/
Text
М. С. САЛО^ИТДИНОВ., Г. II. ПАСРИТДИНОВ
оддий
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ТЕНГЛАМАЛАР
УзССР Олий да махсус у рта. таълим министрлиги
университетларнинг еа педагогика
институтларининг студентлари учун дарслик
сифатида тавсия этган
Махсус редактор УзССР ФА мухбир аъзоси,
физика-математика фанлари доктори,
профессор Н. Ю. Сатимов
ТОШКЕНТ — «ЖИТУВЧИ» — 1982
билан тавсифланиши мумкин. Бу эса «бир билан икки каргани
уриш» имконини беради, яъни агар бирор математик моделни тула
урганилса, тегишли натижадан турли жараёнларни тушунтиришда
фойдаланса булади. Айтилган фикрлар дифференциал тенгламалар-
нинг умумий назарияси ва амалий масалаларни ечишга татби1\и му^им
ахамият касб этишини англатади.
Дарслик олий укув юртларининг дифференциал тенгламалар бу-
йича мавжуд программаларц асосида ёзилган булиб, баён этилган
материал тилининг равонлигига, математик жиддийлигига катта эъти-
бор берилди. Купчилик мавзулар баёнига ижодий ёндашилди. Ж ум-
лада н, дифференциал тенглама (тенгламалар системаси) ечимининг
мавжудлиги ва ягоналиги, в- такрибий ечим, чегаравий масалалар, чи-
зи!\ли бир жинсли ва бир жинсли булмаган тенгламаларни (система-
ларни) урганишда Грин функциясидан фойдаланиш, лимит давралар,
ечимларнинг тургунлиги каби к,атор мавзуларни санаб утиш мумкин.
Китобдаги биринчи тартибли хусусий х;осилали дифференциал
тенгламаларга оид материални академик М. С. Сало^итдинов, оддий
дифференциал тенгламаларга оид материални эса доцент F. Насрит-
динов ёзди.
Авторлар китоб кулёзмасини синчиклаб уциб чикиб, уз фикр-
мулох;азаларини билдирган китобнинг илмий му^аррири УзССР Фан-
лар Академиясининг мухбир аъзоси, физика-математика фанлари док-
тори, профессор Нуман Юнусович Сатимовга, шунингдек, Уз ССР
Фанлар Академиясининг мухбир аъзоси, физика-математика фанлари
доктори, профессор Т. Д. Джураевга ва физика-математика фанлари
доктори, профессор X. Р. Латиповга узларининг чу^ур миннатдорчи-
ликларини из^ор этадилар.
Авторлар
Такризчилар: Узбекистан ССР Фанлар Академиясининг мухбир аъзоси,
физика - математика фанлари доктори, профессор
Т. Д. Джураев, физика - математика фанлари
доктори, профессор Р. Латипов
Ушбу дарслик университетларнинг «математика» ва «амалий математика»
ихтисосликлари буйича таълим олаётган студентлари учун мулжалланган булиб,
ундан педагогика институтлари, олий техника у цу в юртлари студентлари цам
фойдаланишлари мумкин.
Китобнинг 1 — 11-боблари оддий дифференциал тенгламаларга, 12-боби хусу-
сий хосилали дифференциал тенгламаларга багишлангаи.
Китобда дифференциал тенгламалар назариясини баёи цилиш билан бирга,
унинг амалий масалаларни ечищга татбиц этилишига цам катта эътибор берилган.
© «Уцитувчи» нашриёти, Т., 1982 й.
20203 — 214
С 353(04) — 82
169 — 82 1702030000
СУЗ БОШИ
Дифференциал тенгламаларга багишланган китоблар рус, инглиз
ва бошка тилларда куплаб чоп этилган. Улар ичида совет олимлари
Л. С. Понтрягин, В. В. Степанов, И. Г. Петровскийлар томонидан
яратилган дарсликларни алохида цайд килиб утиш лозим. Узбек ти-
лида илк дарслик академик Т. Н. К,ори-Ниёзий томонидан 40- йил-
ларда ёзилгап. Утган давр ичида дифференциал тенгламалар наза-
рияси ва унинг татбик; доираси кенгайди ва.янада бойиди. Шу муносабат
билан узбек тилида ^озирги замон талабларига жавоб берадиган,
амалдаги программаларга мос келадиган дарслик ёзиш зарурати ву-
жудга келди. Мазкур китоб шу йулда к.уйилган нлк кадам булиб,
унга авторларнинг В. И. Ленин номли Тошкент Давлат универси-
тета математика хамда амалий математика ва механика факультет-
ларида узок, йиллар давомида укиган лекциялари асос цилиб олинди.
Дарслик, университетларнинг. «Математика» ва «амалий математика»
ихтисосликлари студентлари учун мулжалланган, лекин ундан педа-
гогика институтлари, олий техника укув юртлари студентлари хам
фойдаланишлари мумкин.
Дарсликда дифференциал тенгламалар назариясини баён килиш
билан бирга уларнинг амалий масалаларни ечишга татбик этилишига
хам катта эътибор берилди. Бу со^ада Л. С. Понтрягиннинг рус
тилида чоп этилган китобидан кенг фойдаланилди.
Ф. Энгельс узининг «Табиат диалектикаси» китобида дифференциал
^исобнинг имкониятлари хакида бундай деган эди: «Дифференциал
^исобгина табиатшуносликка факдт ^олатларни эмас, балки жараён-
ларни: ^аракатни х;ам математик тавсифлаш имконини берди»*>.
Дархакикат, физика, экономика, биология, химия, медицина ва
бошка фанларда учрайдиган куплаб жараёнлар дифференциал тенг-
ламалар ёрдамида тавсифланади. Шу тенгламалйрни урганиш билан
тегишли жараёнлар ^акида бирор маълумотга, тасаввурга эга була-
миз. -Уша дифференциал тенгламалар урганилаётган жараённинг ма-
тематик моделидан иборат булади. Бу модель канча мукаммал булса,
дифференциал тенгламаларни урганиш натижасида олинган маълумот-
лар жараёнларни шунча ту ла тавсифлайди. Шуниси кизикки, табиат-
да учрайдиган турли жараёнлар бир хил дифференциал тенгламалар
*) Ф. Энгельс. Диалектика природы. Изд. Политическая литература, М. 1975.
стр.’ 237
билан тавсифланиши мумкин. Бу эса «бир ук; билан икки карвани
уриш» имконини беради, яъни агар бирор математик моделни тула
урганилса, тегишли натижадан турли жараёнларни тушунтиришда
фойдаланса булади. Айтилган фикрлар дифференциал тенгламалар-
нинг умумий назарияси ва амалий масалаларни ечишга татби1\и мух;им
а^амият касб этишини англатади.
Дарслик олий ук.Ув юртларининг дифференциал тенгламалар бу-
йича мавжуд программаларц асосида ёзилган булиб, баён этилган
материал тилининг равонлигига, математик жиддийлигига катта эъти-
бор берилди. Купчилик мавзулар баёнига ижодий ёндашилди. Жум-
ладан, дифференциал тенглама (тенгламалар системаси) ечимининг
мавжудлиги ва ягоналиги, в- та^рибий ечим, чегаравий масалалар, чи-
зицли бир жинсли ва бир жинсли булмаган тенгламаларни (система-
ларни) урганишда Грин функциясидан фойдаланиш, лимит давралар,
ечимларнинг тургунлиги каби цатор мавзуларни санаб утиш мумкин.
Китобдаги биринчи тартибли хусусий х;осилали дифференциал
тенгламаларга оид материални академик М. С. Сало^итдинов, оддий
дифференциал тенгламаларга оид материални эса доцент F. Насрит-
динов ёзди.
Авторлар китоб кулёзмасини синчиклаб уциб чикиб, уз фикр-
мулох;азаларини билдирган китобнинг илмий му^аррири УзССР Фан-
лар Академиясининг мухбир аъзоси, физика-математика фанлари док-
тори, профессор Нуман Юнусович Сатимовга, шунингдек, УзССР
Фанлар Академиясининг мухбир аъзоси, физика-математика фанлари
доктори, профессор Т. Д. Джураевга ва физика-математика фанлари
доктори, профессор X. Р. Латиповга узларининг чу^ур миннатдорчи-
ликларини изх;ор этадилар.
Авторлар
КИРИШ
1« §. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР ХАЦИДА ТУШУНЧА
Табиагда учрайдиган турли жараёнлар (автомобиль харакати, са-
молётнинг учиши, физик, химик ва биологик жараёнлар ва к.) уз
даракат 1\онунларига эга. БаЪзи жараёнлар бир хил цонун буйича
содир бу'лиши мумкин, бу ^ол эса уларни урганиш ишини енгил-
лаштиради. Аммо жараёнларни тавсифлайдиган ^онунларни тугридан-
тугри топиш ^ар доим ^ам мумкин булавермайди. Характерли mhi\-
дорлар ва уларнинг ^осилалари ёки дифференциаллари орасидаги
муносабатни топиш табиатан енгил булади. Бунда номаълум функ-
ция ёки вектор-функция росила ёки дифференциал ишораси остида
катнашган муносабат ^осил булади. Жумладан, — f(x, у) биринчи
тартибли оддий дифференциал тенглама дейилади. F(xj;,y')=0—
биринчи тартибли уосилага нисбатан ечилмаган оддий дифференциал
тенглама дейилса, ум = f (х, у, у', у{п~'}), F (х, у, у', у{п') =
= 0 — п- тартибли оддий дифференциал тенглама дейилади.
yln) — f(x, у, у', ... ,#(п—°)— п-тартибли юцори тартибли ^оси-
лага нисбатан ечилган оддий дифференциал тенглама дейилади.
Агар f(x, у,... , t/(n-1)) ёки F(x, у,у', ... , у{п)) лар у, у', .... у(п~1>
ва”г/(п) аргументларга нисбатан чизицли функциялар булса, тегишли
дифференциал тенглама чизицли дейилади. Ю^оридаги дифференци-
ал тенгламаларда номаълум функция бир аргументли деб каралади.
Аслида номаълум функция куп аргументли булган доллар хам тез-
тез учрайди. Бундай ^олда дифференциал тенглама хусусий хосилали
дейилади. Ушбу F (и,д~, — )= 0 тенглама биринчи тартибли
' дх ду)
хусусий ^осилали тенгламалардан,
ф(и ди \__0
\ ’ дх ду' дх2 ’ дхди ’ ду2 /
тенглама эса иккинчи тартибли хусусий ^осилали диф-
ференциал тенгламалардан иборат. Куйидаги
ди о д2и , „
— = а — (иссицлик утказувчанлик тенгла'Маси),
д2и , д2и сх / тт \
----F — =0 (Лаплас тенгламаси),
дх2 ду2
— — f(x, у) (Пуассон тенгламаси)
дх2 ду2
тенгламалар иккинчи тартибли хусусий ^осилали дифференциал тенг-
ламаларнинг мухим хусусий ^оллари ^исобланади, уларда номаълум
функция икки аргументлидир.
2- §. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАГА ОЛИБ КЕЛИНАДИГАН
БАЪЗИ МАСАЛАЛАР
1-масала. Массаси т булган жисм и(О) = ио бошлангич тез-
лик билан бирор баландликдан ташлаб юборилган. Жисм тезлиги-
нинг узгариш конунини топинг (1-чизма).
Ньютоннинг иккинчи цонунига кура:
бу ерда F — жисмга таъсир этаётган кучларнинг
- йигиндиси (тенг таъсир этувчиси). Жисмга факат
• иккита куч таъсир этиши мумкин деб ^нсоблай-
„ лик: хавонинг каршилик кучи F.= —kv, &2>0;
ернинг тортиш кучи r2=mg. Шундаи цилиб, ма-
тематик нуцтаи назардан F куч
a) F\ га; б) га; в) FLF-F2 га тенг бу лиши мумкин.
a) F = F2 булсин. Унда биринчи тартибли т^- = mg диффе-
ренциал тенгламага эгамиз. Оддий ^исоблашлар бу тенгламада но-
маълум функция (t) gt + С (С— ихтиёрий узгармас сон) кури-
нишда булишини курсатади. ц(О) = ио булгани учун С = v0 деболиш
мумкин, у холла изланган конун c\(t) = gt Ц- и0 куринишда булади.
__& i
б) Агар F = Ft булса, т-^- = —kv, бунда и(О=иое т экани
равшан.
в) F = Рг-\- Fz булсин. Бу ^олда ушбу = mg — Ац(Л>0)
дифференциал тенгламага келамиз. Демак, номаълум функция v
v (0 = Се т + ^(0) = v0; v2(t) = [v0~ е +
куринишда булишини курсатиш т^ийин эмас.
Равшанки, lim v.,(t) = v^t). ^акикатан,
fe—O
--t -^-t
lim v2(0 = lim Иi>0—— e m +—l = ^olime m —
Ji-^O k->0 L\ kJ k I *->o
( e « __1 \ / t \
— mg lim ------7--- I-----= r>n+ gt = v^t).
k->0 \ _ /г ; 1 , mJ
m
2-масала. Массаси tn булган моддий нуцта тугри чизикли J^a-
ракат цилмоцда. Унинг ^аракат ^онунини топинг.
Кар бир моментда G ну^тадан кээрдината бэнягача булган ма-
софа х булса (2- чизма), ну^танинг тезлиги х (х = — ) булади. Мод-
\ dt)
дий нуктага икки таш^и куч: ишкаланиш кучи — Ьх, Ь>0 ва таранг-
лик кучи —kx, /г>0 таъсцр этади дейлик. Ньютоннинг иккинчи
цонунига асосан G ну^танинг ^аракати
I
р^онун билан содир булади. Бу ик- -------I____________
кинчи тартибли дифференциал тенг-
ламадир. Агар моддий нук,та двига-
тель билан таъминланган булиб, дви-
гателнинг G нуктага таъсир кучи F
булса, у ^олда G нинг ^аракат конуни
тх = —- Ьх — kx + F
булади. Купинча F мицдор |F|^
С Fo= const муносабатга|бунсунади. L
3-масала. Туртта икки кутб-
ликлардан тузилган ёпи^ электр
занжири берилган (3- чизма). Икки
цутбликлар: ab—индуктивлик (L),
Ьс — царшилик (/?), cd — сигим (С);
кучланиш манбаи (U (t))—da. Вацт
утиши билан ёпи^ электр занжирида
электр токи 1(f) нинг узгариш ко-
нунини топинг.
Кирхгофнинг биринчи цонунига кура ([1], 83—84-бетлар)
W + W = ° 4fc(0 = W-
Шунга ухшаш,
яъни
W = W = = W = /(/).
Кирхгофнинг иккинчи руонунига кура:
^)+ад+^(о+ад=о.
Энди
= Vbc(t)=RI(t).
= Udn(t) = -U(t)
муносабатлардан фсйдалансак:
L di (Q
dt
+ & (П+ =
Агар U (О 6 С1 (С1— бир марта узлуксиз дифференциалланувчи
функциялар , синфи) булса, у ^олда ю^оридаги тенгламанинг ^ар бир
^адини t буйича дифференциаллаб, /(/) нинг узгариш- донунини
ифодаловчи
Ld4(i) d/(Q 1 _ dU(t)
dP dt ' С ' dt
тенгламага келамиз. Албатта, бу масала-
да ^ам турли хусусий холларни к^риш
мумкин ЭДИ.
4-масала. Математик маятникнинг
^аракат тенгламасини келтириб чикаринг.
Вертикал текисликда ётган I радиусли
/( айлана буйлаб огирлик кучи таъсири
т9 остида харакат килувчи т массага эга
булган Р нукта математик маятникни тас-
'' вирлайди (4- чизма). ^ар бир моментда
Р нуктанинг }рни (|(/) бурчак билан тула аникланади. Масаланинг
шарти буйича Р нукта факат огирлик кучи таъсири остида харакат
к клади. Аммо бу харакат да айлананинг роли бор. У Р нуктани ай-
лана буйлаб харакат килишга мажбур этади, яъни Р нуктага айла-
нанинг ички нормали буйича йуналган F куч билан таъсир этади.
Агар торти.п кучи mg ни иккита ташкил этувчига ажратсак: F1=
= —mg sirup, f2=—mg cos <р, у ^олда F3+F„= 0 булади. Шундай
килиб, Р га таъсир этаётган кучларнинг тенг таъсир этувчиси F =
= f + Е,+ F.t= Рг=—mg sirup. Демак, Р нуктанинг хдракат тенг-
ламаси Ньютон нинг иккинчи 1\онунига асосан
ткр =—mgsinip ёки’ йр-J-g£inip = О
куринишда булади.
f i 5- м а с а л'а. Агар ёруглик ман-
баи О нуктага урнатилган булса,
кузгунинг формаси ундан кайтган
нурлар горизонтал уккд параллел
булиши учун г^андай булиши ке-
рак?
Горизонтал у^ни Ох, вертикал
удни Оу дейлик. Кузгу сиртини
хОу текислиги билан кесишдан х<о-
сил булган эгри чизи^ни курамиз.
Р(х, у)—шу чизиадаги ихтиёрий нукта булиб, унда олинган эгри
чизикка утказилган уринма билан Ох укининг кесишган ну^таси Q
булсйн (5- чизма). Равшанки, OPQ — OQP (чунки нурнинг тушиш
ва г^айтиш бурчаклари тенг булади, яъни APB = OPQ = а).
Шу сабабли, 10Q | = | ОР [ = ] х2+ у2, , y==RP. Агар у > 0 десак,
dy = ИК| = У ёки dy = ]лх2+ У2— х
dx [ QR [ Ух2+ у2 +х dx у
Бундан
х + уу’ _ ।
у х2+~у2
дифференциал тенглама келиб чидади. Унда номаълум функция у(х)
ушбу
t/2 = 2C[x + ^, С — const, у>0
куринишга эга эканини текшириб куриш дийин эмас. Бу эса С =£ О
булгани учуй параболадан иборат.
Масаланинг шартига кура, шу эгри чизид Ох удига нисбатан
симметрии булади. Шунинг учун юдоридаги функцияда у < 0 були-
ши дам мумкин. Шундай дилиб, дуйилган масалани текисликда кур-
сак, ёруглик манбаи параболанинг фокусида булади.
Агар параболани Ох уди атрофида айлантирсак, айланма пара-
болоид досил булади. Демак, кузгу формаси айланма 'параболоиддан
иборат булиб, О нудта унинг фокусида ётади.
6-масала, ^айвонларнинг бирор тури узгармас мудитда алоди-
да яшасин дейлик. Урчиш ва улишнинг даврийлигини дисобга олмай
курилаётган тур индивидуумлари сонининг узгариш конунини топинг.
Масаланинг шартига кура вадтнинг берилган кичик интервалида
урчиш ва улишлар сони берилган моментда индивидуумлар сонига
пропорционал булади. N индивидуумлар сонининг усиши курилаёт-
ган интервалда N сонига пропорционал булиб, бу усиш интервал
кичик булганда унинг узунлигига дам пропорционал булади. Шун-
dN
дай дилиб, N сон t нинг функцияси ва унинг усиши (яъни—j/V(£)
га пропорционалдир. N (t) функцияни узлуксиз ва узлуксиз чиффе-
ренциалланувчи деб дарасак, ушбу
® = (0, А(/о)=Ао>О
at
дифференциал тенгламага эга буламиз, бу ерда е — пропорцион а ллик
коэффициента («усиш» коэффициента). Урчиш дон у ни дифференциал
тенглама бил ан берилган функциянинг куриниши N (t) — Noee{ 1 ~
эканига ишонч досил дилиш дийин эмас. Бундан келиб чидадики,
вадт арифметик прогрессия буйича узгарса, индивидуумлар сони гео-
метрик прогрессия буйича узгаради. Агар е>0 булса, А усади;
агар е<0 булса, /V камаяди. е = 0 булганда /V = const булиб ур-
чиш улишни тула коплайди.
Бу масалада мудитни узгарувчан деб дисоблаш ва бу мудитда
^айвонларнинг бир неча тури яшаяпти деб цараш, сунгра турларнинг
орасидаги баъзи муносабатларга цараб дар бир тур индивидуумлари
сонининг узгариш донунини топиш масаласини дам куйиш мумкин.
Биз бунга тухталмаймиз.
1-боб
ХОСИЛАГА НИСБАТАН ЕЧИЛГАН БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ
ОДДИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР
1- §. ЕЧИМ ТУШУНЧАСИ. КОШИ МАСАЛАСИНИНГ ЦУЙИЛИШИ
Даставвал биз биринчи тартибли битта дифференциал тенгламани
ку рамиз. Юкорида
F(x, у, у') = 0 (1.17)
тенгламани биринчи тартибли ^осилага нисбатан ечилмаган оддий
дифференциал тенглама деб атадик, унда х — эркли узгарувчи, у—
1 t du <
унинг номаълум функцияси, у = — эса номаълум функциянинг ^о-
силаси. (1.Г) куринишда ёзиладиган тенгламаларни биз 3-боб да
урганамиз. Х;озир (1.Г) нинг му^им хусусий ^олига тухталамиз.
(1.Г) тенглама учта х, у ва у' узгарувчини боглайди. Баъзи лол-
ларда бу тенглама у' ни х ва у нинг функцияси сифатида ани^лай-
ди. Бу ^олда (1.Г) тенглама ушбу
? = /(*. У> (1-0
dx
дифференциал тенгламага тенг кучли булади. (1.1) тенглама, одат-
да, хосилага нисбатан ечилган дейилади. Куп ^олларда (1.1) кури-
нишдаги тенгламаларни урганишнинг цулайлиги бор. Энди биз (1.1)
тенглама (1.1') ни у' га нисбатан ечиш натижасида ^осил булган
деб царамасдан, балки (1.1) да f(x, у) функция Г со^ада*> берил-
ган деб караймиз. Мазкур бобда ана шундай дифференциал тенгла-
маларни урганамиз.
1.1- таър"иф. (1.1) тенгла’ма берилган булиб, унда f(x, у)
функция R2 текисликнинг Г со^асида аницланган булсин. Агар I
(очиц, ёпиц ёки яри’М очиц) интервалда аникланган ф(х) функция
учун цуйидаги уч шарт:
1°. (х, ф(х))£Г, Гс/?2, х£1,
2°. ф^есчт)**’. (12)
3°. ^ = f(x, ф(х)), х€7,
dx
*) Соца дейилганда факат спиц ёки фацат очик богланган тупламви тушувиш-
ни кслшпиб оламиз. Цайд киламизки, агар берилгав Г тупламцинг ихтиёрий икки
нуцтасини туташтирувчи ва шу тупламга тегишли бирор чизиц мавжуд булса, у
цолда Г туплам бссланган дейилади.
**) Агар 1 интервал ёпик булса, у холда унинг чап учида унг хосила, унг
учида эса чап росила назарда тутилади. Кейинги мулохазаларда х.ам шуни назар-
да тутиш лозим.
бажарилса, у цолда бу функция I интервалда (1.1) дифференциал
тенгла’манинг ечити дейилади.
Агар ср (х), х£/ функция (1.1) тенгламанинг ечими булса, у (1.1)
тенгламани цаноатлантиради, деб ^ам айтилади.
(1.1) дифференциал тенгламанинг ^ар бир у=<р(х) ечимига мос
келган эгри чизиц (яъни у — ф (х) функциянинг графиги) шу тенгла-
манинг интеграл эгри чизиеи (ёки соддагина, интеграл чизиси)
дейилади.
Ушбу = 2х тенглама учун Г = R2 булиб, ф (х) = х2+ 1 функ-
ция R1 тупламда (яъни — оо <; х < + оо интервалда) ечим булади.
^ацицатан, таърифга кура:
Г. (х, х2+ 1)€R2, X6R1; 2°. х2+ 1 6СЖ); 3°. 2х.
Шунга ухшаш, — = —=2=- тенглама учун / = (—1, 1) булиб,
dx | 1 — х2
<р (х) = arc sin х — 2 функция шу (—1, 1) интервалда ечим булади.
Бу ^олда Г = ^(х, у)'. — 1<х<1, ——2<г/<у—(6-чизма).
( 1.1) тенгламанинг ечими баъзи ^олларда
ошкормас Ф(х, у) = 0 куринишда булса,
баъзи доллар да параметрик х= x(t), у= y(t),
t0<Zt<Zti, x'(t) =/= 0 куринишда булиши мум-
кин. Хулоса килиб айтганда, тенгламанинг
берилишига караб унинг ечими куйидаги
у — ср (х); Ф (х, у) == 0;
x = x(0, y = y{t)
куринишлардан бирортаси орцали ёзилади.
Коши масаласининг цуйилиши: (1.1)
тенглама берилган булиб, унда f(x, у) функ-
ция R2 текисликнинг Г со^асида аниклан-
ган, узлуксиз ва I интервал х удидаги ин-
тервал булсин, х0 ни уз ичига оладиган J
интервални ва шу I интервалда аниклан-
ган узлуксиз дифс^еренциалланувчи ^амда
ушбу
1°. (X, ф(х))еГ(х€7),
2 . ф'(х)^/(х, ф(х)(х£7),
3°- ф(х0) = ^0, (х0, у0) 6 Г
шартларни каноатлантирувчи у = ф (х) функцияни топиш талаб эти-
лади. Бу масала цискача
y'=f(x, у), У(х9)=уа
каби ёзилади ва (1.1) тенглама учун Коши масаласи (ёки бошлан-
гич ’масала) деб айтилади. Юцоридаги 1°, 2’ ва 3° шартларни ца-
ноатлантирадйган функция I интервалда (К) Коши ’масаласининг
ечими дейилади. Яна (К) масаланинг ечими ф(х) х0, у0 бошлангич
цийматларга эга ёки ф(х0) = г/0 бошлангич шартни каноатлантиради,
деб юритилади.
Энди Г со^анинг (К) масала ягона ечимга эга буладиган (х, у)
нуцталаридан тузилган кисмини [D* сх Г (D2= Г) деб белгилайлик.
Шунга кура £)* тупламнинг ^ар бир (х, у) ну^тасидан (1.1) тенгла-
манинг ягона интеграл чизиги утади.
1.2-таъриф. (1.1) дифференциал тенглама ва х, С узгарувчи-
ларнинг бирор узгариш со^асида аницланган хамда х буйича уз-
луксиз дифференциалланувчи
У = Ч<х,С) (1.4)
функция берилган булсин. Агар ихтиёрий (х, у) £ D*2 нукта учун
(1.4) муносабат С нинг
ЕС = ф(х, у) (1.4')
цийматини бир цийматли аницласа ва бу цийматни ушбу
d/ = 4'x(x,Q (1.4")
ах
тенгликка цуйиш натижасида (1.1) тенглама хссил булса, у хрл-
да (1.4) функция (1.1) тенгламанинг D*2 тупламда аницланган уму-
мий ечими дейилади.
(1.4) функция ихтиёрий узгармас С га богли^ ва демак, (1.4)
га чизикутар оиласининг тенгламаси деб караш мумкин. Баъзида С
ни параметр деб хам юритилади.
1.3-таъриф. (1.1) тенглама ва (1.4) чизицлар оиласи берил-
ган булсин. Агар: 1) <р(х, С) функция I интервалда х буйича уз-
луксиз цосилага зга булса; 2) %ар бир (х, y)£D2 нуцта учун (1.4)
муносабат С нинг (1.4') цийматини бир цийматли аницласа;
3) у = <р(х, ф(х, у)) функция (1.1) тенгламанинг ечими булса, у
холда (1.4) функция (1.1) тенгламанинг умумий ечими дейилади.
Кар бир ну^тасида Коши масаласи ягона ечимга эга буладиган
ечим хусусий ечим дейилади. Таърифдан куринадики, D* тупламнинг
.\ар бир ну кд асидан хусусий ечимга мос келган интеграл чизик
утади.
Дифференциал тенгламалар назариясида (1.1) тенгламанинг барча
ечимларини топиш асосий масала ^исобланади. Барча ечимларни то-
пиш жараёни дифференциал тенгламани интеграллаш (ечиш) дейила-
ди. Агар (1.1) тенгламанинг ечимини элементар функциялар ва улар-
нинг интеграллари ёрдамида ёзиш мумкин булса, у ^олда диффе-
ренциал тенглама квадратураларда интегралланади дейилади.
Юдоридаги белгилашлардан D = D^D2 тупламнинг хар бир (х, у)
нуктасидан утадиган интеграл чизи^лар ягона эмаслиги келиб чика-
ди. КаР бир нурдасида ечимнинг ягоналиги бузиладиган ечимлар
махсус ечимлар дейилади. Умумий ечим формуласи (1.4) махсус
ечимларни уз ичига олмайди.
Агар
Ф(х, у, С) = О (1.4'")
муносабат D* тупламда у — ср (х, [С) умумий ечимни аникласа, у
Золда (1.4"z) ни (1.1) дифференциал тенгламанингумумий интеграла
дейилади. Шундай килиб, биринчи тартибли дифференциал тенгла-
манинг умумий ечими у = ср (х, С) битта ихтиёрий узгармас сонни
уз ичига олади. Бир параметрли силлиз чизиклар оиласининг диф-
ференциал тенгламаси биринчи тартибли дифференциал тенгламадан
иборат.
^акдщатан, (1.4) силлиз чизиклар силаси берилган, яъни с[(х, С)
функциянинг аникланпш сохасида узлуксиз q/(x, С) ва срс(х, С) 30-
силалар мавжуд булсин. (1.4) ни х буйича дифференциаллаб куйи-
дагини зосил циламиз:
/ = q/(x, С). ' (1.4")
Агар (1.4") нинг унг томони С га бсглик булмаса, биз С ни чика-
риб ташладик деб* хисоблаб,
дифференциал тенгламани хссил киламиз. Агар (1.4") нинг унг то-
мони С га боглиз булса, (1.4) нинг унг темени хам С га боглиз
булади, яъни <Рс(х, С)^0. Шунинг учун (х0, С’о) нуцтанинг бирор
атрофида С ни х ва у нинг функцияси С = ф (х, у) сифатида аниц-
лашимиз мумкин. Равшанки, х ва С лар буйича ф(х, у(х, С)) —С
айният уринли. С учун тонилган цийматни (1.4") га зуйиб,
у’=<р'х(х, У))
биринчи тартибли дифференциал тенгламага эга буламиз. (1.4) функ-
ция ихтиёрий С учун шу дифференциал тенгламанинг ечими эканига
ишонч 30сил килиш цийин эмас.
Ю^оридаги мулозазалар берилган силлиз чизиклар оиласининг
дифференциал тенгламасини тойиш йулини зам курсатади.
Масалан, у = Сех чизиклар оиласи берилган булсин. У золда
у'=Сех=у. Изланган дифференциал тенглама у —у булади. Рав-
шанки, бу тенгламанинг умумий ечими: у = Сех.
(1 .1) дифференциал тенгламанинг (1.3) муносабат уз ичига олма-
ган ечимлари зам булиши мумкин. Биз юкорида бундай ечимларни
махсус ечим деб атадик. Махсус ечимларни топиш усулларига ке-
йинрок тухталамиз.
Агар умумий ечим маълум булмаса, Кеши масаласини ечиш зийин-
лашади. Бунда дифференциал тенглама такрибий интеграллаш ме-
тодлари ёрдамида ечилади. Биз бу методларга тухталмаймиз.
Мисоллар. 1. у = sin (х + С), —оо < х <+ оо, — оо < С < -р со чизиц-
лар оиласининг дифференциал тенгламаси топилсин.
Ушбу
I у'= cos (х-р С),
I у = sin(x-pC)
муноса батлардан у'—Д' 1 —у2, | у | " 1, —оо < % < + со дифференциал тенгла-
ма келиб чикади.
2. у'= у etg х, 0 < х < л, — оо < у < -р со дифференциал
тенгламанинг
У
л \ „ '
— =2 шартни каноатлантирадиган ечими топилсин.
. 6 /
Берилган тенгламайинг умумий ечими у = С sin х булиб, ундан шартга кура
л
2 — С sin— ёки С = 4 булади. Демак, <p (х) = 4 sin х функция изланган ечимдир
6
2- §. МАВЖУДЛИК ВА ЯГОНАЛИК ТЕОРЕМАЛАРИ
«Хар бир (1.1) куринишдаги дифференциал тенглама учун Коши
масаласи ((1.1), (1.3)) нинг ечими борми ёки йукми? Агар бундай
ечим бор булса, улар нечта? Виттами, иккитами?» — деган саволлар-
га жавоб бериш керак булади. Сунгра «Качон Коши масаласи ечим-
га эга эмас?» — деган саволга жавоб бериш мумкин булади.
Ю^оридаги саволларга жавоб берадиган теоремалар мавжудлик ва
ягоналик теоремалари деб юритилади. Ку™да улардан асосийларини
келтирамиз.
1.1-теорема (Ki о ши теоремаси). Агар f(x, у) функция Г
сохада аницланган ва узлуксиз булиб, унинг у буйича хусусий хо-
силаси бирор Q (QCV) сохада аницланган ва узлуксиз
булссц у холда'.
1°. (1. 1) тенгла’манинг х0 ни уз ичига оладиган бирор интер-
валда аницланган ва хар бир берилган (х0, у0) £ Q нуцта учун
у(х0)=у0 бошлангич шартни цаноатлантирувчи ечими мавжуд.
2J Агар (1.1) тенгламанинг иккита у = ц(х) ва y = ty(x)
ечимлари х0 да устма-уст тушса, яъни ф(х0) = Ф(х0) = у0 бул-
са, у цолда бу у = у(х), y = ty(x) ечимлар аницланиш сохалари-
нинг умумий цисмида устма-уст тушади.
1. 4-таъриф. АгарЦх, у) функция Г сохада аницланган бу-
либ, шу функция учун шундай мусбат L сон мавжуд булсаки, их-
тиёрий (х, //jfEГ, (х, у2)^Т нукталар учун ушбу
\Кх, yr) — fx, y^\^L\yk — y2\ (L)
тенгсизлик бажарилса, у холда f(x, у) функция Г соцада у буйи-
ча Липшиц шартини цаноатлантиради дейилади, L эса Липшиц
узгармаси дейилади.
1.2-теорема (Коши—Пикар—Линделеф теорема-
си). Агар f(x, у) функция Г соцада х ва у буйича аницланган ва
узлуксиз булиб, Г соцада у буйича Липшиц шартини цаноатлан-
тирса, у цолда шундай узгармас /г> 0 сон топиладики, натижада
(1.1) тенгламанинг (х0, у0) £Г булганда (1.3) бошлангич шартни
цаноатлантирадиган ва I ={х\ |х—х0 | < h} ёпиц интервалда
аницланган ягона ечими мавжуд булади.
1. 3-теорема (Пеано теоремаси). Агар f(x, у) функ-
ция Г соцада аницланган ва узлуксиз булса, у цолда Г соланине
берилган (х0, у0)б^ нуцтасидан (1. 1) тенгламанинг камида бит-
та интеграл чизиги утади.
Ю^оридаги теоремаларнинг ^улланилишига дойр мисол курайлик.
Ушбу
_2
/ 3
У =У >
У (-2)= 1
Коши масаласида Г = R2, у 3 га кура
Q=Q1UQ2. Q1=R1XR1, Q2 = RlXR\ СсГ
экани келиб читали. Равшанки, r = Q|J{(x, у)\ у = 0} ва (—2,1) £
V /х + С\з
CQ2cQc:r. у'— у тенгламанинг умумий ечими z/ = (' 3 )—
кубик параболалардан иборат. Бундан х =—2; у = 1 булганда С= 5
келиб чикади. Демак, Коши масаласининг ечими у = —1—। булиб,
бу ечим Q2 да ягонадир. Бунга ишонч ^осил килиш учун, масалан,
Коши теоремасининг шартлари (—2, 1) ну^тада берилган дифферен-
циал тенглама учун бажарилишини текшириб чициш кифоя.
Ушбу
2
/ 3
У ~У ,
*/(—2) = О
Коши масаласини курсак, унда Г = R2 ва (—2, 0)(Т. Аммо (—2, 0)
df (х, у) % з" , гг tz
нуктада ду ' У функция узлуксиз эмас. Демак, Коши тео-
ремасининг шарти бажарилмайди. Шунинг учун ягоналикни тасди^-
лаб булмайди. Аслида (—2, 0) нукдадан утадиган интеграл чизи^-
лар сони саноксиз (континуум) тупламни ташкил этади. Хркикатан,
(х । 9 3
) кубик парабола утади ва у интеграл
чизицдан иборат. Шу (—2, 0) нуктадан у = 0 интеграл чизи^ ^ам
утади. Шунинг учун, масалан, ушбу
, агар х С —2 булса,
<р(х) = ; 0, агар —2 С х С—k, k>—2 булса,
I k । , агар х —k булса
lA 3 /
функция берилган тенгламанинг R2 да ашцланган ечими булади.
Бундан k нинг ^ар бир кдйматида унга мос ечим ^осил килиш мум-
кин. k нинг /?>—2 тенгсизликни ^аноатлантирадиган ^ийматлари
саноксиз тупламни ташкил этгани учун юкрридаги тасдикнинг туг-
рилиги келиб чикади.
» 2
Курилган масалада f(x, у) = у л функция R2 да узлуксиз. Пеа-
но теорема си буйича R2 нинг ихтиёрий тайинланган нуктаси-
дан берилган дифференциал тенгламанинг камида битта интеграл чи-
зш-и утиши керак. Юкоридаги мулодазаларга кура R2 нинг ихтиёрий
тайинланган нуктасидан саноцсиз интеграл чизиклар утади, аммо
‘ _2_
ёки Q2 тупламда каралган у1 = у3 дифференциал тенгламанинг
бу тупламнинг ((А нинг ёки Q2 нинг) х9Р бир тайинланган нуктаси-
дан ягона интеграл чизиги утади.
Ушбу
У = Г = —1<х<1« — “<*/<+ »}
дифференциал тенглама учун у(—2) = 0 шартни каноатлантирувчи
ечим мавжуд эмас, чунки (—2, 0) £ Г.
Ху ло с а. 1. (1. 1) дифференциал тенгламанинг ечимлари сони чексиз куп.
Хусусий ечимларни у = <р (х. С), С — ихтиёрий узгармас, формула ёрдамида то-
пилади. Шунинг учун (1. 1) тенгламанинг барча ечимлари сонини топиш масала-
синн куйиш зарурати йуц.
2. (1. 1) дифференциал тенглама учун Коши масаласи ечимга эга булганда,
шу масала ечимларининг сонини анщлаш му^им а^амиятга эга.
Мавжудлик ва ягоналик теоремаларида ф(х) ва ф(х) ечимлар
5’злари аникланган интервалларнинг умумий /;исмида бир хил були-
ши хакида ran боради. Жумладан, агар ф(х) функция Jr — {хг^с
<х<г2}да, ф(х) функция ls = {х:sxда аницланган ва
х0 € Л П Is учун ср (х0) = ф (х0) булса, у ^олда
Ф(х)е=ф(х), х67гП/8.
Лекин бу 1 тасдицдан Ir — Is экани зинхор келиб чицмайди. Агар
1Г гэ Is булса, Is да аникланган у — ф (х) ечим у — ф (х) ечимнинг
давоми дейилади. Бизни, албатта, давом эттириш мумкин булмаган
ечимлар цизи^тиради. Бундай ечимларни давомсиз ечимлар деб юри-
тамиз. Аникроги, агар у = ф(х) функция (1. 1) тенгламанинг 1г
интервалда аницланган ечими булиб, шу ечимнинг давомлдан ибо-
рат булган %еч цандай ечим мавжуд булмаса, у халда у = <р (х)
ечим давомсиз ечим дейилади.
Давомсиз ечимларнинг аницланиш интервали I шу ечимлар аник-
ланишининг максимал интервали дейилади. Кейинроц (1-боб, 11-§
га каранг) ^ар бир ечим давомсиз ечимгача ягона усул билан давом
эттирилиши мумкинлиги исботланади.
Бундан кейинги муло^азаларда интеграл чизи^ сифатида давом-
сиз ечимнинг графиги тушунилади.
Кайд циламизки, у — ф(х) ечимнинг геометрик маъноси сифати-
да ф(х) функциянинг графиги тушунилган эди. Энди (1.1) тенг-
ламанинг геометрик маъносига тухталамиз: Г со^анинг ^ар бир
(х, у) нуктасидан f(x, у) бурчак коэффициентли /(х, у) тутри чи-
зикни утказамиз. Сунгра хаР бир (х, у) нуктада тегишли /(х, у)
тутри чизиц буйлаб йу налган, Ох ук билан arctgr/' бурчак ташки л
этадиган стрелкаларни и;уйиб чшуамиз. Натижада (1. 1) тенгламага
мос йуналишлар майдони хосил булади.
Хар бир у = ф (х) интеграл чизиц узининг ^ар бир (х, ф (х))
нуцтасида 1(х, ф(х)) тутри чизицца уринади. Бу эса (1. 1) диффе-
ренциал тенглама билан унинг ечими орасидаги богланишни беради.
3-§, ИЗОКЛИНАЛАР ’
(1. 1) дифференциал тенгламани курайлик. Х,ар бир (х, у)£Г
нуцта учун f(x, у) мицдор (х, у) нуктадан утаднган интеграл чи-
зик^а (агар у мавжуд булса) утказилган уринманинг бурчак коэф-
фициентини ифодалайди. Бундан интеграл цизицларни тахминан
чизишда фойдаланиш мумкин. Шу мацсадда изоклина тушунчасини
киритамиз.
1. 5-таъриф. Изоклина деб текисликдаги шундай нуцталар-
нинг гео'мгтрик урнига айтиладики, у нуцталарда берилган (1.1)
дифференциал тенглама интеграл чизицларига утказилган урин-
малар Ох уцининг мусбат йуналиши билая бир хил бурчак таш-
кил этади.
Таърифга кура, изоклина тенгламаси
f (х, у) = k, k = const
куринишда булади. Аввал шу таърифга дойр мисол курамиз.
Ушбу у' — х2— у дифференциал тенглама берилган булсин. Бунда
Г = R2 булиб, ихтиёрий (х, г/)£Г учун у>> = —1. Коши теоре-
масига кура R3 текисликнинг ихтиёрий (х, у) нуктаси орцали бе-
рилган дифференциал тенгламанинг ягона интеграл чизиги утиши
келиб чицади. Демак, интеграл чизищларни чизиш ^а^ида муло^аза
юритиш маънога эга. Изоклина тенгламаси х2—у = k, k = const.
Бу В2 текисликда ботйцлиги юкорига цараган нараболалар оиласи-
дан иборат. k нинг ^ар бир к;ийматида тегишли изоклинага эгамиз.
Жумладан, k = Q. да у = х2, k — 1 да у - х2 — 1, k = — 1 да у =
= ха + 1 ва бош^алар. Равпанки, у = х2 парабэлани интеграл чи-
зиклар кесади ва кесишиш нуцталарида интеграл чизицлар горизон-
тал уринмаларга эга булади (7-чизма, а). Шунга ухшаш, у = х2— 1
параболани кесадиган интеграл чизик;ларнинг ^ар бир нуцтасида
уринманинг бурчак коэффициента 1 га, г/=х24-1 учун эса тегиш-
ли бурчак коэффициент—1 га тенг (7-чизма, б, в). }^ар бир изок-
8 - чизма.
лина кесиб утишдаги йуналшйларни
стрелкалар билан курсатамиз. Нати-
жада текисликда йуналишлар майдо-
ни ^осил булади. Текисликда ихтиё-
рий (х, у) ну^тани олайлик. Бу
нуктадан утадиган шундай эгри чизиц
чизамизки, бу чизи^ узининг ^ар бир
нуцтасида тегишли майдон йуналиши-
га эга булсин. Бу чизик (х, у) нуцта-
дан утадиган интеграл чизикни тах-
минан тасвирлайди (8-чизма).
Маш1\. Ушбу дифференциал
тенгламаларнинг интеграл чизи^ла-
рини изоклиналар ёрдамида тахминан
чизинг:
1. у' = а, а = const; 3. у' = —;
х
2. у' = 2х — 1;
4-§. БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ СОДДА ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ТЕНГЛАМАЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ
Биз бу параграфда содда дифференциал тенгламаларнинг икки
турини интеграллаш билан шугулланамиз.
1- ^ = f (х) куринишдаги тенгламани интеграллаш. f(x) функция
бирор I интервалда узлуксиз булсин. Бу ^олда умумий ечим
У\х) = | f©dg + С, x£I, x0£l, (С — ихтиёрий узгармас) кури-
io
нишда ёзилади. Ундан y' = f(x). С нинг С = 0 циймати тенглама-
нинг у(хо) = О шартни, С = у0 киймати эса у (х0) = у0 шартни i^a-
ноатлантирувчи ечимига мос келади.
Берилган дифференциал тенг-
лама учун
Г = {(х,
-- СО < t/< + со}
(9- чизмага ^аранг, унда 7= {х:гг<
<х<г2}.
Энди Г со^анинг ихтиёрий (х0, z/0)
нуцтасини олайлик. Унга С = у0
тугри келади. Бундан Г со^анинг
ихтиёрий нуктасидан берилган
дифференциал тенгламанинг фа-
кат битта интеграл чизиги утиши
келиб чикади.
М а ш ц. Ушбу
1. ЁЕ= Зх2. xg R; 2. ^ = cosx, xg R; 3. =—-—,xfR
dx dx dx 1 -}- x2
дифференциал тенгламаларни инте1ралланг ва интеграл чизгщларини чизинг.
2. ^. = g(y) куринишдаги тенгламани интеграллаш. Бу тенгла-
мада g(y) функция I интервалда узлуксиз ва нолга айланмайди
дейлик. Агар берилган тенглама урнига
dx 1
dy~ g(y)
тенгламани курсак, бу ^олда F (у) = \ функция ^ам I интер-
Я,\У) у
валда узлуксиз булади. Шундай экан, охирги тенглама учун аввал-
ги пунктдаги муло^азаларни юритиш мумкин. Бошцача айтганда,
тегишли тенгламанинг умумий ечими
у
х = j Т(1Г d^+C’ tJ^y' ~ ихтиёрий узгармас)
Уо
куринишда ёзилади.
Эслатма. Юцорида курилган содда дифференциал тенгламаларда f(х) ва
д (у) функциялар тегишли интервалда узлуксиз ^амда g (у) нолга айланмайди
деб царалди. Агар / (х) функция 1Х интервалда битта ёки бир нечта нуктада
1-тур ёки 2-тур узилишга эга булса, бу ^олда берилган дифференциал тенгла-
ма учун ечим ва умумий ечим тушунчасини киритиб, «интеграл чизиклар» устида
гапириш мумкин эди. Шунга ухшаш, g (у) функция интервалда узлуксиз ва
битта ёки бир нечта нукгаларда нолга айланган ^олда уам ечим 'тушунчаси ва
«интеграл чизиклар» хасида ф1кр юритиш мумкин эди. Биз бунга тухталмаймиз.
5-§. УЗГАРУВЧИ.ПАРИ АЖРАЛАДИГАН ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР
Ушбу
% = f(x)g(y) (1-5)
куринишдаги Гтенгламалар узгарувчилари ажраладиган дифферен-
циал тенгламалар дейилади. (1. 5) дифференциал тенгламани ин-
теграллаш билан шугулланамиз.
1.4-те орем а. Агар f(x) функция 1х интервалда, g(y) функ-
ция I интервалда услуксиз булиб, g(y)=j^O, У^1„ булса, Q =
= {(х, у)’.х^1х, у Ely} myrpu туртбурчакнинг ихтиёрий берилган
ички (х0, у0) нуктасидан (1.5) дифференциал тенгламанинг фа-
цат битта интеграл чизиси утади.
И с бот. Теоремани исботлаш учун (1.5) дифференциал тенгла-
манинг (х0, у0) CQ ну^тадан утадиган интеграл чизири борлигини
ва унинг ягоналигини курсатиш кифоя. (1.5) тенгламанинг <p(x0) = f/0
шартни цаноатлантирадиган y = q(x) ечими бор 'деб фараз этамиз.
У ^олда
=fWg(<Pto)). (*. 4>(x))£Q.
Бундан
d7~;% —dx’ <х’ 4>(x))€Q,
g (<Р (*))
чунки g(y)^=0, У Uy Охирги тенгликнинг^ икки томонини х0 дан
х гача интеграллаймиз:
Г <р' (g)rfl
•' g (<Р (Ю)
Хо
X
Хо
ёки
V М
Ч> Uo) = 1/о
<*<р(Е)
g(q> (Ю)
X
раж
Хо
Агар Ф(у) функция —учун, F (х) функция эса 7(А) учун
бирор бошлангич функция булса, у ^олда тенглик бундай ёзилади:
Ф(ф(х))-Ф(г/0) = Г(х)-А(х0). (1.6)
&(!/)¥= О, yUy га кура Ф(г/) функция / интервалда монотон функ-
циядир, чунки Ф' (у) = "руу ¥= 0. Шунинг учун (1.6) тенгликни ф(х)
га нисбатан бир цийматли ечиш мумкин:
Ф (х) = Ф-1 [Ф (у0) + F (х) — F (х0)], (1.7)
бунда Ф-1 функция Ф га 'тескари 'функциядир. Демак, тегишли
ечим бор деб фараз этилса, у ечимнинг ягоналиги ва (1.7) формула
билан ёзилиши исбот этилади.
Энди (1.5) дифференциал тенгламанинг ф(х0) = у0 шартни ка-
ноатлантирадиган у - ф (х) ечими* бсрлигини исботлаймиз. Х.ак.ика-
тан, (1.7) формула билан ифодаланган ф(х) функция х0 нуцтанинг
бирор атрофида (1.5) дифференциал тенгламанинг ечими булади.
Бунинг учун (1.6) ни х буйича дифференциаллаймиз:
бундан
<₽' (^) = f W ёки -т1 = f W to))-
Равшанки, ф(х0) = Ф~'^ [Ф^Ш] = Уо- Шундай килиб, (1.7) функ-
ция изланган ечимдир. 1.1- теорема Тула исбот булди.
Эслатма. Юцоридаги мулохазалар (1.5) дифференциал тенгламанинг уму-
мий ечиминп ёэишга имкон беради. Агар 1.1-теореманинг шартлари бажарилса, у
холда (1.5) нинг ^амма ечимлари ушбу
У х
С dr С
Ус хо
формула (С — ихтиёрий узгармас) ёрдамида гфодаланади. Х.акииатан <р (хе) = у0
шартни к.апоатлаптирган у = <р (х) ечим учун (1.8) дан С = 0 келиб чикади. Ц]ун-
га ухшаш хар бир ихтиёрий олинган (хх, , рх) £ Q, (хх, z/x) =]- (х0, z/(l) иуцтага С
нинг фацат битта циймати мос келади.
Ми со л. Ушбу
dt/ 1 +
-Г = —----X, Q = {(х, f/):— ОО < Х< 4- ос, — оо < У < + ос}
dx 1 4- хг
дифференциал тенглама интеграллансин.
Бу (1.5) куринишдаги дифференциал тенгламадан иборат. (1.8) формулага
кура
Уо х0
ёки
arctg у — arclg у0 = arctg х — arctg х0 + С.
Бундан
У = tg (arctg х 4- arctg— arctg xc + C).
Ихтиёрий (x, y) £ Q нуктадан утувчи интеграл чизии учун ’
У = tg (arctg х -|- С)
деб ёзиш мумкин.
Мацц. Ушбу дифференциал тенгламалар 'интеграллансин:
dy х + 1 dy
1.—= —-----у>1: 4.— =-
dx у — 1 dx
2,^=(1 + ха) |j/|< 1;
е—У*
-----х cos х, у > 0;
У
5- у2 cos х, (х, у) g R2, у > 0.
3. — = еу sin х, (х, у) g R2;
6-§. БИР ЖИНСЛИ ВА УНГА КЕЛТИРИЛАДИГАН ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ТЕНГЛАМАЛАР
1. Бйр жинсли тенгламалар.
1.6- таъриф. Ушбу
dx \ х )
(1-9)
куринишда ёзиладиган тенгламалар бир жинсли дифференциал
тенглама дейилади.
(1.9 ) тенгламада /г^-j функция
цияси булиб, у нолинчи тартибли бир жинсли функциядир*).
/?(и) функция a<u<Zb интервалда аницланган дейлик. (а С
a<Zu^b, a^u^b интерваллар учун ^ам муло^азалар
факат Л. нисбатнинг функ.
функция ах < у < ах
шунга ухшаш булади.) х>0 булганда
тенгсизликлар билан аникланган со^ада, х<0 булганда эса Ьх<
<Zy <Zax тенгсизликлар билан аникланган со^ада берилган булаДи.
Икки зфлда з^ам бу сосали Г деймиз.
1.5- теорема. Агар h(u) функция a<Zu<zb интервалда
узлуксиз булиб, шу интервалнинг барча нуцталарида h{u)=/= и
булса, %ар бир (х0, у0) £ Г нуцпга-
дан (1.9) дифференциал тенглама-
нинг фацат битта интеграл чи-
sufu утади.
И с бот. у —их десак, (1.9)
тенглама
хи' + и = й(н)
куринишда ёзилади. Ундан (ушбу
du h (и) — и
dx х
узгарувчилари ажраладиган диф-
ференциал тенгламага келамиз.
5-§ даги белгилаш ларга кура f(x) — —, g (и) = h(u)— и ва
g(u)=^0, a<Zu<Zl>. Демак, Г со^анинг ихтиёрий берилган (х0, у^
нуцтасидан битта интеграл чизик утади (10-чизма). Умумий ечим
эса (1.8) формулага кура топилади. Аницмас интеграл куринишдаги
ушбу
с dx_ Р du
J X J h (и) — и
муносабатдан умумий ечим формуласи
tу \
In | х | = Ф (и) + С ёки In | х | = Ф । j + С
келиб чицади. Бу ер да Ф(и) функция , 1 — функциянинг бирор
бошлангичи. Агар 'j s — булса, Уи ва g(U) =
*) Агар ушбу М (k £, k 1|) = kmM. (£, ц), m£R, Z: £ R муносабат барча
(?, т]) лар учун уринли булса, М (£, т|) функция т- тартибли бир жинсли функ-
/ Т] \ / Т) \
ция дейилади. т=0 булганда Л1(£, гр =Л1 р!j = М* J
Бир жинсли функциялар таърифини Л. Эйлер киритган.
деб ёзиш мумкин.
булада. Агар h (и) = и, и — иг,
булса,
rig
A(g)-g
интеграл-
и
нинг iz~>izs(s= 1, 2, ... , ri) да яцинлашувчи ёки узоцлашувчи
бу'лишига цараб и = us (яъни = usx, s = 1, 2, . . . , ri) чизиклар-
нинг ^ар бир нуктасидан чексиз куп ёки битта интеграл чизиц утади
(11, а,.б-чизма). Бунда ^ар бир у = usx(s= 1, 2, . . . , ri) чизиц
(1.9) дифференциал тенгламанинг интеграл чизиги эканини ^исобга
олиш лозим.
Машк- Дифференциал тенгламаларни интеграллаиг ва интеграл чизикла-
рини чизинг.
2. Бир жинсли тенгламага келтириладиган тенгламалар. А. Уш-
бу
dy _ I / а±х + Ьгу -}- сх
dx \ а2х + Ь^у -|- с2
дифференциал тенгламада f(и) функция бирор a<Zu<Z.b интервалда уз-
луксиз булсин. У ^олда (1.10) тенгламани узгарувчилари ажрала-
диган дифференциал тенгламага келтириш мумкин булган .уэлларни
урганамиз.
(1-Ю)
I. Cx = C2 = 0 булган ^ол.
— _ + ьху > дИфференциал тенгламага эгамиз. Агар Д == a,b„—
ах \a2x-\-b2y I
— ^1=7^0 булса бу тенглама (1.9) куринишга келади, чунки
12- чпэма.
"V __ г I х х _____ г* ! V \.
dX \ п Л-h У /' Х '
\а24-&2- /
X '
Агар Д = 0 булса, — - k
^2
ёки a1=a,fe, br — b2k деймиз. Бун-
да — == га келамиз. Бу диф-
dx
ференциал тенгламанинг умумий
ечими у = f(k)x + С булиб, бурчак
коэффициента f(k) га тенг булган
тугри чизицлар оиласидан иборат /12- чизма).
II. С^Н-С^^О (яъни С/ ва Са лардан камида биттаси нолдан
фаркли) булган ^ол.
Агар А = 0 булса, у ^олда at = a«k, Ьл = b2k га кура:
dy = с
dx
k{a2x + &2у) + С,
й2х + Ь2у С2 )
Ушбу
z = а2х + b2y (1. 11)
ат хп нглрдпли бажарамиз, унда z — лиги номаълум функция.
(1.11) дан — = а2 + Ьч — курилаётган ^олда Ь„ == 0 шарт 4- §
d v J dx
да курпган \элга олиэ кетади. Энди Ь2^=0 булсин.— — — — —
dx b2 dx b2
ни охирги дифференциал тенгламага цуйсак,
Id? а2' / кг + Сх
b2 dx b2 \ г -|- С2
ёки
— = + b2f
f kz 4~ Сг
I г + С2
дифференциал тенгламага келамиз.
Энди А^=0 булсин. Ушбу
|х= ё + х0,
|# = Т] + #0
алмаштиришни бажарамиз.
dy _ dr),
dx d%,
(1-12)
Лц _ Л giS + felt] + Д1Хо + Mo + cx \ (J J3)
d% \ (a£ + b2t] + a2x0 + b2y0 + cj
(1. 12) алмаштиришда x0 ва yQ сифатида
(aye + b^y + q = 0,
ia2x + b„y + c2 = 0
сйстеманинг ечимини оламиз. Бу система ягона ечимга эга, чунки
Д^=0. Шундай цилиб, (1-13) бундай куринишга келади:
tft] = f Mig + Ь1П\
\«2? + fe2t]/
Бу тенглама A=y^O булганда мазкур параграфнинг I ругсмида ку-
рилган.
Хулоса цилиб айтганда, (1. 10) куринишдаги дифференциал тенг-
лама Д нинг цийматига караб, масалан, Д=0 булганда ё (1.11), ёки
(1.12) алмаштириш ёрдамида узгарувчилари ажраладиган дифферен-
циал тенгламага олиб келинади.
Б. Битта сунъий у сул'г а тухталамиз. (1.1) дифферен-
циал тенгламада
У = гт (1.14)
алмаштириш бажарамиз, бу ерда z — янги номаълум функция, т—
бирор ^аци^ий сон:
бундан
Zc = ~^~mf(x,zm) = g(x,z). (1.15)
Агар т нинг бирор цийматида g(x, z) функция бир жинсл1Гбул-
са, у >^олда (1.14) алмаштириш маънога эга булади.
М и cjo л.
2 ______
— хуу'=\ хв—у* + у2,х^0, уУ-0, 1х3/>у2
дифференциал тенглама интеграллансии. Бу тенгламани интеграллаш учун зевал
(1Л4) алмаштиришни бажарамиз. Содда [^исоблашлар
— х-гттгт~1 — е= V „в _ г*т 2ж
3 dx х г
ёки
3 Vx*—z4m+^m
dx 2т х-г2т~1
булишини курсатади. Бу дифференциал тенглама бир жинсли булиши учуй т=
3 Л _ __
= —булиши равшан. Шундай'килиб, ®г=г2- Бундан у= г]Дг, ^г=|гЗ| . Бе-
ри лгаи дифференциал-тенглама куйидагича ёзилади:
dz _ J, д;6 -г6 гв
dx хг2
z~ их алмаштириш натижасида
u2du dx
— и»
дифференциал тенгламага келамиз. Уни интеграллаб, аввал и = — дан, сунгра
х
2
3
г —у дан фойдалансак, дифференциал тенгламанинг умумий ечимини
J/2
arc sin = In Сх3
|х3|
куринишда ёзиш мумкин булади (^исоблашларни туда бажариш китобхонга топ-
ширилади).
7-§. ЧИЗИК Л И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР
1.7-таъриф. Ушбу
^ = а(х)у + Ь(х) (1.16)
dx
куринишдаги тенгламалар биринчи тартибли чизицли дифференци-
ал тенглама дейилади.
(1.16) тенгламада а(х) ва Ь(х} функциялар бирор I интервалда
аникланган ва узлуксиз булсин. Демак, Г со^а текисликда у ихти-
ёрий булганда х га цуйилган х gI шарт билан аншупанади, яъни
Г = {(х,уУ х£1, —со <2у< + со}. Бу туплам интервалнинг кандай бу-
лишига караб полоса (кенглик), ярим текислик ва текисликдан ибо-
рат бу лиши мумкин.
1.6- теорема. Агар а(х) ва Ь(х) функциялар I интервалда аниц-
ланган ва узлуксиз булса, у \олда Г со^анинг ихтиёрий олинган
(х0, ув), х0£1 нуцтасидан (1.16) тенгламанинг I интервалда аниц-
ланган битта интеграл чизиви утади ва у
X X
У = (Уо + f e~AWb(x) dx)eAM , Л(х) = а(т) dx (1.17)
*0 х„
формула билан ифодаланади.
Исбот. Аввало (х0, ц0) нуцтадан’ утадиган интеграл чизицпинг
мавжудлигини текширайлик. ^ацицатан, (1.16) дифференциал тенгла-
мада /(х, у) — а(х)у + Ь(х) булиб, бу функция Г со^ада аницланган
ва узлуксиз. Ундан ташкари, = а(х) росила I интервалда уз-
0У
луксиз. Демак, Коши теоремасига кура Г со^анинг ихтиёрий олинган
(х0, Уо) нуктасидан утадиган интеграл чизиц мавжуд ва ягонадир.
Энди уша интеграл чизицни ифодаловчи функцияни излаймиз. (1.17)
функция изланган функция эканини исбот этамиз. Бу функция учун
У(хо) = Уо экани равшан. Унинг ^осиласини ^исоблайлик:
= е~А(х} b(x)eAM + [ е-Л(т) 6(т)йт^ а(х)еАМ = Ь(х) + а(х)у.
Шундай цилиб, (1.17) функция учун ечим ^ацидаги (’1.4-таъриф-
нинг шартлари уринлидир. (1.17) формулада иштирок этган функ-
циялар I интервалда аникланганлигини цайд к.иламиз. Демак, (1.17)
функция I интервалда аникланган ва давомсиз ечим булади. Бу чи-
зицли дифференциал тенгламаларнинг му^им хоссасидир. Теорема
исбот булди.
1.7- теорема. (1-16) дифференциал тенгламанинг умумий
ечими
X
у = (С4- J е~Л(т)/;(т)<±г)еЛ(х), (С— ихтиёрий узгармас) (1-17')
Хо
формула билан ифодаланади.
Исб’от. Равшанки, (1-17') функция (1.16) тенгламанинг ечими-
дир. Энди (1.17') формула ^амма ечимларни уз ичига [олишини кур-
сатамиз. #=<р(х) функция (1.16) дифференциал тенгламанинг бирор 1х
интервалда аникланган ечими булиб, £о = (Р(то)» то€^х> булсин. Юко-
ридаги муло^азалардан (1.6-теоремага каранг) экани келиб чи-
цади. (1.17) формуладан С ни танлаш усули билан шу у =<р(х) ечим-
ни ^осил килиш мумкшглигини исботлаймиз. Унинг учун
То
(С + j е~А(г)6(т) dr))eA(Xo) = £0
Хо
тенглама С га нисбатан битта ечимга эга булиши зарур. Куриниб
турибдики:
Т°1
С = ^e-A'^ e~A™b(x)dx.
хо
Энди у = (<р)(х) ечим учун
То х
<р(х) = а0 е-Л(т»’ | e~Alx}b(x)dx + f е~~А{х} b(x)dx)eAw
Хо Хо
формулага эга буламиз. Теорема исбот [булди.
Юкорида исботланган (1.17) формулани иккинчи усул билан ис-
ботлайлик. Агар (1.16) [дифференциал тенгламада Ь(х)=0 булса, у
^олда
= (1.18)
тенглама (1.16) га-мос бир жинсли дифференциал тенглама дейи-
лади', t(x)^0 булганда (1.16) тенглама биринчи тартибли чизик-
ли бир жинсли булмаган (бир жинссиз) дифференциал тенглама де-
йилади. (1-18) тенгламанинг бир жинсли деб юритилиши (1.16) да
Ь(х) = О булиши билан бэгланган булиб, (1.9) бир жинсли диффе-
ренциал тенгламага алокаси йук-
(1.18) дифференциал тенглама узгарувчилари ажраладиган тенг-
ламадир (5- § га каранг). Унинг умумий ечими
у — СеАМ (С — ихтиёрий узгармас) (1-19)
куринишда ёзилади. Энди (1.16) тенгламанинг умумий ечимини
^ = ф(х)еЛ(х) (1.20)
куринишда излаймиз. ф(х) бу ер да I интервалда ани^ланган изла-
надиган функция. Тавсия этилган усулни узгармасни вариациялаш
усули деб юритилади. Фаразга кура, (1.20) функция (1-16) диффе-
ренциал тенгламани айниятга айлантириши лозим:
ф'(х)еЛ(х) + ф(х)а(х)еЛ(х) = а(х)ф(л:)еЛ(х) +^(х)3
ёки
1]/(л-)еЛ(х) =1(х).
Бундан
ЕШ) = С + [ е“Л(т)4(т)Л (С—ихтиёрий узгармас)»
*0
ф(х) функция учун топилган ифодани (1.20) куйсак (1.17') формула
келиб чицади.
л л
М и cjoyi. 1. у' + у tgx = secx, Г = {(х, у): — ~ <х < < z/<+oo),
дифференциал тенглама интеграллансин.
Бу тенгламада а(х) — —tgx, fc(x) = secx. 'Унинг] умумий ечими (1.17') га
кура
у = (с + J eltgxoxsecxdx)e~ftgxd* =
/ f dx \
= C + I------- cos x = C cos x + sin x.
\ Jcos2x/
Демак, у = C cos x + sin x.
2. Ушбу
dy 1 . * л л , ,
•— —----------------, Г = {(x,y)-—— < x < —, — 00 < у < +
dx у tg x — sec x 1 2 2
дифференциал тенглама интеграллансин. Бу тенгламада у—номаълум функция бу-
либ, х эркли узгарувчидир. Куриниб турибдики, берилган тенглама чизицли эмас.
Агар х ва у ларнинг ролларини алмаштирсак, 1- мисолдаги дифференциал тенг-
ламага келамиз.
8-§. БЕРНУЛЛИ, ВА РИККАТИ ТЕНГЛАМАЛАРИ
1. Бернулли тенгламаси.
1. 8- т а ъ р и ф. Ушбу
du
— = а(х)у + fc(x)r/a
(1.21)
тенглама Бернулли тенгламаси дейилади. Бу тенгламада а(х) ва
Ь(х) лар бирор I интервалда аникланган функциялар, а—бирор ^а-
к,икий сон (a£R). Равланки, агар а = 0 булса, (1-16) дифференциал
тенгламага эга буламиз, агар а = 1 булса,
dy
— = [а(х) + Ь(х)\у
тенгламага келамиз. Бу эса узгарувчилари ажраладиган дифферен-
циал тенгламадир. Демак, Бернулли тенгламаси а = 0, а = 1 бул-
ганда бизга маълум дифференциал тенгламаларга айланади. Энди
а 0, a =f= 1 деб фараз этамиз.
1.8-теорем а. Агар а(х), Ь(х) функциялар I интервалда аниц-
ланган ва узлуксиз булиб, а > 1 булса, у %олда Г = {(х,у): xfj,
— оо с г/С + оо} соланине ихтиёрий олинган (х0, у0) нуцтасидан
(1-21) тенгламанинг I интервалда аницланган битта интеграл чи-
зиги утади.
Исбот. (1.21) тенгламада f(x,y) =я а(х)у 4-Ь(х)уа ва ==
ду
— а(х) + од'(х)уа~1. а>1 булгани учун бу функция Г да узлуксиз.
Демак, Коши теоремасига кура, Г со^анинг ихтиёрий (х0,у0) пукда-
сидан (1.21) дифференциал тенгламанинг битта интеграл чизиги
утади.
Агар у0 = 0 булса, а > 1 булганда Бернулли тенгламасининг
ечими у—О, х£1 булади. Бу хусусий ечимдир. Аммо аС1 булганда
— функция у=0 да узилишга эга ва (х0, 0) нуцтада ечимнинг яго-
ду
налиги бузилиши мумкин. Агар 0<а<1 булса, yss. 0, х£1 функция
махсус ечим булади, яъни у^О нинг ^ар бир ну^таси орцали ка-
мида битта (курилаётган ^олда бирдан ортик) интеграл чизик утади.
Буни курсатиш учун аввал (1.21) ни n]=#0; 1 да квадратураларда
интеграллаймиз. у',^0 дейлик. Дифференциал тенгламанинг барча ^ад-
ларини уа га булиб,
y'~a = z (1.22)
алмаштиришни бажарамиз:
—a du dz
(1—а)г/ 7"==7'>
' dx dx
y^iL^ a(x^yl a +
у = (1 — a)«(x)z + (l — a)b(x). (1.23)
fl If* 4 #
Бу (1.23) тенглама z га нисбатан биринчи тартибли чизикли диф-
ференциал тенглама. Унинг умумий ечими
I С — ч , ч J(l-a)a(x)dx
г = (С + е • (1— a)b(x)dx)e = СА(х) + В(х)
куринишда ёзилади. Бу ерда А(х), В(х) лар / интервалда узлуксиз
функциялар. (1.21) дифференциал тенгламанинг умумий ечими:
z/ = (C/W + B(x))1T“
Arap x—x0, y=yo = O ва 0<7z<;l булса, бу формула ёрдамида
ушбу
1
(С-Л(х0)+В(х0))'"“ =0
тенгламадан С нинг ягона цийматини топа оламиз, яъни С = —
1
—Шундай т^илиб, (хо,О) нуктадан у= (_
Л(Хо) \ Л(х0) / '
интеграл чизик утади.
Равшанки, 0<а<1 булганда (1.21) тенглама у = 0, х£1 ечимга
^ам эга. Бу ечим ^ам (х0, 0) нуктадан утадиган интеграл чизикни
ифодалайди. Демак, 1) Бернулли тенгламаси квадратураларда интег-
ралланади; 2) Бернулли тенгламаси 0 < a <2 1 булганда у =0, х£1
махсус ечимга эга.
2. Риккати тенгламаси.
1.9-та’ъриф. Ушбу
= а(х)у2 + Ь(х)у + с (х) (1.25)
тенглама Риккати тенгламаси дейилади. Бунда а(х), I (х), с(х) функ-
циялар бирор I интервалда аникланган ва узлуксиз булиб, Г =
= {(х,у)\ х£1, —<х><2у<2 +<эо}. Равшанки, агар (1.25) да а(х)=0,
х£1 булса, чизи^ли тенгламага с(х)=0, х£1 булса, Бернулли тенг-
ламасига эга буламиз. Шунинг учун кейинги муло^азаларда I интер-
валда а(х)^0, с(х)^0 деб фараз этилади.
(1.25) дифференциал тенгламанинг унг томони Г сохада аник-
ланган ва узлуксиз булиб, у буйича узлуксиз дифференциалланувчи
(чунки д^х,у) = 2а(х)у + b (х)). Демак, Г сохада Коши теоремасининг
ду
шартлари уринли. Г соланине ихтиёрий олинган (х0, у0) нукдасидан
Риккати тенгламасининг битта интеграл чизиги утади.
Шуни кайд ^иламизки, умуман айтганда, Риккати тенгламаси
квадратураларда интегралланмайди. Дуйида битта хусусий .^олни
келтирамиз.
1.9-теорема. Агар Риккати тенгла’масининг битта хусусий
ечими маълум булса, бу тенглама квадратураларда интегралла-
нади.
Исбот. у = <р(х), х(7 функция (1.25) тенгламанинг бирор хусу-
сий ечими булсин. y=q(x) + z алмаштириш бажарамиз:
dy dq>(x) ] dz
dx dx dx’
= + z]2 + t(x)[<p(x)+a] + c(x).
ax dx
Бундан а(л')[<р(х)]2 + ;(х)ф(х) + с(х), x£l эканини ^исобга
олсак, ушбу
— =! [2н(х)ф (х) + b(x)]z + a(x)z2
dx
Бернулли тенгламаси келиб чикади. Бу тенглама эса квадратура-
ларда интегралланади. 1.9- теорема исбот булди.
Мисоллар куришда баъзи ^олларда Риккати тенгламаси учун хусусий ечимни
бирор куринишда излаш ва уни топиш мумкин булади. Ушбу
= — У2 + 2ху + (5 — х2)
dx
тенглама Риккати тенгламаси булиб, унинг хусусий ечимини <р(х) = ах + b кури-
нишда излаш мацсадга мувофицдир. Бундан
— at а = —{ах + 6)2 + 2х{ах + ft) + (5—х2) ва а= 1, 6=асх
dx
келиб чикади. Текшириш курсатадики, <р(х) = хф-2 ^ам, <р(х) = х — 2 ^ам хусу-
сий ечим булади. Агар <р(х) = х-|-2 ни олсак, тегишли Бернулли тенгламаси
куринишда булади (t/=<p(x) + г = х + 2-рг алмаштириш бажарилган).
1 du
Энди г — —десак, — = 4и-р1 тенгламага келамиз. Бу узгарувчилари аж-
и dx
раладиган дифференциал тенгламадир. Унинг умумий ечими 4и + 1 = Се4х кури-
нишда булиб, и = — ва г= у — (х + 2) алмаштиришлар ёрдамида берилган Рик-
2
кати тенгламасининг*) умумий ечимини ёзамиз:
4
9-§. ТУЛИЦ ДИФФЕРЕНЦИАЛ Л И ТЕНГЛАМАЛАР
Хар бир (1-1) куринишдаги тенгламани символик равишда dy —
— f(x> y)dx = 0 куринишда ёзишни келишиб оламиз. Биз ^атто
бундан умумийpoi4
М (х, y)dx -\-N (х, y)dy = Q (1.26)
тенгламани курамиз. Уни биринчи тартибли ^осилага нисбатан ечил-
ган дифференциал тенгламанинг дифференциал формаси деб юри-
тилади. (1.26) да 7И(х, у) ва N (х, у) функциялар Г со.\ада ани^-
ланган ва узлуксиз.
*) Биз ю^орида Риккати тенгламасини тула урганмадик. Унинг турли хосса-
лари ^акдда, иккита ёки учта хусусий ечими маълум булгандаги квадратуралар
^а^ида тулароц маълумотни В. В. Степановнинг [31 китобидан уциш мумкин.
1.10-таъриф. Агар (1.26) тенгламанинг чап томони бирор
U (х, у), U (х, у) С С1 (Г) функциянинг тулиц дифференциалидан
иборат булса, у %олда (1.26) ту лиц дифференциалли тенглама
деиилади.
Агар (1.26) тенглама тулиц дифференциалли булса, у .^олда
(1.26) тенгламанинг (аницроги, — = —А' (х, у)^=0, (х, у)(Т
dx N (х, у)
тенгламанинг) ^ар бир у — ф(х) ечими учун Щх, ср (л)) = const
айният уринли. Аксинча, бирор интервалда аникланган ва
тенгламадан ошкормас функция сифатида аницланадиган ^ар бир
У — Ф(%) функция (1.26) тенгламанинг ечими булади. Ха^икатан,
г/ = Ф(х) (1.26) тенгламанинг I интервалда аницланган ечими бул-
син. Бунда цуйидагига эгамиз:
М (х, ф (х)) -|- N (х, ф (х)) ф' (х) = 0 ёки — U (х, ф (х)) = 0, х(1.
dx
Бундан U (х, ф (х)) = const экани келиб чикади. Энди у = ф (х)
функция U (х, у) — С тенгламанинг ечими булсин, яъни U (х, ф (х)) =
= С. Буни х буйича дифференциа ллаб, топамиз:
М (х, ф (х)) + Л;(х, ф (х)) ф' (х) = 0.
Бунда г/ = ф(х) функция (1.26) нинг ечими экани келиб чицади.
Юцоридаги (1.26) тенгламанинг чап томони U (х, у) функциянинг
ту лик дифференциалидан иборат булганда (1.27) муносабат (1.26)
нинг умумий ечими (умумий интеграла), U (х, у) функция эса
(1.26) нинг интеграла дейилади. Аммо ^ар доим ^ам
dU(х, у) = М(х, у) dxN (х, y)dy (1.28)
муносабат уринли булавермайди.
1.10-те орема. Агар Г сохада М (х, у), N (х, у) функциялар
аницланган булиб, шу соЦада М (х, у), W (х, у), —, — функ-
циялар узлуксиз бдлса, у хрлда (1.30) дифференциал тенглама ту-
лиц дифференциации булиши учун
(х’ (1-29)
ду1 дх
айниятнинг уринли булиши зарур хам етарли*\
Исбот. Зарурлиги. (1.26) тенглама тулиц дифференциалли
булсин. У ^олда Г сохада аницланган бирор U (х, у) функция учун
(1.28) муносабат уринли булади. Шунинг учун:
dU (х, у) . йАГ ... .
—= м (х, у), — = N (х, у),
дх ду
*) (1.29) шартни Л. Эйлер (1707—1783) топган.
Теореманинг шартига кура
д2и (х, у) = дМ(х, у) дЧЦх, у) = dN(x, у)
дх ду ду ’ ду дх dx
тенгликлардан Г со^ада (1.29) айниятнинг тугрилиги келиб чикади.
Етарлилиги. Энди (1.29) айният Г со.^ада тугри булсин.
(1.26) дифференциал тенгламанинг ту лик дифференциалли эканини
исбот этамиз. М (х, у) функция Г со^ада бирор U (х, у) функциядан
х буйича олинган косилага тенг деб царашимиз мумкин, яъни
М (х, у) = (х, у) € Г. (1.30)
дх
Энди U (х, у) функцияни шундай танлаймизки, N (х, у) = у-
тенглик хам уринли булсин. Унинг учун (1.30) ни х0 дан х гача
интегра ллаймиз:
U(x, у) =J М(х, у) dx-}-((> (у), (х, */)€Г, х0£1. (1.31)
Бу U (х, у) функция учун (1.30) бажарилади. Энди (1.31) ни у
буйича дифференциаллаймиз:
дЩх:у) = fдМ (t:у) dt + q/ (у), (%, у) е г, х0е/.
ду J ду
ХО
(1.29) айниятдан фойдалансак;
SU (х у) = ( dN (I у) £# + ф'(^) = дг (x> y) — N(x0, г/)+ф,(г/).
ду J dt
Хо
Агар <р' (у) = N (х0, у) деб танланса, мацсадга эришамиз. Бу содда
дифференциал тенглама булиб, А (х0, у) функция ихтиёрий (х0, у)£Г
нуктада узлуксиз булгани учун (х0, у) нуктадан ягона интеграл чи-
зиц утади. Масалан, <р (у0) = 0 шартни каноатлантирадиган ягона
ечим
у
ф(#) = f N(x0, s) ds, (x0, г/0)ЕГ, (хв, у) 6 Г
I/O
формула билан ёзилади. Топилган ифодани (1.31) га куйиб, U(х, у)
функция учун
У) =J У) dt + J N (х0, s) ds
Хо У о
ифодани косил киламиз. Теорема исбот булди. Теореманинг етарли-
лигини исботлаш бир вацтда тулик дифференциалли тенгламала рни
интеграллаш усулини кам беради. Аммо машк вактида осонрок усу-
лини цулланса кам булади. Буни мисолда курамиз.
Мисо л. Ушбу (х2 + 2у) dx + (2х + у2) dy = 0 ’’дифференциал тенгламанинг
тулиц дифференциалли экани текширилсии ва интеграллансин.
Тенгламада М = х2 + 2у, N = 2х + у2. Буидан — =2, — —2. Демак, тенг-
ду дх
лама тулиц дифференциалли. Энди уни интеграллаймиз.
dU х* dV
— = х2 + 2у дан и = — + 2ух + <р (у), — = 2х + <р' (у) = 2x-j-y2, q>'(t/)=
Ол О (}Ц
У3
= У2, ф(?/)=’у+С1 келиб чицади. Топилган натижани урнига цуйсак (С± = О
Деб),
U(x, у) = — + 2xt/4- %- = С
о о
умухмий ечимни^топамиз.
Ушбу
М (х) dx + N (у) dy =а О
дифференциал тенглама тули^ дифференциалли, чунки — =— -gQ
ду дх
Содда ^исоблашлар ёрдамида ^уйидагини топамиз:
^ = Ж(х), %=N(y), U = JМ (х)dx + Ф(у),
дх ду
у ф' (у), ф' (у) = N(y).
ду
Дифференциал тенгламанинг интеграли
U=^M(x)dx+$N(y)dy
функциядан иборат. Умумий интеграл эса
Фх(х)4-Ф2(1/) = С *
куринишда булади, бу ерда Фг (х) функция М (х) нинг бирор бош-
лангич функцияси булса, Ф2(#) функция N (у) нинг бирор бошлан-
гич функциясидир.
Агар (1.5) тенгламада f(x) = M (х), g(y)= — N (у) С)
дейилса, ю^орида курилган тули^ дифференциалли тенгламага кела-
миз. Демак, курилган дифференциал тенгламага узгарувчилари аж-
раладиган ва тулик дифференциалли деб царасак ^ам булаверади.
1.11-теорема. (1.26) дифференциал тенгламада М(х, у),
N(x, у), дМ^' у)- ва функциялар Р = {(х,у):х£1х, у£1 у},
РсГ ту ери туртбурчакда узлуксиз булиб, N (х, у)^0, (х, у) СР
вад— = — , (х, у) СР булса, у %олда Р тупламнинг %ар бир берил-
ду дх
ган (х0, у0) нуцтасидан (1.26) тенгламанинг фацат битта ин-
теграл чизиги утади.
Исбот. Теореманинг шартига кура дифференциал тенгламанинг
чаи томони тули^ дифференциалдир, яъни М(х, у)=—, N(х, у} =
ss— . N(x, z/)¥=0, (x, y)£P га кура (1.26) дифференциал тенгла-
Sy
мани
M (•*» У) + N (х> у)у' = °
куринишда ёзиш мумкин. Ундан
du (х, у) _________________________q
dx
^осил булади (— росила и(х, у) дан олинган тулиц росила). Энди
\dx
у(х), х£1х функция (1.26) тенгламанинг ечими булиши учун
и(х, у(х)) = С, х£1х (1.32)
булиши зарур ва етарли. Фаразга кура — N (х, #)=#0, (х, у)£Р.
Шу сабабли, (1.32) ни у(х) га иисбатан бир цийматли ечиш мумкин.
С нинг и(х0, Уо) — С муносабат билан аникланган киймати (1.26)
тенгламанинг (х0, у0) нуцтадан утадиган ягона интеграл чизигини
белгилайди ва у
и(х, у) = и (х0, у0)
формула ёрдамида ифодаланади. и(х, у) функцияни излаш усули
эса аввалги теоремада берилган.
10-§. ИНТЕГРАЛ ЛОВЧИ КУПАЙТУВЧИ
1. Г сохада аницланган бирсрта хам U(x, у) функция учун
(1,28) тенглик уринли булмасин. Баъзи ^олларда (1.26) тенглама-
нинг чап томони уни бирор р(х, у) функцияга купайтирганда ту-
лик дифференциалга айланиши мумкин.
1.11- таъриф. Агар Г сохада берилган М (х, у), N(х, у) ва
бирор р(х, у) функциялар учун ушбу
dV(х, у) = р(х, у) М (х, y)dx+ р(х, у) N(х, y)dy (1.33)
муносабат уринли булса, (1.26) дифференциал тенглама ту лиц
дифференциаллига келтириладиган тенглама, р (х, у) функция эса
унинг интегралловчи купайтуечиси дейилади.
Интегралловчи купайтувчи, агар ундай функция мавжуд булса,
Г сохада нолдан фарцли булади, яъни р(х, у)=А=®, (х, у)£Т.
1.12- теорема. Агар 0=#р(х, у)£С?(Г), М(х, y^&fT),
IV (х, у) Е С1 (Г) булиб, у = у (х), у (х0) = у о функция I интервалда
аницланган х'амда ушбу
ц(х, у) М(х, y)dxA-y(x, у) N(x, y)dy = 0 (1.34)
тенгламанинг ечими булса, у холда уша функция (1.26) тенглама-
нинг хоси шу I интервалда аницланган ечими булади.
Исбот. Шартга кура, р(х, г/(х))=#0, х£1 ва у{х) функция
(1.34) нинг ечими. Демак, ушбу
К(*. У(х))М(х, у(х))+ц(х, y(x))N(x, 'у(х))у' (х) = 0, х£1
айният уринли. 'Ундан М (х, у(х))+ N (х, у(х)у' (х)~0, х£1 ай-
ният келиб чикади. Бу эса у(х) функция (1.26) тенгламанинг ечи-
ми эканини билдиради.
Шуни кайд ^иламизки, (1.34) да р(х, у) функция, умуман айт-
ганда, интегралловчи купайтувчи булиши шарт эмас. Факат р (%, г/)=#
=#0, (х, г/)£Г булиши етарли. Бу теоремадан (1.26) тенглама ту лиц
дифференциалли булмаган ^олда тегишли интегралловчи купайтувчи
р (х, у) =£ 0 ёрдамида хрсил цилинган тулиц дифференциалли тенг-
ламанинг умумий интеграли и(х, у) = С берилган (1.26) тенглама-
нинг хам умумий интеграли булиши келиб чикади.
Энди интегралловчи купайтувчини тулароц урганамиз. (1.34)
тенглама ту лиц дифференциалли булсин. У холда Г сохада
д (и (х, у) М (х, у))д (ц. (х, у) N (х, у))
ду дх
(х, г/)ЕГ (1.35)
айният уринли. Бундан цосилаларни цисобласак
ду ду дх дх
ёки
(dN
ду дх \йх
ду]
ёки р(х, у)>0, (х, у)£Г десак,
d In р щ д In р _ dN дМ
ду дх дх ду
(1.36)
муносабатга келамиз.
1.13- теорема. Агар (1.26) дифференциал тенглама U(x,y)=C
умумий интегралга эга булса, у %олда бу тенглама учун интег-
ралловчи купайтувчи мавжуд булади.
Тт g. т~> dU (х, у) , , dU (х, у) , А .. dU , А
Исбот. Равшанки, ------ -dx Ч--------*—— dy — 0 еки — О,
дх ду ду
dU
(х, у)£Г десак, — =— —. (Кайд киламизки, агар — = — = О,
dx dU ' дх ду
ду
(х, л/) С Г булса, O-dx-f-О-dz/= 0 тенгламадан текисликнинг ихтиёрий
нуктаси ечим була олиши келиб чикади, яъни бу ^олда интеграл-
(5J7\2 idU\%
— I +1 — I =#
dx J \ dy)
Ф 0 масалан, — 0, — = 0, (x, у) £Г булса, биз dx = 0 ёки
\ dx dy j
x— const га эга буламиз. Бу ^олда ихтиёрий вертикал х = const
тугри чизик интеграл чизиц булади.
Иккинчи томондан, (1.30) га кура
dy M
dx~ N'
Шунинг учун
dU dU_ dU
M dx - dx dy
— = еки -тт= -л-.
N dU MN
dy
Бундан
тенгликлар ортали Г сохада аницланган р(х, у) функцияни киритиш
мумкин. Энди
р (Mdx + Ndy) = р Mdx + р Ndy = —dx-\~— dy ~ dU = 0
dx dy
муносабатлардан p(x, у) функция (1.30) дифференциал тенглама
учун интегралловчи купайтувчи экани келиб чикади. К,уйида иккита
теоремани исботсиз келтирамиз.
1.14- теорем а. Агар р (х, у), (х, у)£Г (1.26) дифференциал
тенгламанинг интегралловчи купайтуечиси булиб, U (х, у) функ-
ция шу тенгламанинг интеграли булса, у \олда ихтиёрий
01 (х, у) = р(х, у)Ф(П), Ф (!/(•*. #ЖС1(Г)
функция %ам интегралловчи купайтувчи булади.
1.15- т еорем а. (1.26) дифференциал тенгламанинг ихтиёрий
интегралловчи купайтуечиси ушбу
Hi{х, y) — <D(U)p(x, у)
формула билан берилади, бунда р(х, у) бирор интегралловчи ку-
пайтувчи, Ф эса (1.26) тенглама интеграли U нинг ихтиёрий уз-
луксиз функцияси.
Цайд ^иламизки, бу теоремадан икки катъий фар^ килувчи р ва
рг интегралловчи купайтувчилар маълум булганда дифференциал
тенгламанинг умумий интеграли — = const экани келиб чикади.
О
3. Интегралловчи купайтувчини топишнинг баъзи хусусий ^олла-
рига тухталамиз. Шубхасиз р(х, у)=#0, р(х, у)const. Интеграл-
ловчи купайтувчи фацат х нинг ёки у нинг функцияси булган дол-
лар энг содда доллар ^исобланади.
а) р(х, у) = р{х) булсин. Бунда (1.36) тенглама соддалашади
(д In ц А \
чунки ---— = U :
ду - ]
N d 1п р dN dM
dx dx dy
ёки
дМ dN
din [j. _ dy дх ,
~1Г~ N * (L37)
р (х, у) функция учун ю^орида цилинган фараз (1.37) нинг унг то-
мони факат х нинг функцияси булишидан иборатдир. (1.37) нинг
икки томонини х0 дан х гача интеграллаймиз:
дМ oN
X -----т~
р (х) = Се*° . (1.38)
Бизни бирорта интегралловчи купайтувчи цизицтираётгани учун
С — 1 деса булади.
б) Энди р(х, у) = р(г/) булсин. (1.36) тенглама бундай куриниш-
га келади:
d Inp _ dN_ дМ
dy дх ду
Ундан у0 дан у гача интеграллаш натижасида ((х, 1/е)€Г),
(х, у)€Г) ’
гХЛ"'
— (1-39)
ифодани топамиз.
Мйсоллар. 1. Ушбу
dy
— = а (х) у + Ь (х)
dx
чизицли д! фференциал тенглама берилган булсин. У ни
[о(х ) у + b (x)]Jdx — dy — О
куринишда ёзамиз. Бунда Л4|(х,! у) — а[(х) y-\-b (х), N (х, у) = — 1. Равшанки,
Демак, р = р (х). (1.38) га кура:
-J
р (х) = е Х" . (1Л0)
Шундай цилиб, биринчи тартибли чизшуш дифференциал тенгламанинг интеграл-
ловчи купайтувчиси (1.40) куринишда булади.
2. Ушбу*'
(ху2 — у)^-Х + xdy = 0
дифференциал тенглама тулиц дифференциалли эмас, чуики:
дМ л dN дМ dN
— Ij = i, .
ду дх ду дх
Ammo
дМ dN
dy ~ dx . 2 (лгу—I) 2
M ху*—у у'
Демак, р = р (у) булади. Шунинг учун
И (У) = е
—21п—
До
—- е
еки у0 — 1 деб pi (у) = — интегралловчи купайтувчига эга буламиз.
У
1
У2
Берилган тенгламани иитеграллаш жараёнини охирига етказиб цуямиз. Уни
га купайтириб, ту лиц дифференциалли тенгламани цосил циламиз:
/ 1 \ х
х— — dx-]- — dy=O.
у! t/2
Бу тенглама учуй
X2 X
умумий ечим булади.
в)ц(х, у} = рх (х) р2 (у) дейлик. (1.26) дифференциал тенглама
шу куринишда интегралловчи купайтувчига эга булиши шартини чи-
царамиз. (1.36) дан
ёки
М’ 1 dp2 W-L rf|t| — dN дМ
- p2 [dy Pj dx dx dy
^-^ = ^ф(х)-Мф2(у) (1.41)
dy ox 1
га эгамиз, бу ерда
= (1-4&
p2 [dy px dx
Шундай килиб, агар — — — ифода (1.41) куринишда ёзилиши
dy dx
мумкин булса, у ^олда (1.26) тенглама р = ц, (х) у„ (у) куринишда
интегралловчи купайтувчига эга булади, бунда рх(х) ва р2(у) функ-
циялар (1.42) формулалар ёрдамида топилади:
p1(x) = eJ , p2(J)=eJ
Мисоллар. 1. Ушбу
' (х) М2 (у) dx + Ni (х) Nz (у) dy = О,
МАуУ^О, АМх)^0, (х, i/КГ, х£Гх> у£1у
дифференциал тенглама рх (х) н2 (у) куринишда интегралловчи купайтувчига эга.
Дакпцатан, агар
ГЛ' (х, у) = (х) Лг2 (у) десак, ^_ау=Л)1М*м. ду дх dy dx 1 dM2 (ух 1 dNJb) = Мг (х) М2 (у) —— N, (х) /V, (у) —1 = 1(7 М2(у) dy М sU" ^(х) dx 1 dM2 (у) 1 dNAi) = М(х,у) ~—N(x,y) 1 М2(у) dy 7/7 ^(х) dx
Бундан 1 dN^x) 1 dM2(tji tlW--., ,, . % ,2U> (x) dx M2 (y) dy
ёки 1 dp-! 1 dN± 1 du2 1 dM^ px dx dx ’ p2 dy M2 dy
ёки 1 _ 1 P1_^(x)’ м2(у)'
Демак, 1 11 (x, y) — JVX (x) M2 (y)
Берилган тенгламанинг икки томонини шу функцияга купайтирсак, узгарув-
чилари ажраладиган
Mi(x) N2(x) dx -4— dtf — 0 (X) M2 (X)
дифференциал тенгламага келамиз. Унинг умумий интеграли
[Ml м
J (X)
(Ч(//)
J М2 (у)
dy = С.
dx.+
2. Ушбу
1 2
(у4 — 4х//) dx + (2ху3 — Зх2) dy = O, х > 0, у > О, •— у3 < х<— у3
4 3
дифференциал тенглама интеграллансин.
Бу тенглама тулиц дифференциалли эмас, чунки
дМ SN
М = у1 — 4ху, N = 2 ху3 — Зх3 ва -— = 4t/s—4х, — = 2и3 —'fix
ду \дх
дМ dN
муиосабатлардан — Ф — тенгсизлик келиб чикади.
ду дх
Берилган дифференциал тенглама р (х, у) = рх (х) р2 (у) куринишдагв интег-
ралловчи купайтувчига эга, чунки
дМ
ду
л.у 2 2
— = 4у3 — 4х — (2у3 — 6х) == (2ху3 — Зх2 у — —(у*—4ху)---
дх ' х у
.,2 2
= N —
X у
2 2 (“dx f “dy
Бундан ipi (x) = —, ф2 (y) = —ва px (x) =e x = x2, ]i2 (y) = eJ y = y2-
x У
Демак, интегралловчи купайтувчи р (х, р) = х2р2 куринишга эга (берилган
тенгламани р = х2у2 булганда тулик^ дифференциаллига келтириб, сунгра унн ин-
теграллаш китобхонга мустакил иш урпида топширилади).
Машц бажараётганда баъзи ^олларда интегралловчи купайтувчи
р(х, z/) = |i(x, у}, у(х, у) = р (—1 р(х, &) = у(х2 — у2)
\ X )
ва бошка куринишларда изланиши мумкин.
г) (1.26) дифференциал тенгламада М(х, у) ва N (х,у) функ-
циялар Г со^ада аникланган, дифференциалланувчи ва т- тартибли
бир жинсли булсин. У х^олда (1.26) тенглама
Р(*> У) = U-43)
хМ + yN
куринишда интегралловчи купайтувчига эга. З^ацицатан,
7И (х, у) = х'пМ fl, A Al (х, У) = xmN f 1, -Ц
\ х ] \ X }
ва
хтМ f 1, ~\dx + х"‘ N (l, —} dy = 0.
\ X I \ X I
Arap — = и десак, xmAI(l, и)dx -|- xmN(1, u) (xdu + udx) = 0 ёки
[xmM (1, u) + ux,nN (1, u)] dx + xm+ W (1, u) du = 0.
Бундан интегралловчи купайтувчи учун
• у> xm+Ipvf(l,u)+uZV(l,[u)]
формула келиб чицади. [Берилган тенглама учун аввалги белгилаш-
ларга цайтиб, (1.43) формулани ^осил киламиз.
д) 1.15-теоремага кура, (1.26) дифференциал тенгламанинг их-
тиёрий интегралловчи купайтувчиси рг (х, у) = Ф (U) у (х, у) форму-
ла билан ёзилиши мумкин. Бу формула интегралловчи купайтувчини
топиш учун аввалги булимларда баён этилган усуллардан фарц ци-
ладиган усулни цулланишга олиб келади. Янги усул цуйидагидан
иборат: (1.26) тенгламани шартли равишда иккига буламиз:
(х, у) dx + (х, у) dy] + [М2 (х, у) dx + N2 (х, у) dy] = 0,
бунда Мг + М2 — М, Ny -|- N2 = N. Сунгра ушбу
Mydx -|- Nydy = 0, M2dx + N^dy = 0
тенгламаларни айрим- айрим курамиз. Албатта, бу дифференциал
тенгламалар учун интегралловчи купайтувчини нисбатан осонлик би-
лан топа оламиз, деб ^исоблаймиз. Тегишли тенгламаларнинг интег-
ралловчи купайтувчиларини мос равишда рх ва р2, интегралларини
эса Ut ва U2 дейлик. У ^олда ю^оридаги формулага асосан хар бир
дифференциал тенглама учун ихтиёрий интегралловчи _ ку пайтувчи-
ни
Р] =Р1Ф1(£А), Р2 =P'2<I,2(^2)
куринишда ёзиш мумкин. Oi ва Ф2 ларнинг ихтиёрийлигидан 'фойда-
ланиб, уларни шундай танлаймизки, ушбу
Р] == Р-2 = В
муносабат уринли булсин. У ^олда р функция берилган (1.26) диф-
ференциал тенглама учун интегралловчи купайтувчи булади. Амалда
(pj ёки Ф2 функцияни 1 га тенг цилиб олиш мумкин.
М и с о л. Ушбу (ху2 + у4) dx + (х2 — ху3) dy — 0, х > О, у > 0, х > у3 диф-
ференциал тенгламанинг интегралловчи купайтувчиси топилсин.
Бу тенгламани
у3
d (ху) + — (ydx — xdy) == О
х
* у
куринишда ёзиш мумкин- Ундан P j = Pi Фх (ху) = Фх (ху). — (ydx — xdy) = О
1
тенглама учун р2 = экаиини в) булимдаги усул билан исботлаш мумкин.
* X
Энди |ij = р,2 булиши учун Ф2= 1 десак,
* 1
р2 = Ф1(ху)=—=р
л у
1
х2 у2
келиб чикади. Демак, р
функция берилган дифференциал тенглама учун
интегралловчи купайтувчи булади.
11-§. ПИКАР ТЕОРЕМАСИНИНГ ИСБОТИ*)
Аввал (1.3) бошлангич шартни цаноатлан тира диган ва ]х—х0|^й
ёпиц интервалда аницланган ечимнинг мавжудлигини, сунгра бу
ечимнинг ягоналигини исботлаймиз.
Исботга бевосита утишдан аввал баъзиёрдамчи тасдикларга тух-
таламиз. Г со^ада Р = {(х,у): |х—х0| \у—г/0| < 6} ёпиц тутри
туртбурчакни курайлик. Г да узлуксиз булган f(x,y) функция шу
Р да ^ам узлуксиз булади. Р ёпиц булгани сабабли f(x, у) унда
чегараланган булади. Энди
max |f(x,#)| = М, М > О
(х,у}еР
булсин. Шу Р тугри туртбурчакнинг ихтиёрий (х,^) ва (х,у2) нуц-
талари учун ^ам (L) тенгсизликнинг бажарилиши равшан (1.2-
теореманинг шартига кура). 1^айд циламизки, (х0, у0) € Р нукта Р
Э. Пикар (1856—1941) мавжудлик теоремасини 1893 йилда кетма-кет яцин-
лашиш методи билан исбот ^илгаи.
тугри туртбурчакнинг марказидан иборат. [Энди (1.1) дифференциал
тенгламанинг (1.3) бошлангич шартни цаноатлантирадиган ва |х—
— х0| < h, h^a ёпиц интервалда аницланган ягона ечимининг мав-
жудлигини исбот лаймиз. Бунинг учун биринчи цадам дифференциал
тенгламадан интеграл тенгламага утишдан иборат.
I. У=Ч>(х) (1.1) тенгламанинг |х— х0|^й интервалда ани^ланган
бирор ечими булиб, у (1.3) бошлангич шартни цаноатлантирсин. Шун-
дай экан, биз ушбу
sf(x,q>(x)) '(1.44)
айниятга эгамиз. Бу ^олда ф(х) функция учун |х — х0|< h интер-
валда
X
<р( х) У0 + f f (т> Ч> (т))^т (1-45)
Хо
интеграл айният урин ли. Аксйнча, агар бирор узлуксиз <р(х) функ-
ция учуй |х — x0|</i интервалда (1.45) айният уринли булса, Ушол-
да у=ф(х) функция дифференциалланувчи, (1.1) тенгламанинг ечими
ва (1.3) бошлангич шартни цаноатлантиради. Бошцача айтганда,
(1.45) интеграл тенглама (1.3) бошлангич шарт билан бирга олинган
(1.1) тенгламага эквивалент. Бу тасдикни исботлайлик.
(1.45) муносабат уринли булсин. Унда х=?х0 деб <р(х0) = у0 ни ^осил
рилами з. Шундай цилиб, (1.45) дан (1.3) бошлангич шарт келиб чи-
кади. Равшанки, (1.45) айниятнинг унг томони х буйича дифферен-
циалланувчи, шунинг учун унинг чап томони ^ам х буйича диф-
ференциалланувчи булади. (1.45) ни дифференциаллаш натижасида
(1.44) айниятни ^осил циламиз.
Энди (1.3) ва (1.44 ) муносабатлар уринли булсин. (1.44) ни х0
дан х гача интеграллаб
X
(р(х) — ф(х0) = J f(r, ф(т))4т
Хо
ни ^осил ^иламиз. (1.3) га кура, бундан (1.45) ни ^осил циламиз.
Тас д иг; исботланди.
II. (1.1) дифференциал тенгламанинг (1.3) бошлангич шартни цано-
атлантирадиган ва |х — х0| й интервалда аницланган ечимининг мав-
жудлигини курсатиш (1.45) интеграл тенгламанинг худди шундай
ечимининг мавжудлигини курсатишга келтирилди. Тавсия этиладиган
метод ёрдамида аввало ечимнинг мавжудлиги исботланса, кейин у
ечимни берилган аникликда тацрибан г^уриш мумкинлиги ^ам кур-
са™ лади.
Бошлангич (нолинчи) я^инлашиш сифатида у0 ни кабул ^иламиз.
Р^уйидаги
X
УМ= y0 + ^f(l,y0)dl,
х0
X
у£х) = Уо + f f(g, у АЖ,
х0
(1-46)
упМ = Уо + f №,yn-i (У)
х.
цоида билан у Ах), УАХ), - •» Уп(х), • • функцияларни дурамиз.
Улар «маълум маънода» тацрибий ечимлар булади. Бу функциялаР
цуйидаги хоссаларга эга:
1) Равшанки, уk(xQ) = yQ(k= 1,2, . . .). Демак, ^ар бир y=yk(x),
k= 1,2, .. . функциянинг графиги (х0,у0) нуцтадан утади.
2) Агар h = min f a, ~j булса, |х—х0| С h интервалда аниклан-
ган yk(x), 6=1,2, . . . функцияларнинг графиги Р тугри туртбурчак-
дан чикиб кетмайди. Ха^катан, элементар муло^азалар ёрдамида
h нинг аникланишига кура цуйидаги тенгсизликларни ^осил кила-
миз:
к(*) - 6<М|<] 1 М|х- х0| Ь,
X<j х0
|&(х) - Уо1 -1f ЫУ М < f lf(Ui®)| М\х - x^Mh^b*
Xq Xq
\уп(*)-Уо\ = I f №,уп_АЖ < if If&s/zUm < м|х-х0| ^Mh^b,
х0 х0
Энди ys(x) функциянинг графиги Р дан чицмайди, дейлик.
лс
Унда ff(Lyb(y)^ интеграл аникланган ва |f/s(x) — z/0| < тенгсиз-
Хо »
лик уринли булади. Шунга асосан
k+I -f/ol=I f yt (ё) \d ё| < | f If(l,y,(S))| <£| м |x—x0| < Mh < b
Xo Xo
муносабатга эга буламиз. Шундай цилиб, агар бирор натурал s сони
учун ys(x) функциянинг графиги Р дан чикмаса, яъни (х, ys(x))EP> У
^олда s+1 учун ^ам (x,t/s+I(x))EP булади. Демак, кулланилган мате-
матик индукция методи (x,yk(x))£P, k = 1,2, . . . эканини исбот этади.
3) yk(x) (/г = 1,2, . . .) функциялар |х—х0| h интервалда ани^-
ланган ва узлуксиз. ^ацикатан, равшанки,
&i(*) = £/o +ff(£>i/<M
ХО
функция |х—х0| С h интервалда узлуксиз, чунки f(x,y) функция уша
интервалда узлуксиз. Шунга ухшаш, f(x,yi(x)) функция л;ам |х—
— х0| < h интервалда узлуксиз булгани учун У;(х)=Уо 4- f (£, yL(Q)d£,
xf>
функция ^ам уша интервалда узлуксиз булади. Долган ys(x), . . .,
У„(х), . . . функцияларнинг тегишли интервалда аникланганлиги ва
узлуксизлиги математик индукция методи билан осонгина исботла-
ниши мумкин.
III. (1. 46) функциялардан тузилган {^(х)} функционал кетма-
/ Ь \
кет лик |х—х0| h, h = min ~1 интервалда текис якинлашади.
Буни исботлаш учун
Уо+1У1(х)—Уо1 + [£/г(*)—У1(х) 1+ • • • + [уп(х) — t/„_!(x)] 4- . . . (1.47)
функционал каторни курамиз. Равшанки, /г- хусусий йисинди Sk(x)=
— yk(x). Arap (1.47) цатор текис яцинлашувчи булса, ундан {//^(х)}
кетма-кетликнинг тегишли интервалда текис якинлашувчилиги келиб
чикади.
Энди (1.47) цаторнинг л;ар бир щадили ба^олаймиз:
ll/iW — Уо1 С М|х — х0\,
1£/г(х) - У1(х)| [f(g, у№)
х0 х0
Интеграл остидаги айирма учун ^Липшиц шартини цулланамиз ва
|У1(х) — Уо\ учун топилган ба^одан фойдаланамиз:
\уМ - У1(х)| L f[ 1 у&) - у0\ dg| с LM И |ё - х0|^|
V J Z.'
-*о Xq
Шунга ухшаш,
k(x)-s/2(x)| =|J[ftg,i/2©)-fa,i/1(y)]^| |j |f(Li/?(g))-
хв Хо
X X
-Га,У1)©)|^ I < LI [ |Х—х0|3.
J J Z 0
\ Хо х0
^Математик индукция методи ёрдамида ихтиёрий натурал п учун
куйидаги тенгсизликни топамиз:
1Уп(х) - Уп-!(х)1 < jx-x/. (1.48)
п!
|х—х0|^й интервалдан олинган х лар учун
|У1(*) — Уо| <
। । ft2
k(x) — У1(х)|<АШ —,
hs
\ys(x) — y?(x)\
муносабатларга келамиз. Бундан куринадики, (1.47) функционал ка-
торнинг ^ар бир ^ади мусбат ^адли
ОО fak
А=1
(1.49)
сонли цаторнинг тегишли ^адидан катта эмас. (1.49) катор эса Да-
ламбер аломатига кура яцинлашувчи, чунки
(fe—О-' 1 1- Lh n
limML — . , .—— = lim — ==0<l.
M hk~' MLk~2 k-*", k
Шу сабабли, (1.47) катор Вейерштрасс аломатига кура /х—хв|^й
интервалда текис яцинлашувчи ва демак, {уА(х)} кетма-кетлик ^ам
текис якинлашувчи булади. Бу кетма-кетлик уша интервалда бирор
узлуксиз У(х) функцияга текис я^инлашади, яъни
lim уп(х) = У(х), х0—h < х < х0 + h.
k-^oo
Энди У(х0) = у0, (х,У( ¥))£₽, |х— х0| С h эканини исбот этамиз.
Хакицатан,
У(х0) = lim f/ft(x0) = lim у0 = у0, яъни У(х0) = у,,
k—*оо k—*оо
Ушбу |yfc(x)—у01 < Ь тенгсизликда (/г->оо да) лимитга утамиз’
|У(х)—f/0| < b. Бундан (х, У(х)) £ Р келиб чицади.
IV. |х—х0\ С h интервалда аницланган У(х) функция (1.45) ин-
теграл тенгламанинг ечими эканини исботлаймиз.
Юцорида исбот этилгани буйича {t/fe(x)} кетма-кетлик \х—х0\ < h
интервалда У(х) функцияга текис яцинлашади. Демак, ихтиёрий
е>0 учун шундай N = N(e) натурал сон топиладики, k нинг fe>/V(e)
цийматлари учун |х — х0| h интервалда ушбу
\yk(x) — У(х)|<е
тенгсизлик уринли булади. Липшиц шартидан фойдалансак, цуйида'
гини .^осил циламиз:
XX X
I Q(g,^(g))dg-1 f(g),y(g))dg I I Ji КЕ,^(Ю)—7(Е,У(6» I dl I <
Xg Xq Xq
X
< 11L. | yk(Q — У (£) I \ C Le | x — x01 Leh 0, агар s -> 0 булса.
Шунинг учун /г—> оо да ихтиёрий х учун ушбу
X X
Ш yk(№^’№, У(Ж, jх~х0| ей
х0 х0
муносабат уринли. Энди (1.46) да (п->оо да) лимитга утамиз:
X
Y(x)=y0 + { /(ё),У(ёМ, |х-х0| ей-
-*•0
Бундан У(х) функциянинг (1.45) интеграл тенгламанинг ёки унга
эквивалент булган (1.1) дифференциал тенгламанинг |х— х0|ей ин-
тервалда аникланган ва У(х0) = у0 бошлангич шартни каноатлантира-
диган ечими экани келиб чикади.
V. Энди |х—х0| е й интервалда аницланган ва У(х0) = у0 шартни
^аноатлантирадиган г/=У(х) ечим ягона эканини исбот этамиз. Фа-
раз ци лай лик, у = Z(x) — ушбу Z(x0) = у0 бошлангич шартни цано-
атлантирадиган ва бирор |х—х0| е d, d^a интервалда аникланган
ечим булсин. |х—х0[ е й ва |х — х0| е^ интерваллар умумий х0 нуц-
тага эга. Уларнинг умумий кисмини |х — х0|ей*, й* = ппп{й, d}
деймиз. Биз шу |х—х0| е й* интервалда У(х) =Z(x) айниятнинг урин-
ли эканини исбот этамиз. Бунинг учун |х—х0| е й* интервалда аниц-
ланган и(х) = |У(х) — Z(x)| > 0 функцияни курамиз. Сунгра шундай
мусбат сон е ни оламизки, у е<ппп ^й*,^-| тенгсизликни цаноат-
лантирсин. Биз У(х) =Z(x) айниятнинг тугрилигини [х0, х0 + е] ин-
тервалда курсатамиз. Бу интервалнинг бирор т нуцтасида и(х) функ-
ция узининг максимумига эришади. Уни т дейлик, яъни
max tz(x) = tz(r) = tn.
[x 6 [x0> x0 -p e]
Содда алмаштиришлар ёрдамида ушбуни топамиз (х£[х0,х0 + е]):
X X
и(х) = |У(х) —- Z(x) | = | V(B,Y(x))dg-f f(g,Z(SM| е
Хо Хо
X X
< iflf&W- f(g. 2(ё)И|е Ц[|У(£)—z®\dg|e
х0
Хо+е
е L| u(£)dE| е Lm е,
х0
ЯЪНИ
ц(х) е Lme,, xg[x0, х0 + е]. (1.50)
Агар т=0 булса, бундан tz(x) eO келиб чикади. Ammo и(х)> О
(киритилиши буйича) тенгс'изликни цаноатлантиргани учун [х0,х0 4- е]
дан олинган барча х лар учун охирги икки тенгсизликдан u(x) es О
•кани келиб чицади. Агар т>0 булса, (1.50) да х=т деб шейте
ёки Le> 1, га эга буламиз. Аммо е нинг танланишига кура Ае<1.
Биз шу тенгсизликка зид булган тенгсизликка келиб колдик. Демак,
фацат /и==0 булиши мумкин. Биз [х0,х04~е] интервалда Y(x)esZ(x)
айниятни исбот этдик. Жумладан, У(х0 + е ) = Z(x0 + е). Бу ций-
матни уг дейлик. Равшанки, х0 4- е<х0 -|-h*. Биз е>0 ни шун-
дай танлашимиз мумкинки, х0 + 2е<х0 + h* булади. Энди [х0 + е,
х0 + 2е] интервалда ^ам У(х) = Z(x) айният уринли эканини кур-
сатиш мумкин. Муло^азалар худди ю^оридагидек булади. Шунга
ухшаш е>0 ни кичиклаштириб бориш ^исобига х0 + h* га етарли
яцин булган х0 + &е (k — натурал сон) сонни ^осил цилиш в а [х0+
+(/г—1)е, х0 +/ге] интервалда бир хил У(х0 + (&—1)e) = Z(x0 +
+(k—1)е) = бошлангич шартни каноатлантирадиган У(х) ва
Z(x) ечимлар устма-уст тушишини исботлаш мумкин. Шундай ци-
либ, [х0, х0 + /г*] интервалда У(х) = Z(x) айниятнинг уринли экани
исбот этилди. Худди шундай муло^азаларни [х0 — h*, х0] интер-
вала ^ам татбиц этиш мумкин. Демак, |х—х0| h* интервалда
}z(x) = Z(x) экани исботланди.
Эслатиб утамизки, h* — h булганда ягоналик исбот этилди де-
йиш мумкин. h*=d булсин дейлик. Бу х;олда d<Zh булади. Агар
У(х) ва Z(x) лар Y(x0+d) = Z(x0 + d)= yd бошлангич шартни ца-
ноатлантирадиган ечимлар булса, унда [х0 + d, х0+й] интервалда
У(х) = Z(x) айният уринли булади. Буни курсатиш учун яна юцо-
ридагидек муло^аза юритиш лозим булади, факат e<min (й,
дейилса етарли. Шундай муло^аза [х0—h, х0 — d] интервал учун
юритилиши мумкин. Шундай цилиб, |х—х0| h интервалда аниклан-
ган ва У(х0) = у0 шартни каноатлантирадиган ечим ягона булади.
VI. Биз ечимнинг мавжудлигини ва ягоналигини |х—х0| ин-
тервал учун исботладик. Агар бу интервал у = (р(х), (р(х0) =г/0 ечим-
нинг ани^ланишининг максимал интервалидан иборат булмаса, у
^олда бу ечимни давом эттириш мумкин. ^акицатан, <р(х0+й) = у{0}}
дейлик. Равшанки, (х04-/г, у{01^) нуцта Г со^анинг ичида ётади. Бу
^олда Г га тегишли
тугри туртбурчак ^уриш мумкин. Мг = max f (х, у) деймиз. Агар
(х. у} С
бошлангич кийматлар сифатида xw,y^ ни ь^абул килсак, исбот
этилганига кура (1.1) тенглама |х— й1 = тш ах,
интервалда аницланган ва у(ху>)=у[Э бошлангич шартни каноатлан-
тирадиган ягона ечимга эга булади. I = [х0 — /г, х0 + h] интервал-
нинг учи билан = [х^—hlt х^’+М интервалнинг уртаси устма-
уст тушади (чунки х<1>= х0 + h). Шу нуктада х<ар икки ^урилган
ечимлар бир хил киймат цабул дилади. Ягоналикка кура бу ечим-
лар [ П А интервалда устма-уст тушади. Аммо Ц интервалнинг яр-
ми (х^1), x^’ + ZiJ I дан ташкарида ётади. К.урилган ечим шу ин-
тервалда аввал I интервалда курилган ечимнинг давоми булади, дей-
миз. Агар ф(х(0*> + десак, (х<02), у№) £Г,х<2)=хШ + бул-
ганда х<2>, у(2) бошлангич кийматларга эга булган в а /2 = [х<2>—h2,
х^2)+/га], h2 = min ^а2, интервалда олинган ягона ечимни куриш
мумкин. 12 ^ам 1г га нисбатан ва / интервалларга ухшаш жой-
лашган булади. 1г П12 да янги ечим аввалги (А да аницланган) ечим
билан бир хил булади. 12 нинг иккинчи ярмида эса аввалги ечим-
нинг давомига эга буламиз. Шунга ухшаш муло^азалар х нинг ка-
маювчи ^ийматлари учун кам олиб борилиши мумкин. Курсатиш
мумкинки, шундай давом эттиришлар ёрдамида Г со^анинг чегара-
сига исталганча яцин бориш мумкин, яъни ечим мавжудлигининг
максимал интервалини топиш мумкин.
Шундай килиб, 1.2- теорема тула исбот булди.
VII. Энди кетма-кет ядинлашиш ёрдамида дифференциал тенгла-
манинг аник ечимини унга пг- якинлашиш билан (y,Jx) билан) берил-
ган аникликда алмаштиришга тухталамиз. Ушбу
Ут(х) + [ут+1(х)-ут(х)] + [ут+2 - Ут+1.] + . . .
функционал каторни курайлик. II булимдаги муло^азаларга кура
((1.48) тенгсизликларга царанг) бу цатор У(х) функцияга |х — х0[ < h
да текис якинлашади. Демак, |х—х0| h интервалда
= Ут(х)+ [Ут+1 (х) — ут(х)] + [ут+2(х) — ут+1 (х) ] + . . .
Бундан, (1.48) тенгсизликлардан фойдалансак:
ёки
II /73
(т-р 1)! ’г (т+2)! 1* Х°1 +
келиб чикади. Бу (1.51) тенгсизлик ут(х") функциянинг аник ечим
У(х) дан фаркини бах/элайди. Агар |х—х0| h эканини кис°бга ол~
сак, х—х0| С h интервалнинг каР бир нуцтасида ушбу
|У(х) — у (х)| С LmMhm+l [ —!-+ + . . . 1 (1.52)
IU Ут\ Л L(m+l)!^(m+2)! (m + З)! J
муносабат уринли. (1.52) да M.,L ва h — маълум микдорлар, т эса
талаб этилган аницликдан топилади. Агар кар бир х£[х0 — h, х04-й]
нуктада |У(х)—ут(х)\ < е тенгсизлик бажарилиши талаб этилса, у
Колда пг ни топиш учун
LmMh + + (от+2)! + (m+З)! + е П -53)
тенгсизликни ечиш лозим булади. ?Амалда цулланиш учун (1.51) ва
(1.52) тенгсизликлар урнига уларга нисбатан ^уполрок, лекин цулай-
poi^ тенгсизликлардан фойдаланилади. Ушбу
£И(Х)=|Ф)~ Ут(х)1> "г=0,1, • . •
белгилашни киритамиз. Равшанки, /п>1 булганда:
6m(x)= |ВД-ym(x)|c|jW, W-f(g, ^(W^
*0
IJ|f(l, (OMI c L|if (0<
Xo • x0
Бундан
E1(x) L\ J e0(M LM\ |g-xM| =
Xq xq
82(x) Llf E1(0 <£\ L2M] fdg| =
*0 Xq
»„w <I-if em_,(B)dei «= /-mAi ~^ll)l"+', m_i,2,..
Xq
Шундай килиб, ушбу
e0(x) ==s M\x—x0|,
e (x) ^LmM I*"*«Г+1, m = 1,2, . . .
(m+1)!
(1-54)
тенгсизликларга эгамиЗ. Бундан |x—x0| h интервалда m ->oo да
e«(x) 0 келиб чицади.
M и с о л. Кетма-кет якинлашиш методи ёрдамида
dy
— = х—у, Г = Р= {(ад): 0 х < 1, 0 " у < 1}
дифференциал тенгламанинг j/(o)=l бошлангич шартни цаноатлантирадиган та^ри-
бий ечими топилсин ва 4- якинлашишнинг хатоси ^исоблансин.
j/0(x) = 1 [дейлик,
X
У= 1 +
о
дан
С* Х^“
J/i=l+ (B-l)dg= 1-х+ -,
J z!
и
, X3 -X4
J/3=l—х+%2—у + —,
J/4 = 1 — X + X2
ХБ
120
ларни ^осил ^иламиз. Берилган дифференциал тенгламанинг унг томони х ва у
ларнинг ихтиёрий цийматларида аницланган, узлуксиз ва у буйича узлуксиз диф-
ференциалланувчи. Шунинг учун бирор Р туч ри дуртбурчакни олайлик:
Р = {(*,#)•’ 0 < х < 1, 0 < у .1}.
У ^олда h = min
, М = max lf(x,y)l га кура
М = 2, h = min! 1, —I = —
I 2 J 2
Бунга ухшаш — = — 1 булганидан
ду
df(x,y) 1
L = max ---------- = 1 булади. Шундай цилиб, 0 < х < —, хо = О интервалда
(x.i/)fP ду 2
ушбу
е4(х) = |У(х) - j/4(x)| < 1*. 2- £ =
о! 6U
муносабат уринли. Шу интервалда хатоликни топамиз:
1 1
е4 = max е4(х)=-------= ----~ 0,0005.
4 „ 1 ' 60-32 1920
0<x<v
Куриниб турибдики, 4-яцинлашиш билан аниц ечим 0 х< —
х учун купи билан га ФаРЧ КилаР эк ан. Демак, 0,0005
< х < —интервалда аниц ечим урнида 4- яцинлашиш j/4(x) ни
интервалда ^ар бир
хатолик билан 0 ;
олиш мумкин.
Mating 1. — = Зх — — дифференциал тенгламанинг Р{(х,у): — "х < 2, 0<
— dx х 2
< j/<2} тупламда j/(l) = 1 шартни каноатлантирадиган ечими учун иккинчи ядин-
лашиш j/2(x) топилсин ва хатолик ^исоблансин.
dy
2. — = х2 + £/2 дифференциал тенглама учун
р = {(-ад)-- — 1 => х < 1, — 1 < у 1}
тупламда j/(0) =0 шартни цаиоатлантирувчи иккинчи яциплашиш у2(х) топилсин
ва хатолик ^исоблансин.
3. — — х—у2 дифференциал тенглама учун Р ={(х,у)\ 0 'х .. —, — 1<£/ 1
dx х,
тупламда j/(0) = 0 шартни цаноатлантирувчи учинчи яцинлашиш £/3(х) топилсин ва
хатолик ^исоблансин.
4. — == у, —оо < у < оо дифференциал тенглама учун J/i(x), уг{х)........
dx
V т(х) • кетма-кетлик тузилсин ва У(х) = lim у^х^ топилсин-
т^»оо
12-§. ДАВОМСИЗ ЕЧИМЛАР
1.1 6-теорема. (1.1 ^дифференциал тенглама берилган булиб, f(x, у)
ва функциялар R2 текислигининг Г сохасида аникланган ва
ду
узлуксиз булсин. У урлда: 1) (1.1) дифференциал тенгламанинг Г
со х. ад ан олйнган ихтиёрий берилган х0, у0 бошлангич цийматларга
эга булган давомсиз ечими мавжуд-, 2) агар (1.1) дифференциал
тенгламанинг бирор давомсиз ечими унинг бирор бошца ечими би-
лан х нинг хрч булмаса битта цийматида устма-уст тушса, у
%олда давомсиз ечим уша ечимнинг давоми булади-, 3) агар (1.1)
дифференциал тенгламанинг икки давомсиз ечими х нинг хеч бул-
маганда битта цийматида устма-уст тушса, у %олда бу ечимлар
айнан устма-уст тушади, яъни улар умумий аницланиш интерва-
лига эга булади.
Исбот. (х0, у0) нуцта Г со^анинг ихтиёрий нуцтаси булсин.
х0, Уъ бошлангич кийматларга эга булган шундай у = ср (х) ечимни
цурамизки, бу ечим (1.1) дифференциал тенгламанинг шу бошлангич
цийматларга эга булган ихтиёрий ечимининг давоми булади. Бу би-
лан теореманинг 1-цисми исбот этилган булади.
(1.1) дифференциал тенгламанинг хс, у0 бошлангич кийматларга
эга цар бир ечими учун уз аникланиш интервали бор. Бундан ечим-
ларнинг аникланиш интервалининг чан учлари тупламини гг*, унг
учлари тупламини эса г2* дейлик. т1~ inf г т, = сир г?
(т.! — — оо, т2 = + оо доллар цам булиши мумкин). Энди х0, у0
бошлангич цийматларга эга ва mk[интервалда [аниклан-
ган у = ср (х) ечимни цурамиз. х* нукта шу интервалнинг ихтиёрий
нуктаси булсин. Аниклик учун х0 х* дейлик. тг сон тупламнинг
аник говори чегараси булгани учун (1.1) дифференциал тенглама-
нинг х0, у0 бошлангич цийматларга эга булган ва аникланиш интер-
вали х* ни уз ичига олган у = ф(х) ечими [мавжуд. Энди <р (х*) =
=ф (х*) деймиз. х* да (р(х) функциянинг киймати тасодифан танланган
Ф(х) ечимга боглйц эмас. Хакицатан, агар у = ф(х) урнига у = y(x),
у.(хс) = У о функциями олсак ва х* бу функциянинг аникланиш интер-
валига тегишли булса, у цолда Коши теоремасига кура ф(х*) = 7. (х*)
га эга буламиз. Шундай цилиб, # = <р(х) функция тг< х<т2
интервалда бир кийматли аницланган. Шу билан бирга у =ср(х)функ'
ция учун <р (х0) = уй ва бу функция (1.1) тенгламанинг ечими, чун-
ки цурилишга кура у = <р (х) функция < х < т.2 [интервалнинг
цар бир х* нуктасига яцин нуцталарда (1.1) тенгламанинг бирор
ечими билан бир хил булади.
Эндиг/=<р(х) функция (1.1) дифференциал тенгламанинг х0, у0
бошлангич кийматларга эга булган ва /у < х < г2 интервалда аниц-
ланган ечими булсин. >У цолда r£rf, r2£r2* [Ва гт^г^, г.2^т2-
* (х0) = <р(х0) булгани учун Коши теоремасига кураг1<х<г2
интервалда ср (х) = <р(х).
Бундан у = (р (х) ечим г/ = ср(х) ечимнинг rl<Zx<Zf2 интервалдан
ташцарига (mt<z x<Zm2 интервалгача) давоми экани келиб чикади.
Курилган y = q>(x) ечим давомсиздир. Бундай булмасин дейлик.
у = яр(х) ечим у = ср (х) ечимнинг давоми булсин. Унда х0, у0 ни
у == яр(х) ечим учун бошлангич ^ийматлар килиб олиш мумкин. Юко-
ридаги исботга кура у = <р(х) ечим у = яр(х) ечимнинг давоми (<р (х)
нинг к;урилишига эътибор беринг!) Бу муло^азалардан у = q(x) ечим
у = я}:(х) нинг ва аксинча, у — яр (х) ечим у = <р (х) ечимнинг давоми
экани келиб чикади. Демак, у = ср (х) ечим ягона давомсиз ечим.
Теореманинг 1) цисми исбот булди.
у=<р(х) давомсиз ечим булиб, бирор бошк;ау = q:(х) ечим би-
лан бирор х* нуцтада устма-уст тушсин: <р(х*) =q>(x*). У ^олда х*,
у* давомсиз у = q(x) ечим учун ^ам, у=ср(х) учун ^ам бошлан-
гич цийматлар булади. Шунинг учун юкорида исбот этилганига ку-
ра а/ =ф(х) ечим у — q>(x) ечимнинг давоми булади. Бу билан
теореманинг 2) я^исми исботланди.
Агар у = <р(х) ечим давомсиз булса, у ечим юцоридаги муло^аза-
ларга кура у = ср (х) ечимнинг давоми булади. Шунинг учун <р(х) ва
<р (х) ечимлар тула устма-уст тушади. 3) цисм ^ам исбот булди.
Демак, 1.16-теорема тула исбот этилди.
Натижалар. 1) (1.1) дифференциал тенгламанинг ихтиёрий
бошлангич цшшатларига эга булган z/ = <p(x) ечими Коши теоре-
масининг шартлари бажарилганда давомсиз у = ср (х) ечимгача да-
вом эттирилиши мумкин. Шу маънода давомсиз ечимлар диффе-
ренциал тенгламанинг барча ечимларини уз ичига олади;
2) агар Г со\а чегараланган булса, mt еа т2 лар чекли булади;
3) агар Пикар теоремасининг шартлари факат %амма нуцта-
лари билан Г сох ад а ётган Р тус ри туртбурчакда уринли булиб
цолмай, балки ихтиёрий Р*, Р* cz Г тугри туртбурчакда уринли
булса, у хрлда |х — х01 С h интервалда аницланган ва х0, уь бош-
лансич цийматларга эга булган у=(р(х) ечимни давомсиз ечимга-
_ча давом эттириш мумкин. Бунинг исботи ю^оридаги теореманинг
исботига асосланади;
4) агар у=(р(х) (1.1) дифференциал тенгламанинг давомсиз
ечими булиб, унинг мавжудлигининг максимал интерва..и т1<
<х<т2 булса, у цолда у = ср(х) ечим х~>тл ва х~>т2 да Г
соланине чегарасига интилади.
М и с о л. Ушбу
dy' 1
[dXj у-—1
дифференциал тенгламанинг <р(0)=0 бошлангич шартни цаноатлантирадигаи давом-
сиз ечими цурилсин.
Аввало
У) = -A"Ba
л
Берилган тенгламанинг барча ечимлари
У3
F(y)=x+C ёки -у — у = х +С
муносабат билан ёзилади. Бошлангич шартга кура С=0. Равшанки, р2—1=0 дан
2 2 2 2
р=±1, F(—1)=-у, F(l) =— -у. Энди тх = — -у, т2=-у дейлик. Агар
2 2
х— х< ~у интервалда узгарса, у — 1 < х <1 интервалда узгаради. Шу
2 2 J/3
---у< х <~з~ интервал -у—у=х ечим учун ани^ланишнинг максимал интервали
р3 2 2
булади. Демак,-у— у — х ечим —-у < х < "у интервалда давомсиз ечим бу-
лади.
У3
Агар q)(xo)=O, булса, С~^0 ва С=-—х0. Бу холда -—у=х—х0 ечим
О
узунлиги -у га тенг булган ани^ланиш интервалига эга, яъни — -у — х0 < х <
2 2 2 р3
-у — х0. —-у — х0, т2=-у — х0. Шундай цилиб, -у—У = х — хо
2
ечим —-д
х0 < х < у —х0 интервалда давомсиз ечимдир (13-чизма).
13- чизма.
14- чизма.
Курилган мисолда т1 ва т2 лар чекли.
Машк. Ушбу-~^- = х 2, х>0 дифференциал тенгламанинг <р(0)=0 бошлаи-
n*'4S И.Й 1 ах
гич шартни;^аноатлантирадиган давомсиз ечими топилсин ва унинг аницланиш ин-
тервали учун т1=0, т2=4-оо экани курсатилсин (14-чизмага царанг).
2-боб
е-ТА^РИБИЙ ечим. дифференциал ва интеграл тенгсиз-
лик лар
1-§. 8-тацрибий ечим. эйлер синиц чизиеи
1. (1.1) дифференциал тенглама берилган булиб, унда f(x,y)
функция Г сохада узлуксиз булсин.
2. 1-таъриф. Агар бирор I (очиц, ёпиц, ярим очиц) интервал-
да аникланган ср (х) функция учун ушбу
1°. (х,ср(х))ЕГ, х(7;
2°.
1-тур
лажи;
3°.
<p(x)£C(Z), (p(x)gC1(/\S) {бунда S туплам функция
dx
узилишга эга булган ёки мавжуд булмаган нуцталар туп-
~КХ, 4>(х)) I xtf\S.
dx |
4°. S — чекли тупла'М,
туртта шарт уринли булса, у %олда <р(х) функция I интервалда
(1.1) дифференциал тенгламанинг г-тацрибий ечими дейилади.
Таърифдан кх'ринадики, е = 0 ва S = 0 булганда = f(x, <р(х)),
dx
xQI булади. Бу ^олда 1.4-таърифда берилган ечим таърифини ^о-
сил циламиз.
Куйида биз е-такрибий ечимнинг мавжудлиги масаласига тухта-
ламиз.
2.1- теорема. Агар f(x,y) функция Г сохада ётган Р =
~ {(Х>У): I х — хо I *5 а< IУ — Уо I С &} ёпиц tnijcpu туртбурчакда уз-
луксиз булса, у \олда ихтиёрий мусбат е учун (1.1) дифференциал
тенгламанинг \ х—х0 ] < h, h = min f a, — \ M = max I f(x,у) I uh-
\ M ) (x.
тервалда <p(x0) = y0 бошлангич шартни цаноатлантирадиган e- тац-
рибий ечими <р(х) мавжуд.
Исбот. е>0 берилган булсин. xnsgxsgx0 + /i интервалда
е-тацрибий ечимни цурамиз (х0 — h х х0 интервалда тегишли
ечим тунга ухшаш цурилади). Ушбу
Ph = {(*>#) : I х~хо I /1> | У — Уо | 6}. Pt = {О’#): л'о х -Y0
| г/ — z/01 sg тугри туртбурчакларни цурамиз. Равшанки, PhczP,
Pt dP. f (x,y) функция ёниц P тупламда | узлуксиз булгани учун
шу тупламда текис узлуксиз булади. Демак, ^берилган е>0 буйи-
ча шундай 6(e) > 0 тониладики, агар {х,у)бР, (х, у)£Р нукталар учун
|# —#| ^6(е)
тенгсизликлар уринли булса,
If Ом/) — f (х, у)] ==; е (2.1)
тенгсизлик ^ам уринли булади. Бу муло^азадан кейинрок фойдала-
намиз.
Энди хь х2, . . . , хп_г ну^талар ёрдамида [х0, х0+/г] интервални
шундай п та булакка буламизки, ^ар бир [х^р х^ интервалнинг
узунлиги ушбу
шах | xk — xftl | < minf 6(e),— Y k = 1,2, ..., n; xn = x0 + h
тенгсизликни цаноатлантиради.
(x0, Уо) нуцтадан бурчак коэффициента М ва — М га тенг бул-
ган икки тугри чизик утказиш мумкин. Бу тугри чизиклар учун
М = tga = булсин. Агар h = а булса, Л4 = 1г = ~ бул-
ганда М
— булади. Демак М > Бундан келиб чица"
М
15 - чизма.
зикнинг [Л'о, xj интервалга мос
дики, Pit тугри туртбурчакда ’(х0, у0)
нуцтадан утувчи М ва —М
бурчак коэффициентли тугри чи-
зиклар У — Уо —1) ва У ~ У о + b
горизонтал тугри чизиклари билан
абсциссаси х С х0 + а, х = х0 + h
булган нукталарда кесишишади. У
нукталарни В ва С, (х0, у0) нуц-
тани эса А дейлик (15- чизма).
Хосил булган АВС учбурчакни
Bit1, Ph1 cz Pt деб белгилаймиз.
(*о, Уо) нуктадан утувчи f(x0, у„)
бурчак коэффициентли тугри чи-
кесмасини чизамиз. Тугри чизиц-
нинг чизилган бу булаги Pt1 учбурчакда ётиши равшан. Унинг тенг-
ламаси у — у0 = Ц'хо’Уо) (х — х0) куринишда, х = х± тугри чизш;
билан кесишиш нуцтасининг координаталари эса
(*1, У1) = (х1г уй + f (х0, у0) (Xj — х0))
булади. Сунгра (хн yj нуктадан утувчи f(xn yj бурчак коэффи-
циентли тугри чизицнипг [Xj, xj интервалга мос кесмасини чизамиз.
Унинг тенгламаси у — yi = f(xlt yt) (х — лу) куринишда, х = х2 тугри
чизиц билан кесишиш нуцтаси координаталари эса
(х2, у2) = (х2, yY + f (xlf Уг) (х2 — xj)
каби булади.
Шу усулда давом этсак, х0 < х < х0 + h интервалда аникланган,
графиги Р^1 учбурчакдан чицмайдигап синик чизиц чизиш мумкин.
Унинг учларини До = А, А = (хи У1), ...» Ап_1 = (xn_t, уп_х),
Ап~(хп, уп) = (х0А~ h, уп) деб белгилаймиз. ^осил булган А0АгАг
. . . А/,_! Ап синиц чизицни <рп(х) дейлик. Бу функция изланган, ку-
рилиши лозим булган е-тацрибий ечимдир. Шуни исбот этамиз.
2.1-'таърифнинг шартларини текширамиз.
1° шарт бажарилади, чунки (х,фп(х)) с: Р+cz Р. Агар
{xlf х», ..., хп1} тупламни S десак, 2 шарт [х0, х0+/г]\5 тупламда
бажарилади.
Энди 3° шартни текшириш цолди. [xft_pxj интервални курамиз,
k= 1, 2, ... п. Агар цар бир [xft_p х/;] интервалда 3° шарт бажа-
рилса, у ^олда [х0, х0 + h] интервалда у = Чп(х} функция учун 3°
шарт бажарилади. Равшанки, [xft_p xj интервалда
|Х— A-J < maxI*fe—min(6(e), ±^<6(е).
xk—i х xk интервалдан ьбирор х ни слайлик. Шу интервал учун
№ W > <Рл*’ i) + f (xk-v Vk—№~ *A-1)’
фпЬ) (x) = № (xA_,)+ f(xft_p yk_J (x — Xfc l). (2.2)
Бундан
I Ч’п*’ (x) — <pJ,A) (x) | = | f(xk_v yk_x)1.| x — x | 7И |x — x |.
Arap x = хй-1 булса,
(x) — (V-i) I < MIx “ xk-\ I M min (б (e). =
= min (2И6(е),6(e)) sg 6(e).
Демак,
l<’ W-Ф? (xA_1)|^6(e).
Маълумки, хл—1<х<хА интервалда
^ф^’(х) = f(xft_p (Pjx^)).
Энда | ^$Xx)—f(xdn W)
тервалда (2.1) га кура
ифодани бацолаймиз. xJfc_1<x<xA ин-
^ЧпХх) — Кх> ^(х)) | = I ’ (xk_J) — f(x, ^пХх)) | <е
келиб чицади. k га 1, 2, . . . , п цийматлар берсак х;ам шу тенгсиз-
лик уринли булади. Демак, (х0, x04-/i)/S тупламда 3° шарт бажа-
рилади. 4° шарт уз-узидан бажарилган.
