного значения, определяемого форму-
лой (22.33),
Л=0-РЛ- - (22.35) а

Поскольку все асинхронные двигатели
совершают колебания, совпадающие по

фазе, амплитуда колебания их суммарной мощности представляет собой
арифметическую сумму амплитуд колебаний мощности отдельных двига-
телей.

Если все генераторы однотипны, то их колебания происходят с одной
и той же частотой и в противофазе относительно всей совокупности двп-
распределение толчка нагрузки
между названными группами,
а также изменение этого распре-
деления во времени.

Под влиянием колебаний,
которые видны также и из
фиг. 239, асинхронные двига-
тели испытывают временное тор-
можение, величина которого рав-
на удвоенному значению сред-
него торможения системы. Мощ-

ность торможения каждого асинхронного двигателя в соответствии с выраже-
нием (22.35) пропорциональна его кинетической энергии, равной произведе-
нию ТаР0. Следовательно, прп больших толчках нагрузки в сети асин-
хронные двигатели, характеризующиеся большими постоянными времени
разгона, также могут оказаться перегруженными по сравнению со своей
номинальной мощностью. Однако они далеко не так чувствительны к пе-
регрузкам, как синхронные машины.

Согласно изложенному выше, для вычисления амплитуды колебания
угла смещения ротора можно снова воспользоваться выражением (22.14).
Однако теперь чп означает фиктивную собственную частоту всей системы,
включая и асинхронные двигатели. На основании этого в формулу (22.12),
определяющую частоту >п, должна входить полная кинетическая энергия
системы 2 (Gr/ + G,.).

Найдем условия, при которых колебания мощности синхронных ма-
шин будут минимальными. С этой целью перепишем выражение (22.34)
в следующем виде:

Р, - [ Й - ] W Р- <2236)

0 2u(Ge + Gn) J 2jPs

здесь в скобках выделены отдельно отношения мощностей для одной ма-
шины и для совокупности всех машин. Мы видим, что выражение, стоя-
щее в скобках, будет одним и тем же для разных генераторов, если вы-
держать для каждого синхронного генератора одинаковое отношение

tr^=^const- <22-37>

В этом случае, как показывает соотнотпение (22.36), амплитуда колебания
мощности каждого генератора пропорциональна его кинетической энер-
гии Gg, т. е. величине, которая определяет окончательное распределение
толчка нагрузки между генераторами системы [см. выражение (22.32)].
Колебания мощности всех генераторов системы хорошо согласуются теперь с
инерционными свойствами, а следовательно, с механическими данными машин.

Условие (22.37), связывающее коэффициенты синхронизирующей мощ-
ности каждого генератора с его постоянной времени разгона, означает
также в соответствии с выражением (22.18) равенство «жестких» ча-
стот генераторов и на основании соотношения (22.26) равенство всех соб-
ственных частот системы. Следовательно, при выполнении условия (22.37)
все синхронные генераторы совершают колебания, совпадающие по фазе,
и между ними не происходит обмена мощностью. Это означает, что вся
совокупность синхронных машин колеблется как одно целое в противофазе
•относительно всей совокупности асинхронных машин.

Такая система будет обладать наибольшей возможной устойчивостью,
т. е. наибольшим противодействием выпадению из синхронизма любого
из генераторов при каких-либо нарушениях ее режима.

ЛИТЕРАТУРА

Barbillion L., Rev. gen. elec., 30, 943 (1931).

Le fonctionnement en regime transitoire des usines generatrices fonctionnant
seules ou interconnectees.

Byrd FL, Pritchard S., Gen. Electr. Rev., 81 (1933).

Solution of the two machine stability problem.

C a h e n F., Rev. g4n. elec., 56, 257 (1947).

Le freinage des groupes generateurs hydroelectriques par Г enclenchement brusque
de resistances liquides aux bornes de leurs alternateurs.

Concordia C., Crary S. B., Lyons F. M., Trans. AIEE, 57, 732 (1938).

Stability characteristics of turbine generators.

Crary S. B., Power system stability, vol. 1—3, New York, 1947.

Crary S. B., March L. A., Shildneck L. P., Trans. AIEE, 53, 124 (1934).

Equivalent reactance of synchronous machines.

Dahl O. G C., Trans. AIEE, 54, 185 (1935).

Stability of the general 2-machine system.

Daniel .1., Rev. gen. elec., 55, 403 (1946).

L’evolution des methodes de repartition de la charge dans les reseaux interconnects.

Darrieus G., CIGRE, No 110 (1946).

Long-distance transmission of energy and the artificial stabilization of alternating
current systems.

Dreyfus L., Arch. Elektrotechn., 16, 307 (1926).

Uber die Stabilitat des Parallelbetriebes beim Zusammenschluss grosser Kraftwerke.

Evans R. D., Wagner C. F., Compt. rend, congr. intern, elec., 6, 215 (1932).

La stabilite des systemes de transmission d’energie electrique; dispositions adoptees
en Amerique.

Frey W., CIGRE, No 317 (1946).

Artificial stability of synchronous machines employed for long distance power
transmission.
Guery F., Rev. gen. elec., 50, 301 (1941).

Determination des caracteristiques d’ordre electrique des machines synchrones
couplees en parallele.

Heller F., Rev. gen. elec., 42, 163 (1937)

La stabilite des phenomenes transitoires de caractere electromecanique dans le
fonctionnement en parallele des machines synchrones.

Holm J. G., Trans AIEE, 61, 893 (1942).

Stability study of a-c power-transmission systems.

Horsley W. D., Journ. Inst. Electr. Eng. 77, 577 (1935).

The stability characteristics of alternators and of large interconnected systems.
Kimbark E. W., Power System Stability, vol. 1-3, New York, 1948.
Langlois-Berthelot R., Rev. gen. elec., 53, 269 (1944).

Sur les puissances limites d’une ligne de transport d’energie electrique dans un
reseau maille d’interconnexion.

Magnusson P. C., Trans. AIEE, 66, 747 (1947).

The transient-energy method of calculating stability.

Miillcr-Strobel J., Arch. Electrotechn., 36, 32 (1942).

Lastverteilung auf Synchrongencratoren in vermaschten Netzen.
Riidenberg R., Elektrotechn. Zs., 970 (1929).

Das Verhalten elektrischer Kraftwerke und Netze beim Zusammenschluss.
Riidenberg R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 11, No 1, 69 (1932).

Gemeinschaftsschwingungen gekuppelter Synchronkraftwerke mit asynchronen
N ctzcn

Sarfert W., Forschungsarb. Ing., 61 (1908).

L'ber das Schwingen der Wechselstrommaschinen im Parallelbetrieb.

W anger W., Brown Boveri Mitt., December (1945).

Systematische Versuche uber Schnell-Wiedereinschaltung im Netz der Kraftwerke
Gosgen und Laufenburg (содержит библиографию)

Committee Report, Electr. Eng , 56, 261 (1937).

First report of power system stability (содержит библиографию).

18 p. Рюденберг
Глава 23

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕГУЛЯТОРОВ СКОРОСТИ
ПЕРВИЧНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ В ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Когда скорость вращения какого-либо генератора увеличивается или
уменьшается на некоторую величину, начинает действовать регулятор ско-
рости первичного двигателя. Регулятор изменяет впуск рабочего вещества
в первичный двигатель таким образом, чтобы восстановилась прежняя ско-
рость агрегата. Время, необходимое для завершения этого процесса, обычно
настолько велико, что он не оказывает заметного влияния на явления,
рассмотренные в предшествующих главах. Изменение скорости генераторов
под действием регуляторов и постепенное установление новых равновесных
состояний начинается только по прошествии времени, равного нескольким
периодам электромеханических колебаний. В процессе установления нового
режима происходит перераспределение электрической нагрузки между от-
дельными генераторами, вызываемое изменением поступления энергии в их
первичные двигатели.

§ 1. Первичный двигатель с регулятором скорости непрямого действия.
Рассмотрим в первую очередь поведение отдельного агрегата, состоящего из
первичного двигателя и синхронного генератора (фиг. 241), который работает

Фпг. 241.

на сеть. Скорость вращения первичного двигателя регулируется при помощи
регулятора непрямого действия с сервомотором, управляемым золотником.
Такая система регулирования обычно применяется в паровых и гидравли-
ческих турбинах. На фиг. 242 приведена зависимость скорости вращения
агрегата от отдаваемой мощности.

Избыток мощности первичного двигателя N сообщает ускорение агрега-
ту, скорость которого может отличаться о г скорости, соответствующей
состоянию равновесия. Обозначим относительное отклонение скорости через а
(а < 0, когда N > 0). Если электрическая нагрузка генератора остается
неизменной, то уравнение баланса мощностей принимает следующий вид:

N + G~=0. (23.1)
Здесь, как и раньше, G означает величину, которая была определена
выше формулой (22.5). Благодаря наличию регулятора скорости коли-
чество энергии, поступающей в первичный двигатель за единицу времени,
изменяется пропорционально относительному отклонению скорости а, т. с.

dN _ No
dt ~ °’

(23.2)

При этом обычно считают, что коэффициент прп с в правой части

уравнения (23.2) пропорционален номинальной
но пропорционален произведению коэффициента
неравномерности 8 (указанного на фиг. 242)1) и
заданной величины времени сервомотора Т&, т. е.
времени полного закрытия впускного клапана
двигателя.

Для стабилизации системы регулирования
обычно применяется обратная связь между смеще-
нием золотника п смещением поршня сервомотора,
пропорциональным притоку энергии к первич-
ному двигателю. Эта обратная связь также
показана на фиг. 241. Таким образом, действие
регуляторов скорости в большинстве практиче-
ских случаев описывается следующим дифферен-

мощности No и обрат-

ен г. 242.

цпальным уравнением:

dN__ N

4t~~iTs° Ts

(23.3)

Коэффициент неравномерности 8 обычно лежит в пределах от 2 до 8%,
а время сервомотора Ts составляет 0,5 — 10 сек.

Подставив в уравненпе (23.3) соотношение (23.1) для избытка мощно-
сти первичного двигателя Д', получаем дифференциальное уравнение для
отклонения скорости первичного двигателя с регулятором

Ё^д-J rfc+JYo_0 = o. (23.4)

dt2 ' 7's rfZ1 bTsG ' 7

Решением этого уравнения будет затухающая гармоническая функция

временп

а = Fe~vllz cos It,

(23.5)

где F— максимальное относительное отклонение скорости от значения,
соответствующего установившемуся режиму. Воспользовавшись выражением
(22.5) для G и пренебрегая незначительной разностью между Д'о и Ро,.
получаем соответственно следующие выражения для собственной частоты
колебании скорости К и для коэффициента затухания р/2:

(23.6)

(23.7)

Для получения закона изменения мощности, подводимой к первичному
двигателю, достаточно подставить в уравнение (23.1) производную вы-
ражения (23.5). Для некоторого среднего первичного двигателя можно
принять, что коэффициент неравномерности 8 = 5%, время сервомотора

11 Коэффициентом неравномерности, или статизмом, называется изменение числа
оборотов агрегата, соответствующее изменению мощности от нуля до номинальной, от-
несенное к номинальному числу оборотов. —Прим. ред.
Ts = 1,5 сек. и постоянная времени разгона (с учетом инерционной массы
генератора) 'Та = 8 сек. Тогда коэффициент затухания

а собственная частота

). = \/ =--г — О,ЗЗ2 = 1/1,67 — 0,11 = 1,25 в 2т. сек., или 0,2 гц.
V 5-1,5-8 г '

У большинства агрегатов затухание незначительно и, следовательно,
мало влияет на собственную частоту X [см. выражение (23.6)]. Поэтому член
Л Г!\ в уравнении (23.3), характеризующий затухание, пе имеет сущест-
венного значения и им можно пренебречь. Таким образом, для определе-
ния частоты колебании мощности можно пользоваться приближенным
уравнением (23.2), которое обеспечивает достаточную точность. Колебания,
вызываемые регуляторами, происходят со значительно меньшей частотой,
чем рассмотренные ранее свободные электромеханические колебания элек-
трических машин. Поэтому электрические процессы оказывают на эти коле-
бания самое незначительное влияние. На этом основании мы будем в даль-
нейшем предполагать, что все генераторы и электрические двигатели системы
жестко ’вязаны между собой сетью.

§ 2. Колебания мощности в электроэнергетической системе. В энерге-
тической системе (фиг. 243) ни один первичный двигатель не может коле-
баться независимо от других, так как его колебания вызывают медленные
изменения электрической мощности и часто-

Фиг. 243.

ты, распространяющиеся по всей системе.
Таким образом, каждый колеблющийся
агрегат возбуждает колебания всех остальных
агрегатов и электродвигателей системы Это
относится не только к тем машинам, которые
установлены на той же электрической стан-
ции, но и к тем, которые установлены в
отдаленных точках системы.

Переменная механическая мощность N,
развиваемая первичным двигателем каж-
дого генератора, уравновешивается отдавае-
мой им электрической мощностью Р и при-
ращением кинетической энергии ротора
агрегата за единицу времени1’.

Рассматривая только отклонения от состояния равновесия, наклады-

вающиеся на установившиеся величины, получаем уравнение

A’ + Gj-4-Р = 0,
at

(23.8)

представляющее собой обобщение уравнения (23.1). Отсюда получаем урав-
нение равновесия мощностей всех первичных двигателей и генераторов
спстемы

27v4-sg4°+s/’=0’ <23-9)

где Gg пропорциональна постоянной инерции g-ro генератора. Производная
da/dt одинакова для всех агрегатов системы, жестко связанных между собой

Это утверждение справедливо, если пренебречь механическими и электрическими
потерями в самом генераторе. — Прим. ред.
общей электрической сетью, и, следовательно, ее можно вынести за знак
суммы.

Изменение суммарной электрической мощности всех генераторов Р при-
водит к изменению кинетической энергии всех присоединенных асинхронных
двигателей, т. е. вызывает их ускорение или торможение. Мы пренебре-
гаем небольшими изменениями других нагрузок сети в зависимости от
частоты, так как они создают лишь незначительное дополнительное успо-
коение. Таким образом, уравнение баланса мощностей для электрической
сети имеет вид

(23.10)

где Gn пропорциональна постоянной инерции м-го двигателя, включенного
в сеть. Подставляя выражение для в уравнение (23.9), получаем
общее уравнение баланса мощностей, определяющее действительное изме-
нение частоты в системе

2 yV+ (2 GB+ 2 й=°- <2311>

Так как отклонения скорости с для всех машин равны между собой,
то суммарное изменение количества энергии, поступающей в единицу вре-
мени во все первичные двигатели, на основании уравнения (23.2) опреде-
лится следующим образом:

2^ = 2Й°- (23Л2)

□то уравнение выражает суммарное действие всех сервомоторов. Отно-
шение 7VO/B7’S является мерой скорости регулирования (выраженной в
квт/сек), т. е. характеризует ту скорость, с которой каждый отдельный
агрегат стремится к общему установившемуся состоянию системы (о = 0). Для
различных агрегатов это отношение может принимать самые разнообраз-
ные значения, так как оно зависит не только от их номинальной мощ-
ности Л 0, но п от произведения коэффициента неравномерности о и вре-
мени сервомотора Ра. Как видно из уравнения (23.12), сумма всех этих
отношений определяет увеличение механической мощности, подводимой
ко всем генераторам системы.

Как уравнение (23.11), так и уравнение (23.12) связывают отклоне-
ния подводимой мощности с отклонением скорости с от их установив-
шихся значений, причем оба уравнения распространяются на всю сово-
купность параллельно работающих машин. Из этих уравнений получаем
дифференциальное уравнение для отклонения скорости, общего для всей
системы,

(23.13)

Аналогичное уравнение можно получить для отклонения суммарной под-
водимой мощности. Отсюда следует, что свободные колебания скорости
или частоты происходят по закону

а == F cos (Кг 7), (23.14)

где F — амплитуда, 7 — начальная фаза, а к — частота колебаний всей си-
стемы в целом, равная

t_./zs<w (23.15)

2 <t,j + 2
Воспользовавшись соотношениями (23.11) и (23.14), найдем закон измене-
ния суммарной мощности всех первичных двигателей:

£ А = KF (2<?ff + 2Gn) sin (X/ + 7) = sin (Kt + 7). (23.16)

Из уравнения (23.10) можно получить закон изменения суммарной
электрической мощности, которой обмениваются между собой все генера-
торы и все электродвигатели системы

= KF %Gn sin (U +у). (23.17)

Таким образом, отношение амплитуд колебаний суммарной электри-
ческой мощности п суммарной механической мощности равно отношению
кинетической энергии всех электродвигателей к сумме кинетической энергии
всех генераторов и электродвигателей. Отношение амплитуды колебаний
механической мощности к амплитуде колебаний частоты равно

= X (£Gg + SG„) = у (SGg + SGn) 2 . (23.18)

Амплитуда колебаний электрической мощности будет меньше в отноше-
нии SGn/(SG„+ SGn).

Из того обстоятельства, что для всех машин, объединенных в электро-
энергетическую систему, получается единственное дифференциальное урав-
нение, следует, что под совместным действием регуляторов скорости всех
первичных двигателей вся система колеблется как одно целое. При этом
происходит периодическое изменение энергии вращающихся масс всей
системы, с одной стороны, и расхода энергии в первичных двигателях,
с другой (независимо от того, являются ли двигатели паровыми, гидрав-
лическими или нефтяными). Этим рассмотренные здесь колебания отлп
чаются от рассмотренных ранее более быстрых синхронизационных ко-
лебаний отдельных генераторов или электрических двигателей, при кото-
рых происходит только обмен энергией между вращающимися массами
различных машин.

Рассмотрим для примера энергетическую систему, содержащую толь-
ко три генераторных агрегата с номинальными мощностями No — 5, 10 и
20лгевт и с постоянными времени разгона Та = 8, 5 и 20 сек.; коэффициенты
неравномерности регуляторов скорости 6 = 5, 3 и 6%; время сервомоторов
7\. = 2, 1 и 4 сек.; суммарная инерционная постоянная всех двигателей
системы = 500 мгвт сек.

Частота колебаний всей системы, вызываемых совместным действием
регуляторов скорости, равна

5 ' 10 ' 20“

0,05-2 + 0,03-1 + 0,06-4 1/50 + 333 + 83

8-5 + 5-1О + 2О-20 + 5ОО ~ Г 40 + 50 + 400 + 500—

= 1/^1^1 = 0,686 в 2z сек., или 0,109 гц.

При независимой работе отдельных агрегатов частоты колебаний, вызы-
ваемых действием их собственных регуляторов, были бы равны:

/+б

= 4q=1,12 в 2т. сек.,

Х2 = ]/^ = 2,58 в 2т. сек.,

X, = l/"= 0,454 в 2т. сек.

6 У 400
Этот пример показывает, что второй агрегат (с номинальной мощно-
стью 10 мгвт), снабженный регулятором с малым коэффициентом неравно-
мерности и сервомотором с малым временем, развивает наибольшую вос-
станавливающую силу, более чем в 4 раза превосходящую восстанавли-
вающую силу, развиваемую агрегатом с номинальной мощностью 20 мгвт.
Инерционность системы создается главным образом наиболее мощным
агрегатом (20 мгвт) и всей совокупностью двигателей, благодаря кото-
рым значительно уменьшается частота колебаний системы. Измерения,
произведенные в энергетических системах, показали, что постоянная вре-
мени разгона двигателей Та, отнесенная к мощности работающих гене-
раторов, составляет от 10 до 20 сек. Столь большая величина обусловле-
на недогрузкой большинства двигателей системы. Если в такой системе
частота отклонится от своего номинального значения, то ее восстановле-
ние наступит лишь после прекращения свободных колебаний, частота
которых низка и равна 0,109 гц, т. е. период составляет почти 10 сек.

Изменение суммарной мощности системы вызывает некоторое

отклонение скорости и частоты. Степень участия различных первичных
двигателей в изменении мощности прямо пропорциональна их скоростям
регулирования (выражаемым в квт/сек) [см. уравнения (23.2) и (23.12)].
Таким образом, каждый агрегат принимает на себя под действием своего
регулятора определенную часть изменения мощности системы. Эту часть
можно определить путем деления друг на друга и интегрирования урав-
нений (23.2) и (23.12). В результате получаем

(23.19)
S(A0/6Ts)

Этот закон распределения мощности совершенно непохож на ранее най-
денные законы, выраженные формулами (22.30) и (22.32).

Чтобы толчок нагрузки распределился между различными агрегата-
ми пропорционально их номинальным мощностям, необходимо так на-
строить регуляторы скорости и сервомоторы, чтобы соответствующие
произведения S7’s оказались равными между собой. Однако до того, как
вступают в действие регуляторы, толчок электрической нагрузки в си-
стеме успевает распределиться между различными синхронными машинами
пропорционально их кинетическим энергиям. Различие между прежним
и новым распределениями нагрузки вызывает переток мощностей между
различными машинами, что приводит к колебаниям электрической мощ-
ности отдельных генераторов. На основании соотношений (23.19) и (22.32)
амплитуда этих колебаний равна

(23-20>

Колебания мощности распространяются по всей сети и происходят
с общей частотой, определяемой формулой (23.15). Амплитуда этих коле-
баний у различных генераторов может быть положительной или отрица-
тельной, в зависимости от сравнительной величины первого и второго
членов в квадратных скобках выражения (23.20).

Если бы к сети не были подключены двигатели, то величина, стоя-
щая в скобках, могла бы оказаться равной нулю. Для этого нужно, чтобы
для всех первичных двигателей системы выполнялись условия

<2321>

Это означало бы в соответствии с соотношением (23.6), что собственные
частоты колебаний, вызываемых регуляторами, равны между собой для
всех первичных двигателей, взятых в отдельности.
Даже при наличии больших инерционных масс электродвигателей ука-
занная настройка регуляторов имеет то преимущество, что изменение элек-
трической мощности всех синхронных генераторов происходит пропорпио-
нальпо их кинетическим энергиям. В этом можно убедиться, если пере-
писать выражение (23.20) следующим образом:

~ Г У (-^o/STs) N0/bTs I Ga

Р = 0/ 87----9-------------V 7V. (23.22)

LSG«+£G-‘ GS J £ UVo'?/G) V

При выполнении условия (23.21) величина, стоящая в выражении
(23.22) в квадратных скобках, одинакова для всех машин.

Отсюда следует, что синхронные генераторы и их первичные двига-
тели будут совершать медленные колебания, вызванные толчком нагруз-
ки, совпадающие по фазе. Кроме того, колебания генераторов будут совпадать
по фазе с колебаниями электродвигателей. При этом амплитуды коле-
баний мощности различных генераторов будут пропорциональны их
постоянным Gq. Такая система будет обладать наибольшей возможной
устойчивостью при сильных колебаниях, возникающих вследствие толчков
нагрузки, а именно, при любом толчке нагрузки в сети ни один из ге-
нераторов не окажется перегруженным и пе выпадет из синхронной ра
боты с другими генераторами системы.

При произвольной настройке регуляторов скорости вторые члены в
квадратных скобках выражения (23.22) могут сильно различаться между
собой для отдельных машин.

Наибольшей опасности подвергаются агрегаты, характеризующиеся
наименьшими произведениями ZTsTa, т. е. наибольшей «жесткой» ча-
стотой колебаний, вызываемых действием регуляторов. Для трех
агрегатов, рассмотренных в последнем примере, соответствующие значения
STs7a равны 5-2-8 = 80; 3-1-5 = 15 и 6-4-20 = 480. Столь сильное разли-
чие менаду значениями приводит к весьма неравномерному распре-
делению любого толчка нагрузки между машинами. Резкое различие
между «жесткими» частотами колебаний, вызываемых действием регуля-
торов отдельных агрегатов, приводящее к неуравновешенному распре-
делению нагрузок в переходном режиме, встречается особенно часто в тех
случаях, когда тепло- и гидроэлектростанции входят в одну систему.

§ 3. Колебания частоты после толчка нагрузки. После толчка на-
грузки в сети все первичные двигатели системы совместно совершают
переход к новому состоянию равновесия, характеризующемуся другими
значениями мощности, скорости и частоты. В соответствии с фиг. 242
конечное отклонение мощности каждой машины от ее значения в новом
равновесном состоянии равно

△7V = -^. (23.23)

Сумма всех приращений мощности определяется полной величиной толч-
ка механической мощности N, который несколько больше толчка электри-
ческой мощности Р в сети (на величину потерь). Так как скорости вра-
щения всех машин уменьшаются на одну и ту же величину Ди, то

^=^«1+^+...)ди=2ф°- (23.24)

В этой формуле одинаковое для всех машин относительное изменение
скорости Д/г заменено относительным изменением частоты с. Величины
△п и а измеряются в процентах, если и величина 6 выражается в про-
центах.

На фпг. 244 дана зависимость «суммарной» мощности всех первичных
двигателей системы от их общей скорости. Из фигуры видно, что толчок
нагрузки N вызывает установившееся изменение скорости

<23'25>

Поэтому на основании формулы (23.23) толчок нагрузки, приходя-
щийся на каждый первичный двигатель, равен

= —-°—N. (23.26)

2 W)

Это соотношение показывает, что в установив1пемся режиме толчок

нагрузки в системе распределяется между

гателями в соответствии с наклоном
статических характеристик регулято-
ров скорости, который измеряется отно-
шением номинальной мощности к коэф-
фициенту неравномерности.

Выше было показано, что самое
лучшее, что может быть достигнуто во
время переходного процесса, — это рас-
пределение толчка нагрузки между раз-
личными агрегатами пропорционально
их кинетическим энергиям, т. е. вели-
чинам G = TaN0. Чтобы паплучшим
образом согласовать переходный процесс

различными первичными дви-

с последующим установившимся

режимом, необходимо, следовательно, выбрать для всех первичных дви-
гателей

Т N

(23.27)

Для этого нужно настроить регуляторы скорости таким образом, чтобы
коэффициенты неравномерности были обратно пропорциональны постоян-
ным времепп разгона соответствующих агрегатов. Так, например, в неко-
торой системе, содержащей разнотипные машины, регуляторы скорости
должны быть настроены следующим образом:

Время разгона агрегата Та, сек. 3 5 7 10 15 20
Коэффициент неравно- мерности Е, % . . . 10 6 4,3 3 2 1,5

Если, в дополнение к этому, желательно обеспечить пропорциональное
распределение нагрузки между агрегатами в течение всего переходного
процесса, т. е. выполнить условие (23.21), то необходимо, чтобы времена
всех сервомоторов Ts были равны между собой.

На фиг. 245 показаны обусловленные регуляторами скорости медленные
колебания мощности и частоты, завершающие процесс перехода системы
к новому установившемуся состоянию. Благодаря этим колебаниям происхо-
дит плавный переход от установившегося состояния, имевшего место до
толчка нагрузки А7, к новому состоянию, устанавливающемуся после
толчка. Толчок нагрузки вызывает изменение скорости с, определяемое
выражением (23.25). Связь между колебаниями механической мощ-
ности и частоты можно найти из выражений (23.14) и (23.16). Этими же
выражениями можно воспользоваться и для определения начальных
амплитуд колебаний. Вследствие наличия успокоения колебания мощности
и частоты постепенно затухают (см. фиг. 245). Начальная амплитуда

Ф и г. 245.

колебаний (в момент £ = 0) определяется значениями толчка нагрузки и
изменения частоты. На основании выражений (23.14) и (23.16) отклонение
частоты и мощности соответственно равны

а = F cos у, (23.28)

7V = X/’(SGf; + SGn)sinT. (23.29)

Поделив эти выражения, получим начальную фазу колебаний, вы-
званных действием регуляторов скорости:

N У (7V0/B)

te т =-------------= — (23 30)

а(Уср+£с„) K(3g,+2c„)2(w’

В последнем выражении вместо величин TV/а и К подставлены их
значения, взятые из соотношений (23.25) и (23.15).

Таким образом, из соотношения (23.28) можно получить для ампли-
туды колебаний частоты следующее выражение:

р = = = 1 + г<т---С. (23.31)

Эта величина обычно зпачптельно больше, чем установившееся отклоне-
ние частоты а. Если все первичные двигатели системы одинаковы, т. е.
имеют равные времена разгона и снабжены одинаковыми регуляторами
скорости, то в выражении (23.31) номинальные мощности агрегатов со-
кращаются. В результате получается простое выражение

F^V1 ’ <2332>

где Тп — постоянная времени разгона двигателей системы.

Если время сервомотора Ts = 3 сек., коэффициент неравномерности
й = 5% и постоянная времени разгона всей системы (генераторов и дви-
гателей) Та-\-Тп=30 сек., то отношение амплитуды колебаний частоты
к ее установившемуся отклонению равно

F — । f 1 д_ 3,100 — 1 73

~ ~ V 1 1 5-30 “
Таким образом, в течение некоторого времени отклонение частоты
в системе превышает ее установившееся значение, как показано на фиг. 245.
Однако благодаря наличию больших инерционных масс двигателей это
превышение установившегося значения отклонения частоты будет меньше,
чем оно было бы для каждого отдельно взятого агрегата.

Исключая установившееся отклонение частоты из соотношения (23.31)
путем подстановки в него (23.25), получаем формулу, выражающую зави-
симость амплитуды колебаний частоты от величины толчка нагрузки
в системе:

Упрощенное выражение для правой части формулы (23.33), как и ранее,
справедливо только в том случае, когда все двигатели системы одинаковы.

Из этой формулы ясно видно, что малая инерционность машин, большое
значение коэффициента неравномерности и большое время сервомоторов
могут явиться причиной сильных колебаний частоты в системе.

Воспользовавшись соотношением (23.18), можно получить следующее
выражение для амплитуды колебаний механической мощности всех пер-
вичных двигателей системы:

1 У (2ф)г

TV V ------ts +

(23.34)

1 .

Приближенное выражение справедливо, как и прежде, в том случае,
когда все двигатели системы одинаковы. Для рассмотренного выше при-

мера отношение амплитуды к величине толчка нагрузки N равно

5-30

100-3

В 1 = 1,22.

В отличие от амплитуды колебаний частоты амплитуда колебаний
мощности увеличивается при увеличении инерционных масс машин.
Часть энергии этих колебаний, пропорциональная ^Gg, поглощается инер-
ционными массами генераторов, а другая часть, пропорциональная ^Gn,
распространяется по сети и поглощается инерционными массами асин-
хронных двигателей.

На фиг. 246 приведены результаты эксперимента, проведенного в круп-
ной энергетической системе, содержащей большое число генераторов
с суммарной номинальной мощностью 800 мгва. Отрицательный толчок
нагрузки, равный 24мгет, был создан внезапным отключением одного
из работавших генераторов. В результате толчка возникли затухающие
колебания частоты с периодом порядка 23 сек. (Х = 0,274 в 2- сек.),
обусловленные совместным действием всех регуляторов скорости системы.
Относительная амплитуда этих колебаний F оказалась равной —0,24%
от нормальной частоты. На двух генераторах, установленных на удален-
ной электрической станции, были отмечены медленные колебания мощ-
ности, имеющие одинаковую частоту, но различные амплитуды. Кроме
того, в начале переходного процесса имели место более быстрые колебания
мощности этих генераторов соответственно с периодами 1,57 и 1,40 сек.
Быстрые колебания были вызваны различием синхронизирующих мощно-
стей генераторов.

ЛИТЕРАТУРА

Aigner V., Elektrotechn u Maschinenhau, 61, 437 (1943).

Regelung von Kraftwerken ini Verbundbetrieb.

Almiras P., Rev. gen elec., 56, 47 (1947).

Etude de la stability des groupes generateurs hydroelectriques iuterconnectes en
tenant compte de 1’inertie de 1'eau dans ]es conduites forcees.

В ar billion L., CIGRE, 3, 919 (1931).

Repercussion des variations de charge d’un reseau sur les groupes electrogenes des
cent гл les

Barnett J. W., Trans. AIEE, 67, 1557 (1948).

Speed governing design considerations for multi-valve condensing steam turbine-
generators.

Bauersfeld W., Die automatische Regulierung der Turbinen, Berlin, 1905.

Bauman II. A., Manz 0. W., McCormack J. E., Seeley H. B.,
Trans AIEE, 60, 541 (1941).

System load swings.

Bogateff K., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 60, 547 (1942).

Untersuchung des dynamischen Leistungsregelungsproblems bei Synchronaggre-
gaten.

Buell R. C., Caughey R J., Hunter E. M, Marquis V. M, Trans.
AIEE, 354 (1931).

Governor performance during system disturbances.

Concordia C., Crary S. B., Parker E. E., Trans. AIEE, 60, 559 (1941).
Effect of prime-mover speed governor characteristics on power-system frequency
variations and tie-line power swings.

С о n с о r d i a C., S h о 11 II. S., W e у g a n d t C. N., Trans. AIEE, 61, 306 (1942).
Control of tie-line power swings.

Davis A., Trans. ASME, 62, 207 (1940).

The field of system governing.

Dougherty J. J., Hayward A. P., Monteith A. C., G ri scorn S. B.,
Trans. AIEE, 60, 731 (1941).

Power system governing.

Estrada H., D г у a r H A., Trans. ASME, 62, 221 (1940).

Regulation of system load and frequency.

Foppl A., Elektrotechn. Zs., 23, 59 (1902).

Das Pendeln parallelgeschalteter Maschinen.

Friedlander E., VDE-Fachberichte, 120 (1931).

Requlierung parallel arbeitender Maschinen in frequenzhaltenden Kraftwerken.
Gheorghiu J. S., Rev. gen. elec., 29, 577 (1931).

Le probleme general de la repartition des puissances actives et reactives dans la
marche en parallele des usines generatrices (содержит библиографию).

Keller R., CIGRE, No 324 (1948).

Simultaneous frequency and voltage regulation on generator groups.
Langrehr Н., VDE-Fachberichte, 133 (1931).

Versuche uber Leistungs- und Frequenzregelung in Kraftwerk Kiel.

McCann G. D., Osbon W. O., Kirschbaum H. S., Trans. AIEE, 66, 1243
(1947).

General analysis of speed regulators under impact loads.

McClure J. В., C a u g h e у R. J., Trans. AIEE, 60, 147 (1941).

Prime-mover speed governors for interconnected systems.

McCormack J.E., Lombard R. J., Trans. AIEE, 61, 623 (1942).

Frequency control of load swings.

Meyer R., Elektrotechn u. Maschinenbau, 57, 305 (1939).

Die Stabilitat der Drehzahlregler von Kolbenmaschinensatzen bei Parallellauf
der mit ihnen gekuppelten Synchron Generatoren.

Mokesch R., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 60, 308 (1942).

Regelfragen in einem Grosskraftwerk.

Poschl Th., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 54, 97 (1936).

Ober die Grenzkurven in der Reglertheorie.

Purcell T. E., Hayward A. P., Trans. AIEE, 49, 715 (1930).

Operating characteristics of turbine governors.

Reinhardt F., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 18, No 1, 24 (1939).

Der Parallelbetrieh von Synchrongeneratoren mit Kraftmaschinenreglern konstan-
ler Verzogerungszeit.

Riidenberg R., Trans. AIEE, 62, 791 (1943).

The frequencies of natural power oscillations in interconnected generating and
distribution systems.

Schenkel M., Wiss. Veroffentl Siemens-Konzern, 9, No 1, 187 (1930).

Die Beeinflussung des Parallelbetriebes von Generatoren mit Kolbenniaschinenan-
trieb durch die Regler der Antriebsmaschinen.

S c h w e n d n e r A. F., Trans. ASME, 62, 199 (1940).

Constant system speed and the steam-turbine governor.

S p о r n P., Marquis V. M., Electr. World, 99, 618 (1932).

Frequency and tie-line load control.

Stone M... Trans. AIEE, 52, 332 (1933).

Parallel operation of a-c generators.

Warren H. E., Frans. AIEE, 67, 571 (1948).

Precise turbine governor.

Zenner H., Elektrizitatswirtschaft, June (1932).

Uber Entlastungsversuche und Anderungen der Regelorgane der Dampfturbinen
in den Grosskraftwerken Bohlen und Hirschfelde.

National Electric Light Association, Hydraulic turbine governors and frequency control,
NELA Puhi., 13 (1930) (содержит библиографию).
IV. ВЛИЯНИЕ ЗЕМЛИ

Глава 24

ТОКИ ЗАМЫКАНИЯ НА ЗЕМЛЮ В СИСТЕМАХ
С ИЗОЛИРОВАННОЙ НЕЙТРАЛЬЮ

Случайное соединение одного из проводов электрической сети с землей
может явиться причиной появления значительного тока, протекающего
через место аварии и распространяющегося в земле. Если в сети имеется
вторая заземленная точка, например, заземленная нейтраль системы, то
ток, текущий в земле, направляется от места аварии к этому заземляющему
электроду. В сетях постоянного тока с изолированной нейтралью токи корот-
кого замыкания на землю возникают при заземлении минимум двух точек сети.
В сетях же переменного тока протекающие в земле токи могут возвращаться
в генераторы через емкости здоровых проводов относительно земли. Поэтому
в таких сетях могут возникать значительные токи даже при замыкании на
землю только в одной точке.

При эксплуатации крупных электрических систем время от времени
происходят такие однополюсные короткие замыкания на землю. Они могут
вызываться обрывом проводов, перекрытием или пробоем изоляции, нако-
плением на изоляторах пыли или грязи, а также птицами, ветвями деревьев
и другими посторонними предметами. Токи однополюсного короткого замы-
кания распространяются на большие расстояния как по проводам сети, так
и в земле и могут служить причиной тяжелых аварий в системе.

§ 1. Распределение токов в сети. На фиг. 247 зигзагообразной стрелкой
отмечено место металлического замыкания на землю одного провода одно-
фазной нсзаземлепной сети переменного тока; пунктирной линией показан
путь тока, возникающего при такой
аварии. От источника этот ток идет
в том же направлении, как и нормаль-
ный нагрузочный ток сети, проходит
по больному проводу и в месте аварии
попадает в землю. В земле он распро-
страняется под прогодами линии, за-
тем проходит в виде тока смещения с

поверхности земли по здоровому проводу через его емкость С относительно
земли и, далее, возвращается к источнику. Ток короткого замыкания на
землю не протекает через емкость с между проводами. Следовательно, если
ток короткого замыкания на землю не настолько велик, чтобы заметно по-
влиять на напряжение между проводами, то ток, текущий через емкость с,
не меняется. Напротив, токи, проходящие через емкости С обоих проводов
относительно земли, меняются в сильной степени. Напряжение больного
провода относптельно земли становится равным нулю, и через соответствую-
щую емкость ток не протекает. Но теперь к емкости здорового провода отно-
сительно земли приложено напряжение, вдвое большее, чем до аварии,
и через нее, следовательно, протекает вдвое больший емкостный ток, являю-
щийся вместе с тем током замыкания на землю.

Ф и г. 247.
287

В воздушной пли кабельной сетях умеренной протяженности можно пре-
небречь индуктивностью проводов по сравнению с емкостью контура токов
замыкания на землю. Влияние индуктивности рассеяния генераторов и транс-
форматоров на емкостные токи замыкания на землю также незначительно.
Таким образом, если пренебречь величинами индуктивного и активного
сопротивлений контура по сравнению с величиной его емкостного сопротив-
ления, то, как можно видеть из фиг. 247, ток замыкания на землю будет
определяться только емкостью здорового провода относительно земли.
Следовательно, в однофазных сетях с угловой частотой iu и напряжением Е
ток короткого замыкания на землю равен

1е = шСЕ. (24.1)

Этот ток вдвое больше емкостного тока на землю, протекающего по сети в
нормальном режиме. Следовательно, при замыкании на землю емкостная
нагрузка генератора существенно возрастает.

Ток замыкания на землю можно определить и другим способом, осно-
ванным па принципе наложения. Этот способ упрощает расчеты если не для
однофазных, то, во всяком случае, для трехфазных систем. При глухом
заземлении какой-либо точки сети напряжение между больным проводом
и землей изменяется в этом месте от величины Е', соответствовавшей нормаль-
ному состоянию, до нуля. Следовательно, в точке замыкания на землю на
нормальную систему напряжений и токов накладывается напряжение—Е'.
Суммарное напряжение в точке заземления будет, таким образом, равно
нулю. Отсюда следует, что все различие между нормальным режимом сети
и ее режимом после аварии обусловлено действием напряжения—Е'. Это
напряжение изменяется по гармоническому закону точно так же, как и на-
пряжение в системе при нормальном режиме, и вызывает появление пере-
менного тока в точке заземления. Этот ток протекает в земле, проходит через
обе емкости С (см. фиг. 247) и оттуда возвращается к месту заземления но
больному проводу напрямик, а по здоровому—через генератор. Так как
в однофазной сети нормальное напряжение в точке заземления равно Е'=Е12,
а наложенный ток проходит через две параллельные емкости 2С, то его вели-
чина снова определяется выражением (24.1). Та часть этого тока, которая
проходит через емкость заземленного провода, полностью уничтожает проте-
кавший там емкостный ток нормального режима, другая часть, проходя через
емкость здорового провода, складывается с нормальным емкостным током,
удваивая его.

Аналогично обстоит дело при замыкании на землю в трехфазной сети,
показанной на фиг. 248. В нормальных условиях в месте аварии между про-
водом и землей существует
фазное напряжение Е'. При-
ложив дополнительно напря-
жение — Е', получим в этом
месте нулевое результирующее
напряжение, что соответствует
металлическому соединению

провода с землей. Под дейст- Фиг. 248.

вием напряжения —Е' возни-
кает ток замыкания на землю /е, который протекает по земле и за-
тем распределяется по трем параллельным ветвям, проходя через емкости
всех проводов относительно земли. Этот ток возвращается к месту зазем-
ления—напрямик по больному проводу и через обмотки трансформатора по
обоим здоровым проводам. В больном проводе ток замыкания на землю ком-
пенсирует нормальный емкостный ток на землю; в здоровых проводах он
складывается с нормальным емкостным током на землю. Таким образом,

аварийный ток представляет собой дополнительную однофазную нагрузку
трансформатора и питающего генератора.

В трехфазной сети, изображенной на фиг. 248, ток замыкания на землю
равен

7е = ЗшСЕ' = /3 шСЕ, (24.2)

где Е—линейное напряжение сети.

Следовательно, в трехфазных сетях ток короткого замыкания на землю
втрое больше емкостного тока на землю каждого из здоровых проводов.

Току замыкания на землю соответствует однофазная реактивная
мощность

Q = Е’Ц = ЗшСЕ'2 = шСЕ2. (24.3)

Эта реактивная мощность должна доставляться генерирующей станцией
дополнительно к обычной нормальной нагрузке.

На фпг. 249 показано пространственное распределение тока замыкания
на землю в болвном и здоровых проводах трехфазной сети и в земле. То-

ки смещения распределяются
равномерно по длине прово-
дов и, следовательно, в каж-
дом из них ток возрастает по
линейному закону, начиная
с отдаленного конца. В боль-
ном проводе имеет место ска-
чок тока в точке заземления.
Справа от этой точки ток из-
меняется так же, как и в здо-
ровых проводах. Слева от
заземленной точки ток прите-
кает к месту’ аварии и, следо-
вательно, возрастает в про-
тивоположном направлении.
Кроме того, по этому участку

возвращаются к заземленной точке токи, протекающие по здоровым проводам.
В земле часть тока растекается вправо вдоль линии, а другая часть—влево,
возрастая по линейному закону от обоих концов линии к месту аварии
(см. фиг. 249) и образуя зеркальное изображение суммы токов в проводах.
Токи замыкания на землю накладываются на нормальные токи сети,
состоящие из емкостных токов доаварийного режима и нормальных токов
нагрузки. В отличие от нормальных емкостных токов, которые при симмет-
рии всех проводов сети создают симметричную трехфазную нагрузку генери-
рующей станции, токи замыкания на землю создают дополнительную одно-
фазную нагрузку и вызывают искажение системы напряжений и системы
токов сети.

Не всегда можно пренебрегать индуктивностью проводов. Это зависит
от собственной частоты цепи, ио которой протекает ток короткого замыкания
на землю, т. е. от

УТс '

(24-4)

Индуктивность проводов не будет влиять на установиьшийся режим
только в том случае, когда собственная частота v велика по сравнению с рабо-
чей частотой сети. В противном случае при замыкании на землю могут воз-
никнуть опасные резонансные явления. Очень протяженные сети с суммар-
ной длиной линий порядка 750 км (подземные кабельные сети) или 1500 км
(воздушные сети), имеют настолько большую индуктивность, что их собствен-
ная частота приближается к 50 гц. Однако сети такой пиотяженности встре-
чаются очень редко; они резонировали бы на рабочей частоте даже без за-
мыкания на землю.

В сетях смешанного типа, содержащих как подземные кабели, так и воз-
душные линии, низкие собственные частоты получаются при значительно мень-
шей длине линий. На фиг. 250 схематически представлена такая трехфазная
сеть. Если замыкание на землю одного из проводов воздушной линии произо
шло на значительном расстоянии от кабельной сети, то образуется цепь тока,
показанная на фигуре стрелками. Индуктивность этой цепи определяется в ос-
новном индуктивностью больного воздушного провода, к которой добавляется
индуктивность рассеяния .трансформаторов и машин. Емкость определяется
главным образом емкостью кабельной сети относительно земли (емкости всех
трех фаз включены параллельно). Так как ток замыкания на землю создается
переменным напряжением —Е', равным по величине и противоположным

по знаку фазному напряжению Е', то можно найти величину возникающих
при этом напряжений. Если цепь не слишком близка к резонансу, то можно
пренебречь затуханием, обусловленным активным сопротивлением; тогда на
основании выражения (4.14) напряжение на емкости будет равно

(24.5)

Соответствующий этому напряжению фактический ток замыкания на землю

равен

(24.6)

Этот ток значительно возрастает в случае резонанса.

При внезапном замыкании на землю возникает кратковременное пере-
ходное напряжение, величина которого может превысить определенное
выше значение почти в 2 раза, аналогично тому, как это бывает при
включении емкостной или колебательной цепи (см. гл 2 и 6).

Пусть трехфазная кабельная сеть с рабочей частотой 50 гц и напря-
жением 10 000 в имеет общую протяженность 250 км\ при напряжении
между проводом и землей 7?'= 5760 в ток замыкания па землю равен
7е=180а. Таким образом, согласно выражению (24.2), емкость сети
относительно земли равна

36 = и, =Ю0 мкф.
314-5760 г

К этой сети присоединена воздушная линия, в которой происходит глухое
замыкание на землю. Расстояние от места замыкания до стыка кабельной
и воздушной линий составляет ЗОклг, и этому участку соответствует
19 Р. Рюденберг
индуктивность примерно 75 мгн. Следовательно, цепь тока короткого
замыкания имеет собственную частоту

= 365 в 2 тс сек., или / = 5йг^.

V V 75-10-3-100-10-6

Полученное значение близко к рабочей частоте. Отсюда следует, что на
индуктивности и на емкости, а стало быть, и в значительной части
сети возникают большие резонансные напряжения, которые накладываются
на нормальное напряжение. Согласно выражению (24.5), избыточное
напряжение, обусловленное замыканием на землю, равно

10000

= 22600 в,

т. е. оно более чем вдвое превышает напряжение сети. Вскоре после
возникновения замыкания на землю избыточное напряжение может
почти в 2 раза превысить эту величину за счет переходного процесса и,

возможно, вызовет пробой изоляции кабельной сети. Согласно соотноше-
нию (24.6), ток замыкания в месте аварии будет равен

Следовательно, ток замыкания почти в 4 раза превышает нормальный
емкостный ток кабельной сети.

Для предотвращения таких опасных режимов, которые могут возникать
при неблагоприятном местоположении точки замыкания па землю в воз-
душной сети, последнюю следует электрически изолировать от кабельной
сети при помощи трансформатора с коэффициентом трансформации 1:1.
При наличии такого разделительного трансформатора токи замыкания
на землю, возникающие в одной части сети, не попадают в другую ее
часть.

В сетях, содержащих только воздушные линии или только подземные
кабели, взаимодействие емкости проводов относительно земли и индуктив-
ности рассеяния трансформаторов и машин приводит к относительно высоким
собственным частотам цепи, по которой протекают токи замыкания на землю.
Резонансные явления и перенапряжения в таких сетях могут возникать в том
случае, если напряжение сети содержит значительные высшие гармоники.
На фиг. 251 отмечены пути токов замыкания па землко, протекающих
в линии передачи, по концам которой включены два трансформатора. До-
полнительное напряжение — Е' между проводом и землей действует на
емкость С одного из проводов относительно земли непосредственно, а на
емкости двух других проводов через индуктивности рассеяния концевых
трансформаторов, включенные параллельно друг другу.
Рассмотрим линию передачи длиной 90к.п с линейным напряжением
35кв и емкостным током на землю 9а. Емкость двух проводов такой
линии относительно земли равна

Э-^З-Ю8

3“ ’ 314-35000

= 0,95 мкф.

Если индуктивность рассеяния каждого из концевых трансформаторов
равна 4%, а индуктивности включенных за ними сетей составляют по 12%,
то суммарная реактивность, отнесенная к номинальному току 100 а,
с каждой стороны равна 16%. Индуктивность двух трансформаторов,
включенных параллельно, равна

1 0-,16-35000-10»

2 314-100

89 мгн.

Собственная частота цепи тока замыкания на землю равна

- — = 3450 в 2п сек.

V 89-10“»-0,95-10-®

Эта величина в 11 раз (3450/314) больше, чем рабочая частота 5огц.
Следовательно, если напряжение сети содержит заметную одиннад-

цатую гармонику, то прп за-
мыкании на землю возникнет
значительное перенапряжение
с этой частотой.

§ 2. Растекание тока в зем-
ле. Если замыкание па землю
происходит в подземном кабеле
вследствие пробоя его изоля-
ции, то ток замыкания проте-
кает по металлической оболоч-
ке кабеля, а из нее постепенно
переходит в землю. Если про-
водимость оболочки не соот-

ветствует величине тока корот-

кого замыкания п в особенности если велики переходные сопротивления
муфт между отдельными участками кабелей, то возможны тяжелые повреж-
дения оболочки, а именно, ее плавление или выгорание. Следовательно,
в протяженных сетях необходимо обеспечить пли превосходный металли-
ческий контакт, или полную изоляцию между оболочками всех отрезков
кабеля.

В воздушных линиях ток замыкания на землю, возникающий при
пробое или перекрытии изолятора, входит в землю через подошву метал-
лической опоры, как показано на фиг. 252. В однородном грунте ток
вблизи места замыкания растекается равномерно по всем радиальным
направлениям как в стороны, так и в глубину. Этот ток создает в земле,
обладающей удельным сопротивлением х, электрическое поле со значи-
тельной напряженностью ё, зависимость которой от расстояния х также
показана на фиг. 252.

Прп равномерном распределении тока, текущего в земле от подошвы
опоры по различным радиальным направлениям, через все концентри-
ческие полусферы проходит один и тот же ток с переменной плотностью J.
Па некотором расстоянии х от центра этот ток в земле равен

ц =

(24.7)

19*
Следовательно, плотность тока равна

1е

2гга'2

(24.8)

а напряженность (градиент) электрического поля определяется выра-
жением

<24-9>

Гок замыкания на землю /е = 100я создает на поверхности сырого грунта
с удельным сопротивлением s=102 ом-м на расстоянии х=\м от опоры
значительное поле, напряженность которого равна

~ 102 • 100 . ,

£ = ’2^-р- = 1600 в!м-

Предположим для простоты, что ток входит в грунт не через подошву
опоры, а через металлическую полусферу с диаметром D, утопленную
в поверхность земли. Это не отражает в точности действительного поло-
жения вещей; однако при помощи простых измерений можно определить
диаметр эквивалентной полусферы для любой формы заземляющего
электрода. Падение напряжения Е, создаваемое током 1е, на сопротивле-
нии грунта между электродом и произвольной точкой внутри земли или
на ее поверхности, находящейся на расстоянии х от центра полусферы,
равно

Е = \ &dx=^ \ = 2.-А') (24.10)

J 2л 1 х2 2л \_ D х J ' '

DI2 D/2

При расстояниях, больших по сравнению с диаметром D, можно прене-
бречь вторым членом в скобках по сравнению с первым. Тогда можно
написать

Е=^ = ШС, (24.11)

где

Л = £ (24.12)

представляет собой величину, не зависящую от тока и от расстояния х
и определяемую только удельным сопротивлением грунта и диаметром
полусферического электрода. Эта величина представляет собой сопротив-
ление заземления, обусловленное концентрацией растекающегося тока
вблизи заземляющего электрода.

Если металлическая опора линии передачи высокого напряжения
установлена на песчаной почве с удельным сопротивлением s =10s ом-м,
то подошва опоры, для которой .диаметр эквивалентной полусферы
D = 3,2 м, имеет сопротивление заземления

/? = А2А = Ю0ол/.
л-0,2

Если та же опора установлена на черноземной или глинистой почве
с меньшим удельным сопротивлением s = 102ол/- м, то сопротивление
заземления равно только Юо.и.

. Аналогичными выражениями определяется напряжение по отношению
к удаленным точкам, а слодовательно, и сопротивление заземления при
любой форме заземляющего электрода. Сопротивление всегда пропорцио-
нально удельному сопротивлению грунта s и обратно пропорционально
основному размеру электрода. Например, сопротивление заземления круглой
плиты диаметром d, уложенной на поверхности земли, равно

г-~. (24.13)

Человек или животное, проходящие вблизи поврежденной опоры линии
передачи, попадают, как изображено на фиг. 253, под напряжение, кото-
рое может нанести им серьезное поражение. Это шаговое напряжение
равно линейному интегралу от напряженности электрического поля, взя-
тому по длине шага 5. Воспользовавшись выражением (24.9), найдем

x+S x+S

es = \ № = ^-е - -S- -- . (24.14)

J 2л J х2 2к x(x+S) '

X X

На расстоянии z от опоры (большом по сравнению с шириной шага),
напряжение уменьшается обратно пропорционально квадрату расстоя-
ния, т. е.

(24.15)

Вблизи опоры шаговое напряжение возрастает и при .x—D]2 достигает
максимального значения

es==V D(D + 2S) sI°' (24.16)

Таким образом, шаговое напряжение зависит не только от тока замыкания
на землю и расстояния до опоры, но и от длины' шага и удельного
сопротивления грунта, повы-
шаясь с ростом этих величин.

Опасность поражения лю-
дей и животных определяется
в действительности не напря-
жением, а протекающим через
их тела током. Этот ток суще-
ственно зависит от сопротивле-
ния самого тела, которое ме-
няется в широких пределах.
Рассмотрим наиболее опасный
случай, когда сопротивление
тела равно нулю и, следова-
тельно, шаговое напряжение
создает в теле наибольший воз-
можный ток. Этот максималь-
ный ток, ответвляющийся от

тока в земле, влияет на распределение напряжения вблизи ног. Ответ-
вленный ток имеет такую величину, что при наложении его па ток
опоры создается такое распределение суммарного тока, при котором напря-
жение между обеими ногами становится равным нулю, как показано на
результирующей (сплошной) кривой напряжения на фиг. 253. Примем,
что в электрическом отношении ступни ног эквивалентны круглым дискам
диаметром d, малым по сравнению с шириной шага. Тогда ток от каждой
ноги растекается в земле по такому же закону, как и ток опоры, а со-
противление заземления каждой ноги определяется выражением (24.13).
Падение напряжения на этом сопротивлении повышает или понижает
напряжение под каждой ногой настолько, что разность потенциалов межд\
ногами исчезает, как показано на фиг. 253.
Падение напряжения на двух сопротивлениях заземления ног г,
создаваемое максимальным током is, проходящим через тело, уравнове-
шивает первоначальное шаговое напряжение eg

2ns = es.

(24.17)

Подставив сюда выражения (24.13) и (24.14), находим ток, текущий через
тело,

• Sd 1е
s х (х + 5) 2л

(24.18)

Отношение этого опасного тока к току, протекающему через опору, зависит
только от ширины шага Л', эквивалентного диаметра ступни d и рас-
стояния х от центра опоры, но не зависит от удельного сопротивления
грунта. Для расстоянии х (больших по сравнению с шириной шага)
получаем следующее приближенное соотношение:

+_____i Sd

1е 2л х2

(24.19)

Максимальное, значение этого отношения, соответствующее случаю,
когда одна из ног касается земли в точке, отстоящей от опоры на рас-
стоянии, равном радиусу эквивалентной полусферы, равно

lS ^2 Sd

1е л £>(£> + 2S) '

(24.20)

Когда человек стоит на расстоянии шага от опоры и касается ее
руками, причем ток проходит не через две ноги, а лишь через одну,
максимальный ток в теле определяется только сопротивлением заземления
одной ноги, поскольку сопротивлением между металлом и руками можно
пренебречь. Если обе ноги касаются земли на расстоянии шага от опоры,
то необходимо учитывать примерно половину сопротивления одной ноги;
следовательно, в выражении (24.17) множитель 2 должен быть заменен
множителем 1/2. Таким образом, наибольший возможный ток через тело
может достигать четырехкратного значения по сравнению с тем, которое
дается выражением (24.20). Вместе с тем во всех разобранных случаях
внутреннее сопротивление тела вызывает некоторое уменьшение проте-
кающего через него тока. Это уменьшение можно учесть путем умножения
тока, текущего через тело, на отношение сопротивления обеих ног к сум-
марному сопротивлению ног и тела. Однако трудно гарантировать надеж-
ность числовых данных для сопротивления тела.

При эквивалентном диаметре подошвы опоры D = 2m, ширине шага
•S’ = 1 м и эквивалентном диаметре ступни d = 0,2 м наибольший тон
через тело, согласно выражению (24.20), равен

1е

2-1-0.2
л-2 (2 + 2-1)

1,6%.

Поскольку смертельным для человека обычно является ток в 0,1 а, то
для полного устранения опасности необходимо, чтобы при замыкании
на землю ток через опору был меньше 6,3 а. Это вряд ли достижимо.

Для определения опасной зоны вокруг опоры можно воспользоваться
приближенным соотношением (24.19), из которого находим ее радиус

1/ Sd 1е
Г 2 л ig
Пользуясь теми же числовыми данными, что и выше, и полагая ток в опо-
ре равным 100 я, находим для радиуса опасной зоны

10,2 100 с „
------гГГ = О, / М.
2л 0,1

При токе замыкания на землю /„=1000о, который может встретиться в боль-
ших энергетических системах, радиус смертельно опасной зоны вокруг по-
врежденной опоры возрастает до 18 м. Однако опасность существует и вне
этой зоны; она зависит от тока is, который фактически является смертель-
ным для проходящих мимо людей и животных. Как видно из соотношения
(24.21), размеры опасной зоны не зависят от конструктивных размеров подош-
вы опоры. Однако эту зону можно уменьшить путем дополнительного глубо-
кого заземления, так как при этом центр эквивалентной сферы перемещается
с поверхности вглубь земли.

Мы полагали, что на достаточно большом участке вокруг заземленной

опоры удельное сопротивление грунта s одинаково во всех точках как на

поверхности, так и в глубине. Од-
нако в действительности так бы-
вает очень редко. Обычно под по-
верхностью земли имеется ряд бес-
порядочно расположенных слоев
с различными проводимостями,
вследствие чего нарушается рав-

Ф и г. 254.

номерное распределение тока, при-

нятое на фиг. 252 и в выражении (24.8). Ближайший к поверхности слой
часто бывает гораздо менее проводящим, чем более глубоко залегающий

водоносный слой. В таких случаях ток от подошвы опоры течет главным
образом вниз, в более проводящие слои, а вблизи поверхности протекает
ток, величина которого меньше значения, рассчитанного выше. Это обсто-

ятельство может вызвать существенное уменьшение шагового напряжения

и, следовательно, опасности поражения током.

Но бывает, что изменение проводимости происходит в обратном порядке.
Так, например, на некоторой глубине под поверхностью земли может лежать
горизонтальный пласт с пониженной проводимостью. Тогда ток будет проте-
кать в основном лишь по верхнему слою повышенной проводимости и огра-
ниченной толщины. Плотность тока и напряженность поля в этом слое ока-
жутся значительно большими, чем это следует из выведенных выше соотно-
шений. Прп этом, естественно, возрастает опасность поражения током людей
и животных, находящихся на поверхности земли. Особенно опасные усло-
вия создаются после сильного кратковременного дождя, когда увлажняется
только поверхностный слой (в результате чего он приобретает сравнительно вы-
сокую проводимость), а под ним остается толстый сухой (например, песчаный)
слой с большим удельным сопротивлением. Ток замыкания на землю концент-
рируется тогда в ее верхнем слое, обладающем высокой проводимостью.

В сетях переменного тока с изолированной нейтралью прп одиночных
замыканиях на землю возникают токи, которые возвращаются в сеть через
емкости здоровых проводов относительно земли. Следовательно, эти токи
имеют умеренную величину. Очень большие токи получаются при двойном
замыкании на землю, происходящем одновременно на разных опорах и в
разных фазах сети, как показано па фиг. 254. В этом случае все напряжение
сети оказывается приложенным только к сопротивлениям заземления двух
опор и к индуктивному сопротивлению проводов линии. Вследствие этого
возникают очень большие переходные и установившиеся токи короткого
замыкания, обычно во много раз превышающие емкостные токи. Ток в земле
может достичь такой величины, что произойдет испарение влаги из почвы,
Эквипотенциальные линии

-1—100 в

Фиг. 255.

окружающей подошву опоры, и на
поверхности земли в широкой зоне
вокруг заземляющих электродов со-
здастся электрическое поле высокой
напряженности.

Для того чтобы найти распреде-
ление тока в земле при таком двой-
ном замыкании, достаточно нало-
жить друг на друга распределения
токов, соответствующие каждому из
электродов в отдельности. Если до-
пустить, что сопротивление грунта
всюду одинаково, то при наложении
друг на друга двух радиальных си-
стем линий тока, распределенных
в пространстве, получится результи-
рующая система линий, представлен-
ная на фиг. 255, б. Поскольку рас-
стояние между опорами всегда вели-
ко по сравнению с эквивалентными
диаметрами их подошв, то распре-
деление тока вблизи опоры мало ис-
кажается под влиянием другой опо-
ры. На фиг. 255,о при помощи ли-
ний равного потенциала показано
распределение напряжения; при этом
принято, что эквивалентный диаметр
подошвы одной опоры равен 10 м,
а другой—1 м. На основании соотно-
шений (24.9) и (24.10) у опоры с мень-
шим D и х напряженность поля и на-
пряжение в 10 раз выше, чем у опо-
ры с большим D. Действительно, из
фиг. 255, е видно, что основное па-
дение напряжения приходится на
сравнительно небольшой участок око-
ло меньшей опоры. Токи, проте-
кающие между двумя электродами,
распространяются в земле на значи-
тельные расстояния. Плотность тока
там становится чрезвычайно малой
и не оказывает заметного влияния
на суммарное падение напряжения.
Следовательно, сопротивление зазем-
ления концентрируется почти цели-
ком в зоне электродов и не зависит
от расстояния между ними.

Если у поверхности земли на-
ходится слой повышенной проводи-
мости, то линии тока не будут рас-
пространяться вглубину и скон-
центрируются у поверхности. На
фиг. 256 показаны форма линий то-
каи распределение напряжения внут-
ри этого слоя, причем размеры элек-
тродов и расстояние между ними те же, что и в предыдущем примере.
В данном случае падение напряжения уже не концентрируется на таком
небольшом расстоянии от электродов, как раньше, а распределяется на
большую площадь поверхности.

ЛИТЕРАТУРА

Austen А. Е., Taylor Н. G., CIGRE, No 210 (1937).

Protection des animaux contre les gradients de tension entourant les electrodes
de raise a la terre.

Bauch R., Elektrotechn. u Maschinenbau, 113 (1919).

Strome und Spannungen in einem Drehstromnetz bei vollkommenem und unvoll-
kommenem Erdschluss.

Behrend II., Elektrotechn. Zs., 114 (1916).

Der Einfluss von Isolationsfehlern auf Ableitungs- und Kapazitatsstrome bei Drei-
phasenfernleitungen mit und ohne Schutzseil.

Berg E. J., Proc. AIEE, 1409 (1907).

Line constants and abnormal voltages and currents in highpotential transmissions.

Brazier M. A. B., Journ. Inst. Electr. Eng., 73, 204 (1933).

A method for the investigation of the impedance of the human body to an alter-
nating current.

CerilloG., Focaccia B., S e Imo L., Compt. rend, congr. intern, elec. 6, 239
(1932).

La mise a la terre du neutre sur les reseaux (содержит библиографию).

D u с г о t M., Rev. gen. elec., 45, 545 (1939).

Etude des protections contre les mises a la terre dans les reseaux triphases.

H u m a n n P., Elektrotechn. Zs., 883 (1904).

Ein Beitrag zur Frage der Uberspannungen in Dreiphasenstromanlagen.

Koch W., Erdungen in Wechselstromanlagen, Berlin, 1948.

Kuhlmann K., Elektrotechn. Zs., 316 (1908).

Moderne Schutzeinrichtungengegen gefahrbringende Strome in elektrischen Netzen

Ledoux C., Rev. gen. elec., 37, 511, 541 (1935).

Les contacts entre les reseaux a haute tension et ceux a basse tension.

Lichtenstein L., Elektrotechn Zs., 841 (1921).

Erdstromfragen in Theorie und Praxis.

Viayr O., Arcb. Elektrotechn., 17, 163 (1926)

Einphasiger Erdschluss und Doppelerdschluss in vermaschten Leitungsnetzen.

Michalke C., Elektrotechn. Zs., 421 (1895).

Storuneen durch Erdstrome elektrischer Bahnen.

Mortlock J. R., Journ. Inst. Electr. Eng., 94, P. II, 166 (1947).

The evaluation of simultaneous faults on three-phase systems.

Oberdorfer G., Der Erdschluss und seine Bekampfung, Vienna, 1930.

Petersen W., Elektrotechn. Zs., 129 (1916).

Uberstrome und Uberspannungen in Netzen mit hohem Erdschlu3strom.

Roth A., Elektrotechn Zs., 642 (1921).

Schutz gegen Erdschliisse.

Riidenberg R., Elektrotechn. Zs., 1342 (1925).

Die Ausbreitung der Luft- und Erdfelder um Hochspannungsleitungen, besonders
bei Erd- und Kurzschliissen.

schiesser M., Schweiz. Bull , 409 (1923).

Erdungsfragen.

S und e E. D., Electr. Eng , 55, 1338 (1936).

Currents and potentials along leaky ground-return conductors.
Глава 25

ЗАЗЕМЛЕНИЕ

Строго решить задачу о распределении токов в земле трудно, если не
невозможно, вследствие неоднородности грунта. Удельное сопротивление
грунта зависит от его состава и, следовательно, изменяется как по его по-
верхности, так и по глубине. В тех случаях, когда точное значение удельного
сопротивления для данного места не измерялось, можно пользоваться сред-
ними значениями, указанными в табч. 2

Таблица 2

СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ УДЕЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ГРУНТА

Тип грунта Сырая органиче- ская почва Влажная почва Сухая почва Камени- стая почва
Удельное сопротив- ление S, ом - М. . . 10 102 103 ю*

Удельное сопротивление слоев земли, расположенных ниже уровня
подпочвенных вод, значительно меньше, чем слоев, расположенных выше

Фиг. 257.

этого уровня. Удельное сопротивление мерзлой почвы, например верхнего
почвенного слоя зимой, особенно велико. Следовательно, для устройства
хорошего заземления необходимо, чтобы электроды закладывались ниже
промерзающего слоя почвы и достигали уровня подпочвенных вод.

На фиг. 257 показана зависимость удельного сопротивления некоторой
почвы от содержания в ней влаги (фиг. 257, а), от температуры (фиг. 257, б)
и от относительного весового содержания добавленной в почву соли
(фиг. 257, в). Как видно из кривых фиг. 257, построенных в логариф-
мическом масштабе, перечисленные факторы могут изменять удельное
сопротивление почвы на несколько порядков, т. е. в десятки, сотни
и даже тысячи раз.

Таким образом, проводимость почвы сильно зависит от времени года
и погоды и резко меняется под влиянием дождя, мороза и колебаний
температуры.
§ 1. Два заземляющих электрода. Для упрощения анализа будем
«читать удельное сопротивление грунта постоянным и заменим зазем-
ляющие электроды произвольной формы эквивалентными полусферами,
имеющими такое же омическое сопротивление.

Для измерения удельного сопротивления поверхностных слоев земли
часто применяют два электрода, включенных последовательно так, как
показано на фиг. 258. Применив выражение (24.10) к распределению тока
около каждой из полусфер с радиусами В и b и воспользовавшись затем
принципом наложения, найдем выражение для напряжения между электро-
дами. Из пего определяем полное сопро-
тивление системы двух заземляющих элек- _____________СЁЛ

гродов, т. е. ЛУ

«• -1 =М <“’> —й?------------------------------------

Эта величина меньше суммы собственных х

сопротивлений электродов В п г. Если Фиг. 258.

удельное сопротивление s постоянно и гео-
метрические размеры системы известны, то выражение (25.1) позволяет
определить величину s по отношению измеренных значений напряжений
и тока. Если же предположение о постоянстве s не оправдывается, то
можно определить удельное сопротивление грунта вблизи меньшего элек-
трода. Для этого необходимо, чтобы его радиус b был значительно меньше
величин В и z; в этом случае можно пренебречь не только третьим, но
и первым членом в скобках в выражении (25.1).

Если два параллельно включенных заземляющих электрода расположе-
ны так, что каждый из них находится в достаточно сильном электриче-
ском поле другого (фиг. 259), то они оказывают друг на друга взаимное

Ф и г. 259.

Фиг. 260.

влияние. Каждый электрод создает такое электрическое поле, что на-
пряжение между его сферической поверхностью радиуса b п некоторой
точкой, находящейся на расстоянии у, согласно выражению (24.10),
равно

*-£(т4Ь-'- <25-2’

Так как напряжение определяется стоящей в скобках разностью, зави-
сящей только от расстояний, то его можно представить в виде разности
двух потенциалов рь и р, как это и указано в правой части выражения
(25.2). Таким образом, потенциал шарового источника тока равен
причем потенциалы нескольких источников тока накладываются друг на
друга.

Следовательно, если через оба шаровых электрода втекают в землю
равные токи I, то на плоскости, проходящей посередине между сферами
(см. фиг. 259), потенциал будет равен

__ Г) si

Рх 4лу

(25.4)

Полный потенциал на поверхности каждого из двух шаровых электродов
равен сумме собственного потенциала, определяемого радиусом Ъ, и взаим-
ного потенциала, значение которого определяется средним расстоянием 2z
между центрами шаров, т. е.

'>=£=£Ct+s)-«(‘+s)- I25-5»

Следовательно, общее сопротивление двух параллельно включенных
заземляющих шаровых электродов, через которые проходит суммарный
ток 21, равно

^=4=4^4 С1+й- (25-6)

Первый множитель представляет собой сопротивление заземления одного
шарового электрода. При очень больших расстояниях между электродами
(z=co) второй множитель равен 1/2. Если же электроды расположены
близко друг к другу, например, если z=b, то второй множитель равен
1/2 (1 +1/2) = 3/«- Отсюда видно, что сопротивления заземления шаровых
электродов, размещенных на значительных расстояниях, не зависят друг
от друга и потому их общее сопротивление можно вычислять по обычным
правилам. Наоборот, если несколько параллельно включенных электродов
расположены близко друг к другу, то их общее сопротивление заземления
возрастает вследствие взаимного влияния.

На фиг. 260 показан шаровой электрод, закопанный глубоко в землю.
Рассматривая его как половину системы, представленной па фиг. 259,
находим, что сопротивление заземлепия этого электрода будет вдвое
больше величины, определяемой выражением (25.6), т. е.

(25.7)

Вблизи поверхности земли, например при z=b/2, l-|-b/2z = 2, и со-
противление заземления становится равным величине, определяемой выра-
жением (24.12). Оно убывает по мере углубления электрода; на большой
глубине, где член t>/2z ничтожно мал, это сопротивление становится вдвое
меньшим.

При углублении электрода зона высокой концентрации тока в земле
становится недосягаемой для людей и животных и, следовательно, умень-
шается опасность поражения шаговым напряжением.

Как видно из фпг. 260, в любой точке на поверхности земли

х . dy

— - sin а = ,

у dx

(25.8)

где х — расстояние до оси электрода, а а — соответствующий центральный
угол. Напряженность электрического поля на поверхности земли равна

__ dpx__dpx .

с = —— sin а.

dx dy
Подставляя сюда выражение (25.4) для потенциала рх, получаем
напряженность электрического поля на поверхности

„ _ s/ <Z (Цу} . si sina

(5 " q » SIH Gt „ „

2ти dy

(25.10)

Для значений a, близких к 90°, отношение (sina)/?/2 l/ж2, а для

малых значений а отношение (sina)/?/2 «в rr/z3. Следовательно, на боль-
ших расстояниях напряженность поля убывает по тому же закону,
что и напряженность поля полусферы. На поверхности земли непосред-
ственно над глубоко расположенным электродом напряженность поля
равна нулю и прп малых значениях х возрастает по линейному закону.
Напряженность электрического поля достигает максимума прп таком
значении угла, для которого tga=l/]/2; это максимальное значение

равно

g — sI

3 /З -z2

(25.11)

Отношение этого значения к максимальному значению напряженности
поля полушарового электрода, помещенного на поверхности земли [см. вы-
ражение (24.9)], равно

(25.12)

Отсюда видно, что прп глубоко расположенном электроде (т. е. при
достаточно большой величине z) опасность поражения людей и животных
значительно уменьшается.

§ 2. Стержневые и тросовые электроды. Шаровые и полушаровые
электроды неудобны для практического применения. Обычно отдают пред-
почтение стержневым или тросовым
электродам, поперечное сечение кото-
рых мало по сравнению с длиной. Та-
кой стержневой электрод, забитый в
землю, с достаточно й точностью можно
представить состоящим из большого
числа п почти шаровых элементарных
электродов, как показано на фиг. 261.
Если длина заземленной части стерж-
ня равна I, то расстояние между пен-
трами соседних элементов

dl = ~ , (25.13)

а ток, проходящий в землю через каждый элементарный электрод, равен
I п. Если у — расстояние от некоторого элемента стержня до точки, лежа-
щей на поверхности земли, а а —угол между осью стержня и отрезком у,
то, как видно из построения, приведенного на той же фиг. 261,

sina = ^- . (25.14)

Каждый элемент стержня создает потенциал dp, определяемый выра-
жением (25.3), в котором следует заменить I на I/п. Подставив значение у
из выражения (25.14) и воспользовавшись соотношением (25.13), находим
элементарное приращение потенциала на поверхности земли:

, si п si п da
dp = -ц— = ------—-----•

г wy чт.п I sin a
Стержневой электрод длиной 21, содержащий 2п шаровых элементов
(т. е. собственно электрод и его фиктивное зеркальное изображение отно-
сительно поверхности земли), создает в плоскости симметрии (см. фиг. 261)
потенциал р, равный интегралу от dp, взятому в пределах от -|- р до — р,
где р — предельное значение угла а, т. е.

-₽

In fctg . (25.16)

г Ы J sin а 2-/ \ ° 2 J 7

+ ₽

Этот результат был бы точным, если бы плотность тока, стекающего
с электрода в землю, была одинаковой по всей его длине. В действитель-
ности такое предположение является лишь достаточно хорошим прпблпже-
.нпем.

Таким образом, электрический потенциал в плоскостп симметрии
стержневого электрода зависит только от четырех величин: удельного со-
противления грунта .9, тока Z, отводимого стержнем, длины заземленной
части стержня I и угла р между осью стержня и отрезком,
______ соединяющим рассматриваемую точку на поверхности с ншк-
f—’ ним концом стержня. Первые три величины всегда известны

I 1 для каждого определенного электрода. Для любой точки в пло-

I скости, проходящей через середину фиктивного стержня (т. е.

। । на поверхности земли), р является единственным переменным

! параметром.

0*" Для точек, расположенных на большом расстоянии ж от

осп стержня, логарифм в выражении (25.16) можно упро-
стить, т. е.

ln(ctgi)=ln(l±=±)^CoS₽^i. (25.17)

4—Таким образом, потенциал будет равен

Ф и г. 262.

(25.18)

Это выражение совпадает с тем, которое было получено выше для полу-
сферы.

Если радиус стержня а мал по сравнению с его длиной I, то, как
видно из фиг. 262, для поверхности стержня, где потенциал р совпадает
с напряжением Е, можно написать

etg (25 19)

Следовательно, сопротивление стержня, определенное как отношение
напряжения к току, равно

/? = 4 = -^1п< —X (25.20)

Форма стержня оказывает сравнительно малое влияние на его сопротив-
ление заземления, так как отношение If а входит в выражение (25.20) под
знаком логарифма. Сопротивление заземления зависит главным образом
от длины стержня I, изменяясь почти обратно пропорционально этой длине.

Сопротивление заземления стержня радиуса а = 2,5 см и длины I = 6 м
(такие размеры часто встречаются на практике), забитого во влажный,
грунт, равно

7? = 1п -тт-,%2- = 2,65 In 480 = 16 ом.

2тт-6 2,5-lir2

Такое сопротивление имеет полусфера диаметром 2 м.
Напряженность электрического поля по поверхности земли (фпг. 263)
равна

Г = . (25.21)

dx dfr dx ' '

В это выражение введен переменный угол р, связанный с координа-
той х соотношениями

(25’22)

причем второе является просто производной первого. Дифференцируя вы-
ражение (25.16) по р и подставляя в выражение (25.21) полученный ре-

зультат и соотношение (25.22), получаем напря-
женность электрического поля

___ si 2 cos2 р_____ si cos fi ,..r
®- W "ship' I ~ 2тЛ ~T~ '

Напряженность электрического поля убывает по
мере роста переменных х и р (см. фиг. 263).

Когда х велико, cos р =& Ijx и, следовательно,
напряженность электрического поля равна

= (25‘24)

Это выражение совпадает с тем, которое было
получено выше для полусферы. Напротив, когда х
мало, cosP=t 1 и, следовательно,

Г(, = -^г~ (25.25)

Таким образом, напряженность электрического поля вблизи стержневого^
электрода значительно превышает напряженность поля вблизи сферы, что
объясняется высокой концентрацией тока на небольшой поверхности
стержня.

Плотность тока, стекающего со стержневого электрода, почти одина-
кова вдоль большей части его длины, но на нижнем конце она достигает
величины, примерно вдвое большей, чем у поверхности земли. Последнее
объясняется эффектом острия, проявляющимся па конце стержня.

Потенциал и сопротивление заземления для электродов другой геомет-
рической формы можно найти аналогичным путем, рассматривая их как
совокупность шаровых пли цилиндрических элементов. В табл. 3 приве-
дены выражения для сопротивления некоторых заземляющих электродов
простой геометрической формы.

Из этой таблицы видно, что выражение для сопротивления полосы
аналогично выражению для сопротивления цилиндрического стержня
(троса); полоса эквивалентна стержню с диаметром, равным половине
ширины полосы.

Сопротивление заземления проволочного кольца, длина окружности
которого равна 2т.Ъ, лишь не намного больше сопротивления заземления
прямого троса длиной 21 — 2пЬ. Это небольшое увеличение сопротивления
объясняется отсутствием концов с повышенной плотностью тока.

Сопротивление заземляющего электрода, расположенного вблизи по-
верхности, всегда вдвое больше сопротивления такого же электрода, рас
положенного на большой глубине, так как в первом случае ток расте-
кается только по нижнему полупространству.

Из всех приведенных выражений для сопротивления заземления видно,
что оно определяется главным образом наибольшим размером электрода
Таблица 1

ЗАЗЕМЛЯЮЩИЕ ЭЛЕКТРОДЫ ПРОСТОИ 1 ЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

Шар

R— s
4аВ

Диск

R =
ob

Цилиндрический
стержень (трос)

Кольцо

Голоса

777777777^77777777

? ',2а

21 —

Глубоко лежащий
электрод

/?г=/?

ln(l/z)l
ln(2l/a)J

Сопротивления
стержня и ПОЛОСо!
равны при
а = w/2

WZC/ZJ VMIMW,
\ /

Электрод, расположен-
ный вблизи поверх-
ности земли

R0 = 2R

и лишь в незначительной степени зависит от других его размеров, как-
то: поперечного сечения или толщины. Поэтому площадь поверхности
электрода играет сравнительно малую роль; существенное значение имеет
лишь его линейный размер.

Сопротивление заземляющего электрода сложной геометрической фор-
мы, например подземной части опоры линии высокого напряжения пли
радиоантенны, часто проще всего можно определить путем измерения
сопротивления модели исследуемой конструкции в электролитической
ванне. Действительное сопротивление заземления будет меньше измерен-
ного на модели в число раз, равное отношению линейных размеров,
и больше его в число раз, равное отношению удельных сопротивлений
сред. При сопоставлении размеров удобно пользоваться понятием о радиусе
эквивалентной полусферы.

§ 3. Сложные заземлители. Для некоторых часто применяемых кон-
струкции заземлителей, состоящих пз нескольких стержней пли тросов,
можно вывести аналитические формулы. Собственный потенциал каждого
прямого стержня длиной 21, входящего в заземлитель, имеющий форму
четырехлучевой звезды (фиг. 264), па основании выражений (25.16)
и (25.19) равен

а.-Й-4-щ)- <25-2в>

К этой величине следует добавить взаимный потенциал, обусловленный
взаимодействием перпендикулярных стержней. Потенциал в точке, лежа-
щей на плоскости, перпендикулярной к стержню длиной 21 и проходящей
через его середину, определяется по формуле (25.16). Для углов р<45°
(см фиг. 264) имеем

<25-27>
Найдем среднее значение логарифма 21/х на длине стержня I:

I 6=2

Н1”(т-> = 2 5 =

0 £=со

со

= In£d£. = 2 Г^- + 4-12 =1п2 + 1- (25.28)
J £ L t t J со

Поэтому среднее значение взаимного потенциала двух взаимно перпенди-
кулярных стержней равно

Л = ^-(1п2 + 1). (25.29)

Напряжение £ на поверхности каждого из проводников равно сумме
его собственного и взаимного потенциалов. Поэтому с достаточной точ-
ностью можно написать

£ = й + Л = ^,-[1п(4)ч1п2 + 1] .

(25.30)

Следовательно, сопротивление четырехлучевой звезды можно подсчи-
тать по приближенной формуле

/!=47=8^[1<4) + 1]' <25-31)

Если тако” заземлитель расположен близко к поверхности земли,
на глубине, небольшой по сравнению с его линейными размерами, то

сопротивление заземления будет вдвое больше указанного в формуле (25.31)
(см. также последний пример в табл. 3).

Вследствие наличия единицы в скобках величина сопротивления,
определяемого выражением (25.31), несколько больше сопротивления за-
земления прямого стержня длиной 4Z. Увеличение сопротивления объяс-
няется взаимным влиянием полей соседних частей заземлителя на распре-
деление токов в земле. Если число лучей в звезде больше четырех, то их
взаимное влияние усиливается, вследствие чего сопротивление заземления
не уменьшается пропорционально числу лучей. При очень большом числе
лучей, которые в конце концов образуют сплошной диск, сопротивление
приближается к величине

(25.32)

20 г. РюденВерг
Сопоставляя выражения (25.31) и (25.32), видим, что при увеличении
числа радиальных лучей до бесконечности (при средних значениях отно-
шения радиуса поперечного сечения к длине стержня) отношение сопро
тпвленпя заземления полученного диска к сопротивлению заземления
четырехлучевип звезды уменьшается только до величины

В° _ л _ « I1)

1В ~ ( 4Z \ . “ 9,3 3 ’

Н rj + 1

Таким образом, эффект, достигаемый за счет увеличения числа лучей, не
очень значителен.

На фпг. 265 показап другой часто применяемый сложный! заземлитель,
представляющий собой систему параллельно соединенных вертикальных
стержней. Потенциал, создаваемый на поверхности земли каждым элек-
тродом в отдельности, как и раньше, определяется общей формулой (25.16).
Напряжение на каждом стержне равно сумме потенциалов, создаваемых
рассматриваемым стержнем и всеми остальными стержнями системы. Так,
например, напряжение на первом стержне равно

[ А]п Сctg т ) 1 h 1,1 (ctg т ) + • • ] • <25-34)

Для простоты примем, что удельное сопротивление грунта повсюду
одинаково п что все стержни имеют равную длину. Токи стержней 1г,
/2, . .. пока еще неизвестны. Уравненпя вида (25.34) могут быть написаны
для каждого пз заземляющих стержней. Во всех этих уравнениях [3 озна-
чают углы между прямыми, соединяющими верхний конец рассматривае-
мого стержня с нижними концами каждого из остальных стержней, и ося-
ми последних (см. фиг. 265). Таким образом, прп любом расположении
заземляющих стержнем мы получаем достаточное число уравнений для

расчета распределения тока между отдельными стержнямпы!истемы.

Котангенс, входящий в первый член уравнения (25.34), относится
к рассматриваемому стержню; его можно подсчитать при помощи форму-
лы (25.19). Прочие котангенсы в уравнении (25.34), относящиеся ко всем
остальным стержням, можно, как это видно пз фиг. 265, выразить через
отношение длины стержня I к отрезку ап, отсекаемому на отрезке Ап

лучом, составляющим угол Р/2 со стержнем (Ап — расстояние
стержнями):

между

, ₽i I

ct'g-УН-

(25.35)

ЕСЛИ стержни расположены симметрично и если они соединены между
собой проводниками, сопротивления которых ничтожно малы, то

^1 — -^2 “ ^3 — • • — А — ^2 — ^3 — — • (25.36)

В этом случае на основании соотношений (25 35) все уравнения (25.34)
приводятся к одному уравнению, а именно:

£ = -/г-1п<-Дг — — ... V (25.37)

ZtzI п \ а/£ а2 «3 / ' '

Вычисление по формуле (25.37) может быть выполнено без труда
в каждом конкретном случае. Ниже рассматриваются более подробно три
типичных примера.

IJ Вычисления проведены при l/a = 103.—Прим. ред.
Если отношения Ап/1 велики, т. е. стержни размещены на сравни-
тельно больших расстояниях друг от друга, то углы р„/2, очевидно, со-
ставляют 45° и, следовательно, ап = 1. Тогда все отношения Z/an = l
и сопротивление заземления всей системы равно

Я = 4 = — Ут Inf—Y (25.38)

1 п Зш \ а у ' '

Следовательно, сопротивление заземления обратно пропорционально числу
параллельных стержней.

Если отношения Ап/1 малы, т. е. стержни размещены близко друг от
ДРУга> то и углы Рп малы и, следовательно, ап = Ап/2 (см. фпг. 265).
Внеся множитель 1/п под знак логарифма, получаем

Я = 4=У/-1пСп7- 2* =-^ = Уг1п(ЧгУ (25-39>

Z 2эт/ к уаЛ2Л3Л4... / 2Л/ '

Величина А в правой части выражения (25.39) представляет собой
среднегеометрическое значение расстояний Ап от первого стержня до всех
остальных и радиуса первого стержня а и равна корню n-й степени из
произведения этих величин, т. е.

А = \ГаА2А3Аь... . (25.40)

Сравнивая выражения (25.39) и (25.20), замечаем, что совокупность любого
числа стержневых электродов, расположенных близко друг от друга,
эквивалентна одному стержневому электроду радиуса А. В табл. 4 даны
значения А для трех простых случаев. Так как в выражении (25.39)
А стоит под знаком логарифма, то увеличение числа близко расположен-
ных стержней сравнительно мало уменьшает полное сопротивление зазем-

ления.

Таблица 4

СРЕДНЕГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАССТОЯНИЕ
ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Расположен и е Среднегеометри ческое

стержней расстояние

Если An/l=i, т. е. расстояние между стержнями равно их длине, то,
очевидно, рп — 45° и ctg р„/2 = 2,4. Так, например, для трех стержней
(п = 3) множитель, зависящий от числа и расположения стержней, входя-
щий в выражение (25.37), равен

±ln(-L2A-2A}
3 \ а]Л у

Поэтому при 1=6 м, а = 2,5 см, х=102 ом~м (см. предыдущие ппимеры)
сопротивление заземления составляет

R J 1п (480- 2,42) -= 7,0 ом.
Если стержни расположить на очень большом расстоянии, друг от
друга так, чтобы можно было принять Лп=оо, то сопротивление заземле-
ния будет равно

D 16 г о

В = -у- = 5,3 ом.

Гакпм образом, при сближении трех стержней до расстояния, равного их
длине, сопротивление заземления увеличивается на 32% вследствие взаим-
ного влияния стержней.

Для получения достаточно малого сопротивления заземления в плохом
грунте с большим удельным сопротивлением часто бывает необходимо
применять довольно большое число

Ф и г. 266.

стержней, расположенных вдоль пря-
мой или распределенных на значитель-
ной площади. В заземляющих устрой-
ствах, подобных тому устройству, схе-
ма которого приведена на фпг. 266, по
внутренним стержням проходят мень-
шие токи, чем по внешним, что объяс-
няется влиянием окружающих стерж-
ней. Распределение токов между стерж-

нями п полное сопротивление заземле-
ния для любого случая можно точно подсчитать при помощи соответству-
ющего числа уравнений вида (25.34). При расчете нетрудно учесть также
неодинаковые длины стержней и различные проводимости грунта вблизи
них.

§ 4. Нагревание грунта. Длительное и даже кратковременное протека-

ние тока через заземляющий электрод повышает температуру грунта на

величину $. Чтобы избежать перегрузки, спо-
собной вызвать испарение влаги, необходимо
знать это повышение температуры. Плотность
тока на расстоянии х от центра шарового
электрода радиуса В, помещенного целиком в
грунт (фиг. 267), равна

— 4га2 '

(25.41)

Количество тепла, выделяющегося в еди-
нице объема грунта в единицу времени, равно
s/Jz. При большом удельном сопротивлении

грунта .9 эта величина может быть значитель-
ной. Выделяемое тепло частично поглощается грунтом, а частично пере-
дается от мест с более высокой темнератз рой к местам с более низкой.
Примем для расчета, что средние значения теплоемкости п теплопровод-

ности грунта соответственно равны

у = 1,15- 10е вт - сек/(град • м3),
Х=1,2 втп[(град-м).

Точные значения этих двух тепловых постоянных почвы редко удается
определить, хотя они играют весьма важную роль.

Дифференциальное уравнение, описывающее процесс передачи тепла
от сферы по^радиальным направлениям, имеет вид

X d2(х&)

х ах2

(25.42)

Общее решение этого уравнения найти трудно, так как величина J зави-
сит от х. Однако мы можем рассмотреть два интересных случая, которые
описываются частными решениями, а именно: установившееся тепловое
состояние и кратковременное нагревание.

Если ток протекает по грунту в течение длительного времени, то
производная по времени в уравнении (25.42) обращается в нуль, и само
уравнение принимает вид

42,(? 1-4 (25-43)

da.-2 \ 4к /

Выполняя двукратное простое интегрирование, получаем закон распреде-
ления температуры в зависимости от расстояния в виде

<25-44>

Соответствующая кривая приведена на фиг. 267. Максимальное повышение
температуры происходит у поверхности электрода, т. е. в точке с коорди-
натой х = В. Спо равно

(2М5)

Таким образом, максимальное повышение температуры зависит только от
двух постоянных грунта $ и Л и от линейной плотности - тока 1/В. Наи-
большее допустимое значение тока, втекающего в землю из шарового
электрода, определяется выражением |

/ = 4k/?J/2-^& = -^1/2sX&. (25.46)

Правая часть этого выражения получена путем подстановки значения
сопротивления В = s/^ir-B. Таким образом, наибольший допустимый ток
через электрод определяется постоянными грунта, сопротивлением зазем-
ления и допустимым повышением температуры.

Так как при любой форме электрода распределение теплового потока
и тока вокруг него подчиняется одному и тому же математическому
закону, а именно, дифференциальному уравнению Пуассона, то правая
часть выражения (25.46) справедлива не только для сферических элек-
тродов, но и для стержней, колец, дисков и других электродов более сложной
формы. Допустимый длительный ток через электрод легко можно вычис-
лить, если известно сопротивление электрода, зависящее от его формы.

Напряжение на заземляющем электроде, измеренное между металлом
и удаленной точкой, равно [см. соотношение (25.46)]

£’ = 77? = ]/2хЖ (25.47)

Таким образом, величина Е зависит от постоянных грунта и установив-
шегося повышения температуры. Имеет место и обратное: напряжение,
приложенное к заземляющему электроду, определяет его установившуюся
температуру. Эти выводы справедливы для любой формы заземляющих
электродов.

Приняв & = 60°С, получим, например, для влажного грунта

£ = ]/2^102-1,2-60 = 120 в.

Напряжение заземляющего электрода не должно превышать этой вели-
чины, если повышение температуры грунта не должно быть более 60° С.

На основании соотношения (25.46) наибольшая допустимая плотность
тока на поверхности шарового электрода, т. е. там, где происходит наибо-
лее сильный нагрев грунта, равна

J = 41/ 2 -» (25.48)

При числовых данных, указанных в предыдущем примере, имеем

<7 = |)/2.-g--60 = 1,2 а/м*.

Таким образом, наибольшая допустимая плотность тока, длительно про-
текающего через электрод, сравнительно мала. Грунт, окружающий элек-
трод, ни в коем случае не должен нагреваться до 100° С; в противном
случае произойдет полное испарение влаги, сопротивление грунта возрас-
тет до чрезвычайно большой величины, и ток прервется.

В случае кратковременного протекания тока через заземляющий
электрод второй член в уравнении (25.42), учитывающий теплопроводность,
не играет существенной роли и им можно пренебречь. Дифференциальное
уравнение тогда примет вид

<25-49)

Таким образом, рост температуры происходит по тому же закону, что
и в обычных линейных проводниках.

Если удельное сопротивление s и удельная теплоемкость 7 постоянны,
то возрастание температуры происходит по линейному закону; следова-
тельно, наибольшая допустимая плотность тока определяется выражением

<25-50>

Так как координата х не входит в дифференциальное уравнение (25.49),
то прп любом распределении тока оно справедливо для любого элемента
объема грунта. Следовательно, соотношение (25.50) применимо при любой
геометрической форме заземляющего электрода.

Рассмотрим числовой пример. Наибольшая допустимая плотность тока,
стекающего в течение 100 сек. с электрода во влажный грунт, темпера-
тура которого не должна повышаться более чем на 60° С, равна

* т/1,75-10» «Г „

' V 102 100 ~199 а!м ‘

Допустимая плотность тока довольно велика.

В сухом песчаном грунте, удельное сопротивление которого в 10 раз
больше, наибольшая допустимая длительность протекания тока с такой
плотностью составляет только 10 сек. Увеличение плотности тока или
длительности его протекания приведет к чрезвычайно быстрому испарению
влаги из грунта и, возможно, даже к взрыву. Такне взрывы иногда
наблюдались на практике.

Напряжение на электроде при кратковременной нагрузке может дости-
гать очень больших значений. Напряжение при кратковременной на-
грузке превышает напряжение при длительном протекании тока в число
раз, равное отношению плотностей тока. В рассмотренном случае влаж-
ного грунта напряжение может достигать значения

£=120--^- = 10 000 в.

На фпг. 268 показан рост температуры в начальной стадии процесса,
определяемый уравнением (25.49). На той же фигуре указано предельное
повышение температуры, определяемое формулой (25.45) (при неизменных
постоянных грунта). Средняя часть кривой удовлетворяет полному диф-
ференциальному уравнению (25.42); аналитическое выражение для нее найти
довольно трудно. Однако нетрудно найти постоянную времени Т, если
определить ее как то время, в течение которого температура достигла бы
установившегося значения, если бы она возрастала по линейному закону,
соответствующему начальному периоду (см. фиг. 268).

Для того чтобы найти точку пересечения, воспользуемся соотноше-
ниями (25.45) и (25.49), причем в первом из них выразим ток через его
плотность. Таким образом, получаем

О уст. = 4 Т L'2J2 = 7 ^т- <25-51)

Отсюда находим постоянную времени на-
грева сферического заземляющего электро-
да и окружающего грунта, т. е.

Т = ~ 1В2. (25.52)

Величина Т зависит от тепловых постоян-
ных грунта и от квадрата радиуса В.

Для электродов иной геометрической формы получаются аналогичные
выражения для Т, отличающиеся от выражения (25.52) только тем, что
вместо радиуса В в них входит другой характерный размер электрода,
представляющий собой некоторую величину, заключающуюся между его
наибольшим и наименьшим размерами.

Для шара радиуса В = 1 м постоянная времени нагрева равна

7’ = -| . l^.12 = 0)73.106 сек. = 8,5 суток.

Столь большое значение постоянной времени нагрева, подтверждаемое
результатами испытаний, обусловлено очень малой теплопроводностью
грунта.

ЛИТЕРАТУРА

Berger К., CIGRE, No 215 (1946).

The behaviour of earth connections under high intensity impulse currents.

Bullard \V. R., Electr. Eng., 64, 145 (1945).

System grounding.

Card R. H., Electr. Eng., 54, 1153 (1935).

Earth resistivity and geological structure.

Dwight H. B., Electr. Eng., 55, 1319 (1936).

Calculation of resistances to ground.

Eaton J. R., Gen. Electr. Rev., 44, 323, 397, 451 (1941).

Grounding electric circuits effectively.

F a w s e 11 E., Grimmi tt II. W., S h о 11 e r G. F., Taylor H. G.,
Journ. Inst. Electr. Eng., 87, 357 (1940).

Practical aspects of earthing.

Fritsch V., Elektrotechn. Zs., 58, 319 (1937).

Der Einfluss des Wassergehaltes auf den Widerstand geologischer Leiter.

Gilkeson C. L., Jeanne P. A., Vaage E. F., Electr. Eng., 56, 428,474
(1937).

Power system faults to ground, P. Il, Fault resistance.

Hemstreet J. G., LewisW. W., F о u s t С. M., Trans. AIEE, 61, 628 (1942).

Study of driven rods and counterpoise wires in high-resistance soil on 140-kv system.

Jensen C., Electr. Eng., 64, 68 (1945).

Establishing grounds.

Johnson A. A., Electr. Eng., 64, 92 (1945).

Generator-neutral grounding devices.
Kflhn L., Elektr. Kraftbetr. Bahn, 156 (1911).

Die Spannungsgefahren an geerdeten Eisernen Masten.

Ollendorff F., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 5, No 3, 8 (1927).

Der Stromiibergang aus langgcstreckten Leitern in die Erde.

Ollendorff F., Erdstrome, Berlin, 1928. (См. перевод: Оллендорф Ф., Токи
в земле, М.—Л., 1932.)

Peters О. S., Nat Bur. Standards, Technol Paper, 108 (1918).

Ground connections for electrical systems.

Peters W., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 7, No 1, 77 (1928).

Liber die Belastungsfiihigkeit von Hochstromcrdungen und verwandte starkstrom-
technische Erwarmungspioblcme.

Petroc oki no D., Rev. gen. elec., 56, 193 (1947).

L’etat aciuel de la technique des misos a la tcrre des installations electriques

Petropoulos G. M., Journ. Inst. Electr. Eng., 95, P. II, 59 (1948).

The high-voltage characteristics of earth resistances.

Pohlhausen K., VDE-Fachberichte, 39 (1927).

Grundlagen der Bemessung von Starkstromerdern.

Riidenberg R., Electr. Eng., 64, 1 (1945).

Fundamental considerations on ground currents.

Riidenberg R., Electr. World, 129, January 31, 72 (1948).

Comparative properties of grounding electrodes.

Ryder R. W., Journ. Inst. Electr. Eng., 95, P II, 175 (1948).

Earthing problems.

Saraoja E. K., C1GRE, No 201 (1946).

Soil and water resistivity in Finland.

Smith Rose R. L., Journ. Inst. Electr. Eng., 75, 221 (1934).

Electrical measurements on soil with alternating currents (содержит библиографию)

Sprecher E., Bull. asso. sui. elec., 25, 397 (1934).

L’ntersuchungen fiber den Erdungswiderstand verschiedener Bodenarten und die

Vorausberechnung der Elektroden

Stevenson A. F., Physics, 5, 114 (1934).

On the theoretical determination of earth resistance from surface potential mea-
surements.

Witz F., Rev. gen. flee., 37, 123 (1935).

Resistance des prises de terre et methodes de mesure.

Taylor H. G., Journ. Inst. Electr. Eng., 77, 542 (1935).

The current-loading capacity of earth electrodes.
Глава 26

ТРЕХФАЗНЫЕ СИСТЕМЫ С ЗАЗЕМЛЕННОЙ НЕЙТРАЛЬЮ

В полностью изолированной трехфазной сети потенциал нейтрали (или
центра тяжести треугольника напряжений) не является фиксированным; он
может принимать любые значения. При отсутствии каких-либо повреждений

потенциал нейтрали симметрич-
ной трехфазной системы равен
потенциалу земли (фиг. 269,а).
В этом случае все три провода
имеют одинаковое напряжение
Е' относительно земли. При
замыкании одного из проводов
линии на землю потенциал этого
провода становится равным по-
тенциалу земли, а потенциал
нейтрали становится равным Е'

Ф и г. 2G9.

(фиг. 269, б). Таким образом, при

однополюсном коротком замыкании потенциал нейтрали отличается от потен-

циала земли, а напряжение двух здоровых проводов относительно земли рав-

няется полному напряжению сети Е=} 3 Е'. Изоляция здоровых проводов
подвергается действию напряжения, превышающего его нормальное значение

в у/3 раз.

§ 1. Глухое заземление и заземление через активное сопротивление.
Радикальным средством против изменения потенциала нейтрали и связанных
с этим перенапряжений является глухое заземление нейтрали трехфазной

системы. В сетях высокого напряжения оно осуществляется путем непо-
средственного соединения с землей нулевой точки обмотки одного или не-
скольких трансформаторов. Прп замыкании на землю одного провода
(фиг. 270) создаются замкнутые контуры, которые содержат только индук-
тивные и активные сопротивления и определяют картину явления.
Емкостные контуры играют лишь второстепенную роль. Токи, текущие
в земле, возвращаются в трансформатор через его заземленную нейтраль;
они имеют характер токов короткого замыкания. Во избежание возможных
катастрофических последствий такие большие токи в сети и в земле должны
быть немедленно прерваны путем отключения аварийного провода.

Ток, текущий в земле от места короткого замыкания к заземленной ней-
трали, состоит из двух составляющих, каждая из которых создается фаз-
ным напряжением—Е'. Эти составляющие показаны ца фиг. 270 пунктирными
линиями. Первая составляющая протекает непосредственно через обмотку
той фазы трансформатора, где произошло замыкание на землю. Ее величина
определяется индуктивностью L±, которая обусловлена проходящим по воз-
духу потоком рассеяния данного стержня трансформатора1'. Путь второй
составляющей тока проходит по двум одинаковым и параллельным ветвям
через две другие обмотки трансформатора, через оба здоровых провода
и возвращается к месту замыкания на землю через трансформатор, располо-
женный на удаленном конце линии и имеющий индуктивность 62. Таким обра-
зом, полный ток короткого замыкания, протекающий в земле, равен

! -Е' \ 2 Е' - Е' (Л\ 2

+ l0‘5’2 uiL1 \ ~ 1 + (^2/)

Для простоты мы пренебрегли активными сопротивлениями обмоток, про-
водов и путей тока в земле, а их реактивные сопротивлении включили в реак-
тивные сопротивления трансформаторов.

Если мощность трансформатора, находящегося на конце линии, мала по
сравнению с мощностью трансформатора, расположенного в начале линии,

(26.1)

Фиг. 271.

Ф и г. 272.

или если линия на дальнем конце разомкнута, то индуктивность S2 очень
велика по сравнению с индуктивностью Ьг. В этом случае в выражении
(26.1) второй член в скобках исчезает. Ток короткого замыкания, протекаю-
щий в земле, определяется исключительно индуктивностью обмотки, присо-
единенной к поврежденному проводу линии. Если же мощность дальнего
трансформатора очень велика, то индуктивность S2 мала по сравнению с ин-
дуктивностью и значение выражения, стоящего в скобках в соотноше-
нии (26.1), приближается к 3. В этом случае в первом трансформаторе (с за-
земленной нейтралью) практически все три зажима оказываются замкнутыми
на нейтраль; при этом реактивное сопротивление трех параллельных обмоток
равно (bLj/3.

В трансформаторе с заземленной нейтралью, обмотки которого соеди-
нены по схеме звезда—звезда (как показано на фиг. 270), магнитный поток
рассеяния каждого из трех стержней может замыкаться через сталь. Так
будет, например, в трансформаторах с четырьмя и более стержнями,
в трансформаторах броневого типа, а также в трансформаторных группах,
состоящих из трех однофазных трансформаторов. В этих случаях индуктив-
ность L± каждой фазной обмотки исключительно велика, так как она соответ-
ствует реактивному сопротивлению при холостом ходе, а ток короткого
замыкания в соответствии с соотношением (26.1) равен

4-3^-3/„. (26.2)

Таким образом, ток однополюсного короткого замыкания на землю не пре-
вышает утроенного тока холостого хода трансформатора и, следовательно,
глухое заземление нейтрали не приводит к появлению больших токов.

11 Имеется в виду трехфазпый трансформатор с трехстержневым магнитопроводом.
В таком трансформаторе синфазные потоки* стержней вынуждены проходить от ярма
к ярму по воздуху.—Прим. ред.
Если незаземленная обмотка первого трансформатора соединена по
схеме треугольника (фиг. 271), то в отличие от случая соединения ее по
схеме звезды (см. фиг. 270) по ней может протекать ток в одном и том же
направлении вокруг каждого из трех стержней трансформатора. Этот ток
компенсирует намагничивающее действие трех также одинаково направленных
токов, протекающих по вторичной обмотке трансформатора, соединенной
звездой. Отсюда следует, что токи первичной и вторичной обмоток каждого
стержня ограничены только сравнительно малой индуктивностью рассеяния
обмоток Sl независимо от того, замыкаются ли в стали магнитные потоки
рассеяния стержней или нет. В этом случае ток однополюсного короткого
замыкания на землю равен

+ ) (26-3)

Индуктивность рассеяния обмоток 5^ всегда значительно меньше индуктив-
ности Ьг, соответствующей потоку, проходящему от ярма к ярму по воздуху.

Поскольку токи короткого замыкания па землю являются однофазными,
они создают сильную несимметрию нагрузок электрических станций системы.
В отличие от емкостного тока замыкания на

землю, о котором шла речь в гл. 24, рассматри-
ваемый здесь ток является индуктивным и,
следовательно, вызывает значительное снижение
напряжения.

Части обмоток трансформатора, ближай-
шие к глухо заземленной нейтрали, оказыва-
ются под сравнительно низким потенциалом
относительно земли даже во время короткого
замыкания на землю. Следовательно, изоляция
соответствующих катушек может быть слабее,

чем изоляция катушек, примыкающих к линей-

ным выводам трансформатора. Это обстоятельство позволяет применять более
дешевую ступенчатую изоляцию трансформаторных обмоток.

Опасно большие токи однополюсного короткого замыкания могут быть
уменьшены путем заземления нейтрали через .активное сопротивление R

(фиг. 272). В этом случае ток короткого замыкания снижается до величины

т _

'й -- —г ' I

(26.4)

где L означает результирующую индуктивность всей цепи [см. соотноше-
ния (26.1) — (26.3)]. Однако напряжение нейтрали относительно земли ER
(см. фиг. 272) пе остается теперь постоянным; оно может возрасти до
значительной величины Это напряжение равно

Ек = (26.5)

причем величина R взята из выражения (26.4). Выразив при помощи
соотношения (26.1) или (26.3) величину o>L через ток Ih, соответству-
ющий глухому заземлению нейтрали, получим отношение потенциала ней-
рали к фазному напряжению

>=/’-(т:)* • <2о-б>

Эта зависимость изображена в виде круговой диаграммы на фиг. 273;
она показывает, что даже небольшое уменьшение тока короткого замы-
кания IR по сравнению с его наибольшим значением Ih вызывает значи-
тельное увеличение напряжения нейтрали ER. Если выбрать сопротивле-
ние R так, чтобы ток короткого замыкания равнялся половине своего
наибольшего значения, то напряжение нейтрали достигнет величины

Er = У1 - (£)2Я' = 0,8661?',

т. е. напряжения, которое появляется при однополюсном замыкании в системе
с изолированной нейтралью. Применить ступенчатую изоляцию обмоток
трансформатора здесь невозможно, так как напряжение нейтрали относи-
тельно земли может принимать различные значения. Активное сопроти-
вление в цепи нейтрали предотвращает возникновение больших резонансных
напряжений, о которых упоминалось в гл. 24.

шенно иные результаты. 1акие катушки

Фиг. 274.

§ 2. Заземление нейтрали через индуктивное сопротивление. Заземление
нейтрали трехфазной системы через индуктивную катушку дает совер-
в прежнее время часто приме-
нялись для отвода статических
зарядов из сети в землю. Они вы-
полнялись, естественно, с большой
индуктивностью. Однако, если
собственная индуктивность L ка-
тушки подобрана в соответствии
с емкостью сети, то получаются
особенно благоприятные результа-
ты. На фиг. 274 показаны стрелка-
ми пути и направления токов ко-

роткого замыкания, возникающих прп замыкании на землю одного из прово-
дов. Напряжение —Е' относительно земли, накладывающееся па напряже-
ние нормального режима, создает ток не только в емкости линии относительно
земли ЗС, но и в индуктивном заземляющем сопротивлении нейтрали L, причем
индуктивный ток всегда противоположен по фазе емкостному току. Цепь тока
короткого замыкания можно заменить эквивалентной схемой, приведенной

Фпг. 275.

на фиг. 275. На этой схеме, кроме емкости линии относительно земли ЗС,
индуктивности в цепи заземления неьтрали L и приложенного напряжения
Е', указаны также активные сопротивления, а именно: сопротивление ка-
тушки и ее заземления R и сопротивление линии вместе с трансфор-
маторами г. Активное сопротивление в точке короткого замыкания и индук-
тивности рассеяния главных трансформаторов не играют сколько-нибудь
существенной роли, поэтому ими можно пренебречь. Потери в линии, обус-
ловленные короной и проводимостью изоляторов, оказывают влияние,
сходное с влиянием потерь в проводниках, и потому они представлены парал-
лельно включенным сопротивлением Р. Ток /с, текущий через емкость
линии относительно земли, определяется из соотношения 11

Е'~г1с + т£с’ (26-7)

J осоО

а ток 1^, текущий через индуктивность, — из соотношения

Е’ lUL + juLIL. (26.8)

Наконец, ток 1р, текущий через активное сопротивление Р и опреде-
ляющий в основном потери в цепи, находится из соотношения

Е' яе Pip. (26.9)

Таким образом, суммарный ток на землю в месте короткого замыка-
ния складывается из емкостного тока сети, индуктивного тока заземления
нейтрали и тока потерь:

7е = £7—V + + (26Л°)

V+/3<oC /

Активные сопротивления г и У? обычно малы. Поэтому, разложив выра-
жение (26.10) в ряд и отделив мнимую часть от дейстительной, получим
/.=£ + 4]} <261‘>

Таким образом, ток короткого замыкания на землю имеет две составляю-
щие, отличающиеся по фазе на 90°. Первая составляющая тока короткого
замыкания зависит только от реактивных сопротивлений, а вторая состав-
ляющая—и от реактивных и от активных сопротивлений.

Зависимость относительной величины тока короткого замыкания на
землю в месте замыкания от индуктивного сопротивления катушки представ-
лена кривой на фиг. 276. В качестве независимой переменной выбрана про-
водимость 1 /о> L, так как именно эта величина непосредственно определяет
реактивную мощность и габариты катушки, включенной в цепь нейтрали.
Если эта реактивная мощность равна реактивной мощности емкостного тока
на землю [см. соотношение (24.3)1, т. е. если выполняется условие

WL= ЗшСЕ’2 = Wc, (26.12)

СО

то произойдет полная компенсация реактивной мощности. Этому соответ-
ствует минимум тока короткого замыкания. Цепь, соответствующая схеме
па фиг. 275, оказывается, таким образом, в режиме резонанса токов. При
выполнении условия

Зш27Х'=1 (26.13)

мнимая часть выражения (26.11) обращается в нуль. В выражении (26.11)
остается только вещественная часть, зависящая от активных сопротивле-
ний. На основании соотношений (26.7) и (26.13) наименьший ток короткого
замыкания на землю равен

/ег = Зи)Ц(г+7?)7с-Ь^- = -^^ + 4-. (26.14)

Таким образом, резонансный ток в месте короткого замыкания опреде-
ляется суммой потерь, обусловленных емкостным током в последовательно

В соотношениях (26.7) —(29.9) знак = заменен знаком «г, так как они справед-
ливы лишь при Р г и Тс 1р. В противном случае для Е' имеем

Е' — ri qP

Ic^ + r/P)
/ЗхлС

—Прим. ред.
*
включенных активных сопротивлениях, и потерь, обусловленных фазным
напряжением в параллельно включенных активных сопротивлениях. Обычно
этот ток составляет лишь несколько процентов от емкостного тока. Посколь-
ку все переменные величины, входящие в выражение (26.14), возрастают
по мере увеличения длины линий, остаточный ток 1ег растет значительно
быстрее протяженности сети.

Путем надлежащего выбора индуктивности в цепи заземления нейтрали
можно добиться почти полного уничтожения установившегося тока корот-
кого замыкания на землю. Следова-
тельно, перекрытие изоляторов за-

Ф и г. 277.

земляющей дугой,

возникшей по

какой-либо причине между провода-
ми и мачтой, вызовет значительный
ток короткого замыкания только в
течение первых мгновений после за-
жигания дуги. Однако устойчивой
дуги не получится, так как вследст-
вие резонанса токов установившийся

ток короткого замыкания уменьшается до весьма малой величины, опре-
деляемой выражением (26.14).

На фпг. 277 приведена осциллограмма тока прп возникновении дуги
в сети с напряжением 30 кв и емкостным током на землю 140 а. Как видно

Фиг. 278.

из осциллограммы, ток ie, протекавший через место замыкания, исчез спустя,
несколько полупериодов. Ток в катушке II достиг наибольшего значения
140а во время горения дуги; после ее погасания он уменьшился до нуля,
совершая затухающие колебания.

На фиг. 278 показана заземляющая Дуга, возникшая в сети с напряже-
нием 100кв и с незаземленной нейтралью; емкостный ток сети равен 60а.
Для зажигания дуги была применена тонкая медная проволока, наброшенная
на гирлянду изоляторов. На фиг. 279 показано, как протекал этот же опыт,
но при заземлении нейтрали через индуктивное сопротивление. В правом
верхнем углу фиг. 279 показана в увеличенном виде та слабая искра,
которая возникла при втором опыте. (

Указанным способом удается быстро гасить любые заземляющие дуги
при любых напряжениях сети, если остаточный ток не превышает примерно
30а. При этом не имеет существенного значения, содержит ли остаточный

Ф и г. 279.

ток только активную составляющую, как получает' при условии идеальной
настройки в резонанс [см. выражение (26.14)], или в нем имеется еще неко-
торая небольшая реактивная составляющая индуктивного или емкостного
характера, обусловленная неточной настройкой в резонанс (см. фиг. 276).

Фиг. 280.

Заземление нейтрали через индуктивное сопротивление обеспечивает
полное гашение заземляющих дуг, возникающих при пробое воздушного
промежутка вследствие перенапряжения или попадания на провода посто-
ронних предметов. Если же дуга возникла в результате пробоя твердой
изоляции, то индуктивное заземление нейтрали не может оказать такого
действия, так как напряжение, восстанавливающееся после каждого пога-
сания дуги, будет вызывать в этом случае повторные зажигания. На фиг. 28и
приведена осциллограмма фазного напряжения и тока короткого замыкания
на землю в подземной кабельной сети напряжением 25 кв, в которой произо-
шел пробой между проводящей жилой и свинцовой оболочкой. Толчок
разрядного тока снижает напряжение почти до нуля, затем оно медленно
восстанавливается в соответствии с постоянной времени колебательного
контура LC, причем этот процесс повторяется многократно. Повреждение,
произведенное током в месте аварии, и общее влияние этого короткого замы-
кания на работу всей системы в целом были очень незначительны по срав-
нению с тем, что наблюдается при отсутствии настроенной индуктивности
в цепи заземления нейтрали.

В момент возникновения короткого замыкания па землю в трехфазной
сети на рассмотренные выше токи накладываются свободные токи, вызван-
ные внезапным изменением состояния. По индуктивной и емкостной ветвям
схемы фиг. 275 протекают различные токи; в сумме они дают полный ток
в заземляющей дуге.

В соответствии с соотношениями (2.33) и (1.34) свободный ток короткого
замыкания равен

/е = Ic gg е-,/тс _ IL со& (26Д5)

Таким образом, в момент возникновения пробоя появляются две апе-
риодические составляющие тока дуги, быстро затухающие в соответствии
с постоянными времени двух ветвей. Пх величины зависят от случайного
значения фазы ср, соответствующей моменту зажигания дуги. Подставляя
в соотношение (26.15) значения установившихся токов 1с и из выражений
(26.7) и (26.8) и отбрасывая малые члены, со-
держащие активные сопротивления, получаем

Ге = sin <ре-'/зсг _ cos<pe-' (L/Ю. (26.16)

Первый член обычно значительно больше вто-
рого; именно он и определяет ударный ток ко-
роткого замыкания, равный отношению фазного
напряжения к активному сопротивлению сети.
Если в месте короткого замыкания имеется

значительное сопротивление заземления р, то начальное значение емкост-
ного тока заметно уменьшается и не превышает значения

= (26.17)

Этот большой ток, затухающий с постоянной времени С (r-j-R), ясно виден
на осциллограмме фиг. 277. Поскольку линия обладает некоторой индуктив-
ностью I, разрядный ток может иметь колебательный характер. Для этого
нужно, чтобы волновое сопротивление |/ НС превышало сумму активных
сопротивлений r-f-р.

На фиг. 281 приведена более полная схема замещения цепи короткого
замыкания, представленной на фиг. 274. В этой схеме замещения учтено
наличие трех фаз трансформатора и линии, а также указаны различные ин-
дуктивности трансформатора, по которым протекают составляющие тока,
а именно: L±—в индуктивной ветви и 5—в емкостной ветви. На схеме пока-
зана также емкость с между каждым из двух здоровых проводов и больным
проводом линии. Она включена параллельно индуктивности рассеяния S
трансформатора. Эти дополнительные элементы схемы являются причиной
возникновения колебаний емкостного переходного тока, частота которых
определяется в основном суммой емкости проводов относительно друг друга
и их емкости относительно земли, а также индуктивностью рассеяния транс-
форматора (с учетом индуктивности линии). Эти колебания ясно видны на
осциллограммах фиг. 277, 280 и 282.
Правая часть схемы фиг. 281 очень восприимчива к высшим гармоникам.
Если фазное напряжение или ток замыкания на землю содержат заметные
высшие гармонические составляющие, то индуктивность рассеяния S вместе
с последовательной емкостью может вызвать появление резонанса напря-
жении. а вместе с параллельной емкостью—резонанса токов. Резонанс на-
пряжений был рассмотрен в гл. 24 (см. фиг. 251).

После прекращения дуги в контуре, содержащем индуктивность L и
емкость С, в течение некоторого времени продолжаются колебания тока и
напряжения Продолжительность колебаний определяется постоянной вре-
мени контура. Это обстоя-

тельство наглядно подтвер-
ждается кривой тока ip в
индуктивной катушке (см.
фиг. 277). При точной на-
стройке на резонанс, оп-
ределяемой выражением
(26.13), колебания в кон-
туре LC происходят с час-
тотой сети, при небольшой
расстройке с частотой,
близкой к частоте сети. Та-
ким образом, здесь имеют

Ф и г. 282.

место те самые условия, ко-

торые исследуются в конце гл. 7 при рассмотрении отключения резонансных
цепей. Отсюда можно сделать вывод, что напряжение в месте короткого замы-
кания будет возрастать очень медленно, как это видно из соотношений (7.55) и
(7.56). Следовательно, условия для полного гашения дуги будут весьма бла-
гоприятными. На фиг. 282 приведена осциллограмма тока короткого замы-
кания па землю и напряжения между больным проводом н землей в сети с
напряжением 50 № до и после зажигания дуги, перекрывшей изолятор. Пере-
крытие было вызвано ’набросом проволоки, которая сгорела в течение при-
мерно двух периодов, после чего зажглась дуга, погасшая примерно через
полупериод. С момента погасания дуги в фазном напряжении появились
медленные биения, объясняющиеся близостью частоты сети к собственной
частоте контура Лишь постепенно напряженно пришло к своему установив-

шемуся значению.

- Применение дугогасящих катушек имеет то преимущество, что нормаль-
ная работа сети может происходить без перерывов. Замыкание на землю—
безразлично, будет ли оно быстро проходящим или стойким,—не влияет на
величину линейного напряжения. Система может продолжать бесперебойную
работу в течение всего времени, пока ищется место замыкания.

Многолетний опыт показывает, что большинство тяжелых аварий в ли-
ниях передачи возникает вследствие однополюсных дуг овых коротких замы-
каний на землю, а также вследствие двухполюсных и трехполюсных замы-
кании, которые вызываются дугами высокого напряжения (см., например,
фиг. 278), легко перебрасывающимися на здоровые провода линии. Гашение дуг,
возникающих при коротких замыканиях, прп помощи индуктивных катушек
позволяет предотвращать дальнейшее развитие аварии и значительно умень-
шать число серьезных нарушений нормальной работы системы.

Когда сеть находится в исправном состоянии, т. е. когда отсутствуют
замыкания на землю, индуктивность в цепи заземления нейтрали и все ем
кости сети относительно земли образуют в сочетании с землей, трансфор-
маторами и проводами (см. фиг. 274) резонансный контур, содержащий
последовательно включенные индуктивность и емкость. Этот контур можно
возбудить любым приложенным к нему напряжением е. В полностью сим-

21 р. Рюденберг
322

IV. Влияние земли

метрпчной трехфазной системе таких напряжений нет1), но они могут по-
явиться в результате какой-нибудь несимметрии трансформатора или линии,
например, если провода имеют различную емкость относительно земли.
Вследствие асимметрии в указанном контуре возникает ток, величину кото-
рого можно найти из уравнения

е = (г + B)i 4- j^Li 4- ; (26.18)

проводимость изоляторов в этом уравнении не учтена. Ток, протекающий
по катушке, включенной между нейтралью системы и землей, создает на ней

падение напряжения

(26.19)

еь = 7?г4 ju>Li.

Считая активные сопротивления малыми, получаем следующее выражение
для отношения напряжения нейтрали к приложенному напряжению:

еЪ_______/мС____

(г + Б)+/^£-^)

(26.20)

место при идеальной настройке,

---Е/2-----

Фиг. 283.

жение. Система напряжений трех

+ G

Максимальное смещение напряжения нейтрали, которое будет иметь
удовлетворяющей соотношению (26.13),
т. е. при полной компенсации тока корот-
кого замыкания на землю, определяется
выражением

/а>£ /

-T—T+-R = ^C(r + R)- (26.21)

В сетях с малыми активными сопро-
тивлениями напряжение нейтрали может
достичь величины, равной и даже пре-
вышающей нормальное фазное напря-
проводов относительно земли окажется

тогда несимметричной (см., например, фиг. 269, 6), даже если осталь-
ные условия работы сети не будут нарушены. Смещение напряжения ней-
трали, определяемое соотношением (26.21), зависит от тех же параметров,
что и первое слагаемое в выражении (26.14) для остаточного тока короткого
замыкания, но их влияние носит противоположный характер. Так как актив-
ное сопротивление в цепи заземления нейтрали должно быть малым, то для
устранения асимметрии напряжений, которая может возникнуть из-за дугога-
сящей катушки, провода трехфазных линий должны быть расположены со-
вершенно симметрично. Последнее достигается, например, при помощи пере-
крещивания (транспозиции) проводов по всей сети.

Наибольшая асимметрия в линии получается при полном отключении
одного провода (фиг. 283). В этом случае образуется контур, содержащий
только емкости двух проводов относительно земли, соединенные параллельно,
и индуктивность в цепп заземления нейтрали. В контуре действует напря-
жение Е' 12. Еслп катушка настроена на полную компенсацию токов одно-
полюсного короткого замыкания в соответствии с выражением (26.13), то из
соотношения, аналогичного соотношению (26.20), но отличающегося от него
тем, что в пего вместо ЗшС входит 2ыС, получаем (пренебрегая активными
сопротивлениями)

eL =---= _ Е'. (26.22)

1 —-----1 -----

2ш«ГС 2

*> Предполагается, что напряжение системы синусоидально,— Прим. ред.
Следовательно, напряжение нейтрали достигает значительной величины.
Эта величина равна тому напряжению, которое имела бы нейтраль, если бы
отключенная фаза трансформатора была замкнута на землю. Напряжения
двух других проводов линии относительно земли при этом возрастают до
величины^ 3 Е' = Е. Если же катушка в цепи заземления нейтрали была
ошибочно настроена так, что ее индуктивность Соответствовала не величине
ЗшС, а величине 2wC (что дает 33% недокомпенсации), то в случае действия
напряжения Е'/2 (т. е. прп отключении одного провода линии) будет иметь
место полный резонанс напряжений. Это вызовет чрезвычайно большое пере-
напряжение в сети. Таким образом, однополюсное размыкание линии при
помощи разъединителя или плавкого предохранителя следует применять
с большой осторожностью.

§ 3. Симметричные составляющие. Расчет токов однополюсного корот-
кого замыкания на землю проводился памп выше методом наложения одно-
фазной системы аварийных токов на трехфазную систему токов нормального

+ А0

Трехфазная Однофазная
система система
в

режима. На фиг. 284, а подробно показано распределение добавочных
аварийных токов в земле и в сети с заземленной нейтралью в случае замыка-
ния па землю в одной точке. На фиг. 284, б показано распределение токов
в сети с изолированной нейтралью в случае одновременного замыкания на
землю в двух различных точках. Па фиг. 284, в приведены две векторные
диаграммы, показывающие изменение во времени токов, принадлежащих
различным системам, а именно: трехфазной системе нормального режима
и налагающейся на нее однофазной системе. Токи однофазной системы со-
здаются электродвижущей силой Е' или Е, действующей при аварии. Сдвш
фаз между токами первой и второй систем может принимать всевозможные
значения.

Для расчета таких несимметричных аварийных токов в трехфазных
сетях можно применять и некоторые иные методы. В общем случае оказы-
вается возможным представить произвольную нагрузку ^генератора в виде
трех наложенных друг на друга симметричных систем токов. Первая система
токов вращается в ту же сторону, что и ротор генератора (например, по часо-
вой стрелке). Вторая система вращается против часовой стрелки, а третья_

неподвижна. Эти три системы называются системами прямой (положитель-
ной), обратной (отрицательной) и нулевой последовательностей. Первые две си-
стемы обычно относят к линейным зажимам, а третью—к нейтрали источника
питающего сеть. На фиг. 285, а показаны временные векторные диаграммы для
этих трех симметричных сщ тем, на которые можно разложить произвольную

И*
трехфазп^ю систему синусоидальных токов пли напряжений. Такой метод
расчета известен под названием метода симметричных составляющих.

Из векторов системы прямой последовательности можно выделить часть,
равную по величине векторам системы обратной последовательности (см.
фиг. 285,6). Объединив затем эти две системы, состоящие из векторов
равной величины, но вращающихся в противоположные стороны, получим
однофазную, т. с. неподвижную, систему, показанную в центре фпг. 285,е.
Эта система может иметь любую начальную фазу; в зависимости от обсто-
ятельств ее можно отнести либо к линейным выводам, либо к нейтрали
источника. Объединяя теперь две неподвижные системы, изображенные на
фиг. 285,6, получаем результат, тождественный с векторными диаграммами
фиг. 284,6. Таким образом, при правильном применении оба метода расчета
токов и напряжений оказываются эквивалентными друг другу.

Разложение системы несимметричных токов на три составляющие пред-
ставляет известные преимущества при рассмотрении реакции токов (магнит
пых полей) в трехфазных вращающихся машинах, в частности в синхронных

генераторах и асинхронных двигателях. В нормальном режиме по обмоткам
этих машин протекают только токи положительной последовательности
(крайняя левая система токов на фиг. 285,а). Эта симметричная система
нагрузочных токов создает магнитное поле реакции якоря, вращающееся
синхронно с ротором. Поэтому ее действие описывается очень просто.

('истома токов обратной последовательности, возникающих вследствие
какой-либо асимметрии нагрузки, создает магнитное поле реакции якоря,
вращающееся в сторону, противоположную направлению вращения якоря.
Это магнитное поле оказывает принципиально совершенно иное действие
па режим вращающихся машин. Действие этого поля можно рассмотреть
независимо, что и было сделано при разборе некоторых примеров в гл 13—15:
однако в большинстве случаев оно было почти полностью затушевано другими
эффектами. В трансформаторах и линиях системы прямой и обратной после-
довательностей проявляют себя одинаковым образом.

Наконец, система токов нулевой последовательности, протекающих
через нейтраль трехфазной обмотки (см. фиг. 284,я), создает во вращаю
щихся машинах магнитное поле реакции якоря, содержащее в основном
высшие пространственные гармоники. Это поле, которое также можно рас-
сматривать отдельно, приводит к уменьшению индуктивности рассея-
ния обмоток для токов нулевой последовательности. В трехфазных трансфор-
маторах токи нулевой последовательности создают магнитные потоки, на-
правление которых во всех трех стержнях магнитопровода одинаково. Токи
же прямой и обратной последовательностей создают магнитные потоки,
меняющиеся по циклическому закону. Действие токов нулевой последова-
тельности в сети было рассмотрено в начале настоящей главы (см., напри-
мер, фиг. 270—274).
Токи нулевой последовательности не могут протекать во вращающихся
машинах и трансформаторах с незаземленноп нейтралью. В таких случаях
однофазная система, создаваемая аварийными токами, накладывается на
зажимы источника, как показано на фиг. 284,6 (см. также некоторые при-
меры в гл. 24).

Любой случай несимметричной нагрузки можно рассчитать изложенным
методом симметричных составляющих, если известны параметры сети, транс-
форматоров и вращающихся машин для этих трех различных систем тока.
Особенно велики преимущества этого, хотя и трудоемкого, метода мри рас-
четах сложных случаев, как, например, нескольких одновременных корот-
ких замыканий в разветвленной сети. Однако многие типичные случаи можно
исследовать гораздо проще, применяя разложение только на две системы
токов: трехфазную нормального режима и однофазную. Поэтому в настоя-
щей книге при рассмотрении соответствующих примеров применяется пос-
ледний, более простой метод.

ЛИТЕРАТУРА

Bauch R., Siemens-Zs., 261 (1921).

Vorgange bei Erdschluss.

Bekku S., Arch. Elektrotechn., 14, 543 (1925).

Methode der symmetrischen Koordinaten und allgemeine Theoric der Erdschluss-
loscheinricht ungen.

В i e r h a I s A., Elektrotechn. Zs., 65, 217 (1944).

Die Spannungsverlagerung in Kabelnetzen.

e r i 1 1 о G., Focaccia B., Selmo L., Conipt. rend, congr. intern elec., Paris, 6,
239 (1932).

La mise a la terre du nentre sur Ies reseaux a moyennc, haute el tres haute tension
(содержит библиографию).

D i c s c n d о r f W., Gross E., Elektrotechn. u Maschinenbau, 53, 481, 601 (1935).

Entkopplungseinrichtungen filr parallel gefiihrte Hochspannungsleitungen.

F a у e -11 a n s e n K., Elektrotechn. n. Maschinenbau, 57, 13 (1939).

Konnen gefahrliche Spannungsschwinguugen zwiseben zwei Phasen cines Dreipha-
sensysteins auflreten, wenn die dritte Phase plotzlich geerdet wird?

Fortescue G. L., Proc. AIEE, 17, 629 (1918)

Method of symmetrical coordinates applied to the solution of polyphase networks.

Gross E., Schweiz. Bull., 28, 165 (1937).

Uber die erstmalige Bestimmung der guusligsten Einstellung von Erdschlusspulen.

II a g u c, B., Coinpt. rend, congr. intern, elec., Paris., 6, 649 (1932).

Etude bibliographique de la methode des coordonuees symetriques et de ses appli-
cations a la theorie des systemes polyphases (содержит библиографию).

Bunter E. M., Trans. AIEE, 57, 11 (1938).

Some engineering features of Petersen coils and their application.

J on as J., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 453 (1920).

Ober den Schutz von Hochspannungsnetzen mit unsymmetrisch auf die Netzlei-
tungen verteilter Teilkapazitat gegen Erde.

Kimbark E. W., Trans. AIEE, 58, 894 (1939).

Two-phase coordinates of a three-phase circuit.

I. e w i s VV. W., Gen. Electr. Rev., 524 (1915).

Short-circuit currents on grounded neutral systems.

Lobl O., Erdung, Nullung und Schutzschaltung, Berlin, 1933.

Lyon W. V., Applications of the Method of Symmetrical Components, New York, 1937.

Mackerras A. P., Gen. Electr. Rev., 218 (1926).

Calculation of single-phase short circuits by the method of symmetrical components.

