ТЕОРИЯ
ОРБИТ
ИСКУССГ: ИНЫХ
СПУТНИК!В
В АТМОСФЕРЕ

Д. Кинг-Хили
ТЕОРИЯ ОРБИТ
ИСКУССТВЕННЫХ
СПУТНИКОВ
В АТМОСФЕРЕ
Перевод с английского
Ю. А. РЯБОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1966

ТНЕОКУ ОР 5АТЕШТЕ
(ЖВ1Т5 Ш АЫ
АТМ05РНЕРЕ
Ьу
Ое8топ<1 Кт^-Не1е
8ешог Рг1ПС1ра1 8с1еп1Шс ОШсег
Коуа! А1гсга11 Е81аЬН8Ьтеп*, РагпЬогоибЬ
ьсжооы
в1лтек\уоктн$
1964

УДК 521.1
Небольшая монография известного английского ученого
посвящена актуальному вопросу теории движения
искусственных небесных тел: разработке теории, позволяющей, с одной
стороны, точно рассчитать орбиту спутника или космического
корабля, движущегося в атмосфере планеты (т. е. на
небольшом удалении от ее поверхности), а с другой — по изменению
орбиты спутника, обусловленному сопротивлением
атмосферы, рассчитать плотность последней.
Достоинство книги состоит в том, что автор повсюду
использует лишь аналитические методы и получает общие
формулы, пригодные для практических расчетов.
Книга представит большой интерес как для специалистов
в области аэродинамики, механики, астрономии, так и для
студентов, а также для научных и инженерно-технических
работников, занимающихся вопросами космических полетов
и наблюдениями за искусственными небесными телами.
Редакция по космическим исследованиям, астрономии и геофизике

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая вниманию читателя книга Д. Кинг-Хили,
известного английского специалиста в области наблюдений
и исследования движений искусственных спутников Земли,
посвящена важному и интересному вопросу о влиянии
земной атмосферы на движение спутников.
В классической небесной механике, на базе которой
построены сейчас достаточно точные теории движения
искусственных спутников, обычно рассматриваются
движения в так называемом абсолютном пространстве, т. е.
влияние атмосферы игнорируется. Однако изучать
фактическое движение искусственных спутников без учета
этого влияния, выражающегося в торможении спутников,
невозможно. Атмосферное торможение сказывается на
спутниках, движущихся на высотах до 1000 км. Именно оно
является причиной того, что такие спутники имеют лишь
ограниченный срок жизни. Изменения периода обращения
спутника и эксцентриситета орбиты обусловлены в основном:
этой причиной.
Детальное изучение влияния атмосферы представляет
исключительные трудности, прежде всего из-за сложной
зависимости плотности от высоты над поверхностью Земли
и вследствие изменений состояния атмосферы с течением
времени, происходящих под действием различных факторов
(главным образом солнечной радиации).
Вместе с тем, * если такая теория влияния атмосферы
на движение спутников имеется, то сопоставление
теоретических результатов с фактическими наблюдательными
данными о движении того или иного спутника дает весьма
ценные сведения о различных характеристиках атмосферы.
Большинство сведений о верхних слоях атмосферы полу-

6
Предисловие к русскому изданию
чено за последние годы именно по наблюдениям
искусственных спутников.
Книга Д. Кинг-Хили является пока единственной, где
подробно разработана такая теория, которая приведена
к виду, позволяющему непосредственно применить ее для
решения конкретных задач. Как большой практик, автор
стремился придать своей теории практический аспект,
жертвуя в тех или иных местах теоретической строгостью
и прибегая к приближенным формулам.
В книге показывается также, как разработанная теория
применяется фактически и каким образом вычисляют
значения для плотности земной атмосферы на различных
высотах, для градиента плотности и т. д. Приводятся конкретные
результаты, полученные до настоящего времени.
Мы полагаем, что эта книга будет с интересом и
пользой прочитана научными и инженерно-техническими
работниками, а также студентами, интересующимися движением
искусственных спутников Земли и практическим
применением теорий их движения для геофизических исследований.
Москва, ноябрь 1965 г.
Ю. Л. РЯБОВ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой книги — изложение аналитической теории,
описывающей как можно точнее влияние торможения в
атмосфере на орбиты спутников Земли. Хотя эта теория может
представить некоторый интерес для математиков, но
назначение ее чисто «прикладное». Работа над построением
теории была начата в 1957 г. ввиду срочной необходимости
понять свойства движения только что запущенных
спутников. Впоследствии теория была развита в более строгой
форме, с учетом свойств верхней атмосферы, которые были
обнаружены (при помощи теории в ее простой форме) по
наблюдаемым изменениям орбит искусственных спутников.
Я весьма благодарен Грехэму Куку, критически
просмотревшему каждую главу книги; поскольку он работал
совместно со мной при построении большей части теории,
то его замечания имели особую ценность. Мне также приятно
выразить признательность Дорин Уокер, сотрудничавшей
со мной при построении части теории, и Дэвиду Лесли, чьи
первые шаги в области этой теории в 1957 г. указали путь
к дальнейшим обобщениям. Я благодарен Гарри Хиллеру
за многочисленные замечания по тексту книги. Наконец,
я приношу благодарность Совету и членам Лондонского
Королевского общества за разрешение использовать статьи,
содержащие изложение теории в ее оригинальном виде
и опубликованные в «РгосеесНпйз о! Ше Коуа! 5оае{у».
Фарнхэм, октябрь 1963 г.
Л. К.

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
§1. Вступление
В развитие небесной механики внесли свой вклад многие
знаменитые математики от Ньютона и Лагранжа до
Пуанкаре и Эйнштейна, и казалось бы, что такой частный вопрос,
как задача об изменении орбиты спутника Земли под
влиянием торможения в атмосфере, должен быть уже решен
в некоторой общей форме. Однако это не так. Дело в том,
что с изменением расстояния от центра планеты на 1 %
плотность ее атмосферы может изменяться в 10 раз. Между тем
в классических исследованиях возмущений «орбит в
сопротивляющейся среде» обычно предполагалось, что плотность
среды изменяется с расстоянием от центра притяжения
очень мало или даже вовсе не изменяется.
Теория орбит спутников в атмосфере, начиная с самих
ее основ, развивалась фактически лишь в течение
последних 10 лет. Все развитие шло рука об руку с ее
практическим использованием для получения сведений ,о свойствах
атмосферы по наблюдаемым изменениям орбит реальных
спутников. Этот союз теории и практики оказался
счастливым: если бы теория была развита прежде, чем была
получена удовлетворительная картина строения верхней
атмосферы, то могли быть сделаны неправильные предпосылки,
которые привели бы к дискредитации и возможному
провалу теории.
Во всей этой книге я имею в виду только спутники Земли,
хотя построенная теория в равной степени применима
к близким спутникам других планет, если только атмосфера
последних имеет примерно . сферическую форму. Нет
никакого смысла пытаться применять теорию во всех
деталях к другим планетам до тех пор, пока не станут лучше
известны свойства их атмосфер.
Цель излагаемой здесь теории — дать аналитическое
описание эволюции эллиптической орбиты спутника под

10
Глава 1
влиянием торможения в атмосфере, начиная с первых дней
существования спутника и до того момента, когда его
орбита настолько сократится из-за торможения, что
останется лишь несколько оборотов до окончательного
вхождения спутника в нижние слои атмосферы. На практике
теория применима прежде всего к спутникам Земли с
минимальной высотой над поверхностью от 150 до 1000 км.
Спутник, который движется, опускаясь до высоты,
меньшей 150 /еж, может сделать лишь несколько оборотов
вокруг Земли; если же минимальная высота спутника
превосходит 1000 км, то эффект атмосферного торможения
почти незаметен.
Предполагается, что после выхода на орбиту спутник
не имеет никакой 'дополнительной тяги. Гиперболические
орбиты не рассматриваются, поскольку аппарат,
выведенный на такую орбиту, обычно покидает окрестность Земли
и уже не возмущается после этого атмосферным
торможением. Здесь отсутствует также анализ изменений орбиты
на протяжении одного оборота спутника: мы имеем дело
со шкалой времени, в которой наименьшим интересующим
нас интервалом является один период обращения.
§ 2. Элементы орбиты
Для определения размеров, формы и ориентации
эллиптической орбиты требуется пять параметров, называемых
элементами орбиты. Шестой элемент, который нас не будет
здесь непосредственно интересовать, определяет положение
спутника на его орбите.
Два угла, а именно наклонность г плоскости орбиты
к экватору (рис. 1.1) и «прямое восхождение восходящего
узла» Й, определяют ориентацию плоскости орбиты
в пространстве. Восходящий узел АЛ— точка, в которой
спутник пересекает экватор, двигаясь к северу. С — центр
Земли, а Т — точка весеннего равноденствия —
неподвижная точка небесной сферы, служащая началом отсчета при
измерении положений звездг). Угол Й отсчитывается
с запада на восток.
х) Фактически точка 7\ представляющая собой точку
пересечения плоскости эклиптики с земным экватором, не остается непод-

Введение
11
Другие три параметра определяют размеры и форму
орбиты, а также ее ориентацию в своей плоскости. Размеры
характеризуются большой полуосью а (рис. 1.2), а форма —
эксцентриситетом е. Из рис. 1.2 видно, что максимальное
расстояние спутника от центра Земли — апогейное
расстояние — равно а (1 +е), а минимальное — перигейное
Рис. 1.1. Проекция орбиты спутника на
сферу единичного радиуса с центром в
центре Земли.
расстояние СР — равно а (1 — е). Пятым элементом,
указывающим направление на перигей Р в плоскости орбиты,
является аргумент перигея со (см. рис. 1.1) — угол между
восходящим узлом и перигеем, отсчитываемый вдоль орбиты
в направлении движения спутника»
Шестой параметр, который может быть определен
различным образом, позволяет фиксировать положение
спутника на его орбите в некоторый момент времени или же дает
момент, когда спутник достигает определенной точки орбиты,
вижной по отношению к звездам, что обусловлено прецессией
земной оси вокруг полюса эклиптики с периодом 26 000 лет. Однако
это движение происходит достаточно медленно, так что в
рассматриваемых здесь задачах им можно пренебречь.

12
Глава 1
например перигея или восходящего узла. С этим шестым
элементом мы не будем непосредственно иметь дело.
Рис. 1.2. Эллиптическая орбита с большой
полуосью а и эксцентриситетом е\ спутник
находится в точке 5.
§ 3. Основные возмущения орбит спутников
Если бы Земля была сферической, лишенной атмосферы
и изолированной от других небесных тел солнечной
системы, то орбита спутника представляла бы собой эллипс
постоянных размеров и формы, расположенный в
плоскости, неподвижно ориентированной по отношению к звездам.
Орбитальные элементы а, е, /, о) и й оставались бы
неизменными. Эта простая, а вернее, бесцветная картина коренным
образом нарушается вследствие 1) сжатия Земли, 2)
атмосферного торможения и 3) возмущений от Солнца и Луны,
которые обычно менее существенны, чем (1) или (2).
Возмущения, вызываемые этими тремя факторами, мы и опишем
сейчас в общих чертах.
Эффект сжатия Земли
Особенности гравитационного поля, обусловленные
сжатием Земли, приводят в основном к двум возмущениям
орбиты спутника. Во-первых, плоскость орбиты вращается
вокруг оси Земли в направлении, противоположном
движению спутника, так что (если I < 90°) угол й, указанный
на рис. 1.1, непрерывно уменьшается, а угол г остается

Введение
13
неизменным. Скорость изменения й дается формулой
& « — 9,97 С — ) ' (1 — г2)'2 СОЗ г градусов в сутки, (1.1)
где/?—экваториальный радиус Земли [19]. Во-вторых,
большая ось орбиты вращается, оставаясь в орбитальной
плоскости, так что аргумент перигея со растет со скоростью
со « 4,98 (—) ' (1 — е2)'2 (5 соз2 г — 1) градусов в сутки.
(1.2)
Эти два возмущения составляют вместе несколько градусов
в сутки для близких спутников. С увеличением г от 0 до 90°
| й | уменьшается, стремясь к нулю, а со обращается в нуль,
если соз I = 1/1/5, т. е. I = 63°,4. Последнее значение
наклонности часто называют критическим. При I < 63°,4
перигей перемещается по орбите в том же направлении,
в каком происходит движение спутника; при [ > 63°,4
перигей перемещается в обратном направлении.
• •
Формулы для й и (о, выписанные выше, являются лишь
приближенными, поскольку мы опустили множество
дополнительных членов, которые должны в них присутствовать.
Спутник движется в силовом поле, определяемом
гравитационным потенциалом Земли И. Он записывается обычно
в виде
[; = М[1_2 4(А)>п(51пф)], (1.3)
71=2
где О — гравитационная постоянная, М — масса Земли,
^п — постоянные и Рп (зш ф) — полиномы Лежандра
степени п от аргумента зт ф1), где ф — геоцентрическая широ-
Х) .Р2(31Пф)=у(351п2ф—1),
Р3(51Пф)=— (5 51*П3ф — ЗзШф),
и при любом п
Теорию полиномов Лежандра см., например, в книге ЛеНгеуз,
Ме1Ьос15 о! Ма1ЬетаИса1 РЬузкз, 1950, сЬ. 24.

14
Глава 1
та. Первый член в этом выражении для V представляет
потенциал сферической Земли; член с 1^ так
называемая вторая гармоника, выражает главный эффект сжатия
Земли; третья гармоника (член с /3) выражает некоторую
асимметрию Земли относительно экватора, т. е. так
называемый эффект «грушевидности» и т. д. Каждый из членов
в V вносит свой вклад в й и й, и полные выражения для й
и со даны Гровсом [16] и Мерсоном [25]. Выписанные выше
формулы (1.1) и (1.2) соответствуют только второй
гармонике в I], которая, правда, наиболее существенна, так как
^2 значительно больше, чем остальные «/„. Значения ^2 — Л>
полученные недавно Кинг-Хили, Куком и Рисом [22]
и ранее Р. Ньютоном, Хопфилдом и Клайном [27], равны
^- 1082,9- К)"6, ^= -2,4-10"6,
У4=-1,3.10-в, Уб=- 0,2-10"6, (1.4)
Л-0,8.10"6, Л=-0,3.10-6.
В дополнение к монотонным или вековым изменениям
йио), описываемым формулами (1.1) и (1.2), каждая
гармоника потенциала V вызывает различные периодические
возмущения орбитальных элементов. Наиболее
существенными из этих периодических возмущений являются
колебания перигейного расстояния гр, вызываемые гармоникой «/3
и выражаемые формулой
Гр — ГрЕ&— 6,851П151П0) КМ, (1.5)
где индекс Е соответствует значению на экваторе.
Таким образом, в течение того времени, пока перигей
перемещается на небесной сфере от экватора (со = 0)
к самой северной своей трчке (со = 90°), расстояние перигея
от центра Земли уменьшается на 6,8 зт ь км\ когда же
перигей достигает самой южной точки (со = 270°), его
расстояние от центра Земли на 6,8 зш ь км больше, чем тогда,
когда он находится на экваторе.
Вариация силы притяжения в зависимости от долготы
также является источником некоторых возмущений орбиты.
Однако они очень малы и имеют короткий период и не будут
нас здесь интересовать, хотя при анализе орбитальных
элементов на протяжении одного оборота спутника их
изучение представляет определенный интерес.

Введение
15
Эффект торможения в атмосфере
Основные возмущения орбиты спутника, вызываемые
атмосферным торможением, сильно отличаются, к счастью,
от возмущений, описанных выше. Так как плотность
атмосферы быстро уменьшается с увеличением высоты над
Рис. 1.3. Сокращение орбиты
спутника под влиянием торможения в
атмосфере.
1 — начальная орбита; 2 — орбита по
истечении половины жизни; 3 — орбита по
истечении 85% времени жизни.
поверхностью Земли, то спутник, имеющий орбиту с
заметным эксцентриситетом, испытывает эффект торможения
главным образом ца небольшом участке орбиты, который
расположен ближе всего к Земле. Следовательно, в первом
приближении эффект атмосферного торможения сводится
к замедлению спутника каждый раз при прохождении им
перигея, вследствие чего каждый последующий апогей
менее удален от Земли, чем предыдущий, т. е. высота
апогея уменьшается, а высота перигея остается почти
постоянной. Орбита спутника как бы сокращается и все более

16
Глава 1
приближается к круговой, как это показано на рис. 1.3:
оба орбитальных элемента а и е монотонно уменьшаются.
Если бы атмосфера была стационарной и имела
сферическую форму (т. е. сферическое распределение
плотностей.— Перев.), то а и е оказались бы единственными
элементами, изменяющимися под действием атмосферного
торможения. Однако в действительности на интересующих
нас высотах 150—1000 км атмосфера вращается,
по-видимому, с той же скоростью, что и Земля, и это вращение
приводит к появлению небольших поперечных сил,
действующих на спутник и слегка изменяющих направление
плоскости его орбиты. Вследствие этого имеют место малые,
но монотонно растущие возмущения / и малые
периодические возмущения й. Наконец, сжатие атмосферы (т. е.
несферическое распределение плотностей.— Перев.)
приводит к малым изменениям со.
Возмущения от Солнца и Луны
Лунно-солнечные возмущения орбит спутников [5]
вызываются как гравитационным действием Солнца и Луны,
так и давлением солнечного излучения. Эффекты
гравитационного притяжения вообще малы и периодичны:
амплитуда изменения перигейного расстояния для спутника,
который, как и большинство запущенных в 1957—1962 гг.,
имеет эксцентриситет менее 0,25, не достигает обычно 2 км.
Изменениям подвержены все пять орбитальных
элементов, за исключением большой полуоси а, которая
остается постоянной. Возмущения, вызываемые давлением
солнечного излучения, также малы для спутников обычной
конструкции, но могут быть большими для
спутников-баллонов, которые имеют огромное отношение поверхности
к массе. Эти возмущения обычно периодические и
изменению подвержены все элементы (включая а), если учитывать
эффект прохождения спутника через земную тень.
Резюме
Из сказанного выше видно, что возмущения,
вызываемые перечисленными тремя факторами — аномалии
гравитационного поля Земли, атмосферное торможение и
лунно-солнечные силы, — существенно отличаются друг от друга
по своему характеру. Для спутника обычной конструк-

Введение
17
ции (т. е. не для спутников-баллонов) с близкой к
поверхности Земли орбитой (т. е. с высотой перигея меньше 600 км
и эксцентриситетом е < 0,2) эти возмущения могут быть
описаны следующей неточной, но полезной таблицей:
Возмущающие факторы
Гравитационное поле
Земли
Атмосфера
Луна и Солнце , . .
Вековые возмущения
большие
13, со
а, е
малые
1
Периодические возмущения
умеренные
е
малые
/, й, СО
й, со
а, е, /, ^, со
Таким образом, разделение основных эффектов
намечается вполне отчетливо.
Атмосферное торможение, вызывающее вековое
уменьшение айв, является обычно причиной ограниченности
времени существования спутника в силу процесса,
проиллюстрированного схематически на рис. 1.3. Однако в
некоторых случаях продолжительность жизни спутника
контролируется другими силами, например,эозмущениями от Луны
для орбит с большим эксцентриситетом (>0,5) или
давлением солнечного излучения для спутников-баллонов; эти
силы вызывают большие колебания эксцентриситета е,
а вместе с тем и перигейного расстояния. Такие колебания
могут приобрести решающее значение для срока жизни
спутника, так как перигей может оказаться из-за них
на очень малой высоте, где спутник попадает в плотные
слои атмосферы и из-за сильного торможения в атмосфере
прекращает свое существование. В другом случае период
обращения спутника находится в резонансе с
лунно-солнечными возмущениями: тогда уменьшение перигейной высоты
может приобрести квазивековой характер, что также
приближает конец существования спутника. Подобные
особенные орбиты могут встретиться, конечно, редко. Более
95% спутников, запущенных в 1957—1962 гг., уже
прекратило свое существование или прекратит его именно
вследствие медленного торможения в атмосфере, составляющего
предмет исследования в данной книге, если только не будет

18
Глава 1
иметь место, так сказать, насильственное возмущение
из-за удара метеорита или из-за вмешательства руки
космонавта, посланного очистить орбиту от обломков.
§ 4. Теория орбит спутников в атмосфере
Для того чтобы развить теорию влияния атмосферного
торможения на орбиты спутников, необходимо выбрать
некоторую модель верхней атмосферы, соответствующую,
насколько это возможно, действительности. Тогда
представляются возможными два этапа в развитии теории.
Первый этап заключается в оценке эффектов в течение одного-
единственного оборота спутника, что позволит после
интегрирования получить вековые изменения. Второй и более
трудный этап состоит в распространении результатов,
полученных на одном обороте, на сотни или тысячи
оборотов, т. е. в построении аналитических формул для
вариации перигейного расстояния в зависимости от
эксцентриситета и эксцентриситета в зависимости от времени в течение
всей жизни спутника. Последнее сделано в данной книге
в отношении главных эффектов, поскольку это дает наиболее
полную аналитическую картину. Менее существенные
эффекты, проявляющиеся в изменениях /, йиш, оценены только
для одного оборота спутника, так как эти эффекты настолько
малы, что их более детальный анализ едва ли целесообразен.
Влияние атмосферного торможения на орбиту спутника
Земли было рассмотрено впервые И. Ньютоном («Начала»,
кн, II, разд. IV), который получил некоторые
интересные результаты для случая круговых орбит. В наше
время первые исследования принадлежат Зингеру [32],
развившему полуаналитическую теорию для оценки срока4
жизни спутника, а также Петерсену [31] и Кинг-Хили [18],
методы которых применимы главным образом к круговым
орбитам. Генри [17] сделал первую попытку получить
аналитическое решение для эллиптической орбиты, а Дэвис,
Уиппл и Зеркер [11] предложили полуаналитический
метод, опирающийся на классические уравнения. Охоцим-
ский, Энеев и Таратынова [29] использовали аналогичный
метод и привели обширные численные результаты.
Запуск первого искусственного спутника в октябре
1957 г. вызвал большое количество мелких статей относи-

Введение
19
тельно двух практических вопросов, являющихся
«побочными продуктами» общей теории: первый —это оценка
срока жизни спутника и второй — определение плотности
атмосферы по убыванию орбитального периода спутника.
Соответствующие формулы были получены Гровсом [14],
затем более точные Стерном [33] и еще более точные Кинг-
Хили [21].
Уравнения, характеризующие изменения
орбитального периода, перигейного расстояния и эксцентриситета
в зависимости от времени, были получены впервые Нон-
вейлером [28] и Кинг-Хили и Лесли [23]. Последняя работа
была в дальнейшем расширена автором данной книги
в сотрудничестве с Куком и Уокер — были учтены эффекты
вращения атмосферы и ее сжатия и использован более
близкий к действительности закон изменения плотности
атмосферы с высотой [7, 20, 6]. Изменения орбиты на
протяжении всего срока существования были исследованы
также Майкельсеном [26], использовавшим степенной закон
изменения плотности атмосферы с высотой, а позднее
Лейном, Фитцпатриком и Мэрфи [24]. Большинство других
авторов занимались изменениями орбиты за один оборот
спутника. Эти изменения были даны в общей форме
Стерном [34], Элиасбергом [12] и Эвартом [13]. Гровс [15],
Паркин [30] и Дэвис [10] указали на эффект сжатия
атмосферы. Брауэр и Хори [3] развили теорию, объединяющую
гравитационные эффекты и эффект атмосферного
торможения, но только для практически круговых орбит. Вард [36]
использовал векторный метод. Батраков и Проскурин [1],
а также Стерн [34] указали на изменения, происходящие
на протяжении одного оборота.
Эффект вращения атмосферы на наклонность орбиты
спутника был впервые выражен Бозанкэ [2] и Винти [35].
Изменения обоих элементов г и й были оценены более
полно Стерном [34], а также Куком и Плиммером [9].
Совместное влияние сжатия и вращения атмосферы на г,
й и со было исследовано Куком [4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Батраков Ю. В., Проскурин В. Ф., Искусствен.
спутники Земли, 3, 39 (1959).
2. В о 5 а п я и е * С. Н., Ш*иге, 182, 1533 (1958).

йд
Глава 1
3. Вгои^ег О., Н о г 1 О., Аз*гоп. Л., 66, 193 (1961).
4. С о о к О. Е., Ргос. Коу. Зое, А261, 246 (1961).
5. С о о к О. Е., ОеорЬуз. Л., 6, 271 (1962).
6. С о о к О. Е., К 1 п б - Н е 1 е О. О., Ргос. Коу. Зое, А275,
357 (1963).
7. С о о к О. Е., К 1 п б - Н е 1 е В. О., № а 1 к е г В. М. С,
Ргос. Коу. Зое, А257, 224 (1960).
8. С о о к О. Е., К 1 п б - Н е 1 е В. О., Ш а 1 к е г V. М. С,
Ргос. Коу. Зое, А264, 88 (1961).
9. С о о к О. Е., Р 1 1 ш ш е г К. N. А., Ргос. Коу. Зое, А258,
516 (1960).
10. В а V 1 е з М. Л., ТЬе Оупагшсз о! ЗаЫШез, Зрпп^ег-УеНа^,
ВегНп, 1963, р. 111.
11. В а V 1 е з К. Л., Ш Ы р р 1 е Р. Ь., 2 1 г к е г Л. В., 5аеп*ь
Не 11зез о! Еаг*Ь За^еПНез, СЬартап апс! На11, Ьопйоп, 1956,
р. 1.
12. Эли а сб ер г П. Е., Искусствен, спутники Земли, 3, 54
(1959).
13. Етеаг* В. О., Л. ВгИ. т*егр1апе1. Зое, 18, 269 (1962).
14. Огоуез С. V., ЫаЫге, 181, 1055 (1958).
15. Огоуез О. V., Ргос. Коу. Зое, А252, 16 (1959).
16. О г о V е з О. V., Ргос. Коу, Зое, А254, 48 (1960).
17. Н е п г у I. О., Ле* РгориЫоп, 27, 21 (1957).
18. К 1 п б - Н е 1 е О. О., Л. ВгИ. Ыегр1апе*. Зое, 15, 314 (1956).
19. К 1 п б - Н е 1 е О. О., Ргос. Коу. Зое, А247, 49 (1958).
20. К 1 п б - Н е 1 е О. О., Ргос. Коу. Зое, А267, 541 (1962).
21. К 1 п б ■ Н е 1 е О. О., Р1апе*. Зрасе Зек, 11, 261 (1963).
22. К 1 п 8 - Н е 1 е О. О., С о о к О. Е., К е е з Л. М., ОеорЬуз,
Л., 8, 119 (1963).
23. К 1 п 8 - Н е 1 е С О., Ь е з 1 1 е В. С. М., ИаШге , 181, 1761
(1958).
24. Ь а п е М. Н., Р 1 \г р а 1 г 1 с к Р. М., М и г р Ь у Л. Л.,
А1Г РгоУ1П8 Огоипс! Сегйег, Е^Нп, Р1опс1а, Кер. АРОС-ТОК-
62-15, 1962.
25. М е г з о п К. Н., ОеорЬуз. Л., 4, 17 (1961).
26. М 1 с Ь 1 е 1 з е п Н. Р., Аскапсез т Аз1гопаиИса1 Заепсез,
Уо1. 4, Кете Уогк, Р1епит, р. 255.
27. N е те \ о п К. К., Н о р Н е 1 <1 Н.ЗДПпе К. С, ИаШге,
190, 617 (1961).
28. N о п те е 1 1 е г Т. К. Р., Л. ВгИ. Ыег1апе*. Зое, 16, 368 (1958).
29. О х о ц и м с к и й Д. Е., Энеев Т. М., Т а р а т ы н о-
в а Г. П., Успехи физ. наук, 63, 1а (1957).
30. Р а г к у п О. О., Л. ОеорЬуз. Цез., 65, 9 (1960).
31. Ре1егзеп N. V., Ле1 РгориЫоп, 26, 341 (1956).
32. 5 1 п 8 е г 5. Р., Аз^гогшШса Ас*а, 2, 125 (1956).
33. 51егпе Т. Е., Заепсе, 127, 1245 (1958).
34. 5 \ е г п е Т. Е., Ап 1п*гос1ис{1оп \о Се1езИа1 МесЬашсз, 1п*ег-
заепсе, Иете Уогк, 1960, СЬ. 5. (Русский перевод: Т.Штерн,
Введение в небесную механику, М., «Мир»> 1964, гл. 5.)
35. V I п И Л. Р., Л. Кез. па*. Виг. 3*ап<1., 62, 79 (1959).
36. Ш а г (1 О. N.. Ргос. Коу. Зое, А266, 130 (1962).

ГЛАВА 2
АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ
НА СПУТНИК
§ 5. Введение
Объект, движущийся со скоростью V относительно
окружающей его атмосферы, подвержен воздействию
аэродинамических сил, которые можно разложить на две
компоненты: сопротивление #, действующее в направлении,
противоположном V, и силу в плоскости, перпендикулярной
V. Выражение для И записывают в аэродинамике обычно
в виде
0 = ±9У*8С»9 (2.1)
где 5 — плотность окружающей атмосферы, 5 —
характерная площадь объекта (обычно это площадь сечения объекта
плоскостью, перпендикулярной направлению движения),
а Сс — коэффициент сопротивления (безразмерный). Эта
формула была введена еще на заре развития аэродинамики
именно в таком виде, потому что увеличение давления
при полном торможении воздуха, движущегося с малой
скоростью, равно г/2яУ2. Формула остается применимой
и при совсем иных условиях полета, в которых находится
спутник, и, хотя множитель х/2 логически не оправдан при
больших скоростях, все же целесообразно его оставить,
чтобы сохранить одни и те же обозначения во всех
областях аэродинамики.
В дополнение к сопротивлению, которое действует в
направлении, противоположном движению объекта, возникают
силы, перпендикулярные направлению движения. Эти
силы не проходят, вообще, через центр масс и могут быть
разложены на аэродинамическую подъемную силу Ь,
проходящую через центр масс, и вращающий момент М
относительно центра масс (рис. 2.1). Момент М может быть
выбран так, чтобы учесть вращение, возникающее не только

22
Глава 2
за счет аэродинамических сил, но также за счет градиента
гравитационного поля, действия магнитного поля Земли
и других факторов г).
Если при помощи поверхностей управления (на
самолетах или ракетах) или рулевых ракетных двигателей
(для спутников) вращающий момент М удастся
скомпенсировать, то объект окажется в равновесии и займет
положение, указанное на рис. 2.1. Тогда на него, как и на самолет
в условиях обычного полета, будет действовать постоянная
гМ №
Направление
движения шг .
спутника Центр
масс
Рис. 2.1. Схема действия на спутник
аэродинамической подъемной силы,
торможения и вращающего момента М.
подъемная сил а Ь. Мы будем предполагать, однако,
полное отсутствие подобных сил по той простой причине, что,
если бы они действовали, возникла бы компонента по
направлению движения, изменяющая Р и делающая
теорию несостоятельной.
Для неуправляемого спутника вращающий момент
обычно отличен от нуля, что приводит к «кувырканию» спутника.
Следовательно, направление подъемной силы будет все
время изменяться, причем для типичного спутника это
направление каждые 5 сек меняется на противоположное.
Результирующая средняя сила оказывается равной нулю.
По этой причине мы не будем учитывать силы,
перпендикулярные направлению скоррсти. Это предположение
представляется целиком оправданным для почти
сферических спутников и для цилиндрических с отношением
длины к диаметру, большим ~1.
Если спутник с отношением подъемной силы к силе
сопротивления ЬЮ, значительно меньшим 1, вращается
х) Зависимостью сил И и Ь от магнитного поля Земли можно
пренебречь, тогда как влияние силы тяготения должно, конечно,
учитываться особ^

Аэродинамические силы, действующие на спутник 23
вокруг оси симметрии, то последняя стремится сохранить
фиксированное направление в пространстве. Тогда
подъемная сила меняет знак лишь дважды за один оборот
спутника вокруг Земли и по причине большей длительности
своего действия в одном и том же направлении может
оказаться более существенной. Однако для спутников
отношение ЦВ всегда мало (<0,1), и можно показать, что даже
для дискообразных спутников влияние подъемной силы
обычно пренебрежимо мало.
Перейдем теперь к вопросу о значениях величин Св,
5 и р.
§ 6. Значение коэффициента сопротивления Со
Возникает вопрос об истинном значении произведения
8СВ при условии, что сопротивление является единственной
рассматриваемой силой.
Там, где движутся искусственные спутники, т. е. на
высотах от 150—200 км над поверхностью Земли,
обычная аэродинамическая теория, основанная на анализе
течения сплошной среды, перестает быть справедливой
вследствие очень малой плотности воздуха. Более подходящим
будет предположение о том, что мы имеем дело со
свободно-молекулярным течением, которое можно определить
условием: средняя длина свободного пробега молекул
значительно превосходит линейные размеры спутника. Такое
определение просто восхищает своей неясностью, и эта
неясность маскирует наше,;незнание. Однако, по-видимому,
справедливо, что полностью развитого
свободно-молекулярного течения не существует, если средняя длина свободного
пробега молекул превышает менее чем вдвое максимальную
длину или диаметр спутника (измеряемых без учета
выдвижных штанг и других выступающих деталей). Средняя длина
свободного пробега растет от 2 м на высоте около 120 км
до 50 м для высоты порядка 160 км. Так как высота
перигея на последних нескольких оборотах спутника составляет
обычно от 120 до 150 /еж, то небольшие спутники для
научных целей, имеющие размеры порядка 1 м, действительно
могут рассматриваться как движущиеся в
свободно-молекулярном течении почти до самого последнего своего оборота
вокруг Земли. Однако наибольшие запущенные до сих пор

24
Глава 2
спутники, имеющие длину 25 ж, могут в течение своих
последних одного-двух дней входить в области, где имеет
место режим промежуточного характера между свободно-
молекулярным и сплошным течениями, и значение Св
для таких спутников как-то изменяется. Величина этих
изменений неизвестна, но, во всяком случае,
рассматриваемая теория движения к большим спутникам на их
последних оборотах должна применяться с
осторожностью.
Вычисление Св в случае свободно-молекулярного
потока требует целого ряда предположений, причем
некоторые из них приемлемы, а некоторые остаются
сомнительными.
Мы предполагаем, как это делается обычно в
аэродинамике, что спутник неподвижен, а его обтекает поток
молекул, причем последние обладают максвелловским
распределением «тепловых» скоростей, накладывающихся на
постоянную скорость молекул V. Предполагается, что
молекулы ударяются о спутник, на короткое время
задерживаются на его поверхности, а затем испускаются обратно,
причем столкновениями между молекулами, летящими
к спутнику, и молекулами, летящими от него после
переиспускания, мы пренебрегаем.
Узловым является вопрос о характере переиспускания.
Вообще принимается, что молекулы не отражаются от
поверхности спутника зеркально, что за время между
столкновением и переиспусканием они «забывают» первичное
направление движения. Обычно предполагают, что
молекулы переиспускаются в соответствии с законом Кнудсе-
на — число молекул, испущенных в направлениях,
составляющих углы от 0 до 0 + 69 с направлением нормали
к поверхности, пропорционально соз0 69. Распределение
скоростей молекул считается максвелловским, а величина
скоростей определяется по «температуре переиспускания».
Этот механизм, носящий диффузный характер, вполне
может дать представление о происходящем процессе, хотя
экспериментальные данные пока скудные. Наиболее
сомнительной величиной является температура
переиспускания: «помнят» ли молекулы целиком или «частично» свою
первичную температуру Тг или же они ее «забывают»
и воспринимают температуру Т9 поверхности спутника,

Аэродинамические силы, действующие на спутник 25
на которой они на мгновение задерживаются.
Экспериментальные данные противоречивы и едва ли
удовлетворительны, однако обычно принимается, что
температура Тг переиспускания молекул совпадает с температурой
спутника. Коэффициент аккомодации, определяемый как
(Г* — Тг)/(Тг — Гз), принимается равным 1. Однако это
предположение может оказаться неверным, так что надо
помнить об ошибках, к которым оно может привести.
Значения коэффициента сопротивления для тел
различной формы при различных углах атаки, а также
средние значения для вращающихся тел были оценены
Куком [1 ]. В случае спутников с высотой перигея между
180 и 500 км и эксцентриситетом орбиты между 0 и 0,2
и в предположении, что коэффициент аккомодации близок
к 1, значение Св оказалось между 2,1 и 2,2 для сферы,
между 2,1 и 2,25 для цилиндра, наклоненного к
воздушному потоку, и близким к 2,2 для плоской пластинки,
перпендикулярной потоку. Для кувыркающегося или
вращающегося как пропеллер цилиндра коэффициент Св>
соответствующий среднему значению 5, равен 2,15, а для
конуса с углом полураствора 15—20° близок к 2,10.
Как бы то ни было, отсюда следует, что, по-видимому,
значение СВ) отнесенное к средней площади сечения,
перпендикулярного к направлению движения, можно взять
равным 2,2 с ошибкой (средним квадратичным
отклонением), которая не должна превосходить 5%, если только
предположение о коэффициенте аккомодации не является
слишком ошибочным. К счастью, теория, развиваемая в
последующих главах, не зависит от знания точного
значения Св) требуется лишь, чтобы произведение 8СВ оставалось
почти постоянным.
,?
§ 7. Значение площади поперечного сечения 5
Для сферического спутника значение площади сечения,
перпендикулярного направлению движения, достаточно
очевидно, но при оценке этой площади для спутника,
имеющего какую-либо другую форму, встречаются немалые
трудности.
Большинство спутников неуправляемы, за исключением,
может быть, нескольких дней или недель после запуска.