Юцорида цурилган Ао Аг . . . Ап синик чизиц <рп (х) — е- ечим
булиб, уни Эйлер сишщ чизиги дейилади.
Синик чизицпинг Ао А1г АгА2 . А„ булакларини
О). CV). • • • . <#”(*)
деб белгиласак, <рп(х) = (J <рО>(х) булади. )^ар бир q/')(x) ни топиш
учун (2.2) формула цулланилади.Т<рп(х) ечимни кулайлик учун е - тац-
рибий ечим деб атаймиз.
Виз Еп-такрибий ечимни Р± тугри туртбурчакда Бурдик. Тегиш-
ли ечим Рп = {(х,у):х0— гЮО0, \у — уй | С b } тупламда ^ам
^урилиши мумкин. Шундай цилиб, Ph тупламда <рп(х0) = у0 шартни
каноатлантирадиган еп- тацрибий ечимни ^урилди деса булади. Шу
билан теорема исбот булди.
dy
Mamiy — = cos х
dx
дифференциал тенглама берилган булиб,
г/о=0 булсин. h = min
5л 5л
1*1 — , I J/| < —
О о
= {(*.{/): 1*[ < л,
л \ 5л
- ~ булгани
з / 6
*4
л -2л
= -Г’ =
„ _ , 5л п
О х интервални х± = —,
6 6
\у\ ' “Г . *о = 0,
О )
учун Ри = {(*,{/):
ЗТ JT
х2=— х3= —
ну^талар билан булайлик. Масала бундай ^уйилади:
_ [5л
Теоремада келтирилган усу л билан 0 : х < — интервалда Эйлер синщ
6
Зл
чизиги <Гв (*) ^урилсин ва х = нукдада хатолик ^исоблаисин.
2. 2- т аъри ф.
цияларнинг
Агар | х — х01 h интервалда аницланган функ-
Ш, Ш................ш, • (2.3)
функционал кетма-кетлиги учун шундайb узгармас сон топилсаки,
барча натурал п сонлари^ва | х — х01 h интервал учун
I f„(^) I ь
тенгсизлик уринли булса, у ^олда (2.3) кетма-кетлик спиц |х—х0| sgh
интервалда текис чегараланган дейилади.
2.3-таъриф. Агар ёпиц |х — х01 < h интервалда аницланган
функциялардан тузилган (2.3) кетма-кетлик берилган булиб, цар
цандай е > 0 учун шундай б > 0 топилсаки, барча п лар учун
ix' — х" | < б тенгсизлик бажарилганда ушбу
lfn(*')-fn(*")l<e
тенгсизлик уринли булса, у цолда (2.3) кетма-кетлик текис дара-
жали узлуксиз дейилади.
2.2-теорема (Асколи—Арцел теоремаси). Агар (2.3)
кетма-кетлик чекли | х — х01 h интервалда текис чегараланган
ва текис даражаш узлуксиз булса, у холда (2.3) кетма-кетликдан
$ша интервалда текис яцинпашувчи цисмий кетма-кетлик ажратиш
мумкин.
2.3-теорема. Агар ёпиц |х— хс| сh интервалдаузлуксиз бул-
ган функцияларнинг (2.3) кетша-кетлиги шу интервалда текис
яцинлашувчи булса, у хрлда бу кетма-кетлик текис чегараланган
ва текис даражали узлуксиз булади.
Бу теорем аларнинг исботи математик анализ дарсликларида бор
булганидан унга тухталмаймиз. Аммо бу теоремалардан келажакда
фойдаланамиз.
1.3-теореманинг исботи. Шундай {en}, еп>0 сонлар кетма-кет-
лигини оламизки, п->оо да е0 булади. 1.18-теоремага кура (1.1)
дифференциал тенгламанинг | х—х01 h интервалда аникланган
Фп(х) = у0 бошлангич шартни цаноатлантирадиган ва графиги Ph туп-
ламдан чицмайдиган еп-такрибий ечим бор ва бирор х, х0 — h х
< х0 4- h учун
| ф»(х) — (х)| <Л4|х — х|
(2.4)
Гринли. Энди х = х0 дейлик. У цолда | х~ х01 h Шу-
нинг учун
I Ч>„ (*) ~ Фя(хо) I С 7И | х—х0 — Ь.
Ушбу
тенгсизликдан
|ф„(*)| А-Ь
келиб чицади. Бу {фп(х)} кетма-кетликнинг текис чегараланганлиги-
ни тасдиклайди. Юцоридаги муло^азалардан Хфп(х)} кетма-кетликка
2.2-теоремани цулланиш мумкин.
{ф^(*)} кетма-кетлик {<рп (х)} кетма-кетликдан ажратилган ва
бирор узлуксиз <р(х) 'функцияга текис яцинлашувчи булсин. 1^улай-
лик учун {ф„А(х)} ^исмий кетма-кетлик учун ^ам {<рп(х)} белгини ишла-
таверамиз.
(2.4) дан п->оо да | <р(х) — <р(х)|^Л4|х—х|.
е„- тацрибий ечим учун тегишли интеграл тенгламани ёзамиз:
АГ
Ф„(^) = Уь + J(fa, Ф„ (е)) +
X.
(2-5)
(*)
dx
бу ерда | А„(х) | =
f (х,<рп (х)) < еп, х£{ | х — х01 < й}\5,
△„(*) = 0» x£S. Энди {ф„л(х)} цисмий кетма-кетликни олайлик:
Ф„.(х)—><р(х). (2.5) га асосан <р (x)=z/0 + J (f(g, <р (g) + Д (g))dg ни
R. К К tc
Хъ
ва £->оода ея—>-оо эканини ^исобга олсак:
X
<pW = «/o+J f(L<p(5)X-
ХО
Бундан <р(х0) = у0. f(x,y) функция Р да узлуксиз булганидан =
dx
= f(x, <р(х)). Демак, <р(х) функция <р(х0) = у0 шартни ^аноатланти-
ради ва |х— x0\^h интервалда (1.1) дифференциал тенгламанинг
ечими. Теорема исбот булди.
2.2.4-теорема. (1.1) дифференциал тенгламада f(x,y) функция
Р(Р с Г) тугри туртбурчакда у буйича L константа билан Лип-
шиц шартини цаноатлантирсин. Агар Фх(х), <р2(х) функциялар I
интервалда (1.1) тенгламанинг мос равишда е1- ва е2- тацрибий
ечимлари булиб, I интервалдан олинган бирор т учун ва Цациций
сон 6^0 учун
!<Р1(т)— <р2(т)| (2.6)
тенгсизлик уринли булса, у хрлда I интервалнинг барча нуцтала-
рида ушбу
| <р.(х) —tp2(x)| 6eL|x Т' + -р( 4 —e = ei + ei (2-7)
тенгсизлик уринли булади.
Исбот: Аввал т С х, х£1 интервални курайлик (х С т, х(Л
^олда муло^азалар шунга ухшаш булади). cpx(x) ва <р2(х) функция-
лар ех- ва е2-тацрибий ечимДулгани учун {х : т < х, х £ /}\5 тупламда
1^- -f(x, ф/хПке,,
| dx I
^W_f(x, <p2(x))ke2
I dx I
уринли булади. Бу тенгсизликларнинг икки томонини т дан х гача
интегралласак:
I Ч\(х) - Фг(т) - [f0>, 44 (m < I JI - №. 44 (g))z^ I <ех(х-т),
‘ т * т ё
1 х х W I
ф,(х)~ ф2(т)— Jf(L<P2(£M pd J f(L<P2(£)) p£ ^е8(х—т).
т ‘ т
^ар икки тенгсизликликнинг унг ва чап томонларини ^адма-^ад
кушиб, ех + е_, = е, <pt (х) — <р2(х) = q(x), | q(x)\ = q(x) десак ва
маълум |а — р| |а| + | р| тенгсизликдан фойдалансак, цуйидагига
эга буламиз:
|<7(Х)— <7(т)— J[f(£,q>i©) — <еС* -т).
т
Бундан
Iфо|—i?(t)I — _f[f(B,<PiQ))—г(в,<р2(дав 9(т) —
- Jif(g,<Pi(g)) - /а.<р2аж
тенгсизлик уринли булгани учун
X
9(Х) <7(т) + JI f(g, <px(g)) — f(g, <p2(g)) [ d£ + e(x — T )
T
муносабат келиб чикади. f(x,y) функция Липшиц [шартини каноат-
лантиради. Шунинг учун q(x) <?(т) + L\q(g)d£, + е (х| — т).
Агар охирги тенгсизликда ф(х) = <?(т) + е(х’—т), <р(£) = <?(£),
X = L деб, кейинги параграфда исботланадиган (2.9) тенгсизликни
куллансак ва q(x) < б эканини ^исобга олсак, ушбу q(x) С 6eL(x—т> +
4- у- (eL{x т) — 1) тенгсизликни ^осил циламиз. Биз (2.7) муносабат-
ни т < х, х СI интервал учун исботладик. Агар х т, х СI интер-
вални курсак, тегишли интеграллашлар х дан т гача олиб бсрилади ва
q{x) < бе (е~ Цх~^- 1)
тенгсизликни ^осил циламиз. Икки ^олни умумлаштириб ёзсак, (2.7)
муносабатга келамиз. 2.4-теорема исбот булди.
1-натижа. Агар ег тацрибий ечим учун ср, (х) = Y(х), х £ / бу-
либ, Y(x) (1.1) дифференциал тенгламанинг аниц ечими булса, у
уолда 6—>0, е2->0 да <р2 (х) ->>Y (х) булади.
}\ацицатан, (2.7) дан У(х) — ф2(х)| 6eL,*~T| + (eL |JC-T| — 1).
Агар б—>0, е2->0 булса, изланган муносабат ^осил булади.
2-натижа. (2.7) тенгсизликдан ягоналикни исботлашда фой-
даланиш мумкин.
Ушбу г/ = Ф1(х) ва J/ = <p2(x) функциялар (1.1) дифференциал
тенгламанинг бир хил х0, уй бошлангич кийматларга эга булган ва
тегишли /ъ 12 интервалларда аницланган икки аниц ечими булсин.
Равшанки, х0 С Л. П/2, <Pi(x0) = <р2(х0). Шунинг учун | <р±(х) — <р.2(х0) |<
< б дан 6 = 0 экани, «р/х), <р2(х) ларнинг ани^ ечимлигидан ех =
= 0, е2 = 0 экани келиб чикади (2.7) га кура /х П L интервалда
<Pi(x) <р2(х).
2-§. ИНТЕГРАЛ ТЕНГСИЗЛИКЛАР
Мазкур параграфда баъзи му^им интеграл тенгсизликлар ва улар-
нинг кулланилиши билан шугулланамиз.
1. 2.5-теорема. Агар t\ х г2 интервалда аникланган ва
узлуксиз <p(x)>0, О ва Х(х)>0 функциялар учун
<р(х) Jx(B)<P<S)dB
(2-8)
муносабат уринли булса, улар учун гг < (х) г2 [интервалда ушбу
X X
ф(х) ^ф(х) + Jx(g) £(ё) ехр( Jx(u)du)d| (2.9)
r* £ '
муносабат %ам уринли булади. (2.9) тгнгсизлш^Ъеллман тенгсиз-
лиги деб аталади.
X
Исбот. q(x) = JxX£)<P(g)dB Деб белгилаймиз. Равшанки,
q(r1) = O. Бундан —— % (х) <р (х) келиб чикади. Энди
dx
dq(x)
dx
= X(x)q>(x),
X W q (x) = x (x) j X (s) <p (s)ds
системани курайлик. Биринчи тенгламанинг чап ва унг томонлари-
дан мос равишда иккинчисини айириб, (2.8) дан фойдалансак,
— 7 (х) q (х) < xW* (х).
т
Бу тенгсизликнинг икки томонини e§x(u)du га купайтириб, гх дан х
3
гача интеграллаймиз:
т т х
х У%(и)йи J X («) du х J
уад/ ^-jx(^)e d^jx(£)WS
г* Г, rt
Чап томондаги биринчи интегрални булаклаб интеграллаймиз:
t X т
f%(u)dux х х х
q^e^ 11 + |^)х dt, - Jx(Bk(£)? dg < Jx (g)$ (g)X
>1 Г» rt rt
T
X e- dg.
Бундан
^•/_(u)du
q(x)eX
7.(.“)dn
келиб чикади. Энди бу
сак.
тенгсизликнинг икки томонини е
Jx(K)<fu
' га бул-
Шундай ^илиб,
т т
fa(u)du—JxWdu
> х =
fa,(u)du
(2.8) дан cp(x)— ip(x) булгани учун охирги муносабат (2.9)
нинг узидир.
Биз ^уйида^Гронуолл — Беллман тенгсизлигининг тез-тез учраб
турадиган икки хусусий ^олини таъкидлаб утамиз.
2.',6- теорема. Агар t\ х г.2 интервалда аницланган, узлук-
сизц(х) >0, х > 0 функциялар ва бирор узгармас сон ОО учун
X
ф(х)<С + fx(g)<p(g)rfg (2.10)
«•i
тенгсизлик уринли булса, у цолда шу г± х’< г2 интервалда
X
<p(x)J < С exp J X U) ft (2.11)
rt
тенгсизлик ^ам уринли булади. Бу тенгсизлик Гронуолл тенгсиз.
лиги деб’юритилади.
2. 7-те орем а. Агар rt < х^г2 интервалда аниуланган ва уз-
луксиз <р (х) функция учун а > 0, р > 0 ихтиёрий узгармас булганда
<р(х)^](а<ра) + р)с£ (2.12)
^1
тенгсизлик Уринли булса, у %олда х г2 интервалда
1) <р(х) — ( еа(х~Г1)— 1 Y агар а>0, р > 0 булса; (2.13)
2) <р(х)^Р(х — гх), агар а = 0, р2>0 булса, (2.14)
тенгсизликлар %ам уринли булади.
2. Энди Гронуолл тенгсизлиги ^улланиладиган ягоналикни исбот-
лашга дойр масала курайлик. Бирор гх < х г2 интервалда _ аниц-
ланган x(t) ва y(t) функциялар мос равишда ушбу
^=f<t,x), x(t0)=x0,
at
= fit, у}, y(t0)=y0, t0^t^T
at
Коши масалаларининг ечими булсин, бунда f(t,x)£C(T).
Бу ^олда ушбу
t
х (0 = х0 4- (s,x(s)) ds,
to
t
y(t) = Уь + ,f f(s,y(s))ds
to
интеграл айниятлар уринли. Бундан куйидагига эга буламиз:
t
|х(/) — y(t) I I х0 — у01 + I j| f (s, X (s)) — f (s, y(s)) I ds |.
(C, Lip) деб t0 C t^T интервалда узлуксиз ва иккинчи аргументи
^буйича Липшиц шартини цаноатлантирадиган икки аргументли функ-
циялар тупламини белгилайлик. Агар f(t, х) С (С, Lip), яъни k > О
ва (t, хх) 6 Г, (t, х2) С Г учун;
I f (t, *i) — ШЛ2) I < k | х1 — x. |
тенгсизлик уринли булса, у ^олда ю^оридаги тенгсизликни
t
|х(0 — у(01 <1*0— Уо1 +1 — ^(s)[ds|
to
куринишда ёзиш мумкин. Агар (| х0 — у01 = z(t0) = С, | x(s) —'y(s) | =
= z(s),
I *(0 — У(01 = z(t) десак, t > t0 булгани учун
t
z(t)^C+\kz(s)ds
to
тенгсизликка Гронуолл тенгсизлигини татби^ этиб, ушбу
t
J kdi
z(t) < Ceh = Cew~t,>}
муносабатни ^осил циламиз. Бундан x(te) = y(t0) =? х0, | х0 — у0| —
= 2(/о) = С=0ва охирги тенгсизликдан z(t) = O, гяъни x(t) = y(t)
айният келиб чикади.
Arap t0 t Т интервалда ^узлуксиз ’/.(/)> О функция мавжуд
булсаки, (t,xL) С Г, (t, х2) С Г нукталар учун ушбу
|f(*. xj —f(/,x2) |^ £(/))%! —х2|
тенгсизлик ^ринли булса, аввалгидек муло^азалар ёрдамида
t
I *(0 — y{t) I I *0 — Уо I + f k (т) I x(s) — y(s) I ds
^0
тенгсизликка келамиз. Бундан Гронуолл тенгсизлигини татбиц этиб
t
Jfe(T)dT
\x(t)-y(t)\^Ce'
муносабатни хосил циламиз. Агар С = | х0 — у01 = 0 булса, бундан
х (0 = y(f), t0 t.< Т айният келиб чикади.
Мазкур параграф охирида ягоналик ^акида яна бир му^им тео-
ремани келтирамиз.
Ягоналик теоремаси. Агар f(x,y) С С, (х,у) g Г булиб,'(х0,г/0)£Г
нуктанинг бирор атрофида ушбу
У1)~f(x, y2)\(x — x0)^k\y2 — y1\, 0</г<1 (2.16)
тенгсизлик уринли булса, у \олда (1.1) тенглама y(x0) = yv
шартни цаноатлантирадиган купи билан битта ечимга эга.
Бу теоремами 1909 йилда 0 < k < 1 учун Розенблат, 1926 йилда k = 1 учун
Нагумо (юцоридаги тенгсизлик цатъий булганда) исботлаган, вт шцоят, 1928
йилда Перрон теоремами |х —х0| < а учун
I /1 (х, у2) — f (х, уг) | (х — х„) | у2 - ty | (2.16)
тенгсизлик бажарилганда исботлаган.
Исбот. Дифференциал тенгламанинг у = <р (х), у — ф (х) ечим-
лари |х — х0|г^а интервалда аницланган ва бир хил бошлангич ^ий-
матларга эга булсин, яъни <р (х0) = ф (х0) = у0.
F(x) = £W2Z±W, х^Хо
X— х0
деб белгилайлик. Равшанки, Лопиталь цоидасини цулланиб, цуйида-
гини топамиз:
PimF(x)= lim = f(x0, y0) — f(x0, уо) = 0.
Х-*Х9 Х-^Хо 1
Шунинг учун (агар F (х0) — 0 деб х.исобласак) F (х) функция | х —
— х01 а интервалда узлуксиз ва х = х0 да нолга тенг булади.
Шу F(x) функция |х—х0|^а да айнан нолга тенг эканини ис-
ботлаймиз. Фараз этайлик, F(x)^40, |х — х0|<а булсин. У ^олда
| х — х01 а да шундай х* нукта топиладики, унда | F (х) | функ-
ция узининг максимумига эришади, уни Q дейлик. Равшанки,
0<Q#=0. Содда ^исоблашлар курсатадики, (2.16) га кура
0<Q =
ф (хй:) — ф (хл)
Хд
I [f(x, 4>(x)) — f(x, Ф W)]dx)|
1
I X* — Х0 |'
Ф (x) — ф (х)
'О
dx —
| | F (х) | dx.
Ха
О
F (х) функция |х — х0| а интервалда узгармас булмагани учун
ГТ• 1 ! I lF(x)ldxl<Q
I Л* л() I J ,}
*0
булади, шунинг учун Q < Q. Бу зиддиятлик теэремани исбот этади.
. 3-§. МАКСИМАЛ ВА МИНИМАЛ ЕЧИМЛАР
2:4-таъриф. f (х, у) функция бирор Г coyada аницланган
ва узлуксиз булсин. Агар у = у° (х) функция Коши масаласининг
давомсиз (мавжудлигининг максимал интервалида аницланган) гчи7
ми ва у(х) функция уша масаланинг ихтиёрий ечими булиб, бу
ечимлар учун мавжудлик интервалларининг умумий цисмида
У(х)<\у\х) (2.17
тенгсизлик уринли булса, у хрлда у = у° (х) ечим Коши масаласи-
нинг максимал ечими дейилади.
Минимал ечим тушунчаси ^ам шунга ухшаш киритилади. Фацат
(2.17) урнига г/(х) > у0 (х) тенгсизлик ишлатилади.
Таърифни мисолда тушунтирайлик. 1-бобнинг2-§ ида ушбу
2
^ = у3, z/(—2)= I
dx
Коши масаласини курган эдик. Интеграл чизицлар абсциссага ури-
ниб^утадиган кубик параболалардан иборат булиб, у = 0 чизиц цар
бир нуцтасидан саноцсиз интеграл чизицлар утадиган ечим эди.
(—2, 1)1нуцтадан утадиган кубик парабола У = \-С Г абсцисса уци
А,< Ар
16- чизма.
билан (—5, 0) нуцтада кесишади
Абсцисса уцининг шу нуцтадан
а5 чаи томондаги цисмини А8 ва
интеграл чизицнинг (—5, 0) нуц-
тадан юцори шохчасини А8АвА7 дей-
х. лик (16-чизма). У цолда Aj^AgAgAj
(3/0)а5 чизиц юцорида цуйилган Коши ма-
саласининг ечими булади ва мав-
жудлигининг максимал интерва-
ли (—оо, +оо) булади. Бошцача
айтганда бу ечим давомсиздир. Ик-
кинчи томон дан, айтилган ечим
максимал ечим. Буни курсатиш цийин эмас. у0 (х) = Л1Л8Д6Д7 десак,
(—2, 1) нуктадан утувчи ихтиёрий у = у(х) интеграл чизик учун
у(х0) = у°(х0) = у0 ва [—5, —2] интервалда у°(х) = у(х). Энди у (х)
сифатида Л9Л8ЛС интеграл чизи^ни оламизми ёки А11А10А8А6 ихтиёрий
интеграл чизикни оламизми, барибир, тегишли интервалда г/°(х) >
>г/(х) тенгсизлик уринли. Агар у(х) сифатида Л6/17 ёйни олсак, у
^олда [—2, 4-оо) интервалда г/(х) = г/°(х) булади. Демак, берил-
ган Коши масаласининг ихтиёрий ечими у(х) ва олинган давомсиз
г/°(х) ечим орасида тегишли интервалда (2.17) муносабат уринли.
Демак, у° (х) = AjAgAgA? ечим максимал ечимдир.
Ушбу
2
£/(3) = 0
ах
Коши масаласи учун А1А2А3 = у° (х) чизи^ максимал ечимдир
(16- чизма).
Шунга ухшаш, минимал ечимни .^ам тушунтириш мумкин. Ае =
= (--2, 1) ну^та учун у0(х) ечим Л9/18Л(1Л7 чизи^дан, Л8 = (—5, 0)
нукта учун эса Л9Л8АгА чизи^дан иборат булади. Шунингдек, А2
нукда учун А4АА5 чизик хам минимал ечимдир (16-чизма).
Бу курилган мисолда абсцисса у^ида ечимнинг ягоналиги бузи-
лиши мумкин эди. Энди Г со^анинг барча нукталарида ечимнинг
ягоналиги бузилмайдиган мисол курайлик. Ушбу
dy
Т=У>
dx
//(0) = 0.
Кошй масаласи учун t/°(x)’==O,
— > < х < + оо ечим максимал
ечим булади. Шу билан бир вакт-
да у минимал ечим хам булади,
яъни у°(х) = 0, — v <;х<со.
)(акикатан, куйилган Коши маса-
ласининг ихтиёрий (г1; г.,) интер-
валда аникланган у(х) ечими учун
у(х) =у°(х)=у0(х) (17-чизма).
Шунга ухшаш, агар 4/(1) = е
бошлангич шартни каноатлангира-
диган интеграл чизикни олсак, 17-чизма.
уни — со < х < + со интервалга
давом эттириш мумкин, 4/°(х), у0(х) ечимлар учун 4/°(1) = 4/0(1) = е,
У0 (х) = Уо (х) ва улар — со <Z X <Z + со интервалда давомсиз булади.
17- чизмада А = (1, г), у(х) = ДА1А, у'1 (х) у0(х) =А ^A.A^Ag
ва (г1; г„) интервалда у°(х) = у0(х) = у (х).
2.8- т“еорема. f0(x, у), ft(x, у), f,(x, у), . . . , [п(х, у) . . .
кетма-кгтликни ташкил этувчи функциялар Р- ~{х, у):х0 х
^х0А-а, \у — у о | турри туртбурчакда узлуксиз булиб,
{fn(x, г/)} кетма-кетлик f0(x, у) га текис яцичламсич, яъни Р* да
fo(x, y) = lim f4(x, y). (2.18)
tl—>oo
Су игра, уn(x) -функция [x0, x0 + я] интервалда
= y(xn)=yn, n=l, 2, . . . (2.18„)
Коши масаласининг ечими ва пда
хп~>х0, уп-+у0 (2.19)
булсин. У хрлда [х0, х0 4- а] интервалда текис яцинлашувчи уп (х),
уп (х) , . . . цисмий кетма-кетлик мавжуд. Исталган шундай цис-
мий кетма-кетлик учун
у0(х)= lim у (х) (2.20)
k—*oo К
лимит функция [х0, х0 + а] интервалда
^x = fo (х, у), у (х0) = у0 (2.180)
Коши масаласининг ечими булади. Хусусан, агар [х0) х0 + а] ин-
тервалда (2.18О) масала ягона у0(х) ечимга эёа б^лса, у цолда
у0(х)= lim уп(х)([х0, х0 + я] да текис) (2.21)
П-е-оо
булади.
Исбот. |г(х, у), f.,(x, у), ... функциялар Р* тугри туртбур-
чакда узлуксиз булиб, унда (2.18) даги я^инлашиш текис булгани
учун шундай мусбат узгармас К мавжудки, п = 0, 1, 2, . . . ва
(х, у) Е Р* учун | у'п (х) | = | fn(х, у (х)) | К тенгсизликлар бажари-
лади. Бундан К Липшиц узгармаси экани келиб чикади. Демак,
{fn(x, у)} кетма-кетлик текис даражали узлуксиз булади. Бу кетма-
кетлик втекис чегараланган ^ам, чунки ]у„(х) — у0\<=Ь. Шунинг
учун текис якинлашувчи кисмий кетма-кетликнинг мавжудлиги 2.2-
теоремадан келиб чикади. Энди (2.18) муносабатдан, (2.20) даги
я^инлашишнинг текислигидан ^амда 2.3-теоремадан й—>-оо да [х0,
х0-|-я] интервалда f (х, у (x))->-f0(x, у(х)) текис я^инлашиш
келиб чикади. Демак, уп(х) = уп + J fn(g, yn(g))dt, тенгликда (я =
Хп
— nk ва /г-^-оо да) интеграл остида лимитга утиш мумкин. Бун-
дан (2.18) муносабат билан ани^ланадиган у0(х) функция (2.180)
масаланинг ечими экани келиб чикади.
Теореманинг охирги тасдигининг тугрилигига и.ионч ^осил ^илиш
учун (2.18О) масаланинг у0(х) ечими ягона деб фараз этилиши текис
якинлашувчи у±(х), уг{х), .... уп(х), . . . кетма-кетликнинг ^ар
бир ^исмий кетма-кетлигининг лимита шу у0(х) функциядан иборат
эканини англатади. Бундан 2.2-теэрзмага к^?ра (2.21) нинг тутри-
лиги келиб чицади.
2.1-лемма. f(x, у) функция Р* = {(х, у):х0 х х0 + а,
\у — У о I ту с ри туртбурчакда аницланган ва узлуксиз, lf(x,
I ь\
у) | М а = min а, булсин. У цолда Коши масаласи х0 х
х0 + а интервалда шундай. у = tf(x) ечимга эга буладики, ушбу
~p = f(x, У), У(х0) ^у0
ах
масаланинг ихтиёрий у = у(х) ечими учун х0 х х0 -}- а интер-
валда y(x)^yQ(x) тенгсизлик уринли булади.
Исбот. 0<а'<;а булсин. Ушбу
= «/)+—. У(хо) = Уо (2.22)
ах п
Коши масаласини курамиз. Бу масала п етарли катта булганда
х0 С х С х0 + а' интервалда у = уп (х) ечимга эга. 2.7- теоремага ку-
ра шундай цисмий кетма-кетлик гц, п.,, ... , nk, ... , nl < n.i <
< ... <; «А < ... мавжудки, лимит функция (якинлашиш текис)
У° (х) = lim у (х)
k~+OQ R
ушбу = f (х, у), у(х0) = у0 масаланинг х0 х х0 ф- а' интер-
валда аницланган ечими булади. Энди етарли катта п учун
у(х) Уп (*). хо < х хо +[«' (2.23)
тенгсизликни исбот этамиз. х = х}, х0<Х|<х04-а' нуцтада
у(х1)>уп (xi) булсин. У цолда узлуксизлик туфайли х0Сх<х1
интервалда шундай х,, x0^x2<Xi нуцта топиладики, х2<^х<^х1
интервалда у (х)> уп(х), у(х^) = уп(х2) булади. Бу бир томондан.
Иккинчи томондан, х0<х^х04-а' да (2.22) тенгламанинг ечими
г/п(х), демак,
Уп(х^Нх’ Уп(х)) + ^- Уп(хо) = Уо-
х = х2 булганда у'п (х2) = f (х2, уп (х2)) + • у (х2) = уп (х2) ни ^исоб-
га олсак, у'п(х2) = f(x2, t/(x2))+ = у' (х2) ф-Л
Энди х2 нуктанинг етарли кичик унг атрофидаги нуцталарида
уп(х) учун Тейлор формуласини ёзамиз (х2<х<х1):
Уп W = Уп (х^ + Уп (*2) (* — х-2) + о (I X — хг |) =
= Уп (*2) + у' (xz)(х — Х2) + — (х— х2) + Oi(\ X— х2().
п
Равшанки, х2 < х < хх интервалда
У (х) = У (*2) + У' (х2) (х — хг) + ог 0 х — х21).
Бундан фойдалансак:
Уп (*) = Уп (л'2) + У (х) — у (х2) — о2 (| х — х2) | +
+ — (х — х2) +ох (| х —— х2)\.
п
х-—х2 > 0 ва .ог(1х — х2/) — о2(|х—х2|) = о(|х—х]) булганидан
етарли катта п лар ва х нинг х, га hkjih цийматлари учун
УП(Х)>У(Х), X2<X<Xj
«* ,ти
уринли. Бу тенгсизлик юкррида килинган фаразимиз натижасида досил
булган тенгсизликка зид. Демак, (2.23) тенгсизлик исбот булди.
а', а' <а сон ихтиёрий танланиши мумкин ^улгани учун 2.1-лем-
ма исботи тугади.
2.9- теорема. Агар f(x, у) функция Г сохада узлуксиз булиб,
(х0, г/0)€Г булса, у хрлда ушбу
T-=f(x,y), у(х0) — у0.
Коши масаласи максимал ва минимал ечимларга эга булади.
Юкррида исботланган 2.1-лемма ва давомсиз ечимлар дакидаги
1.16-теоремадан бу теореманинг исботи келиб чикади.
.* 4-§. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГСИЗЛИКЛАР
Dn У (х) = lim - (х+/')——, D у (х) = lim
/<->о+ h л h->o-
у (х + ft) — у(х)
белгилашлардан фойдаланамиз.
2.10- те о рем a. f(x, у) функция Г соцада узлуксиз булибг
y = tf(x) Коши масаласининг максимал ечими булсин. Ундан таш-
кари, z(x) функция х0^ х х0+ а интервалда узлуксиз. z(xB) <
ув, (х, z(x))Ef ва х0 С х< х0 + а интервалда ушбу
Dnz(K^ f(x> 2(л'))
(2.24)
тенгсизликни цаноатлантирадиган £>nz(x) унг хосилага эга бул-
син дейлик. У хуолда у° (х) ва z(x) функциялар учун аницланиш
интервалларининг умумий цисмида
z(x)^tf(x}
(2.25)
тенгсизлик уринли булади.
Исбот. (2.25) тенгсизликни х0<х^х04-6 (б>0 бирор ^а-
кикий сон) интервалда исботласак етарли. Хркикатан, агар у°(х) ва
z (х) функциялар х0 < х х0 + 0 интервалда аницланган булса,
у эрлда айтилган 6 мавжуд булганда х нинг (2.25) тенгсизлик
уринли буладиган кийматлари тупламининг аник юкрри чегараси Р
дан фарк килмайди.
п > 0 етарли катта булиб, унга боглик булмаган долда шундай
6>0 танланган булсинки, ушбу
y' = f(x, «/) + —, у(х0) = у0
п
масала х0 х л'о 4- 6 интервалда у = уп (х) ечимга эга булсин.
2.1 - леммадаги каби z(x)<«/o(x), х0^х<х04-6 тенгсизликнинг
тугрилигига ишонч досил ^илиш к^ийин эмас. Бу тенгсизликдан дар^ол
(2.25) келиб чицади.
2.1- натижа. Агар г(х) функция а^х^Ь интервалда уз-
луксиз булиб). унда ушбу Dn z (х) 0 унг цосилага эга булсаt
z(x) < z(a) булади.
2.2- натижа. f(x, у) ва г/0(х) функциялар 2.9- пгеоремадаги ка-
би аницланган булсин, g(x, у) функция Г сохада узлуксиз ва
g(x, У) ^f(x, У)
(2.26)
шартни цаноатлантиради дейлик. Агар z = z(x) функция бирор
х0 х х0 + а интервалда
— = £ (*• z)> 2(*о) = г0 (z0 г/о)
(2.27)
Коши масаласининг ечими булса, у цолда (2.25) тенгсизлик х = х0
нуцтадан унгда, z (х) ва tf' {х^функциялар аницланиш интерваллари-
нинг умумий цисмида уринли булади.
Эслатма. 2.10-теоремани ва 2.2- натижани мннимал ечим учуй ^ам айтиш
мумкин. Фар^и шуки, бунда (2.25) ва (2 26) тенгсизликлар ишорасини алмашти-
риб, уп (х) урнига у0 (х) ни ёзиш лозим булади.
. 2.3-натижа. Агар g(x, у), f(x, у), z(x), tf(x) функциялар
2.10- теорема ва 2.2- натижадаги каби аникланса, у цолда (2.26)
тенгсизликнинг икки томонини х0 дан х', х0 < х' < х0 4- а гача
интеграллаш мумкин, натижада (2.25) тенгсизлик келиб чицади.
Жумладан, агар Dnz(x) <0 тенгсизликни а даН х(а<х ^Ь) гача
интегралласак, 2.1- натижанинг исботи келиб чицади.
2.11- т е ор ем а. Агар 1) f(x, у) функция Р = {(x, t/):x0<x<
< л0 + а, —оо <; у <; оо} тупламда узлуксиз булиб, у буйича
камай'маса", 2) у = г/° (х) функция
= f(x, У), У(х0) = у0
dx
Коши 'масаласининг х0 < х < хп 4- а интервалда аницланган <макси-
мал ечими булса; 3) х0 < х < х0 + а интервалда ушбу
z(x)<z04- z(£)M|, z0^y0
интеграл тенгсизликни цаноатлантирадиган z (х) функция берилган
б$лса, у цолда х0 х < х0 4- а интервалда
тенгсизлик уринли булади.
z(x) < у°(х)
Исбот. Z(x) = z0 + j f (£, zQ))d£ дейлик. Бундан z(x)<Z(x),
Z' (x) = f(x, z(x)) келиб чиКаДи- Теореманинг 1) шартидан фондалан-
сак, Z'(x)^f(x, Z(x)). Шунга кура 2.10-теоремага асосан х0 <
^х<х0-|-а интервалда Z(x) < у°(х), яъни] Z(x)<r/°(x) тенг-
сизлик келиб чикади.
Кайд циламизки, 2.11 - теоремадан хусусий к°л сифатида 2.6-
теорема келиб чикади. Глоч^*1'
Биз юкорида 2.6- теоремани'.Беллман тенгсизлигидаи фойдаланиб
исботлаган эдик. Энди унинг бошка исботи билан .\ам танишдик.
Бунда Коши масаласининг максимал ечими тушунчаси муким роль
уйнади.
М а ш к- 2.11-теоремада г0 урнига бнрор узлуксиз z0’(x) функция куйиб, те-
гишли теоремани исбот этинг.
5-§. ^ = /(х) КУРИНИШДАГИ дифференциал
ах
ТЕНГЛАМАНИ ГРАФИК ИНТЕГРАЛЛАШ
Мазкур параграфда дифференциал тенгламани бевосита интеграл-
лаш билан эмас, балки унинг ечимининг баъзи хоссаларини диффе-
ренциал тенгламанинг унг томонига каРаб урганамиз. Бу сокада
француз математиги Анри Пуанкаре [8], рус математиги А. М. Ля-
пунов [9] ва бошкалар «Дифференциал тенгламаларнинг сифат наза-
рияси» деб аталган ; назария яраФганлар. 10—11-бобларда «сифат»
назариясига дойр баъзи маълумотлар берилади.
Х°зир биринчи тартибли косилага нисбатан ечилган оддий диф-
ференциал тенгламанинг унг томони факат эркли узгарувчига бог-
лик булиб, у функция уз графиги билан берилган \олда дифферен-
циал тенглама ечимининг хоссаларини урганамиз.
1. Аввал функцияларни график интеграллаш билан шугуллана-
миз. Бу аник интегралларни такрибий кисоблаш мавзусига мансуб-
Дир.
Масаланинг цуйилииш: Бирор а х Ь интервалда узлуксиз
f(x) функциянинг графиги буйича бошлангичининг, яъни F (х) =
X
— | f(х)dx, a<x^b функциянинг графиги чизилсин.
а
Бошкача айтганда, шундай у = F (х) чизикни ясаш лозимки,
унинг каР бир х га мос келган ординатаси асоси [а, х] кесмадан
иборат ва у = /(х) чизиги билан чегараланган эгри чизикли трапе-
циянинг юзига тенг булсин. -
Ушбу F (а) = 0 тенгликка кура, курилиши лозим булган функ-
ция графиги х = а нуктада абсцисса укини кесиб утади. Бу F (х)
нинг графиги каКиДа дастлабки маълумот.
Энди [а, х] кесмани а= х0, хп . . . (х0<х1< . . .) нукталар
билан булакларга буламиз. Булиш нукталари тупламига f(x) функ-
циянинг характерли нуцталарини
(экстремум ва бурилиш нуцталари-
ни, нолларини, бурчакли нуцтала-
рини) киритиш лозим. Булиш нуц-
таларидан ордината уцига парал-
лел чизиклар утказамиз. Улар
у = / (х) чизиги билан кесишиб,
эгри чизицли трапециялар цосил
цилади (18-чизма). Урта циймат
цацида теоремага кура [xk, xfc+1]
кесмада шундай gfc+I нуцта топи-
ла дики,
18 - чизма»
J f(x)dx = №k+№k+l-xk), /г = о’ 2.
xk
муносабат уринли булади. Шунга асосан цуйидаги муносабатлар
уринли
Г (xj = f f (х) dx = | f (x) dx + F (x0) = F (x0) + f &) (x, - x0),
a x9
F(x„) = \f(x)dx =J f (x)dx+ \f(x)dx=F(x1)+f(^2)(x2—xj,
a Xq Xt
J(2.28)
xi xi—1 xi •
F (xf) = j f (x) dx = J f (x) dx + J f (x) dx =
a x0 xi_t
= F(^-l) + f(^)(Xf — X._j),
.......................................................J
Равшанки, цар бир F (х{1), i = l, 2, ... , мицдор учун F(xf)
мицдорни топиш мумкин. Энди бошлангич F (х) функциянинг х0, х±
. . . , xk, ... нуцталардаги цийматларини топиб, (х0, F (х0)), (xlt
F (xj), . . . , (xfc, F(xk)) . . . нуцталарни ясаймиз ва уларни тугри
чизик кесмаси билан туташтирамиз. Синиц чизиц цосил бу'лади. Шу
синиц чизиц бошлангич функциянинг тахминий графиги булади.
[а, х] кесманинг булиш нуцталари тупламига f(x) функциянинг ха-
рактерли нуцталари киритилгани учун F (х) функциянинг тахминий
графиги цам тегишли характерли нуцталарга эга булади. 1^айд ци-
ламизки, булиш нуцталарини цанча яцин цилиб олинса, F(x) функ-
циянинг графиги шунча аниц булади.
1\уйилган масала ечимини охирига етказиш учун (хр F(xt.)), i —
= 0, 1,2, ... , нуцталарни ясаш билан шугулланамиз. g2, . . .,
... нуцталарга мос келган ва y = f(x) чизигида ётувчи нуцта-
ларни /(^i)), М.2(£2, fQJ), ... деб белгилайлик. Улар-
ни ордината уцига проекциялаймиз. Натажада М\ (0, /(^)), М’(0,
f(£2)), • • . нукталар ^осил булади. Бу нукдаларни цутб деб аталув-
чи Q, Q = (1, >), |<?1 = 1 нуцта билан туташтирамиз. Хоси л булган
нурларни Q/Ир CW', . . . деймиз. Энди F (х) функция графигини
• синиц чизиги билан алмаштирамиз. Бу ерда No =
= Af0(x0, 0), N^Njfxi, F(xJ), N.2=N2(x2, F(x2)) ..... Синик чизиц-
нинг бугинлари мое нурларга параллелдир, яъни N0Nr || QM’it
2M2||QM;, • • • ^ацицатан, N.Nl+l бугиннинг бурчак коэффици-
ента (2.28) га кура
_F(xl+l)-F(Xl)
l~ xi+l~Xl -нёж)-
Ясашга кура QM'+1 нурнинг бурчак коэффициента эса
*',= =№+|).
Демак, Q7W(-+1 [| А^^+1 (19-чизма).
Т^уйида икки функция учун бошлангич функциянинг графиги тах-
миний чизилган (20, 21-чизмалар).
М ашц f (х) функциянинг цуйидагн берилган графиклари буйича F (х) =
X
= J / (/) d/t функциянинг графиги чизилсин. (22- а, б, в, г чизмалар).
а
Э с л а т м д. К,утб Q ни абсцисса уцида О нуцтадан чапда ёки унгда танлаш-
нинг а^амияти йуц. [Бизнинг муло^азалар учун ординатадан унгда жойлашган
20 - чизма.
график учун Q ну^та ундаи чапда, чапда
жойлашган графикни чизиш учун эса Q
нудта унгда танланиши машцда цулай бу-
лади. Акс холда тегишли нурларни (си-
ни^ чизиц бугинларини) а бурчак ости-
да эмас, п—а бурчак остида утказиш
лозим булади.
21 - чизма.
2. Энди
dx
куринишда дифференциал тенглама берилган
ция бирор а < х < b интервалда узлуксиз
бу'ЛСИН.
(2.29)
булиб, унда f (х) функ-
графиги билан берилган
Масаланинг ууйилиши: (2.29) дифференциал тенгламанинг Г =
= {(х, уУ.а^х^Ь, —оо<у< + оо} со^анинг (х0, у0) нуктаси-
дан утадиган интеграл чизиги тахминан чизилсин ва бу интеграл
чизицнинц характерли хоссалари текширилсин.
Масалани ечиш учун аввал f(x) функциянинг бошлангич функ-
X
цияси F(x) = a<Z.x^b ни чизиш керак. Буни биз била-
fl
х0 х
миз. Сунгра F(x0) = j’f(g)d£ булганидан у(х) = f (£)d g + Со фор-
а а
хо
мулада Со = у0— j f (£)d£ булади. Шундай цилиб, у(х) = Со + F(x)
а
дан куринадики, F (х) функциянинг чизилган графигини ордината
уци буйича Со узгармасга силжитсак, (2.29) дифференциал тенгла-
манинг (х0, у0) нуцтадан утадиган интеграл чизиги тахминий чизил-
ган булади. Агар х0 = а булса, Со = у0 булади.
Чизилган интеграл чизи^нинг экстремум нуцталари f(x) функция
графигипинг абсцисса у^ини кесиб утган нукталарига мос келади.
(20, 21-чизмаларга царанг). f (х) функция графигининг экстремум нуц-
таларига F (х) функциянинг бурилиш нуцталари мос келади. Агар
бирор/у < х < г2 интервалда f(x) функция камаювчи булса, уша
интервалда f (х)<0, демак, F"(x)<0 булади. Демак, г1<Сх<г2
интервалда F (х) функция графигининг кавариклиги юцорига караган.
f'(x)>0 булганда эса тескариси булади. Шунга ухшаш, агар би-
рор i\<Zx<ir2 интервалда f'(x)<0 булиб, r1<x<r*. г*<.г2 да
f (х) > 0 булса, у ^олда г1 < х < г* да F' (х) = f (х) > 0 ва F (х)
функция усувчи, акс ^олда камаювчи булади.
20- чизмада 0 х л интервалда графиги билан берилган у =
= ccsx функция учун — = cos х, i/(0) = 0 Коши масаласи так;рибан
dx
ечилган. 21-чизмада эса x<_r2, rr<Z — 1, r2> 1 интервалда
графиги билан берилган f (х) = Зх® — 1 функция учун — = Зх® — 1,
dx
у (0) = 0 Коши масаласи тахминан ечилган.
Эс л ат м а. Аии^лик катта булмагани учун баён этилган усул билан (2.29)
куринншдаги дифференциал теигламаларни интеграллаш унча мацсадга мувофиц
эмас. Аммо куп сосаларда (физика, химия, биология ва бошца) функция турли
асбоблар ёрдамида график усулда аницланиши мумкин. Шунда дифференциал
теигламаларни график интеграллашга тугри келади. Албатта, техникада айтил-
ган масалаларии кузда тутиб турли интегратсрмр яратилган, улар /(.г) функ-
, ' х
циянииг графиги буйича дар^ол F (х) = J f (ё) d £ функциянинг графигини чизиб
а
беради. Иитеграторларнииг конструкцияси (2.29) куринншдаги дифференциал
теигламаларни график интеграллаш назариясига асосланган.
Маиц. Унг томони 22(а, б, в, г)-чизмада берилган чизицлардап иборат
булган = f (х) дифференциал тенгламани график интегралланг (унда а = х0
dx
дейилиши цу л ай).
76
3- боб
ХОСИЛАГА НИСБАТАН ЕЧИЛМАГАН БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ
ОДДИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР
1- §. ЕЧИМ ВА УМУМИЙ ЕЧИМ ТУШУНЧАСИ.
КОШИ МАСАЛАСИ
1. Х/эсилага нисбатан ечилмаган биринчи тартибли оддий диффе-
ренциал тенгламалар ушбу
F(x,y,y') = Q (3.1)
куринишда ёзилади. Бу ерда F уч аргументли функция булиб, уч
улчовли фазонинг очик Da тупламида (Da со^ада) аницланган. Агар
бу тупламни R2 текислигига ортогонал г роекцияласак, R2 да бирор
очик Г туплам (Г соха) хосил булади.
3.1-таъриф. (3.1) дифференциал тенглама берилган булиб,
F (х, у, у') функция R3 фазонинг D3 сохасида аницланган булсин.
Агар I (очиц, ёпиц еки ярим очиц) .интервалда аникланган tp(x)
функция учун цуйидаги учта шарт
Г. (х, ф(х))ЕГ, х£1, (х, q?(x), <р'(А^)€Цч> TczR2, D3czR3;
2°. <p(x)€G](/);
3°. F(x, <p(x), q>'(x))^0, x(I
(3-2)
бажарилса, бу функция I интервалда (3.1) дифференциал тенгла-
манинг ечими дейилади. (3.1) тенгламанинг ечимига мос эгри чи-
зиц, (яъни z/ = <p(x) функциянинг графиги) унинг интеграл эгри
чизиги (ёки соддагина интеграл чизиги) дейилади.
Агар параметрик куринишда берилган x=x(t), y = y(t), t£It
(It— параметр t нинг узгариш сохаси ёпиц, \очиц, ярим очиц ин-
тервалдан иборат) функция учун х'(0 0, t(I( булиб, цуйидаги
учта шарт
(х(о, i/(o)er, (х(о, y{t), ^^Da,td-
y(t)EC4lt), x(t)^C\It\,
бажарилса, у цолда x = x(f), y = y(t) функция It интервалда (3.1)
дифференциал тенгламанинг ечими дейилади. Баъзи холларда ечим-
ни шу куринишда излаш ёки ёзиш цулай булади-.
(S.1) дифференциал тенглама учун ^ам (1.1) дифференциал тенг-
лама учун айтилганидек ечим уч: у = <(>(х); Ф(х, у) = 0; x = x(t),
y=^y(t)(teit)
куринишдан биттаси ортали изланади.
’ Агар (3.1) дифференциал тенглама у га нисбатан бир ^ийматли
ечилиши мумкин булса, у ^олда (1.1) дифференциал тенгламага ке-
ламиз ва 1-бобдаги барча муло^азалардан фойдаланишимиз мумкин.
Аммо (3.1) доим бир т\ийматли ечилавермайди.
(3.1) дифференциал тенглама очиц Г тупламнинг ^ар бир (х, у)
нуцтасида у' нинг битта ёки бир неча кийматларини аникласин дей-
лик. Хар бир (х, у) ну^тада у' дан фойдаланиб, битта ёки бир неча
бирлик вектор чизамиз. Натижада йуналишлар майдони ^осил була-
ди. Энди интеграл чизикларнинг тацрибий тасвирини олишимиз
мумкин. Ечим тушунчасини муста^камлаш учун мисоллар курайлик:
,2
Мисоллар. 1. Ушбу у — х"= 0, Ds= {(х, у, у’): 0 < х < + оо, — оо<
< У< + со, — СО < у'< + о} дифференциал тенглама учун у'= ± х, 0 < х <
< + х>. Ордината у кд га нисбатан унг ярим текисликнинг хар бир (х, у) нуцта-
сидан у'=х ва у'= — х дифференциал тенгламалариинг фа к, ат биттадан интеграл
чизшутари утади (23- чизма,_м). Аввал йуналишлар майдонини чизиш цийин эмас.
Бирлик векторни у'= х учун’ туташ чизицлар бплан, у’= —х учун эса пунктир-
лар билан белгилаймиз (23- чизма,_^). Сунгра бу йуналишлар буйича интеграл
чизицларни чизамиз. Албатта цулайлик учун аввал (х = k ва х = — k, k — >;аци-
К”й сои) изоклиналарни чизиб чициш керак. Текшириш кийинмаски, i/ = -X- -p С,
у = —— + С функниялар С нинг ^ар бир дийматида 3.1-таърифнинг барча
шартларини каноатлантиради ва ечим булади.
2 Ушбу
У'1 — (1 + У) У'+ У = 0, D3= {(х, у, у’): — х < х < + сх>, — со < у < + оо,
— оо < у'< + оо}
дифференциал тенглама учун у’= 1 ва у'= у- Улардан биринчиси бурчак коэф-
фициента 1 га тенг тугри чизиклар оиласини ифодаласа, иккинчиси у = Сех экс-
поненциал функциялар оиласини ифодалайди (24- чизма). Осонгина текшириш
мумкинки, у = х-\- С ва у = Се? функциялар С нинг хар бир цийматида 3.1- таъ-
рифнинг шартларини каноатлантиради.
Умумий ечим тушунчасини киритишдан аввал (3.1) тенглама учун Коши ма-
с а ласини цуямиз.
Коши масаласи: (3.1) дифференциал тенгламанинг у (х0) = у0, (х0, //„) £Г
бошлангич шартни цаноатлантирувчи ечими топилсин ёки геометрик нуцтаи
назардан, (3.J) дифференциал тенгламанинг (хи, yt.) £Г нуцтадан утуьчи интег-
рал чизиги курсатилсин.
(3.1) дифференциал тенглама у' га нисбатан ечилиши мумкин дейлик. У >;ол-
да (х0, у0) нуцтанииг бирор атрофида у' учун бир неча х.акиций цийматларни
(^ацик,ий функцияларни) топамиз:
$/'= fk {к, у), k = 1, 2, ... , т. (3.3)
Агар >;ар бир fk (х, у) (k = 1, 2, ... , т) функция бирор мавжудлик ва ягоналик
теоремасининг шартларини цаноатлантирса, у ?;<>лда (х0, уа) нуктадаи (3.1) диф-
ференциал тенгламанинг т та интеграл чизиги утади. Баъзи ... , fk^
(k2n< m) функциялар' комплекс булса, у >;олда биз фацат , fn фупк-
циялар билан иш курамиз. Бу цолда (хп,у„) нуктадаи тегишли дифференциал тенг-
ламанинг т — k2n та интеграл чизиги утади.
Агар (3.1) дифференциал тенгламанинг хациций f^x, у), , fk (х, у) {k т)
функцияларга мос келган ва (х0, у0) нуцтада унинг интеграл чизицларига Цтка-
зилган уринмалар тирли бурчак коэффициентларига эга булса, у холда Коши иа-
саласи ягона ечимга эга дейилади.
Мас а л ан, 1-мисолда курилган у' —х"= 0 дифференциал тенглама учун
?;ар бир (0, у) (у — ихтиёрий) нуцтадан иккита интеграл чизиц утади ва уларнипг
уринмалари горизонтал тугри чизицлардан иборат. Демак, ордината уцининг их-
тиёрий пуцтаси учун Коши масаласи ягона ечимга эга эмас. Аммо унг ярим те-
кисликнииг ихтиёрий пуцтаси учун Коши масаласппинг ечими ягопадир.
3. Ушбу
у'3 — е* у'2 +'х2у'— х2ех = О, D3= R3
дифференциал тенгламани курайлик. Уни (у'—ех )(у'2 + х2) - 0 куринишга кел-
тириш мумкин. Бундан у'—ех = 0, у'~ + х2= 0 дифференциал тенгламалар ке-
либ чицади. Иккинчи дифференциал тенгламани у' га нисбатан ечсак: у' = ix,
у'=—ix (i— мавхум бирлик). Демак, Д(х, у) = ех , f2(x, у)—ix, f3(x, у) = —ix.
Равшанки, у'—ех —0 дан у=ех + С ва тенгсизликнинг ихтиёрий нуцтаси учун
Коши масаласи ягона ечимга эга ва ихтиёрий берилган (х„, уи) нуктадаи берил-
ган дифференциал тенгламанинг фацат ягона интеграл чизиги утади.
3.2- таъриф. (3.1) дифференциал тенгла'ма (х0, уф нуцтанинг
бирор атрофида у' га нисбатан ечилиши мумкин, яъни (3.3) тенг-
ламаларга ажралади дейлик. Агар хар бир (3.3) тенглама
y = q>k(x, С), k=\, 2, ... , т (3.4)
умумий ечимга ёки
ФА(х, у) = С, k— 1, 2, ... , т, С—ихтиёрий Узгармас (3.5)
умумий интегралга эга булса, у холда (3.4) умумий ечимлар туп-
лами (ёки (3.5) умумий интеграллар mi/плами) берилган (3.1) диф-
ференциал тенгламанинг умумий ечими (ёки умумий интеграли)
дейилади.
Киритилган таъриф (3.1) тенглама у' га нисбатан чексиз куп
ечимга эга булган холда хам тугри келади._ 1-мисолда у' —х2 = О
эди. Ундан 0 х< + оо интервалда у'—х, у = — х булиб, бирин-
д2 д'2
чисининг умумий ечими у = у + С, иккинчисиники эса у = —2'+С
булади. Берилган тенгламанинг умумий ечими у = -%-+ С, у——^Ч-
Ч- С булади.
Мисол. Ушбу
sin у'= О, Ds = R3
дифференциал тенгламани курайлик. Ундан y'=kn \{k-—бутун) ва y = kitx-{-C
келиб чицади. Умумий ечим ушбу
у = С, у = —лх + С, у = л,х-\-С, ... , у = —их + С, у = пл,х-]-С, ... (п—
натурал сон) чексиз кун функциялар тупламидап иборат.
3.3- таъриф. Агар (3.1) тенгламанинг бирор I интервалда аниц-
ланган у = <р (х) ечимининг хар бир нуцтасида Кулии масаласи яго-
на ечимга эга булса, у уолда у = <p (х) (х£ I) ечим берилган тенгла-
манинг хусусий ечими дейилади. 1- ва 2- мисолларда мос равишда
д;2 д-2
у = — у, у = у , у = х, у = е функциялар тегишли дифференциал
тенгламаларнинг хусусий ечимларидир.
Юкоридаги таърифлар муносабати билан махсус ечим тушунчаси-
ни киритиш лозим булади.
3 4-таъриф. Агар у — ip(х) функция бирор I интервалда (3.1)
дифференциал тенгламанинг ечими булиб, унинг хар бир нуцта-
сида ягона ечимга эга (ягоналик хоссасига эга) булмаса, яъни унинг
%ар бир нуцтасидан бир хил йфналишда камида иккита интеграл
чизиц утса, у уолда у = ц(х) функция (3.1) тенгламанинг уша
интервалда аникланган Махсус ечими дейилади.
1 - мисолни — оо <; х <; + оо интервалда курсак, ордината уци-
нинг х;ар бир нуктасидан горизонтал уринмага эга булган икки'ин-
теграл чизик утади. Аммо Оу уки берилган дифференциал тенгла-
манинг ечими эмас. Демак, уша мисолда махсус ечим йук.
Мисол (у’)3= у2, Ds={(x, у, у'): — оо<х< + °°, —
2
<4-оо, О у'< + оо) дифференциал тенгламани у—у3 куриниш-
да ёзищ мумкин. Маълумки, абсцисса уки (яъни у = 0 чизиц) ва
у = к*бик параболалар бу тенглама учун интеграл чизиц бу-
либ хизмат цилади. Аммо у = 0 чизикнинг ^ар бир нуцтасидан ка-
мида иккита интеграл чизиц утади. Шунинг учун у = 0 махсус
ечимдир.
2- §. КВАДРАТУРАЛАРДА ИНТЕГРАЛЛАНУВЧИ БАЪЗИ ТЕНГЛАМАЛАР
1. п- даражали биринчи тартибли дифференциал тенглама.
F(x, У, у')=ао(х, у)(у')п+а1(х,у)(у')п~1+1-- + ап_1(х,у)у'А-
+ ап(х, у) = 0 (3.6)
аь(х, у) 0 куринишда ёзилади. Бу у' га нисбатан п- даражали
тенглама. Агар п — 1 булса, а0(х, у)у'+ а±(х, у) — О ёки а0(х, y)^=Q
булгани учун /= — "у =f(x, у) булади, яъни (1.1) дифферен-
У)
циал тенгламага келамиз. Албатта, (3.6) дифференциал тенгламада
а0(х, у), аг(х, у), ... , ап(х, у) функциялар бирор очиц Г тупламда
аницланган ва узлуксиз. Энг содда ^олда а^х, у) = bt= const (i =0,
1, ... , п) булиб, ушбу]
р(у') = ^i(y')n-1+ + ьп_1У'+ bn= 0
тенгламага келамиз. Бу тенгламанинг у' га нисбатан ечимларини
k^j — 1, 2......т, т < п) дейлик. У ^олда дан у == kpc +
+ С ёки k.= — келиб чицади. Шунинг учун Fl^-^—) = 0 бе-
1 х \ х /
рилган дифференциал тенгламанинг умумий интеграли булади.
Агар ап(х, у}, ... , ап(х, у) функциялардан камида биттаси очиц
Г тупламда ани^ланган функция булса, у ^олда (3.6) тенгламани
у' га нисбатан ечиб, улардан ^акикий кийматларни олсак, куйидаги
y'=fk{xt у), k = 1, 2, ... , т, т^п
шфференциал тенгламаларга эга буламиз. Кейинги мулэ.^азалар fk (х,у)
функцияларга боглш\ булади. Бу функциялар учун Г тупламда Ко-
ши теоремасининг шартлари бажарилади дейлик. Унда бу туплам-
нинг ^ар бир нуктасида Коши масаласи ягона ечимга эга булади.
Шуни цайд киламизки, Г туплам flt f2, ... , fm функциялар аниц-
ланиш сосалари Гг, Г2, ... , Гт нинг кесиш масидан иборат, яъни
т
Г=ДГ,-
Мисоллар. 1. (у')5+ V 3 (у')1—у'—К"3 = 0 дифференциал тенгламани
курайлик. У у' га нисбатан 5- даражали. Бу тенгламани ((у')24~ 1) ((j/z)2— 1) X
X ({/'+ К 3 ) = 0 куринишда ёзиш мумкин. Равшанки, унинг ^ациций ечимлари
у'= 1,гу'=— 1, у'=— V 3 булади. Аммо дифференциал тенгламанинг интегра-
лини битта
формула билан ёзиш мумкин. Бунда 1\= Г2= Г3= R2, Г = Г1(1Г2Г|Гз= R‘< Де-
мак, юцоридаги тенглама учун R" текислигииииг ихтиёрий (х0, у0) нуцтасида
Коши масаласи ягона ечимга эга.
2. Ушбу у' га нисбатан иккинчи даражали
(у')2— (2х + cos *) y'~F 2х cos * = 0
дифференциал тенгламадан
у'=2х, y'—cosx
келиб чикади. Бундан берилган тенгламанинг умумий ечими
у = х2+ С\ у = sin х 4- С
булади. 2- мисолда Г1= R2, Г2= R2 ва Г = Г!ПГ2= R2. R2 да ягоналик хоссаси
уринли. Худди шуниигдек,
6—2455
61
(У')2~(ех + ----- =0, D = {(х, y)-.~l<x< 1, —<х><
\ у 1 — х2 ) у 1 — х2
< У < + <х>} (ZJCR2) дифференциал тенглама учун Г = Г1рГ2= R2po = О экан-
лигини курсатиш кийин эмас.
Агар /?(г/') = 0 дифференциал тенгламанинг у’ га нисбатан илдизлари бирор
интервални тула 1;опласа, у холда тегишли дифференциал тенглама F --|= О
х I
интегралдан фарцли ечимларга хам эга булиши мумкин. Жумладан, у’—| у' | =0
дифференциал тенглама учун 0 < k < + 00 интервалда y'=k. Ундан у =
= kx + С (0 < k < + °°) келиб чикади. Бу интеграл чизиклардан фаркли яна
у = ха (— оо < х < 0, а > 1) интеграл чизиклар ^ам мавжуд.
2. Номаълум функцияни уз ичига олмаган
F(x, у') = 0
(3.7)
куринишдаги дифференциал тенгламаларни курамиз. Агар (3.7) тенг-
ламани у' га нисбатан ечиш мумкин булса, у ^олда бирор / интер-
валда узлуксиз fk(x)(k = 1, 2, ...) функциялар учун у'= fk(x) (k =
— 1, 2, ...) тенгламаларга келамиз. Ундан р = J fk(x)dx + С (ft = 1,
2, ...). Бу ечимлар туплами умумий ечим булади.
Баъзи доллар да (3.7) тенгламани у' га нисбатан ечишга Караган-
да х га нисбатан ечиш осонрок булади. Бунда х= ф///) (/ = 1,2,...)
дифференциал тенгламага келамиз. Уни интеграллаш учун куйидаги-
ча иш курамиз: аввал у' = р деймиз. Равшанки, dy = y'dx — pdx,
dx= dfty^p)) — ty't(p)dp. Шунинг учун dy = pty't(p) dp булади.
Бундан
У = f Р^Р^р + С,
x = ipz(p), 1= 1, 2, ... 1 '
келиб чикади. (3.8) формулада р — параметр вазифасини утаяпти.
Демак, (3.8) ечим умумий ечим булади.
Мисоллар. 1. ({/')2-
1
0, |х| 1 дифференциал тенгламани
ку-
райлик. Уни у' га нисбатан ечиш осопроц. Шунинг учун ушбуга эгамйз:
Ундан «/ = arc sin х + С, у — — arc sin х + С ни ^осил циламиз. Бу умумий ечим-
лар туплами берилган дифференциал тенглама учун умумий ечим булади.
2. Ушбу )Е — х2 — 0 дифференциал тенгламани х га нисбатан ечайллк:
Жр')8
х = ± е 2
Содда хисоблашларни [бажариб,
1-W 1+р* 1+р2 i+p2
dx = ре 2 dp, dy = ±р3е 2 dp, у — ± {ре 2 — ) е 2 dp) + С
ларни >;осил циламнз. Шундай цилиб, ушбу
1+р* М-р* р М-р1
х = е 2 , у =. ре 2 —е 2 dp-]-С;
1+р‘ 1+р* р 1+р*
х— — е 2 , у = — рг 2 + Je2 dp-]- С
умумий ечимлар туплами берилган дифференциал тенгламанинг умумий ечими
булади.
3. Эркли узгарувчини уз ичига олмаган
Г(У, У') = ®
(3.9)
ку ринишдаги дифференциал тенгламалар ^ам ё у' га ёки у га нисба-
тан осонроту ечилади дейлик. Биринчи ^олда yr = fk(y) (k = 1, 2, ...)
дифференциал тенгламаларга келамиз. Агар fk{y) =f= 0, у £ 1 булса,
Г dy
I fk (У) = + С(А = 1, 2, „.) ечимларга эга буламиз. Агар fk(y) — Q
тенглама у — 1>т (т = 1, 2, ...) илдизларга эга булса, у ^олда y=bmt
т = 1, 2, ... функциялар ^ам (3.9) нинг ечими булади.
Энди (3.9) тенглама у га нисбатан ечилган булсин: у = ф£(р')>
1= 1, 2.....Яна у'—р деймиз ва dx = -^-dy, dy = ф£(р)dp ни ^o-
сил циламиз. Шунинг учун р=^=0 булганда
Буни интеграллашдан ^осил булган
булади.
х —ф£(p)dp + C, y^ty^p), Z=l, 2, ... ,
ечимлар туплами (3.9) тенгламанинг умумий ечими булади.
Агар р = 0 ёки у' = 0, демак, у = а£ (i = 1, 2, ...) лар тенглама-
нинг ^ациций илдизлари булса, юцорида dy = pdx ни р га булиб,
у = а. ечимларни йукртган булар эдик. Аммо у = а£ ечимлар (3.10)
ечимлар орасида йуц ва демак, улар махсус ечим булиши мумкин.
р р,
Агар р-»0 + (р->0—) булганда J уФ/©^ (ёки |। уФИ1)^) ин’
pi р
теграл якинлашувчи булса, у ^олда у = а. ечимлар махсус булади.
Акс ^олда, яъни юцоридаги [икки интеграл узоцлашувчи булганда
тегишли ечимлар махсус булмайди.
Мисоллар. 1. Ушбу уе11 = (у')1 дифференциал тенгламани у га нисбатан
ечамнз. Бундан у = у , у'—р, у = ple~~p, dy = (2ре~р—p*e~p)dp,
dx = — = (2е~р— ре“₽) dp.- Охирги муносабатии интегралласан, берилган диф-
ференциал тенгламанинг умумий ечимини ^осил 1$иламиз:
J х= е-Р(р~1) + С,
I У = Р2е р
Arap y2e2v — (i/')4 дифференциал тенглама берилган булса, ундап у =
= ± (у')2ё~р келиб чикади. Бу ^олда берилган дифференциал тенгламанинг уму-
мий ечими
( х=е р(р—1) + С ва 1х=-е Р(р — 1)ф-С
( у = р2е—р | у = — рге~р
умумий ечимлар тупламидан иборат булади.
2. (y‘)^v= у—2 дифференциал тенглама цуйидагн у'= -р у~Ае~р ва у'=
= — у— ге v дифференциал тенгламаларга эквивалент. Бундан уер dy = ± dx ёки
(р-1)^ = ± х + С умумий ечимга эга буламиз.
4. Энди (3.1) дифференциал тенглама ё х Та ёки у га нисбатан
осонлик билан ечиладиган хрлларни курайлик.
а) (3.1) тенгламани ушбу
х = Ф/г(у, у'), k=l, 2, ... (3.1,1)
куринишда ёзилган булсин. Яна у' = р деб параметр киритамиз.
(3.11) муносабатнинг икки тсмонини у буйича дифференциаллаймиз:
dx дФ/г дФк dp dx 1 1
dy dy dp dy’ dy dy p '
dx
Бундан
1 ™>к
= P______д_У_ ёФк , n (3 io)
do
(3.12) тенгламанинг унг томони у ва р нинг функцияси, демак,
биз = fk(y, р) куринишдаги дифференциал тенгламага келдик.
Унинг умумий ечими р = %(#, С) дейилса, (3.11) дан х = Фк(у, фАХ
X (у, С)) ^осил булади. Бу ечимлар туплами умумий ечим булади.
б) (3.1) тенглама
У = Фк{х, у'), k= 1, 2, ... (3.13)
куринишда ёзилган дейлик. у'— р деб, ундан ва (3.12) дан
дФк дФк dp dp Р дх дФк
Р дх др dx’ dx ёФА др
~др~
га эга буламиз. Охирги тенглама ^~ =/*(*. Р) куринишдаги тенгла-
ма булиб, унинг умумий ечимини р = %(х, С), Z? = 1, 2, ... деб
ёзамиз. (3.13) га кура берилган дифференциал тенгламанинг умумий
ечими j/ = ipft(x, %(х, С)) каби ёзилади.
Курилган а) ва б) хрлларда х = Фк(у'), у = Фк(у') тенгламалар
хусусий ^ол булиб, улар учун муло^азалар янада содда булишини
аввалги пунктларда курдик.
берилган тенгламага куйсак, унинг умумий ечими: у = х
Мисоллар. 1. х(у')°—у, х > 0 дифференциал тенглама у га нисбатан
ечилган. р = у , у = хр2, р = р2+2хр— десак, узгарувчилари ажраладиган
‘ dx . . .
dp 1 — р / С \
— =------- дифференциал тенглама хосил булади. Уни интеграллаб о=1— ^1
\ у х J
с \2
1 — 77=) ёки (у—х)2=
Г Я /
= 2С0(р + х) — Cq, Со— С2 куринишда ёзилади. Равшанки, у = 0 хам ечим бу-
либ, у махсус ечимдир.
2. у ({/')3+ х — 1=0, у =f= 0 дифференциал тенгламани х га нисбатан ечамиз:
х = 1 — у (у')3- у'= р (у) десак, ^исоблашлар
х= 1 — у (у')
„ п „ dp dp
= —Р3— Зр2у—> —
dy dy
1 + P4
3pSP
булишини курсатади. Бу дифференциал -тенгламани интеграллаймиз:
£ (1 + р4)
4 1 +р4
7^’ Т,п О + Р4) = ~ Т1п +1пС
Зу 4 3
ёки (1 +р4)4 =з,С . • Бундан р3= t/i-Д—_ 1 j3
7|р| г'/у4 '
берилган тенгламага р3 учун топилган ифодани цуйсак,
ни ^осил циламиз.
Энди
4
(l-x)V+3/^= Со, Со= С4
умумий ечимга келамиз.
5. (3.1) дифференциал тенгламада F (х, у, у') функция х ва у га
нисбатан т- даражали оир жинсли функция булса, у з^олда (3.1) ни
бундай ёзиш мумкин:
x1f[$-, у'\ = 0 ёки F 'А р\ = 0, р = (3.14)
\ х ) х I dx
Бу тенгламани р га нисбатан ечиш осон булган з^олга тухтал-
маймиз.
(3.14) да у урнига янги номаълум функция z (х) ни у = xz(x) каби
киритсак, F(z, р) = 0 тенглама хрсил булади. Уни z га нисбатан
ечиш кулай булсин дейлик: z — фДр), й=1, 2, ... . Ушбу
dy = zdx 4- xdz, dy = фй(р) dx + хфА(р) dp,
dy = pdx, pdx = фДр) dx -J- хф^(р) dp
з^исоблашлардан сунг x ва p ларга нисбатан — =
циал тенгламага келамиз. Агар
%(р)
Р —% (Р)
Фд(Р) dp
Р —'Р* (Р)
функциянинг
дифферен-
бошлангич
функцияси Xft(p) дейилса, охирги дифференциал тенгламадан х —
= Се*1^ з^осил булади. z(x) = ^ булганидан у = хф^р), х = CeXi <р)
(ft=l, 2, ...) муносабатлар берилган дифференциал тенгламанинг
умумий ечимини ифбдалайди.
’ dy р
М^исол. 4- пунктдаги 1- мисолда 'х(у')2= у, х > 0 дифференциал тенглама
курилган эдн. Бу тенгламани F (х, у, у') = х (у')2—”у=0 куринишда ёзсак,
F (х, у, у') функция х ва у га нисбатан 1- даражали бнр жинсли функция эка-
ни куриниб турибди. Энди бу дифференциал тенгламани шу 5- пунктдаги усул
билан интеграллаймиз. Тенгламани
[у 1 / у \
(г/')2—— = 0 ёки х[р2— —] — О,р = у'
х J \ х)
куринишда ёзамиз. у = хг десак, р2—г = 0 га келамиз. Ундан г = р2 ф(р),
ф'(р)=2р ни хрсил циламиз. Энди тегишли
dx 2pdp dx 2dp
— =-------- ёки — = --, p =£ 1
X p — p2 x I — p
C
дифференциал тенгламага эгамиз. Интеграллаш натижасида р= 1 ——= форму-
I х
лани, ундан яна интеграллаб (р = у')
(у - х)2= 2С0 {у + х) - С~, Со= С2
умумий ечимни топамиз.
6. Юкоридаги пунктларда у’ — р деб параметр киритдик. Умуман
айтганда, параметрни янада умумийроц усул билан киритиш ку лай
булган доллар хам булади. Шу муносабат билан параметр кири-
тишнинг умумий метода билан танишамиз.
Маълумки, Ах + By + Cj/' + ;0 дифференциал тенглама х, у, у'
•» х^ [у?
узгарувчиларнинг фазоси да текисликни, + + 1=0
дифференциал тенглама шу R3 да эллипсоидни аницлайди. Баъзи
^олларда берилган сиртнинг тенгламасини параметрик куринишда
ёзиш мумкин булади. F (х, у, y,') = Q сирт тенгламаси ушбух = ф(п,
v), у = х(«, с), у' = (л (и, v) (и, v — параметрлар) параметрик кури-
нишда ёзилган булсин. У ^олда
F(ф(п, и), %(«, и), <о(«, t’)) = 0
тенгламага эгамиз. Агар ф, X, со функциялар бирор очиц Т туплам-
да аникланган ва дифференциалланувчи булса, унда
dx = ~ du + -^-~dv, dy = ^r-du + dv
du dv •' du dv
булади. Энди =co(«, v) булгани учун
du + 4^- dv = ii)(u, v) Г-^— du + du]
du dv ' ' I du dv j
тенглама и ва v параметрлар орасидаги дифференциал богланишни
тасвирлайди. Бу тенгламани бундай
ю *L_
уди ди 1 у dv dv I
ёзиш мумкин. Агар — — со 0 булса, и ни номаълум функция,
v ни эса эркли узгарувчи деб, ушбу
ди дф
—— = ю—т2-
dv dv
дх /дх
ди / ди ,
дф
СО -т2-
ди
(3.15)
з^осилага нисбатан ечилган дифференциал тенгламага келамиз. Шунга
ухшаш, агар со булса, у з^олда ушбу
дх дф
dv ___ ди 03 ди
ди ~ дф дх
С1Э-5Т- —“5—
(3.15')
дифференциал тенгламага келамиз.
Агар (3.15) ёки бари-бир (3.15') дифференциал тенглама квадра-
тураларда интегралланса, у хрлда берилган (3.1) дифференциал тенг-
лама з^ам интегралланади. Х^акицатан, агар (3.15) тенгламанинг уму-
мий ечими u=u(v, с) булса,
и = u(v, с),
. х = ф(п(п,с), и),
у = X(«(t', с), и)
(бу ерда v — параметр, С—ихтиёрий узгармас) (3.1) тенглама ечи-
мининг параметрик куриниши булади. (3.15') учун умумий ечим
v = и (и, С),
x-—ty(u, с(и, С)),
у = X (и, v(u, С))
куринишда (бу ерда и — параметр, С—ихтиёрий узгармас) булади.
Масалан, F(х, у, у') = 0 тенглама y = f(x, у') куринишда ёзи-
лиши мумкин булганда и = х, v = y'; x=f(y, у') куринишда ёзил-
ганда эса и — у, и — у' дейилиши лозим. Биринчи з^олда (х = х,
df
y = f(x, и), у'= v) = —^^-дифференциал тенгламага, иккин-
v~ ~дх~
чи з^олда эса (х = f(y, t), у — у, у' = 0)
df
ду = v dv
dv df
1 — v з—
ду
дифференциал тенгламага эга буламиз.
7. Параметр киритишнинг умумий методини кулланишга дойр му-
з^им мисол курамиз. Агар ф(у'), Х(р') функциялар бирор интер-
валда дифференциалланувчи булса,
У = хф(</) + Х(г/') (3.16)
дифференциал тенглама Лагранж тенгламаси деб юритилади. Бу
тенглама квадратураларда интегралланади. Хакикатан, у' = р десак,
у — хф (р) + X (р) булади. Энди буни х буйича дифференциаллаб,
Р'= Ф (р) + хф' (Р) + Х'(Р)
ёки
P-W)]-^ = ^'(P) + x'(P), -^#=0 (3.17)
га эга буламиз. Агар -^ = 0 булса, у ^олда р = pi(pi = const).
Бу юцоридаги дифференциал тенглама р = ф (р) куринишга келганда
содир булади. Демак, р = р. булганда р — ф(р) = 0 тенглама шу
р — pL ечимга эга булади ва ушбу у = хф(/ъ) + X (Pz), i = 1,2, .. .
тугри чизикларни хрсил киламиз.
Агар-^-=/=0 булса, (3.17) тенглама номаълум х га нисбатан ушбу
dx _ Ф'(Р) , Х'(с)
dp Р — ф (Г) “Г р - - ф (Р)
(3.18)
биринчи тартибли чизикли дифференциал Тенгламадан иборат. Унинг
умумий ечими Ф (х, р, С) = 0 булади. Берилган дифференциал тенг-
лама умумий ечимининг параметрик куриниши бундай:
Г Ф(х, р, С) = 0,
( у = х ф (р) + X (/:), р — параметр.
Агар р — ф(р)5^=0 булса, у ^олда (3.16) тенгламада параметр-
ларни
х = х, у = хф(р) + х(Р), у' =р
каби кпритсак, (3.15) дифференциал тенглама урнида (3.18) диффе-
ренциал тенглама ^осил булади.
Агар р — ф(р) = О булса, тенгламани ~ га булганда р ~ С(С=
= const) ечим (яъни /у = хф(С) + Х(С) ечим) йу^отилади. Аммо бу
холда берилган дифференциал тенглама ушбу
у = ху' + Х(у') (3.19)
куринишга келади. Бу тенглама Клеро тенгламаси деб юритилади.
Унйнг икки томонини х буйича ди |)ференциалласак, р— р + х +
+ Х'(Р) ёки (х + Х'(р))-^ = 0 га эга буламиз. Бундан ё -^ = 0
(демак, р = С) ёки х+Х'(р) = 0 келиб чикади. Биринчи ^олда
умумий ечим у — Сх + % (С) куринишда ёзилса, иккинчи ^олда эса
I у = хр + X (р),| (3 20)
* I х]+ X' (р) = 0, р — параметр v '
куринишда булади. у = Сх +’%(С) тугри чизи^лар оиласининг урама-
сй (3.20) чизикдан иборат.
Мисоллар. 1. у = ху'—у' Кпгро тенгламаси берилган булеин. Унинг уму-
мий ечими, яъни бир параметрли ингеграл тугри чизи^лар оиласи у = Сх—С
куринишда булади. у = С(х — 1) дан куринадики, бу (1,0) нуктадаи утадиган туг-
ри чизи^лар дастаси булиб, унинг урамаси шу (1,0) нуктанинг узи (агар у = Сх-\-
+ Х (О тугри чизиклар оиласи дастани ташкил эгса, у рама битта нуктадан иборат
булиши хам мумкин) булади.
2. Энди ушбу у = 2ху'— у' Лагранж тенгламасини курайлик. Агар у' = р
десак, у = 2хр — р булади. Ундан
/ dp dp dp
Р = 2р+2х^—^, (2х-1)-^ = -р
dp
келиб чикади, уни га булсак:
dx dx 2 1
— Р = 2х — 1 ёки —г- = — —— х 4——, Р ф 0.
' dpt dp р р
1
Унн интегралласак: х = j е Р . Демак, берилган тенглама умумий
ечимининг параметрик ёзилнши бундай булади:
Биз р = 0 .\олии курайлик, ундан у ='С (берилган тенгламага кура С = 0),
яъни р = 0 келиб чикади. Бу у = 0 ечим махсус булиши э.угимоли бор. Уни 4- §
да курамиз.
3- §. ЕЧИМНИНГ МАВЖУДЛИГИ ВА ЯГОНАЛИГИ
3.1- теорема. Агар (3.1) дифференциал тенгламада F(x, у, у')
функция учун ушбу иккита шарт:
1 . F(x0, у0, у') = 0 (3.21)
тенгламанинг бирор хациций илдизи у0 учун (х0, у0, у'о) £ D3 ((х0,
у0) £Г) нуцтанинг бирор ёпиц DP атрофида F(х, у, у') функция
узлуксиз ва биринчи тартибли узлуксиз хусусий .\осилаларга эга;
2 - F'y-(XV Уо> У0)У=°
бажарилса, у цолда шундай 1г >0 мавжуд буладики, (3.1) диффе-
ренциал тенгламанинг — л'0)=С/г интервалда аницланган у(х0) =
— Мг У (хо) ~ Уо шартларни цаноатлантирувчи ягона у = у(х)
ечими мавжуд.
Исбот. Ошкормас функциялар ^а^идаги маълум теоремага кура
(3.1) тенглама у' ни бир цийматли функция сифатида аниклайди,
яъни
В = (3-22)
бунда f(x, у) функция ёпик, Го, (Гос Г) тупламда узлуксиз, бирин-
чи тартибли узлуксиз хусусий ^осилаларга эга ва f(.r0, у^ — у0,
(хо^Уо) € Го. Шунинг учун f(x, у) функция ёпи^ Го тупламда у буйи-
ча Липшиц шартини каноатлантиради. Демак, (3.22) дифференциал
тенглама Пикар теоремасига асосан \х — х0| h интервалда аницлан-
ган ягона у = у(х) ечимга эга булиб, у(хй) = уй булади. Худди шу
ечимга (3.1) тенглама ^ам эга. Энди у'(х0) = у’о эканини курсатай-
лик. Хакикатан, (3.22) тенглама у у(х) учун айниятга айланади:
f(x, у(х)), jx— х0| h.
Агар x = xQ булса, у'(х0)= f(x0, y(xD))=f(xD, у0) = у0.
З .Г-натижа. 3.1- теореманинг шартига кура (х0, у0, у’о) нуц-
танинг D® атрофида =# 0, | У | O<71—const .
3.2- натижа. Агар (3.21) тенглама бир нечта цациций z/'(i==l,
2, . . . , т) илдизларга эга булса, цар бир (х0, у0, у.) нуцтанинг
ёпиц D3i атрофида (3.1) дифференциал тенглама у’ ни бир цийматли
аниклайди, яъни у' =г1)(х, у). Шу билан бирга цар бир i(l С i С т)
учун тегишли дифференциал тенглама (х0, у0) £ ГОг нуцтадан утувчи
ягона интеграл чизикка эга. Бошцача айтганда, (х0, у0) нуцтадан т
та йуналиш буйича фацат т та интеграл чизиц утади.
Агар (х0, уь) нуцтада Коши масаласи ягона ечимга эга булса, у
нуцтани оддий нукта дейилади. Бу нуцтага мос ечимни оддий ечим,
интеграл чизикни эса оддий интеграл чизиц дейилади.
Шунга ухшаш, агар (х0, уй) нуцтада Коши масаласи учун ягона-
лик уринли булмаса, у цолда бу нукта (3.1) дифференциал тенгла-
манинг махсус нуктаси дейилади. Махсус нуцталар туплами мах-
сус ечим дейилади цамда унинг графиги махсус интеграл чизиц
дейилади. Демак, (х0, у0, у0) нуцтанинг етарли кичик ёпиц атрофи-
да 3.1 - теореманинг бирор шарти бузилганда махсус нуцтага эга бу-
лишимиз мумкин. 3.1 - теорема фацат етарли шартни белгилагани
учун (х0, у0, у0) нуцта айтилган цолда махсус булиши цам, бул-
маслиги цам мумкин. Шу муносабат билан махсус нукта ва махсус
ечим тушунчаларига мукаммал тухталамиз.
4- §. МАХСУС НУЦТА ВА МАХСУС ЕЧИМ
1. Аввал махсус нукта тушунчасига тухталамиз. Бунда (3.1) диф-
ференциал тенглама у' га нисбатан ечилиши мумкин деб караймиз:
у'= [(х, у). Агар f(x, у) функция Р ёпиц тугри туртбурчакда узлук-
сиз булиб, у буйича Липшиц шартини каноатлантирса, у цолда
Пикар теоремасига кура (х0, у0) £Р нуцтадан ягона интеграл чизиц
утади.
Энди f(x, у) функция Р нинг (х0, у0) дан бошца цамма нуцта-
ларида узлуксиз булиб, (х0, у0) нуцтада узлуксиз булмасин. Унда
цуйидаги цоллар руй беради:
1) limf(x, у) = А, А — чекли цациций сон;
У~+У«
2) lim f(x, у) = оо (аниц ишорали чексиз);
У-*Уч
3) f(x, у) функция (х0, уд) нуцтада лимитга эга эмас.
1) цолда f(x0, у0) = А деб f(x, у) функция цийматларини тулдир-
сак, Р да узлуксиз функцияга келамиз.
2) холда эса — тт- 1 , тенгламани цам куриб 77----г = 0 деб
/\х> У) /(^о> Vo)
функциянинг цийматини тулдирамиз. Бунда яна Пикар тео-
90
ремасини цулланиш мумкин ва дифференциал тенгламанинг инте-
грал чизиги (хв, ув) нуцтада вертикал уринмага эга булади.
3) цолда (%0, ув) нуцта ажратилган махсус нуута дейилади.
Шундай нуцталар атрофида интеграл чизикларнинг сифат хоссалари-
ни урганиш мумкин булиб, бу дифференциал тенгламалар назарияси
цулланиладиган барча сохаларда керак булади. Ажратилган нуцта-
лар атрофида интеграл чизикларни урганиш хар жицатдан мураккаб.
f(x, у) функция каср-чизикли булганда баъзи интеграл чизикларни
чизамиз. Шундай килиб, ушбу
dy ах + by
dx' сх + dy
(3.23)
(бунда а, Ь, с ва d лар—^акикий сонлар) дифференциал тенгламани
курайлик. Унг томондаги функция учун А= j У= О булганда
(0,0) нукта ажратилган махсус нуктадир. Унинг атрофида интеграл
чизикларни текширамиз. А ни (3.23) тенгламанинг детерминанти деб
юритамиз.
. I а — К Ь
Агар|с d_K
= 0 характеристик тенглама .хар хил хакикий 2ц, _
Л2 ечимларга эга булиб, ^ + Х~=^0 булса (масалан, /ц =z= 0 булса),
у холда (3.23) тенгламани чизикли махсусмас алмашгириш ёрдамида
dv v
du и
(3.24)
куринишда ёзиш мумкин. Ундан
Ха
X,
c = C|u] (С — ихтиёрий узгармас) (3.25) келиб чикади. 2ц ва л.2
ларнинг цар бири нолдан фаркли ва бир хил ишорали ёки турли
ишорали булишига караб 'мос равишда тугун ёки эгар расмларига
эга буламиз (25- ва 26- чизмалар). Агар /а1<0 булганда У = 0 бул-
са, v = с горизонтал интеграл чизикларга эга буламизки, (0, С) нук-
талар туплами махсус нуцталар туплами булади. (27- чизма.)
25 - чизма.
Jli<o, Лг = о
27 - чизма.
Юцоридаги 25-, 26-, 27- чизмалар
7ц ва 7.2 ларнинг Маълум цийматлари
учун келтирилган.
Характеристик тенглама бир жуфт
цушма комплекс а + ф илдизга эга
булсин. У ^олда (3.23) тенгламани
dv __ + ох
du аи — Ри
(3.26)
куринишга келтириш мумкин. Бу бир
жинсли дифференциал тенглама бу-
либ, уни интеграллаш мумкин:
--В _______
г = Се , г=]/ц2 + &2, <p=arctg-^-, С>0.
Бу формула а=/=0 булганда логарифмик спиралларни, а = 0 бул-
ганда эса, концентрик айланаларни белгилайди (28, 29- чизмалар).
Яна 7,1=7.2т^0; 7,!= К> = 0, 7ц = О, Х2^=0 доллар учун хам чизма-
ларни келтириш мумкин.
Агар f(x, у) функция каср-чизикли булмаса, ажратилган махсус
нуцта атрофида интеграл чизицларни урганиш масаласи анча мурак-
28 - чизма.
каб булиб, улдифференциал тенгламаларнинг сифат назарияси» да
2. Энди биринчи тартибли ^осилага нисбатан ечилган дифферен-
циал тенгламаларнинг махсус ечимларини чукурроц урганамиз.
Маълумки, агар = f(x, у) тенгламада Дх, у) функция бирор
ёпиц /’(РсГ) тупламда узлуксиз ва у буйича узлуксиз хусусий ^о-
силага эга булса, у ^олда
max Iу1-1 — Ь< + о»
.и. v)е₽| ду I
га эгамиз ва Пикар теоремасига кура цар бир (л0, у0) £ Р нуцтадан диф-
ференциал тенгламанинг ягона интеграл чизиги утади. Демак, Р туп-
ламда махсус интеграл чизиц булмайди. Масалан, Р тугри туртбур-
чакда аникланган f(x, у) функция у Ъуйича купцад булиб, у шу Р
да узлуксиз булса, Р тупламда махсус ечим булмайди. Агар
f(x, у) = -у1^’ куринйшда булиб, fL(x, у) ва f2(x, у) функциялар
х ва у ларга нисбатан купцад ва Р тупламда узлуксиз (яна
f2(x, (х, у)£Р) булса, у цолда Р тупламда фацат оддий ин-
теграл чизицлар булади. Бу Р ёпиц тугри туртбурчакда Пикар тео-
ремасининг шартлари бажарилишидан келиб чицади. Шундай цилиб,
махсус ечим Пикар теоремасининг шартлари бузилган нуцталар тупла-
мида мавжуд булиши мумкин. Агар )(х, у) функция Р тупламда у буйи-
ча чекли хусусий цосилага эга булса, у цолда бу функция Р да у
буйича Липшиц шартини цаноатлантиришини 1- бобда айтиб утган
„ г> df(x, у)
эдик. Энди Р тупламда " цосила чегараланмаган нуцталар
цам бор булсин дейлик. Бундан нуцталар тупламини Р' деб белги-
лаймиз (равшанки, Р' с Р). Р тупламнинг нуцталари
^-^| = +оо (3.27)
муносабатни цаноатлантирадиган нуцталардан иборатдир. Шу Р' туп-
ламнинг нуцталари махсус ечимдан иборат булиши мумкин. Аслида,
махсус ечимни топиш учун цуйидаги цоидани тавсия этамиз:
1) (3.27) шарт бажариладиган нуцталар туплами топилади;
2) бу туплам нуцталарининг геометрик урни ~ = f(x, у) тенглама-
нинг ечими булиши ёки булмаслиги текширилади;
3) айтилган ечим бор булса, унда ягоналик бузилиши ёки бузил-
маслиги текширилади.
Агар бирор <р(х), х£1 ечим учун унинг цар бир нуцтасида (3.27)
тенгсизлик бажарилса ва ягоналик бузилса, унда бу ечим махсус
ечим булади.
2
з
Мисоллар. 1. 1- бобда курилг ан у' — у дифференциал тенглама учун (а, 0)
2 '
3 у
нуцтада (а — ихтиёрий цациций сон )
з
цоси л а чегараланмаган.
Шу цосила чегараланмаган нуцталар туплами Р' = {(х, у):у = 0, х—ихтиёрий}
дан нборат булиб, у = 0 берилган тенгламанинг ечимидан иборат. Бу ечимнинг
цар бир иуцтасида ягоналик бузилишини курсатган эдик. Демак, у — 0 (абсцисса
уци) берилган дифференциал тенглама учун махсус ечнм булади.
2
з
2. Ушбу уг = у +1, — оо<^<4-оо дифференциал тенглама учун ^ам
I df 2
(а, 0) нуцта атрофида
чегараланмаган, аммо у = 0 ечим эмас.
У цолда j/=0 чизиц махсус ечим була олмайди, демак, берилган тенгламанинг
махсус ечими йуц.
3. Бу пунктда цосилага нисбатан ечилмаган дифференциал тенгла-
малар учун махсус ечим мавжудлиги масаласи билан шугулланамиз.
Биз махсус ечимни топишнинг икки усули билан танишамиз:
а) (3.1) тенглама учун 3.1-теорема шартларидан камида битта-
си бажарилмаган, б) (3.1) дифференциал тенгламанинг умумий ечи-
ми маълум.
а) Асосан F(x, у, у') функция D3 тупламда узлуксиз ва узлук-
сиз ^осилаларга эга булган ^олни курамиз; Бу ^олда махсус ечим
3.1 - теореманинг 2-шарти бузиладиган нуцталар тупламидан иборат
булиши мумкин. Бошцача айтганда, р = параметрни киритсак,
махсус ечим ушбу
Р(х, у, р) — 0,
\FP(X> У> Р) = °
(3.28)
системани каноатлантирадиган (х, у) нукталар тупламидан иборат
булиши мумкин, бу тупламни Dp дейлик. Агар (3.28) системанинг
тенгламалари биргаликда булмаса, у холда D-3' туплам буш булади
(яъни Dp = 0). Агар D’>^=Q) булса, бу туплам нукталарининг гео-
метрик урнини текшириш керак. Шу геометрик урин (3.1) дифферен-
циал тенгламанинг р —дискриминант чизиги дейилади. Уни <р!’(х)
(!=1, 2, ... , т) деб белгилайлик. <р?(х) чизицлар ечим булиши
Хам, цисман ечим булиши хам ва бутунлай ечим булмаслиги хам
мумкин. Бундай коида келиб чикади:
1) р — дискриминант чизиклар (яъни tp" (х) чизицлар) топилади;
2) топилган р — дискриминант чизицлар ечим (ёки кисман ечим)
булиши текширилади.
3) р — дискриминант чизикларнинг ечим булган шохчаларида яго-
налик уринли булиши ёки уринли булмаслиги текширилади.
(3.28) дан р — дискриминант чизиклар учун (р ни чикариб таш-
лагандан кейин) ф;(х, у) = О
чикади. Агар бирор (х0, у0)
шу нуктанинг етарли кичик
куринишда ёзиш мумкин.
(i = 1,2, ... , т) тенгламалар келиб
д*р-
нуцтада 0 булса, теигламаларни
атрофида у га нисбатан ечиб, z/=<p£(x)
Агар бирор у = ф((х) функция ёки ф£.(х,у) = 0 откорм ас тенглама
р — дискриминант чизицларни белгилаб, бу чизик (3.1) дифферен-
циал тенгламанинг ечими булса ва унинг цар бир нуктасида ягона-
лик хоссаси бузилса, у цолда тегишли чизиц махсус интеграл чизик
булади.
з
Мисоллар. 1. (у')2 = у дифференциал тенглама учун ушбу
4
( F(x, у, р) = р2 — у 3 = О,
{ dF „ ’ „
I ХГ = 2р = 0 .
'др г
системага эгамиз. Ундан у — 0 келиб чикади. Бу р—дискриминант чизикдир.
Содда муло^азалар курсатадики, бу чизиц берилган тенгламанинг ечими булиб,
унинг хар бир пуцтасидап бир йуналишда камида икки интеграл чизи^ утади
(биттаси—у = 0, иккинчиси — кубик парабола). Шундай ^илиб, у — 0 махсус
ечимдир.
2. Аввал 3- § да курилган у' = 2ху' — у' Лагранж тенгламасини оламиз. Бу
тенгламанинг махсус ечими йуклигини курсатамиз. Тегишли
• ( F(x, у, р)=у — 2хр + р = 0,
{ dF
I -лГ =—2х+ 1=0
1 др 1
системадан у = 0, х — келиб чикади. Бу нуцта у = 0 ечимда ётади ва у = О
ечим ихтиёрий х лар учуп аницлангап. Аммо юцоридаги система х нинг х = -тр
цийматидагина биргаликда булади. Демак, у = 0 ечим махсусмас.
3. Энди у — 2ху' + (у')2 — 0 тенглама берилган булсин. Ушбу
( у — 2хр + р2 = 0,
I — 2х + 2р = О
системадаи р — х келиб чикади. р дискриминант чизигининг тенгламаси у — 2xx-j-
-|- х2 = 0 ёки у — х2 булади. Аммо бу парабола берилган тенгламанинг интег-
рал чизиги эмас, чунки x2s—2х(х2)' + ((х?)')2¥=0.
Демак, у — х2 парабола махсус ечим була олмайди. Берилган диф-
ференциал тенгламанинг умумий ечими
С 2 „
у = 2хр— р2, (р — параметр, С — ихтиёрий узгармас)
куринишда ёзилади.
3.2- теорема. Агар F(x, у, р), Р = функция бирор ёпиц
Дз тупламда аницланган, узлуксиз ва биринчи тартибли узлук-
сиз цосилаларга эга булиб, шу D® да Ф 0 булса, у Урл-
да (3.1) дифференциал тенгламанинг р — дискриминант чизиги
шу тенгламанинг ечими булиши учун ушбу
дГ{х’ У' Я + р dF{x' У’ Р). = 0 (3.29)
дх ' ду v
тенгликнинг бажарилиши зарур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги. р — дискриминант} чизиц ечим булсин ва
унинг тенгламасини параметрик куринишда ёзиш мумкин деб фараз
этайлик, яъни
х = х(р), у = у(р), (р — параметр)
бу ерда х(р), у(р) функциялар дифференциалланувчи. Биз ушбу
П*. у, р) = о, ."'V* =0, P = i
муносабатларга эгамиз. Юцоридаги фаразга кура F(x (р), у (р), р)=0.
Ундан р буйича тулиц росила олсак,
dF{x(p), ц(р), р) dx dF(x(p), у(р) р) dy
дх др ‘ ду dp r
+ . = 0 (3.30)
дг
ёки — 0 булгани учун (3.29) келиб чицади.
„ с л 9F а дГ । dF г\ г-
Етарлилиги. г = О, = 0, -J-р =0 муносабатлар
уринли булсин. Биринчи иккитасидан у ва р ларни х нинг функция-
си сифатида топамиз: у = у(х), р = р(х). Бу у (х) функция (3.1)
тенгламанинг ечими эканини курсатамиз. Унинг учун F = 0 ни яна
х буйича дифференциаллаймиз:
dF(x, у(х), р(х)) dF(x, у(х), р(х)) dy dF(x, у(х), р(х)) dp _ q
дх ‘ ду dx ‘ др dx
Бундан (3.29) ни ^исобга олсак, = р(х) келиб чикади. Шу билан
бирга: х, у(х), р(х)) = F(x, у(х), =0, Демак, у = у(х)
функция ечим экан.
4. 3-нисолда курилган у — 2ху' + (у )2 = 0 дифференциал тенг-
лама учун у = х2 — р парабола дискриминант чизи^ булиб, ечим
эмас эди. Буни ^озирги усул билан текширайлик. ХаЦи^атан, F(x,
\ о । 2 dF о । о dF . dF с.
У- Р) = У— %ХР + Р . = — 2х + 2р, 1, — = — 2р муноса-
батларга кура + р— == — 2р +р-1 = — 0. 3.2- теореманинг
4
шарти бажарилмади. 1-мисолда курилган (у')2—у 3 = 0 дифферен-
4 " 1
с 2 з dF „ dF dF 4 з
циал тенглама учун F = р2— у , — = 2р, = 0, ^-= — -3 у
।
ва^ + Р-^=0 + р(----------Г У3)’Аммо = 2р = 0 дан р = о ке-
ли0 чикади. Шунинг учун охирги ифода айнан нолга тенг. Демак,
у = 0 (р — дискриминант чизик) махсус ечим булади.
б) 3.4-таъриф. Ушбу
Ф(х, у, С) = 0 (3.31)
30- чизма.
бир параметрли силлиц чизиклар
оиласи берилган булиб, СЕ [Сг ,С21
булсин. Агар бирор I чизиц $зи-
нинг цар бир нуцтасида (3.31)
оила чизицларидан бирортаси би-
лан умумий уринмага эга булса,
у цолда I чизиц (3.31) оиланинг
урамаси дейилади. %
Ушбу у — (х + С)2 параболалар
оиласи учун у = 0 чизиги урама
булади (30- чизма). Аммо ^ар цан-
дай силлиз чизиклар оиласи ^ам
урамага эга булавермайди.
3.3-теорема. (3.31) бир параметрли силлиц чизицлар оиласи
берилган булиб, Ф(х, у, С) функция бирор тупламда аницлан-
ган, узлуксиз ва биринчи тартибли узлуксиз \осилаларга эга
цамда
(3.31')
\дх ) уду х
тенгсизлик уринли булсин. У уолда тенгламаси параметрик кури-
нишда
х = х (О, У —У (О, x(t) EcHh, У, У (t)^c1 (3.32)
берилган чизиц (3.31) оиласининг урамаси булиши учун 0рсОйанинг
%ар бир нукупасида ушбу
<W), y(t), С) = О
дФ(хЩ, y(t), С) _ п (3.33)
L^C
тенгламалар цанстлантирилиши зарур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги. (3.31) оила тенгламаси (3.32) билан ёзил-
ган ^урамага эга булсин. t параметр [/п /2] интервалда узгарганда
урама (3.31) оиланинг турли чизикларига уриниб боради, яъни I узга-
риши билан С узгариб боради. Шунинг учун С = С(/) деб караш
лозим. Албатта, t£ Ю 4] Да С'(/)=И=О, акс ^олда (яъни С'(/) = 0,
£=[/], О булса)[/°, /2] интервалдан олинган t киймат-
ларида урама тегишли оиланинг факат битта чизигига уринади. Де-
мак, [ZJ, интервалда урама уша чизиц билан устма-уст тушади.
Бу (3.32) чизи^нинг урама эканига зид. Шундай цилиб, С'(/)^=0,
О- Энди (3.32) ни (3.31) га цуйсак, Ф(л(/), y(t), С(/)) = 0 ай-
ният ^осил булади. Айният чап томонидаги функциядан I буйича ту-
лиц росила оламиз:
дФ dx j_ аФ dV _L оФ dC п
17^+ж df + = <3’34)
Энди (3.31) оила чизигига утказилган уринманинг бурчак коэффи-
циентини k деб, уни топайлик. Раншанки, ~ =/= 0 булганда
дФ(*. у, С)
дФ(х, у, Q оФ(х, у, С) dy _ п п„н __ h ___________дх
дх т ду dx Д dx ~ оФ(х, у. С)
ду
f =^0 булганда ^^-0- + ?Ф(х У, дан
I дФ дх dx ду
дх =k' =
ду
келиб чикади. (3.31) тенгсизлигига кура бурчак коэффициент
аникланган. Шунга ухшаш, урамага утказилган уринма бурчак коэф-
фициентами десак,
ь = _ У'(0 7 b> . x'(t) \
1 dx(t) x'(t) Ki ~ y'(t) J
булади. Ammo k = булгани учун (3.30) ни ^исобга олиб
*(О+-^(О = о
муносабатга эга буламиз. Бу тенглик ва C'(t)^Q, га кура
/ООП ЭФ(х(/), y(t), C(t)) А О /
(3.34) дан — "дс —= ° келиб чицади. Зарурлик исбот этилди.
Етарлилиги. Агар бирор (3.32) чизицнинг ну^таларида (З.ЗГ)
тенгсизлик уринли булиб, (3.33) муносабатлар цоноатлантирилса, у
}$олда (3.32) чизи1\ (3.30) оиланинг урамаси булади. Шуни исбот эта-
миз.
3\акицатан, Q q, /g[fb /j дейлик. Энди (3.33)
система тенгламаларидан биринчисини t буйича дифференциаллаймиз.
Натижада (3.33) нинг иккинчи айниятини ^исобга олиб,
ЭФ ,,л . ЭФ п
х + ду у ~ 0
ёки
у7(0
*'(0 = —
ЭФ
дх
дФ
ду
муносабатга келамиз. Бундан тегишли нуцтада~(3.32) чизиц (3.31)
оиланинг чизиги билан бир хил бурчак коэффициентига эга экани
келиб чикади. Етарлилиги исбот этилди.
(3.33) система аницлайдиган чизик (3.31) оиланинг С—дискриминант
чйзири дейилади.
, Берилган силлиц чизи^лар оиласининг урамасини топиш учун
куйидаги цоида келиб чикади:
1) (3.33) системадан С ни чицариб ташлаб, С — дискриминант чи-
зиц топилади;
2) топилган С — дискриминант чизицдан
ЭФ = р ЭФ
дх ду
(3.35)
тенгламаларни каноатлантирадиган (х, у) нуцталарни чицариб ташла-
нади. С — дискриминант чизи^нинг долган цисми берилган оиланинг
урамаси булади. Агар (3.35) системанинг тенгламалари биргаликда
булмаса, у ^олда С — дискриминант чизиц тулалигича урамадан ибо-
рат булади. Агар С — дискриминант чизицнинг ^ар бир ну^тасида
(3.35) уринли булса, у ^олда берилган оиланинг урамаси мавжуд
эмас.
3 [Wy ( 3 V
Мисо л. Энди у — I/ ----- х \/ -----—1 дифференциал тенглама
у \ V /
берилган булсин. Уни интеграллаш учун х га нисбатан ечиш осон. Бу ^олда те-
гишли усул билан цисоблашлар олиб борсак, умумий ечим ушбу у — С3х? + 2С2*—
— С = 0 куринишда топилади. С — дискриминант чизиции топайлик. Ушбу
(у — CW + 2€?х — С = О,
I —ЗС2х2 + 4Сх— 1 = 0
системаиинг иккинчи тенгламасидан х > 0 булганда С = —; х < 0 булганда эса
Зх
1
С = —-С учун топллгаи икки ифодани цам системаиинг биринчи тенгламасигя
х
цуйсак, икки С — дискриминант чизиц, яъни
4
у = 0, у = -—;
27х
(3.36)
чизицлар цосил булади. Улардан бири абсцисса уци булса, иккинчиси шохчалари
1- ва 3- квадрантларда жойлашган гиперболадаи иборат (31- чизма).
Энди топилган (3.36) С — дискриминант чизицлар урама ёки урама эмаслигини
йФ
текширамиз. Курилаётгап холда Ф = у — С3х2 + 2С2х — С. Ундан — = — 2С3х +
дх
йФ
+ 2С2,— = 1 ^0. Демак, (3.36) даги хар икки чизик хам урамадир.
ду
3.4- теорема. (3.30) силлиц
чизиклар оиласи (3.1) дифферен-
циал тенгламанинг умумий ечими
булиб, уша чизицлар оиласи ура-
мага эга булса, у цолда бу урама
(3.1) тенгламанинг махсус ечими
булади.
Исбот. Ураманинг тенгламаси
F1 (х, у) = 0 (ёки у = F2 (а-)) ку-
ринишда булсин. Унда ихтиёрий
(хо.*/о) ну^тани оламиз, яъни (х0, у0)£
£ I, I- урама. Олинган нуктада ура-
мага утказилган уринманинг бурчак
коэффициента k шу нуктадаи утув-
чи интеграл чизицлардан бирорта-
сига утказилган уринма бурчак коэффициента
31 - чизма.
/?г билан устма-уст
тушади. Демак, I — урама (3.1) дифференциал тенгламанинг ечими
булади. Шундай килиб, (л'о, у0) ихтиёрий буЛгани учун / — урама-
нинг ^ар бир нуцтасидан шу I чизиги ва (3.30) оиланинг битта чи-
зиги утади. Бундан I — урама (3.1) дифференциал тенгламанинг мах-
сус ечими экани келиб чицади. Теорема, исбот булди.
Юкррида курилган мисолда умумий ечим у — С3х2 + 2С2х — С =
= 0 куринишда булиб, шу чизиклар оиласи учун у = 0, у — чи-
зиклар урама экани курсатилган эди. Демак, бу чизиклар тегишли
дифференциал тенгламанинг махсус ечимлари булади (31- чизма).
Юкоридаги муло^азалардан равшанки, дифференциал тенгламанинг
барча ечимларини топиш учун унинг умумий ечимини ва агар мав-
жуд булса, махсус ечимларини топиш лозимдир.
Машц Ушбу дифференциал тенгламаларнинг барча ечимлари топилсин:
1. У' = V1 — у2, ы < 1; 4- (2 ху' — г/)2 — 4х3 = О, я > 0;
2. у' = 'У(у —х)2 + 5, D3 =R 3; 5. х2 (у')2 — 2 хуу' ф- 2 ху = О,
3. х — у = О3 = ВЗ; ху<0, х^О, у'<1.
5- §. ИЗОГОНАЛ ВА ОРТОГОНАЛ ТРАЕКТОРИЯЛАР
3.5- таъриф. Агар текисликда бир параметр ли силлиц. I чизиц-
лар оиласи
Ф (х, у, а) = 0 (а — параметр)
(3.37)
берилган булса, у \олда бу оила чизицларини узгармас а бурчак
остида кесиб утувчи чизиц берилган (3.37) оиланинг изогонал
траекторияси дейилади. Таърифга кура / ва /г чизикларнинг кесиш-
ган нуцтасида уларга утказилган уринмалар орасидаги бурчак а га
тенг.
Агар а = -у булса, изогонал траектория ортогонал траектория
деб юритилади.
Энди берилган (3.37) оиланинг изогонал траекторияларини топиш
билан шугулланамиз. Шуни цайд цилиб утамизки, а — 0 булганда
биз тегишли оила учун урамага эга эдик ва бу урамалар мавжуд
булиши >;ам, булмаслиги ^ам мумкин эди. Курилаётган ^олда (яъни
а 0 булганда) берилган силлик, чизиклар оиласининг изогонал траек-
ториялари мавжуд ва бу траекториялар туплами чексиз тупламдир.
Бу тупламни Фр (3.37) чизиклар
оиласини эса Фй деб 'белгилаймиз.
Аввал «^=-5 булсин. Ф( туп-
ламдан бирор чизицни 'олайлик.
Унда узгарувчи координаталар xlt
у± булсин. (3.37) оиланинг диффе-
ренциал тенгламаси тузилади. Уни
биз биламиз. tga = /e дейлик.
Агар tg<p (3.37) оила чизитига ут-
казилган уринманинг бурчак коэф-
фициента булса,
tg(ip — q)) = tga = /e
dtji __dy
dx, dx ,
еки ------Ь—— = k
1 ।
‘ dxt dx
булади (32- чизма). Бундан
ЙФ (*!, th, a) dy1 дФ (jq, yit а)
дх.
дУ1 dxL________________цЛ1 =
дФ (xt, yi, а) дФ (xt, ylt a) dyt
(3.38)
(3.39)
дх, d х.
Агар Ф (xt, уъ а) == 0 ва (3.39) муносабатлардан параметр а ни
чи^ариб ташласак,
= Ъ (3-40)
дифференциал тенгламага келамиз. Бунда хг = х, У1 — у дейиш мум-
кин. (3.40) дифференциал тенгламанинг умумий ечимини V(xn уъ С) =
= 0 десак, биз (3.37) оиланинг изогонал траекториялари туплами
Ф4. ни ^осил 1\иламиз.
Агар а = у булса, ф — q> = -у Batgip = — ctg ср, ~ бу ла-
dx
ди. Демак, Ф (х1т ylt а) = 0 ва (*i> gvа) q тенг_
dxx dxt дуг
ламалардан а ни чицариб, ортогонал траекторияларнинг дифферен-
циал тенгламасини топамиз. Уни интеграллаб, ортогонал траектория-
лар оиласини топиш мумкин.
Агар силлиц чизиклар оиласининг дифференциал тенгламаси то-
пилган ёки берилган булса, у ^олда изогонал ва ортогонал траекто-
торияларнинг дифференциал тенгламасини топиш осонлащади. ?(аци-
катан, (3.37) оиланинг дифференциал тенгламаси
Р(*1,
\ dx/
булсин. У \олда (3.38) дан:
<4/1 .
•---— к
dy_____ dxt
dxi
Буни (3.41) га цуйсак (х — xlt у = уг деб)
/ ^-k
г dx. к
\ kdx+l
(3-41)
(3-42)
= 0
з^оснл булади. Биз изланган дифференциал тенгламага эгамиз. Агар
а=~ булса, ни (3.41) га цуямиз:
dxj
fpx. t/ь-^-О. (3.43)
\ dx±J
Ми со л. у = ах ту грн чизшутар оиласининг изогонал траектория-
ларини топайлик. Берилган оиланинг дифференциал тенгламаси (3.43) га кура:
— — k
— = —— . Бундан tga=fe десак: -----= — — ёки k (ydx—xdy) = xdx -|- ydy.
dx У dy у
Rdx^ 1
. ydx —xdy
Охирги муносабатнинг икки томонини х2 + у2 4= 0 га буламиз: k -। =
= Бундан k arctg In (х2 4- у2) — In С ёки arctg у = <р,
~\/ х2 + у2 = г дейилса, г = С ek<f, С > О
формулага келамиз. Бу логарифмик спи-
раллар оиласидан иборат (33- чизма). Ку-
рилган чизиклар оиласининг ортогокал
траекториялари маркази координата бо-
шида булган концентрик айланалардан
иборат булишини курсатиш цийин эмас.
а = 0 булганда изогонал траектория-
лар туплами битта нуцтадан (координата
бошидан) иборат булиб, у нуцта тегиш-
ли дифференциал тенгламанинг ажратил-
ган махсус нуцтаси булади.
М а ш ц.
1. Ушбу у = ах2 параболалар оила-
сининг ортогонал ва изогонал траекто-
риялари топилсин;
а
2. Ушбу у — — , а > 0 гипербола-
х
лар оиласининг ортогонал ва изогонал
траекториялари топилсин.
4- боб
п-ТАРТИБЛИ ОДДИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР
1- §. УМУМИЙ ТУШУНЧАЛАР ВА МАВЖУДЛИК ТЕОРЕМАЛАРИ
Ушбу
F(x,y,y', ... , у{п)) = 0 (4.1)
куринишдаги тенглама п- тартибли оддий дифференциал тенглама
дейилади. Бу ерда F (х, у, у', ... , у(п)) функция («4-2) улчовли
Л"+2 фазонинг ^п+2 содасида аникланган. Куп долларда (4.1) тенг-
лама ушбу
УМ = !(Х,У, У, - , t/(n-1)) (4.2)
куринишга келгирилади. Бу тенглама говори тартибли досилага нис-
батан ечилган ёки каноник куринишдаги п- тартибли оддий диф-
ференциал тенглама деб юритилади. (4.2) тенгламада f (х, у, у', ... ,
уп Х) функция («4-1) улчовли фазонинг содасида анид-
ланган.
Агар (4.1) ва (4.2) да « =s 1 булса, биринчи тартибли оддий диф-
ференциал тенгламага эга буламиз. Бу долни 1- ва 3- бэбларда кур-
ганмиз. Энди « > 2 булсин.
1. Аввал (4.2) дифференциал тенгламани чуцуррод урганамиз.
4. 1- таъриф. (4.2) тенглама берилган булиб, f(x,y,y', ... ,
функция Rn+l фазонинг F>n^ соцасида аницланган булсин. Агар
I интервалда аницланган бирор ц>(х) функция учун цуйидаги учта
1°. Ф(х)еСп(7);
2°. (х, ф(х), у'(х), ... , (х)) g£>n+i, х£ 7;
Зэ. ф<л>(х) sf(x, ф(х), ф'(х).......ф^-') (х)), х£ I
(4-3)
шарт бажарилса, у цолда ф(х) функция I интервалда (4.2) диффе-
ренциал тенгламанинг ечими дейилади.
(4.2) тенглама ечимининг графиги, яъни у =ф(х) функциянинг
графиги, унинг интеграл чизиги дейилади.
Мисоллар. 1. у" 4- со2с/ = О, Ds = R3 тенглама учун п—2 булиб, у =
= sin сох, I = R1 функция унинг ечимидир. Равшанки, бу ^олда 4.1- таърифнинг
барча шартлари бажарилади.
2. у'" 4- Зу' — 2у = 0, Dt = Ri 3- тартибли дифференциал тенглама булиб,
у = еех функция унинг — < х < Ц- интервалда аиидлаиган ечимидир.
я я
3. у" = 2уу' учун DS = R3 ва у — tg х функция — -% < х < интервалда
берилган ечимидир.
Эслатиб утамизки, биринчи тартибли дифференциал тенгламалар-
даги каби юкори тартибли дифференциал тенгламаларда ^ам ечим
баъзида ошкор у = <р (х) куринишда ёзилса, баъзида ошкормас
ф(х, j/)x=0 функция куринишида ёзилиши мумкин. Ечимни баъзан
параметрик куринишда
х — х (t), у = у (t), t g / t(t — параметр)
излаш ^ам цулай булади. Биз параметрик куринишда ёзиладиган
ечимнинг таърифини келтириб утирмаймиз.
4.2- таъриф (4.2) дифференциал тенглама ва х, Clt С2, ... ,Сп
узгарувчиларнинг бирор узгариш соцасида аницланган цамда х бу-
йича п марта узлуксиз дифференциалланувчи
У = <Р(х, Clt С2, , Сп) _ (4.4)
функция берилган булсин. Агар ихтиёрий (к, у, у', ... , )€
eDn+1 нуцта учун ушбу
У — Ob ^2> ^п)>
У — Фж (*» С2, , Cn)i
; с„)
муносабатлар Си С2, ... , Сп ларнинг
С1 = Ф1(х, у, у', ... , у(п-1)),
С2 = ф2 (*, У, У'....у'"-1’)
Сп = V*’ У, У'. ••• . У("-1))
(4.5)
(4.6)
цийматларини бир цийматли аницласа ва бу цийматларни ушбу
/Л =-(х, Сп С2, ... , Сп) (4.7)
тенгликка цфшш натижасида айнан (4.2) тенглама уносил булса, у
%олда (4.4) функция (4.2) тенгламанинг Dn+l сохада аницланган
умумий ечим1 дейилади.
Шундай килиб, (4.2) дифференциал тенгламанинг умумий ечими
п та ихтиёрий узгармас сонни уз ичига олади.
(4.2) дифференциал тенгламанинг барча ечимларини тспиш асосий
масаладйр. Умумий ечим фсрмуласи (4.4) ни слайлик. Унда Clt Cit
... , Сп ларга маълум кийматлар береак, тегишли ечим ^осил була-
ди. Умумэн айтганда (4.2) тенгламанинг (4.4) формула уз ичига ол-
маган ечимлари хам булиши мумкин. Бундай ечимлар махсус ечим-
лар дейилади. Бу тасди^нинг далили сифатида иккита мисол кура-
миз.
Мисвллар. 1. у"-=х, Dt = R^ тенглама учун у = -g- +Схх + Св функ-
«ия умумий ечим булади. ^а^ицатан, у' = + С1г у" = х ^осилалардан охир-
гисида Сг ва Ct лар ^атнашманди, у муносабат берилган тенглама билан устма-
уст тушади. Умумий ечим формуласи тенгламанинг барча ечимларини уз ичига
олади.
(wz)2 f 1
2. у” = --, Da = 1 (х, у, у’): — оо < х < -|- оо, у > 0, — со <_ у' < -|- оо |
дифференциал тенглама учун у = ес,х+Са функция умумий ечим булади. XaIWa-
таи, у' = eClX+c‘, у" - Cj ес*х+с‘ ёки у’ = С±у, у" = ф= = — • БУ
охирги муносабат берилган дифференциал тенглама билан устма-уст тушади. Аммо
умумий ечим фэрмуласи берилган тенгламанинг барча ечимларини уз ичига олмай-
ди. Курилаётган ^олда у = С (С = const ¥= 0) функция ^ам ечимдир. Бу ечим уму-
мий ечим формуласи у — ес‘х+с‘ дан С± ва С2 ларнинг биронта ^ам цийматида
^осил булмайди. Щундай ^илиб, у = С=/=0 ечим махсус ечим булади.
(4.2) дифференциал тенгламанинг унинг умумий ечими фэрмуласи
(4.4) дан Сх, С2, ... , Сп ларга цийматлар бериб ^эсил ^илинадиган
^ар бир ечими (4.2) тенгламанинг хусузий ечимл дейилади.
Хусусий ечимни из тал Komi миаласшшнг ечимини излалга
келади.
Агар (4.2) тенглама, (я0, у0, у0', ... , t/''1-» ) €£>„+1 нуцта ва ушбу
У{хо)~Уо> у'(х^—у0', ... , (хй) = (4.8)
муносабатлар берилган булса, (4.2) дифференциал тенгламанинг (4.8)
тенгликларни каноатлантирадиган ечимини излап (4.2) тенглама учун
Коши млсаласи дейилади. Унта (4.8) тенгликлар бэллангич шарт,
х0, Уо, Уо > ••• » £/qi_|) кийматлар эса бэллангич цийматлар деб юри-
тилади. п = 2 булганда Коли масаласи аниц геометрии маънога эга.
Масалан, у” =^f(x, у, у') тенглама учун у(х0) = у0, у'(х0) = у0’
шартни цаноатлантирувчи интеграл чизи^ тегишли со^анинг (х0, у0)
цуцтасидан берилган уд’ бурчак коэффициентли уринма билан утиши
лозим.
Агар (4.2) дифференциал тенгламанинг умумий ечими (4.4) маъ-
лум булса, тегишли Коши масаласини ечиш учун ушбу
<Р(*Ъ. С1г С2, , Сп)—• у0,
Ф (х0, С1г С2, ... , Сп) = у0,
ф(п-1,(^. съ с2,... , сл) = й,л-”|
тенгламалар системасини С1г С2, ... , Сп ларга нисбатан ечиш керак
булади. Бу система ягона ечимга эга булиши, биттадан ортиц ечим-
га эга булиши ёки умуман ечимга эга булмаслиги мумкин. (4.9) сис-
тема ягона ечимга .эга булганда (4.2), (4.8) Коши масаласи ягона
ечимга эга дейилади. Акс ^олда тегишли Коши масаласида ягоналик
бузилган булади.
Агар (4.2) дифференциал тенгламанинг хусусий ечими Ф(х, у) =0
куринишда берилса, бу муносабат берилган дифференциал тенглама-
нинг интеграли деб аталади. Агар умумий ечим Ф(х, у, С3, С2,
... , Сп) —0 куринишда ёзилгав булса, бу мунссабат (4.2) тенглама-
нинг умумий интеграли дейилади.
(4.2) дифференциал тенгламанинг барча (хусусий ва махсус) ечим-
ларини топиш дифференциал тенгламани интеграллаш жараёви була-
ди. Тенгламани интеграллаш жараёни аникмас интегралларни циссб-
лашга келганда дифференциал тенглама квадратураларда интегралла-
нади дейилади.
Энди юцорида келтирилган таърифларга мисол курайлик.
М и со л. у" + ь)2у — 0 дифференциал тенглама иккинчи тартибли булиб, унинг
умумий ечими у — Q cos сох-р С2 sin шх булади.
Агар у" -р сЛ/ — 0 дифференциал тенглама учун у (0) — 1, у' (0) = — 1 бош-
лангич шартни кдтюатлаптирадиган ечимни топиш талаб Филипса, у му мни ечимдан
фойдаланиб, 1 = у (0) — Ср—\=у' (0) = С2со тснгликларни косил циламиз. Бундан:
1 ‘1
Сх = 1; С2 = — —, со Ф 0. Демак, аникланган (ягона) ечим у = ccs сох— — sin сох
булади.
2. Энди (4.2) дифференциал тенглама учун ечимнинг мавжудлик
ва ягоналик теоремаларини келтирамиз.
4.1- тео р е м а (Кеши тесремасг). /гер (4.2) дифференциал
тенгламада ушбу f(x,y,y', ... , у<п~1}), ... , - %, функ-
оу ду' ду' 4
циялар D л+1 сВп+1сохада аникланган на узлуксиз булса, у холда:
1°. (4.2) дифференциал тенгламанинг бирор / интервалда аник-
ланган, у(х0) = у0, у'(х0) = у0', ... , у{п~'} (х0) = у0(п-1)'(х0, у0, уо,
... , у(0"-1)) Е£>п+1 бошлангич шартни кансатлантирувчи ечими мавжуд.
2°. Агар ср (%), ва ф(х), xg/2 функцияларнинг цар бири (4?2)
дифференциал тенгламанинг ечими булиб, берилган х0 учун <р(х0) =
= Ф(х0), ср' (х0) = ф' (х0), ... , с/-1’ (х0) = ф’'^1’ (х„ ) булса, бу
Ф(х) ваф(х) ечимлар аникланиш ссхаларининг умумий кисмида устма-
уст тушадн. Бсшкача айтганда, агар х0 6 Л П /2 нуцтада ф(/) (х0) =
= ф(,) (х0), 1 = 0,1, > л—1 булса, у цолда Лп/2 интервалда
ф(х)=ф(х) булади.
4.3-таъриф. Агар f (х, у, у', ... , yin~iy) функция Dn+lazBn^1
со^ада барча арг^ментлар буйича аницланган, узлуксиз булиб, бу
функция учун шундай мусбат L сон шаежуд булсаки, ихтиёрий
{X, уи У1, ... , i/i^’Oe^+p (*, Уг, yi, , й(п+,))е£,п+1 нуцта-
лар учун ушбу
Нх,Ус,У1’, , У1("-1)) — 1(х, у2, у2', ... , у/п~’)| <
(^)
п-1
i=0
У{^=У1, № = У2, l>0
тенгсизлик бажарилса, у \олда f (х, у, у’, ... , у^^)функция Dn+i
соцада у, у', ... , у(п—1)лар буйича Липшиц шартини цаноатлан-
тиради дейилади, L эса Липшиц узгармаси дейилади.
4.2- теорема (Коши—Пикар —Линделёф теоремаси).
Агар f(x, у, у', ... , у{п~1}) функция £>л+1 с: Я"+1 сохада барча ар-
гумгнтлари буйича аницланган ва узлуксиз булиб, шу D л+1 сохада
у, у , ... , лар буйича Липшиц шартини цаноатлантирса, у ^ол-
да шундай узгармас Л > О сон топиладики, натижада (4.2) тенгла-
манинг (х0, уй, у0', ... , Уо(п~1) Е Dn+l булганда (4.8) бошлангич шарт-
ларни цаноатлантирадиган ва I = {х: | х — х01 h} интервалда
аницланган ягона ечими мавжуд булади.
4.3- теорема. Агар f(x, у, у,' ... , ^0("-1))функция Dл+1 cola-
da аницланган ва узлуксиз булиб, (х0, у0, у0’, ... , y0(n~l)) Е Dn+f
булса, у %олда (4.2) дифференциал тенгламанинг (4.8) бошлангич
шартларни цаноатлантирадагач KaMida битта ечим1 мавжуд.
4.2- теореманинг исботи. Исбот икки цисмдан иборат: ав-
вал (4.2) тенгламанинг (4.8) бошлангич шартларни цаноатлантиради-
ган ва I ёпиц интервалда ани^ланган ечимининг мавжудлигини, сунг-
ра бу ечимнинг ягоналигини исбэтлаймиз.
Даставвал баъзи ёрдамчи муло^азалар юритамиз. D сохада
(п~Ь 1) улчовли ёпик
Р = {(х, У, у’, . *о| 1у — УоК — •
параллелепипедни курамиз. Dn+1 сохада узлуксиз булган [(х, у,
у,’, ... у[п~1}) функция PczDn+l да .\ам узлуксиз булади. Р ёпи^
булгани учун f(x, у, у'-, ... , у(п-,)) функция унда чегараланган бу-
лади. Шунинг учун
max|f(x, у, у’, ... , | = М, АЦ>0
(х. у. у'....j/"-1’) G Р
дейлик. Шу Р параллелепипеднинг ихтиёрий (х, ylt у^, ... , у^п~~1у)
ва (х, у3, у2 , ... , у2[п~1}) ну^талари учун (L) тенгсизлигининг ба-
жарилиши равшан (4.2- теореманинг шартига кура). КаВД циламизки,
(х0, ^о. Уо> ••• > Уо<п~'}) ну^та Р параллелепипеднинг марказидан ибо-
рат. Энди (4.2) дифференциал тенгламанинг (4.8) бошлангич шарт-
ларни цаноатлантирадиган ва ёпик Iх — x0\^h, h интервалда
аницланган ягона ечимининг мавжудлигини исботлаймиз. Бунинг учун
аввал (4.2) тенгламани цуйидаги куринишда ёзамиз:
- (у(п-2)) = у(п-1).
dx
= У>у’г ... , У{П~")-
dx
А. Исботни Пикарнинг кетма-кет якинлашиш 'методи билан олиб
борамиз. Бунинг учун аввал (х0, у0, у0', ... , у0{п~{)) £Р дейлик.
Ушбу
Уо (*о) = Уо> Уо'(хо) = Уо> - . Уо{п~'} Ю = Уо{п~'} (4-11)
муносабатларни каноатлантирадиган ва I интервалда аникланган
Уо(х) Уо~^~ Уо (*" *о) ~Ь 2| (х ' *о) 4” ••• 4~
„(п-В
+ — (X —^о)"" 1 (4-12о)
(п — !)1
функцияни олгмиз. Агар h ни
h — mm(a, Inf I + — /И* = max (М, |(/'|, ... , |у1"-1)|)
\ М* / /
деб танласак, у ^олда (х, у0 (х),... , y^n~l)(x))QP,xQI муносабат
уринли булади/Хакикатан, I интервалда ^уйидагиларни .у>сил киламиз:
1//о (х) — Уо | = |< U — *о) + • • • + (х — -^оГ' I <
<Л4*||х-х0| + + ... + <М*(е|х-л“’-1)С
< М* (еП ^1+ - 1) с М*. А = b, Iу0' (х) - у0'| = |у0" (х- х0) +
у1,
|^"~1)W—^оп“1,|= °<^-
Демак, (х, t/0(x), у'0(х), ... , у(оп~1^ (х)) 6Р, х^1. Шу шартни ^а-
ноатлантирадиган (4.120) функцияни изланган ечимга нолинми яцин-
лашиш деб оламиз. Энди биринчи якинлашиш сифатида цуйидаги му-
носабатларни каноатлантирадиган у1(х) функцияни оламиз:
X
У1 (х) = у0 4- | у0 (х) dx, xQl,
*0
X
У{(х) = у'0 +\ y'0(x)dx, х£1,
хо
У("-^ (х) = у^-2'1 4* j у(оп ~Р (х) dx, х £ /,
у(п- 1) (х) = ytf-v 4- \f(x, у0 (х), у'о(х)..........
Уо""1’ (*)) dx> х^!-
(4.12J
1) Равшанки, ^(х0) = у0, y'i(x0)= у'о, ... , у^-" (х0) = //<“ .
Демак, у^х) функция учун (4.8) муносабатлар бажарилади.
2) Ушбу У1.(х), у[(х), ... , y^-^lx) функциялар / интервалда
аникланган ва узлуксиз. Бу у'0(х),у"0(х), ... , yff~V(x) ва f(x, у0(х),
у'0(х), ... , (х)) функциялар ва улардан х0 дан х гача олинган
интеграллар I да узлуксизлигидан келиб чикади. Энди (х, уг (х),
у'х (х), ... , t/("-1)) (ЕД, х£/ муносабатнинг уринли эканини курсата-
миз. Х.акикатан, I интервалда i — О, 1,2, ... , п — 2 учун
X х
\у»>(х)-у?\ = \ J ^+0 (x)dx| <] J |^+”(x)!dx|<
Хо х0
< М* | х — х01 М* А- < 6,
бунда
M* = max(M, |г/'|, ... , |у(п“п|).
i п — 1 булганда эса цуйидагига эгамиз:
X
|r/<"-I)(x)-^-I)| = |J/(x,t/,z/;, ... ,y^dx\^
Хо
X
<1 J lf(*. Уо, у'о> • //оп“1))1^1 <А4|х — х0| <
«о
< А4* [ х — х01 С 7И* h < b.
(4.12J дан куриниб турибдики, (х0, гд(х0), у{ (х0), ....
t/i(" 11 (х0)) = (х0, у0, уо, . . . , j/(n 1})^Р ва (4.12J муносабатлар-
дан охиргисига кура yY(x) функция I интервалда биринчидан \п—11-
гача ^осилалар билан бирга п- тартибли .^осилага хам эга, яъни
y\n}(x) = f(x, у0(х),, у0(х), . . . , ^~'(х)).
Энди ечим учун иккинчи якирлашишни бундай танлаймиз:
Уч(х) = Уо+ J y[(x)dx.
Хо
У2 W = У0 + J y\'{x)dx,
х0
У{2П~2} W - ^-2>+ J r/tT-O (X) dx,
Хе
Z/'”-1’ (х) = t/t)'1-» 4- J t/<«) (х) dx = 4- J f (х, у0, у0,
Хо Хо
Бунда аввало у2(х) функция I интервалда аницланганлиги ва
(4.8) бошлангич шартни цансатлантириши келиб чш ади. Курсата-
мизки, I интервалда (х, *у2(х), у'2(х), . . . , у{"~^(х)) Бу яна
аввалгидек содда исботланади. ^а^и^атан, i = 0, 1, 2, . . . , п — 2
булганда
ДО’ (*) - ^‘‘1 = f (*) dx | < | J |i/( Ж) (x) dxj <| 7И* |x -xe| < b,
Xo Xo
i = n — 1 булганда эса
in*. ум ум ....
f/t"-1) (x)) ',dx[ < M. |x — x0] < b.
Шунга ухшаш муло^аза юритиб, m-я^инлашишни ^ам тузишимиз
мумкин:
Ут(х)=Уо + f ym_i(x)dx,
х0
у(^-2)(х) = у("-2> + J у("^ (х) dx,
ХО
^-1)(*) = ^"~1> + J у™_1 (x)dx,
х0
(4.12т)
бунда t/^L1(x)=f(x, ут_{(х), у’п-^х), .... у^{х)). Бу ^олда
$ам f/m(A) Функция (4.8) бошлангич шартни ^аноатлантиради, яна
(*, Ут(х), ут(х), ... , Р, х£7 муносабат уринли, чунки
\У%(Х)-У^Ь, 1 = 0, 1, 2, ... , п-1.
Б. Юдоридаги муло^азалар ёрдамида п та кетма- кетлик тузиш
мумкин: {ут(х)}, {ут{х)}, .... {^-’’(х)}. Уларнинг ^ар бири
т-^оо да I интервалда тегишли функцияга текис яцинлашади. Бу-
ни курсатиш учун дуйидаги п та функционал цаторни тузамиз:
Ур + (х) — *4°] +1$} (х) — У1} WE+ • • • + [У% (*) — У%-1 (*)! +
+ . . . , i = 0, 1, 2, . . . , п — 1. (4.13)
Бу цаторнинг ^адларини ба^олаймиз. Содда ^исоблашлар ку'рса-
тадики, (4.12J, . . . , (4.12т), (4.10) ларга кура цуйидагига эга бу-
ламиз:
1М° (А) — Уо ’I =1 f Уо‘+1 ’ W dx | < ] f |у'0Ж) (х) |dx| М* | х—х0|;
х9 Ха
\уУ (х) — (X) [М *|х~*о|а, i=0, 1, ... п — 2;
If/'"-1’ (X) — tft-V (x) I < I f |y'"> (x) — I dx\ = I J \f(x) yt (x), y[(x),
. . . , yf-'Ux')) - f(x, y0, y'o, ... , ^"-1>)|dx]^
X n— I I y_ v 12
L I f (s W - ^8°)1 dx\ nLM*
Л-0 i=0 2‘
Arap nL 1 булса, |r/'()W — I M* (; = o, 1,
. . . , n— 1), nL^ 1 булганда эса |//^> (x)— f/V’W! ^п^М* —
булади.
Фараз этайлик, ! (x) — ^m-2 (х)! иФ°Да учун ба^о топилган
булсин, яъни у^(х)\^М* -1- (f = 0, 1, ,
«— 1, «U 1); 1^! (х) — г/','к2(х);<Л1*(^)'”~2 |х(^уг1 >
= 0, 1, ... , и — 1, nL > 1.
Тегишли тенгсизликлар (4.13) функционал цаторнинг навбатдаги
^ади учун ^ам тугрилигини курсатамиз. Х^а^ицатан, i = 0, 1, ... ,
п — 1 ва nL 1 булганда куйидагига эгамиз:
1) i = 0, 1, . . . , п — 2:
\У% (х) — (х); < | J у^±{> (х) — i^+p (х) [ dx
х0
1 t'-M”-1 «г-Ч « «’
2) I —п — 1:
^И-у^Чх)^] =
Хо
=IJ If (X, у,п_4х^ • • « (V)) — f(x, !/и_2(х), . . .. ,
{x))\dx\^L
X п— 1
Xi i<=0
С nLM* (nir~2|j 1^-^Г-1 dx|
Хо
|х — Хо|т |х — ХоГ ,
т\ ml
Энди nL 1 булган ^олда тегишли тенгсизлик шунга ухшаш
исботланадн.
Шундай т^илиб, ихтиёрий натурал т учун тугри булган охирги
тенгсизликлардан (1.13) функционал цаторнинг ^ар бир ^ади абсо-
лют циймати буйича мусбат ^адли сонли ^аторнинг тегишли ^ади-
дан катта эмаслиги чицади, яъни:
‘‘ = 0.1, • • • . 1;
hm
\у™ W - W \ < М* nL > 1. * = 0,1, л-1.
Бевосита текшириб куриш мумкинки, 'ушбу
оо оо
tn—I [m=l
сонли цаторлар яцинлашувчи. Демак, (4.13) цаторлар / интервалда
текис яцинлашувчи булади ва улар тегишли интервалда узлуксиз
функцияларга текис яушлашади. Уша функцияларни У(х), Y'(x) ,
у4"-1)(х) Дэ$ белгилаймиз. Бошцача айтганда, i = 0 да (4.13)
цатор У(х) функцияга текис яцинлашса, i = k, k=i, 2, , . п да
тегишли к;атор Y (х) функциянинг k- ^осиласига текис я^инлашади.
^ацикатан, i = 0 да (4.13) цатор Y (х) функцияга текис я^ин-
лашсин дейлик. Шу цаторнинг ^адлари у[%(х)— y^Li(x), т== 1, 2,
. . . , |х— х0| sgй интервалда л—1 марта узлуксиз диф^эренциал-
ланувчи булиб, i^=0 булганда тегишли (4.13) цатор текис якинла-
шувчи булгани учун математик анализ курсининг тегишли теорем а-
сига к(/ра (4.13) цатор Y (х) функциянинг ^осиласига, яъни У(,)(х)
функцияга |х — х0| < h да текис яцинлашади.