Matthias A., Arch. Elektrotechn., 12, 381 (1923).

Ober das Verhalten der Erdschlu3spule im Betriebe.

Mauduit A., Rev. gen., elec., 16, 227 (1924).

Courants de defaut et courants a la terre dans un reseau triphase.

Mauduit A., Rev. gen. elec., 16, 693 (1924).

Mise indirecte du neutre a la terre.

Mauduit A., Rev. gen. elec., 25, 875 (1929).

Protections obtenues et dangers occasiones par les diverses mises a la terre dans les
reseaux a basse et a haute tension.
Maury Е., Rev. gen. elec., 53, 79 (1944).

L’extinction des arcs dans le reenclenchement ultrarapide monophase sur les lignes
a 220 kilovolts.

M engele B., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 52, 37, 53 (1934).

Die Grenzen der Erdschlussloschung in Mittelspannungsnetzen.

M e n g e 1 e B., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 54, 229 (1936).

Einneuer Ahstimmungsmesser fiir Erdschlussloschspulen.

Meyer G., Elektrotechn., Zs., 1466 (1931)

Die Brenndauer von Erdschluss-Lichtbogen in geloschten Netzen.

Mortlock J. R., Dobson С. M. Journ. Inst. Electr. Eng. (London), 94, P. II, 549
(1947).

Neutral earthing of three-phase systems, with particular reference to laige
power stations.

North J. R., Eaton J. R., Trans. AIEE, 53, 63 (1934).

Petersen coil tests on 140-kv system.

Nothei F., Elektrotechn. Zs., 1478 (1921); 385 (1922).

Uber die Abstimmung der Loschdrosseln

Ollendorff F., A DE-Fachberichte, 28 (1926).

Die Erdung des Transformatornullpunktes in ihrer Wirkung auf Erd- und Kurz-
schlijpstro.ne.

Petersen W., Elektiotechn. Zs., 493 (1916).

Erdschlu3strome in Hochspannungsnetzen.

Petersen W., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 297 (1918).

Beseitigung von Freileitungsstorungen durch (J nterdrilckung des Erdshlu3stromes
und- lichtbogens.

Petersen W., Elektrotechn. Zs., 5 (1919).

Die. Begrenzung des Erdschlu;stromes und die Unterdriickung des Erdschluss-
lichtbogens durch die Erdschlu3spule.

Schaubert A., Arch. Elektrotechn., 36, 585 (1942).

DieErzeugung einer Sternpunktserdspannung in Netzen, ein vielseitiges Betriebs-
mittcl der Hochspannungstechnik

Sumner J. H., Journ. Inst. Electr. Eng., 94, P. II, 283 (1947).

The theory and operation of Petersen coils.

Taylor H. W., S t r i t z 1 P. F., Journ. Inst. Electr. Eng., 82, 387 (1938).

Line protection by Petersen coils, with special reference to conditions prevailing
in Great Britain.

Voigt M., Schweiz. Bull., 49 (1915).

Die Erdung des neutralen Punkts in Drehstromanlagen.

Vrethem A. T., CIGRE, No 321 (1946).

Operation of high-voltage systems up to 220 kv equipped with arc-suppression coils.

Wagner C. F., Evans R. D., Symmetrical Components as Applied to the Ana-
lysis of Unbalanced Electrical Circuits, New York, 1933.

Weber H., Der Erdschluss in Hochspannungsnetzen, Munich and Berlin, 1936.

Wi llheim R., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 137 (1921)

Die allgemeinen Loschbedingungen fiir Erdschlu3schutzeinrichtungen.

Willhe’m R., Das Erdschlussproblem in Hochspannungsnetzen, Berlin, 1936 (содер-
жит библиографию).

AIEE Subject Committee: Present-day grounding practices on power systems, Trans. AIEE,
Глава 27

ЗАЗЕМЛЯЮЩИЕ ТРОСЫ НА ОПОРАХ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧ

Чтобы избежать появления на заземляющем электроде высокого на-
пряжения, чему способствует большое удельное сопротивление грунта,
целесообразно отводить аварийные токи от места замыкания на землю
при помощи защитных проводников. Для осуществления этого можно либо
проложпть вокруг опор и под проводами линии подземную сеть металли-
ческих проводников, либо соединить между собой отдельные опоры зазем-
ляющим воздушным тросом.

В последнем случае при любом поражении опоры, будь то прямой
удар молнии пли дуговое короткое замыкание па землю, ток будет сте-
кать в землю не только через основание пораженной опоры, но и через
заземляющий трос и через другие опоры. Так как трос обладает и сопро-
тивлением и индуктивностью, то через удаленные опоры пройдет меньший
ток, чем через ближние, и наибольший ток всегда будет проходить через
пораженную опору.

§ 1. Воздушный заземляющий трос. Найдем распределение тока

n-й опоре (считая от пораженной), равен разности токов in и tn+1, теку-
щих по соседним участкам троса, т. е.

^n = Jn — Inn- (27-1)

Пусть сопротивление участка троса на длине одного пролета равно г,
а сопротивление заземления каждой опоры равно R. Предположим, что
сопротивления заземления всех опор одинаковы и длины пролетов на-
столько велики, что можно пренебречь взаимным влиянием отдельных
заземляющих электродов. Если надо учесть индуктивность троса и опоры,
например при высоких частотах, возникающих при ударе молнии, то под
г и 7? следует подразумевать соответствующие кажущиеся сопротивления.
Сумма падений напряжения в каждом замкнутом контуре, изображенном
на фиг. 286, равна нулю. Так как n-й контур состоит из n-го участка
заземленного троса и n-й и (п — 1)-й опор, то

+ = (27.2)

Если п принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 и т. д. (в зависимости от
того, какая опора рассматривается), то уравнения (27.1) и (27.2) дают
исчерпывающий закон распределения тока по всем опорам и пролетам
троса.

Чтобы разделить неизвестные i и I, запишем уравнение (27 2) в виде

Ч. = ^(Л-1-Л)- (27.3)

Это уравнение относится к n-му пролету. Заменив п па п 1, получим
аналогичное уравнение для (и 1)-го пролета

(27.4)

Подставляя выражения (27.3) и (27.4) в уравнение (27.1), получаем

Н Л=Л+1 2/п - Л1-1- (27.5)

Это соотношение представляет собой линейное разностное уравнение вто-
рого порядка для тока I в опорах.

Аналогичное уравнение можно получить для тока i в заземляющем
тросе. Для этого надо видоизменить уравнение (27.1) применительно к току
в (« 1)-й опоре

Л-1 = Ч.-1 — (27.6)

Подставляя затем соотношения (27.1) и (27.6) в уравнение (27.2), получаем

Л in— in+i 2in- in-i- (%? 7)

Чтобы найти решения этих разностных уравнений, надо задаться за-
висимостью тока 1п в опоре от ее номера. Предположим, что

1п = Ае'1п, (27.8)

где А — произвольная постоянная, которую еще предстоит определить.
Коэффициент а можно определить непосредственно. Для этого подставим
в разностное уравнение (27.5) выражение (27.8), а также выражения для
Л+1 и Л-1> которые получаются из выражения (27.8) путем подстановки
п -j- 1 и п — 1 вместо п, т. е.

7„+1 = Ае’<п+1> = Аеае°п (27.9)

Zn-1 = = Ае~ас“п. (27.10)

Выполняя подстановку и сокращая общие множители, получаем

J = е’ - 2 Д е~а = (е”12 - е-°/2)а = (г sh £)2 . (27.11)

Отсюда находим

<27-12)

Так как сопротивления г и R известны, то можно определить а как
аргумент гиперболической функции. Таким образом, выражение (27.8)
действительно является решением уравнения (27.5). Выражение (27.8) по-
казывает, что ток 1п, текущий через опору в землю, меняется по показатель-
ному закону в зависимости от расстояния до пораженной опоры. Так как
уравнению (27.11) удовлетворяют как положительные, так и отрицатель-
иые значения а, то общим решением разностного уравнения служит
выражение

1п = Ае',п 'гВе-*п. (27.13)

Появление двух произвольных постоянных А и В объясняется тем, что
в правой части разностного уравнения (27.5) содержится вторая разность
1п, а именно:

/п+1 - 2/„ - In-! = (ЛЛ - In) - (In - In-г) = (27.14)

Обычно сопротивление одного пролета заземляющегося троса г мало
ио сравнению с сопротивлением заземления опоры В. Поэтому гипербо-
лическим синус в выражении (27 12) — малая величина и, следовательно,
может быть заменен своим аргументом. Отсюда

(27.15)

Этим соотношением можно пользоваться для значений г 7? <0,1. Таким
образом, распределение тока между опорами определяется в основном
квадратным корнем из отношения сопротивления пролета заземляющего-
троса к сопротивлению заземления каждоп опоры.

Ток in в тросе удовлетворяет разностному уравнению (27.7) того же
самого вида, что и уравнение (27.5) для тока в опоре. Поэтому по ана-
логии с выраженном (27.13) ток 1п можно определить следующим образом:

in = ает 4- 1>е~ап.

(27.16)

Здесь а и Ь— новые постоянные.

Так как токп г'„ и 1п связаны между собой уравнением (27.1), то
постоянные А, В и а, Ъ не могут быть независимыми друг от друга. Под-
ставив выражения (17.13) и (27.16) в уравнение (27.1), получим

4,«»4-5e-an = ae™(l -е°) j- Ъе~°-п (1 — е~°). (27.17)

Гак как это соотношение справедливо при любом значении п, то

А = а (1 — е“),
В=Ь(1 — е-°).

(27.18)

Поэтому на основании выражения (27.16) ток в заземляющем тросе равен

i,.. = А

еап

1 — еа

е~ап

1-е~а

(27.19)

4 В

Теперь выражения (27.13) и (27.19) для обоих токов содержат только две
постоянные А и В, значения которых должны быть определены из гра-
ничных условии задачи.

Если короткое замыкание на землю произошло па концевой опоре,
как показано на фиг. 287, то ток 1е распадается на ток /0 и ток в пер-
вом пролете троса i±:

1е = 10 + \- (27.20)

Это соотношение представляет собой граничное условие, относящееся
к началу линии (п — 0).

Так как по мере увеличения числа п, т. е. расстояния от поражен-
ной опоры, токи должны постепенно уменьшаться, а не увеличиваться,,
то вторым граничным условием, относящимся к удаленному концу очень
длинной липни, на основании выражений (27.13) и (27.19) должно быть

Л = 0. (27.21)
выраженпю

Фиг. 287.

Таким образом, в правой части выражений (27.13) и (27.19) сохраняются
только вторые члены, содержащие коэффициенты В, т. е.

-ап

Л = Be—, in = Б . (27.22)

Подставив эти выражения в соотношение (27.20) (для чего в выраже-
нии для Iп положим п = 0, а в выражении для in положим п = 1),
получим

I = В -J- -Вр~*- = В - . (27.23)

е 1— е-° 1 — е~а

Отсюда отношение постоянной В к току короткого замыкания 1е равно
_ l-th4 2th4

4 = 1 - е-“ = 1--------- = ------- . (27.24)

l+th-J i+th-J

Наибольший ток течет в землю,"естественно, через пораженную опору
получаем, принимая во внимание
значение В, определяемое выраже-
нием (27.24):

2 014
т0 = (1-е-)/е =--------44-

1 + 01 у

(27.25)

Наибольший ток в заземляющем
тросе протекает по пролету, при-

мыкающему к пораженной опоре (n= 1). Согласно соотношениям (27.20) и
(27.22), он равен

2 th 4 l-th4

h = Ie - Io = Ц--------— Ц =--------- Ie = e~<4e. (27.26)

1 + th -g- 1 + th -g-

При численных расчетах удобнее обходиться без трансцендентных функ-
ций. Воспользовавшись соотношением (27.12), можно записать

(27.27)

и получить для всех интересующих нас токов [см. соотношения (27.25) и
(27.26)] легко вычисляемые выражения.

Если, например, сопротивление одного пролета троса г =1,5 ом, а со-
противление заземления основания опоры В = 50 ом, то на основании
выражения (27.27) с достаточной для практики точностью имеем

th 4 = А1/У = 0,087.

£ & т OU

Следовательно, на основании соотношения (27.25) наибольший ток в пора-
женной опоре равен

. _ 2-0,087 т ,сг
0 1+0,087 — U,1We’
а на основании соотношения (27.26) наибольший ток в тросе составляет

1 — 0,087
“1 + 0,087

7е —0,84Ze.

Таким образом, соединяя опоры при помощи троса со сравнительно
малым сопротивлением, можно значительно уменьшить ток, текущий

в землю через пораженную опо-
ру. Трос разгружает пораженную
опору, отводя часть тока к другим
опорам. Распределение тока между
отдельными опорами и пролетами
троса определяется соотношения-
ми (27.22). На фиг. 288 приведено
распределение токов для отноше-

ния r/R = 0,03.

Найдем расстояние п, на котором
значения в начале линии. На основании

Ф и г. 288.

ток уменьшается до 1% от его
соотношения (27.22)

и, следовательно,

е-ап

“100

«1%

(27.28)

(27.29)

В правой части соотношения (27.29) использовано приближенное выра-
жение (27.15). Таким образом, протяженность той части линии, в которой
осуществляется распределение тока между опорами, приблизительно

обратно пропорциональна квадратному корню из сопротивления троса на
длине одного пролета. При r/R — 0,03 ток, равный 1% от его значения
в пораженной опоре, получается в 26-й мачте, считая от начала.

Эти рассуждения позволяют также выяснить, можно ли считать дан-
ную линию достаточно длинной для того, чтобы применить соотношение
(27.21). Приведенные расчеты допустимы, если число мачт в линии не
меньше числа, определяемого формулой (27.29).

Если короткое замыкание произошло не на концевой, а на проме-
жуточной мачте длинной линии (фиг. 289), то ток будет растекаться в обе
стороны от пораженной опоры. Так как распределение тока по тросу
справа и слева от пораженной опоры будет одним и тем же, то получен-
ное выше решение применимо для обеих сторон, если считать п в выра-
жениях (27.22) и на фиг. 289 положительным в обе стороны. Однако гра-
ничные условия для пораженной опоры будут теперь иными.

Полный ток короткого замыкания 1е распадается теперь на три
составляющие (см. фиг. 289); первая проходит по опоре непосредственно
в землю; две другие, равные между собой, растекаются вправо и влево
по тросу. Следовательно,

Ic = I0 + 2iv (27.30)
Подставляя в это соотношение значение тока, определяемое выражением
(27.22), получаем

1-В 2 Ве~° = В1 + е~-- = В ct.h4- • (27.31)

е 1 —с-а 1 — е~а 2

Определив отсюда значение В, подставим его в выражение (27.22), поло
жив ю = 0. Таким образом получим следующее выражение для тока в пора
жениой опоре:

Z0 = th-j7e.

(27.32)

На основании
тросе равен

соотношения (27.30) наибольший ток в заземляющем

Л-Л

1 — lh-y
------—I

2 е

(27.33)

Сопоставление двух последних выражении с выражениями (27.25) и
(27.26) показывает, что при аварии посередине линии наибольшие токи
в опоре и тросе имеют значительно меньшую величину, чем при аварии

у конца линии. Так как th (а/2) обычно представляет собой весьма малую
дробь, то токи уменьшаются почти (но не точно) вдвое. Для численных
расчетов можно вновь воспользоваться выражением (27.27). В тех же-
случаях, когда г! В меньше 0,1, можно воспользоваться приближенным
соотношением (27.15) и знаменатель отношения, стоящего под корнем
в выражении (27.27), принять равным 1. Таким образом на основании
соотношений (27.32) и (27.33) получим следующие приближенные выра-
жения для наибольших значении тока в опоре и тросе:

<2734>

'.“К’-гУ «)' ё’.35)

На фиг. 290 показано распределение токов в линии по обе сторо-
ны от пораженной опоры для г/В = 0,03. Убывание токов определяется»
как и раньше, соотношением (27.29).

При указанных в предыдущем примере значениях сопротивлений токи
в пораженной опоре 10 и в тросе ix соответственно равны

zo=IFW =°’°86

4 = у (1 - 0,086) Ц = 0,457 Ц.
Определим результирующее сопротивление заземления всех опор, свя-
(анных между собой тросом. Величина этого сопротивления определяет то
напряжение, которое появляется на пораженной опоре. Так как трос
уменьшает ток в пораженной опоре в отношении, даваемом формулами
{27.25) и (27.32), то входное сопротивление системы будет во столько же
раз меньше сопротивления опоры. Так, при коротком замыкании в сере-
дине линии результирующее сопротивление равно

2 г = R th~ у I/ Rr, (27.36)

т. е. оно приблизительно равно половине среднегеометрического из сопро-
тивлений заземления одной опоры и одного пролета троса.

Если (см. предыдущие примеры) сопротивление заземления одной
опоры R = 50 ом, а сопротивление одного пролета троса г = 1,5 ом, то
благодаря наличию троса ток в пораженной мачте и сопротивление зазем-
ления уменьшаются до 8,6%. На основании соотношения (27.36) суммар-
ное сопротивление равно

2 R, r = [ - Rr = у 1^50-1,5 = 4,Золе.

Если в сети происходят одновременно два замыкания на землю в двух
проводах различных фаз, то такое двойное замыкание на землю пред-
ставляет собой более или менее полное короткое замыкание сети.
13 этом случае ток короткого замыкания течет из одного провода по по-
раженной п ближайшим к ней опорам в землю, а пз земли —по другой
пораженной опоре и но примыкающим к ней опорам в другой провод
линии. Часть тока может при этом непосредственно протекать по зазем-
ляющему тросу от одной пораженной опоры к другой. Если расстояние
между двумя пораженными опорами велико [больше, чем удвоенное зна-
чение, определяемое выражением (27.29)], то две системы токов не
влияют друг па друга. Отсюда следует, что полное сопротивление за-
земления при двойном замыкании па землю равно удвоенному зна-
чению, определяемому выражением (27.36), независимо от расстояния
между пораженными опорами. Замечательно то, что при одновременных
коротких замыканиях, происходящих даже в отдаленных друг от друга
точках сети, сопротивления заземления по превосходят нескольких ом.

Если же расстояние между двумя точками короткого замыкания мало,
то обе системы токов влияют друг на друга. В этом случае результи-
рующее сопротивление оказывается еще меньше; при коротких замыка-
ниях на двух соседних опорах оно может оказаться даже меньше сопро-
тивления одного пролета заземляющего троса. В этом случае грунт
(земля) значительно разгружается от тока короткого замыкания, который
протекает от опоры к опоре главным образом по тросу.

§ 2. Протяженные заземлители. В гл. 25 были рассмотрены зазем-
ляющие электроды, представляющие собой сравнительно короткие про-
водники; поэтому паденпе напряжения по длине электродов можно было
не учитывать. Однако прп протяженных заземлителях, например тросах,
лептах, кабельных оболочках, железнодорожных и трамвайных рельсах,
металлических трубопроводах и т. п., необходимо учитывать не только
сопротивление заземления R, но и падение напряжения на собственном
активном сопротивлении г электродов, по которым проходит ток, прежде
чем перейти в землю.

На фиг. 291 показано распределение тока Zu, входящего в проложенный
в земле трос. Ток в тросе постепенно убывает и переходит в землю как ток
растекания I. Будем измерять ток троса i в а, ток растекания I в а/м,
сопротивление троса г в ом/м, сопротивление растеканию R в ом-м. Со-
противление R может слегка изменяться по длине троса х вследствие концен-
трации тока растекания у его концов. Однако в рассматриваемой задаче мож-
но с достаточной точностью принять сопротивление R постоянным и равным
некоторому среднему значению. Так как трос соприкасается с землей
по всей длине, то распределение тока описывается не разностными, а диф-
ференциальными уравнениями.

В любой точке троса сумма притекающего и утекающего по тросу
токов, а также тока, стекающего с троса в землю, должна быть равна
нулю. Следовательно,

/+1-0. (27.37)

Это уравнение соответствует уравнению (27.1). Кроме того, нулю должна
равняться сумма падений напряжения на элементе троса, имеющем сопро-
тивление rdx, и на двух примыкающих к
нему сопротивлениях заземления R. Сле-
довательно,

Н7Гх + ” = °- (27.38>

Это уравнение соответствует уравнению
(27.2). Из уравнений (27.37) й (27.38) по-
лучаем дифференциальное уравнение для
тока i в тросе

£-^(= 0. (27.39)

Аналогичное дифференциальное урав-
нение можно получить для тока расте-
кания I.

Если отсчитывать координату х от свободного конца троса, общая
длина которого равна I, и воспользоваться обозначением

₽ = (27.40)

то, решив уравнение (27.39), получим следующий закон изменения тока
вдоль троса:

z’=Ie^7“- (27-41)

Воспользовавшись теперь уравнением (27.37), найдем закон распре-
деления тока растекапия

/ = ₽Ц/.. (27.42)

Зависимость токов i и I от координаты х показана на фиг. 291,6.

Вблизи начала проводника оба тока изменяются по экспоненциаль-
ному закону, и их распределение характеризуется подкасательной X,.
равной

x = (2743>

В точках, удаленных от начала проводника на расстояние, превышающее
величину, равную примерно ЗХ, ток растекания становится очень малым
Таким образом, эффект, обусловленный удлинением заземляющих электро-
Гл. 27. Заземляющие тросы на опорах линий передач

дов, ограничен постепенным уменьшением тока растекания, которое зави-
сит от отношения сопротивления проводника к сопротивлению растекания
[см. соотношение (27.43)].

При малых значениях сопротивления троса г или его длины I про-
изведение р/ мало и, следовательно,

shpZ^pZ; chp/^ 1. (27.44)

Поэтому приближенно токи i и I имеют
х г .

1 — I 1°’

соответственно следующие значения:

(27.45)

Таким образом, в этом случае ток i в тросе линейно уменьшается
в зависимости от х, а ток растекания I распределяется равномерно по
всей длине Z, как это имеет место для заземляющего электрода, имеющего
одинаковый потенциал по всей длине.

При больших значениях сопротивления троса г или его длины I во
всех точках (кроме точки х = 0 и ближайших к ней точек)

1
bhpz^chpz^ ’2'е₽ж-

(27.46)

Следовательно, согласно соотношениям (27.41) и (27.42), оба тока i и I
убывают по показательному закону, причэм ток растекания связан с током
в тросе соотношением

(27.47)

Сопротивление заземления всего электрода Ло равно отношению на-
пряжения Е к току 70, втекающему в проводник. Напряжение Е равно
падению напряжения, создаваемому некоторым начальным током растека-
ния I' на сопротивлении растеканию Л. Таким образом,

Воспользовавшись соотношением (27.42), положив в нем х=1 и под-
ставив в него выражение (27.40) для р, получим сопротивление заземле-
ния протяженного проводника, уложенного в земле, в виде

T?0=p77?cthpZ. (27.49)

Когда значение PZ велико, cth pZ 1 и

/?0 = УТЛ. (27.50)

Следовательно, сопротивление заземления длинного проводника зависит
в равной мере как от его собственного сопротивления г, так и от сопро-
тивления грунта Л, и представляет собой среднегеометрическое значение
этих величин. Результат, выражающийся соотношением (27.50), очень
сходен с результатом, выражающимся соотношением (27.36), относящимся
к случаю отвода тока в землю в дискретных точках.

Так, например, для кабеля в свинцовой оболочке с ридиусом а — 2 см
и длиной Z = 1 км, уложенного на небольшой глубине во влажный грунт,
сопротивление заземления на 1 м длины па основании соотношения
(25.20) равно

Поэтому полное сопротивление заземления свинцовой оболочки кабеля
при условии постоянства потенциала вдоль всей его длины равно
R, I = 0,17ол1. Собственное сопротивление свинцовой оболочки равно при-
близительно г — 1,5-Следовательно, пространственная постоян-

ная равна

170 _ qqt .

1,5- 10~3 — Ай‘ м-

Так как ctli (101)0/337) я» 1, то полное сопротивление заземления всего
кабеля длиной 1 км составляет

7?0 = /l,5-10-s - 170 = 0,5ом.

Поэтому потенциал оболочки вблизи конца кабеля уменьшится почти до
нуля и, следовательно, эффективное сопротивление заземления /?0 будет
втрое больше той величины, которая получилась бы при постоянстве этого
потенциала.

Если бы проводник (трос), применяющийся для соединения между
собой соседних опор, был уложен в земле, то протекающий по нему ток
подчинялся бы дифференциальному уравнению (27.39). Однако постояв
ные интегрирования оказались бы отличными от тех, которые входят
в соотношение (27.41). Эти постоянные интегрирования можно было бы
получить из выведенных в предыдущем параграфе уравнений для токов
на концах рассматриваемого проводника и уравнений для токов, текущих
по опорам.

ЛИТЕРАТУРА

Behrend II., Elektrotechn. Zs., 261 (1923).

Das Blitzscil als Verbesserer der Masterdung von Hochspaunungsfreiileitungen mit
Hangeisolatoren.

Riidenberg R., Schweiz Bull., 363 (1921); Elektrotechn. Zs., 847 (1921).

Ober den raumlichen Verlauf von ErdschluSstromen.
Глава 28

АТМОСФЕРНЫЕ ПОЛЯ И ИХ ВЛИЯНИЕ ИА ЛИНИЮ

Значительная часть всех нарушений режима передачи обусловлена воз-
действием атмосферных полей; влияние их пытаются ослабить защитными
средствами. Однако, несмотря на это, быстрые изменения поля могут вызвать
появление значительных потенциалов на проводах воздушных линий.

Кабели с металлической оплеткой, окружающей токонесущие жилы,
не подвержены влиянию таких атмосферных полей, в частности, если они
проложены в земле.

§ 1. Экранирующее действие троса. Силовые линии уединенного про-
вода, имеющего потенциал Е, расходятся от него по радиусам равномерно
во все стороны. Если провод расположен на рас-
стоянии к от земной поверхности, то картина
поля изменяется, и силовые линии, как пока-
зано на фпг. 292, ис кривляются по направле-
нию к земле. Силовые линии будут теперь
нормальными не только к поверхности провода,
но и к поверхности хорошо проводящей земли.
Земля оказывает на картину поля такое же
влияние, как п зеркальное изображение про-
вода, расположенное на глубине к под поверх-
ностью земли и имеющее отрицательный потен-
циал Е. Если поверхностный слой земли яв-
ляется диэлектриком, то отражение будет про-
исходить от поверхности почвенных вод.

Чтобы более тщательно изучить распреде-
ление поля, найдем величину электростатиче-
ского потенциала в пространстве над поверх-
ностью земли. Как известно, потенциал, создаваем

цилиндрическим проводом, выражается следующим образом:

Ре= — 2г’ч(?1пр, (28.1)

где (2—заряд на единицу длины провода, р — расстояние от провода до
точки наблюдения, v — скорость света в среде, окружающей провод. Пол-
ный электрический потенциал в какой-либо точке над землей обусловлен
действием как самого провода, так и его изображения, имеющего противо-
положный заряд, и в соответствии с фиг. 292 равен

Р = РеЛ~ Р-е = — 2v2Q In р-f- 2v2Q In р' = 2v2Q In > (28.2)

где p' — расстояние от изображения провода до точки наблюдения.

Для точек, расположенных на поверхности земли, расстояния р и р'
равны между собой, и, следовательно, потенциал этой поверхности равен
нулю. Применяя выражение (28.2) к поверхности провода, напряжение
которого относительно земли равно Е, можно определить его заряд. Рас-
стояние р от точки на поверхности круглого провода до его оси равно
22 р. Рюденберг
половине диаметра 8, а среднее расстояние р' от этой точки до изображе-
ния провода равно 2к. Следовательно, потенциал провода, или, что то же
самое, его напряжение относительно земли, в соответствии с выраже-
нием (28.2), равно

£ = 2i^ln(j^). (28.3)

Отсюда можно найти заряд Q, если известны

геометрические размеры

и напряжение.

13 воздушном пространстве над поверхностью земли существует естест-
венное электрическое поле, обусловленное различными процессами в атмо-
сфере. В невозмущенном состоянии сило-

Ф и г. 293.

вые линии этого поля направлены верти-
кально вверх и оканчиваются на про-
странственных зарядах, находящихся вы-
соко над линией передачи. Если напря-
женность этого первичного атмосферного
поля обозначить через <£0, а расстояние от
поверхности земли — через z, то потенциал
атмосферного поля на высоте z будет равен

Po = %oz- (28.4)

Этот потенциал равен нулю на поверх-
ности земли и возрастает пропорциональ-
но высоте.

На какой бы высоте нп был распо-
ложен изолированный провод, он приоб-
ретет по всей своей длине потенциал этого
атмосферного поля, и заряд на проводе
появиться пе может. Однако если на вы-
соте к. над землей поместить металличе-
ский трос, хорошо соединенный с землей
на всех опорах, то на нем появятся заря-
ды, которые создадут вторичное поле, ис-
кажающее первоначальное атмосферное
поле (фиг. 293). Потенциал этих зарядов Q
в полупространстве над поверхностью
земли также определяется общей форму-
лой (28.2).

На поверхности земли, где z=0 п

р=р', потенциалы, определяемые выра-
жениями (28.2) и г(28.4), равны нулю. На поверхности заземленного
троса эти потенциалы в сумме также должны дать нуль. При этом z равно

средней высоте подвеса троса к, расстояние р' равно 2к, а р равно поло-
вине диаметра 8. Таким образом,

(р0 + Ре)~* = П.к + 2&Q In = 0, (28.5)

и, следовательно, заряд заземленного троса равен

<2 =

(28.6)
Подставив это значение в выражение (23.2), получим потенциал в точке
над поверхностью земли, обусловленный зарядом троса,

(28.7)

Полный потенциал в той же точке равен

P = Po + pe = £oz-%ok

(28.8)

Распределение эквипотенциальных и силовых линий, соответствующее
соотношению (28.8), показано на фиг. 293. Из нее видно, как сильно
уменьшился потенциал вблизи троса, и притом не только снизу от него,
но и сверху и по сторонам,. На тросе оканчивается часть идущих сверху
силовых линий, благодаря чему напряженность поля над тросом резко
возрастает. Под тросом напряженность поля оказывается ослабленной
т. е. здесь создается теневая зона.

Теперь мы можем определить экранирующее действие заземленного
троса в любой точке пространства. Как следует из фиг. 293, мы должны
различать экранирующее действие в отношении потенциала и экраниру-
ющее действие в отношении напряженности поля. Относительное измене-
ние потенциала атмосферного поля, вызываемое заземленным тросом вблизи
проводов высоковольтной линии, на основании соотношений (28.4) и (28.8)
равно

(28.9)

Здесь р означает теперь расстояние от заземленного троса до проводов
линии передачи, расположенных на высоте z — h над землей (см. фпг. 293).
При небольшом расстоянии между тросом и проводами можно положить
р'=Лф-/г; тогда

(28.10)

Экранирующее действие заземленного троса диаметром 8 = 8 лай, находя-
щегося на расстоянии р = 1 м над высоковольтной линией, расположен-
ной на высоте h = 10 м над землей, т. е. при к = 11 м, составляет

Зависимость экранирующего действия того же троса от высоты подвеса
рабочего провода изображена на фиг. 294. Поскольку экранирующее дей-
ствие троса логарифмически зависит от его диаметра 8 и расстояния р от
него до линии [см. выражение (28.10)], то влияние этих величин незначи-
тельно; для реальных линий экранирующее действие имеет обычно вели-
чину порядка 30—40%. Таким образом, уменьшаются как величина естест-
венного потенциала над поверхностью земли, так и все его изменения
в месте расположения рабочих проводов. Трос оказывается очень полезным
при тех атмосферных явлениях, когда возникают перенапряжения и
освобождаются заряды.

Экранирующее действие заземленного троса распространяется на неко-

торую окружающую его

[см. соотношения (28.5) и

область и, следовательно, может быть усилено
путем применения нескольких тросов. Чтобы
определить результирующий потенциал двух
тросов, расположенных, как показано на
фиг. 295, надо принять во внимание, что за-
ряд Q распределяется поровну между обоими
тросами. Потенциал одного из тросов обуслов-
лен как тем зарядом, который находится на
нем непосредственно, так и тем, который несет
другой трос, удаленный от него на расстояние s.
Для потенциала на поверхности каждого из
тросов получаем выражение

Ре

которое можно

Ре

Из последнего
полный заряд

+ , (28.11)

записать в виде

(28.12)

соотношения можно определить
Q обоих заземленных тросов

(28.6)]. Сравнивая аргументы логарифмов в вы-
приходим к выводу, что действие двух зазем-

ражениях (28.3) и (28.12),

ленных тросов, расположенных, как показано на фиг. 295, эквивалентно

действию одного заземленного троса диаметром

Д = /2Вх. (28.13)

Таким образом, эквивалентный диаметр равен среднегео-
метрическому из удвоенного диаметра троса и расстоя-
ния между двумя тросами. Так как эквивалентный диа-
метр значительно возрастает при увеличении расстояния
между тросами, то экранирующее действие можно суще-
ственно усилить.

Для двух заземленных тросов, диаметр каждого из
которых 8 = 8 мм, при расстоянии между ними s — 2 м

Фиг. 295.

эквивалентны й

диаметр

равен

Д = /2-0,008-2 = 0,18 м.

Экрани рующее
на расстоянии
рассмотренном

действие
1 м под

этих тросов на
ними, при тех

линию передачи,

расноложенну ю

же остальных размерах, что и в

выше примере, равно

11 In 21

—16, /4-1
In „ ,

= 61%.

Таким образом, вследствие увеличения эквивалентного диаметра троса его
экранирующее действие возрастает примерно на 50% и распространяется
на значительно большую область. В то время как при расположении,
показанном на фиг. 296,а, провода довольно хорошо экранируются одним
тросом, электрическая защита двумя тросами (фиг. 296,6) оказывается
более действенной. Здесь сказывается и увеличение эквивалентного диа-
метра троса и уменьшение расстояний между тросами и рабочими прово-
дами. Ilpn еще большем числе заземленных тросов вокруг высоковольтной
линии передачи образуется как бы замкнутая клетка, почти полностью
экранирующая линию от влияния внешнего поля.

Из фш. 294 видно, что при обходе вокруг троса наблюдаются лишь
незначительные изменения потенциала. Поэтому экранирующее действие

троса проявляется прп его расположении как над проводами, так и под
ними. Однако, как видно из фиг. 293, распределение напряженности поля
вокруг троса весьма неравномерно. Напряженность поля, создаваемого
заземленным тросом в направлении радиуса р, равна производной потен-

циала по радиусу; для небольшого значения
ного, значения р' напряжен-
ность поля на основании соот-

и большого, почти постоян-

ношения (28.7) будет

__&Ре__ &___

е~ dp ~ ₽

равна

. (28.14)

На поверхности троса
2к

р = 8/2 и

$ег

£<г

(28.15)

В этом соотношении логарифм
значительно меньше своего ар-
гумента. Следовательно, любое
атмосферное поле оказывается
сильно сконцентрированным у

поверхности

заземленного троса, причем

этот эффект усиливается по мере увеличения высоты подвеса троса.

Напряженность поля у поверхности заземленного троса (используются

числовые данные рассмотренного выше примера) равна

2 11

^ = -^-^0 = 320

При напряженности атмосферного поля 10 кв/м (эта величина значительно
меньше напряженности поля во время грозы) напряженность поля у по-
верхности троса будет равна 32 кв/см, т. е. будет достаточной для возник-
новения на тросе коронного разряда. Так как путь молнии проходит обычно
через области с наибольшей напряженностью поля, то трос отводит удар
молнии от линии передачи и принимает его на себя.

Непосредственно у поверхности заземленного троса напряженность
поля в соответствии с выражением (28.14) превосходит напряженность
первичного атмосферного поля. Изменение напряженности поля в верти-
кальном направлении для приведенного примера представлено на фиг: 297.
Относительное изменение напряженности атмосферного поля, вызванное
действием заземленного троса, равно

(28.16)

. < I

На поверхности земли, где р — к, напряженность результирующего поля
всегда уменьшается; в нашем примере она уменьшается до величины

е = Ч- = Ц,6%.
о,о

В действительности эта величина должна быть удвоена, потому что при
выводе соотношения (28.14) мы пренебрегли действием изображения троса

в земле.

На некотором определенном расстоянии
под заземленным тросом, а именно на рас-
стоянии

Ро

Чт1

(28.17)

относительное изменение напряженности атмо-
сферного поля е=1. Так как знак напряжен-
ности дополнительного поля под тросом про-
тивоположен знаку напряженности первичного
атмосферного поля, то в этом месте атмосфер-
ное поле будет полностью нейтрализовано.
В нашем примере это произойдет на расстоянии

Ро = 8^6 = 1,28 м-

Экранирующее действие троса в отношении

напряженности поля на этом расстоянии до-
стигает 100%, и, следовательно, расположение проводов линии передачи

в этом месте является наивыгоднейшим, поскольку вероятность пораже-
ния прямым ударом молнии становится наименьшей. Ближе к тросу напря-
женность поля быстро возрастает, и над тросом она всегда больше, чем
была бы в его отсутствие.

Таким образом, чтобы наилучшим образом защитить рабочие провода

от прямого удара молнии, рекомендуется располагать их под заземленным
тросом вблизи нейтральной линии, определяемой соотношением (28.17).

§ 2. Многопроводные линии. На практике большинство линий пере-
дачи состоит из двух, трех или большего числа проводов. Возникает
вопрос: как должны быть расположены провода, чтобы они были защи-
щены наилучшим образом? Так как положение проводов и расстояние
между ними обычно бывают заданы, то мы займемся выбором наилучшего
положения заземленного троса.

Напряженность поля ge, обусловленного наличием заземленного троса,
определяется выражением (28.14). Выразим ее через расстояние р0 от троса
до того места, где первичное поле напряженностью £0 полностью ней-
трализуется. Это расстояние определяется соотношением (28.17). Объеди-
няя выражения (28.14) и (28.17), получаем

ge = -^g0- (28.18)

Найденное соотношение справедливо для любого направления а и для
небольшого расстояния р между тросом и точкой наблюдения.

Результирующий вектор напряженности поля в точке наблюдения,
как показано на фиг. 298, равен сумме двух векторов: вектора напряжен-
ности первичного поля %0, направленного вертикально, и вектора напря-
женности дополнительного поля ge, направленного по р. Результирующий
вектор равен

F = l<^ + S2e-2£0Secosa . (28.19)

Подставляя сюда значение из соотношения (28.18), получаем

(4У=*+Ст)'-2т“5“ <2S-2O)

или после умножения на р2 имеем

— ] р2 + ро “ 2рР°cos a = °- (28.21)

При фиксированном g это соотношение представляет собой уравнение
окружности, симметричной относительно вертикальной линии, проходящей

через трос (см. фиг. 298).
равно

Расстояние от троса до центра окружности

(28.22)

а радиус окружности

(28.23)

На фиг. 299 представлено семейство окружностей, пересекающих отре-
зок р0, соединяющий заземленный трос с нейтральной точкой. На каж-
дой окружности результирующая напряженность поля постоянна, как это
следует из соотношения (28.22). Величина этой напряженности меняется
от 0 в нейтральной точке до со в центре заземленного троса.

При £ = g0, т. е. для тех точек, где результирующая напряженность
поля равна напряженности начального поля, соотношение (28.21) пре-
вращается в уравнение горизонтальной линии, проходящей через середину
отрезка р0,

Ро
р cos a = ~ .

(28.24)

Выше этой центральной линии результирующая напряженность поля
больше, а ниже этой линии — меньше, чем напряженность первичного
поля. Следовательно, экранирующее действие заземленного троса в отно-
шении напряженности электрического поля будет проявляться только
в той части пространства, которая находится ниже центральной линии.

Если провода расположены на опоре так, как показано на фиг. 296, а,
то при помощи семейства определенных выше окружностей, проведенных

Фиг. 300.

через поперечное сечение линии передачи, можно опре-
делить напряженность атмосферного поля в месте располо-
жения каждого из проводов. Наоборот, если требуется,
чтобы напряженность поля в месте положения каждого
из проводов линии была минимальной, то можно найти
оптимальное положение заземленного троса, которое
определяется окружностью наименьшего радиуса, опи-
санной вокруг проводов. Расстояние а от центра этой
окружности на основании соотношения (28.23) равно

а = + ]Л2 + 3°-)2 • (28'25)

Его можно определить графически, как показано на фиг. 300. Отрицатель-

ные значения квадратного корня по представляют интереса, поскольку
они определяют окружности, расположенные в верхней части фиг. 299,

где напряженность поля высока. Расстояние а, определяемое выраже-

нием (28.25), зависит только от положения нейтральной
точки и от расстояния между проводами липни передачи.
Чтобы получить оптимальное экранирующее действие,
необходимо расположить провода как можно более сим-
метрично и как можно ближе друг к другу. Часто это
приводит к значительной высоте троса над линией пе-
редачи, как показано на фиг. 301.

Результирующая напряженность поля в месте рас-
положения крайних проводов в соответствии с выраже-
нием (28.22) равна

= (28.26)

Рассмотрим, например, линию передачи, расположение
проводов которой соответствует фиг. 301 и для которой
р0 = 1,28л«. Допустим, что радиус окружности, описан-
ной вокруг проводов линии, равен г = 1 м. Тогда рас-
стояние до троса в соответствии с соотношением (28.25)
равно

1,28 . - А» , /1,28 V .

а = ~2—Ь|/ 1 +( ) = 1,83 .И,

т. е. больше, чем расстояние между двумя проводами
линии. Напряженность поля, согласно формуле (28.26),
равна

Фиг. 301.

Таким образом, экранирующее действие троса будет значительным. При
любом другом положении заземленного троса экранирующее действие для
некоторых проводов линии оказалосьгбы более слабым.

Защиту линии можно улучшить различными способами. Прежде всего
крайние провода многопроводной линии должны располагаться на сим-
метричной окружности. Уменьшение расстояния между проводами линии
передачи приводит к уменьшению радиуса этой окружности г, но зато
ухудшает изоляцию между проводами. Увеличение диаметра троса приво-
дит к увеличению р0, но связано с повышением расхода металла. Наи-
лучшая защита получается при применении двух или большого числа
заземленных тросов с соответствующими диаметрами, расположенных
на определенном расстоянии друг от друга. В соответствии с выраже-
нием (28.13) такая система тросов эквивалентна одному тросу значительно
большего диаметра, обладающего вследствие этого значительно большим
экранирующим действием в области, где расположены провода линии.

До сих пор мы предполагали, что трос имеет идеальное (без сопро-
тивления) соединение с землей, а провода линии идеально изолированы.
Действительно, трос во многих точках имеет очень хорошее соединение с зем-
лей через опоры, сопротивление заземления которых мало. Прп рассмотре-
нии явлений, обусловленных атмосферными полями, провода линии передачи
часто нельзя считать полностью изолированными от земли, поскольку
концы линий заземлены через нейтрали трансформаторов на станциях.
Однако это заземление в большинстве случаев находится на значитель-
ном расстоянии от места грозового разряда и при быстро меняющихся
полях всегда является несовершенным.

§ 3. Изменение атмосферного поля. Выясним теперь влияние атмо-
сферного поля непосредственно на линию передачи и найдем напряжения
и токи, наводимые в ней прп изменении атмосферного поля во времени.

Мы рассмотрим только тот случай, когда поле меняется равномерно
по всей длине линии. Если нейтраль линии передачи заземлена через
незначительные активное сопротивление и индуктивность, то линия упо-
добится рассмотренным выше заземленным тросам, но только с тем отли-
чием, что соединение с землей не распределено по всем опорам, а сосре-
доточено в одной точке, как показано на фпг. 302.

Полный потенциал линии в любой момент времени дается соотноше-
нием (28.5). Для отличия этого случая от предыдущих мы будем обозна-
чать теперь высоту линии передачи через h, а диаметр ее проводов через
d. Тогда можно написать

{Ро + Д 2г^ In = 0. (28.27)

При изменении поля заряд не остается постоянным, а стекает в землю,
обусловливая появление тока,

dQ
dt

(28.28)

где х означает длину линии, a Q, как и раньше, заряд на единицу длины
линии. Подставляя значение Q из соотношения (28.27) в соотношение
(28.28), получаем для этого тока выражение

I =-------------

2а2 In (

<^о _ г тп d^, о

dt ~ ПС ~dT ’

4Л

(28.29)
346

IV. Влияние земли

Здесь через С обозначена полная емкость линии по отношению к земле,
т. е.

(28.30)

Таким образом, атмосферное поле с напряженностью оказывает на ли-
нию передачи такое же действие, какое оказал бы внешний источник
с напряжением Л£о, приложенным к ее емкости С.

Емкость относительно земли одиночного провода диаметром d = 8 мм,
расположенного на высоте h — 10 м, в соответствии с выражением (28.30)
равна

= 2-32-10°°-8,5 1Q9 ~ 0,0066‘ 10~6 Ф!км-

Трехфазная линия передачи имеет почти вдвое большую емкость по отно-
шению к земле, а именно, С = 0,013 мкф)км. Если (как это наблюдается
во время грозовых разрядов) атмосферное поле меняется вдоль линии

Ф и г. 304.

длиной 1 км за время 10 мксек, на 100 кв/м, то в линии будет наво-
диться ток, который в соответствии с выражением (28.29) равен

i = 0,013-IO-®-10-^^=1300 а.

Этот ток потечет в землю через нейтраль линии. Он имеет большую
величину и весьма малую длительность.

Если линия заземлена через сопротивление, как показано на фиг. 303,
то ее потенциал не равен нулю, как в выражении (28.27), а отличается
от нулевого потенциала земли на величину падения напряжения на сопро-
тивлении R. Таким образом, теперь

(Ро+ A)z=h -| = hpa + 2v2Q In (У ) + Ri = 0. (28.31)

Подставляя сюда выражение (28.30) для емкости линии и выражение
(28.28) для тока, получаем

Л£о + J i dt + Ri = 0. (28.32)

Если обозначить через ес фиктивное падение напряжения на емкости, т. е.

ес = 4- idt, (28.33)

О J

а затем выразить ток через это напряжение, то выражение (28.32) можно
переписать в следующем виде:

/?С^+ес=-Л£0- (28.34)
Это уравнение полностью совпадает с уравнением, описывающим процесс
зарядки конденсатора внешним напряжением через сопротивление.

Напряжение, которое может быть измерено на линии, является сум-
мой емкостного напряжения и напряжения, обусловленного атмосферным
полем, причем оба слагаемых входят в соотношение (28.31). Соотношения
(28.32) и (28.33) позволяют представить это напряжение в виде

e = h$0 + ec = -Ri = -RC-£ - (28.35)

Отсюда видно, что оно определяется изменением емкостного напряжения.
Величина

T = RO (28.36)

представляет собой постоянную времени линии, заземленной через сопро-
тивление.

Допустим, например, что атмосферное поле изменяется во времени по
экспоненте с постоянной времени т, как показано на фиг. 304, т. е.

ЛГ0 = £0(1-е-'Л). (28.37)

Тогда решение дифференциального уравнения (28.34) можно представить
в виде суммы вынужденного напряжения е'с и его свободной составляющей
ес- Выражение для вынужденного напряжения ищем в форме

е'с = А -)- Ве-Ч",

(28.38)

аналогичной выражению (28.37) для приложенного напряжения. Под-
ставляя это решение в уравнение (28.34), получаем

- Ве~Ч' 4- А + Ве~Ч^ == - Ео 4- Е^~Ч--. (28.39)

Отсюда определяются постоянные А и В; подстановка их значений в ре-
шение (28.38) приводит к следующему выражению для вынужденного на-
пряжения на емкости:

ес= -Яор-^-V (28-40)

Свободное напряжение, как было показано в гл. 2, представляется

в виде

еЬ = Ке-ЧТ.

(28.41)

Так как в момент t = 0 полное напряжение равно нулю, то можно написать
e'co + eco^-Ej1--------------------ЦД+К==0- (28.42)

I 1—- J
\ Т /

Отсюда определяется начальное значение
на емкости линии получается выражение

К и для полного напряжения

вс = — Ео I 1

е~ЧТ X

(28.43)

Таким образом, для измеряемого напряжения на линии в соответствии
с выражением (28.35) имеем

е = - Г W = 7^ ~ е~‘^ Е°- (28.44)
Это напряжение определяется разностью двух экспоненциальных функций
с постоянными времени заземленной линии и атмосферного поля. Знак
разности всегда совпадает со знаком знаменателя, поэтому напряжение на
линии всегда имеет тот же знак, что и изменяющееся поле. На фиг. 305
показано изменение этого напряжения во времени: оно сначала быстро
возрастает, а затем медленно убывает. Возрастание определяется меньшей,
а затухание большей постоянной времени в выражении (28.44). Максимум
кривой напряжения всегда меньше Ео.

Прп сравнительно быстром изменении атмосферного поля постоянная
времени -t мала, тогда как постоянная времени Т велика. Вследствие этого
первый множитель в правой части выражения (28.44) мало отличается от
единицы и напряжение вначале следует за изменением поля так, как если
бы линия была изолирована. Только потом напряжение линии постепенно
приближается к нулевому потенциалу земли. При относительно медленном
изменении атмосферного поля во времени постоянная времени т велика,
и возрастание напряжения определяется малой постоянной времени зазем-
ленной линии Т. Величина напряжения, однако, очень мала вследствие
малости первого множителя в правой части выражения (28.44), поэтому
заряд стекает в землю сразу же прп своем образовании.

Трехфазная линия протяженностью 1 км, которая уже упоминалась
выше, при заземлении ее через сопротивление R = 100 ом обладает по-
стоянной времени

7’ = 0,013-10“®-100= 1,3-10“® = 1,3 мксек.

При постоянной времени изменения атмосферного ноля т = 10 мксек, первый
множитель в выражении (28.44) равен

Следовательно, максимальное напряжение на линии не будет превы-
шать 0,15 Ео. Таким образом, заземление действует весьма эффективно.
Тот же самый эффект получится при заземлении линии протяженностью
10 км через сопротивление 10 ом. Однако если бы линпя протяженностью
10 км была заземлена через сопротивление 1000 ом, то постоянная времени
заземленной линии была бы равна

71 = 0,13-10“®-1000 = 1,3-10“4 = 130 мксек.

Отношение, входящее в выражение (28.44), будет тогда равно
т 130 ,ло(1,

Т—т — 130- 10 - 108

В этом случае заряды медленно стекают в землю, и возникающее на линии
напряжение достигает почти максимальной величины, которая при высоте
линии над землей h = 10 м и при напряженности атмосферного поля
= 100 кв/м равна

£0 = 10-100=1000 кв.

Прп таком значительном напряжении возникает опасность пробоя даже таких
изоляторов, которые предназначены для работы при очень высоких напря-
жениях.

Прп заземлении линии через сопротивление и индуктивность, как пока-
зано на фиг. 306, в уравнение для потенциала (28.31) необходимо добавить
член, учитывающий падение напряжения на индуктивности,

(/?о “Ь )-L —=/г^'ог г// г Ш + L—' = 0. (28.45)

ILL J Ulf
Применив опять обозначение (28.33), получим следующее уравнение для
напряжения на емкости:

fl<~p flр

LC + RC-~£- + ec=- h$0. (28.46)

Измеряемое напряжение линии относительно земли снова представляется
в виде суммы

е = Ьё0 + ес. (28.47)

По виду уравнения (28.46) можно заключить, что под действием атмосферных
возмущений в линии, заземленной через индуктивность, возникнут затухаю-
щие собственные колебания, частота которых определяется емкостью линии
относительно земли и индуктивностью заземления, а затухание—величиной
активного сопротивления заземления.

Если поле изменяется медленно по сравнению с периодом собственных
колебании линии, то член в уравнении (28.46), соответствующий падению
напряжения на индуктивности, имеет сравнительно небольшую величину и,
следовательно, все будет происходить примерно так, как и в только что рас-
смотренном случае. Однако при быстрых изменениях поля возникнут заметные

колебания; если эти изменения происходят в течение интервала времени,
малого по сравнению с периодом собственных колебаний, то воздействие их
на колебательную систему будет подобно воздействию толчка напряжения
при коммутации (см. гл. 6). На фпг. 307 показано изменение напря-
жения на линии, заземленной через индуктивность. Вначале напряжение
следует за быстрым изменением напряженности атмосферного поля h'g0 так,
как если бы линия была изолирована. В дальнейшем, однако, имеют место
колебания напряжения, по мере затухания которых потенциал линии при-
ближается к нулевому потенциалу земли. Емкостное напряжение е<; почти
вдвое превосходит изменение напряжения, вызываемое атмосферным полем.
Тем не менее напряжение на линии, как показано на фиг. 307, в соответствии
с выражением (28.47) будет только менять знак, но по величине не превысит
того напряжения, которое наводится на линии непосредственно при изме-
нении атмосферного поля.

В гл. 26 было показано, что в системах с дугогасящими катушками в
нейтрали собственная частота должна быть близкой к рабочей частоте. Соот-
ветствующий этой частоте период настолько велик по сравнению со временем
любого изменения атмосферного поля, которое обычно длится от 1 до
1000мксек., что в момент изменения поля сеть ведет себя так, как будто она
полностью изолирована; в дальнейшем в ней возникают свободные колеба-
ния, как показано на фиг. 307. Трансформаторы напряжения, подключае-
мые к линиям высокого напряжения, имеют еще большие индуктивности,
так что в цепях с такими трансформаторами собственные частоты еще ниже.

При глухом заземлении нейтрали трансформаторов их индуктивное со-
противление рассеяния имеет значительную величину по сравнению с актив-
ным сопротивлением заземления. Если бы индуктивность этого заземления со-
ставляла только 1 % от той индуктивности, при которой дугогасящая катушка
полностью компенсирует емкость сети, то частота собственных колебаний была
быв J7 100=10 раз больше рабочей частоты сети и равнялась бы 500—600гц.
Следовательно, заряды, возникающие на линии при быстрых изменениях
атмосферного поля, продолжительностью 100 мксек, и даже больше, не мо-
гут мгновенно стекать в землю, и в линии возбуждаются интенсивные коле-
бания, подобные показанным на фиг. 307. Только очень короткие линии
передачи, питаемые от очень мощных трансформаторов с глухо заземленными
нейтралями, имеют малые периоды собственных колебаний, порядка 10 мксек.

Во всех рассмотренных случаях любой участок линии, не подверженный
влиянию изменении поля, или какая-либо другая емкость относительно
земли воспримет на себя часть зарядов, наведенных атмосферным полем,
и будет, таким образом, действовать как параллельная ветвь, к которой не
приложено напряжение, вызванное изменением поля. Наличие таких парал-
лельных проводов, следовательно, может значительно понизить напряженно,
действительно возникающее на линии.

Непосредственное соединение проводов трехфазной линии передачи
с землей посредством водяных струй, как это иногда делали в прежние годы,
дает возможность быстро отвести заряды в землю, если постоянная времени
достаточно мала [см. выражение (28.44)]. Однако при таком заземлении ли-
ния почти мгновенно приобретает нулевой потенциал земли, как было пока-
зано на фпг. 293 для заземленных проводов, а это приводит к очень большой
напряженности поля вблизи, линии. Локальное повышение напряженности
поля вызовет ионизацию воздуха вблизи проводов линии и увеличит вероят-
ность поражения линии молнией.

Таким образом, меры предупреждения прямых ударов молнии в линию
и меры для понижения наведенных напряжений, вызванных изменением поля
при непрямых ударах, противоречат друг другу. Тем не менее применение
заземленных тросов для защиты проводов линии передачи от атмосферных
полей значительно уменьшает возможность возникновения высоких напря-
жений на проводах при прямых и непрямых разрядах, вследствие чего опас-
ность повреждения линии при этих разрядах сильно снижается.

ЛИТЕРАТУРА

Cabanes L., Rev. gen. elec., 52, 197 (1943).

Les incidents du matin sur les lignes de transport d’energie electrique a tres haute
tension.

Cooper F. L., Physics, 7, 387 (1936).

Atmospheric potential gradient anomalies.

Creighton E. E. F., Proc., AIEE, 945 (1916); 21 (1922).

Theory of parallel grounded wires and production of high frequencies in transmis
sion lines.

Dwight H. B., Trans. AIEE, 49, 1115 (1930).

Calculation of protection of a transmission line by ground conductors
Jackson R. P., Journ. AIEE, 29 (1922).

Potential stresses as affected by overhead grounded conductors.

Matthias A., Elektrotechn. Zs., 1477 (1927).

Gewitlereinfliisse auf Leitungsaulagcn.
Mershon R. D., Journ. AIEE, 28 (1922).

Th« grounded wire as a protection against lightning.

Petersen W., Elektrotechn. Zs., 1 (1914).

Der Schutzwert von Blitzseilen.

Pfiffner E., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 261 (1914).

Die Schirmwirkung des geerdeten Schutzdrahtes.

RumpS., Schweiz. Bull., 407 (1926).

Frequenz des Blitzes.

Schilling W , Elektrotechn. Zs., 79 (1933).

Beitrag zur Berechnung der Schutzwirkung von Erdscilen.
Глава 29

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ВЛИЯНИЕ ВЫСОКОВОЛЬТНЫХ ЛИНИИ

Высоковольтные линии передачи создают вокруг себя электромагнитное
поле, которое влияет на расположенные вблизи проводники и линии связи,
вызывая в последних помехи. Во время нормальной работы высоковольтной
линии, а особенно при коротких замыканиях и коммутационных процессах
в соседних линиях связи (даже расположенных на значительном расстоя-
нии) возникают напряжения, которые заметно нарушают нормальную работу
чувствительной телефонной и телеграфной аппаратуры. Рассмотрим сначала
помехи, обусловленные действием электростатического поля, связанного
с высоковольтной линией.

Фиг. 308.

§ 1. Одпопроводная линия. Рассмотрим простейший случай, когда
линия связи проходит параллельно однопроводной линии передачи, напря-
жение которой относительно земли равно Е
(фиг. 308). Пусть линия переменного тока
расположена на высоте h над землей, а ли-
ния связи—на высоте к. Нафиг. 308 пун-
ктиром показаны линии электростатиче-
ского поля, создаваемого проводом высо-
ковольтной линии. Часть этих силовых
линий достигает линии связи, вследствие
чего в ней возникает напряжение (предпо-
лагается, что линия связи изолирована от
земли).

Чтобы найти величину этого напря-
жения с учетом влияния земли, найдем
электростатический потенциал поля, со-

здаваемого высоковольтной
зеркальным изображением,
положения провода линии
этот потенциал равен

линией и ее
в месте рас-

связи. В соответствии с выражением (28.2)

е = 2^1п (£),

(29.1)

где Q — заряд первичного провода, а г и г'— соответственно расстояния от
изолированной вторичной линии до первичной и до ее изображения. Выра-
жение (29.1) непосредственно дает напряжение линии связи относительно
земли, так как потенциал поверхности земли равен нулю. Коэффициент

g = = (29.2)

является постоянной величиной для данного расположения проводов и
характеризует «взаимную электростатическую индукцию» между линией
передачи и линией связи, отнесенную к единице длины. Этот множи-
тель определяет величину напряжения е, которое статически наводится
зарядом Q.
Напряжение Е относительно земли провода линии передачи, имею-
щего диаметр d и расположенного на высоте h, в соответствии с соот-
ношением (28.3) запишется в виде

£ = . (29.3)

Таким образом, «собственная электростатическая индукция» линии передачи
на единицу длины будет равна

’-J=T=2cS|"(?)- <29-4>

Это — величина, обратная отнесенной к единице длины емкости с относи-
тельно земли1).

Подставляя значение Q из соотношения (29.3) в соотношение (29.2),
получаем напряжение, наведенное на соседней линии, выраженное через
напряжение линии передачи,

Логарифм в числителе этого выражения всегда меньше логарифма в зна-
менателе. Таким образом, напряжение, наведенное на соседней линии,

всегда составляет только некоторую часть напряжения на линии переда-
чи. Однако при небольшом расстоянии г между линиями величина этого
напряжения становится существенной.

Если линия передачи диаметром d = 8 мм и линия связи подвешены
на одних и тех же опорах на расстояниях h = 10 м и к = 5 м от поверх-
ности земли, так что г= 5 л и г' = 15 м, то в линии связи электростати-
чески наводится напряжение, отношение которого к напряжению линии

передачи равно

-С4'»»)

1,1
8J

13%.

е
Ё

Это напряжение составляет значительную величину.

Расстояния г и г' можно выразить через расстояние между линиями
по поверхности земли а и через высоты подвеса линий h и к. Как видно
из фиг. 308,

г2 = а2 + (А - Л)2 = а2 + Л2 + А2 - 2hk,

г'2 = а2 + (Л + к)2 = а2 + Л2 + А2 + 2hk,
откуда

г'2 = г2-|-4АА. (29.7)

Для расстояний между линиями (больших по сравнению с их высотами)
будем иметь, с достаточным приближением,

. h /'•'Л2 h Л , /Ы\ ^hk 2hk 2hk /плох

Это дает

е — _______hk__ 2Е_________hk /по q.

+ + ln(5)a2’ ( }

Величины g и q называют обычно взаимным и собственным потенциальным
коэффициентом.- Прим. ред.
Таким образом, напряжение, электростатически наводимое линией пере-
дачи на линии связи, пропорционально произведению высот подвеса
обеих линий и приближенно обратно пропорционально квадрату расстояния
между ними.

Для двух линий, подвешенных на тех же высотах, что и рассмотрен-
ные в предыдущем примере, но при расстоянии между ними а = 30 м,
наведенное напряжение составит

с— . Ю'5______л л со/

/Г’8,5 302 + Ю2 + 52~ ’ /о

от величины напряжения на высоковольтной линии. Прп высоких напря-
жениях Е это значение также слишком велико. Например, при напряже-
нии линии передачи, равном 15 000 с, на линии связи будет наводиться
напряжение, равное почти 180 в.

Причина появления таких больших напряжений заключается в том,
что положительные и отрицательные заряды однопроводной линии (на-
пример, контактной сети однофазных электрических железных дорог)
находятся друг от друга на значительном расстоянии 2Л, которому про-
порционально наводимое напряжение. От этого недостатка свободны трех-
фазные линии, применяемые обычно для передачи энергии при высоком
напряжении. Прямой и обратный токи находятся на небольшом рассто-
янии друг от друга, протекая поочередно по всем трем проводам; по мере
удаления от линии их действие все больше уравновешивается.

§ 2. Двухпроводные и трехфазные линии. Потенциал двухпроводной
линии можно определить, исходя из выражения для потенциала одно-
проводной линии. Дело в том, что провода воздушной линии, изображен-
ной на фиг. 309, создают поле такого

же типа, как и однопроводная линия
вместе с ее изображением. Расстояние
между проводами двухпроводной линии
передачи с соответствует расстоянию
между однопроводной линией и ее изо-
бражением, равному удвоенной высоте
подвеса линии над землей; напряже-
ние же между проводами двухпровод-
ной линии равно Е, тогда как напря-
жение между проводом однопроводной
линии и его изображением в земле рав-
нялось 2Е. Следовательно, для потен-
циала двухпроводной линии в некото-
рой точке пространства в соответствии
с выражениями (29.1) и (29.4) можно
написать, заменяя расстояния г и г'
на р и р',

Фиг. 309.

(29.10)

Поскольку линия связи редко проходит в непосредственной близости от
линии передачи, то расстояния р и р' мало отличаются друг от друга
Поэтому в соответствии с фиг. 309 с достаточной точностью можно написать

S , , S

р = г—г-cos ср; р = г 4--^-cos ср,

(29.11)

23 р. Рюденберг
где г означает теперь расстояние от вторичной линии до середины первич-
ной лин-ин, а <р —угол между осью симметрии поля первичной линии
и направлением на вторичную линию (см. фпг. 309). Таким образом,
приближенно имеем

(29.12)

Отсюда получаем значение потенциала на некотором
проводной линии

расстоянии от двух-

(29.13)

Еч cos <f

Таким образом, взаимная электростатическая индукция зависит не только
от расстояния, но также от взаимного углового расположения двух линий.
Если линия связи находится в плоскости симметрии поля линии передачи,
т. е. <₽ = 0, то влияние линии передачи на линию связи максимально.
В плоскости, перпендикулярной к названной и проходящей посередине
между проводами липни передачи (па фпг. 309 это соответствует линии,
подвешенной на той же опоре), влияние линии передачи на линию связи
исчезает совсем. Потенциал двухпроводной линии убывает, как показывает
выражение (29.13), обратно пропорционально расстоянию между линиями,
т. е. значительно быстрее, чем в случае однопроводной линии, когда убы-
вание потенциала определяется логарифмическим выражением (29.2).

Силовые линии электрического поля должны быть нормальны к поверх-
ности земли, так что под влиянием последней распределение силовых линий
поля изменяется. Это изменение поля опять можно объяснить действием
изображения линии, расположенного на глубине h под поверхностью земли
и имеющего противоположный заряд. Тогда полное напряжение, наведенное
во вторичной линии, в соответствии с фиг. 309 и выражением (29.13) будет
равно

е = - (с^ - . (29.14)

2h/4r г т }

\.d J

Эту величину всегда можно оценить, пользуясь схемой взаимного располо-
жения линий.

Действие трехфазной линии на некотором расстоянии от нее можно рас-
сматривать как совокупное действие трех двухпроводных линий, принимая,
однако, во внимание, что каждый провод учитывается дважды. Таким обра-
зом, влияние трехфазной линии на соседнюю линию можно получить, если
просуммировать действия отдельных двухпроводных линий, рассчитываемые
по соотношению (29.14), и разделить сумму пополам. Особенно прост случай,
когда провода трехфазной линии передачи расположены в вершинах равно-
стороннего треугольника, как показано на фиг. 310, поскольку в этом слу-
чае каждый провод находится в нейтральной зоне поля, создаваемого двумя
другими проводами линии. Таким образом, потенциал одного из проводов
равен нулю в то время, когда напряжение между двумя другими проводами
максимально.

При таком симметричном расположении проводов трижды за период
возникает статическое поле, идентичное представленному на фиг. 309 для
Двухпроводной линии. Это поле показано на фиг 310,а. В промежутках
между этими моментами силовые липин переходят от одного провода к друго-
му, так что поле распределяется так, как показано на фиг. 310, б. Таким
образом, ось поля вращается почти равномерно и по истечении периода пе-
ременного тока снова достигает начального положения. Обозначим через Е
амплитуду напряжения, а через s- расстояние между проводами; тогда фор-
мула (29.13) даст выражение для «вращающегося» потенциала трехфазной
линии в достаточно удаленных от нее точках. Ось поля характеризуется
углом

<р = ф + а)г, (29.15)

начальное значение которого равно ф, а его величина при равномерном вра-
щении пропорциональна времени t. Расстояние г в выражении (29.13) будет
обозначать теперь среднее расстояние между линиями, как показано на
фиг. 310. Таким образом, трехфазная и однофазная линии при одинаковых

напряжениях на них и при оди-
наковых расстояниях между про-
водами оказывают одинаковое
влияние. Однако поле трехфаз-
ной линии вращается вокруг нее,
тогда как поле однофазной линии
пульсирует. Следовательно, вели-
чина напряжения, наведенного
трехфазной линией в линии свя-
зи, не зависит от угла ср, который
определяет только фазу напря-
жения.

Поскольку те силовые линии
поля трехфазной линии, которые
достигают поверхности земли, на-
правлены нормально к ней, мы
снова должны учесть зеркальное
изображение линии.. В этом слу-
чае изображение линии будет иметь
не только противоположное по

Ф п г. 310.

знаку напряжение, но также и

противоположное по отношению к трехфазной линии направление враще-
ния поля. Это показано на фиг. 310, где

ср' = ф' + <и? (29.16)

представляет угол между осью вращающегося гполя изображения
и радиус-вектором среднего расстояния г' до линии связи.

В соответствии с выражением (29.14) полное напряжение, наводимое
трехфазной системой, будет равно

е = Д». (29.17)

где Е означает линейное напряжение. Ввиду того значения, которое
имеет влияние трехфазных линий, рассмотрим полученное соотношение
более подробно.

Для линий связи, подвешенных на тех же опорах, что и линия пере-
дачи, углы ф и ф', а поэтому и углы ср и ср' почти равны друг другу.
Если в соотношении (29.17) выразить г и г' через высоты подвеса линий,
то получим

с== Еcos ?c°s Ф)‘ (29Л8)
При расстоянии между проводами линии передачи s = 2m, диаметре про-
водов с1 = 8мм, средних высотах к = 10м и Л = 5л напряжение, наведен-
ное на линии связи, составит

е 1 2-5 _ 10 __ п г>(у

Ё= , / „ 2~^\" 10*—5* —6,2-75 — ’ 0

Ч2-ож9

от линейного напряжения трехфазной силовой линии.

Для удаленной линии связи приближенно можно приравнять рассто-
яния г и г’, входящие в соотношение (29.17), расстоянию а и, объеди-
нив функции углов, получить

(29.19)

Поскольку теперь в соответствии с фиг. 310 углы ф и Ф' очень малы, а,
следовательно, в соответствии с выражениями (29.15) и (29.16) углы <р и <р'
почти равны между собой, то мы можем написать

sin —sin <р (29.20)

и
о • У'— f г .г . h-\-k h—к 2к /оо о л \

2sm^—^^ср'-<р = ф -ф^ —------------— = -• (29.21)

В принятом приближении получаем следующее выражение для напря-
жения, наведенного на линии:

« = —+ (29.22)

Это наведенное напряжение снова обратно пропорционально квадрату рас-
стояния и прямо пропорционально высоте подвеса линии связи над землей.
Оно также пропорционально расстоянию между проводами линии переда-
чи, но не зависит от высоты подвеса ее над землей. При расстоянии
между линиями а = 30 м и при тех же значениях остальных величин,
как и в предыдущем примере, наведенное на линии связи напряжение
будет составлять

i-=6j-s=°>i6%

от линейного напряжения трехфазной линии. Таким образом, влияние
грехфазной линии в 6 — 8 раз меньше влияния однофазной линии, об-
ратным проводом для которой служпт земля. Согласно выражению (29.22),
это напряжение сдвинуто по фазе на 90° по сравнению с напряжением,
наведенным на линии связи, подвешенной на опорах линии передачи
[см. выражение (29.18)], что полностью соответствует изменению направле-
ния радиус-вектора г на пространственной диаграмме силовых линий.

§ 3. Замыкание трехфазных линий на землю. При замыкании на
землю одного из проводов трехфазной линии возникают помехи, значительно
более сильные, чем при ее нормальной работе. Потенциал заземлившегося
провода делается равным нулю, а потенциалы здоровых проводов увели-
чиваются. Но так как линейные напряжения остаются при этом неизмен-
ными, изменение режима можно описать как результат наложения на всю
систему однофазного потенциала, равного по величине и противоположно-
го по знаку потенциалу, которым первоначально обладал заземлившийся
провод. При замыкании на землю влияние нормальной трехфазной си-
стемы не прекращается, но к нему добавляется влияние наложенных

потенциалов, которые для всех трех проводов имеют одинаковую величи-

ну—2?/р4 3. Линии этого дополнительного
поля показаны на фпг. 311. Влияние земли
попрежнему можно учесть при помощи зер-
кальных изображений проводов с измене-
нием знака потенциала.

Линин поля уже не концентрируются
вокруг одного заряженного провода, как на
фиг. 308, а оканчиваются на трех соединен-
ных параллельно проводах. Расстояние ме-
жду этими проводами s, дпаметр d, и каж-
дый из них несет 1/3 полного заряда Q. Что-
бы определить величину полного заряда Q,
заметим, что напряжение пли потенциал
каждого пз трех проводов создается как его
собственным зарядом, так и суммой заря-
дов двух других проводов, находящихся на

Фиг. 311.

расстоянии s от первого. Поэтому ко всем

трем проводам мы применим выражение (29.1), заменив расстояние от изо-

бражения г' средним значением'2/г, что дает вполне достаточную точность.

С учетом этих замечаний получаем

JL = 2v-^ln(~} + 2-2v^ln(-''\ .

]Лз 3 \Х'2 у 1 з \ ;

(29.23)

Выражение (29.23) можно переписать в виде

(29.24)

Следовательно, по сравнению с однопроводной линией, которая изображе-
на на фиг. 308 и для которой справедливо выражение (29.3), трехфазная
линия, изображенная на фиг. 311, имеет значительно больший эквива-
лентный диаметр, определяющийся корнем третьей степени из диаметра
провода и квадрата расстояния между проводами.

Таким образом, воспользовавшись соотношением (29.1), получим
следующее выражение для наведенного напряжения:

(29.25)

При больших расстояниях между линиями [см. соотношение (29.8)] имеем

2Е______________lik

/ ih . а2 + h2 4- к2

(29.26)

При тех же численных значениях, что и в предыдущих примерах, мы
получаем для наведенного напряжения при расположении обеих линий на
одной опоре [см. выражение (29.25)] величину

-т

44= 14,7%,
7,а

а при расстоянии между ними 30 .и [см. выражение (29.26)] — величину

2 10-5

7,5 ’ 302 + 1U* + 52

1,3%.

Мы видим, что эти напряжения в несколько раз больше тех, которые наво-
дятся на липни связи неповрежденной трехфазной линией. Они даже не-
сколько больше напряжений, наводимых однопроводной линией. Отсюда
следует, что при замыкании на землю одного из проводов трехфазной линии
передачи следует ожидать значительных помех в работе соседних с ней
линий связи.

С целью избежать влияния нормально работающей трехфазной линии на
соседние линии обычно применяют многократное перекрещивание ее про-
водов на протяжении всей линии. Таким
образом, положение отдельных проводов
меняется от участка к участку. Так как фаз-
ные напряжения проводов линии передачи
сдвинуты по отношению друг к другу на 120°,
то напряжения, наведенные на линии связи
тремя последовательными секциями перекре-
щенной линии, взаимно компенсируются.
В этом случае на линии связи наводится
только незначительное напряжение, обус-

ловленное неизбежной асимметрией трехфазной линии. Однако перекрещи-
вание не может ослабить влияния линии передачи при замыкании одного
из ее проводов на землю, так как в этом случае появляются дополнительные,
равные по величине и по знаку, заряды, которые не могут взаимно компен-
сироваться.

Непрерывные помехи в линиях связи могут создаваться высшими гармо-
никами напряжения трехфазпой линии. В обмотках трехфазных машин и
трансформаторов токи третьей, девятой и соответствующих более высоких
гармоник имеют одинаковое направление по отношению к нулевой точке.
Если нулевая точка заземлена, как показано на фиг. 312, то эти высшие
гармоники напряжения вызывают появление на проводах линии перемен-
ных зарядов с одинаковыми фазами. Таким образом, их влияние на расстоя-
нии будет существенным. Численно его можно рассчитать по формулам
(29.25) и (29.26), из которых, однако, следует исключить делитель ]/ 3,
относящийся только к случаю замыкания на землю одного из проводов линии.
Высшие гармоники мешают работе телефонных линий значительно больше,
чем напряжение основной частоты, поскольку частоты их выше. Иногда
наведенные высшие гармоники наблюдаются даже при изолированной нуле-
вой точке, если емкость обмоток относительно земли имеет значительную
величину, достаточную для того, чтобы зарядные токи проходили в землю.

Если принять во внимание, что при напряжении на линии передачи,
равном 10 000 в, наведенное на линии связи напряжение, составляющее,
например, 1% от этого напряжения, будет равно 100 в, то станет ясно, что
линия связи может работать без помех вблизи высоковольтных линий только
при применении специальных мер защиты. Однопроводныо воздушные линии,
в которых обратным проводом является земля, применявшиеся раньше для
телефонной и телеграфной связи, встречаются теперь все реже и реже; вместо
них теперь используются двухпроводные линии связи. В таких линиях напря-
жения, наведенные в каждом из проводов, в значительной мере компенсируют
друг друга. Остается только незначительное напряжение, обусловленное
тем, что провода линии связи находятся на некотором расстоянии друг от
друга. Это остаточное напряжение можно еще уменьшить, применяя перио-
дически повторяющееся перекрещивание проводов линии связи. Однако,
несмотря на все меры предосторожности, между проводами линии связи
и землей продолжают действовать значительные наведенные напряжения,
которые при неблагоприятных условиях могут повредить изоляцию и прием-
ные устройства. Вследствие этого изоляция по отношению к земле линий
связи, расположенных вблизи высоковольтных линий, должна быть рассчи-
тана на высокое напряжение.

Если на одних и тех же опорах подвешено несколько высоковольтных
линий, то при отключении одной пз нпх от источника напряжение на ней
не будет равно нулю, так как остается напряжение, обусловленное
электростатическим влиянием других линий. Поэтому, преждечем проводить
какие-либо работы на этой линии, следует тщательно заземлить все ее провода.

ЛИТЕРАТУРА

Bartholomew S С., Journ. Inst. Electr. Eng., 62, 817 (1924).

Power curcuit interference with telegraphs and telephones.

В e h n-Es chenburg H., Elektrotechn. Zs., 925 (1908).

Ober Wechsclstrombahnmotoren der Maschinenfabrik Oerlikon und ihre Wirkungen
auf Telcphonleit ungen.

Brauns 0., Elektrotechn. Zs., 377 (1908).

Die Ilochspannungs-Kraftiibertragung an der Urfttalspcrre.

Brauns 0., Elektrotechn. Zs., 116 (1913).

Storungen von Fernsprechleitungen durch sterngeschaltete Drehstromanlagen ohne
und mit Erdung des Generatornullpunktes.

Brauns 0. Telegr.- u. Fernspr. Techn., 61 (1919).

Einwirkung von Starkstromanlagen auf Schwachstromleitungen.

Brauns O., W e c h m a n n W-, VDI.-Verlag, Berlin (1925).

Fernmeldeleitungen beim elektrischen Zugbetrieb der deutschen Reichsbahn.

Jager H., Elektrotechn. Zs., 329 (1924).

Beeinflussung eines Lichtnetzes durch Wechselstrombahnbetrieb.

Krause G., Zastrow A., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 2, 422 (1922).

Cber die Schutzwirkung des Kabclmantels bei Induktions beeinflussungen von
Schwachstromkabeladern durch Starkstromleitungen.

L i e n e m a n n W., Telegr.- u. Fernspr. Techn., 173 (1919).

Zur Berechnung der Influenzwirkung von Starkstromleitungen.

L i e n e ni a n n W., Zs., gcs. Eisenb.-Sichcr.-Wes., 41 (1923).

F.inwirkung von Starkstromleitungen auf Schwachstromleitungen.

Marguerre F., Elektrotechn. Zs., 1209 (1912).

Ober Telephonstorungen durch Wechselstrombahnen und einige Vorgange in Ein-
phasen generatoren.

Oefverholm J., Elektr. Nachr. Techn., 107 (1924).

Die Einrichtung filr Bahnfernmeldeleitungen langs Wechselstrombahnen.

Schrottkc F., Elektrotechn. Zs., 685 (1907).

Ober den Einfluss der Hochspannungsleit ungen auf die Betriebs-Fernsprechleitungen.

Truxa L., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 41 (1925).

Schwachstromanlagen im Wirkungsbereich elektrischer Bahnen.

Zschaage W., Elektr. Nachr. Techn., 110 (1925).

Naherungsformeln zur Berechnung der Gegeninduktivitat zwischen Starkstrom und
Schwachstromleitungen.

California Railroad Commission: Inductive Interference between Electric Power and
Communication Circuits; Sacramento, 1919.

Schwedische Eiscnbahndirektion, Untersuchungen fiber Schwachstromstorungen bei Ein-
phasen-Wcchselstrombahnen, Munich—Berlin, 1920.
Глава 30

ВОЗВРАТ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ЧЕРЕЗ ЗЕМЛЮ

Если ток протекает по земле, то его распределение в непосредственной
близости от электродов может быть найдено теми же способами, что и в гл. 25,
где преобладающая роль была приписана сопротивлению грунта. Магнитное
действие токов проявляется здесь слабо, и процессы растекания постоян-
ного и переменного токов вблизи заземлителей протекают совершенно
одинаково. Однако при распространении между заземлителями ток захваты-
вает большую область, создавая в ней значительное магнитное поле. Поэто-
му на распределение переменного тока оказывают влияние явления самоин-
дукции.

§ 1. Распределение плотности тока. Чтобы сделать задачу двухмерной,
рассмотрим область, находящуюся на достаточном расстоянии от заземлите-
лей. Па фиг. 313 схематически показаны два обычных типа линий передачи

переменного тока: воздушная, проходящая над поверхностью земли, и ка-
бельная, проложенная непосредственно под поверхностью земли. В обоих
случаях кратчайшее расстояние от оси провода до поверхности земли обо-
значено через h. Заменим фактическое расположение линии, изображенное
на фиг. 313, расположением, показанным на фиг. 314, где ток I, текущий по
проводу, помещен в центре канавки полукруглой формы, имеющей радиус
h. Мы увидим, что при такой замене во всех встречающихся на практике
случаях получаются достаточно точные результаты. Чтобы вывести диффе-
ренциальное уравнение для плотности тока, выделим на фиг. 314 две магнит-
ные линии. Если бы земля охватывала провод равномерно снизу и сверху,
эти линии были бы концентрическими окружностями. Но земля и текущие
в ней токи занимают лишь нижнее полупространство, и поэтому форма этих
линий лишь приблизительно совпадает с концентрическими окружностями.
Вносимая этим погрешность не больше тех, которые обусловлены сделанными
нами прочими допущениями.

Примем магнитную проницаемость воздуха и земли равной единице
и применим к круговому кольцу, нижняя половина которого на фиг. 314
заштрихована, закон полного тока, т. е.

£ В ds = 4iti. (30.1)

Если обозначить плотность тока в земле через J, плотность магнитного
потока через В, а расстояние от оси провода до рассматриваемой точки
через р, то из соотношения (30.1) получим

2л (р 4- г/р) (В + dB) - 2лРВ = 4л J лР dp. (30.2)

Отсюда следует дифференциальное соотношение

±*(РВ) = 2<7. (30.3)

Применим теперь к полоске, заштрихованной на фиг 314 и имеющей
длину х, закон индукции Фарадея, т. е.

= (30.4)

Обозначив через g напряженность электрического поля, получим

х (£ Н dg) - xg = xdp . (30.5)

Это приводит к следующему соотношению между напряженностями элек-
трического и магнитного полей:

d_g_ ЭВ
др dt

(30.6)

Наконец, для любой точки земли в соответствии с законом Ома имеет
место соотношение

g = (30.7)

Мы считаем удельное сопротивление s всюду одинаковым. На практике,
однако, это допущение оправдывается меньше, чем все другие.

Исключив из уравнений (30.3), (30.6) и (30.7) напряженности электри-
ческого и магнитного полей, получим для распределения плотности тока
в земле уравнение в частных производных

L2.

Р 9р

2л dj

(30.8)

Это уравнение аналогично уравнению (10.14) для распределения вихревых
токов в сплошном сердечнике. Различаются онп только тем, что в последнем
уравнении левая часть выражена в полярных координатах вместо прямо-
угольных, и тем, что отношение длин силовых линий в областях, занятых
токами и свободных от них, входящее в правую часть, в последнем слу-
чае равно г/г.

Если ток I в проводнике меняется синусоидально во времени, то можно
считать, что и в любой точке в земле плотность тока меняется подобным
же образом. Вводя некоторую функцию расстояния /(р), последнее утвер-
ждение можно записать в виде

J = Kf(P)e~^, (30.9)

где ш—угловая частота переменного тока, а К—постоянная, которую еще
нужно определить. Подставляя значение J из соотношения (30.9) в ура-
внение (30.8), получаем для / (р) уравнение

+ <золо>
Это известное обыкновенное дифференциальное уравнение, решением кото-
рого являются функции Бесселя нулевого порядка. Так как в бесконеч-
ности плотность тока должна равняться нулю, то решением является
комплексная цилиндрическая функция Ханкеля от комплексного аргумента
/(р) = Я0(|//хР), (30.11)

причем

z = ]/2T|=2z]/'I. (30.12)

Величина х имеет размерность, обратную размерности длины, и зависит
только от частоты переменного тока / и удельного сопротивления земли s.
В табл. 5 приведены значения величины 1/х для различных частот
и удельных сопротивлений почвы, встречающихся на практике.

Таблица 5

ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ 1/х В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ

Среда Удельное сопротив- ление. CAt^/CeK Величина 1/х (в м) прп различных частотах
25 гц 50 гц 150 гц 500 гц 5000 гц 50 000 гц 500 000 гц
Морская вода . . . 10“ 100 71 41 22,4 7,1 2,24 0,71
Сырая почва .... 1013 1000 710 410 224 71 22,4 7,1
Сухая » .... 1014 3170 §240 1300 710 224 71 22,4
Каменистая почва 1015 10000 7100 4100 2240 710 224 71

Определим прежде всего постоянную интегрирования К в выраже-
нии (30.9). Для этого воспользуемся условием, что полный ток в земле
должен быть равен и противоположен по направлению току в проводе,
имеющему амплитуду I. При помощи фпг. 314 получаем

Дтгр с/р = кКе~’,1Л р//0 (рД’хр) (Zp = — Ie~ivit. (30.13)

h h

Для функций Бесселя справедливо интегральное соотношение

хН0 (х) dx = хН1 (х), (30.14)

где 7/1(а")— функция первого порядка. Таким образом, для интеграла,
входящего в выражение (30.13), имеем

\>эЯо(] /хр) Ф= Г С°= /х/г).

•> L V /х J р=п V1

(30.15)

Теперь из выражения (30.13) получаем постоянную интегрирования

nhH1 ( \] x/i)

(30.16)

Отсюда следует, что на расстоянии от провода р плотность тока Гв земле

равна

х Н„ (V/хр)
ЯДБ/хЛ)

(30.17)
363

Для функций Но и 7Д существуют таблицы и кривые, поэтому поль-
зоваться ими при вычислениях так же просто, как, например, тригоно-
метрическими функциями. При возрастании аргумента модуль этих функ-
ций быстро убывает, а их фазный угол увеличивается.

Первый множитель в выражении (30.17) известен для каждой конкрет-
ной задачи, а последний множитель представляет собой ток в линии.

0,5______J

0.06г

+J
low

за

орг-

10.1

-J

0.7

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

0.2

0.3

0.4

0,5

0,Б

1.0

0.95-

0.90

ОД

ОЗ

0,75
70

0,65

0,55

,50
0.48
0,46

\42

0.40

138-1

Фиг. 315.

0.5

1.5

2,0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

0.5

0,4

0.3

0.2.

0.1

0.08

0,00

- 0,05

0.04

0.03

0,02

0,01
0.008

0006
0,005
0,004

0,003

>0.002

0.001
0.0008
О.ОООБ
00005
0,0004

0.0003

0,0002

0.0001

' 1.0

№

Величина 11А является постоянной, зависящей от расстояния h от провода
до поверхности земли. Так как функция Но при увеличении ее аргумента
делается все меньше, то и плотность тока по мере удаления от провода
уменьшается по тому же закону. Таким образом, возвращающийся через
землю переменный ток не может произвольно углубляться в землю или
растекаться в ней, а стремится приблизиться к проводу.

Так как функции Но п Нг при возрастании аргумента меняются не
только по величине, но и по фазе, то и фаза переменных токов в земле
по отношению к фазе тока в проводе не постоянна, а изменяется от места
к месту. На фиг. 315 и 316 функции Но и показаны в виде век-

торных диаграмм, дающих сразу как их величину, так и фазу. Соответ-
ствующие значения аргумента ко проставлены у концов векторов. Не-
посредственно под линией, где р = Л, токи в земле отстают по фазе на
некоторый угол от тока в линии. На больших расстояниях они рас-
пространяются как быстро затуха-

ющие волны вдоль поверхности
и внутри земли.

§ 2. Поле низкочастотных то-
ков в земле. Для всех частот,
применяемых в технике сильных
токов, включая и высшие гармо-
ники, лежащие в звуковом диа-
пазоне, можно пользоваться при-
ближенными выражениями для
функций Бесселя. Рассматривая
предельный случай, когда вы-
сота линии h = 20 м, частота
/ = 5000 гц при очень влажной
почве с удельным сопротивлением
s = 0,5-1013 с-мР/сек, получаем

кЛ = 2т/г j/y = X
Х20.10»рС^;з = 0,4.
Вплоть до этого значения аргу-
мента для функции Hlt входящей
в выражения (30.16) и (30.17), при-
годно следующее приближение:

(30-18)

Следовательно, постоянная инте-
грирования, определяемая выраже-
нием (30.16), при p = h имеет зна-
чение

А = -у/. (30.19)

Плотность тока в соответствии с
соотношением (30.17) будет равна

Ф И г. 316. J = -у Яо (/7-zp) Ie~W. (30.20)

Таким образом, постоянная интегрирования К является вещественной
и не зависит от расстояния h от провода до земли. Это обстоятельство
можно считать доказательством допустимости перехода от фактического
расположения, показанного на фиг. 313, к приближенной схеме на фиг. 314,
так как величины, характеризующие точное положение провода относи-
тельно земли, не входят в формулы. Поэтому мы можем при частотах
вплоть до 5000 гц считать формулу (30.20) универсальной независимо от
того, расположен ли прямой ток в выемке (см. фиг. 314), или же его несет
воздушная или кабельная линия (см. фиг. 313).
Гл. 80. Возврат переменного тока черев землю

365

Наибольшего значения плотность тока достигает непосредственно под
проводом, т. е. при р = /г. Для сырой почвы при частоте 50 гц (см. табл. 5)
находим значение 1/х = 710 .и; следовательно, при высоте линии h = 10 м
имеем х/г = 0,014. По правой кривой на фиг. 315 находим для этого зна-
чения аргумента величину Но = 2,85. Поскольку в данном случае
2/х2=1 км2, то на основании выражения (30.20) амплитуда плотности тока
будет равна

= - 2,857 aj км2. (30.21)

Итак, каждый ампер тока в проводе создает непосредственно под ним
плотность тока почти 3 а/клг2.

С увеличением расстояния плотность тока очень быстро уменьшается,
как это видно и из выражения (30.20) и из фиг. 315. Уже при

хр = 3 (30.22)

функция Но становится настолько малой, что плотность тока ©называется
ничтожно малой.

Следовательно, обратный ток в земле проходит только по расположен-
ной вблизи провода зоне, протяженность которой определяется соотношением
(30.22). Для переменного тока с частотой 50 гц, текущего во влажной
почве, получаем (см. табл. 5)

Р = — = 3-710 = 2130 м.
г X

Вообще можно считать, что протяженность зоны обратного тока равна
утроенному значению величины 1/х, приведенной в табл. 5. Следователь-
но, возвращающийся через землю ток промышленной частоты распростра-
няется в ней вширь и вглубь на несколько километров, а ток звуковой
частоты на несколько сотен метров.

Для числовых расчетов можно пользоваться асимптотическим прибли-
жением для фукции Но. Для малых значений аргумента, вплоть до хр = 0,5,
это приближение имеет вид

(30.23)

где

7=1,7811

есть постоянная Эйлера. При уменьшении р значения функции Но лога-
рифмически возрастают; это значит, что основную роль в выражении (30.23)
играет второй член. Следовательно, Но является почти чисто мнимой вели-
чиной, и ток под линией отстает по фазе почти на 90° от тока в проводе.

При больших значениях аргумента, т. е. для хр > 1, приближением
является

е-хр/Г2 ej (хр/Уг-з-п/в) t

(30.24)

причем с ростом аргумента модуль функции Но убывает быстрее, чем при
экспоненциальном законе, а фазный угол увеличивается пропорционально
аргументу.

Если провод с прямым током идет не прямолинейно, а искривляется
произвольным образом, как это, например, показано на фиг. 317, то путь
обратного тока идет не по кратчайшему направлению между заземлите-
лями, а следует по трассе провода. Магнитное взаимодействие между то-
ками в проводе и земле приводит к тому, что ток в земле подтягивается
к проводу и не может удалиться от него на расстояние, большее, чем то,
которое определяется выражением (30.22). Для широко разветвленных
линий этот результат имеет большое значение. Он показывает, что обрат-
ные токи в земле не замыкаются по поперечным путям и не заполняют
больших областей, а всегда проходят по пути, воспроизводящему трассу
линии передачи со всеми ее изгибами.

Несмотря на крайне незначительную плотность тока, падение напря-
.жения в земле имеет значительную величину вследствие большого удель-
ного сопротивления почвы. Падение напряжения на единицу длины дается
соотношением (30.7), так что на длине х оно будет равно

е = sxj.

(30.25)

Если подставить сюда сначала
(30.20), а затем значение к2 из

Фиг. 317.

значение плотности тока из выражения
выражения (30.12), то удельное сопротив-
ление сократится; таким образом, мы по-
лучим

е = — хш I т.Н0 (]// хр) (30.26)

Пользуясь приближенным соотноше-
нием (30.23), находим амплитуду перемен-
ного напряжения у поверхности земли не-
посредственно под проводом линии, где
р = 1г. „

• (30-27)

Полученное выражение дает падение на-
пряжения, создаваемое переменным то-
ком — I в земле на длине х. Оно сходно
с выражением для напряжения в цепи с
активным сопротивлением R и индуктив-
ностью Lt

Е= —(R — jwL)I. (30.28)

Сравнивая два последние соотношения, получаем следующее выражение

для активного сопротивления почвы обратным токам:

R = у шх = z2 fx.

(30.29)

Соответственно индуктивность равна

Л = 2.In =

\ h Г //

(30.30)

Вводя в обе эти формулы множитель 10-9, получаем величины сопротив-
ления и индуктивности в практической системе единиц.

Если возвращающийся по земле постоянный ток должен преодолеть
лишь сопротивление растеканию заземлителей, то при возврате перемен-
ного тока появляется сверх того слагающая сопротивления, определяемая
выражением (30.29), зависящая от длины, пропорциональная частоте и не
зависящая от сопротивления почвы. Причина этого заключается в том,
что нити переменного тока не могут распространяться как угодно далеко
в земле, а образуют пучок, расположенный под проводом. Плотность
этого пучка будет тем больше, чем выше частота, а это приводит к росту
сопротивления.

В табл. 6 приводятся значения сопротивления R обратным токам
в земле (в ом]км) для различной частоты и значения диаметра с? медного
провода того же сопротивления. Как видно из табл. 6, для токов с часто-
той 50 гц земля эквивалентна обратному проводу диаметром около 20 мм,
а для токов звуковой частоты, например 500 гц,—проводу диаметром
около 7 мм.

Таблица 6

СОПРОТИВЛЕНИЕ ЗЕМЛИ ДЛЯ ОБРАТНЫХ ТОКОВ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ
ДИАМЕТРЫ ПРОВОДОВ

Частота, гц 25 50 150 500 5000
Сопротивление земли R, ом'км . . 0,025 0,05 0,15 0,5 5
Диаметр обратного провода d, см 3,01 2,13 1,23 0,68 0,21
Глубина фиктивной плоскости возвра- та токов h*, м * h = 0,178 |4 Л.. — Прим,, ред. ИЗО 800 460 250 80

Токи в земле обусловливают появление значительной индуктивности,
определяемой по формуле (30.30). Она зависит от высоты подвеса провода,
а также от частоты и удельного сопротивления почвы. Но все эти вели-
чины находятся под знаком логарифма, и их влияние невелико. Для
сырой почвы при 1 км, / = 50 гц и h = 10 м получим

L = 2- 10s In IO'9 = 0,88 мгн/км.

Эта величина, добавляясь к той слагающей индуктивности, которая обу-
словлена магнитным полем в воздухе, составляет для подобных линий
около половины ее значения. С ростом частоты плотность тока у поверх-
ности земли увеличивается и соответствующая слагающая индуктив-
ности уменьшается.

§ 3. Распределение токов высокой частоты. Для рассмотрения рас-
пределения токов, частота которых значительно превышает 5GU0a^, необ-
ходимо вернуться к общему выражению (30.17).

Было бы желательно упростить его, хотя бы для очень высоких частот,
так как последние применяются в линиях связи и встречаются в линиях
сильного тока в виде блуждающих волн.

Для больших значений аргумента, т. е. для хр > 1, HQ можно заме-
нить приближенным выражением (30.24), тогда как Нг можно прибли-
женно представить в виде

Ях (30.31)

Согласно уравнению (30.12) предельное значение ад = 1 соответствует для
сырой почвы и расстояния от провода р=10з4 частоте 250000 гц, а для
расстояния 5 м—частоте 10® гц. Для подземных кабелей, у которых рас-
стояние между проводом и землей мало, даже при таких частотах нужно
пользоваться точными формулами.
Подставляя приближенные выражения (30.24) и (30.31) в соотноше-
ние (30.17), получаем выражение для плотности тока

J = У7 ~7= (P~h>/|Z2е>* <₽-Л)/Г2е^/2 e-^tj (30.32)

к у hp

которое можно переписать в виде

0 = j (30.33)

Эспонснциальный множитель показывает, что, начиная от значения
р = h, распределение плотности вширь и вглубь характеризуется затухаю-
щей синусоидальной волной. Фаза плотности тока увеличивается при этом
прямо пропорционально расстоянию от провода. Уже при р=/г фазный
угол плотности тока относительно тока I определяется множителем
j\f]', т. е. составляет 3/а прямого угла, или 135°.

Подставляя выражение (30.33) в соотношение (30.25), находим паде-
ние напряжения в земле. Преобразуя выражение так, чтобы в него вошло
отношение расстояний р/Л, получаем в результате

е = 2 (30.34)

Отсюда следует, что напряжение и плотность тока убывают с расстоя-
нием р быстрее экспоненциальной функции. Напряжение имеет наибольшее
значение непосредственно под линией, где р = /г. Амплитуда напряжения
в этом месте равна

(30.35)

или, замечая, что

(30.36)

имеем

£=-(!-/)/2 у/AZ. (30.37)

Сравнивая действительное напряжение на поверхности земли, определяемое
выражением (30.37), с общим соотношением (30.28) для падения напря-
жения, создаваемого обратным током, получаем при очень высоких часто-
тах одинаковые выражения для активного и реактивного сопротивлений
токам в земле, именно:

R = wL = ]/2 Vjs, ’ (30.38)

откуда для индуктивности имеем

1 X I Г 8

У~2тс h V /

(30.39)

Таким образом, сопротивление и индуктивность земли для высоко-
частотных обратных токов существенно зависят от расстояния между про-
водом и землей, а именно, обратно пропорциональны высоте воздушной
линии h. Кроме того, сопротивление возрастает, а индуктивность убывает
пропорционально корню квадратному из частоты. Сопротивление земли
на 1 км расстояния при высоте линии h = 10 м и частоте тока 10е гц
составляет для сырой почвы

И = ]/2~1/10М013-КГ» = 450 ом/км.

Столь большое сопротивление вызывает интенсивное затухание всех высоко-
частотных токов. Это очень выгодно с точки зрения обезвреживания опас-
ных блуждающих волн, но при передаче сигналов связи следует избегать
пользоваться землей в качестве обратного провода. При указанных выше
численных данных индуктивность составит

L = 10-9 = 0,071 мгн/км.

/2тг 10 Г 10е ’ '

По сравнению с индуктивностью провода, имеющей порядок 1,5 мгн/км,
эта величина не играет существенной роли.

Большая величина сопротивления и малая величина индуктивности
обусловлены тем, что плотность обратных токов в поверхностном слое
земли увеличивается. Постоянная пространственного распределения токов
определяется вещественной частью показателя экспоненциальной функции,
входящей в выражение (30.33),

<золо)

Для рассматриваемых числовых данных она составляет всего только
X — 7,1 м. На глубине, в 3—4 раза превышающей пространственную
постоянную, т. е. на глубине примерно 25 м, высокочастотные токи пол-
ностью исчезают.

Как известно, в металлических проводах токи высокой частоты не рас-
пределяются равномерно по всему сечению провода, а сосредоточиваются
около его поверхности. Поэтому провод диаметром d0 из материала с удель-
ным сопротивлением s0 имеет в этом случае большее активное сопротив-
ление

T?0 = 2^/7v (30.41)

Отсюда можно определить диаметр провода, сопротивление которого на
высокой частоте равно сопротивлению земли. Сравнивая выражения (30.41)
и (30.38), получаем

d0 = ]/2A]/^. (30.42)

Таким образом, эквивалентный диаметр провода зависит только от высоты h
провода над землей и отношения удельных сопротивлений земли и про-
вода. В области высоких частот, определение которой было дано выше,
этот диаметр не зависит от частоты.

При высоте линии передачи h = 10 м сопротивление земли обратным
токам равно сопротивлению медного провода, диаметр которого равен

d0 = /2 • IO3- У= 1,9• НГ2 см,

т. е. около 0,2 мм. Приведенный пример показывает, что для токов высо-
кой частоты земля является очень плохим обратным проводом.

§ 4. Поле в пространстве над землей. До сих пор мы рассматривали
главным образом токи в земле и их электромагнитные поля. Однако даже
при простейшем расположении, показанном на фиг. 318, вокруг провода,
24 р. Рюденберг
помимо магнитных линий, проникающих в землю, создаются также и ли-
нии, замыкающиеся полностью в воздухе (при расстояниях, меньших Л)
и обусловливающие индуктивное падение напряжения в проводе. При
сравнительно низких частотах плотность магнитных линий возрастает внутри
провода радиуса г по линейному закону в направлении от оси провода,
а вне провода убывает обратно пропорционально расстоянию. Таким обра-
зом, полный поток, непосредственно сцепленный с проводом, будет равен

h г h

Ф = х^В dp = х\^ dp |- х — dp = 2x1 у + In ~ .

0 0 г Р

Следовательно,индуктивность провода будет равна

(30.43)

(30.44)

При увеличении расстояния h индуктивность, обусловленная силовыми
линиями, проходящими по воздуху, логарифмически возрастает; наоборот,
индуктивность, обусловленная силовыми ли-
ниями, проходящими в земле, при увеличе-
нии этого расстояния логарифмически убывает
[см. выражение (30.30)]. Общая индуктивность
провода и обратного пути тока в- земле опре-
деляется суммой выражений (30.30) и (30.44),
т. е.

г=Ч1пШ+4]- <30-45>

Фиг. 318. Эта величина не зависит от высоты провода

над землей.

В рассмотренном выше примере, при 1/х = 710 м и диаметре провода
d=<$MM, общая индуктивность провода и обратного пути тока в земле

равна

1 = 2.10* [in( ) + i] • 10"-2,54мгн/км.

Исследуем теперь, действительно ли индуктивность линии, проходящей
по воздуху на высоте h над ровной поверхностью земли, равна индуктив-
ности линии, проходящей в центре канавки, как изображено на фиг. 318.
Рассмотрим систему, состоящую из провода, проходящего в центре канавки,
и дополнительной двухпроводной линии, один из проводов которой также
проходит в центре канавки, тогда как второй расположен над поверхностью
земли на высоте, равной высоте подвеса действительного провода (фпг. 319).
Такая система эквивалентна одному воздушному проводу. Действительно,
если по петле будет проходить такой же ток I, как и в самом проводе,
то действия близко расположенных проводов, проходящих в центре канавки,
компенсируют друг друга, как это видно на фиг. 319,а. Таким образом,
остается только обратный ток через землю и ток -f-7 в действительном
проводе над землей.

На фиг. 319,6 и в представлено распределение плотности магнитного
потока, создаваемого двухпроводной петлей, и потока, создаваемого прово-
дом, проходящим в центре канавки. Из шести кривых, изображающих
поля, создаваемые токами в трех проводах, две пары кривых, вычерченные
тонкими линиями, взаимно уничтожаются; остаются только две кривые,
вычерченные жирными линиями. Будем считать, что вся канавка заполнена
обратными токами. Такое предположение не внесет существенного искаже-
ния в магнитное поле токов в земле, так как при низких частотах плот-
ность токов в земле очень мала. Следовательно, распределение эффективного
поля между действительным проводом, проходящим в воздухе, и поверх-
ностью земли (в пределах расстояния h) дается жирной линией на фиг. 319.
При таком распределении поля для индуктивности получаются выражения
(30.44) и (30.45).

Сделаем еще один шаг и предположим, что весь обратный ток через
землю распространяется по тонкому слою, расположенному на глубине h,
как показано на фиг. 320; найдем эту эквивалентную глубину. Для этого

Ф и г. 319. Ф и г. 320.

сравним действительную индуктивность, определяемую соотношением
(30.45), с индуктивностью провода, находящегося на высоте h над идеально-
проводящей плоскостью. Последняя определяется выражением (30.44), если
заменить в нем /г на h. Приравнивая аргументы, стоящие под знаком
логарифмов, получаем фиктивную глубину плоскости, по которой распро-
страняются обратные токи,

7г = — = ^~. (30.46)

р. '

В сырой почве для переменного тока с частотой 50 гц получаем

h = = 0,8 - 10в см = 800 м.

На более высоких частотах глубина h меньше (см. последнюю строку
в табл. 6).

Допущение о заполнении обратными токами всей канавки неприменимо
для очень высоких частот, поскольку в этом случае токи сосредоточиваются
как раз на поверхности канавки. Поэтому теперь необходимо интегрировать
пе по длине h, как в выражении (30.43), а по длине 2h, а затем опустить
внутренний поток провода. Таким образом, индуктивность, обусловленная
полем, распределенным в воздушном пространстве вокруг подвешенного
провода, равна

£ = 2ж1п0?). (30.47)

Найдем теперь полную индуктивность линии передачи, включая и обрат-
ный путь тока в земле, для чего используем выражение (30.39); в резуль-
тате получим

(30.48)-

Здесь объединить два слагаемых уже нельзя.

Для провода диаметром с1 = 8мм, подвешенного на высоте Л = 10л«,
при частоте тока /‘106гц самоиндукция на 1 км в случае влажной почвы
будет равна

Г= 2 106 In 10"9 + 0,071 • 10г3 = 1,7 (1 4- 0,042) НГ3 = 1,77 мгн[км.
На этой и более высоких частотах второй член очень мал по сравнению
ч; первым.

Если вдоль провода линии будут проходить другие провода, могущие
служить в качестве обратных проводов, то распределение высокочастотных
токов под воздушными линиями изменится. На фиг. 321 изображена трех-
фазная линия, в которой только один провод используется для передачи
сигналов на высокой частоте. Вследствие того, что сопротивление обратного
пути в земле очень велико, обратные токи будут течь по двум неиспользуе-
мым проводам линии передачи, как по путям, имеющим меньшее сопротив-
ление. Эти токи в конце линии параллельно входят в провода линии передачи
через их емкость относительно земли, а в начале линии таким же образом

Фпг. 321.

возвращаются в землю. Таким образом, они почти полностью минуют путь
в земле, вследствие чего потери оказываются относительно малыми, Индук-
тивность замкнутой цепи, по которой идут токи высокой частоты, также
значительно уменьшается. При случайном повреждении одного из проводов
линии передачи токи в месте разрыва пойдут через землю и, следовательно,
передача высокой частоты не будет нарушена.

ЛИТЕРАТУРА

Bourgonnier С., Rev. gen. elec., 36, 643 (1934).

Etude du champ magnetique produit en presence du sol par un conducteur parcouru
par un courant alternatif.

Breisig F., Telegr. -u. Fernspr.-Tech., 93 (1925).

Ober die Berechnung der magnetischen Induction aus Wechselstromlei tungen mit
Erdriickleitung.

Buchholz H., Arch. Elektrotechn., 21, 106 (1928).

Untersuchungen uber die W armeverluste, die magnetische Energie und das Induk-
tionsgesetz bei Mehrfachleitersystemen unter Beriicksichtigung des Einflusses der
Erde.

Carson J. R., Bell Syst. Techn. Journ., 5, 539 (1926).

Wave propagation in overhead wires with ground yetum.

Che v alii er A., CIGRE, No 305 (1946).

The propagation of high frequency carrier waves in a high tension line.

Collet M., Bull. soc. frany., elec., 7, 604 (1927).

Le champ magnetique au voisinage d’une ligne electrique a courants alternatifs.

H aberland G., Zs. angew. Math. Meeh., 366 (1926).

Theorie der Leitung von Wechselstrom durch die Erde.

Mayr O., Elektrotechn. Zs., 1352 (1925).

Die Erde als Wechselstrmnleiter.

Miihlinghaus A., Elektr. Nachr. Techn., 8, 379 (1931).

Modellmessungen fiber Leitungskopplunq durch Erdstrome.

Oldenberg O., Arch. Elektrotechn., 9, 289 (1920).

Stromverdrangung beim Seekabel.

Pohlhausen K., VDE—Fachberichte, 36 (1926).

Bestimmung der Fernwirkung von Wechselstromen auf Schwachstromleitungen.

Polla czek F., Elektr. Nachr. Techn., 339 (1926).

Ober das Feld einer unendlich langen wechselstromdurchflossenen Einfachleitung.

Riidenberg R., Zs. angew. Math. Meeh., 361 (1925).

Die Ausbreitung der Erdstrome in der Omgebung von Wechselstromleitungen.

Trueblood H. M., W ascheck G., Trans. AIEE, 53, 1771 (1934).

Investigation of rail impedances.
Глава 31

ИНДУКТИВНОЕ ВЛИЯНИЕ НА ЛИНИИ СВЯЗИ

Обратные токи низких и средних частот захватывают в земле настолько
большую область, что при умеренной высоте h они ослабляют поле прямого
провода значительно меньше, чем это сделало бы его зеркальное изображе-
ние относительно поверхности земли. Чем больше область распространения
обратных токов в земле, тем больше индуктивное взаимодействие с соседними
линиями. В воздухе, помимо поля обратного тока в земле, существует еще
поле тока 1 в проводе. Его напряженность приблизительно та же, что
и поля тока, возвращающегося по поверхности идеально проводящей земли.

§ 1. Идеально проводящая поверхность земли. Влияние магнитного
поля в воздухе на соседние линии можно определить путем сравнения с влия-
нием электростатического поля. Оба эти вида взаимодействия между линиями
передачи и связи схематически представ-
лены на фиг. 322. При идеально проводя-
щей поверхности земли силовые линии элек-
трического и магнитного полей пересекаются
под прямыми углами, образуя ортогональ-
ную систему. Следовательно, отношение
взаимной магнитной индуктивности между
линиями т к «взаимной электростатической
индукции» g равно отношению индуктивно-
сти I линии передачи к коэффициенту «собст-
венной электростатической индукции» q этой

линии. Все величины относятся к линии передачи вместе с ее изображе-
нием в поверхности земли, как показано на фиг. 322. Так как отношение
«электростатической индукции» к электромагнитной индуктивности равно
квадрату скорости света v, то получаем

т _ I _ 1

g ~ Q ~ '

(31.1)

Это соотношение справедливо для любого расположения проводов как линии
передачи, так и линии связи и, следовательно, одинаково пригодно и для
однопроводных и для двухпроводных и трехфазных линий.

Напряжение, наводимое переменным током I с угловой частотой о> в со-
седней линии протяженностью х, равно

е/ = штх!,

(31.2)

где т означает взаимную индуктивность на единицу длины. Сравнивая
это наведенное напряжение с электростатически наводимым напряжением ед,
которое определяется, как было показано раньше, выражением (29.5),
находим отношение

е1 mq <лх!

(31.3)
Воспользовавшись соотношением (31.1), исключим отсюда три коэффициента

индукции и получим

'I _ ">1x1 _ _£ьх
еЕ Е '

(31.4)

В этом соотношении ELx означает напряжение самоиндукции в линии пере-
дачи на длине х параллельного пробега обеих линий.

Таким образом, напряжение, наводимое на соседней линии путем элек-
тромагнитной индукции, составляет лишь малую часть от напряжения, наво-
димого электростатически, так как индуктивное падение напряжения в ли-
нии передачи всегда мало по сравнению с рабочим напряжением. Лишь в том
редком случае, когда при коротком замыкании длина короткозамкнутого
участка равна длине параллельного пробега а; и напряжение в начале линии
не снижается, «рабочее» напряжение линии равно индуктивному. Если же
напряжение в начале линии снизилось вдвое, а длипа параллельного пробега
составляет г/3 длины короткозамкнутого участка, то отношение напряжений
в выражении (31.4) будет равно

f г 11

16,7%.

2 3

Следовательно, даже в неблагоприятных условиях напряжение, наводимое
вследствие электромагнитной индукции в линии связи, составляет всего
лишь 1/6 часть напряжения, наводимого электростатически в условиях нор-
мальной работы.

Фаза наведенного напряжения смещена по отношению к току на 90°
и может, таким образом, значительно отличаться от фазы напряжения, наве-
денного электростатически. Действие высших гармоник тока линии переда-
чи пропорционально частоте, как это видно из соотношения (31.4), и может
приводить к нарушению работы телефонных линий, тем более что телефон-
ные линии чувствительны к ним больше, чем к основной гармонике.

Для того частного случая, при котором обе линии являются однопро-
водными, как это показано на фиг. 308, электростатическую индукцию q
в выражении (31.1) можно заменить ее значением из соотношения (29.4).
Тогда для магнитной индуктивности получим известное выражение

Z=21n(4A). (31.5)

Подставив в выражение (31.4) значение I из соотношения (31.5) и значение
электростатически наведенного напряжения еЕ из соотношения (29.9), полу-
чим приближенное выражение для напряжения, которое наводится путем
электромагнитной индукции в линии связи полем тока I линии передачи
(имеется в виду магнитное поле в воздухе),

с/ = 2шх1 . (31.6)

Полученное выражение справедливо при условии, что расстояние между
линиями а велико по сравнению с высотой подвеса линий h и к.

Пусть длина параллельного пробега двух линий составляет ж = 10кл«
и расстояние между ними а = 30 .и. Ток линии передачи равен I — 100 a
при частоте 50 гц. Высота проводов h = 10 м и к = 5м. Тогда в линии
связи электромагнитно наводится напряжение

ei = 2.314.10М00~.10-9 = 3,5 в.

Множитель 10'® введен здесь для перехода к практическим единицам.
Наведенное напряжение относительно невелико; с увеличением расстояния
между линиями оно быстро убывает.
§ 2. Действие токов в земле в удаленных точках. Вплоть до частот
порядка 5000 гц поле тока в земле вызывает появление около линии пере-
дачи индуктированного напряжения, амплитуда которого, согласно соотноше-
нию (30.26), равна

е= — xwIitH0(]/~j *р). (31.7)

Если на расстоянии р от линии передачи расположена, как это показано
на фиг. 323, линия связи длины х с заземлениями на обоих концах,

то эта последняя окажется под напряжением
ток. То напряжение, которое появляется в
линии связи, является результатом ответ-
вления тока в землю.

Но это напряжение можно рассматри-
вать и как электродвижущую силу взаим-
ной индукции, создаваемую магнитным по-
лем токов в проводе и в земле. Обе концепции

е и в линии связи появится

еТ

------р------

Фиг. 323.

приводят к одному и тому же результату, по-

скольку распределение токов в земле определяется совокупным действием
закона электромагнитной индукции Фарадея и закона Ома. Следуя концеп-
ции взаимной индукции, мы можем выразить амплитуду наводимого напря-

жения в виде

е = штх1.

(31.8)

Отсюда, пользуясь соотношением (31.7), получаем взаимную индуктивность
па единицу длины

т = -гЯ0(|//хр). (31.9)

Так как функция Но характеризуется не только своей величиной,
но и фазным углом, мы должны расширить классическое представление
о взаимной индукции. В данном случае она определяется не только гео-
метрическим расположением и формой обеих линий, но также частотой
переменного тока и удельным сопротивлением земли. Поэтому нагляднее,
пожалуй, оперировать непосредственно амплитудой наводимого напряжения,
которая определяется выражением (31.7).

Наиболее отчетливым изображением наведенного напряжения является
векторная диаграмма функции Но, представленная на фиг. 315 и даюшая
сразу и величину и фазу напряжения. Чтобы правильно расположить
вектор Но относительно тока в проводе I, вектор последнего надо в соот-
ветствии с выражением (31.7) ориентировать вдоль отрицательной действи-
тельной полуоси.

Как видно из диаграммы, при малых расстояниях между линиями
наведенное напряжение имеет значительную величину и отстает от тока
в проводе более чем на 90°. При увеличении расстояния между линиями
конец вектора Но медленно скользит вдоль спирали. Сдвиг фаз достигает
180° при хр = 1,7, что при влажной почве и частоте 50 гц соответствует
расстоянию между линиями, равному 1,2 км. Следовательно, наведенное
напряжение распространяется над землей в виде затухающей волны.

Расстоянию между линиями р = 100л«, частоте f—ЬОгц и удельному
сопротивлению почвы s = 1013 см2/сек соответствует хр = 0,14. Для этого
значения по кривым фиг. 315 находим ff0 = l,41. Таким образом, напряже-
ние, наводимое током I = 100 а на линии длиной ж=10кл«, будет равно
е=10-105-314.100к.1,41.10-9 = 140е.

Множитель 10~9 снова введен для перехода к практическим единицам.
Таким образом, напряжение, наводимое полем токов в земле и определяемое
соотношением (31.7), во много раз больше наводимого током в проводе
и определяемого выражением (31.6). При увеличении расстояния между
линиями до р = 1 км и при прежних значениях всех остальных величин
наводимое напряжение составляет еще 23 в; однако при р = 10 км оно
падает до 10 5 в.

Если линия связи расположена вблизи линии передачи, то можно
воспользоваться приближенным соотношением (30.23), после чего выраже-
ние (31.7) примет вид

^[•^(Ы^)].

(31.10)

Первое слагаемое соответствует активной составляющей наводимого напря-
жения, второе слагаемое — его индуктивной составляющей. Оба слагаемых
растут вместе с частотой и слабо зависят от расстояния между линиями.

Если линия связи находится на большом расстоянии от линии передачи,
то, воспользовавшись приближенным выражением (30.24), получим

е—7t V 2fls р ej uit—Зи/8)

(31.11)

Coo = — 2ъх1

Амплитуда напряжения убывает при увеличении расстояния несколько
быстрее, а при увеличении квадратного корня из частоты — несколько
медленнее, чем по показательному закону. Таким образом, с увеличением
расстояния происходит сильное ослабление высших гармоник.

Последний множитель в соотношении (31.11), выражающий зависимость
от времени, представляет собой показательную функцию мнимого аргумента,
что ясно указывает на волновой характер распространения напряжения
над поверхностью земли. Длина волны равна

Л = 2гс-X2 = |/-2у- , (31.12)

а ее скорость составляет

= = (31.13)

В начальный момент и в начале координат эта волна отстает от тока
в проводе на угол Зк/8, т. е. на 3/4 прямого угла. Вследствие сильного
затухания токов в земле полностью развивается только первая полуволна.
Для токов с частотой от 50 до 60 гц скорость волны, рассчитанная по фор-
муле (31.13), лежит в пределах от 300 до 3000 км/сек. Эта скорость гораздо
меньше скорости света, но тем не менее она достаточно велика для того,
чтобы не сказываться на взаимодействии линий.

На фиг. 324 даны кривые зависимости взаимной индуктивности от рас-
стояния для влажной почвы s= 1013 см2/сек, для сухой почвы s= 1014 см2/сек
и для каменистой почвы s=1015 см2/сек. Они построены по уравнению
(31.9). Частота тока во всех трех случаях равна 50 гц. Значения взаимной
индуктивности т представлены в мгн/км, т. е. в единицах, которые в 10 раз
меньше единицы в системе CGS. Приведенные кривые показывают, что
при влажной почве наводимое напряжение падает до сравнительно малой
величины, если расстояние между линиями составляет от нескольких сотен
до нескольких тысяч метров, тогда как при каменистой почве аналогичное
уменьшение напряжения имеет место при расстояниях от нескольких тысяч
до десятков тысяч метров. Эти выводы и качественно и количественно
подтверждаются многочисленными измерениями, выполненными в различ-
ных странах с сильно различающимися подпочвами.

§ 3. Двухпроводные п трехфазные линии. В двухпроводной линии
передачи, изображенной, например, па фпг. 325, ток течет лишь по про-
водам, не попадая в землю. Однако в земле все же появляются вторичные
токи. Это объясняется тем, что поля в земле, наводимые токами двух
проводов линии, несколько смещены относительно друг друга и, следова-
тельно, полностью не компенсируются. На-
пряжение е, наводимое в линии связи, зави-
сит от расстояния между линиями р и от вы-
соты подвеса лпппи передачи h, т. с.

е = е(/г, р). (31.14)

Следовательно, разность напряжении наво-
димых двумя проводами линии передачи,
равна
е'=е(/г', р')—е(/г, р). (31.15)

Расстояние между проводами линии пе-

редачи обычно мало по сравнению с расстоянием р и высотой подвеса h,
так что, пользуясь обозначениями фиг. 325, можно написать

dh = \-, dP = \, (31.16)

где dh и dp можно приближенно считать дифференциалами. Уравнение
(31.15) тогда можно переписать в следующем виде:

е' = е(/г + dh, р+ <Zp) — е(/г, р). (31.17)

Отсюда получаем следующее приближенное выражение для наводимого
напряжения:

= (31.18)

Таким образом, наводимое напряжение пропорционально расстояниям
между проводами линии передачи по вертикали и по горизонтали и, кроме
того, определяется частными производными напряжения, наводимого оди-
ночным проводом по двум рассматриваемым направлениям.

Так как падение напряжения в земле в соответствии с выражением
(31.7) не зависит от высоты линии передачи h, то первый член в правой
части уравнения (31.18) исчезает. Следовательно, линия передачи с про-
водами, расположенными в вертикальной плоскости, не будет влиять-

h. h'

e(h,p)

Фиг. 325.
на соседние с ней линии. Однако линия передачи с проводами, расположен-
ными в горизонтальной плоскости на расстоянии Хр друг от друга, будет
оказывать существенное влияние на находящиеся на некотором расстоянии
-от нее линии в соответствии со вторым членом уравнения (31.18). Диф-
ференцируя выражение (31.7) и пользуясь соотношением между функциями
Бесселя, получаем

е' = TwZirzkp Нг (j/y хр). (31.19)

Отношение этого напряжения к напряжению, наводимому однопроводной

линией, равно

К — _ ^/д1(т//хр)

е ₽ Яо(Г7-р)

(31.20)

Так как значения бесселевых функций Но и Н± для больших аргумен-
тов приближаются друг к другу, то отношение (31.20) асимптотически
стремится к величине

= (31.21)

Для линии передачи, расположенной над сырой почвой и имеющей рас-
стояние между проводами Хр = 2 м, при частоте переменного тока 50 гц
отношение напряжений будет равно

^ = 2^200-]/^з = 2,8°/ор.

Таким образом, действие двухпроводной линии во много раз меньше
действия однопроводной линии.

Индуктивное влияние трехфазной линии, изображенной на фиг. 326,а,
проще всего определить, рассматривая ток Z3 как совокупный обратный

ь*----------- р ------------«-J I

Фиг. 327.

ток "для токов Zx и Z2. В этом случае необходимо составить только вектор-
ную сумму двух последних токов, умножив каждый из них на расстояние
по горизонтали до провода, несущего ток Z3. Эта операция иллюстрируется
векторным треугольником, вычерченным на фиг. 326,6 жирными линиями;
в результате получается результирующий вектор XZ, величину и фазу
которого следует подставить в выражение (31.19). Если фазные токи
трехфазной линии не сбалансированы, как на фиг. 326,6, а образуют
неправильный треугольник, геометрическое построение результирующего
вектора не изменится. Если же сумма токов отлична от нуля, так что
треугольник получается незамкнутым, то это указывает на наличие наряду
«с токами в линии обратного тока в земле. Этот ток через землю нельзя
учесть при помощи выражения (31.19); его необходимо рассмотреть отдельно.
Действие этого тока на расстоянии определяется, как и прежде, выра-
жением (31.7).

Чтобы предохранить чувствительные телефонные цепи от напряжений,
наводимых между линиями связи и землей, в качестве линий связи обычно
применяют двухпроводные линии, как показано на фиг. 327, избегая
более дешевого использования земли в качестве обратного провода. В этом
случае наведенное^ напряжение, действующее на линии связи, равно
разности напряжений, наводимых в каждом из проводов линии, т. е.

е" = е(Л', р')-е(Л, р). (31.22)

Если расстояния по горизонтали и вертикали между проводами линии
связи малы по сравнению с расстояниями Аир, смысл которых ясен
из фиг. 327, то их можно приближенно считать дифференциалами

<ZA = 8ft; ф = 8р. (31.23)

Таким образом, напряжение, наводимое в линии связи, будет равно

(ЗГ24)

Подставляя в это соотношение падение напряжения в земле, определяемое
соотношением (31.7), получаем, по аналогии с выражением (31.19), сле-
дующую формулу для напряжения, наводимого в линии связи:

е" = хш7irx8p ]/ j H-l (|/ / у-p).

(31.25)

Как и раньше, наводимое напряжение определяется расстоянием по гори-
зонтали между проводами 8р и не зависит от расстояния между ними
по вертикали 8/г. Отношение напряжения, наведенного в замкнутой лпнпи
связи,’ к напряжению земли, определяемому выражением (31.7), равно

g" . ViHx Wj-w)
e p Я0(р/Хр)

(31.26)

При больших значениях аргумента это отношение асимптотически при-
ближается к величине

^=х8„ = 2«8₽]/Т. (31.27)

Если линия связи проходит над влажной почвой вблизи линии передачи,
частота тока в которой / = 50г^, то при расстоянии по горизонтали между
проводами линии связи 8р = 20 см отношение напряжений будет равно

— = 2^-20-
е

^ = 0,28°/оо,

т. е. наведенное напряжение будет ничтожно мало. Таким образом, при-
менение двухпроводных линий связи в значительной степени устраняет
помехи, вызываемые действием линий передачи.

Другим средством, существенно уменьшающим помехи, являются вспо-
могательные провода, расположенные вблизи линий передачи или линий
связи. Вспомогательными проводами могут служить заземленные тросы
над линией передачи, оболочки силовых кабелей и кабелей связи, рельсы
трамваев и железных дорог и другие провода, проходящие вдоль линий,
если они хорошо заземлены. Эти провода в значительной степени экрани-
руют магнитное поле линии передачи, так что с линией связи будет взаимо-
действовать только небольшая его часть.
ЛИТЕРАТУРА

Benda Е. R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern; 9, No 1, 338 (1930).

Untersuch ungen fiber Schienenstrome und die Schutzwirkung von Kahelmanteln
gegen Starkstromstorungen.

Bowen A. E., Gilkeson C. L., Trans. AIEE, 1370 (1930).

Mutual impedances of ground-return circuits.

Coleman J. O., Trueblood H. M., Trans. AIEE, 59, 403 (1940).

Co-ordination of power and communication circuits for low-frequency induction.

Collard J., Journ. Inst. Electr. Eng. (London), 71, 674 (1932).

Measurement of the mutual impedance of circuits with earth return.

Gray M. C., Physics, 4, 76 (1933); 5, 35 (1934).

Mutual impedance of long grounded wires when the conductivity of the earth
varies exponentially with depth.

Frost P. B., Gould E. F. II., CIGRE, No 301 (1946).

Practical aspects of telephone interference at fundamental frequency power
systems.

Jager P., Elektr. Nachr. Techn., 208 (1926).

Quantitative Mcssung der Fcrnsprechstorwirkung von Stromerzeugern und— ver-
brauchern als Oberschwingungsgeneratoren.

KI ewe H., Elektr. JVachr. Techn., 467 (1929).

Gegeninduktivitatsmessungen an Leitungen mit Erdriickleitung.

KI ewe H., Elektr. Nachr. Techn., 533 (1931).

Gegeninduktivitatsmessungen an Leitungen mit Erdriickleitung in Skillingaryd
Pollaczek F., Elektr. Nachr. Techn., 18 (1927).

Uber die Induktionswirkungen einer Wechselstromeinfachleitung.

R a d 1 e у W. G., Journ. Inst Electr. Eng (London), 69, 1117 (1931).

Interference between power and communication circuits.

Radley W. G. J о s e p h s H. J., Journ. Inst. Elec. Eng., 80, 99 (1937).

Mutual impedance of circuits with return in a horizontally stratified earth.

Radley W. G., Whitegead S., Journ, Inst. Elec. Eng., 74, 201 (1934).

Recent investigations on telephone interference.

Riordan J., S u n d e E. D., Bell Syst. Techn. Journ., 12, 162 (1933).

Mutual impedance of grounded wires for stratified two-layer earth (содержит
библиографию).

S c h i 1le r H., Arch. Elektrotechn., 20, 252 (1928).

Uber die Induktionswirkung von Starkstromen auf benachbarte Leitungen.
Suude E. D., Enrth Conduktion Effects in Transmission Systems, New York, 6949.
Wild W., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 10, No 1, 51 (1931).

Der DoppelerdschluBstrom in Drehstromkabeln und seine Einwirkung auf henach-
barte Fernmeldekabel.

Zastrow A., Elektr. Bahnen, 368 (1926); VDE-Fachberichte, 33 (1926).

Uber die Grosse der Gegeninduktivitat zwischen Leitungen mit Erdriickleitung.
Zastrow A., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 9, No 1, 329 (1930).

Einwirkungen von Drehstromkabeln auf Fernmeldekabel.
Глава 32

СВОБОДНЫЕ ТОКИ В ЗЕМЛЕ

В моменты включений в линиях передачи, обратным проводом для
которых служит земля, дополнительно к установившимся постоянному
и переменному токам появляются токи экспоненциального характера, кото-
рые также проходят в земле и в большинстве случаев убывают, не меняя
знака. Распределение плотности <7 такого свободного тока в по лупространстве
зависит от расстояния р и описывается дифференци-
альным уравнением

Р др \_ др У sdt ' '

которое было выведено в гл. 30 [см. уравнение (30.8)]
при помощи фиг. 314.

Начальное значение и постоянная времени это-
го тока определяются характером возмущения. На-
пример, при мгновенном включении двигателя элек-
тропоезда (фиг. 328) обратный ток, текущий по рель-
сам и по земле, возрастает по экспоненте с посто-
янной времени, которая определяется индуктив-
ностью и сопротивлением обмоток двигателя. Таким
образом, установившийся ток в земле дополняется
свободным током

(32.2)

Подобное же явление будет наблюдаться и при внезапном замыкании
на землю контактного провода, только ток будет больше, а постоянная
времени меньше. Наконец, в системах переменного тока явления замыкания
на землю связаны со свободными токами такого же вида, как (32.2),
причем амплитуда имеет порядок токов короткого замыкания и, следова-
тельно, часто бывает очень большой.

§ 1. Экспоненциально изменяющийся ток. Поскольку 'свободный
ток в соответствии с выражением (32.2) изменяется экспоненциально во
времени, мы вправе предположить точно такой же закон затухания для
плотности этого тока J. Распределение этой величины в земле описывается
функцией / (р), которая определяется дифференциальным уравнением (32.1).
Таким образом, мы можем положить

t7 = Jff/(p)e-'/T,

(32.3)

где Т — заданная постоянная времени, а К — постоянная интегрирования
Подставив выражение (32.3) в уравнение (32.1), получим уравнение

Для /(Р):

7^-(р^)+>/(р) = 0- <32-4)
Решением этого дифференциального уравнения также являются цилиндриче-
ские функции нулевого порядка. Поскольку в бесконечности плотность
тока должна быть равна нулю, то в качестве решения следует взять
функцию Неймана от действительного аргумента

Здесь

/(p)=W

* (32.5)

(32.6)

Величина р зависит только от постоянной времени Т свободного тока и
удельного сопротивления почвы s.

Функция No графически представлена на фиг. 329. Как видно из фигуры,

передачи, убывает сначала быстро, а затем более медленно, причем рас-
пределение ее дается волнообразной криво! .

Постоянную интегрирования К в выражении (32.3) можно определить
пз условия, что полный ток в земле равен отрицательному значению тока
в проводе. Проинтегрировав плотность тока по радиусу от h до бесконеч-
ности во всем полупространстве, получим полный ток

= — i. (32.7)

Подставпв сюда значения величин из выражений (32.2), (32.3) и (32.5)
и опустив общий экспоненциальный множитель, найдем

I = - т.К pZV0 (Рр) <ф. (32.8)

Интеграл от функции Бесселя выражается следующим образом:

xN0 (ж) dx = xN± (х), (32.9)

где — функция Неймана первого порядка, график которой также

11 Обоснование автора для отбрасывания второго решения Jo ((ip) не является убе-
дительным.—Прим. ред. -
изображен на фиг. 329. Таким образом^ из соотношения (32.8) получаем1)

1 = _2^^Л\(Р/г). (32.10)

Для любой практически встречающейся высоты h подвеса линии передачи
можно пользоваться приближенным соотношением

км=(32Л,)

Соотношение (32.11) применимо при малых значениях аргумента
вплоть до Рр = 0,5. Таким образом, для постоянной интегрирования полу-
чается следующее простое выражение:

it/iTVi (р7г)

(32.12)

Это выражение не зависит от фактической высоты линии р = h.

Из выражений (32.3) и (32.6) получается формула для плотности тока
на некотором расстоянии:

J = ~£ УУ0(₽р)/е-'/Л (32.13).

Плотность обратного тока в земле изменяется в соответствии с функцией
Бесселя No и, кроме того, обратно пропорциональна произведению удель-
ного сопротивления земли и постоянной времени цепи.