26
Глава 2
и мы предположим, что имеет место неконтролируемое
вращение спутника. В этих условиях спутник имеет
тенденцию к вращению вокруг оси, относительно которой
момент инерции максимален (т. е. вокруг малой оси
эллипсоида инерции.— Перев.)> так как именно в этом случае
энергия вращения при данном кинетическом моменте
минимальна. Обычно спутник независимо от начального
движения приобретает вскоре после запуска вращение
вокруг оси, близкой к оси (или к одной из осей),
соответствующей наибольшему моменту инерции. Это происходит
в результате действия на спутник малых внешних
вращательных моментов или в результате диссипации энергии,
например вследствие изгибания выдвижных штанг.
Направление оси вращения спутника в пространстве обыкновенно
мало изменяется в течение одного его оборота вокруг
Земли, однако оно испытывает медленную прецессию под
влиянием небольших вращательных моментов
(аэродинамических, гравитационных и др.), которым подвержен
спутник. Скорость вращения спутника обычно постепенно
снижается вследствие магнитного и аэродинамического
демпфирования.
Если спутник имеет примерно цилиндрическую форму,
а отношение его длины к диаметру больше 2 (это
справедливо для более чем половины запущенных спутников), то
ось максимального момента инерции и является осью
вращения. Тогда возможны два крайних вида
вращательного движения относительно окружающей среды: а)
вращение, полностью аналогичное вращению пропеллера
самолета; б) кувыркание через себя по направлению движения.
В случае (а) направление оси вращения совпадает с
направлением движения спутника; в случае (б) угол между ними
равен 90°. Практически возможен любой угол между 0 и 90°.
Для цилиндра длины / и диаметра й при вращении типа (а)
площадь поперечного сечения, перпендикулярного
направлению движения, равна Ы. При вращении типа (б) средняя
площадь поперечного сечения равна (2Ы)(1с1 + 1и яй2).
При других возможных направлениях оси вращения эта
площадь заключена между указанными крайними
значениями, и если взять среднее
5 = Ы (0,818 + 0,25 ^Л , (2.2)

Аэродинамические силы, действующие на спутник 27
то оно не будет отличаться от значения Ы более чем на 15%
при й/1 = х/8 и на 6% при ЛИ = х/2.
Заметим, что при прохождении перигея направление
движения спутника изменяется, а ось вращения сохраняет
почти неизменное направление в пространстве. Поэтому
практически при прохождении перигея не достигается
ни одно из крайних значений площади поперечного
сечения, ни среднее ее значение, и 5 будет обычно отличаться
от величины (2.2) значительно меньше, чем указано выше.
Таким образом, если направление оси вращения спутника
остается неизвестным (как это имеет место для большинства
спутников), то использование формулы (2.2) не приведет,
по-видимому, к ошибкам, превышающим 5%; они,
вероятно, меньше, чем ошибки определения коэффициента Св.
(Если направление оси вращения известно, то можно
получить, конечно, более точное значение 5.)
Истинное значение 5 при прохождении перигея
подвергается медленным колебаниям, происходящим в течение
недель или месяцев вместе с медленным изменением
ориентации орбитальной плоскости и направлением оси
вращения в пространстве. Но, исходя из тех же соображений,
которые были приведены выше, мы можем полагать, что
амплитуда этих колебаний будет обычно порядка 5%.
Таким образом, предположение о постоянстве ,5 близко
к истине для цилиндрических спутников с отношением
11(1 между 2 и 8. Для спутников, имеющих форму, более
близкую к сферической, это еще справедливее, а для
сферических спутников — целиком справедливо.
Такое предположение менее оправдано для спутников,
приближающихся по форме к цилиндру с отношением IIй,
меньшим х/2. В этом случае малая ось эллипсоида инерции
совпадает с осью симметрии спутника, и экстремальные
значения площади поперечного сечения равны х/4 п,й2 (ось
вращения направлена вдоль линии движения) и Ы (ось
вращения перпендикулярна орбитальной плоскости). Для
спутников дискообразной формы, для которых / -> О,
последнее значение очень мало и сильно отличается отх/4 яй2.
Таких спутников еще не было, если не иметь в виду какие-
либо обломки, оставшиеся после взрывов, но цилиндры
с отношением Ни, близким кх/2, стали распространенными —
такую форму имеют спутники типа Тирос. При НА = 1/2

28
Глава 2
экстремальные значения 5 равны 0,5й2 и 0,785й2, так что
среднее значение 0,642й2 может отличаться от
фактического на величину до 22%. В действительности
экстремальные значения достигаются редко, но зато 5 может быть
подвержено колебаниям с амплитудой, составляющей более
10%. Отсюда видно, что предположение о постоянстве 5
делает развиваемую далее теорию неудовлетворительной
для цилиндрических спутников с отношением IIй < х/2.
На практике мы не встречаемся с такими спутниками,
если говорить о тех, что запущены до конца 1962 г.;
исключение составляют спутники Тирос, для которых 1/й « 0,45.
§ 8. Свойства верхней атмосферы и оценка д
Изучение верхней атмосферы может проводиться
непосредственно, при помощи соответствующей аппаратуры,
устанавливаемой на борту ракет или спутников, а также
косвенным путем — изучая данные о скорости сокращения
орбиты спутников. Этот второй метод, опирающийся на
теорию, подобную той, которая развивается в этой книге,
оказался наиболее мощным и позволил за последние годы
получить удовлетворительную и непротиворечивую
картину атмосферы для высот от 180 до 1000 км и менее полную —
для больших высот,
Плотность воздуха и температура на данной высоте
(выше 180 км) обнаруживают сильную тенденцию к флук-
туациям в унисон с периодами солнечной активности,
значительно возрастая при наиболее активном Солнце.
Кроме того, обнаруживаются колебания в течение суток
с максимумом около 2 час после полудня и с минимумом
между полуночью и рассветом. Таковы главные факты,
характеризующие изменения плотности и температуры
атмосферы. В частности, по-видимому, не существует
заметных колебаний, зависящих, например, непосредственно
от широты или времени года, хотя плотность может быть
различной на разных широтах вследствие того, что
высота Солнца над горизонтом, являющаяся основным
фактором, управляющим суточными колебаниями плотности,
изменяется вместе с широтой.
Разница между дневными и ночными значениями
плотности и температуры мала для высот, меньших 250 км (при-

Аэродинамические силы, действующие на спутник 29
мерно), однако на больших высотах она становится
значительной. Максимальное значение плотности днем на высоте
600 км в период средней солнечной активности превосходит
примерно в 8 раз минимальное ночное значение плотности,
а максимальная температура примерно на 400° К больше,
чем минимальная температура ночью. Плотность и
температура возрастают в течение первой половины дня,
достигая максимума примерно через 2 час после полудня (по
местному времени), а затем к вечеру падают и остаются почти
на одном и том же минимальном уровне с полуночи до
рассвета. (Эти изменения температуры удивительно похожи
на температурные колебания у поверхности почвы, хотя
и отличаются от них гораздо большей амплитудой.) Линии
постоянной плотности в атмосфере образуют горб,
сопровождающий Солнце с опозданием примерно на 2 час. Этот
горб имеет высоту около 100 км на расстоянии 500 км
от поверхности Земли, т. е. максимальные дневные
значения плотности на высоте 600 км над поверхностью Земли
такие же, как и минимальные ночные значения на высоте
500 км. Однако этот горб становится почти незаметным, если
рассматривать высоты менее 250 км над поверхностью
Земли в периоды, не очень близкие к периодам минимума
солнечных пятен.
Атмосфера реагирует на солнечную активность как на
стороне, освещенной Солнцем, так и в тени Земли, и эту
реакцию полезно классифицировать, выделив четыре вида
колебаний, соответствующих различным шкалам времени.
Во-первых, наблюдаются неправильные колебания
плотности изо дня в день, обусловленные спорадическими
солнечными возмущениями: амплитуда этих колебаний не
превышает обычно 10%, но иногда после больших вспышек
на Солнце плотность может сохранять примерно в течение
суток значения, превышающие нормальные в несколько
раз. Во-вторых, колебания плотности имеют тенденцию
повторяться через 27-дневные интервалы, равные периоду
вращения Солнца вокруг своей оси по отношению к Земле.
Это значит, что поток частиц от некоторого источника
на Солнце как бы охватывает Землю каждые 27 дней до тех
пор, пока этот источник не «истощитбя». Эта тенденция
к 27-дневному циклу, наблюдающаяся также и в случае
космических лучей, полярных сияний и геомагнитных

30
Глава 2
явлений, часто бывает как бы замаскированной из-за
различных отклонений, но все же она, как правило, вполне
реальна. В-третьих, атмосфера реагирует на колебания
солнечной активности в течение 10- или 11-летнего цикла
появления солнечных пятен: плотность и температура неизменно
убывали в период между максимумом солнечных пятеи
в 1957—1958 гг. и минимумом в 1964 г. Четвертый тип
колебаний свойств атмосферы, по-видимому, также связан
с потоками частиц, излучаемых Солнцем: обнаружено, что
плотность атмосферы стремится к минимуму в начале июля
и к максимуму в октябре, причем в январе наблюдается
вторичный минимум, а в апреле — вторичный максимум.
Такие колебания, сохраняющие параллелизм по
отношению к геомагнитным явлениям, можно интерпретировать
как сезонные изменения, на которые накладывается
шестимесячный цикл. Сезонный эффект мы можем связать с
изменением расстояния Земли от Солнца, достигающего
максимума в июле, а источник шестимесячного цикла можно
искать в том факте, что земная орбита наклонена на 7°
к плоскости солнечного экватора, который Земля
пересекает каждые шесть месяцев.
Влияние Солнца на верхнюю атмосферу, по-видимому,
осуществляется через нагревание двумя путями. Хотя
детали еще неясны, но можно думать, что нагревание
атмосферы частично обязано коротковолновой солнечной радиации
(вероятно, далекой ультрафиолетовой), которая поглощается
на высотах около 250 /еж, и частично — корпускулярному
излучению Солнца. Эти частицы могут выступать или, так
сказать, каждая самостоятельно и отдавать свою энергию
в результате столкновений с частицами воздуха или же
могут создавать на границе между земной и солнечной
атмосферой (на высоте около 60 000 км над поверхностью
Земли) магнитогидродинамические волны, которые
перемещаются в более низкие слои земной атмосферы и рассеивают
свою энергию, переходящую в тепло.
Полагают, что солнечная энергия в ультрафиолетовой
части спектра тесно связана с энергией радиоизлучения
на длинах волн 10—20 см. Поскольку такое радиоизлучение
проникает в атмосферу и регулярно принимается, оно
служит нам полезным указателем солнечной активности
при ее сопоставлении с атмосферными вариациями. Корпус-

Аэродинамические силы, действующие на спутник 31
кулярное излучение Солнца влияет на магнитное поле
Земли. Следовательно, другим полезным указателем при
сопоставлении колебаний в атмосфере с солнечной
активностью являются геомагнитные возмущения,
характеризуемые геомагнитным планетарным индексом Ар.
Последний суммирует магнитную активность на всей Земле в целом.
На рис. 2.2 показаны колебания плотности атмосферы
на высоте 650 /еж, полученные по скорости изменения
орбитального периода «Эксплорера 9» — спутника-баллона
диаметром 12 фут, орбита которого тщательно
анализировалась Яккиа и Слоуи [3]. Примеры различных
упоминавшихся выше эффектов отмечены на кривой. Однако
охватываемый интервал времени (6 месяцев) слишком мал,
чтобы можно было заметить как изменения,
соответствующие 10-летнему циклу солнечных пятен, так и эффект день —
ночь (поскольку перигей орбиты именно этого спутника
перемещается так, что для завершения цикла день — ночь
требуется 6 лет).
При разработке теории орбит спутников мы не можем
учесть иррегулярные колебания плотности атмосферы,
обусловленные спорадическими явлениями на Солнце.
На практике это означает, что кривая изменения какого-
либо орбитального элемента не будет такой гладкой, какая
дается теорией, но обладает малыми иррегулярными
отклонениями. Таким образом, теория дает среднюю' кривую,
вблизи которой будут располагаться истинные значения.
Флуктуации хотя и представляют большой интерес для
геофизиков, но для математической теории они служат
только помехой и являются одним из основных барьеров
на пути ее разработки. Однако флуктуации не затрагивают
соотношения, не зависящие от времени, например между
перигейным расстоянием и эксцентриситетом; это
соотношение является наиболее существенным из всех выводимых
ниже.
Если исходить из этих соображений, то для нашей теории
желательно получить картину плотности атмосферы, осред-
ненной, например, на протяжении месяца или большего
интервала, а также иметь данные об изменении плотности
с высотой.
На рис. 2.3 даны значения, полученные Кинг-Хили
и Уокер [5] по орбитам 29 спутников в течение 1958—

Тд в унисон
сАр
% в унисон
сШ,7-см
радиацией
Минимальное значение
Вначале июля
Максимальные
значения Та
подчиняются
27 дневному цинлу
1961 I Март ' Лпрель ' Май ' Июнь ' Июль
Рис. 2.2. Изменение орбитального периода под влиянием торможения в атмосфере
Та Для «Эксплорера 9» (по работе Яккиа [3]).

Аэродинамические силы, действующие на спутник 33
1960 гг. с учетом теоретических прогнозов [2] о минимуме
солнечных пятен в 1964 г. Кривые дают максимальные
дневные и минимальные ночные плотности для трех различных
дат.
Шкала значений плотности на рис. 2.3
логарифмическая, так что прямая линия точно соответствует
экспоненциальному закону изменения плотности р с высотой у
е~ехр(--0, (2.3)
где Н — постоянная (шкала высот. —Перев). Но, как
показывает рис. 2.3, можно считать Я постоянным лишь в первом
приближении. Согласно данным, полученным Кдллман-
ПГ* Ю47 Ю'/$ 10~15 Ю'п Ю-13* 10'1г
Плотность воздуха, г/см3
Рис. 2.3. Изменение плотности воздуха с высотой в течение
1958—1960 гг. (измеренное Кинг-Хили и Уокер [5]) и 1964 г.
(теоретическое предсказание Гарриса и Пристера [2]).
/ — максимальные дневные значения; 2 — минимальные ночные значений.
Бейл и др. [4], значение Я имеет тенденцию к медленному
увеличению с высотой от 40 км на высоте 200 км до 90 км
на высоте 800 км. Можно принять, что эти значения
относятся к 1959 г., так что ко времени минимума солнечной
активности они должны быть несколько меньшими. Для
многих спутников с перигейной высотой 200—300 км
значение Я будет, как правило, заключено между 30 и 50 км.
При разработке теории требуется приближенная модель
атмосферы. Из сказанного выше следует, что, по-видимому,
в первом приближении можно принять атмосферу сфериче-

34"
Глава 2
ской с плотностью, изменяющейся с высотой по
экспоненциальному закону (соответствующему прямой на рис. 2.3),
по крайней мере внутри небольшого интервала высот около
перигея, где атмосферное торможение существенно. Далее
сами собой напрашиваются два возможных уточнения.
Во-первых, поскольку нет систематических вариаций
плотности с широтой, то можно считать, что атмосфера обладает
сжатием, т. е. что поверхности постоянной плотности имеют
ту же эллипсоидальную форму, что и поверхность Земли.
Во-вторых, можно учесть изменение шкалы высот Н.
Еще одно уточнение, имеющее в виду орбиты с перигей-
ной высотой более 250 /еж, заключается в учете разницы
между дневными и ночными значениями плотности.
§ 9. Аэродинамическое сопротивление в зависимости от V
В предыдущих параграфах этой главы мы
проанализировали роль трех параметров, а именно Св, 8 и ^^ входящих
в формулу
0 = ±цУ*5С». (2.4)
Теперь остается выразить скорость V спутника по
отношению к окружающей среде через его скорость V
относительно центра Земли.
Вектор скорости V спутника относительно центра Земли
есть векторная сумма скорости V относительно среды
и скорости УА воздуха относительно центра Земли.
Принимается, что \[А направлено с запада на восток. Таким
образом,
У = у-Уа, (2.5)
у* = у*АгУ\-2юУАо.о$ч, (2.6)
где у — угол между УА и V. Если атмосфера вращается
с угловой скоростью т вокруг земной оси, то
1/А = гшсо5ф, (2.7)
где г — расстояние от центра Земли и ф — геоцентрическая
широта. Так как вблизи перигея, который нас больше всего
интересует, спутник движется почти горизонтально отно-

Аэродинамические силы, действующие на спутник 35
сительно поверхности Земли (угол наклона на высотах,
отличающихся от высоты перигея на 2# и меньше, никогда
не превышает 10°, если Н1гр < 0,01), то угол у между
\А и V можно принять равным углу у' между МА и
горизонтальной компонентой ун скорости у с ошибкой, в соз у
СеверШй
лолЪс
Р и с. 2.4, Углы у' и (р.
раз меньшей 1 %, Применив формулу сферической
тригонометрии к треугольнику 8ЬН на рис. 2.4, получим
соз у' соз ф = соз I; (2.8)
если теперь соз -у принять равным соз у' с максимальной
ошибкой меньше 1%, то из формул (2.7) и (2.8) будем
иметь
УА соз-у = гшсо8П 1+0 (0,01)]. ф (2.9)
Подставляя это выражение в формулу (2.6), получаем
У*=,& II ~^со5/[1+0(0,01)]}2 + ^^2(со52ф~соз20.
(2.10)

36
Глава 2
Так как вращение атмосферы на силе сопротивления
сказывается мало, а точная скорость этого вращения
неизвестна и к тому же меняется, то было бы неразумным не
попытаться упростить (2.10) за счет дополнительных
допущений. А именно членом г2ш2 можно пренебречь, поскольку
гадо2 < 0,005 У% при условии, что ш имеет тот же порядок,
/О 10 20 30 40 50 60 70 80 90°
Наклонение ор&иты с0
Рис. 2.5. Кривые зависимости
коэффициента Т7, учитывающего вращение атмосферы,
от наклонения орбиты /0 Для высот перигея
200 км (сплошные линии) или 400 км
(пунктирная линия).
Если /0 > 90°, то Р (/0) можно положить равным
[2 - /4180° - *о)1
что и угловая скорость вращения Земли. В малом члене
то/у вполне можно заменить гIV на гр0/Уро, где индекс рО
означает начальное значение в перигее, так как
аэродинамические силы пренебрежимо малы всюду, за исключением
высот вблизи перигея. Наконец, наклонение I, которое
изменяется обычно за всю жизнь спутника в пределах
до 0°,3, можно принять равным его начальному значению г'0.
После всего этого выражение (2.10) перепишется в виде
!/~уЛ ^СО5;0У (2.11)

Аэродинамические силы, действующие на спутник 37
Таким образом, окончательно мы имеем силу
сопротивления
В = ±ф?Р8Съ (2.12)
направленную параллельно V (компонентой,
перпендикулярной V, пренебрегаем, как об этом говорилось выше), где,
согласно формулам (2.11) и (2.4),
для данного спутника Р можно принять постоянным. Если
хю известно точно, то формула (2.13) может быть уточнена,
например, при помощи замены начальных значений гр0
и Про в перигее их некоторыми средними значениями,
выбранными соответствующим образом. Р выражает эффект
вращения атмосферы; график зависимости Р от 10
изображен на рис. 2.5 в предположении, что хю равно угловой
скорости Земли. В этом случае Р заключено между 0,9
и 1,1, так что эффект вращения атмосферы хотя и мал,
но пренебречь им все же нельзя.
Для дальнейшего анализа потребуется разложить й
на компоненты, что мы отложим до гл. 4. В гл. 3 мы
остановимся на основах теории, на которые опирается
последующее изложение.
ЛИТЕРАТУРА
1. С о о к О. Е., М1шз1гу о! Ау1аНоп АЦС Сштегй Рарег СР.523,
Н.М.5.О., Ьопйоп, 1960.
2. Н а г г 1 з I., Р г 1 е з 1 е г №., Л. ОеорЬуз. Кез., 67, 4585 (1962).
3. Л а с с Ь 1 а Ь. С, 5 1 о чу е у Л., ЗтИЬзоп. Аз1горЬуз — ОЬзегу.
5рес. Кер. 100, 1962.
4. К а 1 1 т а п п - В 1 ] 1 Н. К. е1 а1., СЩА 1961, Ког1Ь-Но11ап(1,
Атз{еп1ат, 1961.
5. К 1 п б - Н е 1 е В. О., \У а 1 к е г О. М. С, Зрасе КезеагсЬ II,
ИогШ-НоПапс!, Атз^егйат, Г961, р. 918.

ГЛАВА 3
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
§ 10. Введение
В этой главе в предельно сжатой форме излагаются три
вопроса, необходимые для дальнейшего построения теории
изменения орбит. А именно рассматриваются а) свойства
обычной эллиптической орбиты, соответствующей
ньютоновскому гравитационному полю в пустоте, б) уравнения
Лагранжа для оскулирующих элементов орбиты и в)
некоторые свойства функций Бесселя. Читатель, хорошо
знакомый с этими вопросами, может данную главу пропустить
и сразу перейти к гл. 4.
§ 11. Эллиптические орбиты в пустоте
Рассмотрим частицу 5, движущуюся под влиянием силы
притяжения \х/г2 на единицу массы, где г — расстояние
частицы от центра притяжения С. Обозначим полярные
координаты частицы 5 через гиб; тогда, приравняв
радиальное ускорение силе на единицу массы, получим
У-г02=--Ь, (3.1)
где точками обозначается дифференцирование по времени.
Если эта центральная сила является единственной,
действующей на 5, то трансверсальное ускорение равно нулю, т. е.
Т^(г28) = 0 (3.2)
ИЛИ
г20 = к = сопз!
Полагая
и
(3.3)
(3.4)

Основы теории
39
и учитывая равенство (3.3), получаем
\_йи
1 йи'а 1 йи /0 г-ч
г=-^т^=-нш (3-5)
Исключая 0 и гпри помощи формул (3.3) и (3.6) и заменяя г
на Ни, перепишем исходное уравнение (3.1) в виде
й2и , и /о -7\
Это уравнение имеет общее решение
и = А[1+есо5(е--Д)], (3.8)
где в и 5 — постоянные. Целесообразно выбрать ось 8
так, чтобы 5 = 0, после чего формула (3.8) примет вид
^ = 1+всоз8. (3.9)
Если е<С1, то равенство (3.9) является полярным
уравнением эллипса с эксцентриситетом е и параметром
й2/[х, имеющим фокус в точке С. Если а — большая
полуось этого эллипса, то его параметр, обозначенный,
например, через р, выразится так:
,, = „(1-*») = ^, (3.10)
и формулу (3.9) можно переписать в виде
или
г=„ р д (3.11)
Д (!--*■) п 11*4
Эти формулы показывают, что если иметь в виду движение
вокруг Земли, то значение 0 = 0 соответствует перигею,
где г = а (1 — ё), а значение 0 = я — апогею, где г =
= а (1 + е) (см. рис. 1.2).

40
Глава 3
Можно теперь сразу найти радиальную и трансверсаль-
ную компоненты скорости. А именно, из равенства (3.10)
получим
к = Ут (ЗЛ2)
так что, согласно соотношению (3.3),
0=^ (3.13)
и трансверсальная компонента г0 скорости с учетом
соотношения (3.11) выразится формулой
г0 = №.= (^(1+есоз0). (3.14)
Радиальная компонента г скорости находится проще всего
путем дифференцирования выражения
-?-= 1+0СО50,
что дает, согласно формуле (3.13),
ИЛИ
г=(^у/2езт0. (3.15)
Возводя в квадрат и складывая (3.14) и (3.15), получаем
для скорости V формулу
оа = га + гава = -^(1+ва + 2всо8в) (3.16)
г
или
если использовать формулы (3.10) и (3.11). Соотношение
(3.17) есть не что иное, как интеграл энергии, где левая
часть равна удвоенной кинетической энергии, а правая
часть — удвоенной потенциальной энергии со знаком минус.
Если обозначить через г|) угол наклона орбиты, т. е. угол
между вектором скорости и прямой, перпендикулярной

Основы теории
41
радиусу-вектору, то
С05а|>= ^ = 1(Ь)1/2(1+еСо50), (3.18)
5тг|> = ^ = !(!)1/ге5те. (3.19)
Радиус-вектор описывает за время Ы площадь 1/2г2Ьв,
так что секториальная скорость в силу соотношений (3.3)
и (3.12) равна
Орбитальный период Т равен времени, за которое радиус-
вектор описывает всю площадь эллипса паЪ == па2}/ 1 —е2,
^^ Вспомогательная
Орбита
слутнима
Рис. 3.1. Определение эксцентрической
аномалии Е.
имея постоянную секториальную скорость х/2 У\лр.
Следовательно,
2ла*У\-
Среднее движение п определяется по формуле
2я
V а* •
(3.20)
(3.21)
Выше мы выразили г через угол 0, называемый
истинной аномалией, Однакд иногда удобнее пользоваться

42
Глава 3
эксцентрической аномалией Е (см. рис. ,3.1). Из этого
рисунка видно, что
гсозв = а(со5Е-:е) (3.22)
и
г 31П 9 = а УТ^? з1п Е, (3.23)
так как коэффициент перехода от окружности к эллипсу
равен У\ —е2. Возводя в квадрат и суммируя эти два
соотношения, получим выражение
г = а(1—есозЯ), (3.24)
которое оказывается часто более удобным при
интегрировании, чем формула (3.11), в которой угол 9 входит в
знаменатель. Дифференцируя равенство (3.24) и используя
соотношения (3.15) и (3.23), получим
Ё = ±У±. (3.25)
Исходя из формул (3.17) и (3.24), получаем также равенство
-^=1+есо$Е, (3.26)
которое будет полезно в дальнейшем. Для околоземных
орбит |ы = 398,602 км3/сек2.
§ 12. Уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов
Изменения орбитальных элементов спутника, вызванные
действием внешних сил (дополнительных к силе,
обратно пропорциональной квадрату расстояния), полностью
описываются уравнениями Лагранжа, которые мы сейчас
выведем, используя векторный метод Кука [1].
(Примерно такой же метод был использован Музеном [3] и
Лурье [2].) На практике дополнительные силы обычно
малы по сравнению с основной силой, обратно
пропорциональной квадрату расстояния.
Прежде всего перепишем формулы для невозмущенной
орбиты в векторной форме. Если обозначить через г вектор,
определяющий положение частицы по отношению к центру
притяжения, то уравнение (3.1) можно записать в вектор-

Основы теории
43
ной форме следующим образом:
'г + -^- = 0, (3.27)
а вектор кинетического момента Ь выразится на основании
равенства (3.3) формулой
Ь = |/^1рп, (3.28)
где п — единичный вектор, перпендикулярный к
плоскости орбиты. Интеграл энергии (3.17) можно переписать
в виде
где точка обозначает скалярное произведение.
Предположим теперь, что эта орбита возмущается
силой! на единицу массы; тогда уравнение (3.27) примет вид
"г + ^ = «- (3.30)
Плоскость орбиты теперь подвержена изменениям, и оску-
лирующая плоскость определяется как такая, в которой
находятся в любой момент центр притяжения, сама частица
и вектор ее скорости.
Оскулирующей орбитой является такая орбита (точно
эллиптическая), по которой частица двигалась бы, если бы
в некоторый момент все возмущающие силы внезапно
исчезли; таким образом, положение и скорость частицы, т. е. г
• • •
и г (но не г) в любой момент I те же, что и на оскулирующей
орбите. Через время Ы частица будет иметь новую оскули-
рующую орбиту, определяемую радиусом-вектором г + гб^
и вектором скорости г + гб^. Так как г в этой формуле
отличается от г на фактической орбите, то скорость, а
следовательно, и орбитальные элементы в момент I + Ы
будут несколько отличаться от тех же величин в момент I.
Эти изменения орбитальных элементов мы и хотим
выразить в зависимости от I. Сначала мы разложим { на
радиальную компоненту /г (параллельную г), трансверсальную Д

44
Глава 3
(т. е. перпендикулярную к г в оскулирующей плоскости)
и компоненту [п (перпендикулярную оскулирующей
плоскости, т. е. параллельную вектору п) (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Компоненты действующей на спутник
силы !.
Дифференцируя интеграл энергии (3.29), получаем
ГГ:
2а2
|Х Г*
или, в силу уравнения (3.30),
2а2 • /•• иг \
°=—Чг-х)'
т. е.
2а2 ' ,
а = гт.
(3.31)
(3.32)
(3.33)
Радиальная, трансверсальная и нормальная компоненты
вектора г суть г, г9, 0 соответственно или же в согласии
с формулами (3.15) и (3.14)
г/~2-е&тв, т/^О+есозв), 0,

О снобы теории 45
так что
и формула (3.33) принимает вид
а = -^=^[^81пв + /<(1+всоз8)]. (3.35)
У\1р
Это — первое из Лагранжевых уравнений для оскулирую-
щих элементов.
Заметим далее, что
Ь = гхг, (3.36)
где косой крест обозначает векторное произведение.
Подставляя сюда вместо к его выражение (3.28) и
дифференцируя, получим
2
У^рп + Умп^гх'г (3.37)
или, в силу уравнения (3.30),
р п = —^=-(гХ*). (3.38)
1 2Р У^Гр
Так как п есть единичный вектор, то
п-Вхп, (3.39)
где В — угловая скорость вращения вектора п.
Направление п определяется элементами & и г (см. рис. 3.2), так что
компоненты В вдоль земной оси СЪ и вдоль луча СУУ
(перпендикулярного СЪ) равны й и сШсН соответственно. Так
как угол между СЪ и п равен г, то
йсгхп^й^пьШ. (3.40)
Таким же образом получаем
где А — апекс (точка с максимальной северной широтой),
^СНхп—^СА, (3.41)

46
Глава 3
указанный на рис. 3.2. Следовательно,
п^Ъхп = &$т1Ш--~СА. (3.42)
Компонента вектора г х! в орбитальной плоскости,
перпендикулярная к г, равна г[п. Ее в свою очередь можно
разложить на составляющие г[п зт и вдоль СЫ и —г[п соз и
вдоль С А, причем и = ® + 0; компонента же вектора
X х ?, перпендикулярная орбитальной плоскости, равна
г/*. Таким образом,
гх^г/„ зт и СЫ—г}п соз иСА + г/*п. (3.43)
Проектируя уравнение (3.38) на СУУ, СА и п соответственно,
получим с учетом выражений (3.42) и (3.43)
Й51ги = —^г-г/Л51па, (3.44)
У\х,р
-^=уЬ"^С08" (3,45)
и
р = 2г/, ]/-*-; , (3.46)
Теперь из формулы (3.10) находим
р = а(1-в2)-2а^. (3.47)
Подставляя выражение (3.46) для р и выражение (3.35)
для а, получаем
аее = т/-^- {/гае зт 9 + /* [а (1 + в соз 9) - г]} (3.48)
или, если использовать выражение (3.22),
е = т/А[/>51п& + Д (соз 9 +соз Д)]. (3.49)
Наконец, из рис. 3.2 видно, что угловая скорость
частицы при ее движении в оскулирующей плоскости равна
(ю + 9) п, а сама плоскость имеет угловую скорость й
относительно земной оси, с компонентой й соз I по направ-

Основы теории
47
лению п. (Орбитальная плоскость имеет также угловую
скорость <ИШ вдоль СЫ, но компонента ее вдоль п равна
нулю.) Таким образом, для кинетического момента Ь имеем
формулу
Ь = Ущэп = г2 (ю + 9 + ^ соз 0 п, (3.50)
откуда
ю + О соз 1 = ^-9. (3.51)
Дифференцируя равенство (3.11), имеем
-1пв.в_4(*-0+т(4-Ю. (3-52)
• • •
или, подставляя вместо г, в и р их выражения (3.15),
(3.49) и (3.46) соответственно,
^Р а—1 -ш/~ Р ^ * ~™а \ 1 Ч-51П2в— СОЗ 0 СОЗ Я
(3.53)
Подставляя вместо 51п 9 и соз 9 их выражения, получаемые
из формул (3.22) и (3.23), находим, что множитель при Д
сводится к (1 + г/р) З1п 9, так что в соответствии с
формулами (3.51) и (3.53)
^ + Йсоз/^|1/И^^СО80 + ^(1+р")81п9] '
(3.54)
Уравнения (3.35), (3.44), (3.45), (3.49) и (3.54) вместе с еще
одним, которое нам не потребуется и которое мы не будем
выводить, образуют систему уравнений Лагранжа,
связывающих изменения оскулирующих элементов а, е, *',
ЙИ(ос компонентами /г, Д, [п возмущающей силы на
единицу массы.
Полезно заметить, что изменения г и & зависят только
от /д, т. е. от силы, перпендикулярной орбитальной
плоскости, а изменения айв зависят только от /г и Д, т. е.
от сил в орбитальной плоскости.

48
Глава 3
Для дальнейшего целесообразно выразить правые части
двух из Лагранжевых уравнений, а именно уравнений для а
и е, через компоненты ? вдоль касательной и вдоль
внутренней нормали к орбите в орбитальной плоскости. Обозначим
эти компоненты, например, через /т и [м соответственно.
Так как касательная к орбите образует угол я|) с трансвер-
сальным направлением, по которому действует Д, то,
согласно формулам (3.18) и (3.19),
и =■ 1т соз я|) + !м соз я|) --=
= ^)/^1}т(1+есо$в) + {„еьШ] (3.55)
и
/г — /г 31П 'ф — Ду СОЗ -ф =
^41/Л7[/г'81п6^^(1+ес089)]- (3,56)
Подставляя выражения (3.55) и (3.56) в уравнение (3.35)
и используя соотношение (3.16), получим
а = —1т (3.57)
— результат, который можно извлечь непосредственно
из уравнения (3.33), так как скалярное произведение г-1
равно тангенциальной компоненте вектора ^, т. е. у/т.
Уравнение (3.57) показывает, что а изменяется только под
действием сил, направленных по касательной к орбите.
Подставляя выражения (3.55) и (3.56) в уравнение (3.49)
и используя уравнения (3.22) и (3.24) для исключения Е,
найдем, что
в =4 [2/г(в + совв)-^^з1пв] . (3.58)
§ 13. Бесселевы функции мнимого аргумента 1п{г)
Функция Бесселя первого рода порядка п от мнимого
аргумента, обозначаемая обычно через 1п (г), есть решение
дифференциального уравнения

Основы теории
49
и разлагается в следующий ряд:
ос (±2у+2т
МгН2^/+т)! - (3*60)
т=0
так что, несмотря на свое специфическое название,
функция 1п (г) является вещественной функцией г1). Ниже мы
будем иметь дело только с целыми положительными
значениями п.
Упражнение. Вывести разложение (3.60) с точностью
до произвольного постоянного множителя,
предположив, что у разлагается в ряд по целым положительным
степеням г, и подставив такой ряд в уравнение (3.59).
Разложение (3.60) часто используется на практике,
когда г мало, однако мы будем иметь дело главным
образом с большими значениями г, для которых можно
получить следующее асимптотическое разложение:
оо
Х(4п2-32)...{4п2-(2т-1)2}] . (3.61)
г) Такое название было присвоено функции 1п (г) по той причине,
что она равна
ехрГ— -^тпуп (/г),
где 1п{г)—обычная функция Бесселя первого рода,
удовлетворяющая уравнению Бесселя
Так как уравнение (3.59) можно записать в виде
<й>,а^+й1^г+р),-я,]'=0'
то очевидно, что ^п(^г) или С1п (/г), где С—постоянный
множитель, удовлетворяет уравнению (3.59).