В. Энди топилган Y (х) функция / интервалда (4.2) тенгламанинг
(4.8) шартни цаиоатлантирадиган изланган ечили эканини исбот эта-
миз. Ушбу
lim у$(х) = У(0(х) (4.14)
т-+оо 4
муносабатдан ^>(х0) = у(01) тенгликка кура — lim (хД=г
m-toa
= Yl‘4xo) келиб чикади. Демак, (4.8) шарт бажарилади. Y (х) функ-
ция / да (4.2) нинг ечими эканини исботлаш трлди. Аввало
(х, У(х), Г'(х).......У'"-1)(х))еР, хе/, чунки |^’(х)— у(01)1 Ь,
i = 0, 1, ... , л — 1 тенгсизликдан лг->оо да |У(‘> (х) — у<{)| < b ке-
либ чицади. Бу эса юдоридаги тггишлиликни исбэтлайди. (4.14) га
кура ихтиёрий е>0 учун шундай N = N (е) толиладики, пг нинг
tn>N(') ^ийматлари учун / интервалда
— V(Z)(A')l<e, t = 0, 1, ... , л—1 (4.15)
тенгсизлик уринли булади, (4.12) муносабатлардан охиргисини ола-
миз:
У%~" (x) = + f (л) dx
ёки
X
y<"~l>(x)^ ^“-1)+ f f(x, y^ix), y^_t(x), ... , y(”zl>(x))dx.
x0
(4.10), (4.15' тенгсизликларга кура ^уйидагига эга буламиз:
X X
| \f{x, ут_х(х), Ут_^х), ... , y£3>(x))dx— $f(x, Y(x),Y'(x),
X» Хо
X
... t Я”-1’ (x))dx | < I J f (X, ym_x (x), y'm_x{x),. . .
Xq
.... Y(x), Y'(x), ... , Y^(x))dx\ < '
<L | J —У(‘>(x)| )dx| <Lne|x—x0[ <Lne h-*-0,
xe
агар e->0 булса,
Демак, m -*j оо да I интервалдан олинган ихтиёрий х учун куйи-
даги муносабат уринли:
X
$f(x, уп_.{х), Ут^(х), ... , y("^(x))dx^
х0
-*XJf(JC, У(х), Y'(x), . . . , Yln~i}(x))dx.
хв
Энди (4.12т) муносабатларнинг ^ар бирида т->оо да лимитга
утсак, ушбу
¥(х) +у0 4- §Y'(x)dx,
X»
X
У'(х) = у'а + Jr' (х) dx,
X»
(4-16)
У(п-2> (х) = ^”“2) j И'*-1’ (х) dx,
хо
X
Z'1-1» (х) = 4- р (х, Y (х), Y' (х), .... y(/1-1)(x4)dx
Хе
муносабатларни з^осил г^иламиз. Бундан куринадики, Y(х) функция
(4.2) тенгламанинг / интервалда ани^ланган, (1.8) бошлангич шарт-
ни цаноатлантирадиган ечимидир.
Г. Бу булимда (4.2) тенгламанинг I интервалда аиикланган ва
(4.8) бошлангич шартни каноатлантирадиган Y (х) ечими ягона эка-
нини курсатамиз. /
Фараз этайлик, y=Z(x) (4.8) бошлангич шартларни ^аноатлантира-
диган ва бирор |х—х0| < d, d sg а интервалда аникланган ечим бул-
син. Цайд киламизки, |х—х0| < h ва |х— х0| sg d интерййллар, уму-
мий х0 нуктага эга. Уларнинг умумий кисмини ]х— х0| h*,"h* =
— min (ft, d) деймиз. Биз шу |х— xjsgft* интервалда Y (х) = Z (х)
айниятнинг уринли эканини исботлаймиз. Бунину учун |х— х0| sg ft*
интервалда аникланган и(х) = V |Ур, — Z<‘> I функцияни гкурамиз..
ь • (X) (X)
/=0 Л
Сунгра шундай мусбат сон е ни оламизки, y”e-<min [1г*,
тенгсизликни каноатлантирсин. Шу е учун е-(1Н~1)<1 тенгсизлик
албатта бажарилади. Y (x) = Z(x) айниятнинг тутрилигини [х0, х0 +
е] интервалда исботлаймиз. Шу интервалнинг бирор [т нуктасида
ушбу |У(х) — Z(x)', |У' (х) — Z'(x)' , ... , |У("-1)(х)—(х)|
функцияларнинг ^ар. бири узининг максимумига эришади. Уларни
(шу максимал цийматларни) мос равишда т0, mlt . . . , т г ва
л—I л—1
2 — т деб белгилаймиз. Риди цуйидаги п(х)=^|У(') (х) —
е=0 /=0
— Z(,) (х)1, х С [х0, х0 е] функцияни курайлик. Равшанки, max и (х)~
xflx,, х.+е]
п-1
= 2 тг = т- Содда хиссблашлар ёрдамида ушбуни хрсил киламиз:
i=0
X
|У (х) — Z(х)[ < | J| У' (х) — Z' (х) ;dx| < е,
X»
X
|У' (х) —Z' (х)' <| J |У" (х) — Z" (х) ]dx| т2 е,
Хо
|У("“2)(Х) -Z(n-2,(x)| <| J ^"^’(х)-Z(n-1)(x)|dx| р,
Хо
|У("-1) (х) — Z("-1 ’ (х) I I J |У(П) (х) — Z(n) (х) \dx\ <
х0
X
I JI f(x, У(х), У'(х)....У'"-1’ (X)) - f (х, Z (х), Z' (х), ... г
Хо
х^ л—I
Z(n-1) (х)) ;dx| L | J (2 l^'0 (х) — Z(,'> (х) I) dx I < Lm e.
xB »=0
Топилган тенгсизликларнинг чап ва унг томонларини мос равиш-
да ^ушамиз:
и(х) mte + mt& 4-... 4- тд1 е + Lme, ^т0 е 4- тхе 4- ••• +
4- /пп1 е 4- Lm е = т в 4- Lm в = (1 4- L) т в.
Шундай ^илиб, биз
и(х) < (1 4- L)me, х^[х0> х0 4- е] (*)
тенгсизликка эга булдик.
Агар т=>0 булса, (*) дан u(x)^0, хС[х0, *o + el» аммо
и (х) > 0 (белгиланишига кура) булгани учун и (х) = 0, яъни Y(‘\x)=
zsZ{p(x), i=^0. 1....п — 1, х^[х0, х0 4-е] экани келиб чикади.
Агар т>0 булса, (*) дан
шах«(х) =£ (1 4- L)me, ёки m<(l-|-L)me
*0+ е1
тенгсизликни ^осил ^иламиз. Бундан (14-й)в>: 1 га эга буламиз.
Аммо бу е нинг танланишига зид. Бу знддият т > 0 була олмас-
лигини курсатади. Демак, фа^ат т = 0 булиши мумкин. Бу ^олда
юцорида айтганимиздек, F(l)(x) == Z(l)(x), i — Q, 1, ... , п — 1,
х €[*о, хо + е1> яъни энг му^ими Y(x) = Z(x), х^[х0, х0 4- е] ай-
ниятга эга буламиз.
Биз ю^орида [х0, х0 4- е] интервалда (4.8) бошлангич шартларни
цаноатлантирадиган ечим ягона эканини исботладик. Шунинг учун
Y(х0 4- е) = Z(x0 4- е) тенглик уринли. Яна равшанки, х0 + е< х0 4-
4- h*. 1-бобдаги муло^азалар ёрдамида (47-бетга’^аранг) |х—х0| < h*
интервалда ^ам Y(х) = Z(х) айният уринли эканини курсатиш мумкин.
Дайд ^иламизки, h* = /1 булганда ягоналик исбот этилди, дейиш
мумкин. Энди h* = d булсин, дейлик. Бунда d<Zh булади. Агар
¥(х) ва Z(x) лар Y(х0 4- d) = Z(х0 4- d) = yd, Y' (xb 4~ d) = Z' (x0 4-
+ d) = y'j, ... , (x0 4- d) =Z{n~i}(x0+d) =yd(n_l} бошлангич
шартларни ^аноатлантирадигая ечимлар булса, у ^олда [x0+d, х„+
4-й] интервалда Y(x)~Z(x) (YM (х) =Zil}(x)) айният уринли бу-
лади, фа^ат бунда e<min 'h, ——дейиш етарли. Шундай муло-
V 14^/
з^аза [х0—h, х0 — d] интервал учун ^ам юритилиши мумкин. Шун-
дай цилиб, |х—х0| h интервалда ашщланган ва (4.8) бошлангич
шартларни ^аноатлантирадиган ечим ягонадир.
Д. Биз (4.2) дифференциал тенглама ечимининг мавжудлиги ва
ягоналигини |х—-х0|<й интервал учун исботладик. Агар бу интер-
вал y = Y(x), Y{1} (х0) — уо}, i — 0, 1, ... , п— 1 ечимнинг ани^-
ланишининг максимал интервалидан иборат булмаса, у ^олда бу
ечимни давом эттириш мумкин.
Муло^азалар 1-бобда биринчи тартибли дифференциал тенглама-
нинг ечимини давом эттиришда олиб борилганидек булгани учун биз
бу ерда давом эттириш масаласига тухталиб утирмаймиз (48- бет-
га ^аранг).
Шундай i-’илиб, 4.2-теорема тула исбот булди.
3. Бу пунктда ю^ори з^осилага нисбатан ечилмаган (4.1) диффе-
ренциал тенгламани урганамиз.
4.4-таъриф. (4.1) дифференциал тёнглсма берилган булиб,
F (х, у, у', ... , у{п}) функция Rn+2 фазонинг бирор очиц Dn+2myn-
лаашда аницланган булсин. Агар I интервалда аницланган <р(х)
функция учун цуйидаги учта шарт
1°. <р(х)€С"(/);
2°. (х, <р(л))ео2, (х, <р(л), <р'(х), ... , <р(п> (х)) е бя+2 ,d2 <= r2,
x£Z; *
• 3°. F(x, <p(x), <p'(x).....ф(п)(х)) = 0, х£/
бажарилса, у цолда бу функция I интервалда (4.1) дифференциал
тенгламанинг ечими дейилади.
Х^ар бир ечимнинг графиги тенгламанинг интеграл эгии чизиги
(^ис^агина, интеграл чизиги) дейилади ва унинг графиги Р текис-
ликнинг бирор t)2 тупламида чизилади.
Биринчи тартибли дифференциал тенгламалардаги каби бу з^слда
з^ам ечим параметрик куринишда ёзилиши ёки изланиши мумкин.
Агар (4.1) дифференциал тенглама у{п} га нисбатан бир кийматли
ечилса, (4.2) дифференциал тенгламага келамиз. Умуман айтганда,
(4.2) тенглама г/л) нинг бир неча, з^атто чексиз куп цийматини аниц-
лаши мумкин. Жумладан, (у")2— х4 == О, х>0 дифференциал тенг-
лама у” нинг иккита у” = + х2 цийматини у" ф- \у”\ — 0 дифферен-
циал тенглама эса у" нинг — оо < у" < 0 интервални цоглайдиган
^ийматларини аниклайди.
Текшириб куриш мумкинки, бу тенгламалар учун у = ± —,.,
— ос < X < 4- ОО ва У = ~ лаР мсс рагишда {а — ихтиёрий фа-
ци^ий сон) ечим булади.
(4.1) дифференциал тенглама учун з^ам Куши масаласини цуйиш
мумкин: (4.1) дифференциал тенгламанинг у(х0) = у0, у' (х0) = у'о,
. . . , у(п—1) (х0) = уок~*) шартни каиоатлантирувчи ечими t топилсин.
(4.1) дифференциал тенглама у<п> га нисбатан ечилиши мумкин
дейлик. У з^слда 7И0 == (х0, у0, у0, .... у^) ^Dn+i нуцтанинг
бирор атрофида ушбу
У(П)-П(х, у, у, ,yin~"), k = l, 2, ... (4.17)
муносабатларга эга буламиз. Агар (4.17) дифференциал тенглама лар-
нинг цар бири учун ечимнинг мавжудлик ва ягоналик теоремасининг
шартлари бажарилса, у з^олда М нуцтада Коши масаласи ягона ечим-
га эга дейилади.
4.4- теорем а. Агар (4.1) дифференциал тенглама F(x, у, у',
. . . , ум) функция учун икки шарт
1- ^(*о. Уо. Z/o, ... , У(Л,)=О
тенгламанинг *би[ор уацикий илсиеи [у(ф} учун (x0, у0, у'о, ... ,
t/^">)6Dn+2 нуцтанинг бирор спиц D° 'атрсфида F (х, у, у’, . . . ,
г/(п)) функция узлуксиз ва 1- тартибли узлуксиз хусусий цссилалар-
га эга’,
2 SF (х0, у0, у0, ... , у™) Q
L^(n)
бажарилса, у \олда шундай мусбат h сон масжуд буладики, (4.1)
дифференциал тенгламанинг |х — х0| < h интервалда аницланган,
(4.8) шартни ва яна yw (xv) = z/o0 Ыуносабатни цаноатлантира-
диган ягона у = у(х) ечими мавжуд.
Бу теорема 3.1-теоремага ухшаш исботланади.
4.1-натижа. 4.4. теоремага кура (х0, у0, у0....^”’) цуКта-
нинг D0 атрофида д- ^х’ У,-Урх’ У—ф 0. —г-,| A t = 0, 1, ... ,
1 ду™ Л/п)|
п — 1. Демак, ягоналик бузиладиган пукталар туплами
F = 0,
dF
ду™
муносабатларни цансатлантиради. Тегишли нуцталар махсус нуцта-
лар дейилади. Юкори ^осилага нисбатан ечилмаган (4.1) дифферен-
циал тенгламанинг ^ар бир нуцтасида ягоналик бузиладиган ечими
унинг махсус ечими дейилади. Махсус нуцталар туплами махсус
ечим булиши ^ам, булмаслиги хам мумкин. Махсус ечимнинг графи-
ги махсус интеграл чизиц дейилади.
4. 5-таъриф- (4.1) дифференциал тенглама (х0, у0, y'Q, ...
У^) нуцтанинг бирор атрофида yw га нисбатан ечилиши, яъни
(4.17) тенгламаларга ажратилиши мсмкин дейлик, Агар хар бир
(4.17) тенглама
У = <Pft(*. сп а,. . . , С„), k = 1, 2, . . . (4.18)
куринишда умумий, ечимга (ёки
ФДх, у, Сь Сг, . . . , Cn) = 0, k= 1, 2, . . . (4.19>
умумий интегралга) эга булса, у холда (4.18) умумий ечимлар
т$плсми (ёки (4.19) умумий интеграллар туплами) (4.1) диффе-
ренциал тенгламанинг умумий ечими (ёки умумий интеграли) дейи-
лади.
Мисоллар. 1. (у*)2 — х4 = 0, х>0 дифференциал тенглама учун ихтиё-
рий (х0, yQ, yQ, yQ ), у0 =р 0 нуцта атрсфида иккита у" = х2, у" = —х2 диффе-
ренциал тенгламага эгамиз. Мос равишда уларнинг
х4
умумий ечимлари у = — -]-
+ CjX + С2, у = — — ф- С1 х+ С2.
Улар биргаликда берилган тенгламанинг умумий ечимини беради.
л
2. cos у" — 0 дифференциал т енглама учун у” = ± — + 2Л п. k — бутун сон.
Ундан у
л
— + 2k л
2
Л Л?
/ 2
+ C1x-f-Ca. Энди k га барча ^ийматлар
бериб,
умумий ечимлар тупламини олсак, берилган тенгламанинг умумий ечими чикади.
2-§. к-ТАРТИБЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИНГ КВАДРАТУРАДА
ИНТЕГРАЛЛАНУВЧИ БАЪЗИ ТИПЛАРИ
1. у{п> = Цх) куринишдаги тенглама. Мавжудлик ва ягоналик
теоремасининг шартлари бажарилиши учун f(x) функция бирор I
интервалда узлуксиз булиши етарли. Шундай деб фараз этайлик. У
Лолда дифференциал тенгламани п марта кетма- кет интеграллаб,
умумий ечимни топиш мумкин:
уИ^ J .[ • f fMdxdx • • dx + (*~ х^п 1 +
Хо Ха хл п та ' 7
п та
+ + • • • + С-1 - Х^ + Сп
\Г1 I
Буни математик анализдаги Дирихле формуласи ёрдамида соддароц
И4- I + (х-«.Г’ + . . , + С„
х0
(4.20)
куринишда ёзиш мумкин. (4.20) формула у(п) ==/(-£) тенгламанинг
барча ечимларини уз ичига олади ва умумий ечим булади. Махсус
ечимлар йуц. Коши масаласининг ечими бундай ёзилади:
I Хр , „ (П—1) ,
У W = -frdzijF ) - z>> dz + +... +
x9
+ У'о(х — хо)+Уо-
Бу формулада у0, у'о, ... , у^^ миддорларни ихтиёрий деб ца-
раш мумкин. ЬУ ^олда бу формула Коши формасидаги умумий
ечим булади.
2. F (х, у{п}) = 0 куринишдаги тенглама. Агар бу тенгламани у(п)
га нисбатан ечиш мумкин булса (яъни у(п} ==fh(x), k— 1, 2, . . . )
у холда бу тенгламаларни интеграллаб, берилган дифференциал
тенгламанинг умуйий ечимини топамиз.
F{x, уп} )= 0 тенглама у(п} га нисбатан ечилмасин дейлик. х ва
yw лар параметрик куринишда езилиши мумкин, деб фараз этамиз,
яъни х = ф(0, уп} ==Х(0- У ХолДа dy{n~1} = ум dx га кура
= х(Оф' (t)'.dt. Бундан:
y(n~l} = Cl). y(n_2) = Mt, Clt C2), ...»
У ~ 7.n (Л Cj, C2, • • • > CJ.
Шундай цилиб, умумий ечим х = ф(/), y — ?-ri(t> С1г C2, ... ?
Cn) булади.
3. F (г/<п-1), y{n>) = 0 куринншдаги тенглама. а) Тенгламани
yw га нисбатан ечиш мумкин булсин: yw = f (у{п~'О. Агар z=y{n~i}
десак, z' =f (z) га келамиз. Бу узгарувчилари ажраладиган биринчи
тартибли дифференциал тенглама. Унинг умумий'ечими х = С14-
+ булади. Бу тенглик z га нисбатан ечилиши мумкин булиши
^ам, булмаслиги ^ам мумкин. Агар уни г га нисбатан ечиш мумкин
булса (яъни z = фДх, GJ), у ^слда i/"-1’ — ф; (х, CJ дан у =
= фп(л', Сх, С2, . . . , Сп) умумий ечим келиб чикади. Мабодо юцо-
ридаги тенглик г га нисбатан ечилмаса, параметр киритиш усулидан
фойдаланилади.
б) Тенгламани у(п> га нисбатан ечиш мумкин эмас, аммо г/(п) —
г/(л-1) = ф (/) —параметрик ифода маълум дейлик. У х/элда
,(„-11 (п) , , Г (0 л ("Ф'(0Л
du = у dx дай dx —-----------—------------- ва л'=----------р С, ке-
У у(п} Х(0 J 1
либ чикади. Энди dyin'^i} — у{п~1} dx дай у{п~~} = у'‘ ° dx 4- С2 =
— [ф (0- ~—dt+C2 ни ^осил циламиз. Шунга ухшаш муло^азалар
J X (О
юритиб,
dy{n~3' = у^ dx, ... , dy = y'dx
тенгликларни интеграллаймиз ва у = J y'dx 4- Сп дан у учун пара-
метрик ифодани топамиз. Маълумки, х нинг параметрик ифода-
сида битта (С\) ихтиёрий узгармас, у{п~2} да ^ам битта (С2), (/л~3>
да иккита (С2 ва С.), . . . , уп~,п~1) да п — 2 та, у да эса п — 1
та ихтиёрий узгармас катпашади. У ^слда х ва у ларнинг парамет-
рик ифодаларида п та ихтиёрий узгармас цатнашади. Демак,
x = f^4' + C.,^f^ + C„
умумий ечим булади.
4. F(y<n~2\ у(л)) = 0 куринншдаги тенглама. Ушбу y{n~2}=z ал-
маштириш берилган тенгламани F(z, г”) = 0 куринишга олиб ке-
лади.
а) Охирги тенгламани г" га нисбатан ечиш мумкин булсин: z"=
— f(z). Бу тенглама 1-пунктда курилган усул билан интеграллана-
ди. Бош^ача усули гууйидагича: унинг икки томонини 2z' га купай-
тирсак, d(z')2 = 2f(z)dz булади, ундан (z')2 = 2 J f (z)dz 4- ке-
либ чикади. Энди уни интеграллаб, ушбу 1--------- =
И 2 p^dz-hCi
— х+С3 формулага келамиз. z урнига z/(n-2) ни цуйсак, Ф(у(п'_2)1
х, Сг, С2) — 0. Бу тенглама 2- пунктда курилган дифференциал
тенглама куринишига ухшаш. Уни интегралласак, яна п — 2 та их-
тиёрий узгармас катнашади ва берилган тенгламанинг умумий ечими
досил булади.
б) Берилган тенглама z/n) га нисбатан ечилмасин, аммо
#(п-2)=ф(0, Х(/)—параметрик ифэда маълум дейлик. Маъ-
лумки, dy{n~l> = у™ dx, dy‘n~2> = y{n~l> dx. Бу тенгликлардан
^(n) } ёки У(П~1) dy{n~'} = УМ dy{n~2y= X(0 Ф' (0 di му-
носабат келиб чицади. Бундан у'п~^ — ± ]/~ 2 J %(0Ф'(0-^+С3 .
Кейинги мулодазалар 2- пунктдаги каби булади. х учун топиладиган
ифодада икки ихтиёрий узгармас (С± ва С2) цатнашади. Охирги тенг-
ламани кетма- кет интеграллаб борсак, яна Cs, С4, ... , Сп — ихтиё -
рий узгармаслар иштирок этади. Умумий ечимни бундай ёзиш мум-
кин: х= \-^ + С^ ,<-(................ —+ ^.
у = Ф(1. С„ С3, , Сп).
5. F (у<п}) = (yfn])k + aL {y{n}}k~[ + . . . + ап_х (//(n)) + ап = 0,
— const, 1 = 1,2, ... , п куринишдаги тенглама.
Бу дифференциал тенгламани г/,п) га нисбатан k- тартибли алгеб-
раик тенглама деб караймиз. Унинг дациций илдизлари pL, р.2, . . . ,
ps, s^k булсин. У долда у(п} = pjt j = 1, 2, . . . , s -дифферен-
циал тенгламани п марта интегралласак,
У = Pi + С, +... + с„_2 + с„_, X +Сп
келиб чикади. Ундан:
п! / хп—1
pi = Sy~ C1 (n—1)! • • • — C„_i x~ СпУ
Шу топилган p(- ни берилган тенгламада r/(n) урнига цуйсак, унинг
умумий ечими
„ I xn—1 \\
F Л п, ~ • • • — ,х— С„ ~0
1 (и—1)? л—1 i J J
^осил булади. Агар
{/V + M*, У, у’, , y{n~l)) (y(n‘)k~l + . . +а ^(х, у, у',
... , y^-l)yln} + ak(x, у, у,... , у{"-1)) = 0, a,eC(Dn+I)
дифференциал тенглама курилса, у долда уни у{п} га кура k- тартиб-
ли алгебраик тенглама деб цараш мумкин. Агар дадидий илдизлар-
ни топиш мумкин булса, у ^олда
ушбу юкори ^осилага нисбатан
ечилган
У(П) = Р,(х, у, у.
у{п~"), / = 1, 2, . . . , s, s<fe
тенгламаларга эга буламиз.
3-§. ОРАЛИЦ ИНТЕГРАЛЛАР. ТАРТИБИ КАМАЯДИГАН ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ТЕНГЛАМАЛАР
1. 2-§ да курилган квадратураларда интегралланувчи говори
тартибли дифференциал тенгламаларга баъзи дифференциал тенгла-
маларни келтириш мумкин. Бунда оралиц интеграллар тушунчаси
керак булади. Визга (4.1), F (х, у, у', . ... , у(п)) = 0 дифферен-
циал тенглама берилган булиб, Ф(х, у, Ct, ... , Сп) — О унинг
умумий ечими булсин. Таъриф буйича бу муносабат ва унинг ^оси-
лаларидан ^ссил булган муносабатлардан Съ С2, . . . , Сп узгармас-
ларни чицарсак, (4.1) дифференциал тенглама келиб чикади.
Энди
Ф(*. У, У,
у"". С.+.С.+2. • С»)-0.
(4.21)
муносабат берилган булиб, ихтиёрий узгармаслар п—k та булсин
хамда А-росила албатта катнашсин. (4.21) ни х буиича п—k мар-
та дифференциаллаймиз:
д дф
дх ду
дф _ л
ду<М У
ff1 /; ф
dxn~k
(4.22)
ду^ У
= 0.
+ • +
4.6-таъриф (4.21) ва (4.22) п—k + 1 та муносабатлардан
п — k та СА+1, Сл+2 , . . . , Сп ихтиёрий узгармасларни чицариш
натижасида (4.1) дифференциал тенглама \осил булса, у холда
(4.21) муносабат (4.1) дифференциал тенгламанинг оралиц интег-
рали дейилади.
Хусусан, агар (4.21) муносабат фанат битта ихтиёрий узгар-
гмасни уз ичига олса, уни (4.1) дифференциал тенгламанинг би-
ринчи интеграли дейилади
Куриниб турибдики, (4.21) муносабат А-тартибли дифференциал
тенгламадир. Уни интегралласак, янги k та Сх, С.,, . . . , Ck ихтиё-
рий узгармаслар иштирок этади. (4.21) тенгламанинг ечими узидаги
п — k та Ck+V ... , Сп узгармаслар билан бирга хаммаси булиб п
тд ихтиёрий узгармасга эга булади. Бу ечим (4.1) тенгламанинг
умумий ечими булади» Агар у~ц>(х), х£1 функция (4.21) тенгла-
манинг ечими, яъни ф (х) 6 Ск (I), = ф {х) = 0 'б$либ, <р (х) £ С” (/}
булса, у ^слда / интервалда г/ = ф(х) функция (4.1) дифференциал
тенгламанинг ечими булади. ^а^и^атан, <р(х) функция учун (4.21)
ва (4.22) муносабатлар айниятга айланади. Оралиц интеграл таъри-
фига кура бу у == ср (х) функция (4.1) тенгламанинг ^ам ечими була-
ди. Шундай ирглиб, бирор (4.1) дифференциал тенгламанинг оралиц
интеграллари маълум булса, берилган тенгламани интеграллаш маса-
ласи тартиби ундан паст булган дифференциал тенгламани интег-
раллашга келади. >^атто, агар (4.1) дифференциал тенгламанинг п
та биринчи интеграли
4>г(л\ У, у’.....Уп~\ = o...........Фп(х, у, у', ....
У^, Сп) = 0
маълум булса, у ^олда бу муносабатлардан у', у', . . . , у(п_1)
ларни чицариб, берилган тенгламанинг умумий ечимлни ^осил цилиш
мумкин.
Мисол. у" — 2уу' == 0 ’дифференциал тенгламанинг биринчи интегралини
топиш осон. Уни у” = — (у2) куринишда ёзсак, биринчи
ах
интеграл у' = у2 -|- С*
1 у
келиб чикади. Яна Интегра члаб, Сх > 0 булганда -arctg -у-=г = x-|~C2J Сх<0
__________________________________ г ч У
булганда эса, —г In у О— = х + С2 умумий интег рални хосил
2У-СХ у+у
1;иламиз.
2. Бу пунктда куриладиган дифференциал теигламаларни интег-
раллаш масаласи аввал орали^ интегрални топишга, сунгра шу ора-
ли^ интеграл билан берилган дифференциал тенгламани интеграл-
лашга олиб келинади.
а) п- тартибли дифференциал тенгламада номаълум функция у ва
унинг кетма-кет келган узсилалари у', у", . . . , y(k~цатнаш-
масин дейлик. У ^олда дифференциал тенглама
F(x, у{к\ у(к+2)......y(n)) = 0, 1 и
куринишда ёзилади. Бу ^олда у(к} = z дейилса, F (х, z, z', . . . ,
z("~ft)) =s 0 (я— /<)- тартибли дифференциал тенглама ^осил булади.
Уни интеграллаш мумкин десак, Ф (х, z, CL, С2, . . . , Cn k) — О
умумий ечим булади. Энди z ~ y(k) булгани учун Ф(х, у(к}, Си С2,
. . . , С k) — 0 ни ^эсил килам в. Бу k- тартибли дифференциал
тенгламани интегралласак, умумий ечимга эга буламиз.
б) Агар п- тартибли дифференциал тенгламада эркли узгарувчи
ошкор ^олда цатнашмаса, яъни тенглама F(y, у , ... , у(п,)=зО ку-
« •» dy
ринишда булса, у ни янги эркли узгарувчи, р == ни янги номаъ
ах
лум функция деб, ушбу алмаитиряпни ба,карамяз (х-*-у, у-*-р)"
У = Р,
у" = — = р —
dx dy dx dy’
^ = ^ = ±(*руЛ Г id_p q 2^+ ,^.a.............................
У dx dy \ dy) dx ['dyi Xdyl pdy* H \dyl
„ .. dky dp dk~1p
Бу хисоблашлар ердамида —микдор p, — , . . , —микдорлар-
dxft dy dy,i—1
оркали ифодаланишини математик индукция методи билан курсатиш,
мумкин. Шу алмаштиришни бажарсак, (k—1)-тартибли
г I dp dn—1p\ n
\ dy dy" 1 )
дифференциал тенгламага келамиз. Демак, курилаётган ^олда диф-
ференциал тенгламанинг тартибини битта камайтириш мумкин. Агар
х^ссил булган тенгламанинг умумий ечими
Р, с,.......С„_,) = 0 ёки ф(</, , <?„_,)=()
булса, шу мунссабат берилган F(y, у', ... , ум) — 0 тенгламанинг
сралик. интеграли булади. Энди берилган дифференциал тенгламанинг
умумий интегралини топиш учун унинг оралик интегралини биринчи
тартибли дифференциал тенглама сифатида интеграллаш кифоя.
в) (4.1) дифференциал тенгламада F (х, у, у', ... , z/n)) функция
у, у', ... , у{п} ларга нисбатан т- тартибли бир жинсли функция
булсин, яъни ушбу
F(x, ку, ky', . . . , kyw) =k™ F (х, у,\ у', ... , t/(n))
айният уригли булсин. Бу хслда а.гар yZ>0’булса (i/<0 ^сл ^ам
шунга ухшаш курилади), у хслда янги исмаълум функция z(x) ни
киритиш йули билан берилган дифференциал тенглама тартибини
битта камайтириш мумкин. Х^икатан,
У = е
(4.23)
дейлик. Кетма- кет дифференциаллаб, топамиз:
, J zdx t J zdx
y=ze , у" = (z + z2)? , f/'" = (z', + 3zz' + z3)sJ ......
Математик индукция усули билан ихтиёрий / учун
«/n) = (z(/“'!) + (z) z(/-2) +. . . +al-2(z)z'+aj-i(z)) e
формулани исбот этиш мумкин, унда а[ (г), . . . , (г)- функциялар
z нинг бутун функциглари. Энди тспилган ифодаларни (4.1) тенгла-
мага куямиз ва янги узгарувчи z га нисбатан п — 1 - тартибли уш-
бу
\zdx \zdx \zdx , ,
F(x, e , ze ,.(?' +z2y .... ,( z(" o"(z)z(n-2) +
\zdx mlzdx
+ . . . + an-i(z))e = e J F (x, 1, z, z' -]-z2.
• • • , z(n~l) + d?(z) г("“2) + . . . + (г)) —Э
дифференциал тенгламага келдик. Агар бу тенгламани интеграллаш
мумкин булса, унинг умумий интеграли
Ф(х, z, clt а........Сп_,) = 0, Ф (х, Clt С2, = о
берилган (4.1) тенгламанинг оралиц интеграла булади (чунки] (4.23)
формуладан z — — ва ]ушбу Ф (х, —, CL, С.,, . . . , Cnl 1 = 0 ора-
лиц интегралга келамиз). Бу биринчи тартиблт дифференциал тенг-
ламадир. Уни интегралласак, яна битта Сп — ихтиёрий узгармас
цатнашади.
Баъзи долларда F функциянинг бир ’жинслилиги эркли узгарув-
чигд^. нисбатан дам уринли булиб, берилган (4.1) дифференциал
тенгламани F1(x, у, dx, dy, d2y, . . . , dny) — 0 куринишда ёзилса,
ушбу
F2(kx, ky, kdx, kdy, kd2y, . . . , kdny) =
= kmFL(x, y, dx, dy, d2y, . . . , dny)
айният бажарилади. Бу дэлда дам эркли у'згарузчлни, дам номаъ-
лум функцияни алмаштирилади. Агар х —у~и^ (§ —янги эрк-
ли узгарувчи, и — янги номаълум функция) алмаштириш бажарил-
са, эркли узгарувчини уз ичига ошкор олмаган п- Тартибли диффе-
ренциал тенгламага келамиз. Бундай тенгламаларнинг эса тартибини
биттага камайгириш мумкин. Агар х<0 булса, х =:—г\ у =z ие"
каби алмаштириш бажарилади.
Шунга ухшаш, F функция умумлашган бир жинсли булган дол-
ин (бу долда х ва dx— 1 улчэвли, у, dj, d2y, ... — т улчовли,
демак——(т — 1) улчовли, ——(т — 2) улчэвли ва д.к.) дам
dx dx%
куриш мумкин. Бунда х — е", у — не? алмаштириш (4.1) тенгламани
эркли узгарувчи ( ни уз ичига олмаган п- тартибли дифференциал
тенгламага олиб к ела ди. Унинг тартиэини биттага камайгириш
мумкин.
г) Агар (4.1) ’дифференциал тенгламада F(x, у, у’, ... , г/(п))
функция бярэр-Ф(х, у, у', .. . у(п~г)) функциянинг тулиц диффе-
ренциали булса, яъни ушбу F(x, у, у', ... ,у^) — ~Ф(х, у, у',
. . . , г/"-1’) муносабат уринли булса, у долда (4.1) тенгламанинг
битта биринчи интеграла Ф(х, у, у', ... i/(n~1)) = С2 куринишда
ёзилади. Бу эса, уз назбатицаберилган дифференциал тенгламага ца-
раганда тартиби битта кам (п — 1)-тартибли дифференциал тенгла-
м адир.
1-бобда 1-тартибли тулиц дифференциаллига келтириладиган
тенгламаларни курган эдик. п- тартибли дифференциал тенгламалар-
нинг баъзи типлари цам интегралловчи купайтувчига купайтириш
усули билан тулиц ^дифференциаллига келтирилиши мумкин, яъни
У> У.......y''n~X})F(x, у, if......yw) =
= У>У’>-- - • У^У
Бу цолда р. функцияни излаининг умумийрэц методи йуц. Ку’пинча
берилган дифференциал тенгламанинг махсус ку'риниши р, ни топиш-
га имкон беради.
Масалан, юцори тартибли цосилага нисбатан ечилган дифферен-
циал тенглама у(п) — f(x, у, у', ... , учун унинг унг то-
монини тулиц дифференциалга келтириш кифоя. Х;ацицатан, агар
f(x, у, у', , у{п~1}) = £ф(х, у, у’, ... , У("~2)) булса, у зол-
да —(у{п~^)== — Ф(х, у, у’, ... , г/"-2’) деб ёзиш мумкин. Бун-
dx dx
дан биринчи интеграл у(п-1) = Ф(х, у, у', .... у(п1)) + С келиб
чикади. n=s2 булганда у' 4- а(х, у)у' + Ь(х, у) = 0 дифференциал
тенглама тулиц дифференциалли булиши учун а(х, у) у’ + Ь(х, у)
ифэда ту лиц дифференциал булиши лозим. Бунинг учун да^х’ —
дх
_ дЬ(х, у) айниятнинг бажарилиши зарур ва етарли.
ду
Р^уйида курилган цолларга мисол келтирамиз.
Мисоллар. 1. Ушбу уу’’ ~ (у')а — (У')* = 0 дифференциал тенглама эрк-
ли узгарувчини уз ичига олмайдп. Шунинг учун у' =]р, у" = р десак, бирин-
dy
чи тартибли рр—— р3 —р1 = 0 диррзоенчтат тенгламага келамиз.
dy
2. Уш5у хъуу’’ — х3 (р')а— 5 ХУУ' 4* 4р3 = 0 тенглама у, у', у" ларга нисба-
тан иккинчи тартибли, бир ж шелл. Шунинг учун (4.23) - алмаштиришни бажара-
миз:
{гг + г2) е№ _X2Z^}_ ^dX.ze?dX + 4e2J^ = 0
ёки
х2 (г' -ф- z2) — х2г2 — 5xz -ф- 4 = 0.
5 4
Бундан биринчи тартибли чизикли г' = — z— — дифференциал тенглама ^осил
х х2
2
булади. Уни интегралласак, биринчи интеграл г— Схх5 + — топилади. Знди (4.23)
Зх
3/~
га кура у (х) ни ^исоблаймиз: у = С2 У х3 е °
yy,lt
Г 3. Ушбу—14--------- —4(р')2 = 0 дифференциал тенглама учинчи тартибли
У’У"
булиб, уни р — у1 у" га купайтирсак, тулиц дифференциалга келади. ^аци^атан,
купайтириш натижасида {у1 ф 0, у" 0)
— У'У" Л-УУ'" У" =0
хосил булади. Буни
(у'у" + УУ'"} —2 у'у" — < (у’)ъУ" = О
ёки
d d d
т(уу")--(у')а--(у')* = о
dx dx dx
каби ёзамиз. Энди куринадики, дифференциал тенгламанинг чап томони тулик диф-
ференциации келди. Демак, биринчи интеграции ёзамиз: уу" — (у')* — (у')* = С1-
4-§. ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИ
ГРАФИК ИНТЕГРАЛЛАШ
Биз 2-бсбда биршчи тартибли дифференциал тенгламаларни
тацрибий интеграллаш хакдда баъзи маълумотларии ургандик. Ик-
кинчи тартибли дий, еренциал тенгламаларни ^ам такдибий интеграл-
лаш методи мавж_,д. Бу мавзуни «Хиссблаш методлари» вредмети
чуцур урганади. Мазкур параграфда иккинчи тартибли ^ссилага вис-
батан ечилган дифференциал тенгламалар учун график интеграллаш
усули билан танишамиз.
Бунинг учун аввал иккинчи тартибли ^осилага нисбатан ечилган
тенгламанинг геометрик маъносини аниклаймиз. Ушбу
y" = f(x, у, у) (4.24>
дифференциал тенглама берилган булиб, f(x, у, у') функция В3
фазонинг бирор очик. D., тупламида аникланган ва узлуксиз булсин.
D3 тупламнинг х, у узгарувчиларнинг В2 текислигига проекцияси
£>, булсин: nppiD3 = D2<^B2
Энди — = tg <р дейлик. Интеграл чизикларнинг бирор нуктасида эг-
рилик радиуси R = — формула билан аникланади. Маълум,-
\ У" I
ки, агар y"<ZO булса, цабариклик юкорига, г/">0 булса, кабарид-
лик пастга цараган булади. Содда хиссблашларни бажарамиз:
/ = tg<p, 14- (у')* = 1 + tg2 <р = , (1 + (у’У)/г = —-
COS2 ср I cos
Шунга кура
1у"\=------!----
' | R cos3 ф 1
Демак, (4.24) тенгламани бундай ёзиш мумкин:
ёки
Туларок ёзсак:
1
| R cos3 <р |
= U (*. У, tg<p)l
I COS3 ф р\/ (х, у, 1еф)|‘
(4.25)
[ COS3 ф | / (х, у, tg ф)
I COS3 ф 1 /(х, у, tg ф)
агар t/">0 булса,
агар у"<0 булса.
Топилган (4.25) формуладан цуйидаги натижа келиб чицади:
агар интеграл чизицда бирор (х, у) нуцта ва шу нуцтада унга ут-
казилган уринманинг йуналиши берилган булса, у цолда (4.24) диф-
ференциал тенглама (х, у) нуцтада интеграл чизицнинг эгрилик ра-
диусини аницлайди.
Юцоридаги мулоцазалардан фойдаланиб, интеграл чизицни тац
Бошлангич
рибий ясаш билан шугулланамиз
у' (%0) = у'а булсин. Координатала-
шарт,
У(хо) = у0
ри х0, у0 булган нуцтани Мо дей-
лик. Шу Мо нуцтадан y'(x0)=tg<p =
= у0 йуналишда М0Т0 нур ут.
казамиз (34-чизма). Сунгра (4.25)
формула буйича 7?0 ни цисоблай-
миз. М0Т0 йуналишга перпенди-
куляр утказамиз. Агар f(x0, у0,
tg<p)>0 бу'лса, уша перпендикул-
ярда А10 дан Ro масофада шундай
Со нуцтани оламизки, М0Т0 нурни
соат стрелкасига царши йуна-
лишда у бурчакка бурсак, Л40С0
кесма ётган] нур цосил булади.
Агар f(x0, t/0, tgq>0) <0 булса, аксинча
иш тутамиз (34-чизмада
f<*0 булган цол чизилган). Энди маркази Со нуцтада булган Ro
радиусли ёй чизамиз. Бу ёй М0Т0 йуналишда олинади. Ал-
батта, Af0M± ёй узунлиги цанча кичик булса, шунча яхши. —
= Л41(х1, ух) ва эса M0Mt ёйга М.г нуцтада утказилган уринма
йуналиши булсин.
Яна (4.25) формула ёрдамида нн цисоблаш мумкин. MJ\ га
перпендикуляр утказиб, f(xb у, tg <рг) нинг ишорасига цараб уша
нерпендикулярда Л4г дан /?± масофада С± нуцтани ясаймиз. Сх нуц-
тани марказ цилиб, радиус билан /И1М2 ёй чизамиз. М, нуцтани
Л4г нуцтага «яцин» цилиб оламиз. Кении бу мулоцазаларни давом
эттириб, маълум [х0, а] интервалда булаклари айлана ёйларидан
иборат M0Mt . . . Mk силлиц чизиц чизамиз. Бу чизиц [х0, а] ин-
тервалда интеграл чизицнинг тацрибий тасвиридир. Агар k -э- оо да
лимитга j/тилса, . Mft = <p(x), х(Е[х0, а] келиб чицади
Л->оо
(ф W — интеграл чизиц). Бунинг исбэтига тухталмаймиз.
Ушбу у" = 2 содда цолда f(x, у, у') = 2>0, у">0. Энди
1/(0)== 0, у'(0)=0 бошлангич шартни цаиоатлантирган интеграл
чизицни юцоридаги усул билан тацрибий чизиш цийин эмас (35-
чизма). Содда цисоблашлар курсатадики, /(0, 0, 0) = 2, /?0 — у,
М0Т0—абсцисса уцининг мусбат йуналиши, фо=0, f(xn yl,tg(p1)—2,
Mi(xn */i) = tgq>1 = V<3, ва ^оказо (35-чизма).
\ 4 4/ ( [2
Шунга ухшаш ясашларни МоТ'0 абсцисса укининг манфий йунали-
ши булган х.олда кам бажариш мумкин. 'Сезиш мумкинки, з^осил
булган силлиц чизик у = х2 параболанинг так.рибий тасвири булади.
Аслида ^ам берилган бошлангич шартни цаноатлантирадиган ечим
у = х2 параболадан иборат.
Машк- 1- У" = х дифференциал тенгламанинг у(0)=0, i/'(0) = О шартни
к.аноатлантирадиган интеграл чизши такрнбий чизилсин ((—3, -}-3) интервалда).
2. у" = у' дифференциал тенгламанинг у (0) = 0, у' (0) = 1 шартни каноат-
лантирадиган интеграл чизиги (—3, фЗ) интервалда такрибий чизилсин.
5-§. «ЦУВЛАШ» ЧИЗИГИНИНГ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАСИ
Биз цуйида фан ва техникада му хим ахамият касб этаётган
«У йин лар назарияси» предметига оид мисол ку рамиз. Туйила диган
масала «фувлаш масаласи» га оиддир.
Масаланинг цуйилиши'. абсцисса уцининг мусбат йуналиши бу-
йича узгармас а тезлик билан Р иуцта ^аракат цилади. Декарт ко-
ордината текислигининг I чорагида узгармас v тезликка эга булган
ва бошлангич моментда Р нуфта билан бир вертикалда жойлашган
М иукда ^аракат цилсин. 1) Агар М нуктанинг тезлик век-
тори кар бир моментда Р нуцтага каратилган булса, шу М нукда-
нинг ^аракат траекториями топилсин; 2) а ва v микдорл^р орасида
фандай муносабат булса ^аракатдаги Р ва М ну^талар ураро устма-
уст тушади; 3) цандай х.олда ^аракатдаги Р ва М нукталар узаро
устма-уст тушмайди (яъни цандай ^олда М нугда тутилмасдан цо-
чиб кетади).
Агар М нукта абсцисса укида х.аракат килаётган Р нукдаии
(бошлангич моментда М ва Р лар бир вертикалда жойлашган ^олда)
цувлаши керак булса, М иукдага турли стратегияни цулланиш мум-
кин. Масалан, М нуктанинг тезлик вектсри х.ар бир мсментда Р
нукдага ^аратилган булсин. Аммо бу стратегия Р нуктани к.увиб
етиш учун етарли эмас. Агар v sg а булса, уйин тугамайди. Агар
v> а булса, уйин чекли вафтда тугайди. Бу ^олда юксрида баён
этилган стратегия уйин тугаши учун етарли булади. Энди бевссита
Кисоблашларга утайлик.
М нуктанинг координаталарини х, у дейлик. Параметр сифати-
да t вактни оламиз. Унда х (0) = х0 > 0, у (0) — у0 > 0. Р нукта-
нинг узгарувчи координатасини X деймиз, Х(0) — Ро. Агар Ро =
= = 0, у0 = 0 булса, масаланинг маънсси булмайди, чунки
7И0 == Ро булади. Аммо х.иссблашга к.улайлик учун Ро = х0 > 0,
//(0) = г/о>0 Деб фараз этамиз (35, а-чизма).
Содда киссблашлар ушбу
X = Х6 + at,
dx2 -J- dy2 = v2dt2,
(4.26)
(4-27)
муносабатлар уринли булишини курсатади. Равшанки,
Х—х = х0—x-]-at,X0—x-]-at=—. Охирги тенгламани х буйича
dx
дифференциаллаймиз:
. , dt уу" — (у')2 .. dt иу"
dx (у')2 dx a(y'f
Энди (4.27) дан — учун яна бош^а ифодани топамиз:
dx
dt 1 I/~\—, /
- = - Г 1 + (У ) •
dx v
dt .
— учун топилган икки ифодани тенглаштирамиз:
dx
-f^ = -v'TT(7)2
а (у')2 v
ёки
у" = ± № /1 +{у')2, У>о. (4.29)
V у
Г? Топилган (4.29) дифференциал тенглама М нуктанинг танланган
стратегия кулланилганда чизадиган траекториясининг дифференциал
тенгламасидир. У иккинчи тартибли булиб, эркли узгарувчи х ни уз
ичига олмайди. Бундай тенгламаларни 3- § да курганмиз. Бунда
z „ dp
У = Р, У = Р ~ десак,
dy
dp а р2 , ; и- .. dp ар-, —i-----Г , п
р~ = —1 + Р еКи — — — — V 1 + Р , Р^О.
dy v у dy v у
Агар р = 0 булса, (4.28) дан у = 0 келиб чикади. Бу ^олда М
нукта доим абсцисса у^ида ^аракат цилиши лозим. Аммо г/0>0
булгани учун у =А 0.
Юкоридаги тенгламада узгарувчилари ажралади:
dp_____a dy
р У1 + р2 • v у’
(4.28) дан г/ 2> О, Х — х>0 булгани учун р<0 келиб чикади. Бу-
ни ^исобга олиб, юцоридаги тенгламани интеграллаймиз:
7 + /(7)2+1 = <с'«»””-
Фаразга кура л'о = Хо ва vn вектор пастга вертикал йуналган була-
ди. Шунинг учун — = р0 = °о, — = 0 булади. Бундан фойда-
dx t=z0 Ро
лансак, С± = — га эга буламиз. Шунга кура:
Уо
7+/(?)’+1=(£Г <430>
Энди (4.30)"ни
куринишда ёзиб," унда чап томоннинг [ма^ражини илдиздан чи^ара-
миз:
а
-7+]/А2+1 = А °- <4-31)
Р г \Р ) \Уо I
(4.30) ва (4.31) лар дан
Р 'Уо! \Уо>
ёки
а а
^=т{(7)”-(у) °}dy- (4'32)
Кейинги мулохазалар а ва v лар Ърасидаги мунос абатга боглик-
Аввал v>iz булсин. (4.32) ни интеграллаймиз:
Бундан у = г/е булганда Ct = у0 + хо келиб чикади. М
нукта Р нуфта билан устма-уст тушса, у фолда у = 0 булади. Юкр-
ридаги муносабатдан у — 0 булганда
Х1 = С1 — ХО Н---/ ^°а2 . = хо + У о 3_ а-
Р нуфта xt — ха масофани а тезлик билан босиб утжани учун сарф
этилжан вадт
Xj — Xt
а
У о»
и*— а1
Т =
(4.33)
булади? Демак, v> а булганда уйин чекли вакт Т да тугайди.
Энди v = а булсин. Бунда (4.32) ушбу
dx = ±(JL_*>.\dy
2 \Уо У )
куринишда ёзилади. Уни интегралласак:
— (—----у01пу ] х->г С,.
2 \2у0 “°
Бундан у (х0) = у0 га кура С3= у (у— у0 In — хо келиб чи-
тали. Шундай килиб, кувлаш чизигининг тенгламаси
х = — ^oln-1 + х« (4.34)
L-^Уо У _
каби ёзилади.
Топилган чизиц А40(х0, г/0) нуфтадан утиши равшан. Агар
г/-* Оф- да лимитга утсак,—</0 In —ф-оо ва демак, х-э-ф-оо.
у
Бундан куринадики, чекли вактда М нуфта Р нуфтани фувиб етол-
майди, яъни уйин тугамайди.
Шубфасиз, v<Ca булганда фам уйин тугамайди. (4.32') муноса-
батдан у 0 ф- да х —>- ф- оо.
Шундай килиб, масаланинг фуйилишидаги уч саволга фам жавоб
берилди.
Юфорида курилган масалада Ро ва Л40 нукталар бир вертикалда
жойлашган эди. Тулалик учун бошфа долларни фиск.ача эслатиб ута-
миз. Агар /Ио нукта Ро нуфтада урнатилган вертикалдан унгда жой-
.лашган булса, у фолда
1) v> а булганда М нуфта Р нуктага етиб олиши учун, маса-
лан, фар бир моментда тезлик векторини Р га йуналтириш мумкин.
2) v = а булганда Л10Р0 кесманинг уртасидан перпендикуляр ут-
казиб, уни абсцисса уки билан кесишгунча давом эттирамиз. Кеси-
шиш нуктасини N десак, А4 нукда M0N чизиги буйлаб фаракат
килиши лозим булади. Хафифатан, A P0M0N тенг ёнли булиб
P0N = M0N. Шунинг учун v = а булганда М нукта M0N буйлаб N
га келганда Р нуфта Ро дан га келади (36-чизма).
9*
>31
3) v<a булганда ^ам баъзи М0(х0, у0), х0>Х0, уп>0 нуц-
талардан Р нуктани кувиб етиш мумкин. Шундай нуцталар туп-
ламини топайлик.' Р нуктанинг узгарувчи координатаси X булсин.
М0Р кесманинг узунлиги S = ]/(Х — х0)2 + уо - Бу масофани М
нуцта t = — в акт да босиб утади. Худди шу вактда Р нукта X — Хо
36 - чизма. 37 - чизма.
„ . , Х — Хо „ S X — х0
масофани утади, яъни t =--------s- Демак, — =--------- тенгликка эга-
а v а
миз. Бундан:
у / е । v х— - у —хо)2+ Уо + v^o
X=(aS + vX0)~ еки X =-----------------------------.
Энди х ни топайлик:
[1-х - оХ0)2 = а2 [(X - хоу + У$
ёки
(о2 - а2) X2 + 2 (п2х0 - п2Х0) X + с2Х2 - а2 (х2 + г/2) = 0.
Бу X га нисбатан квадрат тенглама булиб, унинг дискриминанта:
D = а2 [о2 (х0 - Х0)2 + (о2- а2) г/2].
Масала ечимга эга буладиган (х0, у0) ну^талар учун D > 0 тенг-
сизлик бажарилади. Бу тенгсизликни
Уо < х0 - (4.35)
У №• — v2 [/а- — v2
куринишда ёзиш мумкин. Шу тенгсизликни каноатлантирадиган
(хо» Уо) ну^талар туплами изланган туплам булиб, I чоракнинг
PM0Q нур билан абсцисса у^и орасида жойлашган цисмидан иборат
(37-чизма). Шу каби цувлаш вактини ^ам ^исоблаш мумкин. X га
нисбатан квадрат тенгламанинг тегишли илдизи
— (а% — у2Х0) + а Vv2 (х0 — Х0)2 + (г2 — а2)
Ах --------------------, (4.36)
демак, цувлаш вакти
Хг-Х0 _ a (Xo - xG) + Vua (x0 - Xoy + (^ - a2) y% '
~~ a v2 — a2
Курилган долда цувлаш траекториясининг дифференциал тенгламаси
М0Р тугри чизицнинг бурчак коэффициента ортали ёзилади:
бу ерда Х\ юцоридаги (4.36) формула орцали берилган.
М ашц. М ва Р нуцталар бошлангич моментда бир вертикалда жойлаш-
ган. v > а булганда М. нуцта Р ни энг тез цувиб етиши учун цандай стратегияни
цулланиш лозим? Энг тез цувиб етиш вацти цисоблансин.
5-6 об
п- ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР
1-§. л-ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛИ ТЕНГЛАМАЛАРНИНГ УМУМИЙ ХОССАЛАРИ
1. п- тартибли дифференциал тенгламаларнинг мухим хусусий ^оли
м- тартибли чизицли дифференциал тенгламалар булиб, улар
«/(n) + PiWy<n-I)+ +Pn-i (х)у' -Ypn(x)y= g(x) (5.1)
куринишда ёзилади. Бу ерда pt(x), . . . , рп1(х), g(x) функциялар
бирор I интервалда аницланган ва узлуксиз булиб, g(x) функция
(5.1) тенгламанинг унг томони ёки эркин %ади, Pifx), . . . , рп(х)
функциялар эса унинг коэффициентлари деб юритилади.
Агар (5.1) тенгламада g(x) функция / интервалда айнан нолга
тенг булмаса, у цолда (5.1) тенглама чизицли бир жинсли булма-
ган тенглама дейилади. Агар g(x)=0, x^I булса, мос дифферен-
циал тенглама
/ЧйМГ’Ч ... + рп(х)у = 0 (5.2)
чизицли бир жинсли тенглама дейилади.
Энди (5.1) дифференциал тенглама учун Коши масаласи ечими-
нинг мавжудлиги ва ягоналиги билан шугулланамиз.. (5.1) тенглама-
ни юцори цосилага нисбатан ечиш мумкин: 1
yw=g (х) — рг (х)у(п i} — p2(x)yin 2)— . . . —рп(х)у. (5.3)
4- бобдаги белгилашга кура
f(x, у, у', ... , у(п *’)= gtxj—p^xjyt'1 . .... — рп(х)у. (5.4)
Бу функция Dn+1={x, .......у(п 1)):х£/, —со < г/и) < ф-оо, i =
= 0 ,1, .... и— 1} соцада аницланган. Агар рг(х), . . . , рп(х),
g(x) функциялар ёпиц [хх, x.,J с; I интервалда узлуксиз булса, у
цолда (5.4) функция тегишли Dn+I соцада узлуксиз ва у, у', . ,
z/"-1 лар буйича Липшиц шартини цапоатлантиради. КаКик.атан, f
функция у, у' ... , y(n 11 лар буйича - оо < у(1)< + (i = 0,1,
. . . , п — 1) интервалда узлуксиз ва узлуксиз цосилаларга эга,
чунки = — рп1 (х) ва рп_1 (х) [Xj, х.,] да узлуксиз.
Агар шах
|Л_
i = 0, 1, .
и— 1, max (Lt, Llf
- , L„_i) = L десак, f функция [xt, x2] да у, у', ... , y(n !)
лар буйича L константа билан Липшиц шартини ^аноатлантиради.
Бундан х2] учун (5.1) тенглама у (х0) = г/0‘, г/(,)(х0) = уо1)
шартни каноатлантирадиган ягона ечимга эгалиги келиб чита-
ли. Аммо бу ечим [х*, х>] интервалда аникуганган буладими? — де-
ган савол тугилади. Пикар теоремасига кура тегишли ечим |х—
— да аникланган булиб, h = min (а, --------------------—т—'l
булади. Бунда \ f \ М, \ у{1}— y0{l) | b, i = 0, 1, . . . , п — 1.
Курилаётган (5.1) чизикли дифференциал тенглама учун Ь етарли
катта булиши мумкин. Шунга ухшаш М, \у\, |у'|, ... , | у{п А} |
микдорлар | х — х01 «5 а интервалда f функция ва у, у’ . . . у1п~1}
лар канчалик тез усишига бог лик,. Шунинг учун (5.1) тенглама
ечимининг аникланиш интервали Пикар теоремаси ёрдамида* яна
туларок аникртаниши лозим. Биринчи тартибли чизикли дифферен-
циал тенгламаларнинг нормал системаси учун ечимнинг мавжудлиги
ва ягоналиги х.акида теорема (Пикар. Коши, Пеано) 7-бобда кури-
лади. Унда курамизки, (5.1) дифференциал тенгламанинг тегишли
бошланрич шартни каноатлантирадиган ечими унинг коэффициент-
лари ва унг томони I интервалда аникланган булади. Бошкача айт-
ганда, 5.1 чизикли дифференциал тенглама учун I интервал ечим
мавжуд лигининг максимал интервала, тегишли ечим эса давомсиз
булади. Бу п- тартибли чизикли дифференциал тенгламаларнинг му-
^им хоссасидир.
Агар ало^ида айтилмаган булса, кейинги муло^азаларда а(а'),
р2(х), . . . , р„(х) коэффициентлар бирор I интервалда аникланган
ва узлуксиз деб фараз этилади.
2. Энди (5.1) дифференциал тенгламанинг яна му^им икки хос-
сасига кискача тухталамиз.
1) Эркли узгарувчини алмаштириш натижасида (5.1) дифферен-
циал тенглама яна чизикли дифференциал тенгламага утади.
Агар х = ф(£), ф(Е)(ЕС", ф'(£)#=0 алмаштиришни бажарсак,
бевосита ^исоблашларни амалга ошириб, ушбу
куринишдаги тенгламага келамиз. Бу тенгламанинг чаи ва унг то-
монларини [ф' (£)]" га купайтириб, яна (5.1) типидаги дифферен-
циал тенгламани ^осил киламиз.
2) Номаълум функцияни чизикли алмаштириш натижасида (5.1)
тенглама яна чизикли дифференциал тенгламага утади.
Агар у = u(x)z + v(x), и(х)£Сп, v(x)£Cn, и(х)=£0 алмашти-
ришни бажарсак, (5.1) тенглама яна шу типдаги тенгламага утади.
Бунга бевосита ^исоблашлар ёрдамида ишониш мумкин. Эслатиб
утамизки, v(x)^Q булганда бир жинсли чизикли дифференциал
тенглама, умуман айтганда, яна бир жинсли тенгламага утмайди.
Arap v (х) = 0 булса, у = и (х) г алмаштириш бир жинсли тенглама-
ни яна бир жинслига утказади. Шу алмаштиришдан z буйича диф-
ференциал тенгламада z(n—досилани чидариб ташлашда дам фой-
даланилади. Бунинг учун z(n-I) росила олдидаги коэффициент и{х)
ни танлаш дисобига нолга айланиши лозим. ^акидатан, y=u{x)z
алмаштириш натижасида (5.2) чизикли бир жинсли тенглама ушбу
и (х) z[n] -f- {пи (х) + pH и (х)) z(n-I) -f- ... =0
тенгламага келади. Бундан пи'.{х) + рх (х) и{х) ни нолга тенгласак,
биринчи тартибли узгарувчилари ажраладиган пи'{х) + р1{х) и{х) =0
тенгламага эга буламиз. Визга тегишли алмаштириш учун бирор
ы(х) функция етарли булганидан уни
— J PiMdx
и(х) = е (5.4)
деб танлашимиз мумкин.
2-§. л-ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛИ БИР ЖИНСЛИ ТЕНГЛАМАЛАР
1. Энди (5.2) дифференциал тенгламани алодида урганайлик.
Номаълум функция у(х) га нисбатан (5.2) тенгламанинг чап томо-
нида курсатилган амаллар (дифференциаллаш, pt(x) функцияларга
купайтириш ва душиш) кулланиш натижаси п- тартибли чизицли диф-
ференциал оператор деб юритиладива L[y] деб белгиланади, яъни:
Е[у] =У(п) + Pi{x)yln~l} + ••• +P„_i Му’ + рп{х)у. (5.5)
Бу оператор ёрдамида (5.1) ва (5.2) тенгламалар
b'[p] = g(x). (5.1')
L [у] = 0 (5.2')
куринишда ёзилади.
Киритилган L [у] огераторнинг дуйидаги мудим икки хоссаси
бор:
13 ) L [У1 + у2] = L [у.+ L [р2], У1 е С", у2 £ Сп; 2°). Е {Су] =
= СЕ[у], у£Сп, С = const. Бу хоссалар аслида дадидий узгарувчи-
нинг комплекс функциялари учун дам уринли, С дам комплекс сон
булиши мумкин. Аммо бу дадда тула маълумот 4- § да берилади.
Биринчи хоссани исбот этиш учун (5.5) ифодадаги у ва унинг до-
силалари урнига у у -f- р2 ва унинг досилаларини дуямиз:
L [У1 + P-J - (У1 + P2)(,I)+ Pi (х) {У1 + Рг)(П-1) + • + (л) (г/i +
+ У^ + Рп{х){у1 + г/2) = {у\п)+Рг у 1П~1} + +Р„_1(а:)р;+
+ Р„ (a) Pi) + (рГ^ Pi (а) рУ'-” + . . + рп^х (г) р2+ рп (х) р2) =
= ЦР11 + MpJ- Бу хоссадан ушбу
у iECn(k — ихтиёрий натурал
сон) форму-
ланинг тугрилиги келиб чикади.
Иккинчи хосса ^ам биринчиси каби исбот этилади. Юцоридаги
икки хоссадан ушбу натижа келиб чикади:
(5.6)
Сь С2, . . . , Ck — ихтиёрий узгармас сонлар. L[y] операторнинг
юкррида келтирилган хосса’ларига асосланиб му^им теоремаларни
исбот этиш мумкин.
5.1- теорема. Агар yL(x), у2(х) функциялар I интервалда
(5.2') тенгламанинг ечимлари булса, у %олда yr(x)riy2.(x) функция
%ам I интервалда (5.2') нинг ечими булади.
Исбот. Теореманинг шартига кура Lfz/J = О, L [у2] = 0. Бун-
дан 1°’ хоссага кура L [у± ф- уД = L [z/j] + Т [z/al = 0- Теорема
исбот булди.
5.2- то рем а. Агар ух(х) функция I интервалда (5.2') нинг
ечими булса, у %олда Cyl(x) (С — ихтиёрий узгармас) функция
%ам шу I интервалда (5.2) тенгламанинг ечими булади.
Исбо т. Шартга кура L [ух] = 0. 2° хоссага кура бундан
L [Cz/iJ = CL [z/J = 0 келиб чикади. Теорема исбот булди.
5.1-натижа. Агар Уг(х), у2(х), . . , yk(x) функциялар I
интервалда (5.2') тенгламанинг ечими булса, у %олда шу интер-
k
валда (х) функция %ам (5.2') нинг ечими булади.
t=i
Исботи 5.1- ва 5.2-теоремалардан келиб чикади.
5.3-теорема. Агар коэффициентлари р\х), x£l(i=\, 2,
... , ri) %ациций булган (5.2') тенглама у (х) = и (х) + iv (х) ком-
плекс ечимга эга булса, у цолда и(х) ва с(х), х£1 функциялар-
нинг %ар бири (5.2') тенглманинг ечими булади.
Исбот. L [и (х) + iv (x)J = 0 дан L [и (х)] + IL [о (х)] = 0 га эга
буламиз. Бу айният бажарилиши учун L[u(.r)]=0, Цу(х)]^0
булиши зарур ва етарли. Теорема исбот булди.
Агар 5.1- натижада k = п булса, у ^олда п та ихтиёрий узгар-
масни уз ичига олган
У = Суу^х) + С2у2(х) + ... + Сп уп(х) (5.7)
функция ^ам (5.2') тенгламанинг ечими булади. (5.2') тенглама п-
тартибли булганидан унинг умумий ечими формуласи п та ихтиёрий
узгармасни уз ичига олиши лозимлигини биз 4- бобдан биламиз. Ун-
дай булса, (5.7) формула билан берилган функция (5.2') тенглама
учун умумий ечим була оладими? Бу саволга жавоб г/1(х), ... ,
%(х) ечимлар орасидаги муносабатга богли^.
2. Бирор I интервалда ани^ланган <р1(х), <р2(х), ... , <pfe(x) функ-
циялар берилган булсин.
5.1- таъриф. Агар бир вацтда нолга тенг бу.тмаган шундай
alt а2, ... , ak узгармас сонлар мавжуд булсаки, I интервалда
ушбу
+ сс2<р2(х) + ••• = 0 (5.8)
айният Уринли булса, у холда <Pi(x), <р2(х), ••• > Ф*(х) функциялар
I интервалда чизикли бослик. дейилади.
Агар юцорида айтилган ау, а2, ... , ak сонлар мавжуд булма-
са, яъни (5.8) айният узгармасларнинг фацат нолга тенг циймат-
ларидагина уринли булса, у холда <Pi(x), <р2(х), ••• , Фу(х) функция-
лар I интервалда чизицли эркли дейилади.
5.2- натижа. Агар I интервалда <р.(х) = 0, 1 & булса, у
Холда <pi(x), ... , <р£(х), ... , <рА(х) функциялар I интервалда чизиц-
ли бослиц булади. ^ацицатан,
Q=#0, Сг= С2= ... = C._j=C.^_j ... — Ck= О-
k
деб танласак, ва С{ц>^х) = О булади.
j=i
Агар Хх, Х,2, Х3, ... , А,т—баъзи комплекс сонлар, fi(x), f2(x),...
fm(x) лар х га нисбатан купхадлар булса, ушбу
А(х) = ^(х)Лх+/й(х)?*х-!- ... -Hfm(x)ex^
куринишда ёзиладиган хар бир F (х) функция квазикупхад дейилади,
5.1 - л е м м а. Ушбу F (х) — fх (х)еХ*х-|- f., (х)еХгХ + ... + fm (х) еЛтХ
квазикупхад берилган ва Хх, Z.2, ... , лар узаро турли сонлар
булсин. Агар шу квазикупхад бирор I интервалда айнан нолга тенг
булса, у х°лда хсжма fi(x), f^(x), ... , fm(x) купхадлар айнан нолга
тенг булади.
Исбот. Исботни т сони буйича индукция билан исботлаймиз.
т сонни квазикуп^аднинг тартиби деб атаймиз. т = 1 булганда
5.1- лемма тугри, чунки бу холда F(х) = ^(х)е^1Х ва f^x)^1* = О,
х£/ айниятдан f±(x) = 0, х£/ келиб чицади. Энди т — 1 дан т(т 2)
га индуктив утишни бажарамиз. Агар F(х) квазикупхад /интервал
да айнан нолга тенг булса, у холда бу натижа ушбу
G(x) = pl+\F(x)e~^x)
квазикупхад учун хам уринли (бу ерда р — дифференциаллаш опера-
тори, I эса fm(x) купхаднинг даражаси). Бевосита хисоблаш ёрдами-
да
С(х) = ^(х)е(Х1-Хт)х+^(х)е(Ха-Хт)х+ ... + gm_I(x>(X^'")*
ни курсатиш мумкин, бунда
Si(x) = (p + f/x), I = 1, 2, ... , tn — 1.
G (x) квазикуп^аднинг тартиби m—1 га тенг. Шу G(x) квазикуп-
^ад I интервалда айнан нолга тенг булгани учун индукция фарази-
га кура барча gL(x), g-,(x), ... , gm_x(x) куп^адлар Z да айнан нолга
тенг. Фараз этайлик, fi(x), ... , f ,(х) куп^адлардан биронтаси (ма-
салан, ^(х), нолга тенг булмасин, яъни fx(x)=#0, хЕ/. Шу fx(x) куп-
^аднинг даражаси k булсин, яъни fx(x) — аохк-р axxfe~’-|- ... + ak>
бунда ао^О. Бевосита текшириш мумкинки:
gi(x) = (р+V+1 ш=(V-V+1 «</+ - •
Энди gi(x) -= О, х ЕI айниятга кура (Zx— а0 = О тенгликка
эга буламиз. Аммо А,х^= “кт га кура бундан ао=О келиб чикади. Бу
зиддиятлик fx(x), ... , fm__,(x) куп^адлар I да айнан нолга тенглиги-
ни исботлайди. Демак, F (х) = fm(x) t7'm* га эгамиз. Бундан F(x) = 0
булиши учун fm(x~) куп^аднинг барча коэффициентлари нолга тенг-
лиги келиб чикади. Шундай цилиб, F(x) = 0, x£l айният уринли
булса, fm(x) = О, х Е 1 айниятлар ^ам уринли булиши исбот этилди.
5.1-лемма исботланди.
Мисоллар. 1. Ушбу 1, х, х2, ... , xk функциялар (—со, + оо) интервал-
да анидланган булиб, улар шу интервалда чизикли эркли. Бу тасдид ихтиёрий,
чекли интервалда х,ам уринли.
Агар тескарисини фараз этсак, бир вацтда нолга тенг булмаган ах, а2, ... ,
k
ак лар (яъни \ а?=^= 0) учун курилаётган чекли ёки чексиз интервалдан олинган
р)
х нинг барча цийматларида
а0+ агх + «г*2 + ••• xk 0
айният уринли булишн керак. Аммо алгебранинг асосий теоремасига кура бу
тенглик х нинг куп булса k та дийматидагина уринли. Бу зиддият юкоридаги
фнкрни исботлайди
2. Ушбу
еУ , ek'x, ... , esX . & #= kjt i ф j
функциялар исталган I интервалда чизидли эркли.
Буни исбот этиш учун шу функциялар I интервалда чизикли боглиц булсин
дейлик, яъни бир вацтда нолга тенг булмаган шундай ах, а2, ... , as сонлар
мавжудки, 1 интервалда
F (x)—aYe^lX Чт a2lk,x-f- ... + - 0
айният уринли. Бу аййиятнинг чагг томонида турган функция квазикучцад булиб,
унда А(х) = ах, — . fs(x) = as. 5.1- леммага кура F (х) = 0 айният бажарилса,
ундан ах= аа= ... = as= 0 келиб' чикади. Бу эса о^, ... , as ларнинг танлани-
шига зип. Демак, берилган функциялар I интервалда чизидли эркли.
3. Агар k-t Ф kj, i Ф j булса, ушбу
ekix xeklX ... xS1 ekiX> '
tX X€^1X .. - XSz Л*
kx kx S„ nk^x
e P 9 хе P , ... , xPe P
(5-9)
функциялар ихтиёрий I интервалда чизицли эркли. Улар чизицли' бог лиц булсин
дейлик. Бу цолда бир вацтда нолга тенг булмаган шундай ах, а2, ... , aN,
I\! = — +Sp+P сонлар мавжуд буладики, (5.9) нинг 1- йул функцияларнни
мос равишда а0, ар ... , aSi га, 2- йул функцияларнни — > aS14-S2+i
га ва к. охирги йул функцияларнни + . + S/j_j + + i + ... +
+sp_] + s + (р—1) + 1 га купайтириб цушсак, натижада ушбу
F (х) = Qi(x)e^ + Q2(x) ^х+ ... + Qp (х) ekPx = О
айниятни хосил циламиз. Бу ерда (/i(x), 02(х), — , Qp(x) лар мос равишда тартиби
sx, s2, ... , sp лардан иборат булган куп^адлардир. Яна 1- леммага кура шу ай-
ниятдан Qi(x), Q2(x), ... , Qp(x) купхадлар / интервалда айнан нолга тенг були-
ши келиб чицади, яъни барча ах, а2, ... , aN сонлар нолга тенг булиши келиб
чицади. Бу эса зиддият. Демак, (5.9) функциялар систем аси 1 интервалда чизиц-
ли эркли функциялар системасидан иборат.
х
4. Ихтиёрий I интервалда ушбу 1, cosx, cos2 функциялар чизикли боглиц-
х
дир. Ха^ицатан, а±-1 + a2-cos х 4- ag-cos2-^- s 0 ифодада ах= 1, <z2= 1, сс3=
л:
= —2 дейилса, тригонометриядаги l-f-cosxs 2 cos2цу (бунда х— ихтиёрий) ай-
ният цосил булади.
Машц. 1. Ихтиёрий I интервалда <Pi(x)=cosx, <р2(х) = sin х функциялар
чизицли эркли экани исботлансин,
X
2. Ихтиёрий 1 интервалда <pi(x) = 1, <р2(х) = sin х, <р3(х) = sin2 цу j функция-
лар чизицли боглиц экани исботлансин.
3. Дандай интервалда фДх) = 1, гр2(х) = tg2x, ср3(х) = sec2x функциялар чи-
зицли боглиц булади?
4. Ушбу <рх(х) = х, ф2(х) = 2х, гр3(х) = arc sin х функциялар чизицли эрклими
ёки боглицми? Дандай интервалда?
3. Юкорида функцияларнинг чизикли бскликлиги ва эрклилиги
текширилди. Текшириш таъриф буйича олйб борилди. Агар <pi(x),...,
функциялар I интервалда аникланган ва узлуксиз булишидан
тапщари яна баъзи шартларни цаноатлантирса, текшириш соддала-
шади. Шу мацсадда <px(x).......Ч\(х) Функциялар I интервалда (А—1)-
тартибгача узлуксиз ^осилаларга эга булсин, дейлик, яъни <рДх)ЕС*-1(/)
Ушбу
W (х) =W [фх, <р2, ... , <pj =
<Pi • <Р2 — <Pfe
ф; ...
(р**-1) ...
(5.10)
детерминант Вронский детер’минанти ёки вронскиан дейилади.
5.4.-теорема. Агар фх(х), ф.(л'), ... , <pfe(x) функцияпар I
интервалда чизицли боглиц булиб, (k—1)- тартибгача узлуксиз
%осилаларга эга булса, у цолда I интервалда бу функциялардан
тузилган Вронский детергминанти айнан нолга тенг булади.
k
Исбот. Теореманинг шартига кура, ах, а2, > а*, лар
i=l
учун I интервалда
ai4>i(x) + а2ф.2(х)+ ... -ъ a*<pfe(x) = О
айният уринли. Уни (k— 1) марта дифференциаллаб,
+ a2q>;(x) + ... +aft<p;(x) = 0,
1}(х) Ч~ агФ2*_1)(х) + •" + ak<P<k~ J)(x) О
айниятларни Х’осил ^иламиз. Бу айниятларни ах, а,, ... , ak ларга
нисбатан тенгламаларнинг бир жинсли системаси деб караш мумкин.
k
Аммо 0 булгани учун бу система тривиалмас (тривиал бул-
1—1
маган) ечимга эга. Алгебрадаги
маълум теоремадан системанинг
детерминанта (яъни Вронский де-
терминанта) айнан нолга тенг бу-
лиши келиб чикади.
Эслатма. Исбот этилган тео-
рема функцияларнинг чизицли бог-
лик булиши учун факат зарурий
шартни беради. Бошкача айтганда
агар бирор L интервалда (k—1)
марта узлуксиз дифференциалла-
нувчи <р1(х), ф2(х), ... , фДх)функ-
циялардан тузилган Вронский де-
терминанта айнан нолга тенг бул-
са, бундан у функцияларнинг чи-
зицли богликлиги, умуман айтган-
да, келиб чикмайди.
Масалан, цуйидаги икки функ-
цияни олайлик (38- чизма)
. ч ( (х — 2)3, 0 х 2,
Ф1(х) == [ 0, 2 < х < 4,
. . Г 0, 0 гС х < 2,
WO- ( (х — 2)3, 2^х<4,
Бу функциялардан тузилган W [<рх, <р2] =
38- чизма.
(38- чизмада
АВС чизиги)
(38- чизмада
ОВС1 чизиги)
О, 0 < х <4.
4>i ф2|
ч>; ч>' I
Аввало бевосита ^исоблаб куриш мумкинки, узлуксиз Фх(х), <р2(х)
функциялар учун Ф^_(2) = Ф^+(2), ф2+(2) = ф2_(2). Демак, фх ва <р2
функциялар О С х < 2 интервалда'| узлуксиз! дифференциалланувчи.
(х’— 2)3 0 '
3(х — 2)2 О
Цолаверса, О С х С 2 да IF =
0 (х — 2)3
О 3(х —2)2
Да
= 0. Демак, 0 sc х < 4 интервалда W [<рх, <р2]^0.
Аммо <Pi(x), Ф2(х) функциялар шу интервалда чизикли эркли (38-
чизма). Хакицатан, 0 С х 2 интервалда appt(x) + а2ф2(х) = 0 айни-
ятдан аг= О, 2 < х 4 интервалда шу айниятдан а2= 0 келиб
W =
чицади.
4. 5.5-теорема. Агар фг(х), ф2(х), ... , фп(х) функциялар (5.2)
тенгламанинг I интервалда аницланган ва тегишли бошлангич
шартни цаноатлантирадиган ечи'млари булиб, улардан тузилган
Вронский детерминанта бирор х = х0, х0Е I нуцтада нолга тенг
булса, у Цолда I интервалда IV' [ф^, ... , ф„]^0 ва Фх(х), ... , Ф„(х)
функциялар чизицли бог лиц булади.
Юкорида исбот этилган 5.4- теорема чизикли богликликнинг зару-
рий шартини, бу 5.5- теорема эса етарли шартни беради.
Исбот. Ушбу тенгламаларни курамиз: '
«1Ф1 (*о) + “зФг (*о) + -• + а„<Р„(^о) = °-
aiq>;(xo) + a2q>;(xo) + ... +«^(x0) = О,
(5-11)
+ а2ф('1-1>(х0) + ... + аХ"-1)(хо)=О.
Бу системада aL, а2, ... , ап ларни номаълум деб караймиз. (5.11)
системанинг детерминанта W [ф1(х0).....фп(х0)] — lF(x0) = 0 булга-
ни учун шу системанинг нолга тенг булмаган (тривиалмас) ечимлари
^ам бор. Улардан бирортаси а[, а", ... , а°п булсин. Энди ушбу
Ф (х) = о^ф/х) + а2ф,(х) + ... + а°ф„(х) (5.12)
функцияни курайлик. Бу функция 5.1- натижага кура I интервалда
аницланган булиб, (5.2') тенгламанинг ечимидан иборат. ф(х) функ-
ция учун бошлангич шартлар куйидагича ёзилади:
п
<р(*о) = 2а&(%о)’
iB1 (5.13)
4’0)(^o)=2aM/,(xo)> / = 1, 2, ... , n—1.
«=1
(5.11) муносабатларга кура, равшанки, ф(хв) = 0, ф'(хо) = О, ... ,
Ф("-П(хо) = 0. Теоремани исбот этиш учун ф(х)^=0, х£1 эканини
курсатиш лозим. Аммо Пикар теоремасига кура фацат ф(х) = 0,
х Е I ечимгина ф (х0) = ф'(х0) = ... = Ф(п-1)(хо) = 0 бошлангич шарт-
п
ларни каноатлантиради. Демак, ф(х)=0, х£1. Бундан ^(°Q2¥=0
/1
тенгсизликка кура Ф1(^), фДх), ... , Ф„(х) функцияларнинг I интер-
валда чизикли бсгликлиги кеЛиб чикади. Энди, агар ф(х) функция-
дан (п— 1)- тартибгача цосилалар олсак, п та айниятга эга буламиз.
Унинг детерминанта W [<Pi, ... , ф„] = 0, х£1 булади.
5.6-теорем а. (5.2') тенгламанинг I интервалда аницланган
Фх(х), <р2(х)> ••• > Фп(х) ечимлари чизицли зркли булиши учун бу
ечимлардан тузилган Вронский детерминанта I интервалнинг би-
рор х0 нуцтасида нолдан фарцли булиши зарур ва етарли. Шу
билан бирга агар 1У(хо)#=О булса, у %олда W (х)#=0, х£Г, агар
W (х0) =0, х£1 булса, у Х^олда 1Е(х)=^0, булади.
Исбот. Етарлилиги. !У(хо)#=0 дейлик. <px(x), ф..(х), ... ,
Фп(х) ечимларнинг чизикли эркли эканини курсатамиз. Бу ечимлар
п
чизицли бог лиц булсин, яъни ах, а.,, ... , ап, #= О лар
учун I интервалда
счфА) + а2ср2(х) 4- ... + ап(рп(х) = 0
айният уринли. Ундан (п—1)-тартибгача цосилалар олиб, х — х0
деймиз:
ai<Pi (*о) + а_Фг (*о) + + а„Ф„ (х0) = °
(х0) + (х0) + ... + oyp^.W = О,
п
бундан 0 булгани учун 1У(хо) = 0 экани келиб чикади.
t 1
Бу эса 1Е(хо)#=О га зид. Демак, 1Е(х0) = 0 булса. <Pj(x), <р2(х), ... ,
ф„(х) ечимлар чизикли эркли. Аммо* W (х0) =£= 0 булса, 1Г(х) #= 0, х б/
булиши цам келиб чикади. ^ацицатан, агар W (хх) = 0, хх#= х0 бул-
са, бундан 1 да W (х) - 0, масалан, х = х0 да цам W (х0) = 0 экани
чикади, бу эса 1У(хо)#=О га зид.
Зарурлиги. <Pi(x), Ф2(х), ... , ф„(*) функциялар I интервалда
(5.2') тенгламанинг чизикли эркли ечимлари булсин. У цолда 1У(хо)#=0
булади. Акс цолда W (х0) = 0 дан Ц7(х) = 0, х £ 1 ва демак, <pt(x)>
(р;(х), ... , ср;г(х) ечимларнинг чизикли богликлиги келиб чикар эди-
Теорема тула исбот булди.
5. Ушбу фх(х), ф.2(х), ... , ф„(х) функциялар / интервалда (5.2')
тенгламанинг (х0£ /)
Фг (х0) = 1, <р2 (х0) =-0, ... , <рл(х0) = 0,
ф;(х0) = о, ф'(х0)=1, ... , ф;(л-о)=0,
Ф1"-1) (^о)'= °. ФЬ"-0 (х0) = 0, ... , фФ-’Чхо) = 1
бошлангич шартларни. каноатлантирувчи ечимлари булсин. Энди (5.2')
тенгламани
У{п}=—Р1(х)у{п l)—pMy{n 2)— ... — рп_1(х) у'— рп(х)у
куринишда ёзсак, бу тенгламанинг унг томони у, у', ... , у(п~
ларга нисбатан ихтиёрий сохада Липшиц шартини каноатлантиради.
Куринадики, Z)n+2c 7?п+2 сохада Пикар теоремасининг юкрридаги
шартларнинг х;ар бирини каноатлантирадиган ягона ечими мавжуд.
Шунинг учун
1^[ф±(х0), ... , Ф„(х0)] =
1 0 ... О
О 1 ... о
= 1=^0
О 0 ... 1
тенгсизликка кура п- тартибли чизикли бир жинсли дифференциал
тенгламанинг п та чизицли эркли ечимлари мавжуд.
Энди умумий ечим ^акидаги теоремани келтирамиз.
5.7-теорема. Агар ф/х), фа(х), > ф„(х) функциялар (5.2')
дифференциал тенгламанинг I интервалда аницланган чизикли эркли
ечимлари булса, у Цолда умумий ечим ушбу
У = Cj<PiW + С2<р2(х) + +С„ф„(х) (5.14)
(Ci, С2, ... , Сп—ихтиёрий узгармаслар) формула билан ёзилади.
Исбот. ф/х), Ф2(х), ... , фп(х) функциялар I интервалда чизиц-
ли эркли булгани учун IV [фт, ф2, ... , фп ] #= 0, х g I. Масалан, х0 £ I
нуктада ^ам 117(хп)#=0. Энди у = ф(х), функция (5.2') тенг-
ламанинг ихтиёрий бошлангич шартни, яъни
[rP(^o) = Z/o, <P'W = i/o, , <Р("“1)(х0)=^-1)
муносабатларни каноатлантирадиган ечими булсин. Бунда икки х;олни
караш лозим булади. Аввало I интервалда ф(х) = 0 булиши мумкин.
Бу ечим (5.14) формуладан (С1,= С3= ... = Сп = 0 булганда) ^осил
булади. Энди ф(х)^0, х£1 булсин. (5.14) га кура:
Уо= CiTiC^o) + С2Ф2(х0) + ... + Спфп(х0),
у0 = c^;(x0) + с2ф'(хь) + - +с„ф;(*0). /к 1С.
(5-15)
//'"-1,= С1ф<'!-1)(х0) + С<-1,(х0)+ ... +С„ф(1"~1,(М-
Курилаётган х;олда (5.15) система Сх, С2, ... . Сп ларга нисбатан
детерминанта W (х0) #= 0 булган бир жинсли булмаган системадир.
Бу система ягона С°, C°2t ... С° ечимга эга. Демак, ф(х) = С°фх(х)4-
+ С2ф2(л:) + + С°фп(х). Олинган ф(х) ечим ихтиёрий бошлангич
шартни каноатлантирадиган тривиалмас (иккинчи ^олда) ечим булга-
ни учун (5.14) формула умумий ечим формуласидир. Теорема исбот
булди.
Биз говори да п та чизикли эркли ечимлар ((5.2') тенглама учун)
мавжудлигини курсатдик. Бундан (5.2') тенгламанинг чизикли эркли
ечимлари сони п дан кам эмаслиги келиб чикади. Аммо п- тартибли
чизикли бир жинсли (5.2') тенгламанинг чизикли эркли ечимлари
сони п дан ортик була олмайди. Хакикатан, исбот этиш учун (5.2')
тенгламанинг ихтиёрий (п+.1) та ечими чизикли боглик эканини
исбот этиш етарли.
<Pi(x), <р2(х), ... , <рп(х), <Р„+1(х), х 'функциялар (5.2') тенглама-
нинг ечимлари булсин. Агар фх(х), <р2(х), ... , <р„(х), х£1 функция-
лар чизикли эркли булса, у цолда юкорида исботланган 5.7- теоре-
мага кура шундай С°, С°, ... , С° узгармас сонлар топиладики, ушбу
Фл+1(х) = CiTiW +С°<р2(х)+ ... +С£фп(х), хе/
айниятга эга буламиз. Бундан <px(x), ... , <р„+1(х) ечимлар / интер-
валда чизикли бог лиц экани келиб чицади. Агар <p,(x), ср„(х), ••• >
<р„(х) функциялар / да чизикли боглиц булса, у цолда
п
“1<Р1(х) + аа<р2(х)+... + <ул(х)^0, х£1, 2“/=^°
t=i
айният уринли. Демак,
“145 (*) + -• +“„Ф„(^) + °-Ф„+1(х) = 0, х€/
айният цам уринли. Бундан яна срДх), . . . , ф„+1(х) ечимларнинг
/ интервалда чизикли богликлиги келиб чицади.
Мацц. Агар <Рх(х), ср2(х)...Фл+iW функциялар I интервалда (5.2')
тенгламанинг ихтиёрий (и + 1) та ечими булса, у долда шу I интервалда врон-
скиан W [cfi, . .. , = 0 эканини исботланг.
5.2-таъриф. п- тартибли чизицли бир жинсли дифференциал
тенгламанинг чизицли эркли ечи'млари <Pi(x), <р2(х), . . . , <рп(х), хе/
ечимларнинг фундаментал системаси деиилади.
Бу таърифга ва 5.7- теоремага кура бир жинсли дифференциал
тенгламанинг умумий ечимини топиш учун фундаментал системага
тегишли цамма ечимларни ихтиёрий узгармасларга купайтириб цу-
шиш керак.
Мисоллар. 1. у"Ц- k"y = 0, k=j- 0 тенглама учун ср1(х) = cos kx, <р2(х) =
= sin kx функциялар ихтиёрий / интервалда ечим булади. Бу функцияларнинг
Вронский детерминанти
Icos kx sin kx I
= AV=0.
— co sinftx cocos kx I
Демак, cos kx ва sin/гх — фундаментал системани ташкил этади. У долда умумий
ечим бундай ёзилади:
у = CjCos kx + C2sin kx.
2. у'" — k2y — 0, /г > О тенглама учун ф1(х)=1, ср2(х) = ekx, <р3(х)=е— kx
функциялар ихтиёрий J интервалда фундаментал система булади. Хадидатан, бу
функцияларнинг ечим эканини бевосита текшириб билиш мумкин. Энди вронскиан-
ни хисоблайлик:
1 ekx e~kx
О kekx — ke~kx
О k?ekx kze~kx
kekx — ke~kx
k2ekx
j | = 2йЗ^=0 (> 0).
= *3| ;
Демак, 1, e**, e kx функциялар фундаментал системани ташкил этади Шу-
нинг учун умумий ечим
, У = С1+ ^2ейх + бзе
куринишда ёзилади.
3. Ушбу
( (х — 2)3, 0 х<2, (0, 0 х < 2,
ФгМ = [ 0> 2 х < 4, ( (х — 2)3, 2 < х 4
функциялар 0 ' х -< 4 интервалда дифференциалланувчи ва чизикли эркли. Аммо
улар коэффициентлари [0, 4] да узлуксиз булган бирорта хам дифференциал тенг-
ламанинг ечими эмас (38- чизма). Масалан, <pj(x) функцияни тскширайлик. Агар
бу функция бирор иккинчи тартибли чизицли бир жинсли дифференциал тенгла-
манинг ечими булса, х0= 3 нуцтада <рг (3) = 0, <рj (3) = 0 бошлангич шартларни
олишимиз мумкин. Бундай ечим ягона булиши керак. Иккинчи томондан, х0= 3
нуцтада тривиал ечим <р (х) 0 учун цам <р (3) — 0, t[ '(3) = 0 бошлангич шарт-
лар бажарилиши лозим. Бу мавжудлик ва ягоналик теоремасига зид. Шунга ух-
шаш, <р2(х) функция цам хеч бир биринчи ёки иккинчи тартибли бир жинсли
дифференциал тенгламанинг ечими эмас. Яна шуни цайд циламизки, бу <рх(х) ва
<р2(х) Функциялар учинчи тартибли чизицли дифференциал тенгламанинг ечими
була олмайди, чунки <рх(х) ва <р2(х) функцияларнинг х = 2 нуцтадаги учинчи ва
ундан юцори тартибли хосилалари мавжуд эмас.
6. 5.8-теорема. Агар бирор I интервалда аницланган ф/х),
ср2(х), • • - , ф„(х) функциялар чизицли эркли булса, у %олда бу
функциялар ягона п- тартибли чизицли бир жинсли дифференциал
тенгламанинг фундаментал ечи'млар системаси булади.
Исбот. Берилган фундаментал системага ушбу иккита чизикли
бир жинсли дифференциал тенглама мос келсин дейлик:
yW+Pi(x) у(п~1}+ ... +рп(х)у = 0, (5.16)
Р<П,+ '71(^)Р<"-,)+ • • • +с„(х)р = 0, (5.17)
бу ерда pz(x) £ С (/), <?Дх) £(?(/), i= 1, 2, . . . , п. Энди р.(х) =^(х),
i= 1, 2, ... , п, х£/ эканини исботлаймиз. Унинг учун (5.16) дан
(5.17) ни цамда-цад айирамиз: • х
[Рг(*) — <д(х)] р1"-1)+ . . . + [р„(х) — qn(x)\y = 0. (5.18)
Бу дифференциал тенглама ^ам (5.16), (5.17) тенгламалар каби cpi(x),
Ф2(х), . . . , ф„(х) ечимларга эга. (5.18) тенгламада бирор j(l</^n)
учун р.(х0) — х0£1 булсин. У цолда р/х) — qfx) коэффи-
циент х нинг етарли кичик атрофида нолдан фаркли булади. Демак,
(5.18) тенглама («— 1)- тартибли чизицли бир жинсли дифференциал
тенглама булганда п та чизицли эркли фДх), <р.2(х), . . . , Фп(х) ечим-
ларга эга булиши керак. Бу зиддиятлик. |Демак, р.(х) = ^(х), х£/>
/=1,2........п.
Фундаментал система мос чизикли бир жинсли дифференциал
тенгламани тула аниклагани учун бу дифференциал тенгламани то-
пиш масаласини куйиш мумкин.
Энди <р1(.к), <Р->(х), - - - , <р„(х) функциялар I интервалда аниклан-
ган булиб, ечимларнинг фундаментал системасини т ашкил этсин дей-
лик. Ихтиёрий <р(х), / функция шу функциялар билан чизикли
боглик булгани учун <р,(х), <р2(х), . . . , <рп(х), <р(х) функциялардан
тузилган вронскиан айнан нолга тенг булади (yz—<р;(х), г/ = ср(х)):
IF [z/l у2, ... , уп, у] =
Ух Уч • • Уп У
У\ Уч • • • Уп У
у(п-1 ) у(п-1) у(п-1)
у\п} № У(пп) У{п)
(5.19)
Аслида биз изланган дифференциал тенгламани ёздик. Бу тенг-
лама чизикли бир жинсли эканига ишониш учун (5.19) даги детер-
минантни охирги устун элементлари буйича ёямиз:
Ух
У\
W [У1, Уч, • • • , Уп] У(п} —
у\п~^у^ . . . t/№
У{п)У[п) • - №
У1 Уч У'п
У = о.
(5.20)
Уч - • • Уп
Уч • • Уп
у{п~1}
У\п} Уч} У™
Равшанки, чизикли эркли ечимлар учун W[ylt у2, . . . , уп] 0.
Шунинг учун (5.20) тенгламанинг ^амма ^адларини W[ylt у2, . . ., z/n]
га буламиз. Натижада (5.2) куринншдаги тенглама ^осил булади.
Масалан, (5.2) даги pL(x) учун уШбу
Pi(x) = —
У1 Уп
У п~2'> . . . у^п~2^
у[п) • - • У(„п}
[*/l. • • • Уп1
муйосабат чицади. Бундан вронскиан учун му^им формула чицариш
мумкин. Унинг учун аввал
i/i. • • • Уп
£w(x) =
dx
d
dx
y\n~i} • Уп ~2)
y{n-l} . . . ^(n-r.
У1 У2 • • yn
y'i y'2 Уп
f(n-2) y'n-2) . . . ytn-2)
\п) У12п} •••
айният уринли эканига ишонч ^осил циламиз. Йул элементлари буйи-
ча детерминант ^осиласини оламиз:
у'1 у '2 У\ У2 • • • Уп Уп + У1 у\ у\ У 2 • • % • • У2 • • • Уп и Уп Уп +
1 1 /Г'”-15 %(п-1) • у{Г2} У(пп~1) У, {п- у,(п- -2) %(«-2) . ° Уо<П_1) • сч • 1 1 V а» а>
У1 Уг Уп У1 Уъ • Уп
+ ... • 4- y'l у'2 Уп + у\ У2 • • Уп
i//"-1’ y2{n~l) • • -е-1’ уУ~ -2) у (п-2) У ("“2’
у{п~г' У2(п~1> У^ у’/п) •• • УпП} •-'П
Равшанки, вронскианнинг ^осиласи п та п- тартибли детерминантлар
йигиндисидан иборат булиб, охиргисидан аввалги (п— 1) тасининг
j^ap бири 2 та бир хил йул элементларга эга. Шунинг учун улар
нолга тенг булиб, факат охирги детерминант колади. Бу эса излан-
ган детерминантдир. Шундай килиб, ушбу Pi(x) =—w , / формула
и/ (X)
^осил булади. Уни биринчи тартибли узгарувчилари ажралган диф-
ференциал тенглама каби интеграллаймиз:
-J р. '
W (х) = Се *•> , хое/, х£1.
Бундан х = х0 да С — № (х0). Демак,
-]а(^ (5.21)
IF(x)-IF(x0)e х°
формулага эгамиз. Бу формула Остроградский — Лиувилль номи би-
лан аталади. Остроградский — Лиувилль формуласидан аввалдан маъ-
лум натижа (яъни lF(xo) = O булганда W(х) = 0, х Е I; W (х0) =# О
булса, IF(х) =?^0, х£1 экани) келиб чикади.
Яна бу формуладан иккинчи тартибли чизикли дифференциал
теигламаларни уларнинг битта хусусий ечими маълум булганда ин-
теграллаш учун фойдаланилади. Хацикатан,
У''+pAx) у'+р2(х)у = 0
тенгламанинг хусусий ечими у = ф(х) =/= 0, х£/ булсин. (5.21) фор-
мулага кура
I Ф'М У' = С1в $P1MdX ёки ф(х)/— z/4',(x) = C1“^‘Wdx.
Бу биринчи тартибли дифференциал тенглама булиб, унинг чап то-
мони р, = —— га купайтирилиши натижасида тули^ дифференци-
Ф1(х)
алга келади, яъни
Бундан:
d I. у \
dx ф (х) J
Сг ~ f Pdx) dx
ф2 (х)
У
ф(х)
„ — Pdx)dx
Сге J
ф2 (х)
dx С2
ёки
у = С.ф (х) J е PlW dx dx + С.2ф (x)
келиб чикади.
Эслатмалар. 1) Исталган чизицли бир жинсли дифференциал тенгламалар
(албатта коэффициентлари I да узлуксиз булган) чексиз куп фундаментал систе-
маларга эга.
2) Агар cpjx), <р2(х), Ф'п (х)> x£Z функциялар ихтиёрий (и.— 1) марта
узлуксиз дифференииалланувчи чизицли эркли булса, у х,олда бу функцияларга
мос чизицли бир жинсли дифференциал тенгламада у^ олдидаги коэффициент W [<рг
. . . , <р„ ] нолдан фарцли булсин деб шарт цуйилиши лозим. Акс холда W (х)= О
тенгламани каноатлантирадиган нуцталар тегишли дифференциал тенгламанинг
махсус нуцталари булади.
Мисол. Фундаментал системаси <р1(х) = cos о х, q?2(x) = sin сох булган диф-
ференциал тенглама тузилсин. (5.20) формулага кура
cos со х sin со х у
— со sin сох со cos сох у'
— co2cos СО X —co2sin СО X у"
0 ёки I cos со х sin“x \у"-
| — со sin СО X со cos СО X I у
I cos со х sin СО X I , I — со sin СО X СО COS СО X I
I— Cl^COS сох — co2sin СО X | I — C02COSC0 X. —Cl^sin сох |
Бундан:
со а3у — 0 ёки у"+ вру = 0.
Шунга ухшаш фундаментал системаси cpj(x) = 1, <р2(х) = cos х булган диффе-
ренциал тенглама x=f=ka(k — бутун сон) да у"— (cig х) у'= 0 дифференциал
тенгламадан иборат эканини курсатиш мумкин.
7. Бу пунктда чизикли бир жинсли тенгламаларнинг тартибини
камайтириш масаласи билан шугулланамиз.
(5.2) тенглама у, у', . . у(п} ларга нисбатан биринчи тартибли
f z(x)dx
бир жинсли булгани учун у = eJ алмаштириш (4- боб, 4- § га
каранг) тенгламанинг тартибини биттага камайтиради. Аммо цосил
булган дифференциал тенглама z га нисбатан чизикли булмайди. Бу
купинча мацсадга мувофиц булмайди. Шу муносабат билан бошца
усулни, яъни баъзи хусусий ечимлар маълум булганда тенглама
тартибини камайтириш усулини баён этамиз.
5.9-теорема. Агар п-тартибли чизикли бир жинсли диффе-
ренциал тенгла'манинг г. та чизицли эркли хусусий ечимлари %маъ-
лум булса, у цолда тенгламанинг тартиби г бирликка камашпи-
рилиши 'мумкин.
Ис бо^т. Маълумки, и-тартибли чизикли бир жинсли дифферен-
циал тенгламани интеграллаш учун унинг п та чизицли эркли ечим-
ларини (ечимларининг фундаментал системасини) топиш керак. (5.7-
теоремага каранг). Мазкур теоремада г та чизицли эркли (ечимлар
маълум булган цол куриляпти. Бунда, маълумки, г ^п. Агар г=п
булса, ечимларнинг фундаментал системаси маълум булади ва уму-
мий ечимни бевосита ёзиш мумкин. Теореманинг тасдигига кура,
г<п булган дифференциал тенгламани интеграллаш масаласи (п—г)-
тартибли чизикли бир жинсли дифференциал тенгламани интеграл-
лаш масаласига келтирилади. Агар (п—г)- тартибли тенгламанинг
(п—г) та чизикли эркли ечимлари топилса, бу билан берилган ьтенг-
ламанинг фундаментал системаси топилади.
Энди биз г<п булган тенглама тартибини г бирликка камайти-
риш билан шугулланамиз.
Ушбу (р^х), <р2(х), - ., <рг(х), функциялар (5.2') тенглама-
нинг чизицли эркли ечимлари булсин. Аввал I да <р1(х)У=0 деб,
и — !—— | (бунда и — янги номаълум функция) алмаштириш бажа-
рамиз. Унинг учун г = —ёки z/=<p1(x)z дейлик. Энди охирги ал-
<pi(x)
маштиришни бажарсак, 2-§ да айтилганидек, тенглама яна и- тар-
тибли чизицли бир жинсли дифференциал тенгламага келади:
<p1(x)z(n,4- qx'(x)z{n ° + . . . (x)z + Lftp/x)] z= 0.
Ammo /Дср^х)] = 0 булгани учун, z’ = и деб тенгламанинг цам-
ма цадларини <рл(х) га булсак, и га нисбатан (и—1)- тартибли чизиц-
ли бир жинсли дифференциал тенглама
«(п-1) + <7х(х) «(п~2) + • - + = о (5.22)
цосил булади. Бу (5-22) тенглама (г— 1) та чизикли эркли ечимларга
эга. Улар цуйидагича ёзилади:
if 2 (*) /Фз (х)\'. рг (х)У
Х^ацицатан, улар чизицли боглиц булсин дейлик. Унда а? 5&0 бул-
1=2
ганда
<JaW+а, = о
булади. Энди бу тенгликни интегралласак:
’ + «. • +“' ^7“ = “°"
<Р1 (х) <Pi (х) <Pi (х)
(бунда аг—интеграллаш узгармаси) муносабатга келамиз. Буни
°5Фг(х) + а2гР2(х) + - - • +«гФг(х) = 0, х^1 деб ёзсак, cpj(x), ср.,(х), . . .,
срг(х) функцияларнинг чизицли эррлилиги ^ацидаги фаразга зид бу-
лади. Шундар цилиб, (5.22) тенглама (г—1) та чизицли эркли ечим-
ларга эга.
(5.22) дифференциал тенгламага яна юцоридаги муло^азаларни
кулланиб, тартибини биттага камайтирамиз. Шу усул билан берил-
ган тенгламанинг тартибини г га камайтириш мумкин. Теорема ис-
бот булди.
л л
М и с о л. Агар «цДх) — cos со х, — — < х < — (со > 0) хусусий
2 со 2со
ечим булса»
у" + <£>2у = 0 тенгламанинг умумий ечими топилсин. у = (cosсох)? алмаштиришни
бажарамиз. У ^олда.
у' — (cos сох)?' — co(sin со х)г,
у” = (cos со х)г" — со (sin сох)?' — co(sin сох)?' — со2 (cos со х)г.
Бу ифодаларни берилган тенгламага цуямиз:
(cos со х)?" — 2со (sin ю х) г' — co2(cos сох)? + co2(cos со х)? = 0.
Энди ?' = и десак, ушбу
(cos со х) и' — 2co(sin со х)и — 0
биринчи тартибли чизицли дифференциал тенгламага келамиз. Уни интеграллаб,
Куйидагини топамиз:
и'
— — 2со tg со х,
и
с ' _ С1
Inlul = 2со i (tg со х) dx-J-ln С, = — 2 In Icos со х( +ln С, • и------?'~ и бул-
1 J cos2 сох
С,' С', С,'
гани учун ?' =------— дан ?= —* tg со х-|-С2. Агар —Л = С2 десак, у =(cos сох) ?=
cos2cox со со
= Ci sin cox+C2cos сох келиб [чицади. Бу берилган тенгламанинг умумий ечимидир
(6-пунктдаги 1- мисолга царанг).
3-§. л-ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛИ БИР ЖИНСЛИ БУЛМАГАН ТЕНГЛАМАЛАР
1. п- тартибли чизицли бир жинсли булмаган тенгламалар бир
жинсли тенглама лар дан унг томонида g(x) функция борлиги билан
фарк килади. Шунинг учун (5.1) тенгламанинг умумий ечими ^ацида
фикр юритишда (5.2) тенглама ечимлари ^ацидаги тасдиклардан фой-
даланамиз.
5.10- теорема. Агару =(р(х), х£1 функция (5.1) бир жинсли
булмаган тенгламанинг бирор хусусий ечими булиб, ср2(х), ц^х), ....
<рп(х), х£/ функциялар тегишли (5.2) бир жинсли тенгламанинг
фундаментал системаси булса, у %олда бир жинсли булмаган
тенгламанинг умумий ечими унинг хусусий ечими Чг(х) билан те-
п
гишли бир жинсли тенгламанинг умумий ечими У С.<р.(х) йисин-
1=1
дисидан иборат булади, яъни:
У=У^ с^(х) 4- <р(х). (5.23)
i=i
Исбот. W(x) функция (5.1) нинг ечими булгани учун L[<p(x)] =
=g(x) булади. Энди (5.1) тенгламадан
//=х + ф(х) (5.24)
алмаштириш бажарайлик. Бундан:
g (х) = L [у] = L [z + <р (х)] = L [z] + L [4f (х) = L [z] + g(x).
Демак, L [z] = 0. Бу (5.1) га мос [бир жинсли тенгламадир. Агар
qil(x), <р2(х), . . ., <рп(х), х£1 функциялар фундаментал система бул.
п
са, z -= уС/<р/(х)ечим (5.2) тенгламанинг умумий ечими булади. У
i—1
^олда (5.1) тенгламанинг умумий ечимини топиш учун (5.24) ал-
маштиришда z урнига ифодасини цуйиш кифоя.
Хакикатан, г/ = Х(х) (5.1) тенгламанинг I да ани^ланган ва их-
тиёрий бошлангич шартни (яъни X(xo)=z/ox'(Xo)=У'о> •• » Х(п~1)(х0)=
= муносабатларни) каноатлантирадиган ечими булсин. (5.23)
формуланинг икки томонидан (и—1)-тартибгача ^осилалар олиб, уш-
буга эга буламиз (х = х0 да):
.% = 1^,0+ ^о.
1=1
✓ п
. %=2С^о + То’ (5.25
уГ1’ =^с;У,.^1)+с-1)
v Р
Агар у1^ = i = 0,1, . . ., п—1 булса, (5.25) дан W(хо)’=/=О
булгани учун Cj = С2 = . . . = Сп — 0 келиб чицади. Бу бир жинсли
тенгламанинг тривиал ечимига [,тУрри келади. Шунинг учун Х(х)^
=ф(х), х£1 булади. Бу цол кизиц эмас. Энди £/0(,)^=Чг0</> —1
булсин. Равшанки, бир жинсли булмаган тенглама тривиал ечимга эга
эмас, шу сабабдан yo(i)=£O, i = 0,l, . . . , п—1. Демак, (5.25)
тенглама С1г С2, . . . , Сп ларга нисбатан п та биринчи тар-
тибли алгебраик тенгламаларнинг бир жинсли булмаган системаси-
дан иборат. Бу системаиинг детерминанти lF(xo)#=O. Шунинг учун
у ягона Ср С°, . . ., С° ечимга эга. Демак, ушбу
п
Х(х) = 2 0° (х) + ср (х), х£7
z-i
айниятга эга буламиз. Шундай цилиб, у0, у'о, . . ., г/0(п-1) бошлангич
цийматлар ихтиёрий булганидан (5.23) формула умумий ечимдан
иборат булади. Теорема исбот булди.
5. 3- н а т и ж а. Агар чизицли бир жинсли булмаган тенглама-
нинг битта хусусий ечи’Ми ’маълум булса, уни интеграллаш ’маса-
ласи тегишли бир жинсли дифференциал тенгламани интеграллаш-
га келади.
5.4-натижа. Агар чизицли бир жинсли булмаган тенглама-
нинг г та хусусий ечи’Ми Ф1(х), ф.>(х), . . . фДх), х£7 ’маълум бу-
либ,
фДх)— %(х),ф,(х)—Фй(х), . . -,%_1(х)— %(х), %+1(х)—
— % (*), ; %(*)— % {х), 1 < k Г
функциялар чизицли эркли булса, бир жинсли булмаган тенглама-
ни интеграллаш (п — г + 1)- тартибли бир жинсли тенгламани
интеграллашга келади.
Исбот. y=^k(x)A~z десак, z=y— %(х). булади. Бунда z бир жинс-
ли тенгламанинг ечими. Шунинг учун z/= фДх), 1/=ф2(х), . . ., у—
=ipfc_1(x), У = у=фг(х) десак, бир жинсли тенглама-
нинг г—1 та ечимини, яъни
Z1 = Ф1(х) — %(х), Z., = фа(х)-фй(х) , . . ., Zk —%(*),
^+1 = (х) — (х), . . , zr = (х) — (х)
ечимларни цосил циламиз. Бу ечимлар чизикли эркли булганда те-
гишли бир жинсли тенгламанинг тартиби г—1 га камайтирилиши
мумкин. Натижа исбот этилди.
2. Мазкур пунктда бир жинсли булмаган тенгламанинг хусусий
ечимини топишда муцим роль уйнайдиган Лагранжнинг узгармасни
вариациялаш ’методи билан танишамиз.
Маълумки, бир жинсли тенглама учун умумий ечим унинг чи-
зицли эркли ечимлари орцали (5.14) формула билан ёзилар эди.
Ж- Лагранж (5.14) -формулада Сг лар урнига о.(х) функцияларни
куйиб, бир жинсли булмаган тенгламанинг ечимини
1/= (5.26)
2=1
куринишда излаш методини берган. Бир жинсли булмаган тенглама-
нинг ечимини (5.26) куринишда излаш мумкинлиги, яъни <г(х) функ-
цияларни бир цийматли топиш мумкинлиги (ундай функцияларнинг
мавжудлиги) цуйидаги хисобЯашлардан куринади.
(5.26) функция ва унинг (п—1)- тартибгача ^осилалари маълум
шартларни цаноатлантириши о.(х) функцияларнинг мавжуд булиши
учун етарли булади. ^а^икатан (5.26) нинг ^осиласини ^исоблайлик:
п ’ п
у'=w+SXwww-
i=l i=l
Бунда
Vo) (х) <pf (х)=0 (5.27J
£=1
деймиз. Иккинчи тартибли ^осилани ^исоблайуиз:
п п
у"=мм (*)•
i=l £=1
Энди
2a’i(x)<p'»(x)=o (5.27s)
i=l
деймиз. Шунга ухшаш, (и— 1)- тартибгача ^осилаларни ^исобласак:
п п
yln~l) х’
1=1 £=!
бунда
п
2<^(*)ф/"~2)(*)==0
i=i
(5-27я_,)
деб оламиз. Навбатдаги г/п) ни ^исоблаймиз:
У<п) = 2аХх) У™
t=i «=1
Юцоридаги (5.27J, . . ., (5.27(п1)) тенгламаларни ^осил цилишда чи-
зицли бир жинсли булмаган дифференциал тенгламадан фойдаланма-
дик. и^(х) учун охирги муносабатни топишда ундан фойдаланамиз.
(5.1) тенгламага юцоридаги ^исоблашлардан у, у', у", . . ., yw лар-
нинг ифодаларини цуямиз:
П п , П
[2ахх)ЧГ>(х)+2а*(х> +piW [2 °хх> (р/"~ ”(*)]+
L i=l 1=1 1=1
П п
+PaW[2ai(X^(n-2)W]+ • • •+Pn-l(x)[Sa‘^<P<^]+
Z=1 i=l
+ Pn(x) [2Gi (x) %(x)] = g(x)
1=1
ёки
2 *i(A') <p/n-1) (*>+2 [Фг<п) +Pi ф*(п-1> (%) + • • +
i=i i=i
+ P„_1 (x) <p: (x) + Pn (x) <p(. (x)] =g (x).
Аммо бундан <р/х), 7 = 1, 2, . . ., n функциялар I да L[y} =0 тенг-
ламанинг ечими булгани сабабли, ушбу
2 <(А) fPi("“ ° (х) = ё (х) (5.2 7J
/=1
муносабат ^осил булади. Шундай килиб, (5.27.), 1= 1,2, . . ., п
системага эгамиз. g(x)^0 дан бу система сб(х), i= 1,2, . . ., п лар-
га нисбатан бир жинсли эмас. Унинг детерминанта У7[<рг,®. . .,
х£7. Шунинг учун <тр . . . , G'n ларни бир кийматли топамиз:
о'.(х) = 6z(x), i= 1,2, . . ., п, x^I.
Бундан:
о/х) = [ 6.(v)dx + CL.
Топилган ифодани (5.26) га к,уямиз:
y = <p1(x)j61(x)dx + . . -+%(х)[бДх)Лх+2С?ф. (х). (5.28)
i=i
Бу (5.1) тенгламанинг умумий ечимидир. Ундан С1 = С2=.. =
= Сп = 0 булганда бир жинсли булмаган тенгламанинг ушбу
У = <p1(x)j61(x)cfx+ . . . +<P„(x)J 6n(x)dx (5.29)
хусусий ечимини топиш мумкин.
Шундай килиб, агар бир жинсли дифференциал тенгламанинг п
та чиЗи^ли эркли ечимлари маълум булса, (5.27£), i— 1,2, . . .,п
системани тузиб, ундаи 6/х), •. . ., 6п(х) ларни, сунгра (5.29) фор-
мула ёрдамида бир жинсли булмаган тенгламанинг хусусий ечимини
топамиз.
Мисо лл ар. 1. Ушбу у" + со2с/ = ах, со^=0, а^=0 дифференциал тенглама-
нинг умумий ечими ёзилсии.
Мос бир жинсли тенглама у" + со2{/=О аввал курилган булиб, унинг фунда-
ментал системаси cos сох, sin со х функциялардан иборат ва демак, умумий ечими
у = Cj cos со х J- С2 sin сох эди. Бир жиисли булмаган тенглама учун у — — х
со®
функция хусусий ечим булади. Бунга бевосита цисоблаб куриб ишониш мумкин.
5.10 теоремага кура берилган тенгламанинг умумий ечими:
а
у = Сг СО8 СО X + С» sin сох J-------X.
со2
r 1- мисолда берилган дифференциал тенгламанинг умумий ечимини узгармасни
вариациялаш метода билан топайлик. Ечим у= oi(x) cos сох +о2 (х) sin сох кури-
нишда излаиади. erJ(х) о2 (х) лар учун система бундай ёзиладн:
О^х) COS СОХ + °1(х) sincox=O, —о^х) со sin х + о2(х)ю cos со(х) = ах
ёки Oj(x) cos сох +с2(х) sin со х = 0, ах. СГ1(х) sin СОХ—СГ2(х) cos сох=— —
Буидан , ах , ах Oj(x)=— ~- sin со (х), о2(х) = — cos сох. СО со
Интеграллаш натижасида ушбу
ах а —
о^х) = — cos сох — — sin со х +
ах а —
о,(х) = — sin со х + — cos со х+ С2
со2 со3
фуикцияларии топамиз. Эиди бу ифодаларни уз урнига цуйсак, аввалдан маълум
формулага келамиз:
/ах а . ттА
у — — cos со х — — sin сох + С, I cos со х +
'со2 со3 /
(UA U - .
— sin со х + cos со х +C2)sin со х =
со2 со3
—. — ах
• ~С1 cos со х + C2sin со
со2
ах
Бундан хусусий ечим яна — дан иборатлиги куриниб турибди.
со2
2. Юцоридаги мисолда хусусий ечимни таилаш мумкин эди. Аммо цамма цол-
ларда цам бу осой булавермайди. Ушанда узгармасии вариациялаш методииииг
ацамияти алоцида куринади. Шу мацсадда ушбу
1 л л
У" + (tg х) У' - -------, — — < х <—
'е ’ cos х 2 [2j
дифференциал тенгламани олайлик. Унга мое бир жинсли тенглама
У” + (tgx) у' = О
У” d
осонгина интегралланади. Агар уни —- = —tg х ёки -~(\пу') = —tgx деб ёз-
У • dx „
сак, бириичи интеграл ln|t/'| = ln|cosx| J- 1пС2 ёки у' =Cxe.osx куринишда ёзила-
ди. Энди умумий ечнмни (бир жинсли тенглама учун) топа оламиз: у = Сг sin x-j-
—|~Cg. Бир жинсли булмаган тенгламанинг умумий ечимини топиш учун ечимни
y=al(x) sin х + о2(х) куринишда излаймиз. Бу ^олда (рфх) = sin х, <р2(х) = 1- Шу-
иинг учун =,cos х <р2(х) = 0. Энди Oj (х), о2(х) лар учун системани ёзамиз:
< Oj (х) sin х + а2 (х) • 1 =’0
о (х) cos х4- о9(х)' 0 =-
cos х
, 1 sin х
Бундан о,:(х) = —-—, о, (х) = — —— келиб чикади.
1 cos2 х cos2 х
Энди о^х), о(х) лар учун ушбу
_ 1 ’ _
Qi(x)= tg х + Ci,-; о2(х) = —---+ с2
cos х
ифодаларни топамиз. Шундай дилиб, ’берилган [тенгламанинг умумий ечими буи-
дай ёзнлади:
z/=<t1(x) sin х + <т,(х) = --‘П Х- —-h С4 sin х ф-С4 = — cos х 4-Cjsin хф-С2.
cos х cos х
3. Энди бир жинсли булмаган тенгламанинг J хусусий ечимини
топишнинг Коши метода билан танишамиз.
Чизикли бир жинсли булмаган дифференциал тенглама (5.1) нинг
коэффициентлари р;(х) (г =1,2, . . ., и) ва унг томони g (х) бирор
а С х С b интервалда узлуксиз булсин. Мос бир жинсли тенгламанинг
фундаментал системаси маълум булсин деб фараз этамиз. У ^олда
бир жинсли тенгламанинг Е параметрга боглид булган шундай 7<(хЛ)
ечимини тузиш мумкинки, у ечим ушбу
каЛ) = 0, К'& В) = О,..., К (?Л (В, В) = 0, к{лхп^ (В Л) = 1 (5.30)
бошлангич шартни каноатлантиради. Шу /<[(х, £) ечим оркали бир
жинсли булмаган тенгламанинг хусусий ечими
X
ф(*) = рс(хл)£(ё)<л (5.31)
а
формула ёрдамида топилиши мумкин. Буни исбот этиш учунЦфх ] =
=р(х) эканини курсатиш лозим. ^а^ицатан, ф(х) функциядан кетма-
кет ^осилалар олиб, (5.30) шартдан фойдаланамиз:
. ^'W=^(^)g« + f^.g)g(B)dB =J^(x,B)g(B)dB,
’ "jj а а
о
т=кх(х,х) g (%) + рс;2(*,ё) g ®d g= f я;2(х, ю g (g) d i,
в a a
(x)=/< <£!> (x,x)g(x)+(x, g) g (g) d g= J№(x, t,)g (I) d I,
' “ ' a «
t(?) =K4“n-l (x> *) &(*)+jk("«(x’ ^'s £ (*)+X"" (X, Dg(l) d t.
„• a x
II
1
Топилган ифодалдрни (5.1) тенгламанинг чаи томонига цуямиз:
х I
gx +^(x^g&d^P1(x)\K{n^x,^ga)dl +
- • +Рп(х) I K(x,l)g^d^g(x)+^n (*Л) + рЛх)К^-1(х’& +
а а
+Pn(x)K(x,^]g(l)dl.
1\авс ичидаги ифода нолга тенг, чунки К(х, £) функция мос бир
жинсли тенгламанинг хусусий ечими. Бундан фм функциянинг бир
жинсли булмаган тенгламанинг хусусий ечими экани келиб чицади.
Равшанки, ф(х) ва унинг цосилалари учун ушбу
ф(с) = 0, ф<0(а) — 0, i = 1,2, . . , п—1
шарт бажарилади. Бу шарт бир жинсли тенглама тривиал ечими
учун ёзиладиган шартдан фарц цилмаса-да, бир жинсли булмаган
тенгламада ф (х) у.10, a <‘х sgb булади. Акс цолда g(x)^ 0 тенгсизлик
билан зиддиятлик ^осил булади.
Энди (5.31) формулани бошцача куринишда ёзамиз. Унинг учун
ушбу
G (x,g) =
О, а х .С L
A(x.g), g с х^Ь
(5.32)
функцияни киритамиз. Равшанки, G (£,£)-= 0, Ь. Ундан таш-
цари х=£ нуцтада (5.30) шартга кура:
(I +0Л(=С(2га-0Л)-0, »= 1,2, . . ., п-2,
G'JrJl (g + 0Л - G(^-i (g-O,g)= 1.
Охирги муносабатда (5.32), (5.30) га асосан:
G"^-i (g + 0Л)= 1, С("Л(g-0, g) = 0.
Чизикли бир жинсли дифференциал тенгламалар учун келтирил-
ган хоссаларга эга булган G (х, £) функция Коши масаласи учун
Грин функцияси дейилади. (5.32) формуладан фойдаланиб, (5.31)
формулани анир; интеграл шаклида бундай
ь
ф(х)= [G(x,O^a)rfi (5.33)
а
ёзиш мумкин. Бу формула Коши форму ласи [дейилади.
1 Л л
Ми с о л. Ушбу у" + (tgx) у'—------— — <х< —• дифференциал тенглама-
cos х 2 2
нинг хусусий ечими Грин функцияси ёрдамида топилсин. Маълумки, (2-пунктдаги
3- мисол) мос бир жинсли тенгламанинг фундаментал системаси 1, sin х лардан
иборат булиб, умумий ечими эса у = Сг -J- С2 sin х. Энди тегишли Г(х, g) ечимни
К (x,g) = Ф1(?)-1+ф2(У sinx
куринишда излаймиз, бунда K(g,3g) = 0, Kx(g, g) «= 1 булиб, ф^), <р2 (ь)ларни шу
шартдан фойдаланиб топиш :лозим.
Ха^и^атаи: K(g,g) = ф\(?) + Ф2(?) sin g = О,
K;G,g)=wcosg=i.
Бу системани ечиб ушбуни топамиз:
® ® = — tg 5-
cos §
’1
Шундай ^илиб, К(х, g)= — tg g +----— sin х.^
cos g
Эиди (5.31) формула буйича .хусусий ечимни [топамиз (ф (а) = 0 булгани учун
интеграллаш узгармаси С — 0 дейилгаи):
, , , (Т , * . 1 1 1 ~ (' sin 5 , Г
t (*) = I — te £ + —гsln * —г = — |;—гг + (sm х) —— =
,1 [ COS g J COS g 1 [COS'3 g J cos2 g
a a a
x x
= —------г +(sin x)(tg g) =— ---------------]+ (sin x)[tg x—tga] =
cos g | I cos x cos a j
a a
- — cos x -J------—(tg a) sin x.
cos a
Соддалик учун a = 0 десак, ф (x) = 1 —cos x куринишни олади. Текшириш
1<;ийин эмаски, бу функция берилган бир жиисли булмаган дифференциал тенгла-
манинг хусусий ечимидир. 2- пунктдаги 3- мисолда >;ам шу дифференциал тенгла-
манинг бу ф (х)= 1 —cos х функциядан узгармас кушилувчига фарц ^иладиган
хусусий ечими у = — cos х топилган эди.
Машц. у" -|- со2с/ — ах, со =4 О, а-^О бир жиисли булмаган тенгламанинг хусу-
сий ечими Грин функцияси ёрдамида топилсин.
4. Агар (5.1) тенгламада унг томонидаги g (х) функция ушбу
= Г/х)ес(7)
s
куринишда булса, L [г/] тенгламанинг хусусий ечимини то-
i=i
пиш учун s та L [у] = Цх), Цу] — f2(x), . . ., L[y]~ fs(x) тенглама-
нинг ^ар бири учун ало^ида-алГо^ида хусусий ечим топамиз. Улар
мос равишда (х), ф2^(х), • • •, (х) функциялардан иборат булсин.
S
У ^олда берилган тенгламанинг хусусий ечимини ^ф.(х) деб ёзиш
i=l
мумкин. ^акицатан, фараз буйича L[i]x] —f^x), i = 1,2, . . ,s. Шу-
s s s s
нинг учун L =g(x). Демак, V (x) —
i=l i=l i=l
бир жинсли булмаган тенгламанинг хусусий ечими.
Машк. 1. Агар мос бир жинсли тенгламанинг фундаментал системаси ех ва
е~х булса, ушбу у"—у — е2* + х—1 тенгламанинг хусусий ва умумий ечими
ТОПИЛСИН. •
2. Агар мос бир жинсли тенгламанинг фундаментал системаси 1, ccs х, sin х
булса, ушбу у'" + у' —jc + cos 4.x тенгламанинг хусусий ва умумий ечими то-
пилсин.
б- боб
п- ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛИ УЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ
ДИФФЕРЕЙЦИАЛ тенгламалар
Чизикли узгармас коэффициентли дифференциал тенгламалар чи-
зикли диффере циал тенгламаларнинг му^им хусусий холи булиб, улар
элементар функцияларда охиригача интегралланади. Мазкур бобда
чизикли узгармас коэффициентли теигламаларни ва унга келтирила-
диган узгарув«и коэффициентли чизицли теигламаларни урганамиз.
Аввал комплекс дифференциал тенгламаларга тухталамиз.
1-§. КОМПЛЕКС ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР
1. Агар чизикли дифференциал тенгламаларда коэффициентлари
хацикий функциялар булса, тенглама цакиций чизицли дифферен-
циал тенглама дейилади, Коэффициентлари комплекс функциялардан
иборат булса, тегишли тенглама комплекс чизикли дифференциал
тенглама деб юритпладт. Купинча, коэффициентлари узгармас бул-
ган чизикли дифференциал тенгламаларнинг комплекс ечимларини то-
пиб, Су.т ундан хакикий чт млар: и ажратиб олиш цулайроц була-
ди. Шу мучссабат билач Раъзи тушунчалар киритамиз.
6.1-т. , ’ 4 бирор I интервалда q>(t) ва ф(7) уациций
ар< / . ' .ty ар бери, ган булиб, шу интервалдан
один с ан .* бир цийматига ушбу
7.6 , гр (О + йг (О
’ у -оляа I интервалда %ациций
I беридейилади.. <р(7) функ-
I I: . :шг ицш к, ункцик 'а унинг мав-
хум цисм.1 сли.ади.
'Агар <р(О>Ф(О функциялар I интервалда узлуксиз булса, у ?;олда
комплекс функция % (t) хам I интервалда узлуксиз дейилади. Комп-
лекс функциянинг дифференциалланувчилиги тушунчаси ?;ам шунга
ухшаш киритилади. Аницроги, агар I да <р (t), ф (t) функциялар диф-
ференциалланувчи булса, у ?;слда 7.(1) функция ?;ам Г да дифферен-
циалланувчи дейилади ва х(/) = ([(/) + /ф(0 деб ^исобланади. Бунда
функция ишорасининг устидаги нукта t буйича ^осилани билдиради.
Равшанки, комплекс ф'ункциялар учун хам ушбу
4 Х,(О +
d /Xi(O\ _ Xi(0%2(0 —Xi(0x2(0
dt\Ut)] £(/)
&(О¥=о
формулалар уринли. Бунга бевосита ^исоблаш нули билан ишониш
мумкин. Ушбу п- тартибли чизикли бир жинсли дифференциал тенг-
лама
(л) (rt—1)
z + «j г + ... + й„_! z + anz = 0 (6.1)
берилган булиб, коэффициентлари / интервалда аникланган ва узлук-
сиз функциялар булсин.
6.2-таъриф. Агар z = %(t) функция ^а! интервалда аниц-
ланган булиб, цуйидаги икки шарт:
1°. Х(0€С”(/),
(л) (п-1)
2°. Х(О + а,Х(о + . . . + й„_! Х(0 + ап 7(t)
бажарилса, у холда z = 7(t) функция интарвалда (6.1) тенгла-
манинг ечими дейилади.
(л-1)
6.1-теорема. t0, zB, z0, ... , z0 лар бошлангич цийматлар-
нинг ихтиёрий системаси булсин. У Цолда 1) (6.1) тенгламанинг
(л—1) (л—1)
ушбу = z0, %(t0) = z0 , ... , /((,) = z0 бошлангич шартни
цаноатлантирадиган ва I интервалда аницланган ягона z — 7(1)
ечими мавжуд', 2) бир хил бошлангич шартни цаноатлантирадиган
ихтиёрий икки yti(0> Х2(0 ечим I интервалда устма-уст тушади.
Бу теореманинг исботи 4.1 - теореманинг исботидан келиб чицади.
Хакикатап, z = x-\-iy алмаштириш бажарайлик. У ^олда (6.1) тенг-
лама ушбу иккита п- тартибли
(Л) . (Л-1) . (Л-1)
’ X = f(t, X, X, . . . , х, у, у, . . . у),
(я) . (я—1) . (Л—
У = g(t, X, х, . . . , x,wy, У, ... , у)
(6-2)
дифференциал тенгламага ажралади. Унда f ва g функциялар х,
(п-1) . (и-1)
х, . . . , х, у, у, . . . , у узгарувчиларга нисбатан коэффициент-
лари узлуксиз чизикли функциялардир. Аницроги, (6.1) да al =flj+
+ icj.......ап = а'п+ ian десак, f ва g функциялар бундай
П
г (п— 1) „ («““О
2Аа1 x~ai у)*
z=i
« 1 (п— i) (и—i)
g = — 2- (flz x + a'i У)
i= i
куринишга зга булади. 9-бсбда курамизки, a'it alt i = 1, 2.....п
. , df dg
функциялар I интервалда узлуксиз булгани учун (д_^, (п_г)*
дх дх
- % ... ..» i — 1, 2, . . . , п функциялар ^ам шу интервалда уз-
ду ду
луксиз булганидан (6.2) система тегишли бошлангич шартни цаноат-
лантирадиган ягона ечимга зга.
Иккинчи томондан, агар at QCn, а^Сп булса, (6.2) системанинг,
масалан, биринчи тенгламани кетма-кет п марта дифференциаллаб,
(п) (пГ-1) (2 л)
системанинг иккинчи тенгламасидан фойдалансак, х, х, ... , х ва
(«)
у лар учун ёзилган (п + 2) та тенгламага эга буламиз. Агар тегиш-
ли якобиан нолдан фаркли булса, (п + 2) та муносабатдан у, у,
(л)
у, ... , у ((п + 1) та) узгарувчиларни чицариш мумкин булади.
Натижада х га нисбатан (2 п)- тартибли чизикли дифференциал тенг-
ламага келамиз. Агар а', а) лар узгармас булса, у ^олда тегишли
якобиан узгармас детерминантдан иборат булади.
2. К(уйида экспоненциал комплекс функцияларнинг баъзи хоссала-
ри билан танишамиз. Аввал со = и + iv ихтиёрий комплекс функция
со и. ,
булганда ej= е (cos v + t sint) деб ёзамиз. Бу формулами ушбу
*"2 п
= 1 +>'+ + . - < + + . . .3
катор ёрдамида исботлаш [мумкин. Равшанки, = е“. Хакицатан,
е“ (cos v — i sin t) - ell~iv= e“.
Энди ушбу
e“ ea‘ = e“i+“2) «j = иг + ii\, co.2 = iz2 + iv3 (6-3)
формулани исбот этамиз. Содда ^исоблашлар
е“* е&г= e"‘(cos + 1 sin г j)-^'2(cos i>2 + i sinn.2) —
= e«i+«2 j(cos cos v„ — sin Vj sin t'„) + f(sin cos v„ + cos sin та)] =s
= [cos (.-! + t>„) + i sin (^ + t)2)] = е(«*+«г)+^*+^)= e“>+“.
булишини курсатади. Ушбу
~ еи = -ке™, "к = н + io (6.4)
му^им формулани исбот этайлик. Аввал к = iv булсин. У ^олда:
4- e‘vt = (cos vt -J- i sin vt) = — v sin vt + i v cos vt =;
at at 4
= iv (cos vt + i sin vt) — ivent.
Энди X = ц-Н'т булсин. Унда (6.3) формуладан фойдалансак:
-dte =~dte e -~dt^e >e +e ~dt(e ) =
Ilf ivt lit . ivt . fityht _ If
= це e +e -ive =(y,+iv)e = Ke .
Исбот этилган (6.3) ва (6.4) формуладан кепинги муло^азалари-
мизда тез-тез фойдаланамиз.
3. Ушбу
z = Кг, К = у. + iv, г = х + iy
и
тенглама учун z = Се (С — ихтиерий комплекс узгармас) функция
ечим булади. Агар 2(0) = г0 десак, С = г0 ва г — zoe булади. z0 =
— re , г>О(сх — ^акикий сон) булганда
la М Му 1а
z = re е = ге
Берилган тенгламани бундай ёзамиз:
л + iy = (ц -Ь iv) (х + гу) = (цх — ту) + i (vx + цу)
ёки
X = [IX— vy,
у = vx + цу.
(6-5)
Бу системанинг ихтиёрий ф(£), 4(0 ечими комплекс тенгламанинг их-
тиёрий ечими билан куйидагича богланган булади:
т м+ia (n+iv)/4-to uf-H(vf+a)
ф(г) + н](г) — re = re — re =
— re* [cos (yt + ex) + i sin (vt + ex)].
Бундан:
х = ф (t) = re^cos (yt + сх), у — ф(/) = re^sin(vt + сх).
Шунга ухшаш г = tz2 комплекс дифференциал тенглама содда \и-
соблашлар ёрдамида куйидаги икки ^ациций
х = — 2ху,
у = х* + у2
дифференциал тенгламага ажралади.
2- §. ЧИЗИКЛИ БИР ЖИНСЛИ УЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ ТЕНГЛАМАЛАР
4- бобда п- тартибли дифференциал тенгламаларнинг баъзи ин-
тегралланувчи типларини курганда купинча -|^-=рбелгисидан фойда-
ланган эдик. Бунда у— номаълум ^аци^ий функция эди. Энди но-
маълум функция сифатида ^аци^ий агрументли ихтиёрий z (^ациций
ёки комплекс) функциянн оламиз. Масалан, ха^иций аргументни t де-
сак, z(t) = х (0 + iy (0(х (/), у (t) — ^акикий функциялар) деб ёзилиши
мумкин. Агар бирор/ интервалда y(t)=O булса. шу интервалда
z (/) = х (?) функция хакик>ий булади.
Ушбу бобда z функциядан t буйича олинган ^осилани pz = ~z
деб дифференциалташ операторини символик равишда ~ — р деб
„ v rf/12 d [ d \ 2 dtk k
белгилаимиз. лудди шундай —? — — — =р, . . . , —г = р сим-
Qi~‘ ai ai j
.. dz d"z
волларни киритсак, шу символлар ердамида = pz, —
dkx
dtk
= pzz . .
= pkz муносабатларга эга буламиз. (6.1) дифферен-
циал тенгламанинг чап томонини £(г) деб белгиласак, уни киритил-
ган символлар ортали ёзиш мумкин:
(п) (п—1)
L (z) = z + a, z + ... + afl_l z+aflz —
= pz + a, pz+ . . . + й„_] pz + anz =
= (pn+a, pnJ+ ... +an_lp + an)z = L(p)z.
Шундай килиб, (6.1) тенгламани
L(p)z = O (6.1')
деб ёзамиз, бунда L (р) куп^ад п- тартибли алгебраик куп^ад.
Куйида дифференциаллаш оператори р га нисбатан L(p) куп^ад-
пинг икки хоссаси билан танишамиз.
A) L(p) ва М(р) — дифференциаллаш оператори р га нисбатан
ихтиёрий куп\ад, гг, z2, z лар эса t нинг функциялари булса, у
цолда ушбу
1. L (р) (z2 + z2)==L (р) zt + L (р) z.?,
2. (L (р) + М (р)) z = L (р) z + М (р) z,
3. L (р) (М (р) z) = (L (р) М (р)) z
айниятлар уринли. Бевосита ^исоблашларни бажариб, бунга шпо-
ниш мумкин.
Б) Агар L (р) куп.\ад р га нисбатан бирор к^пл;ад булса, ушбу
L(p)e =L(l)e (6.6)
формула Уринли, бунда X — цагумуш ёки комплекс сон.
т-r л с d w , м
Исбот. Ьиз юкгорида е —ле формулани исбот этган эдик.
ГТ U * М ТТ О U П М.
Демак, ре — ле . Равшанки, ре =р(ре ) = р(Хе ) =
л2/7 , . . . , pk е~* — /kе'. Шунинг учун L (р)е ‘ = рп е™+
4 аур"-1 е‘ 4 • • • 4 arl_xpet-\-aned='kneJ-\- а1'кп~1 еи+- • +
4" ап— \Г,-е "Ь апе = е ft" + gA" ' + • • • 4" ап—Л “Ь °п) = е -
(6.6) формула исбот этилди.
Агар X /(/) кугхаднинг илдизи булса, (6.6) фсрмулага кура еи
функция (6. Г) тенгламанинг ечими булади. Шу мунссабат билан
/(р) купхад (6.Г) тенгламанинг характеристик купхади дейилади.
Энди (6.Р) тенгламанинг умумий ечимини (ксмглекс ечимини)
ёзишга тухталайлик. Бунда икки х;сл юз беради' I. Характеристик
купхад оддий илдизларга эга (яъни каррали илдцзлар йуц.). II. Ха-
рактеристик купхад илдизлари срасида карралилари хам бор. Х,ар
бир ^олнв алс^ида курамиз.
I. 7(р) купхаднинг илдизлари еддий. Бу холда асссий натижа
куйидаги теорема билан берилади.
6. 2-теорем а. Агар L (р) купхаднинг илдизлари 7.р 7.2.