Входящий в аргумент сомножитель р представляет собой величину,
обратную длине. Численное значение его при удельном сопротивле-
нии s = 1013 см2 / сек и при постоянной времени свободного тока Т — 0,1 сек
на основании формулы (32.6) равно

Г 1013-0,1 4000

Таким образом, из фиг. 329 видно, что пространственные волны тока
будут распространяться по очень большой области, в которой амплитуда
затухает весьма медленно. Поэтому такие свободные токи могут создавать
помехи даже в линиях, расположенных далеко от линии передачи.

Для численных расчетов удобно ввести приближенные выражения для
функции Неймана2). Для значений Рр < 0,5

(32ЛЧ

где 7 = 1,7811 — постоянная Эйлера. Для значении Рр > 0,5

^о(Рр) = ]/^^(₽р—

о Интеграл (32.8) следует понимать как предел выражения

СО

J=— т.К lim ( e-6p P7V0 (₽р)dp.

£—>0 «j

Это понимание интеграла принято при обращении с известными сингулярными функ-
циями теории поля.—Прим, редакции.

2> Точность такого приближения сравнительно невелика. При Рр=О,5 формула (32.14)
дает 2V0 (0,5) =—0,3177, из формулы (32.15) получается 2Vo(0,5)=—0,5151 и, иакорец^
таблицы дают 2Vo(0,5) ——0,4445. — Прим. ред.
На небольшом расстоянии, например непосредственно под линией, подве-
шенной на высоте р = h = 10 м, при прочих данных, таких же, как в уже
рассмотренном примере, плотность тока на основании выражения (32.13)
будет равна

<7 = ЧоЛм 1п 1 = 1(W слг2 = °’122/ км"

Таким образом, плотность тока в земле, приходящаяся на 1 а тока
в проводе, немного превышает 0,1 а/км?. Такая малая плотность сво-
бодных токов соответствует распределению установившихся постоянных
токов, распространяющихся в земле на значительные области. Именно
поэтому внезапные замыкания силовых линий на землю создают заметные
помехи даже в местах, расположенных от них на больших расстояниях.
Если считать, что величина зоны распределения токов в земле опре-
деляется расстоянием z, на котором плотность тока уменьшается до 5%
от значения плотности непосредственно под линией, то мы получим сле-
дующее условие:

^о(^)=Тоо^о(^). (32.16)

Подставляя в правую часть значение Л'0(р/г) из выражения (32.14),
а в левую — амплитуду выражения (32.15), находим расстояние

(32.17)

Для рассмотренных выше численных значений величина зоны распростра-
нения токов будет равна

200^-4000

7 — ---------------

/ , 2-4000 V

Q111 1,78-10 )

67,2 км.

В то время как переменные токи распространяются в земле в сравни-
тельно узкой области по обе стороны от линии, свободные токи со срав-
нительно малой постоянной времени захватывают достаточно большие
области. Зона их распространения будет малой только при очень малых
постоянных времени.

Вышеприведенные рассуждения относятся к случаю, когда длина
токонесущего провода гораздо больше поперечного размера зоны распро-
странения токов в земле. Поскольку длина линии передачи редко превы-
шает найденный выше поперечный размер зоны, наши выводы следует
считать приближенными, дающими представление о порядке величин,
имеющих место в действительности.

Волее строгое рассмотрение задачи показывает, что в действитель-
ности свободные токи в земле не имеют чисто экспоненциального харак-
тера. Вернее, возникают дополнительные токи, постоянные времени ко-
торых отличаются от значений, определяемых внешней индуктивностью
и активным сопротивлением линии. Эти дополнительные токи осуще-
ствляют постепенный переход от момента, когда ток в земле отсутствует
вовсе, и до момента, когда устанавливается ток, описываемый найденным
выше основным решением. Указанное явление аналогично рассмотренному
в гл. 10 появлению свободных вихревых токов. Такие дополнительные
токи имеют крайне малую постоянную времени и затухают очень быстро,
так что практически они представляют интерес только в самый первый
момент после включения.

Если рядом с линией передачи расположена линия связи, заземленная
на обоих концах (фиг. 330), то напряжение, наведенное на ней, равно
произведению плотности тока у поверхности земли, удельного сопротивле-
ния почвы и длины линии связи х. Использовав соотношение (32.13),
получим выражение для этого напряжения

e = sxj = - к

(32.18)

Вблизи от линии передачи, т. е. для расстояний, не превышающих
примерно 1 км, можно пользоваться приближением (32.14), что приводит

к следующему выражению для начального
значения наведенного напряжения:

(32Л9)

Таким образом, напряжение, наводимое на
соседней линии связи, почти обратно про-
порционально постоянной времени влияюще-

! Те

1 1 г

— Р -
Ф и г. 330.

го тока и медленно убывает с расстоянием, поскольку р входит под знак
логарифма.

На самой линии передачи за счет влияния поля земли также появ-
ляется наведенное напряжение, которое можно определить для момента
времени /4=0 и для р = Л по формуле (32.19):

<32-20>

Электродвижущую силу самоиндукции, появляющуюся за счет свободного
тока, определяемого уравнением (32.1), можно выразить следующим
образом:

Z-g-=Z^e-'/T. (32.21)

Сравнение выражений (32.20) и (32.21) показывает, что контур тока
в земле обладает индуктивностью, равной

L = 2xln(-^) = 2xln(o,448-^) . (32.22)

Эта величина зависит от высоты линии передачи, удельного сопротивле-
ния земли, постоянной времени свободного тока; формально она подобна
индуктивности контура переменного тока, определяемой выражением
(30.30). При высоте подвеса линии h = 10 л», постоянной времени Т = 0,1 сек.
и удельном сопротивлении почвы s = 1013 см2/сек величина индуктивности
1 км линии равна

L = 2- 105-1п Ю-® = 1,22 мгн/км.

Следовательно, индуктивность для таких свободных токов больше
индуктивности для переменных токов вследствие более широкого распро-
странения свободных полей в земле. По той же самой причине активная
составляющая сопротивления не будет иметь сколько-нибудь заметной
величины. Падение напряжения, создаваемое свободными токами в земле,
является чисто индуктивным.

25 р. Рюденберг
При больших расстояниях наводимое напряжение, определяемое вы-
ражением (32.18), в соответствии с приближенным соотношением (32.15)
будет равно в момент времени t = О

е = - ~т~ Vtp sin С₽р • <32-23)

Вместо логарифма, входящего в выражение для ближней зоны, в этом
случае появляется корень квадратный из 1/р, т. е. затухание становится
относительно слабым.

Рассмотрим две линии, которые на длине ж =10 «.ад идут параллельно
друг другу. Пусть свободный ток в линии передачи / = 100 а, а другие
величины имеют те же значения, что и в вышеприведенном примере.
Тогда начальное значение напряжения, наводимого на линии связи,
проходящей на" расстоянии р =100лл, равно е=7,6е, а при р=1«ж
е = 3в. Даже при расстоянии между линиями, равном 10 км, в момент
включения еще остается наведенное напряжение, равное 1,6 в. Отсюда

Фиг. 331.

видно, что в непосредственной близости от линии передачи напряжение
гораздо меньше, чем в случае переменного тока. Однако при увеличении
расстояния наведенное напряжение убывает медленно и в удаленных
зонах имеет значительно большую величину, чем в случае переменного тока.

В тяговой линии постоянного тока были произведены измерения при
искусственном замыкании на землю. Осциллограммы двух опытов, пред-
ставленные на фиг. 331, показывают рост тока линии и напряжения,
наведенного на соседней линии связи. В обоих случаях ток увеличивается
почти экспоненциально, что соответствует нашим допущениям. Однако
постоянные времени тока и напряжения, наведенного па линии связи,
несколько отличаются друг от друга. В обоих опытах кривые напряжения
характеризуются одной и той же постоянной времени порядка Т = 0,6 сек.
Установившийся ток короткого замыкания был равен I = 2300 а, однако
часть этого тока возвращалась обратно по рельсам. Расстояние между
линиями было равно р = 10,ж на длине ж =19 км. Как видно из осцил-
лограмм, начальные значения напряжения е, наведенного на линии связи,
равны 65 и 70s. Среднее значение удельного сопротивления почвы
в области трассы железной дороги было равно s= 1012 см2/сек. Для этих
числовых значений, согласно приближенному соотношению (32.19),
получим

19-105-2300 . f 2-1012-0,6 Л ,„9 ск
е =----О-----Ч ^1.782-lbeJ-10r =85е-

Если учесть, что часть тока короткого замыкания на землю проходит по
рельсам, а не по земле, то соответствие с измеряемыми значениями ока-
зывается удовлетворительным.
При меньших постоянных времени свободного тока наведенные
напряжения значительно возрастают, как это видно из выражения (32.19).
Однако они не распространяются на такие большие расстояния. Так как
при отключении больших постоянных или переменных токов короткого
замыкания появляются очень быстро изменяющиеся свободные токи, то
этот процесс может оказать сильное влияние на линии связи.

§ 2. Мгновенное нарастанье тока. Произвольно изменяющийся ток
можно представить в виде ряда экспоненциально убывающих членов
с различными постоянными времени. Однако для мгновенно нарастающего
тока существует решение дифференциального уравнения (32.1) в замкну-
той форме. Такое нарастание тока возможно в том случае, когда внешняя
цепь совершенно не имеет индуктивности. Указанное условие может
быть выполнено, если только токонесущий провод проходит очень близко

к поверхности земли, так что
на него не влияют никакие
магнитные поля, кроме магнит-
ного поля земли. Таким путем
будет выявлено влияние земли
без дополнительных искажений.

Частное решение дифферен-
циального уравнения (32.1)
имеет вид

J=:Ae-W2S)(P2/0? (32.24)

что можно проверить дифферен-
цированием Ч. Это выражение
для двумерного случая подобно,

но не идентично выражению (11.34) для

одномерного случая.

Распределение плотности тока вдоль радиуса показано на фиг. 332.
Сначала ток через землю концентрируется вблизи провода, а в следующие
моменты времени он распространяется вглубь, причем расстояния р, про-
ходимые током в последовательные моменты времени, определяются соот-

ношением

(32.25)

Амплитуды, характеризующие распределение плотности тока, убывают
обратно пропорционально времени.

Полный обратный ток определяется выражением, аналогичным соотно-
шению (32.7):

-1 = t Jrcp dp = К Г e-6V2s>(P2/Op dp = 2Ks е-^2 tj d^ (32.26)
оо •

Интегрирование здесь должно быть распространено до начала отсчета
расстояний, т. е. до провода, по которому течет ток. В выражении (32.26)

Формула (32.24) дана автором в виде

e-(2n/s)(p2/0>

т. е. является неточной. Было сочтено целесообразным исправить непосредственно
в тексте как формулу (32.24), так и связанные с ней ^отношения (32 26}—(32 32).—
Прим. ред.
использована вспомогательная величина

(32.27)

Благодаря такой подстановке получается известный интеграл, численное
зпачеппе которого равно г/2. Следовательно, постоянная интегрирования
равна

К=-^1. (32.28)

Отсюда получаем следующее выражение для плотности тока:

7= ___£e-W2s)(f* 2/o
и st

(32.29)

Представляет интерес сравнить этот результат с выражением (32.13) для
экспоненциально изменяющегося тока I в проводе.

Напряжение, наводимое на линии, проходящей параллельно первой
на протяжении длины х, будет равно

e=sx/J = —я-^-е-О’/ЭДСр*/*), (32.30)

График этой функции в зависимости от времени представлен на фиг. 333.

Функция быстро возрастает от нуля до

максимума, а затем постепенно
убывает, причем характер
убывания несколько напоми-
нает обычное экспоненциаль-
ное затухание. Время, в те-
чение которого достигается
максимум, можно определить
дифференцированием форму-
лы (32.30); оно равно

^=2/Р2' (32-31)

При t = tm показатель экспо-
ненциального множителя в

выражении (32.30) равен —1.
Время нарастания напряжения пропорционально квадрату расстояния р;
таким образом, па различных участках напряжение достигает своего мак-
симального значения с убывающей скоростью в соответствии с общим
соотношением (32.25).

Подставив выражение (32.31) в соотношение (32.30), получим макси-
мальное напряжение

2 ?

ет — ~ р (32.32)

Это выражение почти совпадает с выражением (32.19), если в последнем
опустить знак логарифма. Как видно из соотношения (32.32), затухание
напряжения обратно пропорционально квадрату расстояния, т. е. напря-
жение убывает в пространство очень быстро. Вследствие того что возра-
стание тока I в соседней липни происходит мгновенно, максимальное
напряжение при малых р очень велико.

Рассмотрим численные данные, приводившиеся ранее. Пусть ток
Г=1О0 а течет в линии, проходящей параллельно линии связи на про-
тяжении х = 10 км = 10” см. Обе линии расположены близко к поверхности
-земли, удельное сопротивление которой s = 1013 см2/сек; расстояние между
линиями р = 1 км = 10s см. Тогда напряжение, наведенное в линии связи,
будет равно

= —4^-10в-10М0~9 = 23,5в.

т ne 1010

Эта величина гораздо больше той, которая соответствует экспоненциаль-
ному убыванию первичного тока при его внезапном изменении. Время,
по истечении которого напряжение распространится на расстояние р = 1 км,
на основании соотношения (32.31) равно

^ = Т$гЮ10 = 6,3-10^ сек.

Время распространения очень мало по сравнению с постоянной времени
предыдущего примера, равной 0,1 сек. Это означает, что время распро-
странения в земле поля, создаваемого за счет изменения самих токов,
идущих через землю, очень мало. Следовательно, оно не будет влиять на
последующие явления, вызываемые внешними токами, изменяющимися
более медленно по экспоненциальному закону.

ЛИТЕРАТУРА

Gould К. Е., Trans. AIEE, 56, 1159 (1937).

Coupling between parallel earth-return circuits under d-c transient conditions.

Ollendorff F., Elektr. Nadir. Techn., Ill (1928).

Elektrische Schaltstrome in der Erde.

Ollendorff F., Elektr. Nachr. Techn., 393 (1930).

Die Schwachstrombeeinflussung durch plotzlich geschaltcte Erdstromfelder.

Ollendorff F., Arch. Elektrotechn., 23, 261 (1930).

Elektromagnetische Ausgleichsvorgange in geschichtetem Erdreich.

Radley W. G., Josephs H. J., Journ. Inst. Electr. Eng., 72, 259 (1933).

Mutual induction between power and telephone lines under transient conditions.

Riidenberg R., Wiss. Verdffcntl. Siemens-Konzern, 5, No 3, 1 (1927).

Schwachstromstorungen beim Schalten von Gleichstrombahnen.

Schlemmer F., Electr Bahnen, 190 (1926).

Fernmeldeleitiingen im Gleichstrombahnbetricbe.

ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ
С НЕЛИНЕЙНЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

V. ПЕРЕМЕННОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Глава 33

НАГРЕВАНИЕ ПРОВОДНИКОВ

В каждом проводнике, по которому протекает электрический ток,
происходит потеря энергии, пропорциональная активному сопротивлению
проводника, вследствие чего он нагревается. Пока температура проводника
незначительно превышает температуру окружающем! среды, энергия,
выделяющаяся в проводнике, расходуется, в основном, на повышение его
температуры. Прп более высокой температуре часть тепла передается
в окружающую среду, в результате чего дальнейшее повышение темпера-
туры замедляется или совсем прекращается. Кроме того, активное сопро-
тивление металлических проводников увеличивается с ростом температуры.
Поэтому количество тепла, выделяющегося в проводнике при заданном
токе, увеличивается. Оно может даже превысить количество тепла, рас-
сеиваемого в окружающую среду, и, следовательно, равновесное состоя-
ние установиться не сможет.

§ 1. Повышение температуры. Рассмотрим цепь (фиг. 334), питаемую

от источника переменного тока с действующим напряжением Е.
содержащей индуктивность L и активные
сопротивления R н г, протекает ток

В цепи

V(R + r)- + (^LY

той
дом
она

Через г здесь обозначено сопротивление
части цепп, нагревание которой мы бу-
исследовать. В увеличенном масштабе
изображена на фиг. 335. Фиг. 334.

Для изменения температуры 0 во време-

(33.1)

Ф и г. 333.

Р
о

ни

требуется затратить некоторое количество тепла, пропорциональное

объему v и удельной теплоемкости проводника р, отнесенной к единице
объема. Та часть тепла, которая рассеивается поверхностью проводника о,
в основном пропорциональна перепаду температуры & между проводником
и окружающей средой и коэффициенту теплоотдачи С. Кроме того, при
очень высокой температуре происходит усиленное излучение, которое
в конечном счете увеличивается пропорционально четвертой степени тем-
пературы. Мы но будем рассматривать излучение отдельно, а учтем ого
при выборе величины коэффициента С. Таким образом, уравнение тепло-
вого баланса записывается в следующем виде:

db „ „ ... Е-г

dt+^0^~Ir~ (R + r)2 + (u>L)2'

Сопротивление г также зависит от температуры

(33.2)

Е
причем для меди п других обычно применяемых материалов температурный
коэффициент сопротивления a = 1/2ss- Таким образом общее решение урав-
нения (33.2) найти не так просто.

Поэтому мы будем различать три случая, каждому из которых соот-

ветствует свое решение задачи. Изменяющееся вследствие нагревания

сопротивление г может быть либо мало по сравнению с 7? и ioL, либо

являться величиной того же порядка, либо быть больше их. На фиг. 336
показано влияние повышения температуры на потери 12г в этих случаях.

получаем дифференциальное

ратуры,

В области малых значений г потери увели-
чиваются с повышением температуры; в об-
ласти средних значений они почти не меня-
ются; в области больших значений потери
постепенно уменьшаются по мере роста тем-
пературы.

При малых значениях сопротивления г
им можно пренебречь в знаменателях соот-
ношений (33.1) и (33.2), так что ток будет
иметь неизменную величину, которую мы
обозначим через 10. Подставляя выражение
для сопротивления (33.3) в уравнение (33.2),
уравнение, определяющее повышение темпе-

(33.4)

Разделив на уа и сгруппировав члены, содержащие &, получим следующее

уравнение:

dt ' уи \ & у yv

(33.5)

Введем сокращенные обозначения для часто повторяющихся сочетаний
параметров. Во-первых, через

гп та _ Т« _ Ь т
to ~ tp ~ 2 С

(33.6)

обозначим величину, которую будем называть тепловой постоянной времени
проводника. В выражении (33.6) отношение объема v к наружной поверх-

ности о заменено в соответствии с фиг. 335 отношением
площади поперечного сечения а к периметру р. Послед-
нее отношение всегда можно найти по линейным раз-
мерам проводника. Для круглого или прямоугольного
сечения (фиг. 337) это отношение равно Ь/2, где Ь — со-
ответственно радиус нагреваемого проводника или его
толвхина. Удельная теплоемкость р представляет собой

Фиг. 337.

постоянную величину, характеризующую материал,

однако коэффициент теплоотдачи С сильно зависит от интенсивности охла-
ждения поверхности. Поэтому тепловая постоянная времени также зависит
от условий охлаждения.

Во-вторых, обозначим через А величину, характеризующую начальную

скорость повышения температуры проводника,

4 <“ГО ________ *72

уи “ 11а2 ~~ 7

(33.7)

В выражение (33.7) введены удельное сопротивление проводника -?0 и его
длина Z. Из этого выражения видно, что начальная скорость повышения
температуры зависит от двух постоянных, характеризующих материал,
и от квадрата плотности тока ,7,,. В соответствии с уравнением (33.5)
величина А характеризует скорость повышения температуры тотчас после
включения цепи, когда величина & еще весьма мала.

Наконец, назовем тепловой интенсивностью электротермического про-
цесса величину

ГТ _ Insol а 'уЗ b 'у 2 /ЧЧ

Со ” CpZa ~ р С ~ 2 с '

В соответствии с уравнением (33.4) эта величина представляет собой фик-
тивную предельную температуру проводника, которая установилась бы
в проводнике при неизмененном его сопротивлении. Она также пропорцио-
нальна квадрату плотности тока и, кроме того, зависит от линейных раз-
меров проводника и от условий охлаждения, характеризуемых коэффи-
циентом С. Три величины, определенные выражениями (33.6) — (33.8), связаны
между собой соотношением

Н = АТ.

(33.9)

Уравнение (33.5), определяющее повышение температуры, запишется
в новых обозначениях следующим образом:

Решением этого обыкновенного дифференциального уравнения будет

& = (1 - = (1 - (33.11)

В выражении (33.11) как величина

^=1^=4^’ (33-12)

так и установившаяся температура

= (ЗЗЛЗ)

в сильной степени зависят от тепловой интенсивности II, определяемой
формулой (33.8).

На фиг. 338 приведены кривые изменения температуры во времени,
построенные на основании выражения (33.11). Для большей общности
этого семейства кривых значения температуры даны в зависимости от
произведения At\ коэффициент а принят равным ’/235. Параметром семей-
ства кривых является тепловая интенсивность Н. Очевидно, что началь-
ная скорость повышения температуры одинакова во всех случаях и,
согласно соотношению (33.10) или (33.11), равна

(ЗЗЛ4)

Это выражение полностью совпадает с выражением (33.7). Дальнейшее
повышение температуры происходит по показательному закону. Устано-
вившаяся температура быстро возрастает с увеличением тепловой
интенсивности Н, как это следует из выражения (33.13). При критическом
значении

аЯ = ^7024|у50Л=1. (33.15)
соответствующем определенной плотности тока, дополнительное поступле-
ние тепла, которое вызывается увеличением сопротивления, зависящим
от температурного коэффициента сопротивления а, в точности компенсирует
отдачу тепла в окружающее пространство, причем отдача тепла пропор-
циональна разности температур и коэффициенту С. В этом случае постоян-
ная времени Те и установившаяся температура становятся бесконечно
большими, и, следовательно, второй член дифференциального уравнения
(33.10) обращается в нуль. Температура нарастает по линейному закону
до значения, при котором проводник плавится или испаряется.

При тепловых интенсивностях, больших, чем критическая величина
Н = 235° С, увеличение сопротивления проводника оказывает более силь-
ное влияние на ход процесса, чем охлаждение путем теплоотдачи. В соот-

ветствии с этим показатель
степени в выражении (33.11)
становится положительным, и
температура проводника быстро
повышается, достигая точки
плавления или испарения за
еще более короткий промежу-
ток времени.

Удельное сопротивление го-
рячей меди Sp = 1/45 ом-ммР/м,
а коэффициент теплоотдачи
при неподвижном воздухе С =
= 15вт/(град-м2). Согласно вы-
ражению (33.8), при неизменной
плотности тока /7о=10 а/мм*
тепловая интенсивность в круг-
лом медном проводнике диамет-
ром 2Ь= 1,0 см равна

0,5 10а-104
“2~ 45-15

370° С.

Эта величина превышает критическое значение 235° С, определяемое
условием (33.15), поэтому процесс нагревания будет неустойчивым.
Удельная теплоемкость меди и других проводниковых материалов
7 = 3,5 вт-секЦград-см3). Начальная скорость повышения температуры,
определяемая по формуле (33.7) или (33.14), будет, следовательно, равна

А = 10 к = 0,63 град/сек.
45-3,5 '

Если бы температура поднималась равномерно, то через 10 мин. она
достигла бы 378°С. В действительности же через 10 мин. устанавливается
температура 510°С, как это следует из выражения (33.11) или из фиг. 338.
Тепловая постоянная времени подсчитывается по формуле (33.6):

0,5 3,5-104 гсп о

1 ----jv—- = 580 сек. =9,7 мин.

ci •

Постоянная времени Те находится из выражения (33.12):

Q 7

^£== 1 —370/235 = — 16,9 МПН’

Нагревание проводов при коротких замыканиях в электрических сетях
происходит по закону, обычно мало отличающемуся от линейного. Поэтому
в этих случаях можно пользоваться в первом приближении простым выра-
жением (33.14). Для эффективного действия плавких предохранителей
и других аналогичных электротермических устройств требуется значительно
более быстрое повышение температуры с увеличением тока. Здесь необ-
ходимо, следовательно, добиваться максимальной тепловой интенсивности Н.
Из формулы (33.8) следует, что это достигается соответствующим выбором
размера b проводника, уменьшением коэффициента теплоотдачи С и уве-
личением плотности тока Jt).

При средних значениях сопротивления г, как это следует из фпг. ЗЗб,
тепловая мощность

= (33.16)

остается почти неизменной, и, следовательно, дифференциальное урав-
нение (33.2) принимает следующий вид:

•^ + Со& = 7*го.

(33.17)

Уравнение (33.17) получается из уравнения (33.4), если в последнем
положить а = 0. Пользуясь введенными ранее обозначениями для тепловой
постоянной времени, начальной скорости повышения температуры и тепло-
вой интенсивности [формулы (33.6) — (33.8)], получаем следующее диффе-
репциальное уравнение, соответствующее уравнению (33.10):

5 + у = (33.18)

Решение этого уравнения имеет следующий вид:

& = &оо(1-е-йТ). (33.19)

Установившаяся температура на основании соотношений (33.8) и (33.9)
теперь равна

= АТ = Н = у J*. (33.20)

Она всегда конечна. В рассматриваемом случае установившаяся темпе-
ратура и тепловая интенсивность равны между собой. Температура повы-
шается постепенно, с постоянной времени Т [формула (33.6)], не зависящей
от плотности тока. Величина Т всегда положительна, вследствие чего
температура стремится к своему конечному установившемуся значению.
Начальная скорость повышения температуры, соответствующая малым
значениям &, находится из уравнения (33.18)

<33-21>

Это выражение совпадает с выражением (33.14) для предыдущего случая.
Так как сопротивление увеличивается с повышением температуры,
то ток будет постепенно уменьшаться в соответствии с соотношением (33.16).
Если подставить в него соотношение (33.3) и использовать выражение (33.20),
то можно найти отношение начального и установившегося токов

А= j<i_; ан. (33.22)

Для рассмотренного выше численного примера с установившейся темпера-
турой Яоо = 370°С получается следующее уменьшение тока:

л»=_ 4_.

7 о У1 + 1Г58

= 0,62.
При установившейся температуре 700° С ток уменьшится до половины
своей первоначальной величины.

При больших значениях сопротивления г дифференциальное уравне-
ние (33.2) можно записать в следующем виде:

(33-23>

или прп прежних сокращенных обозначениях

S + I = (33’24>

Хотя это уравнение и может быть проинтегрировано, однако решение
получается настолько громоздким, что мы ограничимся определением только
установившихся значений температуры и тока, представляющих наиболь-
ший интерес.

Начальная скорость повышения температуры, соответствующая малому &,
как и прежде, определяется первым членом уравнения (33.24). Используя
выражение (33.7), находим

(^)0 = л=т^- <33-25)

Эта величина одинакова для всех трех областей фиг. 336. Прп установив-
шейся температуре первый член уравнения (33.24) обращается в нуль.
Искомая температура определяется из квадратного уравнения

М + “М = АТ = Н, (33.26)

в правой части которого использовано выражение (33.9). Установившаяся
температура равна

&Оо=^(/1 + 4аЯ-1). (33.27)

Подставляя численные данные из рассмотренного выше примера, находим

а«,=ф(|/1+42 -1) = 200°С’

что значительно меньше, чем установившаяся температура (370° С) при
средних значениях г (см. фиг. 336).

Если известно, что установившаяся температура невысока, то урав-
нение (33.26) можно решить приближенно, пренебрегая сначала квадратич-
ным членом и используя затем полученный результат для введения поправки
(второй член в скобках). Таким путем находим следующее приближенное
выражение для установившейся температуры:

<33-28>

Оно существенно отличается от выражения (33.13). В данном случае уве-
личение сопротивления значительно снижает установившуюся температуру,
в то время как при малых сопротивлениях г она повышалась с ростом
сопротивления. При больших значениях установившейся температуры
можно пренебречь линейным членом в уравнении (33.'26), что даст прибли-
женное выражение

= (33.29)

Установившаяся температура в этом случае зависит только от корня
квадратного из тепловой интенсивности.
По мере повышения температуры ток уменьшается вследствие увели-
чения сопротивления. Так как в данном случае г является преобладающим
в выражении (33.1), то ток изменяется почти обратно пропорционально
сопротивлению. Поэтому отношение начального тока к установившемуся
весьма близко к следующему выражению, вытекающему из соотноше-
ния (33.3),

# = (33-30)

* со

Такой случай имеет место при подключении осветительных ламп накали-
вания или цепей накала электронных ламп к напряжению неизменной
величины. Если считать, что установившаяся температура накаленной
нити равна = 2350° С, то начальный ток

Таким образом, в момент включения ио нити протекает ток, значительно боль-
ший нормального. Хотя этот ток затухает не по показательному закону,
однако его изменение во времени, как это следует пз уравнения (33.24),
в основном все же определяется постоянной времени Т. Нити накала обычно
имеют весьма небольшой диаметр, поэтому процесс их нагревания закан-
чивается в течение нескольких сотых долей секунды, как это следует пз выра-
жения (33.6).

В табл. 7 приведены значения установившегося превышения температуры
проводника над температурой окружающей среды и отношения установив-
шегося тока к начальному, рассчитанные для конкретного примера. Один и
тот же проводник включается в цепь с различными условиями питания,
соответствующими трем областям фиг. 336: неизменный ток, неизменная мощ-
ность и неизменное напряжение, причем во всех трех случаях начальный
ток имеет одно и то же значение.

Таблица 7

УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПРЕВЫШЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НАГРЕВАЕМОГО
ПРОВОДНИКА НАД ТЕМПЕРАТУРОЙ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Режим питания Неизменный ток Неизменная мощность Неизменное напряжение
Отношение сопротивлений r/Л или г/ш L >1
Превышение температуры^, град. 1330 200 129
Отношение токов Iт/ 1в 1 0,74 0,64

Мы видим, что условия питания оказывают огромное влияние на тепло-
вой режим проводника, что находит свое выражение в большой разнице
между установившимися температурами. Таким образом, нагревательные
элементы, предназначенные для работы в одном из рассмотренных режимов,
могут оказаться совершенно непригодными в другом режиме.

§ 2. Косвенное изменение сопротивления. Так как сопротивление про-
водника непосредственно зависит от его температуры, а температура опре-
деляется током, то сопротивление косвенно зависит от протекающего по
нему тока. Вследствие того, что проводник обладает некоторой тенлоем-
костью, эта зависимость в общем случае неоднозначна. Однако для тонкого
проводника со сравнительно небольшим объемом и большой поверхностью
тепловая постоянная времени, как это видно из выражения (33.6), весьма
мала, и, следовательно, различные состояния теплового равновесия будут
устанавливаться очень быстро. Таким образом, температура будет следовать
почти мгновенно за всяким изменением тока.

При указанных условиях тепловая энергия тока немедленно рассеивает-
ся в окружающее пространство и, следовательно, первый член общего урав-
нения (33.2) будет ничтожно малым. Обозначим через е и i изменяющиеся
величины напряжения и тока в таком нагреваемом проводнике. Тогда урав-
нение преобразования энергии для этого квазистационарного случая при-
мет следующий вид:

ei = Co&. (33.31)

Это соотношение справедливо не только для постоянного тока, но и для
действующих значений переменного тока при условии, что период перемен-
ного тока меньше, чем тепловая постоянная времени проводника.

Сопротивление металлического проводника в соответствии с выраже-
нием (33.3) равно

;=г=го+аго&. (33.32)

Исключая & из соотношений (33.31) и (33.32), находим

| = го + ^ег- = го + ^. (33.33)

В последнем члене мы пользуемся тем же обозначением для критического

тока

(33.34)

что и в выражении (33.15). В нашей задаче величина I представляет то пре-
дельное значение тока, которое нельзя превышать во избежание разрушения

проводника.

Решая уравнение (33.33) относительно е, находим напряжение, прило-

женное к проводнику:
е==_________________________________= г I____Л____

" 1-(г//)в

(33.35)

При значении тока i=I это напряжение становится бесконечно большим.
Сопротивление проводника

г0
!-(*//)*

(33.36)

также в сильной степени зависит от величины тока i. На фиг. 339 показано
изменение сопротивления и напряжения такого проводника, по которому
протекает ток i. При малых токах сопротивление г меняется медленно, одна-
ко оно быстро возрастает при приближении величины тока к предельному
значению I.

Чтобы осуществить описываемое явление на опыте, необходимо не только
взять проволочку или ленточку с малым размером Ь, но и изготовить ее из
тугоплавкого металла, например, молибдена, тантала или вольфрама. Сопро-
тивление, например, вольфрамовой проволоки можно увеличивать более
чем в 10 раз по сравнению с ее сопротивлением в холодном состоянии, до-
водя ток почти до критического значения, при котором проволока плавится.

Кривая напряжения на фиг. 342 представляет собой вольтамперную
характеристику проводника. Лишь начальная часть этой характеристики
линейна, далее же напряжение круто возрастает. Такую нелинейную харак-
теристику можно использовать для практических целей при условии, что
ток мало меняется за время, равное тепловом постоянной времени проводника.
В противном случае изменение напряжения будет отставать от изменения
тока, создавая видимость явления

гистерезиса.

На фиг. 340,а показана схема
стабилизации напряжения ненасы-
щенного самовозбуждающегося гене-
ратора постоянного тока при помо-
щи сопротивления, зависящего от
теплового действия тока (термосо-
протпвленпя). Как показано на
фиг. 340,6, э.д.с. якоря пропорцио-
нальна току в обмотке возбуждения,
а напряжение, необходимое для созда-
ния этого тока, быстро возрастает
вследствие того, что последовательно
с обмоткой возбуждения R включено
термосопротнвленпе г. Точке пересе-
чения этих двух кривых соответствует
устойчивый режим самовозбуждения.
Изменяя величину постоянного со-

противления или сопротивления, за- Фиг 339

висящего от тока, можно регулиро-
вать режим работы генератора.

На фиг. 341 показан пример применения термосопротпвлсний для авто-
матического регулирования напряжения генератора переменного тока. Мост

из зависящих от тока сопротивлений включен здесь последовательно с обмот-
кой возбуждения возбудителя. К двум узловым точкам моста, эквипотен-

циальным в отношении постоянного тока, подводится через соответствующий
трансформатор переменное напряжение с выходных зажимов генератора.

Ф п г. 340.

Ф и г. 341.

Всякое отклонение напряжения на выходе генератора Е от установленного
значения вызывает сильное изменение сопротивления моста и, следовательно,
изменение падения постоянного напряжения на нем. При этом изменится
ток возбуждения, вследствие чего восстановится почти прежнее значение
напряжения Е. Чем ближе ток моста к критическому значению тока 1, тем
больше чувствительность регулятора.

Термосопротпвленпя обладают большим сопротивлением при больших
значениях тока и малым—при малых значениях. Их можно с успехом исполь-
зовать для ограничения токов, возникающих при зарядке и разряде конден-
саторов или при отключении индуктивностей. Они также находят применение
в непропорциональных делителях напряжения или шунтах, например для
уменьшения или увеличения чувствительности измерительных приборов
и реле.

-6 Р. РюденОерг
ЛИТЕРАТУРА

Avram escu A., Bui. Inst. Roman de Energie, 5, 347 (1937).

Beitrage zur Berechnung der Kurzschlusserwarmung.

Avram escu A., Elektrotechn. Zs., 59, 985 (1938).

Ober die Berechnung der Kurzschlusserwarmung.

Avram escu A., Arch. Elektrotechn., 33, 261 (1939).

Ober die Erwarmung punktformiger Kontakte bei konstanter Strombelastung.

Avramescu A., Elektrotechn. Zs., 62, 591 (1941).

Die Warmewirkung der Schalt- und StoBstrome.

Avramescu A., Arch. Elektrotechn., 35, 344 (1941).

Ober die Berechnung der Warmewirkung von Ausgleich- und Oberstromen.

Brazier L. G., Journ. Inst. Electr. Eng., 77, 104 (1935).

The breakdown of cables by thermal instability.

E г и i E., Bull. asso. sui. elec., 27, 732 (1936).

Ober die maximale mechanische, thermische und elektrische Belastbarkeit von
Bimetallen.

F a b i n g e r F., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 44, 149 (1926).

Zur Bestimmung der Erwarmung der Schutzdrosselspulen bei kurzzeitiger Ober-
lastung.

Fischer J., Zs. techn. Phys., 19, 25, 57, 105 (1938).

Grundlagen zur Berechnung der Erwarmung von Drahten und Staben dutch Leitungs-
strom oder durch Strahlung.

Forsythe W. E., Easley M. A., Hinman D. D., Journ. Appl. Phys., 9,
209 (1938).

Time constants of incandescent lamps.

H a к J., Elektrotechn. Zs., 705 (1930).

Ober einen Fall von Einschal tvorgangen mit nicht konstanten Stromkreiskoeffi-
zienten.

J aques R., Bull. asso. sui. elec., 26, 217 (1935).

La courbe d’echauffement exacte et universelie.

К u ssi W., Bull. asso. sui. elec., 34, 342 (1943).

Elektrische Erwarmung von Drahten und Flatten.

N arbutovskih P., Trans. AIEE, 66, 78 (1947).

Simplified graphical method of computing thermal transients.

Prache P., Rev. gen elec., 54, 281 (1945)

Ochauffement des conducteurs isoles soumis a une charge brusque.

Riidenberg R., Jahrb. drahtlos. Telegr. Teleph., 2, 18 (1909).

Die Erwarmung rotierender Elektroden, insbesondere beim Marconischen Generator
fur kontinuierliche Schwingungen.

Spenke E., Arch. Elektrotechn., 30, 728 (1936).

Eine anschauliche Deutung der Abzweigtemperatur scheibenformiger Heissleiter.

Stosser J., Bernhardt E., Bull. asso. sui. elec., 29, 290 (1938).

Die thermische Abbildung elektrischer Maschinen als Grundlage eines L’berlast—
Schutzrelais.

W a n g e r W., Bull. asso. sui. elec., 25, 432, 755 (1934).

Die Erwarmung von Kontakten in Hochleistungsschaltern durch KurzschluBstrome.
Глава 34

ПЛАВЛЕНИЕ ВСТАВОК ПРЕДОХРАНИТЕЛЕЙ

Рассмотрим процессы плавления вставок предохранителей при проте-
кании по ним токов короткого замыкания, во много раз превышающих нор-
мальный ток цепи. Предохранители предназначаются для прерывания
сверхтоков в течение очень короткого промежутка времени; поэтому мож-
но пренебречь отдачей тепла через внешнюю поверхность вставки, а также

передачей тепла внутри нее. Величина тока задается условиями работы це-
пи, внешними по отношению к вставке, так что процесс ее нагревания будет
протекать во времени по наиболее крутой характеристике фиг. 338.

Вследствие увеличения сопротивления температура будет нарастать
ускоренно вплоть до точки плавления вставки. Затем начнется плавление
вставки при неизменной температуре, так как энергия, доставляемая током
за время плавления, переходит в скрытую теплоту плавления. Этот процесс
иллюстрируется графиком, изображенным на фиг. 342. В течение коротких
промежутков времени, о которых здесь идет речь, действие сил тяжести не
успевает проявиться и вставка (теперь уже в жидком состоянии) продолжает
оставаться на месте и нагреваться дальше до температуры испарения. Для
испарения вставки также требуется некоторое время, в течение которого ток
должен выделить надлежащее количество энергии, равное скрытой теплоте
парообразования.

В некоторый момент времени, предшествующий полному испарению
материала, происходит нарушение сплошности металлической вставки и воз-
никает дуга. На этой стадии процесса температура быстро повышается,
однако если предохранитель действует правильно, ток начинает уменьшаться.
Мы рассмотрим здесь только процесс нагревания вставки до образования дуги.

§ 1. Плавление и испарение. Если гиг означают соответственно ток
и сопротивление вставки предохранителя, у —удельную теплоемкость,
а г? —объем материала вставки, то рост температуры & во времени
описывается уравнением

•р Tt = ?г- <34Л>
Выражая объем и сопротивление вставки через ее длину I, площадь
поперечного сечения а и удельное сопротивление s, получаем

(34.2)

1 dt а ' '

Так как плотность тока J — i[a, то уравнение (34.2) можно упростить

(34.3)

Уравнение (34.3) содержит только удельные величины. Если переписать
это уравнение в виде

= • (34.4)

то получится уравнение,
ных параметра материала

в левой части которого содержатся два основ-
вставки, а в правой части — только квадрат за-
данной плотности тока.

В продолжение каждой из стадий нагрева-
ния, изображенных на фиг. 342, удельная тепло-
емкость остается почти неизменной, тогда как
удельное сопротивление меняется. На фиг. 343
показано изменение удельного сопротивления
в зависимости от температуры; начиная от хо-
лодного состояния, оно постепенно увеличивается
до точки плавления, претерпевает в ней скачок
п затем продолжает увеличиваться вплоть до
точки испарения. Изменение сопротивления твер-
дого и жидкого металлов происходит почти по
линейному закону, т. е.

s =-%(!+«&). (34.5)

Подставляем выражение (34.5) в уравнение (34.4) и интегрируем,
пренебрегая незначительным изменением у с температурой, в результате
имеем

7- \ \ ^dt- (34-6)

Л 0 J 1 UV J

Правую часть уравнения (34.6), представляющую собой интеграл квадрата
плотности тока за рассматриваемый промежуток времени, можно подсчи-
тать при любой заданной форме кривой тока. Интеграл в левой части
уравнения (34.6) представляет собой простую функцию температуры, кото-
рую назовем кажущейся температурой О'. Выполняя интегрирование,
находим

{Г= \ J v=ljn(14 «») ={)-ln(1 + af>) . (34.7)

J 1 а а а у ап

В этом соотношении учитывается изменение сопротивления. На фиг. 344
показана зависимость между истинной и кажущейся температурами, рас-
считанная для значения а = 1/236, соответствующего, например, меди.

Используя обозначение (34.7), перепишем уравнение (34.6) в виде

= (34.8)

Заметим, что &' представляет собой температуру, которая была бы достиг-
нута, если бы удельное сопротивление сохраняло свое первоначальное
значение s0. Таким образом, нагревание вставки предохранителя можно

рассчитать в два приема: определить кажущуюся температуру по урав-

нению (34.8), а затем найти истинную температуру пз фиг. 344 или
по выражению (34.7). Если, например, при неизменном сопротивлении

получится кажущаяся температура Я'=400° С,
будет превышать 1000’ С (разница весьма су-
щественная!).

При неизменной плотности тока ось абсцисс
на фпг. 344 можно рассматривать как ось вре-
мени в некотором масштабе. Понятно, что обе
координаты & и й' представляют собой превы-
шение температуры вставки над ее исходной
температурой, которая, если ток протекал через
предохранитель и до короткого замыкания,
может быть значительно выше, чем температура
окружающей среды.

Для пользования предохранителем следует

то истинная температура

11' град.

знать, при каком токе и через какое вре- Фпг. 344.

мя будет достигнута температура плавления

вставки. Из соотношений (34.7) п (34.8) находим, что интеграл

( ,72 Л = 1 &' = 1- In (1 + а&„)
3 «о «о«

(34.9)

зависит лишь от свойств материала, из которого сделана вставка пре-
дохранителя, в том числе и от его температуры плавления Um. Таким
образом, этот интеграл имеет всегда определенную величину для каждого
данного металла и представляет собой его абсолютную постоянную.

Когда температура вставки достигает точки плавления, начинается
переход в жидкое состояние. Внутренняя часть вставки, обычно более

горячая, чем внешняя, будет плавиться первой (фиг. 345). Зона плавления
расширяется и достигает наружной поверхности после того, как ток
сообщит вставке необходимое количество энергии, равное ее скрытой теплоте
плавления. Таким образом, для плавления всего объема материала вставки
требуется некоторое время, к определению которого мы и перейдем.

За время dt в жидкое состояние переходит элементарный объем мате-
риала dv, если обозначить через h скрытую теплоту плавления на единицу
объема, то уравнение баланса энергии запишется в следующем виде:

h dv — i2r dt.

(34.10)

При температуре плавления удельное сопротивление расплавленного металла
значительно больше, чем удельное сопротивление твердого металла. Следо-
вательно, сопротивление вставки в стадии плавления составится из со-
противлений двух ее частей, а именно: внутренней, состоящей из жидкого
металла с поперечным сечением а2 и удельным сопротивлением s2, и наруж-
ной, состоящей из все еще твердого металла с поперечным сечением я1
и удельным сопротивлением s± (см. фиг. 345). Полное сопротивление пла-
вящейся проволочной вставки длиной I равно

г=— 1 . (34.11)

«1 _

Если У — весь объем проволочной вставки, a v — объем ее расплавившейся
части, то

V = Za; v — la2\ V — v = la1. (34.12)

Сопротивление плавящейся вставки можно выразить в зависимости от пере-
менного отношения v/V следующим образом:

(34.13)

Это сопротивление увеличивается по мере плавления так, как показано
на фиг. 346.

Подставим выражение (34.13) в правую часть уравнения (34.10), а его
левую часть умножим и разделим на объем V [см. соотношение (34.12)].
В результате получим уравнение

hla ~ = ?------------х dt, (34.14)

У Ч »2 )

которое можно привести к более простому виду

Интегрируя левую часть этого уравнения в пределах от г = 0 до v — V,
находим

= (34Л6>
о

Если ввести теперь обозначение

(З4-17)

то результат интегрирования уравнения (34.15) можно представить в сле-
дующей сжатой форме:

\j2c/Z = A. (34.18)

J sm

Величину sm условимся называть средним удельным сопротивлением
вставки в стадии плавления. Из соотношения (34.18) следует, что для
расплавления всего объема металла необходимо, чтобы интеграл квадрата
плотности тока по времени имел определенную величину, зависящую лишь
от скрытой теплоты плавления и от среднего удельного сопротивления. Эта
величина интеграла также представляет собой постоянную, характеризую-
щую материал, из которого изготовлена вставка.

В течение короткого промежутка времени жидкий металл еще сохра-
няет свою прежнюю цилиндрическую форму и, следовательно, нагревание
его током продолжается. Удельное сопротивление снова увеличивается
по линейному закону от значения х2 до величины, определяемой соотно-
шением

s=s2(l + ₽&2), (34.19)

где Р означает температурный коэффициент сопротивления жидкого
металла, а &2— превышение его температуры над точкой плавления
(см. фиг. 343). Подставляя выражение (34.19) в уравнение (34.4), находим
решение в таком же виде, в каком оно было получено ранее для уравне-
ния (34.9), а именно:

JMz = X&; = ^ln(l+₽&2u). (34.20)

Таким образом, для определения полного интеграла квадрата плотности
тока по времени для второй стадии нагревания, заканчивающейся испаре-
нием материала вставки, необходимо принять во внимание разность темпе-
ратур S2l) между точками испарения и плавления. Поскольку удельное
сопротивление расплавленного металла х2 значительно больше удельного
сопротивления твердого металла х0, вторая стадия нагревания будет зна-
чительно короче первой, а необходимая величина интеграла квадрата плот-
ности тока — значительно меньше.

Суммарная величина интеграла квадрата плотности тока по времени
до момента испарения вставки на основании уравнений (34.9), (34.18)
и (34.20) равна

С= \ jMz = J-ln(l + a&J+A + J_ln(14p& ). (34.21)

J $оа sm ®2Р

В табл. 8 и 9 даны численные значения постоянных для двух металлов:
меди и серебра.

Интересно отметить, что для обоих металлов первому периоду нагре-
вания соответствует около 3/4 суммарной величины интеграла; остаток
делится почти поровну между периодом плавления и второй стадией
нагревания (см. табл. 9).

Далее замечаем, что значение интеграла квадрата плотности тока
по времени составляет для серебра лишь 2/3 от соответствующего значеппя
для меди, так что серебро как материал для вставок предохранителей
превосходит медь.

Высокие температуры плавления и испарения создают предпосылки
для значительного изменения сопротивления в процессе нагревания
и обеспечивают, таким образом, возможность работы с низкой температурой
при нормальном токе. В этом отношении медь имеет небольшое преимущество
перед серебром. Однако оба названных металла значительно лучше других
материалов для вставок предохранителей, имеющих низкую температуру
плавления.

Для полного испарения вставки предохранителя также требуется
некоторое время, в течение которого ток должен доставить энергию, равную
скрытой теплоте испарения. Однако остается неясным, происходит ли
испарение непрерывно, или же цилиндр из жидкого металла взрывается
под действием паров. Во всяком случае, сопротивление такого проводника
в это время возрастает в очень сильной степени, и в парах металла возни-
кает дуга.

Другой причиной разрушения металлического контакта может быть
эффект сжатия, вызываемый сильным круговым магнитным полем, образу-
ющимся вокруг тонкой проволочной вставки. В результате взаимодействия
магнитного поля с током, протекающим вдоль оси проволоки, возникают
радиальные силы, направленные к этой оси, которые в состоянии нарушить
сплошность металла в любой момент, даже еще до плавления.

Таблица S

ЭЛЕКТРОТЕРМИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ МЕТАЛЛОВ ДЛЯ ВСТАВОК ПРЕДОХРАНИТЕЛЕЙ

..____ ——Металл Постоянные ' —— 1 Медь Серебро
Начальное удельное сопротивление при 20°С, $0, ОМ-СМ .............. 1,72-10“® 1,64-10-®
Удельное сопротивление твердого металла прп температуре плавления ом-см ...... 10,2-10-6 ,4-10-®
Удельное сопротивление жидкого металла при температуре плавления s2, ом-см 21,3-10“® 10,6-io-6
Удельное сопротивление в стадии плавления ом • см 13,8-10“® 11,2-10-®
Температурный коэффициент сопротивления твердого металла а, град.-1 4,39-10“3 4,42-10~3
Температурный коэффициент сопротивления жидкого металла р, град.-1 0,38-IO"3 0,71-10“3
Превышение температуры плавления над начальной температурой 20°С &т, град. . . . 1063 940
Превышение температуры испарения нац началь- ной температурой 20°С град 2280 1930
Превышение температуры испарения над темпе- ратурой плавления &2р, град 1217 990
Удельная теплоемкость на единицу объема вт сек / г рад см3 3,76 2,60
Скрытая теплота плавления па единицу объема h, вт сек/см^ ................. 1833 1139

Таблица 9

ИНТЕГРАЛ КВАДРАТА ПЛОТНОСТИ ТОКА ПО ВРЕМЕНИ ДЛЯ ВСТАВОК,
ПРЕДОХРАНИТЕЛЕН (а/с.«2)2. сек

Металл Стадии нагревания "" "—-— Медь Серебро
Нагревание от начальной температуры до темпе- ратуры плавления [см. уравнение (34.9)] . . . Период плавления [см. уравнение (34.18)] . . . Вторая стадия нагревания от плавления до испа- рения [см. уравнение (34.20)] 8,63-10® 1,33-10« 1,76-10® 5,91-10» 1,02-10’ 1,07-10’
Суммарная величина интеграла квадрата плотно- сти тока по времени [см. уравнение (34.21)| ' 11,72-10® 8,00-10»
§ 2, Интеграл квадрата плотности тока по времени. Для рассмотрен-
ных выше условий нагревания интеграл квадрата плотности тока по вре-
мени зависит от формы кривой тока короткого замыкания. Мы исследуем
три важных случая.

Постоянный ток обычно парастает по показательному закону (фиг. 347,я)

7 = 7я(1-е-'/т),

(34.22)

где 7а — плотность тока в конце процесса, а Т — постоянная времени цепи.
Зависимость интеграла

(34.23)

от времени представлена па фиг. 347,6. Для промежутков времени, малых

по сравнению с постоянной времени,
ных функций ограничиться членами до
третьего порядка включительно, и тогда
для t < Т получим

. (34.24)

Таким образом, в начале процесса теп-
ловая эффективность тока растет про-
порционально третьей степени времени,
как это и показано на фиг. 347,6. Для
данной величины интеграла С, под-
считанной на основании уравнения
(34.21) или взятой из табл. 9, время
сгорания предохранителя равно

_з г---т-ГК-—,

можно в разложении показатель-

(34.25)

О.

Из выражения (34.25) видно, что время
сгорания предохранителя зависит от
плотности тока 7а во вставке предо-
хранителя, соответствуюшей установив-
шемуся току короткого замыкания, и от
постоянной времени цепи, причем обе
эти величины входят в степени 2/3.

Для интервалов времени, соизмеримых с постоянной времени цепи Т,
решение уравнения (34.23) можно найти графически, исходя из фиг. 347.
Для интервалов времени, больших по сравнению с постоянной времени
цепи Т, можно пренебречь показательными членами уравнения (34.23),
и тогда для t > Т получим

72* = 72 (i- -Jr) .

(34.26)

Таким образом, в конце процесса тепловая эффективность тока растет
во времени по линейному закону, что также показано на фиг. 347. Однако
это линейное изменение запаздывает относительно начала короткого замы-
кания на время SI2T- Для времени сгорания предохранителя соотноше-
ние (34.26) дает величину

С , 3 т

Т "К" J •
Это выражение совершенно отлично по своему виду от выражения (34.25).
Задержка вызывается малостью начального значения тока по сравнению
с установившимся.

Если принять постоянную времени цепи Т = 10г2 сек. и плотность тока
Ja = 108я/с.м2, что соответствовало бы, например, прохождению установив-
шегося тока короткого замыкания в 30 000 а по серебряной проволочке
диаметром 0,2 мм, то цепь будет разорвана [см. уравнение (34.25) и табл. 9]
через время

т = ]Хз-8,0-108 =О,29-10-8 сек.

Это время значительно меньше того, которое требуется, чтобы

достиг своего установившегося значения, и,
следовательно, большое расчетное значе-
ние плотности тока Ja в действительности
не достигается.

wt Правильно действующий предохрани-
тель должен ограничить ток таким образом,
чтобы он не превысил малой части своего
расчетного значения. При временах разрыва
цепи, малых по сравнению с ее постоян-
ной времени, возрастающий ток приближен-
но определяется следующим соотношением,
полученным из выражения (34.22):

ток короткого замыкания

7=^- (34.28)

tv а

Отсюда отношение тока в момент разрыва

цепи t = т к наибольшему расчетному току, выраженное через плот-

ности токов, на основании формулы (34.25) равно

<7т _ ЗС
Эа~ ? W

(34.29)

Подставляя в соотношение (34.29) численные значения нашего примера,
находим

ja V 10le-10-2 °’

Вследствие быстрого действия предохранителя разрыв цепи происходит
при токе, очень малом по сравнению с расчетным. Если требуется, чтобы
разрыв цепи происходил при еще меньшем токе, то единственной возмож-
ностью является выбор более высокой фиктивной плотности тока
во вставке предохранителя.

Симметричный ток короткого замыкания изменяется по закону синуса,
если отсутствует апериодическая составляющая (фиг. 348,о). В этом случае
плотность тока равна

J = Jasin<ui, (34.30)

где Да—амплитуда плотности тока, а <о —угловая частота. Интеграл ква-
драта плотности тока по времени равен

j^sin2u)Zdz=• (34-31)

Интеграл (34.31) представлен графически на фиг. 348,6 в виде ступенча-
той кривой. Для времени t, малого по сравнению с периодом, т. е. для
I 1/ш, в степенном ряде для синусоидальной функции можно ограничиться
первыми двумя членами. Тогда

(34 32)

(34.33)

и в пре-

Выражение (34.32) сходно по виду с выражением (34.24) для нарастающего
постоянного тока. Решая его относительно t, находим время сгорания
предохранителя

т = А j/з^ = 1ЛЛ|- .

“ v Ja г ,

При <й/2т: = 50 гц и при той же расчетной плотности тока За, что
дыдущем примере, равной 10еа/см2, время разрыва

-|У 3-8-10’ „ . о

~= |/ (3i4. 10ф = °,13 •10 3 сек.

Для начальной стадии процесса отношение токов, входящих в выраже-
ние (34.30), можно приравнять mt. Используя выражение (34.33), находим
отношение тока разрыва к расчетному току в этой цепи

^ = Шт = 1/з^. (34.34)

а * и а

Выражение (34.34) сходно с выражен’«.м (34.29) для постоянного тока.
Однако здесь За обозначает фиктивную амплитуду плотности переменного
тока. Пользуясь численными данными предыдущего примера, находим
отношение тока разрыва к расчетному току в цепи

<7т 1/о314-8-108 ,

g- = У 3- 10ie -=4.2%-

Для дальнейшего уменьшения этого отношения нужно повысить фиктивную
плотность тока.

Несимметричный ток короткого замыкания изменяется по закону
- мещенной косинусоиды (фиг. 349, а). Плотность тока в этом случае бу-
дет равна

J = J0(1-COS<0«), (34.35)

что дает для интеграла квадрата плотности тока

J2dt = Та (1—2cos<dZ r cos2<oZ)^ = . (34.36)

График функции (34.36), представленный на фиг. 349,6, показывает,
что в этом случае величина интеграла растет быстрее, чем в предыдущих.
Представляя синусоидальные функции степенными рядами и ш раничиваясь
членами третьего порядка, получаем для малых времен, т. е. для t < 1/<о,

= (34.37)

В уравнение (34.37) время входит в пятой степени, и поэтому нагревание
вначале происходит очень медленно, а в дальнейшем быстро нарастает.

Л., уравнения (34.37) находим выражение для времени сгорания пре-
дохранителя, а именно:

“ У Та У ^ЗаУ

(34.38)
V. Переменное сопротивление

оно явно отличается от выражения (34.33). Подставив в выражение (34.38)
численные данные из рассмотренного ранее примера, получим

20-8-108 „

(3142-108)2 7’0 10^ сек.

Время разрыва получилось значительно больше, чем в предыдущем случае
симметричного тока.

Отношение токов, входящих в выражение (34.35), можно приравнять
в начальной стадии процесса к (о>£)2/2. Отсюда, используя выражение (34.38),

находим отношение тока разрыва к рас-
четному току

Jz____(<ог)2 ____ 1

,7 “ 2 ~ 2

<оС

(34.39)
Это выражение незначительно отличается
от выражения (34.34) (главным образом
показателем степени корня). Предохрани-
тель сгорает теперь при токе, состав-
ляющем

314-8-108

pjie = 2,4%

от расчетной амплитуды тока, которая
в данном случае равна половине его наи-
большего значения, как это видно из
фпг. 349.

Невозможно предвидеть, какова бу-
дет начальная фаза тока короткого замы-
кания; поэтому следует рассчитывать на
худший случаи. С точки зрения разрыва
цепи предохранителем таким худшим слу-
чаем, очевидно, является короткое замыка-
ние, при котором кривая тока будет иметь

симметричный вид. В этом случае разрыв происходит при токе, почтив 2 ра-
за большем (по крайней мере в рассмотренном нами численном примере).

Следует отмстить, что при рассмотрении действия предохранителя
в условиях короткого замыкания расчетная плотность тока является
чисто фиктивной величиной, от которой плотность тока в момент разрыва
цепи t7г составляет лишь небольшую часть. Плотность нормального тока
представляет собой еще значительно меньшую величину. Если вместо этой
фиктивной величины тока известна скорость его нарастания в первый момент
после короткого замыкания, то можно вывести очень простые соотношения.
Такое положение имеет место при коротком замыкании в цепи постоянного
тока, а также в цепи переменного тока, если нет апериодической состав-
ляющей.

Начальная скорость нарастания тока в указанных случаях соответст-
венно равна

а'

(34.40)

Подставляя эти выражения соответственно в формулы (34.25) и (34.33), при-
ходим в обоих случаях к одной и той же формуле для определения времени
разрыва цепи

<3W1>

Плотность тока в момент разрыва также определяется одним выражением как
для постоянного, так и для переменного тока; его можно получить после
подстановки выражения (34.40) в формулы (34.29) и (34.34) в следующем
виде:

= . (34.42)

' \ dt Jo

Эти соотношения можно, конечно, вывести непосредственно из интеграла
квадрата плотности тока по времени. Интересно отметить, что плотность
тока а следовательно, и ток разрыва пропорциональны корню третьей
степени из скорости нарастания тока короткого замыкания. Даже значи-
тельное изменение d$/dt вызовет лишь умеренное изменение величины t7f

Применение токоограничнвающпх предохранителей особенно целесо-
образно для защиты маломощных цепей, питаемых от сетей большой мощно-
сти, в которых кратность тока короткого замыкания очень велпка. Если при-
менить для этой цели механические выключатели, действующие значительно
медленнее, то их пришлось бы рассчитывать на разрывную мощность, рав-
ную полной мощности короткого замыкания сети.

Из рассмотренных численных примеров следует, что токоограничиваю-
пше предохранители разрывают цепь при токах, составляющих небольшую
часть возможного тока, если только фиктивная расчетная плотность тока во
вставке предохранителя достаточно велика. Для соблюдения последнего усло-
вия требуется довольно значительная плотность нормального тока, хотя и во
много раз меньшая фиктивной. Во избежание перегрева предохранителя во
время нормальной работы необходимо обеспечивать интенсивное охлаждение
вставки и выполнять ес пз материала с хорошей электропроводностью. Хоро-
шее практическое решение этой задачи получается, если изготовить вставку
из серебра в виде очень тонких проволочек, соединить их параллельно, чтобы
получить сравнительно большую поверхность охлаждения, и поместить в изо-
лирующий кристаллический порошок, обладающий высокой теплопровод-
ностью.

В высоковольтных сетях напряжение на вставке предохранителя всегда
остается малым по сравнению с напряжением сети даже в момент сгорания
вставки, когда сопротивление металла резко возрастает. Однако в сетях
низкого напряжения, а также прп испытании высоковольтных предохрани-
телей под полным током, но с пониженным напряжением, возрастающее со-
противление предохранителя может заметно уменьшить ток. В таких слу-
чаях, приближающихся к случаю неизменного напряжения на зажимах
предохранителя, время разрыва цепи значительно удлиняется по сравнению
с тем временем, какое получается в режиме неизменного тока.

.1 И Т Е Р А Т У РА

Baxter II. VV., Griffith М. V., Electr. .Res. Assoc., Techn. Rep. G,'T. 152 (1944).
Pre-arcing phenomena in fuse wires with direct current.

В e s о 1 d H., VDE-Fachberichte, 149 (1931).

Hocbleistungs-Niederspannungssicherungen.

В esold H., VDE-Fachberichte, 59 (1934).

Selektivschutz fur Niederspannungsanlagen mit Schrnelzsicherungen und Selbst-
sch. til torn

В о eh ne E. W., Schuck C. L., Trans. AIEE, 65, 1028, 1034 (1946).

Performance criteria for current-limiting power fuses (содержит библиографию ).
Dannenberg К., John W. J , Journ. Inst. Electr. Eng., 89, P. II, 565 (1942)-
A high voltage high-rupturing-capacity cartridge fuse and its effect on protection
technique.

E m d e F., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 455 (1907).

Die Erwarmung eines drahtformigen Schmelzeinsatzes.

F a n к h a u s e r F., Bull. asso. sui. elec., 38, 425 (1947).

Abschmelzcharakteristik von Schmelzsicherungen.

Freiberger R., Rev. gen elec., 45, 407 (1939).

Theorie des fusibles a grand pouvoir de coupure pour basse tension.

Gantenbein A., CIGRE, No 131 (1939).

The process of interruption in fuses; high rupturing- capacity fuses which do not
give rise to surges.

Gantenbein A., Bull. asso. sui. elec., 32, 189 (1941).

Die progressiv schaltende Schmelzsicherung.

Gibson J. W., Journ. Inst. Electr. Eng., 88, P. II, 2 (1941).

The high-rupturing-capacity cartridge fuse, with special reference to short-circuit
performance.

G r i 1 1 e t J., Rev. gen. elec., 43, 623 (1938).

Coupe-circuit a grand pouvoir de coupure.

J asse E., Electrotechn u. Maschinenbau, 999 (1910); 423 (1911).

Zur Theorie der Schmelzsicherungen.

Johann H. H-, Electrotechn. Zs., 58, 684 (1937).

Eine Formel fiir die Strom-Zeit-Kennlinie von Schmelzsicherungen und ihre
Anwendung zur Ermittlung von Kennwerten.

Keresztes S., Selenyi P, Elektrotechn u. Maschinenbau, 55, 122 (1937).
Untersuchung von Abschmelzsicherungen mittels des elektrographischen Oszillo-
graphen.

Kcsl K., Rev. gen. elec., 51, 279 (1942).

Considerations preliminaires a une theorie des fusibles.

Kroemer II., Arch. Elektrotechn., 36, 455 (1942).

Dor Lichtbogen an Schmelzleitern in Sand

L a p p 1 e H., Elektrotechn. Zs., 58, 369, 426 (1937).

Die Lichthogenloschung in kornigem Loschmittcl bei Hochspannungssicherungen.
Lappie H., VDE-Fachberichte, 72 (1934).

Die Vorgange bei der Kurzschluss-Unterbrechung dutch schnellabschaltende
Hochspannungssicherungen.

Lohausen К A., Elektrotechn. u Maschinenbau, 53, 385 (1935).

H ochspannungssicherungen.

Lyle F. W., Gen. Electr. Rev., 1129 (1915).

Growth of current in circuits of negative temperature coefficient of resistance.

Maury E., Rev. gen. elec., 54, 131 (1945).

Phenomenes consecutifs a un courtcircuit provoque par un fil fusible sur un reseau
a 220 kilovolts.

Meyer G. J., Zur Theorie der Abschmelzsicherungen, Munich and Berlin, 1906.

Meyer G. J., Elektrotechn. Zs., 430, 1137 (1907).

Meyer G. J., Elektr. Kraftbetr. Bahn., 124(1911).

Prince D. C., Williams E. A., Trans. AIEE, 58, 11 (1939).

The current-limiting power fuse.

Rawlins H L., Strom A. P., Graybill H. W., Trans. AIEE, 60, 77 (1941).
A new current-limiting fuse.

Weber H., VDE-Fachberichte, 92 (1937).

Vorgange bei Kurzschlussabschaltungen durch Schmelzsicherungen.

Williams E. A., Schuck C. L., Trans. AIEE, 60, 214 (1941).

Control of the switching surge voltages produced by the currentlimiting power
fuse.

Wrana J., Elektrotechn. Zs., 59, 11 (1938).

Vorgange in Sicherungen bei elektrischer Stossbeanspruchung.

Wrana J., Arch. Elektrotechn., 33, 656 (1939).

Vorgange beim Schmelzen und Verdampfen von Drahten mit sehr hohen Stromdichten
Глава 35

ПОЛУПРОВОДНИКИ в электрической цепи

В отличие от металлических проводников сопротивление полупровод-
никовых материалов уменьшается с повышением температуры. Сопротив-
ление жидких электролитов изменяется с температурой не очень значительно,
а именно: примерно на—0,4% на 1°, т. е. так же, как и сопротивление ме-

таллов, но в другую сторону.

Однако температурный коэффициент сопротивления твердых полупро-

водников, например углей, карбидов

оксидов, сульфидов или силикатов,
доходит до 4% на 1° и более. При из-
менении температуры всего лишь на
несколько сот градусов их сопротив-
ление может меняться в тысячи раз.
На фиг. 350 показана в логарифмиче-
ском масштабе типичная кривая

t, град.

Фиг. 350.

изменения сопротивления полупроводника в интервале температур от —100
до +400° С; там жо приведена для сравнения кривая для металла.

Существуют полупроводники, в частности полупроводники, состоящие
из кристаллов с острыми гранями, сопротивление которых уменьшается
столь же значительно и без существенного нагревания, а лишь вследствие
увеличения тока. В обоих случаях, нагреваются ли полупроводники, или нет,
их сопротивление г уменьшается с увеличением тока примерно так, как
показано на фиг. 351 для материала типа тирит. Следовательно, напряже-
ние е изменяется нс пропорционально току, а по некоторой кривой, обращен-
ной своей вогнутостью к оси г, как показано на фиг. 351. Таким образом,
вольтамиерная характеристика полупроводников существенно отличается
от вольтамперной характеристики металлических проводников [у послед-
них она обращена к осп i своей выпуклостью (см. фиг. 339)J.

§ 1. Индуктивная и емкостная цепи. Пусть полупроводник г яв-
ляется частью цепи, питаемой от источника с постоянным напряжением Е,
содержащей индуктивность L и, возможно, постоянное активное сопротив-
ленпе R (фиг. 352). Для такой цепи справедливо следующее дифферен-
циальное уравнение:

£^+е (i) = E, (35.1)

где е(г’) означает сумму паденпй напряжений на обоих сопротивлениях: по-
стоянном и переменном. Зависимость этих напряжений от тока г показана на
фпг. 353. Таким образом, мы рассматриваем сопротивления обоих типов

как одно целое. Результирующая характеристика е(г) будет более искрив-
ленной, если преобладает переменное сопротивление г. Функция г (г) или
соответствующая вольтамнерная характеристика ег (г), а следовательно, и
характеристика е(г) обычно задаются графически.

Разделим переменные в уравнении (35.1) и выполним интегрированное

Подинтегральная функция зависит только от i, и поэтому интеграл (35.2)
можно легко вычислить графически. Для этого строим кривую, обрат-
ную заштрихованной кривой на фиг. 354,а, и, интегрируя, находим

время t как функцию тока I. На фпг. 354 построение выполнено так,
чтобы кривая зависимости i от t имела обычный вид.

Интегрирование уравнения (35.1) можно выполнить и другим путем,
для чего представим это уравнение в следующем виде:

Скорость изменения тока определяется здесь непосредственно разностью
между приложенным напряжением Е и напряжением е(г), соответству-
ющим данному значению тока на вольтамперной характеристике. Эта
разность переносится с фиг. 354, а на фпг. 354, б; она характеризует
наклон кривой i(t). Так можно шаг за шагом чисто графически построить
кривую нарастания тока после включения цепи.
Если сравнить построенную таким путем кривую с пунктирной кри-
вой'на фиг. 354,6, представляющей нарастание тока по показательному
закону (что имело бы место при замене полупроводника постоянным сопро-
тивлением, соответствующим установившемуся току), то можно заметить,

что при наличии полупроводника кривизна начальной части кривой полу-
чается больше, т. е. кривая быстрее отклоняется от касательной, прове-
денной через начало.

Почти так же решается задача о включении цепи, если ее индук-
тивность L не постоянна вследствие насыщения сердечника. Теперь диф-
ференциальное уравнение можно записать в виде

(35.4)

Здесь щ —число витков, а
от тока представлена на
потока по времени равна

Ф (г)—магнитный поток, зависимость которого
фиг. 355, а. Полная производная магнитного

<7Ф _ <7Ф di
dt di dt

(35.5)

Производная с?Ф, di определяется по наклону характеристики намагничива-
ния. Таким образом, правая часть уравнения

di Е—е (i) di

dt w «7Ф

(35.6)

содержит два множителя, которые полностью определены вольтамперной
характеристикой на фиг. 355, б и характеристикой намагничивания на
фпг. 355, а. Решение уравнения (35.6) показано на фиг. 355,6. Наклон
кривой тока определяется произведением приложенного к катушке напря-
жения и наклона характеристики намагничивания относительно оси Ф.
Значения этрго произведения даются площадями заштрихованных прямо-
угольников на фиг. 355. б.

Из фиг. 355, в видно, что после включения ток нарастает по линей-
ному закону в течение значительного времени, т. е. почти вплоть до его
установления. Это объясняется тем, что вследствие насыщения произ-
водная с?г/с?Ф быстро растет с увеличением тока (см. фиг. 355, а), в то
время как разность Е— е(г) быстро убывает (см. фиг. 355,6). Соответ-
ствующим подбором этих двух характеристик можно добиться почти про-
порционального роста тока со временем вплоть до значения, близкого
к установившемуся. Такое свойство весьма полезно во многих отноше-
ниях для цепей автоматического управления.

Если цепь rL, показанная на фиг. 352, отключается путем замыка-
ния источника накоротко, то приложенное напряжение Е исчезает, и
27 Р. Риденберг
уравнение (35.1) для цепи с постоянной индуктивностью принимает сле-
дующий вид:

di__ е (i)

dt~ ~~lГ

(35.7)

Решение этого уравнения, представленное на фиг. 356, а и б, показывает,
что в такой цепи изменение тока вначале происходит по закону, более
близкому к линейному, чем показательный закон, соответствующий цепи
с постоянным сопротивлением. В конце процесса спад тока к нулю про-
исходит ускоренно вследствие значительного роста сопротивления. Такая

характеристика полезна в тех случаях, когда тпритовыми сопротивлениями
шунтируют обмоткп электромагнитов с целью защиты их от перенапряже-
ний при отключениях. Прп умеренных напряжениях нормального режима
сопротивление таких защитных шунтов велико и, следовательно, они не
будут потреблять значительного тока, как это было бы при шунтировании
постоянным сопротивлением (см. § 4 гл. 1). Прп переменной индуктивности
требуется решить дифференциальное уравнение

di ,.. di
wdt = -e^d^-

(35.8)

В зтом случае насыщение магнитной цепи нарушает линейность убы-
вания тока в начале процесса.

Если параллельно полупроводнику включено постоянное сопротивле-
ние (фиг. 357), то результирующая вольтамперная характеристика строится

Фиг. 357.

путем сложения двух токов, соответствующих данному напряжению
(фпг. 358). Полученная таким путем характеристика е(г) используется
для построения кривой изменения суммарного тока во времени так же,
как указывалось выше. После этого суммарный ток можно разложить
на токи в обеих ветвях при помощи кривых, представленных на фиг. 358.

На фиг. 359 показана схема цепи, содержащей последовательно
включенные конденсатор С и два сопротивления г и R, а также источник
на оооих сопротивлениях,
из уравнений (35.9) пред-

Ф и 1 359.

постоянного напряжения Е, который может быть подключен к цепи или
отключен от нее. Эта цепь описывается двумя уравнениями

ec=E-e(i)-, i = C^, (35.9)

где е(г), как и ранее, означает напряжение
а ес—напряжение на конденсаторе. .Первое
ставлено в графической форме на фиг. 360, а.
Падение напряжения на обоих сопротивле-
ниях е(г), показанное графически на фиг. 353,
вычитается из приложенного напряжения Е;
получающаяся разность представляет собой за-
висящее от тока напряжение на конденсато-
ре ес. Кривую ес (г) можно рассматривать как
график функции i (ег), т. е. как кривую за-
висимости тока от напряжения на конден-

саторе. Теперь можно найти при помощи второго уравнения (35.9) об-
щее решение нашей задачи в следующем виде

< = с^. (35.10)

Таким образом, время выражается через интеграл по напряжению на кон-
денсаторе ес от обратной величины тока.

Общее решение можно представить и в другой форме:

Скорость изменения напряжения на конденсаторе со временем выражается
здесь непосредственно через ток i(ec), изменение которого в процессе
включения представлено кривой на фиг. 360, а. Уравнение (35.11) можно

решить методом последовательных интервалов, описанным выше; таким
способом построена кривая ес на фиг. 360, б.

В момент включения (2=0) напряжение на конденсаторе ес=0. Из
первого уравнения (35.9) находим начальное значение напряжения на
сопротивленп ях

е0(г)=7?, (35.12)

а по кривой фпг. 360, а — начальное значение тока г=7; оба начальных зна-
чения определяются точкой пересечения вольтамперной характеристики
сопротивления с прямой нулевого напряжения. На фиг. 360, б показано,
как нарастает напряжение на конденсаторе ес от 0 до Е и как уменьшается
ток' аот/доО; последняя кривая построена прп помощи фиг. 360, а. Вслед-
ствие быстрого спада тока наклон кривой ес(£) уменьшается даже в ее на-
чальноп части; таким образом, эта кривая не имеет линейного участка,
и напряжение приближается к своему предельному значению очень медленно.

Начальное значение тока очень велико вследствие малости сопротивле-
ния полупроводника при больших токах. В конце процесса ток приближается
к нулевому значению очень медленно, так как сопротивление полупровод-
ника становится весьма большим. Таким образом, и ток, и напряжение на
конденсаторе медленно приближаются к своим предельным значениям.

Па фиг. 361 приведены для сравнения вольтамнерные характеристики
полупроводника и постоянного сопротивления при одном и том же началь-
ном токе и соответствующие им кривые роста напряжения на конденсаторе.
Кроме того, на фиг. 361, а показана пунктиром вольтамперная характери-
стика нагревающегося металлического проводника. Как видно из фиг. 361, б,
линейность соответствующей кривой напряжения на конденсаторе, т. е.
пропорциональность между этим напряжением и временем, сохраняется

здесь значительно дольше, чем в двух других случаях, хотя начальные на-
клоны всех трех кривых совпадают. Таким образом, нагревающееся металли-
ческое сопротивление с малой тепловой постоянной времени можно с успе-
хом применять для получения токов и напряжений, меняющихся во вре-
мени по почти линейному закону (например, в схемах развертки электрсв-
но-лучевых трубок).

На фиг. 362 жирными линиями изображены аналогичные кривые, отно-
сящиеся к paspHKv конденсатора через полупроводник. Этот случай также
охватывается общим решением (35.11). Поскольку напряжение Е равно
здесь нулю, то кривая на фиг. 362,а представляет непосредственно вольтам-
перную характеристику сопротивления в (г). Кривые зависимости напряже-
ния ес и тока i от времени показывают, что изменение этих величин
происходит столь же медленно, как и в предыдущем случае.

На фиг. 362 показаны также кривая разряда конденсатора через по-
стоянное сопротивление, происходящего по показательному закону, и кри-
вая ускоренного разряда через нагревающееся металлическое сопротивле-
ние с малой тепловой постоянной времени. В последнем случае напряжение
на конденсаторе снова изменяется по закону, более близкому к линейному,
вследствие того, что ток i не убывает так быстро, как в двух других случаях
(см. фпг. 362, а).

Если цепь с переменным активным сопротивлением содержит одновре-
менно и индуктивность и емкость, то процессы зарядки и разряда в такой

колебательной цепи

проанализировать методами, изложенными
в следующей главе. На фиг. 363 представ-
лена зависимость напряжения на конден-
саторе ес от тока в индуктивности г'ц, по-
строенная указанным выше способом по
вольтамперпой характеристике активного

можно

сопротивления е (i). Такая спиральная диаграмма токов и напряжений имеет
место при разряде конденсатора в цепи LC через сопротивление, величина
которого быстро возрастает с уменьшением тока. На фиг. 364 показана
осциллограмма разрядного тока, в которой видны лишь три полуволны ко-
лебания. Колебательный режим существовал в этой цепи лишь до тех пор,
пока среднее активное сопротивление было меньше своего критического зна-
чения. Однако в конце концов это значение оказалось превзойденным, и не-
большой остаточный заряд конденсатора уменьшался далее по апериоди-
ческому закону.

§ 2. Падающая вольтамперная характеристика. Если сопротивление
полупроводника очень резко падает с повышением температуры, то напря-
жение на нем может оставаться неизменным или даже уменьшаться с ростом
тока. Выясним условия, при которых получается такая падающая вольт-
амперная характеристика. Для упрощения вопроса ограничимся рассмотре-
нием установившегося температурного режима полупроводника. Как нам
известно из § 2 гл. 33, такой режим имеет место при малой тепловой постоян-
ной времени полупроводника.

Так как при установившейся температуре тепло, выделяющееся в со-
противлении, полностью рассеивается через его поверхность, то можно соста-
вить следующее уравнение теплового баланса:

ег = Со&. (35.13)

Мы считаем при этом, что отдача тепла пропорциональна поверхности
охлаждения о и коэффициенту теплоотдачи С. Однако без ущерба для
дальнейших выводов можно было бы принять любой другой закон отдачи
тепла; для этого достаточно было бы подставить в правую часть уравнения
(35.13) вместо произведения У) некоторую функцию С(б). Отсюда следует,
что напряжение е и ток i можно отнести ко всему активному сопротивлению
цепи независимо от того, имеется ли постоянное сопротивление В, включен-
ное последовательно или параллельно с переменным сопротивлением г
(см. фиг. 353 и 358), или нет. Необходимо только правильно оценивать
температуру перегрева S для всей системы в целом. Суммарное активное
сопротивление цепи, содержащей последовательно включенные постоянное
сопротивление В и переменное сопротивление г, зависящее от температуры,
можно выразить через напряжение и ток, а именно:

£ = Т? + г(8).

(35.14)

Таким образом, как произведение напряжения и тока, так и их отношение
выражаются через заданные функции температуры. Кривые зависимости
этих величин от й, построенные на основании уравнений (35.13) и (35.14),
приведены на фиг. 365, а и б.

По кривым фиг. 365, а и б строим кривую зависимости eli от e-i
(фиг. 366, а), исключая тем самым из рассмотрения параметр &. Получаю-
щаяся при этом кривая совпадает по форме с кривой на фиг. 365,6, если

только охлаждение происходит путем теплопроводности, чему соответствует
прямая линия на фиг. 365, а. Если же отдача тепла происходит путем
конвекции пли излучения (см. пунктирные кривые на фиг. 365,а), то на
графике фиг. 366,а следует лишь изменить масштаб оси абсцисс.

Перемножив абсциссы и ординаты всех точек кривой, изображенной на
фиг. 366, а, найдем напряжение

|/ ei-|- = e, (35.15)

а разделив их друг на друга, получим ток

= (35.16)

Нанося эти две величины на координатные оси фиг. 366,6, получаем непо-
средственно вольтамперную характеристику активного сопротивления. Такое
построение можно выполнить при любых, найденных из опыта законах зави-
симости сопротивления и теплоотдачи от температуры. При малой величине
произведения e-i и большой величине отношения e/i, что соответствует
низким температурам, ток и напряжение будут малыми. При большой вели-
чине e-i и малой величине e/i, что соответствует высоким температурам,
ток будет большим, а напряжение будет умеренной величины. Однако напря-
жение может снова уменьшиться прп очень малых значениях e/i и больших

значениях e-i. В этом случае вольтампер-
ная характеристика будет иметь макси-
мум, за которым напряжение начнет сни-
жаться.

В соответствии с выражением (35.15)
максимум напряжения наступает при

- е

ei — = const.

(35.17)

Отсюда при помощи соотношений (35.13)
и (35.14) находим

[т* (ft)-]-В] & = const *>. (35.18)

Вольтамперная характеристика будет па-
дающей, как показано на фиг. 366, б,

если уменьшение сопротивления с ростом

температуры происходит быстрее, чем по закону обратной пропорциональ-

ности. С небольшими изменениями это правило справедливо и при иных
условиях охлаждения, отмеченных на фиг. 365, а пунктирными линиями.

На фиг. 367 изображена полностью вольтамперная характеристика
термистора с ее возрастающей и падающей ветвями. В разных точках
кривой отмечено превышение температуры этого сопротивления (в граду-
сах Цельсия) над температурой окружающего воздуха. Термисторы
применяются в измерительных приборах и приборах управления, а также

для усиления и генерирования колебаний в ряде
устройств, .используемых в энергетике и технике
связи.

§ 3. Устойчивость повышения температуры. В об-
щем случае при нагревании проводника, сопротивление
которого зависит от температуры, нельзя пренебрегать
теплоемкостью материала проводника. Этот параметр

Ф и г. 368.

влияет на процесс установления равновесного состоя-

ния. Рассмотрим поведение сопротивления г(&), соединенного последова-
тельно со стабилизирующим постоянным сопротивлением В и источником
питания с переменным или постоянным напряжением Е. В случае по-
стоянного напряжения (фиг. 368) ток в цепи равен

i(&) =

П + гф)

(35.19)

а падение напряжения

на переменном сопротивленииТсоставляет

е(&) =

/>(»)

7? + г(») '

(35.20)

О Услошио максимума соответствует равенство нулю дифференциалов левых'частей
соотношений (35.17) и (35.18). Максимум кривой напряжения е (г) наступит при темпе-
ратуре, удовлетворяющей условию

Я+^[»с(8)] = °.

—Прим. ред.
В случае питания цепи переменным током можно воспользоваться слегка
отличным выражением (33.1), которое совпадает в пределе, при o>L = 0,
с выражением (35.19). В общем случае напряжение и ток будут зависеть
от температуры. При ничтожно малом R напряжение на переменном
сопротивлении остается неизменным, т. е. е = Е\ при R, стремящемся
к бесконечности, неизменным становится ток, т. е. i — E/R.

Изменение температуры переменного сопротивления г определяется
дифференцп а льным у равнением

рг ~ +Со& — е (О) i (&), (35.21)

аналогичным дифференциальному уравнению (33.2). Если разделить все
члены уравнения (35.21) на Со, то в качестве множителя при производ-
ной получится тепловая постоянная времени

Т = g , (35.22)

определенная выше выражением (33.6). Одновременно в правой части
уравнения появится функция

(eg-(a) = Н (&), ‘ (35.23)

равная отношению электрической мощности, расходуемой на нагревание
проводника, к параметрам, характеризующим отдачу тепла через поверх-
ность. Эта функция определяет тепловую интенсивность процесса. Фор-
мально она аналогична выражению (33.8), но здесь она означает темпе-
ратуру в установившемся режиме. Это следует из уравнения (35.21), если
положить в нем приращение температуры равным нулю. Тепловая интен-
сивность зависит от температуры, и при питании цепи постоянным током
она легко определяется как произведение выражений (35.19) и (35.20).

Пользуясь сокращенными обозначениями (35.22) И (35.23), перепи-
шем дифференциальное уравнение (35.21) в виде

?"+»= Я (»).

Решение этого уравнения можно получить квадратурой
_ т С d&

1 J #(&)—& ’
а скорость роста температуры можно выразить в виде
dS _ //(&) — &
dt ~ Т

Вместо того чтобы снова давать графическое истолкован
исследуем числитель правой части уравнения (35.26),
зависит, будет ли температура повышаться или пони;
времени.

На фиг. 365,6 была построена кривая зависимости переменного сопротив-
ления г( ) от {}. Там же была проведена прямая постоянного сопротивления
R. При помощи выражений (35.19) и (35.20) и кривой суммарного сопротив-
ления можно найти i (») и е (0); графики этих функций показаны на фиг. 369, а.
Там же построена кривая зависимости произведения этих величин от W.
Последняя кривая после деления ее ординат на произведение Со, характери-
зующее отдачу тепла через поверхность, построена еще раз на фиг. 369,6.
Очевидно, что теперь эта кривая изображает функцию II ( ), определенную
выражением (35.23) и имеющую размерность температуры. На фиг. 369,6

(35.24)

(35.25)

(35.26)

ио обоих решений,
от знака которого
каться с течением
проведена также прямая линия й; получающиеся при этом разности ординат,
принадлежащие заштрихованным областям, рют числитель правой части
уравнения (35.26).

На фиг. 369,6 получаются две точки пересечения, которым соответст-
вуют два состояния равновесия с температурами йх и й2. Однако устойчива
только точка 1, а точка 2 неустойчива. Это непосредственно следует из зна-
ков площадей, отмеченных на графике в соответствии <? уравнением (35.26)
и указывающих, будет ли температура повышаться или понижаться в соответ-
ствующих областях графика. В нижней области температура повышается и
стремится к конечному значению йх. Такое изменение температуры обычно
весьма желательно. В средней области темпера-
тура всегда будет понижаться. Таким образом,
если по какой -либо случайной причине, например
вследствие кратковременного увеличения напря-
жения на сопротивлениях, будет достигнута
одна из температур средней области, то в даль-
нейшем температура вернется к устойчивому
значению йг Однако если первоначальный пе-
регрев будет настолько сильным, что температу-
ра превысит значение й2, то повышение темпе-
ратуры будет продолжаться, тепловой режим
станет неустойчивым и сопротивление сгорит.
Мы видим, что для сохранности или разрушения
проводника, сопротивление которого зависит от
температуры, решающим является соотношение
между Н (й) и &.

Кривая Н (й) на фиг. 369,6 соответствует
определенному значению постоянного сопро-
тивления R, отмеченному на фиг. 365,6. Из
выражений (35.19), (35.20) и (35.23) следует, что
с уменьшением R будет расти Н. Предельная
кривая, при R=0, обозначена через Нг и также
изображена на фиг. 369,6. В этом случае в цепи

имеется только переменное сопротивление г, к которому и прикладывается
постоянное напряжение. Мы видим, что режимы цепей, содержащих лишь
переменные сопротивления, часто оказываются совершенно неустойчивыми;
это зависит, конечно, от скорости уменьшения сопротивления г, изме-
няющегося с температурой. Случаю, когда R очень велико по сравне-
нию с г, соответствует на фиг. 369,6 самая нижняя кривая Hr, которая,
как это следует из выражения (35.19), характеризует поведение термистора
при неизменном токе. Отсюда становится ясным, что полупроводники,
сопротивление которых резко уменьшается с повышением температуры,
большей частью будут вести себя неустойчиво в режиме неизменного напря-
жения и устойчиво в режиме неизменного тока, поэтому для стабилизации
цепи часто приходится включать последовательно с полупроводником актив-
ное сопротивление определенной величины.

В тех с лучаях, когда рассеяние тепла происходит посредством конвекции
или излучения и характеристика на фиг. 365,а представляет собой соответ-
ственно вогнутую или выпуклую кривую, то на фиг. 369, б нужно начертить
такую же кривую вместо прямой й. Следовательно, условия охлаждения
полупроводника существенно влияют на устойчивость его теплового режима.
Кроме того, если удельная теплоемкость у, входящая в уравнение (35.21),
также будет зависеть от температуры, то постоянная времени Т будет не-
сколько изменяться. Это может быть легко учтено в выражениях (35.25)
и (35.26) и вызовет лишь небольшое изменение в характере зависимости тем-
пературы от времени, но не отразится ни на возможности интегрирования
этих уравнений, ни на методе их анализа.

Изложенную методику можно применить не только в том случае, когда
с повышением температуры величина сопротивления уменьшается, но и в тех
случаях, когда она увеличивается, как это было в гл. 33. Правда, там ока-
залось возможным вследствие линейной зависимости сопротивления металли-
ческого проводника от температуры выполнить интегрирование аналитиче-
ски. В противоположность тому, что было выяснено здесь для полупроводни-
ков, там было показано, что ре-
жим с неизменным напряжением
является устойчивым, а режим
с неизменным током — часто неус-
тойчивым.

При помощи выражений (35.25)
и (35.26) можно найти для каждого
конкретного случая зависимость
температуры от времени и затем
по кривым, изображенным на
фиг. 369,а, построить зависимость
напряжения и тока от времени.
Исходя из того, что наклон кри-
вой г(&) вначале сравнительно
невелик, заключаем, что в первое

время ток растет медленно. Однако в дальнейшем он быстро нарастает
и, наконец, асимптотически приближается к своему предельному значению,
если только оно существует. На фиг. 370 показаны результаты осциллогра-
фического исследования токов, возникающих в цепи, содержащей после-
довательно включенные термистор и постоянное сопротивление, после
включения постоянных напряжений разной величины.

ЛИТЕРАТУРА

Becker J. A., Green С. В., Pearson G. L., Trans. AIEE, 65, 711 (1946).

Properties and nse of thermistors, thermally sensitive resistors.

Brownlee T., Gen. Electr. Rev., 37, 175, 218 (1934)

The calculation of circuits containing thyrite.

Buerschaper R. A., Journ. Appl. Phys., 15, 452 (1944).

Thermal and electrical conductivity of graphite and carbon at low temperatures.
Frommer J., Elektrotechn. Zs. 54, 839 (1933).

Die Berechnung von Vorschaltwiderstand und Stromquelle fur Stabilisatorrohren.
H ii t e r W., Arch. Elektrotechn., 27, 341 (1933).

Zur Spannungsabhangigkeit technischer Halbleitermaterialien.

Иоффе А. Ф., Электронные полупроводники, M.—Л., 1933.

LeBlanc М , Sachse Н , Phys. Zs., 32, 887 (1931).

Die Elektronenleitfahigkeit von festen Oxyden verschiedener Valenzstufen.
Maurer R J., Journ. Appl Phys., 16, 563 (1945).

Electrical properties of semi-conductors.

M eyer W., Phys. Zs., 85, 278 (1933).

Uber die Elektrizitatsleitung anorganischer Stoffe mit Elektronenleitfahigkeit.
M o l t N. F., Gurney R. W., Electronic Processes in Ionic Crystals, New York, 1940.
Seitz F., The Modern Theory of Solids, New York, 1940. (См. перевод: Зейтц Ф.,
Современная теория твердого тела, 1949.)

Seitz F., Journ. Appl. Phys., 16, 553 (1945).

Basic principles of semi-conductors.

S p e n k e E., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 15, No 1, 92 (1936).

Zur technischen Beherrschung des Warmedurchlages von Heissleitern
Weise E., Elektrotechn. Zs., 59, 1085 (1938).

Physikalische Eigenschaftenund technische Anwendungvon Halbleiterwiderstanden.
Wilson A. H., Semi-conductorsand Metals, London, 1939.
Глава 36

САМОВОЗБУЖДАЮЩИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ

Некоторые электрические цепи характеризуются наличием устойчи-
вых и неустойчивых значений или областей значений тока, меняющегося
во времени. Устойчивые значения часто соответствуют установившимся
состояниям; наоборот, области неустойчивости охватывают те значения
токов, которые могут иметь место в переходном режиме. Такими свойст-
вами могут обладать цепи постоянного тока, если в каких-либо их частях
преобладают нелинейные соотношения между напряжением и током. Нели-
нейные активные сопротивления были рассмотрены в § 2 гл. 33 и в § 2 гл. 35.
Если же в цепи имеются индуктивность и емкость, то в ней происходит накоп-
ление энергии и, как было показано в гл. 16, могут возбудиться собственные
колебания. Для этого необходимо, чтобы при некоторых значениях тока
поступление энергии в цепь превышало ее рассеяние. В общем случае,
возбуждение собственных колебаний может иметь место тогда, когда избыток
мощности поглощается, а недостаток покрывается одним или несколькими
элементами цепи, способными накапливать энергию.

§ 1. Условия существования. При вращении якоря коллекторного
генератора последовательного возбуждения, рассмотренного в общих чертах
в гл. 16, в якорной обмотке наводится э.д.с. 2V(i), равная падению напря-
жения Ri на сопротивлении обмоток машины и на сопротивлении нагрузки.
Зависимость величин N(i) и Ri от тока показана на фиг. 371. Рассматривая
обе части этой диаграммы, относящиеся к положительным и отрица-
тельным значениям тока, замечаем, что криволинейная и прямолиней-
ная характеристики пересекаются в трех точках, соответствующих трем
возможным режимам работы машины. Из них устойчивы только две внешние
точки, различающиеся между собой знаками е и I, тогда как внутренняя
точка, характеризующаяся значениями е=0 и i=0, неустойчива. Состояния
цепи, соответствующие заштрихованным областям диаграммы, самопроиз-
вольно изменяются в направлении к устойчивым точкам, причем скорость
этого изменения зависит от того, как будет восприниматься цепью разность
напряжений

S(i)=N(i)-R(i)i. (36.1)

Эту разность мы назовем ускоряющим (stimulance) напряжением цепи.
В уравнении (36.1) не только э.д.с. N (г), но и падение напряжения на
активном сопротивлении R(i)i рассматривается как функция тока г. Послед-
нее объясняется тем, что, как было показано в § 2 гл. 33, даже ненасыщен-
ный генератор можно стабилизировать при помощи активного сопротивления,
напряжение на котором при увеличении тока возрастает не по линейному
закону, а быстрее. Такой случай показан на фиг. 372, где воспроизведена
диаграмма фпг. 340,6, продолженная в сторону отрицательных значений е и i.
Кривые ускоряющего напряжения (см. фиг. 371 и 372) в функции тока
имеют одинаковую форму во всем диапазоне токов (см. фиг. 373). В то
время как металлические термосопротивления имеют возрастающую харак-
теристику (фит. 372), вольтамперная характеристика полупроводника
ri=V(i) может иметь также падающую ветвь (см. §2 гл. 35). Нафиг. 374, а
приведена крпвая суммарного падения напряжения на полупроводнике
и постоянном сопротивлении R. Проведя на этой диаграмме горизонталь-
ную прямую, соответствующую приложенному постоянному напряжению

Е, находим для разных значений тока ускоряющее напряжение — положи-
тельное или отрицательное; оно отмечено на фиг. 374,а штриховкой. Кри-
вая зависимости ускоряющего напряжения от тока показана отдельно на
фиг. 374, б. В данном случае ускоряющее напряжение равно

S(i) = E-Ri-V (i).

(36.2)

Как и иа фиг. 373, кривая ускоряющего напряжения снова имеет две
области положительных и две области отрицательных значений, отделенные

друг от друга двумя внешними устойчи-
выми точками и одной внутренней — не-
устойчивой. Однако если на фиг. 373
ускоряющее напряжение возникает и
при положительных, и при отрицатель-
ных токах, то на фиг. 374 оно суще-
ствует только при токе, имеющем тот же
знак, что и постоянное напряжение Е.
Далее, кривая напряжения па фиг. 373
симметрична относительно неустойчп-

Ф и г. 374.

Фиг. 373.

вой точки; кривая на фиг. 374,6 совершенно несимметрична. Поэтому
можно ожидать, что цепи, содержащие полупроводники с падающими
вольтамперными характеристиками, будут вести себя в отношении колеба-
ний примерно так же, как цепи, для которых были построены диаграммы
на фиг. 371 и 372, хотя и с некоторым отличием в деталях явления. В цепи
с вращающимися машинами энергия доставляется механическим путем.
Ее величина определяется э.д.с. расход энергии в обмотках машины
и в нагрузке характеризуется падением напряжения R(i)i. В цепи
с полупроводниками энергия доставляется электрическим путем; ее величина
определяется напряжением Е-, сопротивление R можно рассматривать как
нагрузку, а величина V(i) характеризует внутренние потери.

Нелинейными свойствами обладают многие другие цепи или их отдель-
ные части. Так, например, газообразные проводники, в частности электри-

ческие дуги, также имеют падающую вольт-
амперную характеристику. Вид этой ха-
рактеристики с учетом ста?билизирующе-
го сопротивления R показан на фиг. 375.
Здесь нижняя устойчивая точка совпадает
с нулевым значением тока, а кривая Уско-
ряющего напряжения содержит только три
знакочередующиеся области (при отсут-
ствии повторного зажигания).

Если к элементам, характеризуемым
кривыми фиг. 374 и 375, добавить элементы,
накапливающие энергию, т. е. индуктив-
ность L и емкость С, то получится цепь,

схематически' изображенная па фиг. 376. Здесь показаны оба зависящих от

тока элемента, которые могут обусловить появление ускоряющего напряже-
ния— э.д.с. вращения N{i) и падение напряжения Е(г) на переменном
сопротивлении. Чтобы по цепи мог протекать постоянный ток, конденсатор С

нужно шунтировать большой индуктивностью как показано на фиг. 376.
Можно также включить параллельно емкости С сопротивление R или индуктив-
ность 7/, или оба эти элемента вместе. Это не внесет принципиальных измене-
ний в поведение цепи.

Для той же цели, т. е. для генерирования колебаний, часто применяются
трехэлектродные электронные лампы, включенные по схеме фиг. 377.
Вообще говоря, напряжение на электродах, находящихся в вакууме, воз-
растает с увеличением тока. Однако на сетку лампы можно подать напря-
жение t меняющее свой знак с отрицательного на положительный по мере
увеличения тока, как показано на фиг. 378, а. В результате сопротивление
лампы г, которое зависит от сеточного напряжения (эта зависимость пока-

зана на фиг. 378, б), будет изменяться при изменении тока, как изобра-
жено на фиг 378, в.

На той же фигуре построены

Sfi)

Фпг. 379.

ги (см. фиг. 374 и 375). Однако

кривые падения напряжения на различ-
ных участках цепп. Подобная зависи-
мость r(i) может быть получена при
различных схемах включения основных
элементов цепи. Она всегда приводит
к возникновению ускоряющего напря-
жения, кривая зависимости которого'
от тока показана на фиг. 379. Эта
кривая построена по кривым фиг. 378,е
на основании уравнения (36.2). По
форме она сходна с кривыми ускоряю-
щего напряжения в цепях, содержащих
полупроводники или электрические ду-
поведение электронной плазмы в лампах

с высоким вакуумом отличается большей определенностью и легко поддается

управлению.

§ 2. Механизм возбуждения. Рассмотрим детально явления в простой
схеме, изображенной па фиг. 376. Элементы L, С и S(i) соединены в ней по-
следовательно. В других случаях вместо L и С можно применить иные эле-
менты, накапливающие энергию, а вместо R — другой элемент, на котором
происходит рассеяние энергии. Кроме того, ускоряющее напряжение
может отличаться от/У(г) или F(i). Однако уравнения, описывающие процессы
в таких цепях, почти всегда можно привести путем соответствующих преобра-
зований переменных к уравнению простой цепи, изображенной на фиг. 376.

Связь между мгновенными значениями тока iL, протекающего через индук-
тивность, напряжения на емкости ес и ускоряющего напряжения Л’(г)
определяется следующими дифференциальными уравнениями:

diT der

L-±- + ec = S (iL)- iL=C-^-. (36.3)

G>v IbL

Подставим в первый член уравнения выражение для dt, найденное из второго'
уравнения, тогда получим

L^=LdiL-^- = ± iL^~ (36.4)

dt Cdec С dec ' ’

Для удобства опустим в дальнейшем индекс С в обозначении напряже-
ния на емкости и введем в уравнение (36.3) «расчетный ток» i, т. е.

i = (36.5>

Этот «ток» благодаря множителю J/7L/C имеет размерность напряжения.
Таким путем получаем основное дифференциальное уравнение

= (36.6)

где расчетный ток является аргументом функции S. Полученное уравнение,
связывающее напряжение е и величину I, можно решить графически
с необходимой точностью.

Прежде чем искать решение для общего случая, выясним связь между
е и i при очень малом ускоряющем напряжении. Соответствующий график
построен на фпг. 380, причем для 5(i) принята симметричная кривая
(см. фиг. 373), получающаяся при наличии в цепи вращающейся машины.
В предельном случае, когда 5(i)=0, уравнение (36.6) принимает следующий
вид:

idi + ede = Q. (36.7)

Это уравнение можно проинтегрировать непосредственно: в результате
имеем

/2 ^2

—|—== ^onst.

В прежних обозначениях этому соответствует

L -g- + С -g- = const.

(36.8)

(36.9)

Таким образом, график зависимости между е и i представляет собой
окружность, показанную на фиг. 380

Если бы в цепи не было ни L, ни С, то в ней установился бы постоянный
ток того илиипого направления; величина тока определялась бы устойчивыми
точками пересечениякривой5(г) с осью абсцисс.
Однако при наличии L и С обязательно воз-
никают колебания, представляемые в коорди-
натах г, е круговой диаграммой. При одних
значениях тока напряжение 5(г) положительно
и ускоряет изменение тока, а при других—от-
рицательно и замедляет изменение тока. Это
отмечено знаками плюс и минус, поставленны-
ми вдоль окружности на фпг. 380. Если ок-
ружность будет иметь меньший диаметр и пе-
ресечет ось i так, что устойчивые точки5 (i)=0
окажутся на окружности или вне ее, то под
действием положительного ускоряющего на-
пряжения ток будет увеличиваться и, следо-
вательно, окружность будет расширяться.

Диаметр окружности будет увеличиваться

до такой величины, при которой действия положительного и отрицатель-
ного ускоряющего напряжений за один период обращения точки е, i по
окружности будут уравновешивать друг друга. Соответственно, если диаметр
окружное ти будет больше диаметра окружности, относящейся к состоянию
равновесия, то будет преобладать действие отрицательного ускоряющего
напряжения и, следовательно, окружность будет сокращаться до размеров,
изображенных на фиг. 380. Таким образом, радиус окружности, характе-
ризующей состояние равновесия, должен быть несколько больше, чем
абсциссы точек, в которых 5(i)=0.

Если имеется малое, но конечное ускоряющее напряжение, то наряду
с установившейся траекторией, изображенной на фиг. 380, будут существо-
вать внутренняя и внешняя спиральные траектории, постепенно прибли-
жающиеся к окружности. Так как при каждом обращении по этим траекто-
риям ускоряющее и замедляющее действия имеют различную длительность,
то и спиральная и круговая траектории несколько искажаются.

Таким образом, кроме основного колебания, соответствующего движению
по окружности, появляются также третья и другие гармоники более вы-
сокого порядка.

При произвольной величине и форме ускоряющего напряжения диффе-
ренциальное уравнение (36 6) можно проанализировать следующим образом.
Предположим, что искомое решение характеризуется на плоскости е, г кри-
вой, которой принадлежит точка Р (фиг. 381). Тогда длина поднормали,
проведенной через точку Р при любом направлении касательной к этой кри-
вой, равна

. di

S — — I — .
de

(36.10)

Выражение (36.10) совпадает с первым членом основного уравнения
(36.6). Таким образом, если выбрать точку Р так, чтобы расстояние ее до
точки Q, находящейся на кривой <S(i) и имеющей общую абсциссу с точкой Р,
было равно поднормали, то дифференциальное уравнение (36.6) будет удовле-
творено. В самом деле, из построения следует равенство

е = 5 + s,

(36.11)

совпадающее с уравнением (36.6).

Чтобы найти направление интегральной кривой, проходящей через не-
которую точку Р, нужно провести через точку Q, находящуюся на кривой

Фиг. 381. Фиг. 382.

ускоряющего напряжения 5(г) и имеющую общую абсциссу с точкой Р, гори-
зонтальную прямую до пересечения с осью е в точке О, затем соединить
точку О с точкой Р и провести через точку Р перпендикуляр к прямой ОР.
<)тот перпендикуляр определяет направление касательной к интегральной
кривой в точке Р, поскольку s является ее поднормалью. При помощи такого
простого построения можно найти направления касательных в любой точке
плоскости; некоторые из них показаны на фиг. 381. Касательные к инте-
гральным кривым в точках пересечения этих кривых с кривой ускоряющего
напряжения всегда направлены вертикально, а в точках пересечения с вер-
тикальной осью, проходящей через неустойчивую точку,—горизонтально.
Описанный графический прием иногда называют методом изоклин.

Если нанести направления касательных в достаточно большом числе
точек плоскости, то нетрудно построить с любой степенью точности все
возможные интегральные кривые. Такие кривые представлены на фиг. 382
для нескольких различных начальных условий.

Интегральные кривые проще всего можно составить из примыкающих
друг к другу дуг окружностей, проходящих через близко расположенные
точки Р. Центры этих окружностей О лежат на оси е и имеют ординаты, рав-
ные соответствующим значениям ускоряющего напряжения Л’. Все внутрен-
ние траектории являются расходящимися, все внешние — сходящимися; и те
и другие в конце концов сливаются в замкнутую траекторию, соответствую-
щую установившимся колебаниям напряжения и тока. Расходящиеся и
сходящиеся спирали представляют собой траектории, характеризующие
переходные процессы в системе. При малом ускоряющем напряжении инте-
гральные кривые близки к окружностям, как показано на фиг. 380; при
увеличении ускоряющего напряжения они деформируются, приближаясь
к четырехугольнику более или менее правильной формы, как показано
на фиг. 382.

Интересно отметить, что все интегральные кривые охватывают точку
неустойчивого равновесия на кривой ускоряющего напряжения, а не точку
устойчивого равновесия, как можно было бы предположить при поверхност-
ном суждении. Это означает, что для возбуждения колебаний необходимо,
чтобы при увеличении тока знак ускоряющего напряжения менялся с от-
рицательного на положительный. Как видно из фиг. 374, 375 и 379, в цепях
с переменным сопротивлением это имеет место только в тех областях, где
вольтамперная характеристика падает. В математической форме это усло-
вие выражается неравенством

dV(i) 0
di ’

(36.12)

т. е. дифференциальное сопротивление должно быть отрицательным. В обла-
стях, где нет неустойчивых точек, например для упомянутых выше харак-
теристик—при очень малых токах, самовозбуждение колебаний не произойдет.

Если кривая ускоряющего напряжения симметрична относительно поло-
жительных и отрицательных токов (см. фиг. 380 и 382), то возникающие
колебания также симметричны. Иное положение имеет место при несиммет-
ричных кривых ускоряющего напряжения (см. фиг. 374, 375 и 379). В этих
случаях ток будет изменяться от максимального значения до минимального,
колеблясь около неустойчивой точки, а переменная составляющая тока будет
содержать четные гармоники значительной амплитуды.

Выясним теперь, как изменяются ток и напряжение во времени. На
основании выражения (36.5) и второго уравнения (36.3) элементарное прира-
щение времени равно

der ,-------

dt = C-^ = yLC~. (36.13)

Отсюда время, в течение которого происходит изменение напряжения
и гока, выразится через эти величины следующим образом:

t—yLC

(36.14)

Этот интеграл можно вычислить при помощи простой квадратуры. Можно
также построить кривую изменения напряжения по его производной

de _ i (е)

dt ~ Vlc '

(36.15)

На фиг. 383 показаны кривые зависимости напряжения и тока от
времени, построенные для сравнительно малого ускоряющего напряже-
ния, которому соответствует фиг. 380. На фиг. 384 показаны кривые для
большого ускоряющего напряжения, значительно превышающего то напря-
жение, для которого построена фиг. 383. В этом случае кривая напря-
28 р. Рюденберг
жения имеет почти треугольную форму, а кривая тока — почти прямо-
угольную (в отличие от почти синусоидальных кривых на фиг. 383).

Если обозначить радиус-вектор точки Р интегральной кривой через р,
ее фазный угол—через tp (фиг. 385), угол между перпендикуляром к ради-
усу и касательной к кривой в точке Р — через ф, то элементарное при-
ращение напряжения вдоль элемента dl интегральной кривой будет равно
de = dl cos (<р + ф)- (36.16)

Ток можно выразить через радиус и фазный угол, т. е.

j = pcos<p. (36.17)

Используя, далее, соотношение

pdy — dl cos ф,

(36.18)

полученное на основании фиг. 385, можно представить подинтегральное
выражение (36.14) в следующем виде:

(3619)

Таким образом, для точки, движущейся по интегральной кривой
в плоскости е, г, элементарное приращение времени определяется выра-

жением

dt— LC у = LC dy (1 — tg <р tg ф). (36.20)

Угловая скорость вращения радиус-век-
тора равна

dy___ 1/у LC

1 —tg<ptg<p ‘

(36.21)

вращение радиус-вектора, описываю-
щего траекторию, происходит неравномерно;

его угловую скорость можно легко опреде-
лить простым геометрическим построением.
1 олько при ф = 0е, т. е. когда траектория

везде нормальна к своему радиус-вектору и, следовательно, представ-
ляет собой точную окружность, угловая скорость постоянна. В этом
случае из выражения (36.20) можно наити период колебания, а именно:

2п

dt= т = ]/rLC \ dy = 2л |/ LC.
о

(36.22)

При другой форме траектории период определяется из того же выра-
жения (36.20) графическим методом. На участках подъема и спуска
траектории угловая скорость мала: она становится большой на верхнем
и нижнем участках, как это следует из сопоставления знаков tgф и tg'p
Гл. 36. Самовозбуждающиеся колебания

435

при обходе траектории. Поскольку тангенсы являются периодическими
функциями <р, период колебаний не будет сильно отличаться от значения,
определяемого выражением (36.22).

Длина радиус-вектора определяется из выражения

(36.23)

Таким образом, квадрат радиус-вектора пропорционален полному
мгновенному запасу энергии системы, сосредоточенному в элементах L
и С. Только при чисто синусоидальных колебаниях эта энергия остается

неизменной на протяжении всего периода. Когда же траектория дефор-
мирована, элементы L и С поглощают или отдают мощность, равную
разности между мощностью, поступающей от источника, и мощностью,
расходуемой в активном сопротивлении. Это замечание справедливо как
для установившегося, так и для переходного режимов; последний пред-
ставлен на фиг. 386.

Энергия, расходуемая в постоянном сопротивлении R, представляю-
щем собой нагрузку системы, равна

WR= Ri\dt. (36.24)

Заменяя переменные под знаком интеграла при помощи выражений
(36.13) и (36.5), получаем

И/Л= RC iIdec = —^^=^ С ide. (36.25)

Этот интеграл представлен заштрихованной площадью на фиг. 386.
В установившемся режиме средняя мощность за период определяется
площадью, заключающейся внутри замкнутой траектории, независимо от
того, какова форма этой траектории.

Если колебания возникают вследствие наличия в цепи переменного
сопротивления г, падение напряжения на котором равно V (г), то потери
в этом сопротивлении составляют

И/г = V (iL) iLdt = С

V (е) de.

(36.26)

Последнее выражение получено при помощи такого же преобразова-
ния, как и выше. Интеграл, входящий в выражение (36.26), можно вы-
числить по кривой V (е), которая строится на основании кривых V (г) и
«(i), как это сделано на фиг. 387. Площадь, охватываемая кривой V (е),
не равна нулю, поскольку возрастающая и падающая ветви кривой V (i)
относятся к различным напряжениям па емкости е(г). Эта площадь опре-
деляет потери за каждый период. Соответствующим подбором характери-
стики V (г) и формы траектории е (г) потери можно снизить до мини-
мального значения. Однако это приводит по большей части к появлению
существенных высших гармоник.

Во многих электрических, механических, тепловых и других устрой-
ствах встречаются элементы с нелинейными характеристиками, которые
могут стать причиной неустойчивости или колебаний, как было рассмо-
трено выше. Кроме таких элементов, накапливающих энергию, как, напри-
мер, элементы электрических цепей L и С, и увеличивающих постоянные
времени процессов зарядки и разряда, существуют другие элементы с
запаздыванием, наличие которых может вызывать аналогичные явления.
Это относится, например, к системам автоматического регулирования и
к следящим системам, в особенности к тем из них, которые имеют обрат-
ные связи.

ЛИТЕРАТУРА

Cerbeiller Р., Journ. Inst. Electr. Eng., 79, 361 (1936).

The non-linear theory of the maintenance of oscillations (содержит библиографию).

Kirsch stein F., Arch. Elektrotechn., 24, 731 (1930).

Uber ein Verfahren zur graphischen Behandlung elektrischer Schwingungsvorgange.

Lieuard A., Rev. gen., elec., 23, 901 (1928).

Etudes des oscillations entretenues.

Muller J. J., Bull. asso. sui. elec., 29, 573 (1938).

Oscillations de relaxation.

S hob at J., Journ Appl. Phys., 14, 40 (1943) •

New analytical method for solving Van der Pol’s and certain related types of
nonlinear ’differential equations, homogeneous and non-homogeneous.

S h о h a t J., Journ. Appl. Phys., 15, 568 (1944).

On Van der Pol’s and related nonlinear differential equations.

Van der Pol B., Phil. Mag., 2, 978 (1926)

Relaxation oscillations.
VI. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ДУГА ПРИ РАЗМЫКАНИИ

Глава 37

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДУГИ

Напряжение и ток в электрической дуге связаны между собой совсем
иначе, чем в твердых проводниках. В то время как падение напряжения
на металлическом проводнике пропорционально току (см. прямую линию
ед па фиг. 388), напряжение ед между электродами горящей дуги с увеличе-
нием тока понижается до некоторого предель-
ного значения и снова повышается при умень-
шении тока. Первый пробой искрового про-
межутка начинается при сравнительно высо-
ком напряжении зажигания ez и токе, рав-
ном нулю. Происходящее затем нарастание
тока вызывает быстрое увеличение проводи-
мости воздуха п, следовательно, уменьшение
напряжения дуги. Такое своеобразное по
сравнению с металлами поведение дуги обу-
словлено особым характером ее электропро-
водности. В твердых проводниках падение
напряжения определяется главным образом
плотностью тока; в дуге же проводимость
и даже площадь поперечного сечения изме-
няются вместе с током. Измерения методом

зонда показали, что можно выделить три области распределения потенциала
вдоль дуги, показанные на фиг. 389: анодное падение еа, катодное падение
и падение напряжения е( на длине дугового столба. Первые два напряже-
ния слегка зависят от тока; последнее—примерно пропорционально длине
дуги I.

Под действием электрического поля из раскаленного добела катодного
пятна выбрасываются электроны. Сталкиваясь с нейтральными молекулами,
они расщепляют их, т. е. ионизируют. Образующиеся в дуговом столбе
частицы обоих знаков движутся под действием электрического поля к элек-
тродам и, ударяясь о них, нагревают их до высокой температуры. Легкие
отрицательно заряженные электроны бомбардируют анод, а тяжелые поло-
жительные ионы—катод. При этом в дуговом столбе и на электродах освобо-
ждаются новые электроны и процесс повторяется. Если при этом установится
равновесие, то горение дуги будет длительным; в противном случае она
погаснет. Таким образом, электрические дуги не могут существовать при
произвольных значениях тока, напряжения и длины. Напротив, для того
чтобы в дуге поддерживалось равновесное состояние, эти три величины
должны быть связаны определенным соотношением. Такое соотношение
представлено падающей вольтамперной характеристикой на фиг. 388. При
движении, электронов и ионов в дуге отрицательно заряженные частицы
накапливаются у анода, а положительно заряженные частицы—у катода.
Этим пространственным скоплением зарядов и обусловлено резкое падение
потенциала вблизи анода и катода.

Электрическая энергия, преобразуемая в дуге в тепло, рассеивается
путем теплопроводности, излучения и конвекции. Диссоциация газов в дуго-
вом столбе и диффузия ионов и молекул также играют некоторую роль в пе-
редаче тепла. Теплопроводность обусловливает передачу тепла к холодным
концам электродов (особенно металлических). Излучение имеет особое зна-
чение для рассеивания в окружающем пространстве тепла, выделяющегося
на угольных электродах. За счет конвекции осуществляется в основном пере-
дача тепловой энергии от дугового столба в окружающую газообразную
среду. Теплопроводность металлов, в частности меди, очень велика, и поэто
му температура раскаленного пятна на поверхности металлического элек-
трода составляет около 2000— 3000° С, в то время как на поверхности уголь-

ных электродов она повышается до
газа в дуговом столбе показали, что
она лежит в пределах от 5000 до
3000° С; нижний предел относится

3000—4000° С. Измерения температуры

к меньшим, а верхний—к большим токам. При медных электродах плот-
ность тока в катодном пятне равна нескольким тысячам а/см2, при уголь-
ных—нескольким сотням а!см2, а в дуговом столбе она часто бывает ниже
100 а/см2.

Настоящая дуга с раскаленным добела катодом, вообще говоря, раз-
вивается при токах свыше 0,5а. При меньших токах приложенное высокое
напряжение вызывает лишь тлеющий разряд, для поддержания которого не
требуется горячего катода.

Вольтамперную характеристику дуги для токов и напряжений средней
величины можно выразить уравнением Герты Айртон

ев = «+у, (37.1)

Таким образом, с увеличением тока напряжение уменьшается по гипер-
боле. Постоянные а и b линейно зависят от длины дуги I

Для дуги, горящей в воздухе между медными электродами, средние
значения а, р, у и 8 равны

а = 30е, т = 10е/сж,
р=10ва, 8 = 30ва/сж.

На фиг. 390 изображено семейство вольтамперных характеристик при
различных длинах дуги. При больших токах анодное и катодное падения
в сумме можно приравнять падению напряжения на длине 3 см.
Дуга имеет падающую вольтамперную характеристику, и для поддержа-

ния ее горения в цепи постоянного тока, содержащей активное сопротивле-
ние (фиг. 391), должно быть выполнено определенное условие. Если питать
дугу неизменным напряжением Е, то для равновесия процесса ионизации
необходим ток ip, соответствующий напряжению Е (фиг. 392). Однако при
малом отклонении от равновесной точки 1 напряжение источника окажется

либо слишком большим, либо недостаточным, и дуга по-
гаснет. Для стабилизации дуги необходимо включить
сопротивление R, падение напряжения на котором по-
низит напряжение дуги до значения

eB = E-Ri. (37.3)

Построив на фиг. 392 прямую напряжения Е—Ri,
заметим, что она пересекает характеристику дуги еще
в точке 2, соответствующей большому току I. При не-
значительном увеличении этого тока напряжение дуги
станет меньше требуемого, а при уменьшении тока оно

станет излишне большим. Таким образом, в обоих случаях восстановится

ток, соответствующий устойчивой точке пересечения 2.

Характеристика цепи, определяемая выражением (37.3), пересекает
характеристику дуги также в верхней точке 3 (см. фиг. 392). Однако эта
точка так же неустойчива, как и соседняя точка 1, соответствующая отсут-
ствию добавочного сопротивления. Если нужно получить устойчивое горе-
ние дуги при малом токе, то следует создать цепь с очень крутой характери-
стикой, показанной пунктиром на фиг. 392, для этого требуются источник
с высоким напряжением Е' и большое сопротивление цепи R'.

При постепенном удлинении дуги ее характеристика смещается вверх,
как показано на фиг. 393. В результате ток устойчивой дуги уменьшается

(как это видно из расположения точек пересечения) до величины, соответ-
ствующей точке касания характеристики с прямой Е—Ri. В следующий
момент напряжение уже будет недостаточным для горения и дуга погаснет,
а ток уменьшится скачком до нуля. На фиг. 394 представлены кривые умень-
шения тока и одновременного повышения напряжения дуги в зависимости
от се длины; кривые построены по точкам пересечения, отмеченным на
фиг. 393. Таким образом, при постепенном удлинении дуги ток сначала умень-
шается медленно, затем быстрее и внезапно полностью прерывается, тогда
как напряжение на дуге возрастает сначала постепенно, а затем скачком до
полной величины напряжения источника Е. Наибольшая возможная длина
дуги определяется точкой касания прямой Е—Bi с вольтамперной характери-
стикой дуги, как показано на фиг. 393. Если дуга удлиняется с постоянной
скоростью, то кривые фиг. 394 непосредственно дают изменение тока и на-
пряжения во времени.

Из уравнения (37.1) и фиг. 390 видно, что для поддержания дуги нуле-
вой длины требуется определенное напряжение; поэтому некоторые цепи,

ших напряжениях и токах, если ocj

содержащие только активные сопро-
тивления, могут быть разорваны без
дуги. Условие размыкания без дуги
состоит в том, что характеристика
внешней цепи должна проходить ни-
же вольтамперной характеристики
дуги нулевой длины, как это показа-
но пунктирной прямой на фиг. 393.
Такое положение всегда имеет место
при напряжениях до 30 в, а при боль-
ших напряжениях—только в случае
отключения сравнительно малых то-
ков. Так, например, ток 0,5я при
напряжении 110в отключается без
дуги. Указанное выше условие можно
с успехом использовать и при ббль-
ществлять разрыв тока в нескольких

последовательно включенных промежутках между металлическими электро-
дами.

Характер искажений кривых тока и напряжения дуги переменного тока
зависит от состава газа, материала электродов и частоты тока. Такие кри-
вые для дуги, горящей в воздухе при нормальной частоте, показаны на
фиг. 395,в для угольных и на фиг. 395,6 для медных электродов.

По кривым изменения напряжения и тока во времени можно непосред-
ственно построить вольтамперные характеристики, изображенные на

фпг. 396,а для угольных, а на фиг. 396,6 для медных электродов. Эти харак-
теристики неоднозначны и состоят из двух разных ветвей, одной для воз-
растающего, другой—для убывающего тока. Неоднозначность характери-
стики (дуговой гистерезис) является следствием тепловой инерции электро-
дов и газовой плазмы, состояния которых не могут следовать за быстрым
изменением внешних условий. Благодаря этому температура дугового столба
и электродов, а следовательно, и напряжение дуги определяются также пред-
шествующим токовым режимом. Вследствие большой теплопроводности
металлических электродов две ветви характеристики на фиг. 396,6 отли-
чаются друг от друга меньше, чем две ветви характеристики на фиг. 396,а
для угольных электродов.

Переходу тока через нуль соответствуют в уравнении (37.1) бесконечно
большие значения напряжения; в действительности же оно остается конеч-
ным (см. фиг. 395). Однако прп каждом изменении знака тока требуется
сравнительно большое напряжение зажигания е_, достаточное для пробоя
промежутка. По мере того как протекающий ток, нагревая газ, усиливает его

ионизацию, напряжение дуги уменьшается по сравнению со своим началь-
ным значением. После максимума тока напряжение снова повышается по
мере уменьшения тока, достигая при токе, равном нулю, значения е|(
называемого напряжением гашения. При переменном токе напряжение
гашения значительно меньше напряжения зажигания, так как газовая плазма

и электроды еще сохраняют при погасании значительную температуру; при
очередном зажигании их температура оказывается сильно пониженной.
Названные характерные величины отмечены на фиг. 396.

Влияние электродов, заметное на фиг. 396, а и б, исчезает при большой

длине дуги; характеристика длинной дуги в спокойном воздухе напоминает

характеристику, представленную на фиг. 396,а.
Однако если применяется искусственное охлаж-
дение, то вследствие более быстрого изменения
состояния и для длинной дуги независимо от
материала электродов получается характери-
стика, сходная с характеристикой нафиг. 396,6.

Различие между ветвями характеристики,
соответствующими зажиганию и гашению дуги,
уменьшается с увеличением теплопроводности
электродов и газовой плазмы в результате
более быстрого выравнивания температур. При

низкой частоте переменного тока, т. е. при медленном прохождении тока

через нуль, наличие металлических электродов и принудительное охлажде-
ние дугового столба способствуют повышению напряжения зажигания и
уменьшению напряжения гашения, как это видно на фиг. 396,6. Повыше-
ние частоты значительно уменьшает оба пика (см. кривую на фпг. 397).
так как при быстром прохождении тока через нуль для охлаждения остается
мало времени. При очень высоких частотах температура электродов в тече-
ние всего периода не меняется сколько-нибудь существенно, ,п обе ветви
характеристики почти совпадают (см. кривую на фиг. 397). Здесь уже нет-

пи напряжения зажигания, ни напряжения гашения; характеристика пре-
вращается в почти прямую линию, проходящую через начало координат,
и дуга ведет себя почти как активное сопротивление.

На фиг. 398 показано изменение характеристики дуги с угольными элек-
тродами по мере удлинения дуги (крайняя левая характеристика соответ-
ствует наименьшей длине дуги). В очень короткой дуге как пик зажигания,
так и пик погасания очень малы; в длинных дугах напряжение зажигания
значительно превышает напряжение гашения.

Фиг. 398.

В качестве примера предельного случая на фиг. 399 приведена экспе-
риментальная характеристика свободно горящей дуги длиной 30 см при токе
20 000а. На этой характеристике также имеется петля, которая могла об-
разоваться вследствие беспорядочного движения воздуха. Полупериоды не
всегда получаются одинаковыми по форме.

Для дуг переменного тока длиной до 1м и более и при больших токах
было измерено напряжение горения еь, которое в среднем оказалось равным

(37.4)

от 13 до 15 е/см.

Это значение превышает величину ~[=1Q е!см, соответствующую большим

Температура и количество выделяемого и рассеиваемого тепла в дугах
постоянного и переменного токов примерно одинаковы. Однако в случае дуги
переменного тока среднее значение тока составляет только 2М от его ампли-
туды, Следовательно, для того чтобы электрическая мощность имела ту же
величину, напряжение дуги переменного тока должно быть больше в тг/2 раз.

Напряжение, необходимое для повторного зажигания дуги, очевидно,
имеет различные значения на протяжении коротких промежутков времени
после прохождения тока через нуль. В первые микросекунды после про-
хождения тока через нуль температура дуги изменяется мало. Однако у по-
верхности катода происходит очень быстрая деионизация, в результате
чего уже через время порядка 10“6 сек. для зажигания требуется напряжение
до 300 в. Одновременно происходит медленная диффузия ионов во всем дуго-
вом столбе, вызывающая дальнейшее повышение напряжения зажигания
в течение промежутка времени порядка 10~4 сёк. Напряженность поля
в свободно горящей дуге повышается до 50—100 в/см или более. В то же
время начинает понижаться температура дугового столба и электродов,
вследствие чего напряжение зажигания постепенно повышается до величины
порядка 30кв!см, соответствующей нормальному состоянию воздуха (если
в ходе этого процесса не произойдет повторного зажигания дуги).

ЛИТЕРАТУРА

Ayrton Н., The Electric Arc, New York, 1902.

Browne T. E., Physica, 5, 103 (1934).

Dielectric recovery of a-c arcs in turbulent gases.

Burstyn W., Elektrotechn. Zs. 503 (1920).

Uber lichtbogenfreie Untcrbrechung elektrischer Strome.

Cobine J. D., Power R. B., Winsor L. P., Journ. Appl. Phys., 10, 420 (1939).

The reignition of short arcs at high pressures.

С о b i n e J. D., Gaseous Conductors, New York, 1941.

Collis A. G., Proc., AIEE, 2081 (1915).

Arc phenomena.

Compton К. T., Trans. AIEE, 46, 868 (1927).

The electric arc.

Engel A., Zs. techn. Phys., 505 (1929).

Elektrische Messungen an langen Gleichstromlichtbogen in Luft.

Engel A., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 9, No 1, 7 (1930).

Elektrische und gasanalytische Untersuchungen von Lichtbogen in 01.

Engel A., Steen beck M., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 10, No 2,155
(1931).

Uber die Temperatur in der Gassaule eines Lichtbogens.

Engel A., Steenbeck M., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 12, No 1,
74, 89 (1933).

Messung des zeitlichen Verlaufes der Gastemperatur in der Saule eines Wechsel-
strom-Luftlichthogens.

Engel A., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 14, No 3, 38 (1935).

Die energetischen Verhaltnisse an den Elektroden eines Metallbogens.

F о i t z i k R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 19, No 1, 28 (1940).

Untersuchungen am stabilisierten elektrischen Lichtbogen in Stickstoff und Koh-
lensaure bei Drucken von 1 bis 40 at.

Grotrian W., Der Gleichstromlichtbogen grosser Bogenlange, Leipzig, 1915.

Holm R., Kirschstein B., Koppelmann F., Wiss. Veroffentl. Siemens-
Konzern, 13. No 2, 63 (1934).

Uberblick iiber die Physik des Starkstromlichtbogens mit besonderer Beriicksichti-

‘ gung der Loschung in Hochleistungswechselstromschaltern.

Hopp W. Elektrotechn. Zs., 748 (1920).

Lichtbogenfreie Schalter fiir Wechselstrom.

Kesselring F., Elektrotechn. Zs., 55, 92, 116, 165 (1934).

Untersuchungen an elektrischen Lichtbogen.

Kirschstein B., Koppelmann F., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 16,

No 1, 51 (1937); 16, No 3, 26 (1937).

Der elektrische Lichtbogen in schnellstromendem Gas.

Kirschstein B., Koppelmann F., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 16,
No 3, 56 (1937).

Beitrag zur Minimumtheorie der Lichtbogensaule, Vergleich zwischen Theorie
und Erfahrung.

Kirschstein B., Koppelmann F., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 13,
No 3, 52 (1934).

Photographische Aufnahmen elektrischer Lichtbogen grosser Stromstarke.

Kopelio witch J., Schweiz. Bull., 565 (1932).

Die Resultate neuerer Forschungen fiber den Abschaltvorgang im Wechselstrom-
lichtbogen und ihre Anwendung im Schalterbau.
К raus F., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 717 (1913).

Uber die Bedingungen, unter welchen ein Lichtbogen iiberhaupt nicht entstehe*
kann.

T abouret L, Rev. gen. elec., 54, 220 (1945).

La coupure pneumatique de Pare electrique.

Loeb L. В , Fundamental Processes of Electrical Discharge in Gases, New York, 1939.

Mayr O., Forsch. u. Technik, 319 (1930).

Uber die Dynamik des Wechselstrom-Hochspannungslichtbogens.

Mayr O., Arch. Elektrotechn., 37, 588 (1943).

Beitrage zur Theorie des statischen und dynamischen Lichtbogens.

Mayr O., Elektrotechn. Zs., 64, 645 (1943).

Uber die Theorie des Lichtbogens und seiner Loschung.

Merkel E., Die Wechselstromentladung zwischen Metallelektroden, Leipzig, 1913.

N о r b e r g -S., Asea Journ. (engl.), 28 (1927).

Arc formation and breaking characteristics of switches.

Ramsauer C., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 51, 189 (1933).

Uber die Temperatur des elektrischen Lichtbogens.

S i m о n H. Th., Phys. Zs., 297 (1905).

Uber die Dynamik der Lichtbogenvorgange and liber Lichtbogenhysteresis.

Slepian J., Journ. Frankl. Inst., 214, 413 (1932).

The electric arc in circuit interrupters.

Slepian J., Electrotechn. u. Maschinenhau, 51, 180 (1933).

Die Loschung eines Wechselstrom-Lichtbogens im Gasstrom.

Slepian J., Browne T. E., Trans. AIEE, 60, 823 (1941)

Photographic study of a-c arcs in flowing liquids.

Suits C. G., Physica, 6, 190, 315 (1935).

Study of arc temperatures by an optical method.

Suits C. G., Journ. Appl. Phys., 10, 203 (1939).

Measurement of some arc characteristics at 1000 atmospheres pressure.

Suits C. G., Journ. Appl. Phys., 10, 728 (1939).

The temperature of high pressure arcs.

S t e e n b e с к M., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 19, No 1, 59 (1940).

Eine Priifung des Minimumprinzips fiir thermische Bogensaulen an Hand neuer
Messergebnisse.

Strom A. P., Trans. AIEE, 65, 113 (1946).

Long 60-cycle arcs in air.

W asserrab Th., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 19, No 1, 1 (1940).

Zur Beschreibung des Entionisierungsvorganges von Gasentladungen.

Wedmore E B, Whitney W. В., В r u с e С. E , Journ. Inst. Electr. Eng.,
67, 557 (1929).