50
Глава 3
В частности, для /0, Л, 1ъ Н имеем
Мг) = ^РГи4 +
У1яг V ' 8г ' 128г2
А(^) = 1РО-
15
УъГг \ 8г 128г2
М*) = 1тРО
15 , 105
У^г\ 8г ' Шг*
ли=^0
35 , 945
...),
...),
...).
...).
(3.62)
(3.63)
(3.64)
(3.65)
УЪИ\ 82 Г128г2
Упражнения. 1) Показать, что если в уравнении (3.59)
положить
у = X (2лг)~1/2 ехр г,
то функция X удовлетворяет уравнению
г2Ш + 2г*1Ш-(п2-т)Х = 0- <3-66>
2) Предполагая, что X разлагается в ряд по
отрицательным степеням г, показать, что такой ряд
совпадает с рядом, стоящим в квадратных скобках формулы
(3.61).
В дальнейших главах будут использованы следующие
рекуррентные соотношения между /„ (г), где через Гп (г)
обозначается производная сИп1йг:
/«-1 (*)-/»« (г) = ^/»(г), (3.67)
/»-1(г) + /п+1(г) = 2/;(г), (3.68)
гГп (г) +«/„ (г) = г/»-! (г), (3.69)
гГп(г)-п1п(г)=г1п+1(г). (3.70)
При п = 0 из соотношения (3.70) получим
/;(г) = Л(г). (3.71)

Основы теории
51
Соотношение (3.69) сразу выводится из разложения (3.60)
оо
оо
= г 2 т!(п_1+т)! С"2У =2/,»-! (*).
т=0
Соотношение (3.70) вытекает непосредственно из (3.69), если
заменить п на —п, так как 1_п (г) = 1п (г) [это равенство
следует из того, что дифференциальное уравнение (3.59)
не изменяется после замены п на —л]. Соотношение (3.68)
получается после суммирования (3.69) и (3.70), а (3.67) —
после вычитания (3.70) из (3.69).
Функция 1п (г) может быть представлена в виде
интеграла
2л;
1п (г) = -М ехр {г соз 8) соз п9 йв, (3.72)
о
и именно подобные интегралы встречаются в теории орбит.
Упражнение. Проверить, что интеграл (3.72)
удовлетворяет соотношениям (3.67) и (3.68).
В этом параграфе были изложены основные свойства
функций 1п (г) для целого положительного п без
какого-либо строгого доказательства. Подробное изложение можно
найти в фундаментальной книге Ватсона [4], посвященной
функциям Бесселя.
ЛИТЕРАТУРА
1. С о о к О. Е., А 51тр1е бепуаНоп о! Ьа&гап&е'з р1апе{агу е^иа-
Иопз, ШриЪПзпес! Мт. о! Ау1аИоп Кер., 1961.
2. Л у р ь е А. И., Искусственные спутники Земли, 4, 82 (1960).
З.Мизеп Р., Аз1гоп. Л., 59, 263 (1954).
4. МУ а 1 5 о п О. Ы., А ТгеаНзе оп 1Ье ТЬеогу о! Веззе1 РипсИопз,
2пс1. ес1. , "ишуегзЦу Ргезз, СатЪпс1&е, 1958. (Русский
перевод: Г. Н. В а т с о н, Теория бесселевых функций, М., ИЛ,
1949, части 1 и 2.)

ГЛАВА 4
СОКРАЩЕНИЕ ОРБИТ ПОД ВЛИЯНИЕМ
ТОРМОЖЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ,
ОБЛАДАЮЩЕЙ СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ
§ 14. Введение
Приступим к определению изменений аие, вызываемых
силами, направленными по касательной к орбите.
Аэродинамическая сила сопритивления на единицу массы,
действующая на спутник, в соответствии с формулой (2.12) равна
где т — масса спутника и
(4.2)
РЗСП
Эта сила действует в направлении, противоположном
скорости V спутника относительно окружающей среды.
Так как V и V наклонены друг к другу под малым углом
порядка га/у, косинус которого можно принять за 1, то
компонента аэродинамической силы на единицу массы
по касательной к орбите, т. е. согласно обозначениям § 12,
компонента /г возмущающей силы, дается формулой
}Т==-^яг)*8. (4.3)
Сила сопротивления также обладает малой компонентой /^,
направленной перпендикулярно орбитальной плоскости,
но этой силой мы пренебрегаем, о чем говорилось в конце
§ 5. Следовательно, уравнения Лагранжа (3.57) и (3.58)
перепишутся с учетом выражения (4.3) в виде
а=-<^, (4.4)
е = рбу (е + со5 0). (4.5)

Сокращение орбит в сферической атмосфере 53
Далее, целесообразно вместо истинной аномалии Э
использовать эксцентрическую аномалию Е. Так как
е + со5е = у(1--е2)со5Я, (4.6)
в силу формул (3.22) и (3.24), и
в силу формулы (3.25), то уравнения (4.4) и (4.5) можно
переписать в виде
йа
Ж
де
йЕ
= -а'ев(^)'"(^)'Л. (4.8)
= -авб(^)'"(^)'"(1_е>)«к,Е. (4.9)
Подставляя сюда вместо гю2/\\ и г/а их выражения (3.26)
и (3.24) соответственно, получаем
^-а^<1±^2 (4.10)
"Д (1— есозЕ) /2
*--««• (йгот)"*<'-,><»* <4-")
Кроме того, анализ облегчается, если вместо е ввести
переменную х, определяемую равенством
х = ае. (4 Л 2)
Из равенств (4.10)—(4.12) имеем
их йа . йе 9 « / 14-е соз Е \1/2 , „ , ч
(4.13)
Изменения а и л: за один оборот (которые обозначим,
например, через Да и Ах) мы получим после интегриро-

54
Глава 4
вания уравнений (4.10) и (4.13) от Е = 0 до Е = 2я:
2я
Да=-а'аП1 + ДС08ДУс^ (4.14)
Л (1—есозЕ)1/2* ч '
2я
Д*=-а*6$ (\+1с°о1ЕЕу/*(со5Е + е)ЯйЕ. (4.15)
Эти соотношения являются основными, дающими
изменения а и д: за один оборот спутника.
§ 15. Закон изменения плотности воздуха
В этой главе мы используем простейший закон
изменения плотности, о котором говорилось в § 8, и будем считать,
что плотность зависит только от расстояния г от центра
Земли и изменяется экспоненциально. Таким образом,
предположим, что
С = Ороехр[(гр0 —г)/#], (4.16)
где 5р0 — плотность в начальной точке перигея,
находящейся на расстоянии гр0 от центра Земли, и Я —
постоянная. В дальнейшем для сокращения записи мы часто
будем полагать
Р = 75- (4Л7)
Так как перигейное расстояние равно а (1 — ё), то
(согласно рис. 1.2)
Гро = а0(1—е0). (4.18)
Подставляя в формулу (4.16) выражения (3.24) для г
и (4.18) для гр0, получаем
д = 5Р0ехр [р (а0 — а — х0) + $хсозЕ]. (4.19)
Теперь мы можем подставить это выражение для р
в формулы (4.14) и (4.15) и вычислить интегралы. Чтобы
развить теорию как можно детальнее, следует провести
анализ интегралов разными способами в различных
интервалах изменения е. Так как большинство спутников,
запущенных в 1957—1962 гг., имели эксцентриситет
меньше 0,2, то такие эксцентриситеты мы назовем нормальными.

Сокращение орбит в сферической атмосфере 55
Если е< 0,2, то лучше всего использовать при анализе
формул (4.14) и (4.15) разложения по степеням е. Кроме
того, надо различать случаи, когда $х> 3 и когда <С 3
(т. е. когда е больше или .меньше 0,02). Для точно
круговых орбит требуется специальный анализ. Если же е > 0,2,
как это имеет место для некоторого числа спутников из
запущенных в 1957—1962 гг., то разложение по
степеням е оказывается невозможным.
Поэтому в § 16—19 мы развиваем теорию отдельно для
каждого из четырех случаев, которые классифицируем
следующим образом:
1) Нормальное е, фаза 1(0,02< е< 0,2; 3< $х< 30).
2) Нормальное е, фаза 2 (0< е< 0,02; 0< рх< 3).
3) Круговые орбиты (е = 0; $х = 0).
4) Большое е (е>0,2; р#>30).
Анализ случаев 1 и 2 (излагаемый в § 16 и 17)
основывается в значительной степени на работе [1 ]. Теория в
случаях 3 и 4 (§ 18 и 19) основана на работах [2, 3]
соответственно.
Прежде чем приступить к изложению, мы перечислим,
однако, все предположения, сделанные явно или неявно
на нескольких последних страницах.
а) Атмосфера обладает сферической симметрией.
б) Плотность атмосферы не меняется с течением времени.
(Это предположение является особенно слабым местом
теории, как об этом говорилось в § 8, но оно не влияет на
многие соотношения, не зависящие от времени.)
в) Плотность атмосферы меняется по
экспоненциальному закону с высотой.
г) Предположения относительно действующих сил
соответствуют изложенному в § 14.
д) Атмосфера вращается с постоянной угловой
скоростью хю.
е) Невозмущенная орбита есть точный эллипс.
ж) Изменения орбиты вследствие атмосферного
торможения за один оборот малы, так что их квадратами можно
пренебречь.
з) Лунно-солнечными возмущениями мы пренебрегаем.
(Это не оправдано лишь для орбит с большим
эксцентриситетом или для спутников с очень большим отношением
поверхности к массе.)

56
Глава 4
4.11>
^ [соз^ + ~в(3 + соз2^)+^2(11соз^ + созЗ^)4-
§ 16. Нормальное е, фаза 1 (е<0,2; рл;>3)
Используя выражение (4.19) для р и разлагая в
формулах (4.14) и (4.15) подынтегральные выражения в ряды
по степеням е, получаем
&а= — 6а2Рр0ехр[Р(ао — а — х0)] \ Г 1 + 2в соз Я +
о
+ -| е2 соз2 Е + е3 соз3Е + 0 (в4) ] ехр (0* соз Е) йЕу (4.20)
Да: = — ба2др0 ехр [Р (а0 — а — #о)] X
2я
X
о
+ ^е3 (7 + 8 соз2Е + соз Щ + 0 (е4) ] ехр (Р*соз Е) йЕ.
(4.21)
Используя далее интегральное представление (3.72)
функций Бесселя /л(г), выразим через них интегралы из
формул (4.20) и (4.21) и получим
Да = — 2яба2ср0 ехр [Р (а0 — а — х0)] X
х[10 + 2е11+±еЦ10 + 12)+\еЦ311 + 13) + 0(е*)^ (4.22)
Д*= — 2яба2ер0ехр[Р(а0-а~д;о)][/1+ув(3/о + /2) +
+ ^2(11/1 + /3)+^3(7/о + 8/2 + /4)+ОИ], (4.23)
где аргументом функций Бесселя служит р*. Разделив
(4.22) на (4.23) и положив
Уп = -^ (НФ1), (4.24)
находим
■27 = Уо + ~2 е (4 - Ъу\ - ум) +
+ -%<? \-2Уо (Зг/о + УгУ - Що — 2у2 - УоУз] +
+ ±еэ[-32 + ту1 + 38уоу2-у0уь + 2у1 + 6у1у3 +
+ 2у0уф - 2г/0 [Зг/о + </2)3] + 0 И- (4.25)

Сокращение орбит в сферической атмосфере 57
В этом уравнении а рассматривается уже как
непрерывная функция х, что, очевидно, удобно, хотя
приращения аил:, определенные выше, относятся лишь к одному
обороту спутника и не являются непрерывными.
Если $х > 3, то вполне законно использовать в
уравнении (4.25) асимптотическое разложение (3.61) для 1п(г).
Подставляя выражения (3.62)—(3.65) для /0, Л, /2, /з во
все члены в правой части (4.25), кроме первого, получим
В этом уравнении, а также в последующих мы выписываем
в явном виде, помимо первого члена, только два члена
второго порядка малости, из которых один доминирует,
когда е достигает своего максимального значения 0,2,
а другой,— когда е достигает своего минимального
значения, соответствующего $х = 3. Члены промежуточного
порядка 0 (е2/$2х2) могут оказаться доминирующими в
уравнении (4.26) при промежуточных значениях е, однако
они никогда не бывают такими большими, как
максимальные значения выписанных членов второго порядка.
В разделе, где излагается случай больших
эксцентриситетов, показывается [см. формулу (4.109)], что, члены,
содержащие е4, в5, ... в уравнении (4.26) равны нулю, так
что е4 в выражении 0 (в4, е/$3х3) можно заменить на
следующий по порядку малости член, а именно на ег/$х.
Чтобы проинтегрировать дифференциальное
уравнение (4.26), исключим /0 при помощи рекуррентного
соотношения (3.69), которое для п = 1 запишется в виде
/о (*) = /; (2) + -^, (4.27)
и положим, имея в виду одно из следующих
соотношений — (4.30),
в малых членах урарнения (4.26). Тогда последнее при-

58
Глава 4
мет вид
их ~~ р* + /х (Р*) ра0
2РЧ* °Н +° С Рл: ' р»*» у ' (4'28)
где е4 заменено на е3/рл:.
Интегрируя это уравнение, получаем
п— 1 1^ *о71 (Р*о) (-Ур —л:)(1—б)
а°"а=="р1п'^Г(Р^Г К
1п
2р2а0
Эта формула дает нам весьма точное общее выражение для а.
Относительные ошибки имеют порядок ег/$а и е2/фх)г,
т. е. 6 • Ю-5 при е = 0,2 и 2 • 10"5 при Р* = 3.
Зависимость перигейного расстояния от эксцентриситета
Используя формулу (4.29), можно выразить перигейное
расстояние гр через эксцентриситет е. Заменяя Л его
асимптотическим разложением (3.63) и полагая р = 1/Я, получим
а0-а = х0-х + 1-Н\п^ + Н1п-1"Ш/8х°
2 х 1 1—3///8*
-±{Хо-х){1-е)-^Ы^ + о(Не>, ^) . (4.30)
Так как а — х — а (1 — е) ^ гр, то формула (4.30)
перепишется в виде
а0е0
+'"[5;(^Й?)]-(1-<-ь-г)} +
+ °(Яе3'5^)- (4'31)
Подставляя в правую часть (4.31) выражение для а/а0,
полученное из формулы (4.30), приходим к формуле,
связывающей непосредственно гр и е:

Сокращение орбит в сферической атмосфере 59
Для типичных орбит с Я « 40 км, а « 7000 км, е «
»0,1 имеем Яе3 = 0,04 км и Нг/5а2е2 ж 0,03 /еж, так
что формула (4.32) позволяет вычислять изменение пери-
гейной высоты вследствие торможения в атмосфере с
исключительной точностью, если известно Я. Кроме того, это
1,2
0,8
\<0,6
ол
9\
0,2
о
Н ппп<>
1 ^0,008 е0Щ2\
Н ппп* „ п,
О0
ц,и
е&*
ии 1
&•
<о-Ч
*^*>
/
^*"
^^
У
^
^
А
№
V
Ш
р\
/г
'и
7
1,0 0,9 0}8
0,7 0,6 0,5 0,4
е/е0
0,3 0,2 О/
Рис. 4.1. Изменение перигейного расстояния гр
в зависимости от е для промежутка 1, согласно
формуле (4.32).
соотношение изменяется вследствие колебаний в
атмосфере, происходящих изо дня в день, лишь постольку,
поскольку эти колебания изменяют Я (так что требуется
среднее значение Я).
График изменения гр в зависимости от е,
соответствующий формуле (4.32), дан на рис. 4.1.
Зависимость орбитального периода от эксцентриситета
Наиболее общая формула для орбитального периода
может быть найдена из соотношения
То V "о У
(4.33)
которое вытекает из формулы (3.20) в соответствии с выра-

60
Глава 4
жением для а/а0, следующим из формулы (4.29):
+-м-1пт-+°С—•"*>)■ (4-34)
Однако опять более целесообразно использовать
асимптотическое разложение бесселевых функций и вывести Т
непосредственно из формулы (4.32). Мы получим
Т0
]_ _ Г Гр(1 — *о) 13/2
о " 1гро(1~е)]
(4.35)
или
т_
о Ч1-еУ Г ^„(Л1 2а0 8а0 Ш е ^ Ш е
■(еЧ-е)(1-
ЗЯ(1+е0) е0+е
4а0е0е 5
)] +
(4.36)
Поправочный член в этой формуле достигает 6 • 10"5
при е = 0,2 и 2 • Ю-4 при $х = 3. Если же мы готовы
да*
4Я
0,8
0,75
0,7
г
\
ч^
ч
ч
1
г
г
'±0,008 е0-0,2
^ч. 1
ЧЦ
Ч
^■4
На--0,ООд е0Щ1 .
ч
"<>
ч
ч
Чь.
:^.
I
^. I
О Орг 0,04 0,06 0,08 0/0 0/2 Щ 0,10 0,18
еп~е
Рис. 4.2. Изменение орбитального периода Т в
зависимости от е для промежутка 1, согласно формуле (4.37),

Сокращение орбит ё сферической атмосфере 61
пренебречь членами порядка 0(Н2е0/а2е) и 0 (Не21а),
которые не превышают 5 • 10~4 и 3 • 10~4 соответственно,
то формула (4.36) сведется к такой:
Т =П-*о\Ч*[л ЗЯ г е0(1+*) ЗЯ/1 1\п
То \ 1-е ) V 4гр0 1Ш е(1 + е0)^ 4а0^е е0 )\ "*"
Это соотношение, как и (4.32), не зависит от суточных
изменений плотности воздуха и очень мало зависит
от Я, что видно из рис. 4.2. Поэтому мы получаем весьма
эффективный способ определения эксцентриситета по
наиболее точно и легко определяемому элементу орбиты,
каким является период обращения, если известны
начальные значения Т и е.
Зависимость эксцентриситета от времени
Для нахождения зависимости эксцентриситета от
времени возвратимся к соотношению (4.23), которое после
подстановки выражения а0 — а из формулы (4.29) и после
разложения экспоненты в ряд принимает вид
Д* = - 2яба2ер0 ^ к (Ы ехр ( - р*0 + ^ ) х
X [1+^е(Зу0 + у2) + ±е2(П+у3)]х
х[1+^_^1пд][1+0^^)]в (4.38)
Приращение Д^ за один оборот равно орбитальному
периоду 7\ так что из соотношения (4.33) имеем
Д^Т = Т0(-^)3/\ (4.39)
Разделив (4.38) на (4.39) и трактуя конечные приращения
как дифференциалы, получим
х(1+^г?-^1»^)['+0(л5-)]- <4-4°>

62
Глава 4
где
2я
В = у- бдр0х011 (рдс0) ехр (— рл:0 — е0). (4.41)
Полагая
е = ± = Л-(°*Л,
а а0 \ а У '
используя формулу (4.30) для разложения степеней а1а0
и разлагая в ряд ехр (х/а0), получаем из уравнения (4.40)
следующее уравнение:
— Яп2 — — V Г 1 I х° 7х I 79*2 — 42жж0 + 3дс8 ,
Да° Л* "Х [_ Х -|~ 2а0 2а0 •" 8а§ "^
Интегрируя (4.42) от х0 до х, полагая х = ае и опять
разлагая а/я0 при помощи формулы (4.30), найдем
'-4['-5+*(»5+95-10-
-4(15-?+8^+6|-29)-
Теперь весьма целесообразно определить постоянную 1Ь
как значение I, при котором в = 0, и рассматривать 1Ь
как примерный срок жизни спутника, поскольку
оказывается, что эта величина отличается не более чем на 0,5%
от истинной продолжительности существования
спутника. [Величина 1Ь не дает нам точный срок жизни спутника,
так как соотношение (4.43), строго говоря, не годится
при е = 0 и, кроме того, спутник прекращает свое
существование несколько раньше, чем е становится равным
нулю.] Полагая е = 0, из формулы (4.43) получим (если
не учитывать поправочный член.— Перев.)
^=4(1"^о + §ео + -^)- (4-44)

Сокращение орбит в сферической атмосфере 63
Разделив (4.43) на (4.44), находим
-ш(,-^)(119+135^)+
+ 0(в;) + ^1п^]}[1+0(^)], (4.45)
где член 0 (е1) помещен внутри квадратных скобок, так
как форма предыдущих членов показывает, что он должен
появиться именно здесь. Соотношение (4.45) может быть
переписано в виде
*-1АЧ[1-*0-т«00-/^)+
откуда мы получим е в зависимости от I. Целесообразно
положить
«=/Г^, , (4.47)
после чего выражение (4.46) можно записать в виде
А=„{,_|.(1_а)[,_^(131 + П6а)] +
+М+Ч*- т- <4-«>
Мы можем получить для е/е0 и гораздо более простое
выражение. При численных оценках обнаруживается, что
члены с е0 и е\ в выражении (4.46) в сумме никогда не
превышают 0,002, а обычно оказываются значительно
меньшими, и что член с Н1а не превосходит члена Я/8а,
который имеет порядок 0,001. Следовательно,
^„ + 0(0,003, * |^-). (4.49)

64
Глава 4
Это выражение обладает часто такой же точностью, как
и (4.46), так как 1/2е20е или е0Н2/2а2е2 может иногда
превосходить 0,003.
Зависимость перигейного расстояния от времени
Подставляя выражение (4.48) в формулу (4.32), мы
получим гр в зависимости от а (т. е. от времени):
н г г Л ПН\ , 1 ,
+&0+^)(т-0-*<1->+
+ §8(1-а)(17--23а)]+0(не>, ^) . (4.50)
Так как максимальное значение коэффициента при е\
в формуле (4.50) равно 0,06, то этот член имеет порядок е6
и им можно пренебречь.
Зависимость орбитального периода от времени
Подставляя вместо е/е0 выражение (4.48) и вместо
гр/гр0 выражение (4.50), запишем формулу (4.35) в виде
^=1_|>(1_а)[1+-||(17а-3)-
-||(12 +323а-425а*)] +Н. { [ 1 +^ (9а-2)] 1па-
Дифференцируя равенство (4.51) и, замечая, что из
формулы (4.47) а = —1/(2а/ь), получаем следующее
выражение для скорости изменения периода:
1=-^{1+1(17«-1°)+
+ ^(311-1496а + 1275а2) +

Сокращение орбит в сферической атмосфере 65
Связь величины 1ь с Т
Так как Т ~ а3/* и4/=Г, то
А, ЪТ ' ЪТ Да ЗДа ,, ГОч
Т = -д— а = -о ^г = -о— • (4.53)
2а 2а Д* 2а х '
Подставляя сюда выражение (4.22) для Да и беря
начальные значения, получим
Т0 = — Зябаобро ехр (— р*0) | /0 (г0) + 2е01{ (г0) +
+ 4 ^о [/о(г0) + /2 (г0)] + 0 (е1)} , (4.54)
где 20 = (5я0. Выражая арро через В из формулы (4.41),
а В через \ъ из формулы (4.44), преобразуем равенство
(4.54) к виду
ЗерГр /0 (Рдср)
' /1 (М
4Г0
х[1+«*-Ш-*+-*+-й-+о(^.«:)]'
(4.55)
где члены порядка е\ получены при помощи
асимптотических разложений для /0 и /2. Если заменить все бесселе-
вы функции их асимптотическими разложениями, то
формулу (4.55) можно переписать в виде
*ь=--**!±Р(ео), (4.56)
То
где
3 Г 1 _!_ 7е0 . &! I Н Г 1 , Нво .
'М-Т-Е'+^+^+т^С:
12
Первые шесть членов в выражении Р (е0) можно получить
и иначе, полагая а=1 в формуле (4.52). График
функции Р (е0) приведен на рис. 4.10 (стр. 86), где изображен
также ход этой функции при е0 > 0,2.

66
Г л ава 4
Вопрос о практическом использовании выведенных здесь
соотношений будет рассмотрен в гл. 9. Сейчас же мы
перейдем к выводу формул для следующего интервала
значений е (0<е<0,02).
§ 17. Нормальное е, фаза 2 (0<рл;<3)
Если $х < 3, т. е. если е < 0,02 (примерно), то
соотношения, рассматривавшиеся выше, приходится
анализировать иначе, так как асимптотические разложения функций
Бесселя становятся в этом случае мало пригодными. Но
тогда оказывается возможным другое полезное упрощение,
заключающееся в том, что отбрасываются члены порядка |2
и выше, так как они достаточно малы. Теперь целесообра!-
но брать начальные значения с индексом 1 и использовать
переменную
2 = 0* = -^-, (4.58)
поскольку г — аргумент бесселевых функций в формулах
(4.22) и (4.23). Уравнение (4.25) тогда примет вид
где подразумевается, как и всюду ниже (если не будет
оговорено другое), что аргументом функций Бесселя
является г. Исключая из уравнения (4.59) /2 при помощи
рекуррентного соотношения (3.67), которое дает
/2 = /о—^, (4.60)
и используя соотношения Г0 = и и (4.27), находим, что
совокупность членов в скобках в формуле (4.59) равна
Следовательно, уравнение (4.59) можно проинтегрировать,
что дает

Сокращение орбит в сферической атмосфере 67
Зависимость перигейного расстояния от г
Так как пр = а — Яг, то формула (4.61) дает нам гр в
зависимости от г:
гм-г,-Н[(1-%)
1п
г1^1 (г1)
г1\
+ Щ~ (^1^/01 - гу0) - (гх - г) ] + 0 (ае% (4.62)
где, как и ранее, у0 = /0//1 и г/01 = /о (2О//1 (г^. График
изменения гр, соответствующий этой формуле, дан на
рис. 4.3.
10
0,8
Щ пп
п /.
^ и,ч
0,2
О
Ц-0/106'
Т- —=ПППЯ -
Г О/ "ии0
^
„' '
Уг^Щъ
-^0,008
а/ "
1
V
5
(^
^ ^
^
5
^
2
/
30 2,5 2,0 1,5 {0 0,8 0$ О/* 0,2 О
2 2
Рис. 4.3. Изменение перигейного расстояния гр в
зависимости от г для промежутка 2.
Зависимость орбитального периода от г
Из формулы (4.61) находим
ах
■=1
*1/1 (21)
Н 1
— 1п .
а\ г!
г1+0(-5-'в,)« <4-63>
и, следовательно,
г
Значения /4 приведены в табл. 4.1 на стр. 72.
Зависимость эксцентриситета от времени
Приписывая начальным значениям индекс 1 и полагая
А1 = 71! (а/аО3/*, как и в формуле (4.39), получим в соот-

68
Глава 4
ветствии с выражением (4.23)
Ал: 2яба? / а \г/2 го . Ч1
■дГ= Т^^\~а~,) ехр[Р(а! —а —^)] х
X [Л + ^е(310 + 12) +0(в2)] . (4.65)
Если мы подставим сюда выражения (4.61) для а4 — а
и (4.63) для а1аи то получим
а\В' м
Я2
~ЙГ (42^о1-гУо + г/2//о) ] [ 1 +0 (в2, ^) ] , (4.66)
где
В' = ^^р1х111(г1)ехр( — г1). (4.67)
1 1
Исключая /2 посредством формулы (4.60) и полагая
,пг/1=т--^(4-г2,пг/0~4-г^ <4-68)
можно переписать уравнение (4.66) в виде
(4.69)
В члене с 7#/4а4 мы можем использовать приближенное
выражение
гу0^2+^г\ (4.70)
обладающее максимальной ошибкой 0,07 и приводящее
при интегрировании к максимальной ошибке по
отношению к главному члену, равной 0,001 или, пожалуй,
меньшей г^, если гь близко к 3. Эта приближенная формула
может быть использована и в членах с Здоь причем ошибка
будет меньше. После этого уравнение (4.69) можно инте-

Сокращение орбит в сферической атмосфере „ 69
грировать в пределах от г{ до г. Мы получим
-|11(^-А)={4-(^-^)[1+^(1+21ог2-|о20]-
_тн^]п1^1^[1+0{г1е1)] (4?1)
Полагая
% = 1 — Ь (4.72)
для моментов, следующих после ^, запишем решение (4.71)
в виде
Пусть значение т, получаемое из выражения (4.73) при
г = 0, равно ть, так что хь очень мало отличается от срока
жизни спутника, отсчитываемого от г = Х\. Мы имеем
вч^-Й^+^О^)]- <4-74>
Разделив (4.73) на (4.74), найдем
тЬ _ I 4 1 2Й1 ^ 20
-1п^Р)]}[1+0(г^)]. (4.75)
Это соотношение можно преобразовать, выразив г/2ь а
вместе с тем е/вх, через т, что дает
^={1-Х,1+0(г,гЭ1},'-х{1+^-
— |^-1п '''"' , ). (4.76)
Теоретически формула (4.76) годится и при е = 0, но, как
это видно из рис. 4.3, перигей при этом должен был бы
опуститься значительно ниже той высоты, на которой
спутник может оставаться на орбите. Поэтому на практике
целесообразно ограничиться для понижения перигейной

70
Глава 4
высоты величинами примерно до 3#, поскольку к тому
моменту, когда перигей так опустится, следует перейти
к другому значению Я. Из рис. 4.3 мы видим, что е{/е < 10,
если гр1 — гр < 2,8#, и, таким образом, можно
предположить, что практически ^4/в <; 10. Если ограничить так
значение е^е, то поправочный член в формуле (4.76) можно
отделить от %1%ь и записать его в виде 0 (г^/2е). Его
максимальное значение равно 0,006 при е{ = 0,02 и е =
= 0,002. Следовательно,
--1-1П , 7*<*> ]}40ГМу (4.77)
Оценивая максимальные значения г* и члена с логарифмом,
найдем, что они равны 0,0024 и 0,007 соответственно, так что
-^=/1-^ + 0(0,008), (4.78)
поскольку максимальное значение члена 0 (г±е\12ё)
достигается тогда, когда два других 0-члена малы. Таким
образом, в фазе 2, как и в фазе 1, справедлив простой
линейный закон изменения е2 со временем; этот закон
выполняется даже с большей точностью, если рассматривать
абсолютную ошибку е, которая никогда не превосходит 0,008 е4,
т. е. 0,0002. Итак, из формулы (4.63) имеем
г ае
:|/1_^ + 0(0,015). (4.79)
г1 а1е1 г Т/,
Зависимость перигейного расстояния от времени
Используя приближенное выражение (4.70), перепишем
соотношение (4.62) в виде
гр1-гр = я{(1 в1,... гк
(4.80)
где г1г\ следует выразить через время при помощи
формулы (4.79) или же, если это требуется, при помощи более

Сокращение орбит в сферической атмосфере 71
точной формулы (4.75), откуда
-?=1/1-^:х
I
4- —-1п /1(21) — -11
20 тх.
/'-^'•(«У'-^Ь
Зависимость орбитального периода от времени
Аналогичным образом можно получить из формулы (4.64)
7\ используя соотношение (4.79) или выписанное только
что выражение для г/21. Дифференцируя равенство (4.64)
и используя уравнение (4.66), можно получить Т в виде
^ У7' тч Г 1 +# + 0(0,015)1. (4.81)
Зависимость хь от 7\
Заменяя индекс 0 на 1 и отбрасывая члены 0 (в2),
запишем уравнение (4.54) в виде
7,= -Ша1Яр1ехр(-г1)[10(г1) + 2е111(г1) + 0(е1)}. (4.82)
Выражая брР1 через хь после исключения В' при помощи
формул (4.67) и (4.74), мы получим из уравнения (4.82)
формулу
+^+°(*-^)]- <4-83>
Следует заметить, что если г = 3, то выражение (4.83)
почти совпадает с формулой (4.55) для 1Ь. Действительно,
тогда членом с е\ в выражении (4.55) можно пренебречь!
и поскольку е0 = ЗЯ/а, если г = 3, то последние четыре
члена в (4.55) сводятся к — 65#/40а. Последние же два
члена в (4.83) обращаются в —61#/40а. Разность между
ними, равная #/10а, имеет тот же порядок, что и
поправочный член 0 (е1). Это удивительно хорошее совпадение
между 1Ь и %ь позволяет думать, что обе эти величины

72
Глава 4
являются лучшей мерой истинной продолжительности
жизни спутника, чем мы имели право ожидать.
Подтверждение этому мы увидим в § 20.
0,025\
0,02
0,015
0,01
0005
1
Н
• пппо
а, чч™.
^0,006
точ ^
4
/
4г
/
Л
А
'\
/
у-3
У\
О 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025
е1
Рис. 4.4. Изменение продолжительности
жизни спутника хь в зависимости от е^
для промежутка 2.
Значения /0 и Л даны в табл. 4.1, а график —(7\/7\)Т1,
в зависимости от е4 приведен на рис. 4.4.
Таблица 4.1
Значения /0 (г) и /4 (г) при г<3
0
1,000
0
0,2
1,010
0,1005
0,4
1,040
0,2040
0,6
1,092
0,3137
0,8
1,167
0,4329
1,0
1,266
0,5652
1,2
1,394
0,7147
1,4
/о (*)
А (г)
1,553
0,8861
г
1,6
1,750
1,085
1,8
1,990
1,317
2,0
2,280
1,591
2,2
2,629
1,914
2,4
3,049
2,298
2,6
3,553
2,755
2,8
4,157
3,301
3,0
4,881
3,953

Сокращение орбит в сферической атмосфере 73
§ 18. Круговые орбиты (е = 0)
Орбита, которая вначале не является круговой, никогда
и не может превратиться в точно круговую, поскольку,
согласно формуле (4.62), понижение перигейной высоты
должно было бы быть неограниченным, если г — 0 и г4 Ф 0.
Если же, однако, орбита в начальный момент круговая, то
она в согласии с предположениями этой теории такой
всегда и останется, поскольку е = 0, /4 (г) = 0 и Дх = 0
в силу формулы (4.23).
Пусть индекс с приписывается начальным значениям для
круговой орбиты. Тогда, полагая е -— 0, запишем
формулу (4.22) в виде
Аа= — 2яба25сехр[р(ас — а)], (4.84)
где 5с — плотность атмосферы на расстоянии ас от
центра Земли. Используя зависимость (4.39), перепишем
формулу (4.84) в виде
Поскольку результаты для круговой орбиты зависят
непосредственно от величины Я, которая известна с точностью,
меньшей 1%, в формуле (4.85) целесообразно заменить
а1** на а***. Такая замена может привести, как можно
показать, после интегрирования к ошибке, меньшей 1%,
если ограничиваться высотами до 1000 км. Интегрируя
уравнение (4.85) после этого и полагая
*-/с = '\ (4.86)
получим
Г = !^~{\-ыП-${ас-а)]}1\ +0(0,01)]. (4.87)
2ко^са^
Более точное выражение для Г, которое получается
без предположения, что а1'* = а*72, дано в работе [2].
Наше предыдущее определение срока жизни спутника
оказывается непригодным в случае круговых орбит, и мы
определим этот срок Гь как время, получаемое по
формуле (4.87), когда период Т уменьшается до 87 мин, так как
большинство спутников совершают после этого очень мало

74
Глава 4
оборотов вокруг Земли. Пусть аь — значение а,
соответствующее Т = 87 мин, т. е. аь « 6510 /еж (тогда высота
над поверхностью Земли равна около 140 /еж), и пусть
1—ехр[ —р (ас -аь)] = ц. (4.88)
Так как на высотах между 200 и 140 км Н (= 1/р) мало
и составляет около 25 /еж, то при начальной высоте
больше 240 км (величина правдоподобная, если исключить
весьма недолговечные спутники) разность аь — ас будет,
вероятно, превосходить 4#, и ц можно взять равным 1
с ошибкой, меньшей 0,018. Таким образом, хотя г\ и
удерживается в соотношениях, приводимых ниже, но для
практических целей часто можно принять т) = 1.
Полагая в формуле (4.87) а = аь и используя
зависимость (4.88), получим
4= цНТс . (4.89)
Разделив (4.87) на (4.89), получим
Х^1_{1_ехр[-р(ас-а)]} [1+0(0,01)]. (4.90)
Следовательно, изменение периода со временем
описывается формулой
^=(^)3/2=1+^1п{1-1г[1+0(0'01)1}- <4-91)
График Т/Тсу соответствующий этой формуле, приведен
на рис. 4.5. Дифференцируя равенство (4.91), получаем
Формулу для срока жизни спутника мы можем сразу
получить, оценивая правую часть (4.85) при а = ас и
поделив затем на (4.89). Это дает
Таким образом, продолжительность жизни спутника на
круговой орбите равна промежутку времени, за который а
уменьшается на т\Н я? Я, изменяясь с начальной скоро-

Сокращение орбит в сферической атмосфере 75
стью (йаШ\. Используя равенство (4.52), формулу (4.93)
можно записать еще в другом виде:
ЗЯГст]
& =
. 2асТс
(4.94)
Эта формула при г\ = 1 может быть также получена, если
положить в1 = 0 в правой части (4.83), так как Л (21) ->
-> 1/2г{ [см. ряд (3.60)]. Таким образом, формулы (4.83)
г
1,0
099
0,98
097
г
0,96
095
ОМ
щ^.
^5
^
^>«
^&-
_—^0,006 ф1
_ —=ЛППЯ 79*0.9/}
"с
-*~
7 ">
<ч»ч.
^х
Ь>1
Ч\
^
V
у\
\\
1>
Г
' О 0,2 О//- 0,6 Цв 1,0
Рис. 4.5. Изменение Г с течением
времени /' для круговой орбиты.
и (4.94) согласуются одна с другой, несмотря на различное
определение срока жизни спутника.
§ 19. Сильно вытянутые орбиты (0,2<е < 1)
Развиваемая ниже теория годится для интервала
0,2<е<С 1. Для земного спутника, который должен
оставаться внутри сферы действия Земли (по отношению к
Солнцу), можно ограничиться значениями е до 0,985. Следует
ограничиться даже меньшим пределом е = 0,95, так как