булиб, улоунинг ш.ида карралилари булмаса, у %олда (6.1) тенгла-
манинг барча ечимлари ушбу
z = с/*' + C2eKt 4 ... 4- Cnent
(6.7)
формула билан ифедаланади, бунда Ср С2, . . . , Сп узгармаслар.
Исбот. Аввало z2 = е , = е ,...,zn=e функциялар
— оо</<4°° интервалда апиклавган булиб, улар (6.1) тенглама-
никг ечтмидгр. Дславсрса, (6.7) функция ^ам (6.1)тенгламанингечими
булади. Хакикатан, Ср С2, . . . , Сп 'лар узгармас булгани учун
/(Д) = 0, i = 1,2, ... , п тенгламаларга кура:
L(p)z= L (р) (Cj еМ+С2еМ 4 ... -]-Спе^) =
= ClL(p)eKt-YC2L(p)e^t + ... + CnL(pf’^
= C.L С2Б1(7 )eM 4 ... 4 CnL 0, - оо < t < оо.
Энди z^z*(/) функция (6.1) тенгламанинг
(и-1) (п-1)
z*(0) == z0, z*(0) = z0, ... , z’0) = z0
(6-8)
бошлангич шартни каноатлантирадиган ечими булсин. Албатта, бу
ечим— оо < t < 4 оо интервалда аниг ланган. (6.7) формуладан ком-
плекс узг армасларнпнг бирор кийматида шу z = z*(t) ечимни ?;осил
кила слиш мумкивлигини курсатамиз. (6.8) шартга кура (5.7) дан
хосилалар слиб t = 0 да ушбу
с,+с2 + ... + C„=z0,
СЛ + С2Ч + - • • + С„\= 20,
С1Х?“1+С2ХГ1 + . - . +CJ«-1=zo"“I)
тенгликларни ?;осил цяламиз. z'F(/) тривиал ечим булмагани учун
(6.9) система Ср С2, ... , Сп ларга нисбатан бир жинсли эмас. Бу
системанинг детерминант и ущбу
1 1 ... 1
= (к•л,-v.)(v,-
" A,j) . . . (Xn_j ^n_2) • • • P-2
- • • *Г*
Вандермонд детерминантидан иборат булиб, у нолдан фар^ли, шун-
та кура (6.9) дан С{, С2, . . . , Сп ларни топа оламиз. С°, С°, ... . С°
лар (6.9) системанинг ечими булсин. У ^олда
п
2*(0 = 2-С^'
i=l
булади. Олинган z — z*(f) ечим ихтиёрий булгани учун (6.7) форму-
ла умумий ечим формуласи экани келиб чикади.
Агар (6.1) тенгламанинг ар а2, ... , ап коэффициентлари %аци-
ций булса, шу тенгламанинг барча комплекс ечимлари ичидан ^аки-
кий ечимларини ажратиб олиш масаласини цуямиз.
(6.1) дифференциал тенгламанинг L(p) = 0 нинг илдизларига, яъни
Хр Х2, . . . , Хп, k^=j ларга мос келган ечимларини
/С 1 ГА
Z] = е , г2 = е , . . . , zn — е (6.10)
дейлик. Бизни (6.7) формула ^акикий ечимларни бериши учун ком-
плекс узгармасларнинг кабул киладиган кийматлари кизикдиради.
Фараз этайлик: гх = а2.....z2k-i ~ гчё zi ~ zi, ..., п.
Бошкача айтганда, (6.10) функциялардан 2k,k < таси цушма
комплекс функция булиб, долган (п—2k) таси ^ацикий функциялар-
Дир.
6.1-лемма. Агар (6.7) формулада цушма комплгкс ечимлар
олдидаги коэффициентлар %ам цушма комплекс булиб, %ациций ечим-
лар олдидаги коэффициентлар цациций булса, у \олда тегишли
формула цациций ечимни аницлайди.
Исбот. БирЪр z2S_j = z2S (1 < S < k) муносабатни олайлик. У
^олда z2S = е булади. Агар ^2S= iv2S десак: z2S =
= е112^ (cos v2St+ i sin v2St), (cos v’f — i sinv^t).
Энди C2S C2S + i C2S, C2S1 c2S i C2S булса,
C2S_i Z2S-1/ + C2S/- = (C' — i C" )/2s< (cos v t — i sin v t) 4-
+ (C’ + iC") (cos V t + isin v J) =
= lC25 C0S V2S Z — C2S Sin V2S f + 1 (C2S Б'П V + C2S CCS V2S 0 +
+ C' cos V t — C" sin V t — i (C° sin v t 4-Д" ccs v /)] =
Zo ZO Zo ZO ' Zo Zo Zo Zo ’
= (2C2S cos v2£ —2C"ssinv2s£) буЛади. Охирги ифода ^акиций
функция дир. Бундан ушбу
k I k
2 (^25-1 6 ^25 6 - ) = zL в ( 2^25 C0S V2</ ~~ ^Qs S*n V2S^
5=1 5=1
(6.11)
мунссабатЕииг уринли зкаии ва унинг унг тсмснидаги функция цаки-
ций экани келиб чикади. Х2/г+1, . . . , Zn лар цакикип булгани учун
хакикий С2/.+1, . . . , Сп козффициентлар срцали тузилган
^2&+1е -р ... + спе
йигинди х;ам ^акиций булади.
Шундай 1у!лнб, ушбу
k - п
+C2/2S') + 2 CseKs‘ (6.12)
5=1 5 -ЛИ
функция -Ki ' ийдир. Лемма исбот зтилди.
Хацнк! Г. С,, С',2, ... C'2k, С"2, С2 2, ... , С'2к коэффициент
лар ихтиё! й булгаьи учун (6.11) мунссабатдан фойдаланиб, (6.12)
формулами 1 уйидаги
k п
z Z \с\ccs vY 4- С:. sin V. /) + V С^е4*' (6.13)
I I i =k f- 1
ю’риниш ,а сзпш мумкин. Унда п : ихтиёрий ха1’• ин
СР С2, ... , Ск, СрС2, , Ск, ck+l, ... , Ct
узгар • 1 агьаи'.ган.
Бу (6.10) ф< j «j,.c.ra (6.1'' тенгламанинг козффицнептлари хаки-
кий б\лганда унинг фундаментал сншемасини топиш нули билап .^ам
келиш мумкин. Текшириш кинин змаски, ушбу
е ccs V., t, е cos v41, ... , e cos v2k t,
e sinv2£, e s.nv4r, . . , e sinv^r,
112А-|-1г Н2*+2/ U,/
e , e
(6 14)
функциялар — oo <zt <4- 00 интерналда (6.1') тенгламанинг чизицли
Эртли с’тгларидан ибсрат. Демак, улар (6.1') тенгламанинг фунда-
ментал системасини. ташкил этади. Шунинг учун умумий ечимни
(6.13) куринишда ёзса булади.
Равшанки, характеристик тенгламанинг барча илдизлари ^а^и^ий
п
булганда умумий ечим z=^C.el< (С. — "к.— ^аки^ий)
i=i 1 ‘
куринишда ёзилади.
k {
1-эслатма. (6.13) форлуладаги биринчи йигиндини 1 cos (v(-Z+
i=l
-|- «,-), P, > 0 каби ёзиш %ам мумкин Унда оу (i — 1,2, . , /г) лар ихтиёрий
узгармас. Баъзи \олларда-шу куриишч цулайро1\ булади.
Мисоллар. 1. Ушбу г — г = О тенгламанинг умумий ечими топилсин.
Аввал умумий комплекс ечимни топайлик. Характеристик тенглама р3— 1=0
куринишда булиб, илдизлари рх =— 1, р2 = 1 булади.
Берилган тенгламанинг ихтиёрий комплекс ечими г = Се~z + de* = (Ct +
+ i C2) e~' + (dx + id2) e1 (Cx, C2, dt, d2 — ихтиёрий >;а^икий) куринишда ёзилади.
Х.ациций ечим эса характеристик тенгламанинг илдизлари рг = — 1, р2 = 1 хаКи'
туий булгани учх'н г = Сх е~1 + d1 в1 — ^ацшуий) куринишда булади.
(4)
2. Ушбу г — г = 0 дифференциал тенгламанинг умумий ^а^иций ечими топил-
•син.
Бу тенгламанинг характеристик тенгламаси р4 — 1=0 булиб, унинг илдизлари
Р] 2 — zt i, ps i ± I. Умумий комплекс ечим
г = Ct е'7 + С2 e~lt + С3 е~’ C.t е‘ (Cj, С3, С3, Ct— комплекс) куринишга
эга. Умумий ^ацикий ечим эса (6.13) формулага кура
г = С[ cos t + С2 sin t + С3 е~* + С4 е‘ (Ср С2, С3, С4 — ха ушунй) каби ёзи-
лади. 1- эслатмага асосан, уни яна
г = р cos (Z + а) + С3 е~1 + С4 ef (р 0, а, С^, С° — зуациций) куринишда
•ёзиш мумкин.
II. £(р) купхаднинг баъзи илдизлари каррали. Характеристик
купхад L (р) = рп + аА рп~1 + ... + ап_{ р + ап турли илдчзларга эга
булган ?;олда L (p)z = 0 тенгламанинг п та чизикли эркли ечимла-
рини курсатиш мумкин булган эди. Агар Цр) купхаднинг баъзи
илдизлари каррали булса, турли илдизлар сони булади. Шу-
м
нинг учун е куринишда т та ечим езилса, долган п—т та ечим-
нинг куринишини излаш лозим булади. 1^уйидаги теорема бу масала-
ни ечиб беради.
6.3-теорема. Бизга п- тартибли чизикли бир жинсли узгар-
<мас коэффициентли (6. Г) тенглама берилган булиб, тегишли ха-
рактеристик L(p) купхад турли Хх, Х2, ... , илдизларга эга
булсин. Бунда илдиз kj—каррали (/==1,2, ... , т) булсин де-
сак, /?! + /?2 + ... + km = п булади.
Ушбу
z, = еЫ, z2 = tc^d, ... , zki=thl 1 eKlt
z — e^2t' z = 7 — tt2~l
^k,+ l e ’ ^+2 > Zk,+k2 ~ 1 e
zki + ... + km + 1 = e^mt, ... , Zn = tkm~l ^mt
функциялар—со </<-Ьоо интервалда аницланган булиб, (6.Г)
тенгламанинг ечими булади. Шунга ухшаш
2 = Сг 4- С2 z2 -Н ... 4- Cnzn (6.16)
функция ихтиёрий комплекс С± С2, ... , Сп узгармаслар учун (6.Г)
тенгламанинг умумий комплекс ечими булади.
Теоремани исбот этиш учун аввал иккита леммани келтирамиз.
6.2- лемма. Агар L(p)—ихтиерий п-тартибли Ktjn^ad, X—
ихтиёрий комплекс сон, f (f)— етарли марта дифференциалланувчи
ихтиёрий функция булса, у %олда ушбу
Мр)(А(О) = (р +W) (6.17)
формула уринли. У пи силжиш формуласи дейилади.
/Исбот. Бу формулани L (р) - р булганда осонгина чикариш мум-
кин. Х^адикатан,
P(euf (/)) = teuf(t) 4- А (О = ем(М(/) 4- Pf (/)) = еи(р 4- ^ПО-
Агар L (р) = ар+ 1\ а ф 0 булса дам шундай иш тутамиз:
(ар 4- О (еи f (/)) = ар (гм f (/)) 4- / (/) = ае} ‘ (р + X) f (t) +
+ beu f (/) = eJ [a (p + X)4M f (t).‘
Шундай дилиб, (6.17) формула L(p) купдад тартиби п — 1 бул-
ганда исбот этилди. п- тартибли купдад учун (6.17) ни исбот этиш
учун математик иидукцияги дулланамиз. Уша формула (п—1)
тартибли (п > 2) купхад учун уринли булсин, дейлик. У долда
п- тартибли L (р) купхад учун (6.17) формулани исбот этамиз. L (р)
купдадни L (р) = (р) L2 (р) куринишда ёзамнз. Бунда L±(p) купдад
биринчи тартибли, L2(p) эса (п — 1)-тартибли купхад. Фараз буйича
L1(p) ва 12(р) купхадлар учун формула тугри. Шу сабабли дуйида-
гига эгамнз
L (р) (еК‘ / (/)) = М (р) L2 (р) (/' f (I)) = М (р) (?' L2 (р 4- X) [ (/)) =
= M(p)(ewF(/)), A(/) = M(p4-A)f(/)
ёки
L (Р) (ew f (/)) = Ц (р) (?' F (/)) = еи L. (р 4- X) F (i) =
= eu Ц (p 4- X) L2 (p 4- X) f (i) = e}J L(p + X) f (t).
(6.17) формула исбот булди.
6.3- лемма. Агао L (р) купхад р симзолга нисбатан ихтиёрий
купхад, u>r{t) эса ушбу &r(t) — L{p)treu (X-—комплекс сон) форму-
ла билан аницланган цациций аргумент t нинг функцияси булиб,
'К сони L(p) куп^аднинг каррали илдизи булса, у хуолда ®0(/) = О,
од (/) = 0, ... , ю/г_[(/)^ 0 айниятлар уринли; аксинча, агар ®0(/),
[1^(0, ... , (/) функциялар t нинг t = t0 цийматида нолга
тенг, яъни
®0 (^о) ®1 (^о) — 1 — О
(6.18)
булса, у Ушолда X сони L(p) куп^аднинг s(s^k') карр али илдизи
булади.
Исбот. 6.2-леммага кура булганда
со, (0 = L (р) feM = ew L (р + X) tr (6.19)
лемманинг биринчи цисмини исбот этамиз. X сопи L(p) куп\аднинг
k каррали илдизи булсин. Унда L (р) ни L (р) = М. (р) (р — X) k(M (р) —
тартиби (п — k) булган куп\ад) куринишида ёзи'л мумкин. Агар р ни
р + X га алмаштирсак,
L (р + X) =/И (р + X) pft (6.20)
формулага келамиз. L(p + X) учун толилган бу ифэдани (6.19) га
цуямиз:
лг(0 = емЛ1(р + Х)(рАГ), r = 0, 1..k— 1.
Ammo pk f~0, чунки r<Zk. Шули.зг учун co,.(t) s Э, r = 0,l, ... ,
k— 1.
Энди лемманинг иккинчи 1\исмини исбот этайлик. (6.18) сонли
тенгликлар уринли булсин. Рав нанки, L (р + X) = (р 4- X)" + а1(р +
+ Х)п-1+ ... + an_t (p + X)4-art. [^аззлар ih очлз Ч1\иб, ^осил
булган куп.уадни
£(р + Х) = ^0 + ^р+ ... + Ьп_л р^1 + рп, bn = 1 (6.21)
куринишда ёзамиз. Энди г = 0 булсин. У >;элда t = t0 да (5.19) дан
с.0(/0) = е>'“£(р-рХ)-1, f(t)= 1
ёки L(p + 1)-1 +&о булгани учун ((6.21) га кура)
®0(U = ew“/V
Аммэ (6.18) га кура со0(£0)=0. Демак, Ьо = 0. Шунга ух наш,
Л0=Ь1= ... = Ьг_г = 0, —1 булсич дейлик. У ^элда (6.19)
ва (6.21) ларга кура:
(or(U=eW°Hbr.
Бундан (6.18) га асосан ЬГ=Э кэлиэ чикади. Шундай ^илиб,
t’o = = ••• = bk-i~ ° ва ^(Р + ^) куп^ад уибу L(p-pX)=s
= ^Pft + bA+iPt’bl + ... + bnpn =(\+ift+1p+ ... +
+ bnpn~k)pk=M1(p)pk
куринишга эга. Энди р ни р — X га алмаштирамиз:
р(р) = М1(р-Х)(р-Х)\
Бу ифодадаи р = Хсони L(p) куп\а.днинг карраси k дан кам булма-
ган илдизи экани келиб чикади. Дайд г;иламизки, ЛД(р —X) куп^ад
учун 7. яна илдиз булиши эхтимсли бор. Бу, масалан, bk = 0 бул-
ганда содир булади. Леммаиииг иккинчи' кисми >;ам исбот этилди.
Демак, лемма тула исботланди.
Энди 6.3- теореманинг исботига утамиз. 6.3- леммаиииг биринчи
кисмига асосан (6.15) функциялар L(p)z = 0 тенгламанинг ечими
булади. (6.16) формула умумий комплекс ечим эканини исбот эта-
миз. z = z*(Z) функция (6.1') тенгламанинг z*(t0) — z0, z*(t0) = z0,
(/г-1) (n—1)
... , z* (Ao) = z0* бошлангич шартни каиоатлантирувчи ечими булсин.
Бу ечим—оо<х<ф-°° интервалда анвкланган. С1г С2, ... , Сп
комплекс узгармасларни топиш учун ушбу
(S) (S) (S) (S)
Ci z,(Ао) ф- С2 z2(ф) ф- ... ф- Са zn (/0) = z9,
s = 0, 1, ... , п - 1 (6.22)
системага эгамиз. Бу скстемадан С1г ... , Сп лариигг ягона киймат-
ларини топиш учун унинг детерминанти
Zi (U z2 (fv) ... zn
Z1 (U г2 (/о) •••
(У
w
in— 1) (л—1) (n—1)
21 (U Z2 l (^u) ••• Zn (^o)
нолдан фар^ли булиши етарли. Фараз этайлик, d = 0 булсин, яъни
шу детерминантнинг масалан, йуллари чизикли бсглиц. У хслда бу
детерминантни шундай узгартириш мумкинки, натижада .уссил бул-
ган детерминантнинг у ёки бу йул элементлари нолга тенг булади.
п—1
^акикатан, шундай 1 = Ьо, 1\, ... , Ьп_р Ау=#О узгармасларни
оламизки, 1- йул элементларини Ьп1 га, 2- йул злементларини Ьп_2
га, ... , схирги йул элементларини /’о('% = 1) га купайтириб кушсак,
натижада хосил булган детерминантнинг масалан, 1- йул элементлари
нолга тенг булади. 1- йул j- уступ элементини ёзайлик:
(n—1) (Ч—2)
Z; («фА Zi (U+ +V2ZJ(/o) + ^_l^(U = O.
Бу сонли тенгликни яна
^(p)z.|z=/o = °, /= 1, 2, ... , /7 (6.23)
деб ёзса булади. Унда М (р) = рп~' + 11 рп~~~••• + Ьп-9р +
ф-6п_|. 6.3-леммага кура (6.23) дан j= 1,2, ... , k'x булганда Xj
сони М. (р) купхаднинг кемвда каррали, / = £1Ф-1, ф- 2. ... ,
/?! ф- k2 булганда Х2 сопи М (р) пинг камида k2 каррали илдизи, шун-
га ухшаш мулохаза билан, Кт сони /^Ауф--^ ф- ... ф- km_i +
ф- 1, ... ,'7?! ф- А2 + ...ф-А’,1_]ф-А’„1= п булганда М (р) купхаднинг ками-
да km каррали илдизи акаг н келиб чикади. Бундан М (р) купхад
тартиби п— 1 булишига карамасдан камида п та илдизи бор дегав
хулосага келамиз. Бу зиддият d = 0 деган фараздан чикди. Демак,
(6.22) системанинг ечимини С°, С°2, ... , С° десак,
п
i=i
формулага келамиз. Теорема исбот этилди.
2-эс латы а. (6.1') тенгламанинг умумий комплекс ечими (6.16) формула
билан ёзилса %ам уни амалда кулай куринишда, яъни
г (0 = К (О e?"z + /2 (0 (0 е?-'« Z <6-24)
формада ёзиш мумкин. Бунда fj (/)—тартиби kj —1 дан юцори булмаган куп-
%ад булиб, унинг коэффициентлари %ар бир ечим учун тула аницланади.
Агар L (р) z = 0 тенгламанинг коэффициентлари Цакещий узгар-
шас булса, курилаётган х;олда цам тенгламанинг комплекс ечимлари
ичидан %ащщий ечишларни ажратиб олиш масаласини цуйиш мум-
кин. Бунда 6.1- ле’ммага ухшаш леммани келтириш ва исботлаш
шумкин. Цуйидаги муло.уазалар фикримизни тасдиклайди.
Фараз этайлик,
^2> ^3 — ^41 • • • » \s—1 — ^2s’
2s4-l = ^2s+l ’ • • • ’ ~ 'fjm
Куриш кийип эмаски, ушбу tb е '2' 1 ва t& e '2i lf,6 = 0,1, ... ,
1 (/=1,2, ... , s) функциялар узаро цушма комплекс ечим-
ларни ташкил этади. Агар 6.1- леммада айтилганидек, шу цушма
комплекс ечимлар олдидаги коэффициентлар цам цушма комплекс сон
п
булса, у цслда z = С\ z* формула ^ациций ечимни беради. ^аци-
1=1
катан, ^2/—1 = ^2j— 1 i V2j—i > ^2j—i ' ^27—1 + ^2j—i ~ ^27 ~
= C2j_l — iC2j~i булса, содда цисоблашлар С9;_! t6eK->~1 z +
t6 eT^ =t6 cosv2._1 t-2C2j_l sinv^t)
эканини курсатади. Бу охирги ифода ^зциций функция. Демак, (6.1')
тенглама учун курилаётган холда ушбу
s 2 7—1
2 2 (c2/_I +c9f_u%M-i,) =
7=1 6=0
з fc27-i (6.25)
“22 t е 1 (2 C^j cos v ._j f 2 C2/._! sinv2/._j ()
7=1 e=o
формула уринли. Энди умумий ^ацикий ечимни ёзиш мумкин:
s Л2/—1
2 “ 1 5 t * (2 cos v t - 2 c;_1 sin t) +
/=1 6=0
(6.26)
+[ u. ' +f„w (0 • + ... +ft„(/)?-' ],
бунда fk (/) функция тартиби kq—1, q = 2s.............m дан юкори
булм.ган ^акиций коэффициентли куп^ад.
Бу формулами яна ушбу
s *2/—1
2 = 2 2 /6 е'’2/-1 ' Р2/-1 C0S (V2s-1 f + a2/_ 1) +
/=1 6=0
m
+ 1 MO®' • P2s-i>0 (6-27)
J=2s+1 ‘
куринишда ^ам ёзиш мумкин.
Бу формулада п та ^ацикий узгармас цатнашган, чунки ундаги
биринчи йигиндида 2А\ + 2k3 + ... 4- 2A’2s_1 та, урта каве ичида
эса fc2s+1 + /?2s|_2 та ихтиёрий узгармас булиб, kr + k2 +
+ + km = п ва k3 = k2, k3 — /г4, ... , &2s_j = ks булгани учун
2^i + 2/?3 4- ... + 2/?2s_[ + &2S-H + ^2s-f-2 + • • • + — п булади.
Мисоллар. 1. Ушбу
tz + 2 z+z= 0
тенгламанинг умумий комплекс ва ^а^и^ий ечимлари топилсин.
Характеристик тенглама
L (р) = р3 + 2р2 + Р = 0
куринишга эга. Ундан = 0, Х2 3 =— 1, демак, умумий комплекс ечим: г^=>
=Ci -f- (С2 е Ci, Сд комплекс сонлар, чунки X = — 1 икки каррали
илдиз ва ечимлар системаси:
z2 = 1, z2 = е~f, zs = t е~{.
Умумий хаь,икий ечим ^ам шунга ухшаш3 г = С{ + (С2 + с'3 /) е~1 (Су C2i
С3 — ^ациций сонлар) куринишда^ёзилади.
2/Ушбу
(5) (3) .
z|+t 2z 4-z = 0
тенгламанинг умумий комплекс ва ^ациций ечимлари топилсин.
Мос характеристик тенглама
L (р) = рв + 2р3 + р = 0
булиб, L (р) = р (р2 + I)2 дан унинг илдизлари рг = 0, р2 = Z, р3 — —I. Бунда
р2 = / ва р3 = — i илдизлар икки каррали. Энди умумий комплекс ечимни ёзамиз:
г = Сг + (С2 + C3f)eli+ (С4 + Csf) e~lt.
Умумий хациций ечим эса (6.26), (6.27) формулага асссан
z = 4- (Cg 4- Cg f) cos i 4-(C^ 4- Cg t) sin t
ёки
z = Ci + p! cos (i + CC1) + t p2 cos (t 4- a2), px > 0, p2 > 0
куринишда ёзилади.
S- §. ЧИЗИЦЛМ БИР ЖИНСЛИ БУЛМАГАН УЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТ ЛИ
ТЕНГЛАМАЛАР
Ушбу
(п) (n—1)
z 4- ах z 4- ... 4- ол-1 2 4- ап z = F (0 (6.28)
дифференциал теьгл иада alt а„, ... , ап узгармас коэффициентлар
булиб, F (t) бирор / интервалда апицлапгап узлуксиз функция бул-
син. У ^олда, биламизки, берилган тенгламанинг ихтиёрий ечими
мавжудлигининг максимал интервали шу / интервалдан иборат бу-
лади. Бу бир жинсли булмаган тенгламанинг умумий ечимини топиш
усуллари бизга маълум. Агар (6.28) тенгламанинг бирор хусусий
ечимини билсак, шу тенгламанинг умумий ечимини ёза оламиз. >\а-
кицатан, тегишли бир жинсли тенгламанинг умумий ечимини . доим
топа оламиз, чунки унинг коэффициентлари узгармас ва L (р) = 0
тенгламанинг илдизларини топа оламиз. Энди 5.10- теоремани кулла-
ниш колади. Мазкур параграфда (6.28) тенгламанинг у.нг томони,
яъни F (0 функция махсус куринишда булганда хусусий ечимни из-
лаш билан шугулланамиз. Ани^роги. F (t) функция квазикуп^ад
(квазиполином) булган ^олни курамиз.
5- бобдан маълумки, агар 2.а, .... комплекс сонлар,
/1(0, , fm(t) функциялар t га нисбатан куп^адлар булса,
у ^олда ушбу
F (0 = fl (0 + Ш eKt + . . . 4- fm (0 е™ ‘ (6.29)
функция квазикупЦад дейилади.
Энди Fit) квазикуп^ад булганда
L(p)z = F(t) (6.28')
тенгламанинг хусусий ечимини z*(0 десак, бу ечим ушбу
L(P)z = fj(t)/it, f = 1, 2, . . . ',т (6.30)
тенгламаларнинг мос хусусий ечимлари г\ (0, z\ (t)......z*m (0 йи-
tn
гиндисидан иборат, яъни z* (t) = z* (0. Шунинг учун муло^аз'1-
i=i
ларни F(t) = f (0 еи. булга!) ^олда олиб бориш етарли. Асосий нати-
жа цуйидаги теорема билан берилади.
6.4- теорема. Ушбу
L(p)z = f(t)elt (6.31)
бир жинсли бултлаган тенгламани курайлик, унда f(t) купдад 1га
нисбатан г- тартибли купдад, К — комплекс сон. Агар L (X) =# О
булса, k — О ва L (X) = О булса, X сони k каррали илдиз булсин.
У Цолда (6.31) тенгламанинг
z = tkg(t)e,f (6.32)
куринишда xycyctiii ечими 'мавжуд, унда g(t) кйп^ад г-тартибли
нсмаълум коэффициентли купдад. Бу g(t) купдаднинг коэффи-
циентлари номаълум коэффициентлар метода билан топилиши
мумкин.
Исбот. f(t) ва g(t) куп^адларни
f(t) = aof + f*(t). (6.33)
f* (/) = af-1 + . . + ar_x t + a„
g(0 = V + g*(0,
g*(O = b1f-1 + ... + br_xt + br (6.34)
куринишда ёзамиз. Энди X сони L (X) = 0 тенгламанинг k каррали
илдизи булгани учун L (р) куп^адни
L(p) = M(p)(p-X)* (6.35)
каби ёзиш мумкин. Фаразга кура, Л4(Х)#=О. Акс з^олда, X сони
k дан купроц каррали бу лар эди. Агар (6.32) функция (6.31) тенг-
ламанинг ечими булса, L (р) (е * tk g (/)) = e'7L(p+X) tk g (1) = eu f (0
шарт бажарилиши лозим. Бу шартни яна
L(p + Wkg(f)=f(f) (6.36)
куринишда ёзиш мумкин. Энди М (р) да р ни р + X га алмаштир-
сак, М (р + X) купцадга эга буламиз. Равшанки, М (р + X) | 0 =
= М (X) #= 0. Шунинг учун М (р + X) ни
М(р + К) = М(К)+М*(р)р (6.37)
деб ёзамиз. (6.35) да р ни р + X га алмаштирсак,
L (р + X) = М (р + X) р = М (X) pk М*(р) pk+i (6.38)
муносабатга келамиз. (6.33), (6.34), (6.38) лардан фойдаланиб, (6.36)
шартни куйидагича ёзамиз. Аввал (6.36) нинг чап томонини узгарти-
рамиз:
L (р + X) tk g (0 = L (р + X) tk \b0 tr + g* (0) =
= L(p + X)/40f + i(p + X)Zftg*(O =
= b0 [Al (X) pk + M* (p) pft+1l tk-tr + L (p + X) tk g* (t) =
= b0M (X) pk tk+r + b0 Al*(p)pk+1 tk+r + L(p + K) tkg*(t).
Шундай килиб, (6.36) шарт бундай ёзилади:
b0 М (X) pk tk+r + b0 М* (р) pk+1 tk+r + L(p + l)tk g* (t) -
= aot'+f*tt)- (6-39)
Унг томонда tr нинг коэффициент ад. Чап томэнда р t +r = (k -ф
-ф г) (k -ф / — 1) ... (г + 1)^ булгани учун тегишли коэффициент
b0M(K)(k + r)(k -фг — 1) . . . (г + 1) булади. Бу коэффициентларни
тенглаштириб Ь0М (Z)(& -ф r)(fe -фг—1) . . . (г -ф 1) = а0 ни, ундан
М (X) #= 0 булгани учун Ьо ни бир цийматли топамиз, яъни:
0 1) ... (гф1)М(Х)'
Агар Ьо шу (6.40) формула билан топилди десак, (6.39) муносабат
ушбу
b0 Al* (р) pk+1 tk+r + L (р + 1) tk g* (0 = f* (О
ёки
L (Р + X) g* (/) = Г (/) - be М* (р) Pk+l tk+r (6.41)
куринишни олади. Бу теяглдкштг унг томэнида (/—1)- тартибли
маълум кугцад. чап томэнида эга (г—1)-тартибли номаълум куп-
^ад турибди. Шу (6.41) муносабатга яна аввалги (6.36) муносабат
учун бажарилган амалларни цуллансак, tr~1 нинг олдидаги коэффи-
циентларни тенглаб Ь± ни бир цийматли топам13. Шунга ухшаш,
Ь2........br_r ларни з^ам бир ^ийматли топиш мумкин. Бу муло^а-
залар (6.31) тенгламанинг (6.32) куринишда ечими борлигини исбот-
лайди.
Мисо'ллар. 1. Ушбу гфг=2Р— 1 тенгламанинг хусусий ечими то-
пилсин.
Тенгламанинг унг томони иккинчи тартибли кугцад булиб, у квазикугцад-
нинг хусусий куринишидир. Бунда — 1, К = 0. Мос бир жинсли тенгла-
манинг характеристик тенгламаси L (р) = р2 (-1=0, /. j 2 = zt: i илдизларга эга.
6.4- теоремага кура k = 0, X = 0, г = 2 -ва хусусий ечим
г _ Ьо р ф bAt + Z>2
куринишда изланиши лозим. (6.36) шарт цуйидагича ёзилади:
1(р + >02 + 1] + bj ф Z>2) = 2Р - 1
ёки
(р2+1) (60/2ф61/ф62) = 2/2-1
ёки
2fc0 ф Ь0Р ф bj ф b2 = 2t" — 1-
Бундан 2fe0 ф Ь2 ~ — 1, Ьт = 0, Ьо = 2
келиб чицади. Шундай цилиб, Ьд = 2, 0, *>2 = — 5 ва хусусий ечим г = 2Р — 5
функциядан ибораг. Берилган тенгламанинг умумий цацицпй ечими
z = Cj cos t ф С2 sin t ф 2t" — 5
куринишда ёзилади.
2. Ушбу f — z — 2et тенгламанинг хусусий ечими топилсин.
Бу тенгламада F (t) = 2ez булиб, /(0=2, К = 1. Мос бир жинсли тенглама-
нинг характеристик тенгламаси L (р) = р2 — 1=0 булиб, Z, j 2 = ztz 1. 6.4- теоре-
мага кура k— 1, r = 0, Х= 1. Шунинг учун хусусий ечим
z = bot е\ g (/) = b0
куринишда изланади. Бу холда (6.36) шарт цуйидагича ёзилади:
[ (р + О2 — 1] bot = 2 ёки b0 (р- + 2p)t = 2 ёки 2Ь0 = 2.
Бундан Ьо=1. Демак, z = tel. Шунинг учун берилган тенгламанинг хакикий уму-
мий ечими
z = Cie~f + С/ + te(
каби ёзилади.
3. Ушбу г -j- z = t cos2 ~2 тенгламанинг хусусий ечими топилсин.
Тенгламанинг унг томонини узгартирамиз:
F (Z) = t cos2 — = t
Аввал Ь(р)г = — t тенгламанинг, сунгра L(p)z =— least тенгламанинг хусу-
спй ечимларини топамиз.
1
Т7! (Z) = — t булсин. Равшанки,
L (р) == 0 тенгламанинг
илдизлари Xj 2 = zt i. 6.4- теоремага кура k = О, X = 0, г = 1, f (Z) = -% Шу-
нинг учун хусусий ечим
г1 — \
кургшш'да изланади. (6.36) шарт бу х^олда цуйидагини беради:
1(Р+О)2+Ц (^+6г) = ~ t.
Бундан but + bx = — I ёки Ьо — = 0. Демак, гг — — I.
1
Энди F2 (0 — ~ t cos t булсин. Бу ^олда функциянинг куринишини Эйлер фор-
муласидан фойдаланиб узгартирамиз. Маълумки:
eil + е~е11 — е~11
cos t =---------, sin t =------.
2 2i
1 .. 1
Демак, Г2 (Z) = — te" + = F2 (Z) + F2- Arap z (Z) функция L (p) z = F2 (t),
L (p) = p2 + 1 тенгламанинг ечими булса, z (/) (z (Z) нипг цушмаси) функция
A(p)z=r;(Z)
тенгламанинг ечими булади. Бу равшан. Шунинг учун бу тенгламалардан бирии-
чисини куриш етарли. Шундай килиб,
1
z 4- z — — ielt
4
тенгламани .курамиз. Бу х.олда г = 1, k = 1, /. = г, f (/) = — Z. Демак, 6.4- теоре-
мага кура хусусий ечимни
Zg == t(bot + b1)elt
куринишда излаймиз. (6.36) шарт ц йидаги куринишпи олади:
[(Р + О2 + П t(bot + b1) = ^- t
ёки
(/Я + 2р9 (bofl Ч- b.t) = j-1.
4
К,авсларни очиб чи^сак:
26О 4- 460 it + 2Ьг1 = — t,
4
бундан
1 1
Ьа = — — I, Ь. = —.
0 16 1 16
Шундай грилиб, г2 = —— it 4- — j elt. Равшанки, L(p)z—F2 (0 тенглама-
" /1 1 А 1
нинг хусусии ечими г2 = г2 = t I— it + — е~булади. Энди F2 = “ t cos t
булган ^олда хусусий ечимни топиш учун z2 ва z2 ларни ^ушиш лозим:
г2 + z2 = А (I — Ai) elt + (t + f2Z) e~lt =
Io lb
= A t (eH + e-iz) - fl i (elt - e~") =
lb lb
t elt + e-lt fleif — e—il t fl
= —-------------+ — -------------— — cos t 4- — sin t.
8 2 8 2i 8 8
Шундай цилиб:
Демак, берилган тенгламанинг хусусий ечими
1 1 1
Z = 2i + z2 = — t -ь — t cos t + — fl sin t.
Z О о
умумий ^ациций ечими эса
z = Ci cos t + С2 sin t + —-1 4--teas /4- — fl sin t.
2 8 8
3- э с л а т м а. Агар F (/) функция цуйидаги
F (f) = sin t - cos 2t -e4/
куринишда булса, бу функциями кзазякдя^адн'лнг уяуя ил инкпчЭя езяитз:
eit___________________________________e—lt _1_ е— 2lt
F {t) =-----— --------~2-------=
= — — i e <A+W _ A • e(4-0< I JL l ed+i) t I — l e(4-30 t
4 4 4 4
Бу мулохазачар L (p) г = F (t) тенгламада F (/) функция келтирнлган ва шун-
га ухшаш куринишларда булганда хусусий ечимни топишга 6.4- теоремани цулла-
ниш имконини беради. "3
М а ш i^. Ушбу дифференциал теигламаларни ir хусусий ечими топилсин:
1. z + z = cos 1-е^\
2. z— z = sin t-cos2t;
3. z—3z-p3z— z = (/2 + t) sin t
(1)
4. z — z = t cos t e.
4- §. КОМПЛЕКС АМПЛИТУДАЛАР МЕТОДИ
Еиз 3- § да (6.28) тенгламанинг хусусий ечимини танлаш усули
билан танишдик. Бунда тенгламанинг унг томонидаги F (t) функция-
нинг куриниши асосий роль уйнайди. Агар тенгламанинг коэффици-
ентлари ^акиций булиб, F (/) функция гармоник булса, яъни Г (Z) =
= г cos (со t 4- к) булса, у х;олда
£ (р) х = г cos (co t + а), г > 0 (6.42)
тенгламанинг хусусий ечимини калаш учун комплекс амплитудалар
методини кулланиш мумкин.
Маълумки, ушбу
х-Тсо2х = О (х— х;акиций функция) (6.43)
тенглама гармоник осциллятор тенгламаси деб аталади ва умумий
ечими гармоник функциядан иборат, яъни:
х = г cos (со t + а), 0. (6.44)
Бунда г—тебраниш амглитудаси, а — унинг бошлангич фазаси,
со — хос тебраниш частотаси дейилади. Бир секундда тебранишлар
сони v = • (6.44) функция гармоник тебраниш процессини ифо-
далайди. Тебраниш процесслари техника ва физиканинг, биология ва
химиянинг ^амда бошка фанларнинг турли булимларида му^им роль
уйнайди. Шунинг учун гармоник процессларни чуцурроц- урганиш
максадида комплекс амплитудалар методининг баёнига утамиз.
1. ^акиций гармоник функция (6.44) билан бирга унга мос ком-
плекс гармоник функцияни, яъни ушбу
ре‘ш/ (6.45)
функцияни х;ам курамиз, унда:
р = /-е£’“, г>0. (6.46)
Равш анки, г — | р I, р ег <0 * = re1 ;+а) = г cos (со t+ сс) + ir sin (со t +а),
яъни (6.45) нинг хакикий кисми (6.44) функция билан устма-уст ту-
шади. (6.46) комплекс сон комплекс амплитуда дейилади.
Энди £ (р) куп^аднинг коэффициентлари хакикий булсин. (6.42)
тенгламани ечиш учун аввал
L(p)z = peibyt (6.47)
тенгламани ечиш тавсия этилади. Агар z = x + iy шу (6.47) тенгла-
манинг ечими булса, у х;слда х хам (6.42) тенгламанинг ечими бу-
лади. £(ico)^O деб фараз этиб, (6.47) тенгламанинг хусусий ечими-
ни комплекс гармоник функция, яъни
z = oeiat, a = sel$ (6.48)
куринишда излаймиз. Бу функцияни (6.47) тенгламага куямиз. (6.6)
формулага кура:
бундан
Равшанки
1 ' | L (/со) | |б(7со)|
Энди (6.49) га а ва р нинг г.фсда ларики куйсак,
формулага келамиз. Ундан s урнига кийматини куйиб, сунгра Р ни
топиш мумкин. Демак, (6.48) функция тула аникланди. Комплекс
амплитудалар методи ана шувдан iборат. Эвди ^акикий ечимни
яъни (6.42) тенгламанинг ^ацикий хусусий ечимини ажратиб олиш
учун (6.48) функцияни бундай ёзамиз:
z ='oel а (= se‘ е1 а = se‘(и <+Р> = s ccs (со t 4 f) + is sin (co t + P).
Бундан куринадики, (6.42) тенгламанинг хусусий ечими
x = 777LTF cos(fflZ + ₽>
I б (I со) |
куринишда изланиши лозим экан.
2. Баён этилган методни тайн и гармоник куч таъсиридаги гармо-
ник осцилляторнинг тенгламасига татбиц этамиз. Айтилган осцилля-
тор тенгламаси ушбу
X + СО] х = г ccs (со I + сс) (6.50)
куринишда ёзилади. Бу тенгламанинг урнига тегишли комплекс тенг-
ламани курамиз:
z +со?г = /-е/(и' + “). (6.51)
a) oj=^co1. У ^слда (6.51) тенглама z = ое‘“ * куринишда хусусий
ечимга эга. (6.49) формулага кура о = —-— ——5---------, s=—5------•
L(i&) со,—со2 | СО]—со2]
Шунинг учун (G.5C) тенгламанинг хусусий ечими
х = —-------cos (со I + р) (6.52)
|cov-w2|
куринишда ёзилади. Бунда Р сони цуйидагича аницланади. Ушбу
г е*Р_ г е1а
] <01 — СО2 I CD 1 — СО2
тенгликдан 1) со^со булса, а =* Р булади; 2) сох<со булса,
—-—-е1₽=—-—- е'(а+л) дан В = а + л келиб чикади.
CD2—Cdf СО2—
Бу ^олда (6.50) тенгламанинг умумчй ечими
х = fjcos (Mjt + ах) Н------------cos (со t + Р)
I «I — “21
каби ёзилади, унда /ycos (сох/ + “i) — мог бир жинсли тенгламанинг
умумий ечими.
б) со = сог Бу ^олда 6.4- теоремага кура хусусий ечимни z =з
= o:1teiat (сТс—комплекс- сон) куринипда излан лозам. (3.35)’шарт
f(Z) = /-eta, k = l,k = i(£>, g(t) = ст1 булгани уауа куйцаглиа ёза-
лади:
[(р + iсо)2+ со2] uLt = reia,
бундан:
reia
2 i со '
Демак, теги пли хусусий ечим бундай ёзилади:
Бундан (6.50) тенгламанинг со — сох булганда хусусий ечими ке-
либ чикади, яъни
х = — cos fсо t + а —- j = — sin (co t + a).
2co \ 2 1 . 2co v '
Бу формуладан куринадики, t вацт ортган сари амплитуда чек-
сиз ортиб бэради. Аммо реал ^элатларда амплитуда чексиз
ортиб бэра олмаса-да, асбэбиинг ёки бэпца бир ^урллманинг
конструкциясига ^араб кунгилсиз ^одисалар ^ам булиши мумкин. Бу
^одиса рззэнанс %одисаси дейилади.
5- §. ТЕБРАНМА ЭЛЕКТР ЗАНЖИРИ
1-бээ, 2-§ да курилган 3-масала элекгр заяжирига тегишли
эди. Унда туртта икки кугблчклардал тапкил топган ёпи^ электр
заяжири курилиб, занжирда элекгр токи /(/) нинг узгариш г^онунини
топиш масаласи ^уйилган эди. /(/) функция учун ушбу
, cPl . n di , 1 r dU(t)
L-y । i\ ' " “[ / —
dt2 dt C dt
(6.53)
иккинчи тартибли чизикли бир жинсли булмаган дифференциал тенг-
ламага эгамиз. Бу тенгламада L, R, С лар мусбат узгармаслар бу-
либ, мсс равишда индуктивлик, каршилик ва сигимни билдиради.
U (f) функция эса кучланиш манбаидир.
Дифференцпаллаш сператори ёрдамида (6.53) тенгламани ёзамиз.
( Lp2 + Rp + l(t) = pU(/)*>. (6.53')
Бунда L (р) = Lp2+ Rp + Ушбу z(p) = = Lp + R+
функция операцион царшилик, унга тескари функция, яъни С (р) =
1 Ср .
— = у ср2_|_ ^ср j функция эса операцион утказувчанлик де-
йилади.
Агар электр занжирида актив элемент, яъни кучланиш манбаи
олиб ташланса, пассив электр занжири ^ссил булади ва ток кучи-
нинг узгаришини текшириш учун ушбу
(£p2+7?p+J-p(O = O
(6.54)
тенгламага эга буламиз. Албатта, аввал электр занжирида ток кучи
булмаган) булса, бу тенглама учун ечим тривиал, яъни / (() = О
булади. Агар мазкур электр занжирида ток бор деб фараз этилса,
у долда вацт утиши билан бу тскнинг узгаришини урганишимиз
мумкин. >(акицатан, (6.54) тенгламага мос характеристик тенглама
Lp2+ Rp + = 0 (6.55)
илдизларини У2 дейлик. У долда:
2
I R 2 j
Дискриминантни А деб белгилаймиз. Уни A = (gj-J— ду деб ёз-
са булади. Агар А<0 булса, (6.54) тенгламанинг ечимлари тебран-
*ма характерга эга булади, А>0 булганда эса апериодик булади.
А < О булган долга мос келган электр занжири тебранма электр
занжири деб юритилади. Бундай электр занжирида каршилик бул-
маган дол (факат назарий) айникса кизикдир. Агар шундай фараз
этсак, электр занжири тенгламаси
(р2+гг)/(^ = °
(6.56)
*) (6.53') тенгламада индукгивлик L билан оператор L (р) ни фар?; кдмиш
керак.
куринишда ёзилади. Бу тенгламанинг умумий ечими
/ (l) = r1COS (<0^ + р), COj =
1
J LC
каби ёзилади. Бундан куринадики, пассив электр занжирида карши-
лик булмаса, сунмзс тебранишлар юз беради. Сунмас
тебранишлар
1
У'ЁсГ
частотаси, яъни 2л секундда тебранишлар сони со1=
булади.
Шунинг учун coL ми^дор пассив электр занжирининг хос частотаси
дейилади.
Энди электр занжирида ак’ив элемент бор- булсин. Тебранма
электр занжирида кучланиш ма сбои U(t) функция гармоник функ-
ция булган ^олни курамиз, яъни U (t) = г cos со г>0 (бунда г —
^а^икий амплитуда). Комплекс амплитудалар мэтодини кулланиш
учун U(f) = reiuit денмиз. У ^елда (6.53') тенгламанинг унг томони
pU(t) = р (гё ы‘) = ir со ё “1, яъни комплекс амплитудали гармоник
функция булади. Хусусий ечимни 1(f) — ст е‘ “ * куринишда излаймиз.
Бунда комплекс амплитуда о цуйидаги формула билан ани^ланади:
L (I со)
iRs> +
Г
R + i ( L со — ——'j
\ Ссо/
Бундан ^асуикий амплитуда S учун ушбу
ифода келиб чикади. Агар со = L~- булса, S амплитуда узининг
максимумига эришади. Бу ^олда S ва г орасида ушбу S = му-
носабат булади. Бошк;а холларда S < -I- булади. Бу ходиса ^ам
К
резонанс деб аталиб, у билан даст лаб аввалги параграфда таиишган
эдик.
6- §. УЗГАРМАС КОЭФФЙЦИЕНТЛИГА КЕЛ ТИРИЛ АДИГАН ТЕНГЛАМАЛАР
1. Узгармас коэффициеятлига келтириладиган чизи^лч дифферен-
циал тенгламаларнинг барча синфлари маълум эмас. Албатта, тенг-
.ламани узгармас коэффициеятлига келглриш учун шундай алмашти-
риш бажариш керакки, натижада чизи'улилик бузилмай цолсия. Бундай
алмаштиришлар, биламязки, ё номаълум функцияни у — и (х) г деб
ёки эркли узгарувчини х = х (t) (т == ф (х)) деб алмаштиришдая ибо-
рат булиши мумкин. Биз цуйида тенглама узгармас коэффициентлига
келиши учун зарурий шарт билан танишам,аз. Бу шартни чи^ариш
учун т = ф (х) алмаштириш бажарамиз. Содда ^исоблашлар т^уйида-
гича булишини курсатади:
dy__dy
dx dt
W)>
dx2 dx- dx
_^JL (I],' (X))n + ... 4- I]/"’ (x).
dxn dtn v " dt v ’
Топилган ифодаларни ушбу
L (р) у = g (х), L (р) = yw+ OiW У{п~"+ . • • + ап_{(х) у'+ ап(х) у
тенгламага цуйсак, х = ф—1(т) булганда
dy , ап(х)
s+ (w’ = £W
тенгламага зга буламиз. Унда , Сл_](л), ол(х), £(х)функ-
цияларнинг аргумент х ургига a=ij_j(t) н(}сда куййлгши керак.
Агар берглга] I (/)р = g (л) iti. /я ; т = ф(л) алмаштириш билан
узгармас кос 44 ^ииснт лиг а келгши мумпш булса, у >;слда к.уйидаги
Ql(x) = CCBSt, С\(>) = cerst, , Qn_j(x) = const,
an (x)
W(x))n
-П-
= A = const
мунссабатлар урвгли булади, Схгрти гуносабатдап
1 ф (’-) = A j an( )dx
(6.57)
формула келиб Чикади.
6.5- теорема. Э/ г.ли fа с pi i
wcu tvtifddt: Пажаа,!
ни т = ф(л), t|'(x)^O ал-
•• ~cmc f,’ когффи-
h, LU
’?• i ’ . .
f’ . ДИ. / . . (
.re. E.
('-t') <’ I
i.cs44i’j.5 e: . 1
i tap ги t .. I у।
жинсли Су г; н тс. .паси,
мисол була слади.
Аввал куйидаги
(1_х2)£^.
dx~
рцнлц б; ’иши сарур.
. Q„(a) А — const
зга] м; ( лиши шарт
тс игл,-: учун бу
О, Qn(x)
: м зарурий, хам етарли
' i . tjhEi i бир жинсли, бир
Чебишев тенгламаси ва бошкалар
х -- + п?у = О
dx
Чебт св тсггламасши кургйлик. Агар х=£±;1 булса, уни яна
бундай
— х dy I п“ и = о
dx2 1 —х2 dx 1 —- х2 ’
ёзиш мумкин. Бунда GjL(x) = — у-^-, с2(х) = Энди (6.57)
формулага кура
т = ф (х) = A J /j dx = An J - r~^- = An arcsinx + C.
Соддалик учун A = 1, C = 0 дейлик. Бу уолда т == ф (v)
«= п arc sin х. Иккинчи тартибли чизикли бир жинсли тенглама
+ с/*) + ajx) У 4°
dx2 dx
учун т — ф (х) алмаштириш натижасида ^осил буладиган
^ + Q]W^+Q.2(x)r/=0
dx2 dx
тенглама коэффициентлари т^уйидаги
Q = Ф"(*) + ФЧ*) Q = ( 6.58)
(Ф'М)а А (ф'(*))2
формула билан ёзилади. Буни бгвэсита ^исоблаб чиди и мумкин. Ку-
рилаётган уолда:
, tr ч П , Г/ \ ПХ
= ГГ^’ = и—2?7Г'
| 1—х- (1—х2)/я
Шунинг учун:
пх । ( х \ п
QM=г.д; =
Демак, T = narcsinx алмаштириш натижасида Чебинев тенгла-
маси ушбу
^ + г/ = 0
л2 и
куринишга келади. Бу тенгламанинг фундаментал системаси г/1(т) =s
= cost, r/,(r) = sinT булиб, T = narcsinx буйича' эски эркли узга-
рувчига кайтсак, г/г(х) = cos n arc sin х, г/.2(х) = sin п arc sin х булади.
Амалда купрон; А = — 1, С = 0 Деб олинади. Бунда ф (х) = п arc cos х
келиб чикади. Шунинг учун фундаментал системани
r/i(x) = cos п arccos х,1 у2{х) = sin п arc cos х
деб ёзиш мумкин. Чебишев тенгламасининг умумий ечими
у (х) = CiCos п arc cos х Ц- C2sinn arc cos х
каби ёзилади.
Маълумки, cos arc cos х = х ва cos п <р функция п бутун булган-
да coscp нинг п- тартибли куп уади куринишида ёзилади. Шунинг
учун ccs и arc ccs А' функция п бутун булса, х га нисбатан п- тар-
тибли куп^ад булади. Бу кунхад Чебишев куп^ади дейилади ва
Тп(х) = cos n’arc cos х
деб белгиланади.
Бйлер тенгламаларига утыгдан аггал таткидлаб утамиаки, но-
маълум фуикцвяьи y = u(x)z алмаштгрпп гатЕжасгда узгармас
косффициентлига келадиган теыламалср учун (6.57) тигида!и зару-
рий шарт матжуд змее. Шунгит учун 6.5-теорема гатгжа берма-
ганда фадат танлаш нули билан турлш алмаштиргшлар бажариб,
берилган тенгламани текшириб курилади.
Куйидаги
х2 — + х — + (Xs— п2) у s= 0, х > О
dx" dx 'у
тенглама Есссель гг.снгллшсси деб юры глади. Агар булса,
у = алмаштириш бу тенгламани
z"+ z = О
курикишга слиб келади. Унинг фундаьевтал системаси z1=cosxf
z2—sinx 6wi6, аски гсматлум цугкцияга каитгавда уг = ,
Б X
у2~ --п* булади. Демак, п — — булганда Бессель тенгламаси уз-
V х 2
гармас кооффгвгентлыа келади га умумий ечими
куринишда ёзилади. L
2. Бу булимда узгармас коафс)иниентлига келадиган тенглама-
ла,р! г,нг SitAtp тенг/с'маси деб аталуьчи сикфини курамиз.
Ушбу
+^,4+«.»=»,*>° <б-59>
CLjC ил С1л
(бунда at = ccrst, z == 1, 2, . . . п) п- тартибли чгзг.клп узгарувчи
ксгс)(]ицие11Тли махсус тенглама Зйлеунинг бир жинсли тенглслмаси
дейилади.
(6.57) формула буиич’а (6.59) тенгламани х" га булиб юбориб,
f v —
т = ф (х) = A j - х'1- dx = A “i7 ап In х + С
ии е^ссил кгламиз. Агар С s= О, А ~ -п _ булса, энг содда
г ап
т = 1пх
(6.60)
алмаштиришга эга буламиз. (6.60) дан х = ех. Агар х<0 булса,
т = In]л'| ва х = —ех деб ёзамиз. Биз х>0 >^олни курамиз. Эйлер-
нинг бир жинсли тенгламаси х = ех алмаш гириш натижасида узгар-
v dk у
мае коэффициентли тенгламага кслади. дакикатан, аввал —
dxK
k= 1, 2, ... , п ^осилаларни т буйича олинган ^осилалар билан
ифодалаймиз:
dy 1 _ -т dy
dx dx dx dx
dx
cpy__ d / t dy dx _ 2r d2y. dy\
dx2 dx > dx dx ' dx2 dx/
k- тартибли росила учун ушбу
dk у _ -kx
dxk
dk у
dxk
+ ai
dk ly ,
dxk~'
dy\
'k-idil
формула уринли булишини курсатиш кийинмас, унда . . . , aftl
лар узгармас. Уни индукция нули билан исботлайлик. k = s учун
уша формула уринли булса, k = s + 1 учун ^ам уринли эканини
курсатамиз. Равшанки,
ds+1# d ( ds у \ d [ —st ( dsy , d&~'y t t
rfxs“’’1 dx у dx \dxs dxs 1
_p a dy\]ЁЕ =e~(s+,) T[ (a ___r) rfS . I. _i_ (__jva .
^осил булган ифода юкоридаги фикрни исботлайди.
dhy
Энди ^ар бир ~к (/г =1,2, . . ., п) росила учун толилган ифо-
цани (6.59) тенгламага цуйсак, тегишли .\ад
a .xk — = a .ekx e
n~k dxk n~k
—kx d,!y
= an-k\
dxk 1
dk~li
CC, -___k
dxk~l
dxk 1
dy^\
'k~'dx J
куринишда ёзилади. Бундан куринадики, натижада биз узгармас ко-
эффициентли тенгламага келамиз.
Шундай цилиб. Эйлернинг бир жинсли тенгламаси узгармас ко-
эффициентлига келиши учун эркли 'узгарувчини (6.57) формула ёр-
дамида алмаштириш. зарур ва етарли. Х.осил буладиган тенгламани
5 + S=r + '' '+ ‘..-I»' + ^ = 0 <6-6!)
(blt . . bn лар узгармас) куринишда ёзиш мумкин. Бу тенгламанинг
хусусий ечимлари, характеристик тенгламанинг каррали илдизлари
булмаса, ekx = (ет) k = xk куринишда булади. k ни топиш учун
kn + bxkn~x + . . . +bn_xk+bn = О
тенгламани ечиш керак. Аммо blt Ь„, . . ., b коэффициентларни то-
пиш анча хисоблашни талаб килади. Бу амалда цулай эмас. Т^улай
усулни курсатайлик.
(6.59) тенгламанинг хусусий ечимини у—х1 куринишда излаймиз.
d^tx^}
Ундан росила лар олиб, яъни хт—-—- = /.(/г—l)(k—2).. . (/г—т+
dx'n
+ 1)х*, m^k сунгра (6.59) га н;уйсак, цуйидаги алгебраик тенгла-
ма >^осил булади:
/(/?—1)(/г— 2) ... (,t—n+l) + aj(k — 1) .. .(/г—п+2) + ...?+
+ an_2k (k~})+an_xk+an = 0. (6.62)
Бу k га нисбатан /г-тартибли булиб, уни Эйлер тенгламасииинг
характеристик тенгламаси дейилади. Arap xk —ekinx эканини х;и-
собга олсак, характеристик тенгламанинг илдизларига цараб авгал
Эйлер тенгламасииинг комплекс ечимини, сунгра ^а^и^ий ечимини
ёзишимиз мумкин. Агар факат умумий ^ацикий ечим суралган
булса, умумий комплекс ечимни ёзиб утирмасдан бирданига умумий
^аци^ий ечимни ^ам ёзиш мумкин. Буни 5- § дан биламиз
Мисоллар. 1. Ушбу
хъу'" + 3x2f/" — 2ху' + 3</ = 0
Эйлер тенгламасииинг умумий хацикий ечими топилсин.
Характеристик тенгламани ёзамиз:
k(k—1)(/г—2) + 3k(k—1)— 2k + 3 =0
ёки
(/Н-2) (/г—1)2 = 0.
Бундан kx = —2, й2>3 = 1. Демак, k—\—икки каррали илдиз.
Берилган дифференциал тенгламанинг фундаментал системаси:
л-2, х, х In х (е~2г, ег ,тег ).
Шунинг учун умумий хак.икий 'ечим
1
у=Сх- -- -р С3х -р С3х In х
х2
каби ёзилади.
3- э с л а т м а. Цуйидаги
- (ах + Ь)п + ах(ах +b)rl~t + • • • + а х (ах + Ь) <~+ а у=0
ахп dx ‘ ^х
куринишдаги тенглама хам ах+Ь=ех , т= 1п(йх-|-Л), ах -р Ь> 0 алмаштириш
ёрдамида коэффициентлари изгармас тенгламага келтирилади.
4- э с л а т м а. Ушбу .
dny , _ । dn~xu dy
Х --v + • • + ~ + any = F(x), x>0 (6.63)
dxn dx'1-1 dx
тенглама Эйлернинг бир жинсли булмаган дифференциал тенгламаси дейилади.
Юкорида баён этилган усул-билан, яъни эркли узгарувчини т = 1пх, х=ет ал-
маштириш ёрдамида бу бир жинсли булмаган тенглама хам коэффициентлари уз-
гармас бир’жинсли булмаган тенгламага келтирилади. Фар1ри шундаки, унг томон-
даги F(x) функция аргументида х урнига ет цуиилади.
2. Ушбу
х2у" — ху' + 2у = х In х, х >0
тенгламанинг умумий jpaipnipnfi ечими топилсин.
Мос бир жинсли тенглама
х2у" — ху' + 2у=0
каби, характеристик тенглама эса
k(k— 1)— А + 2 = 0
каби ёзилади. Бундан № — 2/г-] 2,= 0 келиб чикади. Унинг илдизлари A1I2 = l±i.
Бир жинсли тенгламанинг умумий хаииций ечими-.j
у=ёс (Сх cos т + С2 sin т) = х(Сг cos Inx + С2 sin I их).
Энди бир жинсли булмаган тенгламани курайлик. Унда F(x) — xlnx булиб,
F(ex ) = те1 булади. Равшанки, хусусий ечимни у — (ат + b) е1 = х (a In х + Ь)
куринишда излаш лозим. Тегишли хссилаларш! хисоблаб, берилган тенгламага
цуямиз:
а а
у' = a In х-J- t-J-x- — = a Inx-J- b-}-a, у"= —,
х х
f а\
х2 — 5 — х(а In х + х + Ъ + а) + 2х (a Inx + b) = х In х
\х j
ёки
ах— cxlnx—(a -J- b) х + 2ах In х + 2bx = х In х
ёки
ах In х + bx = х In х.
Буидан а=1, 6=0 келиб чикади. Шундай килиб хусусий ечим p=xlnx функция-
дан иборат. Демак, берилган бир жинсли булмаган Эйлер тенгламасининг умумий
xarjiKuft ечими
у = х (Cj cos In х + С2 sin/n х) + х In х
каби ёзилади.
5- э с л а т м а. Юцоридаги 2- мисолда бир жинсли булмаган тенгламанинг
хусусий ечимини унг томонга карсб изладик ва топдик.
1\айд циламизки, агар (6.63) тенгламанинг ()нг томонидаги F(x) функция
(6.29) функция каби цуйидаги
т
F(x) = ^ lj (Inx)xxW
7=1
куринишда ёзилган ксазикуп^аддан иборат булса, у \олда шу бобдаги 6.4- теоре-
мадан фойдаланиб хусусий ечимни излаш мумкин.
7- боб
ЧИЗИКЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМА ЕЧИМЛАРИНИНГ
НОЛЛАРИ ^А^ИДА. ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛАЛАР
1-§. ИККИНЧИ ТАРТИЗЛИ ЧИЗ’З^ЛЛ JTEHHIVimVlTir КА’ЛНШЧ П
СОДДАЛАШТИРИШ
Иккинчи тартибли чизикли бир ’’жчлсли^теагламзларни
y" + P(x)/+Q(x)f/-0 (7.1)
ёки
сф^у” + сц(х)у' + са(х) у = 0 (7. Г),
куринишда ёзиш мумкин. Бунда P(r), Q(v), rz0(v) 0, aL(к), с2(х),
функциялар бирор I интервалда аницланган ва узлуксиз. Маълумки,
бу тенгламалар у(х0) — у0, у'(х0) у'о, хв£1 шартни каноатлантира-
диган ягона ечимга эга. Шу 'ечимнинг хоссаларини чукуррэд урга-
ниш учун купинча тенгламани «соцдалашгирлш»; аяикрэги, бопща
куринишда ёзиш кулай булади.
Ушбу
у (Р(х) + q(x)y = 0. (7.2)
dx dx v
р'(х)СС’(/), ?(х)£С(/) тенглама иккинчи тартибли узига кушлз д ij)-
ференциал тенглама дейилади.
7.1- лемма. \ар цандай иккинчи тартибли чизикли бир жинс-
ли дифференциал тенгламани х нинг бирор р(х), xGl функциясига
купайтириш Нули билан узига цушма куринишга келтириш 'мум-
кин.
Исбот. (7.2) тенгламада ^осилани очиб ёзсак:
Р (х)у" + р’(х)у’ + q (х)у = 0
тенглама ^осил булади. Унда у’ олцчцаги кээ^рациеат у' олдидаги
коэффициентнинг ^осиласидан иборат. Бу узига цушма тенгламалар-
нинг узига хос. хоссасидир. Биз шундан фэйдалаиамиз.
(7. Г) тенгламанинг чап ва унг томэнини мэс равидца / интервалда
узлуксиз дифференциалланувчч бирэр ц(х) функцияга купайтирамиз:
р(х) а0 (х)у"+ р(х) а± (х)у' + р(х)а.(х)у = 0.
Х.осил булган тенглама узига кушма булиши учун
4 faW «о(v)) = р(х) O.J,(х), х£1
айният уринли булиши зарур ва етарли. Бу равшан. Топилган ай-
ният p(v) функцияга нисбатан биринчи тартибли оддий дифференци-
ал тенгдамадан иборат. Уни интеграллаймиз. Унинг учун тенгламани
«о(А') ~ + а'(х)р = рсфг)
dx °
ёки
о0(х) = (афх)— «о(х))р
ах
каби ёзамиз. еь(л)=т^0, х(7 булсин (о(,(х)=0 тенгламанинг илдизла-
ри бор булса, улар махсус нуцта булади, бу текширишда эса мах-
сус нутуталар чикариб ташланади). У х;сЛда биз узгарувчилари аж-
раладиган тенгламага згамиз. й’ятеграллаш натижасида
. . 1 МИ®
PCv) = —— е (7.3)
функцияни топамиз. Буни тегишли тенгламага куйсак
df ay . 02(x);’*> y=0
—- e — ----a u
dx \ dx аг(х)
муносабат хссил булади. (7.2) тенглама тацкослаш цуйидагича бу-
лишини курсатади:
р(х) = е J а°{х) > 0, с (х)= a°tx) '
с?0(х)
Лемма исбот булди.
7.2- л ем м а. Эркли рггарусчини a/Mcw.mufi.tu усу , билет их-
тиёрий иккин» и тартибли чисикли бир жинсли тенгламшш yi у
У' +Q(x)y = 0 (7.4)
куринишга кслтириш 'мумкин, бунда ф(л)ЕС(/).
И с б л । 7.1-леммага кура bx:i.c;lh i;ki hi чи тарт 1 ли 4i ..пли
бир жинсли тенглама (7.2) куриннг-га келтирилган дет ^арашимиз
мумкин. Энди (7.2) да р(х) <_ 0, х^1 булгани учун
.р dx .. р f dx
dg =------------------------- еки § = I--------
Р (х) J р(х)
алмаштиришпи бажарамиз. Бу алмаштириш формуласидан — =
dx
= > 0 булгаии учун ёзгарувчи х нинг монотон усувчи функ-
р(х) ' '
циясидир. Бундан чикадики, х х;ам g нинг узлуксиз ва дифферен-
циалланувчи функцияси сифатида I интервалга мос келган L иитер-
/v-ч dy dy di I dy .
валда ai ИЕЛ2Е2ДИ. Уни x — 7(g) десак, — = —• — =----------------- булади.
dx di dx p(x) di
Равшанки:
d( p<x}dy\d(p (x) dJL . _L\^=
dx\ dx) di \ di p(x) I dx p(x) dg\dgj
Шунинг учун (7.2) тенгламани
_J_ —fdy\ 4- q (x) у — о ёки • — + Q (H) у = О
р(х) di\di) м 1 у
куринишда ёзиш мумкин. Бунда Q'(g) = р(х(£))<?(Ц£)). Аввалги (7.1')
тенглама коэффициентлари орка ли ^уйидагини ёзамиз:
-
di = e Jo"w.dx,
C(g)=-^e
Oi(x)
9 f “ <*>
2 1
J o„ (X)
х=Х(Ь-
Лемма исбот булди.
7.3- лемма. Номаълум функцияни чизицли алмиитириш узу ли
билан ихтиёрий иккинчи тартибли чизицли бир жинсли дифферен-
циал тенгламани (7.4) куринишга. келтириш мумкин.
Исбот. (7.1) тенгламада
y = u(x)z (7.5)
алмаштиришни бажарамиз. Бу функциянинг ^осилаларини ^исоблай-
лик:
у' = и (х) z + «'(х) г, у" = и (x)z'' + 2«'(х) z’ + и"{х} z.
Тонилган ифодаларни (7.1) тенгламага куямиз:
и(х)г" + (2ы'(х) /?(х)«(х))г' + (и"(х)р(х)и'(г) + Q(x)u(x))z = 0.
Энди z' слдидаги козффициентни нслга тенглаштириб, ушбу
2н' + р (х) и — 0
биринчи тартибли дифференциал тенгламага келамиз. Уни интеграл-
лаб, ушбу
— - f Р OOdx
и (л) — е 21
функцияни Toi амиз. Содда ^иссблашлар
ы'(А-) =-^ip(A-)’ 2J , Ы"(л)=/±р2(х)—l-p\x) е 2j
булишини курсатади. сиди бу ифодаларни z га нисбатан тенгламага
куйиб, соддалаштирсак
г" + . (х)—| Р' (x)+Q (х)^=0 (7.6)
тенгламага зга буламиз. Бу (7.4) куринишдаги тенгламадир. (7.6)
тенгламада I (х) =”— Р2(х)— ~ Р'(х) + Q (х) функция (7.1). тенгла-
манинг инварианта дейилади. Лемма исбот булди.
М и с о л. Ушбу
1 л
ху" + ~ у’ —у = 0
тенгламани узига цушма тенгламага келтирилсин.
Бу ^олда о0 (х) = х, а± (х)= а2(х) = —1, — со < х < со.
Биз тенгламанинг коэффициентларини х нинг х > 0 цийматларида ку рамиз. (7.3)
формулага кура х > 0 булганда
(— dt г ,— q
р(х) = _ е • 2х = _ е1п 1 * +1пС_ —L-L. = ~р=. Бунда соддалик учун С=1 де-
XX X *х
сак, р(х) = — булади. Берилган тенгламанинг чап ва унг томонларини шу
1 Х
ц(х) = —-= фуикцияга купачтирсак,
М . .. '
г_ 1 1 г- 1
р ху" + ~ у' — У= о ёки (V ху')' — —— у = 0
2|х V х )' X
тенгламага келамиз. Энди тенгламани (7.4) куринишга келтирайлик. Уиинг учун
__________ dx
р(х) — ] х, q(x) = — 1 булганидан dg = у-'— ®ки £ = 2JZ х алмаштиришни бажа-
рамиз. Равшанки:
dy dy d% dy 2
dx dt, dx dt, g ’
dy _ /
dx®~\g d?~t* dg< g ’
(Py
Бу ифодаларни тенгламага цуйсак, ———у—0 тенгламага ^келамиз. Унинг уму-
мий хаци^ий ечими y=Cie^ + С2е~^ ёки аввалги эркли узгарувчига г;айтсак у=
2Ух _____2 Vх
=Cje +С2е , х >0 куринишда ёзилади.
Курилгаи мисолда тенгламани икки марта узгартириш уни квадратураларда
интегралланувчи тенгламага олиб келди. Аммо буии аввалдан билиш 1^ийии.
2-§. ТЕБРАНУВЧИ ВА ТЕБРАНМАС ЕЧИМЛАР
7.1- таъриф.- Агар оддий дифференциал тенгламанинг I интер-
валда. аницланган трйвиалмас ечи'ми шу интервалда биттадан
ортиц нолга эга, булмаса, у \олда. бу ечим I интервалда тебран-
мас ечим дейилади, акс ^олда. тегишли ечим тебранувчиечим дейи-
лади.
Мисол сифатида аввал гармоник осциллятор тенгламаси«/"+(Л/=0
ни курайлик. ((6.43) га каранг). Бу тенгламанинг ихтиёрий ечими
у—г cos (юх + «) (г>0).. ((6.44) га царанг) билан берилади. Энди
cos (cox +«) =0 тригонометрии тенгламанинг барча ечимлари <oxft+
+ а = ” + kn (k — бутун) ёки xk — — ~ — — формула билан
ёзилади. Бундан хА+1—xk = Демак, гармоник функциянинг нол-
лари узаро тенг узоклашган булцб, ихтиёрий кетма-кет келган нол-
лари орасидаги масофа — га тенг. Шуни ^ам айтиш керакки, гар-
моник функция ноллари чексиз тупламни, аникроги, саноцли*’ туп-
ламци ташкил этади. Узунлиги —дан ортиц булган интервалда ечим-
со
нинг камида битта ноли, узунлиги — дан кам булган интервалда
(О
2 jx «
эса (ошиб борса) битта ноли, узунлиги — дан ортиц булган интер-
СО
валда камида 2 та ноли бор ва к.
_ л
Агар гармоник осциллятор тенгламасини r\<Zx<Zr2, г2—
интервалда курилса, унинг ечими шу интервалда тебранмас булади.
Ушбу х< г„, г„ — rL > — интервалда эса ечим тебранувчп бу-
ы
л ад и.
Энди у" — <o2z/ = 0, со > 0 тенгламани олайлик. Унинг умумий
^акиций ечими у= Сугых +С.,е—“ДСрС»—^акикий сонлар) каби ёзилади.
Бу ечим — оо О< + сю интервалда аникланган булиб, шу интервалда
биттадан ортик нолга эга эмас. Бунда тривиалмас ечимлар, яъни С\ +
-]-С2¥=0 булган ^ол назарда тутилади. Агар со>О, С\ • Са< 0 булса, Схе"'х -F
-4-С.е—= 0 тенглама ушбу х=~1п|— ечимга эга булади.
Акс .уолда курсатилган тенглама ечимга эга эмас. Шундай дилпб,
курилаётган дифференциал тенгламанинг ихтиёрий тривиалмас ечими
тебранмас ечим булади.
Юкорида курилган иккита дифференциал тенгламани битта //" +
-I- qy = 0, q — const тенглама шаклида ёзсак^О булса, тенглама-
нинг тривиалмас ечимлари ихтиёрий интервалда тебранмас булиб,
q> 0 булганда етарли катта интервалда тебранувчп булади. Бу му-
лоуазэларни у" + Q’{x)y — 0 тенгламага татбиц этиб, умумлаштира-
миз ((7.4) га каранг).
7. 1-теорема Агар х нинг 1 интервалдан олинган барча кий-
•матларида. Q(x)^0 тенгсизлик уринли булса, у Урлда (7.4)
тенглама ечимлари шу интервалда тебратмас булади.
Исбот. (7.4) тенгламанинг бирор z/ = <p(x) ечими I интервалда
камида иккита волга эга булсин дейлик. <р(л) функциянинг кетма-
*) Агар бирор Л тупламнинг элементларига натурал сонлар туплами N иинг
элемеитлари узаро Сир сийматли кос келтирнлиши мамкин булса, А туплами
саноцли щуплом дейилади. Шрндай килиб, саиокли туплам элементларини номер-
лаб чицищ мумкин булади
кет келган нолларйх0(7, x^I, x0<Xi булсин. Демак, cp(x)=/=0, x0<.x<.xt.
. Шуги айтиб утамизки, трйвиалмас у = <р(х) ечимнинг нолларй аж-
ратилган булади. Бсшцача айтганда, бу ечимнинг ^ар бир х* но-
ли шундай (х*—г,х*-Тг), е>0 интервалга эгаки, бу интервалда
ечимнинг бошда нолларй булмайди. Акс ^олда х* нуцтада ср(х*) = О
булиб, х* нукта нолларнинг куюкланиш (лимит) нуктаси булар эди.
Бунда ушбу limxn = x*,
Tfa) -д(х*) = о, Н1П <р(х„ ) — <р(х*) =1 im <р(х* + ft) — ф(х*)
ХЛ~Х* ’ п->оо Хп—Х* h-+o ft
— фЧ**) — 0 (Ит(хп'— х*) — lim h = 0)
П-+00 h-+Q
Мунссабатларга эга буламиз. Демак, (7.4) тенгламанинг z/=<p(x) ечи-
ми <р(л*) = 0, <р'(х*) = 0 бошлангич шартни цаноатлантиради ва шу-
нинг учун I интервалда с; (х) =0 булади. Бу <р(х)^0, х£/ деган фа-
ра зга зид.
Энди ч(а)>0, х0<х<х1 дейлик (<р(х)<0, х0<х<х1 ^оли шун-
га ухшаш курилади). <р(х0) = 0 булгани учун <р'(ао)>0 булади.
(7.4) тенгламада Q(x) sgO, х£/ ва демак,
Q(x)C 0, а0< x<Zxlt q>'(x) = —Q(x)<p(x) >0, x0<x<Xi-
Бундан <р'(х) функция х0<х<%1 интервалда камаймайдиган
функция экани чикади. Чекли айирмалар ^акидаги теоремага 'кура
ф(-Ч) ><((А'о) Ч-ф'^оХ-Ч—хо)= 4>(xo)(xi~А'о)>О, яъни <р(ч)>0. Бу
тенгсизлик ху нукта q(x) функциянинг ноли эканига зид. Теорема
исбот булди.
Мисол сифатида ушбу у"—ху = 0 Эйри тенгламасини
олайлик. Унда Q(x) = —х булиб, 0Сх<Ч-оо интервалда унинг
барча ечимлари тебранмас булади.
7. 2-теорема (Штурм теоремаси) Агар х0 еа xL нуцталар
биро'р иккинчи тартибли ччзицли дифференциал тенглама ечими-
ничг кетма-кет келган иккита ноли булса, у %олда. бу ечим билан
чизицли эркли, ихтиёрий бошца ечимнинг шу х0 еа. xt ноллар ора-
сида аниц битта ноли булади.
Исбот. х0 ва xL нолларга эга булган ечимни «р^х), бу <pj(x)
ёчиМ би ан чизицли эркли ечимни <р,.(х) деймиз. Аввал <рг(х) ечим
х0 ва х, Лар орасида нолга эга эмас деб фараз циламиз, яъни
Фг А'Ут^О, х£(х0) xj. Маълумки, tpi (х0) = Ф^х^ = 0. Шартга кура ср/х)
ва <p.jx) функциялар чизидли эркли булгани учун фДао)#=0, <р,(А'п)э^=
0. (pj/x) ва <р2(х) функцияларнинг вронскианини тузамиз:
ФлСх) Ф.(а) _
Ф1(х) Ф2(Х)-w<x>
ёки Ф1(х)ср’(х) — ср;(х)ф.2(х) = IF(x), W'(x)#=0. Бу тенгликнинг икки
томонини ф|(х) га буламиз:
_ <Pi(x)~<p3(*)— Ф1(а)<Рг(х) W(x)
<р1(*)
ёки
_ d/<h(x) Г(х)
dx\ Ф2(х) ) ф2(х)
Ундан х0 дан хх гача интеграллаб, цуйидагини топамиз:
ф2(*) / I J <1'2 W
*о хо
Бу тенгликнинг чап томони <Рх(аг0) = <р/(а:г) = 0, <р2(х)=/=0,
х£ [х0, хх] булгани учун нолга тенг, аммо унг томони нолдан фар^ли.
)\ацикатан, lF(x)#=O, ва демак, (х0,хг) интервалда уз ишорасини
са^лайди, шунингдек <р’,(х)>0; х£[х0,хх]. Шундай килиб, зиддиятга
келдик. Бу эса (х0,хх) интервалда <рц(х) функция камида битта нолга
эга деган натижани беради. Энди шу функция (х0, хх) да иккита
нолга эга бу ла олмаслигини исбот этамиз. Шу мацсадда (х0, хх) ин-
тервалда <р.,(х) функция иккита нолга эга булсин дейлик, яъни <р2(т0)=
= <р2(тх) = 0, х0<т0<т,<хх. Теореманинг исбот этилган биринчи
кисмига кура <р2(х) билан чизикли эркли <Pi(x) ечимнинг (т0, тх) ин-
тервалда, ва демак (х0, х() интервалда камида битта ноли булиши
лозим. Бу зиддиятлик,чунки <рх(х) учун х0 ва хх лар иккита кетма-кет
келган ноллар булиб, (х0, хх) интервалда <рх (х)#=0. Худди шу сабаб-
ли <р2(х) функция (х0,хх) интервалда иккитадан ортиц нолга ^ам
эга була олмайди. Теорема исбот булди.
7.1- натижа. Агар бирор I интервалда. чизицли бир жинсли
тенгламанинг бирор ечими иккитадан ортиц нолга эга. булса, у
хрлда тегишли тенгламанинг барча ечимлари шу I интервалда
камида. иккита. нолга. эга булади, демлк, барча ечимлар шу интер-
валда тебранувчи булади.
7.2- теорема ва 7.1-натижа ушбу у" + а>гу = 0 тенгламанинг
ечимларида осонгина текширилади.
Исбот. Бир жинсли тенгламанинг тривиалмас ечими z/x(x) / ин-
тервалда иккитадан ортик нолга эга булсин. Масалан, ух( х) ечим-
нинг ноллари учта х0, хх ва х2 булсин, яъни гд.(х0) = ух(хх) =«/(х2) =
=0 ва х0£/, хх£/, х.2(Т. Энди бир жинсли тенгламанинг тривиалмас ва
z/j(x) дан фарцли ихтиёрий ечимини у2(х) де йлик. Агар z/2(x) ечим
ух(х) ечим билан чизикли бэгли^ буле а, у^олда ах«/х(х) + а2у2{х)У=0,
а^ + а^=/:0, х£1 булади. Аммэ z/x(x) ва z/2(x) ечимлар тривиалмас
ечим булгани учун ах=эЬЭ, а2^=Э, чунки arap ах = 0 булса, a2t/2(x)=
==е0, х£/ айниятдан а2 = О келиб чикади; шунга ухшаш, агар а., =0
булса, axz/t(x)зЭ,х£/ аиниатдал ах = Э келиб чикади. Бу эса а,+
+а^^= 0 мунэеабатга зад. Шундай ^илаб, ах =£ 0. а2^= 0,- Шунинг учун
у.,(х) ss — ydx), х£1. Бундан ydx) ечимнинг ноллари ydx) ечим-
а2
нинг ноллари билан устма-уст тушиши келиб чикади. Демак, ух(х)
тебранувчи булганидан у2(х) ечим ^ам тебранувчи булади.
Энди z/2(x) ва У1(х) ечимлар чизикли эркли булсин. У ^олда
Штурм теоремасига кура у^(х) ечим (х^х^) ва (хъх?) интервалларда
биттадан нолга, яъни у<>(х) ечим I интервалда иккита нолга эга
булади. Демак, z/„(x) ечим I интервалда тебранувчи. Агар у^х) ечим-
нинг ноллари учтадан куп булса, у ^олда шу ечимдан фаркли их-
тиёрий тривиалмас ечим I интервалда иккитадан куп нолга эга бу-
лади. 7.1-натижа исбот булди.
7.3- теорема (такцослаш теоремаси). Агар ушбу иккита
^pW^xW, х€/, (7.7)
dx \ dx)
~’p{x)d^\-Yq2{x)y^G, р(х)>0, х£/ (7.8)
dx dx)
дифференциал тенглама. берилган булиб, I интереалда q^x) ^qjx)
тенгсизлик уринли булса, у %олда (7.7) тенгламанинг бирор ечи-
шининг кетма-кет келган иккита. ноли орасида (7.8) тенглама
ихтиёрий ечамининг камида битта ноли ётади.
Исбот. (7.7) тенгламанинг бирор y=q>i(x), х£/ ечимининг кет-
ма-кет келган ноллари х0£1, х£1, х0<^х1 булсин. Шартга кура,
[x(),xj с/ интервалда ^ам ог(х) sg q2(x) тенгсизлик бажарилади. Фа-
раз этайлик, ф„(х), ле/ функция (7.8) тенгламанинг [х0, ду] интер-
валда бирорта ^ам ноли булмаган ечими булсин, яъни ф2(х)=#0,
хе[х0, -ку]. Аницлик учун ф2(х)>0, х^Хд.х^.ф^х) > О, xe[xn, xj
дейлик (бошца доллар шунга ухшаш курилади). ф^Хд) = <pj(Xj) =0,
Ф1 (х) > 0- хё[х0, Xi] булгани учун <p;(xo)>0, ф;(х1)<0 тенгсизликлар
уринли. Акс ^олда, яъни агар <pj (х0) = 0 булса, <Pi(x0) =0 булганидан
<Р1(х)=еО га эга бу лар эдик.
Энди (7.7) ва (7.8) тенгламаларда мос равишда y^<Pj(x) ва
г/=Ф2(х) деймиз. Ххосил булган айниятларнинг чап ва унг томонла-
рини мос равишда ф2(х) ва <pi(x) функцияларга куг.айтириб, иккин-
чисидан биринчисини айирамиз;
[(?2(х) — <7г(х)] <рг(х) ф.2(х) = Ф2(х) р(х) — гр^х) х
dx. dx |
х [ р(х) «q=(х)(фг w *£> -
dx L ax 1 ax[ ax \ M dx / J
(7.9)
Х,осил булган тенгликнинг икки томонини х0 дан хг гача интеграл-
лаймиз:
Г[<72(х) — <71(х)]ф1(х)ф2(х)г/х=р(х1)ф2(х1)^МД)—р(х0)ф.,(х0)^^)- (7.10)
J dx dx
Бу тенгликнинг чап томони манфий эмас, аммо унг томони ман-
фий. Зиддиятга келдик. Теорема исбот булди.
Шуни айтиб утамизки, исбот этилган теоремаДан аввалги Штурм
теоремасини келтириб чицариш мумкин. Бунинг учун (7.7) тенгла-
манинг ечими шу ечим билан чизикли эркли булган бошца ечими
билан такцосланиши етарлидир.
Машц. Та1\1\ослаш теоремасини тенглама (7.4) куринишда ёзилга нда з^ам
исбот этинг (уида ^(х) <Qa(x)ol/" + Qitou = 0. у" + Qi(x)y = 0).
7.2-натижа. Агар (7.7) ва (7.8) тенгламалар учуй: мос ра-
вашда <Pi(az) ва <р2(х) ечимлар умумий х0 нолга эга булиб, <pt(x)
ечимнинг х0 дан кейинги навбапгдаги ноли xn XgCXj орасидаги
интервалда qz(x) > (?.(х) тенгсизлик уринли буладиган нуцталар
мавжуд булиб, цолган нуцталарда q2(x) >qt(x) тенгсизлик уринли
булса, у %олда <р2(х) ечимнинг навбатдаги ноли хх нуцтадан чап-
да жойлашган булади.
Исбот. <р2(х) нинг х0 дан унгдаги навбатдаги нолини х\ дейлик.
Агар х* = хг булсин десак, (7.10) формулада зиддиятлик ^осил бу-
лади, чунки <р2(х?) = 0, <р2 (х0) = 0 дан фсрмуланинг унг томони под-
дан иборат, чап томони эса мусбат булади. Энди х*>х2 булсин.
Бу ^олда ф2(х*) = О, ф2(х2)>0 ва (7.10) нинг унг томони манфий,
чап томони эса мусбат сондан иборат. Яна зиддиятга эгамиз. Натижа
исбот булди...
7.4- теорема (Сонли та^цослаш теоремаси). Агар би-
рор I интервалда qi(x)<Zq^x) тенгсизлик уринли булиб, ф2(х) ва
<р2(х) функциялар шу интервалда аницланган ва. мос равишда (7.7),
(7.8) тенгламаларнинг бир хил бошлангич шартни, яъни
Ф1(*о) = Ф-г(*о) = Уо, <Р1(х0) =фИхо) =Уо С7-1 О
муносабатларни каноатлантирадиган ечимлари булса, у хрлда х0
дан унгда <р.(х) ечим нолга айланмайдиган интервалда ушбу
|ф1(х)]>|ф2(х)| (7.12)
тенгсизлик уринли. Шунингдек, функция х=гх0 булганда ца-
<Р2(х)
бул циладиган 1 циймсипидан бошлаб усади.
Исбот. (7.11) бошлангич шартга кура
р(хс) [<р2(х0) -Ф1(х0) = 0.
[ dx dx J
Энди (7.9) айниятни х0 дан х гача (х>г0) йнтеграллаймиз:
X
р(х) ф2(х)^т^- —<₽!(х) = С[<?2(х) — <71(х)](р1(х)ф.2(х)(1х.. (7.13)
dx dx J J
x,
Бу муносабатнинг унг томони мусбатлигини курсатамиз. (7.11) шарт-
га кура Ф1(х)ф.2(х) нолга тенг була олмайди ва х0 билан х(х>х0)
орасида ишорасини узгартирмайди. х == х0 нуцтада <рх(х0) <р2(х0) =
= Уо'Уо = Уо- Бундан,-агар y0^=Q булса, Ф1(х)-ср3(х) функция х=х0
ну^тадан унгдаги етарли кичик атрофда мусбат булиши келиб чи-
тали. Агар у0 = 0 булса, <рх(х0) ф.2(х0) == 0 булади. Бу ^олда албат-
та ва х0 дан унгдаги бирор етарли кичик атрофда яна
ф!(х)ф2(х) > 0 эканини курсатиш мумкин. ^ацицатан, х’> х0 булганда
ушбу
4>i(x)tp2(x)
(х—х0)2
функцияни олайлик. Бу функциянинг
л'->л0 да лими-
тини ^исоблаймиз (ф1(х0) — фг(х0) = у0 = 0):
Иш ФхЮфЛ*) _ Пт JPiW Ит JbW =
x->x04~ (% Xq)2 x-*x0-f“ % x—>x04-
= НШ Ф1(*) ~ ф(*о) = Пт Ф2(*).-Ф2(*О) = ф;(Хо).ф’(Х())= (y')2> 0>
X—>X0-f- X Xq X—I X Xq
Бундан юцоридаги тасдицнинг исботи келиб чикади.
Шундай килиб, (7.13) муносабатнинг унг томони х0 нинг бирор
унг атрофида мусбат. Шунинг учун л0 дан унгда р(х) > 0 булгани
учун:
(%) dViW _ (%) ЛР2« > 0 ёки 2('х) >0.
Л dx v dx 2 dx <р2(х) /
Бундан <р2(х)=0= 0, х>хп булгани учун—экани, яъни
dx\<p2(x)J
функциянинг х>хода усувчи экани келиб чикади.
<р2(х)
Равшанки, z/o=#O булганда —= 1 ва у0 — 0 булганда эса
Фг(Хо)
limSEiW = lim 4^=4= !•
х-*Хо Фг(х) Х-»Х„ Ф2(х) у0
Демак, > 1, агар х>х0 булса. Бундан (7.12) тенгликнинг
ф2(х)
исботи келиб чикади.
2-эслатма. Агар х0 дан унгда бирор интервалда q^fx) еа q2(x) функциялар
айнан конга тенг булмаса, q2(x) > уг(х) тенгсизликни ундан кучсизроц q2(x)>qx(x)
тенгсизлик билан алмаштириш мумкин.
3-эслатма. 7.4- теоремадан 7.2- натижанинг исбсти куриниб туради.
7.5- теорема (Валле Пуссен, Хартман, Винтнер те-
орем а си). Агар дифференциал тенглама
у" + ах(х) у’+ а2(х)у = О
(7-14)
куринишда берилган булиб, а^х), а2(х) коэффициентлар бирор
х г2 интервалда узлуксиз ва
|fll(x)| |а2(х)| М2
(7-15)
бфлса, у Цолда (7.14) тенгламанинг %ар бир тривиалмас ечими-
нинг кетма-кет ихтиёрий иккита ноли орасидаги масофа h учун
, \/ o2Al", —f- 16аТИ2 — оА4, . . л л________ ___ 2 ..«
h >_________1 _____________1, агар Л4о>1Л булса, (7.1Ь)
4Л1„
arap M2 = 0 булса, (7.16')
агар АГ, = О булса, (7.16")
h= —poo, агар Л4Д = О, М2 = О булса. (7.16'")
Исбот. Аввал М2 = О, М3 = О цолни курайлик. Бунда биз
(7.14) тенглама урнига у" = 0 га эгамиз. Унинг умумий ечими у =
=С1х + С2 (СПС2— узгармаслар) каби ёзилади. Агар Ci + Cly=O
булса, бу ечим тривиалмас. Агар С, = О ва С2=/= О булса, у2 = С2
ечим битта цам нолга эга эмас. АгарС3=#О, (С2 — ихтиёрий) булса,
у цолда у = Сгх + С2 ечим горизонтал булмаган тугри чизицни тас-
вирлайди. Бу чизиц фацат битта нуцтада абсцисса уцини кесиб ута-
ди, яъни тегишли чизикли функция фацат битта нолга эга. ^\ар икки
курилган холда h = + оо деб ёзишга келишамиз.
(7.16). (7.16') ва (7.16") тенгсизликлар h учун цуйи бацони бе-
ради. Уларни исботлаш учун ёрдамчи мулоцазалар юритамиз. Бош-
цача айтганда, [0, h] интервалда узлуксиз ва узлуксиз дифферен-
циалланувчи <р(х) функция учун цуйидаги
х h h
йф(х) = С £ ф'(£)^-f (7i — g)cp'a)dg + f <p(g)dg (7.17)
Ox b
айниятнинг уринли эканини курсатамиз. Равшанки,
j £ф'(£)^ = л'ф(*)—f ф(£М£.
о 6
h h
' (h — £)ф'(£)бЦ = — (h — х)ф(х)+ J
О x
Бу тенгликларнинг биринчисидан иккинчисини мос равишда айирсак,
(7.17) келиб чикади.
Энди (7.14) тенгламанинг бирор у(х) ечимини олайлик. х = 0 ва
х = h унинг кетма-кет келган иккита ноли булсин (нолларни ихтиёрий
цилиб, яъни хп 0. х3 = х0 + h танланса цам мулоцазалар шунга
ухшаш булади). Агар (7.17) айниятда <р(х) = г/'(%) булса, у(0) =
= y(h) = 0 булгани учун
/1 h
\ cf(g)d£ = I z/'(g)d£ = f/(/i) —У(О) = 0
о о
уринли ва ушбу
х h
hy'(x) = | ly'l&dl- f (h-l)ij"(l)dl
0 x
айниятга эга буламчз. Бундаги г/"(^) урнига (7.14) дан y'lg) —
= —OiQ)/^) —a>(^)f/(fe) ифэдани куямиз:
X ft
• hy'(x) = - \ {(h-^a^y'^dl-
0 X
x h
-( £a,(g)i/(g)dg + f (h-®az®y&dl. (7.18)
0 x
max | y' (x) | = p деб белгилаймиз. у (x) функция x = 0 ва х = h. да
*£[О,й]
нолга айлангани учун [0, h] интервалда бир вацтда
тенгсизликларнинг ^ар бири бажарилади. ^акикатан, у (х) функция
учун х = О ва х = h нукта атрофида Лагранж формасида колдиц
хад билан Тейлор формуласини ёзамиз (у (0) = у (h) = 0 эканини ^и-
собга олган ^олда):
у(х) = у (0х)х, О<0<1,
у(х) = у' (/i + 0(x—h))(x — h), О<0<;1.
Бундан
I */(•*)! = 1'/'(0л ||х| <рх, x'€[0,/i],
*/|(х)1 = |/(.'i + 0(x — Л))Цх — h\ <р (/г — х), х£[O./i]
тенгсизликларни хосил киламиз. Бу тенгсизликлардан [0, h] интер-
валда ушбу
р g, агар 0 < g — булса,
| У®\ < р min (g, h— g) h 2
li(h— g), arap — g 'C h булса
тенгсизлик келиб чикади.
Энди (7.18) ифоданинг охирги икки ^адини ба^олайлик:
—1 ft
| i ga2(g)r/(g)dg| + | f (Л—g)a2(g)</(g)dg|
0 х
li
2 ft
<м2р f gMg + f (h-^dU =
b ft_ 12
2
Шунга кура (7.18) учун ушбу тенгсизликка келамиз:
|/(х)|<;и1И| + л12р^ (0<х<й).
Охирги тенгсизлик у' (х) га максимум берадиган нуцтада ^ам
уринли. Шунинг учун
}КМ1~ + М2у~^М1у — Л- М2у-, 0<о<л2<12
г 1 2 2Г12 1Г 2 2 а ’
ёки
М. - + мг~ — 1 >0 (7.19)
‘ а 2
h2 M
тенгсизликка эгамиз. 7И.,------Ь h.— 1=0 квадрат тенглама ушбу
— а ЛЦ—о2 Л!, + 16 аМ2 —сгЛ11+^/Л а2 Л12+16 а Л12
Тм~2 ’ 4М~2
илдизларга эга. Юцоридаги квадрат тенгсизликнинг ечими
о2 Л!, + 16 сМ2 — а Мг
куринишда ёзилади. Агар М2 = 0 булса, (7.19) дан (7.16') тенгсиз-
лик келиб чикади. Агар = 0, Л12>0 булса, (7.19) дан h > j/
тенгсизлик хосил булади. Эслатиб утамизки, = 0, М2 = 0 бул-
ганда ноллар орасидаги масофани ба^олаш масаласини куйилиши мум-
кин эмас. Бу ^олда у" = 0 тенгламага келинади. Аммо унинг ечим-
лари у = Срх + С2 тугри чизиклардан иборат булиб, у ф 0, яъни
С? + Сг ¥= 0 булганда у = Сгх + С2 тугри чизиг; биттадан ортик нол-
га эга була олмайди. Демак, ечим тебранмас булади. Биз кураётган
масала эса тебранувчи ечимларга тегишлидир. Теорема исбот этилди.
Ми сол. Гармоник осциллятор тенгламасини, яъни ушбу с/" —со2 с/ = 0 тенг-
ламани олайлик. Унинг умумий ^а^и^ий ечими у — г cos (cot + а) (г >0) функция-
л
дан иборат. Ноллари орасидаги масофалар тенг булиб, — дан иборат. ^аки^а-
1 /л \
тан, cos (at + а) функциянинг ноллари —I— + йл— a), k — бутун сон, фор-
сох 2 /
л
мула билаи ёзилади. Бундан = —- Бу тенгламада = 0, /Ц2 = со2.
Шунинг учун (7.16") тенгсизликка кура
= 1/^ = ^
со т М2 со
Бундан о = л2 келиб чицади.
Исбот этилган Валле Пуссен теоремаси кетма-кет келган ноллар орасидаги
масофани бир томондан, ^уйидан ба\олайди. Штурм теоремасидан фойдаланиб,
аптилган масофа учун икки томонлама экстремал (кучайтириб булмайдиган) ба^о
чи^ариш мумкин.
7.6- теорема. Ушбу
y" + Q{x)y = Q (7.4)
дифференциал тенглама Q(x) функция I интервалда аницланган,
узлуксиз ва
т2 < Q (х) < М2, т>0, М>0 (7.20)
тенгсизлик уринли булсин. У %олда (7.14) тенглама ечимининг
кетма-кет келгач иккита ноли орасидаги масофа h учун
— (7.21)
М. т
тенгсизлик уринли.
Исбот. Бу теоремани исботлашда таццослаш теорем асидан кен г
фойдаланамиз. Унинг учун аввал цуйидаги
ва ^-1+ М2у = 0 (7.22)
dx2 dx2
узгармас коэффициентли тенгламаларни оламиз. Уларнинг умумий
ечимлари мос равишда
1/ = Л1 sin т(х— оу), у = Д sin Л4(х— а2)
куринишда ёзилади. Фараз этайлик, х0 = оу = а2 нукта (7.4), (7.22)
тенгламаларнинг бирор ечимларининг ноли булсин, яъни у ечимларни
мос равишда ф(х), (рт (х), деб белгиласак, <р (х0) = <рт (х0) =
= фл1(хо) = О булади. фт(х) ва <рм (х) ечимларнинг навбатдаги нол-
лари мос равишда х0 + —, х„ + — (п — бутуй сон) формулалар би-
т М
лан топилади. ф(х) функциянинг х0 дан унгдаги навбатдаги нслини
х\ дейлик. Унда ху— х0 = h булади. (7.20) тенгсизликдан таццсслаш
теоремасига ку’ра (7.4) тенглама ф(х) ечимининг ихтиёрий кетма-кет
келган иккита х0, ху (хуСху) ноллари орасида фЛ1(л') функциянинг
камида битта ноли ётади. Аммо фЛ)(х) функциянинг х0 дан унгдаги
навбатдаги ноли х0 + булгани учун х0 + < ху тенгсизлик урин-
ли булади. Шунга ухшаш, фт (х) ечимнинг х0 ва х0 + — ноллари
орасида ф(х) функциянинг камида битта ноли булади, яъни х0 <
х\ < х0 + Топилган икки тенгсизликни бирлаштириб, ~ ху —
— ле < — ни, яъни (7.21) тенгсизликни хосил киламиз. Теорема ис-
бот булди-
(7.21) тенгсизликни янада кучайтирш мумкин эмас, яъни
— интервални кичрайтирвш мумкин змас. Бунинг боиси, Q(x) функ-
т J
ция узгармас булганда (7.21) тенгсизлик урнига h = тенг-
ликка эришамиз.
Мисол сифатида ян а гармоник тебранишларни олсак, А4Х = 0,
М, = 7W2 = и2 булганда ft = Kg = KL. Бундан ft = — булгани учун
а = л2 келиб чикади.
Берилган тенглама ечимлари тебранувчи булса, курилаётган ора-
ликда ечимнинг ноллари сони хацида фикр юритиш мумкин.
7.7 - теорема (Кнезер теоремаси). Агар (7.4) тенгламада
Q (х) функция х0 < х < + оо интервалда 0<zQ (х) < тенгсиз-
ликни цаноатлантирса, у цолда (7.4) тенгламанинг ихтиёрий
тривиалмас „ечими х0 < х <Z + °° интервалда чексиз куп нолларга
эга була олмайди; агар ху < х < + оо интервалда Q (х) функция
ушбу 77 <*2(х)
(а = const > 0) тенгсизликни цаноатлантирса,
у цолда ихтиёрий тривиалшас ечим + оо интервалда
чексиз куп нолларга эга булади.
Исбот. Таццослаш теоремасиии кулланиш максадвда
+ = ° (а¥=0, х>0)
X2
(7.23)
Эйлер тенгламасини олайлик. Бунда Q (х) = -2- > 0 булгани учун
(7.23) тенглама ечимлари тебранма характерга эга булиши хам мум-
кин. Тегишли характеристик тенглама k(k—1)4-а2 = 0 ёки k2 —
— k + a2 = 0, унинг илдизлари эса k{ 2 = у ± у а2. Бундан
куринадики, й2>~ булганда Эйлер тенгламасининг ечимлари теб-
ранма характерга эга булади. Шу ^олда умумий ечим
у = С1 ]Лхсо5^|/а2—^-1пх) +
+ С2 "j/xsin а2—|-lnx^, '1 <Zx<Z + оо
куринишда ёзилади. Шундай килиб, (7.23) тенгламанинг ечимлари
а2 < -i- булганда (1, + оо) интервалда тебранмас, й2>~ булганда
эса шу интервалда тебранувчи ва чексиз куп нолларга эга булади.
Энди ушбу
У" + т1! У = 0 (* > х0), (7.24)
у" + У = 0 («> °, -V > xj (7.25)
4х2
теигламаларни курамиз. Улардан биринчисида (7.23) га кура а2 =
1 о 1 а______1 "
= иккинчисида эса а2 = —— > —.
Агар 0<Q(x) < (х> х0) тенгсизлик уринли булса, у ^олда
(7.4) тенглама ихтиёрий ечимининг ноли орасида (7.24) тенглама ечи-
мининг камида битта ноли ётиши лозим. Бу булиши мумкин эмас,
чунки (7.24) тенгламанинг ечимлари тебранмас. Демак, бу ^олда
х0 < х< + о° интервалда (7.4) тенглама ечими чексиз куп нолларга
эга була олмайди.
Агар Q (х) > 1^,
а>0,
х > ху тенгсизлик уринли булса,
У
холда ечимлари тебранувчи булган (7.25) тенглама ихтиёрий ечими-
нинг кетма-кет кеЛган иккита ноли орасида (7.4) тенглама ечимининг
камида битта ноли ётади. Бундан (хъ + оо) интервалда (7.4) тенг-
лама ечимлари чексиз куп нолларга эга экани келиб чикади.
1
4- эс л ат м а. Кнезер теоремасидан куринадики, агар 0 < Q (х) < тенг-
сизликда х->-оо да Q (х) функция нолга етарли тез яцинлашса, у^олда тегишли
ечимлар тебранмас булади. Аммо агар Q (х) = О булса, равшанки, у" = 0 тенгла-
манинг фундаментал системаси <р, (х) = 1, <р2(х) = х функцияларданиборат. Агар
Q (х) функция х-+ оо да нолга етарли тез яцинлашса, Q (х) функциянинг ишора-
сидан цатъи назар х нинг етарли катта цийматларида у" + Q (х) у = 0 тгнг-
ламанинг фундаментал системаси {<Pi(x) = l, <р2(х)=х} системадан «кам» фару
цилади. Бу Шпет теоремаси деб юритилади.
У 1
М и со л. Ушбу у” + = 0 тенгламада ф (х) = булиб, унинг фундамен-
тал системаси {1, х} га х нинг етарли катта т^ийматларида ят^ин эканини курса-
тамнз.
Бу тенгламада у = е ^zttx, — =—г алмаштиришни бажарамиз. Натижада
У
1
?' = г2 + —. Риккати тенгламасига келамиз. Унинг умумий ечими
х4
1
Z = — ctg
X-
\ 1 у'
+ С —— ([3] га каранг). —=—г булгани учун
) х у
у = Ах sin
= Ct х sin — -|- С» х cos —.
х х
Равшанки:
I 1 \
бу ерда О , — функция учуй О
х2 /
дай 1\илиб, фундаментал система сифатида
каср х -+ оо да чегаралапган. Шун-
Ф1 (х) = 1 + О
<р2(х) = х+О
функци яларга эгамнз.
3- §. ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛАЛАР
1. Чегаравий масалаларнинг ^уйилиши. Биз аввалги бобларда
биринчи ва юцори тартибли оддий дифференциал тенгламалар учун
Коши масаласи билан шугулландик. Бу масаланинг геометрик маъно-
си берилган нуцтадан утадиган интеграл чизицни излашдан иборат
эди. Шу интеграл чизиц яна бошца шартларни каноатлантирадими
ёки йукми, бу бизни цизи^тирмас эди.
Агар I интервалда аницланган г/ = ф(х) функция у{п} = f(x), у,
у', . . . , yin~" (п > 1) дифференциал тенгламанинг ушбу
чМ^Уо, Ф'(хо) = «/0> • Ф("-1) (хо) = '/о1-0. (7-26)
шартни каноатлантирадиган ечими булса, тенгламанинг шу у => <р (х)
ечими яна
<f (*i) = 4>' (*i) = У'х. • • • , <P(n-1) (*i) =
= yt"-», х0=/=хъ xg/* (7.27)
шартни цам каноатлантирадими?— деган савол тугилади. Бунда
f(x, у, у', . . . , у<п~1>) функциянинг аницланиш соцаси очиц £>п+1
тупламдан иборат булиб, (х0, у0, у'о, ... , у(оп~1) EDn+l, (хц. Ух,
у'{, , y\n~l))^Dn^l шартлар албатта бажарилади. Акс цолда
цуйилган саволнинг маъноси булмайди.
Саволга жавоб бериш учун (7.26) шарт билан тула аницланган
маълум у — ф (х) функция ва унинг цосилаларини х = хх нуцтада
цисоблаб, (7.27) шартни текшириш лозим. Савол доим юцоридаги
каби цуйилмаслиги хам мумкин. Номаълум функция ва цосилалари-
нинг х = х0 ва х = хх нуцталардаги цийматларидан тузилган п та
муносабат бажарилишини талаб этиш цам мумкин. Шу муносабат
билан цуйидаги масалани цуямиз.
Чегаравий масаланинг цуйилиши: агар ушбу
y<n) = f(x, у, у’....у^) (4.2)
тенглама ва
£i(x0, У(хо)> У'(х0), ... , у(п ‘Чхо); хц, t/(xL) ,
• , у(л-,,(Хх) = 0 (7.28)
(х0 € 1, Хх € I, х0 =7= хп i = 1, 2, ... , п) муносабатлар берилган бул-
са, (4.2) тенгламанинг шу (7.28) муносабатларни цаноатлантирадиган
ечимини излаш чегаравий 'масала дейилади. Бу масала Коши масала-
сига Караганда умумий булиб, ундан (х0) — yf‘‘~,) = О, I =
= 1,2, ... , п булганда Коши масаласи келиб чикади. Агар п = 2
булиб,
gi = y(x0) —//0 = 0,’ |
gt = У (-Хл) — Pi = О J
(7.29)
булса, иккинчи тартибли тенгламанинг интеграл чизиги бошлангич
у (х0) = у0 ва тугал у (Xj) = у1 шартни цаноатлантириши лозим бу-
лади. Яна. агар п = 2 булиб
£i = а у' (х0) + р у (х0) = 0, )
g2 = Ty'(Xx) + 6f/(Xx) = 0 |
(7.30)
булса, бу хам тез-тез учрайдиган чегаравий масаланинг шартидан
иборат. Баъзи холларда ечимнинг даврийлиги чегаравий шарти деб
юритилувчи (п = 2)
gi = У(хо)~ Уо = 0,
g-z = у(х1)~ Уо =0
(7-31)
У1 = У о + о
шарт цам учрайди.
1 - м и с о л сифатида (4- боб, 5- § да) курилган масалани олиш
мумкин. У масалада абсцисса уци буйлаб унинг мусбат йуналишида
царакат килаётган объект (нуцта) I чоракда царакат цилиши мумкин
булган нукта томонидан кувланиши курилган эди. ^увловчининг тез-
лиги и, дочувчиники эса а эди. Агар v>a булса, чекли Т вактда
кувловчи крчувчини кувиб етиши исбот этилган. К,увловнииинг диф-
ференциал тенгламаси эса
у" = -^/1+(/)2. у>о
V у
(4.29)
куринишда. Агар у (х0) == у0 > 0, у (xj = 0, хх = х0 + уй десак,
v~ — а2
чегаравий масалага (кувловчи учун) келамиз. (4.29) тенгламанинг
умумий ечими
1 1+— 1 1- —
*=—-------°--------------° +С
2Ч1+?) 2Сч’-7)
булгани учун чегаравий шартлардан Сх = —, Со = у0 -1- х0 ке-
у0 " f2 — «2
либ чидади. Демак; ушбу
ечим чегаравий масала шартларини каноатлантиради.
Чегаравий масаланинг д у йи лиши га дойр яна брахистохрона*) да-
39 - чизма.
дидаги масалани курайлик:
Вертикал текисликда турли ба-
ландликда икки Л ва В нудталар
берилган. Л ва В нудталар шун-
дай силлид чизик билан туташти-
рилсинки, шу чизид буйлаб ^ара-
кат диладиган моддийшарча Адан
В гача йулни энг диска вадтда
у теин.
Бу масалани ечиш учун коор-
дината системасини цуйидагича
танлаймиз: абсцисса уди горизонтал
ва мусбат йуналиши чапдан унгга,
ордината уди вертикал ва мусбат
йуналиши юдоридан пастга, коор-
дината беши А нуктада (39- чизма). Энергиянинг садланиш донунига
кура Л ва В нудталарда потенциал ва кинетик энергиялар йигин-
диси хзаро тенг булиши лозим, яъни О + О — — mgy +-y-tnv2. Бундан
„• -
с=) 2gy. Изланган чизиднинг тенгламасини у — у(х) десак, v =
*) Брахистос — энг дисда, хронос — вадт.
- —, ds = ]fdy2 + dx2, dy — —dx=y' dx. Шунинг учун ушбу dt =
dt dx
2gyX dx га эгамиз. Бу тенгликнинг икки томонини 0 дан
b гача интеграллаб, А дан В гача йулни утиш учун сарф буладиган
Т вахт учун куйидаги
/ 1 + (Мх))2
2gy (А
dx
ифодани топамиз. Г^уйилган масала шу функционалга минимум кий-
мат берадиган, [О, Ь] интервалда ани^ланган ва дифференциалланув-
2Ь
чи ^амда у(О) = О, у(Ь) — С, С — — шартни цаноатлантирувчи у =
л
= у (х) функцияни топиш масаласига келди.
Агар у=у(х), & функция цуйилган масаланинг ечими
булса, у холда бу силлик чизикнинг дифференциал тенгламаси
2уу" + (у')2 + 1=0
(7.30)
куринишда булади ([10], 304-бетга каранг). Биз бу тасдицнинг ис-
ботига тухталмаймиз. Чегаравий шарт у(0) = 0, у(Ь) = С муноса-
батлардан иборат.
Ушбу у (1 + (у'))2 = Сг муносабат (7.32) тенгламанинг биринчи
интегралидир. Хаки^атан:
-- [у (1 + G/')2)] = У' (1 + (У'У) +у-2у' у' =
dx
= у'(^+(у')2 + 2уу") = 0.
Шунинг учун у' =
тенгламага эгамиз. Агар бунда у =
= Ct sin2 у алмаштиришни бажарсак, цуйидаги
dx = С\ sin2 — dt — Су -—dt
1 2 1 2
тенгламага келамиз. Интеграллаш натижасида ечим учун
х = С2 + у (t — sin t),
У = у (1 —cos 0
(7.33)
муносабатларял толам гз. / = 0 булганда нукта координата бошида
булади. Шу сабабли С2 = 0 экани келиб чикади. Энди t — Т бул-
ганда у(Т) — С, x(T)==sh тенгликлар бажарилиши лозим. Бу шарт-
лардан фэйдаланиб, Су ни ^ам топамиз. .Бунинг учун ушбу b —
= (Т — sin У), — — — (1—cos У) муносабатлардан 1 — cos Т =
2
= — (Т — sinT) тенгликни ^осил киламиз. Т>0 булганидан охир-
я
ги тенглик уринли булиши учун Т = л булиши лозим. Шунга кура
26 ' С '
Сх = — —С. Демак, моддий нуцта (0,0) нуцтадан х= (t — sin/),
я 2
(j
# = — (1 — cos/) чизиг< буйлаб харакат цилади ва Т = л вадтда
I Ь, — \ нуцтага келади. Шу нуцтага л дан кам вадтда келиши мум-
л I
кин эмаслигини курсатиш мумкин. Буни китобхонга топширамиз.
Эслатиб утамизки, (7.33) муносабатлар диаметри G га тенг бул-
ган дискнинг тугри чизиц буйлаб сирганмасдан гилдирашида унинг
гардишидаги бирор D нуктанинг чизган чизигини аниклайди. Бу чи-
зиц циклоида деб аталади (40- чизма) ([9], 304- бетга царанг).
2. Бир жинсли чегаравий ма-
сала. Чегаравий масала ечимининг
мавжудлиги ва ягоналиги мухим
роль уйнайди. Бу мавзуга тегиш-
ли баъзи маълумотларни баён
40- чизма.
этиш учун (7.28) муносабатларда
g. функциялар уз аргументларига
нисбатан чизикли формадан ибо-
рат булган ^олни курамиз. Аниц-
роги gi функциялар цуйидаги
gt(y) = atf У (х0) + у'(х0) + ••• + a^_i//(n 1,(х0) +
+ ₽о,У(х1) + ₽(i'V(Xi) + ..• + (Xi)-A =
= £?(//) +А (7-35)
(бунда a(i>, р/’, At,i=l, 2, .... п; j = 0,1, ... , п — 1 — узгармас)
куринишда булсин. Агар А. = 0 (1=1,2, ... , П) булса, цуйилган
п
масала бир жинсли чегаравий масала ' дейилади. Агар 2 71? 0
»=1
булса, тегишли масала бир жинсли булмаган булади.
п- тартибли чизикли бир жинсли
z-(p)y = o (*)
тенглама ва (7.28) — чегаравий шартлар берилган булсин, (*) ва
(7.28) муносабатларни А. = 0 булганда каноатлантирадиган у (х)
функцияни топиш масаласи (*) тенглама учун бир жинсли чегара-
вий масала дейилади.
Равшанки ^ар бир бир жинсли чегаравий масала камида битта
тривиал ечимга, яъни у (х) = 0, х£ [х0, xj ечимга эга. Аммо бир
жинсли чегаравий масала тривиал булмаган ечимларга хам эга бу-
лиши мумкин. Шу муносабат билан куйидаги теоремани келтирамиз.
7.8-теорема. Агар Ух(х), у.(х), . . . , уп (х), х £ [х0, х,] функ-
циялар (*) тенгламанинг чизикли эркли ечимлари булса, у холда
L(p) у = 0, g°(y)=® 'мгсала триеиалмю ечимга эга булиши учун
ушбу
к\{У1) £(У2) g°iM
ё°2(У1) ё°2(У.) - • ^(Уп)
ё°п(У1) g°(ys) • ёп(Уп)
детерминантнинг нолга тенг булиши зарур ва етарли.
Исбот. Теореманинг шартига кура г/Дх),. у2(х), .... уп (х)
функциялар [х0, лу] интервалда чизикли эркли ечимлар. Шунинг учун
п
С/=/=0 булганда (*) тенгламанинг барча ечимлари
<=1
п
У= ^Cj У] (х)
i=i
формула билан берилади. Жумладан, g^ty) = 0, г = I, 2, ... , п
шартни каноатлантирувчи ечими ^ам шу формула билан берилади.
Шу сабабли
п
gi (2 CjVj =°. г’= i.2. • • • • п (7-37)
муносабатларга эгамиз, яъни
п
2 C/ g?(f//(A))=0
1=1
ёки
C\gi (У1) + C2gi (У2) "Ь + Cngi (ул) — 0,
(У1) + C2g2 (у2) + • • + Cng2 (уп) = 0,
(7.37')
С^°п (у г) + (у2) + ... + Cngn(yn) = 0.
Энди бир жинсли тенглама бир жинсли чегаравий шартни"^ 1\аноат-
п
лантирадиган тривиалмас ечимга эга дейлик. Унда 2^;^® була-
/=1
ди. Шунинг учун (7.37) дан 0 = 0 экани келиб чикади.
Агар 0 = 0 булса, у ^олда (7.37') дан С?, С2, , С°п,
п
2 С/=7^=0 узгармаслар топилади. Демак, ушбу
i=i
У(х) = ^С</У1(х)
i=i
функция тривиалмас булиб, бир жинсли чегаравий масала шартла-
рини каноатлантиради. Теорема исбот булди.
5- э с л а т м а. Агар g° (g) = 0 чегаравий шартда i = 1, 2 ... , т, т< п
булса, у %олда бир жинсли чегаравий масала тривиалмас ечимга эга; агар (D)
матрица ранги г, г < n(i= 1, 2, . . . , п) булса, у холда бир жинсли чегаравий
масала С1г С2, ... Сп ларга нисбатан цстъий (п — г) та чизикли эркли ечимга
эга булади. Бу тасдшугариинг исботи равшан.
6-эслатма. (D) матрицанинг ранги фундаментал система ylt у2, ,уп
пи танлаи/га боелик эмас. Хакикатан. бир уг, у2, .. . , уп фундаментал система-
дан иккинчи у1г у2, ... , уп фундаментал системага утиш чизикли алмаштириш
ёрдамида, яъни ушбу
п
= ’'=u 21 ’п
i=i
формула билан амалга оширилади, бунда сц; лардан тузилган детерминант нолдан
фарцли. Алмаштириш натижасида (£)) матрица (а^ ) матрицасига купайтириладн.
Шунинг учун (D) матрицанинг ранги узгармайди. (£)) матрица ранги чегаравий
масала ранги дейилади.
3. Бир жинсли чегаравий масала учун Грин фугЕцияси. Диф-
ференциал ифода Ь(р)у куйидаги куринг.Ц’Да бллсин:
Цр)У = а0 (а) у(я) + а± (х) у(п~1} + ... + ап_х (х) у' + ап(х)у, (7.38)
, ас(х)^=0, х£1.
7.2-таъриф. Ушбу
L(p)y = 0, g°(i/) = 0 (7.39)
чегаравий масала учун Грин функцияси деб шундай G(x, Е) функ-
цияга айтиладики, у функция {(х, Е); ас х < xlt х0 aJ
со^ада аницланган булиб, [ас, ах] интервалдан олинган Хар бирс
учун х нинг функцияси сифатида куйидаги шартларни цаноат-
лантиради:
ln. G(x, 5) функция х с а Е буйича [ас, а3] интервалда узлук-
сиз, х буйича (п -2)- та; тибгача узлуксиз дифференциалланувчш,
2°. [а0, ах] дан олинган ихтиёрий тайинланган £ учун G(a, £)
функция х буйича [а0, Е] ва [Е, л'а] интереалларнинг %ар бирида
(п—1)-ван- тартибли Хоси; аларга %сш зга, ал.Ж) (n— 1)- тартиб-
ли цосиласи х = Е нуцтада чекли узилишга зга, яъни:
ап—1 -п— 1 ,
£^>0(5 + 0, ?)-£^са-о, £)=~; (7.40)
3°. [%о, £)’ ва (g, A'J иктервал/.арнинг Хар бирида х нинг
функцияси сифатида G(x, Е) функция (7.39) л;уносабатларни ца-
ноатлантиради, яъни L(p)G(x, g) = 0, g°(G(x, Е)) = 0,- i=l,2,
7.9-теорема. Агар (7.39) чегсрссай мссала фскст тривиал
ечи'мга зга булса, у Ушолда ту масала учун ягона Г / ин функция-
си мавжуд.
Исбот. у±(х), [у2(х), • . - , Уп(х), A'Gko. Л'11 Функциялар
L(p)y = O тенгламанинг чизикли эркли ечимлари булсин. У ^олда
бу тенгламанинг барча ечимлари у = С1у1(х) + . . . + Спуп(х) фор-
мула билан ёзилади. Шунинг учун Сь С2 . . . , Сп ларнинг ’ бирор
кийматида бу формуладан G(x, ?) функцияни хосил кила олсак,
теорема исбот булган булади. Агар Грин функцияси мавжуд булса,
х0 х < 5 интервалда
G (х, I) = ar (?) уг (х) + а2 (?) у, (х) + ... + ап (?) уп (х),
?<х<(х1 интервалда эса
G (х, ?) = b, а) У1 (х) + b2 (?) у, (х) + . . . + bn (?) уп (X)
мунссабатлар уринли булиши керак. Бундан (п — 2)- тартибгача ^о-
силалари узлуксиз булгани учун х = ? булганда ушбу
[«1а)У1Ю+ - • - + м£)О)]-[М^(?)+ • • • + ^а)у„©]=о,
[«1OW) + ••• +ап(^у'п (*)] - вшн •• +
+ bn(l)y^l)] = O,
[«Г (Ю У1{п~2} (®+ ... +ап (?) y<r2> (?)] - (?) f/(r2) (?) +
+ ... +^(?)у!г2)(?)] = о
тенгликларга эга буламиз; (п—1)-тартибли росила учун эса
+ +'<.©rf“1’(») = —
тенгликка эгамиз. Агар Cv(?) = /v(?) — av(?) десак, юцоридаги
тенгликлар цуйидагича ёзилади:
'са?)^?)^- - +с„(?)У„(?) = о,
Q(?)y;(?)+ ... +с (?)^(?) = о,
(7.41)
сг (£) у{п~2}® + ... + с„(?) у,(Г2)(Ю=0,
сх (?) у[п~1} (?) + . . . + сп (?) ”(?) =
Бу системаиинг детерминанта чизикли эркли Уг(х), ... , уп(х)
(х0 х х\) функциялар вронскианининг х = ? нуцтадаги киймати-
дан иборат. Маълумки, бу ^олда 1Г(?)^0. Шунинг учун (7.41)
система детерминанта нолдан фаркли бир жинсли булмаган система
сифатида ягона ечимга эга. Шу ечимни С° (?), С° (?),••• , С„ (?)
деб белгилаймиз. Демак, (7.41) система Cv (?) ларни бир кийматли
аниклайди. Энди С° (?) = 6° (5) — а° (?) булгани учун 7° (?) ва а° (?)
ларни аницлаш билан шугулланамиз. Бу коэффициентларни чегара-
вий шартлардан фойдаланиб топамиз. Унинг учун g°i(y) ни бундай
ёзамиз:
g°t (У) = g°ia (У) + g°f, (у), (7.42)
бу ерда
g°ta (у) = 2 (*о). ёЪ (У) =
1=0
=20;v’<x»)- »=1.2,..., п.
i=o
Агар (7.42) да у урнига G (х, Ej) функцияни эд'йсак,
g°i (G (х, %)) = a, (g) g°ia (У1 (х)) + . . . + ап (g) g°ia (уп (х)) +
+ th (g) g?₽ (У1 (х)) + . . . + bn (g) g^ (уп (х)) = 0
тенгликка келамиз. Бунда ak лар урнига bk — C°k ларни тууямиз:
Ь (Ю (У! (х)) + ... +bn (I) g°p (уп (х)) 4-
+ (b, (£) - С? (£)) g°ia (У1 (х)) +...+(£,„ (£) - С° (£)) g°ia (Уп (х)) =0.
Бундан (7.42) га кура
' i Ю g°i (Ух (х)) + . . . + bn (£) g°(g„(x)) - Ci (g) g°ia (У1(х)) 4-
4- ... +C°n^g°ia(yn(x)) (7.43)
келиб чикади. Arap i = 1, 2, ... , п десак, (7.43) дан Ьи Ь2, . . .
.... Ьп ларга нисбатан п та чизикли тенгламалар системасини ^о-
п
сил киламиз. Бу бир жинсли булмаган система, чунки
Г=1
S3 (х))=Д0 (1=1, 2.................п\ j = l, 2, . . . , п). Агар
gia(yj(A')) = ° булса, (7.43) дан (£) = С°(£), а?(£) = 0 келиб
чикади. Бу ^олда теореманинг исботи равшан. Энди gta {yi (х)) 0
$олни курайлик. Бунда 7.8- теэремага кура (7.43) системанинг детер-
минанта (blt b2, . . . , Ьп ларга нисбатан) нолдан фар^ли. Демак,
... , Ьп (£) ларнинг ягона 1уийматини топа оламиз. Уша кий-
.матларни 6?(£), й°(£).......6°(g) десак, a?(g), а2 (g), .... а°(£)
лар a°f (g) =b° (^) — (%) формулалар билан топилади. аД^) ва b^g),
i = 1, 2, . . . , п лар учун топилган ^ийматларни тегишли ифодага
^уйсак, G(x, £) учун
G(x,
(7-44)
формулага эга буламиз. Шундай килиб, Грин функциясининг мав-
жудлиги ва ягоналиги исбот этилди. Бу теореманинг исботи тегиш-
ли Грин функциясини цуриш усулики уз ичига олади.
Бир жинсли чегаравий масала чизикли бир жинсли булмаган
дифференциал тенглама учун к.уйилган булсин, яъни ушбу
А (Р) У = f (*). £?(У) = ° (7-45)
масала курилаётган булсин. Еу масаланинг ечимини куйидаги теоре-
ма беради.
7.10-тео р ема. Агар (7.39) масала факат триеиал ечимга
эга булса, у %олда [х0, xj интервалда узлуксиз булган ихтиёрий
f(x) функция учун (7.45) масаланинг ечими мавжуд. Бу ечим ушбу
*1
» у (х) = j G (х, Е) f (£) d £ (G (x, E)— Грин функцияси) (7.46)
Хо
формула билан ифодаланади
Исбот (7.46) формула билан аникланган бирор у (х) функцияни
олайлик. Бу функция (7.45) масаланинг ечими эканини, яъни ушбу
L(P)y^) = f(x) (7.45')
S?(?W)sO (7.45”)
айниятлар -уринли акапли псбстлаимиз. Аггел (7.45”) ни курса-
тайлик. G (х, Е) футнггяикг таърифига кура олинган у(х) функ-
ция (п—2)-тартибгача узлуксиз диффсрст пиаллаиувчи. Шунинг
учун ^осилаларни
у(г) (х) = I dv ° (*> £) f (g) d I, v = 1,2 . . . , n — 2
ex'1
Xq
каби ёзиш мумкин. (7.47) формулани v = n — 2 да цуйидагича
ёзамиз:
у<"-2> (х) = j <T~2G(x g) f (g) ц. j* f (?)
diA~2 dxn~
xo x
Бундан яна x буйича хосила оламиз:
у(п-|’ (х) = a f (g)dg + ( -П-2^’ g)) f « +
’ dx \ dx- 2 J 5=jc_0
/0
? a"-1 g (x, E)
J a/1-1
f(x).
E=a+o
л an-2G(x, g) ,
Аммэ --------_9 функция x = g нуцтада узлуксиз булгани учун
дхп -
охирги ифода соддалашади:
(х) = f ‘ ‘ G% g) f (g) dl =
I dx 1 J dxn
x0 x
= f g) -- (7.48)
X0
Бу формуладан яна бир марта дифференциация аб топамиз:
/°(х) = рП^’ g) Ш + дП g) I f(x) +
дх \ дхГ > |^=JC_0
*o
+ f-Цт—н^-(ап~'сп£*Л) )| n*) =
йх \ Vх J !g=x-po
= та^‘ (7-49)
.) дх ao Iх;
*0
Маълумки, g°i(y) ифода у (x) ва унинг (n — 1)-тартибгача ^осила-
ларининг х = х0 ва х — х, нуктадаги цийматларини уз ичига олади.
Шунга кура, (7.46) (7.47), (7.48), лардан содда узгартиришлар ёр-
дамида куйидагига эга буламиз:
£° (У) ="У У‘ (х0) + У ₽<г> у«> (xj = о + у ₽Ру<п (xj =
Jwan лй 1 АшЛ 1
j=0 1=0 1=0
= у р<‘> f G<xp}- fa)d^= IV₽<'>д> G^t g) -} f©d=
1 J дх1 J ' дх1 )
1=0 х0 л» 1=0
= Jg°(G(x, g))f(g)dg.
Хо
G(x, Q функция таъриф буйича g°(t/) =0 (t= 1, 2, ... , п)
чегаравий шартни цаноатлантиради, яъни g°(G(x, g)) = 0. Шунинг
учун охирги интеграл нолга тенг ва g°(y(x))^0, i— 1, 2 . . . , п
муносабатларга эгамиз. Бундан олинган у(х) функция [х0, хг] ин-
тервалда чегаравий шартларни цаноатлантириши келиб чицади.
Демак, (7.45") исбот этилди. Энди (7.45') ни исбот этамиз. Теоре-
манинг шартига кура (7.39) масала фацат тривиал ечимга эга.
7.9-теоремадан L(p)G(x, ^) = 0 экани чикади. Шунинг учун олин-
ган у(х) функция ^осилаларининг урнига (7.47), (7.48), (7.49) фор-
мулалардан фойдаланиб, уз ифодасини L (р) у дифференциал ифода^
га цуямиз:
Г 6
L (Р) У (л) = а0 (х)
-*О
дх а0 (х)
+ <h(x) ©d£ + . . . +
Хо
В 5
+ «„_,(*) \^^-f^)dl + an(x) }G(x, =
+ an_t (x) + а (x) Q (x, £)] f © d g + f (x) =
dx
В
= f (L (p)G (x. £)) f © dg + f (x) = / (x).
Ao Ш
o
Демак, (x0 g) интервалда L (p) у (x) = f (x) айният уринли. Шунга
ухшаш (g, х^ интервалда хам шу айният уринли экани курсатила-
ди. Шундай килиб, [х0, xj интервалда узлуксиз f(x) функция учун
олинган у(х) функция (7.45) чегаравий масаланинг ечими булади.
Теорема исбот булди.
4. Бир жинсли булмаган чегаравий масала. (7.35) формулада
п
булсин. Бу холда биз бир жинсли булмаган чегаравий
1=1
масалани курайлик. Асосий хулосани куйидаги теорема ифода этади.
7.11-теорема. Ушбу L (р) у = 0 тенглама бир жинсли бул-
маган шартни цаноатлантирадиган ягона ечимга эга булиши
учун мае бир жинсли чегаравий масала фацат тривиал ечимга
эга булиши зарур ва етарли.
Исбот. Зару рл иг и. Бир жинсли булмаган чегаравий маса-
ланинг ечими у(х) функция булсин. Унда L (р) у (х) = 0, х £ [х0,
xj, £,(#(*))—А.^О айниятлар уринли булади. Бир жинсли диф-
ференциал тенгламанинг фундаментал системаси уt(x), у2(х). . . . ,
Уп (А) Функциялардан иборат булсин. У хрлда ихтиёрий ечим у —
п
Ф°РмУЛа билан ёзилади. Узгармас Clt С2, ... , Сп лар-
»=i
нинг бирор кийматида у(х) ечим хосил булсин дейлик, яъни у(х)=
п
— (л)- Бу функцияни бир жинсли булмаган чегаравий шартга
i=i
^уямиз. Содда узгартиришлар натижасида 1\уйидагини ^осил $йл амиз:
п—1 / п П—1 / п \
°=2“Г’ 2с°м*о) +2₽и2сх(*1) -л =
/=0 \v=l / i=o \v=l /
n—I / n \ n— 1 / n \
= 2 2 c№ + 2 2 - A=
/=0 \v=l / j=0 \v=l /
n Гп—1 n— 1
= 2C° 2a^wpj'W
v— i L 1—0 i=o
“ЕОДад-н,.
V=1
Демак, ушбу
n
%C°M = Ai’ i = 1. 2.n
V=1
(7.50)
системага эгамиз. Бу системанинг детерминанта D ^=0 ((7.36) га
п п
каранг), чунки £(с»т\А27^=0. Аммэ D^=Q булганда мос
i=l i=l __
бир жинсли чегаравий масала /.8-теоремага кура фацат’ тривиал
ечимга эга булади.
Етарлилиги. Бир жинсли чегаравий масала фацат тривиал
ечимга эга булсин. У цолда £>=?£= 0 булади. Демак, (7.50) га кура
бир жинсли булмаган чегаравий масала ягона тривиалмас ечимга
п
эга, чунки (7.50) дан УС'^О тенгсизликни каноатлантирадиган
v=l
Сь С2, ... , Сп узгармас бир цийматли топилади. Теорема туда
исбот булди.
7.3-натижа. Агар бир жители булмагач чегаравий 'масала
иккита y — (Pi(x) ва У — Tift) ^ф2(х) ечимга эга булса, у
%олда t/ = Ti(x)—ф2(х) функциялар мгс бир жинсли чегаравий 'ма-
саланинг тривиалмас ечими булади; аксичча, агар бир жинсли че-
гаравий масала тривиалмас ечимгарга эга булса, у Цолда бир
жинсли булмаган чегаравий масала ё бироята %ам еуи/лга эга
булмайди ёки чексиз ечимгарга эга булади.
Исбот. Аввал натижанинг биринчи цисмини исботлаймиз.
Равшанки, L(р) (х) =0, L (р) ф2(х) s 0 ва демак, L (р) (ф, (х) —
— Ф2(х))э0, яна шунга ухшаш (Ф1 (х)) = Аг, g° (<р2 (х)).= А.
(i=l, 2......п) мулоеабатлардан £°(Ф1(х) — <р2(х) = 0 келиб
чицади. Шунинг учун у=*цц(х)—Ф2(х) функция бир жинсли чега-
равий масала L(p) у = 0, g°(y)==O учун трлв аалиае ечим булади.
Энди, агар бир жиасли чегаравий масала тривиалмас у'=?.-«/ (х)^еО,
tG[t0, xj ечимга эга булса, D =s0 булада ((7.33) га царанг).
У ^олда (7.50) система ё ечимга эга булмайди ёки чексиз куп
ечимга эга булади. Натижа исбот этилди.
Энди чизикли бир жинсли булмаган дифференциал тенгламани
олайлик, яъни L(p) у = f(x), шу билан бирга бир жинсли булмаган
чегаравий шарт ^ам берилган булсин. Бэшкача айтганда, ушбу
jL(p)y = f(x)
£(у)=А., »= 1. 2 • • , п (7’51)
i=l
бир жинсли булмаган чегаравий масалани курайлик. Бу масаланинг
ечими ^акида фикр юритиш учун аввал g°. (т] (х)) = А. шартни i^a-
ноатлантирадиган ихтиёрий т] (х) £ Сп [х0, xj функцияни оламиз.
Сунгра z(x) = у(х)— т](х) алмаштиришни бажарамиз. Бу г(х) функ-
ция учун
g°i (г (х)) = (У (л) — т] (х)) = go (у (х)) — g° (п (х)) — 0,
Яъни
g°(z(x)) = 0 (7.52)
бир жинсли чегаравий шартга эга буламиз. Берилган дифференциал
тенглама (z(x) функцияга нисбатан)
^(Р)г(х)4-т](х)) = /(х)
ёки
L (р) г (х) = f (х) — L (р) т] (к) = F (х) (7.53)
куринишга келади. Энди (7.53), (7.52) бир жи.тсли чегаравий маса-
лани куриш мумкин. 7.10-теоремага кура, агар L(p)z(x) = 0,
g°(z(x)) = 0 масала фа^ат тривиал ечимга эга булга, у ^элда
[х0, xj интервалда узлуксиз булган ихтиёрий F (х) = f(x) — А(р)т](х)
функция учун (7.53), (7.52) масаланинг ечими мавжуд ва
г(х) = jG(x, g)A(g)dg (7.54)
X,
куринишда ёзилади. Агар т] (х) функция мос бир жинсли тенглама-
нинг ечими булса у ^олда L(p)rj(x)=0, F(x) = f(x) булади ва
(7.54) формула г(х)= s G (х, g)f(g)cf^ куринишда ёзилиши мум-
кин.
Шундай ^илиб цуйидаги теорема исбот этилди.
7.12-теорема. Визга (7.51) бир жинсли булмаган чегаравий
’масала берилган булсин. [х0, хг] интервалда узлуксиз булган ва
go (у) =-. Ai бир жинсли булмаган чегаравий шартни цачоатланти-
радиган ихтиёрий функцияни т](х) дейлик. У уэлда, агар
L(p)(y(x)— т](х)) = 0, g°;(y(x)— т](х)) — 0 мг.ала фацат триви-
ал ечимга эга булса, у Холда (7.51) масала ечимга эга ва бу ечим
ушбу
y{x) = n{x)^G(xtZ)F^d^ (7.51')
х0
(бунда F(x) — f(x)— L(p) rj(x)) формула билан берилади. Агар
L(p)i\(x) ^sO, £°(т](х)) = A. (i = 1, 2, ... п) муносабатлар урин-
ли булса, у Цолда F (х) = f (х) ва (7.51) масаланинг ечими
у(х) = т](х) + fax, £)f(Z)dt (7.51)
Хо
куринишда ёзилади.
4-§. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОПЕРАТОРНИНГ ХОС ЦИЙМАТЛАРИ
ВА ХОС ФУНКЦИЯЛАРИ
1. Бир жинсли чизикли тенглама учун хос ^иймат ва хос функ-
ция тушунчаси.
7.3- та ъ риф. Агар шундай 0фу (х) £Сп(7) функция топил-
саки, бу функция учун ушбу
L(p)y(x) = ky(x), х£1 (7.55)
айният уринли булса, у холда А сони L (р) операторнинг хос
циймати, у (х) функциянинг узи эса L (р) операторнинг хос функ-
цияси дейилади.
Ушбу бир жинсли чегаравий масалани, яъни
L(p)y = Ky g°(y) = O (7.56)
масалани курайлик. Шу масаланинг тривиалмас ечимларига мос
келган А нинг кийматлари L(p) операторнинг хос цийматлари,
тегишли тривиалмас ечимлар эса хос функциялари дейилади.