An introduction to researches on circuit breaking.
Глава 38

ОТКЛЮЧЕНИЕ ИНДУКТИВНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

До сих пор мы предполагали, что сопротивление цепи можно изме-
нять мгновенно. В частности, мы считали, что в момент замыкания цепи
сопротивление выключателя меняется скачком от бесконечности до нуля,
а в момент размыкания—также скачком от нуля до бесконечности. Это пред-
положение не соответствует действительности. Для такого значительного
изменения сопротивления нужен конечный промежуток времени. При вклю-
чении цепи, ток которой равен нулю, постененностьизменения сопротивления
не имеет особого значения, так как под влиянием индуктивности ток нара-
стает медленно и за короткое время замыкания контактов не может вызвать
на них заметного напряжения. Наоборот, при отключении ток имеет вначале
полную величину, и поэтому на контактах возникает значительное напря-
жение, изменение которого оказывает решающее влияние на процесс отключе-
ния. В самом деле, в гл. 1, считая, что сопротивление скачкообразно увели-
чилось от нуля до бесконечности, мы получили для напряжения отключения
бесконечно большую величину. Ограничить ее можно только шунтирова-
нием контактов выключателя.

Если контактное сопротивление меняется в процессе отключения цепи,
го выведенные ранее простые формулы уже не применимы. Представляя ток
в виде суммы свободной и вынужденной составляющих, мы считали сопро-
тивление цепи постоянным. При изменяющемся сопротивлении зависимость
гока от времени не описывается более линейным дифференциальным урав-
нением с постоянными коэффициентами. Поэтом} падение напряжения, соз-
даваемое полным током, теперь уже не определяется как сумма падений
напряжения, создаваемых составляющими тока* 1). Для дальнейшего иссле-
дования явлений при размыкании цепи необходимо
сделать определенные предположения об изменении
контактного сопротивления или напряжения на кон-
тактах во время размыкания и полученные таким пу-
тем дифференциальные уравнения решать непосред-
ственно.

§ 1. Выключатель с сопротивлением. Размыка-
ние контактов выключателя приводит к постепенно-
му уменьшению до нуля (к концу времени размыка-
ния) либо контактного давления, либо контактной
Если в течение всего времени размыкания т контакты

Фиг. 400.

площади (фиг. 400).
перемещаются равно-

О Автор не совсем прав. Решение линейного уравнения даже с переменными
коэффициентами, например

+R(t)i = E,

можно представить в виде суммы

i = i' -Н",
446

VI. Электрическая дуга при размыкании

мерно, то начальная площадь контакта А уменьшается по закону

(38.1)

причем время t отсчитывается от начала движения.

Сопротивление контакта, равное г при полной площади, увеличивается
обратно пропорпионально площади контакта

(38.2)

Это переменное сопротивление добавляется к постоянному сопро-
тивлению нагрузки R. Таким образом, для процесса отключения цепи
постоянного тока (см. фиг. 400) можно написать дифференциальное
уравнение

LTt + Ri+^i* i = E’ (38‘3>

линейное относительно I, но с зависящим от времени коэффициентом при
третьем члене.

Для уравнения (38.3) можно получить строгое решение в замкнутой
форме, описывающее изменение тока в течение всего времени размыка-
ния. Однако это связано с громоздкими выкладками, и поэтому мы огра-
ничимся нахождением частного решения. Больше всего нас интересуют
величины плотности тока и напряжения в выключателе к моменту фак-
тического размыкания контактов. В начале движения, когда контактная
площадь еще велика, напряжение на выключателе es мало. С уменьше-
нием контактной площади и с увеличением контактного сопротивления
оно растет в соответствии с выражением (38.2) по закону

= (38.4)

Ток i постепенно уменьшается в процессе отключения цепи, как по-
казано на фпг. 401. В конце этого процесса, а именно при /=?, ток
должен быть равен нулю и, следовательно, для моментов времени, близ-
ких к концу процесса отключения, можно положить

Подставляя это выражение в дифференпиальное уравнение (38.3),
получаем к концу процесса отключения

---—, + Ri — i = E. (38.6)
т— t ' ' т— t ' '

В самый последний момент ток становится настолько малым, что
вторым членом уравнения (38.6) можно пренебречь. Сопротивление внеш-
ней цепи R не влияет на окончание процесса отключения. Конечную

причем свободная составляющая i" удовлетворяет уравнению

di"

L— + R(t)i"=O,
at

а установившаяся i’ — уравнению

(«)»'=£-

В данном случае такое разделение тока на составляющие не дает преимуществ, ибо найти
слагающую i' не легче, чем сумму i’ + i". — Прим. ред.
величину сохраняет только отношение г/(т — t). Заменив это отношение
согласно выражению (38.4), найдем

_£ев + е8 = Я. (38.7)

Таким образом, в момент окончательного размыкания цепи напря-
жение на контактах равно

^3=—^. (38.8)

1——
ГТ

Это выражение определяет наибольшее напряжение при отключении;

мы видим, что при большой

индуктивности L и малой продолжитель-

ности размыкания цепи т напряжение раз-
мыкания будет значительно выше рабочего
напряжения Е. Наоборот, большое контакт-
ное сопротивление г способствует снижению
этого напряжения. При некоторых значе-
ниях L, г и т напряжение размыкания мо-
жет даже стать бесконечно большим. При
еще большей величине дроби в знаменате-
ле выражения (38.8) напряжение стало бы
отрицательным и оказалось бы направлен-
ным против тока. Но в этом случае применен-
ный нами прием решения дифференциаль-

ного уравнения становится неправомерным.

Для того чтобы напряжение размыкания es оставалось конечным,

время размыкания т должно удовлетворять неравенству

(38.9)

т. е. оно должно быть больше постоянной времени отключающих контак-
тов, определяемой начальным контактным сопротивлением г и индуктив-
ностью внешней цепи L.

Полученное условие, вообще говоря, удовлетворяется только при до-
статочно большой продолжительности размыкания и при изготовлении кон-
тактов из материала, обладающего большим контактным сопротивлением.

Если в цепи нет индуктивности, то из уравнения (38.3) можно найти
изменение тока в течение всего времени размыкания. При L = 0 это урав-
нение принимает простой вид

Bi^--~i = E, (38.10)

допускающий алгебраическое решение

(38.11)

Контактное сопротивление начнет проявлять себя лишь после того, как
оно достигнет величины того же порядка, что и внешнее сопротивление
цепи. Чаще всего это происходит незадолго до конца процесса размыкания.
На фиг. 401 сплошными линиями изображены кривые изменения во времени
тока и напряжения в течение всего процесса размыкания некоторой индук-
тивной цепи. Чтобы понять физическую картину процесса размыкания,
надо представить себе, что происходило бы в цепи, если бы в ней не
было индуктивности, стремящейся воспрепятствовать изменению тока и
сохранить неизменной его величину. Благодаря увеличению сопротивления
контакта, площадь которого уменьшается, ток изменялся бы по пунктир-
ной кривой (см. фиг. 401), изображающей зависимость (38.11). В действи-
тельности изменение тока в начале процесса оказывается более медленным, а
в конце процесса, когда в цепи доминирует контактное сопротивление, более
быстрым. Вследствие быстрого изменения тока в конце процесса в цепи по-
является большая э. д. с., определспная выше формулой (38.8) как напря-
жение размыкания.

Неравенство (38.9) определяет условие хорошего размыкания любых
скользящих или давящих контактов. Оно распространяется на контро-
леры, пусковые реостаты, реле и другие коммутационные аппараты, а
также на процессы коммутации в коллекторных машинах постоянного и
переменного токов. Пластины коллектора проскальзывают под неподвиж-
ными щетками со значительной скоростью; несмотря на это, а также на
значительную индуктивность секции якорной обмотки, на сбегающей кромке
щетки не должно получаться высокого напряжения.

Контакты выключателя должны удовлетворять еще одному требованию.
Они должны иметь достаточно большую теплоемкость для того, чтобы
их температура чрезмерно не повышалась вследствие поглощения тепла,
выделяющегося при размыкании цепи. Электрическая энергия, рассеиваемая
в контактах за все время размыкания, равна

W=^esidt. (38.12)

Подставив сюда выражение для напряжения на контактах es, которое опре-
деляется в соответствии с соотношением (38.4) третьим членом уравнения
(38.3), получаем

т т 0

ру= (E-Ri-L ^idt= (E — Ri)idt — Lidl. (38.13)
о от

В последнем члене дифференциал времени сокращается, и, следова-
тельно, интегрирование производится по изменению тока в пределах, соот-
ветствующих его значениям в моменты времени t = 0 и t = t. Этот послед-
ний интеграл можно вычислить, поскольку мы считаем индуктивность L
постоянной. Так как начальное значение тока определяется главным обра-
зом сопротивлением R [см. выражение (38.11)], то в первом интеграле
сделаем замену Е RI. В результате получим следующее выражение для
энергии:

= R (I~i)idt. (38.14)

В выражении (38.14) первый член представляет запас энергии в индук-
тивности цепи. Мы видим, что во время размыкания эта энергия пол-
ностью расходуется в выключателе; она даже частично не возвращается
источнику. Кроме того, выражение (38.14) содержит еще один член, зави-
сящий от изменения во времени уменьшающегося тока i. Энергия, опреде-
ляемая этим членом, поступает к выключателю непосредственно от источ-
ника. Определим эту дополнительную энергию для двух предельных слу-
чаев, показанных на фиг. 402. Истинная кривая изменения тока при раз-
мыкании располагается где-то между прямой ilt соответствующей линей-
ному убыванию тока в цепи с ничтожной индуктивностью и малым
сопротивлением R [выражение (38.11)], и кривой i2 для тока, сохраняющего
(благодаря наличию в цепи болыьой индуктивности и значительного сопро-
тивления 7?) неизменным свое начальное значение почти до конца раз-
мыкания.

В первом предельном случае

гх = 7^1=7-7-J-, (38.15)

что дает для интеграла, входящего

в выражение (38.14),

= P ±<1 =

о о

(38.16)

Это — наибольшее возможное для него значение. Соответствующее наиболь-
шее значение потери энергии в выключателе за время размыкания равно

Тумаке. = -• (38.17)

Выразим сопротивление через постоян-
ную времени

7’ = ^-, (38.18)

тогда выражение для потери энергии в вы-
ключателе примет следующий вид:

(38-19)

Мы видим, что эти потери существенно зависят от отношения времени
размыкания т к постоянной времени цепи Т.

Во втором предельном случае ток г2 равен начальному току 7 вплоть
до последнего момента; таким образом, в формуле (38.14) выражение
в скобках, стоящее под знаком интеграла, равно нулю, следовательно,
и сам интеграл также равен нулю. В этом случае потери в выключателе
имеют наименьшее возможное значение

^мин. = ^> (38.20)

равное запасу энергии в индуктивности цепи перед ес размыканием.
Контакты, следовательно, работают в более тяжелых условиях, несмотря
на уменьшение потерь при размыкании, дело в том, что энершя выде-
ляется здесь не в течение значительного времени, а лишь в последний
момент, локализуясь на кромках контактов.

Контакты выключателя должны быть рассчитаны таким образом, чтобы
энергия, выделяющаяся при размыкании, не вызывала их оплавления или
разрушения. Это достигается путем выбора соответствующей теплоемкости и
теплопроводности контактов. С этой точки зрения, наиболее подходящими
материалами являются серебро и медь; серебро применяется в основном при
малых токах, а медь—главным образом при больших. Эти материалы, осо-
бенно серебро, характеризуются к тому же малым контактным сопротивле-
нием, что обеспечивает небольшое повышение их температуры при нормаль-
ной работе. Однако, применяя эти материалы, трудно одновременно удов-
летворить условию (38.9).

Практически на потери и напряжение размыкания сильно влияет харак-
тер на; рузки цепи. Лампы накаливания и другие подобные им активные
29^р. Рюденберг
сопротивления почти не имеют индуктивности и поэтому отключаются легко.
В аккумуляторных батареях и двигателях параллельного возбуждения дей-
ствует противоэлектродвижугцая сила, почти не зависящая от тока; при
размыкании выключателя происходит отключение цепи, в которой действует
лишь небольшое разностное напряжение. Поэтому не происходит значитель-
ного перенапряжения или выделения тепла. Обмотки возбуждзния двигате-
лей параллельного возбуждения, обладающие большой индуктивностью,
обычно остаются подключенными к якорной обмотке, играющей роль шунта;
в силу этого запасенная в них энергия не выделяется в выключателе в форме
тепла. В двигателях последовательного возбуждения противоэлектродвижу-
щая сила и энергия обмоток возбуждения после отключения оказываются
равными нулю; поэтому выключатель действует здесь в гораздо более тяже-
лых условиях, чем в случаях, упомянутых выше.

§ 2. Выключатель с дугой. Мощные выключатели, рассчитанные на
большие токи и предназначенные для работы в сетях высокого напряжения,
редко удается выполнить так, чтобы было удовлетворено условие (38.9) для
напряжения размыкания. При размыкании контактов напряжение на вы
ключателе возрастает до значительной величины, вследствие чего ток не
прекращается. Тепло, выделяющееся при этом на контактах, нагревает их до
такой степени, что изолирующая среда (воздух или масло) ионизуется и
возникает дуга, обеспечивающая возможность дальнейшего протекания тока
и предотвращающая появление бесконечно больших напряжений. Дуга
удлиняет фактическое время отключения по сравнению со временем, необ-
ходимым для размыкания контактов; таким образом, время отключения ста-
новится достаточным для рассеивания энергии, запасенной в индуктивности
цепи. Дуга будет существовать до тех пор, пока напряжение на контактах
не станет ниже напряжения, необходимого для ее поддержания. Нарушение
условия (38.9) приводит к появлению значительных напряжений размыкания
лишь в тех случаях, когда применяется подавление или преждевременное
гашение дуги при помощи каких-либо мощных искусственных средств.
В таких случаях для уменьшения напряжения размыкания необходимо
применить параллельное включение сопротивлений или другие аналогичные
средства.

Если после размыкания контактов выключателя через них продолжает
протекать ток, который существенно нагревает их (особенно, отрицательный
контакт), то возникает эмиссия электронов. Электроны ионизуют простран-
ство между контактами, обеспечивая проводимость промежутка между ними.
Сопротивление контактов выключателя определяется теперь исключительно
процессами в дуге, и, следовательно, зависимость его от времени нельзя
выразить в простой форме. Даже очень быстрым разведением контактов
нельзя добиться произвольно быстрого прекращения тока. Поэтому мы
рассмотрим обратную задачу и будем искать время, по истечении которого
дуга погаснет сама по себе.

Чтобы составить выражение для тока во время отключения, будем
считать характеристику дуги заданной и не зависящей от фактической про-
должительности горения. Соотношение (37.1) неприменимо для малых токов,
поэтому им нельзя воспользоваться для решения поставленной задачи.
Положим в основу экспериментальную характеристику дуги, найти которую
можно для каждого выключателя.

Вначале рассмотрим простой, хотя и неблагоприятный случай, когда
контакты расходятся так быстро, что достигают конечного положения преж
де, чем ток успевает существенно измениться. Дуга имеет тогда неизменную
длину в течение всего времени ее горения, и можно воспользоваться неко-
торой определенной характеристикой, например показанной на фиг. 403.
Обозначим напряжение горящей дуги, зависящее от тока i, через

бв = ев(9 (38.21)

и составим дифференциальное уравнение для индуктивной цепи, питаемой
постоянным напряжением Е (фиг. 404),

Ri-\-eB = E.

(38.22)

Это уравнение можно переписать в следующем виде:

L^ = (E-Ri)-eB(i) = &e.

(38.23)

Правая часть этого уравнения, обозначенная через Де, содержит в себе
либо постоянные, либо зависящие от тока напряжения, и может быть опре-

делена из характеристики, пред-
ставленной на фиг. 403, если на-
нести на нее прямую Е—Ri. В

установившемся режиме этой прямой изображалось бы напряжение дуги,
равное разности электродвижущей силы источника и падения напряжения
на активном сопротивлении. Но так как для горения необходимо только
напряжение ев, то разность напряжений Де вызывает изменение тока.
Таким образом, величина Де в соответствии с уравнением (38.23) непосред-
ственно определяет напряжение на индуктивности и, следовательно, скорость
изменения тока. Напряжение Де вправо от точки 1 (см. фиг. 403) отрицательно,.
Ток здесь будет уменьшаться, приближаясь к значению 1А Влево от точки 1
напряжение Де положительно. В этой области ток будет увеличиваться и также
приближаться к значению 1±. Отсюда следует, что точка 1 является точкой
устойчивого горения дуги и соответствует установившемуся состоянию цепи.
Если значения е и i лежат в окрестности точки 1, то дуга, очевидно, не гаснет.
Ток, начальное значение которого до появления дуги равнялось

<з8-24>

уменьшится только до значения 1г.

Для гашения дуги необходимо, чтобы Де оставалось все время отрица-
тельным; такая область существует только влево от точки 2 (см. фиг. 403).
В соответствии с уравнением (38.23) ток в этой области под действием отри-
цательного напряжения Де будет непрерывно уменьшаться до тех пор, пока
дуга нс погаснет. Так как характеристика дуги для каждого выключателя
представляет собой вполне определенную кривую, то становится очевидным,,
что не всякие токи или напряжения можно отключать при помощи данного
выключателя Напротив, данный выключатель пригоден для отключения
только таких цепей, прямолинейные вольтамперные характеристики кото-
рых, проходящие через точки Е и I, расположены целиком ниже характе-
ристики дуги этого выключателя. Только в этом случае Де остается все время
отрицательным, что обеспечивает монотонное уменьшение тока до нуля. В этом
и заключается условие гашения дуги, возникающей при отключении.

Чтобы найти изменение тока во времени, нужно решить дифференциаль-
ное уравнение (38.23). Напряжение на индуктивности Де определяется гра-
фически по характеристикам и зависит только от тока i. Следовательно,
можно разделить переменные в уравнении (38.23)

dt = Ld± .

Де

(38.25)

После интегрирования получаем

(38.26)

Определение зависимости времени t от тока i сведено к квадратуре,
которую можно легко выполнить графически. Нижний предел этого инте-
грала равен начальному току 1, соответствующему моменту времени Z=0.

Фиг. 405.

Так как Де отрицательно, то di также отрицательно и ток уменьшается со
временем.

На фиг. 405, а изображена характеристика дуги ев, повернутая на 90°,
а под ней проведена прямолинейная характеристика установившегося ре-
жима Е—Ri. На фиг. 405,6 построена кривая обратных значений разност-
ного напряжения, отмеченного па фиг. 405, а штриховкой, т. е. кривая вели-
чины 1/Де в зависимости от i. Интегрируя эту кривую по изменению i от на-
чального значения I, находим связь между временем и током в виде кривой,
показанной на фиг. 405,в. Полученная кривая непосредственно дает закон
изменения тока во времени при отключении цепи. Исходя из фиг. 405, а,
можно найти значения напряжения дуги ев и напряжение во внешней цепи
для любого мгновенного значения тока. В соответствии с уравнением (38.22)
напряжение во внешней цепи равно

eL + eR = E-eB. (38.27)

Его можно отсчитать непосредственно по фиг. 405, а. Кривые зависимости
обоих упомянутых напряжений от времени нанесены на фиг. 405,в.

Как видно из фиг. 405, в, ток уменьшается сначала медленно, затем
быстрее и в конце под действием напряжения гашения eL быстро падает до
нуля. Соответственно напряжение дуги к концу горения достигает значи-
тельной величины. При размыкании контактов напряжение на нагрузке
мгновенно уменьшается на величину, равную падению напряжения в дуге,

затем в процессе выключения проходит через нуль и принимает
отрицательное значение, абсолютная величина которого равна

Де; = е, — Е.

Следовательно, наибольшее напряжение размыкания, возникающее

большое

(38.28)

в момент

прекрашения дуги, не зависит от параметров цепи, а определяется исклю-
чительно разностью напряжения 1ашения дуги и напряжения источника
питания. Индуктивность и активное сопротивление цепи не оказывают ни-

какого влияния на максимум
только продолжительность от-
ключения и форму кривых, ха-
рактеризующих этот процесс.

Таким образом, напряже-
ния, возникающие при отклю-
чении цепей постоянного тока,
определяются величиной напря-
жения сети и свойствами вы-
ключателя. Выключатели с низ-
ким напряжением гашения

напряжения размыкания, а определяют

должны иметь относительно не-
большой ход контактов, доста-
точный для того, чтобы харак-
теристика дуги расположилась
выше прямолинейной характе-
ристики активного сопротивле-
ния. Излишнее вытягивание ду-
ги оказывает вредное действие.
Конечно, ток при этом убывает
скорее, однако это достигается
ценой появления очень высоких

перенапряжений. Так как активное сопротивление внешней цепи R не влияет
на напряжение размыкания, то последовательное включение добавочного
сопротивления приводит лишь к уменьшению установившегося тока I и тем
самым к увеличению разностного напряжения Де ври отключении (см.
фиг. 405, а). В результате отключение ускоряется, но перенапряжение в
момент гашения дуги не уменьшается.

На фиг. 406 приведена осциллограмма, снятая при отключении цепи
с большой индуктивностью. Вследствие появления дуги ток постепенно спа-
дает до нуля, в то время как напряжения на индуктивности и на зажимах
выключателя возрастают и в конце концов достигают величины напряжения
гашения, которое в данном случае во много раз выше нормального напря-
жения сети,

Выражению (38.26), определяющему время размыкания, можно придать
более наглядный вид. Для этого умножим и разделим его правую часть на
выражение (38.24)

t =

(38.29)

Множитель перед интегралом представляет собой электромагнитную постоян-
ную времени цепи нагрузки, совершенно не зависящую от параметров вы-
ключателя, тогда как подинтегральная функция зависит только от харак-
теристики дуги в выключателе и от значений напряжения и тока в размыкае-
мойцепи, но не зависит от ее схемы и параметров. Чтобы получить полное время
размыкания т, исчисляемое от начала расхождения контактов до момента
гашения дуги, нужно выполнить интегрирование по HI от 0 до 11}

(33.30)

Этот интеграл равен полной площади под кривой, изображенной на
фиг. 405,6; он является безразмерной величиной. Назовем ее относительным
временем размыкания выключателя. Истинное время размыкания равно
произведению постоянной времени цепи и относительного времени размыка-
ния выключателя. Последнее можно определить для каждого типа выключа-
теля по характеристике дуги; оно представляет собой величину, типичную

для данной конструкции. Если среднее значение величины Де равно напря-

жению сети Е, то относительное время размы-

кания равно единице. Часто Де бывает больше
Е, и, следовательно, фактическое время размы-
кания меньше постоянной времени Т.

При горении дуги, в дуговом столбе и на
контактах выключателя расходуется электри-
ческая энергия. Расход энергии за время раз-
мыкания равен

esidt.

(38.31)

Для того чтобы выполнить интегрирование, не
зная времени размыкания т, перейдем при по-
мощи соотношения (38.25) от переменной инте-
грирования t к переменной i

i di.

(38.32)

Интеграл (38.32) можно вычислить так, как по-
казано на фиг. 407, поскольку и напряжение
дуги ев и напряжение Де зависят только от тока Этот интеграл также зависит
от свойств выключателя и от его напряжения и тока, в то время как мно-
житель перед интегралом представляет собой параметр цепи.

Умножив и разделив выражение (38.32) на 72/2, найдем следующее выра-
жение для потерь энергии при отключении:

2 У Д
о

(38.33)

Множитель перед интегралом определяет запас энергии в индуктивно-
сти цепи. Сам интеграл является безразмерной величиной. Назовем ее отно-
сительной энергией отключения. Для каждого выключателя этот интеграл
дает определенное число, которое зависит не от параметров цепи, а от кон-
струкции выключателя. При очень длинных дугах во всем диапазоне измене-
ния тока соблюдается приближенное равенство Де=&ец. При этом получается
наименьшая возможная относительная энергия отключения, равная единице.
При коротких дугах величина Де, как видно из фиг. 407, оказывается при-
мерно равной вц/2, и, следовательно, относительная энергия отключения

!) Здесь и далее под Де понимается абсолютное значение этой величины.—Прим. ред.
равна 2. Дальнейшего уменьшения величины Де следует избегать, так как
о этим ‘сопряжено снижение надежности гашения дуги. Следовательно,
потерн энергии при отключении лежат обычно между однократным и дву-
кратным значениями запаса энергии в индуктивности цепи. Уменьшить
энергию отключения путем создания очень длинных дуг невозможно, так
как интеграл всегда остается несколько больше единицы. Таким образом,
потери при отключении всегда больше, чем энергия, запасенная в индуктив-
ности, ибо в процессе отключения, как это уже отмечалось при анализе
общего выражения (38.14), источник продолжает посылать энергию дуге.

Энергия отключения выделяется частично в дуговом столбе, частично на
контактах пропорционально соответствующим значениям падения напряже-
ния; в результате контакты moijt приобрести высокую температуру и даже
оплавиться. Их теплоемкость должна быть настолько большой, чтобы они
могли поглотить всю энергию, превращаемую в тепло при каждом отклю-
чении [см. выражение (38.33)1. На это следует обращать особое внимание
в тех случаях, когда дуга отводится на малые вспомогательные контакты,
которыми часто снабжают выключатели, чтобы предохранить от сильного
обгорания их главные контакты, предназначенные для длительного пропу-
скания тока установившегося режима.

Охлаждение контактов и дуги путем погружения в масло уменьшает
количество электронов и ионов, поддерживающих проводимость дуги. По-
этому падение напряжения на дуге, горящей в масле, значительно больше,
чем при горении в воздухе. В особенности это относится к напряжению га-
шения дуги е(. Применение масла в выключателе хотя и сокращает время
размыкания постоянного тока, однако сильно увеличивает напряжение раз-
мыкания и только незначительно уменьшает потери энергии при отключе-
нии. На фиг. 408 показана осциллограмма отключения тока электромагнита
при помощи масляного выключателя. Как видно из фигуры, это привело
к значительному перенапряжению импульсного характера. Поэтому для
отключения больших постоянных токов применяются исключительно воз-
душные выключатели.

Применение контактов, изготовленных из материалов с малой тепло-
проводностью, в частности угольных контактов, приводит к противополож-
ному результату. Такие контакты дольше сохраняют свою высокую темпе-
ратуру при уменьшении тока, эмитируют в дугу больше электронов и дают,
таким образом, более низкое напряжение дуги, чем металлические контакты,
особенно при коротких дугах и, в частности, в момент их погасания. Как вид-
но из фиг. 405, в этом случае при отключении получается меньшее напряжение
△е, что несколько увеличивает время размыкания, но существенно снижает
напряжение гашения е( и перенапряжение во внешней цепи. Отсюда сле-
дует, что в тяжелых условиях отключения целесообразно применять выклю-
чатели с угольными контактами.

Выключатели, устанавливаемые в сетях, должны отключать не только
нормальные рабочие токи, но и любые токи короткого замыкания, которые
moi ут появиться при аварии в сети. В сетях постоянного тока эти токи
определяются рабочим напряжением и малым сопротивлением участка
линии между источником питания и местом короткого замыкания. Характе-
ристика дуги выключателя должна быть такой, чтобы устойчивое горение
дуги, соответствующее точке 1 на фиг. 403, было бы невозможно не только
при нормальном токе, но и при любом токе короткого замыкания. Это усло-
вие определяет требуемую длину дуги между контактами. На фиг. 409 пока-
зано отключение короткого замыкания на электрической станции с напря-
жением 220в при максимальном токе 20 000 а. Вначале дуга горела устой-
чиво и погасла лишь после того, как она поднялась по защитным рогам
контактной системы
Для отключения очень больших токов, вызванных перегрузкой или
коротким замыканием, часто применяются предохранители, в которых пла-
вится вставка с сильно уменьшенной площадью поперечного сечения
При этом возникает дуга, которая горит между зажимами вставки предо-
хранителя; условия погасания этой дуги полностью определяются выведен
ными выше соотношениями. Мы видим, что необходимо рассчитывать не-
только вставку предохранителя, но и ее зажимы, а именно расстояние между
ними и их теплоемкость.

На фиг. 410 показаны осциллограммы тока и напряжения, снятые при
сгорании предохранителя с номинальным током 20а при коротком замыка-
нии в цепи аккумуляторной батареи напряжением ИОв. За очень короткое
время ток увеличился до 1100а и затем упал до нуля столь быстро, что даже
в этой цепи с малой индуктивностью возникло напряжение размыкания,
равное 800с и обусловленное величиной напряжс

/П—1100а ния гашения дуги в предохранителе.

i/ 1 Если контакты выключателя расходятся столь

/ у медленно, что их движение еще продолжается во вре

1 мя горения дуги, то предыдущие расчеты, основан-

ные на предположении о неизменности характери

800в стики дуги и неизменности ее длины, оказываются
I__________неверными. В этом случае следует начертить, как

I показано на фиг. 411, семейство характеристик,

е 1 относящихся к дугам различной длины, которые

I существуют в известные моменты времени после

________ начала движения контактов. Тогда интегрирование
J_______ выражения (38.26) или (38.29) можно выполнить,

переходя от интервала к интервалу и считая длину

Фиг. 410. дуги неизменной на каждом из них. Вначале при ма-
лом расхождении контактов ток уменьшается очень
медленно, так как мало напряжение Де. Его действие начинает проявляться

только при значительных длинах дуги, и ток тогда стремится к нулю.
Пока Де мало, численный метод вычисления интеграла (38.26) неудобен.
Целесообразнее определить средний наклон кривой тока в начале процесса,
который, согласно уравнению (38.23), равен

di ___Де

dt L

(38.34)

При изменяющейся длине дуги ток будет уменьшаться вначале медлен
нее, а в конце размыкания быстрее, чем при отключении с дугой неизменной
длины. Поэтому напряжение гашения достигает значительно большей вели-
чины, чем при фиксированной длине дуги между контактами.
Дуга переменной длины часто возникает вследствие применения контакт-
ной системы с защитными рогами. В такой системе дуга постепенно переме-
щается под действием восходящего вверх потока горячего воздуха (фиг. 412).

Фиг. 412.

—6

Наименьшее расстояние между контактами должно быть достаточно большим,,
чтобы выдерживать рабочее напряжение сети. Однако, так как напряжение
во время движения дуги может оказаться значительно выше рабочего, то

может произойти пробой наименьшею промежутка с последующими повтор-
ными зажиганиями. На фиг. 413 показана осциллограмма тока и напряже-
ния дуги и выключателе с защитными рогами, в котором произошел ряд
повторных зажиганий.

Связь между током и напряжением оп-
ределяется в этом случае характеристикой,
представленной нафиг. 414. Помимо характе-
ристики дуги е.щ, соответствующей зажиганию
и гашению дуги при наименьшем зазоре,
на фигуре показан ряд расположенных выше
характеристик более длинных дуг. После
разделения контактов дуга начинает тот-
час же подниматься вверх и, следовательно,
изображающая процесс точка на фиг. 414
перемещается вверх по жирной линии в на-
правлении меньших токов и больших напря-
жений. Однако как только напряжение до-
стигнет значения, равного напряжению за-
жигания дуги в наименьшем промежутке е21,
там снова образуется дуга. Ток этой дуги
будет равен предшествовавшему значению
is, и, следовательно, напряжение внезапно
упадет до величины, определяемой низшей

характеристикой еп1. Если новое положение изображающей точки окажется
ниже вольтамперноп характеристики внешней цепи, как, например, на
фиг. 414, то ток начнет увеличиваться и дуга снова будет подниматься. Ток
достигнет максимального значения 1т в тот момент, когда изображающая
точка пересечет характеристику внешней цепи, а затем снова уменьшится,
тогда как напряжение и длина дуги будут увеличиваться.
Повторное зажигание в наименьшем промежутке и мгновенное снижение
напряжения могут повторяться неоднократно во время движения дуги. На
осциллограмме фиг. 413 видны два таких повторных зажигания, показанные
также на фиг. 414. Вследствие повторных зажиганий на характеристической
диаграмме появляются петли, что указывает на увеличение потерь энергии
при отключении. Повторные зажигания прекращаются лишь тогда, когда
достаточно повысится напряжение зажигания дуги в наименьшем про-

Ф и г. 415.

межутке вследствие понижения темпе-
ратуры, сопровождающего уменьшение
тока дуги.

Удлинение дуги под действием маг-
нитного дутья дает значительно больший
эффект, чем удлинение, вызываемое смеще-
нием дуги вверх под действием горячего

воздуха. На фиг. 415 схематически показано, как под действием электро-

динамических сил, создаваемых магнитным полем, пересекающим дугу,
происходит смещение дуги вверх от контактов. Выдувающее действие, а сле-
довательно, и удлинение дуги тем больше, чем больше произведение
напряженности магнитного поля и величины тока. При помощи сильных
магнитных полей можно увеличить длину дуги до значительной величины.
Обычно в такой неустойчивой дуге возникают многократные повторные зажи-
гания, вызывающие быстрые колебания тока и, в особенности, напряжения.

Ф и г. 416.

На фиг. 416 показана осциллограм-
ма тока и напряжения при отклю-
чении нарастающего тока короткого
замыкания. На этой осциллограмме
ясно видны резкие скачки напряже-
ния при повторных зажиганиях, обу-
словленные действием магнитного
поля.

Применение магнитного или ес-
тественного воздушного дутья имеет
то преимущество, что оно дает воз-
можность использовать выключате-
ли, низшая характеристика которых
расположена ниже вольтамперной
характеристики внешней цепи, как
показано на фиг. 414. Это может
оказаться полезным в тех случаях,
когда выключатель должен отклю-
чать очень большие токи короткого
замыкания. Однако использование

дутья приводит к нежелательным последствиям, а именно: к многократным
резким скачкам напряжения, которые могут разрушительно действовать па
изоляцию обмоток, включенных в сеть.

§ 3. Шунтирование дуги сопротивлением. Если напряжение гашения
дуги в выключателе превышает значение, допустимое для данной установки,
то можно включить активное сопротивление параллельно дуге или внешней
цепи. Как уже было показано в гл. 1, такое сопротивление ограничивает
напряжение при мгновенном отключении. Изменение тока i в цепи с дугой,
показанной на схеме фиг. 417, определяется уже известным дифференциаль-
ным уравнением

L-g-4 Ri + eB = E.

(38.35)
Полный ток i, протекающий в цепи нагрузки, складывается из тока дуги
1в и тока шунтирующего сопротивления ir

1 = 1в~\ iT' (38.36)

На характеристике выключателя с параллельно включенным сопротивле-
нием каждому значению напряжения дуги должно соответствовать опреде-
ленное значение суммы этих двух токов.

Поскольку ток в шунте пропорционален напряжению дуги, то суммарный
ток •

е,,

(38.37)

Следовательно, характеристика шунтированной дуги получается путем
графического сложения тока дуги, соответствующего определенному напря-
жению, с током в сопротивлении, пропорциональным этому же напряжению
(фиг. 418). Вследствие включения параллельного сопротивления падающая
характеристика дуги срезается, причем этот срез
тем больше, чем меньше шунтирующее сопротивле-
ние. Таким образом, результирующая характеристи-
ка шунтированного выключателя слагается из двух
частей: прямолинейной части, определяемой исклю-
чительно сопротивлением и соответствующей погас-
шей дуге, и криволинейной части, в основном опре-
деляемой горящей дугой. Обе ветви характеристики
показаны на фиг. 418 жирными линиями.

Результирующая характеристика на фиг. 418 и
дифференциальное уравнение (38.35) определяют из-
менение во времени токов и напряжений в процессе
отключения. Графическое построение, показанное на

фиг. 405, должно быть выполнено теперь для этой результирующей характе-
ристики. В этом случае при больших токах напряжение Де больше, при
средних токах оно может даже оказаться достаточным для гашения дуги,
в то время как без шунтирующего сопротивления дуга в этом диапазоне
токов продолжала бы гореть непрерывно. После того как ток уменьшится
до некоторой определенной величины г(, дута гаснет, и продолжающий
уменьшаться ток будет проходить только по шунтирующему сопротивлению,
на котором прп этом создается сравнительно высокое напряжение, как это
видно из фиг. 418. Напряжение на выключателе снижается теперь с умень-
шением тока по линейному закону до значения, соответствующего устано-
вившемуся току г’ао. Ток не может упасть ниже этой величины, определяемой
точкой пересечения характеристик внешней цепи и сопротивления, шунти-
рующего выключатель, и соответствующей последовательному соединению
сопротивлений Н и г.

В соответствии с изложенным наибольшее напряжение получается не
в конце отключения, а в процессе гашения дуги. На фиг. 418 наибольшее
напряжение имеет ту же величину, какую оно имело бы без параллельно
включенного сопротивления. Однако если подключить шунт значительно
меньшего сопротивления, то, как видно из фиг. 419, характеристика дуги
при больших напряжениях оказывается настолько деформированной, что
в одной точке касательная к ней принимает вертикальное направление.
При уменьшении тока напряжение дуги не может превысить напряжения
в этой точке, так как в противном случае ток стал бы снова увеличиваться.
Таким образом, дуга мгновенно гаснет в этой точке характеристики. Весь
ток, равный iL, перебрасывается в шунтирующее сопротивление, напряжение
на котором поднимается до величины et; эта величина, однако, значительно
меньше, чем напряжение гашения нешунтированной дуги. Таким образом,
соответствующим подбором величины сопротивления, включенного парал
лельно дуге, удается весьма существенно уменьшить напряжение гашения
и, следовательно, снизить перенапряжение в цепи до безопасного уровня.
После гашения дуги разностное напряжение Де линейно уменьшается в зави-
симости от тока, и, следовательно, как это видно из уравнения (38.26), время
растет по логарифмическому закону. Таким образом, начиная с этого мо-
мента, ток убывает во времени по показательному закону, стремясь к конеч-
ному значению ico.

Если сопротивление шунта равно сопротивлению внешней цепи, то
наклон характеристики шунтирующего сопротивления, изображенной на
фиг. 419, численно равен наклону характеристики внешней цепи, но отли-
чается от него знаком. Таким образом, по шкале r/R, показанной на фиг. 419
справа, можно определить величину сопротивления, которым нужно шунти-
ровать Дугу для получения упомянутого выше благоприятного эффекта.

Если бы отключение тока I происходило не с образованием дуги, а путем
мгновенного размыкания контактов, шунтированных сопротивлением г,
то напряжение размыкания поднялось бы до значения, определяемого пересе-
чением прямой ег с перпендикуляром, проходящим через точку с абсциссой /.
При этом получилось бы значительное перенапряжение, величина которого
была определена в гл. 1. Отсюда видно, что, используя сочетание дуги с шун-
тирующим сопротивлением, можно придать характеристике размыкания
очень благоприятную форму. Таким способом можно значительно повысить
мощность выключателя и в то же время существенно снизить перенапряже-
ние, возникающее при отключении.

Вместо того чтобы включать защитное сопротивление параллельно вы-
ключателю, можно включать его параллельно внешней цепи, как показано
на схеме фиг. 420. В этом случае для цепи нагрузки, содержащей дугу и
источник питания, так же как и раньше, справедливо дифференциальное
уравнение (38.35). Однако ток дуги теперь равен сумме тока нагрузки z
и тока в параллельной ветви ir

1в — 1. i,- (38.38)

Ток в защитном сопротивлении ir зависит от разности между напряже-
нием источника и напряжением дуги

ев
Следовательно, ток нагрузки зависит от напряжения дуги следующим об-
разом:

г = г'в + у-^. (38.40)

-Это выражение отличается от выражения (38.37) только последним постоян-

ным членом.

Результирующая характеристика размыкания изображена на фиг. 421.
Вольтамперная характеристика ветви, включенной параллельно нагрузке,

имеет такой же наклон, как
и в предыдущем случае, но
пересекает отрицательную
часть оси i в точке с абсцис-
сой —Е/r. Эта величина оп-
ределяется непосредственно

Фиг. 421.

Ф и г. 420.

из выражения (38.40), если положить в нем гв=0 и ев=0. Следовательно,
включение защитного сопротивления параллельно нагрузке оказывает такое
же благоприятное действие на напряжение гашения дуги, как и шунтиро-
вание самой дуги. После погасания дуги ток снова убывает по показательной

кривой, но в этом случае уже до нуля. Разностное напряжение Де при
больших токах несколько меньше, чем в предыдущем случае.

Итак, для отключения нормального тока нагрузки защитное сопротив-
ление целесообразно подключить параллельно основной цепи. Однако для
отключения токов короткого замыкания лучше всего включать сопротивле-
ние параллельно выключателю, так как только такое расположение защит-
ного сопротивления в цепи обеспечивает эффективность его действия вне
зависимости от места короткого замыкания. Последующее отключение неболь-
шого тока, протекающего через шунтирующее сопротивление, нс представ-
ляет никаких затруднений.

На фиг. 422 приведены осциллограммы отключения индуктивной цепиг
которая шунтирована сопротивлением, в 5 раз превышающим сопротивление
нагрузки (осциллограмма отключения той же цепи в случае отсутствия шун
тирующего сопротивления приводилась на фиг. 406). Мы видим, что напрг
женив размыкания значительно уменьшилось по сравнению с прежним зна-
чением. Вместе с тем, напряжение, достигнув своего наибольшего значе-
ния. убывает медленно, что объясняется существованием тока в защитном,
сопротивлении. То обстоятельство, что на различных осциллограммах,
снятых без защитного сопротивления, перенапряжение не исчезает тотчаг
после гашения дуги, объясняется действием вихревых токов, которые наво-
дятся обычно в сердечниках электромагнитов постоянного тока и оказывают
такое же демпфирующее действие, как и параллельно включенное сопротив-
ление соответствующей величины.

ЛИТЕРАТУРА

Arons L., Ann. d. Phys., 63, 177 (1897)

Der Extrastrom beim Unterbrechen eines elektrischen Stromkreises.

Arnold E., M i e G., Elektrotechn. Zs., 97 (1899).

Uber den Kurzschluss der Spulen und die Kommutation des Stromes eines Glcicb-
stromankers.

Baust G., Arch. Elektrotechn., 22, 245 (1929).

Messung von Ausschaltuberspannungen mit dem Kathodenoszillographen.
Bewley L. V., Blume L. F., Trans. AIEE, 56, 1464 (1937).

Switching surges with transformer load-ratio control contactors.

В о eh ne E. W., Jang M. J., Trans. AIEE, 66, 1172 (1947).
Performance criteria of d-c interrupters.

Burstyn W., Elektrische Kontakte, Berlin, 1937.
Collis A. G., Electrician, 66, 869 (1911).

Breaking high and low potential circuits.

Engel A., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 7, No 2, 50 (1929).

Uber die Lange und Dauer des Lichtbogens in Luft beim Ausschalten von Gleich-
strom.

Eschholz О. H., Electr. World, 78, 461 (1921).

Arc rupture in magnetic blow-out switches.

Feldbauer B., Journ. Inst. Electr. Eng., 95, P. II, 439 (1948).

The design of contactors with regard to their industrial application.
Floerke H., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 57, 521 (1939).

Messung der Uberspannungen beim Abschalten von Erregerwicklungen.
Gebauer C., Elektr. Bahnen. 276 (1925).

Gleichstrom-Schnellschalter.

G i r a u 1 t P., Ind. elec., 153 (1898).

Sur la commutation dans les dynamos a courant continu.

Hansen K. L., Trans. AIEE, 57, 177 (1938).

Interpretation of oscillograms of arc-welding generators in terms of welding perfor
mance.

Halman T. R., Harris L. K., Trans. AIEE, 67, 1693 (1948).

Voltage surges in relay control circuits.

H о r n b у F. B., Trans. AIEE, 53, 1598 (1934).

Control of transients in welding generators.

Holm R., Electric Contacts, Stockholm, 1946.

H o p p W., Elektrotechn. Zs., 33 (1913)

Uber Unterbrechungslichtbogen bei elektrischen Schaltapparaten.

Louis H. C, Sinclair С. T., Journ. AIEE, 749 (1922).

Air-break magnetic blow-outs for contactors and circuit-breakers.

Miller A. R., Trans. AIEE, 52, 269 (1933).

Transients in arc welding generators with experimental verification.

Miller A. R., Trans. AIEE, 53, 1296 (1934).

Transient voltages in welding generators.

Oelschlager E, Elektrotechn. Zs., 762 (1904).

Uber den zeitlichen Verlauf des Schmelzstromes von Sicherungen, beobachtet mil
dem Oszillograpben.
Philippi Е, Ober Ausschaltvorgange und magnetische Funkenloscher, Berlin, 1909.
Riidenberg R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 2, 220 (1922).

Das Ausschalten von Cleichstrom und Wechselstrom bei induktiven Stark^trom—
kreisen.

Riidenberg R., Schweiz. Bull., 248 (1922).

Seitz E. O., Elektrotechn. Zs., 1305 (1931).

Ausschaltiiberspannungen bei Kleinvakuumschaltern.

Silverman D., Ludwig L. P., Trans. AIEE, 52. 987 (1933).

Arc stability with d-c welding generators.

T ri tl e J. F-, Journ. AIEE, 257 (1922).

Air-break magnetic blow-outs.

Varichon C., Rev. gen. elec., 54, 227 (1945).

L’appareillage d’interruption dans les installations a basse tension.
Глава 39

ОТКЛЮЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Переменный ток в принципе отключается Значительно легче, чем по-
стоянный, так как он систематически через каждый полупериод проходит
через нулевое значение. Если бы можно было приводить выключатель в дей-
ствие настолько точно, чтобы он размыкал цепь в момент естественного про-
хождения тока через нуль, то, начиная с этого момента, ток оставался бы
равным нулю и контакты не испытывали бы разрушительных воздействий.
Но инерция контактов и привода выключателя не позволяет получить ни той
тонкой регулировки, ни тех больших скоростей, которые нужны для столь
точного отключения, Поэтому оно еще не осуществлено на практике. Для
переменного тока промышленной частоты требовалась бы точность до не-
скольких десятитысячных секунды. Между тем в современных выключателях
обычной конструкции время отключения лежит в пределах от значительной
части периода до нескольких периодов.

Пj)ii отключении переменного тока выключателем с постепенно увеличи-
вающимся контактным сопротивлением возникают явления, очень сходные
с явлениями, происходящими при отключении постоянного тока и рас-
смотренными в § 1 гл. 38. Однако этот случай пе имеет большого значения,
так как под действием высокого напряжения, применяемого обычно в цепях
переменного тока, между расходящимися контактами почти всегда возникнет
.дуга. Здесь будут наблюдаться явления, существенно отличающиеся от тех,
которые происходят в выключателях постоянного тока. Дело в том, что
напряжение источника переменного тока быстро меняет свой знак и, сле-
довательно, может вызвать многократные гашения и зажигания дуги.

§ 1. Изменение напряжения и тока во времени Процесс отключения
через дугу, которая обозначена на фпг. 423 буквой В, протекает наиболее
просто в том случае, если цепь содержит главным образом активное сопро-
тивление В и лишь незначительную индуктивность L. Рассмотрим, например,
отключение ламп накаливания от сети перемен него тока с напряжением
неизменной амплитуды Е. Ток i и напряжение е обращаются в нуль одновре-
менно, и при этом каждый раз гаснет дуга между контактами выключателя.
Тотчас после погасания дуги температура контактов понижается, вслед-
ствие чего напряжение зажигания е2 быстро увеличивается, как это изобра-
жено п' нктирпой кривой на фиг. 424. Если расстояние между контактами
очень мало, то напряжение источника, также нарастающее, вскоре сравняется
с напряжением зажигания. В этот момент дуга зажигается снова и ток дости-
гает скачком своего установившегося значения. Если при следующем про-
хождении тока и напряжения через нуль расстояние между контактами
окажется настолько большим, что напряжение зажигания будет оставаться
больше напряжения источника, то дуга уже не зажжется вновь Ток, пройдя
в последний раз через нулевое значение, останется и в дальнейшем равным
нулю, как показано на фиг. 424.

Дуга на металлических контактах с большой теплопроводностью, в
частности медных, гаснет очень быстро, так что здесь требуется сравнитель-
но небольшое расхождение контактов. При более высоких напряжениях
облегчается пробой промежутка между контактами (см. второй полупериод
на фиг. 424). Следовательно, необходимо принять дополнительные меры для
облегчения гашения дуги, а именно, обеспечить более интенсивное рассея-
ние тепла, выделяющегося в дуговом столбе. Итак, для отключения перемен-
ного тока требуется лишь предотвратить повторное зажигание дуги после
прохождения тока через свое нулевое значение. Это позволяет обходиться
небольшими выключателями для отключения значительных токов при чисто
активных нагрузках. Очень легко отключаются также машины с независи-
мой противоэлсктродвпжущей силой, например син-
хронные двигатели или одноякорные преобразовате- ।------т-----------1

ли, в особенности если питающая сеть машины со- 1 R к

держит главным образом активные сопротивления, (^
так как к этим последним приложена лишь неболь- i g

шая разность напряжений. Однако в действитель- | | _____|

пости необходимо считаться с влиянием индуктив- /1ч

ности рассеяния самих машин. Фиг. 423.

Менее благоприятно складываются условия при

размыкании индуктивных цепей переменного тока, например при отклю-
чении трансформаторов, асинхронных двигателей и других аналогичных уст-
ройств. Особенно тяжелые условия создаются при отключении токов корот-
кого замыкания в сетях. В перечисленных случаях активное сопротивление
цепи В часто бывает мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением и,
следовательно, ток значительно сдвинут по фазе относительно напряжения.
Поэтому в отличие от случая, показанного на фиг. 424, нулевое значение тока
наступает не при малом мгновенном значении напряжения. Наоборот,
напряжение в момент первого гашения дуги будет настолько высоким, что

Фпг. 424.

Ф и г. 425.

может немедленно последовать повторное зажигание, сопровождающееся
появлением тока противоположного направления.

В индуктивной цепи, показанной на фиг. 423, изменение тока во вре-
мени определяется уравнением

L^- + Bi + eB = e, (39.1)

решающее значение в котором принадлежит напряжению дуги ев.

Процессы, происходящие в цепи переменного тока во время горения
дуги, будем исследовать при некоторых упрощающих предположениях.
Будем считать, что длина дуги постоянна, а ее вольтамперная характери-
стика имеет прямоугольную форму, как показано на фиг. 425. Таким обра-
зом, напряжение дуги

ев = ± еь, (39.2)

причем положительный знак соответствует положительным, а отрицательный
знак—отрицательным мгновенным значениям тока. Напряжение горения
30 р. Рюдепберг
дуги переменного тока еь при средней величине тока и средней длине дуги
имеет следующие значения: в воздухе 15—30 в/см, в водороде 75—150в/сдг,
в парах масла 50—100 в/см. Меньшие значения относятся к большим токам,
а большие значения—к меньшим.

Пренебрежем пока влиянием напряжения зажигания и напряжения
гашения дуги, которые имеют значение только при очень малых токах,
а также не будем принимать во внимание падение напряжения на активном
сопротивлении, которое очень мало в реальных цепях переменного тока.
Следовательно, в уравнении (39.1) можно пренебречь членом 77г; тогда урав-
нение можно проинтегрировать непосредственно. Пусть переменное напря-
жение сети определяется выражением

е = 7? sin (wZtp), (39.3)

где <р—фазный угол напряжения в момент времени Z=0, соответствующий
прохождению тока через нуль.

Пз уравнения (39.1) находим для положительной полуволны тока

t t t

i = Y (e —ев)гй = -^ ( sin (wZ-f-<p)dt — ~ dt. (39.4)

7_< J j JL J

oo и

Выполняя интегрирование, получаем

i = -75cosH + 'P)+^cos'P-(Ie(uZ- (39-5)

По истечении полупериода, а именно при

u>Z = ir, (39.6)

ток установившегося режима должен вновь принять нулевое значение.
На основании соотношения (39.5) имеем

— Е [cos (т <р) — cos<p] = ebir. (39.7)

Теперь найдем фазный угол

cos ? = т 1 • (39.8)

Таким образом, сдвиг фаз в чисто индуктивной цепи, в которой горит
дуга, не равен 90°, а определяется, согласно выражению (39.8), отношением
напряжения дуги к среднему значению напряжения сети. При увеличении
напряжения дуги, т. е. при увеличении расстояния между контактами,
сдвиг фаз приближается к нулю.

Если подставить выражение (39.8) для cosep в соотношение (39.5), то
получится более наглядное выражение зависимости тока от времени

i = - A cos (u)Z + ?)2L (JL _ . (39.9)

Таким образом, ток состоит из двух составляющих. Первая из них пред-
ставляет собой индуктивный ток, который устанавливается при полностью
замкнутом выключателе; этот ток отстает на 90° от напряжения, опреде-
ляемого выражением (39.3). Вторая составляющая соответствует току, изме-
няющемуся со временем по линейному закону; по мере увеличения напря-
жения дуги эта составляющая играет все большую роль. Обе составляющие
нанесены пунктиром нафиг. 426, а для напряжения дуги ев, малого по срав-
нению с приложенным напряжением Е, и на фиг. 427, а для большего напря-
жения дуги. Жирными линиями изображены кривые тока, равного в обоих
полупериодах сумме косинусоиды и прямой, причем последняя является
частью периодической треугольной кривой. Чем больше напряжение дуги,
тем сильнее искажена кривая тока по сравнению с обычной синусоидальной
кривой. На фиг. 426,б и 427,6 показаны кривые изменения напряжения
дуги ев и напряжения во внешней цепи е—ев, соответствующие приведенным
кривым изменения тока. По мере удлинения дуги кривая е—ев все более
искажается; появляются резкие скачки напряжения. Иа фиг. 428 приведена

осциллограмма тока и напряжений, снятая в индуктивной цепи с дугой.
Мы видим, что характер искажения кривой тока находится в согласии с на-

шими выводами.

Из выражения (39.8) следует, что при напряжении дуги, составляющем
определенную часть [(2/тс)=0,637 ] напряжения сети, фазный угол ср обра-

щается в нуль и искаженная кривая
тока проходит через нуль одновре-
менно с напряжением. Однако в дей-
ствительности этот предельный слу-
чай неосуществим. Раньше чем на-
пряжение дуги достигнет указанного
выше значения, его величина при ну-
левом токе станет равной мгновен-

Фпг. 429.

Ф и г. 428.

ному значению напряжения сети или превысит его (фиг. 429), вследстите
чего дуга не сможет вновь зажечься сразу после ее гашения. Появляется
пауза тока, которая продолжается до тех пор, пока напряжение сети е снова
не достигнет величины напряжения дуги ев. В течение этой паузы напряже-
ние во внешней пени тоже остается равным нулю, так что кривая е—ев,
изображенная на фиг. 429, оказывается сильно искаженной.

Выводы, касающиеся формы кривых напряжений и тока, полученные на
основании последних соотношений и графиков, относятся не только к про-
цессам при отключении. Такие же кривые получаются для любой индуктив-
ной цепи, содержащей горящую дугу. На фиг. 430 показана осциллограмма
30*
тока дуговой печи, кривая которого очень похожа на кривую, изображен-
ную на фиг. 429. В частности, теми же законами определяются режимы
дуговых ламп как используемых непосредственно, так и применяемых в лю-
минесцентных источниках света. Во избежание чрезмерного мерцания этих
ламп протекающий через них ток должен быть почти непрерывным.

Пауза тока начнется в тот момент, когда при t=0 напряжение дуги
станет равным напряжению сети, определяемому выражением (39.3),

eb = jE sin ср0. (39.10)

Из соотношений (39.10) и (39.8) находим предельный угол

tg<p0 = 1 = 0,637, <р0 = 32,5°. (39.11)

Подставляя в соотношение (39.10) соответствующее значение sin <f>0, находим
предельное напряжение дуги

еь = 0,5377?.

В дуговых лампах любого рода напряжение дуги не должно превышать
этого предела. Если для углов, меньших предельного угла <р0, определяемого
соотношением (39.11), осуществить та-
кое же построение составляющих то-
\________________________________ка, которое было выполнено на

Z "V/' f фиг. 427, а, то получится небольшой

/ начальный обратный ток. Однако в
действительности такой обратный ток
Фиг. 430. не возникает. Поэтому в выражении

(39.4) следует изменить пределы ин-
тегрирования, исключив из них не выражаемую аналитически паузу тока.

В реальных выключателях паузы тока бывают редко, так как действи-
тельная характеристика дуги имеет отчетливо выраженные пики напряжения
зажигания, влияние которых мы теперь рассмотрим. На фиг. 431 показана
такая неидеализированная характеристика дуги. С уменьшением тока на-
пряжение дуги несколько повышается, достигая величины напряжения
гашения ер Затем при перемене знака тока оно также меняет свой знак и
повышается скачком до напряжения зажигания е2, в дальнейшем при увели-
чении отрицательного тока напряжение дуги быстро падает. Этот процесс
повторяется в каждом полупериоде тока. Если в цепи имеется значительное
активное сопротивление R, то падение напряжения на нем можно непосред-
ственно сложить с напряжением дуги; тогда кривую на фиг. 431 можно рас-
сматривать как результирующую вольтамперную характеристику той части
цепи, где происходит рассеяние энергии. С увеличением тока напряжение
дуги немного уменьшается, а напряжение на активном сопротивлении растет.
Поэтому в области больших токов результирующая характеристика может
оказаться слегка искривленной.

Сдвиг фаз ff> можно определить с достаточной точностью по соотношению
(39.8), если подставить в него среднее значение напряжения еь, показанное
на фиг. 431. При вычислении тока по сумме напряжения горения и падения
напряжения на активном сопротивлении его значения вблизи нуля полу-
чаются несколько меньше, а вблизи максимума —несколько больше, чем при
определении их по выражению (39.9) и фиг. 426 и 427. Точную форму кривой
тока можно получить путем последовательного графического вычисления
первого интеграла в выражении (39.4). Однако это стоит делать только тогда,
когда характеристика задана с большой степенью точности.

На фиг. 432 показаны действительные кривые изменения напряжения
и тока дуги во времени. Пока пик зажигания остается ниже приложенного
напряжения, его влияние незначительно. С увеличением расстояния между
контактами напряжение зажигания вскоре становится равным приложен-
ному напряжению, а затем превышает его. Это происходит даже при срав-
нительно небольшом значении среднего напряжения дуги и, следовательно,
при сдвиге фаз <р, не сильно отличающемся от 90°. В результате часто бывает
так, что напряжение зажигания уже успевает достичь величины приложен-
ного напряжения, тогда как изменение направления тока все еще происхо-
дит при величине напряжения, близкой к амплитудному значению. Таким
образом, если расстояние между контактами превышает определенный мини-
мум, то возможность повторного зажигания дуги полностью устраняется.

Это происходит в том случае, если в момент Z=0, когда ток проходит
через нулевое значение, напряжение зажигания ег становится равным или
превышает мгновенное значение напряжения сети, т. е. когда

ez > I? sin <pz. (39.12)

Отсюда при помощи соотношения (39.8) находим фазный угол отключения

W ?. = —• (39-13)

Таким образом, фазный угол зависит исключительно от отношения на-
пряжения зажигания к напряжению горения дуги. Для выключателей это от-
ношение часто лежит в пределах от 5 до 20. Соответствующие значения утла
отключения <pz составляют от 73 до 85,5° (sin <рг=0,95—0,99). Обоим зна-
чениям угла <р2 соответствуют значения ег, близкие к амплитуде напряжения
сети.

Между контактами после погасания дуги возникает напряжение, очень
близкое по величине к амплитуде напряжения сети, в отличие от цепей с пре-
обладающим активным сопротивлением, где напряжение между контактами
после погасания дуги вначале оказывается равным нулю (см. фиг. 424).

Индуктивность L определяется не только магнитным полем внешней
цепи, но и полем рассеяния источника переменного тока. В частности, в ус-
ловиях короткого замыкания значительная часть индуктивности сосредото-
чена в генераторе и только небольшая часть—во внешней цепи. Напряжение
на зажимах генератора слагается в этом случае из электродвижущей силы
генератора е и соответствующей части индуктивного падения напряжения
е—ев. Если обозначить через 5 индуктивность рассеяния генератора, то на-
пряжение на его зажимах будет равно

ес = е —(е —ев) = С^ —-^-ев. (39.14)

Это напряжение равно сумме некоторой части э.д.с. генератора и части
падения напряжения на дуге. Напряжение на внешней цепи за выключате-
лем будет равно

ек = (Е - 5) f = (1 - (с - ев). (39.15)

Таким образом, вследствие наличия индуктивности рассеяния генератора
величина этого напряжения уменьшается, но форма его кривой сохраняется.
На фиг. 433 показаны кривые напряжения на зажимах генератора и во

Ф и г. 434.

внешней цепи, построенные по кривым фиг. 432, в предположении, что индук-
тивность рассеяния генератора составляет половину всей индуктивности
цепи.

Пз выражений (39.14) и (39.15) видно, что скачкообразное приращение
напряжения, определяемое напряжением дуги ев, распределяется между
генератором и внешней цепью в отношении, равном отношению индуктивно-
стей рассеяния и внешней цепи. Как видно из фиг. 432, скачок напряжения
во всей цепп равен сумме напряжений зажигания и гашения дуги. При не-
благоприятных условиях эта сумма может быть близка к удвоенной ампли-
туде напряжения генератора. Пз фиг. 432 также видно, что наибольшее воз-
можное абсолютное значение пика напряжения, приложенного ко всей цепи,
равно удвоенной э.д.с. генератора.

Если в цепп имеется значительное активное сопротивление R, то сдвиг
фаз между током и напряжением будет меньше величины, определяемой вы-
ражением (39.8). Поэтому в соответствии с фиг. 432 пик зажигания ег пере-
секает напряжение е несколько раньше и дуга гаснет при меньшем расстоя-
нии между контактами. Как скачки напряжения, так и величина перенапря-
жения уменьшаются пропорционально синусу действительного угла сдвига
фаз—это следует из соотношения (39.12). Но если при первом погасании дуги
ее напряжение зажигания окажется меньше величины э.д.с. источника, то
появятся паузы тока и повторные зажигания при повышенном значении
напряжения. Таким образом, отключение активной нагрузки также может
сопровождаться скачками напряжения, в особенности при медленном рас-
хождении контактов.

Мы видим, что процесс отключения переменного тока существенно отли-
чается от процесса отключения постоянного тока. В цепи постоянного тока
даже при фиксированном расстоянии между контактами процесс гашения
дуги состоит из одного этапа. Напротив, в цепи переменного тока во время
расхождения контактов, которое здесь необходимо для гашения дуги, дуга
повторно зажигается при каждом изменении направления тока, причем
по мере удлинения дуги растут значения напряжений зажигания и гашения,
пока, наконец, напряжение зажигания не достигнет амплитудного значения
приложенного напряженияЕ. Начиная с этого момента, повторное зажигание
становится невозможным, и процесс отключения заканчивается. На фиг. 434
показано изменение напряжений дуги, генератора и внешней цепи по мере

VvUWVW

Фпг 435.

увеличения длины дуги в процессе отключения. Кривые напряжения гене-
ратора и напряжения во внешней цепи соответствуют соотношениям (39.14)
и (39.15). На фиг. 435 приведена осциллограмма напряжения, снятая при
отключении индуктивной цепи при помощи воздушного выключателя от
источника переменного тока.

§ 2. Потерн в дуге. Определим энергию, освобождающуюся в дуге в тече-
ние полупериода тока и преобразующуюся в тепло внутри выключателя.
Эта энергия равна

W = eBi dt.

Подставляя сюда ев из уравнения (39.1), находим

7т/ю 0 Tt/tO

1У = (е — Ri) idt — L ^idi= eidt — Ri2 dt.
о boo

(39.16)

(39.17)

Нижний и верхний пределы второго интеграла, перед которым стоит
множитель L, равны нулю, потому что ток I, по которому выполняется
интегрирование, принимает нулевые значения и в начале и в конце
рассматриваемого полупериода. Следовательно, этот интеграл равен нулю.
Таким образом, магнитная энергия цепи, которая прп отключении постоян-
ного тока составляет основную часть энергии, выделяющейся в дуге, при
отключении переменного тока не выделяется в дуге даже частично. Это зна-
чит, что энергия, запасенная в индуктивности, полностью возвращается
источнику, а не рассеивается в виде тепла в выключателе. Из выражения
(39.17) видно, что энергия, превращаемая в дуге выключателя в тепло,
равна разности между энергией, доставляемой источником, и энергией, рас-
ходуемой в активном сопротивлении цепи. Поэтому отключение цепи перемен-
ного тока выполняется значительно легче, чем цепи постоянного тока равной
мощности.

Потери при отключении удобнее всего подсчитывать путем непосред-
ственного вычисления интеграла (39.16). При этом мы пренебрежем неболь-
шим влиянием пиков напряжений зажигания и гашения. Эти пики напряже-
ния увеличивают напряжение дуги ев только в течение короткого времени
зажигания и гашения, когда ток i крайне мал. Поэтому произведение этих
напряжений и тока, входящее в выражение (39.16), очень мало изменяет
величину интеграла. Таким образом, мы можем подставить в выражение
(39.16) постоянное напряжение дуги, определяемое соотношением (39.2),
и соответствующее значение для тока, согласно соотношению (39.9). В ре-
зультате получим

(j cos(«Z y)dt 4^- (j-wZ^dZ. (39.18)
b о

Интегралы в правой части выражения (39.18) равны соответственно

п/ш

С 2

\ COS (a)Z 4’ 'р) dt = — — sin ср,

(39-19)

Следовательно, в соотношении (39.18) второй член равен нулю, и энергия,
выделяющаяся в дуге в течение полупериода, определяется выражением

iy = 2gsin? = |zebSin?. (39.20)

В этом выражении через I обозначено частное от деления амплитуды прило-
женного напряжения на величину индуктивного сопротивления, равное ам-
плитуде переменного тока, который протекал по цепи до ее отключения, что
соответствует первому члену соотношения (39.9). Фазный угол ср всегда близок
к 90°, его нижний предел дается формулой (39.13).

В течение всего времени размыкания т расстояние между контактами
увеличивается и напряжение дуги еь возрастает примерно пропорционально
длине дуги, как показано на фиг. 434. Чтобы получить достаточно точное
выражение для потери энергии в дуге за время размыкания, будем считать,
что в течение каждого полупериода напряжение горения дуги еь пропорцио-
нально напряжению зажигания ег и что на протяжении всего времени размы-
кания напряжение зажигания растет по линейному закону до предельной
величины Е. Тогда изменяющееся напряжение дуги будет равно

(39.21)

Отношение еь/е2 представляет собой некоторое число, равное для обыч-
ных выключателей нескольким сотым. Следовательно, cos ср, определяе-
мый выражением (39.8), очень мал, a sin ср в выражении (39.20) всегда
близок к единпце. Согласно соотношению (39.6), длительность одного
полупериода равна тг/о>. Следовательно, время размыкания т охваты-
вает -ссо/тг полупериодов. Подставляя в выражение (39.20) среднее значение
напряжения дуги, которое получается из соотношения (39.21), если положить
в нем Z/t=1/2, находим полную энергию, теряемую при отключении за время т,

<3922>

Таким образом, энергия отключения, рассеиваемая в дуге, определяется
некоторой фиктивной мощностью, равной произведению амплитуды тока I
до отключения и амплитуды напряжения Е после отключения, продолжи-
тельностью размыкания т и, наконец, отношением напряжения горения еь
при полном токе к напряжению зажигания ег при перемене направления
тока. Малые потери в дуге будут иметь место в выключателе такой конструк-
ции, которая обеспечивает минимальное время размыкания т при максималь-
ном напряжении зажигания ez. Отсюда следуют некоторые условия, которым
должны удовлетворять выключатели большой мощности. Их контакты долж-
ны быть изготовлены из материала с высокой теплоемкостью и теплопровод-

ностью, чтобы повышение температуры контактов было минимальным и тем

самым была бы предотвращена интенсивная эмиссия новых электронов.
Газ, в котором горит дуга, должен быстро деионизироваться за время про-
хождения тока через нулевое значение. В дополнение к этому должно быть
обеспечено быстрое возрастание длины дуги до значительной величины.

Активное сопротивление, включенное параллельно дуге или индуктив-

ности, и в случае переменного тока оказывает благоприятное действие на

работу выключателей. Это сопротивление
изменяет форму результирующей характе-
ристики горящей дуги так же, как при по-
стоянном токе (см. фиг. 419 и 421). В ре-
зультате напряжение дуги не падает скач-
ком до нуля в момент изменения направ-
ления тока, а изменяется со временем по
линейному закону, как показано на фиг. 436.
Благодаря этому скачок напряжения от
пика погасания к пику зажигания устра-

няется и заменяется постепенным переходом.

После того как напряжение дуги достигнет величины напряжения зажига-

ния ez, оно скачком уменьшается до значения, равного напряжению горе-
ния еь. Однако этот скачок значительно меньше того, который произошел бы
без параллельно включенного сопротивления. В тот же момент времени ток

снова переходит из шунтирующего сопротивления в дугу.

При гашении дуги происходит быстрый переход тока из дуги в шунт,
вызывающий крутой, но не очень значительный подъем напряжения, как
показано на фиг. 436. На той же фигуре представлена форма кривой тока.
Включая параллельно дуге очень малое активное сопротивление, можно сме-
стить пик зажигания настолько значительно (см. фиг. 432 и 436), что он выйдет
за пределы кривой приложенного напряжения е, вследствие чего повторное
зажигание окажется совершенно невозможным. Шунтирующее сопротивление
действует благоприятно также и в том отношении, что оно увеличивает
промежуток времени между гашением и зажиганием дуги. Этот проме-
жуток времени оказывается достаточным для охлаждения контактов и дуго-
вого столба, в результате чего значительно возрастает величина напряже-
ния зажигания.

Итак, шунтирующие активные сопротивления не только ускоряют гаше-
ние дуги при перемене направления тока, но и поглощают часть энергии,
выделяющейся при отключении, разгружая тем самым дуговой столб и кон-
такты. Аналогичное благоприятное действие оказывают нагрузки, включен-
ные параллельно дуге или индуктивности, при условии, что они содержат
активное сопротивление надлежащей величины.

Рассматривая процесс горения дуги, мы до сих пор считали, что на про-
тяжении каждого полупериода расстояние между контактами остается неиз-
менным и постепенно увеличивается от одного полупериода к другому вплоть
до момента, когда напряжение зажигания дуги становится равным прило-
женному напряжению. Так как полные потери в дуге уменьшаются вместе
с уменьшением времени размыкания [см. выражение (39.22)], то существует
тенденция к увеличению скорости срабатывания выключателей большой
мощности. Наиболее благоприятные условия получаются при продолжитель-
ности размыкания т порядка одного полу периода. При дальнейшем уменьше-
нии времени т дуга погаснет быстрее, чем за полупериод, а это вызовет появ-
ленис дополнительных перенапряжений. В этих условиях выражение
(39.22) теряет силу, потому что теперь при интегрировании нельзя рассмат-
ривать ев как постоянную величину. На фиг. 437 показаны кривые тока и на-
пряжений при времени размыкания т, равном 2/3 полупериода. Под действием
напряжения дуги ев, быстро нарастающего до величины, равной пику гашения
е(, ток прекращается раньше своего сстестве'нного прохождения через нуль.

Приведенные кривые сходны с характеристиками отключения постоян-
ного тока. Цо там приложенное напряжение Е было постоянным, тогда как

здесь напряжение е переменно и даже меняет знак во время отключения.
В результате наибольшее напряжение в цепи, равное при постоянном токе
разности е—ев, при переменном токе определяется суммой абсолютных зна-
чений этих двух напряжений е~Вев и

в цепи создается значительное пере-
напряжение. При особенно быстром
отключении пик напряжения может в
несколько раз превысить амплитуду
напряжения сети. На фиг. 438 при-
ведены осциллограммы напряжения
и тока при отключении намагничи-
вающего тока ненагруженного транс-
форматора быстродействующим ма-
сляным выключателем. Из кривых

переходного процесса, наложенных на кривые предшествующего установив-
шегося режима, видно, что ток прекращается преждевременно, вследст-
вие чего возникает перенапряжение.

Такие перенапряжения прп гашении дуги могут получаться также и в
выключателях, у которых время размыкания составляет несколько полу-
периодов, но скорость движения контактов сначала мала, а в последнем
полупериоде возрастает так быстро, что напряжение гашения становится
больше предшествующего напряжения зажигания. Скорость расхождения
контактов лучше отрегулировать таким образом, чтобы окончательный раз-
рыв цепи происходил вследствие невозможности повторных зажиганий дуги,
а не в результате ее принудительного гашения.

§ 3. Разрыв дуги в масле. Погружение контактов выключателя в масло
или другую жидкость не может предотвратить образования дуги при их рас-
хождении. Однако масло охлаждает дуговой столб и контакты так интен-
сивно, что при той же длине дуги ее напряжение при горении в масле оказы-
вается значительно выше, чем в воздухе. Припогружении дуги в масло напря-
жение гашения и особенно напряжение зажигания увеличиваются во много
раз по сравнению с соответствующими значениями для воздуха; это делает
масляные выключатели особенно подходящими для отключения цепей пере-
менного тока при высоких напряжениях.

Полученные выше выводы, касающиеся процесса разрыва дуги в воз-
духе, можно распространить на процесс разрыва в масле. Однако необхо-
димо рассмотреть некоторые дополнительные явления, характерные для
масляных выключателей и определяющие их эффективность.
В выключателях высокого напряжения обычно устраивают несколько
дуговых промежутков, включенных последовательно, благодаря чему зна-
чительная часть энергии отводится от дугового столба к металлическим
контактам. Кроме того, при подразделении дуги на несколько промежутков
электрическая скорость отключения увеличивается в соответственное число
раз по сравнению с механической скоростью контактов. Наконец, отдельные
короткие дуги деформируются не так сильно, как одна длинная дуга, и их
легче направить по определенному nj ти.

Выключатели в электрических сетях несут наибольшую нагрузку при
•отключении не токов нормального режима, а токов короткого замыкания.
Наибольшей опасности подвергается выключатель при разрыве переход-
ного тока, возникающего при внезапном коротком замыкании в сети.
В этом случае ток достигает величины, во много раз превышающей ток нор-
мального режима и соответственно увеличивается выделяющаяся при
отключении энергия, которую предстоит поглотить контактам и маслу [см.
выражение (39.22)]. Здесь сказывается и увеличение тока само по себе и обус-
ловленное возросшей температурой дуги уменьшение напряжения зажига-
ния, благодаря чему увеличивается время размыкания. Раньше было при-
нято отключать токи короткого замыкания не сразу после их возникнове-
ния, а спустя несколько секунд, когда свободная составляющая затухнет
и останется только установившийся ток короткого замыкания. Дело в том,
что величина произведения EI, входящего в выражение (39.22), подсчитан-
ная для установившегося тока короткого замыкания, во много раз меньше
величины этого произведения для переходного тока. Это обусловлено не
только уменьшением величины отключаемого тока, но и тем обстоятельством,
что вследствие реакции якоря, вызываемой действием тока короткого замы-
кания, э.д.с. генератора падает почти до величины напряжения рассеяния.
Однако от современных масляных выключателей требуется, чтобы они могли
надежно разрывать ток короткого замыкания тотчас после его возник-
новения. Энергия, теряемая при отключении, определяемая выражением
(39.22), должна быть минимальной именно в масляных выключателях,
так как выделяющееся тепло вызывает интенсивное разложение и обуг-
ливание масла. Поэтому вполне оправданной является попытка довести
время размыкания т до одного полупериода путем увеличения механической
скорости контактов. Чем дольше горит дуга, тем большее количество масла
подвергается разложению и образующийся пузырь горячего газа может
достичь огромного объема.

Если дуга погружена в масло недостаточно глубоко, то поднимающиеся
газы не охлаждаются в должной степени и масло может загореться с поверх-
ности. Даже при достаточной толщине слоя масла над дугой может произойти
взрыв горючих газов, собирающихся над поверхностью масла. Горючие газы
могут загореться от раскаленных добела частиц металла, отлетающих от
контактов, или вследствие искрового разряда в парах над поверхностью
масла. Аварии такого рода имели место в тех случаях, когда конструкция
и размеры выключателя не соответствовали количеству энергии, выделяю-
щейся при отключении.

Горячие газы, благодаря которым дуга может гореть под поверхностью
масла, образуются в течение малой доли полупериода, т. е. быстрее чем за
Vioo сек- ПРИ переменном токе промышленной частоты. Такое быстрое испа-
рение и разложение масла подобно взрыву и сопровождается повышением
давления в дуге до величины, достигающей нескольких десятков и даже сотен
атмосфер. Это давление быстро распространяется в масле в виде сферической
волны, расходящейся от дуги. Хотя давление падает с увеличением поверх- ,
ности волны, все же ударное воздействие на стенки масляного бака может
оказаться достаточным для того, чтобы вызвать выпучивание стенок и даже
появление трещин. Ударная волна, достигая поверхности масла, создает там
масляный фонтан. Если нагрузка слишком велика для данного выключа-
теля, то выброс масла будет повторяться дважды в течение каждого периода,
что может повлечь за собой опасные вторичные явления.

Многочисленные опыты показывают, что за счет энергии, выделяющейся
в дуге, в среднем образуется около 50слг! паров масла на 1 кет-сек. Пусть
отключается короткое замыкание, амплитудная мощность которого равна
10®/2 кеа при времени размыкания т=5/100 сек. и отношении напряжения
горения Дуги к напряжению ее зажигания еь/ег=5%. Тогда, согласно выра-
жению (39.22), энергия, выделяющаяся в дуге при отключении, будет равна

ТГг 15 5 10е /г,г,

1^ = Т-1ОО-1ОО-ТГ = 400 ^.сек.

За счет этой энергии образуется около 20 л паров масла при нормальных
давлении и температуре. Если давление при образовании дуги равно 20адал«,
а температура дуги равна 5500° С, т. е. превы-
шает абсолютную нормальную температуру 273° С
примерно в 20 раз, то влияние высокого давления

и высокой температуры на объем выделяющегося газа взаимно компенси-
руется. В трехполюсном выключателе с двумя разрывами на полюс образуется
шесть газовых пузырей, объем каждого из которых равен 20/6=3,3 л. Диаметр
такого сферического газового пузыря равен 18,5 см.

На фиг. 439 схематически изображен поперечный разрез масляного
выключателя обычного типа и пузыри масла, образующиеся в нем. Мы ви-
дим, что необходимые размеры такого выключателя в значительной степени
определяются изложенными выше соображениями. Если расширение газо-
вых пузырей под действием высокого внутреннего давления происходит
быстрее, чем их сжатие вследствие отдачи тепла окружающему маслу, то
соседние пузыри могут слиться и дуга непосредственно соединит неподвиж-
ные контакты, после чего ее уже нельзя разорвать. Это поведет к дальнейшему
непрерывному испарению масла и к огромному повышению давления в баке
выключателя.

При предварительном определении численных характеристик дуговых
процессов, возникающих при отключении короткого замыкания, нельзя поль-
зоваться значениями напряжения, полученными из опытов на моделях при
малых токах. Напряжение дуги очень сильно зависит от величины давле-
ния, возникающего в данном выключателе; следовательно, его можно опре-
делить только путем отключения полной мощности короткого замыкания.
Отключение облегчается, если при увеличении тока возрастает давление, а
следовательно, и напряжение дуги. Однако сохранится ли в условиях перио-
дического выделения энергии давление в дуге до следующего прохождения
тока через нуль, зависит от особенностей конструкции данного выключателя.

На фиг. 440 показаны осциллограммы напряжения и тока при отключе-
нии небольшой мощности масляным выключателем. Нормальную нагрузку
цепи обычно можно отключить в течение одного полупериода без каких-либо
неприятных последствий. На фиг. 440 можно заметить только небольшое

перенапряжение в момент отключения.

При отключении коротких замыканий давление в масляном выключателе
во время горения дуги повышается, если только в баке нет отверстий, пред-

назначенных для снижения давле-

ния. На фиг. 441 показаны осцил-
лограммы напряжения, тока и дав-
ления в гасительной камере, сня-
тые при отключении короткого за-
мыкания мощностью 2100 ква.
Давление р повышается ступеня-
ми с каждым полупериодом, дости-
гая прп гашении дуги конечного
значения в 26 атм. На фиг. 442
приведена осциллограмма отключе-
ния короткого замыкания мощ-
ностью 58 000 ква при помощи ма-
сляного выключателя, снабженного
большими отверстиями для сниже-
ния давления. Благодаря этому

335Ов

Фиг. 441.

давление возрастает во время горения дуги, но к концу каждого полупериода
оно снова падает, причем наибольшее значение давления составляет всего
лишь 2,3 атм. На двух последних осциллограммах продолжительность
горения дуги при отключении составляла от 3 до 5 полупериодов. Кривые
напряжения дуги сходны с кривыми, представленными на фиг. 434.

Могцные дуги в масле иногда сопровождаются своеобразными колеба-
ниями газового пузыря, в котором горит дуга. Горячий газовый пузырь пере-
дает высокое давление окружаюгцему маслу; при этом он расширяется

и выжимает масло в стороны и в направлении к его свободной поверхности
в баке. Давление уменьшается, и когда оно становится меньше внешнего дав-
ления на масло, последнее устремляется обратно. Теперь газовый пузырь
сжимается, и внутреннее давление снова возрастает. Когда оно увеличивается
настолько, что становится больше давления, обусловленного инерцией дви-
жущегося внутрь масла, то снова начинается перемещение в обратном направ-
лении. Так как давление и объем газа в пузыре, образующемся при горении
дуги, следуют законам термодинамики, то давление в нем быстро возрастает
с уменьшением объема. Вследствие описанных колебаний масла относительно
дуги в газовом пузыре создаются пики давления, зависимость которых от
времени показана на фиг. 443, а. Там же показаны колебания объема газового
пузыря к. Эти свободные упругие колебания обычно бывают быстрыми но
сравнению с частотой сети. Пх частота определяется в основном инерционной
массой слоя масла, расположенного в выключателе над дугой, и размером
газового пузыря.

Во время этих колебаний ток остается почти неизменным. Однако напря-
жение дуги ев сильно возрастает с повышением давления, что показано каче-
ственно на фиг. 443,6. Поэтому количество тепла q, выделяющегося в дуге,
не остается неизменным; оно также колеблется с собственной частотой газо-
вого пузыря. При повышении напряжения количество тепла быстро возра-
стает; при понижении напряжения оно медленно понижается вследствие

Фиг. 443. Ф и г. 444.

передачи тепла наружу. Как видно из фиг. 443, в, колебания выделения
тепла происходят с такой фазой, что они способствуют увеличению и умень-
шению объема газового пузыря в такт с его естественным изменением. Вслед-
ствие этого свободные колебания становятся самовозбуждающимися и их
амплитуда может достичь большой величины. Они приводят к значительным
ударам давления и острым пикам напряжения дуги, которые в конце концов
могут явиться причиной ее погасания. На фиг. 444 приведена осциллограмма
отключения тока короткого замыкания, на которой после ее увеличе-
ния стали отчетливо видны быстрые повышения напряжения в процессе
горения дуги.

При отключении токов короткого замыкания на дугу действуют не толь-
ко механические силы, обусловленные давлением газа и движением масла,
но также и большие электродинамические силы. Эти силы стремятся увели-
чить площадь петли тока в выключателе и, следовательно, оттягивают дугу
от контактов, на которых она возникает.

§ 4. Выключатели большой мощности. Окончательный разрыв всякой
дуги переменного тока происходит тогда, когда после прохождения тока
через нулевое значение напряжение сети не может вызвать повторного зажи-
гания дуги. В принципе, повторное зажигание можно предотвратить различ-
ными способами. Например, можно задержать на короткое время нарастание
напряжения на контактах выключателя; за это время дуга охладится и, сле-
довательно, напряжение зажигания повысится. Можно также создать такие
условия, чтобы в течение некоторого времени до или после прохождения
через нуль ток имел незначительную величину; тогда в критический, с точки
зрения повторного зажигания, момент времени не будет выделяться тепло.
Для реализации этих двух способов нужно добавить к цепи какие-то эле-
менты, воздействующие на напряжение или ток.

Можно, наконец, искусственно повысить пробивную прочность дугового
промежутка, воздействуя на дугу главным образом путем охлаждения кон-
тактов и дугового столба или деионизации последнего. И а практике оказы-
вают предпочтение последним способам, так как их применение не требует
вмешательства в схему внешней цепи и позволяет ограничиться самим вы-

ключателем.

Напряжения горения и зажигания очень сильно зависят от состава газа,

в котором горит дуга. В водороде, обладающем высокой

эти напряжения получаютеяв 5—10
раз больше, чем в воздухе, поэто-
му водород представляет собой
наилучшую среду для гашения ду-
ги. В дугах, горящих в масле, во-
дород образуется самопроизвольно
при разложении масла. Еще боль-
ше водорода образуется при горе-
нии дуги в воде. Были испытаны
и другие жидкости, однако с худ-
шими результатами.

Самопроизвольное выделение
водорода используется в классиче-
ской конструкции масляного вы-
ключателя с двумя последоватсль-

теилонроводностью,

ными разрывами (см. фиг. 439).

Этот выключатель удовлетворительно отключает средние мощности. Дуга
свободно горит в парах масла, а тепло от нее отводится к окружаю-
щему холодному маслу главным образом путем теплопроводности и из-
лучения. Если дуга заключена в гасительную камеру, показанную на
фиг. 445, из которой вытягивается подвижной контакт, то под действием
давления, развивающегося в камере, масло выбрасывается с большой ско-
ростью через отверстие. Осевой поток масла вызывает интенсивное
охлаждение дуги за счет конвекции. Охлаждение такого типа можно
осуществить и другим способом, как показано на фиг. 446. Естественное
магнитное поле тока усиливают и «сдвигают» в одну сторону при помощи
подковообразного железного ярма. Благодаря «сдувающему» действию
этого магнита дуга втягивается внутрь ярма, вытесняя масло, которое
устремляется наружу через дугу. При этом дуга охлаждается и деионизует-
ся за счет конвекции. Оба устройства, изображённые на фиг. 445 и 446,
можно использовать в масляном выключателе обычной конструкции, пока-
занной на фиг. 439.

Более интенсивное охлаждение дуги можно осуществить при помощи
масляного дутья под давлением, создаваемым специальным масляным насо-
сом, который может приводиться в действие от механизма перемещения кон-
тактов. Ца фиг. 447 показан поперечный поток масла, движущийся с большой
скоростью сквозь устройство, обеспечивающее многократный разрыв дуги.
В этой конструкции охлаждается не только дуговой столб, нои все металли-
ческие контакты; при достаточном числе последовательно включенных раз-
рывов такую систему можно с успехом использовать в сетях с очень высоким
рабочим напряжением. Масло здесь протекает через дугу в поперечном на-
правлении и выдувает дуговой столб в сторону потока. На фиг. 448 показана
другая конструкция, в которой масло протекает через дугу в радиальном
и осевом направлениях. Масло поступает в дуговое пространство и вытекает
из него в радиальном направлении с большой скоростью; одновременно воз-
никают потоки, направленные вдоль дуги. Таким образом, первоначальный
объем дугового столба почти не меняется и одновременно осуществляется
весьма эффективное охлаждение. Устройства, показанные на фиг. 447 и 448,
не обязательно помещать в обычный масляный бак; можно ограничиться
малым количеством масла, так как достаточно заполнить маслом только

Ф и г. 447.

Фиг. 450.

насос, маслопроводы и пространство, в котором горит дуга. Такие маломасля-
пые выключатели очень хороши с точки зрения пожарной безопасности; по-
жары в выключателях с большим количеством масла могут служить причиной
разрушения всей подстанции.

Дальнейшим шагом в указанном направлении является водяной выклю-
чатель, показанный на фиг. 449, в котором полностью исключается гашение
дуги воспламеняющимся веществом. Стенки дуговой камеры закреплены
здесь упруго. Под действием
высокого давления, развиваю-
щегося в камере при отключе-
нии, они раздвигаются в осе-
вом направлении и в образую-
щиеся радиальные щели выте-
кают пар и вода, охлаждаю-
щие Дугу путем завихрения,
конвекции и расширения. На
фиг. 450 показана осциллограм-
ма отключения тяжелого корот-
произведенного таким водяным

выключателем; дуга была погашена в течение двух полупериодов.

С той же целью устранения опасного в пожарном отношении масла для
отключения больших мощностей были разработаны воздушные выключатели.
Классический рычажный выключатель, схематически изображенный на
фиг. 153, с дугой, свободно горящей в воздухе, может удовлетворительно
действовать только при отключении малых токов и напряжений. В условиях
короткого замыкания такая дуга не погаснет и, следовательно, этот выклю-
чатель можно использовать в силовых цепях только в качестве разъедини-
теля, включаемого и отключаемого в отсутствие тока.

На фиг. 451 показано контактное устройство, в котором используется
осевой воздушный поток, обтекающий дугу и проходящий сквозь нее.

кого замыкания при напряжении 100 кв,
Сжатый воздух начинает подаваться из резервуара по коаксиальному воздухо-
проводу одновременно с расхождением контактов и вытекает через сопло,
являющееся в то же время неподвижным контактом. Выбирая соответствую-
щим образом геометрию воздушного потока, можно добиться большой скоро-
сти движения воздуха и обеспечить, следовательно, очень эффективное охлаж-

дение дуги за счет осевого конвек-
тивного теплообмена. На фиг. 452
показан воздушный выключатель с
поперечным дутьем. Здесь длина
дуги увеличивается за счет того, что
дуга вдувается между изолирую-
щими барьерами, которые подразде-
ляют ее на несколько частей. Такое
поперечное дутье можно создать в
выключателе не только путем про-
дувания воздуха, но и при помощи
поперечного магнитного поля, воз-
буждаемого отключаемым током.
Зто дутье дает аналогичный резуль-
тат в отношении гашения дуги, осо-
бенно если барьеры сделаны из ме-
талла и способствуют охлаждению
дугового столба путем теплопро-
водности.

На фиг. 453 показана схема радиального охлаждения дуги, образую-
щейся между двумя грибовидными контактами. Воздушный поток попадает
в критическую зону через осевые каналы в контактах. Такое устройство
можно осуществить без принудительного дутья, что сильно упрощает меха-
ническую конструкцию выключателя. Для очень высоких напряжений можно
применить контактную систему с многократным разрывом и воздушным

Ф и г. 453.

дутьем (см. фиг. 448) с добавлением комбинированного радиально-осевого
охлаждения естественной конвекцией. Для обеспечения высоких скоростей
воздуха в выключателях с дутьем необходимо, чтобы резервуар сжатого
воздуха был соединен с выключателем относительно коротким! воздухопро-
водами большого сечения. Если резервуар достаточной емкости расположен
вблизи выключателя, то в критический момент гашения дуги скорость воз-
духа может превышать скорость звука.

В вакуумном выключателе, показанном на фиг. 454, используется дру-
гой принцип отключения. Если давление воздуха столь низко, что число
молекул, которые могут быть ионизированы, становится ничтожно малым,
то разряд не возникнет и дуга не может загореться даже при малом расстоя-
нии между контактами или при высоком напряжении. При малых токах
31 Р. РюдевВерг
дуга, возникающая между контактами, легко гаснет в момент прохождения
тока через нуль; при отключении малых токов вакуумные выключатели
работают надежно и поэтому применять их целесообразно. Отключение про-
исходит очень быстро, и вследствие этого в вакуумных выключателях могут
возникать большие перенапряжения. При отключении больших токов в
анодном и катодном пятнах происходит испарение материала контактов.
В результате образуется достаточное количество металлических паров, иони-
зация которых создает условия для существования дуги, несмотря на то, что
вначале имелся высокий вакуум.

Все выводы, касающиеся гашения дуги в выключателе, относятся также
к гашению дуги в плавких предохранителях, которые применяются в элек-
трических сетях для отключения токов короткого замыкания. На фиг. 455
показан предохранитель с инертным заполнением, в котором плавкий эле-
мент в виде спиральной проволоки помещен в кристаллический порошок.
В результате теплового действия тока проволока испаряется и возникает

Фиг. 455.

Фиг. 456.

дуга, горящая в парах металла. Однако благодаря наличию кристалличе-
ского порошка пары металла сразу же конденсируются, осаждаясь на поверх-
ности порошка, и охлаждаются вследствие теплопроводности. Дуга охла-
ждается при этом столь эффективно, что при следующем прохождении тока
через нуль повторного зажигания не происходит. На фиг. 456 показан стре-
ляющий предохранитель, в котором дуга, возникающая после испарения
плавкой вставки, горит внутри трубки из фибры или некоторого другого
органического материала. Под влиянием тепла дуги из стенок трубки вслед-
ствие диссоциации выделяются газы в таком количестве, что истечение их пз
открытых концов способно охладить за счет завихрения и конвекции даже
очень мощную дугу. Охлаждение происходит настолько эффективно, что
после первого прохождения тока через нуль повторное зажигание уже не
возникает.

Тот же принцип «взрыва», что и в предохранителе, изображенном на
фиг. 456, используется в трубчатых разрядниках, включаемых между ли-
вней передачи и землей для защиты от ударов молнии. Посредством газового
дутья здесь также предотвращается повторное зажигание после первого
прохождения через нуль нормального тока короткого замыкания. В против-
ном случае мог бы возникнуть длительный ток короткого замыкания, под-
держиваемый напряжением линии относительно земли.

Для каждого выключателя прп полной его нагрузке можно при
помощи осциллографа измерить величину напряжения зажигания, опреде-
ляющую момент окончательного разрыва тока. Значения напряженности
поля, измеренные таким способом на выключателях различных конструк-
ций, не вполне согласуются между собой. Все же можно принять цифры
табл. 10 в качестве средних значений минимальной напряженности поля,
необходимой для повторного зажигания в условиях, указанных в таблице.
В зависимости от конструкции и особенностей отдельного выключателя эти
цифры имеют разброс по крайней мере на +50%. Разброс может быть больше
при особенно интенсивном вихревом перемешивании охлаждающей и деиони-
зирующей среды с горячими газами, в частности, если оно происходит в
момент прохождения тока через нуль или вблизи него.
Таблица 10
МИНИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ, ПРИ КОТОРЫХ
ПРОИСХОДИТ ПОВТОРНОЕ ЗАЖИГАНИЕ ДУГИ В ВЫКЛЮЧАТЕЛЯХ

Условия охлаждения Минимальные значения напряженности поля (в кв/см) при различных охлаждающих средах
воздух масло водород
Неподвижная охлаждающая среда (дуга, свободно горящая в баке) Движущаяся охлаждающая среда Дутье под давлением сквозь дугу 0,3 1,5 3 0,8 5 10 1,4

Чтобы ограничить продолжительность горения дуги, приводный меха-
низм выключателя должен разводить контакты с соответствующей скоростью.
В выполненных выключателях различной мощности, от малых до больших,
встречаются скорости от 1 до 2—4 м/сек. Если наибольшая длина дуги I, а на-
пряженность поля, при которой происходит повторное зажигание, i£z, то
напряжение повторного зажигания равно

(39.23)

При последовательном соединении п дуговых промежутков, каждый
из которых равномерно удлиняется со скоростью v на протяжении времени
размыкания т, длина дуги достигает величины

l = iwz. (39.24)

Исключая I, находим время отключения

Е
т = —-ё~ •
/IV 01

(39.25)

Положим, что напряжение повторного зажигания равно амплитуде номи
нального напряжения сети 230 кв, напряженность поля Mz=5 кв/см, сред-
няя скорость контактов г?=3 м/сек, и выключатель имеет четыре последова-
тельных дуговых промежутка, т. е. л=4. Тогда время размыкания

/ 2-230
^“-ГЗОО^Г-

5,4-10 а сек.,

т. е. равно 5,4 полупериода тока промышленной частоты. Для выключателей,
успешно эксплуатируемых на практике, это время составляет от 0,5 до
3—6 полных периодов.

Полное время отключения короткого замыкания состоит из определен-
ного выше времени гашения дуги и некоторого дополнительного времени,
необходимого для срабатывания реле защиты и для действия приводного
механизма выключателя. В мощных энергетических системах это дополни-
тельное время не должно превышать (в зависимости от тяжести короткого
вамыкания) от 1—3 до 6 периодов.

ЛИТЕРАТУРА

Allen A., Amer D. F., Journ. Inst. Electr. Eng., 94, P. II, 333 (1947).
The extinction of arcs in air-blast circuit-breakers.

Atwood S S., Dow W. G., Krausnick W., Trans. AIEE, 50, 854 (1931/

Reignilion of metallic a-c. arcs in air. 7
Baker В. Р., Wilcox Н. М., Trans. AIEE, 49, 431 (1930).

The use of oil in arc rupture.

Bauer B., Schweiz. Bull., 141 (1915); 226 (1917).

Untersuchungen an Olschaltern.

Bauer B., Schweiz. Bull., 85 (1916).

Vorschaltwiderstande und Reaktanzen als Schutz fiir Olschalter.

В i e r in a n n s J., Arch. Elektrotechn., 3, 5 (1915).

Uber das Abschalten grosser Wechselstromenergien.

Biermanns J., Elektrotechn. Zs., 325 (1920).

Uber Hochleistungsschalter.

Biermanns J., Elektrotechn. Zs., 51, 1073 (1929).

Hochleistungsschalter ohne 01.

Bier ma n n s J., Elektrotechn. Zs., 53, 641, 675 (1932).

Uber den Unterbrechungsvorgang im Hochleistungsschalter.

Bier ma n n s J., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 52, 369, 384 (1934).

Ollose Schaller.

Blondel A., Carbenay F., Lumiere elec., 34, 97 (1916).

Remarques complemeritaires sur les oscillations forcees des systemes a amortis-
sement discontinu.

Blandford A. R., Journ. Inst. Electr. Eng., 90, P. II, 411 (1943).

Air-blast circuit-breakers.

В о eh ne E. W., Trans. AIEE, 60, 524 (1941); 63, 375 (1944).

The geometry of arc interruption.

Bresson C., Rev'., gen. elec., 53, 203 (1944).

Disioncteur pneumatique a grand pouvoir de coupure pour moyennes tensions.

Bresson C., Bull. soc. franc, electr., 6, 212 (1946).

L’interrupteur pneumatique a resistance.

Browne T. E., Jr., Trans. AIEE, 185 (1932).

Extinction of a-c arcs in turbulent, gases.

Gruce С. E. R., Journ. Inst. Electr. Eng., 69, 557 (1931).

The distribution of energy liberated in an oil circuit-breaker; with a contribution
to the study of the arc temperature.

В r ii h I in . n n G., Schweiz. Bull., 81 (1925).

Die theorelischen und praktischen Giundlagen fiir den Bau, die Wahl und den Bet-
rieh von Olschaltern.

Charpentier P, Rev., gen. elec., 9, 687 (1921).

Un criterium de la capacite de rupture des disjoncteurs a huile.

Clerc A , Rev. gen. elec., 38, 741, 782 (1935).

Perfectionnements aux mterrupteurs a haute tension a soufflage par air comprime.

Cox H. E., Wilcox T. W., Journ. Inst. Electr. Eng., 94, P. II, 351 (1947).

The performance of high-voltage oil circuit-breakers incorporating resistance
switching.

Davies H. R., Electrician, 89, 6 (1922).

Considerations relating to the design of oil circuit-breakers.

Davies D. R., Flurscheim С. H., Journ. Inst. Electr., Eng., 79, 129 (1936).

The development of the single-break oil circuit-breaker for metalclad switchgear.

Gerstmeyer M., Elek. Kraftbetr. Bahn., 141 (1911).

Versuche iiber das Ausschalten von Wcchselstrom.

Gerszonowicz S., High Voltage Alternating Current circuit-breakers. London, 1950
(содержит библиографию).

Haag L., Schwenk O., Elektrotechn. Zs., 55, 211 (1934).

Besondere Anwendung des Stromungsprinzips bei ollosen Leistungschaltern.

Hill A. W., Mac Neill J. B., Trans. AIEE, 58, 427 (1939). .

Multiple-grid breakers for high-voltage service.

Hilliard J. D., MacNeil! J. B., Journ. AIEE, 530, 537 (1922).

Tests on oil circuit-breakers at Baltimore.

Jansson G. E., Trans. AIEE, 67, 1675 (1948).

Large indoor power air blast breakers.

Kaufmann W., Elektrotechn Zs., 895 (1930).

Schaltlcistung imd Schaltarbeit.

Kesselring F., Elektrotechn. Zs., 499 (1930)

Der Expansionsschalter.

Kesselring F., Zs. Ver. deut. Ing., 78, 293 (1934).

Der Expansionsschalter.

Kesselring F., Elektrotechn. Zs., 51, 1005 (1929).

Das Schalten grosser Leistungen.

Kesselring F., Koppelmann F., Arch. Elektrotechn., 29, 1 (1935); 30,
71 (1936); 35, 155 (1941).

Das Schaltproblem der Hochspannungstechnik.
Killgore С. L., Clagett W. Н., Trans. AIEE, 67, 271 (1948).

Field tests for development of 10 000 000-kva, 230-kva oil circuit-breakers for
Grand Coulee power plant.

Koller R., Trans. AIEE, 65, 597 (1946).

Fundamental properties of the vacuum switch.

Kopeliowitch J., Schweiz. Bull., 541 (1928).

Neuere Forschungsergebnisse iiber Vorgange beim Schalten unter 01.

Lindstrom I., Тек. Tid., 77, 561 (1947)

Present features of compressed air breakers.

Linke W., Elektrotechn. Zs., 757 (1914).

Schaltvorgange bei elektrischen Maschinen und Transformatoren.

Marguerre F., Elektrotechn. Zs., 709 (1912).

Einige Versuche mit Olschaltern

Mayr O., Kesselring F., Roth A., Schweiz. Bull., 605, 610, 619 (1932).

Die Resultate neuerer Forschungen iiber den Abschaltvorgang im Wechsclstrom-
lichtbogen und ihre Anwendung im Schalterbau.

Mayr O., Elektrotechn. Zs., 53, 75, 121 (1932); 55, 757, 791, 837 (1934).
Hochleistungsschalter ohne 01.

Merriam E. B.~, Proc. AIEE, 195, 1431 (1911).

Some recent tests of oil crcmt-breakers.

Osborne \1 F. M., Trans. ASME, 70, 253 (1948).

The shock produced by a collapsing cavity in water.

Pilcher E. E. I., Journ. Inst. Elektr. Eng., 85, 143 (1939).

High-speed oil circuit-breakers; Interpretation of single-loop oscillograms.

Pollard A. H., CIGRE, No 136 (1946).

Use of resistance switching in the interruption of high voltage circuits.

Prince D. C., Electr. Eng., 54, 366 (i935).

Circuit-breakers for Boulder Dam line.

Puppikofer II., Bull. asso. sui elec., 27, 749 (1936).

Die Entwicklung der Lichtbogenloscheinrichtungen der modernen Leistungsschalter.

Randall К. C., Proc. AIEE. 271 (1915).

Oil circuit-breakers.

Roth A., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 51, 184 (1933).

Die Weiterentwicklung des Niederdruck LufUchalters.

Roth A., Bull. asso. sui. elec., 25, 18, 154, 392 (1934).

Neue Erkenntnisse uber den Abschaltvorgang in Wechselstromschaltern und ihre
Anwendung auf den Bau des Oelstrahlschalters fur Hochstspannung.

Skeats W. F., Saylor W. R., Trans. AIEE, 59, 111 (1940).

High capacity hydro-blast circuit-breakers for central-station service.

Skeats W F., Electr. Eng., 55, 710 (1936).

Special test on impulse circuit-breakers.

Slepian J., Trans. zMEE, 49, 421 (1930).

Extinction of a long a-c arc.

Slepian J., Trans. AIEE, 523 (1929).

Theory of the deion circuit-breaker.

Sorensen R. W., Mendenhall H. E., Trans. AIEE, 1102 (1926).

Vacuum switching experiments at California Institute of Technology.

S p о r n P., Clair il P., Electr. World, 85, 970 (1925).

High-voltage circuit breaker tests.

Stern G., Biermanns J., Elektrotechn. Zs., 617 (1916).

Olschalterversuche.

T о r c h i о P., Journ. AIEE, 120 (1921).

High-current tests on high-tension switchgear.

Van Sickle R. C., Electr. Eng., 56, 1018 (1937).

Capacitance control of voltage distribution in multibreak breakers.

Wall T. F., Electrician, 76, 640 (1916).

Means for producing a sparkless break of an inductive circuit.

Walty W., Brown Boveri Rev., 22, 199 (1935).

The Brown Boveri air-blast high-speed circuit-breaker.

Wilcox H. M., Electr. World., 106, 3905 (1936).

Proving tests for high-voltage breakers.

Committee on Electrical-Heating, Resistance and Furnace Alloys: Bibliography and
Abstracts on Electrical Contacts, American Society for Testing Materials, Phila-
delphia, 1944; Supplements 1945, 1946, 1947.
Глава 40

ВОССТАНОВЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПОСЛЕ ОТКЛЮЧЕНИЯ

При рассмотрении в гл. 39 процесса отключения с дугой мы учи-

тывали влияние лишь индуктивности цепи. Однако из предыдущего,

Фиг. 457.

в частности из гл. 7, известно, что паразитные ем-
кости цепи оказывают существенное влияние на
процессы, происходящие в ней в течение небольшого
промежутка времени, непосредственно следующего
за отключением. Поэтому рассмотрим теперь размы-
кание цепи, изображенной на фиг. 457, где С озна-
чает ту небольшую емкость, которой совместно об-

ладают провода, трансформаторы, машины и прочие элементы сети.
В установившемся режиме до отключения напряжение источника и ток

e = 7?sin (<>>£-[- ф),
i = I cos (wt -J- <р).

в цепи равны

(40.1)

Здесь I может означать амплитуду периодической составляющей тока ко-

роткого замыкания.

После отключения или других внезап-
ных изменений в цепи возникают свобод-
ные колебания. На фиг. 458 такие коле-
бания заметны в момент резкого возра
стания напряжения дуги, возникающего
при каждом прохождении тока через нуль
и, в особенности, после окончательного
прекращения тока. Это восстанавливаю-
щееся напряжение является причиной пере-
напряжения в сети, главным образом на
выключателе, и может превысить нормаль-
ное напряжение сети в 2 или большее
число раз.

Если восстанавливающееся напряже-
ние больше той пробивной прочности, ко-
торой обладает дуговой промежуток после
прохождения тока через нуль, то дуга

Фиг. 459.
зажжется вновь. На фиг. 458 отмечено шесть таких повторных зажиганий,
происходящих во время постепенного расхождения контактов прп каждом
изменении направления тока. При последней перемене направления тока
восстанавливающееся напряжение оказалось недостаточным для зажига-
ния дуги и цепь окончательно отключилась. Мы видим, следовательно,
что хотя паразитные емкости отключаемой цепи обычно бывают малы, они
играют в процессе отключения очень важную роль, определяя успешность
действия выключателя.

§ 1. Быстрый рост напряжения цепи. В цепях с большой пндуктив-

ностью и малым активным сопротивлением (а с
дело при отключении тока короткого замыкания)
и токи определяются следующими выражениями

и (7.6)]:

ними приходится иметь
свободные напряжения
[см. соотношения (7.5)

e^Ece-^sin (W-H),
i" = 1"е-Ц2Т COS (yt -f- -у).

При малом затухании постоянная времени Т и
соответственно равны

R ’

V =

1
/ЕС

Начальная фаза 7 свободных колебаний находится
tg7 = vtS?’

(40.2)

собственная частота v

(40.3)

из соотношения

(40.4)

где <р —фаза тока i в момент отключения, отсчитываемая от его положитель-
ного максимума [см. выражение (40.1)]. Согласно выражениям (7.42) и (7.45),
амплитуды этих свободных колебаний в цепи с малым затуханием опре-
деляются следующим образом:

Е"с = ]/" I" = £ ]/"(^ cos2 ср-[-sin2 ср. (40.5)

Нас интересует прежде всего восстанавливающееся напряжение е'с, ко-
торое возникает очень быстро после каждого прохождения тока через нуль.
Амплитуда и начальная фаза восстанавливающегося напряжения в сильной
степени зависят от фазы тока ср в момент отключения. На фиг. 459 показано
несколько примеров нарастания этого напряжения, возникающего на емко-
сти С и, как следует из схемы на фиг. 457, также на дуге, при различных фазах
отключения. При ср =90° ток отключается в момент его прохождения через
естественное нулевое значение [см. выражение (40.1)]. В этом случае, соглас-
но выражению (40.4), у=90° и, следовательно, напряжение, определяемое
выражением (40.2), нарастает по закону косинуса, т. е. сначала медленно,
а затем быстрее. В соответствии с выражением (40.5) его наибольшее значе-
ние равно амплитуде напряжения сети. Таким образом, напряжение на
емкости удваивается, что и показано на фиг. 459.

Если отключение происходит в момент, когда фазный угол ср=О°, т. е.
при прохождении тока через максимум, то начальная фаза восстанавливающе-
гося напряжения 7=0. В этом случае напряжение, меняясь по закону
синуса, быстро растет вначале и достигает наибольшего значения, превос-
ходящего, согласно выражению (40.5), амплитуду напряжения сети в число
раз, равное отношению собственной частоты v к частоте сети и. Соответствую-
щая кривая также показана на фиг. 459. Из выражения (40.5) видно,
что вследствие большой величины отношения v/ui при промежуточных значе-
ниях фазы отключения ср амплитуда свободной составляющей напряжения
почти пропорциональна cos ср, т. е. отношению мгновенного значения тока
в момент отключения к его амплитудному значению. Однако соотношение
(40.4) показывает, что начальный фазный угол 7 остается почти равным
нулю вплоть до углов отключения, весьма близких к ср = 90°. Отсюда следует,

что все кривые восстанавливающегося напряясения начинаются как сину-

соиды, за нсключенпем тех, которые соответствуют значениям ср, близким

к 90°. На фиг. 459 показа-
на также кривая для про-
межуточного угла отклю-
чения ср = 45°.

Если параллельно дуге
включена емкость С, но от-
деленная от дуги индук-
тивностью, как, например,
на фиг. 457, то в принципе
возможно мгновенное га-
шение дуги при любой ве-

личине тока. Прп этом ток
дуги может в любой момент переброситься в емкость и быстро зарядить ее
до высокого напряжения, величина которого была определена выше. Вслед-

ствие малой продолжительности процесса зарядки немедленно последует

повторное зажигание дуги, и так может повторяться много раз па протя-
жении времени горения дуги. Возможно, что зубчатые кривые напряжения,
которые часто наблюдаются при отклю-
чении, такие, как, например, на осцил-
лограмме фиг. 460, возникают именно
в результате подобных многократных
зажиганий. При последнем прохож-
дении тока через нуль, которое про-
изошло здесь с небольшим опережением,
как это можно заметить пз сопоставле-
ния длительности различных полупери-
одов (см. фиг. 460), восстанавливающее-
ся напряжение может уже нарастать
по кривой, более приближающейся
к косинусоиде (крайняя правая кри-
вая на фиг. 459). При этом несколько
увеличивается промежуток времени,
в течение которого может происходить
охлаждение и деионизация, а следова-
тельно, и повышение электрической
прочности дугового промежутка, что
уменьшает вероятность повторного за-

жигания дуги. После гашения дуги начинаются свободные колебания напря-
жения, затухающие с постоянной времени цепп Т.

Форма кривой восстанавливающегося напряжения оказывает большое
влияние на процесс отключения тока выключателем. Поэтому на фиг. 461

приведены такие кривые для различных углов отключения ср при отношении
частот v/o)=100, представляющем одно из наименьших значений этого отно-
шения, встречающихся на практике. Начала всех кривых, соответствую-
щие различным моментам отключения, совмещены в одной точке. Плавный

подъем напряжения и достаточное время для охлаждения дуги получаются
только при <р=&90, т. е. при углах, весьма близких к естественному нулю
тока. Прп меньших углах ср, т. е. при преждевременных отключениях, напря-
жение с самого начала нарастает очень круто.
Далее, на фиг. 461 построены пунктиром две кривые, представляющие
изменение во времени пробивной прочности дугового промежутка после га-
шения дуги. Пробивная прочность, наоборот, возрастает быстро после про-
хождения тока через естественное нулевое значение, как это получается
при ср =90°, и медленно, если дуговой промежуток был прогрет наибольшим
значением тока в результате отключения при <р=0°. Кривые восстановления
прочности дугового промежутка, построенные по данным некоторых измере-
ний, следует рассматривать как примерные: точная форма этих кривых зави-
сит от многих обстоятельств. Если кривая восстанавливающегося напряже-
ния касается или пересекает соответствующую ей кривую восстановления
прочности промежутка, то дуга зажжется снова. Вероятность повторного
зажигания получается наибольшей в случае преждевременного отключения
коротких дуг, и наименьшей—при отключе-
нии длинных дуг вблизи естественного ну-
ля тока.

Казалось бы, что при таком течении про-
цесса преждевременное отключение тока
практически отпадает. Однако внимательное
рассмотрение осциллограмм гашения дуги
показывает, что последний полупсриод тока

получается значительно короче предшеству- Фиг. 462.

ющих. Это можно объяснить только тем,
что для гашения дуги требуется конечное время, которым мы пренебрег-
ли. Если между дугой и емкостью (см. фиг. 457) оказывается включенной хотя
бы незначительная индуктивность, мгновенное гашение дуги становится

невозможным.

Составим дифференциальное уравнение для тока и напряжения дуги,
горящей в цепи, показанной на фиг. 462. Для упрощения решения
пренебрежем всеми активными сопротивлениями, кроме сопротивления
дуги. Для контура, содержащего источник и дугу, можно записать сле-
дующее уравнение:

г di 1

e~L Tt+eB'

(40.6)

Так как напряжение дуги совпадает с напряжением на конденсаторе, то

ев = ес = ic dt.

Полный ток, протекающий по индуктивности, равен
i — ic + гв-

(40.7)

(40.8)

Подставляя выражение (40.8) в уравнение (40.6) и выражая емкостный
ток в соответствии с формулой (40.7), находим

г г di г>

e==LC-^- + eB L~dT-

(40.9)

Это уравнение связывает между собой ток п напряжение дуги до, во время
и после ее гашения. В процессе нормального горения дуги промышлен-
ной частоты первый член в правой части ничтожно мал, так как соб-
ственная частота цепп v очень высока [см. второе соотношение (39.3)].
Таким образом, установившееся или квазистационарное горепие дуги
переменного тока описывается соотношениями, выведенными в гл. 39.
Только при быстром изменении ев, которое имеет место при прохождении
тока через нуль, вторая производная от ев может стать настолько боль-
шой, что первый член уравнения (40.9) приобретет некоторое значение.
После гашения дуги iB = 0, и, следовательно, последний член уравнения
(40.9) обращается в нуль, а само уравнение переходит в уравнение обыч-
ного колебательного контура, изученное ранее.

В процессе гашения дуги все члены уравнения (40.9) одинако-
во важны. В этом режиме напряжение ев зависит и от величины
тока и от времени. Но ток, в свою очередь, зависит от времени, и поэ-
тому целесообразно задаться следующей зависимостью напряжения дуги
от времени:

—to

eB = ebeQ —еье1'^, (40.10)

т. е. предположить, что напряжение гаснущей дуги возрастает со време-
нем по показательному закону, как показано на фиг. 463. Через Г обо-
значено время, отсчитываемое от начала погасания, еь — напряжение дуги

Ф и г. 463.

в предшествующем установившемся ре-
жиме и Q — постоянная времени деиони-
зации дугового промежутка, зависящая
от скорости протекания процессов диф-
фузии, рекомбинации попов, снижения
температуры дуги и контактов выклю-
чателя. Так как все эти процессы про-
текают во времени по почти показа-
тельному закону, то можно принять
формулу (40.10) в качестве закона из-
менения напряжения дуги. На боль-
шинстве осциллограмм рост напряже-
ния при отключении может быть пред-
ставлен показательной функцией. По-
стоянная времени Q определяется мгно-
венным значением баланса энергии

в дуге и принимает весьма различные
значения в разных средах. В воздушных выключателях, где газовая плазма
состоит из азота и кислорода, она имеет величину порядка 10'3 сек., при
наличии примесей водорода, т. е. в масляных и водяных выключателях,
^^10 4 сек., а в чистом водороде <2^10'6 сек. Величина постоянной вре-
мени зависит, далее, от того, возрастает, уменьшается, остается неизмен-

ным или равняется нулю ток дуги.

До момента времени t0 напряжение дуги остается на протяжении
каждого полупериода почти неизменным. После момента Zo оно возра-
стает в соответствии с выражением (40.10), в то время как напряжение
сети е изменяется по синусоидальной кривой. Таким образом, до момента
времени t0 вторая производная от ев в уравнении (40.9) равна нулю,
а ток изменяется в точности так, как было показано в гл. 39, и может
быть определен из соотношений (39.4), (39.8) и (39.9) и по графикам
фиг. 426 и 427. Однако после момента t0 вторая производная равна

= (40Л1-)

и из уравнения (40.9) следует

L = (40-12)

где LC заменено на 1/v2. Это уравнение можно проинтегрировать, после
чего получится выражение для тока дуги, начиная с момента Zo,
Здесь г0 означает начальный ток дуги, найденный или из уравнения
(39.9), или геометрическим построением (см. фиг. 426).

Таким образом, под действием возрастающего по показательному
закону напряжения дуги ток убывает по такому же закону. Этот про-
цесс развивается быстро, и ток, изменяясь по показательному закону,
прошел бы через свое нулевое значение, если бы только в этот момент
не переменился зпак напряжения дуги. Согласно выражению (40.13),
ток обращается в нуль в момент, определяемый равенством

eflQ =

i.L

ebQ (1 + W)

М.

(40.14)

В режиме, предшествующем отключению, ток определяется главным обра-
зом индуктивностью L, т. е.

(40.15)

Подставив это выражение в часто встречающееся отношение из правой
части равенства (40.14)

(40.16)

(j I wQ <s>Q 1 '

где i0/1 = cos ср — величина, очень близкая к отношению начального тока
гашения к наибольшему значению тока перед гашением. Из выражения
(40.14) находим время гашения

(fe-gfari + lg. 1 1. (40.17)

Предположим для примера, что емкость очень мала, т. е. частота v
очень велика, так что сумма, стоящая в скобках в знаменателе выраже-
ния (40.17), равна единице. Тогда время гашения определяется только
явлениями в дуге. Пусть постоянная времени деионизации (? = 10'4 сек.,
отношение напряжения горения дуги к амплитуде напряжения сети
еь/£ = 1/20 и гашение начинается при токе г0// = 1/5 от наибольшего
значения тока, предшествующего разрыву цепи.

Подставляя эти данные в выражение (40.17), подсчитываем величину
логарифма и получаем

Ь (1 + |-20 ) = In (1 + 127) = 4,85.

При других исходных данных это число мало изменится, поскольку здесь
имеет место логарифмическая зависимость. При меньшей собственной
частоте, например порядка 104 гц или еще ниже, величина логарифма
существенно не изменится. Только при очень малом токе г0 или очень
низкой частоте v это число будет приближаться к нулю. Во всяком слу-
чае, время гашения пропорционально постоянной времени Q и потому
всегда получается одного порядка со временем деионизации, будучи,
правда, больше или меньше его в несколько раз.

Напряжение гашения, соответствующее нулевому значению тока,
находится подстановкой выражения (40.14) в (40.10) и в связи с соотно-
шением (40.16) оказывается равным

е1 = еь + mQ(l+l/4,2Q2) •£- (40.18)

На фиг. 463 построены кривые изменения тока в гаснущей дуге для
различных значений параллельно включенной емкости. При полном
отсутствии емкости собственная частота v = со и напряжение гашения
равно

= (40.19)

При очень большой емкости получается низкая собственная частота иг
следовательно, второй член в выражении (40.18) можно отбросить. В этом
крайнем случае, согласно выражению (40.17), время гашения уменьшается
до нуля, так как второй член суммы под знаком логарифма также можно-
отбросить. Следовательно, ток перебрасывается мгновенно вз дуги в ем-
кость. Действительно, параллельное подключение большой емкости
является хорошо известным способом гашения дуги.

При указанных в нашем примеро численных значениях параметров
и при отсутствии шунтирующей емкости напряжение гашения, согласно
выражению (40.19), равно

е1 = еЬ + й^Е = еь+6,37Е.

Такое большое значение является следствием предположения о пре-
ждевременном отключении при 1/8 полного тока. Параллельное включение
небольшой емкости, которой соответствует собственная частота 104 гц,
уменьшает второй член 6,37т? в соответствии с выражением (40.18) в

1 (2те 104-10~4)2 = 1 ^>025 = 1,03 раза.

При большей емкости и частоте 103 гц второй член уменьшается в

1 + (ЭТ^=1 + 2’53 = 3’53 Раза’

а при еще большей емкости п частоте 102 гц он уменьшается в

1 + (2п 10». 1(Г4)« = 1+ 253 = 254 раза.

В этом случае достигается почти мгновенное отключение, так как
тот же делитель входит в выражение (40.17) для времени гашения. Непо-
средственное шунтирование дуги большой емкостью ведет к часто повто-
ряющимся быстрым погасаниям и повторным зажиганиям, число кото-
рых может быть во много раз больше, чем на снятой в процессе горения
осциллограмме, показанной на фиг. 460. Собственные частоты силовых
цепей без специально подключенных емкостей бывают значительно выше
103 гц и, следовательно, мало влияют на напряжение гашения при той
постоянной времени деионизации Q = 10'4 сек., которой мы задавались.

Зарядный ток равен

ic = С (e^'/Q) = e^!Q. (40.20)

Он возрастает так же, как и напряжение, по показательному закону.
Из выражении (40.20), (40.14) и (40.3) следует, что к концу процесса
гашения зарядный ток равен

»ci=q-еь [ 1-h ebQ (141/^0») ] =Qeb + l + °2Q2 • (40.21)

Процесс гашения начинается с повышения напряжения дуги, сопро-
вождающегося переходом тока из дуги в емкость. Охлаждение дуги идет
быстрее, тем самым ускоряется повышение напряжения и весь процесс
в целом интенсифицируется. Емкость, заряжаясь, разгружает дуговой
промежуток от нагревающего его тока. Следовательно, постоянная вре-
мени Q не может быть полностью независимой от величины шунтиру-
ющей емкости С.

Если в ходе этого процесса напряжение гашения поднимается до вели-
чины, значительно превышающей предшествующее напряжение горения
дуги, то имеются все основания ожидать, что при перемене знака тока
пробивная прочность дугового промежутка будет больше восстанавлива
ющегося напряжения. Однако величина и начальная фаза этого напря-
жения в сильной степени зависят от рассматриваемого процесса гашения.

Чтобы найти истинное значен ie восстанавливающегося напряжения,
нужно применить общие соотношения (3.9) к напряжению на конденса-
торе и к току через индуктивность в момент гашения. В целях упроще-
ния задачи пренебрежем малым напряжением горения еь, а также весьма
малым током рабочей частоты, протекающим через емкость в установив-
шемся режиме. Время t будем отсчитывать теперь от момента гашения.
Полагая в соотношениях (40.2) для свободных величин Z = 0 и используя
выражения (40.18) и (40.21) без их первых членов, получаем

Ес sin 7 = есо - е'со = + # sin ср,

. (40.22)

I" cos 7 = iL0 - i'L0 = pqz ”2<?2 0.

В последнем члене первого соотношения угол ср отсчитывается от конца
периода гашения, в то время как в выражении (40.16) он отсчитывался
•от его начала. Но как можно видеть из подсчета времени гашения, произ-
веденного по формуле (40.17), выраженная в градусах разность углов
будет невелика.

После деления первого пз соотношений (40.22) на второе получаем
следующее выражение для определения начальной фазы восстанавлива-
ющегося напряжения [см. выражение (40.5)]:

Это выражение можно упростить, если подставить частоту v вместо С и L
и использовать соотношение (40.16); в результате получим

tgl = ><? + (l H2«?2)“tgcp. (40.24)

В случае мгновенного отключения (? = 0, и выражение (40.24) сво-
дится к известному уже выражению (40.4). При конечной величине посто-
янной времени гашения Q начальная фаза увеличивается, а это, как
видно пз фиг. 461, оказывает значительное влияние на скорость восста-
новленпя напряжения. Из кривых фиг. 461 было найдено, что при мгно-
венном отключении угол у вследствие большой величины v весьма мал
для всех значений ср, кроме близких к 90°.

В силовых цепях величина <o/v часто бывает порядка 1/ю0 пли
меньше. Таким образом, прп значениях vQ, меньших единицы, первый
член правой части соотношения (40.24) является преобладающим, особенно
прп малых и средних значениях угла отключения ср. В результате началь-
ные фазы 7 существенно отличаются от нуля и, следовательно, восстана-
вливающееся напряжение не будет резко возрастать. При значениях vQ,
больших единицы, преобладающим становится второй член правой части
соотношения (40.24) и начальная фаза 7 быстро приближается к 90°.
В этом случае соотношение (40.24) можно упростить, а именно:
В табл. 11 приведены произведения vQ для ряда значений собствен-
ной угловой частоты v, встречающихся в силовых цепях, и для ряда зна-
чений постоянной времени гашения Q, свойственных дугам выключателей.

В последней строке этой таблицы
приведены значения отношения
w/v, определяющие последний член
соотношения (40.24), а в крайнем
правом столбце даны значения
для частоты сети 50 гц. Из табл. 11
видно, что первый член соотноше-
ний (40.24) и (40.25) обладает та-
кой величиной, что соответствую-
щая ему начальная фаза у близ-
ка к 90°; исключение составляет
случай работы выключателя с бы-
стрым гашением дуги в цепи с низ-
кой собственной частотой. Боль-
шая начальная фаза у приводит
к замедленному восстановлению
напряжения, даже при небольших
углах отключения ср. На фиг. 464
построены кривые зависимости на-
чальной фазы р от угла отклю-

чения ср как при мгновенном отключении, так и при постепенном гашении
дуги с постоянной времени Q = 10-4 сек. и при отношении частот v/ы = 100.

Таблица 11

ЗНАЧЕНИЯ v<2. ujQ и ui/v ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ЦЕНЕН И ВЫКЛЮЧАТЕЛЕЙ,
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ НАЧАЛЬНУЮ ФАЗУ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГОСЯ НАПРЯЖЕНИЯ

Постоянная времени гашения дуги Q, сек. Значения при различных собственных частотах цепи &Q
3-104 радиан/сек. 3-105 радиан/сек. 3-10в раднан/сек.
10-3 30 300 3000 0,31
10-4 3 30 300 0,031
10-6 0,3 3 30 0,0031
ы/ч 10-2 IO"3 10-4

Как видно из этой таблицы, для большинства выключателей произ-
ведение значительно больше единицы и, следовательно, значение tg2?
велико по сравнению с единицей; таким образом,

= tg2?~tgT. (40.26)

Из второго соотношения (40.22) находим теперь следующее выражение-
для тока:

Г = *• V =( 4+v •

(40.27)
На основании выражений (40.16) и (40.27) амплитуда свободного
напряжения равна

= + (40.28)

Окончательно получаем

= (40 29)

Сопоставляя это выражение с выражением (40.5), замечаем, что их пер-
вые члены, доминирующие при преждевременном отключении, разли^-
чаются тем, что в выражение (40.29) вместо собственной частоты v входит
величина, обратная постоянной времени гашения Q, имеющей конечное
значение. Собственная частота в по-

следнее выражение вообще не вхо-
дит. На фиг. 464 показаны кривые
зависимости амплитуды свободной со-
ставляющей восстанавливающегося на-
пряжения от угла ср для случаев мгно-
венного отключения тока и отключе-
ния с конечным временем гашения ду-
ги. Эти графики построены для тех же
значений параметров v/cu и Q, для ко-
торых строились кривые у (ср). Выра-
жение (40.29) справедливо для значе-
ний vQ, несколько больших единицы;
оно показывает, что в этом случае ве-
личина восстанавливающегося напря-
жения совершенно не зависит от зна-
чения частоты цепи v. При ср = 90° на-

пряжение равно Е'с = Е, т. е. принимает такое же значение, как и при
мгновенном отключении. Таким образом, это предельное значение напря-

жения не зависит от закона, по которому происходит гашение дуги.

Рассмотрим численные примеры. При мгновенном отключении цепи
(для ее собственной частоты возьмем среднюю величину 50 кгц), проис-

ходящем до естественного прохождения тока через нуль, амплитуда вос-
станавливающегося напряжения приближенно равна

Е'с = — Е cos ср = Е cos ср = 1000 Еcos ср.
CD 1 ОО ‘

Мы пренебрегли здесь членом, содержащим sin ср, так как он не имеет
существенного значения.

При постепенном отключении, когда гашение дуги происходит с по-
стоянной времени Q —10-4 сек., амплитуда напряжения оказывается
меньше на порядок величины и равна

Е”с = cos -р = 3^—Е cos ср = 31,8 Е cos ср.

Если гашение происходит с опережением в 10°, как это часто бывает при
отключении токов короткого замыкания, то cos 80° = 0,174 и, следовательно,
амплитуда восстанавливающегося напряжения получается в 31,8-0,174 = 5,5
раза больше амплитуды напряжения сети. Это отношение будет, конечно,
еще меньше вследствие наличия в цепи активных сопротивлений, вызы-
вающих затухание, влияние которого находит свое выражение в постоян-
ной времени Т [см. соотношение (40.2)].
На фиг. 465 показаны такие затухающие колебания при восстано-
влении напряжения, начинающиеся с последнего значения напряжения
дуги (напряжение гашения) eL. С физической точки зрения, уменьшение
амплитуды колебаний и получение более благоприятного значения началь-
ной фазы под влиянием ускоренного гашения дуги объясняется тем, что
с повышением напряжения дуги ток перебрасывается из дуги в шунти-
рующую емкость еще до окончания процесса отключения.

§ 2. Сложные колебания. Очень часто выключатель оказывается рас-
положенным не непосредственно у места короткого замыкания, а на неко-
тором расстоянии от него. Тогда и участок цепи, где произошло короткое
замыкание, и участок, прилегающий к генератору, могут содержать зна-
чительные индуктивности и емкости. Такая цепь показана па фпг. 466.

Она может соответствовать случаю, когда
выключатель установлен между шинами,
питающими отходящую линию, в кото-
рой произошло короткое замыкание, и
реактором, ограничивающим величину
тока короткого замыкания.

еа

Ф и г. 466.

Фиг. 467.

В рассматриваемой цепи напряжение источника делится на две части,
пропорциональные индуктивностям участков, на которые опа распадается.
Емкости участков обычно бывают настолько малы, что проходящим через
них током рабочей частоты можно пренебречь как в режиме короткого
замыкания, так и при нормальной работе. Следовательно, амплитуды
напряжений на двух индуктивностях цепи перед отключением равны

L,__

Li + L%

Е’ Е^Т^Е-

(40.30)

Начиная с момента окончательного прекращения дуги, левый и пра-
вый контуры цепи, изображенной на фиг. 466, оказываются полностью
разобщенными, и в них возникают колебания с собственными частотами

1 1

п = ________ . (40.31)

1 V LiCr 2 v L2Ci V 1

Эти частоты могут значительно отличаться дру1 от друга. Колебания
в контуре генератора происходят с частотой в точности так, как было
описано выше, но только с меныпим начальным напряжением Ег. В кон-
туре короткого замыкания возникают колебания с частотой v2 и с началь-
ным напряжением Е2. Эти колебания постепенно затухают, поскольку
во втором контуре нет никакого источника.

На фиг. 467,а показаны кривые изменения во времени напряжений
па емкостях ect и ед2 после отключения, происшедшего в момент про-
хождения тока через нуль. Там же построены кривые напряжений Ег и Е2,
сумма ординат которых дает напряжение генератора до отключения.
Напряжение на выключателе после разрыва цепи определяется как раз-
ность между напряжениями на емкостях

С = eci — бег = Е cos tot — 7?1e~,/Ti cos — E2e~tITi cos v2t. (40.32)

Различие в затухании в этих двух контурах учитывается двумя
постоянными времени Т1 и Т2. Кривая напряжения на выключателе,
построенная непосредственно по кривым фиг. 467, а, показана на фиг. 467, б.
Мы видим, что напряжение, восстанавливающееся в дуговом промежутке,

Генератор Трансформатор

Фиг. 469.

имеет теперь более сложную форму, так как оно получается путем нало-
жения друг па друга двух свободных колебаний. Однако если отключе-
ние происходит прп нулевом значении тока, это напряжение никогда
не может превысить значения

(е3)макс. = Е |- Ег -I- Е2 = 2Е. (40.33)

Максимальное напряжение обычно бывает несколько меньше этого значе-
ния, так как частоты и v2 не связаны между собой и, следовательно,
амплитуды соответствующих им колебаний наступают неодновременно.
В случае преждевременного отключения обе амплитуды свободных коле-
бании Е1иЕ2 увеличиваются в число раз, определяемое выражением (40.29).