76
Глава 4
если е превосходит это значение, то спутник может войти
в сферу притяжения Луны (по отношению к Земле) и
испытывать сильные возмущения. На практике было бы часто
неразумно применять теорию и при е > 0,9 ввиду
значительных возмущений со стороны Луны. Итак, мы будем
рассматривать 0,9 как практический верхний предел
эксцентриситета для спутников Земли.
Подставляя вместо р его выражение (4.19) и заменяя
интегралы от 0 до 2я удвоенными интегралами от 0 до я,
мы можем записать основные формулы (4.14) и (4.15) для
Да и Дх в виде
Да == -- 23а2еРо ехр [р (а0 — а) — г0] X
X ? !!+"08!^ ехр (г соз Е) АЕ, (4.95)
♦3 (1 — есоз Е) /2
Ах= — 28а2др0 ехр [0 (а0 — а) — г0] х
х ^ (со&Е + е) (|+^;;|)1/2ехр (гсозЯ) 0Е, (4.96)
о
где г = ае/Н, как и в § 17, а индекс 0 приписан
начальным значениям. Если е>0,2, то а может быть очень
большим, и более целесообразно использовать Н/гр вместо
Н 1а, так как при перигейной высоте меньше 1000 км
а будет заключено между довольно .тесными пределами
(6500—7400 км). Поскольку
то, если е возрастает от 0,2 до 1, величина г возрастает от
31 до оо (при условии, что Н/гр = 0,008 в соответствии
с выбором Н 1а = 0,008 в качестве стандартного значения
в § 16—18). В этом интервале значений г лучший метод
интегрирования в выражениях (4.95) и (4.96) состоит
в замене переменной по формуле
созЕ=1-—, (4.98)

Сокращение орбит в сферической атмосфере 77
так что
АЕ = ]/ / %2ч <*К (4.99)
о-ю
поскольку г считается постоянным в течение одного оборота.
Подставляя (4.98) и (4.99) в (4.95) и (4.96), полагая
Ра — г = $гр и разлагая подынтегральные выражения по
степеням №/г, найдем
Дс = - 28а\р0 (|)1/21!±^1 ехр [р (гр0 -гр)]х
У~2г
Г г ЯЧ^-3^-1) К№ ,
} I- 42(1-^) ^ ^ "^
О *
+ о(-^)]ехр(-Я2)<й, (4.100)
Ах = - 2Ьа\Рй (|)1/а |1±^ ехр [0 (гро- гр)] X
где
(4.101)
к _ 3—16^ + 50^ + 16^—5^ п
Л1~ 32(1—^2)2 » ^л^;
-5 + 32*-14*2 + 32*3 + 3** „
А2= 32(1~*2)2 ■ (4Л03>
В формулах (4.100) и (4.101) члены разложений содержат
множители вида [г.(1 —е2)]~п> однако последние не
становятся большими при е -> 1, так как в силу формулы (4.97)
2(1_е2) = ^±1, (4.104)
и эта величина не стремится к нулю при е-> 1.
Подынтегральные выражения в формулах (4.100)
и (4.101) становятся, очевидно, очень малыми, когда X
велико, и поскольку У~2г > 6, то мы можем заменить

7§
Глава 4
предел У2г на оо, допуская относительную ошибку,
меньшую 10~16. Кроме того, используя известный интеграл
? ехр{-Х2)с1Х--
Уп
(4.105)
можно непосредственно (интегрируя по частям)
показать, что
оо
^Я2ехр(-Я2)<й =
о
оо
Уп
3"|/я
(4.106)
Следовательно, выполнив интегрирование в формулах
(4.100) и (4.101), мы получим
Да = -8а2дро(-^)
2я\1/2 (1 + е)
(1-е)1/2
ехр[р(Гр0-Гр)]Х
X 1
кх =
X
['-*^+-&+Ч^)]- <4-|07>
. „ / 2я\1/2 (1 + е)3/2 ,а. Ч1
баЧо {—) {1_^1/, ехР № (г0-Гр)] X
где максимальные значения 3/С1/4г2 и 3/С2/4г2 меньше
5 • 10"5 для 0,2 < е<. 1 и Я/гр0 = 0,008, так что этими
членами можно обычно пренебрегать.
Зависимость перигейного расстояния от эксцентриситета
Разделив (4.107) на (4.108), получим
1-е , 3 — бе — е2
Аа __ ,
2г (1+е) ~ 8г2(1+е)2
■0(^г). (4.109)
Эта формула показывает, что если мы выразим
производную ка/йх в виде ряда по степеням е и 1 /г, то членов с е\ е2,

Сокращение орбит в сферической атмосфере ?9
еъ, ... в нем не будет, а это свидетельствует об отсутствии
таких членов в разложении (4.26).
Членом с 1/г2 в формуле (4.109) можно пренебречь,
так как его численное значение меньше 0,15/г2, т. е.
меньше 1,6 • 10~4 при г> 31. Полагая е = Нг/а и х = Яг,
перепишем равенство (4.109) в виде
1 йа
~Н~йг
'+т-трж+°(т)- (4Л10>
Предполагая, что соотношение (4.30) при е>0,2 еще
с удовлетворяющей нас точностью справедливо, можем
положить предварительно
— - 1-— (г0-г) + 0( — V (4.111)
Следовательно, уравнение (4.110) можно переписать в виде
1-е0+-— ч у
ао
если пренебречь членами порядка #2/аЦ, т. е. 6 • 10~б.
Интегрируя уравнение (4.112), получаем
Ь1
а0-а=Н (г0-г)+-*-1п
г(1+во)
+0(//е), (4.113)
где
-о.«(тЧ>
эта величина достигает максимального значения 0,0048 при
е = 0,2 и минимального нулевого значения при е -> 1.
Формула (4:113) подтверждает возможность записи отношения
а/а0 в виде (4.111).
Формулу (4.113) можно переписать, перейдя к пери-
гейному расстоянию гр = а — Яг, что дает
гРо-гР = ^Ш[^^- + 1^]+0{Нг). (4.114)
Чтобы найти гр в зависимости от е> выразим г через е,

ао
Глава 4
используя зависимость (4.113), по формуле
го = в0 (1-е) . ео у
г е(\-е0) ~*~ 2г(1-в0) Л
х,4^31+ттк]+0(т)^ <4-116>
подставим (4.115) в равенство (4.114), что дает
Ошибка гр достигнет максимальной величины при е0 = 1
ие = 0,2; она составит 0,0048 (основной член будет равен
(О 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0/> 0,3 0,2
е/е0
Рис. 4.6. Изменение перигейного расстояния
в зависимости от е для сильно вытянутых орбит.
Пунктиром указано геометрическое место точек, для
которых е — 0,2.
тогда 0,6), если Н/гр0 — 0,008, так что перигей понизится
примерно на 40 /еж, а ошибка окажется равной 0,3 км.
График величины (гр0 — гр)1Н в зависимости от е/е0 дан на
рис. 4.6. Эффект, зависящий от переменности Н/гр0» при
выбранном масштабе незаметен.

Сокращение орбит в сферической атмосфере 81
Зависимость орбитального периода от эксцентриситета
Подставляя выражение для гр/гр0, получающееся из
формулы (4.116), в равенство (4.35), найдем, что
Т _у 1-*оУ/2Г ] Ш 1п*о(1+е)
Т0 ~ К 1-е ^ I1 4гт
1п-
-0(7-10"5)].(4.117)
гро е(\ + е0)
Аналогичная формула (4.37) для фазы 0,02 <е<0,2
отличается от (4.117) лишь дополнительным членом, который
1,0
0.8
&
ом
0,4
02
№
1—
щ*<*
х^
У-0,4
ч?^
V
^■>-.
1*>Ч
1 1
/
—г
^
—-.
!!<;
*^Ь~
:з2аа
0,1
02 аз
0,4
еа~е
0,5 0,6
Рис. 4.7. Изменение орбитального периода в
зависимости от е для сильно вытянутых орбит.
1 — геометрическое место точек, где е = 0,2; 2 — кривые
для случая е < 0,2, соответствующие уравнению (4.37).
становится пренебрежимо малым при е>0,2.
Следовательно, формулу (4.37) можно применять для всех е > 0,02.
График зависимости Т от е, соответствующий
формуле (4.117), дан на рис. 4.7.
Зависимость эксцентриситета от времени
Для нахождения связи между эксцентриситетом и
временем возвратимся к формуле (4.108), которая после
подстановки выражения для гр0—гр из равенства (4.116) принимает вид
Ъ + е* //(1 — е)
1/2
X
[•
8г(1
—р*\
1п
X
4/-ро(1+е) е(1+е0)
•0(е)].
(4.118)

82
Глава 4
Так как А/ = Т0 (а/а0)3/2 в силу формулы (4.39), то
равенство (4.118) можно переписать в виде
_1__^— ^р° ( 2л;/Уоо*о V/2 (1+^)2
хП 3 + '2 1 Я(1""б) 1пбо(1+б) 1 (Нс)1
^Ч1 8г(1-е2) + 4гр0(1 + е) 1П *(1+*0) + 1 '-Г
(4.119)
Аналогичным образом получим из равенства (4.107)
1 йа _ б9р0 { 2лНа0е0 у/2 (1+е)*
■у
X
а0 <И Т0 V 1+^о У е(1 — е)1/2
X Г 1 - 8;~3е2-1 +т^гт1п^±4 + 0(6)1 . (4.120)
1_ 82(1— е2) ' 4гр0(1+е) е(1+е0) ' х Ч ч '
Из формул (4.119) и (4.120) найдем далее, что
а а*е 1 их е йа
ао <Н ~~ во & ао &
_ бСрО / 2пНа0е0 у/г (1--е)1/2 (1+е)2
^о V 1+^о ) е Х
[1 ^,Я(3 + 4^у) +Ш^1п^4+0 (в)! .
I 8ае(1 — е2) ' 4гро(1+в) в(1+в0) ' у 'А
(4.121)
Теперь надо исключить а/а0 из левой части равенства
(4.121). Из формулы (4.116) имеем
- = 1^^==А=Ч"1-9— 1п^Ч4 + 0(1(И)1 .
а0 (1— е)Гро 1-е [_ 2гр0 е(1+е0) х ' ^
(4.122)
Подставляя это выражение для а/а0 в равенство (4.121),
получим
? Г, Я гг+4е-3е* Ъ+е , е0 (1 +е) -| 1 _
(1-в)3/«'(1+в)« V +4/-ро1. 2е(1+в) 1 + в в (1 + е0) Л
= -о^т-.(т|?)!"1"+0<«»ь <4Л23>
Член с 1п в этой формуле всегда отрицателен при 0,2< ^<
<С 1 и всегда уменьшает положительный первый член

Сокращение орбит в сферической атмосфере 83
(3 + 4е — Зе2)12е (1 + е) в квадратной скобке не более
чем в 0,4 раза (когда е0 -= 1 и е = 0,3). При е — е0 член
с 1п равен нулю. Следовательно, мы можем отбросить этот
член и умножить выражение (3+ 4е — Зе2) на коэффициент
Л = 0,8 (1 ± 0,25). Используя это значение Л и
интегрируя уравнение (4.123), получаем
Г Г 1 УТ^Ге 1_1 У2+У—в!
и2Т/Г=7 ^4(1+в) 4Т/2 1/ГГе ^^
где
1/ГГ7 ■ 4(1 + в) 41/2 У1+<
#_Г—* (9 + 13е)УГ=1 21 У2+УГ=^П
°»р1.уП=7 8(1+в)« 8У2 УГГе -I
(1 ± 0,25) }* = {-С/ [1+0(8)], (4.124)
, _*9» С^ЛУ/.. (4Л25)
X
Основной поправочный член мы оставляем в виде 0(е),
хотя он, вообще, значительно уменьшается в результате
интегрирования. Отношение второй группы членов в
квадратных скобках к первой группе в левой части
равенства (4.124) заключено между —2 (при е = 0,2) и +2 (при
е = 1), так что член с Н/гр в левой части (4.124), во
всяком случае, в Н/5гр раз меньше основного члена.
Следовательно, членом с Н/гр можно пренебречь, и тогда
равенство (4.124) запишется в виде
«С'+Ч'-О]-?
3 + е0 3+е
+ е0)У1~е0 (1+в)У1-в
1 1п 1У2+УТ=70]УТ+е~
1/2 П/2 + 1/1-*П/1+*о
(4.126)
Как и в § 16, мы определим 1Ъ как значение I, которое
получается из равенства (4.126) при е ==■ 0, и будем
рассматривать 1Ь как приближенный срок жизни спутника.
Полагая в (4.126) е = 0, получим
С/ь= 3+е° -3 ^-Ы^+У1^. (4.127)
(1_ео)у1_ео у 2 (У2+1)У1+ео

84
Глава 4
Вычитая (4.127) из' (4.126), найдем
с{^-'[1+°('--4)]}=
З+е
_3 1 1п У2+У1-е
(1+е)уТ^Ге у2 (у2+1)У1 + е'
(4.128)
или [разделив на (4.127)]
где
1(е) =
3 + е
(1 + в)У1-в
;_^1П У^П^
У2 (У2+1)У1 + в
(4.130)
Корень из суммы квадратов поправочных членов в формуле
(4.129) достигает максимального значения 0,005 при е = 0,2
и имеет значение, меньшее 0,004, при е > 0,25. Значения
/ (е) даны в табл. 4.2, а график изменения е/е0 в
зависимости от Шь, соответствующий формуле (4.129), приведен
на рис. 4.8.
Таблица 4.2
Значения функции / (е) в формуле (4.130)
е
/(*)
0,20
0,0075
0,25
0,1215
0,30
0,1763
0,35
0,2432
0,40
0,3235
0,45
0,4197
0,50
0,5346
е
Не)
0,55
0,6728
0,60
0,8405
0,65
1,047
0,70
1,308
0,75
1,648
0,80
2,112
0,85
2,798
0,90
3,953
Так как соотношение (4.129) не дает нам е как явную
функцию I, то мы не можем вывести явную зависимость
гр и Т от I. Однако наиболее интересная из этих зависимо-

Сокращение орбит в сферической атмосфере 85
стей, а именно зависимость Т от /, представлена
графически на рис. 4.9.
н §«*
'о цг <& о,е о,в уо
Рис. 4.8. Изменение е с
течением времени I для сильно
вытянутых орбит.
Пунктиром обозначено
геометрическое место конечных тачек, в
которых е = 0,2. [Эта кривая почти
совпадает при ^/^^^ < 0,96. с кривой,
построенной по формуле (4.49) для
е0 = 0,2.]
0,2 0,4 06 0,8
'Л
Рис. 4.9. Изменение
орбитального периода с течением
времени для сильно вытянутых орбит.
Штрих-пунктиром обозначены
продолжения кривых, построенные по
формуле (4.51) для е < 0,2.
Зависимость 1Ь от Т
Подставляя в формулу (4.53) выражение Аа из
формулы (4.107) и беря начальные значения, получим
лНа0 у/2(1+е0)3/2
Т0 = —■ Збрро
X
2е„
8е0 — Зе§ — 1
8г0(1-е|)
(1—е0)1/2
■ + 0(5- Ю"5)] . (4.131)

86
Глава 4
Далее, из формул (4.130), (4.127) и (4.125) получим
1ю~ъ-А(*%?Ть <4-132)
Разделив (4.131) на (4.132), найдем
и.=
еоТо
Р(ео),
(4.133)
где
р^ч-3(1-еа)1/'(1+е0)»Н-ч Г, Я (8*0-3*8-1) ,
' (ео) - 81* ' ^ I' 8гр0ео(1+/о) '
+ 0(5-10-5)] (4.134)
для во > 0,2. Полезно заметить, что член с Н/гр0 в
формуле (4.134) никогда не превосходит в обычных условиях
10
0,8
О 0,1
1
1
и
та
—^*
Ц-=плпа ^
а0 ~>—
—Ърцров
.—тегУЮ.
02 0,3 0,4
е0
0,5 Цв Ц7 Цв
Р{|и с. 4.10. Изменение функции
продолжительности жизни спутника Р (ео) в зависимости от е0.
Продолжительность жизни равна — е0Т0Р (е0)/Т0. Случай
для е0 < 0,02; см. рис. 4.4.
3#/8гро, или 0,003, так что член в квадратных скобках
в этой формуле можно отбросить, допуская ошибку, не
большую, чем в формуле (4.56) для Р (е0) при е0 < 0,2.
График функции Р (е0) приведен на рис. 4.10 х) с учетом
г) Хотя на рис. 4.10 проведена гладкая кривая, но фактически
в точке $0 = 0,2 функция Г (е0) терпит разрыв, принимая слева
значение 0,934 [согласно формуле (4.57)], а справа —0,948
[согласно формуле (4Л34)ргфи Н/гр = 0,00$,

Сокращение орбит в сферической атмосфере 87
выражений (4.57) и (4.83) для е0 < 0,2. При е < 0,015
целесообразнее строить график функции е0Р (ё0), как это
сделано на рис. 4.4.
§ 20. Истинная продолжительность жизни спутника Ь
как функция Т
В § 16—19 были получены выражения для 1Ь в
зависимости от Г0 и для хь в зависимости от 7\. Однако мы не
рассматривали еще вопрос о том, насколько 1Ь и хь
близки к истинной продолжительности жизни спутника,
которую мы обозначим через Ь. Так как каждая .некруговая
орбита должна пройти через «фазу 2», т. е. 0 < е < 0,02,
то мы и рассмотрим сначала случай, когда эксцентриситет
находится в указанной фазе.
Для фазы 2 приблизительная продолжительность
жизни спутника хь представляет собой время, за которое
эксцентриситет уменьшается до нуля. Однако если е, а
вместе с тем и г уменьшаются до нуля, то, согласно
формуле (4.62), перигейная высота должна уменьшаться
неограниченно. Фактически спутник прекращает свое
существование несколько раньше. Обычно это бывает тогда, когда
перигей опускается до высоты между 120 и 150
/еж.,Практически почти для всех спутников (за исключением тех
немногих, которые имеют очень низкий перигей в
начальный момент) перигейная высота уменьшается за все время
существования спутника на 5# или более, и поэтому
конечное значение эксцентриситета еЕ (значение для финальной
орбиты) меньше 0,1^1. [Значение отношения еЕ1в1
наибольшее, когда е{ очень мало. Тогда выражение (4.80) сведется
к такому: гр1 — гр ж 2Н 1п (^/г), так что г^г > 10, если
гр1 — гр превосходит 4,6#.] Так как е2 изменяется
линейно в зависимости от времени, то при х = 0,99ть
эксцентриситет е уменьшится до 0,1^1, и тогда хь никогда не
превысит истинный срок жизни спутника более чем на 1 %. Для
наиболее важных классов орбит с Хь = 3 отношение г\1гЕ
обычно превосходит 20 и разность между Хц и истинной
продолжительностью жизни спутника меньше 0,25%.
Следовательно, формула (4.83) для Хл едва ли
нуждается в пересмотре, хотя все же целесообразно отбросить член

88 Глава 4
с Я/2а, уменьшая тем самым правую часть примерно на
величину, составляющую от 0,25 до 0,5%, и повышая
максимальную ошибку до 0,5% для XI = 3 и до 0,75% для очень
малых г4. Следовательно, можно записать
(4.135)
при 0 < г1<3, а рис. 4.4 можно рассматривать как
график Ь, а не %ь. Следует, однако, помнить, что если гр
уменьшается на величину, меньшую 5#, и г4 < 1, то
ошибка формулы (4.135) может превзойти 0,008.
Для фазы 1, т. е. 0,02 <е< 0,2, модификация
формул (4.56) и (4.57), определяющих 1^ сложнее, однако 1ь
опять весьма мало отличается от истинной
продолжительности жизни спутника Ь. Если вначале г > 3, то мы
выразим Ь как сумму 1к + Ьи> где 1к — время,
соответствующее окончанию фазы 1, а 1й — продолжительность всей
фазы 2, так что
^__^_ + ^ . (4.136)
<ь *ь *ь
Если ек — значение е в конце фазы 1, когда г = 3, то из
формулы (4.45) сразу получим, что
.<*.= 1 _4- [' 1 +4-*+Ш-\п^'\ +0 (е\, 44 .
(4.137)
Аналогично, полагая 21 == 3 в формуле (4.135), найдем
(4.138)
где индекс к приписан значениям величин при I = **•
Постараемся теперь исключить из этой формулы Тк1Тк1ь.
Для этого выразим 7* из формул (4.53) и (4.22):
= — ЗябаАеРо ехр [Р (а0 — ак — х0)\ [10 (3) +
+ 2е^,(3) + 0(4)] (4.139)

Сокращение орбит в сферической атмосфере 89
и 1ь из формул (4.44) и (4.41)
Полагая 7\ = Т0 (ак/а0)3/2, получим на основании
формул (4.139) и (4.140)
Тк = 4Л(г0) /дЛУ/2
^ Зв0/0(3)^аоУ
ехр [ —р (д0 —д^) —в0] [1 + 0(в%)] (4 141)
Используя соотношения (4.34) и (4.29) для исключения
ак1а0 и ехр [—р (а0— а*)], можем преобразовать
равенство (4.141) к виду
/ЗекТк \10(2)
1 + ^+4-+-|^1п-е° 7Я
= ОУ 3 Лм \ вкт л° • <4-142>
1+2еА/0(3) + Че<" «А*^
Подставляя (4.142) в (4.138), будем иметь
.^*.-Л?*Л2Г1 I е° 7е* 7Я I зя 1п е° 1 1
<ь V е0 ) V ■ 3 40 8а0 + 4а0 в* ] "1"
+ °(*1&)- (4Л43)
Наконец, подставляя (4.137) и (4.143) в (4.136) и
полагая ей = ЗЯ/а/г, получаем
т-1-чй-+°(*-^)- <4Л44>
Поскольку г* > 9, второй член в правой части этой
формулы никогда не превышает 2Н/5а0 и его можно включить
в поправочный член, так что, подставляя вместо 1ь его
выражение (4.56), получаем для фазы 0,02 < е < 0,2
^-ТЧ^ + О^)], (4.145)
1 О
где функция Р (е0) выражается формулой (4.57).

90
Глава 4
Для е0 > 0,2 величина 1Ь дается формулами (4.133)
и (4.134), и для получения истинной продолжительности
жизни Ь спутника следует разбить ее опять на две части:
18 — промежуток времени, за который е уменьшается до
0,2, и Ь8—длительность существования спутника,
начиная с е = 0,2, что выражается формулой (4.145). Таким
образом, если индекс 5 указывает значения величин,
соответствующих е = 0,2, то из формул (4.129) и (4.145) получим
ь-'-+'-Ф-Ш1+0(*й-)]-
-тЧ^+Ч^-)]- (4-146)
Далее, дифференцируя равенство (4.117) по е и используя
соотношение (4.123), находим
г.--*•"*'■-**<■+*■ [■ + <)(.,%)],
(4.147)
или с учетом формулы (4.134)
[1+0(в'-^")]- <4Л48>
Г,=
/ (е0) Р (е.) 7>,
Подставляя это выражение для Т„ в формулу (4.146),
получим
^=1+°(е'^)- <4Л49>
Так как е <0,6#/гр, то, беря корень из суммы квадратов
поправочных членов и подставляя вместо 1Ъ выражение
(4.133), получим для 1Ъ при е0>0,2
т _ <?оТоР (е0)
[1+0(^)]' <4Лб0>
где функция Р (е0) дается формулой (4.134). Таким
образом, рис. 4.10 можно рассматривать как график для Ь,
а не для 1Ь.
ЛИТЕРАТУРА
1. С о о к О. Е., К 1 п б - Н е I е О. О., \Уа1кег Ъ. М. С, Ргос.
Коу. Зое, А257, 224 (1960).
2. С о о к О. Е., К 1 п ^ - Н е 1 е В. О., \У а 1 к е г В. М. С,
Ргос. Коу. Зое, А264, 88 (1961).
3. К1пд-Не1е В. С, Ргос. Коу. Зое, А267, 541 (1962).

ГЛАВА 5
СОКРАЩЕНИЕ ОРБИТ ПОД ВЛИЯНИЕМ
ТОРМОЖЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ,
ОБЛАДАЮЩЕЙ СЖАТИЕМ
§21. Введение
Плотность воздуха на заданной высоте над поверхностью
Земли в интервале высот 180—300 км обнаруживает
небольшие систематические изменения, зависящие от широты
места (см. § 8). Поверхности постоянной плотности на этих
высотах (а именно такие высоты больше всего и нужны для
нашей теории) являются не сферами, как мы предполагали
в гл. 4, а близки к сфероидальной форме с тем же сжатием,
каким обладает сама Земля. Поэтому здесь мы развиваем
теорию в предположении, что плотность атмосферы
постоянна на сфероидальных поверхностях с постоянным
сжатием е1), причем их оси симметрии совпадают с осями
симметрии для Земли. Эта модель, в которой ег
принимается равным земному сжатию 0,00335, почти
эквивалентна атмосфере, где плотность на данной высоте над
поверхностью Земли постоянна. (Эллипсоид вращения со
сжатием 0,00335 и высотой 300 км над экватором
возвышается над полюсами на 299 км.)
Мы предположим, что на данной геоцентрической
широте плотность воздуха изменяется по экспоненциальному
закону в зависимости от расстояния до центра Земли,
т. е. пропорционально ехр (—г/#), где Я постоянно. Это
эквивалентно предположению, что на данной широте
плотность изменяется экспоненциально в зависимости от
высоты над Землей (измеряемой перпендикулярно к
поверхности Земли на этой широте).
Невозмущенная орбита спутника принимается
эллиптической с большой осью, вращающейся в плоскости орби-
х) Не смешивать с величиной 8, рассматривавшейся в гл. 4Г

92
Глава 5
ты с фокусом в центре С Земли и имеющей постоянное
наклонение по отношению к экватору.
Эффект сжатия атмосферы зависит от широты перигея,
а поэтому постоянное вращение эллиптической орбиты,
приводящее к периодическим изменениям широты перигея,
вызывает периодический эффект с периодом, равным
промежутку времени между двумя последовательными
прохождениями перигея через экватор. Если перигей пересекает
экватор много раз, то эффект сжатия атмосферы
проявляется в малых вариациях. Однако может случиться, что
перигей пересекает экватор или только один раз, или же
вовсе не пересекает его, как, например, в случае
недолговечных спутников или спутников, обладающих
наклонением, близким к критическому значению 63°,4 (см. § 3). Тогда
эффект сжатия атмосферы вполйе может выглядеть как
вековой эффект и он будет иметь в этом случае гораздо
большее значение.
§ 22. Плотность атмосферы
Сначала найдем выражение для плотности атмосферы
в любой точке орбиты спутника с учетом сжатия атмосферы.
Расстояние а от центра Земли до точки поверхности
сжатого сфероида с экваториальным радиусом аЕ и малым
сжатием е определяется формулой
а = ав[1— е5т2ф + 0(е2)], (5.1)
где ф — геоцентрическая широта и 0 (е2) — очень малый
поправочный член, составляющий меньше 0,03 км, если е
приблизительно равно земному сжатию. Выберем теперь аЕ
так, чтобы сфероид, определяемый формулой (5.1),
проходил через начальную точку перигея орбиты спутника,
находящуюся на расстоянии гр0 от центра Земли и
имеющую широту фРо- Тогда равенство (5.1) запишется в виде
1—8 51П2ф /е оч
0^ Грот • 9 • (5-2)
ру) 1—8 51П2фр0 у '
Плотность атмосферы на сфероиде, определяемом
формулой (5.2), равна 5р0, а вне сфероида она меняется по
экспоненциальному закону в зависимости от высоты над
сфероидом, так что
<г = Сроехр[ —р(г —а)], (5.3)

Сокращение орбит в атмосфере, обладающей сжатием 93
где, как и выше, р = 1/Я, а о выражается согласно
формуле (5.2).
Теперь мы хотим связать широту спутника ф с углом,
характеризующим его положение на орбите. Применяя
формулу синусов к прямоугольному сферическому
треугольнику 5ЦУ на рис. 2.4 (стр. 35) и замечая, что 5УУ = со + 9
(см. рис. 3.2, стр. 44), получим
51П ф = 51П I 31П ((0 + 0). (5.4)
Подставляя (5.2) и (5.4) в (5.3), получаем выражение для
плотности атмосферы в любой точке (г, 0) орбиты
О = дРо ехр [ — р (г—Гро) + с сов 2 (со + 0) —
— с соз 2со0 + 0 (се)], (5.5)
где
с = -^г^ГроВ,'т21. (5.6)
Величина с оказывается удобным параметром,
поскольку она обычно превосходит 0,2 лишь на самой последней
стадии жизни спутника (когда значения Р могут быть
велики). В течение большей части жизни типичного
спутника, когда 0,02 < е < 0,2, величина с заключена, как
можно ожидать, между нулем для экваториальных орбит
и 0,2 для полярных орбит. Таким образом, с и е можно
рассматривать как величины одного и того же порядка (хотя
надо помнить, что с может превосходить 0,2 для орбит,
близких к полярным с низким перигеем).
В соотношении (5.5) можно положить
ехр[ссо52((о + 9)]-1+ссо5 2(со + 0)+уС2со522 (со + 6),
(5.7)
так как последующие члены в этом разложении изменяют
положение точек на поверхности постоянной плотности не
более чем на 0,1 км. Подставляя выражение для г из
формулы (3.24), исключая 0 при помощи соотношений (3.22)
и (3.23) и используя равенство (5.7), преобразуем формулу

94
Глава 8
(5.5) к виду
5 = к ехр [ — р (а — х соз Е)] [ 1 + с соз 2 (со + Е) —
— 2се$т2(а + Е)$тЕ + ~с2[1-\-со$4((д + Е)]--
--^ се2 [соз2(0 + 2 соз2 (со +Е) — 3 соз2 (со + Е) соз2^] —
— с2взт4((о + ^)зт^-[ 0(се, се3, Л2), (5.8)
где
/г = сР0 ехр фгР0 — с соз 2со0). (5.9)
§ 23. Основные формулы для а и е
Формулы (4.14) и (4.15) для Аа и Ах остаются
справедливыми и в рассматриваемом здесь случае, когда большая
ось исходной орбиты не сохраняет постоянное направление
в пространстве, а вращается под влиянием сжатия Земли.
Строго говоря, эти формулы должны иметь тогда
дополнительный множитель
где ^2 — коэффициент при второй гармонике в
гравитационном потенциале Земли, равный 0,0011 согласно
формуле (1.4), а р = а (1 — е2). Однако этот множитель никогда
не отличается от 1 более чем на 0,0016, т. е. на величину
порядка е4, а членами 0 (е4) мы пренебрегаем.
Разлагая подынтегральные выражения в формулах (4.14)
и (4.15) по степеням е> подставляя выражение для 9 из
равенства (5.8) и используя интегральное представление
функций Бесселя (3.72), находим после довольно
громоздких, но элементарных алгебраических преобразований
Да- -2п8а2кехр( — ^а)Ц10 + 2е11 + ~е2 (10 + 12) +
+ |е3(3/1 + /3) + с[/2 + 2е/3-
- у е2 (3/о + 2/2 - 17/4) ] соз 2со +
+ -|с2{/0 + 2в/1 + [/4-в(/з-3/5)]со5 4со} +
+ 0(е\ се3, с2е2)\\ , (5.10)

Сокращение орбит в атмосфере, обладающей сжатием 95
Д* = - 2пЬа2к ехр (- ра) { { Л + у е (3/0 + /2) +
+ \с [/1 + /3-^(/о-6/2-3/4)-
~~е2 (16Л — 29/3—11/б)] соз 2со +
+ 1с2{2/1 + в(3/0 + /2) +
+ [/з + /5—5-е (3/2 —6/4 —5/в)] соз4со} +
+ 0(^се3, А>2)}} . (5.11)
Из этих соотношений мы можем вывести выражения для
перигейного расстояния, орбитального периода и времени
в зависимости от эксцентриситета точно так же, как мы это
сделали в гл. 4 в случае сферической атмосферы, хотя
в данном случае появится большое количество
дополнительных членов. Такие выражения были найдейы для
эксцентриситетов между 0 и 0,2 в работе [1], однако здесь едва
ли целесообразно выходить за рамки изложения в общих
чертах полученных результатов. Иначе нам причлось бы
затратить для этого анализа, представляющего одно из
возможных уточнений основного варианта теории, больше
места, чем для самого основного варианта. Как и в гл. 4,
мы рассмотрим сначала «нормальное е, фаза 1» (0,02 < е <
< 0,2), затем «нормальное е, фаза 2» (0 < е < 0,02) и,
наконец, круговые орбиты. На орбиты с большим
эксцентриситетом сжатие атмосферы влияет мало, и такие орбиты мы
рассматривать не будем.
§ 24. Нормальное е, фаза 1 (е < 0,2; Рл; > 3)
Разделив (5.10) на (5.11), мы получим очень длинное
выражение для йа1йх (имеющееся в статье [1]) с членами
порядка е, е2, еъ\ с, се, се2; с2, с2е и с3. Однако оказывается,
что если Рл: > 3, то коэф<фициенты при се, се2, с2, с2е и сг
малы, так что, применяя асимптотические разложения для

96
Глава 5
функций Бесселя, можно записать выражение для йа/йх
в виде
йа _ /0 1 3 ё* 2с 9
^л:-"/!' ра 2р2ах+рх рг^008^03^
+ 0(^с^р4з^). (5Л2)
Мы должны теперь выяснить, как зависит от х аргумент
перигея со. Из формулы (1.2) видно, что в первом
приближении со изменяется линейно относительно времени,
поскольку г почти постоянно, 1 —е2 остается близким к 1,
а а изменяется в течение всей жизни спутника не более
чем на 5%. Кроме того, так как е2 изменяется линейно
по отношению ко времени, что следует из формул (4.49)
и (4.78), то х2 = а2е2 изменяется со временем почти
линейно. Таким образом, самое простое аппроксимирующее
выражение для со мы получим, если будем считать, что
последнее зависит линейно от х2> и положим
2<* = А±0^, (5.13)
где Л и О — постоянные, а знак выбран так, чтобы О было
всегда положительным. На практике это означает, что
плюс берется тогда, когда ь > 63°,4, а минус берется при
г < 63°,4. Условимся, что если в последующих формулах
будет встречаться ± или Т, то верхний знак соответствует
г > 63°,4, а нижний знак — I < 63°,4. Заметим также, что
постоянная А в формуле (5.13) равна значению со при
( = 1Ь и ^ = 0, а О пропорционально скорости
изменения со, причем если орбита изучается в течение того
интервала времени, когда х уменьшается от х0 до х, то О можно
приближенно положить равным
0 = 4^ • (5-И)
Зависимость перигейного расстояния от е
Уравнение, которое получается из (5.12), если
исключить члены с с, было уже проинтегрировано в § 16. Член
с с, в котором со дается формулой (5.13), может быть
проинтегрирован, если ввести в рассмотрение интегралы

Сокращение орбит в атмосфере, обладающей сжатием 97
Френеля
и и
С(и)= ^ соз^й/, 8(и)= ^ 8ш^й/, (5.15)
о о
которые протабулированы [2]. Вводя переменную и по
формулам
«о:
и используя формулы (5.15), придем к выводу, что член
сев уравнении (5Л2) интегрируется, так что выражение,
получающееся после интегрирования этого уравнения,
можно записать в виде
гро— Гр — \гро~~~гр)сф. атм. +#^> (5.17)
где индекс «сф. атм.» обозначает выражение, полученное
для сферически симметричной атмосферы в § 16 [см.
выражение (4.32)], а
^|?[со5 2со0-|(1+ео-в)со5 2со] +
+ ^^{18(ио)-8(и)]совА±[С(и0)-С(и))$тА} +
1*06:0
Из соотношений (5.16) и (4.30) можно выразить и через е
по формуле
± = ±11-«. + е + 0И]. (5.19)
Величину ^ едва ли можно представить в какой-либо
удобной форме графически, так как она зависит от слишком
большого количества переменных. Однако поскольку Ъ>
изменяется периодически с тем же периодом, что и 2со, то
максимальный эффект будет наблюдаться тогда, когда со
постоянно. Поэтому целесообразно получить решение,
соответствующее постоянному со, не только потому, что оно
даст нам фактические поправки, когда со обнаруживает
лишь небольшие изменения, но также и потому, что оно
позволит судить о верхнем пределе поправок (о порядке их
величины) и в том случае, когда со изменяется сильно.