Агар yt(x) ва t/2(x), х£/ функциялар А нинг битта цийматига
мос келган тривиалмас ечим, яъни хос функциялар булса, у ^олда
бу функцияларнинг чизикли комбинацияси ^ам А га мос келган хос
функция булади. ^акицатан, агар
. ИР)У1 ^) = КУ1(х), Ь(р)у2(х) = Ку2(х), х£1
айниятлар уринли булса, ундан
А (р) (С^ух (х) + Cyj.} (х)) = A (Cyj} (х) 4* С«у2 (х))
келиб чикади. Аммо L(p)y—\y бир жинсли тенглама чизицли
эркли ечимлари п та (и — тенгламанинг тартиби) булгани учун
ушбу
L (Р) ( V = А (£ (х) Y х € I
\i=i 7 \i=i /
айният k нинг k^n тенгсизлигини цаноатлантирган цийматлари
учун тугри булади. Агар k>n булса, чизикли бир жинсли тенгла-
манинг ихтиёрий п + 1 та, демак k та (kz>ri) ечими чизицли бог-
ft
лиг; булгани учун yi (х) -ss 0, х£1 айниятга келамиз. Бундан
7—1
олинган А сонига тривиал ечим мос келиши чикади. Бу эса хос
киймат ва хос функция таърифига зид.
7.8-теоремага кура, (7.56) масала тривиалмас ечимга эга були-
ши учун ушбу
g° (У1) g° (У J • • • g? (Уп)
n . g° (У1) g° (уа) • • • g°> (Уп)
ё°(У1) £°(Уп)
((7.36) га царанг) детерминант нолга тенг булиши зарур ва етарли.
Бунда £)(Х) функция К га нисбатан бутун аналитик функция бу-
либ*), у L(p) операторнинг характеристик, детерминанта дейила-
ди. Бу уринда тушунарли булиши учун (7.55) тенгламанинг
аГа₽ '*’ (7-58)
) ' (1 агар j = v
(бунда j, v = 1,2, ... , ri) бошлангич шартларни каноатлантирувчи
фундаментал системасини
У1 (х, М, У-Л*, ^). , Уп(х, 7) (7.59)
деб белгилайлик. У ^олда / интервалдан олинган х нинг >;ар бир
(фиксирланган) тайинланган цийматларида (7.59) функциялар X нинг
бутун аналитик функциялари булади. Шу сабабдан £)(А.) ^ам ана-
литик функциядир.
Юцоридаги фикрлар ва мураккаб булмаган муло^азалар ёрдамида
ушбу теореманинг уринли эканига ишонч ^осил цилиш мумкин.
7. 13-теорема. 1) £)(Х) функциянинг ноллари L(p) оператор-
нинг хос кийматларидан иборат-, 2) агар D (7) функция айнан
нолга тенг булмаса, у цолда L(p) операторнинг хос цийматлари
саноцли туплам булиб, улар чекли лимит нуцтага эга була ол-
майди.
Айтиб утамизки. агар D(ri) функциянинг ноли булмаса, у ^олда
L (р) оператор хос цийматларга эга була олмайди. Аммо хос циймат
X D (7) нинг каррали ноли булиши мумкин.
Агар 70 сони D (К) фуйкциянинг оддий ноли булса, бу 70 L (р)
операторнинг оддий хос циймати дейилади.
*) Агар бирор I интервалда аникланган % (х) функция шу интервалнинг хаР
бир х0 нуктасининг атрофида х— х0 нинг даражалари буйича шу функцияга
якинлашувчи даражали ^аторга ёйилса, у холда X (х) функция I интервалда ана-
литик функция дейилади.
2. Бир жители булмаган чизицли тенглама учун хос циймат ва
хос функция тушунчаси. Ушбу
L(p)y = hy + f(x),
g°i(y) = 0, .... л
(7.60)
масалани курайлик, бунда X—бирор параметр, f(x) функция L(p)
оператор коэффициентларининг аницланиш интервалида аницланган
ва узлуксиз. Бу масала учун хос циймат ва хос функция тушунчаси
тегишли (7.56) масала учун киршилган тушунчанинг узгинаси була-
ди. Бу цолда асосий натижа цуйидаги теорема билан ифодаланади.
7. 14- теорема. А нинг хос ций'матлардан фарцци/.адиган бар-
ча кийматлари учун f (х) ихтиёрий узлуксиз булганда (7.60) 'ма-
сала ечимга эга.
Исбот. Теореманинг шарти буйича аввал L(p) у — ky, g°(y)=Q
масалани куриб, тегишли k°j(i = 1,2, . . .) ларни топайлик. У
цолда L (р)у, (х) = kf(yj (х), g°i(yj (х) = 0 булади. Энди Х° учун
(7.60) масала ечимга эга экани равшан, чунки у (7.45) масалага
келади. ХаКик.атан:
IAP)y — ky = а0 (х) у^ + а± (х) y^~^ + . . . +
+ о,_, (х) у' + ап (х) у — ку = а0 (х) у&> + OjL (х) у^у +
+ • • + я„_,М У' + («„ (х) — k)y=L0 (р)у,
бун^да
(Р)= а(ох} Р{п) + + лп_( (х) р + (ап (х) — к).
Шундай цилиб, к =£ к° булганда (7.60) масала ушбу
L0(p)y = f(x), 1
gO(y) =0, i= 1, 2, . . . , п J , (
масалага келади. Демак, 7.10-тесремага кура (7.60) масала ечимга
эга. Теорема исбот булди.
Мисоллар. 1. Ушбу
— У" = ку, у (0) = у(1), у'(0) = у'(1), 0<х 1
чегаравий масалани ечайлик.
Берилган дифференциал тенгламанинг умумий ечими
у = Cj cos Д/ X х + С2 sin Д/ к х
каби ёзилади. Бундан чегаравий шартлардан фойдаланиб, хсс кийматларви ва хсс
функцияларни топишимиз мумкин. Чегаравий шартларни бундай ёзайлик:
g°i (g) = g(0) — y(i) = °,
g° (У) =*= У' (°)~ У' (0 = °-
Берилган дифференциал тенгламанинг фундаментал системаси уг — cos Д/ X х,
(/2 = sin Д/X х функциялардан иборат. Шунинг учуй цуйидагиларга эгамиз:
g? (gi) = У1 (0) — gi (1) = 1 — cos V X ,
g? (g2) = g2 (0) — Уз 0) = — sin Ук,
g° (yi) = у'\ (°)—y\ (0 = v sin V У
g° (У2) = y’i (°) — y'l (!) = V * — V cos у X,
D(X) =
1 —cos У J, — sin J'^X
yf X sin У X у X — У X cos У X
= 0.
Охирги тенгламадан (1 — cos У X )2 + sin2 У X =0 ёки cos р Х = 1 келиб
чикади. Бундан У X = 2kn ёки Xfe = (2kn)2{k = 0, 1,2,...). Демак, k =/= 0 бул-
ганда хар бир хос диймат Xft учун икки чизикли эркли хос функция cos (2kn) х,
sin (2ft л) х тугри келади, яъни дар бир хос диймат Xfc икки каррали хос диймат-
дир. Агар ft = 0 булса, Хо = 0 булади. Бу хос дийматга узгармас купайтувчи аник-
лигида у = 1 хос функция тугри келади, яъни Хо = 0 бир каррали хос дийматдир.
2. Ушбу
-y" = Ky+J (х), g(0) = Ao, «/(1) = ^, 0 х<1
чегаравий масалани курайлик. Мос бир жинсли дифференциал тенгламанинг фун-
даментал системаси у1 (х) = cos УУ х, g2(x) = sin I X х функциялардан иборат.
D (X) детерминантни тузамиз. Агар gj (у) = у (0), g° (у) = у (/) эканини хисобга
олсак:
плч_ I 1/1(0) 1/2(0) _ 1 о I -
I У1 (0 1/2 (0 cos ] X I sin у X I I
Бундан D (X) = 0 тенгламанинг илдизлари Х/г
1,2, ... . Шу хос кий-
мат лар учун берилган масалада (/ (х) 0 холда) ё мавжудлик бузилади ёки ечим-
нинг ягоналиги бузилади. 7.14-теоремага кураХ нинг X ^/= Xfc дийматлари учун
бе ри л г ан масала ечимга эга. Энди
-j/" = Xg, g (0) = 0, g(Z) = O
бир жинсли чегаравий масалани ечамиз.
Маълумки, берилган тенгламанинг умумий ечими
g = Cj cos УУх + С2 sin У У х куринишда ёзилади. Ундан
Cj = 0, Cj cos У X I + С2 sin j/X Z = 0
ёки Cj = О, С2 =/= 0 булиши лозимлиги учун sin У X I 0 дан яна Xft = I — j ,
ft = 1, 2, . . . келиб чикади. Шунинг учун берилган чегаравий масаланинг ечими
у = С2 sin х (С2— ихтиёрий узгармас) функциядан иборат булади. Равшанки,
агар I = л булса, Xft = ft2 булади. Ечимнинг куриниши у = С2 sin ftx каби булади.
Курилган масалага олиб келадиган амалий масала баёнига тухталамиз.
Узунлиги I булган бир жинсли таранг
стержень горизонтал х уди буйлаб жои-
лашган булиб, Р кучи таъсирида дисиляп-
ти. Бунда стерженнинг бир учи силжи-
майди, иккинчи учи эса х удида долса-да,
мустахкамланган нудта атрофида эркин
бурилиши мумкин (41- чизма, а). Р кучи-
нинг микдори Ркр (критик миддор) га
етганда стержень дайила бошлайди (41-
чизма, б). Агар у деб стержень нудтаси-
нинг кундаланг силжиши белгиланса, бу
х нинг функцияси булади, ni,HHg = g(x),
0 < х I. Иккнта учи мадкамланган
(кундалангига силжимайди) булгани учун
41 - чизма.
у (0) == и (I) = 0 булади. Материаллар царшилиги курсидан маълумки, у (х) функ-
р
цияси катта ашщликда ушбу у"
EI
у = 0 дифференциал тенгламани каноатлан-
тиради. Унда Е ва I — мос равишда стержень мате риалининг «Юнг модули» ва
кундаланг кесимининг «.инерция моменти».
Бу тенгламани ва чегаравий шартни
-у" = ~-.у, у(Р) = у(1) = о
EI
куринишда ёзсак, бир жинсли чегаравий масалага келамиз.
Р /л 2
Таърифга кура, ----< I —) булганда ю^оридаги масала фацат тривиал ечим-
EI \ I )
га эга, яъни бу хрлда стержень цайилиши руй бермайди. Р кучини орттира бориб,
р i \ 2
= 1—1 тенгликка эришилса, цуйилган масала фацат тривиал ечимгагина эга
булиб цолмай, тривиалмас ечимга ^ам эга булади; уша ечим у=С sin -у- х кури-
нишда булади. Бу э^олда стержень цайилиши руй беради. Ркр кучни топиб цуямиз
Бу ифода 1757 йилда Л. Эйлер томонидан топилган.
8-боб
ОДДИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР СИСТЕМАСИ
1- §. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР^ ЯНГ НОРМАЛ СИСТЕМАСИ.
УМУМИЙ ТУШУ/ 1АЛАР
п- тартибли оддий дифференциал тенгламалар 4- бобда курилган
эди. Унда номаълум функция битта у (х) булиб, тенгламада унинг
.^осилалари иштирок этар эди. ((4.1) ва (4.2) ларга каранг). Агар
номаълум функциялар п та булиб, улар битта эркли узгарувчининг
функциялари булса, куйидаги п та дифференциал тенгламани куриш
мумкин:
Ft(x, Ун . y\mi}> • • • ; yt, • .
У^-, ; У,., Уп, .... ^’) = 0, i=l, 2, . ,п, (8.1)
бунда Flt F2, ... , Fn функциялар (mv + т., 4? . . . + mn + n + 1)
улчовли фазонинг бирор £> . , , „, , . . тупламида аниклаиган.
- 1 11 nil Г'Г"2Т~ “Г 1"п~Гп 1
Бу (8.1) система y("hl, у(Г*\ - , у{"1п} хосилаларга нисбатан ечи-
лади деб царасак, ушбу
у"1} L (*’ у*’ y’v • • • - y'?"~v> ; • ; уп> у'п, - - .
у'"'1~\ 1 = 1,2, ... , п (8.2)
системага келамиз. Равшанки, f. функциялар m1+m.,+ ... +
+ mn + 1 улчовли фазонинг бирор Dm^+m^+ +/п +1 тупламида аниц-
ланган деб цараш лозим. Шу (8.2) тенгламалар системаси дифферен-
циал тенгламаларнинг каноник системаси деб аталади. Каноник
системаларни яна бэшка куринишда ^ам ёзиш мумкин. Дифференцал
тенгламаларнинг икки системаси бир хил ечимларга эга булса, бу
системалар эквивалент дейилади. Энди каноник системаларни унга
эквивалент система куринишига келтирамиз:
(8.2) системада бундай белгилашларни бажарамиз:
У1 = */io. У{ = У'ю = Уи> У"1 = Уп = У12’ • •
. У^ У-lOt Уч ~ У‘2О ^21’ У2 У21 У^ч' • • ’ Уч"2 ) У2т2—1’
Уп УпО’ Уп УлО Уп\' Уп Уп\ Уп2> ’ • > y\i П ~~ Уптп—\.
Белгилашлар натижасида п та ylt у2, . . , уп номаълум функция-
15—2455 225
лар урнига т = ту + тг + ... + mn та номаълум функцияга эга-
миз. Берилган (8.2) система бундай ёзилади:
Ую ~ Уи*
У\\ = У12*
У 1т,-2 ~ Vim,—!,
У1т,~1 У10’ У\1* • • > У1т,-Р У 20' У21, - - ,
У2тг—1 ’ ' ' * ’ УпО* Уnl’ ’ Уптн—1)’
У пО У nV
Уп1 ~ У п2*
У птп—2 Уптп—1'
Уптп—1 fп (Х* У10’ У11' ’ ‘ ‘ У 20' ^21> ‘ ‘ ’
У‘2т.—1’ ’ УпО* У и!9 " " • » Уптп—1)'
Биз биринчи тартибли дифференциал тенгламалар системасига эга-
миз. Бундай системалар текшириш, интеграллаш учун анча цулай
хусусиятларга эга. Биз юкорида ушбу
У\ =fi(x, У1, Уч, • • . У,),
Уг = 12(х* У1, Уч.....У,г),
(8.3)
Уп = fn (х, У1* У-г. • • . Уп)
системаиинг хусусий куринишига келдик. Шу (8.3) система курини-
шида п- тартибли дифференциал тенгламани, яъни ушбу
= f(x, у, у, ... , у(л-1))
тенгламани ^ам ёзиш мумкин. Унинг учун бундай
У = У\* У’ —у\ — Уч* У" = У2 == Уз, • • * У('1~1) = Уп*
У(п) = Уп = 1(х, У1, у2, , уп)
белгилашларни бажариш етарли.
Шу муносабат билан биз асосан (8.3) куринишдаги системаларни
урганамиз. Бундай системалар оддий дифференциал тенгламалар-
нинг нормал системаси дейилади. (8.3) системада п — системаиинг
тартиби дейилади.
п та биринчи тартибли тенгламаларнинг нормал системаси маъ-
лум шартлар бажарилганда битта п- тартибли тенгламага келтирили-
ши мумкин. Юкоридаги (8.3) системани уг га нисбатан п- тартибли
тенгламага келтирамиз. Бунинг учун аввало flt f.,, ... , fn функ-
циялар уi, у.,, ... , уп лар буйича п марта узлуксиз дифференциал-
ланувчи деб ^араймиз. (8.3) нинг биринчи тенгламасини дифферен-
циаллаймиз:
dfr . dfi ' , . dft ,
Ух = ~ + J- Ух + Т1 У2 + • • • + -ЙТ- Уп
дх дуг dy2 л °Уп
ёки
dfi । dfi । dfi
дх dyr dy
= Ух, • . t/n)-
Агар ^осил булган муносабатни яна дифференциалласак,
nt__dF 2 . dFa c . dF 2
Ух n Д /> Д
dx dyr dy2
Шунга ухшаш топамиз:
dF2
дУп
У?-" =
^„-2
У\п) =
dx
^Fn-
дх
У\П~^ = Fn-2
д'^ f .
dy, '1 + ' • '
dF„ i
••
(х, у2, . . .
^n-2
dUn
dFn-X
дУп
fn = Рп_х (, Уп)
fn = Fn(X, У1* > Уп)-
Шундай 1уилиб, куйидагига эгамиз:
y’i = Fx (х, Ух, , Уп), Fi = fx,
У\ = Fi (х, Ух, , Уп),
^(n-п = Fn_x(x, ylt ... , уп),
y(x1} = Fn(x^ Ух, Уп)-
(8-4) г
Эслатиб утамизки, кетма-кет дифференциаллаш мумкин булиши
учун flt f2, . . . . fn функциялар барча аргумечтлари буйича (п + 1)
улчовли бирор Dn^l тупламда (п—1) марта узлуксиз дифференциал _
ланувчи булиши етарли. Энди у2, у.., . . , уп ларни номаълум деб
караб, уларга нисбатан ушбу системани курайлик:
У'х = Fx,
Ух ~ F2,
у(,г~1) = р
Бу система у2, у3, . . . , уп ларга нисбатан ечилиши мумкин були-
ши учун ушбу
D<J\, F2,..., F,^)
D (y2, y3, ... , Уп)
якобиан у2, Уз, , уп ларнинг (х, ylt у2, ... , yn)E.D,l+l шартни
каноатлантирад иган кийматлари тупламидан олинган (у®, у®, ... ,
нуктанинг бирор атрофида нолдан фарк цилиши етарли. Шундай
булсин дейлик. У х,олда (8.5) системадан топамиз:
У1 = Ф?(х, у1г у\.......у\п~п), • • • , Уп =
= Ф„(А\ уу, у\, ... , z/'f-1»).
Бу ифодаларпи (8.4) системаиинг охирги тенгламасига цуйсак,
п тартибли юкори хосилага нисбатан ечилган битта
у\п} = Fn (х> у и ’Рг (А'. у^у\.....У{?~1}). • .
Ф„(А’> У', у\, , У\п~1)) (8.6)
тенгламага келамиз.»
Агар у1 = ср, (xj, xQl функция (8.6) тенгламанинг ечими булса,
у .\олда у2, . . . , уп лар учун ушбу
= <Pi (х) Фз (А‘. <Pi(A')> ФК*). . Ф’1"-1) (*)).
Уп = Ч>п(х) = ^п(х, срг(х), <pj (х), . . . ,
муносабатларни топамиз. Кейинги мулохазаларда зарур булган (8.3)
системаиинг ечими тушунчасини киритайлик.
81- таъриф. Бизга (8.3) система берилган булиб, унда fL, ... ,
fn функциялар (n + 1) улчовли фазонинг Dn+l тупламида аницлан-
ган булсин. Агар бирор I интервалда аницланган
Уу = <Р1 (*), г/2 = <Рг (х), - - . , уп = срп (х) (8.7)
функциялар системаси учун цуйидаги учта шарт:
1’. <р.:(х) ЕС1 (/), i = 1, 2, ... ,
2°. (х, <рх(х), .... <рп(х))€^„+1, х£Б,
з°. <₽;.(%)=ft (х, <р, (%), ... , <р„(х)), хе/, /== 1,2,.... п
уринли б$лса, у \олда (8.7) функциялар системаси (8.3) система-
нинг ечими дейилади; (8.3) системаиинг ^ар бир (8.7) ечимининг
графиги унинг интеграл эгри чизиги ёки соддагина интеграл чи-
зиги дейилади.
Энди юкоридаги муло^азаларни давом эттирамиз, яъни
у1 = Ф1(х), г/2 = ф2......Уп = ^п
функциялар (8.3) сисче^танинг ечими эканини курсатамиз. Равшанки,
ушбу
(X) = ъ (х, ср, (х), ф., . . . , Фп), хе/
dx ду1 иУп
айниятлар ур инли. Улардан биринчисини х буйица дифференциалла-
сак:
’ / \ t? &fi i d/, , . d/i . . . Jd/i , -
<p (%) = F2 = + 21 <p +-1 Ф2 + ... + 37 V
1 дх дуг ду2 иУп
Бундан охирги айниятларнинг иккинчисини ^адма-^ад айирамиз:
^(ф;-а)+^(ф;-/2)+ •• +# (фН„м-
ду± ду2 “ °Уп
Шунга ухшаш ^исоблашлар ёрдамида цуйидагиларни топамиз:
...
—(<pj— fi)+~g7 (%— W + +-g^- ((p'n—fn)=O.
Аммо ср^(х) = ^ булгани учун куйидаги системага келамиз:
£№;-«+... + <-«-и-о.
+§(^и-о. (8
—1 . » г ч I , —1 / ' г х _ /х
--5- (Фо-/о) + - Ч-а (ф -/ ) = 0.
ду, ' - '2 1 дуп '"7 )
Бу системани <р' — f.,, ... , q/ — fп ларга нисбатан каралса,
унинг детерминанти шартга кура нолдан фарцли. Шунинг учун (8.8)
система факат тривиал ечимга эга, яъни ушбу
Фэ=/2. Фз - /з. •. ф;=f„
айниятга эгамиз. Энди ср, = f, булгани учун ср, (х), . . . , ф„ (х)
функциялар системаси (8,3) системанинг ечими экани келиб чикади.
Демак, (8.3) система билан (8.6) тенглама эквивалентдир.
Кайд цилиб утамизки, агар (8.3) системада функция уР у3,
... уп ларга боглик булмаса, бу системани z/j га нисбатан п- тар-
тибли битта дифференциал тенгламага келтириб булмайди. Бу ^олда
У\ = h(x, У1) булганидан
fj (х, У1) = Л (х, yY), у\ = = F,2 (х, у^, . . . , f/(i':,= F (х, у J
дх дуг
ларга эгамиз. Аммо бу Flt Fit ... , Fn функциялар у.,, у3, . . . , уп
ларга боглик булмагани учун
Р(Л,Г2, . . . , F„_,)
D (у2, Уз, ... , уп )
айниятга келамиз. Бундан куринадики, берилган системани ихтиё-
рий у. (1 < i < п) га нисбатан п- тартибли битта тенгламага келти-
риш, умуман айтганда, мумкин эмас. Агар бирор yt учун
Р(Л, г2, г
О(У1, .... У^, yi+I, ••• , Уя^
булса, у холда шу z/(. функцияга нисбатан п- тартибли битта диф-
ференциал тенгламани ^осил цила оламиз.
Мисол. Ушбу
f у' = У,
1 * 2
I У 2 = У1
система учун f/i = cosx, у2 = — sirix функциялар системаси ечим булади. Бу холда
D3 = R3 булиб, 8.1- таърифнинг шартлари cos х ва —sinx лар учун — со < х <
< + оо интервалда бажарилади. Берилган системани битта иккинчи тартибли
тенгламага келтириш осой. Унинг учун системанинг биринчи тенгламасини диффе-
ренциаллаймиз ва иккинчисидан фойдаланамиз:
у\ = у\ = — У1 ёки у\ + iJl = 0.
Равшанки,
Fi = У2. F2 = у'2 (== — yj булганидан
Р(Л)
D(y2)
dF,
---= 1 =£ 0 ва у,
дУ2,
— F) (яъни У1 = у2) дан у2 учун ифодани yt = F2 ёки yi = у., тенгламага
цу-
йиш лозим. Шу сабаблп юцоридаги f/j + = 0 тенгламага эга буламиз. Бу тенг-
ламанинг умумий ечими уг = Сг cos х + С2 sin х. у2 = + (/, булгани учун у2 =
= —Cj sin х + C2cos х келиб чицади. Шундай цилиб, берилган системанинг ихти-
ёрий ечими
ул = С] cos х + С2 sin х,
у 2 = — С\ sin х -|- С.2 cos х
формула билан ёзилади.
Курилган мисолда ихтиёрий ечим формуласи топилди. Бу умумий
ечим тушунчасига слиб келади. Шу муносабат билан умумий ечим-
нинг катъий таърифини келтирамиз. Мулохазаларни осонлаштириш
учун аввал Коши масаласини курамиз.
Коши масаласининг ку й и лиши: (8.3) система берилган
булиб, унинг унг томонидаги flt fn функциялар Dn+t,
Dn+lcz Rn+' тупламда аникланган булсин. Агар (х0У у°, у3, ... ,
z/°)^£>n+1 нукта тайинланган булса, у .\олда (8.3) системанинг
У1(х0) = у°, у.2(х0) = у°, ... , j/n(x0)=i/0 (8.9)
шартларни каноатлантирадиган ечими топилсин. Бош^ача айтганда,
Коши масаласи тупламнинг тайинланган (х0, у°, . . , у®) нуь;-
тасидан утадиган интеграл чизи^ни топишдан иборат. Шуни таъ-
кидлаб утамизки, Коши масаласида ечимнинг аникланиш интервали
курсатилмайди. (х0, у°г.....у°) нуцтадан (8.3) системанинг битта,
иккита ёки ундан куп интеграл чизицлари утиши мумкин. Кейинги
мулохазаларни назарда тутиб, билан шундай нуцталар тупла-
мини белгилаймизки, бу тупламнинг хаР бир ну^тасидан (8.3) сис-
теманинг ягона интеграл чизиги утади. Равшанки, Dn^.i cz Dn+i.
8.2- таъриф. Хар бири п та CL, С2, . . . , Сп ихтиёрий уз-
гармасларга бог лиц булган п та ихтиёрий
У1 — Фг {х-> Сг, , С„), 1
у2 = фп (х, Су, ... , С„),
(8.10)
Уп = Ф„ (*. • • • • Q )
функцияни олайлик. Агар £>npi тупламнинг %ар бир (х, уг, ... ,
уп) нуцтаси учун (8.10). система Сь С2, . . . , Спларга нисбатан
Сл = '’Мх- У1’ • • • Уп^ k=\, 2, . . . , п (8.11)
ечимга эга булиб, бу. функцияларни цуйидаги
(X, Си ..., сп). k = 1,2.......п (8.12)
тенгламаларга цуйганда (8.3) система %осил булса, яъни ушбу
dyk
= Ф*(х, (X, У1, • • - , Уп), , %(х, ylt . . . , Уп)) =
= fk(x,ylt ... , уп) (8.13)
муносабат уринли булса, у %олда (8.10) функциялар системаси
(8.3) системаиинг D*n+l тупламда аницланган. умумий ечими дейи-
лади.
Мисо л. Биз юь/'рида курилган мисолда у1 = у2, у2 — — уг системаиинг их-
тиёрий ечими учун уг = Су cos x-j-C2 sin х, у2 = —Су sinx + C2 cosx формула-
га эга эдик. Бу формула умумий ечимни беради. ?(акицатан, Су ва С2 га нисба-
тан ёзилган
IСу cos х + С2 sin х = уу,
[Cj sin х — С2 cos х — — у„
бир жинсли булмаган чизнфли алгебраик тенгламалар системасидан (унинг детер-
минанта (—1) га тенг) Су = уг cos х — y2sinx, С2 — у2 cos х + f/i sin х гаэгамиз.
Бу ифодаларни ух = — Су sin х + С2 cos х, у2 — — Су cos х — С2 sin х тенгликларга
т;уямиз:
Уу = — (Уу cos х—у2 sin х) sin х + (у2 cos х + уу sin х) cos х =
= — Уу cos х sin х + у2 sin“x + у2 cos2x + уг sin х cosx = у2;
у2 =— (Уу COS X — у2 sin X) COS X — (у2 COS X + Уу sin x)sin х—
= — у у COS2 X + у.2 sin X COS X — y2Cosli sin X — у у sin-X = — Уу.
Бундан куринадики, берилган система келиб чикди.
Юцорида киритилган Dn+l тупламнинг ^ар бир нуктасидан (8.3)
системаиинг ягона интеграл чизиги утади. Умумий ечим таърифига
кура C1F С2, . . ., Сп узгармасларнинг турли 1\ийматларида биз сис-
теманинг тегишли ечимларини ^осил циламиз. Бу ечимларни хусу-
сий ечим дейилади. ^ар бир хусусий ечим учун, яъни
. . ., С»), //2=Ф2(х,С0, . . . ,С0),...,?Уп=фп(х,С0...С»)
ечим учун ушбу (х.ф/х.со, . . . , С°п), ... , <рп(х, С?. ••• , С°)) €°’+1
тегиш лилик шарти бажарилади. (п-Ь 1)улчовли £>* туплам хусусий
ечимларнинг графикларидан иборат булган интеграл чизиклар билан
цопланган, яъни тупламнинг ихтиёрий (х, . . ., уп нукта-
сидан ягона интеграл чизиц утади (таъриф буйича).
Энди Dn+l тупламнинг Dn^t тупламга тегишли булмаган пукта-
ларини, яъни ушбу Dn+l\Dn^ = D° тупламнинг нуцталарини тек-
ширайлик. Бу D° тупламнинг нукталаридан ё битта хам интеграл чи-
зик утмайди, ёки биттадан ортиц интеграл чизиц утади. Аммо биз
(8.3) системанинг унг томони £>п+1 тупламда узлуксиз булган ^олни
кураяпмиз. Бу ^олда хар бир (x,ylt . . . , уп £Dn+l нуктадан, демак,
^ар бир (х, ylt . • ., yn)EDu нуктадан камида битта интеграл чизик
утади. Биз кураётган холда D тупламнинг хар бир нуктасидан
биттадан ортиц интеграл чизи^ утади, яъни D тупламнинг ^ар бир
нуцтасида ечимнинг ягоналиги шарти бузилади. Хар бир нуктасида
ечимнинг ягоналиги бузиладиган ечимлар системанинг махсус ечими
дейилади.
- >’ yn)>k = h 2> • • -<п Функциялар ёпик, D*nil -
тупламда каралявти дейлик. Ечимнинг ягоналиги бузиладиган нукта-
лар шу тупламнинг чегарасида ётади, чунки белгилаш буйича
тупламда умумий ечим аникланган ва демак, бу тупламнинг биронта
^ам ички нуктасидан махсус ечимнинг графиги утмайди. Агар
dDn+l деб Dn+J тупламнинг чегарасини белгиласак, кжорида кири-
тилган Du туплам асосан шу дан иборат булади, яъни D0 ==
=д£>„+г Бу холда D*n+i ~Dn+l (очик туплам), D0 =£>n+I’\D„+]. Мах-
сус ечим ихтиёрий узгармасларни х.ам уз ичига олиши мумкин. Ам-
мо у ечимлар («-4-1) улчовли туплам чегарасида ётгапн учун ихтиё-
рий узгармаслар сони п дан кам булади.*)
dy — dx
Мисо л. Ушбу — =2) у , — = у, у О
dt dt
системанинг умумий ва махсус ечимлари топилсин.
Бу системанинг умумий ечими
„ (t + С,)3
y=G + c1)2, х = -т3 1 +С2
формула билан ёзилади. Буни таърифга кура бевосита ^исоблаб билиш мумкин.
Аммо у = 0, х = С (С — ихтиёрий узгармас) функциялар ^ам ечим ва умумий ечим
формуласидан С} ва С2 ларнинг биронта ^ам цийматида ^осил булмайди. Демак,
у = 0, х=С — махсус ечимдир. f±(t, х, у) =2 У у, f2 (t, х, у) — у функциялар
учун D2 = {(/, х, у): —оо<х<оо, у^О). Бу туплам ёпиц, унинг чегараси
ЙО2 = {у = 0}. Махсус ечим шу чегарада ётади ва битта ихтиёрий узгармасни уз
ичига олади.
*) Умумий ва махсус ечимлар ^ацидаги тула маълумотни Н. П. Еругиннинг ки-
тобидан уг,иш мумкин [12].
Яна ^n_^i тупламга ^айтайлик. Шу тупламга тегишли >;ар бир (х0, f/® , . . (
нукта учун ягона Ср С°, . . . , С^ дийматлар мос келади, ва аксинча,
х = хп булганда Ср С^, . . .,С а ларга ягона i/J, у°2, • • . ,г/®лар мос келади-
Шунинг учуй баъзи холларда ечимни
Ук = Ук(х' хо,уР • ' ” f£)> ^=1>2. • --,п (8.14)
куринишда хам ёзилади. Бу ерда х0, у®, . . . , у1^ лар ихтиёрий булгани учун
(8.14) куринишда ёзилган ечимни Коши формасида ёзилган умумий еч им дейилади.
2-§. НОРМАЛ СИСТЕМА УЧУН МАВЖУДЛИК ВА ЯГОНАЛИК ТЕОРЕМАЛАРИ
1. Мавжудлик ва ягоналик теоремаларининг баёни. Биз (8.5) сис-
тема учун мавжудлик ва ягоналик теоремалари билан таниша миз
Аввал (8.3) системани (ёзувни анча кулайлаштирадиган) вектор фор
мада ёзамиз:
(8.15)
d/ = fa,y),
ах
векторлар. Баъзи
^олларда яна координаталар ёрдамида ёзишга цайтамиз. Вектор фор-
мада умумий ечим
у — ф(х , С) ёки у=ф(х, х0, у°)
куринишда, хусусий ечим эса у=ф(х) 'ёки х0, у0 лар тайинланган
булса, у = ф (х, х0, у0) куринишда ёзилади. f(x, у) вектор-функциядан
у вектори буйича олинган росила ~ УШ$У
ау
д1
ду
dJxd_fi._d_b:
дУ1 ду2 дуп
dfn dfn _ _ # dfп
dyi ду2 " ’ дуп
матрицадан иборат.
8.1- теорема (Коши теор’емаси).|Агар (8.3) системада fь . • .fn
функциялар (« + 1) улчовли Dn+l тупламда аницланган ва узлук-
сиз бС/либ, бу функцияларнинг yL, . . . , уп лар буйича ^осиласи,
яъни dfi(x,yi^- ' ,Уп) (i,j =1,2, ..., п)функциялар04UKQn+l(Qn+l<=.Dn+l)
тупламда аницланган ва узлуксиз булса, у Цолда-
1°. (8.3) системанинг бирор I интервалда аницлангш’ < ва ихтиё-
рий тайинланган (х0, у^, ... , i/°)GQn+1 нуцта у1' ojh ф, (х0) = z/9
(i = 1, 2, . . . , п) шартни цаноатлантирувчи е" iWMu мавжуд-,
29. Агар ф (х), х£1г ва ф(х), xg/2 вектор-функцияларнинг %ар
бири (8.15) тенгламанинг ечими булиб, ф(х0) = ф(х0) = у0, у° =
==(#о, • • • , УйпГ шарт бажарилса, у %олда бу у = ф(х) ва у=\\,(х)
ечимлар аницланиш интервалларининг умумий цисмида устма-уст
тушади, яъни
Ф(х)^ф(х), хбЛПЛ-
8.3- таъриф. Агарях,у l,..., уп), fz(x,ylt . . ., уп), . . . , fn(x,ylr
. . . ,уп) функциялар Dn+ ] со^ада барча аргумент :ари буйича
аницланган, узлуксиз булиб, шу функциялар учун шундай мусбат
L сон мавжуд булсаки, ихтиёрий икки (x,yw) £Dn+l, (х, y(Z))€Dn+1
нуцта учун ушбу
(п \
b » = 1, 2_____п (8.16)
/=1 7
тенгсизликлар уринли булса, у %олда тегишли функциялар Dn^
со^ада уг, у2, , уп лар буйича Липшиц шартини цаноатланти.
ради дейилади, L эса Липшиц узгармаси дейилади (4.3- таърифга
^аранг).
8.2- теорема (Коши-Пикар—Линделёф теоремаси).
Агар f(x, у) вектор-функция Dn+i сохада барча аргумгнтлари бу-
йича аницланган ва узлуксиз булиб, шу Dn^x сохада уг , . . . ,
у п лар буйича Липшиц шартини цаноатлантирса, у цолда шун-
дай узгармас сон h>0 топиладики, натижада (8.3) системаиинг
(х0, У°1> • - - » У")£Вп+1 булганда ф (х0) = уй бошлангич шартни
цаноатлантирадиган ва I = {х: \х—• х0| < h} интервалда аницланган
ягона ечими мавжуд.
8.3- теорема (Пеано теоремаси). Агар f(x,у) вектор-функ-
ция (п+1) улчовли Dn+i соцада аницланган ва узлуксиз булиб,
(x0,j/°)C£>n+I булса, у %олда (8.15) тенгламанинг у(х0) = у° шарт-
ни цаноатлантирадиган камида битта ечими мавжуд.
2. Ёрдамчи фикрлар. А) Вектор белгилашлардан эркин фойдала-
ниш учун вектор ва вектор-функциялар учун баъзи та'ъриф ва тенг.
сизликлар билан танишиб чизамиз.
Агар у* = (уг.....,уп)* (*—транспонирлашни англатади) вектор
берилган булса, унинг узунлиги ёки модули |j/| ни
Ы = + I у\ + « • . + у'п
формула билан аницлаймиз. Агар модул шундай аникланган булса,
у ва z векторлар учун
1У + А Ы + к|
тенгсизлик с
сондаги в пинли эканини исботлаш мумкин. by тенгсизлик чекли
ектор.^ар уЧун ^ам ТуГрИ1 яъни
1^’’+ . . . + 4/(°| < |У(,)| + • • - + |/’|- . (8.17)
Агар y = q>(x), ф(х) = (Ф1(х), • • .,фп(х))* "вектор-функция би-
рор I интервалда аникланган ва узлуксиз булса, у«^олда I дан олин-
ган х0 учун ушбу
X
•ф(А-)= | ф(т)(/т, Ф(х) = ($!(%), . . ip„(x))*
Xfj
вектор-функцияни аницлаш мумкин, бу ерда:
i]\(x) = x£I, i= 1, 2, . . n,
бундан ташкари
тенгсизлик ^ам уринли.
Бу муносабатларнинг уринли эканини исбот этиб утирмаймиз.
Исботини содда булгани учун китобхонга топширамиз. Энди нугда-
сининг координаталари уъ у2, . . ., уп узгарувчилардан иборат бул-
ган п улчовли бирор фазода А туплам берилган булсин. Агар
z/(l) = ({/!' ’, ... ,Уп})*£к ва у{2} = (у^} , • • , у„2))€Д нукдалар ихтиёрий
булиб, шу у(Ь ва у(2) нукдаларни туташтирувчи кесманинг ^амма
нуцталари А тупламга тегишли булса, у ^олда бу туплам цавариц
тупла'М дейилади. Масалан, исталган улчовли параллелепипедлар,
шар, дойра, текислик, ярим текислик, тугри чизиц бунга мисол бу-
ла олади.
8.1- лемм а. Агар ушбу
dgi
ё(.У) = (.gitgi, , Уп), , gn(yi, • Уп))
вектор-функция цавариц туплам А да берилган булиб, — == л,
dy;
у gА, /г>0 тенгсизликни каноатлантирса, у цолда А тупламнинг
ихтиёрий у ва z нуцталари учун цуйидаги
|£(У) — — z|
(8.18)
тенгсизлик уринли.
Исбот. Кдйидаги u(s) — zA-s(y—z), 0<s<Jl белгини киритай-
лик. Агар s узгарувчи 0<s^l интервалдаги ^амма цийматларни ца-
бул килса, м(с) ну^та у ва z нуктани туташтирувчи кесмани чизиб
чикади. Аммо А туплам кавари^ булгани учун бу и(») нугда доим
шу тупламда ^олади, ундан чи^иб кетмайди. Равшанки, u(0) = z,
.u(l) = у. Шунинг учун Лагранж формуласига кура
= , о<е<1.
ds |s—0
Бунда
dgt(u(s)) dgjkuys), . . -,un(s}) _
ds ds
п п
_ VI dgifUjfs), . . un(s)) duk(s) _ vygift^s), .,u„(s))
dyk ds ~~ dyk ZV‘
fe=i k=i
Шунинг учун:
п п
Is;. (y)-gi (z)| <2^* ~z* l< 27<^“г| = nK\y-A-
k=i k=i
Охирги тенгсизликнинг икки томонини кваДратга ошириб, i буйича
1 дан п гача йигиндини оламиз:
|g(j/) — g(z)|2 = 2Ig/iO — £Az)I2 <2 № I У— г1)2= «2-№- (У —z)2-«.
i—1 i=l
Бундан
з
k(y) — g(z)| =cn2 -K\y~A < n2/c|y—z|.
8.1- лемма исбот этилди.
Б) Агар у=ф(х) функция (8.15) тенгламанинг ф(х0) = у° шартни
каноатлантирадиган бирор ечими булса, яъни
f(x, Ф(х)), ф(х0) = у° (8.19)
муносабатлар уринли булса, у х^олда бу (8.19) муносабатлар битта
ф(х) = у0 + j' f(r, ф(т))йт (8.20)
io
муносабатга эквивалент. Бунинг исботи равшан.
В) (8.20) муносабатдан фойдаланиб, графиги Qn+1 тупламдан
чикмайдиган ^ар бир ф(х) вектор-функцияга ушбу
Ф* W = У° + f f(T> Ф(т))йт (8.21)
функцияни мос куямиз. Агар А ф = у° + j f(x, ф (т))йт операторни
Х0
киритсак, (8.21) муносабат
Ф* = Аф (8.22)
куринишда ёзилади. (8.20) интеграл тенглама эса
Ф=Аф (8.23)
куринишни олади.
Г) Агар ф(х) вектор-функция бирор I интервалда аникланган ва
узлуксиз булса, у ^олда унинг нормасини бундай
||ф|| = шах |ф(х)|
xtl
аницлаймиз.
Энди шу норма тушунчасидан фойдаланиб, I интервалда узлук-
сиз булган ушбу
Фо. Фь ф2, • -,ФР • • (8.24)
вектор-функциялар кетма-кетлигининг текис яцинлашиши таърифини
келтирамиз: Агар lim || ср — ср. || =0 [муносабат уринли булса, у
%олда (8.24) кетма-кетлик I интервалда узлуксиз ср вектор-функ-
цияга текис яцинлашади.
(8.24) кетма-кетлик узлуксиз ср функцияга I да текис яцннла-
шиши учун шу интервалда
оо
И Ф,_р1 — Ф/ 11 at—якпнлашувчп катор) булиши етарли.
Юцорида келтирилган А), Б), В), Г) пунктлардагп тушунчалар-
дан 8.1-теореманинг исботида бевосита фойдаланамиз.
3. 8.1-теорем а н и н г и сботп. Олинган (х0,у°) нуцта очик
Q„+I тупламга тегишли булгани учун, шундай q ва а сонлар мав-
жуд буладикп, ушбу
I* — *о| < q, |у — < а (8.25)
тенгсизликларни каноатлантирадиган (х,п) нукталар яна Q ( туплам'
га тегишли булади. (8.25) тенгсизликлар билап аникланган туплам-
ни П деб белгилаймиз. Шу П туглам ёпиц ва чегараланган. Шу-
нинг учун П тупламда
\f(x,y)\ <Л4. I i,j = 1, 2, ..,п (8.26)
I д’Л 1
тенгсизликлар уринли. Энди П тупламда яна Пл тупламнп курамиз:
пг = {(*> *о| \у—^1
бунда
г < q. (8.27)
Графиги Пг тупламдан чикмайдиган, |х-—х{1| г интервалда
аницланган ср(х) вектор-функциялар оиласини дейлик.
Белгилашга кура |х—х0{ < г интервалда аницланган ср функция
Qr га тегишли булиши учун шу интервалдан олинган ихтиёрий х
учун
' |Ф(*) —(8-28)
тенгсизлик бажарилиши зарур ва етарли. Бундан Qr туплам кава-
рик экани куриниб турибди.
Куйидаги икки шартни баён этайлик:
а) Агар cpgQr булса, у :\олда <р* = АсрбЦ..
б) Шундай k сони, 0<#<1 мавжудки, ХбЦ- функциялар
учун ушбу
(8.29)
тенгсизлик уринли булади.
Шу а) ва б) шартлар бажарилиши учун г сони цандай булиши
лозимлигини урганамиз. •/
Аввал а) шартни олайлик. Равшанки, ф* = АфЕС2г булиши учун
|х — х0|^г интервалда |ф*(х)—у"\а тенгсизлиги бажарилиши за-
рур ва етарли. Содда цисоблашлар (8.21), (8.26) ларга кура
|ф* (х) — J/°l = I {Г(т,ф(т))б/т|С| [[/(т, Ф(т))|с1т| < х0| < Mr
хс х0
булишини курсатади. Бундан
тенгсизлик бажарилганда |ф*(х)— j/°| а келиб чикади ва а) шарт
уринли булади.
Энди б) шартни оламиз. Куринадики, fir цаварицлигидан (8.18)
тенгсизликка кура ушбуга эгамиз:
|Ф* (х) — х* WI = | f (f(т, ф(т)) — f(t, х(т)) dx|
< I J I f(x, ф(т)) — f(т,х(т))Ит|<| J я2/г|ф(т)—х(т) | dx|.
Xq Xq
||Аф — Ах|| = П* — X*|l — х||
тенгсизлик келиб чикади. б) шарт бажарилиши учун
k<\, (8.31)
п-д
тенгсизлик уринли булиши лозим. Шундай цилиб, г сони (8.27),
(8.30) ва (8.31) тенгсизликларни цаноатлан-тиради. К,уйида шу тенг-
сизликлар уринли деб цараймиз. ф0(х) у° деб белгилаб, |х—х0| <г
интервалда аникланган ф^х), . . . , ф/х), - • • вектор-функциялар
кетма-кетлигини
<PZ+I =Лфр i = 0, 1, . . ..' (8.32)
формула ёрдамида аницлаймиз. ф0£С2г булгани учун Ф^СР,.. ф2СЦ-, . . -
Ф^йг.......^уйидагиларга эгамиз:
||фг— Фо II = тах^/х) — у°| а,
II Ф/+1 — ЪII = ПЛ(Р« — И < И Ф; — Ф£-1П || Ф/-— Ф/-2 И <
С . . . < kl \|фг — ф0|] < kl а.
Шундай цилиб:
(8.33)
Демак, г) га кура 18.32) билан аникланган кетма-кетлик Qr га те-
гишли узлуксиз ф функцияга текис яцинлашади. Шу функция
(8.23) тенгламани ^анбатлантиради. ^акикатан, аввало Аф0, Лф15
, . . . , Лф(., . . . кетма-кетлик Аф функцияга текис я^инлашади.
Буни курсатиш учун б) шартга кура || Аф — Афг || sg k || ф — ф.]| тенг-
сизликни ёзамиз. (8.32) да 1ч-оо да лимитга утсак, ф=Аф фосил
булади.
Шундай килиб, (8.15) вектор-тенгламанинг ф(л°) = у° шартни
каноатлантирадиган ва |х— х0|<;г интервалда аникланган г/=ф(х)
ечимнинг мавжудлиги курсатилди.
Ечимнинг ягоналигини курсатамиз. у = ф(.г) ва у = %(х) функ-
циялар хар бири уз аникланиш интервалида (8.15) вектор-тенгла-
манинг ф(х0) = Х(х0) = у° шартни каноатлантирадиган ечими булиб,
аникланиш интервалларининг умумий кнеми rr<;.r<r2 булсин. .\о-
зир r\<Zx<Zr» интервалнинг бирор лф нуктасида ipf.v,) = 7.(лф) теиг-
лик бажарилишидан |х— (/—етарли кичик мусбат сон) ин-
тервалда ф!х) — А(л) айният уринли экани келиб чикишинп псбот-
лаймиз. г/1 = ф(->ф) = x(Ai) десак, х0,у° ларни бошлангич кийматлар
сифатида олишимиз лозим. Бу цийматлар х0, у° лардан фар|\ килмай-
ди. чунки шу кийматлар учун хам ф(х0) = - хОф) = уи. Шунинг учун
х0, у° лардан фойдаланамиз. Олинган ф(х) ва %(х) функциялар
ечим булгани учун ушбу X Ах айниятлар уринли. Аввал-
гидек £)п+1 тупламда маркази (л0, J/0) нуцтада булган П тупламни
оламиз, сунгра П,. тупламни шундай танлаймизки, г сони (8.27),
(8.30), (8.31) тенгсизликларни |\аноатлантириши билан бирга |х—
-—х0| < г интервалда ф ва X функциялар учун
№(х) — j/°| < а, |х(х) — j/°| < а
тенгсизликлар уринли булсин. Бу мумкин, чунки ф(х), Х(х) функ-
циялар узлуксиз. Шунинг учун |х—х0| С г интервалда аникланган
ф(х), Х(х) функциялар йг оилага тегишли булади. Демак,
№ — Х| = ||Аф—А(х)|| k |]ф — xl|
тенгсизлиги уринли булиши лозим. Бу муносабат факат [|ф—у|| = 0
ёки ]х—х0| < г да ф(х)=Х(х) айният уринли булгандагина тугри.
Энди ф(х) = Х(х), г1<х<гг эканини курсатамиз. Бирор х*,
г1<х*<гг цуидада ф(х*) %(х*) булсин. Албатта х„#=х*, чунки
х0 ну^тада ф(х0) = Х(х0). Ани^лик учун х*>х0 дейлик (x*<Zxn
булганда хам муло^азалар ухшаш). Ушбу х0 «С х < х* интервалнинг
ф(х) ва х(я) функцияларнинг киймати тенг буладиган нуцталари
тупламини N* деймиз. Шу N* туплам ёпик. ^акикатан, ту.тф, . . . лар
N* тупламнинг т нуктага якинлашадиган ну^талари кетма-кетлиги
булсин. Бунда Ф(т1.)= х(т,) ва Ф(А')> К(А) функцияларнинг узлуксиз-
лиги учун
ф(т) = Ига ф(т2) =lim Х(т,) = х(^),
/—>оо >оо
демак, т£А/#. Шундай цилиб, туплам ёпи^. Унинг ю^ори чега-
расини хг дейлик. Равшанки, хг^=. х* валфСх*. ф(лф) = х(А0-
Юцорида исбот этилганига кура бу тенгликдан ф(х) ва 7.(х) фун^-
циялар бирор \х—хх| < г интервалда устма-уст тушиши керак. Де-
мак, Л] нукта N* тупламнинг юкори чегараси була олмайди. Бу зйд-
дият ечимнинг ягоналиги исботини, шу билан бирга 8.1 - теорема
исботнни, нихоясига етказади.
3- §. НОРМАЛ СИСТЕМА УЧУН е- ТАКРИБИЙ ЕЧИМ.
1. е- та^рибий ечим тушунчаси ва унинг мавжудлиги ^а^ида
теорема. Нормал система учун ^ам ^осилага нисбатан ечилган би-
ринчи тартибли битта тенгламадаги каби е- тацрибий ечим тушунча-
сини киритамиз.
8 .4-та ъриф. (8.15) вектор-тенглама берилган булиб, унда
f(x,y) вектор-функция Dn+l тупламда узлуксиз булсин. Агар би-
рор I интервалда аникланган у = ср(х) вектор функция учун ушбу
туртта шарт:
Г. (x,cp(x)) х£Р,
2 • (Г(А')ЕС. ф(х) ЕС1, x£I/S, бунда S туплам d^xX росила 1-тур
dx
узилишга эга булган ски мавжуд булмаган нуцталар туплами,
3 • ||^ - f(x,q(x)) || < r,x€//S;
dx
4' S—чекли туплам,
уринли булса, у Х(олда у — <р(х) вектор-функция I интервалда
(8.15) вектор-тенгламанинг е- тацрибий ечими дейилади.
Бу таърифдан куринадики, агар е = 0 ва S = 0 булса, ср(х)ЕС1,
х£1 ва d^x- f(x, f([(x)), xpl булади. Бу ^олда биз система учун
dx '
ечим таърифига эга буламиз.
8.4-теорема. Агар (8.15) вектор-тенгламада f(x,y) вектор-
функция цамма нуцталари билан Dn+l тупламда ётган (н+1)
улчовли Р = {(х,у): |х — х0| С а, (yt — // = 1, . . ., п} параллеле-
пипедда (8.2 - теоре-мага царанг) узлуксиз булса, у цолда е>0
цандай булмасин (8.15) вектор-тенгламанинг |х •— х()| h,
ft=min(tz ~ Mmax|(x. у)\ интервалда ср(х0) — у бошлангич шарт-
\ ’ М (х.икн
ни каноатлантирадиган у — <р(х) г- такрибий ечими мавжуд.
Исбот. е >0 берилган булсин. Биз х0 х < х0 + ft интервалда
е-тацрибий ечимни курамиз (х0— ft^x^x0 интервалда ^ам е- тац-
рибий ечим шунга ухшаш курилади).
Энди Р параллелепипед билан бирга ушбу
Ph = ((*. УУ1* — *о| < /г. \У1 — У°\ ь,1 = 1.2. • • п}
Ph = УУ хо < х *о +/г. 1'Л — У°11 < = 1 >2, • • • , п}
параллелепипедларни курамиз. Равшанки, P+czPhczP0. f(x, у) вектор-
функция ёпи^ Р тупламда узлуксиз, шунинг учун у шу тупламда
текис узлуксиз булади. Демак, берилган а > 0 га кура шундай
6(e) >0 топиш мумкинки, агар (х,у)£Р, (х, у) £Р нуцталар учун
\х — х\ 6(e), |у —~у1 6(e)
тенгсизликлар уринли булса,
. \I(x,y) — fCx,'y)\^e (8.34)
тенгсизлик цам уринли булади.
Олинган х0 х х0 + h интервални т та тенг булакка була-
миз. Булиш нуцталари х0, хг, х2, . . . , хт лар цуйидагича булади:
х. = хп + k —, k — 0, 1,2, . . . , т.
R ГП ~
Бу нуцталарни шундай танлаймизки, цар бир xkl х xk, k = 1,
2, . . . , tn интервалда
шах | xk - xft_, | < min ^6(e),
тенгсизлик бажарилади. Текширилаётган x0 sg x < x0 + h интервал-
да аникланган булакли-чизшуш вектор функцияни тузамиз:
(ГП)
h k~l
У° + (ХгУ{т)} + (Х~ X^(Xk^m)),
1-0
xk < х С xfe+I, k = 0,1, . . ., т — 1,
(8.35)
бунда (/(Д)—вектор мицдор булиб, пастки индекс булаклар сонини,
юцоридаги индекс у (х) векторнингх.=х0+г — нуцтадаги цийма-
тини англатади. Шу векторни бундай аницлаймиз:
У(гп)=У^) + У(^1))-
. (8.35) формула билан ёзилган у{т}(х) вектор-функция (8.15) век-
тор-тенгламанинг х0 х х0 + h интервалда аницланган е- тац-
рибий ечимидир. ХаКиКатан. аввал е- такрибий ечим таърифининг 1э
шартини текширайлик. Буни математик индукция у сули билан
исботлаймиз. k = 0 булсин. Бу цолда
У(т№ = У" + (х — xo)f(xo,y°), х0 х Хр
Равшанки, | у<т}( х) — у° | = | х — х0 | • | f(x0,y°) | < т~-М^
= Ь, яъни (х, У(т}(х)) £ Р+. Фараз этайлик, х0 х С хл
интервалда (х,</(т)(х)) ^Р+ булсин. (8.35) формулага кура
. k-i
1 У- У° I = I ^Х1'У{'п) + ~ Xk)f(Xk> У(т) )1 <
/=0
k
«-г-21 f i/iJ | < -w (к+')м <=hM « т м -ь-
i=0
Демак х0 С х С xk+l интервалда (х, у{т}(х)) £ Р+. Шундай килиб,
1 ° шарт бажарилади. 2° шарт ^ам бажарилади, чунки (8.35) функ-
ция булакли-чизицли узлуксиз вектор-функция. Таърифдаги S дуп-
лам х1г х2, .... хт_1 ну^талардан иборат.-^ (У{т](х) функция бу-
лакли-узлуксиздир.
Энди 3° шартни текширишга утамиз. Содда ^исоблашлар
| х - xft| < max | хл+1 - Xk\ С (б(с), с 6(c), xk с х С xft+t.
km)W ~ <) 1= l*~ f \^TM = Xk^X ^XK+1
булишйни курсатади. Топилган тенгсизликларга асосан
I f(xk> У(,п) ~f(x> I С х С xk+lt
ЯЪНИ
|т--------f(*>*/(m)W)|
(8.35) дан x = x0 булганда y(m)(x0) = y0, чунки бу холда x0= Xk
k = 0. Шундай килиб, 8.4- теорема исбот этилди деса булади, чунки
Р^—{(х,у) '• *о— й С х С х0, | — у°\ С b i = 1,2 ... , п} тупламда
^ам (л0, у°) бошлангич ^ийматларга эга булган е- такрибий ечимни
г;уриш мумким.
2. Нормал система учун Пеано теоремаси. Аввал цуйидаги ту-
шунчаларни киритамиз.
8.5-таъриф. Агар вектор- функциялардан тузилган
h(x), f2(x), ... , frn(x), . .'. (8.36)
функционал кетма-кетлик учун шундай b узгармас сон топилсаки,
барча натурал т сонлари ва х0[— h С х С х0 + h интервали учун
IU*)I
тенгсизлик Уринли булса, у \олда (8.36) вектор кетма-кетлик ёпи$
х0— h С х х0 + h интервалда текис чегараланган дейилади.
8.6- т а ъ р и ф. Агар ёпи^х0 — h х х0 + h интервалда узлук-
сиз вектор-функциялардан тузилган (8.36) кетма-кетлик берилган
булиб, %ар цандай е>0 берилганда Ха’м шундай 6>0 топилсаки,
барча т лар учун | х' — х" | < 6 тенгсизлик бажарилганда ушбу
(8.37)
тенгсизлик %ам уринли булса, у \олда (8.36) кетма-кетлик те-
кис даражали узлуксиз дейилади.
Энди Асколи-Арцеланинг му^им теоремасини келтирамиз:
8.5-теорема. (Асколи-Арцела теоремаси). Агар (8.36)
вектор кетма-кетлик чекли х0 — АС х х0 + h интервалда те-
кис чегараланган ва текис даражали узлуксиз булса, у %олда
(8.36) вектор кетма-кетликдан уша интервалда текис яцинлашув-
чи цисмий кетма-кетлик ажратиш мумкин.
Баён этилган теореманинг исботини математик анализ дарслик-
ларидан у^иш мумкин. Шунинг учун биз уни келтирмаймиз. Аммо
бу теоремадан Пеано теоремасини исбот этишда фойдаланамиз.
Ни^оят, система учун Пеано теоремасининг (8.3- теоремага ца-
ралсин)е исботига утамиз. D„+I туплам учун шу тупламнинг ^исми-
дан иборат ёпи^ Ph параллелепипедни куриш мумкин. х0’— h х <
х0 + h интервалда аникланган ва у(х0) = у° бошлангич шартни
каноатлантирадиган камида битта ечим борлигини исботлаймиз. Рав-
шанки, (х, у) £ Ph да max | f(x, у) | = М, h = min • Энди
шундай (еп), _еп>0 сонлар кетма-кетлигини оламизки, п->оода
е„->-0. 8.4-теоремага кура ю^оридаги шартлар бажарилганда Ph туп-
ламда (x0,z/°) ну^тадан утувчи, х0 — h С х х0 + h интервалда
аникланган у{т}(х)— ет- такрибий ечимга мос Эйлер синиц чизиги
мавжуд. Бирор л'С[х0 — h, х0 + А] нуктани олайлик. Бу нукта учун
h(m)W — '/(,„>(*)! —х| (8.38)
тенгсизлик уринли. Бундан (*/(m)(*)} кетма-кетликнинг текис дара-
жали узлуксизлиги келиб чикади. х = х0 булсин. У ^олда | х — х0|
-С h булган идан:
I У(т)(Х) — У(т)(Хо) I М I Х — *0 I < Ь-
Маълумки, ушбу
—'/°1 >|//(т)(х)|—|г/°|
тенгсизлик доим тугри. Бундан | y{rn}(x) | sg I у° | + Ь. Охирги муно-
сабат (z/(m)(x)} кетма-кетлик текис чегараланганини курсатади. Энди
Асколи—Арцела теоремасига кура {г/(т)(л)} кетмя-кетликдан вектор-
функция у(х) га х0—/1 С х < х0 ф й интервалда текис Я1\инлаша_
диган пиемий вектор кетма-кетлик ажратиш мумкин. Уни }
деб белгилайлик. Кулайлик учун кисмий кетма-кетлик урнида яна
{t/(m)(-x)} белгидан фойдаланамиз. (8.38) да т-^r- ос да лимитга ут-
сак,
\У (*)]— г/(х)|<М|х — х|
тенгсизликка келамиз. ет-та^рибий ечим учун унга мос интеграл
тенгламани ёзиш мумкин:
У<т) W = У0 + У<т№ + Дт(^))^. (8-39)
бу ерда
IА- И = | ~ У^Ю) | е [х0 - х0 + h] \ S
Лт(х) = 0, x£S. Энди (8.39) муносабатда (</(m)(-^)}
цисмий кетма-кетлик булса, m -> оо да ушбу
У(х) = у°+ ]f$,y(Z)dl
интеграл тенгламага келамиз. Бундан z/(x°) = у°, ян a f(x,y) функ-
ция Р параллелепипедда узлуксиз булгани учун ~~ ~ f (х,у (х)).
Демак, у = у (х) вектор-функция у(хи) = у0 шартни каноатлан-
тиради ва х0— h х С х0 + h интервалда (8.15) вектор тенглама-
нинг ечимидир. Шундай килиб Пеано теоремаси исбот булди.
4-§. ЕЧИМНИНГ БОШЛАНГИЧ КИЙМАТ ВА |ПАРАМЕТРЛАРГА
УЗЛУКСИЗ БОГЛИКЛИГИ
1. Дастлабки маълумотлар. Аввалги параграфда бошлангич хий-
матлари х0, у0 булган ечимни q(x, хи, у0) деб белгиладик. Бу век-
тор-функция (п + 2) улчовли тупламда аникланган булиб, х, х0,
у°, . . . , у® ларнингфункциясидир. х буйича тегишли интервалда узлик-
сизва узлуксиз дифференциалланувчи булган бу вектор-функция х0 ва
>У° ларга цандай богланган?— деган савол тугилади.
Ушбу
(У' = ^,У), (8.15)
I У (*о) = У° (8.40)
Коши масаласида x = g— хп, у — ц— у° алмаштиришни бажарамиз
натижада юцоридаги масала цуйидаги
-^г = f(!j — х0, П — У0),
71(0) = 0
Коши масаласига келади, бунда бошлангич кийматлар тайинланган;
£ — 0, т] = 0. (8.15) вектор-тенгламани — = f(£ — х0, л'—У°) каби
ёзиб, хи, у° ларни параметрлар деб караб, ечимнинг шу параметр-
ларга богликлигини текшириш мумкин. Шу усул билан ечимнинг
бошлангич кийматларга богликлигини текшириш тегишли ечимнинг
параметрларга богликлигини текширишга келтирилади.
2. Ечимнинг параметрларга узлуксиз боглицлиги. Ушбу
= (8-41)
ах
у = (//1, • • , !/„)*, и = (Mi, • , mJ*,
вектор дифференциал тенглама берилган булиб, унинг унг томони
f(x,z/,p) вектор-функция (и + / + 1) улчовли /?п+,+1 фазонинг бирор
очиц jDn+z+I тупламида аникланган ва узлуксиз, шу билан бирга
dfl{x’ у’ р), i,j= 1,2, . . . , п (8.42)
ду> k 7
функциялар ^ам уша D„+z+i тупламда узлуксиз. фазонинг
ну^таларини (х,у,ц) деб белгилаймиз. х0 ва у° бошлангич ^иймат-
ларни тайинлаймиз. М билан р параметрнинг шундай ,\ийм атлари
тупламини белгилаймизки, (х0, у°, р) нукта Dn+l+l тупламга тегиш-
ли булади. Демак, агар р ЕЛ4 булса, у ^олда (х0, у°, р) Е^„+/+1 бу-
лади, ва аксинча, агар (х0, у°, р)ЕОп+/+1 булса, у ^олда р Е А1
булади.
Киритилган М туплам очи^. )(ар бир (ръ . . . , рс) £Л4 нуцтага
(8.41) вектор-тенгламанинг х0, у° бошлангич цийматларга эга бул-
ган ва m/p)<.Y<m,(p) интервалда аникланган давомсиз ечими
qj(x,p) мос келади (1-бэб, 12-§ даги муло^азалар вектор-тенглама
учун ^ам уринли). Шу q>(x, р) ечим аникланган тупламни Т дей-
лик. Бу туплам х, р жуфтликлар туплами булиб, унда <р(х, р) аниц-
ланган. Демак, Т тупламнинг нуцталари учун p£AI, mjy.)<ix<i
< муносабатлар уринли.- М туплам I улчовли, Т туплам эса
(I + 1) улчовлидир. Энди ечимнинг параметрларга узлуксиз богли(\-
лиги ^ацида теоремани баён этамиз:
8. 6-теорема. Т туплам очиц трпламдир. Вектор-функция
q(x,p), эса барча аргумент лари буйича Т тупламда узлуксиздир.
Исбот. (х*, р*) ЕТ — ихтиёрий нукта. (х*,р*) нуктага етарли
я^ин булган (х,р) ну^та >;ам Т тупламга тегишли ва <р(х,р)— <р(х*,
р*) айирма кичик эканини исбот этамиз. У ^олда теорема исбот
этилган булади.
Аввал х* > х0 дейлик. q>(x, р*) функция х = х* да аникланган
булгани учун х*<ш2(р*) булади, шунинг учун шундай г2 сон мав-
жудки, х*<;г.2<т2(р*) тенгсизлик уринли ва ср(х, р*) ечим, жум-
ладан, х0 < х г2 интервалда аникланган булади. х узгарувчи шу
интервалдаги ^ийматларни кабул цилиб чикса, (х, <р(х, р*), р*)
нуцта ^ам pn+l+l фазода бирор Q чизи^ни чизиб чицади. Энди а
ва b икки мусбат сон булсин. П деб фазода ушбу
х0 х -С г2, | у—<р (х, р*) | С а, |р — р*|С/’ (8.43)
тенгсизликларни каноатлантирадиган (х,у, р) нуцталар тупламини
белгилаймиз. Маълумки, Q,—ёпиц, чегараланган туплам. Шунинг
учун шундай а ва b лар мавжуд буладики, ушбу Пс£>п+,+1 пге-
гишлилик шарти бажарилади. Бундан кейин а ва b лар шу шарт-
ларни каноатлантирйди деб ^исоблаймиз.
f(x,y,p) вектор-функцияни П тупламда курамиз. (8.42) функция-
лар узлуксиз булгани учун (8.18) тенгсизликка асосан П тупламда
| f (х,у2,у) - f(x,y\ р) I п*к I У2 - у1\, (8.44)
бундан
dfl (х.У.Р)/ < к
dyj '(x.v.nfti
тенгсизликка эга буламиз. Эслатиб ^тамизки, f(x,y,y) функция П
тупламда текис узлуксиздир. Бундан шундай мусбат монотон 02 (е),
е>0 ва е билан бирга нолга интилувчи функциянинг мавжудлиги
келиб чи^адики, П тупламнинг (х,у,у*) ва (х,у,ц) нуцталари учун
1— f (х,у,ц*) | < ₽.2( | р — р* |) (8.45)
муносабат уринли булади,
у = <р(х,р) (] р — Р* | < Ь) функция (8.41) тенгламанинг (х0, у0) бош-
лангич кийматларга эга булган ечими булсин. Давомсиз ечимларнинг
хоссасига кура (1-боб, 12-§), (х, ср(х,р), р) нуг;та ёпи^ П туплам-
дан х->-т2(р) да чициб кетади. Шу нуктанинг П туплам чегараси-
га биринчи марта боришига тугри келган х нинг цийматини х2
дейлик. Равшанки, х0< х.2 С г.,. Энди xn С х С х2 интервалда р ва
р* лар учун (8.41) тенглама урнига интеграл муносабатларни ёзамиз:
ср(х,р) = «/"+ if(T, ’1 (т, p\p)dt, х0 х < х.,,
X п
X
ср (х,р*) = у° + jf (т,ср(т,р*), p*)d-r, х0 х < х2.
*s
Бундан:
ср (х,р) — ср (х, р*) = f(f(T, ср(т,р) р)—4(т,тр(т,р*),р*))с1т,х0 х х2.
Хо
Бу айирмани ба.\олаймиз. (8.44) ва (8.45) муносабатлардан фойда-
ланиб, ^уйидагини топамиз:
I <Р (х, р) — ср (х,р*) | < [ | /(т,ср(т,р)р)—Дт,ср(т,р*)р)| +
х о
+1 f(T,cp(T,p*), р)—[(T,cp(T,p*) р*) | ] dx < I [ п2к| <р(т,р) — <р(т,р*) | 4-
ХО
+ ₽2( IМ — Р* I )] dx:.
Охирги муносабатда а (х) = | ср (х, р) — ср (х,р*) | деб, шу муносабат-
га (2.13) тенгсизликни куллансак, х0 < х С х2 интервалда ^уйида-
гига эга буламиз:
. / \ i । Рг( I н—н* I)
| <Р (^,Р) — <р(х,Р*) | ।
РзЧ I И—Р* I) / еп'К(г.-хо) _ Л = Сгр2 (| и_ ц* I(8.46)
Ушбу
Р2
CzPztPz) < а
(8-47)
(8.48)
тенгсизликларни каноатлантирадиган р.2 мусбат сонни оламиз. Пара-
метр р
| р — р* I < р2
(8.49)
тенгсизликни 1(аноатлантиради деб ^исоблаймиз. х2 = г2 эканини
курсатиш мумкин, яъни бунда ср(х,р) функция х0 < х С г,2 интер-
валда аникланган булади. ^а^икатан, (х2, <f(x,,p),p) ну^та шарт
буйича П тупламнинг чегарасида ётади. Шунинг учун (8.43) тенг-
сизликлардан камида биттаси анш\ тенгликка айланиши керак.
(8.47) ва (8.49) тенгсизликларга кура |р—р*|<£. (8.46), (8.48)
ва (8.49) муносабатларга кура | ср (х2,р)— ф(х2,р*) | < а. Ни^оят,
х2>х0 булганидан факат х„ = булиши зарур. Демак, х2 = г2.
Шундай 1(илиб, х* > х0 булганда шундай г2, г2>х* ва р.2,
р.2> 0 сонлар мавжуд буладики, ва | р — р* |<р2 бул-
ганда (х,р) нукта Т тупламга тегишли ва (8.46) тенгсизлик уринли
булади.
Шунга ухшаш, х* > х0 булганда ^ам шундай /уСх*. р,р1>0
сонлар мавжудки, С х < х0 ва |Н — Н* I < Рс булганда (х,р) нуг;-
та Т тупламга тегишли ва
I Ф (*,М) — ф(х,Р*) | < Ci₽c( | И — И* I)
(8.50)
тенгсизлик уринли-булади.
Юкоридаги фикрларни бирлаштирамиз. Агар (х*, р*) ну^та Т
тупламга тегишли булса , у ^олда х0 нуктага нисбатан х* нуцта
цандай жойлашган булмасин, доимо шундай мусбат г ва р сонлари
мавжуд буладики,
| х — х* | < г, | р — р* | < р
булганда (х, р) Hyiyra Т тупламга тегишли ва
(8:51)
I ф(*,Р) — ф(х,М*) | < с₽( | р — И* |) (8.52)
тенгсизлик уринли булади. (8.51) тенгсизликни каноатлантирадиган
(х,р) нудталар туплами (х*, р*) нуктанинг атрофини ташкил этга-
ни учун Т туплам очсщдир. Энди ф(х,р) функция (х*, р*) ну|\тада
узлуксиз эканини курсатамиз. Равшанки,
I Ф(*.Р) — ф(**,Р*) | < I ф(*,Н) — ф(*,Р*) I + IФ (*. И*) — Ф (**. И*) |-
Бу тенгсизлик унг томонидаги биринчи ^ад |р— р*| ифода кичик
булганда, иккинчи ^ад эса |х—х*| ифода кичик булганда ?;ар г;ан-
ча кичик булиши мумкин. Бундан <р(х,р) функция уз аргументлари
буйича узлуксизлиги келиб чикади. Теорема исбот булди.
3. Ечимнинг бошлангич 1\ийматларга узлуксиз богли^лиги.
куйидаги
= f(xtg)
ах
вектор-дифференциал тенглама берилган
ги f(x,y) вектор-фунция (п + 1) улчовли
(8.53)
булиб, унинг унг томон ида-
Rn~ фазонинг бирор очиц
D„+I тупламида аницланган ва хусусий
2, .... п билан шу D . ,
’ > j п 4-1
^осилалари i, j = 1,
тупламда узлуксиз булсин. Dn+l туплам-
нинг хар бир (g,Tj) Hyiyracura (8.53) вектор-тенгламанинг х0 = g,
yD — т] бошлангич шартни каноатлантирадиган ва т^ц) < х < /n.2(g,T])
интервалда аникланган давомсиз ечими <r(x,g,T]) мос келади.
х, g, rjj, т].2...узгарувчилар фазосининг Dn+i тупламга те-
гишли (g,T]) нукталарга ва Z7z,(^,r] ) < x<m.,(g,T]) тенгсизликни ца-
ноатлантирадиган х ларга мос келган (x,g,T]). нуцталардан тузилган
тупламини S деб белгилаймиз. Энди ечимнинг бошлангич кийматлар-
га узлуксиз богликлиги .хацнда теоремани келтирамиз.
8.7-теорем а. (8.53) вектор тенгламанинг g,t] бошлангич кий-
матларга эга булган давомсиз ечими (f(x,g,T]) аникланган S mijn-
ла'м х, g, t]j, : . . , т]п узгарувчилар фазосида очицдир. Сунгра <р (х,
g,T]) вектор-функция барча аргументлари буйича S тупламда уз-
луксиздир.
Бу теоремани исбот этиш учун узгарувчиларни алмаштириш ёрда-
мида тайинланган бошлангич кийматларга эга булган ечимнинг па-
раметрларга боглицлигини текширишга олиб келинади, сунгра 8.6-тео-
ремани цулланилади.
5-§. ЕЧИМНИНГ БОШЛАНГИЧ КИЙМАТ ВА ПАРАМЕТРЛАР [БУЙИЧА ДИФФЕ-
РЕНЦИАЛ ЛАНУВЧИЛИГИ
1. Ечимнинг параметрлар буйича дифференциалланувчилиги.
Бизга (8.41) вектор дифференциал тенглама берилган булиб,-
, . . (х.у.р) dfi (х,у,ц) . . . . о
f.(x, У,у), —5----—5-------, I, 1 — 1,2, ... , п\ k — 1, 2, ... ,
ду, dnk ’ ,J ’ ’ ’ ’
функциялар (и’+ /+ 1) улчовли очиц Dn^l+I тупламда аникланган
ва узлуксиз булсин.
Дифференциалланувчилик ^ацида теоремага утишдан аввал кела-
жакда ишлатиладиган Адамар ле'М'маси билан танишамиз.
8. 2 - ле мм а (А дам а р л ем мае и). Ушбу g(xlt х2, ... , хр; и1г
u.lt . , uq) скаляр функция р + q аргужнтли булиб, у шу ар-
гумттлар фазосидаги Д тупламда аникланган ва Д туплам и1г
щ,, ... , uq лар буйича цаварик булсин. g(x,u) ва^^1^, j = 1, 2,
. . . , q, х = (xlf . . : , хр) и = (ult . . . , u^) функциялар Д mtjn-
ла'мда узлуксиз дейлик. У Цолда Д дан олинган икки (х, и(1) ), (х,
и(2)) нуцта учун цуйидаги
я
g(x,u™) — g(x,uw) = 2 ft/(x>u(1). u<2>) (u/2> — «j”) (8.54)
j=i
муносабат уринли, бунда h.(x, u(1), u(2>), / = 1,2, . . . , q функ-
циялар (p + 2g) та xt, . . . , xp\ u^, . . . , u*1); , и® ap-
гументларнинг цийматлари учун аницланган ва узлуксиз (агар, ху-
сусан, uw — и(2) булса хам (8.54) уринли ва
h {x, и, и) — q(x,u)}.
1 dta
Исбот.
co(s) = u(1) + t(u{2}—ы(1)), 0<s<l (8.55)
вектор-функцпянп курайлик. Равшанки, оЯО) = u(1), <o(l)' =u(2) бу-
либ, (8.55) формула буйича s пинг (0,1] интервалдап олинган барча
цийматларида н(1) ва tz(2) нуцталарни туташтирувчп кесманипг нуц-
талари цосил булади. Сунгра цуйидагига эгамиз:
g (х, ы(2)) — g (х, и(1))= £(х,<о (1)) — g(x,<.>(0)) =
i. д ' ' д д
= | -^-gU',w(s;)ds,-^-g(x, w(>)) -^-g(x,o)1(s), . , cof/(s) =
о
dg (x,m(s))
ЛО;
Ушбу
, , (1) (2)ч С dg(x,a(s)).
/гДх, г/ Ф ') = ds
о
белгилашни киритсак,
1 g
g(x,u(2)) — g (х, u(1)) = J (2 dq{x}d’^-S}} (Ц)2) — и?') ds =
‘o j- 1 7
= 2( I'—^(s)) ds) (г42) - “Г1) = 2/г/х’ы(1)-и'2)) (*42)—41’)
J=1 6 i=l
муносабат цосил булади. Бу эса (8.54) муносабатнинг узгииасидир.
Адамар леммаси исбот булди, чунки юцоридаги белгилашдан
dg (x,<o,(s)) • , 'л
— g— /= 1,2 ... , q нинг узлуксизлигидан ларнинг уз-
луксизлиги келиб чицади. Кейинги мулоцазаларда 8-6-теоремадаги
белгилашлардан фойдаланамиз.
8.8-теорем а. Агар (8.41) вектор дифференциал тенгламада
f(x,y,p) вектор-функция ва унинг у ва ц лар буйича барча хусу-
сий %осилалари (п + I + 1) улчовли очиц Dn+l+l тупламда аниц-
ланган ва узлуксиз булса, у холда берилган тенгламанинг Т туп-
ламда аницланган ф(х,р) ечими учун , i = 1, 2, . . . , п;
Фа
k = 1,2,. . . , I хусусий ^осилалар шу тупламда аницланган ва узлук-
<Яр(- (х,р)
сиз булади. Ундан таитцари—ч-ч---г = 1,2, ... , п, k = 1,2, . . . I
аралаш ^осилалар хам Т тупламда аницланган, узлуксиз ва диф-
ференциаллаш тартибига бое лиц булмайди.
Исбот. Теоремани исбот этиш учун Т тупламнинг ихтиёрий
(х*, р*) нуктаси атрофида <р(х, р) функциянинг ^осилалари мавжуд
ва узлуксизлигини курсатиш лозим. Унинг учун аввал х, у, р уз-
гарувчилар фазосида у ва р лар буйича кушари^ булган Д тупламни
цурамиз.
Ф(х,р*) вектор-функция х=х* да аникланган. Шунинг учун х0 ва
х* ни уз ичига оладиган шундай х < г2 интервал (/у < х0 < гг,
n<Zx* <г2) мавжудки, ф(х, р*) функция шу интервалда аниклан-
ган булади. х узгарувчи < х г2 интервалдан цийматлар кабул
килганда (х, ф(х,р*), р*) нуцта очиц £*n+z+1 тупламда узлуксиз чи-
зиц чизади. а ва b—-икки мусбат сон булсин. Ушбу
G х «С г2, [ у — q (х, р* ] < а | р — р* ] < b
(8.56)
тенгсизликларни каноатлантирадиган туплам очш\ D„+z+1 тупламда
^амма нукдалари билан жойлашган булсин. Шундай р 2> 0 мавжудки,
2р<й ва |р — р*|<2р булганда ф(х,р). функция /у х /у ин-
тервалда аницланган ва шу интервалда | <р(х,р)—ф(х,р*)[<а тенг-
сизлик уринли булади: Цуйидаги
г1<х<г., 1у—ф(х, р*)[<а,1р — р*|<2р
тенгсизликларни каноатлантирадиган (х, у, р) нурдалар тупламини
Д деб белгилаймиз. Равшанки, бу Д туплам очи^ ва у,р лар буйи-
ча кавари^.
Энди ek билан I улчовли фазонинг k уци буйича йуналган бир-
лик векторни белгилаймиз. р(1) ушбу [р(1> — Р*[<р тенгсизликни
каноатлантирадиган бирор вектор, т эса, [т| < р тенгсизликни кано-
атлантирадиган сон булсин. р<2) = р(1) + xek дейлик. У ^олда уш-
буга эгамиз:
|р<1) —р*|<2р, [р(2) —р*|<2р.
Шунинг учун < г интервалда
| ср (х,р(1)) — ф(х,р*) | < а, | ф(х, р(2)) — ф(х,р*) [ < а
тенгсизликлар уринли. Шундай р^илиб, х узгарувчи rl<Zx<Z.r2 ин-
тервалдан барча цийматларни цабул килганда (х, ф, (х, р(1)), р(1)) ва
(х, ф(х, р<2)). р<2)) нукталар барча нукталари билан очир; Д да ёт-
ган чизикларни чизади. Агар х = х, и ~ (у, р), g(x, и) ft(x, у,у)
десак,/г(хрр(х,р<2)), р(2))— fi(x,q>(x, р(1)), р(1)) айирмага Адамар лем-
масини кулланиш мумкин, яъни:
fz(x,(p(x,p(2)), р<2)) —fz(x, <p(x, p(I)), р(1)) = (8.57)
= X ЛУ’(Х Н(1), т) (ср,. (х, р2)<р (х, р(,)) + Wn+ft,(*. т) (pf’ — И* ’)•
J-1 £=1
Ушбу
ф,.(х,р(1),т) ^Ла(х’>1-2)^^ |х(1)) , T#=0,p(2> = p(1) + T₽ft
ифодани тузиб, т^->0 да лимитга утамиз.
Икки вектор-функция у — q(x,р(1)), у = (р(х, р(2)1 берилган (8.41)
вектор тенгламанинг ечими булгани учун
. f (v>lp р'-1, и'»)
айниятлар уринли. Биринчнсини иккинчисидан айириб, (8.57) га ку-
ра топамиз:
—а*—— = Vlitf\x, р*1’, т)ф. (х, р(1), t) + V М"+*)(х, р(1), т),
j=i *=1
i = 1,2, . . . , п. <8-58)
Бу муносабатлар
1р(1) — Р*1<Р. |т| <р, ту=0
тенгсизликлар тугри булганда уринли булади. Агар (хь р(1), т) =
= z.t десак, бу функциялар ушбу
dx
(8.59)
чизикли дифференциал тенгламалар системасини цаноатлантиради.
Бошлангич цийматлар бундай:
о» \ (х°’ Vi Uo. Р(1,) y°i—y°i
фг-(х0, р(,). г)= -------------------------- = — = 0.
Гарчи г]х (х, р(1); т), i = 1, 2, . . . , п функциялар факат т#=0
кийматлар учун аницланган булса- да, (8.59) система ту- = 0 да ^ам
аникланган. Бу системанинг коэффициентлари ЛФ, i,j = 1, 2, . . . ,п
ва озод цадлари й<п+*\ i = 1, 2, ... , п, г = 0 да цам аницлан-
ган. (8.59) системаиинг унг томони ушбу
ri < х < г2, |р(1' — р*| < р, |т| < р
(8.60)
тенгсизликлар билан берилган очиц тупламда аницланган ва узлук-
сиз. Шунинг учун 8.6-теоремага ва 8.1-теоремага кура (8.59) сис-
тема (х0, 0) бошлангич цийматларга эга булган
z, = X2 (х, р(1), т), . . . , za = х„ (*, Н0), т) (8.61)
ечимга эга. Бу ечим (8.60) тупламда аникланган ва узлуксиз. Яна
8.1-теоремага кура т#=0 булганда (8.60) тупламда
Ф. (х, р(1), т) = (х, р(1), т), i — 1,2,... , п
айният уринли. (8.61) да т—>0 да лимитга утсак,
дер,- (х. ц(1>)
----— = limi|> (х, р(>’, T) = limx (х1; р(”, т) = х,-(х, 0).
Т-Я) т-»0
(8.62)
Бу муносабатлардан у. (х, р(1), 0) функция
Г1<х<г2, [р(1) — р*|<р
очиц тупламда аницлангани учун шу тупламда
цосила цам аникланган ва узлуксиз. Хусусан,
(х*, р*) нуцтанинг бирор атрофида аницланган
(8.63)
dtp, (х, iJO)
(П) хусусии
шу хусусий цосила
ва узлуксиз.
Равшанки, z£.=
дф; (х, р(1))
, i = 1, . . . , n, k =-1..I функ-
циялар (8.59) системани цаноатлантиради, чунки z = %£. (х, р(1), т),
i = 1, 2, . . . , п функциялар т = 0 булганда шу системани цаноат-
лантиради. Шунинг учун функциялар (8.60) очиц соца-
Фй
да х буйича хусусий цосилага эга. Бошцача айтганда, ушбу
д (х, |1(|)) \
дх у др*' /
(8.64)
аралаш цосилалар (8.60) очиц тупламда аницланган ва узлуксиз.
Шунга ухшаш, y. = (f.(x, р(|)). t — 1, 2, . . . , п функция-
лЗрни (8.41) вектор тенгламага цуйсак, (8.60) очиц тупламда
(х’У.-) .==f.(x,tp(x, р(1)), р(1)), i = 1,2. . . . п (8.65)
айниятга эга буламиз. Бу айниятнинг чап томони р<,’> лар буйича
хусусий цосилаларга ((8.60) да) эга, чунки (8.65) айниятнинг унг
(8.66)
томони теореманинг шартига кура р<,*> лар буйича узлуксиз хусусий
^осилаларга эга. Шундай килиб, (8.60) очиц тупламда ушбу
а /d<pt(x, р-(1))
др'1* у дх
аралаш ^осилалар аникланган ва узлуксиз. Энди (8.64) ва (8.66)
аралаш ^осилалар битта (8.60) очик тупламда узлуксиз булгани
учун математик анализнинг маълум теоремасига асосан бу аралаш
^осилалар айнан тенг булади. Шу билан теорема исбот булди.
2. Ечимнинг бошлангич цийматлар буйича дифференциалланув-
чилиги. Аввалги параграфдаги каби (8.53) вектор тенгламани кура-
миз. Унинг унг томони, яъни f(x, у) вектор-функция очик Dn+1 туп-
ламда аникланган ва хусусий ^осилалари —, I, j — 1, 2, . . . , п
ду,
билан шу Dn+1 тупламда узлуксиз. Dn+1 тупламда олинган (g, г])
ну(\та учун g ни £ = х0 деб тайинлаймиз, г] эса узгарувчи булиб
целаверади.
8.9-теорем а. (8.53) вектор тенглама берилган булиб, ср (х,
х0, г1) = Ф (*> г1) = С<Р1 (*» п). • • • , Ф„ (к, Г])) функция унинг (х0, г])
бошлангич цийматларга эга булган давомсиз ечими булсин. У
%олда 8.7- теоремадан q> (х, rj) функциянинг х, г^, ... , г]п узга-
рувчилар фазосининг бирор очиц S' тупламида аницланган ва уз-
луксизлиги келиб чицади. Шу билан бирга S' тупламда ушбу
дф<(х, п), i, j = 1, 2, . . . , п хусусий цосилалар мавжуд ва уз-
дч/ 2
луке из; бундан ташцари, шу S' тупламда д ^х’ . i, / = 1,
дхдЧг
2, . . . , п аралаш Цосилалар узлуксиз ва дифференциаллаш тар-
тибига бог лиц эмас,
Бу теоремани исбот этиш узгарувчиларни алмаштириш ёрдами-
да ечимнинг параметрлар буйича дифференциалланувчилиги ^олини
исбот этишга келтирилади ва 8.8- теорема цулланилади.
3. Вариацияли тенгламалар системаси. (8.$3) вектор тенглама
берилган булиб, q>(x, т]) = (<Pi (х, т]). ф2(*г Л).фп(х, ^l)) век-
тор-функция шу тенгламанинг (х0, г]) бошлангич кийматларга эга
булган ва т] = у0 булганда m1<x<m2 интервалда аникланган да-
вомсиз ечими булсин. 8.9-теоремага асосан г] = у0 ну^тада ^исоб-
ланган ва тг<х<т2 интервалда аникланган хусусий ^осилалар
фД*, */°) = ^л(х) (8.67)
дч/
мавжуд. Ушбу
у) = %(х) = fi(x, tp(x, у0))
белгилашларни киритамиз. Бунда (х) функциялар m1<x<m2
интервалда аникланган. Куйидаги
dx
(x) Zp i = 1, 2, ... , n
(8.68)
чизикли тенгламалар системаси m1<x<Zm2 интервалда аникланган
булиб, вариацияли тенгламалар системаси (бошлангич цийматлар
буйича) дейилади. Ушбу г1 = 'ф{(х), • • • , (х) функциялар
(8.68) системанинг
(х0)=&, s'i = 0, 61= 1, i = j (8.69)
бошлангич кийматларга эга булган ечими будади, бунда 6j — Кро-
неккер символи деб юритилади. Бу тасдикни исботлаш бевосита ^и-
соблаш билан олиб борилади.' Ани1\роги, y=ty(x, ц) функция (8.53)
га цуйилади, сунгра ^осил булган айниятни лар буйича диффе-
ренциалланади. Кронеккер символи (8.69) ушбу (8.67) ва гр.(х, г]) =
= т]г муносабатлардан келиб чицади.
6-§. НОРМАЛ СИСТЕМАНИНГ ИНТЕГРАЛЛАРИ
1. Системанинг биринчи интеграллари. Ушбу
d/ = f(x.y) (8.53)
вектор-дифференциал тенглама берилган булиб, унинг унг томони-
даги f(x, у) вектор-функция (гг-|- 1) улчовли Д"+1 фазонинг бирор
Dn+[ тупламида аникланган ва хусусий х;осилалари |^-, г, j = 1,
. . . , п билан бирга Dn+1 тупламда узлуксиз булсин.
8.7-таъриф. Dn+J тупламда унинг уисмидан иборат булган
бирор очиц G туплам олинган булсин. Агар и(х, у, ... , уп) =
=и(х, у) функция iuyG тупламда аницланган ва хусусий %осилалари
билан бирга узлуксиз булиб, (8.53) тенгламанинг траекторияси G
тупламда жойлашган ихтиёрий у = гр (х) ечимини шу и (х, у)
функция аргументига цуйганда х буйича узгармас Уносил булса
(яъни и (х, ср (х)) функция х га эмас, ср (х) функциянинг танлани-
шига боглиц булса), у холда и(х, у) функция (8.53) вектор-тенг-
ламанинг биринчи интеграли дейилади.
Демак, агар и(х, у) биринчи интеграл булиб, <р(х), (х, q>(x))czG,
вектор-функция ечим булса, у холда
«(х, ср (х)) = (Сф = const)
деб ёзиш мумкин. Одатда узгармас соннинг индекси гр ни ёзиб
утирилмайди.
Агар и±(х, у), и..(х, у), ... , ип(х, у) функцияларнинг ^ар би-
ри (8.53) тенгламанинг биринчи интеграли булиб, и.(х, у) = С.,
(х, y)£G муносабатлар г/; = гр.(х, Clt . . . , Ст) — умумий ечимни
аницласа. у ^олда шу функциялар системаси берилган тенгламанинг
умумий интеграли дейилади. Умумий интеграл учун ушбу
ui (х, Ф (х)) = Ci,
«а (х, <Р (х)) = С2,
ип (х, <р (х)) = Сп
(8.69)
муносабатлар уринли (бунда у—ц(х). x£I, (х, q>(x))CG,— ихтиё-
рий ечим).
8.10-теорема. Хусусий Хусилалари билан G тупла'мда аницлан-
ган ва узлуксиз и (х, у) функция (8.53) тенгламанинг биринчи
интеграли булиши учун цуйидаги
п
д-^1 + У h (X, у) = о (8.70)
. Z=1
муносабатнинг"уринли булиши заюур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги. и(х, у) функция (8.53) тенгламанинг
биринчи интеграли булсин. Бу функция учун (8.70) шартнинг ба-
жарилишини курсатамиз. Шундай ихтиёрий тайинланган г] = (г]1,
. . . , т]п) векторни оламизки, (х, т]) €G булиб, г/ = <р (х, г]) функ-
ция (8.53) тенгламанинг <р (£, *)) = т) бошлангич шартни каноатлан-
тирадиган ечими булсин. У ^олда и(х, q>(x, т])) функцияни диффе-
ренциаллаб, и (х, <р (х, г])) = С эканини ^исобга* олиб, х = | да
цуйидагини топамиз:
0 = — и (х, <р (х, г])) I = 4
dx \ дУ1 dx
ди (х, ф (х, ц))
дУп
Лрп(х, г]) _ ди (%, п) t "VVML П) „
»=1
(g, ц) ну^та G тупламнинг ихтиёрий нуктаси булгани учун G туп-
ламда (8.70) муносабат бажарилади.
Етарлилиги. Эн ди (8.70) муносабат и (х, у) функция учун урин-
ли булиб, у = <р (х) — (8.53) тенгламанинг траекторияси G тупламда
жойлашган ечими булсин. У холда и(х, у) га у — ц>(х) ни цуйиб,
яъни о(х)=и(х, <р(х)), ^осил булган функцияни дифференциал-
лаймиз ва (8.70) ни ^исобга оламиз:
ди (х)
дх
’ди (х, ф (х))
дх
+ =о-
Бундан v (х) = и(х,- <р (х)) функция х га.богли^ эмаслиги келиб
чикади, яъни и (х, <р (х)) = С. Теорема исбот булди.
Энди биринчи интегралларнинг нуцтада эрклилиги тушунчаси-
ни киритамиз.
8.8-таъриф. Агар (8.53) тенгламанинг G тупламда аницлан-
ган k та uL (х, у), и.2(х, у), . . . , uk(x, у) биринчи интеграллари
(a, b)£G, f(a, 6)#=0 нуцтанинг бирор атрофида аникланган бу-
либ, ушбу
dui (с, Ь)
дУ1
k; j = 1, 2, .... п
функционал 'матрицанинг ранги k га тенг булса, у цолда
щ(х, У), , ип (х, у) биринчи интеграллар {а, Ь) нуцтада
эркли булади.
Кейинги муло^азаларда биз ушбу
%=Ну),У& (8.71)
ах
куринншдаги автоном вектор-тенгламанинг биринчи интегралларини
f(b)^=O булганда b, b£G нуктанинг бирор атрофида факат локал
урганамнз.
8-11-теорем а. (8.71) вектор-тенгламанинг b нуцтанинг би-
рор атрофида (п— 1) та эркли биринчи интеграллари мавжуд.
Исбот. (fj (/), . . , ('))* = / (а) у= 0 булгани учуй бу вектор
координаталаридан камида биттаси нолдан фарцли. Масалан,
fn(b)^Q дейлик. g = (glt .. . , gl n, bn) нукта b ну^тага яцин
булиб, y = q(x, g) эса (8.71) тенгламанинг (0, g) бошлангич г>ий-
матларга эга булган ечими булсин. Бу ечимни яна у = гр (х, gb
• • • . bJ = <₽ (*. £i> • » яъни
у. = q>.(х, gi, . . . , gn-1) (8.72)
куринишда ёзиш мумкин. Бу (8.72) функциялар системасини х, g,
. . . , gn_j ларга нисбатан тенгламалар системаси деб цараймиз.
Агар z/i = blt у., = Ь.г, ... , //„ = /’„ булса,
bi = <Р1(*. gj, • , g„_j)
= - £„_i)
система ушбу gL = blt ... , gn_p = bn_v x = 0; ечимга эга ва (8.72)
системанинг якобиани нолдан фаркуш. Т^а^ицатан, <j>f (0, gx, . . . ,
g„_i,)=gz> i= 1, 2, . . . , п— 1, q>n(0, gt . . . , gn-l) = ^.Шунинг
учун
да>,- (0, b,, ... ,)
-- 1 v 1------------------= 6' 1 = 1, 2,
/=1,2,... , n— 1;
^фДо.б,.....v,) = /n(6)^o.
n;
(8.73)
бунда — Кронеккер символи.
Чипы D((P1’ f₽2'
Энди dv, t;,
миз. Равшанки,
• • » <Pn)
• - ln-1)
якобианни тузиб, /? нуцтада
^исоблай-
Д(<Р1. ф2’ - • , fPn) I
В (£, £1, ^2» • • * > Вл—1)
fi(b) 6} 6? ... s?-1
f2(0 6*62 ... S"-'
f . (b) 6 , 62 . . . . S"-J
In—I ' n—I n— I n— 1
f (b) 6* 62*. . . 6"-1
In V / n n n
fi(b) 1 0 ... 0
fz(b) 0 1 ... 0
0 0 ... 1
fn (b) о 0 . . . 0
= (~1)”+1W
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
00... 1
(n—1) та йул=
(n—1) та уступ
= (- l)n+1 fn (0 ^0.
Шу сабабли (8.75) система у=^=а булганда ^ам ечимга эга. Уни
цуйидагича ёзамиз:
L = «1 (У). = «2 (У).......= ип-\ (У^ x = v (8.74)
Шу , £„_i функциялар (8.71) тенгламанинг биринчи интег-
раллари булиб, а нуктада эркли интегралларднр. Х^адикатан,
————---------—якобианни b нуктада текширайлик. (8.72) сис-
В(уъ у2, ... , yn_i)
теманинг якобианини b нуктада ^исоблаганмиз. Бу якобиан эса b нуц-
(В (wj, . - • » ип—]) \
тада бирга тенг, чунки --------------------- матрица бирлик матри-
\D (у1г у2, ... , «/„_,) /
цадан иборат. Демак, иг, ... , ип_х функциялар b нуктада эркли.
Энди бу функциялар (8.71) тенгламанинг биринчи интеграллари эка-
нини исботлаймиз. (8.74) муносабатлардан
«,• (ф (*, £))=£,-. « = 1, 2, ... , п — 1. (8.75)
Аммо ^осил булган . . . , ми^дорлар х га боглиц эмас. Де-
мак, а функциялар биринчи интегралларднр. Теорема исбэт булди.
8.12-т е ор е м а. Ушбу
^(У)’ ’ ип^
(8.76)
функциялар (8.71) вектор- тенгламанинг b, b£G нуцтада (n — k)
та эркли биринчи интеграллари булсин. Шу (8.76) функциялар
ёрдамида (8.71) тенгламанинг тартибини (п — k) га камайтириш,
яъни берилган (8.71) тенгламани тартиби k булган нормал сис-
темага келтириш мумкин.
Исбот. (8.76) биринчи-интеграллар эркли
!ди, (Ь)\
(—г—I, i = k + 1, . . . , n; j = 1, 2, . . . , п
\ дУ/ !
ранги (п — У) га тенг булган квадрат матрицага
булгани учун ушбу
функционал матрица
эга. Аншушк учун
j (b)\
i, / = & + !> , n матрицанинг ранги (n — k) дейлик.
Шу матрицанинг детерминанта нолдан фар^ли. Энди b нуцта' атро-
фида янги узгарувчиларни киритамиз:
21 = У1, • • • , 2k = yk, zk+l = uk+l (у), ... , za = Un (у). (8.77)
(8.71) вектор-тенглама янги zlt ... , zn узгарувчилар ёрдамида
бундай ёзилади:
<fa _ dyi _
dx dx
= A(Z1, ...,zk, фй+1 {zk+v ...,zn), .:,T{zk+l,...,zn)),
^2 __ ^У'2 _
dx dx
= , Zk, %+1 (Zk+l, ... , Zn), ... , Ф„(Ий+„ ... , Z„)),
dyk — -
dx dx
= fk (2i, ... , Zk. ф,+ 1 (zA+p ... , Z„), ... , ifn(Zft+1.Z„),
d*k+\ __
dx
_. 5wfe+i (г1 > *k ’I’h-p (г1> •••, Zft%4-p — • ipnx
dx dy,
l=i
(8.78)
dzn_
dx
= dun (Zj......... , ^+1, ..., % ) fa, - , zk , T|)fe+1, > 4>„)
Ox Oyj
' /=1
Бу системада ^+1 (zft+„ .... zn) = yk_^, ... , <p„ (z^, • . . ,
гп) = Уп. лаР (8-77) Функцияларнинг охирги (n—k) тасидан топил-
ган. Шу фА+Р ... , функцияларнинг аргументлари (8.78) сис-
темада ^ис^алик учун ёзилмаган. (8.78) системани цисцача
dz>
=gi (21, Z2, . . . , zn), i=l, 2..............п (8.79)
куринишда ёзиш мумкин.
Теореманинг шартига кура (8.77) дан i = k -}- 1.....п бул-
ганда
п
dz- d Ж ди; (у)
i=i
dz,
яъни i = k + 1, ... , n булганда -^— = 0 булади. Демак, (8.79)
система урнига цуйидаги k- тартибли системага эга буламиз:
^7 = Si (г1> z2» • • • » z*> £fe+i’ • • • • ^fe)>
. =gfe (zi» z2. • • • > zfe, Cft+1, . . - , Ck).
Теорема исбот булди.
2. Интегралланувчи комбинациялар. Дифференциал тенгламалар-
нинг нормал системасини интеграллаш учун иложи борича цупроц
биринчи интегрални топиш керак. Х^ар бир биринчи интегрални то-
пиш учун интегралланувчи дифференциал тенгламани излаш зарур
булади. Берилган нормал системаиинг натижасидан иборат булган,
аммо осон интегралланувчи дифференциал тенглама интегралланув-
чи комбинация деб юритилади. Хусусан, б2Ф(х, ylt . . . , z/n) = О'
тенглама нормал системадан цосил булган булса, у интегралланувчи
комбинация булади. Ундан Ф (х, ух, ... , у п)=С1 битта биринчи
интеграл топилади. К,изиги шундаки, биринчи интеграл геометрик
нуцтаи н азардан (и1) улчовли фазода жойлашган п улчовли сирт-
дан иборат. Агар бирор интеграл чизиц шу сирт билан битта уму-
мий нуцтага эга булса, у цолда шу интеграл чизиц барча нуцта-
лари билан айтилган сиртда ётади. Нормал системаиинг биринчи
интеграллари узаро кесишмайдиган п улчовли сиртлардан иборат.
Биринчи интегралларга мос келган сиртларни нормал системаиинг
сатц сиртлари деб цам айтилади.
М и с о л. Ушбу
^1 аУ2 с!Уз оп.
— = Уз~У2< — = У1 — Уз- — = Уг — У1 (8-80)
dx dx dx
системаиинг биринчи интеграллари ва умумий интеграли топилсин.
Бу системаиинг иккита эркли биринчи интегралларини топиш осон. Унинг
учун система тенгламаларини мос равишда цушамиз:
4У1 dy2 dy3 d
— + — +— =0 еки — (yt + у2 + ys} =0.
dx dx dx dx
Бундан
«1 = У1 + Уз + Уз = Q (8.81)
битта биринчи интеграл топилади. Энди система тенгламаларини мос равишда
у±, у2 ва у2 ларга Купайтириб цушамиз:
Vi + У г + Уз — 0 ёкн — (у? + V о + Уз)=0-
1 dx dx 3 dx dx 1 2 3
Бундан
«2 = f/? + J/l + £/f = С2 (8.82)
иккннчи биринчи интеграл топилади. Топилган биринчи интеграл лар эркли.
^ацицатан, у{ + у~ + у~ =£ 0, чунки бизни тривиалмас ечим цизицтиради. Шунинг
учун ушбу
матрицанинг ранги 2 га тенг. Агар (8.80) системанинг биринчи тенгламасини
у2 га, иккинчисиии yt га купайтириб цушсак,
d . п
\У1’ У 2) = У г Уз—У 2 + У1 —У1 Уз
муносабатни з^осил г4иламиз. Шунга ухшаш
, 2 9
~ (У1, Уз) = Уз — Уа Уз + У1 Уа—
. 9 п
— (.Уа, Уз) = У1 Уз —Уз + У2—У1У2
муносабатларни з^ам з^осил цилиш мумкин. Топилган тенгликларни мос равишда
1(ушсак:
d
— (У1 У2 + У1 Уз + Уа «/ ) = О,
яъии
и3 — У1 У2+У1 Уз + Уа Уз = Сз
(8.83)
яна битта биринчи интегралга эга буламиз. Энди топилган учта бириичи интеграл
эрклими ёки йуг4ми? — шуни текширамиз. Унинг учун ушбу якобианни з^исоблаймиз:
D(ult и2, и3) = 1 21/1 1 21/2 1 2ys
D(yi, у2. Уз)
1/г+ Уз У1+Уз У1+У2
1 0 0 Уа—У1 У3—У1 У1—Уа У1—У3
21/1 2(у2—{/J 2 (Уз—yJ = 27 =.—2
У2+Уз У1—У2 У1—Уз У1—У2 У1—Уз У1 Уа У1—Уз
D (ult и2, и )
Демак,-------------= 0. Шундай цилиб, топилган учта биринчи интеграл-
D (Уь У2, Уз)
лар эркли эмас экаи. Шунинг учун улар интеграл була олмайди. Учинчи эркли
бириичи интегрални топиш учун (8.81) ва (8.82) лардан у1г у2 ларни топамнз:
У1 = (^i — Уз — 2С2 — Cj + 2Q у2 — 3«/|),
1/2= (С1-1/з+ ]f2C2-Cl + 2Ciy,-3y%)
Бу ифодаларни (8.80) системанинг охирги тенгламасига куямиз:
~ = |/2С2 - Cf + 2Сд/3 - 3у1
Бу биринчи тартибли квадратурада интегралланадиган дифференциал тенглама.
Уни интеграллаб, топамиз:
ЗПд С, /——
arc sin -у —• — VЗх=Ся-
V бса — зс?
Энди Сг ва С2 лар урнига (8.81) ва (8.82) лардан уз ифодасини цуйсак,
и3 = arc sin 2Уз У1 У2 ..........=- — VЗх = С3 (8.84)
2 V У{ + У% + уъ — У1У2 — У1Уз — УзУз
учинчи биринчи интегрални топиш мумкин. Текшириш цийин эмаски, (8.81), (8.82\
ва (8.84) муносабатлар билан аникланган биринчи интеграллар эркли булади’
Демак, шу учта биринчи интеграл (8.80) системанинг умумий интегралини беради ’
3. Нормал системанинг симметрии формаси. Нормал системанинг
симметрии формаси деб, ушбу
_______d-Xi_______ ________dx2 dxn zg 85)
FJ (-^1> -^2> • • • » ) F3 (-^1» -^2* • • • » %n )_Fn C^l» -^2» * • • ’ %n )
системага айтилади. Бу системада ^амма xlt х2, . . . , хп узгарув-
чилар номаълум функция булиб, улар тенг ^уцуцлидир. Аммо биз-
га таниш булган
«'.......»">
.......»"’• • (вад
= Уъ , Уп)
I dx
системада ^амма узгарувчилар тенг цуцуцли эмас. Унда х — эркли
узгарувчи, уъ . . . , уп лар эса номаълум функциялардир. Шундай
булса >;ам (8.89) нормал системани симметрик формада ёзиш мум-
кин.
dx______ dy} ___ dy2
т — fl (X, yt, , уп) ~ f2 (х, ylt ... , уп)
_____________________________________________dyn____________,
fn (*'!> У1< • • • Уп)
(8.87)
Бу (8.87) системани нормал системага мос келган симметрик фор-
мадаги система дейилади. Бу (8.87) системада энди ^амма узга-
рувчилар тенг ^уцуцлидир.
Нормал системанинг симметрик формаси берилган нормал систе-
манинг интегралланувчи комбинацияларини, шу билан бирга бирин-
чи интегралларини топишда му^им роль уйнайди. Бу жараёнда ^ам-
ма узгарувчилар тенг ^укукли булгани учун энг цулайини эркли
у'згарувчи деб эълон килинади. Шунга мос равишда биринчи инте-
граллар топилади.
Мисоллар. 1. Ушбу
dx dy dz
У + г x-j-z х + у
системаиинг умумий интеграли топилсин.
Купинча симметрии формада ёзилган нормал системаларни интеграллашда тенг
касрларнинг ушбу элементар хоссасидан фойдаланиш мумкин булади:
&р г. ,,
Агар — = — = ... = — = о булса, у з^олда ихтиёрий k,. k2, ... , k„ лар
bi b2 bp
учун цуйидаги
k^i + fe3aa 4~ - + kpQp _
kibi + kj>2 + - -. + kpbp
муносабат уринли. Бунинг исботи содда. Агар ar = , ар — №р эканиии
эртсобга олсак,
biai + k2a2 + kpQ.p _6 [kib1 + k2b2 + ... + kpbp)_
k^i + k2b2 + . . . kpbp k1bl + k2b2 + . - + kpbp
Берилган системани интеграллашда шу хоссадан фойдаланиш ма|;садга мувофик-
Содда з^исоблашлар ёрдамида
d (х — у) d(y — z) d(x + у + г) d(x — y)
= ва — —
х*—у-----------------------------------------у —г-2 (х + у + г)-х — у
тенгламаларга эга буламиз. Улардан иккита биринчи интеграллар топиш мумкин:
х — У = С1 (у —г),
(х + у + г) (х — у)2 — С2.
Бу биринчи интеграллар симметрии формада ёзилган иккинчи тартибли система-
нинг умумий интегралини беради.
2. Куйидаги
dx dy dz
х у г
система берилган булса,
х + у z — y
------- V" 1 1 ----- С о
z-j-x---х+у
функциялар биринчи интеграллар экани курсатилсин ва уларнинг эркли ёки эркли
эмаслиги текши рилсин.
Агар берилган системада х ни эркли узгарувчи деб эълон цилсак, у системани
ушбу
dy у dz г
dx х' dx х
нормал система куринишида ёзиш мумкин. Бу системаиинг тенгламалари узгарувчи
лари ажраладиган биринчи тартибли тенгламалардир. Интеграллаш натизкасида
у = Сгх, г — С2х
ларни топамиз. Биз иккита биринчи интегрални топдик. Улар эркли, чунки —
У г
— —, и2 = — ва.х^О да
X X
D(Uj, u3)
D(V1. y3)
1 0
7 1
0 x
Демак, топилган биринчи интеграллар умумий интегралдан иборат.
_ х + у - - г — у
Энди юкорида ёзилган и3 = —;— ва и3 = --------- функциялар хам биринчи инте-
Z + X X + у
грал эканини курсатамиз. Бу функциялардан берилган системани ^исобга олиб,
х буйича^осила оламиз:
(1+т0 (г+*)-(*+«/)(?+о
dur * dx!_______________________\dx /
dx (г + x)2
(1 +—) (г + x) — (x + y)[— + I'j zix
_ ' X I______________________I X I _ (x + y) — (x + y) = o
(г + x)a x (z + x)
г + 0, x =^= 0,
I dz dy \ /. dy,
( ——— )(x + j/) —(г—{/) 1 + —|
d u3 dx dx / ' dx
dx (* + f/)2
— —) (* + y) — (г — У) f1 + —) , ... , . . , .
_ ' * x]_____________________\ X = (z — y) [(x + {/) — (* + t/)] = o
(X + y)2 x (x + y)2
x + j/t^O, x=?feO.
Бундан куринадики, ва u3 функциялар биринчи интегралдир. Эиди бу функ-
цияларнинг эркли эканлигини исботлаймиз. Унинг учун тегишли якобианни ^исоб-
лаймиз:
г + х _ х+у
(г + х)2 ~(г + х)а
D (Uj (х, у, г), иа (х, у, г)) _ — (х + у) — (г — у) х + у =
D(y,z) ~ (х + у)2 (x + yf
1 _ х + у
= г + х (г + Х)2 1 (х + у)(х + г)
_ x + z 1 (х + у) (г + х) (х + у)2 (г + х)2
(х + у)2 х+у
Демак, иг ва иа биринчи интеграллар эркли эмас. Куриш цийин эмаски, улар ора-
сида
_ 1
«г = - ; .
ца+ 1
— Z '— у Z X 1
муносабат уринли. ^ацицатан: иа + 1 =-+ 1 =--- = ~-
х + у х+у Ui
9- боб
ЧИЗИЦЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИНГ НОРМАЛ
СИСТЕМАСИ
Агар 8- бобда урганилган дифференциал тенгламаларнинг нормал
системасида fjx, ylt . . . , уп), ... , fn(x, уи ... , уп) функция-
лар ylt у2, , уп аргументлари буйича чизихли, яъни f (х, ylf
п
. . . , уп) = 2 ац(х) У) + МХ)> i = 1. 2, ... , п куринишда бул-
/=1
са, биз нормал системаларнинг муцим хусусий куринишига эга бу-
ламиз. Бундай системаларни чизицли дифференциал тенгламалар-
нинг нормал системаси, цисцача чизицли система деб юритилади.
1- §. УМУМИЙ ТУШУНЧАЛАР, МАВЖУДЛИК ВА ЯГОНАЛИК ТЕОРЕМАСИ
Ушбу
-7- = V ац{х)У1 + b.(x), i = 1, 2, ... , п (9.1)
dx
j=xl
система чизицли дифференциал тенгламаларнинг нормал системаси
дейилади. Бунда ац(х) функциялар системаиинг коэфф ициентлари,
bi(x) функциялар эса озод цадлари дейилади. Барча aij(x), Ь.(х'),
i, j = 1, 2, ... , п функциялар бирор / интервалда аницланган ва
узлуксиз. Агар ац(х) = atj = const булса, у цолда (9.1) система
чизицли узгармас коэффициентли деб юритилади. Бундай система-
ларни алоцида урганамиз. Цулайлик учун ушбу белгилашларни кири-
тамиз:
А(х) =
tzu(x) а1й(х) . . . alri(x)
a2i (х) а,2 (х) ... а2п (х)
апп<Х)
= (Ьг(х), b2(x)t . . . , &„(%))*
(9-2)
(бунда * белги транспонирлашни англатади). Шу А(х) матрица ва
Ь(х) устун-вектор ёрдамида (9.1) система
^ = А(х)у + Ь(х) (9.3)
ах
куринишда ёзилади. Агар система (9.3) куринишда ёзилган булса, у
вектор-матрица формасида берилган дейилади.
Агар b (х) 0, х £ J муносабат уринли булса, (9.3) тенглама чи-
зицли бир жинсли булмаган тенглама дейилади.
Ушбу
% = А(х)у (9.4)
dx
тенглама эса чизицли бир жинсли булмаган (9.3) тенгламага мос чи-
зицли бир жинсли тенглама дейилади.
Агар А(х) матрицанинг барча элементлари, яъни а.}(х), i, j
= 1,2, ... . п функциялар бирор I интервалда узлуксиз булса, у
^олда А(х) матрица шу- I интервалда узлуксиз дейилади. Яна Ь(х)
векторнинг координаталари бирор I интервалда узлуксиз булганда,
шу b (х) вектор / интервалда узлуксиз деб юритилади.
9.1- теорема. Бизга (9.3) вектор-матрица куринишида чизиц-
аи система берилган булиб, А(х) матрица еа Ь(х) вектор-функ-
ция бирор J интервалда аницланган ва узлуксиз. булсин. У %олда
ихтиёрий бошлангич цийматлар
я0, УЪ • - - « Ун* я0€/ ёки цисцача х0, i/°, х0£ / (9.5)
учун (9.3) тенгламанинг шу бошлангич цийматларга эга булган ва
I интервалда аницланган ягона ечими мавжуд.
Хусусан, агар А (х) ва b (х) лар — оо < х < + оо интервалда
узлуксиз булса, у ^олда ^ам ихтиёрий (9.5) бошлангич цийматлар-
га эга булган ва шу —оо<х<; + оо интервалда аницланган ягона
ечим мавжуд булади.
Исбот. 8- бобнинг 8.1- теоремасидаги каби бу ерда ^ам А опе-
раторини киритамиз: графиги Qn+1 тупламдан чицмайдиган ^ар бир
Ф(х). (я0) — У0 вектор-функцияга ушбу
X
ф* (Я) = у° + J (А (т) <Р (т) + b (т) dr (9.6)
Х9
X
вектор-функцияни мос ^уямиз. Ушбу Аф = у° + J (А (т) ф (т) 4-
х,
+ b (т)) dr операторни киритсак, (9.6) ни бундай
Ф* = Аф (9.7)
ёзса булади. Энди берилган вектор-матрица тенглама ва z/(x0)==t/e
бошлангич шартга, яъни Коши масаласига эквивалент булган^инте-
грал тенгламани, яъни
у = у° + J (Л(т)у +'Ь(х)) dx
Хв
тенгламани шу А оператор ёрдамида
Ф = Ар (9.8)
каби ёзамиз.
' ф0(х) деб у° ни олайлик. Бу функция / да аникланган. фх(х),
. . . , q>. (х), . . . функцияларни эса
Фг+1 = -Лфр i = 0, 1, 2, . . . (9.9)
деб аницлаймиз. Бу функциялар цам I интервалда аникланган була-
ди ((9.6) га царанг).
I интервалдан шундай ёпиц qx < х < q2 интервал ажратиб ола-
мизки, бу интервал учун q^I, Ча ЕД Qi<.x0<.q2 муносабатлар
Гринли булсин.
Шу qA < х < q2 интервалда
Фо (О, фх(х), . . . , ф,(х), . . .
(9.10)
кетма-кетлик (9.8) тенгламанинг ечимига текис яцинлашишини кур-
сатамиз. Равшанки, f (х, у) — Д(х) у + Ь (х) вектор-функциядан
Ух, . . . , у лар буйича цосила олсак, — = Л(х) муносабатга
ду
эга буламиз. Д(х) матрица I интервалда узлуксиз. Шунинг учун
ёпиц qr < х < q2 интервалда цар бир
dfdx, у)
dyj
> i, / = 1, 2.....п ху-
сусий цосила чегараланган булади, яъни:
dfi (х, у)
dyj I u
= 1,2, . . . , п. Ф0(х) ва Фх(х) вектор-функциялар < х < q2 ин-
тервалда чегараланган, демак, |фх(х)—ф0 (-*0 | модул чегараланган,
яъни | ф! (х) — ф0 (х) | < С, С > 0, х СI. Энди | ф2 (х) — Ф1 (х) |, ... ,
|ф/+1(х) — ф,.(х)|, ... модуллар учун юцоридаги тенгсизликлардан
ва (8.19) тенгсизликдан фойдаланиб бацолар чицарамиз:
X
I Фа (*) — <Р1 W I = .(Xf (*» Ф1 (О) — f (т> Фо (О)) d Т I <
х0
X
<| J If С*, Ф1 (О) — /(т,Фо(т))|^т| <п2КС|х — х0|,
хе
бунда
f (х, Ф (X)) = А (х) ф (х) + Ь (X), f (X, ф! (т)) — f (т, ф0 (т)) =
«И А (т) ф! (т) — А (т) ф0 (т) = А (т) (фх (т) — ф0 (т)),
аммо
< К булгани учун (8:19) тенгсизлик уринли
булаверади;
I дУ/ I
|фз(*) —Ф2(*)| = I J (Ж ф2(т))—f(T, Ф1(т)))б/т| <
*•
X ~ „
<1 J | /Ч Фа (t)— f (т. Ф10е)) 14TI < |x_xo|2|
Xo 2’
X
14>i+i (x) — Ф/ (x)I = IJ (f (T> Ф/ (T)) — f (T. Ф.-1 (T)) (to I <
X»
X
<1 J I f (T- Ф,- (T)_) — f (T. Ф/-! (t)) I dt I < (n3^ c IX — x0 f.
X, l'
Шундай килиб, qr < x < q2, qr<Zx0<Zq2 тенгсизликларни ^исобга
олсак, цуйидаги
I Ф;+1 W ~ Ф/ (*) I < -ft2/|)<C (?2 — 91)'
муносабат уринли. Равшанки, ушбу
2 с-^
мусбат кадли сонли цатор якинлашувчи. Буни курсатиш учун, хусу-
сан, Даламбер аломатини кулланиш етарли. Демак, (9.10) кетма-кет-
лик qr < х < q2 интервалда бирор узлуксиз вектор-функция ср (х) га
текис яцинлашади, яъни lim ср. (х) = ср (х), q± < х < q2. Шу ф(х)
1«т>ОС>2
функция учун цуйидагига эгамиз:
X
Мер. —Дф|| = max IJ | f (т, фг(т) — f (т) <р (т)) | dr|<
<n2K(qa — qi) II Ф— Ф || .
Бу тенгсизликнинг унг томони i j/сган сари исталганча кичик
цилиниши мумкин, чунки q!<x<q8 да lim Фг(х) = <р(х).
Шунинг учун
Лфо, Дфъ ... , Дфр . •.
кетма-кетлик кам qx < х < qa интервалда Дер га текис якинлашади,
яъни шу интервалда
lim Дер = Дер.
Энди (9.9) муносабатларда i ->оо да лимитга утсак,
ср = Дер
тенгликка келамиз. Демак, ср (х) функция (9.8) тенгламанинг
^x<Zqa интервалда аниц ланган ечими. Аммо < х < <?2 интервал
уз ичига х0 ни олган ва I интервалда жойлашган ихтиёрий интер-
валдир. Шунинг учун (9.10) кетма-кетлик I интервалнинг цар бир
нуцтасида яцинлашади. Ун дай булса, гр(х) функция (9.8) тенгла-
манинг I интервалда аникланган ечими булади.
Аввалги бобда исботланган Коши теоремасида бир хил бошлангич
цийматларга эга булган икки ечим ан ид ланиш интервалларининг уму-
мий цисмида устма-уст тушиши цайд килинган эди. Агар чизикли
система учун у = <р (х) ва у — ф (х) лар <р (х„) = ф (х0) = у° бошлан-
гич шартларни цаноатлантирадиган икки ечим булса, у цолда бутун
I интервалда <р(х)^ф(х) булади. Чунки теореманинг биринчи цис-
мига кура цар икки q> (х) ва ф (х) ечим цам I интервалда аницлан-
ган. Шундай цилиб, теорема тула исбот этилди.
Шуниси муцимки, чизицли системалар учун ечимнинг аницланищ
интервали А(х) ваб(х) ларнинг аницланиш интервали билан бир
хил. Демак, шу I интервал ечим мавжудлигининг максимал интерва
ли булади.
Бошцача айтганда, теоремада мавжудлиги исботланган у = <р (х)
ечим I интервалда аницланган давомсиз ечим булади. Бу чизицли
системаларнинг муцим хоссаларидан биридир.
Мисол. Ушбу
dx
= У2>
dy2 _ _
dx
У1
иккинчи тартибли чизикли система берилган булиб, бошлангич дийматлар «ц (0) = 0,
02 (0) = 1 булсин. Теоремада г;Улланилган усул билан шу Коши масаласининг ечи-
мини топамиз. Содда цисоблашлар курсатадики, = ( ? ) десак, куйи-
дагиларга эга буламиз: А =
' 01\
—1 0/
t /sin x\
келиб чикади. ср (x) = [ функция тегишли бошлангич шартни ^аноатлантиради:
\cos х J
sin 0 = 0, cos 0=1.
2- §. ЧИЗИКЛИ БИР ЖИНСЛИ СИСТЕМАЛАР
1. Чизикли оператор ва унинг хоссалари. Мазкур параграфда
dy
. 7х-^х)у (9.4)
куринишда ёзилган системаларни, яъни чизицли бир жинсли систе-
маларни урганамиз. .
Кейинги мулоцазаларнинг цулайлиги учун L операторни
L(r/) = ^-4(x)r/ (9.11)
тенглиги ёрдамида киритамиз. Агарр — — ва £—бирлик я х п MaT-
dx
рица булса, (9.11) ни яна ушбу
L (у) = (рЕ — А (х)) у
куринишда ёзиш мумкин. Киритилган L оператор ёрдамида (9.4)
тенглама ушбу содда.;
£(//)-0 (9.4')
куринишда ёзилади.
Аввал (L[(y) операторнинг хоссаларини урганамиз:
1 - х'о с[с[а.^Агар С — ихтиёрий узгармас сон булса,
L(Cy) = С Е(у)}
айният уринли.
^а^и^атан, L (Су) — d — А (х) (Су) = С —СА (х) у — CL(y).
dx dx
2 - хосса. Агар (\, С2, . • , Ст—ихтиёрий узгармас сонлар
булса,
т т
L 2 CiL(y^)
i=\ ' i=l
айният уринли, бунда р(1), у(2)......р(т)—бирор вектор-функ-
циялар.
Ха^ицатан, содда муло^азалар ёрдамида топамиз:
42 =^(2 Cty^-A(x) (2 CiZ/<0 =
i=l 7 i=l 7 7=1 7
т d \ т т / d
= 2 ci (^(Z)) - 2 ct и w */(0) =» 2 y{i) -(^) yw) =
i=l z /=1 /=1 ' '
tn *
= 2ct-z-^(Z))-
Бу хоссалардан фойдаланиб цуйидаги теоремаларни исботлаймиз.
9.2- теорема. Агар <р(1) (х), <р(2) (х). ,<р(т) (х) вектор-функ-
цияларнинг %ар бири бирор I интервалда (9.4) тенгламанинг ечи-
atu булса, у ^олда бу функцияларнинг чизицли комбинацияси )(ам
ечим булади.
Исбот. Теореманинг шартига кура L((p(Z)(х)) = 0, xg/, i=l.
. . . , pt. Шунинг учун 2- хоссадан фойдалансак:
tn m
L (2C1.q>(0(x)=2C/(4’(Z,(x))s 0.
i=l i=l
9.3- теорем а. Агар у = tp(x) вектор-функция (9.4) тенглама-
нинг бирор I интервалда аницланган ва ср(х0) — бошлангич
шартни каноатлантирадиган ечими булса, у \олда I интервалда
ср(х) функция айнан нолга тенг булади, яъни <р(х) =0, х£1.
Исбот. (9.4) тенгламанинг тривиал у = 0 ечими мавжуд. Аммо
теореманинг шартида цайд цилинган z/=<p(x) ечим шу тривиал ечим
билан бир хил бошлангич цийматларга эга. Шунинг учун чизицли
системалар учун мавжудлик ва ягоналик теоремасига- кура у = <р(х)
ечим тривиал ечим билан бутун / интервалда устма-уст тушади,
яъни <р(х) = 0, х£1.
9.4- теорем а. Агар (9.4) тенгламада А(х) матрица хациций
булиб, шу тенглама у = <р(х) + ig(x), х£1 комплекс ечимга эга
булса, у цолда %ар бир <р(л), g(x), х£1 цацикий вектор-функция-
лар %ам (9.4) тенгламанинг ечими брлади.
И с б о т. Ха^ицатан, шарт буйича £(<f(x) + ig(x)) = 0,х(7. Бун-
дан 1- ва 2- хоссаларга кура
L((f(.v) + ig(x) ) = L(<p(x)) + i‘L(g(x)) s 0, хбф.
Аммо комплекс функция нолга тенг булиши учун унинг х^киций
ва мав^ум цисми нолга тенг булиши зарур ва етарли. Шунинг учун
L(«pW)sO, £(g(x))S0, хе/.
2. Вектор функцияларнинг чизикли богли^лиги ва эрклилиги.
Кейинги муло^азаларда му^им роль йунайдиган вектор-функциялар-
нинг чизикли богликлиги ва эрклилиги тушунчасини киритамиз.
9.1-таъриф. Агар бир вацтда нолга тенг булмаган шундай
а1г . . . , ak узгармас сонлар мавжуд булсаки, улар учун бирор /
интервалда ушбу <р(1) (х) + а, <[ 2 (х) + . . . + aA,<p(fc'(x)ssO айни-
ят уринли булса. у %олда <р(1)(х), <р(2)(х), .... у(®(х), <рй)(х) =
/Ф10 (х)\
=1 •_ I вектор-функциялар I интервалда чизицли боглиц де-
йилади. Агар юцоридаги айният фацат а1г . . ., = ak = 0 булган-
дагина Гринли б$лса, у уолда ф(1)(х), . . ., cp(fc>(x) вектор-функция-
лар I интервалда чизицли эркли дейилади.
9.1 - таърифдан куринадики, агар <Р(1)(х), . . . , <р(А)(х) вектор,
функциялардан бирортаси, масалан <р10(х), вектор-функция
ноль вектор-функция булса, у ^олда <pfl)(x), . . . , (х) функциялар
чизицли боглиц булади. Буни исбот этиш учун ах= а2 = . . . —
= а/+1 = . . . = аА =0, 7^=0 деб танлаш етарли.
... /cosx\ /—sinx\
Ми с о л. Ушбу ®р(х)и' = ( , а>;д = векторлар ихтиёрий J иитер-
\ sin х ) 1 ' \ cos х J
валда чизикли эркли. Хацицатан, улар чизикли боглиц булсин дейлик. У ^олда
ai> а2> ai + «I ° сонлар учун ZJ интервалда О1ф1,,(*) + а2<р<2) (х) s О, х£/
ёки
1ах cos х — а2 sin х = 0, х^1
(cq sin х + а2 cos х = 0, xgZ
айииятлар уринли булиши керак. Аммо JZ интервалдан олинган ихтиёрий х учуй
сц ва а2 ларга нисбатан ушбу
(ах cos х — а2 sin х— О,
tax sin х + a2 cos x =0
система матрицасининг детерминанта I га тенг. Шунинг учун бу система ихтиёрий
х£1 Учун фацат тривиал ечимга эга булади, яъни ax = а2 — 0. Бу тегишли век-
тор-функциялар чизицли боглиц булсин деган фараздан келиб чиццан зиддият. Де-
мак, олинган вектор-функциялар чизицли эркли.
Энди ушбу
(1) (2) (»)
Ф(х),ф(х), • • ф(/п)(х),ф(х) = ......., j = 1,2,.... т (9.12)
\ф</>(х) /
вектор-функциялар бирор I интервалда аникланган булиб, (9.4) тенг-
ламанинг ечимлари булсин. Цуйидаги теорема уринли.
9.5- теорема. Агар х нинг I интервалдан олинган камида бит-
та х0, х0Е/ цийшати учун *s‘|
ф2? (*о), Ф(2) (Хо),. • Тф””^) (9.13)
векторлар чизицли бос лиц булса, у цолда (9.12) ечимлар I интер-
валда чизицли бос лиц булади. Бошцача айтганда, агар (9.12) ечи<м-
лар I интервалда чизицли эркли булса, у цолда х нинг I интер-
валдан олинган биронта цам цийматида (9.12) ечимлар чизицли
бослиц б^лмайди. 3
Исбот. (9.13) векторлар чизицли боглиц булсин, яъни
т
ar, а2, . . ., am, У а?#=0 сонлар учун а1ср(1)(х0) + . . • + a2Ф(2,(х0) +
i=l
+ am(Pm(Xo)=:0
тенглик уринли. Энди.
Ф(х) = оц Ф(П(х) +а2ф(2)(х) + . . . + атф(т)(х)
деб белгилайлик. 9.2- теоремага кура гшу ф(х) вектор-функция цам
(9.4) тенгламанинг ечими булади. Аммо ф(х) функция теореманинг
шартига кура х=х0 нуцтада нолга тенг. Шунинг учун 9.3- теоре-
мага кура ф(х) ssO, x£l, яъни a^(1)(x) + . . . +атф(т) (х) s 0, х(7-
Теорема исбот булди.
3. Ечимларнинг фундаментал системаси.
9.2- таъриф. Агар бирор I интервалда аницланган
d) f Ф(10(х)\
Ф(1’(х),ф(2)(х) , . . .,Ф(п)(х),ф(х) =! : I, j = l,..., п (9 14)
\Ф^(х)/
вектор-функциялар системаси (9.4) тенгламанинг чизицли эркли
вектор ечимлари системасини ташкил этса, у цолда бу система
ечимларнинг фундаментал системаси ёки цисцача фундаментал
система дейилади.
9.6- теорема. Дифференциал тенгламаларнинг чизицли бир
жинсли системаси учун фундаментал система мавжуд.
Исбот. Чизикли бир жинсли (9.4) системани оламиз. Яна би-
рор а(1), а(2), . . . , tz(n) узгармас векторлар системаси чизикли эркли
булсин. Узгармас векторларнинг бундай системаси мавжуд. Буни
(1 \ /0 \ /0 \
• ], а(2) = 1 • ],..., •_ I деб тан-
o' J \б ) \1’ у
лаш етарли, чунки бу векторлардан тузилган матрица детерминанта
нолдан фарцли (1 га тенг). Энди ушбу »
ф Ио) — а . • • > Ф W — а
бошлангич шартларии цаноатлантирадиган (9.14) ечимлар системасини
курамиз. Танлашга кура ф(1)(х0), . . ., ф(п)(х0) векторлар чизицли эрк-
ли. Демак, 9.5-теоремага асосан (9.14) ечимлар системаси чизицли
эркли, яъни шу ечимлар системаси фундаментал системани ташкил
этади.
9.7- те орем а (умумий ечим цац и да). Агар (9.14) ечимлар
фундаментал системани ташкил этса, у цолда барча ечимлар
ушбу
Ф(х) = C1V(1)L(x) + С2 ф(2)(х) + . . . + С„<р(п)(х) (9.15)
формула билан топилади, бунда Съ С2, . . ., Сп—ихтиёрий уз-
гармаслар.
Исбот. Бирор <р*(х) функция / интервалда аницланган булиб,
(9.4) тенгламанинг <р*(х0) =фо*=*/°, х0 £/ бошлангич шартни цаноат-
лантирадиган ечими булсин. Ушбу
C^p(1)(x0) + С2ф(2)(х0) + . . . + С„ф(п)(х0)>//° (9.16)
вектор тенгламани курайлик. Бу Съ С.2 , , Сп ларга нисбатан чи-
зицли алгебраик тенгламалар системасидан иборат. Агар у° = 0 бул-
са, (9.16) дан ф(1)(х0), . . . .ф4"’ (х0) векторлар чизицли эркли бул"
гани учун С1=С2 = . . . — Сп = 0 келиб чицади. Бунда ф*(х) —три-
виал ечим булади. Энди z/°#=0 булсин. У цолда (9.16) система бир
жинсли эмас. Унинг детерминанта ф(1)(х0), . . . , ф(п)(х0) векторлар-
дан тузилган булиб, теореманинг шартига кура улар чизицли эркли
ва демак; улардан тузилган детерминант нолдан фарцли. Шунинг
учун (9.16) дан ягона С°, С“, . . ., С° ларни топамиз. Демак, <р*(х)
ечимни бундай
Ф*(х)= С°Фи)(х) + С2°ф(2) (х) + . . . + С°ф(п>(х)
ёзиш мумкин. Шундай цилиб, (9.4) тенгламанинг ихтиёрий ечими
учун тегишли Clt С2, . . ., Сп узгармасларни ягона усул билан тан-
лаш мумкин. Бу таърифга кура, (9.15) формула (9.4) тенгламанинг
умумий ечими эканини исботлайди. Теорема исбот булди.
4. Вронский детерминанта. (9.4) тенгламанинг / интервалда
аникланган п та ечими <р(1) (х), .... (х) берилган булсин. Бу век-
тор-функциялардан ушбу
/«PpW . . . ч4*>(х) - ^"’(х)
I Ч41’(х). . . <р<*>(х) . . . <р(">(х)
Z(X)=I..............................
Vcp^x) . . . <р<*>(х). . . <fX")(x)
(9.17)
матрицани тузамиз. Унда биринчи устунда <р(1)(х) векторнинг коор-
динаталари, k- устунда' <p(fe) (х), &=2, . . ., п векторнинг координа-
талари жойлашган. Шу матрицанинг детерминанта Вронский детер-
минанта дейилади ва W(x) ёки 1У[ф(1), . . . , <р(лг)] деб белгиланади,
яъни detZ(x) = Г(х).
Равшанки, агар <р(1)(х), . . . ,<р(п)(х) ечимлар чизикли эркли бул-
са, у холда Вронский детерминанта х нинг I дан олинган биронта
^ам цийматида нолга айланмайди. Хак.ик.атан, <р(1)(х), . . . , <р(п)(х),
х£/ вектор-функциялар чизикли эркли булгани учун ушбу
а1Ф(1’(х) + . . . + а <р(п)(х) = 0, хе/
айният фацат = . . . = ал = 0 булгандагина уринли. / ин»
п
тервалдан олинган ихтиёрий тайинланган х учун
«=1
/=!,...,« системани (аъ . . ап ларга нисбатан) курайлик. У бир
жинсли булиб, фацат тривиал аг = . . = а = 0 ечимга эга. Демак,
бу системанинг детерминанта учун 1У(х)=^0, хе/ муносабат уринли.
Бу мулохазалардан юцоридаги ечимлар чизицли боглик булса,
1Е(х)=0, х£/ айният уринли булиши келиб чикади. Ечимлар фун-
даментал системани ташкил этса, тегишли (9.17) матрица интеграл
матрица ёки фундаментал матрица деб юритилади.
Энди Z(x) матрицанинг устунлари (9.4) тенгламанинг ечимлари
булгани учун шу Z(x) матрица ушбу
dZ
dx
= A(x)Z
(9.18)
матрицали тенгламанинг ечими булади. Агар (9.18) матрицали тенг-
ламанинг детерминанта нолдан фаркли матрицали ечимини топсак,
бу билан (9.4) вектор-матрицали тенгламанинг фундаментал система-
сини топган буламиз. Аввал (9.18) матрицали тенгламанинг битта
хоссасини келтирамиз:
9.1-лемма. Агар Z*(x) матрица (9.18) тенгламанинг! интер-
валда аницланган бирор матрицали ечими булса, у %олда тарти-
би п булган ихтиёрий узгармас С матрица учун Z*(x)C матрица
\ам ечим булади.
Исботи жуда содда. ХаКИ1^атан. (9.18) 'тенгламанинг икки томо-
нини унгдан С матрицага купайтирамиз:
d-^C^ A(x)Z*(x)C
dx
ёки С=сопв^булгани учун
d(z*(x)Q A(x)(Z*(x)C).
dx
Бундан 9.1- лемманинг исботи келиб чикади.
Эслатма. (9.18) матрицали тенгламанинг ихтиёрий матрицали ечими ZC
(С — ихтиёрий пХп- матрица) фундаментал матрица булавермайди.
9.8- те’орема. Агар Z(x) матрица! интервалда аницланган
узлуксиз ва узлуксиз дифференциалланадиган ихтиёрий <p(/)(x),j=
= 1, ... . п вектор ечимлардан тузилган булиб. детерминанта
I да нолдан фарцли булса, у цолда бу Z(x) матрица (9.4) чизиц-
ли тенгламанинг I интервалда аницланган фундаментал система-
си булади.
Исбот. Аввало det Z(x)=/=0, x£l. Шунинг учун Z(x) матрица
фундаментал булади. Z(x) матрица ечим булгани учун ушбу
dz(x)
dx
A(x)JZ(x), хЕ!