Если выключатель расположен не вблизи генератора, а в какой-либо
удаленной от него точке сети, то между ним и генератором окажется вклю-
ченным ряд индуктивностей и емкостей. Так, например, если цепь размы-
кается за трансформатором, который питается от генератора, как показано
на фиг. 468, то каждый из этих элементов цепи может представлять собой
колебательный контур со своей собственной частотой. В этом случае напря-
жения, действующие в контурах, определяются, как и рапьше, соотношения-
ми (40.30); напряжение на выключателе дается соотношением (40.32), а наи-
большее возможное значение напряжения—выражением (40.33). Действи-
тельно, цепп, представленные на фиг. 468 и 466, идентичны в электрическом
отношении. Следовательно, напряжения на двух участках цепи и на выклю-
чателе изменяются во времени в соответствии с кривыми фиг. 467, а частоты
Vj и v2, определяемые выражениями (40.31), являются теперь собственными
частотами генератора и трансформатора. Таким образом, не имеет значения,
по какую сторону от выключателя расположены колебательные контуры
цепи.

Реальный трансформатор характеризуется не только внутренними емко-
стями обмотки, но и значительно большими емкостями между обмоткой
и землей или между рассматриваемой и остальными обмотками трансформа-
тора. Это замечание в равной мере относится и к генератору. Соответствую-
щая эквивалентная схема показана на фиг. 469. Эта схема, более точно отра-
жающая колебательные свойства важнейших элементов цепи, представляет
32 р. Рюденберг
сложную колебательную цепь. Однако, пользуясь хорошо известными пра-
вилами теории цепей, можно преобразовать схему на фиг. 469 с емкостями
С{ и С2 в схему на фпг. 468, в которой Cj и С2 следует теперь рассматривать
как эквивалентные емкости. Эти емкости, взаимодействуя независимо друг
от друга с индуктивностями и Ь2, определяют нормальные колебания
цепи, происходящие с частотой v, в контуре L1Cl и v2 в контуре Ь2 С2. Отсю-
да вытекает, что схема нафиг. 468 позволяет найти истинное значение восста-
навливающегося напряжения [см. соотношения (40.30) и (40.32)1 независимо
от того, где сосредоточены емкости. Для этого при расчетах следует исполь-
зовать значения индуктивностей L, собственных частот v и постоянных вре-
мени Т, соответствующих нормальным колебаниям.

На практике часто встречаются еще более сложные цепи. На фиг. 470
показана схема цепи, состоящей из генератора, трансформатора и под-
земного кабеля, расположенных на схеме слева от выключателя, реактора

Ф и г. 470.

и воздушной линии, в которой произошло короткое замыкание, расположен-
ных справа от выключателя. Все перечисленные элементы цепи обладают
индуктивностью и емкостью (между ветками, относительно земли и др.).

Фпг. 471.

Эта цепь может быть преобразована в эквивалентную схему, показанную на
фиг. 471, где каждая из емкостей включена параллельно соответствующей
индуктивности; значения индуктивностей в эквивалентной схеме почти
такие же, как в первоначальной цепи. Для восстанавливающегося напряже-
ния на выключателе получается теперь более сложное выражение

е=Е cos wt — У Епе~ЧТи cos vJ,
О IP /М

(40.34)

где vn означают «приведенные» или нормальные частоты, Тп—соответствую-
щие постоянные времени различных элементов и

Еп = ^Е (40.35)

—начальные амплитуды нормальных колебаний независимых элементов.
При определенных обстоятельствах начальные значения амплитуд могут
оказаться увеличенными в число раз, указанное выражением (40.29).

Спектр частот для некоторого частного случая показан на фиг. 472.
В действительности емкости и индуктивности всех рассматриваемых элементов
не сосредоточены в отдельных местах, а распределены по длине проводников.
Поэтому в дополнение к упоминавшимся нормальным колебаниям возникает
бесконечное множество колебаний с частотами, кратными или некратными
частотам нормальных колебаний. На фиг. 472 эти частоты отмечены тонкими
линиями. Однако соответствующие им колебания определяются емкостями
и индуктивностями, которые составляют только небольшую часть полных
значений этих параметров, поэтому колебания с высокими частотами оказы-
вают незначительное влияние на процесс в целом. Итак, мы видим, что в дей-
ствительности восстанавливающееся напряжение состоит из значительного
числа слагающих, и, следовательно, кривая изменения, этого напряжения

I-----1 || ......................... It—V

I Гене- Трансфор- Рван- Линии

* ратор мппор тор

Ф и г. 472.

во времени может быть весьма сложной формы, далеко не похожей на про-
стую синусоиду или косинусоиду. Если отключение цепи происходит в мо-
мент естественного прохождения тока через нуль, то амплитуда результирую-
щего напряжения никогда не может превысить удвоенного значения напря-
жения сети, которое было до отключения.

Собственные частоты различных элементов цепи, встречающихся на
практике, колеблются в довольно широких пределах. В табл. 12 указан
порядок величин собственных частот трех основных элементов силовых сетей.

Таблица 12

ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ ОСНОВНЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ СИЛОВЫХ СЕТЕЙ

Напряжение Собственная частота (в кгц)
генера- торов трансфор- маторов реакто- ров
Высокое 5 15 50
Среднее 15 50 150
Низкое 50 150 500

Вообще говоря, собственная частота каждого из этих элементов тем мень-
ше, чем выше его номинальное напряжение, так как с повышением послед-
него растет активная длина проводов обмоток. Поэтому в сетях высокого
напряжения собственные частоты оказываются сравнительно невыс окими.
Увеличение номинальной мощности сопровождается повышением собствен-
ной частоты (вследствие увеличения магнитного потока и укорочения обмо-
ток), а уменьшение номинальной мощности—ее понижением. При этом соб-
ственная частота почти пропорциональна корню квадратному из номиналь-
ной мощности. Обмотки высшего и низшего напряжений трансформаторов
имеют разные собственные частоты. Собственные частоты подземных кабелей
и воздушных линий передач варьируются в еще более широких пределах,
причем они изменяются примерно обратно пропорционально их длинам. Воз-
душные и кабельные линии, шины распределительных устройств, коммута-
ционные и измерительные аппараты, включаемые между перечисленными
в табл. 12 основными элементами силовых сетей, вносят в сеть дополнитель-
ную емкость, что обычно вызывает существенное снижение собственных
частот.

Рассмотрим на численном примере соотношения, пмоющие место при
отключении линии передачи, на участке которой за реакторами произошло
32*
короткое замыкание; данная линия питается от генераторов электростанции
через повышающий трансформатор. Как видно из фиг. 473, к генераторным
и трансформаторным шинам подсоединены, кроме линии, в которой произо-
шла авария, еще несколько трансформаторов и линий. Во втором столбце
табл 13 указаны значения собственных частот различных элементов сети,
выраженные в процентах.

Таблица 13

АМПЛИТУДЫ И ЧАСТОТЫ СОСТАВЛЯЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЯ, ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГОСЯ
ПОСЛЕ ОТКЛЮЧЕНИЯ, ПРОИЗВЕДЕННОГО В СЕТИ

Элементы сети Собствен- ная частота, % Номинальная мощность Реактивное сопротив- ление, % Реактивное сопротивление, отнесенное к ли- нии передачи, % Еп
Генератор 15 15 20 1,33 16
Трансформатор . . . 25 5 7 1,4 17
Реактор 50 1 5 5 61
Линия 100 1 0,5 0,5 6

В третьем столбце таблицы указаны номинальные мощности элементов,
выраженные в относительных единицах; за единицу выбрана номинальная

Фиг. 473.

мощность линии передачи. Вследствие
разветвленности системы мощность гене-
ратора значительно превосходит мощ-
ность линии. В четвертом столбце даны
падения напряжения на индуктивном
сопротивлении каждого из элементов,
отнесенные к их номинальным токам.
Те же величины, но пересчитанные на
номинальный ток линии передачи, в ко-
торой произошло короткое замыкание,
приведены в пятом столбце. Сумма чи-
сел этого столбца дает полное падение

напряжения, создаваемое током в линии, равное 8,23%; при коротком
замыкании эта величина повышается до 100%. Доли отдельных индуктив-
ностей, участвующих в создании суммарного падения напряжения при
коротком замыкании, выраженные в процентах, указаны в шестом столбце
таблицы.

Рассматривая данные последнего столбца, замечаем, что индуктивность
реактора преобладает над всеми другими индуктивностями. Таким образом,
эта индуктивная катушка, ограничивающая, с одной стороны, разумным пре-
делом ток короткого замыкания, определяет, с другой стороны, основную
часть напряжения, восстанавливающегося после отключения, а именно 61%
этой величины. На фиг. 474 изображена кривая напряжения, восстанавливаю-

щегося на выключателе, составленная из четырех синусоид, частоты и ампли-
туды которых указаны в табл. 13 (столбцы второй и шестой).

Представим себе, что тот же выключатель испытывается в лабораторных
условиях. Мощности генератора и трансформатора могут оказаться при этом
одного порядка с номинальными мощностями линии и реактора. При этих
испытаниях линия может отсутствовать, так как короткое замыкание и в дей-
ствительности могло произойти непосредственно за реактором. Соответствую-
щие данные приведены в табл. 14.
Таблица 14

АМПЛИТУДЫ И ЧАСТОТЫ СОСТАВЛЯЮЩИХ НАПРЯЖЕНИЯ,
ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГОСЯ ПОСЛЕ ОТКЛЮЧЕНИЯ, ПРОИЗВЕДЕННОГО
В ЛАБОРАТОРНЫХ УСЛОВИЯХ

Элементы цепи Собственная частота, % Номинальная мощность Реактивное сопротив- ление, % Еп_Еп Е
Г оператор 15 1 20 63
Трансформатор .... 25 1 7 22
Реактор 50 1 5 15

Относительные падения напряжения на индуктивностях приняты такими
же, как и в предыдущем случае, и в сумме составляют теперь 32%. В пятсм
столбце указаны доли трех элементов цепи в создании падения напряжения

на общем индуктивном сопротивлении; мы видим, что индуктивность генера-
тора является преобладающей. Отсюда следует, что ток короткого замыкания
и форма кривой восстанавливающегося напряжения определяются здесь
в основном именно этим элементом сети. Кривая восстанавливающегося
напряжения для рассмотренного случая построена на фиг. 475 в том же мас-
штабе, что и на фиг. 474. Сопоставляя между собой эти две кривые, замечаем,
что теперь напряжение достигает своего максимума значительно позже;
причиной этого является более низкая собственная частота генератора.

Выключатель может успешно выдержать напряжение, возникающее
между контактами во время испытания, о котором шла речь выше, и оказать-
ся непригодным для эксплуатации в сети вследствие того, что там напряже-
ние восстанавливается более быстро. Поэтому генераторы и трансформаторы
для установок, где испытываются выключатели, обычно выполняются с ми-
нимальными реактивными сопротивлениями, чтобы получить при испытании
наибольший ток короткого замыкания. Уменьшение внутреннего сопротив-
ления достигается путем увеличения магнитного потока и уменьшения
длины обмотки по сравнению с обычным исполнением. В результате умень-
шается индуктивность обмотки и ее емкость по отношению к земле и, сле-
довательно, растет собственная частота испытательной установки. Таким
способом удается создать значительно более жесткие условия испытания
выключателей на отключаемую мощность.

Изложенные выше соображения показывают, что в электрических сетях
возникновение быстро восстанавливающегося напряжения обусловлено глав-
ным образом наличием реакторов между шинами станции и отходящими
линиями. Положение можно значительно улучшить, если замедлить восста-
новление напряжения путем снижения собственной частоты реакторов или
увеличения затухания колебаний. С этой целью можно включать параллельно

реактору дополнительные емкость и активное сопротивление.

Любое активное сопротивление, включенное последовательно или парал-
лельно с основными элементами цепи, способствует затуханию колебаний

восстанавливающегося напряжения, какова бы
ни была их частота. Это следует из опреде-
ления постоянных времени [например, Тп в вы-
ражении (40.34)], величина которых различна
для разных частот. Наличие в цепи достаточно
большого активного сопротивления снижает ве-
личину восстанавливающегося напряжения и
уменьшает скорость его восстановления. В мощ-
ных сетях в условиях нормальной эксплуата-
ции недопустимо наличие добавочных последо-
вательно включенных активных сопротивлений.
Однако такие сопротивления могут вводиться
в выключатель в процессе гашения дуги.

Параллельное включение сопротивления
дает такой же эффект, как и последовательное.
В гл. 39 было показано (см. фиг. 436), что таким
путем удается значительно снизить напряжение
горящей дуги в моменты времени, близкие к ну-
лю тока. То же можно утверждать относительно

процесса восстановления напряжения, следующего за моментом отключения.
Поэтому выключатели, предназначенные для тяжелых отключений, часто
снабжаются защитными сопротивлениями. Если параллельно выключателю

присоединено активное сопротивление

(40.36)

то колебания становятся апериодическими и процесс восстановления напря-
жения сводится к постепенному его нарастанию до величины нормального
напряжения сети Е.

На фиг. 476 приведено семейство
кривых, иллюстрирующих влияние ве-
личины параллельно включенного со-
противления на затухание колебания.

На фиг. 477 показано, как разви-
вается дуга в выключателях с промежу-
точными контактами, при помощи ко-
торых вводится в действие активное
сопротивление еще во время отключе-
ния. Вначале сопротивление шунтирует
всю дугу или значительную ее часть. После того как сопротивление облегчило
разрыв шунтированной части дуги, оно оказалось включенным после-
довательно с ее нсшунтированной частью и вызвало полное прекращение
тока. При отключении коротких замыканий целесообразно применять в одних
случаях сопротивление одной величины, а в других случаях—другой; по-
этому иногда применяют два активных сопротивления существенно различ-
ной величины, как это показано и на фиг. 477.

Сама дуга, не полностью погасшая в момент прохождения тока через
нуль, шунтирует, как это видно из фиг. 462, основную емкость и в некоторых
случаях может уменьшить восстанавливающееся напряжение. Отмстим, что
при высоких частотах, свойственных восстанавливающимся напряжениям,
остаточная дуга будет иметь определенное активное сопротивление, как это
следует пз фиг. 397. В действующих электрических сетях линия, в которой
произошло короткое замыкание, обычно оказывается включенной параллельно
другим неповрежденным нагруженным линиям. Такие линии играют роль
сопротивления, шунтирующего дугу, возникающую при отключении
(фиг. 478). Во многих случаях указанное обстоятельство облегчает гашение

дуги. Таким образом, выключатель оказывается в более легких условиях
при отключении какой-либо линии, принадлежащей нагруженной разветвлен-
ной сети, чем при отключении одной отдельной линии.

Из всего сказанного ясно, что невозможно указать общий закон нараста-
ния напряжения, восстанавливающегося после гашения дуги. Скорость
нарастания, получающаяся в каждом конкретном случае, в значительной
степени зависит от начальной фазы колебаний у, изменяющейся с измене-
нием собственной частоты v, от времени деионизации Q и фазы отключения
тока ср; она зависит также от затухания колебаний, меняющегося с величиной
нагрузки, включенной параллельно выключателю, от остаточного сопротив-
ления дуги и от защитных активных сопротивлений в самом выключателе;
наконец, на скорость нарастания напряжения влияет форма колебания и
частоты его составляющих, определяемые индуктивностями и емкостями
отключаемой цепи, рассматриваемой со стороны выключателя. Форма коле-
баний в сильной степени зависит от величины падения напряжения на индук-
тивном сопротивлении того или иного колебательного контура сети.

Предположим, что в цепи преобладает какое-нибудь одно незатухающее
колебание почти косинусоидального вида, как это получается после отключе-
ния тока с фазным углом <р, близким к 90°. Тогда, как показано на фиг. 479,
скорость нарастания свободного напряжения можно выразить производной

dcc
dt

<оес,

(40.37)

максимальное значение которой равно

= шЕс = Ъ^Е"с.

(40.38)

Выражение (40.38) дает несколько преувеличенное значение, так как не
было учтено то обстоятельство, что напряжение дуги в течение некоторого
времени после отключения остается небольшим (см. фиг. 479). Скорость
нарастания напряжения можно характеризовать также средним значением
(см. фиг. 479), т. е.

^ = S = 4V=4^. (40.39)

Здесь через т обозначен период в секундах, а через /—частота. Это выраже-
ние дает несколько преувеличенное значение для начала процесса и несколь-
ко преуменьшенное—для конца. Если, далее, оставить без внимания различ-
ные, трудно контролируемые обстоятельства, о которых говорилось выше,
и просто принять, как показано на фиг. 479, что амплитуда свободной состав-
ляющей напряжения ЕС"=Е, то скорость восстановления напряжения на
контактах выключателя, разрывающего цепь, определяется простым соот-
ношением

$ ~ 4/Я, (40.40)

которое, конечно, представляет собой лишь грубое приближение к среднему
значению.

Собственные частоты / генераторов, трансформаторов, реакторов и дру-
гих аппаратов, основной рабочей частью которых является обмотка, обратно
пропорциональны номинальному напряжению, величина которого опреде-
ляет длину обмотки. Следовательно, величина произведения j Е для аппара-
тов, относящихся к одной определенной группе, меняется не слишком сильно.
Таким образом, скорости нарастания напряжения (в кв/мксек), которые
обычно встречаются на практике, можно характеризовать следующими чис-
ленными данными, приведенными в табл. 15.

Таблица 15

СКОРОСТЬ ССТАНОВЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ ПОСЛЕ
ОТКЛЮЧЕНИЯ КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ

Преобладающ елемент цепи Скорость восстановления напряжения (в кв 1 мксек) при различных условиях
большая мощность, сильное затухание средняя МОЩНОС1 ь, с реднее затухание малая мощность, слабое затухание
Генератор 0,8 1,5 3
Трансформатор .... 2,5 5 10
Реактор 8 15 30

В этой таблице меньшие значения относятся к большим мощностям
и к более сильному затуханию, а большие значения—к меньшим мощностям
и к более слабому затуханию. Напряжение сети не оказывает существенного
влияния на величины, приведенные в этой таблице. Следует только иметь
в виду, что более высокому напряжению соответствует большая величина
средней мощности, упоминаемой в табл. 15. Поскольку, как было установ-
лено ранее, разрывная мощность выключателя, отключающего короткое
замыкание данной определенной мощности, в некоторых пределах обратно
пропорциональна скорости нарастания восстанавливающегося напряжения,
то выключатели высокого напряжения работают в значительно более выгодных
условиях, чем выключатели низкого напряжения. Это обстоятельство в силь-
ной степени благоприятствует повышению надежности электрических пере-
дач, так как сосредоточение очень больших мощностей обычно происходит
в энергетических системах с высокими рабочими напряжениями.
ЛИТЕРАТУРА

Biermanns J., Elektrotechn. Zs., 59, 165, 194 (1938).

Fortschritte im Bau von Druckgasschaltern.

Blaha A., CIGRE, No 132 (1948).

Contribution to indirect tests of circuit-breakers.

В о e h n e E. W., Trans. AIEE, 54, 530 (1935).

The determination of circuit recovery rates.

Cassie A. M., World Power, 24, 13 (1935).

Some aspects of the problem of the calculation of transients of restriking voltage
in single-phase networks.

Cox H. E., Wilcox' T. W., Journ. Inst. Electr. Eng., 91, P. II, 483 (1944).

The influence of resistance switching on the design of high-voltage air-blast circuit-
breakers.

Dannatt C., Polson R. A., Journ. Inst. Electr. Eng., 88, P II, 41 (1941).

A method of determining the restriking characteristics of power networks whilst
in service.

Evans R. D., W i t z к e R. L., Trans. AIEE, 62, 690 (1943).

Practical calculation of electrical transients on power systems.

Fourmari er P., Brown J. K., Brown Boveri Rev., 24, 217 (1937).

Determination of the behaviour of the recovery voltage after rupturing short
circuits, by means of a higb-frequency resonance method.

Gosland L., Dunne W. F. M., Journ. Inst. Electr. Eng., 87, 163 (1940).

Calculation and experiment on transformer reactance in relation to transients of
restriking voltage.

Gosland L., Dunne W. F. M., Journ. Inst. Electr. Eng., 88, P. II, 121 (1941).

Transients of restriking voltage on overhead-line systems.

Hameisler G., VDE-Fachberichte, 42 (1935).

Untersuchungen iiber die Frequenz der wiederkehrenden Spannung.

Hameister G., Elektrotechn. Zs., 57, 1025, 1052 (1936).

Der Anslieg der wiederkehrenden Spannung nach Кurzschlussabschaltungen im
Nctz.

Hameister G., Elektrotechn. Zs., 59, 605, 634 (1938).

I.eistungsschalter und Leistungslrennschalter beim Schalten im Priiffeld und im
Belrieb.

Hammarl und P. E., J ohansen O., CIGRE, No 107 (1948).

Transient recovery voltage subsequent to short-circuit with special reference to
Swedish power systems.

Harle J. A., Wild R. W., Journ. Inst. Electr. Eng., 91, P. II, 469 (1944).

Restriking voltage as a factor in the performance, rating and selection of circuit-
b reakers

J u i 1 1 a r d E., CIGRE, No 31 (1933).

Contribution a la definition de la vitesse de retablissement de la tension de rupture
dans les interrupteurs a courants alternatifs.

Kaufmann W., VDE-Fachberichte, 39 (1935).

Experimentelle Untersuchungen iiber den Anstieg der wiederkehrenden Spannung
bei Abschallvorgangen.

Kloninger H. C., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 52, 286, 300 (1934).

Die Entwicklung der spezifischen Abschallleistung der Olschaiter.

Kurth F., CIGRE, No 128 (1948).

Study of problems in circuit interruption with air blast breakers.

Kurth F., CIGRE, No 139 (1948).

Natural frequency of the recovery voltage in alternating current networks.

Ludwig L. R., Wilcox H. M., Baker В. P., Trans. AIEE, 61, 235 (1942).

A 2 500 000-kva compressed-air powerhouse breaker.

Marx E., Elektrotechn. Zs., 57, 583 (1936).

Eine Ersalzschaltung fiir diePriifung von Hochleistungsventilen und Hochleistungs-
schaltern.

Mortlock J. R., Journ. Inst. Electr. Eng., 92, P. II, 562 (1945).

The evaluation of restriking voltages.

Park R. H., Skeats W. F., Trans. AIEE, 204 (1931).

Circuit-breaker recovery voltages, magnitudes and rates of rise.

Prince D. C., Henley J. A., Rankin W. K., Trans. AIEE, 59, 510 (1940).
The cross-air-blast circuit-breaker.

Pugno Vanoni E., Someda G., Elektrotechn. Zs., 60, 157 (1939).

Indirekte Priifverfahren von Schaltern in Italian.

Puppikofer H., Bull. asso. sui. elec., 30, 334 (1939).

Der Einfluss des Schallers auf die wiederkehrende Spannung und sein Verhalten
ira Netz.
Puppikofer Н., J u i I 1 а г d Е., CIGRE, No 138 (1948).

Report on the activities of the international committee for the study of circuit-
breakers

R a m b a и t S., CIGRE, No 111 (1948).

Determination of the voltage across the terminals of a circuit-breaker as a function
of the current interrupted, by means of rupturing tests with small currents.

Schwenk O., VDE-Fachberichte, 8, 163 (1936).

Konnen die in Netzen auftretenden Eigenfrequenzen in Leistungspriifanlagen er-
zielt werden?

S 1 e p i a n J., Conipt. rend, congrec. intern, d’electr , 6, 1 (1932).

L’arc electrique dans les interrupteurs.

Ter Horst D. T. J., CIGRE, No 123 (1948).

The natural frequencies in the 150-kv transmission system of the Netherlands.

Teszner S., Thibaudat A., Descans F., CIGRE, No 129 (1948).

Direct and indirect tests on circuit-breakers.

Thom men H., CIGRE, No 125 (1948).

On the question of the electrodynamic oscillations stressing highpower circuit-
breakers.

Trencham H., Wilkinson K. J. R., Journ. Inst. Electr. Eng., 80, 460 (1937).
Restriking voltage and its import in circuit-breaker operation.

Trautweiler M., Bull. asso. sui. elec., 31, 349 (1940).

Eine neue Ersatzpriifschaltung fur Hochleistungsschalter.

VanSickle R. C., Berkey W. E., Trans. AIEE, 52, 850 (1933).

Arc extinction phenomena in high voltage circuit-breakers, studied with a cathode
ray oscillograph.

Van Sickle R C , Trans. AIEE, 58, 397 (1939) (содержит библиографию).

Influence of resistance on switching transients.

Van Sickle R. C., Electr. Eng., 178 (1935).

Breaker performance studied by cathode ray oscillograms.

Vogelsanger E., CIGRE, No 121 (1946).

Researches on arc quenching in low-oil-content circuit-breakers.

Vogelsanger E., CIGRE, No 122 (1948) (содержит библиографию).

Indirect circuit-breaker tests.
Глава 41

ОТКЛЮЧЕНИЕ ТРЕХФАЗПЫХ ЦЕПЕЙ

При отключении короткого замыкания в трехфазных сетях возникает
ряд побочных явлений, которые оказывают влияние на некоторые стороны
процесса отключения и в силу этого в какой-то части облегчают, а в какой-то
утяжеляют условия отключения.

§ 1. Спад электродвижущей силы и тока. Выключатель не может действо-
вать мгновенно, сразу после того как произошло короткое замыкание: он
размыкает цепь лишь по истечении некоторого промежутка времени, необ-

ходимого для приведения его в
действие и для гашения дуги.
За это время, которое может со-
ставлять от 0,06 до 0,6 сек., т. е.
охватывать от 3 до 30 периодов,
электродвижущая сила генера-
тора существенно уменьшается
по сравнению с тем се значе-
нием, принимаемым за единицу,
которое предшествовало корот-
кому замыканию. Спад э. д. с.
генератора вызывается размаг-
ничивающим действием токов
короткого замыкания. Харак-
тер зависимости э.д.с. от време-
ни был показан на фиг. 139.
Скорость спада э.д.с. зависит от
постоянной времени цепи ротора
генератора, определенной при

коротком замыкании на зажимах статора. Реакция якоря синхронного генера-
тора при однофазной нагрузке получается в 2 раза слабее, чем при трехфазной,

поэтому спад э.д.с. при двухполюсном или однополюсном коротком замыкании
в сети будет составлять только половину того спада, который получается прп
трехполюсном замыкании. На фиг. 480 показаны примерные кривые спада
э.д.с. реальных генераторов при однополюсном и трехполюсном коротких
замыкавиях вблизи генератора. Спад э.д.с. будет значительно меньше, если

короткое замыкание происходит где-то в сети, вдали от генератора.

Из-за насыщения магнитной цепи генератора его э.д.с. спадает более
быстро непосредственно после короткого замыкания. В дальнейшем процесс
спада замедляется и кривая изменения э.д.с. во времени приближается
к показательной кривой, соответствующей постоянной времени цепи воз-
буждения генератора, которая составляет от 1/2 сек. для малых машин до
1—2 сек. для больших. Начальный спад э.д.с. имеет значение для быстро-
действующих выключателей, а последующее ее изменение существенно при
задержке отключения. Снижение напряжения нормальной частоты, воз-
никающего на контактах выключателя после гашения дуги, определяется
по кривым, приведенным на фиг. 480. Таким образом, под величиной Е,
входящей в большинство соотношений гл. 39 и 40, следует понимать не номи-
нальное напряжение сети, а должным образом уменьшенное значение, зави-
сящее от продолжительности горения дуги и промежутка времени, предше-
ствующего ее зажиганию.

Ток короткого замыкания следует за изменением э.д.с. и убывает (с мо-
мента его появления и до отключения) примерно по тому же закону. Умень-
шение тока и снижение восстанавливающегося напряжения могут значи-
тельно облегчить отключение.

§ 2. Апериодическая составляющая тока. Токи короткого замыкания,

образующие трехфазиую систему токов, всегда содержат затухающую апе-
риодическую составляющую, начальное значение которой равно начальному
значению переменной составляющей1). В какой из фаз сети появится аперио-
дическая составляющая тока значительной величины—дело случая; однако
в одной или двух фазах сети всегда будет возникать апериодическая состав-
ляющая почти максимальной величины, такая, как показано на фиг. 481.

Ф и г. 481.

Апериодическая составляющая тока умень-
шается по показательному закону с постоян-
ной времени порядка 1/20—*/10 сек. для малых
машин и порядка */6 сек. для больших, если
короткое замыкание произошло вблизи гене-
рирующей станции. Скорость затухания апе-
риодической составляющей возрастает, если
короткое замыкание происходит в удален-
ной точке сети. Таким образом, во время га-
шения дуги в быстродействующих выключа-
телях апериодическая составляющая тока ко-
роткого замыкания еще существует и оказы-
вает влияние на необходимую величину их
мощности отключения. Из фиг. 481 видно, что
энергия, выделяющаяся в дуге, велика во вто-
ром, четвертом, шестом и т. д. полупериодах

и весьма мала в первом, третьем, пятом и т. д.

полупериодах, которым соответствуют малые площади, расположенные
ниже оси абсцисс. Отсюда ясно, что дуга будет гаснуть не в конце большей ча-
сти периода, а вконцеего меньшей части, когда энергия, выделяющаяся в ду-
ге, сравнительно мала. Кроме того, из фиг. 481 видно также, что момент про-
хождения тока через нуль значительно опережает момент максимума напря-
жения и совпадает с гораздо меньшим мгновенным значением напряжения.

Оба этих обстоятельства в сильной степени облегчают условия отключе-
ния. В полной мере их влияние сказывается, конечно, лишь на одном из

полюсов трехполюсного выключателя, через два других полюса протекает
значительно меньшая апериодическая составляющая тока или ее может не
быть вовсе. В последнем случае гашение дуги будет происходить в условиях,
когда количество энергии и напряжение остались без изменения.

§ 3. Полюс выключателя, разрывающий цепь первым. Токи в каждой
из трех фаз проходят через нуль не одновременно, а со сдвигом во времени.
Пусть при трехполюсиом коротком замыкании (фиг. 482) все три полюса вы-
ключателя к какому-то моменту времени оказываются подготовленными для
разрыва дуги. Один из токов, например ток (фиг. 483, а), который первым

15 Ес ли в цепи короткого замыкания имеются последовательно включенные кон-
денсаторы (например, в линии передачи с продольной емкостной компенсацией), то
вместо апериодической составляющей тока короткого замыкания возникает периодиче-
ская составляющая сравнительно низкой частоты.—Прим. ред.
пройдет через нуль, прервется и в дальнейшем останется равным нулю. В се-
ти сохранятся токи i2 и i3, которые должны теперь стать равными по величине
и находиться в противофазе, поскольку каждый из них представляет собой
ток, обратный для другого. Векторная диаграмма токов изменится так, как
показано на фиг. 484, а. В момент исчезновения тока г\ происходит скачко-
образное изменение фазы и величины двух других оставшихся токов, век-
торы которых должны стать теперь перпендикулярными к вектору не суще-
ствующего более тока iv Амплитуды оставшихся токов уменьшаются в |/3/2
раз, и, начиная с этого момента времени, их мгновенные значения убывают
по косинусоидальному закону, как показано на фиг. 483, а. Оба тока одно-
временно достигают нулевого значения
при ^=/2,з' т- е- спустя полупериод
после момента t=tit когда произошло
отключение первого тока г*.

на трех полюсах вы-
ключателя также претерпевают суще-

ственные изменения, как показано на Фиг. 482.

векторных диаграммах фиг. 484, б, по-
строенных для цепи, где коэффициент мощности равен нулю. В момент
прекращения первого тока векторы напряжений е2 и е3, обусловливающие про-
текание оставшихся токов, также одновременно изменяются скачком:
они оказываются теперь в противофазе друг к другу и перпендикуляр-
ными к вектору напряжения elt которое не вызывает более никакого тока.

ЛЛЛЛЛ-------

ЛМЛЛ----V---

ЛД/W----—---070

Таким образом, напряжение на первом полюсе выключателя в момент отклю-
чения протекавшего по нему тока изменяется скачком на величину Де, уве-
личиваясь от фазного напряжения сети Е до большего значения, равного
®/2 Е. Такое напряжение существует теперь между генераторным концом
провода 1 (см. фиг. 482) и нейтралью, т. е. общей точкой проводов 2 и 3.
Последняя совпадает в электрическом отношении с точкой короткого замы-
кания на проводе 1. Соответствующие синусоидальные кривые изменения
напряжений во времени показаны на фпг. 483, б. Повышение напряжения
между контактами, которые размыкаются первыми, значительно осложняет
их работу. В тех фазах, в которых протекают токи i2 и i3, напряжение прп
отключении снижается до ]ЛЗ/2 от его первоначального значения, как это
видно из фиг. 483, б и 484, б. После отключения двух последних фаз вектор-
ная диаграмма напряжений принимает свой первоначальный вид, причем
изменение напряжений происходит скачком.

Очевидно, что амплитуды высокочастотных колебаний, сопровождаю-
щих восстановление напряжения после отключения токов ц, г2 и г3, также
увеличиваются и уменьшаются соответственно в 3/2 и J/^3/2 раз.

Количество энергии, выделяющейся в дуге при отключении, весьма
различно для трех полюсов выключателя: оно зависит от того, какой полюс
первым производит отключение тока. Выраженное в относительных едини-
цах (за единицу принято произведение амплитуд фазного тока и фазного на-
пряжения) количество выделяющейся энергии равно в соответствии с пре-
дыдущими расчетами

для полюса, первым выполняющего отключение: ток ^напряже-
ние 3/2=3/2,

для каждого из двух других полюсов: ток ]ЛЗ/2х напряжение ]/3/2=3/4.

Суммарное количество энергии равно 3/2+2-3/4=3, как и должно быть
во всякой трехфазной системе. Однако полюс, срабатывающий первым,
должен отключить в 2 раза большую мощность, чем два других полюса,
причем восстанавливающееся напряжение на нем также больше. Из ска-
занного следует, что полная мощность отключается нс в три приема (по од-
ному на каждую фазу), как могло бы показаться при поверхностном рассмот-
рении, а в два (по одному на каждую из взаимно перпендикулярных осей
трехфазной системы). В оба приема отключаются одинаковые мощности,
но первый полюс выполняет отключение один, в то время как каждый из
двух других полюсов должен отключить только часть этой мощности.

Оба эти явления, увеличение энергии, выделяющейся в дуге, и повыше-
ние восстанавливающегося напряжения по сравнению с соответствующими
величинами при отключении однофазной цепи, значительно утяжеляют
условия отключения. Сказанное относится только к тому полюсу, который
отключает ток короткого замыкания первым. Однако какой из трех полюсов
сработает первым—дело случая.

§ 4. Отключение замыкания на землю. На фпг. 485 схематически пока-
зано однополюсное замыкание на землю в трехфазной системе. Условия
отключения получаются здесь еще более различными для разных фаз, чем

Первый
полюс

—---,7

----2

——Ь

Второй и третий
полюсы

"---- 1 *----

► 2 -----

► 3 •—

fo fo/2,55

в г

при трехполюсном коротком замыкании (см. фиг. 482). В той части цепи,
где произошло соединение с землей, собственная частота изменится и будет
сильно отличаться от частоты, которая была до замыкания. В цепи, изобра-
женной па фиг. 485, а и представляющей типичный пример однополюсного
замыкания, отсоединение трехфазной обмотки вызовет появление ряда соб-
ственных частот. После того как первым разомкнется один из полюсов вы-
ключателя, скажем, в неповрежденной фазе 1, в ес обмотке в результате
изменений напряжения и тока возникнет колебание, которое распростра-
нится на параллельно включенные обмотки 2 и 3, как показано на фиг. 485, б.
При этом точка замыкания на землю будет для этих обмоток общей точкой
заземления, так что ток высокой частоты разветвится в нейтрали по двум
направлениям. Возникшее несимметричное колебание всей обмотки в целом
будет происходить с частотой, более низкой, чем частота /0 одной отдельно,
взятой фазы этой обмотки, а именно с частотой /0/1,64.

После размыкания двух оставшихся полюсов, 2 и 3, разрядный ток про-
текал бы между смежными обмотками 2 и 3, если бы они находились в одина-
ковых условиях. Однако с землей соединена только обмотка 3, и это пол-
ностью нарушает симметрию системы. В цепи будут одновременно происхо-
дить два колебания, как это отмечено стрелками на фиг. 485, в и г. Одно коле-
бание происходит с нормальной частотой/0 одной фазы в контуре, состоящем
только из обмоток 1 и 2 (обмотка заземленной фазы в этом колебании не
участвует). Другое колебание имеет место в контуре, в который входят об-
мотка заземленной фазы и две другие обмотки в параллельном соединении
(см. фиг. 485, г). В этом случае ток также разветвляется в нулевой точке,
как показано на фиг. 485, б, но на этот раз удвоенный ток проходит по зазем-
ленной обмотке, а не по свободной. Вследствие этого собственная частота
контура получается еще ниже и оказывается равной /0/2,55. Поскольку вы-
ключатель фазы 1 разомкнут, наложение схемы 485, г на схему 485, в должно
дать нулевое начальное значение для тока в фазе 1. Это условие может быть
выполнено только при равенстве амплитуд двух свободных колебаний. Из
сказанного следует, что восстанавливающееся напряжение будет состоять
из двух переменных слагающих с равными амплитудами, частоты которых
не находятся в кратном отношении.

Появление трех различных частот объясняется тем, что трехфазные
цепи представляют собой сложные системы с тремя степенями свободы и пото-
му могут иметь три разных нормальных колебания. В связи с этим спектр
частот восстанавливающегося напряжения, изображенный на фиг. 472,
становится еще более сложным.

При замыкании на землю условия отключения в общем получаются
более легкими, чем при отключении симметричной трехфазной сети без замы-
кания на землю. Происходит это вследствие значительного снижения частоты
восстанавливающегося напряжения как на первом, так и на последнем по-
люсах выключателя при неизменной величине отключаемых напряжений.
Можно было бы отдельно рассмотреть много других возможных случаев
отключения заземленных цепей, соединенных как звездой, так и треуголь-
ником. Однако частота колебаний восстанавливающегося напряжения если
и будет изменяться, то всегда только в сторону уменьшения. Это вызывается
увеличением действующей емкости цепи в аварийном состоянии и, следова-
тельно, в первую очередь относится к сетям с изолированной нейтралью или
с нейтралью, заземленной через индуктивную катушку.

ЛИТЕРАТУРА

Garrard С. С., Garrard С. J. О., GEC Journ., 7, 3 (1936). The testing of
large alternating current circuit-breakers.

Gosland L.; Journ. Inst. Electr Eng., 86, 248 (1940).

Restriking-voltage characteristics under various fault conditions at typical points
on the network of a large city supply authority

Kaufmann W., Elektrotechn. Zs., 56, 1091 (1935)

Die Kurzschluss-Phasenverschiebung, ihre Bedeutung fur den Abschaltvorgang
und ihre Messung.

Kaufmann W., VDE-Fachberichte, 153 (1936).

Der Einfluss der L’nsymmetrie des Stromes auf den Abschaltvorgang bei Hochlei-
stungsschaltern.
Maury М. Е., Rev. gen. elec., 53, 79 (1944).

L’extinction des arcs dans le reenclenchement ultrarapide monophase sur les lignes
a 220 kilovolts.

Riidenberg R., Journ. Frankl. Inst., 231, 157, 269 (1941).

Natural frequencies of three-phase windings.

T h о m m e n H., CIGRE, No 109 (1946).

Problems connected with the rupturing of a c currents at very high voltages
up to 400-kv.

Vogelsanger E., CIGRE, No 119 (1946).

Untersuchung der grossten Strome und Spannungen, die einen Leistungsschalter
in einem Einphasen- oder Mehrphasennetz bei der Ausschaltung von Kurzschliissen
beanspruchen konnen.

Wagner W., Brown J. K., Brown Boveri Rev., 24, 283 (1937).

Calculation of the oscillations of the recovery voltage after the rupture of short
circuits

Electrical Standards Committee, Alternating Current Power Circuit Breakers,
American Standards Association, 1945, C37.4-C37.9 (содержит библиографию).
Глава 42

ПОВТОРНОЕ ЗАЖИГАНИЕ В ЕМКОСТНЫХ ЦЕПЯХ

AWV
R

Ф и г. 486.

Если цепь переменного тока, содержащая значительную емкость, от-
ключается от источника путем растягивания дуги в выключателе, то дуга
гаснет в момент прохождения тока через нуль. Повторное зажигание дуги
не может произойти сразу же после ее погасания, потому что на отключен-
ной емкости в течение некоторого времени сохраняется напряжение и, сле-
довательно, напряжение на контактах выключателя в первый момент после
отключения равно нулю. Лишь в результате изменения напряжения сети
или убыли заряда на емкости между контактами выключателя постепевно
появляется напряжение, которое после длительной паузы тока может вызвать
повторное зажигание дуги. Вновь возникающий при этом зарядный ток ем-
кости быстро растет и достигает значительной величины, вследствие чего
появляются резкие скачки и пики тока и напряжения, которые могут
оказаться более опасными для сети, чем медленно ме-
няющееся синусоидальное напряжение нормального
режима.

Поскольку длинные линии в сетях как высокого,
так и низкого напряжения обладают значительной
емкостью, отключение их небезопасно, особенно когда
эти линии не нагружены.

§ 1. Процессы зарядки и разряда емкости в цепи
постоянного напряжения. Предварительно рассмотрим

разряд емкости через искру в цепи, показанной на фиг. 48б. Ток протекает
через неизменное активное сопротивление R и через искру или дугу В, со
противление которой в сильной степени зависит от величины тока.

В любой момент времени сумма падений напряжения на емкости вс, на
неизменном сопротивлении ег; и на дуге ев равна нулю, т. е.

ec4eR-reB = 0. (42.1)

Все три напряжения зависят в основном от величины тока, причем напря-
жение на конденсаторе

Сс= С § 1бй = ~ (йг’4 М- (42.2)

Если задана вольтамперная характеристика дуги или искры, то правая
часть этого уравнения полностью определена для любого значения тока,
и напряжение на конденсаторе можно найти тогда графическим путем, как
показано на фиг. 487. Для удобства построения вольтамперные характеристики
дуги и неизменного сопротивления па фиг. 487 расположены по разные
стороны от оси абсцисс.

Искровой разряд возникает либо в результате постепенного сближения
контактов и вызванного этим уменьшения пробивного напряжения, либо
в результате постепенного увеличения напряжения на конденсаторе, заря-
жающегося от внешнего источника. В любом случае разряд начинается тогда,
когда напряжение на конденсаторе становится равным напряжению зажига-
33 р. Риденберг
ни я ez искрового промежутка. Нафиг. 487 показаны характеристики зажи-
гания дуги и ее гашения. Однако при быстрых изменениях состояния про-
межутка характеристика зажигания является неопределенной, и поэтому
она показана пунктиром. Процесс зажигания определяется сложным взаи-
модействием электронов и ионов в разрядном промежутке. Как только на-
пряженность электрического поля в этом промежутке достигнет достаточной
величины, между контактами в течение очень короткого времени образуется
лавина ионов, которая вызывает почти мгновенное появление разрядного
тока и столь же резкое снижение напряжения искры: от значения напряже-
ния зажигания до значения напряжения горения. Следовательно, начальное,
или амплитудное, значение тока I определяется, как показано на фиг. 487,
абсциссой точки пересечения криволинейной характеристики дуги с прямой
линией, параллельной вольтамперной характе-

ристике неизменного сопротивления и прове-
денной через точку, соответствующую напряже-
нию зажигания. Таким образом, при ес=—е2
начальное значение тока, согласно соотношению
(42.1), равно

<?-г „

(42.3)

Дальнейшее изменение тока во времени опре-
деляется путем дифференцирования уравнения
(42.2)

da гз i

Разделив переменные

def,

dt = C-~- (42.5)

и проинтегрировав, получим следующее выражение для возрастающего
времени:

Г der

t = C\^ . (42.6)

ег

Входящая в правую часть величина ес зависит только от тока i [см.
уравнение (42.2)], и, следовательно, интеграл можно вычислить графичес-
ки. Итак, для любых значений тока и напряжения на конденсаторе
можно определить соответствующее время разряда I.

Графическое интегрирование уравнения (42.6) выполнено на фпг. 488.
Напряжение на конденсаторе ес, полученное из фиг. 487, построено на
фиг. 488, а в зависимости от тока i. Там же при помощи прочерченной тонкой
прямой линии можно отсчитать значения исходных напряжений ед и ей.
На фиг. 488, б построен график функции Mi(ec), а интеграл от нее ио пере-
менной ес дан на фиг. 488, в. Эта интегральная кривая имеет несколько ветвей,
так как при интегрировании кривой на фиг. 488, б получаются как положи-
тельные, так и отрицательные площади. Однако отрицательная площадь
и возвратные ветви интегральной кривой не имеют физического значения,
так как соответствующая им часть характеристики дуги является неустой-
чивой. На фпг. 488, а такой частью характеристики является участок с па-
дающим суммарным напряжением при токах меньше минимального тока г'.
Напряжение на конденсаторе изменяется (как показано на фиг. 488, в жир-
ной линией) вплоть до предельного значения е', соответствующего низшей
точке па фиг. 488, а.

На фиг. 488, г нанесены значения тока г, соответствующие моментам
времени I (см. фиг. 488, в) и значениям напряжения на конденсаторе (см.
фиг. 488, а). Вначале ток убывает непрерывно, но в момент времени, соответ-
ствующие минимальному напряжению, он внезапно падает от значения V
до нуля. Этот скачок тока также отмечен на фиг. 488, а пунктирной линией.
Мы видим, что в процессе разряда напряжение гашения дуги е( не достигает-
ся, если только цепь не содержит очень большого разрядного сопротивления.

Итак, процесс разряда конденсатора через искру разделяется на не-
сколько четко выраженных стадий. На первой стадии за очень короткий про-
межуток, называемый временем запаздывания разряда, создается главный
канал искры. Параметры внешней цепи почти не оказывают влияния на эту

стадию разряда, и она в основном определяется конструкцией искрового
промежутка. Время запаздывания разряда составляет от нескольких мил-
лионных до нескольких тысячных долей секунды, так что ток достигает
почти мгновенно своего наибольшего значения 1. Вторая стадия определяется
характеристикой гашения. Напряжение на конденсаторе постепенно сни-
жается до минимального значения; напряжение на искровом промежутке при
большом сопротивлении цепп может в области малых токов несколько увели-
читься, как это видно из фиг. 487. На второй стадии своего развития процесс
разряда в сильной степени зависит от наклона линии сопротивления, т. е
определяется также и внешней пспыо. Наконец, при минимальном значении
тока Г разряд внезапно прекращается; на конденсаторе получается остаточ-
ное напряжение е', которое при умеренном сопротивлении цепи будет зна-
чительно меньше напряжения гашения промежутка. В отличие от цепи,
замкнутой металлическим сопротивлением, процесс разряда заканчивается
не плавным затуханием, а внезапно обрывается в определенный момент
времени.

Характеристика дуги, которая была приведена на фиг. 487 как заданная,
в действительности зависит от изменения тока во времени, так как темпера-
тура, а следовательно, и высвобождение электронов не следуют мгновенно
за изменениями тока, а запаздывают по отношению к ним из-за теплоемкости
дугового столба и контактов. Часто бывает так, что напряжение горения дуги
имеет почти постоянную величину еь и не зависит от тока почти до момента
гашения. Это случается обычно при очень малом сопротивлении цепи R, когда
возникают большие и быстро затухающие разрядные токи. При этих усло-
33*
виях для тока можно получить из соотношения (42.6) аналитическое выраже-
ние для ес и i. Считая ев постоянным, находим из уравнения (42.2)

dec= —Rdi. (42.7)

Подставляя выражение (42.7) в соотношение (42.6), получаем

t= -RC \ у = — 7?С1п (у)- (42.8)

В качестве нижнего предела интегрирования здесь берется начальный ток 1,
определяемый выражением (42.3). Таким образом, разрядный ток равен

г = 7е-/шс (42.9)

Этот ток изменяется во времени по такому же показательному закону, как
и при металлическом соединении контактов, которое было рассмотрено в гл. 2.
В частности, наличие искры не изменяет постоянной времени цепи

T = RC. (42.10)

Однако начальный ток I имеет несколько меньшее значение, как это следует
из выражения (42.3).

Напряжение на конденсаторе также убывает по показательной кривой.
Подставляя в уравнение (42.2) выражение для тока, полученное из формул
(42.9) и (42.3), находим

ес= — (ez — еь) e~uRC — еь. (42.11)

Таким образом, на конденсаторе сохраняется остаточное напряжение, равное
по величине напряжению горения искры. На фиг. 489 показаны расчетные
кривые изменения разрядного тока и напряжения на конденсаторе. В дейст-
вительности, однако, обе кривые

Ф и г. 489.

при очень малых токах резко об-
рываются вследствие увеличе-
ния напряжения гашения дуги.

Ф и г. 490.

На фиг. 490 изображена схема, часто применяемая для получения им-
пульсов разрядного тока. Конденсатор С постепенно заряжается от источ-
ника постоянного тока с напряжением Е через большое сопротивление R
и разряжается через малое сопротивление г всякий раз, когда напряжение
на его зажимах достигает величины пробивного напряжения искрового про-
межутка В. Получающиеся при этом периодические изменения напряжения
и тока во времени показаны на фиг. 491. Напряжение на конденсаторе возра-
стает медленно в соответствии с большой постоянной времени TR цепи зарядки,
а затем быстро падает в соответствии с малой постоянной времени Тг цепи раз-
ряда, замыкающейся через искру. Величины зарядного и разрядного токов
обратно пропорциональны сопротивлениям соответствующих контуров. При
помощи схемы, показанной на фиг. 490, можно получать весьма значитель-
ные импульсы тока или напряжения (последние на сопротивлении г) или
напряжение пилообразной формы на зажимах конденсатора (см. фиг. 491).

Если изготовить зарядное сопротивление из материала с переменной
проводимостью, то, как было показано в гл. 35, можно значительно спрямить
или, наоборот, еще больше искривить кривую нарастания напряжения,
изображенную на фиг. 491.

Подбирая определенным образом величины емкости и сопротивления
в схеме на фиг. 490 и применяя искровой промежуток с неизменным напря-
жением зажигания, например искровой промежуток в вакууме, можно изме-
нять частоту разряда в широких пределах. Частота определяется в основном

Ф и г. 492.

фиг. 492 изображена схема це-

временем зарядки т. Исходя из кривой зарядки (см. фиг. 491), можно запи-
сать условие появления на конденсаторе напряжения, равного напряжению
зажигания е2, в следующем виде:

ег = Е(1-е-^с). (42.12)

Отсюда получаем время зарядки

<42ЛЗ>

К этому времени добавляется небольшое время разряда, в несколько раз
превышающее постоянную времени Тг (см. фиг. 491). Для того чтобы обеспе-
чить постоянство частоты, рекомендуется выбирать напряжение зажигания
е, не слишком близким к напряжению
источника Е\ в противном случае неболь-
шие изменения напряжений окажут значи-
тельное влияние на частоту. При е,/£'=80%
время зарядки превышает постоянную вре-
мени Тц в 1,6 раза.

Включение или отключение некоторых
цепей часто сопровождается нежелатель-
ными перемежающимися разрядами. На

пи, состоящей из источника с постоянным напряжением Е, нагрузочного
сопротивления R и выключателя S, соединенного с основной частью
цепи линией, обладающей малыми сопротивлением г и емкостью С. Такая
паразитная емкость имеется во всех электрических устройствах. Цепь на
фиг. 492 сходна с цепью на фиг. 490 и отличается от нее лишь переменной
длиной искрового промежутка. При постепенном размыкании контактов
выключателя емкость С заряжается от источника Е по показательному
закону с постоянной времени CR. Напряжение между контактами возрастает,
и так как расстояние между ними еще мало, то вскоре происходит пробой.
При этом емкость быстро разряжается с постоянной времени Сг через малое
сопротивление г и искру, и как только будет достигнуто напряженно гашения
е( (см. фиг. 488), разряд прекратится. К следующей зарядке емкости С на-
пряжение зажигания ez оказывается уже несколько большим. На фиг. 493
показаны повторные разряды, сопровождающие размыкание контактов.
Такие разряды происходят при все увеличивающемся напряжении зажига-
ния ег до тех пор, пока это последнее не превысит напряжение источника Е.
График, изображенный на фиг. 493, аналогичен графику на фиг. 491, однако
здесь учтено также напряжение гашения.

Описанные выше перемсжаюгцпеся разряды встречаются, в частности,
при отключении токов средней величины в цепях с малой индуктивностью.
Избежать появления этих разрядов можно путем очень быстрого отключения,
при котором напряжение зажигания е2 нарастало бы быстрее увеличиваю-
щегося по показательному закону напряжения на емкости. Отсюда условие
безискрового размыкания контактов записывается в виде неравенства

t0<CR,

(42.14)

где т0—время расхождения контактов на расстояние, которому соответ-
ствует ег= Е.

Весьма сходные условия создаются при постепенном замыкании выклю-
чателя *8'. При сближении контактов, когда уменьшающееся напряжение

зажпгания ег становится, наконец, равным напряжению источника Е, проис-
ходит быстрый разряд емкости с постоянной времени Сг. Вслед за этим искра
гаснет, и напряжение на емкости повышается с постоянной времени СВ,
пока не достигнет величины напряжения зажигания, продолжающего убы-
вать. Перемежающиеся разряды повторяются все с меньшими и меньшими
амплитудами до тех пор, пока в выключателе не получится металлический
контакт (фиг. 494). В принципе повторных разрядов можно избежать путем
быстрого включения. Однако включение должно произойти весьма быстро,
чтобы время замыкания, отсчитываемое от момента осуществления равенства
ег=Е, удовлетворяло условию

(42.15)

при котором второго разряда уже не будет. В большинстве случаев это время
настолько мало, что трудно осуществить перемещение контактов с необходи-
мой скоростью.

Перемежающиеся разряды как при включении, так и при отключении
сопровождаются импульсами тока большой величины (см. фиг. 491), кото-
рые вызывают обгорание и разрушение поверхности контактов. Поэтому
контакты следует изготовлять из материалов с высокой температурой плав-
ления, большой теплоемкостью и теплопроводностью. Перемежающееся
искрение можно подавить путем искусственного увеличения емкости С до
величины настолько значительной, чтобы удовлетворялись условия (42.14)
и (42.15). Чтобы облегчить условия включения, можно также искусственно
увеличить сопротивление г в цепи выключателя. Тот же эффект, т. е. замед-
ление разряда, достигается путем шунтирования выключателя вспомогатель-
ной ветвью сг. Наконец, для той же цели можно ввести в цепь СгЕ некоторую
индуктивность.
На фиг. 495 изображена схема, аналогичная схеме, показанной на
фпг. 490, но питаемая от источника переменного напряжения. Если время
зарядки мало ио сравнению с периодом напряжения, то повторные разряды
будут возникать в каждом полупериоде, как показано на фиг. 496. На про-
тяжении времени зарядки напряжение источника Е можно считать
медленно меняющимся и сохраняющим свой знак. Следовательно, увеличение
напряжения на емкости будет происходить быстрее в середине полупериода
и медленнее по его концам, вследствие чего разряды сгущаются в серединах
полупериодов. Если при отключении пепи переменного тока контакты рас-

ходятся медленно, то напряже-
ние зажигания вначале очень
мало по сравнению с приложен-
ным напряжением и, следова-
тельно, частота пилообразных

Ф и г. 496.

разрядов будет высокой. Таким образом, при отключении цепи переменного
тока с малым сопротивлением через дугу, например при отключении закоро-
ченного участка сети, вследствие наличия некоторой емкости, шунтирующей
выключатель, в каждом полупериоде иногда появляются сотни таких пере-
межающихся разрядов, сопровождаемых сильными толчйами тока.

При зарядке конденсатора через искру (фиг. 497), соответствующей
быстрому замыканию выключателя в сети высокого напряжения, условием
равновесия напряжения е источника с остальными напряжениями будет

e = ec + eR-]-eB.

(42.16)

Если конденсатор заряжается от источника постоянного напряжения Е,
то напряжение на нем

ес = (Е - Ri) -ев = Де. (42.17)

Напряжение на конденсаторе выражается графически разностью ординат
линии сопротивления, отсекающей на оси ординат напряжение Е, и криво-
линейной вольтамперной характеристики дуги (фиг. 498). Изменение во
времени находится путем интегрирования по напряжению на конденсаторе
величины, обратной току, как это следует из выражения (42.6).
Процесс начинается с появления искры, которая возникает при равенстве
напряжения зажигания для искрового промежутка напряжению источника
Е. За время запаздывания разряда ток увеличивается скачком до начального
значения 1 и затем убывает в соответствии с величиной разности Де. В это же
время напряжение на конденсаторе начинает увеличиваться с нулевого
значения, как это видно из заштрихованной площади на фиг. 498. После
того как достигнуто наибольшее напряжение на конденсаторе е'с, процесс
зарядки внезапно прекращается, потому что в дальнейшем разность ординат
линии сопротивления и характеристики дуги уменьшается. Ток падает
скачком от значения Г до нуля, и на этом процесс зарядки заканчивается.
Конечное напряжение на конденсаторе е'с может оказаться значительно
ниже напряжения источника Е как при малом, так и прп большом зарядном

Фиг. 499.

сопротивлении Е. Разность ме-
жду напряжением источника и
напряжением на конденсаторе
можно измерить после окончания
зарядки на искровом промежутке.
Прп неизменном напряжении
дуги еь все соотношения упро-

Ф и г. 500.

щаются. Этот случай представлен графически на фиг. 499. Здесь можно ис-
следовать процесс аналитически. Положив в соотношении (42.17) ес=0, по-
лучим начальный ток

7 = (42.18)

При постоянном напряжении ев дифференциал напряжения на конденсаторе
выражается соотношением (42.7). Следовательно, из (42.6) получаем для тока
те же самые выражения (42.8) и (42.9), какие были получены ранее. Подстав-
ляя выражения (42.9) и (42.18) в соотношение (42.17), находим напряжение
на конденсаторе

ес=(Е — еь) (1_е-‘/яс). (42.19)

Зарядный ток и напряжение на конденсаторе следуют такому же пока-
зательному закону, как и при металлическом замыкании в выключателе,
но начальное значение тока и конечное значение напряжения получаются
меньше вследствие влияния напряжения дуги еь. Изменения тока и напря-
жения во времени показаны на фиг. 500. Пропесс зарядки можно считать
законченным по истечении промежутка времени в я раз большего, чем по-
стоянная времени Т, определяемая выражением (42.10). Ординаты показа-
тельной кривой успевают за это время уменьшиться до е "’'=4,3% от началь-
ного значения; однако не следует забывать, что в действительности процесс
заканчивается скачком, вызванным криволинейностью вольтамперной харак-
теристики дуги, приведенной на фиг. 498.

§ 2. Процесс перезарядки в цепп, питаемой от источника переменного
напряжения. В линиях передачи и распределительных сетях переменного
тока, содержащих значительную емкость С (фиг. 501), активное сопротивле-
ние проводников R обычно бывает настолько малым, что падение напряжения
на нем оказывается значительно меньше, чем на емкости. Отношение этих
двух напряжений равно

_ IR _

Eq I-OiC

vRC = — ,
•t/2

(42.2U)

где

Фиг. 501.

означает длительность полупериода переменного напряжения. Исходя из
результатов предыдущего параграфа, заключаем, что в таких цепях длитель-
ность зарядки через искру всегда мала по сравне-
нию с продолжительностью полу периода рабочей
частоты.

За короткий промежуток времени зарядки
переменное напряжение источника изменится так
мало, что к исследованию процесса зарядки кон-
денсатора через искру в сети переменного тока мож-
но применить результаты, полученные выше для за-
рядки конденсатора от источника постоянного на-

пряжения. Если контактная система выключателя симметрична, то характери-
стика дуги одинакова как при положительном, так и при отрицательном токах
(см. фиг. 499), и, следовательно, не имеет значения, произошел ли разряд
при положительном или при отрицательном полупериоде напряжения
источника.

Рассмотрим процессы в схеме, изображенной на фиг. 501, искровой
промежуток которой В настроен таким образом, что он пробивается перемен-
ным напряжением источника е. Каждый раз, когда мгновенное значение на-
пряжения источника достигает величины напряжения зажигания е2, между
контактами проскакивает искра, и конденсатор в короткое время заряжается
до напряжения, меньшего, чем значение напряжения источника, на величину
напряжения дуги еь [см. формулу (42.19)]. По истечении весьма малого про-
межутка времени г.Т искра гаснет, и на конденсаторе остается то напряжение,
до которого он зарядился. Однако напряжение источника е изменяется
и через некоторое время приобретает обратный знак. Следовательно, напря-
жение между контактами постепенно нарастает и наконец достигает величи-
ны, достаточно большой для нового пробоя искрового промежутка. При
этом конденсатор быстро зарядится до напряжения, почти равного новому
мгновенному значению напряжения источника, и сохранит это напряжение
после погасания искры до следующей перезарядки, которая последует в ре-
зультате продолжающегося изменения напряжения источника.

Описанный процесс представлен графически на фиг. 502. Как только
разность между переменным напряжением сети е и напряжением на конден-
саторе ес достигает значения напряжения зажигания е_, конденсатор переза-
ряжается и далее удерживает новое напряжение до следующего зажигания
искры. Ток протекает в цепи только на протяжении интервалов времени, отме-
ченныхнафиг. 502 штриховкой. Очевидно, что этот ток далеко не похож на
синусоидальный переменный ток: он состоит из отдельных остроконечных
импульсов, которые вследствие малой величины сопротивления R начинаются
скачками, как токи короткого замыкания в цепи без индуктивности [см.
выражение (42.3)]. Форма импульсов тока показана на фиг. 502, б; их быст-
рое затухание обусловлено малой величиной постоянной времени [выражения
(42.9) и (42.104.
Напряжение на искровом промежутке на основании соотношения
(42.16) равно

вв = е — еС— eR-

(42.22)

Когда искры нет, напряжение на искровом промежутке равно разности между
напряжением источника и напряжением на конденсаторе. Во время горения
искры напряжение на промежутке равно еь. На фиг. 502, в показано изменение
во времени напряжения на искровом промежутке. При каждом зажигании

искры это напряжение изменяется
скачком на величину ez—еь. Из
фиг. 502 видно, что кривые напря-
жения на конденсаторе и на искро-
вом промежутке, а также напря-
жения на сопротивлении R имеют
весьма искаженную форму, не-
смотря на синусоидальный харак-
тер изменения во времени напря-
жения источника. Напряжение па
конденсаторе получается почти
прямоугольным; напряжение на
искровом промежутке состоит из
смещенных отрезков синусоид; на-
пряжение на сопротивлении имеет
форму импульсов тока.

Относительное расположение
кривых напряжения на конденса-

перпод. Наибольшее напряжение
пробой, определяется следующим

торе и напряжения источника за-
висит от величины напряжения за-
жигания искры. На фиг. 502 при-
нято, что напряжение зажигания
ez=^2E. При таком значении ег за-
жигание может произойти только
при наличии начального заряда на
конденсаторе; в противном слу-
чае напряжение окажется недоста-
точным для пробоя искрового про-
межутка. Однако если процесс пе-
резарядки однажды начался, то он
будет повторяться в дальнейшем
регулярно через каждый полу-
зажигания, при котором еще возможен
соотношением:

Ez = 2E — eb,

(42.23)

где Е означает амплитуду напряжения сети.

Если настроить искровой промежуток на пробивное напряжение, опре-
деляемое соотношением (42.23), то конденсатор будет всегда перезаряжаться
в момент максимума напряжения сети и, следовательно, прямоугольная
волна напряжения на конденсаторе будет сдвинута на четверть периода по
отношению к синусоидальной кривой напряжения сети. Вместе с тем при
такой настройке промежутка импульсы тока будут возникать одновременно
с амплитудами напряжения сети. Таким образом, обычные представления
о сдвиге фаз зарядных токов оказываются совершенно неуместными для це-
пей с искровыми промежутками. Другой особенностью таких цепей является
перенапряжение, достигающее, согласно соотношению (42.23), почти двои-
ного напряжения сети. Это перенапряжение возникает на искровом проме-
жутке В в момент, предшествующий зажиганию, и переносится импульсами
тока на другие части цепи. На фиг. 503 и 504 показаны осциллограммы
напряжений, снятые при перезарядке конденсатора через искровой проме-
жуток. На фиг. 503 дана осциллограмма напряжения на конденсаторе, на
фиг. 504—напряжения на искровом промежутке. Напряжение зажигания

Ф и г. 503.

в исследованной цепи было несколько меньше двойного напряжения источ-
ника. Небольшое снижение напряжения на конденсаторе после каждой
перезарядки вызвано током, протекавшим через магнитоэлектрический виб-
ратор осциллографа, подключенный к зажимам конденсатора.

Если искровой промежуток настроен на меньшее напряжение зажигания,
то пробой происходит раньше, а при совсем небольших расстояниях может
происходить несколько зажиганий искры в каждом полупериоде, но толчки
напряжения и тока будут при этом меньше.

При постепенном размыкании емкостной цепи дуга переменного тока
становится все длиннее по мере того, как увеличивается расстояние между
контактами. Нормальный зарядный ток конденсатора, малый по сравнению

с импульсами, обрывается уже при первом прохождении через нуль, когда
дуга имеет еще небольшую длину. Лишь после того как напряжение* сети
изменится на некоторую конечную величину, произойдет первое повторное
зажигание, при котором конденсатор зарядится до нового мгновенного зна-
чения переменного напряжения. Процесс выравнивания напряжения кон-
денсатора с напряжением сети продолжается при увеличивающейся длине
дуги между контактами выключателя. При этом напряжение на конденсаторе
изменяется по ступенчатой кривой со все возрастающей высотой ступенек.
На фиг. 505 изображено изменение во времени напряжения на конденсаторе,
напряжения дуги и тока в цепи при увеличении длины дугового промежутка.
Для упрощения графиков принято, что постоянная времени Т и напряжение
дуги Сд очень малы, так что в момент зажигания напряжение на конденсаторе
становится в точности равным напряжению сети.

Мы видим, что при отключении получаются скачки напряжения на кон-
денсаторе и на выключателе, причем величина этих скачков равна напряже-
нию зажигания дуги между расходящимися контактами и, следовательно,
все время возрастает. Скачки напряжения увеличиваются до тех пор, пока,
согласно соотношению (42.23), они не достигнут значения, равного почти
удвоенной амплитуде напряжения сети. После этого дуга гаснет окончательно,
а на конденсаторе остается напряжение Е. Таким образом, когда процесс
отключения завершен, напряжение ев на контактах выключателя оказывает-
ся смещенным по одну сторону от пулевой линии и колеблется с частотой
сети между нулем и 2Е. Вследствие наличия на конденсаторе остаточного
напряжения Е выключатель подвергается в конце процесса отключения и
после него воздействию двойного напряжения 2Е. Это воздействие в 2 раза
больше того, которое получилось бы при отключении цепи переменного тока
не содержащей емкости. Опасность отключения цепи с емкостью усугуб-
ляется формой кривой напряжения, которая в отличие от плавной синусои-
дальной кривой содержит острые пики и изменение которой происходит
скачками.

Чем медленнее происходит отключение, тем вероятнее, что скачкообраз-
но изменяющееся напряжение достигнет величины 2Е. Если время размыка-
ния составляет три полных периода (см. фиг. 505), то этого как раз достаточ-
но для того, чтобы в результате повторных зажиганий напряжение на кон-
денсаторе достигло предельного значения. Однако если продолжительность

Фиг. 505.

размыкания меньше и составляет, например, всего лишыюлуиериод (фиг. 506),
то скачки напряжения будут значительно меньше 2Е. Впрочем, уменьшение
длительности размыкания лишь в небольшой степени меняет остаточный
заряд конденсатора, а следовательно, и то перенапряжение, которое испыты-
вает сам выключатель после отключения. Это перенапряжение, как было
показано выше, равно удвоенной амплитуде напряжения сети. Перенапря-
жение на выключателе получилось бы и в том случае, если бы размыкание
контактов произошло мгновенно и без повторных зажиганий в тот момент,
когда нормальный зарядный ток проходит через нуль.

При включении цепи высокого напряжения появляется искра между
сближающимися контактами, если напряжение зажигания уменьшилось
настолько, что рабочее напряжение пробило искровой промежуток. Если
включение происходит медленно и на емкости нет начального заряда, то
первое зажигание произойдет в момент максимального значения синусоидаль-
ного напряжения. Скачки, возникающие при последующих зажиганиях, ста-
новятся все меньше и меньше по мере того, как уменьшается длина искрового
промежутка. Этот процесс показан на фиг. 507. Итак, включение незаря-
женных емкостей не так опасно, как их медленное отключение.

Сильные броски тока и скачки напряжения, возникающие при появлении
дуги в процессе коммутации, обусловлены тем, что на емкости в течение
некоторого времени после прекращения тока сохраняется остаточный заряд.
Однако так происходит лишь при отсутствии путей для утечки заряда. Если
в цепи имеется сопротивление, параллельное или емкости, как на фиг. 508,
или выключателю, как на фиг. 509, то напряжение на конденсаторе успевает
за один полупериод значительно уменьшиться. Вследствие этого напряжение,
вызывающее повторное зажигание, может уменьшиться настолько, что искро-
вой промежуток больше ни разу не будет пробит.

Ф и г. 506.

Конденсатор разряжается через шунтирующее сопротивление г по пока-
зательному закону

ес = Есе-чгС. (42.24)

По истечении полупериода напряжение на конденсаторе изменяется в число
раз, равное

(Д-) =е-п/<огс (42.25)

\ЬС/т/2

Если шунтирующее сопротивление равно реактивному сопротивлению

конденсатора

ыС ’

(42.26)

то напряжение на конденсаторе падает за полупериод до е-эт=4,3% от своего
первоначального значения. Таким образом, разряд почти полностью закан-
чивается прежде, чем возникает возможность опасного повторного зажига-
ния при полном напряжении сети. Сопротивление, в 2 раза большее, чем

Ф иг. 508.

'-АЛЛЛ—
Ф и г. 509.

определенное выражением (42.26), снизило бы напряжение на конденсаторе
только до 20% от исходного значения, и напряжение на контактах выключа-
теля оказалось бы выше. Итак, защитное сопротивление, порядок величины
которого определяется соотношением (42.26), существенно облегчает процесс
отключения. Кроме того, это сопротивление вызывает появление активного
тока такой же величины, как нормальный емкостный ток. При этом сдвиг фаз
суммарного тока по отношению к напряжению конденсатора уменьшится
с 90 до 45°, что также облегчает размыкание. Всякая активная нагрузка в сети
оказывает такое же действие, как и шунтирующее сопротивление г
(см. фиг. 508). Отсюда следует, что опасные повторные зажигания будут
возникать только при наличии в цепи значительной емкости, например при
отключении холостых линий.

Другой способ облегчения условий отключения состоит в том, что со-

противление, порядок величины которого определяется соотношением

(42.26), включается последовательно с дугой. Из вы-
ражения (42.20) следует, что в этом случае продол-
жительность любого искрового разряда получится по-
рядка полу периода нормального напряжения. Таким
образом, горение дуги затянется и напряжение на
конденсаторе будет следовать за изменениями напря-
жения сети. Оба описанных выше способа использо-

вания сопротивления можно объединить в схеме, изо-
браженной на фиг. 510, в которой предусматривается

включение и отключение емкости в два приема, че-
рез защитное сопротивление г. Это сопротивление оказывается включенным
параллельно дуге на первой стадии отключения и последовательно с дугой—
на второй.

ЛИТЕРАТУРА

Creighton Е. Е. F., Gen. Electr. Rev., 443 (1913).

Oscillographic studies relating to protective apparatus.

Curtis A. M., Trans. AIEE, 59, 361 (1940).

Contact phenomena in telephone switching circuits.

Fallen J., Rev gen. elec., 15, 468 (1924).

Enclenchement et declcnchement d’un cable a haute tension au moyen d’un inter-
ruptcur a contacts dans 1’huile.

Friedlander E., Arch. Elektrotechn., 16, 273 (1926); 17, 1, 103 (1926).

Cher Kippsclrwingungen, insbesondere bei Elektroncnrohren.

Geffcken H., Phys. Zs., 241 (1925).

Ziindspannung und Stabilitat der interm it ticrenden Gliminentladung.

G i 1 k e s о n C. L., Jeanne P. A., Davenport. J. C., Electr. Eng., 56, 421

(1937). Power system faults to ground, P. I, Characteristics.

К a u f m a n n W., Ann. d. Phys., 2, 158 (1900).

Elektrodynamische Eigentiimlichkeiten leitender Gase.

Petersen W., Elektrotechn. Zs., 697 (1914).

R iickziin d u n gsiibersp annungen.

Pfannkuch W., Elektrotechn. Zs., 1125 (1912).

Drchstromkabel fur 30 000 Volt.

S c h a 1 1 г e u t e r W., Ober Schwingungserscheinungen in Entladungsrohren, Bruna
wick, 1923.

ValleG., Pbys. Zs., 473 (1926).

Die diskontinuicrlichcn Entladungen.

Wilkinson K. J. R., Mortlock J. R., Journ. Electr. Eng., 89, P. II, 137 (1942),

Synthetic testing of circuit-breakers.
Глава 43

ИСКРОВОМ РАЗРЯД В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ЦЕПЯХ

В гл. 5 было показано, что в колебательном контуре с индуктивностью

и емкостью свободные составляющие токов затухают под влиянием активного
сопротивления по показательному закону. Ток полностью прекращается
после большого числа колебаний, зависящего от постоянной времени

контура. Колебания могут начаться вследствие про-
боя изоляции в какой-либо части цепи, произошедшего
в результате перенапряжения, недостаточной или
поврежденной изоляции, или же при сближении кон-
тактов выключателя, находящихся под напряжением.
Разряд, возникающий после пробоя изолирующей
среды, может принять в зависимости от количества
выделяющейся в разрядном промежутке энергии фор-
му слабой искры или огромной дуги. Падение напря-

жения на активном сопротивлении проводов обычно

бывает малым по сравнению с падением напряжения на дуге. Поэтому
сначала рассмотрим процессы в колебательном контуре LC, не содержащем
иных активных сопротивлений, кроме сопротивления искры или дуги В

(фиг. 511).

При высокочастотном разряде, который обычно сопровождает пробой

изоляции, температура дуги и ее электродов мало меняется на протяжении

одного периода колебания. Отсюда следует, что напряжение между электро-
дами, зависящее главным образом от температуры, почти не будет зависеть
от мгновенного значения тока. Но при изменении направления тока меняется
знак напряжения дуги. Поэтому фиг. 512 достаточно хорошо воспроизводит
связь между напряжением дуги ев и током через нее i. На фиг. 513 показана
осциллограмма напряжения дуги, снятая при таком высокочастотном раз-
ряде. Мы видим, что в начале каждого полупериода напряжение принимает
скачком, определенное значение, которое остается почти неизменным на
протяжении всего полупериода. После изменения направления тока напря-
жение вновь приобретает ту же величину, но противоположного знака.
Таким образом, напряжение искры или дуги прп высокочастотном разряде
действительно почти не зависит от тока, если не считать небольших пиков
напряжения, необходимых для повторного зажигания дуги после каждого
прохождения через нуль.
Если в сети создается контур, подобный изображенному на фиг. 511, то
уравнением баланса напряжений будет

eL + eB-+ ес = 0. 03.1)

Напряжения на индуктивности ев и на емкости ес можно представить соот-
ветственно как производную и интеграл тока по времени

ec = ~{idt. (43.2)

Что касается напряжения дуги ев, то его выражение в виде функции времени
нам неизвестно. Однако можно записать в соответствии с фиг. 512, что

ев = ± еь, (43.3)

причем знак в правой части в каждый момент времени должен быть оди-
наковым со знаком тока, поскольку напряжение дуги меняет свое на-
правление одновременно с ним1).

Дифференциальное уравнение для тока принимает тогда следующий
вид:

LTt ±eb + ^\idt = Q. (43.4)

Решение этого уравнения нельзя получить в замкнутой форме из-за
наличия члена, меняющего свой знак. Поэтому придется рассмотреть
в отдельности каждый полу период, на протяжении которого направление
тока, а следовательно, и знак еъ остаются неизменными. Дифференцируя
уравнение (43.4), получаем следующее уравнение для тока, годное для
любого полу периода:

£ + i = °- (43-5)

Решением уравнения (43.5) является синусоидальный ток

i = lei^1 = I sin vZ, (43.6)

’частота которого равна

Напряжение на индуктивности, согласно первому из выражений (43.2),
равно

ев = jvLIeiyt = чЫ cos vt. (43.8)

Таким образом, ток и индуктивное напряжение в пределах каждого полу-
периода изменяются во времени по таким же законам, как если бы в цепи
не было искрового промежутка. Собственная частота v и, следовательно,
продолжительность полупериода имеют такую же величину, как в цепи
без потерь. Частота не зависит от амплитуды тока и от величины на-
пряжения дуги.

Амплитуда колебаний I остается постоянной в каждом полупериоде.
Однако поскольку дифференциальное уравнение (43.4) может быть проин-
тегрировано лишь для одного полупериода, то для различных полуволн,
из которых слагается разряд, амплитуда может принимать различные

*) В употребление входит запись

eB = sgnt-ci>.

где символ sgn i означает знак функции i (Z). — Прим. ред.
значения. Прежде чем исследовать изменение амплитуды тока, определим
напряжение на конденсаторе при помощи второго пз выражений (43.2) и
выражения (43.6). При интегрировании появляется постоянная, которую
нужно выбрать так, чтобы удовлетворялось исходное уравнение (43 1). Таким
образом, получае.м

= -^/cosvZTeb. (43.9)

Приняв во внимание выражения (43.7) и (43.8), найдем

ес= - (еь ± еь).

(43.10)

Это уравнение с учетом выражения (43.3) в точности совпадает с уравнением
(43.1).

Таким образом, напряжение на конденсаторе состоит из двух составля-
ющих: косинусоидальной и постоянном, и всегда отличается от напряжения

на индуктивное тп на величину напря-
жения дуги. На фиг. 514 показано
изменение во времени тока и напря-
жения на конденсаторе для первого,
а также для последующих полупе-
риодов. Каждая полуволна напря-
жения па конденсаторе несимметрич-
на относительно нулевой линии,
причем смещение равно постоянной
величине напряжения дуги еь.

Амплитуды тока и напряжения
можно определить из начальных
условий. Предположим, что пробой
промежутка произошел прп t = 0
и с этого момента начал протекать
ток. Конденсатор был предваритель-
но заряжен до напряжения—Е (при-
писываем напряжению отрицатель-
ный знак, чтобы ток в первом по-
лупорподе имел положительным
знак). Тогда в соответствии с выра-
жением (43.9) при t = 0 получаем

(43.11)

Отсюда, учитывая выражение (43.7), находим амплитуду тока в первом
полупериоде

А = vC (Е - еь) = (Е - еь) £- • (43.12)

По истечении полупериода синусоидального колебания направление тока
меняется. В следующем полупериоде величины напряжений снова опре-
деляются выражениями (43.6), (43.8) и (43.9). Однако, учитывая отрица-
тельное направление тока, мы должны теперь брать в выражении (43.9)
нижний знак перед величиной напряжения душ еь. В результате напря-
жение на конденсаторе изменяется во времени так, как показано на
фиг. 514. Переход к каждой последующей полуволне должен быть непре-
рывным и для тока и для напряжения. Ток удовлетворяет этому усло-
вию, проходя через нулевое значение. Непрерывность напряжения при
переходе ко второму полупериоду является тем условием, из кото-
рого находится амплитуда тока 12. В соответствии с выражением (43.9)
34 р. Рюденберг
в конце первого полупериода, т. е. при \t = т., получаем

= (43ЛЗ)

откуда находим

I2 = I1-2ebyC=I1-2eb]/^- . (43.14)

Таким образом, амплитуда второй полуволны тока меньше амплитуды
первой полуволны на величину, равную отношению удвоенного напряже-
ния дуги к волновому сопротивлению контура.

Соответственно амплитуда напряжения во втором полуперподе полу-
чается меньше, чем в первом, и определяется, исходя из фиг. 514, следу-
ющим образом:

Е2 = Е1 — 2еь. (43.15)

Те же соображения применимы в начале третьего, четвертого и, вообще,
и-го полупёрподов. Амплитуды напряжения и тока уменьшаются с каж-
дым полуперподом на одну и ту же величину, поскольку напряжение
дуги еь просто меняет свой знак по отношению к напряжению на кон-
денсаторе. Отсюда, если обозначить через п порядковым номер полупериода,
то можно написать

= Л —2(,г-1)еь]/£ > (43.16)

En = E1-2(n-l)eb = (E-eb)-2(n-i)eb.

Таким образом, в колебательных цепях, в которых затухание опреде-
ляется потерями в дуге, амплитуда колебании убывает по линейному
закону и процесс закапчивается в определенный, обычно весьма непро-
должительный промежуток времени. Этим они отличаются от цепей
с активным сопротивлением, где колебания затухают по показательному
закону п процесс практически заканчивается по истечении довольно зна-
чительного времени. Амплитуды напряжения и тока в цепях с активным
сопротивлением убывают в геометрической прогрессии, а в цепях с ду-
гой— в арифметической. На фиг. 514 изображен весь процесс колебания
в цепи с дугой.

Колебания, как показано на фиг. 514, состоят из некоторого числа
полуволн N и продолжаются до тех пор, пока напряжение па конденса-
торе не уменьшится от начального значения Е до величины, пе превосхо-
дящем напряжение дуги еь. Таким образом, после того как напряжение
на конденсаторе уменьшится N раз на величину удвоенного напряжения
дуги, пробой искрового промежутка станет невозможным. Отсюда получаем
следующее соотношение для напряжений:

E-2Neb = eb. (43.17)

Число полупериодов колебания выражается формулой

= (43.18)

Полученное численное значение N следует округлить до ближайшего
целого числа. На конденсаторе обычно получается некоторое остаточное
напряжение.

Если напряжение дуги еь очень мало по сравнению с тем начальным
напряжением Е на конденсаторе, которое требуется для первого пробоя
при холодных электродах, то число полуволн получится большим. Но
если напряжение дуги составляет значительную часть пробивного напря-
жения, то колебания закончатся через несколько полупериодов. При
напряжении дуги, равном 1/3 или более от начального напряжения
зажигания, возникает только по одной полуволне напряжения и тока, а.

когда процесс заканчивается, на конденсаторе остается заряд, составля-
ющий до */з начального заряда и обратный ему по знаку.

Осциллограмма на фиг. 5'13 показывает, что напряжение дуги нс
остается вполне постоянным, а увеличивается при малых токах. Особенно
это относится к колебаниям средней частоты. Несмотря на это, получен-
ные результаты и, в частности, формула (43.6) удовлетворительно вос-
производят изменение тока на протяжении любого полупериода. Точно

так же напряжения и их амплитуды достаточно хорошо описываются
соотношениями (43.9), (43.15) и (43.16). Однако колебания будут закан-

чиваться раньше, а именно, когда напряже-
ние на конденсаторе окажется меньше, чем
напряжение повторного зажигания дуги ег, по-
казанное на фиг. 515. Поэтому в правую часть
равенства (43.17) необходимо подставить имен-
но это напряжение зажигания, а не напряже-
ние горения еь. Таким образом, истинное число

полуволн _е

(43Л9> ь А

’ ег

При нс слишком большой частоте колебаний \

число полуперподов часто бывает небольшим и Фиг. 515.

па конденсаторе остается значительный заряд.

Выясним теперь, какое влияние оказывает активное сопротивление
цепи на колебательный процесс. Полуволны колебаний уже не будут
чистыми синусоидами, так как в пределах каждого полупериода будет
происходить затухание в соответствии с постоянной времени цепи..
Теперь для определения тока используется не выражение (43.6), а сле-
дующая формула:

i = 1е~ч2Т sin »t, (43.20)

причем постоянная времени Т и частота v находятся из тех же выраже-
ний, что и для колебательной цепи LC без дуги (см. гл. 5). Если актив-
ное сопротивление невелико, то для первой амплитуды тока, которая
находится из начальных условий при первом пробое искрового промежут-
ка, соотношение (43.12) сохраняет силу. Однако для следующих полуволн
необходимо изменить граничные условия (43.13) и (43.15), учитывая
уменьшение напряжения под влиянием активного сопротивления цепи.
Таким образом, в конце первого полупериода (см. фиг. 514) напряжение
на конденсаторе уже нс равно Е 2еь, а определяется при Z = е/я следу-
ющим соотношением:

Ес = (Е-еь)е-^т-еь. (43.21)

Амплитуда во втором полупериоде дополнительно уменьшается вследствие
затухания по показательному закону. При совместном действии дуги и
сопротивления проводников получается затухание более сильное, чем под
действием одной из этих двух причин. Разряд очень быстро полностью
заканчивается в результате действия напряжения дуги, в особенности ее
напряжения зажигания.

Если напряжение на емкости спадает после первого полупериода до
величины напряжения повторного зажигания дуги или еще ниже, то в
цепи получается лишь один апериодический толчок. Для того чтобы
установить условия появления такого апериодического разряда, восполь-
зуемся соотношением (43.21), полагая в нем Ec = ez. Находим, что

е(-^/2)(щКь/С) =^±£ь . (43.22)
Здесь для v взято приближенное выражение, годное прп сопротивлениях
средней величины. Из соотношения (43.22) определяем критическое зна-
чение сопротивления, дающее апериодический разряд

-^= = -1п

V LjC " Vz + еьУ

(43.23)

Если принять, что напряжение на конденсаторе Е = 10 000 в, напряжение
горения дуги еъ = 50 в и напряжение повторного зажигания е2 = 1000 в,

то получим

\fLlC

2 . Z 10 000 — 50 >
л П < 1000 + 50 )

— In 9,5 = 1,43.
7С 1

Итак, критическая величина сопротивления может оказаться значительно
меньше удвоенного значения волнового сопротивления, необходимого для
апериодического разряда в цепи без дуги [см.

Ф и г. 516.

соотношение (5.16)].

Искровыми разрядами часто пользуются
для получения колебаний высокой частоты.
Одна из возможных схем показана на фиг. 516:
конденсатор С заряжается от источника по-
стоянного или переменного напряжения через

большую индуктивность
жение на конденсаторе
пробивного напряжения

ка В, разряжается через малую индуктивность L.

L' п, когда напря-
достигает величины
искрового промежут-
Собственные частоты

левого зарядного и правого разрядного контуров сильно различаются
между собой, так что эти колебания мало влияют друг на друга. Если

для зарядки применяется источник постоянного напряжения, то напряже-
ние на конденсаторе будет почти вдвое больше напряжения источника.
Если конденсатор заряжается от источника переменного напряжения,
то прп настройке зарядного контура в резонанс получается еще боль-
шее напряжение. В обоих случаях искровой промежуток можно
отрегулировать на максимальное напряжение на конденсаторе и тогда
после пробоя в разрядном контуре возникнут интенсивные свободные
колебания, частоту которых можно изменять в широких пределах путем
изменения индуктивности L. Под влиянием активного сопротивления
цепи и потерь в искре свободные колебания прекращаются, причем кон-
денсатор успевает сильно разрядиться. Далее опять следует зарядка кон-
денсатора, в процессе которой напряжение на искровом промежутке
енова повышается до пробивного значения. В сетях постоянного и пере-
менного тока это явление иногда возникает самопроизвольно вследствие
пробоя изоляции.

ЛИТЕРАТУРА

Barkhausen Н , Phys. Zs., 624 (1907).

F unkenwiders tand.

Be the nod J., Jahrb. drahtl. Telegr. Teleph., 1, 534 (1908).

Ober den Besonanztransformator.

Blondel A., Carbenay F., Lumiere elec., 31, 193 (1915).

Systemes oscillants a amortissement discontinu.

Leeds W. M., Van Sickle R. C., Trans AIEE, 66, 373 (1947).
The interruption of charging current at high voltage.

Sadler E. K., Blakeslee T. M., Trans. AIEE, 66, 39 (1947).

Resistors for 138-kv cable switching.

Steinmetz С. P., Journ. AIEE, 210 (1922).

Condenser discharges through a general gas circuit.
Глава 44

ОТКЛЮЧЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ЦЕНЕН
«

Ф и г. 517.

42, здесь каждое

Сети энергетических систем переменного тока всегда обладают значи-
тельной индуктивностью, которая оказывает большое влияние на процессы
повторного зажигания при отключении цепей, содержащих емкости. Зна-
чительной индуктивностью рассеяния обладают в первую очередь генераторы
и трансформаторы. Однако прп большой длине линии
передачи ее индуктивность также составляет существен-
ную часть общей индуктивности L. Выясним, как про-
исходит разрыв цепи переменного тока, содержащей
индуктивность и емкость (фиг. 517), при отключении
через дугу В. Цепи такого вида, как представленная на
фиг. 517, встречаются при отключении зарядных токов
линий передачи в сетях высокого напряжения. В отли-
чие от процессов, возникающих в цепи с конденсато-
ром и активным сопротивлением и принимающих фор-
му апериодических разрядов, рассмотренных в гл.

зажигание сопровождается колебаниями, происходящими с собственной
частотой цепи (см. гл. 43) и резко обрывающимися по прошествии несколь-
ких полупсриодов. В процессе колебаний конденсатор заряжается почти до
удвоенного значения напряжения источника, примерно как и при металличе-
ском включении колебательной цепи, рассмотренном в гл. 6. Вследствие на-
личия индуктивности ток возникает не мгновенно, как это было показано
в гл. 42, а нарастает постепенно, без скачка.

§ 1. Напряжение при повторных зажиганиях. Подобно тому как это
делалось в § 2 гл. 42, предположим, что процесс зарядки полностью заканчи-
вается в течение небольшой части полу периода напряжения сети. Тогда
можно считать, что напряжение источника остается почти неизменным во
время горения дуги. При решении практических задач такое приближенное
рассмотрение является вполне приемлемым. На фиг. 518 построены кривые
изменения во времени напряжения на конденсаторе ес и зарядного тока i
после пробоя межконтактного промежутка при напряжении зажигания ez.
Напряжение на конденсаторе совершает затухающие колебания около мгно-
венного значения напряжения сети Е. Ток при этом поочередно принимает
как положительные, так и отрицательные значения. Для исследования этого
процесса примем, что вольтамперной характеристикой дуги является кривая,
изображенная на фиг. 519, т. е. будем считать, что напряжение дуги очень
быстро спадает от некоторого большого значения напряжения зажигания ег
до малого и неизменного значения напряжения горения еь.

Если сопротивление цепи В невелико, то частота колебаний при зарядке
равна

Ток определяется выражением

i = Ie~RKZL'>' sin vt, (44.2)
причем его первая амплитуда, согласно соотношению (43.12), равна

1 =

(44.3)

Как видно из фиг. 518, напряжение на конденсаторе в первом полупсриоде
равно

ес = (Е — еь) — (е2 — е0) ' cos »t. (44.4)

В каждом следующем полупериоде знак напряжения дуги еь изменяется на
обратный.

В зависимости от собственной частоты цепи, определяемой ее индуктив-
ностью и емкостью, а также от тепловой характеристики дуги и ее электродов

процесс может развиваться двумя существенно различными путями. Если
собственная частота очень велика, например при малой емкости цепи, то
при зарядке получатся быстрые колебания и дуга сохранит свою темпера-

туру при прохождении тока через нуль,

Фиг. 520.

а напряжение зажигания во втором
и следующих полупериодах будет
небольшим. После того как коле-
бания затухнут, на конденсаторе
останется напряжение, отличаю-
щееся от мгновенного значения на-
пряжения сети Е лишь на сравни-
тельно малую величину наиряже-
I ния дуги + е,. (см. фиг. 518). Это
напряжение сохраняется на кон-
денсаторе до момента следующего
зажигания. Таким образом, сред-
нее значение напряжения на кон-
денсаторе изменяется примерно
так же, как при отключении чисто
емкостной цепи (см. гл. 42). Одна-
ко на среднее значение наклады-
ваются быстрые колебания при за-

жигании, в результате чего напряжение на конденсаторе на короткое время
достигает почти двойного значения напряжения сети. На фиг. 520 этот про-
цесс показан графически на протяжении нескольких полупериодов прило-

женного напряжения; зажигание происходит здесь немного раньше макси-
мума напряжения сети.

При меньшей собственной частоте колебания прекращаются по истече-
нии небольшого числа полупериодов. В результате естественного охлажде-
ния искрового промежутка напряжение зажигания при перемене направле-
ния тока становится больше разности напряжений на конденсаторе и в сети.
На фиг. 521 показаны колебания, прекращающиеся после трех полупериодов.
Мы видим, что получающееся те-

перь напряжение на конденсаторе
больше амплитуды напряженпя се-
ти Е. Так всегда будет при нечет-
ном числе полупериодов, а при
четном числе напряжение на кон-
денсаторе окажется меньше напря-
жения сети.

На фпг. 522 показана осцил-
лограмма напряжения на конден-
саторе, снятая в цепи LC, которая
питалась через короткий искровой
промежуток от источника перемен-
ного напряженпя. Кроме часто
повторяющихся колебаний из двух
полуволн, наблюдаются также ко-
лебания из одной, трех и четырех

Ф и г. 521.

полуволн, и их форма вполне со-

гласуется с выполненными выше построениями. На фиг. 523 представлена
осциллограмма тока в той же цепи.

Наиболее неблагоприятным случаем будет тот, когда собственная частота

цепи столь низка, а отвод тепла от искрового промежутка столь значителен,

Ф и г. 522.

что дуга гаснет после первого полупсриода возникшего колебания. Эти
единственные полуволны тока и напряжения отмечены на фиг. 518 жирными
линиями. Теперь на емкости сохраняется напряжение, приближающееся по

величине к удвоенному значению напряжения зажигания. Напряжение зажи-
гания будет наибольшим, если повторное зажигание происходит в момент
максимума напряжения сети. Соответствующее построение выполнено на
фиг. 524.

Величина напряжения, которая сохраняется на конденсаторе в течение
полупериода после зажигания, определяется значением его напряжения до
зажигания На фпг. 524 показано, что после каждого зажигания напряжение
на конденсаторе неуклонно растет. Если бы колебания, сопровождающие
явление зажигания, не затухали, то при каждом повторном зажигании
избыточное (сверх напряжения сети) напряжение еи было бы равно напря-
жению зажигания ez. Таким образом, после первого обрыва тока на конден-
саторе появилось бы напряжение, равное амплитуде напряжения сети, после
первого повторного зажигания, совпадающего с максимумом синусоидаль-
ного напряжения,—равное трехкратной амплитуде напряжения сети, после
второго зажигания—пятикратной и после третьего—семикратной и т. д.
Напряжение на конденсаторе, а следовательно, и на индуктивности стало бы
быстро нарастать до огромных значений. При этом предполагается, что
вследствие растягивания искрового промежутка одновременно увеличивается
напряжение зажигания, так что повторное зажигание всегда происходит
в момент максимума напряжения сети. В действительности рост напряжения
ограничен потерями в цепи.

Из рассмотрения жирных кривых на фиг. 518 следует, что продолжи-
тельность горения дуги, разрываемой через полупериод собственных колеба-

Ф п г. 524.

нии цепи, определяется не столько
затуханием колебаний, сколько их
частотой. Следовательно, наше до-
пущение о том, что продолжитель-
ность горения дуги мала по срав-
нению с полупериодом напряже-
ния сети, оправдывается и при
сравнительно низкой частоте соб-
ственных колебаний которая
[ все же много больше частоты сети <в.

Для дальнейшего исследо-
вания мы снова примем, что на-
пряжение горения еь мало по срав-
нению с напряжением на актив-
ном сопротивлении, так что напря-
жение дуги после зажигания
падает почти до нуля. В этом слу-
чае через полупериод свободных
колебаний

* = V (44.5)

на конденсаторе появляется напряжение, которое превышает напряжение
сети на величину

еи = е2е_(и/2) = ие.. (44.6)

Выражение (44.6) получается из выражения (44.4), если положить
в последнем еь=0. Если дуга рвется нс через один nonj период собственных
колебаний, а через три или еще большее нечетное число полупериодов, то,
как видно из фиг. 518, коэффициент и будет иметь меныпую величину,
соответствующую одному из следующих максимумов напряжения; последние
убывают в соответствии с выражением (44.6), однако всегда положительны.
Если же дуга обрывается через два, четыре или иное четное число полу-
периодов, то коэффициент и будет отрицательным, как это следует из
выражения (44.4) и фиг. 518.

Показанная па фиг. 524 кривая напряжения на конденсаторе соответ-
ствует отключению при самых неблагоприятных условиях. Предполагается,
что контакты выключателя расходятся с такой скоростью, при которой
приращение напряжения зажигания за каждый полупериод напряжения сети
равняется приращению напряжения на конденсаторе, определяемому выра-
жением (44.6). Прп этом повторное зажигание происходит всегда в момент
максимального значения напряжения сети. Рассмотрим этот опасный случай
более подробно.
Первый разрыв цепи происходит при прохождении через нуль нормаль-
ного переменного тока и, следовательно, вблизи максимума напряжения
сети. Как видно из фиг. 524, на конденсаторе остается напряжение—Е Первое
повторное зажигание возникает через полупериод при напряжении ez=2£.
Конденсатор при этом заряжается в соответствии с выражением (44.6) до
напряжения

еС1 = Е + еи=Е+(2Е)и = {*-\ 2и)Е. (44.7)

При малом активном сопротивлении цепи величина и получается порядка
единицы [см. выражение (44.6)] и даже напряжение eCi уже значительно
превышает напряжение сети.

В соответствии со сделанным выше предположением в течение следую-
щего полупериода контакты расходятся настолько, что напряжение зажига-
ния делается равным еС1-}-Е, т. е. величине напряжения, которое будет к том;

времени на контактах. Возникнет новое повторное зажигание, которое под-
нимет напряжение на конденсаторе еще выше до величины

ес2 = Е- (еС1 + Е) и = (1 -ф и) Е-+ иеСЛ.

(44.8)

Как видно из фпг. 524, напряжение продолжает повышаться. После
третьего и последующих полу периодов напряжение при соответствующих
условиях отключения станет еще выше. Напряжение на конденсаторе после
(и-|-1)-го повторного зажигания определяется выражением, аналогичным
выражениям (44.7) и (44.8):

ес (п+1) = Е (еСп -ф Е) и = (J -( и) Е ф иеСп.

(44.9)

Таким образом, напряжение будет постепенно нарастать до весьма больших
значений. Этот процесс изображен на фиг. 525 для цепи с относительно
большим активным сопротивлением, обусловившим значительное затухание
(н=0,5). Если дуга в выключателе растягивается так, что напряжение се
зажигания равняется напряжению на конденсаторе, то последнее превысит
напряжение сети в 3 раза.
Если дуга растягивается медленнее, то повторное зажигание происходит
.до наступления максимума приложенного напряжения. Следовательно,
напряжение на конденсаторе достигает лишь такой величины, которая соот-
ветствует напряжению зажигания искрового промеж^ тка в данный момент
времени. Однако если дуга в конце концов будет растянута до той же вели-
чины, как и в предыдущем случае (см. фиг. 525), то наибольшее напряжение,
которое установится в конце процесса, будет прежним. Происходит своеобраз-
ное явление: удлинение дуги вызывает самовозбуждение колебаний напря-
жения па конденсаторе, доводя его, а вместе с ним и напряжение дуги, до
предельного значения, во много раз превышающего напряжение сети. Окон-
чательное гашение дуги достигается увеличением либо расстояния между
контактами, либо скорости их движения так, чтобы рост напряжения на кон-
денсаторе отставал от роста напряжения зажигания.

Предельное значение перенапряжения, которое получается при медлен-
ном удлинении дуги, находится из равенства напряжений на конденсаторе
после /г-го и (п+1)-го повторных зажиганий при достаточно большом п.
Пользуясь выражением (44.9), находим, что при установившемся напряже-
нии на конденсаторе

Ес — (1 -|- и) Е-± иЕс, (44.10)

откуда получаем

Ес = ^иЕ. (44.11)

При положительном значении и, т. е. при гашении дуги после нечетного
числа полуволн тока, напряжение на конденсаторе всегда выше напряжения
сети. Напротив, при четном числе полуволн тока значение и получается
отрицательным, и напряжение на конденсаторе меньше напряжения сети.
13 соответствии с выражением (44.11) перенапряжение становится тем зна-
чительнее, чем ближе положительная величина и к единице. При неблаго-
приятных условиях напряжение на конденсаторе может возрасти до огром-
ноп величины. Так, например, если затухание свободных колебании таково,
что и=0,9, то напряжение на конденсаторе в 19 раз превысит напряжение
сети.

Сказанное объясняет возникновение огромных электрических дуг,
наблюдаемых при отключении разъединителями значительных емкостей.
Такие дуги даже при средних напряжениях сети могут быть длиной в не-
сколько метров. Часто они выходят за пределы межэлектродного промежут-
ка и распространяются в окружающем пространстве, где воздушные потоки
удлиняют их еще больше, вызывая самопроизвольное нарастание напряже-
ния повторного зажигания. Такие блуждающие дуги могут легко перебро-
ситься на другие провода линии передачи или шипы распределительного
устройства и стать причиной тяжелых коротких замыканий. На фиг. 526
показана фотография дуги, искусственно созданной в роговом разряднике
при напряжении источника 20 000 в. Другая весьма поучительная фотогра-
фия гигантской дуги между проводом и землей, возникшей в протяженной
100-киловольтпой сети при замыкании на землю, показана на фиг. 278;
этот случаи мы в дальнейшем обсудим подробнее. Чтобы избежать подобных
перенапряжений, надо позаботиться о быстрейшем гашении дуги в емкостных
цепях (по возможности через полу период приложенного напряжения).
Этого можно достигнуть применением быстродействующих выключателей
с быстро перемещающимися контактами. Дуги, возникающие при замыка-
ниях на землю, можно гасить также при помощи компенсирующих индуктив-
ностей.

В самом неблагоприятном случае, а именно если повторная дуга гаснет
•спустя полу период свободного колебания, отношение избыточного напряже-
ния, определяемого выражением (44.6), к напряжению зажигания равно

ТС R

и = е^=е~2 т . (44.12)

Здесь использована формула (44.1) для собственной частоты. Величина и
зависит только от отношения активного сопротивления цепи к ее волновому

Ф и г. 52(5.

Ф и г. 527.

сопротивлению. Подставляя выражение (44.12) в (44.11), находим наи-
большее возможное отношение напряжения на емкости к напряжению
сети, т. е.

тс R_

Ес 1+с 22у=сП1 (1-^) . (44.13)

Е _S_2L_

1-е 2 КЕТс

Пользуясь хорошо известным разложением гиперболической функции
в ряд, получаем при сопротивлении Н, малом по сравнению с волновым
сопротивлением }/ L/C, приближенное выражение

£с=аЛ/с. (4414)

Е л R v '
Таким образом, наибольшее возможное значение перенапряжения при-
мерно обратно пропорционально активному сопротивлению цепп и в
реальных цепях переменного тока может оказаться весьма большим.
Если активное сопротивление составляет 5% от волнового, то напряжение-
па емкости может превысить напряжение сети в число раз, равное

^ = А™ = 25,5.

Е тс о

При большей длине дуги важное значение приобретает падение напря-
жения еь на горящей дуге, которым мы пока пренебрегали. Падение
напряжения на дуге способствует ограничению длины дуги и перенапря-
жения в цепи. Влияние напряжения дуги на процессы при ее удлинении
иллюстрируется кривыми на фиг. 527, построенными для наиболее не-
благоприятного случая. Как видно из фиг. 518, напряжение на конден-
саторе колеблется около кривой е — еь, которая является для него как бы
нулевой линией.

Следовательно, вместо соотношения (44.9) получаем теперь следующее-
выражение для напряжения на конденсаторе после (n-pl)-ro повторного
зажигания, совпадающего с максимумом напряжения сети:

ес(п4 1) — (Е — еь) -ф- (sen -k Е — еь) и = (1 4- и) (Е — еь) '- ивсп- (44.15)
Приравнивая п-е и (п + 1)-е значения ес, находим предельную величину
напряжения на конденсаторе, устанавливающегося по окончании пропесса,
Ес = ^(Е-еь). (14.16)

Однако необходимо учесть, что напряжение горения еь изменяется с уве-
личением длины дуги, и постоянным можно считать лишь отношение на-
пряжений горения и зажигания. Напряжение зажигания всегда равно
сумме напряжений конденсатора и сети. Таким образом, для установив-
шегося состояния при зажигании в момент максимума напряжения сети
получаем

eb = e±Ez = ^(Ec-\ Е). (44.17)

Подставляя это выражение в соотношение (44.16) и решая его относитель-
но Ес, получаем следующую зависимость между напряжением па конден-
саторе и напряжением сети:

Здесь дробь (1 — w)/(l-|-в) заменена гиперболической функцией.

Таким образом, нарастание напряжения на конденсаторе ограничи-
вается суммарным действием напряжения горения дуги и активного сопро-
тивления цепи. Если активное сопротивление равно нулю, то гиперболи-
ческий тангенс также обращается в нуль и тогда остается простое соотно-
шение

^ = ^-1. (44.19)

Е еь

Если напряжение горенпя составляет 5% от напряжения зажигания, то
максимальное напряжение на конденсаторе равно 19-крйтному напряже-
нию сети, т. е. оно возрастает до тех пор, пока напряжение горения дуги
не сравняется с напряжением сети.
Наибольшая возможная длина дуги при
максимальным напряжением зажигания, которое
или 527 равно

отключении определяется
в соответствии с фиг. 524

Е, = Ес Е.

(44.20)

*1з выражения (44.20) при помощи соотношения

(44.18) получаем

1 +1 h

(44.21)

Изменение во времени напряжения самой дуги в процессе отключения
также показано на фиг. 527.

Рассмотрим численный пример. Пусть отношение напряжении горения
и зажшания равно 5% и отношение активного и волнового сопротивле-
нии также равно 5%.

Приравнивая тангенс его аргументу, что допустимо при малых зна-
мениях аргумента, находим в соответствии с соотношением (44.18) предель-
ное значение напряжения на емкости по отношению к напряжению сети

Ес 1 100

Е -5 5

’4'1Й0+100

а в соответствии с соотношением (44.21) предельное напряжение зажигания
(также по отношению к напряжению сети)

л 5
4" 100

Е 5 л 5

100 Ч4‘ 100

= 11,6.

Получилось перенапряжение такой величины, какую трудно достичь пред-
намеренно при любых других явлениях в электрических цепях. Можно утвер-
ждать, что перенапряжения, которые могут возникнуть при отключении
емкостных цепей через дугу, принадлежат к числу наиболее опасных явле-
ний, известных в электротехнике. Опыт эксплуатации различных сетей
показывает, что перенапряжения рассмотренного выше типа достигают
2 , 4- и даже 6-кратного значения нормального напряжения сети; первые
два значения встречаются часто, последнее—реже. Величина напряженпя,
которую фактически удается измерить при отключении, зависит от многих
побочных обстоятельств, в частности от пробивного напряжения линейных
изоляторов и разрядников, представляющего собой естественную верхнюю
границу напряжения.

Найдем скорость отключения, необходимую для устранения повторных
зажиганий в емкостной цепи. В соответствии с фиг. 524 или 527 первое по-
вторное зажигание может произойти через полу период напряжения сети при
напряжении зажигания 2Е. Следовательно, начальная скорость увеличения
напряжения (в в!сек) равна

dez e2j

dt t/2

(44.22)

ТГ ! ИХ ТТ 1

Чтобы не допустить повторного зажигания, нужно довести скорость нараста-
ния пробивного напряжения разрядного промежутка до величины, большей,
чем даваемая выражением (44.22). Напряжение зажигания дуги примерно
пропорционально ее длине I. Поэтом} скорость нарастания пробивного напря-

жения равна

dez ег dl е

dt I dt I s’

(44.23)

где vs означает скорость расхождения контактов. Сопоставление выражения
(44.23) с (44.22) дает для минимальной скорости расхождения контактов
величину

(44’24>

Для дуг, горящих в воздухе при умеренном токе, можно считать
е2//^50<> в{см\ тогда при частоте 50 гц для 10 кв сети находим

4-50-10-103 , n , /п ,

v =-----—---= 4,0-103 см сек = 40 м сек.

3 5()и

Такую скорость расхождения контактов, необходимую для гашения дуги
в неподвижном воздухе, едва ли можно достичь. Однако если одновременно-
с перемещением контактов прогонять через дуговой промежуток воздух под
давлением, то найденную выше скорость растягивания дуги легко можно
превзойти. К тому же сам промежуток будет теперь иметь значительно
большее пробивное напряжение, поскольку он обдувается холодным возду-
хом. Если дуга горит в масле прп небольшом токе, то напряжение зажига-
ния примерно в 10 раз больше указанного в приведенном выше примере.
Следовательно, при двух разрывах на каждый полюс выключателя для по-
давления дуги достаточна механическая скорость 40, 10-2=2 м!сек. При
более высоких рабочих напряжениях для предотвращения развития дуги
прп отключении емкостных цепей иногда применяют от четырех до шести
последовательных разрывов и повышают эффективную скорость отключения
при помощи масляного или воздушного дутья.

Пз фпг. 523 видно, что скорость нарастания напряжения на конденса-
торе является наибольшей вначале и в дальнейшем убывает под влиянием
успокаивающего действия активного сопротивления и напряжения Дуги.
Отсюда следует, что окончательный разрыв дуги в середине процесса или
еще позднее можно осуществить с несколько меньшей скоростью отключе-
ния, чем та, которая дается выражением (44.24).

§ 2. Ток и энергия В процессе отключения цепи через дугу ток изме-
няется уже не по синусоидальному закону со сдвигом фазы в 90° относитель-
но напряжения сети, а состоит из коротких импульсов значительной величи-
ны, появляющихся вблизи максимумов напряжения сети и зависящих от
длины дуги [см. выражения (44.2) и (44.3)1. Если дуга гаснет через один
полупериод колебания, возбуждаемого повторным зажиганием, то ток пред-
ставляет собой совокупность единичных импульсов, отделенных друг от друга,
как показано на фиг. 523, длинными паузами. Эти импульсы совпадают по
знаку с напряжением сети и поэтому вызывают значительные потери энергии.

Если гашение дуги происходит через два или более нолупсриодов, то
импульсы тока носят характер затухающих колебаний, как это видно из
фиг 521. Напряжение лишь немного выше двукратного значения напряже-
ния сети, и явления сходны с повторным зажиганием в чисто емкостной цепи,
которое было рассмотрено в гл. 42. На фиг. 528 показаны осциллограммы
напряжения дуги ев, напряжения на конденсаторе ес и тока г, снятые при
медленном отключении емкостной нагрузки от источника со значительной
индуктивностью, например от генератора или трансформатора. Эти кривые
сходны с кривыми на фиг. 505, правда, разряды здесь имеют колебательный
характер, а не апериодический, как в чисто емкостных цепях. На фиг. 528, а
показана начальная, а на фиг. 528,6—конечная стадия процесса отключе-
ния; средняя часть осциллограммы опущена. Мы видим, что уже при корот-
кой дуге на протяжении каждого полупериода возникают многочисленные
разряды, сопровождаемые большими импульсными токами. С увеличением
длины дуги импульсы тока становятся реже и сильнее, и теперь ясно видно,
что они представляют собой затухающие колебания. Ступенчатая кривая
напряжения на конденсаторе в конце процесса превращается в прямоуголь-
ную. Увеличивающееся напряжение дуги постепенно принимает вид кривой,

Фиг. 528.

составленной пз сдвинутых косинусоидальных полуволн. Дуга гаснет
окончательно, когда напряжение зажигания становится больше, чем напря-
жение дугового промежутка. На этой осциллограмме не происходит прежде-
временного прекращения свободных колебаний и, следовательно, нет осно-
вания для повышения напряжения сверх значения 2Е.

В электрических сетях с емкостной нагрузкой активное и индуктивное
сопротивления обычно бывают малы но сравнению с емкостным. Поэтому
нормальный зарядный ток, протекающий в цепи при замкнутом выключа-
теле, в основном определяется отношением напряжения сети к емкостному
сопротивлению. Сравним средние за полупориод потери wz от зарядного тока
в процессе отключения с потерями w от нормального зарядного тока
протекавшего в цепи до момента отключения. Отношение этих потерь
равно

7С/У 7^/У

Bi2 dt j i2 dt
wz 0 6

(44.25)

Вместо амплитуды переменного тока Iс и его периода т мы подставили здесь-
хорошо известные их выражения через частоту, емкость и напряжение.
Преобразовав
найдем

выражение (44.25) при помощи

соотношений (44.1)—(44.3),

л/V

1 (£z-£iO2 21 Г e-(fi/B)/sill2W6Z/

7С Ej W J

(44.26)

Выполнив интегрирование, получим

e-(R/L)« sjn2

L vR

2I{ V'L!C

it ,)
2?

(44.27)

Приближенное значение в правой части выражения (44.27) годно при
малых отношениях активного сопротивления к волновому. Отношение дей-
ствующих значений тока отключения и синусоидального зарядного тока
определяется как корень квадратный из отношения потерь. Используя
выражение (44.27), находим

(44:28)

Это отношение всегда много больше единицы из-за высокой частоты сво-
бодных колебаний v.

Предельное значение выражения (44.28) получается при подстановке
в пего из формулы (44.21) наибольшей возможной величины напряжения
зажигания растянутой дугп, а именно:

(44.29)

Пользуясь числовыми данными рассмотренного ранее примера и считая
собственную частоту в 10 раз большей частоты сети,, находим для отно-
шения действующих значений отключающего и нормального токов величину
b=j/io (^_£).Ц,в_35.

Таким образом, при отключении емкостных цепей через дугу ток вовсе
не уменьшается, как это могло бы показаться на первый взгляд Наоборот,
прежде чем закончится процесс отключения, действующее значение тока,
постепенно увеличиваясь вследствие, повторных зажиганий, достигнет
огромного предельного значения. Имеется множество сообщений о сгорании
предохранителей, вызванном этой внезапной перегрузкой.

Энергия, выделяющаяся в самой дуге за первый полупериод колеба-
ний, возникающих после ее зажигания, определяется при помощи выра-
жений (44.2) и (44.3) следующим образом:

7C/V __Tt/V

ш-,/2 = евг dt = еь (ez — еь) у e-R/(2R)< sin vt dt. (44.30)
о о

п Точное значение интеграла (44.27) равно

•кВ -ч

V~Lic)

—Прим. ред.
Интеграл, входящий в выражение (44.30), можно выразить через величину
«, определяемую равенством (44.12):

e-K/(2L)(sin^^ 1(1 +е“2 УЦЬ ^ = /ZC’(l + «)1). (44.31)

Подставляя предельное значение напряжения зажигания Ег из соотношения
(44.21), находим количество энергии, выделяющейся в вытянутой дуге за
последний полупериод, предшествующий ее окончательному гашению. Эта
энергия равна

^/2 = ^(1-?)^С(1 + и) =

е2 \. • ^2 У

Г 1+— г

с?—А+Вв &

2< -b-+th

Uz ч 4 /L/c;

(44.32)

Тангенс в числителе здесь выражен через величину и в соответствии
с соотношениями (44.11) и (44.13). Дальнейшие преобразования приводят
к следующему результату:

w. 12=- (1 -—67~ ------____

k/ «z cz/l + м еь | th / п д \
к 4 yLJc).

Часто можно пользоваться достаточно точным равенством

1 —сь/е2_ 1

1 + и 2 ’

(44.33)

(44.34)

основанным на том, что небольшие отступления (от единицы в числителе и
от двойки в знаменателе) взаимно компенсируются. Итак, наибольшее
количество энергии, выделяющейся в дуге при отключении, приближенно
равно

(44.35)

В каждом полупериоде напряжения сети выделение энергии в дуге проис-
ходит только на протяжении небольшого промежутка времени, равного
половине периода свободного колебания. Как показывает выражение (44.35),
в последнем полупериоде эта энергия во много раз превышает энергию,
запасенную в емкости до отключения, т. е. энергию, соответствующую
напряжению сети. Для нашего численного примера при напряжении
горения, равном 5% от напряжения зажигания, и активном сопротивлении,
равном 5% от волнового, количество, энергии в последнем полупериоде

Точное значение интеграла (44.31) равно

1+е 2/ь/С

• —Прим. ред.

35 р. Рюденберг
превышает запас энергии в емкости в число раз, равное

4-А

100 _

/ 5 _5_у

<100 + 4 ’100)

Таким образом, даже при умеренном значении отношения напряжений дуги
в процессе отключения, прохождение импульсного тока сопровождается
выделением большого количества энергии, что может вызвать обгорание
и разрушение контактов, особенно при большой емкости и высоком напря-
жении сети.

В предельном случае, когда в цепи нет активного сопротивления, коли-
чество выделяющейся при отключении энергии, согласно выражению (44.33),
при «=1 равно

ж^2=4(й—(44-36)

оно относится к нормальному запасу энергии в емкости примерно так же,
как учетверенное напряжение зажигания дуги к напряжению горения.
Отношение это весьма велико. В действительности в дуге выделяется значи-
тельно меньшее количество энергии вследствие наличия в цепи активного
сопротивления.

Ранее было выяснено, что при отключении цепи постоянного тока энер-
гия, запасенная в индуктивности цепи, полностью выделяется в дуге, а при
отключении индуктивной цепи переменного тока эта энергия полностью воз-
вращается источнику. Теперь же мы видим, что при отключении емкостной
цепи переменного тока в дуге выделяется не только вся ранее запасенная
в емкости энергия, но и та, которая накапливается в конденсаторе в результате
повышения напряжения при повторных зажиганиях дуги и которая во много
раз превосходит нормальный запас энергии. Поэтому отключение емкостных
цепей переменного тока происходит в исключительно неблагоприятных усло-
виях. Следует отметить, что в линиях передачи высокого напряжения нор-
мальный запас энергии в емкости часто бывает величиной одного порядка
с запасом энергии в индуктивности. Чтобы устранить выделение энергии
в таком большом количестве, необходимо отключать зарядные токи в воз-
можно более короткий промежуток времени и тем самым воспрепятствовать
нарастанию напряжения.

Всякое активное сопротивление или нагрузка, включенные параллель-
но дуге или емкости, представляют собой путь для разряда конденсатора и,
следовательно, сильно уменьшают или даже полностью подавляют колеба-
ния при повторном зажигании. Поэтому описанные явления наблюдаются
главным образом при отключении ненагруженных емкостных цепей. Если
нельзя заставить выключатель действовать столь быстро, чтобы воспрепят-
ствовать появлению повторных зажиганий, то целесообразно шунтировать
дугу активным сопротивлением. Величина сопротивления выбирается такой,
чтобы в контуре LC было обеспечено апериодическое затухание.

§ 3. Перемежающееся дуговое замыкание на землю. Сочетание электри-
ческой дуги с емкостью встречается не только при отключении воздушных
линий или подземных кабелей. В электрических сетях, особенно с изо-
лированной нейтралью, дуга в емкостной цепи часто возникает самопроиз-
вольно в результате, например, пробоя изоляции между проводом и землей.
На фиг. 529 схематически показаны емкости между землей и проводами
трехфазной сети, питаемой от источника с напряжением Е. На этой же
фигуре показано дуговое замыкание В между одним из проводов и землей.
В случае металлического (глухого) замыкания емкость больной фазы с отно-
сительно земли оказалась бы закороченной. Доаварийное напряжение больной
фазы просто наложилось бы на напряжение здоровых фаз и через их
емкости С стали бы протекать большие токи на землю, чем до аварии.
Однако если соединение с землей нс глухое, а осуществляется через дугу,
которая может погаснуть при переходе тока через нуль, то начнутся только
что описанные явления повторного зажигания. При неизменном расстоянии
между электродами дуги напряжение, однажды возникнув, остается неиз-
менным. Но если расстояние между электродами увеличивается, например
после сгорания попавшего на провод постороннего тела, то на здоровых
и больной фазах возникают значительные перенапряжения.

Фиг. 529.

В схеме на фиг. 529 стрелками обозначен путь тока от источника к дуге
В и далее через землю и емкости здоровых фаз обратно к источнику. Нормаль-
ное напряжение между здоровыми фазами и протекающие по ним нормаль-
ные токи не влияют на ток короткого замыкания, так как активные сопротив-
ления, индуктивности и емкости этой части цепи постоянны, т. е. здесь
действует принцип наложения. Так как по отношению к току в земле обе
здоровые фазы включены параллельно, то в расчет должна войти их сум-
марная емкость. В контуре тока замыкания на землю действует напряжение,
равное среднему из напряжений между каждой из здоровых и больной
фазами, а именно:

Е"^~Е, (44.37}

где Е означает линейное напряжение сети. Таким образом, этому случаю
будет соответствовать эквивалентная схема (фиг. 530), где емкость с больной
фазы включена параллельно дуге. Именно наличием этой емкости с, которая
в трехфазной цепи (см. фиг. 529) равна половине главной емкости С, а в одно-
фазной—даже одинакова с ней, отличается перемежающееся замыкание на
землю от ранее рассмотренных случаев отключения.

Емкость, включенная параллельно дуге, влияет на нее трояко:

Во-первых, при каждом зажигании дуги эта емкость создает дополни-
тельный разрядный ток, который накладывается на основной ток и увеличи-
вает выделение тепла в дуге. Если активное сопротивление и индуктивность
разрядного контура емкости с малы, то дополнительный ток исчезает очень
быстро по сравнению с продолжительностью первого полупериода колебания
основного тока зажигания, и поэтому влияние его невелико.

Во-вторых, после каждого гашения дуги емкость с замыкает основную'
цепь. Заряд, имевшийся на основной емкости С в момент гашения дуги, не-
остается на ней целиком, а частично перетекает через индуктивность L
источника на емкость с. В контуре CcL возникают свободные колебания,
в процессе которых напряжение на шунтирующей емкости, устремляясь
к своему установившемуся значению, быстро возрастает от нуля и снова
падает, вызывая соответственные колебания напряжения на основной емко-
сти. Если эти колебания полностью не затухнут спустя полупериод напря-
женин сети, то следующее повторное зажигание дуги произойдет вероятнее
всего в тот момент, когда напряжение на основной емкости проходит через
максимум свободных колебаний, а напряжение на шунтирующей емкости—
через минимум. В этот момент изменившее свой знак напряжение дуги имеет
наибольшую величину.

В-третьих, после гашения дуги не все напряжение сети оказывается при-

ложенным к дуговому промежутку, шунтированному емкостью; оно делится
между обеими емкостями обратно пропорционально их величинам. Таким обра-

Ф и г. 531.

2Ed(C-\-c). Тогда после (п-|-1)-го
ветствии с фиг. 531 напряжение

зом, среднее значение напряжения на
основной емкости в промежутке от
момента гашения дуги до ее следую-
щего зажигания не остается постоян-
ным; его доля, определяемая величи-
ной отношения с/(с-|-С), следует за
изменением напряжения сети. На
фиг. 531 дана кривая изменения во
времени напряжения на основной
емкости при амплитуде напряжения
сети, равной Е.

За полупериод напряжения се-
ти, отделяющий одно зажигание от
другого, напряжение на основной
емкости уменьшается на величину
зажигания на емкости получится в соот-

eC(n+i) = Е 4- (еСп-+ iQ н = (1 + н) £ + иеСп. (44.38)

Для простоты анализа мы учли в первом полупериоде свободных колебании
только то затухание, которое обусловлено активным сопротивлением цепи.
Предельное напряжение на конденсаторе, устанавливающееся в конце про-
цесса, находится, как и прежде, из условия равенства n-го и (n-f-l)-ro значе-
ний ер/, оно равно

. . С—с

Ес= Е". (44.39)

Сопоставляя выражения (44.39) и (44.11), замечаем, что параллельное
включение емкости несколько снижает перенапряжение в сети. Однако эта
емкость не может предотвратить нарастание напряжения до величины, поря-
док которой определяется разностью (1—и) в знаменателе обоих выражений
(44.11) и (44.39). В трехфазной системе с=1/2 С и наибольшее емкостное на-
пряжение, накладывающееся на здоровые фазы, с учетом выражений
(44.37) равно

ЕС = ^-±^Е. (44.40)

В однофазной системе с = С и тогда

Ес = ^иЕ. (44.41)

Следует отметить, что такие величины напряжения появятся только при
условии, если расстояние между электродами дуги будет постепенно увели-
чиваться так, чтобы дуговой промежуток как раз выдерживал повышающееся
напряжение. Однако если расстояние между электродами фиксировано,
то напряжение возрастет только до величины напряжения зажигания дан-
ного промежутка. В практике эксплуатации электрических сетей высокого
напряжения встречаются оба случая: первый—чаще в воздушных линиях,
второй—в кабелях.

Если затухание колебаний таково, что ему соответствует величина ц=0,9,
то наибольшее перенапряжение в трехфазных сетях будет равно 11,3-кратному
значению амплитуды напряжения сети, а в однофазных—10 кратному, в то
время как без шунтирующей емкости получается 19-кратное перенапряжение.
В действительности получаются еще меньшие значения вследствие влияния
падения напряжения на дуге и небольшого затухания колебаний между емко-
стями после каждого гашения дуги. Таким образом, формулы (44.40) и (44.41)
дают лишь верхний предел значений напряжения при дуговом замыкании
на землю в условиях постепенного увеличения дугового промежутка. Появ-
ление таких высоких напряжений приводит к тому, что заземляющие дуги,

возникающие после перекрытия изо-

ляторов под действием или атмосфер-
ного перенапряжения или вследствие
случайного попадания посторонних
тел между проводами, способны уве-
личивать свои размеры в очень силь-
ной степени. Такая дуга под дей-
ствием ветра или выделяющегося в
ней тепла может приобрести очень
высокое напряжение зажигания и до-

стичь гигантских размеров. В линиях

передачи такая дуга, возникшая в одной фазе, обычно перебрасывается
на здоровые фазы и вызывает, таким образом, двух- или трехполюсное

короткое замыкание в линии.

Трансформаторы и двигатели, составляющие нагрузку сети, влияют на

дуговое замыкание на землю не столько активным сопротивлением своих
обмоток, сколько их индуктивностью. Наличие этих потребителей наряду
с вносимым ими небольшим дополнительным успокоением повышает частоту
быстрых собственных колебаний системы, поскольку их индуктивности
подключаются параллельно индуктивности источника. Все импульсы тока
и скачки напряжения в какой-то мере передаются через трансформаторы
в сети низкого напряжения и могут причинить там некоторые неприятности.

Для защиты от перенапряжений, вызываемых дуговым замыканием на
землю, в системах без глухого заземления нейтрали широко применяются
два различных типа защитных устройств. Параллельно емкостям, а стало
быть и возможным дугам, можно включить во всех фазах линии активные
сопротивления подходящей величины. Эти сопротивления включаются через
искровые промежутки, которые пробиваются при повышении напряжения;
в дальнейшем дуга в разрядниках гаснет сама по себе. В трехфазных сетях
очень эффективным средством является включение активного сопротивления
между землей и нейтралью источника, как показано на фиг. 532. При таком
включении сопротивление г оказывается под напряжением только при замы-
кании на землю, а нормальные напряжения сети на это сопротивление не
действуют. Всякое активное сопротивление, введенное в цепь последовательно
или параллельно, вызывает затухание колебаний и тем самым препятствует
повышению напряжения на конденсаторе в процессе повторных зажиганий.
Кроме того, сопротивление, параллельное емкости или дуге, будет снижать
напряжение на конденсаторе в промежутке между двумя зажиганиями. Обо
эти причины задерживают или вовсе устраняют нарастание напряжения на
конденсаторе, и его конечное значение остается в приемлемых пределах.

Другой весьма эффективный способ защиты состоит в том, что активное
сопротивление в нейтрали заменяется индуктивностью I (см. фиг. 532).
Величина индуктивности подбирается таким образом, чтобы проходящий по
ней отстающий ток был бы примерно равен по величине опережающему току,
появляющемуся при замыкании на землю (см. гл. 26). При появлении по
какой-либо причине дугового замыкания на землю эти токи взаимно компен-
сируются и, следовательно, в цепи не возникает большего тока через дугу.
Равенство токов—индуктивного, протекающего через I, и емкостного, проте-
кающего через С и с,—означает, что в цепи имеет место резонанс токов (парал-
лельный резонанс), т. е. частота сети и собственная частота цепи, обра-
зующейся при замыкании на землю, совпадают. Напряжение в месте замы-
кания, которое во время пробоя спадает скачком почти до нуля, медленно
возрастает до своего исходного значения. Если повреждение изоляции
остается, то будут иметь место повторные пробои. Однако если причина
замыкания на землю за это время исчезнет, как это часто бывает при попада-
нии посторонних тел, например веток деревьев или птиц, между проводом
и землей или при перекрытии изоляторов атмосферными перенапряжениями,
то нормальный режим системы восстанавливается очень быстро.

На фиг. 278 показана огромная дуга, которая возникла в результате
замыкания на землю в 100-кпловольтной линии передачи с емкостным током
на землю 60 а. На фиг. 279 показано, как протекает эта авария в той же ли-
нии, но снабженной заземляющей индуктивной катушкой, которая включена
в нейтраль трансформатора. Из фиг. 279 видно, что в линии с заземляющей
катушкой при замыкании на землю получается лишь слабая искра.

ЛИТЕРАТУРА

Allen J. Е., Waldorf S. К., Trans. AIEE, 65, 298 (194G).

Arcing ground tests on a normally ungrounded 13-kv. 3-phase bus.

В a a t z H., VDE-Fachberichte, 35 (1935).

Vorgange beim Abschalten leerlaufender Hochspannungsleitungen.

Berg E. J., Proc. AIEE, 673 (1908).

Tests with arcing grounds and connections.

Clem J. E., Trans. AIEE, 970 (1930).

Arcing grounds and effect of neutral grounding impedance.

Concordia C., Skeats W. F., Trans. A]EE, 58, 371 (1939).

Effect of restriking on recovery voltage.

Concordia C., Peterson H. A., Trans. AIEE, 60, 340 (1941).

Arcing faults in power systems.

Creighton E. E F., Proc. AIEE, 377 (1911).

Protection of electrical transmission lines.

Creighton E. E. F., WhittljseyJ. T., Proc. AIEE, 1435 (1912).

Localizers, suppressors and experiments.

Eaton J. R., Peck J. K., Dunham J. M., Trans. AIEE, 1469 (1931).
Experimental studies of arcing faults on a 75-kv. transmission system.

Evans R. D., Monteith A. C., Witzke R. L., Trans. AIEE, 58,386 (1939).
Power-system transients caused by switching and faults.

Nolen H. G., Tijdschr. Electrot cchn., 91 (1923/24).

Der intermittierende Erdschluss.

Petersen W., Elektrotechn. Zs., 553 (1917).

Der aussetzende Erdschluss.

Petersen VV., Elektrotechn. Zs , 341 (1918).

Unterdrikkung des aussetzenden Erdschlusses durch Nullwiderstande und Funken-
ableiter.

Saudicoeur L., Rev. gen. elec., 36, 241 (1934).

La coupure en charge des courants a haute tension au moyen des interruptenrs
automatiques.

Schroeder T. W., Trans. AIEE, 62, 696 (1943).

The cause and control of some types of switching surges.

Schrottke F., Elektrotechn. Zs., 443 (1910).

Schiitzen elektrische Ventile und Schutzkondensatoren wirklich gegen Uberspan-
nungen?

AIEE General Systems Subcommittee, Trans. AIEE, 67, 912 (1948).

Power systems over-voltages produced by faults and switching operations.
Глава 45

НЕЗАТУХАЮЩИЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В ЦЕПЯХ С ДУГОЙ

Б гл. 3 было показано, что после любого нарушения режима электриче-
ских цепей с постоянными индуктивностями, активными сопротивлениями

и емкостями токи и напряжения можно представить двумя составляющими.
Первая из них представляет собой установившийся ток пли напряжение,
длительно существующие в цепи, а вторая—дополнительный свободный ток
или напряжение, затухающие с течением времени. Свободные токи проте-
кают по цепи так, как если бы в ней нс
было никаких внешних электродвижу-
щих сил, и, следовательно, они не мо-
гут существовать длительное время.

Ф и г. 534.

Ф и г. 533.

В последних главах мы рассмотрели ту группу явлений в цепях с пере-
менным сопротивлением, которая связана с появлением дуги при размыкании.
Выясним теперь, какие явления имеют место в установившемся режиме в цепи,
содержащей электрическую дугу, и, в частности, исследуем устойчивость
тока в такой цепи. При анализе этого вопроса воспользуемся методом малых
возмущений, т. е. рассмотрим, что происходит в цепи, если ток получает
малое отклонение от своего нормального значения.

В гл. 36 было получено строгое графическое решение общей задачи для
колебательного контура, питаемого от источника с постоянным напряжением.
Однако в электроэнергетических системах находит применение главным
образом переменный ток, и, следовательно, рассмотрению подлежит цепь,
к которой приложено синусоидальное напряжение. Для такого случая общее
решение, аналогичное полученному в гл. 36, неизвестно.

В цепи, содержащей индуктивность L, активное сопротивление R,
емкость С, горящую дугу В и питаемой от источника с напряжением е
(фиг. 533), изменение тока во времени описывается дифференциальным
уравнением

Е 4 Ri ф- i dt ф- (i) = с, (45.1)

где через L, R и С обозначены постоянные параметры цепи, а зависи-
мость напряжения дуги ев от ее тока дается вольтамперной характери-
стикой (фиг. 534). Одним из решений этого уравнения является нормальный
(установившийся) ток i', длительно протекающий по цепи. Этот ток может
быть постоянным или переменным в зависимости от того, какое напря-
жение приложено к цепи. Если ток i' получит по каким-либо причинам
приращение i". так что в цепи фактически будет существовать ток

i = i' + Г,

(45.2)

то пропорционально увеличатся падения напряжения на индуктивности,
активном сопротивлении и емкости. Однако напряжение дуги в соответ-
ствии с характеристикой на фиг. 534 уменьшится и станет равным

£ц — ев— ев- (45.3)

Если приращение тока мало, то е’в можно считать пропорциональным i".