98
Глава 5
Если со постоянно, то уравнение (5.12) можно сразу
проинтегрировать, и мы получим
(О*пост =2с(1-1)со32со + 0 (^\ ^3) - (5-20)
где, как и прежде, г = $х. Величина (Отпоет имеет
наибольшее значение, когда со = 0, я/2, я, ..., а г
принимает свое наименьшее значение, т. е. когда г = 3.
Если г0 = 30, то ^ достигает наибольшего значения 0,12
при с = 0,2, т. е. для полярной орбиты с низким перигеем.
При этих условиях главный член (гр0 — гр)/Н « 1, так
что в этом крайнем случае эффект сжатия атмосферы
изменяет значение гр0— гр более чем на 10%*
Зависимость орбитального периода от е
Соответствующая модификация формулы для Т/Т0
может быть получена из соотношения (4.35) при помощи
формулы (5.17), что дает
г"о=(^)сф..тм. [!~2^] в (5,21)
Множитель в квадратных скобках никогда не отличается
здесь от 1 более чем на 0,002, так что сжатие атмосферы
очень мало влияет на. зависимость Т от е.
Зависимость эксцентриситета от времени
Отбрасывая члены, численные значения которых малы
при |3л;>3, приведем выражение (5.11) к виду
Д*=— 2я6а2&ехр(-ра) [11 + ^е(310 + 12) +
+ ^2(П/1 + /з) +
+ |с[/1 + /з-у^(/о-6/2^3/4)]со5 2со +
+ ±сЧ1 + 0(е*, с3)} . (5.22)
Интегрирование этого уравнения, имеющее цель получить
зависимость е от I, проводится так же, как и в § 16, однако
члены, содержащие с, слишком громоздки, и мы приведем

Сокращение орбит -в атмосфере, обладающей сжатием 99
только окончательный результат. Подробный анализ дан
в работе [1].
Если мы запишем
1-=(-г) -6, (5.23)
*Ь Ч^ьУсф. атм. *" у '
то при постоянном (о будем иметь
№)юпост=Г8^Л-->)+ —1п^1—соз2© + 0(а),
\ъ/ со пост ^ ^ е^^ \ а^ е ^ ао6о | \ ;,
(5.24)
где
п/ \ п/'ае^с аес* ~ ~ еН с2Н Я2 \ /с пс\
Для встречающегося интервала значений е/е0
совокупность членов в квадратных скобках формулы (5.24) может
быть заменена на 10 (1 — е/е0) е/е0, что приводит к
максимальной ошибке, в 5 раз меньшей, чем 0,03 с, т. е. меньшей,
чем многие из членов в 0 (а). Допуская такую
аппроксимацию и используя формулы (4.49) и (5.6), можем записать
зависимость (5.23) в виде
Л1) =0-г)*
\1ь/ со пост ч е0 у
[1+^(1-|5т2/со52со)][1+0(а)], (5.26)
где поправочные члены формулы (4.49) включены в 0 (а).
Для типичной орбиты наибольший член в 0 (а) имеет
порядок 10~3, однако в крайнем случае, когда с = е= 0,2,
некоторые члены могут достичь значения 0,04.
Из формулы (5.26) мы можем выразить е в зависимости
от I и прийти к формуле для постоянного со:
■).поИ=У1-йГ-^(1-У1-гг)8|п,/сов2ю+
+ 0(0,003,*,^,^). (5.27)
Эта формула ясно показывает, что влияние сжатия
атмосферы будет наибольшим, когда е0 мало или когда I близко
к 90°, или когда соз 2со близок к единице.

100.
Глава 5
В случае переменного о) обозначим е/е0 через X. Тогда
выражение для | записывается в виде
1= Ц1 -^ [51П 2С0 — 51П А — Я2 (51П 2% — 51П А)] 4-
. 6сН
{[С(и) — \2С(и0)]со$Ац:
Т[5(а)-Я25(а0)]5тЛ} +
±[С(а)-С(а0)]5тЛ} +
2сЯХ
: (СОЗ 2С0 — Я 51П 2С00) +
а0б0
+Ц{[а(°^а(01)]со5Л=р
Т [31(О)-31(о|)]5тЛ}+0(с2, се, а), (5.28)
где функции 51 и С\ (интегральные синус и косинус)
определяются по формулам
V оо
Щу)=1«±&ау, а<у)=-$^. (5.29)
О V
Для этих функций имеются специальные таблицы,
изданные Национальным Бюро Стандартов США1).
Заметим, что формулы (5.24) и (5.28) содержат члены, которые
неограниченно возрастают при е -> 0. При нахождении 1Ь
этими членами мы пренебрегаем, но это приводит к
некоторому произволу в определении 1Ь и мы не можем
гарантировать, что 1Ь дает нам хорошую аппроксимацию истинной
продолжительности жизни спутника, как это имело место
в случае сферически симметричной атмосферы (§16). Все же
так как сжатие атмосферы обычно очень мало влияет на
продолжительность жизни спутника, то Чь не будет очень
сильно отличаться от истинного значения (см. также
конец § 25).
х) ТаЫез о! 5те, Созте апс! ЕхропепИа1 1п1е^га!з, Уо1з. I
апс! II, Ыечу Уогк, 1940; Уо1. III, МазЫп^оп, 1954.

Сокращение орбит в атмосфере, обладающей сжатием 101
Зависимость перигейного расстояния и орбитального
периода от времени
При постоянном со зависимость ^ от I может быть лолу-
чена при помощи формул (5.20) и (5.27), так что в первом
приближении
(0 со пост= —|- ( г — 1 1 51П2 I С05 2(0 + 0 (в2, Св). (5.30)
Следовательно, зависимость гр и Т от / может быть найдена
в первом приближении, если подставить это выражение
для 2 в формулы (5.17) и (5.21).
Зависимость 1Ь от Т
Из формул (4.53) и (5.10) получим (см. [1])
(^ь)©пост = (^)сф. атм. [1 + ^51П21СО5 2(0 + 0(а, ^2^) ] ,
(5.31)
где (^ь)сф. атм. дается формулами (4.56) и (4.57). Если со —
переменное, то выражение для 1Ь получается опять очень
длинное, и мы выпишем только члены порядка с и сН/ае:
*Ь=(*ь)сф. атм.—^ {(1 -^)С052С0ОТ
+ 7^[С(и0)со$Аор8(и0)$тА] + 0(се, с2, а)] . (5.32)
Если со изменяется мало, то вместо формулы (5.32)
целесообразнее использовать формулу (5.31),. заменяя со его
некоторым средним значением со. Но тогда значение Т0
в выражении для (^)Сф. атм. следует заменить на то,
которое Г0 принимает при тех же самых со0 = со и перигей-
ном расстоянии гр. Изменение высоты в ц раз приводит
к изменению плотности, а следовательно, и Т0 в ехр (—д/Н)

102
Глава 5
раз, так что выражение (5.31) можно переписать в виде
(^ь)м почти пост = (1ь)сф. атм. ( 1 + — 51П2 I С05 2(0 1 X
X ехр [с(со5 2со0 —соз2со)], (5.33)
причем поправочный член тот же самый, что и в
формуле (5.31), если не учитывать дополнительную ошибку,
появляющуюся из-за осреднения со.
§ 25. Нормальное е, фаза 2 (0<|5л;<3)
В случае фазы 2 мы будем обозначать г = $х и
приписывать начальным значениям, как и в § 17, индекс 1,
так что
С=18рГр15П12/. (5.34)
Окончание фазы 2 совпадает с концом жизни спутника,
когда перигей становится очень низким, так что мы должны
быть готовы брать для Я меньшие, а для с большие
значения, чем при анализе фазы 1. При оценке поправочных
членов предположим, что с может достигать значения 0,3.
Кроме того, поскольку е едва ли превосходит 0,03, то
будем также предполагать, что в поправочных членах
е = 0,027 = с3 и г = 3.
Так как е = 0 (с3), то мы можем пренебречь членами
порядка е2, е3, се, се2, с2е в формулах (5.10) и (5.11).
Разделив (5.10) на (5.11), найдем
■57= [уо+~2 е(4~Ъу\—У0У2)— 2"С(у0—2у2+М/з)со5 2со] X
Х[1+0(с\е2)], (5.35)
где, как и прежде, уп = 1пНи а члены порядка с2 и с3
отброшены, так как их численные значения меньше 0,03
и 0,12 соответственно. Из рекуррентной формулы (3.67)
при п = 3 имеем
у сУоУз = Х2 сУ°У*г + ° (^о). (5.36)
так как гу4 < 1Л при г<3. Исключая у3 при помощи фор-

Сокращение орбит в атмосфере, обладающей сжатием 103
мулы (5.36), перепишем уравнение (5.35) в виде
-\с (Уо^2у8 + ^)со82ю] [1 +0(с\ (*)]. (5.37)
Для многих спутников фаза 2 коротка и со не успевает
сильно измениться. Поэтому мы сосредоточим усилия на
нахождении решения при постоянном со. Это решение
вполне может быть использовано (хотя и с некоторой потерей
точности) и в случае, когда амплитуда изменения со не
превышает 30°, после замены 2со осредненным значением
2со. Формулы для случая переменного со были выведены
в работе [1].
Если производится замена со на осредненное значение со,
то целесообразно ввести параметр Ъ по формуле
& = -^ссо5 2о). (5.38)
Этот параметр постоянен и имеет максимальное значение,
равное 0,15. При помощи различных рекуррентных
формул для 1п [см. (3.67)—(3.71)] можно показать, что
„_^+^а._4[4->"(*)-Й-]г <5'39>
Интегрируя уравнение (5.37) с учетом соотношения (5.39),
получаем
Р(а1-а) = {Р(а1-а)сф. *т*.-№ (г)-$&)]} [1+0 (<*)],
(5.40)
где
+ (г)=*(и4+-|*-4). (5-41)
а (а4 — а)Сф.атм. выражается по формуле (4.61). Кривая
зависимости [-ф (г) — г|? (3)]/Ь от г нанесена на рис. 5.1.
Если г^ Ф 3, то [я|) (г) — г|э (г4)] можно получить, положив
ф (г) - ф (г,) = [г|) (г) - ф (3)] - [ф (г,) - * (3)}
и использовав разности ординат кривой на рис. 5.1 для
21 И 2,

104
Глава 5
1,2 .
1,0 \
пп
<2
■^ пк
I и>°
1/,Ч-
0,2
0
з,
V
0
/
/
2,
/
Г
5
-/
7
г,
I
1
0
/
/
/
\
<
1,0
0,5
I
/
/
Г
-^
10
■
а
ч
ь ^
4^
0
0
Рис. 5.1. Изменение г|э в зависимости от г.
Зависимость перигейного расстояния от г
Вычитая Н (г4 — г) из обеих частей соотношения (5.40),
получим
^т1 {(^Л, „.-» «-№■>'} и+ом1.
(5.42)
где значение с индексом «сф. атм.» соответствует
формуле (4.62) и рис. 4.3.
Зависимость орбитального периода от г
Эта зависимость находится при помощи соотношения
(*)-(*г
и формулы (5.40). Мы получим
2ах
[ф(г)-ф(21)] + 0 {ее'). (5.43)
'сф. атм.
Связь между гит
Пренебрегая в формуле (5.11) членами порядка е2, еъ,
се и се2 и полагая, как и прежде,

Сокращение орбит в атмосфере, обладающей сжатием 105
получим
Ах 2яба? / а \г/2 « , 0 ч
■аг=—тгЫ) *«р(-Р«)х
Интегрирование этого уравнения сопровождается весьма
громоздкими вычислениями, детали которых имеются в
статье [1]. При этом для х1хь получаются два
выражения, соответствующие случаям г> 1 и г < 1. А именно
при 1<г<3
^=[1-Т-(^1Г^(1-^)][1+0(0'03)]'(5-45)
а при 0 < г < 1
(5.46)
где индекс 2 приписан начальным значениям величин
Зависимость хь от Т
В различных интервалах изменения г получены
несколько отличающиеся друг от друга выражение для ть,
но все они согласуются с формулой
Ть-(ть)сф.атм.[ 1+26^ + 0 (1с2)] . (5.47)
Значение /2//о монотонно возрастает от 0 при г = 0 до
0,46 при г = 3 (см. рис. 8.1 на стр. 149).
Заметим, что в то время, как множитель в квадратных
скобках в выражении (5.47) равен (1 + 0,92 Ъ) при г = 3,
соответствующий множитель в формуле (5.31) для случая
фазы 1 равен (1 + 2,67 Ь). Определение 1Ь в фазе 1
остается, как было уже объяснено выше, несколько
произвольным, так как теория становится неприменимой при г = 0.
Поэтому при г — 3 и, разумеется, при больших
значениях г (быть может, до г = 5) следует оказать предпочтение
формуле (5.47). При г = 5 множитель в (5.47) равен (1 +
+ 1,3 6), в то время как в (5.31) этот множитель равен
(1 + 1,6 Ь). Оба эти значения ложатся в интервал допу-

106
Глава 5
стимых ошибок, имеющих порядок 0 (с2), т. е. 0 (0,6 6), так
что при г>Ъ более предпочтительна формула (5.31).
Истинная продолжительность жизни спутника Ь в фазе
2 равна величине хь, выражаемой формулой (5.47), что
вытекает из соображений, приведенных выше в § 20.
Истинную продолжительность жизни спутника в фазе 1
можно оценить точно так же, как и в случае сферически
симметричной атмосферы. Найдено, что ЬЦЬ может
отличаться от 1 множителем, достигающим 1 + Ъ при г0 -> 3;
однако при г0 > 5 это отличие пренебрежимо мало.
§ 26. Круговые орбиты
Для круговых орбит аргумент перигея со становится
неопределенным, и, следовательно, все члены с с соз 2со при
условии надлежащего выбора параметров должны
обратиться в нуль. Так как единственные члены, зависящие от с,
имеют множитель с соз 2со, то, следовательно, эффект
сжатия атмосферы может иметь порядок не ниже 0 (с2).
Если, как и прежде, приписать индекс с начальным
значениям на круговой орбите, а через рс обозначить
плотность на расстоянии ас от центра Земли в точке,
занимающей среднее положение между узлом и апексом, где
соз 2со = 0, то из формулы (5.9) мы получим
& = дсехрфас). (5.48)
Тогда формула (5.10) при е = 0 примет вид
Да = 2з}ба2ес (1 +1 с2) ехр [0 (ас — а)] [1 +0 (се)]. (5.49)
Сопоставляя формулы (5.49) и (4.84), мы видим, что все
соотношения, выведенные в § 18 для сферически
симметричной атмосферы, остаются справедливыми и для сжатой
атмосферы, если только заменить рс на бс (1 + -т- °2)-
Таким образом, основные результаты, выражаемые
формулами (4.91)—(4.94),остаются неизменными, так как эти
формулы не содержат рс.
ЛИТЕРАТУРА
1. С о о к О. Е., К 1 п б - Н е 1 е О. О., ЧУ а 1 к е г О. М. С, Ргос.
Коу. Зое, А264, 8? (1961).
2. V а п \У 1 ] п О а а г й е п А., 5 с Ь е е п \У. С, ТаЫе о*
Ргезпе! 1п1е^га1з, N014 Ь Но11апс1, Атз1егс1ат, 1949.

ГЛАВА 6
СОКРАЩЕНИЕ ОРБИТ ПОД ВЛИЯНИЕМ
ТОРМОЖЕНИЯ В АТМОСФЕРЕ
ПРИ УСЛОВИИ ИЗМЕНЕНИЯ ШКАЛЫ
ВЫСОТ С ВЫСОТОЙ
§ 27. Зависимость Н от высоты
Выше мы предполагали, что шкала высот Я,
определяемая по формуле
остается постоянной в интервале высот вблизи перигея
орбиты спутника, где атмосферное торможение играет
существенную роль. Поэтому соотношение (6.1) можно
проинтегрировать и получить формулу экспоненциальной
зависимости плотности р от высоты
^ = ^реxр(-^1^^ . • (6,2)
В действительности же, как мы уже отмечали в § 8,
значение Я, определяемое по формуле (6.1) в интересующем
нас интервале высот от 200 до 600 /еж, увеличивается вместе
с высотой, и в первом приближении можно считать Я
линейной функцией г. Например, для модели атмосферы
СЩА 1961г) (см. [2]) величина Я обнаруживает почти
линейный рост от Я = 37 км на высоте 200 км до Я = 60 км
на высоте 400 км и до Я = 87 км на высоте 600 км. Отсюда
в интересующем нас больше всего интервале высот от 200
до 400 км получаем для йН/йг значение, близкое к 0,1.
Однако значение Я изменяется как в течение суток (как
это видно на рис. 9.1, стр. 159), так и за время цикла
солнечных пятен; таким образом, приведенные выше
значения Я следует рассматривать лишь как грубый ориентир.
х) СОБРАН 1гйегпа1юпа1 КеГегепсе А1:то$рЬеге.— Прим. перев.

108
Глава 6
При этих обстоятельствах едва ли целесообразно
стремиться к нахождению точной зависимости Н от высоты.
Поэтому мы остановимся на такой форме зависимости
плотности атмосферы от г, которая а) соответствует почти
линейной зависимости Н от высоты и б) дает возможность
проинтегрировать уравнения. Для этого мы сделаем два
не связанных друг с другом предположения; одно,
относящееся к изменениям орбиты в течение одного оборота,
и другое, относящееся к интегрированию на большом
промежутке времени.
Итак, сначала при определении изменений в течение
одного оборота мы предположим, что на расстояниях г,
превышающих гр, плотность р дается формулой
е = еР[1+&(г-гр)2]ехр(-^), (6.3)
где Нр и Ь считаются постоянными (это Ъ не имеет
никакого отношения к величине Ъ в гл. 5). При рассмотрении
какого-либо определенного спутника следует выбрать Ъ так,
чтобы значения р, вычисляемые по формуле (6.3),
соответствовали как можно лучше данным для реальной
атмосферы на высотах до 3#р над перигеем (выше которых
торможение почти не играет никакой роли). Если,
например, перигей расположен на высоте 200 /еж, а свойства
атмосферы соответствуют модели СЩА 1961, то следует
положить 5Р = 3,61 • 10~13 г/см3, Нр = 37,4 /еж, ЪЪ =
= 10~4 /еж-2. Плотности, вычисляемые по формуле (6.3),
будут тогда почти теми же, что и в модели США 1961. Для
высот между 180 и 600 км они никогда не будут отличаться
более чем на 0,3% от значения р в перигее.
Дифференцируя (6.3), найдем
Я - д От - Нр 1 + б(г-гр)2 ' ^'^
так что Н = Нр при г = гр и Нр есть значение в перигее.
Если Ь мало, то при достаточно малых значениях разности
г — гр формула (6.4) соответствует почти линейной
зависимости Н от г.
Что касается другого требования — относительно
интегрирования на значительной части интервала существова-

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 109
ния спутника,— то мы сделаем предположение, которое
на первый взгляд противоречит предыдущему, а именно
примем линейную зависимость Нр от перигейной высоты,
выражаемую формулой
Нр = Нр0 + \1 {гр — Гр0), (6.5)
где [х — постоянное число и индекс рО приписан
начальной перигейной высоте. Число \х представляет собой
скорость увеличения Я с высотой, и, как уже было замечено
выше, оно, по-видимому, близко к 0,1. Мы предположим,
что \х < 0,2. Из гл. 4 следует, что перигейная высота
редко уменьшается более чем на Нр в течение того
интервала времени, когда движение может быть описано одной
теорией, и поэтому мы предположим, что 0<Сгр0 — гр < Нр.
Мы должны теперь использовать оба соотношения (6.4)
и (6.5), чтобы связать Ь и \х. Из формулы (6.5) следует,
что значение Я на расстоянии г при каком-либо
определенном значении гр равно
Н = Нр + 11(г-Гр). (6.6)
Чтобы найти значение 6, при котором соотношения (6.4)
и (6.6) почти идентичны друг другу для значений г — гр
между 0 и Яр, умножим (6.4) на (6.6) и положим г — гр =
= оНр. Тогда
поскольку максимальное значение а2 — -=■ а при 0 < а << !
равно г/2. Формула (6.7) показывает, что если Ь равно
|ы/2Яр, то значения Я, вычисляемые по формулам (6.4)
и (6.6), совпадают друг с другом при г = гр (тогда о = 0)
и при г = гр + Х/2ЯР (тогда а = 1/2), а их наибольшая
разность составляет 1/2[х2, т. е. 0,5%, если \х = 0,1 (тогда
а = 1). Поскольку ни (6.4), ни (6.6) не дают нам точной
зависимости Я от высоты, то едва ли стоит обращать
серьезное внимание на расхождение между этими формулами
порядка 0,5%, так что можем положить в последующих
соотношениях
»-^[1+0С1")]- (6-8)

110
Глава 6
Из формул (3.24) и (4.12) имеем
г — гр = х(1 —созЕ), (6.9)
и, следовательно, выражение (6.3) примет вид
д^?р[1 + 6л:2(1-со5 5,)2]ехр[-рл:(1-со5^)], (6.10)
где для сокращения записи введено обозначение Р = 1/#р.
§ 28. Основные уравнения для а и е
Подставляя выражение (6.10) для р в формулы (4.14)
и (4.15), мы получим уравнения, где подынтегральные
выражения отличаются от тех, которые выписаны в
формулах (4.20) и (4.21), лишь множителем
1+6л;2(1-со5 5)2. (6.11)
Выполняя перемножение, приводя полученные выражения
к комбинации косинусов кратных углов и интегрируя
почленно, как это было сделано выше, получим
Да = - 2пЬа\р ехр (- р*) { /0 + 2е\х + \ е* (/0 + /2)+0 (е3)+
+ ^-[з/0-4/1 + /2 + в(-4/0 + 7/1-4/2 + /з) +
+ 4^(7/0-12/1 + 8/2-4/3 + /4) + 0И]} (6.12)
и
Ах = - 2лЬа\р ехр (- рдг) { /, +1 (3/0 +• /2) +
+ у(П/1 + /з)+0И +
+ -^2-[(-4/0 + 7/1-4/2 + /з) +
+ у(19/о-28/1 + 12/2-4/3 + /4) +
+ ^-(-44/о + 78/1-48/2+17/3-4/4 + /5) +
+ 0(е»)]}. (6.13)
Здесь опять функции Бесселя имеют аргумент р*.
При помощи этих уравнений можно найти так же, как
это было сделано выше, зависимость перигейного расстоя-

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 111
ния от эксцентриситета и т. д. Анализ может быть проведен
двумя различными путями. Первый путь основан на том,
что выбирается какое-либо частное значение Я, например
Яро, и находятся различные дополнительные члены,
зависящие от \х (или 6), которые надо сложить с выражениями,
полученными ранее при постоянном Я. Второй путь, по
которому я буду в дальнейшем следовать, где это
допустимо, заключается в том, что находится значение Я, при
котором можно использовать без изменений уравнения,
составленные для постоянного Я. Поскольку Я меняется
с высотой, то вместе с тем находится высота, которой
соответствует указанное значение Я. Эта высота зависит
вообще, от е.
Как и в гл. 5, мы развиваем теорию для трех различных
интервалов изменения е. Мы не будем, правда, приводить
отдельно результаты для е > 0,2, но большинство
результатов, полученных для 0,02 < е < 0,2, остаются
справедливыми и для е > 0,2.
§ 29. Нормальное е, фаза 1 (е<0,2; рл:>3)
Заменяя функцию 1п ее асимптотическим разложением
(3.61) и полагая, согласно формуле (6.7),
ь = 1^[1+о(1й)],
запишем основные уравнения (6.12) и (6.13) для Да и Дл;
в виде
Аа=-(МУ/Ча2Яр11+2е+^е2+^+^~щ+
А /'2яЛ]/2с аП.о.З, 3 15 3.
где
0(в) = оС~ — -^-' ^' -У- -^— -^Л (6 16)
{ } К^ах* ра ' рз*з 2 20а ' 2$Ч* ' 32^* ^'^

112
Глава 6
Разделив (6.14) на (6.15) и положив |3 = 1/Яр,
получим уравнение
(6.17)
так как член порядка е3 равен нулю, что было уже
показано в § 19. Наибольшие возможные члены в 0 (в) равны
112\хе2 (т. е. 0,004 при ц = 0,2 и е = 0,2) и 9[л2/32р* (т. е.
0,0038 при |ы = 0,2 и $х = 3). Для типичной орбиты
с \х = е = 0,1 и ра = 125 наибольшее значение
поправочного члена остается меньше 0,001х).
Теперь мы будем искать значение Я, при котором (6.17)
совпадает с уравнением, полученным при постоянном Я,
т. е. при |ы = 0. Обозначим это значение Я через Н1.
Очевидно, что мы должны положить
Я1 = Яр(1+|-|х), (6.18)
и тогда уравнение (6.17) можно переписать в виде
причем дополнительный 0-член имеет величину не более
0,001 и его можно включить в 0 (в). С точностью до
поправочных членов уравнение (6.19) совпадает с
уравнением (4.26), если заменить в последнем функции Бесселя
их асимптотическими разложениями. Из равенств (6.18)
и (6.6) следует, что Н{ есть значение Я на высоте 3/2ЯР
над перигеем. Таким образом, формулы (6.18) и (6.19)
выражают тот важный результат, что скорость изменения а
как функция х в случае линейной зависимости Я от
высоты остается такой же, как и при постоянном Я, но при
*) При анализе смешанных 0-членов в уравнении (6.17) мы
встречаемся с членом 3/8^Р3*3, который может превышать члены
в 0 (в). Но мы не будем учитывать эту дополнительную поправку,
так как после интегрирования она оказывается не больше других
поправок, и также потому,4 что подобные смешанные поправочные
члены «обычно не принимают во внимание.

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 113
условии, что значение Я берется на высоте 3/2ЯР над
перигеем. Этот результат не зависит от \1 (хотя и имеются
поправочные члены порядка х/2 ре2 и др.).
Зависимость перигейного расстояния от эксцентриситета
Интегрировать уравнение (6.19) в том виде, в каком
оно написано, нельзя, так как Н{ слегка изменяется
в зависимости от х. Поэтому мы должны ввести новое
постоянное значение Я, которое обозначим через Я2 и
которое, очевидно, будет равно значению Я на высоте 3/2Я над
средней среди возможных перигейных высот. Мы уже
отмечали, что перигейная высота не может понизиться более
чем на Яр, поэтому высота на Х/2ЯР ниже начального
перигея и представит среднюю среди возможных
перигейных высот. Следовательно, надо взять в качестве Я2
значение Я на высоте (3/2ЯР — Х/2ЯР) = Нр над начальным
перигеем. Таким образом,
Я2 = Яр0(1+^). (6.20)
Разумно предположить, что при этом значении Я
формулы, полученные при постоянном Я, не будут обладать
ошибкой, превышающей 0 (\х). Следовательно, в
соответствии с формулой (4.30) примем
--|(*о-*) + о(|х, ^)], (6.21)
где член 0 (\1) имеет чисто умозрительный характер.
Чтобы выразить Н{ через Я2, разделим (6.18) на (6.20)
и используем формулу (6.5) для исключения Нр/Нр0, после
чего получим
или, если использовать формулу (6.21),
я,=.яг{.-1,[1-ьа-|(^-й) +
+ -|щ]+«И}, (6.23)

114
Глава 6
Подставляя выражение (6.23) для Н{ в уравнение (6.19),
получаем
йа_
их
+ О(в,?0|„А). (6.24)
Интегрируя уравнение (6.24) в пределах от х до х0, получим
о„-а = ^-^ + |я!(1+|(1)1пА-!,3!(|пД)2 +
^ЯЧп^-^(*0-*) + Н2.0(Г), (6.25)
8л: х а0
где
причем О (Г) получено при интегрировании четырех
наибольших членов в 0 ( в, [х2 -д— 1п — ). Формулу (6.25) мож-
8х
но преобразовать к виду
#2 2 л: [_ ' 2 \ 2 л: ' а0 2л: / _| '
+ ^(1+2^)(1-^)-(1+|)^ + 0(Г), (6.27)
где поправочный член О (Г) имеет наибольшее значение при
\х = 0,2 и х0/х = 10, когда он составляет 0,03 от основных
членов. Формула (6.27) подтверждает, что поправочный
член в равенстве (6.21) выбран правильно.
Формула (6.27) дает гр как явную функцию величин х0,
х, [х и фиксированного значения Я, которое обозначено
через Я2. Однако было бы желательно найти переменное
значение Я, например Я3, которое приведет формулу (6.27)
к виду, не зависящему от \х. Используя равенство (6.21)

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 115
и замечая, что
I 2х х \ х *о У I 4 '
если х/Н2>3 и л:0/л:<10, можем переписать формулу
(6.27) в виде
Гро-гр = ~ {я2+у[Я2-(гр0-гр)]| х
х[1п?+ЗЯ3_(1_^)_А(л:о_х)]+Я.О(ГМ6.28)
пренебрегая членами, максимальные значения которых
меньше 0,02Я. Следовательно, в соответствии с
равенством (6.20) постоянную Я3 надо определить формулами
Я3-Я2 + 1[х[Я2-(гр0-гр)] (6.29)
и
#з = #р0 + Ц (|яро-^^) + 0 (|^Яр0) . (6.30)
Используя равенство (6.29) и полагая х = ае, запишем
формулу (6.28) в виде
^* = ±Г1п^^ + ^Г1-±У|+0(Г), (6.31)
#3 2 [ е(1+е0) ' 4а0 \ е е0 У ^ ' к п к }
что совпадает с формулой (4.32), если положить в
последней Я = Я3 и пренебречь некоторыми малыми членами.
Правда, идентичность этих формул видна не сразу, она
отчетливей вытекает из формулы (4.37), где член в
фигурных скобках равен (гр/гр0)3/*.
Из зависимости (6.30) мы видим, что Я3 равно
значению Я на высоте г/2Нр0 — х/2 (гр0 — гр) над начальным
перигеем, т. е. на расстоянии
у (Гро + гр) + ~2 Яро
от центра Земли. Таким образом, если мы хотим
использовать результаты, полученные при постоянном Я, то надо
взять значение Я на высоте 3/2Яр0 над арифметическим
средним из перигейных высот в начале и в конце
рассматриваемого интервала времени. Этот результат важен для гео-

116
Глава 6
физических исследований, поскольку он означает, что при
помощи равенства (6.31) мы можем получить по
наблюденным изменениям перигейной высоты значение Я на высоте
3/2#ро над средним перигеем, не приписывая какое-либо
значение параметру \х, который известен плохо.
Зависимость орбитального периода от эксцентриситета
Так как равенство (6.31) совпадает с формулой,
полученной при постоянном Я, то формулу, выражающую
зависимость Т/Т0 от е, получим из соотношения (4.37) после
замены Я на Я3 и поправочного члена на (ЗЯ/2а) О (Г),
причем последний всегда меньше 0,0005. Заметим, что
в формуле (4.37) можно заменить Я также на Я2 без
заметного увеличения ошибки.
Зависимость эксцентриситета от времени
Если Я постоянно, то, как было получено выше,
зависимость е2 от времени описывается почти точно линейной
0 Ц2 ОЛ 0}6 0,8 1,0
Рис. 6.1. Изменение е в зависимости от /.
функцией, не зависящей от Я [см. формулу (4.49)].
Следовательно, в данном случае мы не имеем возможности
использовать формулу, полученную при постоянном Я.
Поэтому мы найдем эффект влияния ц на зависимость е

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 117
от I непосредственно. После весьма длинных вычислений,
приведенных в работе [1], найдено
^^а[1^1па + 0И]+0(0,003,^^),
(6.32)
где а = у 1 — Шь, как и в гл. 4. График зависимости
е/е0 от I дан на рис. 6.1.
Зависимость перигейного расстояния и периода от времени
Подставляя (6.32) в (6.31), получим
ТРЧ'-Т^Л +|&1»-+0(Г). (6.33)
6 ч у ПОСТ
где первый член в правой части соответствует формуле (4.50)
без поправочного члена 0 (в2), если заменить Н на Я3.
Аналогичным образом, подставляя (6.32) в (4.37) и полагая
Н = #3, получим
^= 1 - |Ч1-<•) [ 1+-8-(17--3)] +
Ч^-3**) *"■+<> («"• #.*.^)'- <6-34>
Следует подчеркнуть, что формулы (6.33) и (6.34) менее
точны, чем формулы (6.31) и (4.37) при Н = Я3
соответственно, почему последние и желательно использовать
в тех случаях, когда это возможно.
1Ъ в зависимости от Т
Дифференцируя равенство (6.34), находим
йТ Зе0Т0 Г < . е0 л- 1т . Н-щ
[1 + *(17а-10).
*з
6,1 Мьа [_ ' 6 у ' ' 2а0е0а
_7|(1 + 1па) + 0(л ,**, -^-)] . (6.35)
Выражая Н3 через Нр0 при помощи соотношения (6.30)

1_1_8 Глава 6
и вычисляя выражение (6.35) при I = 0 (а = 1), получаем
,_ ге0Т0 Г] _1_^° + Ир° „П ЗЯр<Л,
+°(-ж«-ад-••*')]• (6-36)
где первые два поправочных члена получены из полного
уравнения при ц — 0, т. е. из формулы (4.56). Из рис. 6.2
)м*ф
~'"0 0,05 0,10 0,15 0;20
Во
Рис. 6.2. Влияние \1 на 1Ь,
видим, как изменяется величина /1( (— Т0/е0То) в
зависимости от е0 при различных [х: видно, что [х оказывает
заметное влияние на продолжительность жизни спутника.
Истинная продолжительность жизни спутника Ь может
быть получена так, как это было сделано в § 20. Найдено,
что выражение для ЬИЬ не зависит от \х с точностью до
членов первого порядка; коэффициент при ц меньше 0,08.
Следовательно, можно, исходя из формулы (4.144), при*
075\

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 119
нять, что
7Г=1+0(^' °'08,0' (6'37)
Это означает, что ц оказывает на Ь такое же влияние, как
и на 1Ь, так что если значение \л известно, то значение Р (ё),
указываемое графиком на рис. 4.10, должно быть изменено
в соответствии с рис. 6.2 или формулой (6.36).
§ 30. Нормальное е, фаза 2 (0<рл;<3)
Полагая
Ь
$х — — — г и — пК} Ь — -*—
™~ Н ~г* У»- 1,(2) ' °~ 2Н%
и пренебрегая членами порядка е2, мы найдем, разделив
(6.12) на (6.13),
йа _ /0 . гН
р
1& = Т1+^(*--Ш--УоУ2)±
+ УоУ2 — ^УоУз) + 0(е2, И- (6-38)
Чтобы проинтегрировать это уравнение, надо выразить
его левую часть через г, а переменное Нр выразить через
некоторое постоянное значение Я. Согласно формуле (6.6),
х^Нрг = [Нр1 + \1(гр-гр1)]г, (6.39)
где индекс 1 приписан начальным значениям величин
в фазе 2. Дифференцируя равенство (6.39), получим
-| = ЯР + ^. (6,40)
В качестве постоянного значения Нр мы выберем не Нри
а значение Я на высоте 1/2#р1 над начальным перигеем.
Обозначим это значение через Я5, так что
Я5 = Яр1(1+4-[*), (6.41)

120
Глава 6
и, согласно формуле (6.39),
Яр-Я5(1-^[х)+[х(гр-гр1) + 0(|[х2). (6.42)
В этой формуле достаточно использовать приближенное
значение гр—гр1, и если Я5 выбрано удачно, то можно
надеяться, что для гр1 — гр применима формула,
выведенная для случая постоянного Я. Следовательно, исходя из
соотношения (4.62), можно записать, что
гр1-Гр^Н5[\п^^-(г1-г)][1+0(еи 2|г)], (6.43)
где член 0 (2\х) введен умозрительно и нуждается в
последующем обосновании. Кроме того, молчаливо
предполагается, как и в фазе 1, что понижение гр не превосходит
Я км. Дифференцируя равенство (6.43), получаем
^Г = Н5(у0-1)[1+0(е, 2|х)1. (6.44)
Пэдставляя (6.42) — (6.44) в (6.40), получим далее
+ Ц (г, - г) + рг (у0 -1) + 0 (2^, \хе,) ] . (6.45)
Перемножая равенства (6.38) и (6.45) и исключая у2 и у3
при помощи рекуррентного соотношения (3.67), согласно
которому
Уз=1—7(Уо~"т)' У2 = Уо-у, (6.46)
найдем
■Щ1Б = { {Уо+ Й" (42-32Уо-^оУ2) +
+ ,{,0[2(2 + 4)У0-(А+32-21)-1п^-]-
-2(2 + 1)}}}[1+0(2^)]( (6.47)
где отброшен малый член 0 (це^.
Все члены в правой части уравнения (6.47)
интегрируются, и, используя рекуррентные соотношения (3.67) —

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 121
(3.70), после интегрирования получим
*ог- {{>" ч^+к [**,-«*-в1..зд+
+ 1» {[г,+4-1пг,Л(г|)] 1пЛ^-+
~г "2" п ~~ у * 2 ' 2 ггУо1 "Г
+ ^о+у[1пг1/1(^)]2-|(1пг/1)2} }} X
Х[1+0(2|1»)], (6.48)
где, как и в § 17, у01 = /0 (гО/Л (21).
Зависимость перигейного расстояния от г
Так как гр = а — #2, то, согласно формулам (6.41)
и (6.42),
гр1 —■ гр _ #1 — а / #р121 #р2 \ _
-[^-(21-г)](1-|«)+т1*(21-г) + 0(ц»).
(6.49)
Подставляя вместо а4 —а выражение (6.48) в формулу (6.49),
получим
^-[№)япос,+"ф]''+0<«1. <*И»
где через ( ■р1г/ Р) обозначено выражение, которое
получается из формулы (4.62) после замены Я на Я5, и
ф_(»+*_,)1п^_."[111ЭД>+
+ -5-(21-г)(1+г1 + Зг)-(|+г,)г1Уо1 + (-|+г)гув.
(6.51)
При численных подсчетах найдено, что
Ф« 2,4(1--?-) (6.52)

122
Глава 6
с ошибкой, остающейся меньше 20%, так что поправочный
член 0 (\х) может достигать 0,2. Формула (6.52) показывает,
что \х Ф имеет порядок не более 2ц, что подтверждает вид
поправочного члена в равенстве (6.43).
Формулы (6.50) и (6.51) позволяют получить выражение
гР1 — гр через г4 ( = а^/ЯрО, г (= ае/Нр) и Я5 в явном
виде. Это выражение, полезное для многих целей,
обладает, однако, тем недостатком, что в него входят три
различных значения Я, а также требуется знать значение [х.
При использовании теории для геофизических целей
очень важно иметь значение Я, которое мы назовем Я6,
такое, что формула (4.62) для гр{ — гр, выведенная при
постоянном Я, при замене Я на Я6 остается справедливой.
Предположим теперь, что Я6 — значение Я на высоте
уНр1 над средней из перигейных высот в начале и в конце
рассматриваемого интервала времени, т. е.
Яв = Яр1(1-1х^^ + ^) , (6.53)
где у остается пока неопределенным. Мы заменим г новой
переменной ^, определенной соотношением
с. ае с. а,]в1
и найдем такое значение -у, при котором формула (4.62)
после замены г на ^ и Я на Я6 совпадает с формулой (6.50),
т. е. при котором
+ ^-(ио1-^о)-«1-С). (6-55)
Процесс нахождения у громоздкий и не представляет
особого интереса; детали его даны в статье [1]. Полученные
выражения выглядят так:
{г1-г)(АВ-±В-В*г + ^
+ ^ —2 -^- + 0([х, -^) (6.56)

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 123
для 1<21<3, где Л, В и гм — численные коэффициенты,
зависящие от г4 х), и
Т=т
3 + 2 + 21-
(ЪУн + 'Уо-Ц 1п 3^--(г?-*)'
1п г'г/ (г1Уо1—г</о)
+ 0(ц)
(6.57)
для г1<1. При выводе этих выражений предполагалось,
что г ограничено условием гр1—гр^.Нр1: например,
если 21 = 3, то г не должно быть меньше 1. Следует
заметить, что когда г = гь то выражение (6.57) сводится
к такому:
^Л (21<1). (6.58)
(?)*=*1=4М+22
На рис. 6.3 приведен график зависимости у от г =
= -к(г+г\)9 т. е. от среднего из значений г в начале
и в конце рассматриваемого интервала времени при
различных значениях г\. Видно, что в пределах принятой
точности, т. е. с точностью до 0 ([а), или до 20%, можно
рассматривать у как функцию лишь одного г.
Рекомендованная кривая для у на рис. 6.3 плавно достигает
значения 3/2, полученного уже для г > 3, и стремится к нулю
при г->0, как и следовало ожидать.
Следовательно, резюмируя, скажем, что формулу
зависимости гр от е, выведенную при постоянном Я, можно
использовать, если в нее подставить значение градиента
х) Значения Л, В и гм даны в следующей таблице:
*1
1
2
3
А
1,882
1,647
1,432
В
0,651
0,410
0,265
18м>
0,001
0,004
0,010

124
Глава б
плотности Н на высоте 3/2 Нр0 над средней из перигеиных
высот в начале и в конце рассматриваемого интервала вре-
1Л
1,г
1,0
0,8
0,6
о/
о,г\
'2.Л/
ХУ
Рекомендованная^
правая >/
*г0,5^
I
— Соотв. у р. (в. 56)
|—I Соотв. у р. (в 57)
— Соотв.ур. (6.58)
О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
*' 2
Рис. 6.3. Изменение у в зависимости от г.
мени (случай фазы I) или на высоте уНР1 над средней пери-
гейной высотой, причем у дается графиком на рис. 6.3
(случай фазы 2).
Зависимость* орбитального периода от г или ^
Из формул (6.50) и (4.64) найдем
где в первом члене в правой части надо заменить Я на Я5

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 125
и X выражается формулой
Х = ф + г1пЩ^-(гг-г)^ + г^ , (6.60)
которую на практике можно заменить следующей:
Х = з(1—^-), (6.61)
допуская максимальную ошибку 0,08, что несущественно,
так как приводит в Т\Ту к ошибке, меньшей 0,0002 для
| ц|<0,2.
Зависимость Т1Т\ от ^ выражается, конечно,
формулой (4.64), где г надо заменить на I и Я на Я6.
Следовательно,
Т,'{ 2гр1 1П С/1(С) • ^'^
Зависимость эксцентриситета от времени
Так как изменение эксцентриситета со временем т почти
не зависит от Я, то опять невозможно найти такое
значение Я, которое оставило бы прежнее выражение без
изменений. Поэтому мы построим дополнительные члены,
которые появляются, когда \х отлично от нуля.
Соответствующие вычисления громоздки [1], и здесь целесообразно
лишь привести окончательный результат, согласно
которому
е _/; Г(, . 1 Г1п Л &)
1 2^_
"2021'тх,
+ 0(ц») , (6.63)
или, переходя к аргументу г,
е
-я&-*)]+0№} . (6.64)
График отношения е1ех в зависимости от х/хь дан на рис. 6.4.