(9.19)
айниятга эгамиз. Бунда Z(x) матрицанинг детерминанта шарт бу-
йича нолдан фар:\ли. Шунинг учун бу матрицага тескари Z-1 (х)
матрица мавжуд, яъни ушбу
Z(x)Z~^(x) = Z~l (х) Z(x) = Е (Е—бирлик матрица) тенгликни г;а.
ноатлантирадиган Z~1 (х) матрица мавжуд. Бунда Z-1 (х) матрица,
масалан,
Z 1(х) — . 7/ ;
' ' detZ(x)
' Zn(x). . . Znl(x)
?ln(X) • ?пп(Х)
(9.20)
формула билан топилиши мумкин, бунда Zi(.(х) — Z(x) матрицанинг
ф!(х), /,/ = 1, . . . , п элементининг алгебраик тулдирувчиси. Эн-
ди (9.19) айниятнинг икки томонини унгдан Z-1 (х) га купайтира-
миз:
= (9.21)
Бу айниятдан А(х) матрицанинг a{j(x) элементлари ягона усул би-
LIZ-yXJ _i
лан аницланади. ва Z (х) матрицаларнинг элементлари I
интервалда узлуксиз булгани учун А(х) матрицанинг элементлари
цам шу интервалда узлуксиз. Теорема исбот этилди.
5. Остроградский—Лиувилль формуласи
9.9- теорема. Агар (9.18) шатрицали тенгламада А(х) мат-
рица I интервалда узлуксиз булиб, Z(x) матрица (9.18) тенгла-
манинг шу интервалда аницланган матрицали ечими булса, у
цолда I интервалдан олинган ихтиёрий х ва х0 лар учун ушбу
J SpA (T)dT
det Z(x) = det Z(x0) ex‘ (9.22)
формула уринли. Бунда SpA(r) белги Л(т) матрицанинг бош диа-
гонал элементлари йигиндисидан иборат булиб, А(х) матрица-
нинг изи дейилади.
(9.22) формулани Остроградский—Лиувилль^ формуласи деб
юритилади. Уни Вронский детерминанта оркали цам ёзиш мумкин:
X
J SpA{i)dt
W(x) = F(x0) ех° . (9.22')
Исбот. (9.22) формулани исботлаш учун W(x) детерлинантдан
х буйича росила оламиз. Анализдан маълумки, W(x) нинг цосиласи
^==W'i(x)+...+U7 (Х) (9.23)
ах
формула билан цисобланади. Бу формулада Wi— п- тартибли детер-
минант булиб, W(x) детермин антдан I- йули билан фарц цилади. Бу
I- йул эса W(x) нинг i- йул элементларини дифференциаллаш билан
цосил цилинади. Албатта, I- йул урнига I- устун тугрисида гапир-
сак цам мулоцазалар уринли булаверади. Энди W'.(x) ни ёзайлик:
?и(х) z12(x). . . zln(x)
z2i(x) z22(x) . . . z2n(x)
zn(x) /2(x) . . . z'(n(x)
znl(*-) Z„2W • • • znn(x')
*) Остроградский—Лиувилль формуласи иккинчи тартибли чизикли дифферен-
циал тенгламалар учун 1827 йилда Н. Абель томонидаи, п- тартибли чизикли диф-
ференциал тенгламалар учун 1838 йилда Ж. Лиувилль томонидан, системалар учун
умумий ^олда М. В. Остроградский томонидан чицарилган.
Бунда i- йулдаги цосилалар урнига (9.18) матрицали тенглама-
нинг координаталар орцали ёзилишини назарда тутиб, тегишли ифо-
даларни цуямиз:
2ц(х) z12(x) . . . zln( х)
zai(*) z22(x) ... , z2rl(x)
znl(x) zn2(x) • • • znn(x)
Энди i- дан бошца цар бир k- йул, k — 1,2, ... , i—-1, i-j-1. ...,n
элементларини тегишли aik га купайтириб, i- йул элементларидан
айириб ташлаймиз. Натижада цуйидагига эга буламиз:
ПР/х) =
?п(х) zls(x) . . . zln(x)
z21(x) z2a(x) . . . z2n(x)
аигп(Х)аи Zi2(X) auZin(X)
znl(x) zn2(x) • znn(x>>
= ajW(x), i = 1,2, . . ., n.
Шундай цилиб, (9.23) формулани бундай ёзиш мумкин:
= (У lV(x) ёки = (S‘>A)W(X)- (9-24>
dx / dx 1 v '
»=1
Биз Вронский детерминанта учун биринчи тартибли бир жинсли
дифференциал тенгламани цосил цилдик. Бу узгарувчилари ажрала-
диган тенглама. Шунинг учун (9.24) тенгламанинг Ц/(х0) = Wo бош-
лангич шартни цаноатлантирадиган ягона ечими (9.22) формула би-
лан ёзилади. Демак, Остроградский— Лиувилль формуласи исбот
булди.
9.10- теорема. Бирор Z(x), пхп матрица (9.18) тенгламанинг
I интервалда аницланган ечими булсин. .Бу Z(x)'^ матрица фун-
даментал булиши учун ушбу
detZ(x) = №(х) =# 0,^x6/
муносабатнинг уринли булиши зарур ва етарли.
9.1-натижа. Агар Z(x), матрица (9.18) тенгламанинг 'I ин-
тервалда аницланган'фундаментал матрицаси булса, у %олда их-
тиёрий махсусмас (яъни детерминанти нолдан фарцли) С пХп-
матрица учун Z(x)C матрица хам (9.18) тенгламанинг фунда-
ментал матрицаси булади.
Исбот. det Z(t)C = detZ(t) detCФ0 (274-бетга ва 275-бет-
даги 9.1-леммага каран г).
9.2- натижа. Агар
фундаментал матрица
нинг умумий ечими
ихтиёрий
(пХ1)- вектор булса,
орцали (9.4) вектор-матрицали тенглама'
у(х) = Z(x)C
(9.25)
куринишда ёзилади.
Мисоллар. 1. Ушбу
У\ — У 2» Уч — У1
система учун
(1)
У(х) =
(COS X
sin X
(2)
ва у(х) =
вектор-функциялар —со <х<-|-оа интервалда ечим булади. Буни бевосита текши-
риб куриш мумкин. у^\х) ва }/(2>(х) ечимлар фундаментал системани ташкил
этади. .\а1;икатан, бу ечимлардан Вронский детерминантини тузамиз:
Г(х) =
COS X
sin х
—sin X
COS X
— cos2 x + sin2x = 1 #=0.
Демак, Ffx) =£0, — оо < x < + оо. Шунинг учун t/l\x) ва y^\x) ечимларфун-
/0 —1\
даментал системани ташкил этади. Берилган системада А(х) = I I. Шундай
/cos х — sin х \
цилиб, ) матрица
' sin х cos х /
dZ /0 —1\
dx \1 Of
(9.26)
матрицали тенгламанинг фундаментал матрицаси булади. Энди фундаментал мат-
ри цаси
(cos х —sin х
sinx. cosx
dZ(x) /—sinx —cos x'
булган чизикли бир жинсли системани тузайлик. Равшанки,---= I
dx \ cos х —sinx,
Энди Z^*(x) матрицани топамиз: аввало
I cos х —sinxl .
detZ(x)= = cos2 х + sin2 х = 1, алгебраик тулдирувчилар
I sin x cosx|
= cos x, Aa == sin x, Л12 = — sin x, ,4И = cos x.
Шунинг
7—1 {^11
учун Z
A«, \ cos x sin x \
„ = . . . Бундан
Лм / ' —Sin X COS X J
Л(х)=
C11 a12\
a21 a21
dZ(x) t /—sinx —cosxV cosx sin x\ /0 —Г
dx k cosx—sinx/l—sinx cosx) \1 0,
Шундай цилиб, берилган фундаментал 'матрицага ягона матрицали дифферен-
циал тенглама мос келади ва у (9.26) тенглама билан устма-уст туша’Ди. (9.26)
матрицали тенгламанинг умумий ечими Z(x) = I SX S ]с куринишда, берил-
' sin х cos х )
ган нормал системаиинг умумий ечими эса
(Ui(x) \ /cos>—sinx\^ /cos х—sinxVCA Cx cos x—C2sin x \
Уг(х) ) \sinxcosx ) \sinxcosx /\C2/ 1C2 sin x -f- C2 cos x)
куринишда ёзилади.
2. Цуйидаги y\ = y2, y'2 = — уг + 2y2 система учун
1 СХ ) '(x-H)^J
вектор-функциялар —оо < х < + оо интервалда ечим булади. Шу билан бирга бу
вектор-функциялар фундаментал системани ташкил этади, чунки улардан тузилган
вронскиан нолдан фарцли:
Г(х) = |еЛ I =e2jV-0.
| ех (х + 1 )е* I
Шунинг учун умумий ечим
(ех\ . ,хех \
х 1 “Ь ^2 I, , ,. v )
е / (*+1)е /
куринишда ёзилади. Берилган система урнига [матрицали тенгламани, яъни
О IX
dx 1 2/
(9.27)
тенгламани курамиз. Энди фундаментал матрицаси Z (х)= (булган мат-
'e-v (x-{-l)e-v /.
рицали тенглама тузамиз. Равшанки, detZ(x) = e2x, Atl(x) = (х -f- l)ev, Л12(х) =
=—ех, А21(х) = — хех, А22(х) = ех. Шунинг учун
. dZ(x) 1 (ех (х-|-l)ev\ '2x/(х+1)ех —хех
А(х)———Z г/ । оч х е
dx \ех (х-|-2)ел/ \—ех ех
Демак, А(х) j. Шундай цилиб, (9.27) тенглама берилган фундаментал
матрицанинг ягона дифференциал тенгламасидир.
Энди берилган фундаментал матрица буйнча чизицли системани тузиш Нули-
ни курсатамиз.
Ушбу (х), у&\х), . . . , у^ х функциялар.I интервалда чизицли эркли
функциялар булиб, шу интервалда дифференциалланувчи функция булсин. Яна у(х)
дам 1 интервалда аницланган, узлуксиз дифференциалланувчи функция булсин.
Агар y\-k\x), k— 1, . . ., п ва у{х) функциялар бирор чизицли системаиинг ечими
булса, у долда цуйидаги айниятларни ёзиш мумкин:
— = аи(х)у± + a12(x)y2+ . . . Ч~а1п(х)уп .
аП1(Х)У1 "Ь ^Пя(Х)У2 Ч* • • • Ч"
(ОД
(°л).
(0)
=ацН1) + °12 + • • • + а1п^ 1(h)
................................. ? • (В
~~ =аП1У11) +ап2у(21)+ - - • + аппу </’• (1‘;
= аиУ 1П)+ а1 гУ^ + ’ •+ ат Упп)
(«)
=ап^ + а„2 4П) + • +а„„ уУ (пп)
аХ ) J
(ац = ац (х). Ёзилган (0), (1), . . , (га) системалариинг биринчи тенгламала-
рини олиб система тузамиз:
, — аиУ1 + ci2^2 + + атУп> J
ах
dy([l>
~ =С1М” + а1гУ21> + • • + ат Уп}, ।
~ = а11У™ + а12у^ 4-. . . + а1пу(пп> • j
Бу системанинг чап томзнини ^ам унг томонга утказиб, тегишли хрсилалар олди-
даги коэффициента р (—1) га тенг булгани учун уларни а10 (а10 = — 1) деб бел-
гилаймиз. Натижада с10, ап, , а1п ларга нисбатан ушбу
dyt 1
Cio ~ + “ii^i + аиУ2 + • • • + а^пУп = °>
d{/(D
Ojo ~~ + Оц!/1 ) + 012 У<2 * + • • • + а1Л У^п ’ ~ О’
dyt'n'>
aw + Оц!/1П) + а12 у(2п) + . . . + а1пу™ = О
системага эга буламиз. Бу система тривиалмас ечимга эга, чунки а10 = — 1 =£ 0.
Шунинг учун унинг детерминанта нолга тенг булиши керак, яъни
dyj dx У1 У2 Уп
dy\l} dx y<}> = 0, x£I.
dyp dx уГ ^n) • •• y{?
Шунга ухшаш, (0), (1), . . . , (я) системаларнинг мос равишда [k- тенглама-
ларини олиб, тегишли муло^аза юритсак, куйидаги
dyk dx У1 Vt • • Уп
dx г/}1’ У^.
dy^ dx y{? У^ Уп} & п
= 0, х£1, 6=1,2 . . , , п (9.28)
муносабатларга келамиз. Биз k нинг ^ар бир 1 k < п цийматида битта бирин-
чи тартибли чизикли бир жинсли дифференциал тенгламага эгамиз. Демак, k =
= 1, 2, . .. , п булганда (9.28) муносабатлар ^осиласи олдидаги коэффициента
Вронский детерминантидан иборат биринчи тартибли чизикли бир жинсли
тенгламалар системасидан иборат.
Юцорида курилган 1- ва 2-мисоллар учун берилган фундаментал системага
мос чизикли системани шу усул билан чикариш мумкин.
3-§. ЧИЗИКЛИ БИР ЖИНСЛИ БУЛМАГАН СИСТЕМАЛАР
Ушбу
^ = А(х)у-\-Ь(х) (9.3)
ах
система берилган булсин. Бунда А (х) квадрат матрица ва Ь(х)^0
устун вектор / интервалда аникланган ва узлуксиз. Чизицли L опе-
ратори ёрдамида (9.3) система
L(y)=b(x) (9.3')
куринишда ёзилади.
9.11- теорема. Агар ф(х), х С 1 вектор-функция бир жинсли
булмаган (9.3') тенгламанинг g бирор ечими булиб, ф(х), х£1
вектор-функция унга 'мос бир жинсли (9.4) тенгламанинг бирор
ечими булса, у холда шу вектор-функциялар йикиндиси ф(х) 4- ф (л)
бир жинсли булмаган тенгламанинг ечими булади.
Исбот. Бевосита L (ф (х) 4- 43 (х)) ни хисоблаймиз. L (ф (х))=0.
L (ф (х)) = Ь (х) эканини хисобга олсак, ушбу L (ф(х) -j- ф (х)) —
= L (ф (х)) + L (ф (х)) EEs 0 -j- b (х) айният теоремани исбот этади.
9.12- теорема (умумий ечим хацида). Чизицли бир
жинсли булмаган системанинг умумий ечими унинг бирор хусу-
сий ечими билан мос бир жинсли система умумий ечимининг йи-
гиндисидан иборат.
Исбот. Агар бир жинсли (9.4) системанинг фундаментал маг-
рицасини Z(x), бир жинсли булмаган системанинг хусусий ечимини
ф (х) десак, теореманинг тасдици буйича бир жинсли булмаган сис-
теманинг умумий ечими
у(х) = Z(x)C4- Ф(*)
(С — ихтиёрий узгармас устун вектор) куринишда ёзилади. 9.11-
теоремага кура Z (х) С 4~ ф (х) вектор-функция (9.3') тенгламанинг
ечими. Энди бу ечим умумий эканини исботлаймиз. у =« у* (х), х£/
вектор-функция (9.3') тенгламанинг ф(х) дан фарцли ихтиёрий
ечими булсин. У цолда ягона С° узгармас вектор учун / интервал-
да
у° (х) = Z(x)C° + ф(х)
айният уринли эканини курсатиш мумкин. ^ацикатан, у° (х) функ-
ция уп(х0) = у°, ф(х) функция ф(х0)=ф° бошлангич шартни ца-
ноатлантирсин. Ушбу
z/°.= Z(x0)C + r
ёки
Z (х0) С = z/o - фо, 2 (уо - ф0)а ф о
i=i
вектор-тенгламани курамиз. Бундан Z(x0) матрицага тескари мат-
рица мавжудлиги учун (чунки det Z (х0) = W(х0) Ф 0) ягона С° ни
топамиз:
С° = 2-1 (х0) (у°-ф°).
Шундай цилиб, у° (х) функция учун
У° (х) = Z (х) Z~l (х0) (z/° — ф°) 4- ф (х)
формулага эга буламиз. Теорема исбот булди.
Машцда муцим роль уйнайдиган яна икки теоремани келтира-
миз.
9.13- теорем а. Агар ушбу
L (у) = 2 Ь™ (х), Ь = fe(m>(x) £(?(/) (9.29)
бир жинсли булмагац тенглама берилган булиб ф(1) (х),
ф(2) (х), . . . , ф(А) (х) вектор-функциялар I интервалда мос равишда
L (у) = Ьт (х), L (у) = У2) (х). . . . , £ (у) = bw (х) (9.30)
тенгламаларнинг ечимлари булса, у уолда 1 интервалда
ф (х) = ф(1) (х) + ф(2) (х) + ... + ф(А) (х) (9.31)
вектор-функция берилган (9.29) тенгламанинг ечими булади.
Исбот. Теореманинг шарти буйича цуйидаги
L (ф(т) (х)) = Ь(т} (х), х £ /, т = 1, 2, . . . , k
айниятларга эгамиз. L операторин инг цосиласига асосан топамиз:
(k \ k к
2 Ф<т) И =2 L (ф<т) (х)) s (х).
/п— 1 / т=1 т=1
Теорема исбот булди.
.9.14-теорема. [Агар b (х) = Ь(1) (х) + ib™ (х), х£1 комплекс
вектор-функция булиб, ушбу
L(y) = bw(x) + ibl2) (х)
тенглама чизицли оператор L (у) нинг коэффициентлари цациций
булганда у = ф(1) (х) + гф(2) (х) [комплекс вектор-ечимга эга булса,
у холда i[’(1) (х) ва ф(2) (х) вектор-функциялар мос равишда
L(y) = bw(x), L(y)=b™(x)
тенгламаларнинг ечими булади.
Исбот. Биз ушбу
L (ф(1) (х) 4~ iф(2) (х)) fe(I> (х) 4- гТ(2) (х), х £ /
айниятга эгамиз. Бундан
L (ф(1) (х)) + iL (ф(2) (х)) = fe(1) (х) + й/2) (х)
ёки
L (ф(1> (х)) - fe(1> (х), L (ф(2) (х)) - b(2> (х)
айниятлар келиб чикади. Теорема исбот булди.
I. Узгармасни вариациялаш усули. Коши формуласи. Бу усулня
Ж- Лагранж номи билан аталади. Унинг мазмунини баён ^иламиз.
Ушбу
ч"’^). Фя(л).......................
функциялар / интервалда (9.4) тенгламанинг фундаментал системаси
булсин. (9.3) тенгламанинг (яъни кбир жинсли булмаган тенглама-
нинг) ечимини ^уйидаги
z/= О! (х) ф(1) (х) + а.2 (х) ф(2) (г) + + оп (х) ф(п) (х) (9.32)
(о. (х), х£1, 1 = 1, 2, . . . , п- бирор номаълум скаляр функциялар)
куринишда излаймиз. Бу (9.32) функция (9.3) тенгламанинг ечими
булиши учун аввало аг(х), i = 1, 2, . . . , п функциялар / интер-
валда дифференциалланувчи булиши зарур. Колган шартларни (9.32)
функция ечим булиши шартидан чик.арамиз. Шунинг учун (9.32)
функцияни (9.3) тенгламага куямиз:
п п
^ТбОфШ (%) + (X) L (ф(£) (X)) =- b (х).
i=i i=i
Аммо L (ф<£> (x)) == 0 булганидан цуйидагига эгамиз:
п
(X) ф(Л = ь (9.33)
. dx
>=1
Топилган вектор-тенглама скаляр функциялар d 01 , . . . , dCn
dx tlx
учун чизицли бир жинсли булмаган тенгламадир. Унинг детерминан-
та вронскиандан иборат. ф(1)(х), .... ф(п>(х) вектор-функциялар I
да фундаментал системани ташкил этгани учун бу вронскиан нол-
дан фарцли. Демак, (9.33) вектор-тенгламадан A°l W , i= 1, 2, ...,
dx
п функцияларнинг ягона ифодасини топамиз:
da‘(x) = (*), *=1,2......................п,
dx 1
Бундан
а. (х) = J 6t. (т) dт+ Ср х е /, х0 е /, /=1, 2, ... , п
х0
(Сь Сг, ... ,Сп- ихтиёрий узгармаслар). Топилган ифодаларни
(9.32) га цуямиз:
у=2 м + 2 ч’10 w S <т>d т- <9-34)
г=1 i=i х,
Топилган ифодада Сь ... , Сп лар ихтиёрий узгармас булгани учун
п
2 С,Ф(° (х) = Ф (*) вектор-функция (9.4) тенгламанинг умумий ечи-
1=1
п X
ми булади. Ф(х) = 5;ф(1) (x)J 6(.(x)dx вектор-функция эса бир
*=1 х0
жинсли булмаган системанинг хусусий ечимидир.
Шундай цилиб, умумий ечим ^а^идаги 9.12-теоремага асосан
(9.34) формула (9.4) тенгламанинг умумий ечимини ифодалайди.
Узгармасни вариациялаш усулидан бир жинсли булмаган тенг-
лама учун Коши масаласини ^ал ^илйшда ^ам фойдаланиш мум-
кин. 5^аь;и^атан, бизга ушбу
? = А (х) у + b (х), х е /, у (х0) = у° (9.35)
масала берилган булсин. (9.4) тенгламанинг х = х0 булганда бирлик
матрицага айланувчи фундаментал матрицасини Z(x, х0) дейлик.
Демак, Z (х0, х0) = Е. Бундай матрица (9.4) тенгламанинг нормал
фундаментал матрицах и дейилади. Агар узлуксиз дифференциал-
ланувчи номаълум о (х) вектор-функция учун a(x0) = z/° тенглик
бажарилсин десак, (9.35) масаланинг ечимини
r/(x) = Z(x, х0)о(х) (9.36)
куринишда излаш мумкин. Аввало z/(x0) = Z(x0, х0)а(х0) = Et/=yb.
Энди (9.36) вектор-функциядан росила олиб, (9.4) га цуямиз:
о (х) + Z (х, х0) = А (х) Z (х, х0) о (х) + £ (х).
Бундан
d-^-^A(x)Z(x, х0)
айниятга кура цуйидагига эга буламиз:
Z (^о)^=^(х).
Бу тенгликнинг икки томонини чапдан Z~1 (х, х0) матрицага ку-
пайтирамиз:
^ = Z-’(x, ч)Ь(х).
dx
Энди х0 дан х гача (х £ I, х0 £ /) интеграллаб топамиз:
о (х) = о (х0) + Z~* (т, х0) b (x)dx. (9.37)
io
Топилган ифодани (9.36) га цуйсак, цуйидаги формулага келамиз:
z/(x) = Z(x, x0)(y° + JZ 1 (т, x0)b(x)dx)
Хо
ёки
r/(x) = Z(x, х0) у° + J Z(x, x0)Z~1 (т, x0)b(x)dx. (9.38)
х.
Бу (9.38) формула (9.35) масаланинг ечимини беради ва Коши
форму лас и деб аталади.
Агар (9.38) формулада у° вектор ихтиёрий булса, бу формула
чизикли тенгламанинг умумий ечимини беради. Унда ф(х) =
=.Z(x, х0) у° — мос бир жинсли чизикли тенгламанинг умумий
X
ечими булиб, ф(х)= JZ(x, xe)Z~1 (т, x0)b(x)dx вектор-функция
Хо
эса чизикли бир жинсли булмаган тенгламанинг хусусий ечими
булади. ф (х) вектор-функция хусусий ечим эканини бевосита ^исоб-
лаб текшириш мумкин:
djHx) = dZ (х, х„) г b ) d т + z z-\ Ь (х) =
dx dx J
х0
~A(x)Z (х, х0) J Z-’ (х, х0) b (т) d х + b (х) =
Хо
= А(х) J Z(x, х0) Z~l (т, х0) b(x)dx-{- b(x) =я А (х)ф (х) + b (х).
Хо,
Коши формуласини яна "содда куринишда ёзиш мумкин. Унинг
учун ушбу
Z (х, т) = Z (х, х0) Z-1 (т, х0), (9.39)
x£I, x0£I, т<х
айниятни исбот этамиз. Куйидаги
Ф(1) (х) = Z (х, т), O(2)(x)==Z(x, x0)Z-1(t, х0)
белгилашларни киритамиз. Равшанки,
Ф(1) (т) = Z (т,т) = Е, Ф<2) (т) = Z (т, х0) Z-1 (т, х0) = Е,
демак,
Ф(1)(т) = Ф(2)(т). (9.40)
Шуб^асиз, Ф(1> (х) матрица (9.18) тенгламанинг ечими. Ф(2)(х) мат-
рица ^ам шу (9.18) тенгламанинг ечими булади. ^ацикатан,
Z-1(t, х0) = С деб белгиласак, бу матрица х га боглиц булмагани
учун 9.1-леммага кура Z(x, х0) С матрица ^ам ечим булади. Шун-
дай цилиб, ечимнинг мавжудлиги ^акидаги. 9.1-теоремага асосан,
Ф(1) (х) — Ф(2) (х), х£ / айният, ца демак, (9.39) айният уринли.
Шу (9.39) айниятдан фойдаланиб, (9.38) формулани
у (х) = Z (х, х0) г/0 + [ Z (х, т) b (т) d т. (9.41)
Хо
куринишда ^ам ёзса булади.
2. Чизикли бир жинсли булмаган системанинг ечимини юцори-
дан ба^олаш. Бу пунктда баъзи табиий шартлар бажарилганда
чизикли бир жинсли булмаган системанинг ечимини ю^оридан ба-
^олаймиз. (9.3) тенгламада А (х) матрицанинг нормасини бундай
аницлаймиз:
|| Л (х) Ц = sup J Л (х) |Л(х)|= V |цгДх)|, х q...
i. i=l
9.2-лемма. Агар у = у(х) вектор-функция qr < х q2 интер-
валда (9.3) тенгламанинг у(х0) = у°, < х0 Qi бошлангич шарт-
ни каноатлантирадиган ечими булса, у %олда <71 х интер-
валда ушбу
Т х
- J |W(S) II ds J ||»(T)||dT|
\у(х)\^{у’ + \ |%(т)е dr\}e^ (9.42)
Хв
тенгсизлик уринли.
Исбот. (9.3) тенгламада — ифодани бундай ба^олаш мумкин:
dx
;Н<||л(х)||.и+|н*) I-
dx |
Энди ^уйидаги
= IM (х) [I и + \b (х) |, и (х0) =±> J у (х0) | =| | у° |
масаланинг х0 х < q.2 интервалда аникланган (таъриф буйича)
максимал ечимини (2- боб, 4- § га ^аранг) и0 (х) деб белгилаймиз.
У ^олда и°(х) фунция учун уз ифодасини ёзишимиз мумкин:
Т X
х -|||Л(з)«Л J II Л(Т)1|Л
«°(*)=Ч|!/01+ f 1Чт)|е *° dx}ex>
Хо ч. S
2.8- теоремага кура х0 < х < q2 интервалда | у (х) | < и0 (х)
лик уринли.
Шунга ухшаш qt С х х0 интервалда
= — IM (*) II « — Iь (х) |, и (х0) = | у0 |
тенгсиз-
тенгламанинг минимал ечимини и0 (х) деймиз.
и0 (*) функция учун ft < х < х0 интервалда
Ю^оридагига ухшаш
-||1Л(т)||Л
> х«
х J M(«)||ds
“oW = {lf/°| —Jlfc('t)lfiX* dx}e
х0
ифодани ёзиш мумкин. Бундан ^^х^Хд интервалда || у (х) || >
> иох тенгсизлик ^осил булади. Агар охирги тенгликда х0 дан х
гача олинган интегралларда интеграл лимитлари урнини алмаштир-
сак, qt < х х0 интервалда ^ам шаклан и° (х) функция учун то-
пилган ифодани ^осил циламиз. Шунинг учун qy < х х0 ва х0
< х < qt интерваллар учун топилган тенгсизликларни умумлаштир-
сак, изланган (9.42) тенгсизликка эга буламиз. Лемма исбот булди.
Мисол. Ушбу чизикли бир жинсли булмаган
У{--------Уг + 1»
J/2 = ^i+ sin х> ь (х) =
системанинг умумий ечими топилсин.
Мсс бир жинсли булмаган системанинг фундаментал системаси 2- §, 1- ми-
солда топилгаи эди:
' / COS X
У( } (х) =
\sin х
(2)
в(х) =
—sin х
cos х
Энди бир жиисли булмаган системанинг хусусий ечимини излаймиз. Бунинг
учун узгармасни вариаццялаш усулини цулланамиз, яъни ечимни (9.32) кури-
нишда ёзамиз. Унда (х) = «р^1» (х), у^1 (х) — q/2*x булиб, , i = 1, 2
- dx
функциялар учун (9.33) системадан фойдалаяамиз:
da1 da„
cos x —— — sin x —- = 1,
dx dx
rfai , do,,
sin x —— + cos x—— = sin x.
dx dx
Езилган системаиинг детерминанта l га тенг. Шунинг учун:
d ot
dx
1 — sin x
sin x cos x
= cos x + sin2 x.
d o*2
dx
cos x 1
sin x sin x
= sin x cos x — sin x;
(cos x + sin2
1 — cos 2x
cos X 4- ----------
1 1
= sin x 4- — x — — sin x 4- C,
2 4
<r2 (x) = J (sin x cos x — sin x) dx = J sin 2x — sin xj dx =
— — — cos 2x -|- cos x 4- C2-
Энди берилган системаиинг умумий ечимини ёзиш мумкин:
, „ I . ,1 1 . „ cos х \ I 1 \ /—sin х \
у (х) = sin х 4- — х — — sin 2х 4- — — cos 2х 4- cos х 4-
\ 2 4 / sin х / * 4 \ cos, х
+ Ci
— sin х
cos x
4- чизикли Узгармас коэффициентли бир жинсли системалар
1. Характеристик тенглама. (9.4) тенгламада А матрица узгар-
мас булсин. Бу колда биз ушбу
— = Ау, А = const (9.43)
чизикли узгармас коэффициентли (матрицали) бир жинсли вектор-
матрицали тенгламага эгамиз. Агар L-—— А = р — А оператори-
дан фойдалансак, (9.43) тенгламани £.(г/) = 0ёки (рЕ—А) у—О
ёки
(А — рЕ)у=0 (9.44)
куринишда ёзиш мумкин. Равшанки, A — pE = L(p) ва бу L(p)
оператор р га нисбатан п- тартибли матрицадан иборат. Уни коор-
динаталарда ёзамиз:
/а^ — р а12 . . . а1п
L(p) =1 Oil а22~ Р • • ‘ а2п.
''Qnl ап2 ‘ ’ аяп Р
(9.45)
Демак, (9.43) ни яна L(p)y*=-0 куринишда ёзиш мумкин. Знди
det L (р) = D (р) деб белгилаймиз. Шу D (р) детерминант ёрдамида
тузилган тенглама (9.43) тенгламанинг характеристик тенглстаси
дейилади. Кейинги мулохазаларимиз характеристик тенгламанинг ил-
дизларига караб (9.43) тенгламанинг п та чизикли эркли вектор-
ечимларини топишга багишланган булади. Бунинг учун биз аввал
(9.43) тенгламага] ёки бари бир L (р) у = 0 тенгламага нисбатан
умумийроц чизикли бир жинсли системани интеграллаш усули би-
лан шугулланамиз. Бу усул чицариш <методи нсми билан аталадш
2. Чи^ариш методи. Ушбу
L(P) =
Рц (Р) ^"12 (Р) ' • • ^1п(Р)
7-21 (р) ^22 (Р) ’ ’ ' ^2п (Р)
(9-47)
Lnl (Р) Ln2 (Р) • • • Lnn (р)
матрица берилган булиб, унда ^ар бир Ljs (р) элементна нисбатан
бирср тартибли купхад булсин. >Кумладан. агар Ljs (р) «я ajs, j^=s,
L.. (р) «= а^ —p булса, (9.47) матрица ю^орида Курилган (9.4Е) мат-
рица билан устма-уст тушади. Энди
L(p)y = f(x) (9.48)
(У1\ 7AWA
вектор-матрицали тенгламани курамиз, унда p==l i I. f(x) = 1 j I
булиб, f(x) вектор-функция бирср / интервалда аникланган ва: ке-
раилича дифферснциаллануБчи.. (9.48) тенглама кссрдинаталарда
ёзилса, Lis(p)ys ифеда ys ва унинг ^ссилаларииинг чизикли комби-
нациясидан тборат. Номаълум функциялар сспи тенгламалар cci’nfa
тенг. Агар бирор Z/s(p)^O булиб, (9.47) матрицанинг целган' Ле-
меи тлар-и айнан пелга тенг булса, у х;слда биз у3 га нисбатан ’би-
рор тартибли чизицли $згармас коэффициентли бир жинелй ' б^'лма-
ган (унг томони fs (х) булган) битта тенгламага эга буламиз.1 Бу
холин С-бсбдатула ургангаимиз. Берилган (9.48) тенгламанинг
тартиби бундай аЕНкланади. 7ц(д), Z21(p), ... , ЬгЛ (р) купхад-
ларнинг энг катта тартиби qlt Llz(p), L2i(p), . . . , Бп2(Р) кУпх.ад’
ларнинг si г ватта тартиби q2 ва х.. к. Lln(p)‘ L^p). • • . , L^iP)
кугхадларнинг энг катта тартиби эса qn дейилса, системанинг тар-
тиби ? = <71 + ?2 + ••• +qn формула билан аникланади.
L (р) матрицанинг детерминантини D(p), Lis(p) элементнинг
алгебраик ту'лдируичиси.ни (яъни тегишли ишераси билан олинган
минорини) M/s (р) дейлик. У холда слий алгебра курсидан маълум-
ки, D (р) детерминант алгебраик т^лдирувчилар ортали бундай
ёзилади:
У Mii (Р) L si (Р) = D (р), (9л9)
f=i
бунда Sti—Кронеккер симзоли ((8.72') га царачг). (9.48) теяглама-
ни координаталарда ёзамиз:
1. 2, . . , п. (9,48')
<S==1
Энди у {к) вектор-функция щу (9.48') системанинг бирор ечими
булиб, етарлича тартибгача дифференциалланувчи булсин. (9.48')
системанинг икки томэнини цар бир j учун Mjt (р) га купайтириб,
j буйича йигиндисини оламиз:
w-i^/{(p)//w-
f=l S=1 /=1
(9.49) формулага кура цуйидагига эгамиз:
D (р) yt (X) = h1 ’ 2..................."• (9-50)
1=1
Бу системами гг унг тэмэяида fi(x), f2(x). , fn(v) функ-
цияларнинг ва уларнинг маълум тартибгача цосилаларининг йигия-
диси турибди, уни Ff(x) дейлик. У цолда
^(P)f/JW = Fi(x) <9-51)
тенгламага келамиз, бунда F. (%) функция / интервалда аникланган
узлуксиз функция деб царалади. Равшанки, D (р) — бирор купцад
(р га нисбатан). Бу D(p)— чизикли дифференциал оператордан
иборат. Шунинг учун (9.51) тенглама у{ га нисбатан бирор тар-
тибли чизицли бир жинсли булмаган дифференциал тенгламадир.
Бундай теигламаларни интеграллашни биз биламиз. Баён этилган
усул берилган (9.48) системани цар бири биттадан номаълум функ-
цияни уз ичига олган п та чизицли дифференциал тенгламалар
системасига келтиради. Чицариш методининг мазмуни ана шундан
иборат.^
(9.48) тенгламанинг цар бир ечими у(х) учун у^х) функция
(9.51) тенгламанинг ечими булади. Аммо шу (9.51) тенгламалар-
нинг ихтиёрий ечими (9.38) тенгламанинг ечими булиши шарт эмас.
Амалда цар бир (9.51) тенглама умумий ечими орасидан интег-
раллаш. фюрмуласини танлаш цисобига (9.48) тенгламанинг ечими
топилади.
Чицариш методини f(x)=O, xQI булган цолга, яъни ушбу
L(p)y = 0 (9.52)
(бунда L(p)—(9.47) матрица) бир жинсли системани интеграллашга
татбиц этамиз. L(p) матрицанинг детерминанти (О(р) айнан нолга
тенг булмасин ва 1 — D (р) купцаднинг k каррали илдизи булсин.
У цолда (9.52) тенгламанинг ечимини
i/ = g(x)eu, (9.53)
(gi(x) \
g(x) = I I куринишда излаймиз, бунда g1(x), ... . , gn(x)
\gn(x) J
функциялар тартиби (A—1), кос^Звциеитлари ксмаа-лум булган
куихадлардир. Энди (9.53) функцияни (9.52) тенгламага цуямиз:
О = Цр)ё(х)еи = euL(p + X) g (х).
(9.54)
Бу муносабатнинг тугрилиги (6.17) формуладан келиб чицади. Фа-
кат (6.17) формула да Цр) купхад эди. Бизнинг цолда L (р) элемент-
лари купцадлардан иборат матрица. Шу L (р) матрицани g(x)ex век-
торга купайтириб, хосил булган некторнинг цар бир координатасига
5'ша (6.17) формулани татбиц этилса, юцоридаги муносабат чикади.
Энди (9.54) дан га цисцартириб топамиз:
Цр + A)g(x) = 0. (9.55)
Шундай цилиб, (9.53) вектор-функция (9.52) тенгламанинг ечими
булиши учун gL (л), .... gn(x) купхадлар (9.55) муносабатни цаноат-
лантириши зарур ва етарли. Агар (9.55) ни ксординаталарда ёзсак:
п
(Р + *)&(*) = °, j= 1,2.......П. (9.56)
S=1
Хар бир /, 1 О учун (9.56) тенгламада чап томони А— 1-тар-
тибли купцаддан иборат. х нинг барча даражалари олдидаги коэф-
фициентларни нолга тенглаштириб, gf(x) купх,аднинг коэффициент-
лари учун А та чизикли бир жинсли алгебраик тенгламалар система-
сини хосил киламиз.
Демак, чицариш методи бир жинсли (9.52) тенгламанинг ечимини
излаш масаласини чизикли бир жинсли алгебраик тенгламалар сис-
темасини ечишга олиб келади.
(9.52) тенгламанинг умумий ечимини излаш масаласини цуйидаги
теорема ечиб беради.
9. 1 5-теорем а. (9.52) тенглама берилган булиб, 'унда D(p)=*
*=detL(p) детерминант айнаннолгатенгбр/лмасин eaklthz, .... —
— D(p) куп^аднинг мос [равишда ' klt kz, ... , k каррали туоли.
илдизлари буЛсин. У %олда (9.52) [тенгламанинг умумий ечими
цуйидаги
у = gw (х) е.м+ g(2)(x)eM 4- . . . 4- g<m> (х)еКтХ (9.57)
куринишда ёзилади, бунда g(0(x) «= (g^\x), , gn°(x))* ва
£/l)(x).— тартиби k’— 1 булган куп^ад. Бундан куринадики, (9.52)
тенгламанинг %ар бир ечим i х нинг барча циймапгларида, яъни
— оо < 4- оо инпггрзалда аникланган булади.
Исбот. Равшанки, ^ар бир (9.53) куринншдаги ечим —оо <
<х<4-оо интервалда аникланган. Шунинг учун (9.57) формула
билан ёзилган ечим ^ам шу — оо <z x<Z 4- оо интервалда ’аникланган
булади. Энди (9.57) формула умумий ечимни ифода этишини курса-
тамиз. Аввал (9.57) функция ечим эканини исботлаймиз. Унинг
учун (9.57) функцияни (9.52) тенгламага цуямиз. Агар ^ар бир
g(s'W еУ векгор-функция (9.53) га кура ечим эканини ^исобга
олсак,
ЦР) (gWW eKlX 4-... 4- gim\x) е^х) =
« еКхЦР 4- Ms(l> (*)> . . . [4- т хЦр 4- Km)g™(x)} = О
тенгликка келамиз. Энди (9.57) формула умумий ечимлигияи курса-
тиш цолди.
Бирор I интервалда аницланган у(х) вектор-функция (9.52) тенг-
ламанинг ечими булсин. У ^олда уни (9.57) куринишда ёзиш мум-
кин. ^адицатан, у(х)'функциянинг х4арбир коордииатаси D(p)ys(x) —О
тенгламани цаноатлантиради, ва демак, '(6.24) формулага асосан yt(x)
функция ушбу
т
ум = 2 е s =1 >2........................п <9-58)
i=H
к^ринишдт ёзиллши мумкил, бунда yt^x) купдад (k^— 1)-тартибли
- характеристик тенгламанинг (яъни D(p) = 0 тенгламанинг)
k( каррали илднзиГШундай”цилиб, ^ар бир коордииатаси (9.58) к^-
ринищда ёзиладиган у(х) вектор-функция ^ам (9.57) куринишда
ёзилади. Теорема исбот булди. g
Мисоллар. 1. Ушбу
‘Jl 4- — У2 = O.TfZj — У2 — Ул = О
системани чицариш методи билан ечамиз. Уни g
/ (р4-1) У1—у2=о
I Р2У1—(p4-l)i/a=0
куринишда ёзсак, D(p) детерминант учун топамиз:
DM-1 (р-П) ] = ’ (Р4-1)»4-Ра = - 2р -7?
1
КУринадики, D(p)—биринчи таргиэтп купцтд. Унинг илдизи X =» — -я-. Демакi
берилган системанинг ечимини у = у11 = \Уз/ 1 гишли цосилалар олиб системага цуямиз: / 1 \ f Д \ Ае j | куринишда излаш лозим. Те-
1 1 1
1 ‘2Х 2Х 2 Х
_±Ае + Ае -Be =0,
1'1 1
1 9 Х 1 2Х 2 Х
Ае 4" ~2 Be — Be =0.
1
--7r 1
Бундан е ~ га цисцартириб топамиз:
Бу икки тенгламадан бири иккинчисидан цосил цилиниши мумкин. Шунииг учун биз
битта икки номаълумли тенгламага эгамиз. Унда В = С — ихтиёрий узгармас ци-
Либ танланса, Д=2 С булади. Демак, берилган системаиинг умумий ечими
& =
—9Х
2Се 2
1
.Се 2
(С—ихтиёрий узгармас) куринишга эга.
2. Яна бундай
У\ 4" 4- 2у'2 + у2=* 0,
3^14-5^ 4" {44"3^а=°
системани цам курайлик. Уни
(р24-5р).!/14- (2р4-1 )й=о
(3р24-5)р1+(р4-3)ра=о
куринишда ёзиб, детерминантини топамиз:
Ш = рй’ I = {р2±5р} {Р±3) ~(2рЪ1) (3/,2+5^
=р3+8р24-15р—6р3—Зр2—Юр—5= — 5р34-5р24-5р—5 =5(р2—р24-р— 1)=—
= -5(р-1)2(р4-1).
Бундан О(р) купцаднинг илдизларинй топамиз: Xt=l (икки каррали), Ка=»—I. Ку-
рииадики, у№ ва у^ векторларни цуйидагича излаш лозим:
(1) =(
У \j4*7
Jae—х I
Содда цисоблаштар ёрдамида шуии топамиз:
£/(1)(х) =
'(Ci+C^e*
.—2С± С2 ‘2С2х) 6х
Гр(2)(х)=*
Демак, умумий ечим
k(—2Ct—С2—2Сах)ех —iC2e 3
каби ёзилади.
3. Ча^ариш мгтодияинг чизикли бир жинсли узгармас коэффи-
циентли нормал системасини интеграллашга тагбици. Чицариш ме-
тодини (9.43) тенгламани интеграллашга татбиц этамиз. Бу ^олда
Цр) матрица (9.45) куринишда булиб,
ASj(P) = а, — /,s = 1,2.....rr,
6fi — Кронсккер символи ва D(p) детерминант А — (atj) (i, j=l,... ,п)
матрицанинг характеристик детерминанти (ёки тегишли характе-
ристик тенгламаси) булади. Кейинги муло^азалар D(p) купхдднинг
илдизлари оддий ва каррали булишига боглик. Шунинг^ учун цуйи-
даги икки ^олни ало^ида курамиз.
1) D(p) куп^аднинг илдизлари \ар хил. Шу купхаднинг илдиз-
лари Xlf Xs, ... , лп булсин. У ^олда бу илдизлар оддий, яъни ^ар
хил булгани учун Zt. илдизга мос ечим
y^ = g^eKi х (9.59)
куринишда изланади, бунда g(i> = (gv’, g^, .... g^)*} - устун
узгармас вектор.
Бу у" векторни (9.43) тенгламага цуямиз:
l.gWeK‘x =>Agli)eKfx.
Энди ei?i* .ra ^ис^артириб топамиз: AgM= g(l). Бундан gw век-
тор А матрицанинг хос сонига (характеристик сонига) мос хос век-
тори экани келиб чикади*). Ю^оридаги тенглик g(l} векторга коли-
неар булган барча векторлар учун бажарилади. Шунинг учун бирор
тайинланган й(,) векторни олиб, £(г) = С\й(,) (Cf— ихтиёрий узгар-
мас) каби танлаймиз. 9.7-[теоремага кура курилаётган ^олда чизикли
бир жинсли узгармас коэффициентли системанинг умумий ечими
у = Сг й(1)С2й(2) + . . . +С„ h(n) е х (9.60)
куринишда ёзилади. Шундай ккилиб, куйидаги теорема исбот этилди:
9.16-теорема. (9.43) тенглсмада А 'матрицанинг хос сонлари
Xlt Хг, . . . , лар \ар хил булиб, h(l\ 1г1п)=уларга ’мос хос век-
торлар булсин. У \олда (9.60) вектор-функция (9.43) тенгламанинг
умумий ечимини [ифода этади.
Эслатмв. Юцо[идаги мулохазаларда А матрица умуман айтганда комплекс
элементларга эга эди. Агар А матрица хакикий булса, у ^олда хос вектор-
ларии шундай танлаш лозимки, ^а^икий хос сонларга хациций хос векторлар, цуш-
ма-комплекс хос сонларга кушма-комплекс хос векторлар мос келсин. Бу ^олда
натижада цушма-комплек с ечимлар олдидаги ихтиёрий узгармасларни кушыа-К0Мп-
лекс хакикий ечимлар олдидаги коэффициентларни каКиКий Лилиб танланса, х.аки-
Кий умумий ечимга эга буламиз.
Келвжакда биз А матрица каКикий булган к°лни курамиз.
*) Агар узгармас А матрица учун Ah = ХЛ тенглиги бажарилса.у ^олда X сони
А матрицанинг хос сони, h вектори эсв X га мос хос вектори дейилади [1].
Мисоллар. 1. Ушбу
01~^’
системани интеграллаш суралган булсии. Бунда А ( । q j, D (X) — | ~=
= X2—1. Бу £)(Х) куп^аднинг илдизлари Хх = — 1, Ха = 1 — ^аци^ий ва ^ар хил.
Шунинг учун
y^h^e-x, № ех , h™=( М”), М2’ =f Ал\
Up»/ Ui2»)
ечимларни излаймиз, бунда ft(1) ва й(2> ^аци^ий хос векторлар. Равшанки, Ah {|) =
= Хх М1) тенглик цуйидаги системага эквивалент:
I -ХхАр + ft(i>= 0, . J йр>,+ ftp = О
I ftp-Xxftp=O еКИ (ftp + ft(D=0.
Хар икки тенглама бир хил булгани учун ft}1»=l десак, йР =— 1 булади. Демак,
‘"4-D-
Шунга ухшаш Л//2» = X2ft'2». урнига
I —X2ft(12»4-ft(22»=0 . | —ft}2» + h<2>= О,
I ft<2»-X2ftp=0 ек“ ( ft<2»-ftP=0
системага эгамиз. Буидан ftj2»=l, Деб танланса булади. Демак, Л<2»=»
==^ | ). Шундай килиб, берилган^системанинг умумий ечнми
(J ) «"' + с,(' ~ I )
каби ёзилади, бунда Сх ва Сг— ка^икий ихтиёрий узгармас сонлар.
2. Энди чуйидаги
01= Уа. 02=-—01
системани интеграллайлик. Унда А матрица чаки^ий б^либ,
л=(_?;). d(X)=|zi_x|=^+l
D(X) куп^аднинг илдизлари X1=z, Ха=»—I, Хх=/ хос сонга мос h (1) кос векторни
| —j ftp 4- ftp= о,
[_Лр_,-Ар=0
системадан топамиз. Бу'системанинг тенгламалари эквивалент булгани учун— ftj1» —
— iftp=0 дан йр = 1, /1р=—i дейиш мумкин.
Демак,
Умумий каки^ий ечимни назария буйича
0=(Cx+fC2) ( - ‘ ) Zelx + (Сх - iC2) ( i ) e~lx
куринишда ёзилади. Бу ифодани соддалаштириб чикилса (е1х вае-1х учуй Эйлер
формуласидан фойдаланиб) ,
(26?j sin x-J-SC2 cos x A_/ C2 cosx-p CjsinxA (f'=2C 6?'—26?
26?! cos x—2C2sinx/ \CiCosx — 6?2sinx /’ 1 *’
вектор-функцияни ^осил циламиз. Амалда бирорта хос векторни, масалан, ( j ) ни
слиб, тегишли экспотенциал функцияга (бизда ё~1х га) купайтириб чикилади:
(; )«-*=(' Wx-isinx) = (sinx + ':cos^
\ I ) \ 1 / ' \ COS х—isinx).
Бундан ( * j ва (_* j вектор-функциялар ечим экани келиб чицади, чунки
(cosx) "Ь1 (__sin х )— комплекс вектор-ф^вкгия ечкм. Демак, )м)мий ечим
r ( si« х ) , r ( cos х \ _ ( 6?! sin х-|-6?2 cos х \
1 \ cos х ) ”1 2 \ — sin х ) — ( 6?х cos х—6?2 sin х J
куринишда ёзилади.
2) D(p) купцаднинг илдизлари каррали. Шу купцаднинг турли
илдизларини Ха, ... X , т<2п дейлик. Бунда 11 илдиз qx каррали,
Х2—q2 каррали.........Хт— qm каррали булснн.Равшапки,ф1+ф2 +
+ . . . -Ь qm = п булади.
9.15-теоремага асосан умумий ечим (9.57) формула билан 'ёзила-
ди. Бу формулада цар бир g<n (х) вектор-функция координаталари
тартиби (д' — 1) га тенг булган купцадлардан иборат. Бу купцад-
нинг д' та коэффикиентларини g{i) (x)ez,‘х функция чизикли бир
жинсли системаиинг ечими эканидан фойдаланиб топамиз. Бошкача
айтганда, g (1)(х) купцаднинг козффицкентларини узгармас козффи-
циентлар метсди билан топамиз. Масалан, glI\x) -вектор-функцпя-
ни бундай ёзайлик:
Хосил булган (9.61) вектор-тенгламанин г икки томовида х нинг
бир хил[даражалари олдидаги коэффипиептларни тен глаштирсак, g(n (х)
векторнинг цар бир координатаси рслини уйнаётган купцаднинг
коэффипиентларини топамиз. Бу козффициентлар учун чизицли бир
жинсли алгебраик тенгламалар системасига эга буламиз.
----Ун У %—У1—Уа
системанинг матрицаси А= J ® j, характеристик детерминанта
£>(Х)= | | = + (1 4" ^)2- Демак, О(Х)=0 тенглама Л.1>2 ——1—бит-
та-икки каррали илдизга эга. Ундай булса, ечимни у = (ax-t-b)e~х, yt^(cx-^-d)~a
куринишда изланади. Тегишли! досилаларни олиб, берилган системага дуямиз ва
£~х га досил булган тенгликларнинг икки томонини булиб юборамиз:
la — (ax 4- b) = — (ах4-Ь),
I с — (ex 4- d) = (ax 4-6) — (ex 4~ d).
Бу системадан
fn-6 = -6. ва f c-d^b-d.
I— a = — a I—‘C~a — c
генглнкларни топамиз. Булардан a =» 0, 6 = c = C1F d^C.2(Clt C2— ихтиёрий узгар-
мас) цпймэтларга эга буламяз. Шундай килиб, берилган системанинг умумий ечими
У1 = cie~*> Уа (С2х + С2) ё~х
куринишда ёзилади ( у'} _ ^1У1<
Маш ч. 1. Ушбу | уз = К2у2
система интеграллансин. Бунда Xt = Х2 булган доллар алодида текширилсин.
2. Ушбу
({/р= ЫН— Ьу2,
| у'2(= ЬУ1 4- аУг
система интеграллансин, унда Ь’=у=О.
S-§. ЧИЗИКЛИ УЗГАРМАС КОЭФФИЦИЕНТЛИ БИР ЖИНСЛИ БУЛ НАГАН
СИСТЕМАЛАР
Чизикли бир жинсли булмаган системаларда А матрица узгармас
булган к°ляи ало.дида урганамиз. Визга (ушбу
— =* Ау 4- Ь(х), А =* const
dx
(9.62)
чизикли узгармас коэффициентли (узгармас матрицали) вектор-мат-
рицали тенглама берилган булсин. Унда Ь(х) =1 : I вект0Р'ФУнк’
\bn(x)J
ция бирор I интервалда аникланган ва узлуксиз функции. Бу колда
{9.62) системага мэс бир жяясли системанинг умумий ечимига кура
Лагранжяинг узгармасни вариациялащ метод и ёрдамида бир жинсли
булмаган системанинг умумий ечими ш топиш мумшя. ^олаверса,
(9.62) системани И1Теграллан учун Кэши формуласини куллаиии*
мумкин ((9.33) фэрмулага карачг). -
Агар бир жинсли булмаган систем ада Ь(х) вектор-функция их-
гиёрий булмай, улил г .\ар бир коэрдилатаси квазикупдадцаи иборат
булса, у х.олда бир жинсли булмаган системанинг хусусий ечимини
топиш ва 9.12-теоремадан фсйдаланиб умумий ечимини ёзиш мум-
кин. Биз мазкур параграфда хусусий ечимни тог.иш (танлаш) билан
шугулланамиз.
Биз квазикупхаднинг таърифини 6- бобда берган эдик (6.3- таъ-
риф). Энди 1(х) вектср-фувкциянинг х;ар бир b^x), j = 1,2, . . ,,п
коордииатаси квазикупхад булсин, яъни
fc/x) = + bf\x)eKx + . • . + fc<m>(x)Z< (9.63)
бунда 12, . . . ,lm лар узаро хар хил хакицпй ёки комплекс сон-
лар, b(j\x), k = 1,2, . . . , т- бирор купхад. Агар 9.13-теорема куз.
да тутилса, b^x) = Рт(х)еух, Pmj(x), /= 1,2,..., п тартиби т. булган
купхад деб мулохазалгр юритг.ш етарли.
Хусусий вектор-ечимнинг куринишини ёзиш учун
max^i, т2, . . . тп) = т дейлик.
1) у сони мос бир жинсли системанинг матрицаси учун хос Сон
эмас, яъни 1(т)=Н=О. Бу холда хусусий ечим куйидаги^
Ф,(*) = У,(х) = , 1 = 1,2,...,п (9.64)
(Q^(x)—т- тартибли купхад) куринишда изланади. Номаълум Q^(x)t
j == 1,2, . . . , п купхаднинг козффициентлари нсмаълум коэффици-
ентлар методи билан топилади.
2) -у сони мос бир жинсли системанинг характеристик тенгла-
маси учун s каррали илдиз.
Хусусий ечим ушбу
% {х) = 0Д(х)етх, j = 1,2, . . ., п } (9.65)
(Q^_,(x)- тартибли га тенг купхад) куринишда изланади
Цайд килиб утамизки, хусусий ечим ф;(х) — xsQm)(x)evx куринишда
эмас, (9.65) куринишда изланиши лозим. Бу холда хам купхаднинг
коэффициентлари 'апикмас ксеффициентлар методи билан топилади.
Мисоллар. 1. Ушбу
( у\ = 2f/x — у2+ хе3х,
I Уч = У1 + 402
система иитеграллансии. Характеристик [тенгламани ёзамиз:
D(X) =
2—1 — 1
1 4—1
ёки I2 — 61 + 9 = 0.
Бундан 1Х = 1а = 3. Демак, 1 = 3- икки каррали илдиз. Мос бир жинсли системани
олайлик:
у\ = 2$1 — 02,
02 = У1 + 4^2- i
Курилаётган холДа бу бир жинсли системанинг ечимини
01 = (ах + b)e3x , 02 = (сх + d)e3x
куринишда излаймиз. Олдин цосилаларни цисоблаймиз.
у\ = ае3х + 3(ах + Ь)е3х = е3х(Зах + а-Ь Зй),
у2 = е3х(Зсх 4- с 4- 3d).
Бу нфодаларни бир жиисли системага цуямиз:
е3х (Зах + а + ЗЬ) = 2(ax 4- b) е3х ~(сх + d)e Зх-
е3х (Зсх 4- с + 3d) = (ах 4- Ь)£х 4- 4 (сх d)e3x-
Натижада цуйидаги тенгликларни цосил циламиз:
Зах 4- (а 4* ЗЬ) = (2а — с)х 4- (2Ь — d),
Зсх 4- (с 4- 3d) = (а 4- 4с)х 4- (b 4-4d).
Бундан
За = 2а — с,
а 4- ЗЬ =2Ь—d, ёли
Зс = а 4- 4с,
с 4- 3d = b+4d
а = —с,
а 4- b = —d,
а = —с.
с— Ь 4- d
ra —С2,
с = —С2
Ь=С2
d——(C1-b-C2)
бу ерда Сх, С2— ихтиёрий цациций узгармаслар.
Шундай цилиб, бир жинсли системаиинг умумий ечими
ki = (Ctx+C2)e3x
\у% ~ (^1* “Ь" ^2)^
каби ёзилади.
Энди бир жинсли булмаган системани текширамиз. Бу системада
/Ьх(х)\ I хр3х\
b(x) = I = I ва (9.63) квазикупцад учун бизнииг цолда ух =» Лх = 3,
т1— 1. у = 3 сон характеристик тенгламанинг икки каррали илдизи ва m4-s=>3
булгани учун бир жинсли булмаган системаиинг хусусий ечимини
fyi — (w3 4- а2х2 + а3х 4- а4) е3х
1^а = (М3 4" fc2x'2+ b3x 4- Ы е3х
куринишда излаймиз. Аввал биринчи тартибли цосилалар оламиз:
У} = е,х(3ахх3 4- За2х3 4- За3х 4- За4 4~ Захх2 4* 2а3х 4- а3) •
у2 =2 е3х(ЗЬ1х3 4- 3 V3 4- 3bsx 4- ЗЬ4 4- 3&хх2 4- 26ах 4- ьз).
Бу ифэдаларни берилган бир жинсли булмаган системага цуямиз ва цосил
булгаи тенгликларнинг икки томонини е3х га цисцартирамиз:
Захх3 4- (За2 4- Зах)х2 4- (За3 + 2а2)х 4- (За4 4-’а3) =
= (2ах — 6х)х3 4- (2а2 — й2)х2 4- (2а3 — & 34~ 1)х4-(2а4"— Ь4),
ЗЬхх« 4- (ЗЬ2 4- 34>х)х2 4- (З&3 4- 2Ь.2)х 4- (3&4 4- Ь3) =
= (ах 4- 4£>i)x3 4- (а2 4* 4Ь2)х2 4- (а3 (- 4&3)х 4- (а4 4- 4б4).
Энди тенгликларда х нинг бир хил даражалари олдидагн (чап ва унг
эффициентларни тенглаштирамиз:
томонда) ко-
Зах = 2ах —&х,
За2 4" 3 ах — 2а2 b2t
За3 4* 2а2 = 2а3 — Ь3 4- 1,
з За4 4- а3 = 2а4 — Ь4,
3b2 == ах 4" 4/?х,
ЗЬ2 4- ЗЬХ = а2 4- 4Ja,
З&3 4- 2Ь2 = а3 4- 4Ь3,
3&4 4- Ь3 = а4 4- 4^4
ai = —bi
а г+ 30!= — b2
°s + 2°2== — t>S + 1 >
C4 + O3 = —bt.
0 = 0i + blt
3fri = o2+62,
2fc2=Os+i3,
.bs^ai+bt.
Бу икки чизикли системанинг биринчи ва иккинчи тенгламаларидан
01 =—/>1, о2 + 62 =—3oi о» + 62 = 36'1, 01 = — fj
келиб чикади, учинчи тенгламалардан о3 + b3 = 262, о3 + b3 = 1 — 2о2 ёки 2fcs =«
= 1—2о2,о2+62='^— ни тогамиз. Шувинг учун кисридаги мунссабатлардан фойда-
1 1 1
лансак, —3ot = , ог = — —— ва Ьг = —- булади. Энди ушбу о4 + 64 = —а3,
2 6 6
о4 + 64 = Ь3 тенгликлардан —о3=63 ёки о3+63 = О
экани келиб чикади. Бу ^олда
а3 + Ь3 «= 1—2о2, о3 + Ь3 — 2Ьг лардан Ь2 = 0, о2
хни тогиш мумкин. 'Аммо
2
о3+63=0 дан бсшка шу микдорларви бшлайдиган ь.увссабат кслмагани учун
улардан бирини ихтиёрий, яъни хусусан (бизга бсшка ki йматларииинг кераги хам
йук) ^8 = 0, демак, о3 = 0 деб танлаймиз. Шунинг учун о4+64 = 0 булади. Бун-
дан юворида1Ига ухшаш о4 = б4=0 деб слгьиз. Ху леса дилиб езамиз:
01-----—, о2— 2 > °з — °4 — О,
1 »
61 = -—, 62=0, Ь3—bt = 0.
6
Шундай килиб, бир жинсли булмаган системанинг хусусий ечими
У1 «= j —---х3 + -— х2>) е3х, у2 -----х3е3х>
V 6 2 ) 2 6
умумий ечнми эса
J/i = (Cix+ С2)е3х+( — х +-^- x2L3x.
\ 6 2
Уз = —(V + £! + с2)е3* + А3*
6
кУринишга эга.
2. Ушбу
у\ = 2У1 — у2+e3xsin х.
У2 = У1 + лУз + ке3х cos х
система интеграллансин.
1- мисолда мос бир жинсли системанинг умумий ечими тогилган. Энди бир
жинсли булмаган системанинг хусусий ечимини топиш билаи шугулланамиз. Курн-
лаётган ^олда Ь(х) = 1 е,31П* ) ва m2=l, y2+li=3, чрнки у2 = 3 + i. Шу-
\ хе cos х )
нинг учун тегишли дакидий хусусий ечим
J/1 = е3х[ (агх + о2) cos х + (о3х + o4)sin х],
у3 = е3х (6хх + 62) cos х + (63 х + 64) si п х]
куринишда изланиши мумкин.
Энди номаълум коэффициента р методи билан alt d, а3, ол, blr b2, ^s> b& лар-
ни топамиз. Агар yt ва у2 лардан росила олиб, берилган бир жинсли булмаган сис-
темага ^уйсак, ^уйидагиларга эга буламиз:
(3 [(срс + fl2) cos х + (с8 х 4*d) sin *1 + d cos х—(аг х + с2) sin x-f- as sin x4-
+ (c3 x + c4) cos x = 2 [(o1 x + c2) cos x + (csx + d) sin x] — [(bjX +
+ b2) cos x + (b3x + fc4) sin x] + sin x,
3 [(ftjX + fc2) cos x + (b3x -J- fr4) sin x] + fcx cos x — (Ьгх + fc2) sin x -|-fc3 sin x +
+ (6S x + fc4) cos x = (c4x + c2) cos x 4- (c3x -j- d) sin x + 4 [(ijX +
4- ь3) cos x 4- (b3x 4-14) sin x] 4- x cos'x.
Агар бу тенгликларнинг чап ва Унг томонларида cosx ва sinx лар олдидаги
коэффициентларни тенглаштнрсак, яна б'ндай системага келамиз:
' 3 (с4х 4- с2) 4- ci! 4- а3х 4- с4 = 2 (охх 4- d) — (ЪАх 4- fc2),
3 (csx 4- с4) — (о4х 4- с2) 4- а3 = 2 (с3х 4- о4) — (Ь3х 4- fc4) 4- 1,
з (64x 4* ^2) + 4" {b3x 4- fc4) = (cix 4* d) 4" 4 (fcxx 4- fr2) 4" *»
3 (fc3x 4- fc4) — (i’lX 4* M + bs = (csx 4- o4) 4- 4 (&3x 4-
Эиди бу тенгликларнинг чаи ва унг томонларида х нинг олдидаги коэффициент-
ларни узаро ва озод ^адларни хам узаро тенглаштирамиз:
Зс4 4* d = 2°i — •
Зс2 4- 01 4- о4 = 2о2 — Ь2,
Зс3 — 2а3 — Ь3,
3d — d 4“ d = 2й4 — Ь4 4“ i 1
3&14- ь3 = 014- 4Ьг 4-1,
3t2 4- *i 4- fc4 = о2 4- 4fc2,
З63 = c3 4" 4b3,
. 3f>4 — b2 4- bt = d + 4bt
(!) «i4-fci = — a3.
(2) a2 4- bt = — d — d.
(3) d + b3 — d
(4) d + b3 = 1 4" °з —°8»
(5) d + fci^s-l.
(6) d 4* b2 =« fci 4~ t>it
(7) as + b3 — — Ьц
(8) d + ^4 — b2 4- bs.
Охирги системада (1) ва (5) дан cs4-fcs=l, шувииг учун (7) дан Ьг = — 1,
(3) дан d = 1 келиб чикади. Бундан равшанки, at 4- Ьг — 0, демаи, (1) данОз»0.
Энди (3) дан b3 = d = • (2) билан (6) дан at 4- bt = 0 демак, (4) дан d — — 1«
(8) дан b2 = 1 келиб чикади. (6) дан fc4 = 1 ва d 4“ bt = 0 дан d = — 1 11И топа-
миз. Шундай цилиб,
d = 1» с2 = — 1. d = 0. °4 =* — 1
by = 1, b2 — 1, Ь3 «= 1, i>4 = 1.
Хусусий ечимни ёзамиз:
У1 — eSx [(х— 1) cos х — sin х],
У2 = е3* [(— х 4- 1) cos х 4- (х 4- 1) sin х].
Берилган бир жинсли булмаган системанинг ) мумий ечимини хам ёзамиз:
( У1 = + (С4 х 4- С2) е3*4- [(« — 1) cos х — sin х] е3х,
I Уг = — (^х 4- С4 4- С2) eZx 4- [(— х 4- 1) cos х 4- (х 4- 1) sin х] с5*.
3. Ушбу
у[ = 2У! — у2 4- хе3* 4- e3*-sin х.
У'г = У14- 4у2 4- x-e3*cosх
система интеграллансин. Бу долда вектор-квазнкуп^ад
/ 6^ (х)\ / й{2) (х)\ / хе3х\ / e3jcsinx \
6 W = (х) J + ( 6<2> (x)J = 0 ) + xe3*cosx }
куринишга эга. ХаР б.*р (х), (х)лар учун тегншли]хусусий ечимлар тепилгаи.
Шунинг учун берилган бир жинсли булмаган системаиинг умумий ечимини ёза ола-
миз:
J/i — {Сгх4- С2) е3х + f— х3 4- ~ хг ) е3* 4-[(х —l)cosx—sinx
е3х,
yj^~ — (4* + Ci 4- Са) е3х 4- — х3 е3х
4- (—х4- 1) cos х 4- (х 4- 1) sin х^
J
Зх
е
6- §. ЧИЗИКЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИНГ НОРЛ1АЛ
СИСТЕМАСИ УЧУН ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛАЛАР
1. Масаланинг цуйилиши. Чизикли нормал системалар учун кам
п- тартибли чизикли дифференциал тенгламалар учун цуйилган чега-
равий масалаларии куриш мумкин.
Ушбу
~ =fi(x, Уъ ,Уп ),
dx
.................................. (9.66)
= fn (*• У и . Уп)
нормал система берилган булиб, flt ... , fn функциялар (n+ 1) Ул-
човли фазонинг бирор £>п+1 тупламида аникланган ва узлуксиз бул-
син. Dn+l тупламдан икки нуцта оламиз:
(х0, yi(x0)....Уп(х0))е^п+1. (xlt yi(Xi)......УпМ)
Чегаравий масаланинг цуйилиши: агар (9.66) нормал система
gt{x0, yi(x0)....УпМ УЛХ1), .... yn(Xi)) =
= 0, i = 1......п (9.67)
муносабатлар берилган булиб, систематинг (9.67) шартни ка;1°ат*
лантирадиган ечимини излаш талаб этилса, у к°лда нормал система
учун чегаравий масала цуйилган дейилади.
Агар
£* = Vt(*о) — У9,, i = 1, 2, . . . , п
булса, (9.67) чегаравий шарт Кэшл масаласичияг шартига айланади.
2. Бир жинсли чегаравий масала. Энди (9.67) муяосабатларда gt
функциялар цуйидаги куринишда булсин:
£а (У) = (а$п. У (*о)) + (“У’- У (ха)) — Л = (У) ~ 4.
ёп (У) = (а}"*. У (х0)) 4- (a(2rt), У (xj) — Ап = g“ (у) — Ап.
(9.68)
бунда
ар — (а^, аУ>, . . .”, а<й)*, i = 1.2; j = 1........п узгармас
векторлар, Alf ... , Ап — узгармас сонлар, (а, у) цавслар скаляр
купайтмани билдиради. Агар Д — ... = Д=0 булса, масала
бир жинсли чегаравий масала дейилади. Акс ^олда биз бир жинсли
булмаган чегаравий масалага эгамиз.
Кейинги муло^азаларни чизикли тенгламаларнинг нормал систе-
маси учун олиб борамиз. Бизга ушбу
L(p)g = 0 ёки L(y) = 0 (т.(у) = j- — А(х)у\ (9.4')
бир жинсли нормал система берилган булиб, чегаравий шарт
g°(g) = O. s = 1, 2.......п (9.69)
куринишда булсин. Бошцача айтганда, бир жинсли нормал система
учун бир жинсли чегаравий масала куйилган булсин. Му^им теоре-
мани келтирайлик.
9. 17-теорема. Агар у(Г> (х), г/(2) (х), . . . , у(п)(х) вектор-функ-
циялар бирор I интервалда (9.4') тенгламанинг чизикли эркли
ечи’млари булса, у Хрлда L (р) у = 0, g® (р) = 0, s = 1, ... , п че-
гаравий масала тривиалмас ечимга эга булиши учун ушбу
••• g?(g(n))
g2°(g(1))g2°(g(2)) •••£°2(g(n>)
g°G/(1))g°G/(2)) • • • g°(g(n))
детерминантнинг нолга тенг булиши зарур ва етарли.
Теореманинг исботи 7.8- теореманинг исботи каби.
Бир жинсли чегаравий масала ^ацида яна 7.5- эслатма ва 7.6- эс-
латмаларни бир жинсли система учун ^ам айтиш мумкин. 7- бобдаги
каби бир жинсли чегаравий масала учун Грин функциясини киритиш
мумкин. Бир жинсли булмаган системанинг хусусий ечимини шу
Грин функцияси оркали ёзиш ^ам мумкин. Шунга ухшаш, чизикли
вектор-дифференциал оператор L учун хос сонлар ва хос вектор-
функциялар тушунчасини киритиш, цолаверса, бир жинсли булмаган
чегаравий масалаларни ^ам урганишимиз мумкин эди. Аммо бу маса-
лаларни куришда муло^азалар 7- бобдаги каби булиб, 7- бобда тегиш-
ли масалалар атайин тулароц урганилгани учун, биз бу ерда муло-
^азаларни цайтариб утирмаймиз.
10- боб
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЕНГЛАМАЛАРНИНГ АВТОНОИ СИСТЕМАСИ
Автолом системалар дифференциал тенгламалар системасининг
му^им хусусий' ^олидир. Жуда куп амалий .масалаларни ечиш авто-
ном системаларни урганишга олиб келади.
1- §. АВТОНОМ СИСТЕМАЛАР
1. 10. 1-таъриф. Агар оддий дифференциал тенгламалар сис-
темасига эркли узгарувчи ошкор кирмаса, бундай система азто-
ном система дгиишди ва цуйидагичаёзилади:
«/‘Г0; • • • ; уП’ у’п* • • • • УпП}) = °. (10J)
бунда
dkVi
у^> = ? = 1, 2, . . . , п, k = 1, 2, . . . , m, .
1 dxk * 1 ' • ’ 7
Автоном системаларнинг физика ва техника масалаларидан келиб
чициш маъносига цараб эркли узгарувчи сифатида t ва^т олинади.
Бундан кейин биз шу белгилашли цабул циламиз. Таърифдан кури-
надики, автоном системалар билан тасвирланадиган номаълум функ-
цияларнинг узгариш 1^ояуни ва^т утиши билан узгармайди. Физик
цонунларда одатда шундай булади.
Нормал автоном система ушбу
*i = fi(*i, х2.....хп),
-^2 = (Х1г Х2> • • • I ^„).
. Хп=1п(Х1’ Х2.......Хп)’
dx,
Xi = ~dt
куринишда ёки вектор формада
x = f(x)
куринишда ёзилади.
(Ю.2)
(Ю.З)
Агар бу (10.2) системада эркли узгарувчи t сифатида взятии ту-
шунилса, бу система динам чк система деб аталади. Кейинги муло-
Зазаларда биз асосач динамик системалар билан иш курамиз.
Биз куйида баён этадиган хоссалар ва тасдицлар умуман (10.1)
куринишдаги автоном системалар учун уринли. Аммо биз уларни
(10.2) куринишдаги нормал автоном системалар учун исбот этамиз.
Бундан кейинги муло^азаларимизда (10.3) вектор-тенгламада f (х)
вектор-функция бирор Dn тупламда аникланган ва бу тупламда би-
ринчи тартибли хусусий зосилалари билан узлуксиз деб фараз этамиз.
10. 1-теорема. Агар (10.3) нормал автоном вектор-тенглама
берилган булиб, х —ср(£) вектор-функция унинг бирор ечимл бул-
са, у хрлда шундай узгармас С лар топиладик и, улар учун х =
= Ф* (0=ф(^ + С) взктор-функция \ам (10.3) тенгламанинг ечи-
ми булади.
Исбот. Мураккаб функцияни дсфференциаллаш цоидаси буйича
содда зисоблашлар ёрдамида цуйидагилп топамиз:
i .(0 - $ Ф. (0 = Ф (/ + с) = Ф ((+ С) ЦЩЗ =
= <р(/ + С)-1 =ср(/ + С).
Энди Ф*(0 функция (10.3) тенгламанинг ечими эканини исбот-
лаймиз. Теореманинг шартига кура х = ср (I) функция (10.1) тенгла-
манинг бирор ечими, демэк, ушбу <р (/) = f (ср (/)) айният уринли.
Бунда t ни t 4- С га алмаштирсак, <р(/ + С) = f (гр (Z-фС)) айниятга
эга буламиз. Топилган муносабатдан
Ф* (0 - Ф V + С) f (ф (t + C))^f (ф* (/))-
Шу билан теорема исбот булди.
Мисол сифатида х = х2 тенгламани курайлик. Равшанки, —оо <
</<1 интервалда ф(0 —
функция ечим. Агар С <Z 0 булса,
ф(^+с) = ]-4--
1 — I — о
функция ^ам —оо < t <Z 1 интервалда ечим бу-
лади. Бу функция С>0 учун ечим эмас.
2. Автоном системаларлилг, жумладаи, (10.2) системаиинг зар
бирх = <р(0 вектор-ечимига п- улчовли фазода (xlt ... , хп) = х
нуцтанинг заракатини мос келтирамиз. ^аракат давомида х нуцта
уша фазода бирор чизиц чизади. Шу чизицни х нуцтанинг Царакат
траекториям деб атайлиз. Автоном системаларда нуцтанинг цара-
кати туррисида тулиц маълумэгга эга булиш учун нуцтанинг фацат
траекториясини бериш етарли эмас, _____
булинг учун траекторияда, зеч
булмаса, царакат йуналишини зам
бериш лозим (42-чизма). x=yftj
10. 2 -т е о р е м а. Агар х — ср (/)
eax=ty(t) вектор-функциялар 42-чизма.
(10.3) тенгламанинг икки ихтиёрий ечими булса, у ^олда бу ечим-
лар ёки бирорта %ам нуктада кесишмайди, ёки бутунлай устма-
уст тушади. Бошцача айтганда, агар 4 булиб, q (1г) в? Ф (4)
булса, у Цолда ip (/) == q (t 4- С), С = tr—4 муносабат урийли бу-
лади (43- а, б чизма).
учун q (/) ечим билан бирга
И с б от. Теоремани исбот этиш
<Р* (/) == Ср (/ -J- С), С = 4— t2 ечимни хам курамиз. Бундан
ф* (t2) = ср; (4 4- С) = q (4 4- 4 - 4) = Ф (4) -Ф'(44
яъни
ф* (4) = Ф (4)-
Шундай килиб, (10.3) тенгламанинг иккита х — q$(() ва х — ip (/)
ечимлари бир хил бошлангич кийматларга эга. Демак, Коши теоре-
масининг шартлари бажарилади ва ягоналик уринли, яъни х =.
— Ф* (0» х = Ф (0 ечимлар устма-уст тушади (аникланиш интервал-
ларининг умумий цисмида). Бу эса теоремани исбот этади? Агар
4 = 4 булса, теореманинг натижаси тривиал булади.
2- §. АВТОНОМ СИСТЕМА ТРАЕКТОРИЕЙ НИ НГ МУ^ИМ ХОССАСИ
Автоном системанинг алоцида олинган битта х = q (/) траекто-
рияси уз-узини кеса оладими, яъни 44- чизмада курсатилган цел юз
берадими ёки йукми?—деган савол цуяйлик. Бу саволга жавеб ав-
тоном системанинг учинчи муцим хоссасини очиб беради.
10.3-теорема. x = q(/) функция (10.3) тенгламанинг г
< i < г2 интервалда аницланган бирор ечими булсин. Агар q (4) =
— ср (4)> 4:И= 4 ф (4)ф (4). 44<'~4 дул-
/ са, у %олда шу x—<$(t) ечи'мни — оо < t < 4- 00
/ интервалга давогм зттириш мумкин.
q Исбот. 10.1- теоремага кура ф(4) = Ф(4)
булгани учун x = q(/4-C), С = 4 — 4 функ-
\ ция цам ечим булади ва ушбу q (/) = ср (/ 4-С),
\ r1<.t<Zr2 айният уринли. Бу айниятдан q(x)
\ функция rt<Zt<Zr2 интервалда аницлангани
44-чпзма. учун q(Z 4-С) функция — ]С| < t < Га 4* | С |
интервалда аникланган булади. ^ацикэтэн, ^ + С<г2 тенгсиз-
ликдан С>0 булганда г\ — C<Zt<Zr2 ва демак, ечимни гх дан чапга
С мицдорга давом эттириш мумкин; шунга ухшаш, С<0 булганда
rx <z t <zra — С, яъчи ечимни г2 дан унгга — С = | С | мицдорга давом
эттириш мумкин булади. ^ар икки ^олни бирлаштириб. ечимни
rL — | С | < t < г2 + | С | интервалга давом эттириш мумкинлигини цайд
циламиз. Шу интервалда аникланган <р(1)(0 ечим учун бари бир
<р(|) (/) = q),1J (/+ С) айният уринли. <р(1) (t 4- С) = q>0> (t) десак,
Ч1) (0) = Ф(1) (О + с) = Ч> (0) == Ф (0)> яъяи Ф*1) (01 = Ф (М. бундан
аввалгидек (t + С) = <р(1) (/) экани келиб чикади. <рУ> (Z) функция
i\ — |С| < t<.r2 4- |С| интервалда аяицланган булгани учун охирги
айниятдан фойдаланиб мавжудлик интервалини янада кенгайтириш
мумкин. Бошкача айтганда, г\ — 2 |С| < t <zr2 4- 2 |С| интервалда аниц-
ланган ечимни цуриш мумкин. Тегишли ечимни д><2) (/) деб белгилай-
миз. Шунга ухшаш, мавжудлик интервали — kC <Zt<Zr2 4- kC дан
иборат булган q><*> (/) ечимни ^уриш мумкин. Ю^оридаги тенгсиз-
ликда /г->оо да лимитга утсак, —оо<7<;4-00 интервал ^осил
булади (гх ва г2 лар цандай булишидан ^атъи назар). Шу интервалда
аникланган ечимни g>° (f) деймиз. Шундай килиб, теорема исбот
булди. Аммо исбот давэмида автоном системан ин г ^ар цандай траек-
торияси чекли вадтда чексизга кетиб цолмаслигидан фойдаланилди.
Аслида курилаётган ^одоа шундай. Шу муносабат билан ^уйида етар-
ли шартни берадиган лемма келтирамиз.
10. 1- лемма. Агар Dп тупламда fi(xlt .... хп), .... f„(xJt
. . . , хп) функциялар барча арзумзнтлари буйича чекли хусусий
цосилаларга эга булса, у %олда (10.3) автоном системанинг %еч
цандай траекторияси чекли вацтда чексизга кетиб цолмайди, яъни
ушбу
Нш 1<р (0 | = оо, |<р (0| = Уч>|(0 + • • • + фПО
муносабат Гринли була олмтйди.
Исбот. Лемманинг шдртигакура |
Sft
дх/
П,
0<М — чекли сон. Эяди fz(x) функция учун х = 0 нукта атро-
фида Лагранж формуласини ёзамиз:
f , , f (0Z,X) df, (6px)
fi (x) = fi (0) 4- —---------X, 4- ... 4- —-------------
dxt dxn
5/(0рх)
бунда 0<»/<l, 0; x = у £ Dn. [f (0) ] = С дшмиз.
dxt
модул-
ни ба^олайлик:
Бундан фойдаланиб, f(x) вектор-функциянинг модулини ба^олаш
мумкин. Х^ки^атан, равшанки
л п
I/, (х)| <С + Уп М 2 Iх,- I < с-]/п + УпМ 2 1Х*1 *=
*—1 /=]
, п \ —( п \
=уп с+м j |х,| U^y»(i + 2ix,-i.
х i=i ,=i *
бунда N = max (С, Д;)- Бу тенгсизликдан фойдаланиб топамиз:
k
Фараз этайлик, г\<х<г.г + 2 \Ст | интервалда 'аникланган ва
т=1
k
— r2+ 2 | Cm | да чексизга интилувчи x = <p(t) ечим мавжуд,
m=\
k
яъни /->-т да | <p (01->- o° (t = ri— 2 | Cm | булганда х.ам исбот
д m=l
шунга ухшаш буладш У холда шундай т* < т топиладики,
<т интервалда | ф (t) | > 1 булади. Шунинг учун r^^t<Zr интер-
валда куйидагига эгамиз:
|ф(01 <|Ф1'01 + Гф2(01 ++ ЙМО|<
Уп ^1 + 2 |<Р1(0|) CSA/’I п |ф(/)|.
Бундан
—j—ттгт < ф < 2 N } n,
I <p (0 I I <p (01 v *
Бу тенгсизликнинг икки томонини т* дан t гача интеграллаб топа-
миз:
I <F(0l <|4’K)|e2jvfn т*</<т.
Аммо
т да | <р (т) | < | q> (т#) | e2N Vn (г-т‘) о®:
Натижада фаразимиз зиддиятликка слиб келди. Демак, чекли вадтда
х = ф (0 траектория чексизга кета слмайди. Лемма исбот этилди.
Кейинги мулодазаларда шу леммаиииг шартлари ёки бошка етар-
ли шарт бажарилган деб караб, х = ср (t) ечим — оо < t <Z + оо ин-
тервалда аникланган деб дисобланади. Хусусан, 10.3- теоремада
ф (^1) = ф (^2)» t-2
булгани учун
А
<г(0^<г(Л-с1)^ ... = ф(/+ 2 CJ
' «=1 '
айният бажарилади ва q(t) функция t-> т (т- чекли сон) да чексизга
интилмайди. Аслида <р (I) ечим чекли вактда чексизга интилмаслиги
учун ф (/J = q (У2), ^=/=4 муносабатнинг бажарилиши дам етарли
шартлардан биридир.
Навбатдаги теоремада хам автоном системанинг ечими <р(^) =
«= ср (t2), булганда — оо < х < + оо интервалда аникланган
деб дисобланади.
10.4-теорема (му воза и ат дол ат ва ёпик траекто-
риялар дакида). Агар (10.3) тенглсманинг бирор <р(/) ечими
учун <р (Zj) = q (t2) t-t h тенглик бажарилганда куйидаги бири
иккинчисини инкор гтадиган икки }'ол юз бериши му’мкин:
1) Барча t лар учун
ср (/) = а, а = const, а £ £>п;
2) Шундс.1 мусбат сон Т шасэкудки, ихтиерий t учун
ч(1 + Т) = ч (t)]
тенглик бажарилиб, | ту — т2|<Т булганда
Ф (Ч) ¥= <Р Сч)
тенгсизлик уринли.
1) долда вакт риши билан <р (t) нукта даракат дилмайди, у доим
Dn тупламнинг а нудтасида булади. Шу q (/) ечим ва а нудта
(10.3) тенгламанинг, яъни нормал автоном системанинг шувоза-
нат ^олати ёки мувозанат нугу-
таси дейилади. Баъзида уни тинч-
ланиш нуцтаси деб дам аталади ( ) Х=а
(45, б- чизма); f 7
2) долда х = <р (t) ечим даврий k / г|
ечим, унинг графиги ёпиц троек- Х'"'--------
тория ёки цикл (давра) деб ата- '
лади (45-а чизма). g 45-чизма.
10. 4-теорема нин г исботи. Ушбу
(р(/)^ф(/ + С) (10.4)
айният уринли буладиган дар бир С ссни х — q (t) ечилмкинг даери
дейилади. Шу х = q> (t) ечимнинг барча даврларидан тузилган туп-
лам F булсин. ХСЗКР бу сон ли тугламнинг баъзи хоссаларини тек-
ширамиз.
1°. Arap C£F булса, —C£F булади. ^ацикатан (10.4) да t ни
i — С га алмаштирамиз: (p(t — С)^<р(!). Бундан — С £F келиб чи-
Кади.
2Э. Агар ср (?) scp (t + Cz), i= 1, 2, ... , k, C^F булса, у ^ол-
k k
да ф(/) = ф ( t + V С. \ я*ьни Ct Е F булади. ХаКик.атан,
" i=l /=1
(f^CfHG),
A—1
<p (/) = <p (t + CA_j) = <p (t + Ck_2 + CA1) = ... = cp (/ + c.),
4 i=l '
k
<p(/)s<p(/ + c,)s ... s<p(/+2cj.
4 i=l '
3°. F туплам ёпиц. ^аци^атан, ушбу Cn С2, . . . , Ck, . . . кет-
ма-кетлик F туплам элементларидан тузилган булиб, бирор Со га
я^инлашувчи булсин. C0^F эканини курсатамиз. Равшанки, <р (/) =
= rp(/+CJ. Шунинг учун <р(0 функциянинг узлуксизлигига кура
аргументда лимитга утиш мумкин, яъни т^уйидаги амаллар уринли:
<р (t) — lim ср (t) = lim <р (t + С.) = <р (t + lim С.) = ср (t + Со).
k-+a» k—>оо k-+oo
Демак, Со Е F ва F — ёпиц.
4°. F туплам нолдан фаркли сонларни уз ичига олади, чунки
(10.4) да С#=0 (^/а).
Энди теореманинг исботига утайлик. F туплам учун цуйидаги
икки $ол булиши мумкин:
1) F туплам барча ^а^икий сонлар тупламидан иборат;
2) F тупламда шундай кичик. мусбат Т сони мавжудки, у туп-
лам шу Т сонга бутун каррали сонлардан иборат.
Бошца доллар була олмайди. Буни исбот этамиз. F тупламда мус-
бат сонлар бор, чунки 0 g F булиб, С, — С лар унинг элемента.
F тупламда энг кичик мусбат сон булмасин, яъни ихтиёрий мус-
бат е>0 учун шундай С давр топиладчки, С<£ булдци. 2’хосса-
га кура т- бутун булса, тС давр булади. С < е булгани учун их-
тиёрий ^а^иций Со учун шундай бутун т топиладики, | Со —тС | <Z е
тенгсизлик бажарилади. Бундан ихтиёрий Со сон F тупламнинг
лимит нуцтаси экани келиб чикади. Шу билан бирга F туплам ёпик,
булгани учун у барча ^а\и^ий сонлар туплами билан устма-уст
тушади.
Энди F туплам барча ^а^иций сонлар туплами билан устма-уст
тушмасин, дейлик. Ю^орида исботланганига кура бу а^олда F туп-
ламда энг кичик мусбат сон Т мавжуд. С—ихтиёрий давр булсин.
У ^олда шундай бутун соя т ни та.члаш мумкинки, ушбу |С —
— тТ\<с.Т тенгсизлик бажарилади. Бунда С — тТ=£0 дейлик.
Ammo С ва тТ лар давр булгани учун С — тТ цам давр булади. Де-
мак, | С — tn Т | цам давр булади. Шунинг учун | С — тТ | >» 0 ва
|С — mT’IcT тенгсизликлардан F тупламнинг Т дан кичик булган
мусбат даври мавжуд. Бу булиши мумкин эмас, чунки Т сони F
тупламда энг кичик мусбат давр эди. Зиддиятлик С = tnT булиши
кераклигини исботлайди. Демак, С = тТ. Шундай цилиб, курилаёт-
ган цслда F туплам Т га каррали сонлардан иборат. Натижа цилиб
айтганда, даврлардан тузилган F туплам ё барча цациций сонлардан
иборат, ё унда энг кичик мусбат сон Т > 0 мавжуд ва F туплам шу
Т га каррали сонлардан ташкил топган.
Биринчи цолда <р (?) ечим учун ихтиёрий цацикий сон давр була-
ди; бу фацат <р (t) вектор-функция узгармас вектордан иборат бул-
гандагина мумкин, яъни агар <р (t) = a, a£Dn булса, у цолда С—
ихтиёрий цациций сон булса цам<р(? + С) = а тенглик бажарилаве-
ради. Биз мувозанат цолатига эгамиз. Иккинчи цолда F тупламнинг
энг кичик мусбат сони Т ечимнинг даври (энг кичик мусбат
даври) булади. Биз даврий ечимга эгамиз. Шундай цилиб, теорема'
тулиц исбот булди.
3- §. АВТОНОМ СИСТЕМАИИНГ ЦОЛАТЛАР ФАЗОСИ
1. ^олатлар фазоси. Автоном система (10.2) нинг унг томони-
даги функциялар п- улчовли фазонинг бирор очиц А тупламида аниц-
панган. Шу тупламнинг цар бир (х°, . . . , х°) = х° нуцтасига ушбу
м*°), М*0).......f„(x°)
п та сонлар кетма-кетлигини мос келтириш мумкин. Уларни п ул-
човли фазонинг х° нуцтасидан чицарилган f (х°) векторнинг коорди-
наталари деб цараш мумкин. Бундан куринадики, автоном системага
очиц А тупламда аницланган вектор майдон мос келади.
х° нуцта А тупламнинг ихтиёрий нуцтаси булсин. Автоном сис-
теманинг геометрик маъноси нуцтаи назаридан шу х0 нуцтага ундан
чикадиган f(x°) вектор мос келтирилган. Мавжудлик ва ягоналик
теоремасига кура (10.2) системаиинг <р (t0) = х° шартни цаноатлан-
тирадиган х = <р (/) ечими мавжуд. Бу ечимга t = t0 да траекторияси
х° нуцтадан утадиган нуцтанинг %аракати мос келади. ^аракати
давомида х = <р (?) ечимни белгилайдиган нуцтанинг t0 моментдаги
гезлиги f (х°) вектор билан ифодаланади, яъни (I —f(x0).
Энди Хрлатлар фазоси тушунчасини киритамиз.
10.2-таъриф. (Ю.2) автонсм системаиинг цолатлар фазоси
деб шундай п улчовли фазога айтиладики, унда шу системаиинг
ечимлари траекториялар билан, системаниг узи эса вектор май-
дон билан тавсифланади. Траекториялар %олат траекториялари
деб, векторлар %олат тезликлари ррб айтилади.
10. 5-теорема. Ушбу а=(а1, ... а„) £ Dn (Dr = А) нуцта.
(10.2) сиетеманинг мувозанат Цолати булиши учун, яънишусис-
гтеманинг q>(t) = a, а = const айният уринли буладиган х = <р (/)
ечими мавжуд булиши учун Dn тупламнинг а нуцтасида цолат
тезлиги нолга тенг булиши зарур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги. a£Dn пуцта мувозанат ^олати дейлик.
•У ^олда (10.2) системанинг q>(t) = a айният уринли буладиган
x = q>(t) ечими мавжуд. Шунинг учун f (а) = — <р (/) = — а == 0.
df dt
..Демак, ^олат тезлиги f (х) х = а нуктада нолга айланади.
Етарлилиги. нУКтаДа f(a)=®- Бу ^олда <р(t) = 0
функция (10.2) системанинг ечими булади. ^ацицатан, <р(/)=аССх
a^Dn, <p(t)= —= 0 ва f(tz) = O. Теорема исбот булди.
.10.1- натижа. (10.2) автоном системанинг мувозанат хрлат,-
лари (ну^талари) ушбу
fi (alt ... , ап) = 0,
................................. (Ю.5)
fn (01, • • • , ап) = 0
чекли тенгламалар систем асининг (унга цосилалар кирмгйди) ечим-
ларидан иборат. Хусусан, — = (х—I)3 тенгламанинг мувозанат
dt
нуцтаси х=1 нуцтадан иборат, чунки (х—1)2 = 0 тенглама шу
d к
ечимга эга, —= (х—1)3(х + 2) тенглама иккита х = 1, х = — 2
dt
мувозанат пуцтасига эга. Яна ушбу
х± ===
= ^2 %2
Х2— ^ациций, Дт^О, Х2=Н=О) системанинг мувозанат
^олати координата бошидан иборат булиб, D2 туплам бутун текис-
ликдир. Шунга ухшаш
= ах1— bx2,
х2 = bxL + ах2 (Ь =?£= 0, а — ^ациций сонлар)
системанинг мувозанат ^олати ^ам координата бошидан иборат,
чунки
ахг— Ьх2 = 0,
bx-t + ах2 = 0
система фацат тривиал ечимга эга (системанинг детерминанта а24-
-|~fc2=54=0). Юцоридаги ^олларда битта, иккита мувозанат умптлари-
га эгамиз. Аммо мувозанат нуцталари саноцли ёки сачоцсиз булиши
^ам мумкин. Хусусан, x = sinx учун х=.!ш (k — бутун сон) нуц-
талар мувозанат нуцталари булиб, саноцли тупламни ташкил цилади.
{ -1 ’ система учун хг = 0 чизиги (х2 уци) мувозанат цолатини
I ^2 ==
беради. Биз саноцсиз ту пламга эгамиз. Агар х; = О, := 1, ..., rt-
система берилган булса, мувозанат нуцталари п улчовли фазодан
иборат. Агар хг = 0, xk = ak^= 0, i — 1, ... , и, 1 С k < п, i-A k
система берилган булса, унинг мувозанат нуцтаси мавжуд эмас,.
чунки f^=0.
2. Скаляр автоном тенгламанинг ^олатлар тугри чизиги ва муво-
занат цолати. Ушбу
x = f(x) (10.6>
скаляр автоном тенгламани курамиз. Бунда f (х)— бутун R1 тугри
чизикда узлуксгз ва узлуксиз дифференциалланувчи функция. Яна
цушимча фараз этамизки, f (х) функциянинг ноллари (улар берилган
автоном тенгламанинг мувозанат нуцталаридир) лимит нуцтага эга
булмасин. Бу фаразга кура f (л) нинг ноллари бутун тугри чизицни
чекли ёки санокли интервалларга булади. Энг чап интервалнинг чап
охири—оо, энг унг интервалнинг унг учи -ф оо дан иборат. Шу
интерваллар системасини у1, билан белгилаймиз. Агар f(x) функция
R1 тугри чизикда битта ^ам нолга эга булмаса, V система битта
(—оо, -ф оо) интервалдан иборат булиб, f(x) — битта х0 нолга эга
булган у система иккита (— оо, х0), (х0, -ф °°) интервалдан иборат
булади.
10.6-теорема, у системаиинг бирор интервалини (a, L) дей-
лик, яъни (а,1)£ У, яна х0£(а, Ь) булсин. Агар х — ср (t) берил-
ган тенгламанинг (0, х0) бошлангич цийматларга эга булган ва
rr<zt<C.r^ интервалда аницланган давомсиз^ечими булса, у цолда
f (хо) > 0 булганда ушбу
а < ср (/)<;&, г± < t < г2;
lim <р (/) = a, lim ср (/) = b
t~>r 1 t—>г 2
(Ю.7)
(10.8)
тмуносабатлар уринли; шу билан бирга, агар а (ёки I) чекли бул-
са, у Цолда /'! (ёки г2) чексиз булади. .Шундай цилиб, Хар бир
(а, /) интервал битта %олат траекториясидан иборат.
Исбот. f(xc)>0, х0€(а, /) булгани учун (теоремани f(x0)<O
булганда цам тегишлича баён этиб, исботлаш_^мумкин, (а,1) интер-
валда f(x)>0 ва х>0 булади. Бундан '(а, /)~да целат нуцтаси
чапдан унгга харакат цилиб, холат_~ траектовиясини чизиши кел^б
чикади (46- чизма). Демак, t усиши
билан ср (/) нуцта (а,1) интер-
валдан фацат унг охири орцали , _ _____
чициб кетиши мумкин (агар бу мум- -* / о *
кин булса). Дейлик. t = tx булган-
да <p(G) = fc булсин. Эслатиб ута- 46-чизма.
мизки, f (b) = 0 ва b—мувозанат ну^таси, бу b ну^та^ам 10.4- тео-
ремага кура муста^ил траекториядан ибэрат. Аммэ кцоридаги фараз-
га кура х = b ва х = <р (t) траекториялар t = tx да кесишади. f (х)
функция узлуксиз дифференциалланувчи булгани учун (10.6) тенг-
лама ихтиёрий тайинланган бошлангич шартни каноатлантирадиган
ягона ечимга эга. Шунинг учун биз зиддиятга келдик. Демак, t уси-
ши билан <р (/) нуцта (а, Ь) интервалдан чициб кета олмайди. <р (/)
нуцта t камайиши билан (а, Ь) интервалдан чап охири ордали чи-
киб кета олмаслиги ^ам худди шундай курсатилади. Демак, ушбу
(t)<zb тенгсизлик уринли. Шундай ^илиб, (10.7) муносабат-
лар исботланди.
Энди (10.8) муносабатларни исботлаймиз. Унинг учун lim <р (/) = b
ни исботлаш етарли. Долган муносабат шунга ухшаш исботланади.
lim <р (t) Ф Ь, яъни Пт <р (/) = с* < b
t-*ra
деб фараз этамиз. (а, Ь) интервалда /(х) >0 булгани учун f(c*)>0
булади. (10.6) тенгламанинг (0,с*) бошлангич цийматларга эга бул-
ган ечимини ф(£) дейлик. Демак, ф(0)=с*, ф (£) = /'(ф (О)- Бундан
f (с*) > 0 булгани учун бирор t = t* <2 0, (гг, г2) булганда ф (t*) <
<с* келиб чикади. Иккинчи томондан, t^-r2 да <р (£)-»-с* булгани
учун ф (Q < с*, t*<2ra булади. Бу тенгсизликларга асосан ф (t*)~
= (t*) = х*> а<2х*<2с*<2b деб танлаш мумкин. Бэш^ача айтган-
да, (10.6) тенгламанинг иккита <р(/) ва ф(£) ечимлари бир хил бош-
лангич шартни цаноатлантиряпти. Бу ечимнинг ягоналигига зид.
Шундай цилиб, (10.8) муносабатлар исботланди деса булади.
Теореманинг охирги тасдигини исботлаш ^олди. Унинг учун
b — чекли булсин дейлик, яъни 6<4-оо; г2 = + оо эканини исбот-
лаймиз. Фараз этайлик, г.,<-|-оо. Ушбу функцияни киритамиз:
V » £•
Бу функция (10.6) тенгламанинг ечими, аммо бунинг булиши мум-
кин эмас. Акс ^олда икки ечим х =: у (0 ва х — b лар t = г2 бул-
ганда бир хил кийматларга эга булади. Шундай цилиб, г2 = + оо
Худди шунга ухшаш а> — <х> (яъни чекли) булганда rY = — оо
экани исботланади. Теорема тули^ исбот булди.
Келтирилган теорема (10.6) тенглама ечимларининг му^им хосса-
сини беради. Навбатдаги хоссани баён этишдан аввал баъзи тушун-
чаларни киритамиз.
Берилган (10.6) тенгламанинг бирор мувозанат ну^тасини Ь ун-
дан чап ва унг томондаги энг яцин мувозанат нуцталарни а ва с
дейлик. Агар (а, Ь) интервал У системанинг энг чап, (&, с) эса
унинг энг унг интервали булса, у ^олда а = оо, с = + оо булади.
Р^уйидаги муло^азалар шу ^олларда ^ам урин ли. Демак, (а, b) С У,
(&, c)GS- биР (°> ёки интервалда f(x)=H=O. Шу f(x)
функциянинг мусбат ё манфийлигига ^араб (а, Ь) ва (&, с) интер-
валларда ^олат ну^таси t ортиши бмлан ё b га Я1уинлашади, ё ун-
дан узо^лашади.
Агар ^ар икки (а, I) ва (Ь, с) интервалларда ^ам эуолат ну^таси
t ортиши билан b га якинлашса, у эуолда ну^та (мувозанат ну^таси)>
тургун дейилади; агар t ортиши билан хар икки интервалда ^ам
^олат пуцтаси b нутутадан узогузашса, у холда b пучута ту ргу н мае
дейилади; агар t ортиши билан холат, н учу та бир интервалда b га
я^инлашиб, иккинчи интервалда ундан узмулашеа, у ^олда b нутута
ярим тургун дейилади.
х = х тенгламанинг битта х=0 мувозанат нучутаси бор. Демак,
6 = 0 ва У, система иккита (—оо, 0) чуамда (0, + оо) интерваллар-
дан ташкил топган. Равшанки, (— оо, 0) интервалда ^олат Hyiyracii
Ь дан узогулашади, яъни х<0 булгани учун ^аракат унгдан чапга
булади. (0,+оо) ин тервалда эса хуаракат чапдан унгга булади, яъни
?уолат нуцтаси вацт утиши билан b нучутадан- яна узоулашади. Шун-
дай 1уилиб, х — х тенглама учун Ь — 0 ну!ута тургунмас мувозанат
пуктадир. Шунга ухшаш, агар х =—х тенглама курилса, х = 0
пугута тургун мувозанат нукта эканини курсатиш мумкин.
Мулохазаларни интеграл чизиклар ёрдамида ^ам олиб бориш мум-
кин эди. Хусусан х = х тенглама учун х = 0 мувозанат ну^тасига
(t, х) текисликдаги тривиал ечим, яъни t учуй мос келдди. Бу гори-
зонтал учунинг клуори ва пастки кисмидаги интеграл чизшулар t орти-
ши билан борган сари шу укдан узоклашиб кетади (47- чизма). х
= —х тенгламада эса бунинг акси булади.
Шундай килиб, (10.6) тенгла-
ма учун b мувозанат нуктанинг
атрофида, апшурсги (а, I) ва (Ь, с)
интервалларда флат нуцтасининг
эуаракати тугрисида цуйидаги те-
орема уринли.
10. 7-теорема. (10.6) тенг-
ламанинг мувозанат нуцтаси b
тургун булиши учун (а, I) ин-
тервалда f (х) > 0 ва (6, с) интер-
валда f(x)<zO булиши зарур ва
етарлш, мувозанат нуцта b тур-
гунмас булиши учун (а, I.) да
f(x)<ZO, (Ь, с) да f(x)< 0 були-
ши зарур ва етарлш, ни\оят, b
нуцта ярим тургун булиши учун
47- чизма.
(6, с) интервалларда бир хил
f(x) функциянинг ишораси (а, L) ва
булиши зарур ва етарли.
Бу теореманинг исботи кнуоридаги мулоэуазалар ва таърифларга
асосан равшан.
Шуни эслатамизки, бу теоремада фейдаланиш учун функция-
нинг ишораси ни у ёки бу интервалларда текшириш лозим. Агар f (х)
функциянинг хосилаларидан фэйдалансак, текшириш осонлашади. Шу
м/носабат билан цуйидаги теоремани келтирамиз.
10.8- теорема. (10.5) тгнгламз учун b музозачат нуцтабд-
либ, f(x) функция шу нуцтада^. 2 s 4-1 (s — бутун натурал сон)-
тартибгача узлуксиз Цосилаларга эга бдлсич. Агар ушбу
f (6)= [.. . = f 2s-*> (b) = 0, f(2s) (b) 0 (10.9)
'Муносабатлар бажарилса, b нуцта ярим туррун мувозан ат нуцта
булади; шунга ухшаш, агар ушбу
... ={™(Ь)==0, f(2s+1)(!>)=H=0J (10.10)
муносабатлар бажарилиб
a) f(2l+1>(&) <0 бдлса, Ь- туррун, (10.10')
б) f(2s+1) (b) > 0 бдлса, Ь-туррунмас (10.10")
мувозанат нуцта бдлади.
Исбот. (10.6) тенгламада f(v) функщя бчрэр k- тартибгача
узлуксиз цосилаларга эга булсин. У цолда f (t) функция учун х =я Ь
нуцтанинг атрофида Лагранж фэрмуласини ёзамиз:
f(x)=f(6)4-^(x-6)+^(x-fc)2+ ... 4-
+ /^(х_^4-°(х-Ь)Ч
бунда lim^-^=s0. Энди k => 2; булсин. У цолда (10.9) муносабат-
у-+о У
лардан фойдалансак,
(x-b)2s4-0((x-6)2sf
формулага эга буламиз. х £ (а, Ь) дейлик. Бу цолда х — b <С 0; Шу-
нингдек, х£(Ь, с) булса, х—b>0. Ammo (х — b)2s>0 булади.
Шунинг учун фэрмуланинг унг томонидаги 0((х — b)2s) ифода
(х — о) цаднинг ишэрагига таъсир эта олмаганидан
signf(x) = sign ~(2s)\ , хЕ(а,'Ь), x^(b,c)
муносабат уринли. Лзкин f(2s) (b) 0. Шунинг учун f(x) функция
(а, Ь) ва (5, с) интерзалларда бир хил ишэрага эга. Демак, (10.9)
муносабатлар бажарилганда Ь нуцта ярим тургун булади.
Энди (10.10) муносабатлар уринли булсин дейлик. У цолда
Лагранж фэрмуласида k = 2s 4-1, s =а 0, 1, ... деб топамиз:
f W ^ £т1()?- <х - 2s+1Н-0 ((X - fc)2s+1)-
Бу формулада унг томоннинг ишораси бириичи дад билан ани^ла-ч
нади, ищэрага 0 ((х — b)2s+1)' дад таъсир эта олмайди. Аввал (а,Ь)
интервални курайлик. Унда х— b<Z®, демак, (х— 6)(2s+1)<C0. Бун-
дан (а, Ь) ва f(x) нинг ишораси f(2s+1)(b) нинг ишорасига тескари
булиб чикади, яъни (а, Ь) интервалда
sig n f (х) — sig n , х С (а, &)] (10.11)
(Ь, с) интервал учун х—b>0, (х—6)2s+1>0 ва (Ь, с) да
r(2s-(-l) ш
sig»f.(x) - sign (2s+1)p x£(b,_c). (10.12)
Топилган (10.11) 'ва (10.12) муносабатлардан f(2+I) (b)<0 булса,
f(x)>-0, x£(a,b), f(x)<CO, x£(b,c) тенгсизликлар келиб чикади.
Бу долда таъриф буйича & нукта тургун булади. Агар f(2s+1) (Ь) >» 0
булса, ушбу f(t)<0, x£(a,b); f(x)>0, x^(b,c) тенгсизликларга
эгамиз. Бу долда эса Ь нукта тургунмас булади. Теорема исбот
булди.
Хозир исботланган теоремада келтирилган (10.9) ва (10.10),
(10.10'), (10.10') шартлар мувозанат нудтасининг ярим тургун, тур-
гун ва тургунмас булиши учун етарли шарт вазифасини'бажар япти.
Аслида бу шартлар зарур ва етарлидир. Здрурлигининг исботи дам
юцоридаги каби булади.
Мисоллар. 1. Аввал х = х тенгламани олайлик. Унда f (х) =» х булиб,
/'(0) => 1 >0. Демак. 10.8-теоремага кура х = 0 нудта тургунмас. Агар х =— х
тенгламани олсак, унда f (х) = — х ва f (0) = — 1 < 0. Бу долда х = 0 нудта
тургун булади. Энди х =» р (х — 1) (х +1) (х + 2), 0 + р =» const тенгламани ку-
райлик. Унда f (х) => р (х—1) (х + 1) (х + 2) булиб, Xj = l, х2=>— 1, х3 = —2
нудталар мувозанат нудталаридан иборат. Доси ла ларни дисоблаймиз:
Г(Х) ~р[(х+ 1) (х ]-2) + (х-1) (v + 2) + (x —1) (х ’+1)1
Куриниб турибдики,(1) =. 6р. г (—1) => — 2р, р (— 2) = Зр ва р + 0 булгани
учун бу досилалар нолдан фардли. Биз 2s + 1 =» 1 булган долга эгамиз. Агар
р > 0 булса, 6р > 0 ва хг = 1 нудта тур-
гунмас; — 2р < 0 ва х2 = — 1 нудта тур - д:0
рун; Зр < 0 ва х3 = — 2 нудта тургунмас . *"* t-* ‘“tr* +-----------1-
булади (48- чизма). /«ос d
2. Ушбу х =» sin х тенглама учун 48-чизма.
мувозанат нудталари sin х=0 тенглама-
нинг илдизларидан иборат. Илдизлар х = пя (п — бутун сон) куринишида ёзилади.
Бу’долда f (х) =» (sin х)' = cos х булиб:
f > 0, агар х = 2kn k — бутун сон,
х I < О, ’агар х = (2Л + 1) л, k — бутун сон.
10.8 -теоремага кура, х = 2/гл куринишдаги нудталар тургунмас, х = (2k + 1)л
куринишдаги нудталар эса тургун булади. К,айд дилиб утамизки, берилган тенгла-
манинг мувозанат иудталари саиодли булиб, лимит нудтага эга эмас.
3. Автономия с системанинг ^олатлар фазосига мисол. Ушбу
хг =а,
. x2 — 3bt2, а>0,
автономмас системани слайлик. Унинг умумий ечими
[ хх = at + су
I x2 = btz + c2
(10.13)
(10.14)
куринишда ёзилади. Еерилтан систеьада л —2 булиб, fi~a, f2 =
= 3bt2 функциялар t, Xj на x2 лар бу йича узлуксиз дифференциал-
ланувчи. Коши теоремасига кура, (t, х1г х£) узгарувчиларнинг фазо-
сида ихтиёрий тайинланган (t0, х°, х2°) нугутадан берилган система-
нйнг ягона интеграл чизиги утади. Бу бир темондан. Энди систе-
манинг ечимини ^олатлар фазссида тасвирлашни курайлик. Унинг
учун (10.14) дан параметр t ни чикариб ташлаймиз:
х2 — (х — су)3 + с2. (10.15)
as |
Бу кубик парабола лар дан иборат булиб, (су, с2) нуцтадан утади ва
х2 = с2 чизикдан пастда кава] иклиги кксрига, шу чизикдан говори-
ла эс а кавариклиги пастга караган булади. Шу билан бирга’у х =
чизи^ка уринади -хам. Агар ё <=Ср с2=^с'2, ёки c'2=cQ
булса, тегишли кубик парабслалар узаро кесишмайди (49- чизма).
Буни аналитик усулда исботлаш кийин эмас. Парабслалар кесишади
дейлик. У ^олда
У = (%~С*)+С2’
лардан
А(с\ — с\) = с2 — с'2, А = 4>0. (10.16)
сг
тенгликка эгамиз. Агар с'^с', с"2^=с2 ёки с"^<=с', с'==с" Гмуноса-
батларни курсак, юдорида зиддиягликка келамиз. Демак, кубик па-
раболалар кесиша олмайди.
Энди с\ =^=с2, с'2=£с2 булсин. У дэлда теги дли кубик парабола-
лар (10.16) тенглик уринли булганда узаро кесишади. Демак, (хь х2)
текисликнинг дар бир нудтасидан ягона кубик парабола утмайди
(49- чизма, в). Аммо (t, xlf х2) фдзода ягоналик уринли эди. Шун-
дай дилиб, шу мисолдан куринадики, автономмас системаларни улар-
нинг долатлар фазэсида текширищ мацсадга мувофид эмас.
Машд. Ушбу системаларнинг ечимлари ^олатлар фазосида тасвирлансин:
1. I *i = —«х2,
I xt = «х1г <о > 0;
2 I xL = я, а > 0,
I хг = l>t , i > 0;
3. х = (х—I)3 (х-}-2) (мувозанат нудталари дам текширилсин);
4. х = (х — 2)а (мувозанат нудтаси дам текширилсин).
4- §. чизикли Узгармас коэффициентли бир жинсли
СИСТЕМАНИНГ ДОЛАТЛАР ТЕКИСЛИГИ
1. Системанинг каноник куриниши. Бизга ушбу
ЛД — Яц Xi "Ь х2,
Х2 ~" ^21 Х^ I _^22 -^2
(10.17)
чизикли узгармас коэффициентли бир жители система берилган бул-
син. Бу системанинг детермин анти:
— _ а11 а12
^21 -
(10.17) система учун координата бэши (0,0) доим мувозанат нудта-
си булади. Аммо ундан бошда мувозанат долатлар дам булиши мум-
кин. Агар О^ЬО булса, (10.17) системанинг координата бошидан
бошда мувозанат нуцтаси була олмайди. Агар D=£0 булса, равшан-
ки, Д=а(ау7), i, /== 1, 2 матрицанинг дар икки хос сонлари нолдан
фардли булади.
^озир биз А матрица хос сонларига караб, (10.17) системанинг
куринишини соддалаштириш билан шурулланамиз.
а) А матр ид анинг хос сонлари а ц и к и й, дар хил ва
нолдан фардли. Уларни ва Л2 дейлик. Бу долда (10.17) сис-
темани махсусмас алмаштириш ёрдамида
У1 — Уъ
Уг ~ ^2 Уя
(10.18)
куринишга келтириш мумкин.
хг,
-^2»
Шу муносабат билан цуйидаги алмаштиришни бажарайлик:
#2=Т*1 + 6
а б — ру^о.
Хосил ал арии ^иссблаб, (10.17) дан фойдаланамиз:
(10.19)
У1 = а %! + р х2 = («п а + «21 Р) хг + («12 а + а22 Р) х2,
У2 = У *1 + 6 Х2 = («11 У + «21 в) Л + (012 Т + «28 6) х2.
Бу ифодаларни мсс равишда ва Х2//2 ларга тенглаштирамиз:
1 ana + «,, f )A'i4 (<Л2а + «22 f) х2 — 7j (ахА + рх2),
1 («и Т + «-1 б) хх + («12у + а22 б) х2 = Х2 (ух± + бх8).
Энди хх ва х2 лар олдидаги коэффициентларни тенглаштирсак,
ушбу
I («к —71) а + а21Р = О,
|с12а + (а.22 — 7Х)Р = 0;
|(«ц —72)у + «21б = 0.
I «12 Y + («22 — 72) 6 = 0
(10.20)
(10.21)
системаларни хосил киламиз. Равшанки 7Х ва 7„ учун
D(7.) =
а11 \ °12
«2 ] «22 i
Шунинг учун D*(XZ) =
= о,
1 = 1, 2; бунда D (X) =
«11 7 «J2
«21 «22 7
ап аи
а12 а22 ^1
= 0 булади. Бу
тенгликка
асссан (10.20) ва (10.21) системалар а, р ва у, б ларга нисбатан
тривиал булмаган ечимларта \гм зга. Хусусан,
a = «.;i, Р = — («и — 7л); у = «21, 'б = — («п — 7J (10.22)
деб танласа булади. Агар (10.22) тенгликлардан фойдалансак,
(10.19) алмаштириш махсусмас бу ла оладими? Шуни текширайлик.
^уйидагига эгамиз:
аб — Ру = — а21 («ц — 72) + («п — 7J а21 = а21 (72 —7г).
Бундан а21^0 булганда аб — Ру=т^О экани келиб чикади. Агар
а21 = 0 булса, а12 = 0 булганда (10.17) система
х2 = Хо,
клринин’да, ггни (ЮЛЕ) кхрингшида ёзилган булади. Энди агар
ОоХ = 0 булиб, с124^0 булса, у ^олда (10.17) система ушбу
=— Xj -f- -^2>
Xg == ^22 ^2
куринишни олади. Бунда хх ва х2 лар ролини алмаштирсак,
%1 = а22 Х1г
х2 = «i2 хг + ап х2
системага эга буламиз. Энди бу системада с21 урнида aiZ турибдш
Шунинг учун g21=^0 булгандаги мулохазалар а12=^0 булганда ^ам
утади. Шундай цилиб, (10.17) системани унинг матрицаси ^ациций,
^ар хил ва нолдан фаркли хос сонларга эга булганда (10.18) кури-
нишда ёзиш мумкин. Бу (10.18) система курилаётган ^олда (10.17)
системанинг каноник куриниши дейилади.
б) А матрицанинг хос сонлари цушма комплекс.
Уларни = р + йр, 12 = р— гу,у^£=0 дейлик. Аввало (10.22) к4ий-
матлардан фойдалансак, (10.19) алмаштиришни бундай ёзиш мум-
кин:
iji = а21 Xj — (сц— х2,
у2 = а21 %! — (<7ц — М х2.
Шу алмаштириш формулалари Zj, Z2 лар комплекс булганда ^ам
уринли. Xi ва Х2 лар урнига уз ифодаларини цуямиз:
г/i =а21 Xi— (Сц — р, — iy) х2, (10 23)
Уг = 0,1 Xi — (Цц — р + j v) х2.
Бундан, агар
Z/1 = Uj + ш2,
у2 = «1 — iu2
деб белгиласак,
и1 = ^21х1~ (аи Р-) х2-> (10 24)
«2 = v х2
келиб чикади. Содда ^исоблашлар ёрдамида (10.18), (10.23) ва
(10.24) ларга кура цуйидагига эгамиз:
77' = i = (Iх + ' х)у1г
at at at
+i~ = (l^+ ix) [<z2]Xi — (fin — p— iv)x2] =
at dt
= (Р-И1 — V u2) + i (v u2 + p u2).
Шундай цилиб, ушбу
77 + l~^ = v«2) +1 (v «1 + p-«2)
dt dt
тенгликдан
du*
~ — Vtz2,
ar
-f = VU1 4-pu2
dt
(10.25)
муносабатларни цосил циламиз. Шу (10.25) система берилган сис-
теманинг хос сонлар комплекс булган цолда каноник куринишидан
иборат.
Албатта, (10.25) системани интеграллаб, (10.24) формулалар ор-
цали хг(1) ва х.2(() ечим топилади.
в) А матрицанинг хос сонлари узаро тенг ва нол-
дан фарцли. Курилаётган цолда — К2ф0. D(?.)=^0 тенгла-
мадан 2 = Дп + Д22. экаНц келиб чицади. Бу цолда цам а) цоли-
даги каби мулоцазалар юритиб, берилган системани унинг коэф-
фициентларига цараб хусусан ушбу
п. —- их, .. у 1 — X-i у*. л
• еки -I . liZ1’ (10.26)
У2 = (У1 4- У2)1 Уч ~ #2
каноник куринишга келтириш мумкин.
г) А матрицанинг хос сонлари тенг ва нолдан
иборат, яъни Х,1==Х,2==0. Бу цолда D(^1>2)=0 муносабатдан
аи — аи = 0, ач = 0, ап =* а.21 ~ — ai2 = — о22 = а ’экани келиб
чицади” Бу цолда каноник куриниш цуйидагича булади:
ёки
#1 = 0,
#2 = 0,
'#1 = #2 =
,М1
х2 = 0,
a2i = 0, 7- 0,
%i = о,
—3 ^21
£112 = 0, О.21 0,
Х1--Х2 '
X, =s 0,
4=о. с»-2?»
^12 ^21—
Юдорида биз чизицли узгармас коэффициентли бир жинсли сис-
теманинг куринишини унинг хос сонларига цараб соддалаштириш
билан’ шугулландик.. Энди каноник куринишда ёзилган иккинчи тар-
тибли чизикли системаларнинг траекторияларини цолатлар текисли-
гида‘ урганамиз.
2. Иккинчи тартибли чизицли бир жинсли системанинг цолат-
лар текислиги. Хос сонлар цациций ва комплекс булган цолларни
алоцида текширамиз.
А. А ^матрицанинг хос сонлари ^ациций, %ар хил ва нолдан
фарцли.^Хос сонларни ва К.2 десак, уларга мос келган чизицли
эркли хос векторларни топиш мумкин (9-боб, 4-§ га царанг). Шу-
нинг учун (10.17) системанинг умумий ечими
х = С, hw eKlt + С2 h(2) eKti (10.28)
куринишда ёзилади. Уни яна
x = %Lhw+l2h™. (10.29)
бунда ^ = Схем, (10.30)
куринишда hw ва /i<2) векторлар буйича ёйиб ёзиш мумкин. |х вй
|2 сонлар ^олат текислигида тугри бурчакли Декарт координатала-
ридан иборат булиши шарт эмас, бу h(1> ва й(2) векторлар буйича
йуналган уцларга боглиц. Холатлар текислигини Р дейлик. Унда
ва Вз уцлар’Ь(1) ва й(2) векторлар буйича йуналган булади (50-
чизма). Аффин алмаштириш ёрдамида Р холат текислигини шундай
Р* текисликка, акслантириш мумкинки, унда /i(I> ва й(2> векторлар
узаро перпендикуляр ех ва е2 бирлик векторларга утади, Р текислик-
50- чизма.
нинг (£п |2) нуцтаси Р* текисликнииг тугри бурчакли декарт коор-
динаталарига утади, яъни Р да х = |х h(1) + |Е й(2) булса, Р* да
х = ei + esi ei -L е2 булади. Курилаётган холда (10.17) систе-
мани каноник куринишда ёзиш мумкин ((10.18) га каранг). (10.18)
системаиинг траекториялари Р* текисликда чизилади, чунки унинг
хос векторлари (1,0) ва (0,1) дан иборат.
Энди (10.18) системаиинг траекторияларини тасвирлашга утамиз.
Аввал jAji <; Z2| ва Х2<;Ах<;0 ёки Х2>Хх>0 тенгсизликлар урин-
ли булсин. (10.30) дан куриниб турибдики, биринчи чоракда чизил-
ган траекториялар ёрдамида црлган чоракдаги траекториялари и цам
ёзиш мумкин. Ундан ташкари, Х2<Хх<:0 булган холда Cj^=0,
С2 = 0 булса, |г==Схем , |2 = 0,
яъни |х уцига эгамиз. Унда Сх>0
булганда харакат унгдан чапга,
Сх<0 булганда эса чапдан унгга '
булади. Бошцача айтганда, /—> +
+ оо да С нинг ишорасидан цатъи
назар, lim |г = lim =0 ва
координата бошидан икки томонда
^аракат шу нуцтага йуналган бу-
лади. Худди шу хусусият |2 уцига
хам тегишли (51- чизма). Энди
Сг>0, С2>0 булганда, яъни I
чоракда траекторияларнинг цава-
рицлигини текширайлик. Равшанки, 51 - чизма.
— = — (К — ^i)
С/ 2 17
Cx
Бундан I чоракда траекторияларнинг даваршушги пастга цараганли-
ги келиб чикади. Ушбу
lim ^2- = lim (к2 — М е(Х2-м ' = О
f—/—►-f-00
муносабатдан /->+оо траекториялар абсцисса 'у^ига уриниши чи-
цади. I чоракда— = <0, — = С2^2ех,/ <0 булгани учун
dt 5 dt
£х ва ьг лар t ортиши билан камаяди, ва демак, ^аракат юк/эридан
пастга ^амда унгдан чапга йуналган булади (51-чизма). Траек-
ториялар чекли ва^тда координата бошига кела олмайди. Координата
боши берилган система учун
ягона мувозанат нуктасидан ибо-
рат булиб, у муста^ил ечимдир.
Колган чораклардаги траектория-
ларни шу чизилган траекториялар-
дан уларни ва £2 уцларига нис-
батан симметрик айлантириш ёрда-
мида ^осил ^иламиз. Шундай ци-
либ, бутун текисликда траекто-
риялар чизилди дейиш мумкин
(51 -чизма). Л2 > > 0 булганда
^ам худди шу усул билан траекто-
риялар ’ чизилади. Траекториялар
аввалгисидан фар^ цилмаса-да, улар-
да йуналиш тескари булади (52-
чизма). Хос сонларнинг
< 0 ь;ийматларига мос картина (51 - чизма) тургун тугун, Z, > Zx > 0
^ийматларига мос картина эса (52-чизма) тургунгмас тугун дейи-
лади. Эслатиб утамизки, траекториялар булганда
оо да, Z2>Xx>0 булганда эса t->-------со да Р* текисликда
£х уцига уринади; Р. текисликда бу ^ол Хх га мос келган хос век-
торнинг йуналиши билан боглиц: булади. Айтилган хосса мисоллар
куришда ^улайлик тугдиради.
Хос сонлар учун Xi<0<X.2 (Х2<0<Л1) тенгсизлик уринли
булсин дейлик. Бу ^олда хос сонлар турли ишораларга эга.
<0<Х2 булганда у^и буйича ^аракат координата бошига
йуналган булиб, g2 у^й буйича ^аракат координата бошиддн узо^-
лащади. Траекторияларни куриш учун уларни I чоракда цури п
етарли. Аввал ^аваридликни текширайлик. Х2 — Хх > 0 булгани учун
*^>0 булади, демак, I чоракда ^аварикушк пастга ^арагая. Шунга
d£l
Ухшаш ушбу
lim = lim (Ь2— M1 =: +oo.
<-»+«> dgx ;->4-oo Gi
j lim lim (b2— Zx) e(Xa-x,) 1 = 0, lim gx (/) =s 0,
/-»—oo dgx t->— oo Cx /-+4-00
limg, (0 = + °°
>-|-oo
муносабатларга эгамиз. Бундан I чоракдаги траекториялар парабо-
лаларга ухшатлиги ва улар да харакат унгдан чапга ва пастдан
юкррига йуналгаилигн келиб чицади (53-ччзма). А<?тантирид
ёрдамида траекторияларяи бэгцца чоракларда цам чизамиз. Агар хос
сонлар тенгсизликни цапоатлантирса, юцоридаги усул
билан яна траекторияларни цурит мумкин (54-чизмд). ?£ар икки
цолда дам досил булган картина эгар дейилади.
Миссллар. 1. Ушбу
х2 •—- Зхх4"-х2
х2 = 4хх — Зх2
системанинг траекториялари чизилсин ва мувозанат нудтаси атрофидаги картина
анидлансин. А матрицани ёзамиз: А = ( Бу матрицанинг Хос сонларини
топамиз: |~~4^L_3 = 0 ёки (3-J-X)2— 4 =» 0. Бундан 3-f-2 ёки Z.x =□
= — 1, Z.2 = — 5. Равшанки, Х2 < Хх, |Z.2| > |Z.X|. Хос сонлар дар хил ва манфий
булгани учун биз туррун тугунга эгамиз. Энди шу картинани чизайлик. Унинг
' М*>
учун хос векторларни топиш керак. Хх =— 1 га мос хос вектор ft(,)=
уш-
h™
Равшанки, биз — = 0 тенгламага
: (1)1 системадан топилади.
\—hi }
эгамиз ва' ундан ftp)=>l, ftp' =
= 2 деб олиш мумкин. Агар ftp1 =—1, ftp) = — 2 десак дам уша йуналиш чи-
дарилади. Шунга ухшаш = — 5 хос сояга мог хос вектор гопилад i:
Эиди текисликда координата бошидан шу векторлар йуналишида тугри чизиц-
лар утказамиз. Абсолют диймати буйича кичик хос сон Хх = — 1 булгани учун
траекториялар шу хос сонга мос h1^ вектор йуналишига /->-|-сс да уринад»
(55- чизма).
2. Ушбу
I Xj = 3xx + x2,
U2 = 4xj+3x2.
2 | \ IQ_Ч | I
система учун А — • g) ва хос сонлари L $ J == 0 тенгламадан топилади;
?.j = 1, Z2 = 5. Zj = 1 га мос хос вектор ( gj ва ^2=5 га мос хос век"
тор еса = Q) дан ибсрат. Хос сонлар турли ва мусбат булгани учун биэ
тургунмас тугунга эгамиз. Траекториялар /г-> — оо да//*> = (_g) вектор йуна-
лишига координата бошида уринади (56-чизма).
Б) А матрицанинг хос сонлари комплекс. Бу хрлда хос сонлар
рушма комплекс булиб, уларни X = p -piv, X = р—iv, v^=0 деб
белгилаймиз. v ни доим v>0 /об караш мумкин. Шу хос сонларга
мос хос векторлар рам рушма комплекс булади. Агар hll} ва h(2) лар
рарикий вектор булса, мсс хсс векторларни h ва h деб белгиланади
ва бундай анирланади:
h = у (h(1) —
бунда h(1> ва h(2) лар чизикли эркли, акс холда h ва h лар чизир
ли боглир бу лар эди. Шунинг учун h(1) ва h(2) ^ациций вектор-
ларни Р текисликда хос йуналишлар деб рараш мумкин.
Энди Р* Текисликда траекторияларии рурамиз. Курилаётган рол-
да берилган системаиинг каноник формаси маълум. Уни ёзайлик
((10.25) га раранг):
= 141 — ^2,
13 = + Pls-
(10.25)
Бу системанинг умумий ечими
(0 = Сец/ cos '(v 14- у),
g2 (t) = Сец/ sin (v t + у)..
куринишда ёзилади (С ва у — ихтиёрий узгармаслзр). Унда t ни па-
раметр деб ^арасак, биз траекгорияларнинг пар метрик тенгламаси-
га эгамиз. Уларни цуриш учун дутб координаталарига утиш дулай-
лик тугдиради. Шу мадсадда g1 = pcos<p, g2 = psin<p (р, <р — дутб
координаталари) дейлик. Шунинг учун ю\орида ёзилган умумий
ечим
р^Се* (С>0), <p=;W + Y (v>0) (10.31)
куринишни олади. Бу муносабатларга кура t усиши билан q> бур-
чак ^ам усади (чунки v>0 деб ^араяпмиз). Бэш^ача айтганда,
координата бошидан чикадиган нур(^1(/), s2(0) ну^тадан утиб се-
кундига у радиан тезлик билан соат стрелкасига царши йуна-
налишда бурилади. (10.31) дан t ни чи^арамиз:
P=Aev
(10.32)
—v
бунда К— Се v == const. Траекгорияларнинг куриниши ц>0,
jx< 0, ц = 0 цийматларга ’^араб $ар хил булади. fi<0 булсин.
v > 0 булгани учун lim р = 0, чунки — < 0 ва lim <р =: 4- Де-
f >-|-оо V / • > |~со
мак, /->-|-оо да ^олат ну/;таси координата бошига яцинлашади
(57-чизма). ^\осил булган картина тургун фокус дейилади. Агар
fi>0 булса, ю^оридаги каби муло.^азалар ёрдамида тургунмас фо-
кус картинасини цуриш мумкин (58-чизма).
57 - чизма.
53 - чизма.
59 - чизма.
Агар р, = 0 булса, (10.32) фор-
муладан р = К (К = const) келиб
чикади. Бу эса, маркази координа-
та бошида булган концентрик ай-
ланалардан иборат (59- чизма). Хр-
сил булган картина шарказ деб
аталади.
Мисоллар. 1. Ушбу
%! = Зхг — х2,
х2 = 4Ху -|- Зх2
система учун
13__s ___j ।
4 g_____J = 0 тенгламадан Z = 3±
Демак, р = 3, v = 2, Z = 3 -|- 2г хос сон учун хос вектории излаймиз.
Бундан
(3/ij h2 = 3/ij -р ^ihy - Г h2 = 2ihy
14h. + 3h, = 3h2 + 2ih, e и l 4Й, = 2ih„.
Охирги икки тенгликнинг бири иккинчисидан х;осил цилиниши мумкин. Шунинг
учун /ii= 1, h2 = — 2г деб танланса булади. Энди h = (д1) векторни бундай тас-
вирлаймиз:
ча=ин[(о)-<
Куринадики, Л(1)= (q), й(2) = (^) векторлар излангае булиб, улар абсцисса
ва ордината уклари буйича йуналгандир. Курилаётган мисолда р =3 > 0 булгаии
учуй биз тургунмас фокус картинасига эгамиз.
2. Ушбу
%! = — 2%i + 10х2,
Х2 = — Ху
система учун
Л = (2i ’о) ва Х1>2 = —1 ±3/, р = — 1 <0, v=3.
Аввало биз р < 0 булганидан тургун фокус картинасига эгамиз. Эиди хос
векторларни топайлик. Содда ^исоблашлар курсатадики,
w •?) и=<-‘+з‘> и.
ёки
Г—2ЛХ + 10й2 = — hy + 3ihy,
I—hy = — h2 + 3ih2
ёки
J(— 1 — 3») + 10й2 = О,
Ui + (_l + 3<)ft2 = 0.
Охирги икки тенглик узаро эквивалент. Шунинг учун /ц = 10, Л2 = 1 4- 3»
деб танланиши мумкин. Энди h — (j?1) вектор учун дуйидагига эгамиз:
.‘-©= (.;%,) 4 к?)--- ©].
Бундан ^ациций хос векторлар сифатида
-.“Ч20). “!’=©
векторларни, ёки бари бир,
‘Ul=(!“)• ‘“"К)
векторни олиш мумкин.
В) А матрицанинг хос сонлари тенг ва нолдан фарцли. А мат-
рицанинг хос сонини Z дейлик. Унга мос хос векторлар учун икки
хил 30л юз бериши мумкин:
1-Зол. Р текисликда шундай иккита /шзидли эркли й(1)вай(2)
векторлар мавжудки, улар учун ушбу
Ah(l) = М(1), Ah(2) = Mi(2) ' (10.33)
тенгликлар уринли.
2-30 л. Р текисликда шундай иккита "чизидли эркли /г(1)вай(2>
векторлар мавжудки, улар учун ушбу
Ah{1} = Mi(1), /1/г(2) == Zh(2) + h(1) "(10.34)
тенгликлар уринли. #
Шу (10.33) ёки (10.34) тейгликларни каноатлантирадиган h(,)
ва й(2) чизикли эркли векторларнинг (базиснинг) мавжудлигини кур-
сатамиз.
h(I) — Л матрицанинг хос вектори булиб, й(2)—унга коллинеар
булмаган ихтиёрий вектор булсин. У золда
Лй(1) = М(,) [ва Лй(2) = ссй(1) + 0Й(2)
тенгликларга эгамиз. Улардан й(1) ва й(2) ларни топиш учун систе-
ма сифатида фэйдаланиш мумкин. Бу системанинг матрицаси
/1 0\
V» 0/
булиб, хос сонлари X ва 0 дан ибэрат. Шунинг учун 0 =а X. Агар
<г=0^булса, (10.33) тенгликларга эгамиз. а^О булганда эса
(10.34) тенгликларда й(1) векторни унга коллинеар ай(1) билан ал-
маштирамиз. Шу билан (10.33) ёки (10.34) ларни даноатлантира-
диган. базис векторларнинг мавжудлиги исбот этилди.
1-з^олда умумий ечим
x = C1hweu + C2h^eM = x°eu
(10.35)'
куринишда ёзилади.
Бу ечим учун х(О) = х°. Биз Х=#0 холни кураётганимиз учун
(10.35) ечим координата бошидан чицадиган ярим тугри чизицларни
ифодалайди. Уларда харакат Х<0 булганда координата бошига
йуналган булиб, Х>0 булганда эса й$налищ бунинг акси булади
(60- чизма).
Юцорида курилган лолларда р.<0 булганда тургун тугилма
тугун. Х>0 булганда эса тургунмас тугил’ма тугун картинала-
рига эгамиз.
2-^олда умумий ечим
х = Сг hw eJ + С2 (hwt + /1(2)) еи
куринишда ёзилади. Буни яна базислар буйича ёйиб ёзиш з^ам мум-
кин:
х = (Q + C2t) eJh,l> +С.Л(2).
Бундан Р текислигида траекториялар тенгламасини топамиз:
(С1 + СЛ)еК/, ^=C,ew. (10.36>
Бу траекторияларни Р* текисликда цурамиз.
Аввал Х<0 булсин. (10.36) формулалардан Ci ни —Сх га, С2
ни —С2 га алмаштирсак, координата бошига нисбатан симметрия
з^осил булади. Шунинг учун траскторияларни говори ярим текислик-
да чизамиз. Сунгра ундан пастки ярим текисликдаги траекториялар-
ни з^осил килиш мумкин.
Дастлаб С2 = 0, Сг^=0 дейлик. У з^олда (10.36) дан •^1 =
с= С1еи , £2 е= 0. Бундан Х<0 булгани учун Сх<;0 булганда чаге
' ярим абсцисса, уцига С\>0 булганда эса унг ярим абсцисса уцига
траектория сифатида эгамиз. Чап ярим уцда царакат чацдан унгга,
унг ярим уцда эса унгдан чапга йуналган булади.
Энди ^ = 0, С2>0 булсин. (10.36) дан ушбуга
^ = C27ew, g2 = C2ew, С2>0 (10.37)
эгамиз. Агар 7 = 0 булса, бундан (0, С2) нуцтани топамиз. Энди
t узгарувчи 7>0 цийматларни цабул цила бэшласа, (si, £2) нуцта-
нинг царакатини, ва демак, траекторияслни аницлаймиз. Албатта,
<(10.37) дан куриниб турибдики, t нинг нолга етарли яцин циймат-
ларида gx>0, g2>0 ва (£ь £,) нуцта (0, CJ нуцтадан унгга ца-
ракат цилиб, I чоракка киради. Цуйидаги
dg _ 1
dlt 1+M
мфода t нинг нолга етарли яцин цийматларида манфий (чунки Л<0).
Шунинг учун £2(7) функция аввал камаювчи
тутади. Бу хосса 7 = 0 дан 7* = —— гача
X
функция каби узин и
давом этади. Аммо
/о,----Ц интервалда
dg dg IrfgJ dt ' dg/' dg (1+M2 '
dt
1
C2ew(l+M
X2
C2 (1 +
булгани учун шу интервалда цаварицлик юцорига цараган
Равшанки, 7* = —-
* X
моментга
мос нуцтада траекторияг а
булади.