Уравнение (45.1) после подстановки в него тока i и напряжения ев
распадается на два отдельных уравнения

£ 4г -|- 7?Г -|- X i'dt + е'в = е,

л- I с («.4)

L 4- + Ri" + 4 \ i"dt -е”в = 0.
UL О J

Первое уравнение определяет ток V нормального режима, рассматривать
который мы не будем. Второе уравнение определяет соотношения, которые
описывают изменение во времени свободного тока i", появившегося в ре-
зультате нарушения равновесного состояния цепи. Если переписать вто-
рое из уравнений (45.4) в виде

L ~ + Ri" + 4 $ ™ = е”в’ (45.5)

то становится ясным, что поведение свободного тока будет теперь иным,
чем оно было бы в цепи без э. д. с. Ток I" протекает под действием
обусловленного горящей дугой напряжения е'в, величина которого опре-
деляется вольтамперной характеристикой дуги. Может оказаться, что сво-
бодные токи не исчезнут, а будут существовать длительно, как это было
в случае, рассмотренном в гл. 16.

Линейную зависимость напряжения дуги от тока, имеющую место
при малых отклонениях от нормального режима (см. фиг. 534), можно
выразить в следующем виде:

. , де„

ев = + —gr- (i — Г) = ев + —i" = ев — е'в-

(45.6)

Соотношение (45.6) справедливо при условии, что свободный ток изме-
няется во времени быстрее нормального тока, как это обычно и бы-
вает. Производная дев/di характеризует изменение напряжения в зави-
симости от тока вблизи нормальной рабочей точки характеристики и опре-
деляется наклоном касательной в этой точке1). Выражение е'в —е'в в пра-
вой части соотношения (45.6) заимствовано из соотношения (45.3). При
малых отклонениях тока от нормального значения «стороннее» напряжение е’в
пропорционально свободному току i". Следовательно, в уравнении (45.5)
можно объединить е'в с напряжением на сопротивлении и тогда

L 1"+И =°' (45‘7)

Мы видим, что свободный ток i" в цепи с дугой описывается дифферен-
циальным уравнением такого же вида, как уравнение (5.2) для свобод-
ных токов в цепи без дуги. Однако активное сопротивление входит здесь 15

15 Производную deBI'di называют динамическим сопротивлением дуги.—Прим. ред.
с дополнительным членом deB/di. Так как для обычных дуг с падающей
характеристикой эта производная является отрицательной (см. фиг. 534),
то результирующее активное сопротивление получается меньше сопроти-
вления цепи. Отсюда следует, что свободные токи, появившиеся после
какой-нибудь коммутации, затухают в цепях с дугой медленнее вслед-
ствие меньшего их успокоения.

Если подобрать активное сопротивление цепи численно равным наклону
вольтамперной характеристики дуги в рабочей точке, т. е.

дев
di

— R,

(45.8)

то в уравнении (45.7) исчезнет член, определяющий затухание свободных
токов. В этом случае они не убывают, и в цепи возникают незатухающие
самовозбудившиеся колебания (автоколебания). Дифференциальное уравне-
ние (45.7) упрощается

+ \i"dt = Q. (45.9)

Свободный ток определяется тогда выражением
i" = Г sin -ri,

а частота его колебаний

Vlc

(45.10)

(45.11)

загисит только от индуктивности и емкости цепи и совпадает с ее собственной
частотой.

Незатухающий свободный синусоидальный ток появляется в цепях с ду-
гой всякий раз, когда удовлетворяется условие самовозбуждения (45.8).

Этот ток накладывается на ток нормального
режима и искажает его форму. Приведенные
выше рассуждения еще не дают метода опреде-
ления амплитуды свободного тока, однако мы
предположили, что она мала по сравнению с ве-
личиной нормального тока дуги.

Схему с последовательным соединением всех
элементов (см. фиг. 533) следует питать от источ-
ника переменного напряжения. Но если емкость

Фиг. 535.

зашунтирована или если нормальным режимом служит переходный режим,
ток при котором нс является постоянным, то эту же цепь можно питать и от
источника постоянного напряжения. В уравнениях (45.4) для нормаль-
ного и свободного токов решающее значение имеет фактически действующее

в цепи активное сопротивление, так как им определяется и величина и усло-
вия возникновения обоих видов тока.

В практике эксплуатации электрических сетей иногда получается так,
что дуга оказывается включенной не последовательно, а параллельно другим
элементам цепи, как показано на фиг. 535. В такой сложной цепи также
можно выделить нормальную и свободную составляющие тока дуги
в соответствии с выражениями (45.2) и (45.3), и тогда получатся соотношения,
аналогичные уравнениям (45.4). Параметры L, R и С означают в этом случае
эквивалентные индуктивности, активные сопротивления и емкости соот-
ветственно для нормального и свободного токов. Нормальный ток
всегда определяется напряжением источника, а напряжение дуги е'в лишь
препятствует его протеканию. Свободный ток определяется напряжением
ев, являющимся для него как бы сторонней э.д.с. Это напряжение, созда-
ваемое дугой, может возбудить колебания с собственной частотой цепи-
Если цепь, показанная на фиг. 535, питается от источника постоян-
ного напряжения, то нормальный ток Г постоянен п проходит лишь
через дугу В. Если индуктивность источника S велпка, то она препятствует
прохождению токов высокой частоты и свободный ток будет замыкаться в
контуре LCRB. При малой индуктивности S часть свободного тока пройдет
через источник. Мощность, рассеиваемая свободными токами в активных
сопротивлениях, доставляется дугой, которая в свою очередь получает ее от
источника. При малых свободных токах рабочим участком характеристики
дуги является окрестность точки нормального режима, как это показано на
фиг. 534. Для свободного тока дуга представляет собой отрицательное со-
противление, величина которого определяется наклоном характеристики
в рабочей точке; это отрицательное сопротивление компенсирует положи-
тельное сопротивление нагрузки колебательного контура LC.

При крутом спаде характеристики (когда дев/di > В) коэффициент при Г
в (45.7) может оказаться отрицательным. Отсюда следует, что амплитуда сво-
бодного тока Г' будет увеличиваться со вре-
г-" моном по показательному закону и колебания

Й~ суммарного тока в дуге будут расти. Однако

в действительности амплитуда не может на-
растать неограниченно, так как с увеличе-
. j нием размаха колебаний изменяется наклон
характеристики (см. фиг. 534). Изменение
это при больших колебаниях настолько ве-
лико, что стороннее напряжение дуги ев
нельзя уже принимать пропорциональным
Фиг. 536. току г". Хотя напряжение продолжает из-

меняться в такт с током, среднее значение
производной дев!д1 постепенно уменьшается, ограничивая нарастание сво-
бодного тока, который вскоре достигает своего предельного значения. Про-
цесс нарастания свободного тока показан на фиг. 536.

Наибольшее значение свободного тока в цепи, при котором дуга не гас-
нет, равно величине нормального тока т. е.

1"<Г. (45.12)

В противном случае суммарный ток через дугу в соответствии с соотношением
(45.2) на время становился бы отрицательным. Но это потребовало бы для
повторного зажигания дуги такого высокого напряжения, которое вообще
нельзя получить за счет свободного тока. Таким образом, ток дуги может
колебаться самое большее между нулем и двойным значением нормального
тока. При большой величине свободных токов наклон характеристики все
время меняется, тем самым изменяя характер колебаний и превращая их
в несинусоидальные. Прп очень больших колебаниях тока дуга может даже
совсем погаснуть на короткое время. В этом случае явление в разрядном
промежутке носит характер не обычной дуги, а перемежающейся искры.

Наибольшее напряжение, которое может появиться на емкости в режиме
почти синусоидальных колебаний, равно

<45ЛЗ>

предельное значение тока взято здесь из соотношения (45.12). Такие само-
возбудившиеся напряжения значительной величины могут возникать при
появлении в электрических сетях длительно горящих дуг, поскольку там
образуются цепи с большой индуктивностью, малой емкостью и малым ак-
тивным сопротивлением.
Особенно опасными могут стать эти явления тогда, когда собственная
частота цепи не очень высока, а дуга горит между металлическими электро-
дами. В этом случае напряжение дуги почти полностью следует за колеба-
ниями тока, так что малым токам соответствуют высокие напряжения, а
большим токам—низкие напряжения. Такое соответствие сохраняется до
частот порядка 1000 гц. Однако если частота самовозбудившихся колебаний
оказывается более высокой, то температура дуги и электродов не следует за
изменениями тока; колебания температуры становятся меньше, и характери-
стика дуги не падает так круто, как при
низкой частоте. Таким образом, чем выше е

собственная частота, тем меньше может Ё к

изменяться напряжение дуги и тем меньше \

вероятность возникновения незатухающих 1 \

свободных колебании. При очень высоких
частотах колебания вообще не могут воз- I/

никнуть, как это видно из фиг. 397. Из ____________F______£

сказанного следует, что уменьшение ем- I

кости может не означать увеличение паи- \ /

большего возможного напряжения, опре- xiXl

деляемого выражением (45.13). Чем мень- у J

ше емкость, тем выше собственная частота \ I

и тем слабее становится способность дуги у

к возбуждению колебаний. '

Если дуга питается переменным то- Фиг. 537.

ком, то рабочая точка для тока основ-
ной частоты в каждом периоде обегает 1 раз всю вольтамперную характери-
стику, как показано на фиг. 537. Характеристика располагается в первом
и третьем квадрантах. Ее наклон, оказывающий решающее влияние на знак
приращения свободного тока, теперь непрерывно меняется. Однако из
фиг. 537 видно, что для большинства участков характеристики тангенс угла
наклона отрицателен, так что «стороннее» напряжение дуги e'g имеет значи-
тельную величину на протяжении большей части периода тока нормальной
частоты. Следовательно, среднее значение тангенса угла наклона характери-
стики отрицательно и свободные колебания возникают при питании цепи
с дугой как переменным током, так и постоянным. Условие самовозбуждения
(45.8) относится теперь к среднему наклону характеристики. Волновое со-
противление обычно значительно превосходит по величине активное

сопротивление цепи переменного тока, а также динамическое сопротивление
дуги deBldi. Таким образом, средний член уравнения (45.7), величина которо-
го при переменном токе колеблется около нуля, мал по сравнению с двумя
другими членами. Отсюда следует, что, несмотря на изменяющийся наклон
характеристики, свободные колебания описываются с достаточной степенью
точности уравнениями (45.9) и (45.11). Свободные токи в цепи переменного
тока с дугой также колеблются с собственной частотой цепи v и накладыва-
ются на нормальные переменные токи. Однако амплитуда свободных токов
будет несколько изменяться на протяжении периода тока нормальной ча-
стоты.

Возникновение свободных колебаний в цепи с горящей дугой можно рас-
сматривать как неустойчивость всей цепи в целом. Такое неустойчивое со-
стояние может встретиться в цепях различной конфигурации при питании
их от различных источников постоянного и переменного токов. В частности,
незатухающие свободные колебания могут появляться как при последова-
тельном соединении дуги и колебательного контура, так и при параллельном,
если только характеристика дуги удовлетворяет условию самовозбуждения
(45.8). Чтобы воспрепятствовать нарастанию таких колебаний, которое
556

требует известного времени (см. фиг. 536), необходимо как можно быстрее
гасить дугу, возникающую в сети. Это лучше всего делать путем отключения
аварийного участка сети.

Дуговые колебания, сопровождающие короткие замыкания в сетях,
могут оказаться весьма опасными для сети при небольшой величине тока
короткого замыкания, когда рабочая точка находится на круто падающем
участке характеристики дуги. На фиг. 538 изображена цепь, состоящая
из генератора переменного тока, трансформатора со значительной индуктив-
ностью рассеяния и линии высокого напряжения, обладающей некоторой
емкостью. Если на стороне низкого напряжения между генератором и транс-
форматором произойдет дуговое короткое замыкание, то эквивалентная схема
цепи будет иметь как раз такой вид, как и на фиг. 535 (все индуктивности,

Фиг. 538.

Максимальное значение тока дуги,

емкости и активные сопротив-
ления предполагаются приве-
денными к одному напряжению).
Емкость линии высокого напря-
жения, соединенная последо-
вательно с индуктивностями
трансформатора и линии, ока-
зывается при этом включенной
параллельно дуге.

возникающей после внезап-

ного короткого

замыкания генератора, равно

r _ 2Е
S “ ’

(45.14)

где Е означает напряжение источника, a S—индуктивность генератора и
части линии до места короткого замыкания. Всеми активными сопротивле-
ниями мы здесь пренебрегли. Собственная частота линий и трансформаторов
в сетях переменного тока обычно бывает гораздо выше, чем нормальная
частота, и поэтому быстро колеблющиеся свободные токи наложатся на
медленно изменяющиеся токи короткого замыкания. Подставляя выражение
(45.14) в соотношение (45.13), находим напряжение высокой частоты на
емкости

2-ф-К
о о

(45.15)

Таким образом, максимально возможное перенапряжение определяется от-
ношением индуктивностей за местом короткого замыкания и до него, а также
отношением собственной частоты участка цепи, расположенного справа от
места короткого замыкания, к нормальной частоте. Это напряжение будет тем
больше, чем ближе к генератору место короткого замыкания.

Изложенные выше соображения объясняют причину появления перена-
пряжений, которые иногда следуют за дуговыми короткими замыканиями,
вызывая серьезные повреждения в разветвленных сетях. Интересно отметить,
что перенапряжения достигают наибольшей величины в наиболее удален-
ных от места короткого замыкания участках сети, хотя, казалось бы, вследст-
вие короткого замыкания напряжение там должно упасть почти до нуля. Пере-
напряжение, вызванное дуговыми колебаниями, будет значительным лишь
при условии, что за местом короткого замыкания сеть нагружена слабо или
что нагрузка автоматически отключается при падении напряжения нор-
мальной частоты. Объясняется это тем, что всякая нагрузка цепи способст-
вует затуханию колебаний.

Колебания, возбуждаемые дугой, могут возникать также в процессе
отключения цепи, содержащей колебательный контур, поскольку через
- -

дугу продолжает течь нормальный постоянный или переменный ток. На
фиг. 539 схематически представлена операция отключения двигателя или
трансформатора от генератора. Обмотки машин и трансформаторов, а также
линия, хотя бы и небольшой протяженности, обладают не только индуктив-
ностью, но и емкостью. В результате получается несколько включающих в се-
бя дугу колебательных контуров, которые отмечены на фиг. 539 пунктиром.
Токи, протекающие в этих контурах, накладываются в дуге друг на друга.
Если емкости контуров не слишком малы, а их собственные частоты не
слишком велики, то дуга может возбудить или все эти колебания, или только
некоторые из них и тем самым вызвать опасные перенапряжения. На фиг. 540

1»

Фи г. 540.]

показана осциллограмма напряжения на зажимах вращающегося асинхрон-
ного двигателя, снятая в процессе его отключения. На спадающее напряжение
нормальной частоты накладываются короткие всплески. Так как при отклю-
чении дуга возбуждает множество различных колебаний, всплески получились
неправильной формы. Наиболее благоприятные условия для самовозбужде-
ния колебаний получаются к концу отключения прп малых токах, когда
соответствующий участок характеристики дуги имеет наибольший наклон.
Предельное значение напряжения подсчитывается по соотношению (45.13).

При отключении ненагруженных кабельных линий, которое производи-
лось на стороне высшего напряжения трансформатора, время от времени
наблюдались перенапряжения рассмотренного типа, вызывавшие перекрытие
линейных изоляторов. Перенапряжения были устранены тем, что сначала
стали выполнять отключение на стороне низшего напряжения трансфор-
маторов, т. е. перешли к отключению токов большей величины. Таким путем
было уменьшено среднее значение тангенса угла наклона характеристики
дуги, и склонность к самовозбуждению исчезла.

Емкость конденсаторов, применяемых для снижения перенапряжений,
возникающих при быстром разрыве цепи постоянного тока, нс должна быть
слишком малой. Иначе прп случайном замедлении отключения могут само-
возбудиться колебания и возникнуть перенапряжения, большие, чем могли
бы быть без защитного конденсатора. Чтобы уменьшить возможность разви-
тия колебаний, целесообразно подключать защитный конденсатор парал-
лельно выключателю, а не индуктивности цепи.

Самовозбуждение колебаний возможно также при дуговом замыкании
на землю одного пз проводов линии передачи. Эта возможность иллюстри-
руется схемой на фиг. 541, где через С обозначены емкости, а через L—
индуктивности линий и трансформаторов. Здесь также получаются два коле-
бательных контура с разными собственными частотами; контуры обозначены
пунктирными линиями. В одном из контуров дуга и источник включены
последовательно, другой колебательный контур оказывается параллельным
дуге. Оба эти контура могут возбудиться на своих частотах, и тогда напря-
жение в линии достигнет большой величины при условии, что дуга горит
непрерывно и выполняется условие самовозбуждения (45.8).
Если дуга охлаждается достаточно интенсивно и если свободные коле-
бания в процессе коммутации цепи переменного тока достигают такой
величины, что дуга в течение какого-то промежутка времени не горит и ток
прекращается, то изображающая точка на фиг. 537 задержится на
некоторое время при г=0. В этом случае не имеет смысла рассматривать
явление, исходя из среднего наклона характеристики дуги. Свободные

Фиг. 541.

токи теперь уже не "будут описываться дифференциальными уравнени-
ями (45.7) и (45.9), так что разделение суммарного тока на ток нормаль-
ного режима и свободный ток не даст никаких преимуществ. При анализе
явлений, сопровождающих такие перемежающиеся дуги, целесообразнее
рассматривать изменение всего тока в целом, как это делалось в предшест-
вующих главах.

ЛИТЕРАТУРА

Barkhausen Н., Das Problem der Swingungserzeugung, Leipzig, 1907.

Busch IL, Stabilitat, Labilitat und Pendelungcn in der Elektrotechnik, Leipzig, 1913.

Dud ell W., Journ. Inst. Electr. Eng.. 30, 232 (1900)

On rapid variations in the current through the direct-current arc.

H a m m e r s c h m i d t P., Arch. Elektrotechn., 11, 431 (1922).

Ober Ausglcichsvorgange beim Abschalten von Induktivitaten insbesondere
vermitt els Olschaiter.

KI einwac h ter H., Arch. Elektrotechn, 34, 523 (1940).

Schwingungserscheinungen bei staik cingcengtcr Lichlbogensaule and bei anomalem
Anodenfall.

R u k о p H., Z e n n e c k J., Ann. d. Phys., 44, 97 (1914).

Der Lichtbogengenerator mil Wechselstrombetrieb.

Simon IL T., Phys. Zs., 433 (1900).

Zur Theorie des selhsttonenden Lichtbogens.

Sommer J. J. , Ann. d. Phys., 9, 419 (1931).

Beitragc zur Stabilitat eleklrischcr Stromkreise, insbesondere von Wechselstrom-
krci.se п

Sommerfeld A., Sitzber. Bayer. Ak. Wiss., 261 (1914).

Die Theorie der Lichtbogenschwingungen bei Wechselstrombetrieb.

Steinmetz С. P., Proc. AIEE, 575 (1У05).

High-power surges in electric distribution systems of great magnitude.

Wagner K. W., Der Lichtbogen als Wechselstromerzeuger, Leipzig, 1910.
VII. МАГНИТНОЕ НАСЫЩЕНИЕ
В НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕПЯХ

Глава 46

КОММУТИРОВАНИЕ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
С МАГНИТНЫМ НАСЫЩЕНИЕМ

При выводе общих соотношений для дополнительных свободных токов,
которые появляются тотчас после каждого переключения цепи, мы исходили
из предположения о постоянстве активного сопротивления, индуктивности
и емкости цепи. В электрических аппаратах и машинах, по стальным
магнитопроводам которых (замкнутым пли разомкнутым) проходят большие
потоки, всегда имеет место насыщение материала магнитопровода. Индук-
тивность обмотки, сцепленной с таким магнитным потоком, уже не является
постоянной, а в сильной степени зависит от величины тока. Поэтому при
расчетах таких цепей целесообразно вовсе отказаться от вспомогательного
понятия индуктивности и непосредственно рассматривать процесс наведения
электродвижущей силы магнитным потоком.

§ 1. Постороннее возбуждение магнитного потока. Выясним вначале,
как нарастают ток и магнитный поток при подключении обмотки магнита
постоянного тока с сильно насыщающимся магнитопроводом к источнику

с постоянным напряжением (фиг 542). Увеличение тока сопровождается
нарастанием магнитного потока Ф, зависимость которого от тока представ-
лена на фиг. 543 характеристикой намагничивания. Если обмотка имеет w
витков, то изменение потока вызывает в ней индуктивное падение напряже-
ния, равное wdARdl. Это напряжение вместе с напряжением Ri на активном
сопротивлении R уравновешивается постоянным напряжением источника

Е = w + Ri.
at

(46.1)

По прошествии значительного времени ток и поток станут постоянными
и производная в этом уравнении обратится в нуль. Следовательно,
установившееся значение тока равно

1 = ^

1 R

и уравнение (46.1) можно записать в виде

= Е - Ri = R (I - i) = 7?Дг.
at 4

(46.2)

(46.3)

По характеристике намагничивания, показанной на фиг. 543, можно найти
в зависимости от значений потока Ф не только соответствующие значения
тока i, но и тока Ai, дополняющего i до установившегося значения. Это
позволяет разделить в уравнении (46.3) пере-

менные

wd$

R&i

и выполнить интегрирование

_ и> С дФ

R }
ф

(46.4)

(46.5)

Выражение (46.5) определяет время, отсчиты-
ваемое от момента включения. В качестве ниж-
него предела интегрирования взято начальное
значение потока Фа в момент времени t = 0;
это значение может быть равно нулю или вели-

чине остаточного потока или любого другого потока, существовавшего
в магнитной цепи непосредственно перед включением.

В правой части выражения (46.5) число витков w обмотки возбуждения
и ее сопротивление R являются известными величинами, а связь между Ф
и r_i дается характеристикой намагничивания. Таким образом, для каждого
значения потока Ф можно графическим интегрированием найти соответ-

ствующее ему время t, прошедшее с начала процесса.

Выражение (46.5) можно преобразовать к виду, более удобному для
интегрирования. Для этого заменяем ток А/ соответствующим потоком ДФ,
равным разности между установившимся потоком Фо и той частью мгно-
венного потока, которая пропорциональна току i (фиг. 544). Поток ДФ
определяется непосредственно из фиг. 544, если провести на ней вспомога-
тельную прямую линию, соединяющую начало координат с точкой устано-
вившегося режима. Из фиг. 544 получаем

ДФ М

(46.6)

Найдя отсюда величину Ai, подставим ее в выражение (46.5), вынесем
за знак интеграла постоянные величины Фо и I и с учетом соотношения
(46.2) получим удобное для графического интегрирования выражение,
определяющее время установления потока,

доФ0 С с?Ф

Е J ДФ

(46.7)

Здесь интеграл является безразмерной величиной, так как числитель
и знаменатель представляют собой приращения потока. Условимся называть
этот интеграл относительным временем возбуждения (установления потока).
Величина его определяется только формой характеристики намагничивания
на участке между начальным и конечным значениями потока и может
быть найдена независимо от прочих электромагнитных параметров цепи.

В отличие от этого множитель перед интегралом составлен из трех
характерных параметров цепи, а именно: числа витков, установившегося
потока и приложенного напряжения. Этот множитель имеет размерность
времени. Назовем его постоянной времени насыщенной цепи постоянного

тока и обозначим буквой Т. Если ввести в рассмотрение фиктивную
индуктивность Lo, соответствующую установившемуся потоку, то можно
записать

_ шФ0 _ L0I = £0
Е RI R

(46.8)

Хотя величина постоянной времени насыщенной цепи не изменяется в про-
цессе установления потока, она все же зависит и от конечного значения
потока и от приложенного напряжения и уже не является той абсолютной
постоянной, которая характеризует ненасыщенные цепи.

На фиг. 545 выполнено вычисление интеграла из выражения (46.7) для
некоторой характеристики намагничивания. По характеристике, изобра-
женной на фиг. 545,а, строим, как показано на фиг. 545, б, кривую зави-
симости 1 /ДФ от Ф. Затем интегрируем эту функцию по Ф и находим тем
самым время t, соответствующее каждому мгновенному значению Ф и отне-
сенное к постоянной времени Т (см. фиг. 545,в). Это построение связывает
время с магнитным потоком, и теперь, пользуясь характеристикой намаг-
ничивания, можно привести в соответствие со временем мгновенные значения
тока i. Таким путем находятся изменения во времени магнитного потока
и тока, показанные на фиг. 545,в.

Из фиг. 545,е видно, что нарастание магнитного потока происходит по
кривой, сходной с показательной, однако конечное значение достигается
быстрее, чем в цепи без насыщения, так что время установления сокращает-
ся. Совсем иначе выглядит кривая изменения тока; он нарастает двумя ясно
выраженными ступенями. Это объясняется тем, что в довольно широкой
области значений магнитного потока даже небольшое изменение тока вызы-
вает значительное изменение потока и, следовательно, большое индуктивное
падение напряжения на обмотке и малое—на ее активном сопротивлении.

На фиг. 546 построена на основании того же выражения (46.7) кривая
спада магнитного потока после закорачивания обмотки возбуждения или
замыкания ее на внешнее сопротивление. Поток здесь убывает постепенно,
а ток вначале, т. е. при большом насыщении, падает быстро, а при слабом
поле медленно сползает к нулю. Кривая тока не похожа на убывающую по-
казательную кривую.

Ток уменьшается по показательной кривой лишь при его пропор-
циональности потоку. При убывании потока, как показано на фиг. 546,
36 р. Рюдепберг
мы имели бы равенство

ДФ — — Ф.

Из выражения (46.7) следует

с?Ф

— Ф

откуда

Ф = Фае-'/т.

(46.9)

(46.10)

(46.11)

t = T J

Это выражение совпадает с результатом,
для цепи с постоянной индуктивностью. Для

полученным ранее в гл. 1
ненасыщенной цепи относи-

тельное время спада потока до 5% от исходного значения равно

При магнитном насыщении относительное время установления потока по
лучается гораздо меньшим этого числа (см. фиг. 545,в), а при спаде—зна-
чительно большим (см. фиг. 546,в).

Магнитные полюсы электрических машин имеют обычно такие размеры,
что время установления и спада их поля составляет от секунды для малых-
машин до минуты для больших машин.

i_ Поэтому трудно непосредственно измерить

1 величину магнитного потока полюса при

Uj у помощи баллистического гальванометра

||| У вследствие малости периода его колеба-

ний по сравнению со временем установле-

* ния или спада измеряемого потока. В та-

________j_______________Kt ких случаях можно носпользоваться осцил-
лограммой тока, возникающего в обмотке

Фиг. 547. после подключения ее к постоянному на-

пряжению. Если построить зависимость
этого тока от величины Rt]w, как показано.на фиг. 547, то заштрихован-
ная площадь между кривой тока и ее асимптотой, проведенной через ко-
нечное значение тока 1, непосредственно дает величину полного потока.
В самом деле, согласно уравнению (46.3), дифференциал потока равен

</Ф= — Mdt.
W

(46.12)
Выполняя интегрирование, находим
t

Ф = — \ AtrfZ.
w J
о

(46.13>

Но правая часть этого выражения в точности равна площади, заштрихован-
ной на фиг, 547,

На фиг. 548 и 549 показаны результаты осциллографирования токов в
обмотке возбуждения, в магнитной цепи которой имеется небольшой воздушный

зазор. Осциллограммы снимались для различных установившихся значений
тока. Кривые на фиг. 548 получены при нулевом начальном потоке, а кри-
вые нафиг. 549—при реверсировании поля. В отличие от случая постоянной
индуктивности, когда нарастание тока обязательно происходит по показа-

тельному закону, изменение тока при магнитном насыщении происходит
по разным кривым в зависимости от положения начальной и конечной точек
режима на характеристике намагничивания. На фиг. 550 показано нараста-

ние тока в обмотке возбуждения мощ-
ного ненагружснного генератора при
внезапном подключении ее к источнику
постоянного напряжения.

Если поток должен устанавливаться
быстрейшим образом, как, например в
устройствах, применяемых в автома-
тике, то, как показывают соотноше-
ния (46.7) и (46.8), число витков (при
заданном потоке) следует взять воз-

можно малым, а напряжение—по воз-

можности большим. При этом получится большой намагничивающий ток.
Таким образом, чтобы добиться малого времени установления потока,
приходится изготовлять обмотку из материала с большим удельным сопро-
тивлением или включать добавочное сопротивление, составляющее большую
часть сопротивления всей цепи. Эти способы обычно применяются во всех
электромагнитных устройствах (генераторах, двигателях, реле и др.), когда
требуется ускорить их возбуждение.

Как видно из фиг. 545, относительное время установления потока, со-
ставляющего 95% от конечного значения, равно приблизительно 2. При
других встречающихся на практике формах характеристики намагничивания
эта величина колеблется от 1 до 3. Низшее значение относится к сильно
насыщенным магнитопроводам, а высшее—к цепям без насыщения в соответ-
ствии с выражением (46.10).
Величина постоянной времени зависит, как это следует из формулы
(46.8), от величины приложенного напряжения и конечного значения маг-
нитного потока. Она не является абсолютной постоянной, как это имеет
место для ненасыщенной цепи. Обмотка возбуждения мощного генератора,
содержащая щ=1900 витков, с установившимся потоком ФО=25-10® максвелл
при питании от источника напряжения £’=110 е имеет, согласно формуле
(46.8), магнитную постоянную времени

„ 1900-25-10° ,

Т~ 110-103 ~ 4,3 сек'

Время установления потока при умеренном насыщении магнптопровода
составит по крайней мере 9 сек. Значительно большей будет продолжитель-
ность спада потока вследствие его медленного изменения в конце процесса
(см. фиг. 546).

§ 2. Самовозбуждение машин постоянного тока. Для питания обмо-
ток возбуждения мощных машин постоянного пли переменного тока при-
меняются специальные генераторы постоянного тока с самовозбуждением

по схеме фиг. 551. Магнитный поток в таких возбудителях должен изме-
няться в широких пределах, чтобы можно было при изменяющейся нагрузке
поддерживать неизменным напряжение на главном генераторе. Такие воз-
будители почти всегда имеют насыщенную магнитную систему, что необхо-
димо для их устойчивой работы. Аналогичные машины постоянного тока
с самовозбуждением в большом количестве применяются в автоматике для
других целей. Выясним, как протекают во времени процессы возбуждения
и развозбуждения таких машин.

Если при постороннем возбуждении пренебречь насыщением, т. е. кри-
визной характеристики намагничивания, то решение вида (46.11), хотя и
будет приближенным, но все же имеет физический смысл. Однако самовоз-
буждение вообще немыслимо без насыщения магнитной цепи, так как именно
насыщение делает устойчивыми ток и напряжение машины. Не будь насы-
щения, машина либо полностью размагнитилась бы, либо сгорела, так
как ее магнитный поток, а вместе с ним напряжение и ток достигли бы
огромных значений. Поэтому при рассмотрении процесса самовозбуждения
учет явления насыщения совершенно обязателен.

Положим, что магнитная реакция тока в якоре и падение напряжения
на его активном сопротивлении малы, так что изменение тока мало влияет
на величину напряжения якоря. Тогда напряжение на якоре е можно при-
равнять наводимой в нем э. д. с. Это напряжение в любой момент времени
уравновешивается индуктивным и активным падениями напряжения в цепи
.возбуждения

е = + (46.14)
Уравнение (46.14) аналогично уравнению (46.1), но напряжение е, прило-
женное к обмотке возбуждения, теперь изменяется.

На фиг. 552 показана характеристика намагничивания генератора с само-
возбуждением, причем функцией тока возбуждения i является не магнитный
поток, а напряжение на якоре е. На той же диаграмме проведена прямая
сопротивления, которая изображает зависящее от тока падение напряжения
Ш в цепи возбуждения. Эта прямая проходит через начало координат и пере-
секает характеристику намагничивания в точке установившегося режима.

По истечении достаточного времени режим машины полностью устанав-
ливается, и магнитный поток больше не изменяется. Установившийся ток
возбуждения 1 создает тогда на активном сопротивлении падение напряжения,
равное установившемуся напряжению Е на зажимах генератора, т. е.

I=Er-. (46.15)

По известным значениям Е или I можно, следовательно, нанести линию
сопротивления на диаграмму с построенной магнитной характеристикой;
определять величину сопротивления при этом не требуется. Уравнение
(46.14) можно переписать в виде

= е— Ri = &e. (46.16)

Теперь ясно, что изменение потока но времени зависит только от разности
ординат характеристики намагничивания и прямой сопротивления, изобра-
женных на фиг. 552, т. е.. от Де. Но эта разность известна для каждой точки
кривой намагничивания, поэтому ее можно рассматривать просто как функ-
цию мгновенного значения напряжения машины е в любом переходном ре-
жиме.

Напряжение на зажимах машины е всегда пропорционально потоку Ф:

Здесь через Фо и Е соответственно обозначены установившиеся значения
потока и напряжения. Скорость изменения потока можно выразить через
скорость изменения напряжения

^ = 5»^. (46.18)

dt Е dt

Подставив это выражение в уравнение (46.16), получим

де==^ = Г£. (46.19)

th dt dt

Выражение

7 = (46.20)

содержащее постоянные величины, снова назовем постоянной времени
машины.

Поскольку разность Де зависит только от напряжения на зажимах е,
уравнение (46.19) можно проинтегрировать, разделив предварительно
переменные. Итак, время, прошедшее с момента включения, равно

t = T

J де

(46.21)

Входящий в это выражение интеграл можно снова назвать относительным
временем возбуждения; он так же, как и интеграл (46.7), зависит только
от формы характеристики и является безразмерной величиной. Однако
этот интеграл отличается от интеграла в выражении (46.7) способом постро-
ения, поскольку здесь Де представляет относительно малую разность между
характеристикой намагничивания и прямой сопротивления, в то время как
там ДФ означало разность между конечной точкой на характеристике и лини-
ей, аналогичной прямой сопротивления (см. фиг. 544 и 552). Отсюда следует,
что относительное время при самовозбуждении всегда значительно больше,
чем при постороннем возбуждении.

Определение постоянной времени по выражению (46.20) совпадает
е ее определением по выражению (46.8). Но прп постороннем возбуждении
постоянная времени может быть изменена путем включения внешнего со-
противления при одновременном увеличении приложенного напряжения.
Напротив, постоянная времени самовозбуждения представляет собой абсо-
лютную постоянную машины, которую нельзя менять, не изменяя обмо-
точных данных. Это объясняется тем, что установившееся напряжение У?

Фиг. 553.

на зажимах самовозбуждающейся машины, вращаемой с определенной ско-
ростью, строго пропорционально установившемуся потоку Фо. Отношение
Фо/Е не зависит от величины сопротивления в цепи возбуждения, опре-
деляющего насыщение в установившемся режиме, или от величины напря-
жения на якоре.

На фнг. 553 показано на примере некоторой реальной машины, как
вычисляется интеграл в выражении (46.21): сначала строятся графики
величин е, Де, 1/Де, а затем выполняется интегрирование последней кри-
вой по е. Полученная интегральная кривая непосредственно определяет
изменение напряжения в зависимости от времени Z, отнесенного к посто-
янной времени Т. Теперь можно найти по характеристике намагничива-
ния значения тока возбуждения i для каждого момента времени, т. е. полу-
чить кривую изменения тока во времени. Как видно, напряжение прп
самовозбуждении возрастает (начиная с небольшого остаточного значения)
сначала медленно, затем быстро, а в конце снова медленно, асимптоти-
чески приближаясь к установившемуся значению.

Относительное время нарастания напряжения до 95% от его установив-
шегося значения составляет от 5 до 15 в зависимости от кривизны харак-
теристики намагничивания. Меньшие чпсла относятся к машинам с сильным
насыщением, а большие —к машинам с малым насыщением. Указанные вре-
мена возбуждения в несколько раз превышают относительные времена при
постороннем возбуждении из-за сравнительно небольшой величины напря-
жения 2е.

На фиг. 554 графически изображен процесс раз возбуждения машины при
увеличении сопротивления в цепи возбуждения. Развозбуждение происходит
значительно быстрее возбуждения, так как разность Де имеет здесь значитель-
ную величину, особенно в начале процесса.

Если предположить, что зависимость разности Де от напряжения
на якоре изображается симметричной параболой, то для описания про-
цесса самовозбуждения можно получить приближенное аналитическое
выражение. Форма соответствующей характеристики намагничивания при
этом будет в основном такой же, как на фиг. 553. Итак, положим

^ = 4у (1 — v) Ду, (46.22)

где

у = ^ (46.23)

означает отношение мгновенного значения напряжения к установивше-
муся, а Ду—отношение наибольшего значения разности Де к установив-

фиг. 554.

шемуся напряжению; Ду характеризует интенсивность процесса самовоз-
буждения. Подставив выражение (46.22) н выражение (46.21), получим

f _ у С de _ Т С dv______________ (46 24)

' Z? 4г> (1 — и) Ди 4Да j у(1—v)' '

Выполнив интегрирование, найдем

/ = (46.25)

4Дг \1— v J ' .

Время, необходимое для изменения напряжения машины от одного относи-
тельного значения до другого у2 равна

t = - Y In Г 1 . (46.26)

4Д® L ^1 (1—Уг) J ' '

Таким образом, время самовозбуждения в основном зависит от постоянной
времени машины и от наибольшего избыточного напряженпя Ду, а также
от начального и конечного значений относительного напряжения в про-
цессе самовозбуждения.

Если принять наибольшее избыточное напряжение Лу = 1/5 от уста-
новившегося значения напряжения, то относительное время самовозбужде-
ния от остаточного напряжения у2 = 5% до напряжения у2 = 95% будет равно

Это число, умноженное на постоянную времени 7’, дает время самовоз-
буждения в секундах. Если бы характеристика обладала меныпей кри-
визной н избыточное напряжение равнялось Ду = 1/10, то время возбужде-
ния удвоилось бы.

Чтобы проследить течение процесса во времени, найдем из выраже-
ния (46.25) относительное напряжение
Построенный на фиг. 555 график этой функции является типичным для
процесса самовозбуждения. По соображениям симметрии кривая сдвинута
таким образом, чтобы нулевое время соответствовало середине процесса.
При малом напряжении v и соответственно большом отрицательном вре-
мени в знаменателе выражения (46.27) преобладает второй член и можно
приближенно положить

г;0 = е4Д«(РТ). (46.28)

При большом напряжении, т. е. при большом положительном времени,
преобладает первый член знаменателя, что соответствует приближению

гсо = 1-е-4д« WT>.

(46.29)

закону, а в конце процесса—«устойчивое»
показательной кривой к установившемуся

Фиг. 555.

Таким образом, н начальной стадии процесса самовозбуждения машины
происходит «неустойчивое» нарастание напряжения по показательному
приближение по затухающей
значению. Последняя стадия
процесса протекает так же,
как при постороннем возбуж-
дении, с той только разницей,
что самовозбуждение проис-
ходит значительно медленнее,
так как постоянные времени
находятся в отношении 1/4Дг.
Графики асимптотических
приближений, построенные по
выражениям (46.28) и (46.29),
показаны на фиг. 555 пунк-
тиром.

Из приведенных формул
и кривых видно, какое решаю-
щее влияние оказывает на

продолжительность процесса начальное напряжение, величина которого
обычно определяется остаточным намагничиванием машины. Кроме этой
исходной величины, самовозбуждение зависит только от безразмерного пока-
зателя степени i-vt/T. Отсюда следует, что для быстрого самовозбуждения
требуются, помимо подходящего ныбора начального напряжения, малая
постоянная времени Т и большое избыточное напряжение Лг; последнее по-
лучается при сильно искривленной характеристике намагничивания.

Постоянную времени можно связать с числом оборотов н минуту п
машины постоянного тока. Как известно, напряжение на якоре машины
постоянного тока равно

£ = <4<3-30>

где с означает коэффициент рассеяния полюсов, wa — число якорных про-
водников, р/а — отношение числа полюсов к числу параллельных ветвей
в обмотке якоря. Подставляя выражение (46.30) в формулу (46.20), по-
лучаем

a w 60

у — о------—

Р Wa п

(46.31)

Существенно, что постоянная времени определяется отношением числа витков
обмотки возбуждения к числу витков обмотки якоря и скоростью машины.
Для получения малой постоянной времени и, следовательно, быстрого само-
возбуждения следует применять либо быстроходную машину, либо машину
с малым отношением числа витков в обметке возбуждения к числу витков.
обмотки якоря. Следует отметить, что постоянная времени самовозбужде-
ния не зависит от сопротивления цепи возбуждения и от того, каким будет
установившийся режим работы машины.

Постоянная времени возбудителя, у которого п = 500 об/мин,

коэффициент рассеяния а = 1,25, ш=1360 витков (обмотка возбуждения)
и = 146 витков (обмотка якоря), равна, согласно формуле (46.31),

Т 1,25-2- 14(. -500 —0,70 сек.

Полное время самовозбуждения от 5 до 95% напряжения в конце про-
цесса составляет от 5 до 10 сек. в зависимости от насыщения магнитной

системы и кривизны характеристики. На фиг. 556 приведены осцилло-
граммы напряжения и тока возбуждения такой машины в процессе ее
возбуждения и развозбуждения.

§ 3. Замедление, вносимое вихревыми токами. Процессы включения и

отключения электромагнитов постоянного тока часто сопровождаются вторич-

ными токами, которые наводятся во всех замкнутых контурах вследствие
изменения пронизывающего их потока. Такие

вихревые токи могут возникнуть в дополни-
тельных успокоительных обмотках, в металли-
ческих каркасах основных обмоток или в дру-
гих металлических деталях, пронизываемых
потоком, например в стальных заклепках, скреп-
ляющих листы магнитопровода, или, наконец,
в самом магнитопроводе, если он изготовлен
весь или частично из массивно! о металла. Влия-

Ф и г. 557.

ние вторичных токов на поток и первичный ток

при ненасыщенной магнитной цепи было рассмотрено в гл. 8. Теперь выясним,
какое влияние оказывают эти токи при насыщении магнитной цепи. Для
упрощения задачи пренебрежем рассеянием между первичной и вторичной
обмотками, что вполне допустимо, поскольку на пути потока рассеяния нет
насыщенных участков и он может быть учтен дополнительно па основании
соображений, изложенных ранее.

Магнитный поток Ф, связанный с обеими обмотками (фиг. 557), воз-
буждается суммой первичного и вторичного токов

I = 4 + Ч-

(46.32),

Если к первичной обмотке приложено напряжение е, изменяющееся во вре-
мени по любому закону, то при активном сопротивлении ее цепи 7?j

справедливо уравнение

ич/ . ГУ •

и'7г+/?Л = е-
Для упрощения выкладок примем, что как вторичный ток, так и сопро-
тивление Т?2 вторичной цепи приведены к первичному числу витков w
(заметим, что вторичная обмотка часто состоит из одного витка). Так как
вторичная цепь замкнута накоротко, то

^+^2 = 0. (46.34)

Так как характеристика намагничивания связывает между собой поток Ф
и суммарный ток i, то введем этот ток в уравнение (46.33). Подставляем
сначала г2 из уравнения (46.34) в (46.32) и находим

. __ . w <?Ф

далее, из уравнений (46.35) и (46.33) получаем

RJ. = е.

(46.35)

(46.36)

Вместо активных сопротивлений нервичной и вторичной цепей удобно
ввести их постоянные времени. Отнесенные к нормальному потоку Фо,

они равны

г _ шФо _ а'Ф0 ™ _ ьуФ0

1 Е RJt ’ 2 R2I2'

(46.37)

Для создания одного и того же потока Фо требуются при равном числе
витков обеих обмоток одинаковые токи. Поэтому Z1 = Za и отношение со-
противлений

Й = ?7- <‘6-38)

Уравнение (46.36) принимает теперь следующий вид:

Т-j Ц- Т2 I о • // ft

w-LTTdi = (46-39)

Если выразить число витков w через первичную постоянную времепи 1\
на основании первой из формул (46.37) и подставить это выражение
в уравнение (46.39), то получим

(Л + Т2) . (46.40)

Мы видим, что результирующий магнитный поток изменяется под
•совместным действием намагничивающего и вихревых токов так, как если бы
весь суммарный ток протекал по первичной обмотке, имеющей постоянную
времени, равную сумме постоянных времени обеих обмоток.

Таким образом, действующая постоянная времени для главного потока
равна

Th = T^Tv (46.41)

Итак, вихревые токи, где бы они ни возникали, будут задерживать, т. е.
замедлять, всякое изменение магнитного потока. Переходные процессы
в насыщенных магнитных цепях с вихревыми токами можно, следовательно,
изучать при помощи соотношений, полученных выше. Первичная и вто-
ричная цепи влияют на изменение потока так, как если бы они были
•соединены параллельно после приведения к одному чпелу витков.

Вторичный ток, а также суммарный ток i обычно недоступны для
непосредственного измерения. В связи с этим установим соотношение
между суммарным током, входящим в расчетные формулы, и первичным
током, величину которого можно определить из осциллограмм. Входящее
в уравнение (46.35) сопротивление вторичной цепи представляет собой
•сопротивление путей вихревых токов и обычно неизвестно.

Выразим это сопротивление при помощи соотношения (46.38) через
постоянную времени. Приняв во внимание соотношения (46.37) и (46.35),
имеем

___ j I Tv Ю б/Ф . . j гр Й(Ф/Ф0) г/о /п\
г1-г + ТГ7?ГйГ- г +

В каждом конкретном случае общее уравнение (46.40) можно проинтегри-
ровать графическим методом, изложенным выше в настоящей главе. После
того как таким путем будет найдено изменение во времени потока и сум-
марного тока, можно сразу же найти первичный ток, решая уравнение

(46.42) также графическим способом. При нарастании потока первичный
ток больше суммарного, а при спаде — меньше. Расхождение в величине
токов зависит в основном от постоянной времени вторичной цепи. На фиг. 558
построены кривые токов при нарастании и спаде магнитного потока.

Поскольку вторичный ток появляется только при коммутации цепи,
а до этого первичный и суммарный токи были равны, в момент коммута-
ции происходит скачок первичного тока на величину ^ilt равную второму
члену в правой части уравнения (46.42). Подставляя в уравнение (46.42)
производную от потока по времени из уравнения (46.39), получаем

= = <46ЛЗ>

Отношение е/П1 представляет собой установившееся значение первичного
тока too, соответствующее приложенному напряжению е, а суммарный ток г,
как было только что указано, равен току г0, который протекал в цепи
непосредственно перед коммутацией. Отсюда скачок тока в момент комму-
тации определяется выражением

дЧ = ^(^-г0)- (46.44)

Таким образом, начальный скачок первичного тока в момент комму-
тации так относится к полному его приращению, соответствующему
новому установившемуся режиму, как постоянная времени вторичной цепи
относится к постоянной времени главного магнитного потока. Это правило
дает нам простой способ определения постоянной времени цепи вихревых
токов по осциллограммам включения и отключения, имеющим такой вид,
как показано на фиг. 558. Чтобы не спутать интересующий нас скачок
тока с похожим па скачок быстрым ростом тока, обусловленным формой
характеристики намагничивания (см. фиг. 548 и 549), следует проводить
эксперименты при таких токах, которым соответствуют значительные изме-
нения магнитного потока.
ЛИТЕРАТУРА

Alger Р. L. and others, Gen. Electr. Rev., 50, 29 (1947).
Short circuit of d-c machines.

Biermanns J., Arch. Elektrotechn., 7, 1 (1918).

Ausgleichsvorgange beim Kurzschluss von Kol’ektormaschinen.

Crary S. B., Concordia С., M a g i n n i s s F. J., Trans. AIEE, 65, 974 (1946).

Long-distance power transmission as influenced by excitation systems.

Finzi L., Phys. Zs., 4, 212 (1903).

Untersuchungen iiber das Selbsterregen der dynamoelektrischen Maschinen.

Hafner H., Bull. asso. sui. elec., 34, 623 (1943).

Lichtbogenschweissgerate und ihre Grundlagen.

H a к J., Arch. Elektrotechn., 28, 664 (1934).

Zur Berechnung von Schaltvorgangen mit nicht konstanter Induktivitat.

Koppelmann F., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 59, 253 (1941).

Die elektrotechnischen Grundlagen des Kontakt-Umformers.

Moldenhauer F., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 60, 11 (1942).

Regeleigenschaften von Erregermaschinen.

M ii 11 e r M., Elektrotechn. Zs., 540 (1909).

Uber das Ansprechen elektrischer Bremsen.

M ii 1 1 e r P., Elektr. Kraftbetr. Bahn., 641 (1911).

Gegenstrom- und Kurzschlussbremsung bei Kommutatormaschinen.

Ollendorff F., Arch. Elektrotechn., 21, 6 (1928); 22, 349 (1929).

Zur qualitativen Theorie gesattigter Eisendrosseln.

Peirce В. O., Proc. Am. Acad. Arts Sci., 43, 99 (1907).

On the determination of the magnetic behaviour of the finely divided core of an
electromagnet while a steady current is being established in the exciting.

Rader L. T., L i t s c h e r E. C., Trans. AIEE, 63, 133 (1944).

Some aspects of inductance when iron is present.

Riidenberg R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 1, 179 (1920).

Fremd- und Selbsterregung von magnetisch gesattigten Gleichstromkreisen.

Riidenberg R., Schweiz. Bull., 127 (1920).

Schmidt A., Trans. AIEE, 65, 654 (1946). Nonlinear commutating reactors for rectifiers

Schwaiger A., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 929 (1910).

Einschaltvorgange bei selbsterregenden Gleichstrommaschinen.

Stier F., Elektrotechn. Zs., 56, 7, (1935).

Die Stabilitat selbsterregter Generatoren bei Belastung auf konstanten Widerstand.

Weber E., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 7, No 1, 144 (1928).

Das Schalten magnetisch gesattigter, fremderregter Gleichstromkreise.
Глава 47

ТОКИ ВКЛЮЧЕНИЯ В ЦЕПЯХ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С МАГНИТНЫМ НАСЫЩЕНИЕМ

В гл. 1 было выяснено, что при подключении ненасыщенной катушки
с неизменной индуктивностью к переменному напряжению возникают
токи, могущие достичь удвоенного значения установившегося тока. Наи-
больший ток получается при включении цепи в момент прохождения напря-
жения источника через нуль. Рассмотрим теперь влияние насыщения

магнитной цепи на переходные
токи, полагая, что включение
происходит именно в этот наиме-
нее благоприятный момент. Итак,
в момент времени t = 0 цепь под-
ключается к источнику с напря-
жением

e = £sinwZ. (47.1)

На фиг. 559 показана цепь Фиг. 559.

с магнитным насыщением, на-

пример цепь трансформатора с замкнутым стальным магнитопроводом и
разомкнутой вторичной обмоткой. В первичной обмотке, не имеющей актив-
ного сопротивления, скорость изменения потока Ф была бы строго пропорцио-
нальна приложенному напряжению, т. е.

w~ = -Esinwt, (47-2)

где w — число витков обмотки. Сам поток определяется путем интегриро-
вания уравнения (47.2)

Ф = — Фх cos b)Z С.

(47.3)

Здесь Ф1 = £'/шщ означает амплитуду потока. Постоянная интегрирования С
находится из условия, что в начальный момент t = 0 должно быть

Фо = 0. (47.4)

Дело в том, что магнитный поток внезапно измениться не может и сразу
после включения он будет иметь ту же величину, что и непосредственно перед
включением. Если магнитопровод сохраняет остаточное намагничивание,
как это обычно бывает в трансформаторах, то начальным следует считать
остаточный поток. Сначала пренебрежем им и примем начальный поток
равным нулю. Постоянная интегрирования находится подстановкой условия
(47.4) в выражение (47.3) и будет равна

С=ФХ. (47.5)

Изменение потока во времени определяется выражением

Ф = Ф1(1— coswZ). (47.6)

l a фиг. 560 построены кривые напряжения и потока [формула (47.6)1
в зависимости от времени. Так как активное сопротивление не учитывалось,
то затухание отсутствует и кривая потока неограниченно долго сохраняет
свой первоначальный вид. Магнитный поток колеблется здесь не около

нулевого значения, как в установившемся режиме, а около амплитудного

значения Фх, изменяясь от 0 до 2 Ф

в такт с изменением приложенного пере-
менного напряжения. Этот поток опре-
деляется переменным напряжением, а
ток в обмотке трансформатора опреде-
ляется в каждый момент времени по
характеристике намагничивания, пока-
занной на фиг. 561, Положим, что ам-
плитудное значение установившегося
потока Фх находится вблизи колена ха-
рактеристики так, что ему соответствует
умеренный намагничивающий ток i1.
При увеличении потока сверх амплиту-
ды Фхток в обмотке резко растет и, когда
поток проходит через максимум, рав
ный 2ФХ, он достигает большой величи-
ны г2 (см. фиг. 561). Кривая изменения
тока во времени, построенная по точ-
кам, также показана на фиг. 560. В мо-
менты максимума потока в цепи имеют
место резко выраженные пики тока, во
много раз превышающие его нормаль
ную величину. Для сравнения на
фиг. 560 изображена пунктиром кривая
нормального намагничивающего тока.

Полностью замкнутый магнитопро-
вод может иметь в момент включения

цепи значительный остаточный поток. Тогда при t=0 начальный поток будет
иметь величину Фг, отличную от нуля. Приложенное переменное напряжение
вызывает, согласно уравнению (47.2), косинусоидальные колебания потока
[формула (47.3)1, и эти колебания, размах которых равен удвоенной ампли-

туде нормального потока, на-
кладываются на остаточный по-
ток. Если направление остаточ-
ного потока случайно совпа-
дает с направлением вынуж-

денного потока, то оба потока складываются, при разных направлениях они
будут вычитаться. На фиг. 562 показано наложение этих потоков друг на
друга в самом неблагоприятном случае, когда пики тока будут еще больше,
чем в отсутствие остаточного намагничивания.

При отсутствии активного сопротивления наивысший пик тока насту-
пает спустя полупериод после включения. Его величину можно опреде-
лить по характеристике намагничивания трансформатора или алектромаг-
нита; для этого ланей нужно найти тот ток, который требуется для создания
потока, равного сумме удвоенной амплитуды установившегося потока и
остаточного потока, если таковой имеется. Вследствие того, что в области
насыщения характеристика намагничивания идет очень полого, толчки тока
включения могут достичь огромной величины и иногда даже привести в дей-
ствие максимальную токовую защиту выключателя, т. е. вызвать немедлен
ное отключение цепи.

Пз фиг. 560 видно, что в переходном режиме намагничивающий ток
содержит, кроме переменной составляющей сильно искаженной формы, еще
и постоянную составляющую. Эта составляющая в действительности не
может существовать неопределенно долго; она будет постепенно затухать
под действием активного сопротивления обмотки. При учете сопротивления
цепи Л условие равновесия ее напряжений имеет вид

+ = e (47.7)

[ср. с упрощенным выражением (47.2)], и строгое решение задачи не может
быть простым. Слишком различен ход кривых тока и потока, как мы уже
видели на фиг. 560.

Однако в реальных трансформаторах падение напряжения на активном
сопротивлении всегда мало по сравнению с приложенным напряжением Е
п соответствующим ему изменением потока w (d$/dt). Этим можно восполь-
зоваться для получения приближенного решения, достаточно точного для
большинства случаев. Второй член уравнения (47.7) остается малым по-
сравнению с первым членом даже при значительной величине тока включе-
ния i. Поэтому в уравнение (47.7) можно подставить приближенное выра
жспис для тока г. Наиболее простое предположение заключается в том, что-
ток г пропорционален потоку Ф, т. е.

i-^-Ф. (47.8)-

Через L здесь обозначено среднее значение индуктивности прп изменении
тока в интервале от 0 до г2. Это становится очевидным, если вспомнить,
что общее выражение для переменной индуктивности 15 имеет вид

£ = (47.9)

Отсюда среднее значение индуктивности при изменяющемся токе равно-

12 12

Lm = ~ ( Ldi = t di = (47.10).

г2 А г2 ' dl 'г
о о

и не зависит от формы характеристики намагничивания. Таким образом,
коэффициент пропорциональности L в выражении (47.8) должен быть
вычислен при наибольших значениях потока Ф2 и тока г2 (см. фиг. 561),
т. е. он будет иметь наименьшую величину. Для остальных моментов
времени значения тока меньше z2 и выражение (47.8) дает завышенную
величину. Подставляя приближенное выражение (47.8) в уравнение (47.7),
получаем дифференциальное уравнение задачи

f/Ф Г , Г. . // -7 л л \

—, - 4- — Ф = — sin wZ. (47.11)

dt L w ' '

*) Если условиться обозначать индуктивное падение напряжения в нелинейной цепи
через LdUdt вместо очевидного wd4fldt, то под L следует понимать так называемую
«динамическую» индуктивность, которая определяется формулой (47.9). Такое определе-
ние индуктивности вполне возможно, но оно является не более обшнм, чем
определение индуктивности «статической» (шФ/t) или «энергетической» (2iF/i2).—
Прим. ред.
Это уравнение, определяющее изменение потока во времени, совпадает
с уравнением, описывающим изменение тока во времени при включении
индуктивности без насыщения [см. уравнение (1.25)]. Так же, как и там,
представим искомую переменную в виде суммы двух составляющих

Ф = Ф'Ч-Ф".

(47.12)

С достаточной точностью можно принять установившуюся составляющую
потока равной

Ф' = — Ф. cos iuZ.

(47.13)

Решая уравнение (47.11) без правой части, находим для свободной составля-
ющей потока выражение

Ф" = Ф1е-<я/Ь)«. (47.14)

Амплитуда определена здесь из условия равенства потока нулю при t = О,
т. е. остаточное намагничивание во внимание не принималось. Полный
поток в соответствии с выражением (47.12) равен

Ф = Фх (—cos u>t -р e_(R/L)*). (47.15)

График функции Ф (/) построен на фиг. 563. Мы видим, что под влиянием
активного сопротивления поток к концу первого полупериода не достигает
удвоенного значения установившейся амплитуды.

Значения тока, соответствующие различным значениям потока, а следо-
вательно, и времени, можно найти по характеристике на фиг. 564. Этот
ток также показан на фиг. 563. Даже небольшое затухание потока под
действием активного сопротивления вызывает значительное уменьшение
первого пика тока. Взаимосвязь между изменениями потока и тока отчетливо
видна из характеристики на фпг. 564. Пики тока убывают быстрее затуха-
ющего по показательному закону свободного потока Ф", и когда через
некоторое время поток становится чисто косинусоидальной функцией времени,
в цепи устанавливается ток, изменение которого во времени происходит
по кривой, характерной для нормального намагничивающего тока.

Поток достигает наибольшего значения примерно через полупериод
после включения при значениях

wt — TZ, t = ---------------

со

(47.16)

Подставляя соотношение (47.16) в выражение (47.15), находим отношение
наибольшего потока Ф2 к установившейся амплитуде Фх:

х==-^-= 1-| (47.17)

Это отношение можно вычислить, если известны величины R и L. Соответст-
вующие значения токов находятся по характеристике намагничивания; по ним
можно затем вычислить отношение наибольшего мгновенного значения
тока включения к амплитуде нормального намагничивающего тока

о = ^. (47.18)

Кратность тока зависит только от формы характеристики и от отношения
активного сопротивления к среднему значению реактивного сопротивления.
Если это отношение составляет 5%, то кратность потока снижается от 2 до

1+е-т:.5/100 =1;85

и пик тока получается значительно меньше, чем в цепи без активного
сопротивления.

Ток включения можно существенно уменьшить, если включать цепь
через защитное сопротивление. Чтобы определить необходимую величину
сопротивления, решим уравнение (47.17) относительно показателя степени

“/ГИДУ (««)

Вместо индуктивности L, соответствующей пику тока, удобнее пользоваться
индуктивностью Lj, соответствующей установившемуся току. Их отношение
на основании выражения (47.10) и фпг. 564 с учетом соотношений (47.17)
и (47.18) равно

L _ Л * //л Q/-.X

М Ф1/Л Ф1 Л ° ‘ '

Подставляя L из выражения (47.20) в соотношение (47.19), получаем отно-
шение активного сопротивления к реактивному сопротивлению ненагружен-
ного трансформатора, т. е. отношение падения напряженпя, создаваемого
намагничивающим током в активном сопротивлении к напряжению сети:

«Z, Е ~Р т 1 <-*— 1 ) ‘ (47.21)

Допустимая кратность тока включения а известна в каждом конкретном
случае. Обычно она определяется уставкой максимальных токовых реле,
которые не должны приводить в действие выключатель при прохожде-
нии по цепи тока включения. Зная величину а, можно по характеристике
намагничивания определить отношение потоков -z (см. фиг. 564), а затем
из выражения (47.21) найти отношение сопротивлений р. Полное активное
сопротивление цепи, т. е. сопротивление обмотки вместе с защитным сопро-
тивлением, должно быть равно

7? = Р^. (47.22)

На фиг. 565 приведены графики отношения наибольшего значения тока
включения Is к намагничивающему току /,,, а также наибольшего потока к
нормальному в зависимости от создаваемого намагничивающим током относи-
тельного падения напряжения на активном сопротивлении. Графики по-
строены при значениях индукции В = 10000 гаусс и 27 = 15000 гаусс для обыч-
ной кремнистой листовой стали, из которой изготовляются магнитопроводы
трансформаторов. Мы видим, что при 4% падения напряжения получаются
пики тока, превышающие намагничивающий ток всего в 8—12 раз. Таким
образом, вполне достаточным является защитное сопротивление, в котором
рассеивается лишь несколько процентов мощности намагничивания. Приве-
денные здесь цифры относятся к току холостого хода трансформатора, кото-
рый сам составляет всего лишь несколько процентов от номинального тока.
37 р. Рюденберг
Такое защитное сопротивление обычно достаточно ввести в цепь всего
на несколько периодов переменного напряжения. В течение этого времени

к своему нормальному значению, что переключение на полное напряжение
сети нс вызовет каких-либо нарушений режима.

На фиг. 566 приведена осциллограмма тока включения мощного транс-
форматора с не очень большой рабочей индукцией. Непосредственное под-
ключение к сети вызвало появление большого и медленно затухающего

Фиг. 566.

сверхтока. На фиг. 567 показана осциллограмма тока при непосредственном
подсоединении к сети сильно насыщенного трансформатора малой мощности
Первый пик тока и здесь очень велик, но переходный ток быстро затухает.

t-WOa

Фиг. 567.

На фиг. 568 показана осциллограмма тока при включении того же транс-
форматора через защитное сопротивление, падение напряжения на котором
от намагничивающего тока составляло 3 %. Защитное сопротивление зна-
чительно снизило первый пик тока, а следующие пики почти полностью
исчезли.
Графики тока и потока, приведенные на фиг. 565, построены по харак-
теристике намагничивания листовой стали и могут быть использованы
для численных расчетов. Однако характеристика намагничивания транс-
форматора по ряду причин отличается от характеристики стали. На фиг. 569
характеристика намагничивания стали отнесена к прямоугольным коор-
динатным осям, показанным тонкими линиями. В магнитной цепи трансфор-
матора обычно имеются малые воздушные -35а

зазоры с неизменным магнитным сонротив- I

ионием, например в местах стыка листов, из I

которых собирается магнитопровод. Намаг- ][ _2а

ничивающий ток трансформатора должен,
следовательно, увеличиться, причем его Фиг. 56S.

приращение iz пропорционально потоку.

Ось ординат соответственно поворачивается и занимает новое положение,
показанное на фиг. 569 жирной линией.

Обмотка трансформатора создает кроме потока в стальном сердечнике
значительный поток в воздухе. Последний больше нормального потока рас-
сеяния, так как вторичная обмотка разомкнута и отсутствует реакция вто-
ричного тока. Поток в воздухе, пропорциональный току, должен быть сложен
с потоком в стали. На диаграмме (см. фиг. 569) это учитывается таким пово-
ротом оси абсцисс, при котором индукция получает приращение Bt, зависящее
от плотности потока в воздухе1* Таким образом, характеристика реального
трансформатора оказалась отнесенной к косоугольной системе координат,
изображенной на фиг. 569 жирными линиями. Наличие в цепи трансформатора
какой-либо внешней индуктивности, например
индуктивности линий передачи, генераторов или
~*ТЧ ——^е——-ас<^****”^ других трансформаторов, также можно учесть до-

\ полнительным поворотом оси абсцисс.

\ \ Поворот осей заметно спрямляет магнитную

\ / g характеристику, в результате чего существенно

\ / 1 уменьшаются пики тока при включении. Как

1/ \ было показано на фиг. 562, пики тока могут

Т ________у______ значительно увеличиться из-за остаточного на-

'——£ магничивания магнитопровода. Поскольку вли- *
' яние этих двух обстоятельств взаимно противопо-

Фиг. 569. ложно, то графики, изображенные на фиг. 565,

часто оказываются достаточно надежными для
выбора защитных сопротивлений. Применение этих графиков позволяет
отказаться от детального рассмотрения различных второстепенных явле-
ний, имеющих место на практике.

Благодаря наличию в трансформаторе магнитного потока в воздухе,,
параллельного потоку в стержне, пик тока, обусловленный насыщением,
никогда не будет больше ударного тока, возникающего при внезапном
коротком замыкании на вторичной стороне. Так как обмотки трансформаторов
должны выдерживать электродинамическое действие ударных токов, то-
пики тока при включении нельзя считать опасными для трансформатора..
Однако они могут вызвать ложное срабатывание защитных устройств,,
например предохранителей или реле.

При подключении к сети неподвижного трехфазного асинхронного дви-
гателя происходят явления, сходные с только что рассмотренными. Примем,,
что в момент включения установившийся поток Ф' в двигателе ориентирован
так, как показано на фиг. 570. Но поток в двигателе изменяется непрерывно»

’) Расчетная величина есть отношение магнитного потока в воздухе к площади
поперечного сечения стержня магнитопровода.—Прим. ред.
и сразу после включения он тот же, что и перед включением, т. е. равен
нулю. Следовательно, на вращающееся поле установившегося режима
Ф' накладывается поле Ф", направленное в начальный момент в противопо-
ложную сторону и равное по величине Ф'. Суммарный магнитный поток
двигателя складывается из этих двух составляющих.

Спустя некоторое время установившаяся составляющая потока Ф', пере-
мещаясь в показанном на фиг. 570 направлении ш1, изменит свое положение
в пространстве. Однако свободная составляющая Ф" сохранит свое положе-
ние в пространстве, так как опа жестко связана с обмотками статора (поле
•апериодических составляющих токов). Благодаря наличию в цепи активного
сопротивления свободная составляющая уменьшается согласно выражению
(47.14). Суммарный поток двигателя Ф увеличивается по мере удаления
вектора Ф' от его первоначального положения. Через полупсрнод Ф' совпадает
по направлению с Ф", и оба потока складываются арифметически. Не будь
затухания, поток двигателя равнялся бы в этот момент удвоенному значе-
нию установившегося потока. В действительности максимальное значение

Фиг. 571.

потока получается меньше и определяется выражением (47.17). Для проме-
жуточных моментов времени можно изобразить потоки в виде векторов,как
это сделано на фиг. 571. Вектор Ф' считается здесь неподвижным, а вектор
Ф" равномерно вращается в обратном направлении, одновременно затухая
по показательному закону. Таким образом, конец вектора Ф" перемещается
по логарифмической спирали. Сумма этих двух составляющих векторов
определяет величину и направление потока Ф в каждый момент времени.
Следовательно, поток, фактически существующий в асинхронном двига-
теле, колеблется с переменными скоростью и амплитудой около значения
.вращающегося потока, соответствующего установившемуся режиму.

Токи, необходимые для поддержания потока, доставляются трехфазной
сетью. Они имеют апериодическую составляющую, соответствующую затухаю-
щему неподвижному потоку, и периодические составляющие, соответствую-
щие вращающемуся потоку. В какой из фаз обмоткп ток окажется наиболь-
шим, зависит от момента включения и является делом случая. Мы видим,
что вследствие вращения нормального потока Ф' и затухания неподвижного
потока Ф" суммарный поток Ф будет попеременно возрастать и убывать;
при этом трехфазная сеть будет посылать в двигатель токи, похожие по форме
на кривую, изображенную на фиг. 563. Сходство будет особенно полным для
той фазной обмотки, в которой протекает наибольший ток. Таким образом,
вдоль оси, по которой направлен поток в начальный момент, токи вклю-
чения асинхронного двигателя, неподвижного или с разомкнутой роторной
цепью, описываются соотношениями, весьма сходными с соотношениями для
токов трансформаторов. В направлении поперечной оси свободные токи
мообще не возникают.
Соотношение (47.21) позволяет найти также и токи включения асинхрон-
ных двигателей. Однако магнитная цепь двигателя всегда имеет значитель-
ный воздушный зазор между статором и ротором и, следовательно, сравни-
тельно большой поток рассеяния. Поэтому влияние смещения обеих осей ха-
рактеристики (см. фиг. 569) оказывается весьма значительным и пики тока
включения трехфазиых двигателей никогда не будут такими большими, как
у трансформаторов с замкнутым стальным магнитопроводом и малым рассея-
нием. На фиг. 572 приведены осциллограммы токов в трех фазах обмотки

90 а

Фиг. 572.

статора мощного асинхронного двигателя с разомкнутой цепью ротора,
снятые при подключении двигателя к сети.

Если в сеть включается неподвижный асинхронный двигатель с замкну-
той цепью ротора пли нагруженный трансформатор, то возникают такие же
свободные потоки, как и при разомкнутых вторичных обмотках, всегда на-
правленные навстречу потокам установившегося режима. Однако свободный
поток будет в этом случае затухать медленнее, потому что замыкание вторич-
ной обмотки увеличивает, как показано в гл. 46, постоянную времени глав-
ного потока машины. Далее, первый пик тока в первичной обмотке умень-

шается, так как теперь значительная
тока протекает во вторичной обмотке.
Эти вторичные токи также будут
иметь пикообразную форму, как на
фиг. 563 и 572, и будут увеличены
благодаря насыщению. Эти токи бу-
дут протекать как во вторичной об-
мотке, таки в соединенной с ней сети.

Апериодические и периодические
составляющие токов включения про-
ходят по сети, которая часто бы-
вает достаточно мощной и питается
от многих источников энергии. Если

часть свободного намагничивающего.

Ф п г. 573.

это не так, то включение может оказать значительное влияние на поведе-
ние других устройств с насыщенными магнитными цепями, обмотки которых
подключены к сети. На фиг. 573 показано внезапное подключение транс-
форматора к сети, в которой имеет место значительное падение напря-
жения на линии, соединяющей генерирующую станцию с группой распо-
ложенных вблизи аналогичных трансформаторов. Свободный намагничи-
вающий ток включаемого трансформатора попадает также в другие
трансформаторы и создает в них апериодические потоки, которые накладыва-
ются на их нормальные переменные потоки. В результате намагничивающие
токи других трансформаторов возрастают и приобретают пикообразную
форму. В зависимости от насыщения магнитопровода и скорости затухания
апериодической составляющей эти пики тока в других трансформаторах
могут достичь такой величины, что максимальные токовые реле приведут
в действие соответствующие выключатели. Этого можно избежать путем
установки на трансформаторах максимальных реле с подходящей выдержкой
времени или путем запрещения подключения к сети без защитных сопротив-
лений трансформаторов значительной мощности и с высокой рабочей индук-
цией.

ЛИТЕРАТУРА

Bauer В., Elektr. Kraftbctr. Balm., 148 (1914).

Cher die Notwendigkeit von Schutzwiderstanden an Hochspannungsolschaltern.
Blume L. F., Camilli G., Farnham S. B., Peterson H. A., Trans.

AIEE, 63, 366 (1944).

Transformer magnetizing inrush currents and influence on system operation.
Concordia C., Rothe F. S., Trans. AIEE, 66, 731 (1947).

Transient characteristics of current transformers during faults.

Flemming J. A., Journ. Inst. Electr. Eng., 21, 594 (1892).

Experimental researches on alternate-current-transformers.

Hay A , Gen Electr. Rev., 326 (1898).

The behavior of a transformer at the instant of switching.

Hayward C. D., Trans. AIEE, 60, 1096 (1941).

Prolonged inrush currents with parallel transformers affect differential relaying.
J ensen T., Electr. World, 50, 521 (1907).

Abnormal primary current and secondary voltage on placing a transformer in
circuit.

J obann M., Bull. soc. intern, elec., 579 (1905).

De I’etablissement du courant dans les transformateurs.

Kurtz E. B., Trans. AIEE, 56, 989 (1937).

Transformer current and power inrushes under load.

Linke W., Arch. Elektrotechn., 1, 16 (1912).

Uber Schall vorgange bei elektrischen Maschinen und Apparaten.

Mang old t W., VDE-Fachberichte, 10, 2 (1938).

Gesattigte Drossein zur Spannungschaltung in Grosskraftiibertragungen.
Marchant E. W., Journ. Inst. Electr. Eng., 56, 445 (1918).

Some transient phenomena in electrical supply systems.

Marchant E. W., Electrician, 81, 63(1918).

Ollendorff F., Arch. Elektrotechn., 22, 348 (1929).

Uhcrstrome beim Einschalten von Transformatoren.

Rogowski W., Arch. Elektrotechn., 1, 344 (1912).

Einschaltstromstoss und Vorkontaktwid erst and beim Transformator.

Schwaiger A., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 633 (1909).

Uber Einschaltvorgange in kapazitatsfreien Stromkreisen.

Vidmar M., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 273 (1918).

Der Einschaltstrom des Transformators.

Y ensen T. D., Elektrotechn. Zs., 1001 (1912).

Einschaltstrome von Transformatoren, besonders von solchen mit legierten Blechen.
Глава 48

МАГНИТНОЕ НАСЫЩЕНИЕ В КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ ЦЕПИ

До сих пор при исследовании резонансных цепей и, в частности, в
гл. 4—6 предполагалось, что индуктивность цепи не зависит от тока и неизмен-
на. Это соответствует действительности, если определяющий индуктивность
цепи магнитный поток проходит большую часть своего пути ио воздуху, как,
например, в воздушных линиях и подземных кабелях. Это справедливо также
для потоков рассеяния вращающихся машин и трансформаторов. Однако
если магнитное поле полностью или в значительной своей части создается
в ферромагнитной среде, то индуктивность цепи уже не является постоянной,
а будет уменьшаться с увеличением тока и напряженности поля.

В этой главе будет исследовано поведение колебательной цепи, содержа-
щей индуктивную катушку с насыщающимся сердечником и питаемой от
источника переменного напряжения. В частности, будут выяснены особен-
ности явления резонанса, обусловленные магнитным насыщением.

§ 1. Феррорезонапс. Чтобы выяснить влияние одного лишь насыщения,
пренебрежем сначала активным сопротивлением цепи и соответствующим
ему падением напряжения. Предположим, что источник синусоидального
напряжения Е питает показанную на фиг. 574 цепь, содержащую постоян-
ную емкость С и соединенную последовательно с ней катушку, имеющую
замкнутый стальной сердечник. В каждый момент времени приложенное
напряжение должно быть равно сумме напряжений на емкости и индуктив-
ности. Оставим без внимания искажение формы кривых этих напряжений,
которое получается в каждом периоде вследствие магнитного насыщения,
и ограничимся рассмотрением только основной синусоидальной составляю-
щей напряжения, а также и тока. Тогда можно записать следующее соотно-
шение для амплитуд напряжений:

E = El + Ec. (48.1)

Напряжение на индуктивности не пропорционально току, а задается
характеристикой намагничивания (вольтамперной характеристикой), пока-
занной на фиг. 575. Связь между амплитудами EL и I зависит до некоторой
степени от условий измерения: производится ли оно при синусоидальном
напряжении и искаженном токе, или при синусоидальном токе и искаженном
напряжении, или при искаженных и токе и напряжении. Однако не будем
вникать в эти различия и предположим, что задана такая характеристика,
которая фактически получается для индуктивной катушки, включенной
в колебательный контур.

Напряжение на индуктивности пропорционально частоте, и его можно
представить выражением

«>/(/). (48.2)

Здесь /(/) представляет собой некоторую функцию тока, свойственную катуш-
кам со стальным сердечником и зависящую только от числа витков обмотки,
размеров и материала магнитопровода. Напряжение на конденсаторе про-
порционально току и обратно пропорционально частоте и емкости. Это
!

напряжение находится в противофазе с напряжением на индуктивности и,
следовательно,

Ес =

соО

(48.3)

Подставляя выражения (48.2) и (48.3) в соотношение (48.1), получаем усло-
вие равновесия напряжений в виде

^=«о/(/)=^ + ^.

(48.4)

Это уравнение приводит к простому графическому способу решения задачи.
Оно показывает, что напряжение ЁЕ на катушке должно равняться сумме
неизменного приложенного напряжения Е и пропорционального току на-
пряжения на емкости Ес- На фиг. 575 построены графики обоих напряжений

в зависимости от тока. Приложенное напряжение Е изображено горизонталь-
ной линией; к нему добавляется напряжение на емкости Ес, изображенное
прямой линией, проведенной под углом у к направлению оси абсцисс. Угол
наклона у определяется выражением* 1)

tgl = ~- (48.5)

Чем меньше емкость конденсатора, тем больше угол наклона. Если продол-
жить влево прямую Ес, представляющую характеристику конденсатора,
то она пересечет отрицательную ось токов па некотором расстоянии от
начала координат, равном

Л=-^=-^. (48.6)

Этот отрезок отрицательной оси изображает, следовательно, зарядный ток
конденсатора прп напряжении на нем, равном Е. Намагничивающий ток
катушки при напряжении на ней, равном Е, определяется пересечением
линии Е с характеристикой намагничивания, как это показано па фиг. 575.

Пользуясь диаграммой, изображенной на фпг. 575, нетрудно проследить
за изменениями тока и напряжения в резонансной цепи с магнитным насы-
щением. Уравнение (48.4) для напряжений удовлетворяется только в точке
пересечения характеристик конденсатора и катушки (см. фиг. 575). Следова-
тельно, в резонансной цепи могут установиться только соответствующие этой
точке ток и напряжение. Напряжение Е, будучи приложено к индуктив-
ности, создало бы небольшой намагничивающий ток /р, а будучи приложено

>) Строго говоря, равенство (48.5) должно быть записано в виде

1
tgI шСтЕ’

где Ш] и тЕ—принятые при построении масштабы для тока и напряжения.—Прим. ред.
к емкости—создало бы значительный зарядный ток в цепи, содержащей
и емкость и индуктивность, под действием напряжения Е возникает ток
некоторой средней величины. Напряжение на индуктивности превышает
приложенное напряжение на величину, определяемую положением точки
пересечения двух характеристик. При уменьшении емкости в условиях
постоянства амплитуды и частоты приложенного напряженпя, т. е. при
уменьшении зарядного тока угол наклона прямой Ес будет возрастать
и напряжение на индуктивности будет значительно увеличиваться.

На фиг. 576 показано, как меняется положение рабочей точки при изме-
нении величины емкости и неизменных параметрах катушки с насыщенным
сердечником. Если емкость очень велика, а вместе с ней велик и зарядный
ток /Л, то конденсатор находится в режиме, близком к короткому замыканию,

и индуктивное напряжение равно приложенному напряжению Е. С умень-
шением емкости рабочая точка перемещается по характеристике намагничи-
вания в сторону возрастающих напряжений. Однако перемещение рабочей
точки ограничивается кривизной характеристики. Она не может переме-
ститься далее той точки, где прямая Ес уже не пересекает характеристику
намагничивания, а лишь касается ее. При еще меньшей емкости для цепи
пе существует рабочего режима в первом квадранте, т. е. с положительным
напряжением на индуктивной катушке и намагничивающим током, отстаю-
щим по фазе от напряжения источника.

Однако, продолжая прямую Ес, находим еще одну точку пересечения
с характеристикой намагничивания, а именно при отрицательных значе-
ниях тока и напряжения (см. фиг. 576). Эта точка определяет рабочий
режим цепи при малых значениях ее емкости. В этом режиме ток ме-
няет свое направление и из отстающего намагничивающего тока превращает-
ся в опережающий зарядный ток, величина которого будет сильно возрастать
по мере смещения точки пересечения влево. Соответственно значительно
возрастут напряжение на катушке, отсчитываемое от оси I, и в особенности
напряжение на конденсаторе, отсчитываемое от линии Е, и в цепи возникнут
большие перенапряжения. При дальнейшем уменьшении емкости рабочая
точка поднимается по отрицательной ветви характеристики, напряжение на
индуктивности и емкости уменьшается и, наконец, при очень малой емкости
напряжение на индуктивности падает до нуля, а напряжение на конденса-
торе совпадает с приложенным напряжением.

На фиг. 577 построена кривая зависимости напряжения на катушке
со стальным сердечником от величины емкости, причем знак напряжения,
т. е. его фаза, не показан. Видно, что при магнитном насыщении нет того
резко выраженного резонансного состояния, когда напряжение неограни-
ченно нарастает. Наоборот, при всех значениях емкости напряжение на
катушке остается конечным. Однако благодаря насыщению происходит раз-
рыв непрерывности и с уменьшением емкости напряжение в критической
точке увеличивается скачком. В этой точке происходит опрокидывание фазы
тока по отношению к приложенному напряжению и появляются значитель-
ные перенапряжения и сверхтоки, хотя явление резонанса в точном смысле
этого слова и не возникает.

Из фпг. 57G видно, что характеристика конденсатора пересекает отри-
цательную ветвь характеристики катушки и при больших емкостях. Сле-
довательно, в этой области возможны два разных режима колебаний: один
при низком напряжении и отстающем токе, а другой—при высоком напряже-
нии и опережающем токе. Оба эти режима отмечены на фиг. 577 жирными

линиями. Какой из них установится в действительности—является делом
случая и зависит от фазы напряжения в момент включения цепи. Из фиг. 576
видно, что при малых напряжениях и токах (первый квадрант) индуктивное
напряжение больше, чем емкостное, па величину приложенного напряжения;
при больших напряжениях и токах (третий квадрант) имеет место обратное
соотношение.

В действительности характеристика конденсатора пересекает характери-
стику катушки еще и в третьей точке, показанной на фиг. 578 в дополнение
к двум другим точкам пересечения. Но точкам 1 и 2 соответствуют устойчивые
режимы цепи, в то время как точке 3—неустойчивый. Это ясно из следующих
соображений. Если вследствие небольшого увеличения пли уменьшения тока
произойдет малое отклонение от точки 1, то напряжение на конденсаторе Ес,
совпадающее но направлению с приложенным напряжением Е, изменится
пропорционально току. Однако действующее в противоположном направле-
нии индуктивное напряжение EL изменится в большей степени, так как
наклон характеристики катушки вблизи точки 1 больше наклона характе-
ристики конденсатора. В результате ток вернется к своему исходному
значению. Аналогично при отклонении от точки 2 индуктивное напряже-
ние Ес, которое действует здесь в направлении приложенного напряже-
ния Е, изменяется в меньшей мере, чем противодействующее напря ение Ес,
и, следовательно, ток снова вернется к точке 2. Совсем иное получается
в точке 3. Напряжение на конденсаторе Ес, действующее в направлении при-
ложенного напряжения Е, изменяется здесь прп любом отклонении тока
от точки пересечения интенсивнее, чем противодействующее напряжение Ес
Поэтому отклонение тока будет увеличиваться и рабочая точка будет ухо-
дить все дальше от точки 3. Неустойчивая часть кривой напряжения, соот-
ветствующая пересечениям типа точки 3, показана на фиг. 577 пунктиром.

Кривые обычного линейного резонанса, например приведенные в гл. 4,
дают зависимость тока и напряжения от частоты приложенного напряжения.
Чтобы можно было непосредственно сравнить кривые при феррорезонансе
с этими кривыми, разделим обе части уравнения (48.4) на частоту, в резуль-
тате чего получим

/(/)==А+7 . (48.7)

7 ' 7 w

Графическая интерпретация этого уравнения дана на фиг. 579. Характери-
стика катушки / (7) здесь одна и та же для разных частот, но положение
характеристики конденсатора и ее наклон изменяются с частотой. При низкой
частоте Wj характеристика конденсатора идет круто и пересекает отрицатель-
ную ветвь характеристики катушки. В этом случае в цепи протекает опере-
жающий зарядный ток и ее режим определяется однозначно. С повышением

частоты характеристика конденсатора сначала станет касательной к положи-
тельной ветви характеристики катушки, а затем превратится в ее секущую,
так что при более высокой частоте, например и>3, появятся еще два возможных
состояния. Обоим этим состояниям соответствует отстающий намагничиваю-
щий ток. При дальнейшем увеличении частоты, например до о>5, точка устой-
чивого режима перемещается по характеристике катушки вниз. Зависимости
тока в цепи и напряжения на конденсаторе от частоты, найденные из
фиг. 579, представлены кривыми на фиг. 580 и 581. Эти кривые можно
непосредственно сопоставить с кривыми фиг. 34 и 35, построенными для
постоянной индуктивности.

Ветви кривых на фиг. 580 и 581, соответствующие неустойчивым точкам
пересечения, изображены пунктиром. Мы видим, что существует определен-
ное внешнее сходство кривых феррорезонанса и кривых резонанса для цепи
без насыщения, приведенных в гл. 4. Однако под влиянием насыщения ре-
зонансные пики склонились вправо. Полностью изменилась и физическая
картина явления: оно стало неоднозначным, а огромные резонансные пики—
невозможными.

Изменяя приложенное напряжение, можно в широких пределах переме-
щать по характеристике намагничивания рабочую точку колебательной цепи
с насыщением, в то время как при отсутствии насыщения в этом случае про-
исходит лишь пропорциональное изменение токов и напряжений. На фиг. 582
построено несколько характеристик конденсатора для различных значений
напряжения Е [см. уравнение (48.7)], а на фиг. 583 показана зависимость на-
пряжения на емкости от приложенного напряжения, полученная на основании
фиг. 582. С повышением напряжения состояние цепп внезапно меняется, и
при некотором значении напряжения между Е2 и Е.л цепь превращается из
индуктивной в емкостную. При снижении напряжения обратный скачок в

этой точке не происходит. На фиг. 584 приведена осциллограмма процесса

опрокидывания режима цепи; незначительное увеличение напряжения Е
вызвало увеличение тока Z в несколько раз. На фиг. 584 можно заметить
характерное искажение формы кривой тока,

особенно в емкостпом режиме цепи.

Связь феррорезонанса с явлениями в ли-
нейной цепи можно легко установить из рас-
смотрения фиг. 585. На ней построены, как это
делалось ранее, несколько характеристик кон-
денсатора при различных емкостях и прове-
дена прямая линия EL, характеризующая за-
висимость напряжения на постоянной индук-
тивности от тока. При постоянной индуктив-
ности напряжение пропорционально току и
выражение (48.2) записывается в виде

Еь=ыЦ1) = шЫ, (48.8)

где L—постоянная индуктивность цепи.

По мере уменьшения емкости точка пересечения прямолинейных харак-

теристик конденсатора и катушки поднимается вверх сначала медленно,

а затем все быстрее. Наконец, когда наклоны обеих прямых становятся оди-
наковыми, рабочая точка уходит в бесконечность. В этом случае, согласно
выражениям (48.5) и (48.8), получаем

шС 1

(48.9)
откуда

и = = = VL.

(48.10)

Это в точности совпадает с полученным ранее условием резонанса в цепи
без магнитного насыщения: оно состояло в равенстве вынужденной и собст-
венной частот цени. Для индуктивной катушки с насыщением на фиг. 585
пунктиром построена характеристика, начальный угол наклона которой
выбран равным углу наклона прямолинейной характеристики катушки
Еъ. Мы видим, что опрокидывание режима феррорезонансной цепи, сопровож-
даемое появлением больших токов и напряжений, происходит задолго до
наступления того резонанса, который мог бы возникнуть, если бы индуктив-
ность была постоянной. Отсюда следует, что для цепей с насыщением нельзя
применять условие резонанса (48.10) даже в том случае, когда в расчет
вводится значение индуктивности, соответствующее области малых индук-
ций, расположенной ниже колена характеристики намагничивания. Всегда
необходимо производить графическое исследование, пользуясь фактической
вольтамперной характеристикой катушки со стальным сердечником1).

§ 2. Влияние активного и индуктивного сопротивлений. Может пока-
заться, что прп преобладании емкостного влияния над индуктивным устой-
чивая точка 2 па фиг. 578 переместится в область сколь угодно больших
значений напряжения и зарядного тока. Однако в действительности увеличе-
ние тока ограничивается активным сопротивлением цепи, падение напря-
жения на котором геометрически прибавляется к сумме индуктивного
и емкостного напряжений. Таким образом, полное напряжение цепи

Е = /(£1-1-^с)2 + (/?/Гг , (48.11)

а напряжение па катушке со стальным сердечником составляет

£b = ‘U/(/)=]/^=“(W+^. (48.12)

Здесь были использованы выражения (48.2) и (48.3).

Мы снова получили соотношение, которому можно дать простое графи-
ческое истолкование, аналогичное приведенному на фиг. 575. Но вместо
горизонтальной прямой дляпостоянного напряжения Е здесь нужно построить
кривую, соответствующую квадратному корню, входящему в соотношение
(48.12). Опа будет представлять собой эллипс, главные оси которого совпа-
дают с координатными; такой эллипс построен на фиг. 586. При малом токе
влияние активного сопротивления невелико и, следовательно, квадратный
корень почти равен Е. Прп большем токе сопротивление R ослабляет дей-
ствие приложенного напряжения, и если I достигает значения EIR, то все
напряжение будет приложено к активному сопротивлению, а квадратный
корень обратится в нуль. Этим определяется наибольшее возможное значе-
ние тока. Итак, главные оси эллипса имеют величины Е и Е/R и известны
в каждом конкретном случае.

Складывая ординаты эллипса и ординаты характеристики конденсатора,
соответствующей последнему члену соотношения (48.12), получаем наклонен-
ный эллипс, представляющий всю правую часть соотношения (см. фиг. 586).
Точки пересечения пового эллипса с характеристикой EL определяют три
возможных типа колебаний цепи. Поскольку квадратный корень был взят
с положительным знаком, т. е. без учета фазовых соотношений, все три

1) До сих пор нет ясности в вопросе, что следует понимать под резонансом в нелиней-

ных цепях. Невидимому, наиболее общим критерием резонанса является требование,
чтобы при наличии в цепи индуктивности и емкости мгновенные значения периодически
изменяющейся мощности источника не были отрицательными.-—Прим. ред.
точки пересечения попали в первый квадрант, хотя в действительности точ-
ка 2 принадлежит отрицательной ветви характеристики. Как и раньше,
точкам 1 и 2 соответствуют устойчивые состояния, а точке 3—неустойчивое.

Пз фпг. 586 видно, что сравнительно небольшое активное сопротивление
оказывает незначительное влияние на положение точки пересечения 1, которой

соответствуют малые токи и напряжения
в цепи. Однако в точке 2 активное сопро-
тивление препятствует чрезмерному уве-
личению токов и напряжений при вклю-
чении в цепь больших емкостей. Большое
активное сопротивление может настолько
укоротить эллипс (см. пунктирный эллипс
на фиг. 586), что пересечение в точке Пока-
жется невозможным. В этом случае будет
существовать колебание только одного типа
с малым током и напряжением, а опроки-
дывание, связанное с появлением больших
значений этих величин, не наступит. Сле-
довательно, введенпе активного сопро-
тивления является надежнейшим сред-
ством стабилизации феррорезонансных
цепей, имеющих склонность к опроки-

дыванию.

Все эти соображения приводят к выводу, что в колебательной цепи с маг-

нитным насыщением никогда не может возникнуть подлинный резонанс
емкости с индуктивностью. Происходит лишь изменение режима колебаний
путем скачкообразного перехода с одной точки характеристики на другую,

Ф и г. 588.

удаленную от первой. Следовательно, не существует какой-либо определен-
ной частоты, опасной для данной цепи. Это получается потому, что колеба-
тельные цепи с магнитным насыщением не имеют фиксированной собствен-
ной частоты. Наоборот, определенная каким-нибудь образом собственная
частота такой цепи является переменной величиной, зависящей от величины
тока и степени намагничивания. Если вынужденная частота окажется близ-
кой к собственной частоте, соответствующей какому-то определенному на-
магничиванию, и в цепи получится некое подобие резонанса, так что ток
начнет нарастать, то эта собственная частота будет немедленно изменена
увеличивающимся током и тем самым цепь будет выведена из состояния
резонапса.

Кроме переменной индуктивности L, в цепи может быть еще и постоянная
индуктивность S, обусловленная рассеянием в машинах и трансформаторах
или замыкающейся по воздуху частью потока самой катушки со стальным сер-
дечником. Такая цепь схематически изображена на фиг. 587. Для обеих ин-
дуктивностей можно построить одну результирующую характеристику,
складывая напряжения, соответствующие одному и тому же току. Эта харак-
теристика показана на фиг. 588 жирной линией EL+s- Мы видим, что при
больших токах она имеет неизменный наклон, почти равный наклону прямо-
линейной характеристики Es- Таким образом, в отношении неоднозначности
режима и опрокидывания колебаний ничего не меняется. Однако пересечение
характеристики конденсатора с характеристикой намагничивания может
теперь произойти и в бесконечности. Это полу-
чится, если тангенс угла наклона, согласно
выражению (48.5), равен

(4813>

Следовательно, подлинный резонанс- может
наступить при

“ = = (48.14)

т. е. при равенстве частоты приложенного
напряжения частоте свободных колебаний,
поддерживаемых емкостью и постоянной ин-

дуктивностью рассеяния1*. Здесь требуется емкость, значительно большая
того предельного значения, которое, согласно выражению (48.10), необхо-
димо для опрокидывания.

Благодаря наличию в цепи активного сопротивления характеристики
конденсатора, как показано на фиг. 588, являются уже не прямыми, а слегка
изогнутыми (дугами эллипсов). При небольшой величине приложенного на-
пряжения Е} получается, несмотря на резонанс с индуктивностью рассеяния,
единственная точка пересечения, расположенная, как видно из фиг. 588, вбли-
зи Et, т. е. в области нормального режима катушки со стальным сердечником.
Если приложенное напряжение выходит за колено результирующей характе-
ристики намагничивания, как, например, Е2 нафиг. 588, то точка пересече-
ния внезапно смещается в область больших напряжений и токов, величины
которых ограничиваются главным образом активным сопротивлением цепи.

Напряжение Е„, при котором, как видно из фиг. 588, наступает полное
насыщение магнитопровода катушки, является границей двух областей
с разными режимами. Если Е меньше Еа то, помимо резонанса рассеяния,
возможны два устойчивых состояния, отмеченных на фиг. 589 цифрами 1 и 2.
Однако при выполнении условия (48.14) для этого резонанса никакой особой
точки не получится, так как точка 2 исчезает и, таким образом, большие
токи и напряжения возникнуть не могут. Если же Е больше Еа, то, как пока-
зано на фпг. 589, возможно колебание только одного типа, приводящее к
большим токам и напряжениям при выполнении условия (48.14) для резо-
нанса рассеяния. В первом случае преобладает явление насыщения, а во
втором—рассеяния. По мере того как напряжение Е все более превышает
напряжение Е„, влияние насыщения на режим цепи становится все менее
заметным.

Исследованные здесь случаи могут встретиться на практике при пита-
нии трансформаторов через линии передачи с продольной емкостной компен-
сацией, т. е. с последовательно включенными конденсаторами, которые пред-
назначаются для уменьшения индуктивного падения напряжения в линии.

Й Равенство (48.14) представляет собой условие резонанса—и то лишь для основной
гармоники- -участка цепи, состоящего из индуктивности S и емкости С (см. фиг. 587).
Если отвлечься от высших гармоник, то режим, определяемый условием (48.14), будет
тем же, что при питании индуктивности L непосредственно от источника Е. Но это равно-
сильно схеме на фиг. 574 при очень большом значении емкости.—Прим. ред.
§ 3. Обрыв одной фазы. В процессе нормальной работы электриче-
ских сетей описанные здесь явления опрокидывания обычно не возникают.
Однако они возможны при авариях в сети пли в результате неудачной
коммутационной операции. На фиг. 590 схематически показан путь тока
после размыкания одной фазы линии передачи вследствие разрыва прово-
да или однофазного отключения. Между каждой из двух разъединенных
частей провода и землей имеется емкость, поэтому в цепи, несмотря ва
разрыв, может протекать ток. Этот ток проходит последовательно через
обе емкости линии С' и С" и через трансформатор с магнитным насыще-
нием, и получается цепь, изображенная на фиг. 574.

Если трансформатор нагружен слабо, то цепь обладает малым затуха-
нием и в соответствии с фиг. 586 в первом приближении им можно пренебречь.
Характер явлений в этой цепи определяется соотношением между величинами
зарядного тока /Л, который проходил бы через две последовательно соеди-
ненные емкости С и С" под действием напряжения сети, и нормального
намагничивающего тока трансформатора В зависимости от соотношения

Ф п г. 590.

Фиг. 591.

этих величин пересечение характеристики емкости с характеристикой нама-
гничивания произойдет либо при малом, либо при большом напряжении на
трансформаторе и в оборванной фазе. Если зарядный ток линии велик, напри-
мер прп значительной протяженности провода по обе стороны от места обры-
ва, то, как видно из фиг. 575, характеристика емкбети будет пологой,
а повышение напряжения—не слишком большим. Однако если зарядный ток
мал и имеет величину порядка суммы намагничивающих токов всех присое-
диненных трансформаторов, то характеристика емкости будет крутой и про-
изойдет значительное повышение напряжения на зажимах трансформатора.
Может даже случиться, что режим цепи опрокинется и возникнет еще более
.значительное перенапряжение, как это показано на фпг. 576.

В последнем случае магнитопроводы трансформаторов полностью насы-
щаются и индукция в них достигает 25 000 гаусс, в то время как в нормаль-
ном режиме она составляет около 14 000 гаусс. Таким образом, если прене-
бречь рассеянием потока и активным сопротивлением обмотки, то кратность
перенапряжения на трансформаторе составит

25 000 . о

14 000 —

В месте разрыва появится напряжение порядка 1,8+1 =2,8 Е, которое рас-
пределится между двумя частями этого провода в соответствии с их
емкостями. И на больной, и на здоровых фазах линии возникают значитель-
ные перенапряжения, которые могут вызвать перекрытие или пробой изо-
ляции линии.

Опрокидывание напряжения часто наблюдалось при отключении одного
зажима трансформатора напряжения с незаземленной средней точкой
(фиг. 591). Емкость на землю С" обмотки проходного изолятора и провода,
соединяющего трансформатор с разъединителем, обычно мала по сравнению
с емкостью С одного провода линии; поэтому можно принять во внимание
только С". Пусть эта емкость будет порядка 2-10"4 мкф\ тогда, согласно
выражению (48.6), зарядный ток при напряжении сети 30 кв равен

Л = 314 • 2 • 10-4 • IO"6 • 30 • 103 = 1,88 ма.

Намагничивающий ток такого трансформатора напряжения бывает поряд-
ка 2 ма, и, таким образом, появляется возможность опрокидывания. В трех-
фазных системах это может получиться как при однофазном, так и при двух-
фазном отключении, если только третья фаза трансформатора остается
присоединенной к сети.

При относительно небольшом емкостном токе 7д, протекающем в месте
обрыва провода, в цепи трансформатора неизбежно произойдет опрокидыва-
ние, т. е. существовавший до обрыва нормальный индуктивный режим заме-
нится емкостным. Однако из фиг. 576 видно, что при очень большом наклоне

характеристики конденсатора на трансформаторе получится лишь небольшое
напряженпе. Напряжение в месте обрыва равно сумме этого напряжения
и напряжения источника.

Схема, изображенная на фиг. 590, не дает полного представления о цепи,
образующейся после обрыва. В такой цепи имеются еще другие емкости:
между здоровым проводом и землей, а также между здоровым и больным
проводами. Волее полная схема этой цепи показана на фиг. 592. Емкостные
токи, проходящие через конденсаторы К и к, только нагружают источник;
конденсатор с оказывается включенным параллельно трансформатору.
Простейшая эквивалентная схема этой цепи изображена на фиг. 593.

Напряжение на основном конденсаторе С равно

I — шсЕ, г е

Ес =------~ =--------= _ _L+ £. Еъ. (48.15)

ojG ojG ojG G ' '

Через с здесь обозначена шунтирующая емкость, а через I, как и прежде,—
ток в трансформаторе. Подставляя выражение (48.15) в соотношение (48.1),
находим, что

Вводя в рассмотрение характеристику намагничивания при помощи выра-
жения (48.2), получаем

= = + (48.17)

Сопоставление с уравнением (48.4) показывает, что для графического решения
уравнения (48.17) нужно растянуть характеристику намагничивания в верти-
кальном направлении в 1+с/С раз или, еще проще, уменьшить во столько же
раз наклон характеристики конденсатора, проходящей через точку 1г
(фиг. 594). Следовательно, шунтирующий конденсатор способствует сниже-
38 р. Рюденберг
нию перенапряжения на трансформаторе в нормальном индуктивном режиме
и вызывает его повышение после опрокидывания, т. е. в емкостном режиме.
Таким образом, в наиболее опасных случаях влияние шунтирующей емкости
оказывается неблагоприятным.

Из изложенного видно, что однофазное отключение, перегорание предо-
хранителя в одной фазе или обрыв одного провода могут привести к перена-
пряжениям в цепях со слабо нагруженными трансформаторами в тех слу-
чаях, когда емкостный ток, соответствующий полному напряжению сети,
имеет величину одного порядка с намагничивающим током. В качестве
защитного средства можно применять искровые разрядники с последователь-
но включенными активными сопротивлениями; тогда при появлении опасных

напряжений линия заземляется через соответствующее активное сопротив-
ление. Как было показано на фиг. 586, таким путем можно предотвратить
опрокидывание режима.

В трехфазных сетях может иметь место своеобразное явление, вызван-
ное опрокидыванием режима в результате отключения одной фазы трансфор-
матора. При нормальной работе все три напряжения на зажимах трансфор-
матора совпадают с тремя напряжениями питающего генератора. Однако
после разрыва цепи одной фазы напряжение на этой фазе обмотки трансфор-
матора может отличаться от соответствующего напряжения генератора
Эквивалентная схема для такого случая дана на фиг. 595. Если соотношение
между зарядным и намагничивающим токами таково, что в больной фазе
произойдет опрокидывание режима, то напряжение этой фазы трансформа-
тора изменится не только по амплитуде, но и фаза его изменится на 180°.
Таким образом, чередование во времени напряжений на зажимах трансфор-
матора (направление вращения фаз) изменится на обратное. Асинхронные
двигатели небольшой мощности пли с малой нагрузкой на валу, которые
питаются от такого трансформатора, начнут при этом вращаться в проти-
воположном направлении. Такое явление иногда наблюдается после обрыва
одного из проводов трехфазной линии передачи.

ЛИТЕРАТУРА

Aretz Е., Elektrotechn. Zs., 57, 305 (1936).

Mehrere stabile Gleichgewichtszustande bei Reihenschaltung von Eisendossel
und Kondensator.

Barkhausen H., Verh. d. Deutsch, phys. Ges., 267 (1909).

Uber labile Zustande elektrischer Strome.

В ekk u S., Compt. rend, congres intern, d’electr., 6, 171 (1932).

Inversion du sens de rotation des phases c.ausee par 1’ouverture d’une phase dans une
ligne triphasee.

Bethenod J., Eclair-elec., 53, 289 (1907).

Sur le transformateur a resonance.
Biermanns J., Arch. Elektrotechn., 3, 345 (1915).

Der Schwingungskreis mit eisenhal tiger Induktivitat.

Biermanns J., Arch. Elektrotechn., 10, 30 (1921).

Dio Theorie des Schwingungskreises mit eisenhaltiger Induktivitat.

Boucherot P., Rev. gen. elec., 7, 675 (1920).

Surtensions par cables armes et les moyens d’y parer.

Boyajian A., Gen. Electr. Rev., 531, 745 (1931).

Mathematical analysis of nonlinear circuits.

Boyajian A., McCarty О. P., Trans. AIEE, 317 (1931).

Physical nature of neutral instability.

Butler .1. W., Concordia C., Trans. AIEE, 56, 975 (1937).

Analysis of series capacitor application problems.

Casper L., Hubmann K., Zenneck J., Zs. f. Hochfrequenz, 23, 63 (1924).

Experimentelle Untersuchungen iiber Schwingungskreise mit Eisenkernspulen.

Cramer E., Electrotechn. Zs., 44, 318 (1924).

Spannungsresonanzerscheinungen in ungeerdeten Netzen.

Dalle n bach W., Arch. Elektrotechn., 10, 304 (1922).

Stationiire Resonanziiberstrome in elektrischen Kraftnetzen.

Diesendorf W., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 51, 57 (1933).

Uber den gedampften Resonanzkreis mit eisenhaltiger Induktivitat.

Duffing G., Erzwungene Schwingungen bei veranderlicher Eigenfrequenz und ihre
technisc.be Bedeutung, vol. 41/42, Brunswick, 1918.

Dwight II. B., Baker C. W., Electr. Journ., 1102 (1911).

Double voltages in circuits having capacity and inductance.

Farnham S. В., Il u n t e r E. AL, Peterson H. A., Trans. AIEE, 60, 1257 (1941).

An analysis of transient and sustained voltages in ground-fault neutralizer systems.
Fleischmann L., Elektrotechn. Zs., 1288 (1922).

Eine graphische Darstellung der Kipperscheinung bei Reihenschaltung von Wider-
stand, Kondensator und Eisendrossel.

Gorges H., Elektrotechn. Zs., 101 (1918).

Ober die Gleichgewichtszustande der Reihenschaltung einer Induktionsspulc mit
einein Kondensator.

Hauffe G., Arch. Elektrotechn., 32, 785 (1938).

Ober den Schutz von Reihenkondensatoren in Wechselstromleitungen dutch paral-
lelgeschaltete Sattigungsdrosselspulen.

Калантаров II., Rev. gen. elec., 25, 315 (1929).

Les caracteristiques des circuits contenant une bobine d’inductance a noyau de fer
et des condensateurs.

Kocher H., BBC-Mittlg., 114 (1924).

Storungen in Anlagen infolge Durchbrennens von Sicherungen an Erdungsdrossel-
spulen.

Kramer W., Elektrotechn. Zs., 65, 351 (1944).

Rclaislose Regelschaltungen und ihr Zusammenarbeiten mit Induktionsmoloren.

M a rg a n d F., Rev. gen. elec., 9, 635 (1921).

Au sujet de 1’existence de deux regimes en ferro-resonance.

Martienssen O., Prys. Zs., 448 (1910).

Ober nene Resonanzerscheinungen in Wechselstromkreisen.

Petersen W., Elektrotechn. Zs., 353 (1915).

Oberspannungen mit der Betriebsfrequenz bei Leitungsbriichen und einpoligen
Schal tvorgangen.

La Pierre C. W., Trans. AIEE, 328 (1931).

Theory of abnormal line-to-neutral transformer voltages.

Ryder J. D., Trans. AIEE, 64, 671 (1945).

Ferro-inductance as a variable electric circuit element.

Stark H., Zs. f. Phys., 28, 6 (1917).

Resonanz in eisenhaltigen Kreisen.

Suits C. G., Trans. AIEE, 50, 724 (1931).

Studies in nonlinear circuits.

Summers G. AL, Trans. AIEE, 59, 273 (1940).

An unstable nonlinear circuit.

Thomson W. T., Trans. AIEE, 58 , 743 (1939).

The generalized solution for the critical conditions of the ferroresonance parallel
circuit.

Weber E., Odessey P. H., Trans. AIEE, 57, 444 (1938).

Critical conditions in ferroresonance.

Weller С. T., Trans. AIEE, 299 (1931).

Experiences with grounded-neutral, у-connected potential transformers on ungroun-
ded systems.
Глава 49

ВЫСШИЕ ГАРМОНИКИ

Электроэнергетические системы работают в наиболее благоприятных
условиях, если ток и напряжение изменяются во времени по какому-нибудь
простейшему закону. В системах постоянного тока ток и напряжение долж-
ны иметь неизменную величину. В противном случае лампы будут мигать,
а двигатели будут работать с изменяющейся скоростью. В системах перемен-
ного тока изменение напряжения и тока во времени должно быть синусои-
дальным. Основные потребители трехфазного тока—асинхронные двигатели—
для создания рабочих вращающихся полей нуждаются в чисто синусоидаль-
ных напряжении и токе. Всякое искажение гармонической кривой приводит
к появлению в двигателях паразитных
полей, не только бесполезно расходую-
щих энергию, но и снижающих вра-
щающий момент двигателя.

Ф и г. 596.

Далее, всякое искажение формы кривой переменного или постоянного
тока, которое можно представить в виде добавочных токов и напряжений
более высокой частоты, может привести к разнообразным нарушениям
нормального режима как в самой электрической сети, так и вне ее. В сети
эти токи и напряжения могут стать причиной значительных перенапряже-
ний, сверхтоков и связанных с этим пробоев и перекрытий изоляционных
промежутков или разрушений проводников; они могут вызвать в машинах
шум, искрение щеток коллектора или сделать работу машины неустойчивой.
Токи повышенной частоты нарушают нормальное действие находящихся
поблизости линий проводной связи, искажая передачу человеческой речи
или сигналов.

Отклонения постоянного тока и напряжения от их неизменных значе-
ний, а переменного тока и напряжения от синусоидального изменения вызы-
ваются высшими гармониками. На фиг. 596 и 597 изображены основные
кривые п типичные высшие гармоники для двух видов напряжения—постоян-
ного и переменного. Напряжения, существующие в действительности, пока-
заны на этих фигурах жирными линиями, тонкими линиями начерчены
основная составляющая и гармоники. Такое искажение гладкой кривой
обычно обусловливается несовершенством конструкции и рабочих
характеристик машин, трансформаторов, аппаратов, выпрямителей и линий
.передачи, применяемых на практике.
На основании теоремы Фурье периодические кривые, форма которых
непрерывно повторяется через определенное время, можно представить
суммой синусоидальных и косинусоидальных колебании, частоты которых
относятся между собой как целые числа. Каждую периодическую функцию
/ (u)Z) с основной частотой ш можно представить рядом

/ (а>7) = Ао -ф Аг cos о)7 -ф А2 cos 2о>7 -j- Aa cos 3wt -ф А4 cos -ф ... -ф

+ Bt sin wt -ф В2 sin 2id7 Ва sin Зю/ -ф В4 sin 4оД -ф ... (49.1)

Слагающая Ао появляется только в тех случаях, когда кривая имеет постоян-
ную составляющую, как на фпг. 596. Коэффициенты Ап и В„ представляют
собой амплитуды колебаний n-го порядка, о>—основная частота колебания,
а 2о>, Зю,..., пи>—частоты высших гармоник колебания. Есщп кривая имеет

относительно плавные переходы, то амплитуды высших гармоник быстро
убывают с увеличением их порядка п и тогда существенное значение имеют
только гармоники низших порядков. Зубчатые кривые содержат также
значительные гармоники более высоких порядков. На фиг. 598 показана
кривая, содержащая третью гармонику с амплитудой 25% и пятую гармонику
с амплитудой 12%. На фиг. 599 построена кривая, которая содержит только
тринадцатую гармонику с амплитудой 10%. Если положительная и отрица-
тельная полуволны кривой имеют одинаковую форму, то четные гармоники
отсутствуют. Если кривая симметрична относительно нулевой ординаты
(см. фиг. 598), то ее разложение состоит только косинусоидальных членов.
Если относительно нулевой ординаты симметричны кривая и ее зеркальное
изображение относительно оси абсцисс (см. фпг. 599), то в разложении
получаются только синусоидальные члены.

Разложение данной кривой в гармонический ряд вида (49.1) представ-
ляет собой совершенно произвольное действие. В некоторых случаях можно
с успехом применить разложение по другим функциям. Но метод гармониче-
ского анализа особенно удобен при рассмотрении различных колебательных
процессов, потому что решения линейных дифференциальных уравнений,
описывающие эти колебания, наиболее просто выражаются через гармониче-
ские функции. Поскольку такие дифференциальные уравнения встречаются
во многих задачах электротехники, гармонический анализ находит себе
применение в целом ряде случаев. Однако нельзя упускать из вида, что при
исследовании многих явлений разложение на гармонические составляющие
не способствует более глубокому проникновению в физику процесса; в таких
случаях следует рассматривать всю кривую в целом, либо ее важнейшие
участки по отдельности.

§ 1. Форма кривых в машинах и выпрямителях!. В коллекторных машинах
постоянного и переменного токов высшие гармоники возникают вследствие
пробегания коллекторных пластин под щетками, а также вследствие протека-
ния токов коммутации через щетки, когда они закорачивают две соседние
пластины. Коллектор имеет конечное число пластин, и это обусловливает
небольшую, непрерывно повторяющуюся при вращении якоря несимметрию
электрической цени, которая проявляется в быстрых колебаниях напряже-
ния и тока. Частота этих колебаний определяется числом пластин коллектора
и скоростью его вращения.

Далее, во всех машинах постоянного и переменного токов активные
проводники размещаются но окружности якоря в пазах, разделенных между

Фиг. 60и. Фиг. 601.

собой зубцами, так что поверхность якоря не является гладкой. В результате,
помимо желаемого напряжения, получаются зубцовые пульсации, обуслов-
ленные конечным числом пазов. Их частота зависит от числа пазов и от ско-

рости вращения машины. Пульсацию напряжения можно значительно умень-

шить путем скоса пазов или увеличения их числа.

На фпг. 600 дана осциллограмма напряжения холостого хода генератора
постоянного тока; на нои ясно видны грубые зубцовые пульсации. На фиг. 601
представлена кривая напряжения одноякорного синхронного преобразова-

теля при нормальной нагрузке; эта кри-
вая имеет гораздо более частую пуль-
сацию со значительной амплитудой На
фиг. 602 показана кривая электродви-
жущей силы, наведенной в асинхрон-
йом двигателе, а на фиг, 60ск—напря-

Ф и г. 602.

женпе и ток однофазного тягового коллекторного двигателя при полной
нагрузке. Из приведенных кривых видно, что, кроме основного напряжения,
возникают еще высшие гармоники довольно большой частоты, заметно иска-
жающие плавную кривую.

Значительно большие амплитуды гармоник получаются в ртутных вы-
прямителях, особенно при малом числе фаз. Поскольку при работе таких
выпрямителей в их анодах поочередно протекают токи лишь в течение части
периода, искажение кривых происходит не только на стороне постоянного,
но и переменного токов. На фиг. 604 изображена кривая выпрямленного
напряжения, а на фиг. 605—ток и напряжение на стороне переменного тока
шестианодного трехфазного выпрямителя при полной нагрузке. На кривой
фиг. 604 бросаются в глаза шестая и кратные ей гармоники. Кривая тока
на фиг. 605 содержит значительные гармоники не только пятого и седьмого,
ио и одиннадцатого и тринадцатого порядков. Ток каждого анода в отдель-
ности имеет почти прямоугольную форму, поэтому амплитуды гармоник
обратно пропорциональны их номеру п. Но в трехфазных системах исчезают
все гармоники, кратные трем; кроме того, если выпрямитель имеет т анодов,

то будут отсутствовать все гармоники, порядок которых ниже,чем п=т±-1.
Следовательно, двенадцатианодный трехфазный выпрямитель будет генери-
ровать на стороне переменного тока одиннадцатую, тринадцатую и другие
гармоники более высокого порядка.

Высшие гармоники приобретают особенно большое значение, когда дуга
управляется извне, например при искусственной задержке зажигания или

Фпг. 606.

при гашении с опережением. В таких управляемых выпрямителях и инвер-
торах получаются резкие скачки тока дуги, в связи с чем часто приходится
устанавливать специальные сглаживающие контуры, чтобы избавить внеш-
нюю сеть от толчков.

В синхронных машинах для получения гладкой кривой напряжения
следует добиваться синусоидального изменения магнитной индукции по
окружности якоря. Но даже если путем придания соответствующей формы
полюсным наконечникам удается создать синусоидальное поле при холостом
ходе машины, то при нагрузке картина поля значительно изменяется под
действием реакции якоря. При трехфазной и особенно при однофазной
нагрузке кривая холостого хода заметно искажается. Наиболее сильные иска-
жения получатся при коротком замыкании, особенно однополюсном, и на
таком удалении от генерирующей станции,что на ее шинах сохраняется неко-
торое напряжение. Синусоидальную форму кривой напряжения можно обес-
печить при разных режимах машины (холостой ход, полная нагрузка или
даже перегрузка) лишь при соответствующем выполнении обмоток якоря,
исключающем влияние каких-либо искажений поля в зазоре на кривую
напряжения. При плохой форме поля и неудачном выборе схемы обмотки
в кривой напряжения синхронного генератора могут появиться высшие

Фиг. 608.

Фиг. 609.

гармоники значительной величины. Если магнитная система полюсов сим-
метрична, то высшие гармоники будут всегда нечетной кратности по отно-
шению к основной частоте, т. е. возникнут третья, пятая, седьмая и девятая
или гармоники еще более высокого порядка.

На фиг. 606—611 приведен ряд осциллограмм, характеризующих формы
кривых магнитной индукции Ь, фазного напряженпя е' и линейного напря-
жения е1 обмотки статора для различных трехфазных генераторов. Кривые

на фиг. 606 относятся к турбогенератору, имеющему ротор с большим числом
пазов, что и является причиной появления в кривых напряжения гармоник
высоких порядков. На фиг. 607 показаны кривые при холостом ходе турбо-
генератора с малым числом пазов на роторе. Эта машина имеет настолько
удачно выбранную схему обмотки статора, что междуфазное напряжение
сохраняет, как показывает фиг. 608, синусоидальную форму даже при на-
грузке машины несинусоидальным током i и при скошенной кривой поля.
На фпг. 609 изображена неудовлетворительная, на фиг. 610—несколько
лучшая, а на фиг. 611—почти синусоидальная кривые поля в различных
явнополюсных генераторах. Лишь на фпг. 611 кривые фазного и линейного на-
пряжений удовлетворяют тем строгим тре-
бованиям, которые к ним предъявляются.

Из приведенных осциллограмм видно,
что, если машина изготовлена недоста-

точно тщательно, в кривой ее напряже-
ния появляются резко выраженные выс-
шие гармоники. Высшие гармоники по-
являются как в генераторах, так и в дви-
гателях. Возникнув в двигателях, они по-
падают в сеть и всюду накладываются

Ф и г. 612.

на напряжение основной частоты. Мы уже

видели, что высшие гармоники могут стать причиной серьезных помех.
Фиг. 612 показывает, до какой степени искажения доходят сплошь и рядом
кривые напряжения и тока у потребителей. Кривые, приведенные на фиг.
613 и 614, сняты в двух трехфазных районных сетях. Кривые напряжения
содержат столь значительные высшие гармоники, что в кривых емкостного
тока высоковольтных линий основная гармоника остается в тени; возникшие
высшие гармоники тока создают дополнительные потери мощности в сети.

Если обмотки магнитных полюсов или якоря машины несимметричны,

то в кривой распределения магнитного
ники. Такой поток вызывает напряже-
ния и токи с частотами, которые меньше
рабочей частоты в целое число раз. Суб-
гармоники потока создают в машинах

потока могут появиться суогармо-

Ф и г. 614.

пульсирующие механические силы и могут вызвать разрушение их важней-
ших частей. Поэтому все машины ответственного назначения принято выпол-
нять с симметричными обмотками.

§ 2. Искажение, вносимое траш форматорами, реакторами и линиями
Искажение формы кривой, о котором шла речь выше, вызывается геометри-
ческими особенностями вращающихся машин и аппаратов. Трансформаторы
же и реакторы создают высшие гармоники при значительном магнитном
насыщении их стальных сердечников. На фиг. 615, а построена кривая за-
висимости магнитного потока Ф от нама! ничивающего тока с учетом петли
гистерезиса. Если изменение тока во времени происходит по синусоидальной
кривой, показанной тонкой линией на фиг. 615,6, то поток будет изменяться
во времени по уплощенной кривой, показанной тонкой линией на фиг. 615,в.
Эта кривая строится по точкам, которые находятся из характеристики нама-
гничивания для последовательных мгновенных значений тока, как это показа-
но па фиг. 615 пунктирными линиями. Напряжение на обмотке трансформато-

ра, соответствующее этому потоку,
пропорционально скорости его из-
менения с?Ф/dt и может быть най-
дено путем дифференцирования
упомянутой выше кривой. Кривая

напряжения, имеющая резко выраженную пикообразную форму, построе-
на на фиг. 616 вместе с кривой намагничивающего тока.

Если же по синусоидальной кривой изменяется напряжение, то поток
также синусоидален; его кривая начерчена на фиг. 615,в жирной линией.
1 еперь из сети будет забираться намагничивающий ток, форма кривой кото-

рого определяется по точкам характе-
ристики намагничивания, как показано
на фиг. 615 пунктирными линиями.
В результате получается кривая, на-
черченная на фпг. 615,6 жирной лини-
ей. Эта кривая тока, имеющая пикооб-
разную форму, изображена еще раз на
фпг. 617 вместе с кривой приложенного
напряжения.

Фиг. 618.

Мы видим, что магнитное насыщение стального сердечника является
причиной сильного искажения кривых тока и напряжения. При синусои-
дальном напряжении на обмотке получается пикообразный намагничиваю-
щий ток, который при высоком насыщении и сильно искривленной
характеристике намагничивания содержит большое количество высших гармо-
ник. Гармонический анализ показывает, что ток имеет составляющие
нечетной кратности (3, 5, 7 и т. д.) по отношению к основной частоте. При
синусоидальном намагничивающем токе получается пикообразное напряже-
ние, содержащее те же (3, 5, 7 и т. д.) высшие гармоники. Эти гармоники
напряжения вызывают в электроэнергетических системах такие же вредные
явления, как и гармоники, порожденные вращающимися машинами.

Магнитный гистерезис, выражающийся в несовпадении восходящей и
нисходяще й ветвей характеристики намагничивания (см. фиг. 615, а), вызывает
лишь небольшую асимметрию в пикообразных
кривых тока и напряжения (фиг. 616 и 617). Этим 'ТПЯР

исчерпывается его влияние на форму кривых. X Ц

На фиг. 618 приведены осциллограммы тока
ненагружепного трансформатора с замкнутым
стальным магнитопроводом; трансформатор под-
ключен к источнику синусоидального напряжения.
Гок осциллографировался при трех различных
амплитудах магнитной индукции. Силовые транс-
форматоры обычно работают с индукциями от
10 000 до 15 000 гаусс. При 20 000 гаусс рабочая
точка заходит далеко за колено характеристики
намагничивания, в результате чего получаются
резко выраженные пики тока.

Высшие гармоники намагничивающих токов, получающиеся при задан-
ной кривой приложенного напряжения (см. фиг. 617 и 618), проходят по
линиям передачи и через источник питания, создавая, таким образом, ненуж-
ную нагрузку этих элементов системы. В результате кривая приложенного
напряжения может исказиться. Поскольку эти явления вызываются
намагничивающими токами, обычно малыми по сравнению с нормальным
рабочим током, кривые тока и напряжения по большей части искажаются
не очень сильно. Однако при малой нагрузке трансформаторов или при

Ф и г. 619

явлениях резонанса искажения могут значительно возрасти.

Существенные искажения могут появиться в том случае, когда задан
закон изменения тока, а это, как показывает фиг. 616, приводит к появлению
резко выраженных гармоник в кривой напряжения. Однако в цепи со сталью
не легко поддерживать чисто синусоидальный ток, так как форма его кривой
будет искажаться пилообразным напряжением.

Индуктивная катушка с замкнутым стальным магнитопроводом часто
оказывается включенной последовательно с постоянной индуктивностью, на-
пряжение на которой в точности пропорционально скорости изменения тока.
Такая цепь изображена на фпг. 619. На фиг. 620,а построена ее магнитная
характеристика Ч', составленная из прямой линии Li и кривой намагничива-
ния w Ф, относительно которой предполагается, что уже при сравнительно
малом токе поток мало отличается от своего наибольшего значения. Прене-
брегая падением напряжения на активном сопротивлении, получаем следую-
щее уравнение для напряжений:

е = + =^(£г’ + шф) = ?- (^9.2)

Следовательно, если приложенное напряжение е синусоидально, то суммар-
ное потокосцепление Т’ также изменяется во времени по закону синуса, как
показано на фиг. 620,6. Пользуясь описанным выше графическим способом,
находим форму кривой тока, показанную на фиг. 620,в. Замечаем, что при
каждом переходе через нуль получается задержка в нарастании тока. Далее,
из кривой Ф" на фиг. 620,6 можно выделить обе составляющие потока, строя их
по точкам соответствующих магнитных характеристик. Дифференцируя
кривые этих составляющих, находим кривую напряжения на постоянной
индуктивности eL, показанную на фиг. 621, а; там же построена кривая задан-
ного суммарного напряжения е. Разность между этими кривыми, равная
напряжению на катушке со стальным магнитопроводом еф, изображена на
фиг. 621,6.

Напряжение на насыщенной катушке состоит из синусоиды с небольшой
амплитудой и значительного пика напряжения, наложенного на синусоиду
и почти равного по величине амплитуде приложенного напряжения. Синусои-
дальная составляющая напряжения возникает вследствие небольшого подъе-
ма характеристики Ф при больших значениях тока; пикообразное напряже-
ние создается быстрым изменением потока Ф вблизи нулевых значений тока.

Как видно из фиг. 620,в, ток почти сохраняет свое нулевое значение на про-
тяжении некоторого малого промежутка времени. В течение этого времени
на постоянной индуктивности почти не будет напряжения и все напряжение
источника будет приложено к катушке со стальным сердечником. Отсюда
следует, что на обмотках реле, трансформаторов тока с разомкнутой вторич-
ной цепью и других последовательно включенных катушках со стальными
сердечниками, замкнутыми полностью или частично, могут возникать значи-
тельные напряжения иикообразной формы. В частности, так будет при корот-
ких замыканиях, когда большие токи, ограниченные лишь постоянной индук-
тивностью цепи, доводят стальные магнитопроводы до полного насыщения.

На фиг. 622 даны осциллограммы тока и напряжения в такой последова-
тельно включенной катушке; большое перенапряжение на катушке может
вызвать пробой ее изоляции. Для устранения этого явления магнитопровод
катушки следует выполнять с воздушным зазором либо устанавливать на нем
замкнутую вторичную обмотку.

Существует ряд устройств, для работы которых нужны резкие пики
напряжения. Так, например, пикообразные импульсы применяются для
управления выпрямителями, инверторами и другими аналогичными аппара-
тами. Такое управляющее напряжение, возникающее при любом заданном
значении фазного угла основного тока, можно получить при помощи неболь-
шой катушки, имеющей магнитопровод из высококачественной стали,
кривая намагничивания которой круто поднимается вблизи нуля, как на
фиг. 620, а.

Фиг. 621. Фиг. 622.

Обозначим отношение потоков в воздухе и стали в момент прохождения
тока через нуль (фиг. 620, а):

(49.3)

Отсюда пик напряжения на катушке со сталью в момент, когда ток меняет

свое направление, равен

(49.5)

Если отношение х мало, как, например, при полностью замкнутом сталь-
ном магнитопроводе, то пик напряжения примерно равен приложенному
напряжению. Если трансформатор со стальным магнитопроводом имеет, как
показано на фиг. 619, разомкнутую вторичную обмотку, то ее напряжение
увеличится в соответствии с отношением чисел витков. На вторичной обмотке
трансформатора тока 100/йа, установленного на 10 кв линии передачи, при
коротком замыкании, вызывающем сильное уменьшение ее индуктивности,
может получиться максимальное напряжение, равное
ё2 = 10^ = 200 кв.

z 5

Такое напряжение получится, если вторичная обмотка окажется разомкну-
той либо по случайной причине, либо вследствие перегорания предохрани-
теля под действием тока короткого замыкания.

Трансформатор, показанный на фпг. 623, питается со стороны низшего
напряжения через значительную индуктивность L, которая может включать
в себя также индуктивности рассеяния генератора и трансформатора. Вто-
ричная обмотка трансформатора, имеющего замкнутый стальной магпитопро-
вод, питает емкостную сеть, не имеющую полезной нагрузки. Собственная
частота вторичной цепи выше рабочей. Даже при удовлетворительной форме-
кривой напряжения на генераторе на трансформаторе получится напряжение
пикообразной формы примерно такого же вида, как на фиг. 621, хотя не так
резко выраженное. Если собственная частота вторичной цепи совпадает
с одной из гармоник напряжения на трансформаторе, то получающийся
резонанс напряжений может оказаться опасным для всей цепи. Нагрузка
вторичной цепи активными токами устраняет это явление.

Если трансформатор сильно насыщен и, следовательно, генерирует крат-
ковременные знакочередующиеся импульсы напряжения, как показано на-
фиг. 622, то под действием этих импульсов в колебательном контуре может
возбудиться какая-нибудь из высоких собственных частот, совпадающая
с одной из нечетных гармоник частоты сети. Происходит это потому, что
в разложении кривой напряжения, показанной на фиг. 622, содержатся все
нечетные гармоники вплоть до самых высоких. На фиг. 624 приведена
осциллограмма, из которой видно, что каждый импульс напряжения возбуж-
дает колебания 15-кратной частоты, постепенно затухающие под действием
потерь в цепи и вновь возникающие при следующем импульсе.

Изображенный на фиг. 623 последовательный колебательный контур
реагирует главным образом на гармоники напряжения. В электрических
сетях часто встречается параллельное соединение индуктивности и емкости,
которое будет энергично реагировать на гармоники тока. На фиг. 625 пока-
зан трансформатор Т с замкнутым магнитопроводом, питающий линию вы-
сокого напряжения с емкостью С, шунтированной индуктивностью L (обус-
ловленной двигателями, генераторами и трансформаторами сети). Гармоники
тока, возникающие вследствие насыщения магнитоировода трансформатора,
должны протекать во внешней цепи. Обычно реактивное сопротивление этой
цепи бывает мало. Но для той высшей гармоники порядка п, частота которой
совпадает с резонансной частотой параллельно включенных емкости и индук-
тивности, цепь представляет собой очень большое реактивное сопротивление:
ток гп, соответствующий этой частоте, может существовать в цепи только-
при высоком напряжении еп. Это напряжение повышенной частоты распро-
страняется по всей сети и может причинить серьезные неприятности. На
фиг. 626 дана осциллограмма напряженпя и тока, снятая в сети, где из-за
намагничивающих токов некоторых сильно насыщенных трансформаторов
получилась резко выраженная пятая гармоника. При отключении этих транс-
форматоров, а также при значительном изменении схемы сети, нарушающем
резонансные соотношения, пятая гармоника исчезла. Такие же высшие
гармоники, как при магнитном насыщении, получаются при отклонении
характеристики любого элемента цепи от прямолинейной. Пз фиг. 395
видно, что дуга переменного тока имеет пологую кривую напряжения и за-
остренную кривую тока, так что обе кривые имеют значительные высшие гар-
моники. При известных обстоятельствах дуга может возбудить собственные
колебания с частотами, более высокими, чем частота сети, в результате чего

получаются перенапряжения, особенно при коммутации емкостных цепей
через дугу.

Явление коронного разряда на проводах линий высокого напряжения
характеризуется быстрым увеличением тока короны после перехода напря-
жения через критическое значение. Вследствие этого в токе и напряжении
линий передач появляются высшие гармоники. На фиг. 627,а показана
вольтамперная характеристика короны на высоковольтной линии, а на
фиг. 627,6 и в построены кривые тока и напряжения в зависимости от вре-
мени. Мы видим, что при синусоидальном токе получается уплощенное напря-
жение, а синусоидальному напряжению соответствует пикообразная кривая
тока. Обе искаженные кривые содержат значительное число высших
гармоник.