126
Глава 6
О 0,2 0,Ь 0,6 0,8 1,0
Рис. 6.4. Изменение е с течением времени х.
Зависимость перигеиного расстояния и орбитального
периода от времени
Вместо того чтобы приводить весьма сложное явное
выражение для гриГв зависимости от т, лучше выразить
гр и Т в зависимости от ^ при помощи формул (6.55) и (6.62),
а затем выразить ^ в зависимости от т, исходя из
формулы
где е1в\ дается формулой (6.63).

Сокращение орбит при изменении шкалы вЫсот 12?
Вместе с тем полезно иметь выражение для ЛТШ в
зависимости от времени. Дифференцируя равенство
г __ аеНР1
2\ а^е^Н-р '
в котором е1ех выражено согласно формуле (6.63), найдем
±^_ 1 Г 1 I ■■ Г!1„ *1'1 &)
21 аЧ
1-
г{1+441"^
*ь
2ть |/Л
-г1 + 2г + 1{Ъ*-%-^] + 0(ц*, е)) . (6.66)
Затем, дифференцируя равенство (6.59) по г и подставляя
выражение (6.66) для АгШ, мы придем после некоторых
преобразований к уравнению
ЪеРмь
4ть
/ч
-ц
г2+Тг
■г2г/о+1 +
+ г_1(32«-г1)—1-1пг1/1(г1)-
г/
1 ^
+ 0(ц2, в)
(6.67)
Зависимость %ь от Т
Полагая в уравнении (6.67) г=г4 и т—О и
используя приближенную формулу
гу0&2 + -^г21
(6.68)
максимальная ошибка которой составляет 0,07, или 3%,
найдем
-4-«+тг'>0*>-й-)]+°<|'*-е)Ь <669)
Вместе с тем для отыскания гь может быть использована
также формула (4.83), выведенная для случая
постоянного Я, если взять значение Я (которое входит в формулу
через г = ае/Н) на высоте 0Яр1 ниже начального пери-

\йд
Глава 6
гея, где 0 определяется по формуле
е=Д^+0^)' <6-7°)
а через / обозначена совокупность членов внутри
квадратных скобок в уравнении (6.69); ^ уменьшается от 1 при
21 = 0 до 0,2 при 21=1,2; при 21 > 1,2 этой
величиной можно пренебречь. Или же (с ошибкой, не
превосходящей 0,03 при 2 < 2,5) мы можем воспользоваться более
простой формулой
е=т+т(т-02- <6-71)
Таким образом, 0 = 1 при 24 = 0 и уменьшается до 1/4
при 24 = 3/2» а затем возрастает до 1 при 24 = 3. Следует
заметить, что величина 0 почти теряет какой-либо смысл
при 24 -> 3, так как формула для продолжительности
жизни спутника почти не зависит от Я при г > 3: именно
по этой причине значение 0, соответствующее формуле (6.71),
становится весьма большим, если г превышает 3.
§ 31. Круговые орбиты
Обозначим, как и прежде, индексом с начальные
значения на круговой орбите, а индексом Ь — значения в конце
жизни спутника, соответствующие орбитальному периоду
около 87 мин. Обозначим также индексом 8 значения
величин, соответствующие высоте на Я км ниже начальной
высоты, так что а8 = ас — Я8, где Я8 есть значение Я на
расстоянии а8 от центра Земли. Тогда, согласно
выражению (6.3), плотность воздуха $ на расстоянии а от центра
Земли может быть представлена формулой
д^8[1+Ма-а8)2]ехр(-^). (6.72)
Если е = 0, то равенство (6.12) приведется к виду
Да-— 2яба2д. (6.73)
Подставляя сюда выражение (6.72) для р и полагая

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 129
получим
да 2л6а1/2а1/2 , а а\
%= ^Я8П+Ь(а-а8)*]ехр(-а--^у (6.74)
Выражая Ь через \х согласно формуле (6.7), перепишем
уравнение (6.74) так:
Д" а^Ч ['-?»Л' + 0(1^)]ехрЛ,
(6.75)
где Л = (а — а8)/Н8.
Уравнение (6.75) можно проинтегрировать, заменяя
а1/2 на а1/2 и компенсируя такую замену вводом ошибки,
не превышающей 1%, как это было уже сделано в § 18.
После этого получим
^^-^2-^ехр(^){1-ехр(^)-
-^[1_(Л»-2Л + 2)ехр(^)] +
+ 0(1ц2Л\ 0,01)}, (6.76)
где ас — а& внутри квадратных скобок заменено на Я8.
Согласно формулам (6.72) и (6.7),
дс = д8[1+^ + 0(1^.)]ехр(-^8). (6.77)
Умножая (6.76) на (6.77), чтобы исключить р8, получим
Г =
Н&ТС
['-Чт)+
4лда^с
+^(т)2ехр(т)+0(^2Л4' °'01)] • (6-78)
Чтобы поправочный член не оказался большим, следует
ограничить Л, причем очевидный предел для Л есть 1,
так что для (ас — а) допускается любое значение между 0
и 2#8. Однако можно ожидать, что и при значительно
больших значениях ас — а происходит лишь небольшое
увеличение ошибки формулы (6.78), так как к моменту,
когда ас — а = 2#8, проходит 90% жизни спутника. Это
ожидание оправдывается, и можно показать, что форму-

130
Глава 6
ла (6.78) с А=1 применима для всех значений а от ас
до аь.
Обозначим значение 1\ определяемое по формуле (6.78),
через #> Тогда
где
т,= 1-ехр(^^). (6.80)
Как было показано в § 18, параметр т] во многих
практических задачах может быть принят равным 1. Если
0,3
Ц2
О
~' О 02 О//- 0}6 08 1,0
. №.
Рис. 6.5. Изменение 1)12ц с течением
времени.
ас — аь > 4Я8, как это обычно и бывает (см. § 18), то
коэффициент при \х в формуле (6.79) не превосходит 0,15,
и весь этот член можно тогда рассматривать,
следовательно, как поправочный. Это означает, что формулы для
продолжительности жизни спутника, выведенные в § 18»
сохраняют свою силу, если заменить Я на Я8 и ввести
ошибку 0 (0,15|х, 1/2[а2).
Разделив (6.78) на (6.79) и удержав в формуле (6.79)
член с \х для полноты записи, получим
^ = ^[1-ехр(^) + 1^ + 0(1,Д 0,01)], (6.81)

Сокращение орбит при изменении шкалы высот 131
где
-({-0 №)'• <6-82>
Формула (6.81) показывает, что дополнительный эффект,
зависящий от [х, выражается членом \л1Л2х\. Поэтому
формула (4.91), дающая Г и а в зависимости от I', остается
справедливой, если заменить Я на Я8 и добавить [х(/72г|
к *7#> Зависимость 1112ц от I' И'ъ представлена
графиком на рис. 6.5, где видно, что в большинстве случаев
эта величина не превышает 0,1, так что ею можно
пренебрегать»
ЛИТЕРАТУРА
1. С о о к О. Е., К 1 п б - Н е 1 е О. О., Ргос. Коу. Зое, А275,
357 (1963).
2. К а 1 1 т а п п - В 1 ] 1 Н. е1 а1.9 СИ? А 1961, ИогШ-НоПапс},
Атз(егс1ат, 1961.

ГЛАВА 7
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ
ВОЗДУХА
§ 32: Плотность воздуха в перигее, выраженная через Т
Плотность воздуха др в перигее может быть сразу же
выражена через скорость изменения периода обращения
спутника при помощи формул, приводившихся в гл. 4—6.
Сферически симметричная атмосфера
Из выражения (4.22), опуская индекс 0 и замечая, что,
согласно формуле (4.53), Т=3&а/2а, мы получим при е < 0,2
я _(А—) ЕЕ* ,
(7.1)
где, как и прежде, г = ае/Н. Если г > 3, то бесселевы
функции, имеющие аргумент г, можно заменить своими
асимптотическими разложениями (3.62) — (3.65), после
чего формула (7.1) принимает вид
*--^(^гГ[<-*+*-«--
для е<0,2, ае/Н>3 (нормальное е, фаза 1).
Для фазы 2, когда ае/Н < 3 и обычно е < 0,02,
членами порядка е2 и выше можно пренебречь, и тогда
где бесселевы функции имеют аргумент г = ае/#.

Формулы для определения плотности воздуха 133
Для круговых орбит (г = 0) формула (7.3) приводится
к виду
е=-таг« (7-4)
где р обозначает плотность воздуха на расстоянии а от
центра Земли.
0,08
0,06
СП
0,02
О 0,2 0,4- 0,6 0,8 1,0
е
Рис. 7.1. Изменение 3 (е) в
зависимости от е.
Для орбит с большим эксцентриситетом
соответствующая формула сразу получается из равенства (4.131), если
опустить индекс 0, т. е.
_ ^А. С 2е У/2 Г (1--*)1/2 Г 1 Н(8е — Зе* — \) ■
^* - 36 V, паН ) \ (1 + в)»/з Ь + 8гре (\+е) ^
+ 0(6-10"*)]} (7.5)
для е > 0,2. После разложения по степеням е эта
формула приведется к виду (7.2), если не принимать во
внимание член порядка 1/г2, который пренебрежимо мал
при е > 0,2.
Комбинируя эти различные выражения для 5Р, мы
можем выписать полезную формулу
/
/
/
1
1
к:
^ Що '-0,008 ^Конечные
^-Н/1
Г
\т
\
\
V

134
Глава 7
где 3 (е) определяется из равенств (7.2) — (7.5), а график
этой функции в зависимости от е приведен на рис. 7.1.
Хотя кривая на этом рисунке соответствует значению
Я/Гро = 0,008, при других значениях Н/гр0,
заслуживающих внимания, мы получаем почти те же кривые, за
исключением случаев, когда е->0и когда при этом 3 ->
1 /"77"
~*^ V — > как эт0 следует из формулы (7.4).
Сжатая атмосфера
Формулы (5.10) и (5.9) дают нам 5Р0 в зависимости от
Да и от Т для случая сжатой атмосферы, если
использовать равенство (4.53). Опуская индекс 0, мы получим
тогда при е < 0,2
X [ /о + 2еи +1 е» (/о + /2) + \ е* (31, + /3) + с (/2 + 2е13) х
X соз2(0 + -^с2 (/0 + /4 сов 4со) ]~\ (7.7)
Если г > 3, то функции Бесселя можно заменить их
асимптотическими разложениями. Тогда, выразив с по формуле
(5.6), перепишем равенство (7.7) в виде
^*=-4Ш1/г[1-2е+^-3е3- -
-8^(1_10е+ж)+т51п21'СО5210+
для в < 0,2, ае/Н > 3. Член с с2 здесь опущен, так как
его коэффициент 1/4 (1 — Д/^о) никогда не превышает 0,24.
Для фазы 2, когда г < 3, а е обычно меньше 0,02,
многие члены в формуле (7.7) можно опустить, и мы получим
Г Т ^ ехр (г + с соз2<р)[ 1+0 (*«,<?*)] п ^
4 х /0+2е/1+<7/2со5 2(о+-^-с2/о
где членом 1/4с2/о обычно также можно пренебречь,

Формулы для определения плотности воздуха 135
Для круговой орбиты формула (7.9) сведется к
следующей:
0= р—г =т' (7Л0)
где р — плотность воздуха в окрестности точки, радиус-
вектор которой равен а и расположен посередине между
направлениями на восходящий узел и апекс (со = 45°).
Переменная шкала высот
В течение фазы 1 (е < 0,2, г > 3) мы получим из
равенства (6.14), используя соотношение Т = ЗДа/2а и
полагая р = 1/Яр, следующую формулу:
^*=-1(Д^/2[1-2е+т*2--3*3-
8 V1 ЛК ^ 8ае ^ №а*е* ) ^
+ <>№•&■• «%■•$)]• С7.11)
где Нр — значение Н в перигее, \л — скорость
возрастания Н с высотой и где, кроме того, добавлен член с е*.
Полагая
#р (1+| и) =#4, (7.12)
приведем формулу (7.11) к виду
+ Ч~ >-&*> ^ 1о^' -т;_И (7ЛЗ)

136
Глава 7
эта формула имеет тот же самый вид, что и (7.2), если
заменить Я на Я4. Таким образом, мы можем
использовать в течение фазы 1 выражение для рр, полученное при
постоянном Я, но при замене Я на Я4. Согласно
формулам (7.12) и (6.6), Я4 есть значение Я на высоте 3/4ЯР над
перигеем.
В течение фазы 2, т. е. .при г < 3, мы получим из
выражения (6.12), полагая в нем Ъ = [х/2Яр\ следующую
формулу:
Ор
^ ( Т \ ехрг[1+0(^, *2)] {- - .
/о + 2в/1 + ~|х2»(3/0-4/1 + /2)
Снова возможно найти значение Я на высоте \НР над
перигеем, равное
Я9 = Яр(1+|х6) (7.15)
и такое, что (7.14) сведется к формуле, выведенной при
постоянном Я, если заменить г = #/Яр на 2 = лг/Я9-
Используя приближенную формулу
ехрС-^/о^^^^", (7.16)
дающую ошибку меньше 1,2% для 0 < г < 2, получим,
что (7.14) совпадает с формулой
__[^_ехр(-2)](3/0-4/1 + /2). (7.18)
если
й_ (0,88 + г)2
Зависимость ^ от 2 представлена графиком на рис. 7.2,
из которого видно, что | быстро возрастает в окрестности
г = 0, почти достигая значения I = 3/4, соответствующего
фазе 1, при г = 1,5. При г > 2 можно положить | = 3/4.
Резюмируя, можем сказать, что формула для $р,
выведенная при постоянном Я, может быть использована без
изменений, если шкале высот Я приписывать значение на
рысоте \НР над перигеем, причем I определяется из

Формулы для определения плотности воздуха 137
рис. 7.2 при 2<2 и ^ = 3/4 ПРИ 2>2 (т. е. примерно при
е > 0,01). Этот результат применим также и при е > 0,2.
0,8
0,6
9*
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
г
Рис. 7.2. Изменение | в зависимости от г.
Для круговых орбит формула (7.4), выведенная при
постоянном Я, также остается справедливой, как и можно
было ожидать.
§ 33. Практические формулы для определения плотности
воздуха по Т
Формулы для плотности воздуха в перигее в
зависимости от 7\ выведенные выше [например, (7.13)], обладают
серьезным недостатком с практической точки зрения: они
слишком чувствительны к ошибкам шкалы высот Я,
значения которой вообще известны не точно.
Этого недостатка можно избежать, если оценивать
плотность воздуха на высоте, несколько превышающей
высоту перигея и выбранной так, чтобы ошибки в Я
оказывались при этом несущественными. Этот прием является
математическим выражением того очевидного физического
принципа, что если градиент плотности воздуха
определяется неуверенно, то лучше оценить плотность на
«средней» высоте, на которой действует торможение, чем на
границе рассматриваемого интервала высот (перигейная
эысота).

138
Глава 7
Нормальное е, фаза 1 (е < 0,2, г > 3)
Комбинируя формулы (7.8) и (7.13), мы придем к выводу,
что наиболее общую формулу для $р в сжатой атмосфере,
в которой Я изменяется линейно с высотой, можно
представить в виде
-яг(1-10е + тег)+т5'"2г<:<>52ш+0С>] ■ <719>
где
от-о(лл5,-Й!^.4)- р-20)
Для типичных орбит с е = с = ц = 0,1 и Н/а = 0,006
наибольший член в выражении (7.20) достигает 0,0012;
когда же постоянные с и е имеют самые невыгодные и
маловероятные значения (с = 0,2, е = 0,02), то один из
членов в (7.12) может быть равным 0,01.
Пусть теперь Я* — наилучшая оценка Яр, и пусть
оценивается плотность р^ на высоте ЯЯ* над перигеем,
причем X — параметр, который мы будем подбирать
оптимальным образом. Согласно формуле (6.3),
Як = Яр(1+Ы*Н**)ехр(-кН*/Нр). (7.21)
Таким же образом из формулы (6.7)
ь-щ[1+0(^] (7-22)
для высот, не превышающих 0,6 Нр над перигеем, т. е. для
а<0,6. Положим теперь
н*
8 = 4-, (7.23)
так что 5 — множитель, характеризующий ошибку
значения Я*. Мы предположим, что 0,8 < 5 < 1,25.
Комбинируя формулы (7.21) и (7.22), получаем для К < 0,6
^л = ^р[1+4■^252 + 0(0,01^x^)]еxр(-Я5). (7.24)
Подставляя сюда выражения (7.19) для др и (7.12) для Я4,

Формулы для определения плотности воздуха 139
найдем
<>*= —
1+-^52
1/1+4 и
У8 ехр (— Я5)
36 Г
яаЯ*
■[...],
(7.25)
где члены во вторых квадратных скобках те же, что и в
формуле (7.19), а малый член 0 (0,01[х2) включен в 0 (Чг).
0,70\
065
Обо
0,55
0,50
г " -
Г
| го;
\ ^*^*Сг**"
^
**0,4
}*Ф
\хщв
0.8
8
12
Рис. 7.3. Изменение ф в
зависимости от 5.
Совокупность членов в квадратных скобках в
формуле (7.25) обозначена через С?, и графики С} в зависимости
от 5 для X = 0,4; 0,5 и 0,6 приведены на рис. 7.3. Из этих
графиков видно, что наилучшее значение X, т. е.
значение, минимизирующее изменения (} в интервале 0,8 <
<5<1,25, составляет около 0,5 как для \х = 0, так
и для [х = 0,1. Поэтому мы выбираем К = 0,5 как
подходящее круглое число и, беря \х = 0,1 в качестве луч-

140
Глава 7
шего значения для \л (см. § 27), можем положить С1 =
= 0,590, допуская максимальную ошибку не более 1,2%.
Вводя эти численные значения в выражение (7.25), мы
приходим к следующей формуле для плотности р^ на
высоте г/2Н* над перигеем:
+ у5т2/со5 2(о + 0(Г)], (7.26)
где Я* — наилучшая оценка Яр, причем ошибка в этой
оценке до 25% (5= 1,25) приводит к ошибке не более
1,2% в рА. Максимальное значение величины 0 (Ч**'),
включающей в себя 0 (4я) и остальные поправочные члены,
которые появляются в результате замены Я4 на Я*, равно
около 0,013, так что результирующая ошибка
формулы (7.26) может быть принятой несколько меньше 1%.
Большой эксцентриситет (е > 0,2)
Хотя формула (7.26) справедлива лишь для е < 0,2,
но для е > 0,2 имеет место аналогичная формула, и если
(7.26) переписать в виде
вА=-З^Га(в) + 0,266-^81пЧсо82о)1 , (7.27)
о уаН* I- у г -*
где 2 (е) дается графиком на рис. 7.1, то мы придем к
формуле, применимой для всех е от 0,02 до 0,9. В явном виде
Е(е)-т/:?[1-2е+^-3е3-
Н '1-10*.' 7Н
8ае V 16ае
для 0,02 < е < 0,2 и
2 (с)-1 Л/2е ГО-*)172 П , я(8.-3^-1)-11
(1
для е > 0,2,

Формулы для определения плотности воздуха 141
Нормальное е, фаза 2 (г < 3)
В случае сжатой атмосферы, в которой Н изменяется
линейно в зависимости от высоты, формула для плотности
воздуха в перигее рр может быть переписана, согласно
соотношениям (7.9) и (7.17), в виде
0р =
Зяаб
)
ехр(2 + ссо5 2со) П+оГе2, у ^2, ^Л 1
/0 (2) + 2е1х (2) + с!2 (I) соз 2со
(7.28)
где 2 = ае/Н9 и Я9 — значение Н на высоте 1НР над
перигеем, причем I дается графиком на рис. 7.2. Если Я9 имеет
ошибку, не превышающую 10%, то формула (7.28) дает
др с ошибкой, меньшей 5%.
Однако если Н может иметь, как мы допускали выше,
ошибку до 25%, то опять-таки предпочтительнее оценить
да, на высоте АЛ* над перигеем. Соответствующая формула
запишется, согласно соотношениям (7.24) и (7.28), в виде
дя=~[(1+4(хЯ252)ехр(~Я5)-|е|-]х
X
ехр(ссоз2(о) + оГ[12, е2, —с2 ^
1+2е А- + С-—-соз2(о
'о
/о
2па6
Положим теперь
ае
Ж"
(7.29)
(7.30)
так что г* есть «наилучшая оценка» для г. Тогда
Я*
У_ ае _ / ае \
*- я9 ~^я*; яр
52*
(1 + й) 1+|1|
(7.31)
Мы хотим далее выбрать X так, чтобы значение ря
оставалось нечувствительным по отношению к 5 в интервале
0,8 < 5 < 1,25. Очевидно, что это будет достигнуто, если X
найдется из условия др^/дз = 0 при 5=1. Можно пока-

142
Глава 7
зать, что при |ы « 0,1 это условие соответствует значениям
1 = г*--^г*\
0<г*<1,
(7.32)
При этих значениях X совокупность членов внутри вторых
квадратных скобок в формуле (7.29), которую мы
обозначим через Ф, для 0,8 <5< 1,25 никогда не отличается
2,0
(в
1П
О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
2*
Рис. 7.4. Рекомендованная кривая
для Ф.
более чем на 3% (а обычно намного меньше) от значений,
соответствующих графику на рис. 7.4.
Таким образом, если г < 3, то
фф ехр(ссоз2©) + 0^0,01,в», -^с»)
. е^~(-3^оУ 1{ 2.7,(3*) с!2(г*) ~9 (?'33)
1+ /0 (2*) + "/0(г*) С052(°
где Ф задано графиком на рис. 7,4, ря — плотность воздуха
на высоте Я#* над перигеем, а к дается формулами (7.32).

Формулы для определения плотности воздуха 143
Результаты этой главы, опирающиеся на работу [1],
могут быть резюмированы следующим образом. Если Я* —
наилучшая оценка для Яр, ошибка которой не
превышает 25%, то плотность воздуха рЛ на высоте 1/гЯ* над
перигеем определяется в зависимости от Т формулами (7.26)
при 0,02 < е<. 0,2 или (7.27) при е > 0,2, причем ошибка
(стандартное отклонение) обеих формул меньше 1 %. Если
г < 3 (приблизительно е < 0,02), то формула (7.33) дает
нам плотность воздуха (& на высоте ХЯ* над перигеем
с ошибкой около 1,5% при Я, взятом согласно
формулам (7.32).
ЛИТЕРАТУРА
1. К1Пб-Не1е Э, О., Р1апе{. Зрасе 5сь, 11, 261 (1963).

ГЛАВА 8
ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ АТМОСФЕРЫ НА ОРИЕНТАЦИЮ
ОРБИТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
§34. Введение
В гл. 4—6 мы занимались только анализом изменений
орбитальных элементов айв, вызываемых силами, которые
действуют в орбитальной плоскости. В этой главе мы
рассмотрим: а) эффект действия сил, перпендикулярных
орбитальной плоскости и возникающих вследствие вращения
атмосферы (эти силы приводят к изменению & и I); б)
изменения элемента со, вызываемые аэродинамическими силами.
Согласно выражению (2.12), аэродинамическая сила
сопротивления И, действующая на спутник, равна
0 = ^Р8С0 (8.1)
и направлена противоположно вектору скорости V
спутника относительно окружающей среды. Согласно
формуле (2.5),
У = у-УА, (8.2)
где \А — скорость воздуха относительно центра Земли,
направленная с запада на восток и равная по абсолютной
величине пю соз ф [формула (2.7)1. Так как вектор V лежит
в орбитальной плоскости, а вектор \А составляет уголТ'
с этой плоскостью (см. рис. 2.4), то компонента вектора V,
перпендикулярная орбитальной плоскости (и измеряемая
так же, как и [п на рис. 3.2), равна
УА 51П у' = ГЫ) СОЗ ф 51П у' = Г1Ю 51П I СОЗ И, (8.3)
что следует из сферического треугольника 8ЬЫ на рис. 2.4.

Влияние вращения атмосферы на ориентацию орбиты 145
Следовательно, компонента й в направлении п равна
А* = — у ЯУ2РЗСп у , (8.4)
причем знак минус появляется потому, что й действует
в направлении —V. Полагая, как обычно, РЗСв1т = б,
получим для аэродинамической силы, действующей на
единицу массы в направлении, перпендикулярном
орбитальной плоскости, следующее выражение:
/п = —- = ^=- пю 31ПI соз и, (8.5)
где V = у У?, согласно формулам (2.11) и (2.13).
Таким образом, поскольку \А направлена
горизонтально, то радиальная (вертикальная) компонента
вектора V совпадаете радиальной компонентой вектора V и
равна, согласно формуле (3.15), ([л/р)1^ е зш0. Следовательно,
где мы опять положили V = V У Р. Трансверсальная
(горизонтальная) компонента вектора V представляет собой
разность между горизонтальной компонентой вектора V,
равной (\х/р)1/2 (1 + е соз 0), согласно формуле (3.14),
и горизонтальной компонентой вектора УА в орбитальной
плоскости, равной
VА СОЗ у' = ГЫ) СОЗ у' СОЗ ф = ГЫ) СОЗ I,
согласно формуле (2.8). Таким образом,
Ь=~~ШГ [(7)1/2(1+вС089)~"ШС05/] =
=-^(^)"*[1+'":<'5в-™й)"'со8'']- <8-7»
§ 35. Изменение / и й в случае сферически
симметричной атмосферы
Анализ уравнений Лагранжа (3.44) и (3.45) для оскули-
рующих элементов показывает, что I и й зависят только
от/п. Интересующие нас уравнения, если подставить в них

146
Глава 8
выражение (8.5) для [п, имеют вид
си
21/у.рР
31ПИСОЗИ, (8.8)
М 2]/^ К }
Если исключить (11 и V при помощи формул (3.25) и (3.26),
то эти уравнения гГерепишутся в виде
§=-(^у/2Щ?(1+еСо*Е)У>г*5т(<» + в)со*(«> + Щ,
(8.10)
ж^-(^)1/22?81п(1+ес08^1/2г2с052((й+9)- (8Л1)
Используя формулы (3.22)—(3.24), чтобы выразить г соз 9,
г З1п 0 и г1/* через Е, и разлагая по степеням е, мы можем
привести уравнения (8.10) и (8.11) к виду
Ж=-(^)"'^№(Ш+г)соз«0 + г)-
-е&т (2(о + й) + 0 (<?)], (8.12)
Ж=~С^У -|-51П*[СО52(С0 + Е)-
-2бсо5сосоз(о) + Я)+0(в2)]. (8.13)
Мы предполагаем при этом, что плотность воздуха р
изменяется в зависимости от высоты по экспоненциальному
закону. Соответствующая формула после подстановки
выражения (3.24) для г принимает вид
5 = дрехр[ — р (г — гр)] = др ехр( —р* + рл; соз Е), (8.14)
где х = ае.
Подставляя (8.14) в (8.12) и (8.13) и интегрируя,
получаем формулы для приращения й и г за один оборот:
? 81 п 2(0 [соз 2Е — 2есо$Е + 0 (е2)] ехр фх соз Е) йЕ,
2я
X
(8.15)

Влияние вращения атмосферы на ориентацию орбиты 147
А1^~\^) ~Т~ ^51П1 ехР (-М <
2я
К \ [ 1 + С05 2(0 со5 2Е — 4е соз2 со соз Е + 0 (в2)] х
2я
X
О
хехр(Р*созЕ)*Ш. (8.16)
В формулах (8.15) и (8.16) в квадратных скобках опущены
члены с зт Е и зт 2Е, поскольку при любом целом п
2л
\ ыппЕехрфхсо$Е)йЕ = 0. (8.17)
о
Используя интегральное представление (3.72) функций
1ПУ можем записать формулы (8.15) и (8.16) соответственно
в виде
ш = ~ (]Ь)У*^г ^р ехР (- И8!п 2со V* ~ 2е/1+° И1'
(8.18)
Ьь^—у^) -тг Ор €ХР (- N зш I X
X [/о + /2со5 2(0 - 4^! соз2 (о + 0 (*»)],, (8.19)
где, как обычно, в качестве аргумента функций Бесселя
принимается г = $х.
Согласно формуле (3.20),
так что после дифференцирования получим с учетом
соотношения (4.22) выражение
АГ=Зл
(^)1/2Да (8.20)
или
ДГ = - 6я2 (-У* ба2Рр ехр (—рх) [/„ + 2в/4 + 0 (е2)].
(8.21)

148
Глава 8
Разделив (8.18) и (8.19) на (8.21), получим
X [2 + (^1 + ^)соз2(о]+0(в2)}. (8.23)
Формулы (8.22) и (8.23), не зависящие от ежедневных
флуктуации плотности воздуха, дают нам изменения г и & как
функции изменения орбитального периода.
Если угловая скорость вращения атмосферы ш записана
в виде
ы) = АыЕ, (8.24)
где 10Е — угловая скорость вращения Земли, а Л —
некоторый коэффициент, то можно формулы слегка упростить,
полагая
г'=йк' (8-25)
где Та — орбитальный период, выраженный в долях суток.
Тогда формулы (8.22) и (8.23) приводятся окончательно
к следующей безразмерной форме:
^-^5{^[1-Ч(|+*)+0и]}'р-26»
-т-тр- = -7= \ 1 + -г С05 2(0 —
ЬТа бур I ' /о
^2^[2+(1 + ^)со52со]+0(в2)}, (8.27)
где бесселевы функции имеют аргумент г, а Т7 выражается
формулой (2.13) и рис. 2.5 (стр. 36). Используемые в
равенствах (8.26) и (8.27) значения /2//0 показаны на рис. 8.1.
Если г достаточно велико, то можно использовать
асимптотические разложения функций Бесселя (3.62) —(3.64),

Влияние вращения атмосферы на ориентацию орбиты 149
и тогда формулы (8.26) и (8.27) примут соответственно вид
^-ет'-*>«*.-*~*.+о(^)].
(8.29)
Из-за присутствия члена 0 (1/г2) было бы неразумно
применять эти две формулы при г > 5, но их всегда можно
использовать, если г> 1/е, что имеет место на практике,
когда г > 15.
Ж
1,и
пя
С/о
0,6
0,4
о,г
\
/
/_
/
/
1
8 12 16
2
20
Рис. 8.1. Изменение /2//о в зависимости
от 2.
В течение жизни спутника, существующего больше
года, со совершает обычно несколько циклов, так что в
соответствии с формулой (8.26) & испытывает периодические
колебания с небольшой амплитудой. Однако приращение
ДЙ, вызванное вращением атмосферы, может быть в тысячу
раз больше для недолговременных спутников с наклонением,
близким к 63°, и, следовательно, с почти
постоянным со. В наиболее экстремальном случае, когда
начальный период равен 144 мин {Та = 0,1) и з1п 2со = 1, изме-

150
Глава 8
нение й в силу вращения атмосферы за время
существования спутника может достигнуть 0°,4.
Изменение наклонности г носит, однако, монотонный
характер и приблизительно равно
-^-ЛзшШ^.
Максимально возможное значение Д7^ « 0,04, и если А»1,
Д/ = 0,007 рад, или 0°,4. Для элемента, который обычно
не испытывает вековых возмущений, эта
величина,значительна. Изменения I для спутников с наклонениями
более 45° и начальными периодами обращения,
превышающими ПО мин, могут достигать 0°,1 или больше.
Результаты, приведенные в этом параграфе, опираются
в значительной мере на работу [2]. Члены порядка е2 были
отброшены, поскольку точность, требуемая при
использовании теории в геофизических целях, гарантируется и без
сохранения столь малых членов. Для орбит с большим
эксцентриситетом теория еще не развита.
§ 36. Изменение / и й в случае сжатой атмосферы
Если принимать во внимание сжатие атмосферы, то
выражение (8.14) надо заменить формулой (5.8), которая
приводит к выражению
д = к ехр [ — р (а — хсоз Е)] \ 1 + с соз 2 (со + Е) —
- 2се 31П 2 (со + Е) зт Е + ~ с2 [ 1 + соз 4 (со + Е)] + 0\се\ с2е),
(8.30)
где
к = бро ехр фгро — с соз 2со0). (8.31)
Подставляя это выражение для р в формулы (8.12)
и (8.13) и пренебрегая членами порядка с2 и се, получим
Аа=~К\^) -т^ехР(~~Ра)х
X \ Г 51П 2(0 (соз 2Е — 2е соз Е) +
о
+ -^сзт4сосоз4Е + 0(с2, е2)] ехр(Р*созЕ)йД, (8.32)