утказил-
ган уринма вертикал,
царакат бошланиб, I
йуналган булади, бу
Шундай цилиб, (0, С2) нуцтадан 7 = 0 да
чоракда чапдан унгга ва юцоридан пастга
царакат (ё,(7*), L, (7*)) = / — е-1, Си?-1)
нуцтагача давом этади.
Ницоят, 7 >----- булганда
нуцтанинг царакатини
ург анамиз.
(10.37) га кура А<0 булгани учун функция камаювчи. Бу хосса
t нинг барча 7>-0 цийматларида тугри. Энди нинг 7 буйича цо-
силасини цисоблаймиз:
— = С2ем (1+Л7).
dt
Бундан
dt
>0, агар 0 + 7 <Z —
<Z 0, агар 7 >-----^-.
Демак, ^ = —-1 моментдан бсшлаб, (£1Э g2) нудта унгдан чапга
ва^юдоридан пастга даракат килади. Куйидаги лимитларни дисоб
лаймиз (Лопиталь доидасини дулланиб):
lim (0 = lim С2 lim = lim ~2 t - 0;
/->4-oo /_j.4_.0c g |_qo —Xe 1
limg2(0 = lim C2ew=’O.
Бундан куринадики, (ё,, £2) нудта вадт — А. дан ортиб борга»
сари координата бсшига ядинлаб боради ва t-> оо да удига
нудтанинг траекторияси уринади (61-чизма). Траекториянинг f-------
. \ 'К
4- оо J интервалга мос келган
г- » / 1
ган. Бунинг тугрилиги —
\ л
булагининг даваридлиги пастга дара-
оо
) интервалда
^2t
—> 0 эканидан
келиб чидади.
Энди <<0 булганда .траекто-
рияни текширайлик. Равшанки, бу
долда t узгарувчи 0 дан — оо га-
ча камайиб борса. нудта дам ор-
дага, яъни унгдан чапга ва паст-
дан юдорига II чоракда харакат
дилади. (10.37) га кура унгдан
чапга пастдан юдорига цараганда
тезрод даракат килади (61-чизма).
Энди агар С2 га барча мусбат
дийматлар берсак, тегишли траек-
ториялар > юдори ярим текисликни
тула доплайди (61-чизма).
Агар (10.36) формулаларда
ихтиёрий булса хам худди шу
мулохазалар $ринли бдлади, яъниг (С, -}- C.,t) еи ва C2teu функция-
ларнинг дифференциал хсссалари бир хил. Хусусан, бу дслда дара-
кат
(С1г С2) нудтадан бошланади. (— оо,
ХС2
у интервалда
даваридлик юдорига, (— — оо] интервалда эса пастга да-
par ан булади. Сп ва С2>0 ларга ихтиёрий дийматлар берсак, мос
равишда дурилган траекториялар юдори ярим текисликни тулдиради.
Агар С2 < 0 ва — ихтиёрий узгармаслар учун юдоридагидек
мулодазалар юритсак, пастки ярим текисликда траекториг лар дури-
лади. Шундай килиб, F* текисликни тута кснлайдиган траектория-
лар чизилади (61-чизма). Бу холда биз ту pry н тугирма тугун
картинасига эгамиз. Агар Л>0 булса дам мулодазалар ухшаш (62-
чизма). Бунда mypiytwac тугилма тугун картинаси курилади.
63 - чизма.
Мис о л. Ушбу
*1 = — Хг
Х2 = Х1~ Х2
система учун
А = ( | ___0) Ба = Х2 = — 1.
Содда хи соблашлар ёрдамида топамиз:
/-1 0\ //г(1Л / h(p\ \
\ И0/ ’UvJ №И [h^-h^j
Бундан = 0, = 1, (Л^ ихтиёрийлигидан). Демак,
-Лр\
-h^j.
вектори ушбу
тенгликдан тогилади. Уни соддалаштирсак,
/—*</> l-h'P \
k h^-h? J ~ к /г22)+! /
тенгликка келади. Бундан 1^^= 1, /г^2) = 1, = ихтиёрийлигидан). Демак, Л(2^=»
= (}). Шундай килиб, базис сифатида ва векторларга эгамиз. Х = —1
булгани учун бу базислар асосида тургун тугилма тугун картинасини чизамиз
(63- чизма).
Г) А ’матрицанинг хос сонларидан камида биттаси нолга.
тенг. Бунда икки хдлни ало^ида курамиз.
1-^ол. Фацат битта хос сон нолга тенг, хусусан, =/=0, Л2«=
е= 0 булсин. Бу хрлда ечимни
X = g1h(1, + E3 Ь,2)
куринишда ёзилади ва ^1=С1е?л *, £2 = С2 = const. Агар Хх<0 булса,
царакат = С2 горизонтал чизиги буйлаб, цар икки томондан
уцига томон йуналган булади. £г уцининг, яъни £х = 0 тутри чизи-
гининг цамма нуцталари мувозанат долатидан иборат (64-чизма, а).
цолати булади. дар икки цолда
Агар > 0 булса, царакат юцоридагига цараганда тескари йуналган
булади (64-чизма, б). Бу цолда цам = 0 тугри чизиги мувозанат
цам =д0 булганда х — C2/i(2) ==
= const га эгамиз. Бундан юцори-
даги фикримизнинг далили кури-
ниб турибди.
2- ц о л. Икки хос сон цам нол-
га тенг. Бу цолда ечим 1) х =
= C1/i<1,4- С2й<2,= const каби ёзи-
лади. Биз Р текисликнинг барча
нуцталари мувозанат нуцтаси бул-
ган цолга эгамиз. Бу А матрица-
нинг барча элементлари нолга
тенг булгандагина содир булади.
2) х = (Сх + C2t) h(1) + С2 /г(2), Si =
—Ct + C.,t, = С2 каби ёзилади.
Агар С2 = О булса уци мувозанат нуцталаридан иборат булади.
укдан юцорида С2>0 ва царакат чапдан унгга, пастда эса,С2<;0
ва царакат унгдан чапга йуналган булади (65- чизма).
5-§. ABT0HO.V1 СИСГЕИ4НИНГ ЦЭЛАТ ТЕЗЛИГИ ВЕКТО2Л.1.4ЛГ
ХАРАКАТИ ЦАЦИДА
Мазкур параграфда иккинчи тартибли автоном системаларни ур-
ганишда муцим роль уйнайдиган цолат тезлиги векторининг цара-
катини текширамиз. Бу вектор вацт утиши билан, умуман айтганда,
ё у ёки бу йуналишда бурилади, узунлигини цам узгартиради.
(10.2) системани курайлик. Унда л =
вектор
холат
тезлиги
векторидир. Унинг модули хър бир моментда
формула билан аникланади. Энди п - 2 булганда х векторнинг ар-
гументи гацт утиши билан бурилишш и текширамиз. Унинг аргу-
ментини a —argx' деб белгилаймиз. Бу функция ихтиёрий t учун
узлуксиз. Агар fx(x) ва f2(x) функцшлар узлуксиз дпфференциал-
ланувчи булиб, (xt)2 + (х,)2#= 0 булса, у ^олда функция ^ам (t
буйича) узлуксиз дифференциалланувчи булади. Кейинги муло^аза-
ларда шу шарт бажарилган деб фараз этамиз.
Ю^оридаги белгига кура
cos а =
'sina =
___fz
Г7Г+71
Содда хиссблашлар ёрдамида cos а ва sin а ларни дифференциал-
лаб, топамиз:
— (cos а) = — sin а ~ У2,7 = sina -^2,
dt ' ' dt (fl + f2)^ fi+f22
d , . , da
— (since) = cos a —
dt 4 dt
_ fitfifz—ft fz) cnsre f2 2
“(fi+/Ds/2 fl+fV
Бу мунссабатлардан ихтиёрий t мементда sina ва созалардан
камида Ситтаси нолдан фаркли. Шунинг учун ^уйидаги
— sin a — = — sina ,
dt f2+f22
cos a — = cosa
dt fj+fi
тенгликлардан бирортасида ё sin a га, ё cos a, га кдплуартириш мум-
кин. Наи жада изланган фермулага келамиз:
da d _________ хг х2 хгх2 fi f% fifz /1 л
— — — arg х-----Г2----- — —^-7772 • (lU.d/J
at dt xi _p x2 11 + /2
Бу формула буйича баъзи системалар учун х^олат тезлик векторини
урганайлик.
Ушбу
%! = ^1Х1г
,Х2 == ^2^2»
^1=0=
система учун хх = хи х2 = Х2х2 ва
d
dt
d
а - - агб
at
Х1 (^2^2) (^1*1) Х2
- 2 , -2
xl + Х2
— (^2 ^1)
*1*2
2 -2
XI + х2
(Х2 — cos a sin а.
X =
Шундай цилиб, a = argx учун дифференциал тенгламага эгамиз:
а = (Z2 — Хх) cos a si па.
(10.38)
ёки
1
а = —
2
(Х2 — Лх) sin 2 а.
Узгарувчилари ажраладиган дифференциал тенглама х/хил булди.
Уни интеграллаймиз:
± In |tg а| = -1 (Х2-М t + ylnfC|
ёки
tga = Сеа‘~^ *'
Цулланишга (10.38) тенглама г;улайдир. Агар бирор t = t0 моментда
a(U=0 (ёки a = л) булса, шу бошлангич шартни (10.38) тенг-
ламанинг a(/) = 0, tZ>t0 ечими (а(/) = л) цаноатлантиради. Бу
тугун картинасида xt уцдаги ^аракатга мос келади. ХаКиКатан>
горизонт ал у кда харакат цилинса, унда a (t) — const (a (t) == л) ва
— 0- Агар t = t0 да a (t0) = ~ (a (t0) = yj булса, t > t0 да
a(t) (0 = ~j булади. Бу ечимлар x2 укдаги ^аракатга мос
келади. Шундай цилиб, агар бирор t = t0 моментда нуцта абсцисса
уг;ида (ордината уцида) ётган булса, у ^олда бу ну^та t нинг t0
дан катта барча ^ийматларида шу уцда ^аракат ^илади. Бундан у
ёки бу чоракда жойлашган нуцта ва^т утиши билан шу чоракдан
чициб кета олмаслиги келиб чикади. Х2 <; < 0 булганда, равшан-
ки, 1,Ш чоракда a<0, 11,1V чоракда а>0 тенгсизликлар урин-
ли. Бу тургун тугун картинасига мансуб. Тургунмас тугун кар-
тинасида тенгсизликлар тескари булади.
Энди ушбу
dt
2 '2
.. Xi + Х2
хг — р Хх---VX,,
. x2 = vx1 + px2, v=0=O
система учун а ни цисоблаймиз. Содда цисоблашлар курсатадики,
* _ d яг„ ‘ *1 *2—*1 Х2 _ Xt (v Xt+p Х2) — (р %! — VX2) Xt _
Хх + х'
’ "2 ^2 ’•
XI + Х2
Демак, aev^O. Шундай цилиб, курилаётган цолда v>0 булса,
цолат тезлик вектори доим соат стрелкасига царши йуналишда бу-
рилади, акс цолда бунга тескари йуналишда бурилади. Бу тургун
ва туррунмас фокус картиналарини чизишда цул келади.
11- боб
ТУРГУНЛИК НАЗАРИЯСИ ЭЛЕМЕНТЛАРИ
1-§. ТУРГУНЛИК ХАКИДА
1. КисКача тарихий маълумот. Оддий дифференциал тенгламалар-
ни интеграллашниьг элементар методлари XVIII асрда уз равнаци-
ни топган классик математик аналгздан мерее булиб цолди. Тенг-
ламаларни кгадратураларда интеграллаш билан шугулланиш
И. Ньютон, Г. Лейбниц ишларидан бешланиб, XIX аернинг иккинчи
ярмида С. Ли ишлари билан якунланди. XIX аернинг биринчи яр-
мида дифференциал тенгламаларнинг умумий назарияси*’ сунгра
дифференциал теигламаларни тацрибий интеграллаш методлари ри-
вожлантирилди. Бу борада Пикарнинг кетма-кет яцинлашиш мето-
дидан кенг фойдаланилди. Амалий математиканинг зарурати билан
яратилган тацрибий интеграллаш методлари мутахассисларни цаноат-
лантирмас эди, чунки ^ар бир Кеши масаласи битта нуцтадан ута-
диган интеграл чизикни тацрибий ясашдан иборат булиб, янги нуц-
та учун хисоблашларни такрерлашга тугри келар эди. Шунинг учун
хам бу усул билан дифференциал тенгламаларнинг умумий назария-
сини ривежлантириш мумкин эмас эди.
XIX аернинг охирларида дифференциал тенгламаларнинг уму-
мий назариясини равежлантириш йулида янги методлар яратилди.
Бу методлар биргаликда «дифференциал тенглак аларнинг сифат на-
зарияси» деб аталиб, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов коми билан
чамбарчас богланган. А. Пуанкаре нормал дифференциал тенглама-
ни (системани) интегралламасдан, угинг унг тсмснига караб интег-
рал чизикларнинг хсссаларини ургани.шдек умумий масалани уртага
ташлади. Бу масала дифференциал тенгламалар сифат назарияси-
нинг асссий масаласи хдюсбланади.
Дифференциал тенгламаларнинг сифат назарияси жуда кенг
булиб, биз хкаракатнинг тургуилиги масаласинигина урганамиз.
2. Тургунлик. Тургунлик т)шунчаси хаёчда х;ар кадамда учрай-
дч, масалан, велосипедчи харакатини олайлик, у харакати давсмида
йи^илмаслик учун рулни го^ чапга, го^ унгга бурпб туришга маж-
бур булади. Шунга ухшаш, дербез арг;сн устпда юраётганда уз
мувозанатини саклаш учун кулидаги лангар чупини цимирлатиб
туради.
*) Дифференциал тенгламаларнинг умумий назариясини яратишда О. Коши,
А. Пуанкаре, П. Пенлеве, Э. Пикар, Э. Линделёфларнинг цилган ишлари асосий
ролни уйнаган.
}^ар икки мисодда баён этилган жараён цам тургунлик тушуй-
часи билан бэрланган булиб, царакат' бирида велосипед рули би-
лан, иккинчисида лангар чуп билан бошцарилиб туради. Агар шу
бошцариш булмаса, велосипедчи цам, дорбоз цам албатта йици-
лади*'.
" q Велосипедчи ва дэрбэзнинг царакати дифференциал тенглама
билан (ифодаланиши мумкин, щунингдек, куплаб цурилмаларнинг
(машиналарнинг, асбобларнинг ва бэшцаларнинг) иши цам диффе-
ренциал тенгламалар билан тавсифланади. ^амма цолда цам маъ-
носи буйича уша тенгламалар чексиз куп ечимга эга булса-да, те-
гишли жараён бирор битта ечимга мос келади. Унда мос жараён-
ни режим деб юритилади. Гарчи бошлангич цийматлар шу режим-
га мос келмаса-да, жараён етарли узоц давом этса, бошлангич
цийматлар уз мавкеини йуцотади ва цурилма уз ишини маълум
режимга тушириб олади. Бу режимни стационар режим дейи-
лади. Мисол сифатида скаляр х — f(x) тенглама учун мувозанат
цолатининг тургунлигини, иккинчи тартибли чизицли бир жинсли
системалардаги тургун, тургун фокус ва тургун тугилма цолларни
келтириш мумкин. Бундан ташцари, биз цуйида математик маят-
ник ва соат маятниги царакатларини шу нуцтаи назардан тушун-
тирамиз.
Математик маятник цуйидагндан иборат: массаси т га тенг бул-
¥ан Р нуцта уз огирлик кучи таъсирида I радиусли К айлана буй-
лаб |царакат цилади, бу айлана
вертикал текисликда жойлашган.
I— маятникнинг узунлиги дейила-
ди. К айланада координата кирита-
миз, унинг энг пастки нуцтасини
координата боши , деб цисоблай-
миз. Р нуцтанинг узгарувчи коор-
<р бурчагининг
динатасини <р = <p(0. <P(U = %>
О<3ро<л: деб белгилаймиз. Шу
нуцта F — mg—огирлик кучи
таъсирида булади. Маълумки,
F — mg куч вертикал йуналган.
Бу кучни икки ташкил этувчига
.ажратиш мумкин: бири К айлана
нормали буйича йуналган булиб,
иккинчиси айлана уринмаси буй-
лаб йуналган. Охирги ташкил этув-
чи — mg sin ср (бунда мусбат йуналиш
усишигг
мос цилиб олинади). Агар ишцаланищ ва цавэнинг царшилиги
цисобга олинмаса, математик маятник тенгламаси БЬ огон цонунига
асосан цуйидагича (55- чизма) ёзилади:
*) Келтирилган жараён лар «Оппитл бо'Ш^арши» кургида курчлиши мумкин.
Аммо велосипед рулини ёки лангар чупничг маълум ^этапчга мэс келган з^аракат-
ни урганиш тургунанк тушунчаси билан богланган.
22*
33
ёки
mlq = — mg sintp
/ф + gsinq) = 0.
(П-1)
Бу иккинчи тартибли чизикли булмаган дифференциал тенгламадан
иборат. Янги узгарувчиларни киритиб, уни иккинчи тартибли нор-
мал автоном система куринишида ёзайлик (ф = <ръ ф = ф2):
67 - чизма.
Ф1 = Ч>2.
Р .
Ф2 = — у- sin фг
(П-2)
(11.2)системанинг мувозанат хс-
лати
(фа = °.
[si л ф-t = 0
(Н-З)
тенгламалардан ани^ланади. Шу
(11.3) системанинг ечимлари (Азт,О)
(k — бутун сон) куринишда була-
ди. Агар k = 0, /г = 1 булса, биз
ушбу
(0,0) ва (л, 0)
икки мувозанат ^олатига (нукдасига) эга буламиз. Улардан бирин-
чиси маятникнинг энг цуйи Ро холатига (координата боши), иккин-
чиси энг юкори Рп ^олатига мос келади (67-чизма). Назарий жи-
^атдан математик маятник Рп ^олатда туриши мумкин/ Аммо Р^
ну^та урнига унга К айлана буйича исталганча якин турган Р'п
нуцтани олсак, бу ггуцтадан маятник уз огирлик кучи таъсири
остида К айлана буйлаб пастга ^аракат кила бошлайди. Шу куч
сабабли Р'п нугда К айлана буйлаб Рп нуктага 'етиб кела олмайди.
(Р'п нуктага бошлангич тезлик берилмайди деб караляпти). У Р'п
хуэлатга келиб, яна [пастга ^аракат килади. Бунда Р'п нинг холати
Р’п дан настроила булади. Шу йул билан хар бири [аввалгисидан
настрой ^олатда жойлашган нукталар кетма-кетлиги [хосил булади:
Р Р' Р" Р№
J Л’ Л’ Л’ ‘ ‘ ’ Л ’ ----
Шуб^асиз, вакт утиши билан Р^------>- Ро муносабат уринли булади.
Бошкача айтганда, Р нукта ^уйи мувозанат ^олатга интилади. Бу
муло^азаларга асосан юцори мувозанат холат тургун’мас, цуйи му-
возанат ^олат тургун деб атаймиз.. Демак, агар Р нуцта юцори
мувозанат ^олатдан бир оз силжитилса, у яна шу ^олатга ^айтиб
келмайди; Р пуцта цуйи мувозанат х/элатдап силжитилганда эса у
чекли вацт давомида яна шу х.олатни егаллайди.
Энди соат чмаятниги харакатини урганайлик. Осма соатлар ма-
ятник нинг маълум кулечи билан юради. Агар соатни юргизишда унинг
маятнигинн етарли секин силжитилса, маятник озроц тебраниб
тухтаб келади. Агар маятникни каттароц цулочга силжитилса, ^ис-
ка вацтдан кейин маятник аннц кулоч буйлаб, маълум амплитуда
билан етарлича узок такт ёки чексиз узок ' гакт харакат килади.
Соат харакатини ифода этадиган тенгламалар системаси икки ста-
ционар хслатга эга булиб, бирп—харакат булмайдиган мувозанат
х/элатидаи, иккинчиси эса ссатнинг нормал юришига мос даерий
ечимдан иборат. Тенгламалар системасининг ихтиёрий бошка ечим-
лари шу икки ечимдан бирига тез якинлашади иа фарц цилмай ко-
лади. Демак, долатлар фазсси бу холда икки сох;ага булинади. Уни
тортилиш сЦалари деб юрктилади. Бир тортилиш сохасидан бош-
ланган ^аракат мугозанат хглатига яцинлашса, иккинчисидан бош-
лангани эса даврий ечимга якинлашади.
2- § ТУРГУН КУПХАДЛАР
1. Купхадларнинг тургунлик шартлари.
11.1- таъриф. Агар коэффициентлари хацикий булган
Цр) = аорп"’+а1рп~1 + . . . + ati_ip + an (11.4>
купхаднинг барча илдизлари (нолларй) манфий хацикий кисмга эга
булса, у холда (11.4) купхад тургун цуп^ад дейилади.
Тургун купхадларнинг илдизлари комплекс узгарувчининг текис-
лигида мавхум укдан чапда жойлашган булади. Купхад тургунлиги-
ни текширишнинг Раус-Гурвиц белгиси билан танпшамиз. Умумий
Холни курвшдан агвал п = 1, 2, 3 булган хслларга алохида тухта-
ламиз. н=1 булганда (11.4) купхад аър + а± = Цр) куринишни-
олади. Бу икки хад ягона р = — —, а0 Ф 0 илдизга эга.
во
— — <?0 булиши учун а0 ва аг (аг^=0) коэффициентлар бир хил
со
ишорали булиши зарур ва етарли. Демак, биринчи тартибли чизикли
тенгламанинг йлдизи манфий булиши учун унинг коэффициентлари
бир хил ишорали булгши зарур га етарли. Бу тасдикнинг исботи
равшан. Агар с0>0 дейилса, «,>0 булганда биринчи тартибли куп-
Хад тургун булади.
Энди и = б.шк. Е’уада Cis пиши таргбли
L (р) = о0р2 + а}р + ас >0
купхадга эгамиз. Юг.срида ct>0 деб олдик. Агар с0<0 булганда
—L(p) = L*(p) деб белгиласак, Ц(р) учун р2 олдидаги коэффици-
ент мусбат булади. L(p) га 13(р) купхадлар эквивалент булгани
учун Ц(р) купхад билан ini ку’ртш мумкин. Бу мулохаза п- тар-
тибли купхадлар учун хам айтилнши мумкин. Шунинг учун доим.
со>0 деб олинса булади.
Юцоридаги квадрат учцаднинг илдизлари ушбу
формулалар билан цисобланади. Буниан дискриминант нэчдан кичик
булганда илдизлаэнинг цдаций кисми------— дан иборат булади.
2а0
аг>0 булганда——<0 (а„>0) ва купцад тургун булади. Агар
2а0
а- 0 булса, — — > 0 булади. Бу цолда купцад тургун бу ла
2а0
олмайди. Агар дискриминант нолга тенг ёки нолдан катта булса,
у > 0, а2 > 0 булганда р{ 2 < 0 тенгсизлик уринли бу'лади. Бу цол-.
да купцад яна тургун булади. Бошца цолларда купцад тургун була
олмайди. Агар купцад тургун булса, илдизлар фэрмуласидан aL > О,
> 0 келиб чицаци.
Шундай цилиб, квадрат учцад тургун булиши учун унинг коэф-
фициентлари мусбат булиши зарур ва етарли.
11.1- теорема. Учибу L(p) = рп 4* at р'~1 4- • • 4- an_tp 4* ап
куп\ад турруч булиича учуч у чип at, а,......... апкочффицие;чт-
лари м/сбат бушлчи зарур.
Исбот. Цр) купцаднинг илдизлари п та. Ундан 2 г таги цуш-
ма-комплекс ва и — 2 k таси цациций булсин. У лари и ’мос равишда
±tV, 7=1, 2, . . ., k, Z6, б =; 1, 2, . . . , п — 2 k ди 5 белгилай-
миз. Шартга кура купцад тургун. ]Шунинг учун Pj<ZQ, /==1,2,
. . . , k; Z,6<0, 6 = 1,2, . .. , n —2'г. Энди L(p) 'ни цуйидагича
ёзиш мумкин:
k n—2k
Цр) = П [р — (Pj + 1\)Ир — (р-j — iv,)] • п (р — Ч) =
1=1 6=1
A п—2k
= П (р2 + а\пр + й2}). П (р + 6(б>).
;=1 е=1
бунда = — 2р(. > 0, — у2. 4* v? > 0, = — Z, 6 > 0.
Демак, L(p) купцад кээффициэнтлари мусбат булган р2 4- aiP4-aa
ва р 4* b куринишдаги купцадларнинг купайтмаси шаклида ёзилади.
Бундай купцадларни купайтириб чицсак, коэффициентлари мусбат
булган купцад чикиши равшан. Теорема исбот булди.
11.2- теоре ма. Козфри.ца’.чтыгул х(а\и^и'л булга’ч
Цр) = аоР2 + aiP2 + aiP + аз- ао > °
..купуучд тургун. булиши улун alt а,, а3 коэфрицигшплари мусбат.
булиши билан бирга ушбу
^1^2 > аоаз
.тенгсизлик бажарилиши зарур ва етарли.
Исбот. с0 > 0 булгани учун биз
L(p) — р3 + ар2 + Ьр + с (11.5)
к^пхадни курамиз.
3 арурлиги. Бу ^слда (11.5) купхаднинг тургунлигидан
abZ>c (11.6}
тенгсизликнпнг бажарилишини келтиръб чшуарамиз. Аеезло 11.1
теоремага кура +>0, 6>0, е>0 тенгсизликлар уринли. Исбот этиш-
д а купхаднинг илдизлари козффицнентларига узлуксиз богланганли-
гидан кенг фойдаланамиз.
Комплекс текисликни курамиз. Унда горизонтал укда >;ацикий
•илдизларни, вертикал укда мавхум илдизларни жсйлаштириш мум-
кин.
Аввало (И.5) купхад р=0 илдизга эга эмас, акс ^олда ундан
с=0 келиб чикар эди. Энди (11.5) купхаднинг илдизи мавхум,
яъни р— ко, со=+О булсин дейлик. Шу купхадни ушбу
Цр) = (Р + а)(р2 + b)-ab + c (И .7)
куринишда ёзайлик. £(ко) ни [хис°блаймиз:
£(ко) — (ia + а)(—и2 + 6) — ab + с = йо( —со2 + 6) + а(—и2 +6)—]
—аЬ + с.
Бундан р — ко мавхум сон илдиз булиши учун —и2 + 6 = 0 ва
ab=c булиши лозим. Агар ab-—c булса,
£(р) = (р + п)(р2 + 6) = 0
дан р = ± . Шундай килгб, £(р) купхад мавхум влд изларга эга
булиши учун ab = с тенгликнинг бажарилнши зарур ва етарли. L(p}
купхаднинг о, 6, с коЗффициентлари хам комплекс текисликда уз-
луксиз харакат хилиб боради. Шу харакат давомида мавхум ук ab—
=с булгандагина кесиб утилади.
Энди (11.6) (яъни с6>с) тенгсизлик бажарилкасин дейлик. У
холда ё ab = 'c, ё ab < с булади. Биринчи холда купхад мавхум ил-
дизларга эга, демак, у тургунмас. Иккинчи холда хам купхад ТУР~
гунмас эканини курсатамиз. а га b ларни (с>0, 6>0) шундай уз-
луксиз узгартирамизки, биринчидан улар нолга интилса, иккинчидан
ab<zc тенгсизлик бузилмасин. Бундай узгартиришда купхаднинг
илдизлари мавхум укнинг бир тсмснидан иккинчи тсмснига у та ол-
майди, анс хс'‘,:Да cb<Zc тенгсизлик бузилган булар эди. Демак,
купхаднинг тургун ёки тургунмаслиги узгармайди. Агар о=6=0'
булса, (11.5) дан р3 + с га эга буламиз. Унинг илдизлари ру =
•= ^=^<0, р23 =|~± t - 3 • Демак, р3 + с купхад мавхум уцдан
унгда жсйлашган 2 та — ±t -Slf3.. илдизга эга. Бу холда купхад
тургунмас (яъни мавхум укдгн унгда жсйлашган илдизлар бор).
Мазкур хссса а ва 6 ларнинг нслга етарли я^ин кийматларида хам
уринли, чунки илдизлар купхад коэффиииентларининг узлуксиз функ-
гциясцдир. Шундай килиб, аЬ<с тенгсизлик бажарилганда Цр) куп-
хад тургунмас.
Етарли л иг и. (11.6) тенгсизлик бажарилсин дейлик. Бу холда
Цр) купдад тургун эканини исбот этамиз. аЦ>с тенгсизликда с ни
шундай узгартирамизки, у 1) нолга интилсин, 2) ab>c тенгсизлик
бузилмасин. Агар с=0 булса, ушбу
ЦР) = Р(р2 + ар +Ь)
куп^адга эгамиз. Бу купдад = 0 ва р23 —--------± ]/ j—b илдиз-
.ларга эга. Бундан р2 3 ларнинг ^а^икий кисми манфий экани куриниб
(Турибди. Агар с нинг нолга етарли яцин мусбат кийматларини ол-
сак, р23 илдизлар мав\ум укдан чапда колаДи- Аммо ноль илдиз
мав^ум уцдан ё чапга, ёки унгга етарли кичик мивдорда силжийди.
Иккинчи томондан маълумки, купдад илдизларининг купайтмаси тес-
кари ишора билан олинган озод хадга тенг (купдад учун Виет теоре-
•маси). Шунинг учун курилаётган холда р1-р.-р3 = —с<0; P2-ps>0
тенгсизликлардан Р. <Z О (ха^и^ий илдиз)-экани келиб чикади.
Шундай килиб а>®, Ц>0, с > О, ab >с тенгсизликлар бажарил-
ганда Цр) купдад тургун булади. Теорема исбот булди.
Умумий к°лда купхаднинг тургунлиги шартини баён этамиз.
Эслатиб утамизки, бирор
/Ри Рп''' Р1„\
р _ I Ра Ра "‘Pin I
yPnl Рп2 Рпп J
матрица берилган булсин, унинг k- тартибли бош минори деб ушбу
(Ри Р12 •' • Р1Д
Р21 Ра ‘ ’ * P-ik I
Pk\ Pkz Pkk /
матрицанинг детерминантига айтилади. Уша минорни АДР) деб бел-
гилаймиз.
11.3-теорема (Раус—Гурвиц белгиси). Ушбу
Ь(р) = а^п + а1Рп~1-.-+ап_1р+ап, а0>0 (11.4)
коэффициентлари цациций булган п- тартибли купхад берилган
булсин. Р\уйида купхаднинг а0, aY • • •, ап коэффициентларидан
п- тартибли матрица тузамиз:
(ai аз а& — 0\
ай а4 • • • 0 \
О at а3 • • • О I
О • • • о: „ а /
п—2 п
(11.4) купцах) тургун булиши учун %а'М'мабош 'минорлар Aj(Q),
Аг(О, ••• ,An(Q) 'мусбат булиши зарур ва етарли*'1
Исбот. Q матрицанинг k- устунини ёзамиз:
ak+t> ak+i ak ak-} ak-i - • • •
Бунда ak+- элементлардан ak бош диагоналда жойлашган, шунинг-
дек, агар fe+j<0, k+j>n булса, ak+j = 0.
11.3-теоремадан аввал исботланган 11.2-теорема хусусан келиб
чикади. Хакицатан, 11.2- теоремада п—3 эди. Шунинг учун учинчи тар-
тибли Q матрицани тузамиз:
(at а3 0 \
а0 а., 0 I
0 а1 а3/
Бундан:
△1(<2) = «i, A2(Q) = “з| = а1а2—аоав,
A3(Q) = a^.,(Q).
11.3- теоремага кура:
/
о0>0, Й!>0, а3>0, — о0а3>0.
Охирги тенгсизликдан а2>^^->0 келиб чикади.
Энди п = 4 булганда
а3 О 0 \
а0 ал О 1
О at аЙ О I
О а0 с2 а4у
матрицага кура:
△1(Q) = ai> △g(Q) ~ С1$ав, A3(Q)=a3 Д2 (Q)
A4(Q) = a4A3(Q).
Бу матрицанинг мусбатлиги шартидан
ао>0, «!>(), о2>0, а3>0, а4>0,
А3(О = «1°2аз — °. аз — > О
тенгсизликлар келиб чикади.
*) Бу теореманинг исботини Н.Г. Четаевнинг «Устойчивость движения» (Гос-
техиздат, М., 1955, 79—83- бетлар) китобидан ущиш Мумкин.
Шунга ухшаш, п—5 булганда
/а2 аз а5 О 0 \
I а0 а2 а4 О О\
Q — 0 а2 а3 а5 О
у 0 а0 а2 а4 О I
\0 0 aL а3 aj
матрицанинг бэш минорлари куйидагича булади:
Ai(Q) = alt A2(Q) — aLa2 — aoag, A3(Q) = a3Aa(Q) — a2ai ,
Aj,(Q) =; a^Q) — a5a2 A2(Q) — a0a5 (aiai — a0a6),
AeCQ) —a5^(Q)- 4
Бу минорларнинг мусбатлигидан (a0>0)
a0>9, at>0, a2>0, a32>0, a4>0, a5>0,
a^y^ — аоа^ — а2а± 4* «оа1а5 > 0,
(ауа2а2— а0а2—afa4 4- а0а^5)а3—ай(а}а2—аоа^— а0а2а3 4- О
тенгсизликлар келиб читали.
2. Ечим модулининг баэрси. Бизга п- тартибли чизикли узгармас
коэффициентам бир жинсли L(p)z =s 0 дифференциал тенглама бе-
рилган булсин. Бу тенглама характеристик тенгламаси Цр) =а О
нинг барча илдизлари
4- iv.t / _ 1,2, • • •, т, п
куринишда ёзилган булсин. Унда баъзи v. лар нолга тенг булиши
мумкин, ш</г булганда эса каррали илдизлар >рм мазжуд булади.
^\амма ^олда х.ам п та чизикли эркли ечимни, яъни фундаментал
системани топиш мумкин. Шу н та ечимни г4, ?,,•••, zn деб бел-
гилаймиз. У ^олда умумий ечим <p(t) =*0^ 4- C.2z2 4- [-Crtzn ка-
би ёзилади.
11.4- теорема. Агар L (р) купхад туррун булса, шундай мус-
бат. а топиладики, ушбу
р,< —a, j = 1,2 . . . , т (П.8)
тенгсизлик уринли булади-, шу билан бирга бу \олда Цр)г=яО
тенгламанинг \ар бир ечима учун шундай мусба'П сон М тэпи-
ладики, ечимнинг мэдули учун ушбу
|(р(О|<Ме-а', t >0 (П-9)
тенгсизлик уринли булади.
Исбот. Аввал (6.15) функциялар системасидан олинган ихтиё-
рий zs, s— 1,2......п ечим учун „(11.9) формулани исботлаймиз.
^а^и^атан,
S
ечимни олайлик. Бу формуланинг икки томонини е at га буламиз:
e~at
= tre( х 1+а)/ = tre t+lvi *+“* = tre(Vi + K)* e ivl * •
Энди ] e‘v/ * | = 1 булгани учун ушбу муносабатга эгамиз:
Л
+«К
Аммо (11.8) га кура ри+ а<0. Шунинг учун Лопиталь цоидасишг
кетма-кет цуллансак:
V , (в>.. tr .. г! „
limtre = lim —= lim -------------------——-=0.
/-+«, • ^+оо e~(MJ +“>* ^+oo (—1)Х/е-(М/+ ’
Бундан /re(Mi+a,z функция t >0 булганда чегараланганлиги келиб
чицади. Шундай цилиб,
|тя ,>0
ёки '
К | < М e~at, t > О
деб ёзиш мумкин. Бу бацодан фойдаланиб, <p(Z) ечимнинг модулини
бацолаймиз. Равшанки,
|<Р(О I |G| |zj + |С2| |г2| + . . . + |С„| \zn I cflcjМг + |С21 < • • • Н
+ lcJ4KC'= Me~at-
Демак, булганда (11.9) тенгсизлик уринли. Бундан куринадики
q(/) ечимнинг модули экспоненциал функция буйича нолга интилади
11.5- 1 еорема. Бизга чизицли бир жинсли узгармас коэффи-
циентли система х — Ах берилган булиб, ф(/,£) вектор функция
унинг 0, £ бошлангич цишматларга эга булган ечими булсин. Агар
А матрицанинг барча хос сонлари дланфий хациций цисмларга эга
булса, у холда шундай 'Мусбат г на а сонлар топиладики, ушбу
|Ф(/Л)|с/-|?Ка', (11.Ю)
тенгсизлик уринли булади.
Исбот. Ушбу А — (а^), L (р) = (а^ р8^ белгилашларни ки-
п
ритсак, берилган системани Ltj (pyXj = 0, i = 1, 2, ... , п каби
/=1
ёзиш мумкин булади. Агар D (р) деб L (р) матрицанинг детерминан-
тини белгиласак, 9- бобдаги мулоцазалардан маълумки,
п
i=l
тенглик уринли. Бундан:
° = 2 2 Мм (р) La (р) xi = 2 D (р) xi=D (p) хь-
,=i i=i i=i
Демак, агар x = (xlf . . . , хп)” системанинг бирор ечими булса,
у цолда цар бир хр £=1,2.........п ушбу D (р) х, = 0 тенглама-
нинг ечими булади. D(p) купцад шарт буйича тургун. Шунинг учун
цар бир x.t учун | х. | R е ~at, t > 0, i — 1, 2, ... , п, R > 0, а > 0
тенгсизликка эгамиз. Бундан [ х | < У п R e~at, t > 0.
Энди ef=(0, ... , 1......0)—бирлик-вектор булиб, £-урин-
..дагидан бошца координаталари нолга тенг. ф(/) (t)— берилган систе-
манинг (0) = е., £=1,2, ... , п шартни каноатлантирадиган
-ечими булсин. Бу цолда ф (/, £) функция цуйидагича
ш = 2 (о
t=i
ёзилади. ^ар бир ф(1) (£) функция учун юцорида |ф ll> (t) | < R Упе~а(
тенгсизлик исботланган эди. Шу сабабли, [ф (7, £) | учун бацо чица-
риш мумкин. Равшанки, ф(/, |) ни бундай ёзса булади:
w, g)= + ... + •:
(о J
Бундан:
/'/ n \*2 / n ~ Ta
IW 5)1= V 2 Ел‘.'’(0 + • • • + 2 <
\i=l / \i=I /
Л / n V2 / n
«У SlMi’tf’wi + + 2i5JW(0i •
\Z=-1 / v=i /
(n 2
2 |sjlФ//’ (0 I j ифодани алоцида бацолаймиз. Содда цисоб-
<=1 /
лашлар курсатадики,
бунда 2' йигиндида i j. Энди 5ацолашни]давом эттирамиз. Бунинг
учун аЬ < -^-(н2 + Ь2) тенгсизликдан фойдаланиб,
П \2 / п \
2|^1Юо| <(я2е~“) 21Ш +
1=1 / \1=1 /
+ 2 R2 e~2ai (2 2 R‘ |2*llf|2l + 1) I g |2Я2е-2а'
\«=i /=1 /
тенгсизликни косил киламиз. Энди ф (£,£)[ учун куйидаги тенгсиз-
лик келиб чикади:
K(U)|
—2а/
Демак, (11.10) тенгсизлик исботланди, унда г = + 1)/?-
Теорема исбот булди. Куринадики, ф (t, g) ечимнинг модули t > 0
булганда чегараланган ва lim j ф (t, |) I — 0, бунда нолга интилищ
/—►-{- оо
экспоненциал ^функция буйича булади.
Эслатма. Агар L(p)z=s\) (L(p) — n- rmpmafyui чизикли тенгламанинг ёки
системанинг характеристик , кдп.^ади) тенгламанинг характеристик Kt}n%adu
1) биттасининг уащщий ^исми ноль, ^олганлараники манфий бдлган илдизларга
эга брлса, у %олда ихтиёрий <р (/) ечимнинг модули t >0 булганда чегараланган
булади; 2) агар бирорта илдизнинг уацшуш цисми и,,- > 0 булса, у %олда тенгла-
t J
манинг I —>• -|- оо да чексизга интиладиган е 1 ечими мавжуд бдлади.
3-§. МУВОЗАНАТ КОЛАТИНИНГ ТУРРУНЛИГИ. ЛЯПУНОВ —
ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМАСИ
1. Ляпунов маъносида тургунлик ва тургунмаслик. (10.2) систе-
мада/Дх!.......хп), ... , fn(xlt , хп) функциялар колат фа-
зосининг бирор очик Dn тупламида аникланган, ва биринчи тартибли
хусусий ^осилаларн билан узлуксиз деб цараймиз. Тургунлик бел-
гиларини баён этиигда эса катто иккинчи'тартибли хусусий ^осила-
ларнинг узлуксизлиги кам талаб этилади.
Dn тупламдан олинган а ’=» (аь . . . , а„) ну^та (10.2) система-
нинг мувозанат трлати булсин, демак, f (а) == 0 вектьр тенглик
уринли. Шу а нуктанинг тургунлигини суз билан тушунтирайлик:
агар J = 0 моментда (10.2) системанинг a, afzDn нуктага етарли
я^ин нуктадан чикадиган ечими узининг бутун кейинги узгариши
давомида, яъни t нинг барча t^>0 ки™атлаРВДа шу а нуктага
якинлигича колса, у колДа мувозанат колати а ни тургун деб аташ
лозим.
Кейинги мулоказаларимизда 0, g, g = (§г, . . . , £п)‘ бошлангич
Кийматларга эга булган ечимни ср (t, £j) деб белгилаймиз. Албатта,
мувозанат нуктаси а нинг атрофидаги ечимлар текишрилиши тур-
гунликнинг аник таърифи учун керак. Шунинг учун шубкасиз,
деб танланади. Демак,' ср (t, |) вектор-функция учун ушбу
^^Sf(cp(^g)),
Ul
<P(O, £) = £
(11.11)
муносабатлар уринли.
11.2 -таъриф. Агар 1) шундай сон р>0 мавжуд булсаки,
11 — а | < р булганда {10.3) вектор-тенгламанинг <р (t, g) ечими t нинг
барча мусбат цийматларида аницланган булса, 2) хар бир мусбат
сон е>0 учун шундай мусбат д, д<Р топилсаки, ft, —а\<28 бул-
ганда t нинг барча мусбат цийматлари учун | <р (t, g) — а (< е тенг-
сизлик бажарилса, у холда (10.3) вектор-тенгламанинг мувозанат
Цолати а Ляпунов маъносида турсун дейилади.
Агар Ляпунов маъносида тургун булган мувозанат цолати а учун
3) шундай мусбат сон о,о<р мавжуд булсаки, |g — бул-
ганда ушбу
lim [<р (t, Q —а ] = 0
/ > f-oo
муносабат бажарилса, у цолда (10.3) вектор-тенгламанинг мувозанат
цолати а асимптотик турсун дейилади.
|<р(/, £)—п|<е тенгсизликни координаталар билан ёзсак,
]/A(<Pi(^ S) — «г)I 2 + + (<Р„ (t, g) — ап)2 <е тенгсизликка эга бу-
ламиз. Бунга эквивалент п та
. k, е k г
, ... , |<р„М) — ап\<-~,
V п У п
п
= п, k. > 0, i = 1, 2, . . , п
i=\
тенгсизликни ёзишимиз мумкин. Агар шу тенгсизликлардан камида
биттаси уринли булмаса, тегишли <р(£, £) вектор-ечим Ляпунов маъ-
носида турсунмас дейилади. Бунга миссл цилиб, цолат текислиги-
даги эгар картасини келтириш мумкин.
Энди п- тартибли чизицли бир жинсли автоном системани слай-
лик. Маълумки, агар А матрицанинг хсс сснлари манфий хациций
цисмларга эга булса, у цолда 0, £ бошлангич цийматларга эга бул-
ган ф(/, I) ечим учун (11.10) тенгсизлик уринли. Чизицли бир жинс-
лик систем ада a — Q булади. Шунинг учун е— бирор мусбат сон
булса, 6 = — деб олиш мумкин. Бу >;олда |£|< — булганда
Г г
I <р (^,£) ]^r ] £| e~at<Zr-— e~at <е, чунки e~at<Z 1, ct>0, />0. Де-
г
мак, чизицли бир жинсли автоном система учун а = 0 нуцта Ляпу-
нов ’ маъносида тургун. Бундан ташцари, (11.10) тенгсизликка кура о
деб ихтиёрий кичик мусбат сонпи олинса цам lim I<р(t, Е)| = 0 тенг-
со
ликка эгамиз. Демак, а = 0 нуцта Ляпунов маъносида асимптотик
тургун.
п- тартибли чизицли узгармас коэффициентли дифференциал тенг-
ламанинг тривиал ечимини хам тургунликка текшириш мумкин.
Бунинг учун тенгламани каноник узгарувчилар ёрдамида автоном
системага келтирилади. Сунгра координата бэшидаи иборат булган
((лд,4. . . , хп) лар фззосида) мувозанат долатининг тургунлиги тек-
ширилади. Бунда jij<0, j = 1, 2, ... , т тенгсизликлар уринли
булганда яна (11.10) тенгсизлиги уринли булади ва асимптотик тур-
гунлик келиб чикади.
Юдорида айтганимиздек, агар А матрицанинг бирор хос сонининг
дадидий дисми нолга тенг булиб, долганлариники манфий булса, у
долда мувозанат долат Ляпунов маъносида тургун булади. Аммо у
асимптотик тургун булмайди. Агар бирор хос соннинг дадидий дис-
ми мусбат булса, мувозанат долат тургун була олмайди. Шу муно-
сабат _билан тургунмас мувозанат долатининг таърифинп келтира-
миз.
11.3 - таъриф. Агарда шундай мусбат сон о мчвжуд булсаки,
(10.3) тенгламчиинг \ар бир ср (t, g) ечимсга мос траекторияси
ушбу |tj— а | <о шарнинг ну^тисидан бошланиб, шу шар-
дан албатта чидса ва унга бэшда дайтиб келмаса (бошдача айтган-
да, шундай мусбат сон Т = Т (1) топилсаки, t = Т (1) булганда
ф(^, 1) ечим анидланган ва t нинг шу ечим анидланган tz>T дий-
матларида | ср (£, S) — а\ > а тенгсизликни даноатлантирса), у долда
(10.3) вектор-тенгламанинг мувозанат дэлати а бутунлай тур’гун-
тмас дейилади.
' Тургунмас мувозанат долати, умума£ айтганда, бутунлай тургун-
мас була олмайди.
Бутунлай тургунмас мувозанат долатига мисол дилиб, тургунмю
тугун нугрпани, тургунмас фокус нуцтани, тургунмис тугмг ту-
гун ва фокус нудталарни (даммаси текширилади) келтириш мумкин.
2. Автоном система ечимининг группалащ хоссаси.
11 .1-лемма. (10.3) вектор-тенгламанинг 0, £ бошлангич ций-
матларга эга булган ср (t, £) ечим i учун ушбу
дф, ср (s,£))^ ср (s-НД) (11.12)
айният уринли булад i (бу ерда t, s- эркли узгарувчилар).
(11 .12) айният билан ифодаланган хосса автоном система ечи-
мининг группалаш хоссаси деб юритилади.
Исбот. Маълумки, g тайин нудта. Энди s ни дам тайинлаб,
п = ф($Л) (11.13)
деб белгилаймиз. (10.3) вектор-тенгламанинг ср (1) (I) — g> (t, ц) ечими-
ни курайтик. Леммада курсатилганидек, ср (t, S) вектор-функция
(10.3) тенгламанинг ечими. Шунинг учун (10.3) тенглама автоном
булганидан ср (t + s, S) функция дам ечим булади. Уни Ф(2)(0 деб
белгилаймиз. Шундай дилиб, (10.3) тенгламанинг иккита д>(1)(£)ва
Ф(2)(0 ечимларига эгамиз. Бу ечимлар умумий бошлангич диймат-
ларга эга, чунки
Ф(1) (0) =»Ф(0, ц) =т],
ф(2) (0) =5 ф(0 Ч-s, Ю =» т]
тенгликлар уринли. Демак, ягоналик теоремасига асосан <р<1) (t) =
= ф<2)(0 ва шу билан бирга (11.12) айният уринли. 11.1-лемма
исбот этилди.
3. Мусбат аникланган квадратик форманинг баъзи хоссалари.
п улчовли фазонинг узгарувчи векторини х = (хъ . . . , хп) дейлик.
Шу х векторнинг квадратик формаси деб ушбу
п п
1F (х) = 2 xi xi — ац — ^ЭДиций сонлар).
»=1 /=1
формула билан аникланган W (х) функцияга айтилади. Шубцасиз,
W (0) = 0 тенглик уринли. х Ф 0 булганда квадратик форма аниц
мусбат ёки аниц манфий ишорали булиш цоллари муцимдир.
Агар ихтиёрий х^=0 учун И?(х)>»0 булса, квадратик форма
W (х) 'Мусбат аникланган дейилади. Мусбат аникланган квадратик
форманинг кейинги мулохазаларда зарур булган хоссасини келти-
рамиз.
11.2-лемма. Ихтиёрий 'мусбат аникланган квадратик форма
учун шундай иккита 'мусбат р ва v сонларни топиш мумкинки,
исталган х вектори учун ушбу
р|х|2 <W(x) ^v|x|2 (И-14)
тенгсизликлар уринли булади.
Исбот. (11. 14) тенгсизликларни исботлаш учун
ui = i + ... +£2„*=i) (и.15)
бирлик сферани олиб, W (Е) функцияни шу сферада курамиз. W (Е)
функция (11.15) сферада узлуксиз ва мусбат аницланган, сферанинг
узи эса ёпиц чегараланган туплам. Шунинг учун W (Е) функция
(11.15) сферада узининг энг кичик р ва энг катта v кийматларига
эришади. Сферанинг барча % векторлари нолдан фаркли булгани учун
р ва v сонлар мусбатдир. Шу р ва v сонлар (11.14) тенгсизлик ба-
жарилиши учун изланган сонлар эканини исбот этамиз. Юцоридаги
мулоцазалардан
(11.16)
тенгсизликлар келиб чикади, унда р>0, v>"0. Шу сферанинг век-
тори ёрдамида х = X £ векторни тузамиз, унда X — ихтиёрий цаци-
ций сон. Равшанки, |х| = |Х£| = |Х||£| = |Х|. Энди (11.16) тенгсиз-
ликларни X2 га купайтирамиз:
рХ2 s£X2 №(Е) <X2v,
бундан
р |х |2 Х2№
X
г
ёки W
— — W (х) тенглик уринли
X2
булганидан излангаи (11.14)
тенгсизликлар келиб чикади. Шундай цилиб, (11.14) тенгсизликлар
исбот этилади.
4. Ляпунов функцияси квадратик форма сифатида. Эслатиб ута-
мизки, агар очиц Dn тупламда бирор дифференциалланувчи F (хг,
. . . , хп) функция берилган булса, бу функциядан (10.2) системага
кура t буйича цосила цуйидагича аницланади. (10.2) системаиинг
<Р (/0) = х бошлангич шартни цаноатлантирадиган ечимини ср (t) дей-
лик. (Ю.2) системага кура F(I0 2) (х) цосила
п
S F <’т Ь-'. ёки Г<w = 2 ’ fl w
формула билан аницланади.
Энди
п
xi = 2 anxj’ i = 1,2, ..., п (11.17)
7=1
чизицли бир жинсли нормал система берилган булсин.
11.3-лемма. Агар (11.17) система матрицасининг барча хос
сонлари манфий Цациций щ смларга эга булса, у %олда шундай 'мус-
бат аницланган квадратик форма W (х) маежудки, бу форм тинг
(11.17) системага кура t буйича Хфсиласи ушбу
(ц-is)
тенгсизликни цаноатлантиради, унда х- ихтиёрий вектор, р~ мус-
бат ва х га бог лиц булмаган Хациций сон.
Исбот. Лемманинг исботи тегишли шартларии каноатлантирадц-
ган формани цуришдан иборат. (11.17) системаиинг 0, £ бошлангич
цийматларга эга булган ечимини ф(^, Е) дейлик. У цолда 11.5-тео-
ремадан маълумки, ф (t, Е) ни бундай ёзса булади:
п
Ш) = 2 (11.19)
/=1
бунда ф(<) (I) вектсри 11.5-теоремада цурилган вектор.
Ушбу
[|ф(т, Е)|2</т (Ц.20)
о
хосмас интегрални курайлик. Унинг яцинлашувчи эканини курсата-
миз. (11.19) мунссабатдан фойдаланиб, (11.20) интегрални
П П ОО
2 2 М/(ФД'г)>'Ф/(т))^ (И.21)
i=l i=1 о
куринишда ёзиш мумкин. Хар бир фА (т), k = 1, 2, ... , п функция
11.5- теоремага кура |фА (т) | ]/ п Re~r,t (t 0) тенгсизликни ца-
ноатлантиргани учун (11.21) ифодадаги ^ар бир хосмас интеграл
ядинлашувчи. Демак, (11.20) хосмас интеграл ^ам якинлашувчи. Уни
W (Е) билан белгилайлик.
Г(ё)= f | ф (т, £) |2 rf т. (11.22)
о
IF (£) функция (11.21) га кура Е1Г ... узгарувчиларнинг квад-
ратик формасидир. Шу квадратик форма мусбат аникланган, чунки
(11.22) формулада интеграл остидаги ифода Е¥=0 учун мусбат.
Демак, U7(|)>0. Энди ушбу 1Г(1117) (Е) ^осилани ^исоблаймиз. Ав-
вал №(ф(^Д)) 'функцияни курамиз. У ^уйидагича анш^ланади:
Еруппалаш хоссасига кура
^(Ф(ТЛ)) = J |ф(* +т, У|Мт= \ ]ф(т, Е)|2сД.
о t
Равшанки, W (ф (t, Е)) |/=0 = W (ф (0, Е)) = W (Е). Шунинг учун
оо
^(11.,7) ® = ('> к=0 = £ -Г । \2^ 1=0 =
= НШШ=о = -1£|2-
Демак,
(11.14) тенгсизликлардан иккинчисини оламиз:
бундан------ W (Е) > — I Е |2- Шундай цилиб,
V
Демак, (11.18) тенгсизлик IF (Е). олдида 0 = — коэффициент билан
V
бажарилади.
5. Ляпунов — Пуанкаре теоремаси (1-метод). Биз цуйида келти-
радиган теорема мувозанат ^олат*ининг асимптотик тургун булиши
^а^ида булиб, у етарли шартни беради. Купинча бу теоремада тав-
еия этиладиган методни биринчи я^инлашиш буйича тургунлик ёки
Ляпуно: —Пуанкаренине биринчи жтоди деб юритилади. Мазкур
метод автоном системалар учун баён этилади.
Бизга (10.2) автоном система берилган булиб, а — (аг......ап)
унинг мувозанат ну^таси булсин. Ушбу
xi ~ ai "Ь Ун i = 1, 2, . . . , n (11.23)
354
алмаштириш ёрдамида янги ух, у2, ... , уп номаълум функцияларни
киритамиз. Равшанки, х. = у.. Энди (10.2) системанинг унг томони-
да ^ам (11.23) алмаштириш бажариб, ^ар бир Щх^ ... , хп) функ-
цияни а нуцта атрофида Тейлор катсрига ёйсак, цуйидагига эга бу-
ламиз:
X? df.- (а)
М« + У) = 1}(а)+ У} + Ъ> i=\,2,...,n, (11.24)
j=i i
бунда /?. — янги ylr yn нсМаълумларга нисбатан иккинчи тар-
тибли кичик микдорлар. Фараз буйича, а нукта мувозанат нуктаси
булгани учун fz.(a) = 0. Шунинг учун xt = yt = fi (а + у) эканини
хисобга олиб (10.2) системани цуйидаги куринишда ёзамиз (янги
номаълум функциялар билан):
yt = Hi + l’ = 1> 2, • • • > п-
/=1 1
Агар
деб белгиласак, охирги системани бундай ёзиш мумкин:
п
»= 1, 2, ... , п. (11.26)
Агар (11.26) системада цолдиц ^адларни (R. ларни) тушириб дол-
дирсак, ^ссил булган ушбу
п
У1=У>ацУ)’ i=l,2,...,n (11.27)
1=1
система биринчи яцинлашиш системаси дейилади.
11.6- теорема (Ляпу нов—П уан каре теоремаси). Агар
А = (аг.) матрицанинг ((11.25) га царанг) барча хос сонлари ман-
фий уациций цисмларга зга булса, у %олда (10.2) системанинг 'му-
возанат цолати а асимптотик тургун булади; тулароц айтганда,
шундай сон о>0 мавжудки, | S — а|<о булганда ушбу
|<Р(^, £)-«| ^r\l~a\e~at (U.28)
(бунда г гас-—g га боглиц булмаган "мусбат сонлар) ’тенгсизлик
уринли булади.
Исбот. Мувозанат ^олати координата боши билан устма-уст
тушади, яъни а = 0 десак, умумийликка зид булмайди. Бунга са-
баб, у = z + а алмаштириш х = а мувозанат ^олатига z — 0 муво-
занат ^олатини мос цуяди ва ушбу
zi = fi(z+ a) = fi(a)+ S - (a) z. + 7?f, i = 1, 2......n
I=i i
система цосил булади. Бундан А матрица узгармагани куриниб ту-
рибди. Шундай цилиб (10.2) системаиинг мувозанат цолати а учун
а = 0 деб цисоблаймиз. Демак, (11.23) алма'птиришдан х( = ур i -~
== 1, 2.....п келиб чицади.
Шу сабабли (11.26) система
xt = ац xj + i=l, 2,..., п (11.29)
j=i
куринишда ёзилади. Кейинги мулоцазаларни [назарда тутиб, Rt цол-
Дикнинг куринишини цам.ёзиб цуяйлик:
ЭД*)
dxj дх^
xixk
W(x) энди (11.27) чизицли бир жинсли нэрмал системаиинг Ля-
гунов функцияси булсин. Шу функциядан t буйича (11.29) система-
па кура цосила оламиз:
п п
auxi
SdW(x)
дх, R. =
VI dW(x)
ЙХ-
/?г.
Ц7(х) функция (11.18) тенгсизликни цаноатлантиради. Шунинг
учун ушбуга эгамиз:
< -₽W)+^^L R,.
t=l ‘
Энди (11.14) тенгсизликка кура, шундай кичик мавжудки,
W(x)^b (11.30)
тенгсизликни цаноатлантирадиган [вектор х^Рп. Шу W(x) b тенг-
сизлик Dn тупламда эллипсоидни тасвирлайди, бу аналитик геомет-
риядан маълум. Юцорида Rt учун ёзилган[формула буйича Rt функ-
ция квадратик формадан иборат. Яна (11.14) тенгсизликка кура
1/?.| /г|№| — W(x), &=const
р
в3 |\| j/^J- Ц7(х) тенгсизликка асосан чизицли формадан иборат
булган учун ушбу
аг(х)[ ,-------
-Q~-1^/| U7(x), /= const
тенгсизлик уринли. Шундай дилиб, шундай мусбат сон q мавжуд-
ки, (11.30) тенгсизлик бажарилганда дуйицагига эгамиз:
г=1
Шундай мусбат сон с ни Етанлаймизки, ушбу тенгсизликлар уринли
булсин:
С < О, <7J/ с < —•
Шу белгцлар ва юдоридаги бадолар ёрдамида шуни топамиз:
V.29) W < -IW) + х)]а/‘ = F(x) ]-0+7VWT] <
<IF(x)[-0 + <7/F] ^W(x) [-₽ +
яъни агар
W(x)^c (11.31)
тенгсизлик бажарилса, дуйидаги
^(11.29) W <—
тенгсизлик уринли булади. а = демак, (11.31) тенгсизлик уринли
булганда
^(и.29)^) <-2аГ(х)
тенгсизлик дам бажарилади.
Энди £ (11.31) эллипсоиднииг ихтиёрий инки, нудтаси булсин,
яъни £ нудта учун
Г©<с (11.32)
тенгсизлик бажарилади.
(11.29) системанинг 0, g бошлангич дийматларга эга булган
ечимини <р(/, S) ва IF(<p(Z, £)) ни эса <в(/) деб белгилаймиз. Бу <в(^)
функция t нинг t > 0 тенгсизликни даноатлантирадиган ва <р(/,£)
ечим анидланган барча дийматларида анидланган булиб,
®(0<с (11.33)
тенгсизлик бажарилганда, <в(0 нинг досиласи учун ушбу
<»(/)<—2а<й(^) (11.34)
тенгсизлик дам бажарилади. >^озир <р(/, £) ечим барча t > 0 учун
анидланганини исботлаймиз. Фараз дилайлик, <р(/,£) функция t нинг
барча мусбат кийматларида аникланган булмасин. У ^олда x—qftjz,)
ну^та t нинг ортиб бориши билан (11.31) эллипсонддан албатта чи-
киб кетади ([1] 24-§. Б пунктга каранг). Тегишли нукта ( 11.31)
эллипсоиднинг чегарасига биринчи марта келган коментини t',
дейлик. Шунга кура интервалда q(A S) нукта (11.31) эл-
липссидга тегишли ва (11.34) тенгсизлик уринли булади. Бундан
о(()<0 чикади. Демск, с=и(1') sS со(О) <с га эгамиз. Бу эса.зид-
дият. Шундай килиб, о-(7) функция t нинг мусбат булган киймат-
ларида аникланган. Агар Е=^0 булса, сс(/)>0 булади, чунки
^(ф(^Л)) >0, агар <[(/,£)#= 0 булса, маълумки, q(O,E) = t(^=O да),
<( (-, ?)¥=?, £/-=0. Демак, фанат Е=0 булгандап.на lF(q(Z,E))=O були-
ши мумкин ва £ 0 да со(/)>О. Шунинг учун куйидаги содда ^исоб-
лашларни амалга оширамиз.
— 2а; 2at, t>0,
со(/)
о
Inco(^) —lnce(O) —at
ёки
In Г(<р,(Е)) — In W) — 2ctf
ёки
W(A?)) <lF(E)e“2W.
Энди (H-14) дан x=q(^,F.) булганда р|<р(/, S)|2 < q(A?,)) на x—
e= g булганда U7(E) vj^|2 эканлиги чикади. Шунга кура 1Г(с)<е
булганда цуйидагига эгамиз:
Н| ср(^ 5),2 W(t)e~2al х| -|2а-2а'
ёки
)Ф(^)|2^Т< e~2at (11.35)
Яна (11.14) тенгсизликдан
|£|<o=]/Z (11.36)
муносабат уринли булганда (11.32) тенгсизлик келиб чикади. Шун-
дай цилиб, агар (11.36) муносабат уринли булса, у ^олда (11.35)
тенгсизлик уринли булади. Шу (11.35) нинг икки [томонидан квад-
рат илдиз олсак,
|Ф(^Л)1^ t>0. (11.28)
Шу) билан а = О, УчУн (11.28) тенгсизлик ва демак, Ля-
пунов—Пуанкаре теоремаси исбот булди.
df; {a) i
1 1.7- теорема. Агар A — -g—j матрицанинг барча хос сон-
лари мусбат \ациций цисмгарга эга булса, у Ушолда (10.2) сис-
темтчичг музозачап ^очатч, а бутунлай турсунмас булади.
Исбот. Аввалги теоремадаги каби а—0 деймиз. (10.2) система
билан бирга ушбу
x=—f(x)
(11.37)
вектор-тенгламани курамиз. Бу тенглама учун .\ам а=0 мувозанат
^олати булади. 11.6-теоремадаги мулэ^азаларга кура щу (11.37)
тенглама учун ^ам Ляпунов функцияси мавжуд ва W(x) ^с тенг-
сизлик бажарилганда
^1.37) W<-2alF(x)
•муносабат уринли,- Бундан:
п
^п.зт,« = У < -2«U7(r)
ёки
^(10.2) (х) >2аИ7(х); (агар W(x) булса). t
Энди £—(11.31) эллипсоиднинг ички нуцтаси булсин. со(О =417(ф(/,£))
дейлик. Бу о^олда со(0 функция
<о(/) >2 асе (/) (агар со(0,<с булса) (11.38)
тенгсизликни даноатлактиради. W=0 булганда со(х) 0. Шунинг
учун цуйидаги ^исоблалларни бажарищ мумкин:
. t .
^3>2а, (^-^>2’а/,^>0,
0(0 io(0 1
о
оХО: co(O)a2“z, W(y(t,
Охирги тенгсизликдан куринадики, t нинг усини билан x=s<p(O£)
нуцта (11.31) элипсоидцан албатга чициб кетади. Шу нуцта эллип-
соидга бэшца цайтиб келмаолигини исботлаймиз. Тескарисини фараз
этамиз. Шундай мусбат Г >0 топнладики, со(/')=с ва етарли ки-
чик мусбат At лар учун со(О + АО <с муносабатлар уринли булсин.
Лекин бу муносабатлардан «(/') sC 0 экани келиб чикади. Топил-
ган тенгсизлик (11.38) га зид. ((11.38) тенгсизлик t=t' да тугри,
чунки со(О) с). Шундай ^илиб, (11.31) эллипсоиднинг ички х=*
нуктасидан бошланадиган траектория х =: g>(f,tj) вадти билан щу
эллипсоиддан албатта чикиб, сунгра унга бодца кайтиб кэлмайди.
Ушбу W(x) < v|x|2 ва |£| <; о = j/"тенгсизликлардан W(%) <; с ке-
либ чикади. Демак, |^<q шар 1Г(т)^с эллипсоид ичида ётиши
курсатилди. Шундай килиб, бутунлай тургунмаслик таърифига кура
теореманинг исботи якунланди.
[дР (а)\
11 .8-теорем а. Агар А = 1 д I 'матрица хос сонлари ичида.
ка'мида биттаси 'мусбат ^акаций кисмга эга булса, у Холда муво-
занат цолати турсуамас булади.
Исботи юцоридаги икки теореманинг исботига ухшаш.
Мисол. Математик маятник тенгламасини, яъни ушбу
/ф -J- g sin ф = О
тенгламани ёки каноник узгарувчиларда
Фг = <Ps>
g .
Фа = —у sincpj
(11.1>
(11.2>
системани курайлик. Бу автоном системанинг мувозанат холатлари (0,0), (/.’Я,0)
(k — бутун сон) нуцталардан иборат булиб, санокуи тС/пламни ташкил этади. k
нинг жхфт кийматларига маятникнинг их ни холата, k нинг ток кийматларига эса
юкори хрлати мос келади (67- чизма). Бу нукталариииг тургун ёки тургунмаслиги-
ни текшириш учун фа цат иккитасини, яъни с(’) = (0,0) ва = (я,0) нукталарни
текшириш етарли. Аввал а0) = (0,0) нудтани слайлнк- Рос биринчи якиилашвш
системаси
Ф1 =ф2,
g
Фг — Ф1
(11.2'>
/ 0 Г
0
k I
куринишда булиб, А = (а^) =
, Бу матрицанинг хос сонлари =
= ?.2 = — КУРинаДИки, хос сопларнииг дающий кисмлари нолга
тенг. Бундан (0, 0) нукта (11.2) система учун Ляпунов маъносида асимптотик тур-
гун эмас. Аммо маятникнинг кичик тебранишлари учун sin фх - фх ва бу цолда
(0,0) нукта тургун булади, чунки (11.2') учун фг(/)—— Л ! / —cos 1/£ Н-а\
' _ I g г I J
Ф2(/) = A sin' S- t -фа (А > 0, а—-ихтиёрий узгармаслар) ва модул |ф(/)' че-
гараланган. Шунга ухшаш а(2' = (л,0) нуцтага мос биринчи якинлашиш системаси
Ч-Т — Фз
g
Фг = — Ф1
Хос сонлар Zj =
Хос сонлардан бири мусбат булгани учун (л, 0) нукта (11.2) система учун
Ляпунов маъносида тургунмас (11.8 теоремага каранг)
6. Ечимнинг тургунлиги. Визга (10.2) автоном система берилган
булиб, <р(/,£) функция шу системанинг <р(0, Е) = £ шартни цаноат-
лантирадиган ечими булсин.
11.4-таъриф. Агар ихти~рий е>0 учун шундай 6>-0 мавжуд
буле аки, 1) |т)—1] < <5 тенгсизликни к^аноатлантир-увчи г] лар учун
<р(/,г]) ечим барча £>0 лар учун аникланган-, 2) <p(/,g)— <р(^,т])!<е
тенгсизлик барча t^O лар учун уринли булса, у %олда (10.2)
системанинг <р(£Л) ечимь Ляпунов мчъчосида тургун дейилади.
Акс %олда тегишли ечим турсунмгс дейилади.
Агар И. 4-таърифдаги 1) ва 2) шартлар билан бирга яна ушбу
шарт бажарилса, яъни 3) шундай кичик о>9, о<б топилсаки,
|ц—булганда ушбу lira <р(/ Е)—ср(/, т])| = 0 муносабат уринли
булса, у ^олда (10.2) системами ir <р(/Л) ечими асимгтотик тур-
гун дейилади. Тургунмас ечимлар учун ушбу
у П у П
'^k2.=n, /?.>0, 1=1, . . ,п
t=i
тенгсизликлардан камида бигтази бажаэилмтйди. Агар бу тенгсиз-
ликлар бир вакртда бажарилмаеа, (Ю.2) системанинг q(t, £) ечими
бутунлай тургунмас дейилади.
Ечимнинг тургунлигини текнириш масаласи автономмас система
мувозанат .уматининг тургунлигини текширишга келтирилиши мум-
кин. ^а^и^атан, (10.2) системанинг бирор ечимини олайлик. Уша
систем ада
y = x-^t,l) (11.39)
алма цтиришни бажарамиз. Равшанки, (11.39) дан х = ср(£,£) бул-
ганда у^А келиб чикади. Алмаштириш (10.2) системани куйидаги
(Н.40)
тенгламага олиб келади. Бу вектор-тенглама учун г/=0 ечим (му-
возанат уэлати). Фа^ат эслатиб утамизки, биз мувозанат уэлати ту-
шунчасини азтоном системалар учун киритган эдик. (11.40) тенг-
лама эса автоном эмас. Аммо
У = P(.t,y)
(Н.41)
куринишдаги тенгламалар учун .\ам у нинг F(t,y) функцияни
нолга айлантирадиган цийматлари мувозанат уплати дейилади.
Агар t ни параметр -деб царалса, ечимнинг графигини (уи . . . ,уп)
узгарувчилар фазосида урганилади. Бунда тегишли ечимнинг графи-
ги (11.41) тенгла.манинг траекторияси, (у„ . . . ,уп) узгарувчилар
фазоси R4 эса ?^олатлар фазоси деб юритилади.
7. Автонсммас система ечимининг тургунлиги. Ечимни давсрд
эттириш масаласи. Визга (11.41) вектср-тснгл ама берилган булиб,
F(t,y) функция Рп+1 сохада ечвьнинг магжудлиги на ягоналиги х,а-
к ид аг и тсоремалардан бирсртасининг шартларини гаисатлантирсцц
дейлик.
11.5-таъриф. Агар t—t0 да бсшлантич г/.(/0) = у^, i=l,2. . ,,п
цийматлар берилган булиб, (11.41) тенгламанинг бирор y=q(t)
(0^t<ioo) ечими учун ихтиёрий t >-0 берилганда ^см шундай
6(e,f0) топилсаки, (11.41) тенгламанинг башка ихтиёрий y=^^(t)r
t^>t0 ечими учун
k(Q — Wi<s
тенгсизлик бсжа(илганда барча t ^t0 ларда
|ф(0 <е
тенгсизлик бажарилса, у %слда у — <[(1) ечим Ляпунов маъносида
тургун дейилади. Агар б>0 сен t0 га боглкц булмаса, у = q (О
ечим текис тургун дейилади.
1 1.6-таъриф. Агар у = ц(1) счгм тургун бшшб, ундан. таш-
уари шундай 6с>0 сон маежуд булсаки, ихтиёрий бошца у = ф(0
ечим учун
|t(U-W<M
тенгсизлик бажарилганда^
lim |q(/j—ф(0; = 0
t—>4-00
булса, у=ц(б) ечим Ляпунов маънса да act мптстик тургун де-
йилади. Агар у = q (/) ет м тургун булмаса, у тургунмас дейилади.
(11.41) системаиинг у — q(/) ечимининг тургунлигини текшириш
масаласи бирор бошка системаиинг трнвиал ечимининг тургунлигини
текширишга келтирилади. .Жук ладан, (10.2) системаиинг q(^,E) ечи-
мини текшириш (11.40) тенгламанинг г/=0 ечимини текширишга
(11.39) а маштириш ёрдамида келтирилади. Шу (11.39) алмаштп-
риш (11.41) тенгламага хам кулланильши мул кин.
1 - бобда ечимни даном эттириш на давомсиз ечимлар хацпдаги
масала биринчи тартибли ди^ферсниг.ал тенглама учун курилган
эди. Нормал (автономь ас ёки автоном) системалар учун хам ечим-
ни давом эттириш тушунчаси худди шунга ухшаш киритнлади. Чу-
нончи, f/=q(O функция (11.41) тенгламанинг 1Г интервалда аниц-
ланган, y—xp(t) функция эса уша тенгламанинг Is интервалда аннц-
ланган ечими булсин. Агар I ^lt булиб, у = ф(/) ечим /г интер-
валда у=ц(Р) ечим билан устма-уст тушеа, у цолда у = ф(^) ечим
y = ечимнинг даесми дейилади. Агар р/ = ф(^), /£/ ечим учун
унинг давомидан иборат булган хеч цандай ечим мавжуд булмаса,
у холда шу г/=ф(/) ечим дассмсиз дейилади.
^ар бир ечим ягона давомсиз ечимгача даисм эттирилгши мум-
кин. Бу тасдикнинг исботи 1-бсбда битта тенглама учун олиббо-
рилган исботдан фарк килмагани учун биз уни келтириб утирмай-
миз. Аммо цуйидаги ечимни давом эттириш мумкин булишининг
етарли шартларидая бирин и берувчи лемма келтирамиз.
11 .4-лемма (Филиппов леммаси). Бизга (\\А\)вектор-
тенглама берилган булиб, унда t£T = (TL, Тй) (ихтиёрий чекли
интервал), y^R? ва
{У, F(t, у)) < С (1 4-1/2), С> О-const (Ф)
булиб, y — (p(t, t0, х°) = ср (t) функция (11.41) тенгламанинг их-
тиёрий тайинланган ta, у° бошлангич циймятларга эга булган
ечими булса, у ~ q>(t) ечим бутун Т интервалда аницланган вк-
лада. ' ,
Исбот. (Ф) тенгсизлик А. Ф. Филиппов тгнгсизлиги деб юри-
тилади, унда (у, F (t, у) ирода у ва F (t, у) вектор паркинг скаляр
купаитмасичи англатади. Курсатиш цийин эмаски, агар |F (/, у\
+ !'/)> /г>0 = const тенгсизлик бажарилса, (Ф) тенгсизли-
ги ^ам 1 /г2'— С константа билля бажарилади. Эяди лемманинг
бевосита исботига утамиз. ip (/) = 1 + |ср (Z)|2, ip (/0) = 1 + |х°|2 = А
булсин. Содда мулодазалар ёрдамида цуйидагига эга буламиз:
^^=7/ [1 + 2фД0^ = 2(ф(Оф(0)=*
df. dt L J dt
i=l i=l
= 2(<p(0, F(t, (p(0)^2C-(14-|cp(0l2) = 2Cip(Z),
яъни ушбу
2Cip (0
dt
дифференциал тенгсизликка эга буламиз. Уни аввал t0 дан
/ (f0 < f TJ гача пнтеграллаймиз: ip(Z) sC Ae2C<t~t‘,> «4 Ае2С(Г’~io>,
супгра t дан t0 (Т) t < t0) гача пнтеграллаймиз: ip (Z)> Ае2С{‘~1°} >
Дг Ае2С<г,—/о). Шундай $илиб, Аг2С1Г1~/о) ip (^) ^ Аз2С<Г2—<о) тенг-
сизликларга эгамиз. Бундан ip (t) нинг ифодасига кура 1 4- |ф (0I2
функция ёки |ф(^)[2 функция, ни.ушт, |ф(0] модул чегараланган и
келиб чикади. Лемма исбот булди.
Куйида автономмас система ечими шнг тургунлигини текшиоиш -
га оид мисол курамиз.
Мисол. Ушбу
fxi = In (1 4- 2t — 2х) 4- Зх2 4- З/2 4- 1,
1 2
— Xj — 21х± — 2х1 — х2
системанинг xL = t, х2 == — t2 елями тургунликка текширилсин. Бунинг учун
(11.39) алмаштиришпи бажарамиз:
У1 = Xi — t, у2 = х2 4- t2.
Матижада г^уйидаги
11(1 = 1п(1 — 21/J 4" Зр2 (= А).
11/2 = yt — 2Уг — Уг (= /г)-
системага келамиз. Ляпуновнинг 1-методи буйича мулохаза юритамиз. Содда ^исоб-
лашлар курсатадики, бу системанинг (0, 0) мувозанат нудтасида
А матрица q_______j j куринишда булиб, унинг хос сонлари Z, = — 1 < 0, Х2 =
= — 2 < 0 лардан иборат. Демак, Ляпунов— Пуанкаре теоремасига к£ра (0, 0)
нукта асимптотик тургун булади. Бандан Сер глин сгстеманинг х2 = llt x.2 = — t2
ечими дам асимптотик тургун экани келиб чицади.
4-§. УАТТ БУБ МАШИНАСИНИНГ И1ЛЛАЦ1 ПРИНЦИПИ Х,ЛК,БДА
XVIII аср охирида инглиз инженери Уатт буг машинасини кашф
этди. Машина маълум режимда ишлар на машинанинг иши бу ре-
жимдан онишганда автоматик бсшкарнлар эди. Автоматик бошка-
ришни марказдан цочирма регулятор ёрдамида амалга сшприш
Уаттнинг мухим кашфнёти хисобланади.
Марказдан ксчирма регулятор ва унинг вшлаш принципи билан
танишампз.
Марказдан цочирма регулятор уз вертикал $ци атрсфида айлана
сладиган вертикал S стержендан иборат булиб, унинг кжори учига
иашина-У
синичг \
цилилдлс-
рога
68 - чизма.
лар эса уз вертикал ^слатлар]
^олда стерженлардаги хар бир
бир хил юкли иккита L± ва £2
стержень шарнир ёрдамида бирик-
тирилган. Бу ва L2 стержен-
лар яна цушимча шарнирлар би-
лан шундай богланганки, улар уз
вертикал холатидан бир вацтда
бир хил <р бурчакка огиши мум-
кин. Бунда ва L2 стерженлар
‘ доим вертикал текисликда харакат
цилдтилар. S стерженга Л1 муфта
кийгизилган булиб, ва £2 стер-
женлар уз вертикал ^олатидан ф
бурчакка огишганда бу муфтани
^аракатга келтиради. Шу муфтадан
S стерженнинг юцори учигача бул-
ган масофа cos ф га пропорцио-
нал. Lx ва L2 стерженлар узунли-
гини 1, уларнинг учига урнатил-
ган ^ар бир юкнинг массасини.
т деб белгилаймиз (68-чизма).
Агар S стержень 6 бурчак тез лик
билан айланса, ва /2 стержен-
1ан ф бурчакка огишган булса, у
окка марказдан цочирма
и О2 sin ф
(11.42)
куч ва
mg
(11.43)
огирлик кучи таъсир этади. (11.42) кучни ташкил этувчиларга аж-
ратамиз: улардан бири ср нинг усиш йуналишида булиб,
m62sin<pcoscp, (11.44)
(11.43) кучнинг уша йуналишдаги ташкил этувчиси
— mg sin ср
(11.45)
дан иборат булади. (11.44) ва (11.45) кучларнинг тенг таъсир
этувчиси
т625Шфсо8ф — mg sin ф (11.46)
куч экани равшан (69- чизма).
Марказдан кочирма регулятор
ишини соддалаштирилган ^олда
тушунтирсак, L± ва стержен-
лар S стерженнинг бурчак тез-
лиги 0 берилганда (11.42)ва (11.
43) кучлар .таъсири остида ушбу
т025Шфсо5ф—тфвШф =0 (11.47)
тенгламанинг 0 ср — интер-
69- чизма.
валда аникланган ечими ф бур-
чакка узгаради. Бошдача айтганда, (11.46) куч нолга тенглаштири-
лади.
т масса (11.46) куч таъсири сстида дифференциал тенглама
билан баён этиладиган харакат килади. Бунда т массага яна шар-
нирлардаги ишцаланиш кучи ^ам таъсир цилади. Соддалик учун бу
куч т массанинг ^аракат тезлиги ф! га пропорционал деб караймиз,
яъни уни — /ср, b = const деб белгилапмиз. Агар ср деб т масса-
нинг ^олатиии белгилайдиган ксординатани белгиласак, у ^олда
шу ф нинг узгариш конуни ушбу
тер = т О2 sin ф cos ср — mg sin ф — b ср
(11.48)
иккинчи тартибли чизицли булмаган дифференциал тенглама билан
ифода этилади.
Энди буг машинасининг ишини тушунтирайлик. Бу машина /
инерция моментига эга булган бугнинг кучи таъсирида айланма
харакатга келтириладиган гилдиракдан иборат. Шунинг учун буг
машинасининг дифференциал тенгламаси
Zco = P—Р (11.49)
куринишда ёзилиши.мумкин. Бунда со — гилдиракнинг айланиш бур-
чак тезлиги, Рх — буг таъсир кучи моменти, Р — гилдиракка у
айланищи натижасида кутариб берадиган (масалан, шахтадан) юк-
нинг таъсир кучи моменти. PY куч заслонканинг куп еки кам очи-
лишига боглиц.
Пар машинаси текис ишлаши учун унга марказдан цочирма
регулятор бириктирилади. Бу регулятор гилдиракнинг айланиш тез-
лиги ортиб кетса, заслонка тешигини кичрайтириб, буг беришни
камайтиради. Агар гилдирак тезлиги камайиб кетса, буг беришни
орттиради. Уатт буг машинасида автоматик бошкарищ принципа ан а
шундан иборат (68-чизма). Айтиб утамизки, гилдирак билан верти-
кал стержень S тишли уткаяеич ёрдамида бэгланган булиб, со ва
6 лар орасида
0 = /г со
(11.50)
(п — утказиш сони) муносабат мавжуд. Бундан таш^ари М муфта
заслонка билан бэгланган булиб, ушбу
. Ру = Fj ф- /г(cos ср—coscp*) (11.51)
муносабат бу богланишни ифодалайди. Унда ср* бурчак ср нинг
шундай «уртача» цийматаки, бошкарилаётган ср нинг ^иймати шу
ср* га якин цилиб са^ланиши лозим; F куч ср = ср* булганда Р куч-
нинг циймати, /г > 0 пропсрционаллик коэффициента.
Шундай дилиб, (11.51) муносабат регуляторнинг . буг машина-
сига таъсирини белгилайди: агар ср ортиб кетса, бугнинг берилиши
камайтирилади ва аксинча, ср камайиб кетса, бугнинг берилиши
орттирилади. Биз буг машинасининг регуляторга таъсири ва регуля-
торнинп, буг машинасига таъсирини ургандик. Натижада машина-
регулятор системаси ^осил булди. Энди шу системанинг
сини, унинг тургунлигини урганамиз.
(11.48)— (11.51) муносабатлардан машина-регулятор
ушбу
тер ='тп2 со2 sin ср cos ср — mg sin ср — Ь ср,
/со = /гcos ср— F
(бунда F = P — F1 + &coscp*) система билан ифэдаландди. Бу сис-
тема ф = ср алмаштириш ёрдамида цуйидаги норма л азтоном систе-
мага келади:
с •
Ф = Ф>
ф = и2 со2 sin ср cos ср — g sin ср - ф
т
k F
СО ; — CCS ср---- .
I I
Буг машинасининг тугри иши, яъни ма^садга мувофи^ режими
(стационар режими) шундан иборатки, бугни узатадиган заслонка
харакатсиз булади. Бэпщача айтганда ср = const булиб цолади. Ал-
батта, бунда Р кучи узгармай цолиши лозим. Агар Р кучи узгариб
турса, заслонканинг ^олати унга мос равишда узгариши лозим.
Шундай цилиб, (11.53) системанинг
динамика-
[системаси
(11.52)
(11.53)
ф = Фо. Фо = °. Ф = «о
(11.54)
I, куринишдаги ечимини излаш лозим. Аммо (11.54) миадорлар (11.53)
системанинг мувозанат ^олатини ифода этади. Демак, биз шу сис-
теманинг мувозанат ^олатини излашимиз лозим. (11.53) системанинг
унг томонини нолга тенглаштириб куйидагини топамиз:
% = О,
coscpo = у- ,
. <1L55)
cos<Po
Энди системанинг мувозанат ^олатини тургунликка текширайлик.
Шу мацсадда
ср = ср0 + А ф, ф = ф0 + А ф, со = (о0 + А со
алмаштириш бажарамиз. Содда хисоблашлар ёрдамида ушбу
А ср = Аф,
А ф = п2 (о^ cos 2 сррА-ср + «2 соо sin 2 ср0А(о — g cos ф0 Аф-- Аф,
т
•
А со = —- sin сррАср
системага келамиз. (11.55) мунссабатларнинг охиргисини бу систе-
манннг иккиьчисига куйсак, куйидаги биринчи якинлашиш систе-
маси ^ссил булади:
А ср = Аф,
Дя1)==^2!Фо. Aq|_ ±A,p+2gsin<P0 дИ(
coscpo т соо
.• k . . (11.56)
А со =----- sin фр Аср. ' '
Бу (11.56) системанинг характеристик купхадини топамиз:
~Р 1 0
g sin2 фо b 2 £Б1Пф0
D(P) = COS ф0 k . — у 81Пфр р т 0 Ыо — Р
Детерминантни очиб чициб ушбу га эга буламиз:
gsin4^p+ 2Agsin3<p0 .
т . cos <p0 1 coo
(11.57) купхаднинг'коэф фициентлари мусбат, демак, кущадлар тур-
Иунлигининг зарурий шарти бажарилади. Энди (11.57) кущад тур-
гун булиши учун (11.6) тенгсизлигининг баждрилиши етарли
булади. Курилаётган ^олда (11.6) тенгсизлик цуйидаги
й_ g sin2 ф0 > j _ 2 kg sin2 фр
т cos ф0
/ соо
ёки
Ы 2 k cos фо
т соо
2F
Ио
(11.58)
куринишда ёзилади. Шу (11.58) муносабат Ляпунов—Пуанкаре
теоремаси буйича машина- регулятор системаси тургунлигининг
етарли шартини ифодалайди.
Вишнеградский натижаларини баён этиш учун буг машинаси
юришининг нотекислиги тушунчасини киритамиз. Р кучининг узга-
риши билан (оо мицдорнинг узгаришини ^2- мицдор белгилайди.
dP
Ушбу v = мицдор машина юришининг нотекислиги деб юрити-
I d-P I
лади. Техникада бу тушунча муцин роль уйнайди. (11.55) га кура
F<r>2 = const, бундан ^5-= — 2^ = ^ чунки dF = dP. Шундай
0 dF 2F dP 1 }
цилиб, v = —. Шу муносабатдан фойдаланиб, (11.58) ни бундай
Ы
т
(11.59)
ёзиш мумкин. Вишнеградский шу тенгсизликни топиб, ундан цуйи-
даги хулосаларга келган:
1. А-! ва £2 стержень учларидаги юк массаси т ни орттириш
(11.59) тенгсизликнинг бузилишига олиб келиши мумкин (чунки т
ортиши билан (11.59) нинг чап томони камайиб боради);
2. Ишцаланиш коэффициента b ни камайтириш (11.59) нинг
бузилишига олиб келиши мумкин (чунки о нинг камайиши .билан
(11.59) нинг чап томони камайиб боради);
3. Гилдиракнинг инерция моменти I ни камайтириш хам (11.59)
нинг бузилишига олиб келиши мумкин;
4. Шунга ухшаш, нотекислик v ни камайтириш цам (11.59)
тенгсизликнинг бузилишига олиб келиши мумкин.
Шундай цилиб, (11.59) тенгсизликнинг бажарилиши тургунлик-
ни таъминлайди.
5-§. ЛЯПУНОВНИНГ ИККИНЧИ МЕТОДИ
1. Аник ишорали функциялар. Ляпунов тавсия этган ва унинг
биринчи методцдан фарц циладиган метод куп аргументли функция-
ларнинг маълум синфини топишга богланган. Биз цуйида баъзи
тушунчаларни киритамиз.
11.7-таъриф. 1. Агар бирор очиц Dn тупламда аницланган
v [xlt . . . , хп) скаляр функция фацат 1) х1= . . . = х = 0 нуцтада
((О, . . . , 01 Dn) нолга айланса, 2) шундай мусбат сон. h масэ'.суд
булсаки, |x|<h, Dh = {х:|х|<h}£Dn булганда v(xlt ... , хф =
t=t'(x) функция фацат битта аниц ишорали циймапгларни цабул
цилса, у уолда v (x) функция Dt тупламда аниц ишорали дейи-
лади.
Шу таърифни цаноатлантирган функциялар учун
( = 0,
х € Dft, х =£ 0,
х = 0
€КИ
х t Dft, хф О
х = О
муносабатлар уринли.
2. Агар бирор очиц Dn тупламда аницланган v (xlt ... , хп )
скаляр функция h цачча кичик булмасин Dit тупламда Ца'М мус-
бат, %ам манфий цийматлар цаоул цилса, у уолда v(x) —
= о(хъ ... , хф функция D t тупламда узгарувчи ишорали функ-
ция дейилади.
Функцияларнинг аниц ёки узгарувчи ишорали булишининг уму-
мий белгилари йуц. А -шо баъзи хусусий лолларда бундай белгилар
мавжуд. Кейинги мулоцазаларда худди шу хусусий доллар билан
иш курамиз.
Курилаётган v (х) функция т- тартибли бир жинсли форма бул-
син (т = 2 булганда квадратик формага эгамиз), яъни ихтиёрий X
учун ушбу
v(A,x1, ... , >. хф = v (Хх) = km v (х), x£Dh
муносабат уринли. Энди v(x) квадратик форма булсин. Уни
cW=
1»=1 /=г1
(11.60)
каби ёзамиз. Унинг матрицасини Р деб белгилаймиз: Р =
11 .8- теорем а (Сильвестр теоремаси). (11.60) квадратик
форма, мусбат аницланган булиши учун матрица детермчнанти-
нинг барча бош минорлари, яъни ушбу
= А2(Р) =
У11 ^12
^'•21 е22
•• . =
°11 »12 ’ • ' 1\п
V21 V22 - • - V2n
Vnl Vn2 ^пп
мицдорлар мусбат булиши зарур ва етарли.
Бу теореманинг исботини чизицли алгебра кулланмаларидан то-
пиш мумкин.
2. Тургунлик ва асимптотик тургунлик цацида Ляпунов теоре-
малари. Биз яна нормал автоном системалар билан иш курамиз.
(10.2) система берилган булиб, а — 0 унинг мувозанат цолати бул-
син. Цуйидаги теоремаларда ишлатиладиган v (хъ ... , хп) [функ-
ция Ляпунов функцияси дейилади.
11.9-теорема (тургунлик цацида). Агар (10.2) система
учун Dh тупламда аникланган дифференциалланувчи г (х) функ-
ция мавжуд булиб, у Dh тупламда ушбу шартларни каноатлан-
тирса'.
1) v(x) >0, агар x£Dh булса\ u(x)s=0 фацат х = 0 булганда-,
яъни v (х) функция координата бсшцда цатъий минимумга эга-,
2) t > t0 булганда (10.2) систаманинг х = <р(/), <р(10) = хй
траекторияси буйлаб
= <0.
' 1 dt ил1 x=<p(0
г 1
тенгсизлик уринли, у %олса (10.2) системаиинг а == 0 муеезанат
цолати Ляпунов маъносида тургун булади.
Исбот. z = v (х) функция учун с (х) = с муносабат (с = const)
сатх сиртларини беради. Агар с = 0 булса, сатх сирти координата
бошидан иборат, с>0 булганда о (л) = с сник сатц сирти булади.
Бу сирт уз ичига координата бешиви олади. Бирор г>-0 [олайлик.
v (х) = с да с етарли кичик булса, шу сирт координата бешининг
е-атрофи 0е да жойлашган булади (70- га 71-чизмалар), аммо
координата бошидан утмайди. Шунинг учун шундай б>»0 мавжуд-
70 - чизма.
71 - чизма
ки, координата бошининг б- атрофи 06 и = с' сиртнинг ичида ёта-
ди, яъни шу б-атрсфнинг нуцталари учун i<c теыегзлиги
бажарилади. Агар бошлангич нуцтани х° десак, х°Е06 булганда
(яъни и(х°) — q<c булганда) t>t0 учун шу х° нуцтадан чиц-
цан х (/, х°) траектория 0г атрофдан, цатто и = с оатц .сиртидан
'чициб кета олмайди. ^ацицатан, теореманинг (2) шартига кура
{‘10.2) системанинг х° нуктадаи чи^адиган х (t, х°) траекториясй
буйича п(х) функция усмайди, чунки:
^10.2) (Xtf’ *°))= (X(t, Xе)) ^0.
Z=1
Шунинг учун t > t0 булганда
г ("х (t, x0)) < CL < C.
Бу эса Ляпунов маъносида тургунликни курсатади. Аммо ^бундан,
умуман айтганда,
limn(x, t, х°)) == 0, яъни limx(Z, х°) = 0 (11.61)
t—>4-«> /-*4-00
келиб чи\майди. Ю.^оридаги (11.61) муносабатлар уринли булиши
учун 11.9-теорема шартлари етарли эмас. ^озир шу масала учун
етарли шартни берадиган теоремани келтирамиз.
11.10- те о р е м а (асимптотик тургунлик a ц и д а). Агар
(10.2) системт. учун D.t тупгамда аникланган дифференциалланув-
чи о(х) скаляр функция мизжуд булиб, бу функция 1) координа-
та бошида цатъчй mihumjm:.! эга ва и(0)—0 булса; 2) t > t0
булганда (10.2) системгнинг х = ф(£), <р (t0) = х° траекториями
буйлаб
’ЛМ(»™’У -Jr-fiW ,„«:0
ОХ1 х=Ч>(1)
'Муносабат уринли, коорд mami бошчнинг 0б ={x.:Jx| С б±}, 6t>Q
атрофи.дан тиицарада 1»(]09)(ф(0) <—₽ •< 0, ₽>'0 тенгсизлик
уринли булса, (10.2) нинг а~0 м/юза са п фолата асимптотик
тургун булади.
Исбот- Бу теоремада аззатги теореманинг барча шартлари
бажарилади. Демак, ^ар ,бир в > 0 учун шундай б (е) > 0 топиш
мумкинки, 06 атрофдан чиедан x(t, х°) траектория / >/0 булганда
ОЕ атрофдан татцарига чи^иэ кета олмайди. Лекин t^>T0^t0
булганда шу x(t, х°) траектория буйазб теореманинг 2) шарти ба-
жарилади. д6 атрофдан тачадарида п(х) функция монотон камаюв-
чи, шу сабабли £->-]- оо да u(v) функциянинг чекли ^лимита мав-
жуд, яъни
lim и (х (t, х0)) = а > 0.
/-*4-00
Агар а = 0 булса, теорема и>5эг булади, чунки ундан limx(£, х°)~
= 0 келиб чикади. Энди ос>0 булсин. У ^блда ty>t0 учун х(/, х°)
траектория v > а со^ада жэплашган булади. Демак, бош^ача айт-
ганда, х(/, х°) траектория t>t0 булганда Ое^ атрофдан ташцари-
да жэйлашган булади. Шу 061 атрофда ^уйидагига эгамиз:
^(10.2) (Х л°)) Р<70, t У Т0'
Бу муносабатни То дан t гача интеграллаймиз:
v (х (t, х0)) - v (х (То, х0)) с - ₽ (( - То)
ёки
v(x(t, x°))^v(x(T0, x°))-₽(i-T0).
Бундан етарли катта мусбат t лар учун с (х (t, х0)) < 0 тенгсиз-
лик келиб чицади. Бу теореманинг 1) шартига зид. Демак, а>0
була олмайди. Шундай цилиб, а — 0. Теорема исбот булди.
11.11- теорема (Четаев теоремаси) Агар (10.2) система
учун шундай дифференциалланувчи с (х) масжуд булсаки, бу функ-
ция координата бсшининг бирор спиц Dh атрофида ушбу шарт-
ларни цаноатлантирса".
1) координата бошининг бирор U атрсфида шундай туплшм
мавжудки, унда п>0 ва бу тупламнинг чегараларида о = 0шу
билан бирга п(0) = 0; 2) с>0 булган тупламда (10.2) система-
нинг х = ф(/), <| (1(|) = х° траекторияси буйлаб
>0
ва v > 0, сс>0 тупламда и{10 2) (<₽ (/)) > р > 0 булади, у %олда
(10.2) системанинг мувозана'п Цолапш а — 0 тургунмас.
Исбот. Бошлангич нуцта х°
ни 67 тупламнинг и>0 цисмида
оламиз. Шу цисм тупламни(7(с>0}
Деб белгилаймиз. Демак, v (х°) = а,
<х>0 деса булади. Равшанки,
x°g67 (и > 0)^6/ (72- чизма)
Т еорем анинг шартига кура (10.2}
Х/ системанинг х — ф (7) ф (70) = х°
траекторияси буйлаб о(10 2) (ф (/)) > 0
булгани учун v (х) функция ка-
маймайди. Шу сабабли х = ср (/)
траектория цурилган U (и> 0) туп-
ламдан чициб кетмагунча шу тра-
ектория U (с > а) тупламда цолиши
лозим. х — ф (t) траектория t = t0 да U (у > 0) тупламдан бошлан’иб,
иацт утиши билаи U (у а) тупламдан чициб кетади. Фараз этай-
лик, t > t0 да х = ф(7) траектория U (о2>0) тупламдан чициб кет-
масин, яъни t > t0 булганда <р(7) czUt,vy>0). Теореманинг 2) шартига
кура t > t0 булганда ^(102) (ф(0) > Р >0 тенгсизлик уринли. Агар
бу тенгсизликни t0 дан t гача интегралласак:
v (<Р (t)) — о (ф (/Д) > ₽ (i — /0)
&<о
72 - чизма.
ёки
v(<P (t)) — i’(x°)>₽(Z —10)
мунссабатга эга буламиз. Ундан v (х°)чекли ва мусбат булгани учун
^-> + оода п(<р(/)) функция х = <р(£) траектория буйлаб исталган-
ча усиши келиб чицади. Бу ^олда х ~ q> (t) траектория координата
бсшинигг исталган чегараланган атрсфидан, хусусан, U (» > а)
атрофидан ^ам чициб кетади. Юцоридаги фаразга зид натижа чикди.
Эслатамизки, UczDh, £)лёпигу ва унда и(х) функция узлуксиз,
демак, чегараланган. Ю^орида эса о (ср (/)) функция исталганча катта
була олиши мумкин эди. Теорема исбот булди.
3. Ляпунов функциясини цуриш. Мувозанат ^олатининг тургун-
лигини Ляпуновнинг иккинчи методи ёрдамида текширилганда Ля-
пунов функцияси х;ал цилувчи роль уйнайди. У ёки бу конкрет
масалада шу функцияни топиш масаласи му^им булиб, Ляпунов
функциясини умумий х;олларда излаш методи мавжуд эмас. Баъзи
^олларда маълум усулларни тавсия этиш мумкин, холос. Шуниси
г'изиг'ки, агар (10.2) системаиинг бирор биринчи интеграли маълум.
булса, цуйилган масала ^ал булади. X2IWaT3H,
Ф (хд, ... , хя) = С = const
(10.2) системаиинг биринчи интеграли булсин. Агар Ф(х) функция
мусбат ишорали (яъни Ф(0) = 0: Ф(х) = О>0, х^О) булса, у
>;олда Ляпунов функцияси сифатида шу Ф(х) функцияни олиш мум-
кин. Равшанки, — | = 0, Ф (х) > 0. Демак, Ляпуновнинг тур-
1(10.2)
гунлик хдкидаги тесремасининг шартлари бажарилади. Шунинг учун
(10.2) системаиинг мувсзанат ^слати а = 0 тургун булади.
4. Ляпунов функциясини излашнинг сунъий усули. Баъзи лол-
ларда Ляпунов функциясини ушбу
п
^(•^1. • • • > хп) = + - + Fn(xn) (И-65)
z=i
куринишда излаш самарали натижа беради. Хусусан, (10.2) систе-
манинг унг тсмснидаги функцияларнинг х;ар бири (11.65) хусусият-
га эга булган дейлик, яъни
К
h (А-.......V = 2 f" (Х,).
/=1
........................................ (11.66)-
п
fn(xi, • • •. *„) = 2 (*?•
Энди (11.65) функпиядан (10.2) системага кура шу (11.66) ифода-
ларии назарда тутиб росила оламиз:
<2’W=26^)^,((^) + f‘(xi)-(2A/) ц)) +... +
W j=-2
/ Л~1 \
+ ^«- 2/*„'A) •
\1=1 /
росила учун топилган ифода цам v(x) функциянинг' (11.65) га ух-
,шаш куринишига келтирилади. Унинг учун
г', Ы (2)Ч' (^') + б Ы (2 ‘V," (»,)') +... +
\/=2 / \/=1 ' /
(л-1 \
(11.67)
l=i ’ /
генгликнинг бажарилишини талаб этиш етарли. Юдоридаги (11.67)
тенгликнинг чап томонида v(2) белгиси йигиндида иккинчи дади
цатнашмаслигини билдиради, цолган цолларда цам шундай хосса
<бор. Агар натижада цосил булган
I’ W = 2 Fi *’(10.2) = 2 Fi W (%/)
i=i i=i
-функциялар тургунлик дацидаги теоремалардап бирэртасияилг шарт-
ларини цаноатлантирса, биз мацсадга эришган буламиз.
Келтирилган усул иккинчи тартибли системаларда купроц яхши
натижа бе ради. Масалан, аввал ушбу
п
агхр ati~ const (11.68)
l=i 4
системани олайлик. Бу ^олда (11.65) функциянинг ^осиласи цуйида-
гича ёзилади:
п
^(11.68) = 2 aii Xi F'i (A'i) + F'l (%1) (а12 х2 + . . . +
+ ainxj +F2(X2)(°21*J 4-ЯгзХ3 + ... + а2пхп) 4-
+ • • • + F'2(xr)(an] -Vi + • • • + а„,_1 xn_r).
Агар аи < 0, ац = — а/г, Fj(x/) = 2.rJ булса, бундан
п
L'(ll .68) (х) = 2 2 аи Х1 ®
1=1
келиб чикади. Равшанки, (х(.) функцияларни F. (vp = xj деб тая -
лаш му,мкич. Шундай цилиб, Ляпунов функцияси ушбу
1=1
(11.69}
к^ринишга эга. Курилаётган ^олда координата боши Ляпунов маь-
носида тургун булади. Энди
х — х3 — у,
. У = х + у3
система учун i ~ Fx (х) + F2 (у) десак, содда хиссблашлар ёрдамида
куйидагини топамиз:
^(n.6S) #) = F\ (*) (*3—y) + F'2 (у) (х + У3) =
= (Л (x)x3 + F'2 {у) у3] + [ — yF\ (х) + xF2 (у)],
бундан
У Fi (А) = х F'2 (у)
ёки К, (х) = х, F'2(y) = у ва F1(x) = x2, F2(y)—y2 деб тапласа
булади. Шундай килиб,
v (х, у) = X2 + у2 > 0, у(11 69) (X, у) = 2 (х4 + z/4) 2s 0.
Демак, Четаев теоремасига кура берилган система учун (0 0) нукта
тургунмас.
6- §. ЛИМИТ ДАВРАЛАР. ЭРГАШ ФУНКЦИЯ
Лимит давра (цикл) са ергсш функция тушунчал арини улут
француз математши А. Пуанкаре кири/пан булиб, бу тушунчалар
хакида дастлабки илмий натижала[! унинг узига теп шли. Лимит
данралар эехникада турли асбсб га ^урилмаларки лойихалашда му-
хЯм роль уйнайди. Технгкада су г лас тебранишлар шу лимит давра-
лар тушунчасша нес келади. Бу л.ссликьи бир! ьчи л арта совет оли-
ми А. А. Андронов аниклаган.
Яна нормал антском (10.2) системани курайлик. Унда f1(x1, ....
хл)> - - > fn (лъ > хп) (кискача f (х) вектор-функция) функция-
лар п у’лчсели фазонинг бирср счик Dn ту’пламида аницлангаш на
узииинг хусусий х.ссилалари бгман узлуксиз деб каранмиз. У х;олда
тупламнинг х;ар бир нуктасидан (10.2) системанинг факат битта
трасктсригси утади. Кейинги муjохазаларда куп1,нчап=2 булган
хол курнлади. Унда ссддалик учун Dn туглам сифатида бутун Р
текислик каралади.
1 . Лимит давра ва унинг якинидаги траекториялар. Энди лимит
давра тушунчасини кирнтамиз (п=2).
11 .8-таъриф. (10.2) сстасм системанинг ажратилган (изо-
ляцияланган) даврий ечими лимит доера (цикл) дейилади. Ту ларец
айтганда, х = q (() аектср-фуыщия (10.2) системанинг даврий сни-
ми булиб, К чизиси эса Р текисликда шу ечимнинг графиги (ёпик
эгри чизик, crEiy ipaeKTcii® булсин. Агар шундай мусбат сонр>0'
мавжуд бу легки, Р текис ликдати р эгри чизикдан р дан кичик ма-
софада жойлашган нуцта цандай булмасин, (10.2) системаиинг шу
нуцтадан утадиган ечими даврий булмаса, у цолда х ~ tp(i) ечим
(ёки К траектория) (10.2) системаиинг лимип давраси дейилади.
Таърифдан куринадики, агар х£Х, Ъ,$Х ва |х — £|<р булса,
•(10.2) системаиинг 0,£ бошлангич цийматларга эга булган х —
= ср (/, £) ечими даврий булмайди. Бэшцача айтганда,
яцин масофада системаиинг ёпиц траекториялари
(73- чизма).
Ундай булса, лимит даврага яцин траекториялар
лимит даврага
мавжуд эмас
узини цандай
тутади. {^уйида биз шуни урганамиз.
11.12 - теор ем а. х = ср(/)ечим (10.2) системаиинг (п=2) лимит
давраси булиб, К унга мэс ёпиц траектория булсин. Ёпиц траек-
надиган барча ички траекториялар ё t
тория, маълумки, текис-
ликни икки ички ва таш-
ци сохага булади. Авто-
ном системаиинг траек-
ториялари узаро кесиша
олмаслиги учун (10.2) сис-
теманинг %ар бир К дан
фарцли траекторияси ун-
га нисбатан ё ички, ё
ташци булади. Х/ам таш-
ци, %ам ички траекто-
риялар учун бири иккин-
чисини инкор циладиган
цуйидаги икки %ол юз бе-
риши мумкин. Яъни, X
га яцин нуцтада бошла-
->-|-оо да, ёки 1-*-сода
спирал каби /< га уралади. Худди шу тасдиц ташци траектория-
лар учун \ам уринли (74- чизма а, б)). Бу теореманинг исботига
утишдан аввал баъзи ёрдамчи тасдицлар керак булади.
Агар К га яцин барча нуцталардан бошланадиган барча троек -
ториялар (лот ички, хох ташци булмасин) /->4-со да К га урал-
са, у цолда лимит давра турвун дейилади (74- чизма, а). Агар X га
яцин барча нуцталардан бошланадиган траекториялар t — оо д а
X га уралса, у холда лимит давра бутунлай пгуррунм ic дгйилад и
(74- чизма, б). Крлган икки цолда (хусусан, ички траекториялар
К га £ —> — оо да, таищи траекториялар /->4-оо да уралса, ва
аксинча) лимит давра ярим тургун дейилади (74- чизма, в).
Лимит давра яцинидаги траекторияларнинг хоссаларини, яъни
уларнинг лимит даврага ^ралишини баён этишда эргаш функция
тушунчаси муцим роль уйнайди. А. Пуанкаренинг катта хизматла-
ридан бири шу функциями киритиб, ундан фойдаланганлигидадир.
Эргаш функциянинг таърифини икки огиз суз билан баён этиб бул-
майди, уни маълум маънода цурилади.
Р текисликда даври т булган даврий ечимнинг гргфигидан ибо-
рат ёпиц эгри чизицни К дейлик. L эса Р текисликда ётган шундай
тугри чизицли кесмаки, у К эгри чизицни L га нисбатан ички бул-
ган ягона а нуцтада нолдан фарцли бурчак остида (яъни уринмас-
дан) кесиб утсин(75- чизма).
L кесмаси ётган тугри чизиц-
да сонли координата киритамиз.
а нуцтанинг координатасини и0,
L кесманинг а дан фарцли ихти-
ёрий нуцтасини р деб, унинг ко- ’
ординатасини и деб белгилаймиз. •
Шундай килиб, а = а {и^, р = »
=р(и). Энди р нуктадан (10.2)
системанинг ф (t, р) траекторияси-
ни утказиб, шу траектория буйича t
нинг усишига мос йуналишда ца-
ракат циламиз. Агар р иуцта а нуц-
тага яцин булса, у цолда К нинг
яцинида бощца спиц траектория
йуцлигидан ф (/, р) траектория цар
т га яцин вацтда L кесмани ке-
сиб утади. Шу траекториянинг 75-чазма.
L кесма билан р нуцтадан кейин
биринчи учрашув нуцтасини q, унинг координатасини эса Хх (и)
деймиз. Агар р нуктадан ф (/, р) траектория буйлаб, t нинг кама-
йишига мсс йуналишда царакат цилсак, шу траектория т га яцин
вацтда L билан биринчи марта учрашади. Шу нуцтани г, коорди-
натасини эса (w) Деб белгилаймиз' (76-чизма, а, б). 76- чизмада
р нуцта К ёг.иц чизигидан ташцарида олинган. Худди шу чизмалар- ’
ни р нуцта к нинг ичида ётганда цам келтириш мумкин (77- чиз-
ма, а, б). Юцсрида икки Xi (и) ва X—i(w) функциялар* киритилди.
Улар узлуксиз ва узаро тсскари функциядир, яъни
X-i(Xi («))*". Х1(Х—1(«)) = и.
Х,ацицатан, q нуцтадан t нинг камайишига мсс йуналишда траек-
тория буйлаб царакат цилинса, L кесмани биринчн марта р нуцтада
кесиб утади, демак, X-i (Хх(и)) ^и. Шунга ухшаш, агар г нуцта-
даи t нинг усишига мсс йуналишда тегишли траектория буйлаб ца-
ракат цилинса, у цолда бу трсектсрия биринчи марта L кесмани р
нуцтада кесиб утади, демак, Хх (х~х (и)) = и. Кейинги пунктда хх (и),
77 - чизма.
X-i(u) функциячарнинг хоссалари урганилади. ^озирча фадат дайд
килиб утамизки, %1(и) функция эргаш функция дейилади, бу функ-
ция узлуксиз ва узлуксиз тескари функцияга эга булнб, (и)
— Х—х (и) хосса уринли. Эргащ функцияни
Х = Ха(«) ' (11.70)
деб белгилаймиз. Энди 11.12-теореманинг исбэтига утамиз.
11.12- теореманин г исботи. Р текисликда шундай L кесма
оламизки, у /С эгри чизидни ягона а нуцтада уринмасдан ва L га
нисбатан ички нудтада кесиб утсин. L кесмада сон координата (па-
раметр) киритамиз ва и0 билан а нудтанилг коэрдинатасини белги-
лаймиз. Зарурат булса, и0 параметр ёрдамида а нудтаяинг Декарт
кссрдината.' арини тспиш мумкин. Унинг учун L кесма ётган тугри
чиеикнинг тараметрик тенгламасини ёзиб, параметрга и — н0 циймат
бериш етарли. Албатта, и параметрнинг усишига L кесма буйича
бирср йуналиш мсс келади. Шу параметр бирср ёпиц интервалда
кийматлар кабул килганда кесманинг бирср учидан бошца учигача
булган нукталарни кетма-кет хссил килиш мумкин. Хусусан, биз
кураётган з^олда L кесманинг А дзн ташкаридаги кисмига параметр-
нинг и(1 дан катта кгйматлари, кесл ai инг К нинг ичидаги кисмига
эса и0 дан кичик кийматлари мос келсин, дейлик. L кесмага мос
эргаш функциями %(ц) деб белгилаймиз. г0 булгани учун x(w0) =
= и0 булади. Энди а — етарли кичик мусбат сон булсин. У холда
| и — z/0|<a интервал учун (10.2) системанинг координатаси шу ин-
тервалдан олинган p(w)gL нудтадан чикадиган траекторияси ватут
утиши билан L кесмани биринчи марта q нуцтада кесиб утади. Шу
нуктанинг ксординатасини y(n)—v дейлик. Агар q нуцтанинг ко-
ординатаси хам р нуктасиникидек и га текг булса, у холда р нуц-
тадан чикадиггн траектория яна шу нуцтага, яъни q = р (и)
нуктага келади, демак, траектория ёпгц булади. Бу зуол уринли бу-
лиши учун ушбу
Х(«) = « (11.71}
тенглик уринли булиши лозим. Аммо А чизиги (П.71) системанинг
ажратилган траекторией булгани учун \и— п0|-<а интервалда
(11.71) тенглама шона ечими а эга. с иди лимит давра А дан ташца-
рпда унга етарли якин тргcktcjнялгрни ургвнгмиз, бу траектория-
ларга и(1 <; i- < и(1 Ч- а ш.тери л мсс келади. и0 — а< и < интер-
валга мсс ички траекториялар шунга ухшаш урганилади.
Шундай килг б,. юцоридаги мулохазалардан < и < и0 + а ин-
тервалда куйидаги икки тснгсизликдан бири бажарилади:
X («)<«.
X (и) > и.
(11.72}
(11.73)
Агар курилаётган интервалнинг бир кисмида (11.72) тенгсизлик,
иккинчи кисмида эса (11.73) тенгсизлик уринли булса, у зуолда
X (и) функциянинг узлуксизлиги туфайли и0<ЦКы0 + а интервал-
да (11.71) тенглик уринли буладиган нукта тспилар эди. Бу були-
ши мумкин эмас. Олинган pi К, p£L нуцта А дан ташцарида бу-
либ, бу нуцтада бешланадиган траектория К ни кесиб ута олмагани
учун q^.L нукта х;ам А дан ташкарида ётади. Шунинг учун zz>w0
булганидан
Х(«)>нв (И.74)
тенгсизлик уринли.
Етарли ! кичик ис С и С и0 -J- а интервалда (11.72) тенгсизлик
уринли булсин. Курилаётган интервалдан ихтиёрий сонни ола-
миз. Энди ult и2, и5, . . . сонлар кетма-кетлигини
^+1 = х(«л ‘= !, 2, . . . (11.75)
формула ёрдамида аницлаймиз. (11.72), (11.74), (11.75) муносабат-
лардан и > ч0 ва и3 > tt.3 > и3 > ... тенгсизликлар келиб чикади.
Бундан {uj кетма-кетлик камаювчи экани куринио турибди. Бу кет-
ма-кетлик цуйидан и0 билан чегараланган булиб, камаюзчи эканидан
унинг лимити мавжуд. Лимитни tt* дейлик: lim и. = и*. Аммо и*
1-»оо
нуцта ч0 <2 ч < и0 + а интервалга тегишли, шунинг учун (11.71)
тенглама ечимининг ягоналигидан и* = и0 келиб чицади. Демак,
lim и, = ч0. L кесманинг и, координатам мос нуцтасини р, десак,
i-*oo 1
юцоридаги мулоцазалардан
lim р. — а\
1-*оа
эканига ишонамиз. Албатта, pt нуцтадан pi+i нуцтага тегишли траек-
тория буйлаб келиш вацти т га яцин. Шунинг учун pt нуцтадан
чицадиган траектория билан К траектория орасидаги минимал масо-
фа вацт ортиши билан камайиб боради. Агар бирор моментда кама-
йиш жараёни булмаса, худди шу мэментга мос нуцта орцали L кес-
мани утказиб, {uj кетма-кетликнинг камаюзчанлигига зид натижа
оламиз. Бу мулоцазалар курсатадики, pt нуцтадан чицадиган траек-
тория вацт ортиши билан 7< га урала бошлайди (спирал каби). Шун-
дай цилиб, (11.72) тенгсизлик бажарилганда L кесманинг u0<u<
<2ч0 +а интервалдан олинган координатаси ихтиёрий нуцтасидан
чицадиган траектория £->--]-оо да /С га спирал каби уралади.
Агар Чд <2 и < и0 + а интервалда (11.73) тенгсизлик бажарилса,
X (ч) функцияга тескари х-1 (“) Функция учун бирор чл <2 v <2 ч0 ф-
ф- 0, Р > 0 интервалда ушбу
X-1 (0 < v
тенгсизлик уринли булади Энди юцоридаги каби, L кесманинг ко-
ординатаси V, и0 <2v<2ч0 р булган нуцтасидан чиццан траектория
—оо да К га спирал каби уралади.
Шундай цилиб, лимит даврага яция траекторияларнинг барчаси
урганилди. Улар ё /-^-ф-оо да ё /->—оо да га спират каби ура-
лади. Демак, теорема исбот булди.
Эс’латма. Ю^орида исэогланган теоргмада мавжуд цолчарни "бирлаштириш
мацсадида ушбу
(х(«) — ('о1 <|w — «о|, 1
|%(u) — и0| > |к — щ | J
(11.76)
тенгсизликларни курамиз. Агар А чизигининг ички ёки ташци ярим атрофида, ёки
L кесманинг а нуцтага яцин булган К га нисбатан Гички ёки ташци нуцталарида
(11.76) дан биринчиси бажарилса, траекториялар А га ф- оо да спирал каби
уралади; шуига ухшаш; агар айгилган ярнм агрофда (11.76) дан иккинчиси бажа-
рилса, у цолда траекториялар А га /-»•—да спирал каби уралади.
2. Эргаш функция ва унинг хоссалари. [(10.2) ’системаиинг 0,g
бошлангич цийматларга эга булган ечимини <р(7,?,), даври т булган
ва а нуцтадан утадиган даврий ечими ш cp(i,a) деб белгилаймиз.
q(t,a) ечимнинг графи гини-ёпиц эгри чизицни К, шу эгри чизицни
ягона ички а нуцтада уринмасдаЕ! кесадиган тугри чизицли кесма-
ни L дейлик. L кесмада параметр v киритамиз. Шу координата ёр-
дамида L кесманинг парамегрик тенгламаси x=y(v) булсин. а нуц-
танинг координатасини v — ип дейлик. Етарли кичик мусбат сон
<х>0 берилганда цам ушбу траектория \и—«0|<;а
интервалда L кесмани t нинг мусбат цийматларида цам, манфий
кийматларида цам кесиб утади. tp(/,tz) траекториянинг L кесмани t
нинг минимал мусбат t^u) цийматида кесиб утсин, х,(«) эса, /х(н)
моментда кесишиш нуцтасининг коордииатаси булсин. Шунга ух-
шаш мицдор L кесмани траектория кесиб утиш моментининг
.абсолют циймати буйича минимал циймати, Хх_(и) эса шу момент-
га мос кесишиш нуцтасилинг коордииатаси булсин. Агар етарли
кичик мусбат сон а>0 бери ага т булса, у цолда [и— и0|<а интер-
валда юцорида курилган.
ti(u), X/u), Li(«),X-i(«)
функциялар узлуксиз ва цуйидаги
G(«o) = *, = ио> Li(«o) = —X_j(«0) = «о
шартларни цаноатлантиради. Шу билан бирга ва x_i функциялар
•етарли кичик и лар учун узаро тескаридир, яъни
Х_1(Х1(«)) = и, Щ^н)) = и
ва узлуксиз дифференциалланувчидир. Бунда X=%i(«) функция эр-
гаш функция дейилади. Эргаш функцияларнинг бу хоссасини исбот
этмаймиз*). -
3. Эргаш функциянинг геометрик тасвири. Нормал автоиом сис-
темаларнинг лимит давраларини урганиш учун мос эргаш функцияни
урганиш етарли. Албатта, цар бир система учун эргаш функцияни
тузиш мумкин булавермайди. Бу цийин масала. Куйида биз эргаш-
функция мавжуд деб фараз этиб, уни сифат иуцтаи назаридан тек-
ширамиз. Соддалик учун эргаш функцияни х(и) Д£о белгилаймиз,
ушбу
и = Х(«) (11.77)
эгри чизицнинг графигини урганамиз. Аслида биз (11.71) тенглама-
нинг ечими ва (10.2) системанинг унга мос лимит даврасини ур-
ганишимиз лозим. Шу мацсадда u,v узгарувчилар текислигида
(11.77) эгри чизиц билан
v=u (11.78)
биссектрисанинг кесишиш нуцталарини урганамиз. Фараз этайлик,
и0>0 ва Х(и0) =* 11 о булсин. Шу и0 координатага (параметрга) мос
*) Исботни Л. С. Понтрягиннинг «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
китобидан удиш мумкин [I]
лимит давранинг етарли кичик атрсфини урганишимиз керак. Демак,
графиклар косрдинаталар текислигининг / чсрагида урганилади.
и ва v узгарувчилар текислиги ва унда чизилган v — Щи) ва
t’=u чизиклар графиги Лсшерей диагрс’ммаси дейилади.
(11.71) тенгламанинг барча ечимларини топиш 1учун (11.77) ва
(11. 78) чизикларнинг барча кесишиш нуцталарини топиш лозим.
Биз (и0, и„) нуцтани (ие>0) чуцурроц урганамиз. Бошца кесишиш
нуцталари хам шунга ухшаш урганилади.
и = и0 га мос келган ёпиц траектория лимит давра булиши учун
(ип, и0) нуцта ажратилган булиши зарур ва етарли. Агар %'(п0)=#1
булса, у х.олда (и0, ии) нукта ажратилган булади. Бу цолда (и0,
и0) нуцтада (11.77) ва (11.78) чизицларнинг графиги узаро урин-
майди. Мос лимит давра эса цупол лимит давра дейилади. Аммо
Х'(и0) = 1 булса, лимит давранинг тургунлиги юцори тартибли цо-
силалар ёрдамида текширилади. Ушбу
x(u) = Х(и) — и
(11.79}
ёрдамчи функцияни киритамиз. Равшанки, лимит даврага мос кел-
ган и — учун я(по)=О булади. Мулоцазаларимизда и функция
.___________ . ____ керакли тартибли барча цосилалар-
&________/ га эга булсин деб фараз этамиз.
78 - чизма.
п0 нуцтанинг етарли кичик атро-
фини /0 = {и: \и—сс>0}
деб белгилаймиз. Биз иш куради-
ган барча и нуцталар шу 10 ин-
тервалдан олинади. Буни доим ай-
тиб утирмаймиз. v=u биссектриса
/ координата бурчагини икки 7j =
—{(u,t)- v> и} ва 12—{(и i):v <Zu}
булакка булади (78- чизма). Ницо-
ят, и = и0 нуцтанинг /0 атрофида
х(и) функция учун Тейлор формуласини ёзамиз:
К"(Чо) .„ , . vtk\uB) ,
r.(u) = и (и0)(и — и0) + - (и —и0)2 + ...Ч-----(н— и0) +
+0(|и— «/) ,
(11.80)
бунда lim = 0, к (и0) — х'(ио) — 1, =
Z
xw(«o) = xw(no), ,.
Лимит давранинг тургунлигини эргаш функция ^ёрдамида тек-
шириш учун цуйидаги цолларни курамиз:
1. я'(«0)#=б ёки барибир, Х'(ио)=^1- (КУПОЛ лимит давра).
а) х'(ио)<О ёки барибир Х'(и0)<1-
Агар u<Zu0 булса, X(u)>u ва демак, 0>Х(и)—и0>и и0 тенг-
сизликлар уринли. Бундан |Х(н) —н0| < \и—н0| тенгсизлик келиб
чицади. Шунга ухшаш, агар и>и0 булса, Х(ы)<« ва демак,
0<Х(н) — u0<Zu — uQ га эгамиз. Бундан яна |Х(н) — и0\ < ]и—и0\
тенгсизлик цосил булади. Демак, z'(u0)<0 булганда (11.78) тенг-
сизликлардан биринчиси бажарилади. 380 - бетдаги эслатмага кура,
к'Ю<1 булганда и0 га мос лимит давра тургун булади (79-
чизма).
б) х'(ыо)>Оёкибарибир %'(и0)>1. Бу цолда худди а) цолидаги
мулоцазалар ёрдамида '(11.76) тенгсизликлардан ,иккинчисига эга
буламиз. Демак, и0 нуцтага мос лимит давра бутунлай тургунмас
булади '(80- чизма).
II. %'(«„) =. . . - (и0) = 0, z(fc)(u0) =£ 0, k = 1,2, . . п.
Демак, %'(uo) =“ 1 булган цол курилаяпти.
a) k = 2 булганда z'(u0) = 0> га эгамиз. Демак, /'(“о) —
= 1. Шунинг учун %(и) функциянинг графиги биссектрисага (и0, «0)
нуцтада уринади. (11.80) форму ладан шу цолда ушбу
Ч«) = (и— иоу ®+0(|и-«0]2)
муносабат келиб чицади. Унинг унг томонидаги ифэданинг ишораси
и нинг*70 интервалдан олинган цийматларида Х"(и0) мицдорнинг
ишораси , билан аницланади. Шунинг учун z"(zz0) > 0 булганда
х(«)>-0 ёки %(«)>«, «(70 тенгсизлик уринли. Демак, х(ы) функциянинг
графиги/, тупламда жойлашган булиб, ий нуцтанинг /0 атрофида ца-
варицлиги пастга цараган булади. Шунга ухшаш, x"(u0)<z 0 булганда
7.{и) функциянинг графиги Д тупламда жойлашган булиб, /0 ин-
тервалда цаварицлиги юкорига цараган булади (81- чизма;, а, б). Биз
лимит давранинг ярим тургун булган ^олига эгамиз.
б) Энди k—З булсин. Бу ^олда х'(п0) = 0, х'(п0) = 0), и"'(ио)^О
(11.82) формуладан куйидагига эгамиз:
Ч«) = “41^ + °(!«~ Ц>13)- (11.83)
Аввало х"(«о) = х"(«о) = 0 булгани учун (ие, и0) ну^та y(w) функ-
циянинг бурилиш нуцтаси булади. Демак, функциянинг графиги
v—ii биссектрисанинг бир томонидан иккинчи тсмонига унга ури-
ниб утади. Бунда яна икки ^ол юз беради:
6,) “'"(«о) =Х,/,(^о)>О.
(11.83) формулага кура бу х.олда ц<п0 булганда х(п)<;0ёки
X(u)<u, и>и0 булганда эса х(ц)>0 ёки %(п)>и тенгсизликлар
уринли булади. Куринадики, у(п) функциянинг графиги v=u бис-
сектрисани кесиб 1Х тупламдан /2 тупламга утади 380 - бетдаги
эслатмага кура (80-чизма) биз бутунлай тургунмас лимит даврага
эгамиз.
б2) х'"(ц0) (ио)<0. Бу холда 6t даги муло^азалар ёрдамида
п0 га тургун лимит давра мсс келишини курсатиш мумкин.
в) k=2k!f, k* = 1,2, .... Бу холда (11.80) формуладан топа-
миз:
К (ы) = (-2fe")j-- (ll~ «с) +0( |и—и0| •)
Худди к—2 булган а) х;олдаги муло^азалар каби бу г^олда ^ам
лимит давра ярим тургун булади.
г) к = 2к^, + 1, = 0,1,2....Бу г^олда х;ам (11.82) формула-
дан фойдаланиб цуйидагини топамиз:
, . 0) , n/. |2fe‘+lA
х(п) =------- 07 (и — и0) ' + 0 (\ii—u0\ ).
' 7 (2й»+ 1)!
Энди б) х,олида юритилган мулохазаларни цулланиб, x(2fcjr*+-)
булганда лимит давра бутунлай тургунмас ва х(2й‘+'(ц0)<;
<0 булганда sea лимит давра тургун эканини тасди^лаш мумкин.
III. х'(п0) = х"(и0) = . . . = xw(zv0) = . . . = 0,
ёки барибир
Х'(«о) h Х"(»о) = - = Х(Л)(^) = • • = °-
Бу холда (11.80) формуладан
х(п)=0* ёки барибир у(п) = и келиб чикади. Курамизки, L кесма-
нинг и0 координатали а нуцтасидан етарли кичик масофадаги барча
ну^таларидан ёгиц траекториялар утади. Шунинг учун таърифга
кура ие га мсс лимит давра К ажратилган ёпиц траектория була
олмайди. Бу цол иккинчи тартибли чизикли £бир жинсли автоном
системаиинг цолат текислигидаги марказ картинасига ухшайди.
Шундай цилиб, биз эргаш функцияни тула ургандик, k = 1 бул-
ганда лимит давра оддий дейилади, k > 1 булганда эса k нинг
жуфт ёки тоц булишига караб мос равишда жуфт каррали ёки тоц
каррали лимит давраларга эгамиз. га мос лимит даврани цис-
цача жураккаб лимит давра деб цам юритилади.
Юцоридаги мулоцазалардан цуйидаги натижа келиб ч ицади.
Натижа. (10.2) системанинг унг тожнидаги функциялар ана-
литик булиб, бу система учун ёпиц траектория шивжуд б$лса, у
Ушолда бу траектория ё ажратилган, дежк, лимит давра булади
ёки унинг атрофидаги барча траекториялар ёпиц булади.
Шуни эслатамизки, эргаш функцияни урганишда, уни Тейлор
цаторига ёйиш мумкинлиги аввалдан фараз этилди. Демак, х(г0
функция аналитик деб царалди. Бу цол (10.2) системаиинг унг то-
монидаги функциялар цам аналитик булгандагина содир булади.
4. Ляпуновнинг характеристик курсаткичи. Биз бу пунктда Ля-
пуновнинг характеристик курсаткичи тушунчасини киритиб, у ёр-
дамида лимит давранинг тургунлиги ва тургунмаслиги шартини
ифодалаймиз.
(10.2) системаиинг даври т га тенг булган /С ёпиц траектория-
сининг параметрпк тенгламалари (п—2 булганда)
х= <[(/),
У = Ф(0
(11.82)
булиб, системаиинг узи цуйидаги куринишда ёзилсин дейлик
Р(х,у),
У = Q(x,y).
(11.83)
БундаP(x,y),Q(x,y) функцияларбирор очиц£)2 тупламда биринчи тартиб-
„ дР дР dQ dQ „ ' д .
ли хусусии цосилалари—, —, —, — билан бирга узлуксиз дебфа-
dx ду дх ду
раз этамиз.
11.9- т а >ь р и'ф. Ушбу.
1 f[<W(0. МО) , 5<2(<Р(0.М0
= ТЛ Тх-------------+ Ту \dt (П-84)
о
ифода К ёпиц траекториянинг характеристик курсаткичи дейила-
ди ва Ляпунов ножи билан аталади.
11.13-теорема. Агар h<Q булса, ёпиц К траектория тур-
нун, й>0 булса, бутунлай тургунмас лимит давра булади*).
*) Бу теореманинг исботини китобхон [30] китобдан уишпи мумкин.
Мисол. Ушбу
х = у + х[1 — (х2 + у2)], (=Р)
У = — х + И1 — (х2 + У2)] (=<) (11.85)
системанинг траекториялари цолат текислигида 'урганилсин.
Параметрик тенгламалари билан берилган
fx = cos(/—/0), (=<р(0
(^) [у = sin(/-/0) (=ф(/) О L86)
чизиг, маркази координата бошида ва радиуси 1 га тенг булган айланадан иборат
булиб, (11.85) системаиииг ечимидир. (11.85) системанинг умумий ечими
cos(/—tB) sin(/—/„)
/1 + ОГ2^' У^У1+Се~2^
формула билан ифодаланади. Буни исботлаш учун цутб координаталарига утиш
етарли. Бундан С = 0 булса, юцорида эслатилган ёпиц траектория- айлана цосил
булади. Шу ёпиц траектория (11.85) системанинг ажратилган ёпиц траекторияси-
дир, чунки унинг етарли кичик цийматларига мос келган бошца ёпиц траектория
мавжуд эмас. Энди бу (К) траекториянинг тургунлигини Ляпуновнинг характерис-
тик курсаткичи ёрдамида текширамиз. (11.86) траектория буйлаб г = 2л га тенг.
Р(<р(/), Ф(0 <?(?(<₽(0.Ф(0 . . .
—----------------------------цосилаларии цисоблаимиз: 4
дх ду
с?Р| I
— х=<р,0 = (1—Зх3) х=ф(О = 1—3 cos3/, /0= О
дх I £,=ф«) | &=-ф(О
dQ
ду
= (1 —Зу2) L=q>(0 = 1—3 sin2/, /0 =0.
I г/=’ИО
Содда цисоблашлар ёрдамида h ни топамиз:
2Л
— 3 cos2/) + (1—3 sin2/)]d/=—— I (— 1) d/= —1 <0.
2л J
о
Шуидай цилиб, h < 0 ва демак, (11.86) ёпиц траектория туррун. Бу траекторияга
нисбатан ички траекториялар С>0 га, ташци ^траекториялар эса —1 < С < 0 ций-
матларга мос келади.
7-§. ЛИМИТ ДАВРАЛАРНИНГ МАВЖУДЛИК БЕЛГИСИ
—ЧЯП
1 . со-лимит туплам (п — ихтиёрий). (10.2) системанинг бирор
<р(() ечими да анидланган булиб, t нинг шу цийматларида
очик Da тупламда жойлашган ёпиц чегараланган туплам F дан чи-
циб кетмасин.
11 .10-таъриф. Агар t нинг t0 дан катта ^ийматларининг
шундай чегаралан'маган усувчи кетма-кетлиги
tu t2, . . ., tk, , lim^ — +oo
naet^cyd б^лсаки, (10.2) системанинг tp(Z) ечими учун ушбу
limtp(/J = p, p£F
k-^co
муносабат уринли булса, у Ушолда р ну^та <р(/) ечимнинг со- ли-
мит нуцтаси дейилади.
Агар t нинг t0 дан кичик 1$лйматларининг шундай чегаралан-
маган камаювчи кетма-кетлиги
t„ t,, ... ,t., . . ., lim£.=—оо
Rv^OO
мавжуд булсаки, (10.2) системанинг бирор ечими учун ушбу
limWJ = q, q£F
/?’-* ОО
муносабат уринли булса, у %олда q нуцта ф(Л ечимнинг а-лимит
нуцтаси дейилади.
<p(t) ечимнинг барча со- лимит ну^талари тупламини £2 деб бел-
гилаймиз. Шу тупламнинг хоссаларини урганиш ма^садида куйида
ги теоремани келтирамиз.
11.14-теорема. (10.2) системанинг а-лимит туплами Q буш
змас, чегараланган, ёпиц ва бутун траекториялардан ташкил
топган. Охирги иборанинг маъноси шуки, агар ?££2 булса (0,£)
бошлангич цийматларга эга булган ечим <р(£,Е) t нинг барча />0
цийматларида аникланган булиб, с £2 муносабат Гринли бу-
лади.
Исбот. F туплам £>s да ёпшу ва чегараланган булгани учун £2
туплам буш эмас ва чегараланган. Унинг ёпицлигини курсатамиз.
£2 туплемдан F тупламнинг р нуцтгсига яцинлашувчи
Pi. р2, ... рк, .
нудталар кетма-кетлигини оламиз. р££2 эканини исбот этамиз. Уш-
бу Ci, е2, ... ,ek, ... ва sp s2.....sk, . . .кетма-кетликларучун
lim ek = 0, lim sk = оо
k~+<x> k^oo
тенгликлар уринли булсин. pftg£2, бундан шундай tk > sfc топила-
дики,
экани. келиб чикади. Топилган tlt t2,.......tk,. . lim^= 4-oo
лар учун
lim <p(L) = p,
бундан p££2.
Нифонт, £2 туплам бутун траекториялардан иборат эканини ис-
бот этамиз. £ ну^та £2 дан олинган ихтиёрий нуцта булиб, <р(/,£)
ечим (0, ?,) бошлангич г^ийматларга эга булсин. Энди Т (мусбат
ёки манфий) t нинг шундай цийматики, <р(/,|) нуцта мавжуд, яъни
|££2. Шунинг учун шундай чексиз усувчи
^1» • • •• /*••••» Hm tk = +оо
кетма-кетлик мавжудки, lim <р (t.) = £ (11.87)
А<0О>
муносабат уринли булади. ср(/) ечим t нинг етарли катта циймат-
ларида аницлангани учун бирор k дан бошлаб берилган Т учун
(П.12) га асосан
ф(^ + Т) = ср(Т, ф(у)
нуцталар аникланган. (11.87) га кура бундан
lim cp(/ft + 7) = lim <р(7, ф(у) = <р(7Л)
k~*<x> &->со
ёки <р(7,£) нуцта Q тупламга тегишли экани келиб чицади. Де-
мак, ф(/Л)€^- Шундай цилиб, t нинг камаювчи цийматлари учун
цам, усувчи цийматлари учун цам <р(/,£) траектория F тупламдан
чициб кета олмайди. Демак, cp(/,g) траектория t нинг барча циймат-
ларида аницланган булади. Теорема исбот булди.
со-лимит тупламга мисоллар: 1) ср(/)=х°, х°—мувозанат цолати.
Бу цолда й^хобулиб, со- лимит туплам битта нуцтадан иборат; 2) ср(/)
ечим ёпиц К траекторияни тасвирлайдиган даврий булса, у цолда шу
Ф(/) ечимнинг co-лимит туплами бутун /С траекториядан иборат, яъни
3) Агар /<—даврий ечимга мос ёпиц траектория булиб, ср(/)
унга да ураладиган ечим булса, у цолда шу ср(/) ечим учун
цам 2) цолдагидек со- лимит туплам /< дан иборат булади; 4) Агар
К- даврий ечим булиб, ср(/) ечим t-+—оо да унга ураладиган ечим
булса, у цолда /С траектория ср(/) ечимнинг а- лимит тупламидан
иборат булади; 5) Агар ср(/) = х° булиб, х0- мувозанат цолати бул-
са, у цолда х° нуцта фацат co-лимит тупламгина булиб цолмай, у
а-лимит туплам цам булади; 6) Агар п=2 булганда ёпиц К тра-
екториянинг ичидаги унга етарли яцин ихтиёрий ср(/) ечим /->-(-оо
да, ташцарисидаги унга етарли яцин ихтиёрий ф(/) ечим оо
да /< траекторияга уралса цамда K—Q, туплам (траектория) <р(/)
ечим учун со- лимит туплам булса, бу туплам ф(/) ечим учун а-ли-
мит туплам булади; 7) Равшанки, чекли интервалда аницланган ср(/)
ечимларнинг на со- лимит ва на а- лимит тупламлари булади. Бу те-
гишли лимит тупламларнинг таърифидан куринади.