Итак, всякое отклонение электрической или магнитной характери-
стики цепи от линейной приводит к образованию высших гармоник,
которые могут стать причиной опасных для системы явлений. В табл. 16 дан
обзор различных высших гармоник, которые могут появиться в электро-
энергетических сетях, и указываются частоты тех гармоник, с которыми
обычно приходится считаться.

t
Таблица 16

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ВЫСШИХ ГАРМОНИК

Место п причина возникновения Кратность по отношению к основной частоте Область частот, гц
Вращающиеся машины:
Коллектор и щетки Число пластин на пару полюсов 500—3000
Зубцы и пазы Число пазов на пару полюсов ±1 250—3000
Искажение кривой поля 3, 5, 7 и т. д. 150—1000
Нсспмметрпя обмотки Дробная 5—30
Выпрямители и инверторы:
Иа стороне постоянного тока 2, 4, 6 и т. д. 100—1000
На стороне переменного тока 3, 5, 7 и т. д. 150—1000
Цепи с нелинейной характеристикой:
Магпигнос насыщение и гистерезис 3, 5, 7 п т. д. 150—1000
Дуги и искры 3, 5, 7 и т. д. 150—5000
Коронный разряд 3, 5, 7 и т. д. 150—1000
Полупроводники 3, 5, 7 и т. д. 150—1000

§ 3. Гармоники в трехфазных системах. В трехфазных цепях третья и
все ей кратные гармоники занимают особое положение. Как показано на
фиг. 628, в симметричной трехфазной системе три синусоиды основной часто-
ты см< щены во времени одна относительно другой на т/3 периода. Гармоники
всех трех фаз цепи смещены на такой же интервал времени, как это отдельно
изображено на той же фигуре для каждой фазы. Но г/3 периода основной
синусоиды равна полному периоду ее третьей гармоники, и, следовательно,
третьи гармоники тока или напряжения имеют одинаковую фазу во всех
проводах трехфазной цепи. Если обмотки соединены звездой, то все напря-
жения и токи тропной частоты направлены в каждый момент или к нейтрали,
или от нее, как это изображено стрелками па фиг. 629.

Таким образом, вся сеть в целом будет находиться относительно нуле-
вой точки обмотки под напряжением тройной частоты. Однако если система
симметрична, то между фазами напряжения этой частоты не будет. Отсюда
следует, что, пока нейтраль изолирована, третьи гармоники напряжения
проявить себя не могут.

Если же нулевая точка заземлена непосредственно или через какое-
либо сопротивление, как показано на фиг. 629 пунктирной линией, то под
действием третьей гармоники напряжения через емкости всей сети потекут
на землю зарядные токи. Эти токи могут влиять иа близлежащие линии про-
водной связи (см. гл. 29).

Сказанное выше справедливо также для девятой, пятнадцатой и других
гармоник, кратных трем. Для этих гармоник тока индуктивные сопротив-
ления линии и обмоток всех трех фаз включены параллельно. Если емкость
сети на землю велика, то может возникнуть резонанс; это произойдет тогда,
когда собственная частота цепи, соответствующей распределению токов, пока-
занному иа фиг. 624, будет больше рабочей частоты в 3 раза или число раз,
кратное трем. Такие явления наблюдались в сетях с сильно насыщенными
трансформаторами, вызывающими появление значительной третьей гармоники
напряжения. Они могут также встретиться в тех трехфазных системах, на
линиях передачи которых возникает чрезмерный коронный разряд (см.
фьг. 627).
При соединении трех фаз в треугольник, как изображено на фиг. 630,
третьи гармоники напряжения направлены одинаково во всех обмотках
п действие их суммируется, как это показано стрелками. Соответствующий
ток протекает по внутреннему контуру, составленному из самих обмоток.
Если система симметрична, то в сети не появится ни тока, ни напряжения
тройной частоты. Такие внутренние токи тройной частоты являются вред-
ными.для генераторов и двигателей, так как они вызывают ненужные потери
энергии, нагревают обмотки и искажают основное магнитное поле. Однако

Ф и г. 628.

Фиг. 629.

для трансформаторов они полезны, так как представляют собой дополнитель-
ный намагничивающий ток, существование которого улучшает форму кривой
основного намагничивающего тока. Для устранения третьей гармоники
напряжения на зажимах трансформаторов высокого напряжения весьма
целесообразно применять на стороне низкого напряжения соединение обмо-
ток в треугольник. В тех случаях, когда совершенно необходимо и первич-
ную и вторичную обмотки соединить в звезду, следует предусмотреть третью
обмотку, соединенную в треугольник, чтобы создать цепь с малым сопротив-
лением для третьей и кратных ей гармоник тока.

Фиг. 630.

Фиг. 631.

При соединении трехфазных обмоток по схеме зигзаг, показанной на
фиг. 631, основные гармоники напряжения в двух обмотках, из которых
состоит каждая фаза, смещены на 60°. Третьи гармоники напряжения
в соответствии с фиг. 628 смещаются при этом на 3> 60°=180° и, следова-
тельно, направлены навстречу друг другу так, что во внешней цепи их
действие не проявляется. Таким образом, в обмотках не будут протекать
третьи гармоники тока, и, следовательно, такое соединение особенно под-
ходит при заземленной нулевой точке.

Все сказанное выше о третьих гармониках напряжения справедливо при
условии полной симметрии системы по отношению к трем ее фазам. Иными
словами, параметры трех проводов и трех обмоток должны быть соответ-
ственно одинаковы, а напряжения в трех фазах—равны по величине и сдви-
нуты на 120°. В противном случае остается третья или кратные ей гармоники,
которые проявятся теперь во всей сети наряду с остальными гармониками,
не кратными трем.

39 р. Рюденберг
Различные трехфазные схемы оказывают разное влияние на гармоники
более высокого порядка, чем третья. Даже в случае трансформаторов с уме-
ренной рабочей индукцией в их намагничивающем токе содержатся заметные
пятая и седьмая гармоники (см. фиг. 618). Эти гармоники проникают в сеть,
причем каждой из нпх соответствует полная трехфазная система токов и на-
пряжений. Но фаза этих гармоник при соединении обмоток в звезду противо-
положна их фазе при соединении в треугольник или зигзаг. Следовательно,
во внешней цепи эти высшие гармоники тока можно взаимно компенсировать,

Фиг. 632. Ф и г. 633.

комбинируя парами трансформаторы с различными схемами соединения
обмоток, как показано на фиг. 632. На фиг. 633 приведены осциллограммы
намагничивающих токов двух трансформаторов с одинаковыми рабочими
индукциями; обмотки одного из них были соединены в звезду, а другого—
в треугольник. Суммарный ток, протекающий в сети, почти не содержит
высших гармоник.

ЛИТЕРАТУРА

Arnold Е., la Cour J. L., Bcitrag zur Vorausberechnung und Untersuchung
von Ein- und Mehrphasenstromgeneratoren

Bennett E., Proc. AIEE, 1473 (1913).

An oscillograph study of corona.

Bricout P., Rev. gen. elec., 55, 61 (1946).

Theorie des induclances ferromagnetiques, production et emploi des harmoniques.

Boucherot P., Fallou J, Rev. gen. elec , 15, 979 (1924).

Predetermination des surtensions par les harmoniques de saturation des transfor-
mateurs.

Buch R., Hueter H., Elektrotechn. Zs., 56, 933 (1935).

Ober Transformatoren mit annahernd sinusformigem Magnetisierungsstrom

Curtis L. F, Proc. AIEE, 1153(1914).

The effect of delta and star connections upon transformer wave forms.

Curtis L. F., Proc. AIEE, 947 (1919).

Order and amplitude of harmonics in voltage wave forms with indicating instruments.

Dahl O. G C., Trans. AIEE, 54, 792 (1925).

Transformer harmonics and their distribution.

Dean G. R., Electrician, 77, 325 (1916).

The predetermination of higher harmonics in the alternating current transformer
when the impressed e. m. f. is a simple harmonic function of the time

Foster W. J , Proc. AIEE, 209 (1913).

Potential waves of alternating-current generators.

Friedlander E., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 7, No 2, 1 (19291

Die Verzerrung der Netzspannungskurve durch die Transformatoren.

Friedlander E., VDE-Fachberichte, 40 (1928).

Gui 11 emin E. A., Arch. Elektrotechn, 17, 17 (1926).

Zur Theorie der Frequenzvervielfachung durch Eisenkernkoppehing.
Hague В., Neville S., Electrician, 78, 44 (1 916).

On the wave-forms of magnetizing current and flux density for a stalloy magnetic-
circuit.

H i 1 p e r t G., S e у d e 1 H., Elektrotechn. Zs., 433, 1014 (1926).

Beitrage zur Frequenz-Vervielfachung.

Hue ter E., Elektrotechn. Zs., 54, 747 (1933).

Transformatoren als Oberwellenerzeuger.

Jungmichl H., Elektrotechn. Zs., 58, 417 (1937).

Oberw ellen, Welligkeit und Storungen bei Stromrichtern.

KI ewe H. B. J., CIGRE, No 317 (1948).

Production, flow and effects on harmonics in a-c transmission networks

Koppelmann F., Elektrotechn. Zs., 62, 3 (1941).

Die Kontaktumformer.

К r a m о r W., Elektrotechn. Zs., 59, 929 (1938).

Fortschritte im Bau von obcrwcllenfreien Transformatoren

Nicholson J. S., Journ. Inst. Electr. Eng., 53, 248 (1915).

The magnetization of iron it high flui density with alternating cui rents.

Peek F. W., Journ. AIEE, 455 (1921).

Voltage and current harmonics caused by corona.

Plendl H., Sammer F., Z e n n с с к J., Zs. f. Hochfrequenz, 27, 101 (1926).

Experimentelle U ntersuchungen iibcr magnetische Frequenzwandler.

Rosenberg E., Elektrotechn. Zs., Ill (1903).

Analyse des Leerl aufstroms von Synchronmotoren.

Rude n b erg R., Elektrotechn. Zs., 252 (1904).

Ober die Erzeugung reiner Sinusstrome.

Riidenberg R, Elektrotechn. u. Maschinenbau, 599 (1907).

Der Einfluss der Zahne und Nuten auf die Wirkungsweise der Dynamoanker.

Smith S. P., Boulding R. S. H., Journ. Inst. Electr. Eng., 53, 205 (1915).

The shape of the pressure wave in electrical machinery.

Stiel W., Elektrotechn. Zs., 208 (1922).

Oszillographische Untersuchungen uber Felder und EMKe in Induktionsmotoren.

Stokvis L. G., Rev. gen. elec., 12, 619 (1922).

Sur la production des harmoniques 3 dans les machines a induction a charge dese-
quilibree.

Tackley A. L., Journ. Inst. Electr. Eng., 53, 521 (1915).

Mathematical relationship between flux and magnetizingcurrent waves at high
flux densities.
Глава 50

НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

В гл. 48 мы изучали влияние магнитного насыщения на величину
и фазу вынужденных колебаний, но не рассматривали специально форму
кривых тока и напряжения. Выясним теперь подробно, как влияет нелиней-
ная характеристика цепи, содержащей емкость и катушку с насыщенным
сердечником, на форму кривой в каждом периоде колебания. Многие реаль-
ные электрические системы содержат тот или иной нелинейный элемент,
и исследование таких систем всегда можно выполнить развитым ниже мето-
дом. Обычно характеристика определяется экспериментально и задается
графиком, поэтому постараемся найти также и графическое решение. Для
свободных колебаний можно получить строгое решение в замкнутой форме
при помощи квадратур; вынужденные колебания рассматриваются методом
последовательных интервалов.

§ 1. Искажение свободных колебаний. Рассмотрим вначале электро-
магнитные колебания в цепи, состоящей из конденсатора С и индуктивной
катушки, имеющей насыщающийся магнитопровод, по которому проходит
поток Ф (фиг. 634). Характеристи-
ка намагничивания, показанная
на фиг. 635, связывает теперь не
поток Ф с намагничивающим током г,

а ’магнитную индукцию В с напряженностью магнитного поля Н. Эти
удельные характеристики связаны с Ф и i через поперечное сечение магнито-
провода а, его длину I и число витков w, а именно:

В = ^-; Н=~. (50.1)

Дифференциальное уравнение свободных колебаний в цепи без

соп роти влепия

йФ

w dT

Д- -Д- i dt — 0

О J

активного

(50.2)

приводится при помощи соотношений (50.1) к виду

(50.3)
Для сокращения записи введем параметр

т = ]/с-“[у2=/СЛ (50.4)

и назовем его собственным временем цепи, Тогда уравнение (50.3) после
дифференцирования получает простой вид

-^- + ^- = 0- (50.5)

Это уравнение, определяющее электромагнитный процесс в цепи, содержит
всего два параметра, а именно: собственное время т, постоянное для данной
цепи, и характеристику намагничивания, показанную на фиг. 635 и изобра-
жающую функцию, аналитическим выражением которой будет либо В (//),
либо Н (В). В соответствии с выражением (50.4) собственное время зависит
только от величины емкости С и той индуктивности Л, которой обладала бы
обмотка возбуждения после удаления ее стального сердечника. Следова-
тельно, т равно уменьшенному в 2т: раз периоду свободных колебании
цепи без стали.

Дополнительные магнитные потоки, будь то параллельвые ярму потоки
рассеяния или потоки, обусловленные наличием в цепи последовательно вклю-
ченной постоянной индуктивности, учитываются поворотом оси абсцисс в новое
положение, показанное на фиг. 635 пунктиром. Любой воздушный зазор
в магнитной цепи или любая постоянная индуктивность, включенная парал-
лельно цепи, учитываются поворотом оси ординат в некоторое новое поло-
жение, также отмеченное на фиг. 635 пунктиром. Следовательно, одно
и то же дифференциальное уравнение (50.5) описывает явления в ряде
электромагнитных устройств, в которых имеет место насыщение.

Это уравнение решается разделением переменных. Умножая уравнение
на производную B = dB’dt, получаем

В # =0. (50.6)

dt dt ъ*

Сокращая на dt, приходим к уравнению

BdB-\~HdB = Q. (50.7)

Интегрируя уравнение (50.7), находим
- в

^- + ±^HdB = 0. (50.8)

во

Интеграл в уравнении (50.8) можно вычислить графически по характери-
стике, изображенной на фиг. 635, причем нижнич предел интегрирования
выбирается, исходя из начальных условий. При непрерывном изменении
верхнего предела непосредственно получается интегральная кривая. Таким
образом, производная

= В = HdB (50.9)

определяется графически как функция только величины В. Повторное
интегрирование, выполняемое после разделения переменных, дает следующее
выражение для времени:

Z = Л dB - - . (50.10)

J У _2 j HdB
Этот интеграл также можно найти вполне точно. Нужно построить функцию,
обратную выражению (50.9), и проинтегрировать ее по В. Можно также
определить dB/dt из выражения (50.9) для разных значений В и таким
образом найти искомую кривую. Интеграл в выражении (50.10), равный
отношению Z/т, будем называть относительным временем колебания. Этот
интеграл зависит лишь от формы характеристики намагничивания, так как
все постоянные параметры системы вошли в выражение для собственного
времени т. После того как найдена зависимость между индукцией В и време-
нем Z, петрудно перейти при помощи соотношений (50.1) к току i и напря-
жению е, а именно:

• ТТ d& dB / ГГ/Л

г==— Н\ =--aw —. (50.11)

w dt dt '

Производная dB/dt уже определена выражением (50.9).

Применим соотношение (50.10) для получения аналитического решения
в простейшем случае линейной зависимости, которая имеет место в началь-
ной части характеристики, изображенной на фпг. 635. Здесь В пропорцио-
нально Н, т. е.

В = рЯ, (50.12)

где р означает начальную проницаемость материала. Тогда

y^-^^HdB^-^B, (50.13)

и на основании соотношения (30.10) имеем

(50-14)

Обращая это выражение и переходя от показательной функции комплекс-
ного аргумента к тригонометрической функции, находим

B = B0cos( -Л=У>. (50.15)

\т У ц/

Таким образом, период колебаний определяется через собственное время т
п квадратный корень из проницаемости с учетом выражения (50.4) следующим
образом:

T = 2izz р7 = 2тгУДС. (50.16)

Произведение р Л представляет собой индуктивность цепи со сталью. Пока
колебания происходят в пределах линейной части характеристики, где р
является постоянной, их период не зависит от амплитуды Во.

На фиг. 636 показаны этапы графического расчета, при помощи которого
можно найти не только истинный период колебания, но и его форму для

й В приведенном в тексте решении не указаны начальные условия задачи.
Колебания в цепи, представленной на фиг. 634, могут поддерживаться за счет
1

запасов энергии магнитного поля катушки -% pAi8 и электрического поля кон-
1

денсатора Се8. Амплитуда колебаний магнитной индукции равна

но лишь после появления соотношения (50.15) можно догадаться, что начальное значе-
ние напряжения на конденсаторе принято равным нулю.—Прим. ред.
615

реальной характеристики стали (с учетом насыщения). На фиг. 636, а изо-
бражена характеристика намагничивания. Нафиг. 636,6построена интеграль-
ная кривая для начального значения индукции 20 000 гаусс. Квадратный
корень из функции, изображенной этой кривой, представлен нафиг. 636,в.
Кривая обратных значений начерчена на фиг. 636,г, а ее интеграл на

В
20000

15000

юооо

5000

В
•20000

15000

10000

5000

В
20000

15000

10000

5000

О 40 80 120 160 200 240 280 320Н

0 24681012 МО5 0 24 6 81012*1?

•&ГнйВ

В
20000

15000

10000

5000

0 1 2 3*К?

В
20000

15000

10000

5000

0 2 4 6 8101214161820 ±

Фиг. 636.

100

2fndB
В

g 300

260

220

180

140

0 2 4 6 8 101214161820 ±

фиг 636,6. Последняя кривая дает непосредственно зависимость между
временем и магнитной индукцией, и мы видим, что поток уменьшается со
временем почти по линейному закону. Теперь можно в соответствии с выраже-
ниями (50.9) и (50.11), зная индукцию В, найти связь между временем и то-
ком, который пропорционален абсциссам на
фиг. 636, а, т. е. величине //, а также меж-
ду временем и напряжением, которое про-
порционально абсциссам на фиг. 636,в, т. е.
величине dBldt. На фиг. 636,е показаны со-
ответствующие кривые для В и Н. Вслед-
ствие полной симметрии построения на
фиг. 636 выполнены только для */4 периода.

На основании последнего графика (фиг. 636,е)
построены кривые тока и напряжения для
всего периода на фиг. 637. Ток получился
пикообразной формы, а напряжение—упло-
щенным. Относительный период колебания

оказался равным 80, в то время как для той же цепи без железа он был бы
равен всего лишь 2тг; ток I и напряжение е в цепи без стали были бы
синусоидальными.

Па фиг. 638 представлены результаты аналогичных вычислений для зна-
чений амплитуды Во, меньших, чем 20 000 гаусс. Изменение величин Н и
dBldt, пропорциональных току и напряжению, даны на протяжении лишь
*/4 периода. Мы видим, что с уменьшением амплитуды индукции пикообраз-
ная и уплощенная кривые утрачивают свою характерную форму и прибли-
жаются к синусоидальному или косинусоидальному виду. В то же время
относительная продолжительность колебания значительно увеличивается:
с 20 примерно до 70 (*/4 периода). Зависимость относительной продолжитель-
ности одного периода колебания от амплитуды индукции показана на фиг. 639.
Приблизительно до 7000 гаусс характеристика намагничивания линейна, так
что период остается почти неизменным и равным 271. При дальнейшем увели-
чении амплитуды период быстро уменьшается; таким образом, собственная
частота рассматриваемой цепи с повышением индукции сильно возрастает.

В
МО2
12

го
в

2
о

Фпг. 638.

Ф и г. 639.

Проведенное исследование показывает, что свободные колебания цепи

с магнитным насыщением только прп малых амплитудах имеют гармониче-
ский характер и происходят с неизменной частотой. По мере увеличения
амплитуды форма кривой колебания все более искажается и одновременно
возрастает собственная частота. Эти два обстоятельства—искажение формы
кривой и зависимость собственной частоты от амплитуды—являются харак-
терными особенностями всякого негармонического колебания.

Рассмотрим в качестве другого примера адиабатическое колебание

газового пузыря, которое может иметь место в масляных выключателях

Фиг. 640.

(см. гл. 39). Упростим задачу и будем исследовать
одномерные колебания цилиндрического объема га-
за г и столба жидкости с массой М, находящихся
в общей U-образной трубе, как показано на фиг. 640.
Всякое перемещение уровня h вызывает изменение
давления р на площади а поверхности раздела между
газом и жидкостью. Уравнение равновесия сил, дей
ствующих на жидкость, записывается в следующем
виде:

Л/-^- + а^(Л) = 0. (50 17)

Вместо уровня h введем в уравнение удельный объем v, т. е.

a dh = mdv,

(50.18)

где т означает массу газа. Пользуясь соотношением (50.18), преобразуем
уравнение (50.17) к следующему виду:

Мт <Ру
a dt?

Р ар (у) = 0.

(50.19)

Если обозначить собственное время этой системы через

Мт

т =

(50.20)
то получится дифференциальное уравнение

йг8 ' т8

(50.21)

Оно имеет такой же вид, что и уравнение (50.5). Собственное время зависит
здесь от произведения колеблющихся масс жидкости и газа, отнесенных к
площади их соприкосновения. В основном оно определяется средней геомет-
рической длиной столбов газа и жидкости.

По аналогии с соотношением (50.10) решение этой задачи дается следую-
щим выражением:

t = т f . (50.22)

J V —2 J p dv

Для адиабатической зависимости между давлением и объемом, график
которой показан на фиг. 641, а, интегрирование выполнено на фиг. 641 в том
же порядке, как и на фиг. 636. В результате интегрирования сразу полу-
чается кривая зависимости объема газа v от времени, построенная на
фиг. 641,0; эта кривая одновременно характеризует уровень столба жидко
сти (см. фиг. 640). Пользуясь зависимостью между объемом и давлением
(фиг. 641,а), строим на фиг. 641,0 также кривую для давления р, а на
фиг. 641,в—кривую для скорости с. Мы видим, что все эти кривые несим-
метричны относительно нулевой линии и что кривая давления имеет острые
положительный пик и уплощенную форму в отрицательной части. Как видно
из кривой v, имеющей излом, колеблющаяся жидкость после сжатия газа
очень быстро отбрасывается назад; почти мгновенно меняется также и ско-
рость се перемещения. Объясняется это быстрым увеличением давления
газа при уменьшении его объема.

Построения па фпг. 641 выполнены для начального значения давления
6 атм. Колебания давления при некоторых других, меньших амплитудах,
показаны на фиг. 642. Мы видим, что лишь малые колебания, с амплитудой
порядка 1/]0 атм, имеют приблизительно синусоидальную форму; большие

изменения давления сопровождаются появлением очень острых пиков.

Фиг. 642.

Период собственных колебаний,
как это следует из фиг. 643, мало
зависит от амплитуды. С ростом
амплитуды повышенное давление
существует все более короткие
промежутки времени, но периоды
разрежения удлиняются, так что
суммарное время меняется незна-
чительно. Таким образом, адиаба-
тические колебания давления про-
исходят почти изохронно.

Если характеристика намаг-
ничивания задана с учетом гистере-

5ь
--------------

з -

2 -

1 -

___I I I 1 1 L- В
О I 2 3 4 5 6 г

Фиг. 643.

.зиса, то при использовании соотношения (50.10) следует различать ее восхо-
дящую и нисходящую ветви. Это сделано на фиг. 644. Поскольку теперь имеют

Ф и г. 644.

место потери на гистерезис, начальный запас энергии постепенно рассеивается
и колебания затухают, принимая при этом различные формы, показанные

на фиг. 638. На фиг. 645 приведена осциллограмма напряжения и тока,
снятая в такой колебательной цепи. Записанные на ней кривые весьма
похожи на кривые фиг. 644, однако затухают они быстрее из-за дополнитель-
ных потерь в активном сопротивлении цепи. В обоих случаях (см фиг. 644
и 645) период колебания по мере затухания значительно увеличивается,
превышая свое исходное значение в несколько раз.

§ 2. Вынужденные колебания в переходном режиме. Если колебатель-

ный контур с магнитным насыщением питается от внешнего источника с на-

пряжением е (Z) (фиг. 646), то уравнение цепи с учетом активного сопротив-

ления, которым мы впредь пренебрегать не
будем, запишется в виде

+ ^idt = e(t). (50.23)

Первый член этого уравнения учитывает
также постоянную индуктивность L.

Подставляя вместо i и Ф их удельные
значения Н и В из соотношений (50.1) и
вводя сообственное время т из выражения
(50.4), получаем

(50.24)

Введем сокращенные обозначения для множителя, характеризующего потери
в цепи, и для внешней электродвижущей силы, а именно:

р=:?=г5,г; <50-25>

Далее, относительное время, равное отношению текущего времени t к соб-
ственному времени т, обозначим через

& = (50.26)

Тогда уравнение (50.24) примет следующий вид:

g-4 рН+^

(50.27)

Это уравнение охватывает все возможные случаи колебаний в насыщен-
ной цепи, хотя в него входят всего лишь четыре параметра: постоянная т
и рассмотренная выше функция B(Jfd), определяющие собственное время и
магнитную характеристику цепи; коэффициент сопротивления р, т. е. актив-
ное сопротивление цени, отнесенное к волновому сопротивлению той же
цепи без стали, и е (й), т. е. отношение внешнего напряжения e(Z) к несколь-
ким основным постоянным цепи. Первый член уравнения (50.27) в основном
определяется формой магнитной характеристики, второй член—величиной
активного сопротивления, третий член характеризует влияние емкости,
а правая часть уравнения представляет приложенное напряжение. В зави-
симости от величины этих параметров решение уравнения (50.27) может при-
нимать самые различные формы. В отношении кривой В(Н) не было сделано
никаких оговорок, и, следовательно, вычисления могут вестись с любой
реально существующей характеристикой.

Если элементы цепи соединяются не последовательно, как показано на
фиг. 646, а параллельно, то можно составить уравнение, весьма похожее на
уравнение (50.27). Но второй член такого уравнения будет р'В вместо pH,
а коэффициент сопротивления будет обратной величиной: р'=т/7?С.

Переходный режим определяется сравнительно просто при внезапном
скачке постоянного внешнего напряжения, потому что е(/)идо и после скачка
будет постоянной величиной. Следовательно, возмущающий член в правом
части уравнения (50.27) не оказывает здесь влияния на дальнейший ход
процесса, и отклонения В и Н от новых установившихся значений опреде-
ляются одной лишь левой частью уравнения. Но эта часть уравнения отли
чается от уравнения (50.5) только членом pH, отражающим влияние актив
ного сопротивления, которое можно учесть в процессе интегрирования как
некую поправку. Таким образом, возникающие колебания будут очень по-
хожи по форме на колебания, изображенные на фиг. 644 и 645, хотя они могут

напряжение а/см

3000

2000

1000

-1000

-2000

Напряжение
2000

1000

-1000

-2000

-3000

-4000

Фиг. 647.

оказаться несимметричными в отношении положительных и отрицательных
значений.

Больший интерес представляет решение уравнения для переменного
напряжения. Для вычисления перепишем уравнение (50.27) в следующем
виде:

= е (&) _ pH - Н (50.28)

Мы видим, что изменение индукции В во времени определяется в первую
очередь приложенным напряжением, из которого, однако, вычитается паде-
ние напряжения на активном сопротивлении и на емкости. Первое обычно
бывает мало; второе, представляющее собой интеграл по времени, можно
точно определить одновременно с вычислением левой части. Остаточный
потокв сердечнике и первоначальный заряд на конденсаторе входят в решение
в качестве начальных условий. На фиг. 647 показаны кривые dBld U, Н и
[Н d&, пропорциональные соответственно индуктивному напряжению, току
и емкостному напряжению; их можно построить шаг за шагом или при помощи
механического интегратора, исходя из заданного синусоидального напряже-
ния e(f), которое внезапно и с нулевой начальной фазой прикладывается
к цепи. Построение на фиг. 647 выполнено для цепи, содержащей ненагру-
жснный трансформатор с уморенным насыщением, последовательно вклю-
ченную постоянную индуктивность и активное сопротивление проводов,
соединяющих индуктивность с емкостью, как это обычно бывает в линиях
высокого напряжения. Кривая индукции В не показана, чтобы не загромо-
ждать график. Однако рекомендуется выполнять построение для всех пере-
менных, значения которых используются в ходе расчета.

На протяжении первых десяти периодов, отмеченных на фиг. 647 пунк-
тирными линиями, колебание в каждом периоде происходит по-разному.

Ф и г. 648.

Фаза напряжения в момент включения принята равной нулю; поэтому можно
было бы ожидать немедленного появления толчка тока при включении.
Однако влияние насыщения здесь таково, что ток нарастает постепенно,
причем значения его амплитуд изменяются существенно и нерегулярно.

Эти максимальные значения (амплитуды) отнюдь не являются знакочередую-
щимися. Во многих периодах одна за другой следуют две амплитуды тока
одинакового знака. В том промежутке времени, который охватывается
графиком на фиг. 647, нельзя заметить какого-либо регулярного повторения
процесса колебаний. Индуктивное напряжение dBldb в общем похоже по
форме на приложенное напряжение е(&), хотя имеется много нерегулярных
отклонений. Напротив, емкостное напряжение §Hd& имеет совсем другую
форму и состоит преимущественно из уплощенных трапецеидальных полу-
волн, которые часто простираются более чем на полный период. Таким обра-
зом, эти кривые свидетельствуют о появлении значительных негармониче-
ских токов и напряжений, изменение которых во времени, в отличие от вся-
кого гармонического процесса, происходит совершенно иначе, чем периодиче-
ское изменение приложенного напряжения.

На фиг. 648 и 649 приведено несколько осциллограмм, снятых при
внезапном включении цепи LC с большим насыщением; осциллограммы на
фиг. 648 получены при включении вблизи нулевого фазного угла напря-
жения, а осциллограммы на фиг. 649, а и б—соответственно вблизи 45 и 90°.
После непродолжительного, относительно спокойного, переходного режима
здесь наблюдается новое сильное изменение всех измеряемых величин—маг-
нитного потока, напряжения на конденсаторе, индуктивного напряженпя
и тока. Активное сопротивление в этой экспериментальной цепи было значи
тельно больше, чем в той, для которой построен график на фиг. 647, так что
переходный процесс закончился здесь гораздо скорее. Тем не менее в на-
чальной части кривых, изображенных на фиг. 648 и 649, можно заметить
основные черты теоретических кривых, приведенных на фиг. 647.

§ 3. Установившийся режим и высшие гармоники. Из осциллограмм
на фиг. 648 и 649 видно, что даже после того, как затухнет начальный пере-
ходный процесс, форма кривых тока I и напряжения е в отличие от устано-
вившегося состояния ненасыщенных цепей заметно-
отличается от синусоидальной Эксперимент по-
казывает, что форма кривых тока и напряженпя
меняется в зависимости от степени насыщения, ве
личины потерь на гистерезис, активного сопротив-
ления цепи и фазы включения. В гл. 48 была раз-
вита теория, относящаяся к амплитудам вынуж-
денных колебаний основной частоты, из которой
следовала возможность существования двух устой-
чивых и одного неустойчивого состояний. Хотя,
строго говоря, принцип наложения к нелинейным
цепям неприменим, мы попытаемся использовать
его для рассмотрения вопроса о форме кривой и
о генерации высших гармоник.

С этой целью линеаризуем задачу путем разбиения действительной
характеристики намагничивания, показанной на фиг. 650, на пропорцио-
нальную составляющую и остаток △/?. Здесь р представляет собой
постоянный множитель, равный возможному значению магнитной прони-
цаемости; величина его лежит в пределах между 1 и р, и, следовательно,
выражает линейное нарастание индукции. Величина АВ характеризует
нелинейную часть изменения В. Мы полагаем, таким образом,

В = $Н + &В(Н).

(50.29)

Последний член выражения (50.29) показан на фиг. 650 штриховкой; в рас-
сматриваемом диапазоне токов &В принимает как положительные, так и
отрицательные значения. Подставляя выражение (50.29) в уравнение
(50.27) и перенося нелинейный член в правую часть, получаем

?d£ + pH+^Hd$= е(&)-^Р- (50.30)
В этом уравнении левая часть является линейной и к ней применимы
известные правила пропорциональности и наложения. В правой части по-
явился дополнительный член, который можно рассматривать как добавоч-
ное приложенное напряжение. Пз фиг. 650 видно, что это напряжение
в пределах каждого полупериода будет несколько раз менять свой
знак.

Уравнением (50.30) можно воспользоваться для непосредственного опре-
деления формы колебаний в установившемся режиме. Кривые этих колебаний
уже были найдены при помощи точного уравнения (50.27), но там они полу-
чались только после завершения всего переходного процесса, продолжитель-
ность которого при малом активном сопротивлении цепи весьма велика. Для
решения уравнения (50.30) применим метод итераций. На первом этапе реше-
ния опускаем в правой части нелинейную возмущающую функцию А В и из
получившегося линейного дифференциального уравнения (50.30), правая
часть которого равна теперь е(^), находим обычным путем приближенное
решение Н'. Для найденных значений И' определяем по характеристике,
изображенной на фиг. 650, первое приближение Д'В как’ функцию времени.
Вычитаем производную этой кривой из приложенного напряжения е(й),
как это записано в правой части уравнения (50.30), и снова решаем линейное
уравнение относительно Н. Далее, непосредственно или путем наложения
получаем улучшенное решение И". Пользуясь этим решением, находим,
по характеристике улучшенное значение Ь"В(&). Эти операции повторя-
ются до тех пор, пока перестанет изменяться решение для установившегося
режима. Очевидно, что первоначально синусоидальная форма кривой Н'
значительно исказится в процессе повторного учета кривизны характери-
стики.

Поскольку положение прямой линии на магнитной характеристике
произвольно, обе части уравнения (50.30) (и левая и правая) зависят от
величины р. Расчет значительно облегчается подходящим выбором |3, но,
тем не менее, он является трудоемким. Поэтому рассмотрим непосредствен-
но те высшие гармоники, которые вызывают искажение формы кривой.
Если бы было известно решение Н, например была дана фиг. 647, то
можно было бы непосредственно разложить полное значение В, а следова-
тельно, и dВ/db на две составляющие, входящие в уравнения (50.29) и
(50.30). Тогда фактическое значение АВ (см. фиг. 650) представится как
функция времени, показанная на фиг. 651 совместно с линейно изменяю-
щейся составляющей р/7. Два члена уравнения (50.30), стоящие в правой
части, действуют независимо один от другого, и мы видим, что синусои-
дальный член е (Ь) вызывает появление синусоидального тока с частотой
питания, в то время как АВ (&) создает все высшие гармоники тока, на-
кладывающиеся на основной ток. Поступая таким образом, мы выделяем
источник возникновения несинусоидальных колебаний и можем количе-
ственно исследовать возникающие при этом высшие гармоники.

Несинусоидальное напряжение

= (50.31)

содержит целый ряд отдельных гармоник, в который входят все нечетные,
а также и четные гармоники, если имеется какое-нибудь нарушение сим-
метрии. Амплитуда ау какой-нибудь гармоники тока с частотой v, соответ-
ствующей синусоидальной слагающей возмущающей функции АВ с ампли-
тудой Ьу, находится путем решения линейной части уравнения (50.30)
(его левой части) следующим образом:

/Tvpav -j- pav — — йу= — j-^чЬу. (50.32).
Здесь появляется т как множитель перед v, поскольку последняя величина
относится к абсолютному времени /, а не к относительному времени Э,
определяемому соотношением (50.26). 1 аким об-

разом, амплитуда гармоники тока равна

ov=------------------Лу.

И[?(^)2-1]2 + (р02

При частоте
_ 1__________________1

v~ > F2~'/РАС’

(50.33)

(50.34)

т. е. определяемой индуктивностью рЛ, наступает
резонанс и гармоника тока достигает наиболь-
шего значения

_ >Л -VеМ/С bv
~ R 4 ~ R р '

(50.35)

Резонансная частота зависит от С и А, а амплитуда тока при резо-
нансе — от С, R и Л, причем эти параметры представляют собой постоян-
ные величины. Обе резонансные величины вместе с тем зависят от зна-
чения р, которое определяется положением линейной составляющей харак-
теристики на фиг. 650. Поскольку это положение, а следовательно, и ве-
личина р были выбраны произвольно, подобный резонанс возможен для
ряда высших гармоник тока с частотой v; он приводит к увеличению их
амплитуд.

Эти выводы были бы совершенно точными, если бы значения ДВ на
фиг. 651 оставались одними и теми же на протяжении ряда периодов колеба-
ний. Однако, как видно из строгого решения (см. фиг. 647), это не обязательно
будет так. Поэтому изменения ДВ и р/7 зачастую будут расстраивать резонанс.
Наше рассмотрение, тем не менее, показывает, что в колебательных контурах
при заметном насыщении магнитной системы возникает значительное количе-
ство высших гармоник, частоты которых могут во много раз превышать
частоту питания. Это относится как к переходному, так и к установившемуся
режимам и вполне согласуется с осциллограммами на фиг. 648 и 649.

Такие же результаты можно получить из соответствующих уравнений
для параллельного соединения насыщающейся индуктивности и неизменной
емкости. Однако вынуждающее несинусоидальное воздействие теперь сле-
дует рассматривать как следствие отклонения намагничивающего тока от
линейной зависимости. В обоих случаях, т. е. при последовательном и па-
раллельном соединениях, можно выделить при помощи настроенных внеш-
них контуров, содержащих постоянные L и С и, следовательно, имеющих
определенные резонансные частоты, одну или несколько гармоник из числа
существующих в искаженных кривых тока и напряжения.

§ 4. Субгармонический резонанс. Дифференциальное уравнение (50.27)
и его точные решения, приведенные выше, содержат в неявном виде всевоз-
можные отклонения от простого гармонического изменения, вызываемые
частотами как более высокими, так и более низкими, чем частота приложен-
ного напряжения. Время от времени в лабораториях и на практике наблю-
даются субгармоники; поэтому целесообразно продолжить наше иссле-
дование и найти приемлемое физическое объяснение этого сложного явле-
ния.
Предположим, что в насыщающейся цепи, к которой приложено напря-
жение извне и в которой имеют место негармонические свободные колебания,
рассмотренные ранее (см. фиг. 637), существуют условия для точного резо-
нанса. В этом случае индуктивное и емкостное напряжения будут взаимно
уравновешены в отношении величины, фазы и формы кривой; каждое из
этих напряжений будет представлять собой зеркальное отображение другого
напряжения, как это показано на фиг. 652. Ток будет изменяться во времени
по пикообразной кривой, перенесенной с фиг. 637 на фиг. 652. Ток и напря-
жения будут удовлетворять уравнению (50.5), составленному для цепи, не
содержащей активного сопротивления. Чтобы та^ое положение могло иметь
место, внешнее напряжение должно равнять-
ся Ri, так как оно должно уравновеши-
ваться напряжением на активном сопротив-
лении цепи. Если ток и напряжение опре-
деляются уравнением (50.5), то первый и
третий члены в левой части полного уравне-
ния (50.27) в сумме равны нулю. Следователь-
но, в этом случае внешнее напряжение должно
быть равно

е (&) = pH или ет (Z) = Ri. (50.36)

График функции er(Z) построен на фиг. 653. Фиг 652

Таким образом, в нелинейных колеба-

тельных цепях может поддерживаться резо-

нансное состояние, если величина, частота и форма кривой приложен-
ного напряжения и напряжения на активном сопротивлении при прохож-
дении через него тока, возникающего при негармоническом свободном
колебании, совпадают. Чем меньше активное сопротивление, тем ниже напря-
жение, необходимое для поддержания резонансного состояния. Напряже-
ние, которое нужно приложить извне, можно представить бесконечным рядом
Фурье

ет (0 = Ч (V) г е2 (v2Z) 4- е3 (v8Z)

(50.37)

в котором функции е(\ t) представляют собой синусоидальные или косинусои-
дальные функции, a Vj означает собственную частоту цепи.

Если к цепи приложено не пикообразное, а синусоидальное напряжение
основной частоты с амплитудой £1, изображенное на фиг. 653, то полу-
чается остаток в виде разности напряжений, отмеченной на этой фигуре
штриховкой. Разность напряжений Де начерчена отдельно с отрицательным
знаком, чтобы не затемнять график. В данном случае разность напряжений
содержит все высшие гармоники ряда (50.37), причем очевидно, что третья—
преобладает. Напряжение Де вызовет появление токов и индуктивных и ем-
костных напряжений, которые изменят исходные кривые, изображенные
на фиг. 652, так, чтобы установилось равновесие. Вследствие нелинейности
характеристики цепи простого наложения не получится. Однако является
очевидным, что истинные ток и напряжения будут искажены так, что содер-
жание в них третьей и высших гармоник изменится по сравнению с тем, что
было раньше.

Подведем теперь к цепи напряжение не собственной частоты цепи vx, а с
частотой, в 3 раза большей, как показано на фиг. 654. Приложенное напряже-
ние е3 (v3 t) представляет собой второе, лучшее приближение к требующемуся
пикообразному напряжению ег; в остатке получится разность напря-
жений Де, показанная штриховкой и построенная отдельно на фиг. 654.
"40 р. Рюденберг
В этом остатке имеется значительная по величине составляющая собствен-
ной частоты vx, представленная пунктирной кривой ег. Эта составляющая
проявляется теперь в цепи как неуравновешенное и, следовательно, иска-
жающее напряжение, которое вызывает появление тока и напряжений в
основном собственной частоты, как это было ранее (см. фиг. 652). Мы видим,

таким образом, что напряжение e3(v3Z), приложенное к насыщающейся цепи,
создает, кроме тока i3, также значительный ток и соответствующие
ему напряжения еС1 и еп. Последние величины изменяются с частотой, в
3 раза меньшей, чем частота питания, и, следовательно, представляют собой
субгармоническое колебание по отношению к колебанию напряжения источ-
ника. Высшие гармоники, содержащиеся в кривой Де, изображенной на

основных составляющих

фиг. 654, обусловливают появление и других
токов различной величины с частотами 5/3, 7/3
и т. д. от частоты питания.

Протекание по цепи всех в действитель-
ности существующих токов вызовет значитель-
ное изменение формы кривых, изображенных
на фпг. 652. Изменятся также величины тока i
и напряжений eL и ес, в результате чего соб-
ственная частота примет другое значение. Два
напряжения не буд>т больше одинаково изме-
няться во времени и совпадать по фазе, так что
они будут теперь в состоянии полностью урав-
новесить приложенное напряжение е3.

Если питать цепь от источника с напря-
жением es(v5Z), изображенным на фиг. 655, то
остаток Де будет содержать теперь в качестве
напряжение ех с частотой */5 и напряжение е3 с ча-

стотой 3/5 от частоты напряжения питания. Дальнейшее образование токов
и искажения происходят так, как было показано выше, и мы видим, что
возможно появление субгармоник с частотами */6 и 3/5 от частоты прило-
женного напряжения; могут также возникнуть колебания более высокого
порядка, 7/5 и выше. Аналогичные рассуждения применимы при питании
цепи от источников с любой частотой из числа частот, содержащихся в на-
пряжении [см. соотношения (50.36) и (50.37)], которое падало бы на актив-
ном сопротивлении при свободном колебании цепи.

Мы приходим к заключению, что в колебательной цепи с нелинейной
характеристикой можно вызвать колебание с основной собственной частотой
контура, прикладывая к нему внешнее напряжение, частота которого
совпадает с частотой какой-либо из высших гармоник свободного колебания
этого контура. Это положение справедливо для любого возможного свобод-
ного колебания цепи. Однако мы видели, что собственная частота в сильной
степени зависит от амплитуды колебания, как это показано на фиг. 638 и 639.
Отсюда следует, что субгармонический резонанс может возникнуть только
в тех случаях, когда ток и напряжение имеют величины, при которых
основная собственная частота и частота напряжения питания находятся
между собой в рациональном отношении 1 : 3, 1 : 5, 3 : 5 и т. д. Таким
образом, требуется, чтобы для каждой данной характеристики величина
напряжения питания имела определенное значение или была заключена в
определенных пределах. В противном случае описанный процесс возбуждения
субгармоник 1/3, 1/6 и более низкого порядка становится невозможным.

Решающую роль играет активное сопротивление цепи. При 7?=0 коле-
бание с необходимой амплитудой может быть возбуждено любым из напря-
жений, входящих в правую часть выражения (50.37), и, следовательно,
могут возникнуть субгармоники любого порядка. При малом сопротивлении
для поддержания субгармоник окажутся достаточными сравнительно не-
большие напряжения е3, е& и т. д. При большом сопротивлении необходимы
гораздо более высокие напряжения для компенсации падения напряжения
на активном сопротивлении [см. выражение (50.36)1, создаваемого резонанс-
ным током; в результате в этих условиях сможет развиться субгармоника
только наиболее высокого порядка, обычно 1/3. Дальнейшее повышение
активного сопротивления цепи дает возможность полностью устранить суб-
гармонические колебания.

В зависимости от величины активного сопротивления субгармоники
возникают при различных значениях приложенного напряжения, причем
области значений е3, е5 и т. д. могут взаимно перекрываться. Поэтому при-
ложенное напряжение некоторой определенной величины может одновремен-
но возбудить ряд субгармонических токов различных порядков, например
1/з> г/ъ и т- Д-> и их высших гармоник. Если характеристика цепи несиммет-
рична в своей положительной и отрицательной частях, то появятся не только
нечетные субгармоники, но и четные — порядка 1/2, 1/i и т. д., и их высшие
гармоники. Может также случиться, что в цепи с симметричной характери-
стикой возникнет несимметричное колебание и таким путем самовозбудячся
субгармоники или высшие гармоники четного порядка.
628

VII. Магнитное насыщение в неподвижных цепях

Экспериментально было обнаружено появление в цепях с нелинейной
характеристикой субгармоник порядка до 1/9 от частоты напряжения пита-
ния. На фиг. 656 приведены осциллограммы (по оси абсцисс отсчитывается
время), на которых можно заметить повторение или почти повторение основ-

ного явления через каждые шесть или каждые три периода приложенного
напряжения. В кривой потока здесь преобладает колебание порядка 5/3.
Обращает на себя внимание в этом опыте, ко-

Ф и г. 657.

торый проводился при очень высоком напря-
жении, малая продолжительность переходного
режима, следующего за включением. Если не-
посредственно наблюдать магнитную характе-
ристику, т. е. зависимость Ф от г, или В от Н,
например, на экране электронного осциллогра-
фа, то можно заметить, что одинаковые кривые
получаются только после полного повторения
явления. Промежуточные записи можно сделать
видимыми для глаза путем небольшого искус-
ственного смещения отдельных кривых. На
фиг. 657 показана такая осциллограмма, снятая
при помощи электронного осциллографа; на ней
можно рассмотреть пять следов, что указывает
на присутствие субгармоники по крайней мере

порядка 1/5.

В гл. 48 мы установили возможность существования на характеристике
намагничивания двух устойчивых точек для напряжения и тока; одна точка
соответствует малому току, другая — большому. Это было выяснено исклю-
чительно на основании рассмотрения амплитуд колебаний. Общая картина

Фиг. 659.

переходного и установившегося режимов в этих двух состояниях представ-
лена осциллограммами на фиг. 658 и 659. Установление того или иного из
этих состояний полностью зависит от фазы включения приложенного напря-
женпя. При малом токе получается синусоидальная кривая потока, а при
большом—треугольная.

Однако с появлением субгармоник на характеристике более не суще-
ствует фиксированных точек для амплитуд. Напротив, амплитуды нарастают
и убывают в ритме субгармонических колебаний и, таким образом, происхо-
дит сильное искажение режима. На фиг. 660 и 661 даны осциллограммы двух
других состояний цепи, которые получаются при точно таких же условиях,
что и режимы на фпг. 658 и 659, но только при другой фазе включения. На
фиг. 660 имеется субгармоника порядка */3 умеренной амплитуды, отчетливо
заметная в кривой потока. Появляются также и высшие гармоники, как это
можно заметить по кривой емкостного напряжения вц. Измерение при помощи

WtAWWcWr/

i }

Фиг. 661.

।
।
i

Ф и г. 6G0.

анализатора гармоник позволило определить их частоты, которые оказались
равными 5/3, 7/3, 9/3, 11/3 и 16/3 от частоты напряжения питания. Гармоники
порядка9/Зи 15/3можно также отнести за счет третьей и соответственно пятой
гармоник приложенного напряжения.

Совсем иначе выглядят кривые на фиг. 661. Здесь имеются небольшая
субгармоника порядка 1 */4, заметная субгармоника порядка 1/2, а также гар-
моника весьма большой величины, порядка 3/2, и множество гармоник четной

и нечетной кратности по отношению к субгармонике порядка 1/4. Гармониче-
ский состав определялся при помощи анализатора; весь спектр гармоник
представлен на фиг. 662. Заслуживает внимания характер искажения формы
кривых, например тока или емкостного напряжения. В кривой потока доми-
нирует в соответствии с фиг. 662 колебание порядка 3/2, в то время как в ем-
костном напряжении заметно выделяется колебание порядка 1/2; последнее
совершенно нарушает симметрию в отношении ширины и амплитуды двух
следующих друг за другом полуволн.
Субгармоники иногда возникают п электрических сетях, содержащих
насыщенные трансформаторы, если активное сопротивление цепи мало и
почти отсутствует нагрузка. Поскольку характеристика намагничивания
трансформаторов нелинейна, они возникают только в узких пределах значе-
ний емкости и приложенного напряжения. Субгармоники могут возбудиться
как при последовательном соединении трансформатора и емкости, так и при
параллельном. Если они возбуждаются, то в сети возникают нерегулярные
изменения напряжения и тока. Субгармоники могут быть причиной перена-
пряжений, опасных для изоляции.

ЛИТЕРАТУРА

Андронов А. А., X а й к и н С. Э., Теория колебаний, М.—Л., 1937. (And re-
new А. A., Chaikin С. Е., Theory of Oscillations, Princeton, New York,
1949).

Angel lo S. J., Trans. AIEE, 61, 625 (1942).

The effect of initial conditions on subharmonic currents in nonlinear circuit.

Aretz E., E. T. Z., 58,1160 (1937).

Uber das Wesen der stabilen Gleichgewichtszuslande bei Reihenschaltung von Eisen-
drossel und Kondensator.

Боголюбов H. H., Крылов H. M., Введение в нелинейную механику, М., 1937.
(Bogoliu boff N., К г у 1 о f f N-, Introduction to Nonlinear Mechanics,
New York, 1943).

Bush V., Hazen H. L., Journ. Franklin Inst., 208, 575 (1927).

Integraph solution of differential equations.

Bush V., Journ. Franklin Inst., 212, 447 (1931).

The differential analyzer. A new machine for solving differential equations.

Dehors M. R., Rev. gen. elec., 455 (1947).

Recherches sur la demultiplication de frequence ferromagnetique.

Den Hartog J. P., M i k i n a S. J., Trans. ASME, 54, 151 (1932).

Forced vibrations with nonlinear spring constants.

Den Hartog J. P., Mi kina S. J., Journ. Franklin Inst., 216, 459 (1933).
The amplitudes of non-harraonic vibrations.

F a I 1 о u J., Mauduit A., Compt. rend., February 1, 312 (1926).

Entretien d’une oscillation libre non sinusoidale par resonance de 1’undeseshar-
moniques.

Fallou J., Rev. gen. elec., 19, 987 (1926).

Demultiplicateurs statiques de flequence.

Friedlander E., Elektrotechn. Zs., 52, 1432 (1931).

Ubertragung der Stabilitiits- und Schwingungsbedingungen von Gleichstromkreisen
auf Wechselstromsysteme.

G о о d b u e W. VI., Journ. Franklin Inst., 217, 87 (1934).

Subharmonic frequencies produced in nonlinear systems.

Guillemin E., Rumsey P., IRE Proc., 17, 629 (1929).

Frequency multiplication by shock excitation.

H a h n 1 e W., Elektrotechn. Zs., 61, 845 (194J).

Eigenschwingungen bei Schaltungen mit wechselstromgespeisten gesattigten Eisen-
drosseln.

H e e g n e r K., Phys. Zs., 29, 91 (1924).

Uber Selbsterregungserscheinungen bei Systemen mit gestorter Superposition

H e e g n e r K., Phys. Zs., 33, 85 (1925).

Uber Systeme mit gestorter Superposition.

KArman Th , Bull. Am. Math. Soc., 46, 615 (1940).

The engineer grapples with nonlinear problems.

Keller E. G., Journ. Franklin Inst., 225, 561 (1938).

Resonance theory of series nonlinear control circuits.

Keller E. G., Trans. AIEE, 60, 1194 (1941).

Analytical methods of solving discrete nonlinear problems in electrical engineering.

Kiiger K., Plendl H., .lahab. drahtl. Telegr. Teleph., 27, 155 (1926).

Aufnahme von Magnctisierungskurven. mit der Braun'schen Rohre.

I, u d e k e C. A., Journ. Appl. Phys., 17, 603 (1946).

An experimental investigation of forced vibrations in a mechanical system having
a nonlinear restoring force.
Ludeke С. A., Journ. Appl. Phys., 20, 600 (1949).

An electro-mechanical device for solving nonlinear differential equations.

Manley J M., Peterson E., Trans. AIEE, 65, 870 (1946).

Negative resistance effect in saturable reactor circuits.

M с C r u m m J. D., Trans. AIEE, 60, 533 (1941).

An experimental investigation of suhharmonic currents.

Minorsky N., Introduction to nonlinear Mechanics, Ann. Arbor, Mich., 1947 (содер-
жит библиографию).

Petersen H. A., Schroeder T. W., Trans. AIEE, 62, 32 (1943).

Abnormal overvoltages caused by transformer magnetizing currents in long trans-
mission lines.

P 1 e n d 1 H., Sommer F., Z e n n e с к J., Zs. f. Hochfrequcnz, 103 (1925).

Einschaltvorgange bei einem Schwingungskreis mit einer Eisenkernspule.

Rauscher M , Journ. Appl Mechanics, 5, A169 (1938).

Steady oscillations of system with nonlinear and unsymrnetrical elasticity.

Rayleigh J. W., Phil. Mag. (5), 24, 145 (1887).

On the maintenance of vibrations by forces of double frequency.

Rouelle E., Rev. gen. elec., 36, 715, 763, 795, 841 (1934).

Contribution a 1’etude experimcntelle de la ferro-resonance.

Rouelle E., Rev. gen. elec., 40, 811 (1936).

Quelques nouvelles experiences de demultiplication de frequence dans un circuit
oscillant a noyau de fer.

R iidenherg R., Zs angew Math. Meeh., 3, 454 (1923).

Einige unharmonische Schwingungsformen mit grosser Amplitude.

R fi d e n b e г g R., Trans. AIEE, 68, 676 (1949).

Non-harmonic oscillations as caused hy magnetic saturation.

Spitzer C. F., Journ. Appl. Phys., 16, 105 (1945).

Sustained suhharmonic response in non-linear series circuits.

T a eg e г W., Arch. Elektrotechn., 35, 193 (1941).

Die Entdampfung von Schwingungskreisen durch Eisendrosseln.

Travis I., W e у g a n d t C. N., Trans. AIEE, 57, 423 (1938).

Subharmonics in circuits containing iron-cored reactors.

Travis I., Trans. AIEE, 58, 735 (1939).

Subharmonics in circuits containing iron-cored inductors.

•W int e r-G ii n t h e r H., Zs. f Hochfrequenz, 34, 41 (1929).

Ober die selhsterregten Schwingungen in Kreisen mit Eisenkernspulen.
VIII. ВРАЩАЮЩИЕСЯ МАШИНЫ
С НАСЫЩЕННОЙ МАГНИТНОМ ЦЕПЬЮ

Глава 51

УСТАНОВИВШЕЕСЯ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ТРЕХФАЗНЫХ
ГЕНЕРАТОРОВ

В гл. 13 установившийся ток короткого замыкания ненасыщенной
синхронной машины был определен как частное от деления ее внутренней
электродвижущей силы на суммарное реактивное сопротивление цепи ста-
тора. Однако при применяемых на практике токах возбуждения машин
на электродвижущих силах и индуктивностях обмоток существенно сказы-
вается магнитное насыщение, вследствие чего эти величины не могут рас-
сматриваться как постоянные. Поскольку при расчете мощных электрических
сетей необходимо учитывать не только токи нормального режима, а также
возможные токи короткого замыкания, мы изложим здесь более точный
метод определения этих токов.

§ 1. Короткое замыкание при нагруженном генераторе. Вначале рас-
смотрим простой случай короткого замыкания в цепи статора генератора
(фиг. 663), имеющей пренебрежимо малое
активное сопротивление. Величина тока ко-
роткого замыкания определяется лишь сум-
марным реактивным сопротивлением внутрен-
ней и внешней частей этой цепи и характе-
ристикой намагничивания машины и легко
находится из графика, изображенного на
фиг. 664. Там построена кривая напряже-

ния холостого хода генератора Е в зависимости от намагничивающего
тока

E=f(^). (511)

По этой характеристике холостого хода для каждого значения намагничи-
вающего тока генератора определяется электродвижущая сила, индуциро-
ванная в статорной обмотке. Чтобы создать ток короткого замыкания Ik,
требуется э. д. с. Ек, которая должна уравновешивать напряжение рас-
сеяния обмотки генератора Eg и напряжение на зажимах генератора U, рав-
ное напряжению на индуктивности внешней цепи. Таким образом, э. д. с.
при коротком замыкании равна (см. обозначения на фиг. 663)

Ek = Es + U=Ih(uS + wL). - (51.2)

Поскольку индуктивность рассеяния генератора S и индуктивность внешней
цепи L постоянны, то зависимость между током короткого замыкания
и э. д. с., выражаемая соотношением (51.2), изобразится прямой линией.
Ток короткого замыкания проходит по обмотке статора и, будучи'чисто
реактивным током, оказывает на магнитное поле генератора действие, про-
тивоположное действию тока возбуждения Размагничивающее действие
тока короткого замыкания зависит от отношения чисел витков статорной
и роторной обмоток. Следовательно, если мы проведем через точку, соответ-,
ствующую току возбуждения, характеристику короткого замыкания, пред-
ставляемую соотношением (51.2), в сторону убывания тока (фиг. 664)
под углом, определяемым выражением

tga = ^L — u>S \-oiL, (51.3)

' k

то каждой точке этой прямой будет соответствовать определенный резуль-

тирующий ток, создающий действительный магнитный поток машины.

Так как ток короткого замыкания [см.
выражение (51.2)] обусловленэ.д. с.,
определяемой выражением (51.1),
то в установившемся режиме

E = Ek. (51.4)

Таким образом, режим короткого за-
мыкания генератора определяется
точкой пересечения этих двух ха-
рактеристик, причем действительный
ток короткого замыкания Ih находится
так, как показано на фиг. 664. Этот
ток может быть выражен в амперах
в соответствии с масштабом построе-

ния. Из того же построения находим Ф и г. 664.

внутреннюю э. д. с. машины. Одна

часть этой э. д. с., равная Eg, затрачивается на преодоление индуктивного
сопротивления рассеяния обмотки статора, а другая часть, равная U, предста-
вляет собой напряжение на зажимах генератора, необходимое для поддер-
жания тока во внешней цепи.

Короткому замыканию в различных точках сети соответствуют вполне
определенные значения реактивного сопротивления внешней цепи. Чтобы
облегчить построение характеристики короткого замыкания по соотноше-
нию (51.3), можно нанести на оси ординат шкалу реактивных сопротивле-
ний в надлежаще выбранном масштабе. Коротким замыканиям в удаленных
точках сети соответствуют большие сопротивления и круто поднимающиеся
характеристики. Ток короткого замыкания в этом случае мал, и напряже-
ние на зажимах генератора лишь немного меньше напряжения холостого
хода Ео. При коротком замыкании на зажимах генератора реактивное
сопротивление внешней цепп равно нулю, и ток короткою замыкания огра-
ничивается лишь реактивным сопротивлением рассеяния самой машины.
Этому случаю соответствует наиболее пологое положение характеристики ко-
роткого замыкания на фиг. 664 и наибольшее значение тока короткого замы
кания Zf,0. Так как и этот ток и соответствующее ему падение напряжения
на индуктивности рассеяния известны для каждого генератора, то масштаб
чертежа полностью определен. Таким образом, токи ротора и статора могут
откладываться каждый в собственном масштабе, и нет необходимости вво-
дить в расчет' отношение чисел витков обмоток статора и ротора.

При изменении места короткого замыкания в сети характеристика Eh
перемещается по заштрихованной области чертежа, причем ширина этой
области определяет величину наибольшего возможного тока короткого замы-
кания, а высота—наибольшего возможного напряжения на зажимах гене-
ратора. Пунктирными линиями на фиг. 664 для сравнения показана вели-
чина тока короткого замыкания Z/;CO, который получился бы, если пренебречь
его реакцией в генераторе; она находится делением напряжения холостого
хода на внешнее реактивное сопротивление. Такой большой ток является
очевидной фикцией.

Обычно короткие замыкания возникают не в режиме холостого хода,
а при работе электростанции на полную мощность. В этом случае машины
отдают во внешнюю цепь значительный ток еще до того, как случается корот-
кое замыкание. Генератор возбуждается не тем током, который соответ-
ствует холостому ходу и показан на
фиг. 664, а значительно большим, так
как должна быть уравновешена реак-

пня якоря, обусловленная нагрузоч-

___________h<

Ф и г. 665. Ф и г. 666.

ным током. Применяя обозначения, приведенные на фиг. 665, мы можем
записать, что полный ток, отдаваемый генератором, складывается из тока
короткого замыкания Ih в больной ветви и индуктивного тока нагрузки
Т Т Р

Z = Z„ + 4. (51.5)

Напряжение на зажимах генератора U меньше индуцированной э. д. с. Е,
определяемой магнитной характеристикой, на величину падения напряже-
ния па индуктивности рассеяния Es

U = E-ES. (51.6)

Напряжение короткого замыкания Eh вызывает протекание токов
нагрузки и короткого замыкания во внешней сети и в обмотке генератора.
Так как больная и здоровая ветви соединены параллельно, то будем иметь
два соотношения

Ек = wSI + <»Llh,

Ek = wSI-[-t»LnIn. _ (5L7)

Учитывая соотношение (51.5), находим после несложных преобразований
отношение напряжения короткого замыкания к току генератора

= tg <х = + v,L wL;.. . (51.8)

J 6 1 o>L + ^Ln ' '

Это отношение является постоянной, не зависящей от тока величиной,
и, следовательно, характеристика короткого замыкания снова имеет вид
прямой линии.

На фиг. 666 показаны характеристика холостою хода генератора Е
и ток возбуждения соответствующий данной нагрузке и определяемый
путем известного построения (треугольник Потье). От точки в сторону
убывающих токов наносится только что найденная характеристика корот-
кого замыкания Eh. Ее пересечение с характеристикой холостого хода дает
значения фактической э. д. с. генератора Е и протекающего через генератор
тока I. Эта э. д. с. снова равна сумме внутреннего падения напряжения
на индуктивности рассеяния Es и напряжения на зажимах генератора U.
Ток, в свою очередь, равен сумме тока короткого замыкания lh и токов
в здоровых ветвях сети 1п. Чтобы правильно определить ток сети, надо
помнить, что если до короткого замыкания он был равен /и0, то теперь
его величина уменьшится пропорционально снижению напряжения на зажи
мах генератора. При коротком замыкании на зажимах генератора характе-
ристика короткого замыкания займет наинизшее положение и ток 1п обра-
тится в пуль. Промежуточное значение тока 1п можно определить линейной
интерполяцией, для чего на фиг. 666 через предельное значение тока 1п
проведена прямая.

Ширина заштрихованной области на фиг. 666 снова определяет величину
тока короткого замыкания, а ее высота—напряжение на зажимах генератора
при коротком замыкании. Если короткое замыкание происходит на генера-
торных зажимах, то в выражении (51.8) остается лишь член, характеризую-
щий рассеяние. Характеристика короткого замыкания занимает теперь
на фиг. 666 самое низкое из возможных положений и становится парал-
лельной гипотенузе треугольника Потье, наклон которой определяется
также отношением напряжения рассеяния к току. Известный для каждого
генератора треугольник Потье дает возможность сразу, без вычислений,
определить отношение тока короткого замыкания к величине прежнего
тока нагрузки.

Наклон характеристики короткого замыкания легко определить и при
коротком замыкании в произвольной точке сети. Параллельные реактивные
сопротивления здоровой ветви и цепи короткого замыкания надо заменить
эквивалентным сопротивлением и отложить его вверх по оси ординат на
фиг. 666 в том же самом масштабе, в котором отложено реактивное сопро-
тивление рассеяния оэЗ1. Если место короткого замыкания находится далеко
от генератора, то ток короткого замыкания мал и ток в здоровой ветви умень-
шается незначительно. При коротком замыкании на зажимах генератора
ток короткого замыкания имеет наибольшее значение, а ток в здоровой
ветви уменьшается до нуля. Величина тока короткого замыкания Ih0 при
коротком замыкании на зажимах генератора обычно превосходит в 1,5—
3 раза величину нормального тока при условии, что возбуждение соответ-
ствует нормальной нагрузке генератора.

§ 2. Активное сопротивление в цепи. Если активным сопротивлением
цепи короткого замыкания нельзя пренебречь, как, например, при корот-
ких замыканиях в отдаленных точках сети и, в особенности, в подземных
кабелях, обладающих малой индуктивностью, то его можно учесть при гра-
фическом построении. Э. д. с. Eh, дейст- ______

вующая в цепи короткого замыкания, j~--г-—'ТЯЯЯЛГ-------+

изображенной на фиг. 667, и создавав- X I и

мая основным магнитным полем гене- - и

ратора, равна '"т"' 1 R 1

г____________- 1---1—плгъ-----------г~

Ek = V(Es + ELy-rEl. (51.9)

Фиг. Ь67.
Напряжения в правой части равенства

(51.9) соответствуют действительной величине тока короткого замыкания.
На векторной диаграмме фиг. 668,а они показаны жирными линиями.

Зависимость э. д. с. генератора от тока возбуждения Zp представлена
и в этом случае характеристикой холостого хода Е, построенной на фиг. 668, б.
Чтобы построить характеристику короткого замыкания Eh, надо отложить
в направлении убывания тока лишь реактивную составляющую 1Ь тока
короткого замыкания, так как только она действует размагничивающе
на полюсы генератора. Как показано на фиг. 668, а, вектор 1Ь перпендику-
лярен магнитному потоку полюсов и наводимой им э. д. с. Ер. Последняя
в сумме с э. д. с. полной реакции якоря в поперечной оси дает э. д. с. гене-
ратора Eh. Как хорошо известно из векторной диаграммы синхронной
машины, приведенной на фиг. 668, а, э. д. с. Ер, соответствующая по вели-
чине магнитному потоку полюсов, может быть найдена при помощи сле-
дующего построения.

Ф и г. 668.

По направлению вектора падения напряжения на индуктивном сопро-
тивлении рассеяния Е$ откладывается вектор напряжения полной реакции
якоря по поперечной оси Eq, в результате чет о получаем точку Е{.
Затем, проектируя вектор Eh на вектор Е., получаем вектор Ер. Это графи-
ческое построение пригодно как для турбогенераторов с одинаковыми маг-
нитными сопротивлениями по продольной и поперечной осям, так и для явно-
полюсных генераторов, у которых эти магнитные сопротивления различный.

Величину реактивной составляющей 1Ь тока короткого замыкания 1к
можно определить при помощи фиг. 668, а

Ео +

1Ь = /„ sin ф = Zft - L . (51.10)

Величина идеальной э.д.с. в продольной оси равна

Ei = V(Eq + Es + EL)2 + E2R . (51.11)

Следовательно, угол наклона характеристики короткого замыкания а на
фиг. 668, б можно найти при помощи выражений (51.9)—(51.11)

. Eh V(ES + El)* + El\/(Eq + Es + EJ + &R

tga = 7T =----------EdE^Es + E^ •

Вынося EsA-El из-под знака корня, можно упростить предыдущее выра-
жение и в результате получить

Наконец, выражая напряжения и токи через активное и реактивное сопро-
тивления, получаем

tga = (<05 + iUL) + + + + J; <51Л4)

х) См. также гл. 20.—Прим. реё.
При исчезающе малом сопротивлении R квадратный корень близок
к единице и наклон характеристики короткого замыкания определяется
выражением, совпадающим с соотношением (51.3). По мере увеличения
активного сопротивления характеристика короткого замыкания идет все
круче, оставаясь, однако, прямолинейной. Поправка на активное сопро-
тивление вносится квадратично и оказывается несущественной, если оно
мало по сравнению с реактивным. Однако если активное сопротивление
сравнимо по порядку величины с реактивным сопротивлением сети и индук-
тивным сопротивлением рассеяния обмоток машин и трансформаторов,
то поправка приобретает существенное значение.

Это можно показать на примерах. Пусть напряжение рассеяния гене-
ратора Eg составляет 15%, а напряжение полной реакции якоря по попе-
речной оси Eq—45% от напряжения на зажимах генератора. Эти данные
соответствуют мощным явнополюсным генераторам, тогда как турбогенера-
торы обычно характериз} ются гораздо большим значением Eq. Пусть гене-
ратор питает воздушную линию, в которой индуктивное падение напряже-
ния Еь составляет с учетом трансформатора 10%, а падение напряжения
на активном сопротивлении Ев=5% от напряжения на зажимах генератора.
Все эти данные относятся к номинальному току генератора. Поправочный
коэффициент, рассчитанный по формуле (51.14), в этом случае будет равен

/I’ + GsW] [ч /1.04-1,005= 1,02,

т. е. является весьма малой величиной. Однако если в протяженной под-
земной кабельной линии, по которой в нормальных условиях проходит
часть тока генератора, происходит короткое замыкание, то падение напря-
жения па сопротивлении Еп может достигнуть 50% и тогда поправочный
коэффициент будет равен

/ = /5Щ5 = 2,75,

т. е. будет весьма существенным. Характеристика короткого замыкания
пойдет значительно круче и реактивная составляющая тока /ь уменьшится,
как это видно из фиг. 668, б.

В этом случае ток короткого замыкания Ik значительно больше своей
реактивной составляющей 1Ъ, как это следует из векторной диаграммы
фиг. 668, а. Наиболее удобным аналитическим выражением для тока Ik
является

I — Т

h ^в + ^+^ь’

(51.15)

или если подставить значение Ei из формулы (51.11), то

+ (51-16)

Так, для приведенного выше численного примера полный ток корот-
кого замыкания будет больше его реактивной составляющей 1Ь, найденной
графическим построением, в число* раз, равное

К1+(®+^+й)2 = П.51=1,23.

Эти частично компенсирует уменьшение тока, вызываемое увеличением кру-
тизны характеристики короткого замыкания.
Вопрос об устойчивости дальнейшей работы системы после короткого
замыкания решается в зависимости от величин остаточного напряжения
в различных участках сети. График на фиг. 668, б дает только э. д. с. гене-
ратора Ek. Чтобы выделить из нее падения напряжения на внутренней
и внешней частях цени, проще всего обратиться к треугольнику напряже-
ния, начерченному на фиг. 668, а. Еще проще воспользоваться для вычисле-
ния остаточных напряжений формулой

U = 4/(<о£)г -t Н2, (51.17)

где Ih—ток короткого замыкания, определяемый выражением (51.16). При
вычислении остаточного напряжения на генераторных зажимах следует
учесть в выражении (51.17) суммарные величины активного и реактивного
сопротивлений внешней цепи. Остаточные напряжения в промежуточных
точках сети определятся соответствнными частями этих сопротивлений.

Мощность, потребляемая закороченной ветвью сети, может сильно
перегрузить генератор. Чтобы найти ее величину, проще всего восполь-
зоваться выражением (51.16) для тока короткого замыкания и тогда

Рк=ЦВ. (51.18)

При возрастании активного сопротивления цепи короткого замыкания мощ-
ность сначала увеличивается, а затем, пройдя через максимум, уменьшается.
При малом остаточном напряжении такой толчок нагрузки может оказаться
достаточным, чтобы нарушить параллельную работу данного генератора
с остальными генераторами системы.

§ 3. Двухполюсное и однополюсное короткие замыкания. Часто корот-
кие замыкания происходят не между всеми тремя проводами трехфазной
сети (фиг. 669, а), а между двумя (фиг. 669, б) или между проводом и ней-
тралью генератора (фиг. 669, в). Появляющиеся при коротких замыканиях

последних двух типов однофазные токи значительно превосходят токи
трехполюсного короткого замыкания, так как вызываемая ими реакция
якоря генератора значительно меньше.

В то время как трехфазные токи короткого замыкания, проходя по всем
фазам обмотки статора, создают синхронно вращающееся поле реакции
якоря, при двухполюсном коротком замыкании одна фаза остается ненагру-
женной. Однофазный ток короткого замыкания проходит но двум фазам
обмотки, соединенным последовательно, и создает в генераторе пульсирую
щее поле. Это ноле можно разложить на два противоположно вращаю-
щихся поля с половинной амплитудой. Поле, вращающееся навстречу ротору,
почти полностью гасится обмоткой возбуждения и успокоительной обмот-
кой. Поле, вращающееся синхронно с ротором, создает реакцию якоря,
величина которой будет вдвое меньше реакции, создаваемой трехфаз-
ным током.

Распределение тока двухполюсного короткого замыкания в обмотках
статора будет таким же, каким оно было бы при трехполюсном коротком
замыкании в момент, когда ток третьей фазы равен нулю. Для этого момента
времени на фиг. 670 постросва векторная диаграмма. При таком положении
векторов мгновенные значения токов в двух рассматриваемых фазах обмотки
равны J/3/2 от амплитудного значения, хотя они и создают полный поток.
Поэтому полный однофазный ток создает переменный магнитный поток
в статоре, в 2/| 3 раза больший, чем трехфазный вращающийся поток.
Если обозначить через Л3 среднее значение ампервитков трехфазной обмотки
статора, которое определяет эффект размагничивания машины, как это пока-
зано на фиг. 664 и 666, то эквивалентные ампервитки синхронно вращающей-
ся составляющей пульсирующего поля при двухполюсном коротком замы-
кании будут равны

при условии, что действующее значение токов в обоих случаях одинаково.

При однополюсном коротком замыкании реакция якоря будет еще
меньше. Сравним ее с только что определенной реакцией при двухполюсное

коротком замыкании. Если бы обе
короткозамкнутые фазы обмотки (см.
фиг. 669, б) лежали вдоль одной и той
же оси статора, то реакция якоря при

однополюсном коротком замыкании (см. фиг. 669, в) была бы в 2 раза меньше,
чем при двухполюсном коротком замыкании. Однако при смещении обмоток
в пространстве на 120° ампервитки складываются векторпо (фиг. 671) и их
результирующая только в}/3 раз больше ампервитков одной фазы. Следова-
тельно, при однополюсном коротком замыкании реакция якоря будет равна

= = (51-20)

Эти три значения размагничивающих ампервитков отложены в надлежащем
масштабе на фиг. 672 в сторону убывания тока возбуждения Д.

Для построения всех трех характеристик короткого замыкания мы
должны еще сравнить между собой индуктивности рассеяния. Обозначим
через L собственную индуктивность одной фазы, а через М—взаимную
индуктивность между любыми двумя фазами статорной обмотки и будем
считать, что все эти величины одинаковы для всех трех фаз. Напряжение
рассеяния, возникающее в любой из фаз обмоток, изображенных на фиг. 669,
будет равно

, е' = Й+ М+ MiJ’ (51 -21)
При трехфазных токах в обмотках (см. фиг. 669, а) ток i, в рассматри-
ваемой обмотке равен сумме токов г2 и г3 в двух других обмотках1). Таким
образом, величина напряжения рассеяния между любыми двумя линейными
зажимами обмотки статора в этом случае равна

е3 = УЗ е' = I/ 3 (L + М) , (51.22)

где множитель ]. 3 учитывает соединение фаз звездой.

При двухполюсном коротком замыкании но обмотке статора течет
однофазный ток (см. фиг. 669, б), так как ток i3 исчезает, а ток во второй
фазе равен току г2 в первой фазе. Напряжение рассеяния, отнесенное к зажи-
мам обмотки, равно сумме одинаковых напряжений рассеяния двух фаз

e2 = 2e' = 2(L + 71/)-^i . (51.23)

Поскольку выражения (51.22) и (51.23) отличаются лишь числовым множи-
телем, реактивные сопротивления рассеяния <»5 при двухполюсном и трех-
полюспом коротком замыкании находятся в определенном соотношении.
Опи связаны следующим образом:

ы52 = <»$3.

2 /3 3

(51.24)

При однополюсном коротком замыкании (см. фиг. 669, в) ток течет
лишь по одной фазной обмотке, и в выражении (51.21) для напряжения рас-
сеяния остается только один первый член.

Так как до сих пор мы относили все напряжения—и холостого хода
и рассеяния—к зажимам машины, мы поступим так же и с однополюсным
напряжением рассеяния и придадим ему множитель У 3. Это даст

е1 = \/3е' = УЗЬ^- . (51.25)

Приведенное однополюсное реактивное сопротивление рассеяния связано
следующим образом с трехполюсным [см. выражение (51.221J:

УЗ wS, = - * о>53. (51.26)

1 } 3 (L+M) 3 1 + M/L 3 v

В то время как двухполюсное сопротивление рассеяния в силу соотно-
шения (51.24) всегда несколько больше трехполюсного, приведенное к зажи-
мам машины однополюсное сопротивление рассеяния будет всегда, как
показывает соотношение (51.26), несколько меньше трехполюсного. Отно-
шение этих реактивных сопротивлений зависит только от отношения индук-
тивностей (взаимной и собственной) статорных обмоток. Отношение индук-
тивностей обычно лежит между нулем и 1/2, так что приведенное однополюс-
ное сопротивление рассеяния составляет от 2/3 до полного значения трех-
полюсного сопротивления рассеяния.

На фиг. 672 от точек А реакций якоря одно-, двух- и трехполюсного
коротких замыканий отложены вверх отрезки, соответствующие различ-
ным реактивным сопротивлениям рассеяния <«5, причем трехполюсное
сопротивление рассеяния предполагается известным. Если теперь проведем
прямолинейные характеристики короткого замыкания через концы этих
отрезков, то увидим, что характеристики однополюсного и двухполюсного
короткого замыкания всегда идут круче характеристики трехполюсного

') При отсутствии тока в нейтрали генератора.—Прим! ред.
короткого замыкания. Выражения (51.24) и (51.19) позволяют определить
отношение наклонов характеристик двухполюсного и трехполюсного корот-
ких замыканий, т. е.

tga2 __ А3

tg as А2 o>S3

(51.27)

а выражения (51.26) и (51.20) позволяют найти аналогичные отношения для
однополюсного короткого замыкавия, т. е.

tg«i

tg«3

1/3 шб1! А

lyM/L '

(51.28)

Численное значение этого отношения лежит между 2 и 3.

Остаточные напряжения на зажимах генератора, определяемые точ-

ками пересечения характеристик короткого
холостого хода, будут при однополюсном
и двухполюсном коротких замыканиях
всегда больше, чем при трехполюсном, а
ослабление намагничивающего тока под
действием реакции якоря—меньше. Но,

замыкания с характеристикой

как показывают выражения (51.10) и (51.20),
эффективные числа витков статорных об-
моток уменьшаются при двухполюсном и
однополюсном коротких замыканиях соот-
ветственно в р 3 и 3 раза по сравнению с
трехполюсным. Поэтому при определении
величин токов короткого замыкания сле-
дует пересчитать в этих отношениях их
масштабы на диаграмме (эти коэффициенты
пересчета указаны на фиг. 672). По этой
причине ток двухполюсного короткого
замыкания всегда больше трехполюсного,

4=' 4=»

4=/.5 4-*

4=$5 4='

<77777777777777777^7777

Ф и г. 673.

ток однополюсного короткого

замыкания значительно больше двухполюсного.

Если бы характеристика холостого хода машины, показанная на фиг. 672,
шла в начальной части очень круто или если бы реактивное сопротивление
рассеяния было очень малым, то длины всех трех Ih -отрезков, отсекаемых
характеристиками короткого замыкания, различались бы незначительно.
В этом предельном случае ток при двухполюсном коротком замыкании
на зажимах был бы в j/З раз, а при однополюсном в 3 раза больше тока трех-
полюсногсг замыкания. Однако характеристика холостого хода имеет не столь
большой наклон, и поэтому /^-отрезки при однополюсном и двухполюсном
коротких замыканиях всегда меньше, чем при трехполюсном, вследствие
чего наблюдаемые на практике значения меньше указанных. В среднем
при двухполюсном замыкании ток в 1,5 раза, а при однополюсном—в 2,5 раза
больше, чем ток трехполюсного короткого замыкания. Эти значения при-
ведены на фиг. 673, где, кроме того, даны относительные значения ударных
токов, примерно одинаковые /для всех трех видов короткого замыкания.
Все эти данные относятся к коротким замыканиям вблизи генераторных
зажимов.

Если короткое замыкание происходит не вблизи генераторных зажимов,
а в более или менее удаленной точке сети, то соответствующее реактивное
сопротивление проводов добавляется к сопротивлению рассеяния, как это
было показано на фиг. 672. При однополюсном коротком замыкании сопро-
тивление проводов должно быть приведено к напряжению между зажи-
мами, т. е. увеличено в )/3 раз, чем достигается увязка с характеристикой
холостого хода.

41 Р. Рюденберг
На фиг. 669 были представлены схемы трех различных простых видов
короткого замыкания, между тем как на практике часто происходят одно-
временные замыкания различных видов. Наиболее важными случаями
являются одновременное короткое замыкание на землю двух фаз при зазем-
ленной нейтрали (фиг. 674,а) и двухполюсное замыкание одновременно
с однополюсным (фиг. 674,6). Каждое из этих двух отдельных замыканий

Фпг. 674.

может произойти в различных местах сети. Одновременное замыкание двух
фаз на землю (фиг. 674, а) можно рассматривать либо как разность между
трехполюсным и однополюсным короткими замыканиями, так что реакция
якоря при таком сочетании замыканий будет

Л2+1 = Л3-Л = Л, —| А = ж Л = 0,67 А, (51.29)

либо как сумму двух однополюсных коротких замыканий, когда реакция
якоря опять-таки равна 2Л3/3. Общая реакция якоря в схеме, изображенной

на фиг. 674, б, являющейся сочетанием однополюсного и двухполюсного
коротких замыканий, будет равна

Л1+2 = |43 + у=Л3 = 1±Д Л3 = 0,91Л3. (51.30)

Численно обе эти величины лежат между значениями А3 и А2, как пока-
зано на фиг. 675. Они дают те значения реакции якоря, которые имели бы
место при каждом из замыканий, если бы ток в обмотках статора имел ту же
величину, что и при трехполюсном коротком замыкании. Поскольку в обоих
случаях (см. фпг. 674) не все секции обмотки участвуют в образовании реак-
ции якоря или участвуют в меньшей степени, эта последняя слабее, чем прй
трехполюсном замыкании.

Мгновенное значение э. д. с., необходимой для того, чтобы поддержи
вать в цепи, изображенной на фиг. 674, а, ток короткого замыкания, можно
найти из выражения (51.21)

e2+i= ddl{(Li^, 71Я2) + (Лг2 + ЛП’1)] = (Л4-Л/)^ (q + ?2). (51.31)

Поскольку токи гх и г2 сдвинуты по фазе на 120°, сумма их в ]/3 раз болыпо
каждого из них. Учитывая это обстоятельство, а также выражение (51.22),
получаем

е2+1=/3(£ + Л/)^ = е8, (51.32)

и поэтому

o>52+i = ‘“•SV (51.33)

Отсюда при помощи соотношений (51.29) и (51.33) получим отношение-
наклонов характеристик короткого замыкания •

tga2+i ш52+1 As з

tga3 ^2+1 2

(51.34)

Соответствующая прямая пересекает на фиг. 675 характеристику холо-
стого хода при большем остаточном напряжении и при меньших ампервитках*

реакции якоря, чем при трехиолюсном
замыкании. Однако из выражения (51.29)
следует, что длина горизонтального
отрезка, изображающего эти ампервит-
ки, представляет только 2/3 значения
тока короткого замыкания А2+1, как
это и отмечено на фиг. 675. Таким обра-
зом, ток короткого замыкания будет в
этом случае примерно в 1,3 раза боль-
ше тока трехполюсного замыкания.
Обращаясь к фиг. 673, мы видим, что

Фиг. 676.

этот результат лежит между значениями токов трехполюсного и двухпо-
люсного замыканий.

Теперь предположим, что оба замыкания, показанные на фиг. 674, б,
происходят хотя неодновременно, но в разных точках линии передачи, как
это показано на фиг. 676. Такие сложные повреждения являются довольно
обычным явлением, например, во время грозы. Электрические расстояния
мест замыканий от заземленной нейтрали генератора можно выразить через
величины суммарных индуктивностей и L2, отнесенных к принятому за
основу трехполюсному замыканию. Результирующую характеристику этих
двух цепей можно составить из характеристик отдельных цепей путем сложе-
ния размагничивающих ампервитков при заданной э. д. с. Итак, мыдолжны
сложить котангенсы углов, определенных соотношениями (51.27) и (51.28).
Относя теперь угол а3, соответствующий основному случаю трехполюсного
короткого замыкания, к месту замыкания на землю, где часто проходит
весьма большой ток, мы должны уменьшить величину etg а2 в отношении
Lj/L2, причем значения этих индуктивностей определены на одну фазу"
при трехполюсном коротком замыкании в точках 1 и 2. Тогда мы будем

иметь

t » Д . < 1+Л//Х , 1 ГЛ /гл or-

ctga1+2 = ctga1-f x;Ctga2=Q-3—-+*2 -ц) ctSaa- («И. 35)
Отсюда для отношения наклонов результирующей характеристики
и характеристики при трехполюсном коротком замыкании в точке 1, получим
tga. ,9 6

~tg^T = 2(1+^/£) + ЗЛ/£а ' (51 36)

Отношение М/L обычно имеет величину порядка х/4, и если L2—L^ (это
соответствует случаю, когда оба коротких замыкания происходят вблизи
зажимов генератора), то наклон результирующей характеристики будет
в 1,1 раза больше наклона характеристики трехполюсного короткого замы-
кания. В рассмотренном примере характеристика двойного замыкания
лежит выше характеристики трехполюсного замыкания на 10% и токи
оказываются соответственно больше.

При замыканиях на землю в удаленных точках сети следует учитывать
возрастание индуктивности цепи короткого замыкания, обусловленное
обратными токами в земле, рассмотренными в гл. 30. Это следует иметь
в виду и тогда, когда оба замыкания происходят в одном и том же месте.

Если индуктивность и угол наклона характеристики а3 поддержи-
ваются постоянными, а индуктивность Ь2, соответствующая двухполюсному
замыканию, меняется, то угол наклона характеристики двойного замыка-
ния ai+2 либо увеличивается, либо уменьшается. При L2 = со предельное
значение выражения (51.36) приближается к простому соотношению (51.28)
для однополюсного замыкавия.

Пересечение результирующей характеристики короткого замыкания
с характеристикой холостого хода определяет показанную на фиг. 675
остаточную э. д. с. Ei+2 генератора. Соответствующие этой э. д. с. характе-
ристики каждого из замыканий, изображенные пунктирными линиями,
позволяют определить в отдельности токи двухполюсного и однополюсного
замыканий. Остаточное напряжение С/\+2 на зажимах генератора также
можно определить с достаточной степенью точности по диаграмме, изобра-
женной на фиг. 675.

§ 4. Влияние реакторов. Из предыдущего следует, что значения удар-

ного и установившегося токов короткого замыкания определяются совер-
шенно различными факторами. В то
время как переходный ток полностью
определяется напряжением сети, ин-
дуктивностями рассеяния генератора
и трансформатора и индуктивностью
линий, ток установившегося корот-
кого замыкания, помимо этого, зависит
от реакции якоря генератора, от его
насыщения и возбуждения. Если вклю-
чение катушек с умеренной индуктив-
ностью всегда снижает величину удар-
ного тока короткого замыкания, то
этого нельзя безоговорочно утверждать
относительно установившегося тока
короткого замыкания. Влияние ка-
тушки на величину установившегося
тока будет различным, смотря по то-

му, расположена ли она близко или далеко от станции.

Из фиг. 677 следует, что при коротком замыкании вблизи электростан-

ции удвоение реактивного сопротивления в цепи генератора приводит лишь
к небольшому уменьшению установившегося тока, особенно при значитель-
ном насыщении генератора. Величина этого тока определяется в основном
гоком возбуждения и реакцией якоря генератора. Однако при удвоении
сопротивления внешней цепи существенно возрастает напряжение на зажи-
мах генератора U. Иначе обстоит дело при коротких замыканиях в отда-
ленных точках цепи, когда наклон характеристики короткого замыкания
велик и когда ток короткого замыкания сравнительно мало загружает гене-
ратор. Как видно из фиг. 677, в этом случае удвоение внешнего сопротивле-
ния снижает величину тока короткого замыкания примерно вдвое. На вели-
чине напряжения на зажимах короткое замыкание почти не сказывается.

Токи короткого замыкания в отдаленных точках сети определяются
главным образом напряжением генератора и реактивным сопротивлением
цепи, тогда как ток возбуждения и реакция якоря машины играют второ-
степенную роль. В этом случае величину установпвшегося тока короткого
замыкания можно найти достаточно точно простым делением напряжения
на реактивное сопротивление. Так как этим же частным определяются и зна-
чения ударного тока, то ясно, что последний не может превысить сколько-
нибудь значительно величину установившегося тока короткого замыкания
При коротких замыканиях в отдаленных точках отношение ударного тока
короткого замыкания к установившемуся равно от 1,8 до2, в то время как при
коротких замыканиях вблизи генератора оно доходит до 10 или даже 20.

Если короткое замыкание происходит вблизи электростанции, напря-
жение на ее главных шинах мгновенно падает до нуля. При этом полностью
прекращается питание от данной станции сети и включенных в нее потре-
бителей. Кроме того, синхронизирующие моменты генераторов этой стан-
ции уменьшаются до нуля, вследствие чего последние могут выпасть из син-
хронизма. Единственной предупредительной мерой является применение
защитных реакторов, включаемых во все отходящие от шин линии. Реакторы
не только ограничивают величину токов короткого замыкания, но и предот-
вращают полную посадку напряжения на главных шинах. Таким образом,
реакторы способствуют локализации аварии в поврежденной линии. Такой
способ защиты шин при помощи реакторов L, включенных в отходящие
линии, показан на фиг. 678.

На фиг. 679 показано, как изменяется напряжение на главных шинах
после возникновения короткого замыкания вблизи станции. При отсут-
ствии реакторов напряжение падает до нуля и начинает восстанавливаться
лишь после отключения короткого замыкания. Сначала происходит скачок
до некоторой умеренной величины, соответствующей магнитному потоку гене-
ратора, уменьшившемуся за время короткого замыкания, а затем постепен-
ный подъем вплоть до первоначального значения. Если же короткое замы-
кание происходит в линии, защищенной реактором, то напряжение на шинах
в первый момент уменьшается скачком, но очень незначительно, а именно
до величины падоПия напряженпя на реакторе при сильно сниженном токе
короткого замыкания. Вплоть до отключения короткого замыкания напря-
жение на шинах продолжает постепенно уменьшаться, что обусловлено
реакцией якоря. После отключения короткого замыкания оно сравнительно
быстро восстанавливается, приближаясь к исходному значению.

На практике требуется, чтобы короткое
вамыкание в одной из линий, например по-
казанное на фиг. 678, не оказывало бы ощу-
тительного влияния на остальные линии и что-
бы генераторы па электростанции не выпадали
из синхронизма. Как следует из опыта, для
этого необходимо, чтобы в течение времени
короткого замыкания (несколько секунд или
даже меньше) напряжение на главных шинах
не падало ниже 2/3 или в крайнем случае 1/2
нормального значения. Если для ликвида-
ции короткого замыкания требуется большее
время, то свободный ток затухнет почти пол-

Ф и г. 681.

« 1 «ИМО

* J

gi 1-—Й
S

костью, а напряжение на шинах достигнет к моменту отключения устано-
вившегося значения (см. верхнюю кривую на фиг. 679). В этом случае рас-
четы можно производить по диаграммам установившегося состояния, при-
веденным, например, на фиг. 664 и 666.

Диаграмма на фиг. 680 позволяет определить установившиеся токи
короткого замыкания и напряжения, которые получатся при защите линий
реакторами (см. фиг. 678). Потребуем, чтобы при коротком замыкании
в линии напряжение на реакторе, а следовательно, и на шинах сохраняло
определенное значение Uk, равное, скажем, половине нормального напря-
жения Ео. Параллельно характеристике рассеяния Eg и на расстоянии от
нее, равном СД, проводим пунктиром прямую, пересекающую характеристику
холостого хода Е. Через точку пересечения должна пройти характеристика
короткого замыкания, нанесенная жирной линией и отсекающая на оси
ординат то сопротивление u>L, которым должен обладать реактор. Масштаб
отрезка <uE находится сопоставлением с отрезком wS, изображающим сопро-
тивление рассеяния генератора.

Установившийся ток короткого замыкания снижается реактором от
величины /Ло до Ik, т. е. не так уж сильно. Реактор должен быть рассчитан
на протекание этого тока в течение времени, необходимого для ликвидации
короткого замыкания. Если бы через реактор проходил нормальный рабочий
ток 1п всей электростанции (который создает внутри генераторов напряже-
ния рассеяния Es), то падение напряжения на реакторе было бы равно Un.
Однако в нормальном режиме через реактор протекает лишь небольшой ток
линии Zz, создающий па нем падение напряжения Uz, которое можно опре-
делить непосредственно из графика для любого конкретного случая. Это
небольшое падение напряжения в нормальном режиме определяет размеры
реактора.

Пусть, например, от шип станции отходят пять одинаковых линий,
как это и показано на фиг. 678, и пусть напряжение на шинах в условиях
короткого замыкания не опускается ниже 2/3 от нормальной величины.
Выполнив построение, аналогичное показанному на фиг. 680, найдем для
кратности тока короткого замыкания величину IhUn=2,b. Отсюда падение
напряжения на реакторе при его нормальной работе составит

4 4 = 5,3%.

3 2,5 5

Такое падение напряжения можно считать приемлемым для сетей с не слиш-
ком малым коэффициентом мощности. При большем числе линий необходи-
мое падение напряжения на реакторе может быть еще меньше.

Такие реакторы вследствие их стабилизирующего воздействия на систе-
му и сравнительно небольших размеров являются одним из наиболее целе-
сообразных средств борьбы с последствиями коротких замыканий. На
фиг. 681 показан внешний вид реактора, предназначенного для мощных стан-
ций. Обмотка реактора должна быть рассчитана на механические силы,
возникающие при прохождении наибольшего возможного тока короткого
замыкания. Размеры поверхности обмотки выбираются из такого расчета,
чтобы ее перегрев в нормальном режиме лежал в пределах от 60 до 90° С.
Однако поперечное сечение провода обмотки должно выбираться с учетом
кратковременного нагревания ее одновременно установившимся и свобод-
ным токами короткого замыкания. Обычно поперечное сечение провода
обмотки выбирается так, чтобы температура не поднималась выше 250—
350е С и тем самым устранялась возможность повреждения изоляции обмотки.

Применять стальные сердечники для увеличения индуктивности в таких
реакторах не целесообразно из-за их насыщения. Токи и магнитные поля
реакторов достигают при коротких замыканиях огромных значений, и как
раз тогда, когда требуется максимальная индуктивность, она существенно
уменьшается из-за насыщения сердечника. При малых же токах, когда тре-
буются малые падения напряжения на реакторах, насыщение будет отсут-
ствовать и индуктивность реактора будет чрезмерно большой. Поэтому
реакторы для ограничения токов короткого замыкания всегда делаются без
стальных сердечников.

Чтобы оцепить, в какой мере реакторы снижают величину ударных токов
короткого замыкания, можно воспользоваться формулами (14.1) и (14.2),
служащими для определения ударного тока при коротком замыкании на
генераторных зажимах. Однако входящая в эти выражения величина Eg
должна теперь включать индуктивное падение напряжения на реакторе.
Если применяются реакторы, дающие при нормальном токе падение напря-
жения 5%, то, добавив сюда около 1% на падение напряжения в линии,
мы найдем, что в системе очень большой мощности с почти неизменным
напряжением на шинах кратность ударного тока не превысит

А = 1,8-4-= 30.

* п Ь

Наиболее распространенными реакторами являются такие, в которых паде-
ние напряжения составляет 3—5%. При номинальном токе и cos®=0,7
они создают падение напряжения 2—3,5%.
ЛИТЕРАТУРА

Biermanns J., Arch. Elektrotechn., 8, 275 (1919).

Das Verhalten der Synchronmaschine beim Kurzschluss iiber Streckenwiderstande.
Blondel A., Rev. gen. elec., 29, 3 (1931).

Sur 1’etude directe des systemes triphases desequilibres an moyen d’impedances
et admittances mutuelles de phases dans les problemes de chutes de tension et de mise
en court-circuit.

Boucherot P., Lavanchy Ch., CIGRE, 1083 (1923).

Methodes actuelles de determination des courants de court-circuit sur les reseaux
a courant alternalif

Crivellari G., Elektrotechn., 17, 197 (1930).

Metodo rapido semi-sperimenlale per la determinazione della corrente di corto-
circuito permanente negli impianti eleltrici comunque complessi.

Fallou J., Rev. gen. elec., 16, 491 (1924).

Sur la determination de la reactance de dispersion des alternateurs synchrones.
Gormann G., Elektrotechn. Zs., 444 (1918).

Uber die Berechnung der KurzschlnBstrome in Leitungsnetzen.

Kade F., Arch. Elektrotechn., 12, 345 (1923).

Der Einfluss der Dampferwicklung auf einachsig kurzgeschlossene Synchronma-
schinen.

Miller A. R., Weil W. S., Trans. AIEE, 56, 1268 (1937).

Alternator short-circuit currents under unsymmetrical terminal conditions.
Ollendorff F. , Elektrotechn. Zs., 761 (1925).

Berechnung des ein-, zwei- und dreipoligen DauerkurzschluBstromes in Kraftwerken
und Netzen.

Pales trino C., Caminiti C., Energia elettr., 97 (1931).

Calcolo delle correnti di c.c. nella linea Cardano-Cislago della S. I. P.

Panzer bi eter Th., Elektrotechn. Zs., 719 (1924).

KurzschluBstrom bei Doppelerdschluss.

Poti er A., Uclair. electr., 24, 133 (1900).

Sur la reaction d’induit des alternateurs.

Reznicek J., Rev. gen. electr., 43, 419 (1938).

Reactance synchrone pour le calcul des courants permanents triphases de court-
circuit d'une machine synchrone.

Reznicek J., Rev. gen. electr , 43, 579 (1938).

Alternateur synchrone theorique pour le calcul des courants de court-circuit.

Robertson B. L., R о g e r s T. A , D a 1 z i e 1 C. F., Electr. Eng., 56, 858 (1937).
The saturated synchronous machine.

R ii d e n b e r g R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 3, No 2, 197 (1924).

Uber die Vorausbestimmung des DauerkurzschluBstromes von Wechselstromgenera-
toren.

Riidenberg R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 8, No 3, 50 (1929).

Der Einfluss des Netzwiderstandes auf den DauerkurzschluBstrom von Wechsel-
stromgeneraloren.

Riidenberg R., Ollendorff F., Jacottet P., T u n к e 1 M., Elektrotechn.

Zs., 193, 238, 926, 999 (1930); 1487 (1931).

Uber die Vorausbestimmung der KurzschluBstrome in elektrischen Starkstrom-
netzen.

Schurig O. R., Journ. AIEE, 605 (1923) (содержит библиографию).

Experimental determination of short-circuit currents in electric power networks.
Smith J. B., Weygandt C. N., Trans. AIEE, 56, 1149 (1937).

Double-line-to-neulral short-circuit of an alternator.

S t a v e r e n J. C., Elektrotechn., 215, 233 (1927).

De berekening der stationnaire en momenteele driephasen kortsluitstroomen in
kabel-en luchtnetten.

Wennerberg J., Asea-Journ., 109 (1927).

Sudden short-circuit of synchronous machines
Глава 52

ЕМКОСТЬ В ЦЕПИ ГЕНЕРАТОРОВ
И ДВИГАТЕЛЕЙ

В гл. 4 было показано, что в сети, обладающей большой емкостью
и питаемой от источника переменного тока с неизменной э. д. с., могут возни-
кать резонансные колебания. В этом случае генератор нагружается боль-
шим емкостным током, в результате чего могут появиться значительные
перенапряжения. Если резонанс происходит на одной из высших гармоник
э. д. с. генератора, то амплитуду этой гармоники и индуктивность обмотки
статора можно рассматривать как постоянные величины. Если же резонанс
происходит на основной частоте генератора, что возможно при очень боль-
шой протяженности сети, то реакция якоря, создаваемая емкостным током,
оказывается столь значительной, что магнитное поле машины существенно
изменяется. В этом случае индуктивность обмотки генератора уже не остается
постоянной и мы должны учитывать влияние емкостных токов на магнитную
характеристику машины, дающую зависимость между напряжением на зажи-
мах генератора и намагничивающим током. *

§ 1. Магнитное насыщение машин. Рассмотрим генератор переменного
тока, работающий на однофазную или трехфазную емкостную нагрузку
(см. фиг. 682). В режиме холостого хода (точнее, при отключенной сети)-

напряжение на его зажимах опре-
деляется характеристикой холостого
хода Е, показанной на фиг. 683.

При малом токе возбуждения на-
пряжение генератора растет почти

Ф и г. 683.

Ф и г. 682.

пропорционально току, при большом токе рост напряжения замедляется
вследствие магнитного насыщения стали. Для получения на зажимах статора
напряжения холостого хода Ео необходим намагничивающий ток под-
возимый к ротору от источника постоянного тока. Осуществить те простей-
шие предположения, которые были сделаны в гл. 4, можно лишь искусным
регулированием тока возбуждения, добиваясь того, чтобы напряжение на
зажимах генератора при загрузке его емкостью линии оставалось неизмен-
ным и равным Ео. Если бы емкость сети оказалась настолько большой,
что собственная частота всей установки вместе с индуктивностью генератора
оказалась равной рабочей частоте, то мы имели бы явления резонанса.

Однако в действительности невозможно осуществить такую регулировку
тока возбуждения. Ни напряжение на зажимах машины, ни даже ее э. д. с.
не являются заданными и не остаются неизменными. В установившемся.
режиме исходной заданной величиной можно считать намагничивающий
постоянный ток /и. Мы знаем, что отдаваемый генератором зарядный ток,
опережающий его напряжение на 90°, увеличивает магнитный поток. Если
величину емкостного тока, текущего по обмотке статора, умножить па отно-
шение эффективных чисел витков обмоток статора и ротора, то полученное
значение можно прибавить к намагничивающему току /ц, как показано
на фиг. 683. Откладывая полученную таким образом сумму токов /р.4-/с
на оси абсцисс, получим при помощи характеристики намагничивания
машины величину полной э. д. с., наводимой магнитным потоком. Этот

поток и соответствующая ему э. д. с. увеличены за счет реакции якоря, соз-
даваемой зарядным током сети. Однако это увеличение не пропорционально
зарядному току, что имело бы место при отсутствии насыщения. В действи-

тельности оно меньше вследствие
кривизны характеристики намаг-
ничивания машины.

Напряжению холостого хода
Ео генератора соответствовал бы
зарядный ток Тс, показанный на
фиг. 683. Однако этот ток создает
реакцию якоря, усиливающую маг-
нитный поток машины, что в свою
очередь вызовет увеличение напря-
жения. Чтобы определить дейс-
твительные величины напряжения
на конденсаторе (т. е. на зажимах
машины) и зарядного тока, необхо-

димо провести на фиг. 683 наклонную прямую Ес, представляющую зави-
симость между напряжением на емкости и зарядным током. Эта прямая
должна быть проведена вправо через точку на оси абсцисс, соответствующую
току возбуждения. Будем называть эту прямую характеристикой емкостной
нагрузки (пли емкостной характеристикой). Действительный режим гене-

ратора и нагрузки определяется точкой пересечения характеристики холо-
стого хода и характеристики емкостной нагрузки (см. фиг. 683).

При возрастании емкости сети наклон характеристики меняется, как
показано на фиг. 684. Построение емкостной характеристики лучше всего
вести так. От точки холостого хода надо отложить вправо отрезок, соответ-
ствующий такому емкостному току Тс, который возникал бы при напряже-
нии холостого хода £'о. Сложить токи 71г и Тс и соединить прямой полученную
точку с точкой на оси абсцисс. Пз фиг. 684 видно, что при возрастании
емкостного тока растет и напряжение; при небольшом насыщении генера-
тора оно может достичь значительной величины, но даже при очень боль-
ших зарядных токах резонансные явления, в собственном смысле этого
слова, невозможны. И здесь магнитное насыщение исключает всякую воз-

можность резонанса.

В ненасыщенном генераторе намагничивающий ток был бы пропорцио-
нален напряжению, и характеристика намагничивания была бы прямоли-
нейной (см. фиг. 685). Напряжение генератрра с ростом емкостного тока
делается все больше и больше, а когда обе характеристики станут парал-
лельными, обращается в бесконечность. Таким образом, при условии

Ic — 1'v.

(52.1)

наступит истинный резонанс. Замечая, что зарядный ток определяется через

(напряжение холостого хода Ео и емкость сети С выражением
а напряжение холостою хода, со своей стороны, выражается через намагни-
чивающий ток и взаимную индуктивность М между статором и ротором
в виде

£0 = ш^, (52.3)

где и>71/ означает реактивное сопротивление холостого хода генератора,
находим условие возникновения резонанса, т. е.

(О

Усм ~ У"‘‘

(52.4)

В этом соотношении обе величины С и AI должны быть отнесены либо к цепи
статора, либо к цепп ротора.

Итак, если колебательный контур, образованный емкостью сети н индук-
тивностью генератора при холостом ходе, имел бы собственную частоту,
равную рабочей частоте, то при отсутствии насыщения машина работала бы

Ф и г. 685. Ф и г. 686

в резонансном режиме. В системе с реальной машиной дело обстоит не так.
Это видно из фиг. 684, сслй провести через точку /с2 прямую, параллельную
начальной части характеристики намагничивания. В этом случае не произой-
дет какого-либо особенно большого увеличения напряжения, так как любая
тенденция к резонансу подавлена насыщением стали. Следовательно, если
генераторы переменного тока, предназначенные для питания протяженных
подземных кабельных сетей или длинных высоковольтных линий передач,
работают с достаточным магнитным насыщением цепи, то перенапряжения,
возникающие на их зажимах, при чисто емкостной нагрузке остаются в допу-
стимых пределах.

Если при заданной емкостной нагрузке уменьшить ток возбуждения
генератора 7И, то емкостная характеристика сместится влево и напряжение
на зажимах генератора уменьшится. Однако из фиг. 686 следует, что при
исчезновении тока возбуждения напряжение упадет до нуля лишь при
условии, если зарядный ток 1с станет меньше тока возбуждения холостого
хода ненасыщенной машины (его значение определяется экстраполяцией
начального участка характеристики, как это показано пунктирной линией).
В противном случае зарядный (емкостный) ток достаточен для того, чтобы
полностью намагнитить машину, не допуская, таким образом, исчезновения
магнитного поля. Система становится самовозбуждающейся и в ней создается
напряжение, величина которого, как видно из фиг. 686, определяется перэ-
сечением характеристик генератора и емкостной, причем обе они теперь
проходят через начало координат.

Такое самовозбуждение может возникнуть лишь при условии, если
емкостная характеристика идет ниже прямолинейной части характеристики
намагничивания. Для этого требуется, чтобы емкость была больше той,
которая получается из условия (52.4). или, иными словами, чтобы собствен-
ная частота контура, составленного из сети и ненасыщенной машины, была
меньше рабочей. То, что было условием резонанса в ненасыщенной системе,
становится в реальных условиях критерием самовозбуждения. Такая само-
возбудившаяся машина не нуждается в протекании тока возбуждения в цепи
ротора, и следовательно, самовозбуждаться способны и асинхронные машины.

Как было выяснено в гл. 26, в сети с изолированной нейтралью при
замыканиях на землю появляются большие зарядные токи. Если для рабо-
чей емкости получится при этом величина больше той, которая определяется
условием самовозбуждения (52.4), то даже после снятия возбуждения гене-
ратора сеть останется под напряжением, в особенности если она не нагру-
жена. Мало того, если зарядный ток линии будет больше тока возбуждения
генератора, может начаться длительное нарастание напряжения линии,
и прекратить его можно лишь устранением заземления.

§ 2. Влияние индуктивности рассеяния. Желая получить наиболее про
стое и ясное представление о рассмотренных явлениях, мы по сих пор отвле-
кались от магнитного рассеяния в машине. Чтобы учесть влияние всех

индуктивностей, по которым протекает емкостный ток, например проводов
линии, и, в первую очередь, индуктивностей рассеяния генератора и транс-
форматоров, достаточно вспомнить, что напряжения на этих элементах
пропорциональны току и опережают его на 90°, в то время как напряжение
на емкости отстает на 90° от тока. Таким образом, напряжение рассеяния
находится всегда в противофазе с напряжением па емкости. Поэтому на
фиг. 687 через точку проведена направленная вниз в сторону возрастания
тока прямолинейная характеристика напряжения рассеяния. Прямолиней-
ная емкостная характеристика строится совершенно так же, как и ранее,
и располагается выше характеристики рассеяния. Равновесие в цепи уста-
новится лишь при условии, если э. д. с. Е, определяемая характеристикой
намагничивания машины, будет равна разности емкостного напряжения Ес
и индуктивного напряжения Eg. Это условие выполняется в точке Пересе-
чения, обозначенной на фиг. 687 цифрой 1. Для этой точки справедливо
соотношение

Е = Ес — Eg,

(52.5)

которое определяет поведение системы.

Мы видим, что рассеяние видоизменяет действующую (результирующую)
емкостную характеристику, делая ее более пологой, так что машина теперь
работает при большем магнитном потоке и более высоком напряжении.
Напряжение на емкости возрастает на величину напряжения рассеяния,
и если зарядный ток и рассеяние машины велики, то она может значительно
превзойти нормальную величину. Однако и здесь мы не увидим резко выра-
женных резонансных явлений с их крутыми пиками напряжения.

Если угол наклона ёмкостной характеристики не больше угла наклона
начальной части характеристики намагничивания машины, то создаются
условия для самовозбуждения машины. Так как напряжение на индуктив-
ности рассеяния равно

Es = u>SIc, (52.6)

где через S обозначена суммарная индуктивность рассеяния машины, транс-
форматоров и линий, то с учетом соотношения (52.5) будем иметь

= (52.7)

что в связи с выражением (52.1) дает

= w (М + 5) = t»Lk. (52.8)

Индуктивности взаимная и рассеяния объединены здесь в общую
индуктивность Lh короткого замыкания генератора. Ее легко можно опре-
делить по измерениям при холостом ходе и коротком замыкании. Она будет
равна частному от деления напряжения холостого хода на ток короткого
замыкания при отсутствии ненасыщения машины. Предельное условие
самовозбуждения выражается следующим образом:

Оно приводит к численным значениям, мало отличающимся от находимых
из соотношения (52.4). Вследствие наличия индуктивности рассеяния гене-
ратор будет самовозбуждаться при несколько меньшей емкостной нагрузке.

Если постепенно увеличивать емкостную нагрузку генератора, начав
с небольших значений, то емкостная характеристика на фиг. 687 будет все
больше и больше наклоняться к оси абсцисс и наконец пересечет в двух
точках отрицательную ветвь характеристики намагничивания. Внешняя
точка 3 соответствует неустойчивому, а внутренняя точка 2—устойчивому
режиму. Это можно доказать таким же образом, как и в гл. 48. Емкостный
переменный ток генератора, ранее способствовавший намагничиванию ма-
шины, переменил направление и размагничивает машину сильней, чем
ее намагничивает постоянный ток возбуждения. Благодаря этому напра-
вление магнитного поля изменится на противоположное. Преобладание
емкости в цепи статора приводит к самовозбуждению машины, но в напра-
влении, обратном первоначальному. Напряжение при таком режиме падает
до сравнительно небольшой величины, которая определяется пересечением
отрицательных ветвей характеристик.

Хотя режим работы, соответствующий точке пересечения 2 на фиг. 687,
электрически устойчив, исследовать его экспериментально весьма трудно,
так как он неустойчив механически. Малейшее отклонение ротора от поло-
жения равновесия вызовет появление синхронизирующего момента, кото-
рый заставит ротор плавно перейти к смежному устойчивому положению.
Фаза наводимой э. д. с. изменится на 180° и установится устойчивый в меха-
ническом и электрическом отношениях режим, соответствующий рабочей
точке 1.

На фиг. 688 и 689 изображены зависимости э. д. с. Е и тока I гене-
ратора от величины емкостной нагрузки С (без учета их фазы). И ток и э. д. с.-

пн ачале увеличиваются, а затем прп некоторой определенной емкости,
заметно превосходящей необходимую для самовозбуждения, эти зависи-
мости становятся двузначными. В каком из двух режимов будет работать

система, является делом случая или, лучше сказать, зависит от фазы напря-

жения в момент включения нагрузки. На
несенные пунктиром неустойчивые ветви
показывают, что полные характеристики
можно рассматривать как деформирован-
ные резонансные кривые. На фиг. 690
показана зависимость абсолютного зна-
чения напряжения на емкости от вели
чипы последней.

Линии, проведенные па фпг. 688—690
штрих-пу нктиром, изображают соответ-
ствующий фиг. 686 случай самовозбуждения
при отсутствии постоянного намагничи-
вающего тока; сплошные кривые построены
применительно к случаю, когда по цепи
ротора машины проходит ток определен-
ной величины. Самовозбуждение становит-

ся возможным, начиная с того значения
емкости, которое вызывало бы резонанс при ненасыщенной машине. Э. д. с.
самовозбудившейся машины быстро растет по мере увеличения емкости
и достигает достатбчно больших значений, а затем при дальнейшем увели-
чении емкости идет между устойчивой и неустойчивой ветвями, характери-
зующими режим постороннего возбуждения. Такой режим самовозбужде-
ния характеризуется однозначной зависимостью от емкости нагрузки,
т. е. нс зависит от того, пересекает ли емкостная характеристика положи-
тельную или отрицательную ветвь характеристики намагничивания.

Если емкостная нагрузка станет больше той, для которой построена
диаграмма на фиг. 687, э. д. с., соответствующая устойчивому режиму на
отрицательной ветви, уменьшится. Однако э. д. с., определяемая ветвью
характеристики, соответствующей сильному насыщению, в конце концов
перестает заметно увеличиваться и остается почти постоянной. Создаются
условия, сходные с рассмотренным в гл. 4 случаем неизменной э. д. с., так
что можно ожидать появления резонанса. Действительно, при больших
нагрузках результирующая емкостная характеристика идет очень полого
и при определенном значении емкости совпадает с осью абсцисс. Точка
пересечения с характеристикой намагничивания уходит в бесконечность,
и обе величины Ес и Es становятся бесконечно большими.

Из выражения (52.5) получается общее соотношение

E=/c(i~wS') > (5210>

и если выполнено условие резонанса емкости с индуктивностью рассеяния,
т. е. при совпадении собственной и рабочей частот,

"=юг = ''- <5211>

зарядный ток 1С достигает при неизменной э. д. с. Е исключительно боль-
ших значений.

При еще больших емкостных нагрузках угол наклона емкостной харак-
теристики становится отрицательным, т. е. влияние напряжения рассеяния
будет преобладающим. Теперь характеристика нагрузки пересекает поло-
жительную ветвь характеристики намагничивания в единственной точке,
причем фаза э. д. с. генератора снова меняется на противоположную. Но
теперь это происходит не скачком, а непрерывно путем перехода э. д. с.
генератора через нуль.

При коротком замыкании внешней цепи, что соответствует бесконечной
емкости, рабочая точка на фиг. 687 определяется как точка пересечения
характеристики чисто индуктивной нагрузки (характеристики рассеяния)
с характеристикой намагничивания. Текущий по обмотке статора ток корот-
кого замыкания размагничивает генератор до такой степени, что его э. д. с.
уменьшается до величины, равной лишь падению напряжения на индуктив-
ности рассеяния. Этот случай подробно разобран в гл. 51.

Из всех этих рассуждений видно, что реяшм резонанса может уста
повиться в статорной цепи генератора лишь при такой емкости нагрузки,
при которой эта цепь (с учетом ее суммарной индуктивности) будет харак-
теризоваться собственной частотой, равной рабочей частоте. Для выполне-
ния этою условия требуются очень большие емкости. Такие емкости вряд ли
могут встретиться в энергетических сетях (с низкой рабочей частотой), так
как обусловленные ими зарядные токи сами по себе могли бы вызвать не-
допустимую перегрузку генераторов. Однако в цепях, питаемых высоко-
частотными генераторами, которым обычно свойственны большие потоки
рассеяния, часто используют явление резонанса для компенсации вредного
влияния индуктивности рассеяния.

§ 3. Влияние активного сопротивления и внешнего намагничивающего
тока. До тех пор пока емкость нагрузки невелика, влияние активного сопро-
тивления цепи незначительно. Однако оно существенно увеличивается при
возрастании тока, особенно в случае резонанса, и поэтому мы рассмотрим
его более подробно.

В схеме, показанной на фиг. 691, э. д. с. Е должна дополнительно ском
пенсировать падение напряжения ER на активном сопротивлении, находя-
щееся в фазе с током. Она должна удовлетворять обобщенному выражению (52.5)

E = V(E^ESY + Eb. (52.12)

Все три напряжения в правой части этого соотношения пропорциональны
току, так что уравнением характеристики нагрузки будет

£=//(i-w5y+jR2.- <52ЛЗ>
Таким образом, и в этом случае связь между э. д. с. и током цепи статора
остается линейной.

Однако теперь не весь ток I участвует в намагничивании машины, так
как активное сопротивление изменило его фазу. На магнитное поле гене-
ратора действует лишь его реактивная составляющая, вектор которой пер-
пендикулярен к вектору напряжения. Чтобы получить истинную характе-
ристику нагрузки, показанную на фиг. 692, надо прибавить к намагничиваю-
щему току /р только эту реактивную составляющую тока статора, выразив
ее в функции э.д.с. Наклон характеристики нагрузки проще всего находится
из соотношения (51.14), если заменить в нем внешнее индуктивное сопроти-
вление wL емкостным, равным —1/wC. Тогда объединив множитель перед
корнем с первым множителем подкоренного выражения, получим

(52.14)

жают влияние активного

Фиг. 691.

Вторые слагаемые в обеих квадратных скобках под радикалом отра-
сопротивления цепи, которое во всех случаях
увеличивает угол наклона характеристики на-
грузки. Таким образом, эта линия пересекает
магнитную характеристику в точке, которой
соответствует меньшая э. д. с., чем та, которая
соответствует цепи статора без активного сопро-
тивления. Когда активное сопротивление мало,
то его влияние незначительно. Однако, если
падения напряжений на емкости и на индук-

тивности рассеяния мало отличаются друг от друга, то наклон стано-
вится очень малым; в случае резонанса он имеет минимальное значение
tgaMHH. = /? j/l+(^)21). (52.15)

Следовательно, нулевой наклон, т. е. горизонтальное положение характе-
ристики нагрузки и соответствующие очень большие значения токов и напря-
жений в действительности никогда не могут быть достигнуты, в особенности
при значительных сопротивлениях. Тем не менее режим резонанса опреде-
ляет максимально возможное намагничивание машины, величина которого
существенно зависит от активного сопротивления цепи.

Можно указать на одно значение емкости, при котором будет иметь
место значителгное увеличение наклона характеристики нагрузки. Согласно
выражению (52.14), это значение определяется cooiHomeHHCMj

-L = wQ + wS, (52.16)

которому соответствует резонанс емкости с индуктивностью цепи статора
по поперечной оси. В этом случае второй сомножитель под корнем в выра-
жении (52.14) становится бесконечно большим, и характеристика нагрузки
занимает вертикальное положение. Таким образом, при таком резонансе
э. д. с. Е вновь становится равной э. д. с. холостого хода Ео. Так как в этом
режиме индуктивное и емкостное сопротивления в цепи статора взаимно

Этот результат является приближенным и пригодным лишь при R i»Q. Следу-
ющим приближением является

Если же R = u>Q, то tg “мвн. = 1,32 R. — Прим ред.
компенсируются, то ток статора определяется простым законом Ома и, сле-
довательно, равен EJR. При очень большой емкости, т. е. в случае преобла-

дающего влияния индуктивности, ток статора снова становится раз-
магничивающим током. Характеристика нагрузки получает наклон в про-
тивоположную сторону. По мере

увеличения емкости характеристи-
ка нагрузки постепенно прибли-
жается к прямой Eg, т. е. к ха-
рактеристике чисто индуктивной
нагрузки, показанной на фиг.692.

По мере возрастания емкост-
ной нагрузки точка пересечения
характеристики нагрузки и ха-
рактеристики намагничивания пе-
ремещается на последней от точ-
ки холостого хода сначала в об-
ласть больших значений э. д. с,
а затем обратно вплоть до неболь-
шого конечного значения э. д. с.
После того как указанным построе-

нием определена величина э. д. с. Е,
можно при помощи соотношения (52.13) найти величину тока статора, а затем
и напряжение на емкости. В определенной области значений емкости пересе-
чение происходит на отрицательной части характеристики намагничивания
(фиг. 692), так что режим становится многозначным. На фиг. 693 изобра-
жена зависимость между напряжением на емкости и ее величиной, и здесь

Фиг. 693.

Ф и г. 694.

напряжение повсюду конечно. Кривая регулярных режимов, точки кото-
рой соответствуют положительной ветви характеристики намагничивания,
напоминает резонансную, но имеет очень широкий максимум. Кривая ано-
мальных режимов, точки которой соответствуют отрицательной ветви,
построена без учета знака напряжения. Она распадается на устойчивые
и неустойчивые части, причем вторая показана пунктиром и вместе с первой
дает замкнутый контур.

Кроме того, на фиг. 693 нанесена кривая э. д. с. генератора при само-
возбуждении, имеющем место в отсутствие тока возбуждения, когда гене-
ратор возбуждается только емкостным током статора. Интересно отметить,
что такое самовозбуждение возможно лишь в определенной области значе-
ний емкости, начиная от того, при котором возникает резонанс закорочен-
ной машины с ненасыщенной магнитной пепыо, и кончая значением, соответ-
ствующим резонансу с поперечным полем, При точной настройке на этот
42 р. Рюденберг
резонансный режим самовозбуждецие, конечно, не наступит, поскольку
в отсутствие тока возбуждения Iv, вертикальная характеристика нагрузки
пересечет характеристику намагничивания только в точке, соответствующей
нулевой э. д. с. Максимальное самовозбуждение возникает при минималь-
ном наклоне характеристики нагрузки, определяемом из выражения (52.15).

Ф п г. 695.

Этот наклон больше того, который требовался для самовозбуждения машин
постоянного тока (см. фиг. 544). Различие обусловлено тем, что э. д. с. само-
возбуждающейся машины переменного тока в этом предельном случае
должна компенсировать падение напряжения не только на активном сопро-
тивлении, но еще и на реактивных сопротивлениях емкости, индуктивное ги
рассеяния и индуктивности реакции якоря по поперечной оси.

На фиг. 694 приведены результаты измерения напряжения и тока рабо-
тающей в режиме самовозбуждения асинхронной машины мощностью 15 ква
с напряжением 625 в и частотой 50aif
при различных значениях емкости в
цепи статора. Самовозбуждение насту-
пает при величине емкости в 40 мкф.
Ход кривых напряжения и тока на
фиг. 694 хорошо согласуется со штрих-

Ф и г. 696. пунктирными кривыми на фиг. 689

и 693.

Подобно последовательно включенному активному сопротивлению дей-
ствует и сопротивление, подключенное параллельно емкости и представляю-
щее активную нагрузку сети и генератора. Это сопротивление так же, как
и последовательно включенное, вызывает существенное увеличение наклона
характеристики нагрузки и тем самым ограничивает повышение э. д. с. гене-
ратора. Если активная нагрузка внезапно отключается от сети с большой
емкостью, то наклон характеристики нагрузки уменьшается и следует ожи-
дать значительного увеличения напряжения.

Это явление часто наблюдается при одновременном отключении от сети
асинхронных двигателей и конденсаторов, применяемых для улучшения
коэффициента мощности. Вследствие инерции скорость двигателя будет
уменьшаться лишь постепенно, и благодаря конденсатору он может само-
возбудиться до такой степени, что его напряжение вскоре окажется больше
нормального. На фиг. 695 приведена осциллограмма этого явления, на кото-
рой хорошо видно возрастание напряжения до 130% от нормального.

Значительное влияние на поведение емкостных систем оказывает намаг-
ничивающий ток трансформаторов, которые обычно включаются между
генератором и линией передачи, как показано на фиг. 696. Так как благо-
даря насыщению намагничивающие токи трансформаторов растут быстрее,
чем напряжение, то при значительных перенапряжениях эти отстающие
по фазе от напряжения токи могут превзойти опережающие емкостные токи.
Чтобы получить результирующую характеристику нагрузки Е-р, намагнн
чивающий ток трансформатора 1р нужно вычесть из емкостного тока 1с для
каждого значения напряжения (фиг. 697). Ее можно еще уточнить, если
учесть, как было показано выше, влияние индуктивности рассеяния и актив-
кого сопротивления. В результате характеристика нагрузки, отражающая
процесс насыщения сердечников трансформаторов, также станет криво-
линейной. Точки ее пересечения с характеристикой намагничивания машины
определяют реальные рабочие режимы и соответствующие им значения

а. д. с. генератора. По величине этой э. д. с можно определить все осталь-
ные напряжения и токи по обычным правилам теории цепей. Из фиг. 697
видно, что благодаря магнитному насыщению сердечников трансформаторов
характеристика нагрузки сильно искривляется, вследствие чего возраста-
ние э. д. с. существенно ограничивается.

ЛИТЕРАТУРА

Adams С. G.,* McClure .1. Б., irans. AIEE, 67, 521 (1948).

Underexcited operation of turbogenerators.

Bet henod J., Rev. gen. elec., 14, 307 (1923).

Auto-amorcage des machine» a rotor cylindrique associees a des condensateurs.

Bodine R. B., Concordia C., Kron G., Trans. AIEE, 62, 41 (1943).

Self-excited oscillations of capacitor-compensated long-distance transmission systems,.

Hague F. T., Electr. Journ., 368 (1915).

Characteristics of alternators when excited by armature currents.

.lea n-R i c h a r d C., Bull. asso. sui elec.. 38, 341 (1947).

Schutz gegen unkontrollierte Riickspannung von Asynchron-Maschinen mit Kon-
densatoren herriihrend.

Killgore C. L., Trans. AIEE, 66, 1277 (1947) (содержит библиографию)

Excitation problems in hydroelectric generators supplying long transmission lines.

L a b о u r e t J., Rev. gen elec., 10, 875 (1921).

Repercussion des lignes de fortes capacites a vide sur Ie fonctionnemeut des alter-
na tours.

Leonhard A., Arch. Elektrotechn., 35, 731 (1941).

Selbsterregungserscheinungen bei Betneb von явупсЬгоптавсЫпеп fiber lange
Leitungen

Lund H., Elektrotechn. Zs., 1362 (1922).

Uherspannungen durch Selbsterregung von Asynchrongeneratoren.

Newbury F. D., Electr. Journ., 363 (1918).

The behaviour of alternators with zero power-factor leading current.

Il uden berg R., Polytech. Weckblad, 625 (1922).

Abnormale verschijnselen in wisselstroom-circuits met capaciteit en niagnetische
verzadiging.

Srinivasan A., Thomas M. A., Trans. AIEE, 66, 145 (1947).

Dynamic braking by self-excitation of squirrelcage motors.

Wagner C. F., Trans. AIEE, 60, 1241 (1941).

Self-excitation of induction motors w ith series capacitors.
Глава 53

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИНХРОННЫХ МАШИНАХ

При всех изменениях нагрузки синхронных машин режим их работы изме-
няется не мгновенно: новое установившееся состояние наступает лишь спустя
некоторый промежуток времени, зависящий от постоянных времени магнит-
ных полей. В общем виде такие переходные процессы были рассмотрены
в гл. 12, но их количественная сторона в значительной степени определяется
магнитным насыщением. Следовательно, мы должны развить более точный
метод количественного исследования с учетом криволинейности характери-
стики намагничивания машины.

§ 1. Изменение тока и напряжения во времени. На фиг. 698 изображена
принципиальная схема синхронной машины. Ротор машины возбуждается
напряжением е и током i, а вращающийся магнитный поток Ф наводит

Ф и г. 698.

в обмотке статора’ электродвижущую силу Е, которая, в свою очередь,
вызывает ток I в цепи, содержащей индуктивность рассеяния обмотки Л’ и
внешнее реактивное сопротивление нагрузки X.

Переходный ток в обмотке возбуждения, имеющей активное сопротив-
ление-/ и число витков w, определяется уравнением

^4-" = *(')•

(53.1)

Напряжение возбуждения часто можно считать постоянным. Однако
е (t) может и изменяться во времени, например при применении автома-
тических регуляторов, реагирующих на изменения тока нагрузки или на-
пряжения сети. Поток Ф мы выразим через э. д. с. в обмотке статора Е,

пользуясь соотношением

Ф _ JL
Фо ~ Ео ’

(53.2)

где индекс 0 отмечает величинь!, соответствующие нормальному рабочему
режиму. Тогда первый член левой части уравнения (53.1) будет иметь
вид

</Ф гаФ0 dE____гр dE

W~dt 1Га dt — 1 mdl ’

Здесь через

т —

Ео

(53.3)

(53.4)
обозначена постоянная времени машины, являющаяся вследствие про-
порциональности между потоком и напряжением абсолютной постоянной.

В цепи статора, где проходит переменный ток частоты и, мы должны
различать внутреннее падение напряжения на реактивном сопротивлении
рассеяния машины и внешнее падение напряжения на нагрузке, причем
последнее равно напряжению сети или на зажимах генератора U.
Пользуясь амплитудными или действующими значениями токов и напря-
жений, мы можем написать следующее выражение для э.д.с. генератора:

Е = coSZ + U = wSI + XI = («5 4- X) I.

(53.5)

Это соотношение является строгим лишь при неизменных амплитудах
напряжения и тока. Впрочем, если амплитуды изменяются медленно

по сравнению с быстрыми изменениями,
то можно не вводить поправок.

Сопротивление нагрузки может быть
либо чисто индуктивным, и тогда его
следует записать в виде

X = wL,
либо чисто емкостным, и тогда

Х= --4.

соС

(53.6)

(53.7)

Оно может
но пока мы
реактивной

быть также комплексным,
ограничимся случаями чисто
нагрузки, которым соответ-

происходящими с частотой сети,

ствуют формулы (53.6) пли (53.7).

Зависимость э. д. с., наводимой в

обмотке статора от тока воз-
буждения в обмотке ротора, дается характеристикой намагничивания
машины (фиг. 699). Магнитный поток в цепи машины образуется сов-
местным действием намагничивающего тока в обмотке ротора i и раз-

магиичивающего тока в обмотке статора I. Чтобы иметь возможность
сравнивать эти токи и учесть реакцию якоря, мы приведем ток в обмотке
статора к числу витков ротора, умножив его на отношение т чисел вит-
ков статорной и роторной обмоток.

Таким образом, э. д. с. машины является функцией обоих токов, и
характеристика намагничивания описывается соотношением

E — E(j — ml).

(53.8)

Это соотношение одинаково справедливо как для установившихся, так
и для медленно меняющихся режимов работы машины. В последнем слу-
чае I представляет собой изменяющееся амплитудное, или действующее,
значение тока в обмотке статора.

При холостом ходе машины (точнее—при разомкнутой цепи статора),
когда 7 = 0, напряжение в соответствии с соотношением (53.8) равно

E = E(i)

(53.9)

и зависит только от тока возбуждения г. График функции (53.9) пред-
ставляет собой характеристику холостого хода, которую можно представить

также в виде

г = г (Е),

(53.10)

если считать напряжение Е заданной, а соответствующий ему ток воз-
буждения холостого хода г искомой величинами для ненагруженной
машины. Таким образом, для наведения э. д. с. Е в статорной обмотке
нагруженной машины требуется ток возбуждения [см. (53.8)]:

i = ill(E) + ml. (53.11)

Первый член в выражении (53.11) можно определить по характеристике
холостого хода, а второй член —по величине реактивного тока в обмотке
статора. Но, как показывает соотношение (53.5), ток в обмотке статора
зависит также от электродвижущей силы

и поэтому может быть представлен на характеристике холостого хода (см.
фиг. 699) в виде прямой линии. Ее мы назовем характеристикой сети (нагруз-
ки). Наклон этой характеристики вполне определяется постоянной величиной
u>5 + X, которая на чертеже обозначена через X -j- х.

Если в уравнении (53.1) величины, относящиеся к дени ротора, заме-
нить их выражениями из (53.3), (53.11) и (53.12), то получим

r.f-< w-r [Ь («) + -да Е] . (53.13)

При любом заданном законе изменения напряжения возбуждения е можно
при помощи этого уравнения графически определить изменение э. д. с.,
наводимой в обмотке статора. Это возможно потому, что внутри квад-
ратных скобок в правой части уравнения (53.13) содержатся функции
только э.д.с. Е, а именно первый член представляет собой ток воз-
буждения холостого хода, определяемый но характеристике машины,
а второй член — приведенный ток нагрузки, определяемый по характе-
ристике сети, причем обе эти характеристики изображены на фиг. 699.
Уравнение (53.13) показывает, что как только установившийся ток возбуж-
дения efr перестает быть равным сумме только что названных своих сла-
гающих, магнитной поток, а вместе с ним и э.д.с. статора Е, начнут
изменяться в соответствии с постоянной времени Тт.