Влияние вращения атмосферы на ориентацию орбиты 151
А. /а \У2а2ы}д и . , , 0 ч ч,
*1 =-{]&) — *з"пехр(-ра)х
2я
X
X \ Г 1 + С05 2(0 сов 2Е — 4е соз2 со соз Е +
о
+ с соз 2(0 соз 2Е + у (1 + соз 4со соз 45) + 0 (с2, в2) ] х
хехр(РхсозЕ)<Ш, (8.33)
где, как и прежде, члены с зт пЕ внутри квадратных
скобок опущены, так как интеграл от них равен нулю.
Выполняя интегрирование в равенствах (8.32) и (8.33) и
используя интегральное представление функций Бесселя, получим
дй^^^у/2^^ехр(---ра)зт2сох
X [/а —2еЛ + с/4 соз 2со + 0 (с2, е% (8.34)
Д* = -~\^р) -у-яехр(--ра)51ги
X Г /о + (1 + с) /2 соз 2со — 4в/4 соз2
+1 с (/о + /4 соз 4ш) + 0 (с2, е*) ] . (8.35)
Чтобы выразить изменения й и г через ДГ^, заметим,
что, согласно формулам (8.25), затем (8.20) и (8.24) и,
наконец, (5.10),
= _3^^у/2б^ехр(_и><
X [/о + 2е/4 + с/, соз2со + О (с2, е2)]. (8.36)
Разделив (8.34) и (8.35) на (8.36), получим
ДО _Лзт2а> Г/а Г. „ / /, А Л .
ЛГ«г~ 6У? 1 /о Ь А Ч/г^/оу'^
+ с(-^-^)со5 2(о + 0(с2,е2)]}, (8.37)

152
Глава 8
+ |с[1-4! + (^--§)со54со]+0(с2, в«)|. (8.38)
Если 0л: > 10, то целесообразнее использовать
асимптотические разложения функций Бесселя, что приведет
к выражениям
(8.39)
А= Лз1"_ Г(1-4е)со52(о- —соз2со + —5Ш22со +
+ 0(е2,сг,1, -^)]. (8.40)
§ 37. Изменение со
Остается один орбитальный элемент со, изменения
которого еще не определялись. Подставляя выражения (8.6)
и (8.7) для [г и /* в уравнение (3.54), получаем, согласно
формулам (3.10) и (3.24),
Ло . (10, . дуб51п0 Г0 / р у/2 ./ г\1
(8.41)
или
а*® . <№, . дуб З1п 9 Г « ш соз *
—гг + -57- С05 Г = — •* т=— \ 1 X
x[^-^со*Е + 0(е*)]V^у/2}. (8.42)
Но в соответствии с формулами (3.24) и (3.26)
V(^-у/2==^+есо$Е + 0(е*), (8.43)
так что, если использовать уравнение (3.25) для исключения
<Ни формулу (8.43) для исключения V (а/у)1/*, преобразуем

Влияние вращения атмосферы на ориентацию орбиты 153
уравнение (8.42) к виду
йы . йО, , / а \1/2 гшб зт 0
-^ + -^-С05^-~Г — „- X
ЛЕ ' йЕ
е
ут
х
{1_^.[1+|вс085 + 0(о]}. (8.44)
Если в качестве подходящего значения га соз г'/у мы
возьмем (как и в § 9) такое, которое эта величина имеет в
перигее, то члены в фигурных скобках в уравнении (8.44)
запишутся, согласно формуле (2.13), в виде
У~р[\-±етсо$Е + 0(т2, те2)] ,
где
ГрШСОЗ/
т = & 0,07 соз I.
Подставляя выражения (3.23) для г зт 0 и (8.43) для V
в уравнение (8.44), получаем
^+^со&1=-^ыпЕ[1+есо&Е + 0{е*, г2)]. (8.45)
Подставляя далее сюда выражение (8.30) для е и
интегрируя на протяжении одного оборота, находим
Лсо + ДОсо8/=—^ехр( —ра)х
2Я
X Л |з1П5 + ССО5(2(0 + 2Е)31ПЯ— "
о
— 2свз1п2(со + ^)5т2Е + ^2[1 + соз4((о + Е)]з1П^ +
+ ^е$\п2Е + ^сесо$(2ы + 2Е)$т2Е +
+ 0 (се\ е2, г2)} ехр фхсовЕ) йЕ. (8.46)
Выражая каждое произведение синуса на косинус как
полуразность между двумя синусами и используя
формулу (8.17), а также интегральное представление функции

154
Глава 8
Бесселя (3.72), преобразуем уравнение (8.46) к виду
Дсо + Д^ со5 / = — -^— ехр (— ра) 2я Г у с (/3 — 1Х) зш 2со —
— се С /2 — у /4 — ~2 'о) З1п 2со + -д- с2 (15 — /3) зт 4со +
+ |се(/4-/0)51п2(о + 0(св2, с3, с2, т2)]. (8.47)
Выражая же разность /3 — /1 через 12 и т. д. при помощи
рекуррентного соотношения (3.67), получим
Аа> + АОсо8* = _2^ехР(-И 2
ре2
X [2с12-±-се(11-913) + 2сЧ<ксо$2а + 0(е2, т2, се2, с3)] .
(8.48)
Если бы атмосфера обладала сферической симметрией и не
вращалась, то величина оз+йсоз/ не испытывала бы
изменений, так как тогда эффект сил, действующих на
спутник при его приближении к перигею, в точности
компенсировался бы силами, действующими на спутник при его
удалении от перигея: правая часть уравнения (8.41) при ш = О
меняет знак, но сохраняет абсолютную величину при
изменении знака Э. Следовательно, члены порядков еу е2у егу . . .
в формуле (8.48) присутствовать не могут.
Опуская в равенстве (8.48) поправочный член 0 (е2)
и разделив это равенство на выражение (5.10) для Да,
получаем
X
Дсо Дй . 2с51п2со у
Да Да рл:2
•][1+0(^,,2,^)]
(8.49)
/0 + 2е1± + с12 сов 2со
Так как Та ~ а3/2,
^Та = Щ^Аа, (8.50)*
2а
то в выражении (8.49)
Да ~~ 2а АТа '
(8.51)

Влияние вращения атмосферы на ориентацию орбиты 155
где ДЙ/ДГ^ выражается формулой (8.37). Из нее следует,
что отношение ДШД7^ обычно близко к 1/6, а так как чаще
всего Та ~ 1/15, то, согласно формуле (8.51), отношение
Дй/Да обычно близко к-1/60а. Вместе с тем второй член
в правой части (8.49) может быть значительно больше:
если $х = 3, то он имеет порядок 20 с/а. Таким образом,
преобладающим в формуле (8.49) является, вообще, второй
член и можно считать, что изменения со обусловлены
главным образом сжатием атмосферы. Приведенный анализ
соответствует в значительной мере работе [1 ].
ЛИТЕРАТУРА
1. С о о к О. Е., Ргос. Коу. Зое, А261, 246 (1961).
2. С о о к О. Е., Р М ш ш е г К. N. А., Ргос. Коу. Зое, А258,
516 (1960).

ГЛАВА 9
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ
§38. Введение
Теория, развитая в этой книге, может применяться на
практике в трех основных задачах, и мы рассмотрим
в настоящей главе численные примеры по каждой из них,
чтобы показать теорию, так сказать, в действии.
Первая задача заключается в определении орбит
отдельных спутников Земли в случае, когда нет возможности
вычислить орбиты непосредственно по наблюдениям. Может
показаться, что такие случаи весьма редки и что точное
определение орбиты по наблюдениям оказывается
возможным для большинства спутников. Однако это не так, отчасти
по причине отсутствия наблюдений и отчасти из-за того, что
объем вычислений, требуемых для определения орбит с
необходимой точностью (например, с точность^ до 1 км по
высоте), слишком велик. Мы имеем в своем распоряжении
точные орбиты лишь для тех спутников, которые вызывают
особый интерес каких-нибудь вычислительных центров.
Можно сказать, что примерно из 500 спутников,
запущенных до конца 1962 г., лишь около 50 имели точно
вычисленные орбиты на протяжении большей части их жизни.
Следовательно, имеются большие пробелы, которые теория
движения может в значительной степени восполнить [4].
Если мы исключим сравнительно небольшое количество
спутников, которые регулярно наблюдаются и для которых
известны точные орбиты, то весьма обычной является
ситуация, когда орбита спутника хорошо определяется до тех
пор, пока, спутник передает радиосигналы, поскольку
ученые, принимающие сигналы, должны знать положение

Практическое применение теории 157
спутника в пространстве в моменты передачи этих сигналов.
По истечении нескольких недель радиосвязь со спутником
обычно прекращается, и он становится объектом лишь
оптических наблюдений х). Последние, хотя они и
проводятся чаще всего нерегулярно, все же оказываются, как
правило, достаточными для предвычисления моментов
прохождения спутника и его траектории над поверхностью
Земли (откуда можно вывести орбитальный период Т
и восходящий узел й), а также для получения примерного
представления об остальных элементах орбиты. Для такого
спутника имеются точные начальные значения элементов
До, е0, Т0 и т. д. и точное текущее значение периода Т
(который должен быть известен точно, если предвычисления
продолжаются). Подобные условия являются идеальными
для применения теории: текущее значение эксцентриситета
может быть найдено, например, при помощи графика 4.2;
большая полуось находится непосредственно по
формуле (4.33), связывающей а и 7; приращение наклонности Д*\
т. е. / — 10, вычисляется, например, по формуле (8.27).
Таким образом, теория движения дает нам значения всех
трех элементов орбиты, которые зависят от торможения
в атмосфере,— а, е и /. Эти значения, полученные подобным
путем из теории, часто бывают необходимы при
геофизических исследованиях. Например, по наблюденным
• *
значениям Т можно вычислить плотность воздуха; однако
если элементы орбиты определены плохо, то надо
использовать теорию, чтобы найти перигейную высоту и,
следовательно, решить, к какой высоте относится это значение
плотности воздуха.
Второе практическое применение теории заключается
ь нахождении оценки продолжительности жизни спутника
по наблюденной скорости Т изменения орбитального
периода Т. Если имеется достаточная информация об
элементах орбиты, то продолжительность существования
спутника, начиная с последнего момента наблюдений,
можно оценить, как правило, с точностью до 10% при «помощи
формул, приводившихся, например, в § 20. Основная
ошибка может возникнуть из-за того, что трудно дать достаточно
г) За спутником следят также военные радиолокационные
системы, но эти наблюдения не публикуются.

158
Глава 9
точный прогноз солнечной активности более чем на год или
два вперед. Поэтому оценки для спутников, существующих
более длительное время (сто лет или больше), подвержены
большим ошибкам.
Третья и наиболее важная практическая задача,
стоящая перед теорией, заключается в определении свойств
верхней атмосферы — ее плотности, шкалы высот (а
следовательно, и температуры), скорости вращения — по
наблюденным изменениям элементов орбиты спутников.
Здесь теория движения проявила себя как наиболее
мощное средство при геофизических исследованиях, а
полученные результаты,» кратко изложенные в § 8, произведи
в течение последних нескольких лет полную революцию
в наших прежних взглядах на верхнюю атмосферу.
Конечно, элементами орбит, используемыми при этих
исследованиях, в идеале должны быть именно те, которые
определяются из достаточно точных наблюдений. Но, как уже
говорилось выше, теория движения иногда используется
и при самом определении орбит. Единственным
существенным требованием является наличие наблюденных
значений наиболее важного параметра, а именно скорости Т
изменения орбитального периода Т.
Плотность верхней атмосферы может быть определена
при помощи значения Т по формулам, приведенным в § 33;
шкалу высот Я можно вывести, исходя из изменения
перигейной высоты, например пользуясь формулой (6.31);
температура воздуха находится по известным шкале
высот Я и молекулярному весу воздуха; наконец, скорость
вращения атмосферы можно определить по изменению
наклонности г при помощи формул вида (8.27).
Основные трудности при этих геофизических исследованиях
проистекают не из-за каких-либо дефектов теории
движения, а из-за неточной информации об элементах орбиты.
Например, перигейная высота часто уменьшается лишь на
несколько километров в год, а чтобы определить значение Я
по формулам вида (6.31) с точностью до 10%, нужно
знать уменьшение перигейной высоты с такой же
точностью.
При использовании теории движения нам часто бывает
необходимо знать значение шкалы высот Я. Как уже

Практическое применение теории
159
было отмечено в гл. 6, точная зависимость Н от высоты
еще неизвестна; однако здесь нам нужды численные
значения, и мы должны брать наиболее подходящее из
имеющихся в нашем распоряжении. Данные об изменении Я
в интервале высот от 200 до 700 км в течение большей
0\ I I I I I I I I I I I* I
100 200 300 400 500 600 700
1 У, км
Рис. 9.1. Изменение градиента плотности Н в
зависимости от высоты у в течение 1958—1962 гг.
Верхняя кривая соответствует максимуму солнечных пятен,
нижняя — периоду вблизи их минимума.
части полуцикла периода солнечной активности в 1958—
1962 гг., соответствующие наблюдательным данным [3]
и теоретическим моделям [1], представлены графиками
на рис. 9.1. Величина 5 (заключенная в скобках)
приближенно равна интенсивности солнечной радиации на
волне 10,7 см, выраженной в 10"22 вт/м2-сек.
Соответствующая кривая на будущие годы может быть построена по
значению 5 на тот или иной год. Приведенные Значения,
имеющие точность порядка ±10%, являются средними
между ночными и дневными значениями, что приемлемо,

160
Глава 9
поскольку теория движения не учитывает колебания
плотности в течение суток.
Практические примеры использования теории
движения даны в § 39—43.
§ 39. Изменение 7, а, е и / на протяжении всей жизни
спутника
Сначала мы займемся наиболее общей задачей
определения изменений всех элементов орбиты на протяжении
жизни спутника, если заданы лишь начальные значения
этих элементов. Первый пример очень длинен и требует
немалых вычислений; последующие примеры проще.
Пример. Спутник имеет орбиту со следующими
начальными значениями элементов: период Т0 = 108 мин\
а0 = 7510 км (вычислено по 70); е0 = 0,12, что дает
высоту перигея 244 км над поверхностью Земли радиуса
6365 км] 10 = 90°. Спутник существовал 100 дней в
течение 1960 г. Предполагается, что Земля и ее атмосфера
обладают сферической симметрией, а градиент
плотности атмосферы изменяется с высотой, согласно графику
на рис. 9.1. Вычислить изменения 7, а, е и г в
зависимости от времени.
Прежде всего мы найдем, как изменяется гр в
зависимости от е. Так как начальные элементы орбиты попадают
в интервал «нормальное е, фаза 1», то применимы формулы,
выведенные в § 29, в частности формула (6.31). Последняя
дает нам разность гр0 — гр в зависимости от Я3, т. е. от
значения Я на высоте 3/2 Яр0 над средней высотой
перигея в течение рассматриваемого интервала времени (Яр0 —
значение Я в начальный момент).
Рассмотрим сначала интервал времени, в течение
которого е уменьшается от 0,12 до 0,04 (последнее число выбрано
произвольно). Тогда е/е0 = 0,04/0,12 = 0,333, и на
основании рис. 4.1 будем иметь: (гр0 — гр)/Н « 0,55. Таким
образом, средняя перигейная высота примерно на 0,3 Я ниже
начальной, и Я3 надо отнести к высоте 1,5 Нр0 над средним
перигеем, или 1,2 Нр0 над начальным перигеем. На высоте
244 км имеем в 1960 г., согласно рис. 9.1, Я = Нр0 = 37 /еж,
так что Я3 надо отнести к высоте 244 + 1,2-37 = 288 км
и Я3 = 44 км в соответствии с рис. 9.1. Следовательно,

Практическое применение теории
161
Н3/а0 = 0,0058, и из рис. 4.1 получим (гр0 — гр)/Н3 = 0,55,
так что ур = 244 — 0,55-44 = 220 км. Те же самые
вычисления можно провести для других значений е. Результаты
таких вычислений собраны в табл. 9.1. Значение е в конце
фазы 1 находится приближенно по формуле г = ае/Н = 3,
откуда е « ЗЯ/а. Так как Н/а уменьшается вместе с пери-
гейной высотой, то можно предположить, что Н/а близко
к 0,005, и принять е = 0,015 в качестве подходящего
конечного значения е, как это и сделано при составлении табл. 9.1.
Таблица 9.1
Сокращение орбиты в фазе 1
е
е/е0
(гРо-гр)/Н3
#з, км
Ур, км
Т/Т0
Т, мин
а, км
*1*ь
^ сут
0,12
1,0
0
46
244
1
108
7 510
0
0
0,10
0,833
0,09
45
240
0,965
104,2
7 339
0,323
32,3
0,08
0,667
0,19
45
235
0,933
100,8
7 174
0,581
58,1
0,06
0,5
0,34
45
229
0,902
97,4
7015
0,774
77,4
,0,04
0,333
0,55
44
220
0,870
94,0
6 859
0,906
90,6
0,02
0,167
0,96
43
203
0,842
91,0
6 702
0,979
97,9
0,015
0,125
1,14
42
196
0,835
90,2
6 661
0,989
98,9
Перейдем теперь к фазе 2 и найдем, как изменяется гр
в зависимости от ^ = ае/Н6 при помощи формулы (6.55) или
рис. 4.3 (где надо положить г = I и Я = Я6). Начальная
высота перигея равна 196 /еж, Яр1 = 27 км и Я6 равно
значению Я на высоте 3/2Яр1 над начальным перигеем, т. е.
на высоте 237 км. Таким образом, Я6 = 35 /еж, ^ =
= й1е1/Н6 = 2,9 (мы не получили точного равенства
^1 = 3, однако нет смысла возвращаться назад и заново
выбирать новое конечное значение е в промежутке 1). Так
как в фазе 2 перигейная высота не уменьшается более
чем на Я км (если теория, изложенная в § 30, пригодна),

!б2
Глава 9
то мы примем 5=1 в качестве конечного значения 2;,
поскольку тогда (гр1 — гр)/Н « 1 в соответствии с рис. 4.3.
Если же ^1 = 2,9 и ^ = 1 (соответственно начальное
и конечное значения 5), то I, = 1/2 (2,9 + 1) = 1,95, и из
рис. 6.3, полагая С = г, получим 7= 1,2. Величина Я6
определяется [см. формулу (6.53)] как значение Я на
высоте уНР1 над средней высотой перигея, или же 0,7 Яр1
над начальной высотой перигея. Следовательно, если
^1 = 2,9 и 5^1,0, то Я6 — значение Я на высоте
196 + 19 = 215 /еж, так что Я6 = 31 км и Я6 /а! = 0,0($.
Из рис. 4.3 при ^1 = 2,9 и 5 = 1 имеем (гр1 — гр)/Н6 = 1,00,
что дает г/р = 196 — 31 = 165 км при 5=1. Значения^
для промежуточных значений 5 находятся аналогичном
образом и приведены в табл. 9.2. (Значения е заключены
в скобки для того, чтобы подчеркнуть, что они вычислены
по значениям переменной 5, являющейся основной.)
Таблица 9.2
Сокращение орбиты на протяжении промежутка 2
е
5
гр1 — >"р/#6
Я6, КМ
Ур
а, км
Т/Т1
Т, мин
/=98,9 + т
1<&<3
0,015
2,9
0
35
196
6661
1
90,2
0
98,9
(0,010)
2,0
0,29
34
186
6617
0,990
89,3
0,61
99,57
(0,0072)
1,5
.0,55
32
178
6591
0,984
88,8
0,82
99,80
(0,0047)
1,0
1,00
31
165
6561
0,978
88,2
0,93
99,92
0,6«1,3
0,0047
1,3
0
24
165
6561
1
88,2
0
99,92
(0,0020)
0,6
1,00
22
143
6521
0,991
87,4
0,87
99,99
(Гр2—Гр)/Нв
Т/Т2
/' = 99,92+т'
Строго говоря, вычисления при значениях ^,
меньших 1, незаконны, так как при этом перигейная высота

Практической применение теории 163
близка к 150 /еж, где предпосылки, на которых базируется
теория, не выполняются. Вместе с тем 99,9% жизни
спутника к этому времени уже истекает, и мы имеем значения
орбитальных параметров в достаточном числе точек.
Однако, чтобы проиллюстрировать наш метод, мы продолжим
вычисления. Начальные значения величин для этой
конечной фазы (обозначаемые индексом 2) суть конечные
значения, полученные для предыдущей фазы: ег = 0,0047,
уР2 =165 км и, следовательно, Нр2 = 20 км. Так как
& ~ 1, V = 0,8 и Я6 равно вначале значению Я на высоте
165+ 0,8-20 = 181 /еж, а именно Я6 =*24 км (согласно
рис. 9.1), то ^2 = а2е2/Я6 = ^' ^3 Рис* 4*^ П0ЛУЧИМ> что
подходящее конечное значение ^ равно 0,6, так как тогда
{^р^ — гр)1Н = 1,0. Если у2 = 1,3 и ^ = 0,6, то из рис. 6.3
получим 7 = 0,8, и Я6 надо отнести к высоте 0,3 Яр2 над
начальным перигеем, т. е. к высоте 171 /еж. Это дает Я6 =
= 22 км и ур = 165 — 1,00-22 = 143 км. %
Теперь легко найти остальные элементы орбиты. В фазе
1 значения отношения Т1Т0 можно получить на
основании формулы (4.37) или рис. 4.2 при Я/а0 = 0,0057. Мы
получим значения 77 Го, выписанные в табл. 9.1. Большая
полуось может быть вычислена по формулам а/а0 =
= (7/70)2/з или а = гр1(\ —е)\ соответствующие значения
тоже приведены в табл. 9.1. Период Т можно вычислить
также другим способом. А именно, найдем а йог формуле
а = Гр1{\ — е) и Т по формуле Т/Т0 = (а/а0)3/2« Так лучше
всего поступать при переходе к фазе 2, так как тогда мы
не имеем графика для Т/Т\. Значения а и Т для фазы 2
даны в табл. 9.2.
Значения отношения Шь в течение фазы 1 могут быть
получены на основании формулы (6.32), которую
перепишем в виде
тг-'-тО-^).
или рис. 6.1, причем в соответствии с рис. 9.1 подходящее
значение \х равно 0,16. Значения I выписаны в последних
двух строках табл. 9.1. Столбцы, соответствующие значению
е = 0,015, показывают, что I к моменту наступления
фазы 2 равно 98,9 суток, так что хь = 1,1 суток. Для фазы 2
значения х1хь могут быть найдены на основании форму-

164
Глава 9
лы (6.63) или рис. 6.4 при [х = 0,2; значения х'/х'ь для
конечной фазы находятся аналогичным образом при
\х = 0,08.
Наконец, приращение Аг наклонности { можно найти
в зависимости от АТ по формуле (8.27). Мы ограничиваемся
юв
№
юо
1 96
92
88
84
П1П
ц/и
ппя
ч) иио
ппь.
Ц1/Ч-
пп?
Цио
«
—
Н
1
Ч,^
^
еЛ
* н
<т
ч.
<^
\
V
л
1
к
\Ч
м
V
?
240
-л90°
899 ^
220 л89,8
200
/80*
4
160
140
20 40 60
Время, су/пни
80
100
Рис. 9.2. Изменение Г, ур, е и / с течением
времени в примере, приведенном в § 39.
На вертикальной оси справа конечные вычисленные точки
заключены в квадратики.
здесь при вычислениях лишь основным членом, так как со
оставалось произвольным; однако, вообще, надо
учитывать и все остальные члены в формуле (8.27). При г = 90°
и Л= 1 основной член в этой формуле дает М = г/6АТа,
или, если выразить Т в минутах,
Д* = 0,0066ДГ\

Практическое применение теории
165
В табл. 9.3. приведены значения I и 7\ а также I и Дг для
ряда моментов, взятых из табл. 9.1 и 9.2.
Таблица 9.3
Уменьшение / на протяжении жизни спутника
/, сут 0
7, мин 108
32,3
104,2
58,1
100,8
77,4
97,4
90,6
94,0
97,9
91,0
99,99
87,4
Д7\ мин -3,8 -3,4 -3,4 -3,4 -3,0 -3,6
А/, град -0,025 -0,022 -0,022-0,022 0,020 -0,024
*, град
90,00
89,98
89,95
89,93
89,91
89,89
89,87
Графики изменения 7\ ур, е и г с течением времени
нанесены на рис. 9.2. Они типичны для многих спутников:
все кривые становятся все более и более крутыми по мере
погружения спутника в атмосферу, однако увеличение
кривизны заметнее всего на графике для ур. На практике
графики изменения элементов для наблюдаемых спутников
не будут столь гладкими, как на рис. 9.2, поскольку
наблюдаются небольшие флуктуации, вызванные солнечной
активностью.
§ 40. Определение е по Т
В качестве второго примера рассмотрим значительно
более простую задачу, которая встречается гораздо чаще.
А именно, нередко бывает, что начальная орбита спутника
известна, но затем точно известным остается лишь один
элемент — орбитальный период Т (и, следовательно,
большая полуось а). Требуется найти е, если заданы е0 и Т0.
Конечно, можно сказать, что эта задача решается сразу при
помощи графика на рис. 4.2; это верно. Однако график этот
не всегда достаточно точен, и поскольку е не выражается
как явная функция Г, то небесполезно указать на
итерационный процесс, который часто используется на
практике»

166
Глава 9
Пример. Спутник выведен в начале 1958 г. на
орбиту со следующими параметрами: Т0 = 118,5 мин,
а0 = 8000 /еж, е0 = 0,175 и гр0 = 6600 км. К концу года
период обращения уменьшился до 97,1 мин, что
соответствует значению а = 7000 км. Какой эксцентриситет
имела орбита к этому моменту? Принять, что радиус
Земли равен 6365 /еж, атмосфера обладает сферической
симметрией, а шкала высот в атмосфере определяется
графиком на рис. 9.1.
Итерационный процесс будет следующий. Сначала грубо
оцениваем е при помощи рис. 4.2, который для Т/Т0 =
- 97,1/118,5 - 0,82 дает е0 — е = 0,11 и е « 0,065. При
таком значении е имеем е/е0 = 0,37 и в соответствии
с рис. 4.1 отношение (гр0 —гр)/Н « 0,5, так что средняя
высота перигея на 0,25 Я ниже начальной высоты, и надо
взять значение Я на высоте 1,5 Нр0 над средним перигеем,
или 1,25 Яро над начальным перигеем. Начальная пери-
гейная высота равна 235 /еж, и в соответствии с графиком
на рис. 9.1 для 1958 г. имеем Нр0 = 48 /еж, так что следует
взять значение Я на высоте 235 + 1,25-48 = 295 /еж, где
Я = 60 /еж. Следовательно, Н/а0 = 0,0075. По графику
на рис. 4.1, используя найденное выше значение е, для
которого е/е0 = 0,37, получим (гр0 — гр)/Н = 0,48, так что
гр = 6600 — 0,48-60 = 6571 /еж, и так как а = 7000 /еж,
то е = 1 — (Гр/а) = 0,0613 вместо первоначального
значения е = 0,065.
Положим в качестве второго приближения е = 0,062.
Тем же самым путем получим е/е0 = 0,35, гр0 — гр « 0,5 Я,
так что значение Я надо отнести к высоте 295 /еж и Н/а0 =
= 0,0075. В соответствии с графиком на рис. 4.1
(Гро — >>)/# = 0,51 и гр = 6000 — 0,51-60 - 6569 /еж,
е = 0,0616. Следовательно, значение е = 0,062 можно
считать правильным.
§ 41. Влияние сжатия атмосферы на перигейную высоту
В разобранных выше примерах мы считали, что
атмосфера обладает сферической симметрией. Приведем
некоторые данные об эффектах, обусловленных сжатием
атмосферы, используя следующий пример (выбранный так, чтобы
эти эффекты были наибольшими).

Практическое применение теории
167
Пример. Спутник выведен на орбиту со следующими
начальными элементами: г'0 = 65°, а0 = 7350 км (откуда
следует, что Т0 = 104,5 мин), е0 = 0,1 (откуда гр0 =
= 6615 км) и со0 = 60°. Найти перигейное расстояние,
период и время (в долях всей жизни спутника), за
которое е достигает значения 0,05. К этому времени со
уменьшилось на 53°. Считать, что атмосфера обладает сжатием,
равным 0,0033, а градиент плотности Я постоянен
и равен 42 км.
Согласно приведенным данным, Н/а0 ~ 0,006, е/е0 = 0,5,
так что из графика на рис. 4.1 имеем для сферической
атмосферы (гр0 — гр)1Н = 0,345. Для анализа в случае
сжатой атмосферы нам нужен параметр с. Согласно
формуле (5.6), с = (гГро З1п2 1)1 (2Н), откуда для наших данных
с = 0,21. Поскольку со0 — со = 53° и, согласно
формуле (5.19), х/х0 = и/и0 = 0,475, то формула (5.14) дает
О = 2,39. По формуле (5.16) найдем далее и0 = 1,23, а
поправка ^ к (гро — Гр)1Н равна, согласно формуле (5.18),
—0,017. Таким образом, сжатие атмосферы уменьшает
гр0 — Гр на 0,017 Я, т. е. примерно на 0,7 км. При Я = 42 км
имеем Гр = гр0 — 14 = 6601 км. [Если, избегая
оценки (5.18), мы используем формулу для ^ при постоянном
со = 30°, т. е. формулу (5.20), то получим I, = —0,014, что
приводит в пределах выбранной точности к тому же самому
значению грЛ
Значение периода Т для е — е0 = 0,05 можно найти по
графику на рис. 4.2 для сферической атмосферы. Мы
получим Т/Т0 = 0,918. Поправочный множитель за счет сжатия
атмосферы при I, = —0,017 получается по формуле (5.21)
равным примерно 1,0002, и его можно не принимать во
внимание. Следовательно, Т = 95,9 мин.
Значение Шь при е/е0 = 0,5 равно по формуле (4.49)
для случая сферической атмосферы 1 — ег1е\ = 0,750. Если
использовать формулу (5.26) для постоянного со = 30°,
то поправка \ за счет сжатия атмосферы
составляет 0,017. Следовательно, исправленное значение Шь
равно 0,733.
Можно найти также поправку за счет изменения Я с
высотой, если, вычислив гр и 7, мы возьмем значение шкалы
высот на высоте 8/2 Я над средней перигейной высотой,
а не постоянное значение Я = 42 км.

168
Глава 9
§ 42. Определение продолжительности жизни спутника
Определение продолжительности жизни спутника по
текущей скорости изменения орбитального периода
выполняется в принципе очень просто.
Пример. Спутник, запущенный 6 апреля 1962 г.,
имел на 16 июля того же года орбитальный период
96,69 мин, а = 6982 км, е = 0,059, г = 48°,9,
со = 147°. На протяжении недели, с 13 по 20 июля,
среднее значение Т было равно —0,055 мин/сутки.
Оценить полную продолжительность жизни'спутника.
(Параметры этого спутника подобны параметрам ракеты-
носителя спутника «Космос 2», продолжительность жизни
которой составила 183 дня.)
Согласно формуле (4.145), продолжительность жизни
спутника, начиная с даты 16 июля, которая принимается за
начальную, составляет
еТ п / \ 0,059-96,69 п , ч тип/ \
-Р(е)= 0>()55 Р(е)=Ю4Р(е) суток,
и из. графика на рис. 4.10, полагая Н/а0 = 0,006, имеем
Р (е) = 0,85. Следовательно продолжительность
существования спутника, начиная с 16 июля, равна 88 суткам, а
полная продолжительность его жизни, начиная с момента
запуска, составляет 189 суток.
Таков самый простой ответ, и он вполне
удовлетворителен. Однако возможны различные уточнения, и мы их
опишем, чтобы показать, насколько велика получается
разность при каждом из них.
Прежде всего нуждается в проверке принятое выше
значение Н/а0 = 0,006. По заданным значениям а и е
получим гр = 6570 км, а для широты перигея,
определяемой согласно зависимости (5.4) по формуле зт фр =
= зт I зт (о по заданным значениям г и со, получим
Ф = 24°. На этой широте радиус Земли # равен /? (ф) =
= 6378 — 21з1п2 ф = 6375 км. Следовательно, высота
перигея ур = 195 км и, согласно графику на рис. 9.1, Нр = 22 км.
Но тогда Нр/а = 0,003, так что принятое выше значение
Н/а = 0,006 оказывается весьма грубым. В соответствии
с графиком на рис. 4,10 приближенное значение Р (ё)

Практическое применение теории
169
при Н/а0 = 0,003 равно 0,82. Оценка полной
продолжительности жизни спутника будет равна тогда 186 суткам.
Второе уточнение достигается в результате учета
изменения Я с высотой. Из графика на рис. 9.1 имеем для
высоты 195 км на 1962 г. (л, = 0,16, а поправка в Р (е) равна,
согласно формуле (6.36),
так что Р (е) = 0,82 — 0,064 = 0,76 и оценка
продолжительности жизни равна 180 суткам.
Третье возможное уточнение получается после учета
сжатия атмосферы. Для этого лучше всего взять, если
возможно, значение Т на момент, когда эффект сжатия
атмосферы достигает своего среднего значения, т. е. когда
со = 45, 135° и т. д. Так как в нашем примере со = 147°,
то это условие почти выполняется, и нет смысла вносить
какую-либо поправку, поскольку она была бы очень мала
и трудно вычисляема.
Четвертое возможное уточнение состоит в учете
изменений плотности, обусловленных солнечной активностью
и эффектом день/ночь. В приведенном примере эту поправку
вносить не стоит, так как за три месяца изменения
солнечной активности слишком малы, а эффект день/ночь на
высоте около 200 км также невелик.
Однако для спутников с продолжительным периодом
жизни это четвертое уточнение совершенно необходимо.
Для спутников, существующих 20—100 лет, хорошие оценки
продолжительности их жизни могут быть получены лишь
при условии осреднения Т на протяжении нескольких
циклов день/ночь и по крайней мере половины цикла
солнечных пятен. Период обращения перигея занимает от двух
месяцев до двух лет. Если он занимает от 2 до 9 месяцев, то
в течение половины цикла солнечных пятен (5 лет) проходит,
конечно, много циклов день/ночь и достаточно определить
Т на протяжении интервала между максимумом и
минимумом солнечных пятен. Однако если указанный период
занимает два года или больше, то интервал времени, на котором
осредняется 7\ должен начинаться и оканчиваться на одной

170
Глава 9
и той же фазе цикла день/ночь, а также покрывать собой
половину цикла солнечных пятен.
Пример. Спутник, выведенный на орбиту 1 марта
1958 г. с периодом Т = 134,45 мин, имел на 1 марта
1963 г. период Т = 133,80 мин, а = 8671 км, е - 0,190.
Его перигей совершает полный цикл день/ночь за 5 меся-
цер. Какова продолжительность его жизни?
Так как промежуток времени от 1 марта 1958 г. до 1 марта
1963 г. покрывает почти половину цикла солнечных пятен
от максимума до минимума и большое количество циклов
день/ночь, то самым лучшим будет предположить, что
среднее значение Т (= —0,13 мин/год) представляет собой
также среднее как для цикла солнечных пятен, так и для
цикла день/ночь. Следовательно, продолжительность
существования спутника после 1 марта 1963 г. равна
-^-Р(е)=196Р(е) лет. ,
т
Так как перигейная высота равна около 650 км, Н =.80 км
и Н/а « 0,009, то по графику на рис. 6.2 для \х = 0,1
имеем Р (е) = 0,90, так что оценка продолжительности
жизни спутника получается равной 176 годам, начиная
с 1963 г., и 181 году, если считать с момента запуска.
Поскольку прогноз солнечной активности на
протяжении последующих циклов солнечных пятен невозможен
и мы не можем даже предсказать дату и интенсивность
следующего максимума, полученная оценка неизбежно
содержит элемент неопределенности. Максимум солнечных пятен
в 1957—1958 гг. был наибольшим из зарегистрированных
когда-либо, и предполагается, что средний уровень
солнечной активности в течение последующих 200 лет будет ниже,
чем в 1958—1963 гг. Если это действительно так, то
фактическая продолжительность жизни данного спутника будет
большей, чем полученная оценка, равная 181 году, и ее
следовало бы «округлить» до 200 лет.
§ 43. Определение плотности атмосферы
Одним из главных применений развиваемой здесь
теории в геофизике является определение при помощи
формул (7.26) или (7.33) плотности верхних слоев атмосферы