2. Ёпиц траекторияларнинг мавжудлиги.
1 1.15-теорема (п=2). (10.2) системаиинг унг томони очиц
Do тупламда аницланган булиб'. F- бу тупламнинг ёпиц чегараланган
цисми булсин. ср(/) функция (10.2) системанинг t нинг барча t~^t0
цийматларида аницланган ва F тупламдан чицмайдиган ечими, Q
зса унинг со- лимит туплами дейлик. Агар Q теплом мувозанат
цолатларини уз ичига олмаса, бу цолда у фацат битта К ёпиц
траекториядан иборат булади. Бунда икки цол юз бериши мумкин:
1) ф(0' даврий ечим булиб, К-унга мос траектория',
2) . <р(/) ечимга мос траектория /->4~оо да К ёпиц траекто-
рияга спирал каби уралади*).
•) Бу теорема исботини [1] китобдан уциш мумкин.
Натижа. Агар (10.2) системанинг (п~2 да) $нг томэнидаги
fi(x), f2(x) функциялар аналитик булса, у %олда 11.15.- теорема-
даги 2) %олда К даврий ечим лимт давра булади.
Исбот. Курилаётган $олда <р(^Л) функция glt S2 ларнинг ана-
литик функцияси булади. Эргаш функцияни цуришда L кесма х—
=g(o), gy, g2- аналитик функциялар, параметрик тенглама билан
берилган деб цараймиз. y(z/) — и функциянинг нолларига даврий
ечимлар мос келади. х(«) функция хам аналитик булгани учун цуй-
идаги иккита бири иккинчисини инкор этадиган ^ол юз беради: 1) К
лимит давра, бу и0 нуцта Х(и) —и функциянинг ажратилган ноли
булган ^ол; 2) Даврий ечим Д' даврий ечимлар оиласига киради.
Бу х(м)—и функция айнан нолга тенг булган ^ол. Агар /С траек-
ториям цандайдир бойца траектория спирал каби уралса, у ^олда
/С даврий ечимлар оиласига мансуб булмайди ва албатта, лимит
давра булади. Натижа исбот булди.*
3. Ёпи^ траекгорияларнинг мавжуд булмаслигя. Биз бу пунктда
ёпи^ траекториялар мавжуд булмаслигинин г куйидаги иккита бел-
гиси билан танишамиз.
11. 16-теорема (Бендиксон белгиси). (11.83) систгма-
нинг унг томэнидаги Р(х,у) ва Q(x,y) функциялар бирор D2 cola-
da аницланган ва биринчи тартибли хусусий цосилалари билан
узлуксиз булсин. Агар D*cz.D.t ёпиц сохада В(х,у) — ^дОбмч
дх ду
функция уз ишорасини узгартирмаса ва айнан нолга тенг булма-
са, у %олда D* сохада (д£)*=Г) (11.83) систгмэнинг траектория-
ларидан тузилган ёпиц чизиц мавжуд эмас.
Исбот. Ю^орида келтирилган В(х,у) функциядан Dz со^а буй-
ича интеграл оламиз ва Грин фэрмуласидан фэйдаланиб, ушбу
J J + J dxdy == §(Pdy + Qdx) (11.88)
(О’) Г
тенгликни ёзамиз, бунда Г чизи^Р* со^анинг чегараси (контури).
Агар Г контур (11.83) системанинг траекториясидан иборат булса, у
холда — дан шу Г буйича Pdy — Qdx s 0 айният келиб чи-
dx Р
цади. Демак, бу ^олда (11.88) тенгликнинг чап томонидаги икки
каррали интеграл ^зм нолга тенг булиши керак. Аммо теореманинг
шарти буйича дР^х,у^. . р д®‘х0, (x,y)£D*. Ундай булса, те-
бя ду
гишли интеграл нолга тенг булиши учун бу ифэда Г нинг ичида
уз ишорасини узгартириши зарур. Бу теореманинг шартига зид. Шу
билан теорема исбот булди.
11.17-теорема (Дюлак-Бе ндиксон белгиси). (11.83)
системанинг унг томонидаги Р(х,у), Q(x,g) функциялар ва бирор
R(x,y)^0 функция D'2 сохада аницланган ва биринчи тартибли
хусусий \осилалари билан узлуксиз булсин. Агар D* сичц сохада
D(x,y) = — (К(Х,У) Р(х> УУ) + ~ (R(x,y) Q(x>y) функция уз ишораси-
дх ду
ни узгартирмаса ва айнан нолга тенг булмаса, у цолда D* соцада
(11.83) системанинг траекторияларидан тузилган ёпиц чизиц мав-
жуд эмас.
Исбот. Яна аввалги теоремадаги каби D2 соца буйича D(x,y)
функциядан олинган икки каррали интеграл учун Грин формуласи-
ни ёзамиз (dD* = L);
Jj [£ т+ = j)[R(Pdy~-Qdx)].
(О*)
Энди 7?^0, (х,у) £D* булгани учун Г контур траекториядан ибо-
рат булганда теореманинг шарт лар ига кура зиддиятга келамиз. Те-
орема исбот булди.
Мисоллар. 1. Ушбу
{X = 1ХХ,
У=^ (Хх,Х2—х.ациций)
система ёпиц траекторияларга эга эмас. Бу натижа бизга маълум, чунки
юцоридаги системанинг цолат траекториялари текислигини Хх ва Х3 ларнинг барча
цациций булган цолларида курганмиз Цозир Дюлак-Бендиксон белгисини цулла-
ииб курамиз. Равшанки, Р=Ххх, Q = дан В —--------1—- = 1х + 1а. Агар !•+
дх ду
4~Ха=£0 булса, Бендиксон белгисига кура берилган система ёпиц траекторияларга
эга эмас. Агар Хх += 0 булса, В—0 булади ва бу белги натижа бермайди. Шу
Д’
цолда, яъни Хх-|-Ха = 0 булганда R(x,y) — е2 ёки R(x,y)=e2 дейилса, биринчи
цолда D(x,y) = IjX2, иккинчи х.олда эса Ь(х,у) = 12у2 ифодаларга эга буламиз. Ву-
ларда D(x,y) функциянинг ишораси Хх ёки Х2 ларнинг ишораси билан аницланади
ва айнан нолга тенг эмас. Шундай цнлиб, Дюлак-Бендиксон белгиси буйича берил-
ган система ёпиц траекторияларга эга эмас.
2. Ушбу Г ' .
« I х=ах
U = АН- ау
дР dQ
тебранма системанинг ёпиц траекторияларини текширайлик. Унда — = — = а бу-
дх ду
либ, Ь(х,у) = 2с булади. Агар а^О булса, Бендиксон белгнсига кура ёпиц траек-
ториялар мавжуд эмас. Агар а — 0 булса, В(х,у) = 0 ва Бендиксон белгиси нати-
жа бермайди. Аммо биз биламизки, юцоридаги система учун.0=0 булганда марказ
картинаси мавжуд. Шу х.олда Ляпуновнинг характеристик курсаткичи h = 0 ва
Х'(0) = 1, Х"(О)Е= • • = Х^\0) — . . . =0. Маълумки, бу цол марказ картина-
сига мансуб.
В-§. ЛАМПАЛИ ГЕНЕРАТОР ВА АНДРОНОВ МИСОЛИ
Биз мазкур параграфда даврий электр тебранишларининг манбаи
булган лампали генераторнинг соддалаштирилган цурилмасини ур-
ганамиз. Лампали генераторнинг чизицли булмаган тенгламасини
биринчи марта А. А. Андронов урганиб, даврий тебранма сунмас
царакатлар математик тушунчалардан лимит даврага мос келишини
исботлади.
1. Триод — aks уч цутблик булиб, унинг шарт-
ли тасвири 82-чизмада берилган, унда а-анод,
k- катод, s—тур. s ва k цутблар орасига Us тур
кучланганлиги берилади, аммо s ва k цутблар
орасида ток булмайди; а цутбдан k цутбга лампа
ортали анод токи 1а оцади. Триод ишини изоцлай-
диган цонун ушбу
4 = №) (11.89)
формула билан берилади. Бунда f — триоднинг
характеристиками дейилади. Триод характеристи-
каси мусбат, монотон усувчи ва ушбу
limf(L7s) = 0, limf([/s)==/
us —»4-оо "
82- чизма.
шартларни цаноатлантиради деб цисоблаймиз, /л,- триоднинг туйин.
ган токи (83-чизма). Одатда нуцта f(Os) функциянинг бури-
лиш нуцтаси деб ?царалади. Агар f" (ps) мавжуд булса, бу цолда
f' (0) = 0 булади.
2. Анод занжирида табранма контурли лампали генератор. Бу
генератор цуйидагича тузилган: у туртта тугунга эга: a, k, s, b;
f(Us) характеристикали a, k, s триоддан; С сигимли ak конденса-
тордан; R мицдорли ab царшиликдан; L мицдорли bk индуктивлик-
дан ва яна sk индуктивликдчн иборат (84-чизма). Индуктивл'иклар
узаро манфий узиндукция.—М. билан боглангаи. Ушбу /Ьа = Ikb — I
белгилашни киритамиз. 1а- анод токи, /fta= ka конденсатор орцали
утадиган ток булса, Кирхгофнинг биринчи цонунига [кура [1]
f+'^a = fa- 8(11-90)
Триоднинг хоссасига .кура
Zsfe = 0- (11.91)
Агар kbak тебранма (контурга) занжирга Кирхгофнинг иккинчи цо-
нунини татбиц этсак [1]
ёки
L^b+^ba+~{ak = G (11.92)
иккинчи тартибли дифференциал тенгламага келамиз. Энди kb ва ks
индуктивликлар орасидаги узиндукцияга кура
t/a = A14b (11.93)
муносабатни цссил киламиз. Шундай [цилиб, (11.90) — (11.93) му-
иосабатлардан ушбу
L/ + tf/ + ± Z=±f(M/) (11.94)
О с*
иккинчи тартибли чизицли бир жинсли булмаган дифференциал
тенглама келиб чицади. Z = 1Ъ 71==4 деб белгиласак, (11.94) тенг-
ламани каноник куринишда ёзиш мумкин:
4=4,
ёки
булганда:
]/*i = 4 (11-95)
Бу системаиинг мувозанат цолатини топиш цийин эмас:
12 = 0, — со2 Z± + f (0) = 0 ёки /2 = 0, Ц =f(0)-
Демак, (f(0), 0) нуцта Zj, Z2 узгарувчилар текислигида (11.95)[сис-
теманинг мувозанат цолати. Шу мувозанат цолатининг тургунлиги
ва унинг атрофидаги траекториялар цацида цуйидаги теорема урин-
ли.
11 .18-теорем а. (\\.95) системаиинг мувозанат цолати (f(0), 0)
R>~f'(O) (11.96)
тенгсизлик бажарилганда асимптотик тургун,
(11.97)
(35-чизма). (11.93) га асосан
тенгсизлик бажарилганда бутунлай туррунмас булади. It, /2 уз-
гарувчилар текислигининг чексиз узоцлашган нуцтаси Цамма лол-
ларда %ам бутунлай туррунмас, яъни Ilt /2 лар текислигида
шундай катта К дойра борки, (И.95) системанинг %ар бир траек-
торияси бирор моментдан бошлаб шу доирага келади еа унда мо-
лоди. (11.97) тенгсизлик бажарилганда цам f ((0), 0)) нуцта бутун-
лай туррунмас булади. 11.15- теоремага кура мувозанат хрлати-
дан фарц циладиган ихтиёрий траекториянинг со- лимит туплами
ёпиц траектория булади. Шундай килиб, (11.97) тенгсизлик ба-
жарилганда лампали генератор
даврий сунмгс электр тебраниш-
лари минбаидир.
Исбот. (11.95) системада
=x + f(O), I.2=y (11.98)
алмаштиришни бажарамиз:
х = у,
• 2 ох , , ч (И.99)
1У = — со2х — 2 б у + g (у),
бунда g(y) = -~[f(My)— f(0)]
(11.99) системанинг мувозанат ^олати х, у узгарувчилар текислиги-
да координата бэшч (0, 0) нуктадан иборат. Энди (11.99) системани
чизицлаштирамиз, унга мос биринчи я^инлашиш системаси
У = —й>2х—2бу +у (0)с/
каби ёзилади. Унинг характеристик купдад и
V + (26 — g'(0)) X + со2
тургун булиши учун 2 6 — g' (0) >0 булиши зарур ва етарли, бундан
2 6>g'(0) келиб чикади ва у (11.97) тенгсизликнинг янги белгилащ-
лар ёрдамида ёзилишидан иборат. Равшанки, 2 6<g'(0), яъни
(11.96) тенгсизлик бажарилса, (0, 0) iiyiyra бутунлай тургунмас
булади. Теореманинг бир цисми исбот этилди.
(11.99) системанинг траекторияларини текиеликнинг узо^ ^исм-
ларида урганамиз, баъзида траекторияларни глобал урганамиз ^ам
дейишади. Бунинг учун Ляпуновнинг биринчи методини ^улланамиз.
Ушбу
у = — со2х — 2 6 у
(11.101)
чизикли системани олайлик. Уни (11.99) системадан бутун текис-
ликда чегараланган g(y) ^адини ташлаб юээриш йули билан ^осил
гнилищ мумкин. (11.101) системанинг характеристик куп^ади
Z24-26X + co2
булиб, 2 6>0, co2>O тенгсизликларга кура бу купхад тургун.
Шунинг учун 11.3-леммага асосан (11.101) система учун ушбу
^(и.1С1)(*, У) IW, У) (П.Ю2)
((11.18) га царанг) тенгсизликни каноатлантирадиган Ляпунов функ-
цияси W (х, у) мавжуд. Энди шу W (х, у) функциядан t буйича
(11.99) системага кура росила оламиз:
(v«)=.V»A (Ч ЮЗ)
Аммо (11.14) тенгсизлккдан |xj < у ИЧ*,. - - хп> келиб- чиццанли-
гидан W (х, у) учун
—I < 1 / г <* У)
Sl/j Г Ц,
тенгсизлик хссил булади. Шундай цилиб,
dW(x,y) _ ifVlx. у) ; Тс
-^-g(y) <Т1|/ = (х,у), У =
муносабатга эгамиз. Энди
десак, (11.103) дан куйидаги муносабат келиб чицади:
^(п.99) (х> У)^~ 2aF(x, у), агар IF (х, у) > с2. Г(Ц.Ю4)
Равшанки, W (х, у) — икки аргументнинг квадратик формаси бул-
гани учун
lF(x, у) = с2 (11.105)
тенглама эллипсни тасвирлайди. (11.104) мунссабатдан куринадики,
(11.105) эллипсга тегишли (х, у) нуцтада W (х, у) функция (11.99)
системанинг шу нукдадан утадиган траекторияси буйлаб камаяди.
Шундай цилиб, (11.99) системанинг барча траектория лари (11.105)
эллипсни кесиб утиб, унинг ичига киради. Энди
X = <Р (0, У = Ф (0
(11.106)
тенглама (11.99) системанинг (11.105) эллипсдан ташкарида ётган
(£, ц) нуцтадан утадиган траекториясининг параметрик тенгламаси
булсин. Шу траектория буйлаб W(х, у) функцияни текширамиз.
Агар
о(0 = Г(ф(0, Ф(0)
деб белгиласак, со(/) учун
со (0 «С — 2 а со (/)
со (/)’> с2)
муносабатни ёзиш мумкин. Бу тенгсизликнинг икки томонини 0 дан
t гача интеграллаймиз:
In со (f) |* —2 at
ёки
1псо(/) 1псо(0) —2а/
ёки
1п1Г(ср (t), ф (/)) In 117 (ф (0), -ф (0))—2 at
ёки
ww. п)е~2а'.
Охирги тенгсизликдан куринадики, (11.105) траектория /* =я
1 с3
=------ In .— моментда (11.105) эллипсни кесиб, сунгра шу
2а W (§, г])
(С^ \
t* > 0, чунки а > 0, 0 <Z —j < 1 J.
Шу билан бирга цеч бир траектория эллипсдан чициб кета олмайди,
чунки унинг чегаравий нуцталаридан траекториялар фацат эллипс
ичига киради.
Текисликда (11.105) эллипсни уз ичига олган бирор айлана ни
/С дейлик. Юцоридаги мулбцазалардан (11.99) системаиинг исталган
траекторияси шу К айланага киради ва ундан цайтиб чицмайди.
Бунда мувозанат цолатидан фарцли траекториялар кузда тутилади.
Аммо биз бутунлай тургунмас мувозанат цолати (0, 0) билан
иш кураяпмиз (текисликнинг узоц цисмларида траекториялар урга-
нилаяпти). Шунинг учун цар бир траекториянинг со-лимит туплами-
га шу (0, 0) нуцта кирмайди. Демак, 11.15- теоремага кура (11.106)
траектория ё даврий ечимга спирал каби уралади ёки узи даврий
ечимдир.
Шу билан 11.18-теорема тула исбот булди.
3. Андронов мисоли. А. А. Андронов лампали генераторнинг
характеристикаси учун цуйидаги муцим хусусий цолни курган эди:
, . . lb, у>0; ё>0,
е{у}={о.,<о.
^улайлик учун f (0) =
ва g(y) = (11.107)
( со а, у > 0
функцияни курамиз. Юцоридаги функцияни узгарувчини алмашти-
риш йули билан (11Л07) куринишга келтирса булади. Бу (11.107)
функция бутун текисликда аницланган булиб, булакли- узгармасдир.
Энди (11.99) системани шу функция ёрдамида ёзамиз: агар у>0
булса, царакат
Х = У,
у = — (1)2Х— 2 6 У —С02£7
системанинг траекторияси буйича, у<0 булганда эса
х = у,
у = — и2х — 26t/ — CDZO
(11.108)
(11.109)
системанинг траекторияси буйича содир булади. Биз Z2 + 2 6Z + со2
купхаднинг илдизлари комплекс деб цараймиз. Бу х°лда (И-101)
системанинг мувозанат холати тургун фокус булади. (11.108) ва
(11.109) системалар (11.101) системадан шу билан фарх хилэди-
ларки, уларнинг мувозанат нухталари координата бсшидан мос ра-
вишда (а, 0) ва (— а, 0) нухталарга силжиган. Бундан ташцари,
Хар икки холда хам
— arg(x, ^)=_Sr*2+2^^2 <Q
dt х* + J/2
тенгсизлик уринли, буни (10.37) формулага асосан хиссблаш осон.
Демак, (11.98) ва (11.99) системаларнинг траекториялари буйлаб
Холат тезлиги вектори соат стрелкаси йуналишида манфий йуна-
лишда бурилади (86-чизма, а, б) Энди (11.99) системанинг траек-
торияларини текисликда тесвирлашга утамиз. Юкори ярим текисликда
бирор (£ т])> *)>0 нухта олиб, бу нухтадан (11.98) системанинг
траекторияси (спирали) буйича абсцисса ух билан кесишгунча ха"
ракат хчламиз; кесишиш нухтасининг абсциссаси а дан катта бу-
лади, бу равшан. Су игра шу нухтадан (11.99) системанинг траек-
торияси буйлаб абсцисса ук.и билан кесишгунча хаРакат хиламиз,
кесишиш нухтаси (—а, 0) дан чапда ётади. Шунга ухшаш, (х, у)
текислигини (11.99) системанинг траекториялари билан тулдирамиз.
Унинг учун (L Т|) нухтани ихтиёрий танлаб олиш етарли. Энди
ясалган траекториялар ичидан ёпих траектория излаймиз. Бунинг
учун (11.99) системанинг абсцисса у^ида ётган (£, 0), £>0 нуцта-
дан чикадиган траекториясини оламиз. Шуб^асиз, £>0 булгани
учун а<Л булади. Олинган нуцтадан (11.109) системанинг траек-
торияси буйлаб ^аракат циламиз. Бу траектория (g, 0), £>0 нуц-
тадан чициб, навбатда абсцисса уци билан (g_x, 0), ^_±<:0 ну^та-
да кесишади. (£, 0) нуцтадан (—а, 0) нуцтагача масофа а + £ булиб,
^осил булган (£_ъ 0) нуцтадан шу (—а, 0) нуцтагача масофа албат-
таХ(а-|-£), Х<1 булади (чунки (—а, 0) нуцта тургун фокус).
Демак, (£_!, 0) нуцтанинг абсциссасини топсак:
g_i = — ц — Z (а + g) = — [а + Z (а + g)].
Энди шу (£_ъ 0) нуктадан харакат юцори ярим текисликка (11.108)
системанинг траекторияси буйлаб давом этади. Абсцисса уци билан
навбатдаги кесишиш нуктасининг абсциссасини g2 деймиз. Бунда gs
учун ушбу
g2 = а + К (2а + X (а + £)]
формула хссил булади. Равшанки, абсцисса укида х = а нуктадан
унгда жсйлашган L кесма олинса, ва E2EL муносабатлар (урин-
ли. Шунинг учун = X (g) дейиш мумкин, яъни:
X(g) = а + Ха + Х2а 4-7Д.
Бу (11.99) системанинг эргаш
функциясидир. Ёпи!^ траекторияни
излаш учун
a + 2Xa + X2a^-X2g = g
тенгламани ечиш лозим. Бундан £
учун ягона кийматни (ечимни)
топамиз:
—
д(1 4-Х)2 _ а (Г-рX)
1—X2 ~ 1—X
8 7 - чизма.
Демак, (11.99) системанинг ягона/С траекторияси мавжуд. Шу-
нинг учун /С лимит давра булади. Энди %' (g0)<X2< 1 тенгсизлик-
дан шу лимит давра (цупол) тургун давра экани келиб чицади (87-
чизма).
12- боб
БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ХУСУСИЙ ХОСИЛАЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ТЕНГЛАМАЛАР '
1. §. ЕЧИМНИНГ МАВЖУДЛИГИ ВА ЯГОНАЛИГИ ЦАЦИДА
1. Асосий тушунчалар. Мазкур китобнинг кириш цисмида хусу-
сий цосилали дифференциал тенгламалар тугрисида тушунча берган
эдик. Умумий цолда п та хъ ... , хп эркли узгарувчили хусусий
цосилали тенгламани ушбу
р v ди ди д3и д2и
1 л-i. ... , Л . U., , • • • , -Л \ o'« - 1
dxL дхп gx- dx1dx.i
‘Sp <I2|>
куринишда ёзиш мумкин. Бунда F— уз аргументларининг берилган
функциясидир. (12.1) тенгламада иштирок этаётган номаълум функ-
ция цосиласининг энг юцори тартибини щу тенгламанинг тартиби
дейилади. (12.1) тенгламанинг ечими деб, . . . хп ларнинг бирор
узгариш со хасид а тенгламага кирган, узин ин г цосилалари билан аниц-
ланган ва тенгламани айниятга айлантирадиган и = а (хо ... , хп)
функцияни айтилади.
Ушбу
p'xi> ... хп, и, ... ,» = 0 (12.2)
\ дх± ' охп /
куринишдаги тенглама биринчи тартибли п та узгарувчили хусу-
сий хрсилали тенглама дейилади.
Биринчи тартибли хусусий цосилалар учун купинча цисцартирил-
ган ушбу
Ои ди ди
— = Pi. — = Ра- рп
dxt дх2 дХц
белгилашлар ишлатилиб, булар ёрдамида (12.2) тенглама бундай
ёзилади:
р = (*Ь ... , Хп, и, р1г ... , ра) = 0. (12.2')
Эркли узгарувчилар сони иккита булган цолда уларни х ва у,
номаълум функцияни г, цосилаларни эса — = р, =а орцали бел-
дх ду
гилаб, тенгламани
F (x, у, z, p,q) = O
(12.3)
куринишда ёзилади.
. Маълумки, n- тартибли оддий дифференциал тенглама чексиз
куп ечимларга эга. Хусусий ^осилали дифференциал тенгламаларда
эркли узгарувчиларнинг сони биттадан ортиц булгани учун бундай
тенгламалар ^ам чексиз куп ечимга эга эканлигини кутиш мумкин. •
Мисоллар. 1. Номаълум г (х, у) функция учун
тенглама г (х, у) нинг х га бен лик эмаслигиии курсатади. Демак,
г = <р (у),
бунда ср (у) — у нинг ихтиёрий функцияси.
2. Ушбу
дг(х,у) дг (х, у)
дх ду
хусусий >;осилали тенглама эркли узгарувчиларни
*4-0 = £, x — y = t]
формулалар ёрдамида алмаштириш наиокасида
dv (£, ч)
2 —^-^ = 0
<Эт]
куриниш! а келади, бунда г (х, у) — v (£, т]).
Охирги тенгламадан о(£, гр) функция т] га боглиц эд аслиги келиб чицади. Шу-
нинг учун
с (Е, Ч) = <р(£)
деб ёзиш мумкин, бунда <р (£) — £ нинг ихтиёрий функцияси.
Демак, г (х, у) = ср (х + у). Худди шунга ухшаш, а ва f лар узгармас цациций
сонлар булса,
дг дг
сх — 6 = 0
дх ’ ду
тенгламанинг ечими учун г (х, у) = <р (fx + ay) ни цосил циламиз, бунда <р (рх +
+ ay) — ихтиёрий функция.
3. Ушбу
(х’У) _ 0
дхду
ёки
дг
тенгламани курамиз. Уни х буйича интеграллаб, — = <р (у) тенгламани цосил цила-
ду
миз, бунда у нинг ихтиёрий функцияси <р (у). Энди у буйича интеграллаб,
г(*.У) = $ <Р (S') + <Рг (*)
тенгликни цосил циламиз, бунда х нинг ихтиёрий функцияси <рх (х). J ср (у) dy = <р2 (у)
деб белгилаб, натижада г (х, у) = <рх (х) + <р2 (у) формулага эга буламиз, бунда
ср (у) ихтиёрий булгани учуй ср2 (у) хам у нинг ихтиёрий дифференциаллаиувчи
фуикциясидир.
Юцорида келтирилган мисоллар биринчи тартибли хусусий ^осй-
лали дифференциал тенгламанинг барча ечимлари формуласи, яъци
умумий ечими битта ихтиёрий функцияга, иккинчи тартиблиники и'к-
кита ихтиёрий функцияга, т- тартибли тенгламанинг умумий ечйми
т та ихтиёрий функцияга боглиц булиши керак деган фикрга олиб
келади. Бу фикр тугри булса-да, лекин уни аницлаш зарур. Шу мац-
садда хусусий ^осилали дифференциал тенглама ечимларининг мав-
жудлиги ва ягоналиги ^а^идаги С. В. Ковалевская теоремасини
келтирамиз. т- тартибли ю^ори ^осилалардан биттасига нисбатан
ечилган ушбу
ди дги дт и\
Sx2 ’ dxj дх„ ’ дх™ /
д”1-! и
дх\п~1 ’
(12.4)
тенгламани курамиз. Оддий дифференциал тенгламаларга ухшаш
(12.4) тенглама учун ^тм маълум шартларни, масалан, бошлангич
шартларни каноатлантирадиган ечимни топиш масаласини цуйиш
мумкин. (12.4) тенглама учун бошлангич шартлар куйидаги кури-
нишда булади:
хх = х° да
и = Фо(*2..........*„), — = Ч>1 (х2, ... , Х„),
ОХ±
, = Фт_, (х2, • , х„), (12.5)
бунда ф0> Ф1 • • • » Фт-1—берилган функциялар. (12.4) тенглама-
нинг (12.5) шартларни каноатлантирадиган ечимини топишни Коши
'Масаласи Дейилади.
2. Ковалевская теоремаси. Агар (12.5) бошлангич шартда берил-
ган (р0, ф1, . . . , фга_г функциялар бошлангич (х°, . . . , х°) нуц-
танинг атрофида аналитик функция, f функция эса уз аргумзнт-
ларинииг ушбу бошлангич цийматлари х°, х°, ... , х°,
«о = Фо (*°> • • • *°)> (т1) = Фх (*°> • • • , ,
атрофида аналитик булса, у %олда (12.4) тенгламанинг (х°, . . . ,
х°) нуцта атрофида аналитик булган бирдан-бир ягона ечими
мавжуд.:
Шундай цилиб, Ковалевская теоремасига асосан (12.4), (12.5)
масаланинг ечими бошлангич <р0, ... , <рп1 функциялар ёрдамида
аницланади.
Келтирилган теореманинг исботи аналитик функциялар назария-
сига асосланган булгани учун биз уни келтирмаймиз.
Шу нарсани таъкидлаб утамизки, (12.4), (12.5) масала кичик со-
цада, яъни (х°, х°, . . . , х°) нуцтанинг етарли кичик атрофида цу-
йилган булиб, шу атрофда бирдан-бир ечимга эгадир.
3. Коши масаласининг геометрик интерпретацияси. Эркли узга-
рувчиларнинг сони иккита булган цолда биринчи тартибли хусусий
цосилали дифференциал тенгламани интеграллаш масаласи цамда
Коши масаласи жуда содда геометрик интерпретацияга эга. Биринчи
тартибли (12.3) тенгламани ёки хусусий цосилалардан биттасига
нисбатан ечилган ушбу
p = f(x,y,z,q) (12.3')
тенгламани текширамиз.
(12. 3) ёки (12. 3') тенгламанинг ечимини топиш
г = Ф(х,у) (12.6)
функцияни топиш демакдир.
(12.6) функция (х, у, z) узгарувчиларнинг фазосида сиртни ифо-
далайди, бу сиртни одатда (12.3) ёки (12.3') тенгламанинг интеграл
сирти дейилади. Демак, хусусий цосилали дифференциал тенглама-
нинг ечимларини топиш масаласи интеграл сиртларни топиш масала-
сидан иборатдир.
Агар (12.6) ни сиртни аницлайдиган тенглама деб царасак, бу
сиртга (х, у, z)j нуцтада утказилган уринма текислик
ёки
7 - <5Ф / v \ I ^Ф /V \
Z—z = —(X —х)+— (Y — y)
дх ду
Z-z = p(X-x)+q(Y-y)
тенглама билан ифодаланади, бунда X, Y, Z узгарувчи координата-
лар, р ва q лар уринма текислик нинг бурчак коэффициентларидир.
Шундай цилиб, берилган хусусий цосилали (12.3) тенглама изла-
наётган интеграл сирт нуцтасининг х, у, z координаталари билан бу
сиртга шу нуцтада утказилган уринма текисликнинг бурчак коэффй-
циентлари р ва q орасидаги муносабатни ифодалайди. (12.3') тен1-
лама учун Коши масаласи цам содда интерпретацияга эга. (12.3')
тенглама учун Коши мгсаласи бундай цуйилади: (12.3') тенглама-
нинг шундай ечими топилсинки, у ечим х узгарувчининг берилган
бошлангич цийматида у узгарувчининг берилган функциясига тенг
булсин, яъни
х = х0, z=>q(y), (12.7)
(12.7) тенглама фазода эгри чизицни ифодалайди. Демак, Коши ма-
саласи берилган (12.7) эгри чизицдан утувчи интеграл сиртни топиш-
дан иборат. (12.7) эгри чизиц махсус куринишга эгадир; у YOZ те-
кисликка параллел булган х = х0 текисликда ётувчи ясси эгри чи-
зицдан иборат. Узгарувчиларнинг бундай тенг ^уцуцли эмаслиги
(12.3) тенгламада х узгарувчининг махсус роль уйнаётганлигйдан
келиб чицади. Агар тенглама (12.3) куринишда берилган булса, Коши
масаласини шундай цуйиш мумкинки, узгарувчиларнинг цеч цайсиси
махсус ролни уйнамайди. Кошининг бундай умумлашган масаласи
цуйидагича цуйилади: (12.3) тенгламанинг берилган
х= ф(0. У = Ф(0> z =
эгри чизикдан утувчи интеграл сирти топилсин. Эслатиб утамизки,
икки узгарувчили дифференциал тенглама учун ишлатилган геомет-
рик терминларни узгарувчиларнинг сони куп булган цолда цам иш-
латиш мумкин. xL, х2, ... , хп, и узгарувчиларнинг сонли киймат-
лари тупламини (л + 1) улчовли фазонинг нуцтаси, бу фазода (12.2)
тенгламанинг ушбу
« = Ф (хь ... , Хп)
куринншдаги ечими эса п улчовли интеграл гиперсирт ёки сирт
дейилади. Кошининг бошлангич сиртлари, масалан, L(n — 1) улчовли
(-4 = х° да) и == ф (х2, ... , хп)
гиперсиртдан иборат булиб, бу сирт орцали изланаётган интеграл
гиперсирт утиши керак.
Юцорида келтирилган Ковалевская теоремасига асосан тенгламада
бошлангич шартларда иштирок этаётган функциялар аналитик булса,
бу тенгламанинг ихтиёрий функцияларга боглиц булган аналитик
ечимларининг тупламини, яъни умумий ечимини цосил цилиш мум-
кин. Аммо жуда куп тенгламалар учун умумий ечимнинг мавжудли-
ги цал цилинмаган.
Хусусий цосилали битта номаълум функцияли биринчи тартибли
тенгламалар иккита содда хоссага эга. Биринчидан, улар битта их-
тиёрий функцияга бог.ниц булган умумий ечимга эгадир. Иккинчидан,
хусусий цосилали биринчи тартибли тенгламани интеграллаш масала-
си оддий дифференциал тенгламалар системасини йнтеграллашга
келади.
Бу тенгламалар орасида бундай якин богланиш борлиги туфайли
хусусий цосилани биринчи тартибли тенгламалар назариясини оддий
дифференциал тенгламалар назарияси курсида баён цилиш табиийдир.
2- §. БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ХУСУСИЙ ДОСИЛА Л И ЧИЗИЦЛИ БИР ЖИНСЛИ
ТЕНГЛАМА
1. Дастлабки тушунчалар. Ушбу
X^xlt х2, ... , хп) ^+Х2(х1( х2, , хп)^+ . . . +
дх2
+ Xn(xlt х2, ..., хв)~~ = О (12.8)
тенгламани текширамиз. (12.8) тенгламани биринчи тартибли хусу-
сий. цосилали чизикли бир жинсли тенглама дейилади. (12.8) тенг-
ламанинг Xlt ... , Хп коэффициентлари берилган (х°, . . . , х°) нуц-
танинг бирор атрофида аницланган, узларининг биринчи тартибли
цосилалари билан узлуксиз цамда бир вацтда нолга айланмайди деб
фараз циламиз. Масалан,
1 л-э^о
деб цисоблашимиз мумкин.
(12.8) тенглама билан бир цаторда ушбу
dxi dx2__________________________ dxn (12 9)
(^1» • • • » xn) X2 C^l» • • r Xn) Xn (xx ...» хл)
симметрии формадаги оддий дифференциал тенгламалар системасини
текширамиз. Xlf . . . Хп коэффициентларга нисбатан юцорида цуйил-
ган шартларга асосан (12.9) система (и — 1) та эркли биринчи ин-
тегралларга эга:
ЯЧ*!- х„) ... , . . . , хп) =cn_t. (12.10)
Бу фактнинг тугрилиги (12.9) системаиинг ушбу (п — 1) та
dxx X, dx2 _ Х2 dxn^t Xn—i
(12-11)
Xn dx.. Xn dx„ Xn
тенгламаларнинг нормал. системасига тенг кучлилигидан, (12.11) сис-
тема учун нормал система интегралларининг мавжудлиги цацидаги
теорема шартларининг бажарилишидан келиб чицади. Интеграллар-
нинг (12.10) системаси хг, , хп узгарувчиларнинг фазосида (п — 1)
параметрли чизицлар оиласини аницлайди. Бу чизицларни (12.8) тенг-
ламанинг характеристикалари дейилади.
12. 1 - теорема. (12.9) систем! ихтиёрий биринчи ф(хх, ,
хп) = С интегралининг чап eyicx t хусусий цосилали (12.8) тенгла-
манинг ечимидан иборат.
Исбот. Биринчи интегралнинг таърифига асосан (12.9) система-
нинг ихтиёрий интеграл чизиги буйлаб ф функция айнан узгармасга
тенг булади, яъни ф = С. Демак,
йф = 2 dxt = 0. (12.12)
i=l 1
Бунда dxlt . . . , dxn i дифференциалларни (12.11) тенгликларга
асосан уларнинг цийматлари билан алмаштирсак, ушбу
Г дф Хг . Эф Х2 . I Эф А„1 ___q
[Эхх Хп Эха Ха Эх„ Хп ] " ~
ёки
+х2 -У- + . . . + Хя^ = о (12.13)
дх± дх2 дхп
айцият цосил булади.
(12.9) система интеграл чизицлари учун хи х2, ... , хп узга-
рувчиларнинг текширилаётган узгариш со^асининг ^ар бир нуцтасида
ягоналик уринли ва (12.13) айниятнинг чап темени Clt ... , Cn i
узгармасларга боглиц булмайди. Шундай цилиб, (12.13) айният бирор-
интеграл чизиц буйлаб уринли булибгина колмай, балки барча тек-
ширилаётган сохада уринлидир, бу эса и — ф (хн • • • > хп) Функция
берилган (12.8) тенгламанинг ечими эканини билдиради.
12.2 - теорема. (12.8)) тенгламани цансстлантирадиган ихти-
ёрий^(х1, ... , хп) функцияни рзгармас сонга тенглаштирилса
(12.9) системанинг биринчи интеграли \осил булади.
Исбот. и = ф(хх, . . . , хп) функция (12.8) тенгламанинг ечими
булсин. У ^олда (12.13) айният уринли.
ф функциянинг тули^ дифференциалини хисеблаб, (12.9) ёки
(12.10) системага асосан цуйидаги тенгликка эга буламиз:
dxr + — dx2 +... + — dx —
дх, дх2 дхп
( дх,, дх2
<Эф\
дхп)
— dx
v «
+ . . . + X
1 1 п
Бу тенгликдан (12.13) айниятга курае/ф^О, яъни (12.9) система-
нинг ихтиёрий интеграл чизиии буйлаб ф(хх , ... , хп)=С. Ушбу
Ф(фх,ф2, • • • > Ф„_1)=С ифода ^ам (бунда Ф — ихтиёрий функция)
(12.9) системанинг биринчи интегралидан ’иборат, чунки (12.9)
системасининг интеграл чизиги буйлаб барча фх, . . . , фj
функциялар узгармасга айланади, шунинг учун Ф(фх, . . . , фп—1)
функция ^ам (12.9) системанинг интеграл чиздаи буйлаб узгармасга
айланади. Демак, и = Ф (фх, ... , ф„), (бунда Ф — ихтиёрий диффе-
ренциалланувчи функция) (12.8) чизицли бир жинсли тенгламанинг
ечимидир.
12.3 - теорема. Ушбу
п=Ф(фхх(хх. . ., хп), ф2 (хх, . . . , х„), .... ф„_, (хх, . . . , хп))
функция (бунда Ф—ихтиёрий функция) (12.8) тенгламанинг уму-
мий ечимидан иборат, яъни (12.8) тенгламанинг барча ечимларини
рз ичига оладиган ечимдир.
Исбот. Фараз цилайлик, и = ф (хх, ... , хп) функция (12.8)
тенгламанинг бирор ечими булсин. Шундай Ф функциянинг мавжуд
эканини курсатамизки, бу функция учунф = Ф(ф1, . . . , ф„_,) бу-
лади. ф, фх, . . . , фп_] функциялар (12.8) тенгламанинг ечимлари
булгани учун
2 X. ~ 0, У X. = 0, ... , У X. 0. (12.14)
‘ ох, ’ I дх, 1 I дх, v 7
i=1 »=1 1 i=l 1
(12.4) тенгламани хъ . . . , х„ ларга нисбатан п та тенгламадан тузил-
ган чизицли бир жинсли система деб цараймиз. хп . . . , хя лар
шартга кура бир вацтда нолга айланмагани учун текширилаётган
соцанинг цар бир xL, . . . , хп нуцтасида (12.14) система тривиал-
мас ечимга эга. Бундан бу системанинг детерминанта
<?ф оф chp
дх± дх„ дхп
Эф1! дф1 <Эф_
dxt дх2 дхп
дЧп_1 d%,-i _ _ . дф„_1
дх, дх2 дхп
текширилаётган соцада айнан нолга тенг деган хулосага келамиз.
Аммо ф, Я3!’ Фз> • • • • Фп_1 функциялар якобианининг нолга тенгли-
ги бу функциялар чизицли боглиц эканини курсатади, яъни
^(Ф. Фь • • - , Ф„_1) = 0. (12.15)
(12.9) системанинг ф. (хх, ... , хп) = Ct (i = 1, 2, ... , п) биринчи
интеграллари чизицли эркли булгани учун
Р(Ф,Ф1, • - Ф„_1)
D(xr,x2, . . . ,хп
якобианнинг
ОД, Ф2. • • Ф„-1)
’ •>*«„-])
куринншдаги (п—1)-тартибли минорларидан камида биттаси нолдан
фарцли булади. Демак, (12.15) тенгламани
Ф = ф(Ф1.......Ф„_,)
куринишда ифодалаш мумкин. Шу билан теорема исбот булди.
Мисоллар. 1. Ушбу
ди ди ди
Х1 - h х 2 — + • • • + хп - — 0
ОХ^ ^^2 иХ^
тенгламанинг умумий ечими тог.нлсин. Бу тенгламага мос оддий дифференциал
тенгламалар системаси цуйидагидан иборат:
dx, dx2 dxn
Х1 х2 хп
Бу системанинг чизицли эркли биринчи интеграллари
X, _ Х9 Х„ I
~~ = — = сп,..., —— = cn_j (х„ 0).
лп лп Хп
Берилган тенгламанинг умумий ечими
и — ихтиёрий нолинч" даражали бир жинсли функциядир.
2. Ушбу
тенгламанинг умумий ечими топилсин.
Берилган тенгламага мос оддий тенгламалар системаси бу ^олда битта теигла-
мадан иборатдир:
dx dy
У *
Бу тенгламанинг интеграли х2,+^2= С. Демак, берилган тенгламанинг умумий
ечими г=ф(х2+у2) (бунда Ф — ихтиёрий функция) булиб, айланнш у^и Ог дан
иборат булган айланма сиртлардир.
2. Чизицли бир жинсли тенглама учун Коши масаласининг ечи-
лиши. (12.8) тенглама учун Коши масаласи цуйидагича цуйилади:
(12.8) тенгламанинг шундай u=>f(xk, . . . , хп ) ечими топиасинки
у ушбу
= (12.16)
бошлангич шартни цаноатлантирсин, бунда х° берилган цациций
сон, ф(хх, . . . , хп) берилган узлуксиз дифференциалланувчи функ-
ция.
Юцорида исботланганига асосан (12.8) тенгламанинг умумий ечи-
ми
и = Ф(фх, ф2, . . , , ф„_,)
формула билан аницланади.
^Коши масаласини ечиш учун (12.16) шартга кура Ф функцияни
шундай аницлашимиз керакки,
Ф(Ф1,ф2 , . . . , Ф„_1)|х =хо = ф(*1 • • • ,хп^) (12.17)
п п
тенглик бажарилсин. Ушбу.
Ф1(*1-*2........
Фг(-Ч.*2............V-P^)^’
(12.18)
......*„-Р*°)=Ф„
белгиларни киритиб, (12.17) тенгликни цуйидагича ёзамиз:
Ф(О2' • • • . Ф„_,) = Ф(*1. х2, . . . хп_2). (12.19)
Биз Хп функцияни (х°, . . . , хпп) нуцтада нолдан фарцли деб фа-
раз циламиз, яъни Хп(х°.....х^)^г=0. У цолда (12.18) системани
цеч булмаганда (х”, . . . , х£) нуцтанинг бирор атрофида xlt ... ,
хп_]......xn_j ларга нисбатан ечиш мумкин булади, яъни
^1=СО1(Ф1,Ф2. • • •
x.t = Mih ф2. • • • »Ф„-1),
*п-\ = «„^(ФгА.......
(12.20)
функциялар
= ф,(х<? , . . .х„)
цийматЛарни кебу л цилганда уларга мос со/ функциялар х® (г — 1,2
, . . п— 1) цийматларни кабул [цилади. Шу билан бирга функ-
циялар хссилаларга эга булгани учун со£ лар ^ам дифференциал-
ланувчи булади. Энди Ф сифатидр ушбу
Ф(Ф1,ф2> .... ф2........ • Ф„_1)
, - • , «„-/Фо Ф2........Ф„_1)1 (12.21)
функцияни олсак, бу функция (12.8) тенгламани ва (12.16) шартни
цаноатлантиради. Хцкицатан, (12.21) ифода хусусий ечимларнинг
функцияси булгани учун, узи ^ам (12.8) тенгламанинг ечимидан
иборат булади. Агар хп = х ° десак, (12.18) га асосан <pz мицдорлар
ларга тенг булади. Шу сабабли (12.20) тенгликларни эътиборга
олсак,
• • • > Ф„_1) = Ч’ЫФпФ:!. • • • ,Фп-1)> “гСФьФг. • • • .Ф„_1) ,•••,
©„-лСФх.Фг, • • • , Фп-1Я = 4(xi’ х№ ’ xn-i)-
Демак,
и = ФК.Фг . . . , %._,) , . . , «„„ДФх, ф2, • • -Лп-,)] '
функция (12.8) тенглама учун цуйилган Коши масаласининг ечи-
мидан иборат булади.
дг дг
Мисоллар. 1. у — — х — = 0 тенгламанинг г|,,_п = ср(х) шартни каноат-
дх ду у '
лантирувчи ечими топилсин. Биламизки, у тенгламанинг умумий ечими (аввалги пункт-
нинг 2- мисолига царанг)
г = Ф(х2 + у2)
дан иборат. Бу >;олда ф(х,с/) = х2 + у2, i](x,0) = ф = х2, бундай х =]/ф- Излана-
ётган ечим г = cpfKcp ) = ср (р х2 + У2)-
’ ди , ди ди
2. Ушбу уг — + хг —- + ху — = 0
дх ду дг
тенгламанинг и]у_уо = ср(х,г) шартни кавоатлантирувчи ечими топилсин. Берилган
тенгламага мос оддий дифференциал тенгламалар системаси:
dx dy dz
уг хг ху
Бу системанинг чизикли эркли биринчи интеграллари
Ф1 = г2 — у2 = с1; ф2 = х2 — у2 = с2
лардан иборат. У ^олда умумий ечим
ы = ф(г2— у2, х2 — у2).
’Ых. 4/0.г) = г2 — у^ = фп ф2(х,{/0г) = х2—tfc, ф2
Булардан
г = Vifi + yo- к = + У о-
Демак, изланаётган ечим
и (х,у,г) = <р( 1Лр2 + $, K^ + j/g) =
= ср (]А2-^+^, уг2_^ + ^)
3-§. БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ХУСУСИЙ ЦОСИЛАЛИ ЧИЗИЦЛИ БИР ЖИНСЛИ
БУЛМАГАН ТЕНГЛАМА
1. Ечим, умумий ечим ва махсус ечим тушунчалари. Ушбу
*i(*i....Хп, и) д“ + Ха(лг,. . ., хп, и)~ +. . . +
dxt дх2
+ Хп(х1г . . . ,хп,и) %- = 7?(хъ .... хп, (и) (12.22)
куринншдаги тенгламани хусусий ^осилили чизицли бир жинсли
булмаган тенглама дейилади. Бу тенглама цосилаларга нисбатан
чизицли булиб, номаълум и функцияга нисбатан чизицли бул-
маслиги мумкин. Шу сабабли (12. 22) тенгламани квазичи-
зицли тенглама цам дейилади. (12.22) тенгламадаги XL ва R функ-
цияларни xlt х.г....хп, и узгарувчиларнинг текширилаётган узгариш
соцасида узлуксиз дифференциалланувчи деб ва бир вацтда нолга
тенг булмайди деб фараз циламиз. (12.22) тенгламани чизицли тенг-
ламага келтириш йули билан интеграллаш мумкин. Шу мацсадда
(12.22) тенгламанинг и ечимини ошкормас куринишда излаймиз:
v(xltx2.....хп, и) = 0, (12.23)
бунда — =/=0, u = i(xA, . . . хп) функцияни (12.23) тенгликдан
ду
аницланган деб цисоблаб, ушбу v(x2, . . . хп ,и(х2, . . х„))^0 ай-
ниятни х; буйича дифференциаллаймиз:
5“ . ди _д
Sxi + ди Sxt ~
Бундан
dv
ди dxi
дх( dv
ди
~~ хусусий цосилаларнинг бу цийматларини тенгламага цуйиб, тенг-
ламанинг цар икки томонини —га купайтирамиз. Натижада цу-
йидаги чизицли бир жинсли 'тенглама цосил булади:
^ХДхх.........xn, u)^- + R(xu ...,xn, u)^ =0. (12.24)
Шундай цилиб, (12.24) чизицли бир жинсли тенгламани (12.23) тенг-
ламага асосан айниятга айлантирадиган и функцияни топиш керак.
(12.24) тенгламага мос оддий дифференциал тенгламалар системасини
тузамиз:
dx-f__ дх2 ____________^и (12 95)
= ‘’-Хп =я 1 '
Бу системаиинг п та чизицли эркли биринчи интегралларини
топамиз:
Фг(*г, ... ,хп, и) = Съ
(p2(xlt . . . , хп, и) = С2, (12.26)
ф„(*1 .... хп,и) = Сп.
(12.24) тенгламанинг умумий ечими цуйидаги куринишга эга бу-
лади:
и = Ф(фх, ф2 , . . . , ф„)
бунда Ф — ихтиёрий функция.
Охирги функцияни нолга тенглаштириб, (12.23) тенгликка асо-
сан берилган (12.22) тенгламанинг ечимини ушбу
Ф[фг(*г . . . , хп,и), ф2(хх, .... п), ... , ч])л(х1, . . ,
*„,«)]) = 0 (12.27)
куринишда топамиз. Бу ечимни (12.22) тенгламанинг умумий ечими
дейилади.
Бу усул билан топилган ечимлардан ташцари и(хх .... ,хп,и)—0
тенгламадан аницланадиган и ечимлар булиши мумкин, бу ерда v
функция (12.24) тенгламанинг ечими булмай, у тенгламани фацат
л(хх, . . . , хп, и) — 0 тенгламага асосан айниятга айлантиради. Бун-
дай ечимларни махсус ечимлар дейилади.
Мйсоллар. 1. Ушбу
. ди ди , , , ди
(хх — а ,) — + (х2 — at) — + ... + (х„ — а„) -- = и — а, (а, ах ,а2, . . ,
охх дх2 дхп
ап - - const
тенгламанинг умумий ечими топилсин. (12.24) тенглама цуйидаги куринишга эга
булади:
dv dv , dv dv
(хх — ах) — + (х2— а2) — + . . . + (х„ — а„) -—+ (и—а) — = 0.
о*1 дх2 дхп ди
Бу тенгламага мос оддий дифференциал тенгламалар системасини тузамиз:
dx± dx2 dxn du
------ 1 ==...=: == *•
a j Х2 О-2-—о:
Бу системанинг чизикли эркли интеграллари куйидагилардан иборат:
«1 _ с х2~а2 ~
и — а ’и — а
хп—ап „
------- '-П’
и—а
Демак, берилган тенгламанинг умумий гечими
ф «1 *2~«2
\и — а ’ и—а
хп ап
и—а ,
= 0.
2. Ушбу
,_________, ди ди
(l + 1/w —X —у) а- "Ь а- = 2
' 1 г дх ду
тенглама интеграллансин.
(12.25) система цуйидагйча булади:
dx dy du
1+>Л и—х—у 1 2
Бундан
и—2у = Сг
биринчи интегрални топамиз. Бу системадаги учинчи [касрнинг "сурат ва махражи-
дан биринчи иккита касрнинг сурат ва махражини айириб
d(u—-х—у) dy
—У и—X—у 1
интегралланувчи комбинацияни топамиз. Бундан
j/'+ 2-У и—х—у = С2
биринчи интегралии ^осил циламиз. Цемак, берилган [тенгламанинг умумий ечими
Ф(и—2у,2У и—х—у +г/) = 0
куринишга эга булади. Текшириб куриш ^ийин эмаски, Г
и = х+у [
функция берилган тенгламани ^аноатлантиради. Бу ечим топилган умумий ечимдан
келиб чи^майди. ^асрцатан, агар и=х+у ни умумий ечимга олиб бориб кУйсак,
Ф(х—у, у) = 0 теиглик ^осил булади. Бу муносабат (х ва у эркли узгарувчилар
булгани учун) Ф(<р, ф) ’функцияни ихтиёрий танланганда ^ам уринли булмайди.
Агар у—и—х—у ифодани у учун ?$осил буладиган тенгламанинг чап томонига олиб
бориб цуйсак,—У и—х—у = — Уи тенглик эртсил булади, бу ифэда фацатгина
о=0 теигликка асосан нолга айланади. Шундай ^илиб, и—х+у функция берилган
тенгламанинг махсус ечимидан иборат.]
2. Чизикли бир жинсли булмаган тенглама учун Коши масала-
сининг ечилиши. Кош/л млсаласи (12.22) тенгламанинг
и\х=х° = ............хп-1) (12-28)
шартни каноатлантирадиган u'll=f(x1, . . . , хп) ечими топилсин, бун-
да ср берилган узлуксиз дифференциалланувчи функция. (12.22)
тенгламанинг умумий ечимини билган ^олда Коши масаласи ечимини
цандай топиш кераклигини курсатамиз. Бу ерда асосий масала уму-
мий ечимдаги Ф функциянинг куринишини аницлашга келади.
(12.26) биринчи интегралларда хп урнига бошлангич х° ^ийматни
цуйиб, ^ссил цилинган ифодаларни ф;. лар орк а ли белгилаб оламиз,
яъни
ФЛ*2- ху, ... , Xn_t х°п,и) = Фь
ф2(х2, xlt . . . , Хп_р х°,1/)=ф2, (12.29)
Ф„(хр х2, . . . ,,хп_р «)=ф„.
(12.28) бошлангич шартни ушбу куринишда ёзамиз:
Хп = Хп ДЭ 11 = ff • • - , = °-
Бу шартни (12.27) тенглик билан таццсслгб, Ф функцияни
Ф(фь фу, ... , ф„) = и—([(х1,х2 . . . ,хп) (12.30)
тенглик бажариладиган цилиб танлаймиз.
(12.29) системани лу, . . . хя_р и ларга нисбатан ечамиз:
Х1 = ®1(Ф1.Ф2, • • • .Фд).
Х2 = Ю2(фу, ф2 , . . . ,ф„)>
Хп-1 = ®П-1(Фх.^’ J ' %),
U = <о(ф1, ф2 , . . . , ф)-
Энди Ф учун
Ф(Ф1.Ф2, • • • Ф„) = ®(Ф1. ф2. • • • , Ф„) — ф [Ю1( [Ф1 • • •, Ф„), ....
®„-1(Фь • • ,ф„)]
функцияни олсак, (12.30) шарт бажарилади. Демак, ушбу
со((оъ(о2, . . . ,®„)—Ф[®1(Ф1, • - -,ФП), • • • ,®„_1(Ф1.Фя)1 = 0 (12.31)
формула изланаётган Кеши масаласининг ечимини ошкормас ^олда
беради. (12.31) тенгламани и га нисбатан ечиб, Коши масаласи
ечимини ошкор куринишда топамиз.
.------- ди ди
Мисол. (1+ г и—х—у) — 4- — = 2 тенгламанинг
дх ду
у=0 рд и=2х
бошлангич шартни цаноатлантирувчи ечими топилсин (3- §. 1- пунктдаги 2- мисолга
царанг).
Маълумки,
Ф1 '= и — 2у, фа =2]/и—х— у+у.
Бу интегралларда у=0 десак,
ч = Ф1, 2Уи—х =
система ^осил булади. Бу системани х ва и га нисбатан ечиб, топамиз:
х = фх — и = Ф1-
4
Цемак, (12.31) формулага асосан
/2 * z
фх — 2' ф1— =-0 ёки 2ф±—tf>2 = 0,
К 4 '
фг ва фа лар урнига уларнинг ифодасини цуйиб, цуйилган Коши масаласининг ечи-
мини топамиз:
2w—4у— (2У~и—х—у + у)2=0
ёки
4уУи—х—у — 4х—2а—у2,
Бундан
ы = 2х + + ууа—2у |/х — у+
Текшириб к^риш цийип эмаски, бу фэрмуладаги радикал олдидаги манфий ишора
тенгламадаги радикал олдидаги мусбат ишорага мос келади.
4-§. ПФАФФ ТЕНГЛАМАСИ
Ушбу
Pdx + Qdy + Rdz = Q (12.32)
тенгламани {x,y,z) узгарурчиларнинг фазосида Пфзфф тгнгламаси
дейилади, бунда Р, Q ва R—x,y,z ларнинг функциясидир. Бу функ-
цияларни бирор D сохада узлуксиз диффгренциалланувчи деб фараз
циламиз.
P,Q ва R функциялар D соцада берилди деган суз геометрик
тилда бу соцанинг цар бир нуцтасида бирор F =zPi+Qj-\-Rk век-
тор, яъни вектор майдон берилганлигини билдиради. (12.32) тенгла-
ма нолдан фарцли ихтиёрий купайтувчига купайтирилганда тенг
кучли тенгламага утганлиги учун, аслида бизга вектор нинг йуна-
лиши, бошцача айтганда, йуналишлар майдони берилган булади.
Агар (12.32) тенглама билан аницланадиган сиртлар оиласини (агар
улар мавжуд булса) U(x,y,z) = С орцали белгилаб, бу сиртларга
уринма текисликда ётадиган векторни t орцали белгиласак (яъни
t = tdx + j dy + kdz), у цолда'(12.32) тенглама вектор куриниш-
да бундай ёзилади:
Гг,Г) = о.
Бу эса U(x,y,z) — С сиртларнинг Р вектор майдонга ортогонал
эканлигини курсатеди. _
Шундай цилиб, геометрик тилда (12.32) тенгламани ечиш Р =*
=Pi + Qj4-Rfe вектор майдонга ортогонал булган сиртлар оиласи-
ни топишдан иборатдир. Пфафф тенгламасини икки хил талцин ци-
лищ мумкии. Биринчи цолда х,у ва г ларни бирор t параметрнинг
функцияси деб, иккинчи долда эса бу учта миддорнинг биттасини,
масалан, г ни долган иккитасининг функцияси деб дараш мумкин.
Пфафф тенгламасини текширишни иккинчи долдан бощлаймиз. Агар
(12.32) тенгламанинг чаи томони бирор U(x,y,z) функциянинг тулид
диффэренциалидан иборат булса, яъни
р____ди q_____ ди р_____ ди
дх ду дг'
бошдача айгганда F потенциал мэйдон булса (яъни F = g rad U бул-
са), у долда изланаётган сиртлар U потенциал функциянинг U(x,y,z)=.
—С сатд сиртларидан иборат булади. Бу долда изланаётган сирт-
ларни топиш деч дандай дийинчилик тугдирмайди, чунки бу долда
U — j Pdx-f-Qdx -f- Rdz,
бу ерда эгри чизидли интеграл тайин (x0, уп, z0) нудтани узгарув-
чи (х, у, г) нудта билан бирлаштирувчи ихтиёрий йул буйича, маса-
лан, координата удларига параллел булган кесмалардан ташкил
топган синид чизид буйича олинади.
Юдорида айтганимизга асосан z'\ ни х ва у нинг функцияси деб
дараб, текширилаётган содада 7?#=0 деб фа
Бу долда (12.32) тенгламадан
dz = P^dx + Qrdy (бунда Pt =
Иккинчи томондан, г функциянинг туа
дуйидаги ифодага эгамиз:
dz = — dx-[- — dy.
дх ду
Бу икки тенгликдан dx nzddy дифференциаллар богланмаган бул-
гани учун
J- = P1(x,V>2), (12.34)
дх
раз диламиз.
р Qx-Я (12.33)
К к /
[ид дифференциала [учун
J = Qi(x, у, z)
ду
(12,35)
тенгликларни досил диламиз.
z функцияни х ва у лар[ буйича иккинчи тартибли досилаларга,
Рг ва Qi ни эса уз аргументлари буйича биринчи тартибли досила-
ларга эга деб фараз диламиз.
Ушбу
52г д-г
дхду ду дх
тенгликнинг уринли булиши кераклигидан
dPt d_Pi дг = 5Qi 5Qi 5г
ду дг ду дх дг дх
ёки
7+М+7р' <l2-36>
ду дг дх дг 7
шарт келиб чикади. (12.36) шартни бундай ёзиш мумкин:
Р _ *2)+ Q № _ + R № -4?) = 0. (12,37)
\дг ду/ 'дх дг I \ду дг/ '
Демак, F вектор майдонга ортогонал булган и(х, у,г)=С сирт-
лар оиласининг мавжуд'; булиши учун (12.37) шартнинг бажарйли-
ши зарур, (12.37) шартни (12.32) тенгламанинг ту лиц. интеграл-
ланувчилик ёки битта U(x,y,z) = C шуносабатда интегралланувчи-
лик, шарти дейилади.
Агар F майдон потенциал майдон булмаса, айрим ^олларда шундай
скаляр р(х, у, z) купайтувчини танлаб олиш мумкинки, Fhh р(х,у,г)
га купайтирилгандан сунг потенциал майдон ^ссил булади. Агар
шундай купайтувчи мавжуд булса, у ^олда pF = grad U ёкирР=— ,
дх
pQ = рД = —. Охирги муносабатлардан
ди дг
d(pP)_d(nQ) ё(ц(?) _д (иР) д (yR) д (ИР)
ду дх ’ дг ду ’ дх дг
ёки
дР dQ 1 / р ёр. \
ду дх р\ дх ду /
dQ _ ёР _ р ёц _ ёр\
дг ду рД ду дг /
dR дР 1 Лпёр пёр\
— — — = —I р----/\ — I
дх дг р у дг дх/
тенгликлар ^ссил булади. Бу тенгликларнинг биринчисйни R га,
иккинчисини Р га, учинчисини эса Q га купайтириб, ^осил булган
тенгликларни ^адлаб цушсак, ушбу
дР dQ\,pdQ ёР> 1/)(ёЯ дР\—П
ду дх j ' дг ду) \5х дг /
тенглик ^осил булади. Бу тенглик эса (12.37) шартнинг узгинаси-
дир.
Демак, агар Пфафф тенгламаси учун интегралловчи купайтувчи
мавжуд булса, у ^олда тули^ интегралланувчилик шарти бажарила-
ди. Энди (12.37) шартни берилган вектор майдонга ортогонал бул-
ган сиртларнинг мавжудлигининг фацат зарурий шарти эмас, балки
етарли шарти эканлигини .^ам курсатамиз.
Текширилаётган D сохада (12.37) шарт айнан бажарилган ва
Л» Qi функциялар уз аргументлари буйича биринчи ва иккинчи
тартибли узлуксиз ^ссилаларга эга деб фараз циламиз.
У цэлда D соцанинг цар бир нуктасидан (12.33) системаиинг
ёки бари бир, (12.32) тенгламанинг битта' ва фацат битта интеграл
сирти утади. Аввалэ (12.33) системаиинг берилган A(.vn> у0, z0) нуц-
тадан утадиган ечимининг ягоналигини курсатамиз. Шу мацсадда
(12.34), (12.35) тенгламаларни текширамиз. (12.34) тенглама y=yQ
текисликда А (х, у0, г0) нуцтадан утувчи ягона интеграл чизиц L ни
аницлайди. (12.35) тенглама эса, х бирор узгармас циймат цабул
цилганда, х=const текисликда ётувчи L эгри чизицнинг нуцтаси-
дан утадиган ягона 1(х) эгри чизицни аницлайди. L чизицнинг бар-
ча нуцталари учун тузилган Цх) чизицлар туплами (12.33) система-
сининг А(л'о, у0 ,z0) нуцтадан утувчи бирдан-бир S интеграл сиртини
аницлашини курсатамиз. Бу сиртнинг тузилишидан равшанки, унинг
барча нуцталари учун (12.35) тенглама цаноатлантирилади. S сирт-
нинг барча нуцталари учун (12.34) тенгламанинг цаноатлантирили-
Шини цам курсатамиз.
S сиртнинг тенгламасини
z=z(x,y)
куринишда ёзиб Олсак, аввалги параграфларнинг 'натижа лари га асо-
сан г(х, у) функция х буйича биринчи тартибли узлуксиз цосилага
эга булади. — нинг (12.34) тенгламанинг цаноатлантиришини кур-
дх
сатиш керак. S сиртнинг тузилишига асосан (12.34) тенглама у—у0
да цаноатлантирилади. Унинг у узгарувчининг бощца цийматларида
цам цаноатлантирилишини курсатиш учун ушбу
дЛ = рг{ХгУ, Z)^F
др
белгилашни киритиб, — цосилани топамиз. z(x, у) 'функция (12.35)
тенгламани цаноатлантирищидан цамда бу тенгламанинг унг томони
барча аргументлари буйича биринчи тартибли цосилаларга эга экан-
лигидан цосиланинг мавжудлиги келиб чицади. Шундай ци-
дхду
либ,
( dF д / дг\ дРг дР! дг
ду ду\дх) ду дг ду
dQi dQi дг дРг дРх дг
дх дг дх ду дг ду
= dQi +5Qipi + 5QiF_ dPl_dPi $ (12.38)
dx дг дг dy dz
Юцоридаги ифодани цисоблашда
д(дг\ d(dz\ dz „ „
-4—- =— — 1, — = Qi тенгликлардан фоидаландик. (12.37) еки
dy\dx) dx dyj dy '
(12.36) шартга асосан (12.38) тенглик цуйидаги куринишда ёзи-
лади;
dF dQi
dy dz '
Бундан
у
IF"
F(x,y) = F(x,y0)ey° .
F функция y—y(} да нолга тенг булгани учун охирги тенглик-
дан унинг барча текширилаётган у ларда кам нолга тенглиги ке-
либ чикади. Демак, z(x,y) функция (12.34) тенгламани ^ам ^ано-
атлантиради.
Энди Пфафф тенгламаси учун (12.37) тулик интегралланувчилик
шарти бажарилмаган _^олни курайлик. Ю^орида баён ^илингандан
маълумки, бу ^олда F майдонга ортогонал булган сиртлар мавжуд
булмайди. Шу сабабли, Пфафф тенгламасини аввал айтганимиздек,
биринчи хил таллин ;килиб, F Гкайдонга ортогонал булган сиртлар-
ни эмас, балки шу хусусиятга эга булган, чизикларни топиш
масаласини куямиз. Бошдача айтганда, Пфафф тенгламасини битта
муносабатда эмас, балки иккита
u/x.j/.z) = О, и2 = (х, i/,z) ==0,
муносабатда интеграллаш керак. Масалада куйилган чизикларни
топиш учун юксрида ёзилган тенгликлардан биттасини, масалан,
^(х.г/.z) = 0 (12.39)
ни ихтиёрий бериш мумкин.
(12.32) ва (12.39) тенгламалардан эркли узгарувчилардан бит-
тасини, масалан, z ни чикариб,
M(x,y)dx + N(x,y)dy = О
куринишдаги оддий дифференциал тенгламани ^осил киламиз. Бу
тенгламани интеграллаб, ихтиёрий танлаб олинган Uy(x,y,z) = О
сиртда изланаётган чизикларни топамиз.
Изо К- Агар (12.32) тенгламани бевосита интеграллаб булмаса,
со дд а рок Колии текшириш ёрдами билан уни айрим лолларда ин-
теграллаш мумкин. Бу усулда эркли узгарувчилардан биттасини,
масалан, z ни узгармас ^исоблаб, ушбу
P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy = 0 (12.40)
оддий дифференциал тенгламани интегралланади, бунда [z параметр
ролини уйнайди:
u(x,y,z)~C (12.41)
(12.40) тенгламанинг интеграли булсин. Бу ердаги [ихтиёрий узгар-
мас z параметрнинг функцияси булиши мумкин. Бу C(z) функцияни
шундай танлаб олинаднки, (12.32) тенглама каноатлантиРилсин-
(12.41) ни дифференциаллаб, куйидаги тенгламани к°сил киламиз:
dz = 0. (12.42)
ди , . ди , , [ди
—dx+~ dy+ — — C(z)
дх ду [dz J
(12.32), ’(12.42) дифференциал тенгламаларнинг коэффициентлари
пропорционал булиши керак:
ди ди ди ,
dx_dd_&~
Р Q R
Ушбу
ди Su „„ ч
, — — С (г)
дх дг
Р ~ R
тенгламадан С'(г) ни топиш мумкин.
Мисоллар. 1. Ушбу
(6х + yz)dx + (хг — 2y)dy 4- (ху 4- 2z)dz = О
тенглама внтеграллансин. Бу мисолда
Г = (6х 4- yz)7 + (хг —2y)j + (ху +2z)k.
Текшириб курит цийин эмаски, rot F = 0. Маълумки, бу шарт бажарилганда F
потенциал майдоидан иборат булади, яъни F = grad U.
Лешак,
ix.y.z)
и — § (6x+yz)dx 4- (xz—2y)dy 4- (ху 4- 2z)dz.
(0.0,0)
Интеграл йули сифатида буринлари координата уцларига параллел булган синиц
чнзиции оламиз. Интеграллаш натижасида U = Зх2 — у1 4- г* + хуг цосил бУлади.
Шуидай цилиб, 'изланаётган интеграл
Зха — у2 4- г® 4- хуг = С.
2. Ушбу
ydx 4- (z—y)dy 4- xdz = 0
тенгламани цаиоатлантирувчи ва 2х—у—г=1 текисликда ётувчи эгри чизицлар то-
пилсин.
Берилган текислик тенгламасини дифференциаллаймиз:
2dx — dy—dz — 0.
Бу теигликни х га купайтириб, цосил цилииган теигликни берилган тенглама билаи
цушамиз:
(у 4- 2x)dx 4- (г—х—y)dy = 0.
z = 2х—у—1 булгани учуй
(y+2x)dx 4- (х—2у—\)dy — 0
ёки
2xdx— (2у 4- l)dy +~d(xy) = 0
тенгламани цосил циламиз. Охирги теигламадан изланаётган эгри чизицлар оиласи
х2 — у2 — у ху = С2
еканлиги челнбочицади.
3. Ушбу
yzdx + 2zxdy — 3xydz = 0
тенглама интеграллансин.
Изо^да курсатилган усул билаи бу тенгламани интеграллаймиз. г ни узгармас
деб цисобласак, dz—O булади ва берилган тенглама цуйидаги тенгламага айланади.
ydx + 2xdy — 0.
Бу тенгламанинг интеграли
ху2 = С
дай иборат. Бу тенгликдаги С ни Z нинг функцияси деб хисоблаб ва уни диффереи-
циаллаб ушбу ' '
y2dx + 2 ху dy — C'(z)dz = 0
тенгламани цосил циламиз. Бу тенглама берилган тенглама билан бир хил булиши
учун буларнинг коэффициент ла ри пропорционал булиши керак, яъни
уа 2ху —С'(г)
уг 2гх —Зху
Охирги теигликдан С(г) = ху2 эканлигини эътиборга олиб,
dC 3dz
С =~г
тенгламани хосил циламиз. Бундан
С(г) = сг3, а = const.
Демак, берилган тенгламанинг ечими
ху2 = аг3
дан иборатднр.
5- §. БИРИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИЦЛИ БУЛМАГАН ТЕНГЛАМАЛАР
1. Тулиц интеграл. Аввал номаълум функция иккита 'эркли jte-
гарувчига боглиц булган цолни текширамиз.
Биз биламизки, бу цолда биринчи тартибли хусусий цосилали
тенглама цуйидаги куринишга эга булади:
F(x,y,z, p,q) = 0, (12.43)
бунда
Биринчи тартибли хусусий цосилали тенгламанинг иккита ихтиё-
рий узгармасларга боглиц ечимини унинг т$лиц интеграли дейи-
лади. Тулиц интеграл ошкормас формада ушбу
Ф(х,у,г,а,Ь) ~ 0 (12.44)
куринишда ёзилади.
Тулиц интегрални бошцачароц цам таърифлаш мумкин. Тулиц
интеграл учта узгарувчи ва иккита ихтиёрий узгармас орасидаги
шундай муносабатни, ундан ва уни эркли узгарувчилар буйича диф-
ференциаллаш натижасида цосил буладиган муносабатлардан узгар-
масларни чикариб .ташлаш натижасида берилган тенглама з^осил
булади. Бу иккита таъриф бир-бирига эквивалентдир. Лекин биз бу-
нинг исботига тухталмай ([23] га царанг), берилган тенглама буйи-
ча тулиц интегрални топиш методини келтирамиз. Тулиц интег-
ралнинг иккинчи таърифига асосан (12.43) тенглама ушбу
| Ф(х,у,г,а,Ь) = О,
зф зф
• 3x+i;p~u’ (12.45J)
ду дг
системадан а ва b ларни чи^ариш натижасида ^осил булган’ тенг-
ламага эквивалентдир. Биринчи тартибли хусусий ^осилали тенгла-
маларнинг з^амма ечимларини тулиз^ интегралдан узгармасларни ва-
риациялаш усули билан з^осил з^илиш ^мумкинлиги Лагранж томони-
дан курсатилган.
Фараз цилайлик, а ва b лар х,у узгарувчиларнинг бирор [функ-
циялари булсин. z нинг х ва у буйича з^осилалари, яъни р вазулар
ушбу
дФ , ЗФ . дФ да . ЗФ db п — 4- — р Н к- — = 0, дх дг да дх дЬ дх ЗФ. , ЗФ . ЗФ да , ЗФ db п ду ' дг да ду дЬ ду
4 [(12.46)
муносабатлардан з^исобланади. (12.45) ва (12.46) формулаларни тац- цослаб, куйидаги тенгламаларни з^осил ? диламиз:
ЗФЗа дФдЬ_ Q
да дх дЬ дх
ЗФ да дФ дЬ _
да ду дЬ ду
(12.47)
Бу тенгламалардан а ва Ь Гфункцияларни' аницлаш керак. Уч jgwr
булиши мумкин:
1) Агар
— = 0, — = 0 (12.48)'
да дЬ
тенгликлар бажарилса, (12.47) тенгламалар 'цаноатлантирилади.
(12.48) тенгламаларни а ва b га нисбатан ечиш мумкин деб ..фараз
диламиз. Бу тенгламаларни ечиш натижасида з^осил булган х ва у
нинг функцияларини, яъни а ва b нинг з^ийматларини (12.44) га
цуйсак, з^осил булган ифода (12.43) тенгламанинг ихтиёрий узгар-
мас ларга з^ам, ихтиёрий функциялар га з^ам боглик булмаган ечими-
дан иборат булади. Бу ечимни шахсус интеграл дейилади.
2) Энди—= — — — — — х= 0 булсин. Бу з^олда а~ const, 6=const
дх ду дх ду
булиб, биз тулиц интегралга з^айтган буламиз.
3) Умумий долда, (12.47) ни икки номаълумли иккита чизикли
алгебраик тенгламаларнинг системаси деб дараб, унинг ечимга эга
булиши учун ушбу
В^- = 0 (12.49)
D(x,y) к
шартнинг бажарилиши зарурлиги келиб чидади. (12.49) тенглик а
ва b уртасида функционал боелицлик мавжудлигини курсатади.
Агар масалан, — =^0 ёки — У=0 булса, у долда бу бэгли\ликни
дх ду
Ь = (л(а) (12.50)
куринишда ёзиш мумкин, бу ердаги и— ихтиёрий функция. (12.50)
га асосан, (12.47) система дуйидаги битта муносабатга келади:
дФ , ЗФ ,,, п
— + г/ “ (°) = °-
да до
Агар бу тенгликдан а ни х ва у нинг функцияси сифатида топиш
мумкин булса, у долда (12.50) тенгламадан b ни дам эркли узга-
рувчиларнинг функцияси сифатида топамиз. а ва b нинг топилган
дийматларини (12.44) га дуйиб, (12.43) тенгламанинг ечимини досил
киламиз. Диффереициалланувчи ю(а) функцияни ихтиёрий танлаб
слингандаги ечимларнинг бундай туплами (12.43) тенгламанинг
i 'мумии интеграли дейилади. Ихтиёрий и(а) функцияни дар бир
танлаб олинишига, умуман айтганда, умумий интегралга кирувчи
бирор хусусий ечим мос келади. Шу маънода, умумий ечим ихтиё-
рий функцияга боглид булади деб айтишимиз мумкин.
Биринчи тартибли хусусий досилали тенгламанинг тулид умумий
ва махсус интегралларини соддагина геометрик интерпретация дилиш
мумкин. Хусусий досилали тенгламанинг ечими (х, у, г) координата-
лар фазосида сиртни анидлайди, бу сиртни интеграл сирт деб ата-
лади. Бешта (х, у, z, р, q) миддорлар тупламини элемент дейилади,
бунда x,y,z бирор нудтанинг координаталари, р ва q эса шу нудтадан
утувчи текислйкнинг бурчак коэффициентлари. Бу таърифга асосан
(12.43) тенгламанинг ечимини топиш масаласи дуйидагича дуйилиши
мумкин: шундай сирт топилсинки, бу сиртнинг нудталари ва урин-
ма текисликларнинг бурчак коэффициентларидан ташкил топган
элементлар (12.43) муносабатни даноатлантирсин. (12.44) тулид ин-
теграл икки параметрга боглид булган сиртлар оиласидан иборат-
дир. Энди геометрик нудтаи назардан умумий ва махсус интеграл-
лар нимадан иборат эканини курамиз. Умумий интегралга кирадиган
ечимни топиш учун ихтиёрий (12.50) муносабатни олиб Ь нинг дий-
матини (12.44) га дуйиб, а параметрни ушбу
<&(x,y,z,a,b) =0,
йФ , ЗФ „
+ -ТГ® (а) = 0
да до
муносабатлардан чидарган эдик. Охирги икки тенглама эса бир па-
раметрли сиртлар оиласининг урамг сиртани аиидлайди. Бу нарса
геометрик нуцтаи назардан цуйидагини ифодалайди: '(12.50) муно-
сабатни асосан берилган икки параметрли (12.44) оиладан бир
параметрли бирор оилани ажратамиз, сунгра бу оила урама сирти-
ни топамиз. Урама сирт узининг цар бир нуцтасида уралувчи сирт-
лардан биттасига урингани учун, яъни умумий элементга эга бул-
гани учун бу урама сирт цам берилган тенгламанинг ечимидан ибо-
рат булади.
Ницоят, биз биламизки, махсус интеграл ушбу
ф=0, — = 0, = 0
да дЬ
тенгламалардан а ва b ни чицариш натижасида цосил булади. Бу
жараён, маълумки, икки параметрли сиртлар оиласининг урамасига
(агар у мавжуд булса) олиб келади. Юцоридагидек мулоцаза юри-
тиб, бу урама сиртнинг цамма элементлари берилган тенгламани
цаноатлантиришига, яъни интеграл сирт эканлигига ишонч цосил
циламиз.
Мисо л лар. 1- Берилган R радиусли, марказлари хОу текислик нуцталарида
булган шар сиртларининг оиласи
(x—af + (у—6)s + г2 = Я2
икки а ва b параметрли оиладан ибор-атдир. Бу оила тулщ интеграл буладиган
хусусий ^ссилали тенгламани топиш учун z ни х ва у нинг функцияси деб ^исоб-
лаб, берилган муносабатни х ва у буйича дифференциаллаймиз: .
х—а-[-гр = 0, у—b-\-zq = 0.
Бундан х~- а— — zp, у—Ь= — zq. Бу ифодаларни берилган тенгликка цуйиб, тули
интегралга мос булган тенгламани топамиз:
z2(l + Р2 + <72) = «2.
Умумий интегралга кирадиган ечимни ^осил цилиш учун Ь = и(а) муносабатни ки-
ритамиз яъни марказлари р=ш(х), z=0 чизивда ётувчи шарлар оиласини ажра-
тамиз. Бундай оиланннг ^ар цандай урама сирти интеграл сирт булади ва умумий
интегралга киради.
Ни^оят, махсус интеграл цуйидаги учта тенгликдан а ва Ъ ларни чицариш на-
тижасида цосил булади:
(х—и)2 + (р—6)а + z2 =/?а, х — а = 0, у — Ь — О.
Бундан г— R. ^ар бир шар сиртига битта нуцтада уринувчи иккита текислик
тенгламасини цосил цилдик.
Куп лолларда тулиц интегрални топиш унча катта цийинчилик тугдирмайди.
1) Агар (12.43) тенглама F(p, q) = 0 ёки Р=ф(<?) куринишга Ъга
булса, q=a деб цисоблаб (бунда а — ихтиёрий узгармас)
р ~ <p(a), dz — pdx + qdy =s <p(a)dx + ady
тенгликларни цосил циламиз. Охирги тенгламани интеграллаб ушбу
z = <р(а)х + ay + b
тулиц интегрални топамиз.
2) Агар (12.43) тенгламада узгарувчиларни ажратиш мумкин
булса, яъни тенглама
Ф(х,р) = $(y,q)
куринишга эга булса, <р(х, p)=ty(y, q) = а деб ^исоблаб (бунда а—
ихтиёрий узгармас), бу тенгликларни (агар мумкин булса) р ва q
га нисбатан ечиб, р — q>1(x,a), q = ларни топамиз. Сунгра
ушбу
dz = pdx + qdy = fpj(x, a)dx + tyjiy.ajdy
Пфафф тенгламасини интеграллаб
z = fo^x/ijdx 4- ^1(y,a)dy + b
тулиц интегрални топамиз.
3) Агар берилган тенглама
F(z,p,q) = О
куринишга эга булса, у узлда z=z(u) деб угссблаб (бунда u=ar-|-
+ «/), ушбу
d? dz\ п
F [z,a, — --)=0
\ du duj
оддий дифференциал тенгламани хссил киламиз. Ъуни интеграллаб
г—Ф(и,а,Ь) (бунда Ь-—ихтиёрий узгармас) ёки
z = Ф(ах + b,a,b)
тулиу интегрални топамиз.
4) Умумлашган Клеро тенгламаси
z = рх + qy + f(p,q~)
куринишга эгаднр. Текширнб куриш кийин эмаски, унинг тулиц
интеграли куйидагн ифодадан иборатдир:
2 = ах + by + f(a,b).
2. Ушбу
Р = 3q3
тенгламанинг тулик интеграли топилсин. Бу тенглама 1) >;олга тугри келади-
q=a, р — 3as, d? == 3asdx + udy, г = За3х + ay 4- b.
3. Ушбу
p—3x2 = q^ — y
тенгламанинг тули^ .интеграли тсга^лсин. Бу тенгламада узгарувчилар ажралган
Шу сабабли 2) >;олда курсатнлган усул билан тулт< интегрални топамиз-
Р—Зхе =^а, р — Зх2 + а; дг—у—a, q = ) j/+a,
dz = pdx + qdy = (Зх2 -p a)dx -f- у ~p a dy-
z = xs + ax + (j/+a)3/2+fc.
О
4. Ушбу
г=(р2г2+92) = i
4.'g'
тенгламанинг тулш< интеграли топилсин. Бу тенглама 3) ,\олда курилган тепглама-
га тугри келади:
dz dz
z = z(u), u = ax'+ у, p = a~, q = —,
du du
(dz\2, du
— (а2г2+1) = 1, — = =t г(а?гг+ 1) /2,
du) dz
u+b = - ^ + 1 )3/2 ёки 9a4(ox + у + 6)2 = (aV +1)3.
2. Лагранж-Шарпи методи. Ушбу
F(x,y,z,p,q) = 0 (12.43)
биринчи тартибли хусусий ^осилали дифференциал тенгламани тек-
ширамиз. Лагранж—Шарпи методи ихтиёрий а узгармасни уз ичига
олган шундай
f&(x,y,z,p,q) = а (12.51)
тенгламани танлашдан иборатки, J (12.43), (12,51) системаЛардан
аницланган p=p(x,y,z,d) ва q = q{x,y,z,a) функциялар кбитта квад-
ратурада интегралланадиган
dz = p(x,y,z,a)dx + q(x,y,z,a)dy (12.52)
Пфафф тенгламасига олиб келади. У .^олда Пфафф тенгламасининг
u(x,y,z,ab) = 0 интеграли, бундаги 6(12.52) тенгламани интеграл-
лашда +>сил буладиган ихтиёрий узгармас, (12.43) тенгламанинг
тулиц интеграли булади. Ф функция (12.52) тенгламанинг битта
квадратурада интегралланувчанлик шартидан, яъни
(12.53)
дг дг ду дх
тенгламадан аниг;ланади. (12.53) шартни р ва q ни x,y,z ларнинг
функцияси сифатида аншуювчи (12.43), (12.51) системалар учун
ёзиб оламиз. Бунда ошкормас функциялардан ^осилаларни ^исоблаш
формулаларидан фойдаланамиз. (12.53) шацтга цуйиш учун — —,
дх ду
^осилаларни .^исоблаш етарлидир.
р ва q ни x,y,z нинг функциялари деб г^араб, (12.43), (12.51)
тенгликларни х буйича дифференциаллаймиз:
SF дРйр dFdq___О
дх др дх dq дх
дФ 5Ф др дФд</__Q
дх др дх dq дх
Бу системадан —------- детерми антни нолдан фарцли ^исоблаб,
— ни топамиз:
дх
О(Г,Ф)
—____ P(p,x)
дх ' О(Г,Ф)
D(p,q)
Худди шунга ухшаш (12.43), (12.51) системани у буйича дифферен-
циаллаб, — ни топамиз:
ду
Р(Р,Ф)
— = —
ду Д(Д,Ф) '
С(р.<?)
Ницоят, (12.43), (12.51) системани z буйича дифференциаллаб, цо-
сил булган системадан — ва — ни топамиз:
dz дг
Р(Р,Ф) Р(Д,Ф)
др D(z,q) , dq D(p,z)
fe ~ Р(Р,Ф) dz~ Р(Р,Ф) '
D(p,q) P(p,q)
Топилган цосилаларни интегралланувчилик шарти (12.53) га цуйиб,
тенгликларнинг цар икки томонини нолдан фарцли деб фараз цилин-
ган —1------- детерминантга купаитириб, цунидаги тенгламани хосил
£>(р.<7)
циламиз:
ёки
(дРдФ_ Р \dz др ,(дГдФ_ dq 5F дФ\ др дг / дРдФ dq ду , (дРдФ + <? \dq dg \ ^дРдФ )+ Т" г- ~ / \дхдр дРдФ dq дг, дрдх / )+ = 0
dF дФ , дРдФ dF J_ +;₽ *+ дР\дФ
+ q—h~-
дрдх dq ду dq) дг
IdF , dF дФ -(^+« дР\дФ 0.
— — + Р — 1— 1 ——
и* дг ]др \ду dzjdq
(12.54)
Ф функцияни аницлаш учун чизицли бир жинсли (12.54) тенг-
ламани хосил цилдвк. Бу тенглама 2-§ да курсатилган метод билан
интегралланади. (12.54) тенгламага мсс булган оддий дифференци-
ал тенгламалар системаси, яъни характеристикалар тенгламаси цуйи-
дагича ёзилади.
- = -...’dz_____________°?____=_______________. (12 55)
dF sf dF , dF dF dF dF , dF
dp dq dp 4 dq дх дг dy dz
(12.55) тенгламанинг ихтиёрий узгармасни уз ичига оладиган битта
хусусий ечимини топиш кифоядир, яъни (12.55) тенгламанинг (12.43)
билан биргаликда р ва q га нисбатан ечилиши мумкин булган
битта
G\(x,y,z,p,q) = а
биринчи интегрални топиш етарлидир. Демак, q>i(x,z/,z,a) ва
/7=<р2(х,«/,г,а) мицдорларни ушбу
(F(x,y,z,p,q) ~ О,
= а
системадан аницлаб ва
dz = pdx + qdy
тенгламага цуйиб, битта квздрзтурзда ингегрзлланадиган Пфафф
тенгламасини цосил циламиз:
dz = q^y.z.ajdx + q2(x,y,z,a)dy.
Бу тенгламани ечиб изланаётган
u(x,y,z,a,b) = О
тулиц интегрални топамиз. •
Изоц. Агар шартли |ушбу
dF dF , dF dF dF , dF
— = —I— p, — =S — -4— --n
dx дх дг dy dy dz 4
белгиларни кйритсак, (12.54) тенгламанинг ёки ундан олдин ёзил-
ган тенгламанинг чап цисмини
df dF
(Г.Ф) = др dx дФ<1Ф + dq dy дФ^Ф
др dx dq dy
куринишда ёзиш мумкин. Бу ифодани Майер цавси дейилади. Агар-
да берилган тенгламада изланаётган функция цатнашмаса, яъни
тенглама
F(x,y,p,q) = О
куринишда булса, иккинчи тенгламани цам худди шу куринишда
изланади, яъни
®(x,y,p,q) =
Бу цолда Майер цавси ушбу
а.
' (Г,Ф) =
dF^dJL
др дх
дФ дФ
др дх
SF 5F
dq ду
5Ф5Ф
dq dy
куринишга эга булади. Бу ифодани Пуассон цавси. дейилади. Пуас-
сон ёки Майер цавсини нолга айлантирадиган иккита функцияни
инволюцияда булган функциялар дейилади. Шундай цилиб, Лагранж-
Шарпи методининг идеяси биринчи тенглама билан инволюцияда
булган иккинчи тенгламани топишдан иборатдир.
Мп с о л. Ушбу
F = 2хг—fix"—2qxy + pq = 0 |
тенгламанинг ту ли г, интеграли топилсин.
(12 55') характеристикалар тенгламасида катнашадиган х.рсилаларни хисоблай-
миз:
dF „ dF dF
= —Х“+<7, — = — 2ху +р. - = 2г — 2хр — 2yq
др dq дх
dF dF
— — — 2qx , — = 2х.
ду дг
(12.55) характеристикалар тенгламаси куйидаги куринишга эга булади:
dx dy dz dp dq
—x"-\-q —2xy-\-p —px2—2xyq-{2pq 2z—2yq 0
Бу системанинг биринчи интегралларидан биттаси q-—a дан иборатдир. q=a ни бе-
рилган тенгламага куйиб р пи топамиз:
2х(г— ау) р— х“—а
Демак, 2х(г—ау) dz — pdx + qdy — =- dx + ady x2—a
ёки dz — ady 2 xdx z — ay x2—a
Бундан In \z — ayf = In |x2 — aj + In b
ёки z = ay b(x2 — a)
ту лиц иитегрални хосил диламиз.
3. Интеграл сиртги тсглш. (12.43) тенгламанинг тулиг; иптег-
рали Ф (x, у, 2, a, I ) = 0
маълум булган х,олда (12.43) тенглама учун Коши масаласини, яъни
берилган x = <P(/), у z = X(Z) (12 56)
эгри чизикдан утувчи (12.43) тенгламанинг интеграл сиртини топиш
масаласини ечиш мумкин.
’Умумий иитегрални ани1\ловчи тенгламаларни оламиз, яъни b =
= ю(а) булганда
Ф (x, y, z, a, co(c)) = 0, (12.57)
д Ф (х, у, г, а, со (а)) . дФ(х, у, г, а, а (а)) _ q , 12 5gx
da db I / • I /
Ь — (л(а) функцияни шундай танлаб олиш керакки, (12.57) (12.58)
тенгламалар билан аницланадиган сирт, яъни бир параметрли (12. 57)
оиланинг урамаси берилган (12.56) эгри чизицдан утсин. Берилган
эгри чизицнинг нуцталарида иккала (12.57) ва (12.58) тенглама t
буйича айниятга айланади:
Ф(ср(О, ф((), х(0, а. со(а)) = О, (12.59)
д Ф (ср (/), ф (О, X (Q, а, со (с?)) РФ(ср(/), ip(Z),x(O, а, а (а)) , . . _ $
да "Г db 1 ’
(12.60)
Бу тенгламалардан b — со (а) функцияни аницлаш анча мураккабдир.
Шу сабабли одатда бошцачарсц йул тутилади. (12.59) тенглик
to (с) функция маълум булганда а ни t узгарувчи ортали аницлай-
ди. Шундай цисоблаб, (12.59) тенгликни t буйича дифференциал-
лаймиз:
д Ф , , РФ,,,,, , ЗФ . [РФ РФ , ,
ср (() 4, (() + х (0 4- — 4- — и (а)
дх ду дг [ да до
= 0.
(12.60) тенгликни эътиборга олиб, ушбу
РФ ' I РФ . i ц\ । РФ , п
ср ()4- яр (/) 4-— х (О = 0
дх ду [Рг
da
dt
(12.61)
тенгламани цосил цитамиз. (12.59) ва (12.61) тенгламалар снстема-
сидан Ь = со (а) функцияни аницлаш анча |;цулай булади. Агар
(12.56) эгри чизицца утказилган уринма векторни t орцали, Ф=0
сиртга утк шлган, ва демак, мэс нуцталарда изланаётган урамага
утказилган нормалнинг векторини; N орцали белгилаб олсак, (12.61)
тенглик цисцача
(А/, /)=0
куринишда ёзилади. (12.61) плат геэмегрик нуцтаи назардан шу
нарсани билдирадики, изланаётган сирт берилган эгри чизицдан
утиши керак, ва демак, бу эгри чизицца утказилган уринма изла-
наётган сиртга утказилган уринма текисликда ётиши керак.
Мисо л. Ушбу
г = рх 4- qy 4- Зр" — д3
-тенгламанинг х — 0, г — у' эгри ччзицдан утувчи интеграл сирти топилсин.
Берилган тенглама умумлашган Клеро типидаги тенглама булгани учун унинг
тулиц интеграли г = ахbyЗа1 — Ь2 дан иборатдир. Берилган эгри чизицнинг
тенгламасини пар'аметрик формада ёзиб оламиз: х = 0, у = t, г = fl. Текширилаёт-
ган цолда (12.59) (12.6!) тенгламалар
fl = bt 4- За3 — £>3, 2t = b
куринишга эга булади. Булардан:
b = 2а, г = а (х 4- 2у) — а2:
Бу оиланинг урамаси
г = а (х -|- 2у) — а2, х + 2у — 2а — О
тенгламалар билан аницланади. Охирги тенгламалардан а ни чицариб, изланаётган
сиртни топамиз:
(х + 2{/)2
2 = --------------
4
Агар (12.55) системани интеграллаш цийинчилнк тугдирмаса, Кошининг умумлаш-
ган ечимини топишда цуйида баён цилинадигаи характерштикалар ёки Коши ме-
тодидан фойдаланиш цулай булади.
4. Коши методи. Кошининг умумлашган масаласи цуйидагича
цуйилади: (12.43) тенгламанинг берилган
х0 = хо (s), у0 = у0 (s), z0 = z0 (s)
эгри чизикдан утувчи г — г(х, у) интеграл сирти топилсин. Одатда
цуйилган масаланинг ечимини цуйидаги
x~x(t, s), у = у (t, s), z = z(/, s) (12.62)
параметрик куринишда излаш цулай булади, бунда s параметр.
Бундай куринишда излаймиз деган ифодани, берилган эгри чизицдан
утувчи z = z (х, у) сиртни бир
параметрли (12.62) эгри чизиклар
оиласида ётувчи нуцталардан таш-
кил топади деб тушуниш керак.
(12.62) эгри чизикларни характе-
ристикалар дейилади (88-чизма).
Коши методинин г гояси цисцача
цуйидагидан иборат: аввало бир
нечта параметрга бог лиц булган
характеристикалар оиласи топила-
ди, сунгра характеристикаларнинг
x0 = xo(s), y0 = y0(s), z0 = z0(s)
эгри чизиц нуцталаридан утиши-
дан ва яна айрим шартларни цано-
атлантиришидан фойдаланйб, бир
параметрли х = х (t, s), y — y(t,s),
z = z(t, s) эгри чизицлар оиласи-
ни топамиз (бунда s ни параметр
чизицларда ётувчи иуцталарнинг
туплами изланаётган интеграл сиртни ташкил цилади. z — г(х, у)
функция
F (х, у, z, р, q) = 0 (12.43)
тенгламанинг интеграл сиртидан иборат булсин. (12.43) айниятни
х ва у буйича дифференциаллаймиз:
х И г рдх 9дх
F + qF +F ^4 F ^ = 0:
у-ГЧ рду^ qdy
fy—dP булгани учун аввалги тенгликларни цуйидагича ёзиш мум-
дх ду
кин:
F + pF +F ^ + Г„- = 0,
рдх ’ду
р 'qF 4-F + F ^- = 0.
рдх~г qgy
(12.63)
Бу тенгликларда z ни х ва у нинг маълум функцияси деб узсобла-
нади. р ва q га нисбатан квазичизицли булган тенгламаларнинг
(12.63) системаси учун характеристикалар тенгламаси цуйидагича
ёзилади:
dx___ dy _ fdp dx_____dy dq
Fp Fq FX~FPF г Fp Fq Fy~]-qFz
ёки бу икки системани бирлаштириб, ушбу
dx dy________________________dp ____ _ dq
Fp Fq Fx-\-pFг Fy-pqFz
куринишда ёзишимиз мумкин.
z функция p ва q лар билан
dz = pdx + qdy
(12.64)
тенглама билан богланган булгани учун, характеристика буйлаб
Л I Л dy лР I Лр
— — р-----г Q — = pFp-r qFa
di dt dt p 9
ёки
dz
PFp+qFg
(12.65)
~ dt
тенглик узсил булади. (12.65) эса (12.64) системани яна бир тенг-
лама билан тулдириш имконини беради. Шундай цилиб, функцияни
(12.43) тенгламанинг ечими деб узсоблаб, ушбу
dx __ dy __ dz dp dq
7? “ № PFP +PFQ ~~ Fx +PFZ ~ ~ Fy+qF,
(12.65')
системага келдик. (12.65') тенгламалардан (12.43) тенгламанинг
z = z(x, у) ечимини билмаган уэлда х == x(t), у = у (t), z — z(t),
p — ptt), q = q (t) функцияларни . топиш мумкин, яъни характерис-
тикалар деб аталувчи
x = x(t), y = y(i), z — z(t)
эгри чизицларни .^амда ушбу
Z~z = p(X~x) + q(Y-y) (12-66)
текисликнинг йуналишини аницловчи р=> p(f) ва q — q (/) сонларни
характеристиканинг узр бир нуцтасида топиш мумкин.
Характеристика ва унинг цар бир нуцтасига оид (12.66) текис-
лик биргаликда характеристик полоса (кенглик) дейилади. Энди
(12.43) тенгламанинг интеграл сирти характеристикалардан тузили-
ши мумкинлигини курсатамиз. Аввало (12.65') системанинг интеграл
чизиги буйлаб F функциянинг циймати узгармас, яъни
F (х, у, z, р, q) = C
булишига, бошцача айтганда, F (х, у, г, р, q) функция (12.65) сис-
теманинг биринчи интеграли эканлигига ишонч цосил цилиш цийин
эмас. Ха1\икатан, (12.65') системанинг интеграл чизиги ьбуйлаб
— F (х, у, z, р, q) — F ^ + Fu^+Fy~:.+pF^ + F d^ =
dt v y y x dt “dt dt dt qdt
«F.F^^ + F^F^F (PFp + 9F)-Fp(F +pF)-Ffl(Fp+9F)^0.
Демак, (12.65') системанинг цар бир ечими буйлаб]
F (х, у, z, р, q) = C, С = F(x0, у0, z0, р0, q0).
(12.65') системанинг интеграл чизицлари буйлаб (12.43) тенглама
цаиоатлантирилиши учун х0(5), «/„(s), z0(s), p0(s), q0(s) ^бошлангич
цийматларни шундай танлаш керакки, улар£
Г (*о> Уо, г0, p0,rq0) = О
тенгламани цаноатлантирсин. Бу тенгламани цаноатлантирадиган
*о = С1-)- Уо = Уо^), z0 = z0(s), Р0 = р0($), <7o = <7o(s) бошлангич
шартларда (12.65') системани интеграллаб, x = x(t, s), y — y(t, s).
z — z(t, г), p — p(t, s), q = q(t, s) ларни топамиз. s нинг тайин
цийматида характеристикалардан биттасига эга буламиз:
x — x(t, s), _y — y{t, $), z = z(t, s).
• ни узгартира бориб бирор сиртни цосил циламиз. Бу сиртнинг цар
бир нуцтасида p = p(t, s), q — q(t, s) булганда (12.43) тенглама
цаноатлантирилади, аммо шу билан бирга р — —, q— — ёки dz =
дх ду
= pdx + qdy муносабатнинг уринли ёки уринли эмаслигини аницлаш
керак. Охирги теигликни х ва у лар s ва t узгарувчиларга боглиц
булгани учун бундай ёзиш мумкин:
dz = p (d^ds+^dt\ + q ?yds+?ydA^ds+dJdt.
\ds dt ) ds dt ) ds dt
Бу тенглик эса ушбу
р~ Л-q- — - = 0, (12.67)
ds ds ds
+ = ° (12-68>
dt dt dt
иккита тенгламага эквивалентдир. (12.65') системага асосан
d± = F , ^ = F , ~ = pF +qFq
dt p dt 4 dt p 4 7
булгани учун ((12.65') системада s тайин г^ийматга эга деб ^исоб-
дх ду дг п .. dx dy дг .. , 1О„О,
лаганимиз учун —, — лар урнига —, — езган эдик (12.68)
dt dt dt dt dt dt
тенглик бажарилади. (12.67) тенгликнинг айниятга айланишини ис-
бот килиш учун уиинг чап ^исмини и ортали белгилаб оламиз,
яъни
дх .
и= P~ + q
ds
ду___ дг
ds ds
и дан t буйича росила оламиз:
du др дх
dt dt ds
1д2х ,dq dy . d3y дРг
dtds dt ds Q dtds dtds
(12.68) айниятни s буйича дифференциаллаймиз:
dp dx о1 x dq ду . д^у д2г
ds dt Р dsdt ds dt dsdt dsdt
Аввалги тенгликдан кейингисини айирамиз:
ди др^дх dq ду др дх dq ду
dt dt ds dt ds ds dt ds dt
ёки (12.65') тенгламаларга асосан
(F + pF \ — — (F qF ) F ~ F ~ =
dt v г> ds 4 ds pds <ds
dx . с dy
е* / дх
— F I р —
21< ds
. ] p &
г ds p ds
-qdy~d^.
ds ds)
dq \
F (х, у, z, р, <7) = 0 тенглама F функция аргументлари урнига x(t, s)
. . . , q(t, s) ларни г^уйганда айниятга айланади. Шу айниятни
S буйича дифференциаллаймиз:
p Qi. J- p ЁУ p дг
xds pds xds
dp . р dqQ
р ds Q ds
Кейинги икки тенгликнинг биринчисидан иккинчисини айириб, ушбу
ди
dt
дх ду дг'
г Ч л
ds ds ds,
ёки
ди
dt
Z
тенгламани ^осил ^иламиз. Бу оддий дифференциал тенгламани ин-
теграллаб, и ни топамиз:
t
Sfz dt
о
и — — иое
бу ерда и0 = ц!<=0. Охирги тенгликдан куринаяптики, и нинг нолга
айланиши учун и0 = 0 булиши зарур ва етарлидир, яъни х0 (s),
y0(s), zo(s)> Po(s)> ?o(s) бошлангич функцияларни шундай танлаш
керакки, улар ушбу
as ds ds
тенгликни ^аноатлантирсин. Шундай цилиб, Коши методи билан
(12.43) тенгламани х0 = х0 (s), у0 = у0 (s), z0 = z0 (s) бошлангич
шартларда интеграллаш учун ушбу
^o(s), г0(<?), p0(s), <7o(s)) = O,
Po(s)^ + <7o(s)^-^-O
ds ds ds
тенгламалардан p0 = p0 (s), Q0 = Q0(s) функцияларни ани^лаб, сунг-
ра (12.65') системанинг t = 0 да x = x0(s), y~y0(s), z = z0(s),
p = р0 (s), q — q0 (s) бошлангич шартларни каноатлантирадиган ечи-
мини топиш керак. (12.65') система ечимларидан учта
x — x(t, s), y~y(t, s), z = z(t, s)
функция (12.43) тенглама изланаётган интеграл сиртнинг [парамет-
рик куринишдаги тенгламасини беради.
5. Умумий :$ол. Юцорнда баён цилинган Коши методи п та эрк-
ли узгарувчили хусусий ^осилали ушбу
F(xb х2, ... , хп, и, plt р2, . .. , pn)=Q (12.69)
(бунда р—-^-, 1 = 1, 2, ... , п) тенгламага ^ам бевосита умум-
‘ 1
лаштириш мумкин.
Коши масаласи: (12.69) тенгламанинг берилган (n — 1) улчовли
хю ~ xioksu sz> » sn—1)> Ь 2...............n,
“o = “o(si. s2......s„_i) (12.70)
сиртдаи j/тувчи n улчовли и = и (хи х2, ... , хп) интеграл сирт
топилсин. 4-пунктдаги муло^азаларни такрорлаб, ушбу
FP1 FP2
dPl
+ P1Fи
= dt.
(12.71)
(2n-f-I) номаълумли (2я-Н) та тенгламаларнинг системасини з^осил
циламиз. Вацтинча функцияларнинг бошлангич цийматлари
Р,о Pio (si* s2’ • • • ’ sn-i)> “ Ь 2, • • • , а). (12.72)
ларни маълум деб фараз циламиз. У цолда (12.71) системани (12.70),
(12.72) бошлангич цийматларда интеграллаб, цуйидагиларни цосил
циламиз:
хг = хг(/, sb . . . , «„_,),
u — u{t, sx...........S"-,),
Pt. = Pt.(t sx, ... , S^j),
i — 1, 2, ... , n.
(12.73)
s2, ... , s„_j параметрларнинг тайин цийматларида
х;=х£(/, , Sn_J, U = U(t, Sx...Sn_,)
тенгламалар (xt, . . . , xnt и) узгарувчиларнинг фазосида характе-
рист'лкалар деб аталувчи эгри чизицларни аницлайди, pf = Pi(t, sx,
. • • , s„_i) сонлар эса характерис-тикаларнинг цар бир нуцтасига
утказилган ушбу
(12.74)
i—1
текисликларнинг йуналишини аницлайди. Характеристикалар (12.74)
текисликлар билан биргаликда характеристик полосалар (кенглик-
лар) дейилади.
sb s2, . . . , параметрлар узгарганда (и—1) улчовли (12.70)
сиртдан утувчи (п — 1) параметрли xi =txl (t, st........sn_i)> u==t
— u(t, sr, ... , s„_,) характеристикалар оиласига эга буламиз.
Энди (12.72) функциялар аниц танлаб олинганда изланаётган п ул-
човли сиртнинг (12.73) характеристикалар оиласида ётувчи нуцта-
лардан ташкил топишини курсатамиз. Бунинг учун цуйидаги икки
айниятнинг бажарилишини курсатиш керак:
1) F(Xl (/, sx......sn_,).........xn(t, s1; . . . , sn_!),
M(i,- slt . . . , «„_,),
Pitf. Sj., . . . , s„_,), . ... pn(t, slt ... , sn_!)) = 0,
Л
ди
Pi = дхУ’ 1 = b 2, ... , п ёки du =; p. dxr
1 i=l
Аввало F (xx......u, Pi............Prt) 'функция r( 12.71) система-
нинг биринчи интеграли эканини курсатамиз. (12.71) тенгламаларга
асосан
d , -VI „ dx, „ du
-F(X1, ... , хп, и, Р1, ... , Pn) = ^Fxi — + Fu- +
»=1
п п п п
+2 F = 2 FX. F +FU 2 PtF - 2 F (Fx +
£—1 Pi ai {-_j xi Pt u j=i 1 Pi r-=i P^ ' xg
+ plFu) = O.
Демак, (12.71) системанинг интеграл эгри чизицлари буйлаб
F (%1......хп, и, Р1, . . . , рп) = С,
бунда
C==F(rio........-Yno- «о- Ао.....Р„о)-
Шундай килиб, (12.73) функциялар (12.71) системанинг интеграл
чизиклари буйлаб (12.69) тенгламани каноатлантириши учуй
pi0 (st, . . . , sn_j) бошлангич кийматларни шундай танлаш керакки,
ушбу
Fix^r. . , sn_!)....xn0(slt .... s^), u0(S1, ... , sn_t).
P1O(S1> • ‘ . Pn0 (Si, , Sn-j)) =0
тенглик бажарилсин. Энди
п
du= у1 pt dxt
f=i
, n— 1 n /1—1
^4t+ 2 >2 p Й-л+ 2 !—*/)
dt 1 M OSj I Г; у QI QS] 1 ]
айниятнинг тугрилигини текшириб куриш керак. Охирги айният
цуйидаги п та айниятга эквивалентдир:
- — У р. (12.75)
dt ^4 dt
i= 1
У Pi^-^G> /=1, 2, 1. (12.76)
dSj----------------------------------------ridSj ’ J v '
(12.75) айниятнинг тугрилиги (12.71) системага асосан келиб чица-
ди. ^акикатан, (12.71) тенгламаларга асосан:
дХ ;
du
dt
—- = F
Pi dt Pi
i = 1, 2, . . . , n.
du dx,
Бу .ерда биз ва урнига хусусий хосилалар ёздик, чунки
(12.71) системада барча si лар тайин деб цисоблаган эдик. Демак,
V р
dt ‘
dxt
>l dt
M p.F
Pi
п
У P>F = 0.
^4 Pi
(12.76) айниятларнинг уринли эканини исботлаш учун уларнинг чап
^исмини iij орцали белгилаб оламиз:
du • 1 о „ 1
U, =з— — > р, -ч—, 7=1, 2, ... , п—1.
1 dsj л-А dsj ’ 1 ’
ti.{ ни’ t буйича дифференциаллаймиз:
= —— Уд. —• (12.77)
dt dtds, * dtds,- dt ds:
, J »=1 J i=l J
(12.75) айниятни s; буйича дифференциаллаш натижасида $осил
булган ушбу
d2u &xi др, дх,
— — V р, —- — У —----------------ее: О
didst * dtds; ds, dt
J J i=l 7
айниятни эътиборга олиб, (12.77) тенгламани цуйидагича ёзиб оли-
шимиз мумкин:
duy = у дх£ з dp£ dxt
dt ds; dt dt ds;
i=l J £=1 7
(12.71) системага асосан:
г=0 айниятни s;. буйича дифференциаллаш натижасида ^осил
булган айниятга асосан аввалги тенглама цуйидагича ёзилади:
= / = !, 2, .’..,п.
Бу оддий дифференциал тенгламани интеграллаб, унинг ушбу
V
-[Fu dt
о 0
ui “ uie
ечимини топамиз. Демак, и. = 0 айниятнинг бажарилиши учун
и, = и^0 ёки
булиши зарур ва етарлидир. Шундай цилиб, (12.69) тенгламанинг
(fi —1) улчовли
= (S1- • • • > i= 1> 2, . . . , rt,
wo = uo (s> • • • > Sn_ J
сиртдан утувчи интеграл сиртни топиш учун р/:0 (s}, . . . , sn_j) бош-
лангич цийматларни ушбу
F (х]0, . . . , хп0, и0, р10, • - , рп0) =р,
тенгламалардан аницлаб (албатта, бу системани pi0 ларга нисбатан
ечиш мумкин деб фараз циламиз), сунгра (12.71) системани (у мав-
жудлик ва ягоналик тгоремаларининг шартларини цаноатлантиради
деб фараз циламиз) ушбу
хю = хю (si< ’ Sn—1)’ |
wo = wo (si> • • • » srt—i) > z s.
Pi0=Pi0(Sl> ••• > Sn-1) I
(12.79)
i = 1, 2, . . , , n
бошлангич шартларда интеграллаб, унинг цуйидаги ечимини цосил
циламиз:
Х1 = xt (*> sL, , V,)
и = и (t, sb . . . , Sn l)
Pi = p( (t, slt ... , s^)
i = 1, 2, . . . , rt. (12.80)
(12.79), (12.80) функциялар изланаётган интеграл сиртнинг пара-
метрик тенгламаларидан иборатдир.
Мисоллар. 1. Ушбу
г = Р? + 1
тенгламанинг у0 = 2, г0 — 2х0 -J- 1 тугри чизицдан утувчи интеграл сирти топил-
син.
Берилган тугри чизицнинг тенгламасини лараметрик куринишда ёзиб оламиз:
xQ = s, у0\=2, z0 = 2s+ 1.
(12.78) тенгламалар цуйидаги куринишга эга булади:
2s = poqa, 2 рв = 0.
Булардаи рв, q0 бошлангич цийматларни аницлаймиз: р0*= 2, qB ~ s.
(12.71) система ёки (12.65) система ушбу
dx dy dz dp dq
— = -— = —-— = -— = — = dt
— q —p —2pq ~p —q
куринишга эга булади. Бу системани интеграллаб, унинг ечимларини топамиз;
р = Cxe~l, q = С2е—<, х = С2ё~* + С3, у = -|- С4,
z = C1Cte 2^+С5.
1 = 0. x0 = s, у0 = 2, г0 = 2s1, р0 = 2, qB = s
булгани учун
р = 2ё~1, q = sё~*, х = sе~~г, у = 2е~*, г = 2se—21 + 1.
Демак, изланаётган интеграл сирт
х = se~f, у = 2 е~‘, г = 2 se~2i + 1
ёки
дан иборатдир.
2. Ушбу
г = ху + 1
Р2+<72=1
тенгламанинг х0 = cos s, ув — sin s,
топилсин.
(12.78) тенгламалар куйидаги
s _
г — “[шартни каноатлаптирувчи интеграл сирти
. Ро+<7о= Ь -^ + p-sins — <7ccoss = 0
куринишга эга буладй. Бу тенгламалардан
Ро = — cos
q0 = sin
бошлангич кийматларни топамиз. Берилган тенглама учун (12.65) система ^уйидаги-
ча ёзилади:
dx dy dz dp dq
- - = — = — = dt.
2p 2q 2p2 + 2q2 0 0
Бу системани интеграллаймиз:
p ~ Ср q = C2, x = 2C}t -f- C3, у = 2C2t -f- C4,
z=2(C\+C2 )t+Cb.
Ушбу
s
x0 = cos s, yG = sin s, г0= ~
л
p0 = cos s+ —- , qB = sin s+—
\ 6 J \ 6
6
бошлангич шартлардан фойдалансак,
I i 31 \ -li
p = cos I s+ — i, q = sin s+
\ 6 / \
x = 2t cos I s
+ cos s,
l л \ s
y — 2t sin I s+ — I + sins, z = 2t-\- —.
6
Бу тенгламалардан охирги учтаси изланаётган сиртнинг ’’параметрик тенглама-
ларидан иборатдир. Худди шунга ухшаш рв ва q„ ларнинг бошца цийматларига
мос интеграл сиртлар топилади.
(12.69) тенгламанинг хусусий ^оли булган ушбу
+ H(t, хг, , хп, Р1, ... , рп) = 0 (12.81)
ос
(бунда = pt, Н эса уз аргументларининг берилган функцияси-
дир) тенгламани курамиз. Ю^орида баён цилинган Коши методи
(12.81) тенгламага ^улланилганда уни куп ^олларда ^кобининг би-
ринчи мгтоди дейилади. (12.81) тенглама характеристикаларининг
тенгламасц цуйидагича ёзилади:
dt__dxx
1 — дН
dPi
dxn
dH
дрп
dV
У дУ dV
.^Pidpt “Г" dt
d Pi __ _____ dpn
dH ~ — dfT
dx, d xn
(12.82)
Текширилаётган ^олда аввалги (12.71) системадагига ухшаш ёрдамчи
эркли узгарувчи киритилишининг ^ожати йуц, чунки унинг ролини
эркли узгарувчи t уйнаши мумкин. (12.82) системадан
dx, дН dp, дН
-тт- = а—> = “5 > = 1- 2- • • ’ п
dt dPt dt dxi
p.lH+^Y (12.83)
dt 1 dPt dt
i=l
ёки
<1284>
i— 1
2n та тенгламадан ташкил топган (12.83) системада номаълум функ-
ция У иштирок этмаяпти, шу сабабли уни (12.84) тенгламага боглиц
булмаган ^олда интеграллаш мумкин. (12.83) куринншдаги тенгла-
малар механикада тез- тез учраб туради, уларни каноник система-
лар деб аталади, Н функцияни эса Гамилыпон функцияси дейила-
ди. Коши методидан фойдаланиб, (12.83) системанинг ечимини
билган ^олда (12.81) тенгламанинг ечимини топиш унча г;ийин бул-
майди. Фараз цилайлик, t —10, xt = хю pt = pi0 бошлангич циймат-
лардаги (12.83) системанинг ечими
^о> ХЮ’ • • • ’ Хп0’ Р10’ • • - > Рло)>|
Pi — Pi Х10> • • • • Хп0' PlO’ • ’ РпО^ j
i=l,2, ... , п
булсин. Номаълум функцияни топиш учун ва р. ларнинг (12.85)
цийматларини (12.84) тенгламанинг унг томонига олиб бориб гкуй-
сак, у цолда унг томон t нинг функциясидан иборат булади. Сунг-
ра V квадратурада топилади, яъни
v= f (2 р^~~н)dt+ ..................
о *=» 1 7
/?„о) +К)-
Машк. I. Цуйидаги тенгламаларнинг, умумий интеграллари топилсин:
ди ди х, ди
3. Ху — + х, — + -- —- = 0;
дхг 2 дх2 2 дх3
ди ди , ди
4. Ху —• + (х3 + и) — + (х, + и) -— = х2 + х3.
дху дх3 * дх3
II. Куйидаги тенгламаларнинг берилган шартларни цаноатланти-
рувчи ечимлари топилсин:
Зг дг
— — у — = 0, х = О, г = w2;
ду дх
ди ди
2. (х3 —х2) — +х3 —-
дХу дх2
ди
-— =: 0, Ху = 0, г = 2хг (х2 — х3);
Зх3
3- ху
4. х,
дг
;~~У2
дх
ди
дху ~ III. * * VI. * * * Х
дг
— = х, х = а, 2ауг = а2 4- 2;
Зр
ди ди
. ~ Х3 — = и, Ху = 1, и =
дх2 дх3
III. Куйидаги Пфафф тенгламалгри интеграллансин:
1. х(у~ 1) (г— 1) Зх+ у (г— 1) (х— 1) dy + г (х — 1) (у — 1) dz — 0;
2. 2 yzdx + 2 xzdy — ху г dz = 0; '
3. (2х2 + 2 ху + 2 хг2 + 1) dx + dy + 2 zdz — 0.
VI. Куйидаги тенгламаларнинг тулиц интеграллари топилсин:
1. Р = 2q2 + 1;
2. I;
3. pq = p + q;
4. Pq = xy,
5. p2 = q + x;
6. q = xpp2;
7. uz = pq
8. z3 = pq2;
9. д2 = г2р2(1—р2); 11. gzp2—g = 0;
10. рхуpqqy — yz=*Q; 12. p2 + g2 +pg — qx~ py—2z+xy=O
V. куйидаги тенгламаларнинг тули^ интегралларидан фэйдала-
яиб, берилган эгри чизи^лардан утувчи интеграл сиртлар топилсин:
1. рх + qy — pq = 0, х = 0, г = у,
2. z = px+qy+~, у = 0, г= х2.
4
VI. куйидаги тенгламалар Коши методи билан интеграллансин:
1. г = pq, х0 = 1, г0 = у0;
2. z — px + qy + pq, х0 = 1, г0 = ^;
3. р2 4- д2 = 2, х0 = 0, г0 = у3 .
ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЕТЛАР
[1] Понтрягин Л. С.
[2] Петровский И. Г.
[3] Степанов В. В.
[4] Еругин Н. П. ва
боцщалар.
[5] Хартман Ф.
[6] Коддингтон Э. А.,
Левинсон Г.
[7] Пуанкаре А.
[8] Ляпунов А. М.
[9] Эльсгольц Л. Э.
[10] Понтрягин Л. С.
[11] Пейович Т.
[12] Еругин Н. П.
[13] Наймарк М. А.
[14] К°РИ—Ниёзов Т. Н.
[15] ТрикомиФ.
[ 16] Четаев Н. Г.
[17] Малкин И. Г.
[18] Демидович Б. П.
[19] Филиппов А. Ф.
[20] Андронов А. А.
Витт А.А., Хайкин С. Э.
[21] Кураит Р. .
[22] Гюнтер Н. М.
[23] Трикоми Ф.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., Нау-
ка, 1969.
Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, М., Наука, 1964.
Курс дифференциальных уравненей, М., Гиз физ. мат.
литературы 1958.
Курс обыкновенных дифференциалных уравнений,
Головне изд. Киев. 1974.
Обыкновенные дифференциальные Jуравнения, изд,
«Мир», М., 1970.
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений,
М., ИЛ, 1958.
О кривых, определяемых дифференциальными урав-
нениями. ОГИЗ, Гостехиздат, М., Л, 1947.
Общая задача об устойчивости движения, Собр.
соч. т. II. изд АНСССР, 1956.
Дифференциальные-уравнения и вариационное исчис-
ление, Наука, Москва, 1965.
ДАНСССР, т. 174, №6, 1967.
(Peyovitch Т), Bulletin de la socicte mathematique de
Franse, 53, 1925, 208—225.
Книга для чтения по общему курсу дифференциаль-
ных уравнений. Наука и техника, Минск, 1970.
Линейные дифференциалные операторы, Наука, М.,
1969.
Танланган асарлар, 4- том, Дифференциал тенгла-
малар, УзССР «Фан» нашриётн, Тошкент. 1968.
Дифференциальные уравнения. Изд. ИЛ, М., 1962.
Устойчивость движения. Гостехиздат, М., 1955.
«Теория устойчнвсстн движения», «Наука». М., 1966.
Лекции по математической теории устойчивости,
Наука, М., 1967.
О некоторых вопросах теории оптимального регу-
лирования, Вестник Московского универститета, №2.
1959 г.
Теория колебаний, изд. 2-е. Физматгиз, М., 1959.
Уравнения с частными производными, Изд-во «Мир»,
М., 1964.
Интегрирование уравнений первого порядка в част-
ных производных, ОНТИ, ГТТИ, 1934.
Лекции по уравнениям в частных- производных, М.,
ИЛ, 1957.
ДАРСЛИКДА УЧРАЙДИГАН АСОСИЙ БЕЛГИЛАР
R (ёкн R1) — барча дающий сонлар тупламн.
R_^_ (ёки R_ ) — барча мусбат (манфий) ^а^иций сонлар туплами.
R2— сонлар текислигн, яънн R2 = (a, b); а, £ R, b£ R}.
1 — R тупламнинг к;исмн булиб, у очш\; ёпик,, ярим очик, ярнм ёпи1\, чекли ёки чек-
сиз интервалдан нборат.
/х — х нинг узгариш интервали.
С (R) - R тупламда узлуксиз булган функциялар синфи.
С (/) — I интервалда узлуксиз булган функциялар синфи.
С1 (R) (ёкн С1 (/)) — R тупламда (ёки / интервалда) узлуксиз дифференциалла-
нувчн функциялар сннфи.
<р (х) £ С (R) (ёки <р (х) £ С (/))—ф (х) функция R тупламда (ёки / интервалда)
узлуксиз функциялар синфига тегишли.
ф (х) С С1 (R) (ёки ф (х) £ С1 (/)) — ф (х) функция R тупламда (ёки I интервалда
► узлуксиз дифференцналланувчи функциялар синфига тегишли.
Г — R2 текнсликнннг ^исмндан нборат булган со^а,
С (Г) — Г сохада узлуксиз булган функциялар синфи.
С1 (Г) — Г сохада узлуксиз дифференцналланувчи функциялар синфи.
f (х, у) £ С1 (Г) — f (х, у) функция Г сохада узлуксиз дифференцналланувчи функция-
лар синфига тегншли.
R3 = {(а,’й, с) :aGRi, b £ R\ с £ R1}.
R* = {(аъ «2. • • • , аь ) •' al 6 R1- i=l,2,..., k}.
D3—-R3 фазонинг цисмидан иборат со^а.
Dk — Rfe фазонинг цнсмидан иборат со^а.
Сп (J) — / интервалда п марта узлуксиз днфференциалланувчи функциялар синфи.
ф (х) С'’(^) — ф (х) функция I интервалда п марта узлуксиз дифференцналланувчи
функциялар синфига тегишли.
МУНДАРИЖА
С У з б о ш и .,................................................. 3
Кириш . . .................................................. 5
/ 1-§. Дифференциал тенгламалар' хаки да тушунча...............5
2-§. Дифференциал тенгламага олиб келииадигаи баъзи масалалар 6
1-боб. До с и лага нисбатан ечилган биринчи тартибли оддий
дифференциал тенгламалар ............10
1- §. Ечим тушунчаси. Коши масаласининг ^уйилиши............10
2-§. Мавжудлик ва ягоналик теоремалари .................14
3- §. Изоклиналар........................................ 17
4- §. Биринчи тартибли содда дифференциал тенгламаларни интеграл-
лаш ....................................................... 18
dr/
I. 2Х = Кх) куринишдаги тенгламани интеграллаш (18)
'ду 1
2. = g(y) куринишдаги тенгламани интеграллаш (19)
5- §. Узгарувчилари ажраладиган дифференциал тенгламалар ... 19
6- §. Бир жинсли ва унга келтириладинган- тенгламалар......21
1. Бир жинсли тенгламалар (21) 2. Бир жинсли тенгламага кел-
тириладиган тенгламалар (23)...........................
7- §. Чизикли дифференциал тенгламалар.................... 26
8- §. Бернулли ва Риккати тенгламалари.................... 28
1. Бернулли тенгламаси (28)
2. Риккати тенгламаси (30)
9- §. Тулит; дифференциалли тенгламалар ...................31
10- §. Интегралловчи купайтувчи............................35
11-§. Пикар теоремасииинг исботи........................... 42
1 2- §. Давомсиз ечимлар...................................52
2- б о б. е- тацрибий ечим. Дифференциал ва интеграл тенгсиз-
ликлар . . .'.....................................................55
1- §. е- тацрибий ечим. Эйлер синит; чизиги................55
2- §. Интеграл тенгсизликлар...............................62
3- §. Максимал ва минимал ечимлар................................66
4- §. Дифференциал тенгсизликлар.................................70
5‘ §• = f(x) куринншдаги дифференциал тенгламани график интег-
раллаш ......................................................72
3- боб. \осилага нисбатан ечилмаган биринчи тартибли оддий
дифференциал тенгламалар...........................................77
1- §. Ечим ва умумий ечим тушунчаси. Коши масаласи...............77
2- §. Квадратураларда интегралланувчи баъзи тенгламалар ..... 80
3- §. Ечимнинг мавжудлиги ва ягоналиги...........................89
4- §. Махсус ну^та ва махсус ечим.............................. 90
5- §. Изогонал ва ортогонал траекториялар ...4..................100
4- боб. п- тартибли оддий дифференциал тенгламалар .... 103
1-§. Умумий тушунчалар ва мавжудлик теоремалари .................103
2- §. п - тартибли дифференциал тенгламаларнинг квадратурада ин-
тегралланувчи баъзи типлари . . ’.......................113
I. yln) = f(x) куринишдаги тенглама (118) 2, F(x, у^) = 0 кури-
нишдаги' тенглама. (118) 3. F(y^n'l\ у(л)) = 0 куринншдаги
тенглама. (119.) 4. F(y'n'2 3\ у<п>) = 0 куринншдаги тенглама (119)
3-§. Оралиинтеграллар. Тартиби камаядиган дифференциал тенг-
ламалар ....................................................121
4- §. Иккинчи тартибли дифференциал теигламаларни график интег-
раллаш • • • ...............................................123
5-§. «1^увлаш> чизигйнинг дифференциал тенгламаси................128
5- боб. п- тартибли чизицли дифференциал тенгламалар . . . 134
1-§. п - тартибли чизикли тенгламаларнинг умумий хоссалари . . . 134
2- §. п- тартибли чизикли бир жинсли тенгламалар............136
3-§. п-тартибли чизикли бир жинсля булмаган тенгламалар ... 151
б - б о б. п - тартибли чизицли узгармас коэффициентли диф-
ференциал тенгламалар.........................................161
1- §. Комплекс дифференциал тенгламалар....................161
2- §. Чизикли бир жинсли узгармас коэффициентли тенгламалар . . 164
I. L(p) купхаднинг илдизлари оддий .................... . 166
П. L(p) купдаднинг баъзи илдизлари каррали
3- §. Чизикли бир жинсли булмаган узгармас коэффициентли тенг-
ламалар ............................................. 175
4- §. Комплекс амплятудалар методи..............................180
5-§. Тебранма электр занжири.................................. 182
6- §. Узгармас коэффициентлига келтириладиган тенгламалар . . . 184
7 - б о б. Чизицли дифференциал тенглама ечимларининг нолларй
цацида. Чегаравий масалалар..................................... 191
I- §. Иккинчи тартибли чизикли тенгламаларнинг куринишини содда-
лаштириш...................-................................191
2-§. Тебранувчи ва тебранмас ечимлар........................194
3- §. Чегаравий масалалар...................................206
1. Чегаравий масалаларнинг цуйилиши ...................260
2. Бир жинсли чегаравий масала . . . «....................... 210
3. Бир жинсли чегаравий масала учун Грин функцияси . . .212
4. Бир жинсли булмаган чегаравий масала ..................217
4- §. Дифференциал операторнинг хос дийматлари ва хос функциялари 220
1. Бир жинсли чизицли тенглама учун циймат ва хос функция
тушунчаси........................................................220
2. Бир жинсли булмаган чизйцли тенглама учун хос диймат ва
хос функция тушунчаси............................................222
8- б о б. Оддий дифференциал тенгламалар системаси...........222
1-§. Дифференциал тенгламаларнинг нормал системаси. Умумий
тушунчалар .................................*....................222
2- §. Нормал система учун мавжудлик ва ягоналик теоремалари 233
1. Мавжудлик ва ягоналик теоремаларининг баёни............233
2. Ердамчи фикрлар (234) 3. 8.1 - теореманинг исботи .... 234
3-§. Нормал система учун с-тадрибий ечим.............................240
1. е-тацрибий ечим тушунчаси ва унинг мавжудлиги дадида
теорема (240)
2. Нормал система учун Пеано теоремаси (242)
4- §. Ечимнинг- бошлангич циймат ва параметрларга узлуксиз бог-
лицлиги ...................................................... 244
1. Дастлабки маълумотлар (244) 2. Ечимнинг параметрларга
узлуксиз богликлиги (244) 3. Ечимнинг бошлангич цийматларга
узлуксиз боглидлиги (2481
5- §. Ечимнинг бошлангич диймат ва параметрлар буйича дифферен-
циалланувчнлиги . . ;..........................................248
1.Ечимнинг параметрлар буйича дифференцналлапувчилиги (248)
2.Ечимнинг бошлангич дийматлар буйича дифференциалланувчи-
лиги (253) 3. Вариацияли тенгламалар системаси (253)
6- §. Нормал системанинг интеграллари ...............................254
1. Системанинг биринчи интеграллари (254) 2. Интегралланувчи
комбинациялар (259) 3. Нормал системанинг симметрик фор-
маси (261)
9-боб. Чизицли дифференциал тенгламаларнинг нормал си-
стемаси ............................................................264
1-§. Умумий тушунчалар, мавжудлик ва ягоналик теоремаси (264)
2- §. Чизидли бир жинсли системалар ............................... 269
1. Чизикли оператор ва унинг хоссалари (269) 2. Вектор функ-
цияларнинг чизидли богликлиги ва эрклилиги (271) 3. Ечим-
ларнинг фундаментал системаси (273) 4. Вронский детерми-
нанти (274) 5. Остроградский — Лиувилль формуласи (276)
3- §. Чизидли бир жинсли булмаган системалар.........................281
1. Узгармасни вариациялаш усули. Коши формуласи (283) 2. Чи-
зидли бир жинсли булмаган системанинг ечимини юдоридан
бахолаш (286)
4- §. Чизидли узгармас коэффициентли бир жинсли системалар . . . 288
1. Характеристик тенглама (288) 2. Чидариш методи (289)
3. Чидариш методининг чизидли бир жинсли узгармас коэф-
фициентли нормал системасини интеграллашга татбиди (293)
5- §. Чизидли узгармас коэффициентли бир жинсли булмаган си-
стемалар (298)-
6- §. Чизидли дифференииал тенгламаларнинг нормал системаси учун
чегаравий масалалар............................................302
1. Масаланинг дуйилиши (302) 2. Бир жинсли чегаравий маса-
ла (302)
10- боб. Цифференциал тенгламаларнинг автоном системаси 304
1- §. Автоном системалар ....'...................................304
2- §. Автоном система траекториясининг муцим хоссаси.............306
3- §. Автоном системаиинг холатлар фазоси . . \.................. 311
1. Х,олатлар фазОси (311)2. Скаляр автоном тенгламанинг хо-
латлар тугри чизиги ва мувозанат холати j(313) 3. Автономмас
системаиинг холатлаР фазосига мисол (318)
4- §. Чизикли узгармас коэффициентли бир жинсли системанииг х°-
латлар теки ели ги.........................................319'
1. Системаиинг каноник куриниши (319) 2. Иккинчи тартибли
чизикли бир жинсли системаиинг холатлаР текислиги (322)
5-§. Автоном системаиинг холат тезлиги векторининг царакати Ца-
цида (334)
11 - б о б Тургунлик назарияси элементлари ....... 338
1- §. Тургунлик хасида..........................................338
1. Кнсцача тарихий маълумот (338) 2. Тургунлик (338)
2- §. Тургун купхадлар .........................................346
1. Купцадларнинг тургунлик шартлари (341) 2. Ечим модули-
нинг бахоси (346'1'
3- §• Мувозанат холатининг тургунлиги. Ляпунов — Пуанкаре тео-
ремаси .........................................................349
1. Ляпунов маъносида тургунлик ва тургунмаслик (349) 2. Ав-
тоном система ечимининг группалаш хоссаси (351) 3. Мусбат
аникланган квадратик форманинг баъзи хоссалари (352) 4. Ляпу-
нов функцияси квадратик форма сифатида (353) 5. Ляпунов—
Пуанкаре теоремаси (1- метод) (354) 6. Ечимнинг тургунлиги (361)
7. Автономмас система ечимининг тургунлиги. Ечимни давом
эттириш масаласи (362)
4- §. Уатт буг машинасининг ишлаш принципи хак.иДа..............364
5- §. Ляпуновнинг иккинчи методи................................368
' 1. Аник ишорали функциялар (368) 2. Тургунлик ва асимптотик
тургунлик хацида Ляпунов теоремаси (370) 3. Ляпунов функ-
циясини цуриш (373) 4. Ляпунов функциясини, излашнинг сунъий
усули (373)
6- §. Лимит давралар. Эргаш функция.............................375
1. Лимит давра ва унинг як.инидаги траекториялар (375) 2. Эргаш
функция ва унинг хоссалари (380) 3. Эргаш функциянинг геомет-
рик тасвири (381) 4. Ляпуновнинг характеристик курсатки-
чи (386)
7- §. Лимит давраларнинг мавжудлик белгиси .....................386
1. ш - лимит туплам (п — ихтиёрий) (386) 2. Ёпиц траектория-
ларнинг мавжудлиги (388) 3. Ёпиц траекторияларнинг мавжуд
булмаслиги (389)
8- §. Лампали генератор ва Андронов мисоли.......................390
1. Триод (391) 2. Анод занжирида тебранма контурли лампали
генератор (391 ) 3. Андронов мисоли (395)
12- боб. Биринчи тартибли хусусий ^осилили дифференциал
тенгламалар..........................................398
1- §. Ечимнинг мавжудлиги ва ягоналиги хасида...................398
1. Асосий тушунчалар (398) 2. Ковалевская теоремаси (400)
3. Коши масаласининг геометрик интерпретацияси (401)
2- §. Биринчи тартибли хусусий хосилали чизицли бир жиисли
тенглама . ' . . . .'........................................ 402
1. Дастлабки тушупчалар (402) 2. Чизикли бир жинсли тенглама
учун Кошн масаласининг ечилиши (405)
3- §. Биринчи тартибли хусусий ^осилали чизикли бир жинсли бул-
маган тенглама ...............................................408
1. Ечим, умумий ечим ва махсус ечим тушунчалари (408) 2. Чи-
зикли бир жинсли булмаган тенглама. учун Коши масаласининг
ечилиши (410)
4- §. Пфафф тенгламаси.......................................412
.5- §. Биринчи тартибли чизикли булмаган тенгламалар..........418
1. Ту лир; интеграл (418) 2. Лагранж—Шарли методи (423)
3. Интеграл сиртни топиш (426) 4. Коши методи (428) 5. Умумий
цол (432)
На узбекском языке
Махмуд Салахитдинович Салахитдинов
Гаппар Насритдинович Насритдинов
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебник для студентов университетов и
педагогических институтов
Ташкент «Укитувчм 1982
Редактор Р. Каримов
Бадиий редактор С. Соин
Тех редактор Т. Скиба
Корректор Д. Абдуллаева
ИБ № 2251
Теришга бсрплди 24.11.81. й. Ессишга рухсат зтилди 8.07.82 й. Формата ЕОхОО’/и- Тип. дого-
зи № 3. Кегли 10 шпснсиз Юдсри бссма усулида бссилди. Шартли б. л. 28.0. Нашр л. 26,45.
Тираита ССОО. Зак. 2455. Гах.сси 1 с. 20т.
«Удитувчи» иашриёти. Тсшкеит, Пассий кучаси, 30, Шартвсма 9—106—81.
УзССР пгиристлар, полиграфия га китсб сагдсси ии-лари Давлат комитета Тошкент «Матбуот»
пел и I рафия иил;б чидариш Сврлги.масининг полиграфия комитета. Тсшкеит, Навоий
кучаси, 30. 1982 й.
Пслиграфкомбипат Ташкентского полиграфического произссдстсонного объединения’ «Матбуот»
Гссударстгспного комитета УзССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
Ташкент, ул. Навои, 30.