Чтобы сравнивать между собой расчеты, произведенные на основании
уравнения (53.13) для различных машин, удобно преобразовать это урав-
нение так, чтобы в него входили только безразмерные величины. С этой
целью введем, как показано на фиг. 699, ток возбуждения холостого хо-
да г0 и напряжение возбуждения холостого хода е0, соответствующие
э.д.с. холостого хода Ео в обмотке статора. Таким образом, имеем

со = гдо = гг’р.(^о)- (53.14)

Разделив обе части уравнения (53.13) на напряжение е0, в соответствии
с выражением (53.14) получим дифференциальное уравнение

ш у d (Е/Ео) _ е (t) St .^2

р dt ей i0 * V • /

в которое входят только безразмерные величины.

Здесь через

= = = (53.16)

обозначена постоянная времени цепи ротора в режиме холостого хода,
В отличие от постоянной времени Тт, определяемой соотношением (53.4).
663
эта величина не является абсолютной постоянной машины, а зависит
от положения выбранной рабочей точки на характеристике холостого хода
и от напряжения возбуждения или активного сопротивления цепи ротора,
так как величины магнитного потока Фо и напряжения возбуждения е0
уже не пропорциональны друг другу. Однако постоянная времени Тр зави-
сит лишь от параметров обмотки ротора и в отличие от Тт совершенно
не зависит от параметров обмотки статора, что является очень выгодным
обстоятельством при сравнении машин различных типов.

Величина J]?, входящая в последний член уравнения (53.15), пред-
ставляет сумму внутреннего и внешнего токов возбуждения, которые
в уравнении (53.13) помещены в квадратных скобках и которые изо-
бражены графически на фиг. 699. Эта сумма представляет собой пол-
ный намагничивающий ток, создающий и внутренний и внешний
магнитные потоки машины, необходимые для генерирования заданной
э. д. с. Е. При индуктивной нагрузке генератора член, определяемый харак-
теристикой сети, является, как это видно из фиг. 699, положительным,
а при емкостной нагрузке генератора —отрицательным. В последнем случае
характеристика сети расположена в первом квадранте. Таким образом,
в каждой конкретной задаче все величины, входящие в правую часть
уравнения (53.15), можно считать известными и, следовательно, всегда
можно найти изменение относительной э. д. с. машины, например гра-
фичсским способом последовательных приближений.

Если во время переходного процесса напряжение возбуждения е
остается постоянным, то мы можем ввести ток i, определив его как
ней вменяющееся частное е/r, и тогда уравнение (53.15) примет следующий
вид:

rj, d(E/E0) _ J S i _ д£
₽ dt Iq Iq i"o

Так как разность токов △? зависит только от э. д. с. Е, то перемен-
ные в уравнении (53.17) разделяются, и оно может быть точно проинтегри-
ровано. Время, прошедшее с момента начала переходного процесса, можно
представить интегралом

t = > <53Л8>

величина которого легко находится графически.

§ 2. Повышение напряжения под действием емкостной нагрузки.
В качестве первого примера рассмотрим мгновенное подключение емкостной
нагрузки при постоянном напряжении возбудителя. Ток до момента
включения нагрузки определяется напряжением возбудителя

е1 = п1. (53.19)

Подставив это постоянное значение тока в уравнение (53.15) и приняв
во внимание соотношения (53.11) и (53.14), получим

d(E/E0) {д—
₽ dt i0 i0

При емкостной нагрузке величина

-mI = ^h= = = (53-21)

(53.17)

(53.20)
имеет положительное значение до тех пор, пока емкость меньше той, которая
соответствует резонансу с индуктивностью рассеяния генератора. Ток 1с,
входящий в выражение (53.21), является тем емкостным действительным током,
который отдает в сеть машина, но с учетом приращения, обусловленного
индуктивностью рассеяния. Таким образом, мы можем переписать уравне-
ние (53.20) в виде

Т d(E/E0) _ 11 + т1с — 1^ (Е) д/

1 р dT~ - То - 70 • (М.^>

Как показано на’рфиг. 700, разность токов Дг изображается при любой
генерируемой э.д.с. отрезком между характеристикой холостого хода
и характеристикой емкостной нагрузки, причем по-
следняя проведена через точку соответствующую
прежнему току возбуждения. Эта весьма важ-
ная величина отложена на фиг. 700 и на последу-
ющих графиках в виде горизонтальных отрезков
в заштрихованной области.

Изменение во времени э.д.с., генериру-
емой при емкостной нагрузке, определяется выра-
жением (53.18). Способ графического интегрирова-
ния показан на фиг. 701. Нет необходимости, что-
бы начальное значение э.д.с. Е определялось-
именно током возбуждения ir. Построение, выпол-
ненное на фиг. 701, относится к переходному
процессу, обусловленному сбросом нагрузки, присо-
единенной к концу длинной линии передачи, после чего эта последняя превра-
тилась в чисто емкостную нагрузку генератора. В этом случае первона-
чальная электродвижущая сила Ег больше напряжения холостого хода Еог
а ток возбуждения соответствует еще большему значению э. д. с„
Несмотря на это, проводим характеристику емкостной нагрузки через

конец отрезка, изображающего ток г1? а интегрирование начинаем с того1
значения разности Дг, которое соответствует действовавшей до момента,
сброса нагрузки э.д.с. Ег. Электродвижущая сила стремится к более вы-
сокому конечному значению Е2, которое определяется точкой пересечения
обеих характеристик.

Теперь мы можем найти для любого момента времени напряжение U на
зажимах генератора. Из выражения (53.5) следует, что при индуктивной
нагрузке это напряжение меньше, а при емкостной больше, чем э.д.с. Е, на
величину wSI. Отсюда ясно, что если мы на фиг. 701, а через конец отрезка,
изображающего ток возбуждения гг, проведем известную для данной маши-
ны характеристику рассеяния Eg, то мы можем определить напряжение на
зажимах U как вертикальное расстояние между характеристиками нагрузкии
рассеяния и перенести эту величину на график временной зависимости, изо-
браженный на фиг. 701,в. Таким образом, в момент сброса нагрузки напря-
жение на зажимах генератора возрастает скачком благодаря тому, что
предшествующее индуктивное падение напряжения, обусловленное рассея-
нием, сменилось приростом напряжения емкостного характера.

Величину тока возбуждения во время переходного процесса также можно
найти из диаграммы. В соответствии с выражениями (53.11) и (53.21) ток
возбуждения при емкостной нагрузке должен быть равен

г = 1и(^)-т/с. (53.23)

Таким образом, если на фиг. 702 через произвольную рабочую точку на
характеристике намагничивания мы проведем прямую, параллельную харак-
теристике сети, то пересечение этой прямой с осью асбцисс определит

соответствующее значение тока возбуждения. Изменение этого тока со
временем также изображено на фиг. 701,в. В момент сброса нагрузки ток
возбуждения падает скачком до весьма малого значения и в течение пе-
реходного процесса постепенно нарастает до первоначальной величины.
При очень больших емкостных нагрузках машины, которым соответствует
малый наклон характеристики сети, в результате скачка может произойти
даже временное изменение направления тока возбуждения. Однако магнит-
ный поток остается при этом положительным, и устойчивость синхронного
генератора не нарушается.

Легко найти правильный наклон характеристики емкостной нагрузки. С
этой целью пристраиваем к характеристике намагничивания, изображенной на
фиг. 703, треугольник Потье, соответствующий отстающему реактивному
току нагрузки (при cos = 0) и дающий непосредственно на диаграмме масштаб
для тока в обмотке статора. Если бы рассеяния не было вовсе, то горизонталь-
ный отрезок, изображающий емкостный ток/со> соответствующий номиналь-
ному напряжению Ео, надо было отложить вправо от i1 в масштабе поми
нального тока 1п, образующего принимаемое за единицу основание треуголь-
ника Потье. В соответствии с выражением (53.21) индуктивность рассеяния
увеличивает действительный емкостный ток, и за единицу надо принять
гипотенузу треугольника Потье, а емкостный ток откладывать на се продолже-
нии, как это показано на фиг. 703. Положение характеристики сети для любой
емкостной нагрузки машины определяется при помощи этого масштаба и зна-
чения тока возбуждения iv предшествующего моменту сброса нагрузки.

Величину переходного емкостного тока Iq можно определить из
фиг. 703 как горизонтальное расстояние между характеристикой сети
и перпендикуляром, опущенным в точку, соответствующую току возбужде-
ния 4, причем и здесь треугольник Потье служит масштабом.

На фиг. 704 приведены осциллограммы процессов при внезапном включе-
нии и отключении емкостной нагрузки синхронного генератора мощностью
100 ква (нагрузкой являлась 6-киловольтная трехфазная кабельная сеть).
Зарядная мощность сети составляла 86% от номинальной мощности генера-
тора. Из осциллограмм видно, что после включения напряжение на зажимах
генератора возрастает в течение-^-2 сек. от величины 3000 в до конечного зна-
чения 6000 в. Возрастание напряженпя происходит в два приема: скачок
напряжения до величины 3600 в соответствует напряжению рассеяния; даль-
нейшее постепенное возрастание вызывается намагничивающим действием
реакции якоря. В момент включения емкостной нагрузки ток возбуждения
^уменьшается скачком примерно до половины первоначального значения

Ф и г. 704.

и затем постепенно возвращается к этой величине. При сбросе емкостной
нагрузки ток возбуждения скачком достигает наибольшего значения, а затем
постепенно уменьшается, как и напряжение на зажимах статора.

§ 3. Толчки тока при индуктивной нагрузке. Если к синхронной машине,
находящейся в любом нагрузочном режиме, дополнительно присоединяется
индуктивная пагрузка, то условия, в принципе, остаются прежними, но
характеристика сети будет наклонена в противоположную сторону, как это
показано па фпг. 705,а. Теперь разность токов Дг в выражениях (53.17)
и (53.20)

-V = (tx — mIL) — гр (Е) (53.24)

будет отрицательной и в соответствии с выражением (53.17) вызовет уже не
увеличение, а уменьшение напряжения. Изменение э.д.с. во времени опи-
сывается, как и ранее, выражением (53.18); легко убедиться посредством
графического интегрирования (фиг. 705,6 и е), что величина Е оказывается
убывающей.

Переходное напряжение на зажимах U получается из выражения (53.5)
и фпг. 705, а путем построения характеристики рассеяния, причем напряже-
ния, сю определяемые, теперь вычитаются из значений э.д.с. Па фиг. 705,в
приведена зависимость напряжения на зажимах от времени, построенная
таким способом. Мгновенное значение тока намагничивания при индуктив-
ной нагрузке получим из выражения (53.11)

i = гр (У?) ф- mlp. (53.25)

Проведя, как показано на фиг. 705, а, через рабочую точку на характеристике
намагничивания прямую, параллельную характеристике сети mIL, мы видим,
что при внезапном включении индуктивной нагрузки ток намагничивания i
скачком достигает значительной величины, а затем постепенно уменьшается
до первоначального значения. Величину переходного тока в обмотке

статора 1Ь тоже можно определить непосредственно из фиг. 705, а как гори-
зонтальное расстояние между характеристикой сети и перпендикуляром, опу-
щенным на конец отрезка, изображающего ток ir

Очень выразительным примером является короткое замыкание генерато-
ра либо прямо на его зажимах, либо через малое индуктивное сопротивление.

Ф и г. 707.

Характеристика сети в этом случае опускается очень низко, прибли-
жаясь к характеристике рассеяния, как показано на фиг. 706. Равновесие
токов в машине нарушается весьма сильно, и разность токов Д г оказывается
очень большой, так что э. д. с. Е быстро уменьшается. При этом в обмотках
статора и ротора возникают очень большие токи Is и i, величины которых
можно определить непосредственно из фиг. 706. Току в обмотке статора
соответствует переменная, а току в обмотке ротора—постоянная состав-
ляющая переходного тока короткого замыкания. Таким образом найден спо-
соб численного определения переходных токов при любом заданном насыще-
нии синхронной машины.

На фиг. 707 приведены осциллограммы, относящиеся к генератору,
рассмотренному в предыдущем примере. Генератор работал вхолостую и был
внезапно замкнут накоротко через малую индуктивность. В момент замыкания
напряжение на зажимах скачком уменьшается на величину напряжения рас
сеяния, а затем постепенно спадает до установившегося значения. Ток
в обмотке статора и ток возбуждения возрастают скачком до пикового
значения, а затем постепенно спа-
дают до установившихся значений.

На фпг. 708 сравниваются два
внезапных коротких замыкания од-
ного и того же генератора: один раз
при его холостой работе, другой раз
при полной индуктивной нагрузке.
Во втором случае генерируемая э. д. с.
была несколько больше, и поэтому на-
чальные значения ударного тока ко-
роткого замыкания отличаются как
раз на величину тока предшество-
вавшей нагрузки. Подобие треуголь-

ников, соответствующих режимам нагрузки и холостого хода (частично
заштрихованных на диаграмме), треугольнику Потье для номинальных
значений тока 1п и напряжения рассеяния Es дает для начального значе-
ния тока короткого замыкания Is и номинального тока 1п соотношение

^- = 4, . (53.26)

где под Е следует понимать ту э.д.с. (7?(| или Е^, которая обусловливает ток
короткого замыкания. Следовательно, это весьма простое соотношение для
переменной составляющей переходного тока короткого замыкания стро-
го справедливо и для насыщенных машин при любой предшествующей
нагрузке.

§ 4. Общая задача. Теперь мы можем установить общие закономерности
изменения состояний синхронной машины с постоянным напряжением возбу-
ждения. Пусть до начала переходного процесса машина работала в режиме,
показанном на фпг. 709, при токе возбуждения i± и э.д.с. Ev определяе-
мых точкой пересечения характеристики холостого хода с характеристи-
кой сети при предшествовавшей нагрузке. При внезапном изменении харак-
теристики сети (с увеличением индуктивной нагрузки она повернется влево,
а с уменьшением индуктивной или с увеличением емкостной—вправо) ра-
бочая точка, оставаясь на характеристике намагничивания, устремится к но-
вому положению со скоростью, определяемой соотношениями (53.12)и (53.18)
п пропорциональной разности Лг, показанной на фиг. 709 штриховкой. Для
любого промежуточного положения рабочей точки можно графически опре-
делить токи в обмотках статора и ротора и напряжение па зажимах генера-
тора и приурочить их к определенной э.д.с., а следовательно, и к определен-
ному моменту времени.

При помощи такой диаграммы легко описывается и явление сброса
нагрузки. Если, например, мгновенно прерывается установившийся ток
момента времени при помощи диа-

Ф и г. 709.

короткого замыкания на зажимах 1 оператора, то ток возбуждения падает
на время скачком до очень малых значений V или i" (фиг. 710), смотря по
тому, переходит ли генератор к режиму нагрузки или холостого хода.
Э.д.с. Е возрастает со скоростью, определяемой шириной заштрихованной
области, а переходные значения напряжения на зажимах U и тока в обмотке
статора I легко можно найти для люб
граммы проектированием соответству-
ющих точек характеристики нагруз-
ки па характеристики короткого за-
мыкания и холостого хода. Правые
части осциллограмм (см. фиг. 707)
описывают процесс при отключении
короткого замыкания.

Если же сбрасывается значи-
тельная емкостная нагрузка, после
чего генератор оказывается или в нор-
мальном нагрузочном режиме, или
в режиме холостого хода, то, как по-
казывает фиг. 711, происходит крат-
ковременное, по значительное увели-
чение тока возбуждения до значения

?' или i". Этот процесс изображен на правой части осциллограмм
•фиг. 704. Напряжение и ток в статорной обмотке можно получить из за-
штрихованной области диаграммы тем же путем, что и раньше.

Единственной величиной, входящей в выражения (53.17) и (53.18) и не
.изображенной на характеристических диаграммах, является постоянная
времени цепи ротора Тр. Расчеты по формуле (53.16) и осциллографирование
различных процессов показали, что для машин обычных конструкций, гене-
рирующих переменный ток с частотой 50 или 60 гц, без дополнительного

•сопротивления в цепи возбуждения постоянная времени Т зависит глав-
ным образом от синхронной мощности, приходящейся на один полюс.

Порядок величин постоянной времени Т дан в табл. 17.

При одинаковой мощности быстроходные генераторы с небольшим числом
полюсов имеют большую постоянную времени Т.р, чем тихоходные машины.
Численное значение интеграла (53.18) имеет, по меньшей мере, порядок Х/Я).
Этим подтверждается, что действительное изменение токов и напряжений
во времени происходит очень медленно по сравнению с изменениями,
обусловленными частотой 50 или 60 гц. Поэтому наше допущение, сде-
ланное по отношению к выражению (53.2), является обоснованным.
Таблица 17

ПОСТОЯННАЯ ВРЕМЕНИ ЦЕПИ РОТОРА
СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА

Поминальная мощ- ность па олпп по- люс, кеа .... 100 1000 10 000
Постоянная времени Тр, сек 3 6 12

Однако эго справедливо только во время переходного состояния, сле-
дующего непосредственно за коммутацией, но весьма сомнительно для
момента времени Z=0, когда происходит эта коммутация. Наши кривые для
токов и напряжений, относящихся к обмотке статора, определяют только
амплитуды гармонически меняющихся величин, так что скачки этих амплитуд
в момент времени Z=0 не означают действительного разрыва непрерывности,
а представляют лишь более быстрые изменения этих величин по сравнению
< последующими, более медленными. Появляются дополнительные свобод-
ные токи, зависящие от их фазы в момент коммутации и устраняющие воз
мощность каких-либо разрывов между значениями величин непосредст-
венно до момента времени Z=0 и сразу же после него. Эти свободные токи
обусловлены воздействием не приложенного напряжения, а скачками амп-
литуд в момент включения, и поэтому они очень быстро затухают. Пх началь-
ные значения определяются непосредственно скачками токов и напряжений
на наших диаграммах.

Если машина нагружена индуктивностью (внешней или только внутрен-
ней), то накладывающийся свободный ток является в основном апериодическим
и затухает в соответствии с постоянной времени цепи статора. При емкостной
нагрузке накладывающийся свободный ток представляет собой затухающие
колебания, частота которых определяется величиной емкости нагрузки и
суммарной индуктивностью рассеяния генератора и сети. Эти свободные токи,
обусловленные полями рассеяния, развиваются так же, как и в машинах
с ненасыщенной магнитной цепью, и, как было показано выше, могут вре-
менно удвоить величину переходных токов и напряжений по сравнению с
их вынужденными значениями. На осциллограммах, изображенных па
фмг. 704 и 707, эти переходные величины представляются в виде избыточных
значений тока возбуждения и напряжения в обмотке статора, которые
появляются непосредственно после момента коммутации.

Если в результате коммутации генератор получит не только реактивную
нагрузку, но и активную или если он будет включен лишь одной или двумя
фазами, то соотношения (53.12) и (53.18), а вместе с ними и графические
построения останутся неизменными. Однако при этих условиях наклон
характеристики сети будет больше, как было выяснено в гл. 51 и 52, где рас-
сматривались установившиеся режимы работы машины.

При резко выраженной кривизне характеристики намагничивания ма-
шины интегральные кривые, полученные на фиг. 701 и 705, значительно
отличаются от тех экспонент, которыми характеризуются процессы в маши
нах с ненасыщенной магнитной цепью. Мгновенное значение скорости изме-
нения величины, изображаемой некоторой кривой, измеряется длиной под-
касательной S в соответствующей точке. Это показано на фиг. 712,6 для
кривой Е, полученной по характеристикам нагрузки (7) и намагничивания (2)
синхронной машины, изображенным на фиг. 712, а. При помощи соотношения
(53.17) можно следующим образом выразить величину отрезка подкасатель-
ной, отсекаемой на асимптоте кривой Е:

• (53.27)

dE/dt р Дг/г0 ' '

Здесь через ЛЕ обозначена разность между рассматриваемым мгновенным
и конечным значениями напряжения, соответствующая разности токов Лг.
Следовательно, отношение длины отрезка подкасательной к постоянной

времени цепп ротора в рассматриваемой нами задаче определяется отноше-
нием измеренных в относительных единицах высоты и ширины заштрихован-
ной области на фиг. 712,о.

Рассмотрим два предельных случая с различными асимптотическими
положениями равновесия. Для ненагруженной машины с ненасыщенной маг-
нитной цепью мы имеем, как видно из фиг. 713, о,

= (53.28)

Имеете с выражением (53.27) это дает

S0 = TV1 (53.29)

т. е. длина подкасательной равна постоянной времени. Однако эго идеальный,
неосуществимый случай. При насыщении в магнитной цепи машины, чему

Фиг. 713.

соответствует пунктирная кривая на фиг. 713,а, ЛЕ для того же самого Л1
меньше, чем в предыдущем примере, и поэтому $<Тр. Таким образом, насы-
щение в магнитной цепп машины уменьшает ту эквивалентную постоянную
времени, которая соответствует точке холостого хода.

При коротком замыкании на зажимах машины с ненасыщенной магнит-
ной цепью из фиг. 713,6 следует, что если 7S и lk—соответственно значения
ударного и установившегося токов короткого замыкания, то

Аг = тЦ, ЛЕ = Е0^ . (53.30)
Следовательно, в этом случае величина подкасательной
= Ер-ц- — QTV,

(53.31)

т. е. численно равна лишь некоторой части постоянной времени цепи ротора
Тр. Это значит, что при коротком замыкании машины эквивалентная индук-
тивность обмотки возбуждения уменьшилась вследствие реакции якоря.

Таким образом, затухание э.д.с. и основного магнитного потока маши-
ны происходит при коротком замыкании значительно быстрее, чем при
холостом ходе, а именно в отношении значений установившегося и ударного

токов короткого замыкания. Это отношение, но без постоянной составляю-
щей, выражено в правой части формулы (53.31) через коэффициент рассеяния
машины с, определение которого дается соотношениями (13.12) и (13.22).
Следовательно, длина отрезка подкасательной равна постоянной времени

потока рассеяния, что совпадает с

Фпг. 714.

результатами гл. 12—14 для машин с не-
насыщенной магнитной цепью. При по-
явлении насыщения (пунктирная кри-
вая на фиг. 713,6) Дг' при одинаковых
1\Е становится больше, а величина S
опять становится меньше, чем мы имели
ранее.

Следовательно, длина отрезка под-
касательной 5, или мгновенное значе-
ние постоянной времени для кривой Е,
является постоянной только для машин
с ненасыщенной магнитной цепью и
только в этих машинах затухание сво-
бодных составляющих напряжения и
тока при коротком замыкании и

включении нагрузки будет экспоненци-
альным. В реальных машинах с насы-

щенной магнитной цепью величина отрезка подкасательной Д' в соответствии
.с формулой (53.27) и фиг. 712 в начале переходного процесса невелика,

но затем возрастает и к концу процесса, когда характеристика намагничи-
вания становится почти прямолинейной, принимает некоторое постоянное
вначеипе. При емкостной нагрузке будем иметь обратное явление: длина
отрезка подкасательной уменьшается и со временем и с ростом насыщения.

Под влиянием активного сопротивления или несимметричной нагрузки и
вообще тех факторов, при которых уменьшение реакции якоря обусловливает
увеличение найлона характеристики сети, длина отрезка подкасательной
несколько увеличивается, приближаясь к даваемой соотношением (53.29) ве-
личине его для холостого хода. Например, при двухполюсном коротком за-
мыкании наклон характеристики рассеяния вдвое больше, чем при трехполюс-
ном, как это следует из формулы (51.27) и фиг. 672. Поэтому длина отрезка
подкасательной, или мгновенное значение постоянной времени, будет в этом
случае примерно вдвое больше, чем постоянная времени при трехполюсном
коротком замыкании. Это согласуется с экспериментальными результатами,
приведенными на фиг. 133 и 134.

Для конечного периода переходного процесса мы можем получить пре-
дельное значение постоянной времени, считая ход характеристики намагни-
чивания около точки пересечения с характеристикой сети линейным. Мно-
житель при Тр в правой части формулы (53.27) становится постоянным,
а изменение напряжения и тока во времени—строго экспоненциальным. Вели-

чина отношения
представлена на фиг. 714 в зависимости от отношения конечного значения
напряжения для коммутационного процесса к величине номинального
напряжения Ео и при различных значениях возбуждения 1г/10 для наиболее
распространенных синхронных машин. Предельные значения экспоненциаль-
ных постоянных времени растут линейно в пределах прямолинейной области
характеристики намагничивания, достигают максимума при напряжении,
несколько меньшем номинального напряжения >Е0, т. е. в начале изгиба
характеристики, а затем при больших конечных значениях напряжения
быстро падают до небольших долей величины постоянной времени Тр. Если
считать, что переходные процессы в нагруженной машине происходят по
показательному закону, то соответствующая постоянная времени будет
значительно меньше постоянной времении Тр для режима холостого хода.
Таким образом удалось свести переходные явления в нагруженных синхрон-
ных машинах к явлениям в режиме холостого хода.

ЛИТЕРАТУРА

В а г г ё г е М., Rev. gen. elec., 30, 628 (1931).

Calcul de la courbe de courant de court-circuit triphase d’alternateur en fonction
du temps.

BJu r n h a m E. J., Trans. AIEE, 44, 872 (1925).

Over-voltage on transmission svstems due to dropping of load.

Butler J. W., Electr. Eng , 51, 163 (1932).

Calculation of generator over-voltage.

Concordia C., Maginnis F. J., Trans. AIEE, 64, 288 (1945).

Inherent errors in the determination of synchronous-machine reactances by test.

Kilgore L. A., Trans. AIEE, 50, 1201 (1931).

Calculation of synchronous machine constants, reactance and time constants affec-
ting transient characteristics.

Kingsley C., Trans. AIEE, 54, 300 (1935).

Saturated synchronous reactance.

M e n g e 1 e B., Eloktrotechn. u. Maschinenhau, 53, 13 (1935).

Ein Beitrag zur Berechnung der Zeitkonstante der Erregerwicklung von Synchron-
maschinen.

Park В. II., Robertson B. L., Trans. AIEE, 47, 514 (1928).

Reactances of synchronous machines.

R iidenberg R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 10, No 1, 1 (1931).

Schaltvorgange beim Betrieb gesiittigter Synchronmaschinen.

Sumec J., Elektrotechn. Zs., 32, 77 (1911).

Spannungsabfall von Drehstromgeneratoren.

Taylor H W., Journ. Inst. Electr. Eng., 68, 317 (1930).

Voltage control of large alternators.
Глава 54

ВЛИЯНИЕ УСПОКОИТЕЛЬНЫХ ОБМОТОК И РАССЕЯНИЯ
РОТОРА НА ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Сцепление потоков рассеяния ротора с успокоительными обмотками,
расположенными на полюсах синхронных генераторов, оказывает значитель-
ное влияние на ряд важных процессов, протекающих в питаемых ими энерге-
тических системах. В частности, это обстоятельство является основным фак
тором, влияющим на величину и время установления опасных токов корот-
кого замыкания, а также на нарастание восстанавливающегося напряжения
на выключателях,—явление, ограничивающее возможность отключения
токов короткого замыкания. В связи с этим мы рассмотрим весьма подробно
взаимодействие потока рассеяния ротора с успокоительными обмотками
машины, учитывая при этом насыщение, обусловленное главным потоком
машины, а также влияние реакции якоря на успокоительные обмотки.

§ 1. Взаимодействие электрических и магнитных цепей. Рассмотрим
основные контуры синхронной машины (фиг. 715), подробно показанные на

Фиг. 715.

фиг. 716. Если машина—безразлично, явнополюсная или с цилиндриче-
ским ротором— снабжена успокоительными обмотками, то обычно им при-
дается форма беличьей клетки, расположенной вблизи поверхности полюсов.
Таким образом, полный поток, пронизывающий успокоительную обмотку,
равен потоку, входящему в статор, если пренебречь весьма малым танген-
циальным потоком в воздушном зазоре и, в том числе, потоками, пронизы-
вающими пазы успокоительной обмотки. Однако тангенциальные потоки
между успокоительной обмоткой и обмоткой возбуждения могут проникать
в соседние полюса, как показано на фиг. 716. Они и создают магнитный
поток рассеяния ротора, меняющаяся часть которого нас и будет интересо-
вать. На фиг. 716 показана разрезная успокоительная обмотка, вместо рас-
пределенной. Это дает возможность рассматривать явления только в про-
дольной оси и тем самым упростить задачу.

Внутренняя электродвижущая сила Е статорной обмотки, активным
сопротивлением которой мы пренебрегаем, равна сумме напряжения на за-
жимах U и падений напряжения, обусловленных потоками рассеяния статора
Ф. и ротора Фг, т. е.

Е = U 4- шк/аФ8 + <иа‘аФг, (54.1)
где ш—постоянная круговая частота, a wa—эффективное число витков обмот-
ки якоря. Если к зажимам присоединена нагрузка, характеризуемая током I
и неизменным сопротивлением X, то первый член в правой части уравнения
(54.1) равен XI. Сначала будем считать X чисто реактивным сопротивлением.
Тогда в правой части уравнения (54.1) все члены будут складываться алге-
браически. Если поток рассеяния статора пропорционален току, то второй

Фиг. 716.

член в уравнении (54.1) можно представить в виде xsl, где xs — u>Ss—индук-
тивное сопротивление рассеяния статора. Третий член уравнения (54.1),
как видно из фиг. 716, представляет поток, сцепленный не только со ста-
торной, но и с успокоительной обмоткой. Поэтому этот член нельзя предста-
вить в столь же простой форме, как предыдущие.

Обмотка возбуждения ротора питается от внешнего источника, напря-
жение которого е является либо постоянной величиной, либо известной
функцией времени. При сопротивлении г,
числе витков w и потоке полюса ротора Ф
ток возбуждения г определяется уравнением

е(7) = ггф wd~ , (54.2)

причем в переходном процессе решающее
значение имеет последний член.

Чтобы ток возбуждения i создал в глав-
ной магнитной цепи, показанной на фиг. 716,
магнитный поток Ф, проходящий через сер-
дечники полюсов машины, требуется намаг-
ничивающая составляющая тока ги. Она

зависит от Ф и, следовательно, от э.д.с. Е, соответствующей этому
потоку. Эта зависимость дается характеристикой намагничивания, приведен-
ной на фиг. 717. Кроме того, ток возбуждения компенсирует реакцию
якоря, вызванную током нагрузки I, а также реакцию успокоительной
обмотки, вызванную током id, протекающим по wd виткам этой обмотки
Отсюда следует, что полный ток возбуждения, необходимый для создания
главного потока, будет определяться соотношением

(54.3)

В этом выражении мы считаем положительными намагничивающий
тон успокоительной обмотки id и размагничивающий, т. е. индуктивный,
ток в обмотке статора I.

Из фиг. 716 видно, что поток якоря Фа полностью сцеплен с успокои-
тельной обмоткой. Этот поток равен разности между потоком Ф в сердеч-
пике полюса ротора и потоком рассеяния ротора Фг. Следовательно, ток
в короткозамкнутой успокоительной обмотке, сопротивление которой
равно rd, определяется уравнением

0 = к;4(Ф-Фг) + гЛ- (54.4)

Как видно из фиг. 716, магнитный поток рассеяния ротора Фг со-
здается совместным действием токов в статорной и успокоительной обмот-
ках, причем их положительные направления противоположны. Поэтому
эффективный поток рассеяния ротора равен

Ч “’a J

(54.5)

Здесь индуктивное сопротивление рассеяния ротора определено в устано-
вившемся режиме (без учета токов в успокоительной обмотке) и отнесено
к току в обмотке статора, т. е.

ШаФго
X — Ч> —

* о

(54.6)

Как было указано в гл. 53, потоки полюсов ротора Ф и э. д. с. Е всегда
пропорциональны друг другу, т. е.

Ф____Фо

J5 " ЁД

(54.7)

। де Фо и Ео означают номинальные значения потока и напряжения ста-
тора при холостом ходе. Таким образом, при номинальном напряжении
возбуждения, равном е0, последний член в уравнении (54.2) можно пред-
ставить в одной из следующих двух форм:

йФ - dE d (E/Eq)

(54.8)

где

T __

т Ей

(54.9)

есть постоянная времени всей машины, совершенно не зависящая от маг-
нитного насыщения. Величина

у, _и,Ф0
р «о

(54.10)

представляет собой постоянную времени только полюсов ротора и их об-
мотки возбуждения и может считаться постоянной лишь до тех пор, пока
остаются постоянными номинальные значения величин Фо и е0.

§ 2. Решение основных уравнении. Уравнения (54.1) — (54.5) являются
основными в нашей задаче, и мы будем искать их решение применительно
к переходному процессу с учетом изменения магнитного насыщения
машины. Для упрощения примем, что в главной магнитной цепи насы-
щенными участками являются только сердечники полюсов, так как именно
в них насыщение проявляется особенно сильно. Кроме того, пренебрежем
жезначительпым влиянием потоков рассеяния на насыщение машины.
Исключим из заданной системы уравнений зависимые величины и в пер-
вую очередь величины, связанные между собой линейными зависимостями,
а остальные члены выразим через параметры, характеризующие насыще-
ние главной магнитной цепи машины, и, в частности, через характери-
'Стику холостого хода ги (К).
Подставив в уравнение (54.2) производную от потока по времени
из соотношения (54.8) и выражение для тока возбуждения i из соотноше-
ния (54.3), получим основное уравнение, определяющее изменение э.д.с.
машины в функции времени,

Тт^ = е (0 - г [1И (£) 4- ml-nid].

(54.11)

Здесь величины

представляют собой отношения чисел витков обмотки якоря и успокоитель-
ной обмотки к числу витков обмотки возбуждения. Уравнение (54.11) можно
было бы решить, если бы все члены, стоящие в квадратных скобках,
зависели, подобно намагничивающему току холостого хода ги, только
от э.д.с. Е.

Воспользовавшись соотношением (54.5) и выразив напряжения и по-
токи в уравнении (54.1) через токи'и индуктивные сопротивления, получим

Е = XI+ ^1 + ^1-^^ . (54.13)

Из уравнения (54.13) видно, что падение напряжения, вызванное
потоком рассеяния ротора, зависит в переходном режиме от величины тока
успокоительной обмотки. Следовательно, ток в обмотке статора будет равен

т. е. выражается через э.д.с. статора и ток успокоительной обмотки. Два
последних члена в скобках в уравнении (54.11) можно записать в виде

Т тЕ X "р Я-е • /Г/

ml — т. = ———----------=г-—у— nid; (54.15)

а X + xs + xr , X + xs + xr ’

тем самым нам удалось устранить из правой частп уравнения (54.11)
величину тока в статорной обмотке, выразив его через нашу основную
переменную — э.д.с. Е. После подстановки имеем

+ -X+t+x • <54-16)

Чтобы выразить ток в успокоительной обмотке id через э.д.с., под-
ставим выражение (54.5) для потока рассеяния ротора в уравнение (54.4).
Результатом подстановки будет

wd -ут + rdid = wd--=-( I-----id ). (54.17)

° dt a a ° шьра dt \_ m a у ' '

Подставив выражение (54.15) в правую часть
введя в его левую часть Е вместо Ф при помощи

уравнения (54.17)

соотношения (54.7),

получим

Фо dE . _____ хг Г dE/dt п X + xs di-j"]

WdE0 dt Wd wwa Lm Храбря, dt J

(54.18)

Чтобы привести к более удобному виду первый член в правой части
этого уравнения, воспользуемся соотношением (54.6) и выразим величину,
стоящую перед скобками, через отношение потока рассеяния ротора Ф,.п
к току статора 10 в установившемся режиме. Далее, сумму индуктивных
сопротивлений в знаменателе первого члена заменим отношением э.д.с.
Ео к току 10 для установившегося режима, т. е. когда 4 = 0. После этих
678 VIII. Вращающиеся машины с насыщенной магнитной цепью

преобразований получаем, принимая во внимание соотношение (54.13),

xr dEjdt ____ Фг„ 1й dE

W<1 wwaX + xs + xr~Wd Io Eo dt

(54.19)

Теперь мы можем объединить это выражение с первым членом в левой
части уравнения (54.18); в результате получим

Фо— фго dE _ Фа dE

Ео dt ~ LVd Ео dt

(54.20)

Здесь Фо — поток якоря, равный разности между потоком полюса и пото-
ком рассеяния ротора в установившемся режиме. Последний член в правой
части уравнения (54.18) можно, объединив все постоянные множители,
сокращенно записать следующим образом;

f •t'r Е X xs did j- did 91 \

Ш X + xs + xr dt r dt \d4-£i)

Таким образом, уравнение (54.18) для тока в успокоительной обмотке
можно записать в следующем виде:

^Е . j did_________.

Wd Eo M +rdld + Lr d?-U-

(54.22)

Отсюда видно, что постоянная Lr представляет собой индуктивность
успокоительной обмотки, обусловленную потоком рассеяния ротора. Как
показывает равенство (54.21), постоянная Lr выражается через индуктив-
ность рассеяния ротора xr/w, отнесенную к цепи статора путем умножения
на квадрат отношения чисел витков успокоительной и статорной обмоток
и уменьшенную в отношении

<м-23>

чем и учитывается влияние реакции якоря на успокоительную обмотку.

Наша задача свелась теперь к совместному решению уравнений (54.16)
и (54.22). 13 оба уравнения входят переменные Е и id и нелинейный член
(Е), который определяется характеристикой намагничивания машины. Эти
уравнения можно решить графически. Заметим, что в основном уравне-
нии (54.16) ток в успокоительной обмотке id оказывает малое влияние
на величину изменения э. д. с. и основного потока со временем, играя
роль поправочного члена. В связи с этим достаточно ограничиться при-
ближенным выражением для приращения id, удовлетворяющим уравнению
(54.22), и затем подставить найденное таким образом выражение в основ-
ное уравнение (54.16). Исходя из формы уравнения (54.22), можно пред-
положить, что ток id в успокоительной обмотке меняется почти по пока-
зательному закону, т. е. что

(54.24)

При этом также предполагается, что постоянная времени Т, величина
которой пока не определена, изменяется медленно.

Подставим соотношение (54.24) в уравнение (54.22), обозначив постоян-
ную времени успокоительной обмотки, охватывающей поток рассеяния
ротора, через

rd
и, учитывая соотношение (54.9), получим

Wd р dE
w Фо т dt

(54.26)

Уравнение (54.26) определяет id как функцию от dEjdt. Подставляя
теперь ток успокоительной обмотки id в последний член уравне-
ния (54.16), переписываем его, приняв во внимание соотношение (54.23),

в следующем виде:

г Tm(dE/dt)

rPnid — P Г<1 а,2фо 1_тг/т ’

или

„ _T’d Тт (dE'dt)

v d Тр 1—Tr/T

(54.27а)

(54.276)

Выражение (54.27а) записано в форме, делающей очевидным, что
первые две дроби представляют собой отношение двух постоянных времени.
Во-первых, это — постоянная времени успокоительной обмоткп Td, которая
определяется активным сопротивлением, числом витков этой обмотки и
потоком якоря, сцепленным с ней; таким образом, постоянная Td отличает-
ся от постоянной Тг, определенной соотношением (54.25). Во-вторых, это —
постоянная времени цепи ротора Tv, выражающаяся через соответст-
вующие параметры обмотки возбуждения и уже определенная соотноше-
нием (54.10). Заменяя последний член в уравнении (54.16) выражением
(54.276) и объединяя в левой части члены, содержащие dEjdt, получим

2" й <54-28)

Здесь правая часть содержит отношение э.д.с. к суммарному реактив-
ному сопротивлению цепи, определяющему, как это видно из фиг. 717,
ее характеристику в установившемся режиме. Заменим теперь в левой
части уравнения постоянную времени машины Тт, выражение которой
дается соотношением (54.9), па постоянную времени цепи ротора Тр, опре-
деляемую соотношением (54.10). В результате такой замены получим
дифференциальное уравнение, определяющее э. д. с. насыщенной машины
с успокоительными обмотками и имеющее вид

(^рН- = V2- т2 • <54-29)

В последнем члене представляет собой сумму всех внутренних и внешних
намагничивающих токов, соответствующих данному установившемуся
значению э.д.с. Эту сумму всегда можно определить для данного зна-
чения Е, пользуясь фиг. 717. Действительно, правые части уравне-
ний (54.28) или (54.29) в точности совпадают с правыми частями уравне-
ний (53.13) и (53.15), если включить в них рассеяние ротора.

Выражение в скобках в левой части уравнения (54.29) представляет
собой результирующую постоянную времени Т, которая определяет как
изменение Е, так и изменение id. Эта постоянная времени удовлетворяет
условию

Т~Тг+~!=Ет- <54-30)

которое можно представить также в виде квадратного уравнения

7'2 - Т (Тр + Td + Тг) + ТрТт = 0.

(54.31)
Отсюда следует, что в соответствии с наличием двух пеней ротора
существуют две постоянные времени, а именно: обмотки возбуждения
и успокоительной обмотки. Уравнение (54.31) полностью соответствует
уравнению (8.28), которое определяет постоянные времени двух магнитно-
связанных несимметричных контуров.

При сравнительно малых значениях рассеяния ротора, характерных
для реальных машин, постоянная времени Тг, обусловленная рас-
сеянием ротора, мала по сравнению с другими постоянными времени.
Поэтому оба решения уравнения (54.31) можно представить с достаточной
точностью следующими выражениями:

T1 = Tp + Td-, Т2 =----_^7Г. (54.32)

Последний член, стоящий в правой части, представляет собой еще менее
точное приближение, допустимое лишь при малых значениях Td. Постоян-
ная времени основного потока машины имеющая значительную вели-
чину, равна сумме постоянных времени обмотки возбуждения и успокоитель-
ной обмотки, которые определяются сцеплением якоря и полюсов с основ-
ным потоком. Малая постоянная времени Т2 определяется главным образом
потоками рассеяния ротора, проходящими между полюсами и сцепленными
только с успокоительными обмотками.

§ 3. Графический метод решения. Как было показано, уравне-
ние (54.29) имеет два решения: вынужденное, связанное с процессом
изменения главного потока в сердечнике полюса, и свободное, обусловлен-
ное потоком рассеяния ротора, проходящим между полюсами. Нынужден-
ное решение можно найти из уравнения

т d(E!E0) =ejt)_ 'н (Д) + т7х = д,х

1 dt е0 i0 i0 ' \ >

Большим значениям постоянной времени Тг соответствуют медленные
изменения э.д.с. Е и порождающего ее главного потока. Этот поток
возбуждается током е/r, создаваемым напряжением возбуждения e(t), при-
чем из тока е/r необходимо вычесть намагничивающий ток главной цепи ги
и реакцию якоря т!г в установившемся режиме. Обе эти величины опре-
деляются э.д.с. Е. На фиг. 718 справа от точки В графически пред-
ставлено изменение э.д.с. Е в зависимости от времени при постоянном
напряжении возбуждения е. Изменение величины Е со временем всегда
пропорционально разности токов Aix, представленной на фиг. 718 частой
штриховкой.

Полученное решение совпадает с приведенным в гл. 53, отличаясь
от него лишь тем, что постоянная времени 7\ теперь увеличена на величи-
ну Td, обусловленную наличием успокоительной обмотки в продольной оси.

Свободная составляющая решения определяется уравнением, получае-
мым из уравнений (54.29) и (54.33), а именно:

у, d (Е/Ей) _ znTg _ Лга

2 dt ~ i0 ~ i0

(54.34)

Малой постоянной времени Т2 соответствуют быстрые изменения потока
рассеяния ротора. Поток рассеяния ротора создается током успокоительной
обмотки 12 и на него не оказывает влияния ни напряжение возбуждения
e(t), ни намагничивающий ток (Е).

Изменение этого потока и вызывающего его тока представлено графиче-
ски в левой части фиг. 718 между точками А и В (редкой штриховкой).
Изменение тока Ai2 определяется только индуктивным сопротивлением рас-
сеяния ротора хг. При отсутствии насыщения потока рассеяния рото-
ра этот поток и соответствующая ему часть тока успокоительной обмотки
будут затухать по показательному закону, поскольку разность Дг2 будет
пропорциональна Е. При насыщении потока рассеяния ротора уравнение
(54.34) можно решить графически, аналогично тому, как было решено
уравнение (54.33).

Таким образом, благодаря успокоительной обмотке возникают две харак-
теристики сети. Первая из них связана с полным реактивным сопротивлением
X+xs-\~xr, а вторая—только с реактив-
ным сопротивлением цепи статора Х+ж,,
так как только оно относится к потокам,
которые могут свободно меняться. Пол-
ный ток статора равен сумме вынужденной
и свободной составляющих, т. е. равен
1у-\12, что непосредственно следует из
соотношения (54.14).

Как видно из фиг. 718, вынужденная
составляющая TOKaAq обращается в нуль в
точке пересечения характеристики намаг-
ничивания генератор а с характеристикойсе-
ти. Эта точка соответствует установившим-
ся значениям э.д.с. Ет и тока статора 1^.
Свободная же составляющая тока Ai2 об-

ращается в нуль только в точке, лежащей на оси абсцисс, т. е. там, где ток,
а следовательно, и напряжение в успокоительной обмотке равны нулю.
Вынужденной составляющей тока Аг\ соответствует большая постоянная вре-
мени Ту, и она убывает медленно; свободной составляющей соответствует
малая постоянная времени Т2, и она убывает быстро. Поэтому Дг2 успевает
почти полностью затухнуть к тому моменту времени, когда становится за-
метным убывание Aij.

Условия, соответствующие началу коммутационного процесса, легко
можно установить из рассмотрения контуров и сцепленных с ними потоков,
показанных на фиг. 716. Электрически замкнутая цепь возбуждения сцеплена
с потоком Ф сердечников полюсов; это значение потока остается неизменным
в момент, следующий непосредственно за включением. Короткозамкнутая
успокоительная обмотка сцеплена с потоком сердечника полюса и с потоком
рассеяния ротора, в сумме образующими поток якоря Фо. Поскольку этот
поток, проходящий через воздушный зазор от поверхности полюса к поверх-
ности статора, остается неизменным, то и поток рассеяния ротора Фг также
не меняется в момент включения. Таким образом, за изменениями тока
статора могут следовать только поток рассеяния статора Ф, и потоки, связан-
ные с индуктивными элементами внешней цепи.

На фиг. 719 показано изменение во времени тока, возникшего вследствие
внезапного короткого замыкания насыщенного генератора, работавшего
в режиме холостого хода, при неизменном напряжении возбуждения. Таким
образом, характеристика немагничивания (холостого хода) машины ги (2?),
характеристика рассеяния статора xsI и характеристика полного рассеяния
машины (xs-\-xr)l полностью определяют переходный процесс, включая на-
чальные условия.

Величина тока Дц, как это следует из уравнений (54.28) и (54.33), опре-
деляется длиной горизонтальных отрезков в густо заштрихованной области
фиг. 719,а; опа равна разности между первоначальным током возбуждения
iy=elr и суммой намагничивающего тока холостого хода г’и (£) и установив-
шегося тока короткого замыкания ly —E/(xs-[-xr). Последняя величина пред-
ставлена прямой, проведенной влево от точки iT, причем значения тока
приведены к цепи ротора. Поскольку зависит только от Е, то можно по-
строить показанную на фиг. 719,6 кривую Е (/), либо находя шаг за шагом
интегральную кривую для известной функции dEldt, либо разделяя перемен-
ные в уравнении (54.33) и находя при помощи квадратуры t как функцию Е.
Имея характеристику полного рассеяния машины, определяемого сопротив-
лением xs-[-xr, можно каждому значению Епривести в соответствие величину
1Г Этому медленно изменяющемуся статорному току короткого замыкания
соответствуют медленные измепенпя главного потока, характеризуемые
постоянной времени Тг.

Наряду с этим существует и быстро меняющийся поток, обусловленный
рассеянием ротора и создаваемый током Ai2, показанным на фиг. 719, а
редкой штриховкой между обеими характеристиками рассеяния. Этот про-
текающий по успокоительной обмотке ток уравновешивается слагающей /а

«таторного тока и, как это следует из уравнения (54.34), быстро убывает по
показательному закону с постоянной времени Т2. Вместо того чтобы методом
последовательных интервалов уменьшать величину Ai2 до значения Д/8=0
или приводить к квадратуре уравнение (54.34), можно вращать характери-
стику рассеяния статора, определяемого величиной хл, в направлении харак-
теристики полного рассеяния, определяемого величиной xs-\-xr. Скорость
вращения должна соответствовать постоянной времени Т2. Тогда любое про-
межуточное положение этой линии определяет левую границу отрезка,
изображающего полный ток статора ,-12. На фиг. 719,6 показано изменение
во времени быстро затухающей слагающей тока статора 12, обусловливающей
сильное увеличение тока короткого замыкания в начальный момент.

Поскольку насыщение не оказывает существенного влияния на маг-
нитное сопротивление потоков рассеяния, быстро спадающая составляю-
щая свободного тока меняется по показательному закону. Что касается мед-
ленной составляющей тока, то в связи с насыщением главной магнитной цепи
машины закон ее изменения значительно отличается от показательного.

При отсутствии успокоительных обмоток поток рассеяния ротора при
коротком замыкании менялся бы так же, как меняется поток рассеяния
статора; неизменными оставались бы только главный поток и обусловленное
им напряжение Е. Следовательно, начальное значение тока статора было
бы равно

Е
Этому значению тока соответствует начальная точка пунктирной кривой
на фиг. 719,6. Однако при наличии успокоительной обмотки поток рассея-
ния ротора в первый момент остается неизменным, а изменяется только поток

рассеяния статора. Отсюда следует, что в действительности начальное
значение тока статора определяется только рассеянием статора, т. е. оно
равно

/=А. (54.36)

Этому пику тока соответствует на фиг. 719,6 начальная точка сплошной
кривой. Если сопротивление между генератором и местом короткого замыка-
ния равно X, то эту.величину надо прибавить к знаменателям выражений

(54.35) и (54.36). Следует отметить, что принятое в нашем анализе разбиение
переходных величин на быстро и медленно убывающие составляющие не со-
впадает с часто применяемым разбиением на переходные и сверхпереходные.
На фиг. 720 на примере внезапного короткого замыкания показано различие
между этими двумя понятиями. Сверхпереходный ток принято определять как
разность менаду истинным значением изменяющегося тока и той показатель-
ной кривой, к которой асимптотически приближается кривая тока и постоян-
ная времени которой изображается наибольшей возможной подкасательной.
Эта показательная кривая, экстраполированная в сторону малых значений
времени, показана на фиг. 720 пунктиром. Она расположена значительно
ниже, чем рассмотренная ранее кривая медленно убывающей составляющей
переходного тока, имеющая из-за магнитного насыщения меньшую под-
касательную в начальной части. Таким образом, в насыщенной машине
переходное реактивное сопротивление, определяемое током Г, соответст-
вующим наиболее медленно спадающей показательной асимптоте, сущест-
венно больше суммы индуктивных сопротивлений рассеяния статора и рото-
ра, определяющей начальный ток I в.
На фиг. 721 показан процесс внезапного отключения короткого замыка-
ния на зажимах насыщенной машины, причем напряжение возбуждения
остается, как и раньше, неизменным. Как видно из фиг. 721,а, значения
потоков, соответствующие предшествующему установившемуся режиму,
определяются точками пересечения обеих характеристик рассеяния с харак-
теристикой холостого хода генератора. Характеристика xsI определяет
главный поток статора, а характеристика —поток полюсов ротора.

В момент отключения короткого замыкания поток полюсов ротора сохра-
няет неизменным свое прежнее значение благодаря обмотке возбуждения,
а поток статора—свою величину благодаря успокоительной обмотке.

Отсюда следует, что начальным значением э.д.с., соответствующей пото-
ку полюсов ротора, будет Ев. Ее последующий медленный рост определяется
изменением тока Ац, т. о. длиной отрезка, заключающегося между характе-
ристикой 1у.(Е) и проведенной через точку iL вертикалью, которая соответ-
ствует режиму холостого хода.

Напряжение статора в момент отключения изменяется скачком от нуля
до значения Дд, равного первоначальному напряжению рассеяния статора,
а затем благодаря затуханию потока рассеяния ротора быстро растет, как
показано на фиг. 721,6. В дальнейшем по мере восстановления главного
потока машины напряжение медленно приближается к значению, соответ-
ствующему режиму холостого хода.

Рассмотренные свойства переходного процесса весьма существенны для
определения условий работы выключателей. При наличии на генераторах
успокоительных обмоток восстанавливающееся тотчас после отключения
короткого замыкания напряжение на контактах выключателя, как видно
из фиг. 721, равно ЕА. При отсутствии же успокоительных обмоток это
напряжение равно Ев. На практике напряжения рассеяния статора и ротора
примерно одинаковы и, следовательно, напряжение Ев вдвое больше ЕА.
Таким образом, применение успокоительных обмоток дает значительные
преимущества. Даже когда выключатель отключает короткое замыкание
за очень малое время, все же разность между обоими восстанавливающимися
напряжениями столь велика, что следует предпочесть генераторы с успокои-
тельными обмотками.

Скачок восстанавливающегося напряжения до величины ЕА (при нали-
чии успокоительной обмотки) или до величины Ев (при ее отсутствии) вызы-
вает быстрые колебания напряжения дуги, которые оказывают решающее
влияние на ее гашение, как это было детально показано в гл. 40. Величина
этих колебаний всегда пропорциональна величине приложенного напряже-
ния, в связи с чем трудность отключения в значительной степени определяет-
ся свойствами генератора. Дальнейшее изменение восстанавливающегося на-
пряжения, как это видно из фиг. 721, также различно для генераторов с успо-
коительными обмотками и без них. Быстро изменяющееся переходное напря-
жение почти точно следует показательному закону с постоянной времени
7'2; медленно меняющееся переходное напряжение, характеризуемое постоян-
ной временп в результате влияния насыщения сильно искажается, как
легко видеть из заштрихованной площадки на фиг 721, а. Следует заметить,
что на фиг. 719 и 721 масштабы выбраны одинаковыми, что позволяет
непосредственно сравнивать скорости изменения напряжений

Изложенный здесь графический метод анализа переходных процессов
применим и тогда, когда режим генератора отличается от режима симметрич-
ной трехфазной индуктивной нагрузки. В этом случае необходимо начертить
суммарную характеристику сети и рассеяния статора и ротора, как это дела-
лось в предыдущих главах для установившегося режима при активной или •
несимметричной нагрузке и при наличии магнитного насыщения как во
внешней цепи, так и во внутренних полях рассеяния.
§ 4. Постояннные времени успокоительных обмоток. Подробное рас-
смотрение магнитных сцеплений привело нас к сравнительно простому спо-
собу определения всех постоянных времени. Постоянная времени цепи ротора
Тр имеет ту же величину, что и найденная в гл. 53 для генераторов без успо-
коительных обмоток. При наличии успокоительных обмоток появляются две
постоянные времени, а именно: постоянная времени Td, определяющая зату-
хание главного потока статора, и постоянная времени Тг, определяющая зату-
хание потока рассеяния ротора. Кроме того, мы нашли также, в какой сте-
пени реакция якоря влияет на постоянные времени успокоительной обмотки
(см. выражение (54.23)1.

В соответствии с уравнениями (54.27а) и (54.276) постоянная времени
главного потока равна

(54.37а)

ИЛИ

= (54.376)

Выражение (54.376) получено из выражения (54.37а) путем подстановки
вместо величины Тр ее значения из соотношения (54.10), а вместо свободной
составляющей тока возбуждения—тока успокоительной обмотки, отличаю-
щегося от нее в число раз, равное отношению чисел витков обеих обмоток.
Для численных расчетов удобно пользоваться формулой (54.376). Пз нее
видно, что постоянная времени успокоительной обмотки Td представляет
собой только часть постоянной времени главного потока Тр, так как попереч-
ное сечение успокоительной обмотки, которое определяется величиной
w2d!rd, всегда значительно меньше поперечного сечения обмотки возбужде-
ния, определяемого отношением w?lr. Кроме того, величина постоянной вре-
мени успокоительной обмотки уменьшается за счет коэффициента р, который,
согласно соотношению (54.23), характеризует влияние реакции якоря.

Постоянная времени успокоительной обмотки, определяющая зату-
хание потока рассеяния ротора, определится в соответствии с соотноше-
ниями (54.25) и (54.21) и с учетом выражений (54.6) и (54.10) следующим
образом:

с54-38»

или

Гг = рЩй_Фго. (54.386)

rd ld

Постоянная времени Тг также составляет только небольшую часть постоян-
ной времени Тр, поскольку в выражение (54.38) входит отношение потока
рассеяния ротора Фг0 к главному потоку Фо.

Пользуясь соотношениями (54.10), (54.376) и (54.38), можно для любой
данной машины вычислить результирующие постоянные времени, входящие
в выражение (54.32). Следует заметить, что благодаря наличию коэффициен-
та р обе постоянные времени успокоительной обмотки зависят от нагрузки,
так как в выражение (54.23) для коэффициента р входит реактивное сопротив-
ление внешней цепи X. При холостом ходе Х = со и, следовательно, р = 1,
что соответствует отсутствию реакции якоря и максимальным значениям
постоянных времени успокоительной обмотки. При коротком замыкании на
зажимах машины Х=0, и, если, например, индуктивные сопротивления рас-
сеяния ротора и статора равны между собой, то р=1/2. Полученные соотно-
шения показывают, что дополнительные токи в якоре, возникающие одно-
временно с токами в успокоительной обмотке, приводят к тому, что при
увеличении нагрузки от режима холостого хода до режима короткого замы-
кания обе постоянные времени уменьшаются примерно вдвое. Однако в дей-
ствительности реактивное сопротивление внешней цепи при обычных нагруз-
ках значительно превышает реактивное сопротивление рассеяния. В связи
с этим эффект уменьшения постоянных времени успокоительных обмоток
сказывается очень слабо.

Откажемся теперь от допущения, что успокоительная обмотка является
дискретным контуром, как это было изображено на фиг. 716. При этом допу
щении постоянная времени оказалась фиксированной величиной. Но хорошо
известно и отчасти было показано в гл. 10, что распределенные в простран
стве многоконтурные цепи, например успокоительные обмотки типа беличьей
клетки или массивные цилиндрические роторы, не могут быть охарактеризо-
ваны одной постоянной времени. Ток такой цепи представляется суммой
составляющих с различными амплитудами, и каждая из них затухает по
показательному закону с собственной постоянной времени. Поток, спеплен-
пый с распределенной обмоткой, затухает не по показательному, а по более
сложному закону: вначале быстрее, а к концу медленнее. Поэтому та ско-
рость, с которой на фиг. 718—721 следует вращать характеристику эффектив-
ного рассеяния, уже не будет соответствовать простому показательному
закону. Вначале, т. е. вблизи линии рассеяния статора, ее надо увеличивать,
а к концу, т. о. по мере приближения к линии рассеяния ротора, ее надо
уменьшать до тех пор, пока она не станет равной той скорости, которая
определяется постоянной времени наиболее медленного переходного про-
цесса. Отсюда следует, что линии, соответствующие началу и концу быстрого
переходного процесса, всегда пройдут через точки А н В (фиг. 718—721);
некоторое различие будет наблюдаться только в промежуточных положениях
эффективной характеристики. Таким образом, начальные и конечные
значения быстрой и медленной составляющих свободного тока и свободного
напряжения остаются неизменными.

Если перейти к вопросу о численном значении постоянных времени для
машин обычной конструкции, то необходимо заметить, что отношение сече-
ния меди успокоительной обмотки к сечению меди обмотки возбуждения,
которое входит в выражение (54.37а), лежит обычно в пределах от х/6 до 1/20.
Учитывая, далее, отношение потока якоря к потоку полюсов, также входя
щее в выражение (54.37а), находим, что постоянная времени основного потока
успокоительной обмотки Td имеет величину порядка Тр. Если в массив-
ных частях магнптопровода возникают вихревые токи, то эти значения
могут быть удвоены и утроены; реакция якоря может уменьшить их напо-
ловину.

Отношение потока рассеяния ротора к главному потоку машины лежит
обычно в пределах от 1/5 до 1/]0. Поэтому постоянная времени Тг также будет
в 5—10 раз меньше постоянной времени главного потока, как это видно из
соотношения (54.38а); при этом учитывается некоторое увеличение постояв
ной за счет вихревых токов и уменьшение ее за счет реакции якоря.

В табл. 18 приведены некоторые численные значения постоянных време-
ни синхронной машины при различных условиях работы, рассмотренных
выше. Значения, приведенные в таблице, дают представление только о порядке
величин и могут быть использованы лишь для грубых оценок. Поскольку
применяемые на практике генераторы могут сильно отличаться друг от друга
по своей конструкции, например иметь или гладкий ротор, или ротор с вы-
ступающими полюсами, то действительные значения постоянных времени
могут значительно отличаться от приведенных в таблице.
Таблица 18

ПОСТОЯННЫЕ ВРЕМЕНИ МАГНИТНЫХ ПОТОКОВ СИНХРОННЫХ МАШИН

Мощность Номиналь- ная мощ- ность на пару полю- сов, кеа Постоянная времени, сен.
апериоди- ческой состав- ляющей тока ста- тора обмотки возбуждения успокои- тельной обмотки Td потока рассея- ния ротора тг
при холостом ходе при трех- полюсном коротком замыкании у (3) -2 при одно- полюсном коротком замыкании у( 1) с2
Малая . . 100 0,05 2,5 0,5 1 0,25 0,04
Средняя . 1000 0,1 5 1 2 0,5 0,08
Большая . 10 000 0,2 10 2 4 1 0,15
Очень
большая 100 000 0,4 20 4 8 2 0,3

Быстрые переходные процессы, протекание которых определяется
постоянной времени потока рассеяния ротора Тг, имеют значение только
при быстрых коммутационных процессах в статоре, т. е. в тех случаях,
когда время включения или отключения мало по сравнению с величиной Тг.
Все остальные переходные процессы в синхронной машине, например, свя-
занные с регулированием напряжения при помощи регуляторов возбз ждения,
или механические колебания ротора при нарушениях устойчивости имеют
период порядка секунд. Поскольку такие промежл тки времени весьма велики
по сравнению с Тг, но соизмеримы с Тр, то эти процессы вызывают только
медленные изменения главного потока машины, но никогда не создают быст-
рых изменений потока рассеяния. Наоборот, поток рассеяния ротора сле-
дует за всеми медленными изменениями без всякого запаздывания, так же
как и потоки рассеяния статора. Изменение обоих этих потоков происходит
полностью в унисон, вследствие чего нет надобности рассматривать их дей-
ствие по отдельности.

ЛИТЕРАТУРА

С г а г у S. В., С h i 1 d n e c k L. P., March L. A., Trans. AIEE, 53, 124 (1934).
Equivalent reactance of synchronous machines.

Doherty R. E., NickleC. A., Trans. AIEE, 45, 912 (1926).

An extension of Blondel’s two-reaction theory of synchronous machines.

Kilgore L. A., Trans. AIEE, 54, 545 (1935).

Effects of saturation on machine reactances.

Park R. H., Trans. AIEE, 48, 716 (1929); 52, 352 (1933) .

Two-reaction theory of synchronous machines.

Prentice B. R., Trans. AIEE, 56, 1 (19371

Fundamental concepts of synchronous machine reactances

Rogers F. A., Trans. AIEE, 5< 700 .(1935) .

Test values of armature leakage reactance.

Rudennerg R., Trans. AIEE, 61, 297 (1942).

Saturated synchronous machines under transient conditions in the pole axis.

Riidenberg R., Journ. Franklin Inst., 234, 39 (1942).

Damper circuits and rotor leakage in the transient performance of saturated synchro-
nous machines.

Fillet J., Wiss. Veroffent. Siemens-Werken, 15, № 1, 35 (1936).

Der Einfluss dei Lauferstreung auf den Spannungsverlauf von Synchronmaschinen
mit Dan pferwicklung bei plotzlichen Lastanderungen.

Tracy G. F., Tice W. F., Trans. AIEE, 64, 70 (1945).

Measurement of the subtransient impedances of synchronous machines.

Wagner K. W., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 27, 804 (1909).

Ober die Wirkungsweise von Dampferwicklungen auf Gleichstrommagneten

Wright S. H., Trans. AIEE, 50, 1331 (1931).

Determination of synchronous machine constants by test.
Глава 55

РЕГУЛИРОВАНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ

Для поддержания постоянства напряжения как генераторов постоян-
ного тока, так и однофазных и трехфазных генераторов переменного тока

Ф и г. 722.

широко применяются автоматические
регуляторы. При любом изменении
напряжения генератора они воздей-
ствуют на магнитное поле возбуди-
теля. Это воздействие может осущест-
вляться, например, так, как пока-
зано на фиг. 722, т. е. путем перио-
дического замыкания и размыкания
контактов, шунтирующих сопротив-
ление, включенное последовательно

в цепь возбуждения возбудителя. В этом случае напряжение якоря воз-
будителя уже не остается постоянным. Его изменение во времени можно
определить при помощи тех же соотношений, что и для процесса самовоз-
буждения, рассмотренного в гл. 46.

§ 1. Подъем напряжения после сброса нагрузки. Рассмотрим в первую
очередь реяшм холостого хода генератора. Так как реакция якоря отсут-
ствует, то полученные выводы будут относиться к машинам как постоян-
ного, так и переменного токов. Воспользовавшись уравнением (53.15) или
(54.33), получим следующее
дифференциальное уравнение
для холостого хода генера-
тора:

„ d(EiE^
dt

е (О—

«О

. (55.1)

Здесь Т означает эффектив-
ную постоянную времени
главного потока машины, а
i—ее ток возбуждения.

Уравнение (55.1) позволя-
ет найти изменение напряже-
ниягенератора во времени при
помощи графического построе-
ния, показанного на фиг. 723.

Строим на фиг. 723,в заданную кривую напряжения возбудителя е в функ-
ции времени, а на фиг. 723, а—характеристику намагничивания генератора,
выражая напряжение Е в функции не тока возбуждения i, а создаваемого им
падения напряжения на активном сопротивлении ri. Для какого-то момента
времени должен быть указан режим генератора, а именно: его напряжение Е
или ток возбуждения i. Тогда можно найти соответствующую этому моменту
разность е—ri, а затем изобразить ее вертикальным отрезком на фиг. 723,в.
Пристраивая к нему горизонтальный отрезок, равный Т, получаем прямо-
угольный треугольник, наклон гипотенузы которого определяет в силу
уравнения (55.1) скорость роста напряжения генератора Е (t). Проведя через
начальную точку на фиг. 723, б прямую, параллельную гипотенузе, мы можем
определить величину Е в последующий момент времени, причем отноше-
ние EJe0 целесообразно включить в масштаб диаграммы. Перенеся это новое
значение Е на характеристику намагничивания генератора (фиг. 723, а),
находим соответствующие значения тока и напряжения возбуждения и на-
носим следующую точку на кривой зависимости ri от времени (фиг. 723, в).
Таким способом можно построить шаг за шагом весь процесс изменения
напряжения статора и тока возбуждения генератора.

Итак, зная начальное электромагнитное состояние генератора и возбу-
дителя, мы можем с любой точностью воспроизвести ход процесса возбуж-
дения или развозбужденмя во времени. На фиг. 724 для сравнения приве

Фиг. 724.

дена осциллограмма процесса воз-
буждения синхронного трехфаз-
ного генератора мощностью
1000 кеа Из осциллограммы вид-
но, как росли ток возбуждения i,
напряжение возбудителя е и ли-
нейное напряжение статора ге-
нератора Е после внезапного
включения цени возбуждения
возбудителя.

Для построения процесса
изменения напряжения нагру-
женного генератора перемен-
ного тока потребуется внести
в изложенной выше графиче-
ский метод лишь единственное
изменение. Именно, необхо-
димо дополнить фиг. 723, а

характеристикой нагрузки, а вместо падения напряжения на активном
сопротивлении ri, входящего в уравнение (55.1), ввести величину rj]i.
(юответствующес доказательство было приведено в гл. 53 [см. уравне-
ния (53.13) и (53.15)]. Там же было показано, что величина r^i зависит
только от напряжения статора. Таким образом, принцип, лежащий в основе
графического построения, остается тем же, результаты же оказываются
несколько иными: при индуктивной нагрузке генератора изменение напря-
жения статора происходит медленнее, а при емкостной—быстрее, чем
в режиме холостого хода.

После этих предварительных замечаний рассмотрим процессы изменения
во времени напряжений и токов при работе автоматического регулятора. Как
показано на фиг. 721, добавочное сопротивление вводится в цепь возбужде-
ния возбудителя, когда напряжение генератора превышает свое номиналь-
ное значение, и замыкается накоротко в противоположном случае. Исследуем
предельный случай, а именно: внезапный сброс полной нагрузки генера-
тора. Для этого достаточно рассмотреть только режим холостого хода синхрон-
ного генератора.

При внезапном сбросе нагрузки мгновенно изменяется электромагнитное
состояние генератора, т. е. режим нагрузки, которому соответствует точка 1
на фиг. 725, переходит в режим холостого хода, которому соответствует
точка 2. Одновременно напряжение на зажимах генератора изменяется скач-
ком от прежнего значения Е± до нового значения Е2. Так как главный поток
генератора не может меняться скачком, то ток возбуждения мгновенно
меняется от прежнего значения i1 до нового меньшего значения i2. Напряжение
44 р. рюденберг
возбудителя е в момент сброса нагрузки остается постоянным, так как его
магнитный поток не может измениться мгновенно (небольшим изменением
падения напряжения на активном сопротивлении якорной обмотки возбу-
дителя можно пренебречь). Таким образом, начальные электромагнитные
состояния генератора и возбудителя являются заданными.

Ток возбуждения генератора i, принудительно сниженный сбросом на-
грузки до значения i2, начинает затем постепенно восстанавливаться, стре-
мясь к своему прежнему установившемуся значению iv Как видно из фиг. 725,
это вызывает дальнейшее повышение напряжения на зажимах статора,
которое постепенно приближается к значению £3 (точка 3).

Но увеличившееся в первый же момент напряжение приводит в действие
автоматический регулятор. Контакты реле в параллельной цепи возбужде-
ния возбудителя размыка-
ются, и в нее вводится доба-
вочное сопротивление, вслед-
ствие чего уменьшается воз-
буждение возбудителя. Изме-

нение напряжения возбудителя e(Z) в зависимости от времени находится, как
указано в гл. 46, и может быть представлено нижней кривой на фиг. 726.
Теперь у насесть все данные, необходимые для определения изменения напря-
жения Е и тока возбуждения i в соответствии с фпг 723. Из фиг. 726 видно, что
вначале величины Е и i возрастают, но лишь до тех пор, пока напряжение
возбудителя е превышает падение напряжения ri. Вскоре, однако, разность
г—ri меняет свой рнак на обратный, главным образом вследствие уменьше-
ния е, после чего напряжение на зажпмах и ток возбуждения генератора
начинают уменьшаться. Затем напряжение на зажимах статора достигает
предписанного нормального значения Ео. За это время напряжение возбу-
дителя снижается до очень малой величины

В наиболее благоприятном случае добавочное сопротивление в парал-
лельной цепи возбуждения возбудителя замыкается накоротко в тот момент
времени, когда напряжение генератора проходит через значение Ео. Лишь
начиная с этого момента, возбудитель вновь самовозбуждается, вследствие
чего его напряжение е растет. Это обусловливает рост напряжения генера-
тора Е, происходящий, однако, с существенным запаздыванием, зависящим
от постоянной времени генератора, как это видно из построения на фпг. 723.
Пройдет значительное время, прежде чем напряжение на зажимах статора,
пройдя через свое минимальное значение, • достигнет нормальной вели-
чины и вновь вызовет размыкание контактов, шунтирующих добавочное
сопротивление. За это время напряжение возбудителя е успеет сильно уве-
личиться, и теперь начнется его вторичное уменьшение. Таким образом,
все явления будут повторяться снова.

В нормальном режиме описанный автоматический регулятор напряже-
ния способен путем малых регулируемых колебаний напряжения возбуди-
теля поддерживать напряжение генератора почти неизменным. Однако он
не в состоянии подавить сильные колебания напряжения, возникающие
после внезапного сброса нагрузки. В результате в генераторе, к которому
относится построение на фиг. 726, возникают колебания со значительной
амплитудой, продолжающиеся в течение многих секунд. Из кривой, приве-
денной на фиг. 726, видно, что, несмотря на мгновенное действие шунтирую-
щего реле, напряжение на зажимах после внезапного сброса нагрузки сначала
поднимается на 16% сверх его
нормального значения и затем
лишь постепенно принимает преж-
нее значение, колеблясь с боль-
шой амплитудой и периодом по-
рядка 2 сек.

Нафиг. 727 приведены осцил-
лограммы напряжения статора и
напряжения и тока возбужде-
ния турбогенератора мощностью
820 кв а при внезапном сбросе
полной нагрузки. Легко видеть,
что эти осциллограммы соответ-
ствуют расчетным кривым на
фиг. 726, за исключением того,
что измеренная длительность од-
ного полного колебания наиря
женин оказалась значительно
больше расчетной и составила
около 3 сек. Это объясняется влиянием вихревых токов, наводимых в сплош-
ном роторе турбогенератора и увеличивающих его эффективную постоянную
времени (их влияние не было учтено при построении кривых на фпг. 726).

Прочие расхождения между результатами эксперимента п расчета объяс-
няются изменением падения напряжения в якорной обмотке возбудителя, за-
паздыванием реле, изменением скорости вращения ротора после сброса нагруз-
ки и многими другими вторичными явлениями, не принятыми во внимание при
расчете. При таком резком нарушении равновесия машины полностью пре-
кращаются вибрации контактов реле, являющиеся характерной особенпо-
стыо действия этого регулятора. Из кривой с на фиг. 727 вп/$но, что режим
вибрации восстанавливается только по прошествии полного периода медлен-
ных колебаний. В течение второго и следующих периодов вибрации затяги-
вают процесс восстановления нормального напряжения. Однако в то же
время они предотвращают повторяющееся перерегулирование напряжения
возбудителя.

Исследование процесса автоматического регулирования напряжения
нагруженного генератора можно провести методом, описанным выше, надо
лишь дополнить характеристику намагничивания генератора характеристикой
сети. Если же колебания напряжения происходят с не слишком большой
амплитудой, то нет даже необходимости вводить характеристику сети в гра-
фические построения. Точность наших расчетов будет достаточной, если мы
при расчете конечной стадии процесса будем пользоваться нс постоянной
времени, соответствующей холостому ходу, а той эффективной постоянной
времени, которая определена соотношением (53.32). При индуктивной
нагрузке колебания напряжения будут получаться более быстрыми.

§ 2. Ударное" возбуждение. По ряду причин может потребоваться, чтобы
процесс изменения магнитного потока и напряжения заканчивался в течение до-
лейсекунды. Так, например, этим можно помешать выпадению из синхронизма
параллельно работающей синхронной машины после тяжелой аварии в сети.
Чтобы осуществить в течение сравнительно короткого времени значительное
увеличение магнитных потоков возбудителя и генератора, необходимо при-
ложить импульс напряжения к обмоткам возбуждения возбудителя. Вели-
чину этого импульса можно определить по избытку напряжения на обмотке
возбуждения возбудителя по сравнению с величиной установившегося падения
напряжения на ее активном сопротивлении. Таким образом, расчеты будут
вестись только с индуктивными напряжениями, намного превосходящими
те падения напряжения, которые обусловливаются избыточными токами
в активных сопротивлениях.

Из уравнения (55.1) следует, что тот избыток напряжения, который
обмотка возбуждения генератора должна получить в переходном процессе,
определяется соотношением

_ = т d('E,E^ (55.2)

eodt ' '

где Т—эффективная постоянная времени генератора. Соответственно к об-
мотке возбуждения возбудителя, включенного по схеме фиг. 722, должно быть
приложено избыточное напряжение, определяемое из уравнения

Л/ _ гр d (е/е0) _ Грр d2 (Е]Е0)

/0 е dt е dt2 * ' ’

где /0—напряжение возбуждения возбудителя в режиме холостого хода,
а Те—его постоянная времени. Таким образом, значения обоих толчков
напряжения относятся друг к другу так, как постоянная времени Т отно-
сится к длительности процесса dt.

Например, при относительном избыточном напряжении Ле/е0=1, соот-
ветствующем удвоению напряжения возбуждения холостого хода, и при
постоянной времени генератора Т =5 сек. рост магнитного потока и напря-
жения происходит со скоростью

dVWty = = ~ = 20% в 1 сек.,

т. е. сравнительно медленно.

Если же потребовать, чтобы напряжение того же генератора, линейно
изменяясь, увеличилось бы в течение 1/i сек. на 15%, то возбудитель должен
развивать постоянное избыточное напряжение, равное

л г °.15 О

Де ~ 5'0,25 е° — 3е°’

т. е. равное 3-кратному номинальному значению в режиме холостого хода.
Эти два числа указаны на двух верхних графиках фиг. 728, а. Чтобы
создать в якорной обмотке возбудителя такую э.д.с., надо в начале и
в конце процесса приложить к обмотке возбуждения возбудителя кратко-
временные импульсы напряженпя значительной величины. Если посто-
янная времени возбудителя Те =0,5сек., а длительность каждого импульса
равна 1/40 сек., то их амплитуды должны быть больше номинального значе-
ния напряжения возбуждения возбудителя в число раз, равное

^-Л5-да=в0-

Эти кратковременные импульсы напряжения показаны на нижнем графике
фиг. 728,а.

Если напряжение возбудителя растет по линейному закону, как пока-
зано на среднем графике фиг. 728, б, то магнитный поток и напряжение гене-
ратора будут расти по квадратичному закону (верхний график фиг. 728, б).
Чтобы получить прежнее приращение напряжения генератора, надо довести
избыточное напряжение возбудителя до удвоенного значения по сравнению
с прежним. Напряжение возбуждения возбудителя в течение всего периода
форсировки должно оставаться постоянным и равным 12-кратному номиналь-
ному значению. Однако, чтобы прекратить дальнейшее повышение напряжения
возбудителя, необходимо приложить к его обмотке возбуждения очень боль-
шой отрицательный кратковременный импульс напряжения, как показано
на нижнем графике фиг. 728, б. Следовательно, следует предпочесть симме-
тричное повышение и понижение напряжения возбуждения генератора,

показанные на среднем графике фиг. 728, в, так как здесь потребуются
импульсы, лишь н 24 раза превышающие нормальное напряжение воз-
буждения возбудителя.

В общем случае относительное повышение напряжения генератора ва
время т можно вычислить интегрированием уравнения (55.2)

1
Т

ДЕ

Ео

— dt.
ео

(55.4)

Повышение напряжения генератора пропорционально площади, ограниченной
кривой избыточного напряжения возбудителя. Так как размеры возбудителя
определяются его наивысшим напряжением, то целесообразно растянуть
эту площадь в ширину. Постоянное напряжение возбудителя, как, напри-
мер, на фиг. 728, а, было бы в этом отношении наилучшим. Однако для этого
необходимо воздействовать на обмотку возбуждения возбудителя столь высо-
кими и столь кратковременными импульсами, что осуществить их на деле
было бы затруднительно. Более благоприятно складываются условия при
синусоидальной форме кривой избыточного напряжения возбудителя
(см. фиг. 728, г). В этом случае и напряжение генератора ДЕ и напряжение
возбуждения возбудителя △/ меняются по косинусоидальному закону. Если е
и / означают амплитуды избыточных напряжений, а т—их длительность,
то полное увеличение напряжения генератора определяется, согласно урав-
нению (55.4), из соотношения

ЛЕ _
Ео - Т

---S1E
«о

dt = - —

т. Т е0

(55.5)

44 р. Рюденберг
Отсюда при помощи соотношений (55.3) и (55.4) находим относительную
величину необходимой амплитуды напряжения возбуждения возбудителя:

/о г ео

~2_ ТТе ЬЕ_

2 Ео ’

(55.6)

Соответствующие графики приведены на фиг. 728, г, прпчсм численные зна
чения соответствуют данным предыдущего примера. Указанные напряже-
ния можно получить только при надлежащем увеличении количества меди
в якоре и усилении изоляции обмотки возбуждения возбудителя.

Все приведенные результаты получены при помощи одного только закона
электромагнитной индукции, выражением которого являются уравнения
(55.2) и (55.3). Поэтому они справедливы независимо от того, насыщены или
не насыщены магнитные цепи машин. Отклонения от линейности, связанные
с магнитным насыщением, скажутся только на величине падения напря
женин на активных сопротивлениях обмоток, создаваемого добавочными
токами. Это потребует некоторого увеличения импульсов по сравнению
с найденными выше для чисто индуктивных напряжений. Итак, для быстрого
изменения напряжения генератора на заданную величину требуется сообщить
обмотке возбуждения возбудителя два импульса напряжения противополож-
ных знаков. Чтобы напряжение генератора изменялось заданным образом
и при наименьших затратах, надо наиболее целесообразно выбрать и вели-
чину и закон изменения этих импульсов. Если напряжение генератора долж-
но значительно измениться за короткое время, то к обмотке возбуждения
возбудителя следует приложить очень высокие напряжения. Эти обшие
соображения одинаково справедливы для синхронных и асинхронных трех-
фазных машин переменного тока и машин постоянного тока.

§ 3. Автоматическое регулирование возбуждения. Регуляторы, пред-

назначенные для регулирования напряжения на зажимах генераторов
постоянного или переменного токов, воздействуют на ток возбужде-

Фцг. 729.

ния возбудителей. Это воздействие
может быть либо прерывистым, на-
пример через реле (см. фиг. 722),
либо плавным, для чего применя-
ются устройства непрерывного дей-
ствия, как, например, в схеме на
фиг. 729. На этой схеме показана
система возбуждения, отличаю-
щаяся тем, что самовозбуждаю-
щийся возбудитель получает сиг-
нал g, зависящий от напряжения
главного генератора Е, через тран-

тель напряжения К. Кроме того, в цепь

сформатор, выпрямитель и дели-
возбуждения возбудителя вводится

через делитель напряжения к небольшое напряжение обратной связи, зави-

сящее от напряжения возбудителя е. Преобразование части напряжения
Киев напряжение возбуждения возбудителя / может осуществляться

также при помощи промежуточных электромеханических, электромагнитных
электронных устройств, например, нелинейных сопротивлений, электро-
машинных усилителей, тиратронов, игнитронов и т. п., если только запазды-
вание этих усилительных устройств достаточно мало.
Если ограничиться рассмотрением только небольших отклонений от
установившегося состояния равновесия, то можно провести строгий анализ
работы таких регуляторов напряжения с учетом магнитного насыщения
генератора и возбудителя при активной, индуктивной или емкостной
нагрузке генератора.

На фиг. 730 приведена диаграмма, при помощи которой можно опреде-
лить значения тока возбуждения генератора, необходимого для наведения
в его статоре нормального напряжения Ео при различных условиях,
а именно, i0 при холостом ходе, i'c при индуктивной нагрузке и ic при
емкостной нагрузке.

Способ построения этой диаграммы, основанный на применении прямо-
линейной индуктивной или емкостной характеристики нагрузки с учетом
рассеяния машины, был разъяснен в гл. 53. Характеристики нагрузки,
смещенные вправо или влево (см. фиг. 730), дают возможность определить
отклонения тока возбуждения от его установившегося значения, соответст-
вующие небольшим отклонениям э.д.с. генератора. Если рабочий участок
характеристики можно считать* прямолинейным, то равным отклонениям

э.д.с. в ту и другую стороны
соответствуют равные отклонения
токов. В противном случае появ-
ляется незначительная асиммет-
рия, оказывающая, как мы скоро
увидим, слабое влияние.

При постоянстве нагрузки
генератора изменение его э.д.с.
во времени определяется уравне-
нием (53.15), т. е.

у d(E/E0) _ е (t) _ S1'
dt €q

Здесь e(J)/e0 означает переменное
напряжение возбудителя, отнесен-

(55.7)

ное к его номинальному значению, а 2]г/г0 — отношение полного, тока возбуж-
дения (см. фиг. 730) к току возбуждения холостого хода г0. В постоянную
времени генератора Т должна быть включена постоянная времени успокои-
тельной обмотки [см. формулу (54.32)]. Нас интересуют не абсолютные зна
чения Е, е и £,г, которые всегда можно определить впоследствии, а их
отклонения ЕЕ, Де и Д^г от соответствующих установившихся значений;
в дальнейшем мы будем рассматривать только эти отклонения.

Отклонения тока возбуждения и э.д.с. Е можно связать 'при
помощи диаграммы на фиг. 730. Так как они всегда пропорциональны

друг другу, то можно написать

A St _ . АД

to Eq

(55.8)

Коэффициент пропорциональности х определяется непосредственно из
фиг. 730. Б действительности х означает результирующую проводимость
всех внутренних и внешних путей, равную тому отклонению тока возбужде-
ния, которое вызывается единичным отклонением напряжения. В режиме
холостого хода и при отсутствии насыщения этот коэффициент равен
единице. Он быстро растет по мере увеличения насыщения. Кроме того,
он увеличивается при индуктивной нагрузке и уменьшается при емкост-
ной нагрузке генератора.

В табл. 19 приведены примерные значения ^коэффициента х, соответ-
ствующие холостому ходу и чисто реактивной нагрузке синхронных
Таблица 19

КОЭФФИЦИЕНТ х, СВЯЗЫВАЮЩИЙ относительное прираще-
ние тока возбуждения с относительным приращением
Э.Д.С. ГЕНЕРАТОРА

X арактер нагрувни Чисто емкостная Холостой ход Чисто индуктивная
X 0,5—1,5 1,5—2.5 3—4

машин со средним насыщением и средним рассеянием. Большая часть
разности между значением х и единицей вызвана насыщением, а осталь-
ная — влиянием нагрузки.

Подставляя отношение (55.8) в уравнение (55.7), получаем основное
уравнение для переходного процесса в генераторе

Де (г) _ Т d (&Е/Е0) ДЕ
е0 7 dt Ео •

(55.9)

(55.10)

Это уравнение связывает необходимое отклонение напряжения возбудителя
со скоростью изменения главного магнитного потока (первый член в пра-
вой части) и с падением напряжения на активном сопротивлении, вычислен-
ным с учетом реакции якоря и влияния магнитного насыщения (второй
член в правой части уравнения). Уравнение (55.9) представляет собой
обобщенное уравнение (55.2).

Для возбудителя с постоянной времени его обмотки возбуждения Те
и напряжением возбуждения / можно написать аналогичное уравнение

(«) гр d (Де/е0) . . Де
/о е dt е0

Так как оно относится к машине постоянного тока с незначительной
реакцией якоря, то коэффициент X значительно меньше коэффициента х.
Кроме того, возбудители постоянного тока обычно строятся с малым насы-
щением, так как они рассчитываются на регулирование их напряжения
в широком диапазоне — от холостого хода до полной нагрузки главного
генератора/(Следовательно, коэффициент X лишь незначительно больше
единицы. В уравнениях (55.9) и (55.10) последними членами в правых
частях учитываются падения напряжения, создаваемые свободными токами
на активных сопротивлениях соответствующих обмоток возбужде-
ния, поэтому они всегда малы по сравнению с первыми членами в пра-
вых частях, означающими падения напряжения на индуктивных сопро-
тивлениях тех же обмоток. Таким образом, последние члены являются
лишь поправками, и, если при значительных перемещениях вдоль характе-
ристики намагничивания они будут даже не слишком точными, это не исказит
сколько-нибудь значительно тех результатов, которые получаются на осно-
вании только первых членов в правых частях уравнений (55.9) и (55.10).

Из схемы на фиг. 729 видно, что в цепи возбуждения возбудителя
действуют напряжение его якоря е и противодействующее ему упра-
вляющее напряжение g, зависящее от напряжения генератора. Поэтому
для относительных отклонений можно записать следующее уравнение
равновесия:

(55.11)
/о «0 #0

Основное слагаемое е напряжения возбуждения возбудителя может пред-
ставлять собой либо его якорное напряжение, как показано па фиг. 729,
и тогда оно меняется по величине, либо может подводиться от посто-
роннего источника. Для первого случая исключение △/ из уравнений (55.10)
и (55.11) дает

+ (Х _ + = о. (55.12)

aL е0 60

В уравнении (55.12) коэффициент прп Де/е0 очень мал и при отсут-
ствии насыщения обращается в нуль. В этом случае напряжение якоря
ненасыщенного возбудителя не будет иметь какого-либо определенного
значения, а будет неограниченно расти или убывать под влиянием управляю-
щего напряжения g. Это следует непосредственно из уравнения (55.12),
так как производная будет пропорциональна Ag.

Во втором случае е—постоянная величина, и ее действительное откло-
нение в уравнении (55.11) равно нулю. Тогда в уравнении (55.12) коэф-
фициент К—1 принимает значение, равное X. Таким образом, можно
объединить исследование процессов при самовозбуждении и постороннем
возбуждении, введя в уравнение (55.12) некоторый коэффициент хе при

Таблица 20

ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА, СВЯЗЫВАЮЩЕГО ОТНОСИ-
ТЕЛЬНЫЕ ПРИРАЩЕНИЯ ТОКА ВОЗБУЖДЕНИЯ ВОЗБУДИ-
ТЕЛЯ И ЕГО ЯКОРНОГО НАПРЯЖЕНИЯ

Способ возбуждения Значения хе при различных сте- пенях насыщения
слабое умеренное
Самовозбуждение . . . Постороннее возбужде- ние 0,1—0,2 1,1—1,2 0,4—0,6 1,4—1,6

члене Де/е0. Этот коэффициент будет немного больше единицы при посто-
роннем возбуждении и немного больше нуля при самовозбужденип воз-
будителя. На фиг. 731 приведена характеристика намагничивания слабо

насыщенного возбудителя и показан
коэффициентов. Примерные значения
способам возбуждения и различным сте-
пеням насыщения, приведены в табл. 20.

Относительное отклонение упра-
вляющего напряжения g, зависящего
от обоих напряжений Е и е, можно пред-
ставить в виде

— = К^--*тк —. (55.13)
go Ео е0 ' >

Первый член в правой части урав-
нения (55.13) представляет собой основ-
ное управляющее напряжение, обуслов-
ливающее уменьшение напряжения воз-
буждения^возбудителя / при увеличении
напряжения генератора Е и увеличение
его в противном случае. Таким обра-
зом, этот член способствует восстановле-

способ определения указанных
хв, соответствующие различным

нию заданного значения напряжения

генератора. Второй член отражает [дополнительное влияние напряжения
якоря возбудителя е на его напряжение возбуждения /. Положительный
знак перед коэффициентами К и к в приведенных выше уравнениях и на
фиг. 729 указывает на уменьшение напряжения возбуждения возбудителя
по мере увеличения Е или е.

Вместо уравнения (55.13), связывающего управляющее напряжение g
с э.д.с. возбудителя и генератора, можно было бы записать другое
уравнение, связывающее g с напряжениями на зажимах этих машин.
Однако последние отличаются от соответствующих э.д.с. лишь на величину
внутреннего падения напряжения, что можно учесть путем некоторого
изменения численных значений коэффициентов К и к. Более того, во мно-
гих регуляторах предусматривается компенсация, а иногда и перекомпен-
сация внутреннего падения напряженпя путем введения в цепь Е (см. схему
на фиг. 729) некоторого напряжения, пропорционального току статора.

Обозначив для краткости относительное отклонение напряжения глав-
ного генератора через

и внеся в уравнение (55.12) выражение (55.9) для △e(i)/e0, получим

- Т = ТТ° + (х7;+(5515)

Внеся то же самое выражение (55.9) в уравнение (55.13), найдем

g- = Kv + kT^T-k*v. (55.16)

ёо dt

Сложив почленно уравнения (55.15) и (55.16), приходим к окончательному
дифференциальному уравнению для переходного процесса в системе

ТТе^ + [(к + К)Т + ^Те\^ + [К + (к + ^)ф = О. (55.17)

Первый член этого уравнения отражает влияние энергии, запасенной
в магнитных полях обеих машин. Именно этот член характеризует в основ-
ном скорость изменения напряжения генератора. Следовательно, эта
скорость определяется произведением постоянных времени генератора и его
возбудителя. Поэтому хотя и не представляет особого труда осуществить
быстродействующее регулирование напряжения машин малой мощности,
однако для машин большой мощности это затруднительно. Второй член
уравнения указывает на существование затухания, отчасти создаваемого
активными сопротивлениями самих машин, что отражается коэффициен-
тами х и хе. Однако можно добиться значительного увеличения затуха-
ния надлежащим выбором коэффициента к в цепи обратной связи.
Случайное изменение знака к впечет за собой уменьшение затухания
и, в крайнем случае, даже генерирование колебаний. Последний член
в уравнении (55.17) представляет собой восстанавливающую силу, зави-
сящую главным образом от коэффициента К, характеризующего влияние
напряжения статора. Дополнительные слагаемые восстанавливающей силы
зависят от произведений х на к и хе. Однако эти слагаемые очень малы
при самовозбуждении возбудителя и невелики при постороннем возбужде-
нии. Быстрое восстановление напряжения можно достигнуть только при
достаточно больших значениях К.

Основное уравнение (55.17) может быть записано в виде

-$- + р-^ + ^ = 0’ <55-18)

где

р==*±^-+з

1 те “ т

(55.19)
определяет в основном затухание, а

+ (55.20)

Г 1 1 Q

определяет в основном частоту колебаний.

Решением уравнения (55.17) или (55.18) служит функция

v = Ue~f*l2 sin (yt ф-<р), (55.21)

причем точное значение частоты v определяется формулой

эт.-тС^-т)’- <55-22>

Во второй член под корнем входят различные сочетания из всех коэффи-
циентов к, v. и хе. Этот член часто бывает малым по сравнению с первым
членом.

Следовательно, за любым отклонением напряжения статора от его нор-
мального значения, соответствующего условиям устойчивой работы генера-
тора и системы регулирования, изображенной на фиг. 729, следует возвра-
щение к нормальному значению, сопровождающееся затухающими синусои-
дальными колебаниями, согласно уравнению (55.21).

Из фиг. 730 видно, что при малых изменениях напряжения статора откло-
нения тока возбуждения Ai пропорциональны LE и, следовательно, коэффи-
циент х, определяемый из соотношения (55.8), является постоянной величи-
ной. Из фиг. 731 следует, что постоянной величиной является и коэффициент
хе. Из тех же фиг. 730 и 731 видно, что коэффициенты хихе остаются почти по-
стоянными и при больших изменениях напряжения генератора и возбудителя.
Кроме того, эти коэффициенты входят с противоположными знаками в по-
правочный член под корнем в выражении (55.22), и поэтому они играют незна-
чительную роль по сравнению с гораздо большим первым членом под тем же
корнем. Отсюда следует, что колебания напряжения генератора остаются почти
синусоидальными даже при больших отклонениях. Такие синусоидальные
колебания напряжения Е можно видеть и на осциллограмме фиг. 727, хотя
в этом эксперименте регулирование осуществлялось системой прерывистого
действия. При изменении напряжения в широких пределах коэффициент х
оказывается различным для положительных и отрицательных отклонений.
Это делает колебания несколько несимметричными, что обнаруживается,
например, в кривой тока i на осциллограмме фиг. 727. Из формулы (55.22)
видно, что при индуктивной нагрузке (когда х велико, см. табл. 19) частота
колебаний будет слегка выше, а при емкостной нагрузке (когда х мало)—
слегка ниже, чем при холостом ходе генератора. То же относится и к затуха-
нию колебаний [см. формулу (55.19)].

Найдем некоторые численные значения на примере трехфазного генера-
тора средней мощности; постоянная времени его обмотки возбуждения равна
6 сек., а успокоительной обмотки (с учетом вихревых токов)—2 сек. Таким
образом, полную постоянную времени полюсов ротора можно оценить
величиной Т—8 сек. Пусть постоянная времени возбудителя 7’е = 0,5 сек.
Предположим, что коэффициент х=2,5 (нагрузка генератора—частично
индуктивная), а хе = 0,1 (слабо насыщенный возбудитель с самовозбужде-
нием)-

Зададимся далее коэффициентом усиления регулятора jK=10. Это озна-
чает, что изменение напряжения статора на 1% будет вызывать изменение
напряжения, приложенного к обмотке возбуждения возбудителя, на 10%.
Пусть коэффициент успокоения, создаваемого самим регулятором (коэффи-
циент усиления цени обратной связи), /с=0,2. Это означает, что изменение
напряжения, приложенного к обмотке возбуждения генератора, на 5% будет
вызывать появление дополнительного напряжения, приложенного к обмотке
возбуждения его возбудителя, равного 1%.

В случае самовозбуждающегося возбудителя, показанного на схеме
фиг. 729, угловая частота колебаний, согласно формуле (55.22), равна

Следовательно, период колебаний напряжения

т = — = 3,98 сек.

Из приведенного расчета видно, каково влияние отдельных факторов на
конечный результат, согласующийся со значениями v и т, обычно наблю-
даемыми на практике. Так, например, колебания напряжения, записанные
на осциллограмме фиг. 727, происходят с частотой, очень близкой к ука-
занной выше.

Постоянная времени затухания, вычисленная согласно формулам (55.19)
и (55.21), равна

2 2 2 9 о „

р “"0,2 + 0,1 2,5-0,91~ 2,2 '

0,5 + 8

Это означает, что колебания должны затухнуть почти полностью по истече-
нии 4 полупериодов колебания. При отсутствии обратной связи (&=0) по-
стоянная времени затухания была бы равна

= 0^1 = 3,92 сеК'’

т. е. потребовалось бы от 7 до 8 полупериодов для полного затухания коле-
баний. Следовательно, принудительное успокоение значительно улучшает
стабилизацию напряжения.

В случае питания обмотки возбуждения возбудителя от постороннего
источника (подвозбудителя) значительно возрастают как восстанавливающая
сила, так и успокоение. Это видно из уравнения (55.17), в котором коэффи-
циент увеличивается теперь от значения 0,1 до 1,1. Новое значение соб-
ственной частоты

(^47-/2^31-1,09.

Следовательно, новый период колебаний напряжения

'с = 1^ = 5’76 сек’’

т. е. больше, чем при самовозбуждении возбудителя. Новое значение постоян-
ной времени затухания

T<’ = o;2 + M = 2(91 = 0,69 СеК’’

0,5 + 8

т. е. значительно меньше прежнего. Таким образом, колебания затухнут
в течениие первого полупериода. При отсутствии обратной связи (/; = ())

2
td = 9_^f = 0,80 сек. •

Это значение не намного больше предыдущего. Таким образом, независимое
возбуждение возбудителя значительно увеличивает самоуспокоение коле-
бания.

Из этого примера мы видим, что при самовозбуждении восстановление
установившегося состояния происходит втрое медленнее, чем при посте-
роняем возбуждении. Однако этот недостаток можно скомпенсировать
путем некоторого увеличения коэффициентов усиления К и к. Значительное
увеличение коэффициента усиления К, например до 100, может дать увеличе-
ние скорости регулирования и уменьшение периода колебания напряжения
до значения т=1,25 сек. Однако мощность, на которую рассчитывается вся
система регулирования, растет пропорционально К2. Из формулы (55.22)
следует, что эта мощность обратно пропорциональна четвертой степени пе-
риода колебаний.

Эффективным средством ускорения процесса восстановления напряже-
ния генератора является уменьшение постоянной времени его возбудителя
Те. Как видно из формул (55.19) и (55.22), уменьшение 7’е оказывает благо-
приятное влияние и на затухание, и на частоту колебаний напряжения.
В гл. 46 было показано [см. выражение (46.31)], что средствами для дости-
жения этой цели служат повышение скорости ротора и уменьшение числа
витков обмотки возбуждения. Обычно изменение постоянной времени глав-
ного генератора нельзя осуществить без чрезмерных затрат.

Наиболее быстрое восстановление напряжения имеет место, когда коэф-
фициент затухания близок к своему критическому значению (при котором
колебательный периодический процесс переходит в апериодический). Даль-
нейшее увеличение затухания приводит к тому, что напряжение медленно
и без колебаний возвращается к своему установившемуся значению. Из фор-
мулы (55.22) следует, что критическое затухание, соответствующее м=0,
имеет место при

A + xe = 2]/A^-PxJ . (55.23)

Не имеет никакого значения, каким путем было достигнуто это условие:
путем ли изменения к, т. е. изменения коэффициента усиления цепи обратной
связи, путем ли введения постороннего возбуждения или увеличения насы-
щения возбудителя (в обоих последних случаях изменяется коэффициент хе).
При численных значениях, указанных в рассматриваемом примере,
должно быть

к + хе = 2 /10 .^ + 2,5.^=1,58 + 0,16 = 1,74.

При самовозбуждении Л+хе=0,2+0, 1 =0,3; при постороннем возбуждении
Л+хе =0,2+1,1 =1,3. Последнее число близко к тому значению Л’+хе, которое
требуется для апериодического затухания, в то время как первое далеко
от него.

При отсутствии регулятора напряжения, т. е. при A=/t=0, частота v,
определяемая формулой (55.22), становится мнимой величиной. В этом слу-
чае решение (55.21) приводится к сумме обычных показательных функций
с коэффициентами затухания

У±Л = 4(Й+^)т4(-Й-т) = Т » <55.24)

Постоянная времени 77х нагруженного генератора при постоянстве напря-
жения возбудителя, вычисленная при помощи соотношения (55.8), оказы-
вается в точности совпадающей с выражением (53.27), полученным для пре-
дельного случая работы насыщенной машины. Отношение Te!v.e выражает
соответственно предельное значение постоянной времени насыщенного воз-
будителя.

Па фиг. 732 показаны кривые изменения напряжения генератора мощ-
ностью 30 000 ква, полученные при отключении и включении различных
нагрузок значительной величины. Кривая а была получена при постоянном
напряжении возбудителя, т. е. при выключенном регуляторе возбуждения.
Кривая b соответствует отключению и последующему включению индуктив-
ной нагрузки, а кривая с—емкостной нагрузки. Для постоянной времени
холостого хода генератора, не имеющего успокоительных обмоток и без
учета влияния вихревых токов, было найдено значение 11,7 сок. Действи-
тельный, измеренный период колебаний лежал между 5,5 и 9,0 сек. Отноше-
ние этого периода к постоянной времени получается почти таким же, как
в последнем численном примере.

§ 4. Последовательное возбуждение. В обычных схемах возбуждения,
вроде изображенной на фиг. 729, при внезапном изменении нагрузки регуля-
тор напряжения изменяет э.д.с., наводимую в якорной обмотке возбудителя,
от старого к новому значению, причем, как было показано выше, это новое
шачеипе устанавливается только после затухания колебаний. Однако пере-

ход от старого состояния к новому состоянию можно значительно ускорить
путем применения последовательного возбуждения возбудителя взамен
параллельного возбуждения. Пз гл. оЗ известно, что взаимная индуктив-

ность между обмотками генератора

Ф it г. 733.

переменного тока вынуждает его ток
возбуждения автоматически сле-
довать за всеми внезапными из-
менениями нагрузки и ирини-
32~ мать такие значения, при кото-
рых главный магнитный поток
генератора остается постоянным.
Если током возбуждения гене-
ратора питать последовательную
обмотку возбуждения возбуди-
теля (фиг. 733) с целью одно-
временного изменения его маг-
нитного потока, которое будет

происходить почти без запаздывания, то новое измененное напряжение
возбудителя будет в состоянии поддерживать новый ток возбуждения генера-
тора. Для этого необходимо, чтобы э.д.с. возбудителя росла пропорционально
его току возбуждения. Это возможно, если возбудитель вовсе или почти не
насыщается. При этих условиях регулятор напряжения должен только ком-
пенсировать небольшие отклонения реальных характеристик от идеальных;

поддержание напряжения в переходном режиме осуществляется в основном
автоматически при помощи последовательной обмотки возбуждения воз-
будителя.

Такая схема возбуждения особенно целесообразна, когда в сети
переменного тока возможны резкие толчки мощности пли даже внезапные
токи короткого замыкания, создающие такие нагрузки генератора, которые
превосходят предел его устойчивой работы. Последовательное возбуждение
возбудителя, показанное на фш , 733, мгновенно увеличивает напряжение на
роторе генератора и тем < амым значительно повышает его устойчивость.

Другой возможной областью, в которой целесообразно применять после-
довательное возбуждение возбудителя, являются лабораторные испытания
мощных выключателей токами короткого замыкания с целью определения их
мощности отключения. Затруднения, с которыми приходится встречаться при
таких испытаниях, заключаются в том, что переходные токи короткого замы-
кания даже мощных испытательных генераторов обычно затухают значи-
тельно быстрее, чем те токи короткого замыкания, которые выключатели
должны разрывать в нормальных условиях эксплуатации. Это различие
является следствием конструктивных особенностей и ограниченной мощ-
ности ш питательных генераторов по сравнению с суммарной мощностью
многих электростанций, питающих сеть. Переходные токи короткого замы-
кания затухают, так как отсутствуют те э.д.с., которые могли бы
поддерживать большие начальные значения
этих токов. Для создания такой э.д.с. тре-

Ф и г. 734.

Ф п г. 735.

во время испытания, если снабдить мощный лабораторный генератор возбу-
дителем с последовательным возбуждением. Соответствующая схема приведе-
на на фиг. 734. Она действует следующим образом.

В тот момент, когда на зажимах статора происходит короткое замыкание,
в цепи ротора генератора появляется соответствующий большой ток возбуж-
дения. Этот ток протекает по последовательной обмотке возбуждения возбу-
дителя и увеличивает магнитный поток, доводя его до большой величины.
Если число витков последовательной обмотки и степень насышения возбу-
дителя будут выораны так, чтобы напряжение возбудителя повысилось на
величину, достаточную для поддержания максимального роторного тока,
то и статорный ток не будет убывать, а сохранит свое начальное максимальное
значение. 1аким путем можно создать условия испытания выключателей,
далее более тяжелые, чем в нормальной эксплуатации

На фиг. 735 приведена характеристика системы возбуждения, пригодная
для этой цели. Если бы в возбудителе отсутствовало насыщение, то можно
было бы провести прямую падения напряжения в роторной цепи ri так, чтобы
она совпадала с характеристикой намагничивания возбудителя (с кривой
э.д.с. е, наведенной в его якоре), т. е. можно было бы добиться равновесия
возбудителя при любом значении тока г. Это было бы идеальное условие
поддержания любого значения статорного тока и, следовательно, превраще-
ния его переходного состояния в искусственно поддерживаемое установивше-
еся состояние. Однако в действительности происходит магнитное насыщение
возбудителя, вследствие чего его магнитная характеристика представляет
собой кривую линию. Поэтому для поддержания в роторной цепи ударного
тока is, автоматически появившегося в момент короткого замыкания, целе-
сообразно иметь небольшое напряжение е0, создаваемое независимым источ-
ником (см. фпг. 735). Его можно получить при помощи вспомогательной
обмотки возбуждения, к которой прикладывается напряжение / от посто-
роннего источника (см. фпг. 734). Вспомогательную обмотку можно рассчи-
тать так, чтобы она была в состоянии самостоятельно возбудить в роторной
цепи генератора ток г0, необходимый для получения нормального напря-
жения холостого хода генератора.

Такой возбудитель должен представлять собой машину постоянного тока
значительной мощности, так как в течение коротких периодов испытания он
должен развивать высокое напряжение и давать большой ток, протекающий
через его коллектор. Его конструкция должна допускать быстрый рост маг-
нитного потока до его максимального значения. Если эти условия выполнены,
то «отрицательное сопротивление» возбудителя с последовательным возбуж-
дением может компенсировать активное сопротивление роторной цепп
генератора и тем самым способствовать поддержанию любого значения ста-
торного тока, возникшего в начале короткого замыкания.

Обмотка возбуждения возбудителя/ (см. фиг. 734) дает ток возбуждения г’о
и напряжение холостого хода А’о до начала испытания. К моменту замыкания
контактов испытываемого выключателя В контакты b возбудителя должны
быть разомкнуты. Тогда в статорной цепи генератора будет поддерживаться
ударный ток короткого замыкания. Апериодическая составляющая тока
короткого замыкания, зависящая главным образом от активного сопротив-
ления статора, не будет испытывать заметного влияния со стороны возбуж-
дения и поэтому затухнет быстро. Когда же будет произведено размыкание
контактов испытываемого выключателя В с целью определения его способ-
ности разорвать протекающий через него ударный ток короткого замыкания
/8, ток ротора уменьшится скачком до его прежнего значения i0.

Замыканием контактов b можно поддержать этот ток на прежнем уровне
и, следовательно, снова получить на зажимах статора нормальное напря-
жение. Это напряжение определяет собой в то же время восстанавливаю-
щееся напряжение на выключателе. Э.д.с. статора не уменьшилась в течение
периода короткого замыкания. Возможно даже повышение восстанавли
вающегося напряжения путем увеличения тока в независимой обмотке
возбуждения во время горения дуги между контактами испытываемого
выключателя.

При помощи описанной схемы можно полностью устранить появление
апериодической составляющей тока короткого замыкания, часто мешающей
правильной оценке результатов испытания. С этой целью выключатель В
(см. фиг. 734) должен быть включен тогда, когда генератор еще не возбуж-
ден, а контакты b разомкнуты. После этого следует включить постороннее
возбуждение /, под действием которого произойдет самовозбуждение возбу-
дителя и появление его тока is. Одновременно будет постепенно создаваться
полный ток короткого замыкания статора Is, причем будут отсутствовать
какие-либо причины для появления апериодической составляющей статорного
тока. После того как установится ток Zs, можно будет произвести испытание
выключателя В на отключение.

ЛИТЕРАТУРА

Adkins В., Journ. Inst. Electr., Eng., 93, P. II, 541 (1946).

The analysis of hunting by means of vector diagrams.

Barkle J. E., Valentine E. C., Trans. AIEE, 67, 529 (1948).

Rototrol excitation systems.

Burnham E. J., North J. R., D о h r I. R., Trans. AIEE, 903 (1929).

Quick response generator voltage regulator.

Butler J. W., Electr. Eng., 163 (1932).

Calculation of generator overvoltage.
David IL, CIGRE, No 101 (1946).

Alternator exciter systems.

David H., Favereau J., CIGRE, No 305 (1948).

Stability of alternators-with series excitation connected by a long line to a high
power system.

Doherty R. E., Trans. AIEE, 944 (1928).

Excitation systems, their influence on short-circuits and maximum power.
Ducrot M., Rev. gen. elec., 54, 259 (1945).

Regulateur de tension a reponse rapide.

Gantenbein A., Dull. asso. sui elec., 29, 750 (1938).

Ultrarapidregelung von Synchronmaschinen.

G б г к E., Wiss, Veroffentl. Siemens-Konzern, 20, No 2, 109 (1941).

Gesetzmiissigkeiten bei Regelvorgangen.

Harder E. L., Cheek R. C., Trans. AIEE, 63, 310 (1944).

Regulation of a c generators with suddenly applied loads.

Harz H., Elektrotechn. Zs., 56, 833 (1935).

Schnell- und Stosserregung von Synchronmaschinen uber Gleichrichter in Strom-
transformatorschaltung.

Jones D. M., Journ. AIEE, 357 (1928).

Superexcitation on synchronous condensers for Conowingo system.

J u i 1 1 a r d E., Le regulateur automatique pour machines electriques pendant 1’operation
de reglage, Lausanne, 1928.

Kaufmann W., Siemens Zs., 11, 349 (1931).

Der Ausbau des Hochleistungspriiffeldes der Siemens-Schuckertwerke.

Lang A., Arch. Elektrotechn., 32, 675 (1938).

Die Schnellregeleigenschaften des Tirrillreglers.

Lang A., Arch. Elektrotechn., 33, 306 (1939).

Die Redeutung und Ermittlung der wirksamen Erregermaschinenzeitkonstante Ibei
der selbsttatigen Spannungsregelung von Drehstromgeneratoren.

Langstaff H. A. P, Vaughan H. R., Lawrence R. F., Trans. AIEE,
65, 246 (1946).

Application and performance of electronic exciters for large a-c generators.
Lavanchy C., Drown Roveri Mitt., 348 (1946).

Stabilization tests of synchronous generators with rapid regulation of excitation
for power transmission over long distances.

Liwschitz M., Raymund H., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, 11, No 1,
60 (1932).

Stosserregung bei der synchronen und asynchronen Blindleistungsmaschine
Ludwig E. H., Arch. Elektrotechn., 34, 269 (1940).

Die Stabilisierung von Regelanordnungen mit Rohrenverstarkern durch Dampfung
Oder elastische Riickfiihrung.

Lynn C., Valentine С. E., Trans. AIEE, 67, 535 (1948).

Main exciter rototrol excitation for turbine generators.

Michelson E. L., L i s c h e r L. F., Trans. AIEE, 67,1 (1948).

Generator stability at low excitation.

Pohl R., Elektrotechn. u. Maschinenhau, 54, 5 (1936).

Stosserregung.

Poitrimol P., Lumiere elec., 33, 289 (1916); 34, 1 (1916).

Recherches sur les regulateurs de tension a lame vibrante.

P о w e 1 C. A., Electr. World, 89, 1061 (1927).

High-speed excitation for stability.

Putz W., Elektrotechn. u. Maschinenbau, 60, 325 (1942).

Erregung und Spannungsregelung des Drehstromgenerators.

Robinson P. H., Electr. Journ., 65 (1928).

Practical considerations affecting quick response excitation for salient pole machines.
R iidenberg R., Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern., 4, No 2, 61 (1925).

Die Spannungsregelung grosser Drehstromgeneratoren nach plotzlicher Entlastung.
Schwaiger A., Das Regulierproblem in der Elektrotechnik, Leipzig and Berlin, 1909.
Thoma H., Theorie des Tirrill-Reglers nebst Versuchen an einem Generator, Berlin, 1914
Treat R., Gen. Electr. Rev., 326 (1929).

Field tests of super-excitation.

Institution of Electrical Engineers, Journ. Inst. Electr. Eng., 94, P. II A (1947).

Automatic Regulators and Servo Mechanisms.
ЛИТЕРАТУРА

Bedell F., С r e h о г e А. С., Alternating Currents, New York, 1893.

Berg E. J., Heaviside’s Operational Calculus, New York, 1929; 2d ed., 1936.

Biermanns J., Hochspannung und Hochleistung, lunich, 1949.

В r e i s i g F., Theoretische Telegraphic, Brunswick, 1910; 2d ed.. 1924.

Bush V., Operational Circuit Analysis, New York, 1929.

Carson J. R., Electric Circuit. Theory and Operational Calculus, New York, 1926.

Clarke E., Circuit Analysis of A-C Power Systems, v. 1, New York, 1943.

Dahl O. G. C., Electric Circuits Theory and Applications, New York, 1928 and 1938,
v. 1 and 2.

Engel A., Steen beck M., Elektrische Gasentladungen, Berlin, 1932 and 1934,
v. 1 and 2.

F a 1 1 о u J., Les Reseaux de transmission d’energie: reglage et stability, surintensites,
surlensions, protection selective, Paris, 1935.

Gardner M F., Barnes J. L., Transients in Linear Systems Studied by the
Laplace Transformation, x. 1, New York, 1942. (См. перевод- Гарднер M Ф.
п Бернс Ди:. Л., Переходные процессы и линейных системах, Л1.—JL, 1951.)
Garrard С. С , Elektric Switch and Controlling Gear, London, 1927.

Goldman S., Transformation Calculus and Electrical Transients, New York, 1949.
Heaviside O, Electromagnetic Theory, v. 1—3, London, 1899; 2d ed., 1922.

Kron G., Tensor Analysis of Networks, New York, 1939.

К ii p f m ii 1 1 e r K ,, Einfiihrung in die theoretische Elektrolechnik, Berlin, 1932; 2d ed.,
1939.

Peek F. W., Jr., Dielectric Phenomena in High Voltage Engineering, New York, 1915;
3d ed., 1929.

Roth A., Ilochspannungstechnik, Berlin, 1927; 2d ed., 1938.

Riidenberg R., Relais und Schutzschaltungen in clektrischen Kraftwerken und Netzen,
Berlin, 1929.

Schumann W. O., Elektrische Durchbruchsfeldstarke von Gasen, Berlin, 1923.

Steinmetz С. P., Theory and Calculation of Transient Electric Phenomena and Oscil-
lations, New York, 1908; 3d ed., 1920.

Thomson J. J., Recent Researches on Electricity and Magnetism, Nev York, 1893.

Vaschy A., Traite d’elec I ric.il e et de magnetisme. Paris, 1890.

Wagner E W., Operatorenrechnung nebst Anweudungen in Physik und Tcchnik,
Leipzig, 1940.

Westinghouse Electric Corp.: Electrical (Transmission and Distribution Reference Book,
l ast Pittsburgh 1944, 3d ed

Whitehead J. B., Lectures on Dielectric Theory and Insulation, New York, 1927.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редакции......................................................... 3

Из предисловия автора............................................... 5

Условные обозначения................................................ 7

Введение.......................................................... 9

ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В СОСРЕДОТОЧЕННЫХ
ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

I. ПРОСТЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Глава 1. Включение и отключение индуктивных цепей.................. 15

§ 1, - Отключение цепи от источника путем короткого замыкания. 15

§ 2. Подключение цепи к источнику с постоянным напряжением.... 17

§ 3. Подключение цепи к источнику с переменным напряжением.... 19

§ 4. Отключение цепп от источника при наличии шунтирующего сопротив-
ления ...................................................... 22

Литература.................................................... 24

Глава 2. Процессы зарядки и разряда в емкостных цепях.............. 26

§ 1. Разряд конденсатора...................................... 26

§ 2. Зарядка конденсатора от источника с постоянным напряжением - . 28

§ 3, Зарядка конденсатора от источника с переменным напряжением ... 29

Лите ратура ................. . . . .... ... 32

Глава 3. Общие законы коммутации................................... 33

§ 1. Внезапное включение.................................... 33

§ 2. Плавное изменение приложенного напряжения ... . .... 36

Литература.................................................... 42

Глава 4. Резонансные явления....................................... 43

§ 1. Резонанс напряжений . ................................. 44

§ 2. Резонанс токов...................................... . 48

Литература................................................. 51

Глава 5. Свободные токи и напряжения в колебательных контурах .... 52

§ 1. Частота и затухапис..................................... 52

§ 2. Ток и напряжение........................................ 54

§ 3. Параметры цепи...................... . . .... 58

Литер атура..................... ................. . . 60

Глава 6. Включение колебательных контуров.......................... 61

§ 1. Подключение к источнику с постоянным напряжением......... 61

§ 2. Подключение к источнику с переменным напряжением......... 64

Литер атура ............................... 70

Глава 7. Колебания высоком частоты после внезапного размыкания ... 71

§ 1. Амплитуда и начальная фаза....................... . . 72

§ 2. Размыкание цепи постоянного тока......................... 74

§ 3. Размыкание цепи переменного тока......................... 77

Литература.................................................... 81
II. МАГНИТНО-СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ
Глава 8. Взаимная индуктивность в неподвижных цепях................ 83

§ 1 Свободные токи в симметричных контурах.................... 83

S 2. Электромагниты постоянного тока с успокоительными обмотками ... 86

§ 3. Свободные токи в несимметричных контурах................. 88

§ 4. Влияние успокоительной обмоткп на процессы при размыкании обмоткп
возбуждения.............................................. - 92

Литература.................................................... 94

Глава 9. Переходные токи в трансформаторах......................... 95

§ 1. Включение первичной обмотки нагруженного трансформатора.. 95

§ 2. Внезапное короткое замыкание вторичной обмотки........... 97

Литература................................................... 100

Глава 10. Вихревые токи в массивных стальных сердечниках.......... 101

§ 1. Дифференциальное уравнение и его решение................ 101

§ 2. Постоянная времени и распределение магнитного поля...... 105

Литература.................................................... НО

Глава И Коммутационный магнитный поток во вращающихся машинах . 111

§ 1. Вихревые токи в массивных проводниках..................... Ш

§ 2. Успокоительные стержни (успокоители) в пазах............ 120

Литерат ура.................................................. 124

Глава 12. Свободные вращающиеся магнитные ноля многофазных обмоток 125

§ 1. Связь между магнитными полями статора и ротора.......... 125

§ 2. Несимметричные цепи статора и ротора.................... 130

Литература................................................... 135

Г лава 13. Внезапное короткое замыкание трехфазных машин.......... 136

§ 1. Короткое замыкание асинхронных двигателей............... 137

§ 2. Подключение к сети вращающихся асинхронных двигате.icii. 139

§ 3. Короткое замыкание синхронпых машин..................... 141

Литература................................................... 148

Глава 14. Токи короткого замыкания в электроэнергетических системах . . 150

5 1 Токи короткого замыкания в машинах....................... 150

§ 2. Токи короткого замыкания в сетях........................ 159

Литература . . . '........................................... 165

Глава 15. Механические п тепловые действия токов короткое о замыкания 167

§ 1. Механические силы...................................... 167

§ 2. Тепловое действие....................................... 177

Литература ............................... 184

Глава 16. Собственные колебания в коллекторных машинах............ 186

§ 1. Уменьшение затухания п самовозбуждение ................. 186

§ 2. Связанные цепи.......................................... 188

§ 3. Быстрое развозбуждеппе ................................. 190

Литература ............ .................. 194

III. ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИИ ВРАЩАЮЩИХСЯ МАСС

Г лава 17. Разгон электрических двигателей........................ 196

§ 1. Плавный пуск............................................ 196

§ 2. Ступенчатый пуск....................................... 201

§ 3. Выделение тепла за время пуска.......................... 203

Литература .............................. 205

Глава 18. Пуск двигателей постоянного тока........................ 206

§ 1. Пуск без добавочного сопротивления в цепи якоря ... .. 206

§ 2. Пусковые потери в двигателях с параллельным возбуждением .... 211

§ 3. Емкостный эффект ....................................... 214

Литература................................................... 217
Глава 19. Пуск асинхронных двигателей.......................... 218

§ 1. Время разгона двигателя с роторной обмоткой типа беличьей клетки . 218

§ 2. Потеря скорости при посадке напряжения сети......... '223

§ 3. Тепловые потери в обмотках........................... 226

Литература........................................... ... 229

1 лава 20. Механические колебания машин переменного тока....... 230

§ 1. Синхронизирующие силы в генераторах переменного тока. 230

§ 2. Собственная частота и затухание свободных колебаний.. 235

§ 3. Вынужденные механические колебанпя .................. 239

§ 4. Свободные колебания асинхронных двигателей........... 242

Литература............................................ . 245

Глава 21. Коммутационные толчки в синхронных машинах........... 247

§ 1. Колебания после неточной синхронизации.............. -247

§ 2. Устойчивость при толчках нагрузки.................... 249

§ 3. Ресинхронизация после короткого замыкания............ 256

Литература ............................... 259

Глава 22. Параллельная работа машин в электроэнергетической системе . . 260

§ 1. Распределение толчков нагрузки....................... 260

§ 2. Совместные колебания генераторов и асинхронных двигателей .... 266

Литература ............................... 272

Глава 23. Взаимодействие регуляторов скорости первичных двигателей
в энергетических системах..................................... 274

§ 1. Первичный двигатель с регулятором скорости непрямого действия . . 274

§ 2. Колебанпя мощности в электроэнергетической системе... 276

§ 3. Колебания частоты после толчка нагрузки.............. 280

Литература ............................... 284

IV. ВЛИЯНИЕ ЗЕМЛИ

1 а в а 24. Токи замыкания на землю в системах с изолированной нейтралью 286

§ 1. Распределение токов в сети........................... 286

§ 2. Растекание тока в земле.............................. 291

Литература................................................ 297

Г лава 25. Заземление........................................ 298

§ 1. Два заземляющих электрода............................ 299

§ 2. Стержневые п тросовые электроды...................... 301

§ 3. Сложные заземлители.................................. 304

§ 4 Нагревание грунта..................................... 308

Лите ратура............................................... 311

Глава 26. Трехфазные системы с заземленной нейтралью........... 313

§ 1. Глухое заземление и заземление через активное сопротивление .... 313

§ 2. Заземление нейтрали через индуктивное сопротивление.. 316

§ 3. Симметричные составляющие............................ 323

Литература................................................ 325

Г лава 27. Заземляющие тросы па опорах линий передач........... 327

§ 1. Воздушный заземляющий трос......................... 327

J 2 Протяженные заземлители ............................ 333

Литература............................................... 336

Глава 28. Атмосферные поля и нх влияние на линию . ........ 337

§ 1. Экранирующее действие троса................. . . . 337

§ 2. Миогоироводные линии ............................... 342

§ 3. Изменение атмосферного по pi ... . ................. 345

Литература ............................ 350

Глава 29. Электростатическое влияние высоковольтных линий ..... 351

§ 1. Однопроводпая линия.................................. 351

§ 2. Двухпроводные и трехфазные линии................... 353

§ 3. Замыкание трехф>азных лппим па землю.............. . . 356

Литература............................................... 359
Глава 30. Возврат переменного тока через землю............. 360

§ 1. Распределение плотности тока...................... 360

§ 2. Поле низкочастотных токов в земле................. 364

§ 3. Распределение токов высокой частоты............... 367

§ 4. Поле в пространстве над землей.................... 369

Литература ................. .......................... 372

Глава 31. Индуктивное влияние на линии связи............... 373

§ 1. Идеально проводящая поверхность земли............. 373

§ 2. Действие токов в земле в удаленных точках......... 375

§ 3. Двухпроводные и трехфазные линии.................. 377

Литерату ра.......................................... 380

Глава 32. Свободные токи в земле........................... 381

§ 1. Экспоненциально изменяющийся ток.................. 381

§ 2. Мгновенное нарастание тока........................ 387

Литература ............................................ 389

ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С НЕЛИНЕЙНЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

V. ПЕРЕМЕННОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Глава 33. Нагревание проводников......................... 393

§ 1. Повышение температуры............................. 393

§ 2. Косвенное изменение сопротивления................. 399

Литература............................................. 402

Глава [34. Плавление вставок предохранителей . . . . •.... . . 403

§ 1. Плавление и испарение.........-............... . . 403

§ 2. Интеграл квадрата плотности тока по времени...... 409

Литература . ......................................... 413

Глава 35. Полупроводники в электрической цепи.............. 415

§ 1. Индуктивная и емкостная цепп...................... 415

§ 2. Падающая вольтамперная характеристика............. 421

§ 3. Устойчивость повышения температуры ............... 423

Литература .......................... .... 426

Глава 36. Самовозбуждающиеся колебания..................... 427

§ 1. Условия существования ............................ 427

§ 2. Механизм возбуждения.............................. 430

Литература ............................... 436

VI. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ДУГА ПРИ РАЗМЫКАНИИ

Глава 37. Основные свойства дуги .......................... 437

Литература ............................... 443

Глава 38. Отключение индуктивных цепей постоянного тока.... 445

§ 1. Выключатель с сопротивлением...................... 445

§ 2. Выключатель с дугой............................... 450

§ 3. Шунтирование дуги сопротивлением.................. 458

Литература........................................... 462

Глава 39. Отключение переменного тока...................... 464

§ 1. Изменение напряжения и тока во времени............ 464

§ 2. Потери в дуге..................................... 471

§ 3. Разрыв дуги в масле............................... 474

S 4. Выключатели большой мощности...................... 478

Литература ....................... ........ 483

Глава ’40. Восстановление напряжения после отключения...... 486

§ 1. Быстрый рост напряжения цепи...................... 487

§ 2. Сложные колебания................................. 496

Литература ............................... 505
Глава 41. Отключение трехфазных цепей............................ 507

§ 1. Спад электродвижущей силы и тока....................... 507

§ 2. Апериодическая составляющая тока....................... 508

§ 3. Полюс выключателя, разрывающий цепь первым............. 508

§ 4. Отключение замыкания на землю.......................... 510

Литература.................................................. 511

Глава 42. Повторное зажигание в емкостных цепях.................. 513

§ 1. Процессы зарядки и разряда емкости в цепи постоянного напряжения 513

§ 2. Процесс перезарядки в цепи, питаемой от источника переменного
напряжения................................................. 520

Литература ............................... 526

Глава 43. Искровой разряд в колебательных цепях........... 527

Литература.................................................. 532

Г л_а в а 44. Отключение колебательных цепей............... .... 533

§ 1. Напряжение при повторных зажиганиях................... 533

§ 2. Ток и энергия.......................................... 542

§ 3. Перемежающееся дуговое замыкание на землю............. 546

Литература.................................................. 550

Глава 45. Незатухающие свободные колебания в цепях с дугой . . 551

Литература.................................................. 558

VII. МАГНИТНОЕ НАСЫЩЕНИЕ В НЕПОДВИЖНЫХ ЦЕПЯХ

Глава 46. Коммутирование цепей постоянного тока с магнитным насы-
щением ...................................................... ... 559

§ 1. Постороннее возбуждение магнитного потока.............. 559

§ 2. Самовозбуждение машип постоянного тока................. 564

§ 3. Замедление, вносимое вихревыми токами . . ......... 569

Литература.................................................. 572

1 ла_ва 47. Токи включения в цепях переменного тока с магнитным насы-
щением .......................................................... 573

Литература.................................................. 582

Глава 48. Магнитное насыщение в колебательной цепп............... 583

§ 1. Феррорезонанс.......................................... 583

§ 2. Влияние активного и индуктивного сопротивлений......... 589

§ 3. Обрыв одной фазы....................................... 592

Литература.................................................. 594

Глава 49. Высшие гармоники....................................... 596

§ 1. Форма кривых в машипах и выпрямителях.................. 597

§ 2. Искажение, вносимое трансформаторами, реакторами и линиями .... 601

§ 3. Гармоники в трехфазных системах........................ 608

Литература................................................ 610

Г лава 50. Негармонические колебания ..................... 612

§ 1. Искажение свободных колебаний.......................... 612

§ 2. Вынужденные колебания в переходном режиме .... ...... 619

§ 3. Установившийся режим и высшие гармоники................ 622

§ 4. Субгармонический резонанс ............................. 624

Литература....................................... . . 630

VIII. ВРАЩАЮЩИЕСЯ МАШИНЫ С НАСЫЩЕННОЙ
МАГНИТНОЙ ЦЕПЬЮ

Глава 51. Установившееся короткое замыкание трехфазпых генераторов . . 632

§ 1. Короткое замыкание при нагруженном генераторе.......... 632

5 2. Активное сопротивление в пени.......................... 635

§ 3. Двухполюсное и однополюсное короткие замыкания......... 638

§ 4. Влияние реакторов...................................... 644

Литература . . ............................. 648
Глава 52. Емкость в цепи генераторов п двигателей....................... С49

§ I. Магнитное насыщение машины.................................... 649

§ 2. Влияние индуктивности раосеянпя............................... 652

§ 3 Влияние активного сопротивления и внешнего намагничивающего тока 655

Литер атура...................................................... 6а9

Глава 53 Переходные процессы в синхронных машинах....................... 660

§ 1. Изменение тока и напряжения во времени........................ 660

§ 2. Повышение напряжения под действием емкостной нагрузки ........ 663

§ 3. Толчкп тока при индуктивной нагрузке.......................... 666

§ 4. Общая задача.................................................. 668

Литература......................................................... 673

Глава 54 Влияние успокоительных обмоток и рассеяния ротора на пере-
ходные процессы......................................................... 674

§ 1. Взаимодействие электрических и магнитных цепей................ 674

§ 2. Решение основных уравнений.................................... 671

§ 3. Графический метод решения..................................... 680

§ 4. Постоянные времени успокоительных обмоток .................... 685

Литература......................................................... 687

Глава 55. Регулирование возбуждения и напряженпя ....................... 688

§ 1. Подъем напряжения после сброса нагрузки....................... 688

§ 2. Ударное возбуждение........................................... 691

§ 3. Автоматическое регулирование возбуждения...................... 694

§ 4. Последовательное возбуждение.................................. 702

Литература......................................................... 704

’’итература........................................................... _ 706
ОПЕЧАТКИ

Стр. Строка Напечатано Следует читать
107 3 св. формула (10.29) 0,66 Фое- /Т1 О,66Фое~,/Т1
190 1 сп. формула (16.17) R’+R—N R" + R — N
239 14 св. формула (20.29) Ра + Р'а^ Pa + P^U
320 24 св. формула (26.16) —cos (!)L _4C0S?e-‘Kb/fi)
329 7 св. формула (27.14) Аг+i —2/n— In—i — 2/n + In-!
411 19 сп. формула -i/ 314-8-108 V ' 10й -iV 314-8-10» V 3 1018
424 2 сн. ) Я(&)
553 14 св. формула (45.9) Ь dt Ld-i- dt

Зак. 505
Р. Рюденберг

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ

СИСТЕМАХ

Редактор Е. II. МАЙКОВА

Технический редактор >М. А. [Белёва
Корректоры

Г. А. Борцовская и О. П. Горшкова
Переплет художника

М. В. Борисовой-Мусатовой

Сдано в производство 21/IX 1954 г.
Подписано к печати 26/1 1955 г.

Т00760. Бумага 70X1081/16-22,4 б. л.

61.3 печ. л. Уч.-изд. л. 56,0

Изд. № 2/1675. Цена 41 р. 10 к.

Заказ № 505.

Издательство иностранной литературы
Москва. Ново-Алексеевская. 52

16-я типография Главполиграфпрома
Министерства культуры СССР

Москва, Трехпрудный пер., д. 9