Практическое применение теории
171
по скорости изменения орбитального периода спутников.
Метод такого определения очевиден, но полезно дать
пример для иллюстрации различных побочных вычислений.
Пример. Между 1 и 3 июня 1960 г. орбитальный
период цилиндрического спутника длиной 2 м,
диаметром 50 еж и массой 500 кг уменьшался, согласно
наблюдениям, со скоростью 1,90 ± 0,02 сек/сутки. Его
орбитальные элементы были следующими: а = 7350 км,
е = 0,100, I = 60°, о) = 10°. По данным оптических
наблюдений яркость спутника испытывала регулярные
колебания с периодом около 5 сек. Найти плотность
атмосферы на высоте, близкой к перигейной высоте
орбиты спутника, и оценить возможную ошибку
полученного значения в предположении, что график на
рис. 9.1 дает Я с ошибкой, меньшей 25%.
Так как эксцентриситет заключен между 0,02 и 0,2, то
при помощи формулы (7.26) мы оценим плотность воздуха
^А на высоте х/2 Я* над перигейной высотой.
Прежде всего нам требуется значение величины
3 = Р8Св1т. Так как яркость спутника колеблется
регулярно, то мы предположим, что он вращается вокруг оси,
относительно которой момент инерции максимален.
Следовательно, надо положить 5 равным среднему из двух
поперечных сечений, соответствующих двум
экстремальным типам движения. Такое значение 5 найдем" по
формуле (2.2), которая дает 5 = 0,880 ж2 с максимальной
возможной ошибкой 12% (стандартное отклонение
принимается равным 6%). В соответствии с § 6 коэффициент Си
можно положить равным 2,2 (со стандартным
отклонением в 5%), так что из графика на рис. 2.5 получим
Р = 0,94. Таким образом, б = Р8Св/т = 0,182 см21г.
Нам требуется далее перигейная высота. Согласно
значениям орбитальных элементов, перигейное расстояние гр
от центра Земли а (1 — е) равно 6515 км. Широта перигея
ФР, определяемая по формуле зт фр = зт г зт со, равна
90°. Радиус Земли на такой широте равен 6378 км, так что
высота перигея над поверхностью Земли равна 6515 —
— 6378 = 237 км. Наилучшую оценку Я*, градиента
плотности Нр на этой высоте, получим из графика 9.1 (для 1960 г.).
Она равна 35 км. (Допускается ошибка в Я* до 25%, хотя
графики на рис. 9.1 позволяют полагать, что точность

172
Глава 9
значительно выше; так будет, если мы обратимся к среднему
значению Я на протяжении 1960 г. Однако Я, как и
плотность атмосферы, подвержено неправильным ежедневным
флуктуациям, и нет гарантии, что такие флуктуации не будут
иметь места между 1 и 3 июня, так что указанное
значение 25% является вполне реальной оценкой возможных
отклонений.) На высотах 200—250 км атмосфера обладает
приблизительно тем же сжатием, что и сама поверхность
Земли, так что в формуле (7.26) можно положить 6 = 0,0034.
В нашем распоряжении имеются, таким образом, все
числа, необходимые для вычисления рА по формуле (7.26).
Если положить —Т = 1,9 сек/сутки = 22-Ю-6
суток/сутки, б = 0,182 см2/г, е = 0,1, а-735-106 см, Я* = 3,5-106 см,
то член вне квадратных скобок в формуле (7.26) будет равен
1,18-10~13 г/см3. Среди членов внутри квадратных скобок
те, что зависят от е, дают в сумме —0,178, а члены,
зависящие отЯ*/8ае и б, равны — 0,0001 и 0,024 соответственно,
так что весь множитель в квадратных скобках равен 0,846.
Таким образом, плотность воздуха рА на 1—3 июня 1960 г.
на высоте 1/г #* над перигеем, т. е. на высоте 255 км, была
равна 1,00-10~13 г/см3. Ошибка это^о значения вызывается
ошибками в 5, Св и Г, равными 6, 5 и 1% соответственно,
а также ошибкой (1%), которая была допущена при выводе
формулы (7.26). Результирующая ошибка, находимая как
корень из суммы квадратов указанных ошибок,
составляет 8%. Заметим, что ошибкой обладает и гр, но обычно
эта ошибка менее существенна, чем ошибки в 5 и Св.
§ 44. Определение шкалы высот по изменению гр
Формула (6.31) показывает, что для фазы 1 шкала высот
Я3 на высоте 3/2Яр0 над перигеем может быть определена,
если известны гр, гр0, е и е0, а также приближенное
значение Я. Для фазы 2 значениеЯ6 (на высоте уНР1 над средней
перигейной высотой) может быть найдено при помощи
формулы (6.55). При использовании этого метода надо
исключить изменения гр, вызываемые другими факторами.
Пример. Спутник выведен 2 января 1959 г. на орбиту
со следующими элементами: а0 = 7500 /еж, е0 = 0,12,
гр0 = 6600 /еж, I = 40°. К 20 декабря 1959 г. после того,

Практическое применение теории
173
как перигей совершил шесть полных оборотов,
значение со совпадало с начальным значением, а элементы
а, е, гр оказались следующими: а = 6928 /еж, е =» 0,050,
гр=^6582 км. В период между 2 января и 20 декабря
значение гр увеличилось в результате других
возмущений (на практике прежде всего лунно-солнечных) на
2 /еж. Найти значение Я.
Так как наблюденное уменьшение гр составляло 18 /еж,
а за счет возмущающих факторов, помимо сопротивления
атмосферы, гр должно было увеличиться на 2 /еж, то
уменьшение гр за счет торможения в атмосфере следует принять
равным 20 км. На перигейной высоте, близкой к 225 /еж,
шкала высот Я, согласно графику 9.1, в 1959 г. была
равна 37 /еж, так что Н/а = 0,005. Из графика 4.1 (где Я
надо заменить на Я3) получим, что (гр0 — гр)/Н3 = 0,43,
если е/е0 = 0,417. Следовательно, Я = 20/0,43 = 47 /еж
на высоте 3/2Яр0 над средней перигейной высотой.
Среднее перигейное расстояние равно 6591 /еж, а средний радиус
Земли для спутника с наклонностью 90° равен 6374 /еж,
так что средняя перигейная высота равна 217 /еж, где,
согласно графику 9.1, Нр0 = 36 /еж. Таким образом,
значение Я3 = 47 км относится к высоте 217 + 1,5-36 = 271 /еж.
Именно подобные подсчеты составляют наблюдательный
базис при построении графиков 9.1. (Если оказывается,
что полученное значение Я3 противоречит принятому выше
значению Яр0 = 36 /еж, то последнее надо заменить новым,
более подходящим.)
С практической точки зрения основная слабость этого
метода заключается в том, что недостаточно хорошо известны
значения (гр0 — гр).
§ 45. Определение скорости вращения атмосферы
по изменениям /
Метод является простым. Если элементы орбиты
спутника известны на протяжении всей его жизни, то
теоретические значения отношения Лг/Л могут быть найдены при
помощи формул (8.27) или (8.38), после чего находятся
значения отношения (I — *0)/Л. Значения г, определенные из
наблюдений, наносятся после этого на график, а
значение Л выбирается так, чтобы теоретическая кривая согла-

174
Глава 9
совалась как можно лучше с данными наблюдений. Это
значение Л и дает нам среднюю скорость вращения
атмосферы в окрестности перигея орбиты спутника.
На практике основное затруднение оказалось связанным
с неточностью наблюдаемых значений I, что привело,
по-видимому, к неточным значениям Л [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Н а г г 1 з I., Р г 1 е з * е г №., Л. ОеорЬуз. Кез., 67, 4585 (1962).
2. К 1 п & - Н е 1 е О. О.., Рго&гезз т 1Ье Аз{гопаи{1са1 Зек, I,
ИогШ-НоПапс!, Атз{егс1ат, 1962.
3. К 1 п б - Н е 1 е В. О., К е е з Л. М., Ргос. Коу. Зое, А270,
562 (1962).
4. К е е 5 Л. М., К 1 п ^ - Н е 1 е О. О., Р1апе{. Зрасе Зи., Ц,
1053 (1963).

ГЛАВА 10
ОБЩИЙ ОБЗОР
§ 46. Введение
Математическая теория изменения орбитальных
элементов была дана в гл. 4—8. В настоящей главе мы хотим
как бы подвести итог полученным результатам и
проанализировать их основные особенности. Излагаемый здесь
материал особенно полезен для тех, кто случайно или
намеренно приступает к этой главе без прочтения предыдущих.
§ 47. Изменение перигейного расстояния в зависимости
от эксцентриситета
Выражения для изменения перигейного расстояния в
зависимости от эксцентриситета следует рассматривать как
наиболее важный элемент теории, так как именно они
позволяют получить точные сведения об изменении
фундаментального параметра орбиты, каким является перигеиное
расстояние, и при этом они не зависят от суточных
флуктуации плотности воздуха.
Результаты для различных интервалов значений
эксцентриситета в основном именно те, какие можно было ожидать.
Для больших е (>' 0,2) перигеиное расстояние
уменьшается очень мало: когда е достигает половины своего
начального значения, уменьшение гр остается в пределах между
0,2 Я и 0,27 Я (см. рис. 4.6), где шкала высот Я
имеет величину порядка 50 км (см. рис. 9.1); в то же
время апогейная высота может уменьшиться на несколько
тысяч километров. Возможное же максимальное
уменьшение гр составляет лишь около 0,5 Я. Такое незначительное

176
Глава 10
уменьшение гр можно было ожидать по той причине, что
для орбит с большим эксцентриситетом основное
торможение в атмосфере происходит лишь в непосредственной
близости от перигея. Это торможение в момент прохождения
спутником перигея принимает форму почти мгновенных
тормозящих импульсов, которые вызывают уменьшение
апогейной высоты, но не влияют сколько-нибудь
существенно на перигейную высоту.
Для «нормальных» эксцентриситетов в фазе 1
(приближенно 0,02 < е < 0,2) уменьшение перигейной высоты уже
больше — оно достигает 0,35 Я к моменту, когда е/е0 = 0,5
(см. рис. 4.1), а максимальное возможное уменьшение
к моменту, когда е/е0 = 0,1, составляет примерно 1,2 Я.
Поскольку перигейная высота при убывании,е до 0,02
уменьшается весьма незначительно, а вместе с тем она
должна уменьшиться до 120—150 км перед окончательным
погружением спутника в нижние слои атмосферы, то из
этого следует, что основная доля уменьшения перигейной
высоты приходится обычно на так называемую фазу 2,
когда приближенно е < 0,02 (или, строго говоря, когда
е < ЗЯ/а). Значительно большее уменьшение
перигейной высоты оказывается тогда возможным (см. рис. 4.3)
по той причине, что торможение в атмосфере происходит
вдоль всей орбиты и различие между перигеем и апогеем
стирается.
Таков результат для случая сферически симметричной
атмосферы с постоянным градиентом плотности Я. Сжатие
атмосферы на кривые зависимости гр от е влияет мало, как
это показывает пример в § 41.
Эффект изменения шкалы высот с высотой можно
найти, беря значение Я на высоте уНр0 над арифметическим
средним между перигейной высотой в начале и в конце
рассматриваемого интервала времени, причем у = 3/2 для
е > 0,02 (точнее, е > ЗЯ/а) и у убывает от 3/2 до нуля
при убывании е от 0,02 до нуля (или при убывании
г = ае/Нр от 3 до 0), как это видно из рис. 6.3. Здесь Нр
представляет собой значение Я в перигее, а индекс 0
приписан начальному значению.
Может показаться на первый взгляд удивительным, что
(для е > 0,02) эффект изменения Я с высотой можно найти,
отнеся значение Я к высоте 3/2ЯР над перигеем, т. е.

Общий обзор
177
к высоте, на которой торможение составляет менее. х/4 его
величины в перигее и должно было бы оказывать меньшее
влияние. Объяснение заключается в том, что в уменьшении
перигейной высоты играет существенную роль лишь
торможение на высотах, значительно превышающих перигей-
ную. Можно непосредственно показать, оценивая,
например, гр по формулам (3.57) и (3.58), что гр в течение одного
оборота спутника оказывается почти пропорциональным
(г — гр) ехр [—(г — гр)/Н]. Следовательно, торможение,
происходящее в перигее (г = гр), не изменяет гр. Оно
показывает максимальное влияние на гр, тогда, когда
(г — гр) ехр [—(г — гр)/Н] имеет максимальное значение,
т. е. при г — гр = Я, когда спутник находится на высоте Я
над перигеем. Так как гр превосходит половину своего
максимального значения на высотах от 0,3 до 2,6 Я над
перигеем, то вполне резонно, что силы, понижающие
перигей, действуют в среднем на высотах 1,5 Я над перигеем,
как и указывает теория. В случае достаточно малых
эксцентриситетов эта средняя высота бывает меньше, так как
апогей оказывается на высоте, где силы, понижающие
перигей, еще заметны, а интервал высот, где эти силы осред-
няются, срезан у своего верхнего конца.
§ 48. Изменение орбитального периода в зависимости
от эксцентриситета
С одной стороны, орбитальный период Т можно
рассматривать как величину, побочную по отношению к гру так как
То I гРо(1—в) 1 к '
Если зависимость гр от е известна, то по этой формуле
находится также и зависимость Т от е.
Однако, с другой стороны, можно рассматривать Т
как наиболее существенный орбитальный параметр,
поскольку он является единственным, который всегда известен
(если спутник не потерян). Поэтому формулы, связывающие
непосредственно Т и е, т. е. (4.37), если е > ЗЯ/а (ж 0,02),
и (4.64), если е < ЗЯ/а, представляются крайне важными.
Они позволяют определить эксцентриситет по первично

178
Глава 10
наблюдаемой величине Т и, кроме того, не зависят от
суточных флуктуации плотности атмосферы. К тому же
на зависимость Т от е при е > 0,02 очень мало влияет Я,
как это видно из рис. 4.2, поскольку, согласно
формуле (10.1), Я входит только в отношение гр/гр0, которое очень
мало отличается от единицы. На зависимость Т от е также
мало влияет, как показывает формула (5.21), сжатие
атмосферы. Увеличение Я с высотой может быть выявлено путем
оценок Я на высоте уНр0 над средней перигейной высотой,
как об этом говорилось выше.
Представляет интерес проследить за изменением^ Т
в зависимости от е во всем интервале значений е. Когда е
убывает от очень большого значения, например от 0,8 до 0,2,
то, как показывает рис. 4.7, Т убывает сначала быстро,
а затем более медленно и более равномерно. Начиная
с е = 0,2 и до е = 0,01 Т убывает, следуя почти линейной
зависимости от е, как вытекает из формулы (10.1) и как это
видно частично из рис. 4.2. Наконец, когда е убывает,
начиная со значений, меньших 0,01, то Т опять уменьшается
быстро, как это можно заключить из формулы (4.64).
Точка перегиба на кривой зависимости Т от е обычно
приходится на конец фазы 1, когда е заключено между 4Я/а
и ЗЯ/а; в первом приближении абсцисса этой точки равна
е = 0,7 (Я/а)2/з, точное же значение не представляет
особого интереса, так как рассматриваемая кривая весьма
близка к прямой на очень большом интервале значений е.
§ 49. Изменение эксцентриситета с течением времени
В случае сферически-симметричной атмосферы характер
изменения эксцентриситета с течением времени для е < 0,2
чрезвычайно простой: как показывают формулы (4.49)
и (4.78), е2 зависит от времени линейно. Для е > 0,2
изменение е сохраняет эту же тенденцию, но в еще более
крайней форме: как видно из рис. 4.8, е остается близким к своему
начальному значению более длительное время и убывает
резче в дальнейшем.
Простота результата для е < 0,2 не сохраняется вообще,
если мы учтем 1) сжатие атмосферы и 2) изменение Я
с высотой, причем оба эти фактора дают заметный эффект,
как показывают формула (5.26) и рис. 6.1 и 6.4. Кроме того,

Общий обзор
179
зависимость е2 от / подвергается влиянию со стороны
суточных (а для длительно существующих спутников
годичных) флуктуации плотности атмосферы. Тем не менее
факт линейной зависимости е2 от ( остается существенным
результатом, который стоит запомнить и который во многих
случаях может оказаться полезным в практических
приложениях.
§ 50. Изменение перигейного расстояния с течением
времени
Перигейное расстояние изменяется со временем так,
как и следовало ожидать: в течение первой половины жизни
спутника оно уменьшается очень медленно, а затем, к концу
его жизни, — быстро, причем при большом начальном
эксцентриситете это уменьшение перигейного расстояния
наступает совершенно внезапно. График зависимости,
приведенный на рис. 9.2 для е0 = 0,12, является типичным.
Если начальный эксцентриситет больше, чем принятый
на рис. 9.2, то уменьшение перигейного расстояния
происходит еще позднее и тенденция к «излому» кривой
выражена более ярко; в то же время в случае круговой орбиты
кривая изгибается более равномерно и «излом»
сглаживается, что иллюстрируется рис. 4.5 (который можно
рассматривать как график зависимости (гр/гр0)3/2 от времени).
§ 51. Изменение периода с течением времени
Даже в том случае, когда имеются очень скудные
сведения об орбите спутника, такой параметр, как период
обращения, известен всегда, поскольку он играет существенную
роль для прогнозирования наблюдений спутника. Таким
образом, кривая зависимости периода от времени является
одной из «наблюдаемых» кривых, получаемых для всех
спутников (за исключением потерянных), и ее характер
вызывает особый интерес.
Если начальное значение е очень велико, то изменение Т
с течением времени приобретает, пожалуй, неожиданный
характер: можно показать, что кривая Т — Т (/) имеет
тогда точку перегиба при е ж 1/з или, строго говоря, при
е = 0,339, когда Н/гр0 = 0,008.

180
Глава 10
Пример. Дифференцируя равенство (4.117) по е
и используя формулу (4.123), откуда можно получить
Ле/сН, показать, что при 0,2 < е < Г
йт гст0] ,з/2 (1+в)2
X
Л 8 ч и/ в (1-е)
\ 2лр0 I- 2 в(1+е0) 4в(1+в) _|/
гр0
Показать далее, что Т = 0 при
1 , 23Я
36гр0
0
г2 )
р У
Таким образом, если е0 > 1/3, то кривая идет вниз сначала
круто, затем ее кривизна уменьшается, достигая минимума
при е ж 1/3, а после опять увеличивается, как это видно
на рис, 4.9. При е0 -> 1 эта кривая стремится к кривой
Т1Т0 = (1 — Шь)3. Тот факт, что Т уменьшается быстро
при больших е, не удивителен: в случае орбиты, близкой
к параболической, малое торможение может привести к
большому изменению периода 7\ так как большая полуось тогда
вместо почти бесконечного приобретает конечное
значение. Формула (7.5) показывает, что если е>0,2, а гр
и Я фиксированы, то —Т= Ярр/(1 —е), где Я конечно,
так что —Т -> оо при е -> 1 и отличном от нуля рр.
Представляет также интерес тот факт, что если
начальное значение е очень велико, то торможение в перигее,
равное х/2 ^рV^Р8С^, уменьшается с течением времени до
тех пор, пока е превышает примерно 0,5, хотя перигей
опускается все ниже и ниже в атмосферу х). Причина этого
явления в том, что юр уменьшается быстрее, чем растет
5Р. Из формулы (3.17) мы имеем VI = \х (1 + ё)1гр, а из
формул (4.16) и (4.116)
•»-«и[ЖГ['+Ч^)]- <10-2>
Ор^сопзЬО+е)''1*-1/. [1+о(А)] . (10.3)
так что
г) На этот эффект указал Бреквелл [Л. V. В г е а к XV е 1 1,
Аз1гопаи1ка1 5сь Неу., 4, 21 (1962)].

Общий обзор
181
Величина (1 + е)3/2 е~1/2 равна 2,83 при е = 1 и
уменьшается вместе с е, достигая минимального значения 2,60
(уменьшается на 8%) при е = 0,5. При дальнейшем убывании е
эта величина растет. При е = 0,2 она равна 2,94 и
продолжает неограниченно возрастать при е -> 0.
Если е0 < 1/3, то таких любопытных явлений не
наблюдается и кривая Т = Т (I) становится по мере роста I
все более крутой. Типичный пример такой кривой
приведен на рис. 9.2.
Если 0,2 > е > 0,02, то в первом приближении Т
выражается согласно формулам (4.52), (4.47) и (4.49), т. е.
си ~ А*ЬУТ=Щ1 ~ **и> ' ( 4)
так что | Т | монотонно возрастает с течением времени.
Зависимость (10.4) может использоваться в практических
приложениях. В частности, полезно знать, что Т обратно
пропорционально е. Если е < 0,02 (или, строго говоря,
г < 3), то Т дается выражением (4.81); если г < 1 (т. е. е <
< Н/а « 0,008), то член г/2/2/ь в этой формуле менее 0,12
и тогда, обозначая время через т, мы можем записать
Это соотношение в какой-то мере является аналогичным
(10.4), однако рост Т по сравнению с его начальным
значением здесь больше, а е0 в (10.4) «заменено» на величину
2Н1аи имеющую порядок 0,015. Как показывает
выражение (4.92) т) = 1, соотношение (10.5) выполняется почти
точно для круговых орбит.
Сжатие атмосферы может оказывать существенное
влияние на Т. Это влияние трудно выделить отдельно в
формулах гл. 5, и оно лучше всего характеризуется в явном виде
выражением (7.8), которое показывает, как изменяется Т
в зависимости от со для данного рр. Заметное влияние на Т
может оказывать также изменение градиента плотности
с высотой. Для 0,02 <е< 0,2 выражение (6.35)
показывает, что если [х = 0,1, то начальное значение |Г| умень-

182
Глава 10
шается за время существования спутника почти на 5%.
Однако для круговых орбит зависимость Т = Т (0,
выведенная при постоянном Я, остается справедливой, если
отнести Н в этой зависимости к высоте, расположенной
на Н км ниже начального перигея.
§ 52. Формулы для продолжительности жизни
в зависимости от Т
Продолжительность жизни спутника 1Ь% начиная с
некоторого момента, оценивается при е > 0,02 по формуле
Ь=~Г(е), (10.6)
т
где значения е, Т и Т относятся к этому моменту, а Р(е)
выражается согласно формулам (4.57) или (4.134) при
е < 0,2 и е > 0,2 соответственно. График для функции
Р (е) приведен на рис. 4.10. В предыдущих главах мы всюду
приписывали индекс 0, и на рис. 4.10 дан именно график
функции Р (е0). Но в формуле (10.6) мы намеренно опускаем
индекс, подчеркивая, что любой выбранный момент в жизни
спутника может быть принят за «начальный». Если е < 0,02,
то лучше записать формулу для продолжительности жизни
спутника ть в виде
Ъ=~[еР(е)], (10.7)
т
причем график функции еР (е) приведен на рис. 4.4. Для
круговых орбит продолжительность жизни спутника 1'ь
оценивается по формуле
где коэффициент т), выражаемый по формуле (4.88), обычно
может быть принят равным единице.
При вычислении продолжительности жизни долгоживу-
щих спутников значение Т, используемое в предыдущих
формулах, желательно осреднить на протяжении цикла
день/ночь и цикла солнечных пятен так, как это
описывалось в § 42. Но в этом случае точность предсказания

Общий обзор
183
продолжительности жизни таких спутников едва ли может
превышать 10% ввиду иррегулярных изменений
солнечной активности. Поэтому полезно иметь приближенные
формулы. Из рис. 4.10 видно, что Р (е) заключено между
0,81 и 0,99 при 0,004 < Н/а < 0,008 и 0,02 <е< 0,2,
так что, согласно формуле (10.6),
*ь« _°^ (0,02<е<0,2) (10.9)
т
с минимальной ошибкой, не превышающей 10%, если только
значение Н/а не выходит за рамки обычного.
Аналогичным образом, если приближенно представить графически
функцию Р (е) при е > 0,2 прямой, то получим
*ь «--^(0,62+1,4*) (10.10)
т
с ошибкой, меньшей 5% при 0,2 < е< 0,8.
Влияние сжатия атмосферы на продолжительность
жизни спутника может оказаться заметным при
специфических обстоятельствах; например, в случае полярных
спутников с перигеем, расположенным вначале над полюсом
и достигающим к концу жизни спутника экватора. Но
обычно большую часть эффекта, обусловленного сжатием
атмосферы, можно исключить, оценивая Т в момент, когда со
имеет значение, близкое к 45, 135 или 225° и т. д. и когда
этот эффект достигает своего среднего уровня.
Если градиент плотности атмосферы Н изменяется
с высотой, то это заметно влияет на продолжительность
жизни спутника при е > 0,2, как показывают рис. 6.2
и формула (6.36). Зависимость Н от \х линейная, и она
может быть учтена с такой же точностью в приближенной
формуле, если вычесть 0,3 \х из Р (е). Таким образом, если
учесть [х, т. е. скорость изменения Н с высотой, то
приближенные формулы (10.9) и (10.10) примут вид
*ь« --^(0,9-0,3ц), 0,02<е<0,2 (10.11)
Т
и
*ь« —-^-(0,62+1,45 — 0,311), 0,2<е<0,8. (10.12)
Т

184
Глава 10
Если значение [х известно не точно, то лучше всего положить
его равным 0,1, как это видно из рис. 9.1. Для е < 0,02
формула (10.7), выведенная при постоянном Я, остается
справедливой, если значение Я, используемое на рис. 4.4,
оценивается на высоте 0ЯР ниже перигея, где 0, согласно
формуле (6.71), определяется так:
9=т+4(я7-0*' <|0ЛЗ>
и Яр — значение Я в перигее. Для круговых орбит
формула (10.8) также остается справедливой, если Я отнесено
к высоте на Я км ниже перигея (тогда Э = 1 в
соответствии с формулой (10.13)).
Таковы результаты в отношении величины 1Ь. Но,
как показано в § 20, истинная продолжительность жизни
спутника Ь в сущности совпадает с 1Ь.
Так как Т/Т = За/(2а), то формулу (10.9) можно
переписать в виде
, 0,бае 0,6 (га — гр)
2а, так как гр < га.
Таким образом, если 0,02 < е < 0,2, то 1Ъ составляет
3/5 разности между апогейной и перигейной высотами,
разделенной на текущую скорость уменьшения апогейной
высоты. Аналогичным образом формула (10.8) для
круговых орбит может быть переписана в виде 4 = —Н/а, так
что продолжительность жизни, начиная с некоторого
момента, равна промежутку времени, за который радиус
орбиты уменьшается на Я /еж, изменяясь с текущей
скоростью.
§ 53. Формулы для определения плотности воздуха
вблизи перигея
Плотность воздуха рр в перигее, выраженная через 7\
дается при е > 0,02 формулами (7.2) — (7.5) или формулой
где 3 (ё) определяется из графика рис. 7.1.

Общий обзор
185
Форма этого графика любопытна и требует некоторого
объяснения. Значение Т при заданных перигейной высоте
и б существенно больше для круговой орбиты, чем для
орбиты с заметным (но малым) эксцентриситетом, для
которой торможение в точках вдали от перигея сильно
уменьшается. Следовательно, функция 3 (е), обратно
пропорциональная Г, согласно формуле (10.14), сильно
возрастает, как показывает график на рис. 7.1, когда е растет,
начиная с нуля. В другом крайнем случае — начальной
параболической орбиты — легкие следы торможения в
атмосфере превращают параболу в эллипс, так что Т вместо
бесконечного приобретает конечное значение, а Т
оказывается равным бесконечности. Следовательно, значение Е (1)
должно быть равным нулю. Это объясняет форму кривой
на рис. 7.1, но не отвечает на вопрос, почему максимум
имеет место при е = 0,27. Чтобы прийти к этому значению,
необходимо перейти от простых физических соображений
к математике и обратиться ко второй из формул,
следующих за формулой (7.27). Эта вторая формула показывает,
что максимум 2 (е) имеет место при значении е, весьма
близком к тому, при котором достигается максимум
функции е (1 — е)1{\ + е)\ т. е. к е = 2 — уХ= 0,268.
Влияние сжатия атмосферы на формулу для $р
обычно почти отсутствует, но иногда может быть заметным.
Если е > 0,02, то это влияние можно учесть, добавляя
0,2668^/2 51П2 г соз2со к 5; максимальное значение этой
величины при условии, что все три элемента е, I и со
равны одновременно своим экстремальным значениям,
составляет 0,0020 при е = 0,02. Это соответствует
увеличению 2 на 7%. Однако подобные большие изменения бывают
редко.
Изменение градиента плотности Я с высотой можно
учесть при помощи соответствующего выбора Я, как об
этом говорилось в § 32. Надо использовать значение Я,
отнесенное к высоте 1НР над перигеем, причем I растет от
нуля при е = 0 до 0,75 при е = ЗЯ/2а « 0,01 (см. рис. 7.2,
где г = ае/Нр) и далее при е> 0,01 сохраняет постоянное
значение, равное 0,75.
Практические формулы для определения плотности
атмосферы, выписанные в § 33, построены так, что они нечувстви-

186
Глава 10
тельны к ошибкам принимаемых значений Я. Плотность
атмосферы рА на высоте г/2 #* над перигеем, где Я * —
наилучшая оценка Я в перигее, определяется по
формуле (7.27), т. е.
0,590Г г•„ , ч . 0,266е . о . п 1
для 0,02 < е < 0,9. При погрешности в Я* до 25% ошибка
этой формулы составляет 1%. Формула (7.33) дает
соответствующие результаты для е < 0,02 (или, говоря строго,
для е < ЗЯ/а^.
§ 54. Дальнейшее развитие теории
Теория, изложенная в этой книге, учитывает вращение
и сжатие атмосферы, а также изменение градиента
плотности с высотой. Однако имеется еще одна особенность верхних
слоев земной атмосферы, которую следовало бы принять во
внимание. Речь идет о суточных колебаниях плотности
атмосферы, которые становятся существенными, если высота
перигея превосходит примерно 300 км. Попытки включить
этот результат в теорию имели до сих пор лишь частичный
успех [1,2].
Изложенная здесь теория ограничена также условием,
что перигейное расстояние орбиты спутника не должно
изменяться очень сильно в результате действия
возмущающих сил, отличных от торможения в атмосфере. Это условие
выполняется для большинства спутников, но надо также
развить теорию для спутников, подвергающихся сильным
лунно-солнечным возмущениям. Перигейная высота таких
спутников испытывает большие колебания с амплитудой,
доходящей, как, например, в случае «Эхо 1», до 600 км.
При этом торможение в атмосфере играет свою роль лишь
тогда, когда перигей совершит свое очередное погружение
в плотные слои атмосферы, и теория будет строиться иначе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б а V 1 ез М. Л., ТЬе Оупаппсз о! 5а1е1Шез, Зрпп&ег, ВегПп,
1963, р. 111.
2. АУ у а И 5. Р., ЗтНЬзоп. Аз1горЬуз. ОЬз., 5рес. Кер. № 63,
1961. У У

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие 7
Глава /.-Введение 9
§ 1. Вступление 9
§ 2. Элементы орбиты 10
§ 3. Основные возмущения орбит спутников .... 12
§ 4. Теория орбит спутников в атмосфере 18
Глава 2. Аэродинамические силы, действующие на спутник 21
§ 5. Введение . . . . 21
§ 6. Значение коэффициента сопротивления Св . . . . 23
§ 7. Значение площади поперечного сучения 5 . . . . 25
§ 8. Свойства верхней атмосферы и оценка @ . . . . 28
§ 9. Аэродинамическое сопротивление в зависимости от V 34
Глава 3. Основы теории 38
§ 10. Введение 38
§ 11. Эллиптические орбиты в пустоте ?. . 38
§ 12. Уравнения Лагранжа для оскулирующих
элементов 42
§ 13. Бесселевы функции мнимого аргумента 1п (г) . . 48
Глава 4. Сокращение орбит под влиянием торможения в
атмосфере, обладающей сферической симметрией .... 52
§ 14. Введение 52
§ 15. Закон изменения плотности воздуха 54
§ 16. Нормальное е, фаза 1 (0 < 0,2; $х > 3) . . . . 56
§ 17. Нормальное е, фаза 2 (0 < Р* < 3) 66
§ 18. Круговые орбиты (е=0) 73
§ 19. Сильно вытянутые орбиты (0,2 < е < 1) . . . . 75
§ 20. Истинная продолжительность жизни спутника Ь
как функция Т 87
Глава 5. Сокращение орбит под влиянием торможения
в" атмосфере, обладающей сжатием 91
§ 21. Введение 91
§ 22. Плотность атмосферы 92

188
Оглавление
§ 23. Основные формулы для а и е 94
§ 24. Нормальное е, фаза 1 (е < 0,2; $х > 3) . . . . 95
§ 25. Нормальное е, фаза 2 (0 < $х < 3) 102
§ 26. Круговые орбиты 106
Глава 6. Сокращение орбит под влиянием торможения в
атмосфере при условии изменения шкалы высот
с высотой 107
§ 27. Зависимость Н от высоты 107
§ 28. Основные уравнения для а и е ПО
§ 29. Нормальное е, фаза 1 (е < 0,2; $х > 3) . . . . 111
§ 30. Нормальное е, фаза 2 (0 < $х < 3) 119
§ 31. Круговые орбиты 128
Глава 7. Формулы для определения плотности воздуха . . 132
§ 32. Плотность воздуха в перигее, выраженная через Т 132
§ 33. Практические формулы для определения
плотности воздуха по Г 137
Глава 8. Влияние вращения атмосферы на ориентацию
орбитальной плоскости 144
§ 34. Введение 144
§ 35. Изменение /и йв случае сферически
симметричной атмосферы 145
§ 36. Изменение / и & в случае сжатой атмосферы . . 150
§ 37. Изменение со 152
Глава 9. Практическое применение теории 156
§ 38. Введение 156
§ 39. Изменение 7\ а, е и / на протяжении всей жизни
спутника 160
§ 40. Определение е по Г 165
§ 41. Влияние сжатия атмосферы на перигейную высоту 166
§ 42. Определение продолжительности жизни спутника 168
§ 43. Определение плотности атмосферы 170
§ 44. Определение шкалы высот по изменению гр . . 172
§ 45. Определение скорости вращения атмосферы по
изменениям / 173
Глава 10. Общий обзор 175
§ 46. Введение 175
§ 47. Изменение перигейного расстояния в зависимости
от эксцентриситета 175
§ 48. Изменение орбитального периода в зависимости
от эксцентриситета 177
§ 49. Изменение эксцентриситета с течением времени 178

Оглавление
189
§ 50. Изменение перигейного расстояния с течением
времени 179
§ 51. Изменение периода с течением времени .... 179
§ 52. Формулы для продолжительности жизни в
зависимости от Г 182
§ 53. Формулы для определения плотности воздуха
вблизи перигея 184
§ 54. Дальнейшее развитие теории 186

Д. Кинг-Хила
ТЕОРИЯ ОРБИТ
ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ
В АТМОСФЕРЕ
Редактор Г. И. Кузьменко
Художник Л. Г. Ларский
Художественный редактор
Н. А. Фильчагина
Технический редактор А. В. Грушин
Сдано в производство 29/Ш 1966 г.
Подписано к печати 25/УН 1966 г.
Бумага 84х 1081/82=3,0 бум. л.
10,08 усл. печ. л.
Уч.-изд. л. 8,57. Изд. № 27/3398
Цена 80 коп. За к. 206.
Темплан 1966 г. изд-ва «Мир»
пор. № 117.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 16
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
выпускает в 1967 г. книгу
И. Мел л ер
Введение в спутниковую геодезию
США, 1964, перевод с английского, 25 л.
Искусственные спутники Земли позволили по-новому
подойти к решению задачи об определении точной формы
Земли, что в равной степени интересует и астрономов, и
геодезистов, и картографов, и представителей многих других
специальностей.
Первая часть книги знакомит читателя с классическими
методами решения геодезических задач, опирающимися
на наблюдения Луны, покрытий звезд и затмений Солнца.
Далее автор переходит к методам собственно спутниковой
геодезии: подробно рассматривается движение
искусственных спутников, методы их наблюдения и точной регистрации
положения, обработка наблюдений и вывод из них параметров,
определяющих форму Земли. Книга завершается описанием
специальных спутников для геодезических целей.
Книга снабжена обширной библиографией,
дополненной советскими работами.
Она представит большой интерес для астрономов,
геодезистов, картографов, а также для военных специалистов.
Предварительный заказ в магазине гарантирует Вам
приобретение книги.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
выпускает в 1967 г. книгу
Брандт Дж., Ходж П.
Астрофизика солнечной системы
Нью-Йорк, 1964, перевод с английского, 35 л.
Книга Брандта и Ходжа, в которой доступно и с
достаточной полнотой изложены основные данные о телах
солнечной системы (Солнце, планетах и т. д.), предназначена для
лиц, интересующихся этими вопросами, но мало знакомых
с астрономией. Поэтому основное внимание в книге уделено
не методам, а результатам исследования тел солнечной
системы.
После краткого обзора строения солнечной системы
авторы подробно рассказывают о Солнце, его строении,
излучении и его роли в планетной системе, затем последовательно
рассматриваются межпланетная среда, кометы, метеоры,
метеориты и, малые планеты. Последние главы книги
посвящены большим планетам солнечной системы, причем основное
внимание уделено Венере и Марсу.
Авторы везде стремятся привести новейшие данные,
кроме того, книга снабжена обширной систематизированной
библиографией.
Книга представит большой интерес для широкого круга
лиц, интересующихся астрофизикой солнечной системы:
астрономов, физиков, химиков, биологов,
инженерно-технических работников — и может служить учебным руковод-
свом по физике Солнца и планет.
Предварительный заказ в книжном магазине
гарантирует Вам приобретение книги.